Pro-\'etale 上同调

引言

本章及更多相关内容可见预印本 [BS]。

本章的目标是介绍 pro-étale 拓扑，并发展该拓扑下阿贝尔层上同调的 基本理论。另一个目标是说明，使用 pro-étale 拓扑可以简化代数几何中 \(\ell\)-进上同调的引入。

下面简要回顾我们所理解的 \(\ell\)-进 étale 上同调史。 在 [SGA5, 报告 V 与 VI] 中，Grothendieck 等人发展出一套理论， 把 \(\ell\)-进层处理为 \(\mathbf{Z}/\ell^n\mathbf{Z}\)-模层的逆系统。 Deligne 在关于 Weil 猜想的第二篇论文（[WeilII]）中，把 \(\ell\)-进层的导出范畴引入为若干范畴的一个 2-极限；这些范畴由概形 \(X\) 的 étale 位点上 \(\mathbf{Z}/\ell^n\mathbf{Z}\)-模层的复形组成。 Beilinson、Bernstein 与 Deligne 的论文（[BBD]）以这种方法为 基础，建立了优美的变态层理论。Uwe Jannsen 在题为“连续 Étale 上同调”的论文（[Jannsen]）中，讨论了域上簇的一个 \(\ell\)-进层 上同调的重要变体。随后 Torsten Ekedahl 的论文（[Ekedahl]） 讨论了便利地处理定义为极限的导出范畴所需的进形式体系。

事实表明，在概形的 pro-étale 位点上工作，可以避开这些作者遇到的 一部分技术困难。代价是必须处理非 Noether 概形；即使我们只关心 代数闭域上簇的 \(\ell\)-进层及其上同调，也仍然如此。

概形的（小）pro-étale 位点具有足够多的拟紧 w-可缩对象，这是一个 非常重要而显著的特征。这些对象的存在，对阿贝尔层的导出范畴以及层的 逆系统产生若干有用而（或许）不寻常的推论。正是这一特征使我们能够 处理 \(\ell\)-进层所涉及的种种微妙之处；不过，正如后文将看到的， 它还有不少其他益处。

若干拓扑学

先作若干准备。我们已在“拓扑学”第 08YF 节定义了谱空间及谱空间之间的 谱映射。环的谱是谱空间；见“代数”引理 090M。

引理

设 \(X\) 为谱空间，并设 \(X_0\subset X\) 为闭点集。下列条件等价：

1. \(X\) 的每个开覆盖都可由有限不交并分解 \(X=\coprod U_i\) 加细，其中各 \(U_i\) 在 \(X\) 中既开又闭。

2. 复合映射 \(X_0\to X\to\pi_0(X)\) 为双射。

此外，若 \(X_0\) 在 \(X\) 中闭，且 \(X\) 的每个点都特化到 \(X_0\) 中唯一的 一点，则上述条件成立。

证明

以下将直接使用：\(X_0\) 拟紧（“拓扑学”引理 08ZM），且 \(\pi_0(X)\) 是预有限空间（“拓扑学”引理 0906）。 考虑图 \[\xymatrix{ X_0 \ar[rd]_f \ar[r] & X \ar[d]^\pi \\ & \pi_0(X) }\] 若 (2) 成立，则由“拓扑学”引理 08YE， 连续双射 \(f:X_0\to\pi_0(X)\) 是同胚。给定开覆盖 \(X=\bigcup U_i\)，便得到开覆盖 \(\pi_0(X)=\bigcup f(X_0\cap U_i)\)。由“拓扑学”引理 08ZZ，可找到形如 \(\pi_0(X)=\coprod V_j\) 的有限开覆盖来加细它。由于 \(X_0\to\pi_0(X)\) 为双射，\(X\) 的每个连通分支都有唯一闭点，因而恰为 特化到该闭点的所有点组成的集合。因此，\(\pi^{-1}(V_j)\) 是特化到 \(f^{-1}(V_j)\) 中各点的点集。若 \(f^{-1}(V_j)\subset X_0\cap U_i\subset U_i\)，则 \(\pi^{-1}(V_j)\subset U_i\)（因为开集 \(U_i\) 在泛化下封闭）。由此， 开覆盖 \(X=\coprod\pi^{-1}(V_j)\) 加细了原来的覆盖。这证明 (2) 蕴涵 (1)。

假设 (1)。设 \(x,y\in X\) 为闭点。于是有开覆盖 \(X=(X\setminus\{x\})\cup(X\setminus\{y\})\)。由 (1)，存在不交并分解 \(X=U\amalg V\)，其中 \(U\) 与 \(V\) 均开（亦均闭），且 \(x\in U\)、\(y\in V\)。 特别地，\(X\) 的每个连通分支至多有一个闭点。由“拓扑学”引理 005E，每个连通分支 （它是闭的）也确有一个闭点。因此 \(X_0\to\pi_0(X)\) 为双射， 这证明 (1) 蕴涵 (2)。

假设 \(X_0\) 在 \(X\) 中闭，且每个点都特化到 \(X_0\) 中唯一的一点。 则 \(X_0\) 是由闭点组成的谱空间（“拓扑学”引理 0902），故为预有限空间（“拓扑学”引理 0905）。设 \(x,y\in X_0\) 互异。由“拓扑学”引理 08ZZ，可找到不交并分解 \(X_0=U_0\amalg V_0\)，其中 \(U_0\) 与 \(V_0\) 均开且闭，并且 \(x\in U_0\)、\(y\in V_0\)。令 \(U\subset X\)（相应地 \(V\subset X\)） 为特化到 \(U_0\)（相应地 \(V_0\)）的点集。注意 \(X=U\amalg V\)。由“拓扑学”引理 0A31，\(U\) 是拟紧开子集的交， 故 \(U\) 在可构造拓扑中闭。又因 \(U\) 在特化下封闭，由“拓扑学”引理 0903， \(U\) 闭。由对称性，\(V\) 也闭，故 \(U\) 与 \(V\) 均开且闭。这证明 \(x,y\) 不在 \(X\) 的同一连通分支中。换言之，\(X_0\to\pi_0(X)\) 为单射。 由“拓扑学”引理 005E 以及连通分支为闭集这一事实，该映射也满。于是最后一个条件蕴涵 (2)。

例

设 \(T\) 为预有限空间。取一点 \(t\in T\)，并假设 \(T\setminus\{t\}\) 不拟紧。令 \(X=T\times\{0,1\}\)。在 \(X\) 上考虑 由下列集合给出子基的拓扑：当 \(U\subset T\) 开时的 \(U\times\{0,1\}\)，集合 \(X\setminus\{(t,0)\}\)，以及当 \(U\subset T\) 开且 \(t\not \in U\) 时的 \(U\times\{1\}\)。 \(X\) 的闭点集为 \(X_0=T\times\{0\}\)，而 \((t,1)\) 属于 \(X_0\) 的闭包。 此外，\(X_0\to\pi_0(X)\) 是双射。此例说明，引理 0968 的条件 (1) 与 (2) 并不蕴涵闭点集为闭集。

事实表明，使用满足引理 0968 末句所述稍强性质的 谱空间更为方便。我们给这一性质命名。

定义

若谱空间 \(X\) 的闭点集 \(X_0\) 为闭集，且 \(X\) 的每个点都特化到唯一的 闭点，则称该空间为w-局部的。w-局部空间之间的连续映射 \(f:X\to Y\) 称为w-局部的，如果它是谱映射，并把 \(X\) 的每个 闭点映到 \(Y\) 的闭点。

在引理 0968 的证明中已经看到，此时 \(X_0\to\pi_0(X)\) 是同胚，且 \(X_0\cong\pi_0(X)\) 为预有限空间。 此外，\(X\) 的一个连通分支恰是特化到某个给定 \(x\in X_0\) 的所有点 组成的集合。

引理

设 \(X\) 为 w-局部谱空间。若 \(Y\subset X\) 闭，则 \(Y\) 为 w-局部的。

证明

闭点子集 \(Y_0\subset Y\) 为闭集，因为 \(Y_0=X_0\cap Y\)。由于 \(X\) 是 \(w\)-局部的，每个 \(y\in Y\) 都特化到 \(X_0\) 中唯一的一点。又因 \(\overline{\{y\}}\subset Y\)，该特化点属于 \(Y\)，从而也属于 \(Y_0\)。 故 \(Y\) 为 \(w\)-局部的。

引理

设 \(X\) 为谱空间，并设 \[\xymatrix{ Y \ar[r] \ar[d] & T \ar[d] \\ X \ar[r] & \pi_0(X) }\] 为拓扑空间范畴中的笛卡尔图，其中 \(T\) 为预有限空间。则 \(Y\) 为 谱空间，且 \(T=\pi_0(Y)\)。若再假设 \(X\) 为 w-局部的，则 \(Y\) 为 w-局部的，\(Y\to X\) 为 w-局部映射，并且 \(Y\) 的闭点集是 \(X\) 的闭点集的逆像。

证明

注意，\(\pi_0(X)\) 是预有限空间，因而是 Hausdorff 的，所以 \(Y\) 是 \(X\times T\) 的闭子空间（使用“拓扑学”引理 0906 与 08ZH）。又因 \(X\times T\) 为谱空间（“拓扑学”引理 0907），故 \(Y\) 为谱空间 （“拓扑学”引理 0902）。考虑典范分解 \(Y\to\pi_0(Y)\to T\)（“拓扑学”引理 08ZL）。显然 \(\pi_0(Y)\to T\) 满射。\(Y\to T\) 的各纤维同胚于 \(X\to\pi_0(X)\) 的各纤维，因而连通。于是 \(\pi_0(Y)\to T\) 单射。 由“拓扑学”引理 08YE， \(\pi_0(Y)\to T\) 是同胚。

再假设 \(X\) 为 w-局部的，并以 \(X_0\subset X\) 表示闭点集。令 \(Y_0\subset Y\) 为 \(X_0\) 在 \(Y\) 中的逆像。由引理 0968，\(X_0\to\pi_0(X)\) 为双射，故 该逆像双射地映到 \(T\)。此外，\(Y_0\) 是谱空间 \(Y\) 的闭子集，因而拟紧。 于是由“拓扑学”引理 08YE， \(Y_0\to\pi_0(Y)=T\) 为同胚。因此 \(Y_0\) 的所有点在 \(Y\) 中均为闭点。 反之，若 \(y\in Y\) 为闭点，则它在 \(Y\to\pi_0(Y)=T\) 的相应纤维中闭， 从而其在 \(X\) 中的像 \(x\) 在 \(X\to\pi_0(X)\) 的同胚纤维中闭。 这蕴涵 \(x\in X_0\)，故 \(y\in Y_0\)。所以 \(Y_0\) 正是 \(Y\) 的闭点集； 对每个 \(y\in Y_0\)，\(y\) 的所有泛化点组成 \(Y\to\pi_0(Y)\) 的相应 纤维。引理得证。

局部同构

先给出一个定义。

定义

设 \(\varphi:A\to B\) 为环映射。

1. 若对每个素理想 \(\mathfrak q\subset B\)，都存在 \(g\in B\)、\(g\not \in\mathfrak q\)，使 \(A\to B_g\) 诱导开浸入 \(\Spec(B_g)\to\Spec(A)\)，则称 \(A\to B\) 为局部同构。

2. 若对每个素理想 \(\mathfrak q\subset B\)，典范映射 \(A_{\varphi^{-1}(\mathfrak q)}\to B_\mathfrak q\) 都是同构，则称 \(A\to B\) 诱导局部环同构。

列出若干初等性质。

引理

设 \(A\to B\) 与 \(A\to A'\) 为环映射，并令 \(B'=B\otimes_AA'\) 为 \(B\) 的基变换。

1. 若 \(A\to B\) 为局部同构，则 \(A'\to B'\) 为局部同构。

2. 若 \(A\to B\) 诱导局部环同构，则 \(A'\to B'\) 也诱导局部环同构。

证明

略。

引理

设 \(A\to B\) 与 \(B\to C\) 为环映射。

1. 若 \(A\to B\) 与 \(B\to C\) 均为局部同构，则 \(A\to C\) 为局部同构。

2. 若 \(A\to B\) 与 \(B\to C\) 均诱导局部环同构，则 \(A\to C\) 也诱导局部环同构。

证明

略。

引理

设 \(A\) 为环，并设 \(B\to C\) 为 \(A\)-代数同态。

1. 若 \(A\to B\) 与 \(A\to C\) 均为局部同构，则 \(B\to C\) 为局部同构。

2. 若 \(A\to B\) 与 \(A\to C\) 均诱导局部环同构，则 \(B\to C\) 也诱导局部环同构。

证明

略。

引理

设 \(A\to B\) 为局部同构。则

1. \(A\to B\) 是 étale 的；

2. \(A\to B\) 诱导局部环同构；

3. \(A\to B\) 拟有限。

证明

略。

引理

设 \(A\to B\) 为局部同构。则存在 \(n\geq0\)、 \(g_1,\ldots,g_n\in B\) 与 \(f_1,\ldots,f_n\in A\)，使得 \((g_1,\ldots,g_n)=B\) 且 \(A_{f_i}\cong B_{g_i}\)。

证明

略。

引理

设 \(p:(Y,\mathcal{O}_Y)\to(X,\mathcal{O}_X)\) 与 \(q:(Z,\mathcal{O}_Z)\to(X,\mathcal{O}_X)\) 为局部环空间的态射。 若 \(\mathcal{O}_Y=p^{-1}\mathcal{O}_X\)，则 \[\Mor_{\text{LRS}/(X, \mathcal{O}_X)}((Z, \mathcal{O}_Z), (Y, \mathcal{O}_Y)) \longrightarrow \Mor_{\textit{Top}/X}(Z, Y),\quad (f, f^\sharp) \longmapsto f\] 为双射。这里 \(\text{LRS}/(X,\mathcal{O}_X)\) 是 \(X\) 上局部环空间的 范畴，\(\textit{Top}/X\) 是 \(X\) 上拓扑空间的范畴。

证明

由定义立即得到。

引理

设 \(A\) 为环，并置 \(X=\Spec(A)\)。函子 \[B \longmapsto \Spec(B)\] 从满足 \(A\to B\) 诱导局部环同构的 \(A\)-代数 \(B\) 所成范畴，到 \(X\) 上拓扑空间的范畴，是全忠实的。

证明

这由引理 096K 以及下述事实得到： 若 \(A\to B\) 诱导局部环同构，则 \(\Spec(A)\) 的结构层沿 \(p:\Spec(B)\to\Spec(A)\) 的拉回等于 \(\Spec(B)\) 的结构层。

Ind-Zariski 代数

先给出一个定义；它与论文 [BS] 中相应定义的比较见注 0A0D。

定义

若 \(B\) 可写成滤过余极限 \(B=\colim B_i\)，且每个 \(A\to B_i\) 都是 局部同构，则称环映射 \(A\to B\) 为 ind-Zariski 的。

局部化 \(A\to S^{-1}A\) 是 ind-Zariski 映射的一个例子；见“代数”引理 00CR。ind-Zariski 代数范畴对若干 自然运算封闭。

引理

设 \(A\to B\) 与 \(A\to A'\) 为环映射，并令 \(B'=B\otimes_AA'\) 为 \(B\) 的基变换。若 \(A\to B\) 为 ind-Zariski， 则 \(A'\to B'\) 为 ind-Zariski。

证明

略。

引理

设 \(A\to B\) 与 \(B\to C\) 为环映射。若 \(A\to B\) 与 \(B\to C\) 均为 ind-Zariski，则 \(A\to C\) 为 ind-Zariski。

证明

略。

引理

设 \(A\) 为环，并设 \(B\to C\) 为 \(A\)-代数同态。若 \(A\to B\) 与 \(A\to C\) 均为 ind-Zariski，则 \(B\to C\) 为 ind-Zariski。

证明

略。

引理

ind-Zariski \(A\)-代数的滤过余极限在 \(A\) 上仍为 ind-Zariski。

证明

略。

引理

设 \(A\to B\) 为 ind-Zariski。则 \(A\to B\) 诱导局部环同构。

证明

略。

构造 w-局部仿射概形

若仿射概形 \(X\) 的底拓扑空间为 w-局部的（定义 096A），则称该概形为 w-局部的。事实表明， 对任意环 \(A\)，都存在典范的忠实平坦 ind-Zariski 环映射 \(A\to A_w\)，使 \(\Spec(A_w)\) 为 w-局部的。构造 \(A_w\) 的关键是 下述简单引理。

引理

设 \(A\) 为环，置 \(X=\Spec(A)\)。设 \(Z\subset X\) 为形如 \(D(f)\cap V(I)\) 的局部闭子概形，其中 \(f\in A\) 且 \(I\subset A\) 为理想。则

1. 存在乘法子集 \(S\subset A\)，使得 \(\Spec(S^{-1}A)\) 同胚地映到 \(X\) 中特化到 \(Z\) 的点集；

2. \(A\)-代数 \(A_Z^\sim=S^{-1}A\) 仅依赖于底层局部闭子集 \(Z\subset X\)；

3. \(Z\) 是 \(\Spec(A_Z^\sim)\) 的闭子概形。

若 \(A\to A'\) 为环映射，且同样形状的局部闭子概形 \(Z'\subset X'=\Spec(A')\) 映入 \(Z\)，则存在唯一的 \(A\)-代数映射 \(A_Z^\sim\to(A')_{Z'}^\sim\)。

证明

令 \(S\subset A\) 为所有在 \(\Gamma(Z,\mathcal{O}_Z)=(A/I)_f\) 中映为可逆元的元素所成的乘法集。 若 \(A\) 的素理想 \(\mathfrak p\) 不特化到 \(Z\)，则 \(\mathfrak p\) 在 \((A/I)_f\) 中生成单位理想。因此可对某个 \(n\geq0\)、 \(g\in\mathfrak p\)、\(h\in I\) 写成 \(f^n=g+h\)。于是 \(g\in S\)， 故 \(\mathfrak p\) 不属于 \(S^{-1}A\) 的谱。反之，若 \(\mathfrak p\) 确实特化到 \(Z\)，即 \(\mathfrak p\subset\mathfrak q\supset I\) 且 \(f\not \in\mathfrak q\)，则 \(S^{-1}A\) 映到 \(A_\mathfrak q\)，所以 \(\mathfrak p\) 属于 \(S^{-1}A\) 的谱。这证明 (1)。

局部化 \(S^{-1}A\) 的同构类仅依赖于相应的子集 \(\Spec(S^{-1}A)\subset\Spec(A)\)，故 (2) 成立。由构造， \(S^{-1}A\) 满射到 \((A/I)_f\)，故 (3) 成立。最后的断言则由下述事实 推出：与 \(Z'\) 对应的乘法子集 \(S'\subset A'\) 包含乘法子集 \(S\) 的像。

设 \(A\) 为环，并设 \(E\subset A\) 为有限子集。考察 \(E\) 中各元素的 消失情形，可得到 \(X=\Spec(A)\) 到局部闭子概形的分层。更准确地， 对不交并分解 \(E=E'\amalg E''\)，置 [096W]\[\begin{equation} Z(E', E'') = \bigcap\nolimits_{f \in E'} D(f) \cap \bigcap\nolimits_{f \in E''} V(f) = D(\prod\nolimits_{f \in E'} f) \cap V( \sum\nolimits_{f \in E''} fA) \end{equation}\] \(Z(E',E'')\) 的点恰为满足下述条件的 \(x\in X\)：每个 \(f\in E'\) 在 \(\kappa(x)\) 中的像非零，而每个 \(f\in E''\) 在 \(\kappa(x)\) 中的像 为零。因此，集合意义下显然有 [096X]\[\begin{equation} X = \coprod\nolimits_{E = E' \amalg E''} Z(E', E'') \end{equation}\] 。注意，每个分层片都是可构造的。

引理

设 \(X=\Spec(A)\) 如上。给定由可构造子集组成的任意有限分层 \(X=\coprod T_i\)，存在有限子集 \(E\subset A\)，使分层 (096X) 加细 \(X=\coprod T_i\)。

证明

可写成有限并 \(T_i=\bigcup_jU_{i,j}\cap V_{i,j}^c\)，其中 \(U_{i,j}\) 与 \(V_{i,j}\) 是 \(X\) 中的拟紧开集。再写成 \(U_{i,j}=\bigcup D(f_{i,j,k})\) 与 \(V_{i,j}=\bigcup D(g_{i,j,l})\)。置 \(E=\{f_{i,j,k}\}\cup\{g_{i,j,l}\}\) 即可，因为 (096X) 的各分层片由 \(E\) 中元素的消失型标记， 显然加细给定分层。

继续上述讨论。给定有限子集 \(E\subset A\)，置 [096Z]\[\begin{equation} A_E = \prod\nolimits_{E = E' \amalg E''} A_{Z(E', E'')}^\sim \end{equation}\] ，其中沿用引理 096V 的记号。此定义有意义，因为 (096W) 表明每个 \(Z(E',E'')\) 都具有所需的形状。 取此环的谱，记作 [0970]\[\begin{equation} X_E = \Spec(A_E) = \coprod\nolimits_{E = E' \amalg E''} X_{E', E''} \end{equation}\] ，其中 \(X_{E',E''}=\Spec(A_{Z(E',E'')}^\sim)\)。注意 [0971]\[\begin{equation} Z_E = \coprod\nolimits_{E = E' \amalg E''} Z(E', E'') \longrightarrow X_E \end{equation}\] 是闭子概形。由构造，闭子概形 \(Z_E\) 包含仿射概形 \(X_E\) 的所有闭点， 因为 \(X_{E',E''}\) 的每个点都特化到 \(Z(E',E'')\) 的某个点。

令 \(I(A)\) 为 \(A\) 的所有有限子集按包含关系组成的偏序集。这是有向偏序集。 对 \(E_1\subset E_2\)，存在典范过渡映射 \(A_{E_1}\to A_{E_2}\)，它是 \(A\)-代数映射。事实上，给定分解 \(E_2=E'_2\amalg E''_2\)，置 \(E'_1=E_1\cap E'_2\) 与 \(E''_1=E_1\cap E''_2\)。注意 \(Z(E'_2,E''_2)\subset Z(E'_1,E''_1)\)，故由引理 096V，存在唯一的 \(A\)-代数映射 \(A_{Z(E'_1,E''_1)}^\sim\to A_{Z(E'_2,E''_2)}^\sim\)。把这些映射合在一起， 便得到所需的环映射 \(A_{E_1}\to A_{E_2}\)。注意，对应的仿射概形映射 [0972]\[\begin{equation} X_{E_2} \longrightarrow X_{E_1} \end{equation}\] 把 \(Z_{E_2}\) 映入 \(Z_{E_1}\)。由唯一性，得到一个 \(A\)-代数系统， 其指标集为 \(I(A)\)，并置 [0973]\[\begin{equation} A_w = \colim_{E \in I(A)} A_E \end{equation}\] 这个 \(A\)-代数在 \(A\) 上是 ind-Zariski 且忠实平坦的。最后，置 \(X_w=\Spec(A_w)\)，并令其带有闭子概形 \(Z=\lim_{E\in I(A)}Z_E\)。用公式表示为 [0974]\[\begin{equation} X_w = \lim_{E \in I(A)} X_E \supset Z = \lim_{E \in I(A)} Z_E \end{equation}\]

引理

设 \(X=\Spec(A)\) 为仿射概形，并采用如上的 \(A\to A_w\)、 \(X_w=\Spec(A_w)\) 与 \(Z\subset X_w\)。则

1. \(A\to A_w\) 是 ind-Zariski 且忠实平坦的；

2. \(X_w\to X\) 诱导双射 \(Z\to X\)；

3. \(Z\) 是 \(X_w\) 的闭点集；

4. \(Z\) 是约化概形；

5. \(X_w\) 的每个点都特化到 \(Z\) 的唯一一点。

特别地，\(X_w\) 是 w-局部的（定义 096A）。

证明

由构造，映射 \(A\to A_w\) 是 ind-Zariski 的。对每个 \(E\)，态射 \(Z_E\to X\) 都是双射，故 (2) 成立。由于 \(Z\subset X_w\)，可知 \(X_w\to X\) 满射；再由“代数”引理 00HQ， \(A\to A_w\) 忠实平坦。这证明了 (1)。

设 \(y\in X_w\) 且 \(y\not\in Z\)。则存在 \(E\)，使 \(y\) 在 \(X_E\) 中的像 不属于 \(Z_E\)。于是对每个 \(E\subset E'\)，\(y\) 在 \(X_{E'}\) 中的像也不 属于 \(Z_{E'}\)。令 \(T_{E'}\subset X_{E'}\) 为 \(y\) 的像的闭包所给出的 约化闭子概形。显然，\(T=\lim_{E\subset E'}T_{E'}\) 是 \(y\) 在 \(X_w\) 中的闭包。对每个 \(E\subset E'\)，概形 \(T_{E'}\cap Z_{E'}\) 由 \(X_{E'}\) 的构造非空。因此 \(\lim T_{E'}\cap Z_{E'}\) 非空，从而 \(T\cap Z\) 非空。故 \(y\) 不是闭点。 这表明 \(X_w\) 的每个闭点都属于 \(Z\)。

设 \(y\in X_w\) 特化到 \(z,z'\in Z\)。我们来证明 \(z=z'\)；这将完成 (3) 的证明，并推出 (5)。令 \(x,x'\in X\) 分别为 \(z\) 与 \(z'\) 的像。由于 \(Z\to X\) 是双射，只需证明 \(x=x'\)。若 \(x \not = x'\)，则存在 \(f\in A\)， 使 \(x\in D(f)\) 且 \(x'\in V(f)\)（或反之）。置 \(E=\{f\}\)，于是 \[X_E = \Spec(A_f) \amalg \Spec(A_{V(f)}^\sim)\] 可见 \(z\) 与 \(z'\) 分别映到 \(x_E\) 与 \(x'_E\)，而后二者位于上述 \(X_E\) 分解的不同部分。因此，\(x_E\) 与 \(x'_E\) 不可能是同一点的特化， 这就是所需的矛盾。

回忆，对有限子集 \(E\subset A\)，\(Z_E\) 是局部闭子概形 \(Z(E',E'')\) 的不交并；其中每一项都同构于 \((A/I)_f\) 的谱， 其中 \(I\) 是由 \(E''\) 生成的理想，\(f\) 是 \(E'\) 中各元素的乘积。 任意幂零元 \(b\) 在 \((A/I)_f\) 中都是 \(g/f^n\) 的类，其中 \(g\in A\)。 置 \(E'=E\cup\{g\}\)，读者可验证，\(b\) 在此系统的过渡映射 \(Z_{E'}\to Z_E\) 下拉回为零。这证明了 (4)。

注

设 \(A\) 为环，\(\kappa\) 为不小于 \(A\) 的基数的无限基数。则 \(A_w\)（引理 0975）的基数至多为 \(\kappa\)。 事实上，每个 \(A_E\) 的基数至多为 \(\kappa\)，而 \(A\) 的有限子集所成的 集合的基数也至多为 \(\kappa\)。由于 \(\kappa\otimes\kappa=\kappa\)，结论成立；见“集合”第 000D 节。

引理

设 \(A\) 为环，并设 \(A\to A_w\) 为引理 0975 中构造的 环映射。对任意环映射 \(A\to B\)，若 \(\Spec(B)\) 是 w-局部的，则存在唯一分解 \(A\to A_w\to B\)，使得 \(\Spec(B)\to\Spec(A_w)\) 是 w-局部的。

证明

记 \(Y=\Spec(B)\)，并记 \(Y_0\subset Y\) 为闭点集。记给定态射为 \(f:Y\to X\)。回忆，\(Y_0\) 是预有限的；特别地，\(Y_0\) 的每个可构造子集 都是开闭的。设 \(E\subset A\) 为有限子集。回忆， \(A_w=\colim A_E\)，且 \(\Spec(A_w)\) 的闭点集是闭子集 \(Z_E\subset X_E=\Spec(A_E)\) 的逆极限。因此，只需证明存在唯一分解 \(A\to A_E\to B\)，使 \(Y\to X_E\) 把 \(Y_0\) 映入 \(Z_E\)。 由于 \(Z_E\to X=\Spec(A)\) 是双射，且各分层片 \(Z(E',E'')\) 可构造，故 \[Y_0 = \coprod f^{-1}(Z(E', E'')) \cap Y_0\] 是到开闭子集的不交并分解。由于 \(Y_0=\pi_0(Y)\)，得到 \(Y\) 到开闭部分的 相应分解。因此，只需在 \(f(Y_0)\subset Z(E',E'')\) 对某个分解 \(E=E'\amalg E''\) 成立时构造该分解。在这种情况下，\(f(Y)\) 包含于 \(X\) 中特化到 \(Z(E',E'')\) 的点集，而该点集同胚于 \(X_{E',E''}\)。 于是得到唯一的连续映射 \(Y\to X_{E',E''}\)，它位于 \(X\) 上。由引理 096K，它对应于唯一的概形态射 \(Y\to X_{E',E''}\)，该态射位于 \(X\) 上。证明完毕。

回忆，环的谱为预有限空间，当且仅当其中每个点都是闭点。事实上， 还有一系列与此等价的条件；见“代数”引理 04MG 或“拓扑学”引理 0905。

引理

设 \(A\) 为环且 \(\Spec(A)\) 为预有限空间，并设 \(A\to B\) 为环映射。 在下列每种情形下，\(\Spec(B)\) 都是预有限空间：

1. 若 \(\mathfrak q,\mathfrak q'\subset B\) 位于 \(A\) 的同一个素理想之上， 则既不成立 \(\mathfrak q\subset\mathfrak q'\)，也不成立 \(\mathfrak q'\subset\mathfrak q\)；

2. \(A\to B\) 诱导代数的剩余域扩张；

3. \(A\to B\) 是局部同构；

4. \(A\to B\) 诱导局部环同构；

5. \(A\to B\) 是弱 étale 的；

6. \(A\to B\) 是拟有限的；

7. \(A\to B\) 是非分歧的；

8. \(A\to B\) 是 étale 的；

9. \(B\) 是具有 (1)–(8) 中性质的 \(A\)-代数的滤过余极限；

10. 等等。

证明

由上述参考结果（“代数”引理 04MG 或“拓扑学”引理 0905），\(\Spec(A)\) 的不同点 之间没有特化关系，而 \(\Spec(B)\) 是预有限空间，当且仅当 \(\Spec(B)\) 的 不同点之间没有特化关系。这些特化关系只能发生在 \(\Spec(B)\to\Spec(A)\) 的纤维中。因此 (1) 成立。

由“代数”引理 00GA， (2) 的假设蕴含 \(B\) 的所有素理想都是极大理想，故 (2) 成立。 若 \(A\to B\) 是局部同构或诱导局部环同构，则剩余域扩张均为平凡扩张， 所以 (3) 与 (4) 由 (2) 得出。若 \(A\to B\) 是弱 étale 的，则 “代数续篇”引理 092R 表明它诱导 可分代数的剩余域扩张，故 (5) 由 (2) 得出。若 \(A\to B\) 是拟有限的， 则各纤维都是有限离散拓扑空间，故 (6) 由 (1) 得出。因此 (3) 由 (1) 得出。情形 (7) 与 (8) 由此得出，因为非分歧及 étale 环映射是拟有限的 （“代数”引理 02UR 与 00U5）。若 \(B=\colim B_i\) 是 \(A\)-代数的滤过余极限，则由“极限”引理 0CUF，在拓扑空间范畴中有 \(\Spec(B)=\lim\Spec(B_i)\)。因此，若每个 \(\Spec(B_i)\) 都是预有限空间， 则由“拓扑学”引理 0ET8， \(\Spec(B)\) 亦然。这证明了 (9)。

引理

设 \(A\) 为环，并设 \(V(I)\subset\Spec(A)\) 为一个作为拓扑空间是预有限的 闭子集。则存在 ind-Zariski 环映射 \(A\to B\)，使得 \(\Spec(B)\) 是 w-局部的，其闭点集为 \(V(IB)\)，且 \(A/I\cong B/IB\)。

证明

取引理 0975 中的 \(A\to A_w\) 与 \(Z\subset Y=\Spec(A_w)\)。令 \(T\subset Z\) 为 \(V(I)\) 的逆像。 由“拓扑学”引理 08YE， \(T\to V(I)\) 是同胚。令 \(B=(A_w)_T^\sim\)；见引理 096V。显然，\(B\) 是 w-局部的，且闭点集为 \(V(IB)\)。 环映射 \(A/I\to B/IB\) 是 ind-Zariski 的，并在底层拓扑空间上诱导同胚。 故由引理 096L，它是同构。

引理

设 \(A\) 为环且 \(X=\Spec(A)\) 是 w-局部的。设 \(I\subset A\) 为定义闭点集 \(X_0\) 的根理想；该闭点集取自 \(X\)。设环映射 \(A\to B\) 在各素理想处诱导代数的 剩余域扩张。则

1. \(Z=V(IB)\) 的每个点都是 \(\Spec(B)\) 的闭点；

2. 存在 ind-Zariski 环映射 \(B\to C\)，使得

   1. \(B/IB\to C/IC\) 是同构；

   2. 空间 \(Y=\Spec(C)\) 是 w-局部的；

   3. 诱导映射 \(p:Y\to X\) 是 w-局部的；

   4. \(p^{-1}(X_0)\) 是 \(Y\) 的闭点集。

证明

把引理 0978 应用于 \(A/I\to B/IB\)，可知 \(Z=V(IB)=\Spec(B/IB)\) 的所有点都是闭点；事实上，\(\Spec(B/IB)\) 是 预有限空间。最后把引理 0979 应用于 \(IB\subset B\)，即得结论。

