引言
本章讨论群胚概形的若干进阶论题。尽管各项结果都以群胚概形来表述， 读者仍应始终将如下 \(2\)-笛卡尔图牢记在心： [04LC]\[\begin{equation} \vcenter{ \xymatrix{ R \ar[r] \ar[d] & U \ar[d] \\ U \ar[r] & [U/R] } } \end{equation}\] 其中 \([U/R]\) 是商叠，见《代数空间中的群胚》注 04M7。 许多结果的动机都来自对这一图表的思考。例如，可参阅 Keel 和 Mori 的优美论文 [K-M]。
记号
我们继续沿用《群胚概形》第 022N 节中引入的约定与记号。
若干常用图
为便于本章引用，我们简要重述《群胚概形》引理 02YE 与 03C6 的结果。 设 \(S\) 为概形，\((U, R, s, t, c)\) 为 \(S\) 上的群胚概形。 在交换图 [04LF]\[\begin{equation} \vcenter{ \xymatrix{ & U & \\ R \ar[d]_s \ar[ru]^t & R \times_{s, U, t} R \ar[l]^-{\text{pr}_0} \ar[d]^{\text{pr}_1} \ar[r]_-c & R \ar[d]^s \ar[lu]_t \\ U & R \ar[l]_t \ar[r]^s & U } } \end{equation}\] 中，下方两个方块都是纤维积方块。此外，上方的三角形 （实际上是一个方块）也是笛卡尔的。
图 [04LG]\[\begin{equation} \vcenter{ \xymatrix{ R \times_{t, U, t} R \ar@<1ex>[r]^-{\text{pr}_1} \ar@<-1ex>[r]_-{\text{pr}_0} \ar[d]_{\text{pr}_0 \times c \circ (i, 1)} & R \ar[r]^t \ar[d]^{\text{id}_R} & U \ar[d]^{\text{id}_U} \\ R \times_{s, U, t} R \ar@<1ex>[r]^-c \ar@<-1ex>[r]_-{\text{pr}_0} \ar[d]_{\text{pr}_1} & R \ar[r]^t \ar[d]^s & U \\ R \ar@<1ex>[r]^s \ar@<-1ex>[r]_t & U } } \end{equation}\] 交换。由给定的竖直映射，上方两行彼此同构； 左下方的两个方块均为笛卡尔方块。
微分层
下面的引理对应于《群胚概形》引理 047I。
引理
设 \(S\) 为概形，\((U, R, s, t, c)\) 为 \(S\) 上的群胚概形。 经 \(t\) 把 \(R\) 看成 \(U\) 上的概形，则其微分层是浸入 \(e : U \to R\) 的余法层经 \(t\) 拉回所得层的商。换言之， 存在标准满射 \(t^*\mathcal{C}_{U/R} \to \Omega_{R/U}\)。 若 \(s\) 平坦，则该映射为同构。
证明
注意，\(e : U \to R\) 是态射 \(s\) 的截面，因而是浸入； 见《概形》引理 01KT。 考虑图 \[\xymatrix{ R \ar[r]_-{(1, i)} \ar[d]_t & R \times_{s, U, t} R \ar[d]^c \ar[rr]_{(\text{pr}_0, i \circ \text{pr}_1)} & & R \times_{t, U, t} R \\ U \ar[r]^e & R }\] 左侧方块是笛卡尔的，因为若 \(a \circ b = e\)，则 \(b = i(a)\)。两个水平映射的复合是 \(t : R \to U\) 的对角态射， 而右上方的水平箭头是同构。因此，由于 \(\Omega_{R/U}\) 是该复合的余法层，它同构于 \((1, i)\) 的余法层。 由《概形态射》引理 0473，得到满射 \(t^*\mathcal{C}_{U/R} \to \Omega_{R/U}\)；若 \(c\) 平坦， 该映射即为同构。根据图 (04LG) 的性质， \(c\) 是 \(s\) 的基变换。因此若 \(s\) 平坦，则 \(c\) 平坦； 见《概形态射》引理 01U9。
局部结构
设 \(S\) 为概形，\((U, R, s, t, c, e, i)\) 为 \(S\) 上的群胚概形， 并设 \(u \in U\) 为一点。本节说明局部环 \[A = \mathcal{O}_{U, u} \quad\text{且}\quad B = \mathcal{O}_{R, e(u)}\] 上得到的结构。约定仍以相应字母表示由态射 \(s, t, c, e, i\) 诱导的局部环同态。特别地，有局部环的交换图 \[\xymatrix{ A \ar[rd]_t \ar[rrd]^1 \\ & B \ar[r]^e & A \\ A \ar[ru]^s \ar[rru]_1 }\] 因此，若 \(I \subset B\) 表示 \(e : B \to A\) 的核，则 \(B = s(A) \oplus I = t(A) \oplus I\)。记 \[C = \mathcal{O}_{R \times_{s, U, t} R, (e(u), e(u))}\] 则 \[C = (B \otimes_{s, A, t} B)_{\mathfrak m_B \otimes B + B \otimes \mathfrak m_B}\] 令 \(J \subset C\) 为 \(C\) 中由 \(I \otimes B + B \otimes I\) 生成的理想。于是 \(J\) 也是局部环同态 \[(e, e) : C \longrightarrow A\] 的核。合成律 \(c : R \times_{s, U, t} R \to R\) 对应于环映射 \[c : B \longrightarrow C\] 且该映射把 \(I\) 映入 \(J\)。
引理
由 \(c\) 诱导的映射 \(I/I^2 \to J/J^2\) 是复合 \[I/I^2 \xrightarrow{(1, 1)} I/I^2 \oplus I/I^2 \to J/J^2\] 其中第二个箭头来自等式 \(J = (I \otimes B + B \otimes I)C\)。 映射 \(i : B \to B\) 诱导映射 \(-1 : I/I^2 \to I/I^2\)。
证明
要描述从 \(C\) 到另一局部环的局部同态，只需说明它在 \(b_1 \otimes b_2\) 形元素上的作用。依此观察，有两个标准映射 \[e_2 : C \to B,\ b_1 \otimes b_2 \mapsto b_1s(e(b_2)),\quad e_1 : C \to B,\ b_1 \otimes b_2 \mapsto t(e(b_1))b_2\] 它们对应于嵌入 \(R \to R \times_{s, U, t} R\)，分别由 \(r \mapsto (r, e(s(r)))\) 与 \(r \mapsto (e(t(r)), r)\) 给出。 这些映射诱导 \(J/J^2 \to I/I^2\)，合在一起给出引理中映射 \(I/I^2 \oplus I/I^2 \to J/J^2\) 的逆。因此，只需证明 \(e_1 \circ c : B \to B\) 与 \(e_2 \circ c : B \to B\) 均为恒等映射。这是因为两个复合 \(R \to R \times_{s, U, t} R \to R\) 都是恒等映射。
关于 \(i\) 的断言由关于 \(c\) 的断言以及等式 \(c \circ (1, i) = e \circ t\) 得出。其余细节从略。
群胚的性质
设 \((U, R, s, t, c)\) 为群胚概形。本节结果背后的思路是： \(s: R \to U\) 应当是态射 \(U \to [U/R]\) 的基变换 （见图 (04LC)）。因此， \(s : R \to U\) 的局部性质应当反映态射 \(U \to [U/R]\) 的局部性质。 这一思路不能直接照搬，因为 \([U/R]\) 未必是代数叠， 从而无法谈论 \(U \to [U/R]\) 的几何或代数性质。 不过，即使完全不提商叠，仍可实现其中的一部分。
下面是此类结果的第一个例子。粗略地说，引理中得到的开集 \(W \subset U'\) 是态射 \(U' \to [U/R]\) 具有性质 \(\mathcal{P}\) 的轨迹。
引理
设 \(S\) 为概形，\((U, R, s, t, c, e, i)\) 为 \(S\) 上的群胚， 且 \(g : U' \to U\) 为概形态射。记 \(h\) 为复合 \[\xymatrix{ h : U' \times_{g, U, t} R \ar[r]_-{\text{pr}_1} & R \ar[r]_s & U. }\] 设 \(\mathcal{P}, \mathcal{Q}, \mathcal{R}\) 为概形态射的性质。 假设
\(\mathcal{R} \Rightarrow \mathcal{Q}\)；
\(\mathcal{Q}\) 在基变换与复合下保持；
对任意具有 \(\mathcal{Q}\) 的态射 \(f : X \to Y\)， 存在最大的开集 \(W(\mathcal{P}, f) \subset X\)，使得 \(f|_{W(\mathcal{P}, f)}\) 具有 \(\mathcal{P}\)；且
对任意具有 \(\mathcal{Q}\) 的态射 \(f : X \to Y\) 以及任意具有 \(\mathcal{R}\) 的态射 \(Y' \to Y\)，有 \(Y' \times_Y W(\mathcal{P}, f) = W(\mathcal{P}, f')\)， 其中 \(f' : X_{Y'} \to Y'\) 是 \(f\) 的基变换。
若 \(s, t\) 具有 \(\mathcal{R}\)，且 \(g\) 具有 \(\mathcal{Q}\)， 则存在开子概形 \(W \subset U'\)，使得 \(W \times_{g, U, t} R = W(\mathcal{P}, h)\)。
证明
注意下图交换： \[\xymatrix{ U' \times_{g, U, t} R \times_{t, U, t} R \ar[rr]_-{\text{pr}_{12}} \ar@<1ex>[d]^-{\text{pr}_{02}} \ar@<-1ex>[d]_-{\text{pr}_{01}} & & R \times_{t, U, t} R \ar@<1ex>[d]^-{\text{pr}_1} \ar@<-1ex>[d]_-{\text{pr}_0} \\ U' \times_{g, U, t} R \ar[rr]^{\text{pr}_1} & & R }\] 且两个方块均为笛卡尔方块（这里用到了两个映射 \(t \circ \text{pr}_i : R \times_{t, U, t} R \to U\) 相等）。 将此事实与图 (04LG) 的性质结合，得到交换图 \[\xymatrix{ U' \times_{g, U, t} R \times_{t, U, t} R \ar[rr]_-{c \circ (i, 1)} \ar@<1ex>[d]^-{\text{pr}_{02}} \ar@<-1ex>[d]_-{\text{pr}_{01}} & & R \ar@<1ex>[d]^-{s} \ar@<-1ex>[d]_-{t} \\ U' \times_{g, U, t} R \ar[rr]^h & & U }\] 其中两个方块均为笛卡尔方块。
假设 \(s, t\) 具有 \(\mathcal{R}\)，且 \(g\) 具有 \(\mathcal{Q}\)。 态射 \(h\) 是 \(s\)（它具有 \(\mathcal{R}\)，因而具有 \(\mathcal{Q}\)）与 \(g\) 的一个基变换（它具有 \(\mathcal{Q}\)）的复合，故该态射具有 \(\mathcal{Q}\)。 因此 \(W(\mathcal{P}, h) \subset U' \times_{g, U, t} R\) 存在。 由假设， \(\text{pr}_{01}^{-1}(W(\mathcal{P}, h)) = \text{pr}_{02}^{-1}(W(\mathcal{P}, h))\)， 因为二者都是使 \(c \circ (i, 1)\) 具有 \(\mathcal{P}\) 的最大开集。 注意投影 \(U' \times_{g, U, t} R \to U'\) 有截面 \(\sigma : U' \to U' \times_{g, U, t} R\)， \(u' \mapsto (u', e(g(u')))\)。此外，在同构 \[(U' \times_{g, U, t} R) \times_{U'} (U' \times_{g, U, t} R) = U' \times_{g, U, t} R \times_{t, U, t} R\] 下，左侧的两个投影到 \(U' \times_{g, U, t} R\) 分别与右侧的态射 \(\text{pr}_{01}\) 和 \(\text{pr}_{02}\) 一致。 由于 \(\text{pr}_{01}^{-1}(W(\mathcal{P}, h)) = \text{pr}_{02}^{-1}(W(\mathcal{P}, h))\)， 可知 \(W(\mathcal{P}, h)\) 是 \(U\) 的某个子集的逆像； 这个子集必为开集 \(W = \sigma^{-1}(W(\mathcal{P}, h))\)。
注
警告：使用引理 04LH 时必须谨慎。 例如，它适用于 \(\mathcal{P}=\)“平坦”、\(\mathcal{Q}=\)“空条件”， 以及 \(\mathcal{R}=\)“平坦且局部有限表示”。然而， 给定概形态射 \(f : X \to Y\)，使 \(f|_W\) 平坦的最大开集 \(W \subset X\) 并不是 \(f\) 平坦的点所成的集合！
注
尽管有注 04LI 中的警告， 在某些情形下仍可使用引理 04LH， 而不会造成太大歧义。下面列出这些情形。每种情形中， 我们略去假设 (1) 与 (2) 的验证，并给出蕴含 (3) 与 (4) 的参考文献：
\(\mathcal{Q} = \mathcal{R} =\)“局部有限型”，且 \(\mathcal{P} =\)“相对维数 \(\leq d\)”。 见《概形态射》定义 02NJ 以及 《概形态射》引理 02FZ 和 02FY。
\(\mathcal{Q} = \mathcal{R} =\)“局部有限型”，且 \(\mathcal{P} =\)“局部拟有限”。 这是上一项中 \(d = 0\) 的情形，见《概形态射》引理 0397。
\(\mathcal{Q} = \mathcal{R} =\)“局部有限型”，且 \(\mathcal{P} =\)“非分歧”。 见《概形态射》引理 02G6 和 0475。
上述情形的有趣之处在于：无需假设 \(s, t\) 平坦， 便可对态射 \(h\) 具有性质 \(\mathcal{P}\) 的轨迹作出结论。 继续列举：
\(\mathcal{Q} =\)“局部有限表示”， \(\mathcal{R} =\)“平坦且局部有限表示”，且 \(\mathcal{P} =\)“平坦”。见《态射进阶》定理 0399 和 引理 047C。
\(\mathcal{Q} =\)“局部有限表示”， \(\mathcal{R} =\)“平坦且局部有限表示”，且 \(\mathcal{P}=\)“Cohen–Macaulay”。见《态射进阶》定义 045R 以及《态射进阶》引理 045T 和 045U。
\(\mathcal{Q} =\)“局部有限表示”， \(\mathcal{R} =\)“平坦且局部有限表示”，且 \(\mathcal{P}=\)“syntomic”。使用《概形态射》引理 02V3 （该轨迹自动为开集）。
\(\mathcal{Q} =\)“局部有限表示”， \(\mathcal{R} =\)“平坦且局部有限表示”，且 \(\mathcal{P}=\)“光滑”。见《概形态射》引理 02V4 （该轨迹自动为开集）。
\(\mathcal{Q} =\)“局部有限表示”， \(\mathcal{R} =\)“平坦且局部有限表示”，且 \(\mathcal{P}=\)“étale”。见《概形态射》引理 0476 （该轨迹自动为开集）。
下面是第二个结果。应把 \(R\)-不变开集 \(W \subset U\) 看作 \([U/R]\) 的最大开集的逆像；在该开集上， 态射 \(U \to [U/R]\) 具有性质 \(\mathcal{P}\)。
引理
设 \(S\) 为概形，\((U, R, s, t, c)\) 为 \(S\) 上的群胚。 令 \(\tau \in \{Zariski, \linebreak[0] fppf, \linebreak[0] \etale, \linebreak[0] smooth, \linebreak[0] syntomic\}\)1。 设 \(\mathcal{P}\) 为概形态射的一项性质，且它在目标上关于 \(\tau\) 为局部的（《下降》定义 02KO）。 假设 \(\{s : R \to U\}\) 与 \(\{t : R \to U\}\) 都是 \(\tau\)-拓扑的覆盖。令 \(W \subset U\) 为最大的开子概形， 使 \(s|_{s^{-1}(W)} : s^{-1}(W) \to W\) 具有性质 \(\mathcal{P}\)。则 \(W\) 是 \(R\)-不变的，见《群胚概形》定义 03BC。
证明
开集 \(W \subset U\) 的存在性与性质见《下降》引理 06QP。 在图 (04LF) 中，令 \(W_1 \subset R\) 为最大的开子概形，使态射 \(\text{pr}_1 : R \times_{s, U, t} R \to R\) 在其上具有性质 \(\mathcal{P}\)。由上述《下降》引理 06QP 以及 \(\{s : R \to U\}\) 和 \(\{t : R \to U\}\) 都是 \(\tau\)-拓扑覆盖这一假设，得到所需等式 \(t^{-1}(W) = W_1 = s^{-1}(W)\)。
引理
