代数叠的极限

引言

本章汇集与代数叠的极限有关的材料。关于代数叠和代数空间极限的许多结果由 David Rydh 在 [rydh_approx] 中得到。

约定

我们继续采用《叠的性质》第 04XA 节中引入的约定和语言滥用。

有限表示态射

本节是《空间的极限》第 049I 节的对应版本。在那里，我们定义了 \(\Sch\) 上函子之间的变换保持极限的含义（建议参看《空间的极限》引理 06BC 中的刻画）。在《可表示性判据》第 06CT 节中，我们定义了 “在对象上保持极限”的概念。回顾《Artin 公理》第 07XK 节，我们已经定义了 \(\Sch\) 上的群胚纤维化范畴保持极限的含义。将这些定义结合起来，得到如下概念。

定义

设 \(S\) 为概形，并设 \(f : \mathcal{X} \to \mathcal{Y}\) 是 \((\Sch/S)_{fppf}\) 上群胚纤维化范畴之间的一个 \(1\)-态射。若对 \(S\) 上仿射概形的每个有向极限 \(U = \lim U_i\)，纤维范畴图 \[\xymatrix{ \colim \mathcal{X}_{U_i} \ar[r] \ar[d]_f & \mathcal{X}_U \ar[d]^f \\ \colim \mathcal{Y}_{U_i} \ar[r] & \mathcal{Y}_U }\] 都是 \(2\)-笛卡儿的，则称 \(f\) 保持极限。

引理

设 \(S\) 为概形，并设 \(f : \mathcal{X} \to \mathcal{Y}\) 是 \((\Sch/S)_{fppf}\) 上群胚纤维化范畴之间的一个 \(1\)-态射。若 \(f\) 保持极限（定义 0CMR），则 \(f\) 在对象上保持极限（《可表示性判据》第 06CT 节）。

证明

若对 \(U\) 上仿射概形的每个有向极限 \(U = \lim U_i\)，函子 \[\colim \mathcal{X}_{U_i} \longrightarrow (\colim \mathcal{Y}_{U_i}) \times_{\mathcal{Y}_U} \mathcal{X}_U\] 都是本质满的，则 \(f\) 在对象上保持极限。

引理

设 \(p : \mathcal{X} \to \mathcal{Y}\) 和 \(q : \mathcal{Z} \to \mathcal{Y}\) 是 \((\Sch/S)_{fppf}\) 上群胚纤维化范畴之间的 \(1\)-态射。若 \(p : \mathcal{X} \to \mathcal{Y}\) 保持极限，则 \(p\) 沿 \(q\) 的基变换 \(p' : \mathcal{X} \times_\mathcal{Y} \mathcal{Z} \to \mathcal{Z}\) 也保持极限。

证明

这是形式推论。设 \(U = \lim_{i \in I} U_i\) 是 \(S\) 上仿射概形 \(U_i\) 的有向极限。对每个 \(i\)，有 \[(\mathcal{X} \times_\mathcal{Y} \mathcal{Z})_{U_i} = \mathcal{X}_{U_i} \times_{\mathcal{Y}_{U_i}} \mathcal{Z}_{U_i}\] 滤过余极限与范畴的 \(2\)-纤维积可交换（略去细节），因此若 \(p\) 保持极限，就得到 \[\begin{align*} \colim (\mathcal{X} \times_\mathcal{Y} \mathcal{Z})_{U_i} & = \colim \mathcal{X}_{U_i} \times_{\colim \mathcal{Y}_{U_i}} \colim \mathcal{Z}_{U_i} \\ & = \mathcal{X}_U \times_{\mathcal{Y}_U} \colim \mathcal{Y}_{U_i} \times_{\colim \mathcal{Y}_{U_i}} \colim \mathcal{Z}_{U_i} \\ & = \mathcal{X}_U \times_{\mathcal{Y}_U} \colim \mathcal{Z}_{U_i} \\ & = \mathcal{X}_U \times_{\mathcal{Y}_U} \mathcal{Z}_U \times_{\mathcal{Z}_U} \colim \mathcal{Z}_{U_i} \\ & = (\mathcal{X} \times_\mathcal{Y} \mathcal{Z})_U \times_{\mathcal{Z}_U} \colim \mathcal{Z}_{U_i} \end{align*}\] 这正是所需结论。

引理

设 \(p : \mathcal{X} \to \mathcal{Y}\) 和 \(q : \mathcal{Y} \to \mathcal{Z}\) 是 \((\Sch/S)_{fppf}\) 上群胚纤维化范畴之间的 \(1\)-态射。若 \(p\) 和 \(q\) 都保持极限，则复合 \(q \circ p\) 也保持极限。

证明

这是形式推论。设 \(U = \lim_{i \in I} U_i\) 是 \(S\) 上仿射概形 \(U_i\) 的有向极限。若 \(p\) 和 \(q\) 保持极限，则 \[\begin{align*} \colim \mathcal{X}_{U_i} & = \mathcal{X}_U \times_{\mathcal{Y}_U} \colim \mathcal{Y}_{U_i} \\ & = \mathcal{X}_U \times_{\mathcal{Y}_U} \mathcal{Y}_U \times_{\mathcal{Z}_U} \colim \mathcal{Z}_{U_i} \\ & = \mathcal{X}_U \times_{\mathcal{Z}_U} \colim \mathcal{Z}_{U_i} \end{align*}\] 这正是所需结论。

引理

设 \(p : \mathcal{X} \to \mathcal{Y}\) 是 \((\Sch/S)_{fppf}\) 上群胚纤维化范畴之间的一个 \(1\)-态射。若 \(p\) 可由代数空间表示，则下列条件等价：

