代数叠的几何

引言

本章讨论代数叠的若干几何性质。第 0DR4 节和第 0DRE 节的初始版本由 Matthew Emerton 与 Toby Gee 撰写，其原始形式见 [Emerton-Gee-dim]。

半通用环

本节阐明形变环与局部 Noether 基上有限型代数叠的局部环之间的关系。

情形

这里 \(\mathcal{X}\) 是局部 Noether 概形 \(S\) 上的局部有限型代数叠。

定义如下。

定义

在情形 0DQU 中，设 \(x_0 : \Spec(k) \to \mathcal{X}\) 为一态射，其中 \(k\) 是 \(S\) 上的有限型域。\(\mathcal{X}\) 在 \(x_0\) 处的一个 半通用环（versal ring），是一个剩余域为 \(k\) 的完备 Noether 局部 \(S\)-代数 \(A\)，使得存在 Artin 公理中定义 0CXJ 所述的半通用形式对象 \((A, \xi_n, f_n)\)，且 \(\xi_1 \cong x_0\)（一个 \(2\)-同构）。

我们要证明半通用环存在，并且在光滑因子意义下唯一。为此将使用《Artin 公理》第 07T2 节中的预形变范畴。在我们的情形中，它们总是形变范畴。

引理

在情形 0DQU 中，设 \(x_0 : \Spec(k) \to \mathcal{X}\) 为一态射，其中 \(k\) 是 \(S\) 上的有限型域。那么 \(\mathcal{F}_{\mathcal{X}, k, x_0}\) 是形变范畴，并且 \(T\mathcal{F}_{\mathcal{X}, k, x_0}\) 与 \(\text{Inf}(\mathcal{F}_{\mathcal{X}, k, x_0})\) 都是有限维 \(k\)-向量空间。

证明

取仿射开子概形 \(\Spec(\Lambda) \subset S\)，使得 \(\Spec(k) \to S\) 经它分解。由《Artin 公理》第 07T2 节，得到范畴 \(\mathcal{C}_\Lambda\) 上的预形变范畴 \(\mathcal{F}_{\mathcal{X}, k, x_0}\)。（正如所引之处指出的，该范畴只依赖于态射 \(\Spec(k) \to S\)，而不依赖于 \(\Lambda\) 的选择。）由《Artin 公理》中的引理 07WU 和 07WQ， \(\mathcal{F}_{\mathcal{X}, k, x_0}\) 实际上是形变范畴。再由《Artin 公理》中的引理 07X1， \(T\mathcal{F}_{\mathcal{X}, k, x_0}\) 与 \(\text{Inf}(\mathcal{F}_{\mathcal{X}, k, x_0})\) 是有限维 \(k\)-向量空间。

引理

在情形 0DQU 中，设 \(x_0 : \Spec(k) \to \mathcal{X}\) 为一态射，其中 \(k\) 是 \(S\) 上的有限型域。那么 \(\mathcal{X}\) 在 \(x_0\) 处存在半通用环。给定其中任意一对 \(A\)、\(A'\)，则对某个 \(r\)，作为 \(S\)-代数有 \(A \cong A'[[t_1, \ldots, t_r]]\) 或 \(A' \cong A[[t_1, \ldots, t_r]]\)。

证明

存在性由引理 0DQW 以及《形式形变论》中的定义 06J9 和引理 06J7、 06IW 得出。由《形式形变论》中的唯一性结果——引理 06T5，存在 \(\mathcal{X}\) 在 \(x_0\) 处的一个“极小”半通用环 \(A\)，使得 \(\mathcal{X}\) 在 \(x_0\) 处的任何其他半通用环都同构于某个 \(A[[t_1, \ldots, t_r]]\)，其中 \(r\) 适当。这显然推出第二个陈述。

引理

在情形 0DQU 中，设 \(x_0 : \Spec(k) \to \mathcal{X}\) 为一态射，其中 \(k\) 是 \(S\) 上的有限型域。设 \(l/k\) 是有限域扩张，并用

\(x_{l, 0} : \Spec(l) \to \mathcal{X}\) 表示诱导的态射。给定 \(\mathcal{X}\) 在 \(x_0\) 处的一个半通用环 \(A\)，存在 \(\mathcal{X}\) 在 \(x_{l, 0}\) 处的半通用环 \(A'\)，使得有一个 \(S\)-代数映射 \(A \to A'\)，它诱导给定的域扩张 \(l/k\)，并且在 \(\mathfrak m_{A'}\)-adic 拓扑下形式光滑。

证明

这立即由《Artin 公理》中的引理 07WX 和《形式形变论》中的引理 0DQF 得出。（还使用了 \(\mathcal{X}\) 由《Artin 公理》中的引理 07WQ 满足 (RS)。）

引理

在情形 0DQU 中，设 \(x : U \to \mathcal{X}\) 为一态射，其中 \(U\) 是 \(S\) 上的局部有限型概形。设 \(u_0 \in U\) 是有限型点。令 \(k = \kappa(u_0)\)，并用

\(x_0 : \Spec(k) \to \mathcal{X}\) 表示诱导的映射。下列条件等价：

\(x\) 在 \(u_0\) 处半通用（《Artin 公理》中的定义 07XF）；

\(\hat x : \mathcal{F}_{U, k, u_0} \to \mathcal{F}_{\mathcal{X}, k, x_0}\) 光滑；

与 \(x|_{\Spec(\mathcal{O}_{U, u_0}^\wedge)}\) 相关联的形式对象半通用；以及

存在 \(U' \subset U\)，它是 \(x\) 的开邻域，并且 \(x|_{U'} : U' \to \mathcal{X}\) 光滑。

而且在此情形下，完备化 \(\mathcal{O}_{U, u_0}^\wedge\) 是 \(\mathcal{X}\) 在 \(x_0\) 处的半通用环。

证明

由于 \(U \to S\) 局部有限型（它是这类态射的复合）， \(\Spec(k) \to S\) 也是有限型的（同样是因为它是这类态射的复合）。因此该陈述有意义。(1) 与 (2) 的等价性正是 \(x\) 在 \(u_0\) 处半通用的定义。(1) 与 (3) 的等价性由《Artin 公理》中的引理 0CXK 给出。因此 (1)、(2)、(3) 等价。

若 \(x|_{U'}\) 光滑，则由《Artin 公理》中的引理 07WK，函子 \(\hat x : \mathcal{F}_{U, k, u_0} \to \mathcal{F}_{\mathcal{X}, k, x_0}\) 光滑。因此 (4) 推出 (1)、(2)、(3)。反过来，设 \(x\) 在 \(u_0\) 处半通用。取满的光滑态射 \(y : V \to \mathcal{X}\)，其中 \(V\) 是概形。令 \(Z = V \times_\mathcal{X} U\)，并取位于 \(u_0\) 上方的有限型点 \(z_0 \in |Z|\)（这是可能的，参见《空间态射》中的引理 06EJ）。由《Artin 公理》中的引理 0CXM，态射 \(Z \to V\) 在 \(z_0\) 处光滑。按定义可找到 \(z_0\) 的开邻域 \(W \subset Z\)，使得 \(W \to V\) 光滑。由于 \(Z \to U\) 是开映射，令 \(U' \subset U\) 为 \(W\) 的像。于是根据我们对叠的光滑态射的定义， \(U' \to \mathcal{X}\) 光滑。

最后一个陈述由定义得出，因为 \(\mathcal{O}_{U, u_0}^\wedge\) pro-表示 \(\mathcal{F}_{U, k, u_0}\)。

引理

在情形 0DQU 中，设 \(x_0 : \Spec(k) \to \mathcal{X}\) 为一态射，使得 \(\Spec(k) \to S\) 是有限型的，其像为 \(s\)。设 \(A\) 是 \(\mathcal{X}\) 在 \(x_0\) 处的半通用环。下列条件等价：

\(x_0\) 位于 \(\mathcal{X} \to S\) 的光滑轨迹中（《叠的态射》中的引理 0DZR）；

\(\mathcal{O}_{S, s} \to A\) 在 \(\mathfrak m_A\)-adic 拓扑下形式光滑；以及

\(\mathcal{F}_{\mathcal{X}, k, x_0}\) 无阻碍。

证明

(2) 与 (3) 的等价性立即由《形式形变论》中的引理 0DZK 得出。

注意，\(\mathcal{O}_{S, s} \to A\) 在 \(\mathfrak m_A\)-adic 拓扑下形式光滑，当且仅当 \(\mathcal{O}_{S, s} \to A' = A[[t_1, \ldots, t_r]]\) 在 \(\mathfrak m_{A'}\)-adic 拓扑下形式光滑。因此由引理 0DQX，(2) 不依赖于半通用环的选择。接着，设 \(l/k\) 是有限扩张，并按引理 0DQY 选择 \(A \to A'\)。若 \(\mathcal{O}_{S, s} \to A\) 在 \(\mathfrak m_A\)-adic 拓扑下形式光滑，则 \(\mathcal{O}_{S, s} \to A'\) 在 \(\mathfrak m_{A'}\)-adic 拓扑下形式光滑；参见《代数的进一步讨论》中的引理 07EF。反过来，若 \(\mathcal{O}_{S, s} \to A'\) 在 \(\mathfrak m_{A'}\)-adic 拓扑下形式光滑，则 \(\mathcal{O}_{S, s}^\wedge \to A'\) 与 \(A \to A'\) 正则（《代数的进一步讨论》中的命题 07PM），从而 \(\mathcal{O}_{S, s}^\wedge \to A\) 正则（《代数的进一步讨论》中的引理 07NT），所以 \(\mathcal{O}_{S, s} \to A\) 在 \(\mathfrak m_A\)-adic 拓扑下形式光滑（仍用前一引理）。因此，对 \(k\) 和 \(x_0\)，(2) 与 (1) 等价，当且仅当对 \(l\) 和 \(x_{0, l}\) 也等价。

取概形 \(U\) 和光滑态射 \(U \to \mathcal{X}\)，使得 \(\Spec(k) \times_\mathcal{X} U\) 非空。取有限扩张 \(l/k\) 和一点 \(w_0 : \Spec(l) \to \Spec(k) \times_\mathcal{X} U\)。设 \(u_0 \in U\) 为 \(w_0\) 的像。将上面的论证分别应用于 \(l/k\) 与 \(l/\kappa(u_0)\)，可知能够约化到 \(u_0\)。因此可以设 \(A = \mathcal{O}_{U, u_0}^\wedge\)；参见引理 0DQZ。注意，\(x_0\) 位于 \(\mathcal{X} \to S\) 的光滑轨迹中，当且仅当 \(u_0\) 位于 \(U \to S\) 的光滑轨迹中；例如参见《叠的态射》中的引理 0DZR。于是 (1) 与 (2) 的等价性由《代数的进一步讨论》中的引理 07VH 得出。

回顾 Artin 逼近的一个推论。

引理

在情形 0DQU 中，设 \(x_0 : \Spec(k) \to \mathcal{X}\) 为一态射，使得 \(\Spec(k) \to S\) 是有限型的，其像为 \(s\)。设 \(A\) 是 \(\mathcal{X}\) 在 \(x_0\) 处的半通用环。若 \(\mathcal{O}_{S, s}\) 是 G-环，则可找到一个光滑态射 \(U \to \mathcal{X}\)，其源是概形，并可找到一个剩余域为 \(k\) 的点 \(u_0 \in U\)，使得

