集合论 · Stacks

引言

我们不时需要用到一些集合论。我们采用 [Kunen] 和 [Jech] 所述的带选择公理的 Zermelo–Fraenkel 集合论（ZFC）。

万物皆集合

大多数数学家都把集合论视为数学的基本基础。那么，这在实际中究竟如何运作？例如，怎样把“\(X\) 是一个概形”这句话翻译成集合论语言？我们只需逐层展开定义：概形是一个局部环化空间，并且每一点都有一个本身为仿射概形的开邻域。局部环化空间是一个环化空间，其结构层的每个茎都是局部环。环化空间是一个序对 \((X, \mathcal{O}_X)\)，其中 \(X\) 是拓扑空间， \(\mathcal{O}_X\) 是其上的环层。拓扑空间是一个序对 \((X, \tau)\)，其中 \(X\) 是集合，\(\tau \subset \mathcal{P}(X)\) 是一个由该集合的子集组成并满足拓扑公理的集合。如此等等。

那么，给定一个集合 \(S\)，我们怎样判断它是否为概形？首先要看集合 \(S\) 是否为序对。按照定义（见 [Jech] 第 7 页），这就是说存在集合 \(a, b\)，使得 \(S\) 具有形式 \((a, b) := \{\{a\}, \{a, b\}\}\)。若是如此，再查看 \(a\) 是否为某个序对 \((c, d)\)。如果是，就检验 \(d \subset \mathcal{P}(c)\)，并进一步检验 \(d\) 是否构成集合 \(c\) 上的一个拓扑。如此等等。

因此，虽然要在集合论中写出一个带单个自由变量 \(x\) 的完整公式 \(\phi_{scheme}(x)\) 来表达“\(x\) 是概形”这一概念，需要相当多的工作，但原则上确实可以做到。任何数学对象也都应当如此。

类

我们非形式地使用类这一概念。给定公式 \(\phi(x, p_1, \ldots, p_n)\)，我们把 \[C = \{x : \phi(x, p_1, \ldots, p_n)\}\] 称为一个类。类比定义它的公式更便于操作，但严格说来，类并不是一个数学对象。例如，若 \(R\) 是环，我们可以考虑所有 \(R\)-模组成的类（毕竟，“\(M\) 是一个 \(R\)-模”这句话可以翻译成集合论中的公式，而该公式便定义了一个类）。不是集合的类称为真类。

这样，我们就可以考虑 \(R\)-模的范畴；它是一个“大”范畴，换言之，其对象组成一个真类。类似地，我们也可以考虑概形的“大”范畴、环的“大”范畴，等等。

序数

若 \(x\in T\) 蕴含 \(x\subset T\)，则集合 \(T\) 称为传递的。若集合 \(\alpha\) 是传递的，并且由 \(\in\) 良序化，则称 \(\alpha\) 为序数。在这种情形下，定义 \(\alpha + 1 = \alpha \cup \{\alpha\}\)；这仍是一个序数，称为 \(\alpha\) 的后继。若存在序数 \(\beta\) 使 \(\alpha = \beta + 1\)，则序数 \(\alpha\) 称为后继序数。最小的序数是 \(\emptyset\)，也记作 \(0\)。若 \(\alpha\) 既不是 \(0\)，也不是后继序数，则称 \(\alpha\) 为极限序数，且有 \[\alpha = \bigcup\nolimits_{\gamma \in \alpha} \gamma.\] 第一个极限序数是 \(\omega\)，它也是第一个无限序数。第一个不可数序数 \(\omega_1\) 是所有可数序数组成的集合。所有序数组成的族是一个真类。它在如下意义下由 \(\in\) 良序化：任意非空的序数集合（甚至序数类）都有最小元。给定一个由序数组成的集合 \(A\)，定义 \(A\) 的上确界为 \(\sup_{\alpha \in A} \alpha = \bigcup_{\alpha \in A} \alpha\)；它是不小于所有 \(\alpha \in A\) 的最小序数。给定任意良序集 \((S, <)\)，存在唯一序数 \(\alpha\) 使得 \((S, <) \cong (\alpha, \in)\)；它称为该良序集的序型。

集合的层级

我们通过超限递归定义 \(V_0 = \emptyset\)、 \(V_{\alpha + 1} = P(V_\alpha)\)（幂集），并且对于极限序数 \(\alpha\)，定义 \[V_\alpha = \bigcup\nolimits_{\beta < \alpha} V_\beta.\] 注意，每个 \(V_\alpha\) 都是传递集。

引理

每个集合都属于某个序数 \(\alpha\) 所对应的 \(V_\alpha\)。

证明

见 [Jech, Lemma 6.3]。

[Kunen, Chapter III] 说明了该引理等价于基础公理。集合 \(S\) 的秩是满足 \(S \in V_{\alpha + 1}\) 的最小序数 \(\alpha\)。所谓部分宇宙，是指形如 \(V_\alpha\)、且大小适合当前语境的集合；其具体含义将由上下文说明。

基数

集合 \(A\) 的势是满足 \(A\) 与 \(\alpha\) 之间存在双射的最小序数 \(\alpha\)。我们有时用记号 \(\alpha = |A|\) 表示这一点。序数 \(\alpha\) 称为基数，当且仅当它是某个集合 \(A\) 的势；换言之，当且仅当 \(\alpha = |A|\)。我们用希腊字母 \(\kappa\), \(\lambda\) 表示基数。第一个无限基数是 \(\omega\)；在基数的语境中，将它记作 \(\aleph_0\)。若一个集合的势为 \(\leq \aleph_0\)，则称其为可数的。若 \(\alpha\) 是序数，则用 \(\alpha^+\) 表示满足 \(> \alpha\) 的最小基数。由此可以定义 \(\aleph_1 = \aleph_0^+\)、\(\aleph_2 = \aleph_1^+\) 等；事实上，对任意序数 \(\alpha\)，都可以通过超限递归定义 \(\aleph_\alpha\)。注意有等式 \(\aleph_1 = \omega_1\)。

基数 \(\kappa, \lambda\) 的加法记作 \(\kappa \oplus \lambda\)；它是 \(\kappa \amalg \lambda\) 的势。基数 \(\kappa, \lambda\) 的乘法记作 \(\kappa \otimes \lambda\)；它是 \(\kappa \times \lambda\) 的势。若 \(\kappa\) 与 \(\lambda\) 是无限基数，则 \(\kappa \oplus \lambda = \kappa \otimes \lambda = \max(\kappa, \lambda)\)。基数 \(\kappa, \lambda\) 的幂记作 \(\kappa^\lambda\)；它是从 \(\lambda\) 到 \(\kappa\) 的（集合）映射所成集合的势。给定任意由基数组成的集合 \(K\)，\(K\) 的上确界为 \(\sup_{\kappa \in K} \kappa = \bigcup_{\kappa \in K} \kappa\)，而这仍是一个基数。

