超覆盖

引言

设 \(\mathcal{C}\) 为位点，见《位点》定义 00VH。设 \(X\) 为 \(\mathcal{C}\) 的对象。给定 \(\mathcal{C}\) 上的阿贝尔层 \(\mathcal{F}\)，我们希望计算其上同调群 \[H^i(X, \mathcal{F}).\] 按照一般定义（《位点上的上同调》第 01FT 节），可通过选取内射分辨 \(0 \to \mathcal{F} \to \mathcal{I}^0 \to \mathcal{I}^1 \to \ldots\) 并置 \[H^i(X, \mathcal{F}) = H^i( \Gamma(X, \mathcal{I}^0) \to \Gamma(X, \mathcal{I}^1) \to \Gamma(X, \mathcal{I}^2)\to \ldots)\] 本章的目标是证明，在 \(\mathcal{C}\) 有纤维积的情形下，也可以不选取内射分辨而计算这些上同调群。为此我们将使用超覆盖。

位点中的超覆盖是覆盖的推广；见 [SGA4, Exposé V, Sec. 7]。给定对象 \(X\) 的超覆盖 \(K\)，存在一个从 Čech 到上同调的谱序列，它用该层在 \(K\) 的各分量 \(K_n\) 上的上同调来表示阿贝尔层 \(\mathcal{F}\) 在 \(X\) 上的上同调。事实表明，超覆盖总是足够多，因而对所有超覆盖取余极限时，谱序列退化，且 \(\mathcal{F}\) 在 \(X\) 上的上同调由 Čech 上同调群的余极限计算。

还可考虑一种更一般的构造，即具有上同调下降的单纯增广；见 [SGA4, Exposé Vbis]。关于上同调下降，一份很好的手稿是 Brian Conrad 的文章，见 https://math.stanford.edu/~conrad/papers/hypercover.pdf。我们将在关于单纯空间的章节中回到这些问题，并在那里证明，例如， “局部紧”拓扑空间的真超覆盖具有上同调下降（《单纯空间》第 09XA 节）。我们的处理方法是把这一陈述归结为本章构造的从 Čech 到上同调的谱序列。

半可表对象

首先作如下定义。字母 “SR” 表示半可表（Semi-Representable）。

定义

设 \(\mathcal{C}\) 为范畴。用 \(\text{SR}(\mathcal{C})\) 表示如下定义的半可表对象范畴：

对象是对象族 \(\{U_i\}_{i \in I}\)；

态射 \(\{U_i\}_{i \in I} \to \{V_j\}_{j \in J}\) 由映射 \(\alpha : I \to J\) 以及对每个 \(i \in I\) 给定的 \(\mathcal{C}\) 中态射 \(f_i : U_i \to V_{\alpha(i)}\) 构成。

设 \(X \in \Ob(\mathcal{C})\) 为 \(\mathcal{C}\) 的对象。 \(X\) 上的半可表对象范畴是范畴 \(\text{SR}(\mathcal{C}, X) = \text{SR}(\mathcal{C}/X)\).

该定义实质上等价于 [SGA4, Exposé V, Subsection 7.3.0]。注意，这是一个“大”范畴。稍后我们将“限制”构造 \(X\) 的超覆盖所需指标集 \(I\) 的大小，届时便可重新定义 \(\text{SR}(\mathcal{C}, X)\)，使之成为一个范畴。现明确写出 \(\text{SR}(\mathcal{C}, X)\) 的对象与态射：

对象是态射族 \(\{U_i \to X\}_{i \in I}\)；
态射 \(\{U_i \to X\}_{i \in I} \to \{V_j \to X\}_{j \in J}\) 由映射 \(\alpha : I \to J\) 以及对每个 \(i \in I\) 给定的 \(X\) 上态射 \(f_i : U_i \to V_{\alpha(i)}\) 构成。

存在遗忘函子 \(\text{SR}(\mathcal{C}, X) \to \text{SR}(\mathcal{C})\).

定义

设 \(\mathcal{C}\) 为范畴。用 \(F\) 表示把预层赋给半可表对象的函子。以公式表示为 \[\begin{eqnarray*} F : \text{SR}(\mathcal{C}) & \longrightarrow & \textit{PSh}(\mathcal{C}) \\ \{U_i\}_{i \in I} & \longmapsto & \amalg_{i\in I} h_{U_i} \end{eqnarray*}\] 其中 \(h_U\) 表示与对象 \(U\) 相伴的可表预层。

给定态射 \(U \to X\)，得到可表预层的态射 \(h_U \to h_X\)。因此，我们常把 \(F\) 在 \(\text{SR}(\mathcal{C}, X)\) 上的限制视为取值于 \(h_X\) 上集合预层范畴、即 \(\textit{PSh}(\mathcal{C})/h_X\) 的函子。相应图示为： \[\xymatrix{ \text{SR}(\mathcal{C}, X) \ar[r]_F \ar[d] & \textit{PSh}(\mathcal{C})/h_X \ar[d] \\ \text{SR}(\mathcal{C}) \ar[r]^F & \textit{PSh}(\mathcal{C}) }\] 下面讨论半可表对象范畴中极限的存在性。

引理

设 \(\mathcal{C}\) 为范畴。

范畴 \(\text{SR}(\mathcal{C})\) 有余积，且 \(F\) 与余积交换；

函子 \(F : \text{SR}(\mathcal{C}) \to \textit{PSh}(\mathcal{C})\) 与极限交换；

若 \(\mathcal{C}\) 有纤维积，则 \(\text{SR}(\mathcal{C})\) 有纤维积；

若 \(\mathcal{C}\) 有二元积，则 \(\text{SR}(\mathcal{C})\) 有二元积；

若 \(\mathcal{C}\) 有等化子，则 \(\text{SR}(\mathcal{C})\) 也有等化子；

若 \(\mathcal{C}\) 有终对象，则 \(\text{SR}(\mathcal{C})\) 也有终对象。

设 \(X \in \Ob(\mathcal{C})\)。

范畴 \(\text{SR}(\mathcal{C}, X)\) 有余积，且 \(F\) 与余积交换；

若 \(\mathcal{C}\) 有纤维积，则 \(\text{SR}(\mathcal{C}, X)\) 有有限极限，且 \(F : \text{SR}(\mathcal{C}, X) \to \textit{PSh}(\mathcal{C})/h_X\) 与这些极限交换。

证明

先证明关于 \(\text{SR}(\mathcal{C})\) 的各项结论。证明 (1)。\(\{U_i\}_{i \in I}\) 与 \(\{V_j\}_{j \in J}\) 的余积是 \(\{U_i\}_{i \in I} \amalg \{V_j\}_{j \in J}\)；换言之，它是以 \(I \amalg J\) 为指标集的对象族，对元素 \(k \in I \amalg J\)，若 \(k = i \in I\) 则给出 \(U_i\)，若 \(k = j \in J\) 则给出 \(V_j\)。对象族之族的余积也类似。显然 \(F\) 与这些余积交换。

证明 (2)。对 \(\Ob(\mathcal{C})\) 中的 \(U\)，考虑 \(\text{SR}(\mathcal{C})\) 的对象 \(\{U\}\)。显然 \(\Mor_{\text{SR}(\mathcal{C})}(\{U\}, K)) = F(K)(U)\) 对 \(K \in \Ob(\text{SR}(\mathcal{C}))\) 成立。由于预层的极限在截面层面计算（《位点》第 00VB 节），故 \(F\) 与极限交换。

证明 (3)。设给定态射 \((\alpha, f_i) : \{U_i\}_{i \in I} \to \{V_j\}_{j \in J}\) 以及态射 \((\beta, g_k) : \{W_k\}_{k \in K} \to \{V_j\}_{j \in J}\). 这些态射的纤维积由下式给出： \[\{ U_i \times_{f_i, V_j, g_k} W_k\}_{(i, j, k) \in I \times J \times K \text{使得 } j = \alpha(i) = \beta(k)}\] 若 \(\mathcal{C}\) 有纤维积，则这些纤维积存在。

证明 (4)。\(\{U_i\}_{i \in I}\) 与 \(\{V_j\}_{j \in J}\) 的积为 \(\{U_i \times V_j\}_{i \in I, j \in J}\)。若 \(\mathcal{C}\) 有积，则这些积存在。

证明 (5)。两个映射 \((\alpha, f_i), (\alpha', f'_i) : \{U_i\}_{i \in I} \to \{V_j\}_{j \in J}\) 的等化子为 \[\{ \text{Eq}(f_i, f'_i : U_i \to V_{\alpha(i)}) \}_{i \in I,\ \alpha(i) = \alpha'(i)}\] 若 \(\mathcal{C}\) 有等化子，则这些等化子存在。

证明 (6)。若 \(X\) 是 \(\mathcal{C}\) 的终对象，则 \(\{X\}\) 是 \(\text{SR}(\mathcal{C})\) 的终对象。

下面证明关于 \(\text{SR}(\mathcal{C}, X)\) 的陈述。把上述结果应用于范畴 \(\mathcal{C}/X\)，并利用 \(\text{SR}(\mathcal{C}/X) = \text{SR}(\mathcal{C}, X)\) 以及 \(\textit{PSh}(\mathcal{C}/X) = \textit{PSh}(\mathcal{C})/h_X\) （把《位点》引理 00Y1 应用于赋予混沌拓扑的 \(\mathcal{C}\)），即可得到这些陈述。不过我们也直接论证如下。显然， \(\{U_i \to X\}_{i \in I}\) 与 \(\{V_j \to X\}_{j \in J}\) 的余积是 \(\{U_i \to X\}_{i \in I} \amalg \{V_j \to X\}_{j \in J}\)；终点为 \(X\) 的态射族之族的余积也类似。对象 \(\{X \to X\}\) 是 \(\text{SR}(\mathcal{C}, X)\) 的终对象。设给定态射 \((\alpha, f_i) : \{U_i \to X\}_{i \in I} \to \{V_j \to X\}_{j \in J}\) 以及态射 \((\beta, g_k) : \{W_k \to X\}_{k \in K} \to \{V_j \to X\}_{j \in J}\). 这些态射的纤维积由下式给出： \[\{ U_i \times_{f_i, V_j, g_k} W_k \to X \}_{(i, j, k) \in I \times J \times K \text{使得 } j = \alpha(i) = \beta(k)}\] 由假设 \(\mathcal{C}\) 有纤维积，这些纤维积存在。因此 \(\text{SR}(\mathcal{C}, X)\) 有有限极限；见《范畴》引理 002O。略去此情形下关于函子 \(F\) 的陈述的验证。

若再假设我们的范畴是位点，便可作如下定义。

定义

设 \(\mathcal{C}\) 为位点。设 \(f = (\alpha, f_i) : \{U_i\}_{i \in I} \to \{V_j\}_{j \in J}\) 为范畴 \(\text{SR}(\mathcal{C})\) 中的态射。若对每个 \(j \in J\)，态射族 \(\{U_i \to V_j\}_{i \in I, \alpha(i) = j}\) 都是位点 \(\mathcal{C}\) 的覆盖，则称 \(f\) 为覆盖。设 \(X\) 为 \(\mathcal{C}\) 的对象。若 \(\text{SR}(\mathcal{C}, X)\) 中的态射 \(K \to L\) 在 \(\text{SR}(\mathcal{C})\) 中的像是覆盖，则称它为覆盖。

引理

设 \(\mathcal{C}\) 为位点。

\(\text{SR}(\mathcal{C})\) 中覆盖的复合仍为覆盖。

若 \(K \to L\) 是 \(\text{SR}(\mathcal{C})\) 中的覆盖，而 \(L' \to L\) 是态射，则 \(L' \times_L K\) 存在，且 \(L' \times_L K \to L'\) 是覆盖。

若 \(\mathcal{C}\) 有二元积，并且 \(A \to B\) 与 \(K \to L\) 是 \(\text{SR}(\mathcal{C})\) 中的覆盖，则 \(A \times K \to B \times L\) 是覆盖。

设 \(X \in \Ob(\mathcal{C})\)。则 (1) 与 (2) 对 \(\text{SR}(\mathcal{C}, X)\) 成立；若 \(\mathcal{C}\) 有纤维积，则 (3) 也成立。

证明

(1) 由位点的公理立即得到。(2) 由引理 01G2 的证明中 \(\text{SR}(\mathcal{C})\) 内纤维积的构造，以及 \(\mathcal{C}\) 的覆盖中各态射须为可表态射的要求得到。把 \(A \times K \to B \times L\) 看作复合 \(A \times K \to B \times K \to B \times L\)，它因而是覆盖的基变换的复合，故得 (3)。最后一个陈述由 \(\text{SR}(\mathcal{C}, X) = \text{SR}(\mathcal{C}/X)\) 得出。

由引理 01G2 与《单纯方法》引理 0183，若 \(\mathcal{C}\) 有纤维积，则 \(\text{SR}(\mathcal{C}, X)\) 的截断单纯对象的余骨架存在。因此下述定义是有意义的。

定义

设 \(\mathcal{C}\) 为有纤维积的位点，且 \(X \in \Ob(\mathcal{C})\)。 \(X\) 的超覆盖是 \(\text{SR}(\mathcal{C}, X)\) 的单纯对象 \(K\)，满足：

对象 \(K_0\) 是位点 \(\mathcal{C}\) 中 \(X\) 的覆盖；

对每个 \(n \geq 0\)，典范态射 \[K_{n + 1} \longrightarrow (\text{cosk}_n \text{sk}_n K)_{n + 1}\] 是上述意义下的覆盖。

条件 (1) 是有意义的，因为 \(\text{SR}(\mathcal{C}, X)\) 的每个对象毕竟都是终点为 \(X\) 的态射族。它也可以表述为：从 \(K_0\) 到 \(\text{SR}(\mathcal{C}, X)\) 的终对象的态射是覆盖。

例

设 \(\mathcal{C}\) 为有纤维积的位点，且 \(\{U_i \to X\}_{i \in I}\) 是 \(\mathcal{C}\) 的覆盖。置 \(K_0 = \{U_i \to X\}_{i \in I}\)。则 \(K_0\) 是 \(\text{SR}(\mathcal{C}, X)\) 的 \(0\)-截断单纯对象，故可构造 \[K = \text{cosk}_0 K_0.\] 显然 \(K\) 满足定义 01G5 的条件 (1)。由《单纯方法》引理 018B，所有态射 \(K_{n + 1} \to (\text{cosk}_n \text{sk}_n K)_{n + 1}\) 都是同构，故它也满足条件 (2)。注意，各项 \(K_n\) 正是通常的 \[K_n = \{ U_{i_0} \times_X U_{i_1} \times_X \ldots \times_X U_{i_n} \to X \}_{(i_0, i_1, \ldots, i_n) \in I^{n + 1}}\] 这种形式的 \(X\) 的超覆盖称为 \(X\) 的Čech 超覆盖。