\(p\) 保持极限；

\(p\) 在对象上保持极限；

\(p\) 局部有限表示（参见《代数叠》定义 03YK）。

证明

由《可表示性判据》引理 06CX，我们已经知道 (2) 与 (3) 等价。因此只需证明 (1) 与 (2) 等价。其中一个方向已见引理 0CMS。为证另一方向，设 \(U = \lim_{i \in I} U_i\) 是 \(S\) 上仿射概形 \(U_i\) 的有向极限。我们必须证明 \[\colim \mathcal{X}_{U_i} \longrightarrow \mathcal{X}_U \times_{\mathcal{Y}_U} \colim \mathcal{Y}_{U_i}\] 是等价。由假设 (2)，它是本质满的，故只需证明其全忠实性。由于 \(p\) 在纤维范畴上忠实（《代数叠》引理 02ZY) ，可见该函子忠实。设 \(x_i\) 和 \(x'_i\) 是 \(\mathcal{X}\) 在 \(U_i\) 上的纤维范畴中的对象。上述函子将 \(x_i\) 映为 \((x_i|_U, p(x_i), can)\)，其中 \(can\) 是典范同构 \(p(x_i|_U) \to p(x_i)|_U\)。于是，设给定态射 \[(\alpha, \beta_i) : (x_i|_U, p(x_i), can) \longrightarrow (x'_i|_U, p(x'_i), can)\] ，它位于本证明第一个陈列箭头右端的范畴中。我们的任务是构造 \(i' \geq i\) 以及一个态射 \(x_i|_{U_{i'}} \to x'_i|_{U_{i'}}\)，使其映到 \((\alpha, \beta_i|_{U_{i'}})\)。

令 \(y_i = p(x_i)\)、\(y'_i = p(x'_i)\)。由《代数叠》引理 02ZY) ，函子 \[X_{y_i} : (\Sch/U_i)^{opp} \to \textit{Sets},\quad V/U_i \mapsto \{(x, \phi) \mid x \in \Ob(\mathcal{X}_V), \phi : f(x) \to y_i|V\}/\cong\] 是 \(U_i\) 上的代数空间；类似定义的函子 \(X_{y'_i}\) 亦然。由于 (2) 与 (3) 等价，\(X_{y'_i}\) 在 \(U_i\) 上局部有限表示。注意，\((x_i, \text{id})\) 和 \((x'_i, \text{id})\) 分别定义了 \(X_{y_i}\) 和 \(X_{y'_i}\) 的 \(U_i\)-值点。存在函子变换 \[\beta_i : X_{y_i} \to X_{y'_i},\quad (x/V, \phi) \mapsto (x/V, \beta_i|_V \circ \phi)\] ；换言之，这是 \(U_i\) 上代数空间之间的一个态射。我们断言 \[\xymatrix{ U \ar[d] \ar[rr] & & U_i \ar[d]^{(x'_i, \text{id})} \\ U_i \ar[r]^{(x_i, \text{id})} & X_{y_i} \ar[r]^{\beta_i} & X_{y'_i} }\] 交换。事实上，这等价于函子 \(X_{y'_i}\) 定义中的两对 \((x_i|_U, \beta_i|_U)\) 与 \((x'_i|_U, \text{id})\) 同构；而态射 \(\alpha : x_i|_U \to x'_i|_U\) 恰好给出这样的同构。反向推理可见，若能找到 \(i' \geq i\)，使得图 \[\xymatrix{ U_{i'} \ar[d] \ar[rr] & & U_i \ar[d]^{(x'_i, \text{id})} \\ U_i \ar[r]^{(x_i, \text{id})} & X_{y_i} \ar[r]^{\beta_i} & X_{y'_i} }\] 交换，那么就得到同构 \(x_i|_{U_{i'}} \to x'_i|_{U_{i'}}\)，它解决了上一段提出的问题。另一方面，对角态射 \[\Delta : X_{y'_i} \to X_{y'_i} \times_{U_i} X_{y'_i}\] 局部有限表示（《空间的态射》引理 084P) 。因此，\(U \to U_i\) 使到 \(X_{y'_i}\) 的两个态射相等这一事实，意味着对某个 \(i' \geq i\)，态射 \(U_{i'} \to U_i\) 已使这两个态射相等；参见《空间的极限》命题 04AK。

引理

设 \(p : \mathcal{X} \to \mathcal{Y}\) 是 \((\Sch/S)_{fppf}\) 上群胚纤维化范畴之间的一个 \(1\)-态射。下列条件等价：

对角态射 \(\Delta : \mathcal{X} \to \mathcal{X} \times_\mathcal{Y} \mathcal{X}\) 保持极限；

对 \(S\) 上仿射概形的每个有向极限 \(U = \lim U_i\)，函子 \[\colim \mathcal{X}_{U_i} \longrightarrow \mathcal{X}_U \times_{\mathcal{Y}_U} \colim \mathcal{Y}_{U_i}\] 是全忠实的。

特别地，若 \(p\) 保持极限，则 \(\Delta\) 也保持极限。

证明

设 \(U = \lim U_i\) 是 \(S\) 上仿射概形的有向极限。我们断言函子 \[\colim \mathcal{X}_{U_i} \longrightarrow \mathcal{X}_U \times_{\mathcal{Y}_U} \colim \mathcal{Y}_{U_i}\] 全忠实，当且仅当函子 \[\colim \mathcal{X}_{U_i} \longrightarrow \mathcal{X}_U \times_{(\mathcal{X} \times_\mathcal{Y} \mathcal{X})_U} \colim (\mathcal{X} \times_\mathcal{Y} \mathcal{X})_{U_i}\] 是等价。这将证明本引理。由于 \((\mathcal{X} \times_\mathcal{Y} \mathcal{X})_U = \mathcal{X}_U \times_{\mathcal{Y}_U} \mathcal{X}_U\) 并且 \((\mathcal{X} \times_\mathcal{Y} \mathcal{X})_{U_i} = \mathcal{X}_{U_i} \times_{\mathcal{Y}_{U_i}} \mathcal{X}_{U_i}\) ，这纯粹是一个范畴论断言；下一段将予讨论。

