形变理论 · Stacks

引言

本章旨在较为平缓地介绍模、态射等对象的形变理论。本章讨论能够利用朴素余切复形证明的那些结果。在关于余切复形的一章中，我们还会略微推广这些结果。希望深入了解的读者可以参阅 Illusie 关于这一主题的专著，见 [cotangent]。

环的形变与朴素余切复形

本节利用朴素余切复形来处理一些形变理论问题。先取一个满环同态 \(A' \to A\)，其核为平方零理想 \(I\)。此外，设已给定环同态 \(A \to B\)、\(B\)-模 \(N\) 以及 \(A\)-模同态 \(c : I \to N\)。我们要问，能否找到一个对象来替代下图中的问号，使图表交换： [08S4]\[\begin{equation} \vcenter{ \xymatrix{ 0 \ar[r] & N \ar[r] & {?} \ar[r] & B \ar[r] & 0 \\ 0 \ar[r] & I \ar[u]^c \ar[r] & A' \ar[u] \ar[r] & A \ar[u] \ar[r] & 0 } } \end{equation}\] 并且，如果解存在，它在何种意义下是唯一的。更确切地说，我们寻找一个满的 \(A'\)-代数同态 \(B' \to B\)，其核是与 \(N\) 等同的平方零理想，并且 \(A' \to B'\) 诱导出给定同态 \(c\)。我们称 \(B'\) 为 (08S4) 的一个解。

引理

给定交换图 \[\xymatrix{ & 0 \ar[r] & N_2 \ar[r] & B'_2 \ar[r] & B_2 \ar[r] & 0 \\ & 0 \ar[r]|\hole & I_2 \ar[u]_{c_2} \ar[r] & A'_2 \ar[u] \ar[r]|\hole & A_2 \ar[u] \ar[r] & 0 \\ 0 \ar[r] & N_1 \ar[ruu] \ar[r] & B'_1 \ar[r] & B_1 \ar[ruu] \ar[r] & 0 \\ 0 \ar[r] & I_1 \ar[ruu]|\hole \ar[u]^{c_1} \ar[r] & A'_1 \ar[ruu]|\hole \ar[u] \ar[r] & A_1 \ar[ruu]|\hole \ar[u] \ar[r] & 0 }\] 其中前后两面均为 (08S4) 的解，则有：

在 \(\Ext^1_{B_1}(\NL_{B_1/A_1}, N_2)\) 中存在一个典范元；该元为零，当且仅当存在环同态 \(B'_1 \to B'_2\) 使上述图表交换。

如果存在使图表交换的同态 \(B'_1 \to B'_2\)，那么所有这类同态组成的集合是 \(\Hom_{B_1}(\Omega_{B_1/A_1}, N_2)\) 作用下的主齐性空间。

证明

令 \(E\) 为 \(B_1\) 的底层集合。考虑满同态 \(A_1[E] \to B_1\)，记其核为 \(J\)；朴素余切复形正是借助该同态按下式定义的： \[\NL_{B_1/A_1} = (J/J^2 \to \Omega_{A_1[E]/A_1} \otimes_{A_1[E]} B_1)\] 参见《交换代数》第 00S0 节。由于 \(\Omega_{A_1[E]/A_1} \otimes B_1\) 是自由 \(B_1\)-模，故 \[\Ext^1_{B_1}(\NL_{B_1/A_1}, N_2) = \frac{\Hom_{B_1}(J/J^2, N_2)} {\Hom_{B_1}(\Omega_{A_1[E]/A_1} \otimes B_1, N_2)}\] 我们将在右端的模中构造一个障碍。令 \(J' = \Ker(A'_1[E] \to B_1)\)。注意，存在满同态 \(J' \to J\)，其核为 \(I_1A'_1[E]\)。对每个 \(e \in E\)，以 \(x_e \in A_1[E]\) 表示相应的变量。选取 \(x_e\) 在 \(B_1\) 中的像于 \(B'_1\) 中的一个提升 \(y_e\)，并选取 \(x_e\) 在 \(B_2\) 中的像于 \(B'_2\) 中的一个提升 \(z_e\)。这些选择确定了 \(A'_1\)-代数同态 \[A'_1[E] \to B'_1 \quad\text{且}\quad A'_1[E] \to B'_2\] 其中第一个给出同态 \(J' \to N_1,\ f' \mapsto f'(y_e)\)，第二个给出同态 \(J' \to N_2,\ f' \mapsto f'(z_e)\)。计算表明，这两个同态均在 \((J')^2\) 上为零。由于图表的左方块（涉及 \(c_1\) 与 \(c_2\)）交换，把它们视为取值于 \(N_2\) 的同态时，它们在 \(I_1A'_1[E]\) 上一致。注意，\(B'_1\) 是 \(J' \to A'_1[E]\) 与 \(J' \to N_1\) 的推出。因此，若同态 \(J' \to N_1 \to N_2\) 与 \(J' \to N_2\) 一致，就得到一个使图表交换的同态 \(B'_1 \to B'_2\)。于是，把下列同态的类定义为障碍： \[J/J^2 \to N_2,\quad f \mapsto f'(z_e) - \nu(f'(y_e))\] 这里 \(\nu : N_1 \to N_2\) 是给定同态，而 \(f' \in J'\) 是 \(f\) 的一个提升。由上述讨论，该定义是良定的。注意，对某些 \(\delta_{i,e} \in N_i\)，我们可以把所选的 \(z_e\) 改为 \(z_e + \delta_{2,e}\)，把 \(y_e\) 改为 \(y_e + \delta_{1,e}\)。这样一来，上述同态变为

\[f \mapsto f'(z_e + \delta_{2, e}) - \nu(f'(y_e + \delta_{1, e})) = f'(z_e) - \nu(f'(z_e)) + \sum (\delta_{2, e} - \nu(\delta_{1, e}))\frac{\partial f}{\partial x_e}\] 这恰好意味着，我们用复合同态 \(J/J^2 \to \Omega_{A_1[E]/A_1} \otimes B_1 \to N_2\) 来修正同态 \(J/J^2 \to N_2\)，其中第二个同态把 \(\text{d}x_e\) 映为 \(\delta_{2,e} - \nu(\delta_{1,e})\)。因此，我们的障碍是良定义的，并且它为零当且仅当存在提升。

第 (2) 点来自如下观察：给定两个使图表交换的同态 \(\varphi, \psi : B'_1 \to B'_2\)，差 \(\varphi - \psi\) 分解为一个同态 \(D : B_1 \to N_2\)，而它是一个 \(A_1\)-导子： \[\begin{align*} D(fg) & = \varphi(f'g') - \psi(f'g') \\ & = \varphi(f')\varphi(g') - \psi(f')\psi(g') \\ & = (\varphi(f') - \psi(f'))\varphi(g') + \psi(f')(\varphi(g') - \psi(g')) \\ & = gD(f) + fD(g) \end{align*}\] 因此，\(D\) 对应于唯一的 \(B_1\)-线性同态 \(\Omega_{B_1/A_1} \to N_2\)。反过来，给定这样的线性同态便得到一个导子 \(D\)；再给定一个使图表交换的环同态 \(\psi : B'_1 \to B'_2\)，则 \(\psi + D\) 是另一个使图表交换的环同态。

引理

如果 (08S4) 存在解，那么解的同构类集合是 \(\Ext^1_B(\NL_{B/A}, N)\) 作用下的主齐性空间。

证明

先注意，给定 (08S4) 的两个解 \(B'_1\) 与 \(B'_2\)，由引理 08S5 可得一个障碍元 \(o(B'_1, B'_2) \in \Ext^1_B(\NL_{B/A}, N)\)；它阻碍同态 \(B'_1 \to B'_2\) 的存在。显然，该元也是同构存在性的障碍，因而能够区分不同的同构类。因此，为完成证明，只需说明：给定一个解 \(B'\) 和一个元素 \(\xi \in \Ext^1_B(\NL_{B/A}, N)\)，可以找到另一个解 \(B'_\xi\)，使得 \(o(B', B'_\xi) = \xi\)。

令 \(E\) 为 \(B\) 的底层集合。考虑满同态 \(A[E] \to B\)，记其核为 \(J\)；朴素余切复形正是借助该同态按下式定义的： \[\NL_{B/A} = (J/J^2 \to \Omega_{A[E]/A} \otimes_{A[E]} B)\] 参见《交换代数》第 00S0 节。由于 \(\Omega_{A[E]/A} \otimes B\) 是自由 \(B\)-模，故 \[\Ext^1_B(\NL_{B/A}, N) = \frac{\Hom_B(J/J^2, N)} {\Hom_B(\Omega_{A[E]/A} \otimes B, N)}\] 因此，可以用一个同态 \(\delta : J/J^2 \to N\) 的类来表示 \(\xi\)。

对每个 \(e \in E\)，以 \(x_e \in A[E]\) 表示相应的变量。选取 \(x_e\) 在 \(B\) 中的像于 \(B'\) 中的一个提升 \(y_e\)。这些选择确定了一个 \(A'\)-代数同态 \(\varphi : A'[E] \to B'\)。令 \(J' = \Ker(A'[E] \to B)\)。注意，\(\varphi\) 诱导同态 \(\varphi|_{J'} : J' \to N\)，且 \(B'\) 是下图所示的推出： \[\xymatrix{ 0 \ar[r] & N \ar[r] & B' \ar[r] & B \ar[r] & 0 \\ 0 \ar[r] & J' \ar[u]^{\varphi|_{J'}} \ar[r] & A'[E] \ar[u] \ar[r] & B \ar[u]_{=} \ar[r] & 0 }\] 令 \(\psi : J' \to N\) 为同态 \(\varphi|_{J'}\) 与下列复合同态之和： \[J' \to J'/(J')^2 \to J/J^2 \xrightarrow{\delta} N.\] 于是，沿 \(\psi\) 所作的推出给出另一个环扩张 \(B'_\xi\)，它可置于上述形式的图表中。计算表明 \(o(B', B'_\xi) = \xi\)，正如所需。

引理

设 \(A\) 为环，\(B\) 为 \(A\)-代数，\(N\) 为 \(B\)-模。所有如下 \(A\)-代数扩张的同构类所成的集合 \[0 \to N \to B' \to B \to 0\] （其中 \(N\) 是平方零理想）与 \(\Ext^1_B(\NL_{B/A}, N)\) 典范双射。

证明

为证明这一点，把前述结果应用于 (08S4) 由下图给出的情形： \[\xymatrix{ 0 \ar[r] & N \ar[r] & {?} \ar[r] & B \ar[r] & 0 \\ 0 \ar[r] & 0 \ar[u] \ar[r] & A \ar[u] \ar[r]^{\text{id}} & A \ar[u] \ar[r] & 0 }\] 于是，本引理由引理 08S7 以及解的存在性推出；一个解就是 \(N \oplus B\)。（该双射的直接构造见下述评注。）

注

设 \(A \to B\) 与 \(N\) 如引理 0GPT 所述。令 \(\alpha : P \to B\) 为 \(B\) 在 \(A\) 上的一个呈示，见《交换代数》第 00S0 节。记 \(J = \Ker(\alpha)\)，则与 \(\alpha\) 相伴的朴素余切复形 \(\NL(\alpha)\) 为复形 \(J/J^2 \to \Omega_{P/A} \otimes_P B\)。我们有 \[\Ext^1_B(\NL(\alpha), N) = \Coker\left(\Hom_B(\Omega_{P/A} \otimes_P B, N) \to \Hom_B(J/J^2, N)\right)\] 因为 \(\Omega_{P/A}\) 是自由模。考虑引理中所述的一个扩张 \(0 \to N \to B' \to B \to 0\)。由于 \(P\) 是 \(A\) 上的多项式代数，可以把 \(\alpha\) 提升为 \(A\)-代数同态 \(\alpha' : P' \to B'\)。由于 \(N\) 在 \(B'\) 中平方为零，同态 \(\alpha'|_J : J \to N\) 分解为 \(J \to J/J^2 \to N\)。该引理把这个扩张映到上述余核中此同态 \(J/J^2 \to N\) 的类。

引理

给定环同态 \(A \to B \to C\)、\(B\)-模 \(M\)、\(C\)-模 \(N\)、\(B\)-线性同态 \(c : M \to N\)，以及如下具有平方零核的 \(A\)-代数扩张：

与 \(\xi \in \Ext^1_B(\NL_{B/A}, M)\) 对应的 \(0 \to M \to B' \to B \to 0\)；

与 \(\zeta \in \Ext^1_C(\NL_{C/A}, N)\) 对应的 \(0 \to N \to C' \to C \to 0\)。

参见引理 0GPT。那么，存在与 \(B \to C\) 及 \(c\) 相容的 \(A\)-代数同态 \(B' \to C'\)，当且仅当 \(\xi\) 与 \(\zeta\) 在 \(\Ext^1_B(\NL_{B/A}, N)\) 中的像相同。

证明

这个陈述是有意义的，因为我们有同态 \[\Ext^1_B(\NL_{B/A}, M) \to \Ext^1_B(\NL_{B/A}, N)\] 它由同态 \(M \to N\) 诱导；还具有复合同态 \[\Ext^1_C(\NL_{C/A}, N) \to \Ext^1_B(\NL_{C/A}, N) \to \Ext^1_B(\NL_{B/A}, N)\] 其中第一个箭头使用限制同态 \(D(C) \to D(B)\)，第二个箭头使用复形的典范同态 \(\NL_{B/A} \to \NL_{C/A}\)。把引理 08S5 应用于下图，即可推出本引理的陈述： \[\xymatrix{ & 0 \ar[r] & N \ar[r] & C' \ar[r] & C \ar[r] & 0 \\ & 0 \ar[r]|\hole & 0 \ar[u] \ar[r] & A \ar[u] \ar[r]|\hole & A \ar[u] \ar[r] & 0 \\ 0 \ar[r] & M \ar[ruu] \ar[r] & B' \ar[r] & B \ar[ruu] \ar[r] & 0 \\ 0 \ar[r] & 0 \ar[ruu]|\hole \ar[u] \ar[r] & A \ar[ruu]|\hole \ar[u] \ar[r] & A \ar[ruu]|\hole \ar[u] \ar[r] & 0 }\] 同时还要使用引理 0GPT 与 08S5 的证明中各项构造之间的一种相容性；其陈述和证明从略。（直接论证见下述评注。）

注

设 \(A \to B \to C\)、\(M\)、\(N\)、\(c : M \to N\)、 \(0 \to M \to B' \to B \to 0\)、\(\xi \in \Ext^1_B(\NL_{B/A}, M)\)、 \(0 \to N \to C' \to C \to 0\) 以及 \(\zeta \in \Ext^1_C(\NL_{C/A}, N)\) 如引理 0GPV 所述。沿 \(c : M \to N\) 作推出，可构造扩张 \[\xymatrix{ 0 \ar[r] & N \ar[r] & B'_1 \ar[r] & B \ar[r] & 0 \\ 0 \ar[r] & M \ar[u]^c \ar[r] & B' \ar[u] \ar[r] & B \ar[u] \ar[r] & 0 }\] 其中令 \(B'_1 = (N \times B')/M\)，而 \(M\) 反对角嵌入。沿 \(B \to C\) 作拉回，可构造扩张 \[\xymatrix{ 0 \ar[r] & N \ar[r] & C' \ar[r] & C \ar[r] & 0 \\ 0 \ar[r] & N \ar[u] \ar[r] & B'_2 \ar[u] \ar[r] & B \ar[u] \ar[r] & 0 }\] 其中令 \(B'_2 = C' \times_C B\)（环的纤维积）。简单的追图表明，存在与 \(B \to C\) 及 \(c\) 相容的 \(A\)-代数同态 \(B' \to C'\)，当且仅当把 \(B'_1\) 与 \(B'_2\) 都看作 \(B\) 被 \(N\) 扩张所得的 \(A\)-代数时二者同构。因此，为证明引理 0GPV，只需说明：经引理 0GPT 的双射，\(B'_1\) 对应于 \(\xi\) 在同态 \(\Ext^1_B(\NL_{B/A}, M) \to \Ext^1_B(\NL_{B/A}, N)\) 下的像，并且 \(B'_2\) 对应于 \(\zeta\) 在同态 \(\Ext^1_C(\NL_{C/A}, N) \to \Ext^1_B(\NL_{B/A}, N)\). 第一个陈述由评注 0GPU 中类的构造立即得到。为证明第二个陈述，选取交换图 \[\xymatrix{ Q \ar[r]_\beta & C \\ P \ar[u]^\varphi \ar[r]^\alpha & B \ar[u] }\] 其中各项都是 \(A\)-代数，\(\alpha\) 是 \(B\) 在 \(A\) 上的一个呈示，而 \(\beta\) 是 \(C\) 在 \(A\) 上的一个呈示。参见评注 0GPU 及其中的文献。令 \(J = \Ker(\alpha)\)、\(K = \Ker(\beta)\)。同态 \(\varphi\) 诱导复形同态 \(\NL(\alpha) \to \NL(\beta)\)，特别地诱导 \(\bar\varphi : J/J^2 \to K/K^2\)。选取提升 \(\beta\) 的 \(A\)-代数同态 \(\beta' : Q \to C'\)。于是 \(\alpha' = (\beta' \circ \varphi, \alpha) : P \to B'_2 = C' \times_C B\) 是 \(\alpha\) 的一个提升。在这些选择下，由 \(\beta'\) 诱导的同态 \(K/K^2 \to N\) 与 \(\bar\varphi : J/J^2 \to K/K^2\) 的复合，正是 \(\alpha'\) 在 \(J/J^2\) 上的限制。展开评注 0GPU 中各个类的构造，这确实表明 \(B'_2\) 对应于 \(\zeta\) 在同态 \(\Ext^1_C(\NL_{C/A}, N) \to \Ext^1_B(\NL_{B/A}, N)\). 下的像。

引理

设 \(0 \to I \to A' \to A \to 0\)、\(A \to B\) 以及 \(c : I \to N\) 如 (08S4) 所述。记 \(\xi \in \Ext^1_A(\NL_{A/A'}, I)\) 为经引理 0GPT 与 \(A\) 被 \(I\) 扩张所得的 \(A'\) 相对应的元素。解的同构类集合与同态 \[\Ext^1_B(\NL_{B/A'}, N) \to \Ext^1_A(\NL_{A/A'}, N)\] 在 \(\xi\) 的像上方的纤维典范双射。

证明

把引理 0GPT 应用于 \(A' \to B\) 和 \(B\)-模 \(N\)，可见 \(\Ext^1_B(\NL_{B/A'}, N)\) 中的元素 \(\zeta\) 参数化 \(A'\)-代数扩张 \(0 \to N \to B' \to B \to 0\)。把引理 0GPV 应用于 \(A' \to A \to B\) 和 \(c : I \to N\)，可见存在与 \(c\) 及 \(A \to B\) 相容的 \(A'\)-代数同态 \(A' \to B'\)，当且仅当 \(\zeta\) 映到 \(\xi\)。这当然等价于说 \(B'\) 是 (08S4) 的一个解。

注

注意，在引理 0GPX 的情形中有 \[\Ext^1_A(\NL_{A/A'}, N) = \Ext^1_B(\NL_{A/A'} \otimes_A^\mathbf{L} B, N) = \Ext^1_B(\NL_{A/A'} \otimes_A B, N)\] 第一个等号来自《更多交换代数》引理 0GMT，第二个等号来自《更多交换代数》引理 0FUY。我们有复形同态 \[\NL_{A/A'} \otimes_A B \to \NL_{B/A'} \to \NL_{B/A}\] 它们几乎构成一个可区别三角，见《交换代数》引理 00S2。如果它确实是可区别三角，便可得出： \(\xi\) 在 \(\Ext^2_B(\NL_{B/A}, N)\) 中的像，就是 (08S4) 存在解的障碍。

如果环同态 \(A \to B\) 是局部完全交同态，那么解存在。这是一类提升结果；注意，对于 syntomic 环同态，我们已在《环同态的光滑化》命题 07M8 中证明了一个相当强的提升结果。

引理

如果 \(A \to B\) 是局部完全交环同态，那么 (08S4) 存在解。

证明

写成 \(B = A[x_1, \ldots, x_n]/J\)。由《更多交换代数》定义 07D0，理想 \(J\) 是 Koszul 正则的。这蕴含 \(J\) 是 \(H_1\)-正则且拟正则的，见《更多交换代数》第 07CU 节。令 \(J' \subset A'[x_1, \ldots, x_n]\) 为 \(J\) 的原像。以 \(I[x_1, \ldots, x_n]\) 表示同态 \(A'[x_1, \ldots, x_n] \to A[x_1, \ldots, x_n]\) 的核。由《更多交换代数》引理 07CX，有 \(I[x_1, \ldots, x_n] \cap (J')^2 = J'I[x_1, \ldots, x_n] = JI[x_1, \ldots, x_n]\)。因此得到短正合列 \[0 \to I \otimes_A B \to J'/(J')^2 \to J/J^2 \to 0\] 由于 \(J/J^2\) 是投射模（《更多交换代数》引理 08RK），可以选取该正合列的一个分裂 \[J'/(J')^2 = I \otimes_A B \oplus J/J^2\] 令 \((J')^2 \subset J'' \subset J'\) 为映到上述分解中第二个直和项的那些元素。于是 \[0 \to I \otimes_A B \to A'[x_1, \ldots, x_n]/J'' \to B \to 0\] 是 \(N = I \otimes_A B\) 时 (08S4) 的一个解。沿给定同态 \(I \otimes_A B \to N\) 作推出，即得一般情形。

证明

请先阅读评注 0GPY。由《更多交换代数》引理 07D4，同态 \(\NL_{A/A'} \otimes_A B \to \NL_{B/A'} \to \NL_{B/A}\) 在 \(D(B)\) 中确实构成一个可区别三角。因此，只需证明 \(\Ext^2_B(\NL_{B/A}, N)\) 为零。由《更多交换代数》引理 0FV0，复形 \(\NL_{B/A}\) 是 Tor 振幅位于 \([-1,0]\) 的完美复形。例如，由《更多交换代数》引理 0BCG 第 (1) 点，这蕴含上述 \(\Ext^2\) 为零。

环化空间的增厚

在下面几节中，我们将使用以下概念：

环化空间 \((X', \mathcal{O}_{X'})\) 上的理想层 \(\mathcal{I} \subset \mathcal{O}_{X'}\) 称为局部幂零的，如果 \(\mathcal{I}\) 的任意局部截面都是局部幂零的。与《交换代数》第 0543 项比较。
环化空间的一个增厚是环化空间的态射 \(i : (X, \mathcal{O}_X) \to (X', \mathcal{O}_{X'})\)，满足：
1. \(i\) 诱导同胚 \(X \to X'\)；
2. 同态 \(i^\sharp : \mathcal{O}_{X'} \to i_*\mathcal{O}_X\) 是满的；
3. \(i^\sharp\) 的核是局部幂零理想层。
环化空间的一个一阶增厚是环化空间的增厚 \(i : (X, \mathcal{O}_X) \to (X', \mathcal{O}_{X'})\)，且 \(\Ker(i^\sharp)\) 平方为零。
显然可以定义增厚的态射、基环化空间上增厚的态射等概念。

若 \(i : (X, \mathcal{O}_X) \to (X', \mathcal{O}_{X'})\) 是环化空间的一个增厚，我们便等同其底层拓扑空间，并把 \(\mathcal{O}_X\)、 \(\mathcal{O}_{X'}\) 以及 \(\mathcal{I} = \Ker(i^\sharp)\) 都视为 \(X = X'\) 上的层。由此得到 \(\mathcal{O}_{X'}\)-模的短正合列 \[0 \to \mathcal{I} \to \mathcal{O}_{X'} \to \mathcal{O}_X \to 0\] 由《模层》引理 08KS， \(\mathcal{O}_X\)-模范畴等价于被 \(\mathcal{I}\) 零化的 \(\mathcal{O}_{X'}\)-模范畴。特别地，如果 \(i\) 是一阶增厚，那么 \(\mathcal{I}\) 是一个 \(\mathcal{O}_X\)-模。

情形

增厚的一个态射 \((f,f')\) 由如下交换图给出： [08L0]\[\begin{equation} \vcenter{ \xymatrix{ (X, \mathcal{O}_X) \ar[r]_i \ar[d]_f & (X', \mathcal{O}_{X'}) \ar[d]^{f'} \\ (S, \mathcal{O}_S) \ar[r]^t & (S', \mathcal{O}_{S'}) } } \end{equation}\] 其中各项为环化空间，水平箭头为增厚。在这一情形中，令 \(\mathcal{I} = \Ker(i^\sharp) \subset \mathcal{O}_{X'}\)、 \(\mathcal{J} = \Ker(t^\sharp) \subset \mathcal{O}_{S'}\)。由于在底层拓扑空间上 \(f=f'\)，我们等同（拓扑）逆像函子 \(f^{-1}\) 与 \((f')^{-1}\)。注意， \((f')^\sharp : f^{-1}\mathcal{O}_{S'} \to \mathcal{O}_{X'}\) 特别地诱导同态 \(f^{-1}\mathcal{J} \to \mathcal{I}\)，从而诱导 \(\mathcal{O}_{X'}\)-模同态 \[(f')^*\mathcal{J} \longrightarrow \mathcal{I}\] 如果 \(i\) 与 \(t\) 都是一阶增厚，那么 \((f')^*\mathcal{J}=f^*\mathcal{J}\)，上述同态就成为 \(f^*\mathcal{J} \to \mathcal{I}\)。

定义

在情形 08KZ 中，如果同态 \((f')^*\mathcal{J} \longrightarrow \mathcal{I}\) 是满的，则称 \((f,f')\) 是一个增厚的严格态射。

下述引理特别说明：概形增厚的态射 \((f,f'):(X\subset X')\to(S\subset S')\) 是严格的，当且仅当 \(X=S\times_{S'}X'\)。

引理

在情形 08KZ 中，态射 \((f,f')\) 是增厚的严格态射，当且仅当 (08L0) 在环化空间范畴中是笛卡儿的。

证明

从略。

环化空间一阶增厚上的模

本节讨论模的形变理论所需的一些预备知识。设 \(i : (X,\mathcal{O}_X)\to(X',\mathcal{O}_{X'})\) 是环化空间的一阶增厚。我们将随时使用第 08KY 节引入的记号；特别地，我们等同底层拓扑空间。本节考虑 \(\mathcal{O}_{X'}\)-模的短正合列 [08L4]\[\begin{equation} 0 \to \mathcal{K} \to \mathcal{F}' \to \mathcal{F} \to 0 \end{equation}\] 其中 \(\mathcal{F}\)、\(\mathcal{K}\) 是 \(\mathcal{O}_X\)-模，而 \(\mathcal{F}'\) 是 \(\mathcal{O}_{X'}\)-模。在这种情形中，有典范的 \(\mathcal{O}_X\)-模同态 \[c_{\mathcal{F}'} : \mathcal{I} \otimes_{\mathcal{O}_X} \mathcal{F} \longrightarrow \mathcal{K}\] 其中 \(\mathcal{I}=\Ker(i^\sharp)\)。具体而言，给定 \(\mathcal{I}\) 的局部截面 \(f\) 与 \(\mathcal{F}\) 的局部截面 \(s\)，令 \(c_{\mathcal{F}'}(f\otimes s)=fs'\)，其中 \(s'\) 是提升 \(s\) 的 \(\mathcal{F}'\) 的局部截面。

引理

设 \(i : (X,\mathcal{O}_X)\to(X',\mathcal{O}_{X'})\) 是环化空间的一阶增厚，并给定扩张 \[0 \to \mathcal{K} \to \mathcal{F}' \to \mathcal{F} \to 0 \quad\text{且}\quad 0 \to \mathcal{L} \to \mathcal{G}' \to \mathcal{G} \to 0\] 如 (08L4) 所述，以及同态 \(\varphi:\mathcal{F}\to\mathcal{G}\) 与 \(\psi:\mathcal{K}\to\mathcal{L}\)。

如果存在与 \(\varphi\) 和 \(\psi\) 相容的 \(\mathcal{O}_{X'}\)-模同态 \(\varphi':\mathcal{F}'\to\mathcal{G}'\)，那么图表 \[\xymatrix{ \mathcal{I} \otimes_{\mathcal{O}_X} \mathcal{F} \ar[r]_-{c_{\mathcal{F}'}} \ar[d]_{1 \otimes \varphi} & \mathcal{K} \ar[d]^\psi \\ \mathcal{I} \otimes_{\mathcal{O}_X} \mathcal{G} \ar[r]^-{c_{\mathcal{G}'}} & \mathcal{L} }\] 交换。

与 \(\varphi\) 和 \(\psi\) 相容的 \(\mathcal{O}_{X'}\)-模同态 \(\varphi':\mathcal{F}'\to\mathcal{G}'\) 的集合，如果非空，就是 \(\Hom_{\mathcal{O}_X}(\mathcal{F},\mathcal{L})\) 作用下的主齐性空间。

证明

第 (1) 点由各同态的描述立即得到。对于第 (2) 点，若 \(\varphi'\) 与 \(\varphi''\) 是两个与 \(\varphi\) 和 \(\psi\) 相容的同态 \(\mathcal{F}'\to\mathcal{G}'\)，那么 \(\varphi'-\varphi''\) 分解为 \[\mathcal{F}' \to \mathcal{F} \to \mathcal{L} \to \mathcal{G}'\] 由《模层》引理 08KS，中间的同态来自 \(\Hom_{\mathcal{O}_X}(\mathcal{F},\mathcal{L})\) 中唯一的元素。反过来，给定该群中的元素 \(\alpha\)，可以把上述复合（中间同态取 \(\alpha\)）加到 \(\varphi'\) 上。若干细节从略。

引理

设 \(i:(X,\mathcal{O}_X)\to(X',\mathcal{O}_{X'})\) 是环化空间的一阶增厚，并给定扩张 \[0 \to \mathcal{K} \to \mathcal{F}' \to \mathcal{F} \to 0 \quad\text{且}\quad 0 \to \mathcal{L} \to \mathcal{G}' \to \mathcal{G} \to 0\] 如 (08L4) 所述，以及同态 \(\varphi:\mathcal{F}\to\mathcal{G}\) 与 \(\psi:\mathcal{K}\to\mathcal{L}\)。假设图表 \[\xymatrix{ \mathcal{I} \otimes_{\mathcal{O}_X} \mathcal{F} \ar[r]_-{c_{\mathcal{F}'}} \ar[d]_{1 \otimes \varphi} & \mathcal{K} \ar[d]^\psi \\ \mathcal{I} \otimes_{\mathcal{O}_X} \mathcal{G} \ar[r]^-{c_{\mathcal{G}'}} & \mathcal{L} }\] 交换。那么存在元素 \[o(\varphi, \psi) \in \Ext^1_{\mathcal{O}_X}(\mathcal{F}, \mathcal{L})\] 它为零，当且仅当存在与 \(\varphi\) 和 \(\psi\) 相容的同态 \(\varphi':\mathcal{F}'\to\mathcal{G}'\)。

证明

可以显式构造扩张 \[0 \to \mathcal{L} \to \mathcal{H} \to \mathcal{F} \to 0\] 方法是令 \(\mathcal{H}\) 为复形 \[\mathcal{K} \xrightarrow{1, - \psi} \mathcal{F}' \oplus \mathcal{G}' \xrightarrow{\varphi, 1} \mathcal{G}\] 在中间项处的上同调层（记号含义显然）。利用引理中图表交换这一假设，对局部截面作计算可知 \(\mathcal{H}\) 被 \(\mathcal{I}\) 零化。因此 \(\mathcal{H}\) 在下述群中定义了一个类： \[\Ext^1_{\mathcal{O}_X}(\mathcal{F}, \mathcal{L}) \subset \Ext^1_{\mathcal{O}_{X'}}(\mathcal{F}, \mathcal{L})\] 最后，\(\mathcal{H}\) 的类等于沿 \(\psi\) 对扩张 \(\mathcal{F}'\) 所作的推出与沿 \(\varphi\) 对扩张 \(\mathcal{G}'\) 所作的拉回之差（计算从略）。因此，\(\mathcal{H}\) 的类为零，等价于存在交换图 \[\xymatrix{ 0 \ar[r] & \mathcal{K} \ar[r] \ar[d]_{\psi} & \mathcal{F}' \ar[r] \ar[d]_{\varphi'} & \mathcal{F} \ar[r] \ar[d]_\varphi & 0\\ 0 \ar[r] & \mathcal{L} \ar[r] & \mathcal{G}' \ar[r] & \mathcal{G} \ar[r] & 0 }\] 这正是所需。

引理

设 \(i:(X,\mathcal{O}_X)\to(X',\mathcal{O}_{X'})\) 是环化空间的一阶增厚。给定 \(\mathcal{O}_X\)-模 \(\mathcal{F}\)、\(\mathcal{K}\) 以及 \(\mathcal{O}_X\)-线性同态 \(c:\mathcal{I}\otimes_{\mathcal{O}_X}\mathcal{F}\to\mathcal{K}\)。如果存在满足 \(c_{\mathcal{F}'}=c\) 的正合列 (08L4)，那么这些扩张的同构类集合是 \(\Ext^1_{\mathcal{O}_X}(\mathcal{F},\mathcal{K})\) 作用下的主齐性空间。

证明

假设给定扩张 \[0 \to \mathcal{K} \to \mathcal{F}'_1 \to \mathcal{F} \to 0 \quad\text{且}\quad 0 \to \mathcal{K} \to \mathcal{F}'_2 \to \mathcal{F} \to 0\] 且 \(c_{\mathcal{F}'_1}=c_{\mathcal{F}'_2}=c\)。那么二者之差（在扩张群中取差，见《同调代数》第 010I 节）是扩张 \[0 \to \mathcal{K} \to \mathcal{E} \to \mathcal{F} \to 0\] 其中 \(\mathcal{E}\) 被 \(\mathcal{I}\) 零化（局部计算从略）。所以该正合列是 \(\mathcal{O}_X\)-模的扩张，见《模层》引理 08KS。反过来，给定这样的扩张 \(\mathcal{E}\)，可将它加到 \(\mathcal{O}_{X'}\)-扩张 \(\mathcal{F}'\) 上，而不改变同态 \(c_{\mathcal{F}'}\)。若干细节从略。

