模叠

引言

本章验证若干模空间与模叠的基本性质，其中包括 \(\mathit{Hom}\)、\(\mathit{Isom}\)、\(\Cohstack_{X/B}\)、 \(\Quotfunctor_{\mathcal{F}/X/B}\)、\(\Hilbfunctor_{X/B}\)、 \(\Picardstack_{X/B}\)、\(\Picardfunctor_{X/B}\)、 \(\mathit{Mor}_B(Z, X)\)、\(\Spacesstack'_{fp, flat, proper}\)、 \(\Polarizedstack\) 和 \(\Complexesstack_{X/B}\)。

在适当假设下，我们已经证明这些对象是代数空间或代数叠；见 《Quot》中的章节 08JS、 08K7、 08KA、 08WB、 09TQ、 0CZX、 0D02、 0D24、 0D19、 0D1D、 0D1L 和 0DLB。 曲线叠记为 \(\textit{Curves}\)，它在《Quot》的章节 0D4Y 中引入，并将在曲线模空间一章中讨论；见 《曲线模空间》中的章节 0DMJ。

在某种意义上，本章沿着 Grothendieck 讲义 [Gr-I]、 [Gr-II]、 [Gr-III]、 [Gr-IV]、 [Gr-V] 和 [Gr-VI] 的思路展开。

约定与语言滥用

我们继续采用《叠的性质》中的章节 04XA 所引入的约定和语言滥用。 除非另有说明，基概形均为 \(\Spec(\mathbf{Z})\)。

Hom 与 Isom 的性质

设 \(f : X \to B\) 是有限表示的代数空间态射。假设 \(\mathcal{F}\) 和 \(\mathcal{G}\) 是拟凝聚 \(\mathcal{O}_X\)-模。若 \(\mathcal{G}\) 有限表示，在 \(B\) 上平坦， 且其支撑在 \(B\) 上真，则由 \[T/B \longmapsto \Hom_{\mathcal{O}_{X_T}}(\mathcal{F}_T, \mathcal{G}_T)\] 定义的函子 \(\mathit{Hom}(\mathcal{F}, \mathcal{G})\) 是 \(B\) 上的仿射代数空间。若 \(\mathcal{F}\) 有限表示，则 \(\mathit{Hom}(\mathcal{F}, \mathcal{G}) \to B\) 有限表示。见《Quot》中的命题 08K6。

若 \(\mathcal{F}\) 和 \(\mathcal{G}\) 都有限表示、在 \(B\) 上平坦， 且其支撑在 \(B\) 上真，则子函子 \[\mathit{Isom}(\mathcal{F}, \mathcal{G}) \subset \mathit{Hom}(\mathcal{F}, \mathcal{G})\] 是 \(B\) 上仿射且有限表示的代数空间。见《Quot》中的命题 08K9。

凝聚层的叠的性质

设 \(f : X \to B\) 是分离且有限表示的代数空间态射。则参数化具有真支撑 的凝聚模平坦族的叠 \(\Cohstack_{X/B}\) 是代数的。见《Quot》中的定理 09DS。

引理

\(\Cohstack_{X/B}\) 在 \(B\) 上的对角态射仿射且有限表示。

证明

《Quot》中的引理 08W6 已经证明该对角态射可由代数空间表示。从其证明可知，我们需要证明： 对一对有限表示的 \(\mathcal{O}_{X_T}\)-模 \(\mathcal{F}\)、\(\mathcal{G}\)，若它们在 \(T\) 上平坦且支撑在 \(T\) 上真，则 \(\mathit{Isom}(\mathcal{F}, \mathcal{G}) \to T\) 仿射且有限表示。这已在章节 0DLW 中讨论。

引理

态射 \(\Cohstack_{X/B} \to B\) 拟分离且局部有限表示。

证明

要检验 \(\Cohstack_{X/B} \to B\) 拟分离，需要证明其对角态射拟紧且 拟分离。这立即由引理 0DLY 得出。 要证明 \(\Cohstack_{X/B} \to B\) 局部有限表示，需要证明 \(\Cohstack_{X/B} \to B\) 保持极限；见《叠的极限》中的命题 0CMY。 这由《Quot》中的引理 08KD 得出 （略去一个小细节）。

引理

再假设 \(X \to B\) 为真且有限表示。则 \(\Cohstack_{X/B} \to B\) 满足赋值判据的存在性部分 （《叠的态射》中的定义 0CLK）。

证明

作基变换后，问题立即约化为下述问题：给定分式域为 \(K\) 的赋值环 \(R\)、一个在 \(R\) 上真的代数空间 \(X\)，以及一个凝聚 \(\mathcal{O}_{X_K}\)-模 \(\mathcal{F}_K\)，证明存在一个有限表示的 \(\mathcal{O}_X\)-模 \(\mathcal{F}\)，它在 \(R\) 上平坦，且其泛纤维为 \(\mathcal{F}_K\)。 注意，由《空间上的平坦性》中的定理 0DLR，任意在 \(R\) 上平坦的 有限型拟凝聚 \(\mathcal{O}_X\)-模 \(\mathcal{F}\) 都有限表示。

以 \(j : X_K \to X\) 表示泛纤维的嵌入。由于它是仿射态射 \(\Spec(K) \to \Spec(R)\) 的基变换，态射 \(j\) 仿射。因此 \(j_*\mathcal{F}_K\) 拟凝聚。把它写成 \[j_*\mathcal{F}_K = \colim \mathcal{F}_i\] 其中右边是它的有限型拟凝聚 \(\mathcal{O}_X\)-子模的滤过余极限； 见《空间的极限》中的引理 0829。 由于 \(j_*\mathcal{F}_K\) 是 \(X\) 上的 \(K\)-向量空间层，它在 \(\Spec(R)\) 上平坦。因此每个 \(\mathcal{F}_i\) 都在 \(R\) 上平坦； 这是因为在赋值环上平坦等价于无挠 （《代数进阶》中的引理 0539）， 而子模继承无挠性。 最后，需要证明对某个 \(i\)，映射 \(j^*\mathcal{F}_i \to \mathcal{F}_K\) 是同构。由于 \(j^*j_*\mathcal{F}_K = \mathcal{F}_K\)（略去一个小细节）， 且 \(j^*\) 正合，可见对所有 \(i\)，映射 \(j^*\mathcal{F}_i \to \mathcal{F}_K\) 都是单射。 由于 \(j^*\) 与余极限交换，有 \(\mathcal{F}_K = j^*j_*\mathcal{F}_K = \colim j^*\mathcal{F}_i\)。 由于 \(\mathcal{F}_K\) 凝聚（即有限表示），存在某个 \(i\)，使得 \(j^*\mathcal{F}_i\) 包含 \(X\) 的一个仿射 étale 覆盖上的全部 （有限多个）生成元。因此，当 \(i\) 充分大时， \(j^*\mathcal{F}_i \to \mathcal{F}_K\) 满射。

引理

设 \(B\) 是代数空间。设 \(\pi : X \to Y\) 是代数空间之间的拟有限态射， 其中两者均在 \(B\) 上分离且有限表示。则 \(\pi_*\) 诱导一个态射 \(\Cohstack_{X/B} \to \Cohstack_{Y/B}\)。

证明

设 \((T \to B, \mathcal{F})\) 是 \(\Cohstack_{X/B}\) 的一个对象。 我们断言：

1. \((T \to B, \pi_{T, *}\mathcal{F})\) 是 \(\Cohstack_{Y/B}\) 的对象；以及

2. 对于 \(T' \to T\)，有 \(\pi_{T', *}(X_{T'} \to X_T)^*\mathcal{F} = (Y_{T'} \to Y_T)^*\pi_{T, *}\mathcal{F}\)。

(b) 保证这一构造按所需定义一个函子 \(\Cohstack_{X/B} \to \Cohstack_{Y/B}\)。

设 \(i : Z \to X_T\) 是由 \(\mathcal{F}\) 的第零 Fitting 理想截出的 闭子空间 （《空间上的除子》中的章节 0CZ3）。

按假设，\(Z \to B\) 为真（见《空间的导出范畴》中的章节 0CZB）。 另一方面，\(i\) 有限表示 （《空间上的除子》中的引理 0CZ5 以及《空间的态射》中的引理 084Q）。 存在有限型拟凝聚 \(\mathcal{O}_Z\)-模 \(\mathcal{G}\)，使得 \(i_*\mathcal{G} = \mathcal{F}\) （《空间上的除子》中的引理 0CZ6）。 事实上，由《空间上的下降》中的引理 0610， \(\mathcal{G}\) 作为 \(\mathcal{O}_Z\)-模有限表示。

注意 \(\mathcal{G}\) 在 \(B\) 上平坦；例如，这是因为 \(\mathcal{G}\) 和 \(\mathcal{F}\) 的茎相同 （《空间的态射》中的引理 0DK1）。 注意 \(\pi_T \circ i : Z \to Y_T\) 作为拟有限态射的复合仍拟有限，并且

\(\pi_{T, *}\mathcal{F} = (\pi_T \circ i)_*\mathcal{G})\)。 由于 \(i\) 仿射，\(i_*\) 的形成与基变换交换 （《空间的上同调》中的引理 07U8）。 因此可把 \(B\) 替换为 \(T\)，把 \(X\) 替换为 \(Z\)，把 \(\mathcal{F}\) 替换为 \(\mathcal{G}\)，并把 \(Y\) 替换为 \(Y_T\)， 从而约化到下一段讨论的情形。

假设 \(X \to B\) 为真。则由《空间的态射》中的引理 04NX， \(\pi\) 为真，因而由《空间的态射进阶》中的引理 0A4X，它有限。 由于有限态射仿射，《空间的上同调》中的引理 07U8 表明 (b) 成立。 另一方面，由《空间的态射》中的引理 05WT， \(\pi\) 有限表示。因此，由《空间上的下降》中的引理 0610， \(\pi_{T, *}\mathcal{F}\) 有限表示。 最后，例如利用《空间的上同调》中的引理 0DK3 考察茎，可知 \(\pi_{T, *}\mathcal{F}\) 在 \(B\) 上平坦。

引理

设 \(B\) 是代数空间。设 \(\pi : X \to Y\) 是代数空间之间的开浸入， 其中两者均在 \(B\) 上分离且有限表示。则引理 0DN9 中的态射 \(\Cohstack_{X/B} \to \Cohstack_{Y/B}\) 是开浸入。

证明

从略。提示：若 \(\mathcal{F}\) 是 \(\Cohstack_{Y/B}\) 在 \(T\) 上的 一个对象，并且对 \(t \in T\) 有 \(\text{Supp}(\mathcal{F}_t) \subset |X_t|\)，则对 \(t\) 的某个邻域中的 \(t' \in T\)，同一结论也成立。

引理

设 \(B\) 是代数空间。设 \(\pi : X \to Y\) 是代数空间之间的闭浸入， 其中两者均在 \(B\) 上分离且有限表示。则引理 0DN9 中的态射 \(\Cohstack_{X/B} \to \Cohstack_{Y/B}\) 是闭浸入。