\(\Spec(k) \to U \to \mathcal{X}\) 与给定态射 \(x_0\) 相同；

存在同构 \(\mathcal{O}_{U, u_0}^\wedge \cong A\)。

证明

设 \((\xi_n, f_n)\) 是 \(A\) 上的半通用形式对象。由《Artin 公理》中的引理 07X8， \(\xi = (A, \xi_n, f_n)\) 是有效的。根据假设，\(\mathcal{X}\) 在 \(S\) 上局部有限表示（使用《叠的态射》中的引理 0DQJ），因而由《叠的极限》中的命题 0CMY 保极限。因此，按《Artin 公理》中的引理 07XH 所述的 Artin 逼近表明，可以找到态射 \(U \to \mathcal{X}\)，其源为有限型 \(S\)-概形，并含有剩余域为 \(k\) 的一点 \(u_0 \in U\)，它满足 (1) 与 (2)，且 \(U \to \mathcal{X}\) 在 \(u_0\) 处半通用。由引理 0DQZ，缩小 \(U\) 后，可以设 \(U \to \mathcal{X}\) 光滑。

注

在情形 0DQU 中，设 \(x_0 : \Spec(k) \to \mathcal{X}\) 为一态射，其中 \(k\) 是 \(S\) 上的有限型域。设 \(A\) 是 \(\mathcal{X}\) 在 \(x_0\) 处的半通用环。由《Artin 公理》中的引理 07X8，我们的半通用形式对象实际上来自 \(S\) 上的一个态射 \[\Spec(A) \longrightarrow \mathcal{X}\] 此外，上述每个结果都可以提升为与该态射相容。列举如下：

在引理 0DQX 中，同构 \(A \cong A'[[t_1, \ldots, t_r]]\) 或 \(A' \cong A[[t_1, \ldots, t_r]]\) 可以选成与这些态射相容；

在引理 0DQY 中，同态 \(A \to A'\) 可以选成与这些态射相容；

在引理 0DQZ 中，态射 \(\Spec(\mathcal{O}_{U, u_0}^\wedge) \to \mathcal{X}\) 是典范映射 \(\Spec(\mathcal{O}_{U, u_0}^\wedge) \to U\) 与给定映射 \(U \to \mathcal{X}\) 的复合；

在引理 0DR0 中，同构 \(\mathcal{O}_{U, u_0}^\wedge \cong A\) 可以选成使 \(\Spec(A) \to \mathcal{X}\) 对应于上一项中的典范映射。

在每种情形中，该陈述都由我们的映射与半通用形式元素相容这一事实得出；但要注意，所蕴含的图表仅在对一个 \(2\)-箭头作（非典范）选择后才是 \(2\)-交换的。尽管如此，这意味着 (1) 中所蕴含的映射 \(A' \to A\) 或 \(A \to A'\) 在形式同伦意义下是良定义的；参见《形式形变论》中的引理 0DQD。

引理

在情形 0DQU 中，设 \(x_0 : \Spec(k) \to \mathcal{X}\) 为一态射，其中 \(k\) 是 \(S\) 上的有限型域。设 \(A\) 是 \(\mathcal{X}\) 在 \(x_0\) 处的半通用环。那么注 0DR1 中的态射 \(\Spec(A) \to \mathcal{X}\) 是平坦的。

证明

如果 \(S\) 在像点处的局部环是 G-环，则这立即由引理 0DR0 以及 Noether 局部环到其完备化的映射平坦这一事实得出。一般情形证明如下。

步骤 I。若 \(A\) 和 \(A'\) 是 \(\mathcal{X}\) 在 \(x_0\) 处的两个半通用环，则该结果对 \(A\) 成立，当且仅当对 \(A'\) 成立。事实上，必要时交换 \(A\) 与 \(A'\) 后，可以设存在形式光滑映射 \(\varphi : A \to A'\)，使得复合 \[\Spec(A') \to \Spec(A) \to \mathcal{X}\] 就是态射 \(\Spec(A') \to \mathcal{X}\)；参见引理 0DQX 与注 0DR1。由于 \(A \to A'\) 忠实平坦，所需等价性由《叠的态射》中的引理 06PX 和 06Q0 得出。

步骤 II。设 \(l/k\) 是有限域扩张。设 \(x_{l, 0} : \Spec(l) \to \mathcal{X}\) 为诱导的态射。设 \(A\) 是 \(\mathcal{X}\) 在 \(x_0\) 处的半通用环，并设 \(A \to A'\) 如引理 0DQY 中所述。此时复合 \[\Spec(A') \to \Spec(A) \to \mathcal{X}\] 仍然是态射 \(\Spec(A') \to \mathcal{X}\)；参见注 0DR1。与之前相同地论证，并用步骤 I 说明半通用环的选择无关紧要，就得到该引理对 \(x_0\) 成立，当且仅当对 \(x_{l, 0}\) 成立。

步骤 III。取概形 \(U\) 和满的光滑态射 \(U \to \mathcal{X}\)。于是可以在 \(Z = U \times_\mathcal{X} x_0\)（这是非空代数空间）上取有限型点 \(z_0\)。设 \(u_0 \in U\) 为 \(z_0\) 在 \(U\) 中的像。取一个概形和满的 étale 映射 \(W \to Z\)，使得 \(z_0\) 是闭点 \(w_0 \in W\) 的像（参见《空间态射》第 06EE 节）。由于 \(W \to \Spec(k)\) 和 \(W \to U\) 都是有限型的， \(\kappa(w_0)/k\) 与 \(\kappa(w_0)/\kappa(u_0)\) 都是有限域扩张（参见《态射》第 01T9 节）。两次应用步骤 II，可以把 \(x_0\) 替换为 \(u_0 \to U \to \mathcal{X}\)。于是我们的态射是复合 \[\Spec(\mathcal{O}_{U, u_0}^\wedge) \to U \to \mathcal{X}\]

第一支箭头平坦，因为 Noether 局部环的完备化平坦（《代数》中的引理 00MB）；第二支箭头平坦，因为光滑态射平坦。复合平坦，因为复合保持平坦性。

注

在情形 0DQU 中，设 \(x_0 : \Spec(k) \to \mathcal{X}\) 为一态射，其中 \(k\) 是 \(S\) 上的有限型域。由引理 0DQW 和《形式形变论》中的定理 06L8，可知 \(\mathcal{F}_{\mathcal{X}, k, x_0}\) 在 \(\mathcal{C}_\Lambda\) 上的函子中有一个由光滑 pro-可表群胚给出的表示。展开定义，这意味着可以选择

剩余域为 \(k\) 的 Noether 完备局部 \(\Lambda\)-代数 \(A\)，以及 \(A\) 上的 \(\mathcal{F}_{\mathcal{X}, k, x_0}\) 的半通用形式对象 \(\xi\)；

剩余域为 \(k\) 的 Noether 完备局部 \(\Lambda\)-代数 \(B\)，以及同构 \[\underline{B}|_{\mathcal{C}_\Lambda} \longrightarrow \underline{A}|_{\mathcal{C}_\Lambda} \times_{\underline{\xi}, \mathcal{F}_{\mathcal{X}, k, x_0}, \underline{\xi}} \underline{A}|_{\mathcal{C}_\Lambda}\]

两个投影对应于形式光滑映射 \(t : A \to B\) 和 \(s : A \to B\)（因为 \(\xi\) 半通用）。存在映射 \(c : B \to B \widehat{\otimes}_{s, A, t} B\)，它使 \((A, B, s, t, c)\) 成为剩余域为 \(k\) 的 Noether 完备局部 \(\Lambda\)-代数范畴中的余群胚（在 pro-可表函子上，该映射由《形式形变论》中的引理 06KY 构造）。最后，所引定理说明 \(\xi\) 诱导等价 \[[\underline{A}|_{\mathcal{C}_\Lambda} / \underline{B}|_{\mathcal{C}_\Lambda}] \longrightarrow \mathcal{F}_{\mathcal{X}, k, x_0}\] 它是 \(\mathcal{C}_\Lambda\) 上余纤维化群胚之间的等价。事实上，还得到等价 \[[\underline{A}/\underline{B}] \longrightarrow \widehat{\mathcal{F}}_{\mathcal{X}, k, x_0}\] 它是完备范畴 \(\widehat{\mathcal{C}}_\Lambda\) 上余纤维化群胚之间的等价（关于这为何成立，参见《形式形变论》第 06KC 节中的讨论）。当然，\(A\) 是 \(\mathcal{X}\) 在 \(x_0\) 处的半通用环。

代数叠各不可约分支的重数

若 \(X\) 是局部 Noether 概形，则可将 \(X\)（仅视为拓扑空间）写成不可约分支的并，记为 \(X = \bigcup T_i\)。每个不可约分支都是唯一一般点 \(\xi_i\) 的闭包，而局部环 \(\mathcal O_{X,\xi_i}\) 是局部 Artin 环。可以把 \(X\) 沿 \(T_i\) 的重数，或称 \(T_i\) 在 \(X\) 中的重数，定义为 \[m_{T_i, X} = \text{长度}_{\mathcal O_{X, \xi_i}} \mathcal O_{X, \xi_i}\] 换言之，它就是该局部 Artin 环的长度。请与《Chow 同调》第 02QS 节比较。

这里的目标是把该定义推广到局部 Noether 代数叠。若 \(\mathcal{X}\) 是叠，则其拓扑空间 \(|\mathcal{X}|\)（见《叠的性质》中的定义 04Y8）是局部 Noether 的（《叠的态射》中的引理 0DQI）。 \(|\mathcal{X}|\) 的不可约分支有时也称为 \(\mathcal{X}\) 的不可约分支。若 \(\mathcal{X}\) 拟分离，则 \(|\mathcal{X}|\) 是清醒的（sober）（《叠的态射》中的引理 0DQQ），但在非拟分离情形下未必如此。例如可考虑非拟分离代数空间 \(X = \mathbf{A}^1_\mathbf{C}/\mathbf{Z}\)。此外，\(|\mathcal{X}|\) 上并不存在一个可以利用其茎来定义重数的结构层。

引理

设 \(f : U \to \mathcal{X}\) 是从概形到局部 Noether 代数叠的光滑态射。 \(|U|\) 的任一不可约分支之像的闭包，都是 \(|\mathcal{X}|\) 的不可约分支。若 \(U \to \mathcal{X}\) 满射，则 \(|\mathcal{X}|\) 的所有不可约分支都可由此得到。

证明

由《叠的性质》中的引理 04XL，映射 \(|U| \to |\mathcal{X}|\) 连续且开。设 \(T \subset |U|\) 是一个不可约分支。由于 \(U\) 局部 Noether，可以找到包含于 \(T\) 的非空仿射开集 \(W \subset U\)。于是 \(f(T) \subset |\mathcal{X}|\) 不可约，并且包含非空开子集 \(f(W)\)。因此 \(f(T)\) 的闭包不可约且包含一个非空开集，从而该闭包是不可约分支。

假设 \(U \to \mathcal{X}\) 满射，并设 \(Z \subset |\mathcal{X}|\) 是不可约分支。取 \(|\mathcal{X}|\) 的一个与 \(Z\) 相交的 Noether 开子集 \(V\)。从 \(V\) 中删去其他不可约分支后，可以设 \(V \subset Z\)。取非空开集 \(f^{-1}(V) \subset |U|\) 的一个不可约分支，并设 \(T \subset |U|\) 为其闭包。它是 \(|U|\) 的不可约分支；由 \(T\) 的选择， \(f(T)\) 的闭包必与 \(Z\) 相同。

上一引理尤其适用于局部 Noether 概形之间的光滑态射。下一个引理的陈述中将隐含地使用这一特例。

引理

设 \(U \to X\) 是局部 Noether 概形之间的光滑态射。

设 \(T'\) 是 \(U\) 的一个不可约分支。设 \(T\) 是 \(T'\) 的像的闭包所给出的 \(X\) 的不可约分支。那么 \(m_{T', U} = m_{T, X}\)。