引理

设 \(i:(X,\mathcal{O}_X)\to(X',\mathcal{O}_{X'})\) 是环化空间的一阶增厚。给定 \(\mathcal{O}_X\)-模 \(\mathcal{F}\)、\(\mathcal{K}\) 以及 \(\mathcal{O}_X\)-线性同态 \(c:\mathcal{I}\otimes_{\mathcal{O}_X}\mathcal{F}\to\mathcal{K}\)。那么存在元素 \[o(\mathcal{F}, \mathcal{K}, c) \in \Ext^2_{\mathcal{O}_X}(\mathcal{F}, \mathcal{K})\] 它为零，当且仅当存在满足 \(c_{\mathcal{F}'}=c\) 的正合列 (08L4)。

证明

先证明：如果 \(\mathcal{K}\) 是内射 \(\mathcal{O}_X\)-模，那么确实存在满足 \(c_{\mathcal{F}'}=c\) 的正合列 (08L4)。为此，选取平坦 \(\mathcal{O}_{X'}\)-模 \(\mathcal{H}'\) 以及满同态 \(\mathcal{H}'\to\mathcal{F}\)（《模层》引理 05NI）。令 \(\mathcal{J}\subset\mathcal{H}'\) 为其核。由于 \(\mathcal{H}'\) 平坦，故有 \[\mathcal{I} \otimes_{\mathcal{O}_{X'}} \mathcal{H}' = \mathcal{I}\mathcal{H}' \subset \mathcal{J} \subset \mathcal{H}'\] 注意，同态 \[\mathcal{I}\mathcal{H}' = \mathcal{I} \otimes_{\mathcal{O}_{X'}} \mathcal{H}' \longrightarrow \mathcal{I} \otimes_{\mathcal{O}_{X'}} \mathcal{F} = \mathcal{I} \otimes_{\mathcal{O}_X} \mathcal{F}\] 在 \(\mathcal{I}\mathcal{J}\) 上为零。事实上，如果 \(f\) 是 \(\mathcal{I}\) 的局部截面、\(s\) 是 \(\mathcal{H}\) 的局部截面，那么 \(fs\) 映到 \(f\otimes\overline{s}\)，其中 \(\overline{s}\) 是 \(s\) 在 \(\mathcal{F}\) 中的像。因此得到如下 \(\mathcal{O}_X\)-模图表： \[\xymatrix{ \mathcal{I}\mathcal{H}'/\mathcal{I}\mathcal{J} \ar@{^{(}->}[r] \ar[d] & \mathcal{J}/\mathcal{I}\mathcal{J} \ar@{..>}[d]_\gamma \\ \mathcal{I} \otimes_{\mathcal{O}_X} \mathcal{F} \ar[r]^-c & \mathcal{K} }\] 如果 \(\mathcal{K}\) 是内射 \(\mathcal{O}_X\)-模，就得到虚线箭头。以 \(\gamma':\mathcal{J}\to\mathcal{K}\) 表示 \(\gamma\) 与 \(\mathcal{J}\to\mathcal{J}/\mathcal{I}\mathcal{J}\) 的复合。局部计算表明，下列推出 \[\xymatrix{ 0 \ar[r] & \mathcal{J} \ar[r] \ar[d]_{\gamma'} & \mathcal{H}' \ar[r] \ar[d] & \mathcal{F} \ar[r] \ar@{=}[d] & 0 \\ 0 \ar[r] & \mathcal{K} \ar[r] & \mathcal{F}' \ar[r] & \mathcal{F} \ar[r] & 0 }\] 是本引理所提问题的一个解。

一般情形。选取嵌入 \(\mathcal{K}\subset\mathcal{K}'\)，其中 \(\mathcal{K}'\) 是内射 \(\mathcal{O}_X\)-模。令 \(\mathcal{Q}\) 为商模，于是有正合列 \[0 \to \mathcal{K} \to \mathcal{K}' \to \mathcal{Q} \to 0\] 以 \(c':\mathcal{I}\otimes_{\mathcal{O}_X}\mathcal{F}\to\mathcal{K}'\) 表示相应的复合。由上一段，存在正合列 \[0 \to \mathcal{K}' \to \mathcal{E}' \to \mathcal{F} \to 0\] 如 (08L4) 所述，且 \(c_{\mathcal{E}'}=c'\)。注意，\(c'\) 与同态 \(\mathcal{K}'\to\mathcal{Q}\) 的复合为零；因此，沿 \(\mathcal{K}'\to\mathcal{Q}\) 对 \(\mathcal{E}'\) 作推出所得的是扩张 \[0 \to \mathcal{Q} \to \mathcal{D}' \to \mathcal{F} \to 0\] 如 (08L4) 所述，且 \(c_{\mathcal{D}'}=0\)。这恰好意味着 \(\mathcal{D}'\) 被 \(\mathcal{I}\) 零化；换言之， \(\mathcal{D}'\) 是 \(\mathcal{O}_X\)-模的扩张，从而定义元素 \[o(\mathcal{F}, \mathcal{K}, c) \in \Ext^1_{\mathcal{O}_X}(\mathcal{F}, \mathcal{Q}) = \Ext^2_{\mathcal{O}_X}(\mathcal{F}, \mathcal{K})\] （等号来自与上述正合列相伴的长正合上同调列，以及取值于内射模 \(\mathcal{K}'\) 的高次 Ext 群为零）。如果 \(o(\mathcal{F},\mathcal{K},c)=0\)，便可选取分裂 \(s:\mathcal{F}\to\mathcal{D}'\)，并令 \[\mathcal{F}' = \Ker(\mathcal{E}' \to \mathcal{D}'/s(\mathcal{F}))\] 于是得到下图： \[\xymatrix{ 0 \ar[r] & \mathcal{K} \ar[r] \ar[d] & \mathcal{F}' \ar[r] \ar[d] & \mathcal{F} \ar[r] \ar@{=}[d] & 0 \\ 0 \ar[r] & \mathcal{K}' \ar[r] & \mathcal{E}' \ar[r] & \mathcal{F} \ar[r] & 0 }\] 两行均正合，这说明 \(c_{\mathcal{F}'}=c\)。反过来，如果 \(\mathcal{F}'\) 存在，那么由引理 08L7 以及取值于内射模 \(\mathcal{K}'\) 的高次 Ext 群为零，沿 \(\mathcal{K}\to\mathcal{K}'\) 对 \(\mathcal{F}'\) 作推出所得的扩张同构于 \(\mathcal{E}'\)。由此得到上述形式的图表，它蕴含 \(\mathcal{D}'\) 作为扩张是分裂的；也就是说，类 \(o(\mathcal{F},\mathcal{K},c)\) 为零。

注

设 \((X,\mathcal{O}_X)\) 为环化空间。如果存在环化空间的态射 \(\pi:(X',\mathcal{O}_{X'})\to(X,\mathcal{O}_X)\)，它是 \(i\) 的左逆，则称一阶增厚 \(i:(X,\mathcal{O}_X)\to(X',\mathcal{O}_{X'})\) 是平凡的。这样的态射 \(\pi\) 的一个选择称为该一阶增厚的一个平凡化。给定 \(\pi\)，利用 \(\pi^\sharp\) 分裂满同态 \(\mathcal{O}_{X'}\to\mathcal{O}_X\)，便得到 \(X\) 上代数层的分裂 [08LA]\[\begin{equation} \mathcal{O}_{X'} = \mathcal{O}_X \oplus \mathcal{I} \end{equation}\] 反过来，这样的分裂确定一个态射 \(\pi\)。环化空间 \((X,\mathcal{O}_X)\) 的带平凡化一阶增厚所成的范畴，等价于 \(\mathcal{O}_X\)-模范畴。

注

设 \(i:(X,\mathcal{O}_X)\to(X',\mathcal{O}_{X'})\) 是环化空间的平凡一阶增厚，而 \(\pi:(X',\mathcal{O}_{X'})\to(X,\mathcal{O}_X)\) 是一个平凡化。给定任意三元组 \((\mathcal{F},\mathcal{K},c)\)，其中 \(\mathcal{F}\)、\(\mathcal{K}\) 是 \(\mathcal{O}_X\)-模，且 \(c:\mathcal{I}\otimes_{\mathcal{O}_X}\mathcal{F}\to\mathcal{K}\)，可以令 \[\mathcal{F}'_{c, triv} = \mathcal{F} \oplus \mathcal{K}\] 再用与 \(\pi\) 相伴的分裂 (08LA) 和同态 \(c\) 定义 \(\mathcal{O}_{X'}\)-模结构，从而得到扩张 (08L4)。我们称 \(\mathcal{F}'_{c,triv}\) 为由 \(c\) 与平凡化 \(\pi\) 所对应的 \(\mathcal{F}\) 被 \(\mathcal{K}\) 扩张所得的平凡扩张。给定 (08L4) 中的任意扩张 \(\mathcal{F}'\)，可以利用 \(\pi^\sharp:\mathcal{O}_X\to\mathcal{O}_{X'}\) 把 \(\mathcal{F}'\) 看成 \(\mathcal{O}_X\)-模的扩张，因而得到 \(\Ext^1_{\mathcal{O}_X}(\mathcal{F},\mathcal{K})\) 中的类 \(\xi_{\mathcal{F}'}\)。引理 08L7 保证映射 \(\mathcal{F}' \mapsto \xi_{\mathcal{F}'}\) 诱导双射 \[\left\{ \begin{matrix} \text{扩张的同构类}\\ \mathcal{F}'\text{ 如 (\href{defos.html#defos-equation-extension}{08L4}) 所述，且 }c=c_{\mathcal{F}'} \end{matrix} \right\} \longrightarrow \Ext^1_{\mathcal{O}_X}(\mathcal{F}, \mathcal{K})\] 此外，平凡扩张 \(\mathcal{F}'_{c,triv}\) 映到零类。

注

设 \((X,\mathcal{O}_X)\) 为环化空间，并设 \((X,\mathcal{O}_X)\to(X'_i,\mathcal{O}_{X'_i})\)（\(i=1,2\)）为一阶增厚，其理想层为 \(\mathcal{I}_i\)。设 \(h:(X'_1,\mathcal{O}_{X'_1})\to(X'_2,\mathcal{O}_{X'_2})\) 为 \((X,\mathcal{O}_X)\) 的一阶增厚之间的态射。图示如下： \[\xymatrix{ & (X, \mathcal{O}_X) \ar[ld] \ar[rd] & \\ (X'_1, \mathcal{O}_{X'_1}) \ar[rr]^h & & (X'_2, \mathcal{O}_{X'_2}) }\] 注意，\(h^\sharp:\mathcal{O}_{X'_2}\to\mathcal{O}_{X'_1}\) 特别地诱导 \(\mathcal{O}_X\)-模同态 \(\mathcal{I}_2\to\mathcal{I}_1\)。设 \(\mathcal{F}\) 为 \(\mathcal{O}_X\)-模。对 \(i=1,2\)，设 \((\mathcal{K}_i,c_i)\) 由 \(\mathcal{O}_X\)-模 \(\mathcal{K}_i\) 及同态 \(c_i:\mathcal{I}_i\otimes_{\mathcal{O}_X}\mathcal{F}\to\mathcal{K}_i\) 组成。再给定 \(\mathcal{O}_X\)-模同态 \(\mathcal{K}_2\to\mathcal{K}_1\)，使得 \[\xymatrix{ \mathcal{I}_2 \otimes_{\mathcal{O}_X} \mathcal{F} \ar[r]_-{c_2} \ar[d] & \mathcal{K}_2 \ar[d] \\ \mathcal{I}_1 \otimes_{\mathcal{O}_X} \mathcal{F} \ar[r]^-{c_1} & \mathcal{K}_1 }\] 交换。那么存在如下典范函子性： \[\left\{ \begin{matrix} \mathcal{F}'_2\text{ 如 (\href{defos.html#defos-equation-extension}{08L4}) 所述，且}\\ c_2=c_{\mathcal{F}'_2}\text{、}\mathcal{K}=\mathcal{K}_2 \end{matrix} \right\} \longrightarrow \left\{ \begin{matrix} \mathcal{F}'_1\text{ 如 (\href{defos.html#defos-equation-extension}{08L4}) 所述，且}\\ c_1=c_{\mathcal{F}'_1}\text{、}\mathcal{K}=\mathcal{K}_1 \end{matrix} \right\}\] 具体而言，把 \(\mathcal{O}_X\)、\(\mathcal{O}_{X'_i}\)、\(\mathcal{F}\)、 \(\mathcal{K}_i\) 等都视为 \(X\) 上的层；给定 \(\mathcal{F}'_2\) 后，令层 \(\mathcal{F}'_1\) 为推出，也就是说，它置于下列扩张图表中： \[\xymatrix{ 0 \ar[r] & \mathcal{K}_2 \ar[r] \ar[d] & \mathcal{F}'_2 \ar[r] \ar[d] & \mathcal{F} \ar@{=}[d] \ar[r] & 0 \\ 0 \ar[r] & \mathcal{K}_1 \ar[r] & \mathcal{F}'_1 \ar[r] & \mathcal{F} \ar[r] & 0 }\] 推出上的 \(\mathcal{O}_{X'_1}\)-模结构之构造从略（该构造使用涉及 \(c_1\) 与 \(c_2\) 的图表的交换性）。

注

设 \((X,\mathcal{O}_X)\)、 \((X,\mathcal{O}_X)\to(X'_i,\mathcal{O}_{X'_i})\)、\(\mathcal{I}_i\) 以及 \(h:(X'_1,\mathcal{O}_{X'_1})\to(X'_2,\mathcal{O}_{X'_2})\) 如评注 08LC 所述。假设给定平凡化 \(\pi_i:X'_i\to X\)，满足 \(\pi_1=h\circ\pi_2\)。换言之，假设 \(h\) 是 \((X,\mathcal{O}_X)\) 的带平凡化一阶增厚之间的态射。对 \(i=1,2\)，设 \((\mathcal{K}_i,c_i)\) 由 \(\mathcal{O}_X\)-模 \(\mathcal{K}_i\) 及同态 \(c_i:\mathcal{I}_i\otimes_{\mathcal{O}_X}\mathcal{F}\to\mathcal{K}_i\) 组成。再给定 \(\mathcal{O}_X\)-模同态 \(\mathcal{K}_2\to\mathcal{K}_1\)，使得 \[\xymatrix{ \mathcal{I}_2 \otimes_{\mathcal{O}_X} \mathcal{F} \ar[r]_-{c_2} \ar[d] & \mathcal{K}_2 \ar[d] \\ \mathcal{I}_1 \otimes_{\mathcal{O}_X} \mathcal{F} \ar[r]^-{c_1} & \mathcal{K}_1 }\] 交换。在这种情形下，评注 08LB 的构造诱导交换图 \[\xymatrix{ \{\mathcal{F}'_2\text{ 如 (\href{defos.html#defos-equation-extension}{08L4}) 所述，且 } c_2=c_{\mathcal{F}'_2}\text{、}\mathcal{K}=\mathcal{K}_2\} \ar[d] \ar[rr] & & \Ext^1_{\mathcal{O}_X}(\mathcal{F}, \mathcal{K}_2) \ar[d] \\ \{\mathcal{F}'_1\text{ 如 (\href{defos.html#defos-equation-extension}{08L4}) 所述，且 } c_1=c_{\mathcal{F}'_1}\text{、}\mathcal{K}=\mathcal{K}_1\} \ar[rr] & & \Ext^1_{\mathcal{O}_X}(\mathcal{F}, \mathcal{K}_1) }\] 其中右侧竖直同态由 \(\Ext\) 的函子性与同态 \(\mathcal{K}_2\to\mathcal{K}_1\) 给出，左侧竖直映射则是评注 08LC 中的映射。

注

设 \((X,\mathcal{O}_X)\) 为环化空间。对于 \((X,\mathcal{O}_X)\) 的一阶增厚态射列 \[(X'_1, \mathcal{O}_{X'_1}) \to (X'_2, \mathcal{O}_{X'_2}) \to (X'_3, \mathcal{O}_{X'_3})\] 如果理想层 \(\mathcal{I}_i\) 之间的相应同态给出 \(\mathcal{O}_X\)-模复形 \(\mathcal{I}_3\to\mathcal{I}_2\to\mathcal{I}_1\) （即复合为零），则称该态射列为一个复形。在这种情形下，复合 \((X'_1,\mathcal{O}_{X'_1})\to(X'_3,\mathcal{O}_{X'_3})\) 经 \((X,\mathcal{O}_X)\to(X'_3,\mathcal{O}_{X'_3})\) 分解；换言之， \((X,\mathcal{O}_X)\) 的一阶增厚 \((X'_1,\mathcal{O}_{X'_1})\) 是平凡的，并且带有典范平凡化 \(\pi:(X'_1,\mathcal{O}_{X'_1})\to(X,\mathcal{O}_X)\)。

如果 \((X,\mathcal{O}_X)\) 的一阶增厚态射列 \[(X'_1, \mathcal{O}_{X'_1}) \to (X'_2, \mathcal{O}_{X'_2}) \to (X'_3, \mathcal{O}_{X'_3})\] 所对应的理想层同态构成 \(\mathcal{O}_X\)-模的短正合列 \[0 \to \mathcal{I}_3 \to \mathcal{I}_2 \to \mathcal{I}_1 \to 0\] 则称该态射列为一个短正合列。

注

设 \((X,\mathcal{O}_X)\) 为环化空间，\(\mathcal{F}\) 为 \(\mathcal{O}_X\)-模。设 \[(X'_1, \mathcal{O}_{X'_1}) \to (X'_2, \mathcal{O}_{X'_2}) \to (X'_3, \mathcal{O}_{X'_3})\] 是 \((X,\mathcal{O}_X)\) 的一阶增厚所成的复形，见评注 08LE。对 \(i=1,2,3\)，设 \((\mathcal{K}_i,c_i)\) 由 \(\mathcal{O}_X\)-模 \(\mathcal{K}_i\) 与同态 \(c_i:\mathcal{I}_i\otimes_{\mathcal{O}_X}\mathcal{F}\to\mathcal{K}_i\) 组成。假设给定 \(\mathcal{O}_X\)-模的短正合列 \[0 \to \mathcal{K}_3 \to \mathcal{K}_2 \to \mathcal{K}_1 \to 0\] 使得图表 \[\vcenter{ \xymatrix{ \mathcal{I}_2 \otimes_{\mathcal{O}_X} \mathcal{F} \ar[r]_-{c_2} \ar[d] & \mathcal{K}_2 \ar[d] \\ \mathcal{I}_1 \otimes_{\mathcal{O}_X} \mathcal{F} \ar[r]^-{c_1} & \mathcal{K}_1 } } \quad\text{且}\quad \vcenter{ \xymatrix{ \mathcal{I}_3 \otimes_{\mathcal{O}_X} \mathcal{F} \ar[r]_-{c_3} \ar[d] & \mathcal{K}_3 \ar[d] \\ \mathcal{I}_2 \otimes_{\mathcal{O}_X} \mathcal{F} \ar[r]^-{c_2} & \mathcal{K}_2 } }\] 均交换。最后，假设给定 \(\mathcal{O}_{X'_2}\)-模的扩张 \[0 \to \mathcal{K}_2 \to \mathcal{F}'_2 \to \mathcal{F} \to 0\] 如 (08L4) 所述，其中 \(\mathcal{K}=\mathcal{K}_2\) 且 \(c_{\mathcal{F}'_2}=c_2\)。在这种情形下，应用评注 08LC 的函子性，可得 \(X'_1\) 上的扩张 \(\mathcal{F}'_1\)（稍后会描述这一特殊情形下的 \(\mathcal{F}'_1\)）。由评注 08LB，利用评注 08LE 中的典范分裂 \(\pi:(X'_1,\mathcal{O}_{X'_1})\to(X,\mathcal{O}_X)\)，可得 \(\xi_{\mathcal{F}'_1} \in \Ext^1_{\mathcal{O}_X}(\mathcal{F}, \mathcal{K}_1)\). 最后，还有障碍 \[o(\mathcal{F}, \mathcal{K}_3, c_3) \in \Ext^2_{\mathcal{O}_X}(\mathcal{F}, \mathcal{K}_3)\] 见引理 08L8。在这种情形下，我们断言典范同态 \[\partial : \Ext^1_{\mathcal{O}_X}(\mathcal{F}, \mathcal{K}_1) \longrightarrow \Ext^2_{\mathcal{O}_X}(\mathcal{F}, \mathcal{K}_3)\] 由短正合列 \(0\to\mathcal{K}_3\to\mathcal{K}_2\to\mathcal{K}_1\to0\) 诱导，并把 \(\xi_{\mathcal{F}'_1}\) 映到障碍类 \(o(\mathcal{F},\mathcal{K}_3,c_3)\)。

为证明该断言，选取嵌入 \(j:\mathcal{K}_3\to\mathcal{K}\)，其中 \(\mathcal{K}\) 是内射 \(\mathcal{O}_X\)-模。可以把 \(j\) 提升为同态 \(j':\mathcal{K}_2\to\mathcal{K}\)。令 \(\mathcal{E}'_2=j'_*\mathcal{F}'_2\) 为沿 \(j'\) 对 \(\mathcal{F}'_2\) 所作的推出，于是 \(c_{\mathcal{E}'_2}=j'\circ c_2\)。图示如下： \[\xymatrix{ 0 \ar[r] & \mathcal{K}_2 \ar[r] \ar[d]_{j'} & \mathcal{F}'_2 \ar[r] \ar[d] & \mathcal{F} \ar[r] \ar[d] & 0 \\ 0 \ar[r] & \mathcal{K} \ar[r] & \mathcal{E}'_2 \ar[r] & \mathcal{F} \ar[r] & 0 }\] 令 \(\mathcal{E}'_3=\mathcal{E}'_2\)，但经 \(\mathcal{O}_{X'_3}\to\mathcal{O}_{X'_2}\) 把它视为 \(\mathcal{O}_{X'_3}\)-模。于是 \(c_{\mathcal{E}'_3}=j\circ c_3\)。引理 08L8 的证明把 \(o(\mathcal{F},\mathcal{K}_3,c_3)\) 构造为下列 \(\mathcal{O}_X\)-模扩张之类的边界： \[0 \to \mathcal{K}/\mathcal{K}_3 \to \mathcal{E}'_3/\mathcal{K}_3 \to \mathcal{F} \to 0\] 另一方面，注意 \(\mathcal{F}'_1=\mathcal{F}'_2/\mathcal{K}_3\)，故类 \(\xi_{\mathcal{F}'_1}\) 是扩张 \[0 \to \mathcal{K}_2/\mathcal{K}_3 \to \mathcal{F}'_2/\mathcal{K}_3 \to \mathcal{F} \to 0\] 的类；这里利用 \(\pi^\sharp\) 把该正合列视为 \(\mathcal{O}_X\)-模列，而 \(\pi:(X'_1,\mathcal{O}_{X'_1})\to(X,\mathcal{O}_X)\) 是典范分裂。最后，该断言由下列交换图推出： \[\xymatrix{ 0 \ar[r] & \mathcal{K}_2/\mathcal{K}_3 \ar[r] \ar[d] & \mathcal{F}'_2/\mathcal{K}_3 \ar[r] \ar[d] & \mathcal{F} \ar[r] \ar[d] & 0 \\ 0 \ar[r] & \mathcal{K}/\mathcal{K}_3 \ar[r] & \mathcal{E}'_3/\mathcal{K}_3 \ar[r] & \mathcal{F} \ar[r] & 0 }\] 该图对于上述 \(\mathcal{O}_X\)-模结构是 \(\mathcal{O}_X\)-线性的。

环化空间上模的无穷小形变

设 \(i:(X,\mathcal{O}_X)\to(X',\mathcal{O}_{X'})\) 是环化空间的一阶增厚。我们随时使用第 08KY 节引入的记号。设 \(\mathcal{F}'\) 为 \(\mathcal{O}_{X'}\)-模，并令 \(\mathcal{F}=i^*\mathcal{F}'\)。在这种情形下，有 \(\mathcal{O}_{X'}\)-模的短正合列 \[0 \to \mathcal{I}\mathcal{F}' \to \mathcal{F}' \to \mathcal{F} \to 0\] 由于 \(\mathcal{I}^2=0\)，\(\mathcal{I}\mathcal{F}'\) 上的 \(\mathcal{O}_{X'}\)-模结构来自唯一的 \(\mathcal{O}_X\)-模结构。因此，上述正合列是 (08L4) 中的扩张。作为特例，如果 \(\mathcal{F}'=\mathcal{O}_{X'}\)，则 \(i^*\mathcal{O}_{X'}=\mathcal{O}_X\) 且 \(\mathcal{I}\mathcal{O}_{X'}=\mathcal{I}\)，从而恢复结构层正合列 \[0 \to \mathcal{I} \to \mathcal{O}_{X'} \to \mathcal{O}_X \to 0\]

引理

设 \(i:(X,\mathcal{O}_X)\to(X',\mathcal{O}_{X'})\) 是环化空间的一阶增厚。设 \(\mathcal{F}'\)、\(\mathcal{G}'\) 为 \(\mathcal{O}_{X'}\)-模。令 \(\mathcal{F}=i^*\mathcal{F}'\)、\(\mathcal{G}=i^*\mathcal{G}'\)，并设 \(\varphi:\mathcal{F}\to\mathcal{G}\) 为 \(\mathcal{O}_X\)-线性同态。 \(\varphi\) 到 \(\mathcal{O}_{X'}\)-线性同态 \(\varphi':\mathcal{F}'\to\mathcal{G}'\) 的所有提升所成的集合，如果非空，就是 \(\Hom_{\mathcal{O}_X}(\mathcal{F},\mathcal{I}\mathcal{G}')\) 作用下的主齐性空间。

证明

这是引理 08L5 的特例，不过我们也给出直接证明。我们有模的短正合列 \[0 \to \mathcal{I} \to \mathcal{O}_{X'} \to \mathcal{O}_X \to 0 \quad\text{且}\quad 0 \to \mathcal{I}\mathcal{G}' \to \mathcal{G}' \to \mathcal{G} \to 0\] \(\mathcal{F}'\) 也有类似的正合列。由于 \(\mathcal{I}\) 平方为零， \(\mathcal{I}\) 与 \(\mathcal{I}\mathcal{G}'\) 上的 \(\mathcal{O}_{X'}\)-模结构均来自唯一的 \(\mathcal{O}_X\)-模结构。因此 \[\Hom_{\mathcal{O}_{X'}}(\mathcal{F}', \mathcal{I}\mathcal{G}') = \Hom_{\mathcal{O}_X}(\mathcal{F}, \mathcal{I}\mathcal{G}') \quad\text{且}\quad \Hom_{\mathcal{O}_{X'}}(\mathcal{F}', \mathcal{G}) = \Hom_{\mathcal{O}_X}(\mathcal{F}, \mathcal{G})\] 本引理于是由正合列 \[0 \to \Hom_{\mathcal{O}_{X'}}(\mathcal{F}', \mathcal{I}\mathcal{G}') \to \Hom_{\mathcal{O}_{X'}}(\mathcal{F}', \mathcal{G}') \to \Hom_{\mathcal{O}_{X'}}(\mathcal{F}', \mathcal{G})\] 推出，见《同调代数》引理 05AA。

引理

设 \((f,f')\) 是情形 08KZ 中环化空间一阶增厚的态射。设 \(\mathcal{F}'\) 为 \(\mathcal{O}_{X'}\)-模，并令 \(\mathcal{F}=i^*\mathcal{F}'\)。假设 \(\mathcal{F}\) 在 \(S\) 上平坦，且 \((f,f')\) 是增厚的严格态射（定义 08L1）。那么下列条件等价：

\(\mathcal{F}'\) 在 \(S'\) 上平坦；

典范同态 \(f^*\mathcal{J} \otimes_{\mathcal{O}_X} \mathcal{F} \to \mathcal{I}\mathcal{F}'\) 是同构。

此外，在这种情形下，同态 \[f^*\mathcal{J} \otimes_{\mathcal{O}_X} \mathcal{F} \to \mathcal{I} \otimes_{\mathcal{O}_X} \mathcal{F} \to \mathcal{I}\mathcal{F}'\] 均为同构。

证明

由于 \((f,f')\) 是增厚的严格态射，同态 \(f^*\mathcal{J}\to\mathcal{I}\) 是满的。因此，最后的陈述由 (2) 推出。

证明 (1) 与 (2) 等价。可以在茎上检验这些条件。设 \(x\in X\subset X'\)，其像为 \(s=f(x)\in S\subset S'\)。令 \(A'=\mathcal{O}_{S',s}\)、\(B'=\mathcal{O}_{X',x}\)、 \(A=\mathcal{O}_{S,s}\)、\(B=\mathcal{O}_{X,x}\)。那么对某些平方零理想 \(J\)、\(I\)，有 \(A=A'/J\)、\(B=B'/I\)。由于 \((f,f')\) 是增厚的严格态射，有 \(I=JB'\)。令 \(M'=\mathcal{F}'_x\)、\(M=\mathcal{F}_x\)。于是 \(M'\) 是 \(B'\)-模，\(M\) 是 \(B\)-模。由 \(\mathcal{F}=i^*\mathcal{F}'\) 可知，满同态 \(M'\to M\) 的核为 \(IM'=JM'\)。因而有短正合列 \[0 \to JM' \to M' \to M \to 0\] 利用《空间上的层》引理 0098 与《模层》引理 01CB 等同拉回与张量积的茎，可见本引理中的典范同态在 \(x\) 处的茎是同态 \[(J \otimes_A B) \otimes_B M = J \otimes_A M = J \otimes_{A'} M' \longrightarrow JM'\] 假设 \(\mathcal{F}\) 在 \(S\) 上平坦，意味着 \(M\) 是平坦 \(A\)-模。

假设 (1) 成立。由《交换代数》引理 00M5，平坦性蕴含 \(\text{Tor}_1^{A'}(M',A)=0\)。由《交换代数》评注 00M6，这意味着 \(J\otimes_{A'}M'\to M'\) 是单的。因此 \(J\otimes_A M\to JM'\) 是同构。

假设 (2) 成立。那么 \(J\otimes_{A'}M'\to M'\) 是单的。由《交换代数》评注 00M6， \(\text{Tor}_1^{A'}(M',A)=0\)。再由《交换代数》引理 051C，\(M'\) 在 \(A'\) 上平坦。

引理

设 \((f,f')\) 是情形 08KZ 中一阶增厚的态射。设 \(\mathcal{F}'\)、\(\mathcal{G}'\) 为 \(\mathcal{O}_{X'}\)-模，并令 \(\mathcal{F}=i^*\mathcal{F}'\)、\(\mathcal{G}=i^*\mathcal{G}'\)。设 \(\varphi:\mathcal{F}\to\mathcal{G}\) 为 \(\mathcal{O}_X\)-线性同态。假设 \(\mathcal{G}'\) 在 \(S'\) 上平坦，且 \((f,f')\) 是增厚的严格态射。 \(\varphi\) 到 \(\mathcal{O}_{X'}\)-线性同态 \(\varphi':\mathcal{F}'\to\mathcal{G}'\) 的所有提升所成的集合，如果非空，就是下列群作用下的主齐性空间： \[\Hom_{\mathcal{O}_X}(\mathcal{F}, \mathcal{G} \otimes_{\mathcal{O}_X} f^*\mathcal{J})\]

证明

合并引理 08LH 与 08LI 即得。

引理

设 \(i:(X,\mathcal{O}_X)\to(X',\mathcal{O}_{X'})\) 是环化空间的一阶增厚。设 \(\mathcal{F}'\)、\(\mathcal{G}'\) 为 \(\mathcal{O}_{X'}\)-模，并令 \(\mathcal{F}=i^*\mathcal{F}'\)、\(\mathcal{G}=i^*\mathcal{G}'\)。设 \(\varphi:\mathcal{F}\to\mathcal{G}\) 为 \(\mathcal{O}_X\)-线性同态。存在元素 \[o(\varphi) \in \Ext^1_{\mathcal{O}_X}(Li^*\mathcal{F}', \mathcal{I}\mathcal{G}')\] 它为零，当且仅当 \(\varphi\) 存在到 \(\mathcal{O}_{X'}\)-线性同态 \(\varphi':\mathcal{F}'\to\mathcal{G}'\) 的提升。

证明

由引理 08LH 的证明可见，\(\varphi\) 经同态 \[\Hom_{\mathcal{O}_X}(\mathcal{F}, \mathcal{G}) = \Hom_{\mathcal{O}_{X'}}(\mathcal{F}', \mathcal{G}) \longrightarrow \Ext^1_{\mathcal{O}_{X'}}(\mathcal{F}', \mathcal{I}\mathcal{G}')\] 所得的边界为零，当且仅当提升存在。又有 \[\Ext^1_{\mathcal{O}_{X'}}(\mathcal{F}', \mathcal{I}\mathcal{G}') = \Ext^1_{\mathcal{O}_X}(Li^*\mathcal{F}', \mathcal{I}\mathcal{G}')\] 这是导出范畴上 \(i_*=Ri_*\) 与 \(Li^*\) 的伴随性（《层的上同调》引理 079W）。因此结论成立。

引理

设 \((f,f')\) 是情形 08KZ 中一阶增厚的态射。设 \(\mathcal{F}'\)、\(\mathcal{G}'\) 为 \(\mathcal{O}_{X'}\)-模，并令 \(\mathcal{F}=i^*\mathcal{F}'\)、\(\mathcal{G}=i^*\mathcal{G}'\)。设 \(\varphi:\mathcal{F}\to\mathcal{G}\) 为 \(\mathcal{O}_X\)-线性同态。假设 \(\mathcal{F}'\) 与 \(\mathcal{G}'\) 均在 \(S'\) 上平坦，且 \((f,f')\) 是增厚的严格态射。存在元素 \[o(\varphi) \in \Ext^1_{\mathcal{O}_X}(\mathcal{F}, \mathcal{G} \otimes_{\mathcal{O}_X} f^*\mathcal{J})\] 它为零，当且仅当 \(\varphi\) 存在到 \(\mathcal{O}_{X'}\)-线性同态 \(\varphi':\mathcal{F}'\to\mathcal{G}'\) 的提升。

证明

这由引理 08LK 推出，因为我们断言在本引理的假设下有 \[\Ext^1_{\mathcal{O}_X}(Li^*\mathcal{F}', \mathcal{I}\mathcal{G}') = \Ext^1_{\mathcal{O}_X}(\mathcal{F}, \mathcal{G} \otimes_{\mathcal{O}_X} f^*\mathcal{J})\] 事实上，由引理 08LI 有 \(\mathcal{I}\mathcal{G}' = \mathcal{G} \otimes_{\mathcal{O}_X} f^*\mathcal{J}\) 。另一方面，注意 \[H^{-1}(Li^*\mathcal{F}') = \text{Tor}_1^{\mathcal{O}_{X'}}(\mathcal{F}', \mathcal{O}_X)\] （局部计算从略）。利用短正合列 \[0 \to \mathcal{I} \to \mathcal{O}_{X'} \to \mathcal{O}_X \to 0\] 可见，该 \(\text{Tor}_1\) 由同态 \(\mathcal{I}\otimes_{\mathcal{O}_X}\mathcal{F} \to\mathcal{I}\mathcal{F}'\) 的核计算；由引理 08LI 的最后一个断言，该核为零。因此 \(\tau_{\geq-1}Li^*\mathcal{F}'=\mathcal{F}\)。另一方面，有 \[\Ext^1_{\mathcal{O}_X}(Li^*\mathcal{F}', \mathcal{I}\mathcal{G}') = \Ext^1_{\mathcal{O}_X}(\tau_{\geq -1}Li^*\mathcal{F}', \mathcal{I}\mathcal{G}')\] 这是《导出范畴》引理 05TC 的对偶。

证明

可以如下应用引理 08L6。注意，由引理 08LI 有 \(\mathcal{K}=\mathcal{I}\otimes_{\mathcal{O}_X}\mathcal{F}\)、 \(\mathcal{L}=\mathcal{I}\otimes_{\mathcal{O}_X}\mathcal{G}\) ，并且 \(c_{\mathcal{F}'}=1\otimes1\)、 \(c_{\mathcal{G}'}=1\otimes1\)。取 \(\psi=1\otimes\varphi\)，引理中的图表交换。因此可以取 \(o(\varphi)=o(\varphi,1\otimes\varphi)\)。

引理

设 \((f,f')\) 是情形 08KZ 中一阶增厚的态射，\(\mathcal{F}\) 为 \(\mathcal{O}_X\)-模。假设 \((f,f')\) 是增厚的严格态射，且 \(\mathcal{F}\) 在 \(S\) 上平坦。如果存在二元组 \((\mathcal{F}',\alpha)\)，其中 \(\mathcal{F}'\) 是在 \(S'\) 上平坦的 \(\mathcal{O}_{X'}\)-模，而 \(\alpha:i^*\mathcal{F}'\to\mathcal{F}\) 是同构，那么这类二元组的同构类集合是下列群作用下的主齐性空间： \(\Ext^1_{\mathcal{O}_X}( \mathcal{F}, \mathcal{I} \otimes_{\mathcal{O}_X} \mathcal{F})\).

