代数空间的上同调

引言

本章讨论代数空间的上同调。虽然我们会证明一些关于阿贝尔层上同调的结果，但重点是拟凝聚层的上同调；换言之，我们将证明“概形的上同调”一章中若干结果的类似命题。本章的一些结果可见 [Kn]。

本章缺少的一项重要工具是归纳原理，也就是“概形的上同调”中引理 08DR 对拟紧拟分离代数空间的类似形式。 “空间的导出范畴”第 08GL 节对它作了精确表述并给出了详细证明。本章不用归纳原理，而采用交错 Čech 复形，见第 0721 节。这个复形旨在证明命题 072B 一类的消失性命题；不过在某些情形下，归纳原理更为有力，而且或许也更为“标准”。我们建议读者在读完本节的部分内容之后，再去了解这一归纳原理。

约定

我们始终假设所有概形都包含在一个大 fppf 位点 \(\Sch_{fppf}\) 中，并且所考虑的每个环 \(A\) 都满足：\(\Spec(A)\)（同构于）这个大位点的一个对象。

设 \(S\) 为概形，\(X\) 为 \(S\) 上的代数空间。在本章及后续各章中，我们把 \(X\) 与自身的积（取于 \(S\) 上代数空间的范畴中）记作 \(X \times_S X\)，而不记作 \(X \times X\)。

高阶正像

设 \(S\) 为概形，\(X\) 为 \(S\) 上的可表代数空间，并设 \(\mathcal{F}\) 为 \(X\) 上的拟凝聚模（见“代数空间的性质”第 03G5 节）。由“下降”命题 03DW，上同调群 \(H^i(X, \mathcal{F})\) 与通常的上同调群一致；后者是在表示 \(X\) 的概形上，对相应拟凝聚模按 Zariski 拓扑计算得到的。

更一般地，设 \(f : X \to Y\) 是可表代数空间 \(X\) 与 \(Y\) 之间的拟紧拟分离态射， \(\mathcal{F}\) 是 \(X\) 上的拟凝聚模。由“下降”引理 071N，层 \(R^if_*\mathcal{F}\) 与通常的高阶正像一致；后者是在表示 \(X\) 的概形到表示 \(Y\) 的概形的态射上，对拟凝聚模按 Zariski 拓扑计算得到的。

再一般些，设 \(f : X \to Y\) 是 \(S\) 上代数空间之间的可表、拟紧且拟分离的态射。设 \(V\) 为概形，\(V \to Y\) 为平展满态射。令 \(U = V \times_Y X\)，并以 \(f' : U \to V\) 表示 \(f\) 的基变换。于是对任意拟凝聚 \(\mathcal{O}_X\)-模 \(\mathcal{F}\)，有 [071Z]\[\begin{equation} R^if'_*(\mathcal{F}|_U) = (R^if_*\mathcal{F})|_V, \end{equation}\] 见“代数空间的性质”引理 03LX。又因为 \(f' : U \to V\) 是概形之间的拟紧拟分离态射，根据上一段的说明，我们可以把 \(\mathcal{F}|_U\) 看成概形 \(U\) 上的拟凝聚层，把 \(f'\) 看成概形之间的态射，从而计算 \(R^if'_*(\mathcal{F}|_U)\)。下文将反复使用这一事实而不再说明。

下面证明：对于代数空间的任意拟紧拟分离态射，拟凝聚层的高阶正像仍为拟凝聚层。证明中会用到一个技巧；另一种“更好”的证明会使用相对 Čech 复形，参见“代数栈上的层”第 06X3 节、第 06X7 节及其后各节。

引理

设 \(S\) 为概形，\(f : X \to Y\) 为 \(S\) 上代数空间的态射。若 \(f\) 拟紧且拟分离，则 \(R^if_*\) 把拟凝聚 \(\mathcal{O}_X\)-模变为拟凝聚 \(\mathcal{O}_Y\)-模。

证明

取平展态射 \(V \to Y\)，其中 \(V\) 为仿射概形。令 \(U = V \times_Y X\)，并以 \(f' : U \to V\) 表示诱导态射。设 \(\mathcal{F}\) 为拟凝聚 \(\mathcal{O}_X\)-模。由“代数空间的性质”引理 03LX，有 \(R^if'_*(\mathcal{F}|_U) = (R^if_*\mathcal{F})|_V\). 由于“是拟凝聚模”这一性质对于 \(Y\) 上的平展拓扑是局部的（见“代数空间的性质” 引理 03M0），我们可以用 \(V\) 代替 \(Y\)；也就是说，可以假设 \(Y\) 是仿射概形。

假设 \(Y\) 仿射。由于 \(f\) 拟紧，\(X\) 也是拟紧的。因此可以选取一个仿射概形 \(U\) 以及一个平展满态射 \(g : U \to X\)，见“代数空间的性质”引理 03H6。图示如下： \[\xymatrix{ U \ar[r]_g \ar[rd]_{f \circ g} & X \ar[d]^f \\ & Y }\] 因为 \(X\) 拟分离，态射 \(g : U \to X\) 可表、分离且拟紧。因此本引理对 \(g\) 成立（由引理前的讨论）。它对 \(f \circ g : U \to Y\) 也成立，因为这是仿射概形之间的态射。

在上一段所述情形中，我们将对 \(n\) 作归纳，证明命题 \(IH_n\)：对 \(X\) 上任意拟凝聚层 \(\mathcal{F}\)，当 \(i \leq n\) 时，层 \(R^if\mathcal{F}\) 拟凝聚。 \(n = 0\) 的情形由“代数空间的态射”引理 03M9 得到。假设 \(IH_n\) 成立；以下证明 \(IH_{n + 1}\)。

设 \(\mathcal{H}\) 为拟凝聚 \(\mathcal{O}_U\)-模。考虑 Leray 谱序列 \[E_2^{p, q} = R^pf_* R^qg_* \mathcal{H} \Rightarrow R^{p + q}(f \circ g)_*\mathcal{H}\] 见“位点上的上同调”引理 0734。由 \(IH_n\)，\(R^qg_*\mathcal{H}\) 拟凝聚，因而当 \(p \leq n\) 时，所有层 \(R^pf_*R^qg_*\mathcal{H}\) 都拟凝聚。各层 \(R^{p + q}(f \circ g)_*\mathcal{H}\) 也都拟凝聚（事实上，当 \(p + q > 0\) 时它们为零，但这里不需要这一点）。在总次数不超过 \(n + 1\) 的项中，唯一尚不知是否拟凝聚的模是 \(E_2^{n + 1, 0} = R^{n + 1}f_*g_*\mathcal{H}\)。此外，微分 \(d_r^{n + 1, 0} : E_r^{n + 1, 0} \to E_r^{n + 1 + r, 1 - r}\) 为零，因为其目标为零。再利用 \(\QCoh(\mathcal{O}_X)\) 是 \(\textit{Mod}(\mathcal{O}_X)\) 的弱 Serre 子范畴（“代数空间的性质”引理 03M1），可知 \(R^{n + 1}f_*g_*\mathcal{H}\) 拟凝聚（细节从略）。

设 \(\mathcal{F}\) 为拟凝聚 \(\mathcal{O}_X\)-模，并令 \(\mathcal{H} = g^*\mathcal{F}\)。由于 \(U \to X\) 是平展满态射，伴随映射 \(\mathcal{F} \to g_*g^*\mathcal{F} = g_*\mathcal{H}\) 为单射。考虑正合列 \[0 \to \mathcal{F} \to g_*\mathcal{H} \to \mathcal{G} \to 0\] 其中 \(\mathcal{G}\) 是第一个映射的余核，因而是拟凝聚的。应用上同调长正合列，得到 \[R^nf_*g_*\mathcal{H} \to R^nf_*\mathcal{G} \to R^{n + 1}f_*\mathcal{F} \to R^{n + 1}f_*g_*\mathcal{H} \to R^{n + 1}f_*\mathcal{G}\] 第一个箭头的余核拟凝聚，而上面已经证明 \(R^{n + 1}f_*g_*\mathcal{H}\) 拟凝聚。因此 \(R^{n + 1}f_*\mathcal{F}\) 有一个两步滤过，其中第一步拟凝聚，第二步是某个拟凝聚层的子模。由于 \(\mathcal{F}\) 是任意拟凝聚 \(\mathcal{O}_X\)-模，这个结论也适用于 \(\mathcal{G}\)。所以可以选取正合列 \(0 \to \mathcal{A} \to R^{n + 1}f_*\mathcal{G} \to \mathcal{B}\) 其中 \(\mathcal{A}\)、\(\mathcal{B}\) 都是拟凝聚 \(\mathcal{O}_Y\)-模。于是复合映射 \(R^{n + 1}f_*g_*\mathcal{H} \to R^{n + 1}f_*\mathcal{G} \to \mathcal{B}\) 的核 \(\mathcal{K}\) 拟凝聚，并得到映射 \(\mathcal{K} \to \mathcal{A}\)；其核 \(\mathcal{K}'\) 也拟凝聚。因此 \(R^{n + 1}f_*\mathcal{F}\) 位于正合列 \[R^nf_*g_*\mathcal{H} \to R^nf_*\mathcal{G} \to R^{n + 1}f_*\mathcal{F} \to \mathcal{K}' \to 0\] 中；其中除 \(R^{n + 1}f_*\mathcal{F}\) 外，其余各模均拟凝聚。由此得出 \(R^{n + 1}f_*\mathcal{F}\) 拟凝聚，即 \(IH_{n + 1}\) 如期成立。

引理

设 \(S\) 为概形，\(f : X \to Y\) 为 \(S\) 上代数空间的拟分离拟紧态射。对任意拟凝聚 \(\mathcal{O}_X\)-模 \(\mathcal{F}\) 以及 \(Y_\etale\) 的任意仿射对象 \(V\)，有 \[H^q(V \times_Y X, \mathcal{F}) = H^0(V, R^qf_*\mathcal{F})\] 其中 \(q \in \mathbf{Z}\) 任意。

证明

由于 \(Rf_*\) 的形成与平展局部化可交换（“代数空间的性质”引理 03LX），我们可以用 \(V\) 代替 \(Y\)，并假设 \(Y = V\) 仿射。考虑 Leray 谱序列 \(E_2^{p, q} = H^p(Y, R^qf_*\mathcal{F})\) 它收敛到 \(H^{p + q}(X, \mathcal{F})\)，见“位点上的上同调”引理 0732。由引理 0720，各层 \(R^qf_*\mathcal{F}\) 均拟凝聚。再由“概形的上同调”引理 01XB，当 \(p > 0\) 时 \(E_2^{p, q} = 0\)。所以该谱序列在 \(E_2\) 页退化，结论成立。

有限态射

下面给出若干对所有阿贝尔层都成立的结果（特别地，也适用于拟凝聚模）。我们要提醒读者：对于概形的有限态射和 Zariski 拓扑，以下引理并不成立。

引理

设 \(S\) 为概形，\(f : X \to Y\) 为代数空间的整态射（例如有限态射）。则 \(f_* : \textit{Ab}(X_\etale) \to \textit{Ab}(Y_\etale)\) 是正合函子，并且当 \(p > 0\) 时 \(R^pf_* = 0\)。

证明

由“代数空间的性质”引理 03LR，可以在 \(Y\) 的一个平展覆盖上计算高阶正像。因此可以假设 \(Y\) 是概形，进而 \(X\) 也是概形（见“代数空间的态射”引理 03ZQ）。此时可应用“平展上同调”引理 04C2。对于有限情形，读者也可以参阅技术性较弱的“平展上同调”命题 03QP。

引理

设 \(S\) 为概形，\(f : X \to Y\) 为 \(S\) 上代数空间的有限态射。设 \(\overline{y}\) 是 \(Y\) 的一个几何点，并且它在 \(X\) 中的提升为 \(\overline{x}_1, \ldots, \overline{x}_n\)。则 \[(f_*\mathcal{F})_{\overline{y}} = \prod\nolimits_{i = 1, \ldots, n} \mathcal{F}_{\overline{x}_i}\] 对 \(X_\etale\) 上任意层 \(\mathcal{F}\) 都成立。

证明

选取 \(\overline{y}\) 的一个平展邻域 \((V, \overline{v})\)。于是茎 \((f_*\mathcal{F})_{\overline{y}}\) 就是 \(f_*\mathcal{F}|_V\) 在 \(\overline{v}\) 处的茎。由“代数空间的性质”引理 03LR，可以用 \(V\) 代替 \(Y\)，并用 \(X \times_Y V\) 代替 \(X\)。

于是 \(Z \to X\) 是概形之间的有限态射，而所需结论就是“平展上同调”命题 03QP。

引理

设 \(S\) 为概形，\(\pi : X \to Y\) 为 \(S\) 上代数空间的有限态射。设 \(\mathcal{A}\) 是 \(X_\etale\) 上的环层，\(\mathcal{B}\) 是 \(Y_\etale\) 上的环层，并设 \(\varphi : \mathcal{B} \to \pi_*\mathcal{A}\) 为环层同态，从而得到带环拓扑斯的态射 \[f = (\pi, \varphi) : (\Sh(X_\etale), \mathcal{A}) \longrightarrow (\Sh(Y_\etale), \mathcal{B}).\] 若 \(\mathcal{F}\) 是 \(\mathcal{A}\)-模层，\(\mathcal{G}\) 是 \(\mathcal{B}\)-模层，则典范映射 \[\mathcal{G} \otimes_\mathcal{B} f_*\mathcal{F} \longrightarrow f_*(f^*\mathcal{G} \otimes_\mathcal{A} \mathcal{F}).\] 是同构。

证明

这个映射是下列映射的伴随映射： \[f^*\mathcal{G} \otimes_\mathcal{A} f^* f_*\mathcal{F} = f^*(\mathcal{G} \otimes_\mathcal{B} f_*\mathcal{F}) \longrightarrow f^*\mathcal{G} \otimes_\mathcal{A} \mathcal{F}\] 它由 \(\text{id} : f^*\mathcal{G} \to f^*\mathcal{G}\) 和伴随映射 \(f^* f_*\mathcal{F} \to \mathcal{F}\) 给出。要证明它是同构，只需在茎上检验（见“代数空间的性质”定理 04K5）。设 \(\overline{y}\) 为 \(Y\) 的几何点，\(\overline{x}_1, \ldots, \overline{x}_n\) 为位于 \(\overline{y}\) 上方的 \(X\) 的几何点。把这些映射在茎上的作用写出后，只需证明 \[\mathcal{G}_{\overline{y}} \otimes_{\mathcal{B}_{\overline{y}}} \left( \bigoplus\nolimits_{i = 1, \ldots, n} \mathcal{F}_{\overline{x}_i} \right) = \bigoplus\nolimits_{i = 1, \ldots, n} (\mathcal{G}_{\overline{y}} \otimes_{\mathcal{B}_{\overline{x}}} \mathcal{A}_{\overline{x}_i}) \otimes_{\mathcal{A}_{\overline{x}_i}} \mathcal{F}_{\overline{x}_i}\] 确实成立。这里使用了张量积与取茎可交换，以及“代数空间的性质”引理 04K2 所述拉回下茎的行为；还使用了

引理 0DK3 所述沿闭浸入作正像时茎的行为。

最后给出一个对有限态射而言极其一般的投影公式。

引理

沿用引理 0DK4 中的 \(S\)、\(X\)、\(Y\)、\(\pi\)、\(\mathcal{A}\)、\(\mathcal{B}\)、\(\varphi\) 和 \(f\)，则 \[K \otimes_\mathcal{B}^\mathbf{L} Rf_*M = Rf_*(Lf^*K \otimes_\mathcal{A}^\mathbf{L} M)\] 对任意 \(K \in D(\mathcal{B})\) 和 \(M \in D(\mathcal{A})\)，上述等式在 \(D(\mathcal{B})\) 中成立。

证明

由于 \(f_*\) 正合（引理 0A4K），对任意代表复形逐项应用 \(f_*\) 即可计算函子 \(Rf_*\)。选取一个代表 \(K\) 的 \(\mathcal{B}\)-模复形 \(\mathcal{K}^\bullet\)，使其 K-平坦且各项平坦；见 “位点上的上同调”引理 06YS。于是 \(f^*\mathcal{K}^\bullet\) 也 K-平坦且各项平坦；见“位点上的上同调”引理 0G7E。任取一个代表 \(M\) 的 \(\mathcal{A}\)-模复形 \(\mathcal{M}^\bullet\)。现在只需证明 \[\text{Tot}(\mathcal{K}^\bullet \otimes_\mathcal{B} f_*\mathcal{M}^\bullet) = f_*\text{Tot}(f^*\mathcal{K}^\bullet \otimes_\mathcal{A} \mathcal{M}^\bullet)\] 因为按照上述选择，这两个复形分别代表引理中公式的右端和左端。又因为 \(f_*\) 与直和可交换（例如由引理 0DK3 中对茎的描述可知），问题归结为等式 \[\mathcal{K}^n \otimes_\mathcal{B} f_*\mathcal{M}^m = f_*(f^*\mathcal{K}^n \otimes_\mathcal{A} \mathcal{M}^m)\] 而这些等式由引理 0DK4 成立。

余极限与上同调

下面的引理特别适用于拟凝聚层的图式。

引理

设 \(S\) 为概形，\(X\) 为 \(S\) 上的代数空间。若 \(X\) 拟紧且拟分离，则 \[\colim_i H^p(X, \mathcal{F}_i) \longrightarrow H^p(X, \colim_i \mathcal{F}_i)\] 对 \(X_\etale\) 上阿贝尔层的每个滤过图式都是同构。

证明

这由“位点上的上同调”引理 0739 得到。具体而言，令 \(\mathcal{B} \subset \Ob(X_{spaces, \etale})\) 为所有在 \(X\) 上平展、拟紧且拟分离的空间组成的集合。注意，若 \(U \in \mathcal{B}\)，则由于 \(U\) 拟紧，由 \(U_i \in \mathcal{B}\) 构成的有限覆盖 \(\{U_i \to U\}\) 的全体，在 \(X_{spaces, \etale}\) 中 \(U\) 的所有覆盖组成的集合里是共尾的。由 “代数空间的态射”引理 073B，集合 \(\mathcal{B}\) 满足“位点上的上同调”引理 0739 的全部假设。因为 \(X \in \mathcal{B}\)，结论成立。

引理

设 \(S\) 为概形，\(f : X \to Y\) 为 \(S\) 上代数空间的拟紧拟分离态射。设 \(\mathcal{F} = \colim \mathcal{F}_i\) 是 \(X_\etale\) 上阿贝尔层的滤过余极限。则对任意 \(p \geq 0\)，有 \[R^pf_*\mathcal{F} = \colim R^pf_*\mathcal{F}_i.\]

证明

我们要用到如下事实：拓扑斯态射 \(f_{small} : X_{small} \to Y_{small}\) 来自位点态射 \(f_{spaces, \etale} : X_{spaces, \etale} \to Y_{spaces, \etale}\) 它对应于连续函子 \(V \longmapsto X \times_Y V\)；见“代数空间的性质”引理 03G2。我们将对这个位点态射应用“位点上的上同调”引理 0H7B。由于 \(Y_{spaces, \etale}\) 的每个对象都有一个由仿射对象组成的覆盖，只需证明：当 \(V\) 仿射且在 \(Y\) 上平展时，有 \(H^p(X \times_Y V, \mathcal{F}) = \colim H^p(X \times_Y V, \mathcal{F}_i)\). 由于 \(V\) 仿射，代数空间 \(X \times_Y V\) 拟紧且拟分离。因此应用引理 073E 即得结论。

下面的引理说明，有限表示模在拟紧拟分离代数空间上具有预期的性质。

引理

设 \(S\) 为概形，\(X\) 为 \(S\) 上拟紧拟分离的代数空间。设 \(I\) 为有向集， \((\mathcal{F}_i, \varphi_{ii'})\) 为由 \(I\) 索引的 \(\mathcal{O}_X\)-模系统，并设 \(\mathcal{G}\) 为有限表示的 \(\mathcal{O}_X\)-模。则 \[\colim_i \Hom_X(\mathcal{G}, \mathcal{F}_i) = \Hom_X(\mathcal{G}, \colim_i \mathcal{F}_i).\] 特别地，\(\Hom_X(\mathcal{G}, -)\) 在 \(\QCoh(\mathcal{O}_X)\) 中与滤过余极限可交换。

证明

所示等式是“位点上的模”引理 0GN0 的一个特例。为应用该引理，需要对位点 \(X_\etale\) 验证“位点”引理 0GMR 第 (4) 部分的假设。为此，我们验证“位点”注记 0GMS 中的假设 (2)(a)、(2)(b)、(2)(c)。令 \(\mathcal{B} \subset \Ob(X_\etale)\) 为仿射对象的集合，则：

由于 \(X\) 拟紧，存在 \(U \in \mathcal{B}\)，使 \(U \to X\) 为满射（见“代数空间的性质”引理 03H6），所以 \(h_U^\# \to *\) 为满射。

对 \(U \in \mathcal{B}\)，\(U\) 的每个平展覆盖 \(\{U_i \to U\}_{i \in I}\) 都可由一个有限平展覆盖 \(\{U_j \to U\}_{j = 1, \ldots, m}\) 加细，其中 \(U_j \in \mathcal{B}\) （见“拓扑”引理 0218）。

对 \(U, U' \in \Ob(X_\etale)\)，有 \(h_U^\# \times h_{U'}^\# = h_{U \times_X U'}^\#\). 若 \(U, U' \in \mathcal{B}\)，则因为 \(X\) 拟分离，\(U \times_X U'\) 拟紧；例如见“代数空间的态射”引理 073B。因此可找到平展满态射 \(U'' \to U \times_X U'\)，其中 \(U'' \in \mathcal{B}\)（见“代数空间的性质”引理 03H6）。换言之，存在态射 \(U'' \to U\) 和 \(U'' \to U'\)，使得

\(h_{U''}^\# \to h_U^\# \times h_{u'}^\#\) 为满射。

关于最后一个断言，注意包含函子 \(\QCoh(\mathcal{O}_X) \to \textit{Mod}(\mathcal{O}_X)\) 与余极限可交换，且有限表示模拟凝聚。参见“代数空间的性质”引理 03M1。

交错 Čech 复形

设 \(S\) 为概形，\(f : U \to X\) 为 \(S\) 上代数空间的平展态射。函子 \[j : U_{spaces, \etale} \longrightarrow X_{spaces, \etale},\quad V/U \longmapsto V/X\] 诱导出 \(U_{spaces, \etale}\) 与局部化 \(X_{spaces, \etale}/U\) 之间的等价；见“代数空间的性质”第 04LX 节。因此存在函子 \[f_! : \textit{Ab}(U_\etale) \longrightarrow \textit{Ab}(X_\etale),\quad f_! : \textit{Mod}(\mathcal{O}_U) \longrightarrow \textit{Mod}(\mathcal{O}_X),\] 它们分别左伴随于 \[f^{-1} : \textit{Ab}(X_\etale) \longrightarrow \textit{Ab}(U_\etale),\quad f^* : \textit{Mod}(\mathcal{O}_X) \longrightarrow \textit{Mod}(\mathcal{O}_U)\] 见“位点上的模”第 03DH 节。注意：先验地说，这个函子与紧支撑上同调毫无关系！在上述文献中，我们把它称为“零延拓”函子。还要注意，对 \(\mathcal{O}_X\)-模层有 \(f^* = f^{-1}\)，所以 \(f_!\) 的两个版本彼此一致。