证明

用 \(\xi'\) 表示 \(T'\) 的一般点，用 \(\xi\) 表示 \(T\) 的一般点。设 \(A = \mathcal{O}_{X, \xi}\) 且 \(B = \mathcal{O}_{U, \xi'}\)。需要证明 \(\text{长度}_A A = \text{长度}_B B\)。由于 \(A \to B\) 是平坦的局部环同态（因为光滑态射平坦），由《代数》中的引理 02M1 有 \[\text{长度}_A(A) \text{长度}_B(B/\mathfrak m_A B) = \text{长度}_B(B)\] 因此只需证明 \(\mathfrak m_A B = \mathfrak m_B\)，等价地，只需证明 \(B/\mathfrak m_A B\) 约化。由于 \(U \to X\) 光滑，其基变换 \(U_{\xi} \to \Spec \kappa(\xi)\) 也光滑。由于 \(U_{\xi}\) 是域上的光滑概形，它是约化的，因而其任一点处的局部环也约化

（《簇》中的引理 056T）。特别地， \[B/\mathfrak m_A B = \mathcal{O}_{U, \xi'}/\mathfrak m_{X, \xi}\mathcal{O}_{U, \xi'} = \mathcal{O}_{U_\xi, \xi'}\] 约化，这正是所需。

利用这一结果，可以通过在光滑局部考察来说明重数有一个良定义的概念。

引理

设 \(U_1 \to \mathcal{X}\) 和 \(U_2 \to \mathcal{X}\) 是从概形到局部 Noether 代数叠 \(\mathcal{X}\) 的两个光滑态射。分别设 \(T_1'\) 和 \(T_2'\) 是 \(|U_1|\) 与 \(|U_2|\) 的不可约分支。假设 \(T_1'\) 与 \(T_2'\) 的像的闭包，是 \(|\mathcal{X}|\) 的同一个不可约分支 \(T\)。那么 \(m_{T_1', U_1} = m_{T_2', U_2}\)。

证明

分别设 \(V_1\) 与 \(V_2\) 是 \(T_1'\) 与 \(T'_2\) 的稠密子集，并分别在 \(U_1\) 与 \(U_2\) 中开（见引理 0DR5 的证明）。 \(|V_1|\) 与 \(|V_2|\) 在 \(|\mathcal{X}|\) 中的像，都是不可约子集 \(T\) 的非空开子集，因而有非空交。由《叠的性质》中的引理 04XH，映射 \(|V_1 \times_\mathcal{X} V_2| \to |V_1| \times_{|\mathcal{X}|} |V_2|\) 满射。因此 \(V_1 \times_\mathcal{X} V_2\) 是非空代数空间；于是可取一个源为（非空）概形的 étale 满射 \(V \to V_1 \times_\mathcal{X} V_2\)。若以 \(T'\) 表示 \(V\) 的任一不可约分支，则引理 0DR5 表明，\(T'\) 在 \(U_1\) 中的像的闭包（相应地，在 \(U_2\) 中的像的闭包）等于 \(T'_1\)（相应地，等于 \(T'_2\)）。

两次应用引理 0DR6，得到 \[m_{T_1', U_1} = m_{T', V} = m_{T_2', U_2},\] 这正是所需。

至此已经完成足够的工作，从而说明下述定义有意义。

定义

设 \(\mathcal{X}\) 是局部 Noether 代数叠。设 \(T \subset |\mathcal{X}|\) 是一个不可约分支。\(T\) 在 \(\mathcal{X}\) 中的重数定义为 \(m_{T, \mathcal{X}} = m_{T', U}\)，其中 \(f : U \to \mathcal{X}\) 是从概形出发的光滑态射，而 \(T' \subset |U|\) 是满足 \(f(T') \subset T\) 的不可约分支。

由引理 0DR5 和 0DR7，该定义与 \(f : U \to \mathcal{X}\) 的选择以及映到 \(T\) 的不可约分支 \(T'\) 的选择无关。

最后指出，把 \(\mathcal{X}\) 的不可约分支视为闭子叠有时很方便。为此，若 \(T \subset |\mathcal{X}|\) 是不可约分支，则可考虑唯一的约化闭子叠 \(\mathcal{T} \subset \mathcal{X}\)，使得 \(|\mathcal{T}| = T\)；见《叠的性质》中的定义 050C。若 \(\mathcal{X}\) 拟分离，则不可约分支是整叠；进一步讨论见《叠的态射》第 0GWA 节。

形式分支与重数

定义 0DR8 给出的不可约分支重数概念，与 \(\mathcal{X}\) 在有限型点处的半通用环（之谱）的不可约分支重数这一相关概念之间，有一个比较将很方便。

在情形 0DQU 中，设 \(x_0 : \Spec(k) \to \mathcal{X}\) 为一态射，其中 \(k\) 是 \(S\) 上的有限型域。设 \(A\)、\(A'\) 是 \(\mathcal{X}\) 在 \(x_0\) 处的半通用环。必要时交换 \(A\) 与 \(A'\) 后，可知存在一个形式光滑的¹ 映射 \(\varphi : A \to A'\)，它与半通用形式对象相容；见引理 0DQX 和注 0DR1。此外，\(\varphi\) 在形式同伦意义下良定义；见《形式形变论》中的引理 0DQD。特别地，由《形式形变论》中的引理 0DQE， \(\varphi(\mathfrak p)A'\) 是 \(A'\) 的良定义理想。由于 \(A \to A'\) 形式光滑，事实上 \(\varphi(\mathfrak p)A'\) 是 \(A'\) 的极小素理想，而 \(A'\) 的每个极小素理想都以此方式唯一地来自一个极小素理想 \(\mathfrak p \subset A\)（把 \(A'\) 写成 \(A\) 上的幂级数环即可容易证明所有这些陈述）。因此，回顾极小素理想对应于不可约分支，下述定义有意义。

定义

设 \(\mathcal{X}\) 是局部 Noether 概形 \(S\) 上的局部有限型代数叠。

设 \(x_0 : \Spec(k) \to \mathcal{X}\) 是一态射，其中 \(k\) 是 \(S\) 上的有限型域。\(\mathcal{X}\) 穿过 \(x_0\) 的形式分支，是任取 \(\mathcal{X}\) 在 \(x_0\) 处的一个半通用环时 \(\Spec(A)\) 的不可约分支所成的集合；对 \(A\) 的不同选择，按上述步骤作认同。

假设在定义 0DRA 的情形中给定有限扩张 \(l/k\)。令 \(x_{l, 0} : \Spec(l) \to \mathcal{X}\) 等于 \(\Spec(l) \to \Spec(k)\) 与 \(x_0\) 的复合。设 \(A \to A'\) 如引理 0DQY 中所述。由于 \(A \to A'\) 忠实平坦，态射 \[\Spec(A') \to \Spec(A)\] 把不可约分支（的一般点）映到不可约分支（的一般点）。这将是一个满射，但一般并非双射。换言之，得到满射 \[\text{形式分支：}\mathcal{X}\text{，穿过 }x_{l, 0} \longrightarrow \text{形式分支：}\mathcal{X}\text{，穿过 }x_0\] 事实表明，若 \(l/k\) 纯不可分，则该映射也单射（如果将来需要，我们会在此补上精确陈述与证明）。

引理

在定义 0DRA 的情形中，存在一个典范满射：从 \(\mathcal{X}\) 穿过 \(x_0\) 的形式分支集合，映到 \(|\mathcal{X}|\) 中包含 \(x_0\) 的 \(|\mathcal{X}|\) 的不可约分支集合。

证明

设 \(A\) 如定义 0DRA 中所述，并设 \(\Spec(A) \to \mathcal{X}\) 如注 0DR1 中所述。我们断言，\(\Spec(A)\) 的一个不可约分支的一般点，映到 \(|\mathcal{X}|\) 的一个不可约分支的一般点。取概形 \(U\) 和满的光滑态射 \(U \to \mathcal{X}\)。考虑图表 \[\xymatrix{ \Spec(A) \times_\mathcal{X} U \ar[d]_p \ar[r]_-q & U \ar[d]^f \\ \Spec(A) \ar[r]^j & \mathcal{X} }\] 由引理 0DR2，\(j\) 平坦，故 \(q\) 平坦。另一方面，\(f\) 满且光滑，因而 \(p\) 满且光滑。这说明不可约分支的任一一般点 \(\eta \in \Spec(A)\)，都是代数空间 \(\Spec(A) \times_\mathcal{X} U\) 的一个余维 \(0\) 的点 \(\eta'\) 的像（记号见《空间的性质》第 0BAP 节，并在 étale 局部环上使用降链性）。由于 \(q\) 平坦，\(q(\eta')\) 是 \(U\) 的余维 \(0\) 的点（论证相同）。由于 \(U\) 是概形，\(q(\eta')\) 是 \(U\) 的一个不可约分支的一般点。于是由引理 0DR5， \(q(\eta')\) 在 \(|\mathcal{X}|\) 中的像的闭包是不可约分支，断言得证。

显然，该断言给出了定义所需映射的机制。为证明其满射性，取 \(u_0 \in U\)，使其在 \(|\mathcal{X}|\) 中映到 \(x_0\)。取 \(u_0\) 的一个仿射开邻域 \(U' \subset U\)。缩小 \(U'\) 后，可以设 \(U'\) 的每个不可约分支都经过 \(u_0\)。于是可把 \(\mathcal{X}\) 替换为 \(|U'| \to |\mathcal{X}|\) 的像所对应的开子叠。因此可以设 \(U\) 仿射，

有一点 \(u_0\) 映到 \(x_0 \in |\mathcal{X}|\)，并且 \(U\) 的每个不可约分支都经过 \(u_0\)。由《叠的性质》中的引理 04XH，存在一点 \(t \in |\Spec(A) \times_\mathcal{X} U|\)，它映到 \(\Spec(A)\) 的闭点以及 \(u_0\)。对平坦局部环同态使用降链性 \[A \longrightarrow \mathcal{O}_{\Spec(A) \times_\mathcal{X} U, \overline{t}} \longleftarrow \mathcal{O}_{U, u_0}\] 可知，\(\mathcal{O}_{U, u_0}\) 的每个极小素理想，都是中间局部环的一个极小素理想的像，而这样的极小素理想又映到 \(A\) 的一个极小素理想。这就证明了满射性。这里略去若干细节。

设 \(A\) 是 Noether 完备局部环。于是 \(\Spec(A)\) 的不可约分支具有重数；见第 0DR4 节的引言。若 \(A' = A[[t_1, \ldots, t_r]]\)，则态射 \(\Spec(A') \to \Spec(A)\) 在不可约分支上诱导保持重数的双射（略去容易的证明）。这一事实与定义 0DRA 之前的讨论说明，下述定义有意义。

定义

设 \(\mathcal{X}\) 是局部 Noether 概形 \(S\) 上的局部有限型代数叠。

设 \(x_0 : \Spec(k) \to \mathcal{X}\) 是一态射，其中 \(k\) 是 \(S\) 上的有限型域。\(\mathcal{X}\) 穿过 \(x_0\) 的一个形式分支的重数，是任取 \(\mathcal{X}\) 在 \(x_0\) 处的一个半通用环时，\(\Spec(A)\) 的相应不可约分支的重数（见上文讨论）。

引理

设 \(\mathcal{X}\) 是局部 Noether 概形 \(S\) 上的局部有限型代数叠。

设 \(x_0 : \Spec(k) \to \mathcal{X}\) 是一态射，其中 \(k\) 是 \(S\) 上的有限型域，其像为 \(s \in S\)。若 \(\mathcal{O}_{S, s}\) 是 G-环，则引理 0DRB 中的映射保持重数。

证明

由引理 0DR0，可以设存在一个光滑态射 \(U \to \mathcal{X}\)，其中 \(U\) 是概形，并且 \(U\) 有一个 \(k\)-值点 \(u_0\)，使得 \(\mathcal{O}_{U, u_0}^\wedge\) 是 \(\mathcal{X}\) 在 \(x_0\) 处的半通用环。由引理 0DRB 的证明中对映射的构造（因为 \(A = \mathcal{O}_{U, u_0}^\wedge\)，此处大为简化），只需证明：\(U\) 的一个经过 \(u_0\) 的不可约分支之重数，等于 \(\Spec(\mathcal{O}_{U, u_0}^\wedge)\) 的映入它的任一不可约分支之重数。

