局部上同调 · Stacks

引言

本章继续研究局部上同调。参考文献之一是 [SGA2]。局部上同调的定义见《对偶复形》，第 0952 节。对诺特环而言，取局部上同调等同于导出某个适当的挠函子；见《对偶复形》，第 0BJD 节。它与深度的关系见《对偶复形》，第 0AVY 节。

我们将讨论局部上同调的有限性，从而证明 Grothendieck 有限性定理的一个相当一般的版本；见定理 0BJV 和引理 0BJY （凝聚模沿开浸入的高阶正像）。所用方法吸收了 Faltings 论文中的若干精妙论证；见 [Faltings-annulators] 和 [Faltings-finiteness]。

作为应用，我们将讨论 Hartshorne–Lichtenbaum 消失，还将讨论 Frobenius 与微分算子在局部上同调上的作用。

一般性质

下一个引理说明函子 \(R\Gamma_Z\) 与带支撑上同调之间的关系。

引理

设 \(A\) 是环，\(I\) 是有限生成理想。置 \(Z = V(I) \subset X = \Spec(A)\)。对 \(K \in D(A)\)，经由《概形的导出范畴》，引理 06Z0，它对应于 \(\widetilde{K} \in D_\QCoh(\mathcal{O}_X)\)；此时存在函子性同构 \[R\Gamma_Z(K) = R\Gamma_Z(X, \widetilde{K})\] 其中左边采用《对偶复形》中的等式 (0A6Q)，右边采用《上同调》，第 0G6Y 节中的函子。

证明

由《上同调》，引理 0G71，存在可区别三角 \[R\Gamma_Z(X, \widetilde{K}) \to R\Gamma(X, \widetilde{K}) \to R\Gamma(U, \widetilde{K}) \to R\Gamma_Z(X, \widetilde{K})[1]\] ，其中 \(U = X \setminus Z\)。由《概形的导出范畴》，引理 06Z0，我们知道 \(R\Gamma(X, \widetilde{K}) = K\)。设 \(I = (f_1, \ldots, f_r)\)，便得到有限仿射开覆盖 \(\mathcal{U} : U = D(f_1) \cup \ldots \cup D(f_r)\)。由《概形的导出范畴》，引理 08D2，交错 Čech 复形 \(\text{Tot}(\check{\mathcal{C}}_{alt}^\bullet(\mathcal{U}, \widetilde{K^\bullet}))\) 计算 \(R\Gamma(U, \widetilde{K})\)，其中 \(K^\bullet\) 是任意的 \(A\)-模复形，它表示 \(K\)。逐一展开定义可得 \[R\Gamma(U, \widetilde{K}) = \text{Tot}\left( K^\bullet \otimes_A (\prod\nolimits_{i_0} A_{f_{i_0}} \to \prod\nolimits_{i_0 < i_1} A_{f_{i_0}f_{i_1}} \to \ldots \to A_{f_1\ldots f_r})\right)\] 显然， \(K^\bullet = R\Gamma(X, \widetilde{K^\bullet}) \to R\Gamma(U, \widetilde{K}^\bullet)\) 由从 \(A\) 到 \(\prod A_{f_i}\) 的对角映射诱导。因此得到 \[R\Gamma_Z(X, \widetilde{K}) = \text{Tot}\left( K^\bullet \otimes_A (A \to \prod\nolimits_{i_0} A_{f_{i_0}} \to \prod\nolimits_{i_0 < i_1} A_{f_{i_0}f_{i_1}} \to \ldots \to A_{f_1\ldots f_r})\right)\] 由《对偶复形》，引理 0A6R，右边的复形计算 \(R\Gamma_Z(K)\)，故本引理对给定的 \(K\) 成立。

最后证明可以使该同构关于 \(K\) 具有函子性。考虑 \(A\)-模复形的映射 \[M^\bullet = \text{Tot}\left( K^\bullet \otimes_A (A \to \prod\nolimits_{i_0} A_{f_{i_0}} \to \prod\nolimits_{i_0 < i_1} A_{f_{i_0}f_{i_1}} \to \ldots \to A_{f_1\ldots f_r})\right) \longrightarrow K^\bullet\] 上述论证表明，对该箭头作用函子 \(R\Gamma_Z(X, \widetilde{\ })\) 后得到同构，并且 \(R\Gamma(U, \widetilde{M}^\bullet) = 0\)（细节从略）。于是有 \[R\Gamma_Z(X, \widetilde{K}^\bullet) \leftarrow R\Gamma_Z(X, \widetilde{M}^\bullet) \rightarrow R\Gamma(X, \widetilde{M}^\bullet) = M^\bullet = R\Gamma_Z(K^\bullet)\] ，其中所有映射都是 \(D(A)\) 中的同构，并且关于 \(K^\bullet\) 具有函子性，正如所需。

引理

设 \(A\) 是环，\(I \subset A\) 是有限生成理想。置 \(X = \Spec(A)\)、\(Z = V(I)\)、\(U = X \setminus Z\)，并令 \(j : U \to X\) 为包含态射。设 \(\mathcal{F}\) 是拟凝聚 \(\mathcal{O}_U\)-模。则：

存在 \(A\)-模 \(M\)，使得 \(\mathcal{F}\) 是 \(\widetilde{M}\) 在 \(U\) 上的限制；

给定 \(M\)，有正合列 \[0 \to H^0_Z(M) \to M \to H^0(U, \mathcal{F}) \to H^1_Z(M) \to 0\] 以及同构 \(H^p(U, \mathcal{F}) = H^{p + 1}_Z(M)\)，其中 \(p \geq 1\)；

可以取 \(M = H^0(U, \mathcal{F})\)，此时 \(H^0_Z(M) = H^1_Z(M) = 0\)。

证明

\(M\) 的存在性由《性质》，引理 01PE 以及 \(X\) 上的拟凝聚层与 \(A\)-模对应这一事实得出（《概形》，引理 01IB）。接着考察可区别三角 \[R\Gamma_Z(X, \widetilde{M}) \to R\Gamma(X, \widetilde{M}) \to R\Gamma(U, \widetilde{M}|_U) \to R\Gamma_Z(X, \widetilde{M})[1]\] ，它来自《上同调》，引理 0G71。由于 \(X\) 仿射，由《概形的上同调》，引理 01XB，有 \(R\Gamma(X, \widetilde{M}) = M\)。按 \(M\) 的选择， \(\mathcal{F} = \widetilde{M}|_U\)，因而得到正合列 \[0 \to H^0_Z(X, \widetilde{M}) \to M \to H^0(U, \mathcal{F}) \to H^1_Z(X, \widetilde{M}) \to 0\] 以及同构 \(H^p(U, \mathcal{F}) = H^{p + 1}_Z(X, \widetilde{M})\)，其中 \(p \geq 1\)。由引理 0A6T，有 \(H^i_Z(M) = H^i_Z(X, \widetilde{M})\)，对所有 \(i\) 均成立。故 (1) 与 (2) 成立。最后，置 \(M' = H^0(U, \mathcal{F})\)，可见 \(M \to M'\) 的核与余核均为 \(I\)-幂挠模。因此 \(\widetilde{M}|_U \to \widetilde{M'}|_U\) 是同构，确实可以像 (3) 所述那样使用 \(M'\)。不言而喻，\(H^0_Z(M')\) 与 \(H^0_Z(M')\) 二者均为零。

引理

设 \(I, J \subset A\) 是环 \(A\) 的有限生成理想。若 \(M\) 是 \(I\)-幂挠模，则典范映射 \[H^i_{V(I) \cap V(J)}(M) \to H^i_{V(J)}(M)\] 对所有 \(i\) 都是同构。

证明

利用《对偶复形》，引理 0BJC 的谱序列，可归约为陈述 \(R\Gamma_I(M) = M\)；它立即由《对偶复形》，第 0952 节中的局部上同调构造得出。

引理

设 \(S \subset A\) 是环 \(A\) 的乘法集。设 \(M\) 是 \(A\)-模，并满足 \(S^{-1}M = 0\)。则 \(\colim_{f \in S} H^0_{V(f)}(M) = M\) 且 \(\colim_{f \in S} H^1_{V(f)}(M) = 0\)。

证明

关于 \(H^0\) 的陈述直接由定义得出。为证明关于 \(H^1\) 的陈述，注意 \(R\Gamma_{V(f)}\) 与 \(H^1_{V(f)}\) 都和余极限交换。因此可假设 \(M\) 被某个 \(f \in S\) 零化。于是 \(H^1_{V(ff')}(M) = 0\)，对所有 \(f' \in S\) 均成立（例如由引理 0DWS）。

引理

设 \(I \subset A\) 是环 \(A\) 的有限生成理想。设 \(\mathfrak p\) 是素理想， \(M\) 是 \(A\)-模。设 \(i \geq 0\) 是整数，并考虑映射 \[\Psi : \colim_{f \in A, f \not \in \mathfrak p} H^i_{V((I, f))}(M) \longrightarrow H^i_{V(I)}(M)\] 则：

\(\Im(\Psi)\) 是在 \(H^i_{V(I)}(M)_\mathfrak p\) 中映为零的元素全体；

若 \(H^{i - 1}_{V(I)}(M)_\mathfrak p = 0\)，则 \(\Psi\) 是单射；

若 \(H^{i - 1}_{V(I)}(M)_\mathfrak p = H^i_{V(I)}(M)_\mathfrak p = 0\)，则 \(\Psi\) 是同构。

证明

对 \(f \in A\) 且 \(f \not \in \mathfrak p\)，《对偶复形》，引理 0BJC 的谱序列退化并给出短正合列 \[0 \to H^1_{V(f)}(H^{i - 1}_{V(I)}(M)) \to H^i_{V((I, f))}(M) \to H^0_{V(f)}(H^i_{V(I)}(M)) \to 0\] 这证明了 (1)，而 (2) 由此及引理 0DWT 得出。 (3) 是形式推论。

引理

设 \(I \subset I' \subset A\) 是诺特环 \(A\) 的有限生成理想。设 \(M\) 是 \(A\)-模，\(i \geq 0\) 是整数。考虑映射 \[\Psi : H^i_{V(I')}(M) \to H^i_{V(I)}(M)\] 下列陈述成立：

若 \(H^i_{\mathfrak pA_\mathfrak p}(M_\mathfrak p) = 0\) 对所有 \(\mathfrak p \in V(I) \setminus V(I')\) 均成立，则 \(\Psi\) 是满射；

若 \(H^{i - 1}_{\mathfrak pA_\mathfrak p}(M_\mathfrak p) = 0\) 对所有 \(\mathfrak p \in V(I) \setminus V(I')\) 均成立，则 \(\Psi\) 是单射；

若 \(H^i_{\mathfrak pA_\mathfrak p}(M_\mathfrak p) = H^{i - 1}_{\mathfrak pA_\mathfrak p}(M_\mathfrak p) = 0\) 对所有 \(\mathfrak p \in V(I) \setminus V(I')\) 均成立，则 \(\Psi\) 是同构。

证明

(1) 的证明。取 \(\xi \in H^i_{V(I)}(M)\)。由于 \(A\) 诺特，存在最大的理想 \(I \subset I'' \subset I'\)，使得 \(\xi\) 是某个 \(\xi'' \in H^i_{V(I'')}(M)\) 的像。若 \(V(I'') = V(I')\)，则证明完毕。否则，选择一般点 \(\mathfrak p \in V(I'')\)，它不属于 \(V(I')\)。由假设，有 \(H^i_{V(I'')}(M)_\mathfrak p = H^i_{\mathfrak pA_\mathfrak p}(M_\mathfrak p) = 0\)。由引理 0DWU 可以增大 \(I''\)，这与其极大性矛盾。

(2) 的证明。设 \(\xi' \in H^i_{V(I')}(M)\) 属于 \(\Psi\) 的核。由于 \(A\) 诺特，存在最大的理想 \(I \subset I'' \subset I'\)，使得 \(\xi'\) 在 \(H^i_{V(I'')}(M)\) 中映为零。若 \(V(I'') = V(I')\)，则证明完毕。否则，选择一般点 \(\mathfrak p \in V(I'')\)，它不属于 \(V(I')\)。由假设，有 \(H^{i - 1}_{V(I'')}(M)_\mathfrak p = H^{i - 1}_{\mathfrak pA_\mathfrak p}(M_\mathfrak p) = 0\)。由引理 0DWU 可以增大 \(I''\)，这与其极大性矛盾。

(3) 由 (1) 和 (2) 形式地得出。

Hartshorne 连通性引理

本节标题指的是下面这个结果。

引理

设 \(A\) 是深度 \(\geq 2\) 的诺特局部环。则 \(A\)、\(A^h\) 和 \(A^{sh}\) 的穿孔谱均连通。

证明

设 \(U\) 是 \(A\) 的穿孔谱。若 \(U\) 不连通，则 \(\Gamma(U, \mathcal{O}_U)\) 有非平凡幂等元。但 \(A\) 是局部环，因而没有非平凡幂等元。因此 \(A \to \Gamma(U, \mathcal{O}_U)\) 不是同构。由引理 0DWR，可知 \(H^0_\mathfrak m(A)\) 或 \(H^1_\mathfrak m(A)\) 中至少一个非零。于是由《对偶复形》，引理 0AVZ，有 \(\text{depth}(A) \leq 1\)。关于 \(A^h\) 与 \(A^{sh}\) 的结论使用《代数进阶》，引理 06LL。

引理

设 \(A\) 是链状且满足 \((S_2)\) 的诺特局部环。则 \(\Spec(A)\) 等维。

证明

置 \(X = \Spec(A)\)，并记 \(d = \dim(A) = \dim(X)\)。在 \(X\) 中，考虑不可约分支之并 \(X_1\)，其中各分支的维数为 \(d\)；以及不可约分支之并 \(X_2\)，其中各分支的维数 \(< d\)。当然 \(X = X_1 \cup X_2\)。若 \(X_2 = \emptyset\)，则本引理成立。否则， \(Z = X_1 \cap X_2\) 是 \(X\) 的非空闭子集，因为它至少包含 \(X\) 的闭点。因此可以选取一般点 \(z \in Z\)，它属于 \(Z\) 的某个不可约分支。回忆， \(\mathcal{O}_{Z, z}\) 的谱是 \(X\) 中特化到 \(z\) 的点所成的集合。由于 \(z\) 既属于一个维数为 \(d\) 的不可约分支，也属于一个维数 \(< d\) 的不可约分支，便得到非平凡特化 \(x_1 \leadsto z\) 和 \(x_2 \leadsto z\)，使得 \(x_1\) 与 \(x_2\) 的闭包具有不同维数。由于 \(X\) 链状，只有当特化 \(x_1 \leadsto z\) 与 \(x_2 \leadsto z\) 中至少一个不是直接特化时，这种情形才可能发生！因此 \(\dim(\mathcal{O}_{Z, z}) \geq 2\)。因此 \(\text{depth}(\mathcal{O}_{Z, z}) \geq 2\)，因为 \(A\) 满足 \((S_2)\)。然而，穿孔谱 \(U\)（属于 \(\mathcal{O}_{Z, z}\)）不连通，因为闭子集 \(U \cap X_1\) 与 \(U \cap X_2\) 不相交（由 \(z\) 的选择），且二者覆盖 \(U\)。这与引理 0BLR 矛盾，证明完毕。

上同调维数

本节简要讨论上同调维数。

引理

设 \(I \subset A\) 是环 \(A\) 的一个有限生成理想。置 \(Y = V(I) \subset X = \Spec(A)\)。设 \(d \geq -1\) 是整数。下列条件等价：

\(H^i_Y(A) = 0\) 对所有 \(i > d\) 成立；

\(H^i_Y(M) = 0\) 对所有 \(i > d\) 以及每个 \(A\)-模 \(M\) 成立；以及

若 \(d = -1\)，则 \(Y = \emptyset\)；若 \(d = 0\)，则 \(Y\) 在 \(X\) 中既开又闭；若 \(d > 0\)，则 \(H^i(X \setminus Y, \mathcal{F}) = 0\) 对所有 \(i \geq d\) 以及每个拟凝聚 \(\mathcal{O}_{X \setminus Y}\)-模 \(\mathcal{F}\) 成立。

证明

注意到 \(R\Gamma_Y(-)\) 具有有限的上同调维数，例如可由《对偶复形》，引理 0A6R 看出。因此存在整数 \(i_0\)，使得 \(H^i_Y(M) = 0\) 对所有 \(A\)-模 \(M\) 以及所有 \(i \geq i_0\) 成立。

先证明 (1) 与 (2) 等价。(2) 蕴含 (1) 是显然的。假设 (1) 成立。我们对 \(i > d\) 作降归纳，证明 \(H^i_Y(M) = 0\) 对所有 \(A\)-模 \(M\) 成立。当 \(i \geq i_0\) 时，上面已经证明了这一点。为完成归纳步骤，设 \(i_0 > i > d\)。任取一个 \(A\)-模 \(M\)，并将其嵌入短正合列 \(0 \to N \to F \to M \to 0\)，其中 \(F\) 是自由 \(A\)-模。由于 \(R\Gamma_Y\) 是右伴随函子，\(H^i_Y(-)\) 与直和交换。因此由假设 (1) 有 \(H^i_Y(F) = 0\)，这是因为 \(i > d\)。于是如所需，有 \(H^i_Y(M) = H^{i + 1}_Y(N) = 0\)。

假设 \(d = -1\) 且 (2) 成立。于是 \(0 = H^0_Y(A/I) = A/I \Rightarrow A = I \Rightarrow Y = \emptyset\)，故 (3) 成立。反向蕴含的证明从略。

假设 \(d = 0\) 且 (2) 成立。置 \(J = H^0_I(A) = \{x \in A \mid I^nx = 0 \text{ 对某个 }n > 0\}\). 则 \[H^1_Y(A) = \Coker(A \to \Gamma(X \setminus Y, \mathcal{O}_{X \setminus Y})) \quad\text{且}\quad H^1_Y(I) = \Coker(I \to \Gamma(X \setminus Y, \mathcal{O}_{X \setminus Y}))\] 且第一个映射的核等于 \(J\)；见引理 0DWR。由 (2) 可得 \(I(A/J) = A/J\)。因此可以选取 \(f \in I\)，使其像为 \(1\)；这里的像位于 \(A/J\) 中。于是 \(1 - f \in J\)，故 \(I^n(1 - f) = 0\) 对某个 \(n > 0\) 成立。从而 \(f^n = f^{n + 1}\)，所以 \(e = f^n \in I\) 是幂等元。再考虑互补幂等元 \(e' = 1 - f^n \in J\)。对任意元素 \(g \in I\)，等式 \(g^m e' = 0\) 对某个 \(m > 0\) 成立。因此 \(I\) 包含于理想 \((e) \subset I\) 的根中。这说明 \(Y = V(I) = V(e)\) 在 \(X\) 中既开又闭，正如 (3) 所述。反过来，若 \(Y = V(I)\) 既开又闭，则函子 \(H^0_Y(-)\) 正合，且其高阶导出函子均消失。

若 \(d > 0\)，则由引理 0DWR 立即可见 (2) 与 (3) 等价。

定义

设 \(I \subset A\) 是环 \(A\) 的一个有限生成理想。满足上述等价条件的最小整数 \(d \geq -1\)（这些条件见引理 0DX7），称为 \(I\) 在 \(A\) 中的上同调维数，记为 \(\text{cd}(A, I)\)。

因此，\(\text{cd}(A, I) = -1\) 当 \(I = A\)；而 \(\text{cd}(A, I) = 0\) 当 \(I\) 局部幂零或由一个幂等元生成。下一个引理说明 \(\text{cd}(A, I)\) 总是存在。

引理

设 \(I \subset A\) 是环 \(A\) 的一个有限生成理想。则

\(\text{cd}(A, I)\) 不超过 \(I\) 的生成元个数；

\(\text{cd}(A, I) \leq r\)，只要存在 \(f_1, \ldots, f_r \in A\) 使得 \(V(f_1, \ldots, f_r) = V(I)\)；

\(\text{cd}(A, I) \leq c\)，只要 \(\Spec(A) \setminus V(I)\) 可由 \(c\) 个仿射开集覆盖。

证明

关于 \(R\Gamma_Y(-)\) 的显式描述（见《对偶复形》，引理 0A6R）表明 (1) 成立。为由 (1) 推出 (2)，使用如下事实：\(R\Gamma_Z\) 只依赖于闭子集 \(Z\)，而不依赖于有限生成理想 \(I \subset A\) 的选取，其中 \(V(I) = Z\)。这个事实或者由《对偶复形》，第 0952 节中的局部上同调构造与《代数进阶》，引理 0953 结合而得，或者由引理 0A6T 得出。为证明 (3)，使用引理 0DX7 以及《概形的上同调》，引理 01XI 的消失结果。

引理

设 \(I, J \subset A\) 是环 \(A\) 的有限生成理想。则 \(\text{cd}(A, I + J) \leq \text{cd}(A, I) + \text{cd}(A, J)\)。

证明

使用定义以及《对偶复形》，引理 0BJC。

引理

设 \(A \to B\) 是环映射，\(I \subset A\) 是有限生成理想。则 \(\text{cd}(B, IB) \leq \text{cd}(A, I)\)。若 \(A \to B\) 忠实平坦，则等号成立。

证明

使用定义以及《对偶复形》，引理 0ALZ。

引理

设 \(I \subset A\) 是环 \(A\) 的有限生成理想。则 \(\text{cd}(A, I) = \max \text{cd}(A_\mathfrak p, I_\mathfrak p)\)。

证明

置 \(Y = V(I)\)，并置 \(Y' = V(I_\mathfrak p) \subset \Spec(A_\mathfrak p)\)。回忆， \(R\Gamma_Y(A) \otimes_A A_\mathfrak p = R\Gamma_{Y'}(A_\mathfrak p)\) 由《对偶复形》，引理 0ALZ 成立。因此由《代数》，引理 00HN 得出结论。

引理

设 \(I \subset A\) 是环 \(A\) 的有限生成理想。若 \(M\) 是有限 \(A\)-模，则 \(H^i_{V(I)}(M) = 0\) 对所有 \(i > \dim(\text{Supp}(M))\) 成立。特别地，有 \(\text{cd}(A, I) \leq \dim(A)\)。

证明

先证明第二个断言。回忆，\(\dim(A)\) 表示 Krull 维数。由引理 0DXB，可以假设 \(A\) 是局部环。若 \(V(I) = \emptyset\)，则结论成立。若 \(V(I) \not = \emptyset\)，则由于缺少闭点，有 \(\dim(\Spec(A) \setminus V(I)) < \dim(A)\)。注意到 \(U = \Spec(A) \setminus V(I)\) 是谱空间 \(\Spec(A)\) 的拟紧开子集，因而其本身也是谱空间；见《代数》，引理 090M 与《拓扑》，引理 0902。因此《上同调》，命题 0A3G 蕴含 \(H^i(U, \mathcal{F}) = 0\) 对所有 \(i \geq \dim(A)\) 成立，再由引理 0DX7 即得所需结论。在诺特情形，读者也可使用《Grothendieck 上同调》，命题 02UZ。

下面由第二个断言推出第一个断言。设 \(\mathfrak a\) 是有限 \(A\)-模 \(M\) 的零化子。置 \(B = A/\mathfrak a\)。回忆，\(\Spec(B) = \text{Supp}(M)\)；见《代数》，引理 00L2。置 \(J = IB\)。则 \(M\) 是 \(B\)-模，且 \(H^i_{V(I)}(M) = H^i_{V(J)}(M)\)；见《对偶复形》，引理 0BJB。由于第一部分给出 \(\text{cd}(B, J) \leq \dim(B) = \dim(\text{Supp}(M))\)，结论成立。

引理

设 \(I \subset A\) 是环 \(A\) 的有限生成理想。若 \(\text{cd}(A, I) = 1\)，则 \(\Spec(A) \setminus V(I)\) 是非空仿射概形。

证明

这由引理 0DX7 与《概形的上同调》，引理 01XF 得出。

引理

设 \((A, \mathfrak m)\) 是维数为 \(d\) 的诺特局部环。则 \(H^d_\mathfrak m(A)\) 非零，且 \(\text{cd}(A, \mathfrak m) = d\)。

证明

由维数的一种刻画，\(A\) 存在一个由 \(d\) 个元素生成的定义理想；见《代数》，命题 00KQ。因此，由引理 0DX9， \(\text{cd}(A, \mathfrak m) \leq d\)。所以 \(H^d_\mathfrak m(A)\) 非零，当且仅当 \(\text{cd}(A, \mathfrak m) = d\)，又当且仅当 \(\text{cd}(A, \mathfrak m) \geq d\)。

设 \(A \to A^\wedge\) 是从 \(A\) 到其完备化的映射。注意到 \(A^\wedge\) 是与 \(A\) 同维的诺特局部环，其极大理想为 \(\mathfrak m A^\wedge\)。见《代数》，各引理 0316、 031C、 00MC，以及《代数进阶》，引理 07NV。由引理 0DXA，只需对 \(A^\wedge\) 证明本引理。

由上一段，可以假设 \(A\) 是完备局部环。于是 \(A\) 有一个规范化对偶复形 \(\omega_A^\bullet\)（《对偶复形》，引理 0BFR）。局部对偶定理（取《对偶复形》，引理 0AAK 的形式）说明 \(H^d_\mathfrak m(A)\) 与 \(\text{Ext}^{-d}(A, \omega_A^\bullet) = H^{-d}(\omega_A^\bullet)\) Matlis 对偶；后者非零，例如可由《对偶复形》，引理 0A7V 看出。

引理

设 \((A, \mathfrak m)\) 是诺特局部环，\(I \subset A\) 是真理想。设 \(\mathfrak p \subset A\) 是满足 \(V(\mathfrak p) \cap V(I) = \{\mathfrak m\}\) 的素理想。则 \(\dim(A/\mathfrak p) \leq \text{cd}(A, I)\)。

证明

由引理 0DXA，有 \(\text{cd}(A, I) \geq \text{cd}(A/\mathfrak p, I(A/\mathfrak p))\). 由于 \(V(I) \cap V(\mathfrak p) = \{\mathfrak m\}\)，有 \(\text{cd}(A/\mathfrak p, I(A/\mathfrak p)) = \text{cd}(A/\mathfrak p, \mathfrak m/\mathfrak p)\). 由引理 0DXE，这等于 \(\dim(A/\mathfrak p)\)。

引理

设 \(A\) 是诺特环，\(I \subset A\) 是理想。设 \(b : X' \to X = \Spec(A)\) 是沿 \(I\) 的吹起。若 \(b\) 的纤维维数 \(\leq d - 1\)，则 \(\text{cd}(A, I) \leq d\)。

证明

置 \(U = X \setminus V(I)\)。记 \(j : U \to X'\) 为典范开浸入；见《除子》，第 01OF 节。由于例外除子是有效 Cartier 除子（《除子》，引理 02OS），可知 \(j\) 是仿射态射；见《除子》，引理 07ZT。设 \(\mathcal{F}\) 是拟凝聚 \(\mathcal{O}_U\)-模。则 \(R^pj_*\mathcal{F} = 0\) 对所有 \(p > 0\) 成立；见《概形的上同调》，引理 01XC。另一方面，由《极限》，引理 0E7D，有 \(R^qb_*(j_*\mathcal{F}) = 0\) 对所有 \(q \geq d\) 成立。因此，由 Leray 谱序列（《上同调》，引理 01F6），可得当 \(R^n(b \circ j)_*\mathcal{F} = 0\) 对所有 \(n \geq d\) 成立。于是 \(H^n(U, \mathcal{F}) = 0\) 对所有 \(n \geq d\) 成立（由《上同调》，引理 01F4）。按照定义，这意味着 \(\text{cd}(A, I) \leq d\)。

更一般的支撑

设 \(A\) 是诺特环，\(M\) 是 \(A\)-模。设 \(T \subset \Spec(A)\) 是在特化下稳定的子集（《拓扑》，定义 0061）。定义 \[H^0_T(M) = \colim_{Z \subset T} H^0_Z(M)\] 其中余极限取遍由闭子集 \(Z\) 构成的有向偏序集；这些闭子集位于 \(\Spec(A)\) 中并包含于 \(T\)¹。换言之，元素 \(m\)（属于 \(M\)）属于 \(H^0_T(M) \subset M\)，当且仅当支撑 \(V(\text{Ann}_R(m))\)（即元素 \(m\) 的支撑）包含于 \(T\)。

引理

设 \(A\) 是诺特环，\(T \subset \Spec(A)\) 是在特化下稳定的子集。对 \(A\)-模 \(M\)，下列条件等价：

\(H^0_T(M) = M\)；以及

\(\text{Supp}(M) \subset T\).