下面会用到这个构造，先回顾它的若干性质。给定 \(U_\etale\) 上的阿贝尔层 \(\mathcal{G}\)，

层 \(f_!\) 是下列预层的层化： \[V/X \longmapsto f_!\mathcal{G}(V) = \bigoplus\nolimits_{\varphi \in \Mor_X(V, U)} \mathcal{G}(V \xrightarrow{\varphi} U),\] 见“位点上的模”引理 03DI。此外，若 \(\mathcal{G}\) 是 \(\mathcal{O}_U\)-模，则 \(f_!\mathcal{G}\) 是同一个阿贝尔群预层的层化，而该预层以显然的方式带有 \(\mathcal{O}_X\)-模结构（见同处）。设 \(\overline{x} : \Spec(k) \to X\) 为几何点，则有典范等同 \[(f_!\mathcal{G})_{\overline{x}} = \bigoplus\nolimits_{\overline{u}} \mathcal{G}_{\overline{u}}\] 其中直和遍历所有满足 \(f \circ \overline{u} = \overline{x}\) 的 \(\overline{u} : \Spec(k) \to U\)；见“位点上的模”引理 0710 和“代数空间的性质”引理 04K6。下文将研究层 \(f_!\underline{\mathbf{Z}}\)。这里 \(\underline{\mathbf{Z}}\) 表示 \(X_\etale\) 或 \(U_\etale\) 上的常值层。

引理

设 \(S\) 为概形，\(f_i : U_i \to X\) 为 \(S\) 上代数空间的平展态射。则有同构 \[f_{1, !}\underline{\mathbf{Z}} \otimes_{\mathbf{Z}} f_{2, !}\underline{\mathbf{Z}} \longrightarrow f_{12, !}\underline{\mathbf{Z}}\] 其中 \(f_{12} : U_1 \times_X U_2 \to X\) 是结构态射；并且有 \[(f_1 \amalg f_2)_! \underline{\mathbf{Z}} \longrightarrow f_{1, !}\underline{\mathbf{Z}} \oplus f_{2, !}\underline{\mathbf{Z}}\]

证明

一旦定义了这个映射，由上面对茎的描述可知它是同构。定义该映射时，只需在预层层次上工作。因此需要定义映射 \[\left(\bigoplus\nolimits_{\varphi_1 \in \Mor_X(V, U_1)} \mathbf{Z}\right) \otimes_{\mathbf{Z}} \left(\bigoplus\nolimits_{\varphi_2 \in \Mor_X(V, U_2)} \mathbf{Z}\right) \longrightarrow \bigoplus\nolimits_{\varphi \in \Mor_X(V, U_1 \times_X U_2)} \mathbf{Z}\] 使用显然的记号，把元素 \(1_{\varphi_1} \otimes 1_{\varphi_2}\) 映到元素 \(1_{\varphi_1 \times \varphi_2}\)。第二个等式的证明从略。

另一个重要性质是迹映射 \[\text{Tr}_f : f_!\underline{\mathbf{Z}} \longrightarrow \underline{\mathbf{Z}}.\] 迹映射伴随于映射 \(\mathbf{Z} \to f^{-1}\underline{\mathbf{Z}}\) （后者是同构）。若 \(\overline{x}\) 如上，则 \(\text{Tr}_f\) 在 \(\overline{x}\) 处的茎上是映射 \[(\text{Tr}_f)_{\overline{x}} : (f_!\underline{\mathbf{Z}})_{\overline{x}} = \bigoplus\nolimits_{\overline{u}} \mathbf{Z} \longrightarrow \mathbf{Z} = \underline{\mathbf{Z}}_{\overline{x}}\] 它把给定的整数相加。这是因为它伴随于映射 \(1 : \mathbf{Z} \to f^{-1}\underline{\mathbf{Z}}\)。特别地，若 \(f\) 既平展又为满射，则 \(\text{Tr}_f\) 也是满射。

假设 \(f : U \to X\) 是代数空间的平展满态射。考虑与上述迹映射相伴的 Koszul 复形 \[\ldots \to \wedge^3f_!\underline{\mathbf{Z}} \to \wedge^2f_!\underline{\mathbf{Z}} \to f_!\underline{\mathbf{Z}} \to \underline{\mathbf{Z}} \to 0\] 这里的外幂取在环层 \(\underline{\mathbf{Z}}\) 上。映射由规则 \[e_1 \wedge \ldots \wedge e_n \longmapsto \sum\nolimits_{i = 1, \ldots, n} (-1)^{i + 1} \text{Tr}_f(e_i) e_1 \wedge \ldots \wedge \widehat{e_i} \wedge \ldots \wedge e_n\] 定义，其中 \(e_1, \ldots, e_n\) 是 \(f_!\underline{\mathbf{Z}}\) 的局部截面。设 \(\overline{x}\) 为 \(X\) 的几何点，并令 \(M_{\overline{x}} = (f_!\underline{\mathbf{Z}})_{\overline{x}} = \bigoplus_{\overline{u}} \mathbf{Z}\)。则上述复形在 \(\overline{x}\) 处的茎为复形 \[\ldots \to \wedge^3 M_{\overline{x}} \to \wedge^2 M_{\overline{x}} \to M_{\overline{x}} \to \mathbf{Z} \to 0\] 它是正合的，因为 \(M_{\overline{x}} \to \mathbf{Z}\) 为满射；见 “关于代数的更多内容”引理 0626。因此，若以 \(K^\bullet = K^\bullet(f)\) 表示满足 \(K^i = \wedge^{i + 1}f_!\underline{\mathbf{Z}}\) 的复形，就得到拟同构 [0723]\[\begin{equation} K^\bullet \longrightarrow \underline{\mathbf{Z}}[0] \end{equation}\] 我们用复形 \(K^\bullet\) 定义与 \(f : U \to X\) 相伴的所谓交错 Čech 复形。

定义

设 \(S\) 为概形，\(f : U \to X\) 为 \(S\) 上代数空间的平展满态射，并设 \(\mathcal{F}\) 为 \(\textit{Ab}(X_\etale)\) 的对象。与 \(\mathcal{F}\) 和 \(f\) 相伴的交错 Čech 复形¹ \(\check{\mathcal{C}}^\bullet_{alt}(f, \mathcal{F})\) 是复形 \[\Hom(K^0, \mathcal{F}) \to \Hom(K^1, \mathcal{F}) \to \Hom(K^2, \mathcal{F}) \to \ldots\] 其中 Hom 群在 \(\textit{Ab}(X_\etale)\) 中计算。

读者可以验证：若 \(U = \coprod U_i\)，且 \(f|_{U_i} : U_i \to X\) 是某个子空间的开浸入，则 \(\check{\mathcal{C}}_{alt}^\bullet(f, \mathcal{F})\) 与“上同调” 第 01FG 节针对 Zariski 覆盖 \(X = \bigcup U_i\) 及 \(\mathcal{F}\) 在 \(X\) 的 Zariski 位点上的限制所引入的复形一致。不过更重要的是，把交错 Čech 复形的上同调与层上同调联系起来。

引理

设 \(S\) 为概形，\(f : U \to X\) 为 \(S\) 上代数空间的平展满态射，并设 \(\mathcal{F}\) 为 \(\textit{Ab}(X_\etale)\) 的对象。则在 \(D(\textit{Ab})\) 中存在典范映射 \[\check{\mathcal{C}}^\bullet_{alt}(f, \mathcal{F}) \longrightarrow R\Gamma(X, \mathcal{F})\] 此外，存在一个 \(E_1\) 页为 \[E_1^{p, q} = \Ext_{\textit{Ab}(X_\etale)}^q(K^p, \mathcal{F})\] 的谱序列，它收敛到 \(H^{p + q}(X, \mathcal{F})\)，其中 \(K^p = \wedge^{p + 1}f_!\underline{\mathbf{Z}}\)。

证明

回顾拟同构 \(K^\bullet \to \underline{\mathbf{Z}}[0]\)，见 (0723)。在 \(\textit{Ab}(X_\etale)\) 中选取单射消解 \(\mathcal{F} \to \mathcal{I}^\bullet\)。考虑二重复形 \(\Hom(K^\bullet, \mathcal{I}^\bullet)\)，其项为 \(\Hom(K^p, \mathcal{I}^q)\)。微分 \(d_1^{p, q} : A^{p, q} \to A^{p + 1, q}\) 来自微分 \(K^{p + 1} \to K^p\)，而微分 \(d_2^{p, q} : A^{p, q} \to A^{p, q + 1}\) 来自微分 \(\mathcal{I}^q \to \mathcal{I}^{q + 1}\)。以 \(\text{Tot}(\Hom(K^\bullet, \mathcal{I}^\bullet))\) 表示相应的全复形；见 “同调代数”第 0FNB 节。我们将使用与这个二重复形相伴的两个谱序列 \(({}'E_r, {}'d_r)\) 和 \(({}''E_r, {}''d_r)\)；见 “同调代数”第 012X 节。

因为 \(K^\bullet\) 是 \(\underline{\mathbf{Z}}\) 的消解，复形 \[\Hom(K^\bullet, \mathcal{I}^q) : \Hom(K^0, \mathcal{I}^q) \to \Hom(K^1, \mathcal{I}^q) \to \Hom(K^2, \mathcal{I}^q) \to \ldots\] 在正次数上无上同调，并且其 \(H^0\) 等于 \(\Gamma(X, \mathcal{I}^q)\)。因此由“同调代数”引理 0133，自然映射 \[\mathcal{I}^\bullet(X) \longrightarrow \text{Tot}(\Hom(K^\bullet, \mathcal{I}^\bullet))\] 是阿贝尔群复形的拟同构。特别地，有 \(H^n(\text{Tot}(\Hom(K^\bullet, \mathcal{I}^\bullet))) = H^n(X, \mathcal{F})\).

本引理中的映射 \(\check{\mathcal{C}}^\bullet_{alt}(f, \mathcal{F}) \to R\Gamma(X, \mathcal{F})\)，是映射 \(\check{\mathcal{C}}^\bullet_{alt}(f, \mathcal{F}) \to \text{Tot}(\Hom(K^\bullet, \mathcal{I}^\bullet))\) 与上述拟同构之逆的复合。

最后考虑谱序列 \(({}'E_r, {}'d_r)\)。有 \[E_1^{p, q} = q\text{次上同调，属于 } \Hom(K^p, \mathcal{I}^0) \to \Hom(K^p, \mathcal{I}^1) \to \Hom(K^p, \mathcal{I}^2) \to \ldots\] 这就证明了引理。

由该引理可见，理解 Ext 群 \(\Ext_{\textit{Ab}(X_\etale)}(K^p, \mathcal{F})\) 很重要；也就是说，要理解函子 \(\mathcal{F} \mapsto \Hom(K^p, \mathcal{F})\) 的右导出函子。

引理

设 \(S\) 为概形，\(f : U \to X\) 为 \(S\) 上代数空间的满、平展且分离的态射。对 \(p \geq 0\)，令 \[W_p = U \times_X \ldots \times_X U \setminus \text{所有对角线}\] 其中纤维积有 \(p + 1\) 个因子。在 \(X\) 上，\(S_{p + 1}\) 自由作用于 \(W_p\)，并且 \[\Hom(K^p, \mathcal{F}) = S_{p + 1}\text{-反不变元，属于 } \mathcal{F}(W_p)\] 这一等式关于 \(\mathcal{F}\) 函子性地成立，其中 \(K^p = \wedge^{p + 1}f_!\underline{\mathbf{Z}}\)。

证明

因为 \(U \to X\) 分离，对角态射 \(U \to U \times_X U\) 是闭浸入。又因为 \(U \to X\) 平展，该对角态射也是开浸入；见“代数空间的态射”引理 06CR 和 05W1。因此 \(W_p\) 是 \(U^{p + 1} = U \times_X \ldots \times_X U\) 的既开又闭子空间。我们已经删去这个作用的所有不动点，所以 \(S_{p + 1}\) 在 \(W_p\) 上的作用是自由的。由引理 0722，有 \[(f_!\underline{\mathbf{Z}})^{\otimes p + 1} = f^{p + 1}_!\underline{\mathbf{Z}} = (W_p \to X)_!\underline{\mathbf{Z}} \oplus Rest\] 其中 \(f^{p + 1} : U^{p + 1} \to X\) 是结构态射。考察 \(X\) 的几何点 \(\overline{x}\) 上方的茎，可见 \[\left( \bigoplus\nolimits_{\overline{u} \mapsto \overline{x}} \mathbf{Z} \right)^{\otimes p + 1} \longrightarrow (W_p \to X)_!\underline{\mathbf{Z}}_{\overline{x}}\] 是一个商映射，其核由所有满足某个 \(i \not = j\) 时 \(\overline{u}_i = \overline{u}_j\) 的张量 \(1_{\overline{u}_0} \otimes \ldots \otimes 1_{\overline{u}_p}\) 生成。因此商映射 \[(f_!\underline{\mathbf{Z}})^{\otimes p + 1} \longrightarrow \wedge^{p + 1}f_!\underline{\mathbf{Z}}\] 经由 \((W_p \to X)_!\underline{\mathbf{Z}}\) 分解；也就是说，得到 \[(f_!\underline{\mathbf{Z}})^{\otimes p + 1} \longrightarrow (W_p \to X)_!\underline{\mathbf{Z}} \longrightarrow \wedge^{p + 1}f_!\underline{\mathbf{Z}}\] 这已经证明 \(\Hom(K^p, \mathcal{F})\) 函子性地是下列群的子群： \[\Hom((W_p \to X)_!\underline{\mathbf{Z}}, \mathcal{F}) = \mathcal{F}(W_p)\] 要把它认作 \(S_{p + 1}\)-反不变元，需要证明满射 \((W_p \to X)_!\underline{\mathbf{Z}} \to \wedge^{p + 1}f_!\underline{\mathbf{Z}}\) 给出最大的 \(S_{p + 1}\)-反不变商。换言之，需要证明 \(\wedge^{p + 1}f_!\underline{\mathbf{Z}}\) 是 \((W_p \to X)_!\underline{\mathbf{Z}}\) 对下述子层的商：该子层由局部截面 \(s - \text{符号}(\sigma)\sigma(s)\) 生成，其中 \(s\) 是 \((W_p \to X)_!\underline{\mathbf{Z}}\) 的局部截面。这可以在茎上检验，而在茎上结论显然。

引理

设 \(S\) 为概形，\(W\) 为 \(S\) 上的代数空间，并设有限群 \(G\) 自由作用于 \(W\)。令 \(U = W/G\)，见“代数空间的性质”引理 071S。设 \(\chi : G \to \{+1, -1\}\) 为特征标。则 \(U_\etale\) 上存在秩为 \(1\) 的局部自由 \(\mathbf{Z}\)-模层 \(\underline{\mathbf{Z}}(\chi)\)，使得对 \(U_\etale\) 上任意阿贝尔层 \(\mathcal{F}\) 都有 \[H^0(W, \mathcal{F}|_W)^\chi = H^0(U, \mathcal{F} \otimes_{\mathbf{Z}} \underline{\mathbf{Z}}(\chi))\]

证明

商态射 \(q : W \to U\) 是 \(G\)-挠子；也就是说，存在平展满态射 \(U' \to U\)，使得作为 \(U'\) 上带 \(G\)-作用的空间，有 \(W \times_U U' = \coprod_{g \in G} U'\)（取 \(U' = W\) 即可）。因此 \(q_*\underline{\mathbf{Z}}\) 是带 \(G\)-作用的有限局部自由 \(\mathbf{Z}\)-模。对 \(U\) 的任意几何点 \(\overline{u}\)，得到 \(G\)-等变同构 \[(q_*\underline{\mathbf{Z}})_{\overline{u}} = \bigoplus\nolimits_{\overline{w} \mapsto \overline{u}} \mathbf{Z} = \bigoplus\nolimits_{g \in G} \mathbf{Z} = \mathbf{Z}[G]\] 第二个等号用到位于 \(\overline{u}\) 上方的一个几何点 \(\overline{w}_0\)，它把对应于 \(g \in G\) 的直和项映到对应于 \(g(\overline{w}_0)\) 的直和项。有 \[H^0(W, \mathcal{F}|_W) = H^0(U, \mathcal{F} \otimes_\mathbf{Z} q_*\underline{\mathbf{Z}})\] 这是因为 \(q_*\mathcal{F}|_W = \mathcal{F} \otimes_\mathbf{Z} q_*\underline{\mathbf{Z}}\)；限制到 \(U'\) 后即可检验。令 \[\underline{\mathbf{Z}}(\chi) = (q_*\underline{\mathbf{Z}})^\chi \subset q_*\underline{\mathbf{Z}}\] 为按 \(\chi\) 变换的截面所成的子层。对 \(U\) 的任意几何点 \(\overline{u}\)，有 \[\underline{\mathbf{Z}}(\chi)_{\overline{u}} = \mathbf{Z} \cdot \sum\nolimits_g \chi(g) g \subset \mathbf{Z}[G] = (q_*\underline{\mathbf{Z}})_{\overline{u}}\] 由此可知 \(\underline{\mathbf{Z}}(\chi)\) 是秩为 \(1\) 的局部自由层（更确切地说，应限制到 \(U'\) 后检验）。注意，对任意 \(\mathbf{Z}\)-模 \(M\)， \(M[G]\) 的 \(\chi\)-半不变元恰为形如 \(m \cdot \sum\nolimits_g \chi(g) g\) 的元素。因此，对 \(U\) 上任意阿贝尔层 \(\mathcal{F}\)，有 \[\left(\mathcal{F} \otimes_\mathbf{Z} q_*\underline{\mathbf{Z}}\right)^\chi = \mathcal{F} \otimes_\mathbf{Z} \underline{\mathbf{Z}}(\chi)\] 因为该等式在所有茎上成立。取整体截面即得引理结论。

现在把上述结果汇集起来，得到下面这个优美的结论。

引理

设 \(S\) 为概形，\(f : U \to X\) 为 \(S\) 上代数空间的满、平展且分离的态射。对 \(p \geq 0\)，令 \[W_p = U \times_X \ldots \times_X U \setminus \text{所有对角线}\] 如引理 0726，其中有 \(p + 1\) 个因子。设 \(\chi_p : S_{p + 1} \to \{+1, -1\}\) 为符号特征标，并令 \(U_p = W_p/S_{p + 1}\)；\(\underline{\mathbf{Z}}(\chi_p)\) 的含义同引理 0727。则引理 0725 中的谱序列，其 \(E_1\) 页为 \[E_1^{p, q} = H^q(U_p, \mathcal{F}|_{U_p} \otimes_\mathbf{Z} \underline{\mathbf{Z}}(\chi_p))\] 并收敛到 \(H^{p + q}(X, \mathcal{F})\)。

证明

注意，\(S_{p + 1}\) 在 \(W_p\) 上的作用是 \(X\) 上的作用，所以确实得到态射 \(U_p \to X\)。由于 \(W_p \to X\) 平展，且 \(W_p \to U_p\) 是平展满态射， \(U_p \to X\) 也平展；见“代数空间的态射”引理 03XT。因此 \(\textit{Ab}(X_\etale)\) 的单射对象限制为 \(\textit{Ab}(U_{p, \etale})\) 的单射对象；见“位点上的上同调”引理 03F3。此外，函子 \(\mathcal{G} \mapsto \mathcal{G} \otimes_\mathbf{Z} \underline{\mathbf{Z}}(\chi_p))\)

是 \(\textit{Ab}(U_p)\) 的自等价，因而把单射对象变为单射对象，并且是正合的（因为 \(\underline{\mathbf{Z}}(\chi_p)\) 是可逆 \(\underline{\mathbf{Z}}\)-模）。因此，给定 \(\textit{Ab}(X_\etale)\) 中的单射消解 \(\mathcal{F} \to \mathcal{I}^\bullet\)，复形 \[\Gamma(U_p, \mathcal{I}^0|_{U_p} \otimes_\mathbf{Z} \underline{\mathbf{Z}}(\chi_p)) \to \Gamma(U_p, \mathcal{I}^1|_{U_p} \otimes_\mathbf{Z} \underline{\mathbf{Z}}(\chi_p)) \to \Gamma(U_p, \mathcal{I}^2|_{U_p} \otimes_\mathbf{Z} \underline{\mathbf{Z}}(\chi_p)) \to \ldots\] 计算 \(H^*(U_p, \mathcal{F}|_{U_p} \otimes_\mathbf{Z} \underline{\mathbf{Z}}(\chi_p))\). 另一方面，由引理 0727，它等于下列复形中 \(S_{p + 1}\)-反不变元所成的复形： \[\Gamma(W_p, \mathcal{I}^0) \to \Gamma(W_p, \mathcal{I}^1) \to \Gamma(W_p, \mathcal{I}^2) \to \ldots\] 由引理 0726，后者又等于复形 \[\Hom(K^p, \mathcal{I}^0) \to \Hom(K^p, \mathcal{I}^1) \to \Hom(K^p, \mathcal{I}^2) \to \ldots\] 它计算 \(\Ext^*_{\textit{Ab}(X_\etale)}(K^p, \mathcal{F})\). 汇总以上各点即得结论。

拟凝聚层的高阶消失性

本节证明：给定拟紧拟分离代数空间 \(X\)，存在整数 \(n = n(X)\)，使得 \(X\) 上任意拟凝聚层的上同调在次数超过 \(n\) 时消失。

引理

沿用引理 0727 中的 \(S\)、\(W\)、\(G\)、\(U\)、\(\chi\)。若 \(\mathcal{F}\) 是拟凝聚 \(\mathcal{O}_U\)-模，则 \(\mathcal{F} \otimes_{\mathbf{Z}} \underline{\mathbf{Z}}(\chi)\) 也是。

证明

\(\mathcal{O}_U\)-模结构是显然的。要检验 \(\mathcal{F} \otimes_{\mathbf{Z}} \underline{\mathbf{Z}}(\chi)\) 拟凝聚，只需平展局部地检验。由于 \(\underline{\mathbf{Z}}(\chi)\) 作为 \(\underline{\mathbf{Z}}\)-模是有限局部自由的，引理随即成立。

即使 \(X\) 是概形，下面的命题也很有意义。它是“概形的上同调”引理 01XI 的自然推广。在陈述之前先注意：给定从仿射概形到拟分离代数空间 \(X\) 的平展态射 \(f : U \to X\)，\(f\) 的纤维普遍有界。特别地，存在整数 \(d\)，使得 \(|U| \to |X|\) 的每个纤维至多有 \(d\) 个点；这就是“合宜代数空间”引理 03JX 中的蕴含 \((\eta) \Rightarrow (\delta)\)。

命题

设 \(S\) 为概形，\(X\) 为 \(S\) 上拟紧且分离的代数空间。设 \(U\) 为仿射概形， \(f : U \to X\) 为平展满态射，并设 \(d\) 是 \(|U| \to |X|\) 各纤维大小的上界。则对任意拟凝聚 \(\mathcal{O}_X\)-模 \(\mathcal{F}\)，当 \(q \geq d\) 时有 \(H^q(X, \mathcal{F}) = 0\)。

证明

使用引理 0728 的谱序列。由于 \(U\) 分离， \(f\) 也分离，所以该引理适用；见“代数空间的态射”引理 03KR。因为 \(X\) 分离，概形 \(U \times_X \ldots \times_X U\) 是 \(U \times_{\Spec(\mathbf{Z})} \ldots \times_{\Spec(\mathbf{Z})} U\) 的闭子概形，因而仿射。所以 \(W_p\) 仿射。进而由“群胚”命题 03BM， \(U_p = W_p/S_{p + 1}\) 是仿射概形。

