环同态的光滑化

引言

本章的主要结论如下： \[\fbox{诺特环之间的正则同态是光滑同态的滤过余极限。}\] 该定理由 Popescu 证明，见 [popescu-letter]。 Richard Swan 给出了 Popescu 证明的一份易读阐述，见 [swan]；他采用了 André 的笔记以及 Ogoma 的一篇论文，见 [Ogoma]。

我们的叙述沿循 Swan 的处理，不过会先证明一个中间结果，以便在稍为简单的情形中展开论证。下面概述全章结构。首先解决如下“提升问题”：光滑代数的滤过余极限的平坦无穷小形变，仍是光滑代数的滤过余极限。这个结果实质上说明，只须对约化诺特环之间的同态证明主定理。随后证明两个十分巧妙的引理，分别称为“提升引理”和 “消奇异化引理”。我们将说明，合用这两个引理后，主定理可归结为证明：域 \(k\) 上几何正则的诺特代数 \(\Lambda\) 是光滑 \(k\)-代数的滤过余极限。接着讨论 Popescu–Ogoma–Swan–André 证明所需的局部技巧。最后三节给出证明。

最后列出若干参考文献。设 \(A\) 为 Hensel 诺特局部环。若对任意 \(f_1, \ldots, f_m \in A[x_1, \ldots, x_n]\)，方程组 \(f_1 = 0, \ldots, f_m = 0\) 在 \(A\) 的完备化中有解当且仅当它在 \(A\) 中有解，则称 \(A\) 具有逼近性质。这一定义由 Artin 提出。 Artin 首先对解析方程组证明了逼近性质，见 [Artin-Analytic-Approximation]。在 [Artin-Algebraic-Approximation] 中，Artin 对本质有限型于优秀离散赋值环的局部环证明了逼近性质。 Artin 猜想（见 [Artin-Algebraic-Approximation] 第 26 页），每个优秀 Hensel 局部环都应具有逼近性质。

后来人们提出猜想：诺特环的每个正则同态都是光滑代数的滤过余极限（例如见 [Raynaud-Rennes], [popescu-global], [Artin-power-series], [Artin-Denef]）。我们不确定这一猜想应归于谁。¹ 它与逼近性质的联系如下：若 \(A\) 如上，并且 \(A \to A^\wedge\) 是光滑代数的余极限，则逼近性质成立（此处待补引用）。此外，若 \(A\) 是优秀局部环，则主定理适用于同态 \(A \to A^\wedge\)，因为优秀局部环的条件之一是其形式纤维几何正则。优秀局部环由 Grothendieck 定义，该定义于 1965 年刊印。

[Artin-power-series] 证明了：对任意本质有限型于域的局部环 \(R\)， \(R \to R^\wedge\) 都是光滑代数的滤过余极限。 [Rotthaus-Artin] 证明了：对任意本质有限型于优秀离散赋值环的局部环 \(R\)，\(R \to R^\wedge\) 都是光滑代数的滤过余极限。最后，如上所述，主定理在 [popescu-GND], [popescu-GNDA], [popescu-letter], [Ogoma] 和 [swan] 中得到证明。

反过来，利用上述若干结果，[Rotthaus-excellent] 证明了：任何具有逼近性质的诺特局部环都是优秀环。

论文 [Spivakovsky] 给出了主定理的另一种处理方式，但似乎颇难读懂（例如，[Spivakovsky, Lemma 5.2] 看来是对 [Elkik, Lemma 3] 的不正确改述）。关于这些材料还有一篇 Bourbaki 报告，见 [Teissier]。

奇异理想

设 \(R \to A\) 为环同态。\(A\) 相对于 \(R\) 的奇异理想，是 \(A\) 中定义态射 \(\Spec(A) \to \Spec(R)\) 的奇异轨迹的根理想。其严格定义如下。

定义

设 \(R \to A\) 为环同态。\(A\) 相对于 \(R\) 的奇异理想记作 \(H_{A/R}\)，它是满足下式的唯一根理想 \(H_{A/R} \subset A\)： \[V(H_{A/R}) = \{\mathfrak q \in \Spec(A) \mid R \to A \text{ 在 }\mathfrak q\text{ 处不光滑}\}.\]

这一定义合理，因为 \(R \to A\) 光滑的素理想所成集合是开集，见《代数》定义 00TB。为了找出奇异理想的一组显式生成元，我们先证明以下引理。

引理

设 \(R\) 为环，\(A = R[x_1, \ldots, x_n]/(f_1, \ldots, f_m)\)， \(\mathfrak q \subset A\) 为素理想。假设 \(R \to A\) 在 \(\mathfrak q\) 处光滑。则存在 \(a \in A\) 且 \(a \not \in \mathfrak q\)、整数 \(c\) 且 \(0 \leq c \leq \min(n, m)\)，以及基数均为 \(c\) 的子集 \(U \subset \{1, \ldots, n\}\)、\(V \subset \{1, \ldots, m\}\)，使得 \[a = a' \det(\partial f_j/\partial x_i)_{j \in V, i \in U}\] 对某个 \(a' \in A\) 成立，并且 \[a f_\ell \in (f_j, j \in V) + (f_1, \ldots, f_m)^2\] 对所有 \(\ell \in \{1, \ldots, m\}\) 都成立。

证明

令 \(I = (f_1, \ldots, f_m)\)。于是 \(A\) 在 \(R\) 上的朴素余切复形同伦等价于 \(I/I^2 \to \bigoplus A\text{d}x_i\)，见《代数》引理 00S1。我们将用到朴素余切复形的构造与局部化可交换；见《代数》第 00S0 节，特别是《代数》引理 00S7。由《代数》定义 00T2 和 00TB 可知，对某个 \(a \in A\)、\(a \not \in \mathfrak q\)，同态 \((I/I^2)_a \to \bigoplus A_a\text{d}x_i\) 是分裂单射。重排 \(x_1, \ldots, x_n\) 与 \(f_1, \ldots, f_m\) 的编号后，可以假设 \(f_1, \ldots, f_c\) 构成向量空间 \(I/I^2 \otimes_A \kappa(\mathfrak q)\) 的一组基，并且 \(\text{d}x_{c + 1}, \ldots, \text{d}x_n\) 的像构成 \(\Omega_{A/R} \otimes_A \kappa(\mathfrak q)\) 的一组基。因此，用 \(aa'\) 代替 \(a\)（其中 \(a' \in A\) 且 \(a' \not \in \mathfrak q\)）后，可以假设 \(f_1, \ldots, f_c\) 构成 \((I/I^2)_a\) 的一组基，并且 \(\text{d}x_{c + 1}, \ldots, \text{d}x_n\) 的像构成 \((\Omega_{A/R})_a\) 的一组基。在此情形中，当整数 \(N\) 充分大时， \(a^N\) 满足引理的条件（取 \(U = V = \{1, \ldots, c\}\)）。

我们将使用 \(A\) 中相对于 \(R\) 的严格标准元这一概念。这里的概念比 Swan 的论文 [swan] 中所用的概念稍弱。我们还把上一个引理中所得类型的元素定义为初等标准元。引理 07EZ 将比较这些不同类型的元素。

定义

设 \(R \to A\) 为有限表示的环同态，\(a \in A\)。若存在一个表示 \(A = R[x_1, \ldots, x_n]/(f_1, \ldots, f_m)\) 以及满足 \(0 \leq c \leq \min(n, m)\) 的整数 \(c\)，使得 [07C8]\[\begin{equation} a = a' \det(\partial f_j/\partial x_i)_{i, j = 1, \ldots, c} \end{equation}\] 对某个 \(a' \in A\) 成立，并且 [07C9]\[\begin{equation} a f_{c + j} \in (f_1, \ldots, f_c) + (f_1, \ldots, f_m)^2 \end{equation}\] 对 \(j = 1, \ldots, m - c\) 成立，则称 \(a\) 是 \(A\) 中相对于 \(R\) 的初等标准元。若存在一个表示 \(A = R[x_1, \ldots, x_n]/(f_1, \ldots, f_m)\) 以及满足 \(0 \leq c \leq \min(n, m)\) 的整数 \(c\)，使得 [07ER]\[\begin{equation} a = \sum\nolimits_{I \subset \{1, \ldots, n\},\ |I| = c} a_I \det(\partial f_j/\partial x_i)_{j = 1, \ldots, c,\ i \in I} \end{equation}\] 对某些 \(a_I \in A\) 成立，并且 [07ES]\[\begin{equation} a f_{c + j} \in (f_1, \ldots, f_c) + (f_1, \ldots, f_m)^2 \end{equation}\] 对 \(j = 1, \ldots, m - c\) 成立，则称 \(a\) 是 \(A\) 中相对于 \(R\) 的严格标准元。

以下引理可用来理解式 (07ER) 所蕴含的结论。

引理

设 \(R\) 为环，\(A = R[x_1, \ldots, x_n]/(f_1, \ldots, f_m)\)，并记 \(I = (f_1, \ldots, f_m)\)。设 \(a \in A\)。则式 (07ER) 蕴含存在一个 \(A\)-线性同态 \(\psi : \bigoplus\nolimits_{i = 1, \ldots, n} A \text{d}x_i \to A^{\oplus c}\) 使得复合 \[A^{\oplus c} \xrightarrow{(f_1, \ldots, f_c)} I/I^2 \xrightarrow{f \mapsto \text{d}f} \bigoplus\nolimits_{i = 1, \ldots, n} A \text{d}x_i \xrightarrow{\psi} A^{\oplus c}\] 就是乘以 \(a\) 的同态。反之，若这样的 \(\psi\) 存在，则 \(a^c\) 满足 (07ER)。

证明

这是《代数》引理 07DQ 的一个特例。

引理

设 \(R \to A\) 为有限表示的环同态。奇异理想 \(H_{A/R}\) 既是由 \(A\) 中相对于 \(R\) 的严格标准元生成的理想之根，也是由 \(A\) 中相对于 \(R\) 的初等标准元生成的理想之根。

证明

假设 \(a\) 是 \(A\) 中相对于 \(R\) 的严格标准元。我们断言 \(A_a\) 在 \(R\) 上光滑，这便证明了 \(a \in H_{A/R}\)。事实上，令 \(A = R[x_1, \ldots, x_n]/(f_1, \ldots, f_m)\)、\(c\) 和 \(a' \in A\) 如定义 07C7 所述。记 \(I = (f_1, \ldots, f_m)\)，则 \(A\) 在 \(R\) 上的朴素余切复形为 \(I/I^2 \to \bigoplus A\text{d}x_i\)。条件 (07ES) 蕴含 \((I/I^2)_a\) 由 \(f_1, \ldots, f_c\) 的类生成。条件 (07ER) 蕴含微分同态 \((I/I^2)_a \to \bigoplus A_a\text{d}x_i\) 有左逆，见引理 07ET。因此，由定义和《代数》引理 00S7， \(R \to A_a\) 光滑。

令 \(H_e, H_s \subset A\) 分别为由 \(A\) 中相对于 \(R\) 的初等标准元、严格标准元生成的理想之根。由定义和刚才的证明， \(H_e \subset H_s \subset H_{A/R}\)。包含关系 \(H_{A/R} \subset H_e\) 由引理 07C6 得出。

例

有限表示环同态的光滑点集未必是拟紧开集。例如，令 \(R = k[x, y_1, y_2, y_3, \ldots]/(xy_i)\) 且 \(A = R/(x)\)。则 \(R \to A\) 的光滑轨迹为 \(\bigcup D(y_i)\)，它不是拟紧的。

引理

设 \(R \to A\) 为有限表示的环同态，\(R \to R'\) 为环同态。若 \(a \in A\) 是 \(A\) 中相对于 \(R\) 的初等标准元（相应地，严格标准元），则 \(a \otimes 1\) 是 \(A \otimes_R R'\) 中相对于 \(R'\) 的初等标准元（相应地，严格标准元）。

证明

若 \(A = R[x_1, \ldots, x_n]/(f_1, \ldots, f_m)\) 是 \(A\) 在 \(R\) 上的一个表示，则 \(A \otimes_R R' = R'[x_1, \ldots, x_n]/(f'_1, \ldots, f'_m)\) 是 \(A \otimes_R R'\) 在 \(R'\) 上的一个表示，其中 \(f'_j\) 是 \(f_j\) 在 \(R'[x_1, \ldots, x_n]\) 中的像。因此结论由定义立即得出。

引理

设 \(R \to A \to \Lambda\) 为环同态，且 \(A\) 是有限表示 \(R\)-代数。假设 \(H_{A/R} \Lambda = \Lambda\)。则存在分解 \(A \to B \to \Lambda\)，其中 \(B\) 在 \(R\) 上光滑。

证明

选取 \(f_1, \ldots, f_r \in H_{A/R}\) 和 \(\lambda_1, \ldots, \lambda_r \in \Lambda\)，使得在 \(\Lambda\) 中 \(\sum f_i\lambda_i = 1\)。令 \(B = A[x_1, \ldots, x_r]/(f_1x_1 + \ldots + f_rx_r - 1)\) 并以 \(x_i \mapsto \lambda_i\) 定义 \(B \to \Lambda\)。为验证 \(B\) 在 \(R\) 上光滑，注意由 \(H_{A/R}\) 的定义，\(A_{f_i}\) 在 \(R\) 上光滑，而 \(B_{f_i}\) 在 \(A_{f_i}\) 上光滑。细节从略。

代数的表示

本节的若干结果由 Elkik 证明。注意，下一个引理中的代数 \(C\) 是 \(A\) 上的对称代数。此外，若 \(R\) 是诺特环，则 \(C\) 是有限表示 \(R\)-代数。

引理

设 \(R\) 为环，\(A\) 为有限表示 \(R\)-代数。存在具有缩回的有限型 \(R\)-代数同态 \(A \to C\)，且满足以下两个性质：

对每个使 \(R \to A_a\) 为局部完全交的 \(a \in A\) （见《代数详论》定义 07D0）， \(C_a\) 在 \(A_a\) 上光滑，并且有一个表示 \(C_a = R[y_1, \ldots, y_m]/J\)，其中 \(J/J^2\) 是自由 \(C_a\)-模；

对每个使 \(A_a\) 在 \(R\) 上光滑的 \(a \in A\)，模 \(\Omega_{C_a/R}\) 是自由 \(C_a\)-模。

证明

选取一个表示 \(A = R[x_1, \ldots, x_n]/I\)，并记 \(I = (f_1, \ldots, f_m)\)。用短正合列 \[0 \to K \to A^{\oplus m} \to I/I^2 \to 0\] 定义 \(A\)-模 \(K\)；其中中间项的第 \(j\) 个基向量 \(e_j\) 映到右端 \(f_j\) 的类。令 \[C = \text{Sym}^*_A(I/I^2).\] 缩回就是投影到 \(C\) 的 \(0\) 次部分。存在满射 \(R[x_1, \ldots, x_n, y_1, \ldots, y_m] \to C\)，把 \(y_j\) 映到 \(I/I^2\) 中 \(f_j\) 的类。此同态的核 \(J\) 由 \(f_1, \ldots, f_m\)，以及所有形如 \(\sum h_j y_j\) 的元素生成；这里 \(h_j \in R[x_1, \ldots, x_n]\)，且 \(\sum h_j e_j\) 定义 \(K\) 的一个元素。把《代数》引理 00S2 应用于 \(R \to A \to C\) 及上述表示，并使用《代数详论》引理 07EV，得到短正合列 [07EW]\[\begin{equation} I/I^2 \otimes_A C \to J/J^2 \to K \otimes_A C \to 0 \end{equation}\] 的 \(C\)-模。设 \(h \in R[x_1, \ldots, x_n]\) 的像为 \(a \in A\)。对局部化环采用如下表示： \[A_a = R[x_0, x_1, \ldots, x_n]/I' \quad\text{且}\quad C_a = R[x_0, x_1, \ldots, x_n, y_1, \ldots, y_m]/J'\] 其中 \(I' = (hx_0 - 1, I)\)，\(J' = (hx_0 - 1, J)\)。因此，作为 \(A_a\)-模有 \(I'/(I')^2 = A_a \oplus (I/I^2)_a\)，作为 \(C_a\)-模有 \(J'/(J')^2 = C_a \oplus (J/J^2)_a\)。于是得到 [07EX]\[\begin{equation} C_a \oplus I/I^2 \otimes_A C_a \to C_a \oplus (J/J^2)_a \to K \otimes_A C_a \to 0 \end{equation}\] 这正是《代数》引理 00S2 对应于 \(R \to A_a \to C_a\) 及上述表示的正合列。

接下来，假设 \(a \in A\) 使得 \(A_a\) 是 \(R\) 上的局部完全交。则 \((I/I^2)_a\) 是有限投射 \(A_a\)-模，见《代数详论》引理 08RK。因此 \(K_a \oplus (I/I^2)_a \cong A_a^{\oplus m}\) 是自由模；特别地， \(K_a\) 也是有限投射模。由《代数详论》引理 07D4，正合列 (07EX) 在左端也正合。因此 \[J'/(J')^2 \cong C_a \oplus I/I^2 \otimes_A C_a \oplus K \otimes_A C_a \cong C_a^{\oplus m + 1}\] 这就证明了 (1)。最后，再假设 \(A_a\) 在 \(R\) 上光滑。同一表示表明， \(\Omega_{C_a/R}\) 是同态 \[J'/(J')^2 \longrightarrow \bigoplus\nolimits_i C_a\text{d}x_i \oplus \bigoplus\nolimits_j C_a\text{d}y_j\] 的余核。在上述分解中，\(J'/(J')^2\) 的直和项 \(C_a\) 对应于 \(hx_0 - 1\)，因而同构地映到直和项 \(C_a\text{d}x_0\)。 \(J'/(J')^2\) 的直和项 \(I/I^2 \otimes_A C_a\) 单射到 \(\bigoplus_{i = 1, \ldots, n} C_a\text{d}x_i\)，其商为 \(\Omega_{A_a/R} \otimes_{A_a} C_a\)。直和项 \(K \otimes_A C_a\) 单射到 \(\bigoplus_{j \geq 1} C_a\text{d}y_j\)，其商同构于 \(I/I^2 \otimes_A C_a\)。所以，上一个显示同态的余核是模 \(I/I^2 \otimes_A C_a \oplus \Omega_{A_a/R} \otimes_{A_a} C_a\)。由光滑环同态的定义，\((I/I^2)_a \oplus \Omega_{A_a/R}\) 是自由模，从而 (2) 成立。

对 Hensel 对上的光滑环同态，以下命题由 Elkik 在 [Elkik] 中证明。关于光滑环同态的表述可见 [Arabia]；该文还证明了光滑代数之间的环同态可以提升。

命题

设 \(R \to R_0\) 是核为 \(I\) 的满环同态。

若 \(R_0 \to A_0\) 是 syntomic 环同态，则存在 syntomic 环同态 \(R \to A\)，使得 \(A/IA \cong A_0\)。

若 \(R_0 \to A_0\) 是光滑环同态，则存在光滑环同态 \(R \to A\)，使得 \(A/IA \cong A_0\)。

证明

假设 \(R_0 \to A_0\) 是 syntomic 的；特别地，它是局部完全交（见《代数详论》引理 07D3）。选取表示 \(A_0 = R_0[x_1, \ldots, x_n]/J_0\)，并令 \(C_0 = \text{Sym}^*_{A_0}(J_0/J_0^2)\)。注意，\(J_0/J_0^2\) 是有限投射 \(A_0\)-模（见《代数》引理 07BT）。由引理 07CE，环同态 \(A_0 \to C_0\) 光滑，并且可找到表示 \(C_0 = R_0[y_1, \ldots, y_m]/K_0\)，使得 \(K_0/K_0^2\) 是自由 \(C_0\)-模。由《代数》引理 07CF，可以假设 \(C_0 = R_0[y_1, \ldots, y_m]/(\overline{f}_1, \ldots, \overline{f}_c)\) 其中 \(\overline{f}_1, \ldots, \overline{f}_c\) 的像构成 \(K_0/K_0^2\) 在 \(C_0\) 上的一组基。选取 \(\overline{f}_1, \ldots, \overline{f}_c\) 的提升 \(f_1, \ldots, f_c \in R[y_1, \ldots, y_c]\)，并令 \[C = R[y_1, \ldots, y_m]/(f_1, \ldots, f_c)\] 由构造，\(C_0 = C/IC\)。由《代数》引理 00ST，用 \(C_g\) 代替 \(C\) 后，可以假设 \(C\) 是 \(R\) 上的相对整体完全交。因此存在有限投射 \(A_0\)-模 \(P_0\)，使 \(C_0 = \text{Sym}^*_{A_0}(P_0)\) 同构于某个 syntomic \(R\)-代数 \(C\) 的 \(C/IC\)。