这类 \(A\)-模组成的范畴是 \(A\)-模范畴的 Serre 子范畴，并且在直和下封闭。

证明

上述等价性成立，因为 \(M\) 中每个元素的支撑都包含于 \(M\) 的支撑；反过来， \(M\) 的支撑是其各元素支撑之并。由《同调》，定义 02MO 与《代数》，引理 00L3，这些模所成的范畴是 \(\text{Mod}_A\) 的 Serre 子范畴。关于直和的断言，证明从略。

设 \(A\) 是诺特环，\(T \subset \Spec(A)\) 是在特化下稳定的子集。用 \(\text{Mod}_{A, T} \subset \text{Mod}_A\) 表示引理 0EEZ 所述的 Serre 子范畴。用 \(D_T(A) \subset D(A)\) 表示 \(D(A)\) 的严格全饱和三角子范畴（《导出范畴》，引理 06UQ）；它由如下复形组成：这些复形由 \(A\)-模构成，且其上同调模属于 \(\text{Mod}_{A, T}\)。于是得到函子 \[D(\text{Mod}_{A, T}) \to D_T(A) \to D(A)\] 见《导出范畴》，第 06UP 节中的讨论。用 \(RH^0_T : D(A) \to D(\text{Mod}_{A, T})\) 表示 \(H^0_T\) 的右导出延拓。用 \[R\Gamma_T : D^+(A) \to D^+_T(A),\] 表示 \(RH^0_T : D^+(A) \to D^+(\text{Mod}_{A, T})\) 与 \(D^+(\text{Mod}_{A, T}) \to D^+_T(A)\) 的复合。若 \(A\) 的维数有限 ²，则用 \[R\Gamma_T : D(A) \to D_T(A)\] 表示 \(RH^0_T\) 与 \(D(\text{Mod}_{A, T}) \to D_T(A)\) 的复合。

引理

设 \(A\) 是诺特环，\(T \subset \Spec(A)\) 是在特化下稳定的子集。函子 \(RH^0_T\) 是函子 \(D(\text{Mod}_{A, T}) \to D(A)\) 的右伴随。

证明

这是因为函子 \(H^0_T(-)\) 是嵌入函子 \(\text{Mod}_{A, T} \to \text{Mod}_A\) 的右伴随；见《导出范畴》，引理 09T5。

引理

设 \(A\) 是诺特环，\(T \subset \Spec(A)\) 是在特化下稳定的子集。对任意对象 \(K\)（属于 \(D(A)\)），有 \[H^i(RH^0_T(K)) = \colim_{Z \subset T\text{ 闭}} H^i_Z(K)\]

证明

设 \(J^\bullet\) 是表示 \(K\) 的 K-内射复形。按照定义，\(RH^0_T\) 由复形 \[H^0_T(J^\bullet) = \colim H^0_Z(J^\bullet)\] 表示，其中等号来自 \(H^0_T\) 的定义。由于滤过余极限正合，此复形的 \(i\) 次上同调为 \(\colim H^i(H^0_Z(J^\bullet)) = \colim H^i_Z(K)\) ，正是所需结论。

引理

设 \(A\) 是诺特环，\(T \subset \Spec(A)\) 是在特化下稳定的子集。函子 \(D^+(\text{Mod}_{A, T}) \to D^+_T(A)\) 是等价。

证明

设 \(M\) 是 \(\text{Mod}_{A, T}\) 的对象。选取嵌入 \(M \to J\)，其目标是内射 \(A\)-模。由《对偶复形》，命题 08YA，模 \(J\) 是剩余域内射包的直和。设 \(E\) 是 \(\mathfrak p\) 的剩余域的内射包。由于 \(E\) 是 \(\mathfrak p\)-幂挠模，可知 \(H^0_T(E) = 0\) 当 \(\mathfrak p \not \in T\)，而 \(H^0_T(E) = E\) 当 \(\mathfrak p \in T\)。因此，作为内射包的直和，\(H^0_T(J)\) 是内射的（由该命题），并且有嵌入 \(M \to H^0_T(J)\)。所以每个对象 \(M\)（属于 \(\text{Mod}_{A, T}\)）都有内射消解 \(M \to J^\bullet\)，其中 \(J^n\) 也属于 \(\text{Mod}_{A, T}\)。由此可得 \(RH^0_T(M) = M\)。

接着，假设 \(K \in D_T^+(A)\)。则谱序列 \[R^qH^0_T(H^p(K)) \Rightarrow R^{p + q}H^0_T(K)\] 收敛（《导出范畴》，引理 015J），而上面已经看到，只有 \(q = 0\) 的项可能非零。因此 \(RH^0_T(K) \to K\) 是同构。所以函子 \(D^+(\text{Mod}_{A, T}) \to D^+_T(A)\) 是等价，其拟逆由 \(RH^0_T\) 给出。

引理

设 \(A\) 是诺特环，\(T \subset \Spec(A)\) 是在特化下稳定的子集。若 \(\dim(A) < \infty\)，则函子 \(D(\text{Mod}_{A, T}) \to D_T(A)\) 是等价。

证明

记 \(\dim(A) = d\)。于是 \(H^i_Z(M) = 0\) 对所有 \(i > d\) 以及每个闭子集 \(Z\)（位于 \(\Spec(A)\)）成立；见引理 0DXC。由引理 0EF1 可知，\(H^0_T\) 具有有界的上同调维数。

设 \(K \in D_T(A)\)。我们断言 \(RH^0_T(K) \to K\) 是同构。当 \(K\) 下有界时，这一点已经成立；见引理 0EF2。不过，由于 \(H^0_T\) 具有有界的上同调维数，第 \(i\) 个上同调（属于 \(RH_T^0(K)\)）只依赖于 \(\tau_{\geq -d + i}K\)，故结论成立。因此 \(D(\text{Mod}_{A, T}) \to D_T(A)\) 是等价，其拟逆为 \(RH^0_T\)。

注

设 \(A\) 是诺特环，\(T \subset \Spec(A)\) 是在特化下稳定的子集。上述讨论的结论是： \(R\Gamma_T : D^+(A) \to D_T^+(A)\) 是嵌入函子 \(D_T^+(A) \to D^+(A)\) 的右伴随。若 \(\dim(A) < \infty\)，则 \(R\Gamma_T : D(A) \to D_T(A)\) 是嵌入函子 \(D_T(A) \to D(A)\) 的右伴随。在两种情形中都有 \[H^i_T(K) = H^i(R\Gamma_T(K)) = R^iH^0_T(K) = \colim_{Z \subset T\text{ 闭}} H^i_Z(K)\] 这由引理 0EF0、0EF1、 0EF2 及 0EF3 结合得出。

引理

设 \(A \to B\) 是诺特环之间的平坦同态。设 \(T \subset \Spec(A)\) 是在特化下稳定的子集，并设 \(T' \subset \Spec(B)\) 是 \(T\) 的逆像。则典范映射 \[R\Gamma_T(K) \otimes_A^\mathbf{L} B \longrightarrow R\Gamma_{T'}(K \otimes_A^\mathbf{L} B)\] 对 \(K \in D^+(A)\) 是同构。若 \(A\) 与 \(B\) 都具有有限维数，则该结论对 \(K \in D(A)\) 也成立。

证明

从映射 \(R\Gamma_T(K) \to K\) 得到映射 \(R\Gamma_T(K) \otimes_A^\mathbf{L} B \to K \otimes_A^\mathbf{L} B\)。 \(R\Gamma_T(K) \otimes_A^\mathbf{L} B\) 的各上同调模支撑于 \(T'\)，因而得到本引理中的箭头。若 \(T\) 是 \(\Spec(A)\) 的闭子集，则由《对偶复形》，引理 0ALZ，该箭头是同构。回忆， \(H^i_T(K)\) 是 \(H^i_Z(K)\) 的余极限，其中 \(Z\) 取遍 \(T\) 的闭子集所成的有向集；见引理 0EF1。相应地， \(H^i_{T'}(K \otimes_A^\mathbf{L} B) = \colim H^i_{Z'}(K \otimes_A^\mathbf{L} B)\)，其中 \(Z'\) 是 \(Z\) 的逆像。由于 \(\otimes_A B\) 与滤过余极限交换，且不存在高阶 Tor，结论成立。

引理

设 \(A\) 是环，并设 \(T, T' \subset \Spec(A)\) 是在特化下稳定的子集。对 \(K \in D^+(A)\)，存在谱序列 \[E_2^{p, q} = H^p_T(H^p_{T'}(K)) \Rightarrow H^{p + q}_{T \cap T'}(K)\] ，如《导出范畴》，引理 015N 所述。

证明

设 \(E\) 是 \(D_{T \cap T'}(A)\) 的对象。则有 \[\Hom(E, R\Gamma_T(R\Gamma_{T'}(K))) = \Hom(E, R\Gamma_{T'}(K)) = \Hom(E, K)\] 第一个等号来自 \(R\Gamma_T\) 的伴随性质，第二个等号来自 \(R\Gamma_{T'}\) 的伴随性质。另一方面，若 \(J^\bullet\) 是表示 \(K\) 的下有界内射复形，则 \(H^0_{T'}(J^\bullet)\) 是由内射 \(A\)-模构成并表示 \(R\Gamma_{T'}(K)\) 的复形，因而 \(H^0_T(H^0_{T'}(J^\bullet))\) 是表示 \(R\Gamma_T(R\Gamma_{T'}(K))\) 的复形。所以 \(R\Gamma_T(R\Gamma_{T'}(K))\) 是 \(D^+_{T \cap T'}(A)\) 的对象。结合这两个事实，得到 \(R\Gamma_{T \cap T'} = R\Gamma_T \circ R\Gamma_{T'}\)。由陈述中引用的引理，这便产生上述谱序列。

引理

设 \(A\) 是诺特环，\(T \subset \Spec(A)\) 是在特化下稳定的子集。假设 \(A\) 具有有限维数。则 \[R\Gamma_T(K) = R\Gamma_T(A) \otimes_A^\mathbf{L} K\] 对 \(K \in D(A)\) 成立。对 \(K, L \in D(A)\)，有 \[R\Gamma_T(K \otimes_A^\mathbf{L} L) = K \otimes_A^\mathbf{L} R\Gamma_T(L) = R\Gamma_T(K) \otimes_A^\mathbf{L} L = R\Gamma_T(K) \otimes_A^\mathbf{L} R\Gamma_T(L)\] 若 \(K\) 或 \(L\) 属于 \(D_T(A)\)，则 \(K \otimes_A^\mathbf{L} L\) 也属于其中。

证明

按照构造，对象 \(R\Gamma_T(A)\) 可以由复形 \(J^\bullet\) 表示，该复形位于 \(\text{Mod}_{A, T}\) 中。因此，若对象 \(K\) 由 K-平坦复形 \(K^\bullet\) 表示，则 \(R\Gamma_T(A) \otimes_A^\mathbf{L} K\) 由复形 \(\text{Tot}(J^\bullet \otimes_A K^\bullet)\) 表示，该复形位于 \(\text{Mod}_{A, T}\) 中。利用映射 \(R\Gamma_T(A) \to A\)，得到映射 \(R\Gamma_T(A) \otimes_A^\mathbf{L} K\to K\)。于是由 \(R\Gamma_T\) 的伴随性质，得到典范映射 \[R\Gamma_T(A) \otimes_A^\mathbf{L} K \longrightarrow R\Gamma_T(K)\] ，它分解刚刚构造的映射。注意到 \(R\Gamma_T\) 与 \(D(A)\) 中的直和交换；例如，这可由引理 0EF1、有向余极限与直和交换这一事实，以及通常的局部上同调与直和交换这一事实得出（例如由《对偶复形》，引理 0A6R）。因此，由《代数进阶》，注记 09PB，只需检验当 \(K = A[k]\) 且 \(k \in \mathbf{Z}\) 时该映射为同构。这是显然的。

最后几个断言由刚刚证明的结果以及导出张量积的传递性得出。

局部上同调的滤过

本节介绍一些与引理 0EF6 的谱序列有关的技巧。

引理

设 \(A\) 是诺特环，\(T \subset \Spec(A)\) 是在特化下稳定的子集。设 \(T' \subset T\) 是 \(T\) 中非极小素理想所成的集合。则 \(T'\) 是 \(\Spec(A)\) 的在特化下稳定的子集，并且对每个 \(A\)-模 \(M\) 都有正合列 \[0 \to \colim_{Z, f} H^1_f(H^{i - 1}_Z(M)) \to H^i_{T'}(M) \to H^i_T(M) \to \bigoplus\nolimits_{\mathfrak p \in T \setminus T'} H^i_{\mathfrak p A_\mathfrak p}(M_\mathfrak p)\] 其中余极限取遍闭子集 \(Z \subset T\) 以及 \(f \in A\)，并要求 \(V(f) \cap Z \subset T'\)。

证明

对每个 \(Z\) 和 \(f\)，《对偶复形》，引理 0BJC 的谱序列退化，从而给出短正合列 \[0 \to H^1_f(H^{i - 1}_Z(M)) \to H^i_{Z \cap V(f)}(M) \to H^0_f(H^i_Z(M)) \to 0\] 下文将直接使用这一点，不再另行说明。

设 \(\xi \in H^i_T(M)\) 在该直和中映为零。先把 \(\xi\) 写成某个 \(\xi' \in H^i_Z(M)\) 的像，其中 \(Z \subset T\) 是闭子集；见引理 0EF1。于是 \(\xi'\) 在 \(H^i_{\mathfrak p A_\mathfrak p}(M_\mathfrak p)\) 中映为零，对每个 \(\mathfrak p \in Z\) 且 \(\mathfrak p \not \in T'\) 都如此。这样的素理想只有有限个，所以可以选取 \(f \in A\)，使其不属于其中任何一个，并且 \(f\) 零化 \(\xi'\)。于是 \(\xi'\) 是某个 \(\xi'' \in H^i_{Z'}(M)\) 的像，其中 \(Z' = Z \cap V(f)\)。由 \(f\) 的选取，有 \(Z' \subset T'\)，从而在倒数第二项处正合。

设 \(\xi \in H^i_{T'}(M)\) 在 \(H^i_T(M)\) 中映为零。选取闭子集 \(Z' \subset Z\)，使得 \(Z' \subset T'\) 且 \(Z \subset T\)，并使 \(\xi\) 来自 \(\xi' \in H^i_{Z'}(M)\)，而后者在 \(H^i_Z(M)\) 中映为零。于是可以找到 \(f \in A\)，使得 \(V(f) \cap Z = Z'\)，结论随即得出。

引理

设 \(A\) 是有限维诺特环，\(T \subset \Spec(A)\) 是在特化下稳定的子集。设 \(\{M_n\}_{n \geq 0}\) 是 \(A\)-模的逆系，并设 \(i \geq 0\) 是整数。假设对每个 \(m\) 都存在整数 \(m'(m) \geq m\)，使得对所有 \(\mathfrak p \in T\)，诱导映射 \[H^i_{\mathfrak p A_\mathfrak p}(M_{k, \mathfrak p}) \longrightarrow H^i_{\mathfrak p A_\mathfrak p}(M_{m, \mathfrak p})\] 对 \(k \geq m'(m)\) 为零。设 \(m'' : \mathbf{N} \to \mathbf{N}\) 是 \(2^{\dim(T)}\) 次自复合，其中参与复合的映射为 \(m'\)。则映射 \(H^i_T(M_k) \to H^i_T(M_m)\) 对所有 \(k \geq m''(m)\) 为零。

证明

先作一个一般性的说明。假设有逆阿贝尔群系的正合列 \[(A_n) \to (B_n) \to (C_n)\] ，并假设对每个 \(m\) 都存在整数 \(m'(m) \geq m\)，使得 \[A_k \to A_m \quad\text{且}\quad C_k \to C_m\] 对 \(k \geq m'(m)\) 为零。则当 \(k \geq m'(m'(m))\) 时，映射 \(B_k \to B_m\) 为零。

对 \(\dim(T)\) 作归纳来证明本引理；由于 \(\dim(A)\) 有限，它也是有限的。设 \(T' \subset T\) 是 \(T\) 中非极小素理想所成的集合。则 \(T'\) 是 \(\Spec(A)\) 的在特化下稳定的子集，而且本引理的假设适用于 \(T'\)。由于 \(\dim(T') < \dim(T)\)，已知本引理对 \(T'\) 成立。对每个 \(A\)-模 \(M\)，都有正合列 \[H^i_{T'}(M) \to H^i_T(M) \to \bigoplus\nolimits_{\mathfrak p \in T \setminus T'} H^i_{\mathfrak p A_\mathfrak p}(M_\mathfrak p)\] ，这是引理 0EF8 的结论。因此由证明开头的一般性说明即可得出结论。

引理

设 \(A\) 是诺特环，\(T \subset \Spec(A)\) 是在特化下稳定的子集。设 \(\{M_n\}_{n \geq 0}\) 是 \(A\)-模的逆系，并设 \(i \geq 0\) 是整数。假设 \(A\) 的维数有限，而且对每个 \(m\) 都存在整数 \(m'(m) \geq m\)，使得对所有 \(\mathfrak p \in T\) 有

\(H^{i - 1}_{\mathfrak p A_\mathfrak p}(M_{k, \mathfrak p}) \to H^{i - 1}_{\mathfrak p A_\mathfrak p}(M_{m, \mathfrak p})\) 对 \(k \geq m'(m)\) 为零；以及

\(H^i_{\mathfrak p A_\mathfrak p}(M_{k, \mathfrak p}) \to H^i_{\mathfrak p A_\mathfrak p}(M_{m, \mathfrak p})\) 的像 \(G(\mathfrak p, m)\) 与 \(k \geq m'(m)\) 的选取无关，并且 \(G(\mathfrak p, m)\) 单射地映入 \(H^i_{\mathfrak p A_\mathfrak p}(M_{0, \mathfrak p})\)。

则存在整数 \(m_0\)，使得对每个 \(m \geq m_0\)，都存在整数 \(m''(m) \geq m\)，且对 \(k \geq m''(m)\)，映射 \(H^i_T(M_k) \to H^i_T(M_m)\) 的像单射地映入 \(H^i_T(M_{m_0})\)。

证明

先作一个一般性的说明。假设有逆阿贝尔群系的正合列 \[(A_n) \to (B_n) \to (C_n) \to (D_n)\] 。假设存在整数 \(m_0\)，使得对每个 \(m \geq m_0\)，都存在整数 \(m'(m) \geq m\)，使得映射 \[\Im(B_k \to B_m) \longrightarrow B_{m_0} \quad\text{且}\quad \Im(D_k \to D_m) \longrightarrow D_{m_0}\] 对 \(k \geq m'(m)\) 是单射，并且 \(A_k \to A_m\) 对 \(k \geq m'(m)\) 为零。那么，对 \(m \geq m'(m_0)\) 和 \(k \geq m'(m'(m))\)，映射 \[\Im(C_k \to C_m) \to C_{m'(m_0)}\] 是单射。事实上，设 \(c_0 \in C_m\) 是 \(c_3 \in C_k\) 的像，并假设 \(c_0\) 在 \(C_{m'(m_0)}\) 中映为零。图示为 \[C_k \to C_{m'(m'(m))} \to C_{m'(m)} \to C_m \to C_{m'(m_0)},\quad c_3 \mapsto c_2 \mapsto c_1 \mapsto c_0 \mapsto 0\] 需要证明 \(c_0 = 0\)。像 \(d_3\)（它是 \(c_3\) 的像）在 \(C_{m_0}\) 中映为零，因而其像 \(d_1 \in D_{m'(m)}\) 为零。因此可以选取 \(b_1 \in B_{m'(m)}\)，使其映为 \(c_1\) 的像。由于 \(c_3\) 在 \(C_{m'(m_0)}\) 中映为零，可以找到元素 \(a_{-1} \in A_{m'(m_0)}\)，它映为像 \(b_{-1} \in B_{m'(m_0)}\)；后者是 \(b_1\) 的像。由于 \(a_{-1}\) 在 \(A_{m_0}\) 中映为零，可得 \(b_1\) 在 \(B_{m_0}\) 中映为零。因此像 \(b_0 \in B_m\) 为零，这当然蕴含所需的 \(c_0 = 0\)。

对 \(\dim(T)\) 作归纳来证明本引理；由于 \(\dim(A)\) 有限，它也是有限的。设 \(T' \subset T\) 是 \(T\) 中非极小素理想所成的集合。则 \(T'\) 是 \(\Spec(A)\) 的在特化下稳定的子集，而且本引理的假设适用于 \(T'\)。由于 \(\dim(T') < \dim(T)\)，已知本引理对 \(T'\) 成立。对每个 \(A\)-模 \(M\)，都有正合列 \[0 \to \colim_{Z, f} H^1_f(H^{i - 1}_Z(M)) \to H^i_{T'}(M) \to H^i_T(M) \to \bigoplus\nolimits_{\mathfrak p \in T \setminus T'} H^i_{\mathfrak p A_\mathfrak p}(M_\mathfrak p)\] ，这是引理 0EF8 的结论。因此由证明开头的一般性说明以及下面这个已知事实即可得出结论：群系 \[\left\{\colim_{Z, f} H^1_f(H^{i - 1}_Z(M_n))\right\}_{n \geq 0}\] 在引理 0EF9 中是本质为零的逆系；这里使用了函数 \(m''(m)\)（该引理中针对 \(H^{i - 1}_Z(M)\) 的函数）与 \(Z\) 无关这一点。

局部上同调的有限性，I

我们将沿用 Faltings 处理局部上同调模有限性的方法；见 [Faltings-annulators] 与 [Faltings-finiteness]。下面的引理表明，为证明局部上同调模是有限模，只需证明它们具有零化理想。

引理

设 \(A\) 是诺特环，\(T \subset \Spec(A)\) 是在特化下稳定的子集，\(M\) 是有限 \(A\)-模，并设 \(n \geq 0\)。下列条件等价：

\(H^i_T(M)\) 对 \(i \leq n\) 是有限的；

存在理想 \(J \subset A\)，满足 \(V(J) \subset T\)，使得 \(J\) 对 \(H^i_T(M)\) 起零化作用，对所有 \(i \leq n\) 都如此。

若 \(T = V(I) = Z\) 对某个理想 \(I \subset A\) 成立，则上述条件还等价于

存在 \(e \geq 0\)，使得 \(I^e\) 零化 \(H^i_Z(M)\)，对所有 \(i \leq n\) 都如此。

证明

对 \(n\) 作归纳，证明 (1) 与 (2) 等价。当 \(n = 0\) 时， \(H^0_T(M) \subset M\) 是有限的，故 (1) 成立。由于 \(H^0_T(M) = \colim H^0_{V(J)}(M)\)，其中 \(J\) 如 (2) 所述，(2) 也成立。假设 \(n > 0\)。

假设 (1) 成立。回忆，\(H^i_J(M) = H^i_{V(J)}(M)\)；见《对偶复形》，引理 0955。因此 \(H^i_T(M) = \colim H^i_J(M)\)，其中余极限取遍理想 \(J \subset A\)，并要求 \(V(J) \subset T\)；见引理 0EF1。由于 \(H^i_T(M)\) 对 \(i \leq n\) 是有限生成的，可以找到 (2) 中的某个 \(J \subset A\)，使得 \(H^i_J(M) \to H^i_T(M)\) 对 \(i \leq n\) 满射。因此有限个生成元都是 \(J\)-幂挠元，从而把 \(J\) 替换成某个幂后，(2) 成立。

假设有 (2) 中的 \(J\)。置 \(N = H^0_T(M)\) 以及 \(M' = M/N\)。由 \(R\Gamma_T\) 的构造，可知 \(H^i_T(N) = 0\) 对 \(i > 0\) 成立，且 \(H^0_T(N) = N\)；见注记 0EF4。因此 \(H^0_T(M') = 0\)，并且 \(H^i_T(M') = H^i_T(M)\) 对 \(i > 0\) 成立。由此可以把 \(M\) 替换为 \(M'\)。

所以可以假设 \(H^0_T(M) = 0\)。这意味着 \(M\) 的有限个伴随素理想均不属于 \(T\)。由素避（《代数》，引理 00DS），可以找到 \(f \in J\)，它不属于 \(M\) 的任何伴随素理想。于是与短正合列 \[0 \to M \to M \to M/fM \to 0\] 相伴的局部上同调长正合列化为短正合列 \[0 \to H^i_T(M) \to H^i_T(M/fM) \to H^{i + 1}_T(M) \to 0\] ，其中 \(i < n\)。由此可得 \(J^2\) 零化 \(H^i_T(M/fM)\)，对所有 \(i < n\) 都如此。由归纳假设，\(H^i_T(M/fM)\) 对 \(i < n\) 是有限的。再次使用该短正合列，可知 \(H^{i + 1}_T(M)\) 对 \(i < n\) 是有限的，正是所需结论。

当 \(T = V(I)\) 时，(2) 与 (3) 等价的证明从略。

下面这个 Faltings 的结果使我们能够在局部环层面证明局部上同调的有限性。

引理

设 \(A\) 是诺特环，\(I \subset A\) 是理想，\(M\) 是有限 \(A\)-模，并且 \(n \geq 0\) 是整数。置 \(Z = V(I)\)。下列条件等价：

模 \(H^i_Z(M)\) 对 \(i \leq n\) 是有限的；以及

对所有 \(\mathfrak p \in \Spec(A)\)，模 \(H^i_Z(M)_\mathfrak p\) 在 \(i \leq n\) 时是有限 \(A_\mathfrak p\)-模。

证明

(1) \(\Rightarrow\) (2) 是显然的。对 \(n\) 作归纳来证明反向蕴含。\(n = 0\) 的情形很清楚，因为此时 (1) 与 (2) 总是成立。

假设 \(n > 0\) 且 (2) 成立。置 \(N = H^0_Z(M)\) 以及 \(M' = M/N\)。由《对偶复形》，引理 0AW0，可以把 \(M\) 替换为 \(M'\)。因此可以假设 \(H^0_Z(M) = 0\)。这意味着 \(\text{depth}_I(M) > 0\) （《对偶复形》，引理 0AVZ）。选取 \(f \in I\)，使其为 \(M\) 上的非零因子，并考虑短正合列 \[0 \to M \to M \to M/fM \to 0\] ，它产生长正合列 \[0 \to H^0_Z(M/fM) \to H^1_Z(M) \to H^1_Z(M) \to H^1_Z(M/fM) \to H^2_Z(M) \to \ldots\] ，局部化后亦然。因此假设 (2) 蕴含模 \(H^i_Z(M/fM)_\mathfrak p\) 对 \(i < n\) 是有限的。于是由归纳假设，\(H^i_Z(M/fM)\) 对 \(i < n\) 是有限的。

设 \(\mathfrak p\) 是 \(A\) 的素理想，并且它是 \(H^i_Z(M)\) 的伴随素理想，其中 \(i \leq n\)。设 \(\mathfrak p\) 是元素 \(x \in H^i_Z(M)\) 的零化子。则 \(\mathfrak p \in Z\)，因而 \(f \in \mathfrak p\)。所以 \(fx = 0\)，进而 \(x\) 来自 \(H^{i - 1}_Z(M/fM)\) 的某个元素；所用映射是上述长正合列中的边界映射 \(\delta\)。由此可知，\(\mathfrak p\) 是有限模 \(\Im(\delta)\) 的伴随素理想。因此 \(\text{Ass}(H^i_Z(M))\) 对 \(i \leq n\) 是有限的；见《代数》，引理 00LC。

回忆， \[H^i_Z(M) \subset \prod\nolimits_{\mathfrak p \in \text{Ass}(H^i_Z(M))} H^i_Z(M)_\mathfrak p\] ，这是《代数》，引理 0311 的结论。按照假设，右端各模均为有限的 \(I\)-幂挠模，故可以找到整数 \(e_{\mathfrak p, i} \geq 0\)，其中 \(i \leq n\) 且 \(\mathfrak p \in \text{Ass}(H^i_Z(M))\)，使得 \(I^{e_{\mathfrak p, i}}\) 零化 \(H^i_Z(M)_\mathfrak p\)。由此可得 \(I^e\)（其中 \(e = \max\{e_{\mathfrak p, i}\}\)）零化 \(H^i_Z(M)\)，对所有 \(i \leq n\) 都如此。由引理 0AW8 可知， \(H^i_Z(M)\) 对 \(i \leq n\) 是有限的。

引理

设 \(A\) 是环，\(J \subset I \subset A\) 是有限生成理想，并设 \(i \geq 0\) 是整数。置 \(Z = V(I)\)。若 \(H^i_Z(A)\) 被某个 \(J^n\) 零化，其中 \(n\) 是某个整数，则 \(H^i_Z(M)\) 被某个 \(J^m\) 零化，其中 \(m = m(M)\)；这里的结论适用于每个有限呈示 \(A\)-模 \(M\)；这里要求 \(M_f\) 是有限局部自由 \(A_f\)-模，对所有 \(f \in I\) 都如此。

证明

考虑零化子 \(\mathfrak a\)，它是 \(H^i_Z(M)\) 的零化子。设 \(\mathfrak p \subset A\) 且 \(\mathfrak p \not \in Z\)。按照假设，存在 \(f \in I\)，满足 \(f \not \in \mathfrak p\)，并存在同构 \(\varphi : A_f^{\oplus r} \to M_f\)；这是 \(A_f\)-模的同构。消去分母（并使用 \(M\) 为有限呈示这一事实），得到映射 \[a : A^{\oplus r} \longrightarrow M \quad\text{且}\quad b : M \longrightarrow A^{\oplus r}\] ，使得 \(a_f = f^N \varphi\) 且 \(b_f = f^N \varphi^{-1}\)，其中 \(N\) 是某个整数。此外，可以假设 \(a \circ b\) 与 \(b \circ a\) 都等于乘以 \(f^{2N}\) 的映射。因此 \(H^i_Z(M)\) 被 \(f^{2N}J^n\) 零化，即 \(f^{2N}J^n \subset \mathfrak a\)。

由于 \(U = \Spec(A) \setminus Z\) 拟紧，可以找到有限多个 \(f_1, \ldots, f_t\) 与 \(N_1, \ldots, N_t\)，使得 \(U = \bigcup D(f_j)\) 且 \(f_j^{2N_j}J^n \subset \mathfrak a\)。于是 \(V(I) = V(f_1, \ldots, f_t)\)。由于 \(I\) 有限生成，可得 \(I^M \subset (f_1, \ldots, f_t)\) 对某个 \(M\) 成立。综上可知，\(J^m \subset \mathfrak a\) 对 \(m \gg 0\) 成立；例如取 \(m = M (2N_1 + \ldots + 2N_t) n\) 即可。

引理

设 \(A\) 是诺特环，\(I \subset A\) 是理想。置 \(Z = V(I)\)。设 \(n \geq 0\) 是整数。若 \(H^i_Z(A)\) 对 \(0 \leq i \leq n\) 是有限的，则同样的结论对 \(H^i_Z(M)\) 以及 \(0 \leq i \leq n\) 成立，其中涉及任意有限 \(A\)-模 \(M\)；这里要求 \(M_f\) 是有限局部自由 \(A_f\)-模，对所有 \(f \in I\) 都如此。

证明

假设 \(H^i_Z(A)\) 对 \(0 \leq i \leq n\) 是有限的。由此存在 \(e \geq 0\)，使得 \(I^e\) 零化 \(H^i_Z(A)\)，对所有 \(0 \leq i \leq n\) 都如此；见引理 0AW8。于是引理 0BPX 蕴含 \(H^i_Z(M)\) 在 \(0 \leq i \leq n\) 时被某个 \(I^m\) 零化，其中 \(m = m(M, i)\)。可以取同一个 \(m\)，并让它对所有 \(0 \leq i \leq n\) 都适用。再由引理 0AW8，可知 \(H^i_Z(M)\) 对 \(0 \leq i \leq n\) 是有限的，正是所需结论。

推前的有限性，I

本节讨论有限性定理中最简单的非平凡情形，即第一局部上同调的有限性；等价地，讨论 \(j_*\mathcal{F}\) 的有限性，其中 \(j : U \to X\) 是开浸入，\(X\) 局部诺特，而 \(\mathcal{F}\) 是 \(U\) 上的凝聚层。沿用 Kollár 的方法（[Kollar-variants] 与 [Kollar-local-global-hulls]），我们得到一个充要条件；见命题 0BK3。对高阶直接像或高阶局部上同调群感兴趣的读者，可直接跳到第 0BJX 节或第 0BJQ 节（它们独立于本节其余内容展开）。