设 \(\mathcal{I}\) 为滤过指标范畴，并设 \((\mathcal{C}_i)\) 和 \((\mathcal{D}_i)\) 是 \(\mathcal{I}\) 上的群胚系统。设 \(p : (\mathcal{C}_i) \to (\mathcal{D}_i)\) 为 \(\mathcal{I}\) 上群胚系统之间的映射。再设有群胚函子 \(p : \mathcal{C} \to \mathcal{D}\) 以及函子 \(f : \colim \mathcal{C}_i \to \mathcal{C}\) 和 \(g : \colim \mathcal{D}_i \to \mathcal{D}\)，它们构成交换图 \[\xymatrix{ \colim \mathcal{C}_i \ar[d]_p \ar[r]_f & \mathcal{C} \ar[d]^p \\ \colim \mathcal{D}_i \ar[r]^g & \mathcal{D} }\] 我们断言， \[A : \colim \mathcal{C}_i \longrightarrow \mathcal{C} \times_\mathcal{D} \colim \mathcal{D}_i\] 全忠实，当且仅当函子 \[B : \colim \mathcal{C}_i \longrightarrow \mathcal{C} \times_{\Delta, \mathcal{C} \times_\mathcal{D} \mathcal{C}, f \times_g f} \colim (\mathcal{C}_i \times_{\mathcal{D}_i} \mathcal{C}_i)\] 是等价。令 \(\mathcal{C}' = \colim \mathcal{C}_i\)、 \(\mathcal{D}' = \colim \mathcal{D}_i\)。由于 \(2\)-纤维积与滤过余极限可交换，\(A\) 和 \(B\) 分别成为函子 \[A' : \mathcal{C}' \to \mathcal{C} \times_\mathcal{D} \mathcal{D}' \quad\text{且}\quad B' : \mathcal{C}' \longrightarrow \mathcal{C} \times_{\Delta, \mathcal{C} \times_\mathcal{D} \mathcal{C}, f \times_g f} (\mathcal{C}' \times_{\mathcal{D}'} \mathcal{C}')\] 因此只需证明：若 \[\xymatrix{ \mathcal{C}' \ar[d]_p \ar[r]_f & \mathcal{C} \ar[d]^p \\ \mathcal{D}' \ar[r]^g & \mathcal{D} }\] 是群胚的交换图，则 \(A'\) 全忠实，当且仅当 \(B'\) 是等价。这可由《范畴》引理 04Z7 （取平凡的，即单点的基范畴）推出，因为 \[\mathcal{C} \times_{\Delta, \mathcal{C} \times_\mathcal{D} \mathcal{C}, f \times_g f} (\mathcal{C}' \times_{\mathcal{D}'} \mathcal{C}') = \mathcal{C}' \times_{A', \mathcal{C} \times_\mathcal{D} \mathcal{D}', A'} \mathcal{C}'\] 证明完毕。

引理

设 \(S\) 为概形，\(\mathcal{X}\) 为 \(S\) 上的代数叠。若 \(\mathcal{X} \to S\) 局部有限表示，则 \(\mathcal{X}\) 在《Artin 公理》定义 07XL 的意义下保持极限（等价地，态射 \(\mathcal{X} \to S\) 保持极限）。

证明

选取某个概形 \(U\) 及一个光滑满射 \(U \to \mathcal{X}\)。则 \(U \to S\) 局部有限表示，参见《叠的态射》第 06Q1 节。由《代数叠》引理 04T5，对代数空间中的某个光滑群胚 \((U, R, s, t, c)\)，可写成 \(\mathcal{X} = [U/R]\)。由于 \(U\) 在 \(S\) 上局部有限表示，代数空间 \(R\) 在 \(S\) 上也局部有限表示。回顾，\([U/R]\) 是将如下群胚纤维化范畴叠化而得到的 \((\Sch/S)_{fppf}\) 上的群胚叠：它在 \(T\) 上的纤维范畴是群胚 \((U(T), R(T), s, t, c)\)。由于作为函子，\(U\) 和 \(R\) 都保持极限（《空间的极限》命题 04AK) ，该群胚纤维化范畴保持极限。因此，只需证明 fppf 叠化保留保持极限这一性质。事实确实如此（提示：使用《拓扑》引理 049N). 不过，利用本情形中叠化的具体描述，我们在下面给出直接证明。

设 \(T = \lim T_\lambda\) 是 \(S\) 上仿射概形的有向极限。我们必须证明函子 \[\colim [U/R]_{T_\lambda} \longrightarrow [U/R]_T\] 是范畴等价。先证明该函子本质满。设 \(x \in \Ob([U/R]_T)\)。《空间中的群胚》引理 044X 给出了范畴 \([U/R]_T\) 的描述。特别地，\(x\) 对应于一个 fppf 覆盖 \(\{T_i \to T\}_{i \in I}\) 以及相对于该覆盖的一个 \([U/R]\)-下降数据 \((u_i, r_{ij})\)。细化此覆盖后，可设它是仿射概形 \(T\) 的标准 fppf 覆盖。由《拓扑》引理 049N ，可选取某个 \(\lambda\) 和标准 fppf 覆盖 \(\{T_{\lambda, i} \to T_\lambda\}_{i \in I}\)，使其到 \(T\) 的基变换等于 \(\{T_i \to T\}_{i \in I}\)。对每个 \(i\)，增大 \(\lambda\) 后，可找到 \(u_{\lambda, i} : T_{\lambda, i} \to U\)，使其与 \(T_i \to T_{\lambda, i}\) 的复合为给定态射 \(u_i\) （此处使用 \(U\) 保持极限）。类似地，对每个 \(i, j\)，增大 \(\lambda\) 后，可找到 \(r_{\lambda, ij} : T_{\lambda, i} \times_{T_\lambda} T_{\lambda, j} \to R\)，使其与 \(T_{ij} \to T_{\lambda, ij}\) 的复合为给定态射 \(r_{ij}\) （此处使用 \(R\) 保持极限）。进一步增大 \(\lambda\) 后，可设 \[s \circ r_{\lambda, ij} = u_{\lambda, i} \circ \text{pr}_0 \quad\text{且}\quad t \circ r_{\lambda, ij} = u_{\lambda, j} \circ \text{pr}_1,\] 并且 \[c \circ (r_{\lambda, jk} \circ \text{pr}_{12}, r_{\lambda, ij} \circ \text{pr}_{01}) = r_{\lambda, ik} \circ \text{pr}_{02}.\] 换言之，可设 \((u_{\lambda, i}, r_{\lambda, ij})\) 是相对于覆盖 \(\{T_{\lambda, i} \to T_\lambda\}_{i \in I}\) 的一个 \([U/R]\)-下降数据。于是得到 \(T_\lambda\) 上 \([U/R]\) 的相应对象，其到 \(T\) 的拉回与 \(x\) 同构，正合所需。全忠实性的证明完全相同，只需使用《空间中的群胚》引理 044X