设 \(S\) 为概形，\((U, R, s, t, c)\) 为 \(S\) 上的群胚， 并设 \(G \to U\) 为其稳定子群概形。 令 \(\tau \in \{fppf, \linebreak[0] \etale, \linebreak[0] smooth, \linebreak[0] syntomic\}\)。 设 \(\mathcal{P}\) 为在目标上关于 \(\tau\) 为局部的态射性质。 假设 \(\{s : R \to U\}\) 与 \(\{t : R \to U\}\) 都是 \(\tau\)-拓扑的覆盖。令 \(W \subset U\) 为最大的开子概形， 使 \(G_W \to W\) 具有性质 \(\mathcal{P}\)。则 \(W\) 是 \(R\)-不变的（见《群胚概形》定义 03BC）。
证明
开集 \(W \subset U\) 的存在性与性质见《下降》引理 06QP。态射 \[G \times_{U, t} R \longrightarrow R \times_{s, U} G, \quad (g, r) \longmapsto (r, r^{-1} \circ g \circ r)\] 是 \(R\) 上的同构（其中 \(\circ\) 表示群胚中的合成）。 因此，由上述《下降》引理 06QP 所证明的 \(W\) 的性质，得到 \(s^{-1}(W) = t^{-1}(W)\)。
纤维的比较
设 \((U, R, s, t, c, e, i)\) 为 \(S\) 上的群胚概形。 图 (04LF) 提供了比较群胚中映射 \(s : R \to U\) 的各纤维的方法。对点 \(u \in U\)， 以 \(F_u = s^{-1}(u)\) 表示 \(s : R \to U\) 在 \(u\) 上方的概形论纤维。 例如，该图说明：若 \(u, u' \in U\) 为满足 \(s(r) = u\) 且 \(t(r) = u'\) 的点，则 \((F_u)_{\kappa(r)} \cong (F_{u'})_{\kappa(r)}\)。 这是下面更一般且更精确的引理 02YF 的特殊情形；取 \(r' = i(r)\) 即可看出。
由概形 \(X\) 与点 \(x \in X\) 组成的一对 \((X, x)\)， 有时称为\(X\) 在 \(x\) 处的芽。 一个芽的态射 \(f : (X, x) \to (S, s)\) 是定义在 \(x\) 的某个开邻域上的态射 \(f : U \to S\)， 并满足 \(f(x) = s\)。称两个这样的 \(f\), \(f'\) 给出同一个芽态射，当且仅当 \(f\) 与 \(f'\) 在 \(x\) 的某个开邻域上一致。 令 \(\tau \in \{Zariski, \etale, smooth, syntomic, fppf\}\)。 我们暂时引入如下概念：称两个芽态射 \(f : (X, x) \to (S, s)\) 与 \(f' : (X', x') \to (S', s')\) 在基底上关于 \(\tau\)-拓扑局部同构，若存在带基点概形 \((S'', s'')\) 及芽态射 \(g : (S'', s'') \to (S, s)\)、\(g' : (S'', s'') \to (S', s')\)， 使得
\(g\) 与 \(g'\) 在 \(s''\) 处为开浸入（相应地为 étale、光滑、 syntomic，或平坦且局部有限表示）；
对位于 \((s'', x)\) 与 \((s'', x')\) 上方的某些点 \(\tilde x\) 与 \(\tilde x'\)，存在 \((S'', s'')\) 上的芽同构 \[(S'' \times_{g, S, f} X, \tilde x) \cong (S'' \times_{g', S', f'} X', \tilde x')\] 。
最后，若存在如上的 \(S'', s'', g, g'\)，但把 (1) 换成 \(g\) 与 \(g'\) 在 \(s''\) 处平坦这一条件，则简称芽态射 \(f : (X, x) \to (S, s)\) 与 \(f' : (X', x') \to (S', s')\) 在基底上平坦局部同构。这比上面的任何 \(\tau\) 条件都弱得多，因为平坦态射未必是开映射。
引理
设 \(S\) 为概形，\((U, R, s, t, c)\) 为 \(S\) 上的群胚。 设 \(r, r' \in R\) 且在 \(U\) 中有 \(t(r) = t(r')\)。 令 \(u = s(r)\)、\(u' = s(r')\)，并以 \(F_u = s^{-1}(u)\) 与 \(F_{u'} = s^{-1}(u')\) 表示概形论纤维。
存在公共域扩张 \(\kappa(u) \subset k\)、 \(\kappa(u') \subset k\) 以及同构 \((F_u)_k \cong (F_{u'})_k\)。
可选取 (1) 中的同构，使得 \(r\) 上方的某个点映到 \(r'\) 上方的某个点。
若态射 \(s\), \(t\) 平坦，则芽态射 \(s : (R, r) \to (U, u)\) 与 \(s : (R, r') \to (U, u')\) 在基底上平坦局部同构。
若态射 \(s\), \(t\) 为 étale （相应地为 光滑、syntomic，或平坦且局部有限表示），则芽态射 \(s : (R, r) \to (U, u)\) 与 \(s : (R, r') \to (U, u')\) 在基底上关于 étale（相应地为 光滑、syntomic 或 fppf） 拓扑局部同构。
证明
我们反复使用图 (04LF) 的存在性与性质。 由该图的性质以及《概形》引理 01JT，存在 \(R \times_{s, U, t} R\) 的一点 \(\xi\)，使 \(\text{pr}_0(\xi) = r\) 且 \(c(\xi) = r'\)。令 \(\tilde r = \text{pr}_1(\xi) \in R\)。
证明 (1)。令 \(k = \kappa(\tilde r)\)。由于 \(t(\tilde r) = u\) 且 \(s(\tilde r) = u'\)， \(k\) 是 \(\kappa(u)\) 与 \(\kappa(u')\) 的公共扩张； 事实上，\((F_u)_k\) 与 \((F_{u'})_k\) 都同构于 \(\text{pr}_1 : R \times_{s, U, t} R \to R\) 在 \(\tilde r\) 上方的纤维。因此 (1) 得证。
(2) 由点 \(\xi\) 映到 \(r\)， 相应地映到 \(r'\) 立即得出。
(3) 由上述结论与定义显然成立（以点 \(\xi\) 选取 \(\tilde u\) 与 \(\tilde u'\)）。
若 \(s\) 与 \(t\) 平坦且有限表示，则它们是开态射 （《概形态射》引理 01UA）。 因此，\(\tilde r\) 的某个仿射开邻域 \(V''\) 的像覆盖 \(u\) 的某个开邻域 \(V\)，相应地 覆盖 \(u'\) 的某个开邻域 \(V'\)。 利用这些邻域即可验证“在基底上关于 \(\tau\)-拓扑局部同构”定义中的性质 (1) 与 (2)。
Cohen–Macaulay 呈示
给定任意满足 \(s, t\) 平坦且局部有限表示的群胚 \((U, R, s, t, c)\)，存在一个“等价”的群胚 \((U', R', s', t', c')\)，使 \(s'\) 与 \(t'\) 都是 Cohen–Macaulay 态射（并且局部有限表示）。 关于 Cohen–Macaulay 态射的更多内容，见 《态射进阶》第 045Q 节。 这里的“等价”可以理解为商叠 \([U/R]\) 与 \([U'/R']\) 等价；见《代数空间中的群胚》第 044O 节以及第 046R 节。
引理
设 \(S\) 为概形，\((U, R, s, t, c)\) 为 \(S\) 上的群胚。 假设 \(s\) 与 \(t\) 平坦且局部有限表示。则存在开集 \(U' \subset U\)，使得
\(t^{-1}(U') \subset R\) 是 \(R\) 中使态射 \(s\) 为 Cohen–Macaulay 的最大开子概形；
\(s^{-1}(U') \subset R\) 是 \(R\) 中使态射 \(t\) 为 Cohen–Macaulay 的最大开子概形；
态射 \(t|_{s^{-1}(U')} : s^{-1}(U') \to U\) 满；
态射 \(s|_{t^{-1}(U')} : t^{-1}(U') \to U\) 满；且
\(R\) 在 \(U'\) 上的限制 \(R' = s^{-1}(U') \cap t^{-1}(U')\) 定义一个群胚 \((U', R', s', t', c')\)，其态射 \(s'\) 与 \(t'\) 均为 Cohen–Macaulay 且局部有限表示。
证明
在引理 04LH 中取 \(g = \text{id}\)、 \(\mathcal{Q} =\)“局部有限表示”、 \(\mathcal{R} =\)“平坦且局部有限表示”，以及 \(\mathcal{P}=\)“Cohen–Macaulay”；见注 047W。由此得到开集 \(U' \subset U\)， 使 \(t^{-1}(U') \subset R\) 是 \(R\) 中使态射 \(s\) 为 Cohen–Macaulay 的最大开子概形。这证明了 (1)。 令 \(i : R \to R\) 为群胚的取逆映射。由于 \(i\) 是同构， 且 \(s \circ i = t\)、\(t \circ i = s\)，可知 \(s^{-1}(U')\) 也是 \(R\) 中使 \(t\) 为 Cohen–Macaulay 的最大开集。这证明了 (2)。 由《态射进阶》引理 045U， 开子集 \(t^{-1}(U')\) 在 \(s : R \to U\) 的每个纤维中稠密。 这证明了 (3)；(4) 同理。(5) 是 (1)、(2) 以及《群胚概形》第 02VA 节中关于限制的讨论 的形式推论。
群胚的限制
本节汇集若干引理，讨论群胚的哪些性质会由限制继承。 这些引理大多可由考察限制的定义图 [04MN]\[\begin{equation} \vcenter{ \xymatrix{ R' \ar[d] \ar[r] \ar@/_3pc/[dd]_{t'} \ar@/^1pc/[rr]^{s'}& R \times_{s, U} U' \ar[r] \ar[d] & U' \ar[d]^g \\ U' \times_{U, t} R \ar[d] \ar[r] & R \ar[r]^s \ar[d]_t & U \\ U' \ar[r]^g & U } } \end{equation}\] 证明。见《群胚概形》引理 02VB。
引理
设 \(S\) 为概形，\((U, R, s, t, c)\) 为 \(S\) 上的群胚概形， \(g : U' \to U\) 为概形态射，并设 \((U', R', s', t', c')\) 为 \((U, R, s, t, c)\) 经 \(g\) 的限制。
若 \(s, t\) 局部有限型，且 \(g\) 局部有限型，则 \(s', t'\) 局部有限型。
若 \(s, t\) 局部有限表示，且 \(g\) 局部有限表示，则 \(s', t'\) 局部有限表示。
若 \(s, t\) 平坦，且 \(g\) 平坦，则 \(s', t'\) 平坦。
此处再添加若干条目。
证明
局部有限型这一性质在复合与任意基变换下稳定，见 《概形态射》引理 01T3 和 01T4。 因此 (1) 由图 (04MN) 立即得出。 其余情形见《概形态射》引理 01TR、 01TS、 01U7 和 01U9。
下面的引理本可用来以更统一的方式证明上一引理的结果。
引理
设 \(S\) 为概形，\((U, R, s, t, c)\) 为 \(S\) 上的群胚概形， \(g : U' \to U\) 为概形态射。设 \((U', R', s', t', c')\) 为 \((U, R, s, t, c)\) 经 \(g\) 的限制，并令 \(h = s \circ \text{pr}_1 : U' \times_{g, U, t} R \to U\)。 若 \(\mathcal{P}\) 是概形态射的一项性质，且
\(h\) 具有性质 \(\mathcal{P}\)；并且
\(\mathcal{P}\) 在基变换下保持，
则 \(s', t'\) 具有性质 \(\mathcal{P}\)。
证明
由图 (04MN)，\(s'\) 是 \(h\) 的基变换； 而 \(t'\) 作为概形态射同构于 \(s'\)，故结论显然。
引理
设 \(S\) 为概形，\((U, R, s, t, c)\) 为 \(S\) 上的群胚概形。 设 \(g : U' \to U\) 与 \(g' : U'' \to U'\) 为概形态射， 并令 \(g'' = g \circ g'\)。设 \((U', R', s', t', c')\) 为 \(R\) 在 \(U'\) 上的限制。令 \(h = s \circ \text{pr}_1 : U' \times_{g, U, t} R \to U\)、 \(h' = s' \circ \text{pr}_1 : U'' \times_{g', U', t} R \to U'\)，以及 \(h'' = s \circ \text{pr}_1 : U'' \times_{g'', U, t} R \to U\)。 下图交换： \[\xymatrix{ U'' \times_{g', U', t} R' \ar[d]^{h'} & (U' \times_{g, U, t} R) \times_U (U'' \times_{g'', U, t} R) \ar[l] \ar[r] \ar[d] & U'' \times_{g'', U, t} R \ar[d]_{h''} \\ U' & U' \times_{g, U, t} R \ar[l]_{\text{pr}_0} \ar[r]^h & U }\] 其中两个方块均为笛卡尔方块，而左上方的水平箭头由规则 \[\begin{matrix} (U' \times_{g, U, t} R) \times_U (U'' \times_{g'', U, t} R) & \longrightarrow & U'' \times_{g', U', t} R' \\ ((u', r_0), (u'', r_1)) & \longmapsto & (u'', (c(r_1, i(r_0)), (g'(u''), u'))) \end{matrix}\] 给出；记号在证明中解释。
证明
我们利用函子观点作出具体计算，把引理归约为群胚范畴限制中 关于箭头的断言。在引理最后的公式中，记号 \(((u', r_0), (u'', r_1))\) 表示 \((U' \times_{g, U, t} R) \times_U (U'' \times_{g'', U, t} R)\) 的一个 \(T\)-值点。这意味着 \(u', u'', r_0, r_1\) 分别是 \(U', U'', R, R\) 的 \(T\)-值点，并且 \(g(u') = t(r_0)\)、\(g(g'(u'')) = g''(u'') = t(r_1)\)，以及 \(s(r_0) = s(r_1)\)。严格地说，这里应写 \(g \circ u' = t \circ r_0\) 等式，但那会使记号更难阅读。 若把 \(r_1\) 与 \(r_0\) 看作群胚范畴中的箭头，则可用下图表示： \[\xymatrix{ t(r_0) = g(u') & s(r_0) = s(r_1) \ar[l]_{r_0} \ar[r]^-{r_1} & t(r_1) = g(g'(u'')) }\] 该图尤其表明复合 \(c(r_1, i(r_0))\) 有定义。回忆 \[R' = R \times_{(t, s), U \times_S U, g \times g} U' \times_S U'\] 因此，\(R'\) 的一个 \(T\)-值点形如 \((r, (u'_0, u'_1))\)， 且 \(t(r) = g(u'_0)\)、\(s(r) = g(u'_1)\)。特别地， 给定如上的 \(((u', r_0), (u'', r_1))\)，便得到 \(R'\) 的 \(T\)-值点 \((c(r_1, i(r_0)), (g'(u''), u'))\)，因为 \(t(c(r_1, i(r_0))) = t(r_1) = g(g'(u''))\) 且 \(s(c(r_1, i(r_0))) = s(i(r_0)) = t(r_0) = g(u')\)。 由读者按此定义验证左侧方块交换。
为证明左侧方块是笛卡尔的，设给定 \((v'', p')\) 与 \((v', p)\)， 它们分别是 \(U'' \times_{g', U', t} R'\) 与 \(U' \times_{g, U, t} R\) 的 \(T\)-值点，并满足 \(v' = s'(p')\)。这还意味着 \(g'(v'') = t'(p')\) 且 \(g(v') = t(p)\)。由以上讨论，可写 \(p' = (r, (u_0', u_1'))\)，其中 \(t(r) = g(u'_0)\) 且 \(s(r) = g(u'_1)\)。因而 \(v' = s'(p') = u_1'\) 且 \(g'(v'') = t'(p') = u_0'\)。 图示如下： \[\xymatrix{ s(p) \ar[r]^-p & g(v') = g(u'_1) \ar[r]^-r & g(u'_0) = g(g'(v'')) }\] 我们必须证明存在唯一的上述 \(T\)-值点 \(((u', r_0), (u'', r_1))\)，使 \(v' = u'\)、\(p = r_0\)、\(v'' = u''\) 且 \(p' = (c(r_1, i(r_0)), (g'(u''), u'))\)。 比较上面的两个图可知，只能取 \[((u', r_0), (u'', r_1)) = ((v', p), (v'', c(r, p))\] 其余细节从略。
引理
设 \(S\) 为概形，\((U, R, s, t, c)\) 为 \(S\) 上的群胚概形。 设 \(g : U' \to U\) 与 \(g' : U'' \to U'\) 为概形态射， 令 \(g'' = g \circ g'\)，并设 \((U', R', s', t', c')\) 为 \(R\) 在 \(U'\) 上的限制。令 \(h = s \circ \text{pr}_1 : U' \times_{g, U, t} R \to U\)、 \(h' = s' \circ \text{pr}_1 : U'' \times_{g', U', t} R \to U'\)，以及 \(h'' = s \circ \text{pr}_1 : U'' \times_{g'', U, t} R \to U\)。 令 \(\tau \in \{Zariski, \linebreak[0] \etale, \linebreak[0] smooth, \linebreak[0] syntomic, \linebreak[0] fppf, \linebreak[0] fpqc\}\)。 设 \(\mathcal{P}\) 为概形态射的一项性质，它在基变换下保持， 并且在目标上关于 \(\tau\)-拓扑为局部的。若