引理

设 \(X\) 是局部诺特概形，\(j : U \to X\) 是开子概形的嵌入，其补集为 \(Z\)。对 \(x \in U\)，设 \(i_x : W_x \to U\) 是以 \(x\) 为一般点的整闭子概形。设 \(\mathcal{F}\) 是凝聚 \(\mathcal{O}_U\)-模。下列条件等价：

对所有 \(x \in \text{Ass}(\mathcal{F})\)，\(\mathcal{O}_X\)-模 \(j_*i_{x, *}\mathcal{O}_{W_x}\) 都是凝聚的；

\(j_*\mathcal{F}\) 是凝聚的。

证明

先证明 (1) 蕴含 (2)。假设 (1) 成立。该断言在 \(X\) 上是局部的，故可假设 \(X\) 仿射。于是 \(U\) 拟紧，因而 \(\text{Ass}(\mathcal{F})\) 有限（《除子》，引理 05AF）。所以可以对伴随点的个数作归纳。设 \(x \in U\) 是 \(\mathcal{F}\) 的支撑的某个不可约分支的一般点。由《除子》，引理 05AF，有 \(x \in \text{Ass}(\mathcal{F})\)。由 \(x\) 的选取，\(\dim(\mathcal{F}_x) = 0\)，这里将其视为 \(\mathcal{O}_{X, x}\)-模。因此 \(\mathcal{F}_x\) 作为 \(\mathcal{O}_{X, x}\)-模具有有限长度（《代数》，引理 00L5）。所以可以对这个长度作归纳。

置 \(\mathcal{G} = j_*i_{x, *}\mathcal{O}_{W_x}\)。按照假设，这是凝聚 \(\mathcal{O}_X\)-模。我们有 \(\mathcal{G}_x = \kappa(x)\)。选取非零映射 \(\varphi_x : \mathcal{F}_x \to \kappa(x) = \mathcal{G}_x\)。由《概形的上同调》，引理 01Y4，存在开集 \(x \in V \subset U\) 以及映射 \(\varphi_V : \mathcal{F}|_V \to \mathcal{G}|_V\)，其在 \(x\) 处的茎为 \(\varphi_x\)。选取 \(f \in \Gamma(X, \mathcal{O}_X)\)，使其在 \(x\) 处不消失且 \(D(f) \subset V\)。例如由《概形的上同调》，引理 01YB，可知 \(\varphi_V\) 延拓为 \(f^n\mathcal{F} \to \mathcal{G}|_U\)，其中 \(n\) 是某个整数。与乘以 \(f^n\) 前复合，得到映射 \(\mathcal{F} \to \mathcal{G}|_U\)，其在 \(x\) 处的茎非零。设 \(\mathcal{F}' \subset \mathcal{F}\) 为其核。注意到 \(\text{Ass}(\mathcal{F}') \subset \text{Ass}(\mathcal{F})\)；见《除子》，引理 05AE。由于 \(\text{length}_{\mathcal{O}_{X, x}}(\mathcal{F}'_x) = \text{length}_{\mathcal{O}_{X, x}}(\mathcal{F}_x) - 1\) ，可使用归纳假设，得出 \(j_*\mathcal{F}'\) 凝聚。由于 \(\mathcal{G} = j_*(\mathcal{G}|_U) = j_*i_{x, *}\mathcal{O}_{W_x}\) 凝聚，可以考虑正合列 \[0 \to j_*\mathcal{F}' \to j_*\mathcal{F} \to \mathcal{G}\] 由《概形》，引理 01LC，层 \(j_*\mathcal{F}\) 拟凝聚。因此，由《概形的上同调》，引理 01Y1， \(j_*\mathcal{F}\) 在 \(j_*(\mathcal{G}|_U)\) 中的像凝聚。最后，由《概形的上同调》，引理 01Y0，\(j_*\mathcal{F}\) 凝聚。

假设 (2) 成立。完全按照上述方式，可归约到 \(X\) 仿射的情形。选取 \(x \in \text{Ass}(\mathcal{F})\)，并置 \(\mathcal{G} = j_*i_{x, *}\mathcal{O}_{W_x}\)。然后选取非零映射 \(\varphi_x : \mathcal{G}_x = \kappa(x) \to \mathcal{F}_x\)；它之所以存在，恰是因为 \(x\) 是 \(\mathcal{F}\) 的伴随点。完全按照上述论证，可以假设 \(\varphi_x\) 延拓为 \(\mathcal{O}_U\)-模映射 \(\varphi : \mathcal{G}|_U \to \mathcal{F}\)。于是 \(\varphi\) 是单射（例如由《除子》，引理 0AVL），从而得到单射 \(\mathcal{G} = j_*(\mathcal{G}|_V) \to j_*\mathcal{F}\)。因此 (1) 成立。

引理

设 \(A\) 是诺特环，\(I \subset A\) 是理想。置 \(X = \Spec(A)\)、\(Z = V(I)\)、 \(U = X \setminus Z\)，并以 \(j : U \to X\) 表示嵌入态射。设 \(\mathcal{F}\) 是凝聚 \(\mathcal{O}_U\)-模。则

存在有限 \(A\)-模 \(M\)，使得 \(\mathcal{F}\) 是 \(\widetilde{M}\) 在 \(U\) 上的限制；

给定 \(M\) 后，有正合列 \[0 \to H^0_Z(M) \to M \to H^0(U, \mathcal{F}) \to H^1_Z(M) \to 0\] 以及同构 \(H^p(U, \mathcal{F}) = H^{p + 1}_Z(M)\)，其中 \(p \geq 1\)；

给定 \(M\) 与 \(p \geq 0\) 后，下列条件等价：

\(R^pj_*\mathcal{F}\) 凝聚；

\(H^p(U, \mathcal{F})\) 是有限 \(A\)-模；

\(H^{p + 1}_Z(M)\) 是有限 \(A\)-模；

若 (3) 中的等价条件对 \(p = 0\) 成立，则可以取 \(M = \Gamma(U, \mathcal{F})\)；此时 \(H^0_Z(M) = H^1_Z(M) = 0\)。

证明

由《性质》，引理 0G41，存在凝聚 \(\mathcal{O}_X\)-模 \(\mathcal{F}'\)，其在 \(U\) 上的限制同构于 \(\mathcal{F}\)。设 \(\mathcal{F}'\) 对应于 (1) 中的有限 \(A\)-模 \(M\)。注意到 \(R^pj_*\mathcal{F}\) 拟凝聚（《概形的上同调》，引理 01XJ），并对应于 \(A\)-模 \(H^p(U, \mathcal{F})\)。由引理 0A6T 以及《上同调》第 0A39 节和第 0G6Y 节中的讨论，得到正合列 \[0 \to H^0_Z(M) \to M \to H^0(U, \mathcal{F}) \to H^1_Z(M) \to 0\] 以及同构 \(H^p(U, \mathcal{F}) = H^{p + 1}_Z(M)\)，其中 \(p \geq 1\)。这里使用了 \(H^j(X, \mathcal{F}') = 0\) 对 \(j > 0\) 成立这一事实，因为 \(X\) 仿射且 \(\mathcal{F}'\) 拟凝聚（《概形的上同调》，引理 01XB）。这就证明了 (2)。 (3) 和 (4) 直接由 (2) 得出；另见引理 0DWR。

引理

设 \(X\) 是局部诺特概形，\(j : U \to X\) 是开子概形的嵌入，其补集为 \(Z\)。设 \(\mathcal{F}\) 是凝聚 \(\mathcal{O}_U\)-模。假设

\(X\) 是 Nagata 概形；

\(X\) 是普遍链状的；以及

对 \(x \in \text{Ass}(\mathcal{F})\) 和 \(z \in Z \cap \overline{\{x\}}\)，有 \(\dim(\mathcal{O}_{\overline{\{x\}}, z}) \geq 2\).

则 \(j_*\mathcal{F}\) 凝聚。

证明

由引理 0BJZ，只需证明 \(j_*i_{x, *}\mathcal{O}_{W_x}\) 对 \(x \in \text{Ass}(\mathcal{F})\) 凝聚。设 \(\pi : Y \to X\) 是 \(X\) 在 \(\Spec(\kappa(x))\) 中的正规化；见《态射》，第 035E 节。由《态射》，引理 0AVK，态射 \(\pi\) 有限。由于 \(\pi\) 有限，由《概形的上同调》，引理 01Y6，可知 \(\mathcal{G} = \pi_*\mathcal{O}_Y\) 是凝聚 \(\mathcal{O}_X\)-模。注意到 \(W_x = U \cap \pi(Y)\)。因此 \(\pi|_{\pi^{-1}(U)} : \pi^{-1}(U) \to U\) 通过 \(i_x : W_x \to U\) 分解，从而得到典范映射 \[i_{x, *}\mathcal{O}_{W_x} \longrightarrow (\pi|_{\pi^{-1}(U)})_*(\mathcal{O}_{\pi^{-1}(U)}) = (\pi_*\mathcal{O}_Y)|_U = \mathcal{G}|_U\] 该映射是单射（例如由《除子》，引理 0AVL）。因此 \(j_*i_{x, *}\mathcal{O}_{W_x} \subset j_*\mathcal{G}|_U\) ，而只需证明 \(j_*\mathcal{G}|_U\) 凝聚。

还需证明 \(j_*(\mathcal{G}|_U)\) 凝聚。我们断言《除子》，引理 0E9I 适用于 \[\mathcal{G} \longrightarrow j_*(\mathcal{G}|_U)\] ，这便完成证明。只需证明 \(\text{depth}(\mathcal{G}_z) \geq 2\) 对 \(z \in Z\) 成立。设 \(y_1, \ldots, y_n \in Y\) 是映到 \(z\) 的各点。由《代数》，引理 0AUK，只需证明 \(\text{depth}(\mathcal{O}_{Y, y_i}) \geq 2\) 对 \(i = 1, \ldots, n\) 成立。若非如此，则由《性质》，引理 0345，有 \(\dim(\mathcal{O}_{Y, y_i}) = 1\) 对某个 \(i\) 成立。这与态射 \(\pi : Y \to \overline{\{x\}}\) 的维数公式（《态射》，引理 02JU）以及假设 (3) 矛盾。

引理

设 \(X\) 是整的局部诺特概形，\(j : U \to X\) 是非空开子概形的嵌入，其补集为 \(Z\)。假设对所有 \(z \in Z\) 以及任意伴随素理想 \(\mathfrak p\)（属于完备化 \(\mathcal{O}_{X, z}^\wedge\)），都有 \(\dim(\mathcal{O}_{X, z}^\wedge/\mathfrak p) \geq 2\)。则 \(j_*\mathcal{O}_U\) 凝聚。

证明

可以假设 \(X\) 仿射。使用引理 0AW9 与 0BK0，可归约到 \(X = \Spec(A)\)，其中 \((A, \mathfrak m)\) 是诺特局部整环且 \(\mathfrak m \in Z\)。然后可以对 \(d = \dim(A)\) 作归纳。（基始情形为 \(d = 0, 1\)；按照我们对局部环的假设，这些情形不会发生。）置 \(V = \Spec(A) \setminus \{\mathfrak m\}\)。注意到 \(V\) 的各局部环维数严格小于 \(d\)。对 \(j' : U \to V\) 重复上述论证并使用归纳，可得 \(j'_*\mathcal{O}_U\) 是凝聚 \(\mathcal{O}_V\)-模。选取非零元素 \(f \in A\)，它在 \(Z\) 上消失。由于 \(D(f) \cap V \subset U\)，可以找到 \(n\)，使得乘以 \(f^n\) 的映射（位于 \(U\) 上）延拓为映射 \(f^n : j'_*\mathcal{O}_U \to \mathcal{O}_V\)；该映射位于 \(V\) 上（例如由《概形的上同调》，引理 01YB）。该映射是单射，因而存在单射 \[j_*\mathcal{O}_U = j''_* j'_* \mathcal{O}_U \to j''_*\mathcal{O}_V\] 位于 \(X\) 上，其中 \(j'' : V \to X\) 是嵌入态射。因此只需证明 \(j''_*\mathcal{O}_V\) 凝聚。换言之，可以假设 \(X\) 是某个诺特局部整环的谱，而 \(Z\) 仅由闭点组成。

假设 \(X = \Spec(A)\)，其中 \((A, \mathfrak m)\) 是局部环且 \(Z = \{\mathfrak m\}\)。设 \(A^\wedge\) 为 \(A\) 的完备化。置 \(X^\wedge = \Spec(A^\wedge)\)、\(Z^\wedge = \{\mathfrak m^\wedge\}\)、 \(U^\wedge = X^\wedge \setminus Z^\wedge\)，并置 \(\mathcal{F}^\wedge = \mathcal{O}_{U^\wedge}\)。环 \(A^\wedge\) 普遍链状且为 Nagata 环（《代数》，注记 032C 与引理 032W）。此外，按照假设，引理 0AWA 的条件 (3) 对 \(X^\wedge, Z^\wedge, U^\wedge, \mathcal{F}^\wedge\) 成立！因此 \((U^\wedge \to X^\wedge)_*\mathcal{O}_{U^\wedge}\) 凝聚。由于态射 \(c : X^\wedge \to X\) 平坦，可得 \(j_*\mathcal{O}_U\) 的拉回为 \((U^\wedge \to X^\wedge)_*\mathcal{O}_{U^\wedge}\)（《概形的上同调》，引理 02KH）。最后，由于 \(c\) 忠实平坦，由《下降》，引理 05AZ，可得 \(j_*\mathcal{O}_U\) 凝聚。

注

设 \(j : U \to X\) 是局部诺特概形之间的开浸入，且 \(x \in U\)。设 \(i_x : W_x \to U\) 是以 \(x\) 为一般点的整闭子概形，并设 \(\overline{\{x\}}\) 是其在 \(X\) 中的闭包。则有交换图 \[\xymatrix{ W_x \ar[d]_{i_x} \ar[r]_{j'} & \overline{\{x\}} \ar[d]^i \\ U \ar[r]^j & X }\] 我们有 \(j_*i_{x, *}\mathcal{O}_{W_x} = i_*j'_*\mathcal{O}_{W_x}\)。由于左侧竖直箭头是闭浸入，可知 \(j_*i_{x, *}\mathcal{O}_{W_x}\) 凝聚，当且仅当 \(j'_*\mathcal{O}_{W_x}\) 凝聚。

注

设 \(X\) 是局部诺特概形，\(j : U \to X\) 是开子概形的嵌入，其补集为 \(Z\)。设 \(\mathcal{F}\) 是凝聚 \(\mathcal{O}_U\)-模。若存在 \(x \in \text{Ass}(\mathcal{F})\) 以及 \(z \in Z \cap \overline{\{x\}}\)，使得 \(\dim(\mathcal{O}_{\overline{\{x\}}, z}) \leq 1\)，则 \(j_*\mathcal{F}\) 不凝聚。为证明这一点，可以作平坦基变换到 \(\mathcal{O}_{X, z}\) 的谱。置 \(X' = \overline{\{x\}}\)。假设蕴含 \(\mathcal{O}_{X' \cap U} \subset \mathcal{F}\)。因此只需说明 \(j_*\mathcal{O}_{X' \cap U}\) 不凝聚。这是显然的，因为 \(X' = \{x, z\}\)，所以 \(j_*\mathcal{O}_{X' \cap U}\) 对应于 \(\kappa(x)\)，这里将其视为 \(\mathcal{O}_{X, z}\)-模；由于 \(x\) 不是闭点，它不可能是有限模。

事实上，引理 0BK1 的逆命题也成立：给定整诺特概形之间的开浸入 \(j : U \to X\)，若存在 \(z \in X \setminus U\) 以及伴随素理想 \(\mathfrak p\)（属于完备化 \(\mathcal{O}_{X, z}^\wedge\)），满足 \(\dim(\mathcal{O}_{X, z}^\wedge/\mathfrak p) = 1\)，则 \(j_*\mathcal{O}_U\) 不凝聚。事实上，可以转到局部环，把 \(U\) 扩大为穿孔谱，再转到完备化；随后上述论证便给出非有限性。

命题

设 \(j : U \to X\) 是局部诺特概形之间的开浸入，其补集为 \(Z\)。设 \(\mathcal{F}\) 是凝聚 \(\mathcal{O}_U\)-模。下列条件等价：

\(j_*\mathcal{F}\) 凝聚；

对 \(x \in \text{Ass}(\mathcal{F})\)、 \(z \in Z \cap \overline{\{x\}}\)，以及任意伴随素理想 \(\mathfrak p\)（属于完备化 \(\mathcal{O}_{\overline{\{x\}}, z}^\wedge\)），都有 \(\dim(\mathcal{O}_{\overline{\{x\}}, z}^\wedge/\mathfrak p) \geq 2\)。

证明

若 (2) 成立，则结合引理 0BJZ、注记 0BK2 与引理 0BK1，可得 (1)。若 (2) 不成立，则由注记 0AWC 中的讨论（以及注记 0BK2），\(j_*i_{x, *}\mathcal{O}_{W_x}\) 对某个 \(x \in \text{Ass}(\mathcal{F})\) 不是有限的。因此由引理 0BJZ， \(j_*\mathcal{F}\) 不凝聚。

引理

设 \(A\) 是诺特环，\(I \subset A\) 是理想。置 \(Z = V(I)\)。设 \(M\) 是有限 \(A\)-模。下列条件等价：

\(H^1_Z(M)\) 是有限 \(A\)-模；以及

对所有 \(\mathfrak p \in \text{Ass}(M)\)，若 \(\mathfrak p \not \in Z\)，则对所有 \(\mathfrak q \in V(\mathfrak p + I)\)，\((A/\mathfrak p)_\mathfrak q\) 的完备化均不具有维数为 \(1\) 的伴随素理想。

证明

这立即由命题 0BK3 经引理 0BK0 得出。

下一个引理的表述有一个优点：条件 (1) 和 (2) 可由 \(X\) 上的有限型概形继承。此外，这正是我们将在第 0BJX 节推广到高阶直接像的有限性形式。

引理

设 \(X\) 是局部诺特概形，\(j : U \to X\) 是开子概形的嵌入，其补集为 \(Z\)。设 \(\mathcal{F}\) 是凝聚 \(\mathcal{O}_U\)-模。假设

\(X\) 普遍链状；

对每个 \(z \in Z\)，\(\mathcal{O}_{X, z}\) 的形式纤维满足 \((S_1)\)。

在这种情形下，下列条件等价：

对 \(x \in \text{Ass}(\mathcal{F})\) 以及 \(z \in Z \cap \overline{\{x\}}\)，有 \(\dim(\mathcal{O}_{\overline{\{x\}}, z}) \geq 2\)；以及

\(j_*\mathcal{F}\) 凝聚。

证明

设 \(x \in \text{Ass}(\mathcal{F})\)。由命题 0BK3，只需检验 \(A = \mathcal{O}_{\overline{\{x\}}, z}\) 满足该命题中关于其完备化的伴随素理想的条件，当且仅当 \(\dim(A) \geq 2\)。注意到 \(A\) 普遍链状（这是显然的），并且其形式纤维满足 \((S_1)\)；这由《代数进阶》，引理 0BIX 与命题 0BIV 得出。设 \(\mathfrak p' \subset A^\wedge\) 是伴随素理想。由于 \(A \to A^\wedge\) 平坦，由《代数》，引理 0312，可知 \(\mathfrak p'\) 位于 \((0) \subset A\) 之上。形式纤维 \(A^\wedge \otimes_A F\) 满足 \((S_1)\)，其中 \(F\) 是 \(A\) 的分式域。因此 \(\mathfrak p'\) 是极小素理想；见《代数》，引理 031Q。由于 \(A\) 普遍链状，由《代数进阶》，命题 0AW6，它形式链状。因此 \(\dim(A^\wedge/\mathfrak p') = \dim(A)\)，这就证明了所述等价性。

深度与维数

先给出若干辅助引理。

引理

设 \(A\) 是诺特环，\(I \subset A\) 是理想，\(M\) 是有限 \(A\)-模。设 \(\mathfrak p \in V(I)\) 是素理想，并假设 \(e = \text{depth}_{IA_\mathfrak p}(M_\mathfrak p) < \infty\). 则存在非空开子集 \(U \subset V(\mathfrak p)\)，使得 \(\text{depth}_{IA_\mathfrak q}(M_\mathfrak q) \geq e\) 对所有 \(\mathfrak q \in U\) 都成立。

证明

由深度的定义，\(IM_\mathfrak p \not = M_\mathfrak p\)，且存在 \(M_\mathfrak p\)-正则序列 \(f_1, \ldots, f_e \in IA_\mathfrak p\)。将 \(A\) 换成某个主局部化后，可以假设 \(f_1, \ldots, f_e \in I\) 构成 \(M\)-正则序列；见《代数》，引理 061L。考虑模 \(M' = M/IM\)。由于 \(\mathfrak p \in \text{Supp}(M')\)，且有限模的支撑是闭集，可得 \(V(\mathfrak p) \subset \text{Supp}(M')\)。因此，对 \(\mathfrak q \in V(\mathfrak p)\)，有 \(IM_\mathfrak q \not = M_\mathfrak q\)。再利用局部化的正合性，由深度的定义可知 \(\text{depth}_{IA_\mathfrak q}(M_\mathfrak q) \geq e\) 对任意 \(\mathfrak q \in V(I)\) 都成立。

引理

设 \(A\) 是诺特环，\(M\) 是有限 \(A\)-模，\(\mathfrak p\) 是素理想。假设 \(e = \text{depth}_{A_\mathfrak p}(M_\mathfrak p) < \infty\). 则存在非空开子集 \(U \subset V(\mathfrak p)\)，使得 \(\text{depth}_{A_\mathfrak q}(M_\mathfrak q) \geq e\) 对所有 \(\mathfrak q \in U\) 都成立，且除有限多个 \(\mathfrak q \in U\) 外均有 \(\text{depth}_{A_\mathfrak q}(M_\mathfrak q) > e\)。

证明

由深度的定义，\(\mathfrak p M_\mathfrak p \not = M_\mathfrak p\)，且存在 \(M_\mathfrak p\)-正则序列 \(f_1, \ldots, f_e \in \mathfrak p A_\mathfrak p\)。将 \(A\) 换成某个主局部化后，可以假设 \(f_1, \ldots, f_e \in \mathfrak p\) 构成 \(M\)-正则序列；见《代数》，引理 061L。考虑模 \(M' = M/(f_1, \ldots, f_e)M\)。由于 \(\mathfrak p \in \text{Supp}(M')\)，且有限模的支撑是闭集，可得 \(V(\mathfrak p) \subset \text{Supp}(M')\)。因此，对 \(\mathfrak q \in V(\mathfrak p)\)，有 \(\mathfrak q M_\mathfrak q \not = M_\mathfrak q\)。再利用局部化的正合性，由深度的定义可知 \(\text{depth}_{A_\mathfrak q}(M_\mathfrak q) \geq e\) 对任意 \(\mathfrak q \in V(I)\) 都成立。此外，只要 \(\mathfrak q\) 不是模 \(M'\) 的伴随素理想，深度就会增大。于是最后一个断言由《代数》，引理 00LC 得出。

引理

设 \(X\) 是具有对偶复形 \(\omega_X^\bullet\) 的诺特概形， \(\mathcal{F}\) 是凝聚 \(\mathcal{O}_X\)-模，\(k \geq 0\) 是整数。假设 \(\mathcal{F}\) 满足 \((S_k)\)。则满足下式的点 \(x \in X\) 只有有限多个： \[\text{depth}(\mathcal{F}_x) = k \quad\text{且}\quad \dim(\text{Supp}(\mathcal{F}_x)) > k\]

证明

对 \(k\) 作归纳来证明。基础情形 \(k = 0\) 断言 \(\mathcal{F}\) 只有有限多个嵌入伴随点；这由《除子》，引理 05AF 得出。

假设 \(k > 0\)，且结论对所有更小的 \(k\) 都成立。可以用有限多个仿射开集覆盖 \(X\)，故可假设 \(X = \Spec(A)\) 是仿射的。于是 \(\mathcal{F}\) 是凝聚 \(\mathcal{O}_X\)-模；它对应于有限 \(A\)-模 \(M\)，且该模满足 \((S_k)\)。下文将直接使用《代数》，引理 0B52 和 090R，不再另行说明。

设 \(f \in A\) 是 \(M\) 上的非零因子。则 \(M/fM\) 满足 \((S_{k - 1})\)。由归纳假设，满足下列条件的素理想 \(\mathfrak p \in V(f)\) 只有有限多个： \(\text{depth}((M/fM)_\mathfrak p) = k - 1\)，且 \(\dim(\text{Supp}((M/fM)_\mathfrak p)) > k - 1\). 这些恰好是满足下列条件的素理想 \(\mathfrak p \in V(f)\)： \(\text{depth}(M_\mathfrak p) = k\)，且 \(\dim(\text{Supp}(M_\mathfrak p)) > k\). 因此，在证明该有限性断言时，可以将 \(A\) 换成 \(A_f\)，将 \(M\) 换成 \(M_f\)。

由于 \(M\) 满足 \((S_k)\) 且 \(k > 0\)，可知 \(M\) 没有嵌入伴随素理想（《代数》，引理 031Q）。因此 \(\text{Ass}(M)\) 是 \(M\) 的支撑的泛点集。于是《对偶复形》，引理 0EHS 表明集合 \(U = \{\mathfrak q \mid M_\mathfrak q\text{ 为 Cohen--Macaulay}\}\) 是包含 \(\text{Ass}(M)\) 的开集。由素避（《代数》，引理 00DS），可以选取 \(f \in A\)，使得 \(f \not \in \mathfrak p\) 对所有 \(\mathfrak p \in \text{Ass}(M)\) 成立，并且 \(D(f) \subset U\)。于是 \(f\) 是 \(M\) 上的非零因子（《代数》，引理 00LD）。如上将 \(A\) 换成 \(A_f\)、将 \(M\) 换成 \(M_f\) 后，可知 \(M\) 是 Cohen–Macaulay 模。因此，对所有 \(\mathfrak q \subset A\)，有 \(\dim(M_\mathfrak q) = \text{depth}(M_\mathfrak q)\) ，故引理所述集合为空，因而当然是有限的。

引理

设 \((A, \mathfrak m)\) 是具有规范化对偶复形 \(\omega_A^\bullet\) 的诺特局部环，\(M\) 是有限 \(A\)-模。记 \(E^i = \text{Ext}_A^{-i}(M, \omega_A^\bullet)\)。则

\(E^i\) 是有限 \(A\)-模，并且仅在 \(0 \leq i \leq \dim(\text{Supp}(M))\), 时可能非零；

\(\dim(\text{Supp}(E^i)) \leq i\)；

\(\text{depth}(M)\) 是满足下列条件的最小整数 \(\delta \geq 0\)： \(E^\delta \not = 0\)；

\(\mathfrak p \in \text{Supp}(E^0 \oplus \ldots \oplus E^i) \Leftrightarrow \text{depth}_{A_\mathfrak p}(M_\mathfrak p) + \dim(A/\mathfrak p) \leq i\)；

\(E^i\) 的零化理想等于 \(H^i_\mathfrak m(M)\) 的零化理想。

证明

第 (1)、(2)、(3) 项即《对偶复形》，引理 0A7U 中的断言。对素理想 \(\mathfrak p\)（属于 \(A\)），复形 \((\omega_A^\bullet)_\mathfrak p[-\dim(A/\mathfrak p)]\) 是 \(A_\mathfrak p\) 的规范化对偶复形；见《对偶复形》，引理 0A7Z。因此 \[E^i_\mathfrak p = \text{Ext}^{-i}_A(M, \omega_A^\bullet)_\mathfrak p = \text{Ext}^{-i + \dim(A/\mathfrak p)}_{A_\mathfrak p} (M_\mathfrak p, (\omega_A^\bullet)_\mathfrak p[-\dim(A/\mathfrak p)])\] 在 \(i - \dim(A/\mathfrak p) < \text{depth}_{A_\mathfrak p}(M_\mathfrak p)\) 时为零，而在 \(i = \dim(A/\mathfrak p) + \text{depth}_{A_\mathfrak p}(M_\mathfrak p)\) 时非零；这是把第 (3) 项用于 \(A_\mathfrak p\) 所得。因此第 (4) 项成立。若 \(E\) 是 \(A\) 的剩余域的内射包，则 \[\Hom_A(H^i_\mathfrak m(M), E) = \text{Ext}^{-i}_A(M, \omega_A^\bullet)^\wedge = (E^i)^\wedge = E^i \otimes_A A^\wedge\] ；这由局部对偶定理得出（采用《对偶复形》，引理 0AAK 的形式）。由于 \(A \to A^\wedge\) 忠实平坦，第 (5) 项由 Matlis 对偶性得出（《对偶复形》，命题 08Z9）。

局部上同调的零化理想，I

本节讨论 Faltings 的一个结果；见 [Faltings-annulators]。

命题

设 \(A\) 是具有对偶复形的诺特环。设 \(T \subset T' \subset \Spec(A)\) 是在特化下稳定的子集。设 \(s \geq 0\) 是整数，\(M\) 是有限 \(A\)-模。下列条件等价：

存在理想 \(J \subset A\)，满足 \(V(J) \subset T'\)，且 \(J\) 将 \(H^i_T(M)\) 对所有 \(i \leq s\) 零化；

对所有满足 \(\mathfrak p \not \in T'\)、 \(\mathfrak q \in T\) 以及 \(\mathfrak p \subset \mathfrak q\) 的情形，都有 \[\text{depth}_{A_\mathfrak p}(M_\mathfrak p) + \dim((A/\mathfrak p)_\mathfrak q) > s\]

