概形的基本群

引言

本章讨论概形的 Grothendieck 基本群及其应用。基础性参考文献是 [SGA1]。 一篇很好的导论是 [Lenstra]。 其他参考文献包括 [Murre-lectures] 和 [Grothendieck-Murre]。

点上的 étale 概形

本节描述域的谱上的 étale 概形。在陈述结果之前，我们先对拓扑群 \(G\) 引入 \(G\)-集范畴。

定义

设 \(G\) 为拓扑群。一个\(G\)-集，有时也称为离散 \(G\)-集， 是一个集合 \(X\) 连同一个左作用 \(a : G \times X \to X\)；要求 \(a\) 连续， 其中给 \(X\) 赋予离散拓扑，给 \(G \times X\) 赋予乘积拓扑。 一个\(G\)-集的态射 \(f : X \to Y\) 就是任意的 \(G\)-等变映射， 其源为 \(X\)、靶为 \(Y\)。\(G\)-集范畴记作 \(G\textit{-Sets}\)。

条件 \(a : G \times X \to X\) 连续，无非表示任意 \(x \in X\) 的稳定子群在 \(G\) 中是开的。如果 \(G\) 是抽象群 \(G\)（即它是群但不是拓扑群），只要给它赋予 那么上述定义与先前的定义一致（例如见 Sites, Example 00VK），前提是给 \(G\) 赋予离散拓扑。

回忆，如果 \(L/K\) 是无限 Galois 扩张，则 Galois 群 \(G = \text{Gal}(L/K)\) 带有典范拓扑；见 Fields, Section 0BMI。

引理

设 \(K\) 为域。设 \(K^{sep}\) 为 \(K\) 的一个可分闭包。考虑 profinite 群 \(G = \text{Gal}(K^{sep}/K)\)。函子 \[\begin{matrix} \text{schemes \'etale over }K & \longrightarrow & G\textit{-Sets} \\ X/K & \longmapsto & \Mor_{\Spec(K)}(\Spec(K^{sep}), X) \end{matrix}\] 是范畴等价。

证明

概形 \(X\) 定义在 \(K\) 上；它在 \(K\) 上为 étale，当且仅当 \(X \cong \coprod_{i\in I} \Spec(K_i)\)，其中每个 \(K_i\) 都是 \(K\) 的有限可分扩张 （Morphisms, Lemma 02GL）。该引理的函子将 \(X\) 送到 \(G\)-集 \[\coprod\nolimits_i \Hom_K(K_i, K^{sep})\] 及其自然左 \(G\)-作用。由 \(G\) 上拓扑的定义，每个元素都有开稳定子群。反之， 任意 \(G\)-集 \(S\) 都是其轨道的不交并。设 \(S = \coprod S_i\)。选取 \(s_i \in S_i\)，并用 \(G_i \subset G\) 表示它的开稳定子群。由 Galois 理论 （Fields, Theorem 0BML），域 \((K^{sep})^{G_i}\) 是 \(K\) 的有限可分扩张，因而概形 \[\coprod\nolimits_i \Spec((K^{sep})^{G_i})\] 在 \(K\) 上为 étale。这给出了该引理函子的逆。略去一些细节。

注

在引理 03QR 的对应下，小 étale 位点 \(\Spec(K)_\etale\)，即 \(K\) 的小 étale 位点，其中的覆盖对应于 \(G\textit{-Sets}\) 中的满射映射族。

Galois 范畴

本节讨论读者可在 [SGA1, Exposé V, Sections 4, 5, and 6] 中找到的部分材料。

设 \(F : \mathcal{C} \to \textit{Sets}\) 为函子。回忆，依照我们的约定， 范畴的对象构成集合，并且任意一对对象之间的态射也构成集合。有典范单射 [0BS7]\[\begin{equation} \text{Aut}(F) \longrightarrow \prod\nolimits_{X \in \Ob(\mathcal{C})} \text{Aut}(F(X)) \end{equation}\] 对集合 \(E\)，给 \(\text{Aut}(E)\) 赋予紧开拓扑；见 Topology, Example 0BMC。当然，当 \(E\) 有限时，这就是 离散拓扑；本节所关心的正是这种情形¹。给 \(\text{Aut}(F)\) 赋予由 (0BS7) 右端的乘积拓扑诱导的拓扑。特别地，作用映射 \[\text{Aut}(F) \times F(X) \longrightarrow F(X)\] 在给 \(F(X)\) 赋予离散拓扑时是连续的，因为作用映射 \(\text{Aut}(E) \times E \to E\) 对任意集合 \(E\) 都具有这一性质。 \(\text{Aut}(F)\) 上该拓扑的泛性质如下：设 \(G\) 为拓扑群，而 \(G \to \text{Aut}(F)\) 为群同态，并且诱导作用 \(G \times F(X) \to F(X)\) 对所有 \(X \in \Ob(\mathcal{C})\) 都连续，其中给 \(F(X)\) 赋予离散拓扑。 那么 \(G \to \text{Aut}(F)\) 连续。

下述引理说明，取值于有限集范畴的函子之自同构群自动成为 profinite 群。

引理

设 \(\mathcal{C}\) 为范畴，\(F : \mathcal{C} \to \textit{Sets}\) 为函子。映射 (0BS7) 将 \(\text{Aut}(F)\) 识别为 \(\prod_{X \in \Ob(\mathcal{C})} \text{Aut}(F(X))\) 的闭子群。特别地，如果 \(F(X)\) 对所有 \(X\) 都有限，那么 \(\text{Aut}(F)\) 是 profinite 群。

证明

设 \(\xi = (\gamma_X) \in \prod \text{Aut}(F(X))\) 是不属于 \(\text{Aut}(F)\) 的元素。于是存在态射 \(f : X \to X'\)（属于 \(\mathcal{C}\)） 及元素 \(x \in F(X)\)，使得 \(F(f)(\gamma_X(x)) \not = \gamma_{X'}(F(f)(x))\). 考虑开邻域 \(U = \{\gamma \in \text{Aut}(F(X)) \mid \gamma(x) = \gamma_X(x)\}\)， 它是 \(\gamma_X\) 的邻域；以及开邻域 \(U' = \{\gamma' \in \text{Aut}(F(X')) \mid \gamma'(F(f)(x)) = \gamma_{X'}(F(f)(x))\}\). 于是 \(U \times U' \times \prod_{X'' \not = X, X'} \text{Aut}(F(X''))\) 是 \(\xi\) 的开邻域，且不与 \(\text{Aut}(F)\) 相交。最后一个断言来自如下事实： \(\prod \text{Aut}(F(X))\) 在每个 \(F(X)\) 都有限时是 profinite 空间。

例

设 \(G\) 为拓扑群。一个重要例子是遗忘函子 [0BMT]\[\begin{equation} \textit{Finite-}G\textit{-Sets} \longrightarrow \textit{Sets} \end{equation}\] 其中 \(\textit{Finite-}G\textit{-Sets}\) 是 \(G\textit{-Sets}\) 的全子范畴， 其对象是有限 \(G\)-集。\(G\textit{-Sets}\)（即 \(G\)-集范畴）定义于 Definition 04JJ。

设 \(G\) 为拓扑群。\(G\) 的profinite 完备化是 profinite 群 \[G^\wedge = \lim_{U \subset G\text{ open, normal, finite index}} G/U\] 及其 profinite 拓扑。注意，该极限是余滤过的，因为有限多个开、正规且 具有有限指数的子群之交仍具有这些性质。profinite 完备化的泛性质是：任意连续映射 \(G \to H\)，其中 \(H\) 为 profinite 群，都典范地分解为 \(G \to G^\wedge \to H\)。

引理

设 \(G\) 为拓扑群。给函子 (0BMT) 的自同构群赋予引理 0BMR 所给的 profinite 拓扑，则该群是 \(G\) 的 profinite 完备化。

证明

用 \(F_G\) 表示函子 (0BMT)。任意态射 \(X \to Y\)（属于 \(\textit{Finite-}G\textit{-Sets}\)）都与 \(G\) 的作用可交换。 因此任意 \(g \in G\) 都定义 \(F_G\) 的一个自同构，从而得到典范群同态 \(G \to \text{Aut}(F_G)\)。注意，任意有限 \(G\)-集 \(X\) 都是若干 \(G\)-集的 有限不交并，这些集合形如 \(G/H_i\) 并带有典范 \(G\)-作用，其中 \(H_i \subset G\) 是有限指数开子群。于是 \(U_i = \bigcap gH_ig^{-1}\) 是开、正规且具有有限指数的。 此外，\(U_i\) 在 \(G/H_i\) 上的作用平凡，故 \(U = \bigcap U_i\) 在 \(F_G(X)\) 上的 作用平凡。因此作用 \(G \times F_G(X) \to F_G(X)\) 连续。由 \(\text{Aut}(F_G)\) 上拓扑的泛性质，映射 \(G \to \text{Aut}(F_G)\) 连续。 由引理 0BMR 和 profinite 完备化的泛性质，诱导出连续群同态 \[G^\wedge \longrightarrow \text{Aut}(F_G)\] 此外，由于 \(G/U\) 在 \(G/U\) 上的作用忠实，该映射为单射。如果其像稠密， 则该映射为满射，因而由 Topology, Lemma 08YE 可知它是同胚。

设 \(\gamma \in \text{Aut}(F_G)\) 且 \(X \in \Ob(\mathcal{C})\)。我们将证明存在 \(g \in G\)，使 \(\gamma\) 与 \(g\) 在 \(F_G(X)\) 上诱导相同的作用。这将完成证明。 如前所述，\(X\) 是若干 \(G/H_i\) 的有限不交并。取上述 \(U_i\) 和 \(U\)，则有限 \(G\)-集 \(Y = G/U\) 满射到 \(G/H_i\)（对所有 \(i\)），故只需找到 \(g \in G\)，使 \(\gamma\) 与 \(g\) 在 \(F_G(G/U) = G/U\) 上诱导相同作用。设 \(e \in G\) 为单位元，并设 \(\gamma(eU) = g_0U\)，其中 \(g_0 \in G\)。对任意 \(g_1 \in G\)，态射 \[R_{g_1} : G/U \longrightarrow G/U,\quad gU \longmapsto gg_1U\] 属于 \(\textit{Finite-}G\textit{-Sets}\)，并且与 \(\gamma\) 的作用可交换。因此 \[\gamma(g_1U) = \gamma(R_{g_1}(eU)) = R_{g_1}(\gamma(eU)) = R_{g_1}(g_0U) = g_0g_1U\] 所以 \(g = g_0\) 符合要求。

回忆，正合函子是与所有有限极限和有限余极限可交换的函子。特别地，这种函子 与等化子、余等化子、纤维积、推出等构造可交换。

引理

设 \(G\) 为拓扑群。设 \(F : \textit{Finite-}G\textit{-Sets} \to \textit{Sets}\) 为正合函子，并且 \(F(X)\) 对所有 \(X\) 都有限。那么 \(F\) 同构于函子 (0BMT)。

证明

设 \(X\) 为 \(\textit{Finite-}G\textit{-Sets}\) 的非空对象。图 \[\xymatrix{ X \ar[r] \ar[d] & \{*\} \ar[d] \\ \{*\} \ar[r] & \{*\} }\] 为余笛卡儿图。因此 \(F(X)\) 非空。设 \(U \subset G\) 为有限指数开正规子群。 注意 \[G/U \times G/U = \coprod\nolimits_{gU \in G/U} G/U\] 其中与 \(gU\) 对应的直和项，对应于左端 \((eU, gU)\) 的轨道。于是 \[F(G/U) \times F(G/U) = F(G/U \times G/U) = \coprod\nolimits_{gU \in G/U} F(G/U)\] 故 \(|F(G/U)| = |G/U|\)，因为 \(F(G/U)\) 非空。因此 \[\lim_{U \subset G\text{ open, normal, finite idex}} F(G/U)\] 非空（Categories, Lemma 086J）。选取该极限中的 元素 \(\gamma = (\gamma_U)\)。用 \(F_G\) 表示函子 (0BMT)。 可将 \(F_G\) 识别为函子 \[X \longmapsto \colim_U \Mor(G/U, X)\] 其中 \(f : G/U \to X\) 对应于 \(f(eU) \in X = F_G(X)\)（略去细节）。因此元素 \(\gamma\) 决定一个良定义的映射 \[t : F_G \longrightarrow F\] 具体而言，给定 \(x \in X\)，选取 \(U\) 和 \(f : G/U \to X\)，使它把 \(eU\) 送到 \(x\)，再置 \(t_X(x) = F(f)(\gamma_U)\)。我们将证明，\(t\) 诱导双射 \(t_{G/U} : F_G(G/U) \to F(G/U)\)（对任意 \(U\)）。由此容易推出 \(t\) 是同构 （略去细节）。由于 \(|F_G(G/U)| = |F(G/U)|\)，只需证明 \(t_{G/U}\) 为满射。 其像至少含有元素 \(t_{G/U}(eU) = F(\text{id}_{G/U})(\gamma_U) = \gamma_U\). 对 \(g \in G\)，用 \(R_g : G/U \to G/U\) 表示右乘。映射 \(F(R_g) : F(G/U) \to F(G/U)\) 的不动点集等于 \(F(\emptyset) = \emptyset\)， 如果 \(g \not \in U\)；这是因为 \(F\) 与等化子可交换。于是，如果 \(g_1, \ldots, g_{|G/U|}\) 是 \(G/U\) 的一组代表元，则各元素 \(F(R_{g_i})(\gamma_U)\) 两两不同，因而充满 \(F(G/U)\)。此时 \[t_{G/U}(g_iU) = F(R_{g_i})(\gamma_U)\] 证明完毕。

例

设 \(\mathcal{C}\) 为范畴，而 \(F : \mathcal{C} \to \textit{Sets}\) 为函子， 使得 \(F(X)\) 对所有 \(X \in \Ob(\mathcal{C})\) 都有限。由引理 0BMR，\(G = \text{Aut}(F)\) 典范地带有 profinite 拓扑群结构。得到函子 [0BMX]\[\begin{equation} \mathcal{C} \longrightarrow \textit{Finite-}G\textit{-Sets},\quad X \longmapsto F(X) \end{equation}\] 其中给 \(F(X)\) 赋予所诱导的 \(G\)-作用。由我们对 \(\text{Aut}(F)\) 上拓扑的构造， 该作用连续。

定义 Galois 范畴的目的是刻画那些使函子 (0BMX) 成为等价的 对 \((\mathcal{C}, F)\)。我们如下定义 Galois 范畴。

定义

设 \(\mathcal{C}\) 为范畴，而 \(F : \mathcal{C} \to \textit{Sets}\) 为函子。如果 满足下列条件，则称对 \((\mathcal{C}, F)\) 为Galois 范畴：

1. \(\mathcal{C}\) 有有限极限和有限余极限；

2. \(\mathcal{C}\) 的每个对象都是连通对象的有限（可以为空）余积；

3. \(F(X)\) 对所有 \(X \in \Ob(\mathcal{C})\) 都有限；

4. \(F\) 反映同构²，并且是正合的³。

这里称 \(X \in \Ob(\mathcal{C})\) 连通，是指它不是始对象，并且对任意单态射 \(Y \to X\)，要么 \(Y\) 是始对象，要么 \(Y \to X\) 是同构。

警告：这个定义与大多数参考文献所给的定义不同（尽管最终会看出二者等价）。 具体而言，[SGA1, Exposé V, Definition 5.1] 把 Galois 范畴定义为 与 \(\textit{Finite-}G\textit{-Sets}\) 等价的范畴，其中 \(G\) 为某个 profinite 群。 随后 Grothendieck 用一组公理 (G1) – (G6) 刻画 Galois 范畴；这些公理比上述 公理弱。我们作此选择，是为了强调有限极限和有限余极限的存在性以及函子 \(F\) 的正合性。其代价是稍后应用本节结果时必须多做一些工作。

引理

设 \((\mathcal{C}, F)\) 为 Galois 范畴。设 \(X \to Y \in \text{Arrows}(\mathcal{C})\)。则

1. \(F\) 忠实；

2. \(X \to Y\) 是单态射 \(\Leftrightarrow F(X) \to F(Y)\) 是单射；

3. \(X \to Y\) 是满态射 \(\Leftrightarrow F(X) \to F(Y)\) 是满射；

4. 对象 \(A\)（属于 \(\mathcal{C}\)）是始对象，当且仅当 \(F(A) = \emptyset\)；

5. 对象 \(Z\)（属于 \(\mathcal{C}\)）是终对象，当且仅当 \(F(Z)\) 为单元集；

6. 如果 \(X\) 和 \(Y\) 连通，则 \(X \to Y\) 是满态射；

7. 如果 \(X\) 连通，而 \(a, b : X \to Y\) 为两个态射，则等式 \(a = b\) 在如下条件下成立： \(F(a)\) 和 \(F(b)\) 在 \(F(X)\) 的某个元素上一致；

8. 如果 \(X = \coprod_{i = 1, \ldots, n} X_i\) 且 \(Y = \coprod_{j = 1, \ldots, m} Y_j\)，其中 \(X_i\)、\(Y_j\) 连通，则存在映射 \(\alpha : \{1, \ldots, n\} \to \{1, \ldots, m\}\)，使 \(X \to Y\) 来自一族态射 \(X_i \to Y_{\alpha(i)}\)。

证明

(1) 的证明。设 \(a, b : X \to Y\) 且 \(F(a) = F(b)\)。令 \(E\) 为 \(a\) 和 \(b\) 的等化子。于是 \(F(E) = F(X)\)；可知 \(E = X\)，因为 \(F\) 反映同构。

(2) 的证明。函子 \(F\) 把态射 \(X \to X \times_Y X\) 变为映射 \(F(X) \to F(X) \times_{F(Y)} F(X)\)，并且 \(F\) 反映同构，故断言成立。

(3) 的证明。函子 \(F\) 把态射 \(Y \amalg_X Y \to Y\) 变为映射 \(F(Y) \amalg_{F(X)} F(Y) \to F(Y)\)，并且 \(F\) 反映同构，故断言成立。

(4) 的证明。存在始对象 \(A\)，而且显然 \(F(A) = \emptyset\)。反之，如果对象 \(X\) 满足 \(F(X) = \emptyset\)，则唯一映射 \(A \to X\) 诱导双射 \(F(A) \to F(X)\)，故 \(A \to X\) 是同构。

(5) 的证明。存在终对象 \(Z\)，而且显然 \(F(Z)\) 为单元集。反之，如果对象 \(X\) 的 \(F(X)\) 为单元集，则唯一映射 \(X \to Z\) 诱导双射 \(F(X) \to F(Z)\)，故 \(X \to Z\) 是同构。

(6) 的证明。等化子 \(E\)（对应两个映射 \(Y \to Y \amalg_X Y\)）不是 \(\mathcal{C}\) 的始对象，因为 \(X \to Y\) 经过 \(E\) 分解，且 \(F(X) \not = \emptyset\)。因此 \(E = Y\)，断言得证。

(0BN1) 的证明。等化子 \(E\) 是 \(a\) 和 \(b\) 的等化子，它带有单态射 \(E \to X\)，而 \(F(E) \subset F(X)\) 是 \(F(a)\) 和 \(F(b)\) 取值相同的元素所成之集。 最后使用如下事实：要么 \(E\) 是始对象，要么 \(E = X\)。

(8) 的证明。对每个 \(i, j\)，\(E_{ij} = X_i \times_Y Y_j\) 要么是始对象， 要么等于 \(X_i\)。选取 \(s \in F(X_i)\)，可知 \(E_{ij} = X_i\) 当且仅当 \(s\) 映到 \(F(Y_j) \subset F(Y)\) 的某个元素，故这种情形对唯一的 \(j = \alpha(i)\) 成立。

由上述引理可知，给定 Galois 范畴中的连通对象 \(X\)；若该范畴记为 \((\mathcal{C}, F)\)，则自同构群 \(\text{Aut}(X)\) 的阶至多为 \(|F(X)|\)。事实上，给定 \(s \in F(X)\) 和 \(g \in \text{Aut}(X)\)，由 (0BN1)， \(F(g)(s) = s\) 当且仅当 \(g = \text{id}_X\)。如果等号成立，就称 \(X\) 是 Galois 的。等价地，\(X\) 是 Galois 的，当且仅当它连通，并且 \(\text{Aut}(X)\) 在 \(F(X)\) 上传递作用。

引理

设 \((\mathcal{C}, F)\) 为 Galois 范畴。对任意连通对象 \(X\)（属于 \(\mathcal{C}\)）， 存在 Galois 对象 \(Y\) 和态射 \(Y \to X\)。

证明

以下将不再明言地使用引理 0BN0 的结果。令 \(n = |F(X)|\)。考虑 \(X^n\) 及 \(S_n\) 在其上的自然作用。设 \[X^n = \coprod\nolimits_{t \in T} Z_t\] 是连通对象分解。选取 \(t\)，使 \(F(Z_t)\) 含有 \((s_1, \ldots, s_n)\)，其中各 \(s_i\) 两两不同。若 \((s'_1, \ldots, s'_n) \in F(Z_t)\) 是另一元素，则我们断言 各 \(s'_i\) 也两两不同。否则，比如 \(s'_i = s'_j\)，则 \(Z_t\) 是 \(X^{n - 1}\) 的某个连通分支在对角态射 \[\Delta_{ij} : X^{n - 1} \longrightarrow X^n\] 下的像。由于连通对象之间的态射是满态射，并且应用 \(F\) 后诱导满射， 将推出 \(s_i = s_j\)，与假设矛盾。

令 \(G \subset S_n\) 为满足 \(g(Z_t) = Z_t\) 的元素所成子群。考察 \(S_n\) 在 \[F(X)^n = F(X^n) = \coprod\nolimits_{t' \in T} F(Z_{t'})\] 上的作用，可知 \(G = \{g \in S_n \mid g(s_1, \ldots, s_n) \in F(Z_t)\}\)。现选取第二个元素 \((s'_1, \ldots, s'_n) \in F(Z_t)\)。上面已证明各 \(s'_i\) 两两不同。因此可找到 \(g \in S_n\)，使 \(g(s_1, \ldots, s_n) = (s'_1, \ldots, s'_n)\)。换言之， \(G\) 在 \(F(Z_t)\) 上的作用是传递的，证明完毕。

下面是一个关键引理。

引理

设 \((\mathcal{C}, F)\) 为 Galois 范畴。设 \(G = \text{Aut}(F)\) 如例 0BMW 所述。对任意连通对象 \(X\)（属于 \(\mathcal{C}\)）， \(G\) 在 \(F(X)\) 上的作用是传递的。

证明

以下将不再明言地使用引理 0BN0 的结果。令 \(I\) 为 \(\mathcal{C}\) 中 Galois 对象同构类所成之集。对每个 \(i \in I\)，令 \(X_i\) 为该同构类的代表。选取 \(\gamma_i \in F(X_i)\)（\(i \in I\)）。如下在 \(I\) 上定义偏序： \(i \geq i'\) 当且仅当存在态射 \(f_{ii'} : X_i \to X_{i'}\)。给定这样的态射， 可以后复合一个自同构 \(X_{i'} \to X_{i'}\)，以保证 \(F(f_{ii'})(\gamma_i) = \gamma_{i'}\)。在这种规范化下，态射 \(f_{ii'}\) 唯一。 注意 \(I\) 是有向偏序集（Categories, Definition 00D3）：如果 \(i_1, i_2 \in I\)，则存在 Galois 对象 \(Y\) 及态射 \(Y \to X_{i_1} \times X_{i_2}\)；这是对 \(X_{i_1} \times X_{i_2}\) 的某个连通分支应用引理 0BN2 得到的。 于是 \(Y \cong X_i\)，其中某个 \(i \in I\)，且 \(i \geq i_1\)、\(i \geq I_2\)。

我们断言函子 \(F\) 同构于函子 \(F'\)，后者把 \(X\) 送到 \[F'(X) = \colim_I \Mor_\mathcal{C}(X_i, X)\] 这是通过如下定义的函子变换 \(t : F' \to F\) 实现的：给定 \(f : X_i \to X\)， 置 \(t_X(f) = F(f)(\gamma_i)\)。由 (0BN1) 可知 \(t_X\) 是单射。 为证满射，取 \(\gamma \in F(X)\)。由 Galois 范畴的定义，可立即归约到 \(X\) 连通的情形。再由引理 0BN2，可设 \(X\) 是 Galois 的。此时 \(X\) 同构于 \(X_i\)，其中 \(i\) 是某个指标；并且可以选取同构 \(X_i \to X\)，使 \(\gamma_i\) 映到 \(\gamma\)（由 Galois 对象的定义）。因此 \(t\) 是同构。

置 \(A_i = \text{Aut}(X_i)\)。我们断言，对 \(i \geq i'\)，存在典范映射 \(h_{ii'} : A_i \to A_{i'}\)，使得对所有 \(a \in A_i\)，图 \[\xymatrix{ X_i \ar[d]_a \ar[r]_{f_{ii'}} & X_{i'} \ar[d]^{h_{ii'}(a)} \\ X_i \ar[r]^{f_{ii'}} & X_{i'} }\] 可交换。具体而言，令 \(h_{ii'}(a) = a' : X_{i'} \to X_{i'}\) 为满足 \(F(a')(\gamma_{i'}) = F(f_{ii'} \circ a)(\gamma_i)\). 的唯一自同构。如前，这使该图可交换，而且选择是唯一的。因此 \(h_{i'i''} \circ h_{ii'} = h_{ii''}\) 只要 \(i \geq i' \geq i''\)。由于 \(F(X_i) \to F(X_{i'})\) 为满射， 可知 \(A_i \to A_{i'}\) 为满射。取逆极限，得到群 \[A = \lim_I A_i\] 这是 profinite 群，因为各自同构群有限。由 Categories, Lemma 086J，映射 \(A \to A_i\) 对所有 \(i\) 都是满射。

由于 \(A\) 的元素作用于逆系统 \(X_i\)，通过预复合得到 \(A\) 在 \(F'\) 上的右作用。 换言之，得到同态 \(A^{opp} \to G\)。由于 \(A \to A_i\) 为满射，可知 \(G\) 在 \(F(X_i)\) 上传递作用，对所有 \(i\) 均如此。又由于每个连通对象都被某个 \(X_i\) 支配，引理得证。

命题

设 \((\mathcal{C}, F)\) 为 Galois 范畴。设 \(G = \text{Aut}(F)\) 如例 0BMW 所述。函子 \(F : \mathcal{C} \to \textit{Finite-}G\textit{-Sets}\) (0BMX) 是等价。

证明

以下将不再明言地使用引理 0BN0 的结果。特别地，我们知道该函子 忠实。由引理 0BN3，对任意连通的 \(X\)，\(G\) 在 \(F(X)\) 上的作用 传递。因此，对一般的 \(X\)，函子 \(F\) 把 \(X\) 的连通分支（其存在性来自 Galois 范畴的一条公理）送到 \(G\) 在 \(F(X)\) 上的轨道。设 \(X\) 和 \(Y\) 为对象， 而 \(s : F(X) \to F(Y)\) 为映射。于是 \(\Gamma_s \subset F(X) \times F(Y)\)（即 \(s\) 的图像）是连通分支的并。因此存在 一个 \(Z\)，它是 \(X \times Y\) 的若干连通分支之并，并带有单态射 \(Z \to X \times Y\)， 且 \(F(Z) = \Gamma_s\)。由于 \(F(Z) \to F(X)\) 为双射，\(Z \to X\) 是同构， 从而 \(s = F(f)\)，其中 \(f : X \cong Z \to Y\) 为复合。因此 \(F\) 全忠实。

为完成证明，我们来证明 \(F\) 本质满。只需证明 \(G/H\) 位于本质像中，其中 \(H \subset G\) 是任意有限指数开子群。由 \(G\) 上拓扑的定义，存在有限族对象 \(X_i\)，使 \[\Ker(G \longrightarrow \prod\nolimits_i \text{Aut}(F(X_i)))\] 包含于 \(H\)。可设 \(X_i\) 连通，对所有 \(i\) 均如此。由引理 0BN2， 可以选取 Galois 对象 \(Y\)，使其映到 \(\prod X_i\) 的某个连通分支。选取同构 \(F(Y) = G/U\)（位于 \(G\textit{-sets}\) 中），其中 \(U \subset G\) 为某个开子群。由于 \(Y\) 是 Galois 的，群 \(\text{Aut}(Y) = \text{Aut}_{G\textit{-Sets}}(G/U)\) 在 \(F(Y) = G/U\) 上传递作用。这说明 \(U\) 正规。由于 \(F(Y)\) 满射到 \(F(X_i)\)，对每个 \(i\) 均如此，可知 \(U \subset H\)。令 \(M \subset \text{Aut}(Y)\) 为对应于 \[(H/U)^{opp} \subset (G/U)^{opp} = \text{Aut}_{G\textit{-Sets}}(G/U) = \text{Aut}(Y).\] 的有限子群。置 \(X = Y/M\)，即 \(X\) 是各箭头 \(m : Y \to Y\)（\(m \in M\)） 的余等化子。由于 \(F\) 正合，可知 \(F(X) = G/H\)，证明完毕。

引理

设 \((\mathcal{C}, F)\) 和 \((\mathcal{C}', F')\) 为 Galois 范畴。设 \(H : \mathcal{C} \to \mathcal{C}'\) 为正合函子。存在同构 \(t : F' \circ H \to F\)。\(t\) 的选择决定连续同态 \(h : G' = \text{Aut}(F') \to \text{Aut}(F) = G\) 以及 \(2\)-交换图 \[\xymatrix{ \mathcal{C} \ar[r]_H \ar[d] & \mathcal{C}' \ar[d] \\ \textit{Finite-}G\textit{-Sets} \ar[r]^h & \textit{Finite-}G'\textit{-Sets} }\] 映射 \(h\) 与 \(t\) 无关，仅允许相差 \(G\) 的内自同构。反之，给定连续同态 \(h : G' \to G\)，存在正合函子 \(H : \mathcal{C} \to \mathcal{C}'\) 和同构 \(t\)，按上述方式恢复 \(h\)。

证明

由命题 0BN4 和引理 0BMU， 可设 \(\mathcal{C} = \textit{Finite-}G\textit{-Sets}\) 且 \(F\) 为遗忘函子； 对 \(\mathcal{C}'\) 同理。于是 \(t\) 的存在性来自引理 0BMV。映射 \(h\) 来自经由 \(t\) 的结构传递。 图的交换性显然。\(h\) 在相差 \(G\) 中某个元素的内共轭意义下唯一，这是因为 \(t\) 的选择在相差 \(G\) 的一个元素意义下唯一。最后一个断言是直接的。

函子与同态

设 \((\mathcal{C}, F)\)、\((\mathcal{C}', F')\)、\((\mathcal{C}'', F'')\) 为 Galois 范畴。置 \(G = \text{Aut}(F)\)、\(G' = \text{Aut}(F')\)，以及 \(G'' = \text{Aut}(F'')\)。设 \(H : \mathcal{C} \to \mathcal{C}'\) 和 \(H' : \mathcal{C}' \to \mathcal{C}''\) 为正合函子。 设 \(h : G' \to G\) 和 \(h' : G'' \to G'\) 为引理 0BN5 所述的相应连续同态。本节考虑相应的 \(2\)-交换图 [0BTR]\[\begin{equation} \vcenter{ \xymatrix{ \mathcal{C} \ar[r]_H \ar[d] & \mathcal{C}' \ar[r]_{H'} \ar[d] & \mathcal{C}'' \ar[d] \\ \textit{Finite-}G\textit{-Sets} \ar[r]^h & \textit{Finite-}G'\textit{-Sets} \ar[r]^{h'} & \textit{Finite-}G''\textit{-Sets} } } \end{equation}\] 并把序列 \(1 \to G'' \to G' \to G \to 1\) 的正合性质与函子 \(H\) 和 \(H'\) 的性质联系起来。

引理

在图 (0BTR) 中，下列条件等价：

1. \(h : G' \to G\) 是满射；

2. \(H : \mathcal{C} \to \mathcal{C}'\) 全忠实；

3. 如果 \(X \in \Ob(\mathcal{C})\) 连通，则 \(H(X)\) 连通；

4. 如果 \(X \in \Ob(\mathcal{C})\) 连通，且存在态射 \(*' \to H(X)\)（位于 \(\mathcal{C}'\) 中），则存在态射 \(* \to X\)；以及

5. 对任意对象 \(X\)（属于 \(\mathcal{C}\)），映射 \(\Mor_\mathcal{C}(*, X) \to \Mor_{\mathcal{C}'}(*', H(X))\) 为双射。

这里 \(*\) 和 \(*'\) 分别是 \(\mathcal{C}\) 和 \(\mathcal{C}'\) 的终对象。

证明

(5) \(\Rightarrow\) (4) 和 (2) \(\Rightarrow\) (5) 显然。

假设 (3)。设 \(X\) 为 \(\mathcal{C}\) 的连通对象，并设 \(*' \to H(X)\) 为态射。由 (3)，\(H(X)\) 连通，故 \(*' \to H(X)\) 是同构。因此相应的 \(G'\)-集（对应于 \(H(X)\)）恰有一个元素，这意味着相应的 \(G\)-集 （对应于 \(X\)）有一个元素，进而意味着 \(X\) 同构于 \(\mathcal{C}\) 的终对象； 特别地，存在映射 \(* \to X\)。由此可见 (3) \(\Rightarrow\) (4)。

如果 (1) 成立，则函子 \(\textit{Finite-}G\textit{-Sets} \to \textit{Finite-}G'\textit{-Sets}\) 全忠实：在这种情形下，\(G\)-集之间的映射与 \(G\) 的作用可交换，当且仅当它与 \(G'\) 的作用可交换。因此 (1) \(\Rightarrow\) (2)。

如果 (1) 成立，则对 \(G\)-集 \(X\)，其 \(G\)-轨道与 \(G'\)-轨道一致。 因此 (1) \(\Rightarrow\) (3)。

为完成证明，只需证明 (4) 蕴含 (1)。如果 (1) 不成立，即 \(h\) 不是满射， 则存在开子群 \(U \subset G\)，它包含 \(h(G')\) 但不等于 \(G\)。于是有限 \(G\)-集 \(M = G/U\) 上的作用是传递的，但 \(G'\) 有一个不动点。对象 \(X\)（属于 \(\mathcal{C}\)，对应于 \(M\)）将与 (3) 矛盾。由此可见 (3) \(\Rightarrow\) (1)，证明完毕。

引理

在图 (0BTR) 中，下列条件等价：

1. \(h \circ h'\) 是平凡的；以及

2. \(H' \circ H\) 的像由同构于终对象有限余积的对象组成。

证明

可以把 \(H\) 和 \(H'\) 替换为典范函子 \(\textit{Finite-}G\textit{-Sets} \to \textit{Finite-}G'\textit{-Sets} \to \textit{Finite-}G''\textit{-Sets}\)；这些函子由 \(h\) 和 \(h'\) 决定。 于是所述命题变为：\(G''\) 在每个 \(G\)-集上的作用平凡，当且仅当同态 \(G'' \to G\) 平凡。这是显然的。

引理

在图 (0BTR) 中，下列条件等价：

1. 序列 \(G'' \xrightarrow{h'} G' \xrightarrow{h} G \to 1\) 在如下意义下正合：\(h\) 是满射，\(h \circ h'\) 平凡，并且 \(\Ker(h)\) 是包含 \(\Im(h')\) 的最小闭正规子群；

2. \(H\) 全忠实，而且对象 \(X'\)（属于 \(\mathcal{C}'\)）位于 \(H\) 的本质像中， 当且仅当 \(H'(X')\) 同构于终对象的有限余积；以及

3. \(H\) 全忠实，\(H \circ H'\) 把每个对象送到终对象的有限余积，并且对 对象 \(X'\)（属于 \(\mathcal{C}'\)），如果 \(H'(X')\) 是终对象的有限余积，则存在 对象 \(X\)（属于 \(\mathcal{C}\)）及满态射 \(H(X) \to X'\)。

证明

由引理 0BN6 和 0BS8，可设 \(H\) 全忠实，\(h\) 是满射， \(H' \circ H\) 把对象送到终对象的不交并，并且 \(h \circ h'\) 平凡。 令 \(N \subset G'\) 为包含 \(h'\) 的像的最小闭正规子群。显然 \(N \subset \Ker(h)\)。可设函子 \(H\) 和 \(H'\) 是典范函子 \(\textit{Finite-}G\textit{-Sets} \to \textit{Finite-}G'\textit{-Sets} \to \textit{Finite-}G''\textit{-Sets}\)；这些函子由 \(h\) 和 \(h'\) 决定。

假设 (2) 成立。这意味着，对有限 \(G'\)-集 \(X'\)，如果 \(G''\) 的作用平凡， 则 \(G'\) 的作用经过 \(G\) 分解。把它应用于 \(X' = G'/U'N\)，其中 \(U'\) 是 \(G'\) 的充分小开子群。于是有 \(\Ker(h) \subset U'N\)，对所有 \(U'\) 均如此。 由于 \(N\) 闭，这蕴含 \(\Ker(h) \subset N\)，即 (1) 成立。

假设 (1) 成立。这意味着 \(N = \Ker(h)\)。设 \(X'\) 为有限 \(G'\)-集，且 \(G''\) 的作用平凡。这意味着 \(\Ker(G' \to \text{Aut}(X'))\) 是包含 \(\Im(h')\) 的闭正规子群。因此它包含 \(N = \Ker(h)\)，而 \(G'\) 在 \(X'\) 上的作用经过 \(G\) 分解，即 (2) 成立。

假设 (3) 成立。这意味着，对有限 \(G'\)-集 \(X'\)，如果 \(G''\) 的作用平凡， 则存在 \(G'\)-集的满射 \(X \to X'\)，其中 \(X\) 是 \(G\)-集。显然，这意味着 \(G'\) 在 \(X'\) 上的作用经过 \(G\) 分解，即 (2) 成立。

(2) \(\Rightarrow\) (3) 立即成立。证明完毕。

引理

在图 (0BTR) 中，下列条件等价：

1. \(h'\) 是单射；以及

2. 对每个连通对象 \(X''\)（属于 \(\mathcal{C}''\)），存在对象 \(X'\) （属于 \(\mathcal{C}'\)）以及图 \[X'' \leftarrow Y'' \rightarrow H(X')\] 它位于 \(\mathcal{C}''\) 中，其中 \(Y'' \to X''\) 是满态射，而 \(Y'' \to H(X')\) 是单态射。

证明

可以把 \(H'\) 替换为有限 \(G'\)-集范畴与有限 \(G''\)-集范畴之间的相应函子。

假设 \(h' : G'' \to G'\) 是单射。设 \(H'' \subset G''\) 为开子群。 由于 \(G''\) 上的拓扑是由 \(G'\) 诱导的拓扑，存在开子群 \(H' \subset G'\)，使 \((h')^{-1}(H') \subset H''\)。于是所需图为 \[G''/H'' \leftarrow G''/(h')^{-1}(H') \rightarrow G'/H'\] 反之，假设 (2) 对函子 \(\textit{Finite-}G'\textit{-Sets} \to \textit{Finite-}G''\textit{-Sets}\). 成立。设 \(g'' \in \Ker(h')\)。任取开子群 \(H'' \subset G''\)。 由假设，存在有限 \(G'\)-集 \(X'\) 及图 \[G''/H'' \leftarrow Y'' \rightarrow X'\] 它由 \(G''\)-集构成，左箭头为满射，右箭头为单射。由于 \(g''\) 位于 \(h'\) 的核中， 可知 \(g''\) 在 \(X'\) 上作用平凡。因此 \(g''\) 在 \(Y''\) 上作用平凡，进而在 \(G''/H''\) 上作用平凡。故 \(g'' \in H''\)。由于这对所有开子群都成立，可知 \(g''\) 是单位元，正如所需。

引理

在图 (0BTR) 中，下列条件等价：

1. \(h'\) 的像是正规的；以及

2. 对每个连通对象 \(X'\)（属于 \(\mathcal{C}'\)），如果存在从 \(\mathcal{C}''\) 的终对象到 \(H'(X')\) 的态射，则 \(H'(X')\) 同构于终对象的有限余积。

证明

这转化为关于连续群同态 \(h' : G'' \to G'\) 的如下陈述：\(h'\) 的像正规， 当且仅当每个开子群 \(U' \subset G'\)，只要它包含 \(h'(G'')\)，也包含 \(h'(G'')\) 的每个共轭。结论很容易由此推出；略去若干细节。

有限 étale 态射

本节证明关于有限 étale 态射的足够多基本结果，以便构造 étale 基本群。

设 \(X\) 为概形。用记号 \(\textit{F\'Et}_X\) 表示在 \(X\) 上有限且 étale 的概形所成范畴。于是

1. \(\textit{F\'Et}_X\) 的对象是有限 étale 态射 \(Y \to X\)，其目标为 \(X\)；以及

2. \(\textit{F\'Et}_X\) 中从 \(Y \to X\) 到 \(Y' \to X\) 的态射，是使图 \(Y \to Y'\) \[\xymatrix{ Y \ar[rr] \ar[rd] & & Y' \ar[ld] \\ & X }\] 可交换的态射。

我们常把 \(\textit{F\'Et}_X\) 的对象称为 \(X\) 的有限 étale 覆盖 （即使 \(Y\) 为空）。事实上，在概形范畴上存在栈 \(p : \textit{F\'Et} \to \Sch\)，其在 \(X\) 处的纤维正是刚定义的范畴 \(\textit{F\'Et}_X\)。见 Examples of Stacks, Section 0BLY.

例

设 \(k\) 为代数闭域，且 \(X = \Spec(k)\)。在这种情形下， \(\textit{F\'Et}_X\) 等价于有限集范畴。更一般地，当 \(k\) 可分代数闭时仍然成立。 这是因为在 \(k\) 上 étale 的概形是 \(k\) 的有限可分扩域之谱的不交并；见 Morphisms, Lemma 02GL.