证明

设 \(\mathcal{I} \subset \mathcal{O}_Y\) 是把 \(X\) 截为 \(Y\) 的闭子空间的 理想层。回忆 \(\pi_*\) 在拟凝聚 \(\mathcal{O}_X\)-模的范畴与被 \(\mathcal{I}\) 零化的拟凝聚 \(\mathcal{O}_Y\)-模的范畴之间诱导等价； 见《空间的态射》中的引理 04CJ。

对 \(T \to B\) 作基变换并把 \(\mathcal{I}\) 替换为理想层 \(\mathcal{I}_T = \Im((Y_T \to Y)^*\mathcal{I} \to \mathcal{O}_{Y_T})\) 后，作相应变更可得到同一结论。 分析引理 0DN9 的证明可知，态射 \(\Cohstack_{X/B} \to \Cohstack_{Y/B}\) 的本质像恰好由对象 \(\xi = (T \to B, \mathcal{F})\) 组成，其中 \(\mathcal{F}\) 被 \(\mathcal{I}_T\) 零化。 换言之，\(\xi\) 位于本质像中，当且仅当乘法映射 \[\mathcal{F} \otimes_{\mathcal{O}_{Y_T}} (Y_T \to Y)^*\mathcal{I} \longrightarrow \mathcal{F}\] 为零，并且在任意进一步的基变换 \(T' \to T\) 后也同样为零。 注意 \[(Y_{T'} \to Y_T)^*( \mathcal{F} \otimes_{\mathcal{O}_{Y_T}} (Y_T \to Y)^*\mathcal{I}) = (Y_{T'} \to Y_T)^*\mathcal{F} \otimes_{\mathcal{O}_{Y_{T'}}} (Y_{T'} \to Y)^*\mathcal{I})\] 因此，由《空间上的平坦性》中的引理 083M，该乘法映射在 \(T'\) 上为零这一条件可由 \(T\) 的某个闭子空间表示。

情形

设 \(f : X \to B\) 如本节引言所述。设 \(I\) 是一个集合，并对 \(i \in I\) 设 \(E_i \in D(\mathcal{O}_X)\) 为完美对象。给定 \(\Cohstack_{X/B}\) 的一个对象 \((T \to B, \mathcal{F})\)， 以 \(E_{i, T}\) 表示 \(E_i\) 到 \(X_T\) 的导出拉回。\(D(\mathcal{O}_T)\) 中的对象 \[K_i = Rf_{T, *}(E_{i, T} \otimes_{\mathcal{O}_{X_T}}^\mathbf{L} \mathcal{F})\] 是完美的，且其形成与基变换交换；见《空间的导出范畴》中的引理 0A1P。 因此，由《空间的导出范畴》中的引理 0D1Z，函数 \[\chi_i : |T| \longrightarrow \mathbf{Z},\quad \chi_i(t) = \chi(X_t, E_{i, t} \otimes_{\mathcal{O}_{X_t}}^\mathbf{L} \mathcal{F}_t) = \chi(K_i \otimes_{\mathcal{O}_T}^\mathbf{L} \kappa(t))\] 局部常值。设 \(P : I \to \mathbf{Z}\) 是一个映射。考虑子叠 \[\Cohstack^P_{X/B} \subset \Cohstack_{X/B}\] 它由数值不变量与 \(P\) 一致、具有真支撑的凝聚层平坦族组成。 更准确地，\(\Cohstack_{X/B}\) 的一个对象 \((T \to B, \mathcal{F})\) 位于 \(\Cohstack^P_{X/B}\) 中，当且仅当 对所有 \(i \in I\) 和 \(t \in T\) 都有 \(\chi_i(t) = P(i)\)。

引理

在情形 0DNC 中，叠 \(\Cohstack^P_{X/B}\) 是代数的，而且 \[\Cohstack^P_{X/B} \longrightarrow \Cohstack_{X/B}\] 是平坦闭浸入。若 \(I\) 有限，或 \(B\) 局部 Noether，则 \(\Cohstack^P_{X/B}\) 是 \(\Cohstack_{X/B}\) 的既开又闭子叠。

证明

若 \(I\) 有限，这由函数 \(t \mapsto \chi_i(t)\) 局部常值立即可知。 若 \(I\) 无限，则写成 \[I = \bigcup\nolimits_{I' \subset I\text{ 有限}} I'\] 并记 \(P' = P|_{I'}\)。于是 \[\Cohstack^P_{X/B} = \bigcap\nolimits_{I' \subset I\text{ 有限}} \Cohstack^{P'}_{X/B}\] 因此，\(\Cohstack^P_{X/B}\) 总是代数叠，且态射 \(\Cohstack^P_{X/B} \subset \Cohstack_{X/B}\) 总是平坦闭浸入， 但它可能不再是开子叠。（我们把例子的构造留给读者。） 不过，若 \(B\) 局部 Noether，则由引理 0DLZ 和《叠的态射》中的引理 06R6， \(\Cohstack_{X/B}\) 也局部 Noether。因此，若 \(U \to \Cohstack_{X/B}\) 是一个光滑满射，且 \(U\) 是局部 Noether 概形，则既开又闭子叠 \(\Cohstack^{P'}_{X/B}\) 的逆像在 \(U\) 中的 交集是开集（因为局部 Noether 拓扑空间的连通分支是开的）。 这就证明了这种情形下的结论。

引理

设 \(f : X \to B\) 如本节引言所述。设 \(E_1, \ldots, E_r \in D(\mathcal{O}_X)\) 为完美对象。 令 \(I = \mathbf{Z}^{\oplus r}\)，并考虑映射 \[I \longrightarrow D(\mathcal{O}_X),\quad (n_1, \ldots, n_r) \longmapsto E_1^{\otimes n_1} \otimes \ldots \otimes E_r^{\otimes n_r}\]

设 \(P : I \to \mathbf{Z}\) 是一个映射。则情形 0DNC 中定义的 \(\Cohstack^P_{X/B} \subset \Cohstack_{X/B}\) 是既开又闭子叠。

证明

可以在 \(B\) 上 étale 局部地工作，故可设 \(B\) 仿射。 在这种情形下，可以作绝对 Noether 约化；建议读者跳过此证明。 具体地，设 \(B = \Spec(\Lambda)\)。把 \(\Lambda = \colim \Lambda_i\) 写成滤过余极限，其中每个 \(\Lambda_i\) 都在 \(\mathbf{Z}\) 上有限型。对某个 \(i\)，可以找到 一个分离且有限表示的代数空间态射 \(X_i \to \Spec(\Lambda_i)\)，其到 \(\Lambda\) 的基变换为 \(X\)。 见《空间的极限》中的引理 07SK 和 0851。 增大 \(i\) 后，可进一步假设在 \(D(\mathcal{O}_{X_i})\) 中存在完美对象 \(E_{1, i}, \ldots, E_{r, i}\)，它们到 \(X\) 的导出拉回分别同构于 \(E_1, \ldots, E_r\)；见《空间的导出范畴》中的引理 09RJ。 显然有 Cartesian 方块 \[\xymatrix{ \Cohstack^P_{X/B} \ar[r] \ar[d] & \Cohstack_{X/B} \ar[d] \\ \Cohstack^P_{X_i/\Spec(\Lambda_i)} \ar[r] & \Cohstack_{X_i/\Spec(\Lambda_i)} }\] 因而可用引理 0DND 完成证明。

例

设 \(f : X \to B\) 如本节引言所述。设 \(\mathcal{L}\) 是可逆 \(\mathcal{O}_X\)-模，并设 \(P : \mathbf{Z} \to \mathbf{Z}\) 是数值多项式。于是可以考虑既开又闭的 代数子叠 \[\Cohstack^P_{X/B} = \Cohstack^{P, \mathcal{L}}_{X/B} \subset \Cohstack_{X/B}\] 它由数值不变量与 \(P\) 一致、具有真支撑的凝聚层平坦族组成： \(\Cohstack_{X/B}\) 的一个对象 \((T \to B, \mathcal{F})\) 位于 \(\Cohstack^P_{X/B}\) 中，当且仅当 \[P(n) = \chi(X_t, \mathcal{F}_t \otimes_{\mathcal{O}_{X_t}} \mathcal{L}_t^{\otimes n})\] 对所有 \(n \in \mathbf{Z}\) 和 \(t \in T\) 成立。当然，这是情形 0DNC 的特例，其中

\(I = \mathbf{Z} \to D(\mathcal{O}_X)\) 由 \(n \mapsto \mathcal{L}^{\otimes n}\) 给出。 由引理 0DNE，这是既开又闭子叠。 由于函数 \(n \mapsto \chi(X_t, \mathcal{F}_t \otimes_{\mathcal{O}_{X_t}} \mathcal{L}_t^{\otimes n})\) 总是数值多项式（《域上的空间》中的引理 0DN4）， 可得不交并分解 \[\Cohstack_{X/B} = \coprod\nolimits_{P\text{ 为数值多项式}} \Cohstack^P_{X/B}\]

Quot 的性质

设 \(f : X \to B\) 是分离且有限表示的代数空间态射，并设 \(\mathcal{F}\) 是拟凝聚 \(\mathcal{O}_X\)-模。则 \(\Quotfunctor_{\mathcal{F}/X/B}\) 是代数空间。若 \(\mathcal{F}\) 有限表示，则 \(\Quotfunctor_{\mathcal{F}/X/B} \to B\) 局部有限表示。 见《Quot》中的命题 09TU。

引理

\(\Quotfunctor_{\mathcal{F}/X/B} \to B\) 的对角态射是闭浸入。 若 \(\mathcal{F}\) 有限型，则该对角态射是有限表示的闭浸入。

证明

设有一个概形 \(T/B\)，以及两个商 \(\mathcal{F}_T \to \mathcal{Q}_i\)（\(i = 1, 2\)），它们对应于 \(\Quotfunctor_{\mathcal{F}/X/B}\) 在 \(B\) 上的 \(T\)-值点。 以 \(\mathcal{K}_1\) 表示第一个商的核，并以 \(u : \mathcal{K}_1 \to \mathcal{Q}_2\) 表示复合。 由《空间上的平坦性》中的引理 083M，\(T\) 中存在一个闭子空间， 使得 \(T' \to T\) 通过它分解，当且仅当拉回 \(u_{T'}\) 为零。 这就证明了对角态射是闭浸入。此外，若 \(\mathcal{F}\) 有限型，则 \(\mathcal{K}_1\) 有限型 （《位点上的模》中的引理 082T）， 并由同一引理可知该对角态射有限表示。

引理

态射 \(\Quotfunctor_{\mathcal{F}/X/B} \to B\) 分离。 若 \(\mathcal{F}\) 有限表示，则它还局部有限表示。