证明

设 \(\omega_A^\bullet\) 是对偶复形，\(\delta\) 是其维数函数；见《对偶复形》，第 0A7W 节。下列有限 \(A\)-模将起重要作用： \[E^i = \Ext_A^i(M, \omega_A^\bullet)\] 对 \(\mathfrak p \subset A\)，记 \(H^i_\mathfrak p\) 为 \(A_\mathfrak p\)-模关于 \(\mathfrak pA_\mathfrak p\) 的局部上同调。于是下式的 \(\mathfrak pA_\mathfrak p\)-进完备化 \[(E^i)_\mathfrak p = \Ext^{\delta(\mathfrak p) + i}_{A_\mathfrak p}(M_\mathfrak p, (\omega_A^\bullet)_\mathfrak p[-\delta(\mathfrak p)])\] 与下式 Matlis 对偶： \[H^{-\delta(\mathfrak p) - i}_{\mathfrak p}(M_\mathfrak p)\] 这由《对偶复形》，引理 0AAK 得出。特别地，由此得到如下事实：理想 \(J \subset A\) 将 \((E^i)_\mathfrak p\) 零化，当且仅当 \(J\) 将 \(H^{-\delta(\mathfrak p) - i}_{\mathfrak p}(M_\mathfrak p)\) 零化。

置 \(T_n = \{\mathfrak p \in T \mid \delta(\mathfrak p) \leq n\}\)。由于 \(\delta\) 是有界函数，可知 \(T_a = \emptyset\) 在 \(a \ll 0\) 时成立，而 \(T_b = T\) 在 \(b \gg 0\) 时成立。

假设 (2) 成立。来证明 (1) 中 \(J\) 的存在性。为此使用双重归纳。对 \(i \leq s\)，考虑归纳假设 \(IH_i\)：\(H^a_T(M)\) 被某个满足 \(J \subset A\) 与 \(V(J) \subset T'\) 的理想零化，其中 \(0 \leq a \leq i\)。情形 \(IH_0\) 是显然的，因为 \(H^0_T(M)\) 是 \(M\) 的子模，从而是有限的；因此它被某个满足 \(J\) 及 \(V(J) \subset T\) 的理想零化。

归纳步骤。假设 \(IH_{i - 1}\) 对某个 \(0 < i \leq s\) 成立。选取 \(J'\)，满足 \(V(J') \subset T'\)，使其将 \(H^a_T(M)\) 在 \(0 \leq a \leq i - 1\) 时零化（归纳假设保证可以如此选取）。将对 \(n\) 作降归纳，证明存在理想 \(J\)，满足 \(V(J) \subset T'\)，使 \(J H^i_T(M)\) 的伴随素理想都属于 \(T_n\)。当 \(n \ll 0\) 时，这蕴含 \(JH^i_T(M) = 0\) （《代数》，引理 0587），因而 \(IH_i\) 成立。基础情形 \(n \gg 0\) 是显然的，因为此时 \(T = T_n\)，而 \(H^i_T(M)\) 的所有伴随素理想都属于 \(T\)。

于是设已给定 \(J\)，它对 \(n\) 具有上述性质。取 \(\mathfrak q \in T_n\)。令 \(T_\mathfrak q \subset \Spec(A_\mathfrak q)\) 为 \(T\) 的逆像。我们有 \(H^j_T(M)_\mathfrak q = H^j_{T_\mathfrak q}(M_\mathfrak q)\) ；见引理 0EF5。考虑谱序列 \[H_\mathfrak q^p(H^q_{T_\mathfrak q}(M_\mathfrak q)) \Rightarrow H^{p + q}_\mathfrak q(M_\mathfrak q)\] ，它来自引理 0EF6。下文将找到理想 \(J'' \subset A\)，满足 \(V(J'') \subset T'\)，使得 \(H^i_\mathfrak q(M_\mathfrak q)\) 被 \(J''\) 零化；这对所有 \(\mathfrak q \in T_n \setminus T_{n - 1}\) 都成立。断言：\(J (J')^i J''\) 对 \(n - 1\) 可行。事实上，取 \(\mathfrak q \in T_n \setminus T_{n - 1}\)。上述谱序列给出滤过 \[E_\infty^{0, i} = E_{i + 2}^{0, i} \subset \ldots \subset E_3^{0, i} \subset E_2^{0, i} = H^0_\mathfrak q(H^i_{T_\mathfrak q}(M_\mathfrak q))\] 。模 \(E_\infty^{0, i}\) 被 \(J''\) 零化。子商 \(E_j^{0, i}/E_{j + 1}^{0, i}\) 在 \(i + 1 \geq j \geq 2\) 时被 \(J'\) 零化，因为 \(d_j^{0, i}\) 的靶是下式的一个子商： \[H^j_\mathfrak q(H^{i - j + 1}_{T_\mathfrak q}(M_\mathfrak q)) = H^j_\mathfrak q(H^{i - j + 1}_T(M)_\mathfrak q)\] ，而 \(H^{i - j + 1}_T(M)_\mathfrak q\) 被 \(J'\) 零化；这是由 \(J'\) 的选取得出的。最后，由 \(J\) 的选取，有 \(J H^i_T(M)_\mathfrak q \subset H^0_\mathfrak q(H^i_T(M)_\mathfrak q)\) ，因为 \(\Spec(A_\mathfrak q)\) 的非闭点具有更大的 \(\delta\) 值。因此 \(\mathfrak q\) 不可能是 \(J(J')^iJ'' H^i_T(M)\) 的伴随素理想，正如所需。

由开头的讨论可知，\(J''\) 应将 \[(E^{-\delta(\mathfrak q) - i})_\mathfrak q = (E^{-n - i})_\mathfrak q\] 对所有 \(\mathfrak q \in T_n \setminus T_{n - 1}\) 零化。但若 \(J''\) 对某个 \(\mathfrak q\) 可行，则它对 \(\mathfrak q\) 的一个开邻域中的所有 \(\mathfrak q\) 都可行，因为模 \(E^{-n - i}\) 是有限的。由于 \(\Spec(A)\) 的每个子集在诱导拓扑下都是诺特的（《拓扑》，引理 0052），可知只需证明 \(J''\) 对某个 \(\mathfrak q\) 的存在性。

由于这些 Ext 模是有限的，\(J''\) 的存在性等价于 \[\text{Supp}(E^{-n - i}) \cap \Spec(A_\mathfrak q) \subset T'.\] 。这又等价于证明 \(E^{-n - i}\) 在每个满足 \(\mathfrak p \subset \mathfrak q\)、\(\mathfrak p \not \in T'\) 的点处的局部化为零。在 \(A_\mathfrak p\) 上使用局部对偶性，可知需要证明 \[H^{i + n - \delta(\mathfrak p)}_\mathfrak p(M_\mathfrak p) = H^{i - \dim((A/\mathfrak p)_\mathfrak q)}_\mathfrak p(M_\mathfrak p)\] 为零（这里用到 \(\delta\) 是维数函数）。由命题中的假设、\(i \leq s\) 以及《对偶复形》，引理 0AVZ，它确实为零。

为证明逆向蕴含，假设 (2) 不成立，并反向使用上述论证。首先选取 \(\mathfrak q \in T\)、\(\mathfrak p \subset \mathfrak q\)，满足 \(\mathfrak p \not \in T'\)，使得 \[i = \text{depth}_{A_\mathfrak p}(M_\mathfrak p) + \dim((A/\mathfrak p)_\mathfrak q) \leq s\] 取最小值。于是 \(H^{i - \dim((A/\mathfrak p)_\mathfrak q)}_\mathfrak p(M_\mathfrak p)\) 非零；这由《对偶复形》，引理 0AVZ 中的非消失性得出。置 \(n = \delta(\mathfrak q)\)。此时不存在满足 \(J \subset A\) 与 \(V(J) \subset T'\) 的理想，使得 \(J(E^{-n - i})_\mathfrak q = 0\)。因此 \(H^i_\mathfrak q(M_\mathfrak q)\) 不被任何满足 \(J \subset A\) 与 \(V(J) \subset T'\) 的理想零化。由 \(i\) 的极小性和上面展示的谱序列，模 \(H^i_T(M)_\mathfrak q\) 不被任何满足 \(J \subset A\) 与 \(V(J) \subset T'\) 的理想零化。因此 \(H^i_T(M)\) 不被任何满足 \(J \subset A\) 与 \(V(J) \subset T'\) 的理想零化。命题得证。

引理

设 \(I\) 是诺特环 \(A\) 的理想，\(M\) 是有限 \(A\)-模， \(\mathfrak p \subset A\) 是素理想，\(s \geq 0\) 是整数。假设

\(A\) 具有对偶复形；

\(\mathfrak p \not \in V(I)\)；

对所有素理想 \(\mathfrak p' \subset \mathfrak p\) 以及 \(\mathfrak q \in V(I)\)，若 \(\mathfrak p' \subset \mathfrak q\)，则有 \[\text{depth}_{A_{\mathfrak p'}}(M_{\mathfrak p'}) + \dim((A/\mathfrak p')_\mathfrak q) > s\]

则存在 \(f \in A\)，满足 \(f \not \in \mathfrak p\)，并将 \(H^i_{V(I)}(M)\) 对所有 \(i \leq s\) 零化。

证明

考虑集合 \[T = V(I) \quad\text{且}\quad T' = \bigcup\nolimits_{f \in A, f \not \in \mathfrak p} V(f)\] 它们是在特化下稳定的 \(\Spec(A)\) 的子集。注意 \(T \subset T'\) 且 \(\mathfrak p \not \in T'\)。假设 (3) 表明命题 0EFC 的条件 (2) 成立。因此可找到 \(J \subset A\)，满足 \(V(J) \subset T'\)，使得 \(J H^i_{V(I)}(M) = 0\) 对所有 \(i \leq s\) 成立。选取 \(f \in A\)，满足 \(f \not \in \mathfrak p\) 与 \(V(J) \subset V(f)\)。 \(f\) 的某个幂将 \(H^i_{V(I)}(M)\) 对所有 \(i \leq s\) 零化。

局部上同调的有限性，II

继续第 0AW7 节开始的局部上同调有限性讨论。利用 Faltings 零化理想定理，很容易证明下列基本结果。

命题

设 \(A\) 是具有对偶复形的诺特环， \(T \subset \Spec(A)\) 是在特化下稳定的子集。设 \(s \geq 0\) 是整数，\(M\) 是有限 \(A\)-模。下列条件等价：

\(H^i_T(M)\) 是有限 \(A\)-模，其中 \(i \leq s\)；

对所有满足 \(\mathfrak p \not \in T\)、\(\mathfrak q \in T\) 以及 \(\mathfrak p \subset \mathfrak q\) 的情形，都有 \[\text{depth}_{A_\mathfrak p}(M_\mathfrak p) + \dim((A/\mathfrak p)_\mathfrak q) > s\]

证明

这是命题 0EFC 和引理 0AW8 的形式推论。

除给出一些供后文使用的引理外，本节余下部分研究命题 0EFD 中 \(A\) 具有对偶复形这一条件能够弱化到何种程度。粗略地说，答案是必须假设 \(A\) 的形式纤维满足 \((S_n)\)，其中 \(n\) 充分大。

设 \(A\) 是诺特环，\(I \subset A\) 是理想。置 \(X = \Spec(A)\) 以及 \(Z = V(I) \subset X\)，并设 \(M\) 是有限 \(A\)-模。定义 [0BJR]\[\begin{equation} s_{A, I}(M) = \min \{ \text{depth}_{A_\mathfrak p}(M_\mathfrak p) + \dim((A/\mathfrak p)_\mathfrak q) \mid \mathfrak p \in X \setminus Z, \mathfrak q \in Z, \mathfrak p \subset \mathfrak q \} \end{equation}\] 关于深度，我们约定 \(0\) 的深度为 \(\infty\)；因此只需考虑素理想 \(\mathfrak p\)，且它属于 \(M\) 的支撑。可以看出，\(s_{A, I}(M)\) 是这一情形的一个重要不变量。

引理

设 \(A \to B\) 是诺特环之间的有限同态，\(I \subset A\) 是理想，并置 \(J = IB\)。设 \(M\) 是有限 \(B\)-模。若 \(A\) 普遍链状，则 \(s_{B, J}(M) = s_{A, I}(M)\).

证明

设 \(\mathfrak p \subset \mathfrak q \subset A\) 是满足 \(I \subset \mathfrak q\) 和 \(I \not \subset \mathfrak p\) 的素理想。由于 \(A \to B\) 是有限的，素理想 \(\mathfrak p_i\)（位于 \(\mathfrak p\) 上方）只有有限多个。由《代数》，引理 0AUK，有 \[\text{depth}(M_\mathfrak p) = \min \text{depth}(M_{\mathfrak p_i})\] 设 \(\mathfrak p_i \subset \mathfrak q_{ij}\) 是位于 \(\mathfrak q\) 上方的素理想。由 \(A \to B\) 的上升定理（《代数》，引理 00GU），至少存在一个 \(\mathfrak q_{ij}\)；这对每个 \(i\) 都成立。于是 \[\dim((B/\mathfrak p_i)_{\mathfrak q_{ij}}) = \dim((A/\mathfrak p)_\mathfrak q)\] ；这由维数公式得出，见《代数》，引理 02IJ。因此，用于定义 \(s_{B, J}(M)\) 的量在各对 \((\mathfrak p_i, \mathfrak q_{ij})\) 上的最小值，等于该量在数对 \((\mathfrak p, \mathfrak q)\) 上的值。引理得证。

引理

设 \(A\) 是具有对偶复形的诺特环，\(I \subset A\) 是理想， \(M\) 是有限 \(A\)-模。设 \(A', M'\) 是 \(I\)-进完备化，分别对应于 \(A, M\)。设 \(\mathfrak p' \subset \mathfrak q'\) 是 \(A'\) 的素理想，其中 \(\mathfrak q' \in V(IA')\)，并且它们位于 \(\mathfrak p \subset \mathfrak q\)（在 \(A\) 中）上方。则 \[\text{depth}_{A_{\mathfrak p'}}(M'_{\mathfrak p'}) \geq \text{depth}_{A_\mathfrak p}(M_\mathfrak p)\] 并且 \[\text{depth}_{A_{\mathfrak p'}}(M'_{\mathfrak p'}) + \dim((A'/\mathfrak p')_{\mathfrak q'}) = \text{depth}_{A_\mathfrak p}(M_\mathfrak p) + \dim((A/\mathfrak p)_\mathfrak q)\]

证明

我们有 \[\text{depth}(M'_{\mathfrak p'}) = \text{depth}(M_\mathfrak p) + \text{depth}(A'_{\mathfrak p'}/\mathfrak p A'_{\mathfrak p'}) \geq \text{depth}(M_\mathfrak p)\] ；这由 \(A \to A'\) 的平坦性得出，见《代数》，引理 0338。由于 \(A \to A'\) 的纤维是 Cohen–Macaulay 的（《对偶复形》，引理 0AWY 以及《代数进阶》，第 0BIR 节），可知 \(\text{depth}(A'_{\mathfrak p'}/\mathfrak p A'_{\mathfrak p'}) = \dim(A'_{\mathfrak p'}/\mathfrak p A'_{\mathfrak p'})\). 因此得到 \[\begin{align*} \text{depth}(M'_{\mathfrak p'}) + \dim((A'/\mathfrak p')_{\mathfrak q'}) & = \text{depth}(M_\mathfrak p) + \dim(A'_{\mathfrak p'}/\mathfrak p A'_{\mathfrak p'}) + \dim((A'/\mathfrak p')_{\mathfrak q'}) \\ & = \text{depth}(M_\mathfrak p) + \dim((A'/\mathfrak p A')_{\mathfrak q'}) \\ & = \text{depth}(M_\mathfrak p) + \dim((A/\mathfrak p)_\mathfrak q) \end{align*}\] 第二个等号成立是因为 \(A'\) 链状；第三个等号由《代数进阶》，引理 07NV 得出，因为 \((A/\mathfrak p)_\mathfrak q\) 与 \((A'/\mathfrak p A')_{\mathfrak q'}\) 具有相同的 \(I\)-进完备化。

引理

设 \(A\) 是普遍链状诺特局部环，\(I \subset A\) 是理想， \(M\) 是有限 \(A\)-模。则 \[s_{A, I}(M) \geq s_{A^\wedge, I^\wedge}(M^\wedge)\] 若 \(A\) 的形式纤维满足 \((S_n)\)，则 \(\min(n + 1, s_{A, I}(M)) \leq s_{A^\wedge, I^\wedge}(M^\wedge)\).

证明

记 \(X = \Spec(A)\)、\(X^\wedge = \Spec(A^\wedge)\)、\(Z = V(I) \subset X\) 以及 \(Z^\wedge = V(I^\wedge)\)。设 \(\mathfrak p' \subset \mathfrak q' \subset A^\wedge\) 是满足 \(\mathfrak p' \not \in Z^\wedge\) 与 \(\mathfrak q' \in Z^\wedge\) 的素理想。设 \(\mathfrak p \subset \mathfrak q\) 是 \(A\) 中相应的素理想。于是 \(\mathfrak p \not \in Z\) 且 \(\mathfrak q \in Z\)。图示为 \[\xymatrix{ \mathfrak p' \ar[r] & \mathfrak q' \ar[r] & A^\wedge \\ \mathfrak p \ar[r] \ar@{-}[u] & \mathfrak q \ar[r] \ar@{-}[u] & A \ar[u] }\] 记 \[\begin{align*} a & = \dim(A/\mathfrak p) = \dim(A^\wedge/\mathfrak pA^\wedge),\\ b & = \dim(A/\mathfrak q) = \dim(A^\wedge/\mathfrak qA^\wedge),\\ a' & = \dim(A^\wedge/\mathfrak p'),\\ b' & = \dim(A^\wedge/\mathfrak q') \end{align*}\] 这些等式由《代数进阶》，引理 07NV 得出。再记 \[\begin{align*} p & = \dim(A^\wedge_{\mathfrak p'}/\mathfrak p A^\wedge_{\mathfrak p'}) = \dim((A^\wedge/\mathfrak p A^\wedge)_{\mathfrak p'}) \\ q & = \dim(A^\wedge_{\mathfrak q'}/\mathfrak p A^\wedge_{\mathfrak q'}) = \dim((A^\wedge/\mathfrak q A^\wedge)_{\mathfrak q'}) \end{align*}\] 由于 \(A\) 普遍链状，可知 \(A^\wedge/\mathfrak pA^\wedge = (A/\mathfrak p)^\wedge\) 是维数为 \(a\) 的等维环（《代数进阶》，命题 0AW6）。因此 \(a = a' + p\)；类似地， \(b = b' + q\)。将《代数》，引理 0338 用于平坦局部环同态 \(A_\mathfrak p \to A^\wedge_{\mathfrak p'}\) ，可得 \[\text{depth}(M^\wedge_{\mathfrak p'}) = \text{depth}(M_\mathfrak p) + \text{depth}(A^\wedge_{\mathfrak p'} / \mathfrak p A^\wedge_{\mathfrak p'})\] 定义 \(s_{A, I}(M)\) 时所取最小值的量是 \[s(\mathfrak p, \mathfrak q) = \text{depth}(M_\mathfrak p) + \dim((A/\mathfrak p)_\mathfrak q) = \text{depth}(M_\mathfrak p) + a - b\] （最后一个等号成立是因为 \(A\) 链状）。定义 \(s_{A^\wedge, I^\wedge}(M^\wedge)\) 时所取最小值的量是 \[s(\mathfrak p', \mathfrak q') = \text{depth}(M^\wedge_{\mathfrak p'}) + \dim((A^\wedge/\mathfrak p')_{\mathfrak q'}) = \text{depth}(M^\wedge_{\mathfrak p'}) + a' - b'\] （最后一个等号成立是因为 \(A^\wedge\) 链状）。现在记号已经足够，可以开始证明。

设 \(\mathfrak p \subset \mathfrak q \subset A\) 是满足 \(\mathfrak p \not \in Z\) 与 \(\mathfrak q \in Z\) 的素理想，并且 \(s_{A, I}(M) = s(\mathfrak p, \mathfrak q)\). 可以选取 \(\mathfrak q'\)，使其在 \(\mathfrak q A^\wedge\) 上方极小；再选取 \(\mathfrak p' \subset \mathfrak q'\)，使其在 \(\mathfrak p A^\wedge\) 上方极小（这里使用 \(A \to A^\wedge\) 的下降定理）。于是得到如上的四个素理想，并且 \(p = 0\)、\(q = 0\)。此外， \(\text{depth}(A^\wedge_{\mathfrak p'} / \mathfrak p A^\wedge_{\mathfrak p'})=0\) 也成立，因为 \(p = 0\)。这意味着 \(s(\mathfrak p', \mathfrak q') = s(\mathfrak p, \mathfrak q)\). 从而得到第一个不等式。

假设 \(A\) 的形式纤维满足 \((S_n)\)。则 \(\text{depth}(A^\wedge_{\mathfrak p'} / \mathfrak p A^\wedge_{\mathfrak p'}) \geq \min(n, p)\). 因此 \[s(\mathfrak p', \mathfrak q') \geq s(\mathfrak p, \mathfrak q) + q + \min(n, p) - p \geq s_{A, I}(M) + q + \min(n, p) - p\] 因此，唯一可能出现问题的情形是 \(p > n\)。若果真如此，则 \[\begin{align*} s(\mathfrak p', \mathfrak q') & = \text{depth}(M^\wedge_{\mathfrak p'}) + \dim((A^\wedge/\mathfrak p')_{\mathfrak q'}) \\ & = \text{depth}(M_\mathfrak p) + \text{depth}(A^\wedge_{\mathfrak p'} / \mathfrak p A^\wedge_{\mathfrak p'}) + \dim((A^\wedge/\mathfrak p')_{\mathfrak q'}) \\ & \geq 0 + n + 1 \end{align*}\] ，因为 \((A^\wedge/\mathfrak p')_{\mathfrak q'}\) 至少含有两个素理想。这就证明了第二个不等式。

下述引理的证明方法适用于更一般的情形，不过所得更强结果将包含在后面的定理 0BJV 中。

引理

设 \(A\) 是 Gorenstein 诺特局部环，\(I \subset A\) 是理想，并置 \(Z = V(I) \subset \Spec(A)\)。设 \(M\) 是有限 \(A\)-模。令 \(s = s_{A, I}(M)\) 如式 (0BJR) 所示。则 \(H^i_Z(M)\) 在 \(i < s\) 时是有限的，但 \(H^s_Z(M)\) 不是有限的。

证明

由于 Gorenstein 局部环具有对偶复形，这是命题 0EFD 的一个特殊情形。若能给出该特殊情形的简短证明将很有帮助，因为后面一般有限性定理的证明会用到它。

注意，下述定理的假设对优良诺特环成立（由定义），对具有对偶复形的诺特环成立（《对偶复形》，引理 0A80 以及《对偶复形》，引理 0AWY），也对正则诺特环的商成立。

定理

设 \(A\) 是诺特环，\(I \subset A\) 是理想。置 \(Z = V(I) \subset \Spec(A)\)。设 \(M\) 是有限 \(A\)-模。令 \(s = s_{A, I}(M)\) 如式 (0BJR) 所示。假设

\(A\) 普遍链状；

\(A\) 的各局部环的形式纤维都是 Cohen–Macaulay 的。

则 \(H^i_Z(M)\) 在 \(0 \leq i < s\) 时是有限的，而 \(H^s_Z(M)\) 不是有限的。

证明

由引理 0AW9，可以假设 \(A\) 是局部环。

若 \(A\) 是诺特完备局部环，则由 Cohen 结构定理，可将 \(A\) 写成正则完备局部环 \(B\) 的商（《代数》，定理 032A）。使用引理 0BJS 和《对偶复形》，引理 0BJB，可归约到正则局部环的情形。这一情形由引理 0BJU 得出，因为正则局部环是 Gorenstein 的（《对偶复形》，引理 0AWX）。

设 \(A\) 是诺特局部环，\(\mathfrak m\) 是其极大理想。可以假设 \(I \subset \mathfrak m\)，否则结论显然。设 \(A^\wedge\) 是 \(A\) 的完备化， \(Z^\wedge = V(IA^\wedge)\)，并设 \(M^\wedge = M \otimes_A A^\wedge\) 是 \(M\) 的完备化（《代数》，引理 00MA）。则 \(H^i_Z(M) \otimes_A A^\wedge = H^i_{Z^\wedge}(M^\wedge)\)；这由《对偶复形》，引理 0ALZ 和 \(A \to A^\wedge\) 的平坦性得出（《代数》，引理 00MB）。因此只需证明 \(H^i_{Z^\wedge}(M^\wedge)\) 在 \(i < s\) 时有限、在 \(i = s\) 时不有限；见《代数》，引理 03C4。既然已知结论对 \(A^\wedge\) 成立，只需证明 \(s_{A, I}(M) = s_{A^\wedge, I^\wedge}(M^\wedge)\)。这由引理 0BJT 得出。

注

细心的读者会注意到，可以对 \(A\) 的各局部环的形式纤维施加稍弱的条件。具体而言，在定理 0BJV 的情形下，假设 \(A\) 普遍链状，但不对形式纤维作任何假设。设给定 \(n\)，并希望证明 \(H^i_Z(M)\) 在 \(i \leq n\) 时有限。完全相同的证明表明，只需 \(s_{A, I}(M) > n\)，且 \(A\) 的各局部环的形式纤维满足 \((S_n)\)。另一方面，若希望证明 \(H^s_Z(M)\) 不有限，其中 \(s = s_{A, I}(M)\)，则上述论证表明，只要形式纤维满足 \((S_{s - 1})\) 即可。

推前的有限性，II

本节延续第 0BL8 节的内容，并利用第 0BJQ 节中工作的成果。

引理

设 \(X\) 是局部诺特概形，\(j : U \to X\) 是开子概形的嵌入，其补集为 \(Z\)。设 \(\mathcal{F}\) 是凝聚 \(\mathcal{O}_U\)-模，\(n \geq 0\) 是整数。假设

\(X\) 普遍链状；

对每个 \(z \in Z\)，\(\mathcal{O}_{X, z}\) 的形式纤维满足 \((S_n)\)。

在这种情形下，下列条件等价：

对 \(x \in \text{Supp}(\mathcal{F})\) 和 \(z \in Z \cap \overline{\{x\}}\)，有 \(\text{depth}_{\mathcal{O}_{X, x}}(\mathcal{F}_x) + \dim(\mathcal{O}_{\overline{\{x\}}, z}) > n\),

\(R^pj_*\mathcal{F}\) 在 \(0 \leq p < n\) 时凝聚。

证明

该断言在 \(X\) 上是局部的，故可假设 \(X\) 仿射。记 \(X = \Spec(A)\) 与 \(Z = V(I)\)。设 \(M\) 是有限 \(A\)-模，使得与它对应的凝聚 \(\mathcal{O}_X\)-模限制为 \(\mathcal{F}\)（在 \(U\) 上）；见引理 0BK0。该引理还表明， \(R^pj_*\mathcal{F}\) 凝聚，当且仅当 \(H^{p + 1}_Z(M)\) 是有限 \(A\)-模。注意，下列表达式的最小值 \(\text{depth}_{\mathcal{O}_{X, x}}(\mathcal{F}_x) + \dim(\mathcal{O}_{\overline{\{x\}}, z})\) 就是式 (0BJR) 中的数 \(s_{A, I}(M)\)。于是引理由定理 0BJV 得出，正如注记 0BJW 所阐明的那样。

引理

设 \(X\) 是局部诺特概形，\(j : U \to X\) 是开子概形的嵌入，其补集为 \(Z\)。设 \(n \geq 0\) 是整数。若 \(R^pj_*\mathcal{O}_U\) 在 \(0 \leq p < n\) 时凝聚，则 \(R^pj_*\mathcal{F}\) 在 \(0 \leq p < n\) 时也凝聚；这里取任意有限局部自由 \(\mathcal{O}_U\)-模 \(\mathcal{F}\)。

证明

该问题在 \(X\) 上是局部的，故可假设 \(X\) 仿射。记 \(X = \Spec(A)\) 与 \(Z = V(I)\)。由引理 0BK0，本引理归结为引理 0BPY。

引理

设 \(A\) 是环，\(J \subset I \subset A\) 是有限生成理想，\(p \geq 0\) 是整数。置 \(U = \Spec(A) \setminus V(I)\)。若 \(H^p(U, \mathcal{O}_U)\) 被 \(J^n\) 零化（对某个 \(n\)），则 \(H^p(U, \mathcal{F})\) 被 \(J^m\) 零化（对某个 \(m = m(\mathcal{F})\)）；这对每个有限局部自由 \(\mathcal{O}_U\)-模 \(\mathcal{F}\) 都成立。

证明

考虑零化理想 \(\mathfrak a\)，它对应于 \(H^p(U, \mathcal{F})\)。取 \(u \in U\)。存在开邻域 \(u \in U' \subset U\) 以及同构 \(\varphi : \mathcal{O}_{U'}^{\oplus r} \to \mathcal{F}|_{U'}\)。选取 \(f \in A\)，使得 \(u \in D(f) \subset U'\)。存在映射 \[a : \mathcal{O}_U^{\oplus r} \longrightarrow \mathcal{F} \quad\text{且}\quad b : \mathcal{F} \longrightarrow \mathcal{O}_U^{\oplus r}\] ，它们在 \(D(f)\) 上的限制分别等于 \(f^N \varphi\) 和 \(f^N \varphi^{-1}\)，其中 \(N\) 适当。还可以假设 \(a \circ b\) 与 \(b \circ a\) 都等于乘以 \(f^{2N}\) 的映射。这由《性质》，引理 01XQ 得出，因为 \(U\) 拟紧（\(I\) 有限生成）且可分离，并且 \(\mathcal{F}\) 与 \(\mathcal{O}_U^{\oplus r}\) 都是有限呈示的。因此 \(H^p(U, \mathcal{F})\) 被 \(f^{2N}J^n\) 零化，即 \(f^{2N}J^n \subset \mathfrak a\)。

由于 \(U\) 拟紧，可以找到有限多个 \(f_1, \ldots, f_t\) 以及 \(N_1, \ldots, N_t\)，使得 \(U = \bigcup D(f_i)\) 且 \(f_i^{2N_i}J^n \subset \mathfrak a\)。于是 \(V(I) = V(f_1, \ldots, f_t)\)；由于 \(I\) 有限生成，可知 \(I^M \subset (f_1, \ldots, f_t)\) 对某个 \(M\) 成立。综上，\(J^m \subset \mathfrak a\) 对 \(m \gg 0\) 成立；例如取 \(m = M (2N_1 + \ldots + 2N_t) n\) 即可。