第 071Y 节的讨论说明，\(W_p\) 上拟凝聚层的上同调（把 \(W_p\) 看作代数空间）与底层仿射概形上相应拟凝聚层的上同调一致；所以由“概形的上同调”引理 01XB，它在正次数上消失。由引理 072A，层 \(\mathcal{F}|_{U_p} \otimes_\mathbf{Z} \underline{\mathbf{Z}}(\chi_p)\) 拟凝聚。因此 \(H^q(W_p, \mathcal{F}|_{U_p} \otimes_\mathbf{Z} \underline{\mathbf{Z}}(\chi_p))\) 在 \(q > 0\) 时为零。由整数 \(d\) 的定义，当 \(p \geq d\) 时 \(W_p = \emptyset\)。所以 \(H^0(W_p, \mathcal{F}|_{U_p} \otimes_\mathbf{Z} \underline{\mathbf{Z}}(\chi_p))\) 在 \(p \geq d\) 时也为零。这就证明了命题。

下面的引理证明：拟紧拟分离代数空间对于拟凝聚模具有有限上同调维数。我们明确写出这个界，只是因为稍后要用它证明高阶正像的类似结果。

引理

设 \(S\) 为概形，\(X\) 为 \(S\) 上拟紧拟分离的代数空间。则可以选取：

一个仿射概形 \(U\)；

一个平展满态射 \(f : U \to X\)；

一个整数 \(d\)，它界定 \(U \to X\) 各纤维的次数；

对每个 \(p = 0, 1, \ldots, d\)，从仿射概形 \(V_p\) 出发的平展满态射 \(V_p \to U_p\)，其中 \(U_p\) 的含义同引理 0728；以及

一个整数 \(d_p\)，它界定 \(V_p \to U_p\) 各纤维的次数。

此外，只要有 (1)–(5)，则对任意拟凝聚 \(\mathcal{O}_X\)-模 \(\mathcal{F}\)，当 \(q \geq \max(d_p + p)\) 时有 \(H^q(X, \mathcal{F}) = 0\)。

证明

由于 \(X\) 拟紧，可以找到平展满态射 \(U \to X\)，其中 \(U\) 仿射；见 “代数空间的性质”引理 03H6。由“合宜代数空间”引理 03JX，\(f\) 的纤维普遍有界，故可找到 \(d\)。有 \(U_p = W_p/S_{p + 1}\)，且 \(W_p \subset U \times_X \ldots \times_X U\) 既开又闭。由于 \(X\) 拟分离，概形 \(W_p\) 拟紧，因此 \(U_p\) 拟紧。由于 \(U\) 分离，概形 \(W_p\) 分离，所以由“代数空间”引理 02Z4 的绝对形式，\(U_p\) 分离。由“代数空间的性质”引理 03H6，

可以找到态射 \(V_p \to W_p\)。再由“合宜代数空间”引理 03JX，可以找到各整数 \(d_p\)。

此时，证明使用谱序列 \[E_1^{p, q} = H^q(U_p, \mathcal{F}|_{U_p} \otimes_\mathbf{Z} \underline{\mathbf{Z}}(\chi_p)) \Rightarrow H^{p + q}(X, \mathcal{F})\] 见引理 0728。由整数 \(d\) 的定义，

当 \(p \geq d\) 时 \(U_p = 0\)。由命题 072B 和引理 072A，可知 \(H^q(U_p, \mathcal{F}|_{U_p} \otimes_\mathbf{Z} \underline{\mathbf{Z}}(\chi_p))\) 当 \(p = 0, \ldots, d\) 且 \(q \geq d_p\) 时为零。引理随之成立。

高阶正像的消失性

应用第 0729 节的结果，可得拟紧拟分离态射下拟凝聚层高阶正像的消失性。这很有用，因为在某些情形下，它允许我们对上同调次数作降归纳。

引理

设 \(S\) 为概形，\(f : X \to Y\) 为 \(S\) 上代数空间的态射。假设：

\(f\) 拟紧且拟分离；

\(Y\) 拟紧。

则存在整数 \(n(X \to Y)\)，使得对任意代数空间 \(Y'\)、任意态射 \(Y' \to Y\)，以及 \(X' = Y' \times_Y X\) 上任意拟凝聚层 \(\mathcal{F}'\)，当 \(i \geq n(X \to Y)\) 时，高阶正像 \(R^if'_*\mathcal{F}'\) 为零。

证明

取平展满态射 \(V \to Y\)，其中 \(V\) 是仿射概形；见“代数空间的性质”引理 03H6。假设已经对基变换 \(f_V : V \times_Y X \to V\) 证明了结论，那么结论对 \(f\) 也成立，并可取 \(n(X \to Y) = n(X_V \to V)\)。事实上，若 \(Y' \to Y\) 与 \(\mathcal{F}'\) 如引理所述，则 \(R^if'_*\mathcal{F}'|_{V \times_Y Y'}\) 等于 \(R^if'_{V, *}\mathcal{F}'|_{X'_V}\)，其中 \(f'_V : X'_V = V \times_Y Y' \times_Y X \to V \times_Y Y' = Y'_V\)；见“代数空间的性质”引理 03LX。因此可以假设 \(Y\) 是仿射概形。

此外，要对所有 \(Y' \to Y\) 与 \(\mathcal{F}'\) 证明消失性，只需处理 \(Y'\) 为仿射概形的情形。此时由引理 0720， \(R^if'_*\mathcal{F}'\) 拟凝聚。因此只需证明 \(H^i(X', \mathcal{F}') = 0\)；因为由“位点上的上同调”引理 0733 以及仿射代数空间上拟凝聚层高阶上同调的消失性（命题 072B），有 \(H^i(X', \mathcal{F}') = H^0(Y', R^if'_*\mathcal{F}')\)。

按引理 072C 选取 \(U \to X\)、\(d\)、\(V_p \to U_p\) 与 \(d_p\)。对任意仿射概形 \(Y'\) 及态射 \(Y' \to Y\)，记 \(X' = Y' \times_Y X\)、\(U' = Y' \times_Y U\)、 \(V'_p = Y' \times_Y V_p\)。则

\(U' \to X'\)、\(d' = d\)、\(V'_p \to U'_p\) 以及 \(d'_p = d\)，构成代数空间 \(X'\) 的一组如引理 072C 所述的选择（细节从略）。所以当 \(i \geq \max(p + d_p)\) 时， \(H^i(X', \mathcal{F}') = 0\)，结论成立。

引理

设 \(S\) 为概形，\(f : X \to Y\) 为 \(S\) 上代数空间的仿射态射。则对任意拟凝聚 \(\mathcal{O}_X\)-模 \(\mathcal{F}\)，当 \(i > 0\) 时 \(R^if_*\mathcal{F} = 0\)。

证明

回顾代数空间的仿射态射是可表的。因此结论由 (071Z) 和“概形的上同调”引理 01XC 得到。

引理

设 \(S\) 为概形，\(f : X \to Y\) 为 \(S\) 上代数空间的仿射态射，并设 \(\mathcal{F}\) 为拟凝聚 \(\mathcal{O}_X\)-模。则对所有 \(i \geq 0\)，有 \(H^i(X, \mathcal{F}) = H^i(Y, f_*\mathcal{F})\)。

证明

这由引理 073H 和 Leray 谱序列得到。参见“位点上的上同调”引理 0733。

支撑在闭子空间上的上同调

本节是“上同调”第 0A39、 0G6Y 节以及“平展上同调”第 09XP 节针对代数空间上阿贝尔层的类似形式。

设 \(S\) 为概形，\(X\) 为 \(S\) 上的代数空间，\(Z \subset X\) 为闭子空间，并设 \(\mathcal{F}\) 为 \(X_\etale\) 上的阿贝尔层。令 \[\Gamma_Z(X, \mathcal{F}) = \{s \in \mathcal{F}(X) \mid \text{Supp}(s) \subset Z\}\] 为支撑在 \(Z\) 中的截面（见“代数空间的性质”定义 04KA）。这是一个左正合函子，但一般并不正合。因此得到导出函子 \[R\Gamma_Z(X, -) : D(X_\etale) \longrightarrow D(\textit{Ab})\] 并把支撑在 \(Z\) 中的上同调群定义为 \(H^q_Z(X, \mathcal{F}) = R^q\Gamma_Z(X, \mathcal{F})\)。

设 \(\mathcal{I}\) 为 \(X_\etale\) 上的单射阿贝尔层，\(U \subset X\) 为 \(Z\) 的补开子空间。则限制映射 \(\mathcal{I}(X) \to \mathcal{I}(U)\) 为满射（见“位点上的上同调”引理 093X），其核为 \(\Gamma_Z(X, \mathcal{I})\)。立即可得：对 \(K \in D(X_\etale)\)，在 \(D(\textit{Ab})\) 中有区分三角 \[R\Gamma_Z(X, K) \to R\Gamma(X, K) \to R\Gamma(U, K) \to R\Gamma_Z(X, K)[1]\] 从而得到上同调长正合列 \[\ldots \to H^i_Z(X, K) \to H^i(X, K) \to H^i(U, K) \to H^{i + 1}_Z(X, K) \to \ldots\] 其中 \(K\) 是 \(D(X_\etale)\) 的任意对象。

对 \(X_\etale\) 上的阿贝尔层 \(\mathcal{F}\)，可以考虑支撑在 \(Z\) 中的截面所成的子层，记为 \(\mathcal{H}_Z(\mathcal{F})\)，其定义规则为 \[\mathcal{H}_Z(\mathcal{F})(U) = \{s \in \mathcal{F}(U) \mid \text{Supp}(s) \subset U \times_X Z\}\] 这里使用“代数空间的性质”定义 04KA 中的截面支撑。利用“代数空间的态射” 引理 04E5 的等价，可把 \(\mathcal{H}_Z(\mathcal{F})\) 看成 \(Z_\etale\) 上的阿贝尔层。因此得到函子 \[\textit{Ab}(X_\etale) \longrightarrow \textit{Ab}(Z_\etale),\quad \mathcal{F} \longmapsto \mathcal{H}_Z(\mathcal{F})\] 它左正合，但一般并不正合。

引理

设 \(S\) 为概形，\(i : Z \to X\) 为 \(S\) 上代数空间的闭浸入，并设 \(\mathcal{I}\) 为 \(X_\etale\) 上的单射阿贝尔层。则 \(\mathcal{H}_Z(\mathcal{I})\) 是 \(Z_\etale\) 上的单射阿贝尔层。

证明

注意，对 \(Z_\etale\) 上任意阿贝尔层 \(\mathcal{G}\)，有 \[\Hom_Z(\mathcal{G}, \mathcal{H}_Z(\mathcal{F})) = \Hom_X(i_*\mathcal{G}, \mathcal{F})\] 因为 \(i_*\mathcal{G}\) 的任意截面终究都支撑在 \(Z\) 中。由于 \(i_*\) 正合（引理 0A4K），且 \(\mathcal{I}\) 在 \(X_\etale\) 上单射，可知 \(\mathcal{H}_Z(\mathcal{I})\) 在 \(Z_\etale\) 上单射。

以 \[R\mathcal{H}_Z : D(X_\etale) \longrightarrow D(Z_\etale)\] 表示导出函子。令 \(\mathcal{H}^q_Z(\mathcal{F}) = R^q\mathcal{H}_Z(\mathcal{F})\)，从而 \(\mathcal{H}^0_Z(\mathcal{F}) = \mathcal{H}_Z(\mathcal{F})\)。由上面的引理，有 Grothendieck 谱序列 \[E_2^{p, q} = H^p(Z, \mathcal{H}^q_Z(\mathcal{F})) \Rightarrow H^{p + q}_Z(X, \mathcal{F})\]

引理

设 \(S\) 为概形，\(i : Z \to X\) 为 \(S\) 上代数空间的闭浸入，并设 \(\mathcal{G}\) 为 \(Z_\etale\) 上的单射阿贝尔层。则当 \(p > 0\) 时， \(\mathcal{H}^p_Z(i_*\mathcal{G}) = 0\)。

证明

这是因为函子 \(i_*\) 正合（引理 0A4K），并把单射阿贝尔层变为单射阿贝尔层（见“位点上的上同调”引理 0730）。

引理

设 \(S\) 为概形，\(f : X \to Y\) 为 \(S\) 上代数空间的平展态射。设 \(Z \subset Y\) 为闭子空间，且 \(f^{-1}(Z) \to Z\) 是代数空间的同构。

设 \(\mathcal{F}\) 为 \(X\) 上的阿贝尔层。则 \[\mathcal{H}^q_Z(\mathcal{F}) = \mathcal{H}^q_{f^{-1}(Z)}(f^{-1}\mathcal{F})\] 作为 \(Z = f^{-1}(Z)\) 上的阿贝尔层有上述等式，并且 \(H^q_Z(Y, \mathcal{F}) = H^q_{f^{-1}(Z)}(X, f^{-1}\mathcal{F})\)。

证明

因为 \(f\) 平展，\(\mathcal{F}\) 的单射消解拉回为 \(f^{-1}\mathcal{F}\) 的单射消解。因此只需对 \(\mathcal{H}_Z(-)\) 检验等式，而这由定义直接得到。支撑上同调的证明相同。若干细节从略。

设 \(S\) 为概形，\(X\) 为 \(S\) 上的代数空间，\(T \subset |X|\) 为闭子集。以 \(D_T(X_\etale)\) 表示 \(D(X_\etale)\) 的严格满且饱和的三角子范畴，其对象的上同调层都支撑在 \(T\) 上。

引理

设 \(S\) 为概形，\(i : Z \to X\) 为 \(S\) 上代数空间的闭浸入。映射 \(Ri_* = i_* : D(Z_\etale) \to D(X_\etale)\) 诱导等价 \(D(Z_\etale) \to D_{|Z|}(X_\etale)\)，其拟逆为 \[i^{-1}|_{D_Z(X_\etale)} = R\mathcal{H}_Z|_{D_{|Z|}(X_\etale)}\]

证明

回顾 \(i^{-1}\) 与 \(i_*\) 是一对正合伴随函子，并且

\(i^{-1}i_*\) 同构于阿贝尔层上的 identify 函子。见“代数空间的性质”引理 04K2 和“代数空间的态射”引理 04E5。因此 \(i_* : D(Z_\etale) \to D_Z(X_\etale)\) 全忠实，而 \(i^{-1}\) 给出左逆。另一方面，设 \(K\) 为 \(D_Z(X_\etale)\) 的对象，并考虑伴随映射 \(K \to i_*i^{-1}K\). 由 \(i_*\) 与 \(i^{-1}\) 的正合性，它在上同调层上诱导伴随映射 \(H^n(K) \to i_*i^{-1}H^n(K)\)。由于这些上同调层支撑在 \(Z\) 上，这些伴随映射是同构，从而 \(D(Z_\etale) \to D_Z(X_\etale)\) 是等价。

最后还要证明：若 \(K\) 是 \(D_Z(X_\etale)\) 的对象，则 \(R\mathcal{H}_Z(K) = i^{-1}K\)。可以使用刚刚证明的 \(K = i_*i^{-1}K\)。为 \(i^{-1}K\) 选取一个 K-单射代表 \(\mathcal{I}^\bullet\)。由于 \(i_*\) 是正合函子 \(i^{-1}\) 的右伴随，复形 \(i_*\mathcal{I}^\bullet\) 是 K-单射的（见“导出范畴”引理 08BJ）。于是 \(R\mathcal{H}_Z(K)\) 由 \(\mathcal{H}_Z(i_*\mathcal{I}^\bullet) = \mathcal{I}^\bullet\) 计算，正合所需。

维数以上的消失性

设 \(S\) 为概形，\(X\) 为 \(S\) 上拟紧拟分离的代数空间。此时 \(|X|\) 是谱空间；见“代数空间的性质”引理 0A4G。此外，\(X\) 的维数（定义见“代数空间的性质”定义 04N6）等于 \(|X|\) 的 Krull 维数；见“合宜代数空间”引理 0A4J。我们将证明：\(X\) 上拟凝聚层的上同调在超过维数的次数上消失。即便只考虑域上有限型的拟分离代数空间，这个结果也已经很有意义。

引理

设 \(S\) 为概形，\(X\) 为 \(S\) 上拟紧拟分离的代数空间，并假设对某个整数 \(d\) 有 \(\dim(X) \leq d\)。

设 \(\mathcal{F}\) 为 \(X\) 上的拟凝聚层 \(\mathcal{F}\)。

\(H^q(X, \mathcal{F}) = 0\) for \(q > d\),

对任意拟紧开子空间 \(U \subset X\)， \(H^d(X, \mathcal{F}) \to H^d(U, \mathcal{F})\) 为满射；

对任意补集拟紧的闭子空间 \(Z \subset X\)，当 \(q > d\) 时 \(H^q_Z(X, \mathcal{F}) = 0\)。

证明

由“代数空间的性质”引理 0A4H，每个在 \(X\) 上平展的代数空间 \(Y\) 都满足维数 \(\leq d\)。若 \(Y\) 拟分离，则由“合宜代数空间”引理 0A4J，\(Y\) 的维数等于 \(|Y|\) 的 Krull 维数。此外，若 \(Y\) 是概形，则 \(\mathcal{F}\) 在 \(Y\) 上的平展上同调（相应地，支撑在闭子概形上的平展上同调）与 \(\mathcal{F}\) 的通常上同调（相应地，支撑在该闭子概形上的通常上同调）一致。见“下降”命题 03DW 和“平展上同调”引理 0A46。下文将不加说明地使用这些事实。

由“合宜代数空间”引理 07ST，存在整数 \(n\) 以及开子空间 \[\emptyset = U_{n + 1} \subset U_n \subset U_{n - 1} \subset \ldots \subset U_1 = X\] 它们具有如下性质：令 \(T_p = U_p \setminus U_{p + 1}\)，赋予其诱导的既约子空间结构；则存在拟紧分离概形 \(V_p\) 以及平展满态射 \(f_p : V_p \to U_p\)，使 \(f_p^{-1}(T_p) \to T_p\) 为同构。

由于 \(U_n = V_n\) 是概形，由开头的说明和“上同调”命题 0A3G， \(\mathcal{F}\) 在 \(U_n\) 上的上同调在次数 \(> d\) 时消失。归纳地假设已经证明：当 \(q > d\) 时，\(H^q(U_{p + 1}, \mathcal{F}|_{U_{p + 1}}) = 0\)。要推出 \(\mathcal{F}\) 在 \(U_p\) 上的上同调在次数 \(> d\) 时消失，只需证明当 \(q > d\) 时 \(H_{T_p}^q(U_p, \mathcal{F})\) 为零。而由引理 0A4P，有 \[H^q_{T_p}(U_p, \mathcal{F}) = H^q_{f_p^{-1}(T_p)}(V_p, \mathcal{F})\] 又因为 \(V_p\) 是概形，所需消失性由“上同调”命题 0A3G 得到。由此证明了 (1)。

为证明 (2)，设 \(U \subset X\) 为拟紧开子空间。考虑开子空间 \(U' = U \cup U_n\)，并令 \(Z = U' \setminus U\)。则 \(g : U_n \to U'\) 是平展态射，且 \(g^{-1}(Z) \to Z\) 为同构。因此由引理 0A4P，有 \(H^q_Z(U', \mathcal{F}) = H^q_Z(U_n, \mathcal{F})\)。由于 \(U_n\) 是概形，可应用“上同调”命题 0A3G，所以它在次数 \(> d\) 时消失。于是 \(H^d(U', \mathcal{F}) \to H^d(U, \mathcal{F})\) 为满射。归纳地假设问题已经归结到 \(U\) 包含 \(U_{p + 1}\) 的情形。令 \(U' = U \cup U_p\)、\(Z = U' \setminus U\)，并使用平展态射 \(f_p : V_p \to U'\)；它满足 \(f_p^{-1}(Z) \to Z\) 为同构。换言之，再次有 \[H^q_Z(U', \mathcal{F}) = H^q_{f_p^{-1}(Z)}(V_p, \mathcal{F})\] 它在次数 \(> d\) 时消失。因此 \(H^d(U', \mathcal{F}) \to H^d(U, \mathcal{F})\) 为满射。最终到达 \(U_1 = X \subset U\) 的阶段，证明完成。

形式论证说明 (2) 蕴含 (3)。

上同调与基变换（一）

设 \(S\) 为一个概形。设 \(f : X \to Y\) 为 \(S\) 上代数空间之间的态射，并设 \(\mathcal{F}\) 为 \(X\) 上的拟凝聚层。再设 \(g : Y' \to Y\) 为 \(S\) 上代数空间之间的态射。记 \(X' = X_{Y'} = Y' \times_Y X\) 为 \(X\) 的基变换，并记 \(f' : X' \to Y'\) 为 \(f\) 的基变换。还把投影记为 \(g' : X' \to X\)，并令 \(\mathcal{F}' = (g')^*\mathcal{F}\)。下图表示这一情形： [073J]\[\begin{equation} \vcenter{ \xymatrix{ \mathcal{F}' = (g')^*\mathcal{F} & X' \ar[r]_{g'} \ar[d]_{f'} & X \ar[d]^f & \mathcal{F} \\ Rf'_*\mathcal{F}' & Y' \ar[r]^g & Y & Rf_*\mathcal{F} } } \end{equation}\] 下面是我们所考虑的基变换性质最简单的情形。

引理

设 \(S\) 为一个概形。设 \(f : X \to Y\) 为 \(S\) 上代数空间之间的仿射态射，并设 \(\mathcal{F}\) 为拟凝聚 \(\mathcal{O}_X\)-模。此时 \(f_*\mathcal{F} \cong Rf_*\mathcal{F}\) 是拟凝聚层，而且对于每个图 (073J)，都有 \[g^*f_*\mathcal{F} = f'_*(g')^*\mathcal{F}.\]

证明

由 (071Z) 附近的讨论，问题归结为概形之间仿射态射的情形；该情形已在《概形的上同调》引理 02KG 中处理。

引理

设 \(S\) 为一个概形。考虑 \(S\) 上代数空间的笛卡尔图 \[\xymatrix{ X' \ar[d]_{f'} \ar[r]_{g'} & X \ar[d]^f \\ Y' \ar[r]^g & Y }\] 设 \(\mathcal{F}\) 为拟凝聚 \(\mathcal{O}_X\)-模，其拉回为 \(\mathcal{F}' = (g')^*\mathcal{F}\)。假设 \(g\) 平坦，且 \(f\) 拟紧、拟分离。对于任意 \(i \geq 0\)，

《站点上的上同调》引理 0736 中的基变换映射 \[g^*R^if_*\mathcal{F} \longrightarrow R^if'_*\mathcal{F}',\] 是同构；

如果 \(Y = \Spec(A)\) 且 \(Y' = \Spec(B)\)，则 \(H^i(X, \mathcal{F}) \otimes_A B = H^i(X', \mathcal{F}')\).