引理

设 \(X\) 为概形。范畴 \(\textit{F\'Et}_X\) 有有限极限和有限余极限，并且对任意态射 \(X' \to X\)，基变换函子 \(\textit{F\'Et}_X \to \textit{F\'Et}_{X'}\) 正合。

证明

有限极限与左正合性。由 Categories, Lemma 002O，只需证明 \(\textit{F\'Et}_X\) 有终对象和纤维积。这是显然的，因为 \(X\) 上所有概形的范畴 有终对象（即 \(X\)）和纤维积。此外，在 \(X\) 上有限 étale 的概形之纤维积仍 在 \(X\) 上有限 étale。显然，基变换与这些运算可交换，因而基变换左正合 （Categories, Lemma 0035).

有限余极限与右正合性。由 Categories, Lemma 002Q，只需证明 \(\textit{F\'Et}_X\) 有有限余积和余等化子。有限余积由不交并给出（空余积是空概形）。 设 \(a, b : Z \to Y\) 为 \(\textit{F\'Et}_X\) 的两个态射。由于 \(Z \to X\) 和 \(Y \to X\) 有限 étale，可以写成 \(Z = \underline{\Spec}(\mathcal{C})\) 和 \(Y = \underline{\Spec}(\mathcal{B})\)， 其中某些有限局部自由 \(\mathcal{O}_X\)-代数 \(\mathcal{C}\) 和 \(\mathcal{B}\) 给出上述表示。态射 \(a, b\) 诱导两个映射 \(a^\sharp, b^\sharp : \mathcal{B} \to \mathcal{C}\)。令 \(\mathcal{A} = \text{Eq}(a^\sharp, b^\sharp)\) 为它们的等化子。如果 \[\underline{\Spec}(\mathcal{A}) \longrightarrow X\] 有限 étale，则显然这就是余等化子（毕竟，\(\textit{F\'Et}_X\) 的任意对象 都可写成某个 \(\mathcal{O}_X\)-代数层的相对谱）。把 \(X\) 替换为某个 étale 覆盖的成员后即可验证这一点（Descent, Lemmas 02LA 和 02VN）。因此由 Étale Morphisms, Lemma 04HN，可以假设 \(Y = \coprod_{i = 1, \ldots, n} X\) 和 \(Z = \coprod_{j = 1, \ldots, m} X\)。 此时 \[\mathcal{C} = \prod\nolimits_{1 \leq j \leq m} \mathcal{O}_X \quad\text{且}\quad \mathcal{B} = \prod\nolimits_{1 \leq i \leq n} \mathcal{O}_X\] 进一步替换为某个开覆盖的成员后，可设 \(a, b\) 对应于映射 \(a_s, b_s : \{1, \ldots, m\} \to \{1, \ldots, n\}\)；也就是说，直和项 \(X\)（属于 \(Z\) 并对应于指标 \(j\)）映到直和项 \(X\)（属于 \(Y\) 并对应于指标 \(a_s(j)\)、相应地 \(b_s(j)\)），分别在态射 \(a\)、\(b\) 下。 令 \(\{1, \ldots, n\} \to T\) 为 \(a_s, b_s\) 的余等化子。于是 \[\mathcal{A} = \prod\nolimits_{t \in T} \mathcal{O}_X\] 其谱显然在 \(X\) 上有限 étale。略去它与基变换相容的验证。 因此基变换是右正合函子。

注

设 \(X\) 为概形。考虑自然函子 \(F_1 : \textit{F\'Et}_X \to \Sch\) 和 \(F_2 : \textit{F\'Et}_X \to \Sch/X\)。 则

1. 函子 \(F_1\) 和 \(F_2\) 与有限余极限可交换。

2. 函子 \(F_2\) 与有限极限可交换。

3. 函子 \(F_1\) 与连通有限极限可交换，即与等化子和纤维积可交换。

关于极限的结果立即来自引理 0BN9 证明中的讨论以及 Categories, Lemma 002T。 显然，\(F_1\) 和 \(F_2\) 与有限余积可交换。由 Categories, Lemma 0035 的对偶，只需证明 \(F_1\) 和 \(F_2\) 与余等化子可交换。在引理 0BN9 的证明中，我们看到 \(\textit{F\'Et}_X\) 中的余等化子在 étale 局部具有如下形式： \[\xymatrix{ \coprod_{j \in J} U \ar@<1ex>[r]^a \ar@<-1ex>[r]_b & \coprod_{i \in I} U \ar[r] & \coprod_{t \in \text{Coeq}(a, b)} U }\] 这在概形范畴中显然是余等化子。因此，结论来自余等化子性质是 fpqc 局部的这一事实； 其精确表述见 Descent, Lemma 0BMN。

引理

设 \(X\) 为概形。给定 \(U, V\) 在 \(X\) 上有限 étale，存在概形 \(W\) 在 \(X\) 上有限 étale，使 \[\Mor_X(X, W) = \Mor_X(U, V)\] 并且在任意基变换后同一结论仍然成立。

证明

由 More on Morphisms, Lemma 0BL5， 存在概形 \(W\)，它表示 \(\mathit{Mor}_X(U, V)\)。（这里使用 Morphisms, Lemmas 03WS 所说明的 étale 态射局部拟有限， 以及有限态射是分离的。）这个概形在任意基变换后显然仍满足该公式。 为完成证明，必须证明 \(W \to X\) 有限 étale。把 \(X\) 替换为某个 étale 覆盖的成员后即可验证这一点（Descent, Lemmas 02LA 和 02KU）。因此由 Étale Morphisms, Lemma 04HN，可设 \(U = \coprod_{i = 1, \ldots, n} X\) 和 \(V = \coprod_{j = 1, \ldots, m} X\)。在这种情形下，直接检验可得（略去细节） \(W = \coprod_{\alpha : \{1, \ldots, n\} \to \{1, \ldots, m\}} X\) ，证明完毕。

设 \(X\) 为概形。\(X\) 的一个几何点是态射 \(\Spec(k) \to X\)，其中 \(k\) 代数闭。这样的点通常记作 \(\overline{x}\)， 即用带上划线的小写字母表示。我们常用 \(\overline{x}\) 同时表示概形 \(\Spec(k)\) 和该态射，并用 \(\kappa(\overline{x})\) 表示 \(k\)。称 \(\overline{x}\) 位于 \(x\) 之上，是指 \(x \in X\) 是 \(\overline{x}\) 的像。进一步讨论见 Étale Cohomology, Section 03PN. 给定 \(\overline{x}\) 和 étale 态射 \(U \to X\)，可以考虑 \[|U_{\overline{x}}| : \text{the underlying set of points of the scheme }U_{\overline{x}} = U \times_X \overline{x}\] 由于 \(U_{\overline{x}}\) 作为 \(\overline{x}\) 上的概形，是若干个 \(\overline{x}\) 的不交并（Morphisms, Lemma 02GL），也可以把该集合描述为 \[|U_{\overline{x}}| = \left\{ \begin{matrix} \text{commutative} \\ \text{diagrams} \end{matrix} \vcenter{ \xymatrix{ \overline{x} \ar[rd]_{\overline{x}} \ar[r]_{\overline{u}} & U \ar[d] \\ & X } } \right\}\] 对应 \(U \mapsto |U_{\overline{x}}|\) 是一个函子，常记作 \(F_{\overline{x}}\)。

引理

设 \(X\) 为连通概形。设 \(\overline{x}\) 为几何点。函子 \[F_{\overline{x}} : \textit{F\'Et}_X \longrightarrow \textit{Sets},\quad Y \longmapsto |Y_{\overline{x}}|\] 定义了一个 Galois 范畴（Definition 0BMY）。

证明

把 \(\textit{F\'Et}_{\overline{x}}\) 与有限集范畴识别后（Example 0BN8），可知函子 \(F_{\overline{x}}\) 正是态射 \(\overline{x} \to X\) 的基变换函子。因此，由引理 0BN9 可知 \(\textit{F\'Et}_X\) 有有限极限和有限余极限，并且 \(F_{\overline{x}}\) 正合。还将使用如下事实： \(\textit{F\'Et}_X\) 中的有限极限与 \(X\) 上概形范畴中的相应有限极限一致；见 Remark 0BNA。

如果 \(Y' \to Y\) 是 \(\textit{F\'Et}_X\) 中的单态射，则 \(Y' \to Y' \times_Y Y'\) 是同构，因而 \(Y' \to Y\) 是概形的单态射。 于是 \(Y' \to Y\) 是开浸入（Étale Morphisms, Theorem 025G）。由于 \(Y'\) 在 \(X\) 上有限，而 \(Y\) 在 \(X\) 上分离，态射 \(Y' \to Y\) 有限（Morphisms, Lemma 035D），因而是闭的（Morphisms, Lemma 01WN），所以它是 \(Y\) 的开闭子概形之包含。 由此，\(Y\) 是范畴 \(\textit{F\'Et}_X\) 的连通对象（如 Definition 0BMY），当且仅当 \(Y\) 作为概形连通。于是由 Topology, Lemma 07VB， \(Y\) 无论作为概形还是在 Definition 0BMY 的意义下，都是其连通分支的有限余积。

设 \(Y \to Z\) 为 \(\textit{F\'Et}_X\) 中的态射，它诱导双射 \(F_{\overline{x}}(Y) \to F_{\overline{x}}(Z)\)。必须证明 \(Y \to Z\) 是同构。由上可设 \(Z\) 连通。由于 \(Y \to Z\) 有限 étale，因而有限局部自由， 只需证明 \(Y \to Z\) 是次数为 \(1\) 的有限局部自由态射。这在 \(Z\) 中位于 \(\overline{x}\) 之上的任意点的某个邻域内成立；由于 \(Z\) 连通且次数局部常值， 结论成立。

基本群

本节定义 Grothendieck 的代数基本群。由于引理 0BNB，下述定义是有意义的。

定义

设 \(X\) 为连通概形。设 \(\overline{x}\) 为 \(X\) 的几何点。概形 \(X\) 以 \(\overline{x}\) 为基点的基本群是群 \[\pi_1(X, \overline{x}) = \text{Aut}(F_{\overline{x}})\] 即纤维函子 \(F_{\overline{x}} : \textit{F\'Et}_X \to \textit{Sets}\) 的自同构群，并赋予引理 0BMR 所给的典范 profinite 拓扑。

把上述结果与 Section 0BMQ 的内容结合，得到下述定理。

定理

设 \(X\) 为连通概形。设 \(\overline{x}\) 为 \(X\) 的几何点。

1. 纤维函子 \(F_{\overline{x}}\) 定义范畴等价 \[\textit{F\'Et}_X \longrightarrow \textit{Finite-}\pi_1(X, \overline{x})\textit{-Sets}\]

2. 给定第二个几何点 \(\overline{x}'\)（属于 \(X\)），存在同构 \(t : F_{\overline{x}} \to F_{\overline{x}'}\)。它给出与 (1) 中等价相容的同构 \(\pi_1(X, \overline{x}) \to \pi_1(X, \overline{x}')\)。在相差内共轭的意义下， 该同构与 \(t\) 无关。

3. 给定连通概形之间的态射 \(f : X \to Y\)，记 \(\overline{y} = f \circ \overline{x}\)。存在典范连续同态 \[f_* : \pi_1(X, \overline{x}) \to \pi_1(Y, \overline{y})\] 使图 \[\xymatrix{ \textit{F\'Et}_Y \ar[r]_{\text{base change}} \ar[d]_{F_{\overline{y}}} & \textit{F\'Et}_X \ar[d]^{F_{\overline{x}}} \\ \textit{Finite-}\pi_1(Y, \overline{y})\textit{-Sets} \ar[r]^{f_*} & \textit{Finite-}\pi_1(X, \overline{x})\textit{-Sets} }\] 可交换。

证明

(1) 来自引理 0BNB 和命题 0BN4。(2) 是引理 0BN5 的特殊情形。对于 (3)，注意图 \[\xymatrix{ \textit{F\'Et}_Y \ar[r] \ar[d]_{F_{\overline{y}}} & \textit{F\'Et}_X \ar[d]^{F_{\overline{x}}} \\ \textit{Sets} \ar@{=}[r] & \textit{Sets} }\] 可交换（实际上可交换，而不只是 \(2\)-交换），因为 \(\overline{y} = f \circ \overline{x}\)。因此可以把引理 0BN5 与隐含的函子变换一起应用，从而得到 (3)。

引理

设 \(K\) 为域，并置 \(X = \Spec(K)\)。设 \(\overline{K}\) 为代数闭包，并以 \(\overline{x} : \Spec(\overline{K}) \to X\) 表示相应的几何点。设 \(K^{sep} \subset \overline{K}\) 为可分闭包。

1. 引理 03QR 的函子诱导等价 \[\textit{F\'Et}_X \longrightarrow \textit{Finite-}\text{Gal}(K^{sep}/K)\textit{-Sets}.\] 它与 \(F_{\overline{x}}\) 及函子 \(\textit{Finite-}\text{Gal}(K^{sep}/K)\textit{-Sets} \to \textit{Sets}\). 相容。

2. 它诱导典范同构 \[\text{Gal}(K^{sep}/K) \longrightarrow \pi_1(X, \overline{x})\] ，这是 profinite 拓扑群的同构。

证明

引理 03QR 的函子与函子 \(F_{\overline{x}}\) 相同， 因为对任意 \(Y\)，若它在 \(X\) 上 étale，则有 \[\Mor_X(\Spec(\overline{K}), Y) = \Mor_X(\Spec(K^{sep}), Y)\] 事实上，如引理 03QR 的证明所示， \(Y = \coprod_{i \in I} \Spec(L_i)\)，其中 \(L_i/K\) 是 \(K\) 的有限可分扩张。 因此任意 \(K\)-代数同态 \(L_i \to \overline{K}\) 都经过 \(K^{sep}\) 分解。 还要注意，\(F_{\overline{x}}(Y)\) 有限，当且仅当 \(I\) 有限，又当且仅当 \(Y \to X\) 有限 étale。这证明了 (1)。

(2) 是 (1)、引理 0BN5 和引理 0BMU 的形式推论。（另见下述评注。）

注

在引理 0BNE 的情形下，下面给出同构 \(\text{Gal}(K^{sep}/K) \to \pi_1(X, \overline{x}) = \text{Aut}(F_{\overline{x}})\) 的更明确构造。注意 \(\text{Gal}(K^{sep}/K) = \text{Aut}(\overline{K}/K)\) ，因为 \(\overline{K}\) 是 \(K^{sep}\) 的完美化。由于 \(F_{\overline{x}}(Y) = \Mor_X(\Spec(\overline{K}), Y)\)，可以考虑映射 \[\text{Aut}(\overline{K}/K) \times F_{\overline{x}}(Y) \to F_{\overline{x}}(Y), \quad (\sigma, \overline{y}) \mapsto \sigma \cdot \overline{y} = \overline{y} \circ \Spec(\sigma)\] 这是一个作用，因为 \[\sigma\tau \cdot \overline{y} = \overline{y} \circ \Spec(\sigma\tau) = \overline{y} \circ \Spec(\tau) \circ \Spec(\sigma) = \sigma \cdot (\tau \cdot \overline{y})\] 该作用关于 \(Y \in \textit{F\'Et}_X\) 具有函子性，从而得到所需映射。

连通概形的 Galois 覆盖

设 \(X\) 为带有几何点 \(\overline{x}\) 的连通概形。由于 \(F_{\overline{x}} : \textit{F\'Et}_X \to \textit{Sets}\) 是 Galois 范畴 （Lemma 0BNB），Section 0BMQ 的内容适用。本节把若干术语和结果明确转移到概形与有限 étale 态射的情形。

称有限 étale 态射 \(Y \to X\) 为Galois 覆盖，如果 \(Y\) 定义了 \(\textit{F\'Et}_X\) 的 Galois 对象。对有限 étale 态射 \(Y \to X\)，置 \(G = \text{Aut}_X(Y)\)，则下列条件等价：

1. \(Y\) 是 \(X\) 的 Galois 覆盖；

2. \(Y\) 连通，且 \(|G|\) 等于 \(Y \to X\) 的次数；

3. \(Y\) 连通，且 \(G\) 在 \(F_{\overline{x}}(Y)\) 上传递作用；以及

4. \(Y\) 连通，且 \(G\) 在 \(F_{\overline{x}}(Y)\) 上单传递作用。

这立即来自 Section 0BMQ 中的讨论。

对任意有限 étale 态射 \(f : Y \to X\)，如果 \(Y\) 连通，则存在有限 étale Galois 覆盖 \(Y' \to X\)，它支配 \(Y\)（Lemma 0BN2）。

\(\textit{F\'Et}_X\) 的 Galois 对象经由等价 \[F_{\overline{x}} : \textit{F\'Et}_X \to \textit{Finite-}\pi_1(X, \overline{x})\textit{-Sets}\] （Theorem 0BND），对应于有限 \(\pi_1(X, \overline{x})\textit{-Sets}\)，它们形如 \(G = \pi_1(X, \overline{x})/H\)，其中 \(H\) 为正规开子群。等价地， 如果 \(G\) 是有限群，且 \(\pi_1(X, \overline{x}) \to G\) 是连续满射，则把 \(G\) 看作 \(\pi_1(X, \overline{x})\)-集时，它对应于 Galois 覆盖。

如果 \(Y_i \to X\)（\(i = 1, 2\)）是 Galois 群为 \(G_i\) 的有限 étale Galois 覆盖，则存在有限 étale Galois 覆盖 \(Y \to X\)，其 Galois 群是 \(G_1 \times G_2\) 的子群。事实上，取相应的连续同态 \(\pi_1(X, \overline{x}) \to G_i\)，并令 \(G\) 为诱导连续同态 \(\pi_1(X, \overline{x}) \to G_1 \times G_2\) 的像。

基本群的拓扑不变性

本节的主要结果是，连通概形的泛同胚会诱导基本群之间的同构。 见命题 0BQN。

我们通常不直接证明两个概形具有相同的基本群，而是证明它们的有限 étale 覆盖范畴相同。当然，只要它们连通，这就蕴含它们的基本群相同。

引理

设 \(f : X \to Y\) 是拟紧拟分离概形的态射，使得基变换函子 \(\textit{F\'Et}_Y \to \textit{F\'Et}_X\) 是范畴等价。此时

1. \(f\) 诱导同胚 \(\pi_0(X) \to \pi_0(Y)\)；

2. 若 \(X\) 连通，等价地，若 \(Y\) 连通，则 \(\pi_1(X, \overline{x}) = \pi_1(Y, \overline{y})\)。

证明

设 \(Y = Y_0 \amalg Y_1\) 为到两个非空开闭子概形的不交并分解。我们断言 \(f(X)\) 与两个 \(Y_i\) 都相交。事实上，若非如此，不妨设 \(f(X) \subset Y_1\)，则可考虑有限 étale 态射 \(V = Y_1 \to Y\)。 它不是同构，但 \(V \times_Y X \to X\) 是同构，矛盾。

设 \(X = X_0 \amalg X_1\) 为到两个开闭子概形的不交并分解。考虑有限 étale 态射 \(U = X_1 \to X\)。于是有 \(U = X \times_Y V\)，其中 \(V \to Y\) 是某个有限 étale 态射。态射 \(V \to Y\) 的次数局部常值， 故可得如下到开闭子概形的分解 \(Y = \coprod_{d \geq 0} Y_d\)，使得 \(V \to Y\) 的次数为 \(d\) 的部分恰为 \(Y_d\)。因为 \(f^{-1}(Y_d) = \emptyset\) 在 \(d > 1\) 时成立，由上面的论证 可知，\(Y_d = \emptyset\) 在 \(d > 1\) 时成立。进而可知， \(f^{-1}(Y_i) = X_i\) 对 \(i = 0, 1\) 成立。

于是 \(f^{-1}\) 在 \(Y\) 的开闭子集的集合与 \(X\) 的开闭子集的集合之间诱导 双射。注意 \(X\) 和 \(Y\) 都是谱空间，见《性质》引理 094L。 由《拓扑》引理 005F， 谱空间的开闭子集格决定其连通分支的集合。因此 \(\pi_0(X) \to \pi_0(Y)\) 是双射。由于 \(\pi_0(X)\) 和 \(\pi_0(Y)\) 都是 profinite 空间（《拓扑》引理 0900）， 由《拓扑》引理 08YE 可知 \(\pi_0(X) \to \pi_0(Y)\) 是同胚。这证明了 (1)。断言 (2) 是立即的。

下一个引理说明，Hensel 对的基本群就是相应闭子集的基本群。

引理

设 \((A, I)\) 是 Hensel 对。置 \(X = \Spec(A)\) 且 \(Z = \Spec(A/I)\)。函子 \[\textit{F\'Et}_X \longrightarrow \textit{F\'Et}_Z,\quad U \longmapsto U \times_X Z\] 是范畴等价。

证明

这只是《代数补篇》引理 09ZL 的几何转述。

下一个引理说明，增厚的基本群与原概形的基本群相同。我们将在下面关于泛同胚 的较强命题的证明中使用这一点。

引理

设 \(X \subset X'\) 是概形的增厚。函子 \[\textit{F\'Et}_{X'} \longrightarrow \textit{F\'Et}_X,\quad U' \longmapsto U' \times_{X'} X\] 是范畴等价。

证明

关于增厚的讨论见《态射补篇》第 04EW 节。设 \(U' \to X'\) 是 étale 态射，并且 \(U = U' \times_{X'} X \to X\) 是有限 étale 态射。则 \(U' \to X'\) 也是有限 étale 态射。例如，这可由《态射补篇》 引理 0BPG 得到。现在，若 \(X \subset X'\) 是有限阶增厚，则结合这一观察与《Étale 态射》定理 039R 即可证明本引理。 下面我们将对一般的增厚证明本引理，不过建议读者跳过这个证明。

设 \(X' = \bigcup X_i'\) 是仿射开覆盖。置 \(X_i = X \times_{X'} X_i'\)，\(X_{ij}' = X'_i \cap X'_j\)， \(X_{ij} = X \times_{X'} X_{ij}'\), \(X_{ijk}' = X'_i \cap X'_j \cap X'_k\), \(X_{ijk} = X \times_{X'} X_{ijk}'\)。 假设对每个增厚 \(X_i \subset X'_i\)、\(X_{ij} \subset X_{ij}'\) 和 \(X_{ijk} \subset X_{ijk}'\) 都能证明该定理。则由概形的相对粘合，可得 \(X \subset X'\) 的结论，见《构造》第 01LG 节。注意，概形 \(X_i'\)、\(X_{ij}'\)、\(X_{ijk}'\) 作为仿射概形的开子概形，都是分离的。 把上述论证再重复一次，便可归约到概形 \(X'_i\)、\(X_{ij}'\)、\(X_{ijk}'\) 都仿射的情形。

在仿射情形下，有 \(X' = \Spec(A')\) 和 \(X = \Spec(A'/I')\)，其中 \(I'\) 是局部幂零理想。于是 \((A', I')\) 是 Hensel 对（《代数补篇》引理 0ALI），结论便由引理 09ZS 得出（在此情形下，该引理的证明容易得多）。

证明下一个命题的“正确”方式，是从 étale 景的不变性推出它，见《Étale 上同调》定理 04DZ。

命题

设 \(f : X \to Y\) 是概形的泛同胚。则 \[\textit{F\'Et}_Y \longrightarrow \textit{F\'Et}_X,\quad V \longmapsto V \times_Y X\] 是范畴等价。因此，若 \(X\) 和 \(Y\) 连通，则 \(f\) 诱导基本群的同构 \(\pi_1(X, \overline{x}) \to \pi_1(Y, \overline{y})\)。

证明

回忆，泛同胚恰好就是整、泛单射且满射的态射，见《态射》引理 04DF。特别地，由《态射》引理 01S4，对角态射 \(\Delta : X \to X \times_Y X\) 是增厚。因此，由引理 0BQB 可知，给定有限 étale 态射 \(U \to X\)，存在唯一的同构 \[\varphi : U \times_Y X \to X \times_Y U\] ；这是 \(X \times_Y X\) 上两个有限 étale 概形之间的同构，并且沿 \(\Delta\) 拉回后， 成为恒等态射 \(\text{id} : U \to U\)；该态射定义在 \(X\) 上。由于 \(X \to X \times_Y X \times_Y X\) 也是增厚（它是双射闭浸入），可知 \((U, \varphi)\) 是相对于 \(X/Y\) 的下降资料。由《Étale 态射》命题 0BTP 可知，\(U = X \times_Y V\)，其中 \(V \to Y\) 拟紧、分离且 étale。我们略去 \(V \to Y\) 有限的证明（提示： 态射 \(U \to V\) 是满射，而 \(U \to Y\) 是整态射）。因此 \(\textit{F\'Et}_Y \to \textit{F\'Et}_X\) 是本质满的。

与上面同样论证可知，给定 \(V_1 \to Y\) 和 \(V_2 \to Y\) 这两个 \(\textit{F\'Et}_Y\) 中的对象，任意态射 \(a : X \times_Y V_1 \to X \times_Y V_2\)（在 \(X\) 上）都与典范下降资料相容。因此，由 《Étale 态射》引理 0BTL，\(a\) 下降为 态射 \(V_1 \to V_2\)；该态射定义在 \(Y\) 上。

固有概形的有限 étale 覆盖

本节将证明，Hensel 局部环上的连通固有概形与其特殊纤维具有相同的基本群。 我们还将证明该结果在 Hensel 对情形下的一个变体。

我们还将证明，代数闭域 \(k\) 上的连通固有概形的基本群在把 \(k\) 换成 一个代数闭域扩张后保持不变。

我们不在连通情形下陈述并证明这些结果，而是在一般情形下证明它们， 并把利用引理 0BQA 推出基本群结论的工作 留给读者。

引理

设 \(A\) 是 Hensel 局部环，\(X\) 是 \(A\) 上的固有概形，其闭纤维为 \(X_0\)。 则函子 \[\textit{F\'Et}_X \to \textit{F\'Et}_{X_0},\quad U \longmapsto U_0 = U \times_X X_0\] 是范畴等价。

证明

这里给出的证明是应用代数化与逼近的一个例子。我们分若干步进行。

当 \(A\) 是完备 Noether 局部环时的本质满性。令 \(X_n = X \times_{\Spec(A)} \Spec(A/\mathfrak m^{n + 1})\)。 由《Étale 态射》定理 039R，嵌入 \[X_0 \to X_1 \to X_2 \to \ldots\] 在 \(X_0\) 上的 étale 概形范畴与在 \(X_n\) 上的 étale 概形范畴之间 诱导范畴等价。此外，若 \(U_n \to X_n\) 对应于有限 étale 态射 \(U_0 \to X_0\)，则 \(U_n \to X_n\) 也是有限的；例如，这可由《态射补篇》 引理 09ZW 得到。 在这种情形下，态射 \(U_0 \to \Spec(A/\mathfrak m)\) 是固有的，因为 \(X_0\) 在 \(A/\mathfrak m\) 上固有。因此可应用 Grothendieck 代数化定理（采用《概形上同调》引理 09ZT 的形式）， 得到有限态射 \(U \to X\)，其在 \(X_0\) 上的限制还原为 \(U_0\)。由《态射补篇》 引理 0A43 可知，\(U \to X\) 在 \(U_0\) 的每一点处都是 étale 的。然而，因为 \(U\) 的每一点都特化到 \(U_0\) 的某一点（这是因为 \(U\) 在 \(A\) 上固有）， 可知 \(U \to X\) 是 étale 态射。由此，该函子本质满。

当 \(A\) 是完备 Noether 局部环时的全忠实性。设 \(U \to X\) 和 \(V \to X\) 是有限 étale 态射，且 \(\varphi_0 : U_0 \to V_0\) 是 \(X_0\) 上的态射。 考虑态射 \[\Gamma_{\varphi_0} : U_0 \longrightarrow U_0 \times_{X_0} V_0\] 它既是有限 étale 态射，也是闭浸入。把本质满性应用于 \(X = U \times_X V\)，可得有限 étale 态射 \(W \to U \times_X V\)， 其特殊纤维同构于 \(\Gamma_{\varphi_0}\)。考虑投影 \(W \to U\)。依构造， 它是有限 étale 态射，并且在 \(U_0\) 上是同构。由《Étale 态射》引理 04DH，\(W \to U\) 在 \(U_0\) 的一个开邻域 上是同构。因此它处处是同构，而复合 \(\varphi : U \cong W \to V\) 正是所需的 \(\varphi_0\) 的提升。

当 \(A\) 是 Hensel Noether 局部 G-环时的本质满性。设 \(U_0 \to X_0\) 是有限 étale 态射。令 \(A^\wedge\) 为 \(A\) 关于极大理想的完备化， 并令 \(X^\wedge\) 为 \(X\) 到 \(A^\wedge\) 的基变换。由上面的结果，存在 有限 étale 态射 \(V \to X^\wedge\)，其特殊纤维为 \(U_0\)。写成 \(A^\wedge = \colim A_i\)，其中 \(A \to A_i\) 为有限型。由《极限》引理 01ZM，存在某个 \(i\) 以及有限表现态射 \(U_i \to X_{A_i}\)，其到 \(X^\wedge\) 的基变换为 \(V\)。增大 \(i\) 后， 可设 \(U_i \to X_{A_i}\) 有限且 étale（《极限》引理 01ZO 和 07RP）。写 \[A_i = A[x_1, \ldots, x_n]/(f_1, \ldots, f_m)\] 则环同态 \(A_i \to A^\wedge\) 可重新解释为一个解 \((a_1, \ldots, a_n)\)，它是 \(A^\wedge\) 中方程组 \(f_j = 0\) 的解。 由《环同态的光滑化》定理 07QY，可把这个解逼近到例如 \(11\) 阶；所得解为 \((b_1, \ldots, b_n)\)，位于 \(A\) 中。把它重新翻译成 环同态，便得到 \(A\)-代数同态 \(A_i \to A\)；它与原同态 \(A_i \to A^\wedge\) 给出同一个闭点（因为 \(11 > 1\)）。因此， \(U \to X\)，即沿这个环同态对 \(V \to X_{A_i}\) 作的基变换，是有限 étale 态射， 其特殊纤维同构于 \(U_0\)。

当 \(A\) 是 Hensel Noether 局部 G-环时的全忠实性。它可由本质满性推出， 论证与 \(A\) 是完备 Noether 环时完全相同。

一般情形。设 \((A, \mathfrak m)\) 是 Hensel 局部环。置 \(S = \Spec(A)\)， 并以 \(s \in S\) 表示闭点。由《极限》引理 0A0P， 可把 \(X \to \Spec(A)\) 写成固有态射 \(X_i \to S_i\) 的余滤过极限，其中 \(S_i\) 在 \(\mathbf{Z}\) 上为有限型。对每个 \(i\)，令 \(s_i \in S_i\) 为 \(s\) 的像。由于 \(S = \lim S_i\) 且 \(A = \mathcal{O}_{S, s}\)，有 \(A = \colim \mathcal{O}_{S_i, s_i}\)。环 \(A_i = \mathcal{O}_{S_i, s_i}\) 是 Noether 局部 G-环（《代数补篇》命题 07PX）。由《代数补篇》引理 0A04 可知 \(A = \colim A_i^h\)。由《代数补篇》引理 07QR，各环 \(A_i^h\) 都是 G-环。 因此 \(A = \colim A_i^h\)，并且作为概形有 \[X = \lim (X_i \times_{S_i} \Spec(A_i^h))\] 。\(X\) 上的有限 étale 概形范畴，是 \(X_i \times_{S_i} \Spec(A_i^h)\) 上的有限 étale 概形范畴的极限（由《极限》引理 01ZM、 01ZO 和 07RP) 。同样的结论也适用于 \(X_0 = \lim (X_i \times_{S_i} s_i)\) 上的有限 étale 概形。因此， \(X / \Spec(A)\) 的结果可从上面已经处理过的 \((X_i \times_{S_i} \Spec(A_i^h)) / \Spec(A_i^h)\) 的结果形式地推出。

引理

设 \((A, I)\) 是 Hensel 对，\(X\) 是 \(A\) 上的固有概形。置 \(X_0 = X \times_{\Spec(A)} \Spec(A/I)\)。则函子 \[\textit{F\'Et}_X \to \textit{F\'Et}_{X_0},\quad U \longmapsto U_0 = U \times_X X_0\] 是范畴等价。

证明

本引理的证明与引理 0A48 的证明完全相同。

当 \(A\) 是 Noether 环且 \(I\)-进完备时的本质满性。令 \(X_n = X \times_{\Spec(A)} \Spec(A/I^{n + 1})\)。由《Étale 态射》定理 039R，嵌入 \[X_0 \to X_1 \to X_2 \to \ldots\] 在 \(X_0\) 上的 étale 概形范畴与在 \(X_n\) 上的 étale 概形范畴之间 诱导范畴等价。此外，若 \(U_n \to X_n\) 对应于有限 étale 态射 \(U_0 \to X_0\)，则 \(U_n \to X_n\) 也是有限的；例如，这可由《态射补篇》 引理 09ZW 得到。 在这种情形下，态射 \(U_0 \to \Spec(A/I)\) 是固有的，因为 \(X_0\) 在 \(A/I\) 上固有。因此可应用 Grothendieck 代数化定理 （采用《概形上同调》引理 09ZT 的形式）， 得到有限态射 \(U \to X\)，其在 \(X_0\) 上的限制还原为 \(U_0\)。由《态射补篇》 引理 0A43 可知，\(U \to X\) 在 \(U_0\) 的每一点处都是 étale 的。然而，因为 \(U\) 的每一点都特化到 \(U_0\) 的某一点（这是因为 \(U\) 在 \(A\) 上固有）， 可知 \(U \to X\) 是 étale 态射。由此，该函子本质满。

当 \(A\) 是 Noether 环且 \(I\)-进完备时的全忠实性。设 \(U \to X\) 和 \(V \to X\) 是有限 étale 态射，且 \(\varphi_0 : U_0 \to V_0\) 是 \(X_0\) 上的态射。考虑态射 \[\Gamma_{\varphi_0} : U_0 \longrightarrow U_0 \times_{X_0} V_0\] 它既是有限 étale 态射，也是闭浸入。把本质满性应用于 \(X = U \times_X V\)，可得有限 étale 态射 \(W \to U \times_X V\)， 其特殊纤维同构于 \(\Gamma_{\varphi_0}\)。考虑投影 \(W \to U\)。依构造， 它是有限 étale 态射，并且在 \(U_0\) 上是同构。由《Étale 态射》引理 04DH，\(W \to U\) 在 \(U_0\) 的一个开邻域 上是同构。因此它处处是同构，而复合 \(\varphi : U \cong W \to V\) 正是所需的 \(\varphi_0\) 的提升。

当 \((A, I)\) 是 Hensel 对且 \(A\) 是 Noether G-环时的本质满性。 设 \(U_0 \to X_0\) 是有限 étale 态射。令 \(A^\wedge\) 为 \(A\) 关于 \(I\) 的完备化。注意，\(A^\wedge\) 是 \(IA^\wedge\)-进完备的 Noether 环， 见《代数》引理 031C 和 0316。令 \(X^\wedge\) 为 \(X\) 到 \(A^\wedge\) 的基变换。由上面的结果，存在有限 étale 态射 \(V \to X^\wedge\)，其特殊纤维为 \(U_0\)。写成 \(A^\wedge = \colim A_i\)，其中 \(A \to A_i\) 为有限型。由《极限》引理 01ZM，存在某个 \(i\) 以及有限表现态射 \(U_i \to X_{A_i}\)，其到 \(X^\wedge\) 的基变换为 \(V\)。增大 \(i\) 后， 可设 \(U_i \to X_{A_i}\) 有限且 étale（《极限》引理 01ZO 和 07RP）。写 \[A_i = A[x_1, \ldots, x_n]/(f_1, \ldots, f_m)\] 则环同态 \(A_i \to A^\wedge\) 可重新解释为一个解 \((a_1, \ldots, a_n)\)，它是 \(A^\wedge\) 中方程组 \(f_j = 0\) 的解。 由《环同态的光滑化》引理 0AH5，可把这个解逼近到例如 \(11\) 阶； 所得解为 \((b_1, \ldots, b_n)\)，位于 \(A\) 中。把它重新翻译成 环同态，便得到 \(A\)-代数同态 \(A_i \to A\)；它与原同态 \(A_i \to A^\wedge\) 给出同一个闭点（因为 \(11 > 1\)）。因此， \(U \to X\)，即沿这个环同态对 \(V \to X_{A_i}\) 作的基变换，是有限 étale 态射， 其特殊纤维同构于 \(U_0\)。

当 \((A, I\) 是 Hensel 对且 \(A\) 是 Noether G-环时的全忠实性。它可由 本质满性推出，论证与 \(A\) 是完备 Noether 环时完全相同。

一般情形。设 \((A, I)\) 是 Hensel 对。置 \(S = \Spec(A)\)，并记 \(S_0 = \Spec(A/I)\)。由《极限》引理 0A0P， 可把 \(X \to \Spec(A)\) 写成固有态射 \(X_i \to S_i\) 的余滤过极限，其中 \(S_i\) 仿射且在 \(\mathbf{Z}\) 上为有限型。写 \(S_i = \Spec(A_i)\)，并以 \(I_i \subset A_i\) 表示理想 \(I\) 沿同态 \(A_i \to A\) 的逆像。置 \(S_{i, 0} = \Spec(A_i/I_i)\)。由于 \(S = \lim S_i\)，有 \(A = \colim A_i\)。因而还有 \(I = \colim I_i\) 及 \(A/I = \colim A_i/I_i\)。 环 \(A_i\) 是 Noether G-环（《代数补篇》命题 07PX）。以 \((A_i^h, I_i^h)\) 表示对 \((A_i, I_i)\) 的 Hensel 化。由《代数补篇》引理 0A04 可知 \(A = \colim A_i^h\)。由《代数补篇》引理 0AH3，各环 \(A_i^h\) 都是 G-环。因此 \(A = \colim A_i^h\)，并且作为概形有 \[X = \lim (X_i \times_{S_i} \Spec(A_i^h))\] 。\(X\) 上的有限 étale 概形范畴，是 \(X_i \times_{S_i} \Spec(A_i^h)\) 上的有限 étale 概形范畴的极限（由《极限》引理 01ZM、 01ZO 和 07RP) 。同样的结论也适用于 \(X_0 = \lim (X_i \times_{S_i} S_{i, 0})\) 上的有限 étale 概形。因此， \(X / \Spec(A)\) 的结果可从上面已经处理过的 \((X_i \times_{S_i} \Spec(A_i^h)) / \Spec(A_i^h)\) 的结果形式地推出。

引理

设 \(k'/k\) 是代数闭域的扩张，\(X\) 是 \(k\) 上的固有概形。则函子 \[U \longmapsto U_{k'}\] 在 \(X\) 上的有限 étale 概形范畴与在 \(X_{k'}\) 上的有限 étale 概形范畴之间给出范畴等价。

证明

我们来证明该函子本质满。设 \(U' \to X_{k'}\) 是有限 étale 态射。 把 \(k' = \colim A_i\) 写成有限型 \(k\)-代数的滤过余极限。由《极限》引理 01ZM，存在某个 \(i\) 以及有限表现态射 \(U_i \to X_{A_i}\)，其到 \(X_{k'}\) 的基变换为 \(U'\)。增大 \(i\) 后， 可设 \(U_i \to X_{A_i}\) 有限且 étale（《极限》引理 01ZO 和 07RP）。 由于 \(k\) 代数闭，可找到一个 \(k\)-值点 \(t\)，它位于 \(\Spec(A_i)\) 中。令 \(U = (U_i)_t\) 为 \(U_i\) 在 \(t\) 上的纤维。令 \(A_i^h\) 为 \((A_i)_{\mathfrak m}\) 的 Hensel 化，其中 \(\mathfrak m\) 是与点 \(t\) 对应的极大理想。由引理 0A48 可知， \((U_i)_{A_i^h} = U \times \Spec(A_i^h)\)；这是 \(X_{A_i^h}\) 上的概形同构。 现在，由于 \(A_i^h\) 在 \(A_i\) 上是代数的（例如见《环同态的光滑化》例 0A1W 中的讨论），而且 \(k'\) 代数闭， 可以找到环同态 \(A_i^h \to k'\)，它扩张给定的包含 \(A_i \subset k'\)。因此 \(U'\) 同构于 \(U\) 的基变换。 全忠实性的证明完全相同。

局部连通性

本节研究映射 \(\pi_1(U) \to \pi_1(X)\) 何时为满射，其中 \(U\) 是概形 \(X\) 的稠密开子概形。我们将看到，粗略地说，只要 \(U \cap B\) 连通， 其中 \(B\) 是点 \(x \in X \setminus U\) 附近任意小的“球”，上述映射就是满射。

引理

设 \(f : X \to Y\) 是概形态射。若 \(f(X)\) 在 \(Y\) 中稠密，则基变换函子 \(\textit{F\'Et}_Y \to \textit{F\'Et}_X\) 忠实。

证明

因为有限 étale 覆盖的范畴具有内部 Hom（引理 0BL7），只需证明以下命题：给定 \(W\) （它在 \(Y\) 上有限 étale），以及态射 \(s : X \to W\)（在 \(X\) 上）， 截面 \(t : Y \to W\) 若满足 \(s = t \circ f\)，则至多有一个。设有两个截面 \(t_1, t_2 : Y \to W\)，使得 \(s = t_1 \circ f = t_2 \circ f\)。 \(t_1\) 与 \(t_2\) 的等化子在 \(Y\) 中闭（《概形》引理 01KM），而 \(f(X)\) 在 \(Y\) 中稠密， 故 \(t_1\) 与 \(t_2\) 在 \(Y_{red}\) 上相同。于是 \(t_1\) 与 \(t_2\) 具有相同的像； 该像是 \(W\) 的开闭子概形，并同构地映到 \(Y\)（《Étale 态射》命题 024T）。因此二者相等。

下一个引理假设严格 Hensel 化的穿孔谱连通。例如，局部环几何单枝时， 这一条件成立，见《代数补篇》引理 06DM。《性质》引理 0BQ4 给出了一个部分逆命题。