局部上同调的零化理想，II

把第 0EFB 节关于局部上同调零化理想的讨论，推广到上同调模有限的下有界复形。

定义

设 \(I\) 是诺特环 \(A\) 的理想，并设 \(K \in D^+_{\textit{Coh}}(A)\)。定义所谓\(I\)-深度（针对 \(K\)），记作 \(\text{depth}_I(K)\)，为最大 \(m \in \mathbf{Z} \cup \{\infty\}\)，使得 \(H^i_I(K) = 0\) 对所有 \(i < m\) 成立。若 \(A\) 是极大理想为 \(\mathfrak m\) 的局部环，则简称 \(\text{depth}_\mathfrak m(K)\) 为 \(K\) 的深度。

该定义与《代数》，定义 00LI 不冲突；这由《对偶复形》，引理 0AVZ 得出。

命题

设 \(A\) 是具有对偶复形的诺特环， \(T \subset T' \subset \Spec(A)\) 是在特化下稳定的子集。设 \(s \in \mathbf{Z}\)，并设 \(K\) 是 \(D_{\textit{Coh}}^+(A)\) 的对象。下列条件等价：

存在理想 \(J \subset A\)，满足 \(V(J) \subset T'\)，且 \(J\) 将 \(H^i_T(K)\) 对所有 \(i \leq s\) 零化；

对所有满足 \(\mathfrak p \not \in T'\)、 \(\mathfrak q \in T\) 以及 \(\mathfrak p \subset \mathfrak q\) 的情形，都有 \[\text{depth}_{A_\mathfrak p}(K_\mathfrak p) + \dim((A/\mathfrak p)_\mathfrak q) > s\]

证明

这是命题 0EFC 的自然推广；读者应先阅读该命题的证明。设 \(\omega_A^\bullet\) 是对偶复形，\(\delta\) 是其维数函数；见《对偶复形》，第 0A7W 节。下列有限 \(A\)-模将起重要作用： \[E^i = \Ext_A^i(K, \omega_A^\bullet)\] 对 \(\mathfrak p \subset A\)，记 \(H^i_\mathfrak p\) 为 \(D(A_\mathfrak p)\) 中对象关于 \(\mathfrak pA_\mathfrak p\) 的局部上同调。于是下式的 \(\mathfrak pA_\mathfrak p\)-进完备化 \[(E^i)_\mathfrak p = \Ext^{\delta(\mathfrak p) + i}_{A_\mathfrak p}(K_\mathfrak p, (\omega_A^\bullet)_\mathfrak p[-\delta(\mathfrak p)])\] 与下式 Matlis 对偶： \[H^{-\delta(\mathfrak p) - i}_{\mathfrak p}(K_\mathfrak p)\] 这由《对偶复形》，引理 0AAK 得出。特别地，由此得到如下事实：理想 \(J \subset A\) 将 \((E^i)_\mathfrak p\) 零化，当且仅当 \(J\) 将 \(H^{-\delta(\mathfrak p) - i}_{\mathfrak p}(K_\mathfrak p)\) 零化。

置 \(T_n = \{\mathfrak p \in T \mid \delta(\mathfrak p) \leq n\}\)。由于 \(\delta\) 是有界函数，可知 \(T_a = \emptyset\) 在 \(a \ll 0\) 时成立，而 \(T_b = T\) 在 \(b \gg 0\) 时成立。

假设 (2) 成立。来证明 (1) 中 \(J\) 的存在性。为此使用双重归纳。对 \(i \leq s\)，考虑归纳假设 \(IH_i\)：\(H^a_T(K)\) 被某个满足 \(J \subset A\) 与 \(V(J) \subset T'\) 的理想零化，其中 \(a \leq i\)。情形 \(IH_i\) 在 \(i\) 充分小时是显然的，因为 \(K\) 下有界。

归纳步骤。假设 \(IH_{i - 1}\) 对某个 \(i \leq s\) 成立。选取 \(J'\)，满足 \(V(J') \subset T'\)，使其将 \(H^a_T(K)\) 在 \(a \leq i - 1\) 时零化（归纳假设保证可以如此选取）。将对 \(n\) 作降归纳，证明存在理想 \(J\)，满足 \(V(J) \subset T'\)，使 \(J H^i_T(K)\) 的伴随素理想都属于 \(T_n\)。当 \(n \ll 0\) 时，这蕴含 \(JH^i_T(K) = 0\) （《代数》，引理 0587），因而 \(IH_i\) 成立。基础情形 \(n \gg 0\) 是显然的，因为此时 \(T = T_n\)，而 \(H^i_T(K)\) 的所有伴随素理想都属于 \(T\)。

于是设已给定 \(J\)，它对 \(n\) 具有上述性质。取 \(\mathfrak q \in T_n\)。令 \(T_\mathfrak q \subset \Spec(A_\mathfrak q)\) 为 \(T\) 的逆像。我们有 \(H^j_T(K)_\mathfrak q = H^j_{T_\mathfrak q}(K_\mathfrak q)\) ；见引理 0EF5。考虑谱序列 \[H_\mathfrak q^p(H^q_{T_\mathfrak q}(K_\mathfrak q)) \Rightarrow H^{p + q}_\mathfrak q(K_\mathfrak q)\] ，它来自引理 0EF6。下文将找到理想 \(J'' \subset A\)，满足 \(V(J'') \subset T'\)，使得 \(H^i_\mathfrak q(K_\mathfrak q)\) 被 \(J''\) 零化；这对所有 \(\mathfrak q \in T_n \setminus T_{n - 1}\) 都成立。断言：\(J (J')^i J''\) 对 \(n - 1\) 可行。事实上，取 \(\mathfrak q \in T_n \setminus T_{n - 1}\)。上述谱序列给出滤过 \[E_\infty^{0, i} = E_{i + 2}^{0, i} \subset \ldots \subset E_3^{0, i} \subset E_2^{0, i} = H^0_\mathfrak q(H^i_{T_\mathfrak q}(K_\mathfrak q))\] 。模 \(E_\infty^{0, i}\) 被 \(J''\) 零化。子商 \(E_j^{0, i}/E_{j + 1}^{0, i}\) 在 \(i + 1 \geq j \geq 2\) 时被 \(J'\) 零化，因为 \(d_j^{0, i}\) 的靶是下式的一个子商： \[H^j_\mathfrak q(H^{i - j + 1}_{T_\mathfrak q}(K_\mathfrak q)) = H^j_\mathfrak q(H^{i - j + 1}_T(K)_\mathfrak q)\] ，而 \(H^{i - j + 1}_T(K)_\mathfrak q\) 被 \(J'\) 零化；这是由 \(J'\) 的选取得出的。最后，由 \(J\) 的选取，有 \(J H^i_T(K)_\mathfrak q \subset H^0_\mathfrak q(H^i_T(K)_\mathfrak q)\) ，因为 \(\Spec(A_\mathfrak q)\) 的非闭点具有更大的 \(\delta\) 值。因此 \(\mathfrak q\) 不可能是 \(J(J')^iJ'' H^i_T(K)\) 的伴随素理想，正如所需。

由开头的讨论可知，\(J''\) 应将 \[(E^{-\delta(\mathfrak q) - i})_\mathfrak q = (E^{-n - i})_\mathfrak q\] 对所有 \(\mathfrak q \in T_n \setminus T_{n - 1}\) 零化。但若 \(J''\) 对某个 \(\mathfrak q\) 可行，则它对 \(\mathfrak q\) 的一个开邻域中的所有 \(\mathfrak q\) 都可行，因为模 \(E^{-n - i}\) 是有限的。由于 \(\Spec(A)\) 的每个子集在诱导拓扑下都是诺特的（《拓扑》，引理 0052），可知只需证明 \(J''\) 对某个 \(\mathfrak q\) 的存在性。

由于这些 Ext 模是有限的，\(J''\) 的存在性等价于 \[\text{Supp}(E^{-n - i}) \cap \Spec(A_\mathfrak q) \subset T'.\] 。这又等价于证明 \(E^{-n - i}\) 在每个满足 \(\mathfrak p \subset \mathfrak q\)、\(\mathfrak p \not \in T'\) 的点处的局部化为零。在 \(A_\mathfrak p\) 上使用局部对偶性，可知需要证明 \[H^{i + n - \delta(\mathfrak p)}_\mathfrak p(K_\mathfrak p) = H^{i - \dim((A/\mathfrak p)_\mathfrak q)}_\mathfrak p(K_\mathfrak p)\] 为零（这里用到 \(\delta\) 是维数函数）。由命题中的假设、\(i \leq s\) 以及定义 0EHY 中的深度定义，它确实为零。

为证明逆向蕴含，假设 (2) 不成立，并反向使用上述论证。首先选取 \(\mathfrak q \in T\)、\(\mathfrak p \subset \mathfrak q\)，满足 \(\mathfrak p \not \in T'\)，使得 \[i = \text{depth}_{A_\mathfrak p}(K_\mathfrak p) + \dim((A/\mathfrak p)_\mathfrak q) \leq s\] 取最小值。于是 \(H^{i - \dim((A/\mathfrak p)_\mathfrak q)}_\mathfrak p(K_\mathfrak p)\) 非零；这由定义 0EHY 中的深度定义得出。置 \(n = \delta(\mathfrak q)\)。此时不存在满足 \(J \subset A\) 与 \(V(J) \subset T'\) 的理想，使得 \(J(E^{-n - i})_\mathfrak q = 0\)。因此 \(H^i_\mathfrak q(K_\mathfrak q)\) 不被任何满足 \(J \subset A\) 与 \(V(J) \subset T'\) 的理想零化。由 \(i\) 的极小性和上面展示的谱序列，模 \(H^i_T(K)_\mathfrak q\) 不被任何满足 \(J \subset A\) 与 \(V(J) \subset T'\) 的理想零化。因此 \(H^i_T(K)\) 不被任何满足 \(J \subset A\) 与 \(V(J) \subset T'\) 的理想零化。命题得证。

局部上同调的有限性，III

把第 0AW7 节和第 0BJQ 节中关于局部上同调有限性的讨论，推广到上同调模有限的下有界复形。

引理

设 \(A\) 是诺特环，\(T \subset \Spec(A)\) 是在特化下稳定的子集， \(K\) 是 \(D_{\textit{Coh}}^+(A)\) 的对象。设 \(n \in \mathbf{Z}\)。下列条件等价：

\(H^i_T(K)\) 在 \(i \leq n\) 时有限；

存在理想 \(J \subset A\)，满足 \(V(J) \subset T\)，且 \(J\) 将 \(H^i_T(K)\) 对所有 \(i \leq n\) 零化。

若 \(T = V(I) = Z\)，其中 \(I \subset A\) 是理想，则它们还等价于

存在 \(e \geq 0\)，使得 \(I^e\) 将 \(H^i_Z(K)\) 对所有 \(i \leq n\) 零化。

证明

本引理是引理 0AW8 的自然推广；读者应先阅读后者的证明。假设 (1) 成立。回忆 \(H^i_J(K) = H^i_{V(J)}(K)\)；见《对偶复形》，引理 0955。因此 \(H^i_T(K) = \colim H^i_J(K)\)，其中余极限遍历满足 \(J \subset A\) 与 \(V(J) \subset T\) 的理想；见引理 0EF1。由于 \(H^i_T(K)\) 在 \(i \leq n\) 时有限生成，可以找到 (2) 中的 \(J \subset A\)，使得 \(H^i_J(K) \to H^i_T(K)\) 在 \(i \leq n\) 时满射。因此这有限组生成元都是 \(J\)-幂挠元，从而将 \(J\) 换成某个幂后 (2) 成立。

取整数 \(a \in \mathbf{Z}\)，使得 \(H^i(K) = 0\) 对 \(i < a\) 成立。证明 (2) \(\Rightarrow\) (1)，方法是对 \(a\) 作降归纳。若 \(a > n\)，则 \(H^i_T(K) = 0\) 对 \(i \leq n\) 成立，因而 (1) 与 (2) 都成立，无须再证。

假设已有 (2) 中的 \(J\)。注意 \(N = H^a_T(K) = H^0_T(H^a(K))\) 是有限 \(A\)-模 \(H^a(K)\) 的子模，因而有限。若 \(n = a\)，则已经完成；故以下假设 \(a < n\)。由 \(R\Gamma_T\) 的构造，有 \(H^i_T(N) = 0\) 对 \(i > 0\) 成立，且 \(H^0_T(N) = N\)；见注记 0EF4。选取特异三角 \[N[-a] \to K \to K' \to N[-a + 1]\] 。于是 \(H^a_T(K') = 0\)，且 \(H^i_T(K) = H^i_T(K')\) 对 \(i > a\) 成立。因此可以将 \(K\) 换成 \(K'\)，从而可假设 \(H^a_T(K) = 0\)。这意味着 \(H^a(K)\) 的有限伴随素理想集与 \(T\) 不交。由素避（《代数》，引理 00DS），可找到 \(f \in J\)，它不属于 \(H^a(K)\) 的任何伴随素理想。选取特异三角 \[L \to K \xrightarrow{f} K \to L[1]\] 。由构造可知 \(H^i(L) = 0\) 对 \(i \leq a\) 成立。另一方面，有上同调长正合列 \[0 \to H^{a + 1}_T(L) \to H^{a + 1}_T(K) \xrightarrow{f} H^{a + 1}_T(K) \to H^{a + 2}_T(L) \to H^{a + 2}_T(K) \xrightarrow{f} \ldots\] ，它分解为恒等式 \(H^{a + 1}_T(L) = H^{a + 1}_T(K)\) 和短正合列 \[0 \to H^{i - 1}_T(K) \to H^i_T(L) \to H^i_T(K) \to 0\] ；这里 \(i \leq n\)，且使用了 \(f \in J\)。由此可知 \(J^2\) 将 \(H^i_T(L)\) 对所有 \(i \leq n\) 零化。把归纳假设用于 \(L\)，可知 \(H^i_T(L)\) 在 \(i \leq n\) 时有限。再次使用短正合列，可知 \(H^i_T(K)\) 在 \(i \leq n\) 时有限，正如所需。

在 \(T = V(I)\) 的情形下，省略 (2) 与 (3) 等价性的证明。

命题

设 \(A\) 是具有对偶复形的诺特环， \(T \subset \Spec(A)\) 是在特化下稳定的子集。设 \(s \in \mathbf{Z}\)，\(K \in D_{\textit{Coh}}^+(A)\)。下列条件等价：

\(H^i_T(K)\) 是有限 \(A\)-模，其中 \(i \leq s\)；

对所有满足 \(\mathfrak p \not \in T\)、\(\mathfrak q \in T\) 以及 \(\mathfrak p \subset \mathfrak q\) 的情形，都有 \[\text{depth}_{A_\mathfrak p}(K_\mathfrak p) + \dim((A/\mathfrak p)_\mathfrak q) > s\]

证明

这是命题 0EHZ 和引理 0EI1 的形式推论。

改进凝聚模

类似的构造可见于 [EGA]，以及较近期的 [Kollar-local-global-hulls] 和 [Kollar-variants]。

引理

设 \(X\) 是诺特概形，\(T \subset X\) 是在特化下稳定的子集， \(\mathcal{F}\) 是凝聚 \(\mathcal{O}_X\)-模。则存在唯一同态 \(\mathcal{F} \to \mathcal{F}'\)，它是凝聚 \(\mathcal{O}_X\)-模之间的同态，并且

\(\mathcal{F} \to \mathcal{F}'\) 是满射；

\(\mathcal{F}_x \to \mathcal{F}'_x\) 对 \(x \not \in T\) 是同构；

\(\text{depth}_{\mathcal{O}_{X, x}}(\mathcal{F}'_x) \geq 1\) 对 \(x \in T\) 成立。

若 \(f : Y \to X\) 是平坦态射且 \(Y\) 诺特，则 \(f^*\mathcal{F} \to f^*\mathcal{F}'\) 是相对于 \(f^{-1}(T) \subset Y\) 和 \(f^*\mathcal{F}\) 的相应商。

证明

条件 (3) 恰好意味着 \(\text{Ass}(\mathcal{F}') \cap T = \emptyset\)。因此，\(\mathcal{F} \to \mathcal{F}'\) 是 \(\mathcal{F}\) 对支集包含于 \(T\) 的截面所成子层取商而得的商。这证明了唯一性。关于拉回的陈述由《除子》，引理 05DB 及唯一性得出。

\(\mathcal{F} \to \mathcal{F}'\) 的存在性。由唯一性，只需在 \(X\) 上局部证明存在性与唯一性；略去一个小细节。因此可以假设 \(X = \Spec(A)\) 是仿射的，且 \(\mathcal{F}\) 是由有限 \(A\)-模 \(M\) 所伴随的凝聚模。令 \(M' = M / H^0_T(M)\)，其中 \(H^0_T(M)\) 如第 0EEY 节所定义。于是 \(M_\mathfrak p = M'_\mathfrak p\) 对 \(\mathfrak p \not \in T\) 成立，这证明了 (1)。另一方面，\(H^0_T(M) = \colim H^0_Z(M)\)，其中 \(Z\) 遍历 \(X\) 的、包含于 \(T\) 的闭子集。因此，由《对偶复形》，引理 0AW0，有 \(H^0_T(M') = 0\)；也就是说， \(M'\) 的任何伴随素理想均不在 \(T\) 中。因此， \(\text{depth}(M'_\mathfrak p) \geq 1\) 对 \(\mathfrak p \in T\) 成立。

引理

设 \(j : U \to X\) 是诺特概形间的开浸入，\(\mathcal{F}\) 是凝聚 \(\mathcal{O}_X\)-模。假设 \(\mathcal{F}' = j_*(\mathcal{F}|_U)\) 是凝聚的。则 \(\mathcal{F} \to \mathcal{F}'\) 是唯一满足下列条件的凝聚 \(\mathcal{O}_X\)-模同态：

\(\mathcal{F}|_U \to \mathcal{F}'|_U\) 是同构；

\(\text{depth}_{\mathcal{O}_{X, x}}(\mathcal{F}'_x) \geq 2\) 对 \(x \in X\) 且 \(x \not \in U\) 成立。

若 \(f : Y \to X\) 是平坦态射且 \(Y\) 诺特，则 \(f^*\mathcal{F} \to f^*\mathcal{F}'\) 是相对于 \(f^{-1}(U) \subset Y\) 的相应同态。

证明

由《除子》，引理 0EY0 的第 (3) 部分，有 \(\text{depth}_{\mathcal{O}_{X, x}}(\mathcal{F}'_x) \geq 2\)。 \(\mathcal{F} \to \mathcal{F}'\) 的唯一性来自《除子》，引理 0E9I。与平坦拉回的相容性来自平坦基变换；见《概形的上同调》，引理 02KH。

引理

设 \(X\) 是诺特概形，\(Z \subset X\) 是闭子概形，\(\mathcal{F}\) 是凝聚 \(\mathcal{O}_X\)-模。假设 \(X\) 普遍链状，且其局部环的形式纤维满足 \((S_1)\)。则存在唯一同态 \(\mathcal{F} \to \mathcal{F}''\)，它是凝聚 \(\mathcal{O}_X\)-模之间的同态，并且

\(\mathcal{F}_x \to \mathcal{F}''_x\) 对 \(x \in X \setminus Z\) 是同构；

\(\mathcal{F}_x \to \mathcal{F}''_x\) 是满射，且 \(\text{depth}_{\mathcal{O}_{X, x}}(\mathcal{F}''_x) = 1\)，其中 \(x \in Z\) 满足存在直接特化 \(x' \leadsto x\)，并且 \(x' \not \in Z\)、 \(x' \in \text{Ass}(\mathcal{F})\)；

\(\text{depth}_{\mathcal{O}_{X, x}}(\mathcal{F}''_x) \geq 2\) 对其余 \(x \in Z\) 成立。

若 \(f : Y \to X\) 是 Cohen–Macaulay 态射且 \(Y\) 诺特，则 \(f^*\mathcal{F} \to f^*\mathcal{F}''\) 对 \(f^{-1}(Z) \subset Y\) 满足同样的性质。

证明

令 \(\mathcal{F} \to \mathcal{F}'\) 为引理 0DX3 针对 \(Z\)（\(X\) 的子集）所构造的同态。回顾 \(\mathcal{F}'\) 是 \(\mathcal{F}\) 对支集在 \(Z\) 上的截面所成子层取商而得的商。

先证明唯一性。设 \(\mathcal{F} \to \mathcal{F}''\) 如本引理所述。得到分解 \(\mathcal{F} \to \mathcal{F}' \to \mathcal{F}''\)，因为由条件 (2) 与 (3)，有 \(\text{Ass}(\mathcal{F}'') \cap Z = \emptyset\)。令 \(U \subset X\) 为使得 \(\mathcal{F}'|_U \to \mathcal{F}''|_U\) 是同构的极大开子概形。可以看出，\(U\) 包含 (2) 中所述的所有点。于是由《除子》，引理 0E9I，可知 \(\mathcal{F}'' = j_*(\mathcal{F}'|_U)\)。这便给出唯一性（一个小细节是：若有两个这样的 \(\mathcal{F}''\)，则取分别所得开集 \(U\) 的交）。

证明存在性。回顾 \(\text{Ass}(\mathcal{F}') = \{x_1, \ldots, x_n\}\) 是有限集，且 \(x_i \not \in Z\)。令 \(Y_i\) 为 \(\{x_i\}\) 的闭包，并令 \(Z_{i, j}\) 为 \(Z \cap Y_i\) 的不可约分支。注意 \(\text{Supp}(\mathcal{F}') \cap Z = \bigcup Z_{i, j}\)。令 \(z_{i, j} \in Z_{i, j}\) 为泛点，并令 \[d_{i, j} = \dim(\mathcal{O}_{\overline{\{x_i\}}, z_{i, j}})\] 若 \(d_{i, j} = 1\)，则 \(z_{i, j}\) 是 (2) 中所述的点之一，故无须在这些点处修改 \(\mathcal{F}'\)。此外，仍假设 \(d_{i, j} = 1\)，利用引理 0DWY，可以找到开邻域 \(z_{i, j} \in V_{i, j} \subset X\)，使得 \(\text{depth}_{\mathcal{O}_{X, z}}(\mathcal{F}'_z) \geq 2\) 对 \(z \in Z_{i, j} \cap V_{i, j}\) 且 \(z \not = z_{i, j}\) 成立。令 \[Z' = X \setminus \left( X \setminus Z \cup \bigcup\nolimits_{d_{i, j} = 1} V_{i, j}) \right)\] 记 \(j' : X \setminus Z' \to X\)。由我们对 \(Z'\) 的选择，引理 0AWB 的假设均得到满足。令 \(\mathcal{F}'' = j'_*(\mathcal{F}'|_{X \setminus Z'})\)，并应用引理 0DX4，即可得出结论。

最后一个陈述来自深度沿平坦局部同态的变化公式（见《代数》，引理 0338），以及 \(f\) 为 Cohen–Macaulay 态射这一条件中所包含的对 \(f\) 的纤维的假设。略去细节。

引理

设 \(X\) 是局部具有对偶复形的诺特概形，\(T' \subset X\) 是在特化下稳定的子集，\(\mathcal{F}\) 是凝聚 \(\mathcal{O}_X\)-模。假设只要 \(x \leadsto x'\) 是 \(X\) 中点的直接特化，且 \(x' \in T'\)、 \(x \not \in T'\)，就有 \(\text{depth}(\mathcal{F}_x) \geq 1\)。则存在唯一同态 \(\mathcal{F} \to \mathcal{F}''\)，它是凝聚 \(\mathcal{O}_X\)-模之间的同态，并且

\(\mathcal{F}_x \to \mathcal{F}''_x\) 对 \(x \not \in T'\) 是同构；

\(\text{depth}_{\mathcal{O}_{X, x}}(\mathcal{F}''_x) \geq 2\) 对 \(x \in T'\) 成立。

若 \(f : Y \to X\) 是 Cohen–Macaulay 态射且 \(Y\) 诺特，则 \(f^*\mathcal{F} \to f^*\mathcal{F}''\) 对 \(f^{-1}(T') \subset Y\) 满足同样的性质。

证明

证明唯一性。设 \(\mathcal{F} \to \mathcal{F}''\) 如本引理所述。令 \(U \subset X\) 为使得 \(\mathcal{F}|_U \to \mathcal{F}''|_U\) 是同构的极大开子概形。由 (1)，可见 \(U\) 包含集合 \(X \setminus T'\)。由 (2) 以及《除子》，引理 0E9I，可知 \(\mathcal{F}'' = j_*(\mathcal{F}|_U)\)，其中 \(j : U \to X\) 是包含态射。这便给出唯一性（一个小细节是：若有两个这样的 \(\mathcal{F}''\)，则取分别所得开集 \(U\) 的交）。

证明存在性。令 \(\mathcal{F} \to \mathcal{F}'\) 为 \(\mathcal{F}\) 的商，它由引理 0DX3 利用 \(T'\) 构造。回顾 \(\mathcal{F}'\) 是 \(\mathcal{F}\) 对支集在 \(T'\) 上的截面所成子层取商而得的商。定义 \[\mathcal{F}'' = \colim j_*(\mathcal{F}'|_V)\] 其中 \(j : V \to X\) 遍历满足 \(X \setminus V \subset T'\) 的开子概形。由于 \(T'\) 在特化下稳定，注意此余极限是滤过的。每个同态 \(\mathcal{F}' \to j_*(\mathcal{F}'|_V)\) 都是单射，因为 \(\text{Ass}(\mathcal{F}')\) 与 \(T'\) 不交。因此 \(\mathcal{F}' \to \mathcal{F}''\) 是单射。

假设 \(X = \Spec(A)\) 是仿射的，且 \(\mathcal{F}\) 对应于有限 \(A\)-模 \(M\)。则 \(\mathcal{F}'\) 对应于 \(M' = M / H^0_{T'}(M)\)；见引理 0DX3 的证明。应用引理 0DWR 与 0EF1，可见 \(\mathcal{F}''\) 对应于一个 \(A\)-模 \(M''\)，它位于短正合列 \[0 \to M' \to M'' \to H^1_{T'}(M') \to 0\] 中。由命题 0EFD 以及本引理陈述中对直接特化的条件，可见 \(M''\) 是有限 \(A\)-模。由此可见 \(\mathcal{F}''\) 是凝聚的。

由 \(\mathcal{F}''\) 的凝聚性以及上述滤过余极限中转移同态的单射性，可知 \(\mathcal{F}'' = j_*(\mathcal{F}'|_V)\) 对任意如上足够小的 \(V\) 都成立。于是条件 (1) 与 (2) 由引理 0DX4 得出。

最后一个陈述来自深度沿平坦局部同态的变化公式（见《代数》，引理 0338），以及 \(f\) 为 Cohen–Macaulay 态射这一条件中所包含的对 \(f\) 的纤维的假设。略去细节。

引理

设 \(X\) 是局部具有对偶复形的诺特概形。设 \(T' \subset T \subset X\) 是在特化下稳定的子集，并且只要 \(x \leadsto x'\) 是 \(X\) 中点的直接特化且 \(x' \in T'\)，就有 \(x \in T\)。设 \(\mathcal{F}\) 是凝聚 \(\mathcal{O}_X\)-模。则存在唯一同态 \(\mathcal{F} \to \mathcal{F}''\)，它是凝聚 \(\mathcal{O}_X\)-模之间的同态，并且

\(\mathcal{F}_x \to \mathcal{F}''_x\) 对 \(x \not \in T\) 是同构；

\(\mathcal{F}_x \to \mathcal{F}''_x\) 是满射，并且 \(\text{depth}_{\mathcal{O}_{X, x}}(\mathcal{F}''_x) \geq 1\) 对 \(x \in T\) 且 \(x \not \in T'\) 成立；

\(\text{depth}_{\mathcal{O}_{X, x}}(\mathcal{F}''_x) \geq 2\) 对 \(x \in T'\) 成立。

若 \(f : Y \to X\) 是 Cohen–Macaulay 态射且 \(Y\) 诺特，则 \(f^*\mathcal{F} \to f^*\mathcal{F}''\) 对 \(f^{-1}(T') \subset f^{-1}(T) \subset Y\) 满足同样的性质。

证明

首先，令 \(\mathcal{F} \to \mathcal{F}'\) 为 \(\mathcal{F}\) 的商，它由引理 0DX3 利用 \(T\) 构造。其次，令 \(\mathcal{F}' \to \mathcal{F}''\) 为引理 0EI3 利用 \(T'\) 所构造的唯一凝聚模同态。于是 \(\mathcal{F} \to \mathcal{F}''\) 正是所求。

Hartshorne–Lichtenbaum 消失定理

这一消失结果是 Lichtenbaum 定理的局部对应；读者可在《概形的对偶性》，第 0G5D 节中找到该定理。这一结果以及其他许多内容可见于 [CD]。

引理

设 \(A\) 是维数为 \(d\) 的诺特环，\(I \subset I' \subset A\) 是理想。若 \(I'\) 包含于 \(A\) 的 Jacobson 根，并且 \(\text{cd}(A, I') < d\)，则 \(\text{cd}(A, I) < d\)。

证明

由引理 0DXC，已知 \(\text{cd}(A, I) \leq d\)。我们将利用引理 0DWV 证明 \[H^d_{V(I')}(A) \to H^d_{V(I)}(A)\] 是满射，这将完成证明。取 \(\mathfrak p \in V(I) \setminus V(I')\)。由对 \(I'\) 的假设，可见 \(\mathfrak p\) 不是 \(A\) 的极大理想。因此 \(\dim(A_\mathfrak p) < d\)。于是由引理 0DXC， \(H^d_{\mathfrak pA_\mathfrak p}(A_\mathfrak p) = 0\)。

引理

设 \(A\) 是维数为 \(d\) 的诺特环，\(I \subset A\) 是理想。若 \(H^d_{V(I)}(M) = 0\) 对某个有限 \(A\)-模成立，且该模的支集包含所有维数为 \(d\) 的不可约分支，则 \(\text{cd}(A, I) < d\)。