诱导局部环同构与 ind-Zariski 的比较

ind-Zariski 环映射 \(A \to B\) 诱导局部环同构（引理 096T），但其逆命题不成立（“例”第 09AN 节）。不过，诱导局部环同构的环映射 可以用 ind-Zariski 环映射来描述；这给出一种结构定理，见命题 097G。

设 \(A\) 为环，令 \(X = \Spec(A)\)。由“拓扑学”引理 0906（以及“代数”引理 090M），连通分支空间 \(\pi_0(X)\) 是 预有限空间。

引理

设 \(A\) 为环，令 \(X = \Spec(A)\)。设 \(T \subset \pi_0(X)\) 为闭子集。 则存在满的 ind-Zariski 环映射 \(A \to B\)，使得 \(\Spec(B) \to \Spec(A)\) 诱导 \(\Spec(B)\) 与 \(T\) 在 \(X\) 中的逆像之间的 同胚。

证明

令 \(Z \subset X\) 为 \(T\) 的逆像。则 \(Z\) 是 \(X\) 中所有包含 \(Z\) 的开闭 子集的交 \(Z = \bigcap Z_\alpha\)；见“拓扑学”引理 04PL。对每个 \(\alpha\)， 有 \(Z_\alpha = \Spec(A_\alpha)\)，其中 \(A \to A_\alpha\) 是局部同构 （在一个幂等元处的局部化）。置 \(B = \colim A_\alpha\) 即得结论。

引理

设 \(A\) 为环并令 \(X = \Spec(A)\)。设 \(T\) 为预有限空间，且 \(T \to \pi_0(X)\) 为连续映射。则存在 ind-Zariski 环映射 \(A \to B\)，使得在记 \(Y = \Spec(B)\) 时，下图 \[\xymatrix{ Y \ar[r] \ar[d] & \pi_0(Y) \ar[d] \\ X \ar[r] & \pi_0(X) }\] 在拓扑空间范畴中是笛卡尔图，并且作为 \(\pi_0(X)\) 上的空间有 \(\pi_0(Y) = T\)。

证明

具体地，把 \(T = \lim T_i\) 写成以有向集为指标的有限离散空间逆系统的 极限（见“拓扑学”引理 08ZY）。对每个 \(i\)，令 \(Z_i = \Im(T \to \pi_0(X) \times T_i)\)；这是闭子集。注意， \(X \times T_i\) 是 \(A_i = \prod_{t \in T_i} A\) 的谱，且 \(A \to A_i\) 是局部同构。由引理 097C， \(Z_i \subset \pi_0(X \times T_i) = \pi_0(X) \times T_i\) 对应于一个 ind-Zariski 满射 \(A_i \to B_i\)，使得作为 \(X \times T_i\) 的子集有 \(\Spec(B_i) = X \times_{\pi_0(X)} Z_i\)。过渡映射 \(T_i \to T_{i'}\) 诱导映射 \(Z_i \to Z_{i'}\) 及 \(X \times_{\pi_0(X)} Z_i \to X \times_{\pi_0(X)} Z_{i'}\)，从而诱导环映射 \(B_{i'} \to B_i\)（引理 096L 与 096T）。置 \(B = \colim B_i\)。由于 \(T = \lim Z_i\)，有 \(X \times_{\pi_0(X)} T = \lim X \times_{\pi_0(X)} Z_i\)，因而 \(Y = \Spec(B) = \lim \Spec(B_i)\) 位于拓扑空间的笛卡尔图 \[\xymatrix{ Y \ar[r] \ar[d] & T \ar[d] \\ X \ar[r] & \pi_0(X) }\] 中。由引理 096C，可得 \(T = \pi_0(Y)\)。

例

设 \(k\) 为域，\(T\) 为预有限拓扑空间。存在 ind-Zariski 环映射 \(k \to A\)，使得 \(\Spec(A)\) 同胚于 \(T\)。事实上，只需把引理 097D 应用于 \(T \to \pi_0(\Spec(k)) = \{*\}\)。在这种情况下，若把 \(T = \lim T_i\) 写成每个 \(T_i\) 都有限的滤过极限，则有 \[A = \colim \text{Map}(T_i, k)\]

引理

设 \(A \to B\) 为满足下列条件的环映射：

1. \(A \to B\) 诱导局部环同构；

2. 拓扑空间 \(\Spec(B)\)、\(\Spec(A)\) 是 w-局部的；

3. \(\Spec(B) \to \Spec(A)\) 是 w-局部的；

4. \(\pi_0(\Spec(B)) \to \pi_0(\Spec(A))\) 是双射。

则 \(A \to B\) 是同构。

证明

令 \(X_0 \subset X = \Spec(A)\) 与 \(Y_0 \subset Y = \Spec(B)\) 分别为 闭点集。由假设，\(Y_0\) 映入 \(X_0\)，且诱导映射 \(Y_0 \to X_0\) 是双射。 作为空间，\(\Spec(A)\) 是 \(A\) 在各闭点处的局部环之谱的不交并；\(B\) 也 同样。因此 \(X \to Y\) 是双射。由于 \(A \to B\) 平坦，下行定理成立 （“代数”引理 00HS）。故“代数”引理 00EA 表明，对位于 \(\mathfrak p \subset A\) 之上的任意素理想 \(\mathfrak q \subset B\)，有 \(B_\mathfrak q = B_\mathfrak p\)。由假设，\(B_\mathfrak q = A_\mathfrak p\)， 故对 \(A\) 的每个素理想 \(\mathfrak p\)，都有 \(A_\mathfrak p = B_\mathfrak p\)。于是由“代数”引理 00HN，\(A = B\)。

引理

设 \(A \to B\) 为满足下列条件的环映射：

1. \(A \to B\) 诱导局部环同构；

2. 拓扑空间 \(\Spec(B)\)、\(\Spec(A)\) 是 w-局部的；

3. \(\Spec(B) \to \Spec(A)\) 是 w-局部的。

则 \(A \to B\) 是 ind-Zariski 的。

证明

置 \(X = \Spec(A)\) 与 \(Y = \Spec(B)\)。令 \(X_0 \subset X\) 与 \(Y_0 \subset Y\) 为闭点集。取仿射概形的 ind-Zariski 态射 \(A \to A'\)，使得在记 \(X' = \Spec(A')\) 时，下图 \[\xymatrix{ X' \ar[r] \ar[d] & \pi_0(X') \ar[d] \\ X \ar[r] & \pi_0(X) }\] 在拓扑空间范畴中是笛卡尔图，并且作为 \(\pi_0(X)\) 上的空间有 \(\pi_0(X') = \pi_0(Y)\)；见引理 097D。 由引理 096C，\(X'\) 是 w-局部的，且闭点集 \(X'_0 \subset X'\) 是 \(X_0\) 的逆像。

在 \(X\) 上得到底层拓扑空间的连续映射 \(Y \to X'\)，它将 \(\pi_0(Y)\) 与 \(\pi_0(X')\) 等同。由引理 096L（以及引理 096T），它对应于 \(X\) 上的仿射概形态射 \(Y \to X'\)。由于 \(Y \to X\) 把 \(Y_0\) 映入 \(X_0\)，可见 \(Y \to X'\) 把 \(Y_0\) 映入 \(X'_0\)，即 \(Y \to X'\) 是 w-局部的。 由引理 097E， \(Y \cong X'\)，得证。

下面的命题是我们稍后将证明的那类结果的一个预备。

命题

设 \(A \to B\) 为诱导局部环同构的环映射。则存在忠实平坦的 ind-Zariski 环映射 \(B \to B'\)，使得 \(A \to B'\) 是 ind-Zariski 的。

证明

分别令 \(A \to A_w\)、\(B \to B_w\) 为引理 0975 对 \(A\)、\(B\) 构造的忠实平坦 ind-Zariski 环映射。 由于 \(\Spec(B_w)\) 是 w-局部的，由引理 0977，存在唯一分解 \(A \to A_w \to B_w\)，使得 \(\Spec(B_w) \to \Spec(A_w)\) 是 w-局部的。 注意，\(A_w \to B_w\) 诱导局部环同构；见引理 096H。由引理 097F，这意味着 \(A_w \to B_w\) 是 ind-Zariski 的。由于 \(B \to B_w\) 是忠实平坦的 ind-Zariski 映射（引理 0975），而复合 \(A \to B \to B_w\) 是 ind-Zariski 的（引理 096Q），命题得证。

上述命题使我们可以刻画仿射概形的 pro-Zariski 位点中的仿射弱可缩对象。

引理

设 \(A\) 为环。下列条件等价：

1. 每个诱导局部环同构的忠实平坦环映射 \(A \to B\) 都有回缩；

2. 每个忠实平坦 ind-Zariski 环映射 \(A \to B\) 都有回缩；

3. \(A\) 满足

   1. \(\Spec(A)\) 是 w-局部的；

   2. \(\pi_0(\Spec(A))\) 是极端不连通的。

证明

(1) 与 (2) 的等价性立即由命题 097G 得出。

假设 (3)(a) 与 (3)(b)。设 \(A \to B\) 忠实平坦且为 ind-Zariski。 下文将不再明说地使用如下事实：平坦映射 \(A \to B\) 忠实平坦，当且仅当 \(\Spec(A)\) 的每个闭点都属于 \(\Spec(B) \to \Spec(A)\) 的像。 我们来证明 \(A \to B\) 有回缩。

设 \(I \subset A\) 为理想，使得 \(V(I) \subset \Spec(A)\) 是 \(\Spec(A)\) 的闭点集。可把 \(B\) 替换为引理 097A 对 \(A \to B\) 与 \(I \subset A\) 构造的环 \(C\)。因此可以假设 \(\Spec(B)\) 是 w-局部的， 且 \(\Spec(B)\) 的闭点集为 \(V(IB)\)。

假设 \(\Spec(B)\) 是 w-局部的，且 \(\Spec(B)\) 的闭点集为 \(V(IB)\)。 对满连续映射 \(V(IB) \to V(I)\) 选取一个连续截面。这是可能的，因为 \(V(I) \cong \pi_0(\Spec(A))\) 极端不连通；见“拓扑学”命题 08YN。该截面的像是 闭子空间 \(T \subset \pi_0(\Spec(B)) \cong V(IB)\)，并同胚地映到 \(\pi_0(A)\) 上。把 \(B\) 替换为引理 097C 中构造的 ind-Zariski 商环，可假设 \(\pi_0(\Spec(B)) \to \pi_0(\Spec(A))\) 为双射。此时由引理 097E，\(A \to B\) 是同构。

假设 (1)，等价地假设 (2)。令 \(A \to A_w\) 为引理 0975 中构造的环映射。由 (1)，存在回缩 \(A_w \to A\)。因此 \(\Spec(A)\) 同胚于 \(\Spec(A_w)\) 的一个闭子集。 由引理 096B，(3)(a) 成立。最后，令 \(T \to \pi_0(A)\) 为满映射，其中 \(T\) 是极端不连通、拟紧的 Hausdorff 拓扑空间（“拓扑学”引理 090D）。 按适用于 \(T \to \pi_0(\Spec(A))\) 的方式，选取引理 097D 中的 \(A \to B\)。由 (1)，存在回缩 \(B \to A\)。于是 \(T = \pi_0(\Spec(B)) \to \pi_0(\Spec(A))\) 有截面。 利用“拓扑学”命题 08YN 的形式范畴论 论证可知，\(\pi_0(\Spec(A))\) 是极端不连通的。

引理

设 \(A\) 为环。则存在忠实平坦的 ind-Zariski 环映射 \(A \to B\)，使得 \(B\) 满足引理 09AZ 中的等价条件。

证明

首先应用引理 0975，可假设 \(\Spec(A)\) 是 w-局部的。 选取极端不连通空间 \(T\) 及满连续映射 \(T \to \pi_0(\Spec(A))\)；见“拓扑学”引理 090D。注意，\(T\) 是预有限空间。 应用引理 097D，得到 ind-Zariski 环映射 \(A \to B\)，使得 \(\pi_0(\Spec(B)) \to \pi_0(\Spec(A))\) 实现映射 \(T \to \pi_0(\Spec(A))\)，并使下图 \[\xymatrix{ \Spec(B) \ar[r] \ar[d] & \pi_0(\Spec(B)) \ar[d] \\ \Spec(A) \ar[r] & \pi_0(\Spec(A)) }\] 在拓扑空间范畴中是笛卡尔图。注意，\(\Spec(B)\) 是 w-局部的， \(\Spec(B) \to \Spec(A)\) 是 w-局部的，而且 \(\Spec(B)\) 的闭点集是 \(\Spec(A)\) 的闭点集的逆像；见引理 096C。因此， 引理 09AZ 的条件 (3) 对 \(B\) 成立。

注

在引理 097C、097D、命题 097G 以及引理 09B0 中，我们都找到了具有某些性质的 ind-Zariski 环映射。论文 [BS] 的作者使用 ind-(Zariski 局部化) 这一概念，它是主局部化的有限直积所成的滤过余极限。在上述每个结果中， 都可以把 ind-Zariski 替换为 ind-(Zariski 局部化)。但本文不需要这一点， 而且这里定义的环的 ind-Zariski 同态在形式上具有稍好的性质。此外， ind-Zariski 环映射这一概念正是下一节所定义的 ind-étale 环映射的 自然类比。

Ind-étale 代数

先给出定义。

定义

若 \(B\) 可写成 étale \(A\)-代数的滤过余极限，则称环映射 \(A \to B\) 为 ind-étale 的。

ind-étale 代数范畴在若干自然运算下封闭。

引理

设 \(A \to B\) 与 \(A \to A'\) 为环映射，并令 \(B' = B \otimes_A A'\) 为 \(B\) 的基变换。若 \(A \to B\) 是 ind-étale 的，则 \(A' \to B'\) 也是 ind-étale 的。

证明

这就是“代数”引理 0BSH。

引理

设 \(A \to B\) 与 \(B \to C\) 为环映射。若 \(A \to B\) 与 \(B \to C\) 都是 ind-étale 的，则 \(A \to C\) 也是 ind-étale 的。

证明

这就是“代数”引理 0BSI。

引理

ind-étale \(A\)-代数的滤过余极限在 \(A\) 上仍为 ind-étale。

证明

这就是“代数”引理 0BSJ。

引理

设 \(A\) 为环。设 \(B \to C\) 为 ind-étale \(A\)-代数之间的 \(A\)-代数映射。 则 \(C\) 是 ind-étale \(B\)-代数。

证明

这就是“代数”引理 08HS。

引理

设 \(A \to B\) 是 ind-étale 的。则 \(A \to B\) 是弱 étale 的 （“代数续篇”定义 092B）。

证明

这由“代数续篇”引理 092N 得出。

引理

设 \(A\) 为环，\(I \subset A\) 为理想。基变换函子 \[\text{ind-\'etale }A\text{-代数} \longrightarrow \text{ind-\'etale }A/I\text{-代数},\quad C \longmapsto C/IC\] 有全忠实的右伴随 \(v\)。特别地，给定 ind-étale \(A/I\)-代数 \(\overline{C}\)，存在 ind-étale \(A\)-代数 \(C = v(\overline{C})\)，使得 \(\overline{C} = C/IC\)。

证明

设 \(\overline{C}\) 为 ind-étale \(A/I\)-代数。考虑由分解 \(A \to B \to \overline{C}\) 组成的范畴 \(\mathcal{C}\)，其中 \(A \to B\) 是 étale 的。（本证明忽略若干集合论问题。）我们将证明 此范畴是有向的，并且 \(C = \colim_\mathcal{C} B\) 是满足 \(\overline{C} = C/IC\) 的 ind-étale \(A\)-代数。

先证明 \(\mathcal{C}\) 是有向的（“范畴”定义 002V）。该范畴非空，因为 \(A \to A \to \overline{C}\) 是一个对象。设 \(A \to B \to \overline{C}\) 与 \(A \to B' \to \overline{C}\) 是 \(\mathcal{C}\) 的两个对象。则 \(A \to B \otimes_A B' \to \overline{C}\) 也是对象（使用“代数”引理 00U2）。设 \(f, g : B \to B'\) 是 \(\mathcal{C}\) 的对象 \(A \to B \to \overline{C}\) 与 \(A \to B' \to \overline{C}\) 之间的 两个映射。则其一个余等化子为 \(A \to B' \otimes_{f, B, g} B' \to \overline{C}\)。由“代数”引理 00U2 与 00U7， 它是 \(\mathcal{C}\) 的对象。因此范畴 \(\mathcal{C}\) 是有向的。

把 \(\overline{C} = \colim \overline{B_i}\) 写成滤过余极限，其中 \(\overline{B_i}\) 在 \(A/I\) 上是 étale 的。对每个 \(i\)，存在 étale 映射 \(A \to B_i\)，使得 \(\overline{B_i} = B_i/IB_i\)；见“代数”引理 04D1。因此 \(C \to \overline{C}\) 满射。由于 \(C/IC \to \overline{C}\) 是 ind-étale 的（引理 097M），它是平坦的。因此 \(\overline{C}\) 是 \(C/IC\) 在某个乘法子集 \(S \subset C/IC\) 处的局部化（“代数”引理 04PS）。取 \(f \in C\)，使其映到 \(S \subset C/IC\) 的 一个元素。选取 \(\mathcal{C}\) 中的 \(A \to B \to \overline{C}\) 及 \(g \in B\)，使其在余极限中映到 \(f\)。于是 \(A \to B_g \to \overline{C}\) 也是 \(\mathcal{C}\) 的对象。因此 \(f\) 是 \(C\) 中的可逆元，从而 \(C/IC = \overline{C}\)。

其次，断言对 \(A\) 上的 ind-étale 代数 \(D\) 有 \[\Mor_A(D, C) = \Mor_{A/I}(D/ID, \overline{C})\] 事实上，设 \(D/ID \to \overline{C}\) 为 \(A/I\)-代数映射。把 \(D = \colim_{i \in I} D_i\) 写成以有向集 \(I\) 为指标的余极限，其中 \(D_i\) 在 \(A\) 上是 étale 的。由 \(\mathcal{C}\) 的选取，得到函子 \(I \to \mathcal{C}\)，从而得到与到 \(\overline{C}\) 的映射相容的映射 \(D \to C\)。断言得证。

因此，由下述规则定义的函子 \(v\) \[\overline{C} \longmapsto v(\overline{C}) = \colim_{A \to B \to \overline{C}} B\] 是基变换函子 \(u\) 的右伴随，正如引理所要求的。函子 \(v\) 是全忠实的， 因为由构造有 \(u \circ v = \text{id}\)；见“范畴”引理 07RB。

构造 ind-étale 代数

设 \(A\) 为环。回顾任意 étale 环映射 \(A \to B\) 都同构于相对维数为 \(0\) 的 标准光滑环映射。这种环映射形如 \[A \longrightarrow A[x_1, \ldots, x_n]/(f_1, \ldots, f_n)\] 其中以 \(\partial f_i/\partial x_j\) 为元素的 \(n \times n\) 矩阵之行列式在商环中 可逆。见“代数”引理 00U9。

令 \(S(A)\) 为所有相对维数为 \(0\) 的忠实平坦¹标准光滑 \(A\)-代数所成的集合。 令 \(I(A)\) 为 \(S(A)\) 的有限子集 \(E\) 按包含关系组成的偏序集。注意 \(I(A)\) 是有向偏序集。对 \(E = \{A \to B_1, \ldots, A \to B_n\}\)，置 \[B_E = B_1 \otimes_A \ldots \otimes_A B_n\] 则 \(B_E\) 是忠实平坦的 étale \(A\)-代数。若 \(E \subset E'\)，则有 étale \(A\)-代数的典范过渡映射 \(B_E \to B_{E'}\)。具体地，设 \(E = \{A \to B_1, \ldots, A \to B_n\}\) 且 \(E' = \{A \to B_1, \ldots, A \to B_{n + m}\}\)，则 \(B_E \to B_{E'}\) 把 \(b_1 \otimes \ldots \otimes b_n\) 映到 \(B_{E'}\) 的元素 \(b_1 \otimes \ldots \otimes b_n \otimes 1 \otimes \ldots \otimes 1\)。 此构造给出以 \(I(A)\) 为指标的忠实平坦 étale \(A\)-代数系统，并置 \[T(A) = \colim_{E \in I(A)} B_E\] 注意，\(T(A)\) 是忠实平坦的 ind-étale \(A\)-代数（“代数”引理 090N）。由构造，对任意忠实平坦的 étale \(A\)-代数 \(B\)，都有一个（不唯一的）\(A\)-代数映射 \(B \to T(A)\)。 事实上，选取某个 \((A \to B_0) \in S(A)\) 及同构 \(B \cong B_0\)。则典范映射 \[B \to B_0 \to T(A) = \colim_{E \in I(A)} B_E\] 就是所需映射。

引理

给定环 \(A\)，存在忠实平坦的 ind-étale \(A\)-代数 \(C\)，使得每个忠实平坦的 étale 环映射 \(C \to B\) 都有回缩。

证明

置 \(T^1(A) = T(A)\) 且 \(T^{n + 1}(A) = T(T^n(A))\)。令 \[C = \colim T^n(A)\] 此代数在每个 \(T^n(A)\) 上忠实平坦，特别地在 \(A\) 上忠实平坦；见“代数”引理 090N。此外，由引理 097L，\(C\) 在 \(A\) 上是 ind-étale 的。若 \(C \to B\) 是 étale 的，则存在 \(n\) 及 étale 环映射 \(T^n(A) \to B'\)，使得 \(B = C \otimes_{T^n(A)} B'\)；见“代数”引理 00U2。 若 \(C \to B\) 忠实平坦，则 \(\Spec(B) \to \Spec(C) \to \Spec(T^n(A))\) 满射，因而 \(\Spec(B') \to \Spec(T^n(A))\) 满射。换言之， \(T^n(A) \to B'\) 忠实平坦。由上述构造，存在 \(T^n(A)\)-代数映射 \(B' \to T^{n + 1}(A)\)。它诱导 \(C\)-代数映射 \(B \to C\)，证明完毕。

注

设 \(A\) 为环，\(\kappa\) 为不小于 \(A\) 的基数的无限基数。则 \(T(A)\) 的基数至多为 \(\kappa\)。事实上，每个 \(B_E\) 的基数至多为 \(\kappa\)，指标集 \(I(A)\) 的基数 也至多为 \(\kappa\)。由于 \(\kappa \otimes \kappa = \kappa\)，结论成立；见 “集合”第 000D 节。因此，引理 097R 的证明中构造的环之基数也至多为 \(\kappa\)。

注

构造 \(A \mapsto T(A)\) 在如下意义下是函子性的：若 \(A \to A'\) 为环映射， 则可以构造交换图 \[\xymatrix{ A \ar[r] \ar[d] & T(A) \ar[d] \\ A' \ar[r] & T(A') }\] 。具体地，给定 \(S(A)\) 中的 \((A \to A[x_1, \ldots, x_n]/(f_1, \ldots, f_n))\)，利用环映射 \(\varphi : A \to A'\) 得到 \(S(A')\) 中的相应元素 \((A' \to A'[x_1, \ldots, x_n]/(f^\varphi_1, \ldots, f^\varphi_n))\)； 这里 \(f^\varphi\) 表示对多项式 \(f\) 的系数施以 \(\varphi\) 所得的多项式。此外， 环范畴中有交换图 \[\xymatrix{ A \ar[r] \ar[d] & A[x_1, \ldots, x_n]/(f_1, \ldots, f_n) \ar[d] \\ A' \ar[r] & A'[x_1, \ldots, x_n]/(f^\varphi_1, \ldots, f^\varphi_n) }\] 。对有限集 \(E \subset S(A)\)，置 \(E' = \varphi(E)\)，并按显然方式定义 \(B_E \to B_{E'}\)。取余极限便得到所需映射 \(T(A) \to T(A')\)；见“范畴”引理 002K。

引理

设环 \(A\) 满足每个忠实平坦的 étale 环映射 \(A \to B\) 都有回缩。则每个商环 \(A/I\) 也具有同样的性质。

证明

设 \(A/I \to \overline{B}\) 忠实平坦且为 étale。由“代数”引理 04D1，可对某个 étale 环映射 \(A \to B\) 写成 \(\overline{B} = B/IB\)。映射 \(\Spec(B) \to \Spec(A)\) 的像 \(U\) 是开集且包含 \(V(I)\)。因此补集 \(Z = \Spec(A) \setminus U\) 拟紧且与 \(V(I)\) 不交。故对某个 \(r \geq 0\) 及 \(f_i \in I\)，有 \(Z \subset D(f_1) \cup \ldots \cup D(f_r)\)。于是 \(A \to B' = B \times \prod A_{f_i}\) 忠实平坦且为 étale，并且 \(\overline{B} = B'/IB'\)。因此，\(A \to B'\) 的回缩 \(B' \to A\) 诱导 \(A/I \to \overline{B}\) 的回缩。

引理

设环 \(A\) 满足每个忠实平坦的 étale 环映射 \(A \to B\) 都有回缩。则 \(A\) 在每个 极大理想处的局部环都是严格 Hensel 环。

证明

设 \(\mathfrak m\) 为 \(A\) 的极大理想。设 \(A \to B\) 为 étale 环映射，且 \(\mathfrak q \subset B\) 为位于 \(\mathfrak m\) 之上的素理想。根据“代数”引理 04GW 对严格 Hensel 化 \(A_\mathfrak m^{sh}\) 的描述，只需证明 \(A_\mathfrak m = B_\mathfrak q\)。 注意，位于 \(\mathfrak m\) 之上的素理想 \(\mathfrak q = \mathfrak q_1, \mathfrak q_2, \ldots, \mathfrak q_n\) 只有有限个； 又因 étale 环映射是拟有限的，它们之间不存在特化关系，见“代数”引理 00U5。因此 \(\mathfrak q_i\) 是极大理想，并可找到 \(g \in \mathfrak q_2 \cap \ldots \cap \mathfrak q_n\)， \(g \not \in \mathfrak q\)（“代数”引理 00DS）。把 \(B\) 替换为 \(B_g\) 后，\(\mathfrak q\) 是 \(B\) 中唯一位于 \(\mathfrak m\) 之上的素理想。 映射 \(\Spec(B) \to \Spec(A)\) 的像 \(U \subset \Spec(A)\) 是开集（“代数”命题 00I1）。因此补集 \(\Spec(A) \setminus U\) 是闭集， 并可找到 \(f \in A\)、\(f \not \in \mathfrak p\)，使得 \(\Spec(A) = U \cup D(f)\)。环映射 \(A \to B \times A_f\) 忠实平坦且为 étale，故由关于 \(A\) 的假设，它有回缩 \(\sigma : B \times A_f \to A\)。 注意，\(\sigma\) 是 étale 的，因而作为 étale \(A\)-代数之间的映射是平坦的 （“代数”引理 00U7）。由于 \(\mathfrak q\) 是 \(B \times A_f\) 中唯一位于 \(A\) 之上的素理想，可知 \(A_\mathfrak p \to B_\mathfrak q\) 有一个同样平坦的回缩。因此 \(A_\mathfrak p \to B_\mathfrak q \to A_\mathfrak p\) 是复合为恒等映射的平坦局部环映射。由于局部环的平坦局部同态是单射，得出 这些映射都是同构，正合所需。

引理

设环 \(A\) 满足每个忠实平坦的 étale 环映射 \(A \to B\) 都有回缩。设 \(Z \subset \Spec(A)\) 为闭子概形，并令 \(A \to A_Z^\sim\) 如引理 096V 中所构造。则每个忠实平坦的 étale 环映射 \(A_Z^\sim \to C\) 都有回缩。

证明

存在 étale 环映射 \(A \to B'\)，使得作为 \(A_Z^\sim\)-代数有 \(C = B' \otimes_A A_Z^\sim\)。映射 \(\Spec(B') \to \Spec(A)\) 的像 \(U' \subset \Spec(A)\) 是开集且包含 \(V(I)\)，因此可找到 \(f \in I\)，使得 \(\Spec(A) = U' \cup D(f)\)。于是 \(A \to B' \times A_f\) 是 étale 且忠实平坦的。 由假设存在回缩 \(B' \times A_f \to A\)。局部化后得到所需回缩 \(C \to A_Z^\sim\)。

引理

设 \(A \to B\) 为在剩余域上诱导代数扩张的环映射。存在交换图 \[\xymatrix{ B \ar[r] & D \\ A \ar[r] \ar[u] & C \ar[u] }\] 满足下列性质：

1. \(A \to C\) 忠实平坦且为 ind-étale；

2. \(B \to D\) 忠实平坦且为 ind-étale；

3. \(\Spec(C)\) 是 w-局部的；

4. \(\Spec(D)\) 是 w-局部的；

5. \(\Spec(D) \to \Spec(C)\) 是 w-局部的；

6. \(\Spec(D)\) 的闭点集是 \(\Spec(C)\) 的闭点集的逆像；

7. \(\Spec(C)\) 的闭点集满射到 \(\Spec(A)\)；

8. \(\Spec(D)\) 的闭点集满射到 \(\Spec(B)\)；

9. 对极大理想 \(\mathfrak m \subset C\)，局部环 \(C_\mathfrak m\) 是严格 Hensel 环。

证明

存在忠实平坦的 ind-Zariski 环映射 \(A \to A'\)，使得 \(\Spec(A')\) 是 w-局部的，并且 \(\Spec(A')\) 的闭点集映满 \(\Spec(A)\)；见引理 0975。设 \(I \subset A'\) 为使 \(V(I)\) 等于 \(\Spec(A')\) 的闭点集的理想。按引理 097R 选取 \(A' \to C'\)。 注意，由引理 097V，在极大理想 \(\mathfrak m' \subset C'\) 处的局部环 \(C'_{\mathfrak m'}\) 都是严格 Hensel 环。 把引理 097A 应用于 \(A' \to C'\) 与 \(I \subset A'\)，得到满足 \(C'/IC' \cong C/IC\) 的 \(C' \to C\)。注意，由于 \(A' \to C'\) 忠实平坦，\(\Spec(C'/IC')\) 满射到 \(A'\) 的闭点集，特别地满射到 \(\Spec(A)\)。此外，由于 \(V(IC) \subset \Spec(C)\) 是 \(C\) 的闭点集，而 \(C' \to C\) 是 ind-Zariski 的 （并诱导局部环同构），得到性质 (1)、(3)、(7) 与 (9)。

用 \(J \subset C\) 表示使 \(V(J)\) 等于 \(\Spec(C)\) 的闭点集的理想。置 \(D' = B \otimes_A C\)。环映射 \(C \to D'\) 在剩余域上诱导代数扩张。注意， 由于 \(V(J) \to \Spec(A)\) 满射，映射 \(T = V(JD') \to \Spec(B)\) 也满射。 把引理 097A 应用于 \(C \to D'\) 与 \(J \subset C\)，得到满足 \(D'/JD' \cong D/JD\) 的 \(D' \to D\)。引理中其余所有性质都直接由引理 097A 的结论得出。

弱 étale 与 pro-étale 的比较

回顾：若 \(A \to B\) 平坦且 \(B \otimes_A B \to B\) 平坦，则称环同态 \(A \to B\) 为弱 étale 的。我们已在“代数续篇”第 092A 节证明了这种环映射的一些性质。特别地， 若 \(A \to B\) 是局部同态，且 \(A\) 是严格 Hensel 局部环，则 \(A = B\)；见 “代数续篇”定理 092Z。利用该定理与上述工作， 得到弱 étale 环映射的如下结构定理。

命题

设 \(A \to B\) 为弱 étale 环映射。则存在忠实平坦的 ind-étale 环映射 \(B \to B'\)，使得 \(A \to B'\) 是 ind-étale 的。

证明

环映射 \(A \to B\) 在剩余域上诱导（可分）代数扩张；见“代数续篇”引理 092R。因此可应用引理 097X 并选取图 \[\xymatrix{ B \ar[r] & D \\ A \ar[r] \ar[u] & C \ar[u] }\] 并使其具有该引理所列的性质。由“代数续篇”引理 092L，\(C \to D\) 是弱 étale 的。 选取极大理想 \(\mathfrak m \subset D\)。由构造，它位于某个极大理想 \(\mathfrak m' \subset C\) 之上。由“代数续篇”定理 092Z，环映射 \(C_{\mathfrak m'} \to D_\mathfrak m\) 是同构。由于 \(\Spec(C)\) 的每个点都特化到 一个闭点，得出 \(C \to D\) 诱导局部环同构。因此命题 097G 可用于环映射 \(C \to D\)。 选取忠实平坦且为 ind-Zariski 的 \(D \to D'\)，使得 \(C \to D'\) 是 ind-Zariski 的。于是 \(B \to D'\) 满足命题的要求。

V 拓扑与 pro-h 拓扑

V 拓扑在“拓扑”第 0ETA 节中引入。h 拓扑在 “平坦性续篇”第 0ETQ 节中引入。作为一种中间拓扑的 ph 拓扑 则在“拓扑”第 0DBC 节中引入。

给定合适概形范畴 \(\mathcal{C}\) 上的拓扑 \(\tau\)，可按如下方式在 \(\mathcal{C}\) 上引入“pro-\(\tau\) 拓扑”。回顾，对 \(\mathcal{C}\) 中的 \(X\)，用 \(h_X\) 表示与 \(X\) 相伴的可表预层。暂称 \(\mathcal{C}\) 的态射 \(X \to Y\) 为 \(\tau\)-盖²， 如果 \(h_X \to h_Y\) 的 \(\tau\)-层化是满射。于是可把 pro-\(\tau\) 拓扑定义为满足 下列条件的最粗拓扑：