引理

设 \((A, \mathfrak m)\) 是局部环。置 \(X = \Spec(A)\)，并令 \(U = X \setminus \{\mathfrak m\}\)。若 \(A\) 的严格 Hensel 化的穿孔谱连通，则 \[\textit{F\'Et}_X \longrightarrow \textit{F\'Et}_U,\quad Y \longmapsto Y \times_X U\] 是全忠实函子。

证明

先设 \(A\) 严格 Hensel。在这种情形下，有限 étale 覆盖 \(Y\)（在 \(X\) 上）都同构于有限多个 \(X\) 的不交并。因此，只需证明：态射 \(U \to U \amalg \ldots \amalg U\)（在 \(U\) 上）唯一延拓为态射 \(X \to X \amalg \ldots \amalg X\)（在 \(X\) 上）。若 \(U\) 连通（特别地，非空）， 这显然成立。

一般情形。因为有限 étale 覆盖的范畴具有内部 Hom（引理 0BL7），只需证明：给定 \(Y\)（它在 \(X\) 上有限 étale），任意态射 \(s : U \to Y\)（在 \(X\) 上）都延拓为态射 \(t : X \to Y\)（在 \(X\) 上）。令 \(A^{sh}\) 为 \(A\) 的严格 Hensel 化，并记 \(X^{sh} = \Spec(A^{sh})\)、\(U^{sh} = U \times_X X^{sh}\)、 \(Y^{sh} = Y \times_X X^{sh}\)。由第一段及对 \(A\) 的假设，可把基变换 \(s^{sh} : U^{sh} \to Y^{sh}\)（它来自 \(s\)）延拓为 \(t^{sh} : X^{sh} \to Y^{sh}\)。置 \(A' = A^{sh} \otimes_A A^{sh}\)。 于是，两个拉回 \(t'_1, t'_2\)（来自 \(t^{sh}\)，拉到 \(X' = \Spec(A')\)） 都是拉回 \(s'\)（来自 \(s\)，拉到 \(U' = U \times_X X'\)）的延拓。由于 \(A \to A'\) 平坦，\(U' \subset X'\) 在拓扑意义下稠密；这是由 \(A \to A'\) 的降链性质（《代数》引理 00HS）得到的。因此，由引理 0BQE，\(t'_1 = t'_2\)。 所以 \(t^{sh}\) 下降为态射 \(t : X \to Y\)；例如，这可由《下降》引理 023Q 得到。

鉴于引理 0BLQ，自然要问：一个环（及其严格 Hensel 化）的穿孔谱何时连通。Hartshorne 的一个著名引理给出了充分条件， 见《局部上同调》引理 0BLR。

引理

设 \(X\) 是概形，\(U \subset X\) 是稠密开子概形。假设

1. \(X\) 的底拓扑空间是 Noether 空间；

2. 对每个 \(x \in X \setminus U\)，\(\mathcal{O}_{X, x}\) 的严格 Hensel 化的穿孔谱都连通。

则 \(\textit{F\'Et}_X \to \textit{F\'et}_U\) 全忠实。

证明

设 \(Y_1, Y_2\) 在 \(X\) 上有限 étale，并设 \(\varphi : (Y_1)_U \to (Y_2)_U\) 是 \(U\) 上的态射。须证明 \(\varphi\) 唯一提升为态射 \(Y_1 \to Y_2\)（在 \(X\) 上）。唯一性由引理 0BQE 得出。

设 \(x \in X \setminus U\) 是 \(X \setminus U\) 的一个不可约分支的泛点。置 \(V = U \times_X \Spec(\mathcal{O}_{X, x})\)。由 \(x\) 的选取方式，它就是 \(\Spec(\mathcal{O}_{X, x})\) 的穿孔谱。由引理 0BLQ，态射 \(\varphi_V : (Y_1)_V \to (Y_2)_V\) 唯一延拓为态射 \((Y_1)_{\Spec(\mathcal{O}_{X, x})} \to (Y_2)_{\Spec(\mathcal{O}_{X, x})}\)。 由《极限》引理 0BQ5，可找到开子概形 \(U \subset U'\)（它包含 \(x\)），以及态射 \(\varphi' : (Y_1)_{U'} \to (Y_2)_{U'}\)，它延拓 \(\varphi\)。由于 \(X\) 的底拓扑空间是 Noether 空间，对 \(\varphi\) 已定义的开子概形的补集作 Noether 归纳， 便完成证明。

引理

设 \(X\) 是概形，\(U \subset X\) 是稠密开子概形。假设

1. \(U \to X\) 拟紧；

2. \(X \setminus U\) 的每一点都是闭点；

3. 对每个 \(x \in X \setminus U\)，\(\mathcal{O}_{X, x}\) 的严格 Hensel 化的穿孔谱都连通。

则 \(\textit{F\'Et}_X \to \textit{F\'et}_U\) 全忠实。

证明

设 \(Y_1, Y_2\) 在 \(X\) 上有限 étale，并设 \(\varphi : (Y_1)_U \to (Y_2)_U\) 是 \(U\) 上的态射。须证明 \(\varphi\) 唯一提升为态射 \(Y_1 \to Y_2\)（在 \(X\) 上）。唯一性由引理 0BQE 得出。

设 \(x \in X \setminus U\)。置 \(V = U \times_X \Spec(\mathcal{O}_{X, x})\)。 由于 \(X \setminus U\) 的每一点都闭，\(V\) 就是 \(\Spec(\mathcal{O}_{X, x})\) 的穿孔谱。由引理 0BLQ，态射 \(\varphi_V : (Y_1)_V \to (Y_2)_V\) 唯一延拓为态射 \((Y_1)_{\Spec(\mathcal{O}_{X, x})} \to (Y_2)_{\Spec(\mathcal{O}_{X, x})}\)。 由《极限》引理 0BQ5（这里用到 \(U\) 在 \(X\) 中逆紧），可找到开子概形 \(U \subset U'_x\)（它包含 \(x\)）， 以及态射 \(\varphi'_x : (Y_1)_{U'_x} \to (Y_2)_{U'_x}\)，它延拓 \(\varphi\)。注意，对任意两点 \(x, x' \in X \setminus U\)，态射 \(\varphi'_x\) 与 \(\varphi'_{x'}\) 在 \(U'_x \cap U'_{x'}\) 上相同，因为 \(U\) 在该开子概形中稠密（引理 0BQE）。因此可按所需把 \(\varphi\) 延拓到 \(\bigcup U'_x = X\)。

引理

设 \(X\) 是概形，\(U \subset X\) 是稠密开子概形。假设

1. \(X\) 的每个拟紧开子概形只有有限多个不可约分支；

2. 对每个 \(x \in X \setminus U\)，\(\mathcal{O}_{X, x}\) 的严格 Hensel 化的穿孔谱都连通。

则 \(\textit{F\'Et}_X \to \textit{F\'et}_U\) 全忠实。

证明

设 \(Y_1, Y_2\) 在 \(X\) 上有限 étale，并设 \(\varphi : (Y_1)_U \to (Y_2)_U\) 是 \(U\) 上的态射。须证明 \(\varphi\) 唯一提升为态射 \(Y_1 \to Y_2\)（在 \(X\) 上）。唯一性由引理 0BQE 得出。为证明存在性，我们将说明可扩大 \(U\) （若 \(U \not = X\)），再用 Zorn 引理完成证明。

设 \(x \in X \setminus U\) 是 \(X \setminus U\) 的一个不可约分支的泛点。置 \(V = U \times_X \Spec(\mathcal{O}_{X, x})\)。由 \(x\) 的选取方式，它就是 \(\Spec(\mathcal{O}_{X, x})\) 的穿孔谱。由引理 0BLQ，态射 \(\varphi_V : (Y_1)_V \to (Y_2)_V\)（唯一）延拓为态射 \((Y_1)_{\Spec(\mathcal{O}_{X, x})} \to (Y_2)_{\Spec(\mathcal{O}_{X, x})}\)。 选取仿射邻域 \(W \subset X\)（它包含 \(x\)）。因为 \(U \cap W\) 在 \(W\) 中稠密， 它包含各泛点 \(\eta_1, \ldots, \eta_n\)，即 \(W\) 的各泛点。选取仿射开子概形 \(W' \subset W \cap U\)，使其包含 \(\eta_1, \ldots, \eta_n\)。置 \(V' = W' \times_X \Spec(\mathcal{O}_{X, x})\)。把《极限》引理 0BQ5 应用于 \(x \in W \supset W'\)， 可找到开子概形 \(W' \subset W'' \subset W\)，其中 \(x \in W''\)， 以及态射 \(\varphi'' : (Y_1)_{W''} \to (Y_2)_{W''}\)，它与 \(\varphi\) 在 \(W'\) 上相同。由于 \(W'\) 在 \(W'' \cap U\) 中稠密，由引理 0BQE 可知，\(\varphi\) 与 \(\varphi''\) 在 \(U \cap W'\) 上相同。因此 \(\varphi\) 与 \(\varphi''\) 粘合为态射 \(\varphi'\)，它定义在 \(U' = U \cup W''\) 上，并与 \(\varphi\) 在 \(U\) 相同。注意 \(x \in U'\)，所以我们已把 \(\varphi\) 延拓到一个严格更大的开子概形。

考虑集合 \(\mathcal{S}\)，其元素是二元组 \((U', \varphi')\)，满足 \(U \subset U'\)，且 \(\varphi'\) 是 \(\varphi\) 的延拓。按显然的方式在 \(\mathcal{S}\) 上赋予偏序。若 \((U'_i, \varphi'_i)\) 是全序子集，则它有 最大元 \((U', \varphi')\)：只需取 \(U' = \bigcup U'_i\)，并令 \(\varphi' : (Y_1)_{U'} \to (Y_2)_{U'}\) 为与 \(\varphi'_i\) 在 \(U'_i\) 上相同的态射。因此可应用 Zorn 引理，\(\mathcal{S}\) 有极大元。 由上面的论证，这个极大元就是 \(\varphi\) 在整个 \(X\) 上的延拓。

引理

设 \((A, \mathfrak m)\) 是局部环。置 \(X = \Spec(A)\)，并令 \(U = X \setminus \{\mathfrak m\}\)。令 \(U^{sh}\) 为严格 Hensel 化 \(A^{sh}\)（即 \(A\) 的严格 Hensel 化）的穿孔谱。假设 \(U\) 拟紧且 \(U^{sh}\) 连通。则序列 \[\pi_1(U^{sh}, \overline{u}) \to \pi_1(U, \overline{u}) \to \pi_1(X, \overline{u}) \to 1\] 按引理 0BS9 第 (1) 部分的意义是正合的。

证明

映射 \(\pi_1(U) \to \pi_1(X)\) 由引理 0BLQ 和 0BN6 可知是满射。

记 \(X^{sh} = \Spec(A^{sh})\)。设 \(Y \to X\) 是有限 étale 态射。则 \(Y^{sh} = Y \times_X X^{sh} \to X^{sh}\) 是有限 étale 态射。由于 \(A^{sh}\) 严格 Hensel，\(Y^{sh}\) 同构于有限多个 \(X^{sh}\) 的不交并。因此 \(Y \times_X U^{sh}\) 亦然。于是复合 \(\pi_1(U^{sh}) \to \pi_1(U) \to \pi_1(X)\) 平凡，见引理 0BS8。

为完成证明，按照引理 0BS9，只需证明： 给定有限 étale 态射 \(V \to U\)，若 \(V \times_U U^{sh}\) 是若干个 \(U^{sh}\) 的不交并，则可以找到有限 étale 态射 \(Y \to X\)，使得 \(V \cong Y \times_X U\) 在 \(U\) 上成立。该假设蕴含存在有限 étale 态射 \(Y^{sh} \to X^{sh}\) 以及同构 \(V \times_U U^{sh} \cong Y^{sh} \times_{X^{sh}} U^{sh}\)。考虑图表 \[\xymatrix{ U \ar[d] & U^{sh} \ar[d] \ar[l] & U^{sh} \times_U U^{sh} \ar[d] \ar@<1ex>[l] \ar@<-1ex>[l] & U^{sh} \times_U U^{sh} \times_U U^{sh} \ar[d] \ar@<1ex>[l] \ar[l] \ar@<-1ex>[l] \\ X & X^{sh} \ar[l] & X^{sh} \times_X X^{sh} \ar@<1ex>[l] \ar@<-1ex>[l] & X^{sh} \times_X X^{sh} \times_X X^{sh} \ar@<1ex>[l] \ar[l] \ar@<-1ex>[l] }\] 由于按假设 \(U \subset X\) 拟紧，所有向下的箭头都是拟紧开浸入。设 \(\xi \in X^{sh} \times_X X^{sh}\) 是不属于 \(U^{sh} \times_U U^{sh}\) 的点。则 \(\xi\) 位于闭点 \(x^{sh}\)（在 \(X^{sh}\) 中）上方。考虑局部环同态 \[A^{sh} = \mathcal{O}_{X^{sh}, x^{sh}} \to \mathcal{O}_{X^{sh} \times_X X^{sh}, \xi}\] 它由第一投影 \(X^{sh} \times_X X^{sh}\) 决定。这个同态是一些局部同态的 滤过余极限，而这些局部同态由 étale 环映射局部化而得。由于 \(A^{sh}\) 严格 Hensel，可知该同态是同构。由于对补集中的每个 \(\xi\) 都是如此， 这些点之间不存在特殊化关系，因而每个这样的 \(\xi\) 都是闭点（这也可以 直接证明）。点 \(\xi\) 处的局部环同构于 \(A^{sh}\)，故它严格 Hensel，且其 穿孔谱连通。对于点 \(\xi\)（它属于 \(X^{sh} \times_X X^{sh} \times_X X^{sh}\) 而不属于 \(U^{sh} \times_U U^{sh} \times_U U^{sh}\)），同理可得这一结论。 由引理 0BSA，沿各 竖直箭头的拉回在有限 étale 概形范畴上诱导全忠实函子。因此， \(V \times_U U^{sh}\) 相对于 fpqc 覆盖 \(\{U^{sh} \to U\}\) 的典范下降数据， 转化为 \(Y^{sh}\) 相对于 fpqc 覆盖 \(\{X^{sh} \to X\}\) 的下降数据。由于 \(Y^{sh} \to X^{sh}\) 有限，因而仿射，该下降数据有效（《下降》引理 0245）。于是得到仿射态射 \(Y \to X\)，以及与下降数据 相容的同构 \(Y \times_X X^{sh} \to Y^{sh}\)。由下降数据的全忠实性 （如《下降》引理 02W0），得到 同构 \(V \to U \times_X Y\)。最后，\(Y \to X\) 有限 étale，因为 \(Y^{sh} \to X^{sh}\) 如此；见《下降》引理 02VN 和 02LA。

设 \(X\) 是不可约概形，\(\eta \in X\) 是其泛点。典范态射 \(\eta \to X\) 诱导典范映射 [0BQH]\[\begin{equation} \text{Gal}(\kappa(\eta)^{sep}/\kappa(\eta)) = \pi_1(\eta, \overline{\eta}) \longrightarrow \pi_1(X, \overline{\eta}) \end{equation}\] 左侧的等同来自引理 0BNE。

引理

设 \(X\) 是不可约几何单枝概形。对任意非空开子概形 \(U \subset X\)，典范映射 \[\pi_1(U, \overline{u}) \longrightarrow \pi_1(X, \overline{u})\] 是满射。映射 (0BQH) \(\pi_1(\eta, \overline{\eta}) \to \pi_1(X, \overline{\eta})\) 也是满射。

证明

由引理 0BQB，可以作约化后代替 \(X\)。所以可设 \(X\) 是整概形。由引理 0BN6，本引理的 断言等价于函子 \(\textit{F\'Et}_X \to \textit{F\'Et}_U\) 和 \(\textit{F\'Et}_X \to \textit{F\'Et}_\eta\) 全忠实。

关于 \(\textit{F\'Et}_X \to \textit{F\'Et}_U\) 的结论来自引理 0BQG，以及如下事实：若 局部环 \(A\) 几何单枝，则其严格 Hensel 化的谱不可约。见《代数补篇》引理 06DM。

注意，剩余域 \(\kappa(\eta) = \mathcal{O}_{X, \eta}\) 是 \(\mathcal{O}_X(U)\) 的滤过余极限，其中 \(U \subset X\) 遍历非空仿射开子概形。 因此，\(\textit{F\'Et}_\eta\) 是相应范畴 \(\textit{F\'Et}_U\) 的余极限，其中 \(U\) 如上；见《极限》引理 01ZM、 01ZO 和 07RP。 再作形式论证，便可知函子 \(\textit{F\'Et}_X \to \textit{F\'Et}_\eta\) 的 全忠实性可由各函子 \(\textit{F\'Et}_X \to \textit{F\'Et}_U\) 的全忠实性推出。

引理

设 \(X\) 是概形。设 \(x_1, \ldots, x_n \in X\) 是有限多个闭点，满足

1. \(U = X \setminus \{x_1, \ldots, x_n\}\) 连通，且是 \(X\) 的逆紧开子概形；

2. 对每个 \(i\)，穿孔谱 \(U_i^{sh}\)（它属于 \(\mathcal{O}_{X, x_i}\) 的 严格 Hensel 化）连通。

则映射 \(\pi_1(U) \to \pi_1(X)\) 是满射，且其核是 \(\pi_1(U)\) 的最小闭正规 子群，它包含各映射 \(\pi_1(U_i^{sh}) \to \pi_1(U)\) 的像，其中 \(i = 1, \ldots, n\)。

证明

满射性由引理 0BSA 和 0BN6 得出。可以考虑映射序列 \[\pi_1(U) \to \ldots \to \pi_1(X \setminus \{x_1, x_2\}) \to \pi_1(X \setminus \{x_1\}) \to \pi_1(X)\] 群论论证表明，只需在 \(n = 1\) 时证明关于核的断言（略去细节）。记 \(x = x_1\)、\(U^{sh} = U_1^{sh}\)，置 \(A = \mathcal{O}_{X, x}\)，并令 \(A^{sh}\) 为其严格 Hensel 化。考虑图表 \[\xymatrix{ U \ar[d] & \Spec(A) \setminus \{\mathfrak m\} \ar[l] \ar[d] & U^{sh} \ar[d] \ar[l] \\ X & \Spec(A) \ar[l] & \Spec(A^{sh}) \ar[l] }\] 由引理 0BS9，须证明：若有限 étale 态射 \(V \to U\) 拉回到 \(U^{sh}\) 后成为平凡覆盖，则它延拓为 \(X\) 上的有限 étale 概形。由引理 0BSB，我们已知 \(A\) 的 穿孔谱上有限 étale 概形的相应断言。另一方面，由《极限》引理 0BPA，\(X\) 上有限表示概形等同于把 \(U\) 上和 \(A\) 上的有限表示概形沿 \(A\) 的穿孔谱粘合而得的概形。证明完毕。

正规概形的基本群

设 \(X\) 是整的几何单枝概形。上一节已经看到，\(X\) 的基本群是函数域 \(K\)（即 \(X\) 的函数域）的 Galois 群之商。由于该映射连续，其核是 Galois 群的闭正规 子群。因此，由 Galois 理论，该核对应于 Galois 扩张 \(M/K\)（《域》定理 0BML）。本节将确定 \(M\)；这里假设 \(X\) 是正规整概形。

设 \(X\) 是函数域为 \(K\) 的正规整概形。设 \(L/K\) 是有限扩张。考虑正规化 \(Y \to X\)，即 \(X\) 在态射 \(\Spec(L) \to X\) 中的正规化，其定义见《态射》 第 0BAK 节。在此情形下，称 \(X\) 在 \(L\) 中不分歧，如果 \(Y \to X\) 是概形的非分歧态射。我们将在 引理 0BTF 中阐明这一条件。注意，\(Y \to X\) 在 \(\Spec(K)\) 上的概形论纤维是 \(\Spec(L)\)。因此，域扩张 \(L/K\) 是可分的， 只要 \(X\) 在 \(L\) 中不分歧；见《态射》引理 02G7。

引理

在上述情形下，下列条件等价：

1. \(X\) 在 \(L\) 中不分歧；

2. \(Y \to X\) 是 étale 态射；

3. \(Y \to X\) 是有限 étale 态射。

证明

注意，\(Y \to X\) 是整态射。在每种情形下，按照定义，态射 \(Y \to X\) 局部有限型。因此，由《态射》引理 01WJ， 在每种情形下 \(Y \to X\) 都有限。特别地，(2) 与 (3) 等价。 Étale 态射非分歧，故 (2) 蕴含 (1)。

反之，假设 \(Y \to X\) 非分歧。由于正规概形几何单枝（《性质》引理 0BQ3），由《态射补篇》引理 0GS9 可知 态射 \(Y \to X\) 是 étale 态射。下一段还将给出直接证明。

设 \(x \in X\)。可以选取 étale 邻域 \((U, u) \to (X, x)\)，使得 \[Y \times_X U = \coprod V_j \longrightarrow U\] 是若干闭浸入的不交并；见《Étale 态射》引理 04HJ。通过缩小，可以假设 \(U\) 拟紧。于是 \(U\) 只有有限多个不可约分支（《下降》引理 0BAL）。由于 \(U\) 正规 （《下降》引理 034F），\(U\) 的不可约分支 都是开闭的（《性质》引理 0357），故可以假设 \(U\) 不可约。于是 \(U\) 是整概形，其泛点 \(\xi\) 映到 \(X\) 的泛点。另一方面， 已知 \(Y \times_X U\) 是 \(U\) 在 \(\Spec(L) \times_X U\) 中的正规化；见 《态射补篇》引理 03GV。 \(\Spec(L) \times_X U\) 的每一点都映到 \(\xi\)。因此，由《态射》引理 0AXP，每个 \(V_j\) 都包含一个映到 \(\xi\) 的点。态射 \(V_j \to U\) 是同构，因为 \(U = \overline{\{\xi\}}\)。 所以 \(Y \times_X U \to U\) 是 étale 态射。由《下降》引理 02VN，可知 \(Y \to X\) 在 \(U \to X\) 的像（即 \(x\) 的一个开邻域）上是 étale 态射。

引理

设 \(X\) 是函数域为 \(K\) 的正规整概形。设 \(Y \to X\) 是有限 étale 态射。 若 \(Y\) 连通，则 \(Y\) 是正规整概形，且 \(Y\) 是 \(X\) 在 \(Y\) 的函数域中的 正规化。

证明

由《下降》引理 034F，概形 \(Y\) 正规。 由于 \(Y \to X\) 平坦，由《态射》引理 03HV，\(Y\) 的每个泛点都映到 \(X\) 的泛点。由于 \(Y \to X\) 有限，\(Y\) 只有有限多个不可约分支。因此，由 《性质》引理 0357， \(Y\) 是有限多个正规整概形的不交并。所以，若 \(Y\) 连通，则 \(Y\) 是正规 整概形。

设 \(L\) 是 \(Y\) 的函数域，并令 \(Y' \to X\) 为 \(X\) 在 \(L\) 中的正规化。 由《态射》引理 035I，得到分解 \(Y' \to Y \to X\)，并且 \(Y' \to Y\) 是 \(Y\) 在 \(L\) 中的正规化。由于 \(Y\) 正规，显然 \(Y' = Y\)（这也可由《态射》引理 0AB1 得出）。

命题

设 \(X\) 是函数域为 \(K\) 的正规整概形。则典范映射 (0BQH) \[\text{Gal}(K^{sep}/K) = \pi_1(\eta, \overline{\eta}) \longrightarrow \pi_1(X, \overline{\eta})\] 等同于商映射 \(\text{Gal}(K^{sep}/K) \to \text{Gal}(M/K)\)，其中 \(M \subset K^{sep}\) 是有限子扩张 \(L\) 之并，其中 \(X\) 在 \(L\) 中不分歧。

证明

正规概形 \(X\) 几何单枝（《性质》引理 0BQ3）。因此，引理 0BQI 可应用于 \(X\)。所以 \(\pi_1(\eta, \overline{\eta}) \to \pi_1(X, \overline{\eta})\) 是满射，且 交换图表的上方水平箭头 \[\xymatrix{ \textit{F\'Et}_X \ar[r] \ar[d] \ar[rd]_c & \textit{F\'Et}_\eta \ar[d] \\ \textit{Finite-}\pi_1(X, \overline{\eta})\textit{-sets} \ar[r] & \textit{Finite-}\text{Gal}(K^{sep}/K)\textit{-sets} }\] 全忠实。左侧竖直箭头是定理 0BND 的等价， 右侧竖直箭头是引理 0BNE 的等价。 下方水平箭头由本命题中的映射诱导。由引理 0BQK 和 0BQL，可知 \(c\) 的本质像由 同构于下列形式集合的 \(\text{Gal}(K^{sep}/K)\textit{-Sets}\) 构成： \[S = \Hom_K(\prod\nolimits_{i = 1, \ldots, n} L_i, K^{sep}) = \coprod\nolimits_{i = 1, \ldots, n} \Hom_K(L_i, K^{sep})\] 其中 \(L_i/K\) 是有限可分扩张，且 \(X\) 在 \(L_i\) 中不分歧。因此，若 \(M \subset K^{sep}\) 如该引理的陈述所述，则 \(\text{Gal}(K^{sep}/M)\) 恰为 \(\text{Gal}(K^{sep}/K)\) 中在 \(c\) 的本质像的每个对象上平凡作用的 子群。另一方面，\(c\) 的本质像恰为这样的 \(S\) 所成的范畴： \(\text{Gal}(K^{sep}/K)\) 的作用经由满射 \(\text{Gal}(K^{sep}/K) \to \pi_1(X, \overline{\eta})\) 分解。因此， \(\text{Gal}(K^{sep}/M)\) 是其核。于是 \(\text{Gal}(K^{sep}/M)\) 是正规子群， \(M/K\) 是 Galois 扩张，并且有短正合列 \[1 \to \text{Gal}(K^{sep}/M) \to \text{Gal}(K^{sep}/K) \to \text{Gal}(M/K) \to 1\] 这是由 Galois 理论得到的（《域》定理 0BML 和引理 0BMM）。证明完毕。

引理

设 \((A, \mathfrak m)\) 是正规局部环。置 \(X = \Spec(A)\)。令 \(A^{sh}\) 为 \(A\) 的严格 Hensel 化。令 \(K\) 和 \(K^{sh}\) 分别为 \(A\) 和 \(A^{sh}\) 的 分式域。则序列 \[\pi_1(\Spec(K^{sh})) \to \pi_1(\Spec(K)) \to \pi_1(X) \to 1\] 按引理 0BS9 第 (1) 部分的意义是正合的。

证明

注意，\(A^{sh}\) 是正规整环，见《代数补篇》引理 06DI。映射 \(\pi_1(\Spec(K)) \to \pi_1(X)\) 由命题 0BQM 可知是满射。

记 \(X^{sh} = \Spec(A^{sh})\)。设 \(Y \to X\) 是有限 étale 态射。则 \(Y^{sh} = Y \times_X X^{sh} \to X^{sh}\) 是有限 étale 态射。由于 \(A^{sh}\) 严格 Hensel，\(Y^{sh}\) 同构于若干个 \(X^{sh}\) 的不交并。因此， \(Y \times_X \Spec(K^{sh})\) 亦然。于是复合 \(\pi_1(\Spec(K^{sh})) \to \pi_1(X)\) 平凡，见引理 0BS8。

为完成证明，按照引理 0BS9，只需证明： 给定有限 étale 态射 \(V \to \Spec(K)\)，若 \(V \times_{\Spec(K)} \Spec(K^{sh})\) 是若干个 \(\Spec(K^{sh})\) 的不交并， 则可以找到有限 étale 态射 \(Y \to X\)，使得 \(V \cong Y \times_X \Spec(K)\) 在 \(\Spec(K)\) 上成立。记 \(V = \Spec(L)\)，则 \(L\) 是 \(K\) 的若干有限可分扩张之有限直积。令 \(B \subset L\) 为 \(A\) 在 \(L\) 中的整闭包。若 \(A \to B\) 是 étale 态射， 则可以取 \(Y = \Spec(B)\)，证明即告完成。由《代数》引理 03GG（以及一个略去的极限 论证），可知 \(B \otimes_A A^{sh}\) 是 \(A^{sh}\) 在 \(L^{sh} = L \otimes_K K^{sh}\) 中的整闭包。我们的假设是 \(L^{sh}\) 为若干个 \(K^{sh}\) 的直积，因而 \(B^{sh}\) 为若干个 \(A^{sh}\) 的直积。所以 \(A^{sh} \to B^{sh}\) 是 étale 态射。由于 \(A \to A^{sh}\) 忠实平坦， \(A \to B\) 是 étale 态射（《下降》引理 02VN），正如所需。

群作用与整闭包

本节继续《代数补篇》第 0BRE 节的讨论。 回顾正规局部环按定义是整环。

引理

设 \(A\) 是正规整环，其分式域 \(K\) 可分代数闭。设 \(\mathfrak p \subset A\) 是非零素理想。则剩余域 \(\kappa(\mathfrak p)\) 代数闭。

证明

反设该引理不成立以导出矛盾。于是存在首一不可约多项式 \(P(T) \in \kappa(\mathfrak p)[T]\)，其次数 \(d > 1\)。将 \(P\) 替换为 \(a^d P(a^{-1}T)\)，其中 \(a \in A\) 适当（以清除分母）之后，可以假设 \(P\) 是 \(Q\) 的像，其中后者是 \(A[T]\) 中的首一多项式。注意，\(Q\) 在 \(K[T]\) 中不可约。 事实上，由《代数》引理 00H6，\(K\) 上的一个 因式分解会给出 \(A\) 上的一个因式分解；将其模 \(\mathfrak p\) 约化，就会得到 \(P\) 的因式分解。由于 \(K\) 可分闭，\(Q\) 不是可分多项式 （《域》定义 09H1）。于是 \(K\) 的特征为 \(p > 0\)，且 \(Q\) 的一次项为零（《域》定义 09H1）。然而，此时可将 \(Q\) 替换为 \(Q + a T\)，其中 \(a \in \mathfrak p\) 非零，从而得到矛盾。

引理

分式域可分闭的正规局部环是严格 Hensel 环。

证明

设 \((A, \mathfrak m, \kappa)\) 是正规局部环，其分式域 \(K\) 可分闭。 若 \(A = K\)，则结论成立。否则，由引理 0BSP，剩余域 \(\kappa\) 代数闭，因而只需验证 \(A\) 是 Hensel 环。设 \(f \in A[T]\) 首一，并设 \(a_0 \in \kappa\) 是重数为 \(1\) 的根，这里所约化的多项式为 \(\overline{f} \in \kappa[T]\)。设 \(f = \prod f_i\) 是其在 \(K[T]\) 中的因式分解。由《代数》引理 00H6，有 \(f_i \in A[T]\)。因此，\(a_0\) 是 某个 \(f_i\) 的根，其中指标为 \(i\)。将 \(f\) 替换为 \(f_i\) 后，可以假设 \(f\) 不可约。此时，导数 \(f'\) 不可能在 \(A[T]\) 中为零，因为 \(a_0\) 是单根； 又可断定 \(f\) 必为一次多项式，因为 \(K\) 可分代数闭。因此 \(A\) 是 Hensel 环，见《代数》 定义 04GF。

引理

设有限群 \(G\) 作用于环 \(R\)。设 \(R^G \to A\) 是环同态。设 \(\mathfrak q' \subset A \otimes_{R^G} R\) 是位于素理想 \(\mathfrak q \subset R\) 之上的素理想。则 \[I_\mathfrak q = \{\sigma \in G \mid \sigma(\mathfrak q) = \mathfrak q\text{ 且 } \sigma \bmod \mathfrak q = \text{id}_{\kappa(\mathfrak q)}\}\] 等于 \[I_{\mathfrak q'} = \{\sigma \in G \mid \sigma(\mathfrak q') = \mathfrak q'\text{ 且 } \sigma \bmod \mathfrak q' = \text{id}_{\kappa(\mathfrak q')}\}\]

证明

由于 \(\mathfrak q\) 是 \(\mathfrak q'\) 的逆像，且 \(\kappa(\mathfrak q) \subset \kappa(\mathfrak q')\)，可得 \(I_{\mathfrak q'} \subset I_\mathfrak q\)。反过来，若 \(\sigma \in I_\mathfrak q\)，则该 \(\sigma\) 在纤维环 \(A \otimes_{R^G} \kappa(\mathfrak q)\) 上平凡作用。因此，\(\sigma\) 固定所有 位于 \(\mathfrak q\) 之上的素理想，并在它们的剩余域上诱导恒等映射。

引理

设有限群 \(G\) 作用于环 \(R\)。设 \(\mathfrak q \subset R\) 是素理想。置 \[I = \{\sigma \in G \mid \sigma(\mathfrak q) = \mathfrak q \text{ 且 } \sigma \bmod \mathfrak q = \text{id}_\mathfrak q\}\] 则 \(R^G \to R^I\) 在 \(R^I \cap \mathfrak q\) 处为 étale 的。

证明

证明的策略是利用 étale 局部化，约化到 \(R \to R^I\) 在 \(R^I \cap \mathfrak p\) 处为局部同构的情形。设 \(R^G \to A\) 是 étale 环同态。我们断言：如果对于 \(G\) 在 \(A \otimes_{R^G} R\) 上的作用以及 某个素理想 \(\mathfrak q'\)（它是 \(A \otimes_{R^G} R\) 中位于 \(\mathfrak q\) 之上的素理想），该结论成立，那么原结论亦成立。

为验证这一点，注意，由于 \(R^G \to A\) 平坦，有 \(A = (A \otimes_{R^G} R)^G\)，见《代数补篇》引理 0BRH。由引理 0BSS，群 \(I\) 不变。再次应用《代数补篇》引理 0BRH 可知 \(A \otimes_{R^G} R^I = (A \otimes_{R^G} R)^I\) （因为 \(R^I \to A \otimes_{R^G} R^I\) 平坦）。因此 \[\xymatrix{ \Spec((A \otimes_{R^G} R)^I) \ar[d] \ar[r] & \Spec(R^I) \ar[d] \\ \Spec(A) \ar[r] & \Spec(R^G) }\] 是笛卡儿图，且水平箭头为 étale 的。因此，若左侧竖直箭头在某个开邻域 \(W\)（它是 \((A \otimes_{R^G} R)^I \cap \mathfrak q'\) 的邻域）上为 étale 的，则右侧竖直箭头在 \(W\) 于 \(\Spec(R^I)\) 中的（开）像的各点处 为 étale 的，见《下降》引理 05B5。 特别地，态射 \(\Spec(R^I) \to \Spec(R^G)\) 在 \(R^I \cap \mathfrak q\) 处为 étale 的。

令 \(\mathfrak p = R^G \cap \mathfrak q\)。由《代数补篇》引理 0BRI，\(\Spec(R) \to \Spec(R^G)\) 在 \(\mathfrak p\) 上的纤维是有限的。再由《代数补篇》引理 0BRJ，这些点处的剩余域扩张是 代数且正规的，并具有有限自同构群。因此，可以把《态射补篇》引理 0BSR 应用于整同态 \(R^G \to R\) 和素理想 \(\mathfrak p\)。结合上述断言，可约化到如下情形： \(R = A_1 \times \ldots \times A_n\)，每个 \(A_i\) 恰有一个素理想 \(\mathfrak q_i\) 位于 \(\mathfrak p\) 之上，且剩余域扩张 \(\kappa(\mathfrak q_i)/\kappa(\mathfrak p)\) 纯不可分。当然， \(\mathfrak q\) 是这些素理想之一，不妨设 \(\mathfrak q = \mathfrak q_1\)。

\(G\) 未必置换各因子 \(A_i\)（若 \(A_i\) 的谱连通，则会如此；例如，若 \(R^G\) 是局部环）。可按如下方式修正这一点；我们建议读者自行推演，或许可以 用幂等元代替拓扑来论证。回顾上述乘积分解给出 \(\Spec(R)\) 相应的开闭子集 \(U_i\) 的不交并分解。由于 \(G\) 有限，可以把这个覆盖细化为有限不交并分解 \(\Spec(R) = \coprod_{j \in J} W_j\)，其中 \(W_j\) 是开闭子集，使得对所有 \(j \in J\)，存在 \(j' \in J\) 满足 \(\sigma(W_j) = W_{j'}\)。在这些 \(W_j\) 中，不与 \(\{\mathfrak q_1, \ldots, \mathfrak q_n\}\) 相交者的并是一个不与 \(\mathfrak p\) 上纤维相交的闭子集。它因而映到 \(\Spec(R^G)\) 中一个不含 \(\mathfrak p\) 的闭子集，这是因为 \(\Spec(R) \to \Spec(R^G)\) 是闭映射。因此，将 \(R^G\) 替换为一个主局部化之后（上述断言 允许这样做），可以假设每个 \(W_j\) 都与某个点 \(\mathfrak q_i\) 相交。此时， 置 \(U_i = W_j\)，其中 \(\mathfrak q_i \in W_j\)。相应的乘积分解 \(R = A_1 \times \ldots \times A_n\) 具有 \(G\) 置换各因子 \(A_i\) 的性质。

所以，可以假设有一个乘积分解 \(R = A_1 \times \ldots \times A_n\)， 它与 \(G\)-作用相容；其中每个 \(A_i\) 恰有一个素理想 \(\mathfrak q_i\) 位于 \(\mathfrak p\) 之上，且域扩张 \(\kappa(\mathfrak q_i)/\kappa(\mathfrak p)\) 纯不可分。记 \(A' = A_2 \times \ldots \times A_n\)，于是 \[R = A_1 \times A'\] 由于 \(\mathfrak q = \mathfrak q_1\)，每个 \(\sigma \in I\) 都保持上述乘积分解。 因此 \[R^I = (A_1)^I \times (A')^I\] 注意，有 \(I = D = \{\sigma \in G \mid \sigma(\mathfrak q) = \mathfrak q\}\)， 因为 \(\kappa(\mathfrak q)/\kappa(\mathfrak p)\) 纯不可分。 由于 \(G\) 在 \(\mathfrak p\) 之上的素理想上的作用是传递的（《代数补篇》引理 0BRI），可知 \(I\) 在 \(G\) 中的指数为 \(n\)，并且可写成 \(G = eI \amalg \sigma_2I \amalg \ldots \amalg \sigma_nI\)，使得 \(A_i = \sigma_i(A_1)\) 对 \(i = 2, \ldots, n\) 成立。由此得到 \[R^G = (A_1)^I.\] 所以映射 \(R^G \to R^I\) 在 \(R^I \cap \mathfrak q\) 处为 étale 的， 证明完毕。

下一个引理推广了《代数补篇》引理 09EH。

引理

设 \(A\) 是分式域为 \(K\) 的正规整环。设 \(L/K\) 是一个（可能无限的）Galois 扩张。令 \(G = \text{Gal}(L/K)\)，并令 \(B\) 为 \(A\) 在 \(L\) 中的整闭包。 设 \(\mathfrak q \subset B\)。置 \[I = \{\sigma \in G \mid \sigma(\mathfrak q) = \mathfrak q \text{ 且 } \sigma \bmod \mathfrak q = \text{id}_{\kappa(\mathfrak q)}\}\] 则 \((B^I)_{B^I \cap \mathfrak q}\) 是 étale \(A\)-代数的滤过余极限。

证明

可将 \(L\) 写成 \(K\) 的有限 Galois 扩张的滤过余极限。因此，只需在 \(L/K\) 为有限 Galois 扩张时证明该引理，见《代数》引理 0BSJ。因为 \(A = B^G\)（\(A\) 在 \(K = L^G\) 中整闭），故结论由引理 0BST 得出。

分歧理论

本节继续 More on Algebra, Section 09E3 中的讨论，并将其与我们对概形基本群的讨论联系起来。

设 \((A, \mathfrak m, \kappa)\) 是分式域为 \(K\) 的正规局部环。选取一个可分代数闭包 \(K^{sep}\)。设 \(A^{sep}\) 为 \(A\) 在 \(K^{sep}\) 中的整闭包，并选取极大理想 \(\mathfrak m^{sep} \subset A^{sep}\)。设 \(A \subset A^h \subset A^{sh}\) 分别为 Hensel 化和严格 Hensel 化。注意，\(A^h\) 和 \(A^{sh}\) 也都是正规环 （More on Algebra, Lemma 06DI）。以 \(K^h\) 和 \(K^{sh}\) 表示它们的分式域。由 Lemma 0BSQ， \((A^{sep})_{\mathfrak m^{sep}}\) 是严格 Hensel 环，故可以选取一个 \(A\)-代数映射 \(A^{sh} \to (A^{sep})_{\mathfrak m^{sep}}\)。具体来说，先选取一个 \(\kappa\)-嵌入⁴ \(\kappa(\mathfrak m^{sh}) \to \kappa(\mathfrak m^{sep})\)，再由 Algebra, Lemma 04GU 将其（唯一地）延拓为 一个 \(A\)-代数同态。由此得到交换图 \[\xymatrix{ K^{sep} & K^{sh} \ar[l] & K^h \ar[l] & K \ar[l] \\ (A^{sep})_{\mathfrak m^{sep}} \ar[u] & A^{sh} \ar[u] \ar[l] & A^h \ar[u] \ar[l] & A \ar[u] \ar[l] }\] 可以取这些环之谱的基本群。当然，因为 \(K^{sep}\)、 \((A^{sep})_{\mathfrak m^{sep}}\) 和 \(A^{sh}\) 都是严格 Hensel 的，所得的群均为平凡群。 因此有意义的部分是 [0BSV]\[\begin{equation} \vcenter{ \xymatrix{ \pi_1(U^{sh}) \ar[r] \ar[rd]_1 & \pi_1(U^h) \ar[d] \ar[r] & \pi_1(U) \ar[d] \\ & \pi_1(X^h) \ar[r] & \pi_1(X) } } \end{equation}\] 这里 \(X^h\) 和 \(X\) 分别是 \(A^h\) 和 \(A\) 的谱，而 \(U^{sh}\)、\(U^h\)、\(U\) 分别是 \(K^{sh}\)、\(K^h\)、\(K\) 的谱。标号 \(1\) 表示该映射是平凡的；这是因为它经过平凡群 \(\pi_1(X^{sh})\) 分解。另一方面，profinite 群 \(G = \text{Gal}(K^{sep}/K)\) 作用在 \(A^{sep}\) 上，因而可以作如下定义： \[D = \{\sigma \in G \mid \sigma(\mathfrak m^{sep}) = \mathfrak m^{sep}\} \supset I = \{\sigma \in D \mid \sigma \bmod \mathfrak m^{sep} = \text{id}_{\kappa(\mathfrak m^{sep})}\}\] 这两个群有时分别称为分解群和惯性群，尤其是在 \(A\) 为离散赋值环时。