证明

要检验 \(\Quotfunctor_{\mathcal{F}/X/B} \to B\) 分离，需要证明其 对角态射为闭浸入。这由引理 0DM2 得出。 第二个陈述是《Quot》中的命题 09TU 的一部分。

引理

假设 \(X \to B\) 为真且有限表示，并且 \(\mathcal{F}\) 是有限型拟凝聚模。 则 \(\Quotfunctor_{\mathcal{F}/X/B} \to B\) 满足赋值判据的存在性部分 （《空间的态射》中的定义 03IX）。

证明

作基变换后，问题立即约化为下述问题：给定分式域为 \(K\) 的赋值环 \(R\)、一个在 \(R\) 上真的代数空间 \(X\)、一个有限型拟凝聚 \(\mathcal{O}_X\)-模 \(\mathcal{F}\)，以及一个凝聚商 \(\mathcal{F}_K \to \mathcal{Q}_K\)，证明存在一个商 \(\mathcal{F} \to \mathcal{Q}\)，其中 \(\mathcal{Q}\) 是有限表示的 \(\mathcal{O}_X\)-模，在 \(R\) 上平坦，且其泛纤维为 \(\mathcal{Q}_K\)。 注意，由《空间上的平坦性》中的定理 0DLR，任意在 \(R\) 上平坦的 有限型拟凝聚 \(\mathcal{O}_X\)-模 \(\mathcal{F}\) 都有限表示。 先在仿射局部构造 \(\mathcal{Q}\)。

仿射局部地，得到下述问题：设 \(R \to A\) 是有限表示的环同态， \(M\) 是有限 \(A\)-模，且 \(\varphi : M_K \to N_K\) 是一个 \(A_K\)-模商。 那么可以考虑 \[L = \{x \in M \mid \varphi(x \otimes 1) = 0 \}\]

于是 \(M \to M/L\) 是一个 \(A\)-模商，它作为 \(R\)-模无挠。因此，它作为 \(R\)-模平坦 （《代数进阶》中的引理 0539）。 由于 \(M\) 作为 \(A\)-模有限，\(L\) 也有限；由此得出 \(L\) 作为 \(A\)-模有限表示（由上面的引用）。显然，\(M/L\) 是满足 \((M/L)_K = N_K\) 的唯一这种商。

上一段构造的唯一性保证这些商可以粘合，从而给出所需的 \(\mathcal{Q}\)。下面补充一些细节。选取一个满 étale 态射 \(U \to X\)，其中 \(U\) 是仿射概形。用上述构造得到一个商 \(\mathcal{F}|_U \to \mathcal{Q}_U\)；它拟凝聚、在 \(R\) 上平坦， 并在泛纤维上恢复 \(\mathcal{Q}_K|U\)。 由于 \(X\) 分离，\(U \times_X U\) 也是仿射概形，并且 étale 于 \(X\)。于是商 \(\mathcal{F}|_{U \times_X U} \to \text{pr}_1^*\mathcal{Q}_U\) 和 \(\mathcal{F}|_{U \times_X U} \to \text{pr}_2^*\mathcal{Q}_U\) 由该构造的唯一性而一致。

因此可把 \(\mathcal{F}|_U \to \mathcal{Q}_U\) 下降为所需的满射 \(\mathcal{F} \to \mathcal{Q}\) （《空间的性质》中的命题 03M3）。

引理

设 \(B\) 是代数空间。设 \(\pi : X \to Y\) 是代数空间之间的仿射拟有限态射， 且这些代数空间在 \(B\) 上分离并有限表示。设 \(\mathcal{F}\) 是拟凝聚 \(\mathcal{O}_X\)-模。则 \(\pi_*\) 诱导态射 \(\Quotfunctor_{\mathcal{F}/X/B} \to \Quotfunctor_{\pi_*\mathcal{F}/Y/B}\)。

证明

令 \(\mathcal{G} = \pi_*\mathcal{F}\)。由于 \(\pi\) 仿射，对于任意 \(B\) 上概形 \(T\)，由《空间的上同调》中的引理 07U8 有 \(\mathcal{G}_T = \pi_{T, *}\mathcal{F}_T\)。此外，\(\pi_T\) 仿射， 所以 \(\pi_{T, *}\) 正合，并把商变为商。

注意，拟凝聚商 \(\mathcal{F}_T \to \mathcal{Q}\) 定义了 \(\Quotfunctor_{X/B}\) 的一个点，当且仅当 \(\mathcal{Q}\) 定义了 \(\Cohstack_{X/B}\) 在 \(T\) 上的一个对象（对 \(\mathcal{G}\) 和 \(Y\) 也同样）。我们已在引理 0DN9 中看到， \(\pi_*\) 诱导态射 \(\Cohstack_{X/B} \to \Cohstack_{Y/B}\)。 因此，若 \(\mathcal{F}_T \to \mathcal{Q}\) 属于 \(\Quotfunctor_{\mathcal{F}/X/B}(T)\)，则 \(\mathcal{G}_T \to \pi_{T, *}\mathcal{Q}\) 属于 \(\Quotfunctor_{\mathcal{G}/Y/B}(T)\)。

引理

设 \(B\) 是代数空间。设 \(\pi : X \to Y\) 是代数空间之间的仿射开浸入， 且这些代数空间在 \(B\) 上分离并有限表示。设 \(\mathcal{F}\) 是拟凝聚 \(\mathcal{O}_X\)-模。则引理 0DP1 的态射 \(\Quotfunctor_{\mathcal{F}/X/B} \to \Quotfunctor_{\pi_*\mathcal{F}/Y/B}\) 是开浸入。

证明

略。提示：若 \((\pi_*\mathcal{F})_T \to \mathcal{Q}\) 是 \(\Quotfunctor_{\pi_*\mathcal{F}/Y/B}(T)\) 的元素，并且对 \(t \in T\) 有 \(\text{Supp}(\mathcal{Q}_t) \subset |X_t|\)， 那么对 \(t\) 的某个邻域中的 \(t' \in T\) 也有同一性质。

引理

设 \(B\) 是代数空间。设 \(j : X \to Y\) 是代数空间之间的开浸入， 且这些代数空间在 \(B\) 上分离并有限表示。设 \(\mathcal{G}\) 是拟凝聚 \(\mathcal{O}_Y\)-模，并令 \(\mathcal{F} = j^*\mathcal{G}\)。则存在 \(B\) 上代数空间的开浸入 \[\Quotfunctor_{\mathcal{F}/X/B} \longrightarrow \Quotfunctor_{\mathcal{G}/Y/B}\]

证明

若 \(\mathcal{F}_T \to \mathcal{Q}\) 是 \(\Quotfunctor_{\mathcal{F}/X/B}(T)\) 的元素，则可以考虑 \(\mathcal{G}_T \to j_{T, *}\mathcal{F}_T \to j_{T, *}\mathcal{Q}\)。 考察茎可知它是满射。由引理 0DN9，

\(j_{T, *}\mathcal{Q}\) 有限表示、在 \(B\) 上平坦，且其支撑在 \(B\) 上真。 因此得到 \(\Quotfunctor_{\mathcal{G}/Y/B}\) 的一个 \(T\)-值点。 这就定义了本引理的态射。略去它是开浸入的证明。提示：若 \(\mathcal{G}_T \to \mathcal{Q}\) 是 \(\Quotfunctor_{\mathcal{G}/Y/B}(T)\) 的元素，并且对 \(t \in T\) 有 \(\text{Supp}(\mathcal{Q}_t) \subset |X_t|\)，那么对 \(t\) 的某个 邻域中的 \(t' \in T\) 也有同一性质。

引理

设 \(B\) 是代数空间。设 \(\pi : X \to Y\) 是代数空间之间的闭浸入， 且这些代数空间在 \(B\) 上分离并有限表示。设 \(\mathcal{F}\) 是拟凝聚 \(\mathcal{O}_X\)-模。则引理 0DP1 的态射 \(\Quotfunctor_{\mathcal{F}/X/B} \to \Quotfunctor_{\pi_*\mathcal{F}/Y/B}\) 是同构。

证明

对于每个 \(B\) 上概形 \(T\)，态射 \(\pi_T : X_T \to Y_T\) 是闭浸入。 于是，\(\pi_{T, *}\) 给出 \(\QCoh(\mathcal{O}_{X_T})\) 与 \(\QCoh(\mathcal{O}_{Y_T})\) 的全子范畴之间的范畴等价；后者的对象 是被 \(X_T\) 的理想层零化的拟凝聚模，见《空间的态射》中的引理 04CJ。

由于 \((\pi_*\mathcal{F})_T\) 的商被该理想零化，便得到映射 \(\Quotfunctor_{\mathcal{F}/X/B}(T) \to \Quotfunctor_{\pi_*\mathcal{F}/Y/B}(T)\) 对所有 \(T\) 都是双射， 这正是所需结论。

引理

设 \(X \to B\) 如本节引言所述，并设 \(\mathcal{F} \to \mathcal{G}\) 是拟凝聚 \(\mathcal{O}_X\)-模的满射。 则存在典范闭浸入 \(\Quotfunctor_{\mathcal{G}/X/B} \to \Quotfunctor_{\mathcal{F}/X/B}\)。

证明

令 \(\mathcal{K} = \Ker(\mathcal{F} \to \mathcal{G})\)。由拉回的 右正合性，对所有 \(B\) 上概形 \(T\)，有

\(\mathcal{K}_T \to \mathcal{F}_T \to \mathcal{G}_T \to 0\) 为正合列。特别地，\(\mathcal{G}_T\) 的一个商确定 \(\mathcal{F}_T\) 的一个商，从而得到函子间的变换 \(\Quotfunctor_{\mathcal{G}/X/B} \to \Quotfunctor_{\mathcal{F}/X/B}\)。 由《空间上的平坦性》中的引理 083M，该变换是闭浸入。

具体而言，给定 \(\Quotfunctor_{\mathcal{F}/X/B}(T)\) 的元素 \(\mathcal{F}_T \to \mathcal{Q}\)，它向 \(T'/T\) 的拉回位于该变换 的像中，当且仅当 \(\mathcal{K}_{T'} \to \mathcal{Q}_{T'}\) 为零。