1. pro-\(\tau\) 拓扑细于 \(\tau\) 拓扑；

2. 若 \(Y\) 为仿射概形，且 \(X = \lim X_\lambda\) 是 \(Y\) 上仿射概形 \(X_\lambda\) 的有向极限，并且对所有 \(\lambda\)，\(h_{X_\lambda} \to h_Y\) 都是 \(\tau\)-盖，则 \(X \to Y\) 是 pro-\(\tau\)-盖。

采用这种刻意严谨的表述，是因为不想指定 pro-\(\tau\) 覆盖的一种选取：对不同的 \(\tau\)，适合采用不同的覆盖族集合。例如，在第 0988 节中将会 看到，为定义 pro-étale 拓扑，考察具有某种有限性条件的弱 étale 态射族很 有效。更一般地，本段提出的构造主要用于说明本节结果的动机；下文绝不会以此 方法隐式定义 pro-\(\tau\) 拓扑。

下一个引理说明 pro-V 拓扑等于 V 拓扑。

引理

设 \(Y\) 为仿射概形，\(X = \lim X_i\) 为 \(Y\) 上仿射概形的有向极限。下列条件等价：

1. \(\{X \to Y\}\) 是标准 V 覆盖（“拓扑”定义 0ETB）；

2. 对所有 \(i\)，\(\{X_i \to Y\}\) 都是标准 V 覆盖。

证明

单元族 \(\{X \to Y\}\) 是标准 V 覆盖，当且仅当对任意态射 \(g : \Spec(V) \to Y\)，存在赋值环扩张 \(V \subset W\) 及交换图 \[\xymatrix{ \Spec(W) \ar[r] \ar[d] & X \ar[d] \\ \Spec(V) \ar[r]^g & Y }\] 。因此 (1) \(\Rightarrow\) (2) 由定义立即成立。反过来，假设 (2)，并给定如上的 \(g : \Spec(V) \to Y\)。写成 \(\Spec(V) \times_Y X_i = \Spec(A_i)\)。由于 \(\{X_i \to Y\}\) 是标准 V 覆盖，可以选取赋值环 \(W_i\) 及环映射 \(A_i \to W_i\)，使得复合 \(V \to A_i \to W_i\) 是赋值环扩张。特别地， \(A_i\) 对其 \(V\)-挠的商 \(A'_i\) 是忠实平坦的 \(V\)-代数。其平坦性由“代数续篇” 引理 0539 得出；谱上的满射性 则是因为 \(A_i \to W_i\) 经由 \(A'_i\) 分解。因此 \[A = \colim A'_i\] 是忠实平坦的 \(V\)-代数（“代数”引理 090N）。由于 \(\{\Spec(A) \to \Spec(V)\}\) 是标准 fpqc 覆盖，它也是标准 V 覆盖（“拓扑”引理 0ETC），故可选取 \(\Spec(W) \to \Spec(A)\)，使得 \(V \to W\) 是赋值环扩张。再与态射 \(\Spec(A) \to X = \Spec(\colim A_i)\) 复合，证明即告完成。

下一个引理说明 pro-h 拓扑、pro-ph 拓扑与 V 拓扑彼此相等。

引理

设 \(X \to Y\) 为仿射概形的态射。下列条件等价：

1. \(\{X \to Y\}\) 是标准 V 覆盖（“拓扑”定义 0ETB）；

2. \(X = \lim X_i\) 是 \(Y\) 上仿射概形的有向极限，并且对每个 \(i\)， \(\{X_i \to Y\}\) 都是 ph 覆盖；

3. \(X = \lim X_i\) 是 \(Y\) 上仿射概形的有向极限，并且对每个 \(i\)， \(\{X_i \to Y\}\) 都是 h 覆盖。

证明

证明 (2) \(\Rightarrow\) (1)。回顾，由仿射概形间单个箭头给出的 V 覆盖是标准 V 覆盖；见“拓扑”定义 0ETH 与引理 0ETG。还要回顾，任意 ph 覆盖都是 V 覆盖； 见“拓扑”引理 0ETK。因此，若 \(X = \lim X_i\) 如 (2) 所述，则对每个 \(i\)，\(\{X_i \to Y\}\) 都是标准 V 覆盖。 由引理 0EVN，(1) 成立。

证明 (3) \(\Rightarrow\) (2)。这是清楚的，因为 h 覆盖总是 ph 覆盖；见“平坦性 续篇”定义 0ETS。

证明 (1) \(\Rightarrow\) (3)。这是有实质内容的方向，不过证明中的实质内容蕴含在 “平坦性续篇”引理 0ETR 中。写 \(X = \Spec(A)\) 与 \(Y = \Spec(R)\)。可把 \(A = \colim A_i\) 写成余极限， 其中 \(A_i\) 在 \(R\) 上有限表示；见“代数”引理 00QN。置 \(X_i = \Spec(A_i)\)。由 (1) 与“拓扑”引理 0ETG，对所有 \(i\)，\(\{X_i \to Y\}\) 都是标准 V 覆盖。因此，由“平坦性续篇”定义 0ETS， \(\{X_i \to Y\}\) 是 h 覆盖。证明完毕。

粗略地说，下一个引理表明，保极限的 h 层对 V 覆盖满足层条件。另请与注 0EVR 比较。

引理

设 \(S\) 为概形，\(F\) 为定义在 \(S\) 上所有概形的范畴上的反变函子。若

1. \(F\) 对 h 拓扑满足层性质；

2. \(F\) 保极限（“极限”注 05LX），

则 \(F\) 对 V 拓扑满足层性质。

证明

通过验证“拓扑”引理 0ETM 的 (1) 与 (2’) 来 证明。对 Zariski 覆盖的层性质来自 \(F\) 对所有 h 覆盖都具有层性质这一事实。 最后，设 \(X \to Y\) 为 \(S\) 上仿射概形的态射，并且 \(\{X \to Y\}\) 是 V 覆盖。 由引理 0EVP，可把 \(X = \lim X_i\) 写成 \(Y\) 上仿射概形的有向 极限，使得对每个 \(i\)，\(\{X_i \to Y\}\) 都是 h 覆盖。于是得到 \[\begin{align*} & \text{等化子}( \xymatrix{ F(X) \ar@<1ex>[r] \ar@<-1ex>[r] & F(X \times_Y X) } ) \\ & = \text{等化子}( \xymatrix{ \colim F(X_i) \ar@<1ex>[r] \ar@<-1ex>[r] & \colim F(X_i \times_Y X_i) } ) \\ & = \colim \text{等化子}( \xymatrix{ F(X_i) \ar@<1ex>[r] \ar@<-1ex>[r] & F(X_i \times_Y X_i) } ) \\ & = \colim F(Y) = F(Y) \end{align*}\] 这正是所要证明的。第一个等式成立，是因为 \(F\) 保极限，且 \(X = \lim X_i\)、\(X \times_Y X = \lim X_i \times_Y X_i\)。第二个等式成立， 是因为滤过余极限是正合的。第三个等式成立，是因为 \(F\) 对 h 覆盖满足层性质。

注

设 \(S\) 为包含在大位点 \(\Sch_h\) 中的概形。设 \(F\) 为 \((\Sch/S)_h\) 上的集合层， 并且只要 \(T = \lim T_i\) 是 \((\Sch/S)_h\) 中仿射概形的有向极限，就有 \(F(T) = \colim F(T_i)\)。在这种情况下，\(F\) 唯一延拓为 \(S\) 上所有概形的范畴 上的反变函子 \(F'\)，使得 (a) \(F'\) 对 h 拓扑满足层性质，并且 (b) \(F'\) 保极限。 见“平坦性续篇”引理 0EV3。此时，引理 0EVQ 表明 \(F'\) 对 V 拓扑满足层性质。

构造 w-可缩覆盖

本节构造仿射概形的 w-可缩覆盖。

定义

设 \(A\) 为环。若每个忠实平坦的弱 étale 环映射 \(A \to B\) 都有回缩，则称 \(A\) 是w-可缩的。

注意，由命题 097Z，一个等价定义是要求每个忠实平坦的 ind-étale 环映射 \(A \to B\) 都有回缩。下面这个关键观察将使我们能够构造 w-可缩环。

引理

设 \(A\) 为环。下列条件等价：

1. \(A\) 是 w-可缩的；

2. 每个忠实平坦的 ind-étale 环映射 \(A \to B\) 都有回缩；

3. \(A\) 满足

   1. \(\Spec(A)\) 是 w-局部的；

   2. \(\pi_0(\Spec(A))\) 是极端不连通的；

   3. 对每个极大理想 \(\mathfrak m \subset A\)，局部环 \(A_\mathfrak m\) 都是严格 Hensel 环。

证明

(1) 与 (2) 的等价性立即由命题 097Z 得出。

假设 (3)(a)、(3)(b) 与 (3)(c)。设 \(A \to B\) 忠实平坦且为 ind-étale。 下文将不再明说地使用如下事实：平坦映射 \(A \to B\) 忠实平坦，当且仅当 \(\Spec(A)\) 的每个闭点都属于 \(\Spec(B) \to \Spec(A)\) 的像。我们来证明 \(A \to B\) 有回缩。

设 \(I \subset A\) 为理想，使得 \(V(I) \subset \Spec(A)\) 是 \(\Spec(A)\) 的闭点集。 可把 \(B\) 替换为引理 097A 对 \(A \to B\) 与 \(I \subset A\) 构造的环 \(C\)。因此可以假设 \(\Spec(B)\) 是 w-局部的，且 \(\Spec(B)\) 的闭点集为 \(V(IB)\)。此时，由条件 (3)(c)， \(A \to B\) 诱导局部环同构，因为只需在 \(B\) 中位于 \(A\) 的极大理想之上的极大 理想处检验。于是由引理 09AZ， \(A \to B\) 有回缩。

假设 (1)，等价地假设 (2)。由引理 097V 得到 (3)(c)。性质 (3)(a) 与 (3)(b) 由引理 09AZ 得出。

命题

对每个环 \(A\)，都存在忠实平坦的 ind-étale 环映射 \(A \to D\)，使得 \(D\) 是 w-可缩的。

证明

把引理 097X 应用于 \(\text{id}_A : A \to A\)，得到忠实平坦的 ind-étale 环映射 \(A \to C\)，使得 \(C\) 是 w-局部的，且 \(C\) 在每个极大理想处的局部环都是严格 Hensel 环。选取 极端不连通空间 \(T\) 及满连续映射 \(T \to \pi_0(\Spec(C))\)；见“拓扑学”引理 090D。注意，\(T\) 是预有限的。应用引理 097D，得到 ind-Zariski 环映射 \(C \to D\)，使得 \(\pi_0(\Spec(D)) \to \pi_0(\Spec(C))\) 实现 \(T \to \pi_0(\Spec(C))\)，并且 \[\xymatrix{ \Spec(D) \ar[r] \ar[d] & \pi_0(\Spec(D)) \ar[d] \\ \Spec(C) \ar[r] & \pi_0(\Spec(C)) }\] 在拓扑空间范畴中是笛卡尔图。注意，\(\Spec(D)\) 是 w-局部的， \(\Spec(D) \to \Spec(C)\) 是 w-局部的，而且 \(\Spec(D)\) 的闭点集是 \(\Spec(C)\) 的闭点集的逆像；见引理 096C。因此，\(D\) 在其极大理想 处的局部环仍然都是严格 Hensel 环（因为它们同构于 \(C\) 在相应极大理想处的 局部环）。由引理 0982 可知，\(D\) 是 w-可缩的。

注

设 \(A\) 为环，\(\kappa\) 为不小于 \(A\) 的基数的无限基数。则命题 0983 中构造的环 \(D\) 的基数至多为 \[\kappa^{2^{2^{2^\kappa}}}.\] 事实上，环映射 \(A \to D\) 构造为复合 \[A \to A_w = A' \to C' \to C \to D.\] 其中，构造的前三步在引理 097X 证明的第一段中完成。 对第一步，由注 0976 有 \(|A_w| \leq \kappa\)。由注 097S 有 \(|C'| \leq \kappa\)。然后 \(|C| \leq \kappa\)，因为 \(C\) 是 \((C')_w\) 的局部化（它由对 \(C'\) 应用引理 0979 构造；该应用位于引理 097A 的证明中）。因此 \(C\) 至多有 \(2^\kappa\) 个极大理想。最后，环映射 \(C \to D\) 诱导局部环同构，并且由 “拓扑学”注 090E，\(D\) 的极大理想集的基数 至多为 \(2^{2^{2^\kappa}}\)。由于 \(D \subset \prod_{\mathfrak m \subset D} D_\mathfrak m\)，可见 \(D\) 的基数至多为 上述基数。

引理

设 \(A \to B\) 为拟有限且有限表示的环映射。若 \(A\) 的剩余域都是可分代数闭域， 且 \(\Spec(A)\) 是 Hausdorff 且极端不连通的，则 \(\Spec(B)\) 是极端不连通的。

证明

置 \(X = \Spec(A)\) 与 \(Y = \Spec(B)\)。按“Étale 上同调”引理 095K 选取有限分割 \(X = \coprod X_i\) 及 \(X'_i \to X_i\)。由“拓扑学”命题 08YN，拓扑空间映射 \(\coprod X_i \to X\)（其源是拓扑空间范畴中的不交并）有截面。因此在拓扑意义下， \(X\) 是各层 \(X_i\) 的不交并。故可把 \(X\) 替换为各 \(X_i\)，并假设存在满的有限局部 自由态射 \(X' \to X\)，使 \((X' \times_X Y)_{red}\) 同构于有限多个 \(X'_{red}\) 副本的不交并。考虑图 \[\xymatrix{ \coprod_{i = 1, \ldots, r} X' \ar[r] \ar[d] & Y \ar[d] \\ X' \ar[r] & X }\] 关于 \(A\) 的剩余域的假设蕴含：在底层点集上，此图是纤维积图（略去细节）。 由于 \(X\) 极端不连通，而 \(X'\) 是 Hausdorff 的（引理 0978），连续映射 \(X' \to X\) 有连续截面 \(\sigma\)。于是 \(\coprod_{i = 1, \ldots, r} \sigma(X) \to Y\) 是双射连续映射。由“拓扑学”引理 08YE，它是同胚，证明完毕。

引理

设 \(A \to B\) 为有限且有限表示的环映射。若 \(A\) 是 w-可缩的，则 \(B\) 也是。

证明

使用引理 0982 的判据。 置 \(X = \Spec(A)\)、\(Y = \Spec(B)\)，并用 \(f : Y \to X\) 表示所诱导的态射。 由于 \(f : Y \to X\) 是有限态射，\(Y\) 的闭点集 \(Y_0\) 是 \(X\) 的闭点集 \(X_0\) 的逆像。设 \(y \in Y\) 的像为 \(x \in X\)，则 \(x\) 特化到唯一闭点 \(x_0 \in X\)。设 \(f^{-1}(\{x_0\}) = \{y_1, \ldots, y_n\}\)，其中 \(y_i\) 在 \(Y\) 中闭。由于 \(R = \mathcal{O}_{X, x_0}\) 是严格 Hensel 环，且 \(f\) 有限，可知 \(Y \times_{f, X} \Spec(R)\) 等于 \(\coprod_{i = 1, \ldots, n} \Spec(R_i)\)，其中每个 \(R_i\) 都是在 \(R\) 上有限的 局部环，其极大理想对应于 \(y_i\)；见“代数”引理 04GG 的 (10)。于是 \(y\) 恰好属于这些 \(\Spec(R_i)\) 中的一个，从而 \(y\) 恰好特化到一个 \(y_i\)。换言之，\(Y\) 的每个点 都特化到 \(Y_0\) 的唯一一点。因此 \(Y\) 是 w-局部的。对每个像为 \(x \in X_0\) 的 \(y \in Y_0\)，把“代数”引理 04GH 应用于 \(\mathcal{O}_{X, x} \to B \otimes_A \mathcal{O}_{X, x}\)，可知 \(\mathcal{O}_{Y, y}\) 是严格 Hensel 环。还需证明 \(Y_0\) 极端不连通。为此考察 \(X_0 \times_X Y \to X_0\)，其中 \(X_0 \subset X\) 带有约化诱导概形结构。注意， \(X_0 \times_X Y\) 的底层拓扑空间就是 \(Y_0\)。现在所需结论由引理 0985 得出。

引理

设 \(A\) 为环，\(Z \subset \Spec(A)\) 为形如 \(Z = V(f_1, \ldots, f_r)\) 的闭子集。 置 \(B = A_Z^\sim\)，见引理 096V。若 \(A\) 是 w-可缩的， 则 \(B\) 也是。

证明

设 \(A_Z^\sim \to B\) 为忠实平坦的弱 étale 环映射。考虑环映射 \[A \longrightarrow A_{f_1} \times \ldots \times A_{f_r} \times B\] ，它忠实平坦且为弱 étale。若 \(A\) 是 w-可缩的，则存在回缩 \(\sigma\)。考虑态射 \[\Spec(A_Z^\sim) \to \Spec(A) \xrightarrow{\Spec(\sigma)} \coprod \Spec(A_{f_i}) \amalg \Spec(B)\] \(Z \subset \Spec(A_Z^\sim)\) 的每个点都映入分支 \(\Spec(B)\)。由于 \(\Spec(A_Z^\sim)\) 的每个点都特化到 \(Z\) 的一点，便得到所需态射 \(\Spec(A_Z^\sim) \to \Spec(B)\)。

pro-étale 位点

本节只讨论各种 pro-étale 位点及其间态射的实际定义与构造。弱可缩对象的存在性 将在第 0F4N 节中处理。

pro-étale 拓扑在一点上类似 fpqc 拓扑（见“拓扑”第 022A 节）：概形的小 pro-étale 位点上的层拓扑斯依赖于 底层概形范畴的选取。因此不能谈论概形的那个 pro-étale 拓扑斯。不过， 扩大底层概形范畴并不改变层的上同调群；见第 0F4R 节。

我们将用概形的弱 étale 态射定义 pro-étale 覆盖；见“态射续篇”第 094N 节。原因是，一方面，定义概形的 pro-étale 态射这一概念颇为棘手；另一方面，命题 097Z 保证下述定义给出相同的层³。

定义

设 \(T\) 为概形。\(T\) 的一个pro-étale 覆盖是概形态射族 \(\{f_i : T_i \to T\}_{i \in I}\)，使得每个 \(f_i\) 都是弱 étale 的，并且对 每个仿射开集 \(U \subset T\)，都存在 \(n \geq 0\)、映射 \(a : \{1, \ldots, n\} \to I\) 及仿射开集 \(V_j \subset T_{a(j)}\)， \(j = 1, \ldots, n\)，满足 \(\bigcup_{j = 1}^n f_{a(j)}(V_j) = U\)。

当然，此条件蕴含 \(T = \bigcup f_i(T_i)\)。下面的引理使我们能够识别 pro-étale 覆盖，也使我们能把许多关于 pro-étale 覆盖的引理归约为 fpqc 覆盖的相应结果。

引理

设 \(T\) 为概形，\(\{f_i : T_i \to T\}_{i \in I}\) 为以 \(T\) 为靶的概形态射族。 下列条件等价：

1. \(\{f_i : T_i \to T\}_{i \in I}\) 是 pro-étale 覆盖；

2. 每个 \(f_i\) 都是弱 étale 的，且 \(\{f_i : T_i \to T\}_{i \in I}\) 是 fpqc 覆盖；

3. 每个 \(f_i\) 都是弱 étale 的，并且对每个仿射开集 \(U \subset T\)， 存在除有限多个外均为空的拟紧开集 \(U_i \subset T_i\)，使得 \(U = \bigcup f_i(U_i)\)；

4. 每个 \(f_i\) 都是弱 étale 的，并且存在仿射开覆盖 \(T = \bigcup_{\alpha \in A} U_\alpha\)，使得对每个 \(\alpha \in A\)，都存在 \(i_{\alpha, 1}, \ldots, i_{\alpha, n(\alpha)} \in I\) 及拟紧开集 \(U_{\alpha, j} \subset T_{i_{\alpha, j}}\)，满足 \(U_\alpha = \bigcup_{j = 1, \ldots, n(\alpha)} f_{i_{\alpha, j}}(U_{\alpha, j})\)。

若 \(T\) 拟分离，则上述条件还等价于：

1. 每个 \(f_i\) 都是弱 étale 的，并且对每个 \(t \in T\)，都存在 \(i_1, \ldots, i_n \in I\) 及拟紧开集 \(U_j \subset T_{i_j}\)，使得 \(\bigcup_{j = 1, \ldots, n} f_{i_j}(U_j)\) 是 \(t\) 在 \(T\) 中的一个邻域 （不一定是开集）。

证明

(1) 与 (2) 的等价性由定义立即成立。因此本引理由“拓扑”引理 03L7 得出。

引理

任意 étale 覆盖及任意 Zariski 覆盖都是 pro-étale 覆盖。

证明

这由 fpqc 覆盖的相应结果（“拓扑”引理 022C）、引理 098A，以及 étale 态射是弱 étale 态射这一 事实得出；见“态射续篇”引理 094X。

引理

设 \(T\) 为概形。

1. 若 \(T' \to T\) 是同构，则 \(\{T' \to T\}\) 是 \(T\) 的 pro-étale 覆盖。

2. 若 \(\{T_i \to T\}_{i\in I}\) 是 pro-étale 覆盖，且对每个 \(i\) 都有 pro-étale 覆盖 \(\{T_{ij} \to T_i\}_{j\in J_i}\)，则 \(\{T_{ij} \to T\}_{i \in I, j\in J_i}\) 是 pro-étale 覆盖。

3. 若 \(\{T_i \to T\}_{i\in I}\) 是 pro-étale 覆盖，而 \(T' \to T\) 是概形态射，则 \(\{T' \times_T T_i \to T'\}_{i\in I}\) 是 pro-étale 覆盖。

证明

这由以下事实得出：弱 étale 态射的复合与基变换仍为弱 étale（“态射续篇”引理 094T 与 094U）、引理 098A，以及 fpqc 覆盖的相应结果（见“拓扑”引理 022D）。

引理

设 \(T\) 为仿射概形，\(\{T_i \to T\}_{i \in I}\) 为 \(T\) 的 pro-étale 覆盖。 则存在作为 \(\{T_i \to T\}_{i \in I}\) 之加细的 pro-étale 覆盖 \(\{U_j \to T\}_{j = 1, \ldots, n}\)，使得每个 \(U_j\) 都是仿射概形。此外， 可以选取每个 \(U_j\) 为某个 \(T_i\) 中的仿射开集。

证明

这直接由定义得出。

因此如下定义仿射概形的相应标准覆盖。

定义

设 \(T\) 为仿射概形。\(T\) 的一个标准 pro-étale 覆盖是态射族 \(\{f_i : T_i \to T\}_{i = 1, \ldots, n}\)，其中每个 \(T_j\) 都是仿射的， 每个 \(f_i\) 都是弱 étale 的，并且 \(T = \bigcup f_i(T_i)\)。

我们依照“拓扑”第 020M 节给出的一般方案，构造将要 使用的大 pro-étale 位点。不过，由于需要稍大的环来容纳某些构造的规模， 我们对这些构造略作修改。

定义

一个大 pro-étale 位点是按如下方式构造的、如“位点”定义 00VH 所述的任意位点 \(\Sch_\proetale\)：

1. 选取任意概形集 \(S_0\)，以及这些概形间任意的 pro-étale 覆盖集 \(\text{Cov}_0\)。

2. 把“集合”式 (046U) 中的函数 \(Bound\) 改为 \[Bound(\kappa) = \max\{\kappa^{2^{2^{2^\kappa}}}, \kappa^{\aleph_0}, \kappa^+\}.\]

3. 取从集合 \(S_0\) 与函数 \(Bound\) 出发、按“集合”引理 000J 构造的任意范畴 \(\Sch_\alpha\) 为底层范畴。

4. 从范畴 \(\Sch_\alpha\)、pro-étale 覆盖类及上面选取的集合 \(\text{Cov}_0\) 出发，按“集合”引理 000X 选取任意覆盖集。

关于大位点定义的动机与说明，见“拓扑”定义 020S 后的各条注。

由引理 098J 将可看出，大 pro-étale 位点 \(\Sch_\proetale\) 上的拓扑在某种意义下由所有概形的范畴上的 pro-étale 拓扑 诱导而来。

定义

设 \(S\) 为概形，\(\Sch_\proetale\) 为包含 \(S\) 的大 pro-étale 位点。

1. \(S\) 的大 pro-étale 位点记为 \((\Sch/S)_\proetale\)，它是“位点” 第 00XZ 节中引入的位点 \(\Sch_\proetale/S\)。

2. \(S\) 的小 pro-étale 位点记为 \(S_\proetale\)，它是 \((\Sch/S)_\proetale\) 的全子范畴，其对象为使 \(U \to S\) 弱 étale 的 \(U/S\)。\(S_\proetale\) 的覆盖是 \((\Sch/S)_\proetale\) 的任意覆盖 \(\{U_i \to U\}\)，其中 \(U \in \Ob(S_\proetale)\)。

3. \(S\) 的大仿射 pro-étale 位点记为 \((\textit{Aff}/S)_\proetale\)，它是 \((\Sch/S)_\proetale\) 的全子范畴，其对象为 仿射的 \(U/S\)。\((\textit{Aff}/S)_\proetale\) 的覆盖是 \((\Sch/S)_\proetale\) 的任意标准 pro-étale 覆盖 \(\{U_i \to U\}\)。

小 pro-étale 位点和大仿射 pro-étale 位点是否确为位点，并非完全显然。我们现在 验证这一点。

引理

设 \(S\) 为概形，\(\Sch_\proetale\) 为包含 \(S\) 的大 pro-étale 位点。则 \(S_\proetale\) 与 \((\textit{Aff}/S)_\proetale\) 都是位点。

证明

先证明 \(S_\proetale\) 是位点。它是一个范畴，并配有一组具有固定目标的态射族。 因此须证明“位点”定义 00VH 的性质 (1)、(2) 与 (3)。 由于 \((\Sch/S)_\proetale\) 是位点，只须证明：若 \(\{U_i \to U\}\) 是 \((\Sch/S)_\proetale\) 的覆盖且 \(U \in \Ob(S_\proetale)\)，则也有 \(U_i \in \Ob(S_\proetale)\)。这由定义以及弱 étale 态射的复合仍为弱 étale 态射这一事实得出。

同理，为证明 \((\textit{Aff}/S)_\proetale\) 是位点，只须证明仿射概形的标准 pro-étale 覆盖全体满足“位点”定义 00VH 的性质 (1)、(2) 与 (3)。这由引理 098A 以及标准 fpqc 覆盖的 相应结果（“拓扑”引理 03LA）得出。

引理

设 \(S\) 为概形，\(\Sch_\proetale\) 为包含 \(S\) 的大 pro-étale 位点，并设 \(\Sch\) 为所有概形组成的范畴。

1. 范畴 \(\Sch_\proetale\)、\((\Sch/S)_\proetale\)、\(S_\proetale\) 与 \((\textit{Aff}/S)_\proetale\) 都有纤维积，且与 \(\Sch\) 中的纤维积一致。

2. 范畴 \(\Sch_\proetale\)、\((\Sch/S)_\proetale\) 与 \(S_\proetale\) 都有 等化子，且与 \(\Sch\) 中的等化子一致。

3. 范畴 \((\Sch/S)_\proetale\) 与 \(S_\proetale\) 都有终对象，即 \(S/S\)。

4. 范畴 \(\Sch_\proetale\) 有与 \(\Sch\) 的终对象一致的终对象，即 \(\Spec(\mathbf{Z})\)。

证明

按构造，范畴 \(\Sch_\proetale\) 包含 \(\Spec(\mathbf{Z})\)，并且对积与纤维积封闭； 见“集合”引理 000R。设有概形态射 \(U \to S\)、 \(V \to U\)、\(W \to U\)，其中 \(U, V, W \in \Ob(\Sch_\proetale)\)。 \(\Sch_\proetale\) 中的纤维积 \(V \times_U W\) 也是 \(\Sch\) 中的纤维积；在所有 \(S\)-概形组成的范畴中，它又是 \(V/S\) 与 \(W/S\) 在 \(U/S\) 上的纤维积，因而也是 \((\Sch/S)_\proetale\) 中的纤维积。这证明了关于 \((\Sch/S)_\proetale\) 的结论。 若 \(U \to S\)、\(V \to U\) 与 \(W \to U\) 都是弱 étale 的，则 \(V \times_U W \to S\) 也是弱 étale 的（见“态射续篇”第 094N 节），故 \(S_\proetale\) 中也有纤维积。 若 \(U, V, W\) 都是仿射的，则 \(V \times_U W\) 也是仿射的，故 \((\textit{Aff}/S)_\proetale\) 中也有纤维积。

设 \(a, b : U \to V\) 是 \(\Sch_\proetale\) 中的两个态射。此时 \(a\) 与 \(b\) 的等化子 （在概形范畴中）为 \[V \times_{\Delta_{V/\Spec(\mathbf{Z})}, V \times_{\Spec(\mathbf{Z})} V, (a, b)} (U \times_{\Spec(\mathbf{Z})} U)\] 由上可知它是 \(\Sch_\proetale\) 的对象。因此 \(\Sch_\proetale\) 有等化子。若 \(a\) 与 \(b\) 是 \(S\) 上的态射，则其等化子（在概形范畴中）还可写为 \[V \times_{\Delta_{V/S}, V \times_S V, (a, b)} (U \times_S U)\] 故 \((\Sch/S)_\proetale\) 有等化子。此外，若 \(U\) 与 \(V\) 在 \(S\) 上弱 étale， 则上述等化子作为在 \(S\) 上弱 étale 的概形之纤维积，也弱 étale。 因此 \(S_\proetale\) 有等化子。关于终对象的断言是显然的。

下面验证大仿射 pro-étale 位点与大 pro-étale 位点定义同一拓扑斯。

引理

设 \(S\) 为概形，\(\Sch_\proetale\) 为包含 \(S\) 的大 pro-étale 位点。函子 \((\textit{Aff}/S)_\proetale \to (\Sch/S)_\proetale\) 是特殊余连续函子。因此它诱导 从 \(\Sh((\textit{Aff}/S)_\proetale)\) 到 \(\Sh((\Sch/S)_\proetale)\) 的拓扑斯等价。

证明

特殊余连续函子的概念见“位点”定义 03CG。因此须验证“位点”引理 03A0 的假设 (1)–(5)。将包含函子记为 \(u : (\textit{Aff}/S)_\proetale \to (\Sch/S)_\proetale\)。余连续性恰好是说：当 \(T\) 仿射时，\(T/S\) 的任意 pro-étale 覆盖均可由 \(T\) 的一个标准 pro-étale 覆盖加细。这正是引理 098D 的内容，故 (1) 成立。 由于标准 pro-étale 覆盖就是 pro-étale 覆盖，\(u\) 显然连续，故 (2) 成立。 (3) 与 (4) 立即由 \(u\) 全忠实得出。最后，(5) 由每个概形都有仿射开覆盖得出。

引理

设 \(\Sch_\proetale\) 为大 pro-étale 位点，\(f : T \to S\) 为 \(\Sch_\proetale\) 中的态射。函子 \(T_\proetale \to (\Sch/S)_\proetale\) 余连续， 并诱导拓扑斯态射 \[i_f : \Sh(T_\proetale) \longrightarrow \Sh((\Sch/S)_\proetale)\] 对于 \((\Sch/S)_\proetale\) 上的层 \(\mathcal{G}\)，有公式 \((i_f^{-1}\mathcal{G})(U/T) = \mathcal{G}(U/S)\)。函子 \(i_f^{-1}\) 还有一个左伴随 \(i_{f, !}\)，后者保持纤维积与等化子。

证明

将该函子记为 \(u : T_\proetale \to (\Sch/S)_\proetale\)。换言之，给定与 \(T_\proetale\) 的一个对象对应的弱 étale 态射 \(j : U \to T\)，令 \(u(U \to T) = (f \circ j : U \to S)\)。由引理 098M，此函子保持纤维积。此外，引理 098M 说明 \(T_\proetale\) 有等化子且 \(u\) 保持等化子。 它显然余连续。又因 \(u\) 将覆盖变为 覆盖并保持纤维积，它也是连续的。因此结论由“位点”引理 00XR 与 00XS 得出。

引理

设 \(S\) 为概形，\(\Sch_\proetale\) 为包含 \(S\) 的大 pro-étale 位点。包含函子 \(S_\proetale \to (\Sch/S)_\proetale\) 满足“位点”引理 00XU 的假设，因而诱导位点态射 \[\pi_S : (\Sch/S)_\proetale \longrightarrow S_\proetale\] 及拓扑斯态射 \[i_S : \Sh(S_\proetale) \longrightarrow \Sh((\Sch/S)_\proetale)\] 使得 \(\pi_S \circ i_S = \text{id}\)。此外，\(i_S = i_{\text{id}_S}\)，其中 \(i_{\text{id}_S}\) 如引理 098P 所述。特别地，函子 \(i_S^{-1} = \pi_{S, *}\) 由规则 \(i_S^{-1}(\mathcal{G})(U/S) = \mathcal{G}(U/S)\) 描述。