引理

在上述情形中，通过同构 \(\pi_1(U) = \text{Gal}(K^{sep}/K)\)，交换图 (0BSV) 转化为交换图 \[\xymatrix{ I \ar[r] \ar[rd]_1 & D \ar[d] \ar[r] & \text{Gal}(K^{sep}/K) \ar[d] \\ & \text{Gal}(\kappa(\mathfrak m^{sh})/\kappa) \ar[r] & \text{Gal}(M/K) }\] 其中 \(K^{sep}/M/K\) 是关于 \(A\) 非分歧的最大子扩张。此外，竖直箭头均为满射， 左侧竖直箭头的核为 \(I\)，右侧竖直箭头的核是 \(\text{Gal}(K^{sep}/K)\) 中包含 \(I\) 的最小闭正规子群。

证明

按构造，群 \(D\) 作用于 \((A^{sep})_{\mathfrak m^{sep}}\)，且该作用在 \(A\) 上。 给定剩余域上的映射后， \(A^{sh} \to (A^{sep})_{\mathfrak m^{sep}}\) 具有唯一性（Algebra, Lemma 04GU），故映射 \(A^{sh} \to (A^{sep})_{\mathfrak m^{sep}}\) 的像包含于 \(((A^{sep})_{\mathfrak m^{sep}})^I\)。另一方面，Lemma 0BSU 表明 \(((A^{sep})_{\mathfrak m^{sep}})^I\) 是 \(A\) 的 étale 扩张的滤过余极限。 由于 \(A^{sh}\) 是最大的这种扩张，遂有 \(A^{sh} = ((A^{sep})_{\mathfrak m^{sep}})^I\)，从而 \(K^{sh} = (K^{sep})^I\)。

回顾 \(I\) 是一个满射 \(D \to \text{Aut}(\kappa(\mathfrak m^{sep})/\kappa)\) 的核，见 More on Algebra, Lemma 0BRK。我们有 \(\text{Aut}(\kappa(\mathfrak m^{sep})/\kappa) = \text{Gal}(\kappa(\mathfrak m^{sh})/\kappa)\)，因为由上文可知，这些域分别是 \(\kappa\) 的代数闭包与可分代数闭包。另一方面，由 Algebra, Lemma 04GS 中的唯一性，\(A^{sh}\) 在 \(A\) 上的任意自同构 也是 \(A^{sh}\) 在 \(A^h\) 上的自同构。此外，\(A^{sh}\) 是有限 étale 扩张 \(A^h \subset A'\) 的余极限，而这些扩张与有限可分扩张成 \(1\) 对 \(1\) 的对应， 后者形如 \(\kappa'/\kappa\)， 见 Algebra, Remark 0BSL。因此 \[\text{Aut}(A^{sh}/A) = \text{Aut}(A^{sh}/A^h) = \text{Gal}(\kappa(\mathfrak m^{sh})/\kappa)\] 设 \(\kappa'/\kappa\) 是 Galois 群为 \(G\) 的有限 Galois 扩张。由 Algebra, Lemma 04GK，设 \(A^h \subset A'\) 是与 \(\kappa \subset \kappa'\) 对应的有限 étale 扩张。考察分式域与次数可得 \((A')^G = A^h\)（略去一个小细节）。取余极限即得 \((A^{sh})^{\text{Gal}(\kappa(\mathfrak m^{sh})/\kappa)} = A^h\)。 综合以上各点，可得 \(A^h = ((A^{sep})_{\mathfrak m^{sep}})^D\)，从而 \(K^h = (K^{sep})^D\)。

因为 \(U\)、\(U^h\)、\(U^{sh}\) 分别是域 \(K\)、\(K^h\)、\(K^{sh}\) 的谱，所以由 Lemma 0BNE 可知两个交换图的上行彼此对应。由 Lemma 09ZS 有 \(\pi_1(X^h) = \text{Gal}(\kappa(\mathfrak m^{sh})/\kappa)\)。上文已经指出正合列 \(1 \to I \to D \to \text{Gal}(\kappa(\mathfrak m^{sh})/\kappa) \to 1\) 的正合性。由 Proposition 0BQM 可知 \(\pi_1(X) = \text{Gal}(M/K)\)。最后，关于 \(\text{Gal}(K^{sep}/K) \to \text{Gal}(M/K) = \pi_1(X)\) 之核的断言由 Lemma 0BSM 得出。证毕。

设 \(X\) 是函数域为 \(K\) 的正规整概形，\(K^{sep}\) 是 \(K\) 的一个可分代数闭包， 而 \(X^{sep} \to X\) 是 \(X\) 在 \(K^{sep}\) 中的正规化。由于 \(G = \text{Gal}(K^{sep}/K)\) 作用于 \(K^{sep}\)，便得到 \(G\) 在 \(X^{sep}\) 上的右作用。 对 \(y \in X^{sep}\)，定义 \[D_y = \{\sigma \in G \mid \sigma(y) = y\} \supset I_y = \{\sigma \in D \mid \sigma \bmod \mathfrak m_y = \text{id}_{\kappa(y)} \}\] 与上文类似。另一方面，对 \(x \in X\)，设 \(\mathcal{O}_{X, x}^{sh}\) 是一个严格 Hensel 化，设 \(K_x^{sh}\) 是 \(\mathcal{O}_{X, x}^{sh}\) 的分式域，并选取一个 \(K\)-嵌入 \(K_x^{sh} \to K^{sep}\)。

引理

设 \(X\) 是函数域为 \(K\) 的正规整概形。沿用上述记号， \(\text{Gal}(K^{sep}/K) = \pi_1(\Spec(K))\) 的下列三个子群相等：

1. 满射 \(\text{Gal}(K^{sep}/K) \longrightarrow \pi_1(X)\), 的核；

2. 包含所有 \(I_y\)（其中 \(y \in X^{sep}\)）的最小闭正规子群；以及

3. 包含所有 \(\text{Gal}(K^{sep}/K_x^{sh})\)（其中 \(x \in X\)）的最小闭正规子群。

证明

(2) 与 (3) 的等价性来自 Lemma 0BSW：\(I_y\) 与 \(\text{Gal}(K^{sep}/K_x^{sh})\) 共轭，如果 \(y\) 位于 \(x\) 上方。由 Lemma 0BSM 可知 \(\text{Gal}(K^{sep}/K_x^{sh})\) 到 \(\pi_1(\Spec(\mathcal{O}_{X, x}))\) 的映射是平凡的， 因此 (2) 与 (3) 中的子群 \(N \subset G = \text{Gal}(K^{sep}/K)\) 包含于 \(G \longrightarrow \pi_1(X)\) 的核。

为证明反向包含关系，因 \(N\) 正规，只需证明：若 \(N \subset U \subset G\) 且 \(U\) 是开正规子群， 则商映射 \(G \to G/U\) 经过 \(\pi_1(X)\) 分解。换言之，若 \(L/K\) 是与 \(U\) 对应的 Galois 扩张，则必须证明 \(X\) 在 \(L\) 中非分歧（Section 0BQJ，特别是 Proposition 0BQM）。只需在 \(X\) 仿射时证明这一点（如此便可在以下证明中引用代数结论）。 设 \(Y \to X\) 是 \(X\) 在 \(L\) 中的正规化。包含映射 \(L \subset K^{sep}\) 诱导态射 \(\pi : X^{sep} \to Y\)。对 \(y \in X^{sep}\)，\(\pi(y)\) 在 \(\text{Gal}(L/K)\) 中的惯性群 是 \(I_y\) 在 \(\text{Gal}(L/K)\) 中的像；这由 More on Algebra, Lemma 0BSX 得出。由于 \(N \subset U\)， 所有这些惯性群都平凡。应用 Lemma 0BST 可知 \(Y \to X\) 是 étale 的。（另一种做法是使用 Lemma 0BSM，看出 \(Y\) 在 \(\Spec(\mathcal{O}_{X, x})\) 上的拉回对所有 \(x \in X\) 都是 étale 的， 再多做一些工作便可得出结论。）

例

设 \(X\) 是函数域为 \(K\) 的正规整 Noether 概形。分歧轨迹的纯性（见下文）告诉我们， 若 \(X\) 正则，则在 Lemma 0BTD 中，只需考虑惯性群 \(I = \pi_1(\Spec(K_x^{sh}))\)，其中 \(x\) 是余维为 \(1\) 的 \(X\) 中的点。 但一般而言这并不充分。事实上，令 \(Y = \mathbf{A}_k^n = \Spec(k[t_1, \ldots, t_n])\)，其中 \(k\) 是特征不为 \(2\) 的域。 令 \(G = \{\pm 1\}\) 是阶为 \(2\) 的群，它通过各坐标上的乘法作用于 \(Y\)。令 \[X = \Spec(k[t_it_j, i, j \in \{1, \ldots, n\}])\] 嵌入 \(k[t_it_j] \subset k[t_1, \ldots, t_n]\) 定义了一个次数为 \(2\) 的态射 \(Y \to X\)；除极大理想 \(\mathfrak m = (t_it_j)\) 上方外，它处处非分歧， 而该理想给出一个余维为 \(n\) 的 \(X\) 中的点。

引理

设 \(X\) 是函数域为 \(K\) 的整正规概形。设 \(L/K\) 是有限扩张，并设 \(Y \to X\) 是 \(X\) 在 \(L\) 中的正规化。下列条件等价：

1. 按 Section 0BQJ 中的定义，\(X\) 在 \(L\) 中非分歧；

2. \(Y \to X\) 是概形的非分歧态射；

3. \(Y \to X\) 是概形的 étale 态射；

4. \(Y \to X\) 是概形的有限 étale 态射；

5. 对 \(x \in X\)，投影 \(Y \times_X \Spec(\mathcal{O}_{X, x}) \to \Spec(\mathcal{O}_{X, x})\) 非分歧；

6. 将 (5) 中的局部环换成 \(\mathcal{O}_{X, x}^h\) 后，结论仍成立；

7. 将 (5) 中的局部环换成 \(\mathcal{O}_{X, x}^{sh}\) 后，结论仍成立；

8. 对 \(x \in X\)，概形论纤维 \(Y_x\) 在 \(x\) 上是次数 \(\geq [L : K]\) 的 étale 概形。

若 \(L/K\) 是 Galois 群为 \(G\) 的 Galois 扩张，则上述条件还等价于

1. 对 \(y \in Y\)，群 \(I_y = \{g \in G \mid g(y) = y\text{ 且 } g \bmod \mathfrak m_y = \text{id}_{\kappa(y)}\}\) 平凡。

证明

(1) 与 (2) 的等价性就是 (1) 的定义。(2)、(3)、(4) 的等价性由 Lemma 0BQK 给出。容易证明 (4) \(\Rightarrow\) (5)、 (5) \(\Rightarrow\) (6)、(6) \(\Rightarrow\) (7)。

假设 (7) 成立。注意 \(\mathcal{O}_{X, x}^{sh}\) 是正规局部整环 （More on Algebra, Lemma 06DI）。 令 \(L^{sh} = L \otimes_K K_x^{sh}\)，其中 \(K_x^{sh}\) 是 \(\mathcal{O}_{X, x}^{sh}\) 的分式域。于是 \(L^{sh} = \prod_{i = 1, \ldots, n} L_i\)，且 \(L_i/K_x^{sh}\) 是有限可分扩张。 由 Algebra, Lemma 03GG （以及一个略去的极限论证）可知，\(Y \times_X \Spec(\mathcal{O}_{X, x}^{sh})\) 是 \(\Spec(\mathcal{O}_{X, x}^{sh})\) 在 \(L^{sh}\) 中的整闭包。因此，由 Lemma 0BQK（分别应用于各因子 \(L_i\)，它们来自 \(L^{sh}\)），可知 \(Y \times_X \Spec(\mathcal{O}_{X, x}^{sh}) \to \Spec(\mathcal{O}_{X, x}^{sh})\) 是有限 étale 的。考察一般点可知其次数等于 \([L : K]\)，故 (8) 成立。

假设 (8) 成立。设 \(x \in X\)，并设概形论纤维 \(Y_x\) 在 \(x\) 上是次数 \(\geq [L : K]\) 的 étale 概形。这意味着 \(Y\) 有 \(\geq [L : K]\) 个位于 \(x\) 上方的几何点。我们将证明 \(Y \to X\) 在 \(x\) 的某个邻域上是有限 étale 的，这便证明了 (1)。 为此可以假设 \(X = \Spec(R)\)，点 \(x\) 对应于素理想 \(\mathfrak p \subset R\)， 并且 \(Y = \Spec(S)\)。应用 More on Morphisms, Lemma 0BSR，可找到一个 étale 邻域 \((U, u) \to (X, x)\)，使得 \(Y \times_X U = V_1 \amalg \ldots \amalg V_m\)，并且 \(V_i\) 有唯一一个点 \(v_i\)， 它位于 \(u\) 上方，而 \(\kappa(v_i)/\kappa(u)\) 是纯不可分扩张。必要时缩小 \(U\)， 可以假设 \(U\) 是一般点为 \(\xi\) 的正规整概形（使用 Descent, Lemmas 0BAL、 034F，以及 Properties, Lemma 0357）。 由上面对几何点的说明可知 \(m \geq [L : K]\)。另一方面，由 More on Morphisms, Lemma 03GV 可知 \(\coprod V_i \to U\) 是 \(U\) 在 \(\Spec(L) \times_X U\) 中的正规化。因为 \(K \subset \kappa(\xi)\) 是有限可分扩张，可以写成 \(\Spec(L) \times_X U = \Spec(\prod_{i = 1, \ldots, n} L_i)\)， 其中 \(L_i/\kappa(\xi)\) 有限，且 \([L : K] = \sum [L_i : \kappa(\xi)]\)。 由于 \(V_j\) 对每个 \(j\) 都非空，并且 \(m \geq [L : K]\)，所以 \(m = n\)，且 \([L_i : \kappa(\xi)] = 1\) 对所有 \(i\) 都成立。于是 \(V_j \to U\) 是同构，特别地是 étale 的，故 \(Y \times_X U \to U\) 是 étale 的。由 Descent, Lemma 02VN， 可知 \(Y \to X\) 在 \(U \to X\) 的像（即 \(x\) 的一个开邻域）上是 étale 的。

假设 \(L/K\) 是 Galois 扩张且 (9) 成立。由 Lemma 0BSU，\(Y \to X\) 是 étale 的。 略去 (1) 蕴含 (9) 的证明。

对于离散赋值环的无限 Galois 扩张，还可以多说一点。为此引入如下记号。 称整数子集 \(S \subset \mathbf{N}\) 乘法有向，如果 \(1 \in S\)，且对 \(n, m \in S\)，存在 \(k \in S\) 使得 \(n | k\) 且 \(m | k\)。在 \(S\) 上定义偏序： \(n \geq_S m\) 当且仅当 \(m | n\)。给定域 \(\kappa\)，得到有限群的逆系统 \(\{\mu_n(\kappa)\}_{n \in S}\)，其转移映射为 \[\mu_n(\kappa) \longrightarrow \mu_m(\kappa),\quad \zeta \longmapsto \zeta^{n/m}\] 其中 \(n \geq_S m\)。于是可以构造 profinite 群 \[\lim_{n \in S} \mu_n(\kappa)\] 注意，该极限是余滤过的（因为 \(S\) 有向）。此构造关于 \(\kappa\) 具有函子性。 特别地，\(\text{Aut}(\kappa)\) 作用于这个 profinite 群。例如，若 \(S = \{1, n\}\)，则得到 \(\mu_n(\kappa)\)。若 \(S = \{1, \ell, \ell^2, \ell^3, \ldots\}\)，其中 \(\ell\) 是不同于 \(\kappa\) 之特征的素数，则得到 \(\lim_n \mu_{\ell^n}(\kappa)\)；它有时称为 \(\ell\)-进 Tate 模，即 \(\kappa\) 的乘法群的 Tate 模（参见 More on Algebra, Example 0BKG）。

引理

设 \(A\) 是分式域为 \(K\) 的离散赋值环。设 \(L/K\) 是一个（可能无限的）Galois 扩张， \(B\) 是 \(A\) 在 \(L\) 中的整闭包，\(\mathfrak m\) 是 \(B\) 的一个极大理想。令 \(G = \text{Gal}(L/K)\)、 \(D = \{\sigma \in G \mid \sigma(\mathfrak m) = \mathfrak m\}\)，以及 \(I = \{\sigma \in D \mid \sigma \bmod \mathfrak m = \text{id}_{\kappa(\mathfrak m)}\}\). 分解群 \(D\) 属于如下典范正合列： \[1 \to I \to D \to \text{Aut}(\kappa(\mathfrak m)/\kappa_A) \to 1\] 惯性群 \(I\) 属于如下典范正合列： \[1 \to P \to I \to I_t \to 1\] 其中

1. 野惯性群 \(P\) 是 \(D\) 的正规子群；

2. \(P\) 是 pro-\(p\)-群，如果 \(\kappa_A\) 的特征为 \(p > 1\)；并且 \(P = \{1\}\)，如果 \(\kappa_A\) 的特征为零；

3. 存在一个乘法有向子集 \(S \subset \mathbf{N}\)，使得 \(\kappa(\mathfrak m)\) 含有一个本原 \(n\) 次单位根，对每个 \(n \in S\) （\(S\) 的元素均与 \(p\) 互素）；

4. 存在一个典范满射 \[\theta_{can} : I \to \lim_{n \in S} \mu_n(\kappa(\mathfrak m))\] 其核为 \(P\)，且满足 \(\theta_{can}(\tau \sigma \tau^{-1}) = \tau(\theta_{can}(\sigma))\) （其中 \(\tau \in D\)、\(\sigma \in I\)），并诱导同构 \(I_t \to \lim_{n \in S} \mu_n(\kappa(\mathfrak m))\)；这里的商群称为温和惯性群。

证明

这基本上只是重述 More on Algebra, Section 09E3 中所证明的有限 Galois 扩张结果。 映射 \(D \to \text{Aut}(\kappa(\mathfrak m)/\kappa)\) 的满射性就是 More on Algebra, Lemma 0BRK。 由此得到第一个正合列。

为构造第二个短正合列，令 \(\Lambda\) 为有限 Galois 子扩张之集；也就是说， \(\lambda \in \Lambda\) 对应于 \(L/L_\lambda/K\)。令 \(G_\lambda = \text{Gal}(L_\lambda/K)\)。回顾 \(G_\lambda\) 构成转移映射均为满射的有限群逆系统， 并且 \(G = \lim_{\lambda \in \Lambda} G_\lambda\)，见 Fields, Lemma 0BU2。令 \(B_\lambda\) 为 \(A\) 在 \(L_\lambda\) 中的整闭包。 再令 \(\mathfrak m_\lambda = \mathfrak m \cap B_\lambda\)，并以 \(P_\lambda, I_\lambda, D_\lambda\) 分别表示 \(\mathfrak m_\lambda\) 的 野惯性群、惯性群和分解群，见 More on Algebra, Lemma 09EE。对 \(\lambda \geq \lambda'\)，限制映射给出交换图 \[\xymatrix{ P_\lambda \ar[d] \ar[r] & I_\lambda \ar[d] \ar[r] & D_\lambda \ar[d] \ar[r] & G_\lambda \ar[d] \\ P_{\lambda'} \ar[r] & I_{\lambda'} \ar[r] & D_{\lambda'} \ar[r] & G_{\lambda'} }\] 其中竖直映射均为满射，见 More on Algebra, Lemma 0BU7。

由定义立刻可知，\(I = \lim I_\lambda\) 且 \(D = \lim D_\lambda\)； 这里使用的是上述同构 \(G = \lim G_\lambda\)。因为 \(L = \colim L_\lambda\)，所以 \(B = \colim B_\lambda\) 且 \(\kappa(\mathfrak m) = \colim \kappa(\mathfrak m_\lambda)\)。 系统 \(D_\lambda\) 的转移映射与映射 \(D_\lambda \to \text{Aut}(\kappa(\mathfrak m_\lambda)/\kappa)\) 相容 （见 More on Algebra, Lemma 0BU7）， 故映射 \(D \to \text{Aut}(\kappa(\mathfrak m)/\kappa)\) 是诸映射 \(D_\lambda \to \text{Aut}(\kappa(\mathfrak m_\lambda)/\kappa)\) 的极限。

存在典范映射 \[\theta_{\lambda, can} : I_\lambda \longrightarrow \mu_{n_\lambda}(\kappa(\mathfrak m_\lambda))\] 其中 \(n_\lambda = |I_\lambda|/|P_\lambda|\)，群 \(\mu_{n_\lambda}(\kappa(\mathfrak m_\lambda))\) 的阶为 \(n_\lambda\)，并且 \(\theta_{\lambda, can}(\tau \sigma \tau^{-1}) = \tau(\theta_{\lambda, can}(\sigma))\) 对 \(\tau \in D_\lambda\) 和 \(\sigma \in I_\lambda\) 成立，而且得到交换图 \[\xymatrix{ I_\lambda \ar[r]_-{\theta_{\lambda, can}} \ar[d] & \mu_{n_\lambda}(\kappa(\mathfrak m_\lambda)) \ar[d]^{(-)^{n_\lambda/n_{\lambda'}}} \\ I_{\lambda'} \ar[r]^-{\theta_{\lambda', can}} & \mu_{n_{\lambda'}}(\kappa(\mathfrak m_{\lambda'})) }\] 见 More on Algebra, Remark 0BU8。

令 \(S \subset \mathbf{N}\) 为整数 \(n_\lambda\) 的集合。由于 \(\Lambda\) 有向， 可知 \(S\) 是乘法有向的。对上面交换图中的映射 \(\theta_{\lambda, can}\) 取极限，得到 \[\theta_{can} : I \to \lim_{n \in S} \mu_n(\kappa(\mathfrak m)).\] 此映射连续（略去一个小细节）。由于系统 \(I_\lambda\) 的转移映射都是满射， 且 \(\Lambda\) 有向，投影 \(I \to I_\lambda\) 均为满射。对每个 \(\lambda\)，交换图 \[\xymatrix{ I \ar[d] \ar[r]_-{\theta_{can}} & \lim_{n \in S} \mu_n(\kappa(\mathfrak m)) \ar[d] \\ I_{\lambda} \ar[r]^-{\theta_{\lambda, can}} & \mu_{n_\lambda}(\kappa(\mathfrak m_\lambda)) }\] 成立。因此 \(\theta_{can}\) 的像满射到有限群 \(\mu_{n_\lambda}(\kappa(\mathfrak m)) = \mu_{n_\lambda}(\kappa(\mathfrak m_\lambda))\)；该群的阶为 \(n_\lambda\) （见上文）。于是 \(\theta_{can}\) 的像稠密。另一方面，\(\theta_{can}\) 连续且源是 profinite 群。因此，一个拓扑论证表明 \(\theta_{can}\) 是满射。

等式 \(\theta_{can}(\tau \sigma \tau^{-1}) = \tau(\theta_{can}(\sigma))\) 对 \(\tau \in D\)、\(\sigma \in I\) 成立；这是由映射 \(\theta_{\lambda, can}\) 的相应性质，以及映射 \(D \to \text{Aut}(\kappa(\mathfrak m))\) 同各映射 \(D_\lambda \to \text{Aut}(\kappa(\mathfrak m_\lambda))\) 的相容性得出的。 令 \(P = \Ker(\theta_{can})\)，这表明 \(P\) 是 \(D\) 的正规子群。令 \(I_t = I/P\)； 得到同构 \(I_t \to \lim_{n \in S} \mu_n(\kappa(\mathfrak m))\)， 这是由 \(\theta_{can}\) 的满射性推出的。

为完成证明，我们证明 \(P = \lim P_\lambda\)，这说明 \(P\) 是 pro-\(p\)-群。回顾温和惯性群 \(I_{\lambda, t} = I_\lambda/P_\lambda\) 的阶为 \(n_\lambda\)。由于转移映射 \(P_\lambda \to P_{\lambda'}\) 均为满射，且 \(\Lambda\) 有向，得到短正合列 \[1 \to \lim P_\lambda \to I \to \lim I_{\lambda, t} \to 1\] （略去细节）。因为对每个 \(\lambda\)，映射 \(\theta_{\lambda, can}\) 诱导同构 \(I_{\lambda, t} \cong \mu_{n_\lambda}(\kappa(\mathfrak m))\) ，所需结论随即得出。

引理

设 \(A\) 是分式域为 \(K\) 的离散赋值环，\(K^{sep}\) 是 \(K\) 的一个可分闭包， \(A^{sep}\) 是 \(A\) 在 \(K^{sep}\) 中的整闭包，而 \(\mathfrak m^{sep}\) 是 \(A^{sep}\) 的一个极大理想。令 \(\mathfrak m = \mathfrak m^{sep} \cap A\)、 \(\kappa = A/\mathfrak m\)，以及 \(\overline{\kappa} = A^{sep}/\mathfrak m^{sep}\)。于是 \(\overline{\kappa}\) 是 \(\kappa\) 的代数闭包。令 \(G = \text{Gal}(K^{sep}/K)\)、 \(D = \{\sigma \in G \mid \sigma(\mathfrak m^{sep}) = \mathfrak m^{sep}\}\)，以及 \(I = \{\sigma \in D \mid \sigma \bmod \mathfrak m^{sep} = \text{id}_{\kappa(\mathfrak m^{sep})}\}\). 分解群 \(D\) 属于如下典范正合列： \[1 \to I \to D \to \text{Gal}(\kappa^{sep}/\kappa) \to 1\] 其中 \(\kappa^{sep} \subset \overline{\kappa}\) 是 \(\kappa\) 的可分闭包。 惯性群 \(I\) 属于如下典范正合列： \[1 \to P \to I \to I_t \to 1\] 其中

1. 野惯性群 \(P\) 是 \(D\) 的正规子群；

2. \(P\) 是 pro-\(p\)-群，如果 \(\kappa_A\) 的特征为 \(p > 1\)；并且 \(P = \{1\}\)，如果 \(\kappa_A\) 的特征为零；

3. 存在一个典范满射 \[\theta_{can} : I \to \lim_{n\text{ prime to }p} \mu_n(\kappa^{sep})\] 其核为 \(P\)，且满足 \(\theta_{can}(\tau \sigma \tau^{-1}) = \tau(\theta_{can}(\sigma))\) （其中 \(\tau \in D\)、\(\sigma \in I\)），并诱导同构 \(I_t \to \lim_{n\text{ prime to }p} \mu_n(\kappa^{sep})\)。

证明

由 Lemma 0BSP，域 \(\overline{\kappa}\) 是 \(\kappa\) 的代数闭包。大部分断言立即由 Lemma 0BUA 的相应部分得出。例如，因为 \(\text{Aut}(\overline{\kappa}/\kappa) = \text{Gal}(\kappa^{sep}/\kappa)\)， 便得到第一个正合列。 因此，唯一还需证明的断言是：若 \(S\) 如 Lemma 0BUA 中所述，则极限 \(\lim_{n \in S} \mu_n(\overline{\kappa})\) 等于 \(\lim_{n\text{ prime to }p} \mu_n(\kappa^{sep})\)。为此，只需证明每个整数 \(n\) 只要与 \(p\) 互素，就整除 \(S\) 的某个元素。 令 \(\pi \in A\) 是一个素元，并考虑分裂域 \(L\)，即多项式 \(X^n - \pi\) 的分裂域。 因为该多项式可分，\(L\) 是 \(K\) 的有限 Galois 扩张。选取嵌入 \(L \to K^{sep}\)。注意，若 \(B\) 是 \(A\) 在 \(L\) 中的整闭包，则 \(A \to B_{\mathfrak m^{sep} \cap B}\) 的分歧指数可被 \(n\) 整除 （因为 \(\pi\) 有一个 \(n\) 次根位于 \(B\) 中；事实上该分歧指数等于 \(n\)，但此处用不到）。 于是，由 Lemma 0BUA 的证明中 \(S\) 的构造可知， \(n\) 整除 \(S\) 的某个元素。

几何基本群与算术基本群

本节研究如下比较：概形 \(X\) 在域 \(k\) 上的基本群与 \(X_{\overline{k}}\) 的基本群之间有何关系，其中 \(\overline{k}\) 是 \(k\) 的代数闭包。

引理

设 \(I\) 是有向集。设 \(X_i\) 是以 \(I\) 为指标、转移态射均为仿射态射的拟紧拟分离概形逆系统。 依照 Limits, Section 01YV，令 \(X = \lim X_i\)。 则有范畴等价 \[\colim \textit{F\'Et}_{X_i} = \textit{F\'Et}_X\] 若 \(X_i\) 对所有充分大的 \(i\) 都连通，并且 \(\overline{x}\) 是 \(X\) 的一个几何点，则 \[\pi_1(X, \overline{x}) = \lim \pi_1(X_i, \overline{x})\]

证明

该范畴等价由 Limits, Lemmas 01ZM, 01ZO 和 07RP 得出。第二个断言是范畴断言的形式推论。

引理

设 \(k\) 是完美闭包为 \(k^{perf}\) 的域。设 \(X\) 是 \(k\) 上的连通概形。 则 \(X_{k^{perf}}\) 连通，且 \(\pi_1(X_{k^{perf}}) \to \pi_1(X)\) 是同构。

证明

这是基本群拓扑不变性的一个特例，见 Proposition 0BQN。要看出 \(\Spec(k^{perf}) \to \Spec(k)\) 是泛同胚，可以使用 Algebra, Lemma 0BRD。

引理

设 \(k\) 是代数闭包为 \(\overline{k}\) 的域。设 \(X\) 是 \(k\) 上拟紧且拟分离的概形。 若基变换 \(X_{\overline{k}}\) 连通，则有短正合列 \[1 \to \pi_1(X_{\overline{k}}) \to \pi_1(X) \to \pi_1(\Spec(k)) \to 1\] 其中各项均为 profinite 拓扑群。

证明

\(\textit{F\'Et}_{\Spec(k)}\) 的连通对象形如 \(\Spec(k') \to \Spec(k)\)，其中 \(k'/k\) 是有限可分扩张。于是 \(X_{\Spec{k'}}\) 连通，因为态射 \(X_{\overline{k}} \to X_{\Spec(k')}\) 是满射， 且按假设 \(X_{\overline{k}}\) 连通。因此，由 Lemma 0BN6， \(\pi_1(X) \to \pi_1(\Spec(k))\) 是满射。

继续之前，注意可以假设 \(k\) 是完美域。事实上，由 Lemma 0BTW 有 \(\pi_1(X_{k^{perf}}) = \pi_1(X)\) 且 \(\pi_1(\Spec(k^{perf})) = \pi_1(\Spec(k))\)。

显然，函子的复合 \(\textit{F\'Et}_{\Spec(k)} \to \textit{F\'Et}_X \to \textit{F\'Et}_{X_{\overline{k}}}\) 将对象送到 \(X_{\Spec(\overline{k})}\) 的若干副本的不交并。 因此复合 \(\pi_1(X_{\overline{k}}) \to \pi_1(X) \to \pi_1(\Spec(k))\) 由 Lemma 0BS8 可知是平凡同态。

设 \(U \to X\) 是有限 étale 态射，且 \(U\) 连通。注意 \(U \times_X X_{\overline{k}} = U_{\overline{k}}\)。假设 \(U_{\overline{k}} \to X_{\overline{k}}\) 有一个截面 \(s : X_{\overline{k}} \to U_{\overline{k}}\)。于是 \(s(X_{\overline{k}})\) 是 \(U_{\overline{k}}\) 的一个开连通分支。对 \(\sigma \in \text{Gal}(\overline{k}/k)\)，以 \(s^\sigma\) 表示 \(s\) 沿 \(\Spec(\sigma)\) 的基变换。由于 \(U_{\overline{k}} \to X_{\overline{k}}\) 是有限 étale 态射，它只有有限多个截面。因此 \[\overline{T} = \bigcup s^\sigma(X_{\overline{k}})\] 是有限并，且 \(\overline{T}\) 是一个在 \(\text{Gal}(\overline{k}/k)\) 作用下稳定的开闭子集。由 Varieties, Lemma 038B 可知，\(\overline{T}\) 是某个闭子集 \(T \subset U\) 的原像。由于 \(U_{\overline{k}} \to U\) 是开映射 （Morphisms, Lemma 0383）， \(T\) 也开。又因 \(U\) 连通，故 \(T = U\)。因此 \(U_{\overline{k}}\) 是 \(X_{\overline{k}}\) 的若干副本的（有限）不交并。由 Lemma 0BTS 可知 \(\pi_1(X_{\overline{k}}) \to \pi_1(X)\) 的像是正规子群。

设 \(V \to X_{\overline{k}}\) 是有限 étale 覆盖。回顾 \(\overline{k}\) 是 \(k\) 的有限可分扩张之并。由 Lemma 0BTV，可找到有限可分扩张 \(k'/k\) 和有限 étale 态射 \(U \to X_{k'}\)，使得 \(V = X_{\overline{k}} \times_{X_{k'}} U = U \times_{\Spec(k')} \Spec(\overline{k})\). 于是复合 \(U \to X_{k'} \to X\) 是有限 étale 态射，并且 \(U \times_{\Spec(k)} \Spec(\overline{k})\) 包含 \(V = U \times_{\Spec(k')} \Spec(\overline{k})\) 作为开闭子概形。（这是因为 \(\Spec(\overline{k})\) 是 \(\Spec(k') \times_{\Spec(k)} \Spec(\overline{k})\) 的一个开闭子概形， 它由乘法映射 \(k' \otimes_k \overline{k} \to \overline{k}\) 给出。） 由 Lemma 0BN7 可知 \(\pi_1(X_{\overline{k}}) \to \pi_1(X)\) 是单射。

最后，必须证明：对任意有限 étale 态射 \(U \to X\)，若 \(U_{\overline{k}}\) 是 \(X_{\overline{k}}\) 的若干副本的不交并，则存在有限 étale 态射 \(V \to \Spec(k)\) 和满射 \(V \times_{\Spec(k)} X \to U\)。 见 Lemma 0BS9。像上面一样应用 Lemma 0BTV，可找到有限可分扩张 \(k'/k\)，使得存在同构 \(U_{k'} \cong \coprod_{i = 1, \ldots, n} X_{k'}\). 因此令 \(V = \coprod_{i = 1, \ldots, n} \Spec(k')\) 即得结论。

同伦正合列

本节讨论如下结果。设 \(f : X \to S\) 是有限表示的平坦且固有的态射， 其几何纤维均连通且约化。假设 \(S\) 连通，并设 \(\overline{s}\) 是 \(S\) 的一个几何点。则有基本群的正合列 \[\pi_1(X_{\overline{s}}) \to \pi_1(X) \to \pi_1(S) \to 1\] 见 Proposition 0C0J。

引理

设 \(f : X \to S\) 是概形的固有态射。设 \(X \to S' \to S\) 是 \(f\) 的 Stein 分解， 见 More on Morphisms, Theorem 03H2。若 \(f\) 有限表示且平坦， 并具有几何约化纤维，则 \(S' \to S\) 是有限 étale 态射。

证明

这由 Derived Categories of Schemes, Lemma 0G7Y 以及 More on Morphisms, Theorem 03H2 中的信息得出。

命题

设 \(f : X \to S\) 是有限表示的平坦且固有的态射，其几何纤维均连通且约化。 假设 \(S\) 连通，并设 \(\overline{s}\) 是 \(S\) 的一个几何点。则有基本群的正合列 \[\pi_1(X_{\overline{s}}) \to \pi_1(X) \to \pi_1(S) \to 1\]

证明

设 \(Y \to X\) 是有限 étale 态射。考虑 Stein 分解 \[\xymatrix{ Y \ar[d] \ar[r] & X \ar[d] \\ T \ar[r] & S }\] 它是 \(Y \to S\) 的 Stein 分解。由 Lemma 0BUN，态射 \(T \to S\) 是有限 étale 的。 由此得到函子 \(\textit{F\'Et}_X \to \textit{F\'Et}_S\)。对任意有限 étale 态射 \(U \to S\)，态射 \(Y \to U \times_S X\) 在 \(X\) 上给出，当且仅当态射 \(Y \to U\) 在 \(S\) 上给出；这样的态射唯一地经过 Stein 分解，亦即对应于唯一的态射 \(T \to U\) （这是因为 More on Morphisms, Lemma 03GY 将 Stein 分解构造成相对正规化， 再应用 Morphisms, Lemma 035I 的分解性质）。因此函子 \(\textit{F\'Et}_X \to \textit{F\'Et}_S\) 与 \(\textit{F\'Et}_S \to \textit{F\'Et}_X\) 互为伴随。注意， \(U \times_S X \to S\) 的 Stein 分解是 \(U\)，因为 \(U \times_S X \to U\) 的各纤维都几何连通。

由上述讨论和 Categories, Lemma 07RB，可知 \(\textit{F\'Et}_S \to \textit{F\'Et}_X\) 全忠实；也就是说， \(\pi_1(X) \to \pi_1(S)\) 是满射（Lemma 0BN6）。

显然，复合 \(\textit{F\'Et}_S \to \textit{F\'Et}_X \to \textit{F\'Et}_{X_{\overline{s}}}\) 将任意 \(U\) 送到 \(X_{\overline{s}}\) 的若干副本的不交并。因此由 Lemma 0BS8， \(\pi_1(X_{\overline{s}}) \to \pi_1(X) \to \pi_1(S)\) 是平凡同态。

设 \(Y \to X\) 是有限 étale 态射，\(Y\) 连通，并且 \(Y \times_X X_{\overline{s}}\) 含有一个连通分支 \(Z\)，它同构于 \(X_{\overline{s}}\)。考虑上述 Stein 分解 \(T\)。设 \(\overline{t} \in T_{\overline{s}}\) 是与纤维 \(Z\) 对应的点。注意 \(T\) 连通 （因为它是连通概形的像），而且由上面的满射性，\(T \times_S X\) 连通。 现在考虑分解 \[\pi : Y \longrightarrow T \times_S X\] 设 \(\overline{x} \in X_{\overline{s}}\) 是任意闭点。注意 \(\kappa(\overline{t}) = \kappa(\overline{s}) = \kappa(\overline{x})\) 是代数闭域。于是 \(\pi\) 在 \((\overline{t}, \overline{x})\) 上的纤维仅含一个点， 即唯一的点 \(\overline{z} \in Z\)；它对应于 \(\overline{x} \in X_{\overline{s}}\)，这一对应通过同构 \(Z \to X_{\overline{s}}\) 给出。因此有限 étale 态射 \(\pi\) 的次数为 \(1\)， 这是在 \((\overline{t}, \overline{x})\) 的一个邻域上。由于 \(T \times_S X\) 连通，该态射处处次数为 \(1\)，从而 \(Y \cong T \times_S X\)。 所以 \(Y \times_X X_{\overline{s}}\) 完全分裂。综合以上各点，Lemmas 0BS9 和 0BTS 均可应用，证明完成。

特化映射

本节构造特化映射。设 \(f : X \to S\) 是具有几何连通纤维的概形固有态射。 设 \(s' \leadsto s\) 是 \(S\) 中点的特化。设 \(\overline{s}\) 和 \(\overline{s}'\) 分别是位于 \(s\) 和 \(s'\) 上方的几何点。则有特化映射 \[sp : \pi_1(X_{\overline{s}'}) \longrightarrow \pi_1(X_{\overline{s}})\] 此映射的构造如下。令 \(A\) 为 \(\mathcal{O}_{S, s}\) 关于 \(\kappa(s) \subset \kappa(s)^{sep} \subset \kappa(\overline{s})\) 的严格 Hensel 化，见 Algebra, Definition 04GQ。 因为 \(s' \leadsto s\)，点 \(s'\) 对应于 \(\Spec(\mathcal{O}_{S, s})\) 的一个点， 故 \(\Spec(A)\) 中至少有一个（也可能有许多个）位于 \(s'\) 上方的点， 其剩余域是 \(\kappa(s')\) 的可分代数扩张。由于 \(\kappa(\overline{s}')\) 代数闭，可以选取一个态射 \(\varphi : \overline{s}' \to \Spec(A)\)，从而得到交换图 \[\xymatrix{ \overline{s}' \ar[r]_-\varphi \ar[rd] & \Spec(A) \ar[d] & \overline{s} \ar[l] \ar[ld] \\ & S }\] 特化映射是复合 \[\pi_1(X_{\overline{s}'}) \longrightarrow \pi_1(X_A) = \pi_1(X_{\kappa(s)^{sep}}) = \pi_1(X_{\overline{s}})\] 其中第一个等号由 Lemma 0A48 给出， 第二个等号由 Lemmas 0BTW 和 0A49 得出。按构造，特化映射属于交换图 \[\xymatrix{ \pi_1(X_{\overline{s}'}) \ar[rr]_{sp} \ar[rd] & & \pi_1(X_{\overline{s}}) \ar[ld] \\ & \pi_1(X) }\] 只要 \(X\) 连通。特化映射依赖于上面对 \(\varphi : \overline{s}' \to \Spec(A)\) 的选择；若要表明这一点，便记作 \(sp_\varphi\)。

引理

考虑概形的交换图 \[\xymatrix{ Y \ar[d]_g \ar[r] & X \ar[d]^f \\ T \ar[r] & S }\] 其中 \(f\) 和 \(g\) 都是具有几何连通纤维的固有态射。设 \(t' \leadsto t\) 是 \(T\) 中点的特化，并考虑上述特化映射 \(sp : \pi_1(Y_{\overline{t}'}) \to \pi_1(Y_{\overline{t}})\)。 则有特化映射的交换图 \[\xymatrix{ \pi_1(Y_{\overline{t}'}) \ar[r]_{sp} \ar[d] & \pi_1(Y_{\overline{t}}) \ar[d] \\ \pi_1(X_{\overline{s}'}) \ar[r]^{sp} & \pi_1(X_{\overline{s}}) }\] 其中 \(\overline{s}\) 和 \(\overline{s}'\) 分别是 \(\overline{t}\) 和 \(\overline{t}'\) 的像。

证明

令 \(B\) 为 \(\mathcal{O}_{T, t}\) 关于 \(\kappa(t) \subset \kappa(t)^{sep} \subset \kappa(\overline{t})\) 的严格 Hensel 化。 像构造特化映射时那样，选取 \(\psi : \overline{t}' \to \Spec(B)\)，它提升 \(\overline{t}' \to T\)。 以 \(s\) 和 \(s'\) 表示 \(t\) 和 \(t'\) 在 \(S\) 中的像。 令 \(A\) 为 \(\mathcal{O}_{S, s}\) 关于 \(\kappa(s) \subset \kappa(s)^{sep} \subset \kappa(\overline{s})\) 的严格 Hensel 化。 由于 \(\kappa(\overline{s}) = \kappa(\overline{t})\)，由严格 Hensel 化的函子性 （Algebra, Lemma 04GU）， 得到属于下述交换图的环同态 \(A \to B\) \[\xymatrix{ \overline{t}' \ar[r]_-\psi \ar[d] & \Spec(B) \ar[d] \ar[r] & T \ar[d] \\ \overline{s}' \ar[r]^-\varphi & \Spec(A) \ar[r] & S }\] 这里直接取态射 \(\varphi : \overline{s}' \to \Spec(A)\) 为复合 \(\overline{t}' \to \Spec(B) \to \Spec(A)\)。施行基变换得到交换图 \[\xymatrix{ Y_{\overline{t}'} \ar[r] \ar[d] & Y_B \ar[d] \\ X_{\overline{s}'} \ar[r] & X_A }\] 由特化映射的构造，此图的交换性蕴含引理中交换图的交换性。

引理

设 \(f : X \to S\) 是具有几何连通纤维的固有态射。设 \(s'' \leadsto s' \leadsto s\) 是 \(S\) 中点的特化。特化映射的复合 \(\pi_1(X_{\overline{s}''}) \to \pi_1(X_{\overline{s}'}) \to \pi_1(X_{\overline{s}})\) 是特化映射 \(\pi_1(X_{\overline{s}''}) \to \pi_1(X_{\overline{s}})\).