共尾性

良序集 \(T\) 的一个共尾子集是满足下述条件的子集 \(S \subset T\)： \(\forall t \in T \exists s\in S (t \leq s)\)。注意，良序集的子集在诱导序下仍是良序集。给定序数 \(\alpha\)，其共尾性 \(\text{cf}(\alpha)\) 是这样一个最小序数 \(\beta\)：它是 \(\alpha\) 的某个共尾子集的序型。序数的共尾性总是基数。因此，也可以把 \(\alpha\) 的共尾性定义为 \(\alpha\) 的共尾子集所能具有的最小势。

引理

设 \(T = \colim_{\alpha < \beta} T_\alpha\) 是由小于给定序数 \(\beta\) 的序数指标的集合余极限。设 \(\varphi : S \to T\) 是集合映射。只要 \(\beta\) 不是由 \(S\) 指标的一族序数的极限，即只要 \(\beta\) 满足 \(\text{cf}(\beta) > |S|\)，则 \(\varphi\) 可提升为到某个 \(T_\alpha\)（其中 \(\alpha < \beta\)）的映射。

证明

对每个元素 \(s \in S\)，选取 \(\alpha_s < \beta\) 以及一个映到 \(T\) 中 \(\varphi(s)\) 的元素 \(t_s \in T_{\alpha_s}\)。由假设，\(\alpha = \sup_{s \in S} \alpha_s\) 严格小于 \(\beta\)。于是，令 \(\varphi_\alpha : S \to T_\alpha\) 把 \(s\) 送到 \(t_s\) 在 \(T_\alpha\) 中的像，就得到所需解。

下面的论证实质上是 Grothendieck 关于存在任意大共尾性序数的论证；他曾用它证明某些阿贝尔范畴中有足够多的内射对象，见 [Tohoku]。

命题

设 \(\kappa\) 为基数。则存在共尾性大于 \(\kappa\) 的序数。

证明

若 \(\kappa\) 有限，则 \(\omega = \text{cf}(\omega)\) 即可。因此设 \(\kappa\) 无限。考虑势严格大于 \(\kappa\) 的最小序数 \(\alpha\)。我们声称 \(\text{cf}(\alpha) > \kappa\)。注意 \(\alpha\) 是极限序数：若 \(\alpha = \beta + 1\)，则 \(|\alpha| = |\beta|\)（因为 \(\alpha\) 与 \(\beta\) 都是无限的），这与 \(\alpha\) 的极小性矛盾。（当然，\(\alpha\) 本身也是基数，但这里并不需要这一点。）反设存在共尾子集 \(S \subset \alpha\) 且 \(|S| \leq \kappa\)。对 \(\beta \in S\)，即 \(\beta < \alpha\)，由 \(\alpha\) 的极小性有 \(|\beta| \leq \kappa\)。由于 \(\alpha\) 是极限序数且 \(S\) 在 \(\alpha\) 中共尾，得到 \(\alpha = \bigcup_{\beta \in S} \beta\)。因此 \(|\alpha| \leq |S| \otimes \kappa \leq \kappa \otimes \kappa \leq \kappa\)，这与 \(\alpha\) 的选取矛盾。

反射原理

这部分材料有一些见于 [Kunen] 中题为“Easy consistency proofs”的一章。

设 \(\phi(x_1, \ldots, x_n)\) 是集合论公式。约定该记号表示 \(\phi\) 的所有自由变量都包含在 \(x_1, \ldots, x_n\) 之中。设 \(M\) 为集合。公式 \(\phi^M(x_1, \ldots, x_n)\) 是把 \(\phi(x_1, \ldots, x_n)\) 中所有 \(\forall x\) 与 \(\exists x\) 分别替换为 \(\forall x\in M\) 与 \(\exists x\in M\) 所得到的公式。因此，公式 \(\phi(x_1, x_2) = \exists x (x\in x_1 \wedge x\in x_2)\) 被变为 \(\phi^M(x_1, x_2) = \exists x \in M (x\in x_1 \wedge x\in x_2)\)。公式 \(\phi^M\) 称为 \(\phi\) 对 \(M\) 的相对化。

定理

给定集合论公式的一个有限族 \(\phi_1(x_1, \ldots, x_n), \ldots, \phi_m(x_1, \ldots, x_n)\)。设 \(M_0\) 为集合。则存在集合 \(M\)，使得 \(M_0 \subset M\)，并且 \(\forall x_1, \ldots, x_n \in M\)，都有 \[\forall i = 1, \ldots, m, \ \phi_i^{M}(x_1, \ldots, x_n) \Leftrightarrow \forall i = 1, \ldots, m, \ \phi_i(x_1, \ldots, x_n).\] 事实上，可以取 \(M = V_\alpha\)，其中 \(\alpha\) 为某个极限序数。

证明

见 [Jech, Theorem 12.14] 或 [Kunen, Theorem 7.4]。

我们把该定理解读如下：给定任意 \(x_1, \ldots, x_n \in M\)，若让有界变量遍历所有集合，诸公式成立，当且仅当让这些有界变量遍历 \(V_\alpha\) 的元素时诸公式成立。该定理直接处理集合论公式，因而是一个元定理。它实际说明：给定至多以 \(x_1, \ldots, x_n\) 为自由变量的有限公式表 \(\phi_1, \ldots, \phi_m\)，下列句子 \[\begin{matrix} \forall M_0\ \exists M, \ M_0 \subset M\ \forall x_1, \ldots, x_n \in M \\ \phi_1(x_1, \ldots, x_n) \wedge \ldots \wedge \phi_m(x_1, \ldots, x_n) \leftrightarrow \phi_1^M(x_1, \ldots, x_n) \wedge \ldots \wedge \phi_m^M(x_1, \ldots, x_n) \end{matrix}\] 在 ZFC 中可证。换言之，每当我们实际写下一个有限公式表 \(\phi_i\) 时，就得到一个定理。

该定理在“普通数学”中有些难以直接使用，因为 \(\phi_i^M(x_1, \ldots, x_n)\) 的含义并不十分清楚！我们将改为利用反射原理证明中的思想，直接证明所需的存在性结果。

构造概形的范畴

下面讨论如何运用上述思想：从一个初始概形集出发，构造一个在一系列自然运算下封闭的“小”概形范畴。在此之前，先引入概形的大小。给定概形 \(S\)，定义 \[\text{size}(S) = \max(\aleph_0, \kappa_1, \kappa_2),\] 其中基数 \(\kappa_1\) 和 \(\kappa_2\) 定义如下：

令 \(\kappa_1\) 为 \(S\) 的仿射开集所成集合的势。
令 \(\kappa_2\) 为所有 \(\Gamma(U, \mathcal{O}_S)\) 的势的上确界，其中 \(U \subset S\) 遍历仿射开集。

