概形的性质 · Stacks

引言

本章介绍概形的一些绝对性质。基础参考文献是 [EGA]。

可构造集

可构造集与局部可构造集在《拓扑》第 04ZC 节中引入。概形的局部可构造子集可刻画如下。

引理

令 \(X\) 为概形。子集 \(E\) 在 \(X\) 中局部可构造，当且仅当在 \(X\) 上， \(E \cap U\) 在 \(U\) 中可构造，其中 \(U\) 取遍 \(X\) 的仿射开集。

证明

假设 \(E\) 局部可构造。则存在开覆盖 \(X = \bigcup U_i\)，使得 \(E \cap U_i\) 在 \(U_i\) 中可构造，而这对每个 \(i\) 成立。令 \(V \subset X\) 为任意仿射开集。可以找到有限仿射开覆盖 \(V = V_1 \cup \ldots \cup V_m\)，使得对每个 \(j\)，都有 \(V_j \subset U_i\)，其中 \(i = i(j)\)。由《拓扑》引理 005J，每个 \(E \cap V_j\) 在 \(V_j\) 中可构造。由于包含映射 \(V_j \to V\) 拟紧（见《概形》引理 01K4），由《拓扑》引理 053W 可知，\(E \cap V\) 在 \(V\) 中可构造。逆向蕴含是立即的。

引理

令 \(X\) 为概形，\(E \subset X\) 为局部可构造子集。令 \(\xi \in X\) 为 \(X\) 的一个不可约分支的泛点。

若 \(\xi \in E\)，则 \(\xi\) 的某个开邻域包含于 \(E\)。

若 \(\xi \not \in E\)，则 \(\xi\) 的某个开邻域与 \(E\) 不相交。

证明

局部可构造子集的补集仍局部可构造，故只需证明 (2)。可以假设 \(X\) 仿射，因而 \(E\) 可构造（引理 054C）。在这种情形下，\(X\) 是谱空间（《代数》引理 090M）。于是， \(\xi \not \in E\) 蕴含 \(\xi \not \in \overline{E}\)；这是由《拓扑》引理 0903 以及如下事实得出的：\(X\) 中没有异于 \(\xi\) 且特化到 \(\xi\) 的点。

引理

令 \(X\) 为拟分离概形。\(X\) 的任意两个拟紧开集之交是 \(X\) 的拟紧开集。 \(X\) 的每个拟紧开集都在 \(X\) 中逆拟紧。

证明

若 \(U\) 与 \(V\) 是拟紧开集，则 \(U \cap V = \Delta^{-1}(U \times V)\)，其中 \(\Delta : X \to X \times X\) 是对角映射。由于 \(X\) 拟分离，\(\Delta\) 拟紧。可知 \(U \cap V\) 拟紧，因为 \(U \times V\) 拟紧（略去细节；使用《概形》引理 01JS 可知 \(U \times V\) 是有限多个仿射概形之并）。其余断言由第一个断言及《拓扑》引理 0069 得出。

引理

令 \(X\) 为拟紧且拟分离的概形。则 \(X\) 的底拓扑空间是谱空间。

证明

根据《拓扑》定义 08YG，需要检验 \(X\) 清醒、拟紧，具有由拟紧开集组成的拓扑基，并且任意两个拟紧开集之交仍拟紧。这由《概形》引理 01IS、 01IT 以及上面的引理 054D 得出。

引理

令 \(X\) 为拟紧且拟分离的概形。 \(X\) 的任意局部可构造子集都是可构造的。

证明

由于 \(X\) 拟紧，可以选取有限仿射开覆盖 \(X = V_1 \cup \ldots \cup V_m\)。由于 \(X\) 拟分离，根据引理 054D，每个 \(V_i\) 都在 \(X\) 中逆拟紧。因此，由《拓扑》引理 053W 可知，\(E \subset X\) 在 \(X\) 中可构造，当且仅当各个 \(E \cap V_j\) 在 \(V_j\) 中可构造。于是由引理 054C 得到结论。

引理

令 \(X\) 为概形。子集 \(E\) 在 \(X\) 中逆拟紧，当且仅当在 \(X\) 上， \(E \cap U\) 拟紧，其中 \(U\) 取遍 \(X\) 的仿射开集。

证明

这立即来自如下事实：\(X\) 的每个拟紧开集都是有限多个仿射开集之并。

引理

一个分割 \(X = \coprod_{i \in I} X_i\)，其中 \(X\) 是概形，若各部分均逆拟紧，则该分割局部有限，当且仅当各部分均局部可构造。

证明

关于逆拟紧、分割和局部有限的定义，见《拓扑》的定义 005A、 09XZ 和 0BDS。

若该分割局部有限，且 \(U \subset X\) 是仿射开集，则 \(U = \coprod_{i \in I} U \cap X_i\) 是有限分割（更准确地说，除有限多个部分外，其余部分均为空）。因此 \(U \cap X_i\) 拟紧，且它在 \(U\) 中的补集作为有限多个逆拟紧部分之并，仍逆拟紧。于是由《拓扑》引理 0F2K，\(U \cap X_i\) 可构造。再由引理 054C，\(X_i\) 局部可构造。

假设各部分均局部可构造。则对任意仿射开集 \(U \subset X\)，得到由可构造子集组成的覆盖 \(U = \coprod X_i \cap U\)。可构造拓扑是拟紧的，见《拓扑》引理 0901，故此覆盖具有有限加细，即该分割局部有限。

整概形、不可约概形与约化概形

定义

令 \(X\) 为概形。若 \(X\) 非空，并且对每个非空仿射开集 \(\Spec(R) = U \subset X\)，环 \(R\) 都是整环，则称它是it 整的。

引理

令 \(X\) 为概形。下列条件等价。

概形 \(X\) 是约化的，见《概形》定义 01J0。

存在仿射开覆盖 \(X = \bigcup U_i\)，使得每个 \(\Gamma(U_i, \mathcal{O}_X)\) 都约化。

对每个仿射开集 \(U \subset X\)，环 \(\mathcal{O}_X(U)\) 都约化。

对每个开集 \(U \subset X\)，环 \(\mathcal{O}_X(U)\) 都约化。

证明

见《概形》引理 01J1 和 01J2。

引理

令 \(X\) 为概形。下列条件等价。

概形 \(X\) 不可约。

存在仿射开覆盖 \(X = \bigcup_{i \in I} U_i\)，使得 \(I\) 非空， \(U_i\) 对所有 \(i \in I\) 都不可约，并且 \(U_i \cap U_j \not = \emptyset\) 对所有 \(i, j \in I\) 都成立。

概形 \(X\) 非空，并且每个非空仿射开集 \(U \subset X\) 都不可约。

证明

假设 (1)。由《概形》引理 01IS，可知 \(X\) 有唯一泛点 \(\eta\)。于是 \(X = \overline{\{\eta\}}\)。故 \(\eta\) 属于每个非空仿射开集 \(U \subset X\)。这蕴含 \(\eta \in U\) 稠密，因而 \(U\) 不可约。它还蕴含任意两个非空仿射开集相交。因此 (1) 同时蕴含 (2) 与 (3)。

假设 (2)。设 \(X = Z_1 \cup Z_2\) 是两个闭子集之并。对每个 \(i\)，要么 \(U_i \subset Z_1\)，要么 \(U_i \subset Z_2\)。选取某个 \(i \in I\)，并假设 \(U_i \subset Z_1\)（必要时将 \(Z_1\)、\(Z_2\) 重新编号）。对任意 \(j \in I\)，开子集 \(U_i \cap U_j\) 在 \(U_j\) 中稠密，并包含于闭子集 \(Z_1 \cap U_j\)。由此可知 \(U_j \subset Z_1\)。故如所需，\(X = Z_1\)。

假设 (3)。选取仿射开覆盖 \(X = \bigcup_{i \in I} U_i\)。可以假设每个 \(U_i\) 都非空。由于 \(X\) 非空，可知 \(I\) 非空。由假设，每个 \(U_i\) 都不可约。假设 \(U_i \cap U_j = \emptyset\) 对某对 \(i, j \in I\) 成立。则开集 \(U_i \amalg U_j = U_i \cup U_j\) 是仿射的，见《概形》引理 01I5。故由假设它不可约，这与上式矛盾。因此 (3) 蕴含 (2)。引理得证。

引理

概形 \(X\) 是整的，当且仅当它既约化又不可约。

证明

若 \(X\) 不可约，则每个仿射开集 \(\Spec(R) = U \subset X\) 都不可约。若 \(X\) 约化，则由上面的引理 01OL， \(R\) 约化。因此 \(R\) 约化且 \((0)\) 是素理想，即 \(R\) 是整环。

若 \(X\) 是整的，则对每个非空仿射开集 \(\Spec(R) = U \subset X\)，环 \(R\) 都约化，因而由引理 01OL，\(X\) 约化。此外，每个非空仿射开集都不可约。因此 \(X\) 不可约，见引理 01OM。

在《例》第 0568 节中，我们构造了一个连通仿射概形，它的所有局部环都是整环，但它并不是整概形。

由环的性质定义的概形类型

本节研究环的哪些性质能够用来定义概形的局部性质。

定义

令 \(P\) 为环的一种性质。若下列条件成立，则称 \(P\) 是it 局部的：

对任意环 \(R\) 及任意 \(f \in R\)，有 \(P(R) \Rightarrow P(R_f)\)。

对任意环 \(R\) 及满足下列条件的 \(f_i \in R\)： \((f_1, \ldots, f_n) = R\)，有 \(\forall i, P(R_{f_i}) \Rightarrow P(R)\)。

定义

令 \(P\) 为环的一种性质。令 \(X\) 为概形。称 \(X\)局部具有 \(P\) 性质，如果对任意 \(x \in X\)，存在仿射开邻域 \(U\)，它是 \(x\) 在 \(X\) 中的邻域，并且 \(\mathcal{O}_X(U)\) 具有性质 \(P\)。

只有当该性质是局部性质时，这才是一个合适的概念。即使 \(P\) 是局部性质，我们也不会自动使用这个定义，说某个概形 “局部具有 \(P\) 性质”，除非我们还在别处明确给出该定义。

引理

令 \(X\) 为概形。令 \(P\) 为环的一种局部性质。下列条件等价：

概形 \(X\) 局部具有 \(P\) 性质。

对每个仿射开集 \(U \subset X\)，性质 \(P(\mathcal{O}_X(U))\) 成立。

存在仿射开覆盖 \(X = \bigcup U_i\)，使得每个 \(\mathcal{O}_X(U_i)\) 都满足 \(P\)。

存在开覆盖 \(X = \bigcup X_j\)，使得每个开子概形 \(X_j\) 都局部具有 \(P\) 性质。

此外，若 \(X\) 局部具有 \(P\) 性质，则每个开子概形也局部具有 \(P\) 性质。

证明

显然 (1) \(\Leftrightarrow\) (3)，且 (2) \(\Rightarrow\) (1)。若 (3) \(\Rightarrow\) (2)，则引理的最后一个陈述成立，并容易推出 (4) 也等价于 (1)。因此只需证明 (3) \(\Rightarrow\) (2)。

令 \(X = \bigcup U_i\) 为仿射开覆盖，记 \(U_i = \Spec(R_i)\)。假设 \(P(R_i)\)。令 \(\Spec(R) = U \subset X\) 为任意仿射开集。由《概形》引理 01IX，存在 \(U = \Spec(R)\) 的一个标准覆盖，由标准开集 \(D(f_j)\) 组成，使得每个环 \(R_{f_j}\) 都是某个环 \(R_i\) 的主局部化。由定义 01OP (1)，得到 \(P(R_{f_j})\)。进而由定义 01OP (2)，得到 \(P(R)\)。

下面给出一个应用示例。

引理

令 \(X\) 为概形。则 \(X\) 约化，当且仅当 \(X\) 在定义 01OQ 的意义下“局部约化”。

证明

这由引理 01OL 立即可见。

引理

环 \(R\) 的下列性质是局部性质。

（Cohen–Macaulay。）环 \(R\) 是 Noether 环且为 CM，见《代数》定义 00NC。

（正则。）环 \(R\) 是 Noether 环且正则，见《代数》定义 00OD。

（绝对 Noether。）环 \(R\) 在 \(Z\) 上有限型。

可按需补充更多性质。¹

证明

略。

Noether 概形

回顾：若环 \(R\) 满足理想的升链条件，则称它是it Noether 环。等价地，\(R\) 的每个理想都有限生成。

定义

令 \(X\) 为概形。

称 \(X\) 是it 局部 Noether 的，如果每个 \(x \in X\) 都有一个仿射开邻域 \(\Spec(R) = U \subset X\)，使得环 \(R\) 是 Noether 环。

若 \(X\) 局部 Noether 且拟紧，则称 \(X\) 是it Noether 的。

下面是刻画局部 Noether 概形的标准结果。

引理

令 \(X\) 为概形。下列条件等价：

概形 \(X\) 局部 Noether。

对每个仿射开集 \(U \subset X\)，环 \(\mathcal{O}_X(U)\) 都是 Noether 环。

存在仿射开覆盖 \(X = \bigcup U_i\)，使得每个 \(\mathcal{O}_X(U_i)\) 都是 Noether 环。

存在开覆盖 \(X = \bigcup X_j\)，使得每个开子概形 \(X_j\) 都局部 Noether。

此外，若 \(X\) 局部 Noether，则每个开子概形也局部 Noether。

证明

只需证明 Noether 性是环的一种局部性质，见引理 01OR。 Noether 环的任意局部化仍是 Noether 环，见《代数》引理 00FN。由《代数》引理 00EO，可知定义 01OP 中的第二个性质成立。

引理

若浸入 \(Z \to X\) 的目标 \(X\) 局部 Noether，则该浸入拟紧。

证明

闭浸入显然拟紧。拟紧态射的复合仍拟紧，见《拓扑》引理 005B。因此只需证明到局部 Noether 概形中的开浸入拟紧。利用《概形》引理 01K4，可化约到 \(X\) 仿射的情形。 Noether 环的谱的任意开子集都拟紧（例如，将《代数》引理 00FQ 与《拓扑》引理 0052、 04ZA 结合即可）。

引理

局部 Noether 概形是拟分离的。

证明

由《概形》引理 01KO，需要证明两个仿射开集之交 \(U \cap V\) 在 \(X\) 中拟紧。例如，考虑开浸入 \(U \cap V \to U\)，结论就由上面的引理 01OX 得出。（其实这只不过是因为 Noether 环的谱的任意开集都拟紧。）

引理

一个（局部）Noether 概形的底拓扑空间是（局部）Noether 的，见《拓扑》定义 0051。

证明

这是因为 Noether 概形是有限多个 Noether 环的谱之并，并可应用《代数》引理 00FQ 与《拓扑》引理 0053。

引理

一个（局部）Noether 概形的任意局部闭子概形都是（局部）Noether 的。

证明

略。提示：Noether 环的任意商环与任意局部化都是 Noether 环。对于 Noether 情形，再次使用如下事实：Noether 空间的任意子集在诱导拓扑下都是 Noether 空间。

引理

Noether 概形只有有限多个不可约分支。

证明

Noether 概形的底拓扑空间是 Noether 的（引理 01OZ），而 Noether 拓扑空间只有有限多个不可约分支（《拓扑》引理 0052），故结论成立。

引理

概形态射 \(f : X \to Y\) 若具有 Noether 源概形 \(X\)，则它拟紧。

证明

使用引理 01OZ，并使用 Noether 拓扑空间的任意子集都是拟紧的这一事实（见《拓扑》引理 0052 和 04ZA）。

下面是一个有趣的引理。它说明每个局部 Noether 概形都有大量闭点（每个闭子集中至少有一个）。

引理

任意非空局部 Noether 概形都有闭点。局部 Noether 概形的任意非空闭子集都有闭点。等价地，局部 Noether 概形的任意一点都特化到一个闭点。

证明

第二个断言由第一个断言得出（使用《概形》引理 01J3 与引理 02IK）。考虑任意非空仿射开集 \(U \subset X\)。令 \(x \in U\) 为闭点。若 \(x\) 是 \(X\) 的闭点，则已经完成。否则，令 \(X_0 \subset X\) 为 \(\overline{\{x\}}\) 上的既约诱导闭子概形结构。于是由《概形》引理 01IN， \(U_0 = U \cap X_0\) 是 \(X_0\) 的仿射开集，并且 \(U_0 = \{x\}\)。令 \(y \in X_0\)、\(y \not = x\) 为 \(x\) 的一个特化。考虑局部环 \(R = \mathcal{O}_{X_0, y}\)。由于引理 02IK 表明 \(X_0\) 是 Noether 的，这是一个 Noether 局部环。记 \(V \subset \Spec(R)\) 为 \(U_0\) 在 \(\Spec(R)\) 中通过典范态射 \(\Spec(R) \to X_0\) 得到的逆像（见《概形》第 01J5 节）。按构造，\(V\) 是单点集，其唯一点对应于 \(x\)（使用《概形》引理 01J7）。由《代数》引理 02IG，可知 \(\dim(R) = 1\)。换言之，\(y\) 是 \(x\) 的直接特化（见《拓扑》定义 02I9）。再换言之，任意满足 \(y \not = x\) 且 \(x \leadsto y\) 的点，都是 \(x\) 的直接特化。显然这些点中的每一个都是闭点，如所需。

引理

令 \(X\) 为局部 Noether 概形。令 \(x' \leadsto x\) 为 \(X\) 中两点之间的特化。则

存在离散赋值环 \(R\) 与态射 \(f : \Spec(R) \to X\)，使得泛点 \(\eta\)（它属于 \(\Spec(R)\)）映到 \(x'\)，而特殊点映到 \(x\)；并且

在 \(x \not = x'\) 的前提下，给定有限生成域扩张 \(K/\kappa(x')\)，可以作出安排，使得扩张 \(\kappa(\eta)/\kappa(x')\)（它由 \(f\) 诱导）与给定扩张同构。

证明

首先假设 \(x' \leadsto x\) 是 \(X\) 中的一个特化，且 \(x \not = x'\)；令 \(K/\kappa(x')\) 为有限生成域扩张。由《概形》引理 01J7 以及《概形》引理 01J9 后面的讨论，得到环同态 \(\mathcal{O}_{X, x} \to \kappa(x') \to K\)。由于 \(x \not = x'\)，\(\mathcal{O}_{X, x}\) 在 \(K\) 中的像不是域（略去细节）。令 \(R \subset K\) 为任意分式域为 \(K\) 且支配 \(\mathcal{O}_{X, x} \to K\) 的像的离散赋值环，见《代数》引理 00PH。环同态 \(\mathcal{O}_{X, x} \to R\) 诱导态射 \(f : \Spec(R) \to X\)，见《概形》引理 01J6。按构造，该态射具有所需的全部性质。若 \(x = x'\)，则可以取 \(R = \kappa(x)[t]_{(t)}\)。

引理

令 \(S\) 为 Noether 概形。令 \(T \subset S\) 为无限子集。则存在无限子集 \(T' \subset T\)，使得 \(T'\) 的各点之间不存在非平凡特化。

证明

令 \(T_0 \subset T\) 为由 \(t \in T\) 组成的集合，其中这些点不特化到 \(T\) 中另一点。若 \(T_0\) 无限，则取 \(T' = T_0\) 即可。因此可以且确实假设 \(T_0\) 有限。归纳地，对 \(i > 0\)，考虑集合 \(T_i \subset T\)，它由满足下列条件的 \(t \in T\) 组成：

\(t \not \in T_{i - 1} \cup T_{i - 2} \cup \ldots \cup T_0\)；

存在非平凡特化 \(t \leadsto t'\)，且 \(t' \in T_{i - 1}\)；并且

对任意非平凡特化 \(t \leadsto t'\)，若 \(t' \in T\)，则有 \(t' \in T_{i - 1} \cup T_{i - 2} \cup \ldots \cup T_0\)。

同样，若 \(T_i\) 无限，则取 \(T' = T_i\) 即可。令 \(d\) 为各局部环 \(\mathcal{O}_{S, t}\)（其中 \(t \in T_0\)）维数的最大值；那么 \(d\) 是整数，因为 \(T_0\) 有限，并且由《代数》命题 00KQ 可知这些局部环的维数有限。于是，\(T_i = \emptyset\) 对 \(i > d\) 成立。事实上，若 \(t \in T_i\)，则可以找到非平凡特化序列 \(t = t_i \leadsto t_{i - 1} \leadsto \ldots \leadsto t_0\)，其中 \(t_0 \in T_0\)。由于各点 \(t = t_i, t_{i - 1}, \ldots, t_0\) 均属于 \(\Spec(\mathcal{O}_{S, t_0})\) （《概形》引理 01J7），可知 \(i \leq d\)。因此 \(\bigcup T_i = T_d \cup \ldots \cup T_0\) 是 \(T\) 的有限子集。

假设 \(t \in T\) 不属于 \(\bigcup T_i\)。则必存在特化 \(t \leadsto t'\)，其中 \(t' \in T\) 且 \(t' \not \in \bigcup T_i\)。（事实上，若 \(t\) 的每个特化都属于有限集 \(T_d \cup \ldots \cup T_0\)，则存在最大的 \(i\)，使得有某个特化 \(t \leadsto t'\) 满足 \(t' \in T_i\)；此时按构造 \(t \in T_{i + 1}\)。）于是得到无限序列 \[t \leadsto t' \leadsto t'' \leadsto \ldots\] ，它由 \(T \setminus \bigcup T_i\) 中各点之间的非平凡特化组成。这是不可能的，因为由引理 01OY， \(S\) 的底拓扑空间是 Noether 的。

引理

令 \(S\) 为 Noether 概形。令 \(T \subset S\) 为子集。令 \(T_0 \subset T\) 为由如下 \(t \in T\) 组成的集合：不存在满足非平凡特化 \(t' \leadsto t\)，其中 \(t' \in T'\)。则：(a) \(T_0\) 的各点之间不存在特化；(b) \(T\) 的每一点都是 \(T_0\) 中某一点的特化；(c) \(T\) 与 \(T_0\) 的闭包相同。

证明

回顾：\(\dim(\mathcal{O}_{S, s}) < \infty\) 对任意 \(s \in S\) 成立，见《代数》命题 00KQ。令 \(t \in T\)。若 \(t' \leadsto t\)，则由维数理论， \(\dim(\mathcal{O}_{S, t'}) \leq \dim(\mathcal{O}_{S, t})\)，且等号成立当且仅当 \(t' = t\)。因此，若选取 \(t' \leadsto t\)，使得 \(\dim(\mathcal{O}_{T, t'})\) 最小，则 \(t' \in T_0\)。换言之，每个 \(t \in T\) 都是 \(T_0\) 中某元素的特化。

引理

令 \(S\) 为 Noether 概形。令 \(T \subset S\) 为无限稠密子集。则存在可数子集 \(E \subset T\)，它在 \(S\) 中稠密。

证明

令 \(T'\) 为由如下 \(s \in S\) 组成的集合：\(\overline{\{s\}} \cap T\) 含有一个可数子集，其闭包是 \(\overline{\{s\}}\)。由于有限集可数，有 \(T \subset T'\)。对 \(s \in T'\)，选取这样的可数子集 \(E_s \subset \overline{\{s\}} \cap T\)。令 \(E' = \{s_1, s_2, s_3, \ldots\} \subset T'\) 为可数子集。则 \(E'\) 在 \(S\) 中的闭包，就是可数子集 \(\bigcup_n E_{s_n}\) 的闭包，而该子集包含于 \(T\)。由此可知，若 \(Z\) 是 \(E'\) 的闭包的一个不可约分支，则 \(Z\) 的泛点属于 \(T'\)。

记 \(T'_0 \subset T'\) 为由如下 \(t \in T'\) 组成的子集：不存在满足非平凡特化 \(t' \leadsto t\)，其中 \(t' \in T'\)；这正如引理 0G2R，下文将直接使用该引理的结果。若 \(T'_0\) 无限，则选取可数子集 \(E' \subset T'_0\)。由第一段的论证，\(E'\) 的闭包的各个不可约分支的泛点都属于 \(T'\)。然而，由于其中一点特化到 \(E' \subset T'_0\) 中无限多个互不相同的元素，这产生矛盾。因此 \(T'_0\) 有限，设 \(T'_0 = \{s_1, \ldots, s_m\}\)。于是，\(S\) 是 \(T\) 的闭包，且包含于 \(\{s_1, \ldots, s_m\}\) 的闭包；后者又包含于可数子集 \(E_{s_1} \cup \ldots \cup E_{s_m} \subset T\) 的闭包，如所需。

Jacobson 概形

回顾：若闭点在每个闭子集中都稠密，则称一个空间是it Jacobson 的，见《拓扑》第 005T 节。

定义

称概形 \(S\) 是it Jacobson 概形，如果它的底拓扑空间是 Jacobson 的。

回顾：若环 \(R\) 的每个根理想都是极大理想之交，则称 \(R\) 是 Jacobson 环，见《代数》定义 00G0。

引理

仿射概形 \(\Spec(R)\) 是 Jacobson 概形，当且仅当环 \(R\) 是 Jacobson 环。

证明

这就是《代数》引理 00G3。

下面是刻画 Jacobson 概形的标准结果。直观地说，它断言 Jacobson \(\Leftrightarrow\) 局部 Jacobson。

引理

令 \(X\) 为概形。下列条件等价：

概形 \(X\) 是 Jacobson 概形。

概形 \(X\) 在定义 01OQ 的意义下“局部 Jacobson”。

对每个仿射开集 \(U \subset X\)，环 \(\mathcal{O}_X(U)\) 是 Jacobson 环。

存在仿射开覆盖 \(X = \bigcup U_i\)，使得每个 \(\mathcal{O}_X(U_i)\) 都是 Jacobson 环。

存在开覆盖 \(X = \bigcup X_j\)，使得每个开子概形 \(X_j\) 都是 Jacobson 概形。

此外，若 \(X\) 是 Jacobson 概形，则每个开子概形也都是 Jacobson 概形。

证明

引理的最后一个断言由《拓扑》引理 005X 得出。 (5) 与 (1) 的等价性就是《拓扑》引理 005W。因此，使用引理 01P3，可知 (1) \(\Leftrightarrow\) (2)。要完成引理的证明，只需证明“Jacobson”是环的一种局部性质，见引理 01OR。 Jacobson 环关于一个元素的任意局部化仍为 Jacobson 环，见《代数》引理 00G6。设 \(R\) 为环，\(f_1, \ldots, f_n \in R\) 生成单位理想，并且每个 \(R_{f_i}\) 都是 Jacobson 环。于是 \(\Spec(R) = \bigcup D(f_i)\) 是若干开子集之并，这些开子集全都是 Jacobson 的；因此再次由《拓扑》引理 005W， \(\Spec(R)\) 是 Jacobson 概形。这证明了定义 01OP 的第二个性质。

代数几何中常用的许多概形都是 Jacobson 概形，见《态射》引理 02J6。这里指出以下有趣的情形。

引理

以下是 Noether Jacobson 概形的例子。

若 \((R, \mathfrak m)\) 是 Noether 局部环，则穿孔谱 \(\Spec(R) \setminus \{\mathfrak m\}\) 是 Jacobson 概形。

若 \(R\) 是 Jacobson 根为 \(\text{rad}(R)\) 的 Noether 环，则 \(\Spec(R) \setminus V(\text{rad}(R))\) 是 Jacobson 概形。

若 \((R, I)\) 是 Zariski 对（《更多代数》定义 0ELY），且 \(R\) 是 Noether 环，则 \(\Spec(R) \setminus V(I)\) 是 Jacobson 概形。