给出的 \([U/T]\) 的纤维范畴中态射的描述。

命题

设 \(f : \mathcal{X} \to \mathcal{Y}\) 为代数叠之间的态射。下列条件等价：

\(f\) 保持极限；

\(f\) 在对象上保持极限；

\(f\) 局部有限表示。

证明

假设 (3) 成立。设 \(T = \lim T_i\) 是仿射概形的有向极限。考虑函子 \[\colim \mathcal{X}_{T_i} \longrightarrow \mathcal{X}_T \times_{\mathcal{Y}_T} \colim \mathcal{Y}_{T_i}\] 设 \((x, y_i, \beta)\) 是右端的对象，即 \(x \in \Ob(\mathcal{X}_T)\)、\(y_i \in \Ob(\mathcal{Y}_{T_i})\)，且 \(\beta : f(x) \to y_i|_T\) 是 \(\mathcal{Y}_T\) 中的态射。于是可将 \((x, y_i, \beta)\) 视为 \(T\) 上代数叠 \(\mathcal{X}_{y_i} = \mathcal{X} \times_{\mathcal{Y}, y_i} T_i\) 的一个对象。由于 \(\mathcal{X}_{y_i} \to T_i\) 是 \(f\) 的基变换，故它局部有限表示；由引理 0CMX，它保持极限。这意味着，对某个 \(i' \geq i\)， \((x, y_i, \beta)\) 来自 \(T_{i'}\) 上的对象。展开定义即知， \((x, y_i, \beta)\) 属于所陈列函子的本质像。换言之，该函子本质满；也就是说，\(f\) 在对象上保持极限。现在将此结论应用于 \(f\) 的对角态射 \(\Delta\)。由《叠的态射》引理 0CMG ，态射 \(\Delta\) 局部有限表示。因此上述论证表明 \(\Delta\) 在对象上保持极限。由引理 0CMV， \(\Delta\) 保持极限。再由引理 0CMW，上述陈列函子全忠实。它又已被证明本质满，故是等价，从而 (1) 成立。

蕴含关系 (1) \(\Rightarrow\) (2) 显然。现假设 (2)。选取概形 \(V\) 及光滑满射 \(V \to \mathcal{Y}\)。由《可表示性判据》引理 06CV ，基变换 \(\mathcal{X} \times_\mathcal{Y} V \to V\) 在对象上保持极限。选取概形 \(U\) 及光滑满射 \(U \to \mathcal{X} \times_\mathcal{Y} V\)。由于光滑态射局部有限表示，证明的第一部分说明 \(U \to \mathcal{X} \times_\mathcal{Y} V\) 保持极限。由《可表示性判据》引理 06CW ，复合 \(U \to V\) 在对象上保持极限。因此 \(U \to V\) 局部有限表示，参见《可表示性判据》引理 06CX。这恰好是 \(f\) 局部有限表示的条件，参见《叠的态射》定义 06Q2。

性质的下降

本节是《极限》第 081A 节的对应版本。

情形

设 \(Y = \lim_{i \in I} Y_i\) 是一个代数空间有向系统的极限，其转移态射均为仿射态射。假设对每个 \(i \in I\)，\(X_i\)

都是拟紧且拟分离的。另选定一个元素 \(0 \in I\)。

引理

在情形 0CPY 中，设 \(\mathcal{X}_0 \to Y_0\) 是从代数叠到 \(Y_0\) 的态射，并设 \(\mathcal{X}_0\) 拟紧且拟分离。若 \(Y \times_{Y_0} \mathcal{X}_0 \to Y\) 是分离态射，则对所有充分大的 \(i \in I\)，\(Y_i \times_{Y_0} \mathcal{X}_0 \to Y_i\) 都是分离态射。

证明

记 \(\mathcal{X} = Y \times_{Y_0} \mathcal{X}_0\)、 \(\mathcal{X}_i = Y_i \times_{Y_0} \mathcal{X}_0\)。选取仿射概形 \(U_0\) 及光滑满射 \(U_0 \to \mathcal{X}_0\)。令 \(U = Y \times_{Y_0} U_0\)、\(U_i = Y_i \times_{Y_0} U_0\)。则 \(U\) 和 \(U_i\) 均仿射，且 \(U \to \mathcal{X}\) 和 \(U_i \to \mathcal{X}_i\) 均为光滑满射。令 \(R_0 = U_0 \times_{\mathcal{X}_0} U_0\)、 \(R = Y \times_{Y_0} R_0\)、\(R_i = Y_i \times_{Y_0} R_0\)。于是 \(R = U \times_\mathcal{X} U\) 且 \(R_i = U_i \times_{\mathcal{X}_i} U_i\)。