选取整数 \(n\) 以及直和分解 \(A_0^{\oplus n} = P_0 \oplus Q_0\). 由《代数详论》引理 07M5，可找到平展环同态 \(C \to C'\)，它诱导同构 \(C/IC \to C'/IC'\)；还可找到有限投射 \(C'\)-模 \(Q\)，使 \(Q/IQ\) 同构于 \(Q_0 \otimes_{A_0} C/IC\)。于是 \(D = \text{Sym}_{C'}^*(Q)\) 是光滑 \(C'\)-代数（见《代数详论》引理 07M6）。图示如下： \[\xymatrix{ R \ar[d] \ar[rr] & & C \ar[r] \ar[d] & C' \ar[r] \ar[d] & D \ar[d] \\ R/I \ar[r] & A_0 \ar[r] & C/IC \ar[r]^{\cong} & C'/IC' \ar[r] & D/ID }\] 注意，\(Q\) 的选取给出 \[\begin{align*} D/ID & = \text{Sym}_{C/IC}^*(Q_0 \otimes_{A_0} C/IC) \\ & = \text{Sym}_{A_0}^*(Q_0) \otimes_{A_0} C/IC \\ & = \text{Sym}_{A_0}^*(Q_0) \otimes_{A_0} \text{Sym}_{A_0}^*(P_0) \\ & = \text{Sym}_{A_0}^*(Q_0 \oplus P_0) \\ & = \text{Sym}_{A_0}^*(A_0^{\oplus n}) \\ & = A_0[x_1, \ldots, x_n] \end{align*}\] 选取 \(f_1, \ldots, f_n \in D\)，使它们在 \(D/ID = A_0[x_1, \ldots, x_n]\) 中分别映到 \(x_1, \ldots, x_n\)。令 \(A = D/(f_1, \ldots, f_n)\)。注意 \(A_0 = A/IA\)。我们断言，\(R \to A\) 在 \(V(IA)\) 的某个邻域上是 syntomic 的。若断言成立，就可找到映到 \(1 \in A_0\) 的 \(f \in A\)，使 \(A_f\) 在 \(R\) 上 syntomic；于是 (1) 的证明完成。

证明上述断言。注意，\(R \to D\) 是 syntomic 环同态 \(R \to C\)、平展环同态 \(C \to C'\) 与光滑环同态 \(C' \to D\) 的复合，因而是 syntomic 的（见《代数》引理 00SZ 以及 00TA）。这个问题在 \(\Spec(D)\) 上是局部的，故可假设 \(D\) 是相对整体完全交（见《代数》引理 00SY）。设 \(D = R[y_1, \ldots, y_m]/(g_1, \ldots, g_s)\)。令 \(f'_1, \ldots, f'_n \in R[y_1, \ldots, y_m]\) 为 \(f_1, \ldots, f_n\) 的提升。应用《代数》引理 00ST 即得断言。

证明 (2)。由于光滑环同态是 syntomic 的，可找到 syntomic 环同态 \(R \to A\)，使得 \(A_0 = A/IA\)。由假设，\(R \to A\) 的纤维在 \(V(I)\) 中的素理想上光滑，故 \(R \to A\) 在 \(V(IA)\) 的一个开邻域上光滑（见《代数》引理 00TF）。因此，以一个局部化代替 \(A\)，便得到所需结论。

我们知道，任意 syntomic 环同态 \(R \to A\) 在局部都是相对整体完全交，见《代数》引理 00SY。下一个引理说明， \(\Spec(A)\) 上的向量丛是相对整体完全交。

引理

设 \(R \to A\) 为 syntomic 环同态。则存在具有缩回的光滑 \(R\)-代数同态 \(A \to C\)，使得 \(C\) 是 \(R\) 上的相对整体完全交，即 \[C \cong R[x_1, \ldots, x_n]/(f_1, \ldots, f_c)\] 在 \(R\) 上平坦，且所有纤维的维数均为 \(n - c\)。

证明

应用引理 07CE 得到 \(A \to C\)。由《代数》引理 07CF，可写成 \(C = R[x_1, \ldots, x_n]/(f_1, \ldots, f_c)\)，其中 \(f_i\) 的像构成 \(J/J^2\) 的一组基。环同态 \(R \to C\) 是一个 syntomic 环同态与一个光滑环同态的复合，因而是 syntomic 的（所以是平坦的）。由《代数》引理 00SC，纤维的维数为 \(n - c\) （这些纤维是局部完全交，故该引理适用）。

引理

设 \(R \to A\) 为光滑环同态。则存在具有缩回的光滑 \(R\)-代数同态 \(A \to B\)，使得 \(B\) 在 \(R\) 上标准光滑，即 \[B \cong R[x_1, \ldots, x_n]/(f_1, \ldots, f_c)\] 并且 \(\det(\partial f_j/\partial x_i)_{i, j = 1, \ldots, c}\) 在 \(B\) 中可逆。

证明

应用引理 07CG，得到具有缩回的光滑 \(R\)-代数同态 \(A \to C\)，使得 \(C = R[x_1, \ldots, x_n]/(f_1, \ldots, f_c)\) 是 \(R\) 上的相对整体完全交。由于 \(C\) 在 \(R\) 上光滑，存在短正合列 \[0 \to \bigoplus\nolimits_{j = 1, \ldots, c} C f_j \to \bigoplus\nolimits_{i = 1, \ldots, n} C\text{d}x_i \to \Omega_{C/R} \to 0\] 由于 \(\Omega_{C/R}\) 是投射 \(C\)-模，此正合列分裂。选取第一个同态的左逆 \(t\)。记 \(t(\text{d}x_i) = \sum c_{ij} f_j\) 于是 \(\sum_i \frac{\partial f_j}{\partial x_i} c_{i\ell} = \delta_{j\ell}\) （Kronecker delta）。令 \[B' = C[y_1, \ldots, y_c] = R[x_1, \ldots, x_n, y_1, \ldots, y_c]/(f_1, \ldots, f_c)\] \(R\)-代数同态 \(C \to B'\) 有一个由 \(y_j \mapsto 0\) 给出的缩回。我们断言，同态 \[R[z_1, \ldots, z_n] \longrightarrow B',\quad z_i \longmapsto x_i - \sum\nolimits_j c_{ij} y_j\] 在 \(\Spec(C) \to \Spec(B')\) 的像中每一点处都是平展的。在 \(\Omega_{B'/R[z_1, \ldots, z_n]}\) 中有 \[0 = \text{d}f_j - \sum\nolimits_i \frac{\partial f_j}{\partial x_i} \text{d}z_i \equiv \sum\nolimits_{i, \ell} \frac{\partial f_j}{\partial x_i} c_{i\ell} \text{d}y_\ell \equiv \text{d}y_j \bmod (y_1, \ldots, y_c)\Omega_{B'/R[z_1, \ldots, z_n]}\] 又因为模去 \(\sum B'\text{d}y_j + (y_1, \ldots, y_c)\Omega_{B'/R[z_1, \ldots, z_n]}\) 后有 \(0 = \text{d}z_i = \text{d}x_i\)，故 \[\Omega_{B'/R[z_1, \ldots, z_n]}/ (y_1, \ldots, y_c)\Omega_{B'/R[z_1, \ldots, z_n]} = 0.\] 由于 \(\Omega_{B'/R[z_1, \ldots, z_n]}\) 是有限 \(B'\)-模，Nakayama 引理给出某个 \(g \in 1 + (y_1, \ldots, y_c)\)，使得 \((\Omega_{B'/R[z_1, \ldots, z_n]})_g = 0\)。这证明了 \(R[z_1, \ldots, z_n] \to B'_g\) 非分歧，见《代数》定义 00UT。对任意以域 \(k\) 为目标的环同态 \(R \to k\)，得到两个维数为 \(n\) 的光滑 \(k\)-代数之间的非分歧环同态 \(k[z_1, \ldots, z_n] \to (B'_g) \otimes_R k\)。由《代数》引理 00R4 和 00TS， \(k[z_1, \ldots, z_n] \to (B'_g) \otimes_R k\) 是平坦的。再由逐纤维平坦性判别法（critère de platitude par fibre；见《代数》引理 00R7），可知 \(R[z_1, \ldots, z_n] \to B'_g\) 平坦。最后，《代数》引理 00U6 蕴含 \(R[z_1, \ldots, z_n] \to B'_g\) 平展。令 \(B = B'_g\)。注意 \(C \to B\) 光滑且有缩回，故 \(A \to B\) 也光滑且有缩回。此外，\(R[z_1, \ldots, z_n] \to B\) 平展。由《代数》引理 00U9，可写成 \[B = R[z_1, \ldots, z_n, w_1, \ldots, w_m]/(g_1, \ldots, g_m)\] 其中 \(\det(\partial g_j/\partial w_i)\) 在 \(B\) 中可逆。引理得证。

引理

设 \(R \to \Lambda\) 为环同态。若 \(\Lambda\) 是光滑 \(R\)-代数的滤过余极限，则 \(\Lambda\) 是标准光滑 \(R\)-代数的滤过余极限。

证明

设 \(A \to \Lambda\) 为 \(R\)-代数同态，其中 \(A\) 是有限表示 \(R\)-代数。按照《代数》引理 07C3，只需把此同态经由某个标准光滑代数分解。我们已知它可以分解为 \(A \to B \to \Lambda\)，其中 \(B\) 在 \(R\) 上光滑。由引理 07CH，选取具有缩回 \(C \to B\) 的 \(R\)-代数同态 \(B \to C\)，使 \(C\) 在 \(R\) 上标准光滑。所求分解便是 \(A \to B \to C \to B \to \Lambda\)。

引理

设 \(R \to A\) 为标准光滑环同态，\(E \subset A\) 为有限子集，且 \(|E| = n\)。则存在表示 \(A = R[x_1, \ldots, x_{n + m}]/(f_1, \ldots, f_c)\)，其中 \(c \geq n\)，使 \(\det(\partial f_j/\partial x_i)_{i, j = 1, \ldots, c}\) 在 \(A\) 中可逆，并且 \(E\) 恰为 \(x_1, \ldots, x_n\) 的同余类所成集合。

证明

选取表示 \(A = R[y_1, \ldots, y_m]/(g_1, \ldots, g_d)\)，使得 \(\det(\partial g_j/\partial y_i)_{i, j = 1, \ldots, d}\) 的像在 \(A\) 中可逆。选定枚举 \(E = \{a_1, \ldots, a_n\}\)，并选取 \(h_i \in R[y_1, \ldots, y_m]\)，使其在 \(A\) 中的像为 \(a_i\)。考虑表示 \[A = R[x_1, \ldots, x_n, y_1, \ldots, y_m]/ (x_1 - h_1, \ldots, x_n - h_n, g_1, \ldots, g_d)\] 并令 \(c = n + d\)。

引理

设 \(R \to A\) 为有限表示环同态，\(a \in A\)。考虑关于 \(a\) 的下列条件：

\(A_a\) 在 \(R\) 上光滑；

\(A_a\) 在 \(R\) 上光滑，且 \(\Omega_{A_a/R}\) 稳定自由；

\(A_a\) 在 \(R\) 上光滑，且 \(\Omega_{A_a/R}\) 自由；

\(A_a\) 在 \(R\) 上标准光滑；

\(a\) 是 \(A\) 中相对于 \(R\) 的严格标准元；

\(a\) 是 \(A\) 中相对于 \(R\) 的初等标准元。

则有

(4) \(\Rightarrow\) (3) \(\Rightarrow\) (2) \(\Rightarrow\) (1),

(6) \(\Rightarrow\) (5),

(6) \(\Rightarrow\) (4),

(5) \(\Rightarrow\) (2),

(2) \(\Rightarrow\) 当 \(e \geq e_0\) 时，\(a^e\) 是 \(A\) 中相对于 \(R\) 的严格标准元；

(4) \(\Rightarrow\) 当 \(e \geq e_0\) 时，\(a^e\) 是 \(A\) 中相对于 \(R\) 的初等标准元。

证明

由定义和《代数》引理 00T7，(a) 显然。由定义 07C7，(b) 显然。

证明 (c)。选取表示 \(A = R[x_1, \ldots, x_n]/(f_1, \ldots, f_m)\)，使 (07C8) 和 (07C9) 成立。选取映到 \(a\) 的 \(h \in R[x_1, \ldots, x_n]\)。于是 \[A_a = R[x_0, x_1, \ldots, x_n]/(x_0h - 1, f_1, \ldots, f_m).\] 记 \(J = (x_0h - 1, f_1, \ldots, f_m)\)。由 (07C9)，\(A_a\)-模 \(J/J^2\) 由 \(x_0h - 1, f_1, \ldots, f_c\) 生成。因此，与《代数》引理 07CF 的证明相同，可以选取 \(g \in 1 + J\)，使得 \[A_a = R[x_0, \ldots, x_n, x_{n + 1}]/ (x_0h - 1, f_1, \ldots, f_c, gx_{n + 1} - 1).\] 此时，(07C8) 蕴含 \(R \to A_a\) 标准光滑（用坐标 \(x_0, x_1, \ldots, x_c, x_{n + 1}\) 求偏导）。

证明 (d)。选取表示 \(A = R[x_1, \ldots, x_n]/(f_1, \ldots, f_m)\)，使 (07ER) 和 (07ES) 成立。记 \(I = (f_1, \ldots, f_m)\)。由引理 07CA，我们已经知道 \(A_a\) 在 \(R\) 上光滑。由引理 07ET， \((I/I^2)_a\) 是以 \(f_1, \ldots, f_c\) 为基的自由模，并同构地映到 \(\bigoplus A_a \text{d}x_i\) 的一个直和项。由于 \(\Omega_{A_a/R} = (\Omega_{A/R})_a\) 是同态 \((I/I^2)_a \to \bigoplus A_a \text{d}x_i\) 的余核，故它稳定自由。

证明 (e)。选取表示 \(A = R[x_1, \ldots, x_n]/I\)，其中 \(I\) 有限生成。由假设，存在短正合列 \[0 \to (I/I^2)_a \to \bigoplus\nolimits_{i = 1, \ldots, n} A_a\text{d}x_i \to \Omega_{A_a/R} \to 0\] 且它分裂正合。因此 \((I/I^2)_a \oplus \Omega_{A_a/R}\) 是自由 \(A_a\)-模。由于 \(\Omega_{A_a/R}\) 稳定自由，\((I/I^2)_a\) 也稳定自由。于是，对某个 \(r\)，用表示 \(A = R[x_1, \ldots, x_n, x_{n + 1}, \ldots, x_{n + r}]/J\) 代替上述表示，其中 \(J = (I, x_{n + 1}, \ldots, x_{n + r})\)，便可使 \((J/J^2)_a\) 为（有限）自由模。选取 \(f_1, \ldots, f_c \in J\)，使其像构成 \((J/J^2)_a\) 的一组基，再把它们扩充为一列生成元 \(f_1, \ldots, f_m \in J\)。考虑表示 \(A = R[x_1, \ldots, x_{n + r}]/(f_1, \ldots, f_m)\)。由构造，当 \(e\) 充分大时，\(a^e\) 满足 (07ES)。此外，由于 \((J/J^2)_a \to \bigoplus\nolimits_{i = 1, \ldots, n + r} A_a\text{d}x_i\) 是分裂单射，可以找到一个 \(A_a\)-线性左逆。用基 \(f_1, \ldots, f_c\) 写出此左逆并清去分母，得到线性同态 \(\psi_0 : A^{\oplus n + r} \to A^{\oplus c}\)，使得 \[A^{\oplus c} \xrightarrow{(f_1, \ldots, f_c)} J/J^2 \xrightarrow{f \mapsto \text{d}f} \bigoplus\nolimits_{i = 1, \ldots, n + r} A \text{d}x_i \xrightarrow{\psi_0} A^{\oplus c}\] 是乘以 \(a^{e_0}\) 的同态，其中 \(e_0 \geq 1\)。由引理 07ET， (07ER) 对 \(a^{ce_0}\) 成立，因而对所有满足 \(e \geq ce_0\) 的 \(a^e\) 成立。

证明 (f)。选取表示 \(A_a = R[x_1, \ldots, x_n]/(f_1, \ldots, f_c)\)，使得 \(\det(\partial f_j/\partial x_i)_{i, j = 1, \ldots, c}\) 在 \(A_a\) 中可逆。由引理 07EY，可以假设对某个 \(m < n\)，元素 \(x_1, \ldots, x_m\) 的类分别对应于 \(a_i/1\)，其中 \(a_1, \ldots, a_m \in A\) 是 \(A\) 在 \(R\) 上的一组生成元。对 \(m < i \leq n\) 用 \(a^Nx_i\) 代替 \(x_i\) 后，可以假设 \(x_i\) 的类为某个 \(a_i \in A\) 所给出的 \(a_i/1 \in A_a\)。考虑环同态 \[\Psi : R[x_1, \ldots, x_n] \longrightarrow A,\quad x_i \longmapsto a_i.\] 这是满环同态。用 \(a^Nf_j\) 代替 \(f_j\) 后，可以假设 \(f_j \in R[x_1, \ldots, x_n]\) 且 \(\Psi(f_j) = 0\) （毕竟在 \(A_a\) 中 \(f_j(a_1/1, \ldots, a_n/1) = 0\)）。令 \(J = \Ker(\Psi)\)。则 \(A = R[x_1, \ldots, x_n]/J\) 是一个表示，并且 \(f_1, \ldots, f_c \in J\) 满足：\((J/J^2)_a\) 以 \(f_1, \ldots, f_c\) 为自由基，而且 \(\det(\partial f_j/\partial x_i)_{i, j = 1, \ldots, c}\) 的像在 \(A_a\) 中可逆。因此，对所有充分大的 \(e\)，\(a^e\) 满足 (07C8) 和 (07C9)，正是所需结论。

插曲：Néron 消奇异化

我们暂且中断对 Popescu 定理一般情形的攻克，转而研究一个较容易但已十分有趣的情形，即 \(R \to \Lambda\) 是离散赋值环之间的同态。对此的讨论见 [Artin-Algebraic-Approximation, Section 4]。

情形

设 \(R \subset \Lambda\) 是分歧指数为 \(1\) 的离散赋值环扩张（见《代数详论》定义 09E4）。给定分解 \[R \to A \xrightarrow{\varphi} \Lambda\] 其中 \(R \to A\) 平坦且为有限型。令 \(\mathfrak q = \Ker(\varphi)\)， \(\mathfrak p = \varphi^{-1}(\mathfrak m_\Lambda)\)。

在情形 0BJ2 中，令 \(\pi \in R\) 为一致化元。回顾一下，\(A\) 在 \(R\) 上平坦意味着 \(\pi\) 是 \(A\) 上的非零因子（见《代数详论》引理 0539）。由关于 \(R \subset \Lambda\) 的假设，\(\pi\) 在 \(\Lambda\) 中的像也是一致化元。由于 \(\pi \in \mathfrak p\)，可以考虑 Néron 仿射吹起代数（见《代数》第 052P 节） \[\varphi' : A' = A[\textstyle{\frac{\mathfrak p}{\pi}}] \longrightarrow \Lambda\] 它带有到 \(\Lambda\) 的诱导同态，把 \(a/\pi^n\)（其中 \(a \in \mathfrak p^n\)）映到 \(\Lambda\) 中的 \(\pi^{-n}\varphi(a)\)。以 \(\mathfrak q' \subset \mathfrak p' \subset A'\) 记 \(A'\) 中相应的素理想。注意，\(A'\) 的同构类不依赖于一致化元的选取。重复此构造得到序列 \[A \to A' \to A'' \to \ldots \to \Lambda\]

引理

在情形 0BJ2 中，Néron 吹起在下述意义下具有函子性：

若 \(a \in A\) 且 \(a \not \in \mathfrak p\)，则 \(A_a\) 的 Néron 吹起为 \(A'_a\)；

若 \(B \to A\) 是核为 \(I\) 的平坦有限型 \(R\)-代数之间的满同态，则 \(A'\) 是 \(B'/IB'\) 对其 \(\pi\)-幂挠子模取商所得的环。

证明

(1) 和 (2) 都是《代数》引理 0BIP 的特例。事实上，只要有 \(A_1 \to A_2 \to \Lambda\) 且 \(\mathfrak p_1 A_2 = \mathfrak p_2\)， \(A_2'\) 就是 \(A_1' \otimes_{A_1} A_2\) 对其 \(\pi\)-幂挠子模取商所得的环。

引理

在情形 0BJ2 中，假设 \(R \to A\) 在 \(\mathfrak p\) 处光滑，且 \(R/\pi R \subset \Lambda/\pi \Lambda\) 是可分域扩张。则 \(R \to A'\) 在 \(\mathfrak p'\) 处光滑，并且存在短正合列 \[0 \to \Omega_{A/R} \otimes_A A'_{\mathfrak p'} \to \Omega_{A'/R, \mathfrak p'} \to (A'/\pi A')_{\mathfrak p'}^{\oplus c} \to 0\] 其中 \(c = \dim((A/\pi A)_\mathfrak p)\)。

