空间的对偶性

引言

本章是概形情形相应章节的类似版本，见《概形的对偶性》第 0DWF 节。这里的论述与下列论文中的论述相近： [Neeman-Grothendieck], [LN], [Lipman-notes]、[Neeman-improvement]。

代数空间上的对偶复形

设 \(U\) 是局部 Noether 概形。以 \(\mathcal{O}_\etale\) 表示 \(U\) 上的结构层（定义在 \(U\) 的小平展站点上）。若存在《概形的对偶性》第 0A85 节意义下的对偶复形 \(\omega_U^\bullet\)，使得 \(K = \epsilon^*(\omega_U^\bullet)\)，则称对象 \(K \in D_\QCoh(\mathcal{O}_\etale)\) 是 \(U\) 上的对偶复形。这里，\(\epsilon^* : D_\QCoh(\mathcal{O}_U) \to D_\QCoh(\mathcal{O}_\etale)\) 是《空间的导出范畴》引理 071Q 中的等价。《概形的对偶性》第 0A85 节中研究的 \(\omega_U^\bullet\) 的大部分性质，经《空间的导出范畴》第 071P 与 08HC 节的讨论由 \(K\) 继承。

我们把局部 Noether 代数空间上的对偶复形定义为这样一种复形：它在平展局部来自相应概形上的对偶复形。

引理

设 \(S\) 是概形，\(X\) 是 \(S\) 上的局部 Noether 代数空间， \(K\) 是 \(D_\QCoh(\mathcal{O}_X)\) 的对象。下列条件等价：

对每个以概形 \(U\) 为源的平展态射 \(U \to X\)，限制 \(K|_U\) 都是 \(U\) 上的对偶复形（含义如上）。

存在以概形 \(U\) 为源的满平展态射 \(U \to X\)，使得 \(K|_U\) 是 \(U\) 上的对偶复形。

证明

设 \(U \to X\) 是以概形 \(U\) 为源的满平展态射，并设 \(V \to X\) 是以概形 \(V\) 为源的平展态射。则 \[U \leftarrow U \times_X V \rightarrow V\] 是概形间的平展态射，其中指向 \(V\) 的箭头是满的。因此，由《概形的对偶性》引理 0E4N 可知：若 \(K|_U\) 是 \(U\) 上的对偶复形，则 \(K|_V\) 是 \(V\) 上的对偶复形。

定义

设 \(S\) 是概形，\(X\) 是 \(S\) 上的局部 Noether 代数空间。若 \(D_\QCoh(\mathcal{O}_X)\) 的对象 \(K\) 满足引理 0E4Y 中的等价条件，则称 \(K\) 为 对偶复形。

引理

设 \(A\) 是 Noether 环，\(X = \Spec(A)\)。以 \(\mathcal{O}_\etale\) 表示 \(X\) 上的结构层（定义在 \(X\) 的小平展站点上）。设 \(K,L\) 是 \(D(A)\) 的对象。若 \(K \in D_{\textit{Coh}}(A)\) 且 \(L\) 具有有限内射维数，则 \[\epsilon^*\widetilde{R\Hom_A(K, L)} = R\SheafHom_{\mathcal{O}_\etale}(\epsilon^*\widetilde{K}, \epsilon^*\widetilde{L})\] 在 \(D(\mathcal{O}_\etale)\) 中成立，其中 \(\epsilon : (X_\etale, \mathcal{O}_\etale) \to (X, \mathcal{O}_X)\) 如《空间的导出范畴》第 071P 节所述。

证明

由《概形的对偶性》引理 0A88，有典范同构 \[\widetilde{R\Hom_A(K, L)} = R\SheafHom_{\mathcal{O}_X}(\widetilde{K}, \widetilde{L})\] 于 \(D(\mathcal{O}_X)\) 中。又有典范映射 \[\epsilon^*R\Hom_{\mathcal{O}_X}(\widetilde{K}, \widetilde{L}) \longrightarrow R\SheafHom_{\mathcal{O}_\etale}(\epsilon^*\widetilde{K}, \epsilon^*\widetilde{L})\] 于 \(D(\mathcal{O}_\etale)\) 中，见《站点上的上同调》评注 08JF。我们将证明该箭头两端具有同构的上同调层，但略去验证这一同构确由该箭头给出。

可以假设 \(L\) 由内射 \(A\)-模组成的有限复形 \(I^\bullet\) 给出。对 \(I^\bullet\) 的长度作归纳，并利用这些构造与特异三角的相容性，可归约到 \(L=I[0]\) 的情形，其中 \(I\) 是内射 \(A\)-模。回忆

\(R\SheafHom_{\mathcal{O}_\etale}(\epsilon^*\widetilde{K}, \epsilon^*\widetilde{L}))\) 的上同调层是下述预层的层化：它把 \(X\) 上平展的 \(U\) 映到 \(\epsilon^*\widetilde{K}\) 与 \(\epsilon^*\widetilde{L}\) 在 \(U_\etale\) 上的限制之间的第 \(i\) 个 Ext 群。见《站点上的上同调》引理 08JA。若 \(U=\Spec(B)\) 是仿射的，则由《空间的导出范畴》引理 071Q 及《概形的导出范畴》引理 06Z0 给出的等价，该 Ext 群等于 \(\text{Ext}^i_B(K \otimes_A B, L \otimes_A B)\)（这里还使用了《空间的导出范畴》评注 08GH 中详述的相容性）。由于 \(A\to B\) 是平展的，由《对偶复形》引理 0E4F 可知 \(I\otimes_A B\) 是内射 \(B\)-模。因此 \[\begin{align*} \Ext^n_B(K \otimes_A B, I \otimes_A B) & = \Hom_B(H^{-n}(K \otimes_A B), I \otimes_A B) \\ & = \Hom_{A_f}(H^{-n}(K) \otimes_A B, I \otimes_A B) \\ & = \Hom_A(H^{-n}(K), I) \otimes_A B \\ & = \text{Ext}^n_A(K, I) \otimes_A B \end{align*}\]

倒数第二个等号成立，是因为 \(H^{-n}(K)\) 是有限 \(A\)-模；见《代数详论》引理 087R。因此，引理中等式两端的上同调层相同。

引理

设 \(S\) 是概形，\(X\) 是 \(S\) 上的局部 Noether 代数空间， \(K\) 是 \(X\) 上的对偶复形。则 \(K\) 是 \(D_{\textit{Coh}}(\mathcal{O}_X)\) 的对象，并且 \(D = R\SheafHom_{\mathcal{O}_X}(-, K)\) 诱导反等价 \[D : D_{\textit{Coh}}(\mathcal{O}_X) \longrightarrow D_{\textit{Coh}}(\mathcal{O}_X)\] ，并配有典范同构 \(\text{id}\to D\circ D\)。若 \(X\) 拟紧，则 \(D\) 交换 \(D^+_{\textit{Coh}}(\mathcal{O}_X)\) 与 \(D^-_{\textit{Coh}}(\mathcal{O}_X)\)，并诱导等价 \(D^b_{\textit{Coh}}(\mathcal{O}_X) \to D^b_{\textit{Coh}}(\mathcal{O}_X)\)。

证明

取以仿射概形 \(U\) 为源的平展态射 \(U\to X\)。设 \(U=\Spec(A)\)，并令 \(\omega_A^\bullet\) 为与 \(K|_U\) 对应的 \(A\) 的对偶复形，其含义如引理 0E4Y 及《概形的对偶性》引理 0A86 所述。由引理 0E50，下图交换： \[\xymatrix{ D_{\textit{Coh}}(A) \ar[r] \ar[d]_{R\Hom_A(-, \omega_A^\bullet)} & D_{\textit{Coh}}(\mathcal{O}_\etale) \ar[d]^{R\SheafHom_{\mathcal{O}_\etale}(-, K|_U)} \\ D_{\textit{Coh}}(A) \ar[r] & D(\mathcal{O}_\etale) }\] 其中 \(\mathcal{O}_\etale\) 是 \(U\) 的小平展站点上的结构层。由于 \(R\SheafHom\) 的形成与限制相交换，可知 \(D\) 把 \(D_{\textit{Coh}}(\mathcal{O}_X)\) 映入 \(D_{\textit{Coh}}(\mathcal{O}_X)\)。此外，典范映射 \[L \longrightarrow R\SheafHom_{\mathcal{O}_X}(R\SheafHom_{\mathcal{O}_X}(L, K), K)\] （《站点上的上同调》引理 0A97）对 \(D_{\textit{Coh}}(\mathcal{O}_X)\) 中每个 \(L\) 都是同构；这是因为，由《对偶复形》引理 0A7C，在上述每个 \(U\) 上这一结论都成立。拟紧情形下关于函子 \(D\) 的有界性性质，也由《对偶复形》引理 0A7C 中的相应结论推出。

设 \((\mathcal{C},\mathcal{O})\) 是赋环站点。回忆：若 \(D(\mathcal{O})\) 的对象 \(L\) 对于由导出张量积给出的

\(D(\mathcal{O}_X)\) 上的对称幺半结构是可逆对象，则称它可逆。由《站点上的上同调》引理 0FPY 可知，

这等价于 \(L\) 是完美的；并且若 \((\mathcal{C},\mathcal{O})\) 是局部赋环站点，则对 \(\mathcal{C}\) 的每个对象 \(U\)，存在 \(\mathcal{C}\) 中 \(U\) 的覆盖 \(\{U_i\to U\}\)，使得对某些整数 \(n_i\) 有 \(L|_{U_i}\cong\mathcal{O}_{U_i}[-n_i]\)。

设 \(S\) 是概形，\(X\) 是 \(S\) 上的代数空间。若 \(D(\mathcal{O}_X)\) 中的 \(L\) 可逆，则存在不交并分解 \(X=\coprod_{n\in\mathbf{Z}}X_n\)，使得 \(L|_{X_n}\) 是位于次数 \(n\) 的可逆模。特别地，\(L=\bigoplus H^n(L)[-n]\)；这给出了一个表示 \(L\) 的良定义 \(\mathcal{O}_X\)-模复形（其微分均为零）。

引理

设 \(S\) 是概形，\(X\) 是 \(S\) 上的局部 Noether 代数空间。若 \(K\) 与 \(K'\) 是 \(X\) 上的对偶复形，则 \(K'\) 同构于 \(K\otimes_{\mathcal{O}_X}^\mathbf{L}L\)，其中 \(L\) 是 \(D(\mathcal{O}_X)\) 中的某个可逆对象。

证明

置 \[L = R\SheafHom_{\mathcal{O}_X}(K, K')\] 它是 \(D(\mathcal{O}_X)\) 中的可逆对象，因为这一点在仿射局部成立；可使用引理 0E50 以及《对偶复形》引理 0A7F 及其证明。由同样的理由，求值映射 \(L\otimes_{\mathcal{O}_X}^\mathbf{L}K\to K'\) 是同构。

引理

设 \(S\) 是概形，\(X\) 是 \(S\) 上局部 Noether 且拟分离的代数空间， \(\omega_X^\bullet\) 是 \(X\) 上的对偶复形。则对 \(X\)，函数

\(|X| \to \mathbf{Z}\) 由下式定义： \[x \longmapsto \delta(x)\text{，使得 } \omega_{X, \overline{x}}^\bullet[-\delta(x)] \text{ 是下列环上的正规化对偶复形：} \mathcal{O}_{X, \overline{x}}\] 该函数是 \(|X|\) 上的维数函数。