转化为交换代数，得到如下问题。设 \(C = \mathcal{O}_{U, u_0}\)。它本质上是 \(\mathcal{O}_{S, s}\) 上的有限型代数，因而是 G-环（《代数的进一步讨论》中的命题 07PV）。于是 \(A = C^\wedge\)，所以 \(C \to A\) 是正则环同态。设 \(\mathfrak q \subset C\) 是极小素理想，并设 \(\mathfrak p \subset A\) 是位于 \(\mathfrak q\) 上方的极小素理想。则

\[R = C_\mathfrak p \longrightarrow A_\mathfrak p = R'\] 是 Artin 局部环之间的正则环同态。对这种环同态总有 \[\text{长度}_R R = \text{长度}_{R'} R'\] 这正是需要证明的，因为左边是 \(U\) 上该分支的重数，右边是 \(\Spec(A)\) 上该分支的重数。为看出这一等式，先由《代数》中的引理 02M1 得 \[\text{长度}_R(R) \text{长度}_{R'}(R'/\mathfrak m_R R') = \text{长度}_{R'}(R')\] 因此只需证明 \(\mathfrak m_R R' = \mathfrak m_{R'}\)；这是零维局部环之间的正则同态的一个推论。

代数叠的维数理论

就我们所知，文献中关于代数叠维数理论的主要结果出自 [Osserman]，其中研究了余维和相对维数的概念。

我们更细致地考察代数叠在一点处的维数，并证明若干结果，把一个态射在源中某点处的纤维维数，与其源和目标的维数联系起来。我们还证明一项结果（即下文引理 0DSB），它使我们能够在适当假设下，用半通用环计算代数叠在一点处的维数。

尽管我们并未总是试图把结果优化到最强形式，但大体上力求避免不必要的假设。然而，在某些把代数叠的性质与它在一点处的半通用环之性质相比较的结果中，我们只考虑如下代数叠：它在某个局部 Noether 概形基上局部有限表示，并且该基的所有局部环都是 \(G\)-环。这样便可使用 Artin 逼近，把半通用环的几何与叠本身的几何相比较。不过，我们证明的各项陈述未必都真正需要这一限制性假设。由于我们所考虑的应用均满足它，在有帮助时采用这一假设即可。

若 \(X\) 是概形，则把 \(X\) 的维数 \(\dim(X)\) 定义为 \(X\) 的底拓扑空间的 Krull 维数；若 \(x\) 是 \(X\) 的一点，则把 \(X\) 在 \(x\) 处的维数 \(\dim_x (X)\) 定义为所有包含 \(x\) 的 \(X\) 的开子集 \(U\) 的维数之最小值；见《性质》中的定义 04MT。有关系式 \(\dim(X) = \sup_{x \in X} \dim_x(X)\)；见《性质》中的引理 04MU。若 \(X\) 局部 Noether，则 \(\dim_x(X)\) 等于 \(X\) 的所有经过 \(x\) 的不可约分支在 \(x\) 处维数的上确界。

若 \(X\) 是代数空间且 \(x \in |X|\)，则定义 \(\dim_x X = \dim_u U,\)，其中 \(U\) 是任一具有 étale 满射 \(U \to X\) 的概形，而 \(u\in U\) 是位于 \(x\) 上方的任一点；见《空间的性质》中的定义 04N5。令 \(\dim(X) = \sup_{x \in |X|} \dim_x(X)\)；见《空间的性质》中的定义 04N6。

注

一般而言，代数空间 \(X\) 在一点 \(x\) 处的维数，未必等于其底拓扑空间 \(|X|\) 在 \(x\) 处的维数。例如，若 \(k\) 是特征为零的域，且 \(X = \mathbf{A}^1_k / \mathbf{Z}\)，则 \(X\) 在其每一点处的维数都是 \(1\)（即 \(\mathbf{A}^1_k\) 的维数）；而 \(|X|\) 具有平凡拓扑，故其 Krull 维数为零。另一方面，《代数空间》中的例 02Z8 给出一个代数空间的例子：它在每一点处的维数都是 \(0\)，但 \(|X|\) 不可约、Krull 维数为 \(1\)，并且具有一般点（所以 \(|X|\) 在任一点处的维数都是 \(1\)）。另见《空间的性质》第 04N3 节对该例的讨论。

另一方面，若 \(X\) 是《合宜空间》中的定义 03I8 所称的 合宜的（decent）代数空间（特别地，若 \(X\) 拟分离；见《合宜空间》第 03I7 节），那么 \(X\) 在 \(x\) 处的维数实际上确实等于 \(|X|\) 在 \(x\) 处的维数；见《合宜空间》中的引理 0A4J。

为了定义代数叠的维数，先引入如下相对维数概念会很有用：一个源为代数空间、目标为代数叠的态射，在源中某点处的相对维数。这个定义稍显繁复，仅仅是因为（与概形情形不同）代数叠或代数空间的点不能描述成从一个域的谱出发的态射，而只能描述成这类态射的等价类。

定义

若 \(f : T \to \mathcal{X}\) 是从代数空间到代数叠的一个局部有限型态射，

且 \(t \in |T|\) 是一点，其像为 \(x \in | \mathcal{X}|\)，则如下定义 \(f\) 在 \(t\) 处的相对维数，记作 \(\dim_t(T_x),\)：选择一个代表 \(x\) 的态射 \(\Spec k \to \mathcal{X}\)，其源为域的谱；并选择一点 \(t' \in |T \times_{\mathcal{X}} \Spec k|\)，它在到 \(|T|\) 的投影下映到 \(t\)（由《叠的性质》中的引理 04XH，这样的点 \(t'\) 存在）；则 \[\dim_t(T_x) = \dim_{t'}(T \times_{\mathcal{X}} \Spec k ).\]

注意，由于 \(T\) 是代数空间而 \(\mathcal{X}\) 是代数叠，纤维积 \(T \times_{\mathcal{X}} \Spec k\) 是代数空间，所以上述拟议定义右端的量确实有定义（见上文讨论）。

注

(1) 容易验证 \(\dim_t(T_x)\) 良定义，且与计算时所作选择无关。例如可使用概形之间局部有限型态射的相对维数在基变换下不变这一事实；例如见《态射》中的引理 02FY。

(2) 当 \(\mathcal{X}\) 也是代数空间时，直接检验即可确认这一定义与《空间的态射》中的定义 04NM 所给出的相对维数定义一致。

接下来回顾下述引理；我们对局部 Noether 代数叠维数的研究以它为基础。

引理

若 \(f: U \to X\) 是局部 Noether 代数空间之间的光滑态射，且 \(u \in |U|\) 的像为 \(x \in |X|\)，则 \[\dim_u (U) = \dim_x(X) + \dim_{u} (U_x)\] 其中 \(\dim_u (U_x)\) 由定义 0DRG 给出。

证明

见《空间的态射》中的引理 0AFI；注意，由注 0DRH (2)，此处使用的 \(\dim_u (U_x)\) 之定义与该处使用的定义一致。

引理

若 \(\mathcal{X}\) 是局部 Noether 代数叠，且 \(x \in |\mathcal{X}|\)。设 \(U \to \mathcal{X}\) 是从代数空间到 \(\mathcal{X}\) 的光滑态射，并设 \(u\) 是 \(|U|\) 中映到 \(x\) 的任一点。则 \[\dim_x(\mathcal{X}) = \dim_u(U) - \dim_{u}(U_x)\] 其中相对维数 \(\dim_u(U_x)\) 由定义 0DRG 给出，而 \(\mathcal{X}\) 在 \(x\) 处的维数如《叠的性质》中的定义 0AFN 所述。

证明

引理 0DRI 可用来验证，右端 \(\dim_u(U) + \dim_u(U_x)\) 与光滑态射 \(U \to \mathcal{X}\) 以及 \(u \in |U|\) 的选择无关。

略去细节。特别地，可以设 \(U\) 是概形。在这种情形下，可以选取 \(x\) 的代表为复合 \(\Spec \kappa(u) \to U \to \mathcal{X}\) 来计算 \(\dim_u(U_x)\)，其中第一支态射是像为 \(u \in U\) 的典范态射。然后，若记 \(R = U \times_{\mathcal{X}} U\)，并用 \(e : U \to R\) 表示对角态射，则相对维数在基变换下不变说明 \(\dim_u(U_x) = \dim_{e(u)}(R_u)\)。因此右端等于 \(\dim_u (U) - \dim_{e(u)}(R_u) = \dim_x(\mathcal{X})\)，正是所需。

注

对于适当合宜的 Deligne–Mumford 叠（例如拟分离叠）， \(\dim_x(\mathcal{X})\) 仍将等于拓扑定义的量 \(\dim_x |\mathcal{X}|\)。然而，对更一般的 Artin 叠，通常并非如此。例如，若 \(\mathcal{X} = [\mathbf{A}^1/\mathbf{G}_m]\) （在某个域上，并就 \(\mathbf{G}_m\) 在 \(\mathbf{A}^1\) 上的通常乘法作用取商），则 \(|\mathcal{X}|\) 有两个点，其中一点是另一点的特殊化（对应于 \(\mathbf{G}_m\) 在 \(\mathbf{A}^1\) 上的两个轨道），故作为拓扑空间其维数为 \(1\)；但对两个点 \(x \in |\mathcal{X}|\)，都有 \(\dim_x (\mathcal{X}) = 0\)。（一个更极端的例子是分类空间 \([\Spec k/\mathbf{G}_m]\)，它在其唯一一点处的维数等于 \(-1\)。）

现在可以把定义 0DRG 推广到（局部 Noether）代数叠之间的（局部有限型）态射。

定义

若 \(f : \mathcal{T} \to \mathcal{X}\) 是局部 Noether 代数叠之间的局部有限型态射，且 \(t \in |\mathcal{T}|\) 是一点，其像为 \(x \in |\mathcal{X}|\)，则如下定义 \(f\) 在 \(t\) 处的相对维数，记作 \(\dim_t(\mathcal{T}_x),\)：选择一个代表 \(x\) 的态射 \(\Spec k \to \mathcal{X}\)，其源为域的谱；并选择一点 \(t' \in |\mathcal{T} \times_{\mathcal{X}} \Spec k|\)，它在到 \(|\mathcal{T}|\) 的投影下映到 \(t\) （由《叠的性质》中的引理 04XH，这样的点 \(t'\) 存在；

则 \[\dim_t(\mathcal{T}_x) = \dim_{t'}(\mathcal{T} \times_{\mathcal{X}} \Spec k ).\]

注意，由于 \(\mathcal{T}\) 是代数叠而 \(\mathcal{X}\) 是代数叠，纤维积 \(\mathcal{T}\times_{\mathcal{X}} \Spec k\) 是代数叠，并由《叠的态射》中的引理 06R6 知其局部 Noether。因此，上述拟议定义右端的量由《叠的性质》中的定义 0AFN 给出。

注

标准操作表明 \(\dim_t(\mathcal{T}_x)\) 良定义，且与计算时所作选择无关。

现在建立相对维数的一些基本性质；它们是概形态射情形相应陈述的显然推广。

引理

设有局部 Noether 叠的态射所成的笛卡儿方块 \[\xymatrix{ \mathcal{T}' \ar[d]\ar[r] & \mathcal{T} \ar[d] \\ \mathcal{X}' \ar[r] & \mathcal{X} }\] 其中竖直态射局部有限型。若 \(t' \in |\mathcal{T}'|\) 在 \(|\mathcal{T}|\)、\(|\mathcal{X}'|\) 和 \(|\mathcal{X}|\) 中的像分别为 \(t\)、\(x'\) 和 \(x\)，则 \(\dim_{t'}(\mathcal{T}'_{x'}) = \dim_{t}(\mathcal{T}_x).\)