证明

由引理 0BJ3，可以用 \(A\) 关于某个不属于 \(\mathfrak p\) 的元素的局部化代替 \(A\)；下文将不再特别说明这一点。记 \(\kappa = R/\pi R\)。由于光滑性在基变换下保持（见《代数》引理 00T4）， \(A/\pi A\) 在 \(\mathfrak p\) 处是光滑 \(\kappa\)-代数。因此 \((A/\pi A)_\mathfrak p\) 是正则局部环（见《代数》引理 00TT）。选取 \(g_1, \ldots, g_c \in \mathfrak p\)，使其像构成 \((A/\pi A)_\mathfrak p\) 的一组正则参数。必要时局部化 \(A\) 后，有 \(\mathfrak p = (\pi, g_1, \ldots, g_c)\)。注意 \(\pi, g_1, \ldots, g_c\) 是 \(A_\mathfrak p\) 中的正则序列（首先 \(\pi\) 是非零因子，再对序列的其余部分应用《代数》引理 00NQ）。再次局部化 \(A\) 后，可以假设 \(\pi, g_1, \ldots, g_c\) 是 \(A\) 中的正则序列（见《代数》引理 061L）。由此 \[A' = A[y_1, \ldots, y_c]/(\pi y_1 - g_1, \ldots, \pi y_c - g_c) = A[y_1, \ldots, y_c]/I\] 由《代数详论》引理 0BIQ 得出。下文将直接使用以朴素余切复形表述的光滑性定义（见《代数》定义 00T2）以及《代数》引理 07BU 的判别准则，不再另行说明。《代数》引理 00S2 对 \(R \to A[y_1, \ldots, y_c] \to A'\) 给出的正合列为 \[0 \to H_1(\NL_{A'/R}) \to I/I^2 \to \Omega_{A/R} \otimes_A A' \oplus \bigoplus\nolimits_{i = 1, \ldots, c} A' \text{d}y_i \to \Omega_{A'/R} \to 0\] 其中 \(I/I^2\) 中 \(\pi y_i - g_i\) 的类映到下一项中的 \(- \text{d}g_i + \pi \text{d}y_i\)。这里用《代数》引理 07BP 计算 \(\NL_{A'/A[y_1, \ldots, y_c]}\)，并使用了 \(R \to A[y_1, \ldots, y_c]\) 光滑这一事实。因此 \(H_1(\NL_{A[y_1, \ldots, y_c]/R}) = 0\)，而且 \(\Omega_{A[y_1, \ldots, y_c]/R}\) 是有限投射（因而平坦） \(A[y_1, \ldots, y_c]\)-模；事实上，它是 \(\Omega_{A/R} \otimes_A A[y_1, \ldots, y_c]\) 与以 \(\text{d}y_i\) 为基的自由模之直和。为完成证明，只需说明 \(\text{d}g_1, \ldots, \text{d}g_c\) 是有限自由模 \(\Omega_{A/R, \mathfrak p}\) 的一组基的一部分。事实上，这将说明 \((I/I^2)_\mathfrak p\) 是以 \(\pi y_i - g_i\) 为基的自由模，正合列中间同态在 \(\mathfrak p\) 处的局部化是单射，因而 \(H_1(\NL_{A'/R})_\mathfrak p = 0\)，并且余核 \(\Omega_{A'/R, \mathfrak p}\) 有限自由。为此，只需证明 \(\text{d}g_i\) 的像在 \(\Omega_{A/R, \mathfrak p}/\pi = \Omega_{(A/\pi A)/\kappa, \mathfrak p}\) 中在 \(\kappa(\mathfrak p)\) 上线性无关（该等式由《代数》引理 00RV 给出）。由于 \(\kappa \subset \kappa(\mathfrak p) \subset \Lambda/\pi \Lambda\)， \(\kappa(\mathfrak p)\) 在 \(\kappa\) 上可分（见《代数》定义 030O）。所需的线性无关性由《代数》引理 00TU 得出。

引理

在情形 0BJ2 中，假设 \(R \to A\) 在 \(\mathfrak q\) 处光滑，并有核为 \(I\) 的满 \(R\)-代数同态 \(B \to A\)。假设 \(R \to B\) 在 \(\mathfrak p_B = (B \to A)^{-1}\mathfrak p\) 处光滑。若同态 \[I/I^2 \otimes_A \Lambda \to \Omega_{B/R} \otimes_B \Lambda\] 的余核为自由 \(\Lambda\)-模，则 \(R \to A\) 在 \(\mathfrak p\) 处光滑。

证明

同态 \(I/I^2 \to \Omega_{B/R} \otimes_B A\) 的余核为 \(\Omega_{A/R}\)，见《代数》引理 00RU。令 \(d = \dim_\mathfrak q(A/R)\) 为 \(R \to A\) 在 \(\mathfrak q\) 处的相对维数，即 \(\Spec(A[1/\pi])\) 在 \(\mathfrak q\) 处的维数；见《代数》定义 00QD。于是 \(\Omega_{A/R, \mathfrak q}\) 是秩为 \(d\) 的自由 \(A_\mathfrak q\)-模（见《代数》引理 00TT）。因此，若引理的假设成立，则 \(\Omega_{A/R} \otimes_A \Lambda\) 是秩为 \(d\) 的自由模。从而 \(\Omega_{A/R} \otimes_A \kappa(\mathfrak p)\) 的维数为 \(d\)（与 \(\Lambda/\pi \Lambda\) 张量后即可看出）。由于 \(R \to A\) 平坦，且 \(\mathfrak p\) 是 \(\mathfrak q\) 的特化，《代数》引理 00QH 给出 \(\dim_\mathfrak p(A/R) \geq d\)。最后，由《代数》引理 00TF 和 00TT， \(R \to A\) 在 \(\mathfrak p\) 处光滑。

引理

在情形 0BJ2 中，假设 \(R \to A\) 在 \(\mathfrak q\) 处光滑，且 \(R/\pi R \subset \Lambda/\pi \Lambda\) 是可分域扩张。则经过有限次仿射 Néron 吹起后，代数 \(A\) 在 \(\mathfrak p\) 处变为光滑 \(R\)-代数。

证明

选取 \(R\)-代数 \(B\) 和满同态 \(B \to A\)。令 \(\mathfrak p_B = (B \to A)^{-1}(\mathfrak p)\)，并以 \(r\) 记 \(R \to B\) 在 \(\mathfrak p_B\) 处的相对维数。选取 \(B\)，使得 \(R \to B\) 在 \(\mathfrak p_B\) 处光滑。例如，可取 \(B\) 为 \(R\) 上有 \(r\) 个变量的多项式代数。考虑引理 0BJ5 中的复形 \[I/I^2 \otimes_A \Lambda \longrightarrow \Omega_{B/R} \otimes_B \Lambda\] 由有限 \(\Lambda\)-模的结构（见《代数详论》引理 0ASV），其余核形如 \[\Lambda^{\oplus d} \oplus \bigoplus\nolimits_{i = 1, \ldots, n} \Lambda/\pi^{e_i} \Lambda\] 其中 \(d \geq 0\)、\(n \geq 0\) 且 \(e_i \geq 1\)。注意，\(d\) 是 \(A/R\) 在 \(\mathfrak q\) 处的相对维数（见《代数》引理 00TT）。若缺陷 \(e = \sum_{i = 1, \ldots, n} e_i\) 为零，则引理 0BJ5 已给出结论。

下面考察施行 Néron 吹起后发生的情形。回顾一下，\(A'\) 是 \(B'/IB'\) 对其 \(\pi\)-幂挠子模取商所得的环（见引理 0BJ3），而 \(R \to B'\) 在 \(\mathfrak p_{B'}\) 处光滑（见引理 0BJ4）。因此吹起后得到完全相同的设定。图示如下： \[\xymatrix{ 0 \ar[r] & I' \ar[r] & B' \ar[r] & A' \ar[r] & 0 \\ 0 \ar[r] & I \ar[u] \ar[r] & B \ar[u] \ar[r] & A \ar[r] \ar[u] & 0 }\] 由于 \(I \subset \mathfrak p_B\)，同态 \(I \to I'\) 经由 \(\pi I'\) 分解。考察所诱导的复形同态，得到 \[\xymatrix{ I'/(I')^2 \otimes_{A'} \Lambda \ar[r] & \Omega_{B'/R} \otimes_{B'} \Lambda \ar@{=}[r] & M' \\ I/I^2 \otimes_A \Lambda \ar[r] \ar[u] & \Omega_{B/R} \otimes_B \Lambda \ar[u] \ar@{=}[r] & M }\] 此时 \(M \subset M'\) 是有限自由 \(\Lambda\)-模，且商 \(M'/M\) 被 \(\pi\) 零化，见引理 0BJ4。令 \(N \subset M\) 与 \(N' \subset M'\) 分别为水平同态的像，并记 \(Q = M/N\)、\(Q' = M'/N'\)。得到交换图 \[\xymatrix{ 0 \ar[r] & N' \ar[r] & M' \ar[r] & Q' \ar[r] & 0 \\ 0 \ar[r] & N \ar[r] \ar[u] & M \ar[r] \ar[u] & Q \ar[r] \ar[u] & 0 }\] 其中 \(N \subset N'\) 是秩为 \(r - d\) 的自由 \(\Lambda\)-模。由于 \(I\) 映入 \(\pi I'\)，有 \(N \subset \pi N'\)。

令 \(K = \Lambda_\pi\) 为 \(\Lambda\) 的分式域。存在交换图 \[\xymatrix{ 0 \ar[r] & N' \ar[r] & N'_K \cap M' \ar[r] & Q'_{tor} \ar[r] & 0 \\ 0 \ar[r] & N \ar[r] \ar[u] & N_K \cap M \ar[r] \ar[u] & Q_{tor} \ar[r] \ar[u] & 0 }\] 其两行都是短正合列。这表明缺陷的变化量为 \[e - e' = \text{length}(Q_{tor}) - \text{length}(Q'_{tor}) = \text{length}(N'/N) - \text{length}(N'_K \cap M' / N_K \cap M)\] 由于 \(M'/M\) 被 \(\pi\) 零化，\(N'_K \cap M' / N_K \cap M\) 也被 \(\pi\) 零化，故其长度至多为 \(\dim_K(N_K)\)。又因 \(N \subset \pi N'\)，有 \(\text{length}(N'/N) \ge \dim_K(N_K)\)，而等号成立当且仅当 \(N = \pi N'\)。

为完成证明，需要说明：当 \(A\) 在 \(\mathfrak p\) 处不光滑时， \(N\) 严格小于 \(\pi N'\)；这正是 Néron 论证中的关键计算。为此，考虑正合列 \[I/I^2 \otimes_B \kappa(\mathfrak p_B) \to \Omega_{B/R} \otimes_B \kappa(\mathfrak p_B) \to \Omega_{A/R} \otimes_A \kappa(\mathfrak p) \to 0\] （由《代数》引理 00RU 得出）。由于 \(R \to A\) 在 \(\mathfrak p\) 处不光滑， \(\Omega_{A/R} \otimes_A \kappa(\mathfrak p)\) 的维数 \(s\) 大于 \(d\)。另一方面，第一个同态经由单射 \[\mathfrak p B_\mathfrak p/\mathfrak p^2 B_\mathfrak p \to \Omega_{B/R} \otimes_B \kappa(\mathfrak p_B)\] 分解；该单射来自《代数》引理 00TU。注意，由关于 \(R/\pi R \subset \Lambda/\pi \Lambda\) 的假设， \(\kappa(\mathfrak p)\) 在 \(k\) 上可分。因此可以找到生成元 \(g_1, \ldots, g_t \in I\)，使得当 \(j > r - s\) 时 \(g_j \in \mathfrak p^2\)。于是当 \(j > r - s\) 时，\(g_j\) 在 \(A'\) 中的像属于 \(\pi^2 I'\)。由于 \(r - s < r - d\)，\(N\) 的至少一个极小生成元在 \(N'\) 中变得可被 \(\pi^2\) 整除。因此缺陷 \(e\) 至少减少 \(1\)，证明完成。

若 \(R \to \Lambda\) 是离散赋值环扩张，则 \(R \to \Lambda\) 正则当且仅当： (a) 分歧指数为 \(1\)；(b) 分式域扩张可分；并且 (c) \(R/\mathfrak m_R \subset \Lambda/\mathfrak m_\Lambda\) 可分。因此，以下结果是定理 07GC 中一般 Néron 消奇异化的特例。

引理

设 \(R \subset \Lambda\) 是分歧指数为 \(1\) 的离散赋值环扩张，并且它所诱导的剩余域扩张和分式域扩张均可分。则 \(\Lambda\) 是光滑 \(R\)-代数的滤过余极限。

证明

由《代数》引理 07C3，只需证明情形 0BJ2 中的任意 \(R \to A \to \Lambda\) 都可分解为 \(A \to B \to \Lambda\)，其中 \(B\) 是光滑 \(R\)-代数。用 \(A\) 在 \(\Lambda\) 中的像代替 \(A\) 后，可以假设 \(A\) 是整环，其分式域 \(K\) 是 \(\Lambda\) 的分式域的子域。特别地，由假设，\(A\) 在 \(R\) 的分式域上可分。于是由《代数》引理 07ND， \(R \to A\) 在 \(\mathfrak q = (0)\) 处光滑。经有限次 Néron 吹起后，可以假设 \(R \to A\) 在 \(\mathfrak p\) 处光滑，见引理 0BJ6。随后，对某个 \(a \in A\)、\(a \not \in \mathfrak p\)，用其局部化代替 \(A\)，即可使 \(A\) 在 \(R\) 上光滑。引理得证。

提升问题

本节的目标是证明（命题 07CM）：由光滑代数的滤过余极限构成的代数类在平坦无穷小形变下封闭。证明是初等的，只用到第 07CD 节关于光滑代数表示的结果。

引理

设 \(R \to \Lambda\) 为环同态，\(I \subset R\) 为理想。假设

\(I^2 = 0\)；

\(\Lambda/I\Lambda\) 是光滑 \(R/I\)-代数的滤过余极限。

设 \(\varphi : A \to \Lambda\) 为 \(R\)-代数同态，其中 \(A\) 是有限表示 \(R\)-代数。则存在分解 \[A \to B/J \to \Lambda\] 其中 \(B\) 是光滑 \(R\)-代数，而 \(J \subset IB\) 是有限生成理想。

证明

选取分解 \[A/IA \to \bar B \to \Lambda/I\Lambda\] 其中 \(\bar B\) 在 \(R/I\) 上标准光滑；由假设和引理 07CI，这样的分解存在。写成 \[\bar B = A/IA[t_1, \ldots, t_r]/(\bar g_1, \ldots, \bar g_s)\] 并设 \(\bar B \to \Lambda/I\Lambda\) 把 \(t_i\) 映到 \(\lambda_i\) 模 \(I\Lambda\) 的类。选取 \(\bar g_1, \ldots, \bar g_s\) 的提升 \(g_1, \ldots, g_s \in A[t_1, \ldots, t_r]\)。写成 \(\varphi(g_i)(\lambda_1, \ldots, \lambda_r) = \sum \epsilon_{ij} \mu_{ij}\) 其中某些 \(\epsilon_{ij} \in I\)，\(\mu_{ij} \in \Lambda\)。定义 \[A' = A[t_1, \ldots, t_r, \delta_{i, j}]/ (g_i - \sum \epsilon_{ij} \delta_{ij})\] 并考虑同态 \[A' \longrightarrow \Lambda,\quad a \longmapsto \varphi(a),\quad t_i \longmapsto \lambda_i,\quad \delta_{ij} \longmapsto \mu_{ij}\] 有 \[A'/IA' = A/IA[t_1, \ldots, t_r]/(\bar g_1, \ldots, \bar g_s)[\delta_{ij}] \cong \bar B[\delta_{ij}]\] 由于 \(\bar B\) 标准光滑，这是一个标准光滑 \(R/I\)-代数。选取表示 \(A'/IA' = R/I[x_1, \ldots, x_n]/(\bar f_1, \ldots, \bar f_c)\)，使得 \(\det(\partial \bar f_j/\partial x_i)_{i, j = 1, \ldots, c}\) 在 \(A'/IA'\) 中可逆。选取 \(\bar f_1, \ldots, \bar f_c\) 的提升 \(f_1, \ldots, f_c \in R[x_1, \ldots, x_n]\)。于是 \[B = R[x_1, \ldots, x_n, x_{n + 1}]/ (f_1, \ldots, f_c, x_{n + 1}\det(\partial f_j/\partial x_i)_{i, j = 1, \ldots, c} - 1)\] 在 \(R\) 上光滑。由于光滑环同态形式光滑（见《代数》命题 00TN），存在模 \(I\) 后为同构的 \(R\)-代数同态 \(B \to A'\)。再由 Nakayama 引理（《代数》引理 00DV），\(B \to A'\) 是满射。因此 \(A' = B/J\)，其中 \(J \subset IB\) 有限生成（见《代数》引理 00R2）。

引理

设 \(R \to \Lambda\) 为环同态，\(I \subset R\) 为理想。假设

\(I^2 = 0\)；

\(\Lambda/I\Lambda\) 是光滑 \(R/I\)-代数的滤过余极限；

\(R \to \Lambda\) 平坦。

设 \(\varphi : B \to \Lambda\) 为 \(R\)-代数同态，其中 \(B\) 在 \(R\) 上光滑。设 \(J \subset IB\) 为有限生成理想，且 \(\varphi(J) = 0\)。则存在 \(R\)-代数同态 \[B \xrightarrow{\alpha} B' \xrightarrow{\beta} \Lambda\] 使得 \(B'\) 在 \(R\) 上光滑、\(\alpha(J) = 0\)，并且 \(\beta \circ \alpha = \varphi\)。

证明

只要能对 \(J = (h)\) 的情形证明引理，便可对 \(J\) 的生成元个数作归纳。具体地，假设 \(J\) 可由 \(n\) 个元素 \(h_1, \ldots, h_n\) 生成，且引理对 \(J\) 由 \(n - 1\) 个元素生成的一切情形成立。先应用 \(n = 1\) 的情形，得到 \(B \to B' \to \Lambda\)，其中第一个同态把 \(h_n\) 映为零。再令 \(J'\) 为 \(B'\) 中由 \(h_1, \ldots, h_{n - 1}\) 的像生成的理想，应用 \(n - 1\) 的情形得到 \(B' \to B'' \to \Lambda\)。容易验证 \(B \to B'' \to \Lambda\) 满足要求。

假设 \(J = (h)\)，并把 \(h\) 写成 \(h = \sum \epsilon_i b_i\)，其中 \(\epsilon_i \in I\)、\(b_i \in B\)。注意 \(0 = \varphi(h) = \sum \epsilon_i \varphi(b_i)\)。由于 \(\Lambda\) 在 \(R\) 上平坦，平坦性的方程判别准则（见《代数》引理 00HK）表明，存在 \(\lambda_j \in \Lambda\)（\(j = 1, \ldots, m\)）和 \(a_{ij} \in R\)，使得 \(\varphi(b_i) = \sum_j a_{ij} \lambda_j\) 且 \(\sum_i \epsilon_i a_{ij} = 0\)。令 \[C = B[x_1, \ldots, x_m]/(b_i - \sum a_{ij} x_j)\] 并以 \(\varphi\) 和 \(x_j \mapsto \lambda_j\) 定义 \(C \to \Lambda\)。按引理 07CK 选取分解 \[C \to B'/J' \to \Lambda\] 由于 \(B\) 在 \(R\) 上光滑，可以把同态 \(B \to C \to B'/J'\) 提升为 \(\alpha : B \to B'\)。于是 \(\varphi = \beta \circ \alpha\)。为完成证明，只需验证 \(\alpha(h) = 0\)。事实上，\(\alpha\) 是 \(B \to C \to B'/J'\) 的提升这一事实蕴含 \[\alpha(b_i) = \sum a_{ij} \xi_j + \theta_i\] 其中某些 \(\xi_j \in B'\)，\(\theta_i \in J' \subset IB'\)。因此 \[\alpha(h) = \alpha(\sum \epsilon_i b_i) = \sum \epsilon_i a_{ij} \xi_j + \sum \epsilon_i \theta_i = 0\] 这是因为上述关系成立且 \(I^2 = 0\)。

命题

设 \(R \to \Lambda\) 为环同态，\(I \subset R\) 为理想。假设

\(I\) 是幂零理想；

\(\Lambda/I\Lambda\) 是光滑 \(R/I\)-代数的滤过余极限；

\(R \to \Lambda\) 平坦。

则 \(\Lambda\) 是光滑 \(R\)-代数的滤过余极限。

证明

对某个 \(n\) 有 \(I^n = 0\)，故对 \(n\) 作归纳可知，只需考虑 \(I^2 = 0\) 的情形。设 \(\varphi : A \to \Lambda\) 为 \(R\)-代数同态，其中 \(A\) 是有限表示 \(R\)-代数。由《代数》引理 07C3，需要找到分解 \(A \to B \to \Lambda\)，其中 \(B\) 在 \(R\) 上光滑。由引理 07CK，可以假设 \(A = B/J\)，其中 \(B\) 在 \(R\) 上光滑，而 \(J \subset IB\) 是有限生成理想。由引理 07CL，可以找到交换图 \[\xymatrix{ B \ar[rr]_\alpha \ar[rd]_\varphi & & B' \ar[ld]^\beta \\ & \Lambda }\] 其中各同态均为 \(R\)-代数同态，\(B'\) 在 \(R\) 上光滑，且 \(\alpha(J) = 0\)。所以 \(\alpha\) 分解为 \(B \to A \to B'\)，证明完成。