证明

由《空间的态射》引理 03MO，态射 \(g'\) 平坦。注意，\(g\) 和 \(g'\) 的平坦性等价于相应小 étale 带环站点之间态射的平坦性，见《空间的态射》引理 073C。因此可以应用《站点上的上同调》引理 0736 得到基变换映射 \[g^*R^pf_*\mathcal{F} \longrightarrow R^pf'_*\mathcal{F}'\] 为了证明此映射是同构，可以在 \(Y'\) 的 étale 拓扑下局部地验证。因此可以假设 \(Y\) 和 \(Y'\) 都是仿射概形。不妨写成 \(Y = \Spec(A)\) 和 \(Y' = \Spec(B)\)。此时真正要证明的是映射 \[H^p(X, \mathcal{F}) \otimes_A B \longrightarrow H^p(X_B, \mathcal{F}_B)\] 是同构，其中 \(X_B = \Spec(B) \times_{\Spec(A)} X\)，而 \(\mathcal{F}_B\) 是 \(\mathcal{F}\) 在 \(X_B\) 上的拉回。换言之，只需证明 (2)。

固定一个平坦环同态 \(A \to B\)，并设 \(X\) 为 \(A\) 上拟紧且拟分离的代数空间。注意，\(g' : X_B \to X\) 是 \(\Spec(B) \to \Spec(A)\) 的基变换，因而是仿射的。故由引理 073H，高阶正像 \(R^i(g')_*\mathcal{F}_B\) 均为零。因此 \(H^p(X_B, \mathcal{F}_B) = H^p(X, g'_*\mathcal{F}_B)\)，见《站点上的上同调》引理 0733。此外，有 \[g'_*\mathcal{F}_B = \mathcal{F} \otimes_{\underline{A}} \underline{B}\] 其中 \(\underline{A}\)、\(\underline{B}\) 表示取值分别为 \(A\)、\(B\) 的常值环层。事实上，显然存在一个从右端到左端的映射。对于任意 étale 于 \(X\) 的仿射概形 \(U\)，有 \[\begin{align*} g'_*\mathcal{F}_B(U) & = \mathcal{F}_B(\Spec(B) \times_{\Spec(A)} U) \\ & = \Gamma(\Spec(B) \times_{\Spec(A)} U, (\Spec(B) \times_{\Spec(A)} U \to U)^*\mathcal{F}|_U) \\ & = B \otimes_A \mathcal{F}(U) \end{align*}\] 所以该映射是同构。利用 Lazard 定理，把 \(B = \colim M_i\) 写成有限自由 \(A\)-模 \(M_i\) 的滤过余极限，见《代数》定理 058G。由此得到 \[\begin{align*} H^p(X, g'_*\mathcal{F}_B) & = H^p(X, \mathcal{F} \otimes_{\underline{A}} \underline{B}) \\ & = H^p(X, \colim_i \mathcal{F} \otimes_{\underline{A}} \underline{M_i}) \\ & = \colim_i H^p(X, \mathcal{F} \otimes_{\underline{A}} \underline{M_i}) \\ & = \colim_i H^p(X, \mathcal{F}) \otimes_A M_i \\ & = H^p(X, \mathcal{F}) \otimes_A \colim_i M_i \\ & = H^p(X, \mathcal{F}) \otimes_A B \end{align*}\] 第一个等式来自上面已经证明的 \(g'_*\mathcal{F}_B = \mathcal{F} \otimes_{\underline{A}} \underline{B}\)。第二个等式是因为 \(\otimes\) 与余极限交换。第三个等式是因为 \(X\) 上的上同调与余极限交换（见引理 073E）。第四个等式是因为 \(M_i\) 有限自由（也就是说，上同调与有限直和交换）。第五个等式是因为 \(\otimes\) 与余极限交换。第六个等式来自我们对该系统的选取。

引理

设 \(f : X \to Y\) 为代数空间之间拟紧、分离的 étale 态射。则对于任意拟凝聚 \(\mathcal{O}_X\)-模 \(\mathcal{F}\)，映射 \(f^*f_*\mathcal{F} \to \mathcal{F}\) 是分裂的。

证明

考虑笛卡尔图 \[\xymatrix{ X \times_Y X \ar[r]_-p \ar[d]_q & X \ar[d]^f \\ X \ar[r]^f & Y }\] 由引理 07U8，有 \(f^*f_*\mathcal{F} = q_*p^*\mathcal{F}\)。态射 \(\Delta : X \to X \times_Y X\) 是开的（因为它是两个 étale 于 \(Y\) 的代数空间之间的态射），又因 \(f\) 分离而是闭的。因此可见， \(p^*\mathcal{F}\) 是 \(\Delta_*\mathcal{F}\) 与一个支撑在 \(\Delta(X)\) 的（开闭）补集上的拟凝聚模的直和。追踪这些映射，读者可验证 \[\mathcal{F} = q_*\Delta_*\mathcal{F} \to q_*p^*\mathcal{F} = f^*f_*\mathcal{F} \to \mathcal{F}\] 是恒等映射。细节从略。

局部 Noether 代数空间上的凝聚模

本节对应于《概形的上同调》01XY 节。在《站点上的模》定义 03DL 中，我们已经定义了任意带环拓扑斯上的凝聚模。这里用这一概念定义局部 Noether 代数空间上的凝聚模。虽然也可以在更一般的情形下研究凝聚模，但我们不打算这样做。

定义

设 \(S\) 为一个概形，\(X\) 为 \(S\) 上的局部 Noether 代数空间。如果 \(X\) 上的拟凝聚模 \(\mathcal{F}\) 按照《站点上的模》定义 03DL 的意义，是站点 \(X_\etale\) 上的凝聚 \(\mathcal{O}_X\)-模，则称 \(\mathcal{F}\) 是凝聚的。

这一定义与局部 Noether 概形上已有的凝聚模概念相容；见《空间的性质》 05VR 节中的断言 (5)（或更直接地，见《下降》引理 05VG）。因此，从现在起，如果 \(X\) 是 \(S\) 上的局部 Noether 概形，我们将不再区分把 \(X\) 看作概形时的凝聚模与把 \(X\) 看作代数空间时的凝聚模；这与《空间的性质》03G5 节所讨论的拟凝聚模范畴的相应等同相容。

在上述约定下，下面的引理给出了局部 Noether 代数空间上凝聚模的一种直观刻画。

引理

设 \(S\) 为一个概形，\(X\) 为 \(S\) 上的局部 Noether 代数空间，并设 \(\mathcal{F}\) 为一个 \(\mathcal{O}_X\)-模。下列条件等价：

\(\mathcal{F}\) 是凝聚的；

\(\mathcal{F}\) 是有限型拟凝聚 \(\mathcal{O}_X\)-模；

\(\mathcal{F}\) 是有限表示的 \(\mathcal{O}_X\)-模；

对于任意 étale 态射 \(\varphi : U \to X\)，其中 \(U\) 是概形，拉回 \(\varphi^*\mathcal{F}\) 是 \(U\) 上的凝聚模；

存在满 étale 态射 \(\varphi : U \to X\)，其中 \(U\) 是概形，使得拉回 \(\varphi^*\mathcal{F}\) 是 \(U\) 上的凝聚模。

特别地，\(\mathcal{O}_X\) 是凝聚的，任意可逆 \(\mathcal{O}_X\)-模是凝聚的；更一般地，任意有限局部自由 \(\mathcal{O}_X\)-模都是凝聚的。

证明

首先，如果 \(X\) 是局部 Noether 代数空间，而 \(U \to X\) 是 étale 态射，则 \(U\) 是局部 Noether 的，见《空间的性质》 03E5 节。于是本引理由《空间的性质》05VR 节中的 (1)–(5) 以及局部 Noether 概形上凝聚模的相应结论推出；后者见《概形的上同调》引理 01XZ。

引理

设 \(S\) 为一个概形，\(X\) 为 \(S\) 上的局部 Noether 代数空间。凝聚 \(\mathcal{O}_X\)-模所成的范畴是 Abel 范畴。更确切地说，凝聚 \(\mathcal{O}_X\)-模之间态射的核与余核都是凝聚的。凝聚层的任意扩张也是凝聚的。

证明

选取一个概形 \(U\) 和满 étale 态射 \(f : U \to X\)。拉回 \(f^*\) 等于限制函子，因而是正合函子，见《空间的性质》公式 (03LW)。由引理 07UB，可以通过检验 \(f^*\mathcal{F}\) 是否凝聚来检验 \(\mathcal{O}_X\)-模 \(\mathcal{F}\) 是否凝聚。因此本引理由概形的情形推出；该情形即《概形的上同调》引理 01Y0。

凝聚模构成拟凝聚 \(\mathcal{O}_X\)-模范畴的一个 Serre 子范畴。对于一般带环拓扑斯上的模，这一结论并不成立。

引理

设 \(S\) 为一个概形，\(X\) 为 \(S\) 上的局部 Noether 代数空间，并设 \(\mathcal{F}\) 为凝聚 \(\mathcal{O}_X\)-模。\(\mathcal{F}\) 的任意拟凝聚子模都是凝聚的，\(\mathcal{F}\) 的任意拟凝聚商模也都是凝聚的。

证明

选取一个概形 \(U\) 和满 étale 态射 \(f : U \to X\)。拉回 \(f^*\) 等于限制函子，因而是正合函子，见《空间的性质》公式 (03LW)。由引理 07UB，可以通过检验 \(f^*\mathcal{H}\) 是否凝聚来检验 \(\mathcal{O}_X\)-模 \(\mathcal{G}\) 是否凝聚。因此本引理由概形的情形推出；该情形即《概形的上同调》引理 01Y1。

引理

设 \(S\) 为一个概形。设 \(X\) 为 \(S\) 上的局部 Noether 代数空间，。设 \(\mathcal{F}\)、\(\mathcal{G}\) 为凝聚 \(\mathcal{O}_X\)-模。则 \(\mathcal{O}_X\)-模 \(\mathcal{F} \otimes_{\mathcal{O}_X} \mathcal{G}\) 和 \(\SheafHom_{\mathcal{O}_X}(\mathcal{F}, \mathcal{G})\) 都是凝聚的。

证明

由引理 07UB，这可由概形的相应结论推出，见《概形的上同调》引理 01Y2。

引理

设 \(S\) 为一个概形，\(X\) 为 \(S\) 上的局部 Noether 代数空间。设 \(\mathcal{F}\)、\(\mathcal{G}\) 为凝聚 \(\mathcal{O}_X\)-模，且 \(\varphi : \mathcal{G} \to \mathcal{F}\) 为 \(\mathcal{O}_X\)-模同态。设 \(\overline{x}\) 为 \(X\) 上位于 \(x \in |X|\) 之上的几何点。

如果 \(\mathcal{F}_{\overline{x}} = 0\)，则存在 \(x\) 的开邻域 \(X' \subset X\)，使得 \(\mathcal{F}|_{X'} = 0\)。

如果 \(\varphi_{\overline{x}} : \mathcal{G}_{\overline{x}} \to \mathcal{F}_{\overline{x}}\) 是单射，则存在 \(x\) 的开邻域 \(X' \subset X\)，使得 \(\varphi|_{X'}\) 是单射。

如果 \(\varphi_{\overline{x}} : \mathcal{G}_{\overline{x}} \to \mathcal{F}_{\overline{x}}\) 是满射，则存在 \(x\) 的开邻域 \(X' \subset X\)，使得 \(\varphi|_{X'}\) 是满射。

如果 \(\varphi_{\overline{x}} : \mathcal{G}_{\overline{x}} \to \mathcal{F}_{\overline{x}}\) 是双射，则存在 \(x\) 的开邻域 \(X' \subset X\)，使得 \(\varphi|_{X'}\) 是同构。

证明

设 \(\varphi : U \to X\) 为 étale 态射，其中 \(U\) 是概形，并设 \(u \in U\) 为映到 \(x\) 的点。由《空间的性质》引理 05VP 及 04KF 以及《代数进阶》引理 07QM，可见 \(\varphi_{\overline{x}}\) 是单射、满射或双射，当且仅当 \(\varphi_u : \varphi^*\mathcal{F}_u \to \varphi^*\mathcal{G}_u\) 具有相应性质。因此可以应用本引理的概形版本，得到（必要时缩小 \(U\) 后）映射 \(\varphi^*\mathcal{F} \to \varphi^*\mathcal{G}\) 是单射、满射或同构。设 \(X' \subset X\) 为与 \(|\varphi|(|U|) \subset |X|\) 对应的开子空间，见《空间的性质》引理 03BZ。由于 \(\{U \to X'\}\) 是 étale 拓扑的覆盖，便得到 \(\varphi|_{X'}\) 如所要求地为单射、满射或同构。最后，考察映射 \(\mathcal{F} \to 0\) 即可看出 (1) 由 (2) 推出。

引理

设 \(S\) 为一个概形，\(X\) 为 \(S\) 上的局部 Noether 代数空间。设 \(\mathcal{F}\) 为凝聚 \(\mathcal{O}_X\)-模，\(i : Z \to X\) 为 \(\mathcal{F}\) 的概形论支撑，并设 \(\mathcal{G}\) 为满足 \(i_*\mathcal{G} = \mathcal{F}\) 的拟凝聚 \(\mathcal{O}_Z\)-模，见《空间的态射》定义 07U1。则 \(\mathcal{G}\) 是凝聚 \(\mathcal{O}_Z\)-模。

证明

本引理的陈述是有意义的，因为凝聚模尤其是有限型的。此外，\(Z \to X\) 是闭浸入，因而是局部有限型的，所以 \(Z\) 局部 Noether；见《空间的态射》引理 06ED 及 04ZK。最后，由于 \(\mathcal{G}\) 是有限型的，引理 07UB 表明它是凝聚 \(\mathcal{O}_Z\)-模。

引理

设 \(S\) 为一个概形，\(i : Z \to X\) 为 \(S\) 上局部 Noether 代数空间之间的闭浸入。设 \(\mathcal{I} \subset \mathcal{O}_X\) 为定义 \(Z\) 的拟凝聚理想层。函子 \(i_*\) 在被 \(\mathcal{I}\) 零化的凝聚 \(\mathcal{O}_X\)-模范畴与凝聚 \(\mathcal{O}_Z\)-模范畴之间诱导一个等价。

证明

由《空间的态射》引理 04CJ，此函子全忠实。设 \(\mathcal{F}\) 为被 \(\mathcal{I}\) 零化的凝聚 \(\mathcal{O}_X\)-模。由《空间的态射》引理 04CJ，可将 \(\mathcal{F}\) 写成 \(i_*\mathcal{G}\)，其中 \(\mathcal{G}\) 是 \(Z\) 上的某个拟凝聚层。为了检验 \(\mathcal{G}\) 凝聚，可以在 étale 拓扑下局部地验证（引理 07UB）。选取一个由概形给出的 étale 覆盖后，概形的情形（《概形的上同调》引理 087T）表明 \(\mathcal{G}\) 凝聚。因此该函子全忠实，证明完成。

引理

设 \(S\) 为一个概形，\(f : X \to Y\) 为 \(S\) 上代数空间之间的有限态射，且 \(Y\) 局部 Noether。设 \(\mathcal{F}\) 为凝聚 \(\mathcal{O}_X\)-模。假设 \(f\) 有限且 \(Y\) 局部 Noether。则当 \(p > 0\) 时 \(R^pf_*\mathcal{F} = 0\)，并且 \(f_*\mathcal{F}\) 凝聚。

证明

选取一个概形 \(V\) 和满 étale 态射 \(V \to Y\)。则 \(V \times_Y X \to V\) 是局部 Noether 概形之间的有限态射。由 (071Z)，问题归结为概形的情形；该情形即《概形的上同调》引理 01Y6。

Noether 空间上的凝聚层

本节介绍 Noether 代数空间上凝聚层的一些性质。

引理

设 \(S\) 为一个概形，\(X\) 为 \(S\) 上的 Noether 代数空间，并设 \(\mathcal{F}\) 为凝聚 \(\mathcal{O}_X\)-模。\(\mathcal{F}\) 的拟凝聚子模满足升链条件。换言之，给定任意拟凝聚子模序列 \[\mathcal{F}_1 \subset \mathcal{F}_2 \subset \ldots \subset \mathcal{F}\] 则存在某个 \(n \geq 0\)，使得 \(\mathcal{F}_n = \mathcal{F}_{n + 1} = \ldots\)。

证明

选取一个仿射概形 \(U\) 和满 étale 态射 \(U \to X\)（见《空间的性质》引理 03H6）。由《空间的态射》引理 04ZK， \(U\) 是 Noether 概形。如果 \(\mathcal{F}_n|_U = \mathcal{F}_{n + 1}|_U = \ldots\)，则 \(\mathcal{F}_n = \mathcal{F}_{n + 1} = \ldots\)。因此结论可由概形的情形推出，见《概形的上同调》引理 01Y8。

引理

设 \(S\) 为一个概形，\(X\) 为 \(S\) 上的 Noether 代数空间。设 \(\mathcal{F}\) 为 \(X\) 上的凝聚层，并设 \(\mathcal{I} \subset \mathcal{O}_X\) 为与闭子空间 \(Z \subset X\) 对应的拟凝聚理想层。存在某个 \(n \geq 0\) 使 \(\mathcal{I}^n\mathcal{F} = 0\)，当且仅当（在集合论意义下） \(\text{Supp}(\mathcal{F}) \subset Z\)。

证明

选取一个仿射概形 \(U\) 和满 étale 态射 \(U \to X\)（见《空间的性质》引理 03H6）。由《空间的态射》引理 04ZK， \(U\) 是 Noether 概形。注意，\(\mathcal{I}^n\mathcal{F}|_U = 0\) 当且仅当 \(\mathcal{I}^n\mathcal{F} = 0\)，支撑的条件也同样如此。因此结论可由概形的情形推出，见《概形的上同调》引理 01Y9。

引理

设 \(S\) 为一个概形，\(X\) 为 \(S\) 上的 Noether 代数空间。设 \(\mathcal{F}\) 为 \(X\) 上的凝聚层，\(\mathcal{G} \subset \mathcal{F}\) 为拟凝聚子层，并设 \(\mathcal{I} \subset \mathcal{O}_X\) 为拟凝聚理想层。则存在 \(c \geq 0\)，使得对于所有 \(n \geq c\)，都有 \[\mathcal{I}^{n - c}(\mathcal{I}^c\mathcal{F} \cap \mathcal{G}) = \mathcal{I}^n\mathcal{F} \cap \mathcal{G}\]

证明

选取一个仿射概形 \(U\) 和满 étale 态射 \(U \to X\)（见《空间的性质》引理 03H6）。由《空间的态射》引理 04ZK， \(U\) 是 Noether 概形。本引理中的等式成立，当且仅当把它限制到 \(U\) 后成立。因此结论可由概形的情形推出，见《概形的上同调》引理 01YA。

引理

设 \(S\) 为一个概形，\(X\) 为 \(S\) 上的 Noether 代数空间。设 \(\mathcal{F}\) 为拟凝聚 \(\mathcal{O}_X\)-模，\(\mathcal{G}\) 为凝聚 \(\mathcal{O}_X\)-模，并设 \(\mathcal{I} \subset \mathcal{O}_X\) 为拟凝聚理想层。记 \(Z \subset X\) 为相应的闭子空间，并令 \(U = X \setminus Z\)。存在典范同构 \[\colim_n \Hom_{\mathcal{O}_X}(\mathcal{I}^n\mathcal{G}, \mathcal{F}) \longrightarrow \Hom_{\mathcal{O}_U}(\mathcal{G}|_U, \mathcal{F}|_U).\] 特别地，有同构 \[\colim_n \Hom_{\mathcal{O}_X}(\mathcal{I}^n, \mathcal{F}) \longrightarrow \Gamma(U, \mathcal{F}).\]

证明

设 \(W\) 为仿射概形，并设 \(W \to X\) 为满 étale 态射（见《空间的性质》引理 03H6）。令 \(R = W \times_X W\)。则 \(W\) 和 \(R\) 都是 Noether 概形，见《空间的态射》引理 04ZK。因此，由《概形的上同调》引理 01YB，该结论对于 \(\mathcal{F}\)、\(\mathcal{G}\)、\(\mathcal{I}\)、\(U\)、\(Z\) 在 \(W\) 和 \(R\) 上的限制成立。由此形式地推出该结论在 \(X\) 上成立。

凝聚层的逐层剥离

本节对应于《概形的上同调》01YC 节。

引理

设 \(S\) 为一个概形，\(X\) 为 \(S\) 上的 Noether 代数空间，并设 \(\mathcal{F}\) 为 \(X\) 上的凝聚层。假设 \(\text{Supp}(\mathcal{F}) = Z \cup Z'\)，其中 \(Z\)、\(Z'\) 都是闭集。则存在凝聚层的短正合列 \[0 \to \mathcal{G}' \to \mathcal{F} \to \mathcal{G} \to 0\] 满足 \(\text{Supp}(\mathcal{G}') \subset Z'\) 且 \(\text{Supp}(\mathcal{G}) \subset Z\)。

证明

设 \(\mathcal{I} \subset \mathcal{O}_X\) 为定义 \(Z\) 上约化诱导闭子空间结构的理想层，见《空间的性质》引理 03IQ。考虑子层 \(\mathcal{G}'_n = \mathcal{I}^n\mathcal{F}\) 以及商层 \(\mathcal{G}_n = \mathcal{F}/\mathcal{I}^n\mathcal{F}\)。对于每个 \(n\)，都有短正合列 \[0 \to \mathcal{G}'_n \to \mathcal{F} \to \mathcal{G}_n \to 0\] 对于 \(Z' \setminus Z\) 的每个几何点 \(\overline{x}\)，有 \(\mathcal{I}_{\overline{x}} = \mathcal{O}_{X, \overline{x}}\)，因而 \(\mathcal{G}_{n, \overline{x}} = 0\)。所以 \(\text{Supp}(\mathcal{G}_n) \subset Z\)。注意，\(X \setminus Z'\) 是 Noether 代数空间。因此由引理 07UK，存在 \(n\) 使得 \(\mathcal{G}'_n|_{X \setminus Z'} = \mathcal{I}^n\mathcal{F}|_{X \setminus Z'} = 0\)。对于这样的 \(n\)，有 \(\text{Supp}(\mathcal{G}'_n) \subset Z'\)。取 \(\mathcal{G}' = \mathcal{G}'_n\) 和 \(\mathcal{G} = \mathcal{G}_n\) 即可。

下文将自由使用《空间的态射》定义 07U1 中所定义的有限型模的概形论支撑。

引理

设 \(S\) 为一个概形，\(X\) 为 \(S\) 上的 Noether 代数空间，并设 \(\mathcal{F}\) 为 \(X\) 上的凝聚层。假设 \(\mathcal{F}\) 的概形论支撑是约化的 \(Z \subset X\)，且 \(|Z|\) 不可约。则存在整数 \(r > 0\)、非零理想层 \(\mathcal{I} \subset \mathcal{O}_Z\)，以及凝聚层之间的单射 \[i_*\left(\mathcal{I}^{\oplus r}\right) \to \mathcal{F}\] 其余核支撑在 \(Z\) 的一个真闭子空间上。

证明

由假设，存在支撑为 \(Z\) 的凝聚 \(\mathcal{O}_Z\)-模 \(\mathcal{G}\)，使得 \(\mathcal{F} \cong i_*\mathcal{G}\)，见引理 07UG。因此只需在 \(Z = X\) 且 \(i = \text{id}\) 的情形下证明本引理。

由《空间的性质》命题 06NH 存在一个稠密开子空间 \(U \subset X\)，且 \(U\) 是概形。注意，\(U\) 是 Noether 整概形。缩小 \(U\) 后，可以假设 \(\mathcal{F}|_U \cong \mathcal{O}_U^{\oplus r}\)（例如由《概形的上同调》引理 01YE，或由直接的代数论证）。设 \(\mathcal{I} \subset \mathcal{O}_X\) 为拟凝聚理想层，其相应闭子空间是 \(U\) 在 \(X\) 中的补集（例如见《空间的性质》 03IP 节）。由引理 07UM，存在 \(n \geq 0\) 以及态射 \(\mathcal{I}^n(\mathcal{O}_X^{\oplus r}) \to \mathcal{F}\)，它在 \(U\) 上恢复上述同构。由于 \(\mathcal{I}^n(\mathcal{O}_X^{\oplus r}) = (\mathcal{I}^n)^{\oplus r}\)，便得到引理所述的映射。该映射是单射：事实上，若 \(\sigma\) 是某个概形 \(W\) 上 \(\mathcal{I}^{\oplus r}\) 的非零截面，其中 \(W\) étale 于 \(X\)，则由于 \(X\) 约化，从而 \(W\) 约化，\(\sigma\) 的支撑包含 \(W\) 的一个非空开集。然而，\((\mathcal{I}^n)^{\oplus r} \to \mathcal{F}\) 的核在一个稠密开集上为零，所以 \(\sigma\) 不可能是该核的截面。