证明

取概形 \(U\) 及满平展态射 \(U\to X\)。令 \(\omega_U^\bullet\) 为 \(U\) 上与 \(\omega_X^\bullet|_U\) 对应的对偶复形。若 \(u\in U\) 映到 \(x\in|X|\)，则 \(\mathcal{O}_{X,\overline{x}}\) 是 \(\mathcal{O}_{U,u}\) 的严格 Hensel 化。由《对偶复形》引理 0AWD 可知，若 \(\omega^\bullet\) 是 \(\mathcal{O}_{U,u}\) 的正规化对偶复形，则 \(\omega^\bullet\otimes_{\mathcal{O}_{U,u}} \mathcal{O}_{X,\overline{x}}\) 是 \(\mathcal{O}_{X,\overline{x}}\) 的正规化对偶复形。因此，《概形的对偶性》引理 0AWF 对概形 \(U\) 与复形 \(\omega_U^\bullet\) 给出的维数函数 \(U\to\mathbf{Z}\)，等于 \(U\to|X|\) 与 \(\delta\) 的复合。利用 \(|X|\) 中的特化可提升为 \(U\) 中的特化，且 \(U\) 中的非平凡特化映到 \(X\) 中的非平凡特化（《适度空间》引理 03IL 及 03K5），一个简单的拓扑论证表明 \(\delta\) 是 \(|X|\) 上的维数函数。

推前的右伴随

这是《概形的对偶性》第 0A9D 节的类似版本。

引理

设 \(S\) 是概形，\(f:X\to Y\) 是 \(S\) 上拟分离且拟紧的代数空间之间的态射。函子 \(Rf_*:D_\QCoh(X)\to D_\QCoh(Y)\) 有右伴随。

证明

我们验证《导出范畴》命题 0A8G 的假设，由此证明右伴随存在。首先，范畴 \(D_\QCoh(\mathcal{O}_X)\) 有直和，见《空间的导出范畴》引理 08F3；范畴 \(D_\QCoh(\mathcal{O}_X)\) 还是紧生成的，见《空间的导出范畴》定理 09IY。由于 \(X\) 与 \(Y\) 拟紧且拟分离，\(f\) 也如此；见《空间的态射》引理 03KR 及 03KS。因而函子 \(Rf_*\) 与直和交换，见《空间的导出范畴》引理 08FB。证明完毕。

引理

记号与假设同引理 0E55。设 \(a:D_\QCoh(\mathcal{O}_Y)\to D_\QCoh(\mathcal{O}_X)\) 是 \(Rf_*\) 的右伴随。则 \(a\) 把 \(D^+_\QCoh(\mathcal{O}_Y)\) 映入 \(D^+_\QCoh(\mathcal{O}_X)\)。事实上，存在整数 \(N\)，使得 \(i\leq c\) 时 \(H^i(K)=0\) 蕴含 \(i\leq c-N\) 时 \(H^i(a(K))=0\)。

证明

由《空间的导出范畴》引理 08FA，函子 \(Rf_*\) 具有有限上同调维数。换言之，存在整数 \(N\)，使得若 \(i\geq c\) 时 \(H^i(L)=0\)，则 \(i\geq N+c\) 时 \(H^i(Rf_*L)=0\)。设 \(K\in D^+_\QCoh(\mathcal{O}_Y)\) 满足 \(i\leq c\) 时 \(H^i(K)=0\)。则 \[\Hom_{D(\mathcal{O}_X)}(\tau_{\leq c - N}a(K), a(K)) = \Hom_{D(\mathcal{O}_Y)}(Rf_*\tau_{\leq c - N}a(K), K) = 0\] ，其中最后一个等号由上述结论得到。显然，这蕴含在 \(i\leq c-N\) 时 \(H^i(a(K))=0\)。

设 \(S\) 是概形，\(f:X\to Y\) 是 \(S\) 上拟分离且拟紧的代数空间之间的态射。以 \(a\) 表示 \(Rf_*:D_\QCoh(\mathcal{O}_X)\to D_\QCoh(\mathcal{O}_Y)\) 的右伴随。对每个 \(K\in D_\QCoh(\mathcal{O}_Y)\) 与 \(L\in D_\QCoh(\mathcal{O}_X)\)，得到典范映射 [0E57]\[\begin{equation} Rf_*R\SheafHom_{\mathcal{O}_X}(L, a(K)) \longrightarrow R\SheafHom_{\mathcal{O}_Y}(Rf_*L, K) \end{equation}\] 具体而言，该映射构造为复合 \[Rf_*R\SheafHom_{\mathcal{O}_X}(L, a(K)) \to R\SheafHom_{\mathcal{O}_Y}(Rf_*L, Rf_*a(K)) \to R\SheafHom_{\mathcal{O}_Y}(Rf_*L, K)\] ，其中第一支箭头来自《站点上的上同调》评注 0B6D，第二支箭头是该伴随的余单位 \(Rf_*a(K)\to K\)。

引理

设 \(S\) 是概形，\(f:X\to Y\) 是 \(S\) 上拟紧且拟分离的代数空间之间的态射，\(a\) 是 \(Rf_*:D_\QCoh(\mathcal{O}_X)\to D_\QCoh(\mathcal{O}_Y)\) 的右伴随。设 \(L\in D_\QCoh(\mathcal{O}_X)\) 且 \(K\in D_\QCoh(\mathcal{O}_Y)\)。则映射 (0E57) \[Rf_*R\SheafHom_{\mathcal{O}_X}(L, a(K)) \longrightarrow R\SheafHom_{\mathcal{O}_Y}(Rf_*L, K)\] 在施加《空间的导出范畴》第 0CR3 节讨论的函子 \(DQ_Y:D(\mathcal{O}_Y)\to D_\QCoh(\mathcal{O}_Y)\) 后成为同构。

证明

由《空间的导出范畴》引理 0CR4，\(DQ_Y\) 存在，故该陈述有意义。由于 \(DQ_Y\) 是包含函子 \(D_\QCoh(\mathcal{O}_Y)\to D(\mathcal{O}_Y)\) 的右伴随，为证明引理，只需证明对任意 \(M\in D_\QCoh(\mathcal{O}_Y)\)，映射 (0E57) 诱导双射

\[\Hom_Y(M, Rf_*R\SheafHom_{\mathcal{O}_X}(L, a(K))) \longrightarrow \Hom_Y(M, R\SheafHom_{\mathcal{O}_Y}(Rf_*L, K))\] 。为此，使用下列一串等式： \[\begin{align*} \Hom_Y(M, Rf_*R\SheafHom_{\mathcal{O}_X}(L, a(K))) & = \Hom_X(Lf^*M, R\SheafHom_{\mathcal{O}_X}(L, a(K))) \\ & = \Hom_X(Lf^*M \otimes_{\mathcal{O}_X}^\mathbf{L} L, a(K)) \\ & = \Hom_Y(Rf_*(Lf^*M \otimes_{\mathcal{O}_X}^\mathbf{L} L), K) \\ & = \Hom_Y(M \otimes_{\mathcal{O}_Y}^\mathbf{L} Rf_*L, K) \\ & = \Hom_Y(M, R\SheafHom_{\mathcal{O}_Y}(Rf_*L, K)) \end{align*}\] 第一个等号由《站点上的上同调》引理 07A6 得到。

第二个等号由《站点上的上同调》引理 08J9 得到；第三个等号来自 \(a\) 的构造；第四个等号由《空间的导出范畴》引理 08IN 得到（这是关键一步）；第五个等号由《站点上的上同调》引理 08J9 得到。

例

若不施加“拟凝聚化子”\(DQ_Y\)，引理 0E58 的陈述并不成立。见《概形的对偶性》例 0GEU。

注

在引理 0E58 的情形中，由《空间的导出范畴》引理 0CR5 有 \[DQ_Y(Rf_*R\SheafHom_{\mathcal{O}_X}(L, a(K))) = Rf_* DQ_X(R\SheafHom_{\mathcal{O}_X}(L, a(K)))\] 。因此，若 \(R\SheafHom_{\mathcal{O}_X}(L,a(K))\in D_\QCoh(\mathcal{O}_X)\)，便可从箭头左端“消去”\(DQ_Y\)。另一方面，若已知 \(R\SheafHom_{\mathcal{O}_Y}(Rf_*L,K)\in D_\QCoh(\mathcal{O}_Y)\)，便可从箭头右端“消去”\(DQ_Y\)。若两者均成立，则 (0E57) 是同构。结合《空间的导出范畴》引理 0A8A 可知，在下列任一情形中，\(Rf_*R\SheafHom_{\mathcal{O}_X}(L,a(K))\to R\SheafHom_{\mathcal{O}_Y}(Rf_*L,K)\) 是同构：

\(L\) 与 \(Rf_*L\) 都是完美的；或

\(K\) 下有界，且 \(L\) 与 \(Rf_*L\) 都是伪凝聚的。

对于 (2)，使用如下事实：若 \(K\) 下有界，则 \(a(K)\) 下有界；见引理 0E56。

例

设 \(S\) 是概形，\(f:X\to Y\) 是 \(S\) 上 Noether 代数空间之间的真态射， \(L\in D^-_{\textit{Coh}}(X)\)，且 \(K\in D^+_{\QCoh}(\mathcal{O}_Y)\)。则映射 \(Rf_*R\SheafHom_{\mathcal{O}_X}(L,a(K))\to R\SheafHom_{\mathcal{O}_Y}(Rf_*L,K)\) 是同构。事实上，由《空间的导出范畴》引理 08IK 及 08GK，复形 \(L\) 与 \(Rf_*L\) 都是伪凝聚的，故可应用评注 0GG4 中的讨论。

引理

设 \(S\) 是概形，\(f:X\to Y\) 是 \(S\) 上拟分离且拟紧的代数空间之间的态射。对所有 \(L\in D_\QCoh(\mathcal{O}_X)\) 与 \(K\in D_\QCoh(\mathcal{O}_Y)\)，(0E57) 诱导整体导出 Hom 的同构 \(R\Hom_X(L,a(K))\to R\Hom_Y(Rf_*L,K)\)。

证明

由构造（《站点上的上同调》第 0B6E 节），复形 \[R\Hom_X(L, a(K)) = R\Gamma(X, R\SheafHom_{\mathcal{O}_X}(L, a(K))) = R\Gamma(Y, Rf_*R\SheafHom_{\mathcal{O}_X}(L, a(K)))\] 与

\[R\Hom_Y(Rf_*L, K) = R\Gamma(Y, R\SheafHom_{\mathcal{O}_X}(Rf_*L, a(K)))\] 。因此，本引理由引理 0E58 推出。具体而言，若 \(D(\mathcal{O}_Y)\) 中的映射 \(E\to E'\) 诱导同构 \(DQ_Y(E)\to DQ_Y(E')\)，则它诱导拟同构 \(R\Gamma(Y,E)\to R\Gamma(Y,E')\)。事实上， \(H^i(Y, E) = \Ext^i_Y(\mathcal{O}_Y, E) = \Hom(\mathcal{O}_Y[-i], E) = \Hom(\mathcal{O}_Y[-i], DQ_Y(E))\)。这是因为 \(\mathcal{O}_Y[-i]\) 属于 \(D_\QCoh(\mathcal{O}_Y)\)，且 \(DQ_Y\) 是包含函子 \(D_\QCoh(\mathcal{O}_Y)\to D(\mathcal{O}_Y)\) 的右伴随。