提升引理

下面是一个极其巧妙的引理。

引理

设 \(R\) 为诺特环，\(\Lambda\) 为 \(R\)-代数。设 \(\pi \in R\)，并假设 \(\text{Ann}_R(\pi) = \text{Ann}_R(\pi^2)\) 且 \(\text{Ann}_\Lambda(\pi) = \text{Ann}_\Lambda(\pi^2)\)。假设有 \(R\)-代数同态 \(R/\pi^2R \to \bar C \to \Lambda/\pi^2\Lambda\)，其中 \(\bar C\) 有限表示。则存在 \(R\)-代数同态 \(D \to \Lambda\) 及交换图 \[\xymatrix{ R/\pi^2R \ar[r] \ar[d] & \bar C \ar[r] \ar[d] & \Lambda/\pi^2\Lambda \ar[d] \\ R/\pi R \ar[r] & D/\pi D \ar[r] & \Lambda/\pi \Lambda }\] 满足以下性质：

\(D\) 有限表示；

对任意满足 \(\pi \not \in \mathfrak q\) 的素理想 \(\mathfrak q\)， \(R \to D\) 在 \(\mathfrak q\) 处光滑；

对任意满足 \(\pi \in \mathfrak q\)、且位于 \(\bar C\) 中一个 \(R/\pi^2 R \to \bar C\) 光滑的素理想之上的素理想 \(\mathfrak q\)， \(R \to D\) 在 \(\mathfrak q\) 处光滑；

对任意位于 \(\bar C\) 中一个 \(R/\pi^2R \to \bar C\) 光滑的素理想之上的素理想，\(\bar C/\pi \bar C \to D/\pi D\) 在该处光滑。

证明

选取表示 \[\bar C = R[x_1, \ldots, x_n]/(f_1, \ldots, f_m)\] 再记 \(I = (f_1, \ldots, f_m)\)，并以 \(\bar I\) 记 \(I\) 在 \(R/\pi^2R[x_1, \ldots, x_n]\) 中的像。由于 \(R\) 是诺特环，\(\bar C\) 也是诺特环。因此 \(R/\pi^2 R \to \bar C\) 的光滑轨迹拟紧，见《拓扑》引理 0052。应用引理 07C6，可以选取有限个元素 \(a_1, \ldots, a_r \in R[x_1, \ldots, x_n]\)，使得

开子空间 \(\Spec(\bar C_{a_k}) \subset \Spec(\bar C)\) 的并覆盖 \(R/\pi^2 R \to \bar C\) 的光滑轨迹；

对每个 \(k = 1, \ldots, r\)，存在有限子集 \(E_k \subset \{1, \ldots, m\}\)，使得 \((\bar I/\bar I^2)_{a_k}\) 以 \(f_j\)（\(j \in E_k\)）的类为自由基。

令 \(I_k = (f_j, j \in E_k) \subset I\)，并以 \(\bar I_k\) 记 \(I_k\) 在 \(R/\pi^2R[x_1, \ldots, x_n]\) 中的像。由 (2) 和 Nakayama 引理，对某个 \(b'_k \in \bar I_{a_k}\)，\((\bar I/\bar I_k)_{a_k}\) 被 \(1 + b'_k\) 零化。设 \(b'_k\) 是某个 \(b_k \in I\) 和某个整数 \(N\) 所给出的 \(b_k/(a_k)^N\) 的像。用 \(a_kb_k\) 代替 \(a_k\) 后，得到

\((\bar I_k)_{a_k} = (\bar I)_{a_k}\).

因此，必要时用 \(a_k\) 的一个高次幂代替 \(a_k\) 后，可以写成

\(a_k f_\ell = \sum\nolimits_{j \in E_k} h_{k, \ell}^jf_j + \pi^2 g_{k, \ell}\)

其中 \(\ell \in \{1, \ldots, m\}\) 任意，而某些 \(h_{i, \ell}^j, g_{i, \ell} \in R[x_1, \ldots, x_n]\)。若 \(\ell \in E_k\)，则取 \(h_{k, \ell}^j = a_k\delta_{\ell, j}\) （Kronecker delta）和 \(g_{k, \ell} = 0\)。令 \[D = R[x_1, \ldots, x_n, z_1, \ldots, z_m]/ (f_j - \pi z_j, p_{k, \ell}).\] 这里 \(j \in \{1, \ldots, m\}\)、\(k \in \{1, \ldots, r\}\)、 \(\ell \in \{1, \ldots, m\}\)，并且 \[p_{k, \ell} = a_k z_\ell - \sum\nolimits_{j \in E_k} h_{k, \ell}^j z_j - \pi g_{k, \ell}.\] 注意，由上述选取，当 \(\ell \in E_k\) 时 \(p_{k, \ell} = 0\)。

同态 \(R \to D\) 取为给定同态。设 \(\bar C \to \Lambda/\pi^2\Lambda\) 把 \(x_i\) 映到 \(\lambda_i\) 模 \(\pi^2\) 的类。对元素 \(f \in R[x_1, \ldots, x_n]\)，以 \(f(\lambda) \in \Lambda\) 记把 \(\lambda_i\) 代入 \(x_i\) 后的结果。于是对某些 \(\mu_j \in \Lambda\)，有 \(f_j(\lambda) = \pi^2 \mu_j\)。按 \(x_i \mapsto \lambda_i\) 和 \(z_j \mapsto \pi\mu_j\) 定义 \(D \to \Lambda\)。这是良定义的，因为 \[\begin{align*} p_{k, \ell} & \mapsto a_k(\lambda) \pi \mu_\ell - \sum\nolimits_{j \in E_k} h_{k, \ell}^j(\lambda) \pi \mu_j - \pi g_{k, \ell}(\lambda) \\ & = \pi\left(a_k(\lambda) \mu_\ell - \sum\nolimits_{j \in E_k} h_{k, \ell}^j(\lambda) \mu_j - g_{k, \ell}(\lambda)\right) \end{align*}\] 在上述 (4) 中代入 \(x_i = \lambda_i\)，可见括号内的表达式被 \(\pi^2\) 零化；由于假设 \(\text{Ann}_\Lambda(\pi) = \text{Ann}_\Lambda(\pi^2)\)，它也被 \(\pi\) 零化。同态 \(\bar C \to D/\pi D\) 由 \(x_i \mapsto x_i\) 决定（显然良定义）。因此，只须证明 (b)、(c) 和 (d)。

利用 (4) 得到以下关键等式： \[\begin{align*} \pi p_{k, \ell} & = \pi a_k z_\ell - \sum\nolimits_{j \in E_k} \pi h_{k, \ell}^jz_j - \pi^2 g_{k, \ell} \\ & = - a_k (f_\ell - \pi z_\ell) + a_k f_\ell + \sum\nolimits_{j \in E_k} h_{k, \ell}^j (f_j - \pi z_j) - \sum\nolimits_{j \in E_k} h_{k, \ell}^j f_j - \pi^2 g_{k, \ell} \\ & = -a_k(f_\ell - \pi z_\ell) + \sum\nolimits_{j \in E_k} h_{k, \ell}^j(f_j - \pi z_j) \end{align*}\] 最后所得表达式属于由 \(f_j - \pi z_j\) 生成的理想。特别地， \(D[1/\pi]\) 同构于 \(R[1/\pi][x_1, \ldots, x_n, z_1, \ldots, z_m]/(f_j - \pi z_j)\)，后者又同构于 \(R[1/\pi][x_1, \ldots, x_n]\)，因而在 \(R\) 上光滑。这证明了 (b)。

固定 \(k \in \{1, \ldots, r\}\)，考虑环 \[D_k = R[x_1, \ldots, x_n, z_1, \ldots, z_m]/ (f_j - \pi z_j, j \in E_k, p_{k, \ell})\] 由于当 \(\ell \in E_k\) 时 \(p_{k, \ell}\) 为零，方程的数目为 \(m = |E_k| + (m - |E_k|)\)。还要注意 \[\begin{align*} (D_k/\pi D_k)_{a_k} & = R/\pi R[x_1, \ldots, x_n, 1/a_k, z_1, \ldots, z_m]/ (f_j, j \in E_k, p_{k, \ell}) \\ & = (\bar C/\pi \bar C)_{a_k}[z_1, \ldots, z_m]/ (a_kz_\ell - \sum\nolimits_{j \in E_k} h_{k, \ell}^j z_j) \\ & \cong (\bar C/\pi \bar C)_{a_k}[z_j, j \in E_k] \end{align*}\] 特别地，\((D_k/\pi D_k)_{a_k}\) 在 \((\bar C/\pi \bar C)_{a_k}\) 上光滑。由我们对 \(a_k\) 的选择，\((\bar C/\pi \bar C)_{a_k}\) 在 \(R/\pi R\) 上光滑且相对维数为 \(n - |E_k|\)，见 (2)。因此，若素理想 \(\mathfrak q_k \subset D_k\) 含有 \(\pi\) 且位于 \(\Spec(\bar C_{a_k})\) 之上，则 \(R \to D_k\) 的纤维环在 \(\mathfrak q_k\) 处光滑且维数为 \(n\)。于是，由上述方程数目的计算， \(R \to D_k\) 在 \(\mathfrak q_k\) 处为 syntomic，见《代数》引理 00ST。因而 \(R \to D_k\) 在 \(\mathfrak q_k\) 处光滑，见《代数》引理 00TF。

为完成证明，设 \(\mathfrak q \subset D\) 是一个含有 \(\pi\) 的素理想，它位于某个使 \(R/\pi^2 R \to \bar C\) 光滑的素理想之上。由 (1)，对某个 \(k\) 有 \(a_k \not \in \mathfrak q\)。我们将证明满射 \(D_k \to D\) 在 \(\mathfrak q\) 处诱导局部环的同构。由上一段，我们已经知道环同态 \(\bar C/\pi \bar C \to D_k/\pi D_k\) 和 \(R \to D_k\) 在相应的素理想 \(\mathfrak q_k\) 处光滑。这将证明 (c) 和 (d)，从而完成整个证明。

首先注意，对任意 \(\ell\)，上面证明的等式 \(\pi p_{k, \ell} = -a_k(f_\ell - \pi z_\ell) + \sum_{j \in E_k} h_{k, \ell}^j (f_j - \pi z_j)\) 表明 \(f_\ell - \pi z_\ell\) 在 \((D_k)_{a_k}\) 中的像为零，因而它在 \((D_k)_{\mathfrak q_k}\) 中的像尤其为零。关系式 (4) 蕴含在 \(I/I^2\) 中有 \(a_k f_\ell = \sum_{j \in E_k} h_{k, \ell}^j f_j\)。由于 \((\bar I_k/\bar I_k^2)_{a_k}\) 是以 \(f_j\)（\(j \in E_k\)）为基的自由模，可知 \[a_{k'} h_{k, \ell}^j - \sum\nolimits_{j' \in E_{k'}} h_{k', \ell}^{j'} h_{k, j'}^j\] 对每个 \(k,k',\ell\) 和 \(j \in E_k\)，这个元素在 \(\bar C_{a_k}\) 中为零。因此，可以取充分大的整数 \(N\)，使得 \[a_k^N\left( a_{k'} h_{k, \ell}^j - \sum\nolimits_{j' \in E_{k'}} h_{k', \ell}^{j'} h_{k, j'}^j \right)\] 属于 \(I_k + \pi^2R[x_1, \ldots, x_n]\)。模 \(\pi\) 计算可得 \[\begin{align*} & a_kp_{k', \ell} - a_{k'}p_{k, \ell} + \sum h_{k', \ell}^{j'} p_{k, j'} \\ & = - a_k \sum h_{k', \ell}^{j'} z_{j'} + a_{k'} \sum h_{k, \ell}^j z_j + \sum h_{k', \ell}^{j'} a_k z_{j'} - \sum \sum h_{k', \ell}^{j'} h_{k, j'}^j z_j \\ & = \sum \left( a_{k'} h_{k, \ell}^j - \sum h_{k', \ell}^{j'} h_{k, j'}^j \right) z_j \end{align*}\] 其中采用爱因斯坦求和约定。结合前述结果可知，在 \(R[x_1, \ldots, x_n, z_1, \ldots, z_m]\) 中， \(a_k^{N + 1} p_{k', \ell}\) 属于由 \(I_k\) 和 \(\pi\) 生成的理想。因此 \(p_{k', \ell}\) 的像属于 \(\pi (D_k)_{a_k}\)。另一方面，等式 \[\pi p_{k', \ell} = -a_{k'} (f_\ell - \pi z_\ell) + \sum\nolimits_{j' \in E_{k'}} h_{k', \ell}^{j'}(f_{j'} - \pi z_{j'})\] 表明 \(\pi p_{k', \ell}\) 在 \((D_k)_{a_k}\) 中为零。我们已经假设 \(\text{Ann}_R(\pi) = \text{Ann}_R(\pi^2)\)，而 \((D_k)_{\mathfrak q_k}\) 在 \(R\) 上光滑，因而在 \(R\) 上平坦，故有 \(\text{Ann}_{(D_k)_{\mathfrak q_k}}(\pi) = \text{Ann}_{(D_k)_{\mathfrak q_k}}(\pi^2)\). 于是 \(p_{k', \ell}\) 的像也为零，从而 \(D_{\mathfrak q} = (D_k)_{\mathfrak q_k}\)，证毕。

消奇异化引理

下面是另一个极为巧妙的引理。

引理

设 \(R\) 为诺特环，\(\Lambda\) 为 \(R\)-代数。取 \(\pi \in R\)，并假设 \(\text{Ann}_\Lambda(\pi) = \text{Ann}_\Lambda(\pi^2)\)。设 \(A \to \Lambda\) 为 \(R\)-代数同态，其中 \(A\) 为有限表示。假设

\(\pi\) 的像在 \(A\) 中相对于 \(R\) 是严格标准元；

存在与到 \(\Lambda/\pi^4 \Lambda\) 的同态相容的截面 \(\rho : A/\pi^4 A \to R/\pi^4 R\)。

则可以找到 \(R\)-代数同态 \(A \to B \to \Lambda\)，其中 \(B\) 为有限表示，并且 \(\mathfrak a B \subset H_{B/R}\)，这里 \(\mathfrak a = \text{Ann}_R(\text{Ann}_R(\pi^2)/\text{Ann}_R(\pi))\)。

证明

选取一个表示 \[A = R[x_1, \ldots, x_n]/(f_1, \ldots, f_m)\] 以及 \(0 \leq c \leq \min(n, m)\)，使得 (07ER) 对 \(\pi\) 成立，并且 [07CS]\[\begin{equation} \pi f_{c + j} \in (f_1, \ldots, f_c) + (f_1, \ldots, f_m)^2 \end{equation}\] 对 \(j = 1, \ldots, m - c\) 成立。设 \(\rho\) 把 \(x_i\) 映到 \(r_i \in R\) 的类。把 \(x_i\) 替换为 \(x_i-r_i\) 后，可以假设 \(\rho(x_i) = 0\) 于 \(R/\pi^4 R\) 中。这蕴含 \(f_j(0) \in \pi^4R\)，并且 \(A \to \Lambda\) 把 \(x_i\) 映到某个 \(\pi^4\lambda_i\)，其中 \(\lambda_i \in \Lambda\)。写成 \[f_j = f_j(0) + \sum\nolimits_{i = 1, \ldots, n} r_{ji} x_i + \text{高阶项}\] 于是 \(\partial f_j/\partial x_i\) 的常数项为 \(r_{ji}\)。把 \(\rho\) 应用于关于 \(\pi\) 的 (07ER)，可得 \[\pi = \sum\nolimits_{I \subset \{1, \ldots, n\},\ |I| = c} r_I \det(r_{ji})_{j = 1, \ldots, c,\ i \in I} \bmod \pi^4R\] 其中某些 \(r_I \in R\)。因此有 \[u\pi = \sum\nolimits_{I \subset \{1, \ldots, n\},\ |I| = c} r_I \det(r_{ji})_{j = 1, \ldots, c,\ i \in I}\] 其中某个 \(u \in 1 + \pi^3R\)。由《代数》引理 07DQ，存在一个 \(n \times c\) 矩阵 \((s_{ik})\)，使得 \[u\pi \delta_{jk} = \sum\nolimits_{i = 1, \ldots, n} r_{ji}s_{ik}\quad \text{对所有 } j, k = 1, \ldots, c\] （Kronecker 符号）。引入辅助变量 \(v_1, \ldots, v_c, w_1, \ldots, w_n\)，并置 \[h_i = x_i - \pi^2 \sum\nolimits_{j = 1, \ldots c} s_{ij} v_j - \pi^3 w_i\] 下文将不再另行说明地使用等式 \[R[x_1, \ldots, x_n, v_1, \ldots, v_c, w_1, \ldots, w_n]/ (h_1, \ldots, h_n) = R[v_1, \ldots, v_c, w_1, \ldots, w_n]\] 。在 \(R[x_1, \ldots, x_n, v_1, \ldots, v_c, w_1, \ldots, w_n]/ (h_1, \ldots, h_n)\) 中有 \[\begin{align*} f_j & = f_j(x_1 - h_1, \ldots, x_n - h_n) \\ & = \pi^2 \sum\nolimits_{k = 1}^c \left(\sum\nolimits_{i = 1}^n r_{ji} s_{ik}\right) v_k + \pi^3 \sum\nolimits_{i = 1}^n r_{ji}w_i \bmod \pi^4 \\ & = \pi^3 v_j + \pi^3 \sum\nolimits_{i = 1}^n r_{ji}w_i \bmod \pi^4 \end{align*}\] ，其中 \(1 \leq j \leq c\)。因此，可以选取元素 \(g_j \in R[v_1, \ldots, v_c, w_1, \ldots, w_n]\)，使得 \(g_j = v_j + \sum r_{ji}w_i \bmod \pi\)，并且在 \(R\)-代数 \(R[x_1, \ldots, x_n, v_1, \ldots, v_c, w_1, \ldots, w_n]/ (h_1, \ldots, h_n)\) 中有 \(f_j = \pi^3 g_j\)。置 \[B = R[x_1, \ldots, x_n, v_1, \ldots, v_c, w_1, \ldots, w_n]/ (f_1, \ldots, f_m, h_1, \ldots, h_n, g_1, \ldots, g_c).\] \(A \to B\) 的同态是显然的。定义 \(B \to \Lambda\)，令 \(x_i \mapsto \pi^4\lambda_i\)、\(v_i \mapsto 0\) 且 \(w_i \mapsto \pi \lambda_i\)。于是，元素 \(f_j\) 和 \(h_i\) 显然都映到 \(\Lambda\) 中的零。此外，\(g_i\) 映到 \(\pi\Lambda\) 中的某个元素 \(t\)，且 \(\pi^3t = 0\)（因为模掉由诸 \(h\) 生成的理想后， \(f_i = \pi^3 g_i\)）。所以，假设 \(\text{Ann}_\Lambda(\pi) = \text{Ann}_\Lambda(\pi^2)\) 蕴含 \(t=0\)。因而，只需证明关于光滑性的断言即可。

注意，\(B_\pi \cong A_\pi[v_1, \ldots, v_c]\)，因为方程 \(f_i=0\) 蕴含 \(g_i=0\)。又因假设 \(\pi\) 在 \(A\) 中相对于 \(R\) 是严格标准元， \(A_\pi\) 在 \(R\) 上光滑，见引理 07CA，故 \(B_\pi\) 在 \(R\) 上光滑。

置 \(B' = R[v_1, \ldots, v_c, w_1, \ldots, w_n]/(g_1, \ldots, g_c)\)。由于 \(g_i = v_i + \sum r_{ji}w_i \bmod \pi\)，可知 \(B'/\pi B' = R/\pi R[w_1, \ldots, w_n]\)。因此，由《代数》引理 00ST 和 00TF ，\(R \to B'\) 在 \(V(\pi)\) 的每一点都光滑且相对维数为 \(n\) （第一个引理表明它在这些素理想处为 syntomic，因而特别是平坦的；随后第二个引理表明它是光滑的）。