在此记号下，若 \(\mathcal{X} \to Y\) 分离，则 \(R \to U \times_Y U\) 是对角态射 \(\mathcal{X} \to \mathcal{X} \times_Y \mathcal{X}\) 沿 \(U \times_Y U \to \mathcal{X} \times_Y \mathcal{X}\) 的基变换，故为固有态射。反之，若 \(R_i \to U_i \times_{Y_i} U_i\) 固有，则 \(\mathcal{X}_i \to Y_i\) 分离，因为 \(U_i \times_{Y_i} U_i \to \mathcal{X}_i \times_{Y_i} \mathcal{X}_i\) 是光滑满射；参见《叠的性质》引理 04XD。注意，\(R_0 \to U_0 \times_{Y_0} U_0\) 局部有限型，且 \(R_0\) 拟紧、拟分离。由《空间的极限》引理 08K1，对充分大的 \(i\)， \(R_i \to U_i \times_{Y_i} U_i\) 固有，证明完毕。

相对对象的下降

本节是《空间的极限》第 07SJ 节的对应版本。

引理

设 \(I\) 为有向集，\((X_i, f_{ii'})\) 为以 \(I\) 为指标的代数空间逆系统。假设

态射 \(f_{ii'} : X_i \to X_{i'}\) 均为仿射态射；

空间 \(X_i\) 均拟紧且拟分离。

令 \(X = \lim X_i\)。若 \(\mathcal{X}\) 是 \(X\) 上有限表示的代数叠，则存在 \(i \in I\) 及 \(X_i\) 上有限表示的代数叠 \(\mathcal{X}_i\)，使得作为 \(X\) 上的代数叠有 \(\mathcal{X} \cong \mathcal{X}_i \times_{X_i} X\)。

证明

由《叠的态射》定义 06Q2 ，态射 \(\mathcal{X} \to X\) 拟紧、局部有限表示且拟分离。由于 \(X\) 拟紧且 \(\mathcal{X} \to X\) 拟紧，\(\mathcal{X}\) 也拟紧（《叠的态射》定义 050U）。因此，可找到仿射概形 \(U\) 及光滑满射 \(U \to \mathcal{X}\)（《叠的性质》引理 04YC）。令 \(R = U \times_\mathcal{X} U\)。由《代数叠》引理 04T5，得到 \(X\) 上代数空间中的光滑群胚 \((U, R, s, t, c)\)，使得 \(\mathcal{X} = [U/R]\)。由于 \(\mathcal{X} \to X\) 拟分离且 \(X\) 拟分离， \(\mathcal{X}\) 拟分离（《叠的态射》引理 050K）。故 \(R \to U \times U\) 拟紧且拟分离（《叠的态射》引理 050H），从而 \(R\) 是拟分离、拟紧的代数空间。另一方面，\(U \to X\) 局部有限表示，因此 \(R \to X\) 也局部有限表示（因为 \(s : R \to U\) 光滑，故局部有限表示）。于是 \((U, R, s, t, c)\) 是 \(X\) 上有限表示代数空间范畴中的群胚对象。由《空间的极限》引理 07SK ，存在某个 \(i\) 及 \(X_i\) 上代数空间中的群胚 \((U_i, R_i, s_i, t_i, c_i)\)，其到 \(X\) 的拉回与 \((U, R, s, t, c)\) 同构。增大 \(i\) 后，可设 \(s_i\) 和 \(t_i\) 均光滑，参见《空间的极限》引理 0CN2。商叠 \(\mathcal{X}_i = [U_i/R_i]\) 是代数叠（《代数叠》定理 04TK）。

由《空间中的群胚》引理 046Q，有态射 \([U/R] \to [U_i/R_i]\)。我们断言，把它与态射 \([U/R] \to X\) 和 \([U_i/R_i] \to X_i\) （《空间中的群胚》引理 044R）结合起来，得到同构（即等价） \[[U/R] \longrightarrow [U_i/R_i] \times_{X_i} X\] 相应的映射 \[[U/_{\!p}R] \longrightarrow [U_i/_{\!p}R_i] \times_{X_i} X\] 在《空间中的群胚》公式 (044P) 所述的“群胚预层” 层次上是同构。因此，该断言由叠化与纤维积可交换这一事实推出，参见《叠》引理 04Y1。

有限型对象嵌入有限表示对象

本节是《空间的极限》第 07SP 节的对应版本。

引理

设 \(f : \mathcal{X} \to Y\) 是从代数叠到代数空间的态射。假设：

\(f\) 有限型且拟分离；

\(Y\) 拟紧且拟分离。

则存在有限表示态射 \(f' : \mathcal{X}' \to Y\)，以及 \(Y\) 上代数叠之间的闭浸入 \(\mathcal{X} \to \mathcal{X}'\)。

证明

将 \(Y = \lim_{i \in I} Y_i\) 写成以有向集 \(I\) 为指标的代数空间极限，其中转移态射为仿射态射，且 \(Y_i\) 为诺特代数空间；参见《空间的极限》命题 07SU。我们将使用《空间的极限》第 0CP5 节的材料。

选取一个表示 \(\mathcal{X} = [U/R]\)，并以 \((U, R, s, t, c, e, i)\) 表示相应的 \(Y\) 上代数空间群胚。可以并且确实设 \(U\) 仿射。于是 \(U\)、\(R\) 和 \(R \times_{s, U, t} R\) 都是 \(Y\) 上有限型、拟分离的代数空间。

有两个态射 \(s, t : R \to U\)，三个态射 \(c : R \times_{s, U, t} R \to R\), \(\text{pr}_1 : R \times_{s, U, t} R \to R\), \(\text{pr}_2 : R \times_{s, U, t} R \to R\), ，一个态射 \(e : U \to R\)，以及最后一个态射 \(i : R \to R\)。这些态射满足一组公理；详见《群胚》第 0230 节。