证明

证明 (3)。注意，\(\Spec(R) - V(I)\) 由仿射开集 \(\Spec(R_f)\)（其中 \(f \in I\)）覆盖。由《更多代数》引理 0GED，环 \(R_f\) 是 Jacobson 环。因此由引理 01P4， \(\Spec(R) \setminus V(I)\) 是 Jacobson 概形。 (1) 与 (2) 是 (3) 的特殊情形。

下面直接证明情形 (1)。由于 \(\Spec(R)\) 是 Noether 概形， \(S\) 是 Noether 概形（引理 02IK）。因此 \(S\) 是清醒的 Noether 拓扑空间（使用《概形》引理 01IS）。假设 \(S\) 不是 Jacobson 概形，以导出矛盾。由《拓扑》引理 02I7，存在某个非闭点 \(\xi \in S\)，使得 \(\{\xi\}\) 局部闭。这对应于素理想 \(\mathfrak p \subset R\)，并且：(1) 存在素理想 \(\mathfrak q\)，满足 \(\mathfrak p \subset \mathfrak q \subset \mathfrak m\)，两个包含关系都是严格的；(2) \(\{\mathfrak p\}\) 在 \(\Spec(R/\mathfrak p)\) 中是开的。这与《代数》引理 02IG 矛盾。

正规概形

回顾：若环 \(R\) 的所有局部环都是正规整环，则称该环正规，见《代数》定义 00GV。正规整环是指在其分式域中整闭的整环，见《代数》定义 0309。因此可以如下定义正规概形。

定义

概形 \(X\) 正规，当且仅当对所有 \(x \in X\)，局部环 \(\mathcal{O}_{X, x}\) 都是正规整环。

这似乎是 EGA 所采用的定义，见 [EGA, 0, 4.1.4]。假设 \(X = \Spec(A)\)，且 \(A\) 约化。此时，说 \(X\) 正规并不等价于说 \(A\) 在其总分式环中整闭。然而，若 \(A\) 是 Noether 环，则二者等价（见《代数》引理 030C）。

引理

令 \(X\) 为概形。下列条件等价：

概形 \(X\) 正规。

对每个仿射开集 \(U \subset X\)，环 \(\mathcal{O}_X(U)\) 正规。

存在仿射开覆盖 \(X = \bigcup U_i\)，使得每个 \(\mathcal{O}_X(U_i)\) 都正规。

存在开覆盖 \(X = \bigcup X_j\)，使得每个开子概形 \(X_j\) 都正规。

此外，若 \(X\) 正规，则每个开子概形也正规。

证明

这由定义立即可见。

引理

正规概形是约化的。

证明

这立即来自定义。

引理

令 \(X\) 为整概形。则 \(X\) 正规，当且仅当对每个非空仿射开集 \(U \subset X\)，环 \(\mathcal{O}_X(U)\) 都是正规整环。

证明

这由《代数》引理 030B 得出。

引理

令 \(X\) 为概形，并假设任意拟紧开集都只有有限多个不可约分支。下列条件等价：

\(X\) 正规；

\(X\) 是若干正规整概形的不交并。

证明

由定义立即可见，(2) 蕴含 (1)。令 \(X\) 为正规概形，并假设每个拟紧开集都只有有限多个不可约分支。若 \(X\) 仿射，则由《代数》引理 030C，\(X\) 满足 (2)。对于一般的 \(X\)，令 \(X = \bigcup X_i\) 为仿射开覆盖。注意，每个 \(X_i\) 也只有有限多个不可约分支，并且该引理对每个 \(X_i\) 成立。令 \(T \subset X\) 为一个不可约分支。由仿射情形，每个交 \(T \cap X_i\) 在 \(X_i\) 中是开的，并且是正规整概形。因此 \(T \subset X\) 是开子概形，并且是正规整概形。这证明 \(X\) 是其不可约分支的不交并，而这些分支都是正规整概形。

引理

令 \(X\) 为 Noether 概形。下列条件等价：

\(X\) 正规；

\(X\) 是有限多个正规整概形的不交并。

证明

这是引理 0357 的特殊情形，因为 Noether 概形具有 Noether 底拓扑空间（引理 01OZ 以及《拓扑》引理 0052）。

引理

令 \(X\) 为局部 Noether 概形。下列条件等价：

\(X\) 正规；

\(X\) 是若干正规整概形的不交并。

证明

略。提示：由引理 033M，这纯粹是一个拓扑事实。

注

令 \(X\) 为正规概形。若 \(X\) 局部 Noether，则可知 \(X\) 是整概形，当且仅当 \(X\) 连通，见引理 033N。但是，存在连通仿射概形 \(X\)，使得 \(\mathcal{O}_{X, x}\) 对所有 \(x \in X\) 都是整环，而 \(X\) 不可约，见《例》第 0568 节。这个例子甚至还是正规概形（略去证明），务请注意！

引理

令 \(X\) 为正规整概形。则 \(\Gamma(X, \mathcal{O}_X)\) 是正规整环。

证明

置 \(R = \Gamma(X, \mathcal{O}_X)\)。显然 \(R\) 是整环。假设 \(f = a/b\) 是其分式域中的元素，并且在 \(R\) 上整。设有 \(f^d + \sum_{i = 0, \ldots, d - 1} a_i f^i = 0\)，其中 \(a_i \in R\)。令 \(U \subset X\) 为非空仿射开集。由于 \(b \in R\) 非零，并且 \(X\) 是整概形，可知 \(b|_U \in \mathcal{O}_X(U)\) 也非零。因此 \(a/b\) 是 \(\mathcal{O}_X(U)\) 的分式域中的元素，并且在 \(\mathcal{O}_X(U)\) 上整（因为可以使用同一个多项式 \(f^d + \sum_{i = 0, \ldots, d - 1} a_i|_U f^i = 0\)，在 \(U\) 上亦然）。由于 \(\mathcal{O}_X(U)\) 是正规整环（引理 033L），可知 \(f_U = (a|_U)/(b|_U) \in \mathcal{O}_X(U)\)。显然， \(f_U|_V = f_V\) 只要 \(V \subset U \subset X\) 是非空仿射开集。因此各局部截面 \(f_U\) 粘合成一个元素 \(g \in R = \Gamma(X, \mathcal{O}_X)\)。于是 \(bg\) 与 \(a\) 限制为 \(\mathcal{O}_X(U)\) 的同一元素，对所有上述 \(U\) 都如此，故 \(bg = a\)；换言之，\(g\) 映到 \(f\)，而这是在 \(R\) 的分式域中。

Cohen-Macaulay 概形

回顾《代数》定义 00N8：若 Noether 局部环 \((R, \mathfrak m)\) 满足 \(\text{depth}_{\mathfrak m}(R) = \dim(R)\)，则称其为 Cohen-Macaulay 环。又回顾：若 Noether 环 \(R\) 的每个局部环 \(R_{\mathfrak p}\) 都是 Cohen-Macaulay 环，则称 \(R\) 为 Cohen-Macaulay 环，见《代数》定义 00NC。

定义

令 \(X\) 为概形。称 \(X\) 是Cohen-Macaulay 概形，如果对每个 \(x \in X\)，都存在仿射开邻域 \(U \subset X\) 包含 \(x\)，使得环 \(\mathcal{O}_X(U)\) 是 Noether 环且为 Cohen-Macaulay 环。

引理

令 \(X\) 为概形。下列条件等价：

\(X\) 是 Cohen-Macaulay 概形；

\(X\) 局部 Noether，且它的所有局部环都是 Cohen-Macaulay 环；以及

\(X\) 局部 Noether，且对任意闭点 \(x \in X\)，局部环 \(\mathcal{O}_{X, x}\) 都是 Cohen-Macaulay 环。

证明

《代数》引理 00NB 说明，Cohen-Macaulay 局部环的局部化仍是 Cohen-Macaulay 环。将此与引理 01OW、局部 Noether 概形上闭点的存在性（引理 02IL）以及各定义结合，即得本引理。

引理

令 \(X\) 为概形。下列条件等价：

概形 \(X\) 是 Cohen-Macaulay 概形。

对每个仿射开集 \(U \subset X\)，环 \(\mathcal{O}_X(U)\) 都是 Noether 环且为 Cohen-Macaulay 环。

存在仿射开覆盖 \(X = \bigcup U_i\)，使得每个 \(\mathcal{O}_X(U_i)\) 都是 Noether 环且为 Cohen-Macaulay 环。

存在开覆盖 \(X = \bigcup X_j\)，使得每个开子概形 \(X_j\) 都是 Cohen-Macaulay 概形。

此外，若 \(X\) 是 Cohen-Macaulay 概形，则每个开子概形也都是 Cohen-Macaulay 概形。

证明

结合引理 01OW 和 02IP。

关于 Cohen-Macaulay 概形和深度的更多信息，见《概形上同调》第 0340 节。

正则概形

回顾《代数》定义 00KU：若 Noether 局部环 \((R, \mathfrak m)\) 的理想 \(\mathfrak m\) 可由 \(\dim(R)\) 个元素生成，则称该局部环正则。又回顾：若 Noether 环 \(R\) 的每个局部环 \(R_{\mathfrak p}\) 都正则，则称 \(R\) 为正则环，见《代数》定义 00OD。

定义

令 \(X\) 为概形。称 \(X\) 是正则概形，或称非奇异概形，如果对每个 \(x \in X\)，都存在仿射开邻域 \(U \subset X\) 包含 \(x\)，使得环 \(\mathcal{O}_X(U)\) 是 Noether 正则环。

引理

令 \(X\) 为概形。下列条件等价：

\(X\) 正则；

\(X\) 局部 Noether，且它的所有局部环都正则；以及

\(X\) 局部 Noether，且对任意闭点 \(x \in X\)，局部环 \(\mathcal{O}_{X, x}\) 都正则。

证明

由《代数》定义 00OD 之前的讨论可知，正则局部环的局部化仍正则。将此与引理 01OW、局部 Noether 概形上闭点的存在性（引理 02IL）以及各定义结合，即得本引理。

引理

令 \(X\) 为概形。下列条件等价：

概形 \(X\) 正则。

对每个仿射开集 \(U \subset X\)，环 \(\mathcal{O}_X(U)\) 都是 Noether 正则环。

存在仿射开覆盖 \(X = \bigcup U_i\)，使得每个 \(\mathcal{O}_X(U_i)\) 都是 Noether 正则环。

存在开覆盖 \(X = \bigcup X_j\)，使得每个开子概形 \(X_j\) 都正则。

此外，若 \(X\) 正则，则每个开子概形也正则。

证明

结合引理 01OW 和 02IT。

引理

正则概形是正规的。

证明

见《代数》引理 0567。

维数

概形的维数就是其底拓扑空间的维数。

定义

令 \(X\) 为概形。

\(X\) 的维数就是 \(X\) 作为拓扑空间的维数，见《拓扑》定义 0055。

对 \(x \in X\)，按照《拓扑》定义 0055，以 \(\dim_x(X)\) 表示 \(X\) 的底拓扑空间在 \(x\) 处的维数。称 \(\dim_x(X)\) 为\(X\) 在 \(x\) 处的维数。

由于概形的底拓扑空间是清醒空间（《概形》引理 01IS），我们可以把 \(X\) 的维数算作下列不可约闭子集链的长度 \(n\) 的上确界： \[T_0 \subset T_1 \subset \ldots \subset T_n\] 其中各集合都是 \(X\) 的不可约闭子集；也可以把它算作下列点的特化链的长度 \(n\) 的上确界： \[\xi_n \leadsto \xi_{n - 1} \leadsto \ldots \leadsto \xi_0\] 其中各点属于 \(X\)。

引理

令 \(X\) 为概形。下列三个量相等：

\(X\) 的维数；

\(X\) 的各局部环维数的上确界；

\(\dim_x(X)\) 在 \(x \in X\) 时的上确界。

证明

注意，给定 \(X\) 中点的特化链 \[\xi_n \leadsto \xi_{n - 1} \leadsto \ldots \leadsto \xi_0\] 由《概形》引理 01J7，所有点 \(\xi_i\) 都对应于 \(X\) 在 \(\xi_0\) 处的局部环的素理想。因此，\(X\) 的维数就是其各局部环维数的上确界。特别地， \(\dim_x(X) \geq \dim(\mathcal{O}_{X, x})\)，因为 \(\dim_x(X)\) 是 \(x\) 的各开邻域维数的最小值。因此 \(\sup_{x \in X} \dim_x(X) \geq \dim(X)\)。另一方面，显然 \(\sup_{x \in X} \dim_x(X) \leq \dim(X)\)，因为 \(\dim(U) \leq \dim(X)\) 对 \(X\) 的任意开子集都成立。

引理

令 \(X\) 为概形，\(Y \subset X\) 为不可约闭子集，并令 \(\xi \in Y\) 为其泛点。则 \[\text{codim}(Y, X) = \dim(\mathcal{O}_{X, \xi})\] 其中余维按《拓扑》定义 02I3 定义。

证明

由《拓扑》引理 02I4，可以把 \(X\) 替换为 \(\xi\) 的一个仿射开邻域。在这种情形下，结论容易由《代数》引理 00ET 得出。

引理

令 \(X\) 为概形，\(x \in X\)。则 \(x\) 是 \(X\) 的某个不可约分支的泛点，当且仅当 \(\dim(\mathcal{O}_{X, x}) = 0\)。

证明

例如，这可由引理 02IZ 得出。

引理

维数为 \(0\) 的局部 Noether 概形是不交并；其每个分支都是一个 Artin 局部环的谱。

证明

维数为 \(0\) 的 Noether 环是有限多个 Artin 局部环的直积，见《代数》命题 00KJ。因此，局部 Noether 概形 \(X\) 的维数为 \(0\) 时，其任意仿射开集都有离散的底拓扑空间。这说明 \(X\) 上的拓扑是离散的。本引理容易由这些观察得出。

引理

令 \(X\) 为零维概形。下列条件等价：

\(X\) 拟分离；

\(X\) 分离；

\(X\) 是豪斯多夫空间；

每个仿射开集都是闭集。

在这种情形下，\(X\) 的连通分支都是点，并且 \(X\) 的每个拟紧开集都仿射。特别地，若 \(X\) 拟紧，则 \(X\) 仿射。

证明

由于 \(X\) 的维数为零，对任意仿射开集 \(U \subset X\)，空间 \(U\) 都是预有限空间，并且满足我们将在下文自由使用的许多其他性质；见《代数》引理 04MG。选择仿射开覆盖 \(X = \bigcup U_i\)。

若 (4) 成立，则 \(U_i \cap U_j\) 是 \(U_i\) 的闭子集，因而拟紧；所以由《概形》引理 01KO，\(X\) 拟分离，即 (1) 成立。

若 (1) 成立，则 \(U_i \cap U_j\) 是 \(U_i\) 的拟紧开集，因而在 \(U_i\) 中闭。于是 \(U_i \cap U_j \to U_i\) 是像为闭集的开浸入，故它是闭浸入。特别地，\(U_i \cap U_j\) 仿射，并且 \(\mathcal{O}(U_i) \to \mathcal{O}_X(U_i \cap U_j)\) 满射。因此由《概形》引理 01KP，\(X\) 分离，即 (2) 成立。

假设 (2) 成立，并令 \(x, y \in X\)。设 \(x \in U_i\)。若 \(y \in U_i\)，则可以找到 \(x\) 与 \(y\) 的不交开邻域，因为 \(U_i\) 是豪斯多夫空间。设 \(y \not \in U_i\) 且 \(y \in U_j\)。则 \(y \not \in U_i \cap U_j\)；该交是 \(U_j\) 的仿射开集，因而在 \(U_j\) 中闭。因此可以找到 \(y\) 的一个不与 \(U_i\) 相交的开邻域，从而断定 \(X\) 是豪斯多夫空间，即 (3) 成立。

假设 (3) 成立。令 \(U \subset X\) 为仿射开集。由《拓扑》引理 08YB，\(U\) 在 \(X\) 中闭。这证明 (4) 成立。

假设 \(X\) 满足等价条件 (1) – (4)。我们证明本引理的最后几个断言。设 \(x, y \in X\) 且 \(x \not = y\)。由于 \(y\) 不特化到 \(x\)，可以选择仿射开集 \(U \subset X\)，使得 \(x \in U\) 且 \(y \not \in U\)。于是 \(X = U \amalg (X \setminus U)\) 是开闭子集的一个分解；这说明 \(x\) 与 \(y\) 不属于 \(X\) 的同一个连通分支。其次，假设 \(U \subset X\) 是拟紧开集。将 \(U = U_1 \cup \ldots \cup U_n\) 写成仿射开集之并。我们对 \(n\) 归纳，证明 \(U\) 仿射。这立即将问题归结到 \(n = 2\) 的情形。此时 \(U = (U_1 \setminus U_2) \amalg (U_1 \cap U_2) \amalg (U_2 \setminus U_1)\)，而上述论证说明每一部分都仿射。

引理

令 \(x\) 为局部 Noether 概形 \(X\) 的一点。则 \(\dim_x(X) = 0\)，当且仅当 \(x\) 是 \(X\) 的孤立点。

证明

若 \(x\) 是孤立点，则 \(\{x\}\) 是 \(X\) 的开子集（《拓扑》定义 06RM），因而由定义 \(\dim_x(X) = \dim(\{x\}) = 0\)。反之，若 \(\dim_x(X) = 0\)，则存在开邻域 \(U \subset X\) 包含 \(x\)，使得 \(\dim(U) = 0\) （《拓扑》定义 0055）。由引理 0AAX，\(U\) 上的拓扑是离散的，故 \(x\) 是孤立点。

链状概形

回顾：若对拓扑空间 \(X\) 的每一对不可约闭子集 \(T \subset T'\)，都存在不可约闭子集的极大链 \[T = T_0 \subset T_1 \subset \ldots \subset T_e = T'\] 并且每条这样的链都有相同长度，则称该空间是链状的。见《拓扑》定义 02I1。

定义

令 \(S\) 为概形。若 \(S\) 的底拓扑空间是链状的，则称 \(S\) 是 链状概形。

回顾：若对环 \(A\) 的任意一对素理想 \(\mathfrak p \subset \mathfrak q\)，都存在素理想的极大链 \[\mathfrak p = \mathfrak p_0 \subset \ldots \subset \mathfrak p_e = \mathfrak q\] 并且所有这样的链都有相同长度，则称该环为链环。见《代数》定义 00NI。

引理

令 \(S\) 为概形。下列条件等价：

\(S\) 是链状概形；

存在 \(S\) 的开覆盖，其每个成员都是链状概形；

对每个仿射开集 \(\Spec(R) = U \subset S\)，环 \(R\) 都是链环；以及

存在仿射开覆盖 \(S = \bigcup U_i\)，使得每个 \(U_i\) 都是一个链环的谱。

此外，在这种情形下，\(S\) 的任意局部闭子概形也都是链状概形。

证明

结合《拓扑》引理 02I2 与《代数》引理 02IH。

引理

令 \(S\) 为局部 Noether 概形。下列条件等价：

\(S\) 是链状概形；以及

在 Zariski 拓扑下局部地，\(S\) 上存在维数函数（见《拓扑》定义 02I9）。

证明

这由《拓扑》引理 02I2、 02IA 和 02IC，《概形》引理 01IS，以及最后的引理 01OZ 得出。

可以证明，一个概形是链状概形，当且仅当它的各局部环都是链环。

引理

令 \(X\) 为概形。下列条件等价：

\(X\) 是链状概形；以及

对任意 \(x \in X\)，局部环 \(\mathcal{O}_{X, x}\) 都是链环。

证明

假设 \(X\) 是链状概形。令 \(x \in X\)。由引理 02IX，可以把 \(X\) 替换为 \(x\) 的一个仿射开邻域；此时 \(\Gamma(X, \mathcal{O}_X)\) 是链环。由《代数》引理 00NJ，链环的任意局部化仍为链环。所以 \(\mathcal{O}_{X, x}\) 是链环。

反过来，假设 \(X\) 的所有局部环都是链环。令 \(Y \subset Y'\) 为 \(X\) 的不可约闭子集之间的包含关系，并令 \(\xi \in Y\) 为泛点。令 \(\mathfrak p \subset \mathcal{O}_{X, \xi}\) 为对应于 \(Y'\) 的泛点的素理想；见《概形》引理 01J7。由同一引理， \(X\) 中介于 \(Y\) 与 \(Y'\) 之间的不可约闭子集，对应于素理想 \(\mathfrak q \subset \mathcal{O}_{X, \xi}\)，这些素理想满足 \(\mathfrak p \subset \mathfrak q \subset \mathfrak m_{\xi}\)。因为 \(\mathcal{O}_{X, \xi}\) 是链环，可见这些素理想的所有极大链都是有限的，并且具有相同长度。

Serre 条件

下面给出两个经常有用的技术概念。另见《概形上同调》第 0340 节。

定义

令 \(X\) 为局部 Noether 概形，并令 \(k \geq 0\)。

称 \(X\) 在余维 \(k\) 内正则，或称 \(X\) 具有性质 \((R_k)\)，如果对每个 \(x \in X\) 都有 \[\dim(\mathcal{O}_{X, x}) \leq k \Rightarrow \mathcal{O}_{X, x}\text{ 正则}\]

称 \(X\) 具有性质 \((S_k)\)，如果对每个 \(x \in X\) 都有如下不等式：

\(\text{depth}(\mathcal{O}_{X, x}) \geq \min(k, \dim(\mathcal{O}_{X, x}))\)。

“在余维 \(k\) 内正则”这一说法是有意义的，因为我们已在第 02IV 节看到：若 \(Y \subset X\) 是泛点为 \(x\) 的不可约闭子集，则 \(\dim(\mathcal{O}_{X, x}) = \text{codim}(Y, X)\)。例如，条件 \((R_0)\) 意味着：对每个泛点 \(\eta \in X\)，其中该点是 \(X\) 的一个不可约分支的泛点，局部环 \(\mathcal{O}_{X, \eta}\) 都是域。但是，对一般 Noether 概形，\(X\) 的正则轨迹可能表现得很糟糕，所以必须谨慎。

引理

令 \(X\) 为局部 Noether 概形。则 \(X\) 正则，当且仅当 \(X\) 具有性质 \((R_k)\)，对所有 \(k \geq 0\) 都如此。

证明

这由引理 02IT 及各定义得出。

引理

令 \(X\) 为局部 Noether 概形。则 \(X\) 是 Cohen-Macaulay 概形，当且仅当 \(X\) 具有性质 \((S_k)\)，对所有 \(k \geq 0\) 都如此。

证明

由引理 02IP，只须考察局部环。因此，本引理成立，因为 Noether 局部环是 Cohen-Macaulay 环，当且仅当其深度等于其维数。

引理

令 \(X\) 为局部 Noether 概形。则 \(X\) 约化，当且仅当 \(X\) 具有性质 \((S_1)\) 和 \((R_0)\)。

证明

这就是《代数》引理 031R。

引理

令 \(X\) 为局部 Noether 概形。则 \(X\) 正规，当且仅当 \(X\) 具有性质 \((S_2)\) 和 \((R_1)\)。

证明

这就是《代数》引理 031S。

引理

令 \(X\) 为正规局部 Noether 概形，且维数 \(\leq 1\)。则 \(X\) 正则。

证明

这由引理 0345 及各定义得出。

引理

令 \(X\) 为正规局部 Noether 概形，且维数 \(\leq 2\)。则 \(X\) 是 Cohen-Macaulay 概形。

证明

这由引理 0345 及各定义得出。

Japanese 概形与 Nagata 概形

本节所考虑的概念在 EGA 中并没有得到醒目的定义。EGA 的 [EGA, IV Corollary 5.11.4] 提到并定义了“泛 Japanese 概形”；其 [EGA, IV Remark 10.4.14 (ii)] 提到“Japanese 概形”，但没有给出定义。文献中有少数地方使用下面定义的 Nagata 概形（例如见 [Liu, Definition 8.2.30] 和 [Greco, Page 142]）。

简要回顾：若整环 \(R\) 在其分式域的任意有限扩张中的整闭包都是 \(R\) 上的有限模，则称 \(R\) 是Japanese 整环。若环 \(R\) 对任意有限型环同态 \(R \to S\)，只要 \(S\) 是整环，\(S\) 就是 Japanese 整环，则称该环是 泛 Japanese 环。若环 \(R\) 是 Noether 环，并且 \(R/\mathfrak p\) 对每个素理想 \(\mathfrak p\) 都是 Japanese 整环，则称 \(R\) 为 Nagata 环。

定义

令 \(X\) 为概形。

假设 \(X\) 是整概形。称 \(X\) 是Japanese 概形，如果对每个 \(x \in X\)，都存在仿射开邻域 \(x \in U \subset X\)，使得环 \(\mathcal{O}_X(U)\) 是 Japanese 整环（见《代数》定义 032F）。

称 \(X\) 是泛 Japanese 概形，如果对每个 \(x \in X\)，都存在仿射开邻域 \(x \in U \subset X\)，使得环 \(\mathcal{O}_X(U)\) 是泛 Japanese 环（见《代数》定义 032R）。

称 \(X\) 是Nagata 概形，如果对每个 \(x \in X\)，都存在仿射开邻域 \(x \in U \subset X\)，使得环 \(\mathcal{O}_X(U)\) 是 Nagata 环（见《代数》定义 032R）。

成为 Nagata 概形等价于局部 Noether 且为泛 Japanese 概形；见引理 033Z。

注

在 [Hoobler-finite] 中，称一个（局部 Noether）概形 \(X\) 是 Japanese 概形，如果对每个 \(x \in X\) 以及每个伴随素理想 \(\mathfrak p\)（它是 \(\mathcal{O}_{X, x}\) 的伴随素理想），环 \(\mathcal{O}_{X, x}/\mathfrak p\) 都是 Japanese 整环。我们不使用这个定义，因为存在一维 Noether 整环，其局部环都是优秀环（特别地，都是 Japanese 整环），但它的正规化不是有限的。见 [Hochster-loci, Example 1]、[Heinzer-Levy] 或 [Traveaux, Exposé XIX]。另一方面，可以用如下方式避开这个问题：称概形 \(X\) 是 Japanese 概形，如果对每个仿射开集 \(\Spec(A) \subset X\)，环 \(A/\mathfrak p\) 对每个伴随素理想 \(\mathfrak p\)（属于 \(A\)）都是 Japanese 整环。

引理

Nagata 概形是局部 Noether 的。

证明

这是因为 Nagata 环按定义是 Noether 环。

引理

令 \(X\) 为整概形。下列条件等价：

概形 \(X\) 是 Japanese 概形。

对每个仿射开集 \(U \subset X\)，整环 \(\mathcal{O}_X(U)\) 都是 Japanese 整环。

存在仿射开覆盖 \(X = \bigcup U_i\)，使得每个 \(\mathcal{O}_X(U_i)\) 都是 Japanese 整环。

存在开覆盖 \(X = \bigcup X_j\)，使得每个开子概形 \(X_j\) 都是 Japanese 概形。

此外，若 \(X\) 是 Japanese 概形，则每个开子概形也是 Japanese 概形。

证明

这由引理 01OR 以及《代数》引理 032G 和 032H 得出。

引理

令 \(X\) 为概形。下列条件等价：

概形 \(X\) 是泛 Japanese 概形。

对每个仿射开集 \(U \subset X\)，环 \(\mathcal{O}_X(U)\) 都是泛 Japanese 环。

存在仿射开覆盖 \(X = \bigcup U_i\)，使得每个 \(\mathcal{O}_X(U_i)\) 都是泛 Japanese 环。

存在开覆盖 \(X = \bigcup X_j\)，使得每个开子概形 \(X_j\) 都是泛 Japanese 概形。

此外，若 \(X\) 是泛 Japanese 概形，则每个开子概形也是泛 Japanese 概形。

证明

这由引理 01OR 以及《代数》引理 032S 和 032V 得出。

引理

令 \(X\) 为概形。下列条件等价：

概形 \(X\) 是 Nagata 概形。

对每个仿射开集 \(U \subset X\)，环 \(\mathcal{O}_X(U)\) 都是 Nagata 环。

存在仿射开覆盖 \(X = \bigcup U_i\)，使得每个 \(\mathcal{O}_X(U_i)\) 都是 Nagata 环。

存在开覆盖 \(X = \bigcup X_j\)，使得每个开子概形 \(X_j\) 都是 Nagata 概形。

此外，若 \(X\) 是 Nagata 概形，则每个开子概形也是 Nagata 概形。

证明

这由引理 01OR 以及《代数》引理 032U 和 032V 得出。

引理

令 \(X\) 为局部 Noether 概形。则 \(X\) 是 Nagata 概形，当且仅当每个整的闭子概形 \(Z \subset X\) 都是 Japanese 概形。