设 \(\mathfrak q \subset B\) 是一个满足 \(\pi \in \mathfrak q\) 的素理想，并且对某个 \(r \in \mathfrak a\) 有 \(r \not \in \mathfrak q\)。记 \(\mathfrak q' = B' \cap \mathfrak q\)。我们断言，满射 \(B' \to B\) 诱导局部环的同构 \((B')_{\mathfrak q'} \to B_\mathfrak q\)；这将完成引理的证明。注意，\(B_\mathfrak q\) 是 \((B')_{\mathfrak q'}\) 对由 \(f_{c + j}\)（\(j = 1, \ldots, m - c\)）生成之理想的商。我们作两个观察：第一，\(f_{c+j}\) 在 \((B')_{\mathfrak q'}\) 中的像可被 \(\pi^2\) 整除；第二，由 (07CS)，\(\pi f_{c+j}\) 在 \((B')_{\mathfrak q'}\) 中的像可以写成 \(\sum b_{j_1 j_2} f_{c + j_1}f_{c + j_2}\)。因此，每个 \(\pi f_{c+j}\) 的像都属于由元素 \(\pi^2 f_{c+j'}\) 生成的理想。由于 \((B')_{\mathfrak q'}\) 是诺特局部环，故其中 \(\pi f_{c+j}=0\)，见《代数》引理 00IP。又因 \(R \to (B')_{\mathfrak q'}\) 平坦，可知 \[\left(\text{Ann}_R(\pi^2)/\text{Ann}_R(\pi)\right) \otimes_R (B')_{\mathfrak q'} = \text{Ann}_{(B')_{\mathfrak q'}}(\pi^2)/\text{Ann}_{(B')_{\mathfrak q'}}(\pi)\] 由于 \(r \in \mathfrak a\) 在 \((B')_{\mathfrak q'}\) 中可逆，这个模必为零。因此，\(f_{c+j}\) 在 \((B')_{\mathfrak q'}\) 中的像为零，正合所需。

引理

设 \(R\) 为诺特环，\(\Lambda\) 为 \(R\)-代数。取 \(\pi \in R\)，并假设 \(\text{Ann}_R(\pi) = \text{Ann}_R(\pi^2)\) 且 \(\text{Ann}_\Lambda(\pi) = \text{Ann}_\Lambda(\pi^2)\)。设 \(A \to \Lambda\) 和 \(D \to \Lambda\) 为 \(R\)-代数同态，其中 \(A\) 和 \(D\) 均为有限表示。假设

\(\pi\) 在 \(A\) 中相对于 \(R\) 是严格标准元；

存在与到 \(\Lambda/\pi^4\Lambda\) 的同态相容的 \(R\)-代数同态 \(A/\pi^4 A \to D/\pi^4 D\)。

则可找到 \(R\)-代数同态 \(B \to \Lambda\)，其中 \(B\) 为有限表示，以及与到 \(\Lambda\) 的同态相容的 \(R\)-代数同态 \(A \to B\) 和 \(D \to B\)，使得 \(H_{D/R}B \subset H_{B/D}\) 且 \(H_{D/R}B \subset H_{B/R}\)。

证明

把引理 07CR 应用于 \[D \longrightarrow A \otimes_R D \longrightarrow \Lambda\] 以及 \(\pi\) 在 \(D\) 中的像。由引理 07CC，\(\pi\) 在 \(A \otimes_R D\) 中相对于 \(D\) 是严格标准元。取 (2) 中同态所诱导的同态作为截面 \(\rho : (A \otimes_R D)/\pi^4 (A \otimes_R D) \to D/\pi^4 D\)。于是引理 07CR 适用，并给出分解 \(A \otimes_R D \to B \to \Lambda\)，其中 \(B\) 为有限表示，且 \(\mathfrak a B \subset H_{B/D}\)，这里 \[\mathfrak a = \text{Ann}_D(\text{Ann}_D(\pi^2)/\text{Ann}_D(\pi)).\] 对 \(D\) 的任意素理想 \(\mathfrak q\)，若 \(D_\mathfrak q\) 在 \(R\) 上平坦，则有 \(\text{Ann}_{D_\mathfrak q}(\pi^2)/\text{Ann}_{D_\mathfrak q}(\pi) = 0\) 这是因为元素的零化子与平坦基变换可交换，且我们假设了 \(\text{Ann}_R(\pi) = \text{Ann}_R(\pi^2)\)。由于 \(D\) 是诺特环， \(\text{Ann}_D(\pi^2)/\text{Ann}_D(\pi)\) 是有限 \(D\)-模，故取其零化子与局部化可交换。因此 \(\mathfrak a \not \subset \mathfrak q\)，从而 \(D \to B\) 在 \(B\) 中位于 \(\mathfrak q\) 之上的任意素理想处光滑。凡使 \(R \to D\) 光滑的 \(D\) 中素理想 \(\mathfrak q\)，都有 \(D_\mathfrak q\) 在 \(R\) 上平坦，所以 \(H_{D/R}B \subset H_{B/D}\)。最后的包含关系 \(H_{D/R}B \subset H_{B/R}\) 源于光滑环同态的复合仍光滑（《代数》，引理 00TD）。

引理

设 \(R\) 为诺特环，\(\Lambda\) 为 \(R\)-代数。取 \(\pi \in R\)，并假设 \(\text{Ann}_R(\pi) = \text{Ann}_R(\pi^2)\) 且 \(\text{Ann}_\Lambda(\pi) = \text{Ann}_\Lambda(\pi^2)\)。设 \(A \to \Lambda\) 为 \(R\)-代数同态，其中 \(A\) 为有限表示，并假设 \(\pi\) 在 \(A\) 中相对于 \(R\) 是严格标准元。设 \[A/\pi^8A \to \bar C \to \Lambda/\pi^8\Lambda\] 是一个分解，其中 \(\bar C\) 为有限表示。则可以找到分解 \(A \to B \to \Lambda\)，其中 \(B\) 为有限表示， \(R_\pi \to B_\pi\) 光滑，并且 \[H_{\bar C/(R/\pi^8 R)} \cdot \Lambda/\pi^8\Lambda \subset \sqrt{H_{B/R} \Lambda} \bmod \pi^8\Lambda.\]

证明

应用引理 07CP，得到 \(R \to D \to \Lambda\) 以及分解 \(\bar C/\pi^4\bar C \to D/\pi^4 D \to \Lambda/\pi^4\Lambda\) ，使 \(R \to D\) 在任何不含 \(\pi\) 的素理想处都光滑，并且在任何位于 \(\bar C/\pi^4\bar C\) 中使 \(R/\pi^8 R \to \bar C\) 光滑之素理想上方的素理想处也光滑。由引理 07CT，可以找到有限表示的 \(R\)-代数 \(B\)，以及分解 \(A \to B \to \Lambda\) 和 \(D \to B \to \Lambda\)，使得 \(H_{D/R}B \subset H_{B/R}\)。略去验证这确实给出了本引理所述问题的解。

预备：约化到基域

本节应用前几节的引理，证明只需在基环为域时证明主结果，见引理 07F5。

情形

这里 \(R \to \Lambda\) 是诺特环之间的正则环同态。

设 \(R \to \Lambda\) 如情形 07F2 所述。若 \(\Lambda\) 是光滑 \(R\)-代数的滤过余极限，则称 \(R \to \Lambda\) 满足 PT。

引理

设 \(R_i \to \Lambda_i\)（\(i=1,2\)）如情形 07F2 所述。若 \(R_i \to \Lambda_i\)（\(i=1,2\)）均满足 PT，则 \(R_1 \times R_2 \to \Lambda_1 \times \Lambda_2\) 满足 PT。

证明

略。提示：滤过余极限的乘积仍是滤过余极限。

引理

设 \(R \to A \to \Lambda\) 为环同态，其中 \(A\) 在 \(R\) 上为有限表示；设 \(S \subset R\) 为乘法集。给定分解 \(S^{-1}A \to B' \to S^{-1}\Lambda\)，其中 \(B'\) 在 \(S^{-1}R\) 上光滑。则可找到分解 \(A \to B \to \Lambda\)，使某个 \(s \in S\) 的像在 \(B\) 中相对于 \(R\) 是初等标准元（定义 07C7）。

证明

先对 \(S^{-1}R \to B'\) 应用引理 07CH，从而可假设 \(B'\) 在 \(S^{-1}R\) 上标准光滑。写 \(A = R[x_1, \ldots, x_n]/(g_1, \ldots, g_t)\)，并设 \(x_i\) 在 \(\Lambda\) 中映到 \(\lambda_i\)。可以写成 \(B' = S^{-1}R[x_1, \ldots, x_{n + m}]/(f_1, \ldots, f_c)\) ，其中某个 \(c \geq n\)，使得 \(\det(\partial f_j/\partial x_i)_{i, j = 1, \ldots, c}\) 在 \(B'\) 中可逆，并且 \(A \to B'\) 由 \(x_i \mapsto x_i\) 给出，见引理 07EY。将 \(i>n\) 的 \(x_i\) 乘以 \(S\) 中某个元素，并相应修改方程 \(f_j\) 后，可假设对 \(i>n\)，\(B' \to S^{-1}\Lambda\) 把 \(x_i\) 映到某个 \(\lambda_i/1\)，其中 \(\lambda_i \in \Lambda\)。选取关系式 \[1 = a_0 \det(\partial f_j/\partial x_i)_{i, j = 1, \ldots, c} + \sum\nolimits_{j = 1, \ldots, c} a_jf_j\] ，其中某些 \(a_j \in S^{-1}R[x_1, \ldots, x_{n + m}]\)。由于 \(S\) 的每个元素在 \(B'\) 中都可逆，消去分母后，可以假设 \(f_j, a_j \in R[x_1, \ldots, x_{n + m}]\)，并且 \[s_0 = a_0 \det(\partial f_j/\partial x_i)_{i, j = 1, \ldots, c} + \sum\nolimits_{j = 1, \ldots, c} a_jf_j\] ，其中某个 \(s_0 \in S\)。由于 \(g_j\) 在 \(S^{-1}R[x_1, \ldots, x_{n + m}]/(f_1, \ldots, x_c)\) 中的像为零，可以找到元素 \(s_j \in S\)，使得 \(s_jg_j=0\) 于 \(R[x_1, \ldots, x_{n + m}]/(f_1, \ldots, f_c)\). 由于 \(f_j\) 在 \(S^{-1}\Lambda\) 中的像为零，可以找到 \(s'_j \in S\)，使 \(s'_j f_j(\lambda_1, \ldots, \lambda_{n + m}) = 0\) 于 \(\Lambda\) 中。考虑环 \[B = R[x_1, \ldots, x_{n + m}]/ (s'_1f_1, \ldots, s'_cf_c, g_1, \ldots, g_t)\] 以及分解 \(A \to B \to \Lambda\)，其中 \(B \to \Lambda\) 由 \(x_i \mapsto \lambda_i\) 给出。我们断言 \(s = s_0s_1 \ldots s_ts'_1 \ldots s'_c\) 在 \(B\) 中相对于 \(R\) 是初等标准元，这将完成证明。事实上， \(s_j g_j \in (f_1, \ldots, f_c)\)，因而 \(sg_j \in (s'_1f_1, \ldots, s'_cf_c)\)。最后有 \[a_0\det(\partial s'_jf_j/\partial x_i)_{i, j = 1, \ldots, c} + \sum\nolimits_{j = 1, \ldots, c} (s'_1 \ldots \hat{s'_j} \ldots s'_c) a_j s'_jf_j = s_0s'_1\ldots s'_c\] ，而它整除 \(s\)，正合所需。

引理

若在情形 07F2 中每当 \(R\) 是域时 PT 都成立，则 PT 一般地成立。

证明

假设在情形 07F2 中，只要 \(R\) 是域，PT 就成立。任取情形 07F2 中的 \(R \to \Lambda\)。注意， \(R/I \to \Lambda/I\Lambda\) 仍是诺特环之间的正则环同态，见《代数详论》引理 07C1。考虑理想的集合 \[\mathcal{I} = \{I \subset R \mid R/I \to \Lambda/I\Lambda \text{不满足 PT}\}\] 我们必须证明 \(\mathcal{I}\) 为空。若它非空，则因 \(R\) 是诺特环，其中存在极大元。把 \(R\) 替换为 \(R/I\)，把 \(\Lambda\) 替换为 \(\Lambda/I\)，便得到这样一种情形：对 \(R\) 的任意非零理想 \(I\)， \(R/I \to \Lambda/I\Lambda\) 都满足 PT。特别地，应用命题 07CM 可知 \(R\) 是既约环。

设 \(A \to \Lambda\) 为 \(R\)-代数同态，其中 \(A\) 为有限表示。必须找到分解 \(A \to B \to \Lambda\)，使 \(B\) 在 \(R\) 上光滑，见《代数》引理 07C3。

设 \(S \subset R\) 为非零因子的集合，并考虑 \(R\) 的全分式环 \(Q=S^{-1}R\)。已知 \(Q = K_1 \times \ldots \times K_n\) 是若干域的乘积，见《代数》引理 02LX 和 00FR。由引理 07F3 及我们的假设，环同态 \(S^{-1}R \to S^{-1}\Lambda\) 满足 PT。因此，可以找到分解 \(S^{-1}A \to B' \to S^{-1}\Lambda\)，其中 \(B'\) 在 \(S^{-1}R\) 上光滑。

应用引理 07F4，得到分解 \(A \to B \to \Lambda\)，使某个 \(\pi \in S\) 在 \(B\) 中相对于 \(R\) 是初等标准元。把 \(A\) 替换为 \(B\) 后，可假设 \(\pi\) 在 \(A\) 中是初等标准元，因而是严格标准元。已知 \(R/\pi^8R \to \Lambda/\pi^8\Lambda\) 满足 PT，所以可以找到分解 \(R/\pi^8 R \to A/\pi^8A \to \bar C \to \Lambda/\pi^8\Lambda\) ，其中 \(R/\pi^8 R \to \bar C\) 光滑。由引理 07CP，可以找到 \(R\)-代数同态 \(D \to \Lambda\)，其中 \(D\) 在 \(R\) 上光滑，以及分解 \(R/\pi^4 R \to A/\pi^4A \to D/\pi^4D \to \Lambda/\pi^4\Lambda\). 由引理 07CT，可以找到 \(A \to B \to \Lambda\)，其中 \(B\) 在 \(R\) 上光滑，从而完成证明。

局部技巧

情形

给定诺特环 \(R\)、\(R\)-代数同态 \(A \to \Lambda\)，以及素理想 \(\mathfrak q \subset \Lambda\)。假设 \(A\) 在 \(R\) 上为有限表示。在此情形下，记 \(\mathfrak h_A = \sqrt{H_{A/R} \Lambda}\)。

设 \(R \to A \to \Lambda \supset \mathfrak q\) 如情形 07F7 所述。若存在分解 \(A \to B \to \Lambda\)，其中 \(B\) 为有限表示，且 \(\mathfrak h_A \subset \mathfrak h_B \not \subset \mathfrak q\)，则称 \(R \to A \to \Lambda \supset \mathfrak q\) 可消解。此时称分解 \(A \to B \to \Lambda\) 为 \(R \to A \to \Lambda \supset \mathfrak q\) 的一个消解。

引理

设 \(R \to A \to \Lambda \supset \mathfrak q\) 如情形 07F7 所述。设 \(r \geq 1\)，并设 \(\pi_1, \ldots, \pi_r \in R\) 的像属于 \(\mathfrak q\)。假设

对 \(i = 1, \ldots, r\) 有 \[\text{Ann}_{R/(\pi_1^8, \ldots, \pi_{i - 1}^8)R}(\pi_i) = \text{Ann}_{R/(\pi_1^8, \ldots, \pi_{i - 1}^8)R}(\pi_i^2)\] 且 \[\text{Ann}_{\Lambda/(\pi_1^8, \ldots, \pi_{i - 1}^8)\Lambda}(\pi_i) = \text{Ann}_{\Lambda/(\pi_1^8, \ldots, \pi_{i - 1}^8)\Lambda}(\pi_i^2)\]

对 \(i = 1, \ldots, r\)，元素 \(\pi_i\) 的像在 \(A\) 中相对于 \(R\) 是严格标准元。

那么，若 \[R/(\pi_1^8, \ldots, \pi_r^8)R \to A/(\pi_1^8, \ldots, \pi_r^8)A \to \Lambda/(\pi_1^8, \ldots, \pi_r^8)\Lambda \supset \mathfrak q/(\pi_1^8, \ldots, \pi_r^8)\Lambda\] 可消解，则 \(R \to A \to \Lambda \supset \mathfrak q\) 也可消解。

证明

对 \(r\) 作归纳证明。

先考虑 \(r=1\)。此时假设存在分解 \(A/\pi_1^8 \to \bar C \to \Lambda/\pi_1^8\)，它消解了模 \(\pi_1^8\) 的情形。条件 (1) 和 (2) 正是应用引理 07F0 所需的假设。因此，可以把消解 \(\bar C\)“提升”为 \(R \to A \to \Lambda \supset \mathfrak q\) 的消解。

再考虑 \(r>1\)。此时，把关于 \(r-1\) 的归纳假设应用于情形 \(R/\pi_1^8 \to A/\pi_1^8 \to \Lambda/\pi_1^8 \supset \mathfrak q/\pi_1^8\Lambda\). 注意，引理 07CC 表明性质 (2) 在这里得到保持。

引理

设 \(R \to A \to \Lambda \supset \mathfrak q\) 如情形 07F7 所述，并令 \(\mathfrak p=R\cap\mathfrak q\)。假设 \(\mathfrak q\) 是包含 \(\mathfrak h_A\) 的极小素理想，并且 \(R_\mathfrak p \to A_\mathfrak p \to \Lambda_\mathfrak q \supset \mathfrak q\Lambda_\mathfrak q\) 可消解。则存在分解 \(A \to C \to \Lambda\)，其中 \(C\) 为有限表示，且 \(H_{C/R} \Lambda \not \subset \mathfrak q\)。

证明

设 \(A_\mathfrak p \to C \to \Lambda_\mathfrak q\) 是 \(R_\mathfrak p \to A_\mathfrak p \to \Lambda_\mathfrak q \supset \mathfrak q\Lambda_\mathfrak q\) 的一个消解。由 \(\mathfrak q\) 是包含 \(\mathfrak h_A\) 的极小素理想这一假设，这意味着 \(H_{C/R_\mathfrak p} \Lambda_\mathfrak q = \Lambda_\mathfrak q\)。由引理 07EU，可假设 \(C\) 在 \(R_\mathfrak p\) 上光滑；再由引理 07CH，可假设 \(C\) 在 \(R_\mathfrak p\) 上标准光滑。写 \(A = R[x_1, \ldots, x_n]/(g_1, \ldots, g_t)\)，并设 \(A \to \Lambda\) 由 \(x_i \mapsto \lambda_i\) 给出。写 \(C = R_\mathfrak p[x_1, \ldots, x_{n + m}]/(f_1, \ldots, f_c)\)，其中某个 \(c \geq n\)，使 \(A \to C\) 把 \(x_i\) 映到 \(x_i\)，并且 \(\det(\partial f_j/\partial x_i)_{i, j = 1, \ldots, c}\) 在 \(C\) 中可逆，见引理 07EY。消去分母后，可假设 \(f_1,\ldots,f_c\) 属于 \(R[x_1, \ldots, x_{n + m}]\)。当然， \(\det(\partial f_j/\partial x_i)_{i, j = 1, \ldots, c}\) 在 \(R[x_1, \ldots, x_{n + m}]/(f_1, \ldots, f_c)\) 中未必可逆，但将某个 \(s_0 \in R\)（\(s_0 \not \in \mathfrak p\)）取逆后便可逆。由于 \(g_j\) 经 \(R[x_1, \ldots, x_n] \to A \to C\) 映到零，可以找到 \(s_j \in R\)，其中 \(s_j \not \in \mathfrak p\)，使 \(s_jg_j\) 在 \(R[x_1, \ldots, x_{n + m}]/(f_1, \ldots, f_c)\) 中为零。将 \(f_j\) 写成 \(f_j = F_j(x_1, \ldots, x_{n + m}, 1)\)，其中多项式 \(F_j \in R[x_1, \ldots, x_n, X_{n + 1}, \ldots, X_{n + m + 1}]\) 关于 \(X_{n + 1}, \ldots, X_{n + m + 1}\) 齐次。选取 \(\lambda_{n + i} \in \Lambda\)（\(i = 1, \ldots, m + 1\)），其中 \(\lambda_{n + m + 1} \not \in \mathfrak q\)，使 \(x_{n+i}\) 在 \(\Lambda_\mathfrak q\) 中映到 \(\lambda_{n + i}/\lambda_{n + m + 1}\)。于是 \[\begin{align*} F_j(\lambda_1, \ldots, \lambda_{n + m + 1}) & = (\lambda_{n + m + 1})^{\deg(F_j)} F_j(\lambda_1, \ldots, \lambda_n, \frac{\lambda_{n + 1}}{\lambda_{n + m + 1}}, \ldots, \frac{\lambda_{n + m}}{\lambda_{n + m + 1}}, 1) \\ & = (\lambda_{n + m + 1})^{\deg(F_j)} f_j(\lambda_1, \ldots, \lambda_n, \frac{\lambda_{n + 1}}{\lambda_{n + m + 1}}, \ldots, \frac{\lambda_{n + m}}{\lambda_{n + m + 1}}) \\ & = 0 \end{align*}\] 在 \(\Lambda_\mathfrak q\) 中成立。因此，可以找到 \(\lambda_0 \in \Lambda\)，其中 \(\lambda_0 \not \in \mathfrak q\)，使得 \(\lambda_0 F_j(\lambda_1, \ldots, \lambda_{n + m + 1}) = 0\) 在 \(\Lambda\) 中成立。现在置 \(B\) 为 \[R[x_0, \ldots, x_{n + m + 1}]/ (g_1, \ldots, g_t, x_0F_1(x_1, \ldots, x_{n + m + 1}), \ldots, x_0F_c(x_1, \ldots, x_{n + m + 1}))\] ，并通过 \(x_i \mapsto \lambda_i\) 将其映到 \(\Lambda\)。令 \(b\) 为 \(x_0x_{n+m+1}s_0s_1\ldots s_t\) 在 \(B\) 中的像。则 \(B_b\) 同构于 \[R_{s_0s_1 \ldots s_t}[x_0, x_1, \ldots, x_{n + m + 1}, 1/x_0x_{n + m + 1}]/ (f_1, \ldots, f_c)\] ，后者依构造在 \(R\) 上光滑。由于 \(b\) 的像不属于 \(\mathfrak q\)，结论得证。

引理

设 \(R \to A \to \Lambda \supset \mathfrak q\) 如情形 07F7 所述，并令 \(\mathfrak p=R\cap\mathfrak q\)。假设

\(\mathfrak q\) 是包含 \(\mathfrak h_A\) 的极小素理想；

\(R_\mathfrak p \to A_\mathfrak p \to \Lambda_\mathfrak q \supset \mathfrak q\Lambda_\mathfrak q\) 可消解；

\(\dim(\Lambda_\mathfrak q) = 0\).