证明

由引理 0DXC，已知 \(\text{cd}(A, I) \leq d\)。因此，对任意有限 \(A\)-模 \(N\)，都有 \(H^i_{V(I)}(N) = 0\)，其中 \(i > d\)。我们约定：性质 \(\mathcal{P}\) 对有限 \(A\)-模 \(N\) 成立，是指 \(H^d_{V(I)}(N) = 0\)。我们的一个假设是 \(\mathcal{P}(M)\) 成立。注意 \(\mathcal{P}(N_1 \oplus N_2) \Leftrightarrow (\mathcal{P}(N_1) \wedge \mathcal{P}(N_2))\)。还要注意，若 \(N \to N'\) 是满射，则 \(\mathcal{P}(N) \Rightarrow \mathcal{P}(N')\)，因为 \(H^{d + 1}_{V(I)}\) 消失（见上文）。令 \(\mathfrak p_1, \ldots, \mathfrak p_n\) 为 \(A\) 的满足 \(\dim(A/\mathfrak p_i) = d\) 的极小素理想。注意，由维数原因， \(\mathcal{P}(N)\) 在 \(N\) 的支集与 \(\{\mathfrak p_1, \ldots, \mathfrak p_n\}\) 不交时成立；见引理 0DXC。对每个 \(i\)，令 \(M_i = M/\mathfrak p_i M\)。这是一个有限 \(A\)-模，被 \(\mathfrak p_i\) 零化，其支集等于 \(V(\mathfrak p_i)\)（这里使用了对 \(M\) 的支集的假设）。最后，若 \(J \subset A\) 是理想，则 \(\mathcal{P}(JM_i)\) 成立，因为 \(JM_i\) 是若干个 \(M\) 的直和的商。因此，由《概形的上同调》，引理 01YM，性质 \(\mathcal{P}\) 对每个有限 \(A\)-模均成立。

引理

设 \(A\) 是维数为 \(d\) 的诺特局部环。设 \(f \in A\) 不包含于任何维数为 \(d\) 的极小素理想。则同态 \(f : H^d_{V(I)}(M) \to H^d_{V(I)}(M)\) 对任意有限 \(A\)-模 \(M\) 以及任意理想 \(I \subset A\) 都是满射。

证明

\(M/fM\) 的支集维数 \(< d\)，这是由我们对 \(f\) 的假设得出的。因此，由引理 0DXC，\(H^d_{V(I)}(M/fM) = 0\)。从而 \(H^d_{V(I)}(fM) \to H^d_{V(I)}(M)\) 是满射。又因由引理 0DXC 已知 \(\text{cd}(A, I) \leq d\)，还可看出满射 \(M \to fM\)，\(x \mapsto fx\) 诱导出满射 \(H^d_{V(I)}(M) \to H^d_{V(I)}(fM)\)。

引理

设 \(A\) 是具有规范化对偶复形 \(\omega_A^\bullet\) 的诺特局部环。设 \(I \subset A\) 是理想。若 \(H^0_{V(I)}(\omega_A^\bullet) = 0\)，则 \(\text{cd}(A, I) < \dim(A)\)。

证明

令 \(d = \dim(A)\)。设 \(\mathfrak p_1, \ldots, \mathfrak p_n \subset A\) 为维数为 \(d\) 的极小素理想。回顾有限 \(A\)-模 \(H^{-i}(\omega_A^\bullet)\) 仅当 \(i \in \{0, \ldots, d\}\) 时可能非零，而且 \(H^{-i}(\omega_A^\bullet)\) 的支集维数 \(\leq i\)；见引理 0DWZ。令 \(\omega_A = H^{-d}(\omega_A^\bullet)\)。由素避（《代数》，引理 00DS），可以找到 \(f \in A\)，\(f \not \in \mathfrak p_i\)，它零化 \(H^{-i}(\omega_A^\bullet)\)，其中 \(i < d\)。考虑特异三角 \[\omega_A[d] \to \omega_A^\bullet \to \tau_{\geq -d + 1}\omega_A^\bullet \to \omega_A[d + 1]\] 见《导出范畴》，评注 08J5。由《导出范畴》，引理 08Q2，可见 \(f^d\) 在 \(\tau_{\geq -d + 1}\omega_A^\bullet\) 上诱导零自同态。利用三角范畴的公理，可以找到一个同态 \[\omega_A^\bullet \to \omega_A[d]\] 它与 \(\omega_A[d] \to \omega_A^\bullet\) 的复合是乘以 \(f^d\)，这一乘法作用在 \(\omega_A[d]\) 上。因此可知 \(f^d\) 零化 \(H^d_{V(I)}(\omega_A)\)。由引理 0EB3，可知 \(H^d_{V(I)}(\omega_A) = 0\)。再结合引理 0EB2 以及 \((\omega_A)_{\mathfrak p_i}\) 非零这一事实（例如见《对偶复形》，引理 0A7V），便得到结论。

引理

设 \((A, \mathfrak m)\) 是完备诺特局部整环， \(\mathfrak p \subset A\) 是维数为 \(1\) 的素理想。对每个 \(n \geq 1\)，都存在 \(m \geq n\)，使得 \(\mathfrak p^{(m)} \subset \mathfrak p^n\)。

证明

回顾符号幂 \(\mathfrak p^{(m)}\) 定义为 \(A \to A_\mathfrak p/\mathfrak p^mA_\mathfrak p\) 的核。由于局部化是正合的，可知在短正合列 \[0 \to \mathfrak a_n \to A/\mathfrak p^n \to A/\mathfrak p^{(n)} \to 0\] 中，\(\mathfrak a_n\) 的支集包含于 \(\{\mathfrak m\}\)。特别地，逆系统 \((\mathfrak a_n)\) 满足 Mittag–Leffler 条件，因为每个 \(\mathfrak a_n\) 都是阿廷 \(A\)-模。由此可知，本引理等价于要求 \(\lim \mathfrak a_n = 0\)。设 \(f \in \lim \mathfrak a_n\)。则 \(f\) 是 \(A = \lim A/\mathfrak p^n\) 的元素（这里使用了 \(A\) 的完备性），它在完备化 \(A_\mathfrak p^\wedge\)（即 \(A_\mathfrak p\) 的完备化）中映为零。由于 \(A_\mathfrak p \to A_\mathfrak p^\wedge\) 忠实平坦，可见 \(f\) 在 \(A_\mathfrak p\) 中映为零。由于 \(A\) 是整环，可见 \(f\) 如所需为零。

命题

设 \(A\) 是诺特局部环，其完备化为 \(A^\wedge\)。设 \(I \subset A\) 是理想，并且 \[\dim V(IA^\wedge + \mathfrak p) \geq 1\] 对每个极小素理想 \(\mathfrak p \subset A^\wedge\) 都成立，其中该素理想的维数为 \(\dim(A)\)。则 \(\text{cd}(A, I) < \dim(A)\)。

证明

由于 \(A \to A^\wedge\) 忠实平坦，由《对偶复形》，引理 0ALZ，有 \(H^d_{V(I)}(A) \otimes_A A^\wedge = H^d_{V(IA^\wedge)}(A^\wedge)\) 。因此可以假设 \(A\) 是完备的。

假设 \(A\) 完备。设 \(\mathfrak p_1, \ldots, \mathfrak p_n \subset A\) 为维数为 \(d\) 的极小素理想。考虑完备局部环 \(A_i = A/\mathfrak p_i\)。由《对偶复形》，引理 0BJB，有 \(H^d_{V(I)}(A_i) = H^d_{V(IA_i)}(A_i)\)。由引理 0EB2，只需对 \((A_i, IA_i)\) 证明本引理。因此可以假设 \(A\) 是完备局部整环。

假设 \(A\) 是完备局部整环。可以选取素理想 \(\mathfrak p \supset I\)，使得 \(\dim(A/\mathfrak p) = 1\)。由引理 0EB1，只需对 \(\mathfrak p\) 证明本引理。

由引理 0EB4，只需证明 \(H^0_{V(\mathfrak p)}(\omega_A^\bullet) = 0\)。回顾 \[H^0_{V(\mathfrak p)}(\omega_A^\bullet) = \colim \text{Ext}^0_A(A/\mathfrak p^n, \omega_A^\bullet)\] 由引理 0EB5，可见此余极限等于 \[\colim \text{Ext}^0_A(A/\mathfrak p^{(n)}, \omega_A^\bullet)\] 由于 \(\text{depth}(A/\mathfrak p^{(n)}) = 1\)，由引理 0DWZ，可见这些 Ext 群为零，正如所需。

引理

设 \((A, \mathfrak m)\) 是诺特局部环，\(I \subset A\) 是理想。假设 \(A\) 优良且正规，并且 \(\dim V(I) \geq 1\)。则 \(\text{cd}(A, I) < \dim(A)\)。特别地，若 \(\dim(A) = 2\)，则 \(\Spec(A) \setminus V(I)\) 是仿射的。

证明

由《代数进阶》，引理 0C23，完备化 \(A^\wedge\) 是正规的，因而是整环。因此，命题 0EB6 的假设成立，结论随之得出。关于仿射性的陈述来自引理 0DXD。

Frobenius 作用

设 \(p\) 是素数，\(A\) 是使得 \(p = 0\) 在 \(A\) 中成立的环。 \(A\) 的Frobenius 自同态是同态 \[F : A \longrightarrow A, \quad a \longmapsto a^p\] 本节证明若干关于具有 Frobenius 作用的模的引理。

引理

设 \(p\) 是素数。设 \((A, \mathfrak m, \kappa)\) 是诺特局部环，且 \(p = 0\) 在 \(A\) 中成立。设 \(M\) 是有限 \(A\)-模，并且 \(M \otimes_{A, F} A \cong M\)。则 \(M\) 是有限自由模。

证明

选取一个展示 \(A^{\oplus m} \to A^{\oplus n} \to M\)，它诱导同构 \(\kappa^{\oplus n} \to M/\mathfrak m M\)。令 \(T = (a_{ij})\) 为同态 \(A^{\oplus m} \to A^{\oplus n}\) 的矩阵。注意 \(a_{ij} \in \mathfrak m\)。沿 \(F\) 作基变换，并利用基变换的右正合性，得到一个展示 \(A^{\oplus m} \to A^{\oplus n} \to M\)，其中矩阵为 \(T = (a_{ij}^p)\)。因此，我们得到一个满足 \(a_{ij} \in \mathfrak m^p\) 的展示。重复这一构造，可知对每个 \(e \geq 1\)，都存在满足 \(a_{ij} \in \mathfrak m^e\) 的展示。这意味着 Fitting 理想（《代数进阶》，定义 07Z9）\(\text{Fit}_k(M)\) 在 \(k < n\) 时包含于 \(\bigcap_{e \geq 1} \mathfrak m^e\)。由 Krull 交定理（《代数》，引理 00IP），后者为零，因此由《代数进阶》，引理 07ZD，可知 \(M\) 是秩为 \(n\) 的自由模。

在本节中，称元素 \(f_1, \ldots, f_r\)（属于环 \(A\)）是独立的，如果 \(\sum a_if_i = 0\) 蕴含 \(a_i \in (f_1, \ldots, f_r)\)。换言之，令 \(I = (f_1, \ldots, f_r)\)，则 \(I/I^2\) 是自由 \(A/I\)-模，其基为 \(f_1, \ldots, f_r\)。

引理

设 \(A\) 是环。若 \(f_1, \ldots, f_{r - 1}, f_rg_r\) 独立，则 \(f_1, \ldots, f_r\) 独立。

证明

设 \(\sum a_if_i = 0\)。则 \(\sum a_ig_rf_i = 0\)。因此 \(a_r \in (f_1, \ldots, f_{r - 1}, f_rg_r)\)。写成 \(a_r = \sum_{i < r} b_i f_i + b f_rg_r\)。于是 \(0 = \sum_{i < r} (a_i + b_if_r)f_i + bf_r^2g_r\)。从而 \(a_i + b_i f_r \in (f_1, \ldots, f_{r - 1}, f_rg_r)\)，这蕴含 \(a_i \in (f_1, \ldots, f_r)\)，正如所需。

引理

设 \(A\) 是环。若 \(f_1, \ldots, f_{r - 1}, f_rg_r\) 独立，且 \(A\)-模 \(A/(f_1, \ldots, f_{r - 1}, f_rg_r)\) 具有有限长度，则 \[\begin{align*} & \text{length}_A(A/(f_1, \ldots, f_{r - 1}, f_rg_r)) \\ & = \text{length}_A(A/(f_1, \ldots, f_{r - 1}, f_r)) + \text{length}_A(A/(f_1, \ldots, f_{r - 1}, g_r)) \end{align*}\]

证明

我们断言存在正合列 \[0 \to A/(f_1, \ldots, f_{r - 1}, g_r) \xrightarrow{f_r} A/(f_1, \ldots, f_{r - 1}, f_rg_r) \to A/(f_1, \ldots, f_{r - 1}, f_r) \to 0\] 事实上，若 \(a f_r \in (f_1, \ldots, f_{r - 1}, f_rg_r)\)，则 \(\sum_{i < r} a_i f_i + (a + bg_r)f_r = 0\) 对某些 \(b, a_i \in A\) 成立。因此 \(\sum_{i < r} a_i g_r f_i + (a + bg_r)g_rf_r = 0\)，这蕴含 \(a + bg_r \in (f_1, \ldots, f_{r - 1}, f_rg_r)\)，也就是说，\(a\) 在 \(A/(f_1, \ldots, f_{r - 1}, g_r)\) 中映为零。这证明了断言。最后使用长度的可加性（《代数》，引理 00IV）。

引理

设 \((A, \mathfrak m)\) 是局部环。若 \(\mathfrak m = (x_1, \ldots, x_r)\)，并且 \(x_1^{e_1}, \ldots, x_r^{e_r}\) 对某些 \(e_i > 0\) 独立，则 \(\text{length}_A(A/(x_1^{e_1}, \ldots, x_r^{e_r})) = e_1\ldots e_r\)。

证明

使用引理 0EBW、引理 0EBX 以及归纳法。

引理

设 \(\varphi : A \to B\) 是平坦环同态。若 \(f_1, \ldots, f_r \in A\) 独立，则 \(\varphi(f_1), \ldots, \varphi(f_r) \in B\) 独立。

证明

令 \(I = (f_1, \ldots, f_r)\) 且 \(J = \varphi(I)B\)。由平坦性，有 \(I/I^2 \otimes_A B = J/J^2\)。因此，\(I/I^2\) 作为 \(A/I\)-模的自由性蕴含 \(J/J^2\) 作为 \(B/J\)-模的自由性。

引理

设 \(p\) 是素数。设 \(A\) 是满足 \(p = 0\) 的诺特环。下列条件等价：

\(A\) 是正则的；

\(F : A \to A\)，\(a \mapsto a^p\)，是平坦的。

证明

注意 \(\Spec(F) : \Spec(A) \to \Spec(A)\) 是恒等映射。正则性由局部环定义，而平坦性也是局部环的性质；见《代数》，引理 00HT。因此可以并且确实假设 \(A\) 是以 \(\mathfrak m\) 为极大理想的诺特局部环。

假设 \(A\) 正则。设 \(x_1, \ldots, x_d\) 是 \(A\) 的一组参数系。应用 \(F\)，得到 \(F(x_1), \ldots, F(x_d) = x_1^p, \ldots, x_d^p\)，它也是 \(A\) 的一组参数系。因此 \(F\) 平坦；见《代数》，引理 00R4 与 00NQ。

反之，假设 \(F\) 平坦。写成 \(\mathfrak m = (x_1, \ldots, x_r)\)，其中 \(r\) 极小。则 \(x_1, \ldots, x_r\) 在上述意义下独立。由于 \(F\) 平坦，可见 \(x_1^p, \ldots, x_r^p\) 独立；见引理 0EBZ。因此，由引理 0EBY， \(\text{length}_A(A/(x_1^p, \ldots, x_r^p)) = p^r\)。令 \(\chi(n) = \text{length}_A(A/\mathfrak m^n)\)，并回顾这是一个次数为 \(\dim(A)\) 的数值多项式；见《代数》，命题 00KQ。选取 \(n \gg 0\)。注意 \[\mathfrak m^{pn + pr} \subset F(\mathfrak m^n)A \subset \mathfrak m^{pn}\] 这一点可通过考察 \(x_1, \ldots, x_r\) 中的单项式看出。我们有 \[A/F(\mathfrak m^n)A = A/\mathfrak m^n \otimes_{A, F} A\] 由 \(F\) 的平坦性，它的长度为 \(\chi(n) \text{length}_A(A/F(\mathfrak m)A)\) （《代数》，引理 02M1），而由上文，这等于 \(p^r\chi(n)\)。所以 \[\chi(pn + pr) \geq p^r\chi(n) \geq \chi(pn)\] 考察首项可知这蕴含 \(r = \dim(A)\)，也就是说，\(A\) 是正则的。

某些模的结构

这里给出若干关于正则局部环上某些类型模的结构的结果。这类结果以及更多内容可见于 [Huneke-Sharp]、[Lyubeznik]、[Lyubeznik2]。

引理

设 \(k\) 是特征为 \(0\) 的域，\(d \geq 1\)。设 \(A = k[[x_1, \ldots, x_d]]\)，其极大理想为 \(\mathfrak m\)。设 \(M\) 是 \(\mathfrak m\)-幂挠 \(A\)-模，并赋有满足 Leibniz 法则的加性算子 \(D_1, \ldots, D_d\)： \[D_i(fz) = \partial_i(f) z + f D_i(z)\] 其中 \(f \in A\) 且 \(z \in M\)。这里，\(\partial_i\) 是关于 \(x_i\) 的微分。则 \(M\) 同构于若干个单射包 \(E\)（即 \(k\) 的单射包）的直和。

证明

选取集合 \(J\) 以及同构 \(M[\mathfrak m] \to \bigoplus_{j \in J} k\)。由于 \(\bigoplus_{j \in J} E\) 是单射的（《对偶复形》，引理 08XV），可以将此同构延拓为 \(A\)-模同态 \(\varphi : M \to \bigoplus_{j \in J} E\)。我们断言 \(\varphi\) 是同构，也就是说，是双射。

单射性。设 \(z \in M\) 非零。由于 \(M\) 是 \(\mathfrak m\)-幂挠的，可以选取元素 \(f \in A\)，使得 \(fz \in M[\mathfrak m]\) 且 \(fz \not = 0\)。于是 \(\varphi(fz) = f\varphi(z)\) 非零，故 \(\varphi(z)\) 非零。

满射性。设 \(z \in M\)。则 \(x_1^n z = 0\) 对某个 \(n \geq 0\) 成立。我们将证明 \(z \in x_1M\)，方法是对 \(n\) 归纳。若 \(n = 0\)，则 \(z = 0\)，结论成立。若 \(n > 0\)，则应用 \(D_1\)，得到 \(0 = n x_1^{n - 1} z + x_1^nD_1(z)\)。因此 \(x_1^{n - 1}(nz + x_1D_1(z)) = 0\)。由归纳假设， \(nz + x_1D_1(z) \in x_1M\)。由于 \(n\) 可逆，可知 \(z \in x_1M\)。因此 \(M\) 是 \(x_1\)-可除的。若 \(\varphi\) 不是满射，则可选取 \(e \in \bigoplus_{j \in J} E\)，使其不在 \(M\) 中。与上面类似地论证，可以假设 \(\mathfrak m e \subset M\)；特别地，\(x_1 e \in M\)。存在元素 \(z_1 \in M\)，满足 \(x_1 z_1 = x_1 e\)。因此 \(x_1(z_1 - e) = 0\)。把 \(e\) 替换为 \(e - z_1\)，可以假设 \(e\) 被 \(x_1\) 零化。所以只需证明 \[\varphi[x_1] : M[x_1] \longrightarrow \left(\bigoplus\nolimits_{j \in J} E\right)[x_1] = \bigoplus\nolimits_{j \in J} E[x_1]\] 是满射。若 \(d = 1\)，则由 \(\varphi\) 的构造，这一点成立。若 \(d > 1\)，则注意 \(E[x_1]\) 是 \(k[[x_2, \ldots, x_d]]\) 的剩余域的单射包；见《对偶复形》，引理 08Z2。注意，\(M[x_1]\) 作为 \(k[[x_2, \ldots, x_d]]\)-模是 \(\mathfrak m/(x_1)\)-幂挠的，并赋有满足上述 Leibniz 法则的算子 \(D_2, \ldots, D_d\)。因此，对 \(d\) 作归纳，可知 \(\varphi[x_1]\) 如所需为满射。

引理

设 \(p\) 是素数。设 \((A, \mathfrak m, k)\) 是满足 \(p = 0\) 的正则局部环。记 \(F : A \to A\)，\(a \mapsto a^p\)，为 Frobenius 自同态。设 \(M\) 是 \(\mathfrak m\)-幂挠模，并且 \(M \otimes_{A, F} A \cong M\)。则 \(M\) 同构于若干个单射包 \(E\)（即 \(k\) 的单射包）的直和。

证明

选取集合 \(J\) 以及 \(A\)-模同态 \(\varphi : M \to \bigoplus_{j \in J} E\)，它将 \(M[\mathfrak m]\) 同构地映到 \((\bigoplus_{j \in J} E)[\mathfrak m] = \bigoplus_{j \in J} k\) 上。我们断言 \(\varphi\) 是同构，也就是说，是双射。

单射性。设 \(z \in M\) 非零。由于 \(M\) 是 \(\mathfrak m\)-幂挠的，可以选取元素 \(f \in A\)，使得 \(fz \in M[\mathfrak m]\) 且 \(fz \not = 0\)。于是 \(\varphi(fz) = f\varphi(z)\) 非零，故 \(\varphi(z)\) 非零。

满射性。回顾 \(F\) 是平坦的；见引理 0EC0。设 \(x_1, \ldots, x_d\) 是 \(\mathfrak m\) 的一个极小生成系。记 \[M_n = M[x_1^{p^n}, \ldots, x_d^{p^n}]\] 为 \(M\) 的由被 \(x_1^{p^n}, \ldots, x_d^{p^n}\) 零化的元素所成的子模。因此 \(M_0 = M[\mathfrak m]\) 是 \(k\) 上的向量空间。此外， \(M = \bigcup M_n\)；这是由 \(M\) 是 \(\mathfrak m\)-幂挠的这一假设得出的。由于 \(F^n\) 平坦，且 \(F^n(x_i) = x_i^{p^n}\)，有 \[M_n \cong (M \otimes_{A, F^n} A)[x_1^{p^n}, \ldots, x_d^{p^n}] = M[x_1, \ldots, x_d] \otimes_{A, F^n} A = M_0 \otimes_k A/(x_1^{p^n}, \ldots, x_d^{p^n})\] 因此 \(M_n\) 是自由 \(A/(x_1^{p^n}, \ldots, x_d^{p^n})\)-模。计算表明，\(A/(x_1^{p^n}, \ldots, x_d^{p^n})\) 中每个被 \(x_1^{p^n - 1}\) 零化的元素都可被 \(x_1\) 整除；例如，可使用由《代数》，引理 0C0S 得到的同构 \(A/(x_1^{p^n}, \ldots, x_d^{p^n}) \cong k[x_1, \ldots, x_d]/(x_1^{p^n}, \ldots, x_d^{p^n})\)。因此，同一结论对 \(M_n\) 的每个元素成立。由于 \(M\) 的每个元素都属于 \(M_n\)，而这对所有 \(n \gg 0\) 成立，而且 \(M\) 的每个元素都被 \(x_1\) 的某个幂零化，可知 \(M\) 是 \(x_1\)-可除的。

令 \(x = x_1\)。上面已经看到 \(M\) 是 \(x\)-可除的。若 \(\varphi\) 不是满射，则可选取 \(e \in \bigoplus_{j \in J} E\)，使其不在 \(M\) 中。与上面类似地论证，可以假设 \(\mathfrak m e \subset M\)；特别地， \(x e \in M\)。存在元素 \(z_1 \in M\)，满足 \(x z_1 = x e\)。因此 \(x(z_1 - e) = 0\)。把 \(e\) 替换为 \(e - z_1\)，可以假设 \(e\) 被 \(x\) 零化。所以只需证明 \[\varphi[x] : M[x] \longrightarrow \left(\bigoplus\nolimits_{j \in J} E\right)[x] = \bigoplus\nolimits_{j \in J} E[x]\] 是满射。若 \(d = 1\)，则由 \(\varphi\) 的构造，这一点成立。若 \(d > 1\)，则注意 \(E[x]\) 是正则环 \(A/xA\) 的剩余域的单射包；见《对偶复形》，引理 08Z2。注意，\(M[x]\) 作为 \(A/xA\)-模是 \(\mathfrak m/(x)\)-幂挠的，并且有 \[\begin{align*} M[x] \otimes_{A/xA, F} A/xA & = M[x] \otimes_{A, F} A \otimes_A A/xA \\ & = (M \otimes_{A, F} A)[x^p] \otimes_A A/xA \\ & \cong M[x^p] \otimes_A A/xA \end{align*}\] 如前一样利用 \(F\) 的平坦性论证。我们断言 \(M[x^p] \otimes_A A/xA \to M[x]\)， \(z \otimes 1 \mapsto x^{p - 1}z\)，是同构。只需对上面定义的每个模 \(M_n\)，\(n > 0\)，证明这一点；而在这种情形下，它由 \(A/(x_1^{p^n}, \ldots, x_d^{p^n})\) 与 \(x = x_1\) 的相同结论得出。因此，对 \(\dim(A)\) 作归纳，可知 \(\varphi[x]\) 如所需为满射。

局部上同调上的附加结构

下面给出一个示例性结果。

引理

设 \(A\) 是环，\(I \subset A\) 是有限生成理想。令 \(Z = V(I)\)。对每个导子 \(\theta : A \to A\)，都存在一个典范加性算子 \(D\)，它作用于局部上同调模 \(H^i_Z(A)\)，并满足关于 \(\theta\) 的 Leibniz 法则。

证明

设 \(f_1, \ldots, f_r\) 是生成 \(I\) 的元素。回顾 \(R\Gamma_Z(A)\) 由复形 \[A \to \prod\nolimits_{i_0} A_{f_{i_0}} \to \prod\nolimits_{i_0 < i_1} A_{f_{i_0}f_{i_1}} \to \ldots \to A_{f_1\ldots f_r}\] 计算；见《对偶复形》，引理 0A6R。由于 \(\theta\) 唯一延拓为 \(A\) 的任意局部化上的加性算子，并且该算子满足关于 \(\theta\) 的 Leibniz 法则，本引理显然成立。

引理

设 \(p\) 是素数。设 \(A\) 是满足 \(p = 0\) 的环。记 \(F : A \to A\)，\(a \mapsto a^p\)，为 Frobenius 自同态。设 \(I \subset A\) 是有限生成理想。令 \(Z = V(I)\)。存在同构 \(R\Gamma_Z(A) \otimes_{A, F}^\mathbf{L} A \cong R\Gamma_Z(A)\).