推前的右伴随与基变换（一）

我们来定义推前函子的右伴随之间的基变换映射。设 \(S\) 是概形，考虑笛卡尔图 [0E5B]\[\begin{equation} \vcenter{ \xymatrix{ X' \ar[r]_{g'} \ar[d]_{f'} & X \ar[d]^f \\ Y' \ar[r]^g & Y } } \end{equation}\] ，其中 \(Y'\) 与 \(X\) 在 \(Y\) 上 Tor 独立。以 \[a : D_\QCoh(\mathcal{O}_Y) \to D_\QCoh(\mathcal{O}_X) \quad\text{且}\quad a' : D_\QCoh(\mathcal{O}_{Y'}) \to D_\QCoh(\mathcal{O}_{X'})\] 表示 \(Rf_*\) 与 \(Rf'_*\) 的右伴随（引理 0E55）。《站点上的上同调》评注 07A7 的基变换映射给出函子变换 \[Lg^* \circ Rf_* \longrightarrow Rf'_* \circ L(g')^*\] 于具有拟凝聚上同调的层的导出范畴上。因此，得到反向的右伴随之间的变换 \[a \circ Rg_* \longleftarrow Rg'_* \circ a'\]

引理

在图 (0E5B) 中，映射 \(a\circ Rg_*\leftarrow Rg'_*\circ a'\) 是同构。

证明

由《空间的导出范畴》引理 08IR，对 \(D_\QCoh(\mathcal{O}_X)\) 中每个 \(K\)，基变换映射 \(Lg^*\circ Rf_*K\to Rf'_*\circ L(g')^*K\) 都是同构（这里使用了 Tor 独立的假设）。因此，伴随函子之间相应的变换也是同构。

于是可以考虑由下列复合给出的函子 \(D_\QCoh(\mathcal{O}_Y)\to D_\QCoh(\mathcal{O}_{X'})\) 的态射： [0E5D]\[\begin{equation} L(g')^* \circ a \to L(g')^* \circ a \circ Rg_* \circ Lg^* \leftarrow L(g')^* \circ Rg'_* \circ a' \circ Lg^* \to a' \circ Lg^* \end{equation}\] 第一支箭头来自伴随映射 \(\text{id}\to Rg_*Lg^*\)，最后一支箭头来自伴随映射 \(L(g')^*Rg'_*\to\text{id}\)。为逆转中间的箭头，需要 Tor 独立的假设，见引理 0E5C。或者，利用 \(L(g')^*\) 与 \(R(g')_*\) 的伴随性，可以把 (0E5D) 看作自然变换 \[a \to a \circ Rg_* \circ Lg^* \leftarrow Rg'_* \circ a' \circ Lg^*\]

，其中第二支箭头仍然可逆。若 \(M\in D_\QCoh(\mathcal{O}_X)\) 且 \(K\in D_\QCoh(\mathcal{O}_Y)\)，则该映射在 Yoneda 函子上由下式给出： \[\begin{align*} \Hom_X(M, a(K)) & = \Hom_Y(Rf_*M, K) \\ & \to \Hom_Y(Rf_*M, Rg_* Lg^*K) \\ & = \Hom_{Y'}(Lg^*Rf_*M, Lg^*K) \\ & \leftarrow \Hom_{Y'}(Rf'_* L(g')^*M, Lg^*K) \\ & = \Hom_{X'}(L(g')^*M, a'(Lg^*K)) \\ & = \Hom_X(M, Rg'_*a'(Lg^*K)) \end{align*}\]

（其中向左的箭头由《空间的导出范畴》引理 08IR 给出的基变换定理可知是可逆的），这使构造更为明确。

本节先证明，该基变换映射对于方块的纵横叠合满足若干自然相容性；这类似于通常基变换映射的《站点上的上同调》评注 0E46 与 0E47。建议读者初读时跳过本节余下部分。

引理

设 \(S\) 是概形。考虑交换图 \[\xymatrix{ X' \ar[r]_k \ar[d]_{f'} & X \ar[d]^f \\ Y' \ar[r]^l \ar[d]_{g'} & Y \ar[d]^g \\ Z' \ar[r]^m & Z }\] ，其中各对象均为 \(S\) 上拟紧且拟分离的代数空间，两个方块均为笛卡尔的，并且 \(f\) 与 \(l\)、\(g\) 与 \(m\) 分别 Tor 独立。则两个方块的映射 (0E5D) 复合后给出外侧矩形的基变换映射（精确陈述见证明）。

证明

由假设可知 \(g\circ f\) 与 \(m\) Tor 独立（略去细节），故该陈述有意义。本证明以 \(k^*\) 代替 \(Lk^*\)，以 \(f_*\) 代替 \(Rf_*\)。令 \(a,b,c\) 分别为引理 0E55 对 \(f,g,g\circ f\) 给出的右伴随；带撇版本的记号类似。上方方块对应的箭头是复合 \[\gamma_{top} : k^* \circ a \to k^* \circ a \circ l_* \circ l^* \xleftarrow{\xi_{top}} k^* \circ k_* \circ a' \circ l^* \to a' \circ l^*\] ，其中 \(\xi_{top}:k_*\circ a'\to a\circ l_*\) 是同构（因而可逆），并且是基变换映射 \(l^*\circ f_*\to f'_*\circ k^*\) 的“对偶”箭头。两端的箭头来自典范映射 \(1\to l_*\circ l^*\) 与 \(k^*\circ k_*\to1\)。类似地，对下方方块有 \[\gamma_{bot} : l^* \circ b \to l^* \circ b \circ m_* \circ m^* \xleftarrow{\xi_{bot}} l^* \circ l_* \circ b' \circ m^* \to b' \circ m^*\] 对于外侧矩形，得到 \[\gamma_{rect} : k^* \circ c \to k^* \circ c \circ m_* \circ m^* \xleftarrow{\xi_{rect}} k^* \circ k_* \circ c' \circ m^* \to c' \circ m^*\] 由于 \((g\circ f)_*=g_*\circ f_*\)，故 \(c=a\circ b\)；类似地， \(c'=a'\circ b'\)。引理的陈述是，\(\gamma_{rect}\) 等于复合 \[k^* \circ c = k^* \circ a \circ b \xrightarrow{\gamma_{top}} a' \circ l^* \circ b \xrightarrow{\gamma_{bot}} a' \circ b' \circ m^* = c' \circ m^*\] 为证明这一点，考察下图： \[\xymatrix{ & & k^* \circ a \circ b \ar[d] \ar[lldd] \\ & & k^* \circ a \circ l_* \circ l^* \circ b \ar[ld] \\ k^* \circ a \circ b \circ m_* \circ m^* \ar[r] & k^* \circ a \circ l_* \circ l^* \circ b \circ m_* \circ m^* & k^* \circ k_* \circ a' \circ l^* \circ b \ar[u]_{\xi_{top}} \ar[d] \ar[ld] \\ & k^*\circ k_* \circ a' \circ l^* \circ b \circ m_* \circ m^* \ar[u]_{\xi_{top}} \ar[rd] & a' \circ l^* \circ b \ar[d] \\ k^* \circ k_* \circ a' \circ b' \circ m^* \ar[uu]_{\xi_{rect}} \ar[ddrr] & k^*\circ k_* \circ a' \circ l^* \circ l_* \circ b' \circ m^* \ar[u]_{\xi_{bot}} \ar[l] \ar[dr] & a' \circ l^* \circ b \circ m_* \circ m^* \\ & & a' \circ l^* \circ l_* \circ b' \circ m^* \ar[u]_{\xi_{bot}} \ar[d] \\ & & a' \circ b' \circ m^* }\] 沿右侧向下得到上述复合，沿左侧向下得到 \(\gamma_{rect}\)。由《范畴》引理 003F，或者更直接地由《范畴》定义 003E 之前的讨论，此图右侧的所有四边形均交换。因此，只需证明下图 \[\xymatrix{ a \circ l_* \circ l^* \circ b \circ m_* & a \circ b \circ m_* \ar[l] \\ k_* \circ a' \circ l^* \circ b \circ m_* \ar[u]_{\xi_{top}} & \\ k_* \circ a' \circ l^* \circ l_* \circ b' \ar[u]_{\xi_{bot}} \ar[r] & k_* \circ a' \circ b' \ar[uu]_{\xi_{rect}} }\] 在逆转箭头 \(\xi_{top},\xi_{bot},\xi_{rect}\) 后交换（注意，这不同于要求原图本身交换）。另一方面，下图 \[\xymatrix{ & a \circ l_* \circ l^* \circ b \circ m_* \\ a \circ l_* \circ l^* \circ l_* \circ b' \ar[ru]^{\xi_{bot}} & & k_* \circ a' \circ l^* \circ b \circ m_* \ar[ul]_{\xi_{top}} \\ & k_* \circ a' \circ l^* \circ l_* \circ b' \ar[ul]^{\xi_{top}} \ar[ur]_{\xi_{bot}} }\] 由《范畴》引理 003F 可知交换。又因为下列两图

\[\vcenter{ \xymatrix{ a \circ l_* \circ l^* \circ b \circ m_* & a \circ b \circ m \ar[l] \\ a \circ l_* \circ l^* \circ l_* \circ b' \ar[u] & a \circ l_* \circ b' \ar[l] \ar[u] } } \quad\text{且}\quad \vcenter{ \xymatrix{ a \circ l_* \circ l^* \circ l_* \circ b' \ar[r] & a \circ l_* \circ b' \\ k_* \circ a' \circ l^* \circ l_* \circ b' \ar[u] \ar[r] & k_* \circ a' \circ b' \ar[u] } }\] 交换（见所引文献），并且复合 \(l_*\to l_*\circ l^*\circ l_*\to l_*\) 是恒等映射，所以只需证明

\[k \circ a' \circ b' \xrightarrow{\xi_{bot}} a \circ l_* \circ b \xrightarrow{\xi_{top}} a \circ b \circ m_*\] 等于 \(\xi_{rect}\)（通过恒等 \(a\circ b=c\) 与 \(a'\circ b'=c'\)）。这正是《站点上的上同调》评注 0E46 的对偶陈述，证明完毕。

引理

设 \(S\) 是概形。考虑交换图 \[\xymatrix{ X'' \ar[r]_{g'} \ar[d]_{f''} & X' \ar[r]_g \ar[d]_{f'} & X \ar[d]^f \\ Y'' \ar[r]^{h'} & Y' \ar[r]^h & Y }\] ，其中各对象均为 \(S\) 上拟紧且拟分离的代数空间，两个方块均为笛卡尔的，并且 \(f\) 与 \(h\)、\(f'\) 与 \(h'\) 分别 Tor 独立。则两个方块的映射 (0E5D) 复合后给出外侧矩形的基变换映射（精确陈述见证明）。