证明

假设 \(X\) 是 Nagata 概形。令 \(Z \subset X\) 为整的闭子概形。令 \(z \in Z\)。取仿射开集 \(\Spec(A) = U \subset X\) 包含 \(z\)，使得 \(A\) 是 Nagata 环。则有 \(Z \cap U \cong \Spec(A/\mathfrak p)\)，其中 \(\mathfrak p\) 为某个素理想；见《概形》引理 01IN （以及定义 01OK）。由《代数》定义 032R 可知 \(A/\mathfrak p\) 是 Japanese 整环。因此，按定义，\(Z\) 是 Japanese 概形。

假设 \(X\) 的每个整的闭子概形都是 Japanese 概形。任取仿射开集 \(\Spec(A) = U \subset X\)。因为 \(X\) 局部 Noether，由引理 01OW 可知 \(A\) 是 Noether 环。令 \(\mathfrak p \subset A\) 为素理想。我们须证明 \(A/\mathfrak p\) 是 Japanese 整环。令 \(T \subset U\) 为闭子集 \(V(\mathfrak p) \subset \Spec(A)\)，并令 \(\overline{T} \subset X\) 为其闭包。由于 \(\overline{T}\) 是不可约子集的闭包，故它不可约。因此，由 \(\overline{T}\) 定义的约化闭子概形是整的闭子概形（仍称为 \(\overline{T}\)）；见《概形》引理 01J3。换言之， \(\Spec(A/\mathfrak p)\) 是 \(X\) 的一个整的闭子概形的仿射开集。依假设，这个子概形是 Japanese 概形；再由引理 033V，可知 \(A/\mathfrak p\) 是 Japanese 整环。

引理

令 \(X\) 为概形。下列条件等价：

\(X\) 是 Nagata 概形；以及

\(X\) 局部 Noether 且为泛 Japanese 概形。

证明

这就是《代数》命题 0334。

这一讨论将在《态射》第 0359 节继续。

G-概形

我们指出：环 \(R\) 是 G-环，当且仅当 \(R\) 是 Noether 环，并且对每个素理想 \(\mathfrak p\)（属于 \(R\)），环同态 \(R_\mathfrak p \to (R_\mathfrak p)^\wedge\) 都是正则的。

定义

令 \(X\) 为概形。称 \(X\) 是G-概形²，如果对每个 \(x \in X\)，都存在仿射开邻域 \(x \in U \subset X\)，使得环 \(\mathcal{O}_X(U)\) 是 G-环（见《代数续篇》定义 07GH）。

引理

令 \(X\) 为概形。下列条件等价：

\(X\) 是 G-概形；

\(X\) 局部 Noether，并且对所有 \(x \in X\)，环同态 \(\mathcal{O}_{X, x} \to \mathcal{O}_{X, x}^\wedge\) 都正则；以及

\(X\) 局部 Noether，并且对任意闭点 \(x \in X\)，环同态 \(\mathcal{O}_{X, x} \to \mathcal{O}_{X, x}^\wedge\) 都正则。

证明

显然，(1) 蕴含 (2)，而 (2) 蕴含 (3)。假设 (3)。任取 \(x \in X\)。由引理 02IL，存在特化 \(x \leadsto x'\)，其中 \(x'\) 在 \(X\) 中闭。于是，由《代数续篇》引理 07PT， \(\mathcal{O}_{X, x'}\) 是 G-环。由于 \(\mathcal{O}_{X, x}\) 是 \(\mathcal{O}_{X, x'}\) 在一个素理想处的局部化（《概形》引理 01J7），可知 \(\mathcal{O}_{X, x} \to \mathcal{O}_{X, x}^\wedge\) 是正则环同态。由于 \(x \in X\) 任意，可得：对任意仿射开集 \(U \subset X\)，Noether 环（引理 01OW）\(\mathcal{O}_X(U)\) 都是 G-环。这证明 (1) 成立。

引理

令 \(X\) 为概形。下列条件等价：

概形 \(X\) 是 G-概形。

对每个仿射开集 \(U \subset X\)，环 \(\mathcal{O}_X(U)\) 都是 G-环。

存在仿射开覆盖 \(X = \bigcup U_i\)，使得每个 \(\mathcal{O}_X(U_i)\) 都是 G-环。

存在开覆盖 \(X = \bigcup X_j\)，使得每个开子概形 \(X_j\) 都是 G-概形。

此外，若 \(X\) 是 G-概形，则每个开子概形也都是 G-概形。

证明

结合引理 01OW 和 0HA4。

奇异轨迹

定义如下。

定义

令 \(X\) 为局部 Noether 概形。正则轨迹 \(\text{Reg}(X)\)，即 \(X\) 的所有 \(x \in X\) 中满足 \(\mathcal{O}_{X, x}\) 为正则局部环的点所成的集合。 奇异轨迹 \(\text{Sing}(X)\) 是补集 \(X \setminus \text{Reg}(X)\)，即所有 \(x \in X\) 中满足 \(\mathcal{O}_{X, x}\) 不是正则局部环的点所成的集合。

局部 Noether 概形的正则轨迹在泛化下稳定；见《代数》定义 00OD 之前的讨论。然而，对一般局部 Noether 概形，正则轨迹未必是开的。读者可以在《代数续篇》第 07P6 节找到它成为开集的一些判据。我们将在《态射》第 07R2 节进一步讨论。

局部不可约性

回顾：我们已在《代数续篇》第 06DT 节引入了（几何）单枝局部环的概念。

定义

令 \(X\) 为概形，并令 \(x \in X\)。称 \(X\) 在 \(x\) 处单枝，如果局部环 \(\mathcal{O}_{X, x}\) 单枝。称 \(X\) 在 \(x\) 处几何单枝，如果局部环 \(\mathcal{O}_{X, x}\) 几何单枝。称 \(X\) 单枝，如果 \(X\) 在其所有点处都单枝。称 \(X\) 几何单枝，如果 \(X\) 在其所有点处都几何单枝。

确实可能发生如下情形：局部环 \(A\) 在《代数续篇》定义 0BPZ 的意义下几何单枝，但概形 \(\Spec(A)\) 在定义 0BQ2 的意义下并非几何单枝。例如，当 \(A\) 是一条具有普通二重点奇点（结点）的不可约平面曲线之锥在顶点处的局部环时，就会发生这种情形。

引理

正规概形是几何单枝的。

证明

这由各定义得出。具体地说，概形正规是指其各局部环都是正规整环；由《代数续篇》定义 0BPZ 立即可知，正规局部整环几何单枝。

引理

令 \(X\) 为 Noether 概形。下列条件等价：

\(X\) 几何单枝（定义 0BQ2）；

对每个点 \(x \in X\)，若它不是 \(X\) 的某个不可约分支之泛点，则严格 Hensel 化 \(\mathcal{O}_{X, x}^{sh}\) 的穿孔谱都连通。

证明

《代数续篇》引理 06DM 说明，(1) 蕴含 (2) 中的穿孔谱不可约，因而特别地连通。

假设 (2)。令 \(x \in X\)。我们须证明 \(\mathcal{O}_{X, x}\) 几何单枝。对 \(\dim(\mathcal{O}_{X, x})\) 归纳，可以假设结论对 \(x\) 的每个非平凡泛化都成立。可以把 \(X\) 替换为 \(\Spec(\mathcal{O}_{X, x})\)。换言之，可以假设 \(X = \Spec(A)\)，其中 \(A\) 是局部环，并且 \(A_\mathfrak p\) 对每个非极大素理想 \(\mathfrak p \subset A\) 都几何单枝。

令 \(A^{sh}\) 为 \(A\) 的严格 Hensel 化。若 \(\mathfrak q \subset A^{sh}\) 是位于 \(\mathfrak p \subset A\) 上方的素理想，则 \(A_\mathfrak p \to A^{sh}_\mathfrak q\) 是 étale 代数的滤过余极限。因此，\(A_\mathfrak p\) 与 \(A^{sh}_\mathfrak q\) 的严格 Hensel 化同构。由此及《代数续篇》引理 06DM 可知： \(A^{sh}_\mathfrak q\) 对每个非极大素理想 \(\mathfrak q\)（属于 \(A^{sh}\)）都有唯一极小素理想。

令 \(\mathfrak q_1, \ldots, \mathfrak q_r\) 为 \(A^{sh}\) 的极小素理想。我们须证明 \(r = 1\)。由上文可知， \(V(\mathfrak q_1) \cap V(\mathfrak q_j) = \{\mathfrak m^{sh}\}\) 对 \(j = 2, \ldots, r\) 成立。因此，\(V(\mathfrak q_1) \setminus \{\mathfrak m^{sh}\}\) 是 \(A^{sh}\) 的穿孔谱的开闭子集；这与该穿孔谱连通的假设矛盾，除非 \(r = 1\)。

定义

令 \(X\) 为概形，并令 \(x \in X\)。\(X\) 在 \(x\) 处的分枝数，是局部环 \(\mathcal{O}_{X, x}\) 的分枝数，其定义见《代数续篇》定义 0C26。\(X\) 在 \(x\) 处的几何分枝数，是局部环 \(\mathcal{O}_{X, x}\) 的几何分枝数，其定义见《代数续篇》定义 0C26。

我们常想把它与完备局部环的分枝作比较，但一般而言，这种比较并不直接；关于这个问题的一些信息见《代数续篇》第 0C27 节。

引理

令 \(X\) 为概形且 \(x \in X\)。令 \(X_i\)（\(i \in I\)）为 \(X\) 的所有经过 \(x\) 的不可约分支。则 \(X\) 在 \(x\) 处的（几何）分枝数，等于对 \(i \in I\) 求和所得的 \(X_i\) 在 \(x\) 处的（几何）分枝数之和。

证明

把 \(X_i\) 看作 \(X\) 的整的闭子概形；见《概形》定义 01J4 和引理 01ON。注意，\(X_i\) 在 \(x\) 处的（几何）分枝数至少为 \(1\)，对所有 \(i\) 都如此（本质上由定义）。回顾： \(X_i\) 按 \(1\) 对 \(1\) 的方式与极小素理想 \(\mathfrak p_i \subset \mathcal{O}_{X, x}\) 对应；见《代数》引理 00ET。因此，若 \(I\) 无限，则 \(\mathcal{O}_{X, x}\) 有无限多个极小素理想，从而 \(\mathcal{O}_{X, x}^h\) 与 \(\mathcal{O}_{X, x}^{sh}\) 都有无限多个极小素理想（结合《代数》引理 00FK、 0CAN 以及同态 \(\mathcal{O}_{X, x} \to \mathcal{O}_{X, x}^h \to \mathcal{O}_{X, x}^{sh}\) 的单射性）。在这种情形下，\(X\) 在 \(x\) 处的（几何）分枝数按定义为 \(\infty\)，求和所得结果也是如此。因此可假设 \(I\) 有限。令 \(A'\) 为 \(\mathcal{O}_{X, x}\) 在总分式环 \(Q\) 中的整闭包，而该环是 \((\mathcal{O}_{X, x})_{red}\) 的总分式环。令 \(A'_i\) 为 \(\mathcal{O}_{X, x}/\mathfrak p_i\) 在总分式环 \(Q_i\) 中的整闭包，而该环是 \(\mathcal{O}_{X, x}/\mathfrak p_i\) 的总分式环。由《代数》引理 02LX， \(Q = \prod_{i \in I} Q_i\)。因此 \(A' = \prod A'_i\)。本引理的等式随即由《代数续篇》引理 0C37 得出；该引理用 \(A'\) 的极大理想表出（几何）分枝数。

引理

令 \(X\) 为概形，并令 \(x \in X\)。

\(X\) 在 \(x\) 处的分枝数为 \(1\)，当且仅当 \(X\) 在 \(x\) 处单枝。

\(X\) 在 \(x\) 处的几何分枝数为 \(1\)，当且仅当 \(X\) 在 \(x\) 处几何单枝。

证明

本引理由各定义以及环的相应结论立即得出；见《代数续篇》引理 0C37。

有限型与有限表现模的刻画

令 \(X\) 为概形。令 \(\mathcal{F}\) 为准凝聚 \(\mathcal{O}_X\)-模。下述引理表明，\(\mathcal{F}\) 是有限型的（见《模》定义 01B5）当且仅当 \(\mathcal{F}\) 在每个仿射开子集 \(\Spec(A) = U \subset X\) 上都具有形式 \(\widetilde M\)，即来自某个有限 \(A\)-模 \(M\)。类似地，\(\mathcal{F}\) 是有限表现的（见《模》定义 01BN）当且仅当 \(\mathcal{F}\) 在每个仿射开子集 \(\Spec(A) = U \subset X\) 上都具有形式 \(\widetilde M\)，其中它来自某个有限表现 \(A\)-模 \(M\)。

引理

令 \(X = \Spec(R)\) 为仿射概形。准凝聚 \(\mathcal{O}_X\)-模层 \(\widetilde M\) 是有限型 \(\mathcal{O}_X\)-模，当且仅当 \(M\) 是有限 \(R\)-模。

证明

假设 \(\widetilde M\) 是有限型 \(\mathcal{O}_X\)-模。这意味着存在 \(X\) 的一个开覆盖，使得 \(\widetilde M\) 在该覆盖各成员上的限制由有限多个截面整体生成。因此还存在一个标准开覆盖 \(X = \bigcup_{i = 1, \ldots, n} D(f_i)\)，使得 \(\widetilde M|_{D(f_i)}\) 由有限多个截面生成。于是 \(M_{f_i}\) 对每个 \(i\) 都有限生成。故结论由《代数》引理 00EO 得出。

引理

令 \(X = \Spec(R)\) 为仿射概形。准凝聚 \(\mathcal{O}_X\)-模层 \(\widetilde M\) 是有限表现 \(\mathcal{O}_X\)-模，当且仅当 \(M\) 是有限表现 \(R\)-模。

证明

假设 \(\widetilde M\) 是有限表现 \(\mathcal{O}_X\)-模。由引理 01PB 可知 \(M\) 是有限 \(R\)-模。选取一个满射 \(R^n \to M\)，记其核为 \(K\)。由《概形》引理 01HV，存在短正合列 \[0 \to \widetilde{K} \to \bigoplus \mathcal{O}_X^{\oplus n} \to \widetilde{M} \to 0\] 由《模》引理 01BP 可知 \(\widetilde{K}\) 是有限型 \(\mathcal{O}_X\)-模。再次应用引理 01PB，可知 \(K\) 是有限 \(R\)-模。因此 \(M\) 是有限表现 \(R\)-模。

主开集上的截面

下面是这类结果的一个典型例子。在后面的引理中，我们将采用一种更朴素但也更直接的证明方法。

引理

令 \(X\) 为概形。令 \(f \in \Gamma(X, \mathcal{O}_X)\)。把 \(X_f \subset X\) 记为 \(f\) 可逆之处的开集，见《概形》引理 01HZ。若 \(X\) 拟紧且拟分离，则典范映射 \[\Gamma(X, \mathcal{O}_X)_f \longrightarrow \Gamma(X_f, \mathcal{O}_X)\] 是同构。此外，若 \(\mathcal{F}\) 是准凝聚 \(\mathcal{O}_X\)-模层，则映射 \[\Gamma(X, \mathcal{F})_f \longrightarrow \Gamma(X_f, \mathcal{F})\] 是同构。

证明

记 \(R = \Gamma(X, \mathcal{O}_X)\)。考虑概形的典范态射 \[\varphi : X \longrightarrow \Spec(R)\] ，见《概形》引理 01I1。右端标准开集 \(D(f)\) 的逆像就是左端的 \(X_f\)。此外，因为假设 \(X\) 拟紧且拟分离，态射 \(\varphi\) 也拟紧且拟分离；见《概形》引理 01K4 和 01KV。因此由《概形》引理 01LC 可知 \(\varphi_*\mathcal{F}\) 是准凝聚的。于是 \(\varphi_*\mathcal{F} = \widetilde M\)，其中 \(M = \Gamma(X, \mathcal{F})\) 是一个 \(R\)-模。因此 \[\Gamma(X_f, \mathcal{F}) = \Gamma(D(f), \varphi_*\mathcal{F}) = \Gamma(D(f), \widetilde M) = M_f\] ，这恰是本引理的内容。令 \(\mathcal{F} = \mathcal{O}_X\)，即可得到本引理中第一个陈列同构。

回顾：给定概形 \(X\)、可逆层 \(\mathcal{L}\)（在 \(X\) 上），以及 \(\mathcal{O}_X\)-模层 \(\mathcal{F}\)，可得到分次环 \(\Gamma_*(X, \mathcal{L}) = \bigoplus\nolimits_{n \geq 0} \Gamma(X, \mathcal{L}^{\otimes n})\) 以及分次 \(\Gamma_*(X, \mathcal{L})\)-模 \(\Gamma_*(X, \mathcal{L}, \mathcal{F}) = \bigoplus\nolimits_{n \in \mathbf{Z}} \Gamma(X, \mathcal{F} \otimes_{\mathcal{O}_X} \mathcal{L}^{\otimes n})\)；见《模》定义 01CV。若还给定一个截面 \(s \in \Gamma(X, \mathcal{L})\)，则得到映射 [0B5L]\[\begin{equation} \Gamma_*(X, \mathcal{L}, \mathcal{F})_{(s)} \longrightarrow \Gamma(X_s, \mathcal{F}|_{X_s}) \end{equation}\] ，它把 \(t/s^n\)（其中 \(t \in \Gamma(X, \mathcal{F} \otimes_{\mathcal{O}_X} \mathcal{L}^{\otimes n})\)）映到 \(t|_{X_s} \otimes s|_{X_s}^{-n}\)。这是有意义的，因为按定义 \(X_s \subset X\) 是 \(s\) 有逆的开集；见《模》引理 01CY。

引理

令 \(X\) 为概形。令 \(\mathcal{L}\) 为 \(X\) 上的可逆层。令 \(s \in \Gamma(X, \mathcal{L})\)。令 \(\mathcal{F}\) 为准凝聚 \(\mathcal{O}_X\)-模。

若 \(X\) 拟紧，则 (0B5L) 是单射；

若 \(X\) 拟紧且拟分离，则 (0B5L) 是同构。

特别地，若 \(X\) 拟紧且拟分离，则典范映射 \[\Gamma_*(X, \mathcal{L})_{(s)} \longrightarrow \Gamma(X_s, \mathcal{O}_X),\quad a/s^n \longmapsto a \otimes s^{-n}\] 是同构。

证明

假设 \(X\) 拟紧。选取一个有限仿射开覆盖 \(X = U_1 \cup \ldots \cup U_m\)，其中 \(U_j\) 仿射且 \(\mathcal{L}|_{U_j} \cong \mathcal{O}_{U_j}\)。经此同构，像 \(s|_{U_j}\) 对应于某个 \(f_j \in \Gamma(U_j, \mathcal{O}_{U_j})\)。于是 \(X_s \cap U_j = D(f_j)\)。

(1) 的证明。令 \(t/s^n\) 为 (0B5L) 的核中元素。则 \(t|_{X_s} = 0\)。故 \((t|_{U_j})|_{D(f_j)} = 0\)。由引理 01P7 可知 \(f_j^{e_j} t|_{U_j} = 0\)，其中某个 \(e_j \geq 0\)。令 \(e = \max(e_j)\)。于是 \(t \otimes s^e\) 在 \(U_j\) 上的限制对所有 \(j\) 均为零，故它为零。由于 \(t/s^n\) 等于 \(t \otimes s^e/s^{n + e}\)（作为 \(\Gamma_*(X, \mathcal{L}, \mathcal{F})_{(s)}\) 中的元素），故如所需有 \(t/s^n = 0\)。

(2) 的证明。假设 \(X\) 拟紧且拟分离。则 \(U_j \cap U_{j'}\) 对所有指标对 \(j, j'\) 均拟紧；见《概形》引理 01KO。由 (1) 可知 (0B5L) 是单射。令 \(t' \in \Gamma(X_s, \mathcal{F}|_{X_s})\)。对每个 \(j\)，存在整数 \(e_j \geq 0\) 以及 \(t'_j \in \Gamma(U_j, \mathcal{F}|_{U_j})\)，使得 \(t'|_{D(f_j)}\) 经由引理 01P7 的同构对应于 \(t'_j/f_j^{e_j}\)。令 \(e = \max(e_j)\)，并置 \[t_j = f_j^{e - e_j} t'_j \otimes q_j^e \in \Gamma(U_j, (\mathcal{F} \otimes_{\mathcal{O}_X} \mathcal{L}^{\otimes e})|_{U_j})\] ，其中 \(q_j \in \Gamma(U_j, \mathcal{L}|_{U_j})\) 是来自同构 \(\mathcal{L}|_{U_j} \cong \mathcal{O}_{U_j}\) 的平凡化截面。特别地， \(s|_{U_j} = f_j q_j\)。利用这一点计算可见， \(t_j|_{U_j \cap U_{j'}}\) 与 \(t_{j'}|_{U_j \cap U_{j'}}\) 映到 \(\mathcal{F}\) 在 \(U_j \cap U_{j'} \cap X_s\) 上的同一截面。由 \(U_j \cap U_{j'}\) 的拟紧性及 (1)，存在整数 \(e' \geq 0\)，使得 \[t_j|_{U_j \cap U_{j'}} \otimes s^{e'}|_{U_j \cap U_{j'}} = t_{j'}|_{U_j \cap U_{j'}} \otimes s^{e'}|_{U_j \cap U_{j'}}\] 作为 \(\mathcal{F} \otimes \mathcal{L}^{\otimes e + e'}\) 在 \(U_j \cap U_{j'}\) 上的截面相等。可选择同一个 \(e'\) 对所有指标对 \(j, j'\) 都适用。于是层条件给出一个截面 \(t \in \Gamma(X, \mathcal{F} \otimes \mathcal{L}^{\otimes e + e'})\)，其在 \(U_j\) 上的限制为 \(t_j \otimes s^{e'}|_{U_j}\)。简单计算表明，\(t/s^{e + e'}\) 映到 \(t'\)，如所需。

令 \(X\) 为概形。令 \(\mathcal{L}\) 为可逆 \(\mathcal{O}_X\)-模。令 \(\mathcal{F}\) 与 \(\mathcal{G}\) 为准凝聚 \(\mathcal{O}_X\)-模。考虑分次 \(\Gamma_*(X, \mathcal{L})\)-模 \[M = \bigoplus\nolimits_{n \in \mathbf{Z}} \Hom_{\mathcal{O}_X}(\mathcal{F}, \mathcal{G} \otimes_{\mathcal{O}_X} \mathcal{L}^{\otimes n})\] 接着，令 \(s \in \Gamma(X, \mathcal{L})\) 为截面。于是有典范映射 [0B5M]\[\begin{equation} M_{(s)} \longrightarrow \Hom_{\mathcal{O}_{X_s}}(\mathcal{F}|_{X_s}, \mathcal{G}|_{X_s}) \end{equation}\] ，它把 \(\alpha/s^n\) 映到映射 \(\alpha|_{X_s} \otimes s|_{X_s}^{-n}\)。下述引理与引理 01PI 合在一起，大致说明：若 \(X\) 拟紧且拟分离，则有限表现 \(\mathcal{O}_{X_s}\)-模范畴就是有限表现 \(\mathcal{O}_X\)-模范畴把映射的乘法系 \(s^n: \mathcal{F} \to \mathcal{F} \otimes_{\mathcal{O}_X} \mathcal{L}^{\otimes n}\) 中的映射都变为可逆之后所得的范畴。

引理

令 \(X\) 为概形。令 \(\mathcal{L}\) 为可逆 \(\mathcal{O}_X\)-模。令 \(s \in \Gamma(X, \mathcal{L})\) 为截面。令 \(\mathcal{F}\)、\(\mathcal{G}\) 为准凝聚 \(\mathcal{O}_X\)-模。

若 \(X\) 拟紧且 \(\mathcal{F}\) 是有限型的，则 (0B5M) 是单射；

若 \(X\) 拟紧且拟分离，并且 \(\mathcal{F}\) 是有限表现的，则 (0B5M) 是双射。

证明

先证明 \(X = \Spec(A)\) 为仿射且 \(\mathcal{L} = \mathcal{O}_X\) 的情形。此时 \(s\) 对应于某个 \(f \in A\)。设 \(\mathcal{F} = \widetilde{M}\) 且 \(\mathcal{G} = \widetilde{N}\)，其中它们是某些 \(A\)-模 \(M\) 和 \(N\)。于是本引理（通过引理 01PB 与 01PC）转化为下列代数陈述：

若 \(M\) 是有限 \(A\)-模，且 \(\varphi : M \to N\) 是 \(A\)-模映射，使得诱导映射 \(M_f \to N_f\) 为零，则 \(f^n\varphi = 0\) 对某个 \(n\) 成立。

若 \(M\) 是有限表现 \(A\)-模，则 \(\Hom_A(M, N)_f = \Hom_{A_f}(M_f, N_f)\)。

第二个陈述是《代数》引理 0583；第一个陈述的证明从略。

接着证明一般 \(X\) 的 (1)。假设 \(X\) 拟紧，并选取有限仿射开覆盖 \(X = U_1 \cup \ldots \cup U_m\)，其中 \(U_j\) 仿射且 \(\mathcal{L}|_{U_j} \cong \mathcal{O}_{U_j}\)。经此同构，像 \(s|_{U_j}\) 对应于某个 \(f_j \in \Gamma(U_j, \mathcal{O}_{U_j})\)。于是 \(X_s \cap U_j = D(f_j)\)。令 \(\alpha/s^n\) 为 (0B5M) 的核中元素。则 \(\alpha|_{X_s} = 0\)。故 \((\alpha|_{U_j})|_{D(f_j)} = 0\)。由上面处理的仿射情形， \(f_j^{e_j} \alpha|_{U_j} = 0\) 对某个 \(e_j \geq 0\) 成立。令 \(e = \max(e_j)\)。于是 \(\alpha \otimes s^e\) 在 \(U_j\) 上的限制对所有 \(j\) 均为零，故它为零。由于 \(\alpha/s^n\) 等于 \(\alpha \otimes s^e/s^{n + e}\)（作为 \(M_{(s)}\) 中的元素），故如所需有 \(\alpha/s^n = 0\)。

(2) 的证明。由于 \(\mathcal{F}\) 是有限表现的，层 \(\SheafHom_{\mathcal{O}_X}(\mathcal{F}, \mathcal{G})\) 是准凝聚的；见《概形》第 01LA 节。此外，显然对所有 \(n\) 都有 \[\SheafHom_{\mathcal{O}_X}(\mathcal{F}, \mathcal{G} \otimes_{\mathcal{O}_X} \mathcal{L}^{\otimes n}) = \SheafHom_{\mathcal{O}_X}(\mathcal{F}, \mathcal{G}) \otimes_{\mathcal{O}_X} \mathcal{L}^{\otimes n}\] 因此在这种情形下，结论由引理 01PW 对 \(\SheafHom_{\mathcal{O}_X}(\mathcal{F}, \mathcal{G})\) 的应用得出。