证明

按定义，两边都可计算为同一个纤维积的维数。

引理

若 \(f: \mathcal{U} \to \mathcal{X}\) 是局部 Noether 代数叠之间的光滑态射，且 \(u \in |\mathcal{U}|\) 的像为 \(x \in |\mathcal{X}|\)，则 \[\dim_u (\mathcal{U}) = \dim_x(\mathcal{X}) + \dim_{u} (\mathcal{U}_x).\]

证明

取源为概形的光滑满射 \(V \to \mathcal{U}\)，并设 \(v\in |V|\) 是映到 \(u\) 的一点。复合 \(V \to \mathcal{U} \to \mathcal{X}\) 也光滑，并由引理 0DRI 有 \(\dim_x(\mathcal{X}) = \dim_v(V) - \dim_v(V_x),\) 而 \(\dim_u(\mathcal{U}) = \dim_v(V) - \dim_v(V_u).\) 因此 \[\dim_u(\mathcal{U}) - \dim_x(\mathcal{X}) = \dim_v (V_x) - \dim_v (V_u).\]

选择 \(x\) 的一个代表 \(\Spec k \to \mathcal{X}\)，并选择位于 \(v\) 上方的一点 \(v' \in | V \times_{\mathcal{X}} \Spec k|\)，其在 \(|\mathcal{U}\times_{\mathcal{X}} \Spec k|\) 中的像为 \(u'\)；则按定义 \(\dim_u(\mathcal{U}_x) = \dim_{u'}(\mathcal{U}\times_{\mathcal{X}} \Spec k),\) 并且 \(\dim_v(V_x) = \dim_{v'}(V\times_{\mathcal{X}} \Spec k).\)

现在 \(V\times_{\mathcal{X}} \Spec k \to \mathcal{U}\times_{\mathcal{X}}\Spec k\) 是光滑满射（因为它是这种态射的基变换），而其源是代数空间（因为 \(V\) 和 \(\Spec k\) 是概形，\(\mathcal{X}\) 是代数叠）。因此再次按定义有 \[\begin{align*} \dim_{u'}(\mathcal{U}\times_{\mathcal{X}} \Spec k) & = \dim_{v'}(V\times_{\mathcal{X}} \Spec k) - \dim_{v'}(V \times_{\mathcal{X}} \Spec k)_{u'}) \\ & = \dim_v(V_x) - \dim_{v'}( (V\times_{\mathcal{X}} \Spec k)_{u'}). \end{align*}\] 又 \(V\times_{\mathcal{X}} \Spec k \cong V\times_{\mathcal{U}} (\mathcal{U}\times_{\mathcal{X}} \Spec k),\) 所以引理 0DRN 表明 \(\dim_{v'}((V\times_{\mathcal{X}} \Spec k)_{u'}) = \dim_v(V_u).\) 综合以上各式，得到 \[\dim_u(\mathcal{U}) - \dim_x(\mathcal{X}) = \dim_u(\mathcal{U}_x),\] 正是所需。

引理

设 \(f: \mathcal{T} \to \mathcal{X}\) 是代数叠之间的局部有限型态射。

函数 \(t \mapsto \dim_t(\mathcal{T}_{f(t)})\) 在 \(|\mathcal{T}|\) 上上半连续。

若 \(f\) 光滑，则函数 \(t \mapsto \dim_t(\mathcal{T}_{f(t)})\) 在 \(|\mathcal{T}|\) 上局部常值。

证明

先假设 \(\mathcal{T}\) 是概形 \(T\)。设 \(U \to \mathcal{X}\) 是源为概形的光滑满射，并令 \(T' = T \times_{\mathcal{X}} U\)。设 \(f': T' \to U\) 是 \(f\) 在 \(U\) 上的拉回，并设 \(g: T' \to T\) 为投影。

引理 0DRN 表明，对 \(t' \in T'\) 有 \(\dim_{t'}(T'_{f'(t')}) = \dim_{g(t')}(T_{f(g(t'))}),\)。由于 \(g\) 光滑且满（它是光滑满射的基变换），\(g\) 在底拓扑空间上诱导的映射由《空间的性质》中的引理 03BX 连续且开，并且满射。因此，只需指出：态射 \(f'\) 的第 (1) 项由《空间的态射》中的引理 04NT 得出，而第 (2) 项可由《态射》中的引理 02NM 或《态射》中的引理 02G1 得出（二者都给出概形情形的结果，由此可完全仿照《空间的态射》中的引理 04NT 推出代数空间的相应结果。

现在回到一般情形，并选择源为概形的光滑满射 \(h:V \to \mathcal{T}\)。若 \(v \in V\)，则基本上按定义有 \[\dim_{h(v)}(\mathcal{T}_{f(h(v))}) = \dim_{v}(V_{f(h(v))}) - \dim_{v}(V_{h(v)}).\] 由于 \(V\) 是概形，我们已经证明该等式右边第一项上半连续（若 \(f\) 光滑，它甚至局部常值），而第二项事实上局部常值。所以它们的差上半连续（若 \(f\) 光滑，则局部常值），因而函数 \(\dim_{h(v)}(\mathcal{T}_{f(h(v))})\) 在 \(|V|\) 上上半连续（若 \(f\) 光滑，则局部常值）。由于态射 \(|V| \to |\mathcal{T}|\) 开且满，引理得证。

在继续展开理论之前，先证明两个与概形维数理论有关的引理。

为说明第一个引理的背景，注意，若 \(X\) 是有限维概形，则由于 \(\dim X\) 被定义为各维数 \(\dim_x X\) 的上确界，存在一点 \(x \in X\)，使得 \(\dim_x X = \dim X\)。下一个引理表明，还可以取 \(x\) 为有限型点。

引理

若 \(X\) 是有限维概形，则存在闭点（从而是有限型点）\(x \in X\)，使得 \(\dim_x X = \dim X\)。

证明

令 \(d = \dim X\)，并取 \(X\) 的不可约闭子集的一条极大严格递降链，记为 [0DRS]\[\begin{equation} Z_0 \supset Z_1 \supset \ldots \supset Z_d. \end{equation}\] 子集 \(Z_d\) 是 \(X\) 的极小不可约闭子集，故 \(Z_d\) 的每一点都是 \(Z_d\) 的一般点。由于概形 \(X\) 的底拓扑空间是清醒的，可知 \(Z_d\) 是单点集，仅由一个闭点 \(x \in X\) 构成。若 \(U\) 是 \(x\) 的任一邻域，则链 \[U\cap Z_0 \supset U\cap Z_1 \supset \ldots \supset U\cap Z_d = Z_d = \{x\}\] 是 \(U\) 的不可约闭子集的一条严格递降链，说明 \(\dim U \geq d\)。因此 \(\dim_x X \geq d\)。反向不等式显然，引理得证。

下一个引理说明，在满足若干温和附加假设的不可约概形上， \(\dim_x X\) 是常值函数。

引理

若 \(X\) 是有限维的不可约、Jacobson、链状且局部 Noether 概形，则对 \(X\) 的每个非空开子集 \(U\) 都有 \(\dim U = \dim X\)。等价地，\(\dim_x X\) 是 \(X\) 上的常值函数。

证明

两个断言的等价性直接由定义得出。于是，设 \(U\subset X\) 是非空开子集。显然 \(\dim U \leq \dim X\)，而需要证明 \(\dim U \geq \dim X.\) 令 \(d = \dim X\)，并取 \(X\) 的不可约闭子集的一条极大严格递降链，记为 \[X = Z_0 \supset Z_1 \supset \ldots \supset Z_d.\] 由于 \(X\) 是 Jacobson 的，极小不可约闭子集 \(Z_d\) 等于某个闭点 \(x\) 所成的 \(\{x\}\)。

若 \(x \in U,\)，则 \[U = U \cap Z_0 \supset U\cap Z_1 \supset \ldots \supset U\cap Z_d = \{x\}\] 是 \(U\) 的不可约闭子集的一条严格递降链，故 \(\dim U \geq d\)，正是所需。因此可设 \(x \not\in U.\)

考虑平坦态射 \(\Spec \mathcal{O}_{X,x} \to X\)。\(X\) 的非空（从而稠密）开子集 \(U\) 拉回为开子集 \(V \subset \Spec \mathcal{O}_{X,x}\)。把 \(U\) 替换为一个非空拟紧、从而 Noether 的开子集后，可以设嵌入 \(U \to X\) 是拟紧态射。由于拟紧态射的概形论像之形成与平坦基变换交换，

由《态射》中的引理 081I 可知 \(V\) 在 \(\Spec \mathcal{O}_{X,x}\) 中稠密，因而特别非空；当然 \(x \not\in V.\)（这里也用 \(x\) 表示 \(\Spec \mathcal{O}_{X,x}\) 的闭点，因为其像等于给定点 \(x \in X\)。）现在 \(\Spec \mathcal{O}_{X,x} \setminus \{x\}\) 是 Jacobson 的；

见《性质》中的引理 02IM。所以 \(V\) 包含 \(\Spec \mathcal{O}_{X,x} \setminus \{x\}\) 的一个闭点 \(z\)。\(z\) 的像在 \(X\) 中的闭包，是 \(X\) 的一个包含 \(x\) 的不可约闭子集 \(Z\)；它与 \(U\) 的交非空，并且不存在真包含于 \(Z\) 而又真包含 \(\{x\}\) 的不可约闭子集（因为拉回到 \(\Spec \mathcal{O}_{X,x}\) 在 \(X\) 中包含 \(x\) 的不可约闭子集，与 \(\Spec \mathcal{O}_{X,x}\) 的不可约闭子集之间诱导双射）。由于 \(U \cap Z\) 是 \(U\) 的非空闭子集，它包含一个在 \(X\) 中闭的点 \(u\)（因为 \(X\) 是 Jacobson 的）。又因为 \(U\cap Z\) 是不可约集合 \(Z\) 的非空（从而稠密）开子集，而它包含一个不属于 \(U\) 的点，即 \(x\)，所以嵌入 \(\{u\} \subset U\cap Z\) 是真包含。

由于 \(X\) 链状，链 \[X = Z_0 \supset Z \supset \{x\} = Z_d\] 可细化为长度 \(d+1\) 的链，而该链必具有形式 \[X = Z_0 \supset W_1 \supset \ldots \supset W_{d-1} = Z \supset \{x\} = Z_d.\] 由于 \(U\cap Z\) 非空，遂得到 \[U = U \cap Z_0 \supset U \cap W_1\supset \ldots \supset U\cap W_{d-1} = U\cap Z \supset \{u\}\] 这是 \(U\) 的不可约闭子集的一条长度为 \(d+1\) 的严格递降链，说明 \(\dim U \geq d\)，正是所需。

引理 0DRT 的叠论类比将在下文引理 0DRX 中证明；但在此之前，必须引入一个附加定义。之所以需要它，是因为概形为链状这一概念并非 étale 局部的（见《代数》中的注 0355 的例子；这使得很难定义代数空间或代数叠为链状是什么意思（见 [Osserman, page 3] 中的讨论）。

对维数理论的某些方面，下述定义似乎很好地替代了所缺少的链状代数叠概念。

定义

称局部 Noether 代数叠 \(\mathcal{X}\) 是拟链状的，如果存在一个光滑满射 \(U \to \mathcal{X}\)，其源是万有链状概形。

例

若 \(\mathcal{X}\) 在万有链状局部 Noether 概形 \(S\) 上局部有限型，且 \(U\to \mathcal{X}\) 是源为概形的光滑满射，则复合 \(U \to \mathcal{X} \to S\) 局部有限型，所以 \(U\) 万有链状；