证明

由假设可知 \(f\) 与 \(h\circ h'\) Tor 独立（略去细节），故该陈述有意义。本证明以 \(g^*\) 代替 \(Lg^*\)，以 \(f_*\) 代替 \(Rf_*\)。令 \(a,a',a''\) 分别为引理 0E55 对 \(f,f',f''\) 给出的右伴随。右侧方块对应的箭头是复合 \[\gamma_{right} : g^* \circ a \to g^* \circ a \circ h_* \circ h^* \xleftarrow{\xi_{right}} g^* \circ g_* \circ a' \circ h^* \to a' \circ h^*\] ，其中 \(\xi_{right}:g_*\circ a'\to a\circ h_*\) 是同构（因而可逆），并且是基变换映射 \(h^*\circ f_*\to f'_*\circ g^*\) 的“对偶”箭头。两端的箭头来自典范映射 \(1\to h_*\circ h^*\) 与 \(g^*\circ g_*\to1\)。类似地，对左侧方块有 \[\gamma_{left} : (g')^* \circ a' \to (g')^* \circ a' \circ (h')_* \circ (h')^* \xleftarrow{\xi_{left}} (g')^* \circ (g')_* \circ a'' \circ (h')^* \to a'' \circ (h')^*\] 对于外侧矩形，得到 \[\gamma_{rect} : k^* \circ a \to k^* \circ a \circ m_* \circ m^* \xleftarrow{\xi_{rect}} k^* \circ k_* \circ a'' \circ m^* \to a'' \circ m^*\] ，其中 \(k=g\circ g'\) 且 \(m=h\circ h'\)。有 \(k^*=(g')^*\circ g^*\) 与 \(m^*=(h')^*\circ h^*\)。引理的陈述是，\(\gamma_{rect}\) 等于复合 \[k^* \circ a = (g')^* \circ g^* \circ a \xrightarrow{\gamma_{right}} (g')^* \circ a' \circ h^* \xrightarrow{\gamma_{left}} a'' \circ (h')^* \circ h^* = a'' \circ m^*\] 为证明这一点，考察下图： \[\xymatrix{ & (g')^* \circ g^* \circ a \ar[d] \ar[ddl] \\ & (g')^* \circ g^* \circ a \circ h_* \circ h^* \ar[ld] \\ (g')^* \circ g^* \circ a \circ h_* \circ (h')_* \circ (h')^* \circ h^* & (g')^* \circ g^* \circ g_* \circ a' \circ h^* \ar[u]_{\xi_{right}} \ar[d] \ar[ld] \\ (g')^* \circ g^* \circ g_* \circ a' \circ (h')_* \circ (h')^* \circ h^* \ar[u]_{\xi_{right}} \ar[dr] & (g')^* \circ a' \circ h^* \ar[d] \\ (g')^* \circ g^* \circ g_* \circ (g')_* \circ a'' \circ (h')^* \circ h^* \ar[u]_{\xi_{left}} \ar[ddr] \ar[dr] & (g')^* \circ a' \circ (h')_* \circ (h')^* \circ h^* \\ & (g')^*\circ (g')_* \circ a'' \circ (h')^* \circ h^* \ar[u]_{\xi_{left}} \ar[d] \\ & a'' \circ (h')^* \circ h^* }\] 沿右侧向下得到上述复合，沿左侧向下得到 \(\gamma_{rect}\)。由《范畴》引理 003F，或者更直接地由《范畴》定义 003E 之前的讨论，此图右侧的所有四边形均交换。因此，只需证明 \[g_* \circ (g')_* \circ a'' \xrightarrow{\xi_{left}} g_* \circ a' \circ (h')_* \xrightarrow{\xi_{right}} a \circ h_* \circ (h')_*\] 等于 \(\xi_{rect}\)。这正是《上同调》评注 0ATM 的对偶陈述，证明完毕。

注

设 \(S\) 是概形。考虑交换图 \[\xymatrix{ X'' \ar[r]_{k'} \ar[d]_{f''} & X' \ar[r]_k \ar[d]_{f'} & X \ar[d]^f \\ Y'' \ar[r]^{l'} \ar[d]_{g''} & Y' \ar[r]^l \ar[d]_{g'} & Y \ar[d]^g \\ Z'' \ar[r]^{m'} & Z' \ar[r]^m & Z }\] ，其中各对象均为 \(S\) 上拟紧且拟分离的代数空间，所有方块均为笛卡尔的，并且 \((f,l),(g,m),(f',l'),(g',m')\) 都是 Tor 独立的态射对。令 \(a,a',a'',b,b',b''\) 分别为引理 0E55 对 \(f,f',f'',g,g',g''\) 给出的右伴随。如下把图中的方块标记为 \(A,B,C,D\)： \[\begin{matrix} A & B \\ C & D \end{matrix}\] 于是，各方块的映射 (0E5D) 如下（这里使用 \(k^*=Lk^*\) 等简写）： \[\begin{matrix} \gamma_A : (k')^* \circ a' \to a'' \circ (l')^* & \gamma_B : k^* \circ a \to a' \circ l^* \\ \gamma_C : (l')^* \circ b' \to b'' \circ (m')^* & \gamma_D : l^* \circ b \to b' \circ m^* \end{matrix}\] 对于 \(2\times1\) 与 \(1\times2\) 矩形，另有四个基变换映射：

\[\begin{matrix} \gamma_{A + B} : (k \circ k')^* \circ a \to a'' \circ (l \circ l')^* \\ \gamma_{C + D} : (l \circ l')^* \circ b \to b'' \circ (m \circ m')^* \\ \gamma_{A + C} : (k')^* \circ (a' \circ b') \to (a'' \circ b'') \circ (m')^* \\ \gamma_{A + C} : k^* \circ (a \circ b) \to (a' \circ b') \circ m^* \end{matrix}\] 由引理 0E5F，有 \[\gamma_{A + B} = \gamma_A \circ \gamma_B, \quad \gamma_{C + D} = \gamma_C \circ \gamma_D\] ；由引理 0E5E，有 \[\gamma_{A + C} = \gamma_C \circ \gamma_A, \quad \gamma_{B + D} = \gamma_D \circ \gamma_B\] 这里，更准确的写法应为 \(\gamma_{A + B} = (\gamma_A \star \text{id}_{l^*}) \circ (\text{id}_{(k')^*} \star \gamma_B)\)，记号同《范畴》第 003D 节；其他情形类似。不过，我们继续沿用引理 0E5E 与 0E5F 的证明中的记号滥用，省略与恒等变换的 \(\star\) 乘积，因为只要已知变换的源与目标，

便可判断应补入哪些恒等变换。综上，先验地得到两个变换 \[(k')^* \circ k^* \circ a \circ b \longrightarrow a'' \circ b'' \circ (m')^* \circ m^*\] ，即 \[\gamma_C \circ \gamma_A \circ \gamma_D \circ \gamma_B = \gamma_{A + C} \circ \gamma_{B + D}\] 以及 \[\gamma_C \circ \gamma_D \circ \gamma_A \circ \gamma_B = \gamma_{C + D} \circ \gamma_{A + B}\] 本评注的要点是说明这两个变换相等。具体而言，只需证明下图交换： \[\xymatrix{ (k')^* \circ a' \circ l^* \circ b \ar[r]_{\gamma_D} \ar[d]_{\gamma_A} & (k')^* \circ a' \circ b' \circ m^* \ar[d]^{\gamma_A} \\ a'' \circ (l')^* \circ l^* \circ b \ar[r]^{\gamma_D} & a'' \circ (l')^* \circ b' \circ m^* }\] 由《范畴》引理 003F，或者更直接地由《范畴》定义 003E 之前的讨论，这确实成立。

推前的右伴随与基变换（二）

本节证明，第 0E5A 节的基变换映射在某些情形下是同构。

引理

在图 (0E5B) 中，进一步假设 \(g:Y'\to Y\) 是仿射概形之间的态射，且 \(f:X\to Y\) 是真的。则基变换映射 (0E5D) 在下列情形中诱导同构 \[L(g')^*a(K) \longrightarrow a'(Lg^*K)\]

若 \(f\) 平坦且有限表示，则对所有

\(K\in D_\QCoh(\mathcal{O}_X)\) 均成立；

若 \(f\) 完美且 \(Y\) 是 Noether 的，则对所有 \(K\in D_\QCoh(\mathcal{O}_X)\) 均成立；

若 \(g\) 具有有限 Tor 维数且 \(Y\) 是 Noether 的，则对 \(K\in D_\QCoh^+(\mathcal{O}_X)\) 成立。

证明

写成 \(Y=\Spec(A)\) 与 \(Y'=\Spec(A')\)。作为仿射态射的基变换，\(g'\) 是仿射的。取 \(D_\QCoh(\mathcal{O}_X)\) 的完美生成元 \(M\)，见《空间的导出范畴》定理 09IY。则 \(L(g')^*M\) 是 \(D_\QCoh(\mathcal{O}_{X'})\) 的生成元，见《空间的导出范畴》评注 0E4R。因此，只需证明 (0E5D) 诱导整体 Hom 复形的同构 [0E5J]\[\begin{equation} R\Hom_{X'}(L(g')^*M, L(g')^*a(K)) \longrightarrow R\Hom_{X'}(L(g')^*M, a'(Lg^*K)) \end{equation}\] ；见《站点上的上同调》第 0B6E 节，因为这将蕴含 \(L(g')^*a(K)\to a'(Lg^*K)\) 的锥为零。证明的结构如下：先证明这些 Hom 复形同构，再在证明的最后部分说明该同构由 (0E5J) 诱导。

先看左端。由于 \(M\) 完美，典范映射 \[R\Hom_X(M, a(K)) \otimes^\mathbf{L}_A A' \longrightarrow R\Hom_{X'}(L(g')^*M, L(g')^*a(K))\] 由《空间的导出范畴》引理 0E4S 可知是同构。再结合引理 0E59 的同构 \(R\Hom_Y(Rf_*M, K) = R\Hom_X(M, a(K))\) ，可知左端等于 \(R\Hom_Y(Rf_*M,K)\otimes_A^\mathbf{L}A'\)。

再看右端。先使用引理 0E59 的同构 \[R\Hom_{X'}(L(g')^*M, a'(Lg^*K)) = R\Hom_{Y'}(Rf'_*L(g')^*M, Lg^*K)\] 。由于 \(f\) 与 \(g\) Tor 独立，由《空间的导出范畴》引理 08IR，基变换映射 \(Lg^*Rf_*M\to Rf'_*L(g')^*M\) 是同构。因此可将右端改写为 \(R\Hom_{Y'}(Lg^*Rf_*M,Lg^*K)\)。由于 \(Y,Y'\) 仿射，且 \(K,Rf_*M\) 属于 \(D_\QCoh(\mathcal{O}_Y)\)（《空间的导出范畴》引理 08FA），有典范映射 \[\beta : R\Hom_Y(Rf_*M, K) \otimes^\mathbf{L}_A A' \longrightarrow R\Hom_{Y'}(Lg^*Rf_*M, Lg^*K)\] 于 \(D(A')\) 中。这就是《代数详论》等式 (0E1X) 的箭头；这里使用了《概形的导出范畴》引理 06Z0 与 0A6H 在代数表述之间来回转换。

若 \(f\) 平坦且有限表示，则由《空间的导出范畴》引理 0CTM，复形 \(Rf_*M\) 在 \(Y\) 上完美；由《代数详论》引理 0A6A 的 (1)，\(\beta\) 是同构。

若 \(f\) 完美且 \(Y\) 是 Noether 的，则由《空间的态射详论》引理 0E4U，复形 \(Rf_*M\) 在 \(Y\) 上完美；同上，\(\beta\) 是同构。

若 \(g\) 具有有限 Tor 维数且 \(Y\) 是 Noether 的，则复形 \(Rf_*M\) 在 \(Y\) 上伪凝聚（《空间的导出范畴》引理 08GK 与 08IK）；由《代数详论》引理 0A6A 的 (4)， \(\beta\) 是同构。

因此，得到与上一段相同的结果。

在证明余下部分，我们说明第二、三段给出的 (0E5J) 左右两端的认同，事实上正由 (0E5J) 给出。为使公式易于处理，记 \((-,-)_X=R\Hom_X(-,-)\)，以 \(-\otimes A'\) 代替