拟仿射概形

定义

若概形 \(X\) 拟紧并且同构于某个仿射概形的开子概形，则称它是 拟仿射的。

引理

令 \(A\) 为环，并令 \(U \subset \Spec(A)\) 为拟紧开子概形。对于准凝聚层 \(\mathcal{F}\)（在 \(U\) 上），典范映射 \[\widetilde{H^0(U, \mathcal{F})}|_U \to \mathcal{F}\] 是同构。

证明

以 \(j : U \to \Spec(A)\) 表示包含态射。则 \(H^0(U, \mathcal{F}) = H^0(\Spec(A), j_*\mathcal{F})\)，并且 \(j_*\mathcal{F}\) 由《概形》引理 01LC 是准凝聚的。因此，由《概形》引理 01IB， \(j_*\mathcal{F} = \widetilde{H^0(U, \mathcal{F})}\)。再限制回 \(U\) 即得本引理。

引理

令 \(X\) 为概形。令 \(f \in \Gamma(X, \mathcal{O}_X)\)。假设 \(X\) 拟紧且拟分离，并假设 \(X_f\) 是仿射的。则典范态射 \[j : X \longrightarrow \Spec(\Gamma(X, \mathcal{O}_X))\] （来自《概形》引理 01I1）诱导一个同构，把 \(X_f = j^{-1}(D(f))\) 同构到标准仿射开集 \(D(f) \subset \Spec(\Gamma(X, \mathcal{O}_X))\) 上。

证明

这是显然的，因为由上面的引理 01P7， \(j\) 诱导环同构 \(\Gamma(X, \mathcal{O}_X)_f \to \mathcal{O}_X(X_f)\)。

引理

令 \(X\) 为概形。则 \(X\) 是拟仿射的，当且仅当来自《概形》引理 01I1 的典范态射 \[X \longrightarrow \Spec(\Gamma(X, \mathcal{O}_X))\] 是拟紧开浸入。

证明

若所陈列的态射是拟紧开浸入，则 \(X\) 同构于 \(\Spec(\Gamma(X, \mathcal{O}_X))\) 的一个拟紧开子概形，显然 \(X\) 是拟仿射的。

假设 \(X\) 是拟仿射的，即 \(X \subset \Spec(R)\) 是拟紧开集。特别地，这蕴涵 \(X\) 是分离的；见《概形》引理 01L8。令 \(A = \Gamma(X, \mathcal{O}_X)\)。考虑环映射 \(R \to A\)；它来自 \(R = \Gamma(\Spec(R), \mathcal{O}_{\Spec(R)})\) 以及层 \(\mathcal{O}_{\Spec(R)}\) 的限制映射。由《概形》引理 01I1，得到包含态射的分解： \[X \longrightarrow \Spec(A) \longrightarrow \Spec(R)\] 令 \(x \in X\)。选取 \(r \in R\)，使得 \(x \in D(r)\) 且 \(D(r) \subset X\)。以 \(f \in A\) 表示 \(r\) 在 \(A\) 中的像。上面引理 01P7 的开集 \(X_f\) 等于 \(D(r) \subset X\)，故由该引理的结论有 \(A_f \cong R_r\)。因此 \(D(r) \to \Spec(A)\) 是到标准仿射开集 \(D(f)\)（属于 \(\Spec(A)\)）上的同构。由于 \(X\) 可由这样的仿射开集 \(D(f)\) 覆盖，结论得证。

引理

令 \(U \to V\) 为拟仿射概形的开浸入。则 \[\xymatrix{ U \ar[d] \ar[rr]_-j & & \Spec(\Gamma(U, \mathcal{O}_U)) \ar[d] \\ U \ar[r] & V \ar[r]^-{j'} & \Spec(\Gamma(V, \mathcal{O}_V)) }\] 是笛卡儿图。

证明

由《概形》引理 01I1，该图交换。记 \(A = \Gamma(U, \mathcal{O}_U)\) 且 \(B = \Gamma(V, \mathcal{O}_V)\)。令 \(g \in B\) 使得 \(V_g\) 仿射且包含于 \(U\)。这意味着，若 \(f\) 是 \(g\) 在 \(A\) 中的像，则 \(U_f = V_g\)。由引理 01P8 可知，\(j'\) 诱导一个同构，把 \(V_g\) 同构到标准开集 \(D(g)\)（属于 \(\Spec(B)\)）上。因此 \(V_g \times_{\Spec(B)} \Spec(A) \to \Spec(A)\) 是到 \(D(f) \subset \Spec(A)\) 上的同构。再次由引理 01P8，\(j\) 把 \(U_f\) 同构地映到 \(D(f)\)。因此可见 \(U_f = U_f \times_{\Spec(B)} \Spec(A)\)。由于由引理 01P9，可覆盖 \(U\)，所用开集为上述 \(V_g = U_f\)，故 \(U \to U \times_{\Spec(B)} \Spec(A)\) 是同构。

引理

令 \(X\) 为拟仿射概形。存在整数 \(n \geq 0\)、仿射概形 \(T\) 以及态射 \(T \to X\)，使得对每个态射 \(X' \to X\)，若 \(X'\) 仿射，则纤维积 \(X' \times_X T\) 同构于 \(\mathbf{A}^n_{X'}\)，并且这是在 \(X'\) 上的同构。

证明

由定义，存在环 \(A\)，使得 \(X\) 同构于拟紧开子概形 \(U \subset \Spec(A)\)。回顾：标准开集 \(D(f) \subset \Spec(A)\) 构成拓扑的一组基；见《代数》第 00DY 节。因为 \(U\) 拟紧，可选取 \(f_1, \ldots, f_n \in A\)，使得 \(U = D(f_1) \cup \ldots \cup D(f_n)\)。因此不妨设 \(X = \Spec(A) \setminus V(I)\)，其中 \(I = (f_1, \ldots, f_n)\)。置 \[T = \Spec(A[t, x_1, \ldots, x_n]/(f_1 x_1 + \ldots + f_n x_n - 1))\] 结构态射 \(T \to \Spec(A)\) 通过开集 \(X\) 分解，从而给出态射 \(T \to X\)。若 \(X' = \Spec(A')\)，且态射 \(X' \to X\) 对应于环映射 \(A \to A'\)，则 \(f'_1, \ldots, f'_n \in A'\)（即 \(f_1, \ldots, f_n\) 的像）生成 \(A'\) 中的单位理想。设 \(1 = f'_1 a'_1 + \ldots + f'_n a'_n\)。基变换 \(X' \times_X T\) 是下列环的谱： \(A'[t, x_1, \ldots, x_n]/(f'_1 x_1 + \ldots + f'_n x_n - 1)\)。我们断言，下列 \(A'\)-代数同态 \[\varphi : A'[y_1, \ldots, y_n] \longrightarrow A'[t, x_1, \ldots, x_n, x_{n + 1}]/(f'_1 x_1 + \ldots + f'_n x_n - 1)\] 把 \(y_i\) 送到 \(a'_i t + x_i\)，并且它是同构。该断言即完成本引理的证明。 \(\varphi\) 的逆由下列 \(A'\)-代数同态给出： \[\psi : A'[t, x_1, \ldots, x_n, x_{n + 1}]/(f'_1 x_1 + \ldots + f'_n x_n - 1) \longrightarrow A'[y_1, \ldots, y_n]\] 它把 \(t\) 送到 \(-1 + f'_1 y_1 + \ldots + f'_n y_n\)，并把 \(x_i\) 送到 \(y_i + a'_i - a'_i(f'_1 y_1 + \ldots + f'_n y_n)\)，其中 \(i = 1, \ldots, n\)。这是有意义的，因为 \(\sum f'_ix_i\) 被映到 \[\begin{matrix} \sum f'_i(y_i + a'_i - a'_i(\sum f'_j y_j)) = (\sum f'_iy_i) + 1 - (\sum f'_j y_j) = 1 \end{matrix}\] 为看出这两个映射互逆，作如下计算： \[\begin{matrix} \varphi(\psi(t) = \varphi(-1 + \sum f'_i y_i) = -1 + \sum f'_i (a'_i t + x_i) = t \\ \varphi(\psi(x_i)) = \varphi(y_i + a'_i - a'_i(\sum f'_j y_j)) = a'_i t + x_i + a'_i - a'_i(\sum f'_ja'_jt + f'_jx_j) = x_i \\ \psi(\varphi(y_i)) = \psi(a'_i t + x_i) = a'_i(-1 + \sum f'_j y_j) + y_i + a'_i - a'_i(\sum f'_j y_j) = y_i \end{matrix}\] 证明完毕。

平坦模

在任意环层空间 \((X, \mathcal{O}_X)\) 上，我们知道一个 \(\mathcal{O}_X\)-模（在一点处）平坦意味着什么；见《模》定义 05ND （定义 05NF）。对于仿射概形上的准凝聚层，这与代数章中定义的概念一致。

引理

令 \(X = \Spec(R)\) 为仿射概形。令 \(\mathcal{F} = \widetilde{M}\)，它来自某个 \(R\)-模 \(M\)。准凝聚层 \(\mathcal{F}\) 是平坦 \(\mathcal{O}_X\)-模，当且仅当 \(M\) 是平坦 \(R\)-模。

证明

\(\mathcal{F}\) 的平坦性可在茎上检验；见《模》引理 05NE。环上模的情形也是如此；见《代数》引理 00HT。又因为 \(\mathcal{F}_x = M_{\mathfrak p}\)（当 \(x\) 对应于 \(\mathfrak p\) 时），本引理成立。

局部自由模

在任意环层空间上，我们知道一个 \(\mathcal{O}_X\)-模是（有限）局部自由的意味着什么。在仿射概形上，这与代数章中定义的概念一致。

引理

令 \(X = \Spec(R)\) 为仿射概形。令 \(\mathcal{F} = \widetilde{M}\)，它来自某个 \(R\)-模 \(M\)。准凝聚层 \(\mathcal{F}\) 是（有限）局部自由 \(\mathcal{O}_X\)-模，当且仅当 \(M\) 是（有限）局部自由 \(R\)-模。

证明

这由定义得出；见《模》定义 01C6 以及《代数》定义 00NW。

有限局部自由模可以用许多不同方式刻画。

引理

令 \(X\) 为概形。令 \(\mathcal{F}\) 为准凝聚 \(\mathcal{O}_X\)-模。下列条件等价：

\(\mathcal{F}\) 是有限表现的平坦 \(\mathcal{O}_X\)-模；

\(\mathcal{F}\) 是有限表现 \(\mathcal{O}_X\)-模，并且对所有 \(x \in X\)，茎 \(\mathcal{F}_x\) 都是自由 \(\mathcal{O}_{X, x}\)-模；

\(\mathcal{F}\) 是有限型局部自由 \(\mathcal{O}_X\)-模；

\(\mathcal{F}\) 是有限局部自由 \(\mathcal{O}_X\)-模；

\(\mathcal{F}\) 是有限型 \(\mathcal{O}_X\)-模，对每个 \(x \in X\)，茎 \(\mathcal{F}_x\) 都是自由 \(\mathcal{O}_{X, x}\)-模，并且函数 \[\rho_\mathcal{F} : X \to \mathbf{Z}, \quad x \longmapsto \dim_{\kappa(x)} \mathcal{F}_x \otimes_{\mathcal{O}_{X, x}} \kappa(x)\] 在 \(X\) 的 Zariski 拓扑中局部常值。

证明

本引理立即归结为仿射情形。在这种情形下，它是《代数》引理 00NX 的重述。该转译使用引理 01PB、 01PC、 05P0 和 05JM。

引理

令 \(X\) 为约化概形。令 \(\mathcal{F}\) 为准凝聚 \(\mathcal{O}_X\)-模。则引理 05P2 的等价条件还等价于

\(\mathcal{F}\) 是有限型 \(\mathcal{O}_X\)-模，并且函数 \[\rho_\mathcal{F} : X \to \mathbf{Z}, \quad x \longmapsto \dim_{\kappa(x)} \mathcal{F}_x \otimes_{\mathcal{O}_{X, x}} \kappa(x)\] 在 \(X\) 的 Zariski 拓扑中局部常值。

证明

本引理立即归结为仿射情形。在这种情形下，它是《代数》引理 0FWG 的重述。

局部投射模

代数章中已有工作的一个推论是，可以如下定义局部投射模。

定义

令 \(X\) 为概形。令 \(\mathcal{F}\) 为准凝聚 \(\mathcal{O}_X\)-模。称 \(\mathcal{F}\) 是局部投射的，如果对每个仿射开集 \(U \subset X\)，\(\mathcal{O}_X(U)\)-模 \(\mathcal{F}(U)\) 都是投射的。

引理

令 \(X\) 为概形。令 \(\mathcal{F}\) 为准凝聚 \(\mathcal{O}_X\)-模。下列条件等价：

\(\mathcal{F}\) 局部投射；

存在仿射开覆盖 \(X = \bigcup U_i\)，使得 \(\mathcal{O}_X(U_i)\)-模 \(\mathcal{F}(U_i)\) 对每个 \(i\) 都是投射的。

特别地，若 \(X = \Spec(A)\) 且 \(\mathcal{F} = \widetilde{M}\)，则 \(\mathcal{F}\) 局部投射，当且仅当 \(M\) 是投射 \(A\)-模。

证明

首先注意，若 \(M\) 是投射 \(A\)-模且 \(A \to B\) 是环映射，则 \(M \otimes_A B\) 是投射 \(B\)-模；见《代数》引理 05A3。因此，若 \(U\) 是仿射开集，且 \(\mathcal{F}(U)\) 是投射 \(\mathcal{O}_X(U)\)-模，则标准开集 \(D(f)\) 是仿射开集，并且 \(\mathcal{F}(D(f))\) 是投射 \(\mathcal{O}_X(D(f))\)-模，这对所有 \(f \in \mathcal{O}_X(U)\) 都成立。假设 (2) 成立。令 \(U \subset X\) 为任意仿射开集。可以找到由有限多个标准开集组成的开覆盖 \(U = \bigcup_{j = 1, \ldots, m} D(f_j)\)；其中这些标准开集 \(D(f_j)\) 满足：对每个 \(j\)，开集 \(D(f_j)\) 都是某个 \(U_i\) 的标准开集；见《概形》引理 01IW。因此，若置 \(A = \mathcal{O}_X(U)\)，且 \(M\) 是一个 \(A\)-模，使 \(\mathcal{F}|_U\) 对应于 \(M\)，则 \(M_{f_j}\) 是投射 \(A_{f_j}\)-模。由此，\(A \to B = \prod A_{f_j}\) 是忠实平坦环映射，且 \(M \otimes_A B\) 是投射 \(B\)-模。因此由《代数》定理 05A9，\(M\) 是投射的。

引理

令 \(f : X \to Y\) 为概形态射。令 \(\mathcal{G}\) 为准凝聚 \(\mathcal{O}_Y\)-模。若 \(\mathcal{G}\) 在 \(Y\) 上局部投射，则 \(f^*\mathcal{G}\) 在 \(X\) 上局部投射。

证明

这由《代数》引理 05A3 和引理 05JQ 得出。

准凝聚层的延拓

有时，能够证明开子概形上给定的准凝聚层可延拓到整个概形，是很有用的。

引理

令 \(j : U \to X\) 为概形的拟紧开浸入。

\(U\) 上任意准凝聚层都可延拓为 \(X\) 上的准凝聚层。

令 \(\mathcal{F}\) 为 \(X\) 上的准凝聚层。令 \(\mathcal{G} \subset \mathcal{F}|_U\) 为准凝聚子层。则存在准凝聚子层 \(\mathcal{H}\)（属于 \(\mathcal{F}\)），使得 \(\mathcal{H}|_U = \mathcal{G}\)，这里的等式是在 \(\mathcal{F}|_U\) 的子层意义下成立。

令 \(\mathcal{F}\) 为 \(X\) 上的准凝聚层。令 \(\mathcal{G}\) 为 \(U\) 上的准凝聚层。令 \(\varphi : \mathcal{G} \to \mathcal{F}|_U\) 为 \(\mathcal{O}_U\)-模态射。则存在准凝聚层 \(\mathcal{H}\)（为 \(\mathcal{O}_X\)-模）和映射 \(\psi : \mathcal{H} \to \mathcal{F}\)，使得 \(\mathcal{H}|_U = \mathcal{G}\) 且 \(\psi|_U = \varphi\)。

证明

浸入是分离的（见《概形》引理 01L7），并且 \(j\) 依假设拟紧。因此，对任意准凝聚层 \(\mathcal{G}\)（在 \(U\) 上），层 \(j_*\mathcal{G}\) 是到 \(X\) 上的一个延拓。见《概形》引理 01LC 和《层》第 009Z 节。

假设 \(\mathcal{F}\)、\(\mathcal{G}\) 如 (2) 中。则 \(j_*\mathcal{G}\) 是 \(X\) 上的准凝聚层（见上文）。它是 \(j_*j^*\mathcal{F}\) 的子层。因此核 \[\mathcal{H} = \Ker(\mathcal{F} \oplus j_* \mathcal{G} \longrightarrow j_*j^*\mathcal{F})\] 也是准凝聚的；见《概形》第 01LA 节。形式地检验可知 \(\mathcal{H} \subset \mathcal{F}\) 且 \(\mathcal{H}|_U = \mathcal{G}\)（再次使用《层》第 009Z 节的材料）。

(3) 的证明方式与 (2) 相同。只需取 \(\mathcal{H} = \Ker(\mathcal{F} \oplus j_* \mathcal{G} \to j_*j^*\mathcal{F})\)，连同它到 \(\mathcal{F}\) 的显然映射，以及它与 \(\mathcal{G}\) 的显然等同（在 \(U\) 上）。

引理

令 \(X\) 为拟紧且拟分离概形。令 \(U \subset X\) 为拟紧开集。令 \(\mathcal{F}\) 为准凝聚 \(\mathcal{O}_X\)-模。令 \(\mathcal{G} \subset \mathcal{F}|_U\) 为有限型准凝聚 \(\mathcal{O}_U\)-子模。则存在有限型准凝聚子模 \(\mathcal{G}' \subset \mathcal{F}\)，使得 \(\mathcal{G}'|_U = \mathcal{G}\)。

证明

令 \(n\) 为仿射开集 \(U_i \subset X\) 的最小数目，其中 \(i = 1, \ldots , n\) 且 \(X = U \cup \bigcup U_i\)。（这里使用 \(X\) 拟紧。）假设可证明 \(n = 1\) 的情形。于是可依次把 \(\mathcal{G}\) 延拓为 \(\mathcal{G}_1\)（定义在 \(U \cup U_1\) 上），再延拓为 \(\mathcal{G}_2\)（定义在 \(U \cup U_1 \cup U_2\) 上），再延拓为 \(\mathcal{G}_3\)（定义在 \(U \cup U_1 \cup U_2 \cup U_3\) 上），依此类推。因此归结为 \(n = 1\) 的情形。

所以可假设 \(X = U \cup V\)，其中 \(V\) 仿射。因为 \(X\) 拟分离，并且 \(U\)、\(V\) 是拟紧开集，所以 \(U \cap V\) 是拟紧开集。只需对系统 \((V, U \cap V, \mathcal{F}|_V, \mathcal{G}|_{U \cap V})\) 证明本引理，因为可把所得的层 \(\mathcal{G}'\)（在 \(V\) 上）与给定的层 \(\mathcal{G}\)（在 \(U\) 上）沿着它们在 \(U \cap V\) 上的公共值粘合。因此归结为 \(X\) 仿射的情形。

假设 \(X = \Spec(R)\)。写成 \(\mathcal{F} = \widetilde M\)，其中它来自某个 \(R\)-模 \(M\)。由上面的引理 01PE，可找到准凝聚子层 \(\mathcal{H} \subset \mathcal{F}\)，它限制为 \(\mathcal{G}\)（在 \(U\) 上）。写成 \(\mathcal{H} = \widetilde N\)，其中它来自某个 \(R\)-模 \(N\)。对每个 \(u \in U\)，存在 \(f \in R\)，使得 \(u \in D(f) \subset U\) 且 \(N_f\) 有限生成；见引理 01PB。由于 \(U\) 拟紧，可用有限多个 \(D(f_i)\) 覆盖它，使得 \(N_{f_i}\) 由有限多个元素生成，设这些元素为 \(x_{i, 1}/f_i^N, \ldots, x_{i, r_i}/f_i^N\)。令 \(N' \subset N\) 为由元素 \(x_{i, j}\) 生成的子模。则子层 \(\mathcal{G}' = \widetilde{N'} \subset \mathcal{H} \subset \mathcal{F}\) 满足要求。

引理

令 \(X\) 为拟紧且拟分离概形。任意准凝聚 \(\mathcal{O}_X\)-模层都是其有限型准凝聚 \(\mathcal{O}_X\)-子模的有向余极限。

证明

该余极限是有向的，因为若 \(\mathcal{G}_1\)、\(\mathcal{G}_2\) 是有限型准凝聚子层，则 \(\mathcal{G}_1 \oplus \mathcal{G}_2 \to \mathcal{F}\) 的像是有限型准凝聚子模。令 \(U \subset X\) 为任意仿射开集，并令 \(s \in \Gamma(U, \mathcal{F})\) 为任意截面。令 \(\mathcal{G} \subset \mathcal{F}|_U\) 为由 \(s\) 生成的子层。则显然 \(\mathcal{G}\) 是准凝聚的，并且作为 \(\mathcal{O}_U\)-模是有限型的。由引理 01PF 可知， \(\mathcal{G}\) 是某个有限型准凝聚子层 \(\mathcal{G}' \subset \mathcal{F}\) 的限制。由于 \(X\) 的拓扑具有由仿射开集组成的一组基，可知 \(\mathcal{F}\) 的每个局部截面都局部地包含在某个有限型准凝聚子模中。故结论成立。

引理

令 \(X\) 为拟紧且拟分离概形。令 \(\mathcal{F}\) 为准凝聚 \(\mathcal{O}_X\)-模。令 \(U \subset X\) 为拟紧开集。令 \(\mathcal{G}\) 为有限表现 \(\mathcal{O}_U\)-模。令 \(\varphi : \mathcal{G} \to \mathcal{F}|_U\) 为 \(\mathcal{O}_U\)-模态射。则存在有限表现 \(\mathcal{O}_X\)-模 \(\mathcal{G}'\)，以及 \(\mathcal{O}_X\)-模态射 \(\varphi' : \mathcal{G}' \to \mathcal{F}\)，使得 \(\mathcal{G}'|_U = \mathcal{G}\) 且 \(\varphi'|_U = \varphi\)。

证明

证明的开头重复引理 01PF 证明的开头。不过我们仍将它仔细写出。

令 \(n\) 为仿射开集 \(U_i \subset X\) 的最小数目，其中 \(i = 1, \ldots , n\) 且 \(X = U \cup \bigcup U_i\)。（这里使用 \(X\) 拟紧。）假设可证明 \(n = 1\) 的情形。于是可依次把对 \((\mathcal{G}, \varphi)\) 延拓为对 \((\mathcal{G}_1, \varphi_1)\)（定义在 \(U \cup U_1\) 上），再延拓为对 \((\mathcal{G}_2, \varphi_2)\)（定义在 \(U \cup U_1 \cup U_2\) 上），再延拓为对 \((\mathcal{G}_3, \varphi_3)\)（定义在 \(U \cup U_1 \cup U_2 \cup U_3\) 上），依此类推。因此归结为 \(n = 1\) 的情形。

所以可假设 \(X = U \cup V\)，其中 \(V\) 仿射。因为 \(X\) 拟分离且 \(U\) 拟紧，所以 \(U \cap V \subset V\) 拟紧。假设对系统 \((V, U \cap V, \mathcal{F}|_V, \mathcal{G}|_{U \cap V}, \varphi|_{U \cap V})\) 证明了本引理，从而产生 \((\mathcal{G}', \varphi')\)（在 \(V\) 上）。那么可把 \(\mathcal{G}'\)（在 \(V\) 上）与给定的层 \(\mathcal{G}\)（在 \(U\) 上）沿着它们在 \(U \cap V\) 上的公共值粘合；类似地，可把映射 \(\varphi'\) 与映射 \(\varphi\) 沿着它们在 \(U \cap V\) 上的公共值粘合。因此归结为 \(X\) 仿射的情形。

假设 \(X = \Spec(R)\)。由上面的引理 01PE，可找到准凝聚层 \(\mathcal{H}\)，以及映射 \(\psi : \mathcal{H} \to \mathcal{F}\)（在 \(X\) 上）；它限制为 \(\mathcal{G}\) 和 \(\varphi\)（在 \(U\) 上）。由引理 01PF，可找到有限型准凝聚 \(\mathcal{O}_X\)-子模 \(\mathcal{H}' \subset \mathcal{H}\)，使得 \(\mathcal{H}'|_U = \mathcal{G}\)。因此，替换 \(\mathcal{H}\)，所用的是 \(\mathcal{H}'\)；并替换 \(\psi\)，所用的是 \(\psi\) 在 \(\mathcal{H}'\) 上的限制。此后，可假设 \(\mathcal{H}\) 是有限型的。由引理 01PC 可知 \(\mathcal{H} = \widetilde{N}\)，其中 \(N\) 是有限生成 \(R\)-模。因此存在如下准凝聚 \(\mathcal{O}_X\)-模短正合列中的满射： \[0 \to \mathcal{K} \to \mathcal{O}_X^{\oplus n} \to \mathcal{H} \to 0\] 其中 \(\mathcal{K}\) 定义为该核。由于 \(\mathcal{G}\) 是有限表现的，且由《模》引理 01BP 有 \(\mathcal{H}|_U = \mathcal{G}\)，故限制 \(\mathcal{K}|_U\) 是有限型 \(\mathcal{O}_U\)-模。因此再次由引理 01PF，存在有限型准凝聚 \(\mathcal{O}_X\)-子模 \(\mathcal{K}' \subset \mathcal{K}\)，使得 \(\mathcal{K}'|_U = \mathcal{K}|_U\)。本引理所提问题的解是置 \[\mathcal{G}' = \mathcal{O}_X^{\oplus n}/\mathcal{K}'\] 它显然是有限表现的，并且限制后给出 \(\mathcal{G}\)（在 \(U\) 上），其中 \(\varphi'\) 等于复合 \[\mathcal{G}' = \mathcal{O}_X^{\oplus n}/\mathcal{K}' \to \mathcal{O}_X^{\oplus n}/\mathcal{K} = \mathcal{H} \xrightarrow{\psi} \mathcal{F}.\] 本引理证毕。

引理

令 \(X\) 为拟紧且拟分离概形。令 \(U \subset X\) 为拟紧开集。令 \(\mathcal{G}\) 为 \(\mathcal{O}_U\)-模。

若 \(\mathcal{G}\) 是有限型准凝聚模，则存在有限型准凝聚 \(\mathcal{O}_X\)-模 \(\mathcal{G}'\)，使得 \(\mathcal{G}'|_U = \mathcal{G}\)。

若 \(\mathcal{G}\) 是有限表现的，则存在有限表现 \(\mathcal{O}_X\)-模 \(\mathcal{G}'\)，使得 \(\mathcal{G}'|_U = \mathcal{G}\)。

证明

(2) 是引理 01PI 中 \(\mathcal{F} = 0\) 的特殊情形。对于 (1)，先由引理 01PE 把 \(\mathcal{G} = \mathcal{F}|_U\) 写为某个准凝聚 \(\mathcal{O}_X\)-模的限制，然后对 \(\mathcal{G} = \mathcal{F}|_U\) 应用引理 01PF。