根据《空间的极限》注 0CPB ，可找到 \(i_0 \in I\) 以及逆系统

\((U_i)_{i \geq i_0}\),

\((R_i)_{i \geq i_0}\),

\((T_i)_{i \geq i_0}\)

，它们位于 \((Y_i)_{i \geq i_0}\) 上，并满足 \(U = \lim_{i \geq i_0} U_i\), \(R = \lim_{i \geq i_0} R_i\), and \(R \times_{s, U, t} R = \lim_{i \geq i_0} T_i\) ，而且存在系统态射

\((s_i)_{i \geq i_0} : (R_i)_{i \geq i_0} \to (U_i)_{i \geq i_0}\),

\((t_i)_{i \geq i_0} : (R_i)_{i \geq i_0} \to (U_i)_{i \geq i_0}\),

\((c_i)_{i \geq i_0} : (T_i)_{i \geq i_0} \to (R_i)_{i \geq i_0}\),

\((p_i)_{i \geq i_0} : (T_i)_{i \geq i_0} \to (R_i)_{i \geq i_0}\),

\((q_i)_{i \geq i_0} : (T_i)_{i \geq i_0} \to (R_i)_{i \geq i_0}\),

\((e_i)_{i \geq i_0} : (U_i)_{i \geq i_0} \to (R_i)_{i \geq i_0}\),

\((i_i)_{i \geq i_0} : (R_i)_{i \geq i_0} \to (R_i)_{i \geq i_0}\)

使得 \(s = \lim_{i \geq i_0} s_i\), \(t = \lim_{i \geq i_0} t_i\), \(c = \lim_{i \geq i_0} c_i\), \(\text{pr}_1 = \lim_{i \geq i_0} p_i\), \(\text{pr}_2 = \lim_{i \geq i_0} q_i\), \(e = \lim_{i \geq i_0} e_i\), and \(i = \lim_{i \geq i_0} i_i\). 由《空间的极限》引理 0CPD ，可设 \(s_i\) 和 \(t_i\) 均光滑（这可能需要增大 \(i_0\)）。由《空间的极限》引理 0CPC ，可设对所有 \(i \geq i_0\)，由 \(s\) 和 \(R \to R_i\) 给出的映射 \(R \to U \times_{U_i, s_i} R_i\)，以及由 \(t\) 和 \(R \to R_i\) 给出的映射 \(R \to U \times_{U_i, t_i} R_i\)，都是同构。由《空间的极限》引理 0CPF，可设各图 \[\xymatrix{ T_i \ar[r]_{q_i} \ar[d]_{p_i} & R_i \ar[d]^{t_i} \\ R_i \ar[r]^{s_i} & U_i }\] 均为笛卡儿图。《空间的极限》引理 0CPA 的唯一性于是保证：当 \(i\) 充分大时，\(s_i, t_i, c_i, e_i, i_i\) 满足上述态射 \(s, t, c, e, i\) 之间的关系。固定这样的一个 \(i\)。

于是 \((U_i, R_i, s_i, t_i, c_i, e_i, i_i)\) 是 \(Y_i\) 上代数空间中的光滑群胚。因此 \(\mathcal{X}_i = [U_i/R_i]\) 是代数叠（《代数叠》定理 04TK). 群胚态射 \[(U, R, s, t, c, e, i) \to (U_i, R_i, s_i, t_i, c_i, e_i, i_i)\] 位于 \(Y \to Y_i\) 上，并确定交换图 \[\xymatrix{ \mathcal{X} \ar[d] \ar[r] & \mathcal{X}_i \ar[d] \\ Y \ar[r] & Y_i }\] （《空间中的群胚》引理 046Q). 我们断言态射 \(\mathcal{X} \to Y \times_{Y_i} \mathcal{X}_i\) 是闭浸入。该断言将完成证明，因为按构造，代数叠 \(\mathcal{X}_i \to Y_i\) 有限表示。为证此断言，注意左图 \[\xymatrix{ U \ar[d] \ar[r] & U_i \ar[d] \\ \mathcal{X} \ar[r] & \mathcal{X}_i } \quad\quad \xymatrix{ U \ar[d] \ar[r] & Y \times_{Y_i} U_i \ar[d] \\ \mathcal{X} \ar[r] & Y \times_{Y_i} \mathcal{X}_i }\] 由《空间中的群胚》引理 04ZN 及上述结果可知是笛卡儿图，故右侧交换图也是笛卡儿图。根据《空间的极限》引理 0CP9 中逆系统 \((U_i)\) 的构造，\(U \to Y \times_{Y_i} U_i\) 是闭浸入；而 \(Y \times_{Y_i} U_i \to Y \times_{Y_i} \mathcal{X}_i\) 是光滑满射。结合《叠的性质》引理 0503，即得所需结论。

对于分离代数叠，也有如下版本。

引理

设 \(f : \mathcal{X} \to Y\) 是从代数叠到代数空间的态射。假设：

\(f\) 有限型且分离；

\(Y\) 拟紧且拟分离。

则存在分离的有限表示态射 \(f' : \mathcal{X}' \to Y\)，以及 \(Y\) 上代数叠之间的闭浸入 \(\mathcal{X} \to \mathcal{X}'\)。