例

设 \(\mathcal{C}\) 为有纤维积的位点，\(X \in \Ob(\mathcal{C})\)，并设 \(U\) 为 \(\mathcal{C}\) 的单纯对象。仍记 \(U_n = U([n])\)。最后，假设给定增广 \[a : U \to X\] 在此情形下，可考虑 \(\text{SR}(\mathcal{C}, X)\) 的单纯对象 \(K\)，其各项为 \(K_n = \{U_n \to X\}\)。当且仅当下列三个条件成立时， \(K\) 是定义 01G5 意义下的 \(X\) 的超覆盖 ¹：

\(\{U_0 \to X\}\) 是 \(\mathcal{C}\) 的覆盖；

\(\{U_1 \to U_0 \times_X U_0\}\) 是 \(\mathcal{C}\) 的覆盖；

\(\{U_{n + 1} \to (\text{cosk}_n\text{sk}_n U)_{n + 1}\}\) 对 \(n \geq 1\) 是 \(\mathcal{C}\) 的覆盖。

略去直接的验证。

例

设 \(\mathcal{C}\) 为有纤维积的位点。设 \(U \to X\) 是 \(\mathcal{C}\) 的态射，使得 \(\{U \to X\}\) 是 \(\mathcal{C}\) 的覆盖 ²。考虑 \(\text{SR}(\mathcal{C}, X)\) 的单纯对象 \(K\)，其各项为 \[K_n = \{U \times_X U \times_X \ldots \times_X U \to X\} \quad (n + 1 \text{ 个因子})\] 则 \(K\) 是 \(X\) 的超覆盖。该例同时是例 01G6 与例 0GM9 的特殊情形。

引理

设 \(\mathcal{C}\) 为有纤维积的位点，且 \(X \in \Ob(\mathcal{C})\)。 \(X\) 的所有超覆盖所成的类是集合。

证明

由于 \(\mathcal{C}\) 是位点，\(X\) 的所有覆盖所成的类是集合。因此，可取的 \(K_0\) 所成的类是集合。假设已经证明可取的 \(K_0, \ldots, K_n\) 所成的类是集合。于是只需证明，给定 \(K_0, \ldots, K_n\) 后，可取的 \(K_{n + 1}\) 所成的类是集合。这显然成立，因为 \(K_{n + 1}\) 必须从 \((\text{cosk}_n \text{sk}_n K)_{n + 1}\) 的所有可能覆盖中选取。

注

该引理不只是说，存在由超覆盖的选择组成且为集合的共尾系统；它断言超覆盖本身确实组成一个集合。

\(\mathcal{C}\) 上的预层范畴有有限（余）极限。因此，集合预层上存在函子 \(\text{cosk}_n\)。

引理

设 \(\mathcal{C}\) 为有纤维积的位点，\(X \in \Ob(\mathcal{C})\)，并设 \(K\) 为 \(X\) 的超覆盖。考虑 \(\textit{PSh}(\mathcal{C})\) 的单纯对象 \(F(K)\)，并赋予它到常值单纯预层 \(h_X\) 的增广。

预层态射 \(F(K)_0 \to h_X\) 在层化后成为满射。

态射 \[(d^1_0, d^1_1) : F(K)_1 \longrightarrow F(K)_0 \times_{h_X} F(K)_0\] 在层化后成为满射。

对每个 \(n \geq 1\)，态射 \[F(K)_{n + 1} \longrightarrow (\text{cosk}_n \text{sk}_n F(K))_{n + 1}\] 在层化后成为满射。

证明

我们将使用如下事实：若 \(\{U_i \to U\}_{i \in I}\) 是位点 \(\mathcal{C}\) 的覆盖，则态射 \[\amalg_{i \in I} h_{U_i} \to h_U\] 在层化后成为满射；见《位点》引理 00WT。故第一个断言立即成立。

对第二个断言，由《单纯方法》例 0182，单纯对象 \(\text{cosk}_0 \text{sk}_0 K\) 的各项为 \(K_0 \times \ldots \times K_0\)。因此，由超覆盖的定义， \((d^1_0, d^1_1) : K_1 \to K_0 \times K_0\) 是覆盖。结合上述断言以及 \(F\) 把积变为 \(h_X\) 上的纤维积这一事实，便得到 (2)。

对第三个断言，我们声称 \(\text{cosk}_n \text{sk}_n F(K) = F(\text{cosk}_n \text{sk}_n K)\) 对 \(n \geq 1\) 成立。为证明这一点，暂用 \(F'\) 表示函子 \(\text{SR}(\mathcal{C}, X) \to \textit{PSh}(\mathcal{C})/h_X\). 由引理 01G2，函子 \(F'\) 与有限极限交换。根据《单纯方法》第 017Z 节中对 \(\text{cosk}_n\) 函子的描述，有 \(\text{cosk}_n \text{sk}_n F'(K) = F'(\text{cosk}_n \text{sk}_n K)\). 回忆《单纯方法》引理 0183 中描述 \((\text{cosk}_n U)_m\) 时所用的范畴是 \((\Delta/[m])^{opp}_{\leq n}\)。一个有趣的练习是证明，只要 \(n \geq 1\)，范畴 \((\Delta/[m])_{\leq n}\) 就是连通的（见《范畴》定义 002S）。因此，由《范畴》引理 002T，有 \(\text{cosk}_n \text{sk}_n F'(K) = \text{cosk}_n \text{sk}_n F(K)\)，从而该断言成立。由此得到性质 (2)，因为此时可见，(2) 中的态射是把函子 \(F\) 应用于定义 01G3 意义下的覆盖所得；结论遂由本证明开头提到的第一个事实得出。

无环性

设 \(\mathcal{C}\) 为位点。对集合预层 \(\mathcal{F}\)，用 \(\mathbf{Z}_\mathcal{F}\) 表示由下述规则定义的阿贝尔群预层： \[\mathbf{Z}_\mathcal{F}(U) = \text{由 }\mathcal{F}(U)\text{ 生成的自由阿贝尔群}.\] 有时称它为\(\mathcal{F}\) 上的自由阿贝尔预层。当然，构造 \(\mathcal{F} \mapsto \mathbf{Z}_\mathcal{F}\) 是函子，且是遗忘函子 \(\textit{PAb}(\mathcal{C}) \to \textit{PSh}(\mathcal{C})\). 的左伴随。当然，层化 \(\mathbf{Z}_\mathcal{F}^\#\) 是阿贝尔群层，而函子 \(\mathcal{F} \mapsto \mathbf{Z}_\mathcal{F}^\#\) 也为左伴随。有时称 \(\mathbf{Z}_\mathcal{F}^\#\) 为 \(\mathcal{F}\) 上的自由阿贝尔层。

对位点 \(\mathcal{C}\) 的对象 \(X\)，用 \(\mathbf{Z}_X\) 表示 \(h_X\) 上的自由阿贝尔预层，并用 \(\mathbf{Z}_X^\#\) 表示其层化。

定义

设 \(\mathcal{C}\) 为位点，\(K\) 为 \(\textit{PSh}(\mathcal{C})\) 的单纯对象。由上可得 \(\textit{Ab}(\mathcal{C})\) 的单纯对象 \(\mathbf{Z}_K^\#\)。可取其相伴的阿贝尔预层复形 \(s(\mathbf{Z}_K^\#)\)；见《单纯方法》第 0194 节。\(K\) 的同调是阿贝尔层复形 \(s(\mathbf{Z}_K^\#)\) 的同调。

换言之，\(K\) 的第 \(i\) 个同调 \(H_i(K)\)是阿贝尔群层 \(H_i(K) = H_i(s(\mathbf{Z}_K^\#))\)。本节研究 \(K\) 是 \(\mathcal{C}\) 的对象 \(X\) 的超覆盖时的同调。

引理

设 \(\mathcal{C}\) 为位点，\(\mathcal{F} \to \mathcal{G}\) 为集合预层的态射。用 \(K\) 表示 \(\textit{PSh}(\mathcal{C})\) 的单纯对象，其第 \(n\) 项是 \(\mathcal{F}\) 在 \(\mathcal{G}\) 上的 \((n + 1)\) 重纤维积；见《单纯方法》例 016E。若 \(\mathcal{F} \to \mathcal{G}\) 在层化后为满射，则 \[H_i(K) = \left\{ \begin{matrix} 0 & \text{若} & i > 0\\ \mathbf{Z}_\mathcal{G}^\# & \text{若} & i = 0 \end{matrix} \right.\] 次数 \(0\) 上的同构由态射 \(H_0(K) \to \mathbf{Z}_\mathcal{G}^\#\) 给出；该态射来自映射 \((\mathbf{Z}_K^\#)_0 = \mathbf{Z}_\mathcal{F}^\# \to \mathbf{Z}_\mathcal{G}^\#\)。

证明

令 \(\mathcal{G}' \subset \mathcal{G}\) 为态射 \(\mathcal{F} \to \mathcal{G}\) 的像。取 \(U \in \Ob(\mathcal{C})\)，置 \(A = \mathcal{F}(U)\) 和 \(B = \mathcal{G}'(U)\)。则单纯集 \(K(U)\) 等于第 \(n\) 个单形由下式给出的单纯集： \[A \times_B A \times_B \ldots \times_B A\ (n + 1 \text{ 个因子)}.\] 由《单纯方法》引理 01AB，态射 \(K(U) \to B\) 是平凡 Kan 纤维化，因而是同伦等价（《单纯方法》引理 08NS）。对它应用“生成自由阿贝尔群”函子，得到 \[\mathbf{Z}_K(U) \longrightarrow \mathbf{Z}_B\] 是同伦等价。注意，\(s(\mathbf{Z}_B)\) 是复形 \[\ldots \to \bigoplus\nolimits_{b \in B}\mathbf{Z} \xrightarrow{0} \bigoplus\nolimits_{b \in B}\mathbf{Z} \xrightarrow{1} \bigoplus\nolimits_{b \in B}\mathbf{Z} \xrightarrow{0} \bigoplus\nolimits_{b \in B}\mathbf{Z} \to 0\] ；见《单纯方法》引理 0197。因此，对 \(i > 0\) 有 \(H_i(s(\mathbf{Z}_K(U))) = 0\)，且 \(H_0(s(\mathbf{Z}_K(U))) = \bigoplus_{b \in B}\mathbf{Z} = \bigoplus_{s \in \mathcal{G}'(U)} \mathbf{Z}\). 这些等同与限制映射相容。

由此推出 \(H_i(s(\mathbf{Z}_K)) = 0\) 对 \(i > 0\) 成立，且 \(H_0(s(\mathbf{Z}_K)) = \mathbf{Z}_{\mathcal{G}'}\)；这里在 \(\textit{PAb}(\mathcal{C})\) 中计算同调群。由于层化是正合函子，便得到引理的结论。确切地说，正合性蕴含 \(H_0(s(\mathbf{Z}_K))^\# = H_0(s(\mathbf{Z}_K^\#))\)，其他指标也同样。

引理

设 \(\mathcal{C}\) 为位点，\(f : L \to K\) 为 \(\textit{PSh}(\mathcal{C})\) 的单纯对象之间的态射，且 \(n \geq 0\) 为整数。假设：

对 \(i < n\)，态射 \(L_i \to K_i\) 是同构；

态射 \(L_n \to K_n\) 在层化后为满射；

典范映射 \(L \to \text{cosk}_n \text{sk}_n L\) 是同构；

典范映射 \(K \to \text{cosk}_n \text{sk}_n K\) 是同构。

则 \(H_i(f) : H_i(L) \to H_i(K)\) 是同构。

证明

该证明与上面引理 01GC 的证明完全相同。确切地说，先令 \(K_n' \subset K_n\) 为映射 \(L_n \to K_n\) 之像所成的子预层。假设 (2) 意味着 \(K_n'\) 的层化等于 \(K_n\) 的层化。此外，由于对所有 \(i < n\) 都有 \(L_i = K_i\)，取 \(U_0 = L_0 = K_0, \ldots, U_{n - 1} = L_{n - 1} = K_{n - 1}, U_n = K'_n\). 便得到 \(n\)-截断单纯预层 \(U\)。记单纯预层 \(K' = \text{cosk}_n U\)。由于可将 \(K'_m\) 构造为有限极限，而层化又正合，故 \((K'_m)^\# = K_m\)。换言之， \((K')^\# = K^\#\)。再次由层化的正合性，推出 \(H_i(K) = H_i(K')\)。因此，只需对态射 \(L \to K'\) 证明该引理；也就是说，可以假设 \(L_n \to K_n\) 是预层的满射！

在此情形下，对 \(\mathcal{C}\) 的任意对象 \(U\)，单纯集的态射 \[L(U) \longrightarrow K(U)\] 满足《单纯方法》引理 01A6 的全部假设。故它是平凡 Kan 纤维化，尤其是同伦等价（《单纯方法》引理 08NS）。因此 \[\mathbf{Z}_L(U) \longrightarrow \mathbf{Z}_K(U)\] 也是同伦等价。这对所有 \(U\) 都成立，结论随之得出。

引理

设 \(\mathcal{C}\) 为位点，\(K\) 为单纯预层，\(\mathcal{G}\) 为预层，并设 \(K \to \mathcal{G}\) 为 \(K\) 到 \(\mathcal{G}\) 的增广。假设：

预层态射 \(K_0 \to \mathcal{G}\) 在层化后成为满射；

态射 \[(d^1_0, d^1_1) : K_1 \longrightarrow K_0 \times_\mathcal{G} K_0\] 在层化后成为满射；

对每个 \(n \geq 1\)，态射 \[K_{n + 1} \longrightarrow (\text{cosk}_n \text{sk}_n K)_{n + 1}\] 在层化后成为满射。