证明

假设存在一个这样的模。那么由引理 08LI，典范同态 \[f^*\mathcal{J} \otimes_{\mathcal{O}_X} \mathcal{F} \to \mathcal{I} \otimes_{\mathcal{O}_X} \mathcal{F}\] 是同构。应用引理 08L7，取 \(\mathcal{K}= \mathcal{I} \otimes_{\mathcal{O}_X} \mathcal{F}\) 、\(c=1\)。由引理 08LI，相应的扩张 \(\mathcal{F}'\) 均在 \(S'\) 上平坦。

引理

设 \((f,f')\) 是情形 08KZ 中一阶增厚的态射，\(\mathcal{F}\) 为 \(\mathcal{O}_X\)-模。假设 \((f,f')\) 是增厚的严格态射，且 \(\mathcal{F}\) 在 \(S\) 上平坦。那么，存在在 \(S'\) 上平坦的 \(\mathcal{O}_{X'}\)-模 \(\mathcal{F}'\)，满足 \(i^*\mathcal{F}'\cong\mathcal{F}\)，当且仅当：

典范同态 \(f^*\mathcal{J} \otimes_{\mathcal{O}_X} \mathcal{F} \to \mathcal{I} \otimes_{\mathcal{O}_X} \mathcal{F}\) 是同构；

引理 08L8 中的类 \(o(\mathcal{F}, \mathcal{I} \otimes_{\mathcal{O}_X} \mathcal{F}, 1) \in \Ext^2_{\mathcal{O}_X}( \mathcal{F}, \mathcal{I} \otimes_{\mathcal{O}_X} \mathcal{F})\) 为零。

证明

这立即由引理 08LI 对在 \(S'\) 上平坦的 \(\mathcal{O}_{X'}\)-模的刻画以及引理 08L8 推出。

在环化空间平坦增厚上的平坦模中的应用

考虑交换图 \[\xymatrix{ (X, \mathcal{O}_X) \ar[r]_i \ar[d]_f & (X', \mathcal{O}_{X'}) \ar[d]^{f'} \\ (S, \mathcal{O}_S) \ar[r]^t & (S', \mathcal{O}_{S'}) }\] 其中各项为环化空间，水平箭头是情形 08KZ 中的一阶增厚。令 \(\mathcal{I}=\Ker(i^\sharp)\subset\mathcal{O}_{X'}\)、 \(\mathcal{J}=\Ker(t^\sharp)\subset\mathcal{O}_{S'}\)。设 \(\mathcal{F}\) 为 \(\mathcal{O}_X\)-模。假设：

\((f,f')\) 是增厚的严格态射；
\(f'\) 平坦；
\(\mathcal{F}\) 在 \(S\) 上平坦。

注意，(1) \(+\) (2) 蕴含 \(\mathcal{I}=f^*\mathcal{J}\)（把引理 08LI 应用于 \(\mathcal{O}_{X'}\)）。在这些假设下，上一节的理论具有特别简洁的形式。下述引理汇总已经得到的结果。

引理

在上述情形中：

存在在 \(S'\) 上平坦的 \(\mathcal{O}_{X'}\)-模 \(\mathcal{F}'\)，满足 \(i^*\mathcal{F}'\cong\mathcal{F}\)，当且仅当引理 08L8 中的类 \(o(\mathcal{F}, f^*\mathcal{J} \otimes_{\mathcal{O}_X} \mathcal{F}, 1) \in \Ext^2_{\mathcal{O}_X}( \mathcal{F}, f^*\mathcal{J} \otimes_{\mathcal{O}_X} \mathcal{F})\) 为零。

如果这样的模存在，那么提升的同构类集合是 \(\Ext^1_{\mathcal{O}_X}( \mathcal{F}, f^*\mathcal{J} \otimes_{\mathcal{O}_X} \mathcal{F})\) 作用下的主齐性空间。

给定提升 \(\mathcal{F}'\)，其拉回为 \(\text{id}_{\mathcal{F}}\) 的 \(\mathcal{F}'\) 自同构所成的集合，典范同构于 \(\Ext^0_{\mathcal{O}_X}( \mathcal{F}, f^*\mathcal{J} \otimes_{\mathcal{O}_X} \mathcal{F})\).

证明

由于上面已说明 \(\mathcal{I}=f^*\mathcal{J}\)，第 (1) 点由引理 08LN 推出。第 (2) 点由引理 08LM 推出，第 (3) 点由引理 08LJ 推出。

情形

设 \(f:(X,\mathcal{O}_X)\to(S,\mathcal{O}_S)\) 为环化空间的态射。考虑交换图 \[\xymatrix{ (X'_1, \mathcal{O}'_1) \ar[r]_h \ar[d]_{f'_1} & (X'_2, \mathcal{O}'_2) \ar[r] \ar[d]_{f'_2} & (X'_3, \mathcal{O}'_3) \ar[d]_{f'_3} \\ (S'_1, \mathcal{O}_{S'_1}) \ar[r] & (S'_2, \mathcal{O}_{S'_2}) \ar[r] & (S'_3, \mathcal{O}_{S'_3}) }\] 其中：(a) 上行是 \(X\) 的一阶增厚的短正合列；(b) 下行是 \(S\) 的一阶增厚的短正合列；(c) 每个 \(f'_i\) 限制为 \(f\)；(d) 每个二元组 \((f,f'_i)\) 都是增厚的严格态射；(e) 每个 \(f'_i\) 都平坦。最后，设 \(\mathcal{F}'_2\) 为在 \(S'_2\) 上平坦的 \(\mathcal{O}'_2\)-模，并令 \(\mathcal{F}=\mathcal{F}'_2|_X\)。设 \(\pi:X'_1\to X\) 为典范分裂（评注 08LE）。

引理

在情形 08VS 中，模 \(\pi^*\mathcal{F}\) 与 \(h^*\mathcal{F}'_2\) 都是在 \(S'_1\) 上平坦的 \(\mathcal{O}'_1\)-模，且在 \(X\) 上限制为 \(\mathcal{F}\)。二者之差（引理 08VR）是 \(\Ext^1_{\mathcal{O}_X}( \mathcal{F}, f^*\mathcal{J}_1 \otimes_{\mathcal{O}_X} \mathcal{F})\) 中的元素 \(\theta\)，它在 \(\Ext^2_{\mathcal{O}_X}( \mathcal{F}, f^*\mathcal{J}_3 \otimes_{\mathcal{O}_X} \mathcal{F})\) 中的边界，等于把 \(\mathcal{F}\) 提升为在 \(S'_3\) 上平坦的 \(\mathcal{O}'_3\)-模的障碍（引理 08VR）。

证明

注意，\(\pi^*\mathcal{F}\) 与 \(h^*\mathcal{F}'_2\) 在 \(X\) 上都限制为 \(\mathcal{F}\)，且同态 \(\pi^*\mathcal{F}\to\mathcal{F}\) 与 \(h^*\mathcal{F}'_2\to\mathcal{F}\) 的核均为 \(f^*\mathcal{J}_1\otimes_{\mathcal{O}_X}\mathcal{F}\)。因此，由引理 08LI 得到平坦性。取边界是有意义的，因为模列 \[0 \to f^*\mathcal{J}_3 \otimes_{\mathcal{O}_X} \mathcal{F} \to f^*\mathcal{J}_2 \otimes_{\mathcal{O}_X} \mathcal{F} \to f^*\mathcal{J}_1 \otimes_{\mathcal{O}_X} \mathcal{F} \to 0\] 是短正合的；这是情形 08VS 中的假设以及 \(\mathcal{F}\) 在 \(S\) 上平坦的结果。关于障碍类的陈述，就是把评注 08LF 的结果直接应用于这一特殊情形。

环化空间的形变与朴素余切复形

本节利用朴素余切复形来处理一些形变理论问题。先取环化空间的一阶增厚 \(t:(S,\mathcal{O}_S)\to(S',\mathcal{O}_{S'})\)。记 \(\mathcal{J}=\Ker(t^\sharp)\)，并等同 \(S\) 与 \(S'\) 的底层拓扑空间。此外，设已给定环化空间的态射 \(f:(X,\mathcal{O}_X)\to(S,\mathcal{O}_S)\)、\(\mathcal{O}_X\)-模 \(\mathcal{G}\) 以及模层的 \(f\)-映射 \(c:\mathcal{J}\to\mathcal{G}\) （《空间上的层》定义 008J 及第 0094 节）。我们要问，能否找到一个对象来替代下图中的问号，使图表交换： [08U7]\[\begin{equation} \vcenter{ \xymatrix{ 0 \ar[r] & \mathcal{G} \ar[r] & {?} \ar[r] & \mathcal{O}_X \ar[r] & 0 \\ 0 \ar[r] & \mathcal{J} \ar[u]^c \ar[r] & \mathcal{O}_{S'} \ar[u] \ar[r] & \mathcal{O}_S \ar[u] \ar[r] & 0 } } \end{equation}\] （其中竖直箭头为 \(f\)-映射），并且，如果解存在，它在何种意义下是唯一的。更确切地说，我们寻找一个一阶增厚 \(i:(X,\mathcal{O}_X)\to(X',\mathcal{O}_{X'})\) 以及 (08L0) 中的增厚态射 \((f,f')\)，其中 \(\Ker(i^\sharp)\) 与 \(\mathcal{G}\) 等同，且 \((f')^\sharp\) 诱导给定映射 \(c\)。我们称 \(X'\) 为 (08U7) 的一个解。

引理

假设给定环化空间态射的交换图 [08U9]\[\begin{equation} \vcenter{ \xymatrix{ & (X_2, \mathcal{O}_{X_2}) \ar[r]_{i_2} \ar[d]_{f_2} \ar[ddl]_g & (X'_2, \mathcal{O}_{X'_2}) \ar[d]^{f'_2} \\ & (S_2, \mathcal{O}_{S_2}) \ar[r]^{t_2} \ar[ddl]|\hole & (S'_2, \mathcal{O}_{S'_2}) \ar[ddl] \\ (X_1, \mathcal{O}_{X_1}) \ar[r]_{i_1} \ar[d]_{f_1} & (X'_1, \mathcal{O}_{X'_1}) \ar[d]^{f'_1} \\ (S_1, \mathcal{O}_{S_1}) \ar[r]^{t_1} & (S'_1, \mathcal{O}_{S'_1}) } } \end{equation}\] 其中水平箭头为一阶增厚。令 \(\mathcal{G}_j=\Ker(i_j^\sharp)\)，并假设给定模的 \(g\)-映射 \(\nu:\mathcal{G}_1\to\mathcal{G}_2\)，从而得到交换图 [08UA]\[\begin{equation} \vcenter{ \xymatrix{ & 0 \ar[r] & \mathcal{G}_2 \ar[r] & \mathcal{O}_{X'_2} \ar[r] & \mathcal{O}_{X_2} \ar[r] & 0 \\ & 0 \ar[r]|\hole & \mathcal{J}_2 \ar[u]_{c_2} \ar[r] & \mathcal{O}_{S'_2} \ar[u] \ar[r]|\hole & \mathcal{O}_{S_2} \ar[u] \ar[r] & 0 \\ 0 \ar[r] & \mathcal{G}_1 \ar[ruu] \ar[r] & \mathcal{O}_{X'_1} \ar[r] & \mathcal{O}_{X_1} \ar[ruu] \ar[r] & 0 \\ 0 \ar[r] & \mathcal{J}_1 \ar[ruu]|\hole \ar[u]^{c_1} \ar[r] & \mathcal{O}_{S'_1} \ar[ruu]|\hole \ar[u] \ar[r] & \mathcal{O}_{S_1} \ar[ruu]|\hole \ar[u] \ar[r] & 0 } } \end{equation}\] 其中前后两面均为 (08U7) 的解。

在 \(\Ext^1_{\mathcal{O}_{X_2}}(Lg^*\NL_{X_1/S_1}, \mathcal{G}_2)\) 中存在一个典范元；该元为零，当且仅当存在与 \(\nu\) 相容并可置入 (08U9) 的环化空间态射 \(X'_2\to X'_1\)。

如果存在与 \(\nu\) 相容并可置入 (08U9) 的态射 \(X'_2\to X'_1\)，那么所有这类态射组成的集合是下列群作用下的主齐性空间： \[\Hom_{\mathcal{O}_{X_1}}(\Omega_{X_1/S_1}, g_*\mathcal{G}_2) = \Hom_{\mathcal{O}_{X_2}}(g^*\Omega_{X_1/S_1}, \mathcal{G}_2) = \Ext^0_{\mathcal{O}_{X_2}}(Lg^*\NL_{X_1/S_1}, \mathcal{G}_2).\]

证明

朴素余切复形 \(\NL_{X_1/S_1}\) 定义于《模层》定义 08TN。引理最后一个陈述中的等号来自以下事实：\(g^*\) 左伴随于 \(g_*\)； \(H^0(\NL_{X_1/S_1})=\Omega_{X_1/S_1}\)（由朴素余切复形的构造）； \(Lg^*\) 是 \(g^*\) 的左导出函子。因此，在余下的证明中，我们使用群 \(\Ext^k_{\mathcal{O}_{X_2}}(Lg^*\NL_{X_1/S_1}, \mathcal{G}_2)\), 其中 \(k=0,1\)。先说明，可以约化到本引理中所有环化空间的底层拓扑空间都相同的情形。

为此，注意 \(g^{-1}\NL_{X_1/S_1}\) 等于环层同态 \(g^{-1}f_1^{-1}\mathcal{O}_{S_1}\to g^{-1}\mathcal{O}_{X_1}\) 的朴素余切复形，见《模层》引理 08TM。此外，\(\NL_{X_1/S_1}\) 的 \(0\) 次项是平坦 \(\mathcal{O}_{X_1}\)-模，因而典范同态 \[Lg^*\NL_{X_1/S_1} \longrightarrow g^{-1}\NL_{X_1/S_1} \otimes_{g^{-1}\mathcal{O}_{X_1}} \mathcal{O}_{X_2}\] 在 \(0\) 次和 \(-1\) 次上同调层上诱导同构。因此，可以把引理中的 Ext 群替换为 \[\Ext^k_{g^{-1}\mathcal{O}_{X_1}}(g^{-1}\NL_{X_1/S_1}, \mathcal{G}_2) = \Ext^k_{g^{-1}\mathcal{O}_{X_1}}( \NL_{g^{-1}\mathcal{O}_{X_1}/g^{-1}f_1^{-1}\mathcal{O}_{S_1}}, \mathcal{G}_2)\] 与 \(\nu\) 相容并可置入 (08U9) 的环化空间态射 \(X'_2\to X'_1\) 所成的集合，与下列同态所成的集合一一对应：与 \(f^\sharp\) 和 \(\nu\) 相容的 \(g^{-1}f_1^{-1}\mathcal{O}_{S'_1}\)-代数同态 \(g^{-1}\mathcal{O}_{X'_1}\to\mathcal{O}_{X'_2}\)。由此可见，可以假设我们有 \(X\) 上层的图表 (08UA)，并寻找可置入该图的环层同态 \(\mathcal{O}_{X'_1}\to\mathcal{O}_{X'_2}\)。

在本引理余下的证明中，假设所有底层拓扑空间都相同。也就是说，我们有空间 \(X\) 上层的图表 (08UA)，并寻找可置入其中的环层同态 \(\mathcal{O}_{X'_1}\to\mathcal{O}_{X'_2}\)。所用的 Ext 群为 \(\Ext^k_{\mathcal{O}_{X_1}}( \NL_{\mathcal{O}_{X_1}/\mathcal{O}_{S_1}}, \mathcal{G}_2)\), \(k = 0, 1\).

第 1 步：构造障碍类。考虑集合层 \[\mathcal{E} = \mathcal{O}_{X'_1} \times_{\mathcal{O}_{X_2}} \mathcal{O}_{X'_2}\] 它带有满映射 \(\alpha:\mathcal{E}\to\mathcal{O}_{X_1}\)，故可用 \(\NL(\alpha)\) 代替 \(\NL_{\mathcal{O}_{X_1}/\mathcal{O}_{S_1}}\)，见《模层》引理 08TL。令 \[\mathcal{I}' = \Ker(\mathcal{O}_{S'_1}[\mathcal{E}] \to \mathcal{O}_{X_1}) \quad\text{且}\quad \mathcal{I} = \Ker(\mathcal{O}_{S_1}[\mathcal{E}] \to \mathcal{O}_{X_1})\] 存在满同态 \(\mathcal{I}'\to\mathcal{I}\)，其核为 \(\mathcal{J}_1\mathcal{O}_{S'_1}[\mathcal{E}]\)。我们得到两个 \(\mathcal{O}_{S'_1}\)-代数同态 \[a : \mathcal{O}_{S'_1}[\mathcal{E}] \to \mathcal{O}_{X'_1} \quad\text{且}\quad b : \mathcal{O}_{S'_1}[\mathcal{E}] \to \mathcal{O}_{X'_2}\] 它们分别诱导同态 \(a|_{\mathcal{I}'}:\mathcal{I}'\to\mathcal{G}_1\) 与 \(b|_{\mathcal{I}'}:\mathcal{I}'\to\mathcal{G}_2\)。\(a\) 与 \(b\) 均在 \((\mathcal{I}')^2\) 上为零。此外，由于 (08UA) 的左方块交换，把 \(a\) 与 \(b\) 视为取值于 \(\mathcal{G}_2\) 的同态时，它们在 \(\mathcal{J}_1\mathcal{O}_{S'_1}[\mathcal{E}]\) 上一致。因此，差 \(b|_{\mathcal{I}'} - \nu \circ a|_{\mathcal{I}'}\) 诱导良定义的 \(\mathcal{O}_{X_1}\)-线性同态 \[\xi : \mathcal{I}/\mathcal{I}^2 \longrightarrow \mathcal{G}_2\] 它把 \(\mathcal{I}\) 的局部截面 \(f\) 的类映到 \(\nu(a(f'))-b(f')\)，其中 \(f'\) 是 \(f\) 到 \(\mathcal{I}'\) 的局部截面的一个提升。令

\([\xi] \in \Ext^1_{\mathcal{O}_{X_1}}(\NL(\alpha), \mathcal{G}_2)\) 为其像（见下文）。

第 2 步：\([\xi]\) 为零是必要条件。记 \(\Omega = \Omega_{\mathcal{O}_{S_1}[\mathcal{E}]/\mathcal{O}_{S_1}} \otimes_{\mathcal{O}_{S_1}[\mathcal{E}]} \mathcal{O}_{X_1}\). 注意，\(\NL(\alpha)=(\mathcal{I}/\mathcal{I}^2\to\Omega)\) 可置于可区别三角 \[\Omega[0] \to \NL(\alpha) \to \mathcal{I}/\mathcal{I}^2[1] \to \Omega[1]\] 因此可见，\([\xi]\) 为零，当且仅当对某个同态 \(\Omega\to\mathcal{G}_2\)，\(\xi\) 是复合 \(\mathcal{I}/\mathcal{I}^2\to\Omega\to\mathcal{G}_2\)。假设存在可置入 (08UA) 的环层同态 \(\varphi:\mathcal{O}_{X'_1}\to\mathcal{O}_{X'_2}\)。此时考虑同态 \(\mathcal{O}_{S'_1}[\mathcal{E}] \to \mathcal{G}_2\), \(f'\mapsto b(f')-\varphi(a(f'))\)。计算表明，该同态在 \(\mathcal{J}_1\mathcal{O}_{S'_1}[\mathcal{E}]\) 上为零，并诱导导子 \(\mathcal{O}_{S_1}[\mathcal{E}]\to\mathcal{G}_2\)。所得的线性同态 \(\Omega\to\mathcal{G}_2\) 说明此时 \([\xi]=0\)。

第 3 步：\([\xi]\) 为零是充分条件。设 \(\theta:\Omega\to\mathcal{G}_2\) 为 \(\mathcal{O}_{X_1}\)-线性同态，使 \(\xi=\theta\circ(\mathcal{I}/\mathcal{I}^2\to\Omega)\)。计算表明 \[b + \theta \circ d : \mathcal{O}_{S'_1}[\mathcal{E}] \to \mathcal{O}_{X'_2}\] 在 \(\mathcal{I}'\) 上的限制与 \(\nu\circ a:\mathcal{I}'\to\mathcal{G}_2\) 一致。由于 \(\mathcal{O}_{X'_1}\) 是 \(\mathcal{I}'\to \mathcal{O}_{S'_1}[\mathcal{E}]\) 与 \(\mathcal{I}'\to\mathcal{G}_1\) 的推出，同态 \(b+\theta\circ d\) 与 \(a\) 定义一个可置入 (08UA) 的同态 \(\mathcal{O}_{X'_1}\to\mathcal{O}_{X'_2}\)。

上述特殊情形下第 (2) 点的证明从略。提示：这与引理 08S5 第 (2) 点的证明完全相同。

引理

设 \(X\) 为拓扑空间，\(\mathcal{A}\to\mathcal{B}\) 为环层同态， \(\mathcal{G}\) 为 \(\mathcal{B}\)-模。设 \(\xi\in\Ext^1_\mathcal{B}(\NL_{\mathcal{B}/\mathcal{A}},\mathcal{G})\)。存在集合层的映射 \(\alpha:\mathcal{E}\to\mathcal{B}\)，使得把 \(\xi\in\Ext^1_\mathcal{B}(\NL(\alpha),\mathcal{G})\) 表示为同态 \(\mathcal{I}/\mathcal{I}^2\to\mathcal{G}\) 的类（记号见证明）。

证明

回顾：给定 \(\alpha:\mathcal{E}\to\mathcal{B}\)，若 \(\mathcal{A}[\mathcal{E}]\to\mathcal{B}\) 是满的且核为 \(\mathcal{I}\)，则复形 \(\NL(\alpha) = (\mathcal{I}/\mathcal{I}^2 \to \Omega_{\mathcal{A}[\mathcal{E}]/\mathcal{A}} \otimes_{\mathcal{A}[\mathcal{E}]} \mathcal{B})\) 典范同构于 \(\NL_{\mathcal{B}/\mathcal{A}}\)，见《模层》引理 08TL。此外，注意 \(\Omega = \Omega_{\mathcal{A}[\mathcal{E}]/\mathcal{A}} \otimes_{\mathcal{A}[\mathcal{E}]} \mathcal{B}\) 是与预层 \(U \mapsto \bigoplus_{e \in \mathcal{E}(U)} \mathcal{B}(U)\). 相伴的层。换言之，\(\Omega\) 是由集合层 \(\mathcal{E}\) 生成的自由 \(\mathcal{B}\)-模；特别地，存在典范映射 \(\mathcal{E}\to\Omega\)。

据此，选取某个 \(\mathcal{E}\)（例如像朴素余切复形定义中那样取 \(\mathcal{E}=\mathcal{B}\)）。把 \(\xi\) 写成某个同态 \(\mathcal{I}/\mathcal{I}^2\to\mathcal{G}\) 的类之障碍，是 \(\Ext^1_\mathcal{B}(\Omega,\mathcal{G})\) 中的元素。设该元素由 \(\mathcal{B}\)-模扩张 \(0\to\mathcal{G}\to\mathcal{H}\to\Omega\to0\) 表示。考虑集合层 \(\mathcal{E}' = \mathcal{E} \times_\Omega \mathcal{H}\) 它带有诱导映射 \(\alpha':\mathcal{E}'\to\mathcal{B}\)。令 \(\mathcal{I}'=\Ker(\mathcal{A}[\mathcal{E}']\to\mathcal{B})\)，并令 \(\Omega'=\Omega_{\mathcal{A}[\mathcal{E}']/\mathcal{A}} \otimes_{\mathcal{A}[\mathcal{E}']} \mathcal{B}\). 在拟同构 \(\NL(\alpha')\to\NL(\alpha)\) 下拉回 \(\xi\)，其在 \(\Ext^1_\mathcal{B}(\Omega',\mathcal{G})\) 中的像为零。事实上，沿 \(\Omega'\to\Omega\) 拉回扩张 \(\mathcal{H}\) 所得的扩张是分裂的： \(\Omega'\) 是由集合层 \(\mathcal{E}'\) 生成的自由 \(\mathcal{B}\)-模，且按构造有交换图 \[\xymatrix{ \mathcal{E}' \ar[r] \ar[d] & \mathcal{E} \ar[d] \\ \mathcal{H} \ar[r] & \Omega }\] 证明完成。

引理

如果 (08U7) 存在解，那么解的同构类集合是 \(\Ext^1_{\mathcal{O}_X}(\NL_{X/S},\mathcal{G})\) 作用下的主齐性空间。

证明

先注意，给定 (08U7) 的两个解 \(X'_1\) 与 \(X'_2\)，由引理 08U8 可得障碍元 \(o(X'_1,X'_2)\in\Ext^1_{\mathcal{O}_X}(\NL_{X/S},\mathcal{G})\)；它阻碍态射 \(X'_1\to X'_2\) 的存在。显然，该元也是同构存在性的障碍，因而能够区分不同的同构类。因此，为完成证明，只需说明：给定一个解 \(X'\) 和元素 \(\xi\in\Ext^1_{\mathcal{O}_X}(\NL_{X/S},\mathcal{G})\)，可以找到另一个解 \(X'_\xi\)，使得 \(o(X',X'_\xi)=\xi\)。

按照引理 08UB，为类 \(\xi\) 选取 \(\alpha:\mathcal{E}\to\mathcal{O}_X\)。考虑满同态 \(f^{-1}\mathcal{O}_S[\mathcal{E}]\to\mathcal{O}_X\)，记其核为 \(\mathcal{I}\)；相应的朴素余切复形为 \(\NL(\alpha) = (\mathcal{I}/\mathcal{I}^2 \to \Omega_{f^{-1}\mathcal{O}_S[\mathcal{E}]/f^{-1}\mathcal{O}_S} \otimes_{f^{-1}\mathcal{O}_S[\mathcal{E}]} \mathcal{O}_X)\). 由该引理，\(\xi\) 是某个同态 \(\delta:\mathcal{I}/\mathcal{I}^2\to\mathcal{G}\) 的类。把 \(\mathcal{E}\) 替换为 \(\mathcal{E}\times_{\mathcal{O}_X}\mathcal{O}_{X'}\) 后，还可假设 \(\alpha\) 经映射 \(\alpha':\mathcal{E}\to\mathcal{O}_{X'}\) 分解。

这些选择确定 \(f^{-1}\mathcal{O}_{S'}\)-代数同态 \(\varphi:f^{-1}\mathcal{O}_{S'}[\mathcal{E}]\to\mathcal{O}_{X'}\)。令 \(\mathcal{I}'=\Ker(f^{-1}\mathcal{O}_{S'}[\mathcal{E}] \to\mathcal{O}_X)\)。注意，\(\varphi\) 诱导同态 \(\varphi|_{\mathcal{I}'}:\mathcal{I}'\to\mathcal{G}\)，且 \(\mathcal{O}_{X'}\) 是下图所示的推出： \[\xymatrix{ 0 \ar[r] & \mathcal{G} \ar[r] & \mathcal{O}_{X'} \ar[r] & \mathcal{O}_X \ar[r] & 0 \\ 0 \ar[r] & \mathcal{I}' \ar[u]^{\varphi|_{\mathcal{I}'}} \ar[r] & f^{-1}\mathcal{O}_{S'}[\mathcal{E}] \ar[u] \ar[r] & \mathcal{O}_X \ar[u]_{=} \ar[r] & 0 }\] 令 \(\psi:\mathcal{I}'\to\mathcal{G}\) 为 \(\varphi|_{\mathcal{I}'}\) 与下列复合同态之和： \[\mathcal{I}' \to \mathcal{I}'/(\mathcal{I}')^2 \to \mathcal{I}/\mathcal{I}^2 \xrightarrow{\delta} \mathcal{G}.\] 于是，沿 \(\psi\) 所作的推出给出另一个环扩张 \(\mathcal{O}_{X'_\xi}\)，它可置于上述形式的图表中。计算（从略）表明 \(o(X',X'_\xi)=\xi\)，正如所需。

引理

设 \(f:(X,\mathcal{O}_X)\to(S,\mathcal{O}_S)\) 为环化空间的态射， \(\mathcal{G}\) 为 \(\mathcal{O}_X\)-模。所有如下 \(f^{-1}\mathcal{O}_S\)-代数扩张的同构类所成的集合 \[0 \to \mathcal{G} \to \mathcal{O}_{X'} \to \mathcal{O}_X \to 0\] （其中 \(\mathcal{G}\) 是平方零理想）¹ 与 \(\Ext^1_{\mathcal{O}_X}(\NL_{X/S},\mathcal{G})\) 典范双射。

证明

为证明这一点，把前述结果应用于 (08U7) 由下图给出的情形： \[\xymatrix{ 0 \ar[r] & \mathcal{G} \ar[r] & {?} \ar[r] & \mathcal{O}_X \ar[r] & 0 \\ 0 \ar[r] & 0 \ar[u] \ar[r] & \mathcal{O}_S \ar[u] \ar[r]^{\text{id}} & \mathcal{O}_S \ar[u] \ar[r] & 0 }\] 于是，本引理由引理 08UC 以及解的存在性推出；一个解就是 \(\mathcal{G}\oplus\mathcal{O}_X\)。（该双射的直接构造见下述评注。）

注

设 \(f:(X,\mathcal{O}_X)\to(S,\mathcal{O}_S)\) 与 \(\mathcal{G}\) 如引理 0GPZ 所述。考虑引理中的扩张 \(0 \to \mathcal{G} \to \mathcal{O}_{X'} \to \mathcal{O}_X \to 0\) 。可以选取集合层 \(\mathcal{E}\) 以及交换图 \[\xymatrix{ \mathcal{E} \ar[d]_{\alpha'} \ar[rd]^\alpha \\ \mathcal{O}_{X'} \ar[r] & \mathcal{O}_X }\] 使 \(f^{-1}\mathcal{O}_S[\mathcal{E}]\to\mathcal{O}_X\) 是满的，核为 \(\mathcal{J}\)。（例如，可以取任意满射到 \(\mathcal{O}_{X'}\) 的集合层。）于是 \[\NL_{X/S} \cong \NL(\alpha) = \left( \mathcal{J}/\mathcal{J}^2 \longrightarrow \Omega_{f^{-1}\mathcal{O}_S[\mathcal{E}]/f^{-1}\mathcal{O}_S} \otimes_{f^{-1}\mathcal{O}_S[\mathcal{E}]} \mathcal{O}_X\right)\] 见《模层》第 08TG 节，特别是引理 08TL。当然，\(\alpha'\) 确定同态 \(f^{-1}\mathcal{O}_S[\mathcal{E}]\to\mathcal{O}_{X'}\)，后者又确定同态 \[\mathcal{J}/\mathcal{J}^2 \longrightarrow \mathcal{G}\] 后者进一步确定 \(\Ext^1_{\mathcal{O}_X}(\NL(\alpha), \mathcal{G}) = \Ext^1_{\mathcal{O}_X}(\NL_{X/S}, \mathcal{G})\) 中经本引理双射与 \(\mathcal{O}_{X'}\) 对应的元素。

引理

设 \(f:(X,\mathcal{O}_X)\to(S,\mathcal{O}_S)\) 与 \(g:(Y,\mathcal{O}_Y)\to(X,\mathcal{O}_X)\) 为环化空间的态射。设 \(\mathcal{F}\) 为 \(\mathcal{O}_X\)-模，\(\mathcal{G}\) 为 \(\mathcal{O}_Y\)-模，\(c:\mathcal{F}\to\mathcal{G}\) 为 \(g\)-映射。最后，考虑

与 \(\xi\in\Ext^1_{\mathcal{O}_X}(\NL_{X/S},\mathcal{F})\) 对应的 \(f^{-1}\mathcal{O}_S\)-代数扩张 \(0\to\mathcal{F}\to\mathcal{O}_{X'}\to\mathcal{O}_X\to0\)；