下述引理说明，拟紧且拟分离概形上的每个准凝聚层都是有限表现 \(\mathcal{O}\)-模的滤过余极限。事实上，在下一个引理中，我们将其改述为（也许更熟悉的）有向集上的有向余极限。

引理

令 \(X\) 为概形。假设 \(X\) 拟紧且拟分离。令 \(\mathcal{F}\) 为准凝聚 \(\mathcal{O}_X\)-模。则存在

一个滤过指标范畴 \(\mathcal{I}\)（见《范畴》定义 002V）；

一个图 \(\mathcal{I} \to \textit{Mod}(\mathcal{O}_X)\)（见《范畴》第 002D 节）， \(i \mapsto \mathcal{F}_i\)；

\(\mathcal{O}_X\)-模态射 \(\varphi_i : \mathcal{F}_i \to \mathcal{F}\)；

使得每个 \(\mathcal{F}_i\) 都是有限表现的，并且态射 \(\varphi_i\) 诱导同构 \[\colim_i \mathcal{F}_i = \mathcal{F}.\]

证明

选取集合 \(I\)，并对每个 \(i \in I\) 选取一个有限表现 \(\mathcal{O}_X\)-模，以及一个 \(\mathcal{O}_X\)-模同态 \(\varphi_i : \mathcal{F}_i \to \mathcal{F}\)，使其具有如下性质：对任意 \(\psi : \mathcal{G} \to \mathcal{F}\)，若 \(\mathcal{G}\) 有限表现，则存在 \(i \in I\)，以及同构 \(\alpha : \mathcal{F}_i \to \mathcal{G}\)，使得 \(\varphi_i = \psi \circ \alpha\)。由《模》引理 01BC 显然存在这样的集合（也见其证明）。以 \(\mathcal{I}\) 表示如下范畴： \(\Ob(\mathcal{I}) = I\)，并且给定 \(i, i' \in I\)，置 \[\Mor_\mathcal{I}(i, i') = \{\alpha : \mathcal{F}_i \to \mathcal{F}_{i'} \mid \alpha \circ \varphi_{i'} = \varphi_i \}.\] 我们断言 \(\mathcal{I}\) 是滤过范畴，并且 \(\mathcal{F} = \colim_i \mathcal{F}_i\)。

令 \(i, i' \in I\)。可以考虑态射 \[\mathcal{F}_i \oplus \mathcal{F}_{i'} \longrightarrow \mathcal{F}\] ，它是 \(\varphi_i\) 与 \(\varphi_{i'}\) 的直和。因为有限表现 \(\mathcal{O}_X\)-模的直和仍有限表现，故存在某个 \(i'' \in I\)，使得 \(\varphi_{i''} : \mathcal{F}_{i''} \to \mathcal{F}\) 同构于上面陈列的到 \(\mathcal{F}\) 的箭头。由于有交换图 \[\xymatrix{ \mathcal{F}_i \ar[r] \ar[d] & \mathcal{F} \ar@{=}[d] \\ \mathcal{F}_i \oplus \mathcal{F}_{i'} \ar[r] & \mathcal{F} } \quad \text{且} \quad \xymatrix{ \mathcal{F}_{i'} \ar[r] \ar[d] & \mathcal{F} \ar@{=}[d] \\ \mathcal{F}_i \oplus \mathcal{F}_{i'} \ar[r] & \mathcal{F} }\] 可知有态射 \(i \to i''\) 和 \(i' \to i''\)，它们属于 \(\mathcal{I}\)。接着，假设给定 \(i, i' \in I\) 以及态射 \(\alpha, \beta : i \to i'\)（它们对应于 \(\mathcal{O}_X\)-模映射 \(\alpha, \beta : \mathcal{F}_i \to \mathcal{F}_{i'}\)）。此时考虑余等化子 \[\mathcal{G} = \Coker( \mathcal{F}_i \xrightarrow{\alpha - \beta} \mathcal{F}_{i'} )\] 注意，\(\mathcal{G}\) 是有限表现 \(\mathcal{O}_X\)-模。因为根据范畴 \(\mathcal{I}\) 中态射的定义， \(\varphi_{i'} \circ \alpha = \varphi_{i'} \circ \beta\)，所以得到诱导映射 \(\psi : \mathcal{G} \to \mathcal{F}\)。因此，对 \((\mathcal{G}, \psi)\) 再次同构于对 \((\mathcal{F}_{i''}, \varphi_{i''})\)，其中某个 \(i''\)。从而存在态射 \(i' \to i''\)（在 \(\mathcal{I}\) 中），它等化 \(\alpha\) 与 \(\beta\)。故已证明范畴 \(\mathcal{I}\) 是滤过的。

还须证明该图的余极限是 \(\mathcal{F}\)。根据余极限的定义以及我们对范畴 \(\mathcal{I}\) 的定义，有典范映射 \[\varphi : \colim_i \mathcal{F}_i \longrightarrow \mathcal{F}.\] 选取 \(x \in X\)。我们来证明 \(\varphi_x\) 是同构。回顾 \[(\colim_i \mathcal{F}_i)_x = \colim_i \mathcal{F}_{i, x},\] 见《层》第 009E 节。先证明映射 \(\varphi_x\) 是单射。假设 \(s \in \mathcal{F}_{i, x}\) 为一个元素，并且 \(s\) 映到 \(\mathcal{F}_x\) 中的零。则存在拟紧开集 \(U\)，使得 \(s\) 来自 \(s \in \mathcal{F}_i(U)\)，并且 \(\varphi_i(s) = 0\) 在 \(\mathcal{F}(U)\) 中成立。由引理 01PF，可找到有限型准凝聚子层 \(\mathcal{K} \subset \Ker(\varphi_i)\)，它限制为准凝聚 \(\mathcal{O}_U\)-子模（属于 \(\mathcal{F}_i\)），而该子模由 \(s\) 生成： \(\mathcal{K}|_U = \mathcal{O}_U\cdot s \subset \mathcal{F}_i|_U\)。显然，\(\mathcal{F}_i/\mathcal{K}\) 是有限表现的，并且映射 \(\varphi_i\) 通过商映射 \(\mathcal{F}_i \to \mathcal{F}_i/\mathcal{K}\) 分解。因此可找到 \(i' \in I\) 以及态射 \(\alpha : \mathcal{F}_i \to \mathcal{F}_{i'}\)（在 \(\mathcal{I}\) 中），它可与商映射 \(\mathcal{F}_i \to \mathcal{F}_i/\mathcal{K}\) 等同。于是截面 \(s\) 映到 \(\mathcal{F}_{i'}(U)\) 中的零，特别地，它在 \((\colim_i \mathcal{F}_i)_x = \colim_i \mathcal{F}_{i, x}\) 中也为零。单射性得证。最后证明映射 \(\varphi_x\) 是满射。选取 \(s \in \mathcal{F}_x\)。选取拟紧开邻域 \(U \subset X\)（它包含 \(x\)），使得 \(s\) 对应于截面 \(s \in \mathcal{F}(U)\)。考虑映射 \(s : \mathcal{O}_U \to \mathcal{F}\)（乘以 \(s\)）。由引理 01PI，存在有限表现 \(\mathcal{O}_X\)-模 \(\mathcal{G}\)，以及 \(\mathcal{O}_X\)-模映射 \(\mathcal{G} \to \mathcal{F}\)，使得 \(\mathcal{G}|_U \to \mathcal{F}|_U\) 可等同于 \(s : \mathcal{O}_U \to \mathcal{F}\)。再次根据 \(\mathcal{I}\) 的定义，存在 \(i \in I\)，使得 \(\mathcal{G} \to \mathcal{F}\) 同构于 \(\varphi_i : \mathcal{F}_i \to \mathcal{F}\)。显然存在截面 \(s' \in \mathcal{F}_i(U)\)，它映到 \(s \in \mathcal{F}(U)\)。这证明了满射性，也完成了本引理的证明。

引理

令 \(X\) 为概形。假设 \(X\) 拟紧且拟分离。令 \(\mathcal{F}\) 为准凝聚 \(\mathcal{O}_X\)-模。则存在

一个有向集 \(I\)（见《范畴》定义 00D3）；

一个系统 \((\mathcal{F}_i, \varphi_{ii'})\)，它定义在 \(I\) 上并属于 \(\textit{Mod}(\mathcal{O}_X)\)（见《范畴》定义 0030）；

\(\mathcal{O}_X\)-模态射 \(\varphi_i : \mathcal{F}_i \to \mathcal{F}\)；

使得每个 \(\mathcal{F}_i\) 都是有限表现的，并且态射 \(\varphi_i\) 诱导同构 \[\colim_i \mathcal{F}_i = \mathcal{F}.\]

证明

这是引理 01PJ 与《范畴》引理 0032 的直接推论（再结合 \(\mathcal{O}_X\)-模层范畴中余极限存在这一事实；见《层》第 009E 节）。

引理

令 \(X\) 为概形。假设 \(X\) 拟紧且拟分离。令 \(\mathcal{F}\) 为有限型准凝聚 \(\mathcal{O}_X\)-模。则可写成 \(\mathcal{F} = \colim \mathcal{F}_i\)，其中 \(\mathcal{F}_i\) 是有限表现的，并且所有过渡映射 \(\mathcal{F}_i \to \mathcal{F}_{i'}\) 都是满射。

证明

把 \(\mathcal{F} = \colim \mathcal{G}_i\) 写成有限表现 \(\mathcal{O}_X\)-模的滤过余极限（引理 01PK）。我们断言 \(\mathcal{G}_i \to \mathcal{F}\) 对某个 \(i\) 是满射。事实上，选取有限仿射开覆盖 \(X = U_1 \cup \ldots \cup U_m\)。选取截面 \(s_{jl} \in \mathcal{F}(U_j)\) 来生成 \(\mathcal{F}|_{U_j}\)；见引理 01PB。由《层》引理 009F， \(s_{jl}\) 属于 \(\mathcal{G}_i \to \mathcal{F}\) 的像，只要 \(i\) 足够大。因此，\(\mathcal{G}_i \to \mathcal{F}\) 是满射，只要 \(i\) 足够大。选取这样的 \(i\)，并令 \(\mathcal{K} \subset \mathcal{G}_i\) 为映射 \(\mathcal{G}_i \to \mathcal{F}\) 的核。把 \(\mathcal{K} = \colim \mathcal{K}_a\) 写成其有限型准凝聚子模的滤过余极限（引理 01PG）。于是 \(\mathcal{F} = \colim \mathcal{G}_i/\mathcal{K}_a\) 是本引理所提问题的解。

引理

令 \(X\) 为拟紧且拟分离概形。令 \(\mathcal{F}\) 为有限型准凝聚 \(\mathcal{O}_X\)-模。令 \(U \subset X\) 为拟紧开集，并使 \(\mathcal{F}|_U\) 是有限表现的。则存在 \(\mathcal{O}_X\)-模映射 \(\varphi : \mathcal{G} \to \mathcal{F}\)，满足 (a) \(\mathcal{G}\) 有限表现， (b) \(\varphi\) 为满射，并且 (c) \(\varphi|_U\) 为同构。

证明

把 \(\mathcal{F} = \colim \mathcal{F}_i\) 写成有向余极限，其中每个 \(\mathcal{F}_i\) 都有限表现；见引理 01PK。选取有限仿射开覆盖 \(X = \bigcup V_j\)，并选取有限多个截面 \(s_{jl} \in \mathcal{F}(V_j)\) 生成 \(\mathcal{F}|_{V_j}\)；见引理 01PB。由《层》引理 009F， \(s_{jl}\) 属于 \(\mathcal{F}_i \to \mathcal{F}\) 的像，只要 \(i\) 足够大。因此，\(\mathcal{F}_i \to \mathcal{F}\) 是满射，只要 \(i\) 足够大。选取这样的 \(i\)，并令 \(\mathcal{K} \subset \mathcal{F}_i\) 为映射 \(\mathcal{F}_i \to \mathcal{F}\) 的核。由于 \(\mathcal{F}_U\) 是有限表现的，可知 \(\mathcal{K}|_U\) 是有限型的；见《模》引理 01BP。因此可找到有限型准凝聚子模 \(\mathcal{K}' \subset \mathcal{K}\)，满足 \(\mathcal{K}'|_U = \mathcal{K}|_U\)；见引理 01PF。于是 \(\mathcal{G} = \mathcal{F}_i/\mathcal{K}'\) 连同给定映射 \(\mathcal{G} \to \mathcal{F}\) 即为所求。

令 \(X\) 为概形。在下述引理中，我们使用有限表现准凝聚 \(\mathcal{O}_X\)-代数 \(\mathcal{A}\)这一概念。它意味着，对每个仿射开集 \(\Spec(R) \subset X\)，都有 \(\mathcal{A} = \widetilde{A}\)，其中 \(A\) 是一个（交换）\(R\)-代数，并且作为 \(R\)-代数有限表现。

引理

令 \(X\) 为概形。假设 \(X\) 拟紧且拟分离。令 \(\mathcal{A}\) 为准凝聚 \(\mathcal{O}_X\)-代数。则存在

一个有向集 \(I\)（见《范畴》定义 00D3）；

一个系统 \((\mathcal{A}_i, \varphi_{ii'})\)，它定义在 \(I\) 上并属于 \(\mathcal{O}_X\)-代数范畴；

\(\mathcal{O}_X\)-代数态射 \(\varphi_i : \mathcal{A}_i \to \mathcal{A}\)；

使得每个 \(\mathcal{A}_i\) 都是有限表现准凝聚 \(\mathcal{O}_X\)-代数，并且态射 \(\varphi_i\) 诱导同构 \[\colim_i \mathcal{A}_i = \mathcal{A}.\]

证明

先如引理 01PK，把 \(\mathcal{A} = \colim_i \mathcal{F}_i\) 写成有限表现准凝聚层的有向余极限。对每个 \(i\)，令 \(\mathcal{B}_i = \text{Sym}(\mathcal{F}_i)\) 为 \(\mathcal{F}_i\) 在 \(\mathcal{O}_X\) 上的对称代数。记 \(\mathcal{I}_i = \Ker(\mathcal{B}_i \to \mathcal{A})\)。写成 \(\mathcal{I}_i = \colim_j \mathcal{F}_{i, j}\)，其中 \(\mathcal{F}_{i, j}\) 是 \(\mathcal{I}_i\) 的有限型准凝聚子模；见引理 01PG。令 \(\mathcal{I}_{i, j} \subset \mathcal{I}_i\) 等于 \(\mathcal{B}_i\)-理想，该理想由 \(\mathcal{F}_{i, j}\) 生成。置 \(\mathcal{A}_{i, j} = \mathcal{B}_i/\mathcal{I}_{i, j}\)。则 \(\mathcal{A}_{i, j}\) 是有限表现准凝聚 \(\mathcal{O}_X\)-代数。定义 \((i, j) \leq (i', j')\) 当且仅当 \(i \leq i'\)，并且映射 \(\mathcal{B}_i \to \mathcal{B}_{i'}\) 把理想 \(\mathcal{I}_{i, j}\) 映入理想 \(\mathcal{I}_{i', j'}\)。于是显然 \(\mathcal{A} = \colim_{i, j} \mathcal{A}_{i, j}\)。

令 \(X\) 为概形。在下述引理中，我们使用有限型准凝聚 \(\mathcal{O}_X\)-代数 \(\mathcal{A}\)这一概念。它意味着，对每个仿射开集 \(\Spec(R) \subset X\)，都有 \(\mathcal{A} = \widetilde{A}\)，其中 \(A\) 是一个（交换）\(R\)-代数，并且作为 \(R\)-代数有限型。

引理

令 \(X\) 为概形。假设 \(X\) 拟紧且拟分离。令 \(\mathcal{A}\) 为准凝聚 \(\mathcal{O}_X\)-代数。则 \(\mathcal{A}\) 是其有限型准凝聚 \(\mathcal{O}_X\)-子代数的有向余极限。

证明

若 \(\mathcal{A}_1, \mathcal{A}_2 \subset \mathcal{A}\) 是有限型准凝聚 \(\mathcal{O}_X\)-子代数，则 \(\mathcal{A}_1 \otimes_{\mathcal{O}_X} \mathcal{A}_2 \to \mathcal{A}\) 的像也是有限型准凝聚 \(\mathcal{O}_X\)-子代数（略去若干细节），并且包含 \(\mathcal{A}_1\) 和 \(\mathcal{A}_2\)。由此可见该系统是有向的。为证明 \(\mathcal{A}\) 是该系统的余极限，如引理 05JS，把 \(\mathcal{A} = \colim_i \mathcal{A}_i\) 写成有限表现准凝聚 \(\mathcal{O}_X\)-代数的有向余极限。则像 \(\mathcal{A}'_i = \Im(\mathcal{A}_i \to \mathcal{A})\) 是 \(\mathcal{A}\) 的有限型准凝聚子代数。由于 \(\mathcal{A}\) 是这些子代数的余极限，结论得证。

令 \(X\) 为概形。在下述引理中，我们使用有限（分别地，整的）准凝聚 \(\mathcal{O}_X\)-代数 \(\mathcal{A}\)这一概念。它意味着，对每个仿射开集 \(\Spec(R) \subset X\)，都有 \(\mathcal{A} = \widetilde{A}\)，其中 \(A\) 是一个（交换）\(R\)-代数，并且作为 \(R\)-代数是有限的（分别地，是整的）。

引理

令 \(X\) 为概形。假设 \(X\) 拟紧且拟分离。令 \(\mathcal{A}\) 为有限准凝聚 \(\mathcal{O}_X\)-代数。则 \(\mathcal{A} = \colim \mathcal{A}_i\) 是有限且有限表现的准凝聚 \(\mathcal{O}_X\)-代数的有向余极限，并且所有过渡映射 \(\mathcal{A}_{i'} \to \mathcal{A}_i\) 都是满射。

证明

由引理 086M，存在有限表现的 \(\mathcal{O}_X\)-模 \(\mathcal{F}\) 以及满射 \(\mathcal{F} \to \mathcal{A}\)。利用代数结构，得到满射 \[\text{Sym}^*_{\mathcal{O}_X}(\mathcal{F}) \longrightarrow \mathcal{A}\] 以 \(\mathcal{J}\) 表示其核。把 \(\mathcal{J} = \colim \mathcal{E}_i\) 写成有限型 \(\mathcal{O}_X\)-子模 \(\mathcal{E}_i\) 的滤过余极限（引理 01PG）。置 \[\mathcal{A}_i = \text{Sym}^*_{\mathcal{O}_X}(\mathcal{F})/(\mathcal{E}_i)\] 其中 \((\mathcal{E}_i)\) 表示由映射 \(\mathcal{E}_i \to \text{Sym}^*_{\mathcal{O}_X}(\mathcal{F})\) 的像生成的理想层。于是每个 \(\mathcal{A}_i\) 都是有限表现的 \(\mathcal{O}_X\)-代数，过渡映射都是满射，并且 \(\mathcal{A} = \colim \mathcal{A}_i\)。为完成证明，还须说明 \(\mathcal{A}_i\) 是有限 \(\mathcal{O}_X\)-代数，只要 \(i\) 足够大。为此，选取仿射开覆盖 \(X = U_1 \cup \ldots \cup U_m\)。选取生成元 \(f_{j, 1}, \ldots, f_{j, N_j} \in \Gamma(U_i, \mathcal{F})\)。因为 \(\mathcal{A}(U_j)\) 是有限 \(\mathcal{O}_X(U_j)\)-代数，所以对每个 \(k\)，都存在首一多项式 \(P_{j, k} \in \mathcal{O}(U_j)[T]\)，使得 \(P_{j, k}(f_{j, k})\) 在 \(\mathcal{A}(U_j)\) 中为零。由于依构造有 \(\mathcal{A} = \colim \mathcal{A}_i\)，故有 \(P_{j, k}(f_{j, k}) = 0\) 在 \(\mathcal{A}_i(U_j)\) 中成立，只要 \(i\) 足够大。对这样的 \(i\)，代数 \(\mathcal{A}_i\) 是有限的。

引理

令 \(X\) 为概形。假设 \(X\) 拟紧且拟分离。令 \(\mathcal{A}\) 为整的准凝聚 \(\mathcal{O}_X\)-代数。则

\(\mathcal{A}\) 是其有限准凝聚 \(\mathcal{O}_X\)-子代数的有向余极限；

\(\mathcal{A}\) 是有限且有限表现的准凝聚 \(\mathcal{O}_X\)-代数的直余极限。

证明

由引理 05JT，有 \(\mathcal{A} = \colim \mathcal{A}_i\)，其中 \(\mathcal{A}_i \subset \mathcal{A}\) 遍历有限型准凝聚 \(\mathcal{O}_X\)-代数。任意有限型准凝聚 \(\mathcal{O}_X\)-子代数（属于 \(\mathcal{A}\)）都是有限的（把《代数》引理 02JJ 应用于 \(\mathcal{A}_i(U) \subset \mathcal{A}(U)\)，其中 \(U\) 是 \(X\) 中的仿射开集）。这证明了 (1)。

为证明 (2)，利用引理 01PK，把 \(\mathcal{A} = \colim \mathcal{F}_i\) 写成有限表现 \(\mathcal{O}_X\)-模的余极限。对每个 \(i\)，令 \(\mathcal{J}_i\) 为映射 \[\text{Sym}^*_{\mathcal{O}_X}(\mathcal{F}_i) \longrightarrow \mathcal{A}\] 的核。若 \(i' \geq i\)，则有诱导映射 \(\mathcal{J}_i \to \mathcal{J}_{i'}\)，并且 \(\mathcal{A} = \colim \text{Sym}^*_{\mathcal{O}_X}(\mathcal{F}_i)/\mathcal{J}_i\)。此外，准凝聚 \(\mathcal{O}_X\)-代数 \(\text{Sym}^*_{\mathcal{O}_X}(\mathcal{F}_i)/\mathcal{J}_i\) 是有限的（见上文）。把 \(\mathcal{J}_i = \colim \mathcal{E}_{ik}\) 写成有限表现 \(\mathcal{O}_X\)-模的余极限。给定 \(i' \geq i\) 与 \(k\)，存在 \(k'\)，使得有映射 \(\mathcal{E}_{ik} \to \mathcal{E}_{i'k'}\)，并使图 \[\xymatrix{ \mathcal{J}_i \ar[r] & \mathcal{J}_{i'} \\ \mathcal{E}_{ik} \ar[u] \ar[r] & \mathcal{E}_{i'k'} \ar[u] }\] 交换。这由《模》引理 01BS 得出。它诱导映射 \[\mathcal{A}_{ik} = \text{Sym}^*_{\mathcal{O}_X}(\mathcal{F}_i)/(\mathcal{E}_{ik}) \longrightarrow \text{Sym}^*_{\mathcal{O}_X}(\mathcal{F}_{i'})/(\mathcal{E}_{i'k'}) = \mathcal{A}_{i'k'}\] 其中 \((\mathcal{E}_{ik})\) 表示由 \(\mathcal{E}_{ik}\) 生成的理想。准凝聚 \(\mathcal{O}_X\)-代数 \(\mathcal{A}_{ki}\) 当 \(k\) 足够大时既有限表现又有限（见引理 086N 的证明）。最后，有 \[\colim \mathcal{A}_{ik} = \colim \mathcal{A}_i = \mathcal{A}\] 事实上，第一个等式已在引理 086N 的证明中说明；第二个等式成立，是因为 \(\mathcal{A}\) 是模 \(\mathcal{F}_i\) 的余极限。

Gabber 的结果

本节证明 Gabber 的一个结果：对每个概形，都存在一个基数 \(\kappa\)，使得每个准凝聚模 \(\mathcal{F}\) 都是它的 \(\kappa\)-生成准凝聚子层之并。由此可知，概形上的准凝聚层范畴是具有极限和充分多内射对象的 Grothendieck 阿贝尔范畴³。

定义

令 \((X, \mathcal{O}_X)\) 为环层空间，令 \(\kappa\) 为无限基数。称 \(\mathcal{O}_X\)-模层 \(\mathcal{F}\) 是\(\kappa\)-生成的，如果存在开覆盖 \(X = \bigcup U_i\)，使得 \(\mathcal{F}|_{U_i}\) 由子集 \(R_i \subset \mathcal{F}(U_i)\) 生成，并且该子集的基数至多为 \(\kappa\)。

注意，至多 \(\kappa\) 个 \(\kappa\)-生成模的直和仍是 \(\kappa\)-生成的，因为 \(\kappa \otimes \kappa = \kappa\)；见《集合》第 000D 节。特别地，两个 \(\kappa\)-生成模的直和具有此性质。此外，\(\kappa\)-生成层的商层仍是 \(\kappa\)-生成的。（但对子模未必如此。）

引理

令 \((X, \mathcal{O}_X)\) 为环层空间，令 \(\kappa\) 为基数。则存在集合 \(T\) 以及族 \((\mathcal{F}_t)_{t \in T}\)，其成员是 \(\kappa\)-生成 \(\mathcal{O}_X\)-模，使得每个 \(\kappa\)-生成 \(\mathcal{O}_X\)-模都同构于某个 \(\mathcal{F}_t\)。

证明

\(X\) 的覆盖组成一个集合（只要不允许重复）。假设 \(X = \bigcup U_i\) 是一个覆盖，并且 \(\mathcal{F}_i\) 是 \(\mathcal{O}_{U_i}\)-模。则具有性质 \(\mathcal{O}_X\)-模 \(\mathcal{F}\) 的同构类组成一个集合，其中 \(\mathcal{F}|_{U_i} \cong \mathcal{F}_i\)，因为粘合映射组成一个集合。这样，问题化为证明：商映射 \(\oplus_{k \in \kappa} \mathcal{O}_X \to \mathcal{F}\) 的（同构类）对任意环层空间 \(X\) 都组成一个集合。这是显然的。

下面就是本节标题所指的结果。

引理

令 \(X\) 为概形。则存在一个基数 \(\kappa\)，使得每个准凝聚模 \(\mathcal{F}\) 都是它的 \(\kappa\)-生成准凝聚子模的有向余极限。

证明

选取仿射开覆盖 \(X = \bigcup_{i \in I} U_i\)。对每一对 \(i, j\)，选取仿射开覆盖 \(U_i \cap U_j = \bigcup_{k \in I_{ij}} U_{ijk}\)。写成 \(U_i = \Spec(A_i)\) 和 \(U_{ijk} = \Spec(A_{ijk})\)。令 \(\kappa\) 为任意无限基数，并且它 \(\geq\) 各集合 \(I\)、\(I_{ij}\) 的基数。

令 \(\mathcal{F}\) 为准凝聚层。置 \(M_i = \mathcal{F}(U_i)\) 和 \(M_{ijk} = \mathcal{F}(U_{ijk})\)。注意 \[M_i \otimes_{A_i} A_{ijk} = M_{ijk} = M_j \otimes_{A_j} A_{ijk}.\] 见《概形》引理 01I9。利用选择公理，选取映射 \[(i, j, k, m) \mapsto S(i, j, k, m)\] 它对每个 \(i, j \in I\)、\(k \in I_{ij}\) 和 \(m \in M_i\)，指定有限子集 \(S(i, j, k, m) \subset M_j\)，使得 \[m \otimes 1 = \sum\nolimits_{m' \in S(i, j, k, m)} m' \otimes a_{m'}\] 在 \(M_{ijk}\) 中成立，其中某些 \(a_{m'} \in A_{ijk}\)。此外，约定 \(S(i, i, k, m) = \{m\}\) 对上面所有 \(i, j = i, k, m\) 都成立。固定这样的映射。