则 \(R \to A \to \Lambda \supset \mathfrak q\) 可消解。

证明

由 (3)，环 \(\Lambda_\mathfrak q\) 是 Artin 局部环，因而 \(\mathfrak q\Lambda_\mathfrak q\) 幂零。故对某个 \(N>0\)，有 \((\mathfrak h_A)^N \Lambda_\mathfrak q = 0\)。于是存在 \(\lambda \in \Lambda\)，其中 \(\lambda \not \in \mathfrak q\)，使 \(\lambda(\mathfrak h_A)^N=0\) 于 \(\Lambda\) 中。设 \(H_{A/R}=(a_1,\ldots,a_r)\)，于是 \(\lambda a_i^N=0\) 于 \(\Lambda\) 中。由引理 07F9，可以找到分解 \(A \to C \to \Lambda\)，其中 \(C\) 为有限表示，且 \(\mathfrak h_C \not \subset \mathfrak q\)。写 \(C=A[x_1,\ldots,x_n]/(f_1,\ldots,f_m)\)。置 \[B = A[x_1, \ldots, x_n, y_1, \ldots, y_r, z, t_{ij}]/ (f_j - \sum y_i t_{ij}, zy_i)\] 其中 \(t_{ij}\) 是 \(rm\) 个变量。令 \(t_{ij}\) 全部等于零，便得到同态 \(B \to C[y_i,z]/(y_iz)\)。同态 \(B \to \Lambda\) 是复合 \(B \to C[y_i,z]/(y_iz) \to \Lambda\)，其中 \(C[y_i,z]/(y_iz) \to \Lambda\) 延拓给定同态 \(C \to \Lambda\)，把 \(z\) 映到 \(\lambda\)，并把 \(y_i\) 映到 \(a_i^N\) 在 \(\Lambda\) 中的像。

我们断言，\(B\) 是 \(R \to A \to \Lambda \supset \mathfrak q\) 的一个解。首先，\(B_z\) 同构于 \(C[y_1, \ldots, y_r,z,z^{-1}]\)，因而是光滑的。另一方面， \(B_{y_\ell} \cong A[x_i, y_i, y_\ell^{-1}, t_{ij}, i \not = \ell]\) 在 \(A\) 上光滑。因此，\(z\) 以及各个 \(a_\ell y_\ell\) （光滑同态的复合仍光滑）全都属于 \(H_{B/R}\)。引理得证。

可分剩余域

本节说明当剩余域扩张可分时如何求解一个局部问题。

引理

设 \(A\) 为诺特环，\(M\) 为有限 \(A\)-模，\(S\subset A\) 为乘法集。若 \(\pi\in A\) 且 \(\Ker(\pi : S^{-1}M \to S^{-1}M) = \Ker(\pi^2 : S^{-1}M \to S^{-1}M)\) ，则存在 \(s\in S\)，使得对任意 \(n>0\) 都有 \(\Ker(s^n\pi : M \to M) = \Ker((s^n\pi)^2 : M \to M)\).

证明

令 \(K=\Ker(\pi:M\to M)\)、 \(K'=\{m\in M\mid \pi^2m=0\text{ 于 }S^{-1}M\text{ 中}\}\)，并令 \(Q=K'/K\)。由假设，\(S^{-1}Q=0\)。由于 \(A\) 是诺特环， \(Q\) 是有限 \(A\)-模。因此可以找到 \(s\in S\) 使 \(s\) 零化 \(Q\)；这个 \(s\) 即合要求。

引理

设 \(\Lambda\) 为诺特环，\(I\subset\Lambda\) 为理想，且 \(I\subset\mathfrak q\)，其中 \(\mathfrak q\) 为素理想。设 \(n,e\) 为正整数。假设 \(\mathfrak q^n\Lambda_\mathfrak q\subset I\Lambda_\mathfrak q\)，且 \(\Lambda_\mathfrak q\) 是维数为 \(d\) 的正则局部环。则存在 \(n>0\) 以及 \(\pi_1,\ldots,\pi_d\in\Lambda\)，使得

\((\pi_1, \ldots, \pi_d)\Lambda_\mathfrak q = \mathfrak q\Lambda_\mathfrak q\)；

\(\pi_1^n, \ldots, \pi_d^n \in I\)；

对 \(i=1,\ldots,d\) 有 \[\text{Ann}_{\Lambda/(\pi_1^e, \ldots, \pi_{i - 1}^e)\Lambda}(\pi_i) = \text{Ann}_{\Lambda/(\pi_1^e, \ldots, \pi_{i - 1}^e)\Lambda}(\pi_i^2).\]

证明

置 \(S=\Lambda\setminus\mathfrak q\)，于是 \(\Lambda_\mathfrak q=S^{-1}\Lambda\)。先选取满足 (1) 的 \(\pi_1,\ldots,\pi_d\)；这因 \(\Lambda_\mathfrak q\) 正则而可行。由假设，\(\pi_i^n\in I\Lambda_\mathfrak q\)，故可找到 \(s_1,\ldots,s_d\in S\)，使 \(s_i\pi_i^n\in I\)。以 \(s_i\pi_i\) 替换 \(\pi_i\) 后便得到 (2)。注意，继续乘以 \(S\) 中元素仍保持 (1) 和 (2)。假设对某个 \(t\in\{0,\ldots,d\}\)， (3) 对 \(i=1,\ldots,t\) 成立。注意， \(\pi_1,\ldots,\pi_d\) 是 \(S^{-1}\Lambda\) 中的正则序列，见《代数》引理 00NQ。特别地，由《代数》引理 07DV， \(\pi_1^e,\ldots,\pi_t^e,\pi_{t+1}\) 是 \(S^{-1}\Lambda=\Lambda_\mathfrak q\) 中的正则序列。因此 \[\text{Ann}_{S^{-1}\Lambda/(\pi_1^e, \ldots, \pi_{i - 1}^e)}(\pi_i) = \text{Ann}_{S^{-1}\Lambda/(\pi_1^e, \ldots, \pi_{i - 1}^e)}(\pi_i^2).\] 由引理 07FC，取某个 \(s\in S\)，以 \(s\pi_{t+1}\) 替换 \(\pi_{t+1}\) 后，便可使 (3) 对 \(i=t+1\) 成立。对 \(t\) 归纳，即得到满足 (1)、(2) 和 (3) 的序列。

引理

设 \(k \to A \to \Lambda \supset \mathfrak q\) 如情形 07F7 所述，其中

\(k\) 是域；

\(\Lambda\) 是诺特环；

\(\mathfrak q\) 是包含 \(\mathfrak h_A\) 的极小素理想；

\(\Lambda_\mathfrak q\) 是正则局部环；

域扩张 \(\kappa(\mathfrak q)/k\) 可分。

则 \(k \to A \to \Lambda \supset \mathfrak q\) 可消解。

证明

置 \(d=\dim\Lambda_\mathfrak q\) 及 \(R=k[x_1,\ldots,x_d]\)。选取 \(n>0\)，使 \(\mathfrak q^n\Lambda_\mathfrak q\subset\mathfrak h_A\Lambda_\mathfrak q\)；这因 \(\mathfrak q\) 是包含 \(\mathfrak h_A\) 的极小素理想而可行。选取 \(H_{A/R}\) 的生成元 \(a_1,\ldots,a_r\)。置 \[B = A[x_1, \ldots, x_d, z_{ij}]/(x_i^n - \sum z_{ij}a_j)\] 每个 \(B_{a_j}\) 都在 \(R\) 上光滑：它是 \(A_{a_j}[x_1,\ldots,x_d]\) 上的多项式代数，而 \(A_{a_j}\) 在 \(k\) 上光滑。因此 \(B_{x_i}\) 在 \(R\) 上光滑。令 \(B\to C\) 为引理 07CE 中构造的 \(R\)-代数同态；该构造还给出 \(R\)-代数缩回 \(C\to B\)，特别给出与上述图表相容的同态 \(C\to\Lambda\)。依构造，\(C_{x_i}\) 是光滑 \(R\)-代数，且 \(\Omega_{C_{x_i}/R}\) 自由。因此，可以找到 \(c>0\)，使 \(x_i^c\) 在 \(C/R\) 中是严格标准元，见引理 07EZ。现在按照引理 07FD 选取 \(\pi_1,\ldots,\pi_d\in\Lambda\)，其中 \(n=n\)、\(e=8c\)、\(\mathfrak q=\mathfrak q\) 且 \(I=\mathfrak h_A\)。写 \(\pi_i^n=\sum\lambda_{ij}a_j\)，其中某些 \(\pi_{ij}\in\Lambda\)。存在同态 \(B\to\Lambda\)，由 \(x_i\mapsto\pi_i\) 及 \(z_{ij}\mapsto\lambda_{ij}\) 给出。置 \(R=k[x_1,\ldots,x_d]\)。图表为 \[\xymatrix{ R \ar[r] & B \ar[rd] \\ k \ar[u] \ar[r] & A \ar[u] \ar[r] & \Lambda }\] 现在把引理 07F8 应用于 \(R \to C \to \Lambda \supset \mathfrak q\) 以及 \(R\) 中的元素序列 \(x_1^c,\ldots,x_d^c\)。假设 (2) 显然成立。对 \(R\) 而言，直接检验可知假设 (1) 成立；对 \(\Lambda\) 而言，它由我们对 \(\pi_1,\ldots,\pi_d\) 的选择成立。（注意，若 \(\text{Ann}_\Lambda(\pi)=\text{Ann}_\Lambda(\pi^2)\)，则对所有 \(c>0\) 都有 \(\text{Ann}_\Lambda(\pi)=\text{Ann}_\Lambda(\pi^c)\)。）因此，只需消解 \[R/(x_1^e, \ldots, x_d^e) \to C/(x_1^e, \ldots, x_d^e) \to \Lambda/(\pi_1^e, \ldots, \pi_d^e) \supset \mathfrak q/(\pi_1^e, \ldots, \pi_d^e)\] ，其中 \(e=8c\)。由引理 07FA，只需在 \(\mathfrak q\) 处局部化后消解它。由于 \(x_1,\ldots,x_d\) 在 \(\Lambda_\mathfrak q\) 中映成正则序列， \(R_\mathfrak p\to\Lambda_\mathfrak q\) 平坦，见《代数》引理 07DY。所以 \[R_\mathfrak p/(x_1^e, \ldots, x_d^e) \to \Lambda_\mathfrak q/(\pi_1^e, \ldots, \pi_d^e)\] 是 Artin 局部环之间的平坦环同态。此外，由假设，该同态在剩余域上诱导可分域扩张。因此，由《代数》引理 07BV 和命题 07CM，这个同态是光滑代数的滤过余极限。所需解的存在性由《代数》引理 07C3 得出。

不可分剩余域

本节说明当剩余域扩张不可分时如何求解一个局部问题。

引理

设 \(k\) 为特征 \(p>0\) 的域， \((\Lambda,\mathfrak m,K)\) 为 Artin 局部 \(k\)-代数。假设 \(\dim H_1(L_{K/k})<\infty\)。则 \(\Lambda\) 是 Artin 局部 \(k\)-代数 \(A\) 的滤过余极限，其中每个同态 \(A\to\Lambda\) 都平坦， \(\mathfrak m_A\Lambda=\mathfrak m\)，且 \(A\) 在 \(k\) 上本质有限型。

证明

注意，\(A\to\Lambda\) 的平坦性蕴含该同态为单射，故本引理实际说明 \(\Lambda\) 是这类子环 \(A\subset\Lambda\) 的有向并。令 \(n\) 为满足 \(\mathfrak m^n=0\) 的最小整数。对 \(n\) 归纳证明本引理。 \(n=1\) 的情形显然，因为任一域扩张都是有限生成域扩张的并。

选取生成 \(\mathfrak m\) 的元素 \(\lambda_1,\ldots,\lambda_d\in\mathfrak m\)。由于 \(K\) 在 \(\mathbf{F}_p\) 上形式光滑（见《代数》引理 0320），可以找到环同态 \(\sigma:K\to\Lambda\)，它是商同态 \(\Lambda\to K\) 的截面。一般而言，\(\sigma\) 不是 \(k\)-代数同态。给定 \(\sigma\)，定义 \[\Psi_\sigma : K[x_1, \ldots, x_d] \longrightarrow \Lambda\] ：在 \(K\) 的元素上使用 \(\sigma\)，并令 \(x_i\mapsto\lambda_i\)。断言：存在 \(\sigma:K\to\Lambda\) 以及在 \(k\) 上有限生成的子域 \(k\subset F\subset K\)，使 \(k\) 在 \(\Lambda\) 中的像包含于 \(\Psi_\sigma(F[x_1,\ldots,x_d])\)。

对满足 \(\mathfrak m^n=0\) 的最小整数 \(n\) 作归纳，以证明该断言。 \(n=1\) 时显然。若 \(n>1\)，置 \(I=\mathfrak m^{n-1}\) 及 \(\Lambda'=\Lambda/I\)。由归纳假设，可认为已给定 \(\sigma':K\to\Lambda'\) 以及有限生成的 \(k\subset F'\subset K\)，使 \(k\to\Lambda\to\Lambda'\) 的像包含于 \(A'=\Psi_{\sigma'}(F'[x_1,\ldots,x_d])\)。记 \(\tau':k\to A'\) 为所诱导的同态。选取 \(\sigma'\) 的一个提升 \(\sigma:K\to\Lambda\)；这可由前述 \(K/\mathbf{F}_p\) 的形式光滑性做到。留意，稍后可用某个导子 \(D:K\to I\) 把 \(\sigma\) 改为 \(\sigma+D\)。置 \(A=F[x_1,\ldots,x_d]/(x_1,\ldots,x_d)^n\)。于是 \(\Psi_\sigma\) 诱导环同态 \(\Psi_\sigma:A\to\Lambda\)；它与商同态 \(\Lambda\to\Lambda'\) 的复合诱导一个核为幂零理想的满射 \(A\to A'\)。选取 \(\tau'\) 的提升 \(\tau:k\to A\)；这可由 \(k/\mathbf{F}_p\) 的形式光滑性做到。于是得到两个从 \(k\) 到 \(\Lambda\) 的同态，即 \(\Psi_\sigma\circ\tau:k\to\Lambda\) 和给定同态 \(i:k\to\Lambda\)。它们模 \(I\) 相同，故其差为导子 \(\theta=i-\Psi_\sigma\circ\tau:k\to I\)。注意，若把 \(\sigma\) 改为 \(\sigma+D\)，则 \(\theta\) 相应改为 \(\theta-D|_k\)。

在 \(k\) 中选取一族元素 \(\{y_j\}_{j\in J}\)，使其微分 \(\text{d}y_j\) 构成 \(\Omega_{k/\mathbf{F}_p}\) 的一组基。对 \(\mathbf{F}_p\subset k\subset K\)，Jacobi–Zariski 序列为 \[0 \to H_1(L_{K/k}) \to \Omega_{k/\mathbf{F}_p} \otimes K \to \Omega_{K/\mathbf{F}_p} \to \Omega_{K/k} \to 0\] 由于 \(\dim H_1(L_{K/k})<\infty\)，可以找到有限子集 \(J_0\subset J\)，使第一个同态的像包含于 \(\bigoplus_{j\in J_0}K\text{d}y_j\)。因此，元素 \(\text{d}y_j\)（\(j\in J\setminus J_0\)）在 \(\Omega_{K/\mathbf{F}_p}\) 中的像在 \(K\) 上线性无关。故可选取 \(D:K\to I\)，使 \(\theta-D|_k=\xi\circ\text{d}\)，其中 \(\xi\) 是复合 \[\Omega_{k/\mathbf{F}_p} = \bigoplus\nolimits_{j \in J} k \text{d}y_j \longrightarrow \bigoplus\nolimits_{j \in J_0} k \text{d}y_j \longrightarrow I\] 对 \(j\in J_0\)，令 \(f_j=\xi(\text{d}y_j)\in I\)。按上面所述，把 \(\sigma\) 改为 \(\sigma+D\)。于是，对 \(a\in k\)，若在 \(\Omega_{k/\mathbf{F}_p}\) 中有 \(\text{d}a=\sum a_j\text{d}y_j\)，则 \(\theta(a)=\sum_{j\in J_0}a_jf_j\)。注意，\(I\) 由 \(\lambda_1,\ldots,\lambda_d\) 中总次数 \(|E|=\sum e_i=n-1\) 的单项式 \(\lambda^E=\lambda_1^{e_1}\ldots\lambda_d^{e_d}\) 生成。写 \(f_j=\sum_Ec_{j,E}\lambda^E\)，其中 \(c_{j,E}\in K\)。把 \(F'\) 替换为 \(F=F'(c_{j,E})\)，断言即得证。

按断言选取 \(\sigma\) 和 \(F\)。\(\Psi_\sigma\) 的核由有限多个多项式 \(g_1,\ldots,g_t\in K[x_1,\ldots,x_d]\) 生成。向 \(F\) 中添加有限多个元素将其扩大后，可假设这些多项式的系数都在 \(F\) 中。此时同态 \(A = F[x_1, \ldots, x_d]/(g_1, \ldots, g_t) \to K[x_1, \ldots, x_d]/(g_1, \ldots, g_t) = \Lambda\) 显然平坦。由该断言，\(A\) 是 \(\Lambda\) 的 \(k\)-子代数。由于 \(K\) 是这些子域 \(F\) 的滤过并，\(\Lambda\) 显然是这些代数的滤过余极限。最后，由《代数》引理 07DT，这些代数在 \(k\) 上本质有限型。

引理

设 \(k\) 为特征 \(p>0\) 的域，\(\Lambda\) 为几何正则的诺特 \(k\)-代数，\(\mathfrak q\subset\Lambda\) 为素理想。设 \(n\geq1\) 为整数，且 \(E\subset\Lambda_\mathfrak q/\mathfrak q^n\Lambda_\mathfrak q\) 为有限子集。则可以找到 \(m\geq0\) 以及 \(\varphi:k[y_1,\ldots,y_m]\to\Lambda\)，使得

令 \(\mathfrak p=\varphi^{-1}(\mathfrak q)\)，则 \(\mathfrak q\Lambda_\mathfrak q=\mathfrak p\Lambda_\mathfrak q\)，且 \(k[y_1,\ldots,y_m]_\mathfrak p\to\Lambda_\mathfrak q\) 平坦；

存在由 Artin 局部环同态组成的分解 \[k[y_1, \ldots, y_m]_\mathfrak p/\mathfrak p^n k[y_1, \ldots, y_m]_\mathfrak p \to D \to \Lambda_\mathfrak q/\mathfrak q^n\Lambda_\mathfrak q\] ，其中第一个箭头本质光滑，第二个箭头平坦；