证明

设 \(\mathcal{O}_{S, s} \to A\) 是利用 \(\kappa(s) \to \kappa(\overline{s})\) 构造的严格 Hensel 化。设 \(A \to \kappa(\overline{s}')\) 是构造第一个特化映射时所用的映射。设 \(\mathcal{O}_{S, s'} \to A'\) 是利用 \(\kappa(s') \subset \kappa(\overline{s}')\) 构造的严格 Hensel 化。 由严格 Hensel 化的函子性，存在映射 \(A \to A'\)，使它同 \(A' \to \kappa(\overline{s}')\) 的复合就是给定映射 （Algebra, Lemma 08HR）。 接着，设 \(A' \to \kappa(\overline{s}'')\) 是构造第二个特化映射时所用的映射。 显然，第一与第二个特化映射的复合就是特化映射 \(\pi_1(X_{\overline{s}''}) \to \pi_1(X_{\overline{s}})\) ，它利用 \(A \to A' \to \kappa(\overline{s}'')\) 构造。

设 \(X \to S\) 是具有几何连通纤维的固有态射。设 \(R\) 是分式域代数闭的严格 Hensel 赋值环，并设 \(\Spec(R) \to S\) 是态射。设 \(\eta, s \in \Spec(R)\) 分别为一般点和闭点。于是可以考虑特化映射 \[sp_R : \pi_1(X_\eta) \to \pi_1(X_s)\] 它属于基变换 \(X_R/\Spec(R)\)。注意，这是有意义的，因为 \(\eta\) 和 \(s\) 的剩余域均代数闭。

引理

设 \(f : X \to S\) 是具有几何连通纤维的固有态射。设 \(s' \leadsto s\) 是 \(S\) 中点的特化，并设 \(sp : \pi_1(X_{\overline{s}'}) \to \pi_1(X_{\overline{s}})\) 是特化映射。则存在分式域代数闭的严格 Hensel 赋值环 \(R\)，它位于 \(S\) 上， 使 \(sp\) 同构于上面定义的 \(sp_R\)。

证明

设 \(\mathcal{O}_{S, s} \to A\) 是利用 \(\kappa(s) \to \kappa(\overline{s})\) 构造的严格 Hensel 化。设 \(A \to \kappa(\overline{s}')\) 是构造 \(sp\) 时所用的映射。设 \(R \subset \kappa(\overline{s}')\) 是分式域为 \(\kappa(\overline{s}')\)、 且支配 \(A\) 之像的赋值环。见 Algebra, Lemma 00IA。 例如，由 Lemma 0BSQ 和 Algebra, Lemma 00IC 可知 \(R\) 是严格 Hensel 环。引理随即成立。

设 \(X \to S\) 是具有几何连通纤维的固有态射。设 \(R\) 是严格 Hensel 离散赋值环， 并设 \(\Spec(R) \to S\) 是态射。设 \(\eta, s \in \Spec(R)\) 分别为一般点和闭点。 于是可以考虑特化映射 \[sp_R : \pi_1(X_{\overline{\eta}}) \to \pi_1(X_s)\] 它属于基变换 \(X_R/\Spec(R)\)。注意，这是有意义的，因为 \(s\) 的剩余域代数闭。

引理

设 \(f : X \to S\) 是具有几何连通纤维的固有态射。设 \(s' \leadsto s\) 是 \(S\) 中点的特化，并设 \(sp : \pi_1(X_{\overline{s}'}) \to \pi_1(X_{\overline{s}})\) 是特化映射。若 \(S\) 是 Noether 概形，则存在严格 Hensel 离散赋值环 \(R\)， 它位于 \(S\) 上，使得 \(sp\) 同构于上面定义的 \(sp_R\)。

证明

设 \(\mathcal{O}_{S, s} \to A\) 是利用 \(\kappa(s) \to \kappa(\overline{s})\) 构造的严格 Hensel 化。设 \(A \to \kappa(\overline{s}')\) 是构造 \(sp\) 时所用的映射。设 \(R \subset \kappa(\overline{s}')\) 是支配 \(A\) 之像的离散赋值环，见 Algebra, Lemma 00PH。选取域的交换图 \[\xymatrix{ \kappa(\overline{s}) \ar[r] & k \\ A/\mathfrak m_A \ar[r] \ar[u] & R/\mathfrak m_R \ar[u] }\] 其中 \(k\) 代数闭。设 \(R^{sh}\) 是 \(R\) 的严格 Hensel 化，它利用 \(R \to k\) 构造。 由 Algebra, Lemma 04GU， 得到映射 \(A \to R^{sh}\)。由 More on Algebra, Lemma 0AP3，环 \(R^{sh}\) 是离散赋值环。 以 \(\eta, o\) 表示 \(\Spec(R^{sh})\) 的一般点和闭点。因为概形图 \[\xymatrix{ \overline{\eta} \ar[d] \ar[r] & \Spec(R^{sh}) \ar[d] & \Spec(k) \ar[d] \ar[l] \\ \overline{s}' \ar[r] & \Spec(A) & \overline{s} \ar[l] }\] 交换，所以得到交换图 \[\xymatrix{ \pi_1(X_{\overline{\eta}}) \ar[d] \ar[r]_{sp_{R^{sh}}} & \pi_1(X_o) \ar[d] \\ \pi_1(X_{\overline{s}'}) \ar[r]^{sp} & X_{\overline{s}} }\] 按这些映射的构造，这是特化映射的交换图。由于竖直箭头均为同构 （Lemma 0A49），引理得证。

限制到闭子概形

本节证明关于限制函子 \[\textit{F\'Et}_X \longrightarrow \textit{F\'Et}_Y,\quad U \longmapsto V = U \times_X Y\] 的一些结果，其中 \(X\) 是概形，而 \(Y\) 是闭子概形。利用基本群的拓扑不变性， 可以把对此函子的研究同有限局部自由模上的完备化函子联系起来。

以下引理使用 Cohomology of Schemes, Section 0EHN 中定义的凝聚形式模概念。给定 Noether 概形和拟凝聚理想层 \(\mathcal{I} \subset \mathcal{O}_X\)，若对象 \((\mathcal{F}_n)\) 属于 \(\textit{Coh}(X, \mathcal{I})\)，且每个 \(\mathcal{F}_n\) 都是有限局部自由 \(\mathcal{O}_X/\mathcal{I}^n\)-模，就称它有限局部自由。

引理

设 \(X\) 是 Noether 概形，\(Y \subset X\) 是理想层为 \(\mathcal{I} \subset \mathcal{O}_X\) 的闭子概形。假设完备化函子 \[\textit{Coh}(\mathcal{O}_X) \longrightarrow \textit{Coh}(X, \mathcal{I}),\quad \mathcal{F} \longmapsto \mathcal{F}^\wedge\] 在有限局部自由对象的全子范畴上全忠实（见上文）。则限制函子 \(\textit{F\'Et}_X \to \textit{F\'Et}_Y\) 全忠实。

证明

由于有限 étale 覆盖的范畴具有内部 Hom（Lemma 0BL7），只需证明如下断言：给定 \(U\)，它是 \(X\) 上的有限 étale 概形，并给定态射 \(t : Y \to U\)，它在 \(X\) 上，存在唯一的截面 \(s : X \to U\) 使得 \(t = s|_Y\)。图示为 \[\xymatrix{ & U \ar[d]^f \\ Y \ar[r] \ar[ru] & X \ar@{..>}@/^1em/[u] }\] 寻找虚线箭头 \(s\) 等价于寻找 \(\mathcal{O}_X\)-代数映射 \[s^\sharp : f_*\mathcal{O}_U \longrightarrow \mathcal{O}_X\] 它模掉 \(Y\) 的理想层后化为给定的代数映射 \(t^\sharp : f_*\mathcal{O}_U \to \mathcal{O}_Y\)。由 Lemma 0BQB，可以将 \(t\) 唯一提升为相容映射系统 \(t_n : Y_n \to U\)，从而得到映射 \[\lim t_n^\sharp : f_*\mathcal{O}_U \longrightarrow \lim \mathcal{O}_{Y_n}\] 它是 \(X\) 上代数层的映射。由于 \(f_*\mathcal{O}_U\) 是有限局部自由 \(\mathcal{O}_X\)-模，可知存在唯一的 \(\mathcal{O}_X\)-模映射 \(\sigma : f_*\mathcal{O}_U \to \mathcal{O}_X\)，其完备化为 \(\lim t_n^\sharp\)。为证明 \(\sigma\) 是代数同态，需要检验交换图 \[\xymatrix{ f_*\mathcal{O}_U \otimes_{\mathcal{O}_X} f_*\mathcal{O}_U \ar[r] \ar[d]_{\sigma \otimes \sigma} & f_*\mathcal{O}_U \ar[d]^\sigma \\ \mathcal{O}_X \otimes_{\mathcal{O}_X} \mathcal{O}_X \ar[r] & \mathcal{O}_X }\] 成立。对每个 \(n\)，已知此图限制到 \(Y_n\) 后交换；也就是说，施行完备化函子后该图交换。 因此由完备化函子的忠实性得出结论。

引理

设 \(X\) 是 Noether 概形，\(Y \subset X\) 是理想层为 \(\mathcal{I} \subset \mathcal{O}_X\) 的闭子概形。假设完备化函子 \[\textit{Coh}(\mathcal{O}_X) \longrightarrow \textit{Coh}(X, \mathcal{I}),\quad \mathcal{F} \longmapsto \mathcal{F}^\wedge\] 在有限局部自由对象的全子范畴上给出等价（见上文）。则限制函子 \(\textit{F\'Et}_X \to \textit{F\'Et}_Y\) 是等价。

证明

由 Lemma 0EL8，限制函子全忠实。

设 \(U_1 \to Y\) 是有限 étale 态射。为完成证明，我们将说明 \(U_1\) 属于限制函子的本质像。

对 \(n \geq 1\)，设 \(Y_n\) 为第 \(n\) 个 \(Y\) 的无穷小邻域。由 Lemma 0BQB，存在唯一的有限 étale 态射 \(\pi_n : U_n \to Y_n\)，其到 \(Y = Y_1\) 的基变换恢复 \(U_1 \to Y_1\)。 考虑层 \(\mathcal{F}_n = \pi_{n, *}\mathcal{O}_{U_n}\)。可以并且将 \(\mathcal{F}_n\) 视为一个 \(\mathcal{O}_X\)-模，它位于 \(X\) 上；该模局部同构于 \((\mathcal{O}_X/f^{n + 1}\mathcal{O}_X)^{\oplus r}\)。这个 \((\mathcal{F}_n)\) 是 \(\textit{Coh}(X, \mathcal{I})\) 中的有限局部自由对象。 按假设，存在有限局部自由 \(\mathcal{O}_X\)-模 \(\mathcal{F}\) 和相容同构系统 \[\mathcal{F}/\mathcal{I}^n\mathcal{F} \to \mathcal{F}_n\] ，它们是 \(\mathcal{O}_X\)-模同构。

为在 \(\mathcal{F}\) 上构造代数结构，考虑乘法映射 \(\mathcal{F}_n \otimes_{\mathcal{O}_X} \mathcal{F}_n \to \mathcal{F}_n\) ；它们来自 \(\mathcal{F}_n = \pi_{n, *}\mathcal{O}_{U_n}\) 是代数层这一事实。 这些映射定义 \[(\mathcal{F}\otimes_{\mathcal{O}_X} \mathcal{F})^\wedge \longrightarrow \mathcal{F}^\wedge\] ，它是范畴 \(\textit{Coh}(X, \mathcal{I})\) 中的映射。因此按假设，可以设存在映射 \(\mu : \mathcal{F}\otimes_{\mathcal{O}_X} \mathcal{F} \to \mathcal{F}\) ，它限制到 \(Y_n\) 后给出上述乘法映射。由引理所述函子的忠实性，可知 \(\mu\) 定义了交换 \(\mathcal{O}_X\)-代数结构，其底层模为 \(\mathcal{F}\)，并与 \(\mathcal{F}_n\) 上给定的代数结构相容。令 \[U = \underline{\Spec}_X((\mathcal{F}, \mu))\] 得到有限局部自由概形 \(\pi : U \to X\)，其到 \(Y\) 的限制同构于 \(U_1\)。 \(\pi\) 的判别式是截面 \[\det(Q_\pi) : \mathcal{O}_X \longrightarrow \wedge^{top}(\pi_*\mathcal{O}_U)^{\otimes -2}\] 的零点集；该截面构造于 Discriminants, Section 0BVH。由 Discriminants, Lemma 0BJF，它到 \(Y_n\) 的限制对所有 \(n\) 都是同构，故它自身也是同构。再由 Discriminants, Lemma 0BJF，\(\pi\) 是 étale 的。

引理

设 \(X\) 是 Noether 概形，\(Y \subset X\) 是理想层为 \(\mathcal{I} \subset \mathcal{O}_X\) 的闭子概形。令 \(\mathcal{V}\) 为开子概形 \(V \subset X\) 所成的集合，其中每个都包含 \(Y\)；以反包含关系排序。假设完备化函子 \[\colim_\mathcal{V} \textit{Coh}(\mathcal{O}_V) \longrightarrow \textit{Coh}(X, \mathcal{I}), \quad \mathcal{F} \longmapsto \mathcal{F}^\wedge\] 在有限局部自由对象所成的全子范畴上全忠实（见上文）。则限制函子 \(\colim_\mathcal{V} \textit{F\'Et}_V \to \textit{F\'Et}_Y\) 全忠实。

证明

注意 \(\mathcal{V}\) 是有向集，故这里的余极限具有 Categories, Section 04AX 中所述的形式。其余论证几乎与 Lemma 0EL8 的证明完全相同；建议读者略去。

由于有限 étale 覆盖的范畴具有内部 Hom（Lemma 0BL7），只需证明如下断言：给定 \(U\)，它在 \(V \in \mathcal{V}\) 上有限 étale，并给定态射 \(t : Y \to U\)，它在 \(V\) 上； 存在 \(V' \geq V\) 以及态射 \(s : V' \to U\)，后者在 \(V\) 上，并且 \(t = s|_Y\)。图示为 \[\xymatrix{ & & U \ar[d]^f \\ Y \ar[r] \ar[rru] & V' \ar@{..>}[ru] \ar[r] & V }\] 寻找虚线箭头 \(s\) 等价于寻找 \(\mathcal{O}_{V'}\)-代数映射 \[s^\sharp : f_*\mathcal{O}_U|_{V'} \longrightarrow \mathcal{O}_{V'}\] ，它模掉 \(Y\) 的理想层后化为给定的代数映射 \(t^\sharp : f_*\mathcal{O}_U \to \mathcal{O}_Y\)。由 Lemma 0BQB，可以将 \(t\) 唯一提升为相容映射系统 \(t_n : Y_n \to U\)，从而得到映射 \[\lim t_n^\sharp : f_*\mathcal{O}_U \longrightarrow \lim \mathcal{O}_{Y_n}\] ，它是 \(V\) 上代数层的映射。注意 \(f_*\mathcal{O}_U\) 是有限局部自由 \(\mathcal{O}_V\)-模。因此可取 \(V' \geq V\) 以及映射 \(\sigma : f_*\mathcal{O}_U|_{V'} \to \mathcal{O}_{V'}\) ，其完备化为 \(\lim t_n^\sharp\)。为证明 \(\sigma\) 是代数同态，需要检验交换图 \[\xymatrix{ (f_*\mathcal{O}_U \otimes_{\mathcal{O}_V} f_*\mathcal{O}_U)|_{V'} \ar[r] \ar[d]_{\sigma \otimes \sigma} & f_*\mathcal{O}_U|_{V'} \ar[d]^\sigma \\ \mathcal{O}_{V'} \otimes_{\mathcal{O}_{V'}} \mathcal{O}_{V'} \ar[r] & \mathcal{O}_{V'} }\] 成立。对每个 \(n\)，已知此图限制到 \(Y_n\) 后交换；也就是说，施行完备化函子后该图交换。 因此由完备化函子的忠实性可知，存在 \(V'' \geq V'\)，使得 \(\sigma|_{V''}\) 如所需是代数同态。

引理

设 \(X\) 是 Noether 概形，\(Y \subset X\) 是理想层为 \(\mathcal{I} \subset \mathcal{O}_X\) 的闭子概形。令 \(\mathcal{V}\) 为开子概形 \(V \subset X\) 所成的集合，其中每个都包含 \(Y\)；以反包含关系排序。假设完备化函子 \[\colim_\mathcal{V} \textit{Coh}(\mathcal{O}_V) \longrightarrow \textit{Coh}(X, \mathcal{I}), \quad \mathcal{F} \longmapsto \mathcal{F}^\wedge\] 在有限局部自由对象所成的全子范畴之间给出等价（见上文说明）。则限制函子 \[\colim_\mathcal{V} \textit{F\'Et}_V \to \textit{F\'Et}_Y\] 是等价。

证明

注意 \(\mathcal{V}\) 是有向集，故这里的余极限具有 Categories, Section 04AX 中所述的形式。其余论证几乎与 Lemma 0EL9 的证明完全相同；建议读者略去。

由 Lemma 0ELA，限制函子全忠实。

设 \(U_1 \to Y\) 是有限 étale 态射。为完成证明，我们将说明 \(U_1\) 属于限制函子的本质像。

对 \(n \geq 1\)，设 \(Y_n\) 为第 \(n\) 个 \(Y\) 的无穷小邻域。由 Lemma 0BQB，存在唯一的有限 étale 态射 \(\pi_n : U_n \to Y_n\)，其到 \(Y = Y_1\) 的基变换恢复 \(U_1 \to Y_1\)。 考虑层 \(\mathcal{F}_n = \pi_{n, *}\mathcal{O}_{U_n}\)。可以并且将 \(\mathcal{F}_n\) 视为一个 \(\mathcal{O}_X\)-模，它位于 \(X\) 上；该模局部同构于 \((\mathcal{O}_X/f^{n + 1}\mathcal{O}_X)^{\oplus r}\). 这个 \((\mathcal{F}_n)\) 是 \(\textit{Coh}(X, \mathcal{I})\) 中的有限局部自由对象。 按假设，存在 \(V \in \mathcal{V}\)、有限局部自由 \(\mathcal{O}_V\)-模 \(\mathcal{F}\)，以及相容同构系统 \[\mathcal{F}/\mathcal{I}^n\mathcal{F} \to \mathcal{F}_n\] ，它们是 \(\mathcal{O}_V\)-模同构。

为在 \(\mathcal{F}\) 上构造代数结构，考虑乘法映射 \(\mathcal{F}_n \otimes_{\mathcal{O}_V} \mathcal{F}_n \to \mathcal{F}_n\) ；它们来自 \(\mathcal{F}_n = \pi_{n, *}\mathcal{O}_{U_n}\) 是代数层这一事实。 这些映射定义 \[(\mathcal{F}\otimes_{\mathcal{O}_V} \mathcal{F})^\wedge \longrightarrow \mathcal{F}^\wedge\] ，它是范畴 \(\textit{Coh}(X, \mathcal{I})\) 中的映射。因此按假设，缩小 \(V\) 后可假设存在映射 \(\mu : \mathcal{F}\otimes_{\mathcal{O}_V} \mathcal{F} \to \mathcal{F}\) ，它限制到 \(Y_n\) 后给出上述乘法映射。必要时进一步缩小后，可假设 \(\mu\) 定义了交换 \(\mathcal{O}_V\)-代数结构，其底层模为 \(\mathcal{F}\)，并与 \(\mathcal{F}_n\) 上给定的代数结构相容。令 \[U = \underline{\Spec}_V((\mathcal{F}, \mu))\] ，得到 \(V\) 上的有限局部自由概形，其到 \(Y\) 的限制同构于 \(U_1\)。由此 \(U \to V\) 在位于 \(Y\) 上方的所有点处都是 étale 的；参见 More on Morphisms, Lemma 0A43。 因此再次缩小 \(V\) 后，可假设 \(U \to V\) 有限 étale。证明完成。

引理

设 \(X\) 是概形，\(Y \subset X\) 是闭子概形。若 \(X\) 的每个连通分支都与 \(Y\) 相交，则限制函子 \(\textit{F\'Et}_X \to \textit{F\'Et}_Y\) 忠实。

证明

设 \(a, b : U \to U'\) 是两个 \(X\) 上有限 étale 概形之间的态射，并且它们到 \(Y\) 的限制相同。\(U\) 的一个连通分支的像是 \(X\) 的一个连通分支；这是将 Topology, Lemma 07VB 应用于 \(U \to X\) 到 \(X\) 的一个连通分支上的限制所得。因此按假设，\(U\) 每个连通分支的像都与 \(Y\) 相交。由 Étale Morphisms, Proposition 024V，可知 \(a = b\) 在 \(U\) 的每个连通分支上的限制成立。 由于 \(a\) 与 \(b\) 的等化子是 \(U\) 的开子概形（因为 \(U'\) 在 \(X\) 上的对角是开的）， 结论随即成立。

引理

设 \(X\) 是 Noether 概形，\(Y \subset X\) 是闭子概形。令 \(Y_n \subset X\) 为第 \(n\) 个无穷小邻域，即 \(Y\) 在 \(X\) 中的相应邻域。假设以下条件之一成立：

1. \(X\) 拟仿射，且 \(\Gamma(X, \mathcal{O}_X) \to \lim \Gamma(Y_n, \mathcal{O}_{Y_n})\) 是同构；或

2. \(X\) 有丰沛可逆模 \(\mathcal{L}\)，且 \(\Gamma(X, \mathcal{L}^{\otimes m}) \to \lim \Gamma(Y_n, \mathcal{L}^{\otimes m}|_{Y_n})\) 对所有 \(m \gg 0\) 都是同构；或

3. 对每个有限局部自由 \(\mathcal{O}_X\)-模 \(\mathcal{E}\)，映射 \(\Gamma(X, \mathcal{E}) \to \lim \Gamma(Y_n, \mathcal{E}|_{Y_n})\) 是同构。

则限制函子 \(\textit{F\'Et}_X \to \textit{F\'Et}_Y\) 全忠实。

证明

本引理形式地由 Lemma 0EL8 和 Algebraic and Formal Geometry, Lemma 0EKP 推出。

引理

设 \(X\) 是 Noether 概形，\(Y \subset X\) 是闭子概形。令 \(Y_n \subset X\) 为第 \(n\) 个无穷小邻域，即 \(Y\) 在 \(X\) 中的相应邻域。令 \(\mathcal{V}\) 为开子概形 \(V \subset X\) 所成的集合，其中每个都包含 \(Y\)；以反包含关系排序。假设以下条件之一成立：

1. \(X\) 拟仿射，且 \[\colim_\mathcal{V} \Gamma(V, \mathcal{O}_V) \longrightarrow \lim \Gamma(Y_n, \mathcal{O}_{Y_n})\] 是同构；或

2. \(X\) 有丰沛可逆模 \(\mathcal{L}\)，且 \[\colim_\mathcal{V} \Gamma(V, \mathcal{L}^{\otimes m}) \longrightarrow \lim \Gamma(Y_n, \mathcal{L}^{\otimes m}|_{Y_n})\] 对所有 \(m \gg 0\) 都是同构；或

3. 对每个 \(V \in \mathcal{V}\) 以及每个有限局部自由 \(\mathcal{O}_V\)-模 \(\mathcal{E}\)，映射 \[\colim_{V' \geq V} \Gamma(V', \mathcal{E}|_{V'}) \longrightarrow \lim \Gamma(Y_n, \mathcal{E}|_{Y_n})\] 是同构。

则函子 \[\colim_\mathcal{V} \textit{F\'Et}_V \to \textit{F\'Et}_Y\] 全忠实。

证明

本引理形式地由 Lemma 0ELA 和 Algebraic and Formal Geometry, Lemma 0EK2 推出。

推出与基本群

主要结果如下。

引理

在 More on Morphisms, Situation 0ECI 中， 例如若 \(Z \to Y\) 与 \(Z \to X\) 都是概形的闭浸入，则有范畴等价 \[\textit{F\'Et}_{Y \amalg_Z X} \longrightarrow \textit{F\'Et}_Y \times_{\textit{F\'Et}_Z} \textit{F\'Et}_X\]

证明

由 More on Morphisms, Proposition 0E25， 该推出存在。此函子把推出上的有限 étale 概形 \(U\) 送到基变换 \(Y' = U \times_{Y \amalg_Z X} Y\) 与 \(X' = U \times_{Y \amalg_Z X} X\)， 以及自然同构 \(Y' \times_Y Z \to X' \times_X Z\)；此同构位于 \(Z\) 上。 为证明此函子是等价，使用 More on Morphisms, Lemma 0ECL 构造拟逆函子。 唯一剩下要证明的是：给定分离、拟有限且 étale 的态射 \(U \to Y \amalg_Z X\)，并且 \(X' \to X\) 与 \(Y' \to Y\) 都有限，则 \(U \to Y \amalg_Z X\) 有限。这既可由相应的代数事实（More on Algebra, Lemma 0D2H）推出，也可由下述事实看出： \[X' \amalg Y' \to U\] 满射，而 \(X'\) 与 \(Y'\) 在 \(Y \amalg_Z X\) 上都是固有的（这里使用 More on Morphisms, Proposition 0E25 对推出的描述）。于是可应用 Morphisms, Lemma 0AH6，得出 \(U\) 在 \(Y \amalg_Z X\) 上固有。由于拟有限且固有的态射是有限的（More on Morphisms, Lemma 02LS），结论成立。

穿孔谱的有限 étale 覆盖，I

我们先证明一些 Lefschetz 型结果。

情形

设 \((A, \mathfrak m)\) 是 Noether 局部环，且 \(f \in \mathfrak m\)。 置 \(X = \Spec(A)\) 与 \(X_0 = \Spec(A/fA)\)，并令 \(U = X \setminus \{\mathfrak m\}\) 与 \(U_0 = X_0 \setminus \{\mathfrak m\}\) 分别为 \(A\) 与 \(A/fA\) 的穿孔谱。

回顾：对概形 \(X\)，在 \(X\) 上有限 étale 的概形所成的范畴记为 \(\textit{F\'Et}_X\)；见 第 0BL6 节。 在情形 0BLF 中， 我们将研究基变换函子 \[\xymatrix{ \textit{F\'Et}_X \ar[d] \ar[r] & \textit{F\'Et}_U \ar[d] \\ \textit{F\'Et}_{X_0} \ar[r] & \textit{F\'Et}_{U_0} }\] 在许多情形下，右侧竖直箭头是忠实的。

引理

在情形 0BLF 中，假设下列条件之一成立：

1. 对每个极小素理想都有 \(\dim(A/\mathfrak p) \geq 2\)，其中 \(\mathfrak p \subset A\) 且 \(f \not \in \mathfrak p\)；或

2. \(U\) 的每个连通分支都与 \(U_0\) 相交。

则 \[\textit{F\'Et}_U \longrightarrow \textit{F\'Et}_{U_0},\quad V \longmapsto V_0 = V \times_U U_0\] 是忠实函子。

证明

情形 (2) 立即由引理 0EJX 得到。 假设 (1) 蕴含 \(U\) 的每个不可约分支都与 \(U_0\) 相交；见 Algebra, Lemma 00KW。 因此 (1) 由 (2) 推出。

在证明更有内容的结果之前，需要先给出几个引理。

引理

在情形 0BLF 中，设 \(V \to U\) 是有限 态射。令 \(A^\wedge\) 为 \(\mathfrak m\)-进完备化（对环 \(A\) 而言）， 令 \(X' = \Spec(A^\wedge)\)，并令 \(U'\) 与 \(V'\) 分别为 \(U\) 与 \(V\) 到 \(X'\) 的基变换。若 \(Y' \to X'\) 是满足 \(V' = Y' \times_{X'} U'\) 的有限态射，则存在有限态射 \(Y \to X\)， 使得 \(V = Y \times_X U\) 且 \(Y' = Y \times_X X'\)。

证明

这是 More on Algebra, Proposition 05ER 的直接应用。 具体地，选取生成元 \(f_1, \ldots, f_t\)，它们生成 \(\mathfrak m\)。 对每个 \(i\)，记 \(V \times_U D(f_i) = \Spec(B_i)\)。 对 \(1 \leq i, j \leq n\)，得到同构 \(\alpha_{ij} : (B_i)_{f_j} \to (B_j)_{f_i}\)；它是 \(A_{f_if_j}\)-代数同构，因为二者的谱都表示 \(V \times_U D(f_if_j)\)。 记 \(Y' = \Spec(B')\)。由于 \(V \times_U U' = Y \times_{X'} U'\)， 得到同构 \(\alpha_i : B'_{f_i} \to B_i \otimes_A A^\wedge\)。 直接验证可知，\((B', B_i, \alpha_i, \alpha_{ij})\) 是 \(\text{Glue}(A \to A^\wedge, f_1, \ldots, f_t)\) 的对象；见 More on Algebra, Remark 05EL。 应用上引命题（并使用 More on Algebra, Remark 05EU 得到代数结构）， 可找到 \(A\)-代数 \(B\)，使得 \(\text{Can}(B)\) 同构于 \((B', B_i, \alpha_i, \alpha_{ij})\)。置 \(Y = \Spec(B)\)， 可见 \(Y \to X\) 是配备有相容同构 \(V \cong Y \times_X U\) 与 \(Y' = Y \times_X X'\) 的态射，正合所需。

引理

在情形 0BLF 中，假设 \(A\) 是 Hensel 环， 或更一般地，\((A, (f))\) 是 Hensel 对。 令 \(A^\wedge\) 为 \(\mathfrak m\)-进完备化（对环 \(A\) 而言）， 令 \(X' = \Spec(A^\wedge)\)，并令 \(U'\) 与 \(U'_0\) 分别为 \(U\) 与 \(U_0\) 到 \(X'\) 的基变换。若 \(\textit{F\'Et}_{U'} \to \textit{F\'Et}_{U'_0}\) 全忠实，则 \(\textit{F\'Et}_U \to \textit{F\'Et}_{U_0}\) 全忠实。

证明

假设 \(\textit{F\'Et}_{U'} \longrightarrow \textit{F\'Et}_{U'_0}\) 全忠实。由于 \(X' \to X\) 忠实平坦，立即可知函子 \(V \to V_0 = V \times_U U_0\) 忠实。 由于有限 étale 覆盖的范畴具有内部 Hom （引理 0BL7）， 只需证明以下断言：给定 \(V\)，它在 \(U\) 上有限且 étale，则有 \[\Mor_U(U, V) = \Mor_{U_0}(U_0, V_0)\] 于是，假设给定态射 \(s_0 : U_0 \to V_0\)（在 \(U_0\) 上）， 我们将构造态射 \(s : U \to V\)（在 \(U\) 上）。

由假设，确实存在态射 \(s' : U' \to V'\)，其在 \(V'_0\) 上的限制 为 \(s'_0\)，后者是 \(s_0\) 的基变换。由于 \(V' \to U'\) 有限且 étale， 这意味着 \(V' = s'(U') \amalg W'\)，其中 \(W' \to U'\) 有限且 étale。 选取有限态射 \(Z' \to X'\)，使得 \(W' = Z' \times_{X'} U'\)。这可由下述形式的 Zariski 主定理得到： More on Morphisms, Lemma 05K0 （略去一个小细节）。于是 \[V' = s'(U') \amalg W' \longrightarrow X' \amalg Z' = Y'\] 是开浸入，并且 \(V' = Y' \times_{X'} U'\)。 由引理 0BLH，可找到有限态射 \(Y \to X\)， 使得 \(V = Y \times_X U\) 且 \(Y' = Y \times_X X'\)。 记 \(Y = \Spec(B)\)，于是 \(Y' = \Spec(B \otimes_A A^\wedge)\)。 此时 \(B \otimes_A A^\wedge\) 有幂等元 \(e'\)，它对应于开闭子概形 \(X'\)；后者包含于 \(Y' = X' \amalg Z'\)。

先考虑 \(A\) 为 Hensel 环的情形（稍为容易）。记 \(\overline{e}\) 为 \(e'\) 在 \(B \otimes_A \kappa(\mathfrak m) = B/\mathfrak mB\) 中的像； 它可提升为幂等元 \(e\)（属于 \(B\)），因为 \(A\) 是 Hensel 环 （由 Algebra, Lemma 04GG， \(B\) 是局部环的乘积）。再由幂等元提升的唯一性可知，\(e\) 映到 \(e'\) （这里使用 \(B \otimes_A A^\wedge\) 是局部环的乘积）。 令 \(Y_1 \subset Y\) 为对应于 \(e\) 的开闭子概形。于是 \(Y_1 \times_X X' = s'(X')\)，这蕴含 \(Y_1 \to X\) 是同构 （由忠实平坦下降），并给出所需截面。

再考虑 \((A, (f))\) 为 Hensel 对的情形。这里使用 \(s'\) 是 \(s'_0\) 的提升。具体地，令 \(Y_{0, 1} \subset Y_0 = Y \times_X X_0\) 为 \(s_0(U_0) \subset V_0 = Y_0 \times_{X_0} U_0\) 的闭包。 由于 \(X' \to X\) 平坦，基变换 \(Y'_{0, 1} \subset Y'_0\) 是 \(s'_0(U'_0)\) 的闭包，因而等于 \(X'_0 \subset Y'_0\) （见 Morphisms, Lemma 081I）。 由于 \(Y'_0 \to Y_0\) 是下沉的 （Morphisms, Lemma 02JY）， 可知 \(Y_{0, 1}\) 在 \(Y_0\) 中是开闭的。令 \(e_0 \in B/fB\) 为相应的幂等元。由 More on Algebra, Lemma 09XI， 可将 \(e_0\) 提升为幂等元 \(e \in B\)。随后同前得出结论。

在情形 0BLF 中，限制函子 \(\textit{F\'Et}_U \longrightarrow \textit{F\'Et}_{U_0}\) 的全忠实性在相当温和的假设下即成立。特别地，这些假设通常并不蕴含 \(U\) 是连通概形，但结论保证 \(U\) 与 \(U_0\) 的连通分支数相同。

引理

在情形 0BLF 中，假设

1. \(A\) 有对偶化复形；

2. \((A, (f))\) 是 Hensel 对；

3. 下列条件之一成立：

   1. \(A_f\) 满足 \((S_2)\)，且 \(X\) 的每个不包含于 \(X_0\) 的不可约分支的维数都 \(\geq 3\)；或

   2. 对每个素理想 \(\mathfrak p \subset A\)，若 \(f \not \in \mathfrak p\)，则有 \(\text{depth}(A_\mathfrak p) + \dim(A/\mathfrak p) > 2\)。

则限制函子 \(\textit{F\'Et}_U \longrightarrow \textit{F\'Et}_{U_0}\) 全忠实。

证明

令 \(A'\) 为关于 \(\mathfrak m\) 的环 \(A\) 的进完备化。我们将证明这些假设对 \(A'\) 仍成立。对条件 (a) 与 (b)，这是显然的。条件 (c)(ii) 由 Local Cohomology, Lemma 0EHW 在完备化下保持。其次，假设 (c)(i) 成立。由于 \(A\) 普遍链状 （Dualizing Complexes, Lemma 0A80）， 可知 \(\Spec(A')\) 的每个不包含于 \(V(f)\) 的不可约分支的维数都 \(\geq 3\)；见 More on Algebra, Proposition 0AW6。 由于 \(A \to A'\) 平坦且具有 Gorenstein 纤维， \(A_f\) 满足 \((S_2)\) 蕴含 \(A'_f\) 满足 \((S_2)\)。 这里使用的参考结果为： Dualizing Complexes, Section 0BJM, More on Algebra, Section 0BIR, 以及 Algebra, Lemma 0339。 因此，由引理 0BLI， 可设 \(A\) 是完备 Noether 局部环。

除其他假设外，再假设 \(A\) 是完备局部环。由引理 0EL8，结论可由 Algebraic and Formal Geometry, Lemma 0EKT 得到。

引理

在情形 0BLF 中，假设

1. \(H^1_\mathfrak m(A)\) 与 \(H^2_\mathfrak m(A)\) 均被 \(f\) 的某个幂零化；并且

2. \(A\) 是 Hensel 环，或更一般地，\((A, (f))\) 是 Hensel 对。

则限制函子 \(\textit{F\'Et}_U \longrightarrow \textit{F\'Et}_{U_0}\) 全忠实。

证明

由引理 0BLI， 可设 \(A\) 是完备 Noether 局部环。 （这些假设会保持；使用 Dualizing Complexes, Lemma 0ALZ。） 由引理 0EL8，结论可由 Algebraic and Formal Geometry, Lemma 0EKS 得到。

引理

在情形 0BLF 中，假设 \(A\) 的深度 \(\geq 3\)， 并且 \(A\) 是 Hensel 环，或更一般地，\((A, (f))\) 是 Hensel 对。则限制函子 \(\textit{F\'Et}_U \to \textit{F\'Et}_{U_0}\) 全忠实。

证明

深度假设蕴含 \(H^1_\mathfrak m(A) = H^2_\mathfrak m(A) = 0\)；见 Dualizing Complexes, Lemma 0AVZ。 因此可应用引理 0BM6。

局部情形中的纯性，I

设 \((A, \mathfrak m)\) 是 Noether 局部环。置 \(X = \Spec(A)\)， 并令 \(U = X \setminus \{\mathfrak m\}\) 为穿孔谱。若对 \((A, \mathfrak m)\)，限制函子 \[\textit{F\'Et}_X \longrightarrow \textit{F\'Et}_U\] 本质满，则称纯性成立。本节试图理解：从 \(X\) 过渡到 超曲面 \(X_0\)（位于 \(X\) 中）时，这个问题会如何变化。 换言之，我们研究穿孔谱基本群的一种局部 Lefschetz 性质。 这些结果将用于在证明局部纯性的主要结果时对维数作归纳；这些结果是 引理 0BMA、 命题 0BPD 以及 命题 0EYC。

引理

设 \((A, \mathfrak m)\) 是 Noether 局部环。置 \(X = \Spec(A)\)， 并令 \(U = X \setminus \{\mathfrak m\}\)。设 \(\pi : Y \to X\) 是有限态射，并且对所有闭点都有 \(\text{depth}(\mathcal{O}_{Y, y}) \geq 2\)，其中 \(y \in Y\)。 则 \(Y\) 是 \(B = \mathcal{O}_Y(\pi^{-1}(U))\) 的谱。

证明

置 \(V = \pi^{-1}(U)\)，并以 \(\pi' : V \to U\) 表示 \(\pi\) 的限制。 考虑 \(\mathcal{O}_X\)-模映射 \[\pi_*\mathcal{O}_Y \longrightarrow j_*\pi'_*\mathcal{O}_V\] 其中 \(j : U \to X\) 是包含态射。我们断言 Divisors, Lemma 0E9I 可应用于此映射。若然，则 \(B = \Gamma(Y, \mathcal{O}_Y)\)，从而引理成立。令 \(x \in X\) 为闭点。只需证明 \(\text{depth}((\pi_*\mathcal{O}_Y)_x) \geq 2\)。 令 \(y_1, \ldots, y_n \in Y\) 为映到 \(x\) 的各点。 由 Algebra, Lemma 0AUK， 只需证明 \(\text{depth}(\mathcal{O}_{Y, y_i}) \geq 2\) 对 \(i = 1, \ldots, n\) 成立。 这正是引理的假设，证明完毕。

引理

设 \((A, \mathfrak m)\) 是 Noether 局部环。置 \(X = \Spec(A)\)， 并令 \(U = X \setminus \{\mathfrak m\}\)。 设 \(V\) 在 \(U\) 上有限且 étale。假设 \(A\) 的深度 \(\geq 2\)。 则下列条件等价：