则对 \(i > 0\) 有 \(H_i(K) = 0\)，且 \(H_0(K) = \mathbf{Z}_\mathcal{G}^\#\)。

证明

对 \(n \geq 1\)，记 \(K^n = \text{cosk}_n \text{sk}_n K\)。把 \(K^0\) 定义为这样的单纯对象：\((K^0)_n\) 等于 \((n + 1)\) 重纤维积 \(K_0 \times_\mathcal{G} \ldots \times_\mathcal{G} K_0\)；见《单纯方法》例 016E。存在态射 \[K \longrightarrow \ldots \to K^n \to K^{n - 1} \to \ldots \to K^1 \to K^0.\] 态射 \(K \to K^i\) 以及 \(j \geq i \geq 1\) 时的 \(K^j \to K^i\) 来自各函子 \(\text{cosk}_n\) 的泛性质。态射 \(K^1 \to K^0\) 是《单纯方法》评注 018J 中的典范态射。还回忆，\(K^0 \to \text{cosk}_1 \text{sk}_1 K^0\) 是同构；见《单纯方法》引理 018I。

由引理 01GC，对 \(i > 0\) 有 \(H_i(K^0) = 0\)，且 \(H_0(K^0) = \mathbf{Z}_\mathcal{G}^\#\)。

取 \(n \geq 1\)，考虑态射 \(K^n \to K^{n - 1}\)。它在次数 \(< n\) 的各项上是同构。注意， \(K^n \to \text{cosk}_n \text{sk}_n K^n\) 与 \(K^{n - 1} \to \text{cosk}_n \text{sk}_n K^{n - 1}\) 都是同构；又有 \((K^n)_n = K_n\) 及 \((K^{n - 1})_n = (\text{cosk}_{n - 1} \text{sk}_{n - 1} K)_n\)。因此，由假设，\((K^n)_n \to (K^{n - 1})_n\) 是层化后成为满射的预层态射。由引理 01GD，得到 \(H_i(K^n) = H_i(K^{n - 1})\)。结合上文即证明该引理。

引理

设 \(\mathcal{C}\) 为有纤维积的位点，\(X\) 为 \(\mathcal{C}\) 的对象，并设 \(K\) 为 \(X\) 的超覆盖。单纯预层 \(F(K)\) 的同调在次数 \(> 0\) 时为 \(0\)，在次数 \(0\) 时等于 \(\mathbf{Z}_X^\#\)。

证明

合用引理 01GE 与 01G9。

Čech 上同调与超覆盖

设 \(\mathcal{C}\) 为位点。考虑位点 \(\mathcal{C}\) 上的阿贝尔群预层 \(\mathcal{F}\)。它定义函子 \[\begin{eqnarray*} \mathcal{F} : \text{SR}(\mathcal{C})^{opp} & \longrightarrow & \textit{Ab} \\ \{U_i\}_{i \in I} & \longmapsto & \prod\nolimits_{i \in I} \mathcal{F}(U_i) \end{eqnarray*}\] 于是，\(\text{SR}(\mathcal{C})\) 的单纯对象 \(K\) 被变为 \(\textit{Ab}\) 的余单纯对象 \(\mathcal{F}(K)\)。与 \(\mathcal{F}(K)\) 相伴的上链复形 \(s(\mathcal{F}(K))\)（《单纯方法》第 019H 节）称为 \(\mathcal{F}\) 关于单纯对象 \(K\) 的 Čech 复形。置 \[\check{H}^i(K, \mathcal{F}) = H^i(s(\mathcal{F}(K))).\] 并称之为 \(\mathcal{F}\) 关于 \(K\) 的第 \(i\) 个 Čech 上同调群。本节证明《层上同调》第 01ED、 01EH 与 01EO 节中关于开覆盖的 Čech 上同调若干结果的类似物。

引理

设 \(\mathcal{C}\) 为有纤维积的位点，\(X\) 为 \(\mathcal{C}\) 的对象， \(K\) 为 \(X\) 的超覆盖，且 \(\mathcal{F}\) 为 \(\mathcal{C}\) 上的阿贝尔群层。则 \(\check{H}^0(K, \mathcal{F}) = \mathcal{F}(X)\)。

证明

有 \[\check{H}^0(K, \mathcal{F}) = \Ker(\mathcal{F}(K_0) \longrightarrow \mathcal{F}(K_1))\] 写 \(K_0 = \{U_i \to X\}\)。它是位点 \(\mathcal{C}\) 中的覆盖。此外，\(K_1 \to K_0 \times K_0\) 是 \(\text{SR}(\mathcal{C}, X)\) 中的覆盖。因此可写 \(K_1 = \amalg_{i_0, i_1 \in I} \{V_{i_0i_1j} \to X\}\)，使态射 \(K_1 \to K_0 \times K_0\) 由位点 \(\mathcal{C}\) 的覆盖 \(\{V_{i_0i_1j} \to U_{i_0} \times_X U_{i_1}\}\) 给出。从而还可把 \[\check{H}^0(K, \mathcal{F}) = \Ker( \prod\nolimits_i \mathcal{F}(U_i) \longrightarrow \prod\nolimits_{i_0i_1 j} \mathcal{F}(V_{i_0i_1j}) )\] 按显然的映射作此等同。\(\mathcal{F}\) 的层性质蕴含 \(\check{H}^0(K, \mathcal{F}) = H^0(X, \mathcal{F})\)。

事实上，该性质当然刻画了 \(\mathcal{C}\) 上所有阿贝尔预层中的阿贝尔层。在此情形下，《层上同调》引理 01GW 的类似物如下。

引理

设 \(\mathcal{C}\) 是具有纤维积的位点，\(X\) 是 \(\mathcal{C}\) 的对象， \(K\) 是 \(X\) 的超覆盖，\(\mathcal{I}\) 是 \(\mathcal{C}\) 上的内射阿贝尔群层。则 \[\check{H}^p(K, \mathcal{I}) = \left\{ \begin{matrix} \mathcal{I}(X) & \text{若} & p = 0 \\ 0 & \text{若} & p > 0 \end{matrix} \right.\]

证明

注意，对 \(\text{SR}(\mathcal{C}, X)\) 的任意对象 \(Z = \{U_i \to X\}\) 以及 \(\mathcal{C}\) 上的任意阿贝尔层 \(\mathcal{F}\)，都有 \[\begin{eqnarray*} \mathcal{F}(Z) & = & \prod \mathcal{F}(U_i) \\ & = & \prod \Mor_{\textit{PSh}(\mathcal{C})}(h_{U_i}, \mathcal{F})\\ & = & \Mor_{\textit{PSh}(\mathcal{C})}(F(Z), \mathcal{F})\\ & = & \Mor_{\textit{PAb}(\mathcal{C})}(\mathbf{Z}_{F(Z)}, \mathcal{F}) \\ & = & \Mor_{\textit{Ab}(\mathcal{C})}(\mathbf{Z}_{F(Z)}^\#, \mathcal{F}) \end{eqnarray*}\] 由此可见，对 \(\text{SR}(\mathcal{C}, X)\) 的任意单纯对象 \(K\)，都有 [01GX]\[\begin{equation} s(\mathcal{F}(K)) = \Hom_{\textit{Ab}(\mathcal{C})}(s(\mathbf{Z}_{F(K)}^\#), \mathcal{F}) \end{equation}\] 记号见定义 01GB。若 \(K\) 是超覆盖，则层复形 \(s(\mathbf{Z}_{F(K)}^\#)\) 拟同构于 \(\mathbf{Z}_X^\#\)，见引理 01GF。因此，若 \(\mathcal{I}\) 是内射阿贝尔层而 \(K\) 是超覆盖，则复形 \(s(\mathcal{I}(K))\) 除了次数 \(0\) 外是无环的。换言之， \[\check{H}^i(K, \mathcal{I}) = 0\] 对 \(i > 0\) 成立。结合引理 01GV 即得结论。

下面给出《位点上的上同调》引理 03AZ 的类似物。设 \(\mathcal{C}\) 是位点，\(\mathcal{F}\) 是 \(\mathcal{C}\) 上的阿贝尔群层。回忆，\(\underline{H}^i(\mathcal{F})\) 表示 \(\mathcal{C}\) 上由规则 \(\underline{H}^i(\mathcal{F}) : U \longmapsto H^i(U, \mathcal{F})\) 定义的阿贝尔群预层。依照本节引言中的做法，把它扩张到 \(\text{SR}(\mathcal{C})\) 上。

引理

设 \(\mathcal{C}\) 是具有纤维积的位点，\(X\) 是 \(\mathcal{C}\) 的对象， \(K\) 是 \(X\) 的超覆盖，\(\mathcal{F}\) 是 \(\mathcal{C}\) 上的阿贝尔群层。在 \(D^{+}(\textit{Ab})\) 中存在关于 \(\mathcal{F}\) 函子性的态射 \[s(\mathcal{F}(K)) \longrightarrow R\Gamma(X, \mathcal{F})\] 它诱导函子 \(\textit{Ab}(\mathcal{C}) \to \textit{Ab}\) 之间的自然变换 \[\check{H}^i(K, -) \longrightarrow H^i(X, -)\] 此外，存在谱序列 \((E_r, d_r)_{r \geq 0}\)，满足 \[E_2^{p, q} = \check{H}^p(K, \underline{H}^q(\mathcal{F}))\] 并收敛到 \(H^{p + q}(X, \mathcal{F})\)。此谱序列关于 \(\mathcal{F}\) 和超覆盖 \(K\) 都是函子性的。

证明

可以采用《上同调》一章相应引理中的同一方法证明。这里改用双复形论证。

在 \(\mathcal{C}\) 上阿贝尔层的范畴中选取内射分辨 \(\mathcal{F} \to \mathcal{I}^\bullet\)。考虑各项为 \[A^{p, q} = \mathcal{I}^q(K_p)\] 的双复形 \(A^{\bullet, \bullet}\)，其中微分 \(d_1^{p, q} : A^{p, q} \to A^{p + 1, q}\) 来自与余单纯阿贝尔群 \(\mathcal{I}^p(K)\) 相伴的复形 \(s(\mathcal{I}^q(K))\) 上的微分，而微分 \(d_2^{p, q} : A^{p, q} \to A^{p, q + 1}\) 来自微分 \(\mathcal{I}^q \to \mathcal{I}^{q + 1}\)。用 \(\text{Tot}(A^{\bullet, \bullet})\) 表示与双复形 \(A^{\bullet, \bullet}\) 相伴的全复形，见《同调代数》第 0FNB 节。我们将使用与此双复形相伴的两个谱序列 \(({}'E_r, {}'d_r)\) 和 \(({}''E_r, {}''d_r)\)，见《同调代数》第 012X 节。

由引理 01GW，复形 \(s(\mathcal{I}^q(K))\) 在正次数无环，且其 \(H^0\) 等于 \(\mathcal{I}^q(X)\)。因此，由《同调代数》引理 0133，自然映射 \[\mathcal{I}^\bullet(X) \longrightarrow \text{Tot}(A^{\bullet, \bullet})\] 是阿贝尔群复形的拟同构。特别地， \(H^n(\text{Tot}(A^{\bullet, \bullet})) = H^n(X, \mathcal{F})\)。

引理中的态射 \(s(\mathcal{F}(K)) \longrightarrow R\Gamma(X, \mathcal{F})\) 是态射 \(s(\mathcal{F}(K)) \to \text{Tot}(A^{\bullet, \bullet})\) 与上述拟同构之逆的复合。这是可行的，因为 \(\mathcal{I}^\bullet(X)\) 是 \(R\Gamma(X, \mathcal{F})\) 的一个代表元。

考虑谱序列 \(({}'E_r, {}'d_r)_{r \geq 0}\)。由《同调代数》引理 0130，有 \[{}'E_2^{p, q} = H^p_I(H^q_{II}(A^{\bullet, \bullet}))\] 换言之，先对 \(d_2\) 取上同调，得到群 \({}'E_1^{p, q} = \underline{H}^q(\mathcal{F})(K_p)\)。因此，由微分 \({}'d_1\) 的描述，确有 \({}'E_2^{p, q} = \check{H}^p(K, \underline{H}^q(\mathcal{F}))\)。由以上所述和《同调代数》引理 0132，可见它按要求收敛到 \(H^n(X, \mathcal{F})\)。

关于上述构造对阿贝尔层 \(\mathcal{F}\) 和超覆盖 \(K\) 的函子性，其证明从略。

Verdier 意义下的超覆盖

敏锐的读者会注意到，为了得到对象 \(X\) 的超覆盖所对应的从 Čech 上同调到上同调的谱序列，我们所需的只是引理 01G9 的结论。因此下面的定义是合理的。

定义

设 \(\mathcal{C}\) 是位点，并假设 \(\mathcal{C}\) 具有等化子和纤维积。设 \(\mathcal{G}\) 是集合预层。\(\mathcal{G}\) 的一个超覆盖，是 \(\text{SR}(\mathcal{C})\) 的单纯对象 \(K\) 连同一个增广 \(F(K) \to \mathcal{G}\)，使得

\(F(K_0) \to \mathcal{G}\) 在层化后成为满射；

\(F(K_1) \to F(K_0) \times_\mathcal{G} F(K_0)\) 在层化后成为满射；并且

\(F(K_{n + 1}) \longrightarrow F((\text{cosk}_n \text{sk}_n K)_{n + 1})\) 对 \(n \geq 1\) 在层化后成为满射。

若 \(\text{SR}(\mathcal{C})\) 的单纯对象 \(K\) 是 \(\textit{PSh}(\mathcal{C})\) 的终对象 \(*\) 的超覆盖，则称 \(K\) 为一个 超覆盖。

假设 \(\mathcal{C}\) 具有纤维积和等化子，便保证 \(\text{SR}(\mathcal{C})\) 具有纤维积和等化子，并且 \(F\) 与它们交换（引理 01G2）；这足以定义所用的余骨架函子（见《单纯方法》评注 09VS 和《范畴论》引理 04AT）。对一般的 \(\mathcal{C}\)，可把条件 (3) 替换为： \(F(K_{n + 1}) \longrightarrow ((\text{cosk}_n \text{sk}_n F(K))_{n + 1})\) 对 \(n \geq 1\) 在层化后成为满射；本节的结果仍然成立。