模 \(\mathfrak q^n\Lambda_\mathfrak q\) 意义下，\(E\) 包含于 \(D\)。

证明

置 \(\bar\Lambda=\Lambda_\mathfrak q/\mathfrak q^n\Lambda_\mathfrak q\)。由《代数详论》命题 07E5. ，有 \(\dim H_1(L_{\kappa(\mathfrak q)/k})<\infty\)。按照引理 07FG，选取含 \(E\) 的 \(A\subset\bar\Lambda\)，使 \(A\) 是在 \(k\) 上本质有限型的 Artin 局部环，\(A\to\bar\Lambda\) 平坦，且 \(\mathfrak m_A\) 生成 \(\bar\Lambda\) 的极大理想。记剩余域 \(F=A/\mathfrak m_A\)，于是 \(k\subset F\subset K\)。选取 \(\lambda_1,\ldots,\lambda_t\in\Lambda\)，它们在 \(\bar\Lambda\) 中映到 \(A\) 的元素，并且 \(\text{d}\lambda_1,\ldots,\text{d}\lambda_t\) 的像构成 \(\Omega_{F/k}\) 的一组基。考虑把 \(y_j\) 映到 \(\lambda_j\) 的同态 \(\varphi':k[y_1,\ldots,y_t]\to\Lambda\)，并置 \(\mathfrak p'=(\varphi')^{-1}(\mathfrak q)\)。由《代数详论》引理 07E6 ，环同态 \(k[y_1,\ldots,y_t]_{\mathfrak p'}\to\Lambda_\mathfrak q\) 平坦，且 \(\Lambda_\mathfrak q/\mathfrak p'\Lambda_\mathfrak q\) 正则。因此，可以再选取元素 \(\lambda_{t+1},\ldots,\lambda_m\in\Lambda\)；它们在 \(\bar\Lambda\) 中映入 \(A\)，且在 \(\Lambda_\mathfrak q/\mathfrak p'\Lambda_\mathfrak q\) 中映成一组正则参数系。由此得到满足性质 (1) 的 \(\varphi:k[y_1,\ldots,y_m]\to\Lambda\)，并且 \(k[y_1, \ldots, y_m]_\mathfrak p/\mathfrak p^n k[y_1, \ldots, y_m]_\mathfrak p \to \bar\Lambda\) 经由 \(A\) 分解。因此， \(k[y_1, \ldots, y_m]_\mathfrak p/\mathfrak p^n k[y_1, \ldots, y_m]_\mathfrak p \to A\) 由《代数》引理 0584 可知是平坦的。依构造，剩余域扩张 \(F/\kappa(\mathfrak p)\) 有限生成，且 \(\Omega_{F/\kappa(\mathfrak p)}=0\)。故由《代数详论》引理 07E1，它是有限可分扩张。因此 \(k[y_1, \ldots, y_m]_\mathfrak p/\mathfrak p^n k[y_1, \ldots, y_m]_\mathfrak p \to A\) 由《代数》引理 07DT 可知是有限的。最后，由《代数》引理 00U6，它是平展的。平展环同态当然本质光滑，故结论得证。

引理

设 \(\varphi:k[y_1,\ldots,y_m]\to\Lambda\)、\(n\)、\(\mathfrak q\)、 \(\mathfrak p\) 以及 \[k[y_1, \ldots, y_m]_\mathfrak p/\mathfrak p^n \to D \to \Lambda_\mathfrak q/\mathfrak q^n \Lambda_\mathfrak q\] 如引理 07FH 所述。则对任意 \(\lambda\in\Lambda\setminus\mathfrak q\)，存在整数 \(q>0\) 以及分解 \[k[y_1, \ldots, y_m]_\mathfrak p/\mathfrak p^n \to D \to D' \to \Lambda_\mathfrak q/\mathfrak q^n \Lambda_\mathfrak q\] ，使 \(D\to D'\) 是 Artin 局部环之间的本质光滑同态，最后一个箭头平坦，并且 \(\lambda^q\) 属于 \(D'\)。

证明

置 \(\bar\Lambda=\Lambda_\mathfrak q/\mathfrak q^n\Lambda_\mathfrak q\)，并令 \(\bar\lambda\) 为 \(\lambda\) 在 \(\bar\Lambda\) 中的像， \(\alpha\in\kappa(\mathfrak q)\) 为 \(\lambda\) 在剩余域中的像。设 \(k\subset F\subset\kappa(\mathfrak q)\) 为 \(D\) 的剩余域。若 \(\alpha\in F\)，则可找到 \(x\in D\)，使 \(x\bar\lambda=1\bmod\mathfrak q\)。若 \(q\) 可被 \(p\) 整除，则 \((x\bar\lambda)^q=1\bmod(\mathfrak q)^q\)，故 \(\bar\lambda^q\in D\)。若 \(\alpha\) 在 \(F\) 上超越，则可取 \(D'=(D[\bar\lambda])_\mathfrak m\)，即把由 \(D\) 和 \(\bar\lambda\) 生成的子环在 \(\mathfrak m=D[\bar\lambda]\cap\mathfrak q\bar\Lambda\) 处局部化。这是可行的，因为此时 \(D[\bar\lambda]\) 实际上是 \(D\) 上的多项式代数。最后，若 \(\lambda\bmod\mathfrak q\) 在 \(F\) 上代数，则可以找到 \(p\) 的幂 \(q\)，使 \(\alpha^q\) 在 \(F\) 上可分代数，见《域》一章第 037H 节。注意，\(D\) 和 \(\bar\Lambda\) 都是 Hensel 局部环，见《代数》引理 06RS。令 \(D\to D'\) 为有限平展扩张，其剩余域扩张为 \(F(\alpha^q)/F\)，见《代数》引理 04GK。由于 \(\bar\Lambda\) 是 Hensel 环，且其剩余域包含 \(F(\alpha^q)\)，可以找到分解 \(D'\to\bar\Lambda\)。由论证的第一部分可知，对某个 \(q'>0\)，有 \(\bar\lambda^{qq'}\in D'\)。

引理

设 \(k \to A \to \Lambda \supset \mathfrak q\) 如情形 07F7 所述，其中

\(k\) 是特征 \(p>0\) 的域；

\(\Lambda\) 是诺特环，且在 \(k\) 上几何正则；

\(\mathfrak q\) 是包含 \(\mathfrak h_A\) 的极小素理想。

则 \(k \to A \to \Lambda \supset \mathfrak q\) 可消解。

证明

按给定顺序完成以下步骤即可证明本引理。下面将逐一说明这些步骤。

选取整数 \(N>0\)，使 \(\mathfrak q^N\Lambda_\mathfrak q \subset H_{A/k}\Lambda_\mathfrak q\).

选取理想 \(H_{A/R}\) 的生成元 \(a_1,\ldots,a_t\in A\)。

置 \(d=\dim(\Lambda_\mathfrak q)\)。

置 \(B=A[x_1,\ldots,x_d,z_{ij}]/(x_i^{2N}-\sum z_{ij}a_j)\)。

把 \(B\) 看作 \(k[x_1,\ldots,x_d]\)-代数，并令 \(B\to C\) 如引理 07CE 所述。我们还得到截面 \(C\to B\)。

选取 \(c>0\)，使每个 \(x_i^c\) 在 \(C\) 中相对于 \(k[x_1,\ldots,x_d]\) 都是严格标准元。

置 \(n=N+dc\) 及 \(e=8c\)。

令 \(E\subset\Lambda_\mathfrak q/\mathfrak q^n\Lambda_\mathfrak q\) 为 \(A\) 作为 \(k\)-代数的一组生成元的像。

选取整数 \(m\)、\(k\)-代数同态 \(\varphi : k[y_1, \ldots, y_m] \to \Lambda\) 以及由 Artin 局部环组成的分解 \[k[y_1, \ldots, y_m]_\mathfrak p/\mathfrak p^n k[y_1, \ldots, y_m]_\mathfrak p \to D \to \Lambda_\mathfrak q/\mathfrak q^n\Lambda_\mathfrak q\] ，使第一个箭头本质光滑，第二个箭头平坦，\(E\) 包含于 \(D\)；并且令 \(\mathfrak p=\varphi^{-1}(\mathfrak q)\) 时，同态 \(k[y_1,\ldots,y_m]_\mathfrak p\to\Lambda_\mathfrak q\) 平坦，且 \(\mathfrak p\Lambda_\mathfrak q=\mathfrak q\Lambda_\mathfrak q\)。

选取 \(\pi_1,\ldots,\pi_d\in\mathfrak p\)，它们映成 \(k[y_1,\ldots,y_m]_\mathfrak p\) 的一组正则参数系。

令 \(R=k[y_1,\ldots,y_m,t_1,\ldots,t_m]\) 且 \(\gamma_i=\pi_it_i\)。

必要时修改 \(\pi_i\) 的选择，使得对 \(i=1,\ldots,d\) 有 \[\text{Ann}_{R/(\gamma_1^e, \ldots, \gamma_{i - 1}^e)R}(\gamma_i) = \text{Ann}_{R/(\gamma_1^e, \ldots, \gamma_{i - 1}^e)R}(\gamma_i^2)\]

存在 \(\delta_1,\ldots,\delta_d\in\Lambda\)，其中 \(\delta_i \not \in \mathfrak q\)，以及分解 \(D \to D' \to \Lambda_\mathfrak q/\mathfrak q^n\Lambda_\mathfrak q\) ，其中 \(D'\) 是 Artin 局部环，\(D\to D'\) 本质光滑，且同态 \(D'\to\Lambda_\mathfrak q/\mathfrak q^n\Lambda_\mathfrak q\) 平坦；令 \(\pi_i'=\delta_i\pi_i\)，则对 \(i=1,\ldots,d\) 有

在 \(\Lambda\) 中，\((\pi_i')^{2N}=\sum a_j\lambda_{ij}\)，其中 \(\lambda_{ij}\bmod\mathfrak q^n\Lambda_\mathfrak q\) 是 \(D'\) 的元素；

\(\text{Ann}_{\Lambda/({\pi'}_1^e, \ldots, {\pi'}_{i - 1}^e)}({\pi'}_i) = \text{Ann}_{\Lambda/({\pi'}_1^e, \ldots, {\pi'}_{i - 1}^e)}({\pi'}_i^2)\)；

\(\delta_i\bmod\mathfrak q^n\Lambda_\mathfrak q\) 是 \(D'\) 的元素。

令 \(x_i\mapsto\pi_i'\)、\(z_{ij}\mapsto\lambda_{ij}\)，以此定义 \(B\to\Lambda\)。把 \(B\to\Lambda\) 与缩回 \(C\to B\) 复合，定义 \(C\to\Lambda\)。

定义 \(R\to\Lambda\)：在 \(k[y_1,\ldots,y_m]\) 上取 \(\varphi\)，并令 \(t_i\mapsto\delta_i\)。再引入同态 \[k[x_1, \ldots, x_d] \longrightarrow R = k[y_1, \ldots, y_m, t_1, \ldots, t_d]\] ，令 \(x_i\mapsto\gamma_i=\pi_it_i\)。

只需消解 \[R \to C \otimes_{k[x_1, \ldots, x_d]} R \to \Lambda \supset \mathfrak q\]

置 \(I=(\gamma_1^e,\ldots,\gamma_d^e)\subset R\)。

只需消解 \[R/I \to C \otimes_{k[x_1, \ldots, x_d]} R/I \to \Lambda/I\Lambda \supset \mathfrak q/I\Lambda\]

记 \(\mathfrak q\) 在 \(R=k[y_1,\ldots,y_m,t_1,\ldots,t_d]\) 中的逆像为 \(\mathfrak r\subset R\)。

只需消解 \[(R/I)_\mathfrak r \to C \otimes_{k[x_1, \ldots, x_d]} (R/I)_\mathfrak r \to \Lambda_\mathfrak q/I\Lambda_\mathfrak q \supset \mathfrak q\Lambda_\mathfrak q/I\Lambda_\mathfrak q\]

在 \(k[y_1,\ldots,y_m]\) 中置 \(J=(\pi_1^e,\ldots,\pi_d^e)\)。

只需消解 \[(R/JR)_\mathfrak p \to C \otimes_{k[x_1, \ldots, x_d]} (R/JR)_\mathfrak p \to \Lambda_\mathfrak q/J\Lambda_\mathfrak q \supset \mathfrak q\Lambda_\mathfrak q/J\Lambda_\mathfrak q\]

只需消解 \[(R/\mathfrak p^nR)_\mathfrak p \to C \otimes_{k[x_1, \ldots, x_d]} (R/\mathfrak p^nR)_\mathfrak p \to \Lambda_\mathfrak q/\mathfrak q^n\Lambda_\mathfrak q \supset \mathfrak q\Lambda_\mathfrak q/\mathfrak q^n\Lambda_\mathfrak q\]

只需消解 \[(R/\mathfrak p^nR)_\mathfrak p \to B \otimes_{k[x_1, \ldots, x_d]} (R/\mathfrak p^nR)_\mathfrak p \to \Lambda_\mathfrak q/\mathfrak q^n\Lambda_\mathfrak q \supset \mathfrak q\Lambda_\mathfrak q/\mathfrak q^n\Lambda_\mathfrak q\]

借助给定同态 \(k[y_1, \ldots, y_m]_\mathfrak p/\mathfrak p^n k[y_1, \ldots, y_m]_\mathfrak p \to D'\) 以及赋值 \(t_i\mapsto t_i\)，赋予环 \(D'[t_1,\ldots,t_d]\) 一个 \(R_\mathfrak p/\mathfrak p^nR_\mathfrak p\)-代数结构。只需找到分解 \[B \otimes_{k[x_1, \ldots, x_d]} (R/\mathfrak p^nR)_\mathfrak p \to D'[t_1, \ldots, t_d] \to \Lambda_\mathfrak q/\mathfrak q^n\Lambda_\mathfrak q\] ，其中第二个箭头把 \(t_i\) 映到 \(\delta_i\)，并诱导给定同态 \(D'\to\Lambda_\mathfrak q/\mathfrak q^n\Lambda_\mathfrak q\)。

由上面对 \(D'\) 的选择，这样的分解存在。

下面逐步给出论证；仅引入记号的步骤不再说明。

关于 (07FK)。这是可行的，因为 \(\mathfrak q\) 是包含 \(\mathfrak h_A=\sqrt{H_{A/k}\Lambda}\) 的极小素理想。

关于 (07FQ)。注意，\(A_{a_i}\) 在 \(k\) 上光滑。因此，\(B_{a_j}\) 同构于 \(A_{a_j}[x_1,\ldots,x_d]\) 上的多项式代数，从而在 \(k[x_1,\ldots,x_d]\) 上光滑。于是 \(B_{x_i}\) 在 \(k[x_1,\ldots,x_d]\) 上光滑。由引理 07CE，\(C_{x_i}\) 在 \(k[x_1,\ldots,x_d]\) 上光滑，且其微分模有限自由。因此，由引理 07EZ，\(x_i\) 的某个幂在 \(C\) 中相对于 \(k[x_1,\ldots,x_n]\) 是严格标准元。

关于 (07FT)。这由应用引理 07FH 得出。

关于 (07FU)。由于 \(k[y_1, \ldots, y_m]_\mathfrak p \to \Lambda_\mathfrak q\) 依构造是平坦的，且 \(\mathfrak p\Lambda_\mathfrak q=\mathfrak q\Lambda_\mathfrak q\)，由《代数》引理 00ON，有 \(\dim(k[y_1,\ldots,y_m]_\mathfrak p)=d\)。因而可以找到 \(\pi_1,\ldots,\pi_d\in\Lambda\)，它们在 \(\Lambda_\mathfrak q\) 中映成一组正则参数系。

关于 (07FW)。由《代数》引理 00NQ，序列 \(\pi_1,\ldots,\pi_d\) 的任意排列都是 \(k[y_1,\ldots,y_m]_\mathfrak p\) 中的正则序列。因此 \(\gamma_1=\pi_1t_1,\ldots,\gamma_d=\pi_dt_d\) 是 \(R_\mathfrak p=k[y_1,\ldots,y_m]_\mathfrak p[t_1,\ldots,t_d]\) 中的正则序列，见《代数》引理 07DW。令 \(S=k[y_1,\ldots,y_m]\setminus\mathfrak p\)，于是 \(R_\mathfrak p=S^{-1}R\)。注意，即使把各个 \(\pi_i\) 乘以 \(S\) 中元素， \(\pi_1,\ldots,\pi_d\) 和 \(\gamma_1,\ldots,\gamma_d\) 仍是正则序列。假设 \[\text{Ann}_{R/(\gamma_1^e, \ldots, \gamma_{i - 1}^e)R}(\gamma_i) = \text{Ann}_{R/(\gamma_1^e, \ldots, \gamma_{i - 1}^e)R}(\gamma_i^2)\] 对某个 \(t\in\{0,\ldots,d\}\) 及 \(i=1,\ldots,t\) 成立。由《代数》引理 07DV， \(\gamma_1^e,\ldots,\gamma_t^e,\gamma_{t+1}\) 是 \(S^{-1}R\) 中的正则序列，故 \[\text{Ann}_{S^{-1}R/(\gamma_1^e, \ldots, \gamma_{i - 1}^e)}(\gamma_i) = \text{Ann}_{S^{-1}R/(\gamma_1^e, \ldots, \gamma_{i - 1}^e)}(\gamma_i^2).\] 因此， \[\text{Ann}_{R/(\gamma_1^e, \ldots, \gamma_t^e)R}(\gamma_{t + 1}) = \text{Ann}_{R/(\gamma_1^e, \ldots, \gamma_t^e)R}(\gamma_{t + 1}^2)\] 由引理 07FC，取某个 \(s\in S\) 并以 \(s\pi_{t+1}\) 替换 \(\pi_{t+1}\) 后，上式成立。对 \(t\) 归纳，即得到所需序列。

关于 (07FX)。令 \(S=\Lambda\setminus\mathfrak q\)，于是 \(\Lambda_\mathfrak q=S^{-1}\Lambda\)；并置 \(\bar\Lambda=\Lambda_\mathfrak q/\mathfrak q^n\Lambda_\mathfrak q\)。假设已有 \(t\in\{0,\ldots,d\}\)、\(\delta_1,\ldots,\delta_t\in S\)，以及 (07FX) 中的分解 \(D\to D'\to\bar\Lambda\)，使 (a)、(b)、(c) 对 \(i=1,\ldots,t\) 成立。由 (07FK)， \(\mathfrak q^N\Lambda_\mathfrak q\subset H_{A/k}\Lambda_\mathfrak q\)，所以 \(\pi_{t+1}^N\in H_{A/k}\Lambda_\mathfrak q\)，进而 \(\pi_{t+1}^N\in H_{A/k}\bar\Lambda\)。由于 \(D'\to\bar\Lambda\) 忠实平坦，由《代数》引理 05CK 又有 \(\pi_{t+1}^N\in H_{A/k}D'\)。回忆 \(H_{A/k}=(a_1,\ldots,a_t)\)。设在 \(D'\) 中 \(\pi_{t+1}^N=\sum a_jd_j\)，并选取 \(c_j\in\Lambda_\mathfrak q\) 提升 \(d_j\in D'\)。则 \(\pi_{t+1}^N=\sum c_ja_j+\epsilon\)，其中 \(\epsilon\in\mathfrak q^n\Lambda_\mathfrak q\subset \mathfrak q^{n-N}H_{A/k}\Lambda_\mathfrak q\)。对某些 \(c'_j\in\mathfrak q^{n-N}\Lambda_\mathfrak q\)，写 \(\epsilon=\sum a_jc'_j\)。于是 \(\pi_{t+1}^{2N}=\sum(\pi_{t+1}^Nc_j+\pi_{t+1}^Nc'_j)a_j\)。注意，\(\pi_{t+1}^Nc'_j\) 在 \(\bar\Lambda\) 中映到零；这个虽显然却关键的观察将确保稍后 (a) 成立。现在选取 \(s\in S\)，使存在 \(\mu_{t + 1j}\in\Lambda\)，一方面在 \(S^{-1}\Lambda\) 中有 \(\pi_{t+1}^Nc_j+\pi_{t+1}^Nc'_j=\mu_{t + 1j}/s^{2N}\)，另一方面在 \(\Lambda\) 中有 \((s\pi_{t+1})^{2N}=\sum\mu_{t + 1j}a_j\)（略去一个小细节）。还可把 \(s\) 替换为它的某个幂并扩大 \(D'\)，使 \(s\) 的像属于 \(D'\)。在这些选择下，\(\mu_{t + 1j}\) 映到 \(s^{2N}d_j\)，后者属于 \(D'\)。注意，由我们对 \(\varphi\) 的选择，\(\pi_1,\ldots,\pi_d\) 是 \(S^{-1}\Lambda\) 中的一组正则参数序列。因此，由《代数》引理 00NQ，它们构成 \(\Lambda_\mathfrak q\) 中的正则序列。再由《代数》引理 07DV， \({\pi'}_1^e,\ldots,{\pi'}_t^e,s\pi_{t+1}\) 是 \(S^{-1}\Lambda\) 中的正则序列。所以 \[\text{Ann}_{S^{-1}\Lambda/({\pi'}_1^e, \ldots, {\pi'}_t^e)}(s\pi_{t + 1}) = \text{Ann}_{S^{-1}\Lambda/({\pi'}_1^e, \ldots, {\pi'}_t^e)}((s\pi_{t + 1})^2).\] 因此，可以应用引理 07FC 找到 \(s'\in S\)，使得 \[\text{Ann}_{\Lambda/({\pi'}_1^e, \ldots, {\pi'}_t^e)}((s')^qs\pi_{t + 1}) = \text{Ann}_{\Lambda/({\pi'}_1^e, \ldots, {\pi'}_t^e)}(((s')^qs\pi_{t + 1})^2).\] 对任意 \(q>0\) 都成立。由引理 07FI，可以选择 \(q\) 并扩大 \(D'\)，使 \((s')^q\) 的像属于 \(D'\)。置 \(\delta_{t+1}=(s')^qs\)，便得 (a)、(b)、(c) 对 \(i=1,\ldots,t+1\) 成立。对于 (a)，注意可取 \(\lambda_{t + 1j}=(s')^{2Nq}\mu_{t + 1j}\)。对 \(t\) 归纳即得结论。