注

设 \(f : X \to B\) 和 \(\mathcal{F}\) 如本节引言所述。设 \(I\) 是集合， 且对 \(i \in I\)，设 \(E_i \in D(\mathcal{O}_X)\) 是完美对象。 设 \(P : I \to \mathbf{Z}\) 是函数。回忆我们有态射 \[\Quotfunctor_{\mathcal{F}/X/B} \longrightarrow \Cohstack_{X/B}\] 它把 \(\Quotfunctor_{\mathcal{F}/X/B}(T)\) 的元素 \(\mathcal{F}_T \to \mathcal{Q}\) 送到 \(\Cohstack_{X/B}\) 在 \(T\) 上的对象 \(\mathcal{Q}\)，见《Quot》中的命题 09TU 的证明。因此可以作纤维积图 \[\xymatrix{ \Quotfunctor^P_{\mathcal{F}/X/B} \ar[r] \ar[d] & \Cohstack^P_{X/B} \ar[d] \\ \Quotfunctor_{\mathcal{F}/X/B} \ar[r] & \Cohstack_{X/B} }\] 这就是左上角代数空间的定义图。左侧竖直箭头是平坦闭浸入；例如， 若 \(I\) 有限，或 \(B\) 局部 Noether，或 \(I = \mathbf{Z}\) 且对某个 可逆 \(\mathcal{O}_X\)-模 \(\mathcal{L}\) 有 \(E_i = \mathcal{L}^{\otimes i}\)，则它是既开又闭浸入（在最后一种 情形中，有时采用记号 \(\Quotfunctor^{P, \mathcal{L}}_{\mathcal{F}/X/B}\)）。 见情形 0DNC、引理 0DND 和 0DNE，以及例 0DNF。

引理

设 \(f : X \to B\) 和 \(\mathcal{F}\) 如本节引言所述。设 \(\mathcal{L}\) 是可逆 \(\mathcal{O}_X\)-模。则与 \(\mathcal{L}\) 作张量积定义同构 \[\Quotfunctor_{\mathcal{F}/X/B} \longrightarrow \Quotfunctor_{\mathcal{F} \otimes_{\mathcal{O}_X} \mathcal{L}/X/B}\]

给定数值多项式 \(P(t)\)，令 \(P'(t) = P(t + 1)\)，则此映射诱导既开又闭 子叠的同构 \(\Quotfunctor^P_{\mathcal{F}/X/B} \longrightarrow \Quotfunctor^{P'}_{\mathcal{F} \otimes_{\mathcal{O}_X} \mathcal{L}/X/B}\)。

证明

令 \(\mathcal{G} = \mathcal{F} \otimes_{\mathcal{O}_X} \mathcal{L}\)。 注意 \(\mathcal{G}_T = \mathcal{F}_T \otimes_{\mathcal{O}_{X_T}} \mathcal{L}_T\)。 若 \(\mathcal{F}_T \to \mathcal{Q}\) 是 \(\Quotfunctor_{\mathcal{F}/X/B}(T)\) 的元素，就把它送到 \(\Quotfunctor_{\mathcal{F} \otimes_{\mathcal{O}_X} \mathcal{L}/X/B}(T)\) 的元素 \(\mathcal{G}_T \to \mathcal{Q} \otimes_{\mathcal{O}_{X_T}} \mathcal{L}_T\)。 这与拉回相容，因而按所需定义了函子间的变换。由于存在明显的逆变换， 它是同构。略去最后一个陈述的证明。

引理

设 \(f : X \to B\) 和 \(\mathcal{F}\) 如本节引言所述。设 \(\mathcal{L}\) 是可逆 \(\mathcal{O}_X\)-模。则 \[\Quotfunctor^{P, \mathcal{L}}_{\mathcal{F}/X/B} = \Quotfunctor^{P', \mathcal{L}^{\otimes n}}_{\mathcal{F}/X/B}\] 其中 \(P'(t) = P(nt)\)。

证明

展开所有定义后立即得出。

Quot 的有界性

与经典情形不同，我们已经知道 Quot 函子是代数空间，但尚不知道它是否 总能由有限型代数空间表示。

引理

设 \(n \geq 0\)、\(r \geq 1\)、\(P \in \mathbf{Q}[t]\)。参数化 \(\mathcal{O}_{\mathbf{P}^n_\mathbf{Z}}^{\oplus r}\) 的、Hilbert 多项式为 \(P\) 的商的代数空间 \[X = \Quotfunctor^P_{\mathcal{O}^{\oplus r}_{\mathbf{P}^n_\mathbf{Z}}/ \mathbf{P}^n_\mathbf{Z}/\mathbf{Z}}\] 在 \(\Spec(\mathbf{Z})\) 上真。

证明

我们已经知道 \(X \to \Spec(\mathbf{Z})\) 分离且局部有限表示 （引理 0DM3）。我们还知道 \(X \to \Spec(\mathbf{Z})\) 满足赋值判据的存在性部分，见引理 0DM4。由真性的赋值判据，只需证明我们的 Quot 空间拟紧，见《空间的态射》中的引理 0A40。因此，只需找到一个 拟紧概形 \(T\) 以及满态射 \(T \to X\)。设 \(m\) 为《簇》中的引理 08AG 所给出的整数。令 \[N = r{m + n \choose n} - P(m)\] 以下把 \(\mathbf{P}^n_\mathbf{Z} = \text{Proj}(\mathbf{Z}[T_0, \ldots, T_n])\) 简记为 \(\mathbf{P}^n\)，未标底的积均指在 \(\Spec(\mathbf{Z})\) 上的积。 证明的思路是在一个仿射概形 \(T\) 上构造一个“万有”映射 \[\Psi : \mathcal{O}_{T \times \mathbf{P}^n}(-m)^{\oplus N} \longrightarrow \mathcal{O}_{T \times \mathbf{P}^n}^{\oplus r}\] 并证明 \(X\) 的每个点都对应于此映射在 \(T\) 的某个点处的余核。

\(T\) 和 \(\Psi\) 的定义。取 \(T = \Spec(A)\)，其中 \[A = \mathbf{Z}[a_{i, j, E}]\] 这里 \(i \in \{1, \ldots, r\}\)、\(j \in \{1, \ldots, N\}\)， 而 \(E = (e_0, \ldots, e_n)\) 遍历总次数

\(|E| = \sum_{k = 0, \ldots n} e_k = m\) 的多重指标。然后把 \(\Psi\) 定义为一个矩阵，其 \((i, j)\) 元是映射 \[\sum\nolimits_{E = (e_0, \ldots, e_n)} a_{i, j, E} T_0^{e_0} \ldots T_n^{e_n} : \mathcal{O}_{T \times \mathbf{P}^n}(-m) \longrightarrow \mathcal{O}_{T \times \mathbf{P}^n}\] 其中求和遍历上述 \(E\)（当然，\(i\) 和 \(j\) 固定）。

考虑 \(T \times \mathbf{P}^n\) 上的商 \(\mathcal{Q} = \Coker(\Psi)\)。由《态射进阶》中的引理 0ASY，存在 \(t \geq 0\) 以及闭子概形 \[T = T_0 \supset T_1 \supset \ldots \supset T_t = \emptyset\] 使得 \(\mathcal{Q}\) 向 \((T_p \setminus T_{p + 1}) \times \mathbf{P}^n\) 的拉回 \(\mathcal{Q}_p\) 在 \(T_p \setminus T_{p + 1}\) 上平坦。注意，通过 拉回定义 \(\mathcal{Q} = \Coker(\Psi)\) 的正合列，可得正合列 \[\mathcal{O}_{(T_p \setminus T_{p + 1}) \times \mathbf{P}^n}(-m)^{\oplus N} \to \mathcal{O}_{(T_p \setminus T_{p + 1}) \times \mathbf{P}^n}^{\oplus r} \to \mathcal{Q}_p \to 0\] 因此得到态射 \[\coprod (T_p \setminus T_{p + 1}) \longrightarrow \Quotfunctor_{\mathcal{O}^{\oplus r}/\mathbf{P}/\mathbf{Z}} \supset \Quotfunctor^P_{\mathcal{O}^{\oplus r}/\mathbf{P}/\mathbf{Z}} = X\] 由于左端是 Noether 概形，右端的包含是开的，只需证明 \(X\) 的任意点 都在此态射的像中。

设 \(k\) 是域，并设 \(x \in X(k)\)。于是 \(x\) 对应于凝聚 \(\mathcal{O}_{\mathbf{P}^n_k}\)-模的满射 \(\mathcal{O}_{\mathbf{P}^n_k}^{\oplus r} \to \mathcal{F}\)， 其中 \(\mathcal{F}\) 的 Hilbert 多项式为 \(P\)。考虑短正合列 \[0 \to \mathcal{K} \to \mathcal{O}_{\mathbf{P}^n_k}^{\oplus r} \to \mathcal{F} \to 0\] 由《簇》中的引理 08AG 以及 \(m\) 的选取，\(\mathcal{K}\) 是 \(m\)-正则的。由《簇》中的引理 08A8， \(\mathcal{K}(m)\) 由整体截面生成。再由《簇》中的引理 08A6 和 \(m\)-正则性的定义，对 \(i > 0\) 有 \(H^i(\mathbf{P}^n_k, \mathcal{K}(m)) = 0\)。因此 \[\dim_k H^0(\mathbf{P}^n_k, \mathcal{K}(m)) = \chi(\mathcal{K}(m)) = \chi(\mathcal{O}_{\mathbf{P}^n_k}(m)^{\oplus r}) - \chi(\mathcal{F}(m)) = N\] 其中最后一个等式来自 \(N\) 的选取。于是有满射 \[\mathcal{O}_{\mathbf{P}^n_k}^{\oplus N} \longrightarrow \mathcal{K}(m)\] 反向扭转并使用上述短正合列，可知 \(\mathcal{F}\) 是映射 \[\Psi_x : \mathcal{O}_{\mathbf{P}^n_k}(-m)^{\oplus N} \to \mathcal{O}_{\mathbf{P}^n_k}^{\oplus r}\] 的余核。存在唯一环同态 \(\tau : A \to k\)，使得 \(\Psi\) 沿相应态射 \(t = \Spec(\tau) : \Spec(k) \to T\) 的基变换等于 \(\Psi_x\)。 这是因为，定义 \(\Psi_x\) 的

\(N \times r\) 矩阵的各项是 \(T_0, \ldots, T_n\) 中次数为 \(m\) 的 齐次多项式 \(\sum \lambda_{i, j, E} T_0^{e_0} \ldots T_n^{e_n}\)，其系数 \(\lambda_{i, j, E} \in k\)；我们可以令 \(\tau(a_{i, j, E}) = \lambda_{i, j, E}\)。于是对某个 \(p\) 有 \(t \in T_p \setminus T_{p + 1}\)，且 \(t\) 在上述态射下的像正是 \(x\)，如所需。

引理

设 \(B\) 是代数空间，并令 \(X = B \times \mathbf{P}^n_\mathbf{Z}\)。 设 \(\mathcal{L}\) 是 \(\mathcal{O}_{\mathbf{P}^n}(1)\) 向 \(X\) 的拉回。 设 \(\mathcal{F}\) 是有限表示的 \(\mathcal{O}_X\)-模。参数化 \(\mathcal{F}\) 的、关于 \(\mathcal{L}\) 的 Hilbert 多项式为 \(P\) 的商的代数空间 \(\Quotfunctor^P_{\mathcal{F}/X/B}\) 在 \(B\) 上真。