证明

在此情形，函子 \(u : S_\proetale \to (\Sch/S)_\proetale\) 除具有上面引理 098P 的证明中所见的性质外，还全忠实并将终对象变为终对象。 本引理由“位点”引理 00XU 得出。

定义

在引理 098Q 的情形中，函子 \(i_S^{-1} = \pi_{S, *}\) 常称为 到小 pro-étale 位点的限制。对于大 pro-étale 位点上的层 \(\mathcal{F}\)，将此限制记为 \(\mathcal{F}|_{S_\proetale}\)。

采用此记号，对于大位点上的层 \(\mathcal{F}\) 和大位点上的层 \(\mathcal{G}\)，有 \[\begin{align*} \Mor_{\Sh(S_\proetale)}(\mathcal{F}|_{S_\proetale}, \mathcal{G}) & = \Mor_{\Sh((\Sch/S)_\proetale)}(\mathcal{F}, i_{S, *}\mathcal{G}) \\ \Mor_{\Sh(S_\proetale)}(\mathcal{G}, \mathcal{F}|_{S_\proetale}) & = \Mor_{\Sh((\Sch/S)_\proetale)}(\pi_S^{-1}\mathcal{G}, \mathcal{F}) \end{align*}\] 此外，有 \((i_{S, *}\mathcal{G})|_{S_\proetale} = \mathcal{G}\)，并且有 \((\pi_S^{-1}\mathcal{G})|_{S_\proetale} = \mathcal{G}\)。

引理

设 \(\Sch_\proetale\) 为大 pro-étale 位点，\(f : T \to S\) 为 \(\Sch_\proetale\) 中的态射。函子 \[u : (\Sch/T)_\proetale \longrightarrow (\Sch/S)_\proetale, \quad V/T \longmapsto V/S\] 余连续，并有连续的右伴随 \[v : (\Sch/S)_\proetale \longrightarrow (\Sch/T)_\proetale, \quad (U \to S) \longmapsto (U \times_S T \to T).\] 它们诱导同一个拓扑斯态射 \[f_{big} : \Sh((\Sch/T)_\proetale) \longrightarrow \Sh((\Sch/S)_\proetale)\] 我们有 \(f_{big}^{-1}(\mathcal{G})(U/T) = \mathcal{G}(U/S)\)。 我们有 \(f_{big, *}(\mathcal{F})(U/S) = \mathcal{F}(U \times_S T/T)\)。 此外，\(f_{big}^{-1}\) 有一个左伴随 \(f_{big!}\)，后者保持纤维积与等化子。

证明

函子 \(u\) 余连续、连续，并保持纤维积与等化子（细节从略；比较引理 098P 的证明）。因此可应用“位点”引理 00XR 与 00XS，从而得到 \(f_{big}^{-1}\) 的公式及 \(f_{big!}\) 的存在性。此外，函子 \(v\) 是右伴随，因为给定 \(U/T\) 与 \(V/S\)，有 \(\Mor_S(u(U), V) = \Mor_T(U, V \times_S T)\)，正如所需。 于是可应用“位点”引理 00XX 与 00XY，得到 \(f_{big, *}\) 的公式。

引理

设 \(\Sch_\proetale\) 为大 pro-étale 位点，\(f : T \to S\) 为 \(\Sch_\proetale\) 中的态射。

1. 有 \(i_f = f_{big} \circ i_T\)，其中 \(i_f\) 如引理 098P 所述，而 \(i_T\) 如引理 098Q 所述。

2. 函子 \(S_\proetale \to T_\proetale\)， \((U \to S) \mapsto (U \times_S T \to T)\) 连续，并诱导拓扑斯态射 \[f_{small} : \Sh(T_\proetale) \longrightarrow \Sh(S_\proetale).\] 有 \(f_{small, *}(\mathcal{F})(U/S) = \mathcal{F}(U \times_S T/T)\)。

3. 有如下位点态射的交换图 \[\xymatrix{ T_\proetale \ar[d]_{f_{small}} & (\Sch/T)_\proetale \ar[d]^{f_{big}} \ar[l]^{\pi_T}\\ S_\proetale & (\Sch/S)_\proetale \ar[l]_{\pi_S} }\] 故作为拓扑斯态射，有 \(f_{small} \circ \pi_T = \pi_S \circ f_{big}\)。

4. 有 \(f_{small} = \pi_S \circ f_{big} \circ i_T = \pi_S \circ i_f\)。

证明

等式 \(i_f = f_{big} \circ i_T\) 由等式 \(i_f^{-1} = i_T^{-1} \circ f_{big}^{-1}\) 得出；后者由上面对这些函子的描述显然成立。 这证明了 (1)。

函子 \(u : S_\proetale \to T_\proetale\)， \(u(U \to S) = (U \times_S T \to T)\) 将覆盖变为覆盖并保持纤维积；见引理 098C 与 098M。此外， \(S_\proetale\)、\(T_\proetale\) 都有终对象，即 \(S/S\) 与 \(T/T\)，并且 \(u(S/S) = T/T\)。因此由“位点”命题 00X6，函子 \(u\) 对应一个位点态射 \(T_\proetale \to S_\proetale\)。它进而给出该拓扑斯态射； 见“位点”引理 00XC。直像的描述由这些引文显然得出。

(3) 由下述事实得出：\(\pi_S\) 与 \(\pi_T\) 由包含函子给出，而 \(f_{small}\) 与 \(f_{big}\) 由基变换函子 \(U \mapsto U \times_S T\) 给出。

(4) 由 (3) 前复合 \(i_T\) 得出。

在该引理的情形中，采用定义 098R 的术语， 对于 \(T\) 的大 pro-étale 位点上的层 \(\mathcal{F}\)，有 [0F60]\[\begin{equation} (f_{big, *}\mathcal{F})|_{S_\proetale} = f_{small, *}(\mathcal{F}|_{T_\proetale}), \end{equation}\] 此等式由引理中位点图的交换性显然得出，因为到 \(T\)（分别地，\(S\)）的小 pro-étale 位点的限制由 \(\pi_{T, *}\)（分别地，\(\pi_{S, *}\)）给出。涉及拉回与 限制的类似公式并不成立。

引理

给定 \(\Sch_\proetale\) 中的概形 \(X\)、\(Y\)、\(Y\) 以及态射 \(f : X \to Y\)、 \(g : Y \to Z\)，有 \(g_{big} \circ f_{big} = (g \circ f)_{big}\) 与 \(g_{small} \circ f_{small} = (g \circ f)_{small}\)。

证明

对于大位点上的函子，这由引理 098S 中对直像与拉回的简单描述 得出。对于小位点上的函子，这由引理 098T 中对直像函子的 描述得出。

引理

设 \(\Sch_\proetale\) 为大 pro-étale 位点。考虑 \(\Sch_\proetale\) 中的笛卡尔图 \[\xymatrix{ T' \ar[r]_{g'} \ar[d]_{f'} & T \ar[d]^f \\ S' \ar[r]^g & S }\] 则 \(i_g^{-1} \circ f_{big, *} = f'_{small, *} \circ (i_{g'})^{-1}\)，并且 \(g_{big}^{-1} \circ f_{big, *} = f'_{big, *} \circ (g'_{big})^{-1}\)。

证明

由于该图是笛卡尔的，对 \(U'/S'\) 有 \(U' \times_{S'} T' = U' \times_S T\)。 因此，\(i_g^{-1} \circ f_{big, *}\) 与 \(f'_{small, *} \circ (i_{g'})^{-1}\) 都将 \((\Sch/T)_\proetale\) 上的层 \(\mathcal{F}\) 送到 \(S'_\proetale\) 上的层 \(U' \mapsto \mathcal{F}(U' \times_{S'} T')\)（使用引理 098P 与 098S）。第二个等式可同样证明，也可由 非常一般的“位点”引理 03CF 推出。

可以把 \(S\) 的大 pro-étale 位点上的层看作一族层：对每个 \(S\) 上的概形，取其小 pro-étale 位点上的一个层。

引理

设 \(S\) 为大 pro-étale 位点 \(\Sch_\proetale\) 所包含的概形。大 pro-étale 位点 \((\Sch/S)_\proetale\) 上的层 \(\mathcal{F}\) 由下列数据给出：

1. 对每个 \(T/S \in \Ob((\Sch/S)_\proetale)\)，取 \(T_\proetale\) 上的层 \(\mathcal{F}_T\)；

2. 对 \((\Sch/S)_\proetale\) 中的每个 \(f : T' \to T\)，取映射 \(c_f : f_{small}^{-1}\mathcal{F}_T \to \mathcal{F}_{T'}\)。

这些数据须满足下列条件：

1. 对 \((\Sch/S)_\proetale\) 中任意 \(f : T' \to T\) 与 \(g : T'' \to T'\)，复合 \(c_g \circ g_{small}^{-1}c_f\) 等于 \(c_{f \circ g}\)；

2. 若 \((\Sch/S)_\proetale\) 中的 \(f : T' \to T\) 是弱 étale 的， 则 \(c_f\) 是同构。

证明

与“拓扑”引理 021K 的证明相同。

引理

设 \(S\) 为概形。以 \(S_{affine, \proetale}\) 表示 \(S_\proetale\) 中由仿射对象组成的 全子范畴。\(S_{affine, \proetale}\) 的覆盖取为标准 pro-étale 覆盖；见定义 098E。则限制 \[\mathcal{F} \longmapsto \mathcal{F}|_{S_{affine, \etale}}\] 定义拓扑斯等价 \(\Sh(S_\proetale) \cong \Sh(S_{affine, \proetale})\)。

证明

这可直接由定义证明，是一道很好的练习。不过，它也立即由“位点”引理 03A0 得出：只须验证包含函子 \(S_{affine, \proetale} \to S_\proetale\) 是特殊余连续函子（见“位点”定义 03CG）。

引理

设 \(S\) 为仿射概形。以 \(S_{app}\) 表示 \(S_\proetale\) 中由满足 \(\mathcal{O}(S) \to \mathcal{O}(U)\) 为 ind-étale 的仿射对象 \(U\) 组成的全子范畴。 \(S_{app}\) 的覆盖取为标准 pro-étale 覆盖；见定义 098E。则限制 \[\mathcal{F} \longmapsto \mathcal{F}|_{S_{app}}\] 定义拓扑斯等价 \(\Sh(S_\proetale) \cong \Sh(S_{app})\)。

证明

由引理 098W，可用 \(S_{affine, \proetale}\) 代替 \(S_\proetale\)。只须验证包含函子 \(S_{app} \to S_{affine, \proetale}\) 是特殊 余连续函子，本引理便由“位点”引理 03A0 得出；见“位点” 定义 03CG。“位点”引理 03A0 的各条件立即由定义及下列事实得出：(a) \(S_{affine, \proetale}\) 的任意对象 \(U\) 都有一个覆盖 \(\{V \to U\}\)，其中 \(V\) 在 \(X\) 上 ind-étale（命题 097Z）；以及 (b) 函子 \(u\) 全忠实。

引理

设 \(S\) 为概形。pro-étale 位点 \(\Sch_\proetale\)、\(S_\proetale\)、 \((\Sch/S)_\proetale\)、\(S_{affine, \proetale}\) 与 \((\textit{Aff}/S)_\proetale\) 上的拓扑均为次典范的。

证明

合用引理 098A 与“下降”引理 023Q。

弱可缩对象

本节证明一个关键事实：我们的 pro-étale 位点含有许多弱可缩对象。事实上，引理 098I 的证明正是定义 098G 中函数 \(Bound\) 采用该形式的原因（不过，对忽略 集合论问题的读者而言，这条信息没有实际内容）。

先用 pro-étale 覆盖表述 w-可缩环的概念。

引理

设 \(T = \Spec(A)\) 为仿射概形。下列条件等价：

1. \(A\) 是 w-可缩的；

2. \(T\) 的每个 pro-étale 覆盖都可由形如 \(T = \coprod_{i = 1, \ldots, n} U_i\) 的 Zariski 覆盖加细。

证明

假设 \(A\) 是 w-可缩的。由引理 098D，只须证明 \(T\) 的某个 Zariski 覆盖能够加细每个标准 pro-étale 覆盖 \(\{f_i : T_i \to T\}_{i = 1, \ldots, n}\)。态射 \(\coprod T_i \to T\) 是仿射概形间 满的弱 étale 态射。因此由定义 0981，存在 \(T\) 上的态射 \(\sigma : T \to \coprod T_i\)。于是 Zariski 覆盖 \(T = \coprod \sigma^{-1}(T_i)\) 加细 \(\{f_i : T_i \to T\}\)。

反之，假设 (2)。若 \(A \to B\) 忠实平坦且弱 étale，则 \(\{\Spec(B) \to T\}\) 是 pro-étale 覆盖。因此存在 Zariski 覆盖 \(T = \coprod U_i\) 以及 \(T\) 上的态射 \(U_i \to \Spec(B)\)。由于 \(T = \coprod U_i\)，得到 \(T \to \Spec(B)\)，也即一个 \(A\)-代数映射 \(B \to A\)。 这说明 \(A\) 是 w-可缩的。

引理

设 \(\Sch_\proetale\) 为定义 098G 所述的大 pro-étale 位点，并设 \(T = \Spec(A)\) 为 \(\Sch_\proetale\) 的仿射对象。下列条件等价：

1. \(A\) 是 w-可缩的；

2. \(T\) 是 \(\Sch_\proetale\) 的弱可缩对象（“位点”定义 090L）；

3. \(T\) 的每个 pro-étale 覆盖都可由形如 \(T = \coprod_{i = 1, \ldots, n} U_i\) 的 Zariski 覆盖加细。

证明

引理 098F 已证明 (1) 与 (3) 等价。

假设 (3)，并设 \(\mathcal{F} \to \mathcal{G}\) 是 \(\Sch_\proetale\) 上层的满射。 取 \(s \in \mathcal{G}(T)\)。为证明 (2)，我们将证明 \(s\) 属于 \(\mathcal{F}(T) \to \mathcal{G}(T)\) 的像。可找到 \(\Sch_\proetale\) 的覆盖 \(\{T_i \to T\}\)，使 \(s\) 在 \(T_i\) 上提升为 \(\mathcal{F}\) 的截面（“位点”定义 00WM）。由 (3)，可以假设有由既开又闭的 子集组成的有限覆盖 \(T = \coprod_{j = 1, \ldots, m} U_j\)，并有映到 \(s|_{U_j}\) 的 \(t_j \in \mathcal{F}(U_j)\)。由于 Zariski 覆盖是 \(\Sch_\proetale\) 中的覆盖（引理 098B），可知 \(\mathcal{F}(T) = \prod \mathcal{F}(U_j)\)。因此 \(t = (t_1, \ldots, t_m) \in \mathcal{F}(T)\) 是映到 \(s\) 的截面。

假设 (2)。取命题 0983 所述的 \(A \to D\)。 则 \(\{V \to T\}\) 是 \(\Sch_\proetale\) 的覆盖。（注意，由注 0984、定义 098G 中对函数 \(Bound\) 的选取以及“集合”引理 000Q 对仿射概形大小的计算， \(V = \Spec(D)\) 是 \(\Sch_\proetale\) 的对象。）由于 \(\Sch_\proetale\) 上的拓扑是 次典范的（引理 098Z），\(h_V \to h_T\) 是层的满射 （“位点”引理 00WT）。由于假设 \(T\) 弱可缩，存在元素 \(f \in h_V(T) = \Mor(T, V)\)，其在 \(h_T(T)\) 中的像为 \(\text{id}_T\)。因此 \(A \to D\) 有回缩 \(\sigma : D \to A\)。现若 \(A \to B\) 忠实平坦且弱 étale，则 \(D \to D \otimes_A B\) 具有相同性质，故存在回缩 \(D \otimes_A B \to D\)；将其与 \(\sigma\) 复合，得到 \(A \to B\) 的回缩 \(B \to D \otimes_A B \to D \to A\)。因此 \(A\) 是 w-可缩的，(1) 成立。

引理

设 \(\Sch_\proetale\) 为定义 098G 所述的大 pro-étale 位点。对 \(\Sch_\proetale\) 的每个对象 \(T\)，存在 \(\Sch_\proetale\) 中的覆盖 \(\{T_i \to T\}\)，使每个 \(T_i\) 都是仿射的，并且是某个 w-可缩环的谱。 特别地，\(T_i\) 在 \(\Sch_\proetale\) 中弱可缩。

证明

对于不关心集合论问题的读者，本引理是引理 098H 与命题 0983 的平凡推论。下面给出细节。选取仿射开覆盖 \(T = \bigcup U_i\)，并写成 \(U_i = \Spec(A_i)\)。依照命题 0983，选取忠实平坦的 ind-étale 环映射 \(A_i \to D_i\)，使 \(D_i\) 为 w-可缩的。态射族 \(\{\Spec(D_i) \to T\}\) 是 pro-étale 覆盖。若能证明 \(\Spec(D_i)\) 同构于 \(\Sch_\proetale\) 的某个对象，记为 \(T_i\)，则由定义 098G 中 \(\Sch_\proetale\) 的构造， 更确切地说，由最后一步对“集合”引理 000X 的应用， \(\{T_i \to T\}\) 将与 \(\Sch_\proetale\) 的一个覆盖组合等价。由定义 098G 中 \(\Sch_\proetale\) 的构造，更确切地说，由第 (3) 步对“集合”引理 000J 的应用，为证明 \(\Spec(D_i)\) 同构于 \(\Sch_\proetale\) 的一个对象，只须证明 \(|D_i| \leq Bound(\text{size}(T))\)。由“集合”引理 000P 与 04T7，有 \(|A_i| \leq \text{size}(U_i) \leq \text{size}(T)\)；故由注 0984，有 \(|D_i| \leq \kappa^{2^{2^{2^\kappa}}}\)，其中 \(\kappa = \text{size}(T)\)。因此， 由定义 098G 中对函数 \(Bound\) 的选取，结论成立。

引理

设 \(S\) 为概形。pro-étale 位点 \(S_\proetale\)、\((\Sch/S)_\proetale\)、 \(S_{affine, \proetale}\) 与 \((\textit{Aff}/S)_\proetale\)，以及在 \(S\) 仿射时的 \(S_{app}\)，都有足够多（仿射的）拟紧弱可缩对象；见“位点”定义 090L。

证明

立即由引理 098I 得出。

引理

设 \(S\) 为概形。pro-étale 位点 \(\Sch_\proetale\)、\(S_\proetale\)、 \((\Sch/S)_\proetale\) 具有下列性质：对任意对象 \(U\)，存在覆盖 \(\{V \to U\}\)，其中 \(V\) 为弱可缩对象。若 \(U\) 拟紧，则可选取 \(V\) 为仿射且 弱可缩的。

证明

设 \(V = \coprod_{j \in J} V_j\) 是 \((\Sch/S)_\proetale\) 的对象，并且是弱可缩对象 \(V_j\) 的不交并。由于不交并分解是 pro-étale 覆盖，对任意 pro-étale 层 \(\mathcal{F}\)，有 \(\mathcal{F}(V) = \prod_{j \in J} \mathcal{F}(V_j)\)。设 \(\mathcal{F} \to \mathcal{G}\) 是集合层的满射。由于 \(V_j\) 弱可缩，映射 \(\mathcal{F}(V_j) \to \mathcal{G}(V_j)\) 是满射；见“位点”定义 090L。因此，作为集合满射之积， \(\mathcal{F}(V) \to \mathcal{G}(V)\) 是满射，从而 \(V\) 弱可缩。

依照引理 098I，选取覆盖 \(\{U_i \to U\}_{i \in I}\)，其中 \(U_i\) 仿射且弱可缩。取 \(V = \coprod_{i \in I} U_i\)（这里有一个集合论问题，将在下文处理）。则 \(\{V \to U\}\) 是所需的、由弱可缩对象给出的 pro-étale 覆盖（要验证它是覆盖， 使用引理 098A）。若 \(U\) 拟紧，则由引理 098A 立即可知，可选取有限子集 \(I' \subset I\)， 使 \(\{U_i \to U\}_{i \in I'}\) 仍为覆盖；于是 \(\{\coprod_{i \in I'} U_i \to U\}\) 是所需的、由仿射弱可缩对象给出的覆盖。

本段处理集合论问题，我们强烈建议读者跳过。为确定该不交并位于我们的部分宇宙中， 需要控制指标集 \(I\) 的基数。由引理 098I 的 证明中覆盖 \(\{U_i \to U\}_{i \in I}\) 的构造立即可见 \(|I| \leq \text{size}(U)\)，其中概形的大小如“集合”第 000H 节所定义。此外，对每个 \(i\)，有 \(\text{size}(U_i) \leq Bound(\text{size}(U))\)；这由引理 098I 的证明中对 \(\Gamma(U_i, \mathcal{O}_{U_i})\) 基数的估计以及“集合”引理 000P 得出。因而由“集合”引理 000Q， 有 \(\text{size}(\coprod_{i \in I} U_i)) \leq Bound(\text{size}(U))\)。所以，由通过 “集合”引理 000J 对大 pro-étale 位点的构造， \(\coprod_{i \in I} U_i\) 同构于我们位点的一个对象，证明完毕。

弱可缩超覆盖

第 0F4N 节的结果蕴含由弱可缩对象组成的超覆盖之存在性。

引理

设 \(X\) 为概形。

1. 对 \(X_\proetale\) 的每个对象 \(U\)，存在 \(X_\proetale\) 中 \(U\) 的超覆盖 \(K\)，使每一项 \(K_n\) 都由 \(X_\proetale\) 中覆盖 \(U\) 的一个弱可缩对象组成。

2. 对 \(X_\proetale\) 的每个拟紧拟分离对象 \(U\)，存在 \(X_\proetale\) 中 \(U\) 的超覆盖 \(K\)，使每一项 \(K_n\) 都由 \(X_\proetale\) 中覆盖 \(U\) 的一个仿射弱可缩 对象组成。

证明

令 \(\mathcal{B} \subset \Ob(X_\proetale)\) 为 \(X_\proetale\) 的弱可缩对象集。由引理 0F4P，\(X_\proetale\) 的每个对象 \(T\) 都有覆盖 \(\{T_i \to T\}_{i \in I}\)，其中 \(I\) 有限且 \(T_i \in \mathcal{B}\)。由“超覆盖”引理 094K，得到 \(U\) 的超覆盖 \(K\)，使得 \(K_n = \{U_{n, i}\}_{i \in I_n}\)，其中 \(I_n\) 有限且 \(U_{n, i}\) 弱可缩。随后可将 \(K\) 替换为 \(U\) 的如下超覆盖：其第 \(n\) 次项由 \(\{U_n\}\) 给出，其中 \(U_n = \coprod_{i \in I_n} U_{n, i}\)。“超覆盖”注 0DB2 保证此替换可行。

令 \(X_{qcqs, \proetale} \subset X_\proetale\) 为由拟紧拟分离对象组成的全子范畴， 并将 \(X_{qcqs, \proetale}\) 的覆盖取为有限 pro-étale 覆盖。于是 \(X_{qcqs, \proetale}\) 是有纤维积的位点，且包含函子 \(X_{qcqs, \proetale} \to X_\proetale\) 连续并保持纤维积。特别地，若 \(K\) 是 \(X_{qcqs, \proetale}\) 中对象 \(U\) 的超覆盖，则由“超覆盖”引理 0DAZ，\(K\) 也是 \(X_\proetale\) 中 \(U\) 的超覆盖。令 \(\mathcal{B} \subset \Ob(X_{qcqs, \proetale})\) 为仿射弱可缩对象集。由引理 098I 以及仿射概形的有限并仍为仿射这一事实， 对 \(X_{qcqs, \proetale}\) 的每个对象 \(U\)，存在 \(X_{qcqs, \proetale}\) 的覆盖 \(\{V \to U\}\)，其中 \(V \in \mathcal{B}\)。由“超覆盖”引理 094K，得到 \(U\) 的超覆盖 \(K\)，使得 \(K_n = \{U_{n, i}\}_{i \in I_n}\)，其中 \(I_n\) 有限且 \(U_{n, i}\) 仿射而弱可缩。 随后可将 \(K\) 替换为 \(U\) 的如下超覆盖：其第 \(n\) 次项由 \(\{U_n\}\) 给出，其中 \(U_n = \coprod_{i \in I_n} U_{n, i}\)。“超覆盖”注 0DB2 保证此替换可行。

在下一个引理中，我们使用与位点中超覆盖 \(K\) 相伴的 Čech 复形 \(s(\mathcal{F}(K))\)；见“超覆盖”第 01GU 节。 若 \(K\) 是 \(U\) 的超覆盖且 \(K_n = \{U_n \to U\}\)，则 Čech 复形形如 \[s(\mathcal{F}(K)) = \left( \mathcal{F}(U_0) \to \mathcal{F}(U_1) \to \mathcal{F}(U_2) \to \ldots \right)\] 其中 \(s(\mathcal{F}(U_n))\) 置于上同调次数 \(n\)。

引理

设 \(X\) 为概形。设 \(E \in D^+(X_\proetale)\) 由阿贝尔层的下有界复形 \(\mathcal{E}^\bullet\) 表示。设 \(K\) 是 \(U \in \Ob(X_\proetale)\) 的超覆盖，且 \(K_n = \{U_n \to U\}\)，其中 \(U_n\) 是 \(X_\proetale\) 的弱可缩对象。则 \[R\Gamma(U, E) = \text{Tot}(s(\mathcal{E}^\bullet(K)))\] 在 \(D(\textit{Ab})\) 中成立。

证明

若 \(\mathcal{E}\) 是 \(X_\proetale\) 上的阿贝尔层，则“超覆盖”引理 01GY 的谱序列蕴含 \[R\Gamma(X_\proetale, \mathcal{E}) = s(\mathcal{E}(K))\] 因为任意层在 \(U_n\) 上的高阶上同调群均消失；见“位点上同调”引理 0946。

若 \(\mathcal{E}^\bullet\) 下有界，则可选取内射分解 \(\mathcal{E}^\bullet \to \mathcal{I}^\bullet\)，并考虑复形映射 \[\text{Tot}(s(\mathcal{E}^\bullet(K))) \longrightarrow \text{Tot}(s(\mathcal{I}^\bullet(K)))\] 对每个 \(n\)，映射 \(\mathcal{E}^\bullet(U_n) \to \mathcal{I}^\bullet(U_n)\) 是拟同构， 因为在 \(U_n\) 上取截面是正合的。因此由“同调”引理 0132 的一个谱序列，上述映射是拟同构。利用第一段的 结果可知，对每个 \(p\)，复形 \(s(\mathcal{I}^p(K))\) 在次数 \(n > 0\) 无同调， 并在次数 \(0\) 计算 \(\mathcal{I}^p(U)\)。于是“同调”引理 0132 的另一个谱序列说明 \(\text{Tot}(s(\mathcal{I}^\bullet(K)))\) 计算 \(R\Gamma(U, E) = \mathcal{I}^\bullet(U)\)。

引理

设 \(X\) 为拟紧拟分离概形。函子 \(R\Gamma(X, -) : D^+(X_\proetale) \to D(\textit{Ab})\) 与直和及同伦余极限交换。

证明

该断言含义如下：设有 \(D^+(X_\proetale)\) 的一族对象 \(E_i\)，使得 \(\bigoplus E_i\) 是 \(D^+(X_\proetale)\) 的对象。则 \(R\Gamma(X, \bigoplus E_i) = \bigoplus R\Gamma(X, E_i)\)。为验证这一点，选取 \(X\) 的超覆盖 \(K\)，满足 \(K_n = \{U_n \to X\}\)，其中 \(U_n\) 是仿射弱可缩概形； 见引理 09A1。取整数 \(N\)，使得当 \(p < N\) 时 \(H^p(E_i) = 0\)。选取表示 \(E_i\) 的阿贝尔层复形 \(\mathcal{E}_i^\bullet\)，使得 当 \(p < N\) 时 \(\mathcal{E}_i^p = 0\)。逐项直和 \(\bigoplus \mathcal{E}_i^\bullet\) 在 \(D(X_\proetale)\) 中表示 \(\bigoplus E_i\)； 见“内射对象”引理 07D9。由引理 09A2，有 \[R\Gamma(X, \bigoplus E_i) = \text{Tot}(s((\bigoplus \mathcal{E}^\bullet_i)(K)))\] 以及 \[R\Gamma(X, E_i) = \text{Tot}(s(\mathcal{E}^\bullet_i(K)))\] 由于每个 \(U_n\) 拟紧，有 \[\text{Tot}(s((\bigoplus \mathcal{E}^\bullet_i)(K))) = \bigoplus \text{Tot}(s(\mathcal{E}^\bullet_i(K)))\] 这由“位点上的模”引理 0935 得出。 关于同伦余极限的断言形式地源于如下事实：\(R\Gamma\) 是三角范畴间的正合函子， 且它与直和交换，这一点刚刚已经证明。

注

设 \(X\) 为概形。由于 \(X_\proetale\) 有足够多的弱可缩对象，由“位点上同调”命题 0947，对 \(D(X_\proetale)\) 中所有 \(K\)，有 \(K = R\lim \tau_{\geq -n}K\)。又由“内射对象”引理 08U1，\(R\Gamma\) 与 \(R\lim\) 交换，故 \[R\Gamma(X, K) = R\lim R\Gamma(X, \tau_{\geq -n}K)\] 在 \(D(\textit{Ab})\) 中成立。这有时使我们能够把关于下有界复形的结果推广到所有复形。

紧生成

本节证明，与我们的 pro-étale 位点相伴的若干导出范畴是“导出范畴”定义 09SQ 所述的紧生成范畴。

引理

设 \(S\) 为概形，\(\Lambda\) 为环。

1. \(D(S_\proetale)\) 是紧生成的；

2. \(D(S_\proetale, \Lambda)\) 是紧生成的；

3. 对 \(S_\proetale\) 上任意环层 \(\mathcal{A}\)， \(D(S_\proetale, \mathcal{A})\) 是紧生成的；

4. \(D((\Sch/S)_\proetale)\) 是紧生成的；

5. \(D((\Sch/S)_\proetale, \Lambda)\) 是紧生成的；

6. 对 \((\Sch/S)_\proetale\) 上任意环层 \(\mathcal{A}\)， \(D((\Sch/S)_\proetale, \mathcal{A})\) 是紧生成的。

证明

证明 (3)。设 \(U\) 是 \(S_\proetale\) 的仿射弱可缩对象。则 \(j_{U!}\mathcal{A}_U\) 是导出范畴 \(D(S_\proetale, \mathcal{A})\) 的紧对象；见 “位点上同调”引理 094E。选取集合 \(I\)， 并对每个 \(i \in I\) 选取 \(S_\proetale\) 的仿射弱可缩对象 \(U_i\)，使 \(S_\proetale\) 的每个仿射弱可缩对象都同构于某个 \(U_i\)。这是可行的，因为 \(\Ob(S_\proetale)\) 是集合。为完成 (3) 的证明，只须证明 \(\bigoplus j_{U_i, !}\mathcal{A}_{U_i}\) 是 \(D(S_\proetale, \mathcal{A})\) 的生成元； 见“导出范畴”定义 09SJ。为此，设 \(K\) 是 \(D(S_\proetale, \mathcal{A})\) 的非零对象。则在我们的位点 \(S_\proetale\) 中存在 对象 \(T\)，且 \(H^n(K)(T)\) 中存在非零元素 \(\xi\)。换言之，\(\xi\) 是 \(K\) 的第 \(n\) 个上同调层的非零截面。可以假设 \(K\) 由 \(\mathcal{A}\)-模层的复形 \(\mathcal{K}^\bullet\) 表示，而 \(\xi\) 是满足 \(\text{d}(s) = 0\) 的截面 \(s \in \mathcal{K}^n(T)\) 的类。确切地说，\(\xi\) 局部表示为一个截面的类（因此， 用 \(T\) 的某个覆盖成员替换 \(T\) 后便得到此结论）。接着，依照引理 098I 选取覆盖 \(\{T_j \to T\}_{j \in J}\)。由于 \(H^n(K)\) 是层，对某个 \(j\)，限制 \(\xi|_{T_j}\) 仍非零。因此 \(s|_{T_j}\) 在 \(D(S_\proetale, \mathcal{A})\) 中定义非零映射 \(j_{T_j, !}\mathcal{A}_{T_j} \to K\)。由于对某个 \(i \in I\) 有 \(T_j \cong U_i\)，结论得证。

完全相同的论证适用于 \(S\) 的大 pro-étale 位点。

拓扑的比较

本节是“Étale 上同调”第 09XL 节的类似版本。

引理

设 \(X\) 为概形，\(\mathcal{F}\) 为 \(X_\proetale\) 上的集合预层，并且它将有限不交并 送到积。若 \(W\) 是 \(X_\proetale\) 的仿射弱可缩对象，则 \(\mathcal{F}^\#(W) = \mathcal{F}(W)\)。