\(h(U' \times_U R)\) 在 \(U\) 中为开集；
\(\{h : U' \times_U R \to h(U' \times_U R)\}\) 是一个 \(\tau\)-覆盖；
\(h'\) 具有性质 \(\mathcal{P}\)，
则 \(h''\) 具有性质 \(\mathcal{P}\)。反之，若
\(\{t : R \to U\}\) 是一个 \(\tau\)-覆盖；
\(h''\) 具有性质 \(\mathcal{P}\)，
则 \(h'\) 具有性质 \(\mathcal{P}\)。
证明
这由引理 04MW 中图的性质形式地得出。 在第一种情形中，由于 \(g'' = g \circ g'\)，态射 \(h''\) 的像 包含于 \(h\) 的像。因此，可把图右下角的 \(U\) 替换为 \(h(U' \times_U R)\)；这解释了引理中条件 (1) 与 (2) 的作用。 在第二种情形中，注意 \(\{\text{pr}_0 : U' \times_{g, U, t} R \to U'\}\) 作为 \(\tau\) 的基变换，并由条件 (a)，是一个 \(\tau\)-覆盖。
域上群胚的性质
“域上的群胚”是指群胚概形 \((U, R, s, t, c)\)，其中 \(U\) 是某个域的谱。它并不表示 \((U, R, s, t, c)\) 定义在某个域上；更确切地说， 它并不表示态射 \(s, t : R \to U\) 相等。 给定任意域 \(k\)、抽象群 \(G\) 以及群同态 \(\varphi : G \to \text{Aut}(k)\)，令 \[\begin{align*} U & = \Spec(k) \\ R & = \coprod\nolimits_{g \in G} \Spec(k) \\ s & = \coprod\nolimits_{g \in G} \Spec(\text{id}_k) \\ t & = \coprod\nolimits_{g \in G} \Spec(\varphi(g)) \\ c & = \text{下列范畴中的复合： }G \end{align*}\] 便得到 \(\mathbf{Z}\) 上的群胚概形 \((U, R, s, t, c)\)。 这个例子仍是 \(\Spec(k^G)\) 上的群胚概形。因此，若 \(G\) 有限， 则 \(U = \Spec(k)\) 在 \(\Spec(k^G)\) 上有限。 在某种意义上，本节的目标是证明：对 \(s, t\) 施加适当的有限性条件， 会迫使任意域上群胚定义在一个有限指数子域 \(k' \subset k\) 上。
若 \(k\) 为域，\((G, m)\) 是 \(k\) 上的群概形，结构态射为 \(p : G \to \Spec(k)\)，则 \((\Spec(k), G, p, p, m)\) 是域上群胚的一个例子（在这种情形中，整个结构当然定义在域上）。 因此，本节可视为《群胚概形》第 047J 节的对应版本。
引理
设 \(S\) 为概形，\((U, R, s, t, c)\) 为 \(S\) 上的群胚概形。 若 \(U\) 是某个域的谱，则合成态射 \(c : R \times_{s, U, t} R \to R\) 是开映射。
证明
由图 (04LG)，合成态射同构于投影 \(\text{pr}_1 : R \times_{t, U, t} R \to R\)。 该投影是开映射，见《概形态射》引理 0383。
引理
设 \(S\) 为概形，\((U, R, s, t, c)\) 为 \(S\) 上的群胚概形。 若 \(U\) 是某个域的谱，则 \(R\) 是分离概形。
证明
由《群胚概形》引理 047L， 稳定子群概形 \(G \to U\) 分离。由《群胚概形》引理 02YI，态射 \(j = (t, s) : R \to U \times_S U\) 分离。 由于 \(U\) 是域的谱，概形 \(U \times_S U\) 仿射 （见《概形》第 01JO 节 中纤维积的构造）。因此 \(R\) 分离，见《概形》引理 01KU。
引理
设 \(S\) 为概形，\((U, R, s, t, c)\) 为 \(S\) 上的群胚概形。 假设 \(U = \Spec(k)\)，其中 \(k\) 为域。对任意点 \(r, r' \in R\)，存在域扩张 \(k'/k\)、点 \(r_1, r_2 \in R \times_{s, \Spec(k)} \Spec(k')\) 以及图 \[\xymatrix{ R & R \times_{s, \Spec(k)} \Spec(k') \ar[l]_-{\text{pr}_0} \ar[r]^\varphi & R \times_{s, \Spec(k)} \Spec(k') \ar[r]^-{\text{pr}_0} & R }\] 使得 \(\varphi\) 是 \(\Spec(k')\) 上的概形同构，并且 \(\varphi(r_1) = r_2\)、\(\text{pr}_0(r_1) = r\)、以及 \(\text{pr}_0(r_2) = r'\)。
证明
这是引理 02YF 的 (1)、(2) 两项的特殊情形。
引理
设 \(S\) 为概形，\((U, R, s, t, c)\) 为 \(S\) 上的群胚概形。 假设 \(U = \Spec(k)\)，其中 \(k\) 为域。设 \(k'/k\) 为域扩张， \(U' = \Spec(k')\)，并设 \((U', R', s', t', c')\) 为 \((U, R, s, t, c)\) 经 \(U' \to U\) 的限制。在定义图 \[\xymatrix{ R' \ar[d] \ar[r] \ar@/_3pc/[dd]_{t'} \ar@/^1pc/[rr]^{s'} \ar@{..>}[rd] & R \times_{s, U} U' \ar[r] \ar[d] & U' \ar[d] \\ U' \times_{U, t} R \ar[d] \ar[r] & R \ar[r]^s \ar[d]_t & U \\ U' \ar[r] & U }\] 中，所有态射均满、平坦且普遍开；虚线箭头 \(R' \to R\) 还仿射。
证明
态射 \(U' \to U\) 等于 \(\Spec(k') \to \Spec(k)\)， 因而仿射、满且平坦。由《概形态射》引理 0383， 态射 \(s, t : R \to U\) 与 \(U' \to U\) 均普遍开。 由于 \(R\) 非空且 \(U\) 是域的谱，态射 \(s, t : R \to U\) 满且平坦。最后应用《概形态射》引理 01S1、 01S0、 02V2、 01SD、 01SC、 01U9 和 01U7 即得结论。
引理
设 \(S\) 为概形，\((U, R, s, t, c)\) 为 \(S\) 上的群胚概形。 假设 \(U = \Spec(k)\)，其中 \(k\) 为域。 对任意点 \(r \in R\)，存在
域扩张 \(k'/k\)，其中 \(k'\) 代数闭；
点 \(r' \in R'\)，其中 \((U', R', s', t', c')\) 是 \((U, R, s, t, c)\) 经 \(\Spec(k') \to \Spec(k)\) 的限制，
使得
点 \(r'\) 在态射 \(R' \to R\) 下映到 \(r\)；并且
映射 \(s', t' : R' \to \Spec(k')\) 诱导同构 \(k' \to \kappa(r')\)。
证明
将这个几何陈述转写为域上的陈述，就是说我们可以找到图 \[\xymatrix{ k' & k' \ar[l]^1 & \\ k' \ar[u]^\tau & \kappa(r) \ar[lu]^\sigma & k \ar[l]^-s \ar[lu]_i \\ & k \ar[lu]^i \ar[u]_t }\] 其中 \(i : k \to k'\) 是 \(k\) 到 \(k'\) 的嵌入， 映射 \(s, t : k \to \kappa(r)\) 由 \(s, t : R \to U\) 诱导， 而映射 \(\tau : k' \to k'\) 是一个自同构。为构造这样的图， 可以按如下步骤进行：
选取域映射 \(i : k \to k'\)，其中 \(k'\) 代数闭， 且在 \(k\) 上的超越次数非常大。
选取嵌入 \(\sigma : \kappa(r) \to k'\)，使得 \(\sigma \circ s = i\)。这样的 \(\sigma\) 确实存在： 只需选取 \(\kappa(r)\) 在 \(k\) 上的一组超越基 \(\{x_\alpha\}_{\alpha \in A}\)，并找到在 \(i(k)\) 上代数无关的 \(y_\alpha \in k'\)（\(\alpha \in A\)），再按如下规则将 \(s(k)(\{x_\alpha\})\) 映入 \(k'\)： 对 \(\lambda \in k\) 令 \(s(\lambda) \mapsto i(\lambda)\)， 并对 \(\alpha \in A\) 令 \(x_\alpha \mapsto y_\alpha\)。 然后利用 \(k'\) 代数闭，将其延拓为 \(\tau : \kappa(\alpha) \to k'\)。
选取自同构 \(\tau : k' \to k'\)，使得 \(\tau \circ i = \sigma \circ t\)。为此，选取 \(k\) 在其素域上的 一组超越基 \(\{x_\alpha\}_{\alpha \in A}\)。 一方面，向 \(\{i(x_\alpha)\}\) 添加 \(\{y_\beta\}_{\beta \in B}\)，将其扩充为 \(k'\) 的一组超越基； 另一方面，向 \(\{\sigma(t(x_\alpha))\}\) 添加 \(\{z_\gamma\}_{\gamma \in C}\)，将其扩充为 \(k'\) 的一组超越基。 由于 \(k'\) 代数闭，我们可以把同构 \(\sigma \circ t \circ i^{-1} : i(k) \to \sigma(t(k))\) 延拓为它们在 \(k'\) 中的代数闭包之间的同构 \(\tau' : \overline{i(k)} \to \overline{\sigma(t(k))}\)。 因为 \(k'\) 的超越次数很大，可见集合 \(B\) 和 \(C\) 具有相同基数。 因此可利用一个双射 \(B \to C\)，将 \(\tau'\) 延拓为同构 \[\overline{i(k)}(\{y_\beta\}) \longrightarrow \overline{\sigma(t(k))}(\{z_\gamma\})\] 又因为 \(k'\) 是等号两边的代数闭包，可见该同构进一步延拓为 自同构 \(\tau : k' \to k'\)，正合所需。
这就证明了引理。
引理
设 \(S\) 为概形，\((U, R, s, t, c)\) 为 \(S\) 上的群胚概形。 假设 \(U = \Spec(k)\)，其中 \(k\) 为域。 若 \(r \in R\) 是一点，并且 \(s, t\) 均诱导同构 \(k \to \kappa(r)\)，则映射 \[R \longrightarrow R, \quad x \longmapsto c(r, x)\] （精确记号见证明）是一个将 \(e\) 映到 \(r\) 的自同构 \(R \to R\)。
证明
若从函子角度思考群胚，这一点完全显然。不过我们也把细节完整写出。 记 \(a : U \to R\) 为像为 \(r\) 且满足 \(s \circ a = \text{id}_U\) 的态射；这样的态射由 \(s : k \to \kappa(r)\) 是同构这一假设而存在。 类似地，记 \(b : U \to R\) 为像为 \(r\) 且满足 \(t \circ b = \text{id}_U\) 的态射。注意 \(b = a \circ (t \circ a)^{-1}\)，特别地 \(a \circ s \circ b = b\)。
考虑态射 \(\Psi : R \to R\)，它在 \(T\) 值点上由 \[(f : T \to R) \longmapsto (c(a \circ t \circ f, f) : T \to R)\] 给出。要看它确有定义，需要验证 \(s \circ a \circ t \circ f = t \circ f\)；这由 \(s \circ a = 1\) 显然成立。注意 \(\Phi(e) = a\)，因此要证明该引理，只需证明 \(\Phi\) 是 \(R\) 的自同构。令 \(\Phi : R \to R\) 为在 \(T\) 值点上由 \[(g : T \to R) \longmapsto (c(i \circ b \circ t \circ g, g) : T \to R).\] 给出的态射。它确有定义，因为 \(s \circ i \circ b \circ t \circ g = t \circ b \circ t \circ g = t \circ g\)。我们断言 \(\Phi\) 与 \(\Psi\) 互为逆。为此计算 \[\begin{align*} & c(a \circ t \circ c(i \circ b \circ t \circ g, g), c(i \circ b \circ t \circ g, g)) \\ & = c(a \circ t \circ i \circ b \circ t \circ g, c(i \circ b \circ t \circ g, g)) \\ & = c(a \circ s \circ b \circ t \circ g, c(i \circ b \circ t \circ g, g)) \\ & = c(b \circ t \circ g, c(i \circ b \circ t \circ g, g)) \\ & = c(c(b \circ t \circ g, i \circ b \circ t \circ g), g)) \\ & = c(e, g) \\ & = g \end{align*}\] 其中使用了上面得到的关系 \(a \circ s \circ b = b\)。 反过来， \[\begin{align*} & c(i \circ b \circ t \circ c(a \circ t \circ f, f), c(a \circ t \circ f, f)) \\ & = c(i \circ b \circ t \circ a \circ t \circ f, c(a \circ t \circ f, f)) \\ & = c(i \circ a \circ (t \circ a)^{-1} \circ t \circ a \circ t \circ f, c(a \circ t \circ f, f)) \\ & = c(i \circ a \circ t \circ f, c(a \circ t \circ f, f)) \\ & = c(c(i \circ a \circ t \circ f, a \circ t \circ f), f) \\ & = c(e, f) \\ & = f \end{align*}\] 引理得证。
引理
设 \(S\) 为概形，\((U, R, s, t, c)\) 为 \(S\) 上的群胚概形。 若 \(U\) 是一个域的谱，\(W \subset R\) 是开集， 且 \(Z \to R\) 是概形态射，则复合 \(Z \times_{s, U, t} W \to R \times_{s, U, t} R \to R\) 的像是开集。
证明
写成 \(U = \Spec(k)\)。考虑域扩张 \(k'/k\)，并记 \(U' = \Spec(k')\)。设 \(R'\) 为 \(R\) 经 \(U' \to U\) 的限制。 令 \(Z' = Z \times_R R'\) 及 \(W' = R' \times_R W\)。 考虑 \(Z \times_{s, U, t} W\) 的一点 \(\xi = (z, w)\)。 令 \(r \in R\) 为 \(z\) 在 \(Z \to R\) 下的像。 按引理 04LR 选取 \(k' \supset k\) 及 \(r' \in R'\)。可以选取映到 \(z\) 和 \(r'\) 的 \(z' \in Z'\)。于是可以找到 \(\xi' \in Z' \times_{s', U', t'} W'\)，它映到 \(z'\) 和 \(\xi\)。 开集 \(c(r', W')\)（引理 04LS）包含在 \(Z' \times_{s', U', t'} W' \to R'\) 的像中。注意 \(Z' \times_{s', U', t'} W' = (Z \times_{s, U, t} W) \times_{R \times_{s, U, t} R} (R' \times_{s', U', t'} R')\)。 因此 \(Z' \times_{s', U', t'} W' \to R' \to R\) 的像包含在 \(Z \times_{s, U, t} W \to R\) 的像中。由于 \(R' \to R\) 是开映射（引理 04LQ）， 可知该像包含 \(\xi\) 的像的一个开邻域，正合所需。
引理
设 \(S\) 为概形，\((U, R, s, t, c)\) 为 \(S\) 上的群胚概形。 假设 \(U = \Spec(k)\)，其中 \(k\) 为域。滥用记号，以 \(e \in R\) 表示恒等态射 \(e : U \to R\) 的像。则
\(R\) 的每个局部环 \(\mathcal{O}_{R, r}\) 都有唯一的极小素理想；
恰有一个经过 \(e\) 的 \(R\) 的不可约分支 \(Z\)；并且
无论经由 \(s\) 还是 \(t\)，\(Z\) 在 \(k\) 上都几何不可约。
证明
设 \(r \in R\) 为一点。在本证明中，我们将直接使用经过点 \(r\) 的 \(R\) 的不可约分支与局部环 \(\mathcal{O}_{R, r}\) 的极小素理想 之间的对应，而不再另行说明。按引理 04LR 选取 \(k \subset k'\) 和 \(r' \in R'\)。注意 \(\mathcal{O}_{R, r} \to \mathcal{O}_{R', r'}\) 忠实平坦且为局部同态， 见引理 04LQ。 因此对 \(r' \in R'\) 的结论蕴含对 \(r \in R\) 的结论。 换言之，可以假设 \(s, t : k \to \kappa(r)\) 是同构。 由引理 04LS，存在一个把 \(e\) 移到 \(r\) 的自同构。因此可以假设 \(r = e\)，也就是说， (1) 由 (2) 推出。