见《态射》中的引理 02J9。因此 \(\mathcal{X}\) 拟链状。

下述引理表明，拟链状性质沿有限型态射传递。

引理

若 \(\mathcal{X}\) 是拟链状局部 Noether 代数叠，而 \(\mathcal{Y} \to \mathcal{X}\) 是局部有限型态射，

则存在一个光滑满射 \(V \to \mathcal{Y}\)，其源是万有链状概形；因此 \(\mathcal{Y}\) 也拟链状。

证明

根据假设，可以找到源为万有链状概形的光滑满射 \(U \to \mathcal{X}\)。基变换 \(U\times_{\mathcal{X}} \mathcal{Y}\) 是代数叠；取源为概形的光滑满射 \(V \to U\times_{\mathcal{X}} \mathcal{Y}\)。于是复合 \(V \to U\times_{\mathcal{X}} \mathcal{Y} \to \mathcal{Y}\) 光滑且满（因为它是光滑满射的复合），而态射 \(V \to U\times_{\mathcal{X}} \mathcal{Y} \to U\) 局部有限型（因为它是局部有限型态射的复合）。由于 \(U\) 万有链状，由《态射》中的引理 02J9，\(V\) 万有链状，正如所断言。

现在研究函数 \(\dim_x(\mathcal{X})\) 在 \(|\mathcal{X}|\) 上关于 \(|\mathcal{X}|\) 的不可约分支的行为，以及若干相关问题；这里 \(\mathcal{X}\) 是某个局部 Noether 叠。

引理

若 \(\mathcal{X}\) 是 Jacobson、拟链状且局部 Noether 的代数叠，并且 \(|\mathcal{X}|\) 不可约，则 \(\dim_x(\mathcal{X})\) 是 \(|\mathcal{X}|\) 上的常值函数。

证明

只需证明 \(\dim_x(\mathcal{X})\) 在 \(|\mathcal{X}|\) 上局部常值；这样它必然常值（因为 \(|\mathcal{X}|\) 不可约，故连通）。由于 \(\mathcal{X}\) 拟链状，可以找到光滑满射 \(U \to \mathcal{X}\)，其中 \(U\) 是万有链状概形。若 \(\{U_i\}\) 是 \(U\) 的拟紧开子概形覆盖，则可把 \(U\) 替换为 \(\coprod U_i,\)；只需证明函数 \(u \mapsto \dim_{f(u)}(\mathcal{X})\) 在 \(U_i\) 上局部常值。由于每次只对一个 \(U_i\) 检验，现在略去下标，直接写作 \(U\) 而非 \(U_i\)。由于 \(U\) 拟紧，它是有限多个不可约分支的并，记为 \(T_1 \cup \ldots \cup T_n\)。注意，每个 \(T_i\) 都是 Jacobson、链状且局部 Noether 的，因为它是 Jacobson、链状且局部 Noether 概形 \(U\) 的闭子概形。

由引理 0DRI 有 \(\dim_{f(u)}(\mathcal{X}) = \dim_{u}(U) - \dim_{u}(U_{f(u)}).\) 引理 0DRQ (2) 表明，由于 \(f\) 光滑，右端第二项在 \(U\) 上局部常值；因此必须证明 \(\dim_u(U)\) 在 \(U\) 上局部常值。由于 \(\dim_u(U)\) 是所有包含 \(u\) 的 \(U\) 的分支 \(T_i\) 的维数 \(\dim_u T_i\) 中的最大值，只需证明：若一点 \(u\) 位于两个不同分支 \(T_i\) 与 \(T_j\) 上（其中 \(i \neq j\)），则 \(\dim_u T_i = \dim_u T_j\)；再注意，在不可约、Jacobson、链状且局部 Noether 的概形 \(T\) 上，\(t\mapsto \dim_t T\) 是常值函数（这由引理 0DRT 得出）。

令 \(V = T_i \setminus (\bigcup_{i' \neq i} T_{i'})\)，并令 \(W = T_j \setminus (\bigcup_{i' \neq j} T_{i'})\)。于是 \(V\) 和 \(W\) 各自都是 \(U\) 的非空开子集，故各自在 \(|\mathcal{X}|\) 中具有非空开像。由于 \(|\mathcal{X}|\) 不可约，这两个非空开子集在 \(|\mathcal{X}|\) 中有非空交。取位于该交中的一点 \(x\)，并取映到 \(x\) 的点 \(v \in V\) 和 \(w\in W\)。于是有 \[\dim T_i = \dim V = \dim_v (U) = \dim_x (\mathcal{X}) + \dim_v (U_x)\] 并且类似地有 \[\dim T_j = \dim W = \dim_w (U) = \dim_x (\mathcal{X}) + \dim_w (U_x).\] 由于 \(u \mapsto \dim_u (U_{f(u)})\) 在 \(U\) 上局部常值，而 \(T_i \cup T_j\) 连通（它是两个不可约、从而连通，并具有非空交的集合之并），可知 \(\dim_v (U_x) = \dim_w(U_x)\)。比较前两个等式，即得 \(\dim T_i = \dim T_j\)，正是所需。

引理

若 \(\mathcal{Z} \hookrightarrow \mathcal{X}\) 是局部 Noether 代数叠的闭浸入，而 \(z \in |\mathcal{Z}|\) 的像为 \(x \in |\mathcal{X}|\)，则 \(\dim_z (\mathcal{Z}) \leq \dim_x(\mathcal{X})\)。

证明

取源为概形的光滑满射 \(U\to \mathcal{X}\)；基变换后的态射 \(V = U\times_{\mathcal{X}} \mathcal{Z} \to \mathcal{Z}\) 也光滑且满，而投影 \(V \to U\) 是闭浸入。若 \(v \in |V|\) 映到 \(z \in |\mathcal{Z}|\)，并以 \(u\) 表示 \(v\) 在 \(|U|\) 中的像，则显然 \(\dim_v(V) \leq \dim_u(U)\)；另一方面，由引理 0DRN 有 \(\dim_v (V_z) = \dim_u(U_x)\)。因此 \[\dim_z(\mathcal{Z}) = \dim_v(V) - \dim_v(V_z) \leq \dim_u(U) - \dim_u(U_x) = \dim_x(\mathcal{X}),\] 正如所断言。

引理

若 \(\mathcal{X}\) 是局部 Noether 代数叠，且 \(x \in |\mathcal{X}|\)，则 \(\dim_x(\mathcal{X}) = \sup_{\mathcal{T}} \{ \dim_x(\mathcal{T}) \}\)，其中 \(\mathcal{T}\) 遍历 \(|\mathcal{X}|\) 的所有经过 \(x\) 的不可约分支（赋予其诱导约化结构）。

证明

引理 0DRY 表明，对每个经过点 \(x\) 的不可约分支 \(\mathcal{T}\)，都有 \(\dim_x (\mathcal{T}) \leq \dim_x(\mathcal{X})\)。因此为证明引理，只需证明 [0DS0]\[\begin{equation} \dim_x(\mathcal{X}) \leq \sup_{\mathcal{T}} \{\dim_x(\mathcal{T})\}. \end{equation}\] 设 \(U\to\mathcal{X}\) 是由概形给出的光滑覆盖。若 \(T\) 是 \(U\) 的一个不可约分支，则以 \(\mathcal{T}\) 表示其像在 \(\mathcal{X}\) 中的闭包；它是 \(\mathcal{X}\) 的不可约分支。设 \(u \in U\) 是映到 \(x\) 的一点。于是 \(\dim_x(\mathcal{X})=\dim_uU-\dim_uU_x=\sup_T\dim_uT-\dim_uU_x\)，其中上确界取遍 \(U\) 的所有经过 \(u\) 的不可约分支。选择一个达到该上确界的分支 \(T\)，并注意 \(\dim_x(\mathcal{T})=\dim_uT-\dim_u T_x\)。所需不等式（0DS0）现在由显然的不等式 \(\dim_u T_x \leq \dim_u U_x.\) 得出。（注意，若 \(\Spec k \to \mathcal{X}\) 是 \(x\) 的一个代表，则 \(T\times_{\mathcal{X}} \Spec k\) 是 \(U\times_{\mathcal{X}} \Spec k\) 的闭子空间。）

引理

若 \(\mathcal{X}\) 是局部 Noether 代数叠，且 \(x \in |\mathcal{X}|\)，则对 \(\mathcal{X}\) 的任一包含 \(x\) 的开子叠 \(\mathcal{V}\)，存在有限型点 \(x_0 \in |\mathcal{V}|\)，使得 \(\dim_{x_0}(\mathcal{X}) = \dim_x(\mathcal{V})\)。

证明

取源为概形的光滑满射 \(f:U \to \mathcal{X}\)，并考虑函数 \(u \mapsto \dim_{f(u)}(\mathcal{X});\)。由于 \(f\) 诱导的态射 \(|U| \to |\mathcal{X}|\) 是开的（因为 \(f\) 光滑）且满的（根据假设），并且把有限型点映到有限型点（这正是 \(|\mathcal{X}|\) 的有限型点之定义），只需证明：对任意 \(u \in U\) 以及 \(u\) 的任一开邻域，都存在该邻域中的有限型点 \(u_0\)，使得 \(\dim_{f(u_0)}(\mathcal{X}) = \dim_{f(u)}(\mathcal{X}).\) 在对问题作此重述后，不再需要 \(f\) 满，故可把 \(U\) 替换为所考虑点 \(u\) 的开邻域，从而把问题约化为证明：对每个 \(u \in U\)，存在有限型点 \(u_0 \in U\)，使得 \(\dim_{f(u_0)}(\mathcal{X}) = \dim_{f(u)}(\mathcal{X}).\) 由引理 0DRI， \(\dim_{f(u)}(\mathcal{X}) = \dim_u(U) - \dim_u(U_{f(u)}),\) 而 \(\dim_{f(u_0)}(\mathcal{X}) = \dim_{u_0}(U) - \dim_{u_0}(U_{f(u_0)}).\) 由于 \(f\) 光滑，当 \(u_0\) 在 \(U\) 上变化时，表达式 \(\dim_{u_0}(U_{f(u_0)})\) 局部常值（由引理 0DRQ (2)）。必要时进一步在 \(u\) 附近缩小 \(U\)，可以设它常值。于是问题变成证明：可以找到有限型点 \(u_0 \in U\)，使得 \(\dim_{u_0}(U) = \dim_u(U)\)。按定义，\(\dim_u U\) 是各维数 \(\dim V\) 的最小值，其中 \(V\) 取遍这样的开邻域 \(V\)：它们位于原概形中并包含 \(u\)；所以可进一步在 \(u\) 附近缩小 \(U\)，使得 \(\dim_u U = \dim U\)。所需点 \(u_0\) 的存在性遂由引理 0DRR 得出。

引理

设 \(\mathcal{T} \hookrightarrow \mathcal{X}\) 是代数叠的局部有限型单态射，其中 \(\mathcal{X}\)（从而 \(\mathcal{T}\) 也）是 Jacobson、拟链状且局部 Noether 的。

再假设 \(\mathcal{T}\) 不可约，具有某个（有限）维数 \(d\)，而 \(\mathcal{X}\) 约化且维数小于或等于 \(d\)。则存在 \(\mathcal{T}\) 的非空开子叠 \(\mathcal{V}\)，使得诱导的单态射 \(\mathcal{V} \hookrightarrow \mathcal{X}\) 是开浸入，并把 \(\mathcal{V}\) 认同为 \(\mathcal{X}\) 的一个不可约分支的开子集。

证明

取源为概形的光滑满射 \(f:U \to \mathcal{X}\)；由于 \(\mathcal{X}\) 约化，\(U\) 必然也约化。记 \(U' = \mathcal{T}\times_{\mathcal{X}} U\)。基变换后的态射 \(U' \to U\) 是代数空间的局部有限型单态射，因此可表；