引理

设 \(S\) 为一个概形，\(X\) 为 \(S\) 上的 Noether 代数空间，并设 \(\mathcal{F}\) 为 \(X\) 上的凝聚层。存在由凝聚子层组成的滤过 \[0 = \mathcal{F}_0 \subset \mathcal{F}_1 \subset \ldots \subset \mathcal{F}_m = \mathcal{F}\] 使得对于每个 \(j = 1, \ldots, m\)，存在约化闭子空间 \(Z_j \subset X\)，其中 \(|Z_j|\) 不可约，并存在理想层 \(\mathcal{I}_j \subset \mathcal{O}_{Z_j}\)，使得 \[\mathcal{F}_j/\mathcal{F}_{j - 1} \cong (Z_j \to X)_* \mathcal{I}_j\]

证明

考虑集合 \[\mathcal{T} = \left\{ \begin{matrix} T \subset |X| \text{ 为闭集，且存在凝聚层 } \mathcal{F} \\ \text{ 满足 } \text{Supp}(\mathcal{F}) = T \text{，而本引理对它不成立} \end{matrix} \right\}\] 我们要证明 \(\mathcal{T}\) 为空。否则，由于 \(|X|\) 是 Noether 的（《空间的性质》引理 04ZF），可以选取 \(\mathcal{T}\) 的极小元 \(T\)。这意味着存在 \(X\) 上支撑为 \(T\) 的凝聚层 \(\mathcal{F}\)，而本引理对它不成立。显然 \(T \not = \emptyset\)，因为支撑为空的层只能是零层，而本引理对零层成立（取 \(m = 0\)）。

如果 \(T\) 可约，则可写成 \(T = Z_1 \cup Z_2\)，其中 \(Z_1\)、\(Z_2\) 都是严格小于 \(T\) 的闭集。于是可以应用引理 07UP，得到凝聚层的短正合列 \[0 \to \mathcal{G}_1 \to \mathcal{F} \to \mathcal{G}_2 \to 0\] 满足 \(\text{Supp}(\mathcal{G}_i) \subset Z_i\)。由 \(T\) 的极小性，每个 \(\mathcal{G}_i\) 都有引理陈述中的滤过。考察 \(\mathcal{F}\) 上诱导的滤过，便得到矛盾。因此 \(T\) 不可约。

假设 \(T\) 不可约。设 \(\mathcal{J}\) 为定义 \(T\) 上约化诱导闭子空间结构的理想层，见《空间的性质》引理 03IQ。由引理 07UK，存在 \(n \geq 0\) 使得 \(\mathcal{J}^n\mathcal{F} = 0\)。因而得到滤过 \[0 = \mathcal{I}^n\mathcal{F} \subset \mathcal{I}^{n - 1}\mathcal{F} \subset \ldots \subset \mathcal{I}\mathcal{F} \subset \mathcal{F}\] 其每个相继次商都被 \(\mathcal{J}\) 零化。因此，如果这些次商中的每一个都有引理陈述中的滤过，那么 \(\mathcal{F}\) 也有。换言之，可以假设 \(\mathcal{J}\) 零化 \(\mathcal{F}\)。

假设 \(T\) 不可约，且 \(\mathcal{J}\mathcal{F} = 0\)，其中 \(\mathcal{J}\) 如上。则 \(\mathcal{F}\) 的概形论支撑为 \(T\)，见《空间的态射》引理 04CJ。因此可以应用引理 07UQ，得到短正合列 \[0 \to i_*(\mathcal{I}^{\oplus r}) \to \mathcal{F} \to \mathcal{Q} \to 0\] 其中 \(\mathcal{Q}\) 的支撑是 \(T\) 的真闭子集。由 \(T\) 的极小性， \(\mathcal{Q}\) 有所需类型的滤过。于是显然 \(\mathcal{F}\) 也有这样的滤过，这给出最终的矛盾。

引理

设 \(S\) 为一个概形，\(X\) 为 \(S\) 上的 Noether 代数空间，并设 \(\mathcal{P}\) 为 \(X\) 上凝聚层的一条性质。假设：

对于凝聚层的任意短正合列 \[0 \to \mathcal{F}_1 \to \mathcal{F} \to \mathcal{F}_2 \to 0\] 如果 \(\mathcal{F}_i\)（\(i = 1, 2\)）具有性质 \(\mathcal{P}\)，则 \(\mathcal{F}\) 也具有性质 \(\mathcal{P}\)；

对于每个满足 \(|Z|\) 不可约的约化闭子空间 \(Z \subset X\)，以及每个拟凝聚理想层 \(\mathcal{I} \subset \mathcal{O}_Z\)，\(i_*\mathcal{I}\) 都具有性质 \(\mathcal{P}\)。

则 \(X\) 上的每个凝聚层都具有性质 \(\mathcal{P}\)。

证明

首先注意，如果凝聚层 \(\mathcal{F}\) 有由凝聚子层组成的滤过 \[0 = \mathcal{F}_0 \subset \mathcal{F}_1 \subset \ldots \subset \mathcal{F}_m = \mathcal{F}\] 并且每个 \(\mathcal{F}_i/\mathcal{F}_{i - 1}\) 都具有性质 \(\mathcal{P}\)，则 \(\mathcal{F}\) 也具有性质 \(\mathcal{P}\)。这由 \(\mathcal{P}\) 的性质 (1) 推出。另一方面，由引理 07UR，可以为任意 \(\mathcal{F}\) 构造滤过，使其相继次商如 (2) 所述。因此本引理成立。

下面给出上述引理的一个更实用的变体。

引理

设 \(S\) 为一个概形，\(X\) 为 \(S\) 上的 Noether 代数空间，并设 \(\mathcal{P}\) 为 \(X\) 上凝聚层的一条性质。假设：

对于凝聚层的任意短正合列 \[0 \to \mathcal{F}_1 \to \mathcal{F} \to \mathcal{F}_2 \to 0\] 如果 \(\mathcal{F}_i\)（\(i = 1, 2\)）具有性质 \(\mathcal{P}\)，则 \(\mathcal{F}\) 也具有性质 \(\mathcal{P}\)；

如果对于某个 \(r \geq 1\)，\(\mathcal{F}^{\oplus r}\) 具有性质 \(\mathcal{P}\)，则 \(\mathcal{F}\) 也具有性质 \(\mathcal{P}\)；

对于每个满足 \(|Z|\) 不可约的约化闭子空间 \(i : Z \to X\)，存在 \(Z\) 上的凝聚层 \(\mathcal{G}\)，使得

\(\text{Supp}(\mathcal{G}) = Z\)；

对于每个非零拟凝聚理想层 \(\mathcal{I} \subset \mathcal{O}_Z\)，存在拟凝聚子层 \(\mathcal{G}' \subset \mathcal{I}\mathcal{G}\)，使得 \(\text{Supp}(\mathcal{G}/\mathcal{G}')\) 是 \(|Z|\) 中的真闭集，并且 \(i_*\mathcal{G}'\) 具有性质 \(\mathcal{P}\)。

则 \(X\) 上的每个凝聚层都具有性质 \(\mathcal{P}\)。

证明

考虑集合 \[\mathcal{T} = \left\{ \begin{matrix} T \subset |X| \text{ 为非空闭集，且存在凝聚层 } \\ \mathcal{F} \text{ 满足 } \text{Supp}(\mathcal{F}) = T \text{，而本引理对它不成立} \end{matrix} \right\}\] 我们要证明 \(\mathcal{T}\) 为空。否则，由于 \(|X|\) 是 Noether 的（《空间的性质》引理 04ZF），可以选取 \(\mathcal{T}\) 的极小元 \(T\)。这意味着存在 \(X\) 上支撑为 \(T\) 的凝聚层 \(\mathcal{F}\)，而本引理对它不成立。

如果 \(T\) 可约，则可写成 \(T = Z_1 \cup Z_2\)，其中 \(Z_1\)、\(Z_2\) 都是严格小于 \(T\) 的闭集。于是可以应用引理 07UP，得到凝聚层的短正合列 \[0 \to \mathcal{G}_1 \to \mathcal{F} \to \mathcal{G}_2 \to 0\] 满足 \(\text{Supp}(\mathcal{G}_i) \subset Z_i\)。由 \(T\) 的极小性，每个 \(\mathcal{G}_i\) 都具有性质 \(\mathcal{P}\)。于是由 (1)，\(\mathcal{F}\) 具有性质 \(\mathcal{P}\)，这给出矛盾。

假设 \(T\) 不可约。设 \(\mathcal{J}\) 为定义 \(T\) 上约化诱导闭子空间结构的理想层，见《空间的性质》引理 03IQ。由引理 07UK，存在 \(n \geq 0\) 使得 \(\mathcal{J}^n\mathcal{F} = 0\)。因而得到滤过 \[0 = \mathcal{J}^n\mathcal{F} \subset \mathcal{J}^{n - 1}\mathcal{F} \subset \ldots \subset \mathcal{J}\mathcal{F} \subset \mathcal{F}\] 其每个相继次商都被 \(\mathcal{J}\) 零化。因此，如果这些次商中的每一个都有本引理陈述中的滤过，那么由 (1)，\(\mathcal{F}\) 也有。换言之，可以假设 \(\mathcal{J}\) 零化 \(\mathcal{F}\)。

假设 \(T\) 不可约，且 \(\mathcal{J}\mathcal{F} = 0\)，其中 \(\mathcal{J}\) 如上。记 \(i : Z \to X\) 为与 \(\mathcal{J}\) 对应的闭子空间。则对某个凝聚 \(\mathcal{O}_Z\)-模 \(\mathcal{H}\)，有 \(\mathcal{F} = i_*\mathcal{H}\)；见《空间的态射》引理 04CJ 以及引理 07UG。设 \(\mathcal{G}\) 为满足 (3)(a) 和 (3)(b) 的 \(Z\) 上凝聚层。应用引理 07UQ，得到单射 \[\mathcal{I}_1^{\oplus r_1} \to \mathcal{H} \quad\text{以及}\quad \mathcal{I}_2^{\oplus r_2} \to \mathcal{G}\] 其余核的支撑是 \(Z\) 中的真闭集。因此存在非空开集 \(V \subset Z\)，使得 \[\mathcal{H}^{\oplus r_2}_V \cong \mathcal{G}^{\oplus r_1}_V\] 设 \(\mathcal{I} \subset \mathcal{O}_Z\) 为定义 \(Z \setminus V\) 的拟凝聚理想层，我们得到（引理 07UM）映射 \[\mathcal{I}^n\mathcal{G}^{\oplus r_1} \longrightarrow \mathcal{H}^{\oplus r_2}\] 它在 \(V\) 上是同构。其核支撑在 \(Z \setminus V\) 上，因而被 \(\mathcal{I}\) 的某个幂零化，见引理 07UK。因此增大 \(n\) 后，可以假设所示映射是单射，见引理 07UL。应用 (3)(b)，可找到 \(\mathcal{G}' \subset \mathcal{I}^n\mathcal{G}\)，使得 \[(i_*\mathcal{G}')^{\oplus r_1} \longrightarrow i_*\mathcal{H}^{\oplus r_2} = \mathcal{F}^{\oplus r_2}\] 是单射，其余核支撑在 \(Z\) 的真闭子集上，并且 \(i_*\mathcal{G}'\) 具有性质 \(\mathcal{P}\)。由 (1)，\((i_*\mathcal{G}')^{\oplus r_1}\) 具有性质 \(\mathcal{P}\)。再由 (1) 以及 \(T = |Z|\) 的极小性， \(\mathcal{F}^{\oplus r_2}\) 具有性质 \(\mathcal{P}\)。最后由 (2)， \(\mathcal{F}\) 具有性质 \(\mathcal{P}\)，这正是所需的矛盾。

引理

设 \(S\) 为一个概形，\(X\) 为 \(S\) 上的 Noether 代数空间，并设 \(\mathcal{P}\) 为 \(X\) 上凝聚层的一条性质。假设：

对于 \(X\) 上凝聚层的任意短正合列，如果其中三个层中的两个具有性质 \(\mathcal{P}\)，则第三个也具有性质 \(\mathcal{P}\)；

如果对于某个 \(r \geq 1\)，\(\mathcal{F}^{\oplus r}\) 具有性质 \(\mathcal{P}\)，则 \(\mathcal{F}\) 也具有性质 \(\mathcal{P}\)；

对于每个满足 \(|Z|\) 不可约的约化闭子空间 \(i : Z \to X\)，存在 \(X\) 上概形论支撑为 \(Z\) 的凝聚层 \(\mathcal{G}\)，并且 \(\mathcal{G}\) 具有性质 \(\mathcal{P}\)。

则 \(X\) 上的每个凝聚层都具有性质 \(\mathcal{P}\)。

证明

我们将证明引理 07US 的条件 (1) 和 (2) 成立。条件 (1) 显然成立。为证明 (2)，令 \[\mathcal{T} = \left\{ \begin{matrix} i : Z \to X \text{ 为满足 }|Z|\text{ 不可约的约化闭子空间，并且}\\ \text{ 对某个拟凝聚 }\mathcal{I} \subset \mathcal{O}_Z\text{，} i_*\mathcal{I}\text{ 不具有 }\mathcal{P} \end{matrix} \right\}\] 如果 \(\mathcal{T}\) 非空，则由于 \(X\) 是 Noether 的，可以在 \(\mathcal{T}\) 中找到极小的 \(i : Z \to X\)。下面证明这会导致矛盾。

设 \(\mathcal{G}\) 为假设 (3) 中假定存在的、概形论支撑为 \(Z\) 的层。设 \(\varphi : i_*\mathcal{I}^{\oplus r} \to \mathcal{G}\) 如引理 07UQ 所述。设 \[0 = \mathcal{F}_0 \subset \mathcal{F}_1 \subset \ldots \subset \mathcal{F}_m = \Coker(\varphi)\] 为引理 07UR 所述的滤过。由 \(Z\) 的极小性和假设 (1)， \(\Coker(\varphi)\) 具有性质 \(\mathcal{P}\)。由于 \(\varphi\) 是单射，再次使用假设 (1) 可知 \(i_*\mathcal{I}^{\oplus r}\) 具有性质 \(\mathcal{P}\)。使用假设 (2)，便得到 \(i_*\mathcal{I}\) 具有性质 \(\mathcal{P}\)。

最后，若 \(\mathcal{J} \subset \mathcal{O}_Z\) 是另一个拟凝聚理想层，令 \(\mathcal{K} = \mathcal{I} \cap \mathcal{J}\)，并考虑短正合列 \[0 \to \mathcal{K} \to \mathcal{I} \to \mathcal{I}/\mathcal{K} \to 0 \quad \text{以及} \quad 0 \to \mathcal{K} \to \mathcal{J} \to \mathcal{J}/\mathcal{K} \to 0\] 沿用上述论证并使用 \(Z\) 的极小性，可见 \(i_*\mathcal{I}/\mathcal{K}\) 和 \(i_*\mathcal{J}/\mathcal{K}\) 具有性质 \(\mathcal{P}\)。因此由假设 (1)，先得到 \(i_*\mathcal{K}\) 具有性质 \(\mathcal{P}\)，再得到 \(i_*\mathcal{J}\) 具有性质 \(\mathcal{P}\)。换言之，\(Z\) 不是 \(\mathcal{T}\) 的元素，这正是所需的矛盾。

凝聚模的极限

（局部 Noether 代数空间上的）凝聚模的余极限通常并不凝聚。但它是拟凝聚的，因为代数空间上拟凝聚模的任意余极限都是拟凝聚的，见《空间的性质》引理 03M1。反过来，如果该代数空间是 Noether 的，那么每个拟凝聚模都是凝聚模的滤过余极限。

引理

设 \(S\) 为一个概形，\(X\) 为 \(S\) 上的 Noether 代数空间。每个拟凝聚 \(\mathcal{O}_X\)-模都是其凝聚子模的滤过余极限。

证明

设 \(\mathcal{F}\) 为拟凝聚 \(\mathcal{O}_X\)-模。如果 \(\mathcal{G}, \mathcal{H} \subset \mathcal{F}\) 是凝聚 \(\mathcal{O}_X\)-子模，则 \(\mathcal{G} \oplus \mathcal{H} \to \mathcal{F}\) 的像是另一个同时包含二者的凝聚 \(\mathcal{O}_X\)-子模（见引理 07UC 和 07UD）。由此可见，该系统是有向的。因此现在只需证明 \(\mathcal{F}\) 可以写成凝聚模的滤过余极限；一旦如此，取这些模在 \(\mathcal{F}\) 中的像，便可断定这样的凝聚子模足够多。

设 \(U\) 为仿射概形，\(U \to X\) 为满 étale 态射。令 \(R = U \times_X U\)，从而照例有 \(X = U/R\)。由《空间的性质》命题 03M3 可见 \(\QCoh(\mathcal{O}_X) = \QCoh(U, R, s, t, c)\)。因此问题归结为证明 \(\QCoh(U, R, s, t, c)\) 的相应结论。于是本结论由更一般的《群胚》引理 07TU 推出。

引理

设 \(S\) 为一个概形，\(f : X \to Y\) 为 \(S\) 上代数空间之间的仿射态射，且 \(Y\) 是 Noether 的。则每个拟凝聚 \(\mathcal{O}_X\)-模都是有限表示 \(\mathcal{O}_X\)-模的滤过余极限。

证明

设 \(\mathcal{F}\) 为拟凝聚 \(\mathcal{O}_X\)-模。写成 \(f_*\mathcal{F} = \colim \mathcal{H}_i\)，其中 \(\mathcal{H}_i\) 是凝聚 \(\mathcal{O}_Y\)-模；见引理 07UV。由引理 07UB，各 \(\mathcal{H}_i\) 都是有限表示的 \(\mathcal{O}_Y\)-模。因此 \(f^*\mathcal{H}_i\) 是有限表示的 \(\mathcal{O}_X\)-模，见《空间的性质》 05VR 节。我们断言映射 \[\colim f^*\mathcal{H}_i = f^*f_*\mathcal{F} \to \mathcal{F}\] 是满射，因为已假设 \(f\) 仿射，即，选取一个概形 \(V\) 和满 étale 态射 \(V \to Y\)。令 \(U = X \times_Y V\)。则 \(U\) 是概形，\(f' : U \to V\) 仿射，且 \(U \to X\) 是满 étale 态射。由《空间的性质》引理 03LX 可见 \(f'_*(\mathcal{F}|_U) = f_*\mathcal{F}|_V\)，拉回也同样如此。因此 \(f^*f_*\mathcal{F} \to \mathcal{F}\) 在 \(U\) 上的限制是映射 \[f^*f_*\mathcal{F}|_U = (f')^*(f_*\mathcal{F})|_V) = (f')^*f'_*(\mathcal{F}|_U) \to \mathcal{F}|_U\] 它是满射，因为 \(f'\) 是概形之间的仿射态射。所以该断言成立。

由此得出，\(X\) 上每个拟凝聚模都是有限表示模的某个滤过余极限的商。特别地，\(\mathcal{F}\) 是某个映射的余核 \[\colim_{j \in J} \mathcal{G}_j \longrightarrow \colim_{i \in I} \mathcal{H}_i\] 其中 \(\mathcal{G}_j\) 和 \(\mathcal{H}_i\) 都有限表示。注意，对于每个 \(j \in I\)，存在 \(i \in I\) 以及态射 \(\alpha : \mathcal{G}_j \to \mathcal{H}_i\)，使得 \[\xymatrix{ \mathcal{G}_j \ar[r]_\alpha \ar[d] & \mathcal{H}_i \ar[d] \\ \colim_{j \in J} \mathcal{G}_j \ar[r] & \colim_{i \in I} \mathcal{H}_i }\] 交换，见引理 07U7。在这种情形下，\(\Coker(\alpha)\) 是有限表示的 \(\mathcal{O}_X\)-模，并带有一个映射 \(\Coker(\alpha) \to \mathcal{F}\)。考虑由上述三元组 \((i, j, \alpha)\) 组成的集合 \(K\)。规定 \((i, j, \alpha) \leq (i', j', \alpha')\)，当且仅当 \(i \leq i'\)、\(j \leq j'\)，且下图 \[\xymatrix{ \mathcal{G}_j \ar[r]_\alpha \ar[d] & \mathcal{H}_i \ar[d] \\ \mathcal{G}_{j'} \ar[r]^{\alpha'} & \mathcal{H}_{i'} }\] 交换。由上可知，\(K\) 是有向偏序集， \[\mathcal{F} = \colim_{(i, j, \alpha) \in K} \Coker(\alpha),\] 于是结论得证。

上同调的消失性

本节证明：如果一个拟紧且拟分离的代数空间上所有拟凝聚层的高阶上同调都消失，则该代数空间仿射。我们将通过一系列引理来证明；一旦命题 07V6 得证，这些引理便都会失去独立作用。

情形

这里 \(S\) 是一个概形，\(X\) 是 \(S\) 上拟紧且拟分离的代数空间，并满足下述性质：对于每个拟凝聚 \(\mathcal{O}_X\)-模 \(\mathcal{F}\)，都有 \(H^1(X, \mathcal{F}) = 0\)。令 \(A = \Gamma(X, \mathcal{O}_X)\)。

我们希望证明典范态射 \[p : X \longrightarrow \Spec(A)\] （见《空间的性质》引理 05Z1）是同构。如果 \(M\) 是 \(A\)-模，我们用 \(M \otimes_A \mathcal{O}_X\) 表示拟凝聚模 \(p^*\tilde M\)。

引理

在情形 07UY 中，对于 \(A\)-模 \(M\)，有 \(p_*(M \otimes_A \mathcal{O}_X) = \widetilde{M}\) 且 \(\Gamma(X, M \otimes_A \mathcal{O}_X) = M\)。

证明

由《空间的态射》引理 03M9， \(p_*(M \otimes_A \mathcal{O}_X)\) 是 \(\Spec(A)\) 上的拟凝聚模，故等式 \(p_*(M \otimes_A \mathcal{O}_X) = \widetilde{M}\) 可由等式 \(\Gamma(X, M \otimes_A \mathcal{O}_X) = M\) 推出。由引理 073E，注意到 \(\Gamma(X, \bigoplus_{i \in I} \mathcal{O}_X) = \bigoplus_{i \in I} A\)。因此本引理对自由模成立。选取短正合列 \(F_1 \to F_0 \to M\)，其中 \(F_0,F_1\) 是自由 \(A\)-模。由于 \(H^1(X, -)\) 为零，全局截面函子右正合。此外，拉回 \(p^*\) 也右正合。所以 \[\Gamma(X, F_1 \otimes_A \mathcal{O}_X) \to \Gamma(X, F_0 \otimes_A \mathcal{O}_X) \to \Gamma(X, M \otimes_A \mathcal{O}_X) \to 0\] 正合。结论随即成立。

下面的引理表明，对 \(X \to \Spec(A)\) 沿 \(\Spec(A') \to \Spec(A)\) 作基变换后，情形 07UY 仍然保持。

引理

在情形 07UY 中。

给定代数空间之间的仿射态射 \(X' \to X\)，对于每个拟凝聚 \(\mathcal{O}_{X'}\)-模 \(\mathcal{F}'\)，都有 \(H^1(X', \mathcal{F}') = 0\)。

给定 \(A\)-代数 \(A'\)，令 \(X' = X \times_{\Spec(A)} \Spec(A')\)，则态射 \(X' \to X\) 仿射，且 \(\Gamma(X', \mathcal{O}_{X'}) = A'\)。