设 \(\mathcal{F}\) 是 \(\mathcal{C}\) 上的阿贝尔层。上一节定义了 \(\mathcal{F}\) 关于 \(\text{SR}(\mathcal{C})\) 的单纯对象 \(K\) 的 Čech 复形。现在，对给定预层 \(\mathcal{G}\)，置 \[H^0(\mathcal{G}, \mathcal{F}) = \Mor_{\textit{PSh}(\mathcal{C})}(\mathcal{G}, \mathcal{F}) = \Mor_{\Sh(\mathcal{C})}(\mathcal{G}^\#, \mathcal{F}) = H^0(\mathcal{G}^\#, \mathcal{F})\] 记号同《位点上的上同调》第 079X 节。这是左正合函子，其高阶导出函子（《位点上的上同调》第 079X 节作了简要研究）记为 \(H^i(\mathcal{G}, \mathcal{F})\)。我们将证明，给定 \(\mathcal{G}\) 的超覆盖 \(K\)，存在一个从 Čech 上同调到上同调的谱序列，收敛到上同调 \(H^i(\mathcal{G}, \mathcal{F})\)。注意，若 \(\mathcal{G} = *\)，则 \(H^i(*, \mathcal{F}) = H^i(\mathcal{C}, \mathcal{F})\)，这恢复了 \(\mathcal{F}\) 在位点 \(\mathcal{C}\) 上的上同调。

引理

设 \(\mathcal{C}\) 是具有等化子和纤维积的位点， \(\mathcal{G}\) 是 \(\mathcal{C}\) 上的预层，\(K\) 是 \(\mathcal{G}\) 的超覆盖， \(\mathcal{F}\) 是 \(\mathcal{C}\) 上的阿贝尔群层。则 \(\check{H}^0(K, \mathcal{F}) = H^0(\mathcal{G}, \mathcal{F})\)。

证明

这由 \(H^0(\mathcal{G}, \mathcal{F})\) 的定义以及下图在层化后成为余等化子图的事实得出： \[\xymatrix{ F(K_1) \ar@<1ex>[r] \ar@<-1ex>[r] & F(K_0) \ar[r] & \mathcal{G} }\]

引理

设 \(\mathcal{C}\) 是具有等化子和纤维积的位点， \(\mathcal{G}\) 是 \(\mathcal{C}\) 上的预层，\(K\) 是 \(\mathcal{G}\) 的超覆盖， \(\mathcal{I}\) 是 \(\mathcal{C}\) 上的内射阿贝尔群层。则 \[\check{H}^p(K, \mathcal{I}) = \left\{ \begin{matrix} H^0(\mathcal{G}, \mathcal{I}) & \text{若} & p = 0 \\ 0 & \text{若} & p > 0 \end{matrix} \right.\]

证明

由 (01GX)，有 \[s(\mathcal{F}(K)) = \Hom_{\textit{Ab}(\mathcal{C})}(s(\mathbf{Z}_{F(K)}^\#), \mathcal{F})\] 复形 \(s(\mathbf{Z}_{F(K)}^\#)\) 拟同构于 \(\mathbf{Z}_\mathcal{G}^\#\)，见引理 01GE。因此，若 \(\mathcal{I}\) 是内射阿贝尔层，则复形 \(s(\mathcal{I}(K))\) 除了次数 \(0\) 外是无环的。换言之，对 \(i > 0\) 有 \(\check{H}^i(K, \mathcal{I}) = 0\)。结合引理 09VV 即得结论。

引理

设 \(\mathcal{C}\) 是具有等化子和纤维积的位点， \(\mathcal{G}\) 是 \(\mathcal{C}\) 上的预层，\(K\) 是 \(\mathcal{G}\) 的超覆盖， \(\mathcal{F}\) 是 \(\mathcal{C}\) 上的阿贝尔群层。在 \(D^{+}(\textit{Ab})\) 中存在关于 \(\mathcal{F}\) 函子性的态射 \[s(\mathcal{F}(K)) \longrightarrow R\Gamma(\mathcal{G}, \mathcal{F})\] 它诱导函子 \(\textit{Ab}(\mathcal{C}) \to \textit{Ab}\) 之间的自然变换 \[\check{H}^i(K, -) \longrightarrow H^i(\mathcal{G}, -)\] 此外，存在谱序列 \((E_r, d_r)_{r \geq 0}\)，满足 \[E_2^{p, q} = \check{H}^p(K, \underline{H}^q(\mathcal{F}))\] 并收敛到 \(H^{p + q}(\mathcal{G}, \mathcal{F})\)。此谱序列关于 \(\mathcal{F}\) 和超覆盖 \(K\) 都是函子性的。

证明

在 \(\mathcal{C}\) 上阿贝尔层的范畴中选取内射分辨 \(\mathcal{F} \to \mathcal{I}^\bullet\)。考虑各项为 \[A^{p, q} = \mathcal{I}^q(K_p)\] 的双复形 \(A^{\bullet, \bullet}\)，其中微分 \(d_1^{p, q} : A^{p, q} \to A^{p + 1, q}\) 来自微分 \(\mathcal{I}^p \to \mathcal{I}^{p + 1}\)，而微分 \(d_2^{p, q} : A^{p, q} \to A^{p, q + 1}\) 来自与余单纯阿贝尔群 \(\mathcal{I}^p(K)\) 相伴的复形 \(s(\mathcal{I}^p(K))\) 上的微分，如上所述。我们将使用与此双复形相伴的两个谱序列 \(({}'E_r, {}'d_r)\) 和 \(({}''E_r, {}''d_r)\)，见《同调代数》第 012X 节。

由引理 09VW，复形 \(s(\mathcal{I}^p(K))\) 在正次数无环，且其 \(H^0\) 等于 \(H^0(\mathcal{G}, \mathcal{I}^p)\)。因此，由《同调代数》引理 0133 及其证明，谱序列 \(({}'E_r, {}'d_r)\) 退化，并且自然映射 \[H^0(\mathcal{G}, \mathcal{I}^\bullet) \longrightarrow \text{Tot}(A^{\bullet, \bullet})\] 是阿贝尔群复形的拟同构。引理中的态射 \(s(\mathcal{F}(K)) \longrightarrow R\Gamma(\mathcal{G}, \mathcal{F})\) 是自然映射 \(s(\mathcal{F}(K)) \to \text{Tot}(A^{\bullet, \bullet})\) 与上述拟同构之逆的复合。这是可行的，因为 \(H^0(\mathcal{G}, \mathcal{I}^\bullet)\) 是 \(R\Gamma(\mathcal{G}, \mathcal{F})\) 的一个代表元。

考虑谱序列 \(({}''E_r, {}''d_r)_{r \geq 0}\)。由《同调代数》引理 0130，有 \[{}''E_2^{p, q} = H^p_{II}(H^q_I(A^{\bullet, \bullet}))\] 换言之，先对 \(d_1\) 取上同调，得到群 \({}''E_1^{p, q} = \underline{H}^p(\mathcal{F})(K_q)\)。因此，由微分 \({}''d_1\) 的描述，确有 \({}''E_2^{p, q} = \check{H}^p(K, \underline{H}^q(\mathcal{F}))\)。由于此谱序列收敛到 \(\text{Tot}(A^{\bullet, \bullet})\) 的上同调，证明完成。

引理

设 \(\mathcal{C}\) 是具有等化子和纤维积的位点，\(K\) 是超覆盖， \(\mathcal{F}\) 是阿贝尔层。存在谱序列 \((E_r, d_r)_{r \geq 0}\)，满足 \[E_2^{p, q} = \check{H}^p(K, \underline{H}^q(\mathcal{F}))\] 并收敛到整体上同调群 \(H^{p + q}(\mathcal{F})\)。

证明

这是引理 09VX 的特殊情形。

超覆盖的覆盖细化

下面给出若干构造超覆盖的方法。注意，由于范畴 \(\text{SR}(\mathcal{C}, X)\) 具有纤维积，它的单纯对象范畴也具有纤维积，见《单纯方法》引理 016U。

引理

设 \(\mathcal{C}\) 是具有纤维积的位点，\(X\) 是 \(\mathcal{C}\) 的对象， \(K,L,M\) 是 \(\text{SR}(\mathcal{C}, X)\) 的单纯对象，并设 \(a : K \to L\)、\(b : M \to L\) 是态射。假设

\(K\) 是 \(X\) 的超覆盖；

态射 \(M_0 \to L_0\) 是覆盖；并且

对每个 \(n \geq 0\)，下图中的箭头 \(\gamma\) 是覆盖： \[\xymatrix{ M_{n + 1} \ar[dd] \ar[rr] \ar[rd]^\gamma & & (\text{cosk}_n \text{sk}_n M)_{n + 1} \ar[dd] \\ & L_{n + 1} \times_{(\text{cosk}_n \text{sk}_n L)_{n + 1}} (\text{cosk}_n \text{sk}_n M)_{n + 1} \ar[ld] \ar[ru] & \\ L_{n + 1} \ar[rr] & & (\text{cosk}_n \text{sk}_n L)_{n + 1} }\]

则纤维积 \(K \times_L M\) 是 \(X\) 的超覆盖。

证明

由 (2)，态射 \((K \times_L M)_0 = K_0 \times_{L_0} M_0 \to K_0\) 是覆盖的基变换，因而是覆盖，见引理 01G4。由 (1)，\(K_0 \to \{X \to X\}\) 是覆盖。因此，由引理 01G4， \((K \times_L M)_0 \to \{X \to X\}\) 是覆盖。故 \(K \times_L M\) 满足定义 01G5 的第一个条件。

还需验证，对所有 \(n \geq 0\)，态射 \[K_{n + 1} \times_{L_{n + 1}} M_{n + 1} = (K \times_L M)_{n + 1} \longrightarrow (\text{cosk}_n \text{sk}_n (K \times_L M))_{n + 1}\] 是覆盖。简记 \(A = (\text{cosk}_n \text{sk}_n K)_{n + 1}\), \(B = (\text{cosk}_n \text{sk}_n L)_{n + 1}\)，以及 \(C = (\text{cosk}_n \text{sk}_n M)_{n + 1}\). 函子 \(\text{cosk}_n \text{sk}_n\) 与纤维积交换，见《单纯方法》引理 018D。因此，上式右端等于 \(A \times_B C\)。考虑交换图 \[\xymatrix{ K_{n + 1} \times_{L_{n + 1}} M_{n + 1} \ar[r] \ar[d] & M_{n + 1} \ar[d] \ar[rd]_\gamma \ar[rrd] & & \\ K_{n + 1} \ar[r] \ar[rd] & L_{n + 1} \ar[rrd] & L_{n + 1} \times_B C \ar[l] \ar[r] & C \ar[d] \\ & A \ar[rr] & & B }\] 此图表明 \[K_{n + 1} \times_{L_{n + 1}} M_{n + 1} = (K_{n + 1} \times_B C) \times_{(L_{n + 1} \times_B C), \gamma} M_{n + 1}\] 现在，\(K_{n + 1} \times_B C \to A \times_B C\) 是覆盖 \(K_{n + 1} \to A\) 沿态射 \(A \times_B C \to A\) 的基变换，故为覆盖。由假设 (3)，态射 \(\gamma\) 是覆盖。因此态射 \[(K_{n + 1} \times_B C) \times_{(L_{n + 1} \times_B C), \gamma} M_{n + 1} \longrightarrow K_{n + 1} \times_B C\] 作为覆盖的基变换也是覆盖。覆盖的复合仍是覆盖，故引理成立。

引理

设 \(\mathcal{C}\) 是具有纤维积的位点，\(X\) 是 \(\mathcal{C}\) 的对象。若 \(K,L\) 是 \(X\) 的超覆盖，则 \(K \times L\) 是 \(X\) 的超覆盖。

证明

既可直接验证，也可应用上述引理 01GH，并验证 \(L \to \{X \to X\}\) 具有性质 (3)。

设 \(\mathcal{C}\) 是具有纤维积的位点，\(X\) 是 \(\mathcal{C}\) 的对象。由于范畴 \(\text{SR}(\mathcal{C}, X)\) 具有余积和有限极限，对某些单纯集 \(U\)（例如只有有限多个非退化单形者）以及 \(\text{SR}(\mathcal{C}, X)\) 的任意单纯对象 \(K\)，可以讨论对象 \(U \times K\) 和 \(\Hom(U, K)\)。见《单纯方法》第 017A 节和第 017H 节。

引理

设 \(\mathcal{C}\) 是具有纤维积的位点，\(X\) 是 \(\mathcal{C}\) 的对象， \(K\) 是 \(X\) 的超覆盖，\(k \geq 0\) 是整数。设 \(u : Z \to K_k\) 是 \(\text{SR}(\mathcal{C}, X)\) 中的覆盖。则存在超覆盖的态射 \(f: L \to K\)，使得 \(L_k \to K_k\) 经由 \(u\) 分解。

证明

记 \(Y = K_k\)。设 \(C[k]\) 是《单纯方法》例 0B13 中定义的余单纯集。我们将使用《单纯方法》引理 017M 给出的 \(\Hom(C[k], Y)\) 和 \(\Hom(C[k], Z)\) 的描述。存在对应于 \(\text{id} : K_k = Y \to Y\) 的典范态射 \(K \to \Hom(C[k], Y)\)。考虑态射 \(\Hom(C[k], Z) \to \Hom(C[k], Y)\)；其次数 \(n\) 项上的态射为 \[\prod\nolimits_{\alpha : [k] \to [n]} Z \longrightarrow \prod\nolimits_{\alpha : [k] \to [n]} Y\] 即在每个因子上使用给定态射 \(Z \to Y\)。置 \[L = K \times_{\Hom(C[k], Y)} \Hom(C[k], Z).\] 态射 \(L_k \to K_k\) 位于交换图 \[\xymatrix{ L_k \ar[r] \ar[d] & \prod_{\alpha : [k] \to [k]} Z \ar[r]^-{\text{pr}_{\text{id}_{[k]}}} \ar[d] & Z \ar[d] \\ K_k \ar[r] & \prod_{\alpha : [k] \to [k]} Y \ar[r]^-{\text{pr}_{\text{id}_{[k]}}} & Y }\] 中。由于底部两个箭头的复合是恒等态射，便得到所需分解。

还需证明 \(L\) 是 \(X\) 的超覆盖。为此应用引理 01GH。条件 (1) 由假设成立。对于 (2)，态射 \[\Hom(C[k], Z)_0 \to \Hom(C[k], Y)_0\] 是覆盖，因为态射 \([k] \to [0]\) 仅有一个，故它同构于 \(Z \to Y\)。