1. 有 \(V = Y \times_X U\)，其中 \(Y \to X\) 有限且 étale；

2. \(B = \Gamma(V, \mathcal{O}_V)\) 在 \(A\) 上有限且 étale。

证明

以 \(\pi : V \to U\) 表示给定的有限 étale 态射。 假设 (1) 中的 \(Y\) 存在。令 \(x \in X\) 为对应于 \(\mathfrak m\) 的点。 令 \(y \in Y\) 为映到 \(x\) 的点。我们断言 \(\text{depth}(\mathcal{O}_{Y, y}) \geq 2\)。 这是因为 \(Y \to X\) 是 étale 的，因而 \(A = \mathcal{O}_{X, x}\) 与 \(\mathcal{O}_{Y, y}\) 具有相同深度 （Algebra, Lemma 0337）。 因此可应用引理 0BM8，并有 \(Y = \Spec(B)\)。

蕴含 (2) \(\Rightarrow\) (1) 较为容易，细节从略。

引理

设 \((A, \mathfrak m)\) 是 Noether 局部环。置 \(X = \Spec(A)\)， 并令 \(U = X \setminus \{\mathfrak m\}\)。假设 \(A\) 正规且维数 \(\geq 2\)。函子 \[\textit{F\'Et}_U \longrightarrow \left\{ \begin{matrix} \text{finite normal }A\text{-algebras }B\text{ such} \\ \text{that }\Spec(B) \to X\text{ is \'etale over }U \end{matrix} \right\}, \quad V \longmapsto \Gamma(V, \mathcal{O}_V)\] 是等价。此外，有 \(V = Y \times_X U\)，其中 \(Y \to X\) 有限且 étale，当且仅当 \(B = \Gamma(V, \mathcal{O}_V)\) 在 \(A\) 上有限且 étale。

证明

注意 \(\text{depth}(A) \geq 2\)，因为 \(A\) 正规 （Serre 正规性判据，Algebra, Lemma 031S）。 因此最后的陈述由引理 0BLK 得到。 给定有限 étale 态射 \(\pi : V \to U\)，置 \(B = \Gamma(V, \mathcal{O}_V)\)。若能证明 \(B\) 正规且在 \(A\) 上有限， 便得到所显示的函子。由于有显然的拟逆函子，这也就是全部所需证明的内容。

由于 \(A\) 正规，概形 \(V\) 正规 （Descent, Lemma 034F）。 因此 \(V\) 是有限多个整概形的不交并 （Properties, Lemma 033M）。 所以可设 \(V\) 整。在这种情形下，函数域 \(L\)（属于 \(V\)） （Morphisms, Section 01RR） 是 \(A\) 的分式域的有限可分扩张 （这是通过考察 \(V \to U\) 的一般纤维并使用 Morphisms, Lemma 02GL 得到的）。 由 Algebra, Lemma 032L， 整闭包 \(B' \subset L\)（即 \(A\) 在 \(L\) 中的整闭包）在 \(A\) 上有限。 由 More on Algebra, Lemma 0BM4，\(B'\) 是自反的 \(A\)-模；进而由 More on Algebra, Lemma 0AVB 可知 \(\text{depth}_A(B') \geq 2\)。

设 \(f \in \mathfrak m\)。则 \(B_f = \Gamma(V \times_U D(f), \mathcal{O}_V)\) （Properties, Lemma 01P7）。 所以 \(B'_f = B_f\)，因为 \(B_f\) 正规（见上文）、在 \(A_f\) 上有限， 且分式域为 \(L\)。于是 \(V = \Spec(B') \times_X U\)。 由引理 0BM8 可得 \(B = B'\)； 这里将该引理应用于 \(\Spec(B') \to X\)。该引理适用，是因为局部化 \(B'_{\mathfrak m'}\)（它是 \(B'\) 在极大理想 \(\mathfrak m' \subset B'\) 处的局部化，而这些理想位于 \(\mathfrak m\) 上方）的深度 \(\geq 2\)；这由 Algebra, Lemma 0AUK 以及上一段关于深度的说明得到。

引理

设 \((A, \mathfrak m)\) 是 Noether 局部环。置 \(X = \Spec(A)\)， 并令 \(U = X \setminus \{\mathfrak m\}\)。设 \(V\) 在 \(U\) 上有限且 étale。令 \(A^\wedge\) 为 \(\mathfrak m\)-进完备化（对环 \(A\) 而言）， 令 \(X' = \Spec(A^\wedge)\)，并令 \(U'\) 与 \(V'\) 分别为 \(U\) 与 \(V\) 到 \(X'\) 的基变换。下列条件等价：

1. 有 \(V = Y \times_X U\)，其中 \(Y \to X\) 有限且 étale；并且

2. 有 \(V' = Y' \times_{X'} U'\)，其中 \(Y' \to X'\) 有限且 étale。

证明

蕴含 (1) \(\Rightarrow\) (2) 可由对一个解 \(Y \to X\) 作基变换得到。 设 \(Y' \to X'\) 如 (2) 所述。由引理 0BLH， 可找到有限态射 \(Y \to X\)，使得 \(V = Y \times_X U\) 且 \(Y' = Y \times_X X'\)。由下降可知 \(Y \to X\) 有限且 étale （Algebra, Lemmas 03C4 以及 00U2）。证明完毕。

以下两个引理的要点在于，这些假设并不强制 \(A\) 的深度 \(\geq 3\)。例如，若 \(A\) 是维数 \(\geq 3\) 的完备正规局部整环， 且 \(f \in \mathfrak m\) 非零，则这些假设成立。

引理

在情形 0BLF 中，设 \(V\) 在 \(U\) 上有限且 étale。假设

1. \(A\) 有对偶化复形；

2. \((A, (f))\) 是 Hensel 对；

3. 下列条件之一成立：

   1. \(A_f\) 满足 \((S_2)\)，且 \(X\) 的每个不包含于 \(X_0\) 的不可约分支的维数都 \(\geq 3\)；或

   2. 对每个素理想 \(\mathfrak p \subset A\)，若 \(f \not \in \mathfrak p\)，则 \(\text{depth}(A_\mathfrak p) + \dim(A/\mathfrak p) > 2\)。

4. \(V_0 = V \times_U U_0\) 等于 \(Y_0 \times_{X_0} U_0\)， 其中 \(Y_0 \to X_0\) 有限且 étale。

则有 \(V = Y \times_X U\)，其中 \(Y \to X\) 有限且 étale。

证明

使用引理 0BLL，归约到完备情形。 （这些假设会保持；见引理 0EK5 的证明。）

在完备情形下，由 More on Algebra, Lemma 09ZL，可将 \(Y_0 \to X_0\) 提升为有限 étale 态射 \(Y \to X\)；注意，由 More on Algebra, Lemma 0ALJ， \((A, fA)\) 是 Hensel 对。随后可使用引理 0EK5 看出 \(V\) 同构于 \(Y \times_X U\)，证明完毕。

引理

在情形 0BLF 中，设 \(V\) 在 \(U\) 上有限且 étale。假设

1. \(H^1_\mathfrak m(A)\) 与 \(H^2_\mathfrak m(A)\) 均被 \(f\) 的某个幂零化；

2. \(V_0 = V \times_U U_0\) 等于 \(Y_0 \times_{X_0} U_0\)， 其中 \(Y_0 \to X_0\) 有限且 étale。

则有 \(V = Y \times_X U\)，其中 \(Y \to X\) 有限且 étale。

证明

使用引理 0BLL，归约到完备情形。 （这些假设会保持；使用 Dualizing Complexes, Lemma 0ALZ。）

在完备情形下，由 More on Algebra, Lemma 09ZL，可将 \(Y_0 \to X_0\) 提升为有限 étale 态射 \(Y \to X\)；注意，由 More on Algebra, Lemma 0ALJ， \((A, fA)\) 是 Hensel 对。随后可使用引理 0BM6 看出 \(V\) 同构于 \(Y \times_X U\)，证明完毕。

引理

在情形 0BLF 中，设 \(V\) 在 \(U\) 上有限且 étale。假设

1. \(A\) 的深度 \(\geq 3\)；

2. \(V_0 = V \times_U U_0\) 等于 \(Y_0 \times_{X_0} U_0\)， 其中 \(Y_0 \to X_0\) 有限且 étale。

则有 \(V = Y \times_X U\)，其中 \(Y \to X\) 有限且 étale。

证明

深度假设蕴含 \(H^1_\mathfrak m(A) = H^2_\mathfrak m(A) = 0\)；见 Dualizing Complexes, Lemma 0AVZ。 因此可应用引理 0BLS。

分歧轨迹的纯性

我们将使用有限局部自由态射的判别式。见《判别式》Section 0BVH。

引理

设 \((A, \mathfrak m)\) 是满足 \(\dim(A) \geq 1\) 的 Noether 局部环。 设 \(f \in \mathfrak m\)。则存在 \(\mathfrak p \in V(f)\)，使得 \(\dim(A_\mathfrak p) = 1\)。

证明

对 \(\dim(A)\) 作归纳。若 \(\dim(A) = 1\)，则取 \(\mathfrak p = \mathfrak m\) 即可。若 \(\dim(A) > 1\)，则设 \(Z \subset \Spec(A)\) 是维数 \(> 1\) 的一个 不可约分支。于是 \(V(f) \cap Z\) 的维数 \(> 0\) （《代数》引理 00KW）。选取素理想 \(\mathfrak q \in V(f) \cap Z\)，\(\mathfrak q \not = \mathfrak m\)， 它对应于 \(A\) 的穿孔谱的一个闭点；由《性质》引理 02IM，这是可以做到的。 于是 \(\mathfrak q\) 不是 \(Z\) 的一般点。因此 \(0 < \dim(A_\mathfrak q) < \dim(A)\) 且 \(f \in \mathfrak q A_\mathfrak q\)。 由关于维数的归纳，可以找到 \(f \in \mathfrak p \subset A_\mathfrak q\)，使得 \(\dim((A_\mathfrak q)_\mathfrak p) = 1\)。 于是 \(\mathfrak p \cap A\) 满足要求。

引理

设 \(f : X \to Y\) 是局部 Noether 概形的态射。设 \(x \in X\)。假设

1. \(f\) 平坦，

2. \(f\) 在 \(x\) 处拟有限，

3. \(x\) 不是 \(X\) 的某个不可约分支的一般点，

4. 对特化 \(x' \leadsto x\)，若 \(\dim(\mathcal{O}_{X, x'}) = 1\)，则态射 \(f\) 在 \(x'\) 处非分歧。

则 \(f\) 在 \(x\) 处是 étale 的。

证明

注意，\(f\) 非分歧的点所成集合与 \(f\) 为 étale 的点所成集合相同，并且 这个集合是开的。见《态射》定义 02G4 和 02GI 以及引理 02GV。 为了检验 \(f\) 在 \(x\) 处是 étale 的，我们可以在基底和目标上 étale 局部地工作（《下降》引理 02VN 和 036W）。 因此，可以应用《态射补篇》引理 02LK 并假设 \(f : X \to Y\) 有限，且 \(x\) 是 \(X\) 中位于 \(y = f(x)\) 上方的唯一一点。 于是 \(f\) 有限局部自由（《态射》引理 02KB）。

假设 \(f\) 有限局部自由，且 \(x\) 是 \(X\) 中位于 \(y = f(x)\) 上方的唯一一点。 由《判别式》引理 0BJF，可得局部主闭子概形 \(D_\pi \subset Y\)，使得 \(y' \in D_\pi\) 当且仅当存在 \(x' \in X\)，满足 \(f(x') = y'\) 且 \(f\) 在 \(x'\) 处分歧。因此必须证明 \(y \not \in D_\pi\)。 假设 \(y \in D_\pi\)，以导出矛盾。

由条件 (3)，有 \(\dim(\mathcal{O}_{X, x}) \geq 1\)。由《代数》引理 00ON，有 \(\dim(\mathcal{O}_{X, x}) = \dim(\mathcal{O}_{Y, y})\)。 由引理 0BJG，可以找到 \(y' \in D_\pi\)，它特化到 \(y\)， 且满足 \(\dim(\mathcal{O}_{Y, y'}) = 1\)。 选取 \(x' \in X\)，满足 \(f(x') = y'\) 且 \(f\) 在该点分歧。由于 \(f\) 有限，故它是闭态射，从而 \(x' \leadsto x\)。同前可得 \(\dim(\mathcal{O}_{X, x'}) = \dim(\mathcal{O}_{Y, y'}) = 1\)。 这与性质 (4) 矛盾。

引理

设 \((A, \mathfrak m)\) 是维数为 \(d \geq 2\) 的正则局部环。置 \(X = \Spec(A)\) 和 \(U = X \setminus \{\mathfrak m\}\)。则

1. 函子 \(\textit{F\'Et}_X \to \textit{F\'Et}_U\) 本质满，即纯性对 \(A\) 成立；

2. 任意有限同态 \(A \to B\)，若 \(B\) 正规且在穿孔谱上诱导有限 étale 态射，则它是 étale 的。

证明

回顾由《代数》引理 0567，正则局部环是正规环。 因此，由引理 0BM9，(1) 与 (2) 等价。 我们对 \(d\) 作归纳来证明该引理。

考虑 \(d = 2\) 的情形。此时 \(A \to B\) 平坦。事实上，由《代数》命题 00H8，\(A \to B\) 满足降链性质。 再由《代数》引理 00ON，有 \(\dim(B_{\mathfrak m'}) = 2\) 对所有极大理想 \(\mathfrak m' \subset B\) 成立。 由《代数》引理 031S，\(B_{\mathfrak m'}\) 是 Cohen–Macaulay 环。因此，关键的一步是应用《代数》引理 00R4，得到 \(A \to B_{\mathfrak m'}\) 平坦。 再由《代数》引理 00HT，\(A \to B\) 平坦。 于是可以应用引理 0BJH（也可以直接应用较简单的 《判别式》引理 0BJF 进行论证），看出 \(A \to B\) 是 étale 的。

考虑 \(d \geq 3\) 的情形。设 \(V \to U\) 有限 étale。取 \(f \in \mathfrak m_A\)，\(f \not \in \mathfrak m_A^2\)。于是 \(A/fA\) 是维数为 \(d - 1 \geq 2\) 的正则局部环，见《代数》引理 00NQ。设 \(U_0\) 是 \(A/fA\) 的穿孔谱，并置 \(V_0 = V \times_U U_0\)。由引理 0BLM，只需证明 \(V_0\) 位于 \(\textit{F\'Et}_{\Spec(A/fA)} \to \textit{F\'Et}_{U_0}\) 的本质像中。 这由归纳假设得出。

引理

设 \(f : X \to Y\) 是局部 Noether 概形的态射。设 \(x \in X\)，并置 \(y = f(x)\)。假设

1. \(\mathcal{O}_{X, x}\) 正规；

2. \(\mathcal{O}_{Y, y}\) 正则；

3. \(f\) 在 \(x\) 处拟有限；

4. \(\dim(\mathcal{O}_{X, x}) = \dim(\mathcal{O}_{Y, y}) \geq 1\)；

5. 对特化 \(x' \leadsto x\)，若 \(\dim(\mathcal{O}_{X, x'}) = 1\)，则态射 \(f\) 在 \(x'\) 处非分歧。

则 \(f\) 在 \(x\) 处是 étale 的。

证明

我们对 \(d = \dim(\mathcal{O}_{X, x}) = \dim(\mathcal{O}_{Y, y})\) 作归纳来证明该引理。

先考虑较平凡的情形 \(d = 1\)。此时已假设 \(f\) 在 \(x\) 处非分歧，且 \(\mathcal{O}_{Y, y}\) 是离散赋值环（《代数》引理 00PD）。于是 \(\mathcal{O}_{X, x}\) 在 \(\mathcal{O}_{Y, y}\) 上平坦（否则该态射在 \(x\) 处不会拟有限），从而看出 \(f\) 在 \(x\) 处平坦。由于平坦 \(+\) 非分歧即为 étale，结论成立（略去一些细节）。

考虑 \(d \geq 2\) 的情形。我们将对 \(d\) 作归纳，把问题约化到引理 0BMA 中讨论的情形。为了检验 \(f\) 在 \(x\) 处是 étale 的， 可以在基底和目标上 étale 局部地工作（《下降》引理 02VN 和 036W）。因此，可以应用《态射补篇》引理 02LK 并假设 \(f : X \to Y\) 有限，且 \(x\) 是 \(X\) 中位于 \(y\) 上方的唯一一点。这里使用了 局部环的 étale 扩张不改变维数、正规性和正则性；见《代数补篇》Section 0AGY 和《Étale 态射》Section 025L。

接着，可以由 \(\Spec(\mathcal{O}_{Y, y})\) 作基变换，并假设 \(Y\) 是一个正则局部环的谱。 于是 \(X = \Spec(\mathcal{O}_{X, x})\)，因为 \(X\) 的每一点都必定特化到 \(x\)。

环同态 \(\mathcal{O}_{Y, y} \to \mathcal{O}_{X, x}\) 有限，并且必为单射 （由维数相等）。由《代数》命题 00H8，可知 \(\mathcal{O}_{Y, y} \to \mathcal{O}_{X, x}\) 满足降链性质（并使用了由《代数》引理 0567 得出的正则环是正规环这一事实）。选取 \(x' \in X\)，\(x' \not = x\)，并令其像为 \(y' = f(x')\)。由于正规整环的局部化仍 正规，\(\mathcal{O}_{X, x'}\) 正规。类似地，\(\mathcal{O}_{Y, y'}\) 正则（见《代数》引理 0AFS）。由《代数》引理 00ON（上面已经验证降链性质），有 \(\dim(\mathcal{O}_{X, x'}) = \dim(\mathcal{O}_{Y, y'})\)。这些维数当然严格小于 \(d\)，因为 \(x' \not = x\)；再由关于 \(d\) 的归纳，得出 \(f\) 在 \(x'\) 处是 étale 的。

于是归结到如下情形：存在 Noether 局部环之间的有限局部同态 \(A \to B\)， 这些环的维数为 \(d \geq 2\)，其中 \(A\) 正则，\(B\) 正规，并且它在穿孔谱上诱导有限 étale 态射 \(V \to U\)。我们的目标是证明 \(A \to B\) 为 étale。这由引理 0BMA 得出，证明完毕。

下面的引理有时可用于找出有限 étale 态射能够延拓到的最大开子集。

引理

设 \(j : U \to X\) 是局部 Noether 概形的开浸入，且 \(\text{depth}(\mathcal{O}_{X, x}) \geq 2\) 对 \(x \not \in U\) 成立。 设 \(\pi : V \to U\) 有限 étale。则

1. \(\mathcal{B} = j_*\pi_*\mathcal{O}_V\) 是自反凝聚 \(\mathcal{O}_X\)-代数；置 \(Y = \underline{\Spec}_X(\mathcal{B})\)；

2. \(Y \to X\) 是满足如下条件的唯一有限态射：\(V = Y \times_X U\)，且 \(\text{depth}(\mathcal{O}_{Y, y}) \geq 2\) 对 \(y \in Y \setminus V\) 成立；

3. \(Y \to X\) 在 \(y\) 处为 étale 当且仅当 \(Y \to X\) 在 \(y\) 处平坦；

4. \(Y \to X\) 为 étale 当且仅当 \(\mathcal{B}\) 作为 \(\mathcal{O}_X\)-模有限局部自由。

此外，(a) \(\mathcal{B}\) 和 \(Y \to X\) 的构造与局部 Noether 概形的平坦态射 \(X' \to X\) 所给的基变换可交换；(b) 若 \(V' \to U'\) 是有限 étale 态射， \(U \subset U' \subset X\) 为开子概形，并且它限制为 \(V \to U\)（在 \(U\) 上）， 则存在唯一同构 \(Y' \times_X U' = V'\)（在 \(U'\) 上）。

证明

注意，\(\pi_*\mathcal{O}_V\) 是有限局部自由 \(\mathcal{O}_U\)-模，特别地是自反模。 由《除子》引理 0EBJ，模 \(j_*\pi_*\mathcal{O}_V\) 是 \(X\) 上以 \(\pi_*\mathcal{O}_V\) 为其在 \(U\) 上限制的 唯一自反凝聚模。这证明了 (1)。

由构造，\(Y \times_X U = V\)。由于 \(\mathcal{B}\) 凝聚，可知 \(Y \to X\) 有限。 由《除子》引理 0EBI， \(\text{depth}(\mathcal{B}_x) \geq 2\) 对 \(x \in X \setminus U\) 成立。因此，由 《代数》引理 0AUK， \(\text{depth}(\mathcal{O}_{Y, y}) \geq 2\) 对 \(y \in Y \setminus V\) 成立。反之，假设 \(\pi' : Y' \to X\) 是有限态射，满足 \(V = Y' \times_X U\)，且 \(\text{depth}(\mathcal{O}_{Y', y'}) \geq 2\) 对 \(y' \in Y' \setminus V\) 成立。 则 \(\pi'_*\mathcal{O}_{Y'}\) 限制为 \(\pi_*\mathcal{O}_V\)（在 \(U\) 上），并且 \(\text{depth}((\pi'_*\mathcal{O}_{Y'})_x) \geq 2\) 对 \(x \in X \setminus U\) 成立；这由《代数》引理 0AUK 得出。 例如，由《除子》引理 0E9I， \(\pi'_*\mathcal{O}_{Y'}\) 与 \(j_*\pi_*\mathcal{O}_V\) 典范同构。这证明了 (2)。

若 \(Y \to X\) 在 \(y\) 处为 étale，则 \(Y \to X\) 在 \(y\) 处平坦。反之，假设 \(Y \to X\) 在 \(y\) 处平坦。若 \(y \in V\)，则 \(Y \to X\) 在 \(y\) 处为 étale。 若 \(y \not \in V\)，则检验引理 0BJH 的 (1)、(2)、(3)、(4) 成立，即可看出 \(Y \to X\) 在 \(y\) 处为 étale。 (1) 和 (2) 显然成立；由于 \(\text{depth}(\mathcal{O}_{Y, y}) \geq 2\)，(3) 也显然成立。 若 \(y' \leadsto y\) 是特化且 \(\dim(\mathcal{O}_{Y, y'}) = 1\)，则 \(y' \in V\)，因为否则由《代数》引理 00LK， 这个局部环的深度将为 \(2\)，矛盾。因此，\(Y \to X\) 在 \(y'\) 处为 étale， 从而引理 0BJH 的 (4) 也成立。 这就完成了 (3) 的证明。

(4) 由 (3) 以及如下事实得出：\(((Y \to X)_*\mathcal{O}_Y)_x\) 是平坦 \(\mathcal{O}_{X, x}\)-模，当且仅当 \(\mathcal{O}_{Y, y}\) 是平坦 \(\mathcal{O}_{X, x}\)-模；这里取遍所有 \(y \in Y\)，且它们映到 \(x\)。见《代数》引理 00HT。这里还使用了 Noether 环上的有限平坦模是 有限局部自由模这一事实，见《代数》引理 00NX （以及《代数》引理 00FP）。

关于引理最后的断言，(a) 由平坦基变换得出，见《概形的上同调》引理 02KH；把 (2) 中的唯一性应用于限制 \(Y \times_X U'\)，便得到 (b)。

引理

设 \(j : U \to X\) 是 Noether 概形的开浸入，并且纯性对 \(\mathcal{O}_{X, x}\) 成立；这里取遍所有 \(x \not \in U\)。则 \[\textit{F\'Et}_X \longrightarrow \textit{F\'Et}_U\] 本质满。

证明

设 \(V \to U\) 是有限 étale 态射。由 Noether 归纳，只需把 \(V \to U\) 延拓为 到 \(X\) 的一个严格更大开子集的有限 étale 态射。设 \(x \in X \setminus U\) 是 \(X \setminus U\) 的一个不可约分支的一般点。则逆像 \(U_x\)，即 \(U\) 在 \(\Spec(\mathcal{O}_{X, x})\) 中的逆像，是 \(\mathcal{O}_{X, x}\) 的穿孔谱。 由假设，\(V_x = V \times_U U_x\) 是有限 étale 态射 \(Y_x \to \Spec(\mathcal{O}_{X, x})\) 到 \(U_x\) 的限制。由《极限》引理 0BQ5，可以找到开子概形 \(U \subset U' \subset X\)， 它包含 \(x\)，以及有限表示态射 \(V' \to U'\)，使得它在 \(U\) 上的限制 恢复 \(V \to U\)，并且它在 \(\Spec(\mathcal{O}_{X, x})\) 上的限制恢复 \(Y_x\)。 最后，态射 \(V' \to U'\) 在可能把 \(U'\) 缩小为更小的开子概形后是有限 étale 的， 见《极限》引理 0EY3。

穿孔谱的有限 étale 覆盖，II

本节证明 Section 0BLE 中所讨论内容的一些变式。 设有 Noether 局部环 \((A, \mathfrak m)\) 和 \(f \in \mathfrak m\)。置 \(X = \Spec(A)\) 和 \(X_0 = \Spec(A/fA)\)，并令 \(U = X \setminus \{\mathfrak m\}\) 和 \(U_0 = X_0 \setminus \{\mathfrak m\}\) 分别为 \(A\) 和 \(A/fA\) 的穿孔谱。所有这些恰如情形 0BLF。不同之处在于，我们将考虑限制函子 \[\colim_{U_0 \subset U' \subset U\text{ 开}} \textit{F\'Et}_{U'} \longrightarrow \textit{F\'Et}_{U_0}\] 换言之，我们不会试图把 \(U_0\) 的有限 étale 覆盖提升到整个 \(U\)，而只提升到 某个开邻域 \(U'\)，即 \(U_0\) 在 \(U\) 中的一个开邻域。

引理

在情形 0BLF 下，设 \(U' \subset U\) 是包含 \(U_0\) 的开子集。 假设对素理想 \(\mathfrak p \subset A\)，若点 \(\mathfrak p \in U'\) 是极小点，且 \(\mathfrak p \not \in U_0\)，则 \(\dim(A/\mathfrak p) \geq 2\)。那么 \[\textit{F\'Et}_{U'} \longrightarrow \textit{F\'Et}_{U_0},\quad V' \longmapsto V_0 = V' \times_{U'} U_0\] 是忠实函子。此外，存在满足该假设的 \(U'\)；而任意更小开子集 \(U'' \subset U'\)，若包含 \(U_0\)，也满足该假设。特别地，限制函子 \[\colim_{U_0 \subset U' \subset U\text{ 开}} \textit{F\'Et}_{U'} \longrightarrow \textit{F\'Et}_{U_0}\] 是忠实的。

证明

由《代数》引理 00KW 可知，\(V(\mathfrak p)\) 与 \(U_0\) 相交，其中 \(\mathfrak p\) 是 \(A\) 的任意满足 \(\dim(A/\mathfrak p) \geq 2\) 的素理想。因此，由引理 0EJX，陈述中的这种 \(U\) 所对应的展示函子是忠实的。为了看出这样的 \(U'\) 存在，注意若 \(\mathfrak p \subset A\) 满足 \(\mathfrak p \in U\)、\(\mathfrak p \not \in U_0\) 和 \(\dim(A/\mathfrak p) = 1\)，则 \(\mathfrak p\) 对应于 \(U\) 的一个闭点，因而 \(V(\mathfrak p) \cap U_0 = \emptyset\)。因此，可以取 \(U'\) 为 \(X\) 的那些不与 \(U_0\) 相交且维数为 \(1\) 的不可约分支之补集。

引理

在情形 0BLF 下，假设

1. \(A\) 有对偶化复形，且关于 \(f\)-进拓扑完备；

2. \(X\) 的每个不包含于 \(X_0\) 的不可约分支的维数都 \(\geq 3\)。

则限制函子 \[\colim_{U_0 \subset U' \subset U\text{ 开}} \textit{F\'Et}_{U'} \longrightarrow \textit{F\'Et}_{U_0}\] 全忠实。

证明

由基本群的拓扑不变性，可以在证明中把 \(A\) 替换为其约化；见引理 0BQB。于是，结论由引理 0ELA 和《代数化与形式几何》引理 0EKU 得出。

引理

在情形 0BLF 下，假设

1. \(A\) 关于 \(f\)-进拓扑完备；

2. \(f\) 是非零因子；

3. \(H^1_\mathfrak m(A/fA)\) 是有限 \(A\)-模。

则限制函子 \[\colim_{U_0 \subset U' \subset U\text{ 开}} \textit{F\'Et}_{U'} \longrightarrow \textit{F\'Et}_{U_0}\] 全忠实。

证明

这由引理 0ELA 和《代数化与形式几何》引理 0EKV 得出。

穿孔谱的有限 étale 覆盖，III

本节研究在情形 0BLF 下，限制函子 \[\colim_{U_0 \subset U' \subset U\text{ 开}} \textit{F\'Et}_{U'} \longrightarrow \textit{F\'Et}_{U_0}\] 何时为范畴等价。

引理

在情形 0BLF 下，假设

1. \(A\) 有对偶化复形，且关于 \(f\)-进拓扑完备；

2. 下列条件之一成立：

   1. \(A_f\) 满足 \((S_2)\)，且 \(X\) 的每个不包含于 \(X_0\) 的不可约分支的维数都 \(\geq 4\)；或

   2. 若 \(\mathfrak p \not \in V(f)\) 且 \(V(\mathfrak p) \cap V(f) \not = \{\mathfrak m\}\)，则 \(\text{depth}(A_\mathfrak p) + \dim(A/\mathfrak p) > 3\)。

则限制函子 \[\colim_{U_0 \subset U' \subset U\text{ 开}} \textit{F\'Et}_{U'} \longrightarrow \textit{F\'Et}_{U_0}\] 为等价。

证明

这由引理 0EK1 和《代数化与形式几何》引理 0EKY 得出。

引理

在情形 0BLF 下，假设

1. \(A\) 关于 \(f\)-进拓扑完备；

2. \(f\) 是非零因子；

3. \(H^1_\mathfrak m(A/fA)\) 和 \(H^2_\mathfrak m(A/fA)\) 都是有限 \(A\)-模。

则限制函子 \[\colim_{U_0 \subset U' \subset U\text{ 开}} \textit{F\'Et}_{U'} \longrightarrow \textit{F\'Et}_{U_0}\] 为等价。

证明

这由引理 0EK1 和《代数化与形式几何》引理 0EKZ 得出。

注

设 \((A, \mathfrak m)\) 是完备 Noether 局部环，并设 \(f \in \mathfrak m\) 非零。 假设 \(A_f\) 满足 \((S_2)\)，且 \(\Spec(A)\) 的每个不可约分支的维数都 \(\geq 4\)。 那么，引理 0DXY 告诉我们，范畴 \[\colim\nolimits_{U' \subset U\text{ open, }U_0 \subset U} \text{ category of schemes finite \'etale over }U'\] 等价于在 \(U_0\) 上有限 étale 的概形范畴。例如，当 \(A\) 是维数 \(\geq 4\) 的正规整环时，这一结论成立！

穿孔谱的有限 étale 覆盖，IV

设 \(X, X_0, U, U_0\) 如情形 0BLF。本节考察限制函子 \[\textit{F\'Et}_U \longrightarrow \textit{F\'Et}_{U_0}\] 何时本质满。我们将先取用 Section 0EK7 的结果， 再用纯性填补其间的缺口。回顾：若对 Noether 局部环 \((A, \mathfrak m)\)， 限制函子 \(\textit{F\'Et}_X \to \textit{F\'Et}_U\) 本质满，其中 \(X = \Spec(A)\) 且 \(U = X \setminus \{\mathfrak m\}\)，则称该环满足纯性。

引理

在情形 0BLF 下，假设

1. \(A\) 有对偶化复形，且关于 \(f\)-进拓扑完备；

2. 下列条件之一成立：

   1. \(A_f\) 满足 \((S_2)\)，且 \(X\) 的每个不包含于 \(X_0\) 的不可约分支的维数都 \(\geq 4\)；或

   2. 若 \(\mathfrak p \not \in V(f)\) 且 \(V(\mathfrak p) \cap V(f) \not = \{\mathfrak m\}\)，则 \(\text{depth}(A_\mathfrak p) + \dim(A/\mathfrak p) > 3\)。

3. 对每个极大理想 \(\mathfrak p \subset A_f\)，纯性对 \((A_f)_\mathfrak p\) 成立。

则限制函子 \(\textit{F\'Et}_U \to \textit{F\'Et}_{U_0}\) 本质满。

证明

设 \(V_0 \to U_0\) 是有限 étale 态射。由引理 0DXY，存在开子集 \(U' \subset U\)， 它包含 \(U_0\)，以及有限 étale 态射 \(V' \to U\)，其到 \(U_0\) 的基变换同构于 \(V_0 \to U_0\)。由于 \(U' \supset U_0\)，可见 \(U \setminus U'\) 由与 (3) 中的素理想 \(\mathfrak p_1, \ldots, \mathfrak p_n\) 对应的点组成。由假设，可以找到有限 étale 态射 \(V'_i \to \Spec(A_{\mathfrak p_i})\)，它与 \(V' \to U'\) 一致 （在 \(U' \times_U \Spec(A_{\mathfrak p_i})\) 上）。把《极限》引理 0BPA 应用 \(n\) 次，可知 \(V' \to U'\) 延拓为 有限 étale 态射 \(V \to U\)。

引理

设 \((A, \mathfrak m)\) 是 Noether 局部环。设 \(f \in \mathfrak m\)。假设

1. \(A\) 关于 \(f\)-进拓扑完备；

2. \(f\) 是非零因子；

3. \(H^1_\mathfrak m(A/fA)\) 和 \(H^2_\mathfrak m(A/fA)\) 都是有限 \(A\)-模；

4. 对每个极大理想 \(\mathfrak p \subset A_f\)，纯性对 \((A_f)_\mathfrak p\) 成立。

则限制函子 \(\textit{F\'Et}_U \to \textit{F\'Et}_{U_0}\) 本质满。

证明

证明与引理 0EK9 的证明完全相同，只需使用引理 0BLV 代替引理 0DXY。

局部情形中的纯性，II

本节是 Section 0BM7 的续篇。回顾：若对 Noether 局部环 \((A, \mathfrak m)\)，限制函子 \(\textit{F\'Et}_X \to \textit{F\'Et}_U\) 本质满，其中 \(X = \Spec(A)\) 且 \(U = X \setminus \{\mathfrak m\}\)， 则称该环满足纯性。

引理

设 \((A, \mathfrak m)\) 是 Noether 局部环。设 \(f \in \mathfrak m\)。假设

1. \(A\) 有对偶化复形，且关于 \(f\)-进拓扑完备；

2. 下列条件之一成立：

   1. \(A_f\) 满足 \((S_2)\)，且 \(X\) 的每个不包含于 \(X_0\) 的不可约分支的维数都 \(\geq 4\)；或

   2. 若 \(\mathfrak p \not \in V(f)\) 且 \(V(\mathfrak p) \cap V(f) \not = \{\mathfrak m\}\)，则 \(\text{depth}(A_\mathfrak p) + \dim(A/\mathfrak p) > 3\)。

3. 对每个极大理想 \(\mathfrak p \subset A_f\)，纯性对 \((A_f)_\mathfrak p\) 成立；并且

4. 纯性对 \(A\) 成立。

则纯性对 \(A/fA\) 成立。

证明

置 \(X = \Spec(A)\)，并令 \(U = X \setminus \{\mathfrak m\}\) 为穿孔谱。类似地， 有 \(X_0 = \Spec(A/fA)\) 和 \(U_0 = X_0 \setminus \{\mathfrak m\}\)。设 \(V_0 \to U_0\) 是有限 étale 态射。由引理 0EK9， 可得有限 étale 态射 \(V \to U\)，其到 \(U_0\) 的基变换同构于 \(V_0 \to U_0\)。由假设 (5)，\(V \to U\) 延拓为有限 étale 态射 \(Y \to X\)。于是，\(Y\) 到 \(X_0\) 的限制就是 \(V_0 \to U_0\) 所需的延拓。

引理

设 \((A, \mathfrak m)\) 是 Noether 局部环。设 \(f \in \mathfrak m\)。假设

1. \(A\) 关于 \(f\)-进拓扑完备；

2. \(f\) 是非零因子；

3. \(H^1_\mathfrak m(A/fA)\) 和 \(H^2_\mathfrak m(A/fA)\) 都是有限 \(A\)-模；

4. 对每个极大理想 \(\mathfrak p \subset A_f\)，纯性对 \((A_f)_\mathfrak p\) 成立；

5. 纯性对 \(A\) 成立。

则纯性对 \(A/fA\) 成立。

证明

证明与引理 0DXZ 的证明完全相同， 只需使用引理 0EKA 代替引理 0EK9。

现在可以利用前面的结果，证明纯性对维数 \(\geq 3\) 的完全交成立。回顾：若一个 Noether 局部环的完备化，是某个正则局部环模一条正则序列所生成理想的商， 则称该环为完全交。见《除幂代数》Section 09PY 中的讨论。

命题

设 \((A, \mathfrak m)\) 是 Noether 局部环。若 \(A\) 是维数 \(\geq 3\) 的完全交， 则纯性对 \(A\) 成立；也就是说，穿孔谱的任意有限 étale 覆盖都可延拓。

证明

由引理 0BLL，可设 \(A\) 是完备局部环。由假设，可以写成 \(A = B/(f_1, \ldots, f_r)\)，其中 \(B\) 是完备正则局部环，且 \(f_1, \ldots, f_r\) 是正则序列。我们对 \(r\) 作归纳以完成证明。基本情形为 \(r = 0\)；这由引理 0BMA 得出，该引理适用于维数 \(\geq 2\) 的正则环。

假设 \(A = B/(f_1, \ldots, f_r)\)，且命题对 \(r - 1\) 成立。置 \(A' = B/(f_1, \ldots, f_{r - 1})\)，并把引理 0BPC 应用于 \(f_r \in A'\)。这是允许的： 条件 (1) 成立，因为 \(f_1, \ldots, f_r\) 是正则序列； 条件 (2) 成立，因为 \(B\) 完备，从而 \(A'\) 完备； 条件 (3) 成立，因为 \(A = A'/f_r A'\) 是维数为 \(\dim(A) \geq 3\) 的 Cohen–Macaulay 环，见《对偶化复形》引理 0AVZ； 条件 (4) 由归纳假设成立，因为 \(\dim((A'_{f_r})_\mathfrak p) \geq 3\)，其中 \(\mathfrak p\) 是 \(A'_{f_r}\) 的一个极大素理想，并且 \((A'_{f_r})_\mathfrak p = B_\mathfrak q/(f_1, \ldots, f_{r - 1})\) 对某个 \(\mathfrak q \subset B\) 成立； 条件 (5) 由归纳假设成立。

局部情形中的纯性，III

本节继续 Sections 0BM7 和 0BPB 中的讨论。

引理

设 \((A, \mathfrak m)\) 是深度 \(\geq 2\) 的 Noether 局部环。设 \(B = A[[x_1, \ldots, x_d]]\)，其中 \(d \geq 1\)。置 \(Y = \Spec(B)\) 和 \(Y_0 = V(x_1, \ldots, x_d)\)。对任意开子概形 \(V \subset Y\)，若 \(V_0 = V \cap Y_0\) 等于 \(Y_0 \setminus \{\mathfrak m_B\}\)，则限制函子 \[\textit{F\'Et}_V \longrightarrow \textit{F\'Et}_{V_0}\] 全忠实。

证明

置 \(I = (x_1, \ldots, x_d)\)。置 \(X = \Spec(A)\)。利用态射 \(Y \to X\) 把 \(Y_0\) 与 \(X\) 等同后，\(V_0\) 就与穿孔谱 \(U\) 等同，即 \(A\) 的穿孔谱。 沿这个仿射态射 前推模，得到 \[\begin{align*} \lim_n \Gamma(V_0, \mathcal{O}_V/I^n\mathcal{O}_V) & = \lim_n \Gamma(V_0, \mathcal{O}_Y/I^n\mathcal{O}_Y) \\ & = \lim_n \Gamma(U, \mathcal{O}_U[x_1, \ldots, x_d]/(x_1, \ldots, x_d)^n) \\ & = \lim_n A[x_1, \ldots, x_d]/(x_1, \ldots, x_d)^n \\ & = B \end{align*}\] 事实上，由于 \(A\) 的深度 \(\geq 2\)，有 \(\Gamma(U, \mathcal{O}_U) = A\)； 见《局部上同调》引理 0BK0。 因此，对引理中任意开子集 \(V \subset Y\)，有 \[B = \Gamma(Y, \mathcal{O}_Y) \to \Gamma(V, \mathcal{O}_V) \to \lim_n \Gamma(V_0, \mathcal{O}_Y/I^n\mathcal{O}_Y) = B\] 这蕴含两个箭头都是同构（略去一个小细节）。由《代数化与形式几何》引理 0EKP，可知 \(\textit{Coh}(\mathcal{O}_V) \to \textit{Coh}(V, I\mathcal{O}_V)\) 在有限局部自由对象所成的满子范畴上全忠实。因此，由引理 0EL8 即得结论。

引理

设 \((A, \mathfrak m)\) 是深度 \(\geq 2\) 的 Noether 局部环。设 \(B = A[[x_1, \ldots, x_d]]\)，其中 \(d \geq 1\)。对任意开子集 \(V \subset Y = \Spec(B)\)，若它包含

1. 任意素理想 \(\mathfrak q \subset B\)，只要 \(\mathfrak q \cap A \not = \mathfrak m\)；

2. 素理想 \(\mathfrak m B\)，

则函子 \(\textit{F\'Et}_Y \to \textit{F\'Et}_V\) 为等价。特别地，纯性对 \(B\) 成立。

证明

素理想 \(\mathfrak q \subset B\) 若不属于 \(V\)，则位于 \(\mathfrak m\) 上方。在这种情形下， \(A \to B_\mathfrak q\) 是平坦局部同态，因而 \(\text{depth}(B_\mathfrak q) \geq 2\)（《代数》引理 0337）。因此，结合引理 0BQF 与《局部上同调》引理 0BLR，该函子全忠实。