给定子集族 \(\mathcal{S} = (S_i)_{i \in I}\)，其中 \(S_i \subset M_i\) 的基数至多为 \(\kappa\)，置 \(\mathcal{S}' = (S'_i)\)，其中 \[S'_j = \bigcup\nolimits_{(i, k, m)\text{ 使得 }m \in S_i} S(i, j, k, m)\] 注意 \(S_i \subset S'_i\)。又注意，\(S'_i\) 的基数至多为 \(\kappa\)，因为它是以一个基数至多为 \(\kappa\) 的集合为指标的有限集之并。置 \(\mathcal{S}^{(0)} = \mathcal{S}\)、 \(\mathcal{S}^{(1)} = \mathcal{S}'\)，并归纳地置 \(\mathcal{S}^{(n + 1)} = (\mathcal{S}^{(n)})'\)。再置 \(\mathcal{S}^{(\infty)} = \bigcup_{n \geq 0} \mathcal{S}^{(n)}\)。写 \(\mathcal{S}^{(\infty)} = (S^{(\infty)}_i)\)，则对任意元素 \(m \in S^{(\infty)}_i\)，\(m\) 在 \(M_{ijk}\) 中的像都可写成有限和 \(\sum m' \otimes a_{m'}\)，其中 \(m' \in S_j^{(\infty)}\)。由此可见，若置 \[N_i = A_i\text{-子模，属于 }M_i\text{ 由下列对象生成： }S^{(\infty)}_i\] 则有 \[N_i \otimes_{A_i} A_{ijk} = N_j \otimes_{A_j} A_{ijk}.\] 把两边视为 \(M_{ijk}\) 的子模。因此，存在准凝聚子层 \(\mathcal{G} \subset \mathcal{F}\)，使得 \(\mathcal{G}(U_i) = N_i\)。此外，依构造，层 \(\mathcal{G}\) 是 \(\kappa\)-生成的。

令 \(\{\mathcal{G}_t\}_{t \in T}\) 为所有 \(\kappa\)-生成准凝聚子层组成的集合。若 \(t, t' \in T\)，则 \(\mathcal{G}_t + \mathcal{G}_{t'}\) 也是 \(\kappa\)-生成准凝聚子层，因为它是映射 \(\mathcal{G}_t \oplus \mathcal{G}_{t'} \to \mathcal{F}\) 的像。因此，该系统（按包含关系排序）是有向的。上述论证表明，\(\mathcal{F}\) 在 \(U_i\) 上的每个截面都属于某个 \(\mathcal{G}_t\)（因为可以从 \(\mathcal{S}\) 开始，并使给定截面属于 \(S_i\)）。所以 \(\colim_t \mathcal{G}_t \to \mathcal{F}\) 既单又满，正是所需。

命题

令 \(X\) 为概形。

范畴 \(\QCoh(\mathcal{O}_X)\) 是 Grothendieck 阿贝尔范畴。因此，\(\QCoh(\mathcal{O}_X)\) 具有充分多内射对象和所有极限。

包含函子 \(\QCoh(\mathcal{O}_X) \to \textit{Mod}(\mathcal{O}_X)\) 具有右伴随⁴ \[Q : \textit{Mod}(\mathcal{O}_X) \longrightarrow \QCoh(\mathcal{O}_X)\] 使得对每个准凝聚层 \(\mathcal{F}\)，伴随映射 \(Q(\mathcal{F}) \to \mathcal{F}\) 都是同构。

证明

(1) 意味着 \(\QCoh(\mathcal{O}_X)\) 满足：(a) 具有所有余极限， (b) 滤过余极限正合，(c) 具有生成对象；见《内射对象》第 079A 节。由《概形》第 01LA 节， \(\QCoh(\mathcal{O}_X)\) 中的余极限存在，并且与 \(\textit{Mod}(\mathcal{O}_X)\) 中的余极限一致。由《模》引理 01AH，滤过余极限正合。因此 (a) 和 (b) 成立。为构造生成对象 \(U\)，选取引理 077N 中的基数 \(\kappa\)。选取引理 077M 中的族 \((\mathcal{F}_t)_{t \in T}\)，它由 \(\kappa\)-生成准凝聚层组成。置 \(U = \bigoplus_{t \in T} \mathcal{F}_t\)。由于 \(\QCoh(\mathcal{O}_X)\) 的每个对象都是 \(\kappa\)-生成准凝聚模的滤过余极限，即同构于 \(\mathcal{F}_t\) 的对象的滤过余极限，显然 \(U\) 是生成对象。极限和内射对象的断言在任意 Grothendieck 阿贝尔范畴中都成立；见《内射对象》定理 079H 和引理 07D8。

证明 (2)。为构造 \(Q\)，使用下述一般步骤。给定对象 \(\mathcal{F}\)，它属于 \(\textit{Mod}(\mathcal{O}_X)\)，考虑函子 \[\QCoh(\mathcal{O}_X)^{opp} \longrightarrow \textit{Sets},\quad \mathcal{G} \longmapsto \Hom_X(\mathcal{G}, \mathcal{F})\] 该函子把余极限变为极限，因而可表；见《内射对象》引理 07D7。因此存在准凝聚层 \(Q(\mathcal{F})\) 以及函子性同构 \(\Hom_X(\mathcal{G}, \mathcal{F}) = \Hom_X(\mathcal{G}, Q(\mathcal{F}))\)，其中 \(\mathcal{G}\) 属于 \(\QCoh(\mathcal{O}_X)\)。由 Yoneda 引理（《范畴》引理 001P），构造 \(\mathcal{F} \leadsto Q(\mathcal{F})\) 关于 \(\mathcal{F}\) 是函子性的。依构造，\(Q\) 是包含函子的右伴随。映射 \(Q(\mathcal{F}) \to \mathcal{F}\) 是同构，只要 \(\mathcal{F}\) 准凝聚；这是包含函子 \(\QCoh(\mathcal{O}_X) \to \textit{Mod}(\mathcal{O}_X)\) 为全忠实函子这一事实的形式推论。

支集包含于闭子集的截面

给定任意拓扑空间 \(X\)、闭子集 \(Z \subset X\) 和阿贝尔层 \(\mathcal{F}\)，可以取由支集包含于 \(Z\) 的截面组成的子层。若 \(X\) 为概形，\(Z\) 为闭子概形，而 \(\mathcal{F}\) 为准凝聚模，则还有一种变体：取概形论意义下支集位于 \(Z\) 上的截面。不过，在概形情形中必须谨慎，因为所得 \(\mathcal{O}_X\)-模未必准凝聚。

引理

令 \(X\) 为拟紧且拟分离概形。令 \(U \subset X\) 为开子概形。下列条件等价：

\(U\) 在 \(X\) 中逆拟紧；

\(U\) 拟紧；

\(U\) 是有限多个仿射开集之并；

存在有限型准凝聚理想层 \(\mathcal{I} \subset \mathcal{O}_X\)，使得 \(X \setminus U = V(\mathcal{I})\) （作为集合）。

证明

(1)、(2)、(3) 的等价性由引理 054D 得出。假设 (1)、(2)、(3) 成立。令 \(T = X \setminus U\)。由《概形》引理 01J3，存在唯一准凝聚理想层 \(\mathcal{J}\)，它在 \(T\) 上切出约化诱导闭子概形结构。注意 \(\mathcal{J}|_U = \mathcal{O}_U\)，而后者是有限型 \(\mathcal{O}_U\)-模。由引理 01PF，存在有限型准凝聚子层 \(\mathcal{I} \subset \mathcal{J}\)，并且它满足 \(\mathcal{I}|_U = \mathcal{J}|_U\)。于是 \(X \setminus U = V(\mathcal{I})\)，从而得到 (4)。反之，若 \(\mathcal{I}\) 如 (4)，并且 \(W = \Spec(R) \subset X\) 为仿射开集，则 \(\mathcal{I}|_W = \widetilde{I}\)，其中某个有限生成理想 \(I \subset R\)；见引理 01PB。因此 \(U \cap W = \Spec(R) \setminus V(I)\) 拟紧；见《代数》引理 00F6。于是 \(U \subset X\) 由引理 07ZL 可知是逆拟紧的。

引理

令 \(X\) 为概形。令 \(\mathcal{I} \subset \mathcal{O}_X\) 为准凝聚理想层。令 \(\mathcal{F}\) 为准凝聚 \(\mathcal{O}_X\)-模。考虑 \(\mathcal{O}_X\)-模层 \(\mathcal{F}'\)，它对每个开集 \(U \subset X\) 赋予 \[\mathcal{F}'(U) = \{s \in \mathcal{F}(U) \mid \mathcal{I}s = 0\}\] 假设 \(\mathcal{I}\) 有限型。则

\(\mathcal{F}'\) 是准凝聚 \(\mathcal{O}_X\)-模层；

对任意仿射开集 \(U \subset X\)，有 \(\mathcal{F}'(U) = \{s \in \mathcal{F}(U) \mid \mathcal{I}(U)s = 0\}\)；

\(\mathcal{F}'_x = \{s \in \mathcal{F}_x \mid \mathcal{I}_x s = 0\}\)。

证明

显然，定义 \(\mathcal{F}'\) 的规则给出 \(\mathcal{F}\) 的子层（层条件容易检验）。因此可以在 \(X\) 上局部地验证其他断言。换言之，可以假设 \(X = \Spec(A)\)、\(\mathcal{F} = \widetilde{M}\) 且 \(\mathcal{I} = \widetilde{I}\)。在此情形下，显然 \(\mathcal{F}'(U) = \{x \in M \mid Ix = 0\} =: M'\)，因为 \(\widetilde{I}\) 由它的整体截面 \(I\) 生成；这证明了 (2)。为证明 \(\mathcal{F}'\) 准凝聚，只须说明对每个 \(f \in A\) 都有 \(\{x \in M_f \mid I_f x = 0\} = (M')_f\)。写 \(I = (g_1, \ldots, g_t)\)；这是可行的，因为 \(\mathcal{I}\) 有限型；见引理 01PB。若 \(x = y/f^n\) 且 \(I_fx = 0\)，则这意味着对每个 \(i\) 都存在 \(m \geq 0\)，使得 \(f^mg_ix = 0\)。可以选取一个 \(m\)，它对所有 \(i\) 都适用（这里正用到了 \(I\) 有限生成）。于是 \(f^mx \in M'\)，并且 \(x/f^n = f^mx/f^{n + m}\) 在 \((M')_f\) 中成立，正是所需。 (3) 的证明类似，故略去。

定义

令 \(X\) 为概形。令 \(\mathcal{I} \subset \mathcal{O}_X\) 为有限型准凝聚理想层。令 \(\mathcal{F}\) 为准凝聚 \(\mathcal{O}_X\)-模。把上面引理 01PO 定义的子层 \(\mathcal{F}' \subset \mathcal{F}\) 称为被 \(\mathcal{I}\) 零化的截面子层。

引理

令 \(f : X \to Y\) 为概形的拟紧拟分离态射。令 \(\mathcal{I} \subset \mathcal{O}_Y\) 为有限型准凝聚理想层。令 \(\mathcal{F}\) 为准凝聚 \(\mathcal{O}_X\)-模。令 \(\mathcal{F}' \subset \mathcal{F}\) 为被 \(f^{-1}\mathcal{I}\mathcal{O}_X\) 零化的截面子层。则 \(f_*\mathcal{F}' \subset f_*\mathcal{F}\) 是被 \(\mathcal{I}\) 零化的截面子层。

证明

略。（提示：\(f\) 拟紧且拟分离这一假设蕴含 \(f_*\mathcal{F}\) 准凝聚，因而引理 01PO 可应用于 \(\mathcal{I}\) 和 \(f_*\mathcal{F}\)。）

对于拓扑空间上的阿贝尔层，我们已在《模》评注 01AY 中讨论过支集包含于闭子集的截面子层。对于准凝聚模，这个子模未必准凝聚；但若该闭子集的补集逆拟紧，则它准凝聚。

引理

令 \(X\) 为概形。令 \(Z \subset X\) 为闭子集。令 \(\mathcal{F}\) 为准凝聚 \(\mathcal{O}_X\)-模。考虑 \(\mathcal{O}_X\)-模层 \(\mathcal{F}'\)，它对每个开集 \(U \subset X\) 赋予 \[\mathcal{F}'(U) = \{s \in \mathcal{F}(U) \mid \text{下列对象的支集： }s\text{ 包含于 }Z \cap U\}\] 若 \(X \setminus Z\) 是 \(X\) 的逆拟紧开集，则

对仿射开集 \(U \subset X\)，存在有限生成理想 \(I \subset \mathcal{O}_X(U)\)，使得 \(Z \cap U = V(I)\)；

对 (1) 中的 \(U\) 和 \(I\)，有 \(\mathcal{F}'(U) = \{x \in \mathcal{F}(U) \mid I^nx = 0 \text{ 对某个 } n\}\)；

\(\mathcal{F}'\) 是准凝聚 \(\mathcal{O}_X\)-模层。

证明

(1) 是《代数》引理 00F6。令 \(U = \Spec(A)\)，并令 \(I\) 如 (1)。则 \(\mathcal{F}|_U\) 是与某个 \(A\)-模 \(M\) 相伴的准凝聚层。我们有 \[\mathcal{F}'(U) = \{x \in M \mid x = 0\text{ 于 }M_\mathfrak p \text{ 对所有 }\mathfrak p \not \in Z\}.\] 这是由《模》定义 01AT 得出的。因此 \(x \in \mathcal{F}'(U)\) 当且仅当 \(V(\text{Ann}(x)) \subset V(I)\)；见《代数》引理 07Z5。由于 \(I\) 有限生成，这等价于 \(I^n x = 0\) 对某个 \(n\) 成立。这证明了 (2)。

证明 (3)。注意，对给定开集 \(U \subset X\)，有正合序列 \[0 \to \mathcal{F}'(U) \to \mathcal{F}(U) \to \mathcal{F}(U \setminus Z)\] 若以 \(j : X \setminus Z \to X\) 表示包含态射，则注意 \(\mathcal{F}(U \setminus Z)\) 是模 \(j_*(\mathcal{F}|_{X \setminus Z})\) 在 \(U\) 上的截面。因此有正合序列 \[0 \to \mathcal{F}' \to \mathcal{F} \to j_*(\mathcal{F}|_{X \setminus Z})\] 限制 \(\mathcal{F}|_{X \setminus Z}\) 是准凝聚的。所以 \(j_*(\mathcal{F}|_{X \setminus Z})\) 准凝聚；这是由《概形》引理 01LC 及关于 \(j\) 拟紧的假设（任意开浸入都分离）得出的。于是 \(\mathcal{F}'\) 作为准凝聚模间映射的核是准凝聚的；见《概形》第 01LA 节。

定义

令 \(X\) 为概形。令 \(T \subset X\) 为闭子集，并使其补集在 \(X\) 中逆拟紧。令 \(\mathcal{F}\) 为准凝聚 \(\mathcal{O}_X\)-模。把引理 07ZP 定义的准凝聚子层 \(\mathcal{F}' \subset \mathcal{F}\) 称为支集位于 \(T\) 上的截面子层。

引理

令 \(f : X \to Y\) 为概形的拟紧拟分离态射。令 \(Z \subset Y\) 为闭子集，使得 \(Y \setminus Z\) 在 \(Y\) 中逆拟紧。令 \(\mathcal{F}\) 为准凝聚 \(\mathcal{O}_X\)-模。令 \(\mathcal{F}' \subset \mathcal{F}\) 为支集位于 \(f^{-1}Z\) 上的截面子层。则 \(f_*\mathcal{F}' \subset f_*\mathcal{F}\) 是支集位于 \(Z\) 上的截面子层。

证明

略。（提示：先证明 \(X \setminus f^{-1}Z\) 在 \(X\) 中逆拟紧，因为 \(Y \setminus Z\) 在 \(Y\) 中逆拟紧。因此引理 07ZP 可应用于 \(f^{-1}Z\) 和 \(\mathcal{F}\)。由于 \(f\) 拟紧且拟分离，可知 \(f_*\mathcal{F}\) 准凝聚。因此引理 07ZP 可应用于 \(Z\) 和 \(f_*\mathcal{F}\)。最后，直接对照这些层。）

准凝聚层的截面

下面计算仿射谱的拟紧开集上准凝聚层的截面。

引理

令 \(A\) 为环。令 \(I \subset A\) 为有限生成理想。令 \(M\) 为 \(A\)-模。则存在典范映射 \[\colim_n \Hom_A(I^n, M) \longrightarrow \Gamma(\Spec(A) \setminus V(I), \widetilde{M}).\] 这个映射总是单射。若对所有 \(x \in M\) 都有 \(Ix = 0 \Rightarrow x = 0\)，则该映射是同构。一般地，置 \(M_n = \{x \in M \mid I^nx = 0\}\)，则存在同构 \[\colim_n \Hom_A(I^n, M/M_n) \longrightarrow \Gamma(\Spec(A) \setminus V(I), \widetilde{M}).\]

证明

由于 \(I^{n + 1} \subset I^n\) 且 \(M_n \subset M_{n + 1}\)，可以通过与这些映射复合，得到典范 \(A\)-模映射 \[\Hom_A(I^n, M) \longrightarrow \Hom_A(I^{n + 1}, M)\] 以及 \[\Hom_A(I^n, M/M_n) \longrightarrow \Hom_A(I^{n + 1}, M/M_{n + 1})\] 并把它们用作这些系统中的过渡映射。给定 \(A\)-模映射 \(\varphi : I^n \to M\)，得到层映射 \(\widetilde{\varphi} : \widetilde{I^n} \to \widetilde{M}\)，可以把它限制到开集 \(\Spec(A) \setminus V(I)\)。由于 \(\widetilde{I^n}\) 限制到该开集后给出结构层，便得到 \(\Gamma(\Spec(A) \setminus V(I), \widetilde{M})\) 的一个元素。略去它与系统 \(\Hom_A(I^n, M)\) 中过渡映射相容的验证。这给出第一条箭头。为得到第二条箭头，注意 \(\widetilde{M}\) 和 \(\widetilde{M/M_n}\) 在开集 \(\Spec(A) \setminus V(I)\) 上一致，因为层 \(\widetilde{M_n}\) 显然支集位于 \(V(I)\) 上。因此可以使用与前面相同的机制。

下面用代数语言具体说明如何定义这条箭头。设 \(I = (f_1, \ldots, f_t)\)。则 \(\Spec(A) \setminus V(I) = \bigcup_{i = 1, \ldots, t} D(f_i)\)。因此 \[0 \to \Gamma(\Spec(A) \setminus V(I), \widetilde{M}) \to \bigoplus\nolimits_i M_{f_i} \to \bigoplus\nolimits_{i, j} M_{f_if_j}\] 正合。假设 \(\varphi : I^n \to M\) 是 \(A\)-模映射。考虑元素向量 \(\varphi(f_i^n)/f_i^n \in M_{f_i}\)。容易看出，这个向量在上面正合序列的第二个直和中映为零。因而得到 \(\Gamma(\Spec(A) \setminus V(I), \widetilde{M})\) 的一个元素。略去此描述与上面描述一致的验证。

利用这一描述来证明第一条箭头是单射。事实上，若 \(\varphi\) 映为零，则对每个 \(i\)，元素 \(\varphi(f_i^n)/f_i^n\) 在 \(M_{f_i}\) 中为零。换言之，对每个 \(i\)，都有 \(f_i^m\varphi(f_i^n) = 0\) 对某个 \(m \geq 0\) 成立。可以选取一个 \(m\)，它对所有 \(i\) 都适用。于是 \(\varphi(f_i^{n + m}) = 0\) 对所有 \(i\) 都成立。容易看出，这意味着 \(\varphi|_{I^{t(n + m - 1) + 1}} = 0\)；换言之，\(\varphi\) 在余极限的第 \(t(n + m - 1) + 1\) 项中映为零。单射性由此得出。

注意，每个 \(M_n = 0\)，只要 \(Ix = 0 \Rightarrow x = 0\) 对 \(x \in M\) 成立。因此，为完成本引理的证明，只须说明第二条箭头是同构。

尝试构造本引理第二个映射的逆。令 \(s \in \Gamma(\Spec(A) \setminus V(I), \widetilde{M})\)。它对应于上面正合序列第一个直和中的向量 \(x_i/f_i^n\)，其中 \(x_i \in M\)。因此，对每个 \(i, j\)，都存在 \(m \geq 0\)，使得 \(f_i^m f_j^m (f_j^n x_i - f_i^n x_j) = 0\) 在 \(M\) 中成立。可以选取一个 \(m\)，它对所有有序对 \(i, j\) 都适用。把 \(x_i\) 替换为 \(f_i^mx_i\)，并把 \(n\) 替换为 \(n + m\) 后，可知得到 \(f_j^nx_i = f_i^nx_j\)，它在 \(M\) 中对所有 \(i, j\) 都成立。引入 \[K_n = \{x \in M \mid f_1^nx = \ldots = f_t^nx = 0\}\] 我们断言存在 \(A\)-模映射 \[\varphi : I^{t(n - 1) + 1} \longrightarrow M/K_n\] 它把单项式 \(f_1^{e_1} \ldots f_t^{e_t}\)（其中 \(\sum e_i = t(n - 1) + 1\)）映到模 \(K_n\) 的类，该类由表达式 \(f_1^{e_1} \ldots f_i^{e_i - n} \ldots f_t^{e_t}x_i\) 给出，其中选取 \(i\) 使得 \(e_i \geq n\) （注意，至少存在一个这样的 \(i\)）。为说明这一点，假设 \[\sum\nolimits_{E = (e_1, \ldots, e_t), |E| = t(n - 1) + 1} a_E f_1^{e_1} \ldots f_t^{e_t} = 0\] 是这些单项式间的关系，其系数 \(a_E\) 属于 \(A\)。则会把它映到 \[z = \sum\nolimits_{E = (e_1, \ldots, e_t), |E| = t(n - 1) + 1} a_E f_1^{e_1} \ldots f_{i(E)}^{e_{i(E)} - n} \ldots f_t^{e_t}x_{i(E)}\] 其中对每个多重指标 \(E\)，选定一个特定的 \(i(E)\)，使得 \(e_{i(E)} \geq n\)。注意，若把它乘以 \(f_j^n\)，其中 \(j\) 任意，便得到零，因为利用上面的关系 \(f_j^nx_i = f_i^nx_j\) 可得 \[\begin{align*} f_j^nz & = \sum\nolimits_{E = (e_1, \ldots, e_t), |E| = t(n - 1) + 1} a_E f_1^{e_1} \ldots f_j^{e_j + n} \ldots f_{i(E)}^{e_{i(E)} - n} \ldots f_t^{e_t}x_{i(E)} \\ & = \sum\nolimits_{E = (e_1, \ldots, e_t), |E| = t(n - 1) + 1} a_E f_1^{e_1} \ldots f_t^{e_t}x_j = 0. \end{align*}\] 因此 \(z \in K_n\)，从而每个关系在 \(M/K_n\) 中都映为零。这证明了断言。

注意 \(K_n \subset M_{t(n - 1) + 1}\)。因此映射 \(\varphi\) 特别给出 \(A\)-模映射 \(I^{t(n - 1) + 1} \to M/M_{t(n - 1) + 1}\)。这证明了本引理的第二条箭头是满射。略去单射性的证明。

例

下面给出两个例子，说明引理 01PM 的第一条陈列映射并非同构。

令 \(k\) 为域。考虑环 \[A = k[x, y, z_1, z_2, \ldots]/(x^nz_n).\] 置 \(I = (x)\) 并令 \(M = A\)。则元素 \(y/x\) 定义了 \(\Spec(A)\) 的结构层在 \(D(x) = \Spec(A) \setminus V(I)\) 上的一个截面。我们断言，\(y/x\) 不在典范映射 \(\colim \Hom_A(I^n, A) \to A_x = \mathcal{O}(D(x))\) 的像中。事实上，若在像中，则它会来自同态 \(\varphi : I^n \to A\)，其中某个 \(n\)。置 \(a = \varphi(x^n)\)。于是会有 \(x^m(xa - x^ny) = 0\)，其中某个 \(m > 0\)。这意味着 \(x^{m + 1}a = x^{m + n}y\)，继而意味着 \(\varphi(x^{n + m + 1}) = x^{m + n}y\)。这导致矛盾，因为它将蕴含 \[0 = \varphi(0) = \varphi(z_{n + m + 1} x^{n + m + 1}) = x^{m + n}y z_{n + m + 1}\] 而这在环 \(A\) 中不成立。

令 \(k\) 为域。考虑环 \[A = k[f, g, x, y, \{a_n, b_n\}_{n \geq 1}]/ (fy - gx, \{a_nf^n + b_ng^n\}_{n \geq 1}).\] 置 \(I = (f, g)\) 并令 \(M = A\)。则 \(x/f \in A_f\) 和 \(y/g \in A_g\) 在 \(A_{fg}\) 中映到同一个元素。因此，它们定义了截面 \(s\)；这是 \(\Spec(A)\) 的结构层在 \(D(f) \cup D(g) = \Spec(A) \setminus V(I)\) 上的截面。但是，不存在 \(n \geq 0\)，使得 \(s\) 来自如引理 01PM 第一条陈列箭头之源中的 \(A\)-模映射 \(\varphi : I^n \to A\)。事实上，给定这样的模映射，置 \(x_n = \varphi(f^n)\) 和 \(y_n = \varphi(g^n)\)。则有 \(f^mx_n = f^{n + m - 1}x\) 以及 \(g^my_n = g^{n + m - 1}y\)，其中某个 \(m \geq 0\) （见本引理的证明）。但此时会有 \(0 = \varphi(0) = \varphi(a_{n + m}f^{n + m} + b_{n + m}g^{n + m}) = a_{n + m}f^{n + m - 1}x + b_{n + m}g^{n + m - 1}y\)，而这在环 \(A\) 中不成立。

在 Noether 情形中，我们将改进下述引理；见《概形上同调》引理 01YB。

引理

令 \(X\) 为拟紧概形。令 \(\mathcal{I} \subset \mathcal{O}_X\) 为有限型准凝聚理想层。令 \(Z \subset X\) 为由 \(\mathcal{I}\) 定义的闭子概形，并置 \(U = X \setminus Z\)。令 \(\mathcal{F}\) 为准凝聚 \(\mathcal{O}_X\)-模。典范映射 \[\colim_n \Hom_{\mathcal{O}_X}(\mathcal{I}^n, \mathcal{F}) \longrightarrow \Gamma(U, \mathcal{F})\] 是单射。进一步假设 \(X\) 拟分离。令 \(\mathcal{F}_n \subset \mathcal{F}\) 为被 \(\mathcal{I}^n\) 零化的截面子层。典范映射 \[\colim_n \Hom_{\mathcal{O}_X}(\mathcal{I}^n, \mathcal{F}/\mathcal{F}_n) \longrightarrow \Gamma(U, \mathcal{F})\] 是同构。

证明

令 \(\Spec(A) = W \subset X\) 为仿射开集。写 \(\mathcal{F}|_W = \widetilde{M}\)，其中某个 \(A\)-模 \(M\)，并写 \(\mathcal{I}|_W = \widetilde{I}\)，其中某个有限型理想 \(I \subset A\)。把本引理的第一条陈列映射限制到 \(W\)，得到引理 01PM 的第一条陈列映射。由于可以用有限多个仿射开集覆盖 \(X\)，这证明了本引理的第一条陈列映射是单射。