考虑 \(n = 0\) 时的条件 (3)。由于 \((\text{cosk}_0 T)_1 = T \times T\) （《单纯方法》例 0182）且 \(\Hom(C[k], Z)_1 = \prod_{\alpha : [k] \to [1]} Z\)，得到图 \[\xymatrix{ \prod\nolimits_{\alpha : [k] \to [1]} Z \ar[r] \ar[d] & Z \times Z \ar[d] \\ \prod\nolimits_{\alpha : [k] \to [1]} Y \ar[r] & Y \times Y }\] 其中水平箭头对应于向两个非满射 \(\alpha\) 所对应因子的投影。因此箭头 \(\gamma\) 是态射 \[\prod\nolimits_{\alpha : [k] \to [1]} Z \longrightarrow \prod\nolimits_{\alpha : [k] \to [1]\text{ 非满}} Z \times \prod\nolimits_{\alpha : [k] \to [1]\text{ 满}} Y\] 它是覆盖的乘积，故由引理 01G4 仍为覆盖。

考虑 \(n > 0\) 时的条件 (3)。我们断言，存在有限集的单射 \(\tau : S' \to S\)，使得对 \(\text{SR}(\mathcal{C}, X)\) 的任意对象 \(T\)，态射 [0B16]\[\begin{equation} \Hom(C[k], T)_{n + 1} \to (\text{cosk}_n \text{sk}_n \Hom(C[k], T))_{n + 1} \end{equation}\] 关于 \(T\) 函子性地同构于投影 \(\prod_{s \in S} T \to \prod_{s' \in S'} T\)。若此言成立，则仿照上一段可见，箭头 \(\gamma\) 是态射 \[\prod\nolimits_{s \in S} Z \longrightarrow \prod\nolimits_{s \in S'} Z \times \prod\nolimits_{s \not\in \tau(S')} Y\] 它是覆盖的乘积，故由引理 01G4 仍为覆盖。由构造，有 \(\Hom(C[k], T)_{n + 1} = \prod_{\alpha : [k] \to [n + 1]} T\) （见《单纯方法》引理 017M）。相应地取 \(S = \text{Map}([k], [n + 1])\)。另一方面，《单纯方法》引理 0186 把 \((\text{cosk}_n \text{sk}_n \Hom(C[k], T))_{n + 1}\) 的点描述为 \(\Hom(C[k], T)_n\) 的点列 \((f_0, \ldots, f_{n + 1})\)，满足 \(d^n_{j - 1} f_i = d^n_i f_j\)（\(0 \leq i < j \leq n + 1\)）。可写 \(f_i = (f_{i, \alpha})\)，其中 \(f_{i, \alpha}\) 是 \(T\) 的点， \(\alpha \in \text{Map}([k], [n])\)。这些条件化为 \[f_{i, \delta^n_{j - 1} \circ \beta} = f_{j, \delta_i^n \circ \beta}\] 对任意 \(0 \leq i < j \leq n + 1\) 和 \(\beta : [k] \to [n - 1]\) 成立。因此 \[S' = \{0, \ldots, n + 1\} \times \text{Map}([k], [n]) / \sim\] 其中等价关系由等价式 \[(i, \delta^n_{j - 1} \circ \beta) \sim (j, \delta_i^n \circ \beta)\] 生成，其中 \(0 \leq i < j \leq n + 1\) 且 \(\beta : [k] \to [n - 1]\)。一个略去的计算表明，态射 (0B16) 对应于映射 \(S' \to S\)，它把 \((i, \alpha)\) 送到 \(\delta^{n + 1}_i \circ \alpha \in S\)。（由《单纯方法》引理 0167 的 (1)，此映射确实良定义，这也许能使读者安心。）为完成证明，只需说明：若 \(\alpha, \alpha' : [k] \to [n]\)、\(0 \leq i < j \leq n + 1\)，且 \[\delta^{n + 1}_i \circ \alpha = \delta^{n + 1}_j \circ \alpha'\] 则存在某个 \(\beta : [k] \to [n - 1]\)，使得 \(\alpha = \delta^n_{j - 1} \circ \beta\) 且 \(\alpha' = \delta_i^n \circ \beta\)。这很容易验证，故略去。

引理

设 \(\mathcal{C}\) 是具有纤维积的位点，\(X\) 是 \(\mathcal{C}\) 的对象， \(K\) 是 \(X\) 的超覆盖，\(n \geq 0\) 是整数。设 \(u : \mathcal{F} \to F(K_n)\) 是层化后成为满射的预层态射。则存在超覆盖的态射 \(f: L \to K\)，使得 \(F(f_n) : F(L_n) \to F(K_n)\) 经由 \(u\) 分解。

证明

写成 \(K_n = \{U_i \to X\}_{i \in I}\)。于是映射 \(u\) 是集合预层态射 \(u : \mathcal{F} \to \amalg h_{u_i}\)。关于 \(u\) 的假设意味着：对每个 \(i \in I\)，存在位点 \(\mathcal{C}\) 的覆盖 \(\{U_{ij} \to U_i\}_{j \in I_i}\) 和预层态射 \(t_{ij} : h_{U_{ij}} \to \mathcal{F}\)，使得 \(u \circ t_{ij}\) 是由态射 \(U_{ij} \to U_i\) 得到的映射 \(h_{U_{ij}} \to h_{U_i}\)。置 \(J = \amalg_{i \in I} I_i\)，并令 \(\alpha : J \to I\) 为显然的映射。对 \(j \in J\)，记 \(V_j = U_{\alpha(j)j}\)，并置 \(Z = \{V_j \to X\}_{j \in J}\)。最后，考虑由 \(\alpha : J \to I\) 和上述态射 \(V_j = U_{\alpha(j)j} \to U_{\alpha(j)}\) 给出的态射 \(u' : Z \to K_n\)。显然，这是范畴 \(\text{SR}(\mathcal{C}, X)\) 中的覆盖；由构造，\(F(u') : F(Z) \to F(K_n)\) 经由 \(u\) 分解。故结论由上述引理 01GJ 得出。

添加单形

本节证明后面将用到的一些技术性引理。设 \(\mathcal{C}\) 是具有纤维积的位点， \(X\) 是 \(\mathcal{C}\) 的对象。如上述第 01GG 节所指出，对某些单纯集 \(U\) 和 \(\text{SR}(\mathcal{C}, X)\) 的任意单纯对象 \(K\)，对象 \(U \times K\) 和 \(\Hom(U, K)\) 都已定义。见《单纯方法》第 017A 节和第 017H 节。

引理

设 \(\mathcal{C}\) 是具有纤维积的位点，\(X\) 是 \(\mathcal{C}\) 的对象， \(K\) 是 \(X\) 的超覆盖。设 \(U \subset V\) 是单纯集，且对所有 \(n\)， \(U_n,V_n\) 都是有限非空集。假设 \(U\) 只有有限多个非退化单形。设 \(n \geq 0\) 且 \(x \in V_n\)、\(x \not \in U_n\)，并满足

对 \(i < n\) 有 \(V_i = U_i\)；

\(V_n = U_n \cup \{x\}\)；

对 \(j > n\)，任意 \(z \in V_j\)、\(z \not \in U_j\) 都是退化的。

则 \(\text{SR}(\mathcal{C}, X)\) 中的态射 \[\Hom(V, K)_0 \longrightarrow \Hom(U, K)_0\] 是覆盖。

证明

若 \(n = 0\)，则容易推出 \(V = U \amalg \Delta[0]\)（见下文）。此时 \(\Hom(V, K)_0 = \Hom(U, K)_0 \times K_0\)，结论由引理 01G4 得出。

设 \(a : \Delta[n] \to V\) 是《单纯方法》引理 0177 中与 \(x\) 相伴的态射。记 \(\partial \Delta[n] = i_{(n-1)!} \text{sk}_{n - 1} \Delta[n]\) 为 \(\Delta[n]\) 的 \((n - 1)\)-骨架。设 \(b : \partial \Delta[n] \to U\) 是 \(a\) 在 \(\Delta[n]\) 的 \((n - 1)\)-骨架上的限制。由《单纯方法》引理 018R，有 \(V = U \amalg_{\partial \Delta[n]} \Delta[n]\)。由《单纯方法》引理 017N，图 \[\xymatrix{ \Hom(V, K)_0 \ar[r] \ar[d] & \Hom(U, K)_0 \ar[d] \\ \Hom(\Delta[n], K)_0 \ar[r] & \Hom(\partial \Delta[n], K)_0 }\] 是纤维积方块。因此只需证明底部水平箭头是覆盖。由《单纯方法》引理 018V，此箭头等同于 \[K_n \to (\text{cosk}_{n - 1} \text{sk}_{n - 1} K)_n\] 故由超覆盖的定义，它是覆盖。

引理

设 \(\mathcal{C}\) 是具有纤维积的位点，\(X\) 是 \(\mathcal{C}\) 的对象， \(K\) 是 \(X\) 的超覆盖。设 \(U \subset V\) 是单纯集，且对所有 \(n\)， \(U_n,V_n\) 都是有限非空集。假设 \(U\) 和 \(V\) 都只有有限多个非退化单形。则 \(\text{SR}(\mathcal{C}, X)\) 中的态射 \[\Hom(V, K)_0 \longrightarrow \Hom(U, K)_0\] 是覆盖。

证明

由上述引理 01GM，只需证明关于引理中这类单纯集包含 \(U \subset V\) 的一个简单引理。这恰是《单纯方法》引理 018S 的结论。

引理

设 \(\mathcal{C}\) 是具有纤维积的位点，\(X\) 是 \(\mathcal{C}\) 的对象， \(K\) 是 \(X\) 的超覆盖。则

对每个 \(n \geq 0\)，\(K_n\) 是 \(X\) 的覆盖；

对所有 \(n \geq 1\) 和 \(0 \leq i \leq n\)， \(d^n_i : K_n \to K_{n - 1}\) 是覆盖。

证明

回忆，由定义 01G5，\(K_0\) 是 \(X\) 的覆盖；这等价于说 \(K_0 \to \{X \to X\}\) 是定义 01G3 意义下的覆盖。因此 (1) 由 (2) 得出，因为 (2) 将证明复合 \(K_n \to K_{n - 1} \to \ldots \to K_0 \to \{X \to X\}\) 由引理 01G4 是覆盖。

证明 (2)。由《单纯方法》引理 017L，有 \(\Mor(\Delta[n], K)_0 = K_n\)。因此，把引理 01GN 应用于 \(n + 1\) 个不同的包含 \(\Delta[n - 1] \to \Delta[n]\)，便得 (2)。

注

引理 01GN 和 0DEQ 有如下有用的特殊情形。设范畴 \(\mathcal{C}\) 具有纤维积。设 \(P \subset \text{Arrows}(\mathcal{C})\) 在基变换和复合下稳定，并包含所有同构。所谓一个 \(P\)-超覆盖，是从 \(\mathcal{C}\) 的单纯对象出发的增广 \(a : U \to X\)，使得

\(U_0 \to X\) 属于 \(P\)；

\(U_1 \to U_0 \times_X U_0\) 属于 \(P\)；

\(U_{n + 1} \to (\text{cosk}_n\text{sk}_n U)_{n + 1}\) 对 \(n \geq 1\) 属于 \(P\)。

范畴 \(\mathcal{C}/X\) 具有所有有限极限，故上述表述中所用的余骨架存在（见《范畴论》引理 002O）。我们断言，态射 \(U_n \to X\) 和 \(d^n_i : U_n \to U_{n - 1}\) 都属于 \(P\)。把 \(\mathcal{C}\) 视为一个位点，其覆盖为满足 \(f \in P\) 的 \(\{f : V \to U\}\)，再取由 \(K_n = \{U_n \to X\}\) 给出的 \(K\)，便可由上述引理得到此结论。

同伦

设 \(\mathcal{C}\) 是具有纤维积的位点，\(X\) 是 \(\mathcal{C}\) 的对象， \(L\) 是 \(\text{SR}(\mathcal{C}, X)\) 的单纯对象。由《单纯方法》引理 017L，范畴 \(\text{Simp}(\text{SR}(\mathcal{C}, X))\) 中存在对象 \(\Hom(\Delta[1], L)\)，它表示函子 \[T \longmapsto \Mor_{\text{Simp}(\text{SR}(\mathcal{C}, X))}(\Delta[1] \times T, L)\] 由 \(e_i : \Delta[0] \to \Delta[1]\) 和等同 \(\Hom(\Delta[0], L) = L\)，得到典范态射 \[\Hom(\Delta[1], L) \to L \times L\]

引理

设 \(\mathcal{C}\) 是具有纤维积的位点，\(X\) 是 \(\mathcal{C}\) 的对象， \(L\) 是 \(\text{SR}(\mathcal{C}, X)\) 的单纯对象。设 \(n \geq 0\)。考虑由上述态射得到的交换图 [01GQ]\[\begin{equation} \xymatrix{ \Hom(\Delta[1], L)_{n + 1} \ar[r] \ar[d] & (\text{cosk}_n \text{sk}_n \Hom(\Delta[1], L))_{n + 1} \ar[d] \\ (L \times L)_{n + 1} \ar[r] & (\text{cosk}_n \text{sk}_n (L \times L))_{n + 1} } \end{equation}\] 此图各项可作如下等同，其中 \(\partial \Delta[n + 1] = i_{n!}\text{sk}_n \Delta[n + 1]\) 是 \((n + 1)\)-单形的 \(n\)-骨架： \[\begin{eqnarray*} \Hom(\Delta[1], L)_{n + 1} & = & \Hom(\Delta[1] \times \Delta[n + 1], L)_0 \\ (\text{cosk}_n \text{sk}_n \Hom(\Delta[1], L))_{n + 1} & = & \Hom(\Delta[1] \times \partial \Delta[n + 1], L)_0 \\ (L \times L)_{n + 1} & = & \Hom( (\Delta[n + 1] \amalg \Delta[n + 1], L)_0 \\ (\text{cosk}_n \text{sk}_n (L \times L))_{n + 1} & = & \Hom( \partial \Delta[n + 1] \amalg \partial \Delta[n + 1], L)_0 \end{eqnarray*}\] 而 \(\text{SR}(\mathcal{C}, X)\) 中这些对象之间的态射来自单纯集交换图 [01GR]\[\begin{equation} \xymatrix{ \Delta[1] \times \Delta[n + 1] & \Delta[1] \times \partial\Delta[n + 1] \ar[l] \\ \Delta[n + 1] \amalg \Delta[n + 1] \ar[u] & \partial\Delta[n + 1] \amalg \partial\Delta[n + 1] \ar[l] \ar[u] } \end{equation}\] 此外，图 (01GQ) 中底部箭头与右侧箭头的纤维积等于 \[\Hom(U, L)_0\] 其中 \(U \subset \Delta[1] \times \Delta[n + 1]\) 是最小单纯子集，使得 \(\Delta[n + 1] \amalg \Delta[n + 1]\) 和 \(\Delta[1] \times \partial\Delta[n + 1]\) 都映入其中。