证明

这由《对偶复形》，引理 0ALZ，以及 \(Z = V(f_1^p, \ldots, f_r^p)\) 这一事实得出，其中 \(I = (f_1, \ldots, f_r)\)。

引理

设 \(A\) 是环。设 \(V \to \Spec(A)\) 是拟紧、拟分离且 étale 的。对每个导子 \(\theta : A \to A\)，都存在一个典范加性算子 \(D\)，它作用于 \(H^i(V, \mathcal{O}_V)\)，并满足关于 \(\theta\) 的 Leibniz 法则。

证明

若 \(V\) 分离，则可使用仿射开覆盖 \(V = \bigcup_{j = 1, \ldots m} V_j\) 来论证。事实上，由于 \(V\) 分离，可以写成 \(V_{j_0 \ldots j_p} = \Spec(B_{j_0 \ldots j_p})\)；见《概形》，引理 01KP。于是可知 \(A\)-模 \(H^i(V, \mathcal{O}_V)\) 是 Čech 复形的第 \(i\) 个上同调群： \[\prod B_{j_0} \to \prod B_{j_0j_1} \to \prod B_{j_0j_1j_2} \to \ldots\] 见《概形的上同调》，引理 01XD。每个 \(B = B_{j_0 \ldots j_p}\) 都是 étale \(A\)-代数。因此 \(\Omega_B = \Omega_A \otimes_A B\)，由此可知 \(\theta\) 唯一延拓为导子 \(\theta_B : B \to B\)。这些同态定义了 Čech 复形的一个自同态，并在上同调群上定义了所需算子。

在一般情形下，使用 \(V\) 的由仿射开集组成的超覆盖，恰如《概形的上同调》，引理 01XN 的证明第一部分所做的那样。略去细节。

注

可以加强引理 0EC5 和引理 0EC7，使其包含高阶微分算子；为此使用《代数》，引理 0H94 与评注 0H95。若以后需要这一点，我们将在此陈述并证明一个精确的引理。

引理

设 \(p\) 是素数。设 \(A\) 是满足 \(p = 0\) 的环。记 \(F : A \to A\)，\(a \mapsto a^p\)，为 Frobenius 自同态。若 \(V \to \Spec(A)\) 是拟紧、拟分离且 étale 的，则存在同构 \(R\Gamma(V, \mathcal{O}_V) \otimes_{A, F}^\mathbf{L} A \cong R\Gamma(V, \mathcal{O}_V)\)。

证明

注意，相对 Frobenius 态射 \[V \longrightarrow V \times_{\Spec(A), \Spec(F)} \Spec(A)\] 是 \(V\) 在 \(A\) 上的一个同构；见《Étale 态射》，引理 0EBS。因此，本引理由上同调与基变换得出；见《概形的导出范畴》，引理 08IB。注意，由于 \(V\) 在 \(A\) 上 étale，它在 \(A\) 上平坦。

某种一致性，I

本节的主要任务是陈述并证明引理 0G9V。

引理

设 \(R\) 是环。设 \(M \to M'\) 是 \(R\)-模同态，其中 \(M\) 有限展示，并且同态 \(\text{Tor}_1^R(M, N) \to \text{Tor}_1^R(M', N)\) 对所有 \(R\)-模 \(N\) 均为零。则 \(M \to M'\) 经由一个自由 \(R\)-模分解。

证明

可以选取短正合列之间的同态 \[\xymatrix{ 0 \ar[r] & K \ar[r] \ar[d] & R^{\oplus r} \ar[r] \ar[d] & M \ar[r] \ar[d] & 0 \\ 0 \ar[r] & K' \ar[r] & \bigoplus_{i \in I} R \ar[r] & M' \ar[r] & 0 }\] 使其右侧竖直箭头为给定同态。可以让此同态经由短正合列 [0G9U]\[\begin{equation} 0 \to K' \to E \to M \to 0 \end{equation}\] 分解；该列是第一个短正合列沿 \(K \to K'\) 的推出。追图可见，本引理的假设蕴含由 (0G9U) 诱导的连接同态 \(\text{Tor}_1^R(M, N) \to K' \otimes_R N\) 为零；也就是说，序列 (0G9U) 普遍正合。由《代数》，引理 058L，这蕴含 (0G9U) 分裂（这里用到了 \(M\) 有限展示）。因此，同态 \(M \to M'\) 经由 \(\bigoplus_{i \in I} R\) 分解，结论得证。

引理

设 \(R\) 是环。设 \(\alpha : M \to M'\) 是 \(R\)-模同态。设 \(P_\bullet \to M\) 与 \(P'_\bullet \to M'\) 是由投射 \(R\)-模组成的解消。设 \(e \geq 0\) 是整数。考虑下列条件：

可以找到复形同态 \(a_\bullet : P_\bullet \to P'_\bullet\)，它在上同调上诱导 \(\alpha\)，且 \(a_i = 0\) 对 \(i > e\) 成立。

可以找到复形同态 \(a_\bullet : P_\bullet \to P'_\bullet\)，它在上同调上诱导 \(\alpha\)，且 \(a_{e + 1} = 0\)。

同态 \(\Ext^i_R(M', N) \to \Ext^i_R(M, N)\) 对所有 \(R\)-模 \(N\) 以及 \(i > e\) 均为零。

同态 \(\Ext^{e + 1}_R(M', N) \to \Ext^{e + 1}_R(M, N)\) 对所有 \(R\)-模 \(N\) 均为零。

令 \(N = \Im(P'_{e + 1} \to P'_e)\)，并以 \(\xi \in \Ext^{e + 1}_R(M', N)\) 表示典范元素（见证明）。则 \(\xi\) 在 \(\Ext^{e + 1}_R(M, N)\) 中映为零。

同态 \(\text{Tor}_i^R(M, N) \to \text{Tor}_i^R(M', N)\) 对所有 \(R\)-模 \(N\) 以及 \(i > e\) 均为零。

同态 \(\text{Tor}_{e + 1}^R(M, N) \to \text{Tor}_{e + 1}^R(M', N)\) 对所有 \(R\)-模 \(N\) 均为零。

则始终有蕴含关系 \[(1) \Leftrightarrow (2) \Leftrightarrow (3) \Leftrightarrow (4) \Leftrightarrow (5) \Rightarrow (6) \Leftrightarrow (7)\] 若 \(M\) 是 \((-e - 1)\)-伪凝聚的（例如，若 \(R\) 诺特且 \(M\) 是有限 \(R\)-模），则所有条件等价。

证明

显然，(2) 蕴含 (1)。若 \(a_\bullet\) 如 (1) 所述，则可考虑复形同态 \(a'_\bullet : P_\bullet \to P'_\bullet\)，其中 \(a'_i = a_i\) 对 \(i \leq e + 1\) 成立，而 \(a'_i = 0\) 对 \(i \geq e + 1\) 成立，从而得到如 (2) 所述的复形同态。因此，(1) 等价于 (2)。

由使用解消构造 \(\Ext\) 与 \(\text{Tor}\) 函子的方法（《代数》，第 00LO 节与第 00LY 节），可见 (1) 和 (2) 蕴含所有其他条件。

显然，(3) 蕴含 (4)，而 (4) 蕴含 (5)。设 \(N\) 如 (5) 所述。典范同态 \(\tilde \xi : P'_{e + 1} \to N\) 与 \(P'_{e + 2} \to P'_{e + 1}\) 的预复合为零。因此，可以在下式中考虑类 \(\xi\)，即 \(\tilde \xi\) 的类： \[\Ext^{e + 1}_R(M', N) = \frac{\Ker(\Hom(P'_{e + 1}, N \to \Hom(P'_{e + 2}, N)}{ \Im(\Hom(P'_e, N \to \Hom(P'_{e + 1}, N)}\] 选取复形同态 \(a_\bullet : P_\bullet \to P'_\bullet\)，它提升 \(\alpha\)；见《导出范畴》，引理 0649。若 \(\xi\) 在 \(\Ext^{e + 1}_R(M', N)\) 中映为零，则可找到同态 \(\varphi : P_e \to N\)，使得 \(\tilde \xi \circ a_{e + 1} = \varphi \circ d\)。从而得到复形同态 \[\xymatrix{ \ldots \ar[r] & P_{e + 1} \ar[r] \ar[d]^0 & P_e \ar[r] \ar[d]^{a_e - \varphi} & P_{e - 1} \ar[r] \ar[d]^{a_{e - 1}} & \ldots \\ \ldots \ar[r] & P'_{e + 1} \ar[r] & P'_e \ar[r] & P'_{e - 1} \ar[r] & \ldots }\] 如 (2) 所述。因此，(1)–(5) 等价。

(6) 与 (7) 的等价性来自维数平移；略去细节。

假设 \(M\) 是 \((-e - 1)\)-伪凝聚的。（本引理括号内的陈述来自《代数进阶》，引理 066E。）我们将证明 (7) 蕴含 (4)，这将完成证明。对 \(e\) 作归纳。基础情形为 \(e = 0\)。此时，由《代数进阶》，引理 064T，\(M\) 有限展示；再由引理 0G9T，可知 \(M \to M'\) 经由一个自由模分解。当然，若 \(M \to M'\) 经由一个自由模分解，则 \(\Ext^i_R(M', N) \to \Ext^i_R(M, N)\) 对所有 \(i > 0\) 均为零，正如所需。假设 \(e > 0\)。可以选取短正合列之间的同态 \[\xymatrix{ 0 \ar[r] & K \ar[r] \ar[d] & R^{\oplus r} \ar[r] \ar[d] & M \ar[r] \ar[d] & 0 \\ 0 \ar[r] & K' \ar[r] & \bigoplus_{i \in I} R \ar[r] & M' \ar[r] & 0 }\] 使其右侧竖直箭头为给定同态。我们得到 \(\text{Tor}_{i + 1}^R(M, N) = \text{Tor}^R_i(K, N)\) 以及 \(\Ext^{i + 1}_R(M, N) = \Ext^i_R(K, N)\)，其中 \(i \geq 1\)，且对所有 \(R\)-模 \(N\) 都成立；对 \(M', K'\) 也有类似结论。因此可见，同态 \(\text{Tor}_e^R(K, N) \to \text{Tor}_e^R(K', N)\) 对所有 \(R\)-模 \(N\) 均为零。由《代数进阶》，引理 064R，可见 \(K\) 是 \((-e)\)-伪凝聚的。由归纳假设，可知同态 \(\Ext^e(K', N) \to \Ext^e(K, N)\) 对所有 \(R\)-模 \(N\) 均为零，这便给出所需结论。

引理

设 \(I\) 是诺特环 \(A\) 的理想。对所有 \(n \geq 1\)，都存在 \(m > n\)，使得同态 \(A/I^m \to A/I^n\) 满足引理 0G9V 中的等价条件，其中 \(e = \text{cd}(A, I)\)。

证明

设 \(\xi \in \Ext^{e + 1}_A(A/I^n, N)\) 为引理 0G9V 第 (5) 部分所构造的元素。由于 \(e = \text{cd}(A, I)\)，有 \(0 = H^{e + 1}_Z(N) = H^{e + 1}_I(N) = \colim \Ext^{e + 1}(A/I^m, N)\) ；这是由《对偶复形》，引理 0955 与 0954 得出的。因此，可以选取 \(m \geq n\)，使得 \(\xi\) 在 \(\Ext^{e + 1}_A(A/I^m, N)\) 中映为零，正如所需。

某种一致性，II

设 \(I\) 是诺特环 \(A\) 的理想，\(M\) 是有限 \(A\)-模，且 \(i > 0\)。由《代数进阶》，引理 0911，存在 \(c = c(A, I, M, i)\)，使得 \(\text{Tor}^A_i(M, A/I^n) \to \text{Tor}^A_i(M, A/I^{n - c})\) 对所有 \(n \geq c\) 均为零。本节讨论若干结果，它们表明有时可以选取一个常数 \(c\)，使其同时适用于所有 \(A\)-模 \(M\)（以及某个范围内的指标 \(i\)）。这些材料与 [Huneke-uniform] 和 [AHS] 中讨论的一致 Artin–Rees 性质有关。

在评注 0GA5 中，我们将应用这一点来说明与导出完备化有关的若干 pro-系统严格 pro-同构（或者并非如此）。

下面的引理可以显著加强。

引理

设 \(I\) 是诺特环 \(A\) 的理想。对每个 \(m \geq 0\) 和 \(i > 0\)，都存在 \(c = c(A, I, m, i) \geq 0\)，使得对每个 \(A\)-模 \(M\)（被 \(I^m\) 零化），同态 \[\text{Tor}^A_i(M, A/I^n) \to \text{Tor}^A_i(M, A/I^{n - c})\] 对所有 \(n \geq c\) 均为零。

证明

对 \(i\) 作归纳。基础情形是 \(i = 1\)。短正合列 \(0 \to I^n \to A \to A/I^n \to 0\) 给出单射 \(\text{Tor}_1^A(M, A/I^n) \subset I^n \otimes_A M\)；见《代数》，评注 00M6。由于 \(M\) 被 \(I^m\) 零化，可见同态 \(I^n \otimes_A M \to I^{n - m} \otimes_A M\) 对 \(n \geq m\) 为零。因此，取 \(c = m\) 时结论成立。

归纳步骤。设 \(i > 1\)，并假设 \(c\) 对 \(i - 1\) 有效。将《代数进阶》，引理 0911 应用于 \(M = A/I^m\)，可以选取 \(c' \geq 0\)，使得 \(\text{Tor}_i(A/I^m, A/I^n) \to \text{Tor}_i(A/I^m, A/I^{n - c'})\) 对 \(n \geq c'\) 为零。设 \(M\) 被 \(I^m\) 零化。选取短正合列 \[0 \to S \to \bigoplus\nolimits_{i \in I} A/I^m \to M \to 0\] 相应的 Tor 长正合列给出正合列 \[\text{Tor}_i^A(\bigoplus\nolimits_{i \in I} A/I^m, A/I^n) \to \text{Tor}_i^A(M, A/I^n) \to \text{Tor}_{i - 1}^A(S, A/I^n)\] 对所有整数 \(n \geq 0\) 均成立。若 \(n \geq c + c'\)，则同态 \(\text{Tor}_{i - 1}^A(S, A/I^n) \to \text{Tor}_{i - 1}^A(S, A/I^{n - c})\) 为零，并且同态 \(\text{Tor}_i^A(A/I^m, A/I^{n - c}) \to \text{Tor}_i^A(A/I^m, A/I^{n - c - c'})\) 为零。结合这些短正合列，可知结论对 \(i\) 成立，其常数为 \(c + c'\)。

引理

设 \(I = (a_1, \ldots, a_t)\) 是诺特环 \(A\) 的理想。令 \(a = a_1\)，并以 \(B = A[\frac{I}{a}]\) 表示仿射爆破代数。存在 \(c > 0\)，使得 \(\text{Tor}_i^A(B, M)\) 被 \(I^c\) 零化；这对所有 \(A\)-模 \(M\) 以及 \(i \geq t\) 均成立。

证明

回顾 \(B\) 是 \(A[x_2, \ldots, x_t]/(a_1x_2 - a_2, \ldots, a_1x_t - a_t)\) 对其 \(a_1\)-挠子模取商所得的商；见《代数》，引理 0G8S。令 \[B_\bullet = \text{关于下列元素的 Koszul 复形： }a_1x_2 - a_2, \ldots, a_1x_t - a_t \text{ 相对于 }A[x_2, \ldots, x_t]\] 并将其视为位于次数 \((t - 1), \ldots, 0\) 的链复形。复形 \(B_\bullet[1/a_1]\) 同构于由 \(x_2 - a_2/a_1, \ldots, x_t - a_t/a_1\) 构成的 Koszul 复形；该序列是 \(A[1/a_1][x_2, \ldots, x_t]\) 中的正则序列。由于正则序列是 Koszul 正则的，可知增广 \[\epsilon : B_\bullet \longrightarrow B\] 在逆转 \(a_1\) 后是拟同构。由于锥 \(C_\bullet\)（\(\epsilon\) 的锥）的同调模是有限 \(A[x_2, \ldots, x_n]\)-模，且 \(C_\bullet\) 有界，可知存在 \(c \geq 0\)，使得 \(a_1^c\) 将它们全部零化。由《导出范畴》，引理 08Q2，这蕴含在必要时将 \(c\) 替换为更大的整数后，\(a_1^c\) 作用于 \(C_\bullet\) 的同态在 \(D(A)\) 中为零。考察特异三角即可完成证明： \[B_\bullet \otimes_A^\mathbf{L} M \to B \otimes_A^\mathbf{L} M \to C_\bullet \otimes_A^\mathbf{L} M\] 事实上，第一项由 \(B_\bullet \otimes_A M\) 表示，它位于同调次数 \((t - 1), \ldots, 0\)，因为 Koszul 复形 \(B_\bullet\) 的各项都是自由（因而平坦）\(A\)-模。因此 \(\text{Tor}_i^A(B, M) = H_i(C_\bullet \otimes_A^\mathbf{L} M)\) 对 \(i > t - 1\) 成立，并且它被 \(a_1^c\) 零化。由于 \(a_1^cB = I^cB\)，且该 Tor 模是 \(B\)-模，结论随之得出。

在本节余下的讨论中，固定诺特环 \(A\) 和理想 \(I \subset A\)。以 \[p : X \to \Spec(A)\] 表示 \(\Spec(A)\) 沿理想 \(I\) 的爆破。换言之，\(X\) 是 \(\text{Proj}\)；这里使用的 Rees 代数为 \(\bigoplus_{n \geq 0} I^n\)。由《概形的上同调》，引理 0AG6 与 0AG7，可以选取整数 \(q(A, I) \geq 0\)，使得对所有 \(q \geq q(A, I)\)，都有 \(H^i(X, \mathcal{O}_X(q)) = 0\)（当 \(i > 0\)），并且 \(H^0(X, \mathcal{O}_X(q)) = I^q\)。

引理

在上述情形下，对 \(q \geq q(A, I)\) 以及任意 \(A\)-模 \(M\)，都有 \[R\Gamma(X, Lp^*\widetilde{M}(q)) \cong M \otimes_A^\mathbf{L} I^q\] 该同构成立于 \(D(A)\) 中。

证明

选取自由解消 \(F_\bullet \to M\)。则 \(\widetilde{F}_\bullet\) 是 \(\widetilde{M}\) 的平坦解消。因此，\(Lp^*\widetilde{M}\) 由复形 \(p^*\widetilde{F}_\bullet\) 给出，从而 \(Lp^*\widetilde{M}(q)\) 由复形 \(p^*\widetilde{F}_\bullet(q)\) 给出。\(p^*\widetilde{F}_i(q)\) 关于 \(\Gamma(X, -)\) 右无环，这是由我们对 \(q \geq q(A, I)\) 的选择得出的；并且我们有 \(\Gamma(X, p^*\widetilde{F}_i(q)) = I^qF_i\)，这也由我们对 \(q \geq q(A, I)\) 的选择得出。于是，由《概形的导出范畴》，引理 0G9P， \(R\Gamma(X, Lp^*\widetilde{M}(q))\) 由各项为 \(I^qF_i\) 的复形给出。依定义，复形 \(I^qF_\bullet\) 计算 \(M \otimes_A^\mathbf{L} I^q\)，故结论成立。

引理

在上述情形下，设 \(t\) 是 \(I\) 的生成元个数的一个上界。存在整数 \(c = c(A, I) \geq 0\)，使得对任意 \(A\)-模 \(M\)，上同调层 \(H^j(Lp^*\widetilde{M})\) 被 \(I^c\) 零化，其中 \(j \leq -t\)。

证明

写成 \(I = (a_1, \ldots, a_t)\)。该问题在 \(X\) 上是仿射局部的。对 \(1 \leq i \leq t\)，令 \(B_i = A[\frac{I}{a_i}]\) 为仿射爆破代数。则 \(X\) 有一个仿射开覆盖，它由环 \(B_i\) 的谱构成；见《除子》，引理 0804。由《概形的导出范畴》，引理 08DW 所给出的导出拉回描述，只需证明对每个 \(i\)，都存在 \(c \geq 0\)，使得 \[\text{Tor}_j^A(B_i, M)\] 被 \(I^c\) 零化，其中 \(j \geq t\)。这正是引理 0G9Y。

引理

在上述情形下，设 \(t\) 是 \(I\) 的生成元个数的一个上界。存在整数 \(c = c(A, I) \geq 0\)，使得对任意 \(A\)-模 \(M\)，Tor 模 \(\text{Tor}_i^A(M, A/I^q)\) 被 \(I^c\) 零化，其中 \(i > t\)，且 \(q \geq 0\) 任意。

证明

令 \(q(A, I)\) 如上。对 \(q \geq q(A, I)\)，有 \[R\Gamma(X, Lp^*\widetilde{M}(q)) = M \otimes_A^\mathbf{L} I^q\] ，这是由引理 0G9Z 得出的。我们有有界收敛谱序列 \[H^a(X, H^b(Lp^*\widetilde{M}(q))) \Rightarrow \text{Tor}_{-a - b}^A(M, I^q)\] ；见《概形的导出范畴》，引理 0G9Q。设 \(d\) 是《概形的上同调》，引理 071L 中所述的整数（事实上可以取 \(d = t\)；见《概形的上同调》，引理 01XI）。于是可见 \(H^{-i}(X, Lp^*\widetilde{M}(q)) = \text{Tor}_i^A(M, I^q)\) 具有至多 \(d\) 步的有限滤过，其分次对象是下列模的子商： \[H^a(X, H^{- i - a}(Lp^*\widetilde{M})(q)),\quad a = 0, 1, \ldots, d - 1\] 若 \(i \geq t\)，则所有这些模都被 \(I^c\) 零化，其中 \(c = c(A, I)\) 如引理 0GA0 所述；这是因为由该引理，上同调层 \(H^{- i - a}(Lp^*\widetilde{M})\) 均被 \(I^c\) 零化。因此可见， \(\text{Tor}_i^A(M, I^q)\) 被 \(I^{dc}\) 零化，其中 \(q \geq q(A, I)\) 且 \(i \geq t\)。利用短正合列 \(0 \to I^q \to A \to A/I^q \to 0\)，可知 \(\text{Tor}_i(M, A/I^q)\) 被 \(I^{dc}\) 零化，其中 \(q \geq q(A, I)\) 且 \(i > t\)。于是可知 \(I^m\)（其中 \(m = \max(dc, q(A, I) - 1)\)）零化 \(\text{Tor}_i^A(M, A/I^q)\)，这对所有 \(q \geq 0\) 且 \(i > t\) 成立，正如所需。

引理

设 \(I\) 是诺特环 \(A\) 的理想。设 \(t \geq 0\) 是 \(I\) 的生成元个数的一个上界。存在 \(N, c \geq 0\)，使得同态 \[\text{Tor}_{t + 1}^A(M, A/I^n) \to \text{Tor}_{t + 1}^A(M, A/I^{n - c})\] 对任意 \(A\)-模 \(M\) 以及所有 \(n \geq N\) 均为零。

证明

令 \(c_1\) 为引理 0GA1 中得到的常数。请注意，此常数 \(c_1\) 对 \(\text{Tor}_i\) 同时有效，其中 \(i > t\) 任意。

写成 \(I = (a_1, \ldots, a_t)\)。对 \(A\)-模 \(M\)，令 \[\ell(M) = \#\{i \mid 1 \leq i \leq t,\ a_i^{c_1}\text{ 在下列对象上为零： }M\}\] 这是 \(\{0, 1, \ldots, t\}\) 的一个元素。我们将对 \(0 \leq s \leq t\) 作降归纳，证明下列陈述 \(H_s\)：存在 \(N, c \geq 0\)，使得对每个模 \(M\)（满足 \(\ell(M) \geq s\)），同态 \[\text{Tor}_{t + 1 + i}^A(M, A/I^n) \to \text{Tor}_{t + 1 + i}^A(M, A/I^{n - c})\] 对 \(i = 0, \ldots, s\) 以及所有 \(n \geq N\) 均为零。

基础情形：\(s = t\)。若 \(\ell(M) = t\)，则 \(M\) 被 \((a_1^{c_1}, \ldots, a_t^{c_1}\}\) 零化，因而被 \(I^{t(c_1 - 1) + 1}\) 零化。由引理 0G9X，可知 \(H_t\) 成立：令 \(c = N\) 为该引理中得到的整数 \(c(A, I, t(c_1 - 1) + 1, t + 1), \ldots, c(A, I, t(c_1 - 1) + 1, 2t + 1)\) 的最大值即可。

归纳步骤。设 \(0 \leq s < t\)，并设已有 \(N, c\)，如 \(H_{s + 1}\) 所述。考虑模 \(M\)，它满足 \(\ell(M) = s\)。可以选取 \(i\)，使得 \(a_i^{c_1}\) 在 \(M\) 上不为零。于是 \(\ell(M[a_i^c]) \geq s + 1\) 且 \(\ell(M/a_i^{c_1}M) \geq s + 1\)，归纳假设适用于这两个模。考虑正合列 \[0 \to M[a_i^{c_1}] \to M \xrightarrow{a_i^{c_1}} M \to M/a_i^{c_1}M \to 0\] 以 \(E \subset M\) 表示中间箭头的像。考虑相应的 Tor 模图表 \[\xymatrix{ & & \text{Tor}_{i + 1}(M/a_i^{c_1}M, A/I^q) \ar[d] \\ \text{Tor}_i(M[a_i^{c_1}], A/I^q) \ar[r] & \text{Tor}_i(M, A/I^q) \ar[r] \ar[rd]^0 & \text{Tor}_i(E, A/I^q) \ar[d] \\ & & \text{Tor}_i(M, A/I^q) }\] 其行与列均正合（对每个 \(q\)）。由我们对 \(c_1\) 的选择，东南方向的箭头为零。由此可知，模 \(\text{Tor}_i(M, A/I^q)\) 夹在 \(\text{Tor}_i(M[a_i^{c_1}], A/I^q)\) 的一个商模与 \(\text{Tor}_{i + 1}(M/a_i^{c_1}M, A/I^q)\) 的一个子模之间。因此可知， \(H_s\) 成立，其中将 \(N\) 替换为 \(N + c\)，并将 \(c\) 替换为 \(2c\)。略去一些细节。

命题

设 \(I\) 是诺特环 \(A\) 的理想。设 \(t \geq 0\) 是 \(I\) 的生成元个数的一个上界。存在 \(N, c \geq 0\)，使得当 \(n \geq N\) 时，同态 \[A/I^n \to A/I^{n - c}\] 满足引理 0G9V 中的等价条件，其中 \(e = t\)。

证明

这是引理 0GA2 与 0G9V 的直接推论。

注

论文 [AHS] 除了许多其他结果外，还证明了：若 \(A\) 是局部的，则命题 0GA3 在将 \(e = t\) 替换为 \(e = \dim(A)\) 后仍成立。考察引理 0EH1，自然会问命题 0GA3 在将 \(e = t\) 替换为 \(e = \text{cd}(A, I)\) 后是否成立。我们不知道答案。

注

设 \(I\) 是诺特环 \(A\) 的理想。写成 \(I = (f_1, \ldots, f_r)\)。以 \(K_n^\bullet\) 表示《代数进阶》，情形 0BKC 中由 \(f_1^n, \ldots, f_r^n\) 构成的 Koszul 复形，并以 \(K_n \in D(A)\) 表示相应对象。设 \(M^\bullet\) 是由有限 \(A\)-模组成的有界复形，并以 \(M \in D(A)\) 表示相应对象。考虑 \(D(A)\) 中的下列逆系统：

\(M^\bullet/I^nM^\bullet\)，即各项为 \(M^i/I^nM^i\) 的复形；

\(M \otimes_A^\mathbf{L} A/I^n\)；

\(M \otimes_A^\mathbf{L} K_n\)；

\(M \otimes_P^\mathbf{L} P/J^n\)（见下文）。

所有这些逆系统作为 pro-对象同构：(2) 与 (3) 之间的同构来自《代数进阶》，引理 0921；(1) 与 (2) 之间的同构由《代数进阶》，引理 0G9M 给出。最后一个见下文。

不过，可以询问这些 pro-系统的同构是否“严格”；这一术语与问题同 [quillenhomology, pages 61, 62] 中的讨论有关。具体而言，给定范畴 \(\mathcal{C}\)，可以定义一个“严格 pro-范畴”：其对象是逆系统 \((X_n)\)，而态射 \((X_n) \to (Y_n)\) 由二元组 \((c, \varphi_n)\) 给出；该二元组由 \(c \geq 0\) 以及态射 \(\varphi_n : X_n \to Y_{n - c}\) 组成，后者对所有 \(n \geq c\) 给定；它们满足显然的相容条件，并且还要模去某种等价关系（本质上由增大 \(c\) 给出）。于是可以询问上述逆系统在这个严格 pro-范畴中是否同构。

显然，即使 \(M = A[0]\)，(1) 与 (3) 也不可能如此。事实上，一般而言，系统 \(H^0(K_n) = A/(f_1^n, \ldots, f_r^n)\) 在模范畴中与系统 \(A/I^n\) 并非严格 pro-同构。例如，若取 \(A = \mathbf{Z}[x_1, \ldots, x_r]\) 且 \(f_i = x_i\)，则 \(H^0(K_n)\) 不被 \(I^{r(n - 1)}\) 零化。³

事实上，上述结果表明，《代数进阶》，引理 0G9M 中讨论的从 (2) 到 (1) 的自然同态是严格 pro-同构。下面概述证明。先利用涉及朴素截断的标准论证，约化到 \(M^\bullet\) 由单个有限 \(A\)-模 \(M\) 给出的情形，其中该模置于次数 \(0\)。选取命题 0GA3 中的 \(N, c \geq 0\)。该命题蕴含：对 \(n \geq N\)，存在分解 \[M \otimes_A^\mathbf{L} A/I^n \to \tau_{\geq -t}(M \otimes_A^\mathbf{L} A/I^n) \to M \otimes_A^\mathbf{L} A/I^{n - c}\] ，它们是系统 (2) 中转移同态的分解。另一方面，由《代数进阶》，引理 0911，可以找到另一个常数 \(c' = c'(M) \geq 0\)，使得同态 \(\text{Tor}_i^A(M, A/I^{n'}) \to \text{Tor}_i(M, A/I^{n' - c'})\) 对 \(i = 1, 2, \ldots, t\) 以及 \(n' \geq c'\) 均为零。于是由《导出范畴》，引理 08Q2，同态 \[\tau_{\geq -t}(M \otimes_A^\mathbf{L} A/I^{n + tc'}) \to \tau_{\geq -t}(M \otimes_A^\mathbf{L} A/I^n)\] 经由 \(M \otimes_A^\mathbf{L}A/I^{n + tc'} \to M/I^{n + tc'}M\) 分解。结合前一结果，得到分解 \[M \otimes_A^\mathbf{L}A/I^{n + tc'} \to M/I^{n + tc'}M \to M \otimes_A^\mathbf{L} A/I^{n - c}\] ，这便给出所需结论。若以后需要这一结果，我们将仔细陈述并给出详细证明。

对第 (4) 项，假设有诺特环 \(P\)、环同态 \(P \to A\) 以及理想 \(J \subset P\)，并且 \(I = JA\)。由《代数进阶》，第 06Y5 节，得到函子 \(M \otimes_P^\mathbf{L} - : D(P) \to D(A)\)，并得到如 (4) 中的逆系统 \(M \otimes_P^\mathbf{L} P/J^n\)，它位于 \(D(A)\) 中。若 \(P\) 诺特，则 (4) 中的系统与 (1) 中的系统 pro-同构，因为可以用 Koszul 复形作比较。若 \(P \to A\) 有限，则系统 (4) 与系统 (2) 严格 pro-同构，因为逆系统 \(A \otimes_P^\mathbf{L} P/J^n\) 与逆系统 \(A/I^n\) 严格 pro-同构（由上面的讨论），并且有 \[M \otimes_P^\mathbf{L} P/J^n = M \otimes_A^\mathbf{L} (A \otimes_P^\mathbf{L} P/J^n)\] ；见《代数进阶》，引理 06Y6。

(4) 中的一个标准例子是取 \(P = \mathbf{Z}[x_1, \ldots, x_r]\)，取同态 \(P \to A\)，它将 \(x_i\) 映到 \(f_i\)，并取 \(J = (x_1, \ldots, x_r)\)。在此情形下，可以证明 \[M \otimes_P^\mathbf{L} P/J^n = M \otimes_{A[x_1, \ldots, x_r]}^\mathbf{L} A[x_1, \ldots, x_r]/(x_1, \ldots, x_r)^n\] 并约化到上面讨论过的情形之一（不过，此情形严格更容易，因为 \(A[x_1, \ldots, x_r]/(x_1, \ldots, x_r)^n\) 的 Tor 维数至多为 \(r\)，这对所有 \(n\) 成立，因而可以省去使用命题 0GA3 的步骤）。 [BS, Proposition 3.5.1] 的证明讨论了此情形。

某种一致性，III

本节中，我们固定一个诺特环 \(A\) 和一个理想 \(I \subset A\)。我们的目标是证明引理 0GAD；在后面的章节中，我们将用它解决一个提升问题，见形式空间的代数化，引理 0GAQ.