\(-\otimes_A^\mathbf{L}A'\)，并简记 \(g^*=Lg^*\)、\(f_*=Rf_*\)。考虑下列交换图：

\[\xymatrix{ ((g')^*M, (g')^*a(K))_{X'} \ar[d] & (M, a(K))_X \otimes A' \ar[l]^-\alpha \ar[d] & (f_*M, K)_Y \otimes A' \ar@{=}[l] \ar[d] \\ ((g')^*M, (g')^*a(g_*g^*K))_{X'} & (M, a(g_*g^*K))_X \otimes A' \ar[l]^-\alpha & (f_*M, g_*g^*K)_Y \otimes A' \ar@{=}[l] \ar@/_4pc/[dd]_{\mu'} \\ ((g')^*M, (g')^*g'_*a'(g^*K))_{X'} \ar[u] \ar[d] & (M, g'_*a'(g^*K))_X \otimes A' \ar[u] \ar[l]^-\alpha \ar[ld]^\mu & (f_*M, K) \otimes A' \ar[d]^\beta \\ ((g')^*M, a'(g^*K))_{X'} & (f'_*(g')^*M, g^*K)_{Y'} \ar@{=}[l] \ar[r] & (g^*f_*M, g^*K)_{Y'} }\] 标有 \(\alpha\) 的箭头，是《空间的导出范畴》引理 0E4S 对以 \(X',X,Y',Y\) 为顶点之图所给出的映射。由于水平箭头对各变量具有函子性，图的上部交换。中间的竖直箭头来自引理 0E5C 的可逆变换 \(g'_*\circ a'\to a\circ g_*\)，因而中间方块交换。沿左侧向下正是 (0E5J)。上方的水平箭头给出证明第二段使用的认同；包括 \(\beta\) 在内的下方水平箭头给出证明第三段使用的认同。给定 \(E\in D(A)\)、\(E'\in D(A')\) 以及 \(D(A)\) 中的 \(c:E\to E'\)，以 \(\mu_c:E\otimes A'\to E'\) 表示由 \(c\) 以及限制与基变换的伴随性所诱导的映射。若 \(c\) 明确，便写成 \(\mu=\mu_c\)，即从记号中略去 \(c\)。图中的映射 \(\mu\) 属于这种形式，其中 \(c\) 由下列认同给出：

\((M, g'_*a(g^*K))_X = ((g')^*M, a'(g^*K))_{X'}\) 。由《空间的导出范畴》评注 0E4T，含 \(\mu\) 的三角形交换。

注意，图 \[\xymatrix{ (M, a(g_*g^*K))_X & (f_*M, g_* g^*K)_Y \ar@{=}[l] & (g^*f_*M, g^*K)_{Y'} \ar@{=}[l] \\ (M, g'_* a'(g^*K))_X \ar[u] & ((g')^*M, a'(g^*K))_{X'} \ar@{=}[l] & (f'_*(g')^*M, g^*K)_{Y'} \ar@{=}[l] \ar[u] }\] 由变换 \(g'_*\circ a'\to a\circ g_*\) 的定义即知交换。令 \(\mu'\) 如上，对应于认同

\((f_*M, g_*g^*K)_X = (g^*f_*M, g^*K)_{Y'}\) ，则六边形也交换。因此，只需证明 \(\beta\) 等于下列映射与 \(\mu'\) 的复合：

\((f_*M, K)_Y \otimes A' \to (f_*M, g_*g^*K)_X \otimes A'\) 。为此，只需证明所诱导的两个映射 \((f_*M,K)_Y\to(g^*f_*M,g^*K)_{Y'}\) 相同。换言之，只需证明下图交换： \[\xymatrix{ R\Hom_A(E, K) \ar[rr]_{\text{由 }\beta\text{ 诱导}} \ar[rd] & & R\Hom_{A'}(E \otimes_A^\mathbf{L} A', K \otimes_A^\mathbf{L} A') \\ & R\Hom_A(E, K \otimes_A^\mathbf{L} A') \ar[ru] }\] 对所有 \(E,K\in D(A)\) 都成立。而《代数详论》第 0E1V 节正是如此构造 \(\beta\) 的，故证明完毕。

推前的右伴随与迹映射

设 \(S\) 是概形，\(f:X\to Y\) 是 \(S\) 上拟紧且拟分离的代数空间之间的态射。令 \(a:D_\QCoh(\mathcal{O}_Y)\to D_\QCoh(\mathcal{O}_X)\) 为引理 0E55 中的右伴随。由《范畴》第 0036 节，得到函子变换 \[\text{Tr}_f : Rf_* \circ a \longrightarrow \text{id}\] 对 \(K\in D_\QCoh(\mathcal{O}_Y)\)，相应的映射 \(\text{Tr}_{f,K}:Rf_*a(K)\longrightarrow K\) 有时称为迹映射。它具有如下性质：刻画右伴随的双射 \[\Hom_X(L, a(K)) \longrightarrow \Hom_Y(Rf_*L, K)\] （其中 \(L\in D_\QCoh(\mathcal{O}_X)\)）由下式给出： \[\varphi \longmapsto \text{Tr}_{f, K} \circ Rf_*\varphi\] 典范映射 (0E57) \[Rf_*R\SheafHom_{\mathcal{O}_X}(L, a(K)) \longrightarrow R\SheafHom_{\mathcal{O}_Y}(Rf_*L, K)\] 由与 \(\text{Tr}_{f,K}\) 复合得到。本节将考察的每个迹映射都是该迹映射的特殊情形。在讨论这些特殊情形之前，先证明迹映射的形成与基变换相交换。

引理

设有图 (0E5B)。则映射 \(1 \star \text{Tr}_f : Lg^* \circ Rf_* \circ a \to Lg^*\) 与 \(\text{Tr}_{f'} \star 1 : Rf'_* \circ a' \circ Lg^* \to Lg^*\) 通过下列基变换映射相一致： \(\beta : Lg^* \circ Rf_* \to Rf'_* \circ L(g')^*\) （《站点上的上同调》评注 07A7）以及 \(\alpha : L(g')^* \circ a \to a' \circ Lg^*\) （0E5D）。更确切地说，下列函子变换之图交换： \[\xymatrix{ Lg^* \circ Rf_* \circ a \ar[d]_{\beta \star 1} \ar[r]_-{1 \star \text{Tr}_f} & Lg^* \\ Rf'_* \circ L(g')^* \circ a \ar[r]^{1 \star \alpha} & Rf'_* \circ a' \circ Lg^* \ar[u]_{\text{Tr}_{f'} \star 1} }\]

证明

本证明以 \(f_*\) 代替 \(Rf_*\)，以 \(g^*\) 代替 \(Lg^*\)，并省略与恒等变换的 \(\star\) 乘积，因为只要已知变换的源与目标，便可判断应补入哪些恒等变换。回忆，\(\beta:g^*\circ f_*\to f'_*\circ(g')^*\) 是同构，而 \(\alpha\) 用 \(\beta\) 的伴随同构 \(\beta^\vee:g'_*\circ a'\to a\circ g_*\) 定义；见引理 0E5C 及其证明。首先注意，引理之图上方的水平箭头等于复合 \[g^* \circ f_* \circ a \to g^* \circ f_* \circ a \circ g_* \circ g^* \to g^* \circ g_* \circ g^* \to g^*\] ，其中第一支箭头是 \((g^*,g_*)\) 的单位，第二支箭头是 \(\text{Tr}_f\)，第三支箭头是 \((g^*,g_*)\) 的余单位。这直接源于如下事实：单位与余单位的复合 \(g^*\to g^*\circ g_*\circ g^*\to g^*\) 是恒等变换。考虑图 \[\xymatrix{ & g^* \circ f_* \circ a \ar[ld]_\beta \ar[d] \ar[r]_{\text{Tr}_f} & g^* \\ f'_* \circ (g')^* \circ a \ar[dr] & g^* \circ f_* \circ a \circ g_* \circ g^* \ar[d]_\beta \ar[ru] & g^* \circ f_* \circ g'_* \circ a' \circ g^* \ar[l]_{\beta^\vee} \ar[d]_\beta & f'_* \circ a' \circ g^* \ar[lu]_{\text{Tr}_{f'}} \\ & f'_* \circ (g')^* \circ a \circ g_* \circ g^* & f'_* \circ (g')^* \circ g'_* \circ a' \circ g^* \ar[ru] \ar[l]_{\beta^\vee} }\]

在此图中，由《范畴》引理 003F，或者更直接地由《范畴》定义 003E 之前的讨论，两个方块均交换。由上述讨论，三角形交换。由《范畴》引理 0B65 ，下方方块 \[\xymatrix{ g^* \circ f_* \circ g'_* \circ a' \ar[d]_{\beta^\vee} \ar[r]_-\beta & f'_* \circ (g')^* \circ g'_* \circ a' \ar[d] \\ g^* \circ f_* \circ a \circ g_* \ar[r] & \text{id} }\] 交换，从而大图中的五边形交换。由于 \(\beta\) 与 \(\beta^\vee\) 都是同构，并且按定义沿大图外侧得到

\(\text{Tr}_f\circ\alpha\circ\beta\)，引理得证。

设 \(S\) 是概形，\(f:X\to Y\) 是 \(S\) 上拟紧且拟分离的代数空间之间的态射。令 \(a:D_\QCoh(\mathcal{O}_Y)\to D_\QCoh(\mathcal{O}_X)\) 为引理 0E55 中 \(Rf_*\) 的右伴随。由《范畴》第 0036 节，得到函子变换 \[\eta_f : \text{id} \to a \circ Rf_*\] ，称为该伴随的单位。

引理

设有图 (0E5B)。则映射 \(1 \star \eta_f : L(g')^* \to L(g')^* \circ a \circ Rf_*\) 与 \(\eta_{f'} \star 1 : L(g')^* \to a' \circ Rf'_* \circ L(g')^*\) 通过下列基变换映射相一致： \(\beta : Lg^* \circ Rf_* \to Rf'_* \circ L(g')^*\) （《站点上的上同调》评注 07A7）以及 \(\alpha : L(g')^* \circ a \to a' \circ Lg^*\) （0E5D）。更确切地说，下列函子变换之图交换： \[\xymatrix{ L(g')^* \ar[r]_-{1 \star \eta_f} \ar[d]_{\eta_{f'} \star 1} & L(g')^* \circ a \circ Rf_* \ar[d]^\alpha \\ a' \circ Rf'_* \circ L(g')^* & a' \circ Lg^* \circ Rf_* \ar[l]_-\beta }\]

