余切复形

引言

本章的目标是构造环同态、概形态射以及代数空间态射的余切复形。可供参考的文献包括讲义 [quillenhomology]、论文 [quillencohomology]，以及专著 [Andre] 和 [cotangent]。

给读者的建议

撰写本章时，我们尽量减少单纯形技巧的使用。对环 $A$ 上的环 $B$，我们把选择一个预解 $P_\bullet$ 看作计算范畴 $\mathcal{C}_{B/A}$ 上阿贝尔层同调的工具，见注 08QI。这类似于用 Čech 复形计算上同调时“良覆盖”所起的作用。若要简要了解范畴上的同调，请参阅《位点上的上同调》第 08RW 节。对于同调而言，导出下惊叹号函子 $L\pi_!$ 所扮演的角色，正如 $R\Gamma(\mathcal{C}_{B/A}, -)$ 对上同调所扮演的角色。第 08PQ 节研究的范畴 $\mathcal{C}_{B/A}$，是由分解 $A \to P \to B$（其中 $P$ 是 $A$ 上的多项式代数）组成的范畴的反范畴。该范畴上有环层同态 \[\underline{A} \longrightarrow \mathcal{O} \longrightarrow \underline{B}\] 并且在对象 $U = (P \to B)$ 上有 $\mathcal{O}(U)=P$。最终可得 $B$ 在 $A$ 上的余切复形为 \[L_{B/A} = L\pi_!(\Omega_{\mathcal{O}/\underline{A}} \otimes_\mathcal{O} \underline{B})\] 见引理 08PU。我们始终尽力采用这一观点证明环同态余切复形的基本性质。尤其是，所有结果原则上都可在不依赖标准预解存在性的情况下证明，尽管我们并未这样做。这一理论相当令人满意；唯一可能的例外是基本三角（命题 08QX）的证明需要稍多一点关于导出下惊叹号函子的理论。为向读者提供另一种途径，我们在注 08SD 和 08SE 中给出一种仅依赖标准预解简单性质的、相当完整的证明纲要。

对于环化拓扑斯态射、概形态射、代数空间态射等的余切复形，我们的做法是尽可能从上面讨论的“普通环同态”情形推出结论。

环同态的余切复形

设 $A$ 为环，以 $\textit{Alg}_A$ 记 $A$-代数范畴。考虑一对伴随函子 $(U,V)$，其中 $V:\textit{Alg}_A\to\textit{Sets}$ 是遗忘函子， $U:\textit{Sets}\to\textit{Alg}_A$ 则把集合 $E$ 送到 $A$ 上以 $E$ 为变量集的多项式代数 $A[E]$。令 $X_\bullet$ 为《单纯形》第 08N8 节所构造的 $\text{Fun}(\textit{Alg}_A,\textit{Alg}_A)$ 中的单纯形对象。

取一个 $A$-代数 $B$，以 $P_\bullet=X_\bullet(B)$ 记所得的单纯形 $A$-代数。回忆 $P_0=A[B]$、$P_1=A[A[B]]$，依此类推。特别地，每一项 $P_n$ 都是多项式 $A$-代数。还记得存在增广 \[\epsilon : P_\bullet \longrightarrow B\] 这里把 $B$ 看作常值单纯形 $A$-代数。

定义

设 $A\to B$ 为环同态。$B$ 在 $A$ 上的标准预解是增广 $\epsilon:P_\bullet\to B$，其各项为 \[P_0 = A[B],\quad P_1 = A[A[B]],\quad \ldots\] 而同态按《单纯形》例 09CB 中的方式构造。

我们将看到，在某些情形下可以利用标准预解计算左导出函子。

定义

环同态 $A\to B$ 的余切复形 $L_{B/A}$，是与单纯形 $B$-模 \[\Omega_{P_\bullet/A} \otimes_{P_\bullet, \epsilon} B\] 相伴的 $B$-模复形，其中 $\epsilon:P_\bullet\to B$ 是 $B$ 在 $A$ 上的标准预解。

在《单纯形》第 0194 节中，我们为单纯形模配上链复形；但这里使用的是上链复形。因此，次数 $-n$ 上的项 $L_{B/A}^{-n}$ 是 $B$-模 $\Omega_{P_n/A}\otimes_{P_n,\epsilon_n}B$，且当 $m>0$ 时 $L_{B/A}^m=0$。

注

设 $A\to B$ 为环同态。令 $\mathcal{A}$ 为 $A$-代数箭头 $\psi:C\to B$ 所成的范畴，令 $\mathcal{S}$ 为同态 $E\to B$ 所成的范畴，其中 $E$ 是集合。存在伴随函子 $V:\mathcal{A}\to\mathcal{S}$（遗忘函子）与 $U:\mathcal{S}\to\mathcal{A}$；后者把 $E\to B$ 送到 $A[E]\to B$。令 $X_\bullet$ 为《单纯形》第 08N8 节所构造的 $\text{Fun}(\mathcal{A},\mathcal{A})$ 中的单纯形对象。图 \[\xymatrix{ \mathcal{A} \ar[d] \ar[r] & \mathcal{S} \ar@<1ex>[l] \ar[d] \\ \textit{Alg}_A \ar[r] & \textit{Sets} \ar@<1ex>[l] }\] 交换。因此，$X_\bullet(\text{id}_B:B\to B)$ 等于 $B$ 在 $A$ 上的标准预解。

引理

设 $A_i\to B_i$ 是有向指标集 $I$ 上的一族环同态。那么 $\colim L_{B_i/A_i}=L_{\colim B_i/\colim A_i}$。

证明

这是因为遗忘函子 $V:A\textit{-Alg}\to\textit{Sets}$ 及其伴随函子 $U:\textit{Sets}\to A\textit{-Alg}$ 都与滤余极限交换。此外，函子 $B/A\mapsto\Omega_{B/A}$ 也具有这一性质（《交换代数》引理 031G）。

单纯形预解与导出下惊叹号函子

设 $A\to B$ 为环同态。考虑如下范畴：其对象是 $A$-代数同态 $\alpha:P\to B$，其中 $P$ 是 $A$ 上以某个集合¹为变量集的多项式代数；其态射 $s:(\alpha:P\to B)\to(\alpha':P'\to B)$ 是满足 $\alpha'\circ s=\alpha$ 的 $A$-代数同态 $s:P\to P'$。以 $\mathcal{C}=\mathcal{C}_{B/A}$ 记此范畴的反范畴。取反范畴的原因是，我们希望把对象 $(P,\alpha)$ 看作对应于仿射概形图 \[\xymatrix{ \Spec(B) \ar[d] \ar[r] & \Spec(P) \ar[ld] \\ \Spec(A) }\] 我们赋予 $\mathcal{C}$ 混沌拓扑（《位点》例 07GE）；换言之，把 $\mathcal{C}$ 视为一个位点，其覆盖均由恒等态射给出，因而所有预层都是层。此外，在 $\mathcal{C}$ 上赋予两个环层。第一个是把对象 $(P,\alpha)$ 送到 $P$ 的层 $\mathcal{O}$；第二个是常值层 $B$，记作 $\underline{B}$。于是得到如下环化拓扑斯态射图 [08PR]\[\begin{equation} \vcenter{ \xymatrix{ (\Sh(\mathcal{C}), \underline{B}) \ar[r]_i \ar[d]_\pi & (\Sh(\mathcal{C}), \mathcal{O}) \\ (\Sh(*), B) } } \end{equation}\] 态射 $i$ 在底层拓扑斯上是恒等态射，而 $i^\sharp:\mathcal{O}\to\underline{B}$ 是显然的同态。同态 $\pi$ 如《位点上的上同调》例 08PF 所述。下列导出函子将在后文中起重要作用： $Li^* : D(\mathcal{O}) \longrightarrow D(\underline{B})$ 它左伴随于 $Ri_*=i_*:D(\underline{B})\to D(\mathcal{O})$；以及 $L\pi_! : D(\underline{B}) \longrightarrow D(B)$ 它左伴随于 $\pi^*=\pi^{-1}:D(B)\to D(\underline{B})$。

引理

沿用上述记号，设 $P_\bullet$ 是带有增广 $\epsilon:P_\bullet\to B$ 的单纯形 $A$-代数。假设每个 $P_n$ 都是 $A$ 上的多项式代数，并且 $\epsilon$ 在底层单纯形集上是平凡 Kan 纤维化。那么 \[L\pi_!(\mathcal{F}) = \mathcal{F}(P_\bullet, \epsilon)\] 在 $D(\textit{Ab})$ 或 $D(B)$ 中成立，并且分别关于 $\textit{Ab}(\mathcal{C})$ 或 $\textit{Mod}(\underline{B})$ 中的 $\mathcal{F}$ 具有函子性。

证明

我们将使用《位点上的上同调》引理 08Q9 的判据。给定 $\mathcal{C}$ 的对象 $U=(Q,\beta)$，须证明 \[S_\bullet = \Mor_\mathcal{C}((P_\bullet, \epsilon), (Q, \beta))\] 与单点集同伦等价。把 $Q$ 写成 $A[E]$，其中 $E$ 为某个集合（由 $\mathcal{C}$ 的选取可如此表示）。于是 \[S_\bullet = \Mor_{\textit{Sets}}((E, \beta|_E), (P_\bullet, \epsilon))\] 令 $*$ 为单点集上的常值单纯形集。对 $b\in B$，以 $F_{b,\bullet}$ 记由笛卡儿图 \[\xymatrix{ F_{b, \bullet} \ar[r] \ar[d] & P_\bullet \ar[d]_\epsilon \\ {*} \ar[r]^b & B }\] 定义的单纯形集。按此记号， $S_\bullet=\prod_{e\in E}F_{\beta(e),\bullet}$。由于假设 $\epsilon$ 是平凡 Kan 纤维化，$F_{b,\bullet}\to *$ 也是平凡 Kan 纤维化（《单纯形》引理 08NN）。因此 $S_\bullet\to *$ 是平凡 Kan 纤维化（《单纯形》引理 08NR），从而 $S_\bullet$ 与 $*$ 同伦等价（《单纯形》引理 08NS）。

特别地，可以用 $B$ 在 $A$ 上的标准预解计算导出下惊叹号函子。

引理

设 $A\to B$ 为环同态，$\epsilon:P_\bullet\to B$ 为 $B$ 在 $A$ 上的标准预解，并令 $\pi$ 如 (08PR) 所示。那么 \[L\pi_!(\mathcal{F}) = \mathcal{F}(P_\bullet, \epsilon)\] 在 $D(\textit{Ab})$ 或 $D(B)$ 中成立，并且分别关于 $\textit{Ab}(\mathcal{C})$ 或 $\textit{Mod}(\underline{B})$ 中的 $\mathcal{F}$ 具有函子性。

证明

应用引理 08PS。由于各项 $P_n$ 都是多项式代数，该引理的第一个假设成立。第二个假设证明如下。由《单纯形》引理 08ND，同态 $\epsilon$ 在底层单纯形集上是同伦等价。由《单纯形》引理 08P2，这说明 $\epsilon$ 在相伴的阿贝尔群复形之间诱导拟同构。再由《单纯形》引理 08P1，$\epsilon$ 在底层单纯形集上是平凡 Kan 纤维化。

证明

我们将使用《位点上的上同调》引理 08Q9 的判据。设 $U=(Q,\beta)$ 为 $\mathcal{C}$ 的对象。须证明 \[S_\bullet = \Mor_\mathcal{C}((P_\bullet, \epsilon), (Q, \beta))\] 与单点集同伦等价。把 $Q$ 写成 $A[E]$，其中 $E$ 是某个集合（由 $\mathcal{C}$ 的选取可如此表示）。使用注 08PP 的记号可得 \[S_\bullet = \Mor_\mathcal{S}((E \to B), i(P_\bullet \to B))\] 由《单纯形》引理 08ND，同态 $i(P_\bullet\to B)\to i(B\to B)$ 在 $\mathcal{S}$ 中是同伦等价。因此 $S_\bullet$ 与 \[\Mor_\mathcal{S}((E \to B), (B \to B)) = \{*\}\] 同伦等价，正合所需。

引理

设 $A\to B$ 为环同态，并令 $\pi$ 与 $i$ 如 (08PR) 所示。存在典范同构 \[L_{B/A} = L\pi_!(Li^*\Omega_{\mathcal{O}/A}) = L\pi_!(i^*\Omega_{\mathcal{O}/A}) = L\pi_!(\Omega_{\mathcal{O}/A} \otimes_\mathcal{O} \underline{B})\] 属于 $D(B)$。

证明

对范畴 $\mathcal{C}$ 的对象 $\alpha:P\to B$，模 $\Omega_{P/A}$ 是自由 $P$-模。因此 $\Omega_{\mathcal{O}/A}$ 是平坦 $\mathcal{O}$-模。于是 $Li^*\Omega_{\mathcal{O}/A}=i^*\Omega_{\mathcal{O}/A}$ 是这样的 $\underline{B}$-模层：它把 $\alpha:P\to A$ 送到 $B$-模 $\Omega_{P/A}\otimes_{P,\alpha}B$。

由引理 08PT，右端由该层在标准预解上的值计算；而依定义 08PN，这正是左端的定义。

引理

若 $A\to B$ 是环同态，且 $\pi$ 如 (08PR) 所示，则 $L\pi_!(\pi^{-1}M)=M$。

证明

由引理 08PS，$L\pi_!(\pi^{-1}M)$ 可由 $(\pi^{-1}M)(P_\bullet,\epsilon)$ 计算，而后者是 $M$ 上的常值单纯形对象。

引理

若 $A\to B$ 是环同态，则 $H^0(L_{B/A})=\Omega_{B/A}$。

证明

我们直接计算。使用引理 08PU 中的等同。显然存在从 $\Omega_{\mathcal{O}/A}\otimes\underline{B}$ 到取值为 $\Omega_{B/A}$ 的常值层的同态。因此，它诱导同态 \[H^0(L_{B/A}) = H^0(L\pi_!(\Omega_{\mathcal{O}/A} \otimes \underline{B})) = \pi_!(\Omega_{\mathcal{O}/A} \otimes \underline{B}) \to \Omega_{B/A}\] 在 $\mathcal{C}_{B/A}$ 中选取对象 $P\to B$，使 $P\to B$ 满射；由《交换代数》引理 00RR 可知上述同态满射。为证其单射，设 $P\to B$ 是 $\mathcal{C}_{B/A}$ 的对象，且 $\xi\in\Omega_{P/A}\otimes_PB$ 在 $\Omega_{B/A}$ 中的像为零。先选取分解 $P\to P'\to B$，使 $P'\to B$ 满射且 $P'$ 是 $A$ 上的多项式代数。可以用 $P'$ 替换 $P$。若 $B=P/I$，则 $\Omega_{P/A}\otimes_PB\to\Omega_{B/A}$ 的核是 $I/I^2$ 的像（《交换代数》引理 00RU）。设 $\xi$ 是 $f\in I$ 的像。考虑两个同态 $a,b:P'=P[x]\to P$：第一个把 $x$ 映到 $0$，第二个把 $x$ 映到 $f$（在两种情形中， $P[x]\to B$ 都把 $x$ 映到零）。于是 $\xi$ 与 $0$ 都是 $\text{d}x\otimes1$ 在 $\Omega_{P'/A}\otimes_{P'}B$ 中的像。故 $\xi$ 与 $0$ 在余极限 $\pi_!(\Omega_{\mathcal{O}/A}\otimes\underline{B})$ 中有相同的像（见《位点上的上同调》例 08PF），正合所需。

引理

若 $B$ 是环 $A$ 上的多项式代数，且 $\pi$ 如 (08PR) 所示，则 $\pi_!$ 正合，且 $\pi_!\mathcal{F}=\mathcal{F}(B\to B)$。

证明

由引理 08PS，可用 $B$ 上的常值单纯形代数计算 $L\pi_!$。

引理

若 $B$ 是环 $A$ 上的多项式代数，则 $L_{B/A}$ 与 $\Omega_{B/A}[0]$ 拟同构。

证明

立即由引理 08PU 和 08QG 得出。

构造预解

在诺特有限型情形下，可以为有限型环同态构造一个“小”的单纯形预解。

引理

设 $A$ 是诺特环，$A\to B$ 是有限型环同态。令 $\mathcal{A}$ 为 $A$-代数同态 $C\to B$ 所成的范畴。设 $n\geq0$，并设 $P_\bullet$ 是 $\mathcal{A}$ 中满足下列条件的单纯形对象：

$P_\bullet\to B$ 是单纯形集的平凡 Kan 纤维化；

当 $k\leq n$ 时，$P_k$ 在 $A$ 上有限型；

作为 $\mathcal{A}$ 中的单纯形对象， $P_\bullet=\text{cosk}_n\text{sk}_nP_\bullet$。

那么 $P_{n+1}$ 是有限型 $A$-代数。

证明

我们给出的证明虽然直接，却略显繁琐。为说明思路，先解释较小 $n$ 时的情形，再给出一般证明。例如，若 $n=0$，则 (3) 意味着 $P_1=P_0\times_BP_0$。由于环同态 $P_0\to B$ 满射，由《更多交换代数》引理 00IT，该代数在 $A$ 上有限型。

若 $n=1$，则 (3) 意味着 \[P_2 = \{(f_0, f_1, f_2) \in P_1^3 \mid d_0f_0 = d_0f_1,\ d_1f_0 = d_0f_2,\ d_1f_1 = d_1f_2 \}\] 其中各等式均在 $P_0$ 中成立。注意，三元组 \[(d_0f_0, d_1f_0, d_1f_1) = (d_0f_1, d_0f_2, d_1f_2)\] 是 $B$ 上纤维积 $P_0\times_BP_0\times_BP_0$ 的元素，因为同态 $d_i:P_1\to P_0$ 都是 $B$ 上的态射。因此得到同态 \[\psi : P_2 \longrightarrow P_0 \times_B P_0 \times_B P_0\] $\psi$ 在元素 $(g_0,g_1,g_2)\in P_0\times_BP_0\times_BP_0$ 上的纤维，是满足 $(d_0,d_1)(f_0)=(g_0,g_1)$、$(d_0,d_1)(f_1)=(g_0,g_2)$ 以及 $(d_0,d_1)(f_2)=(g_1,g_2)$ 的 $1$-单形三元组 $(f_0,f_1,f_2)$ 所成的集合。由于 $P_\bullet\to B$ 是平凡 Kan 纤维化，同态 $(d_0,d_1):P_1\to P_0\times_BP_0$ 满射。因此 $P_2$ 位于笛卡儿图 \[\xymatrix{ P_2 \ar[d] \ar[r] & P_1^3 \ar[d] \\ P_0 \times_B P_0 \times_B P_0 \ar[r] & (P_0 \times_B P_0)^3 }\] 中。由《更多交换代数》引理 08NI 即得结论。一般情形类似，但需要稍多一些记号。

现在处理 $n>1$ 的情形。由《单纯形》引理 08NJ，条件 $P_\bullet=\text{cosk}_n\text{sk}_nP_\bullet$ 蕴含同一等式在单纯形 $A$-代数范畴中成立，因而也在集合范畴中成立（因为从 $A$-代数到集合的遗忘函子与极限交换）。所以 \[P_{n + 1} = \Mor(\Delta[n + 1], P_\bullet) = \Mor(\text{sk}_n \Delta[n + 1], \text{sk}_n P_\bullet)\] 这里使用了《单纯形》引理 0177 和等式 (0181)。我们将对 $1\leq k<m\leq n+1$ 归纳证明环 \[Q_{k, m} = \Mor(\text{sk}_k \Delta[m], \text{sk}_k P_\bullet)\] 在 $A$ 上有限型。当 $k=1$ 且 $1<m\leq n+1$ 时，这与上面对 $n=1$ 的讨论完全类似。具体而言，存在笛卡儿图 \[\xymatrix{ Q_{1, m} \ar[d] \ar[r] & P_1^N \ar[d] \\ P_0 \times_B \ldots \times_B P_0 \ar[r] & (P_0 \times_B P_0)^N }\] 其中 $N={m+1\choose2}$。同前可得结论。

设 $1\leq k_0\leq n$，并假设对所有满足 $1\leq k\leq k_0$ 与 $k<m\leq n+1$ 的指标，$Q_{k,m}$ 在 $A$ 上有限型。对 $k_0+1<m\leq n+1$，我们断言存在笛卡儿方块 \[\xymatrix{ Q_{k_0 + 1, m} \ar[d] \ar[r] & P_{k_0 + 1}^N \ar[d] \\ Q_{k_0, m} \ar[r] & Q_{k_0, k_0 + 1}^N }\] 其中 $N$ 是 $\Delta[m]$ 的非退化 $(k_0+1)$-单形的个数。为看出这一点，把 $Q_{k_0+1,m}$ 的元素看作从 $\Delta[m]$ 的 $(k_0+1)$-骨架到 $P_\bullet$ 的同态 $f$。把 $f$ 限制到 $k_0$-骨架，得到图中的左侧竖直同态；把它限制到每个非退化 $(k_0+1)$-单形，则得到上方水平同态。给定这样的 $f$，等价于给定它在 $k_0$-骨架和每个非退化 $(k_0+1)$-面上的限制，并要求这些限制在交集上一致；这正是该图所表达的内容。此外，由 $P_\bullet\to B$ 是平凡 Kan 纤维化可知，同态 \[P_{k_0} \to Q_{k_0, k_0 + 1} = \Mor(\partial \Delta[k_0 + 1], P_\bullet)\] 满射，因为当 $k_0\geq1$ 时，每个同态 $\partial\Delta[k_0+1]\to B$ 都可延拓为 $\Delta[k_0+1]\to B$（这里略去关于常值单纯形集的一小段论证）。

由归纳假设，环 $Q_{k_0,m}$ 和 $Q_{k_0,k_0+1}$ 都是有限型 $A$-代数。再应用《更多交换代数》引理 08NI，可知 $Q_{k_0+1,m}$ 也如此。

命题

设 $A$ 是诺特环，$A\to B$ 是有限型环同态。存在带有增广 $\epsilon:P_\bullet\to B$ 的单纯形 $A$-代数 $P_\bullet$，使每个 $P_n$ 都是 $A$ 上的有限型多项式代数，并且 $\epsilon$ 是单纯形集的平凡 Kan 纤维化。

证明

令 $\mathcal{A}$ 为 $A$-代数同态 $C\to B$ 所成的范畴。本证明中的单纯形对象、骨架函子和余骨架函子均取在此范畴中。

选取 $A$ 上的有限型多项式代数 $P_0$ 以及满射 $P_0\to B$。作为第一次近似，取 $P_\bullet=\text{cosk}_0(P_0)$。换言之， $P_\bullet$ 是各项为 $P_n=P_0\times_A\ldots\times_AP_0$ 的单纯形 $A$-代数。

（在证明的最后一段，这个单纯形对象将记作 $P^0_\bullet$。）由《单纯形》引理 01AB，同态 $P_\bullet\to B$ 是单纯形集的平凡 Kan 纤维化。还要注意 $P_\bullet=\text{cosk}_0\text{sk}_0P_\bullet$。

假设对某个 $n\geq0$ 已构造出 $P_\bullet$（在证明的最后一段，它将记作 $P^n_\bullet$），满足

$P_\bullet\to B$ 是单纯形集的平凡 Kan 纤维化；

当 $0\leq k\leq n$ 时，$P_k$ 是有限生成多项式代数；以及

$P_\bullet = \text{cosk}_n \text{sk}_n P_\bullet$

由引理 08PW，可以找到 $A$ 上的有限生成多项式代数 $Q$ 以及满射 $Q\to P_{n+1}$。由于 $P_n$ 是多项式代数，$A$-代数同态 $s_i:P_n\to P_{n+1}$ 可提升为同态 $s'_i:P_n\to Q$。令 $d'_j:Q\to P_n$ 等于 $Q\to P_{n+1}$ 与 $d_j:P_{n+1}\to P_n$ 的复合。规定当 $k\leq n$ 时 $P'_k=P_k$，并令 $P'_{n+1}=Q$；在次数 $k\leq n-1$ 上取态射 $d'_i=d_i$ 和 $s'_i=s_i$，在次数 $n$ 上使用态射 $d'_j$ 与 $s'_i$，由此得到 $\mathcal{A}$ 中的截断单纯形对象 $P'_\bullet$。利用 $\text{cosk}_{n+1}$ 把它延拓为 $\mathcal{A}$ 中的完整单纯形对象。由余骨架函子的函子性，存在单纯形对象态射 $P'_\bullet\to P_\bullet$，延拓给定的 $(n+1)$-截断单纯形对象态射。（在证明的最后一段，此态射将记作 $P^{n+1}_\bullet\to P^n_\bullet$。）