证明

回忆 \(\mathcal{F}^\#\) 等于 \((\mathcal{F}^+)^+\)；见“位点”定理 00WB。这里 \(\mathcal{F}^+\) 是将 \(X_\proetale\) 的对象 \(U\) 送到 \(\colim H^0(\mathcal{U}, \mathcal{F})\) 的预层，其中余极限取遍 \(U\) 的所有 pro-étale 覆盖 \(\mathcal{U}\)。因此只须证明：(a) \(\mathcal{F}^+\) 将有限不交并 送到积；(b) 它将 \(W\) 送到 \(\mathcal{F}(W)\)。若 \(U = U_1 \amalg U_2\)，则给定 \(U\) 的 pro-étale 覆盖 \(\mathcal{U} = \{f_j : V_j \to U\}\)，得到 pro-étale 覆盖 \(\mathcal{U}_i = \{f_j^{-1}(U_i) \to U_i\}\)，并且显然有 \[H^0(\mathcal{U}, \mathcal{F}) = H^0(\mathcal{U}_1, \mathcal{F}) \times H^0(\mathcal{U}_2, \mathcal{F})\] 因为 \(\mathcal{F}\) 将有限不交并送到积（这包括 \(\mathcal{F}\) 将空概形送到单点集 这一条件）。这证明了 (a)。最后，由引理 098H，\(W\) 的任意 pro-étale 覆盖都可由 有限不交并分解 \(W = W_1 \amalg \ldots W_n\) 加细。因此恰因 \(\mathcal{F}\) 在 \(W\) 上的值是 \(\mathcal{F}\) 在各 \(W_j\) 上之值的积，有 \(\mathcal{F}^+(W) = \mathcal{F}(W)\)。这证明了 (b)。

引理

设 \(f : X \to Y\) 为概形态射，\(\mathcal{F}\) 为 \(Y_\proetale\) 上的集合层。若 \(W\) 是 \(X_\proetale\) 的仿射弱可缩对象，则 \[f_{small}^{-1}\mathcal{F}(W) = \colim_{W \to V} \mathcal{F}(V)\] 其中余极限取遍 \(Y\) 上满足 \(V \in Y_\proetale\) 的态射 \(W \to V\)。

证明

回忆 \(f_{small}^{-1}\mathcal{F}\) 是与下列预层相伴的层： \[u_p\mathcal{F} : U \mapsto \colim_{U \to V} \mathcal{F}(V)\] 它在 \(X_\etale\) 上；见“位点”第 00X0 节与第 00WU 节。记号中省略了如下事实：余极限取遍范畴 \(\{U \to V, V \in Y_\proetale\}\) 的对偶范畴。由引理 0F63，只须证明 \(u_p\mathcal{F}\) 将有限不交并 送到积。设 \(U = U_1 \amalg U_2\) 是既开又闭的子概形之不交并。有函子 \[\{U_1 \to V_1\} \times \{U_2 \to V_2\} \longrightarrow \{U \to V\},\quad (U_1 \to V_1, U_2 \to V_2) \longmapsto (U \to V_1 \amalg V_2)\] 它是初始的（“范畴”定义 09WP）。因此，对偶范畴上的 相应函子是共尾的；由“范畴”引理 04E7，可知 \(u_p\mathcal{F}\) 在 \(U\) 上的值，是在该积范畴上取各 \(\mathcal{F}(V_1 \amalg V_2)\) 的余极限。由于 \(\mathcal{F}\) 是层，它将不交并送到积， 故 \(u_p\mathcal{F}\) 也如此。

引理

设 \(S\) 为概形。考虑引理 098Q 的态射 \[\pi_S : (\Sch/S)_\proetale \longrightarrow S_\proetale\] 。设 \(\mathcal{F}\) 为 \(S_\proetale\) 上的层。则 \(\pi_S^{-1}\mathcal{F}\) 由规则 \[(\pi_S^{-1}\mathcal{F})(T) = \Gamma(T_\proetale, f_{small}^{-1}\mathcal{F})\] 给出，其中 \(f : T \to S\)。此外，\(\pi_S^{-1}\mathcal{F}\) 对 fpqc 覆盖满足层条件。

证明

注意，我们有态射 \(i_f : \Sh(T_\proetale) \to \Sh(\Sch/S)_\proetale)\)，使得作为 态射 \(T_\proetale \to S_\proetale\)，有 \(\pi_S \circ i_f = f_{small}\)；见引理 098P。由于拉回具有传递性，可得 \(i_f^{-1} \pi_S^{-1}\mathcal{F} = f_{small}^{-1}\mathcal{F}\)，正如所需。

设 \(\{g_i : T_i \to T\}_{i \in I}\) 为 fpqc 覆盖。最后一个断言的含义如下：给定 \(T_\proetale\) 上的层 \(\mathcal{G}\) 及截面 \(s_i \in \Gamma(T_i, g_{i, small}^{-1}\mathcal{G})\)，若它们到 \(T_i \times_T T_j\) 上的拉回一致，则 \(T\) 上存在 \(\mathcal{G}\) 的唯一截面 \(s\)， 其到 \(T_i\) 上的拉回等于 \(s_i\)。我们只证明 \(T\) 仿射且覆盖由仿射概形间的单个 满平坦态射 \(T' \to T\) 给出的情形，并略去一般情形到此情形的归约。

设 \(g : T' \to T\) 是仿射概形间的满平坦态射，并设 \(s' \in g_{small}^{-1}\mathcal{G}(T')\) 为满足 \(\text{pr}_0^*s' = \text{pr}_1^*s'\) 于 \(T' \times_T T'\) 的截面。选取满的弱 étale 态射 \(W \to T'\)，其中 \(W\) 仿射且弱可缩；见引理 0F4P。由引理 0F64，限制 \(s'|_W\) 是 \(\colim_{W \to U} \mathcal{G}(U)\) 的元素。选取与 \(s'\) 对应的 \(\phi : W \to U_0\) 与 \(s_0 \in \mathcal{G}(U_0)\)。选取满的弱 étale 态射 \(V \to W \times_T W\)，其中 \(V\) 仿射且弱可缩。将诱导态射记为 \(a, b : V \to W\)。由于 \(a^*(s'|_W) = b^*(s'|_W)\)，且范畴 \(\{V \to U, U \in T_\proetale\}\) 是余滤的（这是显然的；如有疑问，见“位点”引理 00X5），两个态射 \(\phi \circ a , \phi \circ b : V \to U_0\) 必须相等。由“下降”第 023P 节中的结果（特别是“下降” 引理 023Q），存在唯一态射 \(T \to U_0\)，使 \(\phi\) 是此态射与结构态射 \(W \to T\) 的复合（略去一个小细节）。 于是可令 \(s\) 为 \(s_0\) 沿此态射的拉回。我们略去验证 \(s\) 到 \(T'\) 上的拉回为 \(s'\)。

大、小拓扑斯的比较

本节是“Étale 上同调”第 0757 节的类似版本。 下文常以 \(\mathcal{F} \mapsto \mathcal{F}|_{S_\proetale}\) 表示与引理 098Q 的拓扑斯态射 \(i_S : \Sh(S_\proetale) \to \Sh((\Sch/S)_\proetale)\) 相应的拉回函子 \(i_S^{-1}\)。

引理

设 \(S\) 为概形，\(T\) 为 \((\Sch/S)_\proetale\) 的对象。

1. 若 \(\mathcal{I}\) 在 \(\textit{Ab}((\Sch/S)_\proetale)\) 中内射，则

   1. \(i_f^{-1}\mathcal{I}\) 在 \(\textit{Ab}(T_\proetale)\) 中内射；

   2. \(\mathcal{I}|_{S_\proetale}\) 在 \(\textit{Ab}(S_\proetale)\) 中内射。

2. 若 \(\mathcal{I}^\bullet\) 是 \(\textit{Ab}((\Sch/S)_\proetale)\) 中的 K-内射复形， 则

   1. \(i_f^{-1}\mathcal{I}^\bullet\) 是 \(\textit{Ab}(T_\proetale)\) 中的 K-内射复形；

   2. \(\mathcal{I}^\bullet|_{S_\proetale}\) 是 \(\textit{Ab}(S_\proetale)\) 中的 K-内射复形。

证明

证明 (1)(a) 与 (2)(a)：\(i_f^{-1}\) 是正合函子 \(i_{f, !}\) 的右伴随。事实上，回忆 \(i_f\) 对应余连续函子 \(u : T_\proetale \to (\Sch/S)_\proetale\)，后者连续并保持 纤维积与等化子；见引理 098P 及其证明。因此，由“位点上的模”引理 04BG 得到 \(i_{f, !}\)。“位点上的模”引理 04BH 证明了它是正合的。于是由“同调”引理 015Z 与“导出范畴”引理 08BJ，得到 (1)(a) 与 (2)(a)。

由于 \(i_S = i_{\text{id}_S}\)，(1)(b) 与 (2)(b) 分别是 (1)(a) 与 (2)(a) 的特例。

引理

设 \(f : T \to S\) 为概形态射。对 \(D((\Sch/T)_\proetale)\) 中的 \(K\)，有 \[(Rf_{big, *}K)|_{S_\proetale} = Rf_{small, *}(K|_{T_\proetale})\] 在 \(D(S_\proetale)\) 中成立。更一般地，设 \(S' \in \Ob((\Sch/S)_\proetale)\)，其结构态射为 \(g : S' \to S\)。考虑纤维积图 \[\xymatrix{ T' \ar[r]_{g'} \ar[d]_{f'} & T \ar[d]^f \\ S' \ar[r]^g & S }\] 则对 \(D((\Sch/T)_\proetale)\) 中的 \(K\)，有 \[i_g^{-1}(Rf_{big, *}K) = Rf'_{small, *}(i_{g'}^{-1}K)\] 在 \(D(S'_\proetale)\) 中成立，并且 \[g_{big}^{-1}(Rf_{big, *}K) = Rf'_{big, *}((g'_{big})^{-1}K)\] 在 \(D((\Sch/S')_\proetale)\) 中成立。

证明

选取表示 \(K\) 的阿贝尔层 K-内射复形后，第一个等式由引理 0F67 与 (0F60) 得出。选取表示 \(K\) 的阿贝尔层 K-内射复形后，第二个等式由引理 0F67 与 引理 0F61 得出。类似地，选取表示 \(K\) 的 阿贝尔层 K-内射复形后，第三个等式由“位点上同调”引理 03F3、 08FI 以及引理 0F61 得出。

设 \(S\) 为概形，\(\mathcal{H}\) 为 \((\Sch/S)_\proetale\) 上的阿贝尔层。回忆 \(H^n_\proetale(U, \mathcal{H})\) 表示 \(\mathcal{H}\) 在 \((\Sch/S)_\proetale\) 的对象 \(U\) 上的上同调。

引理

设 \(f : T \to S\) 为概形态射。对 \(D(S_\proetale)\) 中的 \(K\)，有 \[H^n_\proetale(S, \pi_S^{-1}K) = H^n(S_\proetale, K)\] 以及 \[H^n_\proetale(T, \pi_S^{-1}K) = H^n(T_\proetale, f_{small}^{-1}K).\] 对 \(D((\Sch/S)_\proetale)\) 中的 \(M\)，有 \[H^n_\proetale(T, M) = H^n(T_\proetale, i_f^{-1}M).\]

证明

为证明最后一个等式，用阿贝尔层的 K-内射复形表示 \(M\)，应用引理 0F67 并展开定义即可。由于 \(i_f^{-1} \circ \pi_S^{-1} = f_{small}^{-1}\)，第二个等式由此得出。第一个等式是 第二个等式的特例。

引理

设 \(S\) 为概形。对 \(K \in D(S_\proetale)\)，映射 \[K \longrightarrow R\pi_{S, *}\pi_S^{-1}K\] 是同构。

证明

这是因为 \(\pi_S^{-1}\) 与 \(\pi_{S, *} = i_S^{-1}\) 都是正合函子，并且复合 \(\pi_{S, *} \circ \pi_S^{-1}\) 是恒等函子。

pro-étale 位点的点

先应用 Deligne 判据证明有足够多的点。

引理

设 \(S\) 为概形。pro-étale 位点 \(\Sch_\proetale\)、\(S_\proetale\)、 \((\Sch/S)_\proetale\)、\(S_{affine, \proetale}\) 与 \((\textit{Aff}/S)_\proetale\) 都有足够多的点。

证明

\(S\) 的大 pro-étale 拓扑斯等价于 \((\textit{Aff}/S)_\proetale\) 所定义的拓扑斯； 见引理 098N。\(S_\proetale\) 上的层拓扑斯等价于与 \(S_{affine, \proetale}\) 相伴的拓扑斯；见引理 098W。关于位点 \((\textit{Aff}/S)_\proetale\) 与 \(S_{affine, \proetale}\) 的结论立即由 Deligne 的结果 “位点”引理 0DW0 得出。\(\Sch_\proetale\) 的情形则由 它等于 \((\Sch/\Spec(\mathbf{Z}))_\proetale\) 得到。

设 \(S\) 为概形，\(\overline{s} : \Spec(k) \to S\) 为几何点。定义 \(\overline{s}\) 的一个pro-étale 邻域为交换图 \[\xymatrix{ \Spec(k) \ar[r]_-{\overline{u}} \ar[rd]_{\overline{s}} & U \ar[d] \\ & S }\] ，其中 \(U \to S\) 弱 étale。

引理

设 \(S\) 为概形，\(\overline{s} : \Spec(k) \to S\) 为几何点。\(\overline{s}\) 的 pro-étale 邻域范畴是余滤的。

证明

证明与“Étale 上同调”引理 03PQ 的证明相同， 但须使用“态射续篇”引理 094T、 094U 与 0951 中证明的关于弱 étale 态射的 相应事实。

引理

设 \(S\) 为概形，\(\overline{s}\) 为 \(S\) 的几何点，并设 \(\mathcal{U} = \{\varphi_i : S_i \to S\}_{i\in I}\) 为 pro-étale 覆盖。则存在 \(i \in I\) 及 \(S_i\) 的几何点 \(\overline{s}_i\)，后者映到 \(\overline{s}\)。

证明

这立即由如下事实得出：\(\coprod \varphi_i\) 是满的，而弱 étale 态射诱导的剩余域 扩张是可分代数扩张（例如见“态射续篇”引理 094Z。

设 \(S\) 为概形，\(\overline{s}\) 为 \(S\) 的几何点。对 \(\Sh(S_\proetale)\) 中的 \(\mathcal{F}\)，以公式 \[\mathcal{F}_{\overline{s}} = \colim_{(U, \overline{u})} \mathcal{F}(U)\] 定义\(\mathcal{F}\) 在 \(\overline{s}\) 处的茎，其中余极限取遍 \(\overline{s}\) 的 所有满足 \(U \in \Ob(S_\proetale)\) 的 pro-étale 邻域 \((U, \overline{u})\)。由上面两个引理，函子 \[S_\proetale \textit{Sets},\quad U \longmapsto \{\overline{u}\text{ 是 }U\text{ 的几何点，且映到 }\overline{s}\}\] 定义位点 \(S_\proetale\) 的一个点；见“位点”定义 00Y5 与引理 0F4E。因此函子 \(\mathcal{F} \mapsto \mathcal{F}_{\overline{s}}\) 定义拓扑斯 \(\Sh(S_\proetale)\) 的一个点；见“位点”定义 00Y4 与引理 00YA。特别地，此函子正合并与任意余极限交换。事实上， 此函子还有另一种描述。

引理

在上述情形中，概形 \(\Spec(\mathcal{O}_{S, \overline{s}}^{sh})\) 是 \(X_\proetale\) 的对象，并且有关于 \(\mathcal{F}\) 函子性的典范同构 \[\mathcal{F}(\Spec(\mathcal{O}_{S, \overline{s}}^{sh})) = \mathcal{F}_{\overline{s}}\]

证明

第一个断言由严格 Hensel 化作为 \(S\) 上 étale 代数之滤过余极限的构造显然得出； 也可使用“态射续篇”引理 094Z 对弱 étale 态射的刻画。第二个断言由 Olivier 定理（“代数续篇”定理 092Z）得出：概形 \(\Spec(\mathcal{O}_{S, \overline{s}}^{sh})\) 是 \(\overline{s}\) 的 pro-étale 邻域范畴 的始对象。

与 \(S\) 的 étale 拓扑斯的情形不同，\(\Sh(S_\proetale)\) 的每个点并不都具有这种 形式，与几何点相伴的点族也不是保守的。事实上，设 \(S = \Spec(k)\)，其中 \(k\) 是 代数闭域。令 \(A\) 为非零阿贝尔群。考虑 \(S_\proetale\) 上如下定义的层 \(\mathcal{F}\)： \[\mathcal{F}(U) = \frac{\{\text{映射 }U \to A\}}{\{\text{局部常值映射}\}}\] 当 \(U\) 仿射时用此式定义，一般情形则取层化；见例 0F6D。若 \(U = S = \Spec(k)\)，则 \(\mathcal{F}(U) = 0\)，但一般而言 \(\mathcal{F}\) 并非零层。事实上， \(S_\proetale\) 包含具有无限多个点的仿射对象。例如，设 \(E = \lim E_n\) 是具有满 转移映射的有限集之逆极限，例如 \(E = \mathbf{Z}_p = \lim \mathbf{Z}/p^n\mathbf{Z}\)。概形 \(U = \Spec(\colim \text{Map}(E_n, k))\) 是 \(S_\proetale\) 的对象，因为 \(\colim \text{Map}(E_n, k)\) 在 \(k\) 上弱 étale（甚至 ind-Zariski）。由于存在并非 局部常值的映射 \(E \to A\)，故 \(\mathcal{F}(U)\) 非零。因此 \(\mathcal{F}\) 是非零 阿贝尔层，但它在 \(S\) 的唯一几何点处的茎为零。既然已知 \(S_\proetale\) 有足够多的 点，便可断定 pro-étale 位点必有一个点并非来自上述构造。

使用仿射弱可缩对象，可以替代使用点的论证。首先，由引理 0990，有足够多的仿射弱可缩对象。其次，若 \(W \in \Ob(S_\proetale)\) 仿射且弱可缩，则函子 \[\Sh(S_\proetale) \longrightarrow \textit{Sets},\quad \mathcal{F} \longmapsto \mathcal{F}(W)\] 是与所有极限交换的正合函子 \(\Sh(S_\proetale) \to \textit{Sets}\)。函子 \[\textit{Ab}(S_\proetale) \longrightarrow \textit{Ab},\quad \mathcal{F} \longmapsto \mathcal{F}(W)\] 正合并与直和交换（因为 \(W\) 拟紧；见“位点”引理 0738），故与所有极限和余极限交换。此外，可在 \(S_\proetale\) 的这些仿射弱可缩对象上求值，以检验阿贝尔层复形的正合性；见 “位点上同调”命题 0947。

最后要指出，对仿射弱可缩的 \(W\)，函子 \(\mathcal{F} \mapsto \mathcal{F}(W)\) 一般并非 \(S_\proetale\) 某个点的茎函子，因为当 \(W\) 不连通时，它不保持集合层的余积。事实上， 只要 \(W\) 有多于 \(1\) 个闭点，\(W\) 就不连通；也就是说，只要 \(W\) 不是严格 Hensel 局部环的谱（这正是上面讨论的特殊情形），它便不连通。

与 étale 位点的比较

设 \(X\) 为概形。适当选择位点后⁴，将 \(U/X\) 映到 \(U/X\) 的函子 \(u : X_\etale \to X_\proetale\) 定义了一个位点态射 \[\epsilon : X_\proetale \longrightarrow X_\etale\] 这由“位点”命题 00X6 得出。

引理

沿用上述记号。设 \(\mathcal{F}\) 为 \(X_\etale\) 上的层。规则 \[X_\proetale \longrightarrow \textit{Sets},\quad (f : Y \to X) \longmapsto \Gamma(Y_\etale, f_\etale^{-1}\mathcal{F})\] 是一个层，并且等于 \(\epsilon^{-1}\mathcal{F}\)。这里 \(f_\etale : Y_\etale \to X_\etale\) 是在“Étale 上同调”第 04I0 节中构造的小 étale 位点态射。

证明

由引理 098A，每个 pro-étale 覆盖都是 fpqc 覆盖。因此根据“Étale 上同调”引理 09XN，该公式定义了 \(X_\proetale\) 上的一个层。令 \(a : \Sh(X_\etale) \to \Sh(X_\proetale)\) 为把 \(\mathcal{F}\) 映到引理中公式所给之层的函子。为证明 \(a = \epsilon^{-1}\)，只需证明 \(a\) 是 \(\epsilon_*\) 的左伴随。

设 \(\mathcal{G}\) 为 \(\Sh(X_\proetale)\) 的对象。回忆 \(\epsilon_*\mathcal{G}\) 就是把 \(\mathcal{G}\) 限制到全子范畴 \(X_\etale\) 所得的层。设 \(f : Y \to X\) 为 \(X_\proetale\) 的一个对象。我们把 \(Y_\etale\) 看作 \(X_\proetale\) 的子范畴。层 \(\mathcal{G}\) 的限制映射定义了映射 \[\epsilon_*\mathcal{G} = \mathcal{G}|_{X_\etale} \longrightarrow f_{\etale, *}(\mathcal{G}|_{Y_\etale})\] 具体而言，对 \(X_\etale\) 中的 \(U\)， \(f_{\etale, *}(\mathcal{G}|_{Y_\etale})\) 在 \(U\) 上的值为 \(\mathcal{G}(Y \times_X U)\)，并且存在限制映射 \(\mathcal{G}(U) \to \mathcal{G}(Y \times_X U)\)。由伴随性，这确定了映射 \[f_\etale^{-1}(\epsilon_*\mathcal{G}) \to \mathcal{G}|_{Y_\etale}\] 对 \(X_\proetale\) 中所有 \(f : Y \to X\) 汇集这些映射，我们得到典范映射 \(a(\epsilon_*\mathcal{G}) \to \mathcal{G}\)。

设 \(\mathcal{F}\) 为 \(\Sh(X_\etale)\) 的对象。显然有 \(\mathcal{F} = \epsilon_*a(\mathcal{F})\)。

我们断言，映射 \(\mathcal{F} \to \epsilon_*a(\mathcal{F})\) 与 \(a(\epsilon_*\mathcal{G}) \to \mathcal{G}\) 分别是该伴随的单位与余单位（参见 “范畴”第 0036 节）。为此，只需证明相应的映射 \[\Mor_{\Sh(X_\proetale)}(a(\mathcal{F}), \mathcal{G}) \to \Mor_{\Sh(X_\etale)}(\mathcal{F}, \epsilon^{-1}\mathcal{G})\] 以及 \[\Mor_{\Sh(X_\etale)}(\mathcal{F}, \epsilon^{-1}\mathcal{G}) \to \Mor_{\Sh(X_\proetale)}(a(\mathcal{F}), \mathcal{G})\] 互为逆映射。细节验证从略。

引理

设 \(X\) 为概形。对 \(X_\etale\) 上的每个层 \(\mathcal{F}\)，伴随映射 \(\mathcal{F} \to \epsilon_*\epsilon^{-1}\mathcal{F}\) 是同构；换言之，对 \(X_\etale\) 中的 \(U\)，有 \(\epsilon^{-1}\mathcal{F}(U) = \mathcal{F}(U)\)。

证明

立即由引理 0GLZ 中对 \(\epsilon^{-1}\) 的描述得出。

引理

设 \(X\) 为概形。设 \(Y = \lim Y_i\) 是 \(X_\proetale\) 中拟紧拟分离对象所成有向逆 系统的极限，并且转移态射为仿射态射。对 \(X_\etale\) 上任意层 \(\mathcal{F}\)，有 \[\epsilon^{-1}\mathcal{F}(Y) = \colim \epsilon^{-1}\mathcal{F}(Y_i)\] 此外，如果 \(Y_i\) 属于 \(X_\etale\)，则有 \(\epsilon^{-1}\mathcal{F}(Y) = \colim \mathcal{F}(Y_i)\)。

证明

根据引理 0GLZ 中对 \(\epsilon^{-1}\mathcal{F}\) 的描述，所示公式是“Étale 上同调”定理 09YQ 的特殊情形。（当 \(X\)、\(Y\) 与各 \(Y_i\) 均为仿射概形时，可参见更易读的“Étale 上同调”引理 03Q6。）最后的断言立即由此及 引理 099T 得出。

引理

设 \(X\) 为仿射概形。对 \(X_\etale\) 上的内射阿贝尔层 \(\mathcal{I}\)，当 \(p > 0\) 时有 \(H^p(X_\proetale, \epsilon^{-1}\mathcal{I}) = 0\)。

证明

我们将用“位点上的上同调”引理 03F9 证明这一点。令 \(\mathcal{B} \subset \Ob(X_\proetale)\) 为 \(X_\proetale\) 中满足 \(\mathcal{O}(X) \to \mathcal{O}(U)\) 为 ind-étale 的仿射对象 \(U\) 所成的集合。 令 \(\text{Cov}\) 为形如 \(\{U_i \to U\}_{i = 1, \ldots, n}\) 的 pro-étale 覆盖所成的集合，其中 \(U \in \mathcal{B}\)，并且对 \(i = 1, \ldots, n\)，\(\mathcal{O}(U) \to \mathcal{O}(U_i)\) 为 ind-étale。 “位点上的上同调”引理 03F9 的性质 (1) 与 (2)，由引理 097K、097J、 098D 以及命题 097Z 可知，对 \(\mathcal{B}\) 和 \(\text{Cov}\) 成立。

为检验条件 (3)，设 \(\mathcal{U} = \{U_i \to U\}_{i = 1, \ldots, n}\) 是 \(\text{Cov}\) 的元素。 我们必须证明 \(\epsilon^{-1}\mathcal{I}\) 关于 \(\mathcal{U}\) 的高阶 Čech 上同调群为零。首先，将 \(U_i = \lim_{a \in A_i} U_{i, a}\) 写成有向逆极限， 其中 \(U_{i, a} \to U\) 为 étale 态射且 \(U_{i, a}\) 为仿射概形。我们将 \(A_1 \times \ldots \times A_n\) 视为有向集，其序定义为： \((a_1, \ldots, a_n) \geq (a_1', \ldots, a_n')\) 当且仅当对 \(i = 1, \ldots, n\) 有 \(a_i \geq a_i'\)。注意，对所有 \(a_1, \ldots, a_n \in A_1 \times \ldots \times A_n\)， \(\mathcal{U}_{(a_1, \ldots, a_n)} = \{U_{i, a_i} \to U\}_{i = 1, \ldots, n}\) 都是 étale 覆盖。又注意到 \[U_{i_0} \times_U U_{i_1} \times_U \ldots \times_U U_{i_p} = \lim_{(a_1, \ldots, a_n) \in A_1 \times \ldots \times A_n} U_{i_0, a_{i_0}} \times_U U_{i_1, a_{i_1}} \times_U \ldots \times_U U_{i_p, a_{i_p}}\] 对所有 \(i_0, \ldots, i_p \in \{1, \ldots, n\}\) 都成立，因为极限与纤维积 可交换。因此由引理 099S 以及滤过余极限的正合性，有 \[\check{H}^p(\mathcal{U}, \epsilon^{-1}\mathcal{I}) = \colim \check{H}^p(\mathcal{U}_{(a_1, \ldots, a_n)}, \epsilon^{-1}\mathcal{I})\] 所以只需对 \(U\) 的 étale 覆盖证明该消没性即可！

设 \(\mathcal{U} = \{U_i \to U\}_{i = 1, \ldots, n}\) 为 étale 覆盖，其中 \(U_i\) 为仿射概形。将 \(U = \lim_{b \in B} U_b\) 写成有向逆极限，其中 \(U_b\) 为仿射概形且 \(U_b \to X\) 为 étale 态射。由“极限”引理 01ZM、 01Z6 和 07RP，可以选择 \(b_0 \in B\)，使得对 \(i = 1, \ldots, n\)，存在仿射概形之间的 étale 态射 \(U_{i, b_0} \to U_{b_0}\)，并且 \(U_i = U \times_{U_{b_0}} U_{i, b_0}\)。对 \(b \geq b_0\)，置 \(U_{i, b} = U_b \times_{U_{b_0}} U_{i, b_0}\)。当 \(b\) 足够大时，族 \(\mathcal{U}_b = \{U_{i, b} \to U_b\}_{i = 1, \ldots, n}\) 是 étale 覆盖， 参见“极限”引理 07RR。与前面完全相同，可得 \[\check{H}^p(\mathcal{U}, \epsilon^{-1}\mathcal{I}) = \colim \check{H}^p(\mathcal{U}_b, \epsilon^{-1}\mathcal{I}) = \colim \check{H}^p(\mathcal{U}_b, \mathcal{I})\] 其中最后一个等号由引理 099T 得出。右端每个 Čech 复形在正次数均无上同调（“位点上的上同调”引理 03AW），故左端复形亦然。这就证明了 “位点上的上同调”引理 03F9 的条件 (3)。由于 \(X \in \mathcal{B}\)，引理得证。

引理

设 \(X\) 为概形。

1. 对 \(X_\etale\) 上的阿贝尔层 \(\mathcal{F}\)，有 \(R\epsilon_*(\epsilon^{-1}\mathcal{F}) = \mathcal{F}\)。

2. 对 \(K \in D^+(X_\etale)\)，映射 \(K \to R\epsilon_*\epsilon^{-1}K\) 是同构。

证明

设 \(\mathcal{I}\) 为 \(X_\etale\) 上的内射阿贝尔层。回忆 \(R^q\epsilon_*(\epsilon^{-1}\mathcal{I})\) 是与 \(U \mapsto H^q(U_\proetale, \epsilon^{-1}\mathcal{I})\) 相关联的层，参见 “位点上的上同调”引理 072W。 由引理 099U，当 \(q > 0\) 且 \(U\) 为 \(X\) 上的仿射 étale 概形时，该值为零。由于 \(X_\etale\) 的每个对象都可由仿射对象覆盖，故当 \(q > 0\) 时，\(R^q\epsilon_*(\epsilon^{-1}\mathcal{I}) = 0\)。

设 \(K \in D^+(X_\etale)\)。选择一个表示 \(K\) 的、由 \(X_\etale\) 上内射阿贝尔层 组成的下有界复形 \(\mathcal{I}^\bullet\)。于是 \(\epsilon^{-1}K\) 由 \(\epsilon^{-1}\mathcal{I}^\bullet\) 表示。由 Leray 无环性引理（“衍生范畴”引理 015E）， \(R\epsilon_*\epsilon^{-1}K\) 由 \(\epsilon_*\epsilon^{-1}\mathcal{I}^\bullet\) 表示。由引理 099T，可得 \(R\epsilon_*\epsilon^{-1}\mathcal{I}^\bullet = \mathcal{I}^\bullet\)，从而 (2) 得证。(1) 是 (2) 的特殊情形。

引理

设 \(X\) 为概形。

1. 对 \(X_\etale\) 上的阿贝尔层 \(\mathcal{F}\)，有 \[H^i(X_\etale, \mathcal{F}) = H^i(X_\proetale, \epsilon^{-1}\mathcal{F})\] 对所有 \(i\) 均成立。

2. 对 \(K \in D^+(X_\etale)\)，有 \[R\Gamma(X_\etale, K) = R\Gamma(X_\proetale, \epsilon^{-1}K)\]

证明

这是引理 099V 与 Leray 谱序列（“位点上的上同调” 引理 0733）的直接推论。

引理

设 \(X\) 为概形。设 \(\mathcal{G}\) 为 \(X_\etale\) 上的（可能非交换）群层。则有 \[H^1(X_\etale, \mathcal{G}) = H^1(X_\proetale, \epsilon^{-1}\mathcal{G})\] 其中 \(H^1\) 定义为挠子的同构类所成的集合（参见“位点上的上同调”第 03AG 节）。

证明

由引理 099T，函子 \(\epsilon^{-1}\) 是全忠实的，故映射 \(H^1(X_\etale, \mathcal{G}) \to H^1(X_\proetale, \epsilon^{-1}\mathcal{G})\) 显然是单射。为证明满射性，只需证明任意 \(\epsilon^{-1}\mathcal{G}\)-挠子 \(\mathcal{F}\) 都是 étale 局部平凡的。为此可以假设 \(X\) 为仿射概形。因此， 我们归约为对仿射概形 \(X\) 证明满射性。

选择一个覆盖 \(\{U \to X\}\)，使得 (a) \(U\) 为仿射概形，(b) \(\mathcal{O}(X) \to \mathcal{O}(U)\) 为 ind-étale，并且 (c) \(\mathcal{F}(U)\) 非空。由命题 097Z，以及 \(X\) 的标准 pro-étale 覆盖在 \(X\) 的所有 pro-étale 覆盖中共尾这一事实（引理 098D），可以作出这种选择。将 \(U = \lim U_i\) 写成 \(X\) 上仿射 étale 概形的极限。选取 \(s \in \mathcal{F}(U)\)。令 \(g \in \epsilon^{-1}\mathcal{G}(U \times_X U)\) 为满足 \(g \cdot \text{pr}_1^*s = \text{pr}_2^*s\) 在 \(\mathcal{F}(U \times_X U)\) 中成立的唯一截面。于是 \(g\) 满足余循环条件 \[\text{pr}_{12}^*g \cdot \text{pr}_{23}^*g = \text{pr}_{13}^*g\] 于 \(\epsilon^{-1}\mathcal{G}(U \times_X U \times_X U)\) 中。由引理 099S，有 \[\epsilon^{-1}\mathcal{G}(U \times_X U) = \colim \mathcal{G}(U_i \times_X U_i)\] 以及 \[\epsilon^{-1}\mathcal{G}(U \times_X U \times_X U) = \colim \mathcal{G}(U_i \times_X U_i \times_X U_i)\] 因此可以找到一个 \(i\) 以及映到 \(g\) 且满足余循环条件的元素 \(g_i \in \mathcal{G}(U_i \times_X U_i)\)。于是余循环 \(g_i\) 定义了 \(X_\etale\) 上的一个 \(\mathcal{G}\)-挠子；按构造，其拉回与 \(\mathcal{F}\) 同构。这里略去了一些细节（即挠子与 1-余循环之间的关系；这一内容应当加入位点 上同调一章）。