证明

此问题在 \(B\) 上是 étale 局部的，见《空间的态射》中的引理 083R。因此可以假设 \(B\) 是 仿射概形。此时 \(\mathcal{L}\) 是 \(X\) 上的丰富可逆模 （由《构造》中的引理 01MW 以及《性质》中的定义 01PS 给出的 丰富可逆模之定义）。因此，由《性质》中的命题 01Q3，可以找到 \(r' \geq 0\) 和 \(r \geq 0\) 以及满射 \[\mathcal{O}_X^{\oplus r} \longrightarrow \mathcal{F} \otimes_{\mathcal{O}_X} \mathcal{L}^{\otimes r'}\] 由引理 0DP7，可以把 \(\mathcal{F}\) 替换为 \(\mathcal{F} \otimes_{\mathcal{O}_X} \mathcal{L}^{\otimes r'}\)， 并把 \(P(t)\) 替换为 \(P(t + r')\)。由引理 0DP5，得到闭浸入 \[\Quotfunctor^P_{\mathcal{F}/X/B} \longrightarrow \Quotfunctor^P_{\mathcal{O}_X^{\oplus r}/X/B}\] 由于我们已在引理 0DPA 中证明 \(\Quotfunctor^P_{\mathcal{O}_X^{\oplus r}/X/B} \to B\) 为真， 结论成立。

引理

设 \(f : X \to B\) 是代数空间之间的有限表示真态射。设 \(\mathcal{F}\) 是有限表示的 \(\mathcal{O}_X\)-模。设 \(\mathcal{L}\) 是在 \(X/B\) 上丰富的可逆 \(\mathcal{O}_X\)-模，见 《空间上的除子》中的定义 0D31。参数化 \(\mathcal{F}\) 的、关于 \(\mathcal{L}\) 的 Hilbert 多项式为 \(P\) 的商的代数空间 \(\Quotfunctor^P_{\mathcal{F}/X/B}\) 在 \(B\) 上真。

证明

此问题在 \(B\) 上是 étale 局部的，见《空间的态射》中的引理 083R。因此可以假设 \(B\) 是 仿射概形。于是可以找到闭浸入 \(i : X \to \mathbf{P}^n_B\)， 使得对某个 \(d \geq 1\) 有 \(i^*\mathcal{O}_{\mathbf{P}^n_B}(1) \cong \mathcal{L}^{\otimes d}\)。 见《态射》中的引理 01VS。 把 \(\mathcal{L}\) 换成 \(\mathcal{L}^{\otimes d}\)，并把数值多项式 \(P(t)\) 换成 \(P(dt)\)，不改变 \(\Quotfunctor^P_{\mathcal{F}/X/B}\)；略去一些细节。因此可以假设 \(\mathcal{L} = i^*\mathcal{O}_{\mathbf{P}^n_B}(1)\)。引理 0DP4 的同构 \(\Quotfunctor_{\mathcal{F}/X/B} \to \Quotfunctor_{i_*\mathcal{F}/\mathbf{P}^n_B/B}\) 诱导同构 \(\Quotfunctor^P_{\mathcal{F}/X/B} \cong \Quotfunctor^P_{i_*\mathcal{F}/\mathbf{P}^n_B/B}\)。 由于由引理 0DPB， \(\Quotfunctor^P_{i_*\mathcal{F}/\mathbf{P}^n_B/B}\) 在 \(B\) 上真， 结论成立。

引理

设 \(f : X \to B\) 是代数空间之间的有限表示分离态射。设 \(\mathcal{F}\) 是有限表示的 \(\mathcal{O}_X\)-模。设 \(\mathcal{L}\) 是在 \(X/B\) 上丰富的可逆 \(\mathcal{O}_X\)-模，见 《空间上的除子》中的定义 0D31。参数化 \(\mathcal{F}\) 的、关于 \(\mathcal{L}\) 的 Hilbert 多项式为 \(P\) 的商的代数空间 \(\Quotfunctor^P_{\mathcal{F}/X/B}\) 在 \(B\) 上分离且有限表示。

证明

我们已经看到 \(\Quotfunctor_{\mathcal{F}/X/B} \to B\) 分离且 局部有限表示，见引理 0DM3。因此，只需证明注 0DP6 中的开子空间 \(\Quotfunctor^P_{\mathcal{F}/X/B}\) 在 \(B\) 上拟紧。

此问题在 \(B\) 上是 étale 局部的 （《空间的态射》中的引理 03KG）。因此可以假设 \(B\) 仿射。

假设 \(B = \Spec(\Lambda)\)。把 \(\Lambda = \colim \Lambda_i\) 写成其有限型 \(\mathbf{Z}\)-子代数的余极限。于是可以找到一个 \(i\)， 以及引理中那样的、定义在 \(B_i = \Spec(\Lambda_i)\) 上的系统 \(X_i, \mathcal{F}_i, \mathcal{L}_i\)，其向 \(B\) 的基变换给出 \(X, \mathcal{F}, \mathcal{L}\)。这由《空间的极限》中的下列引理 得到：07SK （用于找到 \(X_i\)）、 07V7 （用于找到 \(\mathcal{F}_i\)）、 0D2X （用于找到 \(\mathcal{L}_i\)），以及 084T （用于使 \(X_i\) 分离）。由于 \[\Quotfunctor_{\mathcal{F}/X/B} = B \times_{B_i} \Quotfunctor_{\mathcal{F}_i/X_i/B_i}\] 并且 \(\Quotfunctor^P_{\mathcal{F}/X/B}\) 也同样，问题约化为下一段 讨论的情形。

假设 \(B\) 仿射且 Noether。由引理 0DP8，可以把 \(\mathcal{L}\) 替换为 它的一个正幂。因此可以假设存在浸入 \(i : X \to \mathbf{P}^n_B\)，使得 \(i^*\mathcal{O}_{\mathbf{P}^n}(1) = \mathcal{L}\)。由《态射》中的 引理 01RG，存在闭子概形 \(X' \subset \mathbf{P}^n_B\)，使得 \(i\) 通过开浸入 \(j : X \to X'\) 分解。由《性质》中的引理 0G41，存在有限表示的 \(\mathcal{O}_{X'}\)-模 \(\mathcal{G}\)，使得 \(j^*\mathcal{G} = \mathcal{F}\)。因此，由引理 0DP3 得到开浸入 \[\Quotfunctor_{\mathcal{F}/X/B} \longrightarrow \Quotfunctor_{\mathcal{G}/X'/B}\] 显然，这个开浸入把 \(\Quotfunctor^P_{\mathcal{F}/X/B}\) 送入 \(\Quotfunctor^P_{\mathcal{G}/X'/B}\)。现在，由引理 0DPC， \(\Quotfunctor^P_{\mathcal{G}/X'/B}\) 在 \(B\) 上真。因此它是 Noether 的，而 Noether 代数空间的任意开子空间都拟紧，故结论成立。

Hilbert 函子的性质

设 \(f : X \to B\) 是分离且有限表示的代数空间态射。则 \(\Hilbfunctor_{X/B}\) 是在 \(B\) 上局部有限表示的代数空间。 见《Quot》中的命题 0D01。

引理

\(\Hilbfunctor_{X/B} \to B\) 的对角态射是有限表示的闭浸入。

证明

我们已在《Quot》中的引理 0D00 看到 \(\Hilbfunctor_{X/B} = \Quotfunctor_{\mathcal{O}_X/X/B}\)。 因此结论由引理 0DM2 得出。

引理

态射 \(\Hilbfunctor_{X/B} \to B\) 分离且局部有限表示。

证明

要检验 \(\Hilbfunctor_{X/B} \to B\) 分离，需要证明其对角态射为 闭浸入。这由引理 0DM6 得出。 第二个陈述是《Quot》中的命题 0D01 的一部分。

引理

假设 \(X \to B\) 为真且有限表示。则 \(\Hilbfunctor_{X/B} \to B\) 满足赋值判据的存在性部分 （《空间的态射》中的定义 03IX）。

证明

我们已在《Quot》中的引理 0D00 看到 \(\Hilbfunctor_{X/B} = \Quotfunctor_{\mathcal{O}_X/X/B}\)。 因此结论由引理 0DM4 得出。

引理

设 \(B\) 是代数空间。设 \(\pi : X \to Y\) 是代数空间之间的开浸入， 且这些代数空间在 \(B\) 上分离并有限表示。则 \(\pi\) 诱导开浸入 \(\Hilbfunctor_{X/B} \to \Hilbfunctor_{Y/B}\)。

证明

略。提示：若 \(Z \subset X_T\) 是在 \(T\) 上真的闭子概形，则 \(Z\) 也是 \(Y_T\) 中的闭子概形。因此得到变换 \(\Hilbfunctor_{X/B} \to \Hilbfunctor_{Y/B}\)。若 \(Z \subset Y_T\) 是 \(\Hilbfunctor_{Y/B}(T)\) 的元素，并且对 \(t \in T\) 有 \(|Z_t| \subset |X_t|\)，那么对 \(t\) 的某个邻域中的 \(t' \in T\) 也有同一性质。

引理

设 \(B\) 是代数空间。设 \(\pi : X \to Y\) 是代数空间之间的闭浸入， 且这些代数空间在 \(B\) 上分离并有限表示。则 \(\pi\) 诱导闭浸入 \(\Hilbfunctor_{X/B} \to \Hilbfunctor_{Y/B}\)。

证明

由于 \(\pi\) 是闭浸入，显然，给定闭子概形 \(Z \subset X_T\)，

可把 \(Z\) 看作 \(X_T\) 的闭子概形。因此得到变换 \(\Hilbfunctor_{X/B} \to \Hilbfunctor_{Y/B}\)。立即可见该变换是 单态射。要证明它是闭浸入，可以对映射 \(\mathcal{O}_Y \to \mathcal{O}_X\) 使用引理 0DP5，并使用《Quot》中的引理 0D00 的等同 \(\Hilbfunctor_{X/B} = \Quotfunctor_{\mathcal{O}_X/X/B}\)、 \(\Hilbfunctor_{Y/B} = \Quotfunctor_{\mathcal{O}_Y/Y/B}\)。

注

设 \(f : X \to B\) 如本节引言所述。设 \(I\) 是集合，且对 \(i \in I\)， 设 \(E_i \in D(\mathcal{O}_X)\) 是完美对象。设 \(P : I \to \mathbf{Z}\) 是函数。回忆 \(\Hilbfunctor_{X/B} = \Quotfunctor_{\mathcal{O}_X/X/B}\)，见 《Quot》中的引理 0D00。因此可以定义 \[\Hilbfunctor^P_{X/B} = \Quotfunctor^P_{\mathcal{O}_X/X/B}\] 其中 \(\Quotfunctor^P_{\mathcal{O}_X/X/B}\) 如注 0DP6 所述。态射 \[\Hilbfunctor^P_{X/B} \longrightarrow \Hilbfunctor_{X/B}\] 是平坦闭浸入；例如，若 \(I\) 有限，或 \(B\) 局部 Noether，或 \(I = \mathbf{Z}\) 且对某个可逆 \(\mathcal{O}_X\)-模 \(\mathcal{L}\) 有 \(E_i = \mathcal{L}^{\otimes i}\)，则它是既开又闭浸入。 在最后一种情形中，有时采用记号 \(\Hilbfunctor^{P, \mathcal{L}}_{X/B}\)。