注意，把 $n$ 替换为 $n+1$ 后，$P'_\bullet$ 满足条件 (b) 与 (c)。我们断言同态 $P'_\bullet\to P_\bullet$ 满足《单纯形》引理 01A6 中把 $n$ 替换为 $n+1$ 后的假设 (1)、(2)、(3) 与 (4)。条件 (1) 和 (2) 由构造成立。由《单纯形》引理 08NJ，有 $P_\bullet = \text{cosk}_{n + 1}\text{sk}_{n + 1}P_\bullet$ 且 $P'_\bullet = \text{cosk}_{n + 1}\text{sk}_{n + 1}P'_\bullet$ 这些等式不仅在 $\mathcal{A}$ 中成立，也在 $A$-代数范畴中成立，从而在集合范畴中成立（因为从 $A$-代数到集合的遗忘函子与所有极限交换）。这证明了 (3) 与 (4)。因此该引理可用，且 $P'_\bullet\to P_\bullet$ 是平凡 Kan 纤维化。由《单纯形》引理 08NP，可知 $P'_\bullet\to B$ 是平凡 Kan 纤维化，故 (a) 也成立。

为完成证明，取单纯形代数序列 \[\ldots \to P^2_\bullet \to P^1_\bullet \to P^0_\bullet\] 的逆极限 $P_\bullet=\lim P^n_\bullet$。由《单纯形》引理 08NQ，同态 $P_\bullet\to B$ 是平凡 Kan 纤维化。另一方面，上述构造在每个次数上最终稳定为一个固定的有限生成多项式代数，正合所需。

引理

设 $A$ 是诺特环，$A\to B$ 是有限型环同态，并令 $\pi$、 $\underline{B}$ 如 (08PR) 所示。若 $\mathcal{F}$ 是 $\underline{B}$-模，并且对每个 $\alpha:P=A[x_1,\ldots,x_n]\to B$，$\mathcal{F}(P,\alpha)$ 都是有限 $B$-模，则 $L\pi_!(\mathcal{F})$ 的各上同调模都是有限 $B$-模。

证明

由引理 08PS 与命题 08PX，可以用一个由 $\mathcal{F}$ 在有限型多项式代数上的取值构成的复形来计算 $L\pi_!(\mathcal{F})$。

引理

设 $A$ 是诺特环，$A\to B$ 是有限型环同态。那么对所有 $n\in\mathbf{Z}$，$H^n(L_{B/A})$ 都是有限 $B$-模。

证明

应用引理 08PU 和 08PY。

注

设 $A\to B$ 为任意环同态。若增广单纯形 $A$-代数 $\epsilon:P_\bullet\to B$ 的每个 $P_n$ 都是多项式代数，并且 $\epsilon$ 是单纯形集的平凡 Kan 纤维化，则称它为 $B$ 在 $A$ 上的预解。若 $P_\bullet\to B$ 是单纯形 $A$-代数的增广，每个 $P_n$ 都是满射到 $B$ 的多项式代数，则下列条件等价：

$\epsilon:P_\bullet\to B$ 是 $B$ 在 $A$ 上的预解；

$\epsilon:P_\bullet\to B$ 在相伴复形上是拟同构；

$\epsilon:P_\bullet\to B$ 诱导单纯形集的同伦等价。

为此应用《单纯形》中的引理 08NS, 08P2，以及 08P1. $B$ 在 $A$ 上的预解 $P_\bullet$ 给出 $\mathcal{C}_{B/A}$ 中的余单纯形对象 $U_\bullet$，如《位点上的上同调》引理 08Q9 所述，并且 \[L\pi_!\mathcal{F} = \mathcal{F}(P_\bullet)\] 关于 $\mathcal{F}$ 具有函子性，见引理 08PS。命题 08PX 证明的形式部分表明预解存在。在引理 08PT 的第一种证明中，我们还看到 $B$ 在 $A$ 上的标准预解确实是一个预解（故此术语不会造成冲突）。不过，命题 08PX 的证明无需借助《单纯形》第 08N8 节中的单纯形计算，便已说明预解存在。而且，对任意预解选择，均有典范同构 \[L_{B/A} = \Omega_{P_\bullet/A} \otimes_{P_\bullet, \epsilon} B\] 属于 $D(B)$；这是引理 08PU 的结论。任意选择预解的自由往往很有用。

引理

设 $A\to B$ 为环同态，并令 $\pi$、$\mathcal{O}$、$\underline{B}$ 如 (08PR) 所示。对任意 $\mathcal{O}$-模 $\mathcal{F}$，有 \[L\pi_!(\mathcal{F}) = L\pi_!(Li^*\mathcal{F}) = L\pi_!(\mathcal{F} \otimes_\mathcal{O}^\mathbf{L} \underline{B})\] 属于 $D(\textit{Ab})$。

证明

只需验证《位点上的上同调》引理 08RX 的假设对 $\mathcal{C}_{B/A}$ 上的 $\mathcal{O}\to\underline{B}$ 成立。以下不再另行说明地使用注 08QI 的结果。选取 $B$ 在 $A$ 上的一个预解 $P_\bullet$，从而得到 $\mathcal{C}_{B/A}$ 中适当的余单纯形对象 $U_\bullet$。由于 $P_\bullet\to B$ 在相伴的阿贝尔群复形上诱导拟同构，故 $L\pi_!\mathcal{O}=B$。另一方面， $L\pi_!\underline{B}$ 由 $\underline{B}(U_\bullet)=B$ 计算。这验证了《位点上的上同调》引理 08RX 的第二个假设，证明完成。

引理

设 $A\to B$ 为环同态，并令 $\pi$、$\mathcal{O}$、$\underline{B}$ 如 (08PR) 所示。则 \[L\pi_!(\mathcal{O}) = L\pi_!(\underline{B}) = B \quad\text{且}\quad L_{B/A} = L\pi_!(\Omega_{\mathcal{O}/A} \otimes_\mathcal{O} \underline{B}) = L\pi_!(\Omega_{\mathcal{O}/A})\] 属于 $D(\textit{Ab})$。

证明

这只是引理 08QJ 的应用（而右侧第一个等式是引理 08PU）。

下面是基本三角的一个容易证明的特例。

引理

设 $A\to B\to C$ 为环同态。若 $B$ 是 $A$ 上的多项式代数，则 $D(C)$ 中存在可区别三角 $L_{B/A} \otimes_B^\mathbf{L} C \to L_{C/A} \to L_{C/B} \to L_{B/A} \otimes_B^\mathbf{L} C[1]$。

证明

以下不再另行说明地使用注 08QI 的观察。选取 $C$ 在 $B$ 上的预解 $\epsilon:P_\bullet\to C$（例如标准预解）。因为 $B$ 是 $A$ 上的多项式代数，$P_\bullet$ 也是 $C$ 在 $A$ 上的预解。因此 $L_{C/A}$ 由 $\Omega_{P_\bullet/A}\otimes_{P_\bullet,\epsilon}C$ 计算，而 $L_{C/B}$ 由 $\Omega_{P_\bullet/B}\otimes_{P_\bullet,\epsilon}C$ 计算。对每个 $n$ 都有短正合列 $0 \to \Omega_{B/A} \otimes_B P_n \to \Omega_{P_n/A} \to \Omega_{P_n/B} \to 0$ （《交换代数》引理 031K），并且 $L_{B/A}=\Omega_{B/A}[0]$（引理 08QH），故结论成立。

例

设 $A\to B$ 为环同态。本例构造一个“显式”的、长度为 $2$ 的 $B$ 在 $A$ 上的预解 $P_\bullet$。我们遵循命题 08PX 证明中的步骤；另见注 08QI 的讨论。

选取满射 $P_0=A[u_i]\to B$，其中 $u_i$ 是一族变量。选取理想 $\Ker(P_0\to B)$ 的生成元 $f_t\in P_0$，$t\in T$。令 $P_1=A[u_i,x_t]$；面同态 $d_0$ 和 $d_1$ 是满足 $d_j(u_i)=u_i$、$d_0(x_t)=0$ 以及 $d_1(x_t)=f_t$ 的唯一 $A$-代数同态。同态 $s_0:P_0\to P_1$ 是满足 $s_0(u_i)=u_i$ 的唯一 $A$-代数同态。显然 \[P_1 \xrightarrow{d_0 - d_1} P_0 \to B \to 0\] 正合；特别地，同态 $(d_0,d_1):P_1\to P_0\times_BP_0$ 满射。因此，若以 $P_\bullet$ 记由 $P_0$、$P_1$、$d_0$、$d_1$ 与 $s_0$ 给出的 $1$-截断单纯形 $A$-代数，则增广 $\text{cosk}_1(P_\bullet)\to B$ 是平凡 Kan 纤维化。命题 08PX 证明步骤的下一步，是选取多项式代数 $P_2$ 以及满射 \[P_2 \longrightarrow \text{cosk}_1(P_\bullet)_2\] 回忆 \[\text{cosk}_1(P_\bullet)_2 = \{(g_0, g_1, g_2) \in P_1^3 \mid d_0(g_0) = d_0(g_1), d_1(g_0) = d_0(g_2), d_1(g_1) = d_1(g_2)\}\] 把 $g_i\in P_1$ 看作关于 $x_t$ 的多项式，则这些条件为 \[g_0(0) = g_1(0),\quad g_0(f_t) = g_2(0),\quad g_1(f_t) = g_2(f_t)\] 因此 $\text{cosk}_1(P_\bullet)_2$ 包含元素 $y_t=(x_t,x_t,f_t)$ 和 $z_t=(0,x_t,x_t)$。 $\text{cosk}_1(P_\bullet)_2$ 中每个元素 $G$ 都可写成 $G=H+(0,0,g)$，其中 $H$ 属于同态 $A[u_i,y_t,z_t]\to\text{cosk}_1(P_\bullet)_2$ 的像，而 $g\in P_1$ 是常数项为零且在 $P_0$ 中满足 $g(f_t)=0$ 的多项式。注意，

$g = x_t x_{t'} - f_t x_{t'}$；以及

若 $r_t \in P_0$ 且 $P_0$ 中有 $\sum r_t f_t = 0$，则 $g = \sum r_t x_t$。

都是 $P_1$ 中具有所需形式的元素。令 \[Rel = \Ker(\bigoplus\nolimits_{t \in T} P_0 \longrightarrow P_0),\quad (r_t) \longmapsto \sum r_tf_t\] 令 $P_2=A[u_i,y_t,z_t,v_r,w_{t,t'}]$，其中 $r=(r_t)\in Rel$，并取同态 \[P_2 \longrightarrow \text{cosk}_1(P_\bullet)_2\] 它由下列各式给出：$y_t\mapsto(x_t,x_t,f_t)$、 $z_t\mapsto(0,x_t,x_t)$、$v_r\mapsto(0,0,\sum r_tx_t)$，以及 $w_{t,t'}\mapsto(0,0,x_tx_{t'}-f_tx_{t'})$。一次计算（略去）表明该同态满射。上面显示的同态选择确定了 $d_0,d_1,d_2:P_2\to P_1$。最后，命题 08PX 证明中的步骤要求我们选取同态 $s_0,s_1:P_1\to P_2$，它们提升两个同态 $P_1\to\text{cosk}_1(P_\bullet)_2$。显然，可以取 $s_i$ 为由 $s_0(x_t)=y_t$ 与 $s_1(x_t)=z_t$ 确定的唯一 $A$-代数同态。

函子性

本节考虑环同态的交换方块 [08QM]\[\begin{equation} \vcenter{ \xymatrix{ B \ar[r] & B' \\ A \ar[u] \ar[r] & A' \ar[u] } } \end{equation}\] 我们断言，与此图相伴有典范的 $B$-线性复形同态 \[L_{B/A} \longrightarrow L_{B'/A'}\] 事实上，若 $P_\bullet\to B$ 是 $B$ 在 $A$ 上的标准预解，且 $P'_\bullet\to B'$ 是 $B'$ 在 $A'$ 上的标准预解，则存在与增广 $P_\bullet\to B$ 和 $P'_\bullet\to B'$ 相容的典范单纯形 $A$-代数同态 $P_\bullet\to P'_\bullet$。这可从《单纯形》第 08N8 节对标准预解的构造看出；不过在当前特例中，只需指出同态 \[P_0 = A[B] \longrightarrow A'[B'] = P'_0,\quad P_1 = A[A[B]] \longrightarrow A'[A'[B']] = P'_1,\] 等等均由给定同态 $A\to A'$ 和 $B\to B'$ 给出。所需同态 $L_{B/A}\to L_{B'/A'}$ 随即来自相伴同态 $\Omega_{P_n/A}\to\Omega_{P'_n/A'}$。

函子性同态还可描述如下。令 $\mathcal{C}=\mathcal{C}_{B/A}$ 与 $\mathcal{C}'=\mathcal{C}_{B'/A}'$ 为第 08PQ 节所考虑的范畴。

存在函子 \[u : \mathcal{C} \longrightarrow \mathcal{C}',\quad (P, \alpha) \longmapsto (P \otimes_A A', c \circ (\alpha \otimes 1))\] 其中 $c:B\otimes_AA'\to B'$ 是显然的同态。按《位点上的上同调》例 08PH 的讨论，得到拓扑斯态射 $g:\Sh(\mathcal{C})\to\Sh(\mathcal{C}')$ 以及环化拓扑斯态射的交换图 [08QN]\[\begin{equation} \vcenter{ \xymatrix{ (\Sh(\mathcal{C}'), \underline{B}) \ar[d]_{\pi'} & (\Sh(\mathcal{C}'), \underline{B'}) \ar[d]_{\pi'} \ar[l]^h & (\Sh(\mathcal{C}), \underline{B'}) \ar[d]_\pi \ar[l]^g \\ (\Sh(*), B) & (\Sh(*), B') \ar[l]_f & (\Sh(*), B') \ar[l] } } \end{equation}\] 这里 $h$ 在底层拓扑斯上是恒等态射，并在环层上由环同态 $B\to B'$ 给出。由《位点上的上同调》注 08PD，给定 $\mathcal{C}$ 上的 $\mathcal{F}$、$\mathcal{C}'$ 上的 $\mathcal{F}'$ 以及变换 $t:\mathcal{F}\to g^{-1}\mathcal{F}'$，便得到典范同态 $L\pi_!(\mathcal{F})\to L\pi'_!(\mathcal{F}')$。把它应用于层 \[\mathcal{F} : (P, \alpha) \mapsto \Omega_{P/A} \otimes_P B,\quad \mathcal{F}' : (P', \alpha') \mapsto \Omega_{P'/A'} \otimes_{P'} B',\] 以及由典范同态 \[\Omega_{P/A} \otimes_P B \longrightarrow \Omega_{P \otimes_A A'/A'} \otimes_{P \otimes_A A'} B'\] 给出的变换 $t$，得到典范同态 \[L\pi_!(\Omega_{\mathcal{O}/A} \otimes_\mathcal{O} \underline{B}) \longrightarrow L\pi'_!(\Omega_{\mathcal{O}'/A'} \otimes_{\mathcal{O}'} \underline{B'})\] 由引理 08PU，这给出 $L_{B/A}\to L_{B'/A'}$。我们略去对此同态与上面通过单纯形预解定义的同态一致性的验证。

引理

假设 (08QM) 诱导拟同构 $B\otimes_A^\mathbf{L}A'=B'$。沿用 (08QN) 的记号，并设 $\mathcal{F}'\in\textit{Ab}(\mathcal{C}')$，则 $L\pi_!(g^{-1}\mathcal{F}')=L\pi'_!(\mathcal{F}')$。

证明

以下不再另行说明地使用注 08QI 的结果。应用《位点上的上同调》引理 08QA。设 $P_\bullet\to B$ 为预解。只要证明 $u(P_\bullet)=P_\bullet\otimes_AA'\to B'$ 是拟同构，结论即成立。把 $P_\bullet$ 看作单纯形 $A$-模，则其相伴 $A$-模复形 $s(P_\bullet)$ 是 $B$ 的自由 $A$-模预解：确实，每个 $P_n$ 都是自由 $A$-模，且 $s(P_\bullet)\to B$ 是拟同构。因此 $B\otimes_A^\mathbf{L}A'$ 由 $s(P_\bullet)\otimes_AA'=s(P_\bullet\otimes_AA')$ 计算。故本引理的假设意味着 $\epsilon':P_\bullet\otimes_AA'\to B'$ 是拟同构。

特别地，当 $A\to A'$ 平坦且 $B'=B\otimes_AA'$ 时（平坦基变换），下述引理适用。

引理

若 (08QM) 诱导拟同构 $B\otimes_A^\mathbf{L}A'=B'$，则函子性同态诱导同构 \[L_{B/A} \otimes_B^\mathbf{L} B' \longrightarrow L_{B'/A'}\]

证明

使用等式 (08QN) 中引入的记号。我们有 \[L_{B/A} \otimes_B^\mathbf{L} B' = L\pi_!(\Omega_{\mathcal{O}/A} \otimes_\mathcal{O} \underline{B}) \otimes_B^\mathbf{L} B' = L\pi_!(Lh^*(\Omega_{\mathcal{O}/A} \otimes_\mathcal{O} \underline{B}))\] 第一个等式来自引理 08PU，第二个来自《位点上的上同调》引理 08Q8。由于 $\Omega_{\mathcal{O}/A}$ 是平坦 $\mathcal{O}$-模， $\Omega_{\mathcal{O}/A}\otimes_\mathcal{O}\underline{B}$ 是平坦 $\underline{B}$-模。因此 $Lh^*(\Omega_{\mathcal{O}/A} \otimes_\mathcal{O} \underline{B}) = \Omega_{\mathcal{O}/A} \otimes_\mathcal{O} \underline{B'}$ 它等于 $g^{-1}(\Omega_{\mathcal{O}'/A'} \otimes_{\mathcal{O}'} \underline{B'})$ 这可直接检验。再由引理 08QP，并利用 $L_{B'/A'}$ 由 $L\pi'_!(\Omega_{\mathcal{O}'/A'}\otimes_{\mathcal{O}'}\underline{B'})$ 计算，即得结论。

注

设给定方块 (08QM)，且存在使下图交换的箭头 $\kappa:B\to A'$： \[\xymatrix{ B \ar[r]_\beta \ar[rd]_\kappa & B' \\ A \ar[u] \ar[r]^\alpha & A' \ar[u] }\] 我们断言，在此情形函子性同态 $P_\bullet\to P'_\bullet$ 与复合 $P_\bullet\to B\to A'\to P'_\bullet$ 同伦。事实上，利用 $\kappa$，函子性同态分解为 \[P_\bullet \to P_{A'/A', \bullet} \to P'_\bullet\] 其中 $P_{A'/A',\bullet}$ 是 $A'$ 在 $A'$ 上的标准预解。由于 $A'$ 是 $A'$ 上以空集为变量集的多项式代数，由《单纯形》引理 08ND 可知，增广 $\epsilon_{A'/A'}:P_{A'/A',\bullet}\to A'$ 是单纯形环的同伦等价。注意，该引理证明中构造的同伦逆同态 $c:A'\to P_{A'/A',\bullet}$ 正是结构同态。因此，下列两个复合 \[\xymatrix{ P_\bullet \ar[r] & P_{A'/A', \bullet} \ar@<1ex>[rr]^{\text{id}} \ar@<-1ex>[rr]_{c \circ \epsilon_{A'/A'}} & & P_{A'/A', \bullet} \ar[r] & P'_\bullet }\] 就是上面讨论的两个同态，并且二者同伦（《单纯形》注 08RJ），故得到所需结论。由于第二个同态 $P_\bullet\to P'_\bullet$ 在 $\Omega_{P_\bullet/A}\to\Omega_{P'_\bullet/A'}$ 上诱导零同态，可知在此情形函子性同态 $L_{B/A}\to L_{B'/A'}$ 零同伦。

引理

设 $A\to B$ 与 $A\to C$ 为环同态。那么同态 $L_{B\times C/A}\to L_{B/A}\oplus L_{C/A}$ 在 $D(B\times C)$ 中是同构。

证明

虽然本引理可由基本三角推出，我们仍给出一个直接且初等的证明。把环同态 $A\to B\times C$ 分解为 $A\to A[x]\to B\times C$，其中 $x\mapsto(1,0)$。由引理 08SA，有可区别三角 \[L_{A[x]/A} \otimes_{A[x]}^\mathbf{L} (B \times C) \to L_{B \times C/A} \to L_{B \times C/A[x]} \to L_{A[x]/A} \otimes_{A[x]}^\mathbf{L} (B \times C)[1]\] 属于 $D(B\times C)$。类似地，有可区别三角 \[\begin{matrix} L_{A[x]/A} \otimes_{A[x]}^\mathbf{L} B \to L_{B/A} \to L_{B/A[x]} \to L_{A[x]/A} \otimes_{A[x]}^\mathbf{L} B[1] \\ L_{A[x]/A} \otimes_{A[x]}^\mathbf{L} C \to L_{C/A} \to L_{C/A[x]} \to L_{A[x]/A} \otimes_{A[x]}^\mathbf{L} C[1] \end{matrix}\] 因此，只需证明 $A[x]$ 上的 $B\times C$ 的结论。注意， $A[x]\to A[x,x^{-1}]$ 平坦，且 $(B\times C)\otimes_{A[x]}A[x,x^{-1}] =B\otimes_{A[x]}A[x,x^{-1}]$，并且 $C\otimes_{A[x]}A[x,x^{-1}]=0$。所以由基变换（引理 08QQ），同态 $L_{B\times C/A[x]}\to L_{B/A[x]}\oplus L_{C/A[x]}$ 在逆转 $x$ 后成为同构。同理可证，该同态在逆转 $x-1$ 后也成为同构。本引理得证。

基本三角

本节考虑一列环同态 $A\to B\to C$。我们的目标是证明，该三角诱导可区别三角 [08QS]\[\begin{equation} L_{B/A} \otimes_B^\mathbf{L} C \to L_{C/A} \to L_{C/B} \to L_{B/A} \otimes_B^\mathbf{L} C[1] \end{equation}\] 属于 $D(C)$。这将在命题 08QX 中证明。另一种方法见注 08SD。

考虑范畴 $\mathcal{C}_{C/B/A}$，它是如下范畴的反范畴：其对象是 $(P\to B,Q\to C)$，其中

$P$ 是 $A$ 上的多项式代数；
$P\to B$ 是 $A$-代数同态；
$Q$ 是 $P$ 上的多项式代数；
$Q\to C$ 是 $P$-代数同态。

取反范畴是因为我们希望把 $(P\to B,Q\to C)$ 看作对应于交换图 \[\xymatrix{ \Spec(C) \ar[d] \ar[r] & \Spec(Q) \ar[d] \\ \Spec(B) \ar[d] \ar[r] & \Spec(P) \ar[dl] \\ \Spec(A) }\] 令 $\mathcal{C}_{B/A}$、$\mathcal{C}_{C/A}$、$\mathcal{C}_{C/B}$ 为第 08PQ 节所考虑的范畴。存在函子 \[\begin{matrix} u_1 : \mathcal{C}_{C/B/A} \to \mathcal{C}_{B/A}, & (P \to B, Q \to C) \mapsto (P \to B) \\ u_2 : \mathcal{C}_{C/B/A} \to \mathcal{C}_{C/A}, & (P \to B, Q \to C) \mapsto (Q \to C) \\ u_3 : \mathcal{C}_{C/B/A} \to \mathcal{C}_{C/B}, & (P \to B, Q \to C) \mapsto (Q \otimes_P B \to C) \end{matrix}\] 这些函子诱导相应的拓扑斯态射 $g_i$。记 $\mathcal{O}_i=g_i^{-1}\mathcal{O}$，从而得到环化拓扑斯态射 [08QT]\[\begin{equation} \begin{matrix} g_1 : (\Sh(\mathcal{C}_{C/B/A}), \mathcal{O}_1) \longrightarrow (\Sh(\mathcal{C}_{B/A}), \mathcal{O}) \\ g_2 : (\Sh(\mathcal{C}_{C/B/A}), \mathcal{O}_2) \longrightarrow (\Sh(\mathcal{C}_{C/A}), \mathcal{O}) \\ g_3 : (\Sh(\mathcal{C}_{C/B/A}), \mathcal{O}_3) \longrightarrow (\Sh(\mathcal{C}_{C/B}), \mathcal{O}) \end{matrix} \end{equation}\] 记 $\pi : \Sh(\mathcal{C}_{C/B/A}) \to \Sh(*)$, $\pi_1 : \Sh(\mathcal{C}_{B/A}) \to \Sh(*)$, $\pi_2 : \Sh(\mathcal{C}_{C/A}) \to \Sh(*)$，以及 $\pi_3 : \Sh(\mathcal{C}_{C/B}) \to \Sh(*)$, 于是 $\pi=\pi_i\circ g_i$。利用引理 08PU 中对余切复形的等同以及下列引理，我们将得到所需的可区别三角。