证明

第一和第三个等式是《单纯方法》引理 017L。第二和第四个等式由该引理与《单纯方法》引理 018V 合并得出。最后一个断言由如下事实得出： \(U\) 是图 (01GR) 的底部和右侧箭头的推出；再应用《单纯方法》引理 017N。要看出 \(U\) 等于此推出，只需看出 \(\Delta[n + 1] \amalg \Delta[n + 1]\) 与 \(\Delta[1] \times \partial\Delta[n + 1]\) 在 \(\Delta[1] \times \Delta[n + 1]\) 中的交等于 \(\partial\Delta[n + 1] \amalg \partial\Delta[n + 1]\)。这留给读者验证。

引理

设 \(\mathcal{C}\) 是具有纤维积的位点，\(X\) 是 \(\mathcal{C}\) 的对象， \(K,L\) 是 \(X\) 的超覆盖，\(a,b : K \to L\) 是超覆盖的态射。则存在超覆盖的态射 \(c : K' \to K\)，使得 \(a \circ c\) 同伦于 \(b \circ c\)。

证明

考虑交换图 \[\xymatrix{ K' \ar@{=}[r]^-{def} \ar[rd]_c & K \times_{(L \times L)} \Hom(\Delta[1], L) \ar[r] \ar[d] & \Hom(\Delta[1], L) \ar[d] \\ & K \ar[r]^{(a, b)} & L \times L }\] 由 \(\Hom(\Delta[1], L)\) 的函子性质，水平态射的复合对应于一个态射 \(K' \times \Delta[1] \to L\)；它定义 \(c \circ a\) 与 \(c \circ b\) 之间的同伦。因此，只要证明 \(K'\) 是 \(X\) 的超覆盖，就可得到引理。为此，把引理 01GH 应用于态射对 \(K \to L \times L\) 和 \(\Hom(\Delta[1], L) \to L \times L\)。引理 01GH 的条件 (1) 成立。引理 01GH 的条件 (2) 也成立，因为 \(\Hom(\Delta[1], L)_0 = L_1\)；又因假设 \(L\) 是超覆盖，态射 \((d^1_0, d^1_1) : L_1 \to L_0 \times L_0\) 是 \(\text{SR}(\mathcal{C}, X)\) 中的覆盖。为证明引理 01GH 的条件 (3)，应用上述引理 01GP。根据该引理，引理 01GH 的条件 (3) 中的态射 \(\gamma\) 是态射 \[\Hom(\Delta[1] \times \Delta[n + 1], L)_0 \longrightarrow \Hom(U, L)_0\] 其中 \(U \subset \Delta[1] \times \Delta[n + 1]\)。由引理 01GN，这是覆盖，故断言得证。

注

注意，证明的关键在于应用引理 01GN。这个引理完全是一般性的，并不在意单纯集的确切形状（只要它们仅有有限多个非退化单形）。因此完全有理由期待如下结果：给定任意态射 \(a : K \times \partial \Delta[k] \to L\)，其中 \(K,L\) 是超覆盖，则存在超覆盖的态射 \(c : K' \to K\) 和态射 \(g : K' \times \Delta[k] \to L\)，使得 \(g|_{K' \times \partial \Delta[k]} = a \circ (c \times \text{id}_{\partial \Delta[k]})\). 换言之，超覆盖的范畴在适当意义下是可缩的。

上同调与超覆盖

设 \(\mathcal{C}\) 是具有纤维积的位点，\(X\) 是 \(\mathcal{C}\) 的对象， \(\mathcal{F}\) 是 \(\mathcal{C}\) 上的阿贝尔群层，\(K,L\) 是 \(X\) 的超覆盖。若 \(a,b : K \to L\) 是同伦映射，则 \(\mathcal{F}(a), \mathcal{F}(b) : \mathcal{F}(K) \to \mathcal{F}(L)\) 也是同伦映射，见《单纯方法》引理 019Y。因此，它们在相伴上链复形的上同调群上产生相同作用，见《单纯方法》引理 01A0。我们将用这一点定义遍历所有超覆盖的余极限。

暂记 \(\text{HC}(\mathcal{C}, X)\) 为如下范畴：其对象是 \(X\) 的超覆盖，其态射是 \(X\) 的超覆盖之间的映射的同伦类。我们已经看到这是一个范畴，而且不是“大”范畴，见引理 01G7。 \(\text{HC}(\mathcal{C}, X)\) 的反范畴将作为下图的指标范畴；术语见《范畴论》第 002D 节。考虑图 \[\check{H}^i(-, \mathcal{F}) : \text{HC}(\mathcal{C}, X)^{opp} \longrightarrow \textit{Ab}.\] 由引理 01GI、01GS 以及上述关于同伦的说明，此图是有向的，见《范畴论》定义 002V。因此余极限 \[\check{H}^i_{\text{HC}}(X, \mathcal{F}) = \colim_{K \in \text{HC}(\mathcal{C}, X)} \check{H}^i(K, \mathcal{F})\] 有特别简单的描述（见所引位置）。

定理

设 \(\mathcal{C}\) 是具有纤维积的位点，\(X\) 是 \(\mathcal{C}\) 的对象， \(i \geq 0\)。函子 \[\begin{eqnarray*} \textit{Ab}(\mathcal{C}) & \longrightarrow & \textit{Ab} \\ \mathcal{F} & \longmapsto & H^i(X, \mathcal{F}) \\ \mathcal{F} & \longmapsto & \check{H}^i_{\text{HC}}(X, \mathcal{F}) \end{eqnarray*}\] 典范同构。

证明

设对某个 \(p \geq 0\) 有 \(\xi \in H^p(X, \mathcal{F})\)。我们证明：对 \(X\) 的某个超覆盖 \(K\)，\(\xi\) 位于引理 01GY 的映射 \(\check{H}^p(X, \mathcal{F}) \to H^p(X, \mathcal{F})\) 的像中。

若 \(p = 0\)，这由引理 01GV 成立。若 \(p = 1\)，选取例 01G6 中 \(X\) 的 Čech 超覆盖 \(K\)，从位点 \(\mathcal{C}\) 中满足 \(\xi|_{U_i} = 0\) 的覆盖 \(K_0 = \{U_i \to X\}\) 开始；见《位点上的上同调》引理 01FW。此时立即由引理 01GY 的谱序列得出， \(\xi\) 来自 \(\check{H}^1(K, \mathcal{F})\) 的一个元素。一般地，选取 \(X\) 的任意超覆盖 \(K\)，使得 \(\xi\) 在 \(\underline{H}^p(\mathcal{F})(K_0)\) 中的像为零（再次使用例 01G6 和《位点上的上同调》引理 01FW）。由引理 01GY 的谱序列，\(\xi\) 来自 \(\check{H}^p(K, \mathcal{F})\) 的一个元素的障碍，是一列元素 \(\xi_1, \ldots, \xi_{p - 1}\)，其中 \(\xi_q \in \check{H}^{p - q}(K, \underline{H}^q(\mathcal{F}))\) （更精确地说，是 \(\xi_q\) 在这些群的某些子商中的像）。

可以归纳地用细化替换超覆盖 \(K\)，使障碍 \(\xi_1, \ldots, \xi_{p - 1}\) 的限制为零（而不仅是其在子商中的像为零，故此处没有微妙之处）。事实上，假设已经达到 \(\xi_{q + 1}, \ldots, \xi_{p - 1}\) 都为零的情形。注意， \(\xi_q \in \check{H}^{p - q}(K, \underline{H}^q(\mathcal{F}))\) 是某个元素 \[\tilde \xi_q \in \underline{H}^q(\mathcal{F})(K_{p - q}) = \prod H^q(U_i, \mathcal{F})\] 的类，其中 \(K_{p - q} = \{U_i \to X\}_{i \in I}\)。设 \(\xi_{q, i}\) 为 \(\tilde \xi_q\) 在 \(H^q(U_i, \mathcal{F})\) 中的分量。由于 \(q \geq 1\)，可再次应用《位点上的上同调》引理 01FW，选取位点的覆盖 \(\{U_{i, j} \to U_i\}\)，使每个限制 \(\xi_{q, i}|_{U_{i, j}} = 0\)。考虑范畴 \(\text{SR}(\mathcal{C}, X)\) 的对象 \(Z = \{U_{i, j} \to X\}\) 及其显然态射 \(u : Z \to K_{p - q}\)。显然 \(u\) 是覆盖，见定义 01G3。由引理 01GJ，存在 \(X\) 的超覆盖的态射 \(L \to K\)，使 \(L_{p - q} \to K_{p - q}\) 经由 \(u\) 分解。于是显然，\(\xi_q\) 在 \(\underline{H}^q(\mathcal{F})(L_{p - q})\) 中的像为零。由于引理 01GY 的谱序列是函子性的，用 \(L\) 替换 \(K\) 后便达到 \(\xi_q, \ldots, \xi_{p - 1}\) 均为零的情形。如此继续，最终得到一个使它们全为零的超覆盖，因而 \(\xi\) 位于映射 \(\check{H}^p(X, \mathcal{F}) \to H^p(X, \mathcal{F})\) 的像中。

设 \(K\) 是 \(X\) 的超覆盖，\(\xi \in \check{H}^p(K, \mathcal{F})\)，且 \(\xi\) 在引理 01GY 的映射 \(\check{H}^p(X, \mathcal{F}) \to H^p(X, \mathcal{F})\) 下的像为零。为完成定理证明，需说明存在超覆盖的态射 \(L \to K\)，使 \(\xi\) 在 \(\check{H}^p(L, \mathcal{F})\) 中的限制为零。由引理 01GY 的谱序列，\(\xi\) 在 \(H^p(X, \mathcal{F})\) 中的像消失，意味着存在元素 \(\xi_1, \ldots, \xi_{p - 2}\)，其中 \(\xi_q \in \check{H}^{p - 1 - q}(K, \underline{H}^q(\mathcal{F}))\) （更精确地说，是它们在某些子商中的像），使得谱序列中的像 \(d_{q + 1}^{p - 1 - q, q}\xi_q\) 之和为 \(\xi\)。因此，完全按照上述机制，可以找到超覆盖的态射 \(L \to K\)，使元素 \(\xi_q\)（\(q = 1, \ldots, p - 2\)）在 \(\check{H}^{p - 1 - q}(L, \underline{H}^q(\mathcal{F}))\) 中的限制为零。于是，由于态射 \(L \to K\) 依照引理 01GY 诱导谱序列的态射，可得 \(\xi\) 为零。

证明

我们已经看到 \(i = 0\) 时的结论，见引理 01GV。已知函子 \(H^i(X, -)\) 构成泛 \(\delta\)-函子，见《导出范畴》引理 015B。为证明定理，只需说明函子列 \(\check{H}^i_{HC}(X, -)\) 构成 \(\delta\)-函子。事实上，已知 Čech 上同调在内射层上为零（引理 01GW），于是可以应用《同调代数》引理 010T。

设 \[0 \to \mathcal{F} \to \mathcal{G} \to \mathcal{H} \to 0\] 是 \(\mathcal{C}\) 上阿贝尔层的短正合列。设 \(\xi \in \check{H}^p_{HC}(X, \mathcal{H})\)。选取 \(X\) 的超覆盖 \(K\) 以及在上同调中代表 \(\xi\) 的元素 \(\sigma \in \mathcal{H}(K_p)\)。存在相应的复形正合列 \[0 \to s(\mathcal{F}(K)) \to s(\mathcal{G}(K)) \to s(\mathcal{H}(K))\] 但不能保证右端也有一个零；这正是妨碍我们直接应用蛇引理定义 \(\delta(\xi)\) 的唯一因素。回忆，若 \(K_p = \{U_i \to X\}\)，则 \[\mathcal{H}(K_p) = \prod \mathcal{H}(U_i)\] 写 \(\sigma =\prod \sigma_i\)，其中 \(\sigma_i \in \mathcal{H}(U_i)\)。由于 \(\mathcal{G} \to \mathcal{H}\) 是层的满射，存在覆盖 \(\{U_{i, j} \to U_i\}\)，使 \(\sigma_i|_{U_{i, j}}\) 是某个元素 \(\tau_{i, j} \in \mathcal{G}(U_{i, j})\) 的像。考虑范畴 \(\text{SR}(\mathcal{C}, X)\) 的对象 \(Z = \{U_{i, j} \to X\}\) 及其显然态射 \(u : Z \to K_p\)。显然 \(u\) 是覆盖，见定义 01G3。由引理 01GJ，存在 \(X\) 的超覆盖的态射 \(L \to K\)，使 \(L_p \to K_p\) 经由 \(u\) 分解。因此用 \(L\) 替换 \(K\) 后，可以假设 \(\sigma\) 是某个元素 \(\tau \in \mathcal{G}(K_p)\) 的像。注意 \(d(\sigma) = 0\)，但不一定有 \(d(\tau) = 0\)。因而 \(d(\tau) \in \mathcal{F}(K_{p + 1})\) 是闭链。在此情形下，定义 \(\delta(\xi)\) 为闭链 \(d(\tau)\) 在 \(\check{H}^{p + 1}_{HC}(X, \mathcal{F})\) 中的类。

此时有几件事需要验证：(a) \(\delta(\xi)\) 不依赖于 \(\tau\) 的选择； (b) \(\delta(\xi)\) 不依赖于使 \(\sigma\) 可提升的超覆盖 \(L \to K\) 的选择；(c) \(\delta(\xi)\) 不依赖于起初为表示 \(\xi\) 所选的超覆盖和 \(\sigma\)。我们略去 (a)、(b)、(c) 的验证；其中对超覆盖选择的独立性，实质上归结为引理 01GI 和 01GS。我们还略去验证 \(\delta\) 关于 \(\mathcal{C}\) 上阿贝尔层短正合列之间的态射具有函子性。

最后，必须验证在这个 \(\delta\) 的定义下，上述阿贝尔层短正合列给出 Čech 上同调群的长正合列。先证明：若 \(\delta(\xi) = 0\)（\(\xi\) 如上），则 \(\xi\) 是某个元素 \(\xi' \in \check{H}^p_{HC}(X, \mathcal{G})\) 的像。事实上，若 \(\delta(\xi) = 0\)，则沿用上述记号，\(d(\tau)\) 的类在 \(\check{H}^{p + 1}_{HC}(X, \mathcal{F})\) 中为零。因此存在超覆盖的态射 \(L \to K\)，使 \(d(\tau)\) 限制所得的 \(\mathcal{F}(L_{p + 1})\) 中的元素，等于某个 \(\upsilon \in \mathcal{F}(L_p)\) 的 \(d(\upsilon)\)。这蕴含 \(\tau|_{L_p} + \upsilon\) 构成闭链，并确定一个类 \(\xi' \in \check{H}^p(L, \mathcal{G})\)，它按要求映到 \(\xi\)。