先在 \(k\) 可分代数闭的情形证明 (2)。设 \(X, Y \subset R\) 是经过 \(e\) 的不可约分支。由《代数簇》引理 038F 和 020J， 概形 \(X \times_{s, U, t} Y\) 也不可约。 因此 \(c(X \times_{s, U, t} Y) \subset R\) 是不可约子集。 我们断言它同时包含 \(X\) 和 \(Y\)（作为 \(R\) 的子集）。 确实，设 \(T\) 为一个域的谱。若 \(x : T \to X\) 是 \(X\) 的一个 \(T\) 值点，则 \(c(x, e \circ s \circ x) = x\)；又因为 \(e \in Y\)， 故 \(e \circ s \circ x\) 经过 \(Y\) 分解。对 \(Y\) 的点也类似。 这显然蕴含 \(X = Y\)，即恰有一个经过 \(e\) 的 \(R\) 的不可约分支。
现在一般地证明 (2) 和 (3)。设 \(k \subset k'\) 为一个可分代数闭包， 并令 \((U', R', s', t', c')\) 为 \((U, R, s, t, c)\) 经 \(\Spec(k') \to \Spec(k)\) 的限制。由上一段，恰有一个经过 \(e'\) 的 \(R'\) 的不可约分支 \(Z'\)。记 \(e'' \in R \times_{s, U} U'\) 为 \(e\) 的基变换。由于 \(R' \to R \times_{s, U} U'\) 忠实平坦，见引理 04LQ，且 \(e' \mapsto e''\)， 可见恰有一个经过 \(e''\) 的 \(R \times_{s, k} k'\) 的不可约分支 \(Z''\)。 又因 \(R \times_k k' \to R\) 忠实平坦，这蕴含恰有一个经过 \(e\) 的 \(R\) 的不可约分支 \(Z\)。这证明了 (2)。
为证明 (3)，设 \(Z''' \subset R \times_k k'\) 是 \(Z \times_k k'\) 的任意不可约分支。由《代数簇》引理 04KY， 对某个 \(\sigma \in \text{Gal}(k'/k)\) 有 \(Z''' = \sigma(Z'')\)。由于 \(\sigma(e'') = e''\)， 可见 \(e'' \in Z'''\)，从而 \(Z''' = Z''\)。 这说明经由态射 \(s\)，\(Z\) 在 \(\Spec(k)\) 上几何不可约。 同样的论证说明，经由态射 \(t\)，\(Z\) 在 \(\Spec(k)\) 上也几何不可约。
引理
设 \(S\) 为概形，\((U, R, s, t, c)\) 为 \(S\) 上的群胚概形。 假设 \(U = \Spec(k)\)，其中 \(k\) 为域，并假设 \(s, t\) 局部有限型。则
\(R\) 等维；
对所有 \(r \in R\)，有 \(\dim(R) = \dim_r(R)\)；
对任意 \(r \in R\)，有 \(\text{trdeg}_{s(k)}(\kappa(r)) = \text{trdeg}_{t(k)}(\kappa(r))\)；并且
对任意闭点 \(r \in R\)，有 \(\dim(R) = \dim(\mathcal{O}_{R, r})\)。
证明
设 \(r, r' \in R\)。由引理 04LP 及 《概形态射》引理 02FY， 有 \(\dim_r(R) = \dim_{r'}(R)\)。由《概形态射》引理 02FX， \[\dim_r(R) = \dim(\mathcal{O}_{R, r}) + \text{trdeg}_{s(k)}(\kappa(r)) = \dim(\mathcal{O}_{R, r}) + \text{trdeg}_{t(k)}(\kappa(r)).\] 另一方面，\(R\)（或 \(R\) 的任意开子集）的维数是 \(R\) 的局部环维数的 上确界，见《概形的性质》引理 02IZ。 显然，该值在闭点 \(r\) 处达到最大；在这种情形， \(\text{trdeg}_k(\kappa(r)) = 0\)（由希尔伯特零点定理，见 《概形态射》第 01T9 节）。 引理由此得证。
引理
设 \(S\) 为概形，\((U, R, s, t, c)\) 为 \(S\) 上的群胚概形。 假设 \(U = \Spec(k)\)，其中 \(k\) 为域，并假设 \(s, t\) 局部有限型。 则 \(\dim(R) = \dim(G)\)，其中 \(G\) 是 \(R\) 的稳定子群概形。
证明
设 \(Z \subset R\) 为经过 \(e\) 的不可约分支（见引理 04LT）， 并把它视为 \(R\) 的一个整闭子概形。令 \(k'_s\)，相应地， \(k'_t\) 为 \(s(k)\)，相应地， \(t(k)\) 在 \(\Gamma(Z, \mathcal{O}_Z)\) 中的整闭包。 回忆 \(k'_s\) 和 \(k'_t\) 都是域，见《代数簇》引理 04MI。 由《代数簇》命题 04MK， 作为 \(\Gamma(Z, \mathcal{O}_Z)\) 的子环有 \(k'_s = k'_t\)。 由于 \(e\) 经过 \(Z\) 分解，得到交换图 \[\xymatrix{ k \ar[rd]_t \ar[rrd]^1 \\ & \Gamma(Z, \mathcal{O}_Z) \ar[r]^e & k \\ k \ar[ru]^s \ar[rru]_1 }\] 一方面，这说明 \(k'_s = s(k)\)、\(k'_t = t(k)\)，故 \(s(k) = t(k)\)；结合上图，这竟蕴含 \(s = t\)！ 换言之，我们得出 \(Z\) 是 \(G = R \times_{(t, s), U \times_S U, \Delta} U\) 的闭子概形。 由于 \(G\) 和 \(R\) 都等维，引理随即成立；见引理 04LU 及 《群胚概形》引理 045X。
注
警告：若不要求 \(s\) 和 \(t\) 局部有限型，引理 04MQ 便是错误的。一个简单例子是从作用 \[\mathbf{G}_{m, \mathbf{Q}} \times_{\mathbf{Q}} \mathbf{A}^1_{\mathbf{Q}} \to \mathbf{A}^1_{\mathbf{Q}}\] 出发，把相应的群胚概形限制到 \(\mathbf{A}^1_{\mathbf{Q}}\) 的一般点上。换言之，经由态射 \(\Spec(\mathbf{Q}(x)) \to \Spec(\mathbf{Q}[x]) = \mathbf{A}^1_{\mathbf{Q}}\) 作限制。于是得到群胚概形 \((U, R, s, t, c)\)，其中 \(U = \Spec(\mathbf{Q}(x))\) 且 \[R = \Spec\left( \mathbf{Q}(x)[y]\left[ \frac{1}{P(xy)}, P \in \mathbf{Q}[T], P \not = 0 \right] \right)\] 。 在这种情形，\(\dim(R) = 1\) 而 \(\dim(G) = 0\)。
引理
设 \(S\) 为概形，\((U, R, s, t, c)\) 为 \(S\) 上的群胚概形。假设
\(U = \Spec(k)\)，其中 \(k\) 为域；
\(s, t\) 局部有限型；并且
\(k\) 的特征为零。
则 \(s, t : R \to U\) 光滑。
证明
引理
设 \(S\) 为概形，\((U, R, s, t, c)\) 为 \(S\) 上的群胚概形。假设
\(U = \Spec(k)\)，其中 \(k\) 为域；
\(s, t\) 局部有限型；
\(R\) 既约；并且
\(k\) 完美。
则 \(s, t : R \to U\) 光滑。
证明
域上群胚的态射
本节研究域上群胚之间的态射。这比研究域上的群概形的态射稍为一般， 但二者非常相近。
情形
设 \(S\) 为概形。设 \(U = \Spec(k)\) 是 \(S\) 上的概形，其中 \(k\) 为域。 设 \((U, R_1, s_1, t_1, c_1)\)、 \((U, R_2, s_2, t_2, c_2)\) 为 \(S\) 上具有相同第一分量的群胚概形。 设 \(a : R_1 \to R_2\) 为一个态射，使得 \((\text{id}_U, a)\) 定义 \(S\) 上群胚概形的态射，见《群胚概形》定义 0231。特别地，下列图交换： \[\vcenter{ \xymatrix{ R_1 \ar[rrd]^{t_1} \ar[rdd]_{s_1} \ar[rd]_a \\ & R_2 \ar[d]^{t_2} \ar[r]_{s_2} & U \\ & U } } \quad\quad \vcenter{ \xymatrix{ R_1 \times_{s_1, U, t_1} R_1 \ar[r]_-{c_1} \ar[d]_{a \times a} & R_1 \ar[d]^a \\ R_2 \times_{s_2, U, t_2} R_2 \ar[r]^-{c_2} & R_2 } }\]
下一个引理是《群胚概形》引理 047S 的推广。
引理
记号和假设同情形 04Q5。 若 \(a(R_1)\) 在 \(R_2\) 中开，则 \(a(R_1)\) 在 \(R_2\) 中闭。
证明
设 \(r_2 \in R_2\) 为 \(a(R_1)\) 的闭包中的一点。我们要证明 \(r_2 \in a(R_1)\)。按引理 04LR，选取适配于 \((U, R_2, s_2, t_2, c_2)\) 和 \(r_2\) 的 \(k \subset k'\) 与 \(r_2' \in R'_2\)。 设 \(R_i'\) 为 \(R_i\) 经态射 \(U' = \Spec(k') \to U = \Spec(k)\) 的限制。 设 \(a' : R'_1 \to R_2'\) 为 \(a\) 的基变换。图 \[\xymatrix{ R'_1 \ar[r]_{a'} \ar[d]_{p_1} & R'_2 \ar[d]^{p_2} \\ R_1 \ar[r]^a & R_2 }\] 是纤维方形。因此 \(a'\) 的像是 \(a\) 的像在态射 \(p_2 : R'_2 \to R_2\) 下的逆像。由引理 04LQ，映射 \(p_2\) 满且开。 所以由《拓扑学》引理 02YB， 可见 \(r_2'\) 属于 \(a'(R'_1)\) 的闭包。 这意味着可以假设 \(r_2 \in R_2\) 具有如下性质： \(s_2\) 和 \(t_2\) 诱导的映射 \(k \to \kappa(r_2)\) 都是同构。
在这种情形可以使用引理 04LS。 该引理说明 \(c(r_2, a(R_1))\) 是 \(r_2\) 的一个开邻域。 由于假设 \(r_2\) 属于 \(a(R_1)\) 的闭包，故 \(a(R_1) \cap c(r_2, a(R_1)) \not = \emptyset\)。 利用 \(R_2\) 和 \(R_1\) 中的逆，可见这意味着 \(c_2(a(R_1), a(R_1))\) 包含 \(r_2\)。 而 \(c_2(a(R_1), a(R_1)) \subset a(c_1(R_1, R_1)) = a(R_1)\)， 故如欲证地得到 \(r_2 \in a(R_1)\)。
引理
记号和假设同情形 04Q5。 设 \(Z \subset R_2\) 为约化闭子概形（见《概形》定义 01J4），其底拓扑空间是 \(a : R_1 \to R_2\) 的像的闭包。则在集合论意义下， \(c_2(Z \times_{s_2, U, t_2} Z) \subset Z\)。
证明
考虑交换图 \[\xymatrix{ R_1 \times_{s_1, U, t_1} R_1 \ar[r] \ar[d] & R_1 \ar[d] \\ R_2 \times_{s_2, U, t_2} R_2 \ar[r] & R_2 }\] 由《代数簇》引理 04Q0， 左侧竖直箭头之像的闭包在集合论意义下是 \(Z \times_{s_2, U, t_2} Z\)。结论随即成立。
引理
记号和假设同情形 04Q5。 假设 \(k\) 完美。设 \(Z \subset R_2\) 为约化闭子概形（见 《概形》定义 01J4）， 其底拓扑空间是 \(a : R_1 \to R_2\) 的像的闭包。则 \[(U, Z, s_2|_Z, t_2|_Z, c_2|_Z)\] 是 \(S\) 上的群胚概形。
证明
先说明该陈述为何有意义。由于 \(U\) 是完美域 \(k\) 的谱， 无论经哪个投影，概形 \(Z\) 在 \(k\) 上都几何约化，见 《代数簇》引理 020I。 因此概形 \(Z \times_{s_2, U, t_2} Z \subset Z\) 约化，见 《代数簇》引理 035Z。 于是由引理 04Q7， \(c\) 诱导态射 \(Z \times_{s_2, U, t_2} Z \to Z\)。 最后，显然 \(e_2\) 经过 \(Z\) 分解，而且映射 \(i_2 : R_2 \to R_2\) 保持 \(Z\)。由于七元组 \((U, R_2, s_2, t_2, c_2, e_2, i_2)\) 的态射满足群胚公理， 限制到 \(Z\) 后仍满足这些公理。
引理
记号和假设同情形 04Q5。 若像 \(a(R_1)\) 是 \(R_2\) 的局部闭子集，则它是闭子集。
证明
设 \(k \subset k'\) 为域 \(k\) 的一个完美闭包。 设 \(R_i'\) 为 \(R_i\) 经态射 \(U' = \Spec(k') \to \Spec(k)\) 的限制。注意，态射 \(R_i' \to R_i\) 是普遍同胚，因为它们是普遍同胚 \(U' \to U\) 的基变换的复合（见引理 04LQ 陈述中的图）。 因此只需证明 \(a'(R_1')\) 在 \(R_2'\) 中闭。换言之，可以假设 \(k\) 完美。
若 \(k\) 完美，则由引理 04Q8， 像的闭包是群胚概形 \(Z \subset R_2\)。 把同一引理应用于 \(\text{id}_{R_1} : R_1 \to R_1\)，可见 \((R_2)_{red}\) 是群胚概形。因此可以把引理 04Q6 应用于态射 \(a|_{(R_2)_{red}} : (R_2)_{red} \to Z\)， 从而得到 \(Z\) 等于 \(a\) 的像。
引理
记号和假设同情形 04Q5。 假设 \(a : R_1 \to R_2\) 是拟紧态射。设 \(Z \subset R_2\) 为 \(a : R_1 \to R_2\) 的概形论像（见《概形态射》定义 01R7）。则 \[(U, Z, s_2|_Z, t_2|_Z, c_2|_Z)\] 是 \(S\) 上的群胚概形。
证明
主要困难是证明 \(c_2|_{Z \times_{s_2, U, t_2} Z}\) 映入 \(Z\)。考虑交换图 \[\xymatrix{ R_1 \times_{s_1, U, t_1} R_1 \ar[r] \ar[d]^{a \times a} & R_1 \ar[d] \\ R_2 \times_{s_2, U, t_2} R_2 \ar[r] & R_2 }\] 由《代数簇》引理 04Q1， \(a \times a\) 的概形论像是 \(Z \times_{s_2, U, t_2} Z\)。由图的交换性可知， 底部水平箭头把 \(Z \times_{s_2, U, t_2} Z\) 映入 \(Z\)。 与引理 04Q8 的证明相同，还有 \(i_2(Z) \subset Z\)，且 \(e_2\) 经过 \(Z\) 分解。 因此可同该引理的证明一样得出结论。
引理
设 \(S\) 为概形，\((U, R, s, t, c)\) 为 \(S\) 上的群胚概形。 假设 \(U\) 是一个域的谱。设 \(Z \subset U \times_S U\) 为约化闭子概形（见《概形》定义 01J4），其底拓扑空间是 \(j = (t, s) : R \to U \times_S U\) 的像的闭包。则在集合论意义下， \(\text{pr}_{02}(Z \times_{\text{pr}_1, U, \text{pr}_0} Z) \subset Z\)。
证明
由于 \((U, U \times_S U, \text{pr}_1, \text{pr}_0, \text{pr}_{02})\) 是 \(S\) 上的群胚概形，这是引理 04Q7 的特殊情形。 不过也可如下直接证明。
写成 \(U = \Spec(k)\)。记 \(R_s\)（相应地， \(Z_s\)；相应地， \(U^2_s\)）为概形 \(R\)（相应地， \(Z\)；相应地， \(U \times_S U\)）， 把它经由 \(s\)（相应地， \(\text{pr}_1|_Z\)；相应地， \(\text{pr}_1\)）视为 \(k\) 上的概形。类似地，记 \({}_tR\)（相应地， \({}_tZ\)；相应地， \({}_tU^2\)）为概形 \(R\)（相应地， \(Z\)；相应地， \(U \times_S U\)）， 把它经由 \(t\)（相应地， \(\text{pr}_0|_Z\)；相应地， \(\text{pr}_0\)）视为 \(k\) 上的概形。 态射 \(j\) 诱导 \(k\) 上的概形态射 \(j_s : R_s \to U^2_s\) 和 \({}_tj : {}_tR \to {}_tU^2\)。 考虑交换图 \[\xymatrix{ R_s \times_k {}_tR \ar[r]^c \ar[d]_{j_s \times {}_tj} & R \ar[d]^j \\ U^2_s \times_k {}_tU^2 \ar[r] & U \times_S U }\] 由《代数簇》引理 04Q0， \(j_s \times {}_tj\) 之像的闭包是 \(Z_s \times_k {}_tZ\)。 由图的交换性可知，底部水平箭头把 \(Z_s \times_k {}_tZ\) 映入 \(Z\)。
引理
设 \(S\) 为概形，\((U, R, s, t, c)\) 为 \(S\) 上的群胚概形。 假设 \(U\) 是一个完美域的谱。设 \(Z \subset U \times_S U\) 为约化闭子概形（见《概形》定义 01J4），其底拓扑空间是 \(j = (t, s) : R \to U \times_S U\) 的像的闭包。则 \[(U, Z, \text{pr}_0|_Z, \text{pr}_1|_Z, \text{pr}_{02}|_{Z \times_{\text{pr}_1, U, \text{pr}_0} Z})\] 是 \(S\) 上的群胚概形。