证明

(1) 由引理 073H 以及 Leray 谱序列（《站点上的上同调》引理 0732）推出。设 \(A \to A'\) 如 (2) 所述。由于仿射态射在基变换下保持（《空间的态射》引理 03WI），且仿射概形之间的态射是仿射的，所以 \(X' \to X\) 仿射。由引理 07U8，有 \((X' \to X)_*\mathcal{O}_{X'} = A' \otimes_A \mathcal{O}_X\)，因此 \[\Gamma(X', \mathcal{O}_{X'}) = \Gamma(X, (X' \to X)_*\mathcal{O}_{X'}) = \Gamma(X, A' \otimes_A \mathcal{O}_X) = A'\] 由引理 07UZ 可得所需等式。

引理

在情形 07UY 中，设 \(Z_0, Z_1 \subset |X|\) 为不交的闭子集。则存在 \(a \in A\)，使得 \(Z_0 \subset V(a)\) 且 \(Z_1 \subset V(a - 1)\)。

证明

赋予 \(Z_0\)、\(Z_1\) 约化诱导子空间结构（《空间的性质》定义 047X），并将相应闭浸入记为 \(i_0 : Z_0 \to X\) 和 \(i_1 : Z_1 \to X\)。由于 \(Z_0 \cap Z_1 = \emptyset\)，可见拟凝聚 \(\mathcal{O}_X\)-模的典范映射 \[\mathcal{O}_X \longrightarrow i_{0, *}\mathcal{O}_{Z_0} \oplus i_{1, *}\mathcal{O}_{Z_1}\] 是满射（考察几何点处的茎即可）。由于 \(H^1(X, -)\) 在此映射的核上为零，所诱导的全局截面映射是满射。因此可以找到 \(a \in A\)，它映到右端的全局截面 \((0, 1)\)。

引理

在情形 07UY 中，态射 \(p : X \to \Spec(A)\) 是泛单的。

证明

设 \(A \to k\) 为环同态，其中 \(k\) 是域。只需证明 \(\Spec(k) \times_{\Spec(A)} X\) 至多有一个点（见《空间的态射》引理 03MX）。利用引理 07V0，可以假设 \(A\) 是域，而我们必须证明 \(|X|\) 至多有一个点。

把 \(X\) 看作 \(\Spec(k)\) 上的代数空间，并对任意扩张 \(K/k\)，用 \(X(K)\) 表示 \(X\) 的 \(K\)-值点，见《空间的态射》 0485 节。如果 \(K/k\) 是超越次数足够大的代数闭域扩张，则 \(X(K) \to |X|\) 是满射，见《空间的态射》引理 0488。因此用 \(K\) 替换 \(k\) 后，只需证明（在 \(A = k\) 的情形下）\(X(k)\) 是单点集。

设 \(x, x' \in X(k)\)。由《良态空间》引理 07U5， \(x\) 和 \(x'\) 是 \(|X|\) 的闭点。因此，如果 \(x \not = x'\)，由引理 07V1，\(x\) 和 \(x'\) 映到 \(\Spec(k)\) 的不同点。

由此得到 \(x = x'\)，如所要求。

引理

在情形 07UY 中，态射 \(p : X \to \Spec(A)\) 是分离的。

证明

由《良态空间》引理 09YB 可以找到一个概形 \(Y\) 和满整态射 \(Y \to X\)。整态射是仿射的，所以可以应用引理 07V0，得到对于每个拟凝聚 \(\mathcal{O}_Y\)-模 \(\mathcal{G}\)，都有 \(H^1(Y, \mathcal{G}) = 0\)。由于 \(Y \to X\) 拟紧且 \(X\) 拟紧，\(Y\) 也拟紧。由于 \(Y\) 是概形，可以应用《概形的上同调》引理 01XF，得到 \(Y\) 仿射，因而 \(Y\) 分离。注意，整态射是仿射且泛闭的，见《空间的态射》引理 0415。由《空间的态射》引理 05Z2，可见 \(X\) 是分离代数空间。

命题

一个拟紧且拟分离的代数空间仿射，当且仅当拟凝聚层的所有高阶上同调群都消失。更确切地说，情形 07UY 中的任意代数空间都是仿射概形。

证明

选取一个仿射概形 \(U = \Spec(B)\) 和满 étale 态射 \(\varphi : U \to X\)。令 \(R = U \times_X U\)。由于 \(p\) 分离（引理 07V5），\(R\) 是 \(U \times_{\Spec(A)} U = \Spec(B \otimes_A B)\) 的闭子概形。因此 \(R = \Spec(C)\) 也是仿射的，而且环同态 \[B \otimes_A B \longrightarrow C\] 是满射。照例把两个映射记为 \(s, t : B \to C\)。选取 \(g_1, \ldots, g_m \in B\)，使得 \(s(g_1), \ldots, s(g_m)\) 在 \(t : B \to C\) 上生成 \(C\)（这是可能的，因为 \(t : B \to C\) 有限表示，且所示映射是满射）。于是 \(g_1, \ldots, g_m\) 给出 \(\varphi_*\mathcal{O}_U\) 的全局截面，并且映射 \[\mathcal{O}_X[z_1, \ldots, z_n] \longrightarrow \varphi_*\mathcal{O}_U, \quad z_j \longmapsto g_j\] 是满射：限制到 \(U\) 上即可检验。事实上，由引理 073K， \(\varphi^*\varphi_*\mathcal{O}_U = t_*\mathcal{O}_R\)，因此恰好得到 \(s(g_i)\) 在 \(t : B \to C\) 上生成 \(C\) 的条件。由于该映射的核的 \(H^1\) 消失，可见 \[\Gamma(X, \mathcal{O}_X[x_1, \ldots, x_n]) = A[x_1, \ldots, x_n] \longrightarrow \Gamma(X, \varphi_*\mathcal{O}_U) = \Gamma(U, \mathcal{O}_U) = B\] 是满射。因此 \(B\) 是有限型 \(A\)-代数，从而 \(X \to \Spec(A)\) 有限型且分离。由引理 07V4 以及《空间的态射》引理 06RW，它还是局部拟有限的。于是由《空间的态射》引理 0418， \(X \to \Spec(A)\) 可表，从而 \(X\) 是概形。最后，应用《概形的上同调》引理 01XF，可知 \(X\) 仿射，因而等于 \(\Spec(A)\)。

引理

设 \(S\) 为一个概形，\(X\) 为 \(S\) 上的 Noether 代数空间。假设对于每个凝聚 \(\mathcal{O}_X\)-模 \(\mathcal{F}\)，都有 \(H^1(X, \mathcal{F}) = 0\)。则 \(X\) 是仿射概形。

证明

由引理 07UV 和 073E，该假设推出对于每个拟凝聚 \(\mathcal{O}_X\)-模 \(\mathcal{F}\)，都有 \(H^1(X, \mathcal{F}) = 0\)。于是由命题 07V6，\(X\) 仿射。

引理

设 \(S\) 为一个概形，\(X\) 为 \(S\) 上的 Noether 代数空间，并设 \(\mathcal{L}\) 为可逆 \(\mathcal{O}_X\)-模。假设对于每个凝聚 \(\mathcal{O}_X\)-模 \(\mathcal{F}\)，存在 \(n \geq 1\) 使得 \(H^1(X, \mathcal{F} \otimes_{\mathcal{O}_X} \mathcal{L}^{\otimes n}) = 0\)。则 \(X\) 是概形，而且 \(\mathcal{L}\) 在 \(X\) 上是丰沛的。

证明

设 \(s \in H^0(X, \mathcal{L}^{\otimes d})\) 为全局截面。设 \(U \subset X\) 为 \(s\) 生成 \(\mathcal{L}^{\otimes d}\) 的开子空间。特别地，有 \(\mathcal{L}^{\otimes d}|_U \cong \mathcal{O}_U\)。我们断言 \(U\) 仿射。

断言的证明。我们将证明，对于每个拟凝聚 \(\mathcal{O}_U\)-模 \(\mathcal{F}\)，都有 \(H^1(U, \mathcal{F}) = 0\)。由命题 07V6，这将证明该断言。记 \(j : U \to X\) 为包含态射。由于 \(j\) 在 étale 拓扑下局部仿射（由《态射》引理 01SF），《空间的态射》引理 03WG 表明 \(j\) 仿射。因此 \[H^1(U, \mathcal{F}) = H^1(X, j_*\mathcal{F})\] 由引理 073H（以及《站点上的上同调》引理 0733）成立。把 \(j_*\mathcal{F} = \colim \mathcal{F}_i\) 写成凝聚 \(\mathcal{O}_X\)-模的滤过余极限，见引理 07UV。则 \[H^1(X, j_*\mathcal{F}) = \colim H^1(X, \mathcal{F}_i)\] 由引理 073E 成立。因此只需证明 \(H^1(X, \mathcal{F}_i)\) 在 \(H^1(U, j^*\mathcal{F}_i)\) 中的像为零。由假设，存在 \(n \geq 1\)，使得 \[H^1(X, \mathcal{F}_i \otimes_{\mathcal{O}_X} (\mathcal{O}_X \oplus \mathcal{L} \oplus \ldots \oplus \mathcal{L}^{\otimes d - 1}) \otimes_{\mathcal{O}_X} \mathcal{L}^{\otimes n}) = 0\] 因此存在 \(a \geq 0\)，使得 \(H^1(X, \mathcal{F}_i \otimes_{\mathcal{O}_X} \mathcal{L}^{\otimes ad}) = 0\)。另一方面，映射 \[s^a : \mathcal{F}_i \longrightarrow \mathcal{F}_i \otimes_{\mathcal{O}_X} \mathcal{L}^{\otimes ad}\] 限制到 \(U\) 后是同构。考察交换图 \[\xymatrix{ H^1(X, \mathcal{F}_i) \ar[r] \ar[d]_{s^a} & H^1(U, j^*\mathcal{F}_i) \ar[d]^{\cong} \\ H^1(X, \mathcal{F}_i \otimes_{\mathcal{O}_X} \mathcal{L}^{\otimes ad}) \ar[r] & H^1(U, j^*(\mathcal{F}_i \otimes_{\mathcal{O}_X} \mathcal{L}^{\otimes ad})) }\] 可知映射 \(H^1(X, \mathcal{F}_i) \to H^1(U, j^*\mathcal{F}_i)\) 为零，断言得证。

设 \(x \in |X|\) 为闭点。由《良态空间》引理 0AHB，可以用闭浸入 \(i : \Spec(k) \to X\) 表示 \(x\)（这里还用到了拟分离代数空间是良态的，见《良态空间》03I7 节）。因此 \(\mathcal{O}_X \to i_*\mathcal{O}_{\Spec(k)}\) 是满射。设 \(\mathcal{I} \subset \mathcal{O}_X\) 为其核，并选取 \(d \geq 1\)，使得 \(H^1(X, \mathcal{I} \otimes_{\mathcal{O}_X} \mathcal{L}^{\otimes d}) = 0\)。则 \[H^0(X, \mathcal{L}^{\otimes d}) \to H^0(X, i_*\mathcal{O}_{\Spec(k)} \otimes_{\mathcal{O}_X} \mathcal{L}^{\otimes d}) = H^0(\Spec(k), i^*\mathcal{L}^{\otimes d}) \cong k\] 由上同调长正合列，该映射是满射。因此存在 \(s \in H^0(X, \mathcal{L}^{\otimes d})\)，使得 \(x \in U\)，其中 \(U\) 是上面与 \(s\) 对应的开子空间。由上述断言，\(x\) 位于 \(X\) 的概形轨迹中（见《空间的性质》引理 03JH）。

为了得出 \(X\) 是概形，只需证明 \(|X|\) 中任何包含所有闭点的开子集都等于 \(|X|\)。这由 \(|X|\) 是 Noether 拓扑空间这一事实推出，见《空间的性质》引理 04ZG。最后，当 \(X\) 是概形时，可以应用《概形的上同调》引理 0B5P，得到 \(\mathcal{L}\) 是丰沛的。

有限态射与仿射性

本节对应于《概形的上同调》01YN 节。

引理

设 \(S\) 为一个概形，\(f : Y \to X\) 为 \(S\) 上代数空间之间的态射。假设 \(f\) 有限且为满射，并且 \(X\) 局部 Noether。设 \(i : Z \to X\) 为闭浸入。记 \(i' : Z' \to Y\) 为 \(Z\) 的逆像（《空间的态射》 03MA 节），并记 \(f' : Z' \to Z\) 为诱导态射。则 \(\mathcal{G} = f'_*\mathcal{O}_{Z'}\) 是支撑为 \(Z\) 的凝聚 \(\mathcal{O}_Z\)-模。

证明

注意，\(f'\) 是 \(f\) 的基变换，因而由《空间的态射》引理 03MH 和 03ZS，它有限且为满射。由《空间的态射》引理 04ZK（以及闭浸入和有限态射都是有限型的这一事实），\(Y\)、\(Z\)、\(Z'\) 都局部 Noether。由引理 07UH，\(\mathcal{G}\) 是凝聚 \(\mathcal{O}_Z\)-模。\(\mathcal{G}\) 的支撑在 \(|Z|\) 中闭，见《空间的态射》引理 07TZ。因此，如果 \(\mathcal{G}\) 的支撑不等于 \(|Z|\)，则用一个开子空间替换 \(X\) 后，可以假设 \(\mathcal{G} = 0\) 而 \(Z \not = \emptyset\)。这将意味着 \(f'_*\mathcal{O}_{Z'} = 0\)。特别地，截面 \(1 \in \Gamma(Z', \mathcal{O}_{Z'}) = \Gamma(Z, f'_*\mathcal{O}_{Z'})\) 将为零，从而 \(Z' = \emptyset\) 是空代数空间。这不可能，因为 \(Z' \to Z\) 是满射。

引理

设 \(S\) 为一个概形，\(f : Y \to X\) 为 \(S\) 上代数空间之间的态射。设 \(\mathcal{F}\) 为 \(Y\) 上的拟凝聚层，\(\mathcal{I}\) 为 \(X\) 上的拟凝聚理想层。如果 \(f\) 仿射，则 \(\mathcal{I}f_*\mathcal{F} = f_*(f^{-1}\mathcal{I}\mathcal{F})\) （记号的含义见证明）。

证明

上述记号的含义如下。由于 \(f^{-1}\) 是正合函子， \(f^{-1}\mathcal{I}\) 是 \(f^{-1}\mathcal{O}_X\) 的理想层。通过 \(Y_\etale\) 上的映射 \(f^\sharp : f^{-1}\mathcal{O}_X \to \mathcal{O}_Y\)，它作用在 \(\mathcal{F}\) 上。于是 \(f^{-1}\mathcal{I}\mathcal{F}\) 是由形如 \(as\) 的局部截面的和生成的子层，其中 \(a\) 是 \(f^{-1}\mathcal{I}\) 的局部截面， \(s\) 是 \(\mathcal{F}\) 的局部截面。它是 \(\mathcal{F}\) 的拟凝聚 \(\mathcal{O}_Y\)-子模，因为它也等于自然映射 \(f^*\mathcal{I} \otimes_{\mathcal{O}_Y} \mathcal{F} \to \mathcal{F}\) 的像。

说明这些记号后，证明便很直接。事实上，该问题在 \(X\) 上是 étale 局部的，因而可以假设 \(X\) 是仿射概形。在这种情形下，结论由概形的相应结论推出，见《概形的上同调》引理 01YP。

引理

设 \(S\) 为一个概形，\(f : Y \to X\) 为 \(S\) 上代数空间之间的态射。假设：

\(f\) 有限；

\(f\) 为满射；

\(Y\) 仿射；

\(X\) 是 Noether 的。

则 \(X\) 仿射。

证明

我们将证明，在本引理的假设下，对于任意凝聚 \(\mathcal{O}_X\)-模 \(\mathcal{F}\)，都有 \(H^1(X, \mathcal{F}) = 0\)。由引理 07UV 和 073E，这又推出对于每个拟凝聚 \(\mathcal{O}_X\)-模 \(\mathcal{F}\)，都有 \(H^1(X, \mathcal{F}) = 0\)。于是由命题 07V6，\(X\) 仿射。

设 \(\mathcal{P}\) 为 \(X\) 上凝聚层 \(\mathcal{F}\) 的下述性质： \[\mathcal{P}(\mathcal{F}) \Leftrightarrow H^1(X, \mathcal{F}) = 0.\] 我们将应用引理 07UT，因此必须为 \(\mathcal{P}\) 验证该引理的 (1)、(2)、(3)。性质 (1) 由与层的短正合列相伴的上同调长正合列推出。性质 (2) 来自 \(H^1(X, -)\) 是可加函子。为证明 (3)，设 \(i : Z \to X\) 为满足 \(|Z|\) 不可约的约化闭子空间。设 \(i' : Z' \to Y\) 和 \(f' : Z' \to Z\) 如引理 0GF7 中所述，并令 \(\mathcal{G} = f'_*\mathcal{O}_{Z'}\)。我们断言 \(\mathcal{G}\) 满足引理 07UT 的性质 (3)(a) 和 (3)(b)，这将完成证明。性质 (3)(a) 已在引理 0GF7 中证明。为证明 (3)(b)，设 \(\mathcal{I}\) 为 \(Z\) 上的非零拟凝聚理想层。记 \(\mathcal{I}' \subset \mathcal{O}_{Z'}\) 为拟凝聚理想 \((f')^{-1}\mathcal{I} \mathcal{O}_{Z'}\)，也就是 \((f')^*\mathcal{I} \to \mathcal{O}_{Z'}\) 的像。由引理 0GF8，有 \(f_*\mathcal{I}' = \mathcal{I} \mathcal{G}\)。我们断言其共同值 \(\mathcal{G}' = \mathcal{I} \mathcal{G} = f'_*\mathcal{I}'\) 满足 (3)(b) 中的条件。首先，显然 \(\mathcal{G}/\mathcal{G}'\) 的支撑包含在 \(\mathcal{O}_Z/\mathcal{I}\) 的支撑中；后者是 \(|Z|\) 的真子空间，因为 \(\mathcal{I}\) 是约化不可约代数空间 \(Z\) 上的非零理想层。态射 \(f'\) 仿射，故由引理 073H， \(R^1f'_*\mathcal{I}' = 0\)。由于 \(Z'\) 仿射（它是仿射概形的闭子概形），有 \(H^1(Z', \mathcal{I}') = 0\)。因此 Leray 谱序列（取《站点上的上同调》引理 0733 的形式）推出 \(H^1(Z, f'_*\mathcal{I}') = 0\)。由于 \(i : Z \to X\) 仿射， \(R^1i_*f'_*\mathcal{I}' = 0\)；再次应用 Leray，得到 \(H^1(X, i_*f'_*\mathcal{I}') = 0\)。换言之，如所要求，有 \(H^1(X, i_*\mathcal{G}') = 0\)。

Chow 引理的弱形式

本节快速证明下面的引理，以帮助我们证明恰当代数空间上凝聚模上同调的基本结果。

引理

设 \(A\) 为一个环，\(X\) 为 \(\Spec(A)\) 上的代数空间，其结构态射 \(X \to \Spec(A)\) 分离且为有限型。则存在恰当满态射 \(X' \to X\)，其中 \(X'\) 是 \(\Spec(A)\) 上 H-拟射影的概形。

证明

设 \(W\) 为仿射概形，\(f : W \to X\) 为满 étale 态射。存在整数 \(d\)，使得 \(f\) 的所有几何纤维都至多有 \(d\) 个点（因为 \(X\) 是分离代数，因而合理，见《良态空间》引理 03JX）。

取最小的 \(d\)，便得到非空开集 \(U \subset X\)，使得 \(f^{-1}(U) \to U\) 是次数为 \(d\) 的有限 étale 态射，见《良态空间》引理 07S8。令 \[V \subset W \times_X W \times_X \ldots \times_X W\] 为所有对角线的补集（纤维积中有 \(d\) 个因子）。由于 \(W \to X\) 分离，对角态射 \(W \to W \times_X W\) 是闭浸入。由于 \(W \to X\) 是 étale 的，该对角态射也是开浸入，见《空间的态射》引理 06CR 和 05W1。因此这些对角线是拟紧概形 \(W \times_X \ldots \times_X W\) 的开闭子概形。特别地，\(V\) 是拟紧概形。选取开浸入 \(W \subset Y\)，其中 \(Y\) 在 \(A\) 上 H-射影（这是可能的，因为 \(W\) 仿射且在 \(A\) 上为有限型；例如可以使用《态射》引理 04II 和 01WA）。令 \[Z \subset Y \times_A Y \times_A \ldots \times_A Y\] 为复合态射 \(V \to W \times_X \ldots \times_X W \to Y \times_A \ldots \times_A Y\) 的概形论像。由于 \(V\) 拟紧且 \(Y \times_A \ldots \times_A Y\) 分离，该态射拟紧。注意，\(V \to Y \times_A \ldots \times_A Y\) 是浸入，故 \(V \to Z\) 是开浸入，见《态射》引理 01RG。投影态射给出 \(d\) 个态射 \(g_i : Z \to Y\)。由于 \(Y\) 在 \(A\) 上射影，这些态射 \(g_i\) 都是射影的，见《态射》01W7 节中的材料。令 \[X' = \bigcup g_i^{-1}(W) \subset Z\] 存在态射 \(X' \to X\)，它在 \(g_i^{-1}(W)\) 上的限制是复合态射 \(g_i^{-1}(W) \to W \to X\)。事实上，这些态射在 \(V\) 上相同，因而由《空间的态射》引理 084N，它们在 \(g_i^{-1}(W) \cap g_j^{-1}(W)\) 上相同。断言：态射 \(X' \to X\) 恰当。

如果断言成立，则对 \(d\) 归纳即可证明本引理。事实上，按构造，\(X'\) 在 \(\Spec(A)\) 上 H-拟射影。由于 \(V\) 满射到 \(U\)，\(X' \to X\) 的像包含开集 \(U\)。记 \(T\) 为 \(X \setminus U\) 上的约化诱导代数空间结构。则 \(T \times_X W\) 是 \(W\) 的闭子概形，因而仿射。此外，态射 \(T \times_X W \to T\) 是 étale 的，且每个几何纤维少于 \(d\) 个点。由归纳假设，存在恰当满态射 \(T' \to T\)，其中 \(T'\) 是 \(\Spec(A)\) 上 H-拟射影的概形。由于 \(T\) 是 \(X\) 的闭子空间， \(T' \to X\) 是恰当态射。因此取恰当满态射 \(X' \amalg T' \to X\) 即得本引理。

断言的证明。按构造，态射 \(X' \to X\) 分离且为有限型。我们将为态射 \(V \to X'\) 和 \(X' \to X\) 验证《空间的态射》引理 089G 的条件 (1)–(4)。条件 (1) 和 (2) 已在上面验证。条件 (3) 成立，因为 \(X' \to X\) 分离（其源是分离代数空间）。因此只需对图 \[\xymatrix{ \Spec(K) \ar[r] \ar[d] & V \ar[d] \\ \Spec(R) \ar[r] & X }\] 检验到 \(X'\) 的可提升性，其中 \(R\) 是分式域为 \(K\) 的赋值环。注意，上方水平态射由 \(W\) 的 \(d\) 个两两不同的 \(K\)-值点 \(w_1, \ldots, w_d\) 给出。事实上，它们恰好是该图所给点 \(x \in X(K)\) 的全部逆像。由于 \(W \to X\) 为满射，必要时用赋值环扩张替换 \(R\) 后，可以把态射 \(\Spec(R) \to X\) 提升为态射 \(w : \Spec(R) \to W\)，见《空间的态射》引理 089F。由于 \(w_1, \ldots, w_d\) 是 \(x\) 的全部逆像，我们看到 \(w|_{\Spec(K)}\) 等于其中某一个，比如 \(w_i\)。于是得到交换图 \[\xymatrix{ \Spec(K) \ar[r] \ar[d] & Z \ar[d]_{g_i}\\ \Spec(R) \ar[r]^w & Y }\] 由射影态射 \(g_i\) 的恰当性赋值判别法，可以把 \(w\) 提升为 \(z : \Spec(R) \to Z\)，见《态射》引理 01WC 以及《概形》命题 01KF。\(z\) 的像位于 \(g_i^{-1}(W) \subset X'\) 中，证明完成。