与 \(\zeta\in\Ext^1_{\mathcal{O}_Y}(\NL_{Y/S},\mathcal{G})\) 对应的 \(g^{-1}f^{-1}\mathcal{O}_S\)-代数扩张 \(0\to\mathcal{G}\to\mathcal{O}_{Y'}\to\mathcal{O}_Y\to0\)。

参见引理 0GPZ。那么，存在与 \(g\) 和 \(c\) 相容的 \(S\)-态射 \(g':Y'\to X'\)，当且仅当 \(\xi\) 与 \(\zeta\) 在 \(\Ext^1_{\mathcal{O}_Y}(Lg^*\NL_{X/S},\mathcal{G})\) 中的像相同。

证明

这个陈述是有意义的，因为我们有同态 \[\Ext^1_{\mathcal{O}_X}(\NL_{X/S}, \mathcal{F}) \to \Ext^1_{\mathcal{O}_Y}(Lg^*\NL_{X/S}, Lg^*\mathcal{F}) \to \Ext^1_{\mathcal{O}_Y}(Lg^*\NL_{X/S}, \mathcal{G})\] 它使用同态 \(Lg^*\mathcal{F}\to g^*\mathcal{F}\xrightarrow{c}\mathcal{G}\)；还有 \[\Ext^1_{\mathcal{O}_Y}(\NL_{Y/S}, \mathcal{G}) \to \Ext^1_{\mathcal{O}_Y}(Lg^*\NL_{X/S}, \mathcal{G})\] 它使用同态 \(Lg^*\NL_{X/S}\to\NL_{Y/S}\)。把引理 08U8 应用于下图，即可推出本引理： \[\xymatrix{ & 0 \ar[r] & \mathcal{G} \ar[r] & \mathcal{O}_{Y'} \ar[r] & \mathcal{O}_Y \ar[r] & 0 \\ & 0 \ar[r]|\hole & 0 \ar[u] \ar[r] & \mathcal{O}_S \ar[u] \ar[r]|\hole & \mathcal{O}_S \ar[u] \ar[r] & 0 \\ 0 \ar[r] & \mathcal{F} \ar[ruu] \ar[r] & \mathcal{O}_{X'} \ar[r] & \mathcal{O}_X \ar[ruu] \ar[r] & 0 \\ 0 \ar[r] & 0 \ar[ruu]|\hole \ar[u] \ar[r] & \mathcal{O}_S \ar[ruu]|\hole \ar[u] \ar[r] & \mathcal{O}_S \ar[ruu]|\hole \ar[u] \ar[r] & 0 }\] 同时还要使用引理 0GPZ 与 08U8 的证明中各项构造之间的一种相容性；其陈述和证明从略。（直接论证见下述评注。）

注

设 \(f:(X,\mathcal{O}_X)\to(S,\mathcal{O}_S)\)、 \(g:(Y,\mathcal{O}_Y)\to(X,\mathcal{O}_X)\)、\(\mathcal{F}\)、 \(\mathcal{G}\)、\(c:\mathcal{F}\to\mathcal{G}\)、 \(0\to\mathcal{F}\to\mathcal{O}_{X'}\to\mathcal{O}_X\to0\)、 \(\xi\in\Ext^1_{\mathcal{O}_X}(\NL_{X/S},\mathcal{F})\)、 \(0\to\mathcal{G}\to\mathcal{O}_{Y'}\to\mathcal{O}_Y\to0\) 以及 \(\zeta\in\Ext^1_{\mathcal{O}_Y}(\NL_{Y/S},\mathcal{G})\) 如引理 0GQ1 所述。沿 \(c:g^{-1}\mathcal{F}\to\mathcal{G}\) 作推出，可构造扩张 \[\xymatrix{ 0 \ar[r] & \mathcal{G} \ar[r] & \mathcal{O}'_1 \ar[r] & g^{-1}\mathcal{O}_X \ar[r] & 0 \\ 0 \ar[r] & g^{-1}\mathcal{F} \ar[u]^c \ar[r] & g^{-1}\mathcal{O}_{X'} \ar[u] \ar[r] & g^{-1}\mathcal{O}_X \ar@{=}[u] \ar[r] & 0 }\] 沿 \(g^\sharp:g^{-1}\mathcal{O}_X\to\mathcal{O}_Y\) 作拉回，可构造扩张 \[\xymatrix{ 0 \ar[r] & \mathcal{G} \ar[r] & \mathcal{O}_{Y'} \ar[r] & \mathcal{O}_Y \ar[r] & 0 \\ 0 \ar[r] & \mathcal{G} \ar@{=}[u] \ar[r] & \mathcal{O}'_2 \ar[u] \ar[r] & g^{-1}\mathcal{O}_X \ar[u] \ar[r] & 0 }\] 追图表明，存在与 \(g\) 和 \(c\) 相容的 \(S\)-态射 \(Y'\to X'\)，当且仅当把 \(\mathcal{O}'_1\) 与 \(\mathcal{O}'_2\) 都看作 \(g^{-1}\mathcal{O}_X\) 被 \(\mathcal{G}\) 扩张所得的 \(g^{-1}f^{-1}\mathcal{O}_S\)-代数时二者同构。由引理 0GPZ，这些扩张由下式左端分类： \[\Ext^1_{g^{-1}\mathcal{O}_X}( \NL_{g^{-1}\mathcal{O}_X/g^{-1}f^{-1}\mathcal{O}_S}, \mathcal{G}) = \Ext^1_{\mathcal{O}_Y}(Lg^*\NL_{X/S}, \mathcal{G})\] 这里的等号来自张量–Hom 伴随性以及等式 \[\NL_{g^{-1}\mathcal{O}_X/g^{-1}f^{-1}\mathcal{O}_S} = g^{-1}\NL_{X/S} \quad\text{且}\quad Lg^*\NL_{X/S} = g^{-1}\NL_{X/S} \otimes_{g^{-1}\mathcal{O}_X}^\mathbf{L} \mathcal{O}_Y\] 第一个等式见《模层》引理 08TM；第二个等式由导出拉回的定义推出。因此，为证明引理 0GQ1，只需说明 \(\mathcal{O}'_1\) 对应于 \(\xi\) 的像，而 \(\mathcal{O}'_2\) 对应于 \(\zeta\) 的像。\(\xi\) 与 \(\mathcal{O}'_1\) 之间的对应由评注 0GQ0 中类 \(\xi\) 的构造立即得到。为说明 \(\zeta\) 与 \(\mathcal{O}'_2\) 之间的对应，先选取交换图 \[\xymatrix{ \mathcal{E} \ar[d]_{\beta'} \ar[rd]^\beta \\ \mathcal{O}_{Y'} \ar[r] & \mathcal{O}_Y }\] 使 \(g^{-1}f^{-1}\mathcal{O}_S[\mathcal{E}]\to\mathcal{O}_Y\) 是满的，核为 \(\mathcal{K}\)。再选取交换图 \[\xymatrix{ \mathcal{E} \ar[d]_{\beta'} & \mathcal{E}' \ar[l]^\varphi \ar[d]_{\alpha'} \ar[rd]^\alpha \\ \mathcal{O}_{Y'} & \mathcal{O}'_2 \ar[l] \ar[r] & g^{-1}\mathcal{O}_X }\] 使 \(g^{-1}f^{-1}\mathcal{O}_S[\mathcal{E}']\to g^{-1}\mathcal{O}_X\) 是满的，核为 \(\mathcal{J}\)。（例如，只需把 \(\mathcal{E}'=\mathcal{E}\amalg\mathcal{O}'_2\) 视为集合层。）映射 \(\varphi\) 诱导复形同态 \(\NL(\alpha)\to\NL(\beta)\) （记号同《模层》第 08TG 节），特别地诱导 \(\bar\varphi:\mathcal{J}/\mathcal{J}^2\to \mathcal{K}/\mathcal{K}^2\)。于是 \(\NL(\alpha)\cong\NL_{Y/S}\)，且 \(\NL(\beta) \cong \NL_{g^{-1}\mathcal{O}_X/g^{-1}f^{-1}\mathcal{O}_S}\) ，而复形同态 \(\NL(\alpha)\to\NL(\beta)\) 表示引理 0GQ1 的陈述中所用的同态 \(Lg^*\NL_{X/S}\to\NL_{Y/S}\)（见其证明的第一部分）。现在，\(\zeta\) 对应于由 \(\beta'\) 诱导的同态 \(\mathcal{K}/\mathcal{K}^2\to\mathcal{G}\) 的类，见评注 0GQ0。类似地，扩张 \(\mathcal{O}'_2\) 对应于由 \(\alpha'\) 诱导的同态 \(\mathcal{J}/\mathcal{J}^2\to\mathcal{G}\)。上述交换图表明，该同态是由 \(\beta'\) 诱导的同态 \(\mathcal{K}/\mathcal{K}^2\to\mathcal{G}\) 与 \(\bar\varphi:\mathcal{J}/\mathcal{J}^2\to \mathcal{K}/\mathcal{K}^2\) 的复合。这证明了所需的相容性。

引理

设 \(t:(S,\mathcal{O}_S)\to(S',\mathcal{O}_{S'})\)、 \(\mathcal{J}=\Ker(t^\sharp)\)、 \(f:(X,\mathcal{O}_X)\to(S,\mathcal{O}_S)\)、\(\mathcal{G}\) 以及 \(c:\mathcal{J}\to\mathcal{G}\) 如 (08U7) 所述。记 \(\xi\in\Ext^1_{\mathcal{O}_S}(\NL_{S/S'},\mathcal{J})\) 为经引理 0GPZ 与 \(\mathcal{O}_S\) 被 \(\mathcal{J}\) 扩张所得的 \(\mathcal{O}_{S'}\) 相对应的元素。解的同构类集合与同态 \[\Ext^1_{\mathcal{O}_X}(\NL_{X/S'}, \mathcal{G}) \to \Ext^1_{\mathcal{O}_X}(Lf^*\NL_{S/S'}, \mathcal{G})\] 在 \(\xi\) 的像上方的纤维典范双射。

证明

把引理 0GPZ 应用于 \(X\to S'\) 和 \(\mathcal{O}_X\)-模 \(\mathcal{G}\)，可见 \(\Ext^1_{\mathcal{O}_X}(\NL_{X/S'},\mathcal{G})\) 中的元素 \(\zeta\) 参数化 \(f^{-1}\mathcal{O}_{S'}\)-代数扩张 \(0 \to \mathcal{G} \to \mathcal{O}_{X'} \to \mathcal{O}_X \to 0\) 。把引理 0GQ1 应用于 \(X\to S\to S'\) 和 \(c:\mathcal{J}\to\mathcal{G}\)，可见存在与 \(c\) 和 \(f:X\to S\) 相容的 \(S'\)-态射 \(X'\to S'\)，当且仅当 \(\zeta\) 映到 \(\xi\)。这当然等价于说 \(\mathcal{O}_{X'}\) 是 (08U7) 的一个解。

注

在引理 0GQ3 的情形中，有复形同态 \[Lf^*\NL_{S'/S} \to \NL_{X/S'} \to \NL_{X/S}\]

这些同态几乎构成一个可区别三角，见《模层》引理 0E1Z。如果它确实是可区别三角，便可得出：\(\xi\) 在 \(\Ext^2_{\mathcal{O}_X}(\NL_{X/S},\mathcal{G})\) 中的像，就是 (08U7) 存在解的障碍。

概形的形变

本节具体说明第 08U6 节的结果对于概形形变意味着什么。

引理

设 \(S\subset S'\) 为概形的一阶增厚，\(f:X\to S\) 为概形的平坦态射。如果存在概形的平坦态射 \(f':X'\to S'\) 以及 \(S\) 上的同构 \(a:X\to X'\times_{S'}S\)，那么：

二元组 \((f':X'\to S',a)\) 的同构类集合是 \(\Ext^1_{\mathcal{O}_X}(\NL_{X/S},f^*\mathcal{C}_{S/S'})\) 作用下的主齐性空间；

\(S'\) 上在 \(X'\times_{S'}S\) 上约化为恒等态射的自同构 \(\varphi:X'\to X'\) 所成的集合为 \(\Ext^0_{\mathcal{O}_X}(\NL_{X/S},f^*\mathcal{C}_{S/S'})\)。

证明

先注意，《更多态射》第 04EW 节所定义的概形增厚，正是第 08KY 节意义下为增厚的概形态射。可以把 \(X\) 视为 \(X'\) 的闭子概形，使得 \((f,f'):(X\subset X')\to(S\subset S')\) 是一阶增厚的态射。于是，由《更多态射》引理 063Y（或更一般的引理 08LI），\(X\) 在 \(X'\) 中的理想层等于 \(f^*\mathcal{C}_{S/S'}\)。因此有交换图 \[\xymatrix{ 0 \ar[r] & f^*\mathcal{C}_{S/S'} \ar[r] & \mathcal{O}_{X'} \ar[r] & \mathcal{O}_X \ar[r] & 0 \\ 0 \ar[r] & \mathcal{C}_{S/S'} \ar[u] \ar[r] & \mathcal{O}_{S'} \ar[u] \ar[r] & \mathcal{O}_S \ar[u] \ar[r] & 0 }\] 其中竖直箭头为 \(f\)-映射；请与 (08U7) 比较。因此，第 (1) 点由引理 08UC 推出，第 (2) 点由引理 08U8 的第 (2) 点推出。（注意，《更多态射》第 0D0G 节为概形态射所定义的 \(\NL_{X/S}\)，与第 08U6 节所用的 \(\NL_{X/S}\) 一致。）

环化拓扑斯的增厚

本节是第 08KY 节对于环化拓扑斯的对应版本。在下面几节中，我们将使用以下概念：

环化拓扑斯 \((\Sh(\mathcal{D}),\mathcal{O}')\) 上的理想层 \(\mathcal{I}\subset\mathcal{O}'\) 称为局部幂零的，如果 \(\mathcal{I}\) 的任意局部截面都是局部幂零的。
环化拓扑斯的一个增厚是环化拓扑斯的态射 \(i : (\Sh(\mathcal{C}), \mathcal{O}) \to (\Sh(\mathcal{D}), \mathcal{O}')\) ，满足：
1. \(i_*\) 是等价 \(\Sh(\mathcal{C})\to\Sh(\mathcal{D})\)；
2. 同态 \(i^\sharp:\mathcal{O}'\to i_*\mathcal{O}\) 是满的；
3. \(i^\sharp\) 的核是局部幂零理想层。
环化拓扑斯的一个一阶增厚是环化拓扑斯的增厚 \(i : (\Sh(\mathcal{C}), \mathcal{O}) \to (\Sh(\mathcal{D}), \mathcal{O}')\) ，且 \(\Ker(i^\sharp)\) 平方为零。
显然可以定义环化拓扑斯增厚的态射、 基环化拓扑斯上环化拓扑斯增厚的态射等概念。

若 \(i : (\Sh(\mathcal{C}), \mathcal{O}) \to (\Sh(\mathcal{D}), \mathcal{O}')\) 是环化拓扑斯的增厚，我们便等同底层拓扑斯，并把 \(\mathcal{O}\)、 \(\mathcal{O}'\) 以及 \(\mathcal{I}=\Ker(i^\sharp)\) 都视为 \(\mathcal{C}\) 上的层。由此得到 \(\mathcal{O}'\)-模的短正合列 \[0 \to \mathcal{I} \to \mathcal{O}' \to \mathcal{O} \to 0\] 由《位点上的模》引理 08M3， \(\mathcal{O}\)-模范畴等价于被 \(\mathcal{I}\) 零化的 \(\mathcal{O}'\)-模范畴。特别地，如果 \(i\) 是一阶增厚，那么 \(\mathcal{I}\) 是 \(\mathcal{O}\)-模。

情形

环化拓扑斯增厚的一个态射 \((f,f')\) 由如下交换图给出： [08M8]\[\begin{equation} \vcenter{ \xymatrix{ (\Sh(\mathcal{C}), \mathcal{O}) \ar[r]_i \ar[d]_f & (\Sh(\mathcal{D}), \mathcal{O}') \ar[d]^{f'} \\ (\Sh(\mathcal{B}), \mathcal{O}_\mathcal{B}) \ar[r]^t & (\Sh(\mathcal{B}'), \mathcal{O}_{\mathcal{B}'}) } } \end{equation}\] 其中各项为环化拓扑斯，水平箭头为增厚。在这一情形中，令 \(\mathcal{I}=\Ker(i^\sharp)\subset\mathcal{O}'\)、 \(\mathcal{J}=\Ker(t^\sharp)\subset\mathcal{O}_{\mathcal{B}'}\)。由于在底层拓扑斯上 \(f=f'\)，我们等同逆像函子 \(f^{-1}\) 与 \((f')^{-1}\)。注意， \((f')^\sharp : f^{-1}\mathcal{O}_{\mathcal{B}'} \to \mathcal{O}'\) 特别地诱导同态 \(f^{-1}\mathcal{J}\to\mathcal{I}\)，从而诱导 \(\mathcal{O}'\)-模同态 \[(f')^*\mathcal{J} \longrightarrow \mathcal{I}\] 如果 \(i\) 与 \(t\) 都是一阶增厚，那么 \((f')^*\mathcal{J}=f^*\mathcal{J}\)，上述同态就成为 \(f^*\mathcal{J}\to\mathcal{I}\)。

定义

在情形 08M7 中，如果同态 \((f')^*\mathcal{J}\longrightarrow\mathcal{I}\) 是满的，则称 \((f,f')\) 是一个增厚的严格态射。

环化拓扑斯一阶增厚上的模

本节讨论模的形变理论所需的一些预备知识。设

\(i : (\Sh(\mathcal{C}, \mathcal{O}) \to (\Sh(\mathcal{D}), \mathcal{O}')\) 为环化拓扑斯的一阶增厚。我们将随时使用第 08M6 节引入的记号；特别地，我们等同底层拓扑斯。本节考虑 \(\mathcal{O}'\)-模的短正合列 [08MB]\[\begin{equation} 0 \to \mathcal{K} \to \mathcal{F}' \to \mathcal{F} \to 0 \end{equation}\] 其中 \(\mathcal{F}\)、\(\mathcal{K}\) 是 \(\mathcal{O}\)-模，而 \(\mathcal{F}'\) 是 \(\mathcal{O}'\)-模。在这种情形中，有典范的 \(\mathcal{O}\)-模同态 \[c_{\mathcal{F}'} : \mathcal{I} \otimes_\mathcal{O} \mathcal{F} \longrightarrow \mathcal{K}\] 其中 \(\mathcal{I}=\Ker(i^\sharp)\)。具体而言，给定 \(\mathcal{I}\) 的局部截面 \(f\) 与 \(\mathcal{F}\) 的局部截面 \(s\)，令 \(c_{\mathcal{F}'}(f\otimes s)=fs'\)，其中 \(s'\) 是提升 \(s\) 的 \(\mathcal{F}'\) 的局部截面。

引理

设 \(i:(\Sh(\mathcal{C}),\mathcal{O})\to (\Sh(\mathcal{D}),\mathcal{O}')\) 是环化拓扑斯的一阶增厚，并给定扩张 \[0 \to \mathcal{K} \to \mathcal{F}' \to \mathcal{F} \to 0 \quad\text{且}\quad 0 \to \mathcal{L} \to \mathcal{G}' \to \mathcal{G} \to 0\] 如 (08MB) 所述，以及同态 \(\varphi:\mathcal{F}\to\mathcal{G}\) 与 \(\psi:\mathcal{K}\to\mathcal{L}\)。

如果存在与 \(\varphi\) 和 \(\psi\) 相容的 \(\mathcal{O}'\)-模同态 \(\varphi':\mathcal{F}'\to\mathcal{G}'\)，那么图表 \[\xymatrix{ \mathcal{I} \otimes_\mathcal{O} \mathcal{F} \ar[r]_-{c_{\mathcal{F}'}} \ar[d]_{1 \otimes \varphi} & \mathcal{K} \ar[d]^\psi \\ \mathcal{I} \otimes_\mathcal{O} \mathcal{G} \ar[r]^-{c_{\mathcal{G}'}} & \mathcal{L} }\] 交换。

与 \(\varphi\) 和 \(\psi\) 相容的 \(\mathcal{O}'\)-模同态 \(\varphi':\mathcal{F}'\to\mathcal{G}'\) 的集合，如果非空，就是 \(\Hom_\mathcal{O}(\mathcal{F},\mathcal{L})\) 作用下的主齐性空间。

证明

第 (1) 点由各同态的描述立即得到。对于第 (2) 点，若 \(\varphi'\) 与 \(\varphi''\) 是两个与 \(\varphi\) 和 \(\psi\) 相容的同态 \(\mathcal{F}'\to\mathcal{G}'\)，那么 \(\varphi'-\varphi''\) 分解为 \[\mathcal{F}' \to \mathcal{F} \to \mathcal{L} \to \mathcal{G}'\] 由《位点上的模》引理 08M3，中间的同态来自 \(\Hom_\mathcal{O}(\mathcal{F},\mathcal{L})\) 中唯一的元素。反过来，给定该群中的元素 \(\alpha\)，可以把上述复合（中间同态取 \(\alpha\)）加到 \(\varphi'\) 上。若干细节从略。

引理

设 \(i:(\Sh(\mathcal{C}),\mathcal{O})\to (\Sh(\mathcal{D}),\mathcal{O}')\) 是环化拓扑斯的一阶增厚，并给定扩张 \[0 \to \mathcal{K} \to \mathcal{F}' \to \mathcal{F} \to 0 \quad\text{且}\quad 0 \to \mathcal{L} \to \mathcal{G}' \to \mathcal{G} \to 0\] 如 (08MB) 所述，以及同态 \(\varphi:\mathcal{F}\to\mathcal{G}\) 与 \(\psi:\mathcal{K}\to\mathcal{L}\)。假设图表 \[\xymatrix{ \mathcal{I} \otimes_\mathcal{O} \mathcal{F} \ar[r]_-{c_{\mathcal{F}'}} \ar[d]_{1 \otimes \varphi} & \mathcal{K} \ar[d]^\psi \\ \mathcal{I} \otimes_\mathcal{O} \mathcal{G} \ar[r]^-{c_{\mathcal{G}'}} & \mathcal{L} }\] 交换。那么存在元素 \[o(\varphi, \psi) \in \Ext^1_\mathcal{O}(\mathcal{F}, \mathcal{L})\] 它为零，当且仅当存在与 \(\varphi\) 和 \(\psi\) 相容的同态 \(\varphi':\mathcal{F}'\to\mathcal{G}'\)。

证明

可以显式构造扩张 \[0 \to \mathcal{L} \to \mathcal{H} \to \mathcal{F} \to 0\] 方法是令 \(\mathcal{H}\) 为复形 \[\mathcal{K} \xrightarrow{1, - \psi} \mathcal{F}' \oplus \mathcal{G}' \xrightarrow{\varphi, 1} \mathcal{G}\] 在中间项处的上同调层（记号含义显然）。利用引理中图表交换这一假设，对局部截面作计算可知 \(\mathcal{H}\) 被 \(\mathcal{I}\) 零化。因此 \(\mathcal{H}\) 在下述群中定义一个类： \[\Ext^1_\mathcal{O}(\mathcal{F}, \mathcal{L}) \subset \Ext^1_{\mathcal{O}'}(\mathcal{F}, \mathcal{L})\] 最后，\(\mathcal{H}\) 的类等于沿 \(\psi\) 对扩张 \(\mathcal{F}'\) 所作的推出与沿 \(\varphi\) 对扩张 \(\mathcal{G}'\) 所作的拉回之差（计算从略）。因此，\(\mathcal{H}\) 的类为零，等价于存在交换图 \[\xymatrix{ 0 \ar[r] & \mathcal{K} \ar[r] \ar[d]_{\psi} & \mathcal{F}' \ar[r] \ar[d]_{\varphi'} & \mathcal{F} \ar[r] \ar[d]_\varphi & 0\\ 0 \ar[r] & \mathcal{L} \ar[r] & \mathcal{G}' \ar[r] & \mathcal{G} \ar[r] & 0 }\] 这正是所需。

引理

设 \(i:(\Sh(\mathcal{C}),\mathcal{O})\to (\Sh(\mathcal{D}),\mathcal{O}')\) 是环化拓扑斯的一阶增厚。给定 \(\mathcal{O}\)-模 \(\mathcal{F}\)、\(\mathcal{K}\) 以及 \(\mathcal{O}\)-线性同态 \(c:\mathcal{I}\otimes_\mathcal{O}\mathcal{F}\to\mathcal{K}\)。如果存在满足 \(c_{\mathcal{F}'}=c\) 的正合列 (08MB)，那么这些扩张的同构类集合是 \(\Ext^1_\mathcal{O}(\mathcal{F},\mathcal{K})\) 作用下的主齐性空间。

证明

假设给定扩张 \[0 \to \mathcal{K} \to \mathcal{F}'_1 \to \mathcal{F} \to 0 \quad\text{且}\quad 0 \to \mathcal{K} \to \mathcal{F}'_2 \to \mathcal{F} \to 0\] 且 \(c_{\mathcal{F}'_1}=c_{\mathcal{F}'_2}=c\)。那么二者之差（在扩张群中取差，见《同调代数》第 010I 节）是扩张 \[0 \to \mathcal{K} \to \mathcal{E} \to \mathcal{F} \to 0\] 其中 \(\mathcal{E}\) 被 \(\mathcal{I}\) 零化（局部计算从略）。所以该正合列是 \(\mathcal{O}\)-模的扩张，见《位点上的模》引理 08M3。反过来，给定这样的扩张 \(\mathcal{E}\)，可将它加到 \(\mathcal{O}'\)-扩张 \(\mathcal{F}'\) 上，而不改变同态 \(c_{\mathcal{F}'}\)。若干细节从略。

引理

设 \(i : (\Sh(\mathcal{C}), \mathcal{O}) \to (\Sh(\mathcal{D}), \mathcal{O}')\) 是环化拓扑斯的一阶增厚。给定 \(\mathcal{O}\)-模 \(\mathcal{F}\)、\(\mathcal{K}\) 以及 \(\mathcal{O}\)-线性同态 \(c : \mathcal{I} \otimes_\mathcal{O} \mathcal{F} \to \mathcal{K}\)。那么存在一个元素 \[o(\mathcal{F}, \mathcal{K}, c) \in \Ext^2_\mathcal{O}(\mathcal{F}, \mathcal{K})\] 其消失是存在满足 \(c_{\mathcal{F}'}=c\) 的正合列 (08MB) 的充要条件。

证明

我们先证明：若 \(\mathcal{K}\) 是内射 \(\mathcal{O}\)-模，则确实存在满足 \(c_{\mathcal{F}'}=c\) 的正合列 (08MB)。为此，取一个平坦 \(\mathcal{O}'\)-模 \(\mathcal{H}'\) 以及满射 \(\mathcal{H}' \to \mathcal{F}\) （《位点上的模》引理 03EW）。令 \(\mathcal{J}\subset\mathcal{H}'\) 为其核。由于 \(\mathcal{H}'\) 平坦，故有 \[\mathcal{I} \otimes_{\mathcal{O}'} \mathcal{H}' = \mathcal{I}\mathcal{H}' \subset \mathcal{J} \subset \mathcal{H}'\] 注意，同态 \[\mathcal{I}\mathcal{H}' = \mathcal{I} \otimes_{\mathcal{O}'} \mathcal{H}' \longrightarrow \mathcal{I} \otimes_{\mathcal{O}'} \mathcal{F} = \mathcal{I} \otimes_\mathcal{O} \mathcal{F}\] 零化 \(\mathcal{I}\mathcal{J}\)。事实上，若 \(f\) 是 \(\mathcal{I}\) 的局部截面， \(s\) 是 \(\mathcal{H}\) 的局部截面，则 \(fs\) 映为 \(f\otimes\overline{s}\)，其中 \(\overline{s}\) 是 \(s\) 在 \(\mathcal{F}\) 中的像。因此得到 \(\mathcal{O}\)-模的图 \[\xymatrix{ \mathcal{I}\mathcal{H}'/\mathcal{I}\mathcal{J} \ar@{^{(}->}[r] \ar[d] & \mathcal{J}/\mathcal{I}\mathcal{J} \ar@{..>}[d]_\gamma \\ \mathcal{I} \otimes_\mathcal{O} \mathcal{F} \ar[r]^-c & \mathcal{K} }\] 若 \(\mathcal{K}\) 作为 \(\mathcal{O}\)-模是内射的，就得到虚线箭头。以 \(\gamma':\mathcal{J}\to\mathcal{K}\) 记 \(\gamma\) 与 \(\mathcal{J}\to\mathcal{J}/\mathcal{I}\mathcal{J}\) 的复合。局部计算表明，推出 \[\xymatrix{ 0 \ar[r] & \mathcal{J} \ar[r] \ar[d]_{\gamma'} & \mathcal{H}' \ar[r] \ar[d] & \mathcal{F} \ar[r] \ar@{=}[d] & 0 \\ 0 \ar[r] & \mathcal{K} \ar[r] & \mathcal{F}' \ar[r] & \mathcal{F} \ar[r] & 0 }\] 给出了本引理所述问题的一个解。

一般情形。取嵌入 \(\mathcal{K}\subset\mathcal{K}'\)，其中 \(\mathcal{K}'\) 是内射 \(\mathcal{O}\)-模。令 \(\mathcal{Q}\) 为其商，于是有正合列 \[0 \to \mathcal{K} \to \mathcal{K}' \to \mathcal{Q} \to 0\] 以 \(c':\mathcal{I}\otimes_\mathcal{O}\mathcal{F}\to\mathcal{K}'\) 记相应的复合同态。由上一段，存在正合列 \[0 \to \mathcal{K}' \to \mathcal{E}' \to \mathcal{F} \to 0\] 如 (08MB) 所示，且 \(c_{\mathcal{E}'}=c'\)。注意，\(c'\) 与 \(\mathcal{K}'\to\mathcal{Q}\) 的复合为零，故沿 \(\mathcal{K}'\to\mathcal{Q}\) 对 \(\mathcal{E}'\) 取推出所得扩张 \[0 \to \mathcal{Q} \to \mathcal{D}' \to \mathcal{F} \to 0\] 如 (08MB) 所示，且 \(c_{\mathcal{D}'}=0\)。这恰好意味着 \(\mathcal{D}'\) 被 \(\mathcal{I}\) 零化；换言之，\(\mathcal{D}'\) 是 \(\mathcal{O}\)-模的扩张，因而定义了元素 \[o(\mathcal{F}, \mathcal{K}, c) \in \Ext^1_\mathcal{O}(\mathcal{F}, \mathcal{Q}) = \Ext^2_\mathcal{O}(\mathcal{F}, \mathcal{K})\] （该等式来自上述正合列所诱导的上同调长正合列，以及以内射模 \(\mathcal{K}'\) 为第二变元的高阶 \(\Ext\) 群消失）。若 \(o(\mathcal{F},\mathcal{K},c)=0\)，则可取分裂 \(s:\mathcal{F}\to\mathcal{D}'\)，并令 \[\mathcal{F}' = \Ker(\mathcal{E}' \to \mathcal{D}'/s(\mathcal{F}))\] 从而得到下图 \[\xymatrix{ 0 \ar[r] & \mathcal{K} \ar[r] \ar[d] & \mathcal{F}' \ar[r] \ar[d] & \mathcal{F} \ar[r] \ar@{=}[d] & 0 \\ 0 \ar[r] & \mathcal{K}' \ar[r] & \mathcal{E}' \ar[r] & \mathcal{F} \ar[r] & 0 }\] 其两行均正合，由此可见 \(c_{\mathcal{F}'}=c\)。反过来，若 \(\mathcal{F}'\) 存在，则由引理 08ME 及以内射模 \(\mathcal{K}'\) 为第二变元的高阶 \(\Ext\) 群消失，沿 \(\mathcal{K}\to\mathcal{K}'\) 对 \(\mathcal{F}'\) 取推出所得扩张同构于 \(\mathcal{E}'\)。这给出如上图，从而说明 \(\mathcal{D}'\) 作为扩张是分裂的，即类 \(o(\mathcal{F},\mathcal{K},c)\) 为零。

注

设 \((\Sh(\mathcal{C}),\mathcal{O})\) 是环化拓扑斯。若存在环化拓扑斯态射 \(\pi : (\Sh(\mathcal{D}), \mathcal{O}') \to (\Sh(\mathcal{C}), \mathcal{O})\) 作为 \(i:(\Sh(\mathcal{C}),\mathcal{O})\to (\Sh(\mathcal{D}),\mathcal{O}')\) 的左逆，就称这一阶增厚为 平凡的。这样一个态射 \(\pi\) 的选取称为该一阶增厚的一个 平凡化。给定 \(\pi\)，利用 \(\pi^\sharp\) 分裂满射 \(\mathcal{O}'\to\mathcal{O}\)，就得到 \(\mathcal{C}\) 上代数层的分解 [08MH]\[\begin{equation} \mathcal{O}' = \mathcal{O} \oplus \mathcal{I} \end{equation}\] 反过来，这样的分解决定一个态射 \(\pi\)。 \((\Sh(\mathcal{C}),\mathcal{O})\) 的带平凡化一阶增厚所成范畴等价于 \(\mathcal{O}\)-模范畴。

注

设 \(i:(\Sh(\mathcal{C}),\mathcal{O})\to (\Sh(\mathcal{D}),\mathcal{O}')\) 是环化拓扑斯的平凡一阶增厚， \(\pi:(\Sh(\mathcal{D}),\mathcal{O}')\to (\Sh(\mathcal{C}),\mathcal{O})\) 是一个平凡化。给定任意三元组 \((\mathcal{F},\mathcal{K},c)\)，其中 \(\mathcal{F}\)、\(\mathcal{K}\) 是 \(\mathcal{O}\)-模，且有同态 \(c : \mathcal{I} \otimes_\mathcal{O} \mathcal{F} \to \mathcal{K}\) 可令 \[\mathcal{F}'_{c, triv} = \mathcal{F} \oplus \mathcal{K}\] 并利用与 \(\pi\) 相伴的分解 (08MH) 及同态 \(c\) 定义 \(\mathcal{O}'\)-模结构，从而得到扩张 (08MB)。我们称 \(\mathcal{F}'_{c,triv}\) 为与 \(c\) 和平凡化 \(\pi\) 对应的、以 \(\mathcal{K}\) 扩张 \(\mathcal{F}\) 的平凡扩张。给定任意形如 (08MB) 的扩张 \(\mathcal{F}'\)，可利用 \(\pi^\sharp:\mathcal{O}\to\mathcal{O}'\) 把 \(\mathcal{F}'\) 视为 \(\mathcal{O}\)-模扩张，因而得到 \(\Ext^1_\mathcal{O}(\mathcal{F},\mathcal{K})\) 中的类 \(\xi_{\mathcal{F}'}\)。引理 08ME 保证 \(\mathcal{F}'\mapsto\xi_{\mathcal{F}'}\) 诱导双射 \[\left\{ \begin{matrix} \text{满足下述条件的扩张 }\mathcal{F}'\text{ 的同构类}\\ \mathcal{F}'\text{ 如 (\href{defos.html#defos-equation-extension-ringed-topoi}{08MB}) 所示，且 } c=c_{\mathcal{F}'} \end{matrix} \right\} \longrightarrow \Ext^1_\mathcal{O}(\mathcal{F}, \mathcal{K})\] 此外，平凡扩张 \(\mathcal{F}'_{c,triv}\) 映到零类。