引理

对每个基数 \(\kappa\)，存在集合 \(A\)，使得 \(A\) 的每个元素都是概形，并且对每个满足 \(\text{size}(S) \leq \kappa\) 的概形 \(S\)，都存在 \(X \in A\) 使得 \(X \cong S\)（概形同构）。

证明

略。提示：考虑任意概形如何同构于一个由仿射概形粘合而成的概形。

用 \(Bound\) 表示把每个基数 \(\kappa\) 映到下式的函数： [046U]\[\begin{equation} Bound(\kappa) = \max\{\kappa^{\aleph_0}, \kappa^+\}. \end{equation}\] 可以让这个函数增长得快得多，例如取 \(Bound(\kappa) = \kappa^\kappa\)，下面的结果仍然成立。对任意序数 \(\alpha\)，用 \(\Sch_\alpha\) 表示概形范畴中对象属于 \(V_\alpha\) 的全子范畴。下面给出要证明的结果。

引理

沿用上述 \(\text{size}\)、\(Bound\) 和 \(\Sch_\alpha\) 的记号。设 \(S_0\) 是概形的集合。则存在具有下列性质的极限序数 \(\alpha\)：

有 \(S_0 \subset V_\alpha\)；换言之， \(S_0 \subset \Ob(\Sch_\alpha)\)。

对任意 \(S \in \Ob(\Sch_\alpha)\) 以及满足 \(\text{size}(T) \leq Bound(\text{size}(S))\) 的任意概形 \(T\)，存在概形 \(S' \in \Ob(\Sch_\alpha)\) 使得 \(T \cong S'\)。

对任意可数¹图式范畴 \(\mathcal{I}\) 及任意函子 \(F : \mathcal{I} \to \Sch_\alpha\)，极限 \(\lim_\mathcal{I} F\) 在 \(\Sch_\alpha\) 中存在，当且仅当它在 \(\Sch\) 中存在；而且在这种情形下，两者之间的自然态射是同构。

对任意可数指标范畴 \(\mathcal{I}\) 及任意函子 \(F : \mathcal{I} \to \Sch_\alpha\)，余极限 \(\colim_\mathcal{I} F\) 在 \(\Sch_\alpha\) 中存在，当且仅当它在 \(\Sch\) 中存在；而且在这种情形下，两者之间的自然态射是同构。

证明

通过超限归纳定义一个把每个序数映到一个序数的函数 \(f\)。令 \(f(0) = 0\)。给定 \(f(\alpha)\)，定义 \(f(\alpha + 1)\) 为满足下列条件的最小序数 \(\beta\)：

有 \(\alpha + 1 \leq \beta\) 且 \(f(\alpha) \leq \beta\)。

对任意 \(S \in \Ob(\Sch_{f(\alpha)})\) 以及满足 \(\text{size}(T) \leq Bound(\text{size}(S))\) 的任意概形 \(T\)，存在概形 \(S' \in \Ob(\Sch_\beta)\) 使得 \(T \cong S'\)。

对任意可数指标范畴 \(\mathcal{I}\) 以及任意函子 \(F : \mathcal{I} \to \Sch_{f(\alpha)}\)，若极限 \(\lim_\mathcal{I} F\) 或余极限 \(\colim_\mathcal{I} F\) 在 \(\Sch\) 中存在，则它同构于 \(\Sch_\beta\) 中的某个概形。

为说明 \(\beta\) 存在，论证如下。由于 \(\Ob(\Sch_{f(\alpha)})\) 是集合，可知 \(\kappa = \sup_{S \in \Ob(\Sch_{f(\alpha)})} Bound(\text{size}(S))\) 存在且为基数。依照引理 000I，从 \(\kappa\) 出发取得一个概形集 \(A\)。存在一个由可数范畴组成的集合 \(CountCat\)，使每个可数范畴都同构于 \(CountCat\) 的某个元素。因此在上面的 (3) 中，可以设 \(\mathcal{I}\) 属于 \(CountCat\)。这意味着 (3) 中的序对 \((\mathcal{I}, F)\) 遍历一个集合。于是存在一个以概形为元素的集合 \(B\)，使得对 (3) 中的每个 \((\mathcal{I}, F)\)，若其极限或余极限存在，则该极限或余极限同构于 \(B\) 中的一个元素。因此，只要选取任意满足 \(A \cup B \subset V_\beta\) 且 \(\beta > \max\{\alpha + 1, f(\alpha)\}\) 的 \(\beta\)，条件 (1)–(3) 就成立。由于任意非空序数族都有最小元，\(f(\alpha + 1)\) 定义良好。最后，若 \(\alpha\) 为极限序数，则令 \(f(\alpha) = \sup_{\alpha' < \alpha} f(\alpha')\)。

选取 \(\beta_0\) 使得 \(S_0 \subset V_{\beta_0}\)。由构造，\(f(\beta) \geq \beta\)，故也有 \(S_0 \subset V_{f(\beta_0)}\)。又因 \(f\) 单调不减，对任意 \(\beta \geq \beta_0\) 都有 \(S_0 \subset V_{f(\beta)}\)。接着选取共尾性满足 \(\text{cf}(\beta_1) > \omega = \aleph_0\) 的任意序数 \(\beta_1 > \beta_0\)。这样的序数存在，因为序数的共尾性可以任意大；见命题 05N3。我们声称 \(\alpha = f(\beta_1)\) 是引理中问题的一个解。

由上面对 \(\beta_1 > \beta_0\) 的选取，引理的第一条性质成立。

由于 \(\beta_1\) 是极限序数（其共尾性无限），有 \(f(\beta_1) = \sup_{\beta < \beta_1} f(\beta)\)。因此 \(\{f(\beta) \mid \beta < \beta_1\} \subset f(\beta_1)\) 是共尾子集，从而 \[V_\alpha = V_{f(\beta_1)} = \bigcup\nolimits_{\beta < \beta_1} V_{f(\beta)}.\] 现在令 \(S \in \Ob(\Sch_\alpha)\)。定义 \(\beta(S)\) 为满足 \(S \in \Ob(\Sch_{f(\beta)})\) 的最小序数 \(\beta\)。由上可知总有 \(\beta(S) < \beta_1\)。由于 \(\Ob(\Sch_{f(\beta + 1)}) \subset \Ob(\Sch_\alpha)\)，由 \(f\) 的上述构造可知引理的第二条性质成立。

设 \(\{S_1, S_2, \ldots\} \subset \Ob(\Sch_\alpha)\) 是一个可数族。考虑函数 \(\omega \to \beta_1\)，\(n \mapsto \beta(S_n)\)。由于 \(\beta_1\) 的共尾性 \(> \omega\)，该函数的像不可能是共尾子集。因此存在 \(\beta < \beta_1\) 使得 \(\{S_1, S_2, \ldots\} \subset \Ob(\Sch_{f(\beta)})\)。于是任意函子 \(F : \mathcal{I} \to \Sch_\alpha\) 都通过某个子范畴 \(\Sch_{f(\beta)}\) 分解。因此，若存在作为图式 \(F\) 的余极限或极限的概形 \(X\)，则由 \(f\) 的构造，\(X\) 同构于 \(\Sch_{f(\beta + 1)}\) 中的对象，而后者是 \(\Sch_\alpha\) 的子范畴。这就证明了引理的最后两条断言。