引理

设 \(X\) 为概形，\(\Lambda\) 为环。

1. 全忠实函子 \(\epsilon^{-1} : \textit{Mod}(X_\etale, \Lambda) \to \textit{Mod}(X_\proetale, \Lambda)\) 的本质像是弱 Serre 子范畴 \(\mathcal{C}\)。

2. 函子 \(\epsilon^{-1}\) 定义了 \(D^+(X_\etale, \Lambda)\) 与 \(D^+_\mathcal{C}(X_\proetale, \Lambda)\) 之间的范畴等价，其拟逆由 \(R\epsilon_*\) 给出。

证明

为证明 (1)，我们将验证“同调”引理 0754 的条件 (1)–(4)。由于 \(\epsilon^{-1}\) 全忠实（引理 099T）且正合，除了条件 (4) 之外，其余条件均显然成立。然而，如果 \[0 \to \epsilon^{-1}\mathcal{F}_1 \to \mathcal{G} \to \epsilon^{-1}\mathcal{F}_2 \to 0\] 是 \(X_\proetale\) 上 \(\Lambda\)-模层的短正合列，则得到 \[0 \to \epsilon_*\epsilon^{-1}\mathcal{F}_1 \to \epsilon_*\mathcal{G} \to \epsilon_*\epsilon^{-1}\mathcal{F}_2 \to R^1\epsilon_*\epsilon^{-1}\mathcal{F}_1\] 由引理 099V，这等同于短正合列 \[0 \to \mathcal{F}_1 \to \epsilon_*\mathcal{G} \to \mathcal{F}_2 \to 0\] 将其拉回，可得 \(\mathcal{G} = \epsilon^{-1}\epsilon_*\mathcal{G}\)。这证明了 (1)。

(2) 由 (1) 以及“位点上的上同调”引理 0D7U 得出。

设 \(\Lambda\) 为环。在“位点上的模”第 093P 节中，我们已经定义了位点上局部常值 \(\Lambda\)-模层的概念。如果 \(M\) 是 \(\Lambda\)-模，则 \(\underline{M}\) 作为 \(\underline{\Lambda}\)-模层是有限表现的，当且仅当 \(M\) 是有限表现 \(\Lambda\)-模；参见“位点上的模”引理 093N。

引理

设 \(X\) 为概形，\(\Lambda\) 为环。函子 \(\epsilon^{-1}\) 定义了范畴等价 \[\left\{ \begin{matrix} \text{局部常值层}\\ \text{为 }\Lambda\text{-模层，定义于 }X_\etale\\ \text{且为有限表现} \end{matrix} \right\} \longleftrightarrow \left\{ \begin{matrix} \text{局部常值层}\\ \text{为 }\Lambda\text{-模层，定义于 }X_\proetale\\ \text{且为有限表现} \end{matrix} \right\}\]

证明

设 \(\mathcal{F}\) 为 \(X_\proetale\) 上有限表现的局部常值 \(\Lambda\)-模层。选择 pro-étale 覆盖 \(\{U_i \to X\}\)，使得 \(\mathcal{F}|_{U_i}\) 为常值层，即 \(\mathcal{F}|_{U_i} \cong \underline{M_i}_{U_i}\)。注意，如果 \(M_i\) 与 \(M_j\) 不同构，则 \(U_i \times_X U_j\) 为空。对每个 \(\Lambda\)-模 \(M\)，令 \(I_M = \{i \in I \mid M_i \cong M\}\)。由于 pro-étale 覆盖是 fpqc 覆盖， 并由“下降”引理 03N0，可知 \(U_M = \bigcup_{i \in I_M} \Im(U_i \to X)\) 是 \(X\) 的开子集。于是 \(X = \coprod U_M\) 是 \(X\) 的不交开覆盖。可以用某个 \(M\) 所对应的 \(U_M\) 替换 \(X\)，并假设对所有 \(i\) 都有 \(M_i = M\)。

考虑层 \(\mathcal{I} = \mathit{Isom}(\underline{M}, \mathcal{F})\)。该层是 \(\mathcal{G} = \mathit{Isom}(\underline{M}, \underline{M})\) 的挠子。由 “位点上的模”引理 093T，有 \(\mathcal{G} = \underline{G}\)，其中 \(G = \mathit{Isom}_\Lambda(M, M)\)。由引理 099X，étale 拓扑与 pro-étale 拓扑的挠子 相同，因此 \(\mathcal{I}\) 在 \(X\) 上 étale 局部地有截面。于是 \(\mathcal{F}\) 在 étale 局部为常值层，这正是所需结论。

引理

设 \(X\) 为概形，\(\Lambda\) 为 Noether 环。令 \(D_{flc}(X_\etale, \Lambda)\)（相应地， \(D_{flc}(X_\proetale, \Lambda)\)）为 \(D(X_\etale, \Lambda)\)（相应地， \(D(X_\proetale, \Lambda)\)）的全子范畴，其对象是上同调层均为有限型局部常值 \(\Lambda\)-模层的那些复形。则 \[\epsilon^{-1} : D_{flc}^+(X_\etale, \Lambda) \longrightarrow D_{flc}^+(X_\proetale, \Lambda)\] 是范畴等价。

证明

由“位点上的模”引理 093U 与“衍生范畴” 第 06UP 节，范畴 \(D_{flc}(X_\etale, \Lambda)\) 和 \(D_{flc}(X_\proetale, \Lambda)\) 分别是 \(D(X_\etale, \Lambda)\) 和 \(D(X_\proetale, \Lambda)\) 的严格全、饱和三角子范畴。 结合引理 09B1 与 099Y 即得本引理的断言。

引理

设 \(X\) 为概形，\(\Lambda\) 为 Noether 环。设 \(K\) 为 \(D(X_\proetale, \Lambda)\) 的对象。置 \(K_n = K \otimes_\Lambda^\mathbf{L} \underline{\Lambda/I^n}\)。如果 \(K_1\) 满足

1. 属于 \(\epsilon^{-1} :D(X_\etale, \Lambda/I) \to D(X_\proetale, \Lambda/I)\) 的本质像，并且

2. 对某个 \(a \in \mathbf{Z}\)，具有位于 \([a,\infty)\) 内的 Tor 振幅，

则作为 \(D(X_\proetale, \Lambda/I^n)\) 的对象，\(K_n\) 也满足 (1) 与 (2)。

证明

关于 \(K_n\) 的断言 (2) 由更一般的“位点上的上同调”引理 0942 得出。关于 \(K_n\) 的断言 (1) 则由下列 特异三角以及对 \(n\) 的归纳得出： \[K \otimes_\Lambda^\mathbf{L} \underline{I^n/I^{n + 1}} \to K_{n + 1} \to K_n \to K \otimes_\Lambda^\mathbf{L} \underline{I^n/I^{n + 1}}[1]\] 以及同构 \[K \otimes_\Lambda^\mathbf{L} \underline{I^n/I^{n + 1}} = K_1 \otimes_{\Lambda/I}^\mathbf{L} \underline{I^n/I^{n + 1}}\] 再结合引理 09B1 所证明的事实：\(\epsilon^{-1}\) 的本质像是 \(D^+(X_\proetale, \Lambda/I^n)\) 的三角子范畴。

例

设 \(X\) 为概形，\(A\) 为阿贝尔群。以 \(fun(-, A)\) 表示 \(X_\proetale\) 上将 \(U\) 映到所有映射 \(U \to A\)（点集之间的映射）所成集合的层。考虑 \(X_\proetale\) 上的层列 \[0 \to \underline{A} \to fun(-, A) \to \mathcal{F} \to 0\] 由于常值层是从终拓扑斯拉回的，可知 \(\underline{A} = \epsilon^{-1}\underline{A}\)。然而，如果 \(A\) 有多于一个元素， 则 \(fun(-, A)\) 与 \(\mathcal{F}\) 都不是从 \(X\) 的 étale 位点拉回的。为了在某些 情形下算出 \(\mathcal{F}\) 的值，假设 \(X\) 的所有点都是闭点且剩余域可分闭，并设 \(U\) 为仿射概形。于是 \(U\) 的所有点也都是闭点且剩余域可分闭，并且有 \[H^1_\proetale(U, \underline{A}) = H^1_\etale(U, \underline{A}) = 0\] 这是由引理 099W 与“Étale 上同调”引理 09AY 得出的。因此在此情形下有 \[\mathcal{F}(U) = fun(U, A)/\underline{A}(U)\]

常值 Noether 情形下的衍生完备化

我们继续“代数化与形式几何”第 0995 节中开始的讨论；假定读者至少已读过 该节的一部分。

设 \(\mathcal{C}\) 为位点，\(\Lambda\) 为 Noether 环，并设 \(I \subset \Lambda\) 为理想。回忆“位点上的模”引理 093M 告诉我们 \[\underline{\Lambda}^\wedge = \lim \underline{\Lambda/I^n}\] 是平坦 \(\underline{\Lambda}\)-代数，并且映射 \(\underline{\Lambda} \to \underline{\Lambda}^\wedge\) 识别模 \(I\) 的商。因此 “代数化与形式几何”引理 099I 告诉我们 \[D_{comp}(\mathcal{C}, \Lambda) = D_{comp}(\mathcal{C}, \underline{\Lambda}^\wedge)\] 特别地，\(D_{comp}(\mathcal{C}, \Lambda)\) 的对象 \(K\) 的上同调层 \(H^i(K)\) 是 \(\underline{\Lambda}^\wedge\)-模层。为使记号方便，我们通常使用 \(D_{comp}(\mathcal{C}, \Lambda)\)。

引理

设 \(\mathcal{C}\) 为位点，\(\Lambda\) 为 Noether 环，并设 \(I \subset \Lambda\) 为理想。“代数化与形式几何”命题 099F 中包含函子 \(D_{comp}(\mathcal{C}, \Lambda) \to D(\mathcal{C}, \Lambda)\) 的左伴随将 \(K\) 映到 \[K^\wedge = R\lim(K \otimes_\Lambda^\mathbf{L} \underline{\Lambda/I^n})\] 特别地，\(K\) 衍生完备，当且仅当 \(K = R\lim(K \otimes_\Lambda^\mathbf{L} \underline{\Lambda/I^n})\)。

证明

选择 \(I\) 的生成元 \(f_1, \ldots, f_r\)。由“代数化与形式几何” 引理 0A0E，有 \[K^\wedge = R\lim (K \otimes_\Lambda^\mathbf{L} \underline{K_n})\] 其中 \(K_n = K(\Lambda, f_1^n, \ldots, f_r^n)\)。在“代数补充”引理 0921 中，我们已经看到 \(D(\Lambda)\) 中的 pro-系统 \(\{K_n\}\) 与 \(\{\Lambda/I^n\}\) 同构。因此引理得证。

引理

设 \(\Lambda\) 为 Noether 环，\(I \subset \Lambda\) 为理想，并设 \(f : \Sh(\mathcal{D}) \to \Sh(\mathcal{C})\) 为拓扑斯态射。则

1. \(Rf_*\) 将 \(D_{comp}(\mathcal{D}, \Lambda)\) 映入 \(D_{comp}(\mathcal{C}, \Lambda)\)；

2. 映射 \(Rf_* : D_{comp}(\mathcal{D}, \Lambda) \to D_{comp}(\mathcal{C}, \Lambda)\) 有左伴随 \(Lf_{comp}^* : D_{comp}(\mathcal{C}, \Lambda) \to D_{comp}(\mathcal{D}, \Lambda)\)，该左伴随由 \(Lf^*\) 后接衍生完备化给出；

3. \(Rf_*\) 与衍生完备化可交换；

4. 对 \(D_{comp}(\mathcal{D}, \Lambda)\) 中的 \(K\)，有 \(Rf_*K = R\lim Rf_*(K \otimes^\mathbf{L}_\Lambda \underline{\Lambda/I^n})\).

5. 对 \(D_{comp}(\mathcal{C}, \Lambda)\) 中的 \(M\)，有 \(Lf^*_{comp}M = R\lim Lf^*(M \otimes^\mathbf{L}_\Lambda \underline{\Lambda/I^n})\).

证明

我们已经在“代数化与形式几何”引理 099K 中看到了 (1) 与 (2)。 (3) 由“代数化与形式几何”引理 0A0G 得出。为证明 (4)，设 \(K\) 衍生完备。则 \[Rf_*K = Rf_*( R\lim K \otimes^\mathbf{L}_\Lambda \underline{\Lambda/I^n}) = R\lim Rf_*(K \otimes^\mathbf{L}_\Lambda \underline{\Lambda/I^n})\] 第一个等号由引理 099M 得出，第二个等号则因为 \(Rf_*\) 与 \(R\lim\) 可交换（“位点上的上同调”引理 0A07）。这证明了 (4)。为证明 (5)， 由引理 099M，有 \[Lf_{comp}^*M = R\lim ( Lf^*M \otimes_\Lambda^\mathbf{L} \underline{\Lambda/I^n})\] 由“位点上的上同调”引理 07A4，\(Lf^*\) 与衍生张量积可交换； 又因为 \(Lf^*\underline{\Lambda/I^n} = \underline{\Lambda/I^n}\)，故得到 (5)。

衍生完备化与弱可缩对象

我们继续第 099L 节的讨论。本节将说明弱可缩 对象的存在如何简化对衍生完备模的研究。

设 \(\mathcal{C}\) 为位点，\(\Lambda\) 为 Noether 环，并设 \(I \subset \Lambda\) 为理想。尽管关于 \(D_{comp}(\mathcal{C}, \Lambda)\) 的一般理论相当完善，显式给出 衍生完备复形的例子却很困难。我们知道

1. \(D(\mathcal{C}, \Lambda/I^n)\) 的每个对象 \(M\) 限制为 \(D(\mathcal{C}, \Lambda)\) 的一个衍生完备对象；并且

2. 对每个 \(K \in D(\mathcal{C}, \Lambda)\)，衍生完备化 \(K^\wedge = R\lim (K \otimes_\Lambda^\mathbf{L} \underline{\Lambda/I^n})\) 是衍生完备的。

第一类对象平凡地完备，或许并不有趣。(2) 的问题在于，一般的衍生完备化颇为 神秘，即使在 \(K = \underline{\Lambda}\) 的情形也是如此。具体而言，由同伦极限的 定义，在 \(D(\mathcal{C}, \Lambda)\) 中有特异三角 \[R\lim(\underline{\Lambda/I^n}) \to \prod \underline{\Lambda/I^n} \to \prod \underline{\Lambda/I^n} \to R\lim(\underline{\Lambda/I^n})[1]\] 其中乘积取在 \(D(\mathcal{C}, \Lambda)\) 中。这些乘积通过取内射分解的乘积来计算 （“内射对象”引理 07D9），所以可知层 \(H^p(\prod \underline{\Lambda/I^n})\) 是下列预层的层化： \[U \longmapsto \prod H^p(U, \Lambda/I^n).\] 作为一个显式例子，如果 \(X = \Spec(\mathbf{C}[t, t^{-1}])\)、 \(\mathcal{C} = X_\etale\)、\(\Lambda = \mathbf{Z}\)、\(I = (2)\) 且 \(p = 1\)， 那么得到下列预层的层化： \[U \mapsto \prod H^1(U_\etale, \mathbf{Z}/2^n\mathbf{Z})\] 这里 \(U\) 为 \(X\) 上的 étale 概形。注意， \(H^1(X_\etale, \mathbf{Z}/m\mathbf{Z})\) 是阶为 \(m\) 的循环群，其生成元 \(\alpha_m\) 由方程 \(t = s^m\) 所给的有限 étale \(\mathbf{Z}/m\mathbf{Z}\)-覆盖给出（参见“Étale 上同调”第 03N8 节）。于是上述预层的截面 \[\alpha = (\alpha_{2^n}) \in \prod H^1(X_\etale, \mathbf{Z}/2^n\mathbf{Z})\] 在 \(X\) 上任何非空 étale 概形上的限制都不为零，因而与该预层相关联的层不为零。

然而，在 pro-étale 位点上不会发生这种现象。原因是我们有足够多的（拟紧）弱可缩 对象。在下面的命题中，我们汇集关于常值 Noether 情形下衍生完备化的一些结果； 这些结果适用于具有足够多弱可缩对象的位点（参见“位点”定义 090L）。

命题

设 \(\mathcal{C}\) 为位点，并假设 \(\mathcal{C}\) 有足够多的弱可缩对象。设 \(\Lambda\) 为 Noether 环，\(I \subset \Lambda\) 为理想。

1. 衍生完备 \(\Lambda\)-模层所成的范畴是 \(\textit{Mod}(\mathcal{C}, \Lambda)\) 的弱 Serre 子范畴。

2. \(\Lambda\)-模层 \(\mathcal{F}\) 满足 \(\mathcal{F} = \lim \mathcal{F}/I^n\mathcal{F}\)，当且仅当 \(\mathcal{F}\) 衍生完备且 \(\bigcap I^n\mathcal{F} = 0\)。

3. 层 \(\underline{\Lambda}^\wedge\) 是衍生完备的。

4. 如果 \(\ldots \to \mathcal{F}_3 \to \mathcal{F}_2 \to \mathcal{F}_1\) 是衍生完备 \(\Lambda\)-模层的逆系统，则 \(\lim \mathcal{F}_n\) 衍生完备。

5. 对象 \(K \in D(\mathcal{C}, \Lambda)\) 衍生完备，当且仅当其每个上同调层 \(H^p(K)\) 都衍生完备。

6. 对象 \(K \in D_{comp}(\mathcal{C}, \Lambda)\) 上有界，当且仅当 \(K \otimes_\Lambda^\mathbf{L} \underline{\Lambda/I}\) 上有界。

7. 如果 \(K \otimes_\Lambda^\mathbf{L} \underline{\Lambda/I}\) 具有有限 Tor 维数，则对象 \(K \in D_{comp}(\mathcal{C}, \Lambda)\) 有界。

证明

取子集 \(\mathcal{B} \subset \Ob(\mathcal{C})\)，使得每个 \(U \in \mathcal{B}\) 均弱可缩，并且 \(\mathcal{C}\) 的每个对象都有一个由 \(\mathcal{B}\) 中元素组成的 覆盖。下文将不加说明地使用“位点上的上同调”引理 0946 与命题 0947 的结果。

回忆 \(R\lim\) 与 \(R\Gamma(U, -)\) 可交换，参见“内射对象”引理 08U1。设 \(f \in I\)。回忆 \(T(K, f)\) 是系统 \[\ldots \xrightarrow{f} K \xrightarrow{f} K \xrightarrow{f} K\] 在 \(D(\mathcal{C}, \Lambda)\) 中的同伦极限。因此 \[R\Gamma(U, T(K, f)) = T(R\Gamma(U, K), f).\] 由于可以通过在 \(U \in \mathcal{B}\) 上取值来检验 \(D(\mathcal{C}, \Lambda)\) 中对象之间的映射是否为同构，故可断定：\(D(\mathcal{C}, \Lambda)\) 的对象 \(K\) 衍生完备，当且仅当对每个 \(U \in \mathcal{B}\)，对象 \(R\Gamma(U, K)\) 作为 \(D(\Lambda)\) 的对象衍生完备。

上述注记表明，(1) 与 (5) 由环上模的相应结果得出，参见“代数补充” 引理 091P 与 091U。同理，(2) 可由“代数补充”命题 091T 得出，因为对 \(U \in \mathcal{B}\) 有 \((I^n\mathcal{F})(U) = I^n \cdot \mathcal{F}(U)\) （这是因为在 \(U\) 上取值是正合的）。

证明 (4)。同伦极限 \(R\lim \mathcal{F}_n\) 属于 \(D_{comp}(X, \Lambda)\)（参见 “代数化与形式几何”定义 0999 后的讨论）。由刚刚证明的 (5)， 可得 \(\lim \mathcal{F}_n = H^0(R\lim \mathcal{F}_n)\) 是衍生完备的。(3) 是 (4) 的特殊情形。

证明 (6) 与 (7)。结论由引理 099M、“位点上的上同调” 引理 0942，以及“位点上的上同调”命题 0947 中对同伦极限的计算得出。

一点的上同调

设 \(\Lambda\) 为关于理想 \(I \subset \Lambda\) 完备的 Noether 环，并设 \(k\) 为域。 本节中我们“计算” \[H^i(\Spec(k)_\proetale, \underline{\Lambda}^\wedge)\] 其中仍如前面一样，\(\underline{\Lambda}^\wedge = \lim_m \underline{\Lambda/I^m}\)。设 \(k^{sep}\) 为 \(k\) 的一个可分代数闭包。则 \[\mathcal{U} = \{\Spec(k^{sep}) \to \Spec(k)\}\] 是 \(\Spec(k)\) 的 pro-étale 覆盖。我们将对该覆盖使用从 Čech 到上同调的 谱序列。置 \(U_0 = \Spec(k^{sep})\)，并令 \[\begin{align*} U_n & = \Spec(k^{sep}) \times_{\Spec(k)} \Spec(k^{sep}) \times_{\Spec(k)} \ldots \times_{\Spec(k)} \Spec(k^{sep}) \\ & = \Spec(k^{sep} \otimes_k k^{sep} \otimes_k \ldots \otimes_k k^{sep}) \end{align*}\] （共有 \(n + 1\) 个因子）。注意，\(U_0\) 的底拓扑空间 \(|U_0|\) 是单点集，并且当 \(n \geq 1\) 时有 \[|U_n| = G \times \ldots \times G\quad (n\text{ 个因子})\] 作为预有限空间，其中 \(G = \text{Gal}(k^{sep}/k)\)。具体而言，\(U_n\) 的每个点 都有剩余域 \(k^{sep}\)，并把 \((\sigma_1, \ldots, \sigma_n)\) 与下列满射所对应的点 等同： \[k^{sep} \otimes_k k^{sep} \otimes_k \ldots \otimes_k k^{sep} \longrightarrow k^{sep}, \quad \lambda_0 \otimes \lambda_1 \otimes \ldots \lambda_n \longmapsto \lambda_0 \sigma_1(\lambda_1) \ldots \sigma_n(\lambda_n)\] 于是可计算得 \[\begin{align*} R\Gamma((U_n)_\proetale, \underline{\Lambda}^\wedge) & = R\lim_m R\Gamma((U_n)_\proetale, \underline{\Lambda/I^m}) \\ & = R\lim_m R\Gamma((U_n)_\etale, \underline{\Lambda/I^m}) \\ & = \lim_m H^0(U_n, \underline{\Lambda/I^m}) \\ & = \text{Maps}_{cont}(G \times \ldots \times G, \Lambda) \end{align*}\] 第一个等号成立，是因为 \(R\Gamma\) 与衍生极限可交换，并且由命题 099Q，\(\Lambda^\wedge\) 是各层 \(\underline{\Lambda/I^m}\) 的衍生极限。第二个等号由引理 099W 得出。第三个等号由“Étale 上同调”引理 09AY 得出。第四个等号利用 “Étale 上同调”注记 03P5 识别常值层 \(\underline{\Lambda/I^m}\) 的截面。接着利用 \(\Lambda\) 关于 \(I\) 完备，因而作为 拓扑空间等于 \(\lim_m \Lambda/I^m\) 这一事实，得到 \(\lim_m \text{Map}_{cont}(G, \Lambda/I^m) = \text{Map}_{cont}(G, \Lambda)\)； 对 \(G\) 的更高次幂也同样成立。此时“位点上的上同调”引理 03AX 与 03F7 告诉我们， \[\Lambda \to \text{Maps}_{cont}(G, \Lambda) \to \text{Maps}_{cont}(G \times G, \Lambda) \to \ldots\] 该复形计算 pro-étale 上同调。换言之，可知 \[H^i(\Spec(k)_\proetale, \underline{\Lambda}^\wedge) = H^i_{cont}(G, \Lambda)\] 其中右端是 Tate 连续上同调，参见“Étale 上同调”第 0DVG 节。当然，结果理应如此。

引理

设 \(k\) 为域，并设 \(G = \text{Gal}(k^{sep}/k)\) 为其绝对 Galois 群。此外，

1. 设 \(M\) 为带连续 \(G\)-作用的预有限阿贝尔群；或者

2. 设 \(\Lambda\) 为 Noether 环、\(I \subset \Lambda\) 为理想，并设 \(M\) 为带连续 \(G\)-作用的 \(I\)-进完备 \(\Lambda\)-模。

则在 \(\Spec(k)_\proetale\) 上有一个与 \(M\) 相关联的典范层 \(\underline{M}^\wedge\)，使得 \[H^i(\Spec(k), \underline{M}^\wedge) = H^i_{cont}(G, M)\] 等式作为阿贝尔群或 \(\Lambda\)-模成立。

证明

证明情形 (2)。置 \(M_n = M/I^nM\)。由于假设 \(M\) 是 \(I\)-进完备的，故 \(M = \lim M_n\)。由于 \(G\) 的作用连续，我们在 \(M_n\) 上得到 \(G\) 的连续作用。 由“Étale 上同调”定理 03QT，该作用对应于 \(\Spec(k)_\etale\) 上的一个（局部常值）\(\Lambda/I^n\)-模层 \(\underline{M_n}\)。通过比较态射 \(\epsilon\) 将其拉回到 \(\Spec(k)_\proetale\)，并取极限 \[\underline{M}^\wedge = \lim \epsilon^{-1}\underline{M_n}\] 便得到引理中所述的层。与本节开头完全相同的论证给出它与 Tate 连续 Galois 上同调的比较。

pro-étale 位点的函子性

设 \(f : X \to Y\) 为概形态射。函子 \(Y_\proetale \to X_\proetale\)， \(V \mapsto X \times_Y V\)，诱导位点态射 \(f_\proetale : X_\proetale \to Y_\proetale\)；参见“位点”命题 00X6。事实上，我们得到位点态射的交换图 \[\xymatrix{ X_\proetale \ar[r]_\epsilon \ar[d]_{f_\proetale} & X_\etale \ar[d]^{f_\etale} \\ Y_\proetale \ar[r]^\epsilon & Y_\etale }\] 其中 \(\epsilon\) 如第 099R 节所定义。特别地，有 \(\epsilon^{-1} f_\etale^{-1} = f_\proetale^{-1} \epsilon^{-1}\)。关于直像有如下 相应结果。

引理

设 \(f : X \to Y\) 为拟紧拟分离的概形态射。

1. 设 \(\mathcal{F}\) 为 \(X_\etale\) 上的集合层。则有 \(f_{\proetale, *}\epsilon^{-1}\mathcal{F} = \epsilon^{-1}f_{\etale, *}\mathcal{F}\).

2. 设 \(\mathcal{F}\) 为 \(X_\etale\) 上的阿贝尔层。则有 \(Rf_{\proetale, *}\epsilon^{-1}\mathcal{F} = \epsilon^{-1}Rf_{\etale, *}\mathcal{F}\).

证明

证明 (1)。设 \(\mathcal{F}\) 为 \(X_\etale\) 上的集合层。存在典范映射 \(\epsilon^{-1}f_{\etale, *}\mathcal{F} \to f_{\proetale, *}\epsilon^{-1}\mathcal{F}\)，参见“位点”第 06UM 节。为证明它是同构，可以在 \(Y\) 上（Zariski） 局部地工作，因而可假设 \(Y\) 为仿射概形。此时，\(Y_\proetale\) 的每个对象都有一个 由形如 \(V = \lim V_i\) 的对象组成的覆盖，其中各 \(V_i\) 是 \(Y\) 上的仿射 étale 概形（例如由命题 097Z 可知）。将映射 \(\epsilon^{-1}f_{\etale, *}\mathcal{F} \to f_{\proetale, *}\epsilon^{-1}\mathcal{F}\) 在 \(V\) 上取值，得到映射 \[\colim \Gamma(X \times_Y V_i, \mathcal{F}) \longrightarrow \Gamma(X \times_Y V, \epsilon^*\mathcal{F})\] 左端参见引理 099S。由引理 0GLZ，有 \[\Gamma(X \times_Y V, \epsilon^*\mathcal{F}) = \Gamma(X \times_Y V, g_\etale^{-1}\mathcal{F})\] 其中 \(g : X \times_Y V \to X\) 是投影。因此结论由“Étale 上同调”引理 03Q6 得出。

证明 (2)。与上面完全相同的论证表明，只需证明映射 \[\colim H^i_\etale(X \times_Y V_i, \mathcal{F}) \longrightarrow H^i_\etale(X \times_Y V, \mathcal{F})\] 是同构；这再次由“Étale 上同调”引理 03Q6 得出。

有限态射与 pro-étale 位点

概形的有限态射是否在 pro-étale 阿贝尔层上确定正合直像并不明显。

引理

设 \(f : Z \to X\) 为局部有限表现的有限概形态射。则 \(f_{\proetale, *} : \textit{Ab}(Z_\proetale) \to \textit{Ab}(X_\proetale)\) 是正合的。

证明

为证明这一点，可以在 \(X\) 上（Zariski）局部地工作，并假设 \(X\) 为仿射概形， 记作 \(X = \Spec(A)\)。于是对某个有限表现的有限 \(A\)-代数 \(B\)，有 \(Z = \Spec(B)\)。命题 0983 的证明中的构造给出 忠实平坦的 ind-étale 环映射 \(A \to D\)，其中 \(D\) 是 w-可缩的。可以通过在这样 的对象 \(U = \Spec(D)\) 上取值来检验层列的正合性。此时， \(f_{\proetale, *}\mathcal{F}\) 在 \(U\) 上的值等于 \(\mathcal{F}\) 在 \(V = \Spec(D \otimes_A B)\) 上的值。由引理 0986，\(D \otimes_A B\) 是 w-可缩的，故在 \(V\) 上取值是正合的。

闭浸入与 pro-étale 位点

概形的闭浸入是否在 pro-étale 阿贝尔层上确定正合直像并不明显（而且很可能不 成立）。

引理

设 \(i : Z \to X\) 为仿射概形之间的闭浸入态射。以 \(X_{app}\) 和 \(Z_{app}\) 表示引理 098X 中引入的位点。基变换函子 \[u : X_{app} \to Z_{app},\quad U \longmapsto u(U) = U \times_X Z\] 是连续的，并有一个全忠实左伴随 \(v\)。对 \(Z_{app}\) 中的 \(V\)，态射 \(V \to v(V)\) 是闭浸入，它将 \(V\) 与 \(u(v(V)) = v(V) \times_X Z\) 等同，并且 \(v(V)\) 的每个点都特殊化到 \(V\) 中的一个点。函子 \(v\) 余连续，并将覆盖映到覆盖。

证明

该伴随的存在性立即由引理 097P 及各定义得出。由 \(X_{app}\) 中覆盖的定义，\(u\) 显然是连续的。

写成 \(X = \Spec(A)\) 与 \(Z = \Spec(A/I)\)。设 \(V = \Spec(\overline{C})\) 为 \(Z_{app}\) 的对象，并令 \(v(V) = \Spec(C)\)。我们已在引理 097P 的陈述中看到，\(V\) 等于 \(v(V) \times_X Z = \Spec(C/IC)\)。任意 \(g \in C\)，若其在 \(C/IC = \overline{C}\) 中的像可逆，则它在 \(C\) 中可逆。事实上，我们有 \(A\)-代数映射 \(C \to C_g \to C/IC\)，并由伴随性得到 \(C\)-代数映射 \(C_g \to C\)。因此 \(v(V)\) 的每个点都特殊化到 \(V\) 中的一个点。

设 \(\{V_i \to V\}\) 是 \(Z_{app}\) 中的覆盖。于是 \(\{v(V_i) \to v(V)\}\) 是 \(Z_{app}\) 中的有限态射族，并且 \(V \subset v(V)\) 的每个点都属于某个映射 \(v(V_i) \to v(V)\) 的像。由于各态射 \(v(V_i) \to v(V)\) 平坦（因为它们是弱 étale 的），可断定 \(\{v(V_i) \to v(V)\}\) 联合满射。这证明了 \(v\) 将覆盖映到覆盖。

设 \(V\) 为 \(Z_{app}\) 的对象，并设 \(\{U_i \to v(V)\}\) 是 \(X_{app}\) 中的覆盖。 于是 \(\{u(U_i) \to u(v(V)) = V\}\) 是 \(Z_{app}\) 的覆盖。由伴随性，得到态射 \(v(u(U_i)) \to U_i\)。因此族 \(\{v(u(U_i)) \to v(V)\}\) 加细给定覆盖，从而可知 \(v\) 是余连续的。

引理

设 \(Z \to X\) 为仿射概形之间的闭浸入态射。相应的拓扑斯态射 \(i = i_\proetale\) 等于与引理 09BK 中全忠实余连续 函子 \(v : Z_{app} \to X_{app}\) 相关联的拓扑斯态射。因此

1. \(i^{-1}\mathcal{F}\) 是与预层 \(V \mapsto \mathcal{F}(v(V))\) 相关联的层；

2. 对 \(Z_{app}\) 的弱可缩对象 \(V\)，有 \(i^{-1}\mathcal{F}(V) = \mathcal{F}(v(V))\)；

3. \(i^{-1} : \Sh(X_\proetale) \to \Sh(Z_\proetale)\) 有左伴随 \(i^{Sh}_!\)；

4. \(i^{-1} : \textit{Ab}(X_\proetale) \to \textit{Ab}(Z_\proetale)\) 有左伴随 \(i_!\)；

5. \(\text{id} \to i^{-1}i^{Sh}_!\)、\(\text{id} \to i^{-1}i_!\) 与 \(i^{-1}i_* \to \text{id}\) 都是同构；并且

6. \(i_*\)、\(i^{Sh}_!\) 与 \(i_!\) 都是全忠实的。

证明

由引理 098X，可以用位点态射 \(u : X_{app} \to Z_{app}\)，\(V \mapsto V \times_X Z\) 来描述 \(i_\proetale\)。 引理的第一个陈述由“位点”引理 00XX 与 00XY 得出（但要交换 \(u\) 与 \(v\) 的角色）。

证明 (1)。由 \(i\) 作为与 \(v\) 相关联之拓扑斯态射的描述，该结论按构造成立；参见 “位点”引理 00XO。

证明 (2)。由引理 09BK，函子 \(v\) 将覆盖映到覆盖， 所以预层 \(\mathcal{G} : V \mapsto \mathcal{F}(v(V))\) 是分离预层（“位点”定义 00WA）。因此 \(\mathcal{G}\) 的层化是 \(\mathcal{G}^+\)，参见“位点”定理 00WB。接着，设 \(V\) 为 \(Z_{app}\) 的弱可缩对象。设 \(\mathcal{V} = \{V_i \to V\}_{i = 1, \ldots, n}\) 是 \(Z_{app}\) 中任意覆盖，并置 \(\mathcal{V}' = \{\coprod V_i \to V\}\)。由于 \(v\) 与有限不交并可交换（因为它是 左伴随，或直接由构造可知），而 \(\mathcal{F}\) 将有限不交并映到乘积，所以 \[H^0(\mathcal{V}, \mathcal{G}) = H^0(\mathcal{V}', \mathcal{G})\] （记号同“位点”第 00W1 节；另与“Étale 上同调” 引理 03OZ 比较）。因此可假设 覆盖由单个态射给出，即 \(\{V' \to V\}\)。由于 \(V\) 弱可缩，该覆盖可由平凡覆盖 \(\{V \to V\}\) 加细。因此 \(\mathcal{G}^+ = i^{-1}\mathcal{F}\) 在 \(V\) 上的值 就是 \(\mathcal{F}(v(V))\)，从而 (2) 得证。

证明 (3)。\(Z_{app}\) 的每个对象都有弱可缩对象组成的覆盖（引理 0990）。由上可知，如果 \(i^{Sh}_!\) 存在， 那么对弱可缩的 \(V\) 应有 \(i^{Sh}_!h_V = h_{v(V)}\)。于是 \(i^{Sh}_!\) 的存在性由 “位点”引理 09YX 得出。

证明 (4)。同样地，对 \(Z_{app}\) 中弱可缩的 \(V\)，置 \(i_!\mathbf{Z}_V = \mathbf{Z}_{v(V)}\)，对直和作类似处理，再应用“同调” 引理 0793，即得 \(i_!\) 的存在性。细节从略。

证明 (5)。设 \(V\) 为 \(Z_{app}\) 的可缩对象。则 \(i^{-1}i^{Sh}_!h_V = i^{-1}h_{v(V)} = h_{u(v(V))} = h_V\)。（一般而言， \(i^{-1}h_U = h_{u(U)}\)。）由于可缩的 \(V\) 所对应的层 \(h_V\) 生成 \(\Sh(Z_{app})\)（“位点”引理 00WS），可得 \(\text{id} \to i^{-1}i^{Sh}_!\) 是同构。对映射 \(\text{id} \to i^{-1}i_!\) 亦同。然后 \((i^{-1}i_*\mathcal{H})(V) = i_*\mathcal{H}(v(V)) = \mathcal{H}(u(v(V))) = \mathcal{H}(V)\)，由此可知 \(i^{-1}i_* \to \text{id}\) 是同构。

现在 (6) 中的全忠实性断言由“范畴”引理 07RB 得出。

引理

设 \(i : Z \to X\) 为概形的闭浸入。则

1. \(i_\proetale^{-1}\) 与极限可交换；

2. \(i_{\proetale, *}\) 是全忠实的；并且

3. \(i_\proetale^{-1}i_{\proetale, *} \cong \text{id}_{\Sh(Z_\proetale)}\).