有 \(\mathcal{F}_n|_W = \widetilde{M_n}\)，其中 \(M_n \subset M\) 如引理 01PM 中定义（略去细节）。该引理保证存在双射 \[\colim_n \Hom_{\mathcal{O}_W}( \mathcal{I}^n|_W, (\mathcal{F}/\mathcal{F}_n)|_W) \longrightarrow \Gamma(U \cap W, \mathcal{F})\] 这对任意这样的仿射开集 \(W\) 成立。

为证明本引理的第二条陈列箭头是双射，选取有限仿射开覆盖 \(X = \bigcup_{j = 1, \ldots, m} W_j\)。单射性立即由上文和覆盖的有限性得出。若 \(X\) 拟分离，则对每一对 \(j, j'\)，选取有限仿射开覆盖 \[W_j \cap W_{j'} = \bigcup\nolimits_{k = 1, \ldots, m_{jj'}} W_{jj'k}.\] 令 \(s \in \Gamma(U, \mathcal{F})\)。如上所见，对每个 \(j\)，存在 \(n_j\) 以及映射 \(\varphi_j : \mathcal{I}^{n_j}|_{W_j} \to (\mathcal{F}/\mathcal{F}_{n_j})|_{W_j}\)，它对应于 \(s|_{U \cap W_j}\)。同理，对每个三元组 \((j, j', k)\)，存在整数 \(n_{jj'k}\)，使得 \(\varphi_j\) 与 \(\varphi_{j'}\) 作为映射 \(\mathcal{I}^{n_{jj'k}} \to \mathcal{F}/\mathcal{F}_{n_{jj'k}}\) 限制到 \(W_{jj'k}\) 上时一致。令 \(n = \max\{n_j, n_{jj'k}\}\)，则 \(\varphi_j\) 可粘合为映射 \(\mathcal{I}^n \to \mathcal{F}/\mathcal{F}_n\)，该映射定义在 \(X\) 上。这证明了该映射的满射性。

丰沛可逆层

回顾《模》引理 01CY：给定可逆层 \(\mathcal{L}\)，它在局部环层空间 \(X\) 上；并给定整体截面 \(s\)，它属于 \(\mathcal{L}\)，则集合 \(X_s = \{x \in X \mid s \not \in \mathfrak m_x\mathcal{L}_x\}\) 是开的。一般地，有 \(X_s \cap X_{s'} = X_{ss'}\)，其中 \(ss'\) 表示截面 \(s \otimes s' \in \Gamma(X, \mathcal{L} \otimes \mathcal{L}')\)。

定义

令 \(X\) 为概形。令 \(\mathcal{L}\) 为可逆 \(\mathcal{O}_X\)-模。称 \(\mathcal{L}\) 丰沛，若

\(X\) 拟紧；

对每个 \(x \in X\)，都存在 \(n \geq 1\) 和 \(s \in \Gamma(X, \mathcal{L}^{\otimes n})\)，使得 \(x \in X_s\) 且 \(X_s\) 仿射，

引理

令 \(X\) 为概形。令 \(\mathcal{L}\) 为可逆 \(\mathcal{O}_X\)-模。令 \(n \geq 1\)。则 \(\mathcal{L}\) 丰沛，当且仅当 \(\mathcal{L}^{\otimes n}\) 丰沛。

证明

这由 \(X_{s^n} = X_s\) 这一事实得出。

引理

令 \(X\) 为概形。令 \(\mathcal{L}\) 为丰沛可逆 \(\mathcal{O}_X\)-模。对任意闭子概形 \(Z \subset X\)，\(\mathcal{L}\) 到 \(Z\) 的限制丰沛。

证明

这是显然的，因为拟紧空间的闭子集拟紧，而仿射概形的闭子概形仿射（见《概形》引理 01IH）。

引理

令 \(X\) 为概形。令 \(\mathcal{L}\) 为可逆 \(\mathcal{O}_X\)-模。令 \(s \in \Gamma(X, \mathcal{L})\)。对任意仿射集 \(U \subset X\)，交 \(U \cap X_s\) 是仿射的。

证明

这转化为下述代数问题。令 \(R\) 为环。令 \(N\) 为可逆 \(R\)-模（即秩为 1 的局部自由模）。令 \(s \in N\) 为元素。则 \(V = \{\mathfrak p \mid s \not \in \mathfrak p N\}\) 是 \(\Spec(R)\) 的仿射开子集。

令 \(A = \bigoplus_{n \geq 0} A_n\) 为 \(N\) 的对称代数（它是交换的），并把 \(s\) 看作 \(A_1\) 的元素。置 \(B = A/(s - 1)A\)。这是一个 \(R\)-代数，其构造与任意基变换 \(R \to R'\) 交换。因此， \(B' = B \otimes_R R'\) 是零环，只要 \(s\) 在 \(N' = N \otimes_R R'\) 中映为零。由此，若 \(x \in \Spec(R) \setminus V\)，则 \(B \otimes_R \kappa(x) = 0\)。我们断定 \(\Spec(B) \to \Spec(R)\) 通过 \(V\) 分解，因为在 \(x \not \in V\) 上的纤维为空。另一方面，若 \(\Spec(R') \subset V\) 为仿射开集，则 \(s\) 映到 \(N'\) 的一个基元素，并且可知 \(B' = R'[s]/(s - 1) \cong R'\)。因此 \(\Spec(B) \to V\) 是同构，而 \(V\) 的确仿射。

引理

令 \(X\) 为概形。令 \(\mathcal{L}\) 和 \(\mathcal{M}\) 为可逆 \(\mathcal{O}_X\)-模。若

\(\mathcal{L}\) 丰沛；

开集 \(X_t\)，其中 \(t \in \Gamma(X, \mathcal{M}^{\otimes m})\) 且 \(m > 0\)，覆盖 \(X\)，

则 \(\mathcal{L} \otimes \mathcal{M}\) 丰沛。

证明

检验定义 01PS 的条件。由于 \(\mathcal{L}\) 丰沛，可知 \(X\) 拟紧。令 \(x \in X\)。选取 \(n \geq 1\)、\(m \geq 1\)、 \(s \in \Gamma(X, \mathcal{L}^{\otimes n})\) 和 \(t \in \Gamma(X, \mathcal{M}^{\otimes m})\)，使得 \(x \in X_s\)、\(x \in X_t\) 且 \(X_s\) 仿射。则 \(s^mt^n \in \Gamma(X, (\mathcal{L} \otimes \mathcal{M})^{\otimes nm})\)、 \(x \in X_{s^mt^n}\)，并且由引理 01PV，\(X_{s^mt^n}\) 仿射。

引理

令 \(X\) 为概形。令 \(\mathcal{L}\) 为可逆 \(\mathcal{O}_X\)-模。假设开集 \(X_s\)，其中 \(s \in \Gamma(X, \mathcal{L}^{\otimes n})\) 且 \(n \geq 1\)，构成 \(X\) 的拓扑基。则在这些开集之中，仿射的开集 \(X_s\) 构成 \(X\) 的拓扑基。

证明

令 \(x \in X\)。选取仿射开邻域 \(\Spec(R) = U \subset X\)，它含有 \(x\)。由假设，存在 \(n \geq 1\) 和 \(s \in \Gamma(X, \mathcal{L}^{\otimes n})\)，使得 \(X_s \subset U\)。由上面的引理 01PV，交 \(X_s = U \cap X_s\) 仿射。由于 \(U\) 可任意缩小，结论得证。

引理

令 \(X\) 为概形，\(\mathcal{L}\) 为可逆 \(\mathcal{O}_X\)-模。假设对每个点 \(x\)（属于 \(X\)），都存在 \(n \geq 1\) 和 \(s \in \Gamma(X, \mathcal{L}^{\otimes n})\)，使得 \(x \in X_s\) 且 \(X_s\) 仿射。则 \(X\) 分离。

证明

先证明 \(X\) 拟分离。由假设，可以找到 \(X\) 的覆盖，该覆盖由形如 \(X_s\) 的仿射开集组成。由引理 01PV，任意两个这样的集合之交仿射，所以《概形》引理 01KO 蕴含 \(X\) 拟分离。

为证明 \(X\) 分离，可以使用赋值判据，即《概形》引理 01L0。因此，令 \(A\) 为分式域为 \(K\) 的赋值环，并考虑两个态射 \(f, g : \Spec(A) \to X\)，使得两个复合 \(\Spec(K) \to \Spec(A) \to X\) 相同。由于 \(A\) 是局部环，存在 \(p, q \ge 1\)、 \(s \in \Gamma(X, \mathcal{L}^{\otimes p})\) 和 \(t \in \Gamma(X, \mathcal{L}^{\otimes q})\)，使得 \(X_s\) 与 \(X_t\) 仿射， \(f(\Spec A) \subseteq X_s\) 且 \(g(\Spec A) \subseteq X_t\)。现在把 \(s\) 替换为 \(s^q\)，把 \(t\) 替换为 \(t^p\)，并把 \(\mathcal{L}\) 替换为 \(\mathcal{L}^{\otimes pq}\)。这是无害的，因为 \(X_s = X_{s^q}\) 且 \(X_t = X_{t^p}\)，而现在 \(s\) 和 \(t\) 都是同一个层 \(\mathcal{L}\) 的截面。

准凝聚模 \(f^*\mathcal{L}\) 对应于 \(A\)-模 \(M\)，而 \(g^*\mathcal{L}\) 对应于 \(A\)-模 \(N\)；这是由仿射概形上准凝聚模的分类（《概形》引理 01IA）得出的。 \(A\)-模 \(M\) 与 \(N\) 都是秩为 \(1\) 的局部自由模（引理 05JM），而由于 \(A\) 局部，它们自由（《代数》引理 00JJ）。因此，可以把 \(M\) 和 \(N\) 等同为 \(A\)-子模，它们分别属于 \(M \otimes_A K\) 和 \(N \otimes_A K\)。等式 \(f|_{\Spec(K)} = g|_{\Spec(K)}\) 确定一个同构 \(\phi \colon M \otimes_A K \to N \otimes_A K\)。

令 \(x \in M\) 和 \(y \in N\) 分别为把 \(s\) 沿 \(f\) 与 \(g\) 拉回所得的元素。它们满足 \(\phi(x \otimes 1) = y \otimes 1\)。 \(f\) 的像包含于 \(X_s\)，故 \(x \not\in \mathfrak{m}_A M\)，即 \(x\) 生成 \(M\)。因此，\(\phi\) 确定 \(M\) 到 \(N\) 中由 \(y\) 生成的子模的同构。对称地使用 \(t\)，\(\phi^{-1}\) 确定 \(N\) 到 \(M\) 的一个子模的同构。因此，\(\phi\) 限制为 \(M\) 与 \(N\) 之间的同构。由于 \(x\) 生成 \(M\)，它的像 \(y\) 生成 \(N\)，从而 \(y \not\in \mathfrak{m}_A N\)。所以 \(g(\Spec(A)) \subseteq X_s\)。因为 \(X_s\) 仿射，由《概形》引理 01KN，它分离，因而得出 \(f = g\)。

引理

令 \(X\) 为概形。若 \(X\) 上存在丰沛可逆层，则 \(X\) 分离。

证明

立即由引理 01PY 和定义 01PS 得出。

引理

令 \(X\) 为概形。令 \(\mathcal{L}\) 为可逆 \(\mathcal{O}_X\)-模。把 \(S = \Gamma_*(X, \mathcal{L})\) 视为分次环。若 \(X\) 的每个点都包含于某个开子概形 \(X_s\)，其中某个齐次 \(s \in S_{+}\)，则存在到 \(S\) 的齐次谱（见《构造》第 01M3 节）的典范概形态射 \[f : X \longrightarrow Y = \text{Proj}(S),\] 它具有下列性质：

有 \(f^{-1}(D_{+}(s)) = X_s\)，对任意齐次 \(s \in S_{+}\)；

存在与乘法映射相容的 \(\mathcal{O}_X\)-模映射 \(f^*\mathcal{O}_Y(n) \to \mathcal{L}^{\otimes n}\)；见《构造》方程 (01MO)；

复合 \(S_n \to \Gamma(Y, \mathcal{O}_Y(n)) \to \Gamma(X, \mathcal{L}^{\otimes n})\) 是恒等映射；

对每个 \(x \in X\)，都存在整数 \(d \geq 1\) 以及开邻域 \(U \subset X\)，它包含 \(x\)，使得 \(f^*\mathcal{O}_Y(dn)|_U \to \mathcal{L}^{\otimes dn}|_U\) 都是同构，对所有 \(n \in \mathbf{Z}\)。

证明

以 \(\psi : S \to \Gamma_*(X, \mathcal{L})\) 表示恒等映射。将使用《构造》引理 01NK 的三元组 \((U(\psi), r_{\mathcal{L}, \psi}, \theta)\)。由假设，开子概形 \(U(\psi)\) 的等于 \(X\)。因此 \(r_{\mathcal{L}, \psi} : U(\psi) \to Y\) 在整个 \(X\) 上有定义。置 \(f = r_{\mathcal{L}, \psi}\)。 (2) 中的映射是 \(\theta\) 的分量。 (3) 由上引引理中的条件 (2) 得出。 (1) 由 (3) 与上引引理中的条件 (1) 结合得出。 (4) 由《构造》引理 01NK 的最后一个陈述得出，因为其中提到的映射 \(\alpha\) 是同构。

引理

令 \(X\) 为概形。令 \(\mathcal{L}\) 为可逆 \(\mathcal{O}_X\)-模。置 \(S = \Gamma_*(X, \mathcal{L})\)。假设 (a) \(X\) 的每个点都包含于某个开子概形 \(X_s\)，其中某个齐次 \(s \in S_{+}\)，并且 (b) \(X\) 拟紧。则上面引理 01PZ 的典范概形态射 \(f : X \longrightarrow \text{Proj}(S)\) 拟紧且像稠密。

证明

为证明 \(f\) 拟紧，只须说明 \(f^{-1}(D_{+}(s))\) 拟紧，对任意齐次 \(s \in S_{+}\)。把 \(X = \bigcup_{i = 1, \ldots, n} X_i\) 写成有限多个仿射开集之并。由引理 01PV，每个交 \(X_s \cap X_i\) 都仿射。因此 \(X_s = \bigcup_{i = 1, \ldots, n} X_s \cap X_i\) 拟紧。假设 \(f\) 的像不稠密以导出矛盾。由于开集 \(D_+(s)\)（其中 \(s \in S_+\) 齐次）构成 \(\text{Proj}(S)\) 的拓扑基，可以找到这样的 \(s\)，使得 \(D_+(s) \not = \emptyset\) 且 \(f(X) \cap D_+(s) = \emptyset\)。由引理 01PZ，这意味着 \(X_s = \emptyset\)。由引理 01PW，这意味着某个幂 \(s^n\) 是 \(\mathcal{L}^{\otimes n\deg(s)}\) 的零截面。继而这意味着 \(D_+(s) = \emptyset\)，即所需矛盾。

引理

令 \(X\) 为概形。令 \(\mathcal{L}\) 为可逆 \(\mathcal{O}_X\)-模。置 \(S = \Gamma_*(X, \mathcal{L})\)。假设 \(\mathcal{L}\) 丰沛。则引理 01PZ 的典范概形态射 \(f : X \longrightarrow \text{Proj}(S)\) 是像稠密的开浸入。

证明

由引理 01PY，可知 \(X\) 拟分离。选取有限多个齐次 \(s_1, \ldots, s_n \in S_{+}\)，使得 \(X_{s_i}\) 仿射并且 \(X = \bigcup X_{s_i}\)。设 \(s_i\) 的次数为 \(d_i\)。\(D_{+}(s_i)\) 在 \(f\) 下的逆像是 \(X_{s_i}\)；见引理 01PZ。由引理 01PW，环映射 \[(S^{(d_i)})_{(s_i)} = \Gamma(D_{+}(s_i), \mathcal{O}_{\text{Proj}(S)}) \longrightarrow \Gamma(X_{s_i}, \mathcal{O}_X)\] 是同构。因此 \(f\) 诱导同构 \(X_{s_i} \to D_{+}(s_i)\)。从而 \(f\) 是 \(X\) 到开子概形 \(\bigcup_{i = 1, \ldots, n} D_{+}(s_i)\) 上的同构；该开子概形属于 \(\text{Proj}(S)\)。像由引理 01Q0 可知稠密。

引理

令 \(X\) 为概形。令 \(S\) 为分次环。假设 \(X\) 拟紧，并且存在开浸入 \[j : X \longrightarrow Y = \text{Proj}(S).\] 则 \(j^*\mathcal{O}_Y(d)\) 是丰沛可逆层，其中某个 \(d > 0\)。

证明

这是《构造》引理 01MW。

命题

令 \(X\) 为拟紧概形。令 \(\mathcal{L}\) 为 \(X\) 上的可逆层。置 \(S = \Gamma_*(X, \mathcal{L})\)。下列条件等价：

\(\mathcal{L}\) 丰沛；

开集 \(X_s\)（其中 \(s \in S_{+}\) 齐次）覆盖 \(X\)，且相伴态射 \(X \to \text{Proj}(S)\) 是开浸入；

开集 \(X_s\)（其中 \(s \in S_{+}\) 齐次）构成 \(X\) 的拓扑基；

仿射的开集 \(X_s\)（其中 \(s \in S_{+}\) 齐次）构成 \(X\) 的拓扑基；

对每个准凝聚层 \(\mathcal{F}\)（在 \(X\) 上），典范映射 \[\Gamma(X, \mathcal{F} \otimes_{\mathcal{O}_X} \mathcal{L}^{\otimes n}) \otimes_{\mathbf{Z}} \mathcal{L}^{\otimes -n} \longrightarrow \mathcal{F}\] 之像的和（其中 \(n \geq 1\)）等于 \(\mathcal{F}\)；

与 (01Q8) 相同的性质，其中 \(\mathcal{F}\) 遍历所有准凝聚理想层；

\(X\) 拟分离，并且对每个有限型准凝聚层 \(\mathcal{F}\)（在 \(X\) 上），都存在整数 \(n_0\)，使得 \(\mathcal{F} \otimes_{\mathcal{O}_X} \mathcal{L}^{\otimes n}\) 对所有 \(n \geq n_0\) 都全局生成；

\(X\) 拟分离，并且对每个有限型准凝聚层 \(\mathcal{F}\)（在 \(X\) 上），都存在整数 \(n > 0\)、\(k \geq 0\)，使得 \(\mathcal{F}\) 是 \(k\) 个 \(\mathcal{L}^{\otimes - n}\) 的直和的商；

与 (01QB) 相同，其中 \(\mathcal{F}\) 遍历 \(X\) 上的所有有限型理想层。

证明

引理 01Q1 给出 (01Q4) \(\Rightarrow\) (01Q5)。引理 01PT 与 01Q2 给出蕴含 (01Q4) \(\Leftarrow\) (01Q5)。蕴含 (01Q5) \(\Rightarrow\) (01Q7) \(\Rightarrow\) (01Q6) 由《构造》第 01M3 节是显然的。引理 01PX 给出 (01Q6) \(\Rightarrow\) (01Q4)。因此，前四个条件全都等价。

假设等价条件 (1)–(4) 成立。特别地，注意 \(X\) 分离（因为它是分离概形 \(\text{Proj}(S)\) 的开子概形）。令 \(\mathcal{F}\) 为 \(X\) 上的准凝聚层。选取齐次 \(s \in S_{+}\)，使得 \(X_s\) 仿射。我们断言，任意截面 \(m \in \Gamma(X_s, \mathcal{F})\) 都属于上面 (01Q8) 所陈列的某个映射之像。由于这些仿射集 \(X_s\) 覆盖 \(X\)，这将蕴含 (01Q8)。事实上，由引理 01PW，可以把 \(m\) 写成 \(m' \otimes s^{-n}\) 的像，其中某个 \(n \geq 1\) 和某个 \(m' \in \Gamma(X, \mathcal{F} \otimes \mathcal{L}^{\otimes n})\)。这证明了断言。

显然，(01Q8) \(\Rightarrow\) (01Q9)。假设 (01Q9)，并证明 \(\mathcal{L}\) 丰沛。选取 \(x \in X\)。令 \(U \subset X\) 为包含 \(x\) 的仿射开集。置 \(Z = X \setminus U\)。可把 \(Z\) 看作约化闭子概形；见《概形》第 01IZ 节。令 \(\mathcal{I} \subset \mathcal{O}_X\) 为与闭子概形 \(Z\) 对应的准凝聚理想层。由假设 (01Q9)，存在 \(n \geq 1\) 以及截面 \(s \in \Gamma(X, \mathcal{I} \otimes \mathcal{L}^{\otimes n})\)，使得 \(s\) 在 \(x\) 处不消失（更准确地说， \(s \not \in \mathfrak m_x \mathcal{I}_x \otimes \mathcal{L}_x^{\otimes n}\)）。可把 \(s\) 看作 \(\mathcal{L}^{\otimes n}\) 的截面。由于它显然沿 \(Z\) 消失，可知 \(X_s \subset U\)。因此 \(X_s\) 仿射；见引理 01PV。这证明了 \(\mathcal{L}\) 丰沛。至此已经证明 (1)–(6) 等价。

假设等价条件 (1)–(6) 成立。下文将不再另行说明地使用如下事实：两个全局生成模层的张量积仍全局生成（见《模》引理 01AO）。由 (1)，可找到元素 \(s_i \in S_{d_i}\)，其中 \(d_i \geq 1\)，使得 \(X = \bigcup_{i = 1, \ldots, n} X_{s_i}\)。置 \(d = d_1\ldots d_n\)。由此，\(\mathcal{L}^{\otimes d}\) 由 \[s_1^{d/d_1}, \ldots, s_n^{d/d_n}.\] 全局生成。这意味着，若 \(\mathcal{L}^{\otimes j}\) 全局生成，则 \(\mathcal{L}^{\otimes j + dn}\) 也全局生成，对所有 \(n \geq 0\)。固定 \(j \in \{0, \ldots, d - 1\}\)。对任意点 \(x \in X\)，存在 \(n \geq 1\) 以及整体截面 \(s\)，它属于 \(\mathcal{L}^{j + dn}\)，它在 \(x\) 处不消失；这是把 (01Q8) 应用于 \(\mathcal{F} = \mathcal{L}^{\otimes j}\) 和丰沛可逆层 \(\mathcal{L}^{\otimes d}\) 得出的。由于 \(X\) 拟紧，可以找到有限列整数 \(n_i\) 以及整体截面 \(s_i\)，它们属于 \(\mathcal{L}^{\otimes j + dn_i}\)，并且在 \(X\) 的每一点并非全都消失。由于 \(\mathcal{L}^{\otimes d}\) 全局生成，这意味着 \(\mathcal{L}^{\otimes j + dn}\) 全局生成，其中 \(n = \max\{n_i\}\)。因为对模 \(d\) 的每个同余类都证明了这一点，所以存在 \(n_0 = n_0(\mathcal{L})\)，使得 \(\mathcal{L}^{\otimes n}\) 对所有 \(n \geq n_0\) 都全局生成。至此可知，若 \(\mathcal{F}\) 全局生成，则 \(\mathcal{F} \otimes \mathcal{L}^{\otimes n}\) 对所有 \(n \geq n_0\) 也全局生成。

继续假设等价条件 (1)–(6) 成立。令 \(\mathcal{F}\) 为有限型准凝聚 \(\mathcal{O}_X\)-模层。以 \(\mathcal{F}_n \subset \mathcal{F}\) 表示 (01Q8) 中典范映射的像。依构造， \(\mathcal{F}_n \otimes \mathcal{L}^{\otimes n}\) 全局生成。由 (01Q8)，\(\mathcal{F}\) 是子层 \(\mathcal{F}_n\)（\(n \geq 1\)）之和。由《模》引理 01BB，可知 \(\mathcal{F} = \sum_{n = 1, \ldots, N} \mathcal{F}_n\)，其中某个 \(N \geq 1\)。因此， \(\mathcal{F} \otimes \mathcal{L}^{\otimes n}\) 就全局生成，只要 \(n \geq N + n_0(\mathcal{L})\)，其中 \(n_0(\mathcal{L})\) 如上。由此断定 (1)–(6) 蕴含 (01QA)。

假设 (01QA)。令 \(\mathcal{F}\) 为有限型准凝聚 \(\mathcal{O}_X\)-模层。由 (01QA)，存在整数 \(n \geq 1\)，使得典范映射 \[\Gamma(X, \mathcal{F} \otimes_{\mathcal{O}_X} \mathcal{L}^{\otimes n}) \otimes_{\mathbf{Z}} \mathcal{L}^{\otimes -n} \longrightarrow \mathcal{F}\] 满射。令 \(I\) 为 \(\Gamma(X, \mathcal{F} \otimes_{\mathcal{O}_X} \mathcal{L}^{\otimes n})\) 的有限子集组成的集合，并按包含关系偏序。则 \(I\) 是有向偏序集。对 \(i = \{s_1, \ldots, s_{r(i)}\}\)，令 \(\mathcal{F}_i \subset \mathcal{F}\) 为映射 \[\bigoplus\nolimits_{j = 1, \ldots, r(i)} \mathcal{L}^{\otimes -n} \longrightarrow \mathcal{F}\] 的像；在该映射中，乘以 \(s_j\) 这一作用施加在第 \(j\) 个因子上。上面的满射性蕴含 \(\mathcal{F} = \colim_{i \in I} \mathcal{F}_i\)。因此可应用《模》引理 01BB，并得出 \(\mathcal{F} = \mathcal{F}_i\)，其中某个 \(i\)。所以已经证明 (01QB)。换言之， (01QA) \(\Rightarrow\) (01QB)。

蕴含 (01QB) \(\Rightarrow\) (01QC) 是平凡的。

最后，假设 (01QC)。令 \(\mathcal{I} \subset \mathcal{O}_X\) 为准凝聚理想层。由引理 01PG （这里使用了 \(X\) 拟分离这一条件），可知 \(\mathcal{I} = \colim_\alpha I_\alpha\)，其中每个 \(I_\alpha\) 都是有限型准凝聚层。由于依假设，每个 \(I_\alpha\) 都是 \(\mathcal{L}\) 的负张量幂的商，所以对 \(\mathcal{I}\) 也得到同样的结论（当然，不再有幂的有限性或有界性）。因此断定 (01QC) 蕴含 (01Q9)。命题证毕。

引理

设 \(X\) 为概形。设 \(\mathcal{L}\) 为丰沛可逆 \(\mathcal{O}_X\)-模。设 \(i : X' \to X\) 为概形态射。假设下列条件中至少有一个成立：

\(i\) 是拟紧浸入；

\(X'\) 拟紧，且 \(i\) 是浸入；

\(i\) 拟紧，并在 \(X'\) 与 \(i(X')\) 之间诱导同胚；

\(X'\) 拟紧，并且 \(i\) 在 \(X'\) 与 \(i(X')\) 之间诱导同胚。

则 \(i^*\mathcal{L}\) 在 \(X'\) 上丰沛。

证明

注意，在情形 (1) 与 (3) 中，概形 \(X'\) 拟紧，因为依定义 01PS，\(X\) 拟紧。所以只需证明 (2) 与 (4)。由于 (2) 是 (4) 的特殊情形，只需证明 (4)。

假设条件 (4) 成立。对于 \(s \in \Gamma(X, \mathcal{L}^{\otimes d})\)，以 \(s' = i^*s\) 表示 \(s\) 在 \(X'\) 上的拉回。注意， \(s'\) 是 \((i^*\mathcal{L})^{\otimes d}\) 的截面。由命题 01Q3，开集 \(X_s\)（其中 \(s \in \Gamma(X, \mathcal{L}^{\otimes d})\)）构成 \(X\) 的拓扑基。由《模》备注 0H78， \(X'_{s'} = i^{-1}(X_s)\)；又因为 \(X' \to i(X')\) 是同胚，所以开集 \(X'_{s'}\) 构成 \(X'\) 的拓扑基。因此，由命题 01Q3，\(i^*\mathcal{L}\) 丰沛。