引理

沿用 (08QT) 的记号，令 \[\begin{matrix} \Omega_1 = \Omega_{\mathcal{O}/A} \otimes_\mathcal{O} \underline{B} \text{，定义在 }\mathcal{C}_{B/A}\text{ 上} \\ \Omega_2 = \Omega_{\mathcal{O}/A} \otimes_\mathcal{O} \underline{C} \text{，定义在 }\mathcal{C}_{C/A}\text{ 上} \\ \Omega_3 = \Omega_{\mathcal{O}/B} \otimes_\mathcal{O} \underline{C} \text{，定义在 }\mathcal{C}_{C/B}\text{ 上} \end{matrix}\] 那么在 $\mathcal{C}_{C/B/A}$ 上存在典范的 $\underline{C}$-模层短正合列 \[0 \to g_1^{-1}\Omega_1 \otimes_{\underline{B}} \underline{C} \to g_2^{-1}\Omega_2 \to g_3^{-1}\Omega_3 \to 0\] 它位于 $\mathcal{C}_{C/B/A}$ 上。

证明

回忆 $g_i^{-1}$ 只需与 $u_i$ 预复合即可得到。给定对象 $U=(P\to B,Q\to C)$，有分裂短正合列 \[0 \to \Omega_{P/A} \otimes Q \to \Omega_{Q/A} \to \Omega_{Q/P} \to 0\] 例如这可由《交换代数》引理 031K 得出。在 $Q$ 上与 $C$ 作张量积，得到短正合列 \[0 \to \Omega_{P/A} \otimes C \to \Omega_{Q/A} \otimes C \to \Omega_{Q/P} \otimes C \to 0\] 有 $\Omega_{P/A}\otimes C=\Omega_{P/A}\otimes B\otimes C$，故这是 $g_1^{-1}\Omega_1\otimes_{\underline{B}}\underline{C}$ 在 $U$ 上的值。模 $\Omega_{Q/A}\otimes C$ 是 $g_2^{-1}\Omega_2$ 在 $U$ 上的值。由《交换代数》引理 00RV，有 $\Omega_{Q/P}\otimes C=\Omega_{Q\otimes_PB/B}\otimes C$，故这是 $g_3^{-1}\Omega_3$ 在 $U$ 上的值。因此，本引理的短正合列来自把最后显示的短正合列赋给每个 $U$。

引理

沿用 (08QT) 的记号，假设 $C$ 是 $B$ 上的多项式代数。那么对 $\mathcal{C}_{C/B}$ 上任意阿贝尔层 $\mathcal{F}$，有 $L\pi_!(g_3^{-1}\mathcal{F}) = L\pi_{3, !}\mathcal{F} = \pi_{3, !}\mathcal{F}$

证明

把 $C$ 写成 $B[E]$，其中 $E$ 为某个集合。选取 $B$ 在 $A$ 上的预解 $P_\bullet\to B$。对每个 $n$，考虑 $\mathcal{C}_{C/B/A}$ 的对象 $U_n=(P_n\to B,P_n[E]\to C)$。那么 $U_\bullet$ 是 $\mathcal{C}_{C/B/A}$ 中的余单纯形对象。注意， $u_3(U_\bullet)$ 是 $\mathcal{C}_{C/B}$ 中取值为 $(C\to C)$ 的常值余单纯形对象。我们将证明 $\mathcal{C}_{C/B/A}$ 的对象 $U_\bullet$ 满足《位点上的上同调》引理 08Q9 的假设。这便蕴含本引理，因为它说明 $L\pi_!(g_3^{-1}\mathcal{F})$ 由取值为 $\mathcal{F}(C\to C)$ 的常值单纯形阿贝尔群计算；而由引理 08QG，这正是 $L\pi_{3,!}\mathcal{F}=\pi_{3,!}\mathcal{F}$ 的值。

设 $U=(\beta:P\to B,\gamma:Q\to C)$ 为 $\mathcal{C}_{C/B/A}$ 的对象。由此范畴的定义，可把 $P$ 写成 $A[S]$，把 $Q$ 写成 $A[S\amalg T]$。须证明 \[\Mor_{\mathcal{C}_{C/B/A}}(U_\bullet, U)\] 与单点单纯形集 $*$ 同伦等价。注意，该单纯形集是乘积 \[\prod\nolimits_{s \in S} F_s \times \prod\nolimits_{t \in T} F'_t\] 其中 $F_s$ 是对应于 $U_s = (A[\{s\}] \to B, A[\{s\}] \to C)$ 的单纯形集，$F'_t$ 是对应于 $U_t=(A\to B,A[\{t\}]\to C)$ 的单纯形集。确实，在 $\mathcal{C}_{C/B/A}$ 中，对象 $U$ 是乘积 $\prod U_s\times\prod U_t$。只需每个 $F_s$ 与 $F'_t$ 都与 $*$ 同伦等价，见《单纯形》引理 08Q4。对 $F_s$，结论来自 $P_\bullet\to B$ 作为预解是平凡 Kan 纤维化，而 $F_s$ 是该同态在 $\beta(s)$ 上的纤维。（使用《单纯形》引理 08NN 和 08NS。）$F'_t$ 的情形更有意思。这里须说明同态 \[P_\bullet[E] \longrightarrow C = B[E]\] 在 $\gamma(t)\in C$ 上的纤维与一点同伦等价。事实上，我们将证明该同态是平凡 Kan 纤维化。确实，$P_\bullet\to B$ 是平凡 Kan 纤维化。

对任意环 $R$，有 \[R[E] = \colim_{\Sigma \subset \text{Map}(E, \mathbf{Z}_{\geq 0})\text{ 有限}} \prod\nolimits_{I \in \Sigma} R\] （滤余极限）。所以，上面显示的单纯形集同态是平凡 Kan 纤维化的滤余极限；由《单纯形》引理 08Q5，它仍是平凡 Kan 纤维化。

引理

沿用 (08QT) 的记号，对 $i=1,2,3$ 有 $Lg_{i,!}\circ g_i^{-1}=\text{id}$，因而对 $i=1,2,3$ 也有 $L\pi_!\circ g_i^{-1}=L\pi_{i,!}$。

证明

先证 $i=1$。我们断言函子 $\mathcal{C}_{C/B/A}$ 是 $\mathcal{C}_{B/A}$ 上的纤维化范畴。设给定 $(P\to B,Q\to C)$ 以及 $\mathcal{C}_{B/A}$ 中的态射 $(P'\to B)\to(P\to B)$。回忆，这意味着存在与到 $B$ 的同态相容的 $A$-代数同态 $P\to P'$。令 $Q'=Q\otimes_PP'$，并赋予其诱导的到 $C$ 的同态。于是态射 \[(P' \to B, Q' \to C) \longrightarrow (P \to B, Q \to C)\] 在 $\mathcal{C}_{C/B/A}$ 中（再次注意箭头反向），并且它是 $\mathcal{C}_{C/B/A}$ 中位于 $\mathcal{C}_{B/A}$ 上的强笛卡儿态射。还要注意，$u_1$ 在 $P\to B$ 上的纤维范畴是 $\mathcal{C}_{C/P}$。令 $\mathcal{F}$ 为 $\mathcal{C}_{B/A}$ 上的阿贝尔层。由于这是纤维化范畴，可以应用《位点上的上同调》引理 08PJ。因此， $L_ng_{1,!}g_1^{-1}\mathcal{F}$ 是把 $U\in\Ob(\mathcal{C}_{B/A})$ 送到 $g_1^{-1}\mathcal{F}$ 在 $U$ 上纤维范畴的限制之第 $n$ 个同调的（预）层。由于这些限制均为常值，结合上面对纤维范畴的等同，所需结论由引理 08QE 得出。

现在处理 $i=2$。我们断言 $\mathcal{C}_{C/B/A}$ 是 $\mathcal{C}_{C/A}$ 上的纤维化范畴。设给定 $(P\to B,Q\to C)$ 以及 $\mathcal{C}_{C/A}$ 中的态射 $(Q'\to C)\to(Q\to C)$。回忆，这意味着存在与到 $C$ 的同态相容的 $B$-代数同态 $Q\to Q'$。于是

\[(P \to B, Q' \to C) \longrightarrow (P \to B, Q \to C)\] 是 $\mathcal{C}_{C/B/A}$ 中位于 $\mathcal{C}_{C/A}$ 上的强笛卡儿态射。注意，$u_2$ 在 $Q\to C$ 上的纤维范畴有终对象（留意箭头反向），即 $(A\to B,Q\to C)$。令 $\mathcal{F}$ 为 $\mathcal{C}_{C/A}$ 上的阿贝尔层。由于这是纤维化范畴，可以应用《位点上的上同调》引理 08PJ。因此， $L_ng_{2,!}g_2^{-1}\mathcal{F}$ 是把 $U\in\Ob(\mathcal{C}_{C/A})$ 送到 $g_1^{-1}\mathcal{F}$ 在 $U$ 上纤维范畴的限制之第 $n$ 个同调的（预）层。

由于这些限制均为常值，且所有纤维范畴都有终对象，所需结论由《位点上的上同调》引理 08Q7 得出。

最后处理 $i=3$。在此情形，把《位点上的上同调》引理 08PK 应用于 $u=u_3:\mathcal{C}_{C/B/A}\to\mathcal{C}_{C/B}$ 以及 $\mathcal{F}'=g_3^{-1}\mathcal{F}$，其中 $\mathcal{F}$ 是 $\mathcal{C}_{C/B}$ 上的阿贝尔层。设 $U=(\overline{Q}\to C)$ 为 $\mathcal{C}_{C/B}$ 的对象。那么 $\mathcal{I}_U=\mathcal{C}_{\overline{Q}/B/A}$（再次留意箭头反向）。层 $\mathcal{F}'_U$ 由规则 $(P\to B,Q\to\overline{Q})\mapsto \mathcal{F}(Q\otimes_PB\to C)$ 给出。换言之，该层是 $\mathcal{C}_{\overline{Q}/C}$ 上一个层沿态射 $\Sh(\mathcal{C}_{\overline{Q}/B/A}) \to\Sh(\mathcal{C}_{\overline{Q}/B})$ 的拉回。

因此，引理 08QV 表明，当 $n>0$ 时 $H_n(\mathcal{I}_U,\mathcal{F}'_U)=0$，而当 $n=0$ 时它等于 $\mathcal{F}(\overline{Q}\to C)$。上述《位点上的上同调》引理 08PK 蕴含 $Lg_{3,!}(g_3^{-1}\mathcal{F})=\mathcal{F}$，证明完成。

命题

设 $A\to B\to C$ 为环同态。存在典范可区别三角 \[L_{B/A} \otimes_B^\mathbf{L} C \to L_{C/A} \to L_{C/B} \to L_{B/A} \otimes_B^\mathbf{L} C[1]\] 属于 $D(C)$。

证明

考虑引理 08QU 的层短正合列，并应用导出函子 $L\pi_!$，得到可区别三角 \[L\pi_!(g_1^{-1}\Omega_1 \otimes_{\underline{B}} \underline{C}) \to L\pi_!(g_2^{-1}\Omega_2) \to L\pi_!(g_3^{-1}\Omega_3) \to L\pi_!(g_1^{-1}\Omega_1 \otimes_{\underline{B}} \underline{C})[1]\] 属于 $D(C)$。由引理 08QW 和 08PU，第二项与第三项分别等于 $L_{C/A}$ 与 $L_{C/B}$，而第一项等于 \[L\pi_{1, !}(\Omega_1 \otimes_{\underline{B}} \underline{C}) = L\pi_{1, !}(\Omega_1) \otimes_B^\mathbf{L} C = L_{B/A} \otimes_B^\mathbf{L} C\] 第一个等式来自《位点上的上同调》引理 08Q8（以及 $\Omega_1$ 作为 $\underline{B}$-模层的平坦性），第二个等式来自引理 08PU。

注

下面概述基本三角存在性的另一种、或许更简单的证明。设 $A\to B\to C$ 为环同态，并假设 $B\to C$ 单射。令 $P_\bullet\to B$ 为 $B$ 在 $A$ 上的标准预解，令 $Q_\bullet\to C$ 为 $C$ 在 $B$ 上的标准预解。图示如下：

\[\xymatrix{ P_\bullet : & A[A[A[B]]] \ar[d] \ar@<2ex>[r] \ar@<0ex>[r] \ar@<-2ex>[r] & A[A[B]] \ar[d] \ar@<1ex>[r] \ar@<-1ex>[r] \ar@<1ex>[l] \ar@<-1ex>[l] & A[B] \ar[d] \ar@<0ex>[l] \ar[r] & B \\ Q_\bullet : & A[A[A[C]]] \ar@<2ex>[r] \ar@<0ex>[r] \ar@<-2ex>[r] & A[A[C]] \ar@<1ex>[r] \ar@<-1ex>[r] \ar@<1ex>[l] \ar@<-1ex>[l] & A[C] \ar@<0ex>[l] \ar[r] & C }\] 注意，由于 $B\to C$ 单射，对每个 $n$，环 $Q_n$ 都是 $P_n$ 上的多项式代数。因此得到 $\mathcal{C}_{C/B/A}$ 中的余单纯形对象（留意箭头反向）。现在令 $\overline{Q}_\bullet=Q_\bullet\otimes_{P_\bullet}B$。命题 08QX 证明的关键，是说明 $\overline{Q}_\bullet$ 是 $C$ 在 $B$ 上的预解。把《位点上的上同调》引理 08RX 应用于 $\mathcal{C}=\Delta$、$\mathcal{O}=P_\bullet$、 $\mathcal{O}'=B$ 与 $\mathcal{F}=Q_\bullet$，即可得到此结论（这里用到 $Q_n$ 在 $P_n$ 上平坦；关于单纯形模与层的关系，见《位点上的上同调》注 08QD）。这一关键事实表明，命题 08QX 的可区别三角，就是与下列单纯形 $C$-模短正合列相伴的可区别三角： \[0 \to \Omega_{P_\bullet/A} \otimes_{P_\bullet} C \to \Omega_{Q_\bullet/A} \otimes_{Q_\bullet} C \to \Omega_{\overline{Q}_\bullet/B} \otimes_{\overline{Q}_\bullet} C \to 0\] 该短正合列由短正合列 $0 \to \Omega_{P_n/A} \otimes_{P_n} Q_n \to \Omega_{Q_n/A} \to \Omega_{Q_n/P_n} \to 0$ 得到，见《交换代数》引理 031K。具体地，由注 08QI 及上述关键事实，右端复形在 $D(C)$ 中表示 $L_{C/B}$。

若 $B\to C$ 不单射，则可用上述方法为 $A\to B\to B\times C$ 得到基本三角。由于 $L_{B \times C/B} \to L_{B/B} \oplus L_{C/B}$ 以及 $L_{B \times C/A} \to L_{B/A} \oplus L_{C/A}$ 在 $D(B\times C)$ 中都是拟同构（引理 08SC），再与平坦环同态 $B\times C\to C$ 作张量积，便在 $D(C)$ 中诱导所需的可区别三角。

注

设 $A\to B\to C$ 为环同态，且 $B\to C$ 单射。回忆注 08SD 中的记号 $P_\bullet$、$Q_\bullet$、$\overline{Q}_\bullet$。令 $R_\bullet$ 为 $C$ 在 $B$ 上的标准预解。本注说明如何得到 $\Omega_{\overline{Q}_\bullet/B} \otimes_{\overline{Q}_\bullet}C$ 与 $L_{C/B}=\Omega_{R_\bullet/B}\otimes_{R_\bullet}C$ 的典范等同。令 $S_\bullet\to B$ 为 $B$ 在 $B$ 上的标准预解。注意，由于 $B\to C$ 单射，函子性同态 $S_\bullet\to R_\bullet$ 把 $R_n$ 表为 $S_n$ 上的多项式代数。例如，在次数 $0$ 上有同态 $B[B]\to B[C]$，在次数 $1$ 上有同态 $B[B[B]]\to B[B[C]]$，依此类推。因此 $\overline{R}_\bullet=R_\bullet\otimes_{S_\bullet}B$ 也是 $B$ 上的单纯形多项式代数。与注 08SD 中相同，由《位点上的上同调》引理 08RX 可知 $\overline{R}_\bullet\to C$ 是预解。由于存在交换图 \[\xymatrix{ Q_\bullet \ar[r] & R_\bullet \\ P_\bullet \ar[u] \ar[r] & S_\bullet \ar[u] \ar[r] & B }\] 得到典范同态 $\overline{Q}_\bullet = Q_\bullet \otimes_{P_\bullet} B \to \overline{R}_\bullet$。所以，同态 \[L_{C/B} = \Omega_{R_\bullet/B} \otimes_{R_\bullet} C \longrightarrow \Omega_{\overline{R}_\bullet/B} \otimes_{\overline{R}_\bullet} C \longleftarrow \Omega_{\overline{Q}_\bullet/B} \otimes_{\overline{Q}_\bullet} C\] 都是拟同构（注 08QI）；把其中一个与另一个的逆复合，便得到所需等同。

局部化与 étale 环同态

本节研究环局部化后的情形。设 $A\to A'\to B$ 为环同态，满足 $B=B\otimes_A^\mathbf{L}A'$。例如，当 $A'=S^{-1}A$ 是 $A$ 关于乘法子集 $S\subset A$ 的局部化时，这一条件成立。在此情形，对 $\mathcal{C}_{B/A'}$ 上的阿贝尔层 $\mathcal{F}'$， $g^{-1}\mathcal{F}'$ 在 $\mathcal{C}_{B/A}$ 上的同调，与 $\mathcal{F}'$ 在 $\mathcal{C}_{B/A'}$ 上的同调一致；精确陈述见引理 08QP。

引理

设 $A\to A'\to B$ 为环同态，满足 $B=B\otimes_A^\mathbf{L}A'$。那么在 $D(B)$ 中有 $L_{B/A}=L_{B/A'}$。

证明

根据上面的讨论（即应用引理 08QP）以及引理 08PU，须证明 $\mathcal{C}_{B/A}$ 上由规则 $(P\to B)\mapsto\Omega_{P/A}\otimes_PB$ 给出的层，是由规则 $(P\to B)\mapsto\Omega_{P/A'}\otimes_PB$ 给出的层的拉回。拉回函子 $g^{-1}$ 由预复合函子 $u:\mathcal{C}_{B/A}\to\mathcal{C}_{B/A'}$ 给出，其中 $(P\to B)\mapsto(P\otimes_AA'\to B)$。因此只须证明 \[\Omega_{P/A} \otimes_P B = \Omega_{P \otimes_A A'/A'} \otimes_{(P \otimes_A A')} B\] 由《交换代数》引理 00RV，右端等于 \[(\Omega_{P/A} \otimes_A A') \otimes_{(P \otimes_A A')} B\] 由于 $P$ 是 $A$ 上的多项式代数，模 $\Omega_{P/A}$ 自由，故此等式显然成立。

引理

设 $A\to B$ 为环同态，满足 $B=B\otimes_A^\mathbf{L}B$。那么在 $D(B)$ 中有 $L_{B/A}=0$。

证明

由引理 08QZ 和 08QH，有 $L_{B/A}=L_{B/B}=0$。

引理

设 $A\to B$ 为环同态，且当 $i>0$ 时 $\text{Tor}^A_i(B,B)=0$，并且 $L_{B/B\otimes_AB}=0$。那么在 $D(B)$ 中有 $L_{B/A}=0$。

证明

由引理 08QQ，有 $L_{B/A}\otimes_B^\mathbf{L}(B\otimes_AB)=L_{B\otimes_AB/B}$。现在对环同态 $B\to B\otimes_AB\to B$ 使用可区别三角 (08QS)： \[L_{B \otimes_A B/B} \otimes^\mathbf{L}_{(B \otimes_A B)} B \to L_{B/B} \to L_{B/B \otimes_A B} \to L_{B \otimes_A B/B} \otimes^\mathbf{L}_{(B \otimes_A B)} B[1]\] 再利用 $L_{B/B}$ 的消失（引理 08QH）以及假设中的 $L_{B/B\otimes_AB}$ 的消失，可得 \[0 = L_{B \otimes_A B/B} \otimes^\mathbf{L}_{(B \otimes_A B)} B = L_{B/A} \otimes_B^\mathbf{L} (B \otimes_A B) \otimes^\mathbf{L}_{(B \otimes_A B)} B = L_{B/A}\] 正合所需。

引理

在下列每种情形中，余切复形 $L_{B/A}$ 均为零：

$A\to B$ 与 $B\otimes_AB\to B$ 均平坦，即 $A\to B$ 弱 étale（《更多交换代数》定义 092B）；

$A\to B$ 是环的平坦满态射；

对某个乘法子集 $S\subset A$，有 $B=S^{-1}A$；

$A\to B$ 非分歧且平坦；

$A\to B$ 是 étale 同态；

$A\to B$ 是一族余切复形消失的环同态的滤余极限；

$B$ 是 $A$ 的某个局部环的 Hensel 化；

$B$ 是 $A$ 的某个局部环的严格 Hensel 化；以及

在此增加更多情形。

证明

在情形 (1) 中，把引理 08R0 应用于满射平坦环同态 $B\otimes_AB\to B$，得到 $L_{B/B\otimes_AB}=0$；再应用引理 08R1 即得结论。情形 (2)–(5) 都是 (1) 的特例。(6) 来自引理 08S9。(7) 与 (8) 来自如下事实：严格或非严格 Hensel 化是 $A$ 的 étale 环扩张的滤余极限；见《交换代数》引理 04GV 和 04GW。

引理

设 $A\to B\to C$ 为环同态，且 $L_{C/B}=0$。那么 $L_{C/A}=L_{B/A}\otimes_B^\mathbf{L}C$。

证明

这是可区别三角 (08QS) 的直接推论。

引理

设 $A\to B$ 为环同态，$S\subset A$ 与 $T\subset B$ 为乘法子集，且 $S$ 的像包含在 $T$ 中。那么在 $D(T^{-1}B)$ 中有 $L_{T^{-1}B/S^{-1}A}=L_{B/A}\otimes_BT^{-1}B$。

证明

引理 08R3 给出 $L_{T^{-1}B/A}=L_{B/A}\otimes_BT^{-1}B$，引理 08QZ 给出 $L_{T^{-1}B/A}=L_{T^{-1}B/S^{-1}A}$。

引理

设 $A\to B$ 是局部环之间的局部同态。令 $A^h\to B^h$ 以及 $A^{sh}\to B^{sh}$ 分别为诱导的 Hensel 化同态与严格 Hensel 化同态。那么 \[L_{B^h/A^h} = L_{B^h/A} = L_{B/A} \otimes_B^\mathbf{L} B^h \quad\text{分别}\quad L_{B^{sh}/A^{sh}} = L_{B^{sh}/A} = L_{B/A} \otimes_B^\mathbf{L} B^{sh}\] 分别在 $D(B^h)$ 与 $D(B^{sh})$ 中成立。

证明

由引理 08R2，复形 $L_{A^h/A}$、$L_{A^{sh}/A}$、 $L_{B^h/B}$ 与 $L_{B^{sh}/B}$ 均为零。对 $A\to B\to B^h$ 使用基本可区别三角 (08QS)，得到 $L_{B^h/A}=L_{B/A}\otimes_B^\mathbf{L}B^h$。再对 $A\to A^h\to B^h$ 使用基本三角，得到 $L_{B^h/A^h}=L_{B^h/A}$。严格 Hensel 化的情形同理。