证明
由于 \((U, U \times_S U, \text{pr}_1, \text{pr}_0, \text{pr}_{02})\) 是 \(S\) 上的群胚概形，这是引理 04Q8 的特殊情形。 不过也可如下直接证明。
先说明该陈述为何有意义。由于 \(U\) 是完美域 \(k\) 的谱， 无论经哪个投影，概形 \(Z\) 在 \(k\) 上都几何约化，见 《代数簇》引理 020I。 因此概形 \(Z \times_{\text{pr}_1, U, \text{pr}_0} Z \subset Z\) 约化，见《代数簇》引理 035Z。 于是由引理 04QB， \(\text{pr}_{02}\) 诱导态射 \(Z \times_{\text{pr}_1, U, \text{pr}_0} Z \to Z\)。 最后，显然 \(\Delta_{U/S}\) 经过 \(Z\) 分解，而且映射 \(\sigma : U \times_S U \to U \times_S U\)、 \((x, y) \mapsto (y, x)\) 保持 \(Z\)。由于 \((U, U \times_S U, \text{pr}_0, \text{pr}_1, \text{pr}_{02}, \Delta_{U/S}, \sigma)\) 满足群胚公理，限制到 \(Z\) 后仍满足这些公理。
引理
设 \(S\) 为概形，\((U, R, s, t, c)\) 为 \(S\) 上的群胚概形。 假设 \(U\) 是一个域的谱，并假设 \(R\) 拟紧 （等价地，\(s, t\) 拟紧）。设 \(Z \subset U \times_S U\) 为 \(j = (t, s) : R \to U \times_S U\) 的概形论像 （见《概形态射》定义 01R7）。则 \[(U, Z, \text{pr}_0|_Z, \text{pr}_1|_Z, \text{pr}_{02}|_{Z \times_{\text{pr}_1, U, \text{pr}_0} Z})\] 是 \(S\) 上的群胚概形。
证明
由于 \((U, U \times_S U, \text{pr}_1, \text{pr}_0, \text{pr}_{02})\) 是 \(S\) 上的群胚概形，这是引理 04QA 的特殊情形。 不过也可如下直接证明。
主要困难是证明 \(\text{pr}_{02}|_{Z \times_{\text{pr}_1, U, \text{pr}_0} Z}\) 映入 \(Z\)。写成 \(U = \Spec(k)\)。记 \(R_s\)（相应地， \(Z_s\)；相应地， \(U^2_s\)）为概形 \(R\)（相应地， \(Z\)；相应地， \(U \times_S U\)）， 把它经由 \(s\)（相应地， \(\text{pr}_1|_Z\)；相应地， \(\text{pr}_1\)）视为 \(k\) 上的概形。类似地，记 \({}_tR\)（相应地， \({}_tZ\)；相应地， \({}_tU^2\)）为概形 \(R\)（相应地， \(Z\)；相应地， \(U \times_S U\)）， 把它经由 \(t\)（相应地， \(\text{pr}_0|_Z\)；相应地， \(\text{pr}_0\)）视为 \(k\) 上的概形。 态射 \(j\) 诱导 \(k\) 上的概形态射 \(j_s : R_s \to U^2_s\) 和 \({}_tj : {}_tR \to {}_tU^2\)。 考虑交换图 \[\xymatrix{ R_s \times_k {}_tR \ar[r]^c \ar[d]_{j_s \times {}_tj} & R \ar[d]^j \\ U^2_s \times_k {}_tU^2 \ar[r] & U \times_S U }\] 由《代数簇》引理 04Q1， \(j_s \times {}_tj\) 的概形论像是 \(Z_s \times_k {}_tZ\)。 由图的交换性可知，底部水平箭头把 \(Z_s \times_k {}_tZ\) 映入 \(Z\)。 与引理 04QC 的证明相同， 还有 \(\sigma(Z) \subset Z\)，且 \(\Delta_{U/S}\) 经过 \(Z\) 分解。 因此可同该引理的证明一样得出结论。
群胚的切片
下一个引理表明，只要稳定子的维数足够小，就可以对一个 Cohen–Macaulay 群胚概形作切片，以降低纤维的维数。 这是改进商叠的给定表现过程中的关键一步。
情形
设 \(S\) 为概形。设 \((U, R, s, t, c)\) 为 \(S\) 上的群胚概形。 设 \(g : U' \to U\) 为概形态射。设 \(u \in U\) 为一点， 并设 \(u' \in U'\) 为满足 \(g(u') = u\) 的一点。 给定这些数据，记 \((U', R', s', t', c')\) 为 \((U, R, s, t, c)\) 经态射 \(g\) 的限制。 记 \(G \to U\) 为 \(R\) 的稳定子群概形；它是 \(R\) 的局部闭子概形。 记 \(h\) 为复合 \[h = s \circ \text{pr}_1 : U' \times_{g, U, t} R \longrightarrow U.\] 记 \(F_u = s^{-1}(u)\)（概形论纤维），并记 \(G_u\) 为 \(G\) 在 \(u\) 上的概形论纤维。类似地，对 \(R'\) 记 \(F'_{u'} = (s')^{-1}(u')\)。由于 \(g(u') = u\)，有 \[F'_{u'} = h^{-1}(u) \times_{\Spec(\kappa(u))} \Spec(\kappa(u')).\] 点 \(e(u) \in R\) 也可视为 \(G_u\) 和 \(F_u\) 上的点； 而 \(e'(u')\) 是 \(R'\)（相应地， \(G'_{u'}\)；相应地， \(F'_{u'}\)）的一点，它映到 \(R\)（相应地， \(G_u\)；相应地， \(F_u\)）中的 \(e(u)\)。
引理
设 \(S\) 为概形。设 \((U, R, s, t, c, e, i)\) 为 \(S\) 上的群胚概形。 设 \(G \to U\) 为稳定子群概形。假设 \(s\) 和 \(t\) 是 Cohen–Macaulay 且局部有限表现的。设 \(u \in U\) 是概形 \(U\) 的有限型点，见《概形态射》定义 02J1。采用情形 04MY 的记号，令 \[d_1 = \dim(G_u), \quad d_2 = \dim_{e(u)}(F_u).\] 若 \(d_2 > d_1\)，则存在仿射概形 \(U'\) 和态射 \(g : U' \to U\)， 使得（采用情形 04MY 的记号）
\(g\) 是浸入；
\(u \in U'\)；
\(g\) 局部有限表现；
态射 \(h : U' \times_{g, U, t} R \longrightarrow U\) 在 \((u, e(u))\) 处是 Cohen–Macaulay 的；并且
\(\dim_{e'(u)}(F'_u) = d_2 - 1\)。
证明
取 \(u\) 的仿射邻域 \(\Spec(A) \subset U\)，使得 \(u\) 对应于 \(U\) 的闭点，见《概形态射》引理 02J2。 取 \(e(u)\) 的仿射邻域 \(\Spec(B) \subset R\)，使其在 \(j\) 下映入开集 \(\Spec(A) \times_S \Spec(A) \subset U \times_S U\)。 设 \(\mathfrak m \subset A\) 为对应于 \(u\) 的极大理想， 并设 \(\mathfrak q \subset B\) 为对应于 \(e(u)\) 的素理想。图示为 \[\vcenter{ \xymatrix{ B & A \ar[l]^s \\ A \ar[u]^t } } \quad\text{且}\quad \vcenter{ \xymatrix{ B_{\mathfrak q} & A_{\mathfrak m} \ar[l]^s \\ A_{\mathfrak m} \ar[u]^t } }\] 注意，两个诱导映射 \(s, t : \kappa(\mathfrak m) \to \kappa(\mathfrak q)\) 相等且均为同构，因为 \(s \circ e = t \circ e = \text{id}_U\)。 特别地，\(\mathfrak q\) 也是极大理想。 环同态 \(s, t : A \to B\) 有限表现且平坦。由假设，环 \[\mathcal{O}_{F_u, e(u)} = B_{\mathfrak q}/s(\mathfrak m)B_{\mathfrak q}\] 是维数为 \(d_2\) 的 Cohen–Macaulay 环。该维数等式由 《概形态射》引理 02FX 给出。
设 \(R''\) 为 \(R\) 经态射 \(\Spec(\kappa(u)) \to U\) 向 \(u = \Spec(\kappa(u))\) 的限制。由于 \(u \to U\) 局部有限型， 可见 \((\Spec(\kappa(u)), R'', s'', t'', c'')\) 是一个 \(s'', t''\) 局部有限型的群胚概形，见引理 04MP。 由引理 04MQ， 这蕴含 \(\dim(G'') = \dim(R'')\)。又由引理 04LU， 有 \(\dim(R'') = \dim_{e''}(R'') = \dim(\mathcal{O}_{R'', e''})\)。 由《群胚概形》引理 04ML，有 \(G'' = G_u\)。 因此得到 \(\dim(\mathcal{O}_{R'', e''}) = d_1\)。
作为概形，\(R''\) 为 \[R'' = R \times_{(U \times_S U)} \Big( \Spec(\kappa(\mathfrak m)) \times_S \Spec(\kappa(\mathfrak m)) \Big)\] 因此 \(e''\) 的一个仿射开邻域是下列环的谱： \[B \otimes_{(A \otimes A)} (\kappa(\mathfrak m) \otimes \kappa(\mathfrak m)) = B/s(\mathfrak m)B + t(\mathfrak m)B\] 由此得到 \[\mathcal{O}_{R'', e''} = B_{\mathfrak q}/s(\mathfrak m)B_{\mathfrak q} + t(\mathfrak m)B_{\mathfrak q}\] 于是现在知道此环的维数为 \(d_1\)。
我们断言，这蕴含可以找到元素 \(f \in \mathfrak m\)，使得 \[\dim(B_{\mathfrak q}/(s(\mathfrak m)B_{\mathfrak q} + fB_{\mathfrak q}) < d_2\] 确实，设 \(\mathfrak n_j \supset s(\mathfrak m)B_{\mathfrak q}\)， \(j = 1, \ldots, m\)，对应于局部环 \(B_{\mathfrak q}/s(\mathfrak m)B_{\mathfrak q}\) 的极小素理想。 这样的理想只有有限多个，因为该环是 Noether 环 （它本质上是域上的有限型环；也可因为 Cohen–Macaulay 环是 Noether 环）。由 Cohen–Macaulay 条件， \(\dim(B_{\mathfrak q}/\mathfrak n_j) = d_2\)，例如可见 《交换代数》引理 00NA。注意 \(\dim(B_{\mathfrak q}/(\mathfrak n_j + t(\mathfrak m)B_{\mathfrak q})) \leq d_1\)， 因为它是环 \(\mathcal{O}_{R'', e''} = B_{\mathfrak q}/s(\mathfrak m)B_{\mathfrak q} + t(\mathfrak m)B_{\mathfrak q}\) 的商，而后者维数为 \(d_1\)。由于 \(d_1 < d_2\)，这蕴含 \(\mathfrak m \not \subset t^{-1}(\mathfrak n_i)\)。 由素理想回避，见《交换代数》引理 00DS， 可以找到 \(f \in \mathfrak m\)，使得对 \(j = 1, \ldots, m\) 都有 \(t(f) \not \in \mathfrak n_j\)。 对这样选取的 \(f\)，上述显示不等式成立，见 《交换代数》引理 00KW。
令 \(A' = A/fA\)、\(U' = \Spec(A')\)。显然 \(U' \to U\) 是浸入， 局部有限表现，且 \(u \in U'\)。因此引理的 (1)、(2)、(3) 成立。 态射 \[U' \times_{g, U, t} R \longrightarrow U\] 经过 \(\Spec(A)\) 分解，并对应于环同态 \[\xymatrix{ B/t(f)B \ar@{=}[r] & A/(f) \otimes_{A, t} B & A \ar[l]_-s }\] 现在，由于 \(B_{\mathfrak q}/s(\mathfrak m)B_{\mathfrak q}\) 是正维 Cohen–Macaulay 环，且 \(f\) 不属于任何极小素理想， 可见 \(t(f)\) 在其上不是零因子；例如见《交换代数》引理 02JN。因此由《交换代数》引理 046Z，可知 \(s : A_{\mathfrak m} \to B_{\mathfrak q}/t(f)B_{\mathfrak q}\) 平坦，其纤维环为 \(B_{\mathfrak q}/(s(\mathfrak m)B_{\mathfrak q} + t(f)B_{\mathfrak q})\)； 由《交换代数》引理 02JN， 该环仍为 Cohen–Macaulay。这蕴含引理的 (4)。 为看出 (5)，注意由图 (04MN)， 纤维 \(F'_u\) 等于 \(h\) 在 \(u\) 上的纤维。因此由 《概形态射》引理 02FX， \(\dim_{e'(u)}(F'_u) = \dim(B_{\mathfrak q}/(s(\mathfrak m)B_{\mathfrak q} + t(f)B_{\mathfrak q}))\) 而由《交换代数》引理 02JN， 此环的维数为 \(d_2 - 1\)。这证明了引理的最后一个断言，证明完成。
既然已经知道如何作切片，就可以把它同前面的材料结合起来， 得到下列“最优”结论。这里所谓最优，是因为 \(G_u\) 是 \(F_u\) 的局部闭子概形，总有不等式 \(\dim(G_u) = \dim_{e(u)}(G_u) \leq \dim_{e(u)}(F_u)\)， 所以不可能比引理所给出的切片更进一步。
引理
设 \(S\) 为概形。设 \((U, R, s, t, c, e, i)\) 为 \(S\) 上的群胚概形。 设 \(G \to U\) 为稳定子群概形。假设 \(s\) 和 \(t\) 是 Cohen–Macaulay 且局部有限表现的。设 \(u \in U\) 是概形 \(U\) 的有限型点，见《概形态射》定义 02J1。 采用情形 04MY 的记号，存在仿射概形 \(U'\) 和态射 \(g : U' \to U\)，使得
\(g\) 是浸入；
\(u \in U'\)；
\(g\) 局部有限表现；
态射 \(h : U' \times_{g, U, t} R \longrightarrow U\) 是 Cohen–Macaulay 且局部有限表现的；
态射 \(s', t' : R' \to U'\) 是 Cohen–Macaulay 且局部有限表现的；并且
\(\dim_{e(u)}(F'_u) = \dim(G'_u)\)。
证明
由于 \(s\) 局部有限表现，概形 \(F_u\) 在 \(\kappa(u)\) 上局部有限型。 因此 \(\dim_{e(u)}(F_u) < \infty\)，可以对 \(\dim_{e(u)}(F_u)\) 作归纳。
若 \(\dim_{e(u)}(F_u) = \dim(G_u)\)，则无事可证。 假设 \(\dim_{e(u)}(F_u) > \dim(G_u)\)。这意味着可以应用引理 0461，从而得到态射 \(g : U' \to U\)，它满足 (1)、(2)、(3)；以 \(\dim_{e(u)}(F'_u) < \dim_{e(u)}(F_u)\) 代替 (6)； 并以复合 \[h = s \circ \text{pr}_1 : U' \times_{g, U, t} R \longrightarrow U\] 在点 \((u, e(u))\) 处为 Cohen–Macaulay 来代替 (4) 和 (5)。 应用注 047W，得到开子概形 \(U'' \subset U'\)，使得 \(U'' \times_{g, U, t} R \subset U' \times_{g, U, t} R\) 是 \(h\) 为 Cohen–Macaulay 的最大开子概形。 由于 \((u, e(u)) \in U'' \times_{g, U, t} R\)，可见 \(u \in U''\)。因此可以用 \(U''\) 代替 \(U'\)，并假设 \(h\) 处处为 Cohen–Macaulay！由引理 04MV， 可知 \(s', t'\) 局部有限表现且为 Cohen–Macaulay （使用《概形态射》引理 01TS 及 《态射进阶》引理 045T）。
由构造，\(\dim_{e'(u)}(F'_u) < \dim_{e(u)}(F_u)\)， 故可将归纳假设应用于 \((U', R', s', t', c')\) 及点 \(u \in U'\)。 注意 \(u\) 也是 \(U'\) 的有限型点（例如可使用《概形态射》引理 02J2 对有限型点的刻画看出这一点）。设 \(g' : U'' \to U'\) 和 \((U'', R'', s'', t'', c'')\) 是从 \((U', R', s', t', c')\) 及点 \(u \in U'\) 出发所得相应问题的解。 我们断言复合 \[g'' = g \circ g' : U'' \longrightarrow U\] 是原问题的一个解。性质 (1)、(2)、(3)、(5)、(6) 显然成立。 为看出 (4)，注意态射 \[h'' = s \circ \text{pr}_1 : U'' \times_{g'', U, t} R \longrightarrow U\] 局部有限表现且为 Cohen–Macaulay；这可应用引理 04MX 得出 （使用《态射进阶》引理 045V 来说明 Cohen–Macaulay 态射在目标上是 fppf 局部的）。