证明

首先完全按照引理 0CQ1 证明中的步骤（并沿用其中的记号），把嵌入 \(\mathcal{X} \to \mathcal{X}'\) 构造成态射 \(\mathcal{X} \to \mathcal{X}' = Y \times_{Y_i} \mathcal{X}_i\)，其中 \(\mathcal{X}_i = [U_i/R_i]\)。因此只需证明当 \(i\) 充分大时，\(\mathcal{X}_i \to Y_i\) 分离。换言之，只需证明当 \(i\) 充分大时，\(\mathcal{X}_i \to \mathcal{X}_i \times_{Y_i} \mathcal{X}_i\) 固有。由于态射 \(U_i \times_{Y_i} U_i \to \mathcal{X}_i \times_{Y_i} \mathcal{X}_i\) 是光滑满射，且 \(R_i = \mathcal{X}_i \times_{\mathcal{X}_i \times_{Y_i} \mathcal{X}_i} U_i \times_{Y_i} U_i\) ，只需证明态射 \((s_i, t_i) : R_i \to U_i \times_{Y_i} U_i\) 在 \(i\) 充分大时固有；参见《叠的性质》引理 04XD。下一段证明这一点。

注意，\(U \times_Y U \to Y\) 拟分离且有限型。因此可使用《空间的极限》注 0CPB 的构造，找到 \(i_1 \in I\) 以及逆系统 \((V_i)_{i \geq i_1}\)，使 \(U \times_Y U = \lim_{i \geq i_1} V_i\)。由《空间的极限》引理 0CPF，当 \(i\) 充分大时，将该构造的函子性用于投影 \(U \times_Y U \to U\)，得到闭浸入 \[V_i \to U_i \times_{Y_i} U_i\] （这里略有不符，因为严格说来应以 \(Y \to Y_i\) 的概形论像替换 \(Y_i\)，但显然这不改变该纤维积。）另一方面，由《空间的极限》引理 0CPE ，把函子性用于固有态射 \((s, t) : R \to U \times_Y U\)（此处使用 \(\mathcal{X}\) 分离），便得到当 \(i\) 充分大时为固有态射的 \(R_i \to V_i\)。复合这些态射可得：对所有充分大的 \(i\)，态射 \(R_i \to U_i \times_{Y_i} U_i\) 固有。《空间的极限》注 0CPB

中构造的函子性表明，当 \(i\) 充分大时，此态射就是 \((s_i, t_i)\)，证明完毕。

泛闭态射

本节是《空间的极限》第 0CM7 节的对应版本。

引理

设 \(g : Z \to Y\) 为仿射概形之间的态射，并设 \(f : \mathcal{X} \to Y\) 为代数叠之间的拟紧态射。设 \(z \in Z\)，且 \(T \subset |\mathcal{X} \times_Y Z|\) 是满足 \(z \not \in \Im(T \to |Z|)\) 的闭子集。若 \(\mathcal{X}\) 拟紧，则存在开邻域 \(V \subset Z\)（含 \(z\)）、交换图 \[\xymatrix{ V \ar[d] \ar[r]_a & Z' \ar[d]^b \\ Z \ar[r]^g & Y, }\]

以及闭子集 \(T' \subset |X \times_Y Z'|\)，使得

\(Z'\) 是 \(Y\) 上有限表示的仿射概形；

令 \(z' = a(z)\)，则 \(z' \not \in \Im(T' \to |Z'|)\)；

\(T\) 在 \(|\mathcal{X} \times_Y V|\) 中的逆像经由 \(|\mathcal{X} \times_Y V| \to |\mathcal{X} \times_Y Z'|\) 映入 \(T'\)。

证明

我们从概形态射的相应结果推出本结论。由于 \(\mathcal{X}\) 拟紧，可选取仿射概形 \(W\) 及光滑满射 \(W \to \mathcal{X}\)。令 \(T_W \subset |W \times_Y Z|\) 为 \(T\) 的逆像。则 \(z\) 不属于 \(T_W\) 的像。由概形情形（《极限》引理 05BD），可找到含 \(z\) 的开邻域 \(V \subset Z\)、概形的交换图 \[\xymatrix{ V \ar[d] \ar[r]_a & Z' \ar[d]^b \\ Z \ar[r]^g & Y, }\] 以及闭子集 \(T' \subset |W \times_Y Z'|\)，使得

\(Z'\) 是 \(Y\) 上有限表示的仿射概形；

令 \(z' = a(z)\)，则 \(z' \not \in \Im(T' \to |Z'|)\)；

\(T_1 = T_W \cap |W \times_Y V|\) 经由 \(|W \times_Y V| \to |W \times_Y Z'|\) 映入 \(T'\)。

交换图 \[\xymatrix{ W \times_Y Z \ar[d] & W \times_Y V \ar[l] \ar[rr]_{a_1} \ar[d]_c & & W \times_Y Z' \ar[d]^q \\ \mathcal{X} \times_Y Z & \mathcal{X} \times_Y V \ar[l] \ar[rr]^{a_2} & & \mathcal{X} \times_Y Z' }\] 的两个方块均为笛卡儿方块，且竖直映射为光滑满射，因而尤其是开映射。考察左侧方块可见， \(T_1 = T_W \cap |W \times_Y V|\) 是 \(T_2 = T \cap |\mathcal{X} \times_Y V|\) 在 \(c\) 下的逆像。由《叠的性质》引理 04XH，得到 \(a_1(T_1) = q^{-1}(a_2(T_2))\)。由《拓扑》引理 02YB，得到 \[q^{-1}\left(\overline{a_2(T_2)}\right) = \overline{q^{-1}(a_2(T_2))} = \overline{a_1(T_1)} \subset T'\] 由于 \(q\) 满射，\(\overline{a_2(T_2)} \to |Z'|\) 的像不含 \(z'\)，因为对 \(T'\) 亦然。因此，取上述含 \(Z', V, a, b\) 的图以及闭子集 \(\overline{a_2(T_2)} \subset |\mathcal{X} \times_Y Z'|\)，即得到本引理所述问题的解。

引理

设 \(f : \mathcal{X} \to \mathcal{Y}\) 为代数叠之间的拟紧态射。下列条件等价：

\(f\) 泛闭；

对每个局部有限表示态射 \(Z \to \mathcal{Y}\)，其中 \(Z\) 为仿射概形，映射 \(|\mathcal{X} \times_Y Z| \to |Z|\) 是闭映射；