光滑环同态

设 $C\to B$ 为核是 $I$ 的环满射。若 $I/I^2$ 是平坦 $B$-模，且 $\text{Tor}_*^C(B,B)$ 是 $I/I^2$ 上的外代数，则称这样的环同态 “弱拟正则”。若要把引理 08R2 对“étale 环同态” 所作的事情推广到“光滑环同态”，应考察满足乘法同态 $B\otimes_AB\to B$ 弱拟正则的平坦环同态 $A\to B$。目前我们只处理光滑环同态。

引理

若 $A\to B$ 是光滑环同态，则 $L_{B/A}=\Omega_{B/A}[0]$。

证明

由引理 08QF，次数 $0$ 的上同调已经一致。因此只需证明其余上同调群均为零。由引理 08R3，对 $g\in B$ 有 $L_{B_g/A}=(L_{B/A})_g$，故只需在 $\Spec(B)$ 上局部地证明。于是可假设 $A\to B$ 标准光滑（《交换代数》引理 00TA），即可以把 $A\to B$ 分解为 $A\to A[x_1,\ldots,x_n]\to B$，其中 $A[x_1,\ldots,x_n]\to B$ 是 étale 同态。在此情形，引理 08R2 与 08R3 给出 $L_{B/A}=L_{A[x_1,\ldots,x_n]/A}\otimes B$，再由引理 08QH 得出结论。

正特征

本节固定一个素数 $p$。若环 $A$ 中 $p=0$，则以 $F_A:A\to A$ 记 Frobenius 自同态 $a\mapsto a^p$。

引理

设 $A\to B$ 为环同态，且在 $A$ 中 $p=0$。令 $P_\bullet$ 为 $B$ 在 $A$ 上的标准预解。由图 \[\xymatrix{ B \ar[r]_{F_B} & B \\ A \ar[u] \ar[r]^{F_A} & A \ar[u] }\] 按第 08QL 节的方式诱导的同态 $P_\bullet\to P_\bullet$，与在每个 $P_n$ 上由 Frobenius 给出的自同态 $P_\bullet\to P_\bullet$ 同伦。

证明

令 $\mathcal{A}$ 为 $\mathbf{F}_p$-代数同态 $A\to B$ 所成的范畴。令 $\mathcal{S}$ 为二元组 $(A,E)$ 所成的范畴，其中 $A$ 是 $\mathbf{F}_p$-代数，$E$ 是集合。考虑伴随函子 \[V : \mathcal{A} \to \mathcal{S}, \quad (A \to B) \mapsto (A, B)\] 以及 \[U : \mathcal{S} \to \mathcal{A}, \quad (A, E) \mapsto (A \to A[E])\] 令 $X$ 为《单纯形》第 08N8 节所构造的、从 $\mathcal{A}$ 到 $\mathcal{A}$ 的函子范畴中的单纯形对象。显然 $P_\bullet=X(A\to B)$，因为若固定 $A$，则……。

令 $Y=U\circ V$。回忆 $X$ 由 $Y$ 及若干同态构造，其各项 $X_n=Y\circ\ldots\circ Y$ 含 $n+1$ 个因子；该构造见《单纯形》例 0G5M，细节见《单纯形》引理 08NC 的证明。

令 $f:\text{id}_\mathcal{A}\to\text{id}_\mathcal{A}$ 为恒等函子的 Frobenius 自同态。换言之，令 $f_{A\to B}=(F_A,F_B):(A\to B)\to(A\to B)$。于是 $X(A\to B)$ 上的两个同态分别由自然变换 $f\star1_X$ 与 $1_X\star f$ 给出。细节略去。结论遂由《单纯形》引理 0G5S 得出。

引理

设 $p$ 为素数，$A\to B$ 为环同态，并假设在 $A$ 中 $p=0$。由 Frobenius 同态 $F_A$ 与 $F_B$ 按第 08QL 节诱导的同态 $L_{B/A}\to L_{B/A}$ 零同伦。

证明

令 $P_\bullet$ 为 $B$ 在 $A$ 上的标准预解。由引理 0G5Y，$F_A$ 与 $F_B$ 诱导的同态 $P_\bullet\to P_\bullet$，与在每一项上由 Frobenius 给出的同态 $F_{P_\bullet}:P_\bullet\to P_\bullet$ 同伦。显然 $F_{P_\bullet}$ 在 $\Omega_{P_n/A}\to\Omega_{P_n/A}$ 上诱导零同态（因为 $p$ 次幂的导数为零），故得到所需结论。

引理

设 $p$ 为素数，$A\to B$ 为环同态，并假设在 $A$ 中 $p=0$。若 $A$ 与 $B$ 都是完美环，则 $L_{B/A}$ 在 $D(B)$ 中为零。

证明

同态 $(F_A,F_B):(A\to B)\to(A\to B)$ 是同构，故在 $L_{B/A}$ 上诱导同构；另一方面，由引理 0G5Z，它在 $L_{B/A}$ 上诱导零同态。

与朴素余切复形的比较

朴素余切复形已在《代数》第 00S0 节中引入。

注

设 $A \to B$ 为环同态。依照第 08PQ 节，在 $\mathcal{C}_{B/A}$ 上工作，并令 $\mathcal{J} \subset \mathcal{O}$ 为 $\mathcal{O} \to \underline{B}$ 的核。由引理 08QK，注意到 $L\pi_!(\mathcal{J}) = 0$。令 $\Omega = \Omega_{\mathcal{O}/A} \otimes_\mathcal{O} \underline{B}$ ，则由引理 08PU， $L_{B/A} = L\pi_!(\Omega)$。于是 $L\pi_!(\mathcal{J} \to \Omega) = L\pi_!(\Omega) = L_{B/A}$。因此，对 $\mathcal{C}_{B/A}$ 的任一对象 $U = (P \to B)$，我们得到态射 [08R8]\[\begin{equation} (J \to \Omega_{P/A} \otimes_P B) \longrightarrow L_{B/A} \end{equation}\] 其中 $J = \Ker(P \to B)$；这是 $D(A)$ 中的态射，参见《站点上的上同调》评注 08Q6。继续以此方式进行。由引理 08QJ，注意到 $L\pi_!(\mathcal{J} \otimes_\mathcal{O}^\mathbf{L} \underline{B}) = L\pi_!(\mathcal{J}) = 0$。由于 $\text{Tor}_0^\mathcal{O}(\mathcal{J}, \underline{B}) = \mathcal{J}/\mathcal{J}^2$ ，谱序列 \[H_p(\mathcal{C}_{B/A}, \text{Tor}_q^\mathcal{O}(\mathcal{J}, \underline{B})) \Rightarrow H_{p + q}(\mathcal{C}_{B/A}, \mathcal{J} \otimes_\mathcal{O}^\mathbf{L} \underline{B}) = 0\] （《导出范畴》引理 015J 的对偶）蕴含 $H_0(\mathcal{C}_{B/A}, \mathcal{J}/\mathcal{J}^2) = 0$ 且 $H_1(\mathcal{C}_{B/A}, \mathcal{J}/\mathcal{J}^2) = 0$。由此，$\underline{B}$-模复形 $\mathcal{J}/\mathcal{J}^2 \to \Omega$ 满足 $\tau_{\geq -1}L\pi_!(\mathcal{J}/\mathcal{J}^2 \to \Omega) = \tau_{\geq -1}L_{B/A}$。因此，对 $\mathcal{C}_{B/A}$ 的任一对象 $U = (P \to B)$，我们得到态射 [08R9]\[\begin{equation} (J/J^2 \to \Omega_{P/A} \otimes_P B) \longrightarrow \tau_{\geq -1}L_{B/A} \end{equation}\] ；这是 $D(B)$ 中的态射，参见《站点上的上同调》评注 08Q6。

第一种情形是环的满射。

引理

设 $A \to B$ 为核是 $I$ 的满环同态。则 $H^0(L_{B/A}) = 0$ 且 $H^{-1}(L_{B/A}) = I/I^2$。此同构来自 $\mathcal{C}_{B/A}$ 的对象 $(A \to B)$ 所对应的态射 (08R9)。

证明

我们将在下文利用 $A \to B$ 的满射性证明：在 $\mathcal{C}_{B/A}$ 上存在短正合层列 \[0 \to \pi^{-1}(I/I^2) \to \mathcal{J}/\mathcal{J}^2 \to \Omega \to 0\] 。取 $L\pi_!$ 及其相应的同调长正合列，并使用评注 08R7 所示的 $H_1(\mathcal{C}_{B/A}, \mathcal{J}/\mathcal{J}^2)$ 与 $H_0(\mathcal{C}_{B/A}, \mathcal{J}/\mathcal{J}^2)$ 的消失，再由引理 08QE 即得所需结论。

剩下的是验证上面提到的局部陈述。对 $\mathcal{C}_{B/A}$ 的每个对象 $U = (P \to B)$，我们可以选取同构 $P = A[E]$，使得同态 $P \to B$ 将每个 $e \in E$ 映到零。于是 $J = \mathcal{J}(U) \subset P = \mathcal{O}(U)$ 等于 $J = IP + (e; e \in E)$。上述短层列在 $U$ 上的值为 \[0 \to I/I^2 \to J/J^2 \to \Omega_{P/A} \otimes_P B \to 0\] 验证从略（提示：唯一棘手之处是 $IP \cap J^2 = IJ$；例如可由《代数续篇》引理 0666 推出）。

引理

设 $A \to B$ 为环同态。则 $\tau_{\geq -1}L_{B/A}$ 与朴素余切复形典范拟同构。

证明

考虑核为 $I$ 的 $P = A[B] \to B$。$B$ 在 $A$ 上的朴素余切复形 $\NL_{B/A}$ 是复形 $I/I^2 \to \Omega_{P/A} \otimes_P B$，参见《代数》定义 07BN。注意，我们已在 (08R9) 中构造了典范态射 \[c : \NL_{B/A} \longrightarrow \tau_{\geq -1}L_{B/A}\] 考虑与环同态 $A \to A[B] \to B$ 相关的可区别三角 (08QS) \[L_{P/A} \otimes_P^\mathbf{L} B \to L_{B/A} \to L_{B/P} \to (L_{P/A} \otimes_P^\mathbf{L} B)[1]\] 。我们知道 $L_{P/A} = \Omega_{P/A}[0] = \NL_{P/A}$ 在 $D(P)$ 中成立（引理 08QH 与《代数》引理 08Q1），并且 $\tau_{\geq -1}L_{B/P} = I/I^2[1] = \NL_{B/P}$ 在 $D(B)$ 中成立（引理 08RA 与《代数》引理 07BP）。由《代数》引理 00S2 及与该可区别三角相关的上同调长正合列，要证明 $c$ 是拟同构，只需证明态射 $L_{P/A} \to L_{B/A} \to L_{B/P}$ 在上同调群上与朴素余切复形的相应态射 $\NL_{P/A} \to \NL_{B/A} \to \NL_{B/P}$ 相容。验证从略。

注

我们可以如下明确写出引理 08RB 的比较态射。令 $P_\bullet$ 为 $B$ 在 $A$ 上的标准预解，并令 $I = \Ker(A[B] \to B)$。回忆 $P_0 = A[B]$。该引理中的态射由交换图 \[\xymatrix{ L_{B/A} \ar[d] & \ldots \ar[r] & \Omega_{P_2/A} \otimes_{P_2} B \ar[r] \ar[d] & \Omega_{P_1/A} \otimes_{P_1} B \ar[r] \ar[d] & \Omega_{P_0/A} \otimes_{P_0} B \ar[d] \\ \NL_{B/A} & \ldots \ar[r] & 0 \ar[r] & I/I^2 \ar[r] & \Omega_{P_0/A} \otimes_{P_0} B }\] 给出。我们通过将 $\text{d}f \otimes b$ 映到 $(d_0(f) - d_1(f))b$ 在 $I/I^2$ 中的类，构造以 $I/I^2$ 为靶的向下箭头。这里 $d_i : P_1 \to P_0$（$i = 0, 1$）是单纯形结构的两个面态射。这是有意义的，因为 $d_0 - d_1$ 将 $P_1$ 映入 $I = \Ker(P_0 \to B)$。此规则良定义的验证从略。我们的态射与微分 $\Omega_{P_1/A} \otimes_{P_1} B \to \Omega_{P_0/A} \otimes_{P_0} B$ 相容，因为该微分将 $\text{d}f \otimes b$ 映到 $\text{d}(d_0(f) - d_1(f)) \otimes b$。此外，微分 $\Omega_{P_2/A} \otimes_{P_2} B \to \Omega_{P_1/A} \otimes_{P_1} B$ 将 $\text{d}f \otimes b$ 映到 $\text{d}(d_0(f) - d_1(f) + d_2(f)) \otimes b$，后者被我们的向下箭头消去。因此得到了复形态射。它与引理 08RB 中的态射相同这一验证从略。

注

采用评注 08R7 的记号。那里给出的论证表明，谱序列的微分 \[H_2(\mathcal{C}_{B/A}, \mathcal{J}/\mathcal{J}^2) \longrightarrow H_0(\mathcal{C}_{B/A}, \text{Tor}_1^\mathcal{O}(\mathcal{J}, \underline{B}))\] 是同构。令 $\mathcal{C}'_{B/A}$ 表示 $\mathcal{C}_{B/A}$ 中由满射 $P \to B$ 构成的全子范畴。余切复形与朴素余切复形相一致（引理 08RB），这表明我们在 $\mathcal{C}'_{B/A}$ 上有正合层列 \[0 \to \underline{H_1(L_{B/A})} \to \mathcal{J}/\mathcal{J}^2 \xrightarrow{\text{d}} \Omega \to \underline{H_2(L_{B/A})} \to 0\] 。由此，整个范畴 $\mathcal{C}_{B/A}$ 上的 $\Ker(d)$ 与 $\Coker(d)$ 具有消失的高阶同调群，因为由引理 08PS，这些群由常值单纯形阿贝尔群的同调群计算。因此我们推出 \[H_n(\mathcal{C}_{B/A}, \mathcal{J}/\mathcal{J}^2) \to H_n(L_{B/A})\] 对一切 $n \geq 2$ 都是同构。结合上面的评注，我们得到公式 $H_2(L_{B/A}) = H_0(\mathcal{C}_{B/A}, \text{Tor}_1^\mathcal{O}(\mathcal{J}, \underline{B}))$。

Quillen 谱序列

本节讨论一个联系导出张量积与余切复形的谱序列。

引理

记号和假设同《站点上的上同调》例 08PF。假设 $\mathcal{C}$ 具有《站点上的上同调》引理 08Q9 中的余单纯形对象。设 $\mathcal{F}$ 为满足 $H_0(\mathcal{C}, \mathcal{F}) = 0$ 的平坦 $\underline{B}$-模。则当 $l < k$ 时， $H_l(\mathcal{C}, \text{Sym}_{\underline{B}}^k(\mathcal{F})) = 0$。

证明

在张量积、外幂和对称幂中省略下标 ${}_{\underline{B}}$。我们对 $k$ 归纳证明该引理。$k = 0, 1$ 的情形由假设即得。若 $k > 1$，考虑正合复形 \[\ldots \to \wedge^2\mathcal{F} \otimes \text{Sym}^{k - 2}\mathcal{F} \to \mathcal{F} \otimes \text{Sym}^{k - 1}\mathcal{F} \to \text{Sym}^k\mathcal{F} \to 0\] ，其微分如 Koszul 复形中所定义。若将其视为 $\text{Sym}^k\mathcal{F}$ 的预解，便得到第一象限谱序列 \[E_1^{p, q} = H_p(\mathcal{C}, \wedge^{q + 1}\mathcal{F} \otimes \text{Sym}^{k - q - 1}\mathcal{F}) \Rightarrow H_{p + q}(\mathcal{C}, \text{Sym}^k(\mathcal{F}))\] 由《站点上的上同调》引理 08QC，有 \[L\pi_!(\wedge^{q + 1}\mathcal{F} \otimes \text{Sym}^{k - q - 1}\mathcal{F}) = L\pi_!(\wedge^{q + 1}\mathcal{F}) \otimes_B^\mathbf{L} L\pi_!(\text{Sym}^{k - q - 1}\mathcal{F}))\]

由导出张量积的构造可知，将归纳假设与 $H_0(\mathcal{C}, \wedge^{q + 1}(\mathcal{F})) = 0$ 的消失结合起来，便可证明所需结论。该消失成立，是因为 $\wedge^{q + 1}(\mathcal{F})$ 是 $\mathcal{F}^{\otimes q + 1}$ 的商，且 $H_0(\mathcal{C}, \mathcal{F}^{\otimes q + 1})$ 是 $H_0(\mathcal{C}, \mathcal{F})^{\otimes q + 1}$ 的商，而后者为零。

注

在引理 08RD 的情形下，可以证明 $H_k(\mathcal{C}, \text{Sym}^k(\mathcal{F})) = \wedge^k_B(H_1(\mathcal{C}, \mathcal{F}))$。事实上，从证明可以推出， $H_k(\mathcal{C}, \text{Sym}^k(\mathcal{F}))$ 是下式的 $S_k$-余不变量： \[H^{-k}(L\pi_!(\mathcal{F}) \otimes_B^\mathbf{L} L\pi_!(\mathcal{F}) \otimes_B^\mathbf{L} \ldots \otimes_B^\mathbf{L} L\pi_!(\mathcal{F})) = H_1(\mathcal{C}, \mathcal{F})^{\otimes k}\] 因此，我们的断言是：这一作用由 $S_k$ 在张量积上的通常作用乘以符号特征给出。要证明这一点，必须逐一核查与多重复形相关的全复形定义中的符号约定。验证从略。

引理

设 $A$ 为环，$P = A[E]$ 为多项式环。令 $I = (e; e \in E) \subset P$。则态射 $\text{Tor}_i^P(A, I^{n + 1}) \to \text{Tor}_i^P(A, I^n)$ 对一切 $i$ 和 $n$ 都为零。

证明

以 $x_e \in P$ 表示对应于 $e \in E$ 的变量。$A$ 在 $P$ 上的一个自由预解由 $x_e$ 上的 Koszul 复形 $K_\bullet$ 给出。这里 $K_i$ 的基由外积 $e_1 \wedge \ldots \wedge e_i$（$e_1, \ldots, e_i \in E$）给出，且 $d(e) = x_e$。因此 $K_\bullet \otimes_P I^n = I^nK_\bullet$ 计算 $\text{Tor}_i^P(A, I^n)$。注意一切均分次，其中 $\deg(x_e) = 1$、$\deg(e) = 1$，而对 $a \in A$ 有 $\deg(a) = 0$。设 $\xi \in I^{n + 1}K_i$ 是次数为 $m$ 的齐次余圈。注意 $m \geq i + 1 + n$。由于 $K_\bullet$ 在次数 $>0$ 正合，存在 $\eta \in K_{i + 1}$ 使 $\xi = \text{d}\eta$（$i = 0$ 的情形留给读者）。现在 $\deg(\eta) = m \geq i + 1 + n$。因而用上述基展开 $\eta$，可见各坐标都属于 $I^n$。所以 $\xi$ 在 $I^nK_\bullet$ 的同调中映为零，正如所需。

定理

设 $A \to B$ 为满环同态。考虑 $\mathcal{C}_{B/A}$ 上的 $\underline{B}$-模层 $\Omega = \Omega_{\mathcal{O}/A} \otimes_\mathcal{O} \underline{B}$，参见第 08PQ 节。则存在 $E_1$ 页为 \[E_1^{p, q} = H_{- p - q}(\mathcal{C}_{B/A}, \text{Sym}^p_{\underline{B}}(\Omega)) \Rightarrow \text{Tor}^A_{- p - q}(B, B)\] 的谱序列，其中 $d_r$ 的双次数为 $(r, -r + 1)$。此外，当 $i < k$ 时， $H_i(\mathcal{C}_{B/A}, \text{Sym}^k_{\underline{B}}(\Omega)) = 0$。

证明

令 $I \subset A$ 为 $A \to B$ 的核，并令 $\mathcal{J} \subset \mathcal{O}$ 为 $\mathcal{O} \to \underline{B}$ 的核。于是 $I\mathcal{O} \subset \mathcal{J}$。令 $\mathcal{K} = \mathcal{J}/I\mathcal{O}$ 且 $\overline{\mathcal{O}} = \mathcal{O}/I\mathcal{O}$。

对 $\mathcal{C}_{B/A}$ 的每个对象 $U = (P \to B)$，我们可以选取同构 $P = A[E]$，使同态 $P \to B$ 将每个 $e \in E$ 映到零。于是 $J = \mathcal{J}(U) \subset P = \mathcal{O}(U)$ 等于 $J = IP + (e; e \in E)$。此外， $\overline{\mathcal{O}}(U) = B[E]$ 且 $K = \mathcal{K}(U) = (e; e \in E)$ ，而且 $K$ 是多项式环 $B[E]$ 中由这些变量生成的理想。特别地，显然 \[K/K^2 \xrightarrow{\text{d}} \Omega_{P/A} \otimes_P B\] 是双射。换言之， $\Omega = \mathcal{K}/\mathcal{K}^2$ 且 $\text{Sym}_B^k(\Omega) = \mathcal{K}^k/\mathcal{K}^{k + 1}$。注意到 $\pi_!(\Omega) = \Omega_{B/A} = 0$（引理 08QF），因为 $A \to B$ 是满射（《代数》引理 00RP）。由引理 08RD，我们推出 \[H_i(\mathcal{C}_{B/A}, \mathcal{K}^k/\mathcal{K}^{k + 1}) = H_i(\mathcal{C}_{B/A}, \text{Sym}^k_{\underline{B}}(\Omega)) = 0\] 对 $i < k$ 成立。这证明了定理的最后一个陈述。

证明该定理的方法是注意到 \[B \otimes_A^\mathbf{L} B = L\pi_!(\mathcal{O}) \otimes_A^\mathbf{L} B = L\pi_!(\mathcal{O} \otimes_{\underline{A}}^\mathbf{L} \underline{B}) = L\pi_!(\overline{\mathcal{O}})\] 第一个等号由引理 08QK 得到，第二个等号由《站点上的上同调》引理 08Q8 得到，第三个等号则因为 $\mathcal{O}$ 在 $\underline{A}$ 上平坦。层 $\overline{\mathcal{O}}$ 有滤过 \[\ldots \subset \mathcal{K}^3 \subset \mathcal{K}^2 \subset \mathcal{K} \subset \overline{\mathcal{O}}\] 。这在表示 $L\pi_!(\overline{\mathcal{O}})$ 的复形 $C$ 上诱导滤过 $F$，其中 $F^pC$ 表示 $L\pi_!(\mathcal{K}^p)$（$C$ 与 $F$ 的构造从略）。考虑《同调》第 012K 节中与 $(C, F)$ 相关的谱序列。其 $E_1$ 页为 \[E_1^{p, q} = H_{- p - q}(\mathcal{C}_{B/A}, \mathcal{K}^p/\mathcal{K}^{p + 1}) \quad\Rightarrow\quad H_{- p - q}(\mathcal{C}_{B/A}, \overline{\mathcal{O}}) = \text{Tor}_{- p - q}^A(B, B)\] ，微分为 $E_r^{p, q} \to E_r^{p + r, q - r + 1}$。为了证明收敛性，我们将证明：对每个 $k$，存在 $c$ 使得 $H_i(\mathcal{C}_{B/A}, \mathcal{K}^n) = 0$ 对 $i < k$ 与 $n > c$ 成立²。

给定 $k \geq 0$，令 $c = k^2$。我们断言 \[H_i(\mathcal{C}_{B/A}, \mathcal{K}^{n + c}) \to H_i(\mathcal{C}_{B/A}, \mathcal{K}^n)\] 对 $i < k$ 及一切 $n \geq 0$ 都是零。注意 $\mathcal{K}^n/\mathcal{K}^{n + c}$ 有有限滤过，其相继商为 $\mathcal{K}^m/\mathcal{K}^{m + 1}$（$n \leq m < n + c$），且当 $i < n$ 时， $H_i(\mathcal{C}_{B/A}, \mathcal{K}^m/\mathcal{K}^{m + 1}) = 0$ （见上文）。因此，该断言蕴含：对 $i < k$ 及一切 $n \geq k$， $H_i(\mathcal{C}_{B/A}, \mathcal{K}^{n + c}) = 0$，这正是我们需要证明的。