引理

设 \(f : X \to B\) 是代数空间之间的有限表示真态射。设 \(\mathcal{L}\) 是在 \(X/B\) 上丰富的可逆 \(\mathcal{O}_X\)-模，见 《空间上的除子》中的定义 0D31。参数化关于 \(\mathcal{L}\) 的 Hilbert 多项式为 \(P\) 的闭子概形的代数空间 \(\Hilbfunctor^P_{X/B}\) 在 \(B\) 上真。

证明

回忆 \(\Hilbfunctor_{X/B} = \Quotfunctor_{\mathcal{O}_X/X/B}\)，见《Quot》中的引理 0D00。因此本引理立即由引理 0DPC 得出。

引理

设 \(f : X \to B\) 是代数空间之间的有限表示分离态射。设 \(\mathcal{L}\) 是在 \(X/B\) 上丰富的可逆 \(\mathcal{O}_X\)-模，见 《空间上的除子》中的定义 0D31。参数化关于 \(\mathcal{L}\) 的 Hilbert 多项式为 \(P\) 的闭子概形的代数空间 \(\Hilbfunctor^P_{X/B}\) 在 \(B\) 上分离且有限表示。

证明

回忆 \(\Hilbfunctor_{X/B} = \Quotfunctor_{\mathcal{O}_X/X/B}\)，见《Quot》中的引理 0D00。因此本引理立即由引理 0DPD 得出。

Picard 叠的性质

设 \(f : X \to B\) 是平坦、真且有限表示的代数空间态射。则参数化 \(X/B\) 上可逆层的叠 \(\Picardstack_{X/B}\) 是代数的，见《Quot》中的 命题 0D04。

引理

\(\Picardstack_{X/B}\) 在 \(B\) 上的对角态射仿射且有限表示。

证明

我们已在《Quot》中的引理 0D03 看到， \(\Picardstack_{X/B}\) 是 \(\Cohstack_{X/B}\) 的开子叠。 因此结论由引理 0DLY 得出。

引理

态射 \(\Picardstack_{X/B} \to B\) 拟分离且局部有限表示。

证明

我们已在《Quot》中的引理 0D03 看到， \(\Picardstack_{X/B}\) 是 \(\Cohstack_{X/B}\) 的开子叠。 因此结论由引理 0DLZ 得出。

引理

除为真之外，再假设 \(X \to B\) 光滑。则 \(\Picardstack_{X/B} \to B\) 满足赋值判据的存在性部分 （《叠的态射》中的定义 0CLK）。

证明

作基变换后，问题立即约化为下述问题：给定分式域为 \(K\) 的赋值环 \(R\)、一个在 \(R\) 上真且光滑的代数空间 \(X\)，以及一个可逆 \(\mathcal{O}_{X_K}\)-模 \(\mathcal{L}_K\)，证明存在一个可逆 \(\mathcal{O}_X\)-模 \(\mathcal{L}\)，其泛纤维为 \(\mathcal{L}_K\)。 注意，\(X_K\) 是 Noether、分离且正则的 （使用《空间的态射》中的引理 04ZL 和《域上的空间》中的引理 06M1）。因此，对 \(X_K\) 中的两个有效 Cartier 除子 \(D_K, D'_K\)，可以在 Picard 群中把 \(\mathcal{L}_K\) 写成 \(\mathcal{O}_{X_K}(D_K)\) 与 \(\mathcal{O}_{X_K}(D'_K)\) 之差，见《空间上的除子》中的引理 0DMM。 最后，我们知道 \(D_K\) 和 \(D'_K\) 分别是有效 Cartier 除子 \(D, D' \subset X\) 的限制，见《空间上的除子》中的引理 0DMC。

引理

假设对所有 \(B\) 上概形 \(T\) 都有 \(f_{T, *}\mathcal{O}_{X_T} \cong \mathcal{O}_T\)。则 \(\Picardstack_{X/B}\) 的惯性叠等于 \(\mathbf{G}_m \times \Picardstack_{X/B}\)。

证明

这在《叠的例子》中的例 0375 中已有说明。

引理

除本节的其他假设外，再假设 \(f : X \to B\) 的相对维数 \(\leq 1\)。则 \(\Picardstack_{X/B} \to B\) 光滑。

证明

由引理 0DMB，我们已知 \(\Picardstack_{X/B} \to B\) 局部有限表示。因此，由《叠的态射进阶》 中的引理 0DP0， 只需证明 \(\Picardstack_{X/B} \to B\) 形式光滑。 作基变换后，问题立即约化为下述问题：给定仿射概形的一阶加厚 \(T \subset T'\)，给定真、平坦、有限表示且相对维数 \(\leq 1\) 的 \(X' \to T'\)，并对 \(X = T \times_{T'} X'\) 给定一个可逆 \(\mathcal{O}_X\)-模 \(\mathcal{L}\)，证明存在一个可逆 \(\mathcal{O}_{X'}\)-模 \(\mathcal{L}'\)，其在 \(X\) 上的限制为 \(\mathcal{L}\)。由于 \(T \subset T'\) 是一阶加厚， \(X \subset X'\) 也同样，见《空间的态射进阶》中的引理 09ZX。 由《空间的态射进阶》中的引理 0DNM， 只需证明 \(H^2(X, \mathcal{I}) = 0\)，其中 \(\mathcal{I}\) 是在 \(X'\) 中截出 \(X\) 的拟凝聚理想。

以 \(f : X \to T\) 表示结构态射。由《空间的上同调》中的引理 0A4T， 对 \(p > 1\) 有 \(R^pf_*\mathcal{I} = 0\)。因此，由《空间的上同调》 中的引理 08EX 得到所需消失（这里最终用到了 \(T\) 仿射）。

Picard 函子的性质

设 \(f : X \to B\) 是平坦、真且有限表示的代数空间态射，并且还假设 对每个 \(T/B\)，典范映射 \[\mathcal{O}_T \longrightarrow f_{T, *}\mathcal{O}_{X_T}\] 都是同构。则 Picard 函子 \(\Picardfunctor_{X/B}\) 是代数空间， 见《Quot》中的命题 0D2C。

它与 Picard 叠有紧密关系。

引理

态射 \(\Picardstack_{X/B} \to \Picardfunctor_{X/B}\) 使 Picard 叠 成为 Picard 函子上的 gerbe。

证明

\(\Picardstack_{X/B} \to \Picardfunctor_{X/B}\) 为 gerbe 的定义 见《叠的态射》中的定义 06QC；该定义又引用《叠》中的定义 06P2。为证明此事， 我们检验《叠》中的引理 06P1 的条件 (2)(a) 和 (2)(b)。这立即由《Quot》中的引理 0D26 得出；下面给出详细说明。

条件 (2)(a)。设对某个 \(B\) 上概形 \(U\) 有 \(\xi \in \Picardfunctor_{X/B}(U)\)。由于 \(\Picardfunctor_{X/B}\) 是 \(B\) 上概形上的规则 \(T \mapsto \Pic(X_T)\) 的 fppf 层化 （《Quot》中的情形 0D25），存在一个 fppf 覆盖 \(\{U_i \to U\}\)，使得 \(\xi|_{U_i}\) 对应于 \(X_{U_i}\) 上的某个 可逆模 \(\mathcal{L}_i\)。于是 \((U_i \to B, \mathcal{L}_i)\) 是 \(\Picardstack_{X/B}\) 在 \(U_i\) 上的对象，并映到 \(\xi|_{U_i}\)。

条件 (2)(b)。设 \(U\) 是 \(B\) 上概形，并设 \(\mathcal{L}, \mathcal{N}\) 是 \(X_U\) 上的可逆模，它们映到 \(\Picardfunctor_{X/B}(U)\) 的同一 元素。则存在 fppf 覆盖 \(\{U_i \to U\}\)，使得 \(\mathcal{L}|_{X_{U_i}}\) 同构于 \(\mathcal{N}|_{X_{U_i}}\)。因此按所需找到同构 \((U \to B, \mathcal{L})|_{U_i} \to (U \to B, \mathcal{N})|_{U_i}\)。

引理

\(\Picardfunctor_{X/B}\) 在 \(B\) 上的对角态射是拟紧浸入。

证明

由《Quot》中的引理 0D2D，对角态射是浸入。 为完成证明，只需说明它拟紧。由引理 0DMA， \(\Picardstack_{X/B}\) 的对角态射拟紧；由引理 0DME， \(\Picardstack_{X/B}\) 是 \(\Picardfunctor_{X/B}\) 上的 gerbe。 结论由《叠的态射》中的引理 0DQL 得出。

引理

态射 \(\Picardfunctor_{X/B} \to B\) 拟分离且局部有限表示。

证明

要检验 \(\Picardfunctor_{X/B} \to B\) 拟分离，需要证明其对角态射 拟紧。这立即由引理 0DMF 得出。 态射 \(\Picardstack_{X/B} \to \Picardfunctor_{X/B}\) 是满、平坦 且局部有限表示的 （由引理 0DME 和《叠的态射》中的 引理 06QI）。因此，由《叠的态射》 中的引理 06Q9， 只需证明 \(\Picardstack_{X/B} \to B\) 局部有限表示。 这由引理 0DMB 得出。

引理

除本节的其他假设外，再假设 \(X \to B\) 的几何纤维整。则 \(\Picardfunctor_{X/B} \to B\) 分离。

证明

由于 \(\Picardfunctor_{X/B} \to B\) 拟分离，只需检验赋值判据的 唯一性部分，见《空间的态射》中的引理 03KV。 这立即约化为下述问题：给定

1. 一个分式域为 \(K\) 的赋值环 \(R\)；

2. 一个在 \(R\) 上真且平坦、具有整几何纤维的代数空间 \(X\)；

3. 一个元素 \(a \in \Picardfunctor_{X/R}(R)\)，满足 \(a|_{\Spec(K)} = 0\)，

需要证明 \(a = 0\)。把《叠的态射》中的引理 0DN5 应用于满平坦态射 \(\Picardstack_{X/R} \to \Picardfunctor_{X/R}\) （由引理 0DME 和《叠的态射》中的 引理 06QI，它是满且平坦的）， 在把 \(R\) 替换为一个扩张后，可以假设 \(a\) 由一个可逆 \(\mathcal{O}_X\)-模 \(\mathcal{L}\) 给出。由于 \(a|_{\Spec(K)} = 0\)，由《Quot》中的引理 0D27 有 \(\mathcal{L}_K \cong \mathcal{O}_{X_K}\)。