证明

本证明与引理 0E5L 的证明对偶。本证明以 \(f_*\) 代替 \(Rf_*\)，以 \(g^*\) 代替 \(Lg^*\)，并省略与恒等变换的 \(\star\) 乘积，因为只要已知变换的源与目标，便可判断应补入哪些恒等变换。回忆，\(\beta:g^*\circ f_*\to f'_*\circ(g')^*\) 是同构，而 \(\alpha\) 用 \(\beta\) 的伴随同构 \(\beta^\vee:g'_*\circ a'\to a\circ g_*\) 定义；见引理 0E5C 及其证明。首先注意，引理之图左侧的竖直箭头等于复合 \[(g')^* \to (g')^* \circ g'_* \circ (g')^* \to (g')^* \circ g'_* \circ a' \circ f'_* \circ (g')^* \to a' \circ f'_* \circ (g')^*\] ，其中第一支箭头是 \(((g')^*,g'_*)\) 的单位，第二支箭头是 \(\eta_{f'}\)，第三支箭头是 \(((g')^*,g'_*)\) 的余单位。这直接源于如下事实：单位与余单位的复合 \((g')^*\to(g')^*\circ(g')_*\circ(g')^*\to(g')^*\) 是恒等变换。考虑图 \[\xymatrix{ & (g')^* \circ a \circ f_* \ar[r] & (g')^* \circ a \circ g_* \circ g^* \circ f_* \ar[ld]_\beta \\ (g')^* \ar[ru]^{\eta_f} \ar[dd]_{\eta_{f'}} \ar[rd] & (g')^* \circ a \circ g_* \circ f'_* \circ (g')^* & (g')^* \circ g'_* \circ a' \circ g^* \circ f_* \ar[u]_{\beta^\vee} \ar[ld]_\beta \ar[d] \\ & (g')^* \circ g'_* \circ a' \circ f'_* \circ (g')^* \ar[ld] \ar[u]_{\beta^\vee} & a' \circ g^* \circ f_* \ar[lld]^\beta \\ a' \circ f'_* \circ (g')^* }\]

在此图中，由《范畴》引理 003F，或者更直接地由《范畴》定义 003E 之前的讨论，两个方块均交换。由上述讨论，三角形交换。由《范畴》引理 0B65 的对偶，下方方块 \[\xymatrix{ \text{id} \ar[r] \ar[d] & g'_* \circ a' \circ g^* \circ f_* \ar[d]^\beta \\ g'_* \circ a' \circ g^* \circ f_* \ar[r]^{\beta^\vee} & a \circ g_* \circ f'_* \circ (g')^* }\] 交换，从而大图中的五边形交换。由于 \(\beta\) 与 \(\beta^\vee\) 都是同构，并且按定义沿大图外侧得到 \(\beta\circ\alpha\circ\eta_f\)，引理得证。

推前的右伴随与拉回

设 \(S\) 是概形，\(f:X\to Y\) 是 \(S\) 上拟紧且拟分离的代数空间之间的态射。令 \(a\) 为引理 0E55 中推前的右伴随。对 \(K,L\in D_\QCoh(\mathcal{O}_Y)\)，有典范映射 \[Lf^*K \otimes^\mathbf{L}_{\mathcal{O}_X} a(L) \longrightarrow a(K \otimes_{\mathcal{O}_Y}^\mathbf{L} L)\] 具体而言，该映射伴随于映射 \[Rf_*(Lf^*K \otimes^\mathbf{L}_{\mathcal{O}_X} a(L)) = K \otimes^\mathbf{L}_{\mathcal{O}_Y} Rf_*(a(L)) \longrightarrow K \otimes^\mathbf{L}_{\mathcal{O}_Y} L\] （等号由《空间的导出范畴》引理 08IN 给出），其中使用迹映射 \(Rf_*a(L)\to L\)。当 \(L=\mathcal{O}_Y\) 时，得到映射 [0E5P]\[\begin{equation} Lf^*K \otimes^\mathbf{L}_{\mathcal{O}_X} a(\mathcal{O}_Y) \longrightarrow a(K) \end{equation}\] ；它对 \(K\) 具有函子性，并与特异三角相容。

引理

设 \(S\) 是概形，\(f:X\to Y\) 是 \(S\) 上拟紧且拟分离的代数空间之间的态射。上面为 \(K,L\in D_\QCoh(\mathcal{O}_Y)\) 定义的映射 \(Lf^*K \otimes^\mathbf{L}_{\mathcal{O}_X} a(L) \to a(K \otimes_{\mathcal{O}_Y}^\mathbf{L} L)\) 在 \(K\) 完美时是同构。特别地，若 \(K\) 完美，则 (0E5P) 是同构。

证明

令 \(K^\vee\) 为 \(K\) 的“对偶”，见《站点上的上同调》引理 08JJ。对 \(M\in D_\QCoh(\mathcal{O}_X)\)，有 \[\begin{align*} \Hom_{D(\mathcal{O}_Y)}(Rf_*M, K \otimes^\mathbf{L}_{\mathcal{O}_Y} L) & = \Hom_{D(\mathcal{O}_Y)}( Rf_*M \otimes^\mathbf{L}_{\mathcal{O}_Y} K^\vee, L) \\ & = \Hom_{D(\mathcal{O}_X)}( M \otimes^\mathbf{L}_{\mathcal{O}_X} Lf^*K^\vee, a(L)) \\ & = \Hom_{D(\mathcal{O}_X)}(M, Lf^*K \otimes^\mathbf{L}_{\mathcal{O}_X} a(L)) \end{align*}\]

第二个等号由 \(a\) 的定义与投影公式（《站点上的上同调》引理 0944）得到，也可使用更一般的《空间的导出范畴》引理 08IN。结论遂由 Yoneda 引理推出。

引理

设有图 (0E5B)，并设 \(K\in D_\QCoh(\mathcal{O}_Y)\)。则下图交换： \[\xymatrix{ L(g')^*(Lf^*K \otimes^\mathbf{L}_{\mathcal{O}_X} a(\mathcal{O}_Y)) \ar[r] \ar[d] & L(g')^*a(K) \ar[d] \\ L(f')^*Lg^*K \otimes_{\mathcal{O}_{X'}}^\mathbf{L} a'(\mathcal{O}_{Y'}) \ar[r] & a'(Lg^*K) }\] 其中水平箭头分别是 \(K\) 与 \(Lg^*K\) 的映射 (0E5P)，竖直箭头则使用《站点上的上同调》评注 07A7 及 (0E5D) 构造。

证明

本证明以 \(f_*\) 代替 \(Rf_*\)，以 \(f^*\) 代替 \(Lf^*\) 等，并以 \(\otimes\) 代替 \(\otimes^\mathbf{L}_{\mathcal{O}_X}\) 等。把 (0E5P) 写成复合 \[\begin{align*} f^*K \otimes a(\mathcal{O}_Y) & \to a(f_*(f^*K \otimes a(\mathcal{O}_Y))) \\ & \leftarrow a(K \otimes f_*a(\mathcal{O}_K)) \\ & \to a(K \otimes \mathcal{O}_Y) \\ & \to a(K) \end{align*}\] 。这里，第一支箭头是单位 \(\eta_f\)；第二支箭头是把 \(a\) 施加于《站点上的上同调》等式 (0B56) 所得，而由《空间的导出范畴》引理 08IN，该箭头是同构；第三支箭头是把 \(a\) 施加于 \(\text{id}_K\otimes\text{Tr}_f\) 所得；第四支箭头是把 \(a\) 施加于同构 \(K\otimes\mathcal{O}_Y=K\) 所得。为证明引理，只需说明这些映射中的每一个都产生引理陈述中的交换方块。对 \(\eta_f\) 与 \(\text{Tr}_f\)，这分别由引理 0E5M 与 0E5L 给出。对使用《站点上的上同调》等式 (0B56) 的箭头，这由《站点上的上同调》评注 0E48 给出。对乘法映射则显然。证明完毕。

真平坦态射推前的右伴随

对于拟紧且拟分离的代数空间之间真、平坦且有限表示的态射，推前的右伴随具有若干显著性质。

引理

设 \(S\) 是概形，\(Y\) 是 \(S\) 上拟紧且拟分离的代数空间， \(f:X\to Y\) 是真、平坦且有限表示的代数空间态射。令 \(a\) 为引理 0E55 中 \(Rf_*:D_\QCoh(\mathcal{O}_X)\to D_\QCoh(\mathcal{O}_Y)\) 的右伴随。则 \(a\) 与直和交换。

证明

设 \(P\) 是 \(D(\mathcal{O}_X)\) 的完美对象。由《空间的导出范畴》引理 0CTM，复形 \(Rf_*P\) 在 \(Y\) 上完美。设 \(K_i\) 是 \(D_\QCoh(\mathcal{O}_Y)\) 中的一族对象。则 \[\begin{align*} \Hom_{D(\mathcal{O}_X)}(P, a(\bigoplus K_i)) & = \Hom_{D(\mathcal{O}_Y)}(Rf_*P, \bigoplus K_i) \\ & = \bigoplus \Hom_{D(\mathcal{O}_Y)}(Rf_*P, K_i) \\ & = \bigoplus \Hom_{D(\mathcal{O}_X)}(P, a(K_i)) \end{align*}\] ，因为完美对象是紧的（《空间的导出范畴》命题 09M8）。由于 \(D_\QCoh(\mathcal{O}_X)\) 有完美生成元（《空间的导出范畴》定理 09IY），可知映射 \(\bigoplus a(K_i)\to a(\bigoplus K_i)\) 是同构，即 \(a\) 与直和交换。

引理

设 \(S\) 是概形，\(Y\) 是 \(S\) 上拟紧且拟分离的代数空间， \(f:X\to Y\) 是真、平坦且有限表示的代数空间态射。对 \(D_\QCoh(\mathcal{O}_Y)\) 的每个对象 \(K\)，映射 (0E5P) 都是同构。

证明

由引理 0E5T，\(a\) 与直和交换。因此，使 (0E5P) 成为同构的 \(D_\QCoh(\mathcal{O}_Y)\) 对象，构成 \(D_\QCoh(\mathcal{O}_Y)\) 的一个严格满、饱和的三角子范畴，并且在取直和下保持。由于 \(D_\QCoh(\mathcal{O}_Y)\) 是由单个完美对象生成的模范畴（《空间的导出范畴》定理 09MC 与 09IY），可如《代数详论》评注 09PB 那样论证，只需对一个完美对象证明 (0E5P) 是同构。然而，对完美对象该结论已经成立，见引理 0E5Q。

引理

设 \(Y\) 是仿射概形，\(f:X\to Y\) 是真、平坦且有限表示的代数空间态射。令 \(a\) 为引理 0E55 中 \(Rf_*:D_\QCoh(\mathcal{O}_X)\to D_\QCoh(\mathcal{O}_Y)\) 的右伴随。则

\(a(\mathcal{O}_Y)\) 是 \(D(\mathcal{O}_X)\) 中的 \(Y\)-完美对象；

\(Rf_*a(\mathcal{O}_Y)\) 的正次数上同调层均为零；

\(\mathcal{O}_X \to R\SheafHom_{\mathcal{O}_X}(a(\mathcal{O}_Y), a(\mathcal{O}_Y))\) 是同构。

证明

对 \(D(\mathcal{O}_X)\) 的完美对象 \(E\)，有 \[\begin{align*} Rf_*(E \otimes_{\mathcal{O}_X}^\mathbf{L} \omega_{X/Y}^\bullet) & = Rf_*R\SheafHom_{\mathcal{O}_X}(E^\vee, \omega_{X/Y}^\bullet) \\ & = R\SheafHom_{\mathcal{O}_Y}(Rf_*E^\vee, \mathcal{O}_Y) \\ & = (Rf_*E^\vee)^\vee \end{align*}\] 第一个等号见《站点上的上同调》引理 08JJ。第二个等号见引理 0E58、评注 0GG4 及《空间的导出范畴》引理 0CTM。第三个等号是对偶的定义。特别地，这些引文还表明所得对象是 \(D(\mathcal{O}_Y)\) 的完美对象。于是由《空间的态射详论》引理 0GFL， \(\omega_{X/Y}^\bullet\) 是 \(Y\)-完美的。这证明了 (1)。