注

上面的引理也可以用反射原理证明，但必须谨慎。假设句子 \(\phi_{scheme}(X)\) 表达“\(X\) 是概形”这一性质，那么公式 \(\phi_{scheme}^{V_\alpha}(X)\) 究竟意味着什么？反射原理确实说明可以找到 \(\alpha\)，使得对所有 \(X \in V_\alpha\)，都有 \(\phi_{scheme}(X) \leftrightarrow \phi_{scheme}^{V_\alpha}(X)\)，但这本身毫无用处。只有把两个这样的陈述结合起来，才会得到有意义的结果。例如，设 \(\phi_{red}(X, Y)\) 表达“\(X\)、\(Y\) 是概形，且 \(Y\) 是 \(X\) 的约化”这一性质（见《概形》定义 01J4）。对公式对 \(\phi_1(X, Y) = \phi_{red}(X, Y)\)、 \(\phi_2(X) = \exists Y, \phi_1(X, Y)\) 应用反射原理。容易看出，反射原理产生的任意 \(\alpha\) 都有如下性质：给定 \(X \in \Ob(\Sch_\alpha)\)，\(X\) 的约化仍是 \(\Sch_\alpha\) 的对象（留作练习）。

引理

设 \(S\) 为仿射概形，令 \(R = \Gamma(S, \mathcal{O}_S)\)。则 \(S\) 的大小等于 \(\max\{ \aleph_0, |R|\}\)。

证明

\(\Spec(R)\) 的仿射开集至多有 \(\max\{|R|, \aleph_0\}\) 个。这是显然的，因为任意仿射开集 \(U \subset \Spec(R)\) 都是有限个主开集的并 \(D(f_1) \cup \ldots \cup D(f_n)\)，所以仿射开集的数目至多为 \(\sup_n |R|^n = \max\{|R|, \aleph_0\}\)；见 [Kunen, Ch. I, 10.13]。另一方面， \(\Gamma(U, \mathcal{O}) \subset R_{f_1} \times \ldots \times R_{f_n}\)，故 \(|\Gamma(U, \mathcal{O})| \leq \max\{\aleph_0, |R_{f_1}|, \ldots, |R_{f_n}|\}\)。因此只需证明 \(|R_f| \leq \max\{\aleph_0, |R|\}\)；证明略。

引理

设 \(S\) 为概形，\(S = \bigcup_{i \in I} S_i\) 为一个开覆盖。则 \(\text{size}(S) \leq \max\{|I|, \sup_i\{\text{size}(S_i)\}\}\)。

证明

令 \(U \subset S\) 为任意仿射开集。由于 \(U\) 拟紧，存在有限多个元素 \(i_1, \ldots, i_n \in I\) 以及仿射开集 \(U_i \subset U \cap S_i\)，使得 \(U = U_1 \cup U_2 \cup \ldots \cup U_n\)。于是 \[|\Gamma(U, \mathcal{O}_U)| \leq |\Gamma(U_1, \mathcal{O})| \otimes \ldots \otimes |\Gamma(U_n, \mathcal{O})| \leq \sup\nolimits_i\{\text{size}(S_i)\}\] 此外，这说明 \(S\) 的仿射开集所成集合的势不超过下列集合的势： \[\coprod_{n \in \omega} \coprod_{i_1, \ldots, i_n \in I} \{\text{仿射开集，取自 }S_{i_1}\} \times \ldots \times \{\text{仿射开集，取自 }S_{i_n}\}.\] 不交并内部每个集合的势至多为 \(\sup_i\{\text{size}(S_i)\}\)。指标集的势至多为 \(\max\{|I|, \aleph_0\}\)；见 [Kunen, Ch. I, 10.13]。因此，由 [Jech, Lemma 5.8]，该余积的势至多为 \(\max\{\aleph_0, |I|\} \otimes \sup_i\{\text{size}(S_i)\}\)。引理得证。

引理

设 \(f : X \to S\)、\(g : Y \to S\) 为概形态射。则 \(\text{size}(X \times_S Y) \leq \max\{\text{size}(X), \text{size}(Y)\}\)。

证明

设 \(S = \bigcup_{k \in K} S_k\) 为仿射开覆盖。设 \(X = \bigcup_{i \in I} U_i\)、\(Y = \bigcup_{j \in J} V_j\) 为仿射开覆盖，并且 \(I\)、\(J\) 的势分别 \(\leq \text{size}(X), \text{size}(Y)\)。对每个 \(i \in I\)，存在由满足 \(k \in K\) 的指标组成的有限集 \(K_i\)，使得 \(f(U_i) \subset \bigcup_{k \in K_i} S_k\)。对每个 \(j \in J\)，存在由满足 \(k \in K\) 的指标组成的有限集 \(K_j\)，使得 \(g(V_j) \subset \bigcup_{k \in K_j} S_k\)。因此 \(f(X), g(Y)\) 都包含在 \(S' = \bigcup_{k \in K'} S_k\) 中，其中 \(K' = \bigcup_{i \in I} K_i \cup \bigcup_{j \in J} K_j\)。注意 \(K'\) 的势至多为 \(\max\{\aleph_0, |I|, |J|\}\)。应用引理 000Q，只需对 \(k \in K'\) 证明 \(\text{size}(f^{-1}(S_k) \times_{S_k} g^{-1}(S_k)) \leq \max\{\text{size}(X), \text{size}(Y)\}\)。换言之，可以设 \(S\) 为仿射概形。

设 \(S\) 仿射。令 \(X = \bigcup_{i \in I} U_i\)、\(Y = \bigcup_{j \in J} V_j\) 为仿射开覆盖，并且 \(I\)、\(J\) 的势分别 \(\leq \text{size}(X), \text{size}(Y)\)。再次由引理 000Q，只需对积 \(U_i \times_S V_j\) 证明本引理。由引理 000P，只需证明 \[|A \otimes_C B| \leq \max\{\aleph_0, |A|, |B|\}.\] 该不等式的证明略。

引理

设 \(S\) 为概形。设 \(f : X \to S\) 局部为有限型，且 \(X\) 拟紧。则 \(\text{size}(X) \leq \text{size}(S)\)。

证明

可以找到有限仿射开覆盖 \(X = \bigcup_{i = 1, \ldots n} U_i\)，使每个 \(U_i\) 都映入 \(S\) 的某个仿射开集 \(S_i\)。因此由引理 000Q，可约化到 \(S\) 与 \(X\) 都仿射的情形。在此情形下，由引理 000P，只需证明 \[|A[x_1, \ldots, x_n]| \leq \max\{\aleph_0, |A|\}.\] 该不等式的证明略。