注

设 \((\Sh(\mathcal{C}),\mathcal{O})\) 是环化拓扑斯。设 \((\Sh(\mathcal{C}), \mathcal{O}) \to (\Sh(\mathcal{D}_i), \mathcal{O}'_i)\), \(i=1,2\) 是理想层为 \(\mathcal{I}_i\) 的一阶增厚。设 \(h:(\Sh(\mathcal{D}_1),\mathcal{O}'_1)\to (\Sh(\mathcal{D}_2), \mathcal{O}'_2)\) 是 \((\Sh(\mathcal{C}),\mathcal{O})\) 的一阶增厚之间的态射。图示为 \[\xymatrix{ & (\Sh(\mathcal{C}), \mathcal{O}) \ar[ld] \ar[rd] & \\ (\Sh(\mathcal{D}_1), \mathcal{O}'_1) \ar[rr]^h & & (\Sh(\mathcal{D}_2), \mathcal{O}'_2) }\] 注意，\(h^\sharp:\mathcal{O}'_2\to\mathcal{O}'_1\) 特别诱导 \(\mathcal{O}\)-模同态 \(\mathcal{I}_2\to\mathcal{I}_1\)。设 \(\mathcal{F}\) 是 \(\mathcal{O}\)-模。设 \((\mathcal{K}_i,c_i)\)，\(i=1,2\)，是两个二元组，其中 \(\mathcal{K}_i\) 是 \(\mathcal{O}\)-模，并有同态 \(c_i : \mathcal{I}_i \otimes_\mathcal{O} \mathcal{F} \to \mathcal{K}_i\)。再给定 \(\mathcal{O}\)-模同态 \(\mathcal{K}_2\to\mathcal{K}_1\)，使图 \[\xymatrix{ \mathcal{I}_2 \otimes_\mathcal{O} \mathcal{F} \ar[r]_-{c_2} \ar[d] & \mathcal{K}_2 \ar[d] \\ \mathcal{I}_1 \otimes_\mathcal{O} \mathcal{F} \ar[r]^-{c_1} & \mathcal{K}_1 }\] 交换。那么存在典范的函子性映射 \[\left\{ \begin{matrix} \mathcal{F}'_2\text{ 如 (\href{defos.html#defos-equation-extension-ringed-topoi}{08MB}) 所示，且 }\\ c_2=c_{\mathcal{F}'_2}\text{、}\mathcal{K}=\mathcal{K}_2 \end{matrix} \right\} \longrightarrow \left\{ \begin{matrix} \mathcal{F}'_1\text{ 如 (\href{defos.html#defos-equation-extension-ringed-topoi}{08MB}) 所示，且 }\\ c_1=c_{\mathcal{F}'_1}\text{、}\mathcal{K}=\mathcal{K}_1 \end{matrix} \right\}\] 具体地，把 \(\mathcal{O}\)、\(\mathcal{O}'_i\)、\(\mathcal{F}\)、 \(\mathcal{K}_i\) 等都视为 \(\mathcal{C}\) 上的层；给定 \(\mathcal{F}'_2\)，令层 \(\mathcal{F}'_1\) 等于推出，即嵌入下列扩张图： \[\xymatrix{ 0 \ar[r] & \mathcal{K}_2 \ar[r] \ar[d] & \mathcal{F}'_2 \ar[r] \ar[d] & \mathcal{F} \ar@{=}[d] \ar[r] & 0 \\ 0 \ar[r] & \mathcal{K}_1 \ar[r] & \mathcal{F}'_1 \ar[r] & \mathcal{F} \ar[r] & 0 }\] 推出上的 \(\mathcal{O}'_1\)-模结构之构造从略（这里用到含 \(c_1\)、\(c_2\) 的图的交换性）。

注

设 \((\Sh(\mathcal{C}),\mathcal{O})\)、 \((\Sh(\mathcal{C}), \mathcal{O}) \to (\Sh(\mathcal{D}_i), \mathcal{O}'_i)\), \(\mathcal{I}_i\) 及 \(h:(\Sh(\mathcal{D}_1),\mathcal{O}'_1)\to (\Sh(\mathcal{D}_2),\mathcal{O}'_2)\) 如注 08MJ。设给定平凡化 \(\pi_i : (\Sh(\mathcal{D}_i), \mathcal{O}'_i) \to (\Sh(\mathcal{C}), \mathcal{O})\)，满足 \(\pi_1=h\circ\pi_2\)。换言之，设 \(h\) 是 \((\Sh(\mathcal{C}),\mathcal{O})\) 的带平凡化一阶增厚之间的态射。设 \((\mathcal{K}_i,c_i)\)，\(i=1,2\)，是两个二元组，其中 \(\mathcal{K}_i\) 是 \(\mathcal{O}\)-模，并有同态 \(c_i : \mathcal{I}_i \otimes_\mathcal{O} \mathcal{F} \to \mathcal{K}_i\)。再给定 \(\mathcal{O}\)-模同态 \(\mathcal{K}_2\to\mathcal{K}_1\)，使下图交换： \[\xymatrix{ \mathcal{I}_2 \otimes_\mathcal{O} \mathcal{F} \ar[r]_-{c_2} \ar[d] & \mathcal{K}_2 \ar[d] \\ \mathcal{I}_1 \otimes_\mathcal{O} \mathcal{F} \ar[r]^-{c_1} & \mathcal{K}_1 }\] 在此情形，注 08MI 的构造诱导交换图 \[\xymatrix{ \{\mathcal{F}'_2\text{ 如 (\href{defos.html#defos-equation-extension-ringed-topoi}{08MB}) 所示，且 } c_2=c_{\mathcal{F}'_2}\text{、}\mathcal{K}=\mathcal{K}_2\} \ar[d] \ar[rr] & & \Ext^1_\mathcal{O}(\mathcal{F}, \mathcal{K}_2) \ar[d] \\ \{\mathcal{F}'_1\text{ 如 (\href{defos.html#defos-equation-extension-ringed-topoi}{08MB}) 所示，且 } c_1=c_{\mathcal{F}'_1}\text{、}\mathcal{K}=\mathcal{K}_1\} \ar[rr] & & \Ext^1_\mathcal{O}(\mathcal{F}, \mathcal{K}_1) }\] 其中右侧竖直箭头由 \(\Ext\) 的函子性及同态 \(\mathcal{K}_2\to\mathcal{K}_1\) 给出，左侧竖直箭头则是注 08MJ 中的映射。

注

设 \((\Sh(\mathcal{C}),\mathcal{O})\)、 \((\Sh(\mathcal{C}), \mathcal{O}) \to (\Sh(\mathcal{D}_i), \mathcal{O}'_i)\), \(\mathcal{I}_i\) 及 \(h:(\Sh(\mathcal{D}_1),\mathcal{O}'_1)\to (\Sh(\mathcal{D}_2),\mathcal{O}'_2)\) 如注 08MJ。注意， \(h^\sharp:\mathcal{O}'_2\to\mathcal{O}'_1\) 特别诱导 \(\mathcal{O}\)-模同态 \(\mathcal{I}_2\to\mathcal{I}_1\)。设 \(\mathcal{F}\) 是 \(\mathcal{O}\)-模。设 \((\mathcal{K}_i,c_i)\)，\(i=1,2\)，是两个二元组，其中 \(\mathcal{K}_i\) 是 \(\mathcal{O}\)-模，并有同态 \(c_i : \mathcal{I}_i \otimes_\mathcal{O} \mathcal{F} \to \mathcal{K}_i\)。再给定 \(\mathcal{O}\)-模同态 \(\mathcal{K}_2\to\mathcal{K}_1\)，使下图交换： \[\xymatrix{ \mathcal{I}_2 \otimes_\mathcal{O} \mathcal{F} \ar[r]_-{c_2} \ar[d] & \mathcal{K}_2 \ar[d] \\ \mathcal{I}_1 \otimes_\mathcal{O} \mathcal{F} \ar[r]^-{c_1} & \mathcal{K}_1 }\] 我们断言，同态 \[\Ext^2_\mathcal{O}(\mathcal{F}, \mathcal{K}_2) \longrightarrow \Ext^2_\mathcal{O}(\mathcal{F}, \mathcal{K}_1)\] 把 \(o(\mathcal{F},\mathcal{K}_2,c_2)\) 映到 \(o(\mathcal{F},\mathcal{K}_1,c_1)\)。

为证明此断言，取嵌入 \(j_2:\mathcal{K}_2\to\mathcal{K}_2'\)，其中 \(\mathcal{K}_2'\) 是内射 \(\mathcal{O}\)-模。如引理 08MF 的证明所示，可取一个 \(\mathcal{O}_2\)-模扩张

\[0 \to \mathcal{K}_2' \to \mathcal{E}_2 \to \mathcal{F} \to 0\] 使 \(c_{\mathcal{E}_2}=j_2\circ c_2\)。引理 08MF 的证明把 \(o(\mathcal{F},\mathcal{K}_2,c_2)\) 构造为下列 \(\mathcal{O}\)-模正合列的 Yoneda 扩张类（其含义见《导出范畴》第 06XP 节）： \[0 \to \mathcal{K}_2 \to \mathcal{K}_2' \to \mathcal{E}_2/\mathcal{K}_2 \to \mathcal{F} \to 0\] 令 \(\mathcal{K}_1'\) 为 \(\mathcal{K}_2\to\mathcal{K}_1\oplus\mathcal{K}_2'\) 的余核。存在单射 \(j_1:\mathcal{K}_1\to\mathcal{K}_1'\) 以及同态 \(\mathcal{K}_2'\to\mathcal{K}_1'\)，二者组成交换方块。取推出： \[\xymatrix{ 0 \ar[r] & \mathcal{K}_2' \ar[r] \ar[d] & \mathcal{E}_2 \ar[r] \ar[d] & \mathcal{F} \ar[r] \ar[d] & 0 \\ 0 \ar[r] & \mathcal{K}_1' \ar[r] & \mathcal{E}_1 \ar[r] & \mathcal{F} \ar[r] & 0 }\] \(\mathcal{E}_1\) 上有典范的 \(\mathcal{O}_1\)-模结构，且在此结构下 \(c_{\mathcal{E}_1}=j_1\circ c_1\)（这里用到上面含 \(c_1\)、\(c_2\) 的图的交换性）。引理 08MF 的步骤告诉我们， \(o(\mathcal{F},\mathcal{K}_1,c_1)\) 是下列 \(\mathcal{O}\)-模正合列的 Yoneda 扩张类： \[0 \to \mathcal{K}_1 \to \mathcal{K}_1' \to \mathcal{E}_1/\mathcal{K}_1 \to \mathcal{F} \to 0\] 由于存在正合列之间的同态

\[\xymatrix{ 0 \ar[r] & \mathcal{K}_2 \ar[d] \ar[r] & \mathcal{K}_2' \ar[d] \ar[r] & \mathcal{E}_2/\mathcal{K}_2 \ar[r] \ar[d] & \mathcal{F} \ar[r] \ar@{=}[d] & 0 \\ 0 \ar[r] & \mathcal{K}_2 \ar[r] & \mathcal{K}_2' \ar[r] & \mathcal{E}_2/\mathcal{K}_2 \ar[r] & \mathcal{F} \ar[r] & 0 }\] 故断言成立。

注

设 \((\Sh(\mathcal{C}),\mathcal{O})\) 是环化拓扑斯。给定其一阶增厚的态射列 \[(\Sh(\mathcal{D}_1), \mathcal{O}'_1) \to (\Sh(\mathcal{D}_2), \mathcal{O}'_2) \to (\Sh(\mathcal{D}_3), \mathcal{O}'_3)\] 若理想层 \(\mathcal{I}_i\) 之间的相应同态给出 \(\mathcal{O}\)-模复形 \(\mathcal{I}_3 \to \mathcal{I}_2 \to \mathcal{I}_1\) （即复合为零），就称上述态射列为一个复形。在此情形，复合 \((\Sh(\mathcal{D}_1), \mathcal{O}'_1) \to (\Sh(\mathcal{D}_3), \mathcal{O}'_3)\) 分解通过 \((\Sh(\mathcal{C}), \mathcal{O}) \to (\Sh(\mathcal{D}_3), \mathcal{O}'_3)\)；换言之， \((\Sh(\mathcal{D}_1),\mathcal{O}'_1)\) 作为 \((\Sh(\mathcal{C}),\mathcal{O})\) 的一阶增厚是平凡的，并带有典范平凡化 \(\pi : (\Sh(\mathcal{D}_1), \mathcal{O}'_1) \to (\Sh(\mathcal{C}), \mathcal{O})\)。

若 \((\Sh(\mathcal{C}),\mathcal{O})\) 的一阶增厚的态射列 \[(\Sh(\mathcal{D}_1), \mathcal{O}'_1) \to (\Sh(\mathcal{D}_2), \mathcal{O}'_2) \to (\Sh(\mathcal{D}_3), \mathcal{O}'_3)\] 所对应的理想层同态构成 \(\mathcal{O}\)-模短正合列 \[0 \to \mathcal{I}_3 \to \mathcal{I}_2 \to \mathcal{I}_1 \to 0\] 就称这一态射列为短正合列。

注

设 \((\Sh(\mathcal{C}),\mathcal{O})\) 是环化拓扑斯， \(\mathcal{F}\) 是 \(\mathcal{O}\)-模。设 \[(\Sh(\mathcal{D}_1), \mathcal{O}'_1) \to (\Sh(\mathcal{D}_2), \mathcal{O}'_2) \to (\Sh(\mathcal{D}_3), \mathcal{O}'_3)\] 是 \((\Sh(\mathcal{C}),\mathcal{O})\) 的一阶增厚复形，见注 08ML。设 \((\mathcal{K}_i,c_i)\)，\(i=1,2,3\)，是三个二元组，其中 \(\mathcal{K}_i\) 是 \(\mathcal{O}\)-模，并有同态 \(c_i : \mathcal{I}_i \otimes_\mathcal{O} \mathcal{F} \to \mathcal{K}_i\)。设给定 \(\mathcal{O}\)-模短正合列 \[0 \to \mathcal{K}_3 \to \mathcal{K}_2 \to \mathcal{K}_1 \to 0\] 使得 \[\vcenter{ \xymatrix{ \mathcal{I}_2 \otimes_\mathcal{O} \mathcal{F} \ar[r]_-{c_2} \ar[d] & \mathcal{K}_2 \ar[d] \\ \mathcal{I}_1 \otimes_\mathcal{O} \mathcal{F} \ar[r]^-{c_1} & \mathcal{K}_1 } } \quad\text{且}\quad \vcenter{ \xymatrix{ \mathcal{I}_3 \otimes_\mathcal{O} \mathcal{F} \ar[r]_-{c_3} \ar[d] & \mathcal{K}_3 \ar[d] \\ \mathcal{I}_2 \otimes_\mathcal{O} \mathcal{F} \ar[r]^-{c_2} & \mathcal{K}_2 } }\] 均为交换图。最后，设给定 \(\mathcal{O}'_2\)-模扩张 \[0 \to \mathcal{K}_2 \to \mathcal{F}'_2 \to \mathcal{F} \to 0\] 如 (08MB) 所示，其中 \(\mathcal{K}=\mathcal{K}_2\)，且 \(c_{\mathcal{F}'_2}=c_2\)。在此情形，可应用注 08MJ 的函子性，得到 \(\mathcal{O}'_1\)-模扩张 \(\mathcal{F}'_1\) （下面会描述这一特殊情形中的 \(\mathcal{F}'_1\)）。由注 08MI，利用注 08ML 中的典范分裂 \(\pi : (\Sh(\mathcal{D}_1), \mathcal{O}'_1) \to (\Sh(\mathcal{C}), \mathcal{O})\)，得到 \(\xi_{\mathcal{F}'_1} \in \Ext^1_\mathcal{O}(\mathcal{F}, \mathcal{K}_1)\). 最后，还有障碍 \[o(\mathcal{F}, \mathcal{K}_3, c_3) \in \Ext^2_\mathcal{O}(\mathcal{F}, \mathcal{K}_3)\] 见引理 08MF。在此情形，我们断言，由短正合列 \(0\to\mathcal{K}_3\to\mathcal{K}_2\to\mathcal{K}_1\to0\) 给出的典范同态 \[\partial : \Ext^1_\mathcal{O}(\mathcal{F}, \mathcal{K}_1) \longrightarrow \Ext^2_\mathcal{O}(\mathcal{F}, \mathcal{K}_3)\] 把 \(\xi_{\mathcal{F}'_1}\) 映到障碍类 \(o(\mathcal{F},\mathcal{K}_3,c_3)\)。

为证明此断言，取嵌入 \(j:\mathcal{K}_3\to\mathcal{K}\)，其中 \(\mathcal{K}\) 是内射 \(\mathcal{O}\)-模。可把 \(j\) 提升为同态 \(j':\mathcal{K}_2\to\mathcal{K}\)。令 \(\mathcal{E}'_2=j'_*\mathcal{F}'_2\) 为沿 \(j'\) 对 \(\mathcal{F}'_2\) 取的推出，使 \(c_{\mathcal{E}'_2}=j'\circ c_2\)。图示如下： \[\xymatrix{ 0 \ar[r] & \mathcal{K}_2 \ar[r] \ar[d]_{j'} & \mathcal{F}'_2 \ar[r] \ar[d] & \mathcal{F} \ar[r] \ar[d] & 0 \\ 0 \ar[r] & \mathcal{K} \ar[r] & \mathcal{E}'_2 \ar[r] & \mathcal{F} \ar[r] & 0 }\] 令 \(\mathcal{E}'_3=\mathcal{E}'_2\)，但通过 \(\mathcal{O}'_3\to\mathcal{O}'_2\) 把它视为 \(\mathcal{O}'_3\)-模。于是 \(c_{\mathcal{E}'_3}=j\circ c_3\)。引理 08MF 的证明把 \(o(\mathcal{F},\mathcal{K}_3,c_3)\) 构造为下列 \(\mathcal{O}\)-模扩张之类的边界： \[0 \to \mathcal{K}/\mathcal{K}_3 \to \mathcal{E}'_3/\mathcal{K}_3 \to \mathcal{F} \to 0\] 另一方面，注意 \(\mathcal{F}'_1=\mathcal{F}'_2/\mathcal{K}_3\)，故类 \(\xi_{\mathcal{F}'_1}\) 是扩张 \[0 \to \mathcal{K}_2/\mathcal{K}_3 \to \mathcal{F}'_2/\mathcal{K}_3 \to \mathcal{F} \to 0\] 之类；这里借助 \(\pi^\sharp\) 把它视为 \(\mathcal{O}\)-模列，其中 \(\pi:(\Sh(\mathcal{D}_1),\mathcal{O}'_1)\to (\Sh(\mathcal{C}),\mathcal{O})\) 是典范分裂。最后，存在交换图 \[\xymatrix{ 0 \ar[r] & \mathcal{K}_2/\mathcal{K}_3 \ar[r] \ar[d] & \mathcal{F}'_2/\mathcal{K}_3 \ar[r] \ar[d] & \mathcal{F} \ar[r] \ar[d] & 0 \\ 0 \ar[r] & \mathcal{K}/\mathcal{K}_3 \ar[r] & \mathcal{E}'_3/\mathcal{K}_3 \ar[r] & \mathcal{F} \ar[r] & 0 }\] 且该图关于上述 \(\mathcal{O}\)-模结构是 \(\mathcal{O}\)-线性的，故断言成立。

环化拓扑斯上模的无穷小形变

设 \(i:(\Sh(\mathcal{C}),\mathcal{O})\to (\Sh(\mathcal{D}),\mathcal{O}')\) 是环化拓扑斯的一阶增厚。我们沿用第 08M6 节引入的记号。设 \(\mathcal{F}'\) 是 \(\mathcal{O}'\)-模，并令 \(\mathcal{F}=i^*\mathcal{F}'\)。此时有 \(\mathcal{O}'\)-模短正合列 \[0 \to \mathcal{I}\mathcal{F}' \to \mathcal{F}' \to \mathcal{F} \to 0\] 由于 \(\mathcal{I}^2=0\)，\(\mathcal{I}\mathcal{F}'\) 上的 \(\mathcal{O}'\)-模结构来自唯一的 \(\mathcal{O}\)-模结构。因此上述正合列是形如 (08MB) 的扩张。特别地，若 \(\mathcal{F}'=\mathcal{O}'\)，则 \(i^*\mathcal{O}'=\mathcal{O}\) 且 \(\mathcal{I}\mathcal{O}'=\mathcal{I}\)，于是恢复结构层正合列 \[0 \to \mathcal{I} \to \mathcal{O}' \to \mathcal{O} \to 0\]

引理

设 \(i:(\Sh(\mathcal{C}),\mathcal{O})\to (\Sh(\mathcal{D}),\mathcal{O}')\) 是环化拓扑斯的一阶增厚。设 \(\mathcal{F}'\)、\(\mathcal{G}'\) 是 \(\mathcal{O}'\)-模，令 \(\mathcal{F}=i^*\mathcal{F}'\)、\(\mathcal{G}=i^*\mathcal{G}'\)。设 \(\varphi:\mathcal{F}\to\mathcal{G}\) 是 \(\mathcal{O}\)-线性同态。若把 \(\varphi\) 提升为 \(\mathcal{O}'\)-线性同态 \(\varphi':\mathcal{F}'\to\mathcal{G}'\) 的提升集合非空，则它是 \(\Hom_\mathcal{O}(\mathcal{F},\mathcal{I}\mathcal{G}')\) 作用下的主齐性空间。

证明

这是引理 08MC 的特殊情形，但我们也给出直接证明。有模的短正合列 \[0 \to \mathcal{I} \to \mathcal{O}' \to \mathcal{O} \to 0 \quad\text{且}\quad 0 \to \mathcal{I}\mathcal{G}' \to \mathcal{G}' \to \mathcal{G} \to 0\] \(\mathcal{F}'\) 也有类似的正合列。由于 \(\mathcal{I}\) 平方为零， \(\mathcal{I}\) 与 \(\mathcal{I}\mathcal{G}'\) 上的 \(\mathcal{O}'\)-模结构都来自唯一的 \(\mathcal{O}\)-模结构。因此 \[\Hom_{\mathcal{O}'}(\mathcal{F}', \mathcal{I}\mathcal{G}') = \Hom_\mathcal{O}(\mathcal{F}, \mathcal{I}\mathcal{G}') \quad\text{且}\quad \Hom_{\mathcal{O}'}(\mathcal{F}', \mathcal{G}) = \Hom_\mathcal{O}(\mathcal{F}, \mathcal{G})\] 现在本引理由正合列 \[0 \to \Hom_{\mathcal{O}'}(\mathcal{F}', \mathcal{I}\mathcal{G}') \to \Hom_{\mathcal{O}'}(\mathcal{F}', \mathcal{G}') \to \Hom_{\mathcal{O}'}(\mathcal{F}', \mathcal{G})\] 得出，见《同调代数》引理 05AA。

引理

设 \((f,f')\) 是情形 08M7 中的环化拓扑斯一阶增厚之间的态射。设 \(\mathcal{F}'\) 是 \(\mathcal{O}'\)-模，并令 \(\mathcal{F}=i^*\mathcal{F}'\)。假设 \(\mathcal{F}\) 在 \(\mathcal{O}_\mathcal{B}\) 上平坦，且 \((f,f')\) 是增厚的严格态射（定义 08M9）。那么下列条件等价：

\(\mathcal{F}'\) 在 \(\mathcal{O}_{\mathcal{B}'}\) 上平坦；

典范同态 \(f^*\mathcal{J} \otimes_\mathcal{O} \mathcal{F} \to \mathcal{I}\mathcal{F}'\) 是同构。

此外，在此情形，同态 \[f^*\mathcal{J} \otimes_\mathcal{O} \mathcal{F} \to \mathcal{I} \otimes_\mathcal{O} \mathcal{F} \to \mathcal{I}\mathcal{F}'\] 均为同构。

证明

由于 \((f,f')\) 是增厚的严格态射，同态 \(f^*\mathcal{J}\to\mathcal{I}\) 是满射。因此最后一个断言由 (2) 得出。

(1) 与 (2) 等价的证明。按定义，在 \(\mathcal{O}_\mathcal{B}\) 上平坦意指在 \(f^{-1}\mathcal{O}_\mathcal{B}\) 上平坦； \(f^{-1}\mathcal{O}_{\mathcal{B}'}\) 上的平坦性同理。注意，\((f,f')\) 的严格性及假设 \(\mathcal{F}=i^*\mathcal{F}'\) 蕴含 \[\mathcal{F} = \mathcal{F}'/(f^{-1}\mathcal{J})\mathcal{F}'\] （视为 \(\mathcal{C}\) 上的层）。此外，注意 \(f^*\mathcal{J} \otimes_\mathcal{O} \mathcal{F} = f^{-1}\mathcal{J} \otimes_{f^{-1}\mathcal{O}_\mathcal{B}} \mathcal{F}\). 因此 (1) 与 (2) 的等价性由《位点上的模》引理 08M4 得出。

引理

设 \((f,f')\) 是情形 08M7 中的环化拓扑斯一阶增厚之间的态射。设 \(\mathcal{F}'\) 是 \(\mathcal{O}'\)-模，并令 \(\mathcal{F}=i^*\mathcal{F}'\)。假设 \(\mathcal{F}'\) 在 \(\mathcal{O}_{\mathcal{B}'}\) 上平坦，且 \((f,f')\) 是增厚的严格态射。那么下列条件等价：

\(\mathcal{F}'\) 是有限表示 \(\mathcal{O}'\)-模；

\(\mathcal{F}\) 是有限表示 \(\mathcal{O}\)-模。

证明

(1) \(\Rightarrow\) (2) 由《位点上的模》引理 03DO 得出。反过来，假设 \(\mathcal{F}\) 有限表示。可以并且确实假设 \(\mathcal{C}=\mathcal{C}'\)。由引理 08MQ，有短正合列

\[0 \to \mathcal{I} \otimes_{\mathcal{O}_X} \mathcal{F} \to \mathcal{F}' \to \mathcal{F} \to 0\] 取 \(\mathcal{C}\) 的对象 \(U\)，使 \(\mathcal{F}|_U\) 有表示 \[\mathcal{O}_U^{\oplus m} \to \mathcal{O}_U^{\oplus n} \to \mathcal{F}|_U \to 0\] 把 \(U\) 换成某一覆盖的各成员后，可以假设同态 \(\mathcal{O}_U^{\oplus n}\to\mathcal{F}|_U\) 提升为同态 \((\mathcal{O}'_U)^{\oplus n}\to\mathcal{F}'|_U\)。由 \(\otimes\) 的右正合性，所诱导的同态 \(\mathcal{I}^{\oplus n}\to\mathcal{I}\otimes\mathcal{F}\) 是满射。因此再次把 \(U\) 换成某一覆盖的各成员后，可找到给定同态 \(\mathcal{O}_U^{\oplus m}\to\mathcal{O}_U^{\oplus n}\) 的提升 \((\mathcal{O}'|_U)^{\oplus m} \to (\mathcal{O}'|_U)^{\oplus n}\) 使得 \[(\mathcal{O}'_U)^{\oplus m} \to (\mathcal{O}'_U)^{\oplus n} \to \mathcal{F}'|_U \to 0\] 构成复形。再次利用 \(\otimes\) 的右正合性可见此复形正合。

引理

设 \((f,f')\) 是情形 08M7 中的一阶增厚态射。设 \(\mathcal{F}'\)、\(\mathcal{G}'\) 是 \(\mathcal{O}'\)-模，并令 \(\mathcal{F}=i^*\mathcal{F}'\)、\(\mathcal{G}=i^*\mathcal{G}'\)。设 \(\varphi:\mathcal{F}\to\mathcal{G}\) 是 \(\mathcal{O}\)-线性同态。假设 \(\mathcal{G}'\) 在 \(\mathcal{O}_{\mathcal{B}'}\) 上平坦，且 \((f,f')\) 是增厚的严格态射。若把 \(\varphi\) 提升为 \(\mathcal{O}'\)-线性同态 \(\varphi':\mathcal{F}'\to\mathcal{G}'\) 的提升集合非空，则它是下列群作用下的主齐性空间： \[\Hom_\mathcal{O}(\mathcal{F}, \mathcal{G} \otimes_\mathcal{O} f^*\mathcal{J})\]

证明

合用引理 08MP 与 08MQ 即得。

引理

设 \(i:(\Sh(\mathcal{C}),\mathcal{O})\to (\Sh(\mathcal{D}),\mathcal{O}')\) 是环化拓扑斯的一阶增厚。设 \(\mathcal{F}'\)、\(\mathcal{G}'\) 是 \(\mathcal{O}'\)-模，并令 \(\mathcal{F}=i^*\mathcal{F}'\)、\(\mathcal{G}=i^*\mathcal{G}'\)。设 \(\varphi:\mathcal{F}\to\mathcal{G}\) 是 \(\mathcal{O}\)-线性同态。存在元素 \[o(\varphi) \in \Ext^1_\mathcal{O}(Li^*\mathcal{F}', \mathcal{I}\mathcal{G}')\] 其消失是存在把 \(\varphi\) 提升为 \(\mathcal{O}'\)-线性同态 \(\varphi':\mathcal{F}'\to\mathcal{G}'\) 的提升的充要条件。

证明

由引理 08MP 的证明可知， \(\varphi\) 在同态 \[\Hom_\mathcal{O}(\mathcal{F}, \mathcal{G}) = \Hom_{\mathcal{O}'}(\mathcal{F}', \mathcal{G}) \longrightarrow \Ext^1_{\mathcal{O}'}(\mathcal{F}', \mathcal{I}\mathcal{G}')\] 下的边界消失，正是存在提升的充要条件。由导出范畴上 \(i_*=Ri_*\) 与 \(Li^*\) 的伴随性（《位点上的上同调》引理 07A6），有 \[\Ext^1_{\mathcal{O}'}(\mathcal{F}', \mathcal{I}\mathcal{G}') = \Ext^1_\mathcal{O}(Li^*\mathcal{F}', \mathcal{I}\mathcal{G}')\] 结论随即得出。

引理

设 \((f,f')\) 是情形 08M7 中的一阶增厚态射。设 \(\mathcal{F}'\)、\(\mathcal{G}'\) 是 \(\mathcal{O}'\)-模，并令 \(\mathcal{F}=i^*\mathcal{F}'\)、\(\mathcal{G}=i^*\mathcal{G}'\)。设 \(\varphi:\mathcal{F}\to\mathcal{G}\) 是 \(\mathcal{O}\)-线性同态。假设 \(\mathcal{F}'\)、\(\mathcal{G}'\) 在 \(\mathcal{O}_{\mathcal{B}'}\) 上平坦，且 \((f,f')\) 是增厚的严格态射。存在元素 \[o(\varphi) \in \Ext^1_\mathcal{O}(\mathcal{F}, \mathcal{G} \otimes_\mathcal{O} f^*\mathcal{J})\] 其消失是存在把 \(\varphi\) 提升为 \(\mathcal{O}'\)-线性同态 \(\varphi':\mathcal{F}'\to\mathcal{G}'\) 的提升的充要条件。

证明

这由引理 08MS 得出，因为我们断言，在本引理的假设下有 \[\Ext^1_\mathcal{O}(Li^*\mathcal{F}', \mathcal{I}\mathcal{G}') = \Ext^1_\mathcal{O}(\mathcal{F}, \mathcal{G} \otimes_\mathcal{O} f^*\mathcal{J})\] 事实上，由引理 08MQ，有 \(\mathcal{I}\mathcal{G}' = \mathcal{G}\otimes_\mathcal{O}f^*\mathcal{J}\)。另一方面，注意 \[H^{-1}(Li^*\mathcal{F}') = \text{Tor}_1^{\mathcal{O}'}(\mathcal{F}', \mathcal{O})\] （局部计算从略）。利用短正合列 \[0 \to \mathcal{I} \to \mathcal{O}' \to \mathcal{O} \to 0\] 可见，此 \(\text{Tor}_1\) 由同态 \(\mathcal{I} \otimes_\mathcal{O} \mathcal{F} \to \mathcal{I}\mathcal{F}'\) 的核计算；由引理 08MQ 的最后一个断言，该核为零。因此 \(\tau_{\geq-1}Li^*\mathcal{F}'=\mathcal{F}\)。另一方面，由《导出范畴》引理 05TC 的对偶形式，有 \[\Ext^1_\mathcal{O}(Li^*\mathcal{F}', \mathcal{I}\mathcal{G}') = \Ext^1_\mathcal{O}(\tau_{\geq -1}Li^*\mathcal{F}', \mathcal{I}\mathcal{G}')\]

证明

可如下应用引理 08MD。注意，由引理 08MQ，有 \(\mathcal{K}=\mathcal{I}\otimes_\mathcal{O}\mathcal{F}\)、 \(\mathcal{L} = \mathcal{I} \otimes_\mathcal{O} \mathcal{G}\) 且 \(c_{\mathcal{F}'}=1\otimes1\)、 \(c_{\mathcal{G}'}=1\otimes1\)。取 \(\psi=1\otimes\varphi\)，则该引理中的图交换。因此取 \(o(\varphi)=o(\varphi,1\otimes\varphi)\) 即可。

引理

设 \((f,f')\) 是情形 08M7 中的一阶增厚态射。设 \(\mathcal{F}\) 是 \(\mathcal{O}\)-模。假设 \((f,f')\) 是增厚的严格态射，且 \(\mathcal{F}\) 在 \(\mathcal{O}_\mathcal{B}\) 上平坦。若存在二元组 \((\mathcal{F}',\alpha)\)，其中 \(\mathcal{F}'\) 是在 \(\mathcal{O}_{\mathcal{B}'}\) 上平坦的 \(\mathcal{O}'\)-模，且 \(\alpha:i^*\mathcal{F}'\to\mathcal{F}\) 是同构，则这类二元组的同构类集合是下列群作用下的主齐性空间： \(\Ext^1_\mathcal{O}( \mathcal{F}, \mathcal{I} \otimes_\mathcal{O} \mathcal{F})\).