存在概形 \(V\) 及光滑满射 \(V \to \mathcal{Y}\)，使得 \(|\mathbf{A}^n \times (\mathcal{X} \times_\mathcal{Y} V)| \to |\mathbf{A}^n \times V|\) 对所有 \(n \geq 0\) 都是闭映射。

证明

(1) 蕴含 (2) 显然。

假设 (2)。选取一个由仿射概形不交并而成的概形 \(V\)，以及光滑满射 \(V \to \mathcal{Y}\)。为证明 \(f\) 泛闭，只需证明 \(f\) 的基变换 \(\mathcal{X} \times_\mathcal{Y} V \to V\) 泛闭；参见《叠的态射》引理 0CL3。注意，对该基变换，条件 (2) 仍成立。因此在证明 (2) 蕴含 (1) 时，可设 \(Y = \mathcal{Y}\) 是仿射概形。

假设 (2)，并设 \(\mathcal{Y} = Y\) 为仿射概形。若 \(f\) 不泛闭，则存在 \(Y\) 上仿射概形 \(Z\)，使 \(|\mathcal{X} \times_Y Z| \to |Z|\) 不是闭映射；参见《叠的态射》引理 0CL3。这意味着存在闭子集 \(T \subset |\mathcal{X} \times_Y Z|\)，使 \(\Im(T \to |Z|)\) 不闭。选取 \(z \in |Z|\)，使其属于 \(T\) 之像的闭包但不属于该像。应用引理 0H29，得到开邻域 \(V \subset Z\)、交换图 \[\xymatrix{ V \ar[d] \ar[r]_a & Z' \ar[d]^b \\ Z \ar[r]^g & Y, }\] 以及闭子集 \(T' \subset |\mathcal{X} \times_Y Z'|\)，使得

\(Z'\) 是 \(Y\) 上有限表示的仿射概形；

令 \(z' = a(z)\)，则 \(z' \not \in \Im(T' \to |Z'|)\)；

\(T\) 在 \(|\mathcal{X} \times_Y V|\) 中的逆像经由 \(|\mathcal{X} \times_Y V| \to |\mathcal{X} \times_Y Z'|\) 映入 \(T'\)。

我们断言 \(z'\) 属于 \(\Im(T' \to |Z'|)\) 的闭包。这意味着 \(|\mathcal{X} \times_Y Z'| \to |Z'|\) 不是闭映射，与假设 (2) 矛盾。换言之，该断言证明了 (2) 蕴含 (1)。为证明此断言，考察交换图 \[\xymatrix{ \mathcal{X} \times_Y Z \ar[d] & \mathcal{X} \times_Y V \ar[l] \ar[d] \ar[r] & \mathcal{X} \times_Y Z' \ar[d] \\ Z & V \ar[l] \ar[r]^a & Z' }\] 令 \(T_V \subset |\mathcal{X} \times_Y V|\) 为 \(T\) 的逆像。由《叠的性质》引理 04XH， \(T_V\) 在 \(|V|\) 中的像等于 \(T\) 在 \(|Z|\) 中之像的逆像。由于 \(z\) 属于 \(T \to |Z|\) 之像的闭包，且 \(|V| \to |Z|\) 是开映射， \(z\) 属于 \(T_V \to |V|\) 之像的闭包。又因 \(T_V\) 在 \(|\mathcal{X} \times_Y Z'|\) 中的像包含于 \(|T'|\)，立即得到 \(z' = a(z)\) 属于 \(T'\) 之像的闭包。

(1) 蕴含 (3) 显然。设 \(V \to \mathcal{Y}\) 如 (3) 所述。

若能证明 \(\mathcal{X} \times_Y V \to V\) 泛闭，则由《叠的态射》引理 0CL3，\(f\) 泛闭。因此，只需证明：若 \(f : \mathcal{X} \to \mathcal{Y}\) 是代数叠之间的拟紧态射，\(\mathcal{Y} = Y\) 是概形，且对所有 \(n\)， \(|\mathbf{A}^n \times \mathcal{X}| \to |\mathbf{A}^n \times Y|\) 均为闭映射，则 \(f\) 满足 (2)。设 \(Z \to Y\) 局部有限表示，其中 \(Z\) 为仿射概形。我们必须证明映射 \(|\mathcal{X} \times_Y Z| \to |Z|\) 是闭映射。由于 \(Y\) 是概形、\(Z\) 仿射且 \(Z \to Y\) 局部有限表示，可找到浸入 \(Z \to \mathbf{A}^n \times Y\)；参见《态射》引理 04II。考虑笛卡儿图 \[\vcenter{ \xymatrix{ \mathcal{X} \times_Y Z \ar[d] \ar[r] & \mathbf{A}^n \times \mathcal{X} \ar[d] \\ Z \ar[r] & \mathbf{A}^n \times Y } } \quad \begin{matrix} \text{诱导出} \\ \text{Cartesian 方块} \end{matrix} \quad \vcenter{ \xymatrix{ |\mathcal{X} \times_Y Z| \ar[d] \ar[r] & |\mathbf{A}^n \times \mathcal{X}| \ar[d] \\ |Z| \ar[r] & |\mathbf{A}^n \times Y| } }\] ，其中水平箭头都是到局部闭子集的同胚（《叠的性质》引理 0H20）。

因此，\(|X \times_Y Z|\) 的每个闭子集 \(T\) 都是 \(|\mathbf{A}^n \times Y|\) 中某个闭子集 \(T'\) 的拉回。假设说明 \(T'\) 在 \(|\mathbf{A}^n \times X|\) 中的像闭，故 \(T\) 在 \(|Z|\) 中的像闭，正合所需。