我们略去以下断言的证明：若 \(\xi' \in \check{H}^{p + 1}_{HC}(X, \mathcal{F})\) 在 \(\check{H}^{p + 1}_{HC}(X, \mathcal{G})\) 中映为零，则对某个 \(\xi \in \check{H}^p_{HC}(X, \mathcal{H})\) 有 \(\xi' = \delta(\xi)\)。

下面用一个巧妙手法推出定理 01H0 的 Verdier 情形。

命题

设 \(\mathcal{C}\) 是具有纤维积和二元积的位点， \(\mathcal{F}\) 是 \(\mathcal{C}\) 上的阿贝尔层，\(i \geq 0\)。则

对每个 \(\xi \in H^i(\mathcal{F})\)，存在超覆盖 \(K\)，使 \(\xi\) 属于典范映射 \(\check{H}^i(K, \mathcal{F}) \to H^i(\mathcal{F})\) 的像；

若 \(K,L\) 是超覆盖，且 \(\xi_K \in \check{H}^i(K, \mathcal{F})\)、 \(\xi_L \in \check{H}^i(L, \mathcal{F})\) 映到 \(H^i(\mathcal{F})\) 的同一元素，则存在超覆盖 \(M\) 以及态射 \(M \to K\) 和 \(M \to L\)，使 \(\xi_K\) 与 \(\xi_L\) 映到 \(\check{H}^i(M, \mathcal{F})\) 的同一元素。

换言之，忽略集合论问题，\(\mathcal{F}\) 在 \(\mathcal{C}\) 上的上同调群，是 \(\mathcal{F}\) 遍历所有超覆盖的 Čech 上同调群的余极限。

证明

此结果是定理 01H0 的直接推论。事实上，可以人为地用一个稍大的位点 \(\mathcal{C}'\) 替换 \(\mathcal{C}\)，使得 (I) \(\mathcal{C}'\) 有终对象 \(X\)；(II) \(\mathcal{C}\) 中的超覆盖与 \(\mathcal{C}'\) 中 \(X\) 的超覆盖大致相同。但由于问题本身的性质，需要处理相当多的记账细节。

若 \(\mathcal{C}\) 中具有固定靶的态射族 \(\{U_i \to U\}\) 所对应的映射 \(\coprod_{i \in I} h_{U_i} \to h_U\) 在层化后成为满射，则称它为 弱覆盖。如下构造新位点 \(\mathcal{C}'\)：

作为范畴，置 \(\Ob(\mathcal{C}') = \Ob(\mathcal{C}) \amalg \{X\}\)，并从 \(\mathcal{C}'\) 的每个对象向 \(X\) 添加唯一态射；

当 \(\mathcal{C}\) 中存在纤维积和二元积时， \(\mathcal{C}'\) 具有相应的纤维积；

\(\mathcal{C}'\) 的覆盖包括 \(\mathcal{C}\) 的弱覆盖，以及满足如下条件的 \(\{U_i \to X\}_{i \in I}\)：或者某个 \(i\) 有 \(U_i = X\)；或者对所有 \(i\) 都有 \(U_i \not = X\)，且 \(\mathcal{C}\) 上预层的映射 \(\coprod h_{U_i} \to *\) 在 \(\mathcal{C}\) 上层化后成为满射；

应用《集合论》引理 000X 限制覆盖，从而得到位点 \(\mathcal{C}'\)。

于是 \(\Sh(\mathcal{C}') = \Sh(\mathcal{C})\)，因为包含函子 \(\mathcal{C} \to \mathcal{C}'\) 是特殊余连续函子（见《位点与层》定义 03CG）。直接的验证从略。

选取 \(\mathcal{C}'\) 的覆盖 \(\{U_i \to X\}\)，使对所有 \(i\)，\(U_i\) 都是 \(\mathcal{C}\) 的对象（这是可能的，因为 \(\mathcal{C} \to \mathcal{C}'\) 特殊余连续）。于是 \(K_0 = \{U_i \to X\}\) 是上述位点 \(\mathcal{C}'\) 中的覆盖。把 \(K_0\) 看成 \(\text{SR}(\mathcal{C}', X)\) 的对象，并置 \(K_{init} = \text{cosk}_0(K_0)\)。于是 \(K_{init}\) 是 \(X\) 的超覆盖，见例 01G6。注意，每个 \(K_{init, n}\) 都具有 \(\{W_j \to X\}\) 的形状，其中 \(W_j \in \Ob(\mathcal{C})\)。

证明 (1)。选取 \(\xi \in H^i(\mathcal{F}) = H^i(X, \mathcal{F}')\)，其中 \(\mathcal{F}'\) 是 \(\mathcal{C}'\) 上与 \(\mathcal{C}\) 上的 \(\mathcal{F}\) 对应的阿贝尔层。由定理 01H0，存在 \(\mathcal{C}'\) 中 \(X\) 的超覆盖的态射 \(K' \to K_{init}\)，使 \(\xi\) 来自 \(\check{H}^i(K', \mathcal{F})\) 的一个元素。写 \(K'_n = \{U_{n, j} \to X\}\)。由于 \(K'_n\) 映到 \(K_{init, n}\)，可见 \(U_{n, j}\) 是 \(\mathcal{C}\) 的对象。因此置 \(K_n = \{U_{n, j}\}\)，便可定义 \(\text{SR}(\mathcal{C})\) 的单纯对象 \(K\)。由于 \(\mathcal{C}'\) 中由 \(\mathcal{C}\) 的态射族构成的覆盖，是弱覆盖，可见 \(K\) 是定义 09VU 意义下的超覆盖。最后，由于 \(\mathcal{F}'\) 是 \(\mathcal{C}'\) 上限制到 \(\mathcal{C}\) 等于 \(\mathcal{F}\) 的唯一层，Čech 复形 \(s(\mathcal{F}(K))\) 与 \(s(\mathcal{F}'(K'))\) 相同，于是 (1) 成立。（略去与到上同调群的映射之相容性的验证。）

证明 (2)。设 \(K,L\) 是 \(\mathcal{C}\) 中的超覆盖。令 \(K',L'\) 为通过函子 \(\text{SR}(\mathcal{C}) \to \text{SR}(\mathcal{C}', X)\), \(\{U_i\} \mapsto \{U_i \to X\}\) 由 \(K,L\) 得到的 \(\text{SR}(\mathcal{C}', X)\) 的单纯对象。与前面一样，Čech 复形相等，于是得到 \(\xi_{K'}\) 和 \(\xi_{L'}\)，它们映到 \(\mathcal{C}'\) 上 \(\mathcal{F}'\) 的同一上同调类。由于集合论问题，必要时扩大 \(\mathcal{C}'\) 中覆盖的选择后，可以假设 \(K',L'\) 是 \(\mathcal{C}'\) 中 \(X\) 的超覆盖；这由定义 09VU 中的超覆盖定义，以及 \(\mathcal{C}\) 中的弱覆盖给出 \(\mathcal{C}'\) 中的覆盖这一事实成立。由定理 01H0，存在 \(\mathcal{C}'\) 中 \(X\) 的超覆盖 \(M'\) 以及态射 \(M' \to K'\)、\(M' \to L'\) 和 \(M' \to K_{init}\)，使 \(\xi_{K'}\) 与 \(\xi_{L'}\) 限制到 \(\check{H}^i(M', \mathcal{F})\) 的同一元素。像上面一样展开此陈述，便得 (2)。

空间的超覆盖

即使对拓扑空间，上述理论也颇有趣。在这种情形下，可以具体写出超覆盖，并看清结果实际表达的内容。

设 \(X\) 是拓扑空间。考虑《位点与层》例 00VJ 中的位点 \(X_{Zar}\)。回忆，\(X_{Zar}\) 的对象就是 \(X\) 的开集，而 \(X_{Zar}\) 的态射就是包含。那么，位点 \(X_{Zar}\) 上 \(X\) 的超覆盖是什么？

先展开定义 01G0。\(\text{SR}(X_{Zar}, X)\) 的一个对象，就是一个集合 \(I\) 以及对每个 \(i \in I\) 给定的开集 \(U_i \subset X\)。由于态射 \(U_i \to X\) 不会混淆，把它记为 \(\{U_i\}_{i \in I}\)。两个这样的对象之间的态射 \(\{U_i\}_{i \in I} \to \{V_j\}_{j \in J}\)，由集合映射 \(\alpha : I \to J\) 给出，并满足对所有 \(i \in I\) 有 \(U_i \subset V_{\alpha(i)}\)。这样的态射何时是覆盖？当且仅当对每个 \(j \in J\) 都有 \(V_j = \bigcup_{i\in I, \ \alpha(i) = j} U_i\)（并且这是位点 \(X_{Zar}\) 中的覆盖）。

由以上内容得到位点 \(X_{Zar}\) 中超覆盖的如下描述。 \(X_{Zar}\) 中 \(X\) 的一个超覆盖由以下数据给出：

一个单纯集 \(I\)（见《单纯方法》第 0174 节）；
对每个 \(n \geq 0\) 和每个 \(i \in I_n\)，一个开集 \(U_i \subset X\)。

用 \((I, \{U_i\})\) 表示这样一组数据。为使它成为 \(X\) 的超覆盖，要求满足以下性质：

对 \(i \in I_n\) 和 \(0 \leq a \leq n\)，有 \(U_i \subset U_{d^n_a(i)}\)；
对 \(i \in I_n\) 和 \(0 \leq a \leq n\)，有 \(U_i = U_{s^n_a(i)}\)；
有 [01H2]\[\begin{equation} X = \bigcup\nolimits_{i \in I_0} U_i, \end{equation}\]
对每个 \(i_0, i_1 \in I_0\)，有 [01H3]\[\begin{equation} U_{i_0} \cap U_{i_1} = \bigcup\nolimits_{i \in I_1, \ d^1_0(i) = i_0, \ d^1_1(i) = i_1} U_i, \end{equation}\]
对每个 \(n \geq 1\) 以及每个满足 \(d^n_{b - 1}(i_a) = d^n_a(i_b)\)（\(0\leq a < b\leq n + 1\)）的 \((i_0, \ldots, i_{n + 1}) \in (I_n)^{n + 2}\)，有 [01H4]\[\begin{equation} U_{i_0} \cap \ldots \cap U_{i_{n + 1}} = \bigcup\nolimits_{i \in I_{n + 1}, \ d^{n + 1}_a(i) = i_a, \ a = 0, \ldots, n + 1} U_i, \end{equation}\]
开覆盖 (01H2)、 (01H3) 和 (01H4) 都属于 \(\text{Cov}(X_{Zar})\)（这是一个集合论条件，用来限制覆盖的指标集大小）。

例如，条件 (01H2) 和 (01H3) 应当可从《空间上的层》一章中认出，而条件 (01H4) 是其自然推广。

注

这个描述的一个特点是：若某个多重交 \(U_{i_0} \cap \ldots \cap U_{i_{n + 1}}\) 为空，则右侧的覆盖可以是空覆盖。因此，映射 \(I_{n + 1} \to (\text{cosk}_n\text{sk}_n I)_{n + 1}\) 不一定自动为满射。这意味着 \(I\) 的几何实现可能是一个有趣的（非可缩）空间。

事实上，令 \(I'_n \subset I_n\) 为由满足 \(U_i \not = \emptyset\) 的单形 \(i \in I_n\) 组成的子集。容易看出 \(I' \subset I\) 是单纯子集，且 \((I', \{U_i\})\) 是超覆盖。因此总能把一个超覆盖细化为所有开集 \(U_i\) 都非空的超覆盖。

注

再用另一种方式重新组织这些信息。设 \((I, \{U_i\})\) 是拓扑空间 \(X\) 的超覆盖。由这些数据，置 \[U_n = \coprod\nolimits_{i \in I_n} U_i,\] 可构造单纯拓扑空间 \(U_\bullet\)；对给定的 \(\varphi : [n] \to [m]\)，令态射 \(U(\varphi) : U_n \to U_m\) 为来自各个 \(i \in I_n\) 所对应包含 \(U_i \subset U_{\varphi(i)}\) 的态射。这个单纯拓扑空间带有增广 \(\epsilon : U_\bullet \to X\)。凭借此态射，单纯空间 \(U_\bullet\) 成为 \(X\) 的超覆盖；沿此超覆盖，存在 [SGA4, Exposé Vbis] 意义下的上同调下降。换言之， \(H^n(U_\bullet, \epsilon^*\mathcal{F}) = H^n(X, \mathcal{F})\)。（此处以后插入关于单纯空间上的上同调，以及用这种语言表述的上同调下降的参考。）设 \(\mathcal{F}\) 是 \(X\) 上的阿贝尔层。此时，引理 01GY 的谱序列成为具有如下 \(E_1\)-项的谱序列： \[E_1^{p, q} = H^q(U_p, \epsilon_q^*\mathcal{F}) \Rightarrow H^{p + q}(U_\bullet, \epsilon^*\mathcal{F}) = H^{p + q}(X, \mathcal{F})\] 它把 \(\epsilon^*\mathcal{F}\) 的全上同调与 \(\mathcal{F}\) 在 \(U_\bullet\) 各片上的上同调群作比较。（此处以后插入关于此谱序列的参考。）

在拓扑学中，我们常希望找到 \(X\) 的超覆盖，使所有 \(U_i\) 都来自 \(X\) 的一个给定拓扑基，而且所有覆盖 (01H3) 和 (01H4) 都来自一个给定的共终覆盖族。下面给出两个示例性引理。

引理

设 \(X\) 是拓扑空间，\(\mathcal{B}\) 是 \(X\) 的拓扑基。则存在 \(X\) 的超覆盖 \((I, \{U_i\})\)，使每个 \(U_i\) 都属于 \(\mathcal{B}\)。