以 \(f : X \to \Spec(R)\) 表示结构态射。设 \(\eta, 0 \in \Spec(R)\) 分别为泛点与闭点。考虑 \(\Spec(R)\) 上的完美复形 \(K = Rf_*\mathcal{L}\) 和 \(M = Rf_*(\mathcal{L}^{\otimes -1})\)，见《空间的导出范畴》中的 引理 0CTM。 考虑《空间的导出范畴》中的引理 0D1Y 与 \(K\) 和 \(M\) 关联的函数 \(\beta_{K, i}, \beta_{M, i} : \Spec(R) \to \mathbf{Z}\)。

由于 \(K\) 与 \(M\) 的形成与基变换交换（见上述引理），由《域上的空间》 中的引理 0DMY 以及关于 \(f\) 的纤维的假设，有 \(\beta_{K, 0}(\eta) = \beta_{M, 0}(\eta) = 1\)。 由上半连续性， \(\beta_{K, 0}(0) \geq 1\) 且 \(\beta_{M, 0}(0) \geq 1\)。 由《域上的空间》中的引理 0DMZ， 可知 \(\mathcal{L}\) 在特殊纤维 \(X_0\) 上的限制平凡。于是如上得到

\(\beta_{K, 0}(0) = \beta_{M, 0} = 1\)。 然后由《代数进阶》中的引理 0BCC， 可以用下列形式的复形表示 \(K\)： \[\ldots \to 0 \to R \to R^{\oplus \beta_{K, 1}(0)} \to R^{\oplus \beta_{K, 2}(0)} \to \ldots\] 现在 \(R \to R^{\oplus \beta_{K, 1}(0)}\) 为零，因为 \(\beta_{K, 0}(\eta) = 1\)。换言之，在 \(D(R)\) 中 \(K = R \oplus \tau_{\geq 1}(K)\)，其中对某个 \(b \in \mathbf{Z}\)，\(\tau_{\geq 1}(K)\) 的 Tor 振幅位于 \([1, b]\)。因此存在整体截面 \(s \in H^0(X, \mathcal{L})\)， 其在 \(X_0\) 上的限制 \(s_0\) 处处非零 （仍因为 \(K\) 的形成与基变换交换）。于是 \(s : \mathcal{O}_X \to \mathcal{L}\) 是可逆层之间的映射，其在 \(X_0\) 上的限制是同构，因而它本身也是同构，如所需。

引理

除本节的其他假设外，再假设 \(f : X \to B\) 的相对维数 \(\leq 1\)。则 \(\Picardfunctor_{X/B} \to B\) 光滑。

证明

由引理 0DPJ，我们知道 \(\Picardstack_{X/B} \to B\) 光滑。结合引理 0DME 与《叠的态射》中的引理 0DN8，态射 \(\Picardstack_{X/B} \to \Picardfunctor_{X/B}\) 满且光滑。 因此，若 \(U\) 是概形且 \(U \to \Picardstack_{X/B}\) 满且光滑，则 \(U \to \Picardfunctor_{X/B}\) 满且光滑，而 \(U \to B\) 也满且 光滑（因为这些性质在复合下保持）。所以，例如由《空间上的下降》 中的引理 0AHD， \(\Picardfunctor_{X/B} \to B\) 光滑。

相对态射的性质

设 \(B\) 是代数空间。设 \(X\) 和 \(Y\) 是 \(B\) 上代数空间，其中 \(Y \to B\) 平坦、真且有限表示，而 \(X \to B\) 分离且有限表示。 则相对态射的函子 \(\mathit{Mor}_B(Y, X)\) 是在 \(B\) 上局部有限表示 的代数空间。见《Quot》中的命题 0D1C。

引理

\(\mathit{Mor}_B(Y, X) \to B\) 的对角态射是有限表示的闭浸入。

证明

存在开浸入 \(\mathit{Mor}_B(Y, X) \to \Hilbfunctor_{Y \times_B X/B}\)，见 《Quot》中的引理 0D1B。 因此本引理由引理 0DM6 得出。

引理

态射 \(\mathit{Mor}_B(Y, X) \to B\) 分离且局部有限表示。

证明

要检验 \(\mathit{Mor}_B(Y, X) \to B\) 分离，需要证明其对角态射为 闭浸入。这由引理 0DPM 得出。 第二个陈述是《Quot》中的命题 0D1C 的一部分。

引理

设 \(B, X, Y\) 如本节引言所述，并额外假设 \(X \to B\) 为真。 则由同构组成的子函子 \(\mathit{Isom}_B(Y, X) \subset \mathit{Mor}_B(Y, X)\) 是开子空间。

证明

这立即由《空间的态射进阶》中的引理 05XD 得出。

注

设 \(B, X, Y\) 如本节引言所述。设 \(I\) 是集合，且对 \(i \in I\)， 设 \(E_i \in D(\mathcal{O}_{Y \times_B X})\) 是完美对象。 设 \(P : I \to \mathbf{Z}\) 是函数。回忆 \[\mathit{Mor}_B(Y, X) \subset \Hilbfunctor_{Y \times_B X/B}\] 是开子空间，见《Quot》中的引理 0D1B。因此可以定义 \[\mathit{Mor}^P_B(Y, X) = \mathit{Mor}_B(Y, X) \cap \Hilbfunctor^P_{Y \times_B X/B}\] 其中 \(\Hilbfunctor^P_{Y \times_B X/B}\) 如注 0DPG 所述。态射 \[\mathit{Mor}^P_B(Y, X) \longrightarrow \mathit{Mor}_B(Y, X)\] 是平坦闭浸入；例如，若 \(I\) 有限，或 \(B\) 局部 Noether，或 \(I = \mathbf{Z}\) 且对某个可逆 \(\mathcal{O}_{Y \times_B X}\)-模 \(\mathcal{L}\) 有 \(E_i = \mathcal{L}^{\otimes i}\)，则它是既开又闭浸入。 在最后一种情形中，有时采用记号 \(\mathit{Mor}^{P, \mathcal{L}}_B(Y, X)\)。

引理

设 \(B, X, Y\) 如本节引言所述，并设 \(\mathcal{L}\) 在 \(X/B\) 上丰富， \(\mathcal{N}\) 在 \(Y/B\) 上丰富。见《空间上的除子》中的定义 0D31。 设 \(P\) 是数值多项式。则 \[\mathit{Mor}^{P, \mathcal{M}}_B(Y, X) \longrightarrow B\] 分离且有限表示，其中 \(\mathcal{M} = \text{pr}_1^*\mathcal{N} \otimes_{\mathcal{O}_{Y \times_B X}} \text{pr}_2^*\mathcal{L}\)。

证明

由引理 0DPN，态射 \(\mathit{Mor}_B(Y, X) \to B\) 分离且局部有限表示。因此只需证明 注 0DPQ 的既开又闭子空间 \(\mathit{Mor}^{P, \mathcal{M}}_B(Y, X)\) 在 \(B\) 上拟紧。

此问题在 \(B\) 上是 étale 局部的 （《空间的态射》中的引理 03KG）。 因此可以假设 \(B\) 仿射。

假设 \(B = \Spec(\Lambda)\)。注意，\(X\) 和 \(Y\) 是概形，而 \(\mathcal{L}\) 和 \(\mathcal{N}\) 分别是 \(X\) 和 \(Y\) 上的丰富可逆层 （这立即由定义得出）。把 \(\Lambda = \colim \Lambda_i\) 写成其 有限型 \(\mathbf{Z}\)-子代数的余极限。于是可以找到一个 \(i\)，以及 引理中那样的、定义在 \(B_i = \Spec(\Lambda_i)\) 上的系统 \(X_i, Y_i, \mathcal{L}_i, \mathcal{N}_i\)，其向 \(B\) 的基变换给出 \(X, Y, \mathcal{L}, \mathcal{N}\)。这由《极限》中的下列引理得到： 01ZM （用于找到 \(X_i\)、\(Y_i\)）、 0B8W （用于找到 \(\mathcal{L}_i\)、\(\mathcal{N}_i\)）、 01ZQ （用于使 \(X_i \to B_i\) 分离）、 081F （用于使 \(Y_i \to B_i\) 为真），以及 09MT （用于使 \(\mathcal{L}_i\)、\(\mathcal{N}_i\) 丰富）。由于 \[\mathit{Mor}_B(Y, X) = B \times_{B_i} \mathit{Mor}_{B_i}(Y_i, X_i)\]

并且 \(\mathit{Mor}^P_B(Y, X)\) 也同样，问题约化为下一段讨论的情形。

假设 \(B\) 是 Noether 仿射概形。由《性质》中的引理 0DNK，\(\mathcal{M}\) 丰富。 由引理 0DPI， \(\Hilbfunctor^{P, \mathcal{M}}_{Y \times_B X/B}\) 在 \(B\) 上 有限表示，因而是 Noether 的。按构造， \[\mathit{Mor}^{P, \mathcal{M}}_B(Y, X) = \mathit{Mor}_B(Y, X) \cap \Hilbfunctor^{P, \mathcal{M}}_{Y \times_B X/B}\] 是 \(\Hilbfunctor^{P, \mathcal{M}}_{Y \times_B X/B}\) 的开子空间， 因而拟紧（因为 Noether 代数空间的开子空间拟紧）。

极化真概形叠的性质

本节讨论模叠 \[\Polarizedstack \longrightarrow \Spec(\mathbf{Z})\] 的性质；它在概形 \(S\) 上的截面范畴，是由配备相对丰富可逆层的、

在 \(S\) 上真、平坦且有限表示的概形组成的范畴。由《Quot》中的定理 0D4X，这是代数叠。

引理

\(\Polarizedstack\) 的对角态射分离且有限表示。

证明

回忆 \(\Polarizedstack\) 是保持极限的代数叠，见《Quot》中的引理 0D43。由《叠的极限》中的引理 0CMW，这蕴含 \(\Delta : \Polarizedstack \to \Polarizedstack \times \Polarizedstack\) 保持极限。因此，由 《叠的极限》中的命题 0CMY， \(\Delta\) 局部有限表示。

下面证明 \(\Delta\) 分离。为此，只需证明：给定仿射概形 \(U\) 以及 \(\Polarizedstack\) 在 \(U\) 上的两个对象 \(\upsilon = (Y, \mathcal{N})\) 和 \(\chi = (X, \mathcal{L})\)，代数空间 \[\mathit{Isom}_{\Polarizedstack}(\upsilon, \chi)\] 分离。把同构 \(\upsilon_T \to \chi_T\) 送到其底层同构 \(Y_T \to X_T\) 的规则定义态射 \[\mathit{Isom}_{\Polarizedstack}(\upsilon, \chi) \longrightarrow \mathit{Isom}_U(Y, X)\] 由引理 0DPN 和 0DPP， 我们已经看到其目标是分离代数空间，所以只需证明此态射分离。

给定某个概形 \(T/U\) 上的同构 \(f : Y_T \to X_T\)，显然有 \[\mathit{Isom}_{\Polarizedstack}(\upsilon, \chi) \times_{\mathit{Isom}_U(Y, X), [f]} T = \mathit{Isom}(\mathcal{N}_T, f^*\mathcal{L}_T)\] 这里 \([f] : T \to \mathit{Isom}_U(Y, X)\) 表示与 \(f\) 对应的 \(T\)-值点，而 \(\mathit{Isom}(\mathcal{N}_T, f^*\mathcal{L}_T)\) 是章节 0DLW 中讨论的代数空间。