证明

若假设存在一个这样的模，则由引理 08MQ，典范同态 \[f^*\mathcal{J} \otimes_\mathcal{O} \mathcal{F} \to \mathcal{I} \otimes_\mathcal{O} \mathcal{F}\] 是同构。应用引理 08ME，其中 \(\mathcal{K}=\mathcal{I}\otimes_\mathcal{O}\mathcal{F}\) 且 \(c=1\)。由引理 08MQ，相应扩张 \(\mathcal{F}'\) 均在 \(\mathcal{O}_{\mathcal{B}'}\) 上平坦。

引理

设 \((f,f')\) 是情形 08M7 中的一阶增厚态射。设 \(\mathcal{F}\) 是 \(\mathcal{O}\)-模。假设 \((f,f')\) 是增厚的严格态射，且 \(\mathcal{F}\) 在 \(\mathcal{O}_\mathcal{B}\) 上平坦。存在在 \(\mathcal{O}_{\mathcal{B}'}\) 上平坦的 \(\mathcal{O}'\)-模 \(\mathcal{F}'\) 满足 \(i^*\mathcal{F}'\cong\mathcal{F}\)，当且仅当

典范同态 \(f^*\mathcal{J} \otimes_\mathcal{O} \mathcal{F} \to \mathcal{I} \otimes_\mathcal{O} \mathcal{F}\) 是同构；并且

引理 08MF 中的类 \(o(\mathcal{F}, \mathcal{I} \otimes_\mathcal{O} \mathcal{F}, 1) \in \Ext^2_\mathcal{O}( \mathcal{F}, \mathcal{I} \otimes_\mathcal{O} \mathcal{F})\) 为零。

证明

这立即由引理 08MQ 对在 \(\mathcal{O}_{\mathcal{B}'}\) 上平坦的 \(\mathcal{O}'\)-模的刻画，以及引理 08MF 得出。

在环化拓扑斯平坦增厚上的平坦模中的应用

考虑环化拓扑斯的交换图 \[\xymatrix{ (\Sh(\mathcal{C}), \mathcal{O}) \ar[r]_i \ar[d]_f & (\Sh(\mathcal{D}), \mathcal{O}') \ar[d]^{f'} \\ (\Sh(\mathcal{B}), \mathcal{O}_\mathcal{B}) \ar[r]^t & (\Sh(\mathcal{B}'), \mathcal{O}_{\mathcal{B}'}) }\] 其水平箭头是情形 08M7 中的一阶增厚。令 \(\mathcal{I}=\Ker(i^\sharp)\subset\mathcal{O}'\)，并令 \(\mathcal{J}=\Ker(t^\sharp)\subset\mathcal{O}_{\mathcal{B}'}\)。设 \(\mathcal{F}\) 是 \(\mathcal{O}\)-模。假设

\((f,f')\) 是增厚的严格态射；
\(f'\) 平坦；
\(\mathcal{F}\) 在 \(\mathcal{O}_\mathcal{B}\) 上平坦。

注意，(1) \(+\) (2) 蕴含 \(\mathcal{I}=f^*\mathcal{J}\) （把引理 08MQ 应用于 \(\mathcal{O}'\)）。在这些假设下，上一节的理论格外简洁。下列引理汇总已经得到的结果。

引理

在上述情形中：

存在在 \(\mathcal{O}_{\mathcal{B}'}\) 上平坦且满足 \(i^*\mathcal{F}'\cong\mathcal{F}\) 的 \(\mathcal{O}'\)-模 \(\mathcal{F}'\)，当且仅当引理 08MF 中的类 \(o(\mathcal{F}, f^*\mathcal{J} \otimes_\mathcal{O} \mathcal{F}, 1) \in \Ext^2_\mathcal{O}( \mathcal{F}, f^*\mathcal{J} \otimes_\mathcal{O} \mathcal{F})\) 为零。

若这样的模存在，则提升的同构类集合是下列群作用下的主齐性空间： \(\Ext^1_\mathcal{O}( \mathcal{F}, f^*\mathcal{J} \otimes_\mathcal{O} \mathcal{F})\).

给定提升 \(\mathcal{F}'\)，\(\mathcal{F}'\) 的所有拉回为 \(\text{id}_\mathcal{F}\) 的自同构所成集合典范同构于 \(\Ext^0_\mathcal{O}( \mathcal{F}, f^*\mathcal{J} \otimes_\mathcal{O} \mathcal{F})\).

证明

由上面已见的 \(\mathcal{I}=f^*\mathcal{J}\)，(1) 由引理 08MV 得出。 (2) 由引理 08MU 得出。 (3) 由引理 08MR 得出。

情形

设 \(f:(\Sh(\mathcal{C}),\mathcal{O})\to (\Sh(\mathcal{B}),\mathcal{O}_\mathcal{B})\) 是环化拓扑斯态射。考虑交换图 \[\xymatrix{ (\Sh(\mathcal{C}'_1), \mathcal{O}'_1) \ar[r]_h \ar[d]_{f'_1} & (\Sh(\mathcal{C}'_2), \mathcal{O}'_2) \ar[d]_{f'_2} \\ (\Sh(\mathcal{B}'_1), \mathcal{O}_{\mathcal{B}'_1}) \ar[r] & (\Sh(\mathcal{B}'_2), \mathcal{O}_{\mathcal{B}'_2}) }\] 其中 \(h\) 是 \((\Sh(\mathcal{C}),\mathcal{O})\) 的一阶增厚之间的态射，下方水平箭头是 \((\Sh(\mathcal{B}),\mathcal{O}_\mathcal{B})\) 的一阶增厚之间的态射，每个 \(f'_i\) 都限制为 \(f\)，两对 \((f,f_i')\) 都是增厚的严格态射，且两个 \(f'_i\) 都平坦。最后，设 \(\mathcal{F}\) 是在 \(\mathcal{O}_\mathcal{B}\) 上平坦的 \(\mathcal{O}\)-模。

引理

在情形 0CYD 中，障碍类 \(o(\mathcal{F}, f^*\mathcal{J}_2 \otimes_\mathcal{O} \mathcal{F}, 1)\) 在典范同态 \[\Ext^2_\mathcal{O}( \mathcal{F}, f^*\mathcal{J}_2 \otimes_\mathcal{O} \mathcal{F}) \to \Ext^2_\mathcal{O}( \mathcal{F}, f^*\mathcal{J}_1 \otimes_\mathcal{O} \mathcal{F})\] 下映到障碍类 \(o(\mathcal{F}, f^*\mathcal{J}_1 \otimes_\mathcal{O} \mathcal{F}, 1)\) 。

证明

由注 0CYC 得出。

情形

设 \(f:(\Sh(\mathcal{C}),\mathcal{O})\to (\Sh(\mathcal{B}),\mathcal{O}_\mathcal{B})\) 是环化拓扑斯态射。考虑交换图 \[\xymatrix{ (\Sh(\mathcal{C}'_1), \mathcal{O}'_1) \ar[r]_h \ar[d]_{f'_1} & (\Sh(\mathcal{C}'_2), \mathcal{O}'_2) \ar[r] \ar[d]_{f'_2} & (\Sh(\mathcal{C}'_3), \mathcal{O}'_3) \ar[d]_{f'_3} \\ (\Sh(\mathcal{B}'_1), \mathcal{O}_{\mathcal{B}'_1}) \ar[r] & (\Sh(\mathcal{B}'_2), \mathcal{O}_{\mathcal{B}'_2}) \ar[r] & (\Sh(\mathcal{B}'_3), \mathcal{O}_{\mathcal{B}'_3}) }\] 其中：(a) 上行是 \((\Sh(\mathcal{C}),\mathcal{O})\) 的一阶增厚短正合列；(b) 下行是 \((\Sh(\mathcal{B}),\mathcal{O}_\mathcal{B})\) 的一阶增厚短正合列； (c) 每个 \(f'_i\) 都限制为 \(f\)；(d) 每一对 \((f,f_i')\) 都是增厚的严格态射；(e) 每个 \(f'_i\) 都平坦。最后，设 \(\mathcal{F}'_2\) 是在 \(\mathcal{O}_{\mathcal{B}'_2}\) 上平坦的 \(\mathcal{O}'_2\)-模，并令 \(\mathcal{F}=\mathcal{F}'_2\otimes\mathcal{O}\)。令 \(\pi:(\Sh(\mathcal{C}'_1),\mathcal{O}'_1)\to (\Sh(\mathcal{C}),\mathcal{O})\) 为典范分裂（注 08ML）。

引理

在情形 08VX 中， \(\pi^*\mathcal{F}\) 与 \(h^*\mathcal{F}'_2\) 是在 \(\mathcal{O}_{\mathcal{B}'_1}\) 上平坦的 \(\mathcal{O}'_1\)-模，且在 \((\Sh(\mathcal{C}),\mathcal{O})\) 上都限制为 \(\mathcal{F}\)。二者之差（引理 08VW）是 \(\Ext^1_\mathcal{O}(\mathcal{F}, f^*\mathcal{J}_1 \otimes_\mathcal{O} \mathcal{F})\) 中的元素 \(\theta\)，它在 \(\Ext^2_\mathcal{O}(\mathcal{F}, f^*\mathcal{J}_3 \otimes_\mathcal{O} \mathcal{F})\) 中的边界，等于把 \(\mathcal{F}\) 提升为在 \(\mathcal{O}_{\mathcal{B}'_3}\) 上平坦的 \(\mathcal{O}'_3\)-模的障碍（引理 08VW）。

证明

注意，\(\pi^*\mathcal{F}\) 与 \(h^*\mathcal{F}'_2\) 在 \((\Sh(\mathcal{C}),\mathcal{O})\) 上都限制为 \(\mathcal{F}\)，而 \(\pi^*\mathcal{F}\to\mathcal{F}\) 与 \(h^*\mathcal{F}'_2\to\mathcal{F}\) 的核均由 \(f^*\mathcal{J}_1\otimes_\mathcal{O}\mathcal{F}\) 给出。因此由引理 08MQ 可得平坦性。取边界是有意义的，因为模列 \[0 \to f^*\mathcal{J}_3 \otimes_\mathcal{O} \mathcal{F} \to f^*\mathcal{J}_2 \otimes_\mathcal{O} \mathcal{F} \to f^*\mathcal{J}_1 \otimes_\mathcal{O} \mathcal{F} \to 0\] 由情形 08VX 的假设及 \(\mathcal{F}\) 在 \(\mathcal{O}_\mathcal{B}\) 上平坦这一事实而短正合。关于障碍类的断言，正是把注 08MM 的结果直接转译到这一特定情形。

环化拓扑斯的形变与朴素余切复形

本节利用朴素余切复形研究一些形变理论。先取环化拓扑斯的一阶增厚 \(t : (\Sh(\mathcal{B}), \mathcal{O}_\mathcal{B}) \to (\Sh(\mathcal{B}'), \mathcal{O}_{\mathcal{B}'})\)。记 \(\mathcal{J}=\Ker(t^\sharp)\)，并等同 \(\mathcal{B}\) 与 \(\mathcal{B}'\) 的底层拓扑斯。再设给定环化拓扑斯态射 \(f : (\Sh(\mathcal{C}), \mathcal{O}) \to (\Sh(\mathcal{B}), \mathcal{O}_\mathcal{B})\)、一个 \(\mathcal{O}\)-模 \(\mathcal{G}\)，以及 \(f^{-1}\mathcal{O}_\mathcal{B}\)-模层同态 \(f^{-1}\mathcal{J}\to\mathcal{G}\)。本节要问：能否找到下图问号处的对象 [08UF]\[\begin{equation} \vcenter{ \xymatrix{ 0 \ar[r] & \mathcal{G} \ar[r] & {?} \ar[r] & \mathcal{O} \ar[r] & 0 \\ 0 \ar[r] & f^{-1}\mathcal{J} \ar[u]^c \ar[r] & f^{-1}\mathcal{O}_{\mathcal{B}'} \ar[u] \ar[r] & f^{-1}\mathcal{O}_\mathcal{B} \ar[u] \ar[r] & 0 } } \end{equation}\] 以及解（若存在）在何种意义下唯一。更确切地说，我们寻找一阶增厚 \(i : (\Sh(\mathcal{C}), \mathcal{O}) \to (\Sh(\mathcal{C}'), \mathcal{O}')\) 以及形如 (08M8) 的增厚态射 \((f,f')\)，其中把 \(\Ker(i^\sharp)\) 等同于 \(\mathcal{G}\)，且 \((f')^\sharp\) 诱导给定同态 \(c\)。我们称 \((\Sh(\mathcal{C}'),\mathcal{O}')\) 是 (08UF) 的一个解。

引理

设给定环化拓扑斯态射的交换图 [08UH]\[\begin{equation} \vcenter{ \xymatrix{ & (\Sh(\mathcal{C}_2), \mathcal{O}_2) \ar[r]_{i_2} \ar[d]_{f_2} \ar[ddl]_g & (\Sh(\mathcal{C}'_2), \mathcal{O}'_2) \ar[d]^{f'_2} \\ & (\Sh(\mathcal{B}_2), \mathcal{O}_{\mathcal{B}_2}) \ar[r]^{t_2} \ar[ddl]|\hole & (\Sh(\mathcal{B}'_2), \mathcal{O}_{\mathcal{B}'_2}) \ar[ddl] \\ (\Sh(\mathcal{C}_1), \mathcal{O}_1) \ar[r]_{i_1} \ar[d]_{f_1} & (\Sh(\mathcal{C}'_1), \mathcal{O}'_1) \ar[d]^{f'_1} \\ (\Sh(\mathcal{B}_1), \mathcal{O}_{\mathcal{B}_1}) \ar[r]^{t_1} & (\Sh(\mathcal{B}'_1), \mathcal{O}_{\mathcal{B}'_1}) } } \end{equation}\] 其水平箭头均为一阶增厚。令 \(\mathcal{G}_j=\Ker(i_j^\sharp)\)，并设给定 \(g^{-1}\mathcal{O}_1\)-模同态 \(\nu : g^{-1}\mathcal{G}_1 \to \mathcal{G}_2\) 使得下图交换： [08UI]\[\begin{equation} \vcenter{ \xymatrix{ & 0 \ar[r] & \mathcal{G}_2 \ar[r] & \mathcal{O}'_2 \ar[r] & \mathcal{O}_2 \ar[r] & 0 \\ & 0 \ar[r]|\hole & f_2^{-1}\mathcal{J}_2 \ar[u]_{c_2} \ar[r] & f_2^{-1}\mathcal{O}_{\mathcal{B}'_2} \ar[u] \ar[r]|\hole & f_2^{-1}\mathcal{O}_{\mathcal{B}_2} \ar[u] \ar[r] & 0 \\ 0 \ar[r] & \mathcal{G}_1 \ar[ruu] \ar[r] & \mathcal{O}'_1 \ar[r] & \mathcal{O}_1 \ar[ruu] \ar[r] & 0 \\ 0 \ar[r] & f_1^{-1}\mathcal{J}_1 \ar[ruu]|\hole \ar[u]^{c_1} \ar[r] & f_1^{-1}\mathcal{O}_{\mathcal{B}'_1} \ar[ruu]|\hole \ar[u] \ar[r] & f_1^{-1}\mathcal{O}_{\mathcal{B}_1} \ar[ruu]|\hole \ar[u] \ar[r] & 0 } } \end{equation}\] 其前后两个面都是 (08UF) 的解。（西北偏北方向的箭头，是先对源施行 \(g^{-1}\) 后得到的 \(\mathcal{C}_2\) 上的同态。）

存在典范元素 \(\Ext^1_{\mathcal{O}_2}( Lg^*\NL_{\mathcal{O}_1/\mathcal{O}_{\mathcal{B}_1}}, \mathcal{G}_2)\) 其消失是存在环化拓扑斯态射 \((\Sh(\mathcal{C}'_2), \mathcal{O}'_2) \to (\Sh(\mathcal{C}'_1), \mathcal{O}'_1)\) 使图 (08UH)，并与 \(\nu\) 相容的充要条件。

若存在态射 \((\Sh(\mathcal{C}'_2), \mathcal{O}'_2) \to (\Sh(\mathcal{C}'_1), \mathcal{O}'_1)\) 使图 (08UH) 成立并与 \(\nu\) 相容，则所有这类态射所成集合是下列群作用下的主齐性空间： \[\Hom_{\mathcal{O}_1}( \Omega_{\mathcal{O}_1/\mathcal{O}_{\mathcal{B}_1}}, g_*\mathcal{G}_2) = \Hom_{\mathcal{O}_2}( g^*\Omega_{\mathcal{O}_1/\mathcal{O}_{\mathcal{B}_1}}, \mathcal{G}_2) = \Ext^0_{\mathcal{O}_2}( Lg^*\NL_{\mathcal{O}_1/\mathcal{O}_{\mathcal{B}_1}}, \mathcal{G}_2).\]

证明

本引理的证明与引理 08U8 的证明相同。我们建议读者阅读后者而非此处证明。我们将等同所涉每个增厚的底层拓扑斯（陈述中已经采用这一约定）。引理最后一个断言中的等式由定义立即得出。因此在余下的证明中，我们使用群 \(\Ext^k_{\mathcal{O}_2}( Lg^*\NL_{\mathcal{O}_1/\mathcal{O}_{\mathcal{B}_1}}, \mathcal{G}_2)\), \(k=0,1\)。我们先说明，可归约到本引理所有环化拓扑斯的底层拓扑斯相同的情形。

为此，注意 \(g^{-1}\NL_{\mathcal{O}_1/\mathcal{O}_{\mathcal{B}_1}}\) 等于环层同态 \(g^{-1}f_1^{-1}\mathcal{O}_{\mathcal{B}_1} \to g^{-1}\mathcal{O}_1\) 的朴素余切复形，见《位点上的模》引理 08TQ。此外， \(\NL_{\mathcal{O}_1/\mathcal{O}_{\mathcal{B}_1}}\) 的 \(0\) 次项是平坦 \(\mathcal{O}_1\)-模，故典范同态 \[Lg^*\NL_{\mathcal{O}_1/\mathcal{O}_{\mathcal{B}_1}} \longrightarrow g^{-1}\NL_{\mathcal{O}_1/\mathcal{O}_{\mathcal{B}_1}} \otimes_{g^{-1}\mathcal{O}_1} \mathcal{O}_2\] 在 \(0\) 次与 \(-1\) 次上同调层上诱导同构。因此可把引理中的 \(\Ext\) 群替换为 \[\Ext^k_{g^{-1}\mathcal{O}_1}( g^{-1}\NL_{\mathcal{O}_1/\mathcal{O}_{\mathcal{B}_1}}, \mathcal{G}_2) = \Ext^k_{g^{-1}\mathcal{O}_1}( \NL_{g^{-1}\mathcal{O}_1/g^{-1}f_1^{-1}\mathcal{O}_{\mathcal{B}_1}}, \mathcal{G}_2)\] 使图 (08UH) 成立并与 \(\nu\) 相容的环化拓扑斯态射 \((\Sh(\mathcal{C}'_2), \mathcal{O}'_2) \to (\Sh(\mathcal{C}'_1), \mathcal{O}'_1)\) 所成集合，与所有同 \(f^\sharp\)、\(\nu\) 相容的 \(g^{-1}f_1^{-1}\mathcal{O}_{\mathcal{B}'_1}\)-algebras \(g^{-1}\mathcal{O}'_1\to\mathcal{O}'_2\) 的代数同态集合一一对应。由此可假设我们有位点 \(\mathcal{C}\) 上层的图 (08UI)（在底层拓扑斯上 \(f_1=f_2=\text{id}\)），并要寻找使该图成立的环层同态 \(\mathcal{O}'_1\to\mathcal{O}'_2\)。

在本引理余下的证明中，假设所有底层拓扑空间相同；即有位点 \(\mathcal{C}\) 上层的图 (08UI) （在底层拓扑斯上 \(f_1=f_2=\text{id}\)），并寻找使该图成立的环层同态 \(\mathcal{O}'_1\to\mathcal{O}'_2\)。我们使用的 \(\Ext\) 群是 \(\Ext^k_{\mathcal{O}_1}( \NL_{\mathcal{O}_1/\mathcal{O}_{\mathcal{B}_1}}, \mathcal{G}_2)\), \(k = 0, 1\).

步骤 1：构造障碍类。考虑集合层 \[\mathcal{E} = \mathcal{O}'_1 \times_{\mathcal{O}_2} \mathcal{O}'_2\] 它带有满射 \(\alpha:\mathcal{E}\to\mathcal{O}_1\)，故可用 \(\NL(\alpha)\) 代替 \(\NL_{\mathcal{O}_1/\mathcal{O}_{\mathcal{B}_1}}\)，见《位点上的模》引理 08TY。令 \[\mathcal{I}' = \Ker(\mathcal{O}_{\mathcal{B}'_1}[\mathcal{E}] \to \mathcal{O}_1) \quad\text{且}\quad \mathcal{I} = \Ker(\mathcal{O}_{\mathcal{B}_1}[\mathcal{E}] \to \mathcal{O}_1)\] 存在满射 \(\mathcal{I}'\to\mathcal{I}\)，其核为 \(\mathcal{J}_1\mathcal{O}_{\mathcal{B}'_1}[\mathcal{E}]\)。得到两个 \(\mathcal{O}_{\mathcal{B}'_2}\)-代数同态 \[a : \mathcal{O}_{\mathcal{B}'_1}[\mathcal{E}] \to \mathcal{O}'_1 \quad\text{且}\quad b : \mathcal{O}_{\mathcal{B}'_1}[\mathcal{E}] \to \mathcal{O}'_2\] 它们诱导同态 \(a|_{\mathcal{I}'}:\mathcal{I}'\to\mathcal{G}_1\) 与 \(b|_{\mathcal{I}'}:\mathcal{I}'\to\mathcal{G}_2\)。\(a\)、\(b\) 均零化 \((\mathcal{I}')^2\)。此外，由于 (08UI) 的左侧方块交换， \(a\)、\(b\) 作为取值于 \(\mathcal{G}_2\) 的同态，在 \(\mathcal{J}_1\mathcal{O}_{\mathcal{B}'_1}[\mathcal{E}]\) 上一致。因此差 \(b|_{\mathcal{I}'} - \nu \circ a|_{\mathcal{I}'}\) 诱导良定义的 \(\mathcal{O}_1\)-线性同态 \[\xi : \mathcal{I}/\mathcal{I}^2 \longrightarrow \mathcal{G}_2\]

它把 \(\mathcal{I}\) 的局部截面 \(f\) 之类映到 \(a(f') - \nu(b(f'))\)，其中 \(f'\) 是 \(f\) 到 \(\mathcal{I}'\) 的局部截面的一个提升。令 \([\xi] \in \Ext^1_{\mathcal{O}_1}(\NL(\alpha), \mathcal{G}_2)\) 为其像（见下文）。

步骤 2：\([\xi]\) 消失是必要的。记 \(\Omega= \Omega_{\mathcal{O}_{\mathcal{B}_1}[\mathcal{E}]/\mathcal{O}_{\mathcal{B}_1}} \otimes_{\mathcal{O}_{\mathcal{B}_1}[\mathcal{E}]} \mathcal{O}_1\). 注意，\(\NL(\alpha)=(\mathcal{I}/\mathcal{I}^2\to\Omega)\) 嵌入可区别三角 \[\Omega[0] \to \NL(\alpha) \to \mathcal{I}/\mathcal{I}^2[1] \to \Omega[1]\] 因此 \([\xi]\) 为零，当且仅当对于某个同态 \(\Omega\to\mathcal{G}_2\)，\(\xi\) 是复合 \(\mathcal{I}/\mathcal{I}^2\to\Omega\to\mathcal{G}_2\)。假设存在使图 (08UI) 成立的环层同态 \(\varphi : \mathcal{O}'_1 \to \mathcal{O}'_2\) 。在此情形，考虑同态 \(\mathcal{O}'_1[\mathcal{E}] \to \mathcal{G}_2\), \(f'\mapsto b(f')-\varphi(a(f'))\)。计算表明，它零化 \(\mathcal{J}_1\mathcal{O}_{\mathcal{B}'_1}[\mathcal{E}]\)，并诱导导子 \(\mathcal{O}_{\mathcal{B}_1}[\mathcal{E}]\to\mathcal{G}_2\)。所得线性同态 \(\Omega\to\mathcal{G}_2\) 说明此时 \([\xi]=0\)。

步骤 3：\([\xi]\) 消失是充分的。设 \(\theta:\Omega\to\mathcal{G}_2\) 是 \(\mathcal{O}_1\)-线性同态，使 \(\xi=\theta\circ(\mathcal{I}/\mathcal{I}^2\to\Omega)\)。计算表明 \[b + \theta \circ d : \mathcal{O}_{\mathcal{B}'_1}[\mathcal{E}] \longrightarrow \mathcal{O}'_2\] 零化 \(\mathcal{I}'\)，因而定义使图 (08UI) 成立的同态 \(\mathcal{O}'_1\to\mathcal{O}'_2\)。

上述特殊情形中 (2) 的证明从略。提示：这与引理 08S5 中 (2) 的证明完全相同。

引理

设 \(\mathcal{C}\) 是位点，\(\mathcal{A}\to\mathcal{B}\) 是 \(\mathcal{C}\) 上的环层同态，\(\mathcal{G}\) 是 \(\mathcal{B}\)-模。设 \(\xi\in\Ext^1_\mathcal{B} (\NL_{\mathcal{B}/\mathcal{A}},\mathcal{G})\)。存在集合层同态 \(\alpha:\mathcal{E}\to\mathcal{B}\)，使 \(\xi\in\Ext^1_\mathcal{B}(\NL(\alpha),\mathcal{G})\) 是某个同态 \(\mathcal{I}/\mathcal{I}^2\to\mathcal{G}\) 的类（记号见证明）。

证明

回忆：给定 \(\alpha:\mathcal{E}\to\mathcal{B}\)，使 \(\mathcal{A}[\mathcal{E}]\to\mathcal{B}\) 是核为 \(\mathcal{I}\) 的满射，则复形 \(\NL(\alpha) = (\mathcal{I}/\mathcal{I}^2 \to \Omega_{\mathcal{A}[\mathcal{E}]/\mathcal{A}} \otimes_{\mathcal{A}[\mathcal{E}]} \mathcal{B})\) 典范同构于 \(\NL_{\mathcal{B}/\mathcal{A}}\)，见《位点上的模》引理 08TY。还要注意， \(\Omega = \Omega_{\mathcal{A}[\mathcal{E}]/\mathcal{A}} \otimes_{\mathcal{A}[\mathcal{E}]} \mathcal{B}\) 是预层 \(U \mapsto \bigoplus_{e \in \mathcal{E}(U)} \mathcal{B}(U)\). 的伴随层。换言之，\(\Omega\) 是集合层 \(\mathcal{E}\) 上的自由 \(\mathcal{B}\)-模；特别地，存在典范同态 \(\mathcal{E}\to\Omega\)。

现在取某个 \(\mathcal{E}\)（例如像朴素余切复形的定义那样取 \(\mathcal{E}=\mathcal{B}\)）。把 \(\xi\) 写成同态 \(\mathcal{I}/\mathcal{I}^2\to\mathcal{G}\) 之类的障碍，是 \(\Ext^1_\mathcal{B}(\Omega,\mathcal{G})\) 中的元素。设它由 \(\mathcal{B}\)-模扩张 \(0\to\mathcal{G}\to\mathcal{H}\to\Omega\to0\) 表示。考虑集合层 \(\mathcal{E}' = \mathcal{E} \times_\Omega \mathcal{H}\) 它带有诱导同态 \(\alpha':\mathcal{E}'\to\mathcal{B}\)。令 \(\mathcal{I}'=\Ker(\mathcal{A}[\mathcal{E}']\to\mathcal{B})\) 以及 \(\Omega'=\Omega_{\mathcal{A}[\mathcal{E}']/\mathcal{A}} \otimes_{\mathcal{A}[\mathcal{E}']}\mathcal{B}\)。 \(\xi\) 在拟同构 \(\NL(\alpha')\to\NL(\alpha)\) 下的拉回，在 \(\Ext^1_\mathcal{B}(\Omega', \mathcal{G})\) 中的像为零。这是因为，沿 \(\Omega'\to\Omega\) 拉回扩张 \(\mathcal{H}\) 所得扩张是分裂的：\(\Omega'\) 是集合层 \(\mathcal{E}'\) 上的自由 \(\mathcal{B}\)-模，而且按构造有交换图 \[\xymatrix{ \mathcal{E}' \ar[r] \ar[d] & \mathcal{E} \ar[d] \\ \mathcal{H} \ar[r] & \Omega }\] 证明完毕。

引理

若 (08UF) 存在解，则解的同构类集合是 \(\Ext^1_\mathcal{O} (\NL_{\mathcal{O}/\mathcal{O}_\mathcal{B}},\mathcal{G})\) 作用下的主齐性空间。

证明

立即注意到：给定 (08UF) 的两个解 \(\mathcal{O}'_1\)、\(\mathcal{O}'_2\)，由引理 08UG 得到障碍元素 \(o(\mathcal{O}'_1, \mathcal{O}'_2) \in \Ext^1_\mathcal{O}( \NL_{\mathcal{O}/\mathcal{O}_\mathcal{B}}, \mathcal{G})\) 它是存在同态 \(\mathcal{O}'_1\to\mathcal{O}'_2\) 的障碍。显然，此元素正是存在同构的障碍，因而区分同构类。所以要完成证明，只需说明：给定一个解 \(\mathcal{O}'\) 和元素 \(\xi \in \Ext^1_\mathcal{O}( \NL_{\mathcal{O}/\mathcal{O}_\mathcal{B}}, \mathcal{G})\) 可找到第二个解 \(\mathcal{O}'_\xi\)，使 \(o(\mathcal{O}',\mathcal{O}'_\xi)=\xi\)。

为类 \(\xi\) 选取引理 08UJ 中的 \(\alpha:\mathcal{E}\to\mathcal{O}\)。考虑核为 \(\mathcal{I}\) 的满射 \(f^{-1}\mathcal{O}_\mathcal{B}[\mathcal{E}] \to \mathcal{O}\) 及相应的朴素余切复形 \(\NL(\alpha) = (\mathcal{I}/\mathcal{I}^2 \to \Omega_{f^{-1}\mathcal{O}_\mathcal{B}[\mathcal{E}]/ f^{-1}\mathcal{O}_\mathcal{B}} \otimes_{f^{-1}\mathcal{O}_\mathcal{B}[\mathcal{E}]} \mathcal{O})\). 由该引理，\(\xi\) 是某个同态 \(\delta:\mathcal{I}/\mathcal{I}^2\to\mathcal{G}\) 的类。把 \(\mathcal{E}\) 换成 \(\mathcal{E}\times_\mathcal{O}\mathcal{O}'\) 后，还可假设 \(\alpha\) 分解通过同态 \(\alpha':\mathcal{E}\to\mathcal{O}'\)。

这些选取决定 \(f^{-1}\mathcal{O}_{\mathcal{B}'}\)-代数同态 \(\varphi:\mathcal{O}_{\mathcal{B}'}[\mathcal{E}]\to\mathcal{O}'\)。令 \(\mathcal{I}'=\Ker(\varphi)\)。注意，\(\varphi\) 诱导同态 \(\varphi|_{\mathcal{I}'}:\mathcal{I}'\to\mathcal{G}\)，且 \(\mathcal{O}'\) 是下图中的推出： \[\xymatrix{ 0 \ar[r] & \mathcal{G} \ar[r] & \mathcal{O}' \ar[r] & \mathcal{O} \ar[r] & 0 \\ 0 \ar[r] & \mathcal{I}' \ar[u]^{\varphi|_{\mathcal{I}'}} \ar[r] & f^{-1}\mathcal{O}_{\mathcal{B}'}[\mathcal{E}] \ar[u] \ar[r] & \mathcal{O} \ar[u]_{=} \ar[r] & 0 }\] 令 \(\psi:\mathcal{I}'\to\mathcal{G}\) 为同态 \(\varphi|_{\mathcal{I}'}\) 与复合 \[\mathcal{I}' \to \mathcal{I}'/(\mathcal{I}')^2 \to \mathcal{I}/\mathcal{I}^2 \xrightarrow{\delta} \mathcal{G}.\] 之和。沿 \(\psi\) 取推出，得到另一个环扩张 \(\mathcal{O}'_\xi\)，它嵌入如上图。计算（从略）表明 \(o(\mathcal{O}',\mathcal{O}'_\xi)=\xi\)，正如所需。

引理

设 \(f:(\Sh(\mathcal{C}),\mathcal{O})\to (\Sh(\mathcal{B}),\mathcal{O}_\mathcal{B})\) 是环化拓扑斯态射， \(\mathcal{G}\) 是 \(\mathcal{O}\)-模。所有 \(f^{-1}\mathcal{O}_\mathcal{B}\)-代数扩张 \[0 \to \mathcal{G} \to \mathcal{O}' \to \mathcal{O} \to 0\] 中 \(\mathcal{G}\) 为平方零理想者的同构类集合²，与 \(\Ext^1_\mathcal{O}(\NL_{\mathcal{O}/\mathcal{O}_\mathcal{B}}, \mathcal{G})\). 典范双射。

证明

为证明此结论，把前述结果应用于由下图给出 (08UF) 的情形： \[\xymatrix{ 0 \ar[r] & \mathcal{G} \ar[r] & {?} \ar[r] & \mathcal{O} \ar[r] & 0 \\ 0 \ar[r] & 0 \ar[u] \ar[r] & f^{-1}\mathcal{O}_\mathcal{B} \ar[u] \ar[r]^{\text{id}} & f^{-1}\mathcal{O}_\mathcal{B} \ar[u] \ar[r] & 0 }\] 于是本引理由引理 08UK 及解 \(\mathcal{G}\oplus\mathcal{O}\) 的存在性得出。（该双射的直接构造见下列注。）