设 \(M\) 是 \(D_\QCoh(\mathcal{O}_Y)\) 的对象。则 \[\begin{align*} \Hom_Y(M, Rf_*a(\mathcal{O}_Y)) & = \Hom_X(Lf^*M, a(\mathcal{O}_Y)) \\ & = \Hom_Y(Rf_*Lf^*M, \mathcal{O}_Y) \\ & = \Hom_Y(M \otimes_{\mathcal{O}_Y}^\mathbf{L} Rf_*\mathcal{O}_Y, \mathcal{O}_Y) \end{align*}\] 第一个等号由《站点上的上同调》引理 07A6 得到。

第二个等号由 \(a\) 的构造得到；第三个等号由《空间的导出范畴》引理 08IN 得到。回忆：对某个 \(N\)， \(Rf_*\mathcal{O}_X\) 是 Tor 振幅位于 \([0,N]\) 的完美复形；见《空间的导出范畴》引理 0CTM。因此，可以用位于次数 \([0,N]\) 的有限投射模复形表示 \(Rf_*\mathcal{O}_X\)（使用《代数详论》引理 0658 以及 \(Y\) 仿射这一事实）。故若对某个 \(i>0\) 有 \(M=\mathcal{O}_Y[-i]\)，则最后一个群为零。由于 \(Y\) 仿射，可知当 \(i>0\) 时 \(H^i(Rf_*a(\mathcal{O}_Y))=0\)。这证明了 (2)。

设 \(E\) 是 \(D_\QCoh(\mathcal{O}_X)\) 的完美对象。则 \[\begin{align*} \Hom_X(E, R\SheafHom_{\mathcal{O}_X}(a(\mathcal{O}_Y), a(\mathcal{O}_Y)) & = \Hom_X(E \otimes_{\mathcal{O}_X}^\mathbf{L} a(\mathcal{O}_Y), a(\mathcal{O}_Y)) \\ & = \Hom_Y(Rf_*(E \otimes_{\mathcal{O}_X}^\mathbf{L} a(\mathcal{O}_Y)), \mathcal{O}_Y) \\ & = \Hom_Y(Rf_*(R\SheafHom_{\mathcal{O}_X}(E^\vee, a(\mathcal{O}_Y))), \mathcal{O}_Y) \\ & = \Hom_Y(R\SheafHom_{\mathcal{O}_Y}(Rf_*E^\vee, \mathcal{O}_Y), \mathcal{O}_Y) \\ & = R\Gamma(Y, Rf_*E^\vee) \\ & = \Hom_X(E, \mathcal{O}_X) \end{align*}\] 第一个等号由《站点上的上同调》引理 08J9 得到。第二个等号是 \(a\) 的定义。第三个等号来自对偶完美复形 \(E^\vee\) 的构造，见《站点上的上同调》引理 08JJ。第四个等号来自证明第一段所得的等式 \(Rf_*R\SheafHom_{\mathcal{O}_X}(E^\vee, \omega_{X/Y}^\bullet) = R\SheafHom_{\mathcal{O}_Y}(Rf_*E^\vee, \mathcal{O}_Y)\) 。第五个等号由完美复形的二次对偶性（《站点上的上同调》引理 08JJ）以及下列事实得到：

由《空间的导出范畴》引理 0CTM \(Rf_*E\) 是完美的。最后一个等号是 \(f\) 的 Leray 等式。这一串等式实质上通过 Yoneda 引理证明了 (3)。具体而言，由《空间的导出范畴》引理 0A8A，对象 \(R\SheafHom(a(\mathcal{O}_Y),a(\mathcal{O}_Y))\) 属于 \(D_\QCoh(\mathcal{O}_X)\)。在上式中取 \(E=\mathcal{O}_X\)，得到映射 \(\alpha : \mathcal{O}_X \to R\SheafHom_{\mathcal{O}_X}(a(\mathcal{O}_Y), a(\mathcal{O}_Y))\) ，它对应于 \(\text{id}_{\mathcal{O}_X} \in \Hom_X(\mathcal{O}_X, \mathcal{O}_X)\). 。由于上述所有同构对 \(E\) 具有函子性，\(\alpha\) 的锥是 \(D_\QCoh(\mathcal{O}_X)\) 中的对象 \(C\)，并且对所有完美 \(E\) 都有 \(\Hom(E,C)=0\)。由于完美对象生成该范畴（《空间的导出范畴》定理 09IY），可知 \(\alpha\) 是同构。

真平坦态射的相对对偶复形

受《概形的对偶性》第 0E4H、 0E2S 节及本章第 0E5S 节内容的启发，作如下定义。

定义

设 \(S\) 是概形，\(f:X\to Y\) 是 \(S\) 上真、平坦且有限表示的代数空间态射。\(X/Y\) 的相对对偶复形是一个二元组 \((\omega_{X/Y}^\bullet,\tau)\)，它由 \(D(\mathcal{O}_X)\) 中的 \(Y\)-完美对象 \(\omega_{X/Y}^\bullet\) 与映射 \[\tau : Rf_*\omega_{X/Y}^\bullet \longrightarrow \mathcal{O}_Y\] 组成，并且对任意笛卡尔方块 \[\xymatrix{ X' \ar[r]_{g'} \ar[d]_{f'} & X \ar[d]^f \\ Y' \ar[r]^g & Y }\] ，若 \(Y'\) 是仿射概形，则二元组 \((L(g')^*\omega_{X/Y}^\bullet, Lg^*\tau)\) 同构于二元组 \((a'(\mathcal{O}_{Y'}), \text{Tr}_{f', \mathcal{O}_{Y'}})\)；该二元组见第 0E54, 0E5A, 0E5H, 0E5K, 0E5N 与 0E5S 节。

这里需要作几点说明。

在定义 0E5X 中，可以删去 \(\omega_{X/Y}^\bullet\) 是 \(Y\)-完美的这一假设。事实上，让 \(Y'\) 遍历 \(Y\) 的一个仿射平展覆盖的成员；由引理 0E5V 可知， \(\omega_{X/Y}^\bullet\) 在 \(X\) 的一个平展覆盖的各成员上的限制都是 \(Y\)-完美的。这蕴含 \(\omega_{X/Y}^\bullet\) 是 \(Y\)-完美的；见《空间的态射详论》第 0DKM 节。
考虑相对对偶复形 \((\omega_{X/Y}^\bullet,\tau)\) 与定义 0E5X 中的笛卡尔方块。我们把同构 \((L(g')^*\omega_{X/Y}^\bullet, Lg^*\tau) \cong (a'(\mathcal{O}_{Y'}), \text{Tr}_{f', \mathcal{O}_{Y'}})\) 的存在理解为：对任意 \(M'\in D_\QCoh(\mathcal{O}_{X'})\)，映射 \[\Hom_{X'}(M', L(g')^*\omega_{X/Y}^\bullet) \longrightarrow \Hom_{Y'}(Rf'_*M', \mathcal{O}_{Y'}),\quad \varphi' \longmapsto Lg^*\tau \circ Rf'_*\varphi'\] 是同构。这由 \(a'\) 的定义及第 0E5K 节的讨论得到。特别地， Yoneda 引理保证该同构唯一。
若 \(Y\) 本身仿射，则相对对偶复形 \((\omega_{X/Y}^\bullet,\tau)\) 存在，并典范同构于 \((a(\mathcal{O}_Y),\text{Tr}_{f,\mathcal{O}_Y})\)，其中 \(a\) 是引理 0E55 中 \(Rf_*\) 的右伴随，\(\text{Tr}_f\) 如第 0E5K 节所述。事实上，给定定义中的图，由引理 0E5I 得到同构 \(L(g')^*a(\mathcal{O}_Y)\to a'(\mathcal{O}_{Y'})\)；由引理 0E5L，它与迹映射相容。

这些信息恰好足以把局部给出的相对对偶复形粘合成整体对象。建议读者跳过以下各引理的证明。

引理

设 \(S\) 是概形，设 \(X\to Y\) 是真、平坦且有限表示的代数空间态射。若 \((\omega_{X/Y}^\bullet,\tau)\) 是相对对偶复形，则 \(\mathcal{O}_X \to R\SheafHom_{\mathcal{O}_X}(\omega_{X/Y}^\bullet, \omega_{X/Y}^\bullet)\) 是同构，并且 \(Rf_*\omega_{X/Y}^\bullet\) 的正次数上同调层均为零。

证明

只需在用一个平展于 \(Y\) 的仿射概形作基变换后证明；此时结论由引理 0E5V 得到。

引理

设 \(S\) 是概形，设 \(X\to Y\) 是真、平坦且有限表示的代数空间态射。若 \((\omega_j^\bullet,\tau_j)\)（\(j=1,2\)）是 \(X/Y\) 上的两个相对对偶复形，则存在唯一同构 \((\omega_1^\bullet, \tau_1) \to (\omega_2^\bullet, \tau_2)\)。

证明

取平展态射 \(g:Y'\to Y\)，其中 \(Y'\) 是仿射概形，并记基变换为 \(X'=Y'\times_YX\)。由定义 0E5X 及其后的讨论，存在唯一同构 \(\iota : (\omega_1^\bullet|_{X'}, \tau_1|_{Y'}) \to (\omega_2^\bullet|_{X'}, \tau_2|_{Y'})\)。若 \(Y''\to Y'\) 还是仿射概形间的平展态射，且 \(X''=Y''\times_YX\)，则 \(\iota|_{X''}\) 是唯一同构 \((\omega_1^\bullet|_{X''}, \tau_1|_{Y''}) \to (\omega_2^\bullet|_{X''}, \tau_2|_{Y''})\)（由唯一性）。此外， \[\text{Ext}^p_{X'}(\omega_1^\bullet|_{X'}, \omega_2^\bullet|_{X'}) = 0, \quad p < 0\] ，因为由引理 0E5Y， \(\mathcal{O}_{X'} \cong R\SheafHom_{\mathcal{O}_{X'}}(\omega_1^\bullet|_{X'}, \omega_1^\bullet|_{X'}) \cong R\SheafHom_{\mathcal{O}_{X'}}(\omega_1^\bullet|_{X'}, \omega_2^\bullet|_{X'})\)。

选取平展超覆盖 \(b:V\to Y\)，使得每个 \(V_n=\coprod_{i\in I_n}Y_{n,i}\)，其中各 \(Y_{n,i}\) 均仿射。这可由《超覆盖》引理 0DAV 与评注 0DB2 做到（把前一引理产生的超覆盖换成每一次数上都是不交并的超覆盖）。记 \(X_{n,i}=Y_{n,i}\times_YX\) 与 \(U_n=V_n\times_YX\)，于是得到平展超覆盖 \(a:U\to X\)（《超覆盖》引理 0DAY），且 \(U_n=\coprod X_{n,i}\)。对 \(a:U\to X\) 以及复形 \(\omega_1^\bullet\)、\(\omega_2^\bullet\)，均满足《单纯空间》引理 0DL9 的假设。因此得到唯一态射 \(\iota : \omega_1^\bullet \to \omega_2^\bullet\) ，它在 \(X_{0,i}\) 上的限制是唯一同构 \((\omega_1^\bullet|_{X_{0, i}}, \tau_1|_{Y_{0, i}}) \to (\omega_2^\bullet|_{X_{0, i}}, \tau_2|_{Y_{0, i}})\)。还需证明下图交换：

\[\xymatrix{ Rf_*\omega_1^\bullet \ar[rd]_{\tau_1} \ar[rr]_{Rf_*\iota} & & Rf_*\omega_1^\bullet \ar[ld]^{\tau_2} \\ & \mathcal{O}_Y }\] 不过，\(Rf_*\omega_1^\bullet\) 与 \(Rf_*\omega_2^\bullet\) 的正次数上同调层均为零（引理 0E5Y），故只需限制到各仿射概形 \(Y_{0,i}\) 后证明交换性；在那里它依构造成立。