在《代数》引理 04W0 中，我们将证明：若 \(A \to B\) 是环满态射，则 \(|B| \leq \max(|A|, \aleph_0)\)。其概形版本是下面的引理。

引理

设 \(f : X \to Y\) 为概形的单态射。若下列性质中至少一项成立，则 \(\text{size}(X) \leq \text{size}(Y)\)：

\(f\) 是拟紧的；

\(f\) 局部为有限表现；

可按需要在此增补更多条件。

但对局部为有限型的单态射，该界一般不成立。

证明

设 \(Y = \bigcup_{j \in J} V_j\) 为 \(Y\) 的仿射开覆盖，且 \(|J| \leq \text{size}(Y)\)。由引理 000Q，只需控制 \(V_j\) 在 \(X\) 中的逆像的大小。因此可约化到 \(Y\) 仿射的情形，设 \(Y = \Spec(B)\)。对任意仿射开集 \(\Spec(A) \subset X\)，由上面的评注和引理 000P 有 \(|A| \leq \max(|B|, \aleph_0) = \text{size}(Y)\)。因此只需证明 \(X\) 的仿射开集至多有 \(\text{size}(Y)\) 个。若 \(X\) 拟紧，这是显然的，故情形 (1) 成立。在情形 (2) 中，可能出现的 \(B\)-代数 \(A\) 的同构类数目由 \(\text{size}(B)\) 控制，因为每个 \(A\) 都是有限型 \(B\)-代数，从而同构于某个 \(B[x_1, \ldots, x_n]/(f_1, \ldots, f_m)\)，其中 \(n, m\) 为某些整数，\(f_j \in B[x_1, \ldots, x_n]\)。而 \(X \to Y\) 是单态射，所以若存在定义在 \(Y = \Spec(B)\) 上的态射 \(\Spec(A) \to X\)，它就是唯一的。因此 \(X\) 的仿射开集数目由上述同构类的数目控制。

为证明引理的最后一句，考虑环 \(B = \prod_{n \in \mathbf{N}} \mathbf{F}_2\)，并令 \(Y = \Spec(B)\)。对 \(\mathbf{N}\) 上的每个超滤子 \(\mathcal{U}\)，得到一个剩余域为 \(\mathbf{F}_2\) 的极大理想 \(\mathfrak m_\mathcal{U}\)；映射 \(B \to \mathbf{F}_2\) 把元素 \((x_n)\) 送到 \(\lim_\mathcal{U} x_n\)。细节略。概形态射 \(X = \coprod_\mathcal{U} \Spec(\mathbf{F}_2) \to Y\) 是单态射，因为所有这些点彼此不同。然而，\(X\) 的仿射开子概形所成集合的势等于 \(\mathbf{N}\) 上超滤子所成集合的势，即 \(2^{2^{\aleph_0}}\)。由于 \(|B| = 2^{\aleph_0} < 2^{2^{\aleph_0}}\)，结论成立。

引理

设 \(\alpha\) 为上述引理 000J 中的序数。范畴 \(\Sch_\alpha\) 满足下列性质：

若 \(X, Y, S \in \Ob(\Sch_\alpha)\)，则对任意态射 \(f : X \to S\)、\(g : Y \to S\)，纤维积 \(X \times_S Y\) 在 \(\Sch_\alpha\) 中存在，且也是概形范畴中的纤维积。

给定 \(\Ob(\Sch_\alpha)\) 中任意至多可数的元素族 \(S_1, S_2, \ldots\)，余积 \(\coprod_i S_i\) 在 \(\Ob(\Sch_\alpha)\) 中存在，且也是概形范畴中的余积。

对任意 \(S \in \Ob(\Sch_\alpha)\) 以及任意开浸入 \(U \to S\)，存在 \(V \in \Ob(\Sch_\alpha)\) 使 \(V \cong U\)。

对任意 \(S \in \Ob(\Sch_\alpha)\) 以及任意闭浸入 \(T \to S\)，存在 \(S' \in \Ob(\Sch_\alpha)\) 使 \(S' \cong T\)。

对任意 \(S \in \Ob(\Sch_\alpha)\) 以及任意有限型态射 \(T \to S\)，存在 \(S' \in \Ob(\Sch_\alpha)\) 使 \(S' \cong T\)。

设概形 \(S\) 有开覆盖 \(S = \bigcup_{i \in I} S_i\)，并且存在 \(T \in \Ob(\Sch_\alpha)\)，使得 (a) 对所有 \(i \in I\) 都有 \(\text{size}(S_i) \leq \text{size}(T)^{\aleph_0}\)，且 (b) \(|I| \leq \text{size}(T)^{\aleph_0}\)。则 \(S\) 同构于 \(\Sch_\alpha\) 的一个对象。

对任意 \(S \in \Ob(\Sch_\alpha)\) 以及任意局部有限型态射 \(f : T \to S\)，若 \(T\) 可由至多 \(\text{size}(S)^{\aleph_0}\) 个仿射开集覆盖，则存在 \(S' \in \Ob(\Sch_\alpha)\) 使 \(S' \cong T\)。例如，若 \(T\) 可由至多 \(|\mathbf{R}| = 2^{\aleph_0} = \aleph_0^{\aleph_0}\) 个仿射开集覆盖，该结论成立。

对任意 \(S \in \Ob(\Sch_\alpha)\) 以及任意单态射 \(T \to S\)，若它局部为有限表现或拟紧，则存在 \(S' \in \Ob(\Sch_\alpha)\) 使 \(S' \cong T\)。

设 \(T \in \Ob(\Sch_\alpha)\) 为仿射概形，记 \(R = \Gamma(T, \mathcal{O}_T)\)。则下列任一概形都同构于 \(\Sch_\alpha\) 中的某个概形：

对任意理想 \(I \subset R\)，若完备化 \(R^* = \lim_n R/I^n\)，则概形 \(\Spec(R^*)\)；

对任意有限型 \(R\)-代数 \(R'\)，概形 \(\Spec(R')\)；

对任意局部化 \(S^{-1}R\)，概形 \(\Spec(S^{-1}R)\)；

对任意素理想 \(\mathfrak p \subset R\)，概形 \(\Spec(\overline{\kappa(\mathfrak p)})\)；

对任意子环 \(R' \subset R\)，概形 \(\Spec(R')\)；

定义在势至多为 \(|R|^{\aleph_0}\) 的环上的任意有限型概形；

诸如此类。

证明

断言 (1) 和 (2) 直接由定义得到。断言 (3) 成立，因为 \(S\) 的开子概形 \(U\) 的大小显然不大于 \(S\) 的大小。断言 (4) 由 (5) 得到，断言 (5) 由 (7) 得到。由引理 000Q， \(S\) 的大小 \(\leq \max\{|I|, \sup_i \text{size}(S_i)\} \leq \text{size}(T)^{\aleph_0}\)，故断言 (6) 成立。断言 (7) 由 (6) 得到：对任意仿射开集 \(V \subset T\)，由引理 04T7 有 \(\text{size}(V) \leq \text{size}(S)\)，所以 (7) 的情形适用 (6)。第 (8) 部分由引理 04VA 得到。