Noether 赋值判别法

我们使用离散赋值环证明恰当性赋值判别法的一个版本。更精确（因而也更技术化）的版本见《空间的极限》 0CMB 节。

引理

设 \(S\) 为一个概形，\(f : X \to Y\) 为 \(S\) 上代数空间之间的态射。假设：

\(Y\) 局部 Noether；

\(f\) 局部有限型且拟分离；

对于每个交换图 \[\xymatrix{ \Spec(K) \ar[r] \ar[d] & X \ar[d] \\ \Spec(A) \ar[r] \ar@{-->}[ru] & Y }\] 其中 \(A\) 是离散赋值环，\(K\) 是其分式域，使该图交换的虚线箭头至多有一个。

则 \(f\) 分离。

证明

必须证明对角态射 \(\Delta : X \to X \times_Y X\) 是闭浸入。我们已经知道 \(\Delta\) 可表、分离，是单态射且局部有限型，见《空间的态射》引理 03HK。选取仿射概形 \(U\) 和 étale 态射 \(U \to X \times_Y X\)。令 \(V = X \times_{\Delta, X \times_Y X} U\)。只需证明 \(V \to U\) 是闭浸入（《空间的态射》引理 03M4）。由于 \(X \times_Y X\) 在 \(Y\) 上局部有限型，\(U\) 是 Noether 的（使用《空间的态射》引理 03XG, 03XH 和 04ZK）。由于 \(\Delta\) 可表，\(V\) 是概形。此外，因为 \(f\) 拟分离，\(V\) 拟紧。所以 \(V \to U\) 为有限型。考虑概形态射的交换图 \[\xymatrix{ \Spec(K) \ar[r] \ar[d] & V \ar[d] \\ \Spec(A) \ar[r] \ar@{-->}[ru] & U }\] 其中 \(A\) 是分式域为 \(K\) 的离散赋值环。可以把复合态射 \(\Spec(A) \to U \to X \times_Y X\) 解释为一对态射 \(a, b : \Spec(A) \to X\)；它们复合到 \(Y\) 后相同，且限制到 \(\Spec(K)\) 后相等。因此假设 (3) 保证 \(a = b\)，从而得到图中的虚线箭头。由《极限》引理 0208， \(V \to U\) 恰当。换言之，\(\Delta\) 恰当。由于 \(\Delta\) 是单态射，《Étale 态射》引理 04XV 表明 \(\Delta\) 是闭浸入，如所要求。

引理

设 \(S\) 为一个概形，\(f : X \to Y\) 为 \(S\) 上代数空间之间的态射。假设：

\(Y\) 局部 Noether；

\(f\) 有限型且拟分离；

对于每个交换图 \[\xymatrix{ \Spec(K) \ar[r] \ar[d] & X \ar[d] \\ \Spec(A) \ar[r] \ar@{-->}[ru] & Y }\] 其中 \(A\) 是离散赋值环，\(K\) 是其分式域，存在唯一的虚线箭头使该图交换。

则 \(f\) 恰当。

证明

由引理 0ARJ，\(f\) 分离，所以只需证明 \(f\) 泛闭。为此可以在 \(Y\) 上 étale 局部地验证（《空间的态射》引理 03IT）。因此可以假设 \(Y = \Spec(A)\) 是 Noether 仿射概形。按照 Chow 引理的弱形式（引理 089J）选取 \(X' \to X\)。我们断言 \(X' \to \Spec(A)\) 泛闭。由《空间的态射》引理 08AJ，该断言蕴含本引理。为证明该断言，根据《极限》引理 05JY，只需证明在每个实线部分交换的图 \[\xymatrix{ \Spec(K) \ar[r] \ar[d] & X' \ar[r] & X \ar[d] \\ \Spec(A) \ar[rr] \ar@{-->}[ru]^a \ar@{-->}[rru]_b & & Y }\] 中，可以找到虚线箭头 \(a\)，其中 \(A\) 是分式域为 \(K\) 的离散赋值环。

由假设可以找到虚线箭头 \(b\)。于是态射 \(X' \times_{X, b} \Spec(A) \to \Spec(A)\) 是概形之间的恰当态射；由概形态射的赋值判别法，可以把 \(b\) 提升为所需态射 \(a\)。

注

在引理 0ARJ 和 0ARK 中，只需考虑完备离散赋值环。确切地说，在引理 0ARJ 中，可以把条件 (3) 替换为下述条件：给定任意交换图 \[\xymatrix{ \Spec(K) \ar[r] \ar[d] & X \ar[d] \\ \Spec(A) \ar[r] \ar@{-->}[ru] & Y }\] 其中 \(A\) 是分式域为 \(K\) 的完备离散赋值环，使该图交换的虚线箭头至多有一个。事实上，给定引理 0ARJ (3) 中的任意图，其完备化 \(A^\wedge\) 是离散赋值环（《代数进阶》引理 0AP1），而箭头 \(\Spec(A^\wedge) \to X\) 的唯一性蕴含箭头 \(\Spec(A) \to X\) 的唯一性；例如这由《空间的性质》命题 0APL 推出。类似地，在引理 0ARK 中，可以把条件 (3) 替换为下述条件：给定任意交换图 \[\xymatrix{ \Spec(K) \ar[r] \ar[d] & X \ar[d] \\ \Spec(A) \ar[r] & Y }\] 其中 \(A\) 是分式域为 \(K\) 的完备离散赋值环，则存在完备离散赋值环的扩张 \(A \subset A'\)，诱导分式域扩张 \(K \subset K'\)，并存在唯一箭头 \(\Spec(A') \to X\) 使图 \[\xymatrix{ \Spec(K') \ar[r] \ar[d] & \Spec(K) \ar[r] & X \ar[d] \\ \Spec(A') \ar[r] \ar[rru] & \Spec(A) \ar[r] & Y }\] 交换。事实上，给定引理 0ARK (3) 中的任意图，只要对于离散赋值环的任意扩张 \(A \subset B\)，存在交换图 \[\xymatrix{ \Spec(L) \ar[r] \ar[d] & \Spec(K) \ar[r] & X \ar[d] \\ \Spec(B) \ar[r] \ar[rru] & \Spec(A) \ar[r] & Y }\] 就能推出存在箭头 \(\Spec(A) \to X\) 嵌入该图。这已在《空间的态射》引理 0ARH 中证明。事实上，从这些考察可以看出，只要某类离散赋值环满足：任给一个离散赋值环，都有它的一个扩张属于该类，那么只在该类离散赋值环上的图中寻找虚线箭头就已足够。例如，可以取剩余域代数闭的完备离散赋值环。

凝聚层的高阶正像

本节证明一个基本事实：凝聚层在恰当态射下的高阶正像是凝聚的。首先证明一个辅助引理。

引理

设 \(S\) 为一个概形。考虑 \(S\) 上代数空间的交换图 \[\xymatrix{ X \ar[r]_i \ar[rd]_f & \mathbf{P}^n_Y \ar[d] \\ & Y }\] 假设 \(i\) 是闭浸入，且 \(Y\) 是 Noether 的。令 \(\mathcal{L} = i^*\mathcal{O}_{\mathbf{P}^n_Y}(1)\)。设 \(\mathcal{F}\) 为 \(X\) 上的凝聚模。则存在整数 \(d_0\)，使得对于所有 \(d \geq d_0\) 和所有 \(p > 0\)，都有 \(R^pf_*(\mathcal{F} \otimes_{\mathcal{O}_X} \mathcal{L}^{\otimes d}) = 0\)。

证明

可以在 \(Y\) 上 étale 局部地检验 \(R^pf_*(\mathcal{F} \otimes \mathcal{L}^{\otimes d})\) 是否为零，见公式 (071Z)。因此可以假设 \(Y\) 是 Noether 环的谱。在这种情形下，\(X\) 是概形，结论由《概形的上同调》引理 02O1 推出。

引理

设 \(S\) 为一个概形，\(f : X \to Y\) 为 \(S\) 上代数空间之间的恰当态射，且 \(Y\) 局部 Noether。设 \(\mathcal{F}\) 为凝聚 \(\mathcal{O}_X\)-模。则对于所有 \(i \geq 0\)，\(R^if_*\mathcal{F}\) 都是凝聚 \(\mathcal{O}_Y\)-模。

证明

首先，由《空间的态射》引理 04ZK， \(X\) 是局部 Noether 代数空间，故引理的陈述有意义。此外，计算 \(R^if_*\mathcal{F}\) 与 \(Y\) 上的 étale 局部化交换（《空间的性质》引理 03LX），而且可以在 \(Y\) 上 étale 局部地检验 \(R^if_*\mathcal{F}\) 是否凝聚（引理 07UB）。因此可以假设 \(Y = \Spec(A)\) 是 Noether 仿射概形。

假设 \(Y = \Spec(A)\) 是仿射概形。注意，\(f\) 局部有限表示（《空间的态射》引理 06G4）。因此它有限表示，从而 \(X\) 是 Noether 的（《空间的态射》引理 04ZL）。于是引理 08AN 可应用于 \(X\) 的凝聚模范畴。对于 \(X\) 上的凝聚层 \(\mathcal{F}\)，规定：\(\mathcal{P}\) 成立，当且仅当 \(R^if_*\mathcal{F}\) 是 \(\Spec(A)\) 上的凝聚模。下面证明引理 08AN 的条件 (1)、(2)、(3) 对此性质成立，从而完成本引理的证明。

验证条件 (1)。设 \[0 \to \mathcal{F}_1 \to \mathcal{F}_2 \to \mathcal{F}_3 \to 0\] 为 \(X\) 上凝聚层的短正合列。考虑高阶正像的长正合列 \[R^{p - 1}f_*\mathcal{F}_3 \to R^pf_*\mathcal{F}_1 \to R^pf_*\mathcal{F}_2 \to R^pf_*\mathcal{F}_3 \to R^{p + 1}f_*\mathcal{F}_1\] 显然，如果三个层 \(\mathcal{F}_i\) 中的两个具有性质 \(\mathcal{P}\)，则第三个的高阶正像在这个正合复形中夹在两个凝聚层之间。因此由引理 07UC 和 07UD，这些高阶正像也凝聚。所以第三个层也具有性质 \(\mathcal{P}\)。

验证条件 (2)。这立即来自等式 \(R^if_*(\mathcal{F}_1 \oplus \mathcal{F}_2) = R^if_*\mathcal{F}_1 \oplus R^if_*\mathcal{F}_2\)，以及凝聚模的直和项凝聚这一事实（见上面引用的引理）。

验证条件 (3)。设 \(i : Z \to X\) 为闭浸入，其中 \(Z\) 约化且 \(|Z|\) 不可约。令 \(g = f \circ i : Z \to \Spec(A)\)。设 \(\mathcal{G}\) 为 \(Z\) 上概形论支撑等于 \(Z\) 的凝聚模，并且对于所有 \(p\)，\(R^pg_*\mathcal{G}\) 凝聚。则 \(\mathcal{F} = i_*\mathcal{G}\) 是 \(X\) 上概形论支撑为 \(Z\) 的凝聚模，且 \(R^pf_*\mathcal{F} = R^pg_*\mathcal{G}\)。为看出这一点，使用 Leray 谱序列（《站点上的上同调》引理 0734），并使用引理 073H 以及闭浸入仿射这一事实（《空间的态射》引理 07U2），得到当 \(q > 0\) 时 \(R^qi_*\mathcal{G} = 0\)。因此问题归结为寻找 \(Z\) 上支撑等于 \(Z\) 的凝聚层 \(\mathcal{G}\)，使得对于所有 \(p\)，\(R^pg_*\mathcal{G}\) 凝聚。

对态射 \(Z \to \Spec(A)\) 应用引理 089J，得到图 \[\xymatrix{ Z \ar[rd]_g & Z' \ar[d]^-{g'} \ar[l]^\pi \ar[r]_i & \mathbf{P}^n_A \ar[dl] \\ & \Spec(A) & }\] 其中 \(\pi : Z' \to Z\) 恰当且为满射，\(i\) 是浸入。由于 \(Z \to \Spec(A)\) 恰当，由《空间的态射》引理 04XY，\(g'\) 恰当。因此 \(i\) 是闭浸入（《空间的态射》引理 04NX 和 04CD）。由此可知态射 \(i' = (i, \pi) : \mathbf{P}^n_A \times_{\Spec(A)} Z' = \mathbf{P}^n_Z\) 为闭浸入（《空间的态射》引理 03KO）。令 \[\mathcal{L} = i^*\mathcal{O}_{\mathbf{P}^n_A}(1) = (i')^*\mathcal{O}_{\mathbf{P}^n_Z}(1)\] 可以分别对 \(\mathcal{L}\) 与 \(\pi\)、\(\mathcal{L}\) 与 \(g'\) 应用引理 08AQ。因此对于所有 \(d \gg 0\) 和 \(p > 0\)，有 \(R^p\pi_*\mathcal{L}^{\otimes d} = 0\) 且 \(R^p(g')_*\mathcal{L}^{\otimes d} = 0\)。令 \(\mathcal{G} = \pi_*\mathcal{L}^{\otimes d}\)。由 Leray 谱序列（《站点上的上同调》引理 0734），有 \[E_2^{p, q} = R^pg_* R^q\pi_*\mathcal{L}^{\otimes d} \Rightarrow R^{p + q}(g')_*\mathcal{L}^{\otimes d}\] 按 \(d\) 的选取，\(E_2^{p, q}\) 中仅 \(q = 0\) 的项可能非零，而 \(R^{p + q}(g')_*\mathcal{L}^{\otimes d}\) 中仅 \(p = q = 0\) 的项可能非零。这推出当 \(p > 0\) 时 \(R^pg_*\mathcal{G} = 0\)，并且 \(g_*\mathcal{G} = (g')_*\mathcal{L}^{\otimes d}\)。应用《概形的上同调》引理 02O4，可知 \(g_*\mathcal{G} = (g')_*\mathcal{L}^{\otimes d}\) 凝聚。

还必须检验 \(\mathcal{G}\) 的支撑是 \(Z\)。这来自 \(\mathcal{L}^{\otimes d}\) 有许多全局截面这一事实。下面详述。由于 \(\mathcal{O}_{\mathbf{P}^n}(d)\) 对所有 \(d \geq 0\) 都由全局截面生成， \(\mathcal{L}^{\otimes d}\) 也如此。选取 \(z \in Z'\)，使它映到 \(Z\) 的一般点 \(\xi\)；由于 \(\pi\) 为满射，这是可以做到的。（注意，\(Z\) 确实有一般点： \(|Z|\) 不可约，且 \(Z\) 是 Noether 的，因而拟分离；所以由《空间的性质》引理 06NJ，\(|Z|\) 是 sober 拓扑空间。）选取在 \(z\) 处不消失的 \(s \in \Gamma(Z', \mathcal{L}^{\otimes d})\)。由于 \(\Gamma(Z, \mathcal{G}) = \Gamma(Z', \mathcal{L}^{\otimes d})\)，可以把 \(s\) 看作 \(\mathcal{G}\) 的全局截面。选取 \(Z'\) 上位于 \(z\) 之上的几何点 \(\overline{z}\)，并把 \(Z\) 上相应的几何点记为 \(\overline{\xi} = g' \circ \overline{z}\)。伴随映射 \[(g')^*\mathcal{G} = (g')^*g'_*\mathcal{L}^{\otimes d} \longrightarrow \mathcal{L}^{\otimes d}\] 诱导茎之间的映射 \(\mathcal{G}_{\overline{\xi}} \to \mathcal{L}_{\overline{z}}\)，见《空间的性质》引理 05VQ。此外，该伴随映射把 \(s\) 的拉回（把 \(s\) 看作 \(\mathcal{G}\) 的截面）送到 \(s\) （把 \(s\) 看作 \(\mathcal{L}^{\otimes d}\) 的截面）。因此，\(s\) 在下列箭头源端向量空间中的像 \[\mathcal{G}_{\overline{\xi}} \otimes \kappa(\overline{\xi}) \longrightarrow \mathcal{L}^{\otimes d}_{\overline{z}} \otimes \kappa(\overline{z})\] 非零，因为按 \(s\) 的选取，它在箭头目标端的像非零。因此 \(\xi\) 位于 \(\mathcal{G}\) 的支撑中（《空间的态射》引理 07TZ）。由于 \(|Z|\) 不可约且 \(Z\) 约化，可知 \(\mathcal{G}\) 的概形论支撑是整个 \(Z\)，如所要求。

引理

设 \(A\) 为 Noether 环，\(f : X \to \Spec(A)\) 为代数空间的恰当态射，并设 \(\mathcal{F}\) 为凝聚 \(\mathcal{O}_X\)-模。则对于所有 \(i \geq 0\)， \(H^i(X, \mathcal{F})\) 是有限 \(A\)-模。

证明

这正是引理 08AR 的仿射情形。事实上，由引理 0720，\(R^if_*\mathcal{F}\) 是拟凝聚层，因而是与 \(A\)-模 \(\Gamma(\Spec(A), R^if_*\mathcal{F}) = H^i(X, \mathcal{F})\) 相伴的拟凝聚层。该等式由《站点上的上同调》引理 0733 以及仿射概形上拟凝聚模的高阶上同调群消失（《概形的上同调》引理 01XB）推出。由引理 07UB，\(R^if_*\mathcal{F}\) 是凝聚层，当且仅当 \(H^i(X, \mathcal{F})\) 是有限型 \(A\)-模。因此引理 08AR 给出结论。

引理

设 \(A\) 为 Noether 环，\(B\) 为有限生成的分次 \(A\)-代数， \(f : X \to \Spec(A)\) 为代数空间的恰当态射。令 \(\mathcal{B} = f^*\widetilde B\)。设 \(\mathcal{F}\) 为有限型拟凝聚分次 \(\mathcal{B}\)-模。对于每个 \(p \geq 0\)，分次 \(B\)-模 \(H^p(X, \mathcal{F})\) 都是有限 \(B\)-模。

证明

为证明这一点，考虑纤维积图 \[\xymatrix{ X' = \Spec(B) \times_{\Spec(A)} X \ar[r]_-\pi \ar[d]_{f'} & X \ar[d]^f \\ \Spec(B) \ar[r] & \Spec(A) }\] 注意，\(f'\) 是恰当态射，见《空间的态射》引理 04WP。此外，\(B\) 是有限生成 \(A\)-代数，因而是 Noether 的（《代数》引理 00FN）。这推出 \(X'\) 是 Noether 代数空间（《空间的态射》引理 04ZL）。由《空间的态射》引理 081V，\(X'\) 是拟凝聚 \(\mathcal{O}_X\)-代数 \(\mathcal{B}\) 的相对谱。由于 \(\mathcal{F}\) 是拟凝聚 \(\mathcal{B}\)-模，存在唯一的拟凝聚 \(\mathcal{O}_{X'}\)-模 \(\mathcal{F}'\)，使得 \(\pi_*\mathcal{F}' = \mathcal{F}\)，见《空间的态射》引理 08AI。由于 \(\mathcal{F}\) 作为 \(\mathcal{B}\)-模是有限型的，\(\mathcal{F}'\) 是有限型 \(\mathcal{O}_{X'}\)-模（细节从略）。换言之，\(\mathcal{F}'\) 是凝聚 \(\mathcal{O}_{X'}\)-模（引理 07UB）。由于态射 \(\pi : X' \to X\) 仿射，有 \[H^p(X, \mathcal{F}) = H^p(X', \mathcal{F}')\] 这由引理 073H 和《站点上的上同调》引理 0733 推出。因此本引理由引理 08AS 推出。

丰沛可逆层与上同调

下面用扭转后的上同调消失性，给出仿射基上恰当代数空间的丰沛性判别法。

引理

设 \(R\) 为 Noether 环，\(X\) 为 \(R\) 上的恰当代数空间，并设 \(\mathcal{L}\) 为可逆 \(\mathcal{O}_X\)-模。下列条件等价：

\(X\) 是概形，且 \(\mathcal{L}\) 在 \(X\) 上丰沛；

对于每个凝聚 \(\mathcal{O}_X\)-模 \(\mathcal{F}\)，存在 \(n_0 \geq 0\)，使得对于所有 \(n \geq n_0\) 和 \(p > 0\)，都有 \(H^p(X, \mathcal{F} \otimes \mathcal{L}^{\otimes n}) = 0\)；

对于每个凝聚 \(\mathcal{O}_X\)-模 \(\mathcal{F}\)，存在 \(n \geq 1\)，使得 \(H^1(X, \mathcal{F} \otimes \mathcal{L}^{\otimes n}) = 0\)。

证明

(1) \(\Rightarrow\) (2) 由《概形的上同调》引理 0B5U 推出。(2) \(\Rightarrow\) (3) 显然。 (3) \(\Rightarrow\) (1) 即引理 0D2W。

引理

设 \(R\) 为 Noether 环，\(f : Y \to X\) 为 \(R\) 上恰当代数空间之间的态射。设 \(\mathcal{L}\) 为可逆 \(\mathcal{O}_X\)-模。假设 \(f\) 有限且为满射。下列条件等价：

\(X\) 是概形且 \(\mathcal{L}\) 丰沛；

\(Y\) 是概形且 \(f^*\mathcal{L}\) 丰沛。

证明

假设 (1) 成立。有限态射（由概形）可表，所以 \(Y\) 是概形，见《空间的态射》引理 03ZQ。于是 (2) 由《概形的上同调》引理 0B5V 推出。

假设 (2) 成立。对凝聚 \(\mathcal{O}_X\)-模 \(\mathcal{F}\)，定义下述性质 \(P\)：存在 \(n_0\)，使得对于所有 \(n \geq n_0\) 和 \(p > 0\)，都有 \(H^p(X, \mathcal{F} \otimes \mathcal{L}^{\otimes n}) = 0\)。我们将证明任意凝聚 \(\mathcal{O}_X\)-模 \(\mathcal{F}\) 都具有 \(P\)；由引理 0GFA，这蕴含 \(\mathcal{L}\) 丰沛。我们将应用引理 07UT，因此必须为 \(P\) 验证该引理的 (1)、(2)、(3)。性质 (1) 来自与层的短正合列相伴的上同调长正合列，以及与可逆层作张量积是正合函子这一事实。性质 (2) 来自 \(H^p(X, -)\) 是可加函子。