引理

设 \(S\) 是概形，设 \(X\to Y\) 是真、平坦且有限表示的代数空间态射。设 \((\omega^\bullet,\tau)\) 是由 \(D(\mathcal{O}_X)\) 中的 \(Y\)-完美对象与映射 \(\tau : Rf_*\omega^\bullet \to \mathcal{O}_Y\)。组成的二元组。设有笛卡尔图 \[\xymatrix{ X_i \ar[r]_{g_i'} \ar[d]_{f_i} & X \ar[d]^f \\ Y_i \ar[r]^{g_i} & Y }\] ，其中 \(Y_i\) 仿射，\(\{g_i:Y_i\to Y\}\) 是平展覆盖，并且有定义 0E5X 所述的二元组同构 \((\omega^\bullet|_{X_i},\tau|_{Y_i}) \to(a_i(\mathcal{O}_{Y_i}),\text{Tr}_{f_i,\mathcal{O}_{Y_i}})\)。则 \((\omega^\bullet,\tau)\) 是 \(X\) 在 \(Y\) 上的相对对偶复形。

证明

令 \(g:Y'\to Y\) 以及 \(X',f',g',a'\) 如定义 0E5X 所述。置 \(((\omega')^\bullet,\tau')=(L(g')^*\omega^\bullet,Lg^*\tau)\)。可以找到一个由仿射概形组成的有限平展覆盖 \(\{Y'_j\to Y'\}\)，它加细 \(\{Y_i\times_YY'\to Y'\}\)（《拓扑》引理 0218）。因此，对每个 \(j\)，存在 \(i_j\) 以及 \(Y\) 上的态射 \(k_j:Y'_j\to Y_{i_j}\)。考虑纤维积 \[\xymatrix{ X'_j \ar[r]_{h_j'} \ar[d]_{f'_j} & X' \ar[d]^{f'} \\ Y'_j \ar[r]^{h_j} & Y' }\] 。记 \(k'_j:X'_j\to X_{i_j}\) 为诱导态射（即 \(k_j\) 沿 \(f_{i_j}\) 的基变换）。经态射 \(k'_j\) 把给定同构限制到 \(Y'_j\)，得到二元组同构

\(((\omega')^\bullet|_{X'_j}, \tau'|_{Y'_j}) \to (a_j(\mathcal{O}_{Y'_j}), \text{Tr}_{f'_j, \mathcal{O}_{Y'_j}})\)。以 \(f':X'\to Y'\) 代替 \(f:X\to Y\) 后，便归结为下一段所解决的问题。

设 \(Y\) 仿射。问题是证明 \((\omega^\bullet,\tau)\) 同构于 \((\omega_{X/Y}^\bullet,\text{Tr})= (a(\mathcal{O}_Y),\text{Tr}_{f,\mathcal{O}_Y})\)。可以假设覆盖 \(\{Y_i\to Y\}\) 由仿射概形间的一个满平展态射 \(\{g:Y'\to Y\}\) 给出。事实上，可以先用一个有限子覆盖替换 \(\{g_i:Y_i\to Y\}\)，再令 \(g=\coprod g_i:Y'=\coprod Y_i\to Y\)；略去若干细节。置 \(X'=Y'\times_YX\)，并令 \(f',g'\) 如定义 0E5X 所述。此时给定的信息仅为同构 \[(\omega^\bullet|_{X'}, \tau|_{Y'}) \to (a'(\mathcal{O}_{Y'}), \text{Tr}_{f', \mathcal{O}_{Y'}})\] 。由于 \((\omega_{X/Y}^\bullet,\text{Tr})\) 是相对对偶复形（见定义 0E5X 后的讨论），故有唯一同构 \[(\omega_{X/Y}^\bullet|_{X'}, \text{Tr}|_{Y'}) \to (a'(\mathcal{O}_{Y'}), \text{Tr}_{f', \mathcal{O}_{Y'}})\] 。例如，唯一性由引理 0E5Z 得到。合并以上两个同构，得到同构 \[\alpha : (\omega^\bullet|_{X'}, \tau|_{Y'}) \to (\omega_{X/Y}^\bullet|_{X'}, \text{Tr}|_{Y'})\] 。置 \(Y''=Y'\times_YY'\) 与 \(X''=Y''\times_YX\)。由唯一性，\(\alpha\) 到 \(X''\) 的两个拉回必相同。又因为 \(X'\) 上 \(\omega_{X'/Y'}^\bullet\) 的负次数自 Ext 均为零（引理 0E5Y），而且沿任一投影 \(Y'\times_Y\ldots\times_YY'\to Y'\) 拉回后仍然如此（略去一个小细节；比较引理 0E5Z 的证明），故由《单纯空间》引理 0DL9， \(\alpha\) 下降为 \(X\) 上的同构 \(\omega^\bullet\to\omega_{X/Y}^\bullet\)。

引理

设 \(S\) 是概形，设 \(X\to Y\) 是真、平坦且有限表示的代数空间态射。存在相对对偶复形 \((\omega_{X/Y}^\bullet,\tau)\)。

证明

选取平展超覆盖 \(b:V\to Y\)，使每个 \(V_n=\coprod_{i\in I_n}Y_{n,i}\)，其中各 \(Y_{n,i}\) 均仿射。这可由《超覆盖》引理 0DAV 与评注 0DB2 做到（把前一引理产生的超覆盖换成每一次数上都是不交并的超覆盖）。记 \(X_{n,i}=Y_{n,i}\times_YX\) 与 \(U_n=V_n\times_YX\)，于是得到平展超覆盖 \(a:U\to X\)（《超覆盖》引理 0DAY），且 \(U_n=\coprod X_{n,i}\)。对每个 \(n,i\)，\(X_{n,i}/Y_{n,i}\) 上都存在相对对偶复形 \((\omega_{n,i}^\bullet,\tau_{n,i})\)；见定义 0E5X 后的讨论。对 \(\varphi:[m]\to[n]\) 与 \(i\in I_n\)，考虑给定超覆盖结构中的态射

\(g_{\varphi, i} : Y_{n, i} \to Y_{m, \alpha(\varphi)}\) 与 \(g'_{\varphi, i} : X_{n, i} \to X_{m, \alpha(\varphi)}\) （《超覆盖》第 094J 节）。于是有唯一的二元组同构

\[\iota_{n, i, \varphi} : (L(g'_{n, i})^*\omega_{n, i}^\bullet, Lg_{n, i}^*\tau_{n, i}) \longrightarrow (\omega_{m, \alpha(\varphi)(i)}^\bullet, \tau_{m, \alpha(\varphi)(i)})\] ；见定义 0E5X 后的讨论。由引理 0E5Y，\(X_{n,i}\) 上 \(\omega_{n,i}^\bullet\) 的负次数自 Ext 均为零。记 \((\omega_n^\bullet,\tau_n)\) 为用 \(i\in I_n\) 的各二元组 \((\omega_{n,i}^\bullet,\tau_{n,i})\) 构造出的 \(U_n/V_n\) 上二元组。对 \(\varphi:[m]\to[n]\) 与 \(i\in I_n\)，考虑单纯代数空间 \(V\) 与 \(U\) 的结构态射 \(g_\varphi:V_n\to V_m\) 与 \(g'_\varphi:U_n\to U_m\)。此时有由各分片上的同构构造出的唯一二元组同构 \[\iota_\varphi : (L(g'_\varphi)^*\omega_n^\bullet, Lg_\varphi^*\tau_n) \longrightarrow (\omega_m^\bullet, \tau_m)\] 。唯一性保证这些同构满足《单纯空间》定义 0D9N 所表述的传递性条件。对 \(a:U\to X\)、复形 \(\omega_n^\bullet\) 及同构 \(\iota_\varphi\)，均满足《单纯空间》引理 0DLA 的假设¹。因此得到 \(D_\QCoh(\mathcal{O}_X)\) 中的对象 \(\omega^\bullet\)，以及与两个同构 \(\iota_{\delta^1_0}\)、\(\iota_{\delta^1_1}\) 相容的同构 \(\iota_0 : \omega^\bullet|_{U_0} \to \omega_0^\bullet\) 。最后应用《单纯空间》引理 0DL9，得到唯一态射 \[\tau : Rf_*\omega^\bullet \longrightarrow \mathcal{O}_Y\] ，其在 \(V_0\) 上的限制与 \(\tau_0\) 一致。略去若干细节；例如，可与引理 0E5Z 证明的末尾比较，便可看出为何所需的负次数 Ext 消失。由引理 0E60，二元组 \((\omega^\bullet,\tau)\) 是相对对偶复形，证明完成。

引理

设 \(S\) 是概形。考虑 \(S\) 上代数空间的笛卡尔方块 \[\xymatrix{ X' \ar[d]_{f'} \ar[r]_{g'} & X \ar[d]^f \\ Y' \ar[r]^g & Y }\] 。设 \(X\to Y\) 真、平坦且有限表示，并设 \((\omega_{X/Y}^\bullet,\tau)\) 是 \(f\) 的相对对偶复形。则 \((L(g')^*\omega_{X/Y}^\bullet,Lg^*\tau)\) 是 \(f'\) 的相对对偶复形。

证明

由《空间的态射详论》引理 0DKT， \(L(g')^*\omega_{X/Y}^\bullet\) 是 \(Y'\)-完美的。定义 0E5X 中的另一个条件由纤维积的传递性成立。

与概形情形的比较

本节还应补充大量内容。

引理

设 \(S\) 是概形，设 \(f:X\to Y\) 是 \(S\) 上拟紧拟分离代数空间之间的态射。设 \(X\) 与 \(Y\) 均可表，并设概形态射 \(f_0:X_0\to Y_0\) 表示 \(f\)（这一记号别扭，但只是临时使用）。令 \(a:D_\QCoh(\mathcal{O}_Y)\to D_\QCoh(\mathcal{O}_X)\) 为引理 0E55 中 \(Rf_*\) 的右伴随；令 \(a_0:D_\QCoh(\mathcal{O}_{Y_0})\to D_\QCoh(\mathcal{O}_{X_0})\) 为《概形的对偶性》引理 0A9E 中 \(Rf_*\) 的右伴随。则下图交换： \[\xymatrix{ D_\QCoh(\mathcal{O}_{X_0}) \ar@{=}[rrrrrr]_{\text{《空间的导出范畴》引理 \href{spaces-perfect.html#spaces-perfect-lemma-derived-quasi-coherent-small-etale-site}{071Q}}} & & & & & & D_\QCoh(\mathcal{O}_X) \\ D_\QCoh(\mathcal{O}_{Y_0}) \ar[u]^{a_0} \ar@{=}[rrrrrr]^{\text{《空间的导出范畴》引理 \href{spaces-perfect.html#spaces-perfect-lemma-derived-quasi-coherent-small-etale-site}{071Q}}} & & & & & & D_\QCoh(\mathcal{O}_Y) \ar[u]_a }\]

证明

这由伴随的唯一性以及《空间的导出范畴》评注 08GH 中的相容性得到。

该引理只用到 \(\omega_0^\bullet\) 以及两个映射 \(\delta_1^1,\delta_0^1:[1]\to[0]\)。读者可以跳过所引引理证明的开头几行，因为这里实际上已经给出了模导出范畴中的单纯系统。↩︎