关于 (07G0)。依构造， \(H_{(C\otimes_{k[x_1,\ldots,x_d]}R)/R}\Lambda\) 的根包含 \(\mathfrak h_A\)。事实上，元素 \(a_j\in H_{A/k}\) 映到 \(H_{B/k[x_1,\ldots,x_n]}\) 的元素，继而映到 \(H_{C/k[x_1,\ldots,x_n]}\) 的元素，所以 \(a_j\otimes1\) 映到 \(H_{C\otimes_{k[x_1,\ldots,x_d]}R/R}\) 的元素。此外，若有 \(C\otimes_{k[x_1,\ldots,x_n]}R\to T\to\Lambda\)，它是下列情形的解： \[R \to C \otimes_{k[x_1, \ldots, x_d]} R \to \Lambda \supset \mathfrak q\] ，则因 \(R\) 在 \(k\) 上光滑，有 \(H_{T/R}\subset H_{T/k}\)。所以 \(T\) 也是原情形 \(k\to A\to\Lambda\supset\mathfrak q\) 的解。

关于 (07G2)。把引理 07F8 应用于 \(R \to C \otimes_{k[x_1, \ldots, x_d]} R \to \Lambda \supset \mathfrak q\) 以及元素序列 \(\gamma_1^c,\ldots,\gamma_d^c\) 即得。注意，由于 \(x_i^c\) 在 \(C\) 中相对于 \(k[x_1,\ldots,x_d]\) 是严格标准元，引理 07CC 表明 \(\gamma_i^c\) 在 \(C\otimes_{k[x_1,\ldots,x_d]}R\) 中相对于 \(R\) 是严格标准元。引理 07F8 的另一个假设由步骤 (07FW) 和 (07FX) 成立。

关于 (07G4)。把引理 07FA 应用于 (07G2) 中的情形。以下论证中的目标环均为 Artin 局部环，因此我们所求的是经由源环上某个光滑代数 \(T\) 的分解。

关于 (07G6)。假设 \(C\otimes_{k[x_1,\ldots,x_d]}(R/JR)_\mathfrak p\to T\to\Lambda_\mathfrak q/J\Lambda_\mathfrak q\) 是下列情形的解： \[(R/JR)_\mathfrak p \to C \otimes_{k[x_1, \ldots, x_d]} (R/JR)_\mathfrak p \to \Lambda_\mathfrak q/J\Lambda_\mathfrak q \supset \mathfrak q\Lambda_\mathfrak q/J\Lambda_\mathfrak q\] 则 \(C\otimes_{k[x_1,\ldots,x_d]}(R/I)_\mathfrak r\to T_\mathfrak r\to \Lambda_\mathfrak q/I\Lambda_\mathfrak q\) 是 (07G4) 中情形的解。

关于 (07G7)。\(n=N+dc\) 足够大，因而 \(\mathfrak p^nk[y_1,\ldots,y_m]_\mathfrak p\subset J_\mathfrak p\) 且 \(\mathfrak q^n\Lambda_\mathfrak q\subset J\Lambda_\mathfrak q\)。因此，若有 \(C \otimes_{k[x_1, \ldots, x_d]} (R/\mathfrak p^nR)_\mathfrak p \to T \to \Lambda_\mathfrak q/\mathfrak q^n\Lambda_\mathfrak q\) 作为 (07G6 的一个解，则可取 \(T/JT\) 作为 (07G7) 的解。

关于 (07G8)。这是因为在 \(R\)-代数范畴中已有截面 \(C\to B\)。

关于 (07G9)。这是因为 \(D'\) 在 Artin 局部环 \(k[y_1, \ldots, y_m]_\mathfrak p/\mathfrak p^n k[y_1, \ldots, y_m]_\mathfrak p\) 上本质光滑，并且 \[R_\mathfrak p/\mathfrak p^nR_\mathfrak p = k[y_1, \ldots, y_m]_\mathfrak p/ \mathfrak p^n k[y_1, \ldots, y_m]_\mathfrak p[t_1, \ldots, t_d].\] 因此，\(D'[t_1,\ldots,t_d]\) 是光滑 \(R_\mathfrak p/\mathfrak p^nR_\mathfrak p\)-代数的滤过余极限，并且 \(B \otimes_{k[x_1, \ldots, x_d]} (R_\mathfrak p/\mathfrak p^nR_\mathfrak p)\) 经由其中一个代数分解。

关于 (07GA)。证明的最后一个微妙之处在于，不能直接使用 \(B\to D'\) 这个把 \(x_i\) 映到 \(\pi_i'\) 在 \(D'\) 中的像、把 \(z_{ij}\) 映到 \(\lambda_{ij}\) 在 \(D'\) 中之像的同态，因为需要图表 \[\xymatrix{ B \ar[r] & D'[t_1, \ldots, t_d] \\ k[x_1, \ldots, x_d] \ar[r] \ar[u] & R_\mathfrak p/\mathfrak p^nR_\mathfrak p \ar[u] }\] 可交换，并且需要复合 \(B \to D'[t_1, \ldots, t_d] \to \Lambda_\mathfrak q/\mathfrak q^n\Lambda_\mathfrak q\) 等于 (07FY) 中的同态。这就要求把 \(x_i\) 映到 \(\pi_it_i\) 在 \(D'[t_1,\ldots,t_d]\) 中的像。因此，把 \(z_{ij}\) 映到 \(\lambda_{ij}t_i^{2N}/\delta_i^{2N}\) 在 \(D'[t_1,\ldots,t_d]\) 中的像，一切便都清楚了。

主定理

本节汇总前面的论证。

定理

任意诺特环之间的正则同态都是光滑环同态的滤过余极限。

证明

由引理 07F5，只需对 \(k\to\Lambda\) 证明结论，其中 \(\Lambda\) 是在 \(k\) 上几何正则的诺特环。设 \(k\to A\to\Lambda\) 是一个分解，其中 \(A\) 为有限型 \(k\)-代数。只需构造分解 \(A\to B\to\Lambda\)，其中 \(B\) 为有限型且 \(\mathfrak h_B=\Lambda\)，见引理 07EU。因此，可以对理想 \(\mathfrak h_A\) 作诺特归纳。选取 \(\mathfrak q\supset\mathfrak h_A\)，使 \(\mathfrak q\) 是包含 \(\mathfrak h_A\) 的极小素理想。现在只需消解 \(k\to A\to\Lambda\supset\mathfrak q\) （其定义见情形 07F7 后的正文）。若 \(k\) 的特征为零，结论由引理 07FE 得出；若 \(k\) 的特征为 \(p>0\)，结论由引理 07FJ 得出。

G-环的逼近性质

设 \(R\) 为诺特局部环。此时，\(R\) 是 G-环当且仅当环同态 \(R\to R^\wedge\) 正则，见《代数详论》引理 07PT。在这种情况下， \(R\) 的 Hensel 化 \(R^h\) 及严格 Hensel 化 \(R^{sh}\) 都是 G-环，见《代数详论》引理 07QR。此外，在一个域、完备局部环、\(\mathbf{Z}\) 或特征零 Dedekind 环上本质有限型的任意代数都是 G-环，见《代数详论》命题 07PX。因此，有大量环可应用下面的结果。

设 \(R\) 为环，\(f_1,\ldots,f_m\in R[x_1,\ldots,x_n]\)，且 \(S\) 为 \(R\)-代数。在这种情形下，称向量 \((a_1,\ldots,a_n)\in S^n\) 是\(S\) 中的解，当且仅当 \[f_j(a_1, \ldots, a_n) = 0 \text{ 于 } S \text{ 中，对 } j = 1, \ldots, m\] 代数几何中的一个重要问题自然是判定多项式方程组何时有解。下面的定理说明，在诺特局部环的完备化中有解，往往足以推出在该环的 Hensel 化中有解。

定理

设 \(R\) 为诺特局部环，且 \(f_1,\ldots,f_m\in R[x_1,\ldots,x_n]\)。假设 \((a_1,\ldots,a_n)\in(R^\wedge)^n\) 是 \(R^\wedge\) 中的解。若 \(R\) 是 Hensel G-环，则对每个整数 \(N\)，都存在 \(R\) 中的解 \((b_1,\ldots,b_n)\in R^n\)，使 \(a_i-b_i\in\mathfrak m^NR^\wedge\)。

证明

选取 \(c_i\in R\)，使 \(a_i-c_i\in\mathfrak m^N\)。选取生成元 \(\mathfrak m^N=(d_1,\ldots,d_M)\)，并写成 \(a_i=c_i+\sum a_{i,l}d_l\)。考虑多项式环 \(R[x_{i,l}]\) 及元素 \[g_j = f_j(c_1 + \sum x_{1, l} d_l , \ldots, c_n + \sum x_{n, l} d_{n, l}) \in R[x_{i, l}]\] 方程组 \(g_j=0\) 有解 \((a_{i,l})\)。假设可以证明它在 \(R\) 中有解 \((b_{i,l})\)，则 \(b_i=c_i+\sum b_{i,l}d_l\) 是 \(f_j=0\) 的解，且模 \(\mathfrak m^N\) 与 \(a_i\) 同余。因此，只需证明在 \(R^\wedge\) 上可解蕴含在 \(R\) 上可解。

令 \(A\subset R^\wedge\) 为由 \(a_1,\ldots,a_n\) 生成的 \(R\)-子代数。我们假设了 \(R\) 是 G-环，即 \(R\to R^\wedge\) 正则，因此存在分解 \[A \to B \to R^\wedge\] ，其中 \(B\) 在 \(R\) 上光滑，见定理 07GC。记剩余域 \(\kappa=R/\mathfrak m\)。它也是 \(R^\wedge\) 的剩余域，所以得到交换图 \[\xymatrix{ B \ar[rd] \ar@{..>}[r] & R' \ar@{..>}[d] \\ R \ar[r] \ar[u] & \kappa }\] 由于竖直箭头光滑，《代数详论》引理 07M7 蕴含存在平展环同态 \(R\to R'\)，它诱导同构 \(R/\mathfrak m\to R'/\mathfrak mR'\)，并存在使上图交换的 \(R\)-代数同态 \(B\to R'\)。由于 \(R\) 是 Hensel 环， \(R\to R'\) 有截面，见《代数》引理 04GG。令 \(b_i\in R\) 为 \(a_i\) 经环同态 \(A\to B\to R'\to R\) 所得的像。由于这些全是 \(R\)-代数同态，\((b_1,\ldots,b_n)\) 是 \(R\) 中的解。

给定诺特局部环 \((R,\mathfrak m)\)、平展环同态 \(R\to R'\)，以及位于 \(\mathfrak m\) 之上且满足 \(\kappa(\mathfrak m)=\kappa(\mathfrak m')\) 的极大理想 \(\mathfrak m'\subset R'\)，则有包含关系 \[R \subset R_{\mathfrak m'} \subset R^h \subset R^\wedge,\] ，见《代数》引理 04GR 和《代数详论》引理 06LJ。

定理

设 \(R\) 为诺特局部环，且 \(f_1,\ldots,f_m\in R[x_1,\ldots,x_n]\)。假设 \((a_1,\ldots,a_n)\in(R^\wedge)^n\) 是一个解。若 \(R\) 是 G-环，则对每个整数 \(N\)，都存在

平展环同态 \(R\to R'\)；

位于 \(\mathfrak m\) 之上的极大理想 \(\mathfrak m'\subset R'\)；

\(R'\) 中的解 \((b_1,\ldots,b_n)\in(R')^n\)，

使得 \(\kappa(\mathfrak m)=\kappa(\mathfrak m')\) 且 \(a_i-b_i\in(\mathfrak m')^NR^\wedge\)。

证明

可以由定理 07QY 推出本定理：由《代数详论》引理 07QR， Hensel 化 \(R^h\) 是 G-环；再把 \(R^h\) 写成平展扩张 \(R'\) 的有向余极限即可。不过，我们改为在当前情形下重做上一条定理的证明。

选取 \(c_i\in R\)，使 \(a_i-c_i\in\mathfrak m^N\)。选取生成元 \(\mathfrak m^N=(d_1,\ldots,d_M)\)，并写成 \(a_i=c_i+\sum a_{i,l}d_l\)。考虑多项式环 \(R[x_{i,l}]\) 及元素 \[g_j = f_j(c_1 + \sum x_{1, l} d_l , \ldots, c_n + \sum x_{n, l} d_{n, l}) \in R[x_{i, l}]\] 方程组 \(g_j=0\) 有解 \((a_{i,l})\)。假设可以证明：对某个平展环同态 \(R\to R'\)，存在极大理想 \(\mathfrak m'\) 满足 \(\kappa(\mathfrak m)=\kappa(\mathfrak m')\)，且 \(g_j=0\) 在 \(R'\) 中有解 \((b_{i,l})\)。则 \(b_i=c_i+\sum b_{i,l}d_l\) 是 \(f_j=0\) 的解，并且模 \((\mathfrak m')^N\) 与 \(a_i\) 同余。因此，只需证明 \(R^\wedge\) 上可解蕴含在某个平展环扩张上可解，而且该扩张在 \(\mathfrak m\) 上方的某个素理想处诱导平凡剩余域扩张。

令 \(A\subset R^\wedge\) 为由 \(a_1,\ldots,a_n\) 生成的 \(R\)-子代数。我们假设了 \(R\) 是 G-环，即 \(R\to R^\wedge\) 正则，故存在分解 \[A \to B \to R^\wedge\] ，其中 \(B\) 在 \(R\) 上光滑，见定理 07GC。记剩余域 \(\kappa=R/\mathfrak m\)。它也是 \(R^\wedge\) 的剩余域，所以得到交换图 \[\xymatrix{ B \ar[rd] \ar@{..>}[r] & R' \ar@{..>}[d] \\ R \ar[r] \ar[u] & \kappa }\] 由于竖直箭头光滑，《代数详论》引理 07M7 蕴含存在平展环同态 \(R\to R'\)，它诱导同构 \(R/\mathfrak m\to R'/\mathfrak mR'\)，并存在使上图交换的 \(R\)-代数同态 \(B\to R'\)。令 \(b_i\in R'\) 为 \(a_i\) 经环同态 \(A\to B\to R'\) 所得的像。由于这些全是 \(R\)-代数同态，\((b_1,\ldots,b_n)\) 是 \(R'\) 中的解。

例

设 \((R,\mathfrak m)\) 为诺特局部环，其 Hensel 化为 \(R^h\)。完备化之间的同态 \(R^\wedge\to(R^h)^\wedge\) 是同构，见《代数详论》引理 06LJ。由于 \(R^h\) 也是诺特环（同上），可将 \(R^h\) 看作其完备化的子环（因为完备化忠实平坦）。由此，可把 \(R^h\) 视为 \(R^\wedge\) 的子环。

来考察 \(R^\wedge\) 中哪些元素属于 \(R^h\)。为简单起见，假设 \(R\) 为整环，其分式域为 \(K\)。显然，\(R^h\) 的每个元素 \(f\) 都在 \(R\) 上代数；这意味着存在形如 \(a_nf^n+\ldots+a_1f+a_0=0\) 的方程，其中 \(a_i\in R\)、\(n>0\) 且 \(a_n \not = 0\)。

反之，假设 \(f\in R^\wedge\)、\(n\in\mathbf{N}\) 且 \(a_0,\ldots,a_n\in R\)，其中 \(a_n \not = 0\)，并满足 \(a_nf^n+\ldots+a_1f+a_0=0\)。若 \(R\) 是 G-环，则对每个 \(N>0\)，都存在 \(g\in R^h\)，使 \(a_ng^n+\ldots+a_1g+a_0=0\) 且 \(f-g\in\mathfrak m^NR^\wedge\)，见定理 07QZ。我们希望推出当 \(N\gg0\) 时 \(f=g\)。若非如此，就会在 \(R^h\) 中找到 \(P(T)\) 的无穷多个根 \(g\)。这是不可能的，因为 (1) \(R^h\subset R^h\otimes_RK\)，且 (2) \(R^h\otimes_RK\) 是 \(K\) 的有限多个域扩张的乘积。事实上， \(R\to K\) 为单射而 \(R\to R^h\) 平坦，故 \(R^h\to R^h\otimes_RK\) 为单射；(2) 则由《代数详论》引理 07QQ 得出。

结论：若 \(R\) 是分式域为 \(K\) 的诺特局部整环且为 G-环，则 \(R^h\subset R^\wedge\) 恰为所有在 \(K\) 上代数的元素所成的集合。

下面是本节主定理的另一个变体。

引理

设 \(R\) 为诺特环，\(\mathfrak p\subset R\) 为素理想，且 \(f_1,\ldots,f_m\in R[x_1,\ldots,x_n]\)。假设 \((a_1,\ldots,a_n)\in((R_\mathfrak p)^\wedge)^n\) 是一个解。若 \(R_\mathfrak p\) 是 G-环，则对每个整数 \(N\)，都存在

平展环同态 \(R\to R'\)；

位于 \(\mathfrak p\) 之上的素理想 \(\mathfrak p'\subset R'\)；

\(R'\) 中的解 \((b_1,\ldots,b_n)\in(R')^n\)，

使得 \(\kappa(\mathfrak p)=\kappa(\mathfrak p')\) 且 \(a_i-b_i\in(\mathfrak p')^N(R'_{\mathfrak p'})^\wedge\)。

证明

由定理 07QZ，可以在某个 \(R_\mathfrak p\) 上平展的环 \(R''\) 中找到解 \((b'_1,\ldots,b'_n)\)；并有位于 \(\mathfrak p\) 之上的素理想 \(\mathfrak p''\)，满足 \(\kappa(\mathfrak p)=\kappa(\mathfrak p'')\) 且 \(a_i-b'_i\in(\mathfrak p'')^N(R''_{\mathfrak p''})^\wedge\)。对某个平展 \(R\)-代数 \(R'\)，可以写成 \(R''=R'\otimes_RR_\mathfrak p\)（见《代数》引理 00U2）。必要时把 \(R'\) 替换为一个主局部化，便可假设 \((b'_1,\ldots,b'_n)\) 来自 \(R'\) 中的解 \((b_1,\ldots,b_n)\)。置 \(\mathfrak p'=R'\cap\mathfrak p''\)，则 \(R''_{\mathfrak p''}=R'_{\mathfrak p'}\)，证明完成。

Hensel 对的逼近

可以把第 07QX 节的讨论推广到 Hensel 对。 Hensel 对的定义见《代数详论》第 09XD 节。

引理

设 \((A,I)\) 为 Hensel 对，其中 \(A\) 是诺特环。令 \(A^\wedge\) 为 \(A\) 的 \(I\)-进完备化。假设下列条件至少有一个成立：

\(A\to A^\wedge\) 是正则环同态；

\(A\) 是诺特 G-环；

\((A,I)\) 是某个对 \((B,J)\) 的 Hensel 化（《代数详论》，引理 0A02），其中 \(B\) 是诺特 G-环。

给定 \(f_1,\ldots,f_m\in A[x_1,\ldots,x_n]\) 以及 \(\hat{a}_1,\ldots,\hat{a}_n\in A^\wedge\)，满足对 \(j=1,\ldots,m\) 有 \(f_j(\hat{a}_1,\ldots,\hat{a}_n)=0\)。则对每个 \(N\geq1\)，都存在 \(a_1,\ldots,a_n\in A\)，使 \(\hat{a}_i-a_i\in I^N\)，且对 \(j=1,\ldots,m\) 有 \(f_j(a_1,\ldots,a_n)=0\)。

证明

由《代数详论》引理 0AH3，(3) 蕴含 (2)；由《代数详论》引理 0AH2，(2) 蕴含 (1)。因此，只需在 \(A\to A^\wedge\) 为正则环同态的情形证明本引理。

令 \(\hat{a}_1,\ldots,\hat{a}_n\) 如引理陈述所述。由定理 07GC，可以找到分解 \(A\to B\to A^\wedge\)，其中 \(A\to P\) 光滑，并有 \(b_1,\ldots,b_n\in B\) 满足 \(f_j(b_1,\ldots,b_n)=0\) 于 \(B\) 中。记 \(\sigma\) 为复合 \(B\to A^\wedge\to A/I^N\)。由《代数详论》引理 07M7，可以找到平展环同态 \(A\to A'\)，它诱导同构 \(A/I^N\to A'/I^NA'\)，并有提升 \(\sigma\) 的 \(A\)-代数同态 \(\tilde\sigma:B\to A'\)。由于 \((A,I)\) 是 Hensel 对，存在 \(A\)-代数同态 \(\chi:A'\to A\)，见《代数详论》引理 09XI。置 \(a_i=\chi(\tilde\sigma(b_i))\)，便得到一个解。

在 [Artin-power-series]、[Artin-Denef] 和 [popescu-global] 中表述的问题或猜想更强；[Cipu] 证明了它与原版本等价。↩︎