注

设 \(f:(\Sh(\mathcal{C}),\mathcal{O})\to (\mathcal{B},\mathcal{O}_\mathcal{B})\) 与 \(\mathcal{G}\) 如引理 0GQ5。考虑该引理中的扩张 \(0 \to \mathcal{G} \to \mathcal{O}' \to \mathcal{O} \to 0\) 。可以选取集合层 \(\mathcal{E}\) 及交换图 \[\xymatrix{ \mathcal{E} \ar[d]_{\alpha'} \ar[rd]^\alpha \\ \mathcal{O}' \ar[r] & \mathcal{O} }\] 使 \(f^{-1}\mathcal{O}_\mathcal{B}[\mathcal{E}]\to\mathcal{O}\) 是核为 \(\mathcal{J}\) 的满射。（例如可取任意满射到 \(\mathcal{O}'\) 的集合层。）于是 \[\NL_{\mathcal{O}/\mathcal{O}_\mathcal{B}} \cong \NL(\alpha) = \left( \mathcal{J}/\mathcal{J}^2 \longrightarrow \Omega_{f^{-1}\mathcal{O}_\mathcal{B}[\mathcal{E}]/ f^{-1}\mathcal{O}_\mathcal{B}} \otimes_{f^{-1}\mathcal{O}_\mathcal{B}[\mathcal{E}]} \mathcal{O}\right)\] 见《位点上的模》第 08TT 节，尤其是引理 08TY。当然，\(\alpha'\) 决定同态 \(f^{-1}\mathcal{O}_\mathcal{B}[\mathcal{E}]\to\mathcal{O}'\)，进而决定同态 \[\mathcal{J}/\mathcal{J}^2 \longrightarrow \mathcal{G}\] 后者又决定 \(\Ext^1_\mathcal{O}(\NL(\alpha), \mathcal{G}) = \Ext^1_\mathcal{O}(\NL_{\mathcal{O}/\mathcal{O}_\mathcal{B}}, \mathcal{G})\) 中的元素；在本引理的双射下，该元素对应于 \(\mathcal{O}'\)。

引理

设 \(f:(\Sh(\mathcal{C}),\mathcal{O}_\mathcal{C})\to (\Sh(\mathcal{B}),\mathcal{O}_\mathcal{B})\) 与 \(g:(\Sh(\mathcal{D}),\mathcal{O}_\mathcal{D})\to (\Sh(\mathcal{C}),\mathcal{O}_\mathcal{C})\) 是环化拓扑斯态射。设 \(\mathcal{F}\) 是 \(\mathcal{O}_\mathcal{C}\)-模， \(\mathcal{G}\) 是 \(\mathcal{O}_\mathcal{D}\)-模，且 \(c:g^*\mathcal{F}\to\mathcal{G}\) 是 \(\mathcal{O}_\mathcal{D}\)-线性同态。最后，考虑

\(0 \to \mathcal{F} \to \mathcal{O}_{\mathcal{C}'} \to \mathcal{O}_\mathcal{C} \to 0\) 是对应于 \(\xi\in\Ext^1_{\mathcal{O}_\mathcal{C}} (\NL_{\mathcal{O}_\mathcal{C}/\mathcal{O}_\mathcal{B}},\mathcal{F})\) 的 \(f^{-1}\mathcal{O}_\mathcal{B}\)-代数扩张；

\(0 \to \mathcal{G} \to \mathcal{O}_{\mathcal{D}'} \to \mathcal{O}_\mathcal{D} \to 0\) 是对应于 \(\zeta\in\Ext^1_{\mathcal{O}_\mathcal{D}} (\NL_{\mathcal{O}_\mathcal{D}/\mathcal{O}_\mathcal{B}},\mathcal{G})\) 的 \(g^{-1}f^{-1}\mathcal{O}_\mathcal{B}\)-代数扩张。

见引理 0GQ5。存在环化拓扑斯态射 \[g' : (\Sh(\mathcal{D}), \mathcal{O}_{\mathcal{D}'}) \longrightarrow (\Sh(\mathcal{C}), \mathcal{O}_{\mathcal{C}'})\] 位于 \((\Sh(\mathcal{B}),\mathcal{O}_\mathcal{B})\) 上方且与 \(g\)、\(c\) 相容，当且仅当 \(\xi\)、\(\zeta\) 映到 \(\Ext^1_{\mathcal{O}_\mathcal{D}}( Lg^*\NL_{\mathcal{O}_\mathcal{C}/\mathcal{O}_\mathcal{B}}, \mathcal{G})\) 中的同一元素。

证明

该陈述有意义，因为利用同态 \(Lg^*\mathcal{F}\to g^*\mathcal{F}\xrightarrow{c}\mathcal{G}\)，有同态 \[\Ext^1_{\mathcal{O}_\mathcal{C}}( \NL_{\mathcal{O}_\mathcal{C}/\mathcal{O}_\mathcal{B}}, \mathcal{F}) \to \Ext^1_{\mathcal{O}_\mathcal{D}}( Lg^*\NL_{\mathcal{O}_\mathcal{C}/\mathcal{O}_\mathcal{B}}, Lg^*\mathcal{F}) \to \Ext^1_{\mathcal{O}_\mathcal{D}} (Lg^*\NL_{\mathcal{O}_\mathcal{C}/\mathcal{O}_\mathcal{B}}, \mathcal{G})\] 并且，利用同态 \(Lg^*\NL_{\mathcal{O}_\mathcal{C}/\mathcal{O}_\mathcal{B}}\to \NL_{\mathcal{O}_\mathcal{D}/\mathcal{O}_\mathcal{B}}\)，有同态

\[\Ext^1_{\mathcal{O}_Y}( \NL_{\mathcal{O}_\mathcal{D}/\mathcal{O}_\mathcal{B}}, \mathcal{G}) \to \Ext^1_{\mathcal{O}_Y}( Lg^*\NL_{\mathcal{O}_\mathcal{C}/\mathcal{O}_\mathcal{B}}, \mathcal{G})\] 把引理 08UG 应用于图 \[\xymatrix{ & 0 \ar[r] & \mathcal{G} \ar[r] & \mathcal{O}_{\mathcal{D}'} \ar[r] & \mathcal{O}_\mathcal{D} \ar[r] & 0 \\ & 0 \ar[r]|\hole & 0 \ar[u] \ar[r] & g^{-1}f^{-1}\mathcal{O}_\mathcal{B} \ar[u] \ar[r]|\hole & g^{-1}f^{-1}\mathcal{O}_\mathcal{B} \ar[u] \ar[r] & 0 \\ 0 \ar[r] & \mathcal{F} \ar[ruu] \ar[r] & \mathcal{O}_{\mathcal{C}'} \ar[r] & \mathcal{O}_\mathcal{C} \ar[ruu] \ar[r] & 0 \\ 0 \ar[r] & 0 \ar[ruu]|\hole \ar[u] \ar[r] & f^{-1}\mathcal{O}_\mathcal{B} \ar[ruu]|\hole \ar[u] \ar[r] & f^{-1}\mathcal{O}_\mathcal{B} \ar[ruu]|\hole \ar[u] \ar[r] & 0 }\] 再结合引理 0GQ5 与 08UG 的证明中两个构造之间的相容性，即可推出本引理。该相容性的陈述与证明从略。（直接论证见下列注。）

注

设 \(f : (\Sh(\mathcal{C}), \mathcal{O}_\mathcal{C}) \to (\Sh(\mathcal{B}), \mathcal{O}_\mathcal{B})\), \(g : (\Sh(\mathcal{D}), \mathcal{O}_\mathcal{D}) \to (\Sh(\mathcal{C}), \mathcal{O}_\mathcal{C})\), \(\mathcal{F}\), \(\mathcal{G}\), \(c : g^*\mathcal{F} \to \mathcal{G}\), \(0 \to \mathcal{F} \to \mathcal{O}_{\mathcal{C}'} \to \mathcal{O}_\mathcal{C} \to 0\), \(\xi \in \Ext^1_{\mathcal{O}_\mathcal{C}}( \NL_{\mathcal{O}_\mathcal{C}/\mathcal{O}_\mathcal{B}}, \mathcal{F})\), \(0 \to \mathcal{G} \to \mathcal{O}_{\mathcal{D}'} \to \mathcal{O}_\mathcal{D} \to 0\)，以及 \(\zeta \in \Ext^1_{\mathcal{O}_\mathcal{D}}( \NL_{\mathcal{O}_\mathcal{D}/\mathcal{O}_\mathcal{B}}, \mathcal{G})\) 如引理 0GQ7。沿 \(c:g^{-1}\mathcal{F}\to\mathcal{G}\) 取推出，可构造扩张 \[\xymatrix{ 0 \ar[r] & \mathcal{G} \ar[r] & \mathcal{O}'_1 \ar[r] & g^{-1}\mathcal{O}_\mathcal{C} \ar[r] & 0 \\ 0 \ar[r] & g^{-1}\mathcal{F} \ar[u]^c \ar[r] & g^{-1}\mathcal{O}_{\mathcal{C}'} \ar[u] \ar[r] & g^{-1}\mathcal{O}_\mathcal{C} \ar@{=}[u] \ar[r] & 0 }\] 沿 \(g^\sharp:g^{-1}\mathcal{O}_\mathcal{C}\to \mathcal{O}_\mathcal{D}\) 取拉回，可构造扩张 \[\xymatrix{ 0 \ar[r] & \mathcal{G} \ar[r] & \mathcal{O}_{\mathcal{D}'} \ar[r] & \mathcal{O}_\mathcal{D} \ar[r] & 0 \\ 0 \ar[r] & \mathcal{G} \ar@{=}[u] \ar[r] & \mathcal{O}'_2 \ar[u] \ar[r] & g^{-1}\mathcal{O}_\mathcal{C} \ar[u] \ar[r] & 0 }\] 追图可知，存在态射 \(g' : (\Sh(\mathcal{D}), \mathcal{O}_{\mathcal{D}'}) \to (\Sh(\mathcal{C}), \mathcal{O}_{\mathcal{C}'})\) 位于 \((\Sh(\mathcal{B}),\mathcal{O}_\mathcal{B})\) 上方且与 \(g\)、\(c\) 相容，当且仅当 \(\mathcal{O}'_1\) 与 \(\mathcal{O}'_2\) 作为以 \(\mathcal{G}\) 扩张 \(g^{-1}\mathcal{O}_\mathcal{C}\) 的 \(g^{-1}f^{-1}\mathcal{O}_\mathcal{B}\)-代数扩张同构。由引理 0GQ5，这些扩张由下式左端分类： \[\Ext^1_{g^{-1}\mathcal{O}_\mathcal{C}}( \NL_{g^{-1}\mathcal{O}_\mathcal{C}/g^{-1}f^{-1}\mathcal{O}_\mathcal{B}}, \mathcal{G}) = \Ext^1_{\mathcal{O}_\mathcal{D}}( Lg^*\NL_{\mathcal{O}_\mathcal{C}/\mathcal{O}_\mathcal{B}}, \mathcal{G})\] 其中等式来自张量–Hom 伴随及等式 \[\NL_{g^{-1}\mathcal{O}_\mathcal{C}/g^{-1}f^{-1}\mathcal{O}_\mathcal{B}} = g^{-1}\NL_{\mathcal{O}_\mathcal{C}/\mathcal{O}_\mathcal{B}} \quad\text{且}\quad Lg^*\NL_{\mathcal{O}_\mathcal{C}/\mathcal{O}_\mathcal{B}} = g^{-1}\NL_{\mathcal{O}_\mathcal{C}/\mathcal{O}_\mathcal{B}} \otimes_{g^{-1}\mathcal{O}_X}^\mathbf{L} \mathcal{O}_Y\] 第一个等式见《位点上的模》引理 08TZ；第二个等式由导出拉回的定义得出。因此，要说明引理 0GQ7 成立，只需证明 \(\mathcal{O}'_1\) 对应于 \(\xi\) 的像，且 \(\mathcal{O}'_2\) 对应于 \(\zeta\) 的像。\(\xi\) 与 \(\mathcal{O}'_1\) 的对应关系，立即来自注 0GQ6 中类 \(\xi\) 的构造。为说明 \(\zeta\) 与 \(\mathcal{O}'_2\) 的对应关系，先选取交换图 \[\xymatrix{ \mathcal{E} \ar[d]_{\beta'} \ar[rd]^\beta \\ \mathcal{O}_{\mathcal{D}'} \ar[r] & \mathcal{O}_\mathcal{D} }\] 使 \(g^{-1}f^{-1}\mathcal{O}_\mathcal{B}[\mathcal{E}]\to \mathcal{O}_\mathcal{D}\) 是核为 \(\mathcal{K}\) 的满射。再选取交换图 \[\xymatrix{ \mathcal{E} \ar[d]_{\beta'} & \mathcal{E}' \ar[l]^\varphi \ar[d]_{\alpha'} \ar[rd]^\alpha \\ \mathcal{O}_{\mathcal{D}'} & \mathcal{O}'_2 \ar[l] \ar[r] & g^{-1}\mathcal{O}_\mathcal{C} }\] 使 \(g^{-1}f^{-1}\mathcal{O}_\mathcal{B}[\mathcal{E}']\to g^{-1}\mathcal{O}_\mathcal{C}\) 是核为 \(\mathcal{J}\) 的满射。（例如，作为集合层直接取 \(\mathcal{E}'=\mathcal{E}\amalg\mathcal{O}'_2\)。）同态 \(\varphi\) 诱导复形同态 \(\NL(\alpha)\to\NL(\beta)\) （记号见《模》第 08TG 节），特别诱导 \(\bar\varphi : \mathcal{J}/\mathcal{J}^2 \to \mathcal{K}/\mathcal{K}^2\).

于是 \(\NL(\alpha)\cong \NL_{\mathcal{O}_\mathcal{D}/\mathcal{O}_\mathcal{B}}\) 且 \(\NL(\beta) \cong \NL_{g^{-1}\mathcal{O}_\mathcal{C}/g^{-1}f^{-1}\mathcal{O}_\mathcal{B}}\) ，而复形同态 \(\NL(\alpha)\to\NL(\beta)\) 表示同态 \(Lg^*\NL_{\mathcal{O}_\mathcal{C}/\mathcal{O}_\mathcal{B}} \to \NL_{\mathcal{O}_\mathcal{D}/\mathcal{O}_\mathcal{B}}\) ，即引理 0GQ7 的陈述中所用的同态（见其证明第一部分）。现在，\(\zeta\) 对应于 \(\beta'\) 诱导的同态 \(\mathcal{K}/\mathcal{K}^2\to\mathcal{G}\) 之类，见注 0GQ6。类似地，扩张 \(\mathcal{O}'_2\) 对应于 \(\alpha'\) 诱导的同态 \(\mathcal{J}/\mathcal{J}^2\to\mathcal{G}\)。上面的交换图表明，此同态是 \(\beta'\) 诱导的同态 \(\mathcal{K}/\mathcal{K}^2\to\mathcal{G}\) 与同态 \(\bar\varphi:\mathcal{J}/\mathcal{J}^2\to\mathcal{K}/\mathcal{K}^2\) 的复合。这证明了所需的相容性。

引理

设 \(t : (\Sh(\mathcal{B}), \mathcal{O}_\mathcal{B}) \to (\Sh(\mathcal{B}'), \mathcal{O}_{\mathcal{B}'})\), \(\mathcal{J} = \Ker(t^\sharp)\), \(f : (\Sh(\mathcal{C}), \mathcal{O}) \to (\Sh(\mathcal{B}), \mathcal{O}_\mathcal{B})\)、\(\mathcal{G}\) 以及

\(c : \mathcal{J} \to \mathcal{G}\) 如 (08UF)。以 \(\xi \in \Ext^1_{\mathcal{O}_\mathcal{B}}( \NL_{\mathcal{O}_\mathcal{B}/\mathcal{O}_{\mathcal{B}'}}, \mathcal{J})\) 记经引理 0GQ5 对应于以 \(\mathcal{J}\) 扩张 \(\mathcal{O}_\mathcal{B}\) 所得扩张 \(\mathcal{O}_{\mathcal{B}'}\) 的元素。解的同构类集合典范双射于同态 \[\Ext^1_\mathcal{O}(\NL_{\mathcal{O}/\mathcal{O}_{\mathcal{B}'}}, \mathcal{G})\to \Ext^1_\mathcal{O}( Lf^*\NL_{\mathcal{O}_\mathcal{B}/\mathcal{O}_{\mathcal{B}'}}, \mathcal{G})\] 在 \(\xi\) 的像上方的纤维。

证明

把引理 0GQ5 应用于 \(t\circ f:(\Sh(\mathcal{C}),\mathcal{O})\to (\Sh(\mathcal{B}'), \mathcal{O}_{\mathcal{B}'})\) 及 \(\mathcal{O}\)-模 \(\mathcal{G}\)，可见 \(\Ext^1_\mathcal{O}(\NL_{\mathcal{O}/\mathcal{O}_{\mathcal{B}'}}, \mathcal{G})\) 中的元素 \(\zeta\) 参数化 \(0 \to \mathcal{G} \to \mathcal{O}' \to \mathcal{O} \to 0\) 这样的 \(f^{-1}\mathcal{O}_{\mathcal{B}'}\)-代数扩张。把引理 0GQ7 应用于 \[(\Sh(\mathcal{C}), \mathcal{O}) \xrightarrow{f} (\Sh(\mathcal{B}), \mathcal{O}_\mathcal{B}) \xrightarrow{t} (\Sh(\mathcal{B}'), \mathcal{O}_{\mathcal{B}'})\] 及 \(c:\mathcal{J}\to\mathcal{G}\)，可见存在态射 \[f' : (\Sh(\mathcal{C}), \mathcal{O}') \longrightarrow (\Sh(\mathcal{B}'), \mathcal{O}_{\mathcal{B}'})\] 位于 \((\Sh(\mathcal{B}'),\mathcal{O}_{\mathcal{B}'})\) 上方且与 \(c\)、\(f\) 相容，当且仅当 \(\zeta\) 映到 \(\xi\)。这当然等价于说 \(\mathcal{O}'\) 是 (08UF) 的一个解。

代数空间的形变

本节具体说明第 08UE 节的结果对于代数空间的形变意味着什么。

引理

设 \(S\) 是概形，\(i:Z\to Z'\) 是 \(S\) 上代数空间的态射。下列条件等价：

\(i\) 是《空间态射进阶》第 05ZJ 节所定义的代数空间增厚；

相伴的环化拓扑斯态射 \(i_{small} : (\Sh(Z_\etale), \mathcal{O}_Z) \to (\Sh(Z'_\etale), \mathcal{O}_{Z'})\) （《空间的性质》引理 03G8）是第 08M6 节意义下的增厚。

证明

我们强调，这并非显然之事。

假设 (1)。由《空间态射进阶》引理 05ZS，态射 \(i\) 诱导小 étale 位点之间的等价，因而特别诱导拓扑斯之间的等价。当然，按增厚的定义，\(i^\sharp\) 是核局部幂零的满射。

假设 (2)。（此方向不那么重要，更多是一则趣闻。）对任意 étale 态射 \(Y'\to Z'\)，可见 \(Y=Z\times_{Z'}Y'\) 与 \(Y'\) 有相同的 étale 拓扑斯。特别地，\(Y'\) 拟紧当且仅当 \(Y\) 拟紧，因为拟紧性是拓扑斯论概念（《位点》引理 0D06）。由此还可见， \(Y'\) 拟紧且拟分离，当且仅当 \(Y\) 拟紧且拟分离（因为可用下述条件刻画 \(Y'\) 拟分离：对于所有在 \(Y'\) 上 étale 的拟紧代数空间 \(Y'_1,Y'_2\)，纤维积 \(Y'_1\times_{Y'}Y'_2\) 拟紧）。取 \(Y'\) 仿射。则代数空间 \(Y\) 拟紧且拟分离。对于任意拟凝聚 \(\mathcal{O}_Y\)-模 \(\mathcal{F}\)，有 \(H^q(Y, \mathcal{F}) = H^q(Y', (Y \to Y')_*\mathcal{F})\) ，因为二者的 étale 拓扑斯相同。于是 \(H^q(Y',(Y\to Y')_*\mathcal{F})=0\)，因为推出是拟凝聚的（《空间的态射》引理 03M9），且 \(Y\) 仿射。

由《空间的上同调》命题 07V6 可知 \(Y'\) 仿射（本引理这一方向肯定有避开该引用的证明）。因此 \(i\) 是仿射态射。在仿射情形，由第 08M6 节的条件容易得出 \(i\) 是代数空间的增厚。

引理

设 \(S\) 是概形，\(Y\subset Y'\) 是 \(S\) 上代数空间的一阶增厚， \(f:X\to Y\) 是 \(S\) 上代数空间的平坦态射。若存在 \(S\) 上代数空间的平坦态射 \(f':X'\to Y'\) 以及 \(Y\) 上的同构 \(a:X\to X'\times_{Y'}Y\)，则

二元组 \((f':X'\to Y',a)\) 的同构类集合是 \(\Ext^1_{\mathcal{O}_X}(\NL_{X/Y},f^*\mathcal{C}_{Y/Y'})\) 作用下的主齐性空间；

所有 \(Y'\) 上自同构 \(\varphi:X'\to X'\) 中，在 \(X'\times_{Y'}Y\) 上约化为恒等者所成集合是 \(\Ext^0_{\mathcal{O}_X}(\NL_{X/Y},f^*\mathcal{C}_{Y/Y'})\)。

证明

我们把环化拓扑斯形变的材料应用于本引理各代数空间的小 étale 拓扑斯。可把 \(X\) 视为 \(X'\) 的闭子空间，使 \((f,f'):(X\subset X')\to(Y\subset Y')\) 是一阶增厚之间的态射。由引理 0D16，这转化为环化拓扑斯增厚之间的态射。由《空间态射进阶》引理 06BH （或更一般的引理 08MQ）可见，

\(X\) 在 \(X'\) 中的理想层等于 \(f^*\mathcal{C}_{Y'/Y}\)，而这实际上等价于 \(X'\) 在 \(Y'\) 上平坦。因此有交换图 \[\xymatrix{ 0 \ar[r] & f^*\mathcal{C}_{Y/Y'} \ar[r] & \mathcal{O}_{X'} \ar[r] & \mathcal{O}_X \ar[r] & 0 \\ 0 \ar[r] & f_{small}^{-1}\mathcal{C}_{Y/Y'} \ar[u] \ar[r] & f_{small}^{-1}\mathcal{O}_{Y'} \ar[u] \ar[r] & f_{small}^{-1}\mathcal{O}_Y \ar[u] \ar[r] & 0 }\] 请与 (08UF) 比较。注意，(2) 中的自同构 \(\varphi\) 给出嵌入上图的自同构 \(\varphi^\sharp:\mathcal{O}_{X'}\to\mathcal{O}_{X'}\)。反过来，由《空间态射进阶》引理 05ZN. ，任意嵌入上方层图的自同构 \(\alpha:\mathcal{O}_{X'}\to\mathcal{O}_{X'}\)，都等于 (2) 中某个自同构 \(\varphi\) 的 \(\varphi^\sharp\)。最后，由《空间态射进阶》引理 05ZT ，若找到 \(X_\etale\) 上另一个嵌入下图的环层 \(\mathcal{A}\) \[\xymatrix{ 0 \ar[r] & f^*\mathcal{C}_{Y/Y'} \ar[r] & \mathcal{A} \ar[r] & \mathcal{O}_X \ar[r] & 0 \\ 0 \ar[r] & f_{small}^{-1}\mathcal{C}_{Y/Y'} \ar[u] \ar[r] & f_{small}^{-1}\mathcal{O}_{Y'} \ar[u] \ar[r] & f_{small}^{-1}\mathcal{O}_Y \ar[u] \ar[r] & 0 }\] ，则存在一阶增厚 \(X\subset X''\)，满足 \(\mathcal{O}_{X''}=\mathcal{A}\)；再次应用《空间态射进阶》引理 05ZN，就得到具备所有所需性质的态射 \((f,f''):(X\subset X'')\to(Y\subset Y')\)。因此 (1) 由引理 08UK 得出， (2) 由引理 08UG 的 (2) 得出。（注意，《空间态射进阶》第 0D0U 节为代数空间态射定义的 \(\NL_{X/Y}\)，与第 08UE 节所用的 \(\NL_{X/Y}\) 一致。）

设 \(S\) 是概形，\(f:X\to B\) 是 \(S\) 上代数空间的态射。设 \(\mathcal{F}\to\mathcal{G}\) 是 \(\mathcal{O}_X\)-模同态（未必拟凝聚）。考虑由推出给出的函子 \[F : \left\{ \begin{matrix} f^{-1}\mathcal{O}_B\text{-代数扩张}\\ 0 \to \mathcal{F} \to \mathcal{O}' \to \mathcal{O}_X \to 0\\ \text{其中 }\mathcal{F}\text{ 是平方零理想} \end{matrix} \right\} \longrightarrow \left\{ \begin{matrix} f^{-1}\mathcal{O}_B\text{-代数扩张}\\ 0 \to \mathcal{G} \to \mathcal{O}' \to \mathcal{O}_X \to 0\\ \text{其中 }\mathcal{G}\text{ 是平方零理想} \end{matrix} \right\}\]

引理

在上述情形中，假设 \(X\) 拟紧且拟分离，并且 \(DQ_X(\mathcal{F})\to DQ_X(\mathcal{G})\) （《空间的导出范畴》第 0CR3 节）是同构。那么函子 \(F\) 是范畴等价。

证明

回忆，\(\NL_{X/B}\) 是 \(D_\QCoh(\mathcal{O}_X)\) 的对象，见《空间态射进阶》引理 0D0Y. 因此我们的假设蕴含对每个 \(i\)，同态 \[\Ext^i_X(\NL_{X/B}, \mathcal{F}) \longrightarrow \Ext^i_X(\NL_{X/B}, \mathcal{G})\] 都是同构。由引理 08UG，这蕴含该函子全忠实。另一方面，由引理 08UK，该函子本质满射，因为两个范畴中分别有解 \(\mathcal{O}_X\oplus\mathcal{F}\) 与 \(\mathcal{O}_X\oplus\mathcal{G}\)。

设 \(S\) 是概形，\(B\subset B'\) 是 \(S\) 上代数空间的一阶增厚，其理想层为 \(\mathcal{J}\)。可把 \(\mathcal{J}\) 视为拟凝聚 \(\mathcal{O}_B\)-模，也可视为 \(B'\) 上的拟凝聚理想层；见《空间态射进阶》第 05ZJ 节。设 \(f:X\to B\) 是 \(S\) 上代数空间的态射， \(\mathcal{F}\to\mathcal{G}\) 是 \(\mathcal{O}_X\)-模同态（未必拟凝聚）。设 \(c:f^{-1}\mathcal{J}\to\mathcal{F}\) 是 \(f^{-1}\mathcal{O}_B\)-模同态，并以 \(c':f^{-1}\mathcal{J}\to\mathcal{G}\) 记相应复合。考虑由推出给出的函子 \[FT : \{(\href{defos.html#defos-equation-to-solve-ringed-topoi}{08UF}) \text{ 关于 }\mathcal{F}\text{ 与 }c\text{ 的解}\} \longrightarrow \{(\href{defos.html#defos-equation-to-solve-ringed-topoi}{08UF}) \text{ 关于 }\mathcal{G}\text{ 与 }c'\text{ 的解}\}\]

引理

在上述情形中，假设 \(X\) 拟紧且拟分离，并且 \(DQ_X(\mathcal{F})\to DQ_X(\mathcal{G})\) （《空间的导出范畴》第 0CR3 节）是同构。那么函子 \(FT\) 是范畴等价。

证明

(08UF) 关于 \(\mathcal{F}\) 的一个解，特别给出 \(f^{-1}\mathcal{O}_{B'}\)-代数扩张 \[0 \to \mathcal{F} \to \mathcal{O}' \to \mathcal{O}_X \to 0\] 其中 \(\mathcal{F}\) 是平方零理想。\(\mathcal{G}\) 的情形类似。此外，给定这样的扩张，得到同态 \(c_{\mathcal{O}'}:f^{-1}\mathcal{J}\to\mathcal{F}\)。因此所考察的是这类 \(f^{-1}\mathcal{O}_{B'}\)-代数扩张中满足 \(c=c_{\mathcal{O}'}\) 者所成的全子范畴。显然，若 \(\mathcal{O}''=F(\mathcal{O}')\)，其中 \(F\) 是引理 0D3P 的等价（这次应用于 \(X\to B'\)），则 \(c_{\mathcal{O}''}\) 是 \(c_{\mathcal{O}'}\) 与同态 \(\mathcal{F}\to\mathcal{G}\) 的复合。本引理得证。

复形的形变

本节为下一节作预备。我们会尽量利用交换代数各章的材料。

引理

设 \(R'\to R\) 是环满射，其核为平方零理想 \(I\)。对于每个 \(K\in D^-(R)\)，\(D(R)\) 中存在典范同态 \[\omega(K) : K \longrightarrow K \otimes_R^\mathbf{L} I[2]\] 具有下列性质：

\(\omega(K)=0\) 当且仅当存在 \(K'\in D(R')\)，满足 \(K'\otimes_{R'}^\mathbf{L}R=K\)；

给定 \(D^-(R)\) 中的同态 \(K\to L\)，下图交换： \[\xymatrix{ K \ar[d] \ar[rr]_-{\omega(K)} & & K \otimes^\mathbf{L}_R I[2] \ar[d] \\ L \ar[rr]^-{\omega(L)} & & L \otimes^\mathbf{L}_R I[2] }\]

\(\omega(K)\) 的形成与环同态 \(R'\to S'\) 相容（准确陈述见证明）。

证明

取表示 \(K\) 的有上界自由 \(R\)-模复形 \(K^\bullet\)。可选取提升 \(K^n\) 的自由 \(R'\)-模 \((K')^n\)，并选取提升 \(K^\bullet\) 的微分 \(d^n_K:K^n\to K^{n+1}\) 的 \(R'\)-模同态 \((d')^n_K:(K')^n\to(K')^{n+1}\)。复合 \[(d')^{n + 1}_K \circ (d')^n_K : (K')^n \to (K')^{n + 2}\] 虽未必为零，却确实分解为 \[(K')^n \to K^n \xrightarrow{\omega^n_K} K^{n + 2} \otimes_R I = I(K')^{n + 2} \to (K')^{n + 2}\] ，因为 \(d^{n+1}\circ d^n=0\)。计算表明，\(\omega^n_K\) 定义复形同态。此复形同态定义 \(\omega(K)\)。

下面证明此构造与有上界自由 \(R\)-模复形同态 \(\alpha^\bullet:K^\bullet\to L^\bullet\) 及给定的提升选取 \((K')^n,(L')^n,(d')^n_K,(d')^n_L\) 相容。具体地，取提升分量 \(\alpha^n:K^n\to L^n\) 的同态 \((\alpha')^n:(K')^n\to(L')^n\)。与前面一样， \((d')^n_L\circ(\alpha')^n-(\alpha')^{n+1}\circ(d')_K^n\) 分解为

\[(K')^n \to K^n \xrightarrow{h^n} L^{n + 1} \otimes_R I = I(L')^{n + 1} \to (L')^{n + 2}\] 。容易计算得到 \[\omega^n_L \circ \alpha^n = (d_L^{n + 1} \otimes \text{id}_I) \circ h^n + h^{n + 1} \circ d_K^n + (\alpha^{n + 2} \otimes \text{id}_I) \circ \omega^n_K\] 这证明了本引理 (2) 中的图在此特殊情形下交换。把它应用于表示 \(K\) 的两种不同有上界自由复形选取，可知 \(\omega(K)\) 良定义；当然，(2) 在一般情形下也成立。

若 \(K\) 提升为 \(D^-(R')\) 中的 \(K'\)，则可用有上界自由 \(R'\)-模复形表示 \(K'\)，立即可见 \(\omega(K)=0\)。反过来，回到选取 \(K^\bullet,(K')^n,(d')^n_K\)；若 \(\omega(K)=0\)，则可找到同态 \(g^n:K^n\to K^{n+1}\otimes_R I\)，满足 \[\omega^n = (d_K^{n + 1} \otimes \text{id}_I) \circ g^n + g^{n + 1} \circ d_K^n\] 这意味着以 \((d')^n_K-g^n:(K')^n\to(K')^{n+1}\) 为微分，得到提升 \(K^\bullet\) 的自由 \(R'\)-模复形。这证明了 (1)。

最后，(3) 的含义如下。设 \(R'\to S'\) 是环同态，令 \(S=S'\otimes_{R'}R\)，并以 \(J=IS'\subset S'\) 记 \(S'\to S\) 的平方零核。给定 \(K\in D^-(R)\)，所得下图交换： \[\xymatrix{ K \otimes_R^\mathbf{L} S \ar[d] \ar[rr]_-{\omega(K) \otimes \text{id}} & & (K \otimes^\mathbf{L}_R I[2]) \otimes_R^\mathbf{L} S \ar[d] \\ K \otimes_R^\mathbf{L} S \ar[rr]^-{\omega(K \otimes_R^\mathbf{L} S)} & & (K \otimes_R^\mathbf{L} S) \otimes^\mathbf{L}_S J[2] }\] 其中右侧竖直箭头来自 \[(K \otimes^\mathbf{L}_R I[2]) \otimes_R^\mathbf{L} S = (K \otimes_R^\mathbf{L} S) \otimes_S^\mathbf{L} (I \otimes_R^\mathbf{L} S)[2] \longrightarrow (K \otimes_R^\mathbf{L} S) \otimes_S^\mathbf{L} J[2]\] 如上选取 \(K^\bullet,(K')^n,(d')^n_K\)。于是可用 \(K^\bullet\otimes_R S\)、\((K')^n\otimes_{R'}S'\) 以及 \((d')^n_K\otimes\text{id}_{S'}\) 构造 \(\omega(K\otimes_R^\mathbf{L}S)\)。在这些选取下，立即可在复形同态层次验证交换性。

环化拓扑斯上复形的形变

本节材料取自 [lieblich-complexes]。

本节材料适用于第 08M6 节所定义的环化拓扑斯一阶增厚情形。不过，为简化记号，我们假设底层位点 \(\mathcal{C}\) 与 \(\mathcal{D}\) 相同。此外，把环层的满同态 \(\mathcal{O}' \to \mathcal{O}\) 记作 \(\mathcal{O} \to \mathcal{O}_0\)；这种记法在文献中或许更常见。