在本节中，我们始终以 \[p : X \to \Spec(A)\] 表示 \(\Spec(A)\) 沿理想 \(I\) 的爆破。换言之，\(X\) 是 \(\text{Proj}\)，所用的 Rees 代数为 \(\bigoplus_{n \geq 0} I^n\)。我们还考虑纤维积 \[\xymatrix{ Y \ar[r] \ar[d] & X \ar[d]^p \\ \Spec(A/I) \ar[r] & \Spec(A) }\] 于是 \(Y\) 是该爆破的例外除子，从而是 \(X\) 上的一个有效 Cartier 除子，且 \(\mathcal{O}_X(-1) = \mathcal{O}_X(Y)\)。由于取 \(\text{Proj}\) 与基变换可交换，我们有 \[Y = \text{Proj}(\bigoplus\nolimits_{n \geq 0} I^n/I^{n + 1}) = \text{Proj}(S)\] 其中 \(S = \text{Gr}_I(A) = \bigoplus_{n \geq 0} I^n/I^{n + 1}\)。

我们以 \(d = d(S) = d(\text{Gr}_I(A)) = d(\bigoplus_{n \geq 0} I^n/I^{n + 1})\) 表示 \(p\) 的各纤维维数的最大值（并把它定义为 \(0\)，若 \(X = \emptyset\)）。这是良定义的。事实上，

\(d \leq t - 1\)，如果 \(I = (a_1, \ldots, a_t)\)，因为此时 \(X \subset \mathbf{P}^{t - 1}_A\)；
\(d\) 也是 \(\text{Proj}(S) \to \Spec(S_0)\) 的各纤维维数的最大值，只要 \(Y\) 非空；且 \(d = 0\)，若 \(Y = \emptyset\) （等价地，\(S = 0\)；等价地，\(I = A\)）。

因此 \(d\) 仅依赖于 \(S = \text{Gr}_I(A)\) 的同构类。注意， \(H^i(X, \mathcal{F}) = 0\) 对每个凝聚 \(\mathcal{O}_X\)-模 \(\mathcal{F}\) 以及 \(i > d\) 都成立；这是由概形上同调，引理 02V7 和 01XK 得到的。当然，对 \(Y\) 上的凝聚模也有同样的结论。

我们以 \(q = q(S) = q(\text{Gr}_I(A)) = q(\bigoplus_{n \geq 0} I^n/I^{n + 1})\) 表示如下定义的整数。注意，代数 \(S = \bigoplus_{n \geq 0} I^n/I^{n + 1}\) 是由次数 \(1\) 部分在次数 \(0\) 部分上生成的诺特分次环。因此由概形上同调，引理 0AG6 和 0AG7，我们可以把 \(q(S)\) 定义为满足如下性质的最小整数 \(q(S) \geq 0\)：对所有 \(q \geq q(S)\)，有 \(H^i(Y, \mathcal{O}_Y(q)) = 0\)，其中 \(1 \leq i \leq d\)，并且 \(H^0(Y, \mathcal{O}_Y(q)) = I^q/I^{q + 1}\)。（若 \(S = 0\)，则 \(q(S) = 0\)。）

对 \(n \geq 1\)，我们可以考虑有效 Cartier 除子 \(nY\)，并将其记为 \(Y_n\)。

引理

取如上的 \(q_0 = q(S)\) 和 \(d = d(S)\)。则

对 \(n \geq 1\)、\(q \geq q_0\) 和 \(i > 0\)，有 \(H^i(X, \mathcal{O}_{Y_n}(q)) = 0\),

对 \(n \geq 1\) 和 \(q \geq q_0\)，有 \(H^0(X, \mathcal{O}_{Y_n}(q)) = I^q/I^{q + n}\),

对 \(q \geq q_0\) 和 \(i > 0\)，有 \(H^i(X, \mathcal{O}_X(q)) = 0\),

对 \(q \geq q_0\)，有 \(H^0(X, \mathcal{O}_X(q)) = I^q\).

证明

若 \(I = A\)，则 \(X\) 是仿射的，所有断言都是平凡的。因此我们可以并且确实假设 \(I \not = A\)。于是 \(Y\) 和 \(X\) 都是非空概形。

我们对 \(n\) 归纳证明 (1) 和 (2)。基础情形 \(n = 1\) 正是我们对 \(q_0\) 的定义，因为 \(Y_1 = Y\)。回忆 \(\mathcal{O}_X(1) = \mathcal{O}_X(-Y)\)。因此有短正合列 \[0 \to \mathcal{O}_{Y_n}(1) \to \mathcal{O}_{Y_{n + 1}} \to \mathcal{O}_Y \to 0\] 故对 \(i > 0\)，得到 \[H^i(X, \mathcal{O}_{Y_n}(q + 1)) \to H^i(X, \mathcal{O}_{Y_{n + 1}}(q)) \to H^i(X, \mathcal{O}_{Y}(q))\] 由两端项的已知消没，即得中间项所需的消没。对 \(i = 0\)，得到交换图 \[\xymatrix{ 0 \ar[r] & I^{q + 1}/I^{q + 1 + n} \ar[d] \ar[r] & I^q/I^{q + 1 + n} \ar[d] \ar[r] & I^q/I^{q + 1} \ar[d] \ar[r] & 0 \\ 0 \ar[r] & H^0(X, \mathcal{O}_{Y_n}(q + 1)) \ar[r] & H^0(X, \mathcal{O}_{Y_{n + 1}}(q)) \ar[r] & H^0(Y, \mathcal{O}_Y(q)) \ar[r] & 0 }\] 当 \(q \geq q_0\) 时两行均正合（对下行，只需注意长上同调正合列的下一项在 \(q \geq q_0\) 时消没）。由于 \(q \geq q_0\)，左、右两个竖直箭头都是同构，因而中间的竖直箭头也是同构。

(3) 和 (4) 的证明类似，我们略去。事实上，可以利用形式函子定理从 (1) 和 (2) 推出 (3) 和 (4)（但这未免大材小用）。

引入如下记号：给定 \(n \geq c \geq 0\)，所谓 一个 \((A, n, c)\)-模，是指一个有限 \(A\)-模 \(M\)，它被 \(I^n\) 零化，且将它视为 \(A/I^n\)-模时，它是 \(I^c/I^n\)-投射的；见更多代数，0G8Z 节。

我们将采用如下记号滥用：给定 \(A\)-模 \(M\)，以 \(p^*M\) 表示沿 \(p\) 拉回拟凝聚模 \(\widetilde{M}\) 所得的拟凝聚模；这里后者是在 \(\Spec(A)\) 上与 \(M\) 关联的模。例如，\(\mathcal{O}_{Y_n} = p^*(A/I^n)\)。对短正合列 \(0 \to K \to L \to M \to 0\)，若其各项都是 \(A\)-模，我们得到正合列 \[p^*K \to p^*L \to p^*M \to 0\] 因为 \(\widetilde{\ }\) 是正合函子，而 \(p^*\) 是右正合函子。

引理

设 \(0 \to K \to L \to M \to 0\) 是 \(A\)-模的短正合列，其中 \(K\) 和 \(L\) 都被 \(I^n\) 零化，且 \(M\) 是一个 \((A, n, c)\)-模。则 \(p^*K \to p^*L\) 的核在概形意义下支撑于 \(Y_c\)。

证明

设 \(\Spec(B) \subset X\) 是一个仿射开集。该正合列在 \(\Spec(B)\) 上的限制对应于 \(B\)-模序列 \[K \otimes_A B \to L \otimes_A B \to M \otimes_A B \to 0\] 它同构于序列 \[K \otimes_{A/I^n} B/I^nB \to L \otimes_{A/I^n} B/I^nB \to M \otimes_{A/I^n} B/I^nB \to 0\] 因此第一个映射的核是模 \(\text{Tor}_1^{A/I^n}(M, B/I^nB)\) 的像。回忆例外除子 \(Y\) 由 \(I\mathcal{O}_X\) 切出。因此，只需证明 \(\text{Tor}_1^{A/I^n}(M, B/I^nB)\) 被 \(I^c\) 零化。由于任意 \(a \in I^c\) 在 \(M\) 上的乘法都经由某个有限自由 \(A/I^n\)-模分解，这是显然的。

我们有典范映射 \(\mathcal{O}_X \to \mathcal{O}_X(1)\)，它恰在 \(Y\) 上消没。因此，对每个凝聚 \(\mathcal{O}_X\)-模 \(\mathcal{F}\)，总有典范映射 \(\mathcal{F}(q) \to \mathcal{F}(q + n)\)，其中 \(q \in \mathbf{Z}\) 任意且 \(n \geq 0\)。

引理

设 \(\mathcal{F}\) 是凝聚 \(\mathcal{O}_X\)-模。则 \(\mathcal{F}\) 在概形意义下支撑于 \(Y_c\)，当且仅当典范映射 \(\mathcal{F} \to \mathcal{F}(c)\) 为零。

证明

这是因为 \(\mathcal{O}_X \to \mathcal{O}_X(1)\) 恰在 \(Y\) 上消没。

引理

取如上的 \(q_0 = q(S)\) 和 \(d = d(S)\)。设有整数 \(n \geq c \geq 0\)、一个 \((A, n, c)\)-模 \(M\)、一个指标 \(i \in \{0, 1, \ldots, d\}\) 以及一个整数 \(q\)。则分为如下情形：

在 \(i = d \geq 1\) 且 \(q \geq q_0\) 的情形，有 \(H^d(X, p^*M(q)) = 0\).

在 \(i = d - 1 \geq 1\) 且 \(q \geq q_0\) 的情形，有 \(H^{d - 1}(X, p^*M(q)) = 0\).

在 \(d - 1 > i > 0\) 且 \(q \geq q_0 + (d - 1 - i)c\) 的情形，映射 \(H^i(X, p^*M(q)) \to H^i(X, p^*M(q - (d - 1 - i)c))\) 为零。

在 \(i = 0\)、\(d \in \{0, 1\}\) 且 \(q \geq q_0\) 的情形，有满射 \[I^qM \longrightarrow H^0(X, p^*M(q))\]

在 \(i = 0\)、\(d > 1\) 且 \(q \geq q_0 + (d - 1)c\) 的情形，映射 \[H^0(X, p^*M(q)) \to H^0(X, p^*M(q - (d - 1)c))\] 的像包含于典范映射 \(I^{q - (d - 1)c}M \to H^0(X, p^*M(q - (d - 1)c))\). 的像中。

证明

设 \(M\) 是一个 \((A, n, c)\)-模。选择短正合列 \[0 \to K \to (A/I^n)^{\oplus r} \to M \to 0\] 下文将用到 \(K\) 是一个 \((A, n, c)\)-模这一事实，见更多代数，引理 0G95。考虑相应的正合列 \[p^*K \to (\mathcal{O}_{Y_n})^{\oplus r} \to p^*M \to 0\] 将其拆成两个短正合列 \[0 \to \mathcal{F} \to p^*K \to \mathcal{G} \to 0 \quad\text{且}\quad 0 \to \mathcal{G} \to (\mathcal{O}_{Y_n})^{\oplus r} \to p^*M \to 0\] 由引理 0GA8，凝聚模 \(\mathcal{F}\) 在概形意义下支撑于 \(Y_c\)。

(1) 的证明。设 \(d > 0\)。我们要证明 \(H^d(X, p^*M(q)) = 0\)，其中 \(q \geq q_0\)。利用 \(\mathcal{G}\) 的扭曲在次数 \(> d\) 中的上同调消没，以及与上面第二个短正合列相伴的长上同调正合列，只需证明 \(H^d(X, \mathcal{O}_{Y_n}(q)) = 0\)。这由引理 0GA7 成立。

(2) 的证明。设 \(d > 1\)。我们要证明 \(H^{d - 1}(X, p^*M(q)) = 0\)，其中 \(q \geq q_0\)。如上一段论证可知，只需证明 \(H^d(X, \mathcal{G}(q)) = 0\)。利用第一个短正合列以及 \(\mathcal{F}\) 的扭曲在次数 \(> d\) 中的上同调消没，又只需证明 \(H^d(X, p^*K(q))\) 为零。由 (1) 以及 \(K\) 是一个 \((A, n, c)\)-模这一事实（见上）即得此结论。

(3) 的证明。设 \(0 < i < d - 1\)，并假设该断言对 \(i + 1\) 成立；在 \(i = d - 2\) 的情形，则使用断言 (2)。利用与上面第二个短正合列相伴的长上同调正合列，我们得到单射 \[H^i(X, p^*M(q - (d - 1 - i)c)) \subset H^{i + 1}(X, \mathcal{G}(q - (d - 1 - i)c))\] 因为 \(q - (d - 1 - i)c \geq q_0\) 给出 \(H^i(X, \mathcal{O}_{Y_n}(q - (d - 1 - i)c))\) 的消没（见上）。因此，只需证明映射 \(H^{i + 1}(X, \mathcal{G}(q)) \to H^{i + 1}(X, \mathcal{G}(q - (d - 1 - i)c))\) 为零。为研究这一点，考虑如下正合列之间的映射： \[\xymatrix{ H^{i + 1}(X, p^*K(q)) \ar[r] \ar[d] & H^{i + 1}(X, \mathcal{G}(q)) \ar[r] \ar[d] \ar@{..>}[ld] & H^{i + 2}(X, \mathcal{F}(q)) \ar[d] \\ H^{i + 1}(X, p^*K(q - c)) \ar[r] \ar[d] & H^{i + 1}(X, \mathcal{G}(q - c)) \ar[r] \ar[d] & H^{i + 2}(X, \mathcal{F}(q - c)) \\ H^{i + 1}(X, p^*K(q - (d - 1 - i)c)) \ar[r] & H^{i + 1}(X, \mathcal{G}(q - (d - 1 - i)c)) }\] 由于 \(\mathcal{F}\) 在概形意义下支撑于 \(Y_c\)，由引理 0GA9 可知，典范映射 \(\mathcal{G}(q) \to \mathcal{G}(q - c)\) 经由 \(p^*K(q - c)\) 分解。这给出图中的虚线箭头。（事实上，为了证明，只需注意最右端的竖直箭头为零，即可得到作为集合映射的虚线箭头。）因此，只需证明 \(H^{i + 1}(X, p^*K(q - c)) \to H^{i + 1}(X, p^*K(q - (d - 1 - i)c))\) 为零。若 \(i = d - 2\)，则由于 \(q - c \geq q_0\) 且 \(K\) 是一个 \((A, n, c)\)-模，由 (2) 可知此箭头的源为零。若 \(i < d - 2\)，则由于 \(K\) 是一个 \((A, n, c)\)-模，由归纳假设可知该映射确实为零，因为 \(q - c - (q - (d - 1 - i)c) = (d - 2 - i)c = (d - 1 - (i + 1))c\)，并且 \(q - c \geq q_0 + (d - 1 - (i + 1))c\)。由此完成 (3) 的证明。

(4) 的证明。设 \(d \in \{0, 1\}\) 且 \(q \geq q_0\)。于是第一个短正合列给出满射 \(H^1(X, p^*K(q)) \to H^1(X, \mathcal{G}(q))\) 而由情形 (1)，此箭头的源为零。因此，对所有 \(q \in \mathbf{Z}\)，映射 \[H^0(X, (\mathcal{O}_{Y_n})^{\oplus r}(q)) \longrightarrow H^0(X, p^*M(q))\] 都是满射。当 \(q \geq q_0\) 时，由引理 0GA7，其源等于 \((I^q/I^{q + n})^{\oplus r}\)，这就容易证明该断言。

(5) 的证明。设 \(d > 1\)。如 (4) 的证明中那样论证可知，只需证明 \[H^0(X, p^*M(q)) \longrightarrow H^0(X, p^*M(q - (d - 1)c))\] 的像包含于 \[H^0(X, (\mathcal{O}_{Y_n})^{\oplus r}(q - (d - 1)c)) \longrightarrow H^0(X, p^*M(q - (d - 1)c))\] 的像中。为证明上述包含关系，只需证明：对 \(\sigma \in H^0(X, p^*M(q))\)，若其边界为 \(\xi \in H^1(X, \mathcal{G}(q))\)，则 \(\xi\) 在 \(H^1(X, \mathcal{G}(q - (d - 1)c))\) 中的像为零。这由 (3) 的证明中完全相同的论证得到。

注

给定一对 \((M, n)\)，其中 \(n \geq 0\) 是整数，并有一个有限 \(A/I^n\)-模 \(M\)，我们置 \(M^\vee = \Hom_{A/I^n}(M, A/I^n)\)。给定一对 \((\mathcal{F}, n)\)，其中 \(n\) 是整数，并有一个凝聚 \(\mathcal{O}_{Y_n}\)-模 \(\mathcal{F}\)，我们置 \[\mathcal{F}^\vee = \SheafHom_{\mathcal{O}_{Y_n}}(\mathcal{F}, \mathcal{O}_{Y_n})\] 对如上的 \((M, n)\)，有典范映射 \[can : p^*(M^\vee) \longrightarrow (p^*M)^\vee\] 事实上，若选择一个展示 \((A/I^n)^{\oplus s} \to (A/I^n)^{\oplus r} \to M \to 0\) 则得到一个展示 \(\mathcal{O}_{Y_n}^{\oplus s} \to \mathcal{O}_{Y_n}^{\oplus r} \to p^*M \to 0\)。取对偶后，得到正合列 \[0 \to M^\vee \to (A/I^n)^{\oplus r} \to (A/I^n)^{\oplus s}\] 以及 \[0 \to (p^*M)^\vee \to \mathcal{O}_{Y_n}^{\oplus r} \to \mathcal{O}_{Y_n}^{\oplus s}\] 沿 \(p\) 拉回第一个序列，就得到所需的映射 \(can\)。这个映射的构造关于有限 \(A/I^n\)-模 \(M\) 是函子性的。\(can\) 的核与余核在概形意义下支撑于 \(Y_c\)，如果 \(M\) 是一个 \((A, n, c)\)-模。事实上，在这种情况下，对 \(a \in I^c\)，映射 \(a : M \to M\) 经由某个有限自由 \(A/I^n\)-模分解，而对后者 \(can\) 是同构。因此 \(a\) 零化 \(can\) 的核与余核。

引理

取如上的 \(q_0 = q(S)\) 和 \(d = d(S)\)。设 \(M\) 是一个 \((A, n, c)\)-模，并设 \(\varphi : M \to I^n/I^{2n}\) 是一个 \(A\)-线性映射。假设 \(n \geq \max(q_0 + (1 + d)c, (2 + d)c)\)；若 \(d = 0\)，还假设 \(n \geq q_0 + 2c\)。则复合映射 \[M \xrightarrow{\varphi} I^n/I^{2n} \to I^{n - (1 + d)c}/I^{2n - (1 + d)c}\] 具有形式 \(\sum a_i \psi_i\)，其中 \(a_i \in I^c\) 且 \(\psi_i : M \to I^{n - (2 + d)c}/I^{2n - (2 + d)c}\)。

证明

\(d > 1\) 的情形。由于我们有相容的映射系统 \(p^*(I^q) \to \mathcal{O}_X(q)\)，其中 \(q \geq 0\)，故有典范映射 \(p^*(I^q/I^{q + \nu}) \to \mathcal{O}_{Y_\nu}(q)\)，其中 \(\nu \geq 0\)。利用这一点并拉回 \(\varphi\)，得到映射 \[\chi : p^*M \longrightarrow \mathcal{O}_{Y_n}(n)\] 使得复合映射 \(M \to H^0(X, p^*M) \to H^0(X, \mathcal{O}_{Y_n}(n))\) 等于给定同态 \(\varphi\) 与映射 \(I^n/I^{2n} \to H^0(X, \mathcal{O}_{Y_n}(n))\) 的复合。由于 \(\mathcal{O}_{Y_n}(n)\) 在 \(Y_n\) 上可逆，线性映射 \(\chi\) 决定一个截面 \[\sigma \in \Gamma(X, (p^*M)^\vee(n))\] 这里采用注记 0GAB 中的记号。注记 0GAB 中的讨论说明， \(can : p^*(M^\vee) \to (p^*M)^\vee\) 的余核和核在概形意义下支撑于 \(Y_c\)。由引理 0GA9，映射 \((p^*M)^\vee(n) \to (p^*M)^\vee(n - 2c)\) 经由 \(p^*(M^\vee)(n - 2c)\) 分解；略去一个小细节。因此，\(\sigma\) 在 \(\Gamma(X, (p^*M)^\vee(n - 2c))\) 中的像来自一个元素 \[\sigma' \in \Gamma(X, p^*(M^\vee)(n - 2c))\] 由引理 0GAA 的 (5)，再利用 \(M^\vee\) 是一个 \((A, n, c)\)-模这一事实（见更多代数，引理 0G96），以及 \(n \geq q_0 + (1 + d)c\) 从而 \(n - 2c \geq q_0 + (d - 1)c\) 这一事实，可知 \(\sigma'\) 在 \(H^0(X, p^*M^\vee(n - (1 + d)c))\) 中的像，是某个元素 \(\tau\) 在 \(I^{n - (1 + d)c}M^\vee\) 中的像。写成 \(\tau = \sum a_i \tau_i\)，其中 \(\tau_i \in I^{n - (2 + d)c}M^\vee\)；这是有意义的，因为 \(n - (2 + d)c \geq 0\)。于是 \(\tau_i\) 决定模同态 \(\psi_i : M \to I^{n - (2 + d)c}/I^{2n - (2 + d)c}\) 其中使用了求值映射 \(M \otimes M^\vee \to A/I^n\)。

下面证明这确实可行⁴。取 \(z \in M\)，并证明 \(\varphi(z)\) 与 \(\sum a_i \psi_i(z)\) 在 \(I^{n - (1 + d)c}/I^{2n - (1 + d)c}\) 中有相同的像。首先，元素 \(z\) 决定映射 \(p^*z : \mathcal{O}_{Y_n} \to p^*M\)；它与 \(\chi\) 的复合等于映射 \(\mathcal{O}_{Y_n} \to \mathcal{O}_{Y_n}(n)\)，后者对应于 \(\varphi(z)\)，所经的映射为 \(I^n/I^{2n} \to \Gamma(\mathcal{O}_{Y_n}(n))\)。其次，\(z\) 与 \(p^*z\) 决定求值映射 \(e_z : M^\vee \to A/I^n\) 和 \(e_{p^*z} : (p^*M)^\vee \to \mathcal{O}_{Y_n}\)。由于 \(\chi(p^*z)\) 是对应于 \(\varphi(z)\) 的截面，可知 \(e_{p^*z}(\sigma)\) 是对应于 \(\varphi(z)\) 的截面。这里以及下文都滥用记号：对于模的映射 \(a : \mathcal{F} \to \mathcal{G}\)，若它定义在 \(X\) 上，也以 \(a : \mathcal{F}(t) \to \mathcal{F}(t)\) 表示相应的扭曲模映射。图 \[\xymatrix{ p^*(M^\vee) \ar[d]_{can} \ar[r]_{p^*e_z} & \mathcal{O}_{Y_n} \ar@{=}[d] \\ (p^*M)^\vee \ar[r]^{e_{p^*z}} & \mathcal{O}_{Y_n} }\] 由于构造 \(can\) 的函子性而交换。因此，\((p^*e_z)(\sigma')\) 作为 \(\Gamma(Y_n, \mathcal{O}_{Y_n}(n - 2c))\) 中的元素，是对应于 \(\varphi(z)\) 在 \(I^{n - 2c}/I^{2n - 2c}\) 中之像的截面。下一步，\(\sigma'\) 映到 \(\sum a_i \tau_i\) 在 \(H^0(X, p^*M^\vee(n - (1 + d)c))\) 中的像。这说明 \((p^*e_z)(\sum a_i \tau_i) = \sum a_i p^*e_z(\tau_i)\) 在 \(\Gamma(Y_n, \mathcal{O}_{Y_n}(n - (1 + d)c))\) 中，是对应于 \(\varphi(z)\) 在 \(I^{n - (1 + d)c}/I^{2n - (1 + d)c}\) 中之像的截面。回忆 \(\psi_i\) 是利用一个求值映射从 \(\tau_i\) 定义的。因此，若以 \[\chi_i : p^*M \longrightarrow \mathcal{O}_{Y_n}(n - (2 + d)c)\] 表示从 \(\psi_i\) 得到的映射，则由与上面相同的论证可知，对应于 \(\psi_i(z)\) 的截面是 \(\chi_i(p^*z) = e_{p^*z}(\chi_i) = p^*e_z(\tau_i)\)。因此可知， \(\varphi(z)\) 在 \(\Gamma(Y_n, \mathcal{O}_{Y_n}(n - (1 + d)c))\) 中的像，等于 \(\sum a_i\psi_i(z)\) 的像。由于 \(n - (1 + d)c \geq q_0\)，由引理 0GA7 有 \(\Gamma(Y_n, \mathcal{O}_{Y_n}(n - (1 + d)c)) = I^{n - (1 + d)c}/I^{2n - (1 + d)c}\)，故所需的相容性成立。

\(d = 1\) 的情形。像上面那样论证，得到 \[\chi : p^*M \longrightarrow \mathcal{O}_{Y_n}(n),\quad \sigma \in \Gamma(X, (p^*M)^\vee(n)),\quad \sigma' \in \Gamma(X, p^*(M^\vee)(n - 2c)),\] 然后利用引理 0GAA 的 (4)，可知 \(\sigma'\) 是某个元素 \(\tau \in I^{n - 2c}M^\vee\) 的像。其余论证相同。

\(d = 0\) 的情形。论证与 \(d = 1\) 的情形完全相同。

引理

取如上的 \(d = d(S)\) 和 \(q_0 = q(S)\)。则

对满足 \(n \geq c \geq 0\) 且 \(n \geq \max(q_0 + (1 + d)c, (2 + d)c)\), 的整数；

对 \(K\)，它是 \(D(A/I^n)\) 中的对象，且 \(H^i(K) = 0\) 当 \(i \not = -1, 0\)，而 \(H^i(K)\) 在 \(i = -1, 0\) 时有限，并且满足 \(\Ext^1_{A/I^c}(K, N)\) 被 \(I^c\) 零化，对所有有限 \(A/I^n\)-模 \(N\)，

映射 \[\Ext^1_{A/I^n}(K, I^n/I^{2n}) \longrightarrow \Ext^1_{A/I^n}(K, I^{n - (1 + d)c}/I^{2n - 2(1 + d)c})\] 为零。

证明

\(d > 0\) 的情形。令 \(K^{-1} \to K^0\) 是一个表示 \(K\) 的复形；它是按照更多代数，引理 0G9F 的 (5)，相对于理想 \(I^c/I^n\) 选取的；该理想位于环 \(A/I^n\) 中。特别地，\(K^{-1}\) 是 \(I^c/I^n\)-投射的，因为 \(I^c/I^n\) 中元素的乘法甚至经由 \(K^0\) 分解。由更多代数，引理 0ALN 的 (1)，有 \[\Ext^1_{A/I^n}(K, I^n/I^{2n}) = \Coker(\Hom_{A/I^n}(K^0, I^n/I^{2n}) \to \Hom_{A/I^n}(K^{-1}, I^n/I^{2n}))\] 其他 Ext 群也同样。因此，任何类 \(\xi\)，若它属于 \(\Ext^1_{A/I^n}(K, I^n/I^{2n})\) 都来自一个元素 \(\varphi \in \Hom_{A/I^n}(K^{-1}, I^n/I^{2n})\)。以 \(\varphi'\) 表示 \(\varphi\) 在 \(\Hom_{A/I^n}(K^{-1}, I^{n - (1 + d)c}/I^{2n - (1 + d)c})\). 中的像。由引理 0GAC，可写成 \(\varphi' = \sum a_i \psi_i\)，其中 \(a_i \in I^c\) 且 \(\psi_i \in \Hom_{A/I^n}(M, I^{n - (2 + d)c}/I^{2n - (2 + d)c})\)。选择 \(h_i : K^0 \to K^{-1}\)，使得 \(a_i \text{id}_{K^{-1}} = h_i \circ d_K^{-1}\)。置 \(\psi = \sum \psi_i \circ h_i : K^0 \to I^{n - (2 + d)c}/I^{2n - (2 + d)c}\). 则 \(\varphi' = \psi \circ \text{d}_K^{-1}\)，从而 \(\xi\) 已经在 \(\Ext^1_{A/I^n}(K, I^{n - (1 + d)c}/I^{2n - (1 + d)c})\) 中映为零，因而更在 \(\Ext^1_{A/I^n}(K, I^{n - (1 + d)c}/I^{2n - 2(1 + d)c})\). 中映为零。

\(d = 0\) 的情形⁵。取如上的 \(\xi\) 和 \(\varphi\)。考虑图 \[\xymatrix{ K^0 \\ K^{-1} \ar[u] \ar[r]^\varphi & I^n/I^{2n} \ar[r] & I^{n - c}/I^{2n - c} }\] 拉回到 \(X\)，并利用映射 \(p^*(I^n/I^{2n}) \to \mathcal{O}_{Y_n}(n)\) 得到实线图 \[\xymatrix{ p^*K^0 \ar@{..>}[rrd] \\ p^*K^{-1} \ar[u] \ar[r] & \mathcal{O}_{Y_n}(n) \ar[r] & \mathcal{O}_{Y_n}(n - c) }\] 可以覆盖 \(X\)，所用仿射开集 \(U = \Spec(B)\) 具有如下性质：存在一个 \(a \in I\)，满足如下性质：\(IB = aB\)，且 \(a\) 是 \(B\) 上的非零因子。事实上，可以用仿射爆破代数的谱覆盖 \(X\)；见除子，引理 0804。映射 \(\mathcal{O}_{Y_n}(n) \to \mathcal{O}_{Y_n}(n - c)\) 在 \(U\) 上的限制，同构于拟凝聚 \(\mathcal{O}_U\)-模的映射；后者对应于 \(B\)-模映射 \(a^c : B/a^nB \to B/a^nB\)。由于 \(a^c : K^{-1} \to K^{-1}\) 经由 \(K^0\) 分解，可知虚线箭头在 \(U\) 上存在。换言之，在 \(X\) 上局部地，我们可以找到虚线箭头！现在，与该图适配的虚线箭头所成的层，是在下述层作用下主齐性的： \[\mathcal{F} = \SheafHom_{\mathcal{O}_X}( \Coker(p^*K^{-1} \to p^*K^0), \mathcal{O}_{Y_n}(n - c))\] 这是一个凝聚 \(\mathcal{O}_X\)-模。因此，寻找虚线箭头的障碍是 \(H^1(X, \mathcal{F})\) 中的一个元素。由于 \(1 > d = 0\)，该上同调群为零；见 \(d = d(S)\) 的定义之后的讨论。这就证明了可以找到虚线箭头 \(\psi : p^*K^0 \to \mathcal{O}_{Y_n}(n - c)\) 与该图适配。由于 \(n - c \geq q_0\)，可知 \(\psi\) 诱导映射 \(K^0 \to I^{n - c}/I^{2n - c}\)。追图得到 \(\varphi' = \psi \circ \text{d}_K^{-1}\)，证明如前完成。

由于 \(T\) 在特化下稳定，有 \(T = \bigcup_{Z \subset T} Z\)；见《拓扑》，引理 0EES。↩︎
若 \(\dim(A) = \infty\)，这个构造在无界复形上可能具有预料之外的性质。↩︎
当然，可以询问这些 pro-系统在如下范畴中是否同构：其对象为逆系统，而态射由三元组 \((r, c, \varphi_n)\) 给出；该三元组由 \(r \geq 1\)、\(c \geq 0\) 以及态射 \(\varphi_n : X_{rn} \to Y_{n - c}\) 组成，后者对 \(n \geq c\) 给定。↩︎
我们希望有读者能为此提出一个不那么笨拙的证明。↩︎
对 \(d > 0\) 给出的论证也适用，但所得结果稍弱。↩︎