引理

设 \(S\) 为拟分离概形。设 \(X\)、\(Y\) 为 \(S\) 上的概形。设 \(\mathcal{L}\) 为丰沛可逆 \(\mathcal{O}_X\)-模，并设 \(\mathcal{N}\) 为丰沛可逆 \(\mathcal{O}_Y\)-模。则 \(\mathcal{M} = \text{pr}_1^*\mathcal{L} \otimes_{\mathcal{O}_{X \times_S Y}} \text{pr}_2^*\mathcal{N}\) 是 \(X \times_S Y\) 上的丰沛可逆层。

证明

态射 \(i : X \times_S Y \to X \times Y\) 是拟紧浸入；见《概形》引理 01KR。另一方面，\(\mathcal{M}\) 是沿 \(i\) 拉回 \(X \times Y\) 上相应可逆模层所得。由引理 0B3E，只需对 \(X \times Y\) 证明该引理。我们检验定义 01PS 中 \(\mathcal{M}\) 在 \(X \times Y\) 上满足 (1) 与 (2)。

由于 \(X\) 和 \(Y\) 都拟紧，\(X \times Y\) 也拟紧。令 \(z \in X \times Y\) 为一点。令 \(x \in X\) 和 \(y \in Y\) 为其投影。选取 \(n > 0\) 以及 \(s \in \Gamma(X, \mathcal{L}^{\otimes n})\)，使得 \(X_s\) 是 \(x\) 的仿射开邻域。选取 \(m > 0\) 以及 \(t \in \Gamma(Y, \mathcal{N}^{\otimes m})\)，使得 \(Y_t\) 是 \(y\) 的仿射开邻域。于是 \(r = \text{pr}_1^*s \otimes \text{pr}_2^*t\) 是 \(\mathcal{M}\) 的截面，且 \((X \times Y)_r = X_s \times Y_t\)。这是 \(z\) 的仿射开邻域，证明完成。

仿射概形与拟仿射概形

引理

设 \(X\) 为概形。则 \(X\) 拟仿射当且仅当 \(\mathcal{O}_X\) 丰沛。

证明

假设 \(X\) 拟仿射。置 \(A = \Gamma(X, \mathcal{O}_X)\)。考虑由引理 01P9 给出的如下开浸入： \[j : X \longrightarrow \Spec(A)\] 注意，\(\Spec(A) = \text{Proj}(A[T])\)；见《构造》例 01MI。所以可应用引理 01Q2，断定 \(\mathcal{O}_X\) 丰沛。

假设 \(\mathcal{O}_X\) 丰沛。注意，作为分次环， \(\Gamma_*(X, \mathcal{O}_X) \cong A[T]\)。所以，由引理 01Q1 与 01P9，并结合上面已见的等式 \(\Spec(A) = \text{Proj}(A[T])\) 对任意环 \(A\) 都成立这一事实，即可得到结论。

引理

设 \(X\) 为拟仿射概形。对任意拟紧浸入 \(i : X' \to X\)，概形 \(X'\) 都拟仿射。

证明

这也可不使用丰沛可逆层的材料而直接证明；我们建议读者在餐巾纸上自行完成。由于 \(X\) 拟仿射，由引理 01QE，\(\mathcal{O}_X\) 丰沛。于是，由引理 0B3E， \(\mathcal{O}_{X'}\) 丰沛。再由引理 01QE，\(X'\) 拟仿射。

引理

设 \(X\) 为概形。假设存在有限多个元素 \(f_1, \ldots, f_n \in \Gamma(X, \mathcal{O}_X)\)，使得

每个 \(X_{f_i}\) 都是 \(X\) 的仿射开集；并且

\(f_1, \ldots, f_n\) 在 \(\Gamma(X, \mathcal{O}_X)\) 中生成的理想等于单位理想。

则 \(X\) 仿射。

证明

假设有引理所述的 \(f_1, \ldots, f_n\)。可写成 \(1 = \sum g_i f_i\)，其中某些 \(g_j \in \Gamma(X, \mathcal{O}_X)\)，所以显然 \(X = \bigcup X_{f_i}\)。（\(f_i\) 不可能在某点全都消失。）由于每个 \(X_{f_i}\) 都拟紧（因为它仿射），可知 \(X\) 拟紧。所以，由上面的引理 01QE，\(X\) 拟仿射。考虑开浸入 \[j : X \to \Spec(\Gamma(X, \mathcal{O}_X)),\] 见引理 01P9。右端标准开集 \(D(f_i)\) 的逆像等于左端的 \(X_{f_i}\)，并且态射 \(j\) 诱导同构 \(X_{f_i} \cong D(f_i)\)；见引理 01P8。由于 \(f_i\) 生成单位理想，可知 \(\Spec(\Gamma(X, \mathcal{O}_X)) = \bigcup_{i = 1, \ldots, n} D(f_i)\)。所以 \(j\) 是同构。

准凝聚层与丰沛可逆层

本节的主题是：在有丰沛可逆层时，每个准凝聚层都来自某个分次模。

情形

设 \(X\) 为概形。设 \(\mathcal{L}\) 为 \(X\) 上的丰沛可逆层。置 \(S = \Gamma_*(X, \mathcal{L})\)，视为分次环。置 \(Y = \text{Proj}(S)\)。设 \(f : X \to Y\) 为引理 01PZ 的典范态射。它配备一个 \(\mathbf{Z}\)-分次 \(\mathcal{O}_X\)-代数映射 \(\bigoplus f^*\mathcal{O}_Y(n) \to \bigoplus \mathcal{L}^{\otimes n}\)。

下一个引理其实是再下一个引理的特殊情形，不过先明确指出它成立似乎更妥当。

引理

在情形 01QH 中，典范态射 \(f : X \to Y\) 把 \(X\) 映入开子概形 \(W = W_1 \subset Y\)；在其上， \(\mathcal{O}_Y(1)\) 可逆，并且所有乘法映射 \(\mathcal{O}_Y(n) \otimes_{\mathcal{O}_Y} \mathcal{O}_Y(m) \to \mathcal{O}_Y(n + m)\) 都是同构（见《构造》引理 01MU）。此外，所有映射 \(f^*\mathcal{O}_Y(n) \to \mathcal{L}^{\otimes n}\) 都是同构。

证明

由命题 01Q3，存在整数 \(n_0\)，使得 \(\mathcal{L}^{\otimes n}\) 对所有 \(n \geq n_0\) 都全局生成。令 \(x \in X\) 为一点。由上文，可找到 \(a \in S_{n_0}\) 与 \(b \in S_{n_0 + 1}\)，使得 \(a\) 和 \(b\) 在 \(x\) 处都不消失。因此 \(f(x) \in D_{+}(a) \cap D_{+}(b) = D_{+}(ab)\)。由《构造》引理 01MU，可知 \(f(x) \in W_1\)，如所需。构造映射 \(f\) 时曾使用《构造》引理 01NK；由该引理，映射 \(f^*\mathcal{O}_Y(n_0) \to \mathcal{L}^{\otimes n_0}\) 与 \(f^*\mathcal{O}_Y(n_0 + 1) \to \mathcal{L}^{\otimes n_0 + 1}\) 在 \(x\) 的某个邻域上是同构。结合代数结构的相容性以及 \(f\) 映入 \(W\) 这一事实，可断定所有映射 \(f^*\mathcal{O}_Y(n) \to \mathcal{L}^{\otimes n}\) 在 \(x\) 的某个邻域上都是同构。结论得证。

回顾《模》定义 01CV：给定局部环层空间 \(X\)、可逆层 \(\mathcal{L}\) 以及 \(\mathcal{O}_X\)-模 \(\mathcal{F}\)，我们有分次 \(\Gamma_*(X, \mathcal{L})\)-模 \[\Gamma_*(X, \mathcal{L}, \mathcal{F}) = \bigoplus\nolimits_{n \in \mathbf{Z}} \Gamma(X, \mathcal{F} \otimes_{\mathcal{O}_X} \mathcal{L}^{\otimes n}).\] 下一个引理说明，在情形 01QH 中，可以从这个分次模恢复准凝聚 \(\mathcal{O}_X\)-模 \(\mathcal{F}\)。还可参看《构造》引理 03GM，其中我们在特殊情形 \(X = \mathbf{P}^n_R\) 下证明了这个引理。

引理

在情形 01QH 中，设 \(\mathcal{F}\) 为 \(X\) 上的准凝聚层。置 \(M = \Gamma_*(X, \mathcal{L}, \mathcal{F})\)，视为分次 \(S\)-模。存在同构 \[f^*\widetilde{M} \longrightarrow \mathcal{F}\] 且关于 \(\mathcal{F}\) 函子性成立，并使得 \(M_0 \to \Gamma(\text{Proj}(S), \widetilde{M}) \to \Gamma(X, \mathcal{F})\) 为恒等映射。

证明

令 \(s \in S_{+}\) 为齐次元素，使得 \(X_s\) 是 \(X\) 中的仿射开集。回顾，\(\widetilde{M}|_{D_{+}(s)}\) 对应于 \(S_{(s)}\)-模 \(M_{(s)}\)；见《构造》引理 01M7。又回顾， \(f^{-1}(D_{+}(s)) = X_s\)。由于 \(X\) 带有丰沛可逆层，它拟紧且拟分离；见第 01PR 节。由引理 01PW，存在典范同构 \(M_{(s)} = \Gamma_*(X, \mathcal{L}, \mathcal{F})_{(s)} \to \Gamma(X_s, \mathcal{F})\)。由于 \(\mathcal{F}\) 准凝聚，这给出典范同构 \[f^*\widetilde{M}|_{X_s} \to \mathcal{F}|_{X_s}\] 由于 \(\mathcal{L}\) 在 \(X\) 上丰沛，可知 \(X\) 被形如 \(X_s\) 的仿射开集覆盖。因此，只需证明所显示的映射可在交叠上粘合。证明从略。

注

采用引理 01QJ 的假设与记号。把该引理所显示的映射记为 \(\theta_\mathcal{F}\)。注意，引理 01QI 的同构 \(f^*\mathcal{O}_Y(n) \to \mathcal{L}^{\otimes n}\) 正是 \(\theta_{\mathcal{L}^{\otimes n}}\)。考虑乘法映射 \[\widetilde{M} \otimes_{\mathcal{O}_Y} \mathcal{O}_Y(n) \longrightarrow \widetilde{M(n)}\] 见《构造》方程 (01MQ)。把它拉回到 \(X\)，并考虑 \[\xymatrix{ f^*\widetilde{M} \otimes_{\mathcal{O}_X} f^*\mathcal{O}_Y(n) \ar[r] \ar[d]_{\theta_\mathcal{F} \otimes \theta_{\mathcal{L}^{\otimes n}}} & f^*\widetilde{M(n)} \ar[d]^{\theta_{\mathcal{F} \otimes \mathcal{L}^{\otimes n}}} \\ \mathcal{F} \otimes \mathcal{L}^{\otimes n} \ar[r]^{\text{id}} & \mathcal{F} \otimes \mathcal{L}^{\otimes n} }\] 这里使用了显然的等同 \(M(n) = \Gamma_*(X, \mathcal{L}, \mathcal{F} \otimes \mathcal{L}^{\otimes n})\)。该图交换。证明从略。

下面的引理应当可以从引理 01QJ 推出（反之亦然），但直接重复证明似乎更简单。

引理

设 \(S\) 为分次环，并且 \(X = \text{Proj}(S)\) 拟紧。设 \(\mathcal{F}\) 为准凝聚 \(\mathcal{O}_X\)-模。置 \(M = \bigoplus_{n \in \mathbf{Z}} \Gamma(X, \mathcal{F}(n))\)，视为分次 \(S\)-模；见《构造》第 01MM 节。《构造》引理 0B5I 的映射 \[\widetilde{M} \longrightarrow \mathcal{F}\] 是同构。如果 \(X\) 被标准开集 \(D_+(f)\) 覆盖，其中 \(f\) 的次数为 \(1\)，则所诱导的映射 \(M_n \to \Gamma(X, \mathcal{F}(n))\) 是恒等映射。

证明

由于 \(X\) 拟紧，可以找到正次数的齐次元素 \(f_1, \ldots, f_n \in S\)，使得 \(X = D_+(f_1) \cup \ldots \cup D_+(f_n)\)。令 \(d\) 为 \(f_1, \ldots, f_n\) 各次数的最小公倍数。用 \(f_i\) 的某次幂替换它后，可假设每个 \(f_i\) 的次数都是 \(d\)。于是可知 \(\mathcal{L} = \mathcal{O}_X(d)\) 可逆，乘法映射 \(\mathcal{O}_X(ad) \otimes \mathcal{O}_X(bd) \to \mathcal{O}_X((a + b)d)\) 都是同构，并且每个 \(f_i\) 决定一个整体截面 \(s_i\)，它属于 \(\mathcal{L}\)，使得 \(X_{s_i} = D_+(f_i)\)；见《构造》引理 01MU 与 01MV。因此 \(\Gamma(X, \mathcal{F}(ad)) = \Gamma(X, \mathcal{F} \otimes \mathcal{L}^{\otimes a})\)。回顾，\(\widetilde{M}|_{D_{+}(f_i)}\) 对应于 \(S_{(f_i)}\)-模 \(M_{(f_i)}\)；见《构造》引理 01M7。由于 \(f_i\) 的次数是 \(d\)， \(M_{(f_i)}\) 的同构类只依赖于 \(M\) 中次数可被 \(d\) 整除的齐次分量。更准确地说，\(M_{(f_i)}\) 的同构类只依赖于分次 \(\Gamma_*(X, \mathcal{L})\)-模 \(\Gamma_*(X, \mathcal{L}, \mathcal{F})\)，以及像 \(s_i\)，即 \(f_i\) 在 \(\Gamma_*(X, \mathcal{L})\) 中的像。概形 \(X\) 依假设拟紧，并且由《构造》引理 01MC 分离。由引理 01PW，存在典范同构 \[M_{(f_i)} = \Gamma_*(X, \mathcal{L}, \mathcal{F})_{(s_i)} \to \Gamma(X_{s_i}, \mathcal{F}).\] 于是，《构造》引理 0B5I 中该映射的构造表明，它在 \(D_+(f_i)\) 上是同构；由于这些开集覆盖 \(X\)，它就是同构。最后一个陈述的证明从略。

寻找适当的仿射开集

本节汇集在一般程度各异的情形下有关仿射开集存在性的一些结果。

引理

设 \(X\) 为拟分离概形。设 \(Z_1, \ldots, Z_n\) 为 \(X\) 的两两不同的不可约分支；见《拓扑》第 004U 节。设 \(\eta_i \in Z_i\) 为它们的泛点；见《概形》引理 01IS。存在仿射开邻域 \(\eta_i \in U_i\)，使得 \(U_i \cap U_j = \emptyset\) 对所有 \(i \not = j\) 都成立。特别地， \(U = U_1 \cup \ldots \cup U_n\) 是包含所有点 \(\eta_1, \ldots, \eta_n\) 的仿射开集。

证明

令 \(V_i\) 为任意仿射开集，它包含 \(\eta_i\)，并且与闭集 \(Z_1 \cup \ldots \hat Z_i \ldots \cup Z_n\) 不交。由于 \(X\) 拟分离，对每个 \(i\)，并集 \(W_i = \bigcup_{j, j \not = i} V_i \cap V_j\) 是 \(V_i\) 中不包含 \(\eta_i\) 的拟紧开集。由《代数》引理 00EV，可找到开邻域 \(U_i \subset V_i\)，它包含 \(\eta_i\) 且与 \(W_i\) 不交。最后，\(U\) 仿射，因为它是环 \(R_1 \times \ldots \times R_n\) 的谱，其中 \(R_i = \mathcal{O}_X(U_i)\)；见《概形》引理 01I5。

注

若 \(X\) 不拟分离，则上面的引理 01ZV 不成立。下面给出一例。取 \(R = \mathbf{Q}[x, y_1, y_2, \ldots]/((x-i)y_i)\)。考虑极小素理想 \(\mathfrak p = (y_1, y_2, \ldots)\)，它是 \(R\) 的理想。把 \(\Spec(R)\) 的两个副本沿着（非拟紧）开集 \(\Spec(R) \setminus V(\mathfrak p)\) 粘合，得到概形 \(X\)（按《概形》例 01JD 的方式粘合）。那么，\(X\) 中对应于 \(\mathfrak p\) 的两个极大点不包含在同一个仿射开集中。理由是，\(\Spec(R)\) 中任何包含 \(\mathfrak p\) 的开集都包含无穷多条“直线” \(x = i\)、\(y_j = 0\)，其中 \(j \not = i\)，其参数为 \(y_i\)。细节从略。

尽管有上面的例子，对于“大多数”有限族不可约闭子集，至少在 \(X\) 拟紧时，仍可应用上面的引理 01ZV。这是因为 \(X\) 含有稠密的分离开集。

引理

设 \(X\) 为拟紧概形。存在分离的稠密开集 \(V \subset X\)。

证明

设 \(X = \bigcup_{i = 1, \ldots, n} U_i\) 是 \(n\) 个仿射开子概形之并。我们对 \(n\) 归纳证明。\(n = 1\) 时显然。设 \(V' \subset \bigcup_{i = 1, \ldots, n - 1} U_i\) 为分离的稠密开子概形；归纳假设保证它存在。考虑 \[V = V' \amalg (U_n \setminus \overline{V'}).\] 显然，\(V\) 是 \(X\) 的分离稠密开子概形。

事实表明，即使 \(X\) 既拟分离又拟紧，也未必存在分离、拟紧的稠密开集；见《例》引理 086I。下面稍微加强上面的引理 01ZV。

引理

设 \(X\) 为拟分离概形。设 \(Z_1, \ldots, Z_n\) 为 \(X\) 的两两不同的不可约分支。设 \(\eta_i \in Z_i\) 为其泛点。任取 \(x \in X\)。存在仿射开集 \(U \subset X\)，包含 \(x\) 以及所有 \(\eta_i\)。

证明

假设 \(x \in Z_1 \cap \ldots \cap Z_r\)，且 \(x \not \in Z_{r + 1}, \ldots, Z_n\)。于是可选取仿射开集 \(W \subset X\)，使得 \(x \in W\)，并且 \(W \cap Z_i = \emptyset\) 对 \(i = r + 1, \ldots, n\) 成立。注意，显然 \(\eta_i \in W\) 对 \(i = 1, \ldots, r\) 成立。由引理 01ZV，可选取两两不交的仿射开集 \(U_i \subset X\)，使得 \(\eta_i \in U_i\) 对 \(i = r + 1, \ldots, n\) 成立。由于 \(X\) 拟分离，开集 \(W \cap U_i\) 拟紧，而且不包含 \(\eta_i\)，其中 \(i = r + 1, \ldots, n\)。所以，由《代数》引理 00EV，可缩小 \(U_i\)，使得 \(W \cap U_i = \emptyset\) 对 \(i = r + 1, \ldots, n\) 成立。于是并集 \(U = W \cup \bigcup_{i = r + 1, \ldots, n} U_i\) 是不交并，因而（由《概形》引理 01I5）是所需的仿射开集。

引理

设 \(X\) 为概形。假设下列条件之一成立：

概形 \(X\) 拟仿射；

概形 \(X\) 同构于某个仿射概形的局部闭子概形；

\(X\) 上存在丰沛可逆层；

概形 \(X\) 同构于 \(\text{Proj}(S)\) 的局部闭子概形，其中 \(S\) 为某个分次环。

则对任意有限子集 \(E \subset X\)，存在仿射开集 \(U \subset X\)，使得 \(E \subset U\)。

证明

由《性质》定义 01P6，拟仿射概形是某个仿射概形的拟紧开子概形。任意仿射概形 \(\Spec(R)\) 都同构于 \(\text{Proj}(R[X])\)，其中 \(R[X]\) 以 \(\deg(X) = 1\) 分次。由命题 01Q3，若 \(X\) 有丰沛可逆层，则 \(X\) 同构于 \(\text{Proj}(S)\) 的开子概形，其中 \(S\) 为某个分次环。所以，只需在情形 (4) 中证明引理。（我们建议读者自行直接证明情形 (2)。）

因此，假设 \(X \subset \text{Proj}(S)\) 是局部闭子概形，其中 \(S\) 是某个分次环。令 \(T = \overline{X} \setminus X\)。回顾，标准开集 \(D_{+}(f)\) 构成 \(\text{Proj}(S)\) 的拓扑基。由于 \(E\) 有限，可选取有限多个齐次元素 \(f_i \in S_{+}\)，使得 \[E \subset D_{+}(f_1) \cup \ldots \cup D_{+}(f_n) \subset \text{Proj}(S) \setminus T\] 假设 \(E = \{\mathfrak p_1, \ldots, \mathfrak p_m\}\) 是 \(\text{Proj}(S)\) 的子集。考虑理想 \(I = (f_1, \ldots, f_n) \subset S\)。由于 \(I \not \subset \mathfrak p_j\) 对所有 \(j = 1, \ldots, m\) 都成立，由《代数》引理 00JS 可知，存在齐次元素 \(f \in I\)，并且 \(f \not \in \mathfrak p_j\) 对所有 \(j = 1, \ldots, m\) 都成立。于是 \(E \subset D_{+}(f) \subset D_{+}(f_1) \cup \ldots \cup D_{+}(f_n)\)。由于 \(D_{+}(f)\) 与 \(T\) 不交，可知 \(X \cap D_{+}(f)\) 是仿射概形 \(D_{+}(f)\) 的闭子概形，因而是 \(X\) 的仿射开集，如所需。

引理

设 \(X\) 为概形。设 \(\mathcal{L}\) 为 \(X\) 上的丰沛可逆层。设 \[E \subset W \subset X\] 其中 \(E\) 有限，且 \(W\) 是 \(X\) 中的开集。则存在 \(n > 0\) 以及截面 \(s \in \Gamma(X, \mathcal{L}^{\otimes n})\)，使得 \(X_s\) 仿射，并且 \(E \subset X_s \subset W\)。

证明

读者可修改引理 01ZY 的证明来证明本引理；我们改从该引理推出它。由引理 01ZY，可选取仿射开集 \(U \subset W\)，使得 \(E \subset U\)。考虑分次环 \(S = \Gamma_*(X, \mathcal{L}) = \bigoplus_{n \geq 0} \Gamma(X, \mathcal{L}^{\otimes n})\)。对每个 \(x \in E\)，令 \(\mathfrak p_x \subset S\) 为由在 \(x\) 处消失的截面组成的分次理想。显然，\(\mathfrak p_x\) 是素理想；又因为 \(\mathcal{L}\) 的某个幂全局生成，显然 \(S_{+} \not \subset \mathfrak p_x\)。令 \(I \subset S\) 为由在 \(X \setminus U\) 的所有点处消失的截面组成的分次理想。由于集合 \(X_s\) 构成拓扑基，可知 \(I \not \subset \mathfrak p_x\) 对所有 \(x \in E\) 都成立。由（分次）素理想回避（《代数》引理 00JS），可找到齐次 \(s \in I\)，使得 \(s \not \in \mathfrak p_x\) 对所有 \(x \in E\) 都成立。于是 \(E \subset X_s \subset U\)，并且由引理 01PV，\(X_s\) 仿射。

引理

设 \(X\) 为拟仿射概形。设 \(\mathcal{L}\) 为可逆 \(\mathcal{O}_X\)-模。设 \(E \subset W \subset X\)，其中 \(E\) 有限且 \(W\) 开。则存在 \(s \in \Gamma(X, \mathcal{L})\)，使得 \(X_s\) 仿射，并且 \(E \subset X_s \subset W\)。

证明

本引理的证明与《代数》引理 00DS 的证明有许多共同之处。设 \(E = \{x_1, \ldots, x_n\}\)。若 \(E = W = \emptyset\)，则 \(s = 0\) 可用。若 \(W \not = \emptyset\)，则必要时添加一点后，可假设 \(E \not = \emptyset\)。所以可假设 \(n \geq 1\)。我们对 \(n\) 归纳证明本引理。

基础情形：\(n = 1\)。用 \(W\) 中 \(x_1\) 的一个仿射开邻域替换 \(W\) 后，可假设 \(W\) 仿射。结合引理 01QE 与命题 01Q3，可知每个准凝聚 \(\mathcal{O}_X\)-模都全局生成。因此，存在整体截面 \(s\)，它属于 \(\mathcal{L}\)，且在 \(x_1\) 处不消失。另一方面，令 \(Z \subset X\) 为 \(X \setminus W\) 上的约化诱导闭子概形。把全局生成性应用于准凝聚理想层 \(\mathcal{I}\)，即 \(Z\) 的理想层，可找到整体截面 \(f\)，它属于 \(\mathcal{I}\)，它在 \(x_1\) 处不消失。于是 \(s' = fs\) 是 \(\mathcal{L}\) 的整体截面，它在 \(x_1\) 处不消失，并且 \(X_{s'} \subset W\)。由引理 01PV，\(X_{s'}\) 仿射。

归纳步骤：\(n > 1\)。若存在特化关系 \(x_i \leadsto x_j\)，其中 \(i \not = j\)，则只需对 \(\{x_1, \ldots, x_n\} \setminus \{x_i\}\) 证明引理，归纳即得结论。因此可假设各 \(x_i\) 之间没有特化关系。由引理 01ZY 或引理 09NV，可假设 \(W\) 仿射。由归纳，可找到整体截面 \(s\)，它属于 \(\mathcal{L}\)，并使得 \(X_s \subset W\) 仿射，并包含 \(x_1, \ldots, x_{n - 1}\)。若 \(x_n \in X_s\)，则已经完成。假设 \(s\) 在 \(x_n\) 处为零。由 \(n = 1\) 的情形，可找到整体截面 \(s'\)，它属于 \(\mathcal{L}\)，并使得 \(\{x_n\} \subset X_{s'} \subset W \setminus \overline{\{x_1, \ldots, x_{n - 1}\}}\)。这里用到了 \(x_n\) 不是 \(x_1, \ldots, x_{n - 1}\) 的特化。于是 \(s + s'\) 是 \(\mathcal{L}\) 的整体截面，它在 \(x_1, \ldots, x_n\) 处都不消失，并且 \(X_{s + s'} \subset W\)；如前即可得出结论。

引理

设 \(X\) 为概形，且 \(x \in X\) 为一点。在下列每种情形中，都存在仿射开邻域 \(U \subset X\)，它包含 \(x\)，并使得典范映射 \(\mathcal{O}_X(U) \to \mathcal{O}_{X, x}\) 为单射：

\(X\) 整；

\(X\) 局部诺特；

\(X\) 约化且只有有限多个不可约分支。

证明

翻译成代数后，这由《代数》引理 0BX1 得出。

引理

设 \(U\)、\(V\) 为仿射概形，并设 \(W \to U\) 与 \(W \to V\) 为开浸入。对任意 \(w \in W\)，存在仿射开邻域 \(W' \subset W\)，它包含 \(w\)，并使得 \(W'\) 映至 \(U\) 和 \(V\) 中的标准开集。

证明

令 \(X\) 为把 \(U\) 与 \(V\) 沿 \(W\) 粘合所得的概形，并应用《概形》引理 01IW。

但这里只列出那些我们尚未在别处分别处理的性质。↩︎
这可能不是标准术语。若 \(G\) 是有限群或群概形，则 \(G\)-概形有时指带有 \(G\) 作用的概形。↩︎
Akhil Mathew 在一篇博客文章中给出了很好的解释。↩︎
这个函子有时称为凝聚化函子。↩︎