借助引理 000P，断言 (9) 化为对环 \(R^*\)、\(S^{-1}R\)、\(\overline{\kappa(\mathfrak p)}\)、\(R'\) 等的势给出上界。其中最有意思的也许是环 \(R^*\)。作为集合，它是满射 \(R^{\mathbf{N}} \to R^*\) 的像。由于 \(|R^{\mathbf{N}}| = |R|^{\aleph_0}\)，我们选取的 \(Bound(\kappa)\) 至少为 \(\kappa^{\aleph_0}\)，故结论成立。总算如此！（域的代数闭包的势与该域的势相同，或者为 \(\aleph_0\)。）

注

设 \(R\) 为环，考虑环 \(\prod_{\mathfrak p \in \Spec(R)} \kappa(\mathfrak p)\)。该环的势由 \(|R|^{2^{|R|}}\) 控制，但一般不由 \(|R|^{\aleph_0}\) 控制。例如，若 \(R = \mathbf{C}[x]\)，则其势不由 \(|R|^{\aleph_0}\) 控制；若 \(R = \prod_{n \in \mathbf{N}} \mathbf{F}_2\)，则其势不由 \(|R|^{|R|}\) 控制。因此，对上面引理 000R 中的“诸如此类”不可不加辨别。当然，如果在涉及 fppf/平展上同调的论证中确实需要考虑这些环，可以把上面的函数 \(Bound\) 改成 \(\kappa \mapsto \kappa^{2^\kappa}\)。

下面的引理使用 fpqc 覆盖的概念；该概念见《概形上的拓扑》第 022A 节。

引理

设 \(f : X \to Y\) 为概形态射。假设存在 fpqc 覆盖 \(\{g_j : Y_j \to Y\}_{j \in J}\)，使每个 \(g_j\) 都通过 \(f\) 分解。则 \(\text{size}(Y) \leq \text{size}(X)\)。

证明

令 \(V \subset Y\) 为仿射开集。按定义，存在 \(n \geq 0\)、映射 \(a : \{1, \ldots, n\} \to J\) 以及仿射开集 \(V_i \subset Y_{a(i)}\)，使得 \(V = g_{a(1)}(V_1) \cup \ldots \cup g_{a(n)}(V_n)\)。记 \(h_j : Y_j \to X\) 为满足 \(f \circ h_j = g_j\) 的态射。则 \(h_{a(1)}(V_1) \cup \ldots \cup h_{a(n)}(V_n)\) 是 \(f^{-1}(V)\) 的拟紧子集。因此可找到拟紧开集 \(W \subset f^{-1}(V)\)，使其包含 \(h_{a(i)}(V_i)\)（\(i = 1, \ldots, n\)）。特别地，\(V = f(W)\)。

一方面，这说明 \(Y\) 的仿射开集所成集合的势至多为 \(X\) 的拟紧开集所成集合 \(S\) 的势。由于 \(X\) 的每个拟紧开集都是有限个仿射开集的并，该集合的势至多为 \(\sup |S|^n = \max(\aleph_0, |S|)\)。另一方面，因为 \(\{V_i \to V\}\) 是 fpqc 覆盖，有 \(\mathcal{O}_Y(V) \subset \prod_{i = 1, \ldots, n} \mathcal{O}_{Y_{a(i)}}(V_i)\)。又因 \(V_i \to V\) 通过 \(W\) 分解，故 \(\mathcal{O}_Y(V) \subset \mathcal{O}_X(W)\)。再由 \(W\) 有 \(X\) 中仿射开集组成的有限覆盖，可知 \(|\mathcal{O}_Y(V)|\) 由 \(X\) 的大小控制。现在由概形大小的定义即得本引理。

下面的引理使用 fppf 覆盖的概念；该概念见《概形上的拓扑》第 021L 节。

引理

设 \(\{f_i : X_i \to X\}_{i \in I}\) 为一个概形的 fppf 覆盖。则存在 fppf 覆盖 \(\{W_j \to X\}_{j \in J}\)，它细化 \(\{X_i \to X\}_{i \in I}\)，并满足 \(\text{size}(\coprod W_j) \leq \text{size}(X)\)。

证明

选取仿射开覆盖 \(X = \bigcup_{a \in A} U_a\)，使得 \(|A| \leq \text{size}(X)\)。对每个 \(a\)，可以选取有限子集 \(I_a \subset I\)，并对 \(i \in I_a\) 选取拟紧开集 \(W_{a, i} \subset X_i\)，使得 \(U_a = \bigcup_{i \in I_a} f_i(W_{a, i})\)。由引理 04T7， \(\text{size}(W_{a, i}) \leq \text{size}(X)\)。再由引理 000Q，得到 \(\text{size}(\coprod_a \coprod_{i \in I_a} W_{i, a}) \leq \text{size}(X)\)。

带群作用的集合

设 \(G\) 为群。用 \(G\textit{-Sets}\) 表示 \(G\)-集合的“大”范畴。对任意序数 \(\alpha\)，用 \(G\textit{-Sets}_\alpha\) 表示 \(G\textit{-Sets}\) 中对象属于 \(V_\alpha\) 的全子范畴。把 \(G\)-集合 \(S\) 的大小定义为 \(\text{size}(S) = \max\{\aleph_0, |G|, |S|\}\)（这里 \(|G|\) 和 \(|S|\) 是底层集合的势）。同上，使用函数 \(Bound(\kappa) = \kappa^{\aleph_0}\)。

引理

沿用上述 \(G\)、\(G\textit{-Sets}_\alpha\)、\(\text{size}\) 和 \(Bound\) 的记号。设 \(S_0\) 为 \(G\)-集合的集合。则存在具有下列性质的极限序数 \(\alpha\)：

有 \(S_0 \cup \{{}_GG\} \subset \Ob(G\textit{-Sets}_\alpha)\)。

对任意 \(S \in \Ob(G\textit{-Sets}_\alpha)\) 以及满足 \(\text{size}(T) \leq Bound(\text{size}(S))\) 的任意 \(G\)-集合 \(T\)，存在 \(S' \in \Ob(G\textit{-Sets}_\alpha)\) 同构于 \(T\)。

对任意可数指标范畴 \(\mathcal{I}\) 以及任意函子 \(F : \mathcal{I} \to G\textit{-Sets}_\alpha\)，极限 \(\lim_\mathcal{I} F\) 与余极限 \(\colim_\mathcal{I} F\) 都在 \(G\textit{-Sets}_\alpha\) 中存在，并且与 \(G\textit{-Sets}\) 中的相同。