当稳定子群概形的纤维维数为 0 时，这给出下列切片引理。
引理
设 \(S\) 为概形。设 \((U, R, s, t, c, e, i)\) 为 \(S\) 上的群胚概形。 设 \(G \to U\) 为稳定子群概形。假设 \(s\) 和 \(t\) 是 Cohen–Macaulay 且局部有限表现的。设 \(u \in U\) 是概形 \(U\) 的有限型点，见《概形态射》定义 02J1。 假设 \(G \to U\) 局部拟有限。采用情形 04MY 的记号，存在仿射概形 \(U'\) 和态射 \(g : U' \to U\)，使得
\(g\) 是浸入；
\(u \in U'\)；
\(g\) 局部有限表现；
态射 \(h : U' \times_{g, U, t} R \longrightarrow U\) 平坦、局部有限表现且局部拟有限；并且
态射 \(s', t' : R' \to U'\) 平坦、局部有限表现且局部拟有限。
证明
取引理 04MZ 中的 \(g : U' \to U\)。 由于 \(h^{-1}(u) = F'_u\)，可见 \(h\) 在 \((u, e(u))\) 处相对维数 \(\leq 0\)。因此由注 047W， 得到开子概形 \(U'' \subset U'\)，使得 \(u \in U''\)，且 \(U'' \times_{g, U, t} R\) 是 \(U' \times_{g, U, t} R\) 中 \(h\) 相对维数 \(\leq 0\) 的最大开子概形。 用 \(U''\) 代替 \(U'\) 后，可见 \(h\) 的相对维数 \(\leq 0\)。 由《概形态射》引理 0397， 这蕴含 \(h\) 局部拟有限。由于它仍局部有限表现且为 Cohen–Macaulay，可见它平坦、局部有限表现且局部拟有限， 即上面的 (4) 成立。这蕴含 \(s'\) 作为 \(h\) 的基变换也平坦、 局部有限表现且局部拟有限，见引理 04MV。
群胚的平展（Étale）局部化
本节开始把《态射进阶》第 04HF 节 中的平展（étale）局部化技术应用于群胚概形。 这方面更深入的材料见《代数空间中的群胚进阶》第 04RJ 节。 引理 03X5 将用于证明关于在一个概形上分离且拟有限的代数空间的结果， 即《代数空间的态射》命题 03XX 及其推论《代数空间的态射》引理 0418。
引理
设 \(S\) 为概形。设 \((U, R, s, t, c)\) 为 \(S\) 上的群胚概形。 设 \(p \in S\) 为一点，并设 \(u \in U\) 为位于 \(p\) 上方的一点。假设
\(U \to S\) 局部有限型；
\(U \to S\) 在 \(u\) 处拟有限；
\(U \to S\) 分离；
\(R \to S\) 分离；
\(s\), \(t\) 平坦且局部有限表现；并且
\(s^{-1}(\{u\})\) 有限。
则存在平展（étale）邻域 \((S', p') \to (S, p)\)，满足 \(\kappa(p) = \kappa(p')\)，并有基变换图 \[\xymatrix{ R' \amalg W' \ar@{=}[r] & S' \times_S R \ar[r] \ar@<2ex>[d]^{s'} \ar@<-2ex>[d]_{t'} & R \ar@<1ex>[d]^s \ar@<-1ex>[d]_t \\ U' \amalg W \ar@{=}[r] & S' \times_S U \ar[r] \ar[d] & U \ar[d] \\ & S' \ar[r] & S }\] 其中等号表示分解为开闭子概形，并满足
存在 \(U'\) 的一点 \(u'\)，它在 \(U\) 中映到 \(u\)；
在集合论意义下，纤维 \((U')_{p'}\) 等于 \(t'\big((s')^{-1}(\{u'\})\big)\)；
在集合论意义下，纤维 \((R')_{p'}\) 等于 \((s')^{-1}\big((U')_{p'}\big)\)；
概形 \(U'\) 和 \(R'\) 在 \(S'\) 上有限；
有 \(s'(R') \subset U'\) 和 \(t'(R') \subset U'\)；
有 \(c'(R' \times_{s', U', t'} R') \subset R'\)， 其中 \(c'\) 是 \(c\) 的基变换；并且
态射 \(s', t', c'\) 通过系统 \((U', R', s'|_{R'}, t'|_{R'}, c'|_{R' \times_{s', U', t'} R'})\) 确定一个群胚结构。
证明
记 \(f : U \to S\) 为 \(U\) 的结构态射。由假设 (6)，可写 \(s^{-1}(\{u\}) = \{r_1, \ldots, r_n\}\)。 由于该集合有限，可见 \(s\) 在这有限多个逆像中的每一个处拟有限， 见《概形态射》引理 02NG。 因此 \(f \circ s : R \to S\) 在每个 \(r_i\) 处拟有限 （《概形态射》引理 01TL）。 所以 \(r_i\) 在纤维 \(R_p\) 中是孤立点，见《概形态射》引理 01TH。 写成 \(t(\{r_1, \ldots, r_n\}) = \{u_1, \ldots, u_m\}\)。 注意可能有 \(m < n\)，并且 \(u \in \{u_1, \ldots, u_m\}\)。 由于 \(t\) 平坦且局部有限表现，纤维态射 \(t_p : R_p \to U_p\) 平坦且局部有限表现 （《概形态射》引理 01U9 和 01TS）， 因而为开映射（《概形态射》引理 01UA）。 每个 \(r_i\) 在 \(R_p\) 中孤立这一事实蕴含每个 \(u_j = t(r_i)\) 在 \(U_p\) 中孤立。再次使用《概形态射》引理 01TH， 可见 \(f\) 在 \(u_1, \ldots, u_m\) 处拟有限。
记 \(F_u = s^{-1}(u)\) 和 \(F_{u_j} = s^{-1}(u_j)\) 为概形论纤维。 注意 \(F_u\) 在 \(\kappa(u)\) 上有限，因为它在 \(\kappa(u)\) 上局部有限型 且只有有限多个点（例如，这可由远为一般的《概形态射》引理 03JA 得出）。由引理 02YF， \(F_u\) 和 \(F_{u_j}\) 在 \(\kappa(u)\) 与 \(\kappa(u_j)\) 的某个公共域扩张上 变为同构。因此 \(F_{u_j}\) 在 \(\kappa(u_j)\) 上有限。特别地， 对每个 \(j = 1, \ldots, m\)，集合 \(s^{-1}(\{u_j\})\) 有限。 于是对每个 \(u_j\)，假设 (2) 和 (6) 也成立 （上面已看到 \(U \to S\) 在 \(u_j\) 处拟有限）。 因此第一段的论证适用于每个 \(u_j\)，从而 \(R \to U\) 在下列集合的每个点处拟有限： \[\{r_1, \ldots, r_N\} = s^{-1}(\{u_1, \ldots, u_m\})\] 注意 \(t(\{r_1, \ldots, r_N\}) = \{u_1, \ldots, u_m\}\) 且 \(t^{-1}(\{u_1, \ldots, u_m\}) = \{r_1, \ldots, r_N\}\)， 因为 \(R\) 是群胚2。 此外， \(\text{pr}_0(c^{-1}(\{r_1, \ldots, r_N\})) = \{r_1, \ldots, r_N\}\) 且 \(\text{pr}_1(c^{-1}(\{r_1, \ldots, r_N\})) = \{r_1, \ldots, r_N\}\)。 类似地，还得到 \(e(\{u_1, \ldots, u_m\}) \subset \{r_1, \ldots, r_N\}\) 以及 \(i(\{r_1, \ldots, r_N\}) = \{r_1, \ldots, r_N\}\)。
可以把《态射进阶》引理 02LN 应用于两对 \((U \to S, \{u_1, \ldots, u_m\})\) 和 \((R \to S, \{r_1, \ldots, r_N\})\)， 从而得到一个平展（étale）邻域 \((S', p') \to (S, p)\)，它诱导等同 \(\kappa(p) = \kappa(p')\)，并使 \(S' \times_S U\) 和 \(S' \times_S R\) 分解为 \[S' \times_S U = U' \amalg W, \quad S' \times_S R = R' \amalg W'\] 其中 \(U' \to S'\) 有限，且 \((U')_{p'}\) 双射地映到 \(\{u_1, \ldots, u_m\}\)；\(R' \to S'\) 有限，且 \((R')_{p'}\) 双射地映到 \(\{r_1, \ldots, r_N\}\)。 此外，\(W_{p'}\)（相应地， \((W')_{p'}\)）的任何点都不映到 任何 \(u_j\)（相应地， \(r_i\)）。此时，引理的 (a)、(b)、(c)、(d) 均已满足。此外，(e) 和 (f) 中的包含关系在 \(p'\) 上的纤维上成立， 即 \(s'((R')_{p'}) \subset (U')_{p'}\)、 \(t'((R')_{p'}) \subset (U')_{p'}\)，以及 \(c'((R' \times_{s', U', t'} R')_{p'}) \subset (R')_{p'}\)。
我们断言，可以把 \(S'\) 换成 \(p'\) 的一个 Zariski 开邻域， 使 (e) 和 (f) 中的包含关系成立。例如，考虑集合 \(E = (s'|_{R'})^{-1}(W)\)。这是 \(R'\) 的开闭子集，且不包含 \(R'\) 中位于 \(p'\) 上方的任何点。由于 \(R' \to S'\) 是闭映射， 用 \(S' \setminus (R' \to S')(E)\) 代替 \(S'\) 后， 就得到 \(E\) 为空的情形。换言之，\(s'\) 把 \(R'\) 映入 \(U'\)。 注意，进一步缩小 \(S'\) 时此性质仍然保持。 类似地，可以安排使 \(t'\) 把 \(R'\) 映入 \(U'\)。此时 (e) 成立。 以同样方式考虑集合 \(E = (c'|_{R' \times_{s', U', t'} R'})^{-1}(W')\)。 它是概形 \(R' \times_{s', U', t'} R'\) 的开闭子集； 该概形在 \(S'\) 上有限，而且它不包含位于 \(p'\) 上方的任何点。 因此，用 \(S' \setminus (R' \times_{s', U', t'} R' \to S')(E)\) 代替 \(S'\) 后，就得到 \(E\) 为空的情形。换言之，得到 (f) 中的包含关系。 还可以对恒等态射 \(e' : S' \times_S U \to S' \times_S R\) 和逆态射 \(i' : S' \times_S R \to S' \times_S R\) 重复此论证，从而可以假设（再把 \(S'\) 缩小一些后） \((e'|_{U'})^{-1}(W') = \emptyset\) 且 \((i'|_{R'})^{-1}(W') = \emptyset\)。
此时可以考虑结构 \[(U', R', s'|_{R'}, t'|_{R'}, c'|_{R' \times_{t', U', s'} R'}, e'|_{U'}, i'|_{R'}).\] \(S'\) 上群胚概形的公理成立，因为这些公理对群胚概形 \((S' \times_S U, S' \times_S R, s', t', c', e', i')\) 成立。
引理
设 \(S\) 为概形。设 \((U, R, s, t, c)\) 为 \(S\) 上的群胚概形。 设 \(p \in S\) 为一点，并设 \(u \in U\) 为位于 \(p\) 上方的一点。 假设引理 03FL 的假设 (1) – (6) 成立，并且还有
\(j : R \to U \times_S U\) 普遍闭3。
则可以选取 \((S', p') \to (S, p)\)、分解 \(S' \times_S U = U' \amalg W\) 和 \(S' \times_S R = R' \amalg W'\)，以及 \(u' \in U'\)， 使引理 03FL 的 (a) – (g) 成立， 并且还有
\(R'\) 是 \(S' \times_S R\) 向 \(U'\) 的限制。
证明
把引理 03FL 应用于概形 \(S\) 上的群胚 \((U, R, s, t, c)\) 及点 \(p\)、\(u\)。由此得到平展（étale）邻域 \((S', p') \to (S, p)\)、不交并分解 \[S' \times_S U = U' \amalg W, \quad S' \times_S R = R' \amalg W'\] 以及满足结论 (a)、(b)、(c)、(d)、(e)、(f)、(g) 的 \(u' \in U'\)。 可以把 \(S'\) 缩小为 \(p'\) 的更小邻域，而不影响结论 (a) – (g)。 下面证明适当缩小后结论 (h) 也成立。记 \(j'\) 为 \(j\) 到 \(S'\) 的基变换。 由结论 (e)，显然 \[j'^{-1}(U' \times_{S'} U') = R' \amalg Rest\] 其中 \(Rest\) 是某个开闭部分。由结论 (d)，\(U' \to S'\) 有限， 故 \(U' \times_{S'} U'\) 在 \(S'\) 上有限。 由于 \(j\) 普遍闭，\(j'\) 也普遍闭，从而 \(j'|_{Rest}\) 也普遍闭。由结论 (b) 和 (c)，可见态射 \[(U' \times_{S'} U' \to S') \circ j'|_{Rest} : Rest \longrightarrow S'\] 在 \(p'\) 上的纤维为空。因此，由于 \(Rest \to S'\) 是闭态射的复合， 故为闭态射；用 \(S' \setminus \Im(Rest \to S')\) 代替 \(S'\) 后， 可以假设 \(Rest = \emptyset\)。这恰好是说 \(R'\) 是 \(S' \times_S R\) 向开子概形 \(U' \subset S' \times_S U\) 的限制， 见《群胚概形》引理 02VD 及其证明。
有限群胚
若态射 \(s\) 和 \(t\) 有限，群胚概形 \((U, R, s, t, c)\) 有时称为有限的。这个说法可能造成混淆，因为它并不蕴含 \(U\)、\(R\) 或商层 \(U/R\) 在任何对象上有限。
引理
设 \((U, R, s, t, c)\) 为概形 \(S\) 上的群胚概形，并假设 \(s, t\) 有限。 存在一列 \(R\)-不变闭子概形 \[U = Z_0 \supset Z_1 \supset Z_2 \supset \ldots\] 使得 \(\bigcap Z_r = \emptyset\)，并且 \(s^{-1}(Z_{r - 1}) \setminus s^{-1}(Z_r) \to Z_{r - 1} \setminus Z_r\) 有限局部自由，秩为 \(r\)。
证明
设 \(\{Z_r\}\) 为有限型拟凝聚模 \(s_*\mathcal{O}_R\) 的 Fitting 理想在 \(U\) 上给出的分层，见 《除子》引理 05P8。 由于恒等态射 \(e : U \to R\) 是 \(s\) 的截面，可见 \(s_*\mathcal{O}_R\) 以 \(\mathcal{O}_S\) 为直和项。 因此 \(U = Z_{-1} = Z_0\)（略去细节）。 由于 Fitting 理想的形成与基变换交换 （《代数进阶》引理 07ZA）， 并且图 (04LF) 的右下方块为 Cartesian 方块， 可见 \(s^{-1}(Z_r)\) 对应于 \(\text{pr}_{1, *}\mathcal{O}_{R \times_{s, U, t} R}\) 的第 \(r\) 个 Fitting 理想。再利用左下方块也为 Cartesian 方块， 得到 \(s^{-1}(Z_r) = t^{-1}(Z_r)\)；换言之，\(Z_r\) 为 \(R\)-不变。 态射 \(s^{-1}(Z_{r - 1}) \setminus s^{-1}(Z_r) \to Z_{r - 1} \setminus Z_r\) 有限局部自由且秩为 \(r\)，因为由《除子》引理 05P8， 模 \(s_*\mathcal{O}_R\) 在 \(Z_{r - 1} \setminus Z_r\) 上拉回为 秩 \(r\) 的有限局部自由模。
引理
设 \((U, R, s, t, c)\) 为概形 \(S\) 上的群胚概形，并假设 \(s, t\) 有限。 存在开子概形 \(W \subset U\) 和闭子概形 \(W' \subset W\)，使得
\(W\) 和 \(W'\) 均为 \(R\)-不变；
在集合论意义下，\(U = t(s^{-1}(\overline{W}))\)；
\(W\) 是 \(W'\) 的加厚；并且
限制 \((W', R', s', t', c')\) 的映射 \(s'\), \(t'\) 有限局部自由。
证明
考虑引理 0AB9 的分层 \(U = Z_0 \supset Z_1 \supset Z_2 \supset \ldots\)。
我们将构造不交并 \(W = \coprod_{r \geq 1} W_r\) 和 \(W' = \coprod_{r \geq 1} W'_r\)，使每个 \(W'_r \to W_r\) 都是 \(U\) 的 \(R\)-不变子概形的加厚， 且限制 \((W_r', R_r', s_r', t_r', c_r')\) 的态射 \(s_r', t_r'\) 有限局部自由，秩为 \(r\)。 首先令 \(W_1 = W'_1 = U \setminus Z_1\)。 这是 \(U\) 的 \(R\)-不变开子概形；\(W_0\) 确实是 \(W'_0\) 的加厚； 而限制 \((W_1', R_1', s_1', t_1', c_1')\) 的映射 \(s_1'\), \(t_1'\) 为同构，也就是秩 \(1\) 的有限局部自由态射。 此外，\(U \setminus Z_1\) 的每个点都属于 \(t(s^{-1}(\overline{W_1}))\)。