引理

设 \(\mathcal{C}\) 是位点，\(\mathcal{O} \to \mathcal{O}_0\) 是环层的满射。假设给定以下数据：

平坦 \(\mathcal{O}\)-模 \(\mathcal{G}^n\)；

\(\mathcal{O}\)-模同态 \(\mathcal{G}^n \to \mathcal{G}^{n + 1}\)；

\(\mathcal{O}_0\)-模复形 \(\mathcal{K}_0^\bullet\)；

\(\mathcal{O}\)-模同态 \(\mathcal{G}^n \to \mathcal{K}_0^n\)。

并且满足：

当 \(n \gg 0\) 时，\(H^n(\mathcal{K}_0^\bullet) = 0\)；

当 \(n \gg 0\) 时，\(\mathcal{G}^n = 0\)；

令 \(\mathcal{G}^n_0 = \mathcal{G}^n \otimes_\mathcal{O} \mathcal{O}_0\) ，则诱导同态给出复形 \(\mathcal{G}_0^\bullet\) 及复形同态 \(\mathcal{G}_0^\bullet \to \mathcal{K}_0^\bullet\)。

则存在：

平坦 \(\mathcal{O}\)-模 \(\mathcal{F}^n\)；

\(\mathcal{O}\)-模同态 \(\mathcal{F}^n \to \mathcal{F}^{n + 1}\)；

\(\mathcal{O}\)-模同态 \(\mathcal{F}^n \to \mathcal{K}_0^n\)；

\(\mathcal{O}\)-模同态 \(\mathcal{G}^n \to \mathcal{F}^n\)。

它们满足：当 \(n \gg 0\) 时 \(\mathcal{F}^n = 0\)；对所有 \(n\)，图 \[\xymatrix{ \mathcal{G}^n \ar[r] \ar[d] & \mathcal{G}^{n + 1} \ar[d] \\ \mathcal{F}^n \ar[r] & \mathcal{F}^{n + 1} }\] 交换；复合 \(\mathcal{G}^n \to \mathcal{F}^n \to \mathcal{K}_0^n\) 等于给定同态 \(\mathcal{G}^n \to \mathcal{K}_0^n\)；并且令 \(\mathcal{F}^n_0 = \mathcal{F}^n \otimes_\mathcal{O} \mathcal{O}_0\) 时，得到复形 \(\mathcal{F}_0^\bullet\) 和拟同构的复形同态 \(\mathcal{F}_0^\bullet \to \mathcal{K}_0^\bullet\)。

证明

我们对 \(e\) 作递降归纳，证明可对 \(n \geq e\) 找到 \(\mathcal{F}^n\)、 \(\mathcal{G}^n \to \mathcal{F}^n\) 及 \(\mathcal{F}^n \to \mathcal{F}^{n + 1}\)，使其嵌入交换图 \[\xymatrix{ \ldots \ar[r] & \mathcal{G}^{e - 1} \ar[r] \ar@/_2pc/[dd] & \mathcal{G}^e \ar[d] \ar[r] \ar@/_2pc/[dd] & \mathcal{G}^{e + 1} \ar[d] \ar[r] \ar@/_2pc/[dd]|\hole & \ldots \\ & & \mathcal{F}^e \ar[d] \ar[r] & \mathcal{F}^{e + 1} \ar[d] \ar[r] & \ldots \\ \ldots \ar[r] & \mathcal{K}_0^{e - 1} \ar[r] & \mathcal{K}_0^e \ar[r] & \mathcal{K}_0^{e + 1} \ar[r] & \ldots }\] ，其中 \(\mathcal{F}_0^\bullet\) 是复形，且诱导同态 \(\mathcal{F}_0^\bullet \to \mathcal{K}_0^\bullet\) 在 \(n>e\) 时于 \(H^n\) 上诱导同构，在 \(n=e\) 时诱导满射。当 \(e\gg0\) 时，由假设 (a)、(b)，可对 \(n\geq e\) 取 \(\mathcal{F}^n=0\)，故结论成立。

归纳步骤。我们需要构造 \(\mathcal{F}^{e - 1}\) 以及同态 \(\mathcal{G}^{e - 1} \to \mathcal{F}^{e - 1}\)、 \(\mathcal{F}^{e - 1} \to \mathcal{F}^e\) 与 \(\mathcal{F}^{e - 1} \to \mathcal{K}_0^{e - 1}\)。我们把 \(\mathcal{F}^{e - 1} = A \oplus B \oplus C\) 选为三个部分的直和。

第一部分取 \(A = \mathcal{G}^{e - 1}\)，并把同态 \(\mathcal{G}^{e - 1} \to \mathcal{F}^{e - 1}\) 选为第一直和项的嵌入。同态 \(A \to \mathcal{K}^{e - 1}_0\) 与 \(A \to \mathcal{F}^e\) 取为显然的同态。

为选取 \(B\)，考虑由归纳假设得到的满射 \[\gamma : \Ker(\mathcal{F}^e_0 \to \mathcal{F}^{e + 1}_0) \longrightarrow \Ker(\mathcal{K}^e_0 \to \mathcal{K}^{e + 1}_0)/ \Im(\mathcal{K}^{e - 1}_0 \to \mathcal{K}^e_0)\] 可选取集合 \(I\)，并对每个 \(i\in I\) 选取 \(\mathcal{C}\) 的对象 \(U_i\) 以及截面 \(s_i \in \mathcal{F}^e(U_i)\)、\(t_i \in \mathcal{K}^{e - 1}_0(U_i)\) ，使得：

\(s_i\) 映为 \(\Ker(\gamma) \subset \Ker(\mathcal{F}^e_0 \to \mathcal{F}^{e + 1}_0)\) 的截面；

\(s_i\) 与 \(t_i\) 映为 \(\mathcal{K}^e_0\) 的同一截面；

各截面 \(s_i\) 作为 \(\mathcal{O}_0\)-模生成 \(\Ker(\gamma)\)。

我们略去完整论证；这里用到 \(\mathcal{F}^e \to \mathcal{F}^e_0\) 是集合层的满射。令 \[B = \bigoplus\nolimits_{i \in I} j_{U_i!}\mathcal{O}_{U_i}\] 并用 \(s_i\) 与 \(t_i\) 确定各直和项 \(j_{U_i!}\mathcal{O}_{U_i}\) 的像，从而定义同态 \(B \to \mathcal{F}^e\) 与 \(B \to \mathcal{K}_0^{e - 1}\)。

取 \(\mathcal{F}^{e - 1} = A \oplus B\) 及上述同态，便得到对应于 \(e-1\) 的上述图，并且 \(\mathcal{F}_0^\bullet \to \mathcal{K}_0^\bullet\) 在 \(n\geq e\) 时于 \(H^n\) 上诱导同构。为了使该同态在 \(H^{e-1}\) 上为满射，按如下方式选取直和项 \(C\)。选取集合 \(J\)，并对每个 \(j\in J\) 选取 \(\mathcal{C}\) 的对象 \(U_j\) 及 \(U_j\) 上 \(\Ker(\mathcal{K}^{e - 1}_0 \to \mathcal{K}^e_0)\) 的截面 \(t_j\)，使这些截面作为 \(\mathcal{O}_0\)-模生成该核。令 \[C = \bigoplus\nolimits_{j \in J} j_{U_j!}\mathcal{O}_{U_j}\]

再取零同态 \(C \to \mathcal{F}^e\)，并用 \(s_j\) 确定直和项 \(j_{U_j!}\mathcal{O}_{U_j}\) 的像，从而定义同态 \(C \to \mathcal{K}_0^{e - 1}\)。取 \(\mathcal{F}^{e - 1} = A \oplus B \oplus C\) 及上述各同态，便完成归纳步骤。

引理

设 \(\mathcal{C}\) 是位点，\(\mathcal{O} \to \mathcal{O}_0\) 是环层的满射，其核是平方零理想层 \(\mathcal{I}\)。对 \(D^-(\mathcal{O}_0)\) 中每个对象 \(K_0\)，存在典范同态 \[\omega(K_0) : K_0 \longrightarrow K_0 \otimes_{\mathcal{O}_0}^\mathbf{L} \mathcal{I}[2]\] 属于 \(D(\mathcal{O}_0)\)，并且对 \(D^-(\mathcal{O}_0)\) 中任意同态 \(K_0 \to L_0\)，图 \[\xymatrix{ K_0 \ar[d] \ar[rr]_-{\omega(K_0)} & & (K_0 \otimes^\mathbf{L}_{\mathcal{O}_0} \mathcal{I})[2] \ar[d] \\ L_0 \ar[rr]^-{\omega(L_0)} & & (L_0 \otimes^\mathbf{L}_{\mathcal{O}_0} \mathcal{I})[2] }\] 交换。

证明

用任意 \(\mathcal{O}_0\)-模复形 \(\mathcal{K}_0^\bullet\) 表示 \(K_0\)。在所有 \(n\) 上取 \(\mathcal{G}^n=0\)，应用引理 0DIT。把该引理给出的同态记为 \(d : \mathcal{F}^n \to \mathcal{F}^{n + 1}\)。于是 \(d \circ d : \mathcal{F}^n \to \mathcal{F}^{n + 2}\) 模 \(\mathcal{I}\) 为零。由于 \(\mathcal{F}^n\) 平坦，有 \(\mathcal{I}\mathcal{F}^n = \mathcal{F}^n \otimes_{\mathcal{O}} \mathcal{I} = \mathcal{F}^n_0 \otimes_{\mathcal{O}_0} \mathcal{I}\)。因此得到典范复形同态 \[d \circ d : \mathcal{F}_0^\bullet \longrightarrow (\mathcal{F}_0^\bullet \otimes_{\mathcal{O}_0} \mathcal{I})[2]\] 由于 \(\mathcal{F}_0^\bullet\) 是平坦 \(\mathcal{O}_0\)-模的有上界复形，它是 K-平坦的，因而可用于计算导出张量积。此外，按构造，复形同态 \(\mathcal{F}_0^\bullet \to \mathcal{K}_0^\bullet\) 是拟同构。因此，刚构造的同态的源与靶分别表示 \(K_0\) 和 \(K_0 \otimes_{\mathcal{O}_0}^\mathbf{L} \mathcal{I}[2]\) ，从而得到同态 \(\omega(K_0)\)。

下面证明此过程与复形同态相容。设 \(\mathcal{L}_0^\bullet\) 表示 \(D^-(\mathcal{O}_0)\) 中另一对象，并假设 \[\mathcal{K}_0^\bullet \longrightarrow \mathcal{L}_0^\bullet\] 是复形同态。对复形 \(\mathcal{L}_0^\bullet\)、平坦模 \(\mathcal{F}^n\)、同态 \(\mathcal{F}^n \to \mathcal{F}^{n + 1}\) 以及复合 \(\mathcal{F}^n \to \mathcal{K}_0^n \to \mathcal{L}_0^n\) 应用引理 0DIT（这里字母的使用次序颠倒了，谨致歉意）。得到平坦模 \(\mathcal{G}^n\)，以及同态 \(\mathcal{F}^n \to \mathcal{G}^n\)、 \(\mathcal{G}^n \to \mathcal{G}^{n + 1}\) 和 \(\mathcal{G}^n \to \mathcal{L}_0^n\)，它们具备该引理中的全部性质。于是显然 \[\xymatrix{ \mathcal{F}_0^\bullet \ar[d] \ar[r] & (\mathcal{F}_0^\bullet \otimes_{\mathcal{O}_0} \mathcal{I})[2] \ar[d] \\ \mathcal{G}_0^\bullet \ar[r] & (\mathcal{G}_0^\bullet \otimes_{\mathcal{O}_0} \mathcal{I})[2] }\] 是复形的交换图。

为证明 \(\omega(K_0)\) 良定义，假设有两个表示 \(K_0\) 的 \(\mathcal{O}_0\)-模复形 \(\mathcal{K}_0^\bullet\) 与 \((\mathcal{K}'_0)^\bullet\)，以及上述类型的两组数据 \((\mathcal{F}^n, d : \mathcal{F}^n \to \mathcal{F}^{n + 1}, \mathcal{F}^n \to \mathcal{K}_0^n)\) 以及 \(((\mathcal{F}')^n, d : (\mathcal{F}')^n \to (\mathcal{F}')^{n + 1}, (\mathcal{F}')^n \to \mathcal{K}_0^n)\) 。可以选取复形 \((\mathcal{K}''_0)^\bullet\) 和拟同构 \(\mathcal{K}_0^\bullet \to (\mathcal{K}''_0)^\bullet\) 以及 \((\mathcal{K}'_0)^\bullet \to (\mathcal{K}''_0)^\bullet\) ，以实现这两个复形在导出范畴中均表示 \(K_0\) 这一事实。然后把上一段的结果应用于 \[(\mathcal{K}_0)^\bullet \oplus (\mathcal{K}'_0)^\bullet \longrightarrow (\mathcal{K}''_0)^\bullet\] ，得到交换图 \[\xymatrix{ \mathcal{F}_0^\bullet \oplus (\mathcal{F}'_0)^\bullet \ar[d] \ar[r] & (\mathcal{F}_0^\bullet \otimes_{\mathcal{O}_0} \mathcal{I})[2] \oplus ((\mathcal{F}'_0)^\bullet \otimes_{\mathcal{O}_0} \mathcal{I})[2] \ar[d] \\ \mathcal{G}_0^\bullet \ar[r] & (\mathcal{G}_0^\bullet \otimes_{\mathcal{O}_0} \mathcal{I})[2] }\] 由于竖直箭头在各直和项上给出拟同构，便得到 \(D(\mathcal{O}_0)\) 中所需的交换性。

既已证明良定义性，与同态相容的断言即由第二段的结果推出。

引理

设 \((\mathcal{C}, \mathcal{O})\) 是环化位点， \(\alpha : K \to L\) 是 \(D^-(\mathcal{O})\) 中的同态， \(\mathcal{F}\) 是 \(\mathcal{O}\)-模层，且 \(n \in \mathbf{Z}\)。

若对 \(i \geq n\)，\(H^i(\alpha)\) 是同构，则对 \(i \geq n\)， \(H^i(\alpha \otimes_\mathcal{O}^\mathbf{L} \text{id}_\mathcal{F})\) 也是同构。

若对 \(i > n\)，\(H^i(\alpha)\) 是同构，且对 \(i = n\) 它是满射，则对 \(i > n\)， \(H^i(\alpha \otimes_\mathcal{O}^\mathbf{L} \text{id}_\mathcal{F})\) 是同构，且对 \(i = n\) 它是满射。

证明

选取可区别三角 \[K \to L \to C \to K[1]\] 在情形 (2) 中，对 \(i\geq n\) 有 \(H^i(C)=0\)。因此由《导出范畴》引理 05TC 的对偶，对 \(i\geq n\) 有 \(H^i(C \otimes_\mathcal{O}^\mathbf{L} \mathcal{F}) = 0\)。这又表明 \(H^i(\alpha \otimes_\mathcal{O}^\mathbf{L} \text{id}_\mathcal{F})\) 在 \(i>n\) 时是同构，在 \(i=n\) 时是满射。在情形 (1) 中，还可知 \(H^{n - 1}(L) \to H^{n - 1}(C)\) 是满射。考虑图 \[\xymatrix{ H^{n - 1}(L) \otimes_\mathcal{O} \mathcal{F} \ar[r] \ar[d] & H^{n - 1}(C) \otimes_\mathcal{O} \mathcal{F} \ar@{=}[d] \\ H^{n - 1}(L \otimes_\mathcal{O}^\mathbf{L} \mathcal{F}) \ar[r] & H^{n - 1}(C \otimes_\mathcal{O}^\mathbf{L} \mathcal{F}) }\] ，可知下方水平箭头是满射。结合前述结论，这表明 \(H^n(\alpha \otimes_\mathcal{O}^\mathbf{L} \text{id}_\mathcal{F})\) 是同构。

引理

设 \(\mathcal{C}\) 是位点，\(\mathcal{O} \to \mathcal{O}_0\) 是环层的满射，其核是平方零理想层 \(\mathcal{I}\)。对 \(D^-(\mathcal{O}_0)\) 中每个对象 \(K_0\)，以下条件等价：

引理 0DIU 中构造的类 \(\omega(K_0) \in \Ext^2_{\mathcal{O}_0}(K_0, K_0 \otimes_{\mathcal{O}_0} \mathcal{I})\) 为零；

存在 \(K \in D^-(\mathcal{O})\)，使得 \(K \otimes_\mathcal{O}^\mathbf{L} \mathcal{O}_0 = K_0\) 在 \(D(\mathcal{O}_0)\) 中成立。

证明

设 \(K\) 如 (2) 所述。可用平坦 \(\mathcal{O}\)-模的有上界复形 \(\mathcal{F}^\bullet\) 表示 \(K\)。于是 \(\mathcal{F}_0^\bullet = \mathcal{F}^\bullet \otimes_{\mathcal{O}} \mathcal{O}_0\) 在 \(D(\mathcal{O}_0)\) 中表示 \(K_0\)。由于 \(\mathcal{F}^\bullet\) 是复形， \(d_{\mathcal{F}^\bullet} \circ d_{\mathcal{F}^\bullet} = 0\)；从 \(\omega(K_0)\) 的构造即可看出它为零。

假设 (1) 成立。取构造 \(\omega(K_0)\) 时的 \(\mathcal{F}^n\) 与 \(d : \mathcal{F}^n \to \mathcal{F}^{n + 1}\)。 \(\omega(K_0)\) 为零意味着同态 \[\omega = d \circ d : \mathcal{F}_0^\bullet \longrightarrow (\mathcal{F}_0^\bullet \otimes_{\mathcal{O}_0} \mathcal{I})[2]\] 在 \(D(\mathcal{O}_0)\) 中为零。按导出范畴作为 \(\mathcal{O}_0\)-模复形同伦范畴之局部化的定义，存在拟同构 \(\alpha : \mathcal{G}_0^\bullet \to \mathcal{F}_0^\bullet\) 以及 \(\mathcal{O}_0\)-模同态 \(h^n : \mathcal{G}_0^n \to \mathcal{F}_0^{n + 1} \otimes_\mathcal{O} \mathcal{I}\) ，使得 \[\omega \circ \alpha = d_{\mathcal{F}_0^\bullet \otimes \mathcal{I}} \circ h + h \circ d_{\mathcal{G}_0^\bullet}\] 令 \[\mathcal{H}^n = \mathcal{F}^n \times_{\mathcal{F}^n_0} \mathcal{G}_0^n\] 并定义 \[d' : \mathcal{H}^n \longrightarrow \mathcal{H}^{n + 1},\quad (f^n, g_0^n) \longmapsto (d(f^n) - h^n(g_0^n), d(g_0^n))\] 这里使用显然的记号，并用到 \(\mathcal{F}_0^{n + 1} \otimes_{\mathcal{O}_0} \mathcal{I} = \mathcal{F}^{n + 1} \otimes_\mathcal{O} \mathcal{I} = \mathcal{I}\mathcal{F}^{n + 1} \subset \mathcal{F}^{n + 1}\)。由 \(h^n\) 的选取和 \(\omega\) 的定义可核验 \(d'\circ d'=0\)。因此 \(\mathcal{H}^\bullet\) 定义 \(D(\mathcal{O})\) 中的对象。另一方面，有 \(\mathcal{O}\)-模复形的短正合列 \[0 \to \mathcal{F}_0^\bullet \otimes_{\mathcal{O}_0} \mathcal{I} \to \mathcal{H}^\bullet \to \mathcal{G}_0^\bullet \to 0\] 尚需证明 \(\mathcal{H}^\bullet \otimes_\mathcal{O}^\mathbf{L} \mathcal{O}_0\) 与 \(K_0\) 同构。选取拟同构 \(\mathcal{E}^\bullet \to \mathcal{H}^\bullet\) ，其中 \(\mathcal{E}^\bullet\) 是平坦 \(\mathcal{O}\)-模的有上界复形。得到交换图 \[\xymatrix{ 0 \ar[r] & \mathcal{E}^\bullet \otimes_\mathcal{O} \mathcal{I} \ar[d]^\beta \ar[r] & \mathcal{E}^\bullet \ar[d]^\gamma \ar[r] & \mathcal{E}_0^\bullet \ar[d]^\delta \ar[r] & 0 \\ 0 \ar[r] & \mathcal{F}_0^\bullet \otimes_{\mathcal{O}_0} \mathcal{I} \ar[r] & \mathcal{H}^\bullet \ar[r] & \mathcal{G}_0^\bullet \ar[r] & 0 }\] 我们断言 \(\delta\) 是拟同构。由于当 \(i\gg0\) 时 \(H^i(\delta)\) 是同构，可以对满足“当 \(i\geq n\) 时 \(H^i(\delta)\) 为同构”的 \(n\) 作递降归纳。注意， \(\mathcal{E}^\bullet \otimes_\mathcal{O} \mathcal{I}\) 表示 \(\mathcal{E}_0^\bullet \otimes_{\mathcal{O}_0}^\mathbf{L} \mathcal{I}\)，而 \(\mathcal{F}_0^\bullet \otimes_{\mathcal{O}_0} \mathcal{I}\) 表示 \(\mathcal{G}_0^\bullet \otimes_{\mathcal{O}_0}^\mathbf{L} \mathcal{I}\)，并且作为 \(D(\mathcal{O}_0)\) 中的同态，有 \(\beta = \delta \otimes_{\mathcal{O}_0}^\mathbf{L} \text{id}_\mathcal{I}\) 。这是因为 \(\beta = (\alpha \otimes \text{id}_\mathcal{I}) \circ (\delta \otimes \text{id}_\mathcal{I})\)。假设在次数 \(\geq n\) 上 \(H^i(\delta)\) 是同构。由刚才所述及引理 0DIV，\(\beta\) 也具有同一性质。考虑图 \[\xymatrix{ H^{n - 1}(\mathcal{E}^\bullet \otimes_\mathcal{O} \mathcal{I}) \ar[r] \ar[d]^{H^{n - 1}(\beta)} & H^{n - 1}(\mathcal{E}^\bullet) \ar[r] \ar[d] & H^{n - 1}(\mathcal{E}_0^\bullet) \ar[r] \ar[d]^{H^{n - 1}(\delta)} & H^n(\mathcal{E}^\bullet \otimes_\mathcal{O} \mathcal{I}) \ar[r] \ar[d]^{H^n(\beta)} & H^n(\mathcal{E}^\bullet) \ar[d] \\ H^{n - 1}(\mathcal{F}_0^\bullet \otimes_\mathcal{O} \mathcal{I}) \ar[r] & H^{n - 1}(\mathcal{H}^\bullet) \ar[r] & H^{n - 1}(\mathcal{G}_0^\bullet) \ar[r] & H^n(\mathcal{F}_0^\bullet \otimes_\mathcal{O} \mathcal{I}) \ar[r] & H^n(\mathcal{H}^\bullet) }\] 由《同调代数》引理 05QA， \(H^{n - 1}(\delta)\) 是满射。再由引理 0DIV， \(H^{n - 1}(\beta)\) 是满射。再次应用《同调代数》引理 05QA，可知 \(H^{n - 1}(\delta)\) 是同构。归纳证明了该断言，故 \(\delta\) 是拟同构，这正是所需结论。

引理

设 \(\mathcal{C}\) 是位点，\(\mathcal{O} \to \mathcal{O}_0\) 是环层的满射。假设给定以下数据：

\(\mathcal{O}\)-模复形 \(\mathcal{F}^\bullet\)；

\(\mathcal{O}_0\)-模复形 \(\mathcal{K}_0^\bullet\)；

拟同构 \(\mathcal{K}_0^\bullet \to \mathcal{F}^\bullet \otimes_\mathcal{O} \mathcal{O}_0\)。

则存在拟同构 \(\mathcal{G}^\bullet \to \mathcal{F}^\bullet\)，使得复形同态 \(\mathcal{G}^\bullet \otimes_\mathcal{O} \mathcal{O}_0 \to \mathcal{F}^\bullet \otimes_\mathcal{O} \mathcal{O}_0\) 在 \(\mathcal{O}_0\)-模复形的同伦范畴中经由 \(\mathcal{K}_0^\bullet\) 分解。

证明

令 \(\mathcal{F}_0^\bullet = \mathcal{F}^\bullet \otimes_\mathcal{O} \mathcal{O}_0\)。由《导出范畴》引理 0642，给定同态有分解 \[\mathcal{K}_0^\bullet \to \mathcal{L}_0^\bullet \to \mathcal{F}_0^\bullet\] ，其中第一箭头有精确到同伦的逆，第二箭头逐项为分裂满射。因此可以假设 \(\mathcal{K}_0^\bullet \to \mathcal{F}_0^\bullet\) 逐项为满射。此时取 \[\mathcal{G}^n = \mathcal{F}^n \times_{\mathcal{F}^n_0} \mathcal{K}_0^n\] ，一切即显然。

引理

设 \(\mathcal{C}\) 是位点，\(\mathcal{O} \to \mathcal{O}_0\) 是环层的满射，其核是平方零理想层 \(\mathcal{I}\)。设 \(K,L\in D^-(\mathcal{O})\)，并在 \(D^-(\mathcal{O}_0)\) 中令 \(K_0 = K \otimes_\mathcal{O}^\mathbf{L} \mathcal{O}_0\) 及 \(L_0 = L \otimes_\mathcal{O}^\mathbf{L} \mathcal{O}_0\)。给定 \(D(\mathcal{O}_0)\) 中的 \(\alpha_0 : K_0 \to L_0\)，存在典范元素 \[o(\alpha_0) \in \Ext^1_{\mathcal{O}_0}(K_0, L_0 \otimes_{\mathcal{O}_0}^\mathbf{L} \mathcal{I})\] ；它为零当且仅当 \(D(\mathcal{O})\) 中存在同态 \(\alpha : K \to L\)，满足 \(\alpha_0 = \alpha \otimes_\mathcal{O}^\mathbf{L} \text{id}\)。

证明

寻找提升 \(\alpha_0\) 的 \(\alpha:K\to L\)，等价于寻找 \(\alpha:K\to L\)，使复合 \(K \xrightarrow{\alpha} L \to L_0\) 等于复合 \(K \to K_0 \xrightarrow{\alpha_0} L_0\)。短正合列 \(0 \to \mathcal{I} \to \mathcal{O} \to \mathcal{O}_0 \to 0\) 给出典范可区别三角 \[L \otimes_\mathcal{O}^\mathbf{L} \mathcal{I} \to L \to L_0 \to (L \otimes_\mathcal{O}^\mathbf{L} \mathcal{I})[1]\] 属于 \(D(\mathcal{O})\)。由《导出范畴》引理 0149，复合 \[K \to K_0 \xrightarrow{\alpha_0} L_0 \to (L \otimes_\mathcal{O}^\mathbf{L} \mathcal{I})[1]\] 为零当且仅当可找到提升 \(\alpha_0\) 的 \(\alpha:K\to L\)。此复合是下列群的元素： \[\Hom_{D(\mathcal{O})}(K, (L \otimes_\mathcal{O}^\mathbf{L} \mathcal{I})[1]) = \Hom_{D(\mathcal{O}_0)}(K_0, (L \otimes_\mathcal{O}^\mathbf{L} \mathcal{I})[1]) = \Ext^1_{\mathcal{O}_0}(K_0, L_0 \otimes_{\mathcal{O}_0}^\mathbf{L} \mathcal{I})\] ，其中等号来自伴随。

引理

设 \(\mathcal{C}\) 是位点，\(\mathcal{O} \to \mathcal{O}_0\) 是环层的满射，其核是平方零理想层 \(\mathcal{I}\)。

设 \(K_0 \in D^-(\mathcal{O})\)。\(K_0\) 的一个提升是二元组 \((K,\alpha_0)\)，其中 \(K\) 是 \(D^-(\mathcal{O})\) 中的对象，而 \(\alpha_0 : K \otimes_\mathcal{O}^\mathbf{L} \mathcal{O}_0 \to K_0\) 是 \(D(\mathcal{O}_0)\) 中的同构。

给定提升 \((K,\alpha)\)，该二元组的自同构群典范地等于同态 \[\Ext^{-1}_{\mathcal{O}_0}(K_0, K_0) \longrightarrow \Hom_{\mathcal{O}_0}(K_0, K_0 \otimes_{\mathcal{O}_0}^\mathbf{L} \mathcal{I})\] 的余核。

若存在提升，则提升的同构类之集合在 \(\Ext^1_{\mathcal{O}_0}(K_0, K_0 \otimes_{\mathcal{O}_0}^\mathbf{L} \mathcal{I})\) 的作用下为主齐性空间。

证明

\((K,\alpha)\) 的一个自同构是 \(D(\mathcal{O})\) 中满足 \(\varphi \otimes_\mathcal{O} \text{id}_{\mathcal{O}_0} = \text{id}\) 的同态 \(\varphi:K\to K\)。这等价于说复合 \[K \xrightarrow{\varphi - \text{id}} K \to K \otimes_\mathcal{O}^\mathbf{L} \mathcal{O}_0\] 为零。由此可知，自同构群是同态 \[\Hom_\mathcal{O}(K, K_0[-1]) \longrightarrow \Hom_\mathcal{O}(K, K_0 \otimes_{\mathcal{O}_0}^\mathbf{L} \mathcal{I})\] 的余核；这是由 \(D(\mathcal{O})\) 中的可区别三角 \[K \otimes_\mathcal{O}^\mathbf{L} \mathcal{I} \to K \to K \otimes_\mathcal{O}^\mathbf{L} \mathcal{O}_0 \to (K \otimes_\mathcal{O}^\mathbf{L} \mathcal{I})[1]\] 及《导出范畴》引理 0149 得出的。要把它改写为引理中的群，使用限制函子 \(D(\mathcal{O}_0) \to D(\mathcal{O})\) 与 \(- \otimes_\mathcal{O} \mathcal{O}_0 : D(\mathcal{O}) \to D(\mathcal{O}_0)\) 之间的伴随。这证明了 (1)。

证明 (2)。假设在 \(D(\mathcal{O})\) 中 \(K_0 = K \otimes_\mathcal{O}^\mathbf{L} \mathcal{O}_0\)。由引理 0DIY，把提升 \((K',\alpha_0)\) 映到提升 \(\alpha_0\) 的障碍 \(o(\alpha_0)\) 的同态，定义了从二元组的同构类集合到 \(\Ext^1_{\mathcal{O}_0}(K_0, K_0 \otimes_{\mathcal{O}_0}^\mathbf{L} \mathcal{I})\) 的典范单射。为完成证明，只需证明它为满射。取本引理的 \(\Ext^1\) 中的 \(\xi : K_0 \to (K_0 \otimes_{\mathcal{O}_0}^\mathbf{L} \mathcal{I})[1]\)。选取表示 \(K\) 的平坦 \(\mathcal{O}\)-模的有上界复形 \(\mathcal{F}^\bullet\)。同态 \(\xi\) 可表示为 \(t\circ s^{-1}\)，其中 \(s : \mathcal{K}_0^\bullet \to \mathcal{F}_0^\bullet\) 是拟同构，而 \(t : \mathcal{K}_0^\bullet \to \mathcal{F}_0^\bullet \otimes_{\mathcal{O}_0} \mathcal{I}[1]\) 是复形同态。由引理 0DIX，可以假设存在 \(\mathcal{O}\)-模复形间的拟同构 \(\mathcal{G}^\bullet \to \mathcal{F}^\bullet\)，使得 \(\mathcal{G}_0^\bullet \to \mathcal{F}_0^\bullet\) 在精确到同伦的意义下经由 \(s\) 分解。我们可以并且确实把 \(\mathcal{G}^\bullet\) 换成平坦 \(\mathcal{O}\)-模的有上界复形（选取从这样一个复形到 \(\mathcal{G}^\bullet\) 的拟同构并作替换）。于是 \(\xi\) 由复形同态 \(t : \mathcal{G}_0^\bullet \to \mathcal{F}_0^\bullet \otimes_{\mathcal{O}_0} \mathcal{I}[1]\) 及拟同构 \(\mathcal{G}_0^\bullet \to \mathcal{F}_0^\bullet\) 表示。令 \[\mathcal{H}^n = \mathcal{F}^n \times_{\mathcal{F}_0^n} \mathcal{G}_0^n\] ，其微分为 \[\mathcal{H}^n \to \mathcal{H}^{n + 1},\quad (f^n, g_0^n) \mapsto (d(f^n) + t(g_0^n), d(g_0^n))\] 这是有意义的，因为 \(\mathcal{F}_0^{n + 1} \otimes_{\mathcal{O}_0} \mathcal{I} = \mathcal{F}^{n + 1} \otimes_\mathcal{O} \mathcal{I} = \mathcal{I}\mathcal{F}^{n + 1} \subset \mathcal{F}^{n + 1}\)。我们略去证明 \(\mathcal{H}^\bullet\) 是 \(\mathcal{O}\)-模复形的计算。按构造有短正合列 \[0 \to \mathcal{F}_0^\bullet \otimes_{\mathcal{O}_0} \mathcal{I} \to \mathcal{H}^\bullet \to \mathcal{G}_0^\bullet \to 0\] ，它由 \(\mathcal{O}\)-模复形构成。与引理 0DIW 的证明完全相同，可证明此列诱导同构 \(\alpha_0 : \mathcal{H}^\bullet \otimes_\mathcal{O}^\mathbf{L} \mathcal{O}_0 \to \mathcal{G}_0^\bullet\)，属于 \(D(\mathcal{O}_0)\)。换言之，我们构造出了二元组 \((\mathcal{H}^\bullet,\alpha_0)\)。我们略去 \(o(\alpha_0)=\xi\) 的核验；提示：在此情形下，由于存在提升 \(\alpha_0\) 各分量的同态 \(\mathcal{H}^n \to \mathcal{F}^n\)（它们与微分不相容），可以显式计算 \(o(\alpha_0)\)。证明完毕。

换言之，即 \(S\) 上的一阶增厚 \(i:X\to X'\) 连同 \(\mathcal{O}_X\)-模同构 \(\mathcal{G}\to\Ker(i^\sharp)\) 的同构类集合。↩︎
换言之，即 \((\Sh(\mathcal{B}),\mathcal{O}_\mathcal{B})\) 上一阶增厚 \(i : (\Sh(\mathcal{C}), \mathcal{O}) \to (\Sh(\mathcal{C}), \mathcal{O}')\) 连同 \(\mathcal{O}\)-模同构 \(\mathcal{G}\to\Ker(i^\sharp)\) 的同构类集合。↩︎