证明该断言。回忆，对任一 $\mathcal{O}$-模 $\mathcal{F}$，态射 $\mathcal{F} \to \mathcal{F} \otimes_\mathcal{O}^\mathbf{L} B$ 在施用 $L\pi_!$ 后诱导同构，参见引理 08QJ。考虑态射 \[\mathcal{K}^{n + k} \otimes_\mathcal{O}^\mathbf{L} B \longrightarrow \mathcal{K}^n \otimes_\mathcal{O}^\mathbf{L} B\] 我们断言，此态射在次数 $0, -1, \ldots, - k + 1$ 的上同调层上诱导零态射。若这一第二断言成立，则 $k$ 重复合 \[\mathcal{K}^{n + c} \otimes_\mathcal{O}^\mathbf{L} B \longrightarrow \mathcal{K}^n \otimes_\mathcal{O}^\mathbf{L} B\] 分解经过 $\tau_{\leq -k}\mathcal{K}^n \otimes_\mathcal{O}^\mathbf{L} B$，从而当 $i < k$ 时在 $H_i(\mathcal{C}_{B/A}, -) = L_i\pi_!( - )$ 上诱导零，参见《导出范畴》引理 08Q2。由上面的评注，这意味着 $H_i(\mathcal{C}_{B/A}, \mathcal{K}^{n + c}) \to H_i(\mathcal{C}_{B/A}, \mathcal{K}^n)$ 同样为零，因而证明了第一个断言。

证明第二个断言。该陈述是局部的，故可在上述对象 $U = (P \to B)$ 上工作。我们必须证明态射 \[\text{Tor}_i^P(B, K^{n + k}) \to \text{Tor}_i^P(B, K^n)\] 当 $i < k$ 时为零。存在谱序列 \[\text{Tor}_a^P(P/IP, \text{Tor}_b^{P/IP}(B, K^n)) \Rightarrow \text{Tor}_{a + b}^P(B, K^n),\] ，参见《代数续篇》例 068F。因此，只需证明态射 \[\text{Tor}_i^{P/IP}(B, K^{n + 1}) \to \text{Tor}_i^{P/IP}(B, K^n)\] 对一切 $i$ 都为零。这正是引理 08RE。

注

在定理 08RF 的情形下，令 $I = \Ker(A \to B)$。则 $H^{-1}(L_{B/A}) = H_1(\mathcal{C}_{B/A}, \Omega) = I/I^2$，参见引理 08RA。因此由评注 08SG， $H_k(\mathcal{C}_{B/A}, \text{Sym}^k(\Omega)) = \wedge^k_B(I/I^2)$。于是 $E_1$ 页形如 \[\begin{matrix} B \\ 0 \\ 0 & I/I^2 \\ 0 & H^{-2}(L_{B/A}) \\ 0 & H^{-3}(L_{B/A}) & \wedge^2(I/I^2) \\ 0 & H^{-4}(L_{B/A}) & H_3(\mathcal{C}_{B/A}, \text{Sym}^2(\Omega)) \\ 0 & H^{-5}(L_{B/A}) & H_4(\mathcal{C}_{B/A}, \text{Sym}^2(\Omega)) & \wedge^3(I/I^2) \end{matrix}\] ，其微分沿水平方向。因此得到边缘态射 $\text{Tor}_i^A(B, B) \to H^{-i}(L_{B/A})$（$i > 0$）及 $\wedge^i_B(I/I^2) \to \text{Tor}_i^A(B, B)$。最后， $\text{Tor}_1^A(B, B) = I/I^2$，并且有五项正合列 \[\text{Tor}_3^A(B, B) \to H^{-3}(L_{B/A}) \to \wedge^2_B(I/I^2) \to \text{Tor}_2^A(B, B) \to H^{-2}(L_{B/A}) \to 0\] ，它由低次数项组成。

注

设 $A \to B$ 为环同态，$P_\bullet$ 为 $B$ 在 $A$ 上的预解（评注 08QI）。令 $J_n = \Ker(P_n \to B)$。注意到 \[\text{Tor}_2^{P_n}(B, B) = \text{Tor}_1^{P_n}(J_n, B) = \Ker(J_n \otimes_{P_n} J_n \to J_n^2).\] 因此，由评注 09D5，$H_2(L_{B/A})$ 典范地等于 \[\Coker(\text{Tor}_2^{P_1}(B, B) \to \text{Tor}_2^{P_0}(B, B))\] 。为使其更为明确，我们依照例 09D4 选取 $P_2$、$P_1$、$P_0$。我们断言 \[\text{Tor}_2^{P_1}(B, B) = \wedge^2(\bigoplus\nolimits_{t \in T} B)\ \oplus \ \bigoplus\nolimits_{t \in T} J_0\ \oplus \ \text{Tor}_2^{P_0}(B, B)\] 确切地说，第一直和项的基元素 $x_t \wedge x_{t'}$ 对应于 $J_1 \otimes_{P_1} J_1$ 的元素 $x_t \otimes x_{t'} - x_{t'} \otimes x_t$。对 $f \in J_0$，第二直和项的元素 $x_t \otimes f$ 对应于 $J_1 \otimes_{P_1} J_1$ 的元素 $x_t \otimes s_0(f) - s_0(f) \otimes x_t$。最后，态射 $\text{Tor}_2^{P_0}(B, B) \to \text{Tor}_2^{P_1}(B, B)$ 由 $s_0$ 给出。态射 $d_0 - d_1 : \text{Tor}_2^{P_1}(B, B) \to \text{Tor}_2^{P_0}(B, B)$ 在最后一个直和项上为零，将 $x_t \otimes f$ 映到 $f \otimes f_t - f_t \otimes f$，并将 $x_t \wedge x_{t'}$ 映到 $f_t \otimes f_{t'} - f_{t'} \otimes f_t$。综上，我们推出有正合列 \[\wedge^2_B(J_0/J_0^2) \to \text{Tor}_2^{P_0}(B, B) \to H^{-2}(L_{B/A}) \to 0\] 这样，我们便直接证明了评注 08RG 中所讨论的 Quillen 谱序列的一个推论。

与 Lichtenbaum–Schlessinger 复形的比较

设 $A \to B$ 为环同态。文献 [Lichtenbaum-Schlessinger] 对 $\tau_{\geq -2}L_{B/A}$ 给出了相当明确的刻画；它常用于计算奇点的半普遍形变空间。其构造如下。选取 $A$ 上的多项式代数 $P$ 以及核为 $I$ 的满射 $P \to B$。选取 $I$ 的生成元 $f_t$（$t \in T$），从而诱导满射 $F = \bigoplus_{t \in T} P \to I$，其中 $F$ 是自由 $P$-模。令 $Rel \subset F$ 为 $F \to I$ 的核；换言之，$Rel$ 是 $f_t$ 之间的关系之集。令 $TrivRel \subset Rel$ 为平凡关系的子模，即 $Rel$ 中由元素 $(\ldots, f_{t'}, 0, \ldots, 0, -f_t, 0, \ldots)$ 生成的子模。考虑 $B$-模复形 [09CD]\[\begin{equation} Rel/TrivRel \longrightarrow F \otimes_P B \longrightarrow \Omega_{P/A} \otimes_P B \end{equation}\] ，其中最后一项置于次数 $0$。第一个态射是显然的，第二个态射将对应于 $t \in T$ 的基元素映到 $\text{d}f_t \otimes 1$。

定义

设 $A \to B$ 为环同态，$M$ 为 $A$ 上的 $(B, B)$-双模。所谓 $A$-双导子，是指满足 $\lambda(xy) = x\lambda(y) + \lambda(x)y$ 的 $A$-线性映射 $\lambda : B \to M$。

多项式代数上的双导子很容易描述。

引理

设 $P = A[S]$ 为 $A$ 上的多项式环，$M$ 为 $A$ 上的 $(P, P)$-双模。给定每个 $s \in S$ 所对应的 $m_s \in M$，存在唯一的 $A$-双导子 $\lambda : P \to M$，它将 $s$ 映到 $m_s$。

证明

我们在 $M$ 中令 \[\lambda(s_1 \ldots s_t) = \sum s_1 \ldots s_{i - 1} m_{s_i} s_{i + 1} \ldots s_t\] 。按 $A$-线性延拓便得到一个双导子。

下面是比较陈述。读者也可参阅 [Andre-Homologie, page 206, Proposition 12]，或参阅文献 [Doncel]；后者将复形 (09CD) 扩充一项，并将比较推广到 $\tau_{\geq -3}$。

引理

在上述情形中，以 $L$ 表示复形 (09CD)。在 $D(B)$ 中存在典范态射 $L_{B/A} \to L$，它在 $D(B)$ 中诱导同构 $\tau_{\geq -2}L_{B/A} \to L$。

证明

令 $P_\bullet \to B$ 为 $B$ 在 $A$ 上的预解（评注 08QI）。我们将 $L_{B/A}$ 与 $\Omega_{P_\bullet/A} \otimes B$ 等同。为了构造该态射，需要作出若干选择。

选取与给定态射 $P_0 \to B$ 和 $P \to B$ 相容的 $A$-代数同态 $\psi : P_0 \to P$。

对某个集合 $S$ 写成 $P_1 = A[S]$。对 $s \in S$，可写成 \[\psi(d_0(s) - d_1(s)) = \sum p_{s, t} f_t\] ，其中 $p_{s, t} \in P$。通过态射 $(\psi \circ d_0, \psi \circ d_1)$，将 $F = \bigoplus_{t \in T} P$ 视为 $(P_1, P_1)$-双模。由引理 09CF，得到唯一的 $A$-双导子 $\lambda : P_1 \to F$，它将 $s$ 映到坐标为 $p_{s,t}$ 的向量。按构造，复合 \[P_1 \longrightarrow F \longrightarrow P\] 将 $f \in P_1$ 映到 $\psi(d_0(f) - d_1(f))$，因为映射 $f \mapsto \psi(d_0(f) - d_1(f))$ 是一个 $A$-双导子，且在生成元上与该复合一致。

对 $g \in P_2$，我们断言 $\lambda(d_0(g) - d_1(g) + d_2(g))$ 是 $Rel$ 的元素。事实上，由上一段最后的说明，它在 $P$ 中的像为 \[\psi((d_0 - d_1)(d_0(g) - d_1(g) + d_2(g)))\] ；由《单纯形》第 0194 节，它为零）。

$\psi$ 的选择确定态射 \[\text{d}\psi \otimes 1 : \Omega_{P_0/A} \otimes B \longrightarrow \Omega_{P/A} \otimes B\] 将 $\lambda$ 与态射 $F \to F \otimes B$ 复合，得到通常的 $A$-导子，因为 $F \otimes B$ 上的两个 $P_1$-模结构相同。因此 $\lambda$ 确定态射 \[\overline{\lambda} : \Omega_{P_1/A} \otimes B \longrightarrow F \otimes B\] 最后，我们得到 $B$-线性态射 \[q : \Omega_{P_2/A} \otimes B \longrightarrow Rel/TrivRel\] ，它将 $\text{d}g$ 映到 $\lambda(d_0(g) - d_1(g) + d_2(g))$ 在该商中的类。

图 \[\xymatrix{ \Omega_{P_3/A} \otimes B \ar[r] \ar[d] & \Omega_{P_2/A} \otimes B \ar[r] \ar[d]_q & \Omega_{P_1/A} \otimes B \ar[r] \ar[d]_{\overline{\lambda}} & \Omega_{P_0/A} \otimes B \ar[d]_{\text{d}\psi \otimes 1} \\ 0 \ar[r] & Rel/TrivRel \ar[r] & F \otimes B \ar[r] & \Omega_{P/A} \otimes B }\] 交换（计算从略），从而得到该引理的态射。由评注 08UP 和引理 08RB，可见此态射诱导同构 $H_1(L_{B/A}) \to H_1(L)$ 与 $H_0(L_{B/A}) \to H_0(L)$。

还须证明态射 $L_{B/A} \to L$ 诱导同构 $H_2(L_{B/A}) \to H_2(L)$。选取 $B$ 在 $A$ 上的预解，其中 $P_0 = P = A[u_i]$，再依照例 09D4 选取 $P_1$ 和 $P_2$。在评注 09D6 中，我们构造了正合列 \[\wedge^2_B(J_0/J_0^2) \to \text{Tor}_2^{P_0}(B, B) \to H^{-2}(L_{B/A}) \to 0\] ，其中 $P_0 = P$ 且 $J_0 = \Ker(P \to B) = I$。利用短正合列 $0 \to I \to P \to B \to 0$ 与 $0 \to Rel \to F \to I \to 0$ 计算 Tor 群，得到 $\text{Tor}_2^P(B, B) = \Ker(Rel \otimes B \to F \otimes B)$。在这一等同下，态射 $\wedge^2_B(I/I^2) \to \text{Tor}_2^P(B, B)$ 的像恰好是 $TrivRel \otimes B$ 的像。因此 $H_2(L_{B/A}) \cong H_2(L)$。

最后还须核查，我们的态射 $L_{B/A} \to L$ 确实诱导上述同构。以下将直接使用例 09D4 及评注 09D6、09D5 中讨论的记号和结果，不再另行说明。在 $\text{Tor}_2^{P_0}(B, B) = \Ker(I \otimes_P I \to I^2)$ 中选取元素 $\xi$。对某些 $h_{t',t} \in P$，写成 $\xi = \sum h_{t', t}f_{t'} \otimes f_t$。沿上述正合列追踪可知， $\xi$ 对应于元素 $r \in Rel \subset F = \bigoplus_{t \in T} P$ 在 $Rel \otimes B$ 中的像，其中第 $t$ 个坐标为 $r_t = \sum_{t' \in T} h_{t', t}f_{t'}$。另一方面，$\xi$ 对应于 $H_2(L_{B/A}) = H_2(\Omega)$ 的如下元素：在二重扩张 \[0 \to \text{Tor}_2^\mathcal{O}(\underline{B}, \underline{B}) \to \mathcal{J} \otimes_\mathcal{O} \mathcal{J} \to \mathcal{J} \to \mathcal{J}/\mathcal{J}^2 \to 0\] 下取 $\xi$ 的边界，再经 $\text{d} : H_2(\mathcal{J}/\mathcal{J}^2) \to H_2(\Omega)$ 所得的像。我们计算该元素的相继超越映射。首先有 \[\xi = (d_0 - d_1)(- \sum s_0(h_{t', t} f_{t'}) \otimes x_t)\] ，接着有 \[\sum s_0(h_{t', t} f_{t'}) x_t = d_0(v_r) - d_1(v_r) + d_2(v_r)\] ，这是由于我们在例 09D4 中对变量 $v$ 所作的选择。可以选取上面的态射 $\lambda$，使 $\lambda(u_i) = 0$ 且 $\lambda(x_t) = - e_t$，其中 $e_t \in F$ 表示对应于 $t \in T$ 的基向量。因此，上述态射 $q$ 的构造将 $\text{d}v_r$ 映到 \[\lambda(\sum s_0(h_{t', t} f_{t'}) x_t) = \sum\nolimits_t \left(\sum\nolimits_{t'} h_{t', t}f_{t'}\right) e_t\] ，这与 $\xi$ 在 $Rel \otimes B$ 中的像相符（上面出现的两个负号相消）。这一相符性完成了证明。

注

考虑环同态的交换方块 \[\xymatrix{ A' \ar[r] & B' \\ A \ar[u] \ar[r] & B \ar[u] }\] 。选取分解 \[\xymatrix{ A' \ar[r] & P' \ar[r] & B' \\ A \ar[u] \ar[r] & P \ar[u] \ar[r] & B \ar[u] }\] ，其中 $P$ 是 $A$ 上的多项式代数，$P'$ 是 $A'$ 上的多项式代数。选取 $\Ker(P \to B)$ 的生成元 $f_t$（$t \in T$）。对 $t \in T$，以 $f'_t$ 表示 $f_t$ 在 $P'$ 中的像。选取 $f'_s \in P'$，使得当 $t \in T' = T \amalg S$ 时，元素 $f'_t$ 生成 $P' \to B'$ 的核。令 $F = \bigoplus_{t \in T} P$ 且 $F' = \bigoplus_{t' \in T'} P'$。令 $Rel = \Ker(F \to P)$ 与 $Rel' = \Ker(F' \to P')$，其中各坐标上的态射分别由乘以 $f_t$ 和 $f'_t$ 给出。最后，分别令 $TrivRel$ 与 $TrivRel'$ 等于 $Rel$ 与 $TrivRel$ 中由元素

$(\ldots, f_{t'}, 0, \ldots, 0, -f_t, 0, \ldots)$ 生成的子模，其中 $t,t'$ 分别取自 $T$ 与 $T'$。作出这些选择后，得到典范交换图 \[\xymatrix{ L' : & Rel'/TrivRel' \ar[r] & F' \otimes_{P'} B' \ar[r] & \Omega_{P'/A'} \otimes_{P'} B' \\ L : \ar[u] & Rel/TrivRel \ar[r] \ar[u] & F \otimes_P B \ar[r] \ar[u] & \Omega_{P/A} \otimes_P B \ar[u] }\] 此外，追踪引理 09CG 的证明中所作的选择，读者可见会得到交换图 \[\xymatrix{ L_{B'/A'} \ar[r] & L' \\ L_{B/A} \ar[r] \ar[u] & L \ar[u] }\]

局部完全交的余切复形

若 $A \to B$ 是局部完全交同态，则 $L_{B/A}$ 是完美复形。证明这一点的关键是下面的引理。

引理

设 $A = \mathbf{Z}[x_1, \ldots, x_n] \to B = \mathbf{Z}$ 为将 $x_i$ 映到 $0$（$i = 1, \ldots, n$）的环同态。令 $I = (x_1, \ldots, x_n) \subset A$。则 $L_{B/A}$ 与 $I/I^2[1]$ 拟同构。

证明

有若干种证明方法。例如，可以明确构造 $B$ 在 $A$ 上的预解并作计算。我们将使用 (08QS)。确切地说，考虑可区别三角 \[L_{\mathbf{Z}[x_1, \ldots, x_n]/\mathbf{Z}} \otimes_{\mathbf{Z}[x_1, \ldots, x_n]} \mathbf{Z} \to L_{\mathbf{Z}/\mathbf{Z}} \to L_{\mathbf{Z}/\mathbf{Z}[x_1, \ldots, x_n]}\to L_{\mathbf{Z}[x_1, \ldots, x_n]/\mathbf{Z}} \otimes_{\mathbf{Z}[x_1, \ldots, x_n]} \mathbf{Z}[1]\] 由引理 08QH，复形 $L_{\mathbf{Z}[x_1, \ldots, x_n]/\mathbf{Z}}$ 与 $\Omega_{\mathbf{Z}[x_1, \ldots, x_n]/\mathbf{Z}}$ 拟同构。由引理 08R2，复形 $L_{\mathbf{Z}/\mathbf{Z}}$ 在 $D(\mathbf{Z})$ 中为零。因此，$L_{B/A}$ 只有一个非零上同调群；由引理 08RA，它正如引理中所描述。

引理

设 $A \to B$ 为满环同态，其核 $I$ 由 Koszul 正则序列（例如正则序列）生成。则 $L_{B/A}$ 与 $I/I^2[1]$ 拟同构。

证明

设 $f_1, \ldots, f_r \in I$ 是生成 $I$ 的 Koszul 正则序列。考虑将 $x_i$ 映到 $f_i$ 的环同态 $\mathbf{Z}[x_1, \ldots, x_r] \to A$。由于 $x_1, \ldots, x_r$ 是 $\mathbf{Z}[x_1, \ldots, x_r]$ 中的正则序列，可见 $x_1, \ldots, x_r$ 上的 Koszul 复形是 $\mathbf{Z} = \mathbf{Z}[x_1, \ldots, x_r]/(x_1, \ldots, x_r)$ 在 $\mathbf{Z}[x_1, \ldots, x_r]$ 上的自由预解（参见《代数续篇》引理 062F）。因此， $f_1, \ldots, f_r$ 为 Koszul 正则序列这一假设恰好意味着 $B = A \otimes_{\mathbf{Z}[x_1, \ldots, x_r]}^\mathbf{L} \mathbf{Z}$。所以，由引理 08QQ 与 08SI， $L_{B/A} = L_{\mathbf{Z}/\mathbf{Z}[x_1, \ldots, x_r]} \otimes_\mathbf{Z}^\mathbf{L} B$。

引理

设 $A \to B$ 为满环同态，其核 $I$ 是 Koszul 理想。则 $L_{B/A}$ 与 $I/I^2[1]$ 拟同构。

证明

在 $\Spec(A)$ 上局部地，理想 $I$ 由 Koszul 正则序列生成，参见《代数续篇》定义 07CV。因此结论由引理 08QQ 得到。

命题

设 $A \to B$ 为局部完全交同态。则 $L_{B/A}$ 是 Tor 振幅位于 $[-1, 0]$ 的完美复形。

证明

选取核为 $J$ 的满射 $P = A[x_1, \ldots, x_n] \to B$。由引理 08RB，可见 $J/J^2 \to \bigoplus B\text{d}x_i$ 与 $\tau_{\geq -1}L_{B/A}$ 拟同构。注意 $J/J^2$ 是有限投射模（《代数续篇》引理 08RK），故 $\tau_{\geq -1}L_{B/A}$ 是 Tor 振幅位于 $[-1, 0]$ 的完美复形。因此只须证明当 $i \not \in [-1, 0]$ 时 $H^i(L_{B/A}) = 0$。这由 (08QS) \[L_{P/A} \otimes_P^\mathbf{L} B \to L_{B/A} \to L_{B/P} \to L_{P/A} \otimes_P^\mathbf{L} B[1]\] 及引理 08SK 得到：除非 $i \in \{-1, 0\}$，否则 $H^i(L_{B/P})$ 为零。（对左端项还使用了引理 08QH。）

张量积与余切复形

设 $R$ 为环，$A$、$B$ 为 $R$-代数。本节讨论 $L_{A \otimes_R B/R}$。我们所需的大部分信息都包含在下图中： [09D9]\[\begin{equation} \vcenter{ \xymatrix{ L_{A/R} \otimes_A^\mathbf{L} (A \otimes_R B) \ar[r] & L_{A \otimes_R B/B} \ar[r] & E \\ L_{A/R} \otimes_A^\mathbf{L} (A \otimes_R B) \ar[r] \ar@{=}[u] & L_{A \otimes_R B/R} \ar[r] \ar[u] & L_{A \otimes_R B/A} \ar[u] \\ & L_{B/R} \otimes_B^\mathbf{L} (A \otimes_R B) \ar[u] \ar@{=}[r] & L_{B/R} \otimes_B^\mathbf{L} (A \otimes_R B) \ar[u] } } \end{equation}\] 说明：中间一行是环同态 $R \to A \to A \otimes_R B$ 的基本三角 (08QS)。中间一列是环同态 $R \to B \to A \otimes_R B$ 的基本三角 (08QS)。其次，$E$ 是 $D(A \otimes_R B)$ 中 “嵌入”右上角的对象，也就是说，它使最上面一行和最右边一列都成为可区别三角。将《导出范畴》命题 05R0 应用于左下方块（在缺失位置放置 $0$），可知这样的 $E$ 存在。更明确地说，例如可以把 $E$ 定义为复形态射 \[L_{A/R} \otimes_A^\mathbf{L} (A \otimes_R B) \oplus L_{B/R} \otimes_B^\mathbf{L} (A \otimes_R B) \longrightarrow L_{A \otimes_R B/R}\] 的锥（《导出范畴》定义 014E），再应用 TR3 得到以 $E$ 为靶的两个态射。在 Tor 独立的情形下，对象 $E$ 为零。

引理

若 $A$ 与 $B$ 是 Tor 独立的 $R$-代数，则 (09D9) 中的对象 $E$ 为零。在此情形下有 \[L_{A \otimes_R B/R} = L_{A/R} \otimes_A^\mathbf{L} (A \otimes_R B) \oplus L_{B/R} \otimes_B^\mathbf{L} (A \otimes_R B)\] ，它由 $A \otimes_R B$-模复形 $L_{A/R} \otimes_R B \oplus L_{B/R} \otimes_R A$ 表示。