假设对 \(r \leq n\) 已找到子概形 \(W'_r \subset W_r \subset U\)，使得
\(W_1, \ldots, W_n\) 两两不交；
\(W_r\) 和 \(W_r'\) 为 \(R\)-不变；
在集合论意义下， \(U \setminus Z_n \subset \bigcup_{r \leq n} t(s^{-1}(\overline{W_r}))\)；
\(W_r\) 是 \(W'_r\) 的加厚；
限制 \((W_r', R_r', s_r', t_r', c_r')\) 的映射 \(s_r'\), \(t_r'\) 有限局部自由，秩为 \(r\)。
然后在集合论意义下令 \[W_{n + 1} = Z_n \setminus \left( Z_{n + 1} \cup \bigcup\nolimits_{r \leq n} t(s^{-1}(\overline{W_r})) \right)\] 而在概形论意义下令 \[W'_{n + 1} = Z_n \setminus \left( Z_{n + 1} \cup \bigcup\nolimits_{r \leq n} t(s^{-1}(\overline{W_r})) \right)\] 则 \(W_{n + 1}\) 是 \(U\) 的 \(R\)-不变开子概形。事实上， \(Z_{n + 1} \setminus \overline{U \setminus Z_{n + 1}}\) 在 \(U\) 中开， 而由性质 (3) 及 \(t\) 为闭态射这一事实， \(\overline{U \setminus Z_{n + 1}}\) 包含于我们所删去的闭子集 \(\bigcup\nolimits_{r \leq n} t(s^{-1}(\overline{W_r}))\)。 显然，\(W'_{n + 1}\) 是 \(W_{n + 1}\) 中具有相同底拓扑空间的闭子概形。 最后，性质 (1)、(2)、(3) 显然，而性质 (5) 由引理 0AB9 得出。
由引理 0AB9，有 \(\bigcap Z_r = \emptyset\)。因此 \(U\) 的每个点都属于 \(U \setminus Z_n\)，其中 \(n\) 适当选取。所以在集合论意义下 \(U = \bigcup_{r \geq 1} t(s^{-1}(\overline{W_r}))\)， 从而 (2) 成立。于是 \(W' \subset W\) 满足 (1)、(2)、(3)、(4)。
设 \((U, R, s, t, c)\) 为群胚概形。给定点 \(u \in U\)， \(u\) 的\(R\)-轨道是 \(U\) 的子集 \(t(s^{-1}(\{u\}))\)。
引理
在引理 0ABA 中， 再假设 \(s\) 和 \(t\) 有限表现。则
态射 \(W' \to W\) 有限表现；并且
若 \(u \in U\) 是一点，其 \(R\)-轨道由 \(U\) 的不可约分支的一般点 组成，则 \(u \in W\)。
证明
在这种情形，引理 0AB9 的分层 \(U = Z_0 \supset Z_1 \supset Z_2 \supset \ldots\) 由有限表现的闭浸入 \(Z_k \to U\) 给出，见《除子》引理 05P8。 由此立即得到 (1)，因为 \(W' \to W\) 局部由开集 \(W\) 与 \(Z_r\) 相交给出。为证明 (2)，设 \(\{u_1, \ldots, u_n\}\) 为 \(u\) 的轨道。 由于闭子概形 \(Z_k\) 为 \(R\)-不变且 \(\bigcap Z_k = \emptyset\)，可以找到 \(k\)，使所有 \(i\) 均满足 \(u_i \in Z_k\) 且 \(u_i \not \in Z_{k + 1}\)。 \(Z_k \to U\) 和 \(Z_{k + 1} \to U\) 的像局部可构造 （《概形态射》定理 054K）。 由于 \(u_i \in U\) 是 \(U\) 的一个不可约分支的一般点， 存在 \(u_i\) 的开邻域 \(U_i\)，它在集合论意义下包含于 \(Z_k \setminus Z_{k + 1}\)（《概形的性质》引理 0AAW）。 在引理 0ABA 的证明中， 我们把 \(W\) 构造为不交并 \(\coprod W_r\)，其中 \(W_r \subset Z_{r - 1} \setminus Z_r\)，且 \(U = \bigcup t(s^{-1}(\overline{W_r}))\)。 由于 \(\{u_1, \ldots, u_n\}\) 是一个 \(R\)-轨道， 若 \(u \in t(s^{-1}(\overline{W_r}))\)，则对某个 \(i\) 有 \(u_i \in \overline{W_r}\)，从而 \(U_i \cap W_r \not = \emptyset\)，继而 \(r = k\)。 因此如欲证地得到 \(u\) 属于 \[W_{k + 1} = Z_k \setminus \left( Z_{k + 1} \cup \bigcup\nolimits_{r \leq k} t(s^{-1}(\overline{W_r})) \right)\] 。
引理
设 \((U, R, s, t, c)\) 为概形 \(S\) 上的群胚概形。假设 \(s, t\) 有限且有限表现，并且 \(U\) 拟分离。设 \(u_1, \ldots, u_m \in U\) 为若干点，它们的轨道均由 \(U\) 的不可约分支的一般点组成。则存在 \(R\)-不变子概形 \(V' \subset V \subset U\)，使得
\(u_1, \ldots, u_m \in V'\)；
\(V\) 在 \(U\) 中开；
\(V'\) 和 \(V\) 均仿射；
\(V' \subset V\) 是有限表现的加厚；
限制 \((V', R', s', t', c')\) 的态射 \(s', t'\) 有限局部自由。
证明
取引理 0ABA 中的 \(W' \subset W \subset U\)。由引理 0ABB， 有 \(u_j \in W\)，且 \(W' \to W\) 是有限表现的加厚。 由《概形的极限》引理 09NL， 只需找到 \(W'\) 的一个包含 \(u_j\) 的 \(R\)-不变仿射开子概形 \(V'\) （因为这时可令 \(V \subset W\) 为对应的开子概形，而它将是仿射的）。 因此可以用向 \(W'\) 的限制 \((W', R', s', t', c')\) 代替 \((U, R, s, t, c)\)。 换言之，可以假设群胚概形 \((U, R, s, t, c)\) 的态射 \(s\)、\(t\) 有限局部自由。由《概形的性质》引理 01ZV， 可以找到一个包含 \(u_1, \ldots, u_m\) 各轨道之并的仿射开集。 最后应用《群胚概形》引理 03JE 即得结论。
下一个引理是引理 0ABC 的特殊情形， 但在本情形论证稍为容易，因此我们重作证明 （这样可避免使用引理 0ABB）。
引理
设 \((U, R, s, t, c)\) 为概形 \(S\) 上的群胚概形。 假设 \(s, t\) 有限，\(U\) 局部 Noether，并且 \(u_1, \ldots, u_m \in U\) 的轨道均由 \(U\) 的不可约分支的一般点组成。 则存在 \(R\)-不变子概形 \(V' \subset V \subset U\)，使得
\(u_1, \ldots, u_m \in V'\)；
\(V\) 在 \(U\) 中开；
\(V'\) 和 \(V\) 均仿射；
\(V' \subset V\) 是加厚；
限制 \((V', R', s', t', c')\) 的态射 \(s', t'\) 有限局部自由。
证明
设 \(\{u_{j1}, \ldots, u_{jn_j}\}\) 为 \(u_j\) 的轨道。 取引理 0ABA 中的 \(W' \subset W \subset U\)。由于 \(U = t(s^{-1}(\overline{W}))\)，可见至少有一个 \(u_{ji} \in \overline{W}\)。由于 \(u_{ji}\) 是不可约分支的一般点， 且 \(U\) 局部 Noether，这蕴含 \(u_{ji} \in W\)。 又因 \(W\) 为 \(R\)-不变，得到 \(u_j \in W\)，事实上整个轨道都包含于 \(W\)。 由《概形上同调》引理 01YQ， 只需找到 \(W'\) 的一个包含 \(u_1, \ldots, u_m\) 的 \(R\)-不变仿射开子概形 \(V'\) （因为这时可令 \(V \subset W\) 为对应的开子概形，而它将是仿射的）。 因此可以用向 \(W'\) 的限制 \((W', R', s', t', c')\) 代替 \((U, R, s, t, c)\)。 换言之，可以假设群胚概形 \((U, R, s, t, c)\) 的态射 \(s\)、\(t\) 有限局部自由。由《概形的性质》引理 01ZV， 可以找到包含 \(\{u_{ij}\}\) 的仿射开集 （由《概形的性质》引理 01OY， 局部 Noether 概形拟分离）。 最后应用《群胚概形》引理 03JE 即得结论。
引理
设 \((U, R, s, t, c)\) 为概形 \(S\) 上的群胚概形，其中 \(s, t\) 整。 设 \(g : U' \to U\) 为整态射，并使 \(U\) 中的每个 \(R\)-轨道都与 \(g(U')\) 相交。设 \((U', R', s', t', c')\) 为 \(R\) 向 \(U'\) 的限制。 若 \(u' \in U'\) 包含于一个 \(R'\)-不变仿射开集中，则其像 \(u \in U\) 包含于 \(U\) 的一个 \(R\)-不变仿射开集中。
证明
设 \(W' \subset U'\) 为 \(R'\)-不变仿射开集。令 \(\tilde R = U' \times_{g, U, t} R\)，并带有映射 \(\text{pr}_0 : \tilde R \to U'\) 及 \(h = s \circ \text{pr}_1 : \tilde R \to U\)。 注意 \(\text{pr}_0\) 和 \(h\) 都是整态射。 因此 \(\tilde W = \text{pr}_0^{-1}(W')\) 仿射。 由于 \(W'\) 为 \(R'\)-不变，像 \(W = h(\tilde W)\) 在集合论意义下为 \(R\)-不变，并且在集合论意义下 \(\tilde W = h^{-1}(W)\)（略去细节）。 所以，若能证明 \(W\) 为开集，则 \(W\) 是概形，且态射 \(\tilde W \to W\) 整且满；由《概形的极限》命题 05YU，这蕴含 \(W\) 仿射。 然而，每个轨道与 \(U'\) 相交这一假设蕴含 \(h : \tilde R \to U\) 满。整满态射为商映射 （《拓扑学》引理 0AAU 及 《概形态射》引理 01WM）， 所以 \(W\) 为开集。
下一个技术引理在拟仿射概形上的有限群胚情形中构造“几乎”不变函数。
引理
设 \((U, R, s, t, c)\) 为群胚概形，其中 \(s, t\) 有限且有限表现。 设 \(u_1, \ldots, u_m \in U\) 为若干点，其 \(R\)-轨道均由 \(U\) 的不可约分支的一般点组成。设 \(j : U \to \Spec(A)\) 为浸入。设 \(I \subset A\) 为理想，使得 \(j(U) \cap V(I) = \emptyset\) 且 \(V(I) \cup j(U)\) 在 \(\Spec(A)\) 中闭。则存在 \(h \in I\)，使 \(j^{-1}D(h)\) 是 \(U\) 的一个包含 \(u_1, \ldots, u_m\) 的 \(R\)-不变仿射开子概形。
证明
取引理 0ABC 中的 \(u_1, \ldots, u_m \in V' \subset V \subset U\)。 由于 \(U \setminus V\) 在 \(U\) 中闭，\(j\) 为浸入，且 \(V(I) \cup j(U)\) 在 \(\Spec(A)\) 中闭，可以找到理想 \(J \subset I\)，使 \(V(J) = V(I) \cup j(U \setminus V)\)。 例如，可以取 \(I\) 中在 \(j(U \setminus V)\) 上消失的元素所成的理想。 因此可以用 \((V', R', s', t', c')\)、 \(j|_{V'} : V' \to \Spec(A)\) 以及 \(J\) 分别代替 \((U, R, s, t, c)\)、\(j : U \to \Spec(A)\) 以及 \(I\)。 换言之，可以假设 \(U\) 仿射且 \(s\)、\(t\) 有限局部自由。 取任意 \(f \in I\)，使其在 \(u_1, \ldots, u_m\) 的各个 \(R\)-轨道的所有点处均不消失 （《交换代数》引理 00DS）。考虑 \[g = \text{Norm}_s(t^\sharp(j^\sharp(f))) \in \Gamma(U, \mathcal{O}_U)\] 由于 \(f \in I\)，且 \(V(I) \cup j(U)\) 闭，可见 \(U \cap D(f) \to D(f)\) 为闭浸入。因此对某个 \(n > 0\)， \(f^ng\) 是某个元素 \(h \in I\) 的像。我们断言 \(h\) 合用。 确实，在《群胚概形》引理 03BH 中已经看到， \(g\) 是 \(R\)-不变函数，故 \(D(g) \subset U\) 为 \(R\)-不变。 由于 \(f\) 在 \(u_j\) 的轨道上不消失，函数 \(g\) 在 \(u_j\) 处不消失。 此外，\(V(g) \supset V(j^\sharp(f))\)，故 \(j^{-1}D(h) = D(g)\)。
引理
设 \((U, R, s, t, c)\) 为群胚概形。若 \(s, t\) 有限，且 \(u, u' \in R\) 是同一轨道中的不同点，则 \(u'\) 不是 \(u\) 的特殊化。
证明
取 \(r \in R\)，使 \(s(r) = u\) 且 \(t(r) = u'\)。 若 \(u \leadsto u'\)，则可以找到非平凡特殊化 \(r \leadsto r'\)，满足 \(s(r') = u'\)，见《概形》引理 01K9。 令 \(u'' = t(r')\)。注意 \(u'' \not = u'\)，因为有限态射的纤维中 不存在特殊化。因此可以继续，找到非平凡特殊化 \(r' \leadsto r''\)，满足 \(s(r'') = u''\)，如此等等。 这表明 \(u\) 的轨道包含特殊化的无穷序列 \(u \leadsto u' \leadsto u'' \leadsto \ldots\)； 但这是荒谬的，因为轨道 \(t(s^{-1}(\{u\}))\) 有限。
引理
设 \(j : V \to \Spec(A)\) 为概形的拟紧浸入。 设 \(f \in A\)，使 \(j^{-1}D(f)\) 仿射，且 \(j(V) \cap V(f)\) 闭。则 \(V\) 仿射。
证明
这可由《概形态射》引理 0C3A 得出，但我们也给出直接证明。 令 \(A' = \Gamma(V, \mathcal{O}_V)\)。则 \(j' : V \to \Spec(A')\) 是拟紧开浸入，见《概形的性质》引理 01P9。设 \(f' \in A'\) 为 \(f\) 的像。 则 \((j')^{-1}D(f') = j^{-1}D(f)\) 仿射。另一方面， \(j'(V) \cap V(f')\) 是 \(\Spec(A')\) 的子概形，它同 \(\Spec(A)\) 的闭子概形 \(j(V) \cap V(f)\) 同构。 因此它在 \(\Spec(A')\) 中闭，例如可见《概形》引理 01KT。 故可以用 \(A'\) 代替 \(A\)，并假设 \(j\) 为开浸入且 \(A = \Gamma(V, \mathcal{O}_V)\)。
在这种情形，我们断言 \(j(V) = \Spec(A)\)，这将完成证明。 否则，可以找到主仿射开集 \(D(g) \subset \Spec(A)\)， 它同补集相交而避开闭子集 \(j(V) \cap V(f)\)。 注意 \(j\) 把 \(j^{-1}D(f)\) 同构地映到 \(D(f)\)，见 《概形的性质》引理 01P8。 因此 \(D(g)\) 同 \(V(f)\) 相交。另一方面，\(j^{-1}D(g)\) 是仿射开集 \(j^{-1}D(f)\) 的主开集，因而仿射。于是再次由《概形的性质》引理 01P8，可见 \(D(g)\) 同构于 \(j^{-1}D(g) \subset j^{-1}D(f)\)，这蕴含 \(D(g) \subset D(f)\)。这一矛盾完成证明。
引理
设 \((U, R, s, t, c)\) 为群胚概形，并设 \(u \in U\)。假设
\(s, t\) 是有限态射；
\(U\) 分离且局部 Noether；
对 \(u\) 的轨道中的每个点 \(u'\)，有 \(\dim(\mathcal{O}_{U, u'}) \leq 1\)。
则 \(u\) 包含于 \(U\) 的一个 \(R\)-不变仿射开集中。
证明
\(u\) 的 \(R\)-轨道有限。由条件 (2) 和 (3)，它包含于 \(U\) 的一个仿射开集 \(U'\)，见《代数簇》命题 09NN。 于是 \(t(s^{-1}(U \setminus U'))\) 是 \(U\) 的不包含 \(u\) 的 \(R\)-不变闭子集。因此 \(U \setminus t(s^{-1}(U \setminus U'))\) 是 \(U'\) 中包含 \(u\) 的 \(R\)-不变开集。用这个开集代替 \(U\) 后，可以假设 \(U\) 拟仿射。
由引理 0ABE，可以用其约化代替 \(U\)， 并假设 \(U\) 约化。这意味着引理 0ABA 的 \(R\)-不变子概形 \(W' \subset W \subset U\) 相等，即 \(W' = W\)。 由于 \(U = t(s^{-1}(\overline{W}))\)，\(u\) 的 \(R\)-轨道中的某点 \(u'\) 包含于 \(\overline{W}\)；再由引理 0ABE，可以用 \(\overline{W}\) 代替 \(U\)， 并用 \(u'\) 代替 \(u\)。因此可以假设存在稠密开 \(R\)-不变子概形 \(W \subset U\)，使限制 \((W, R_W, s_W, t_W, c_W)\) 的态射 \(s_W, t_W\) 有限局部自由。