证明

由“位点”引理 04D6，断言 (2) 与 (3) 等价。 (1) 与 (3) 在 \(X\) 上是（Zariski）局部的，因此可假设 \(X\) 为仿射概形。在此 情形，结论由引理 09BL 得出。

引理

设 \(i : Z \to X\) 为整、泛单射且满射的概形态射。则 \(i_{\proetale, *}\) 与 \(i_\proetale^{-1}\) 是 pro-étale 拓扑斯范畴之间互为拟逆的等价。

证明

立即归约到 \(X\) 为仿射概形的情形。此时 \(Z\) 也为仿射概形。置 \(A = \mathcal{O}(X)\) 与 \(B = \mathcal{O}(Z)\)。于是 \(A\) 上与 \(B\) 上的 étale 代数范畴等价，参见“Étale 上同调”定理 04DZ 及注记 05YX。因此 \(A\) 上与 \(B\) 上的 ind-étale 代数范畴等价。换言之，引理 098X 中的范畴 \(X_{app}\) 与 \(Z_{app}\) 等价。我们略去该等价双向地将覆盖映到覆盖的验证。现在由 引理 098X 所述 pro-étale 拓扑斯是 \(X_{app}\) 上层的 拓扑斯，即得结论。

引理

设 \(i : Z \to X\) 为概形的闭浸入。设 \(U \to X\) 为 \(X_\proetale\) 的对象，并且

1. \(U\) 是仿射且弱可缩的；并且

2. \(U\) 的每个点都特殊化到 \(U \times_X Z\) 中的一个点。

则对 \(X_\proetale\) 上所有阿贝尔层，均有 \(i_\proetale^{-1}\mathcal{F}(U \times_X Z) = \mathcal{F}(U)\)。

证明

由于拉回与限制可交换，可以用 \(U\) 替换 \(X\)。因此可假设 \(X\) 仿射且弱可缩， 并且 \(X\) 的每个点都特殊化到 \(Z\) 中的一个点。由引理 09BL 的 (1)，只需在此情形证明 \(v(Z) = X\)。所以我们必须证明：若 \(A\) 是 w-可缩环，\(I \subset A\) 是含于 \(A\) 之 Jacobson 根中的理想，并且 \(A \to B \to A/I\) 是一个分解，其中 \(A \to B\) 为 ind-étale，则存在唯一的收缩 \(B \to A\)，与到 \(A/I\) 的映射相容。 注意，作为 \(A/I\)-代数，有 \(B/IB = A/I \times R\)。对 \(B\) 作局部化替换后， 可以假设 \(B/IB = A/I\)。注意 \(\Spec(B) \to \Spec(A)\) 是满射，因为其像 含有 \(V(I)\)，从而含有所有闭点，并且在特殊化下封闭。由于 \(A\) 是 w-可缩的，存在 收缩 \(B \to A\)。由于 \(B/IB = A/I\)，该收缩与到 \(A/I\) 的映射相容。唯一性的证明 从略（提示：利用 \(A\) 与 \(B\) 在 \(A\) 的极大理想处有同构的局部环）。

引理

设 \(i : Z \to X\) 为概形的闭浸入。如果 \(X \setminus i(Z)\) 是 \(X\) 的逆紧开子集， 则 \(i_{\proetale, *}\) 是正合的。

证明

该问题在 \(X\) 上是局部的，因此可假设 \(X\) 为仿射概形。记 \(X = \Spec(A)\) 与 \(Z = \Spec(A/I)\)。存在 \(f_1, \ldots, f_r \in I\)，使得在 集合论意义下 \(Z = V(f_1, \ldots, f_r)\)，参见“代数”引理 00F6。由引理 09AB，可以假设 \(Z = \Spec(A/(f_1, \ldots, f_r))\)。在此情形，由引理 09A8，函子 \(i_{\proetale, *}\) 是正合的。

零延拓

“位点上的模”第 03DH 节中的一般材料使我们可以 作如下定义。

定义

设 \(j : U \to X\) 为概形的弱 étale 态射。

1. 限制函子 \(j^{-1} : \Sh(X_\proetale) \to \Sh(U_\proetale)\) 有左伴随 \(j_!^{Sh} : \Sh(X_\proetale) \to \Sh(U_\proetale)\).

2. 限制函子 \(j^{-1} : \textit{Ab}(X_\proetale) \to \textit{Ab}(U_\proetale)\) 有一个记作 \(j_! : \textit{Ab}(U_\proetale) \to \textit{Ab}(X_\proetale)\) 的左伴随，称为零延拓。

3. 设 \(\Lambda\) 为环。函子 \(j^{-1} : \textit{Mod}(X_\proetale, \Lambda) \to \textit{Mod}(U_\proetale, \Lambda)\) 有左伴随 \(j_! : \textit{Mod}(U_\proetale, \Lambda) \to \textit{Mod}(X_\proetale, \Lambda)\) ，称为零延拓。

照例，将其与 étale 情形进行比较。

引理

设 \(j : U \to X\) 为概形的 étale 态射，\(\mathcal{G}\) 为 \(U_\etale\) 上的阿贝尔 层。则作为 \(X_\proetale\) 上的层，有 \(\epsilon^{-1} j_!\mathcal{G} = j_!\epsilon^{-1}\mathcal{G}\)。

证明

这是因为两个函子都是 \(j_\proetale^{-1} \epsilon_* = \epsilon_* j_\etale^{-1}\) 的左伴随。该等式由第 09A5 节中的讨论 成立。

引理

设 \(j : U \to X\) 为概形的弱 étale 态射，并设 \(i : Z \to X\) 为满足 \(U \times_X Z = \emptyset\) 的闭浸入。设 \(V \to X\) 为 \(X_\proetale\) 的仿射对象， 使得 \(V\) 的每个点都特殊化到 \(V_Z = Z \times_X V\) 中的一个点。则对 \(U_\proetale\) 上所有阿贝尔层，均有 \(j_!\mathcal{F}(V) = 0\)。

证明

设 \(\{V_i \to V\}\) 为 pro-étale 覆盖。若能将该覆盖加细为一个覆盖，使其中各 成员都没有到 \(U\) 的 \(X\)-态射，则引理得证（参见“位点上的模”第 03DH 节中 \(j_!\) 的构造）。先加细该覆盖，得到 \(V_i\) 均为仿射概形的有限覆盖。对每个 \(i\)，令 \(V_i = \Spec(A_i)\)，并令 \(Z_i \subset V_i\) 为 \(Z\) 的逆像。沿用引理 096V 中的记号，置 \(W_i = \Spec(A_{i, Z_i}^\sim)\)。于是 \(\coprod W_i \to V\) 是弱 étale 态射， 且其像包含 \(V_Z\) 的所有点。由我们关于特殊化的假设，该像因而包含 \(V\) 的所有 点。所以 \(\{W_i \to V\}\) 是给定覆盖的一个 pro-étale 加细。但是 \(W_i\) 中的 每个点都特殊化到位于 \(Z\) 上方的一个点，故不存在 \(X\) 上的态射 \(W_i \to U\)。

引理

设 \(j : U \to X\) 为概形的开浸入。则 \(\text{id} \cong j^{-1}j_!\) 与 \(j^{-1}j_* \cong \text{id}\)，并且函子 \(j_!\) 和 \(j_*\) 都是全忠实的。

证明

参见“位点上的模”引理 0F6Z（集合层的情形 参见“位点”引理 00Y2），以及“范畴”引理 07RB。

下面说明零延拓与到补闭子概形的限制之间的关系。

引理

设 \(X\) 为概形，\(Z \subset X\) 为闭子概形，并令 \(U \subset X\) 为其补集。以 \(i : Z \to X\) 与 \(j : U \to X\) 表示包含态射。假设 \(j\) 是拟紧态射。对 \(X_\proetale\) 上每个阿贝尔层，都有典范短正合列 \[0 \to j_!j^{-1}\mathcal{F} \to \mathcal{F} \to i_*i^{-1}\mathcal{F} \to 0\] 于 \(X_\proetale\) 上，其中所有函子均针对 pro-étale 拓扑。

证明

由所涉及函子的伴随性质得到这些映射。只需证明 \(X_\proetale\) 有足够多的对象 （“位点”定义 090L），使得该序列在这些对象上 取值得到短正合列。设 \(V = \Spec(A)\) 为 \(X_\proetale\) 的仿射对象，并且 \(A\) 是 w-可缩的（这类对象足够多）。于是 \(V \times_X Z\) 由理想 \(I \subset A\) 截出。\(j\) 拟紧这一假设蕴含存在 \(f_1, \ldots, f_r \in I\)，使得 \(V(I) = V(f_1, \ldots, f_r)\)。我们得到忠实平坦的 ind-Zariski 环映射 \[A \longrightarrow A_{f_1} \times \ldots \times A_{f_r} \times A_{V(I)}^\sim\] 其中 \(A_{V(I)}^\sim\) 如引理 096V 所定义。由于 \(V_i = \Spec(A_{f_i}) \to X\) 经由 \(U\) 分解，有 \[j_!j^{-1}\mathcal{F}(V_i) = \mathcal{F}(V_i) \quad\text{且}\quad i_*i^{-1}\mathcal{F}(V_i) = 0\] 另一方面，对概形 \(V^\sim = \Spec(A_{V(I)}^\sim)\)，有 \[j_!j^{-1}\mathcal{F}(V^\sim) = 0 \quad\text{且}\quad \mathcal{F}(V^\sim) = i_*i^{-1}\mathcal{F}(V^\sim)\] 第一个等号由引理 09AG 得出，第二个等号由引理 09AC 与 0987 得出。因此该 序列在 \(\Spec(A_{f_1} \times \ldots \times A_{f_r} \times A_{V(I)}^\sim)\) 上取值得到正合列，引理得证。

引理

设 \(j : U \to X\) 为概形的拟紧开浸入态射。函子 \(j_! : \textit{Ab}(U_\proetale) \to \textit{Ab}(X_\proetale)\) 与极限可交换。

证明

由于 \(j_!\) 正合，只需证明 \(j_!\) 与乘积可交换。该问题在 \(X\) 上是局部的，因此 可假设 \(X\) 为仿射概形。设 \(\mathcal{G}\) 为 \(U_\proetale\) 上的阿贝尔层。我们有 \(j^{-1}j_*\mathcal{G} = \mathcal{G}\)。因此应用引理 09AH 的正合列，得到 \[0 \to j_!\mathcal{G} \to j_*\mathcal{G} \to i_*i^{-1}j_*\mathcal{G} \to 0\] 其中 \(i : Z \to X\) 是补集 \(Z = X \setminus U\) 所带诱导既约概形结构的包含态射。 函子 \(j_*\) 与 \(i_*\) 作为右伴随都与乘积可交换。由引理 09AA，函子 \(i^{-1}\) 与乘积可交换。因此 \(j_!\) 也与乘积 可交换，因为在 pro-étale 位点上乘积是正合的（“位点上的上同调”命题 0947）。

pro-étale 位点上的可构造层

我们只讨论 Noether 环上的可构造 \(\Lambda\)-模层。以后还打算讨论集合、群等的可构造 层。

定义

设 \(X\) 为概形，\(\Lambda\) 为 Noether 环。如果对每个仿射开子集 \(U \subset X\)， 都存在将 \(U\) 分解为可构造局部闭子概形的有限分解 \(U = \coprod_i U_i\)，使得对 所有 \(i\)，\(\mathcal{F}|_{U_i}\) 都是有限型且局部常值的，则称 \(X_\proetale\) 上的 \(\Lambda\)-模层为可构造的。

这仍未给出任何“新的”对象。

引理

设 \(X\) 为概形，\(\Lambda\) 为 Noether 环。函子 \(\epsilon^{-1}\) 定义了范畴等价 \[\left\{ \begin{matrix} \text{可构造层}\\ \Lambda\text{-模层，定义于 }X_\etale\\ \end{matrix} \right\} \longleftrightarrow \left\{ \begin{matrix} \text{可构造层}\\ \Lambda\text{-模层，定义于 }X_\proetale\\ \end{matrix} \right\}\] 即 \(X_\etale\) 上的可构造 \(\Lambda\)-模层与 \(X_\proetale\) 上的可构造 \(\Lambda\)-模层之间的等价。

证明

由引理 099T，函子 \(\epsilon^{-1}\) 全忠实，并与到各分层的拉回 （限制）可交换。因此，可构造 étale 层在 \(\epsilon^{-1}\) 下的像是可构造 pro-étale 层。为完成证明，设 \(\mathcal{F}\) 是定义 09AJ 所述 \(X_\proetale\) 上的可构造 \(\Lambda\)-模层。 存在典范映射 \[\epsilon^{-1}\epsilon_*\mathcal{F} \longrightarrow \mathcal{F}\] 我们将证明该映射是同构。这将证明 \(\mathcal{F}\) 属于 \(\epsilon^{-1}\) 的本质像， 从而完成证明（细节从略）。

由于只需在 \(X\) 上局部地证明这一点，可以假设 \(X\) 拟紧拟分离，并且有一个由 可构造局部闭分层给出的有限分割 \(X = \coprod_{i = 1, \ldots, n} X_i\)，使得 \(\mathcal{F}|_{X_i}\) 是有限型局部常值层。我们对 \(n\) 归纳。基本情形 \(n = 1\) 由引理 099Y 得出。取一点 \(x \in X\)； 则对某个 \(k\) 有 \(x \in X_k\)。只需证明所示映射在 \(x\) 的某个开邻域中是同构。 因此可以假设 \(X_k\) 在 \(X\) 中闭。置 \(Z = X_k\)，并以 \(U \subset X\) 表示 \(Z\) 的补集。注意，归纳假设适用于 \(\mathcal{F}\) 到 \(Z\) 及到 \(U\) 的限制。由引理 09AH，在 \(X_\proetale\) 上有短正合列 \[0 \to j_!j^{-1}\mathcal{F} \to \mathcal{F} \to i_*i^{-1}\mathcal{F} \to 0\] 函子性给出交换图 \[\xymatrix{ 0 \ar[r] & \epsilon^{-1}\epsilon_*j_!j^{-1}\mathcal{F} \ar[r] \ar[d] & \epsilon^{-1}\epsilon_*\mathcal{F} \ar[r] \ar[d] & \epsilon^{-1}\epsilon_*i_*i^{-1}\mathcal{F} \ar[r] \ar[d] & 0 \\ 0 \ar[r] & j_!j^{-1}\mathcal{F} \ar[r] & \mathcal{F} \ar[r] & i_*i^{-1}\mathcal{F} \ar[r] & 0 }\] 由归纳，一方面我们知道 \(\epsilon^{-1}\epsilon_*i^{-1}\mathcal{F} \to i^{-1}\mathcal{F}\) 以及 \(\epsilon^{-1}\epsilon_*j^{-1}\mathcal{F} \to j^{-1}\mathcal{F}\) 是同构；另一方面，知道 \(i^{-1}\mathcal{F} = \epsilon^{-1}\mathcal{A}\) 以及 \(j^{-1}\mathcal{F} = \epsilon^{-1}\mathcal{B}\) 其中有某些可构造 \(\Lambda\)-模层 \(\mathcal{A}\) 定义在 \(Z_\etale\) 上，而 \(\mathcal{B}\) 定义在 \(U_\etale\) 上。于是 \[\epsilon^{-1}\epsilon_*j_!j^{-1}\mathcal{F} = \epsilon^{-1}\epsilon_*j_!\epsilon^{-1}\mathcal{B} = \epsilon^{-1}\epsilon_*\epsilon^{-1}j_!\mathcal{B} = \epsilon^{-1}j_!\mathcal{B} = j_!\epsilon^{-1}\mathcal{B} = j_!j^{-1}\mathcal{F}\] 其中第二个等号由引理 09AF 得出，第三个等号由引理 099T 得出，第四个等号再次由引理 09AF 得出。类似地，有 \[\epsilon^{-1}\epsilon_*i_*i^{-1}\mathcal{F} = \epsilon^{-1}\epsilon_*i_*\epsilon^{-1}\mathcal{A} = \epsilon^{-1}\epsilon_*\epsilon^{-1}i_*\mathcal{A} = \epsilon^{-1}i_*\mathcal{A} = i_*\epsilon^{-1}\mathcal{A} = i_*i^{-1}\mathcal{F}\] 这次使用引理 09A6。由五引理可知，上面大图中央的竖直 映射是同构。

引理

设 \(X\) 为概形，\(\Lambda\) 为 Noether 环。\(X_\proetale\) 上可构造 \(\Lambda\)-模层所成的范畴是 \(\textit{Mod}(X_\proetale, \Lambda)\) 的弱 Serre 子范畴。

证明

这是引理 09AK、09B1，以及 étale 位点上的相应结果（“Étale 上同调”引理 03RZ）的形式推论。

引理

设 \(X\) 为概形，\(\Lambda\) 为 Noether 环。令 \(D_c(X_\etale, \Lambda)\)（相应地， \(D_c(X_\proetale, \Lambda)\)）为 \(D(X_\etale, \Lambda)\)（相应地， \(D(X_\proetale, \Lambda)\)）的全子范畴，其对象是上同调层均为可构造 \(\Lambda\)-模层的那些复形。则 \[\epsilon^{-1} : D_c^+(X_\etale, \Lambda) \longrightarrow D_c^+(X_\proetale, \Lambda)\] 是范畴等价。

证明

由“Étale 上同调”引理 03RZ、引理 09B5 与“衍生范畴”第 06UP 节，范畴 \(D_c(X_\etale, \Lambda)\) 与 \(D_c(X_\proetale, \Lambda)\) 分别是 \(D(X_\etale, \Lambda)\) 与 \(D(X_\proetale, \Lambda)\) 的严格全、饱和三角子范畴。结合引理 09B1 与 09AK 即得本引理的断言。

引理

设 \(X\) 为概形，\(\Lambda\) 为 Noether 环。设 \(K, L \in D_c^-(X_\proetale, \Lambda)\)。则 \(K \otimes_\Lambda^\mathbf{L} L\) 属于 \(D_c^-(X_\proetale, \Lambda)\)。

证明

注意，\(H^i(K \otimes_\Lambda^\mathbf{L} L)\) 与 \(H^i(\tau_{\geq i - 1}K \otimes_\Lambda^\mathbf{L} \tau_{\geq i - 1}L)\) 相同。因此可以假设 \(K\) 与 \(L\) 有界。在此情形，可应用引理 09AL 归约到 étale 位点的情形；参见 “Étale 上同调”引理 0961。

引理

设 \(X\) 为概形，\(\Lambda\) 为 Noether 环，并设 \(I \subset \Lambda\) 为理想。设 \(K\) 为 \(D(X_\proetale, \Lambda)\) 的对象。置 \(K_n = K \otimes_\Lambda^\mathbf{L} \underline{\Lambda/I^n}\)。如果 \(K_1\) 属于 \(D^-_c(X_\proetale, \Lambda/I)\)，那么对所有 \(n\)，\(K_n\) 都属于 \(D^-_c(X_\proetale, \Lambda/I^n)\)。

证明

考虑特异三角 \[K \otimes_\Lambda^\mathbf{L} \underline{I^n/I^{n + 1}} \to K_{n + 1} \to K_n \to K \otimes_\Lambda^\mathbf{L} \underline{I^n/I^{n + 1}}[1]\] 以及同构 \[K \otimes_\Lambda^\mathbf{L} \underline{I^n/I^{n + 1}} = K_1 \otimes_{\Lambda/I}^\mathbf{L} \underline{I^n/I^{n + 1}}\] 由引理 09BQ，该张量积具有可构造上同调层（并且当 \(K_1\) 的上同调 消没时也消没）。因此，利用引理 09B5 对 \(n\) 归纳， 可知每个 \(K_n\) 都具有可构造上同调层。

可构造进层

本节定义可构造 \(\Lambda\)-层的概念以及若干变体。

定义

设 \(\Lambda\) 为 Noether 环，\(I \subset \Lambda\) 为理想。设 \(X\) 为概形，并设 \(\mathcal{F}\) 为 \(X_\proetale\) 上的 \(\Lambda\)-模层。

1. 如果 \(\mathcal{F} = \lim \mathcal{F}/I^n\mathcal{F}\)，并且每个 \(\mathcal{F}/I^n\mathcal{F}\) 都是可构造 \(\Lambda/I^n\)-模层，则称 \(\mathcal{F}\) 为可构造 \(\Lambda\)-层。

2. 如果 \(\mathcal{F}\) 是可构造 \(\Lambda\)-层，并且每个 \(\mathcal{F}/I^n\mathcal{F}\) 都局部常值，则称 \(\mathcal{F}\) 为 lisse。

3. 如果存在 \(I\)-进完备 \(\Lambda\)-模 \(M\)，其中 \(M/IM\) 有限，并且 \(\mathcal{F}\) 局部同构于 \[\underline{M}^\wedge = \lim \underline{M/I^nM}.\] 则称 \(\mathcal{F}\) 为进 lisse⁵。

4. 如果对每个仿射开子集 \(U \subset X\)，都存在将 \(U = \coprod U_i\) 分解为 可构造局部闭子概形的分解，使得 \(\mathcal{F}|_{U_i}\) 是进 lisse 的，则称 \(\mathcal{F}\) 为进可构造的⁶。

当 \(\Lambda = \mathbf{Z}_\ell\) 且 \(I = (\ell)\) 时，可构造 \(\Lambda\)-层的定义 等价于 [SGA5, Exposé VI, Definition 1.1.1] 中的定义。显然有蕴含关系 \[\xymatrix{ \text{进 lisse} \ar@{=>}[r] \ar@{=>}[d] & \text{进可构造} \ar@{=>}[d] \\ \text{lisse 可构造 }\Lambda\text{-层} \ar@{=>}[r] & \text{可构造 }\Lambda\text{-层} }\] 在某些情形，竖直箭头可以反向（参见引理 09BU 与 09BX）。一般而言，进可构造层范畴和可构造 \(\Lambda\)-层范畴在核与余核下都不封闭。

具体而言，设 \(X\) 为仿射概形，其底拓扑空间 \(|X|\) 与 \(\Lambda = \mathbf{Z}_\ell\) 同胚，参见例 09BJ。以 \(f : |X| \to \mathbf{Z}_\ell = \Lambda\) 表示一个同胚。可以把 \(f\) 看作 \(X\) 上 \(\underline{\Lambda}^\wedge\) 的一个截面；乘以 \(f\) 便定义了二项复形 \[\underline{\Lambda}^\wedge \xrightarrow{f} \underline{\Lambda}^\wedge\] 于 \(X_\proetale\) 上。层 \(\underline{\Lambda}^\wedge\) 是进 lisse 的。然而，上述 映射的余核不是进可构造的，因为该余核之茎的同构型取无穷多个值： \(\mathbf{Z}/\ell^n\mathbf{Z}\) 与 \(\mathbf{Z}_\ell\)。该余核是可构造 \(\mathbf{Z}_\ell\)-层。然而，核甚至不是可构造 \(\mathbf{Z}_\ell\)-层，因为它在 一个非拟紧开集上为零，但自身不为零。

引理

设 \(X\) 为 Noether 概形，\(\Lambda\) 为 Noether 环，\(I \subset \Lambda\) 为理想， 并设 \(\mathcal{F}\) 为 \(X_\proetale\) 上的可构造 \(\Lambda\)-层。则存在由局部闭子概形 给出的有限分割 \(X = \coprod X_i\)，使得限制 \(\mathcal{F}|_{X_i}\) 为 lisse。

证明

令 \(R = \bigoplus I^n/I^{n + 1}\)。注意 \(R\) 是 Noether 环。由于每个层 \(\mathcal{F}/I^n\mathcal{F}\) 都是可构造 \(\Lambda/I^n\Lambda\)-模层， \(I^n\mathcal{F}/I^{n + 1}\mathcal{F}\) 也为可构造 \(\Lambda/I\)-模层，因而由引理 09AK，它是 \(X_\etale\) 上某个可构造层 \(\mathcal{G}_n\) 的拉回。置 \(\mathcal{G} = \bigoplus \mathcal{G}_n\)。这是 \(X_\etale\) 上的 \(R\)-模层，并且映射 \[\mathcal{G}_0 \otimes_{\Lambda/I} \underline{R} \longrightarrow \mathcal{G}\] 是满射，因为各映射 \[\mathcal{F}/I\mathcal{F} \otimes \underline{I^n/I^{n + 1}} \to I^n\mathcal{F}/I^{n + 1}\mathcal{F}\] 都是满射。因此，由“Étale 上同调”命题 09BH， \(\mathcal{G}\) 是可构造 \(R\)-模层。选择分割 \(X = \coprod X_i\)，使得 \(\mathcal{G}|_{X_i}\) 是有限型局部常值 \(R\)-模层（“Étale 上同调”引理 095E）。我们断言 这就是引理中所需的分割。事实上，用 \(X_i\) 替换 \(X\) 后，可以假设 \(\mathcal{G}\) 局部常值。于是每个层 \(I^n\mathcal{F}/I^{n + 1}\mathcal{F}\) 都局部常值。使用短正合列 \[0 \to I^n\mathcal{F}/I^{n + 1}\mathcal{F} \to \mathcal{F}/I^{n + 1}\mathcal{F} \to \mathcal{F}/I^n\mathcal{F} \to 0\] 以及归纳和“位点上的模”引理 093U，引理得证。

引理

设 \(X\) 为弱可缩仿射概形，\(\Lambda\) 为 Noether 环，\(I \subset \Lambda\) 为理想。 设 \(\mathcal{F}\) 为 \(X_\proetale\) 上满足下列条件的 \(\Lambda\)-模层：

1. \(\mathcal{F} = \lim \mathcal{F}/I^n\mathcal{F}\),

2. \(\mathcal{F}/I^n\mathcal{F}\) 是常值 \(\Lambda/I^n\)-模层；

3. \(\mathcal{F}/I\mathcal{F}\) 是有限型的。

则 \(\mathcal{F} \cong \underline{M}^\wedge\)，其中 \(M\) 是有限 \(\Lambda^\wedge\)-模。

证明

选择 \(\Lambda/I^n\)-模 \(M_n\)，使得 \(\mathcal{F}/I^n\mathcal{F} \cong \underline{M_n}\)。由于有满射 \(\mathcal{F}/I^{n + 1}\mathcal{F} \to \mathcal{F}/I^n\mathcal{F}\)，可知存在满射 \(M_{n + 1} \to M_n\)，它们诱导同构 \(M_{n + 1}/I^nM_{n + 1} \to M_n\)。固定这类满射的一种选择，并置 \(M = \lim M_n\)。于是 \(M\) 是 \(I\)-进完备 \(\Lambda\)-模，且 \(M/I^nM = M_n\)；参见“代数”引理 09B8。由于 \(M_1\) 是有限型 \(\Lambda\)-模（“位点上的模”引理 093N），可知 \(M\) 是有限 \(\Lambda^\wedge\)-模。考虑 \(X_\proetale\) 上的层 \[\mathcal{I}_n = \mathit{Isom}(\underline{M_n}, \mathcal{F}/I^n\mathcal{F})\] 模去 \(I^n\) 定义了转移映射 \[\mathcal{I}_{n + 1} \longrightarrow \mathcal{I}_n\] 由我们对 \(M_n\) 的选择，层 \(\mathcal{I}_n\) 是下列群层的挠子： \[\mathit{Isom}(\underline{M_n}, \underline{M_n}) = \underline{\text{Isom}_\Lambda(M_n, M_n)}\] （“位点上的模”引理 093T），因为 \(\mathcal{F}/I^n\mathcal{F}\) 在（étale）局部同构于 \(\underline{M_n}\)。由 “代数补充”引理 09BB，层系统 \((\mathcal{I}_n)\) 满足 Mittag-Leffler 条件。对每个 \(n\)，令 \(\mathcal{I}'_n \subset \mathcal{I}_n\) 为当 \(N \gg n\) 时 \(\mathcal{I}_N \to \mathcal{I}_n\) 的像。则 \[\ldots \to \mathcal{I}'_3 \to \mathcal{I}'_2 \to \mathcal{I}'_1 \to *\] 是 \(X_\proetale\) 上集合层的序列，其转移映射均为满射。由于 \(*(X)\) 是单点集 （非空），并且在 \(X\) 上取值将集合层的满射映到集合的满射，可以选取 \(s \in \lim \mathcal{I}'_n(X)\)。这些截面定义同构 \(\underline{M}^\wedge \to \lim \mathcal{F}/I^n\mathcal{F} = \mathcal{F}\)，证明 完成。

引理

设 \(X\) 为连通概形，\(\Lambda\) 为 Noether 环，\(I \subset \Lambda\) 为理想。如果 \(\mathcal{F}\) 是 \(X_\proetale\) 上 lisse 可构造 \(\Lambda\)-层，则 \(\mathcal{F}\) 是进 lisse 的。

证明

由引理 099Y，对某个局部常值 \(\Lambda/I^n\)-模层 \(\mathcal{G}_n\)，有 \(\mathcal{F}/I^n\mathcal{F} = \epsilon^{-1}\mathcal{G}_n\)。由“Étale 上同调” 引理 09BF，存在有限 \(\Lambda/I^n\)-模 \(M_n\)，使得 \(\mathcal{G}_n\) 局部同构于 \(\underline{M_n}\)。 选择覆盖 \(\{W_t \to X\}_{t \in T}\)，使得每个 \(W_t\) 都仿射且弱可缩。于是 \(\mathcal{F}|_{W_t}\) 满足引理 09BV 的假设，因此对某个有限 \(\Lambda^\wedge\)-模 \(N_t\)，有 \(\mathcal{F}|_{W_t} \cong \underline{N_t}^\wedge\)。注意，对所有 \(t\) 与 \(n\)， \(N_t/I^nN_t \cong M_n\)。因此对所有 \(t, t' \in T\)，有 \(N_t \cong N_{t'}\)；参见“代数补充”引理 09BC。这证明了 \(\mathcal{F}\) 是进 lisse 的。