为证明 (3)，设 \(i : Z \to X\) 为满足 \(|Z|\) 不可约的约化闭子空间。设 \(i' : Z' \to Y\) 和 \(f' : Z' \to Z\) 如引理 0GF7 中所述，并令 \(\mathcal{G} = f'_*\mathcal{O}_{Z'}\)。我们断言 \(\mathcal{G}\) 满足引理 07UT 的性质 (3)(a) 和 (3)(b)，这将完成证明。性质 (3)(a) 已在引理 0GF7 中证明。为证明 (3)(b)，设 \(\mathcal{I}\) 为 \(Z\) 上的非零拟凝聚理想层。记 \(\mathcal{I}' \subset \mathcal{O}_{Z'}\) 为拟凝聚理想 \((f')^{-1}\mathcal{I} \mathcal{O}_{Z'}\)，也就是 \((f')^*\mathcal{I} \to \mathcal{O}_{Z'}\) 的像。由引理 0GF8，有 \(f_*\mathcal{I}' = \mathcal{I} \mathcal{G}\)。我们断言其共同值 \(\mathcal{G}' = \mathcal{I} \mathcal{G} = f'_*\mathcal{I}'\) 满足 (3)(b) 中的条件。首先，显然 \(\mathcal{G}/\mathcal{G}'\) 的支撑包含在 \(\mathcal{O}_Z/\mathcal{I}\) 的支撑中；后者是 \(|Z|\) 的真子空间，因为 \(\mathcal{I}\) 是约化不可约代数空间 \(Z\) 上的非零理想层。回忆 \(f'_*\)、 \(i_*\)、\(i'_*\) 把凝聚模变为凝聚模，见引理 07UH 和 08AM。由于 \(Y\) 是概形且 \(\mathcal{L}\) 丰沛，由引理 0GFA，存在 \(n_0\) 使得 \[H^p(Y, i'_*\mathcal{I}' \otimes_{\mathcal{O}_Y} f^*\mathcal{L}^{\otimes n}) = 0\] 对于 \(n \geq n_0\) 和 \(p > 0\) 成立。于是得到 \[\begin{align*} H^p(X, i_*\mathcal{G}' \otimes_{\mathcal{O}_X} \mathcal{L}^{\otimes n}) & = H^p(Z, \mathcal{G'} \otimes_{\mathcal{O}_Z} i^*\mathcal{L}^{\otimes n}) \\ & = H^p(Z, f'_*\mathcal{I}' \otimes_{\mathcal{O}_Z} i^*\mathcal{L}^{\otimes n})) \\ & = H^p(Z, f'_*(\mathcal{I}' \otimes_{\mathcal{O}_{Z'}} (f')^*i^*\mathcal{L}^{\otimes n})) \\ & = H^p(Z, f'_*(\mathcal{I}' \otimes_{\mathcal{O}_{Z'}} (i')^*f^*\mathcal{L}^{\otimes n})) \\ & = H^p(Z', \mathcal{I}' \otimes_{\mathcal{O}_{Z'}} (i')^*f^*\mathcal{L}^{\otimes n})) \\ & = H^p(Y, i'_*\mathcal{I}' \otimes_{\mathcal{O}_Y} f^*\mathcal{L}^{\otimes n}) = 0 \end{align*}\]

这里使用了投影公式和 Leray 谱序列（见《站点上的上同调》 0943 节和 072X 节），以及引理 0A4K。这验证了引理 07UT 的性质 (3)(b)，如所要求。

形式函数定理

本节对应于《概形的上同调》 02O7 节。建议读者先阅读该节。

情形

这里 \(A\) 是 Noether 环，\(I \subset A\) 是理想。此外， \(f : X \to \Spec(A)\) 是代数空间的恰当态射，\(\mathcal{F}\) 是 \(X\) 上的凝聚层。

在这一情形下，用 \(I^n\mathcal{F}\) 表示 \(\mathcal{F}\) 的拟凝聚子模：它作为 \(\mathcal{O}_X\)-模由 \(\mathcal{F}\) 的局部截面与 \(I^n\) 中元素的乘积生成。换言之，它是映射 \(f^*\widetilde{I} \otimes_{\mathcal{O}_X} \mathcal{F} \to \mathcal{F}\) 的像。

引理

在情形 08AV 中。令 \(B = \bigoplus_{n \geq 0} I^n\)。则对于每个 \(p \geq 0\)，分次 \(B\)-模 \(\bigoplus_{n \geq 0} H^p(X, I^n\mathcal{F})\) 是有限 \(B\)-模。

证明

令 \(\mathcal{B} = \bigoplus I^n\mathcal{O}_X = f^*\widetilde{B}\)。则 \(\bigoplus I^n\mathcal{F}\) 是有限型分次 \(\mathcal{B}\)-模。因此结论由引理 08AT 推出。

引理

在情形 08AV 中。对于每个 \(p \geq 0\)，存在整数 \(c \geq 0\)，使得：

对于所有 \(n \geq c\)，乘法映射 \(I^{n - c} \otimes H^p(X, I^c\mathcal{F}) \to H^p(X, I^n\mathcal{F})\) 是满射；

对于所有 \(n \geq 0\)、\(m \geq c\)，映射 \(H^p(X, I^{n + m}\mathcal{F}) \to H^p(X, I^n\mathcal{F})\) 的像包含在子模 \(I^{m - c} H^p(X, I^n\mathcal{F})\) 中。

证明

由引理 08AW，可以找到 \(d_1, \ldots, d_t \geq 0\) 以及 \(x_i \in H^p(X, I^{d_i}\mathcal{F})\)，使得 \(\bigoplus_{n \geq 0} H^p(X, I^n\mathcal{F})\) 作为 \(B = \bigoplus_{n \geq 0} I^n\)-模由 \(x_1, \ldots, x_t\) 生成。取 \(c = \max\{d_i\}\)。(1) 显然成立。对于 (2)，令 \(b = \max(0, n - c)\)。考虑 \(A\)-模的交换图 \[\xymatrix{ I^{n + m - c - b} \otimes I^b \otimes H^p(X, I^c\mathcal{F}) \ar[r] \ar[d] & I^{n + m - c} \otimes H^p(X, I^c\mathcal{F}) \ar[r] & H^p(X, I^{n + m}\mathcal{F}) \ar[d] \\ I^{n + m - c - b} \otimes H^p(X, I^n\mathcal{F}) \ar[rr] & & H^p(X, I^n\mathcal{F}) }\] 由本引理的 (1)，当 \(n + m \geq c\) 时，水平箭头的复合是满射。另一方面，显然 \(n + m - c - b \geq m - c\)。所以 (2) 成立。

引理

在情形 08AV 中。固定 \(p \geq 0\)。

存在 \(c_1 \geq 0\)，使得对于所有 \(n \geq c_1\)，有 \[\Ker( H^p(X, \mathcal{F}) \to H^p(X, \mathcal{F}/I^n\mathcal{F}) ) \subset I^{n - c_1}H^p(X, \mathcal{F}).\]

逆系统 \[\left(H^p(X, \mathcal{F}/I^n\mathcal{F})\right)_{n \in \mathbf{N}}\] 满足 Mittag-Leffler 条件（见《同调》定义 02N0）。

事实上，对于任意 \(p\) 和 \(n\)，存在 \(c_2(n) \geq n\)，使得 \[\Im(H^p(X, \mathcal{F}/I^k\mathcal{F}) \to H^p(X, \mathcal{F}/I^n\mathcal{F})) = \Im(H^p(X, \mathcal{F}) \to H^p(X, \mathcal{F}/I^n\mathcal{F}))\] 对于所有 \(k \geq c_2(n)\) 成立。

证明

令 \(c_1 = \max\{c_p, c_{p + 1}\}\)，其中 \(c_p,c_{p +1}\) 是引理 08AX 分别对 \(H^p\) 和 \(H^{p + 1}\) 给出的整数。我们将在 (1)、(2)、(3) 的证明中使用这个常数。

先证明 (1)。考虑短正合列 \[0 \to I^n\mathcal{F} \to \mathcal{F} \to \mathcal{F}/I^n\mathcal{F} \to 0\] 由上同调长正合列可见 \[\Ker( H^p(X, \mathcal{F}) \to H^p(X, \mathcal{F}/I^n\mathcal{F}) ) = \Im( H^p(X, I^n\mathcal{F}) \to H^p(X, \mathcal{F}) )\] 因此按 \(c_1\) 的选取，当 \(n \geq c_1\) 时，它包含在 \(I^{n - c_1}H^p(X, \mathcal{F})\) 中。

注意，按 Mittag-Leffler 条件的定义，(3) 蕴含 (2)。

下面证明 (3)。在余下的证明中固定 \(n\)。考虑交换图 \[\xymatrix{ 0 \ar[r] & I^n\mathcal{F} \ar[r] & \mathcal{F} \ar[r] & \mathcal{F}/I^n\mathcal{F} \ar[r] & 0 \\ 0 \ar[r] & I^{n + m}\mathcal{F} \ar[r] \ar[u] & \mathcal{F} \ar[r] \ar[u] & \mathcal{F}/I^{n + m}\mathcal{F} \ar[r] \ar[u] & 0 }\] 它诱导出下面的交换图 \[\xymatrix{ H^p(X, I^n\mathcal{F}) \ar[r] & H^p(X, \mathcal{F}) \ar[r] & H^p(X, \mathcal{F}/I^n\mathcal{F}) \ar[r]_\delta & H^{p + 1}(X, I^n\mathcal{F}) \\ H^p(X, I^{n + m}\mathcal{F}) \ar[r] \ar[u] & H^p(X, \mathcal{F}) \ar[r] \ar[u]^1 & H^p(X, \mathcal{F}/I^{n + m}\mathcal{F}) \ar[r] \ar[u] & H^{p + 1}(X, I^{n + m}\mathcal{F}) \ar[u]^a }\] 如果 \(m \geq c_1\)，则 \(a\) 的像包含在 \(I^{m - c_1} H^{p + 1}(X, I^n\mathcal{F})\) 中。由 Artin–Rees 引理（见《代数》引理 00IO），存在整数 \(c_3(n)\)，使得 \[I^N H^{p + 1}(X, I^n\mathcal{F}) \cap \Im(\delta) \subset \delta\left(I^{N - c_3(n)}H^p(X, \mathcal{F}/I^n\mathcal{F})\right)\] 对于所有 \(N \geq c_3(n)\) 成立。由于 \(H^p(X, \mathcal{F}/I^n\mathcal{F})\) 被 \(I^n\) 零化，可见如果 \(m \geq c_3(n) + c_1 + n\)，则 \[\Im(H^p(X, \mathcal{F}/I^{n + m}\mathcal{F}) \to H^p(X, \mathcal{F}/I^n\mathcal{F})) = \Im(H^p(X, \mathcal{F}) \to H^p(X, \mathcal{F}/I^n\mathcal{F}))\] 换言之，取 \(c_2(n) = c_3(n) + c_1 + n\)，(3) 成立。

定理

在情形 08AV 中，固定 \(p \geq 0\)。映射系统 \[H^p(X, \mathcal{F})/I^nH^p(X, \mathcal{F}) \longrightarrow H^p(X, \mathcal{F}/I^n\mathcal{F})\] 诱导极限之间的同构 \[H^p(X, \mathcal{F})^\wedge \longrightarrow \lim_n H^p(X, \mathcal{F}/I^n\mathcal{F})\] 其中左端是 \(A\)-模 \(H^p(X, \mathcal{F})\) 关于理想 \(I\) 的完备化，见《代数》00M9 节。此外，对于极限拓扑，这实际上是同胚。

证明

事实上，这立即由引理 08AY 推出。下面写出细节。令 \(M = H^p(X, \mathcal{F})\) 且 \(M_n = H^p(X, \mathcal{F}/I^n\mathcal{F})\)，并记 \(N_n = \Im(M \to M_n)\)。由《同调》 02MY 节对极限的描述，有 \[\lim_n M_n = \{(x_n) \in \prod M_n \mid \varphi_i(x_n) = x_{n - 1}, \ n = 2, 3, \ldots\}\] 选取元素 \(x = (x_n) \in \lim_n M_n\)。由引理 08AY (3)，对于所有 \(n\) 都有 \(x_n \in N_n\)，因为按定义，对于所有 \(m\)，\(x_n\) 是某个 \(x_{n + m} \in M_{n + m}\) 的像。由引理 08AY (1)，约化映射存在分解 \[M \to N_n \to M/I^{n - c_1}M\] 对于 \(n \geq c_1\)，记 \(y_n \in M/I^{n - c_1}M\) 为 \(x_n\) 的像。当 \(n' \geq n\) 时，复合映射 \(M \to M_{n'} \to M_n\) 是给定的映射 \(M \to M_n\)，所以在典范映射 \(M/I^{n' - c_1}M \to M/I^{n - c_1}M\) 下，\(y_{n'}\) 映到 \(y_n\)。因此 \(y = (y_{n + c_1})\) 定义了 \(\lim_n M/I^nM\) 的一个元素。我们略去验证 \(y\) 在本引理的映射 \[M^\wedge = \lim_n M/I^nM \longrightarrow \lim_n M_n\] 下映到 \(x\)，也略去关于拓扑的验证。

引理

设 \(A\) 为一个环，\(I \subset A\) 为理想。假设 \(A\) 是 Noether 的并关于 \(I\) 完备。设 \(f : X \to \Spec(A)\) 为代数空间的恰当态射， \(\mathcal{F}\) 为 \(X\) 上的凝聚层。则 \[H^p(X, \mathcal{F}) = \lim_n H^p(X, \mathcal{F}/I^n\mathcal{F})\] 对于所有 \(p \geq 0\) 成立。

证明

这是形式函数定理（定理 08AZ）在完备 Noether 基环情形下的改述。事实上，在这种情形下，\(A\)-模 \(H^p(X, \mathcal{F})\) 是有限的（引理 08AS），因而是 \(I\)-进完备的（《代数》引理 00MA）。所以左端不必再作完备化。

引理

设 \(S\) 为一个概形，\(f : X \to Y\) 为 \(S\) 上代数空间之间的态射， \(\mathcal{F}\) 为 \(X\) 上的拟凝聚层。假设：

\(Y\) 局部 Noether；

\(f\) 恰当；

\(\mathcal{F}\) 凝聚。

设 \(\overline{y}\) 为 \(Y\) 的几何点。考虑纤维 \(X_1 = X_{\overline{y}}\) 的“无穷小邻域” \[\xymatrix{ X_n = \Spec(\mathcal{O}_{Y, \overline{y}}/\mathfrak m_{\overline{y}}^n) \times_Y X \ar[r]_-{i_n} \ar[d]_{f_n} & X \ar[d]^f \\ \Spec(\mathcal{O}_{Y, \overline{y}}/\mathfrak m_{\overline{y}}^n) \ar[r]^-{c_n} & Y }\] 并令 \(\mathcal{F}_n = i_n^*\mathcal{F}\)。则有 \[\left(R^pf_*\mathcal{F}\right)_{\overline{y}}^\wedge \cong \lim_n H^p(X_n, \mathcal{F}_n)\] 作为 \(\mathcal{O}_{Y, \overline{y}}^\wedge\)-模的同构。

证明

这只是形式函数定理（定理 08AZ）一个特殊情形的改述。下面详述。注意，\(\mathcal{O}_{Y, \overline{y}}\) 是 Noether 局部环，见《空间的性质》引理 08AH。考虑典范态射 \(c : \Spec(\mathcal{O}_{Y, \overline{y}}) \to Y\)。它等同局部环，因而是平坦态射。记 \(f' : X' \to \Spec(\mathcal{O}_{Y, \overline{y}})\) 为 \(f\) 到这个局部环上的基变换。由引理 073K，有 \(c^*R^pf_*\mathcal{F} = R^pf'_*\mathcal{F}'\)。此外，对于所有 \(n \geq 1\)，有典范等同 \(X_n = X'_n\)。

因此可以假设 \(Y = \Spec(A)\)，其中 \(A\) 是极大理想为 \(\mathfrak m\) 的严格 Hensel Noether 局部环，并且 \(\overline{y} \to Y\) 等于 \(\Spec(A/\mathfrak m) \to Y\)。于是 \[\left(R^pf_*\mathcal{F}\right)_{\overline{y}} = \Gamma(Y, R^pf_*\mathcal{F}) = H^p(X, \mathcal{F})\] 因为 \((Y, \overline{y})\) 是 \(\overline{y}\) 的 étale 邻域范畴中的始对象。各态射 \(c_n\) 都是闭浸入，所以其基变换 \(i_n\) 也都是闭浸入。注意 \(i_{n, *}\mathcal{F}_n = i_{n, *}i_n^*\mathcal{F} = \mathcal{F}/\mathfrak m^n\mathcal{F}\)。由 \(i_n\) 的 Leray 谱序列以及引理 07UH，可见 \[H^p(X_n, \mathcal{F}_n) = H^p(X, i_{n, *}\mathcal{F}) = H^p(X, \mathcal{F}/\mathfrak m^n\mathcal{F})\]

因此确实可以应用形式函数定理来计算引理陈述中的极限，结论得证。

下面的引理将在后一个引理中推广到维数 \(>0\) 的纤维。

引理

设 \(S\) 为一个概形，\(f : X \to Y\) 为 \(S\) 上代数空间之间的态射， \(\overline{y}\) 为 \(Y\) 的几何点。假设：

\(Y\) 局部 Noether；

\(f\) 恰当；

\(X_{\overline{y}}\) 的底拓扑空间是离散的。

则对于 \(X\) 上的任意凝聚层 \(\mathcal{F}\) 和所有 \(p > 0\)，都有 \((R^pf_*\mathcal{F})_{\overline{y}} = 0\)。

证明

设 \(\kappa(\overline{y})\) 为局部环 \(\mathcal{O}_{Y, \overline{y}}\) 的剩余域。如引理 08B1 中那样，令 \(X_{\overline{y}} = X_1 = \Spec(\kappa(\overline{y})) \times_Y X\)。由《空间的态射》引理 06LS，态射 \(f : X \to Y\) 在 \(X \to Y\) 位于 \(\overline{y}\) 上的纤维的每个点处拟有限。因此 \(X_{\overline{y}} \to \overline{y}\) 分离且拟有限。于是由《空间的态射》命题 03XX， \(X_{\overline{y}}\) 是概形。由于它拟紧，其底拓扑空间是有限离散空间。再由《概形》引理 02O0，它是仿射概形。由引理 07VP，各代数空间 \(X_n\) 也都是仿射概形。此外，每个 \(X_n\) 的底拓扑与 \(X_1\) 的相同。

因此对于所有 \(p > 0\)，有 \(H^p(X_n, \mathcal{F}_n) = 0\)。由引理 08B1，可见 \((R^pf_*\mathcal{F})_{\overline{y}}^\wedge = 0\)。由引理 08AR，\(R^pf_*\mathcal{F}\) 凝聚，因而 \(R^pf_*\mathcal{F}_{\overline{y}}\) 是有限 \(\mathcal{O}_{Y, \overline{y}}\)-模。由《代数》引理 00MA，这推出 \((R^pf_*\mathcal{F})_{\overline{y}} = 0\)。

引理

设 \(S\) 为一个概形，\(f : X \to Y\) 为 \(S\) 上代数空间之间的态射， \(\overline{y}\) 为 \(Y\) 的几何点。假设：

\(Y\) 局部 Noether；

\(f\) 恰当；

\(\dim(X_{\overline{y}}) = d\).

则对于 \(X\) 上的任意凝聚层 \(\mathcal{F}\) 和所有 \(p > d\)，都有 \((R^pf_*\mathcal{F})_{\overline{y}} = 0\)。

证明

设 \(\kappa(\overline{y})\) 为局部环 \(\mathcal{O}_{Y, \overline{y}}\) 的剩余域。如引理 08B1 中那样，令 \(X_{\overline{y}} = X_1 = \Spec(\kappa(\overline{y})) \times_Y X\)。此外，每个无穷小邻域 \(X_n\) 的底拓扑空间都与 \(X_{\overline{y}}\) 的相同。因此由引理 0A4R，对于所有 \(p > d\)，有 \(H^p(X_n, \mathcal{F}_n) = 0\)。进而由引理 08B1，当 \(p > d\) 时 \((R^pf_*\mathcal{F})_{\overline{y}}^\wedge = 0\)。由引理 08AR，\(R^pf_*\mathcal{F}\) 凝聚，因而 \(R^pf_*\mathcal{F}_{\overline{y}}\) 是有限 \(\mathcal{O}_{Y, \overline{y}}\)-模。由《代数》引理 00MA，这推出 \((R^pf_*\mathcal{F})_{\overline{y}} = 0\)。

形式函数定理的应用

我们将在需要时在这里加入更多内容。

引理

（更一般的版本见《空间的态射进阶》引理 0A4X。）设 \(S\) 为一个概形，\(f : X \to Y\) 为 \(S\) 上代数空间之间的态射。假设 \(Y\) 局部 Noether。下列条件等价：

\(f\) 有限；

\(f\) 恰当，并且对于每个态射 \(\Spec(k) \to Y\)，其中 \(k\) 是域， \(|X_k|\) 都是离散空间。

证明

由《空间的态射》引理 04NZ，有限态射恰当。由《空间的态射》引理 04NY，有限态射拟有限。拟有限态射的纤维 \(X_k\) 离散，见《空间的态射》引理 06RW。因此有限态射恰当且具有离散纤维 \(X_k\)。

假设 \(f\) 恰当且具有离散纤维 \(X_k\)。我们要证明 \(f\) 有限。事实上，只需证明 \(f\) 仿射。如果 \(f\) 仿射，则由《空间的态射》引理 0415，\(f\) 是整态射；随后由《空间的态射》引理 0414， \(f\) 有限。

为证明 \(f\) 仿射，可以假设 \(Y\) 仿射；目标是证明 \(X\) 也仿射。由于 \(f\) 恰当，\(X\) 分离且拟紧。我们将证明，对于任意凝聚 \(\mathcal{O}_X\)-模 \(\mathcal{F}\)，都有 \(H^1(X, \mathcal{F}) = 0\)。由引理 07UV 和 073E，这推出对于每个拟凝聚 \(\mathcal{O}_X\)-模 \(\mathcal{F}\)，都有 \(H^1(X, \mathcal{F}) = 0\)。进而由命题 07V6，\(X\) 仿射。由引理 0A4S，对于 \(Y\) 的所有几何点， \(R^1f_*\mathcal{F}\) 的茎都为零。换言之，\(R^1f_*\mathcal{F} = 0\)。因此由 \(f\) 的 Leray 谱序列， \(H^1(X , \mathcal{F}) = H^1(Y, f_*\mathcal{F})\)。由于 \(Y\) 仿射且 \(f_*\mathcal{F}\) 拟凝聚（《空间的态射》引理 03M9），《概形的上同调》引理 01XB 给出 \(H^1(Y, f_*\mathcal{F}) = 0\)。所以 \(H^1(X, \mathcal{F}) = 0\)，如所要求。

作为推论，得到下面的有用结果。

引理

（更一般的版本见《空间的态射进阶》引理 0A4Y。）设 \(S\) 为一个概形，\(f : X \to Y\) 为 \(S\) 上代数空间之间的态射， \(\overline{y}\) 为 \(Y\) 的几何点。假设：

\(Y\) 局部 Noether；

\(f\) 恰当；

\(|X_{\overline{y}}|\) 有限。

则存在 \(\overline{y}\) 的开邻域 \(V \subset Y\)，使得 \(f|_{f^{-1}(V)} : f^{-1}(V) \to V\) 有限。

证明

由《空间的态射》引理 06LS，态射 \(f\) 在 \(X\) 中位于 \(\overline{y}\) 上的所有几何点处拟有限。由《空间的态射》引理 04NW，\(f\) 拟有限的点所成集合是开子空间 \(U \subset X\)。令 \(Z = X \setminus U\)。则 \(\overline{y} \not \in f(Z)\)。由于 \(f\) 恰当，集合 \(f(Z) \subset Y\) 闭。选取 \(\overline{y}\) 的任意开邻域 \(V \subset Y\)，使得 \(Z \cap V = \emptyset\)。则 \(f^{-1}(V) \to V\) 局部拟有限且恰当。因此 \(f^{-1}(V) \to V\) 具有离散纤维 \(X_k\)（《空间的态射》引理 06RW），这些纤维拟紧，因而有限。所以由引理 0A4V，\(f^{-1}(V) \to V\) 有限。

这可能不是标准记号↩︎