证明

略。证明与上述引理 000J 的证明相似，但更容易。

引理

设 \(\alpha\) 为上述引理 000U 中的序数。范畴 \(G\textit{-Sets}_\alpha\) 满足下列性质：

\(G\)-集合 \({}_GG\) 是 \(G\textit{-Sets}_\alpha\) 的对象。

（余）积、纤维积和推出在 \(G\textit{-Sets}_\alpha\) 中存在，并且与 \(G\textit{-Sets}\) 中相应的对象相同。

给定 \(G\textit{-Sets}_\alpha\) 的对象 \(U\)，任意 \(G\)-稳定子集 \(O \subset U\) 都同构于 \(G\textit{-Sets}_\alpha\) 的某个对象。

证明

略。

位点的覆盖

设 \(\mathcal{C}\) 是一个范畴（如《范畴》定义 0014 中），并设 \(\text{Cov}(\mathcal{C})\) 是由覆盖组成的真类，满足《位点与层》定义 00VH 中的性质 (1)、(2)、(3)。现将它们列出：

若 \(V \to U\) 为同构，则 \(\{V \to U\} \in \text{Cov}(\mathcal{C})\)。
若 \(\{U_i \to U\}_{i\in I} \in \text{Cov}(\mathcal{C})\)，并且对每个 \(i\) 都有 \(\{V_{ij} \to U_i\}_{j\in J_i} \in \text{Cov}(\mathcal{C})\)，则 \(\{V_{ij} \to U\}_{i \in I, j\in J_i} \in \text{Cov}(\mathcal{C})\)。
若 \(\{U_i \to U\}_{i\in I}\in \text{Cov}(\mathcal{C})\)，且 \(V \to U\) 是 \(\mathcal{C}\) 的态射，则对所有 \(i\)， \(U_i \times_U V\) 都存在，并且 \(\{U_i \times_U V \to V \}_{i\in I} \in \text{Cov}(\mathcal{C})\)。

对序数 \(\alpha\)，令 \(\text{Cov}(\mathcal{C})_\alpha = \text{Cov}(\mathcal{C}) \cap V_\alpha\)。给定序数 \(\alpha\) 和基数 \(\kappa\)，令 \(\text{Cov}(\mathcal{C})_{\kappa, \alpha}\) 为下列元素组成的集合： \(\mathcal{U} = \{\varphi_i : U_i \to U\}_{i\in I} \in \text{Cov}(\mathcal{C})_\alpha\) 且满足 \(|I| \leq \kappa\)。

回顾下面的概念；见《位点与层》定义 00VU。设两族态射 \(\{\varphi_i : U_i \to U\}_{i\in I}\) 与 \(\{\psi_j : W_j \to U\}_{j\in J}\) 在 \(\mathcal{C}\) 中有同一靶。若存在映射 \(\alpha : I \to J\) 与 \(\beta : J\to I\)，使得 \(\varphi_i = \psi_{\alpha(i)}\) 且 \(\psi_j = \varphi_{\beta(j)}\)，则称这两族态射组合等价。这在具有固定靶的态射族上定义了一个等价关系。

引理

沿用上述记号。设 \(\text{Cov}_0 \subset \text{Cov}(\mathcal{C})\) 是包含于 \(\text{Cov}(\mathcal{C})\) 的一个集合。则存在基数 \(\kappa\) 和极限序数 \(\alpha\)，满足：

有 \(\text{Cov}_0 \subset \text{Cov}(\mathcal{C})_{\kappa, \alpha}\)。

覆盖集 \(\text{Cov}(\mathcal{C})_{\kappa, \alpha}\) 满足《位点与层》定义 00VH 中的 (1)、(2)、(3)（见上文）。换言之， \((\mathcal{C}, \text{Cov}(\mathcal{C})_{\kappa, \alpha})\) 是一个位点。

\(\text{Cov}(\mathcal{C})\) 中的每个覆盖都组合等价于 \(\text{Cov}(\mathcal{C})_{\kappa, \alpha}\) 中的某个覆盖。

证明

首先考虑具有固定靶的 \(\mathcal{C}\)-态射集合所成集合 \(\mathcal{S}\)。换言之，\(\mathcal{S}\) 的元素是 \(\text{Arrows}(\mathcal{C})\) 的子集 \(T\)，并且 \(T\) 的所有元素有同一靶。给定具有固定靶的态射族 \(\mathcal{U} = \{\varphi_i : U_i \to U\}_{i\in I}\)，定义 \(Supp(\mathcal{U}) = \{ \varphi \in \text{Arrows}(\mathcal{C}) \mid \exists i\in I, \varphi = \varphi_i\}\)。注意，两族 \(\mathcal{U} = \{\varphi_i : U_i \to U\}_{i\in I}\) 与 \(\mathcal{V} = \{V_j \to V\}_{j \in J}\) 组合等价，当且仅当 \(Supp(\mathcal{U}) = Supp(\mathcal{V})\)。接着定义子集 \(\mathcal{S}_\tau \subset \mathcal{S}\)： \(\mathcal{S}_\tau = \{ T \in \mathcal{S} \mid \exists\ \mathcal{U} \in \text{Cov}(\mathcal{C}) \ T = Supp(\mathcal{U})\}\)。对每个 \(T \in \mathcal{S}_\tau\)，令 \(\beta(T)\) 为满足下列条件的最小序数 \(\beta\)：存在 \(\mathcal{U} \in \text{Cov}(\mathcal{C})_\beta\)，使得 \(T = \text{Supp}(\mathcal{U})\)。最后，令 \(\beta_0 = \sup_{T \in S_\tau} \beta(T)\)。由此可知，每个 \(\mathcal{U} \in \text{Cov}(\mathcal{C})\) 都组合等价于 \(\text{Cov}(\mathcal{C})_{\beta_0}\) 中的某个元素。

令 \(\kappa\) 为下列各基数的最大值： \(\aleph_0\)、\(|\text{Arrows}(\mathcal{C})|\)，以及 \[\sup\nolimits_{\{U_i \to U\}_{i\in I} \in \text{Cov}(\mathcal{C})_{\beta_0}} |I|, \quad\text{与}\quad \sup\nolimits_{\{U_i \to U\}_{i\in I} \in \text{Cov}_0} |I|.\] 由于 \(\kappa\) 是无限基数，有 \(\kappa \otimes \kappa = \kappa\)。显然 \(\text{Cov}(\mathcal{C})_{\beta_0} = \text{Cov}(\mathcal{C})_{\kappa, \beta_0}\)。

通过超限归纳定义一个把每个序数映到序数的函数 \(f\)。令 \(f(0) = 0\)。给定 \(f(\alpha)\)，定义 \(f(\alpha + 1)\) 为满足下列条件的最小序数 \(\beta\)：