证明

前两个陈述直接由引理 08QQ 得到。最后一个陈述成立，是因为 $L_{A/R}$ 是自由 $A$-模的复形，故 $L_{A/R} \otimes_A^\mathbf{L} (A \otimes_R B)$ 由 $L_{A/R} \otimes_A (A \otimes_R B) = L_{A/R} \otimes_R B$ 表示。

一般地，对象 $E$ 有如下性质。

引理

设 $R$ 为环，$A$、$B$ 为 $R$-代数。对象 $E$ 在 (09D9) 中满足 \[H^i(E) = \left\{ \begin{matrix} 0 & \text{若} & i \geq -1 \\ \text{Tor}_1^R(A, B) & \text{若} & i = -2 \end{matrix} \right.\]

证明

我们采用 $E$ 是态射 $L_{B/R} \otimes_B^\mathbf{L} (A \otimes_R B) \to L_{A \otimes_R B/A}$ 之锥的描述。由引理 09CG，典范截断 $\tau_{\geq -2}L_{B/R}$ 与 $\tau_{\geq -2}L_{A \otimes_R B/A}$ 由 Lichtenbaum–Schlessinger 复形 (09CD) 计算。这些同构与函子性相容（评注 09D7）。因此，本证明使用 Lichtenbaum–Schlessinger 复形。

选取 $R$ 上的多项式代数 $P$ 和满射 $P \to B$。选取该满射之核的生成元 $f_t \in P$（$t \in T$）。令 $Rel \subset F = \bigoplus_{t \in T} P$ 为态射 $F \to P$ 的核，该态射将对应于 $t$ 的基向量映到 $f_t$。令 $P_A = A \otimes_R P$ 且 $F_A = A \otimes_R F = P_A \otimes_P F$。令 $Rel_A$ 为 $F_A \to P_A$ 的核。利用正合列 \[0 \to Rel \to F \to P \to B \to 0\] 及 Tor 的标准短正合列，得到正合列 \[A \otimes_R Rel \to Rel_A \to \text{Tor}_1^R(A, B) \to 0\] 注意 $P_A \to A \otimes_R B$ 是满射，其核由 $P_A$ 中的元素 $1 \otimes f_t$ 生成。以 $TrivRel_A \subset Rel_A$ 表示由元素 $(\ldots, 1 \otimes f_{t'}, 0, \ldots, 0, - 1 \otimes f_t \otimes 1, 0, \ldots)$

生成的 $P_A$-子模。由于 $TrivRel \otimes_R A \to TrivRel_A$ 是满射，得到典范正合列 \[A \otimes_R (Rel/TrivRel) \to Rel_A/TrivRel_A \to \text{Tor}_1^R(A, B) \to 0\] Lichtenbaum–Schlessinger 复形之间的态射由下图给出： \[\xymatrix{ Rel_A/TrivRel_A \ar[r] & F_A \otimes_{P_A} (A \otimes_R B) \ar[r] & \Omega_{P_A/A \otimes_R B} \otimes_{P_A} (A \otimes_R B) \\ Rel/TrivRel \ar[r] \ar[u]_{-2} & F \otimes_P B \ar[r] \ar[u]_{-1} & \Omega_{P/A} \otimes_P B \ar[u]_0 }\]

注意，对源施用函子 $A \otimes_R - = P_A \otimes_P -$ 后，纵向态射 $-1$ 与 $-0$ 诱导同构，而纵向态射 $-2$ 恰好给出以上所见的那个态射，它的余核就是所需的 Tor 模。

环同态的形变与余切复形

本节续接《形变理论》第 08S3 节，我们强烈建议读者先阅读该节。首先取满环同态 $A' \to A$，其核是平方为零的理想 $I$。再假设给定环同态 $A \to B$、$B$-模 $N$ 以及 $A$-模态射 $c : I \to N$。本节要问的是，能否找到适合下图中问号位置的对象： [08SN]\[\begin{equation} \vcenter{ \xymatrix{ 0 \ar[r] & N \ar[r] & {?} \ar[r] & B \ar[r] & 0 \\ 0 \ar[r] & I \ar[u]^c \ar[r] & A' \ar[u] \ar[r] & A \ar[u] \ar[r] & 0 } } \end{equation}\] 并且还要问该解（若存在）在何种意义下唯一。更确切地说，我们寻找 $A'$-代数的满射 $B' \to B$，其核为平方零理想并与 $N$ 等同，且 $A' \to B'$ 诱导给定态射 $c$。我们称 $B'$ 是 (08SN) 的一个解。

引理

在上述情形中，有：

存在典范元素 $\xi \in \Ext^2_B(L_{B/A}, N)$；它为零是 (08SN) 存在解的充分必要条件。

若存在解，则解的同构类之集在 $\Ext^1_B(L_{B/A}, N)$ 的作用下为主齐性空间。

给定一个解 $B'$，所有适合 (08SN) 的 $B'$ 自同构之集典范同构于 $\Ext^0_B(L_{B/A}, N)$。

证明

借助等同 $\NL_{B/A} = \tau_{\geq -1}L_{B/A}$（引理 08RB）与 $H^0(L_{B/A}) = \Omega_{B/A}$（引理 08QF），我们已在《形变理论》引理 08S5 与 08S7 中见过第 (2)、(3) 项。

证明 (1)。粗略地说，将朴素余切复形替换为完整余切复形后，结论便由《形变理论》评注 0GPY 中的讨论得到。下面给出更详细的说明。由《形变理论》引理 0GPX 和评注 0GPY，存在元素 \[\xi' \in \Ext^1_A(\NL_{A/A'}, N) = \Ext^1_B(\NL_{A/A'} \otimes_A^\mathbf{L} B, N) = \Ext^1_B(L_{A/A'} \otimes_A^\mathbf{L} B, N)\] （关于这些等号，参见《形变理论》评注 0GPY，并使用 $\NL_{A'/A} = \tau_{\geq -1} L_{A'/A}$）

，使得存在解当且仅当此元素属于态射 \[\Ext^1_B(\NL_{B/A'}, N) = \Ext^1_B(L_{B/A'}, N) \longrightarrow \Ext^1_B(L_{A/A'} \otimes_A^\mathbf{L} B, N)\] 的像。$A' \to A \to B$ 的可区别三角 (08QS) 给出长正合列 \[\ldots \to \Ext^1_B(L_{B/A'}, N) \to \Ext^1_B(L_{A/A'} \otimes_A^\mathbf{L} B, N) \to \Ext^2_B(L_{B/A}, N) \to \ldots\] 因此，取 $\xi$ 为 $\xi'$ 的像即可。

模的 Atiyah 类

设 $A \to B$ 为环同态，$M$ 为 $B$-模。设 $P \to B$ 为 $\mathcal{C}_{B/A}$ 的对象（第 08PQ 节）。考虑主部的扩张 \[0 \to \Omega_{P/A} \otimes_P M \to P^1_{P/A}(M) \to M \to 0\] ，参见《代数》引理 09CN。由《代数》评注 09CP，此列对 $P$ 具有函子性。因此在 $\mathcal{C}_{B/A}$ 上得到 $\mathcal{O}$-模层的短正合列 \[0 \to \Omega_{\mathcal{O}/\underline{A}} \otimes_\mathcal{O} \underline{M} \to P^1_{\mathcal{O}/\underline{A}}(M) \to \underline{M} \to 0\] 。由引理 08PT 及 $L_{B/A}$ 各项的平坦性，有 $L\pi_!(\Omega_{\mathcal{O}/\underline{A}} \otimes_\mathcal{O} \underline{M}) = L_{B/A} \otimes_B M = L_{B/A} \otimes_B^\mathbf{L} M$ 。由引理 08QE，有 $L\pi_!(\underline{M}) = M$。因此得到可区别三角 [09DD]\[\begin{equation} L_{B/A} \otimes_B^\mathbf{L} M \to L\pi_!\left(P^1_{\mathcal{O}/\underline{A}}(M)\right) \to M \to L_{B/A} \otimes_B^\mathbf{L} M [1] \end{equation}\] ；它位于 $D(B)$ 中。这里使用《站点上的上同调》评注 09CZ，以便在 $D(B)$ 中而不只是在 $D(A)$ 中得到可区别三角。

定义

设 $A \to B$ 为环同态，$M$ 为 $B$-模。 (09DD) 中的态射 $M \to L_{B/A} \otimes_B^\mathbf{L} M[1]$ 称为 $M$ 的Atiyah 类。

本节讨论站点上环层同态的余切复形。在后续各节中，我们将其特殊化，得到赋环拓扑斯态射、赋环空间态射、概形态射、代数空间态射等的余切复形。

设 $\mathcal{C}$ 为站点，以 $\Sh(\mathcal{C})$ 表示相应的拓扑斯。设 $\mathcal{A}$ 为 $\mathcal{C}$ 上的环层，以 $\mathcal{A}\textit{-Alg}$ 表示 $\mathcal{A}$-代数范畴。考虑一对伴随函子 $(U, V)$，其中 $V : \mathcal{A}\textit{-Alg} \to \Sh(\mathcal{C})$ 是遗忘函子，而 $U : \Sh(\mathcal{C}) \to \mathcal{A}\textit{-Alg}$ 将集合层 $\mathcal{E}$ 送到 $\mathcal{A}$ 上以 $\mathcal{E}$ 为变量集的多项式代数 $\mathcal{A}[\mathcal{E}]$。令 $X_\bullet$ 为 $\text{Fun}(\mathcal{A}\textit{-Alg}, \mathcal{A}\textit{-Alg})$ 中的单纯形对象，它构造于《单纯形》第 08N8 节。

现在假设 $\mathcal{A} \to \mathcal{B}$ 是环层同态。于是 $\mathcal{B}$ 是范畴 $\mathcal{A}\textit{-Alg}$ 的对象。以 $\mathcal{P}_\bullet = X_\bullet(\mathcal{B})$ 表示所得的单纯形 $\mathcal{A}$-代数。回忆 $\mathcal{P}_0 = \mathcal{A}[\mathcal{B}]$, $\mathcal{P}_1 = \mathcal{A}[\mathcal{A}[\mathcal{B}]]$，依此类推。还要回忆，存在增广 \[\epsilon : \mathcal{P}_\bullet \longrightarrow \mathcal{B}\] ，其中把 $\mathcal{B}$ 视为常值单纯形 $\mathcal{A}$-代数。

定义

设 $\mathcal{C}$ 为站点，$\mathcal{A} \to \mathcal{B}$ 为 $\mathcal{C}$ 上的环层同态。$\mathcal{B}$ 在 $\mathcal{A}$ 上的 标准预解是增广 $\epsilon : \mathcal{P}_\bullet \to \mathcal{B}$ ，其各项为 \[\mathcal{P}_0 = \mathcal{A}[\mathcal{B}],\quad \mathcal{P}_1 = \mathcal{A}[\mathcal{A}[\mathcal{B}]],\quad \ldots\] ，态射如上所构造。

有了这一定义，环层同态的余切复形定义如下。我们将使用《站点上的模》第 04BJ 节中定义的微分模。

定义

设 $\mathcal{C}$ 为站点，$\mathcal{A} \to \mathcal{B}$ 为 $\mathcal{C}$ 上的环层同态。余切复形 $L_{\mathcal{B}/\mathcal{A}}$ 是与单纯形模 \[\Omega_{\mathcal{P}_\bullet/\mathcal{A}} \otimes_{\mathcal{P}_\bullet, \epsilon} \mathcal{B}\] 相伴的 $\mathcal{B}$-模复形，其中 $\epsilon : \mathcal{P}_\bullet \to \mathcal{B}$ 是 $\mathcal{B}$ 在 $\mathcal{A}$ 上的标准预解。我们通常把 $L_{\mathcal{B}/\mathcal{A}}$ 看作 $D(\mathcal{B})$ 的对象。

这些构造满足与第 08QL 节所讨论者类似的函子性。确切地说，给定 $\mathcal{C}$ 上环层的交换图 [08ST]\[\begin{equation} \vcenter{ \xymatrix{ \mathcal{B} \ar[r] & \mathcal{B}' \\ \mathcal{A} \ar[u] \ar[r] & \mathcal{A}' \ar[u] } } \end{equation}\] ，存在典范的 $\mathcal{B}$-线性复形态射 \[L_{\mathcal{B}/\mathcal{A}} \longrightarrow L_{\mathcal{B}'/\mathcal{A}'}\] ，其构造如下。若 $\mathcal{P}_\bullet \to \mathcal{B}$ 是 $\mathcal{B}$ 在 $\mathcal{A}$ 上的标准预解，而 $\mathcal{P}'_\bullet \to \mathcal{B}'$ 是 $\mathcal{B}'$ 在 $\mathcal{A}'$ 上的标准预解，则存在单纯形 $\mathcal{A}$-代数的典范态射 $\mathcal{P}_\bullet \to \mathcal{P}'_\bullet$，它与增广 $\mathcal{P}_\bullet \to \mathcal{B}$ 与 $\mathcal{P}'_\bullet \to \mathcal{B}'$ 相容。态射 \[\mathcal{P}_0 = \mathcal{A}[\mathcal{B}] \longrightarrow \mathcal{A}'[\mathcal{B}'] = \mathcal{P}'_0, \quad \mathcal{P}_1 = \mathcal{A}[\mathcal{A}[\mathcal{B}]] \longrightarrow \mathcal{A}'[\mathcal{A}'[\mathcal{B}']] = \mathcal{P}'_1\] 等由给定态射 $\mathcal{A} \to \mathcal{A}'$ 与 $\mathcal{B} \to \mathcal{B}'$ 给出。所需态射 $L_{\mathcal{B}/\mathcal{A}} \to L_{\mathcal{B}'/\mathcal{A}'}$ 便来自微分层上的相伴态射。

引理

设 $f : \Sh(\mathcal{D}) \to \Sh(\mathcal{C})$ 为拓扑斯态射， $\mathcal{A} \to \mathcal{B}$ 为 $\mathcal{C}$ 上的环层同态。则 $f^{-1}L_{\mathcal{B}/\mathcal{A}} = L_{f^{-1}\mathcal{B}/f^{-1}\mathcal{A}}$。

证明

图 \[\xymatrix{ \mathcal{A}\textit{-Alg} \ar[d]_{f^{-1}} \ar[r] & \Sh(\mathcal{C}) \ar@<1ex>[l] \ar[d]^{f^{-1}} \\ f^{-1}\mathcal{A}\textit{-Alg} \ar[r] & \Sh(\mathcal{D}) \ar@<1ex>[l] }\] 交换。

引理

设 $\mathcal{C}$ 为站点，$\mathcal{A} \to \mathcal{B}$ 为 $\mathcal{C}$ 上的环层同态。则 $H^i(L_{\mathcal{B}/\mathcal{A}})$ 是与预层 $U \mapsto H^i(L_{\mathcal{B}(U)/\mathcal{A}(U)})$ 相伴的层。

证明

在 $\mathcal{C}$ 上赋予混沌拓扑（此时预层都是层），所得站点记为 $\mathcal{C}'$。存在拓扑斯态射 $f : \Sh(\mathcal{C}) \to \Sh(\mathcal{C}')$，其中 $f_*$ 是层到预层的包含，而 $f^{-1}$ 是层化。由引理 08SV，只须对 $\mathcal{C}'$ 证明结论，也就是只须处理 $\mathcal{C}$ 具有混沌拓扑的情形。

若 $\mathcal{C}$ 带有混沌拓扑，则 $L_{\mathcal{B}/\mathcal{A}}(U)$ 等于 $L_{\mathcal{B}(U)/\mathcal{A}(U)}$，因为图 \[\xymatrix{ \mathcal{A}\textit{-Alg} \ar[d]_{\text{$U$ 上的截面}} \ar[r] & \Sh(\mathcal{C}) \ar@<1ex>[l] \ar[d]^{\text{$U$ 上的截面}} \\ \mathcal{A}(U)\textit{-Alg} \ar[r] & \textit{Sets} \ar@<1ex>[l] }\] 交换。

注

由引理 08SW 的证明显然可知，对任意 $U \in \Ob(\mathcal{C})$，存在 $\mathcal{B}(U)$-模复形的典范态射 $L_{\mathcal{B}(U)/\mathcal{A}(U)} \to L_{\mathcal{B}/\mathcal{A}}(U)$ 。此外，这些态射与限制态射相容，而复形 $L_{\mathcal{B}/\mathcal{A}}$ 是规则 $U \mapsto L_{\mathcal{B}(U)/\mathcal{A}(U)}$ 的层化。

引理

设 $\mathcal{C}$ 为站点，$\mathcal{A} \to \mathcal{B}$ 为 $\mathcal{C}$ 上的环层同态。则 $H^0(L_{\mathcal{B}/\mathcal{A}}) = \Omega_{\mathcal{B}/\mathcal{A}}$。

证明

由引理 08SW、 08QF 及《站点上的模》引理 08TP 得到。

引理

设 $\mathcal{C}$ 为站点，$\mathcal{A} \to \mathcal{B}$ 与 $\mathcal{A} \to \mathcal{B}'$ 为 $\mathcal{C}$ 上的环层同态。则 \[L_{\mathcal{B} \times \mathcal{B}'/\mathcal{A}} \longrightarrow L_{\mathcal{B}/\mathcal{A}} \oplus L_{\mathcal{B}'/\mathcal{A}}\] 在 $D(\mathcal{B} \times \mathcal{B}')$ 中是同构。

证明

由引理 08SW，只须对环同态证明。对环而言，这正是引理 08SC。

环层余切复形的基本三角是环同态情形之结果的直接推论。

引理

设 $\mathcal{D}$ 为站点，$\mathcal{A} \to \mathcal{B} \to \mathcal{C}$ 为 $\mathcal{D}$ 上的环层同态。存在典范可区别三角 \[L_{\mathcal{B}/\mathcal{A}} \otimes_\mathcal{B}^\mathbf{L} \mathcal{C} \to L_{\mathcal{C}/\mathcal{A}} \to L_{\mathcal{C}/\mathcal{B}} \to L_{\mathcal{B}/\mathcal{A}} \otimes_\mathcal{B}^\mathbf{L} \mathcal{C}[1]\] ；它位于 $D(\mathcal{C})$ 中。

证明

我们将使用评注 08SD 与 08SE 中描述的方法构造该三角，并直接使用其中提到的结果。依照这些评注，先在 $\mathcal{B} \to \mathcal{C}$ 是环层单射的情形下构造三角。在此情形下，令

$\mathcal{P}_\bullet$ 为 $\mathcal{B}$ 在 $\mathcal{A}$ 上的标准预解；

$\mathcal{Q}_\bullet$ 为 $\mathcal{C}$ 在 $\mathcal{A}$ 上的标准预解；

$\mathcal{R}_\bullet$ 为 $\mathcal{C}$ 在 $\mathcal{B}$ 上的标准预解；

$\mathcal{S}_\bullet$ 为 $\mathcal{B}$ 在 $\mathcal{B}$ 上的标准预解；

$\overline{\mathcal{Q}}_\bullet = \mathcal{Q}_\bullet \otimes_{\mathcal{P}_\bullet} \mathcal{B}$；并且

$\overline{\mathcal{R}}_\bullet = \mathcal{R}_\bullet \otimes_{\mathcal{S}_\bullet} \mathcal{B}$。

所求可区别三角是与单纯形 $\mathcal{C}$-模的短正合列 \[0 \to \Omega_{\mathcal{P}_\bullet/\mathcal{A}} \otimes_{\mathcal{P}_\bullet} \mathcal{C} \to \Omega_{\mathcal{Q}_\bullet/\mathcal{A}} \otimes_{\mathcal{Q}_\bullet} \mathcal{C} \to \Omega_{\overline{\mathcal{Q}}_\bullet/\mathcal{B}} \otimes_{\overline{\mathcal{Q}}_\bullet} \mathcal{C} \to 0\] 相伴的可区别三角。前两项等于引理陈述中三角的前两项。将最后一项与 $L_{\mathcal{C}/\mathcal{B}}$ 等同，使用复形的拟同构 \[L_{\mathcal{C}/\mathcal{B}} = \Omega_{\mathcal{R}_\bullet/\mathcal{B}} \otimes_{\mathcal{R}_\bullet} \mathcal{C} \longrightarrow \Omega_{\overline{\mathcal{R}}_\bullet/\mathcal{B}} \otimes_{\overline{\mathcal{R}}_\bullet} \mathcal{C} \longleftarrow \Omega_{\overline{\mathcal{Q}}_\bullet/\mathcal{B}} \otimes_{\overline{\mathcal{Q}}_\bullet} \mathcal{C}\] 上述所有构造都可以先在预层层次完成，再进行层化。因此，要证明列正合，或证明态射是拟同构，只须对环同态

$\mathcal{A}(U) \to \mathcal{B}(U) \to \mathcal{C}(U)$ 证明相应陈述；这些结论已经知道。这样便完成了 $\mathcal{B} \to \mathcal{C}$ 为单射时的证明。

一般地，必要时以 $\mathcal{B} \times \mathcal{C}$ 替换 $\mathcal{C}$，从而归约到 $\mathcal{B} \to \mathcal{C}$ 为单射的情形。由评注 08SD 中的论证和引理 08SY，这是可行的。

引理

设 $\mathcal{C}$ 为站点，$\mathcal{A} \to \mathcal{B}$ 为 $\mathcal{C}$ 上的环层同态。若 $p$ 是 $\mathcal{C}$ 的点，则 $(L_{\mathcal{B}/\mathcal{A}})_p = L_{\mathcal{B}_p/\mathcal{A}_p}$。

证明

这是引理 08SV 的特殊情形。

关于朴素余切复形的构造及其性质，参见《站点上的模》第 08TT 节。

引理

设 $\mathcal{C}$ 为站点，$\mathcal{A} \to \mathcal{B}$ 为 $\mathcal{C}$ 上的环层同态。存在典范态射 $L_{\mathcal{B}/\mathcal{A}} \to \NL_{\mathcal{B}/\mathcal{A}}$ ，它将朴素余切复形与截断 $\tau_{\geq -1}L_{\mathcal{B}/\mathcal{A}}$ 等同。

证明

令 $\mathcal{P}_\bullet$ 为 $\mathcal{B}$ 在 $\mathcal{A}$ 上的标准预解，并令 $\mathcal{I} = \Ker(\mathcal{A}[\mathcal{B}] \to \mathcal{B})$。回忆 $\mathcal{P}_0 = \mathcal{A}[\mathcal{B}]$。该引理中的态射由交换图 \[\xymatrix{ L_{\mathcal{B}/\mathcal{A}} \ar[d] & \ldots \ar[r] & \Omega_{\mathcal{P}_2/\mathcal{A}} \otimes_{\mathcal{P}_2} \mathcal{B} \ar[r] \ar[d] & \Omega_{\mathcal{P}_1/\mathcal{A}} \otimes_{\mathcal{P}_1} \mathcal{B} \ar[r] \ar[d] & \Omega_{\mathcal{P}_0/\mathcal{A}} \otimes_{\mathcal{P}_0} \mathcal{B} \ar[d] \\ \NL_{\mathcal{B}/\mathcal{A}} & \ldots \ar[r] & 0 \ar[r] & \mathcal{I}/\mathcal{I}^2 \ar[r] & \Omega_{\mathcal{P}_0/\mathcal{A}} \otimes_{\mathcal{P}_0} \mathcal{B} }\] 给出。我们将局部截面 $\text{d}f \otimes b$ 映到 $(d_0(f) - d_1(f))b$ 在 $\mathcal{I}/\mathcal{I}^2$ 中的类，由此构造以 $\mathcal{I}/\mathcal{I}^2$ 为靶的向下箭头。这里 $d_i : \mathcal{P}_1 \to \mathcal{P}_0$（$i = 0, 1$）是单纯形结构的两个面态射。这是有意义的，因为 $d_0-d_1$ 将 $\mathcal{P}_1$ 映入 $\mathcal{I} = \Ker(\mathcal{P}_0 \to \mathcal{B})$。此规则良定义的验证从略。我们的态射与微分 $\Omega_{\mathcal{P}_1/\mathcal{A}} \otimes_{\mathcal{P}_1} \mathcal{B} \to \Omega_{\mathcal{P}_0/\mathcal{A}} \otimes_{\mathcal{P}_0} \mathcal{B}$ 相容，因为该微分将局部截面 $\text{d}f \otimes b$ 映到 $\text{d}(d_0(f) - d_1(f)) \otimes b$。此外，微分 $\Omega_{\mathcal{P}_2/\mathcal{A}} \otimes_{\mathcal{P}_2} \mathcal{B} \to \Omega_{\mathcal{P}_1/\mathcal{A}} \otimes_{\mathcal{P}_1} \mathcal{B}$ 将局部截面 $\text{d}f \otimes b$ 映到 $\text{d}(d_0(f) - d_1(f) + d_2(f)) \otimes b$，后者被我们的向下箭头消去。因此得到了复形态射。