由于该代数空间在 \(U\) 上仿射，所断言的结论蕴含 \(\Delta\) 分离。

最后证明 \(\Delta\) 拟紧。由于 \(\Delta\) 可由代数空间表示，

只需检验 \(\Delta\) 沿一个满光滑态射 \(U \to \Polarizedstack \times \Polarizedstack\) 的基变换拟紧 （例如见《叠的性质》中的引理 04XD）。 可以假设 \(U = \coprod U_i\) 是仿射开集的不交并。 由于 \(\Polarizedstack\) 保持极限（见上文）， \(\Polarizedstack \to \Spec(\mathbf{Z})\) 局部有限表示，因而 \(U_i \to \Spec(\mathbf{Z})\) 局部有限表示 （《叠的极限》中的命题 0CMY 以及《叠的态射》中的引理 06Q3 和 0DNP）。 特别地，\(U_i\) 是 Noether 仿射概形。于是问题约化为下一段讨论的情形。

在本段中，给定 Noether 仿射概形 \(U\) 以及 \(\Polarizedstack\) 在 \(U\) 上的两个对象 \(\upsilon = (Y, \mathcal{N})\) 和 \(\chi = (X, \mathcal{L})\)，我们证明代数空间 \[\mathit{Isom}_{\Polarizedstack}(\upsilon, \chi)\] 拟紧。由于 \(U\) 的连通分支既开又闭，可以用这些分支替换 \(U\)。 因此可以并且确实假设 \(U\) 连通。设 \(u \in U\) 是一个点。设 \(P\) 为 Hilbert 多项式 \(n \mapsto \chi(Y_u, \mathcal{N}_u^{\otimes n})\)，见《簇》中的 引理 0BEM。 由于 \(U\) 连通，并且函数 \(u \mapsto \chi(Y_u, \mathcal{N}_u^{\otimes n})\) 局部常值 （见《概形的导出范畴》中的引理 0B9T），可知在 \(U\) 的 每个点都得到同一 Hilbert 多项式。在 \(Y \times_U X\) 上令 \(\mathcal{M} = \text{pr}_1^*\mathcal{N} \otimes_{\mathcal{O}_{Y \times_U X}} \text{pr}_2^*\mathcal{L}\)。

给定某个 \(U\) 上概形 \(T\) 的元素 \((f, \varphi) \in \mathit{Isom}_{\Polarizedstack}(\upsilon, \chi)(T)\)，则对每个 \(t \in T\) 都有 \[\chi(Y_t, (\text{id} \times f)^*\mathcal{M}^{\otimes n}) = \chi(Y_t, \mathcal{N}_t^{\otimes n} \otimes_{\mathcal{O}_{Y_t}} f_t^*\mathcal{L}_t^{\otimes n}) = \chi(Y_t, \mathcal{N}_t^{\otimes 2n}) = P(2n)\] 其中在中间的等式中使用了同构 \(\varphi : f^*\mathcal{L}_T \to \mathcal{N}_T\)。 令 \(P'(t) = P(2t)\)，可知上述态射 \[\mathit{Isom}_{\Polarizedstack}(\upsilon, \chi) \longrightarrow \mathit{Isom}_U(Y, X)\] 的像包含在交 \[\mathit{Isom}_U(Y, X) \cap \mathit{Mor}^{P', \mathcal{M}}_U(Y, X)\] 中。该交是 \(\mathit{Mor}_U(Y, X)\) 的两个开子空间之交 （见引理 0DPP 和注 0DPQ）。现在， \(\mathit{Mor}^{P', \mathcal{M}}_U(Y, X)\) 是 Noether 代数空间， 因为由引理 0DPR，它在 \(U\) 上有限表示。 所以该交也是 Noether 代数空间。由于态射 \[\mathit{Isom}_{\Polarizedstack}(\upsilon, \chi) \longrightarrow \mathit{Isom}_U(Y, X) \cap \mathit{Mor}^{P', \mathcal{M}}_U(Y, X)\] 仿射（见上文），结论成立。

引理

态射 \(\Polarizedstack \to \Spec(\mathbf{Z})\) 拟分离且局部有限表示。

证明

要检验 \(\Polarizedstack \to \Spec(\mathbf{Z})\) 拟分离，需要证明其 对角态射拟紧且拟分离。这立即由引理 0DPT 得出。 要证明 \(\Polarizedstack \to \Spec(\mathbf{Z})\) 局部有限表示， 只需证明 \(\Polarizedstack\) 保持极限，见《叠的极限》中的命题 0CMY。 这就是《Quot》中的引理 0D43。

引理

设 \(n \geq 1\) 是整数，\(P\) 是数值多项式。设 \[T \subset |\Polarizedstack|\] 是具有下述性质的子集：对每个 \(\xi \in T\)，存在一个域 \(k\) 和 \(\Polarizedstack\) 在 \(k\) 上的一个表示 \(\xi\) 的对象 \((X, \mathcal{L})\)，使得

1. \(\mathcal{L}\) 在 \(X\) 上的 Hilbert 多项式为 \(P\)；并且

2. 存在闭浸入 \(i : X \to \mathbf{P}^n_k\)，使得 \(i^*\mathcal{O}_{\mathbf{P}^n}(1) \cong \mathcal{L}\)。

则 \(T\) 是 Noether 拓扑空间，特别地，它拟紧。

证明

注意，\(|\Polarizedstack|\) 是局部 Noether 拓扑空间，见《叠的态射》 中的引理 0DQI （这里还用到 \(\Spec(\mathbf{Z})\) 是 Noether 的，因而由引理 0DPU 和《叠的态射》中的引理 06R6， \(\Polarizedstack\) 是局部 Noether 代数叠）。因此， \(|\Polarizedstack|\) 的任意拟紧子集都是 Noether 拓扑空间，而这种 子集的任意子集也 Noether，见《拓扑》中的引理 0053 和 0052。

所以只需找到一个包含 \(T\) 的拟紧子集。

由引理 0DPH，代数空间 \[H = \Hilbfunctor^{P, \mathcal{O}(1)}_{\mathbf{P}^n_\mathbf{Z}/\Spec(\mathbf{Z})}\] 在 \(\Spec(\mathbf{Z})\) 上真。由《Quot》中的引理 0D3W¹， \(H\) 的恒等态射对应于闭子空间 \[Z \subset \mathbf{P}^n_H\] 它在 \(H\) 上真、平坦且有限表示；限制 \(\mathcal{N} = \mathcal{O}(1)|_Z\) 在 \(Z/H\) 上相对丰富，并且在 \(Z \to H\) 的纤维上具有 Hilbert 多项式 \(P\)。特别地，偶 \((Z \to H, \mathcal{N})\) 定义态射 \[H \longrightarrow \Polarizedstack\] 它把概形态射 \(U \to H\) 送到族 \((Z_U \to U, \mathcal{N}_U)\) 的分类态射，见《Quot》中的引理 0E94。

由于 \(H\) 是 Noether 代数空间（因为它在 \(\mathbf{Z})\) 上真）， \(|H|\) 是 Noether 的，因而拟紧。映射 \[|H| \longrightarrow |\Polarizedstack|\] 连续，所以其像拟紧。因此只需证明 \(T\) 包含于 \(|H| \to |\Polarizedstack|\) 的像中。然而，假设 (1) 和 (2) 恰好表达了这一事实：

任取闭浸入 \(i : X \to \mathbf{P}^n_k\)，满足 \(i^*\mathcal{O}_{\mathbf{P}^n}(1) \cong \mathcal{L}\)， 由 \(H\) 的模解释可得到 \(H\) 的一个 \(k\)-值点。 这就完成了本引理的证明。

真态射上复形模空间的性质

设 \(f : X \to B\) 是真、平坦且有限表示的代数空间态射。则参数化 负自 Ext 消失的相对完美复形的叠 \(\Complexesstack_{X/B}\) 是代数的。 见《Quot》中的定理 0DLN。

引理

\(\Complexesstack_{X/B}\) 在 \(B\) 上的对角态射仿射且有限表示。

证明

《Quot》中的引理 0DLG 已证明该对角态射 可由代数空间表示。从其证明可知，需要证明下述事实：给定 \(B\) 上概形 \(T\) 以及对象 \(E, E' \in D(\mathcal{O}_{X_T})\)，使得 \((T, E)\) 和 \((T, E')\) 是 \(\Complexesstack_{X/B}\) 在 \(T\) 上的 纤维范畴中的对象，则 \(\mathit{Isom}(E, E') \to T\) 仿射且有限表示。这里 \(\mathit{Isom}(E, E')\) 是函子 \[(\Sch/T)^{opp} \to \textit{Sets},\quad T' \mapsto \{\varphi : E_{T'} \to E'_{T'} \text{ 是下列范畴中的同构：}D(\mathcal{O}_{X_{T'}})\}\] 其中 \(E_{T'}\) 和 \(E'_{T'}\) 是 \(E\) 和 \(E'\) 向 \(X_{T'}\) 的导出拉回。 考虑由规则 \[(\Sch/T)^{opp} \to \textit{Sets},\quad T' \mapsto \Hom_{\mathcal{O}_{X_{T'}}}(E_T, E'_T)\] 定义的函子 \(H = \SheafHom(E, E')\)。由《Quot》中的引理 0DLC，这是在 \(T\) 上仿射且有限表示的代数空间。对 \(H' = \SheafHom(E', E)\)、\(I = \SheafHom(E, E)\) 和 \(I' = \SheafHom(E', E')\) 也同样。因此可见 \[\mathit{Isom}(E, E') = (H' \times_T H) \times_{c, I \times_T I', \sigma} T\] 其中 \(c(\varphi', \varphi) = (\varphi \circ \varphi', \varphi' \circ \varphi)\)， 而 \(\sigma = (\text{id}, \text{id})\) （与《Quot》中的命题 08K9 的证明比较）。 因此，作为在 \(T\) 上仿射的概形的纤维积， \(\mathit{Isom}(E, E')\) 在 \(T\) 上仿射。类似地， \(\mathit{Isom}(E, E')\) 在 \(T\) 上有限表示。

引理

态射 \(\Complexesstack_{X/B} \to B\) 拟分离且局部有限表示。

证明

要检验 \(\Complexesstack_{X/B} \to B\) 拟分离，需要证明其对角态射 拟紧且拟分离。这立即由引理 0DPW 得出。 要证明 \(\Complexesstack_{X/B} \to B\) 局部有限表示，需要证明 \(\Complexesstack_{X/B} \to B\) 保持极限，见《叠的极限》中的命题 0CMY。 这由《Quot》中的引理 0DLJ 得出 （略去一个小细节）。