有 \(\alpha + 1 \leq \beta\) 且 \(f(\alpha) \leq \beta\)。

若 \(\{U_i \to U\}_{i\in I} \in \text{Cov}(\mathcal{C})_{\kappa, f(\alpha)}\)，并且对每个 \(i\) 都有 \(\{W_{ij} \to U_i\}_{j\in J_i} \in \text{Cov}(\mathcal{C})_{\kappa, f(\alpha)}\)，则 \(\{W_{ij} \to U\}_{i \in I, j\in J_i} \in \text{Cov}(\mathcal{C})_{\kappa, \beta}\)。

若 \(\{U_i \to U\}_{i\in I} \in \text{Cov}(\mathcal{C})_{\kappa, \alpha}\)，且 \(W \to U\) 是 \(\mathcal{C}\) 的态射，则 \(\{U_i \times_U W \to W \}_{i\in I} \in \text{Cov}(\mathcal{C})_{\kappa, \beta}\)。

为说明 \(\beta\) 存在，只需注意 (2) 和 (3) 中出现的所有覆盖 \(\{W_{ij} \to U\}\) 与 \(\{U_i \times_U W \to W \}\) 显然组成一个集合。因此存在某个序数 \(\beta\)，使 \(V_\beta\) 包含所有这些覆盖。此外，覆盖 \(\{W_{ij} \to U\}\) 的指标集的势满足 \(\sum_{i \in I} |J_i| \leq \kappa \otimes \kappa = \kappa\)，故这些覆盖属于 \(\text{Cov}(\mathcal{C})_{\kappa, \beta}\)。由于任意非空序数族都有最小元， \(f(\alpha + 1)\) 定义良好。最后，若 \(\alpha\) 是极限序数，则令 \(f(\alpha) = \sup_{\alpha' < \alpha} f(\alpha')\)。

选取序数 \(\beta_1\)，使得 \(\text{Arrows}(\mathcal{C}) \subset V_{\beta_1}\)、 \(\text{Cov}_0 \subset V_{\beta_0}\)，并且 \(\beta_1 \geq \beta_0\)。由构造，\(f(\beta_1) \geq \beta_1\)，可知对 \(V_{f(\beta_1)}\) 仍有相同性质。又因 \(f\) 单调不减，对任意 \(\beta \geq \beta_1\) 仍然如此。接着选取共尾性满足 \(\text{cf}(\beta_2) > \kappa\) 的任意序数 \(\beta_2 > \beta_1\)。这样的序数存在，因为序数的共尾性可以任意大；见命题 05N3。我们声称序对 \(\kappa\)、 \(\alpha = f(\beta_2)\) 是引理中问题的一个解。

由上述对 \(\kappa\)、\(\beta_2 > \beta_1 > \beta_0\) 的选取，引理的第一条和第三条性质成立。

由于 \(\beta_2\) 是极限序数（其共尾性无限），有 \(f(\beta_2) = \sup_{\beta < \beta_2} f(\beta)\)。因此 \(\{f(\beta) \mid \beta < \beta_2\} \subset f(\beta_2)\) 是共尾子集，从而 \[V_\alpha = V_{f(\beta_2)} = \bigcup\nolimits_{\beta < \beta_2} V_{f(\beta)}.\] 现在令 \(\mathcal{U} \in \text{Cov}_{\kappa, \alpha}\)。定义 \(\beta(\mathcal{U})\) 为满足 \(\mathcal{U} \in \text{Cov}_{\kappa, f(\beta)}\) 的最小序数 \(\beta\)。由上可知总有 \(\beta(\mathcal{U}) < \beta_2\)。

需要证明定义位点的性质 (1)、(2)、(3) 对序对 \((\mathcal{C}, \text{Cov}_{\kappa, \alpha})\) 成立。第一条成立，因为按照对 \(\beta_2\) 的选取， \(\mathcal{C}\) 的所有态射都属于 \(V_{f(\beta_2)}\)。为证第三条，给定覆盖 \(\mathcal{U} = \{U_i \to U\}_{i \in I} \in \text{Cov}(\mathcal{C})_{\kappa, \alpha}\)，有 \(\beta(\mathcal{U}) < \beta_2\)；因此由 \(f\) 的构造，\(\mathcal{U}\) 的任意基变换都属于 \(\text{Cov}(\mathcal{C})_{\kappa, f(\beta + 1)}\)，进而属于 \(\text{Cov}(\mathcal{C})_{\kappa, \alpha}\)。

最后证明第二条。设 \(\{U_i \to U\}_{i\in I} \in \text{Cov}(\mathcal{C})_{\kappa, f(\alpha)}\)，并且对每个 \(i\) 都有 \(\mathcal{W}_i = \{W_{ij} \to U_i\}_{j\in J_i} \in \text{Cov}(\mathcal{C})_{\kappa, f(\alpha)}\)。考虑函数 \(I \to \beta_2\)，\(i \mapsto \beta(\mathcal{W}_i)\)。由于 \(\beta_2\) 的共尾性 \(> \kappa \geq |I|\)，该函数的像不可能是共尾子集。因此存在 \(\beta < \beta_1\)，使对所有 \(i \in I\) 都有 \(\mathcal{W}_i \in \text{Cov}_{\kappa, f(\beta)}\)。由此，覆盖 \(\{W_{ij} \to U\}_{i\in I, j \in J_i}\) 属于 \(\text{Cov}(\mathcal{C})_{\kappa, f(\beta + 1)} \subset \text{Cov}(\mathcal{C})_{\kappa, \alpha}\)，如所要求。

注

很可能存在某个极限序数 \(\alpha\)，使覆盖集 \(\text{Cov}(\mathcal{C})_\alpha\) 满足本引理的条件。毕竟，应用反射原理似乎正会给出这一结论（但须顾及第 000F 节末尾以及评注 000O 中所述的注意事项）。

阿贝尔范畴与内射对象

下面的引理适用于位点上的环层之模所成的范畴。

引理

设给定一个大范畴 \(\mathcal{A}\)（见《范畴》评注 0015）。假设 \(\mathcal{A}\) 是阿贝尔范畴，并且有足够多的内射对象。见《同调代数》定义 0109 和 0138。则对 \(\mathcal{A}\) 中任意给定的对象集 \(\{A_s\}_{s\in S}\)，存在阿贝尔子范畴 \(\mathcal{A}' \subset \mathcal{A}\)，满足：

包含函子 \(\mathcal{A}' \to \mathcal{A}\) 是正合的；

\(\Ob(\mathcal{A}')\) 是集合；

对每个 \(s \in S\)，\(\Ob(\mathcal{A}')\) 都包含 \(A_s\)；

\(\mathcal{A}'\) 有足够多的内射对象；

\(\mathcal{A}'\) 的对象是内射对象，当且仅当它是 \(\mathcal{A}\) 的内射对象。

证明

略。

对象集与各态射集均可数。事实上，在 (3) 和 (4) 中，可以把 \(\aleph_0\) 换成任意基数，所得引理仍可证明。↩︎