为了证明我们的态射在上同调层 $H^0$ 与 $H^{-1}$ 上诱导同构，作如下论证。令 $\mathcal{C}'$ 为与 $\mathcal{C}$ 具有相同底范畴、但赋予混沌拓扑的站点。令 $f : \Sh(\mathcal{C}) \to \Sh(\mathcal{C}')$ 为拉回函子是层化的拓扑斯态射。把给定态射 $\mathcal{A}' \to \mathcal{B}'$ 看作 $\mathcal{C}'$ 上的环层同态。上述构造在 $\mathcal{C}'$ 上给出态射 $L_{\mathcal{B}'/\mathcal{A}'} \to \NL_{\mathcal{B}'/\mathcal{A}'}$，它在 $\mathcal{C}'$ 任一对象 $U$ 上的值正是态射 \[L_{\mathcal{B}(U)/\mathcal{A}(U)} \to \NL_{\mathcal{B}(U)/\mathcal{A}(U)}\] ；这是评注 08UP 中的态射，并在 $H^0$ 与 $H^{-1}$ 上诱导同构。由于 $f^{-1}L_{\mathcal{B}'/\mathcal{A}'} = L_{\mathcal{B}/\mathcal{A}}$ （引理 08SV），且 $f^{-1}\NL_{\mathcal{B}'/\mathcal{A}'} = \NL_{\mathcal{B}/\mathcal{A}}$ （《站点上的模》引理 08TZ），该引理得证。

模层的 Atiyah 类

设 $\mathcal{C}$ 为站点，$\mathcal{A} \to \mathcal{B}$ 为环层同态， $\mathcal{F}$ 为 $\mathcal{B}$-模层。令 $\mathcal{P}_\bullet \to \mathcal{B}$ 为 $\mathcal{B}$ 在 $\mathcal{A}$ 上的标准预解（第 08UQ 节）。对每个 $n \geq 0$，考虑主部的扩张 [09DG]\[\begin{equation} 0 \to \Omega_{\mathcal{P}_n/\mathcal{A}} \otimes_{\mathcal{P}_n} \mathcal{F} \to \mathcal{P}^1_{\mathcal{P}_n/\mathcal{A}}(\mathcal{F}) \to \mathcal{F} \to 0 \end{equation}\] ，参见《站点上的模》引理 09CW。此构造的函子性（《站点上的模》评注 09CX）告诉我们， (09DG) 是单纯形 $\mathcal{P}_\bullet$-模短正合列的第 $n$ 次部分（《站点上的上同调》第 09D0 节）。使用《站点上的上同调》评注 09D3 中的函子 $L\pi_! : D(\mathcal{P}_\bullet) \to D(\mathcal{B})$ （这里使用 $\mathcal{P}_\bullet \to \mathcal{A}$ 是预解），

得到可区别三角 [09DH]\[\begin{equation} L_{\mathcal{B}/\mathcal{A}} \otimes_\mathcal{B}^\mathbf{L} \mathcal{F} \to L\pi_!\left(\mathcal{P}^1_{\mathcal{P}_\bullet/\mathcal{A}}(\mathcal{F})\right) \to \mathcal{F} \to L_{\mathcal{B}/\mathcal{A}} \otimes_\mathcal{B}^\mathbf{L} \mathcal{F} [1] \end{equation}\] ；它位于 $D(\mathcal{B})$ 中。

定义

设 $\mathcal{C}$ 为站点，$\mathcal{A} \to \mathcal{B}$ 为环层同态， $\mathcal{F}$ 为 $\mathcal{B}$-模层。 (09DH) 中的态射 $\mathcal{F} \to L_{\mathcal{B}/\mathcal{A}} \otimes_\mathcal{B}^\mathbf{L} \mathcal{F}[1]$ 称为 $\mathcal{F}$ 的Atiyah 类。

赋环空间态射的余切复形

赋环空间态射的余切复形用上面定义的余切复形来定义。

定义

设 $f : (X, \mathcal{O}_X) \to (S, \mathcal{O}_S)$ 为赋环空间态射。 $f$ 的余切复形 $L_f$ 是 $L_f = L_{\mathcal{O}_X/f^{-1}\mathcal{O}_S}$。我们也使用记号 $L_f = L_{X/S} = L_{\mathcal{O}_X/\mathcal{O}_S}$。

更确切地说，这意味着考虑环层同态 $f^\sharp : f^{-1}\mathcal{O}_S \to \mathcal{O}_X$ 的余切复形（定义 08SS）；这些环层位于拓扑空间 $X$ 所对应的站点上（《站点》例 00VJ）。

引理

设 $f : (X, \mathcal{O}_X) \to (S, \mathcal{O}_S)$ 为赋环空间态射。则 $H^0(L_{X/S}) = \Omega_{X/S}$。

证明

这是引理 08UR 的特殊情形。

引理

设 $f : X \to Y$ 与 $g : Y \to Z$ 为赋环空间态射。则存在典范可区别三角 \[Lf^* L_{Y/Z} \to L_{X/Z} \to L_{X/Y} \to Lf^*L_{Y/Z}[1]\] ；它位于 $D(\mathcal{O}_X)$ 中。

证明

令 $h = g \circ f$，于是 $h^{-1}\mathcal{O}_Z = f^{-1}g^{-1}\mathcal{O}_Z$。由引理 08SV，有 $f^{-1}L_{Y/Z} = L_{f^{-1}\mathcal{O}_Y/h^{-1}\mathcal{O}_Z}$ ，且这是平坦 $f^{-1}\mathcal{O}_Y$-模的复形。因此，上述可区别三角是引理 08SZ 中可区别三角的一个实例，其中 $\mathcal{A} = h^{-1}\mathcal{O}_Z$、 $\mathcal{B} = f^{-1}\mathcal{O}_Y$，且 $\mathcal{C} = \mathcal{O}_X$。

引理

设 $f : (X, \mathcal{O}_X) \to (Y, \mathcal{O}_Y)$ 为赋环空间态射。存在典范态射 $L_{X/Y} \to \NL_{X/Y}$，它将朴素余切复形与截断 $\tau_{\geq -1}L_{X/Y}$ 等同。

证明

这是引理 08US 的特殊情形。

赋环空间的形变与余切复形

本节续接《形变理论》第 08U6 节，我们强烈建议读者先阅读该节。先简要回顾设置。给定赋环空间的一阶加厚 $t : (S, \mathcal{O}_S) \to (S', \mathcal{O}_{S'})$，其中 $\mathcal{J} = \Ker(t^\sharp)$；给定赋环空间态射 $f : (X, \mathcal{O}_X) \to (S, \mathcal{O}_S)$、$\mathcal{O}_X$-模 $\mathcal{G}$，以及模层的 $f$-态射 $c : \mathcal{J} \to \mathcal{G}$。我们要问的是，能否找到适合下图问号位置的对象： [08UY]\[\begin{equation} \vcenter{ \xymatrix{ 0 \ar[r] & \mathcal{G} \ar[r] & {?} \ar[r] & \mathcal{O}_X \ar[r] & 0 \\ 0 \ar[r] & \mathcal{J} \ar[u]^c \ar[r] & \mathcal{O}_{S'} \ar[u] \ar[r] & \mathcal{O}_S \ar[u] \ar[r] & 0 } } \end{equation}\] 并且还要问该解（若存在）在何种意义下唯一。更确切地说，我们寻找一阶加厚 $i : (X, \mathcal{O}_X) \to (X', \mathcal{O}_{X'})$ 和《形变理论》方程 (08L0) 中的加厚态射 $(f, f')$，其中 $\Ker(i^\sharp)$ 与 $\mathcal{G}$ 等同，且 $(f')^\sharp$ 诱导给定态射 $c$。我们称 $X'$ 是 (08UY) 的一个解。

引理

在上述情形中，有：

存在典范元素 $\xi \in \Ext^2_{\mathcal{O}_X}(L_{X/S}, \mathcal{G})$ ；它为零是 (08UY) 存在解的充分必要条件。

若存在解，则解的同构类之集在 $\Ext^1_{\mathcal{O}_X}(L_{X/S}, \mathcal{G})$ 的作用下为主齐性空间。

给定一个解 $X'$，所有适合 (08UY) 的 $X'$ 自同构之集典范同构于 $\Ext^0_{\mathcal{O}_X}(L_{X/S}, \mathcal{G})$。

证明

借助等同 $\NL_{X/S} = \tau_{\geq -1}L_{X/S}$（引理 08UW）与 $H^0(L_{X/S}) = \Omega_{X/S}$（引理 08UV），我们已在《形变理论》引理 08U8 与 08UC 中见过第 (2)、(3) 项。

证明 (1)。粗略地说，将朴素余切复形替换为完整余切复形后，结论便由《形变理论》评注 0GQ4 中的讨论得到。下面给出更详细的说明。由《形变理论》引理 0GQ3，存在元素 \[\xi' \in \Ext^1_{\mathcal{O}_X}(Lf^*\NL_{S/S'}, \mathcal{G}) = \Ext^1_{\mathcal{O}_X}(Lf^*L_{S/S'}, \mathcal{G})\] ，使得存在解当且仅当此元素属于态射 \[\Ext^1_{\mathcal{O}_X}(NL_{X/S'}, \mathcal{G}) = \Ext^1_{\mathcal{O}_X}(L_{X/S'}, \mathcal{G}) \longrightarrow \Ext^1_{\mathcal{O}_X}(Lf^*L_{S/S'}, \mathcal{G})\] 的像。引理 08T4 中 $X \to S \to S'$ 的可区别三角给出长正合列 \[\ldots \to \Ext^1_{\mathcal{O}_X}(L_{X/S'}, \mathcal{G}) \to \Ext^1_{\mathcal{O}_X}(Lf^*L_{S/S'}, \mathcal{G}) \to \Ext^2_{\mathcal{O}_X}(L_{X/S}, \mathcal{G}) \to \ldots\] 因此，取 $\xi$ 为 $\xi'$ 的像即可。

赋环拓扑斯态射的余切复形

赋环拓扑斯态射的余切复形用上面定义的余切复形来定义。

定义

设 $(f, f^\sharp) : (\Sh(\mathcal{C}), \mathcal{O}_\mathcal{C}) \to (\Sh(\mathcal{D}), \mathcal{O}_\mathcal{D})$ 为赋环拓扑斯态射。 $f$ 的余切复形 $L_f$ 是 $L_f = L_{\mathcal{O}_\mathcal{C}/f^{-1}\mathcal{O}_\mathcal{D}}$。有时也写作 $L_f = L_{\mathcal{O}_\mathcal{C}/\mathcal{O}_\mathcal{D}}$。

此定义适用于许多情形，但并不总能给出预期的对象。例如，若 $f : X \to Y$ 是概形态射，则 $f$ 诱导大 étale 站点的态射 $f_{big} : (\Sch/X)_\etale \to (\Sch/Y)_\etale$ ，后者是赋环拓扑斯态射（《下降》评注 070R）。然而，由于 $(f_{big})^\sharp$ 是同构，$L_{f_{big}} = 0$。另一方面，若在把 $f$ 看作底层 Zariski 赋环拓扑斯之间态射的意义下取 $L_f$，那么 $L_f$ 确实与余切复形 $L_{X/Y}$（定义见下文）一致，其零次上同调层为 $\Omega_{X/Y}$。

引理

设 $f : (\Sh(\mathcal{C}), \mathcal{O}) \to (\Sh(\mathcal{B}), \mathcal{O}_\mathcal{B})$ 为赋环拓扑斯态射。则 $H^0(L_f) = \Omega_f$。

证明

这是引理 08UR 的特殊情形。

引理

设 $f : (\Sh(\mathcal{C}_1), \mathcal{O}_1) \to (\Sh(\mathcal{C}_2), \mathcal{O}_2)$ 与 $g : (\Sh(\mathcal{C}_2), \mathcal{O}_2) \to (\Sh(\mathcal{C}_3), \mathcal{O}_3)$ 为赋环拓扑斯态射。则存在典范可区别三角 \[Lf^* L_g \to L_{g \circ f} \to L_f \to Lf^*L_g[1]\] ；它位于 $D(\mathcal{O}_1)$ 中。

证明

令 $h = g \circ f$，于是 $h^{-1}\mathcal{O}_3 = f^{-1}g^{-1}\mathcal{O}_3$。由引理 08SV，有 $f^{-1}L_g = L_{f^{-1}\mathcal{O}_2/h^{-1}\mathcal{O}_3}$ ，且这是平坦 $f^{-1}\mathcal{O}_2$-模的复形。因此，上述可区别三角是引理 08SZ 中可区别三角的一个实例，其中 $\mathcal{A} = h^{-1}\mathcal{O}_3$、 $\mathcal{B} = f^{-1}\mathcal{O}_2$，且 $\mathcal{C} = \mathcal{O}_1$。

引理

设 $f : (\Sh(\mathcal{C}), \mathcal{O}) \to (\Sh(\mathcal{B}), \mathcal{O}_\mathcal{B})$ 为赋环拓扑斯态射。存在典范态射 $L_f \to \NL_f$，它将朴素余切复形与截断 $\tau_{\geq -1}L_f$ 等同。

证明

这是引理 08US 的特殊情形。

赋环拓扑斯的形变与余切复形

本节续接《形变理论》第 08UE 节，我们强烈建议读者先阅读该节。先简要回顾设置。给定赋环拓扑斯的一阶加厚 $t : (\Sh(\mathcal{B}), \mathcal{O}_\mathcal{B}) \to (\Sh(\mathcal{B}'), \mathcal{O}_{\mathcal{B}'})$，其中 $\mathcal{J} = \Ker(t^\sharp)$；给定赋环拓扑斯态射 $f : (\Sh(\mathcal{C}), \mathcal{O}) \to (\Sh(\mathcal{B}), \mathcal{O}_\mathcal{B})$、$\mathcal{O}$-模 $\mathcal{G}$，以及 $f^{-1}\mathcal{O}_\mathcal{B}$-模层的态射 $f^{-1}\mathcal{J} \to \mathcal{G}$。我们要问的是，能否找到适合下图问号位置的对象： [08V4]\[\begin{equation} \vcenter{ \xymatrix{ 0 \ar[r] & \mathcal{G} \ar[r] & {?} \ar[r] & \mathcal{O} \ar[r] & 0 \\ 0 \ar[r] & f^{-1}\mathcal{J} \ar[u]^c \ar[r] & f^{-1}\mathcal{O}_{\mathcal{B}'} \ar[u] \ar[r] & f^{-1}\mathcal{O}_\mathcal{B} \ar[u] \ar[r] & 0 } } \end{equation}\] 并且还要问该解（若存在）在何种意义下唯一。更确切地说，我们寻找一阶加厚 $i : (\Sh(\mathcal{C}), \mathcal{O}) \to (\Sh(\mathcal{C}'), \mathcal{O}')$ 和《形变理论》方程 (08M8) 中的加厚态射 $(f,f')$，其中 $\Ker(i^\sharp)$ 与 $\mathcal{G}$ 等同，且 $(f')^\sharp$ 诱导给定态射 $c$。我们称 $(\Sh(\mathcal{C}'), \mathcal{O}')$ 是 (08V4) 的一个解。

引理

在上述情形中，有：

存在典范元素 $\xi \in \Ext^2_\mathcal{O}(L_f, \mathcal{G})$ ；它为零是 (08V4) 存在解的充分必要条件。

若存在解，则解的同构类之集在 $\Ext^1_\mathcal{O}(L_f, \mathcal{G})$ 的作用下为主齐性空间。

给定一个解 $X'$，所有适合 (08V4) 的 $X'$ 自同构之集典范同构于 $\Ext^0_\mathcal{O}(L_f, \mathcal{G})$。

证明

借助等同 $\NL_f = \tau_{\geq -1}L_f$（引理 08V2）与 $H^0(L_f) = \Omega_f$（引理 08V0），我们已在《形变理论》引理 08UG 与 08UK 中见过第 (2)、(3) 项。

证明 (1)。为使记号与《形变理论》第 08UE 节一致，我们写 $\NL_f = \NL_{\mathcal{O}/\mathcal{O}_\mathcal{B}}$ 及 $L_f = L_{\mathcal{O}/\mathcal{O}_\mathcal{B}}$，并对态射 $t$ 与 $t \circ f$ 使用类似记号。由《形变理论》引理 0GQ9，存在元素 \[\xi' \in \Ext^1_\mathcal{O}( Lf^*\NL_{\mathcal{O}_\mathcal{B}/\mathcal{O}_{\mathcal{B}'}}, \mathcal{G}) = \Ext^1_\mathcal{O}( Lf^*L_{\mathcal{O}_\mathcal{B}/\mathcal{O}_{\mathcal{B}'}}, \mathcal{G})\] ，使得存在解当且仅当此元素属于态射 \[\Ext^1_\mathcal{O}( \NL_{\mathcal{O}/\mathcal{O}_{\mathcal{B}'}}, \mathcal{G}) = \Ext^1_\mathcal{O}( L_{\mathcal{O}/\mathcal{O}_{\mathcal{B}'}}, \mathcal{G}) \longrightarrow \Ext^1_\mathcal{O}( Lf^*L_{\mathcal{O}_\mathcal{B}/\mathcal{O}_{\mathcal{B}'}}, \mathcal{G})\] 的像。引理 08V1 中 $f$ 与 $t$ 的可区别三角给出长正合列 \[\ldots \to \Ext^1_\mathcal{O}( L_{\mathcal{O}/\mathcal{O}_{\mathcal{B}'}}, \mathcal{G}) \to \Ext^1_\mathcal{O}( Lf^*L_{\mathcal{O}_\mathcal{B}/\mathcal{O}_{\mathcal{B}'}}, \mathcal{G}) \to \Ext^1_\mathcal{O}( L_{\mathcal{O}/\mathcal{O}_\mathcal{B}}, \mathcal{G})\] 因此，取 $\xi$ 为 $\xi'$ 的像即可。

概形态射的余切复形

如上所述，我们如下定义概形态射的余切复形。

定义

设 $f : X \to Y$ 为概形态射。$X$ 在 $Y$ 上的余切复形 $L_{X/Y}$ 是把 $f$ 视为赋环空间态射时的余切复形（定义 08UU）。

特别地，第 08UT 节的结果适用于概形态射的余切复形。下一个引理表明，此定义与环同态的定义相容，并且还蕴含 $L_{X/Y}$ 是 $D_\QCoh(\mathcal{O}_X)$ 的对象。

引理

设 $f : X \to Y$ 为概形态射。设 $U = \Spec(B) \subset X$ 与 $V = \Spec(A) \subset Y$ 为满足 $f(U) \subset V$ 的仿射开集。存在复形的典范态射 \[\widetilde{L_{B/A}} \longrightarrow L_{X/Y}|_U\] ，它在 $D(\mathcal{O}_U)$ 中是同构。此态射与限制到 $X$ 和 $Y$ 中更小的仿射开集相容。

证明

由评注 08SX，存在 $B=\mathcal{O}_X(U)$-模复形的典范态射 $L_{\mathcal{O}_X(U)/f^{-1}\mathcal{O}_Y(U)} \to L_{X/Y}(U)$ ，它与进一步的限制相容。利用典范态射 $A \to f^{-1}\mathcal{O}_Y(U)$，得到 $B$-模复形的典范态射 $L_{B/A} \to L_{\mathcal{O}_X(U)/f^{-1}\mathcal{O}_Y(U)}$ 。利用 $\widetilde{\ }$ 函子的泛性质（参见《概形》引理 01I7），得到引理陈述中的态射。要检验此态射在上同调层上为同构，只须检验它在茎上诱导同构。这立即由引理 08T0 与 08SF 得到（还使用了如下茎的描述： $\mathcal{O}_X$ 与 $f^{-1}\mathcal{O}_Y$ 在点 $\mathfrak p \in \Spec(B)$ 处分别为 $B_\mathfrak p$ 与 $A_\mathfrak q$，其中 $\mathfrak q = A \cap \mathfrak p$；所用参考结果为《概形》引理 01HV 和《层》引理 008H）。

引理

设 $\Lambda$ 为环，$X$ 为 $\Lambda$ 上的概形。则 \[L_{X/\Spec(\Lambda)} = L_{\mathcal{O}_X/\underline{\Lambda}}\] ，其中 $\underline{\Lambda}$ 是 $X$ 上取值为 $\Lambda$ 的常值层。

证明

令 $p : X \to \Spec(\Lambda)$ 为结构态射，并令 $q : \Spec(\Lambda) \to (*, \Lambda)$ 为显然态射。由引理 08T4 的可区别三角，只须证明 $L_q=0$。为此，只须对 $\mathfrak p \in \Spec(\Lambda)$ 证明 \[(L_q)_\mathfrak p = L_{\mathcal{O}_{\Spec(\Lambda), \mathfrak p}/\Lambda} = L_{\Lambda_\mathfrak p/\Lambda}\] 为零（引理 08T0），而这由引理 08R2 得到。

环上概形的余切复形

设 $\Lambda$ 为环，$X$ 为 $\Lambda$ 上的概形。写作 $L_{X/\Spec(\Lambda)} = L_{X/\Lambda}$，其合理性由引理 08V6 保证。本节给出一个类似于引理 08PU 的 $L_{X/\Lambda}$ 描述。确切地说，我们构造纤维化于 $X_{Zar}$ 上的范畴 $\mathcal{C}_{X/\Lambda}$，并在其上赋予一个（多项式） $\Lambda$-代数层 $\mathcal{O}$，使得 \[L_{X/\Lambda} = L\pi_!(\Omega_{\mathcal{O}/\underline{\Lambda}} \otimes_\mathcal{O} \underline{\mathcal{O}}_X).\] 稍后将利用范畴 $\mathcal{C}_{X/\Lambda}$ 构造凝聚层叠的朴素障碍理论。

设 $\Lambda$ 为环，$X$ 为 $\Lambda$ 上的概形。令 $\mathcal{C}_{X/\Lambda}$ 为以下交换图所构成的范畴： [08V8]\[\begin{equation} \vcenter{ \xymatrix{ X \ar[d] & U \ar[l] \ar[d] \\ \Spec(\Lambda) & \mathbf{A} \ar[l] } } \end{equation}\] ，其中

$U$ 是 $X$ 的开子概形；
存在同构 $\mathbf{A} = \Spec(P)$，其中 $P$ 是 $\Lambda$ 上以某个集合为变量集的多项式代数。

换言之，$\mathbf{A}$ 是 $\Spec(\Lambda)$ 上的（无限维）仿射空间。态射由交换图给出。回忆 $X_{Zar}$ 表示 $X$ 的小 Zariski 站点。存在遗忘函子 \[u : \mathcal{C}_{X/\Lambda} \to X_{Zar},\ (U \to \mathbf{A}) \mapsto U\] 注意，$U$ 上的纤维范畴典范等价于第 08PQ 节引入的范畴 $\mathcal{C}_{\mathcal{O}_X(U)/\Lambda}$。

引理

在上述情形中，范畴 $\mathcal{C}_{X/\Lambda}$ 纤维化于 $X_{Zar}$ 上。

证明

给定 $\mathcal{C}_{X/\Lambda}$ 的对象 $U \to \mathbf{A}$ 和 $X_{Zar}$ 的态射 $U' \to U$，考虑 $\mathcal{C}_{X/\Lambda}$ 的对象 $U' \to \mathbf{A}$，其中 $U' \to \mathbf{A}$ 是 $U' \to U$ 与 $U \to \mathbf{A}$ 的复合。$\mathcal{C}_{X/\Lambda}$ 中的态射 $(U' \to \mathbf{A}) \to (U \to \mathbf{A})$ 在 $X_{Zar}$ 上是强笛卡儿的。