见《空间的态射》中的引理 0418 和 0463。由于 \(U\) 是概形，\(U'\) 也是概形。投影 \(f': U' \to \mathcal{T}\) 仍是光滑满射。设 \(u' \in U'\)，其像为 \(u \in U\)。引理 0DRN 表明 \(\dim_{u'}(U'_{f(u')}) = \dim_u(U_{f(u)}),\)；另一方面，由引理 0DRX 以及对 \(\mathcal{T}\) 和 \(\mathcal{X}\) 的假设，有 \(\dim_{f'(u')}(\mathcal{T}) =d \geq \dim_{f(u)}(\mathcal{X})\)。因此 [0DS3]\[\begin{equation} \dim_{u'} (U') = \dim_{u'} (U'_{f(u')}) + \dim_{f'(u')}(\mathcal{T}) \\ \geq \dim_u (U_{f(u)}) + \dim_{f(u)}(\mathcal{X}) = \dim_u (U). \end{equation}\] 由于 \(U' \to U\) 是局部有限型单态射，特别地它非分歧；所以由非分歧态射的 étale 局部结构，即《Étale 态射》中的引理 04HJ，可找到交换图表 \[\xymatrix{ V' \ar[r]\ar[d] & V \ar[d] \\ U' \ar[r] & U }\] 其中概形 \(V'\) 非空，竖直箭头为 étale 态射，而上方水平箭头是闭浸入。把 \(V\) 替换为一个拟紧开子集，使其像与 \(U'\) 的像有非空交，并把 \(V'\) 替换为 \(V\) 的原像，还可设 \(V\)（从而 \(V'\)）拟紧。由于 \(V\) 也局部 Noether，它遂为 Noether，因而是有限多个不可约分支的并。

由于 étale 态射保持逐点维数，

由《下降》中的引理 04N4 和（0DS3）可推出：对任一点 \(v' \in V'\)，若其像为 \(v \in V\)，则 \(\dim_{v'}( V') \geq \dim_v(V)\)。特别地，\(V'\) 的像不可能包含于 \(V\) 的两个不同不可约分支的交中；因此可以找到 \(V\) 的至少一个不可约开子集，它与 \(V'\) 有非空交。把 \(V\) 替换为此子集后，可以设 \(V\) 是整概形（因为它既约化又不可约）。由上述维数不等式可知，闭浸入 \(V' \hookrightarrow V\) 实际上是同构。若以 \(W\) 表示 \(V'\) 在 \(U'\) 中的像，则 \(W\) 是 \(U'\) 的非空开子集（因为 étale 态射是开映射），而诱导的单态射 \(W \to U\) 为 étale 态射（因为它在源上 étale 局部，即拉回到 \(V'\) 后如此），故为开浸入（因为它是 étale 单态射）。因此，若以 \(\mathcal{V}\) 表示 \(W\) 在 \(\mathcal{T}\) 中的像，则 \(\mathcal{V}\) 是 \(\mathcal{T}\) 的稠密（等价地，非空）开子叠，其像在 \(\mathcal{X}\) 的一个不可约分支中稠密。最后，注意态射

\(\mathcal{V} \to \mathcal{X}\) 光滑（因为它与光滑态射 \(W\to \mathcal{V}\) 的复合光滑），并且也是单态射，故为开浸入。

引理

设 \(f: \mathcal{T} \to \mathcal{X}\) 是 Jacobson、拟链状且局部 Noether 的代数叠之间的局部有限型态射，其源不可约，目标拟分离；

并设 \(\mathcal{Z} \hookrightarrow \mathcal{X}\) 表示 \(\mathcal{T}\) 的概形论像。则对所有 \(t \in |T|\)，都有

\(\dim_t( \mathcal{T}_{f(t)}) \geq \dim \mathcal{T} - \dim \mathcal{Z}\)；而且 \(|\mathcal{T}|\) 有一个非空（等价地，稠密）开子集，使得其上等号成立。

证明

用 \(\mathcal{Z}\) 替换 \(\mathcal{X}\) 后，可以并且确实设 \(f\) 在概形论意义下支配，并且 \(\mathcal{X}\) 不可约。由纤维维数的上半连续性（引理 0DRQ (1)），只需证明等式 \(\dim_t( \mathcal{T}_{f(t)}) =\dim \mathcal{T} - \dim \mathcal{Z}\) 对位于 \(\mathcal{T}\) 的某个非空开子叠中的 \(t\) 成立。因此在论证中，始终可以自由地把 \(\mathcal{T}\) 替换为非空开子叠。

设 \(T' \to \mathcal{T}\) 是源为概形的光滑满射，并设 \(T\) 是 \(T'\) 的非空拟紧开子集。由于 \(\mathcal{Y}\) 拟分离，可知

\(T \to \mathcal{Y}\) 拟紧（把《叠的态射》中的引理 050Y 应用于态射 \(T \to \mathcal{Y} \to \Spec \mathbf{Z}\)）。因此，若把 \(\mathcal{T}\) 替换为 \(T\) 在 \(\mathcal{T}\) 中的像，则可以设（援引《叠的态射》中的引理 050X

态射 \(f:\mathcal{T} \to \mathcal{X}\) 拟紧。

若取光滑满射 \(U \to \mathcal{X}\)，其中 \(U\) 是概形，则引理 0DR5 保证可以找到 \(U\) 的一个不可约开子集 \(V\)，使得 \(V \to \mathcal{X}\) 光滑且在概形论意义下支配。由于拟紧态射的概形论支配性在平坦基变换下保持，概形论支配态射 \(f\) 的基变换 \(\mathcal{T} \times_{\mathcal{X}} V \to V\) 仍在概形论意义下支配。设 \(Z\) 是一个具有到该纤维积的光滑满射的概形；于是 \(Z \to \mathcal{T} \times_{\mathcal{X}} V \to V\) 仍在概形论意义下支配。因此可找到 \(Z\) 的一个不可约分支 \(C\)，它在概形论意义下支配 \(V\)。由于复合 \(Z \to \mathcal{T}\times_{\mathcal{X}} V \to \mathcal{T}\) 光滑，而 \(\mathcal{T}\) 不可约，引理 0DR5 表明，源的任一不可约分支在 \(|\mathcal{T}|\) 中具有稠密像。现在把 \(C\) 替换为一个与 \(Z\) 的所有其他不可约分支不交的非空开子集 \(W\)，再把 \(\mathcal{T}\) 和 \(\mathcal{X}\) 替换为 \(W\) 和 \(V\) 的像（并应用引理 0DRX，可知这不改变 \(\mathcal{T}\) 或 \(\mathcal{X}\) 的维数）。若以 \(\mathcal{W}\) 表示态射 \(W \to \mathcal{T}\times_{\mathcal{X}} V\) 的像，则 \(\mathcal{W}\) 在 \(\mathcal{T}\times_{\mathcal{X}} V\) 中开（因为态射 \(W \to \mathcal{T}\times_{\mathcal{X}} V\) 光滑），并且不可约（因为它是不可约概形的像）。于是最终得到交换图表 \[\xymatrix{ W \ar[dr] \ar[r] & \mathcal{W} \ar[r] \ar[d] & V \ar[d] \\ & \mathcal{T} \ar[r] & \mathcal{X} }\] 其中 \(W\) 和 \(V\) 是概形，竖直箭头光滑且满，斜箭头以及左上水平箭头光滑，

而诱导态射 \(\mathcal{W} \to \mathcal{T}\times_{\mathcal{X}} V\) 是开浸入。利用这一图表以及引理陈述中所涉各维数的定义，可把引理的验证约化到已知的概形情形。

固定 \(w \in |W|\)，并将其像依次记作 \(w' \in |\mathcal{W}|\)、\(t \in |\mathcal{T}|\)、 \(v\)（在 \(|V|\) 中）和 \(x\)（在 \(|\mathcal{X}|\) 中）。基本上按定义（利用 \(\mathcal{W}\) 在 \(\mathcal{T}\times_{\mathcal{X}} V\) 中开，以及基变换的纤维是纤维的基变换）得到等式 \[\dim_v V_x = \dim_{w'} \mathcal{W}_t\] 和 \[\dim_t \mathcal{T}_x = \dim_{w'} \mathcal{W}_v.\] 由引理 0DRI （图表中的斜箭头和右侧竖直箭头，把 \(W\) 和 \(V\) 实现为叠 \(\mathcal{T}\) 和 \(\mathcal{X}\) 的概形光滑覆盖），得到 \[\dim_t \mathcal{T} = \dim_w W - \dim_w W_t\] 以及 \[\dim_x \mathcal{X} = \dim_v V - \dim_v V_x.\] 合并这些等式，得到 \[\dim_t \mathcal{T}_x - \dim_t \mathcal{T} + \dim_x \mathcal{X} = \dim_{w'} \mathcal{W}_v - \dim_w W + \dim_w W_t + \dim_v V - \dim_{w'} \mathcal{W}_t\] 由于 \(W \to \mathcal{W}\) 是光滑满射，在态射 \(\Spec \kappa(v) \to V\) 上作基变换后仍然如此（把 \(W \to \mathcal{W}\) 视为 \(V\) 上的态射）。从这一光滑态射得到下列两个等式中的第一个： \[\dim_w W_v - \dim_{w'} \mathcal{W}_v = \dim_w (W_v)_{w'} = \dim_w W_{w'};\] 第二个等式由直接比较所涉及的两个纤维得出。类似地，若把 \(W \to \mathcal{W}\) 视为 \(\mathcal{T}\) 上的概形态射，并在点 \(t \in |\mathcal{T}|\) 的某个代表上作基变换，就得到等式 \[\dim_w W_t - \dim_{w'} \mathcal{W}_t = \dim_w (W_t)_{w'} = \dim_w W_{w'}.\] 综合以上各式，得到 \[\dim_t \mathcal{T}_x - \dim_t \mathcal{T} + \dim_x \mathcal{X} = \dim_w W_v - \dim_w W + \dim_v V.\] 我们的目标是证明，当 \(t\) 取遍某个非空开子集时，该等式左边为零。

当 \(w\) 在 \(W\) 的一个非空开子集上变化时，其像 \(t \in |\mathcal{T}|\) 在 \(|\mathcal{T}|\) 的一个非空开子集上变化（因为 \(W \to \mathcal{T}\) 光滑）。

因此问题约化为证明：若 \(W\to V\) 是不可约局部 Noether 概形之间的局部有限型概形论支配态射，则存在其点的一个非空开子集，使得对其中的 \(w\in W\) 有 \(\dim_w W_v =\dim_w W - \dim_v V\)（其中 \(v\) 表示 \(w\) 在 \(V\) 中的像）。这是标准事实；为方便读者，回顾其证明。

可把 \(W\) 和 \(V\) 替换为其底约化子概形，而不改变这一等式成立与否，故可设它们事实上是整概形。由于 \(\dim_w W_v\) 在 \(W,\) 上局部常值，

必要时把 \(W\) 替换为非空开子集，可以设 \(\dim_w W_v\) 常值，记其值为 \(d\)。选择该开子集为仿射的，还可设态射 \(W\to V\) 实际上有限型。必要时把 \(V\) 替换为非空开子集（随后在该开子集上拉回 \(W\)；所得拉回非空，因为拟紧概形论支配态射的平坦基变换仍然概形论支配），还可设 \(W\) 在 \(V\) 上平坦。于是态射 \(W\to V\) 在《态射》中的定义 02NJ 的意义下具有相对维数 \(d\)，并由《态射》中的引理 0AFE 得到 \(\dim_w(W) = \dim_v(V) + d,\)，正是所需。