引理

设 \(X\) 为 Noether 概形，\(\Lambda\) 为 Noether 环，\(I \subset \Lambda\) 为理想， 并设 \(\mathcal{F}\) 为 \(X_\proetale\) 上的可构造 \(\Lambda\)-层。则 \(\mathcal{F}\) 是进可构造的。

证明

这是引理 09BU、09BW、 Noether 概形局部连通这一事实（“拓扑”引理 04MF），以及各定义的推论。

在衍生完备 \(\Lambda\)-模层的范畴中识别可构造 \(\Lambda\)-层将很有用。事实证明， “代数补充”引理 09BA 的朴素类比 在此情形不成立。不过，下面给出“代数补充”引理 09B9 的类比。

引理

设 \(X\) 为概形，\(\Lambda\) 为环，并设 \(I \subset \Lambda\) 为有限生成理想。设 \(\mathcal{F}\) 为 \(X_\proetale\) 上的 \(\Lambda\)-模层。如果 \(\mathcal{F}\) 衍生完备 且 \(\mathcal{F}/I\mathcal{F} = 0\)，则 \(\mathcal{F} = 0\)。

证明

假设 \(\mathcal{F}/I\mathcal{F}\) 为零。令 \(I = (f_1, \ldots, f_r)\)。设 \(i < r\) 为使得 \(\mathcal{G} = \mathcal{F}/(f_1, \ldots, f_i)\mathcal{F}\) 非零的最大整数。 如果这样的 \(i\) 不存在，则 \(\mathcal{F} = 0\)，这正是所要证明的。于是 \(\mathcal{G}\) 作为衍生完备模之间某个映射的余核是衍生完备的，参见命题 099Q。由 \(i\) 的选择， \(f_{i + 1} : \mathcal{G} \to \mathcal{G}\) 是满射。因此 \[\lim (\ldots \to \mathcal{G} \xrightarrow{f_{i + 1}} \mathcal{G} \xrightarrow{f_{i + 1}} \mathcal{G})\] 非零，这与 \(\mathcal{G}\) 的衍生完备性矛盾。

引理

设 \(X\) 为弱可缩仿射概形，\(\Lambda\) 为 Noether 环，\(I \subset \Lambda\) 为理想。 设 \(\mathcal{F}\) 为 \(X_\proetale\) 上的衍生完备 \(\Lambda\)-模层，并且 \(\mathcal{F}/I\mathcal{F}\) 是有限型局部常值 \(\Lambda/I\)-模层。则存在整数 \(t\) 以及满射 \[(\underline{\Lambda}^\wedge)^{\oplus t} \to \mathcal{F}\]

证明

由于 \(X\) 弱可缩，存在有限不交开覆盖 \(X = \coprod U_i\)，使得 \(\mathcal{F}/I\mathcal{F}|_{U_i}\) 同构于与有限 \(\Lambda/I\)-模 \(M_i\) 相关联的 常值层。选取 \(M_i\) 的有限多个生成元 \(m_{ij}\)。可以找到截面 \(s_{ij} \in \mathcal{F}(X)\)，其限制是将 \(m_{ij}\) 看作 \(\mathcal{F}/I\mathcal{F}\) 在 \(U_i\) 上的截面所得者。令 \(t\) 为各 \(s_{ij}\) 的 总数。于是得到映射 \[\alpha : \underline{\Lambda}^{\oplus t} \longrightarrow \mathcal{F}\] 按构造，该映射模去 \(I\) 后为满射。由引理 099M， \(\underline{\Lambda}^{\oplus t}\) 的衍生完备化是层 \((\underline{\Lambda}^\wedge)^{\oplus t}\)。由于 \(\mathcal{F}\) 衍生完备，可知 \(\alpha\) 经由映射 \[\alpha^\wedge : (\underline{\Lambda}^\wedge)^{\oplus t} \longrightarrow \mathcal{F}\] 分解。由命题 099Q， \(\mathcal{Q} = \Coker(\alpha^\wedge)\) 是衍生完备 \(\Lambda\)-模层。按构造， \(\mathcal{Q}/I\mathcal{Q} = 0\)。由引理 09BY，有 \(\mathcal{Q} = 0\)，这正是所要证明的。

合适的衍生范畴

设 \(X\) 为概形。我们将看到，对于许多概形 \(X\)，可以通过考察 \(D(X_\proetale, \Lambda)\) 中满足如下性质的衍生完备对象 \(K\)，得到一个合适的 \(\ell\)-进层衍生范畴：\(K \otimes_\Lambda^\mathbf{L} \mathbf{F}_\ell\) 有界且其上同调层可构造。一般定义如下。

定义

设 \(\Lambda\) 为 Noether 环，\(I \subset \Lambda\) 为理想。设 \(X\) 为概形。 若 \(D(X_\proetale, \Lambda)\) 的对象 \(K\) 满足

1. \(K\) 关于 \(I\) 衍生完备；

2. \(K \otimes_\Lambda^\mathbf{L} \underline{\Lambda/I}\) 的上同调层可构造，并且局部具有有限 Tor 维数，

则称该对象可构造。以 \(D_{cons}(X, \Lambda)\) 表示 \(D(X_\proetale, \Lambda)\) 中由可构造 \(K\) 组成的全子范畴。

回忆在我们的约定下，具有有限 Tor 维数的复形是有界的 （位点上的上同调，定义 08FZ）。 事实上，可将目前证明的一切汇总为下面的引理。

引理

在上述情形中，设 \(K\) 属于 \(D_{cons}(X, \Lambda)\)，且 \(X\) 拟紧。令 \(K_n = K \otimes_\Lambda^\mathbf{L} \underline{\Lambda/I^n}\). 则存在 \(a, b\)，使得

1. \(K = R\lim K_n\)，且 \(H^i(K) = 0\) 对所有 \(i \not \in [a, b]\) 成立；

2. 每个 \(K_n\) 的 Tor 振幅均包含于 \([a, b]\)；

3. 每个 \(K_n\) 均具有可构造上同调层；

4. 对某个 \(L_n \in D_{ctf}(X_\etale, \Lambda/I^n)\) （Étale 上同调，定义 03TQ），有 \(K_n = \epsilon^{-1}L_n\)。

证明

由于 \(K\) 衍生完备，由引理 099M 有 \(K = R\lim K_n\)。按照局部具有有限 Tor 维数的定义，可以找到 \(a, b\)，使得 \(K_1\) 的 Tor 振幅包含于 \([a, b]\)。第 (2) 点由 位点上的上同调，引理 0942 得出。 接着，由于 \(K\) 衍生完备，第 (1) 点可由位点上的上同调，命题 0947 对极限的描述以及以下事实得出： \(H^b(K_{n + 1}) \to H^b(K_n)\) 是满射，因为 \(K_n = K_{n + 1} \otimes^\mathbf{L}_\Lambda \underline{\Lambda/I^n}\)。 第 (3) 点由引理 09BR 得出。 第 (4) 点由引理 09AL 以及 \(L_n\) 具有有限 Tor 维数这一事实得出，因为 \(K_n\) 具有有限 Tor 维数 （略去一个简短论证）。

引理

设 \(X\) 为弱可缩仿射概形。设 \(\Lambda\) 为 Noether 环， \(I \subset \Lambda\) 为理想。设 \(K\) 为 \(D_{cons}(X, \Lambda)\) 的对象， 并且 \(K \otimes_\Lambda^\mathbf{L} \underline{\Lambda/I}\) 的上同调层局部常值。 则存在有限不交开覆盖 \(X = \coprod U_i\)，并且对每个 \(i\)，存在一族有限的有限投射 \(\Lambda^\wedge\)-模 \(M^a, \ldots, M^b\)，使得在某些层的 \(\Lambda\)-模映射 \((\underline{M^i})^\wedge \to (\underline{M^{i + 1}})^\wedge\) 下， \(K|_{U_i}\) 在 \(D(U_{i, \proetale}, \Lambda)\) 中由复形 \[(\underline{M^a})^\wedge \to \ldots \to (\underline{M^b})^\wedge\] 表示。

证明

我们自由使用引理 09C2 的结论。 取该引理中的 \(a, b\)。我们对 \(b - a\) 作归纳来证明本引理。 令 \(\mathcal{F} = H^b(K)\)。注意，由命题 099Q，\(\mathcal{F}\) 是衍生完备 \(\Lambda\)-模层。此外，\(\mathcal{F}/I\mathcal{F}\) 是有限型 \(\Lambda/I\)-模的局部常值层。应用引理 09BZ，得到满射 \(\rho : (\underline{\Lambda}^\wedge)^{\oplus t} \to \mathcal{F}\).

若 \(a = b\)，则 \(K = \mathcal{F}[-b]\)。在此情形下， \[\mathcal{F} \otimes_\Lambda^\mathbf{L} \underline{\Lambda/I} = \mathcal{F}/I\mathcal{F}\] 由于 \(X\) 弱可缩且 \(\mathcal{F}/I\mathcal{F}\) 局部常值，可以找到由仿射开集 \(U_i\) 构成的有限不交并分解 \(X = \coprod U_i\)，以及 \(\Lambda/I\)-模 \(\overline{M}_i\)，使得 \(\mathcal{F}/I\mathcal{F}\) 在 \(U_i\) 上限制为 \(\underline{\overline{M}_i}\)。细分此覆盖后，可以假设映射 \[\rho|_{U_i} \bmod I : \underline{\Lambda/I}^{\oplus t} \longrightarrow \underline{\overline{M}_i}\] 等于某个满射模同态 \(\alpha_i : \Lambda/I^{\oplus t} \to \overline{M}_i\) 所诱导的 \(\underline{\alpha_i}\)；见位点上的模，引理 093S。注意，每个 \(\overline{M}_i\) 都是有限 \(\Lambda/I\)-模。由于 \(\mathcal{F}/I\mathcal{F}\) 的 Tor 振幅包含于 \([0, 0]\)，可知 \(\overline{M}_i\) 是平坦 \(\Lambda/I\)-模。因此 \(\overline{M}_i\) 有限投射 （代数，引理 00NX）。于是可以找到投影算子 \(\overline{p}_i : (\Lambda/I)^{\oplus t} \to (\Lambda/I)^{\oplus t}\) 使其像在映射 \(\alpha_i\) 下同构地映到 \(\overline{M}_i\)。可以将 \(\overline{p}_i\) 提升为投影算子 \(p_i : (\Lambda^\wedge)^{\oplus t} \to (\Lambda^\wedge)^{\oplus t}\)⁷。在 \(M_i/IM_i = \overline{M}_i\) 下，\(M_i = \Im(p_i)\) 是有限且 \(I\)-进完备的 \(\Lambda^\wedge\)-模。 在 \(U_i\) 上考察映射 \[\underline{M_i}^\wedge \to (\underline{\Lambda}^\wedge)^{\oplus t} \to \mathcal{F}|_{U_i}\] 按构造，其复合模 \(I\) 诱导同构。源与靶均衍生完备，因而余核 \(\mathcal{Q}\) 和核 \(\mathcal{K}\) 也衍生完备。按构造有 \(\mathcal{Q}/I\mathcal{Q} = 0\)，故由引理 09BY，\(\mathcal{Q}\) 为零。于是 \[0 \to \mathcal{K}/I\mathcal{K} \to \underline{\overline{M}_i} \to \mathcal{F}/I\mathcal{F} \to 0\] 因 \(\text{Tor}_1\) 消失而正合，见本段开头；还要使用位点上的模，引理 093M 中的 \(\underline{\Lambda}^\wedge/I\overline{\Lambda}^\wedge\)，从而看出 \(\underline{M_i}^\wedge/I\underline{M_i}^\wedge = \underline{\overline{M}_i}\)。 所以按构造 \(\mathcal{K}/I\mathcal{K} = 0\)，与前同理可得 \(\mathcal{K} = 0\)。这证明了 \(a = b\) 时的结论。

若 \(b > a\)，则把映射 \(\rho\) 提升为映射 \[\tilde \rho : (\underline{\Lambda}^\wedge)^{\oplus t}[-b] \longrightarrow K\] 于 \(D(X_\proetale, \Lambda)\) 中。由第 099L 节开头的讨论，可以把 \(K\) 看成 \(\underline{\Lambda}^\wedge\)-模复形；又因为 \(X_\proetale\) 弱可缩，所以将元素 \(\rho(e_s) \in H^0(X, \mathcal{F})\) 提升为 \(H^b(X, K)\) 的元素不存在障碍。 把 \(\tilde \rho\) 嵌入到区分三角 \[(\underline{\Lambda}^\wedge)^{\oplus t}[-b] \to K \to L \to (\underline{\Lambda}^\wedge)^{\oplus t}[-b + 1]\] 中，可知 \(L\) 是 \(D_{cons}(X, \Lambda)\) 的对象，并且 \(L \otimes_\Lambda^\mathbf{L} \underline{\Lambda/I}\) 的 Tor 振幅包含于 \([a, b - 1]\)（略去细节）。由归纳假设，可以如引理所述在局部描述 \(L\)； 设 \(L\) 同构于 \[(\underline{M^a})^\wedge \to \ldots \to (\underline{M^{b - 1}})^\wedge\] 映射 \(L \to (\underline{\Lambda}^\wedge)^{\oplus t}[-b + 1]\) 对应于映射 \((\underline{M^{b - 1}})^\wedge \to (\underline{\Lambda}^\wedge)^{\oplus t}\) ，它使我们可以将此复形延长一项。由三角范畴的性质，相应复形在衍生范畴中 同构于 \(K\)。证明完毕。

受可构造 \(\Lambda\)-层情形的启发，我们引入如下概念。

定义

设 \(X\) 为概形。设 \(\Lambda\) 为 Noether 环，\(I \subset \Lambda\) 为理想。 设 \(K \in D(X_\proetale, \Lambda)\)。

1. 若存在由有限投射 \(\Lambda^\wedge\)-模组成的有限复形 \(M^\bullet\)， 使得 \(K\) 局部同构于 \[\underline{M^a}^\wedge \to \ldots \to \underline{M^b}^\wedge\] ，则称 \(K\) 为进 lisse⁸。

2. 若对每个仿射开集 \(U \subset X\)，都存在分解为可构造局部闭子概形的 分解 \(U = \coprod U_i\)，使得 \(K|_{U_i}\) 为进 lisse，则称 \(K\) 为进可构造⁹。

引理 09C3 中得到的局部结构 与进 lisse 复形的结构之间的差别在于：引理 09C3 中的映射 \(\underline{M^i}^\wedge \to \underline{M^{i + 1}}^\wedge\) 未必是常值的， 而上述定义要求它们为常值映射。

引理

设 \(X\) 为弱可缩仿射概形。设 \(\Lambda\) 为 Noether 环， \(I \subset \Lambda\) 为理想。设 \(K\) 为 \(D_{cons}(X, \Lambda)\) 的对象，且 \(K \otimes_\Lambda^\mathbf{L} \underline{\Lambda/I^n}\) 在 \(D(X_\proetale, \Lambda/I^n)\) 中同构于某个常值 \(\Lambda/I^n\)-模层复形。则 \[H^0(X, K \otimes_\Lambda^\mathbf{L} \Lambda/I^n)\] 满足 Mittag-Leffler 条件。

证明

设 \(K \otimes_\Lambda^\mathbf{L} \underline{\Lambda/I^n}\) 同构于 \(\underline{E_n}\)，其中 \(E_n\) 是 \(D(\Lambda/I^n)\) 的某个对象。 由于 \(K \otimes_\Lambda^\mathbf{L} \underline{\Lambda/I}\) 具有有限 Tor 维数及有限型上同调层，可知 \(E_1\) 完美（见代数补充，引理 0658）。转移映射 \[K \otimes_\Lambda^\mathbf{L} \underline{\Lambda/I^{n + 1}} \to K \otimes_\Lambda^\mathbf{L} \underline{\Lambda/I^n}\] 局部来自 \(D(\Lambda/I^{n + 1})\) 中的复形映射 \(E_{n + 1} \to E_n\)（这样的映射可能有许多不同选择）；见位点上的上同调， 引理 09BE。对每个 \(n\) 选取一个这样的映射，并注意到它诱导 \(D(\Lambda/I^n)\) 中的同构 \(E_{n + 1} \otimes_{\Lambda/I^{n + 1}}^\mathbf{L} \Lambda/I^n \to E_n\) 。由代数补充，引理 09AW，可以找到由有限投射 \(\Lambda^\wedge\)-模组成的有限复形 \(M^\bullet\)，以及 \(D(\Lambda/I^n)\) 中与转移映射相容的同构 \(M^\bullet/I^nM^\bullet \to E_n\)。

现在注意，对于每个有限指标组 \(n > m > k\)，三重映射 \[H^0(X, K \otimes_\Lambda^\mathbf{L} \Lambda/I^n) \to H^0(X, K \otimes_\Lambda^\mathbf{L} \Lambda/I^m) \to H^0(X, K \otimes_\Lambda^\mathbf{L} \Lambda/I^k)\] 同构于 \[H^0(X, \underline{M^\bullet/I^nM^\bullet}) \to H^0(X, \underline{M^\bullet/I^mM^\bullet}) \to H^0(X, \underline{M^\bullet/I^kM^\bullet})\] 事实上，任选同构 \[\underline{M^\bullet/I^nM^\bullet} \to K \otimes_\Lambda^\mathbf{L} \Lambda/I^n\] ，它模 \(I^m\) 和 \(I^k\) 诱导类似同构，因而断言成立。因此，为证明本引理， 只需证明系统 \(H^0(X, \underline{M^\bullet/I^nM^\bullet})\) 满足 Mittag-Leffler 条件。 由于在 \(X\) 上取截面是正合的，只需证明 \(\Lambda\)-模系统 \[H^0(M^\bullet/I^nM^\bullet)\] 满足 Mittag-Leffler 条件。令 \(A = \Lambda^\wedge\)，考察谱序列 \[\text{Tor}_{-p}^A(H^q(M^\bullet), A/I^nA) \Rightarrow H^{p + q}(M^\bullet/I^nM^\bullet)\] 由代数补充，引理 0911，当 \(p > 0\) 时，pro-系统 \(\{\text{Tor}_{-p}^A(H^q(M^\bullet), A/I^nA)\}\) 为零。因此 pro-系统 \(\{H^0(M^\bullet/I^nM^\bullet)\}\) 等于 pro-系统 \(\{H^0(M^\bullet)/I^nH^0(M^\bullet)\}\)，引理得证。

引理

设 \(X\) 为连通概形。设 \(\Lambda\) 为 Noether 环，\(I \subset \Lambda\) 为理想。若 \(K\) 属于 \(D_{cons}(X, \Lambda)\)，且 \(K \otimes_\Lambda \underline{\Lambda/I}\) 具有局部常值上同调层， 则 \(K\) 为进 lisse（定义 09C4）。

证明

记 \(K_n = K \otimes_\Lambda^\mathbf{L} \underline{\Lambda/I^n}\)。 以下将不再说明地使用引理 09C2 的结论。由位点上的上同调，引理 094I，可知对所有 \(n\)， \(K_n\) 均具有局部常值上同调层。有 \(K_n = \epsilon^{-1}L_n\)，其中某个 \(L_n\) 属于 \(D_{ctf}(X_\etale, \Lambda/I^n)\) 且具有局部常值上同调层。由 Étale 上同调，引理 09BI，存在完美对象 \(M_n \in D(\Lambda/I^n)\)，使得 \(L_n\) 在 étale 局部同构于 \(\underline{M_n}\)。与 \(K_{n + 1} \to K_n\) 对应的映射 \(L_{n + 1} \to L_n\) 诱导同构 \(L_{n + 1} \otimes_{\Lambda/I^{n + 1}}^\mathbf{L} \underline{\Lambda/I^n} \to L_n\)。在 \(X\) 上局部考察，可知 \(D(\Lambda/I^{n + 1})\) 中存在映射 \(M_{n + 1} \to M_n\)，其诱导同构 \(M_{n + 1} \otimes_{\Lambda/I^{n + 1}} \Lambda/I^n \to M_n\)；见 位点上的上同调，引理 09BE。 固定一组这样的映射。由代数补充，引理 09AW，可以找到由有限投射 \(\Lambda^\wedge\)-模组成的有限复形 \(M^\bullet\)，以及 \(D(\Lambda/I^n)\) 中与转移映射相容的同构 \(M^\bullet/I^nM^\bullet \to M_n\)。为完成证明，我们将证明 \(K\) 局部同构于 \[\underline{M^\bullet}^\wedge = \lim \underline{M^\bullet/I^nM^\bullet} = R\lim \underline{M^\bullet/I^nM^\bullet}\] 令 \(E^\bullet\) 为 \(M^\bullet\) 的对偶复形，见代数补充，引理 07VI 及其证明。考察 \(D(X_\proetale, \Lambda/I^n)\) 的对象 \[H_n = R\SheafHom_{\Lambda/I^n}(\underline{M^\bullet/I^nM^\bullet}, K_n) = \underline{E^\bullet/I^nE^\bullet} \otimes_{\Lambda/I^n}^\mathbf{L} K_n\] 。模去 \(I^n\) 定义转移映射 \(H_{n + 1} \to H_n\)。令 \(H = R\lim H_n\)。则 \(H\) 是 \(D_{cons}(X, \Lambda)\) 的对象（略去细节）， 且 \(H \otimes_\Lambda^\mathbf{L} \underline{\Lambda/I^n} = H_n\)。 选取覆盖 \(\{W_t \to X\}_{t \in T}\)，其中每个 \(W_t\) 都是仿射且弱可缩的。 由我们对 \(M^\bullet\) 的选择，可知 \[\begin{align*} H_n|_{W_t} & \cong R\SheafHom_{\Lambda/I^n}(\underline{M^\bullet/I^nM^\bullet}, \underline{M^\bullet/I^nM^\bullet}) \\ & = \underline{ \text{Tot}(E^\bullet/I^nE^\bullet \otimes_{\Lambda/I^n} M^\bullet/I^nM^\bullet) } \end{align*}\] 因此可以将引理 09C5 应用于 \(H = R\lim H_n\)。于是系统 \(H^0(W_t, H_n)\) 满足 Mittag-Leffler 条件。由于对所有 \(n \gg 1\)，\(H^0(W_t, H_n)\) 中都存在 一个元素，它映到 \[H^0(W_t, H_1) = \Hom(\underline{M^\bullet/IM^\bullet}, K_1)\] 中的同构，故可以在逆极限中找到元素 \((\varphi_{t, n})\)，它模 \(I\) 给出同构。于是 \[R\lim \varphi_{t, n} : \underline{M^\bullet}^\wedge|_{W_t} = R\lim \underline{M^\bullet/I^nM^\bullet}|_{W_t} \longrightarrow R\lim K_n|_{W_t} = K|_{W_t}\] 是同构。证明完毕。

命题

设 \(X\) 为 Noether 概形。设 \(\Lambda\) 为 Noether 环，\(I \subset \Lambda\) 为理想。设 \(K\) 为 \(D_{cons}(X, \Lambda)\) 的对象。则 \(K\) 进可构造 （定义 09C4）。

证明

这由引理 09C6、Noether 概形局部连通这一事实 （拓扑，引理 04MF） 以及相关定义得出。

固有基变换

本节说明如何利用 étale 上同调的固有基变换定理，证明 pro-étale 位点上 衍生完备对象的固有基变换定理。这遵循如下总体思路：只用 pro-étale 拓扑处理“极限问题”，而其余一切则用已对 étale 拓扑证明的结果处理。

定理

设 \(f : X \to Y\) 为概形的固有态射，\(g : Y' \to Y\) 为概形态射， 它们给出基变换图 \[\xymatrix{ X' \ar[r]_{g'} \ar[d]_{f'} & X \ar[d]^f \\ Y' \ar[r]^g & Y }\] 设 \(\Lambda\) 为 Noether 环，\(I \subset \Lambda\) 为理想，并且 \(\Lambda/I\) 是挠的。设 \(K\) 为 \(D(X_\proetale)\) 的对象，满足

1. \(K\) 衍生完备；

2. \(K \otimes_\Lambda^\mathbf{L} \underline{\Lambda/I^n}\) 下有界， 且其上同调层来自 \(X_\etale\)；

3. \(\Lambda/I^n\) 是完美 \(\Lambda\)-模¹⁰。

则基变换映射 \[Lg_{comp}^*Rf_*K \longrightarrow Rf'_*L(g')^*_{comp}K\] 是同构。

证明

略去基变换映射的构造（它只使用衍生直像与完备化衍生拉回的形式性质； 参见位点上的上同调，评注 07A7）。 记 \(K_n = K \otimes^\mathbf{L}_\Lambda \underline{\Lambda/I^n}\)。 由于 \(K\) 衍生完备，由引理 099M 有 \(K = R\lim K_n\)。由引理 099N 和 099M，可以展开左边： \[Lg_{comp}^* Rf_* K = R\lim Lg^*(Rf_*K)\otimes^\mathbf{L}_\Lambda \underline{\Lambda/I^n} = R\lim Lg^* Rf_* K_n\] 最后一个等式来自 \(\Lambda/I^n\) 是完美模以及投影公式（位点上的上同调， 引理 0944）。利用引理 099N，可以展开右边： \[Rf'_* L(g')^*_{comp} K = Rf'_* R\lim L(g')^* K_n = R\lim Rf'_* L(g')^* K_n\] 最后一个等式是因为 \(Rf'_*\) 与 \(R\lim\) 可交换（位点上的上同调，引理 0A07）。因此，只需证明映射 \[Lg^* Rf_* K_n \longrightarrow Rf'_* L(g')^* K_n\] 均为同构。由引理 09B1 和第二个条件，可以对某个 \(L_n \in D^+(X_\etale, \Lambda/I^n)\) 写成 \(K_n = \epsilon^{-1}L_n\)。由引理 09A6 以及 \(\epsilon^{-1}\) 与拉回可交换这一事实，得到 \[Lg^* Rf_* K_n = Lg^* Rf_* \epsilon^*L_n = Lg^* \epsilon^{-1} Rf_* L_n = \epsilon^{-1} Lg^* Rf_* L_n\] 以及 \[Rf'_* L(g')^* K_n = Rf'_* L(g')^* \epsilon^{-1} L_n = Rf'_* \epsilon^{-1} L(g')^* L_n = \epsilon^{-1} Rf'_* L(g')^* L_n\] （这里也使用了 \(L_n\) 下有界）。最后，由 étale 上同调的固有基变换定理 （Étale 上同调，定理 095T），有 \[Lg^* Rf_* L_n = Rf'_* L(g')^* L_n\] （再次使用了 \(L_n\) 下有界），定理得证。

更换部分宇宙

我们建议读者跳过本节：这里将证明 pro-étale 拓扑中层的上同调不依赖于 部分宇宙的选择。具体而言，下面引理 098Y 的函子 \(g_*\) 是小 pro-étale 拓扑斯的一个嵌入，并且不改变上同调。 对大 pro-étale 位点，引理 0F4S 和 0F4T 给出本质上相同的结论。

但首先，按照第 0988 节中的承诺，我们证明大 pro-étale 位点 \(\Sch_\proetale\) 上的拓扑在某种意义下由全体概形之范畴上的 pro-étale 拓扑诱导。

引理

设 \(\Sch_\proetale\) 为定义 098G 所述的大 pro-étale 位点。设 \(T \in \Ob(\Sch_\proetale)\)。任取 \(T\) 的 pro-étale 覆盖 \(\{T_i \to T\}_{i \in I}\)。则位点 \(\Sch_\proetale\) 中存在 \(T\) 的覆盖 \(\{U_j \to T\}_{j \in J}\)，它细分 \(\{T_i \to T\}_{i \in I}\)。

证明

首先，取引理 098I 所述的覆盖 \(\{V_k \to T\}\)。于是 pro-étale 覆盖 \(\{T_i \times_T V_k \to V_k\}\) 可由有限不交开覆盖 \(V_k = V_{k, 1} \amalg \ldots \amalg V_{k, n_k}\) 细分，见引理 098F。于是 \(\{V_{k, i} \to T\}\) 是 \(\Sch_\proetale\) 中的覆盖，并细分 \(\{T_i \to T\}_{i \in I}\)。

我们先陈述并证明小 pro-étale 位点的比较。注意，我们并未断言概形的小 pro-étale 拓扑斯不依赖于部分宇宙的选择；这并不成立，与小 étale 拓扑斯的情形不同（Étale 上同调，引理 0958）。

引理

设 \(S\) 为概形。设 \(S_\proetale \subset S_\proetale'\) 为按定义 098K 构造的 \(S\) 的两个小 pro-étale 位点。 则包含函子满足位点，引理 00XU 的假设。 因而存在拓扑斯态射 \[\xymatrix{ \Sh(S_\proetale) \ar[r]^g & \Sh(S_\proetale') \ar[r]^f & \Sh(S_\proetale) }\] 其复合同构于恒等态射，且 \(f_* = g^{-1}\)。此外，

1. 对 \(\mathcal{F}' \in \textit{Ab}(S_\proetale')\)，有 \(H^p(S_\proetale', \mathcal{F}') = H^p(S_\proetale, g^{-1}\mathcal{F}')\),

2. 对 \(\mathcal{F} \in \textit{Ab}(S_\proetale)\)，有 \[H^p(S_\proetale, \mathcal{F}) = H^p(S_\proetale', g_*\mathcal{F}) = H^p(S_\proetale', f^{-1}\mathcal{F}).\]

证明

包含函子全忠实且连续。我们已经看到，\(S_\proetale\) 和 \(S_\proetale'\) 有纤维积及终对象，并且此函子与它们可交换 （引理 098M）。由引理 098J，包含函子余连续。因此 \(f\) 与 \(g\) 的存在性由位点，引理 00XU 得出。 第 (1) 点中的等式即位点上的上同调，引理 03YU。第 (2) 点由第 (1) 点 以及 \(\mathcal{F} = g^{-1}g_*\mathcal{F} = g^{-1}f^{-1}\mathcal{F}\) 得出。

下面证明大 pro-étale 拓扑斯的相应结果。

引理

设给定定义 098G 所述的大位点 \(\Sch_\proetale\) 和 \(\Sch'_\proetale\)。假设 \(\Sch_\proetale\) 包含于 \(\Sch'_\proetale\)。包含函子 \(\Sch_\proetale \to \Sch'_\proetale\) 满足位点，引理 00XU 的假设。存在拓扑斯态射 \[\begin{eqnarray*} g : \Sh(\Sch_\proetale) & \longrightarrow & \Sh(\Sch'_\proetale) \\ f : \Sh(\Sch'_\proetale) & \longrightarrow & \Sh(\Sch_\proetale) \end{eqnarray*}\] 使得 \(f \circ g \cong \text{id}\)。对 \(\Sch_\proetale\) 的任意对象 \(S\)， 包含函子 \((\Sch/S)_\proetale \to (\Sch'/S)_\proetale\) 也满足位点，引理 00XU 的假设。因而类似地得到态射 \[\begin{eqnarray*} g : \Sh((\Sch/S)_\proetale) & \longrightarrow & \Sh((\Sch'/S)_\proetale) \\ f : \Sh((\Sch'/S)_\proetale) & \longrightarrow & \Sh((\Sch/S)_\proetale) \end{eqnarray*}\] 且 \(f \circ g \cong \text{id}\)。

证明

对函子 \(\Sch_\proetale \to \Sch'_\proetale\) 和 \((\Sch/S)_\proetale \to (\Sch'/S)_\proetale\)，位点，引理 00XU 的假设 (b)、(c) 和 (e) 是立即成立的。 性质 (a) 由引理 098J 成立。性质 (d) 成立，是因为 范畴 \(\Sch_\proetale\)、\(\Sch'_\proetale\) 中的纤维积存在，并且与概形范畴 中的纤维积相容。

引理

设 \(S\) 为概形。设 \((\Sch/S)_\proetale\) 和 \((\Sch'/S)_\proetale\) 为定义 098K 所述的 \(S\) 的两个大 pro-étale 位点。 假设前者包含于后者。在此情形下，

1. 对定义于 \((\Sch'/S)_\proetale\) 上的任意阿贝尔层 \(\mathcal{F}'\)， 以及 \((\Sch/S)_\proetale\) 的任意对象 \(U\)，有 \[H^p(U, \mathcal{F}'|_{(\Sch/S)_\proetale}) = H^p(U, \mathcal{F}')\] 换言之，在较大位点中计算的 \(\mathcal{F}'\) 在 \(U\) 上的上同调，与把 \(\mathcal{F}'\) 限制到较小位点后在 \(U\) 上计算的上同调一致。

2. 对 \((\Sch/S)_\proetale\) 上的任意阿贝尔层 \(\mathcal{F}\)，存在 \((\Sch/S)_\proetale'\) 上的阿贝尔层 \(\mathcal{F}'\)，其到 \((\Sch/S)_\proetale\) 的限制同构于 \(\mathcal{F}\)。

证明

由引理 0F4S，包含函子 \((\Sch/S)_\proetale \to (\Sch'/S)_\proetale\) 满足位点，引理 00XU 的假设。这推出第 (2) 点，而第 (1) 点由 位点上的上同调，引理 03YU 得出。