若 \(u \in W\)，则由《群胚概形》引理 03JE 已得结论 （因为 \(W\) 拟仿射，所以 \(W\) 的任意有限点集都包含于仿射开集中， 见《概形的性质》引理 01ZY）。 故假设 \(u \not \in W\)，于是 \(u\) 的轨道中没有点属于 \(W\)。 设 \(\xi \in U\) 是一个具有非平凡特殊化到 \(u\) 的轨道中某点 \(u'\) 的点。由于 \(u\) 的轨道内的点之间不存在特殊化 （引理 0ABG）， 可见 \(\xi\) 不在该轨道中。由假设 (3)，\(\xi\) 是 \(U\) 的一般点， 因而 \(\xi \in W\)。由于 \(U\) 为 Noether 概形，这样的点只有有限多个， 记为 \(\xi_1, \ldots, \xi_m \in W\)。由于 \(s_W, t_W\) 平坦， 每个 \(\xi_j\) 的轨道都由 \(W\)（因而也由 \(U\)）的不可约分支的一般点组成。
设 \(j : U \to \Spec(A)\) 为 \(U\) 到一个仿射概形的浸入 （这是可能的，因为 \(U\) 拟仿射）。设 \(J \subset A\) 为理想，使 \(V(J) \cap j(W) = \emptyset\) 且 \(V(J) \cup j(W)\) 闭。把引理 0ABF 应用于群胚概形 \((W, R_W, s_W, t_W, c_W)\)、态射 \(j|_W : W \to \Spec(A)\)、诸点 \(\xi_j\) 以及理想 \(J\)， 得到 \(f \in J\)，使 \((j|_W)^{-1}D(f)\) 是包含 \(\xi_j\)（对所有 \(j\)）的 \(R_W\)-不变仿射开集。由于 \(f \in J\)，可见 \(j^{-1}D(f) \subset W\)；也就是说，\(j^{-1}D(f)\) 是 \(U\) 的包含所有 \(\xi_j\) 且包含于 \(W\) 的 \(R\)-不变仿射开集。
在 \[U \setminus j^{-1}D(f) = j^{-1}V(f).\] 上赋予约化诱导闭子概形结构，并记为 \(Z\)。 则 \(Z\) 在集合论意义下为 \(R\)-不变 （但在概形论意义下未必为 \(R\)-不变）。 设 \((Z, R_Z, s_Z, t_Z, c_Z)\) 为 \(R\) 向 \(Z\) 的限制。 由于 \(Z \to U\) 有限，可知 \(s_Z\) 和 \(t_Z\) 有限。 由于 \(u \in Z\)，\(u\) 的轨道包含于 \(Z\)，并且它与把 \(u\) 视为 \(Z\) 的一点所得的 \(R_Z\)-轨道一致。由于 \(\dim(\mathcal{O}_{U, u'}) \leq 1\)，且所有 \(j\) 均有 \(\xi_j \not \in Z\)，可见对 \(u\) 的轨道中的所有 \(u'\)， 有 \(\dim(\mathcal{O}_{Z, u'}) \leq 0\)。 换言之，\(u\) 的 \(R_Z\)-轨道由 \(Z\) 的不可约分支的一般点组成。
设 \(I \subset A\) 为理想，使 \(V(I) \cap j(U) =\emptyset\) 且 \(V(I) \cup j(U)\) 闭。把引理 0ABF 应用于群胚概形 \((Z, R_Z, s_Z, t_Z, c_Z)\)、限制 \(j|_Z\)、理想 \(I\) 以及点 \(u \in Z\)，得到 \(h \in I\)，使 \(j^{-1}D(h) \cap Z\) 是包含 \(u\) 的 \(R_Z\)-不变仿射开集。
考虑 \(R_W\)-不变函数（《群胚概形》引理 03BH） \[g = \text{Norm}_{s_W}(t_W^\sharp(j^\sharp(h)|_W)) \in \Gamma(W, \mathcal{O}_W)\] （下文只需要 \(g\) 在 \(j^{-1}D(f)\) 上的限制；在这种情形， 范数沿仿射概形之间的有限局部自由态射取得。） 我们断言 \[V = (W_g \cap j^{-1}D(f)) \cup (j^{-1}D(h) \cap Z)\] 是 \(U\) 的 \(R\)-不变仿射开集，这将完成引理的证明。 由构造，它在集合论意义下为 \(R\)-不变。 由于 \(V\) 是可构造集，要证明它开，只需证明它在 \(U\) 中对一般化封闭 （《拓扑学》引理 0542， 或更一般的《拓扑学》引理 0903）。 由于 \(W_g \cap j^{-1}D(f)\) 在 \(U\) 中开，只需考虑 \(U\) 中的特殊化 \(u_1 \leadsto u_2\)，其中 \(u_2 \in j^{-1}D(h) \cap Z\)。 这意味着 \(h\) 在 \(j(u_2)\) 中非零，且 \(u_2 \in Z\)。 若 \(u_1 \in Z\)，则 \(j(u_1) \leadsto j(u_2)\)；由于 \(h\) 在 \(j(u_2)\) 中非零，它在 \(j(u_1)\) 中也非零，从而 \(u_1 \in V\)。 若 \(u_1 \not \in Z\) 且也不属于 \(W_g \cap j^{-1}D(f)\)，则 \(u_1 \in W\)、\(u_1 \not \in W_g\)， 因为 \(Z = j^{-1}V(f)\) 的补集包含于 \(W \cap j^{-1}D(f)\)。 因此存在点 \(r_1 \in R\)，使 \(s(r_1) = u_1\)，且 \(h\) 在 \(t(r_1)\) 中为零。由于 \(s\) 有限，可以找到特殊化 \(r_1 \leadsto r_2\)，满足 \(s(r_2) = u_2\)。 但这时可知 \(h\) 在 \(u'_2 = t(r_2)\) 中为零， 这同 \(j^{-1}D(h) \cap Z\) 为 \(R\)-不变且 \(u_2\) 属于其中相矛盾。 因此 \(V\) 为开集。
注意，对于函数 \(h \in I\)，有 \(V \subset j^{-1}D(h)\)。 因此得到浸入 \[j' : V \longrightarrow \Spec(A_h)\] 设 \(f' \in A_h\) 为 \(f\) 的像。则 \((j')^{-1}D(f')\) 是 \(U\) 的仿射开集 \(j^{-1}D(f)\) 中由 \(g\) 确定的主开集。 因此 \((j')^{-1}D(f)\) 仿射。最后，由 \(h \in I\) 及理想 \(I\) 的选取， \(j'(V) \cap V(f') = j'(j^{-1}D(h) \cap Z)\) 在 \(\Spec(A_h/(f')) = \Spec((A/f)_h) = D(h) \cap V(f)\) 中闭。 故可应用引理 0ABH，得出如上所断言的 \(V\) 仿射。
ind-拟仿射态射的下降
ind-拟仿射态射定义于《态射进阶》第 0AP5 节。 本节是《下降》第 0246 节对 ind-拟仿射态射的对应版本。
设 \(X\) 为拟分离概形。设 \(E \subset X\) 为 \(X\) 的某个非空族拟紧开集 之交。写成 \(E = \bigcap_{i \in I} U_i\)，其中 \(U_i \subset X\) 是拟紧开集且 \(I\) 非空。 加入有限交后，可以假设对 \(i, j \in I\)，存在 \(k \in I\)，使 \(U_k \subset U_i \cap U_j\)。在这种情形，对定义于 \(X\) 上的任意层 \(\mathcal{F}\)，有 [0APH]\[\begin{equation} \Gamma(E, \mathcal{F}|_E) = \colim \Gamma(U_i, \mathcal{F}|_{U_i}) \end{equation}\] 确实，固定 \(i_0 \in I\)，并分别用 \(U_{i_0}\) 和 \(\{i \in I \mid U_i \subset U_{i_0}\}\) 代替 \(X\) 和 \(I\)。 于是 \(X\) 拟紧且拟分离，因而是谱空间，见《概形的性质》引理 094L。 再由《拓扑学》引理 0A31 及《空间上的层》引理 0A33 可见该等式成立。 （事实上，若 \(\mathcal{F}\) 为 Abel 层，该公式对高阶上同调群也成立； 见《层上同调》引理 0A37。）
引理
设 \(X\) 为 ind-拟仿射概形。设 \(E \subset X\) 为 \(X\) 的某个非空族拟紧开集之交。令 \(A = \Gamma(E, \mathcal{O}_X|_E)\)、\(Y = \Spec(A)\)。 则《概形》引理 01I1 的典范态射 \[j : (E, \mathcal{O}_X|_E) \longrightarrow (Y, \mathcal{O}_Y)\] 确定同构 \((E, \mathcal{O}_X|_E) \to (E', \mathcal{O}_Y|_{E'})\)， 其中 \(E' \subset Y\) 是若干拟紧开集之交。 若 \(W \subset E\) 在 \(X\) 中开，则 \(j(W)\) 在 \(Y\) 中开。
证明
注意 \((E, \mathcal{O}_X|_E)\) 是局部环化空间，所以《概形》引理 01I1 可应用于 \(A \to \Gamma(E, \mathcal{O}_X|_E)\)。 写成 \(E = \bigcap_{i \in I} U_i\)，其中 \(I \not = \emptyset\)， 且 \(U_i \subset X\) 为拟紧开集。可以且确实假设，对 \(i, j \in I\)，存在 \(k \in I\)，使 \(U_k \subset U_i \cap U_j\)。 令 \(A_i = \Gamma(U_i, \mathcal{O}_{U_i})\)。得到交换图 \[\xymatrix{ (E, \mathcal{O}_X|_E) \ar[r] \ar[d] & (\Spec(A), \mathcal{O}_{\Spec(A)}) \ar[d] \\ (U_i, \mathcal{O}_{U_i}) \ar[r] & (\Spec(A_i), \mathcal{O}_{\Spec(A_i)}) }\] 由于 \(U_i\) 拟仿射，可见 \(U_i \to \Spec(A_i)\) 是拟紧开浸入。 另一方面，\(A = \colim A_i\)。因此作为拓扑空间， \(\Spec(A) = \lim \Spec(A_i)\)（《概形的极限》引理 01YY）。由于 \(E = \lim U_i\)（由《拓扑学》引理 0A31），可见 \(E \to \Spec(A)\) 是到其像 \(E'\) 的同胚，而且 \(E'\) 是 \(\Spec(A)\) 中各开集 \(U_i \subset \Spec(A_i)\) 的逆像之交。 对任意 \(e \in E\)，局部环 \(\mathcal{O}_{X, e}\) 是 \(\mathcal{O}_{U_i, e}\) 的值，而后者与 \(\Spec(A)\) 上的值相同。
为证明引理的最后一个断言，论证如下。选取 \(i, j \in I\)，使 \(U_i \subset U_j\)。考虑交换图 \[\xymatrix{ U_i \ar[r] \ar[d] & \Spec(A_i) \ar[d] \\ U_i \ar[r] & \Spec(A_j) } \quad\quad \xymatrix{ W \ar[r] \ar[d] & \Spec(A_i) \ar[d] \\ W \ar[r] & \Spec(A_j) } \quad\quad \xymatrix{ W \ar[r] \ar[d] & \Spec(A) \ar[d] \\ W \ar[r] & \Spec(A_j) }\] 由《概形的性质》引理 0ARY， 第一个图为 Cartesian 方块。因此第二个图也为 Cartesian 方块。 取极限后，得到第三个图为 Cartesian 方块，所以该图的顶部水平箭头 是开浸入。
引理
设给定概形的 Cartesian 方块 \[\xymatrix{ X \ar[d]_f \ar[r] & \Spec(B) \ar[d] \\ Y \ar[r] & \Spec(A) }\] 设 \(E \subset Y\) 为 \(Y\) 的某个非空族拟紧开集之交。若 \(Y\) 拟分离， 且 \(A \to B\) 平坦，则 \[\Gamma(f^{-1}(E), \mathcal{O}_X|_{f^{-1}(E)}) = \Gamma(E, \mathcal{O}_Y|_E) \otimes_A B\]
证明
写成 \(E = \bigcap_{i \in I} V_i\)，其中 \(V_i \subset Y\) 为拟紧开集。 可以且确实假设，对 \(i, j \in I\)，存在 \(k \in I\)，使 \(V_k \subset V_i \cap V_j\)。于是类似地，在 \(X\) 中有 \(f^{-1}(E) = \bigcap_{i \in I} f^{-1}(V_i)\)。 所以结论由等式 (0APH) 及其对 \(V_i\)、\(f^{-1}(V_i)\) 的相应结论得出；后者即 《概形上同调》引理 02KH。
引理
设 \(S\) 为概形。设 \(\{X_i \to S\}_{i\in I}\) 为 fpqc 覆盖。 设 \((V_i/X_i, \varphi_{ij})\) 为关于 \(\{X_i \to S\}\) 的下降数据，见《下降》定义 023W。 若每个态射 \(V_i \to X_i\) 都 ind-拟仿射，则该下降数据有效。
证明
ind-拟仿射是概形态射的一项性质，且在任意基变换下保持，见 《态射进阶》引理 0AP7。 因此《下降》引理 02W3 适用； 只需在 fpqc 覆盖由单个仿射概形之间的平坦满态射 \(\{X \to S\}\) 给出时证明该引理。写成 \(X = \Spec(A)\)、\(S = \Spec(R)\)，于是 \(R \to A\) 是忠实平坦环同态。设 \((V, \varphi)\) 为 \(X\) 在 \(S\) 上的下降数据，并假设 \(V \to X\) ind-拟仿射；换言之， \(V\) ind-拟仿射。
设 \((U, R, s, t, c)\) 为 \(S\) 上的群胚概形，其中 \(U = X\)、\(R = X \times_S X\)，而 \(s\)、\(t\)、\(c\) 取通常的定义。 由《群胚概形》引理 0APF， 二元组 \((V, \varphi)\) 对应于群胚概形的 Cartesian 态射 \((U', R', s', t', c') \to (U, R, s, t, c)\)。 任取一点 \(u' \in U'\)。由《群胚概形》引理 03LO、 0APA 和 0APB， 可以选取 \(u' \in W \subset E \subset U'\)，其中 \(W\) 开且为 \(R'\)-不变，而 \(E\) 在集合论意义下为 \(R'\)-不变， 并且是某个非空族拟紧开集之交。
转回 \((V, \varphi)\) 的语言，对任意 \(v \in V\)，可以找到 \(v \in W \subset E \subset V\)，满足以下性质： (a) \(W\) 开，且 \(\varphi(W \times_S X) = X \times_S W\)； (b) \(E\) 是若干拟紧开集之交，且在集合论意义下 \(\varphi(E \times_S X) = X \times_S E\)。 这里用 \(E \times_S X\) 表示 \(E\) 在 \(V \times_S X\) 中关于投影态射的逆像，并对 \(X \times_S E\) 使用类似记号。 由引理 0APJ，这蕴含 \(\varphi\) 定义 \(A \otimes_R A\)-代数的同构 \[\begin{align*} \Gamma(E, \mathcal{O}_V|_E) \otimes_R A & = \Gamma(E \times_S X, \mathcal{O}_{V \times_S X}|_{E \times_S X}) \\ & \to \Gamma(X \times_S E, \mathcal{O}_{X \times_S V}|_{X \times_S E}) \\ & = A \otimes_R \Gamma(E, \mathcal{O}_V|_E) \end{align*}\] 称之为 \(\psi\)。\(\varphi\) 的余圈条件转化为 \(\psi\) 的余圈条件，如《下降》定义 023G 所述 （略去细节）。由《下降》命题 023N，得到 \(R\)-代数 \(R'\) 及 \(A\)-代数同构 \(\chi : R' \otimes_R A \to \Gamma(E, \mathcal{O}_V|_E)\)， 它与 \(\psi\) 以及 \(R' \otimes_R A\) 上的典范下降数据相容。
由引理 0API，得到局部环化空间的典范“嵌入” \[j : (E, \mathcal{O}_V|_E) \longrightarrow \Spec(\Gamma(E, \mathcal{O}_V|_E)) = \Spec(R' \otimes_R A)\] 该映射的构造是典范的，并得到交换图 \[\xymatrix{ & E \times_S X \ar[rr]_\varphi \ar[ld] \ar[rd]^{j'} & & X \times_S E \ar[rd] \ar[ld]_{j''} \\ E \ar[rd]^j & & \Spec(R' \otimes_R A \otimes_R A) \ar[ld] \ar[rd] & & E \ar[ld]_j \\ & \Spec(R' \otimes_R A) \ar[rd] && \Spec(R' \otimes_R A) \ar[ld] \\ & & \Spec(R') }\] 其中 \(j'\) 和 \(j''\) 来自把同一构造分别应用于 \(E \times_S X \subset V \times_S X\) 和 \(X \times_S E \subset X \times_S V\)，并使用 \(\chi\) 以及构造 \(\psi\) 时所用的等同。于是 \(j(W)\) 是 \(\Spec(R' \otimes_R A)\) 的开子概形，而且它在两个投影 \(\Spec(R' \otimes_R A \otimes_R A) \to \Spec(R' \otimes_R A)\) 下的逆像相等。由《下降》引理 03N0，得到开集 \(W_0 \subset \Spec(R')\)，其向 \(\Spec(A)\) 的基变换为 \(j(W)\)。 考察上图，可见下降数据 \((W, \varphi|_{W \times_S X})\) 有效。 由《下降》引理 0AP4， 可见原下降数据有效。