注

我们指出，在上一引理的情形中，未必有 \(\dim \mathcal{T} \geq \dim \mathcal{Z}\)；这并不与该引理陈述中的不等式矛盾，因为态射 \(f\) 的纤维仍是代数叠，因而维数可能为负。例如，取 \(k\) 为一个域，并把该引理应用于态射 \([\Spec k/\mathbf{G}_m] \to \Spec k\)，即可看出这一点。

若进一步假设该引理陈述中的态射 \(f\) 是拟 DM 的（其含义见《叠的态射》中的定义 04YW；例如，可由代数空间表示的态射是拟 DM 的），则该态射在目标各点上的纤维都是拟 DM 代数叠，因而具有非负维数。在这种情形下，该引理确实蕴含 \(\dim \mathcal{T} \geq \dim \mathcal{Z}\)。事实上，我们得到下面这个更一般的结果。

引理

设 \(f: \mathcal{T} \to \mathcal{X}\) 是 Jacobson、拟链状且局部 Noether 的代数叠之间的局部有限型态射。假设它拟 DM，其源不可约，其目标拟分离，并以 \(\mathcal{Z} \hookrightarrow \mathcal{X}\) 表示 \(\mathcal{T}\) 的概形论像。则 \(\dim \mathcal{Z} \leq \dim \mathcal{T}\)，而且下列两个条件中恰有一个成立：

对每个有限型点 \(t \in |T|,\) 都有

\(\dim_t(\mathcal{T}_{f(t)}) > 0,\) 在这种情形下， \(\dim \mathcal{Z} < \dim \mathcal{T}\)；或者

\(\mathcal{T}\) 和 \(\mathcal{Z}\) 具有相同维数。

证明

正如上一备注所指出的，拟 DM 叠的维数总是非负的。因此，对所有 \(t \in |\mathcal{T}|\) 都有 \(\dim_t \mathcal{T}_{f(t)} \geq 0\)，并且等式 \[\dim_t \mathcal{T}_{f(t)} = \dim_t \mathcal{T} - \dim_{f(t)} \mathcal{Z}\] 对一个稠密开子集中的点 \(t\in |\mathcal{T}|\) 成立。

局部环的维数

代数叠在通常意义下其实并没有局部环，但可以如下定义局部环的维数。

引理

设 \(\mathcal{X}\) 是局部 Noether 代数叠。设 \(U \to \mathcal{X}\) 是光滑态射，并设 \(u \in U\)。则 \[\dim(\mathcal{O}_{U, \overline{u}}) - \dim(\mathcal{O}_{R_u, e(\overline{u})}) = 2\dim(\mathcal{O}_{U, \overline{u}}) - \dim(\mathcal{O}_{R, e(\overline{u})})\] 这里 \(R = U \times_\mathcal{X} U\)，投影为 \(s, t : R \to U\)，对角态射为 \(e : U \to R\)，而 \(R_u\) 是 \(s : R \to U\) 在 \(u\) 上的纤维。

证明

这是因为 \(s : \mathcal{O}_{U, \overline{u}} \to \mathcal{O}_{R, e(\overline{u})}\) 是 Noether 局部环之间的平坦局部同态，因而 \[\dim(\mathcal{O}_{R, e(\overline{u})}) = \dim(\mathcal{O}_{U, \overline{u}}) + \dim(\mathcal{O}_{R_u, e(\overline{u})})\] 由《代数》中的引理 00ON 成立。

引理

设 \(\mathcal{X}\) 是局部 Noether 代数叠。

设 \(x \in |\mathcal{X}|\) 是有限型点（见《叠的态射》中的定义 06FY）。设 \(d \in \mathbf{Z}\)。下列条件等价：

存在一个概形 \(U\)、一个光滑态射 \(U \to \mathcal{X}\)，以及映到 \(x\) 的有限型点 \(u \in U\)，使得 \(2\dim(\mathcal{O}_{U, \overline{u}}) - \dim(\mathcal{O}_{R, e(\overline{u})}) = d\)；并且

对任意概形 \(U\)、任意光滑态射 \(U \to \mathcal{X}\)，以及任意映到 \(x\) 的有限型点 \(u \in U\)，都有 \(2\dim(\mathcal{O}_{U, \overline{u}}) - \dim(\mathcal{O}_{R, e(\overline{u})}) = d\)。

这里 \(R = U \times_\mathcal{X} U\)，投影为 \(s, t : R \to U\)，对角态射为 \(e : U \to R\)，而 \(R_u\) 是 \(s : R \to U\) 在 \(u\) 上的纤维。

证明

假设有 \(x\) 的两个光滑邻域 \((U, u)\) 和 \((U', u')\)，其中 \(u\) 和 \(u'\) 都是有限型点。缩小 \(U\) 和 \(U'\) 后，可设 \(u\) 和 \(u'\) 都是闭点（这由有限型点的定义得出）。然后选取满 étale 态射 \(W \to U \times_\mathcal{X} U'\)。设 \(W_u\) 为 \(W \to U\) 在 \(u\) 上的纤维，并设 \(W_{u'}\) 为 \(W \to U'\) 在 \(u'\) 上的纤维。由于 \(u\) 和 \(u'\) 映到 \(|\mathcal{X}|\) 的同一点， \(W_u \cap W_{u'}\) 非空。因此可选取一个闭点 \(w \in W\)，它同时映到 \(u\) 和 \(u'\)。这把问题约化为下一段中的讨论。

设 \((U', u') \to (U, u)\) 是 \(x\) 的两个光滑邻域之间的光滑态射，且 \(u\) 和 \(u'\) 都是闭点。目标是证明：用 \((U, u)\) 定义的不变量与用 \((U', u')\) 定义的不变量相同。为此注意， \(\mathcal{O}_{U, u} \to \mathcal{O}_{U', u'}\) 是 Noether 局部环之间的平坦局部同态，因而 \[\dim(\mathcal{O}_{U', \overline{u}'}) = \dim(\mathcal{O}_{U, \overline{u}}) + \dim(\mathcal{O}_{U'_u, \overline{u}'})\] 由《代数》中的引理 00ON 成立。（这里略去把局部环的性质同其严格 Hensel 化的性质联系起来所需的全部步骤；见《代数进阶》中的章节 07QL。）另一方面，有 \[R' = U' \times_{U, t} R \times_{s, U} U'\] 因此可见 \[\dim(\mathcal{O}_{R', e(\overline{u}')}) = \dim(\mathcal{O}_{R, e(\overline{u})}) + \dim(\mathcal{O}_{U'_u \times_u U'_u, (\overline{u}', \overline{u}')})\] 要证明该引理，只需证明 \[\dim(\mathcal{O}_{U'_u \times_u U'_u, (\overline{u}', \overline{u}')}) = 2\dim(\mathcal{O}_{U'_u, \overline{u}'})\] 注意这并不总成立（例如，若 \(U'_u\) 是一条曲线，而 \(u'\) 是这条曲线的一般点）。不过，我们知道 \(u'\) 是在 \(u\) 上局部有限型的代数空间 \(U'_u\) 的闭点。在这种情形下，等式成立：首先，由《簇》中的引理 0B2M，有 \(\dim_{(u', u')}(U'_u \times_u U'_u) = 2\dim_{u'}(U'_u)\)；其次，在局部代数概形的闭点处，维数与局部环的维数一致，见《簇》中的引理 0A21。我们略去把这些概形结论转述为代数空间语言的过程。

定义

设 \(\mathcal{X}\) 是局部 Noether 代数叠，并设 \(x \in |\mathcal{X}|\) 是有限型点。若引理 0DS9 中的等价条件成立，则称其中的 \(d \in \mathbf{Z}\) 为 \(\mathcal{X}\) 在 \(x\) 处的局部环的维数。

准确地说，这一定义由引理 0DS8 和《叠的性质》中的定义 0AFN 所启发。

本节最后建立一个公式，以便用 \(\mathcal{X}\) 在 \(x\) 处的半通用环的性质计算 \(\dim_x(\mathcal{X})\)。

引理

设 \(\mathcal{X}\) 是局部 Noether 概形 \(S\) 上的局部有限型代数叠。设 \(x_0 : \Spec(k) \to \mathcal{X}\) 是一个态射，其中 \(k\) 是 \(S\) 上的有限型域。按备注 0DR3，用一个余群胚 \((A, B, s, t, c)\) 表示 \(\mathcal{F}_{\mathcal{X}, k, x_0}\)；这里的两个环都是剩余域为 \(k\) 的 Noether 完备局部 \(S\)-代数。则 \[\text{局部环维数：}\mathcal{X}\text{ 在 }x_0 = 2\dim A - \dim B\]

证明

设 \(s \in S\) 是 \(x_0\) 的像。若 \(\mathcal{O}_{S, s}\) 是 G-环（这是实践中几乎总能满足的条件），则可如下证明该引理。由引理 0DR0，可以找到一个光滑态射 \(U \to \mathcal{X}\)，其源是概形，并且包含一个剩余域为 \(k\) 的点 \(u_0 \in U\)，使得诱导态射

\(\Spec(k) \to U \to \mathcal{X}\) 与 \(x_0\) 重合，且 \(A = \mathcal{O}_{U, u_0}^\wedge\)。记 \(R = U \times_\mathcal{X} U\)。于是可把 \(\mathcal{O}_{R, e(u_0)}^\wedge\) 与 \(B\) 认同。所需等式遂由定义得出。

在证明余下部分中，我们说明如何在一般情形下证明该引理，但建议读者跳过这部分。

先证明右边与 \((A, B, s, t, c)\) 的选择无关。具体地，设 \((A', B', s', t', c')\) 是第二种选择。由于 \(A\) 和 \(A'\) 都是 \(\mathcal{X}\) 在 \(x_0\) 处的半通用环，必要时交换 \(A\) 和 \(A'\) 后，可以选取一个与 \(A\) 和 \(A'\) 上给定的半通用形式对象 \(\xi\) 和 \(\xi'\) 相容的形式光滑映射 \(A \to A'\)。回忆 \(\widehat{\mathcal{C}}_\Lambda\) 有余积，而且这些余积由 \(\Lambda\) 上的完备张量积给出；见《形式形变理论》中的引理 06H1。那么，\(B\) pro-表示这样一个函子：它把 \(\xi\) 推前到 \(A \widehat{\otimes}_\Lambda A\) 后所得的两个对象之间的同构。 \(B'\) 的情形类似。由此得到 \[B' = B \otimes_{(A \widehat{\otimes}_\Lambda A)} (A' \widehat{\otimes}_\Lambda A')\] 不难看出 \[A \widehat{\otimes}_\Lambda A \longrightarrow A \widehat{\otimes}_\Lambda A' \longrightarrow A' \widehat{\otimes}_\Lambda A'\] 是形式光滑的，其相对维数等于形式光滑映射 \(A \to A'\) 的相对维数的 \(2\) 倍。（这可由一般原理得出；也可直接看出，因为在此特定情形中， \(A'\) 是 \(A\) 上关于 \(r\) 个变量的幂级数环。）因此 \(B \to B'\) 形式光滑，其相对维数为 \(2(\dim(A') - \dim(A))\)，正是所需。

接着，设 \(l/k\) 是有限扩张。

设 \(x_{l, 0} : \Spec(l) \to \mathcal{X}\) 为诱导的点。我们断言，该公式右边对 \(x_0\) 和对 \(x_{l, 0}\) 取相同的值。这可以通过按引理 0DQY 选取 \(A \to A'\)，并完全照搬上一段的论证来证明。细节从略。

最后，照引理 0DR2 的证明进行论证，可以利用前两段中的相容性，把问题约化为第一段所讨论的情形：此时 \(A\) 是某个在 \(\mathcal{X}\) 上光滑的概形 \(U\) 在 \(u_0\) 处的完备局部环，而

\(u_0\) 是有限型点。细节从略。

意指 \(A'\) 同构于 \(A\) 上的幂级数环。↩︎