设 \(W \to V\) 是有限 étale 态射。设 \(B \to C\) 是唯一的有限环同态，使得 \(\Spec(C) \to Y\) 是引理 0EY6 中构造的、延拓 \(W \to V\) 的有限态射。注意，\(C = \Gamma(W, \mathcal{O}_W)\)。

置 \(Y_0 = V(x_1, \ldots, x_d)\) 和 \(V_0 = V \cap Y_0\)。置 \(X = \Spec(A)\)。 利用态射 \(Y \to X\) 把 \(Y_0\) 与 \(X\) 等同后，\(V_0\) 就与穿孔谱 \(U\) 等同， 即 \(A\) 的穿孔谱。因此，可把 \(W_0 = W \times_Y Y_0\) 看作 \(U\) 上的有限 étale 概形。于是 \[W_0 \times_U (U \times_X Y) \quad\text{且}\quad W \times_V (U \times_X Y)\] 是 \(U \times_X Y\) 上的有限 étale 概形，它们在 \(V_0\) 上的限制同构。把引理 0EY9 应用于开子集 \(U \times_X Y\)， 得到同构 \[W_0 \times_U (U \times_X Y) \longrightarrow W \times_V (U \times_X Y)\] （在 \(U \times_X Y\) 上）。

注意，\(C_0 = \Gamma(W_0, \mathcal{O}_{W_0})\) 是有限 \(A\)-代数；这是把引理 0EY6 应用于 \(W_0 \to U \subset X\) 所得（与上面对 \(B \to C\) 所做的完全相同）。由于引理 0EY6 中的构造与平坦基变换及开集的改变相容，上面的同构诱导同构 \[\Psi : C \longrightarrow C_0 \otimes_A B\] （作为有限 \(B\)-代数）。然而，我们知道，\(\Spec(C) \to Y\) 在位于 \(Y\) 中至少一个点上方的所有点处是 étale 的，而该点位于 \(\mathfrak m \in X\) 上方。由于 \(\Psi\) 是同构，可知 \(\Spec(C_0) \to X\) 在 \(\mathfrak m\) 上方是 étale 的（略去一个小细节）。当然，这意味着 \(A \to C_0\) 有限 étale，因而 \(B \to C\) 有限 étale。

引理

设 \(f : X \to S\) 是概形的态射。设 \(U \subset X\) 是开子概形。假设

1. \(f\) 光滑；

2. \(S\) 是 Noether 概形；

3. 对 \(s \in S\)，若 \(\text{depth}(\mathcal{O}_{S, s}) \leq 1\)，则有 \(X_s = U_s\)；

4. \(U_s \subset X_s\) 对所有 \(s \in S\) 都稠密。

则 \(\textit{F\'Et}_X \to \textit{F\'Et}_U\) 为等价。

证明

结合引理 0BQF 与 《局部上同调》引理 0BLR， 该函子全忠实（此外应用《代数》引理 0337 来检验深度条件）。

设 \(\pi : V \to U\) 是有限 étale 态射。设 \(Y \to X\) 是引理 0EY6 中构造的有限态射。必须证明 \(Y \to X\) 有限 étale。 为了证明这一点对所有 \(x \in X\) 成立，固定其像 \(s \in S\)；可以用 Noether 概形的平坦态射 \(S' \to S\) 作基变换，只要 \(s\) 位于其像中。这由引理 0EY6 中的构造与平坦基变换相容得出。

扩大 \(U\) 后，可设 \(U \subset X\) 是使 \(Y \to X\) 有限 étale 的最大开集。 令 \(Z \subset X\) 为 \(U\) 的补集。为导出矛盾，假设 \(Z \not = \emptyset\)。 选取一点 \(s \in S\)，它位于 \(Z \to S\) 的像中，并且 \(s\) 的任何严格一般化都不在该像中。 对 \(\Spec(\mathcal{O}_{S, s})\) 作基变换后，可知 \(S = \Spec(A)\)，其中 \((A, \mathfrak m, \kappa)\) 是深度 \(\geq 2\) 的 Noether 局部环，且 \(Z\) 包含于闭纤维 \(X_s\) 中并在 \(X_s\) 中无处稠密。选取闭点 \(z \in Z\)。于是 \(\kappa(z)/\kappa\) 有限（由 Hilbert 零点定理；见《代数》定理 00FV）。选取局部概形的有限平坦态射 \((S', s') \to (S, s)\) 来实现剩余域扩张 \(\kappa(z)/\kappa\)；见《代数》引理 07NE。由 \(S' \to S\) 作基变换后，约化到 \(\kappa(z) = \kappa\) 的情形。

由《态射补篇》引理 057G，存在局部闭子概形 \(S' \subset X\)，它经过 \(z\)，使得 \(S' \to S\) 在 \(z\) 处为 étale。由 \(S' \to S\) 作基变换后，可设存在截面 \(\sigma : S \to X\)，满足 \(\sigma(s) = z\)。选取仿射邻域 \(\Spec(B) \subset X\)，它包含 \(s\)。于是 \(A \to B\) 是光滑环同态，并有截面 \(\sigma : B \to A\)。记 \(I = \Ker(\sigma)\)，并以 \(B^\wedge\) 表示关于 \(I\) 的 \(B\) 之完备化。于是有 \(B^\wedge \cong A[[x_1, \ldots, x_d]]\)，其中 \(d \geq 0\)；见《代数》引理 05D5。注意 \(d > 0\)，否则 \(X \to S\) 在 \(z\) 处为 étale，这将蕴含 \(z\) 是 \(X_s\) 的一般点，继而由假设 (4) 有 \(z \in U\)。类似地，若 \(d > 0\)，则 \(\mathfrak m B^\wedge\) 映入 \(U\)，这里所用态射为 \(\Spec(B^\wedge) \to X\)。只需证明 \(Y \to X\) 在基变换到 \(\Spec(B^\wedge)\) 后有限 étale。由于 \(B \to B^\wedge\) 平坦（《代数》引理 00MB），这由引理 0EYA 和 \(Y \to X\) 构造中的唯一性得出。

命题

设 \(A \to B\) 是 Noether 局部环之间的局部同态。假设 \(A\) 的深度 \(\geq 2\)， \(A \to B\) 关于 \(\mathfrak m_B\)-进拓扑形式光滑，且 \(\dim(B) > \dim(A)\)。 对任意开子集 \(V \subset Y = \Spec(B)\)，若它包含

1. 任意素理想 \(\mathfrak q \subset B\)，只要 \(\mathfrak q \cap A \not = \mathfrak m_A\)；

2. 素理想 \(\mathfrak m_A B\)，

则函子 \(\textit{F\'Et}_Y \to \textit{F\'Et}_V\) 为等价。特别地，纯性对 \(B\) 成立。

证明

素理想 \(\mathfrak q \subset B\) 若不属于 \(V\)，则位于 \(\mathfrak m_A\) 上方。 在这种情形下，\(A \to B_\mathfrak q\) 是平坦局部同态，因而 \(\text{depth}(B_\mathfrak q) \geq 2\)（《代数》引理 0337）。因此，结合引理 0BQF 与《局部上同调》引理 0BLR，该函子全忠实。

以 \(A^\wedge\) 和 \(B^\wedge\) 表示 \(A\) 和 \(B\) 关于各自极大理想的完备化。注意， 命题的假设对 \(A^\wedge \to B^\wedge\) 成立；见《代数补篇》引理 07NV、 07NW 和 07ED。由引理 0EY6 中构造的唯一性及其与平坦基变换的相容性，只需对 \(A^\wedge \to B^\wedge\) 和 \(V\) 的逆像证明本质满性（略去细节；当 \(V\) 为穿孔谱时，可与引理 0BLL 比较）。由《代数补篇》命题 07PM，这意味着可设 \(A \to B\) 正则。

设 \(W \to V\) 是有限 étale 态射。由 Popescu 定理（《环同态的光滑化》定理 07GC），可把 \(B = \colim B_i\) 写成光滑 \(A\)-代数的 滤过余极限。可以选取某个 \(i\) 和开子集 \(V_i \subset \Spec(B_i)\)，使其逆像为 \(V\)（《极限》引理 01Z4）。增大 \(i\) 后，可设存在有限 étale 态射 \(W_i \to V_i\)，其到 \(V\) 的基变换为 \(W \to V\)；见《极限》引理 01ZM、 01ZO 和 07RP。可以假设 \(V_i\) 的补集包含于 \(\Spec(B_i) \to \Spec(A)\) 的闭纤维，因为这一点对 \(V\) 成立（或者如此选取 \(V_i\)，或者使用上面的引理证明它对充分大的 \(i\) 成立）。设 \(\eta\) 是 \(\Spec(B) \to \Spec(A)\) 之闭纤维的一般点。由于 \(\eta \in V\)，\(\eta\) 的像位于 \(V_i\)。因此，把 \(V_i\) 替换为 \(\Spec(B)\) 之闭点的像的一个仿射开邻域后， 可设 \(\Spec(B_i) \to \Spec(A)\) 的闭纤维不可约，且其一般点包含于 \(V_i\) （略去细节；使用域上光滑的概形是不可约概形的不交并这一事实）。此时可以应用引理 0EYB，看出 \(W_i \to V_i\) 延拓为有限 étale 态射 \(\Spec(C_i) \to \Spec(B_i)\)。把它拉回到 \(\Spec(B)\)，便可得出 \(W\) 位于函子 \(\textit{F\'Et}_Y \to \textit{F\'Et}_V\) 的本质像中，正如所需。

基本群的 Lefschetz 定理

当然，我们已经在局部情形中证明了许多这种类型的结果。本节讨论射影情形。

命题

设 \(k\) 是域。设 \(X\) 是 \(k\) 上的固有概形。设 \(\mathcal{L}\) 是丰沛可逆 \(\mathcal{O}_X\)-模。设 \(s \in \Gamma(X, \mathcal{L})\)。设 \(Y = Z(s)\) 是 \(s\) 的零点概形。假设对所有 \(x \in X \setminus Y\)，都有 \[\text{depth}(\mathcal{O}_{X, x}) + \dim(\overline{\{x\}}) > 1\] 则限制函子 \(\textit{F\'Et}_X \to \textit{F\'Et}_Y\) 全忠实。事实上， 对任意开子概形 \(V \subset X\)，若它包含 \(Y\)，则限制函子 \(\textit{F\'Et}_V \to \textit{F\'Et}_Y\) 全忠实。

证明

第一个断言是引理 0EJZ 和《代数化与形式几何》命题 0EL1 的形式推论。第二个断言由引理 0EJZ 和《代数化与形式几何》引理 0EL2 得出。

命题

设 \(k\) 是域。设 \(X\) 是 \(k\) 上的固有概形。设 \(\mathcal{L}\) 是丰沛可逆 \(\mathcal{O}_X\)-模。设 \(s \in \Gamma(X, \mathcal{L})\)。设 \(Y = Z(s)\) 是 \(s\) 的零点概形。令 \(\mathcal{V}\) 为 \(X\) 中包含 \(Y\) 的开子概形所成集合， 按逆包含关系排序。假设对所有 \(x \in X \setminus Y\)，都有 \[\text{depth}(\mathcal{O}_{X, x}) + \dim(\overline{\{x\}}) > 2\] 则限制函子 \[\colim_\mathcal{V} \textit{F\'Et}_V \to \textit{F\'Et}_Y\] 为等价。

证明

这是引理 0EK1 和《代数化与形式几何》命题 0EL7 的形式推论。

命题

设 \(k\) 是域。设 \(X\) 是 \(k\) 上的固有概形。设 \(\mathcal{L}\) 是丰沛可逆 \(\mathcal{O}_X\)-模。设 \(s \in \Gamma(X, \mathcal{L})\)。设 \(Y = Z(s)\) 是 \(s\) 的零点概形。假设对所有 \(x \in X \setminus Y\)，都有 \[\text{depth}(\mathcal{O}_{X, x}) + \dim(\overline{\{x\}}) > 2\] 并且对闭点 \(x \in X \setminus Y\)，纯性对 \(\mathcal{O}_{X, x}\) 成立。则限制函子 \(\textit{F\'Et}_X \to \textit{F\'Et}_Y\) 为等价。若 \(X\)（等价地，\(Y\)）连通，则 \[\pi_1(Y, \overline{y}) \to \pi_1(X, \overline{y})\] 该态射对任意几何点 \(\overline{y}\) 均为同构；这里该点取自 \(Y\)。

证明

由命题 0ELC，全忠实性成立。由命题 0ELD，\(\textit{F\'Et}_Y\) 的任意对象都同构于 纤维积 \(U \times_V Y\)，其中 \(U \to V\) 是某个有限 étale 态射，且 \(V \subset X\) 是包含 \(Y\) 的开子概形。补集 \(T = X \setminus V\) 是⁵ \(X \setminus Y\) 中闭点的有限集合。写成 \(T = \{x_1, \ldots, x_n\}\)。 由假设，可以找到有限 étale 态射 \(V'_i \to \Spec(\mathcal{O}_{X, x_i})\)，它与 \(U \to V\) 一致（在 \(V \times_X \Spec(\mathcal{O}_{X, x_i})\) 上）。把《极限》引理 0BPA 应用 \(n\) 次，可见 \(U \to V\) 按要求延拓为有限 étale 态射 \(U' \to X\)。最后一个断言见引理 0BQA。

分歧轨迹的纯性

本节讨论泛有限态射情形下与分支轨迹纯性相对应的结果。该结果似乎归功于 Gabber。其一个特殊情形是 van der Waerden 的纯性定理：从正规簇到光滑簇的 双有理态射不为同构的轨迹具有纯性。

引理

设 \(A\) 是维数为 \(2\) 的 Noether 正规局部整环。假设 \(A\) 是 Nagata 环， 具有对偶化模 \(\omega_A\)，并且存在奇点解消 \(f : X \to \Spec(A)\)。按《曲面奇点的消解》注记 0B4R 取 \(\omega_X\)。若 \(\omega_X \cong \mathcal{O}_X(E)\)，其中 \(E \subset X\) 是某个支撑在例外纤维上的 有效 Cartier 除子，则 \(A\) 定义一个有理奇点。 若 \(f\) 是极小解消，则 \(E = 0\)。

证明

存在迹映射 \(Rf_*\omega_X \to \omega_A\)，见《概形的对偶性》节 0AWG。由 Grauert–Riemenschneider 定理 （《曲面奇点的消解》命题 0AXD），有 \(R^1f_*\omega_X = 0\)。因此迹映射就是映射 \(f_*\omega_X \to \omega_A\)。于是可以考虑 \[\mathcal{O}_{\Spec(A)} = f_*\mathcal{O}_X \to f_*\omega_X \to \omega_A\] 其中第一个映射来自引理陈述中假设存在的映射 \(\mathcal{O}_X \to \mathcal{O}_X(E) = \omega_X\)。由《除子》引理 0AVM，该复合映射是同构： 它在 \(A\) 的穿孔谱上是同构（由引理中的假设以及 \(f\) 在穿孔谱上为同构）； 而 \(A\) 与 \(\omega_A\) 都是 \(A\)-模，且深度为 \(2\)（由《代数》引理 031S 与《对偶化复形》引理 0AWE）。因此 \(f_*\omega_X \to \omega_A\) 满射，进而为同构。于是 \(Rf_*\omega_X = \omega_A\)；由对偶性，这蕴含 \(Rf_*\mathcal{O}_X = \mathcal{O}_{\Spec(A)}\)。从而 \(H^1(X, \mathcal{O}_X) = 0\)，这说明 \(A\) 定义一个有理奇点（见《曲面奇点的消解》 节 0AXE 中的讨论，特别是引理 0B4Q 与 0AXF）。若 \(f\) 极小，则 \(E = 0\)：反复应用 《曲面奇点的消解》引理 0B64 可知映射 \(f^*\omega_A \to \omega_X\) 满射，而如上所见 \(\omega_A \cong A\)。

引理

设 \(f : X \to \Spec(A)\) 是有限型态射。设 \(x \in X\) 是一点。假设

1. \(A\) 是优良正则局部环；

2. \(\mathcal{O}_{X, x}\) 正规且维数为 \(2\)；

3. \(f\) 在 \(\overline{\{x\}}\) 之外为 étale。

则 \(f\) 在 \(x\) 处为 étale。

证明

首先把 \(X\) 换成 \(x\) 的一个仿射开邻域。注意， \(\mathcal{O}_{X, x}\) 是优良局部环（《代数补篇》引理 07QU）。因此可以选取一个极小奇点解消 \(W \to \Spec(\mathcal{O}_{X, x})\)，见《曲面奇点的消解》定理 0BGP。必要时把 \(X\) 换成 \(x\) 的仿射开邻域，可以找到固有态射 \(b : X' \to X\)，使得 \(X' \times_X \Spec(\mathcal{O}_{X, x}) = W\)，见《极限》引理 0BPA。进一步缩小 \(X\) 后，可设 \(X'\) 正则。 事实上，已知 \(W\) 正则且 \(X'\) 优良，而优良环的谱的正则轨迹是开的。由于 \(W \to \Spec(\mathcal{O}_{X, x})\) 是射影态射（它是一列正规化爆破）， 缩小 \(X\) 后可设 \(b\) 射影（略去细节）。令 \(U = X \setminus \overline{\{x\}}\)。由于 \(W \to \Spec(\mathcal{O}_{X, x})\) 在穿孔谱上为同构，可设 \(b : X' \to X\) 在 \(U\) 上为同构。因此也把 \(U\) 看作 \(X'\) 的开子概形。 置 \(f' = f \circ b : X' \to \Spec(A)\)。

由于 \(A\) 正则，可见 \(\mathcal{O}_Y\) 是 \(Y\) 的对偶化复形。因此 \(f^!\mathcal{O}_Y\) 是 \(X\) 上的对偶化复形（《概形的对偶性》引理 0AA3）。由《概形的对偶性》引理 0AWT，\(X\) 的 Cohen–Macaulay 轨迹是开的（也可以利用优良性证明这一点）。由于 \(\mathcal{O}_{X, x}\) 是 Cohen–Macaulay 的，缩小 \(X\) 后可设 \(X\) 是 Cohen–Macaulay 的。注意，étale 态射是局部完全交。因此可以把 《概形的对偶性》引理 0EA0 用于 \(r = 0\)，得到映射 \[\mathcal{O}_X \longrightarrow \omega_{X/Y} = H^0(f^!\mathcal{O}_Y)\] 它在 \(X \setminus \overline{\{x\}}\) 上为同构。由《概形的对偶性》引理 0E9V，\(\omega_{X/Y}\) 满足 \((S_2)\)，故由 《除子》引理 0AVM 可知该映射为同构。这已经说明 \(X\) 是 Gorenstein 的，特别地， \(\mathcal{O}_{X, x}\) 是 Gorenstein 环。

置 \(\omega_{X'/Y} = H^0((f')^!\mathcal{O}_Y)\)。与上面完全相同的论证表明 \((f')^!\mathcal{O}_Y = \omega_{X'/Y}[0]\) 是 \(X'\) 的对偶化复形。由于 \(X'\) 正则，态射 \(X' \to Y\) 是局部完全交态射，见《态射补篇》引理 0E9K。由《概形的对偶性》引理 0E9Z，存在映射 \[\mathcal{O}_{X'} \longrightarrow \omega_{X'/Y}\] 它在 \(U\) 上为同构。于是 \(\omega_{X'/Y} = \mathcal{O}_{X'}(E)\)，其中 \(E \subset X'\) 是某个与 \(U\) 不交的有效 Cartier 除子。

由于 \(\omega_{X/Y} = \mathcal{O}_Y\)，可见 \(\omega_{X'/Y} = b^! f^!\mathcal{O}_Y = b^!\mathcal{O}_X\)。回到 \(W \to \Spec(\mathcal{O}_{X, x})\)，可得 \(\omega_W = \mathcal{O}_W(E|_W)\)。由引理 0EA2，有 \(E|_W = 0\)。 于是由上面已经用过的《概形的对偶性》引理 0E9Z，\(f' : X' \to Y\) 为 étale。 这立即完成证明，因为 \(f'\) 为 étale 迫使 \(b\) 是同构。

引理

设 \(f : X \to Y\) 是局部 Noether 概形之间的态射。设 \(x \in X\)，并置 \(y = f(x)\)。假设

1. \(\mathcal{O}_{X, x}\) 正规且维数 \(\geq 1\)；

2. \(\mathcal{O}_{Y, y}\) 正则；

3. \(f\) 是局部有限型的；并且

4. 对特化 \(x' \leadsto x\)，若 \(\dim(\mathcal{O}_{X, x'}) = 1\)，则态射 \(f\) 在 \(x'\) 处为 étale。

则 \(f\) 在 \(x\) 处为 étale。

证明

对 \(d = \dim(\mathcal{O}_{X, x})\) 作归纳来证明该引理。

先看平凡情形 \(d = 1\)；此时由假设，态射 \(f\) 在 \(x\) 处为 étale。 以下假设 \(d \geq 2\)。

沿 \(\Spec(\mathcal{O}_{Y, y}) \to Y\) 作基变换不会影响引理的结论，见 《态射》引理 0476。因此可设 \(Y = \Spec(A)\)，其中 \(A\) 是正则局部环，而 \(y\) 所对应的是极大理想 \(\mathfrak m\)（在 \(A\) 中）。

设 \(x' \leadsto x\) 是满足 \(x' \not = x\) 的特化。 \(\mathcal{O}_{X, x'}\) 正规，因为它是 \(\mathcal{O}_{X, x}\) 的局部化。若 \(x'\) 不是 \(X\) 的一般点，则 \(1 \leq \dim(\mathcal{O}_{X, x'}) < d\)，由归纳假设可知 \(f\) 在 \(x'\) 处为 étale。因此可设 \(f\) 在所有特化到 \(x\) 的点处均为 étale。由于 \(f\) 为 étale 的点所成集合在 \(X\) 中是开的（依定义）， 把 \(X\) 换成 \(x\) 的一个开邻域后，可设 \(f\) 在 \(\overline{\{x\}}\) 之外为 étale。特别地，可见 \(f\) 仅可能在位于闭点 \(y \in Y = \Spec(A)\) 上方的点处不是 étale。

令 \(X' = X \times_{\Spec(A)} \Spec(A^\wedge)\)。设 \(x' \in X'\) 是位于 \(x\) 上方的唯一一点。由上可见，\(X'\) 在闭纤维之外于 \(\Spec(A^\wedge)\) 上为 étale，因而 \(X'\) 在闭纤维之外正规。由于 \(X\) 正规，由《曲面奇点的消解》引理 0BG9 可知 \(X'\) 正规。于是，只要能证明 \(X' \to \Spec(A^\wedge)\) 在 \(x'\) 处为 étale，就可推出 \(f\) 在 \(x\) 处为 étale（由前述《态射》引理 0476）。故可以并且确实假设 \(A\) 是正则完备局部环。

此时 \(d = 2\) 的情形由引理 0EA3 得出。

假设 \(d > 2\)。取 \(t \in \mathfrak m\)，满足 \(t \not \in \mathfrak m^2\)。置 \(Y_0 = \Spec(A/tA)\) 以及 \(X_0 = X \times_Y Y_0\)。则 \(X_0 \to Y_0\) 在闭点上方的纤维之外为 étale。由于 \(d > 2\)，有 \(\dim(\mathcal{O}_{X_0, x}) = d - 1\) 且该数 \(\geq 2\)。正规化 \(X_0' \to X_0\) 是满射且有限（因为我们在完备局部环上工作，而这种环是 Nagata 环）。设 \(x' \in X_0'\) 是映到 \(x\) 的一点。由归纳假设，态射 \(X'_0 \to Y\) 在 \(x'\) 处为 étale。由包含关系 \(\kappa(y) \subset \kappa(x) \subset \kappa(x')\) 可知 \(\kappa(x)\) 是 \(\kappa(y)\) 的有限扩张。因此 \(x\) 是 \(X \to Y\) 在 \(y\) 上方纤维的闭点。但 \(x\) 也是该纤维的一般点，所以 \(f\) 在 \(x\) 处拟有限，从而归约到分支轨迹纯性的情形，见引理 0BMB。

分歧轨迹补集的仿射性

设 \(f : X \to Y\) 是 Noether 概形之间的有限型态射，其中 \(X\) 正规而 \(Y\) 正则。设 \(V \subset X\) 是 \(f\) 为 étale 的最大开子概形。 [EGA, Chapter IV, Section 21.12] 中的讨论表明， \(V \to X\) 可能是仿射态射。注意，若 \(V \to X\) 仿射，则可推出分歧轨迹的纯性 （引理 0EA4）；这里使用了《除子》引理 0BCU。因此，\(V \to X\) 的仿射性是 分歧轨迹纯性的一种“强”形式。本节证明 \(V \to X\) 仿射，条件是 \(X\) 与 \(Y\) 等特征且优良，见定理 0ECD。有理由猜测，当 \(X\) 与 \(Y\) 具有混合特征（但仍优良）时，该结果仍然成立。

引理

设 \((A, \mathfrak m)\) 是包含一个域的正则局部环。设 \(f : V \to \Spec(A)\) 为 étale 且准紧。假设 \(\mathfrak m \not \in f(V)\)，并且 \(g : V \to \Spec(A) \setminus \{\mathfrak m\}\) 仿射。则对 \(H^i(V, \mathcal{O}_V)\)（\(i > 0\)）同构于 \(A\) 的剩余域的单射包的若干副本的直和。

证明

记 \(U = \Spec(A) \setminus \{\mathfrak m\}\) 为穿孔谱。于是 \(g : V \to U\) 仿射。由《概形的上同调》引理 089W，有 \(H^i(V, \mathcal{O}_V) = H^i(U, g_*\mathcal{O}_V)\)。由《概形》引理 01LC， \(\mathcal{O}_U\)-模 \(g_*\mathcal{O}_V\) 是拟凝聚的。对任意拟凝聚 \(\mathcal{O}_U\)-模 \(\mathcal{F}\)，上同调 \(H^i(U, \mathcal{F})\)（\(i > 0\)）是 \(\mathfrak m\)-幂挠的；例如见《局部上同调》引理 0DWR。特别地，\(A\)-模 \(H^i(V, \mathcal{O}_V)\)（\(i > 0\)）是 \(\mathfrak m\)-幂挠的。

对任意平坦环映射 \(A \to A'\)，平坦基变换给出 \(H^i(V, \mathcal{O}_V) \otimes_A A' = H^i(V', \mathcal{O}_{V'})\)， 其中 \(V' = V \times_{\Spec(A)} \Spec(A')\)；见《概形的上同调》引理 02KH。取 \(A'\) 为 \(A\) 的完备化 （由《代数补篇》节 07NU，它是平坦的）， 则 \[H^i(V, \mathcal{O}_V) = H^i(V, \mathcal{O}_V) \otimes_A A' = H^i(V', \mathcal{O}_{V'}),\quad\text{对 } i > 0\] 第一个等号由刚证明的挠性和《代数补篇》引理 05EC 得出。此外，剩余域 \(k\) 的单射包对 \(A\) 与 \(A'\) 相同，见《对偶化复形》引理 08Z5。这样便归约到 \(A = k[[x_1, \ldots, x_d]]\) 的情形；见《代数》节 0323。

假设 \(k\) 的特征为 \(p > 0\)。映射 \(F : A \to A\)， \(a \mapsto a^p\) 是平坦的（《局部上同调》引理 0EC0）；而由《Étale 态射》引理 0EBS，有 \(V \times_{\Spec(A), \Spec(F)} \Spec(A) \cong V\)，这是 \(\Spec(A)\) 上概形的同构。 因此上面的结论给出 \(H^i(V, \mathcal{O}_V) \otimes_{A, F} A \cong H^i(V, \mathcal{O}_V)\)。 于是所求结论由《局部上同调》引理 0EC3 得出。

假设 \(k\) 的特征为 \(0\)。由《局部上同调》引理 0EC7，存在加性算子 \(D_j\)，\(j = 1, \ldots, d\)，作用在 \(H^i(V, \mathcal{O}_V)\) 上， 它们满足关于 \(\partial_j = \partial/\partial x_j\) 的 Leibniz 法则。 于是所求结论由《局部上同调》引理 0EC2 得出。

引理

在引理 0ECB 的情形下，假设 \(H^i(V, \mathcal{O}_V) = 0\) 对 \(i \geq \dim(A) - 1\) 成立。则 \(V\) 仿射。

证明

令 \(k = A/\mathfrak m\)。由于 \(V \times_{\Spec(A)} \Spec(k) = \emptyset\)，由上同调与基变换可得 \[R\Gamma(V, \mathcal{O}_V) \otimes_A^\mathbf{L} k = 0\] 见《概形的导出范畴》引理 08IB。因此存在谱序列 （《代数补篇》例 0662） \[E_2^{p, q} = \text{Tor}_{-p}(k, H^q(V, \mathcal{O}_V)),\quad d_2^{p, q} : E_2^{p, q} \to E_2^{p + 2, q - 1}\] 以及 \(d_r^{p, q} : E_r^{p, q} \to E_r^{p + r, q - r + 1}\)， 并且它收敛到零。由引理 0ECB、《对偶化复形》引理 0EBT 以及假设 \(H^i(V, \mathcal{O}_V) = 0\)（\(i \geq \dim(A) - 1\)），可知没有非零微分进入或离开 \((p, q) = (0, 0)\) 项。因此 \(H^0(V, \mathcal{O}_V) \otimes_A k = 0\)。这意味着，若 \(\mathfrak m = (x_1, \ldots, x_d)\)，则有开覆盖 \(V = \bigcup V \times_{\Spec(A)} \Spec(A_{x_i})\)，它由仿射开子概形 \(V \times_{\Spec(A)} \Spec(A_{x_i})\) 组成（因为 \(V\) 在 \(A\) 的穿孔谱上仿射）， 并且 \(x_1, \ldots, x_d\) 在 \(\Gamma(V, \mathcal{O}_V)\) 中生成单位理想。 由《性质》引理 01QF，这蕴含 \(V\) 仿射。

定理

设 \(Y\) 是域上的优良正则概形。设 \(f : X \to Y\) 是概形的有限型态射， 且 \(X\) 正规。设 \(V \subset X\) 是 \(f\) 为 étale 的最大开子概形。则含入态射 \(V \to X\) 仿射。

证明

设 \(x \in X\)，其像为 \(y \in Y\)。只须证明 \(V \cap W\) 仿射，其中 \(W\) 是 \(x\) 的某个仿射开邻域。由于 \(\Spec(\mathcal{O}_{X, x})\) 是这些概形 \(W\) 的极限， 这当且仅当 \[V_x = V \times_X \Spec(\mathcal{O}_{X, x})\] 仿射（《极限》引理 01Z6）。因此，只要该定理对态射 \(X \times_Y \Spec(\mathcal{O}_{Y, y}) \to \Spec(\mathcal{O}_{Y, y})\) 成立， 原定理便成立。特别地，可以设 \(Y\) 正则且维数有限，从而可对维数 \(d = \dim(Y)\) 作归纳。再次结合相同论证，可以设 \(Y\) 是以 \(y\) 为闭点的局部概形， 并且 \(V \cap (X \setminus f^{-1}(\{y\}) \to X \setminus f^{-1}(\{y\})\) 仿射。

设 \(x \in X\) 是位于 \(y\) 上方的一点。若 \(x \in V\)，则无须证明。注意， \(f^{-1}(\{y\}) \cap V\) 是由有限个闭点组成的集合（étale 态射的纤维是离散的）。 因此把 \(X\) 换成 \(x\) 的一个仿射开邻域后，可设 \(y \not \in f(V)\)。我们要证明 \(V\) 仿射。

令 \(e(V)\) 为最大整数 \(i\)，使 \(H^i(V, \mathcal{O}_V) \not = 0\)。 由于 \(X\) 仿射，整数 \(e(V)\) 等于诸数 \(e(V_x)\) 的最大值，其中 \(x \in X \setminus V\)；见《局部上同调》引理 0DXB 以及《局部上同调》引理 0DX7 中对上同调维数的刻画。由《局部上同调》引理 0DXC，有 \(e(V_x) \leq \dim(\mathcal{O}_{X, x}) - 1\)。若 \(\dim(\mathcal{O}_{X, x}) \geq 2\)，则分歧轨迹的纯性（引理 0EA4）表明 \(V_x\) 是 \(\mathcal{O}_{X, x}\) 的穿孔谱的真开子概形。由于 \(\mathcal{O}_{X, x}\) 正规且优良， Hartshorne–Lichtenbaum 消失定理（《局部上同调》引理 0EB7）蕴含 \(e(V_x) \leq \dim(\mathcal{O}_{X, x}) - 2\)。另一方面，由于 \(X \to Y\) 是有限型的，并且 \(V \subset X\) 稠密（必要时把 \(X\) 换成 \(V\) 的闭包），维数公式（《态射》引理 02JU）表明 \(\dim(\mathcal{O}_{X, x}) \leq d\)。因而 \(e(V) \leq \max(0, d - 2)\)。于是由引理 0ECC 可知 \(V\) 仿射，只要 \(d \geq 2\)。若 \(d = 1\) 或 \(d = 0\)，则 \(\mathcal{O}_{Y, y}\) 的穿孔谱仿射，故 \(V\) 仿射。

光滑固有情形下的特化映射

本节讨论如下结果。设 \(f : X \to S\) 是概形的固有光滑态射。设 \(s \leadsto s'\) 是 \(S\) 中点的一个特化。则特化映射 \[sp : \pi_1(X_{\overline{s}}) \longrightarrow \pi_1(X_{\overline{s}'})\] （见节 0BUP）是满射，并且

1. 若 \(\kappa(s')\) 的特征为零，则它是同构；或者

2. 若 \(\kappa(s')\) 的特征为 \(p > 0\)，则它在最大与 \(p\) 互素商上诱导同构。

引理

设 \(f : X \to S\) 是具有几何连通纤维的平坦固有态射。设 \(s' \leadsto s\) 是一个特化。若 \(X_s\) 几何既约，则特化映射 \(sp : \pi_1(X_{\overline{s}'}) \to \pi_1(X_{\overline{s}})\) 是满射。

证明

由于 \(X_s\) 几何既约，必要时缩小 \(S\) 后，可以假设所有纤维都几何既约；见 《态射补篇》引理 0C0E。令 \(\mathcal{O}_{S, s} \to A \to \kappa(\overline{s}')\) 如特化映射的构造中那样； 见节 0BUP。因此只须证明 \[\pi_1(X_{\overline{s}'}) \to \pi_1(X_A)\] 是满射。这由命题 0C0J 和 \(\pi_1(\Spec(A)) = \{1\}\) 得出。

命题

设 \(f : X \to S\) 是具有几何连通纤维的光滑固有态射。设 \(s' \leadsto s\) 是一个特化。若 \(\kappa(s)\) 的特征为零，则特化映射 \[sp : \pi_1(X_{\overline{s}'}) \to \pi_1(X_{\overline{s}})\] 是同构。

证明

由引理 0C0P，该映射是满射。因此只须证明它是单射。

可设 \(S\) 仿射。于是 \(S\) 是一族在 \(\mathbf{Z}\) 上有限型的仿射概形的余滤过极限。 因此可以假设 \(X \to S\) 是 \(X_0 \to S_0\) 的基变换，其中 \(S_0\) 是一个有限型 \(\mathbf{Z}\)-代数的谱，而 \(X_0 \to S_0\) 光滑且固有。见《极限》引理 01ZM、 0C0C 和 081F。由引理 0C0K，归约到基为 Noether 的情形。

应用引理 0C0N，归约到如下情形： 基 \(S\) 是严格 Hensel 离散赋值环 \(A\) 的谱，并且所考察的是 \(A\) 上的特化映射。 令 \(K\) 为 \(A\) 的分式域。选取代数闭包 \(\overline{K}\)，它对应于几何一般点 \(\overline{\eta}\)（在 \(\Spec(A)\) 上）。对有限可分的 \(\overline{K}/L/K\)，令 \(B \subset L\) 为 \(A\) 在 \(L\) 中的整闭包。由《代数补篇》注 09E8，这是离散赋值环。

设 \(X \to \Spec(A)\) 如上一段。为了证明特化映射的单射性，只须证明每个有限 étale 覆盖 \(V\)（在 \(X_{\overline{\eta}}\) 上）都是某个有限 étale 覆盖 \(Y \to X\) 的基变换。事实上，此时由引理 0BN7， \(\pi_1(X_{\overline{\eta}}) \to \pi_1(X) = \pi_1(X_s)\) 是单射。

给定 \(V\)，先由引理 0BTW 把 \(V\) 下降为 \(V' \to X_{K^{sep}}\)，再由引理 0BTV 下降为 \(V'' \to X_L\)。令 \(Z \to X_B\) 为 \(X_B\) 在 \(V''\) 中的正规化。注意， \(Z\) 正规，并且有 \(Z_L = V''\)（作为 \(X_L\) 上的概形）。因此 \(Z \to X_B\) 在一般纤维上有限 étale。问题在于尚不知道 \(Z \to X_B\) 是否处处 étale。由于 \(X \to \Spec(A)\) 具有几何连通的光滑纤维， 可见特殊纤维 \(X_s\) 几何不可约。因此 \(X_B \to \Spec(B)\) 的特殊纤维不可约；令 \(\xi_B\) 为其一般点。令 \(\xi_1, \ldots, \xi_r\) 为 \(Z\) 中映到 \(\xi_B\) 的点。现在第一个问题 （事实将表明也是唯一的问题）是离散赋值环的扩张 \[\mathcal{O}_{X_B, \xi_B} \subset \mathcal{O}_{Z, \xi_i}\] 可能分歧。令 \(e_i\) 为该扩张的分歧指数。注意，由于 \(\kappa(s)\) 的特征为零，该分歧是温和的！

为消除分歧，选取更进一步的有限可分扩张 \(K^{sep}/L'/L/K\)，使分歧指数 \(e\)（对应诱导扩张 \(B'/B\)）可被 \(e_i\) 整除。考虑正规化基变换 \(Z'\)，它由 \(Z\) 沿 \(\Spec(B') \to \Spec(B)\) 得到；见《态射补篇》节 09IJ 中的讨论。令 \(\xi_{i, j}\) 为 \(Z'\) 中既映到 \(\xi_{B'}\) 又映到 \(\xi_i\)（在 \(Z\) 中）的点。则局部环 \[\mathcal{O}_{Z', \xi_{i, j}}\] 是 \(\mathcal{O}_{Z, \xi_i}\) 在 \(L' \otimes_L F_i\) 中的整闭包的局部化，其中 \(F_i\) 是 \(\mathcal{O}_{Z, \xi_i}\) 的分式域；略去细节。因此 Abhyankar 引理 （《代数补篇》引理 0BRM）表明 \[\mathcal{O}_{X_{B'}, \xi_{B'}} \subset \mathcal{O}_{Z', \xi_{i, j}}\] 不分歧。由此可知态射 \(Z' \to X_{B'}\) 在所有余维数 \(1\) 的点处为 étale。 于是由分支轨迹的纯性（引理 0BMB），可见 \(Z' \to X_{B'}\) 是有限 étale 的！

不过，\(A \to B'\) 诱导的剩余域扩张是平凡的（因为 \(A\) 的剩余域可分闭且特征为零， 所以代数闭）。两次应用引理 0A48，可知 \(Z'\) 是某个有限 étale 覆盖 \(Y \to X\) 的基变换（第一次得到 \(Y\)（在 \(A\) 上），第二次证明拉回到 \(B\) 后与 \(Z'\) 同构）。这就完成了证明。

设 \(G\) 是 profinite 群。设 \(p\) 是素数。最大与 \(p\) 互素商按定义为 \[G' = \lim_{U \subset G\text{ open, normal, index prime to }p} G/U\] 若 \(X\) 是连通概形且给定了 \(p\)，则最大与 \(p\) 互素商（即 \(\pi_1(X)\) 的相应商） 记为 \(\pi'_1(X)\)。

定理

设 \(f : X \to S\) 是具有几何连通纤维的光滑固有态射。设 \(s' \leadsto s\) 是一个特化。若 \(\kappa(s)\) 的特征为 \(p\)，则特化映射 \[sp : \pi_1(X_{\overline{s}'}) \to \pi_1(X_{\overline{s}})\] 是满射，并诱导同构 \[\pi'_1(X_{\overline{s}'}) \cong \pi'_1(X_{\overline{s}})\] 于最大与 p 互素商之间。

证明

证明与命题 0C0Q 完全相同，但有以下区别：

1. 给定 \(X/A\)，不再证明函子 \(\textit{F\'Et}_X \to \textit{F\'Et}_{X_{\overline{\eta}}}\) 本质满。只证明 Galois 群的阶与 \(p\) 互素的 Galois 对象位于本质像中。 这足以用完全相同的论证推出 \(\pi'_1(X_{\overline{s}'}) \to \pi'_1(X_{\overline{s}})\) 是单射。

2. 扩张 \(\mathcal{O}_{X_B, \xi_B} \subset \mathcal{O}_{Z, \xi_i}\) 温和分歧，因为相应的分式域扩张是 Galois 扩张，且 Galois 群的阶与 \(p\) 互素。 见《代数补篇》引理 09EB。

3. 扩张 \(\kappa_B/\kappa_A\) 未必仍然平凡，但它是纯不可分的。因此态射 \(X_{\kappa_B} \to X_{\kappa_A}\) 是泛同胚，并由命题 0BQN 在基本群上诱导同构。

温和分歧

设 \(X \to Y\) 是 \(\mathbf{Z}\) 上有限型概形之间的有限 étale 态射。 关于 \(f\) 在 \(\infty\) 处温和分歧的含义，有多种定义。文献 [Kerz-Schmidt] 讨论了这些概念在何种程度上相互等价。