在 $\mathcal{C}_{X/\Lambda}$ 上赋予从 $X_{Zar}$ 继承的拓扑（参见《叠》第 06NT 节）。函子 $u$ 定义拓扑斯态射 $\pi : \Sh(\mathcal{C}_{X/\Lambda}) \to \Sh(X_{Zar})$。站点 $\mathcal{C}_{X/\Lambda}$ 带有若干环层：

由规则 $(U \to \mathbf{A}) \mapsto \Gamma(\mathbf{A}, \mathcal{O}_\mathbf{A})$。给出的层 $\mathcal{O}$；
由规则 $(U \to \mathbf{A}) \mapsto \mathcal{O}_X(U)$ 给出的层 $\underline{\mathcal{O}}_X = \pi^{-1}\mathcal{O}_X$；
常值层 $\underline{\Lambda}$。

得到赋环拓扑斯态射 [08VA]\[\begin{equation} \vcenter{ \xymatrix{ (\Sh(\mathcal{C}_{X/\Lambda}), \underline{\mathcal{O}}_X) \ar[r]_i \ar[d]_\pi & (\Sh(\mathcal{C}_{X/\Lambda}), \mathcal{O}) \\ (\Sh(X_{Zar}), \mathcal{O}_X) } } \end{equation}\] 态射 $i$ 在底层拓扑斯上是恒等态射，而 $i^\sharp : \mathcal{O} \to \underline{\mathcal{O}}_X$ 是显然同态。态射 $\pi$ 是《站点上的上同调》情形 08P8 的特殊情形。以下导出函子将在后文发挥重要作用： $Li^* : D(\mathcal{O}) \longrightarrow D(\underline{\mathcal{O}}_X)$ 左伴随于 $Ri_* = i_* : D(\underline{\mathcal{O}}_X) \to D(\mathcal{O})$；以及 $L\pi_! : D(\underline{\mathcal{O}}_X) \longrightarrow D(\mathcal{O}_X)$ 左伴随于 $\pi^* = \pi^{-1} : D(\mathcal{O}_X) \to D(\underline{\mathcal{O}}_X)$。借助前面的工作，可以计算 $L\pi_!$。

注

在上述情形中，对每个开集 $U \subset X$，令 $P_{\bullet,U}$ 为 $\mathcal{O}_X(U)$ 在 $\Lambda$ 上的标准预解，并令 $\mathbf{A}_{n,U}=\Spec(P_{n,U})$。于是 $\mathbf{A}_{\bullet, U}$ 是 $\mathcal{C}_{X/\Lambda}$ 在 $U$ 上的纤维范畴 $\mathcal{C}_{\mathcal{O}_X(U)/\Lambda}$ 的余单纯形对象。此外，如评注 08QI 所讨论， $\mathbf{A}_{\bullet,U}$ 是《站点上的上同调》引理 08Q9 中那样的 $\mathcal{C}_{\mathcal{O}_X(U)/\Lambda}$ 余单纯形对象。由于构造 $U \mapsto \mathbf{A}_{\bullet,U}$ 对 $U$ 具有函子性，给定 $\mathcal{C}_{X/\Lambda}$ 上的任一（阿贝尔）层 $\mathcal{F}$，得到预层复形 \[U \longmapsto \mathcal{F}(\mathbf{A}_{\bullet, U})\] ，其上同调群计算 $\mathcal{F}$ 在该纤维范畴上的同调。由《站点上的上同调》引理 08PJ，可知其层化计算 $L_n\pi_!(\mathcal{F})$。换言之，若一个层复形在次数 $-n$ 的项是 $U \mapsto \mathcal{F}(\mathbf{A}_{n,U})$ 的层化，则该复形计算 $L\pi_!(\mathcal{F})$。

有了这一评注，现在可以陈述本节的主要结果。

引理

在上述情形中，$D(\mathcal{O}_X)$ 中存在典范同构 \[L_{X/\Lambda} = L\pi_!(Li^*\Omega_{\mathcal{O}/\underline{\Lambda}}) = L\pi_!(i^*\Omega_{\mathcal{O}/\underline{\Lambda}}) = L\pi_!(\Omega_{\mathcal{O}/\underline{\Lambda}} \otimes_\mathcal{O} \underline{\mathcal{O}}_X)\]

证明

首先注意，对 $\mathcal{C}_{X/\Lambda}$ 的任一对象 $(U \to \mathbf{A})$，层 $\mathcal{O}$ 的值都是 $\Lambda$ 上的多项式代数。因此 $\Omega_{\mathcal{O}/\underline{\Lambda}}$ 是平坦 $\mathcal{O}$-模，从而引理陈述中的第二、第三个等号成立。

由评注 08VB，对象 $L\pi_!(\Omega_{\mathcal{O}/\underline{\Lambda}} \otimes_\mathcal{O} \underline{\mathcal{O}}_X)$ 由预层复形 \[U \mapsto \left(\Omega_{\mathcal{O}/\underline{\Lambda}} \otimes_\mathcal{O} \underline{\mathcal{O}}_X\right)(\mathbf{A}_{\bullet, U}) = \Omega_{P_{\bullet, U}/\Lambda} \otimes_{P_{\bullet, U}} \mathcal{O}_X(U) = L_{\mathcal{O}_X(U)/\Lambda}\] 的层化计算，其中使用评注 08VB 的记号。现在评注 08SX 表明 $L\pi_!(\Omega_{\mathcal{O}/\underline{\Lambda}} \otimes_\mathcal{O} \underline{\mathcal{O}}_X)$ 计算 $X$ 上环层同态 $\underline{\Lambda} \to \mathcal{O}_X$ 的余切复形。由引理 08V6，这正是所需结论。

代数空间态射的余切复形

我们利用相应的小 étale 站点之间的态射定义代数空间态射的余切复形。

定义

设 $S$ 为概形，$f : X \to Y$ 为 $S$ 上代数空间的态射。 $X$ 在 $Y$ 上的余切复形 $L_{X/Y}$，是 $X$ 与 $Y$ 的小 étale 站点之间赋环拓扑斯态射 $f_{small}$ 的余切复形（参见《空间的性质》引理 03G8 及定义 08SU）。

特别地，第 08SQ 节的结果适用于代数空间态射的余切复形。以下引理表明，此定义与环同态及概形的定义相容，并且 $L_{X/Y}$ 是 $D_\QCoh(\mathcal{O}_X)$ 的对象。

引理

设 $S$ 为概形。考虑 $S$ 上代数空间的交换图 \[\xymatrix{ U \ar[d]_p \ar[r]_g & V \ar[d]^q \\ X \ar[r]^f & Y }\] ，其中 $p$ 与 $q$ 是 étale 的。则在 $D(\mathcal{O}_U)$ 中有典范等同 $L_{X/Y}|_{U_\etale} = L_{U/V}$。

证明

余切复形的形成与拉回交换（引理 08SV），并且 $p_{small}^{-1}\mathcal{O}_X = \mathcal{O}_U$，且 $g_{small}^{-1}\mathcal{O}_{V_\etale} = p_{small}^{-1}f_{small}^{-1}\mathcal{O}_{Y_\etale}$ ，因为 $q_{small}^{-1}\mathcal{O}_{Y_\etale} = \mathcal{O}_{V_\etale}$ （《空间的性质》引理 03LV）。追踪各定义即得 $L_{X/Y}|_{U_\etale} = L_{U/V}$。

引理

设 $S$ 为概形，$f : X \to Y$ 为 $S$ 上代数空间的态射。假设 $X$ 与 $Y$ 可分别由概形 $X_0$ 与 $Y_0$ 表示。则在 $D(\mathcal{O}_X)$ 中有典范等同 $L_{X/Y} = \epsilon^*L_{X_0/Y_0}$，其中 $\epsilon$ 如《空间的导出范畴》第 071P 节所定义，而 $L_{X_0/Y_0}$ 如定义 08T2 所定义。

证明

令 $f_0 : X_0 \to Y_0$ 为对应于 $f$ 的概形态射。存在典范态射 $\epsilon^{-1}f_0^{-1}\mathcal{O}_{Y_0} \to f_{small}^{-1}\mathcal{O}_Y$ ，它与 $\epsilon^\sharp : \epsilon^{-1}\mathcal{O}_{X_0} \to \mathcal{O}_X$ 相容，因为有交换图 \[\xymatrix{ X_{0, Zar} \ar[d]_{f_0} & X_\etale \ar[l]^\epsilon \ar[d]^f \\ Y_{0, Zar} & Y_\etale \ar[l]_\epsilon }\] ，参见《空间的导出范畴》评注 08GH。因此，由第 08UQ 节所讨论的函子性及引理 08SV，得到典范态射 \[\epsilon^{-1}L_{X_0/Y_0} = \epsilon^{-1}L_{\mathcal{O}_{X_0}/f_0^{-1}\mathcal{O}_{Y_0}} = L_{\epsilon^{-1}\mathcal{O}_{X_0}/\epsilon^{-1}f_0^{-1}\mathcal{O}_{Y_0}} \longrightarrow L_{\mathcal{O}_X/f^{-1}_{small}\mathcal{O}_Y} = L_{X/Y}\] 。为证明诱导态射 $\epsilon^*L_{X_0/Y_0} \to L_{X/Y}$ 是同构，可以在几何点处的茎上检验（《空间的性质》定理 04K5）。我们将用引理 08T0 计算各茎。设 $\overline{x} : \Spec(k) \to X_0$ 为位于 $x \in X_0$ 上方的几何点，并设 $\overline{y} = f \circ \overline{x}$ 位于 $y \in Y_0$ 上方。则 \[L_{X/Y, \overline{x}} = L_{\mathcal{O}_{X, \overline{x}}/\mathcal{O}_{Y, \overline{y}}}\] 且 \[(\epsilon^*L_{X_0/Y_0})_{\overline{x}} = L_{X_0/Y_0, x} \otimes_{\mathcal{O}_{X_0, x}} \mathcal{O}_{X, \overline{x}} = L_{\mathcal{O}_{X_0, x}/\mathcal{O}_{Y_0, y}} \otimes_{\mathcal{O}_{X_0, x}} \mathcal{O}_{X, \overline{x}}\] 省略一些细节（提示：使用拉回的茎等于在像点处的茎，参见《站点》引理 05V1；还要使用模的相应结果，参见《站点上的模》引理 05V5）。注意，$\mathcal{O}_{X,\overline{x}}$ 是 $\mathcal{O}_{X_0,x}$ 的严格 Hensel 化；对 $\mathcal{O}_{Y,\overline{y}}$ 亦然（《空间的性质》引理 04KF）。因此结论由引理 08UN 得到。

引理

设 $\Lambda$ 为环，$X$ 为 $\Lambda$ 上的代数空间。则 \[L_{X/\Spec(\Lambda)} = L_{\mathcal{O}_X/\underline{\Lambda}}\] ，其中 $\underline{\Lambda}$ 是 $X_\etale$ 上取值为 $\Lambda$ 的常值层。

证明

令 $p : X \to \Spec(\Lambda)$ 为结构态射，并令 $q : \Spec(\Lambda)_\etale \to (*, \Lambda)$ 为显然态射。由引理 08V1 的可区别三角，只须证明 $L_q=0$。为此，根据《空间的性质》定理 04K5，只须对几何点 $\overline{t} : \Spec(k) \to \Spec(\Lambda)$ 证明 \[(L_q)_{\overline{t}} = L_{\mathcal{O}_{\Spec(\Lambda)_\etale, \overline{t}}/\Lambda}\] 为零（引理 08T0）。由于 $\mathcal{O}_{\Spec(\Lambda)_\etale, \overline{t}}$ 是 $\Lambda$ 的某个局部环的严格 Hensel 化（《空间的性质》引理 04KF），结论由引理 08R2 得到。

环上代数空间的余切复形

设 $\Lambda$ 为环，$X$ 为 $\Lambda$ 上的代数空间。写作 $L_{X/\Spec(\Lambda)} = L_{X/\Lambda}$，其合理性由引理 08VG 保证。本节给出一个类似于引理 08PU 的 $L_{X/\Lambda}$ 描述。确切地说，我们构造纤维化于 $X_\etale$ 上的范畴 $\mathcal{C}_{X/\Lambda}$，并在其上赋予一个（多项式） $\Lambda$-代数层 $\mathcal{O}$，使得 \[L_{X/\Lambda} = L\pi_!(\Omega_{\mathcal{O}/\underline{\Lambda}} \otimes_\mathcal{O} \underline{\mathcal{O}}_X).\] 稍后将利用范畴 $\mathcal{C}_{X/\Lambda}$ 构造凝聚层叠的朴素障碍理论。

设 $\Lambda$ 为环，$X$ 为 $\Lambda$ 上的代数空间。令 $\mathcal{C}_{X/\Lambda}$ 为以下交换图所构成的范畴： [08VI]\[\begin{equation} \vcenter{ \xymatrix{ X \ar[d] & U \ar[l] \ar[d] \\ \Spec(\Lambda) & \mathbf{A} \ar[l] } } \end{equation}\] ，其中

$U$ 是概形；
$U \to X$ 是 étale 态射；
存在同构 $\mathbf{A}=\Spec(P)$，其中 $P$ 是 $\Lambda$ 上以某个集合为变量集的多项式代数。

换言之，$\mathbf{A}$ 是 $\Spec(\Lambda)$ 上的（无限维）仿射空间。态射由交换图给出。回忆 $X_\etale$ 表示 $X$ 的小 étale 站点，其对象是 étale 于 $X$ 的概形。存在遗忘函子 \[u : \mathcal{C}_{X/\Lambda} \to X_\etale, \quad (U \to \mathbf{A}) \mapsto U\] 注意，$U$ 上的纤维范畴典范等价于第 08PQ 节引入的范畴 $\mathcal{C}_{\mathcal{O}_X(U)/\Lambda}$。

引理

在上述情形中，范畴 $\mathcal{C}_{X/\Lambda}$ 纤维化于 $X_\etale$ 上。

证明

给定 $\mathcal{C}_{X/\Lambda}$ 的对象 $U \to \mathbf{A}$ 和 $X_\etale$ 的态射 $U' \to U$，考虑 $\mathcal{C}_{X/\Lambda}$ 的对象 $U' \to \mathbf{A}$，其中 $U' \to \mathbf{A}$ 是 $U' \to U$ 与 $U \to \mathbf{A}$ 的复合。态射 $(U' \to \mathbf{A}) \to (U \to \mathbf{A})$ 在 $X_\etale$ 上是强笛卡儿的。

在 $\mathcal{C}_{X/\Lambda}$ 上赋予从 $X_\etale$ 继承的拓扑（参见《叠》第 06NT 节）。函子 $u$ 定义拓扑斯态射 $\pi : \Sh(\mathcal{C}_{X/\Lambda}) \to \Sh(X_\etale)$。站点 $\mathcal{C}_{X/\Lambda}$ 带有若干环层：

由规则 $(U \to \mathbf{A}) \mapsto \Gamma(\mathbf{A}, \mathcal{O}_\mathbf{A})$。给出的层 $\mathcal{O}$；
由规则 $(U \to \mathbf{A}) \mapsto \mathcal{O}_X(U)$ 给出的层 $\underline{\mathcal{O}}_X = \pi^{-1}\mathcal{O}_X$；
常值层 $\underline{\Lambda}$。

得到赋环拓扑斯态射 [08VK]\[\begin{equation} \vcenter{ \xymatrix{ (\Sh(\mathcal{C}_{X/\Lambda}), \underline{\mathcal{O}}_X) \ar[r]_i \ar[d]_\pi & (\Sh(\mathcal{C}_{X/\Lambda}), \mathcal{O}) \\ (\Sh(X_\etale), \mathcal{O}_X) } } \end{equation}\] 态射 $i$ 在底层拓扑斯上是恒等态射，而 $i^\sharp : \mathcal{O} \to \underline{\mathcal{O}}_X$ 是显然同态。态射 $\pi$ 是《站点上的上同调》情形 08P8 的特殊情形。以下导出函子将在后文发挥重要作用： $Li^* : D(\mathcal{O}) \longrightarrow D(\underline{\mathcal{O}}_X)$ 左伴随于 $Ri_* = i_* : D(\underline{\mathcal{O}}_X) \to D(\mathcal{O})$；以及 $L\pi_! : D(\underline{\mathcal{O}}_X) \longrightarrow D(\mathcal{O}_X)$ 左伴随于 $\pi^* = \pi^{-1} : D(\mathcal{O}_X) \to D(\underline{\mathcal{O}}_X)$。借助前面的工作，可以计算 $L\pi_!$。

注

在上述情形中，对 $X_\etale$ 的每个对象 $U \to X$，令 $P_{\bullet,U}$ 为 $\mathcal{O}_X(U)$ 在 $\Lambda$ 上的标准预解，并令 $\mathbf{A}_{n,U}=\Spec(P_{n,U})$。于是 $\mathbf{A}_{\bullet,U}$ 是 $\mathcal{C}_{X/\Lambda}$ 在 $U$ 上的纤维范畴 $\mathcal{C}_{\mathcal{O}_X(U)/\Lambda}$ 的余单纯形对象。此外，如评注 08QI 所讨论， $\mathbf{A}_{\bullet,U}$ 是《站点上的上同调》引理 08Q9 中那样的 $\mathcal{C}_{\mathcal{O}_X(U)/\Lambda}$ 余单纯形对象。由于构造 $U \mapsto \mathbf{A}_{\bullet,U}$ 对 $U$ 具有函子性，给定 $\mathcal{C}_{X/\Lambda}$ 上的任一（阿贝尔）层 $\mathcal{F}$，得到预层复形 \[U \longmapsto \mathcal{F}(\mathbf{A}_{\bullet, U})\] ，其上同调群计算 $\mathcal{F}$ 在该纤维范畴上的同调。由《站点上的上同调》引理 08PJ，可知其层化计算 $L_n\pi_!(\mathcal{F})$。换言之，若一个层复形在次数 $-n$ 的项是 $U \mapsto \mathcal{F}(\mathbf{A}_{n,U})$ 的层化，则该复形计算 $L\pi_!(\mathcal{F})$。

有了这一评注，现在可以陈述本节的主要结果。

引理

在上述情形中，$D(\mathcal{O}_X)$ 中存在典范同构 \[L_{X/\Lambda} = L\pi_!(Li^*\Omega_{\mathcal{O}/\underline{\Lambda}}) = L\pi_!(i^*\Omega_{\mathcal{O}/\underline{\Lambda}}) = L\pi_!(\Omega_{\mathcal{O}/\underline{\Lambda}} \otimes_\mathcal{O} \underline{\mathcal{O}}_X)\]

证明

首先注意，对 $\mathcal{C}_{X/\Lambda}$ 的任一对象 $(U \to \mathbf{A})$，层 $\mathcal{O}$ 的值都是 $\Lambda$ 上的多项式代数。因此 $\Omega_{\mathcal{O}/\underline{\Lambda}}$ 是平坦 $\mathcal{O}$-模，从而引理陈述中的第二、第三个等号成立。

由评注 08VL，对象 $L\pi_!(\Omega_{\mathcal{O}/\underline{\Lambda}} \otimes_\mathcal{O} \underline{\mathcal{O}}_X)$ 由预层复形 \[U \mapsto \left(\Omega_{\mathcal{O}/\underline{\Lambda}} \otimes_\mathcal{O} \underline{\mathcal{O}}_X\right)(\mathbf{A}_{\bullet, U}) = \Omega_{P_{\bullet, U}/\Lambda} \otimes_{P_{\bullet, U}} \mathcal{O}_X(U) = L_{\mathcal{O}_X(U)/\Lambda}\] 的层化计算，其中使用评注 08VL 的记号。现在评注 08SX 表明 $L\pi_!(\Omega_{\mathcal{O}/\underline{\Lambda}} \otimes_\mathcal{O} \underline{\mathcal{O}}_X)$ 计算 $X_\etale$ 上环层同态 $\underline{\Lambda} \to \mathcal{O}_X$ 的余切复形。由引理 08VG，这正是所需结论。

代数空间的纤维积与余切复形

设 $S$ 为概形，$X \to B$ 与 $Y \to B$ 为 $S$ 上代数空间的态射。考虑纤维积 $X \times_B Y$，其投影态射为 $p : X \times_B Y \to X$ 与 $q : X \times_B Y \to Y$。本节讨论 $L_{X \times_B Y/B}$。我们所需的大部分信息都包含在下图中： [09DK]\[\begin{equation} \vcenter{ \xymatrix{ Lp^*L_{X/B} \ar[r] & L_{X \times_B Y/Y} \ar[r] & E \\ Lp^*L_{X/B} \ar[r] \ar@{=}[u] & L_{X \times_B Y/B} \ar[r] \ar[u] & L_{X \times_B Y/X} \ar[u] \\ & Lq^*L_{Y/B} \ar[u] \ar@{=}[r] & Lq^*L_{Y/B} \ar[u] } } \end{equation}\] 说明：中间一行是引理 08V1 中态射 $X \times_B Y \to X \to B$ 的基本三角。中间一列是态射 $X \times_B Y \to Y \to B$ 的基本三角。其次，$E$ 是 $D(\mathcal{O}_{X \times_B Y})$ 中“嵌入”右上角的对象，也就是说，它使最上面一行和最右边一列都成为可区别三角。将《导出范畴》命题 05R0 应用于左下方块（在缺失位置放置 $0$），可知这样的 $E$ 存在。更明确地说，例如可以把 $E$ 定义为复形态射 \[Lp^*L_{X/B} \oplus Lq^*L_{Y/B} \longrightarrow L_{X \times_B Y/B}\] 的锥（《导出范畴》定义 014E），再应用 TR3 得到以 $E$ 为靶的两个态射。在 Tor 独立的情形下，对象 $E$ 为零。

引理

在上述情形中，若 $X$ 与 $Y$ 在 $B$ 上 Tor 独立，则 (09DK) 中的对象 $E$ 为零。在此情形下有 \[L_{X \times_B Y/B} = Lp^*L_{X/B} \oplus Lq^*L_{Y/B}\]

证明

选取概形 $W$ 和满 étale 态射 $W \to B$；选取概形 $U$ 和满 étale 态射 $U \to X \times_B W$；选取概形 $V$ 和满 étale 态射 $V \to Y \times_B W$。则 $U \times_W V \to X \times_B Y$ 也是满 étale 态射。因此只须证明 $E$ 在 $U \times_W V$ 上的限制为零。由引理 08VF 及《空间的导出范畴》引理 08IQ，归约到概形情形。取适当的仿射开集后，进一步归约到仿射概形情形。再利用引理 08T3，归约到环的张量积情形，也就是引理 09DA。

一般地，对象 $E$ 有如下性质。

引理

设 $S$ 为概形，$X \to B$ 与 $Y \to B$ 为 $S$ 上代数空间的态射。 (09DK) 中的对象 $E$ 对 $i=0,-1$ 满足 $H^i(E)=0$，而对几何点 $(\overline{x}, \overline{y}) : \Spec(k) \to X \times_B Y$ 有 \[H^{-2}(E)_{(\overline{x}, \overline{y})} = \text{Tor}_1^R(A, B) \otimes_{A \otimes_R B} C\] ，其中 $R = \mathcal{O}_{B, \overline{b}}$、 $A = \mathcal{O}_{X, \overline{x}}$、 $B = \mathcal{O}_{Y, \overline{y}}$，且 $C = \mathcal{O}_{X \times_B Y, (\overline{x}, \overline{y})}$。

证明

余切复形的形成与取茎及拉回交换，参见引理 08T0 与 08SV。注意，$C$ 是 $A \otimes_R B$ 的 Hensel 化。由第 08QY 节的结果， $L_{C/R} = L_{A \otimes_R B/R} \otimes_{A \otimes_R B} C$ 。因此，$E$ 在该几何点处的茎是态射 $L_{A/R} \otimes C \to L_{A \otimes_R B/R} \otimes C$ 的锥。所以，引理的结论由环的情形，即引理 09DB 得到。

只需考虑基数不超过 $B$ 的基数的集合。↩︎
事后可以推出“正确的”消失：当 $i < n$ 时，$H_i(\mathcal{C}_{B/A}, \mathcal{K}^n) = 0$。↩︎