本节讨论另一个更初等的问题，它先于无穷远处温和性的概念。 请与文献 [Grothendieck-Murre] 中略有不同的讨论比较。 假设给定

1. 局部 Noether 概形 \(X\)；

2. 稠密开子概形 \(U \subset X\)；

3. 有限 étale 态射 \(f : Y \to U\)，

使得对每个素除子 \(Z \subset X\)，若 \(Z \cap U = \emptyset\)，则局部环 \(\mathcal{O}_{X, \xi}\)，即 \(X\) 在一般点 \(\xi\)（\(Z\) 的一般点）处的局部环， 都是离散赋值环。令 \(K_\xi\) 为 \(\mathcal{O}_{X, \xi}\) 的分式域， 便得到概形的 Cartesian 方形 \[\xymatrix{ \Spec(K_\xi) \ar[r] \ar[d] & U \ar[d] \\ \Spec(\mathcal{O}_{X, \xi}) \ar[r] & X }\] 特别地，\(Y \times_U \Spec(K_\xi)\) 是某个有限可分代数 \(L_\xi/K_\xi\) 的谱。 此时称 \(Y\) 在 \(X\) 上于余维数 \(1\) 处不分歧，分别地称 \(Y\) 在 \(X\) 上于余维数 \(1\) 处温和分歧，若 \(L_\xi/K_\xi\) 关于 \(\mathcal{O}_{X, \xi}\) 对每个上述 \((Z, \xi)\) 不分歧，分别地温和分歧；见 《代数补篇》定义 09E9。 更确切地说，将 \(L_\xi\) 分解为 \(K_\xi\) 的有限可分域扩张之积， 并要求每个因子关于 \(\mathcal{O}_{X, \xi}\) 不分歧，分别地温和分歧。

引理

设 \(X' \to X\) 是局部 Noether 概形的态射，\(U \subset X\) 是稠密开子概形。假设

1. \(U' = f^{-1}(U)\) 是 \(X'\) 中的稠密开子概形；

2. 对每个素除子 \(Z \subset X\)，若 \(Z \cap U = \emptyset\)，则局部环 \(\mathcal{O}_{X, \xi}\)，即 \(X\) 在一般点 \(\xi\)（\(Z\) 的一般点）处的局部环，是离散赋值环；

3. 对每个素除子 \(Z' \subset X'\)，若 \(Z' \cap U' = \emptyset\)，则局部环 \(\mathcal{O}_{X', \xi'}\)，即 \(X'\) 在一般点 \(\xi'\)（\(Z'\) 的一般点）处的局部环，是离散赋值环；

4. 若 \(\xi' \in X'\) 如 (3) 所述，则 \(\xi = f(\xi')\) 如 (2) 所述。

若 \(f : Y \to U\) 有限 étale，且 \(Y\) 在 \(X\) 上于余维数 \(1\) 处不分歧， 分别地温和分歧，则 \(Y' = Y \times_X X' \to U'\) 有限 étale，且 \(Y'\) 在 \(X'\) 上于余维数 \(1\) 处不分歧，分别地温和分歧。

证明

本引理中唯一值得说明的事实是《代数补篇》引理 0EXY 给出的交换代数结果。

利用刚引入的术语，可以把先前得到的纯性结果重新表述为如下简洁形式。

引理

设 \(X\) 是局部 Noether 概形，\(U \subset X\) 开且稠密，并设 \(Y \to U\) 是有限 étale 态射。假设

1. \(Y\) 在 \(X\) 上于余维数 \(1\) 处不分歧；

2. 局部环 \(\mathcal{O}_{X, x}\) 对所有 \(x \in X \setminus U\) 都正则。

则存在有限 étale 态射 \(Y' \to X\)，其在 \(U\) 上的限制为 \(Y\)。

证明

令 \(\xi \in X \setminus U\) 为 \(X \setminus U\) 的某个余维数 \(1\) 不可约分支的一般点。 则 \(\mathcal{O}_{X, \xi}\) 是离散赋值环。如上文讨论，记 \(Y \times_U \Spec(K_\xi) = \Spec(L_\xi)\). 以 \(B_\xi\) 表示 \(\mathcal{O}_{X, \xi}\) 在 \(L_\xi\) 中的整闭包。 \(Y\) 在 \(X\) 上于余维数 \(1\) 处不分歧这一假设意味着 \(\mathcal{O}_{X, \xi} \to B_\xi\) 有限 étale。因此得到有限 étale 态射 \(Y_\xi \to \Spec(\mathcal{O}_{X, \xi})\) 以及同构 \[Y \times_U \Spec(K_\xi) \cong Y_\xi \times_{\Spec(\mathcal{O}_{X, \xi})} \Spec(K_\xi)\] （在 \(\Spec(K_\xi)\) 上）。由《极限》引理 0BQ5，可以找到开子概形 \(U \subset U' \subset X\)（它包含 \(\xi\)）以及有限表现态射 \(Y' \to U'\)，使其在 \(U\) 上的限制恢复 \(Y\)，而在 \(\Spec(\mathcal{O}_{X, \xi})\) 上的限制恢复 \(Y_\xi\)。 再由《极限》引理 0EY3，态射 \(Y' \to U'\) 在必要时把 \(U'\) 缩小为更小的开集后有限 étale。 对 \(X \setminus U\) 的其他余维数 \(1\) 分支的一般点重复此论证，可以假设已有 有限 étale 态射 \(Y' \to U'\)，它把 \(Y \to U\) 延拓到某个开子概形 \(U' \subset X\)，该开子概形包含 \(U\) 以及所有余维数 \(1\) 的 \(X \setminus U\) 中的点。 最后对 \(Y' \to U'\) 应用引理 0EY7。事实上，所有局部环 \(\mathcal{O}_{X, x}\)（其中 \(x \in X \setminus U'\)）都正则且满足 \(\dim(\mathcal{O}_{X, x}) \geq 2\)。故由引理 0BMA， \(\mathcal{O}_{X, x}\) 具有纯性。

引理

设 \(X\) 是局部 Noether 概形，\(D \subset X\) 是有效 Cartier 除子，且 \(D\) 为正则概形。设 \(Y \to X \setminus D\) 是有限 étale 态射。 若 \(Y\) 在 \(X\) 上于余维数 \(1\) 处不分歧，则存在有限 étale 态射 \(Y' \to X\)，其在 \(X \setminus D\) 上的限制为 \(Y\)。

证明

这是引理 0H2W 的特殊情形。首先， \(D\) 在 \(X\) 中处处不稠密（见《除子》节 01WQ 中的讨论），故 \(X \setminus D\) 在 \(X\) 中稠密。其次，环 \(\mathcal{O}_{X, x}\) 对所有 \(x \in D\) 都是正则局部环；这是由《代数》引理 00NU 以及 \(\mathcal{O}_{D, x}\) 正则这一假设得出的。

例

设 \(A\) 是 Noether 环，\(f \in A\) 是非零因子，且 \(A/fA\) 既约。 这意味着 \(A_\mathfrak p\) 是以 \(f\) 为一致化元的离散赋值环，其中 \(\mathfrak p\) 是 \(f\) 上方的任意极小素理想。设 \(e \geq 1\) 是在 \(A\) 中可逆的整数。令 \[C = A[x]/(x^e - f)\] 则 \(\Spec(C) \to \Spec(A)\) 是有限局部自由态射，并在 \(A_f\) 的谱上 étale。 有限 étale 态射 \[\Spec(C_f) \longrightarrow \Spec(A_f)\] 在 \(\Spec(A)\) 上于余维数 \(1\) 处温和分歧。温和性立即由《代数补篇》引理 0EXW 对温和分歧扩张的刻画得出。

下面给出适用于正则除子的 Abhyankar 引理版本。

引理

设 \(X\) 是局部 Noether 概形，\(D \subset X\) 是有效 Cartier 除子，且 \(D\) 为正则概形。设 \(Y \to X \setminus D\) 是有限 étale 态射。 若 \(Y\) 在 \(X\) 上于余维数 \(1\) 处温和分歧，则在 \(X\) 上 étale 局部， 态射 \(Y \to X\) 是例 0EYF 所述标准温和分歧态射的有限不交并。

证明

对每个 \(x \in X\)，将找出一个 étale 邻域 \((U, u) \to (X, x)\)，其中 \(U = \Spec(A)\)，使得基变换 \(Y \times_X U \to U\) 是例 0EYF 中标准温和分歧态射的有限不交并。 可设 \(x \in D\)；当 \(x \not \in D\) 时，结论由《Étale 态射》引理 04HN 以及在例 0EYF 中取 \(e = 1\)、\(f = 1\) 得出。

本段把问题归约到 \(X\) 为严格 Hensel 局部环之谱且 \(x\) 为闭点的情形。 具体地，缩小 \(X\) 后可以假设 \(X = \Spec(A)\)，而 \(D \subset X\) 由非零因子 \(f \in A\) 给出。此时 \(Y\) 作为 \(\Spec(A_f)\) 的有限 étale 覆盖是仿射的；记 \(Y = \Spec(B)\)。令 \(A^{sh}\) 为 \(\mathcal{O}_{X, x}\) 的严格 Hensel 化。 由于 \(A \to A^{sh}\) 平坦且 \(x \in D\)，可见 \(f\) 映为 \(A^{sh}\) 的极大理想中的非零因子。 注意，\(A^{sh}/fA^{sh} = (A/fA)^{sh}\)（《代数》引理 05WS）是 \(\mathcal{O}_{D, x}\) 的严格 Hensel 化，故为正则局部环；见《代数补篇》引理 06LN。由引理 0EYD，\(Y\) 到 \(\Spec(A^{sh})\) 的基变换在余维数 \(1\) 处温和分歧。假设已经对 \(Y\) 到 \(\Spec(A^{sh})\) 的基变换证明了断言。由于 \(A^{sh}\) 严格 Hensel， 每个 étale 邻域都有截面，从而得到同构 \[A^{sh} \otimes_A B \cong \prod\nolimits_{i \in I} A^{sh}_f[x]/(x^{e_i} - f)\] 其中 \(I\) 是有限集，每个 \(e_i\) 都是在 \(A^{sh}\) 中可逆的整数。把 \(A^{sh} = \colim A_\lambda\) 写成 étale \(A\)-代数 \(A_\lambda\) 的滤过余极限。 上示同构下降为同构 \[A_\lambda \otimes_A B \cong \prod\nolimits_{i \in I} (A_\lambda)_f[x]/(x^{e_i} - f)\] （对充分大的 \(\lambda\)）；例如见《代数》引理 05N9。再稍微增大 \(\lambda\)， 可以假设 \(e_i\) 在 \(A_\lambda\) 中可逆。于是 \(\Spec(A_\lambda) \to \Spec(A)\) 就是所求的 \(x\) 的 étale 邻域。

现在设 \(X = \Spec(A)\)，其中 \(A\) 是严格 Hensel 局部环，而 \(x \in X\) 对应于极大理想 \(\mathfrak m\)，这是 \(A\) 的极大理想。令 \(f \in \mathfrak m\) 为切出 \(D\) 的非零因子。 则 \(A/fA\) 正则，由《代数》引理 00NU， \(A\) 也正则。将使用正则局部环的一些性质，例如它们是正规整环；见《代数》引理 00NP 和 0567。 特别地，\(A\) 是整环。如上可见 \(Y = \Spec(B)\) 仿射，且 \(A_f \to B\) 有限 étale。故由《代数》引理 033C，\(B\) 也正规； 再由《代数》引理 030C， \(Y\) 是若干正规整环之谱的有限不交并。因此也可假设 \(B\) 是整环。 由于 \(A\) 和 \(A/fA\) 都是整环，\(f\) 是 \(A\) 的素元，并生成高度为 \(1\) 的素理想 \(\mathfrak p = fA\)。注意，\(A_\mathfrak p\) 是以 \(f\) 为一致化元的离散赋值环。

令 \(K\) 为 \(A\) 的分式域，\(L\) 为 \(B\) 的分式域。温和分歧假设意味着 \(L\) 关于 \(A_\mathfrak p\) 温和分歧。按《代数补篇》注 09E8，令 \(e \geq 1\) 为 \(L\) 在 \(A_\mathfrak p\) 上各分歧指数之积。于是 \(e\) 在 \(\kappa(\mathfrak p)\) 中可逆，但此时尚不知道 \(e\) 在 \(A/fA\) 或 \(A\) 中是否可逆。

考虑有限自由 \(A\)-代数 \[A' = A[x]/(x^e - f)\] 它是严格 Hensel 局部环的局部有限扩张，因而仍严格 Hensel。 注意，\(f' = x\) 是 \(A'\) 中的非零因子，而 \(A'/f'A' \cong A/fA\) 是正则环。 因此如上，\(A'\) 正则，进而是整环。令 \(B' = B \otimes_A A' = B \otimes_{A_f} A'_{f'}\). 由 Abhyankar 引理（《代数补篇》引理 0BRM）， \(\Spec(B')\) 在 \(\Spec(A')\) 上于余维数 \(1\) 处不分歧。事实上，由引理 0EYD，\(\Spec(B')\) 在 \(\Spec(A')\) 上于余维数 \(1\) 处至少仍温和分歧，而 Abhyankar 引理说明所有分歧指数都已变为 \(1\)。 由引理 0EYE，\(\Spec(B') \to \Spec(A'_{f'})\) 延拓为有限 étale 态射 \(\Spec(C) \to \Spec(A')\)。然而 \(A'\) 严格 Hensel， 所以 \(\Spec(C)\) 是若干份 \(\Spec(A')\) 的有限不交并。因而至少存在一个态射 \(\Spec(A'_{f'}) \to \Spec(B')\)，从而存在包含 \(B \subset A'_{f'}\)，它是 \(A_f\)-代数的包含。

于是有包含 \(K \subset L \subset K[f^{1/e}]\)。由《代数补篇》引理 09EV，\(L\) 等于 \(K[f^{1/n}]\)，其中 \(n\) 是 \(e\) 的某个因子。\(B\) 的正规性随即推出 \(B \cong A_f[y]/(y^n - f)\)；略去细节。不过，环映射 \(A_f \to A_f[y]/(y^n - f)\) 的分歧轨迹由 \(ny^{n - 1}\) 切出， 这必然意味着 \(n\) 在 \(A_f\) 中为单位。由于 \(f\) 是素元，这意味着 \(n = u f^s\)，其中 \(u\) 是 \(A\) 的某个单位，\(s \in \mathbf{Z}\)。 又因 \(n\) 在 \(\kappa(\mathfrak p)\) 中映为单位，故 \(s = 0\)，证明完成。

引理

在引理 0EYG 的情形中，\(X\) 在 \(Y\) 中的正规化是 有限局部自由态射 \(\pi : Y' \to X\)，并且

1. \(Y'\) 在 \(X \setminus D\) 上的限制同构于 \(Y\)；

2. \(D' = \pi^{-1}(D)_{red}\) 是 \(Y'\) 上的有效 Cartier 除子；

3. \(D'\) 是正则概形。

此外，在 \(X\) 上 étale 局部，态射 \(Y' \to X\) 是下列态射的有限不交并： \[\Spec(A[x]/(x^e - f)) \to \Spec(A)\] 其中 \(A\) 是 Noether 环，\(f \in A\) 是非零因子，\(A/fA\) 正则，并且 \(e \geq 1\) 在 \(A\) 中可逆。

证明

这只是引理 0EYG 的补充；事实上，读过该引理的证明后， 本引理几乎立即成立。也可以直接从引理 0EYG 的结论推出。 具体地，取 \(X\) 在 \(Y\) 中的正规化与 étale 基变换可交换；见《态射补篇》引理 03GV。所以关于 \(Y' \to X\) 局部结构的断言可以在 \(X\) 上 étale 局部证明。由引理 0EYG，可以假设 \(X = \Spec(A)\)，其中 \(A\) 是 Noether 环；存在非零因子 \(f\in A\) 使 \(A/fA\) 正则；并且 \(Y\) 是若干环 \(A_f[x]/(x^e - f)\) 之谱的有限不交并，其中 \(e\) 在 \(A\) 中可逆。 略去如下验证：\(A\) 在 \(A_f[x]/(x^e - f)\) 中的整闭包等于 \(A' = A[x]/(x^e - f)\)。（为此，只须证明 \(A'\) 在位于 \((f)\) 上方的素理想处的 局部化正则。）其余细节从略。

引理

在引理 0EYG 的情形中，令 \(Y' \to X\) 如引理 0EYH 所述。设 \(R\) 是分式域为 \(K\) 的离散赋值环。令 \[t : \Spec(R) \to X\] 为一个态射，使得概形论逆像 \(t^{-1}D\) 是 \(\Spec(R)\) 的约化闭点。

1. 若 \(t|_{\Spec(K)}\) 可提升为 \(Y\) 的一点，则得到提升 \(t' : \Spec(R) \to Y'\)，并且 \(Y' \to X\) 沿 \(t'(\Spec(R))\) 为 étale；

2. 若 \(\Spec(K) \times_X Y\) 同构于若干份 \(\Spec(K)\) 的不交并， 则 \(Y' \to X\) 在 \(t(\Spec(R))\) 的某个开邻域上有限 étale。

证明

把固有性的赋值判据应用于有限态射 \(Y' \to X\)，可知 \(\Spec(K)\)-值点（在 \(Y\) 中）若与 \(t|_{\Spec(K)}\) 作为到 \(X\) 的态射相符，便唯一提升为态射 \(t' : \Spec(R) \to Y'\)。因而陈述 (1) 有意义。

选取 étale 邻域 \((U, u) \to (X, t(\mathfrak m_R))\)，使 \(U = \Spec(A)\)，并使 \(Y' \times_X U \to U\) 对某个 \(f \in A\) 具有引理 0EYH 中的描述。于是 \(\Spec(R) \times_X U \to \Spec(R)\) étale 且满。若 \(R'\) 表示 \(\Spec(R) \times_X U\) 在 \(\Spec(R)\) 闭点上方的局部环，则 \(R'\) 是离散赋值环， 且 \(R \subset R'\) 是离散赋值环的不分歧扩张（《代数补篇》引理 0AP2）。关于 \(t\) 的假设意味着映射 \(A \to R'\)（它对应于 \[\Spec(R') \to \Spec(R) \times_X U \to U\] ）把 \(f\) 映为一致化元 \(\pi \in R'\)。现设 \[Y' \times_X U = \coprod\nolimits_{i \in I} \Spec(A[x]/(x^{e_i} - f))\] 其中 \(e_i \geq 1\)。于是 \[\Spec(R') \times_U (Y' \times_X U) = \coprod\nolimits_{i \in I} \Spec(R'[x]/(x^{e_i} - \pi))\] 环 \(R'[x]/(x^{e_i} - f)\) 是离散赋值环（《代数补篇》引理 09EV），所以它们不存在到 \(R'\) 的分式域的映射， 除非 \(e_i = 1\)。

(1) 的证明。在此情形中，映射 \(t' : \Spec(R) \to Y'\) 经基变换给出相应映射 \(t'' : \Spec(R') \to Y' \times_X U\)。由上文讨论，它必映入某个对应于 \(i \in I\) 且 \(e_i = 1\) 的分支。因此显然 \(Y' \times_X U \to U\) 沿 \(t''\) 的像为 étale。étale 性可在 étale 基变换后检验，故 (1) 得证。

(2) 的证明。在此情形中，假设蕴含 \(e_i = 1\)，对所有 \(i \in I\) 均如此。 因此 \(Y' \times_X U \to U\) 有限 étale，结论同上。

引理

设 \(S\) 是一般点为 \(\eta\) 的正规整 Noether 概形。设 \(f : X \to S\) 是具有几何连通 纤维的光滑态射。设 \(\sigma : S \to X\) 是 \(f\) 的截面。设 \(Z \to X_\eta\) 是有限 étale Galois 覆盖（节 03SF），其群 \(G\) 的阶在 \(S\) 上可逆，并且 \(Z\) 有一个 \(\kappa(\eta)\)-理性点映到 \(\sigma(\eta)\)。 则存在有限 étale Galois 覆盖 \(Y \to X\)，其群为 \(G\)，且其在 \(X_\eta\) 上的限制为 \(Z\)。

证明

先设 \(S = \Spec(R)\) 是离散赋值环 \(R\) 的谱，闭点为 \(s \in S\)。于是 \(X_s\) 是 \(X\) 中的有效 Cartier 除子，并且作为域上的光滑概形，\(X_s\) 正则。 此外，一般纤维 \(X_\eta\) 就是开子概形 \(X \setminus X_s\)。由《代数补篇》引理 09EB 及关于 \(G\) 的假设，\(Z\) 在 \(X\) 上于 余维数 \(1\) 处温和分歧。令 \(Z' \to X\) 如引理 0EYH 所述。注意，\(G\) 在 \(Z\) 上的作用延拓为 \(G\) 在 \(Z'\) 上的作用。由引理 0EYI， \(Z' \to X\) 在 \(\sigma(y)\) 的某个开邻域上有限 étale。由于 \(X_s\) 不可约， 这蕴含 \(Z \to X_\eta\) 在 \(X\) 上于余维数 \(1\) 处不分歧。于是得到有限 étale 态射 \(Y \to X\)，其在 \(X_\eta\) 上的限制为 \(Z\)；这是由引理 0EYE 得出的。当然 \(Y \cong Z'\)（略去细节；提示：在 étale 局部计算），故 \(Y\) 是群为 \(G\) 的 Galois 覆盖。

一般情形。令 \(U \subset S\) 为满足如下条件的极大开子概形：存在有限 étale Galois 覆盖 \(Y \to X \times_S U\)，其群为 \(G\)，且其在 \(X_\eta\) 上的限制同构于 \(Z\)。 为导出矛盾，假设 \(U \not = S\)。令 \(s \in S \setminus U\) 为 \(S \setminus U\) 某个不可约分支的一般点。则逆像 \(U_s\)（即 \(U\) 在 \(\Spec(\mathcal{O}_{S, s})\) 中的逆像）是 \(\mathcal{O}_{S, s}\) 的穿孔谱。我们断言 \(Y \times_S U_s \to X \times_S U_s\) 是有限 étale Galois 覆盖 \(Y'_s \to X \times_S \Spec(\mathcal{O}_{S, s})\) 的限制，该覆盖的群为 \(G\)。

先说明该断言如何产生所需矛盾。由《极限》引理 0BQ5，可找到开子概形 \(U \subset U' \subset S\)（它包含 \(s\)）以及有限表现态射 \(Y'' \to U'\)，使其在 \(U\) 上的限制 恢复 \(Y' \to U\)，而在 \(\Spec(\mathcal{O}_{S, s})\) 上的限制恢复 \(Y'_s\)。 此外，由该引理给出的范畴等价，缩小 \(U'\) 后可假设存在态射 \(Y'' \to U' \times_S X\)，并且 \(G\) 在 \(Y''\) 上、在 \(U' \times_S X\) 上方作用； 这些态射与作用经基变换到 \(U\) 和 \(\Spec(\mathcal{O}_{S, s})\) 后与给定者相容。 必要时进一步缩小 \(U'\)，可假设 \(Y'' \to U \times_S X\) 有限 étale；见 《极限》引理 0EY3。这说明找到了 \(S\) 的一个严格更大的开集，使 \(Y\) 在其上延拓为群为 \(G\) 的有限 étale Galois 覆盖，从而得到所需矛盾。

断言的证明。替换 \(S\)，所用者为 \(\Spec(\mathcal{O}_{S, s})\)。于是 \(S = \Spec(A)\)，其中 \((A, \mathfrak m)\) 是正规局部整环；\(U \subset S\) 为穿孔谱，并已有有限 étale Galois 覆盖 \(Y \to X \times_S U\)，其群为 \(G\)。若 \(\dim(A) = 1\)，则由证明第一段可把 \(Y\) 延拓为 \(X\) 的 Galois 覆盖。因此可设 \(\dim(A) \geq 2\)，从而有 \(\text{depth}(A) \geq 2\)，因为 \(S\) 正规；见《代数》引理 031S。由于 \(X \to S\) 平坦，可知 \(\text{depth}(\mathcal{O}_{X, x}) \geq 2\)，对每个点 \(x \in X\)（它映到 \(s\)）均如此； 见《代数》引理 0337。令 \[Y' \longrightarrow X\] 为用 \(Y \to X \times_S U\) 在引理 0EY6 中构造的有限态射。 注意，得到 \(G\) 在 \(Y\) 上的典范作用。因此只剩证明 \(Y'\) 在 \(X\) 上 étale。 事实上，例如由引理 0EYB，只须证明 \(Y' \to X\) 在纤维 \(X_s\) 的（唯一）一般点上方为 étale。为此，在 \(\sigma(s)\) 的一个（形式）邻域中作局部计算。

选取仿射开子概形 \(\Spec(B) \subset X\)，它包含 \(\sigma(s)\)。则 \(A \to B\) 是具有截面 \(\sigma : B \to A\) 的光滑环映射。记 \(I = \Ker(\sigma)\)，并以 \(B^\wedge\) 表示 \(I\)-进的 \(B\) 的完备化。由《代数》引理 05D5，有 \(B^\wedge \cong A[[x_1, \ldots, x_d]]\)，其中 \(d \geq 0\)。当然 \(B \to B^\wedge\) 平坦 （《代数》引理 00MB），且 \(\Spec(B^\wedge) \to X\) 的像包含 \(X_s\) 的一般点。令 \(V \subset \Spec(B^\wedge)\) 为 \(U\) 的逆像。考虑有限 étale 态射 \[W = Y \times_{(X \times_S U)} V \longrightarrow V\] 引理 0EY6 中 \(Y'\) 的构造与平坦基变换相容，因此基变换 \(Y' \times_X \Spec(B^\wedge) \to \Spec(B^\wedge)\) 是从 \(W \to V\) 在 \(\Spec(B^\wedge)\) 上按引理 0EY6 的步骤构造的。 令 \(V_0 = V \cap V(x_1, \ldots, x_d) \subset V\)，并令 \(W_0 = W \times_V V_0\)。这是正规整概形，它映入 \(\sigma(S)\)，所用态射为 \(\Spec(B^\wedge) \to X\)，且事实上与 \(\sigma(U)\) 等同。 因此 \(W_0 \to V_0 = U\) 完全分裂：其一般纤维具有此性质，因为假设 \(Z \to X_\eta\) 有一个 \(\kappa(\eta)\)-理性点位于 \(\sigma(\eta)\) 上方 （而 \(G\) 的作用当然随即蕴含整个纤维 \(Z_{\sigma(\eta)}\) 是若干份概形 \(\eta = \Spec(\kappa(\eta))\) 的不交并）。最后，由引理 0EY9 有 \[W_0 \times_U V \cong W\] 这说明 \(W\) 是若干份 \(V\) 的不交并，因而 \(Y' \times_X \Spec(B^\wedge)\) 是若干份 \(\Spec(B^\wedge)\) 的不交并，证明完成。

引理

设 \(S\) 是一般点为 \(\eta\) 的拟紧拟分离正规整概形。设 \(f : X \to S\) 是具有 几何连通纤维的拟紧拟分离光滑态射。设 \(\sigma : S \to X\) 是 \(f\) 的截面。 设 \(Z \to X_\eta\) 是有限 étale Galois 覆盖（节 03SF），其群 \(G\) 的阶在 \(S\) 上可逆， 并且 \(Z\) 有一个 \(\kappa(\eta)\)-理性点映到 \(\sigma(\eta)\)。 则存在有限 étale Galois 覆盖 \(Y \to X\)，其群为 \(G\)，且其在 \(X_\eta\) 上的限制为 \(Z\)。

证明

若 \(S\) 为 Noether 概形，这就是引理 0EYJ 的结论。 一般情形由标准极限论证推出。我们强烈建议读者略过本证明。

可把 \(S = \lim S_i\) 写成一族概形的有向极限，其中过渡态射仿射，而每个 \(S_i\) 都在 \(\mathbf{Z}\) 上有限型；见《极限》命题 01ZA。对每个 \(i\)，令 \(S \to S'_i \to S_i\) 为 \(S_i\) 在 \(S\) 中的正规化；见《态射》节 0BAK。结合《代数》命题 0335 以及《态射》引理 03GR 和 035L，可知 \(S'_i\) 在 \(\mathbf{Z}\) 上有限型， 在 \(S_i\) 上有限，并且 \(S'_i\) 是正规整概形，而 \(S \to S'_i\) 占优。 由《态射》引理 035J，得到过渡态射 \(S'_{i'} \to S'_i\)；它们与过渡态射 \(S_{i'} \to S_i\) 及源为 \(S\) 的态射相容。 断言 \(S = \lim S'_i\)。略去证明（提示：在 \(S_i\) 的一个选定仿射开集上方， 对某个 \(i\)，考察仿射开集， 把问题转化为直接的代数问题）。因此可把 \(S = \lim S_i\) 写成一族正规整概形 \(S_i\) 的有向极限，其中过渡态射仿射，且 \(S_i\) 在 \(\mathbf{Z}\) 上有限型。

对某个 \(i\)，可找到有限表现光滑态射 \(X_i \to S_i\)，其到 \(S\) 的基变换为 \(X \to S\)；见《极限》引理 01ZM 和 0C0C。增大 \(i\) 后，可假设截面 \(\sigma\) 提升为截面 \(\sigma_i : S_i \to X_i\)（由《极限》引理 01ZM 中的范畴等价）。可把 \(X_i\) 替换为 《态射补篇》节 055K 所研究的开子概形 \(X_i^0\)，因为 \(X \to X_i\) 的像显然映入其中（其开放性见《态射补篇》引理 055R）。于是可假设 \(X_i \to S_i\) 的纤维几何连通。再增大 \(i\)，可假设 \(|G|\) 在 \(S_i\) 上可逆。 令 \(\eta_i \in S_i\) 为一般点。由于 \(X_\eta\) 是概形 \(X_{i, \eta_i}\) 的极限， 可用完全相同的论证，把 \(Z \to X_\eta\) 下降为某个有限 étale Galois 覆盖 \(Z_i \to X_{i, \eta_i}\)，必要时增大 \(i\)；见引理 0BTV。 必要时再次增大 \(i\)，可假设 \(Z_i\) 有一个 \(\kappa(\eta_i)\)-理性点， 它映到 \(\sigma_i(\eta_i)\)。此时应用 Noether 情形的引理，再拉回到 \(X\)，即得结论。

正特征中的技巧

Piotr Achinger 的论文 [Achinger] 证明了正特征中的仿射概形总是 \(K(\pi, 1)\)。本节说明 [Achinger] 中较初等的部分。具体地，证明： 对正特征域 \(k\)，一个在 \(\mathbf{A}^n_k\) 上 étale 的仿射概形实际上通过另一个态射 在 \(\mathbf{A}^n_k\) 上有限 étale。还将证明，正特征中连通仿射概形的闭浸入在 étale 基本群上诱导单射。

设 \(k\) 是特征为 \(p > 0\) 的域。设 \[k[x_1, \ldots, x_n] \longrightarrow A\] 是有限型 \(k\)-代数的满射，其源是关于 \(x_1, \ldots, x_n\) 的多项式代数。 以 \(I \subset k[x_1, \ldots, x_n]\) 表示核，于是 \(A = k[x_1, \ldots, x_n]/I\)。不假设 \(A\) 非零（换言之，允许 \(A\) 为零环且 \(I = k[x_1, \ldots, x_n]\)）。最后，假设给定有限 étale 环映射 \(\pi : A \to B\)。

假设给定 \(k, n, k[x_1, \ldots, x_n] \to A, I, \pi : A \to B\)。 设 \(C\) 是 \(k\)-代数。考虑交换图 \[\xymatrix{ & B \\ C \ar[r] & C/\varphi(I)C \ar[u]^\tau \\ k[x_1, \ldots, x_n] \ar[u]^\varphi \ar[r] & A \ar[u] \ar@/_3em/[uu]_\pi }\] 其中 \(\varphi\) 是 étale \(k\)-代数映射，\(\tau\) 是满的 \(k\)-代数映射。 给定 \(C, \varphi, \tau\)。对任意 \(r \geq 0\) 以及元素 \(y_1, \ldots, y_r \in C\)，若它们生成代数 \(C\)（在 \(\Im(\varphi)\) 上），令 \(s = s(r, y_1, \ldots, y_r) \in \{0, \ldots, r\}\) 为满足下列条件的最大元素： 元素 \(y_i\) 在 \(\Im(\varphi)\) 上整，其中 \(1 \leq i \leq s\)。定义 \(NF(C, \varphi, \tau)\) 为 \(r - s = r - s(r, y_1, \ldots, y_r)\) 的最小值，其中遍历所有上述 \(r\) 和 \(y_1, \ldots, y_r\) 的选择。注意， \(NF(C, \varphi, \tau)\) 为 \(0\) 当且仅当 \(\varphi\) 有限。

引理

在上述情形中，若 \(NF(C, \varphi, \tau) > 0\)，则存在 étale \(k\)-代数映射 \(\varphi'\) 和满的 \(k\)-代数映射 \(\tau'\)，它们嵌入交换图 \[\xymatrix{ & B \\ C \ar[r] & C/\varphi'(I)C \ar[u]_{\tau'} \\ k[x_1, \ldots, x_n] \ar[u]^{\varphi'} \ar[r] & A \ar[u] \ar@/_3em/[uu]_\pi }\] 并满足 \(NF(C, \varphi', \tau') < NF(C, \varphi, \tau)\)。

证明

选取 \(r \geq 0\) 和 \(y_1, \ldots, y_r \in C\)，它们生成 \(C\)，作为 \(\Im(\varphi)\) 上的代数；再选取 \(0 \leq s \leq r\)，使得 \(y_1, \ldots, y_s\) 在 \(\Im(\varphi)\) 上整，并且 \(r - s = NF(C, \varphi, \tau) > 0\)。由于 \(B\) 在 \(A\) 上有限， \(y_{s + 1}\) 在 \(B\) 中的像满足一个以 \(A\) 中元素为系数的首一多项式。 因此可以找到 \(d \geq 1\) 和 \(f_1, \ldots, f_d \in k[x_1, \ldots, x_n]\)，使得 \[z = y_{s + 1}^d + \varphi(f_1) y_{s + 1}^{d - 1} + \ldots + \varphi(f_d) \in J = \Ker(C \to C/\varphi(I)C \xrightarrow{\tau} B)\] 由于 \(\varphi : k[x_1, \ldots, x_n] \to C\) 为 étale，可以找到非零非常数多项式 \(g \in k[T_1, \ldots, T_{n + 1}]\)，使得 \[g(\varphi(x_1), \ldots, \varphi(x_n), z) = 0 \quad\text{于}\quad C\] 为说明这一点，例如可用如下事实： \(C \otimes_{\varphi, k[x_1, \ldots, x_n]} k(x_1, \ldots, x_n)\) 是 \(k(x_1, \ldots, x_n)\) 的有限可分域扩张的有限积 （见《代数》引理 00U3），因此 \(z\) 满足一个 以 \(k(x_1, \ldots, x_n)\) 中元素为系数的首一多项式。清除分母即得 \(g\)。

\(g\) 的存在性与《代数》引理 051N 给出整数 \(e_1, e_2, \ldots, e_n \geq 1\)，使得 \(z\) 在子环 \(C'\) 上整，而该子环属于 \(C\) 并由 \(t_1 = \varphi(x_1) + z^{pe_1}, \ldots, t_n = \varphi(x_n) + z^{pe_n}\) 生成。 当然，元素 \(\varphi(x_1), \ldots, \varphi(x_n)\) 也在 \(C'\) 上整，元素 \(y_1, \ldots, y_s\) 亦然。最后，由 \(z\) 的选取，元素 \(y_{s + 1}\) 也在 \(C'\) 上整。

考虑环映射 \[\varphi' : k[x_1, \ldots, x_n] \longrightarrow C, \quad x_i \longmapsto t_i\] 其像为 \(C'\)。由于 \(\text{d}(\varphi(x_i)) = \text{d}(t_i) = \text{d}(\varphi'(x_i))\) 在 \(\Omega_{C/k}\) 中成立（这里用到 \(k\) 的特征为 \(p > 0\)），所以 \(\varphi'\) 为 étale，因为 \(\varphi\) 为 étale；见《代数》引理 0G1C。注意， \(\varphi'(x_i) - \varphi(x_i) = t_i - \varphi(x_i) = z^{pe_i}\) 属于核 \(J\)，它是映射 \(C \to C/\varphi(I)C \to B\) 的核；这是因为选取的 \(z\) 是 \(J\) 的元素。 因此，对 \(f \in I\)，元素 \[\varphi'(f) = f(t_1, \ldots, t_n) = f(\varphi(x_1) + z^{pe_1}, \ldots, \varphi(x_n) + z^{pe_n}) = \varphi(f) + \text{element of }(z)\] 也属于 \(J\)。换言之，\(\varphi'(I)C \subset J\)，并得到满射 \[\tau' : C/\varphi'(I)C \longrightarrow C/J \cong B\] （在 \(A\) 上 étale 的代数之间）。最后，代数 \(C\) 由元素 \(\varphi(x_1), \ldots, \varphi(x_n), y_1, \ldots, y_r\) 生成（在 \(C' = \Im(\varphi')\) 上），而 \(\varphi(x_1), \ldots, \varphi(x_n), y_1, \ldots, y_{s + 1}\) 在 \(C' = \Im(\varphi')\) 上整。因此 \(NF(C, \varphi', \tau') < r - s = NF(C, \varphi, \tau)\)。证明完成。

引理

设 \(k\) 是特征为 \(p > 0\) 的域。设 \(X \to \mathbf{A}^n_k\) 是 étale 态射， 且 \(X\) 仿射。则存在有限 étale 态射 \(X \to \mathbf{A}^n_k\)。

证明

记 \(X = \Spec(C)\)。令 \(A = 0\)，并记 \(I = k[x_1, \ldots, x_n]\)。 由假设，存在某个 étale \(k\)-代数映射 \(\varphi : k[x_1, \ldots, x_n] \to C\)。以 \(\tau : C/\varphi(I)C \to 0\) 表示唯一满射。可以选取 \(\varphi\) 和 \(\tau\)，使 \(N(C, \varphi, \tau)\) 最小。 由引理 0G1F，得到 \(N(C, \varphi, \tau) = 0\)。 因此 \(\varphi\) 有限 étale。

引理

设 \(k\) 是特征为 \(p > 0\) 的域。设 \(Z \subset \mathbf{A}^n_k\) 是闭子概形。 设 \(Y \to Z\) 有限 étale。则存在有限 étale 态射 \(f : U \to \mathbf{A}^n_k\)，使得存在开且闭的浸入 \(Y \to f^{-1}(Z)\)（在 \(Z\) 上）。

证明

把问题转化为代数。记 \(\mathbf{A}^n_k = \Spec(k[x_1, \ldots, x_n])\). 则 \(Z = \Spec(A)\)，其中 \(A = k[x_1, \ldots, x_n]/I\)，这里 \(I \subset k[x_1, \ldots, x_n]\) 是某个理想。记 \(Y = \Spec(B)\)， 于是 \(Y \to Z\) 对应于有限 étale \(k\)-代数映射 \(A \to B\)。

由《代数》引理 04D1，存在 étale 环映射 \[\varphi : k[x_1, \ldots, x_n] \to C\] 以及满的 \(A\)-代数映射 \(\tau : C/\varphi(I)C \to B\)。 （甚至可以选取 \(C, \varphi, \tau\) 使 \(\tau\) 为同构，但这里不用这一点。） 可以选取 \(\varphi\) 和 \(\tau\)，使 \(N(C, \varphi, \tau)\) 最小。 由引理 0G1F，得到 \(N(C, \varphi, \tau) = 0\)。 因此 \(\varphi\) 有限 étale。

令 \(f : U = \Spec(C) \to \mathbf{A}^n_k\) 为对应于 \(\varphi\) 的有限 étale 态射。态射 \(Y \to f^{-1}(Z) = \Spec(C/\varphi(I)C)\)（由 \(\tau\) 诱导） 是闭浸入，因为 \(\tau\) 满； 它也是开的，因为由《态射》引理 02GW，它是 étale 态射。证明完成。

下面是主要结果。

命题

设 \(p\) 是素数。设 \(i : Z \to X\) 是 \(\mathbf{F}_p\) 上连通仿射概形的闭浸入。 对任意几何点 \(\overline{z}\)（取自 \(Z\)），映射 \[\pi_1(Z, \overline{z}) \to \pi_1(X, \overline{z})\] 是单射。

证明

设 \(Y \to Z\) 是有限 étale 态射。只须构造有限 étale 态射 \(f : U \to X\)，使 \(Y\) 同构于 \(f^{-1}(Z)\) 的一个开且闭子概形；见引理 0BN7。记 \(Y = \Spec(A)\) 且 \(X = \Spec(R)\)，于是闭浸入 \(Y \to X\) 由满射 \(R \to A\) 给出。 可把 \(A = \colim A_i\) 写成它的有限型 \(\mathbf{F}_p\)-子代数的滤过余极限。 由引理 0BTV，可以找到一个 \(i\) 和有限 étale 态射 \(Y_i \to Z_i = \Spec(A_i)\)，使得 \(Y = Z \times_{Z_i} Y_i\)。

选取满射 \(\mathbf{F}_p[x_1, \ldots, x_n] \to A_i\)。它确定闭浸入 \[Z_i = \Spec(A_i) \longrightarrow X_i = \mathbf{A}^n_{\mathbf{F}_p} = \Spec(\mathbf{F}_p[x_1, \ldots, x_n])\] 由多项式代数的泛性质以及 \(R \to A\) 为满射这一事实，可以找到交换图 \[\xymatrix{ \mathbf{F}_p[x_1, \ldots, x_n] \ar[r] \ar[d] & A_i \ar[d] \\ R \ar[r] & A }\] （在 \(\mathbf{F}_p\)-代数范畴中）。因此有交换图 \[\xymatrix{ Y_i \ar[r] & Z_i \ar[r] & X_i \\ Y \ar[u] \ar[r] & Z \ar[u] \ar[r] & X \ar[u] }\] 其右方形为 Cartesian。显然，若能找到有限 étale 的 \(f_i : U_i \to X_i\)，使 \(Y_i\) 同构于 \(f_i^{-1}(Z_i)\) 的一个开且闭子概形， 则基变换 \(f : U \to X\)（即 \(f_i\) 沿 \(X \to X_i\) 的基变换）就是本问题的解。 因此，应用引理 0G1H 于 \(Y_i \to Z_i \to X_i = \mathbf{A}^n_{\mathbf{F}_p}\) 即得结论。