证明

设 \(n \geq 0\)。所谓 \(X\) 的一个\(n\)-截断超覆盖，是由一个 \(n\)-截断单纯集 \(I\)，以及对每个 \(i \in I_a\)、\(0 \leq a \leq n\) 给定的 \(X\) 的开集 \(U_i\) 所组成，并要求定义超覆盖的条件凡有意义时都成立。换言之，只有当其中出现的所有单形都是满足 \(a \leq n\) 的 \(a\)-单形时，才要求相应的包含关系和覆盖条件。若能证明：给定所有 \(U_i \in \mathcal{B}\) 的 \(n\)-截断超覆盖 \((I, \{U_i\})\)，可以在不添加任何 \(a \leq n\) 的 \(a\)-单形的情况下，把它扩张为 \((n + 1)\)-截断超覆盖，那么引理即得证。具体如下。先考虑由 \(I' = \text{sk}_{n + 1}(\text{cosk}_n I)\). 定义的 \((n + 1)\)-截断单纯集 \(I'\)。回忆， \[I'_{n + 1} = \left\{ \begin{matrix} (i_0, \ldots, i_{n + 1}) \in (I_n)^{n + 2} \text{，使得}\\ d^n_{b - 1}(i_a) = d^n_a(i_b) \text{ 对所有 }0\leq a < b\leq n + 1 \end{matrix} \right\}\] 若 \(i' \in I'_{n + 1}\) 是退化的，比如 \(i' = s^n_a(i)\)，则置 \(U_{i'} = U_i\)（无论如何，第二个条件已迫使我们这样做）。此时还置 \(J_{i'} = \{i'\}\)。若 \(i' \in I'_{n + 1}\) 是非退化的，比如 \(i' = (i_0, \ldots, i_{n + 1})\)，则选取集合 \(J_{i'}\) 和开覆盖 [071K]\[\begin{equation} U_{i_0} \cap \ldots \cap U_{i_{n + 1}} = \bigcup\nolimits_{i \in J_{i'}} U_i, \end{equation}\] 其中对 \(i \in J_{i'}\) 有 \(U_i \in \mathcal{B}\)。置 \[I_{n + 1} = \coprod\nolimits_{i' \in I'_{n + 1}} J_{i'}\] 存在典范映射 \(\pi : I_{n + 1} \to I'_{n + 1}\)；由构造，它在 \(I'_{n + 1}\) 的退化单形集合上是双射。对 \(i \in I_{n + 1}\)，定义 \(d^{n + 1}_a(i) = d^{n + 1}_a(\pi(i))\)。对 \(i \in I_n\)，把 \(s^n_a(i) \in I_{n + 1}\) 定义为位于退化单形 \(s^n_a(i) \in I'_{n + 1}\) 上方的唯一单形。略去验证这定义了 \(X\) 的一个 \((n + 1)\)-截断超覆盖。

引理

设 \(X\) 是拓扑空间，\(\mathcal{B}\) 是 \(X\) 的拓扑基。假设

\(X\) 是拟紧的；

每个 \(U \in \mathcal{B}\) 都是拟紧开集；

\(X\) 中任意两个拟紧开集的交仍拟紧。

则存在 \(X\) 的超覆盖 \((I, \{U_i\})\)，具有以下性质：

每个 \(U_i\) 都属于基 \(\mathcal{B}\)；

每个 \(I_n\) 都是有限集；特别地，

覆盖 (01H2)、 (01H3) 和 (01H4) 都是有限的。

证明

在引理 01H6 证明的构造中，若在 (071K) 处选取由 \(\mathcal{B}\) 中元素组成的有限覆盖，便直接得到结论。细节从略。

构造超覆盖

设 \(\mathcal{C}\) 是位点。本节按如下方式看待 \(\text{SR}(\mathcal{C})\) 的单纯对象。照例置 \(K_n = K([n])\)，并用 \(K(\varphi) : K_n \to K_m\) 表示与 \(\varphi : [m] \to [n]\) 相伴的态射。可以写 \(K_n = \{U_{n, i}\}_{i \in I_n}\)。对 \(\varphi : [m] \to [n]\)，态射 \(K(\varphi) : K_n \to K_m\) 由映射 \(\alpha(\varphi) : I_n \to I_m\) 以及对 \(i \in I_n\) 的态射 \(f_{\varphi, i} : U_{n, i} \to U_{m, \alpha(\varphi)(i)}\) 给出。 \(K\) 是 \(\text{SR}(\mathcal{C})\) 的单纯对象这一事实蕴含 \((I_n, \alpha(\varphi))\) 是单纯集，而且当 \(\psi : [l] \to [m]\) 时， \(f_{\psi, \alpha(\varphi)(i)} \circ f_{\varphi, i} = f_{\varphi \circ \psi, i}\)。

引理

设 \(\mathcal{C}\) 是位点，\(K\) 是 \(\text{SR}(\mathcal{C})\) 的 \(r\)-截断单纯对象。以下条件等价：

\(K\) 是分裂的（《单纯方法》定义 017P）；

\(f_{\varphi, i} : U_{n, i} \to U_{m, \alpha(\varphi)(i)}\) 对 \(r \geq n \geq 0\)、满射 \(\varphi : [m] \to [n]\) 和 \(i \in I_n\) 是同构；

\(f_{\sigma^n_j, i} : U_{n, i} \to U_{n + 1, \alpha(\sigma^n_j)(i)}\) 对 \(0 \leq j \leq n < r\) 和 \(i \in I_n\) 是同构。

对单纯对象也有同样结论，只需在 (2) 和 (3) 中置 \(r = \infty\)。

证明

单纯集的分裂是唯一的，并由各次数 \(n\) 中的非退化指标 \(N(I_n)\) 给出，见《单纯方法》引理 017R。 \(\text{SR}(\mathcal{C})\) 的两个对象 \(\{U_i\}_{i \in I}\) 和 \(\{U_j\}_{j \in J}\) 的余积，按显然记号由 \(\{U_l\}_{l \in I \amalg J}\) 给出。因此 \(K\) 的分裂必由 \(N(K_n) = \{U_i\}_{i \in N(I_n)}\) 给出。展开定义便得到 (1) 与 (2) 的等价性。任意满射 \(\varphi : [m] \to [n]\) 都是态射 \(\sigma^k_j\)（\(k = n, n + 1, \ldots, m - 1\)）的复合，故 (2) 与 (3) 等价。

引理

设 \(\mathcal{C}\) 是具有纤维积的位点， \(\mathcal{B} \subset \Ob(\mathcal{C})\) 是子集。假设

\(\mathcal{C}\) 的任意对象 \(U\) 都有一个满足 \(U_j \in \mathcal{B}\) 的覆盖 \(\{U_j \to U\}_{j \in J}\)；

若 \(\{U_j \to U\}_{j \in J}\) 是满足 \(U_j \in \mathcal{B}\) 的覆盖，且 \(\{U' \to U\}\) 是满足 \(U' \in \mathcal{B}\) 的态射，则 \(\{U_j \to U\}_{j \in J} \amalg \{U' \to U\}\) 是覆盖。

则对 \(\mathcal{C}\) 中的任意 \(X\)，存在 \(X\) 的超覆盖 \(K\)，使得 \(K_n = \{U_{n, i}\}_{i \in I_n}\)，并且对所有 \(i \in I_n\) 都有 \(U_{n, i} \in \mathcal{B}\)。

证明

引理 01H6 的证明是本证明的预备练习；建议读者先阅读那个证明。

先用位点 \(\mathcal{C}/X\) 替换 \(\mathcal{C}\)。这样做以后，可以假设 \(X\) 是 \(\mathcal{C}\) 的终对象，并且 \(\mathcal{C}\) 具有所有有限极限（《范畴论》引理 002O）。

设 \(n \geq 0\)。所谓 \(X\) 的一个 \(n\)-截断 \(\mathcal{B}\)-超覆盖，是 \(\text{SR}(\mathcal{C})\) 的一个 \(n\)-截断单纯对象 \(K\)，满足：对 \(i \in I_a\)、\(0 \leq a \leq n\) 有 \(U_{a, i} \in \mathcal{B}\)；\(K_0\) 是 \(X\) 的覆盖；且 \(K_{a + 1} \to (\text{cosk}_a \text{sk}_a K)_{a + 1}\) 对 \(a = 0, \ldots, n - 1\) 是定义 01G3 意义下的覆盖。

由假设，\(X\) 有一个满足 \(U_i \in \mathcal{B}\) 的覆盖 \(\{U_{0, i} \to X\}_{i \in I_0}\)，故得到 \(X\) 的一个 \(0\)-截断 \(\mathcal{B}\)-超覆盖。注意，\(X\) 的任意 \(0\)-截断 \(\mathcal{B}\)-超覆盖都是分裂的，见引理 0DAU。

若能证明：对 \(n \geq 0\)，给定 \(X\) 的一个分裂 \(n\)-截断 \(\mathcal{B}\)-超覆盖 \(K\)，可把它扩张为 \(X\) 的一个分裂 \((n + 1)\)-截断 \(\mathcal{B}\)-超覆盖，则引理成立。

构造该扩张。考虑 \(\text{SR}(\mathcal{C})\) 的 \((n + 1)\)-截断单纯对象 \(K' = \text{sk}_{n + 1}(\text{cosk}_n K)\)。写成 \[K'_{n + 1} = \{U'_{n + 1, i}\}_{i \in I'_{n + 1}}\] 由于 \(K = \text{sk}_n K'\)，对 \(0 \leq a \leq n\) 有 \(K_a = K'_a\)。对每个 \(i' \in I'_{n + 1}\)，选取覆盖 [0DAW]\[\begin{equation} \{g_{n + 1, j} : U_{n + 1, j} \to U'_{n + 1, i'}\}_{j \in J_{i'}} \end{equation}\] 使得对 \(j \in J_{i'}\) 有 \(U_{n + 1, j} \in \mathcal{B}\)。由引理中关于 \(\mathcal{B}\) 的假设，这是可能的。对 \(0 \leq m \leq n\)，用 \(N_m \subset I_m\) 表示非退化指标的子集。置 \[I_{n + 1} = \coprod\nolimits_{\varphi : [n + 1] \to [m]\text{ 满射，}0\leq m \leq n} N_m \amalg \coprod\nolimits_{i' \in I'_{n + 1}} J_{i'}\] 对 \(j \in I_{n + 1}\)，置 \[U_{n + 1, j} = \left\{ \begin{matrix} U_{m, i} & \text{若} & j = (\varphi, i) & \text{其中} & \varphi : [n + 1] \to [m], i \in N_m \\ U_{n + 1, j} & \text{若} & j \in J_{i'} & \text{其中} & i' \in I'_{n + 1} \end{matrix} \right.\] 记号是显然的。置 \(K_{n + 1} = \{U_{n + 1, j}\}_{j \in I_{n + 1}}\)。由构造，对所有 \(j \in I_{n + 1}\)，\(U_{n + 1, j}\) 都属于 \(\mathcal{B}\)。定义相容映射 \[I_{n + 1} \to I'_{n + 1} \quad\text{和}\quad K_{n + 1} \to K'_{n + 1}\] 具体地，第一个映射由 \((\varphi, i) \mapsto \alpha'(\varphi)(i)\) 和 \((j \in J_{i'}) \mapsto i'\) 给出；第二个映射使用态射 \[f'_{\varphi, i} : U_{m, i} \to U'_{n + 1, \alpha'(\varphi)(i)} \quad\text{和}\quad g_{n + 1, j} : U_{n + 1, j} \to U'_{n + 1, i'}\] 我们断言，态射 \[K_{n + 1} \to K'_{n + 1} = (\text{cosk}_n \text{sk}_n K')_{n + 1} = (\text{cosk}_n K)_{n + 1}\] 是定义 01G3 意义下的覆盖。事实上，若 \(i' \in I'_{n + 1}\)，则或者 \(i'\) 非退化，此时 \(i'\) 在 \(I_{n + 1}\) 中的逆像等于 \(J_{i'}\)，由选择 (0DAW) 得到 \(U'_{n + 1, i'}\) 的一个覆盖；或者 \(i'\) 退化，此时对唯一的偶对 \((\varphi, i)\)，\(i'\) 在 \(I_{n + 1}\) 中的逆像为 \(J_{i'} \amalg \{(\varphi, i)\}\)，由选择 (0DAW) 和引理的假设 (2) 得到覆盖。

为完成证明，还需定义与态射 \(\varphi : [m] \to [n + 1]\)、\(0 \leq m \leq n\) 对应的态射 \(K(\varphi) : K_{n + 1} \to K_m\)，以及与态射 \(\varphi : [n + 1] \to [m]\)、\(0 \leq m \leq n\) 对应的态射 \(K(\varphi) : K_m \to K_{n + 1}\)，并使它们满足适当的复合关系。对第一类，使用复合 \[K_{n + 1} \to K'_{n + 1} \xrightarrow{K'(\varphi)} K'_m = K_m\] 来定义 \(K(\varphi) : K_{n + 1} \to K_m\)。对第二类，设给定 \(\varphi : [n + 1] \to [m]\)、\(0 \leq m \leq n\)。如下定义相应态射 \(K(\varphi) : K_m \to K_{n + 1}\)：

对 \(i \in I_m\)，存在唯一满射 \(\psi : [m] \to [m_0]\) 以及唯一的非退化 \(i_0 \in I_{m_0}\)，使得 \(\alpha(\psi)(i_0) = i\)³；

置 \(\varphi_0 = \psi_0 \circ \varphi : [n + 1] \to [m_0]\)，并把 \(i \in I_m\) 映到 \((\varphi_0, i_0) \in I_{n + 1}\)；换言之， \(\alpha(\varphi)(i) = (\varphi_0, i_0)\)；

态射 \(f_{\varphi, i} : U_{m, i} \to U_{n + 1, \alpha(\varphi)(i)} = U_{m_0, i_0}\) 是同构 \(f_{\psi, i_0} : U_{m_0, i_0} \to U_{m, i}\) 的逆（见引理 0DAU）。

略去直接但繁琐的验证：这定义了 \(X\) 的一个分裂 \((n + 1)\)-截断 \(\mathcal{B}\)-超覆盖，扩张给定的 \(n\)-截断者。事实上，除需验证对所有 \(0 \leq a,b \leq n + 1\) 的 \(\varphi : [a] \to [b]\)，态射 \(K(\varphi)\) 的复合正确之外，其余一切均由以上构造显然成立。

引理

设 \(\mathcal{C}\) 是具有等化子和纤维积的位点， \(\mathcal{B} \subset \Ob(\mathcal{C})\) 是子集。假设 \(\mathcal{C}\) 的任意对象都有一个各成员属于 \(\mathcal{B}\) 的覆盖。则存在超覆盖 \(K\)，使得 \(K_n = \{U_i\}_{i \in I_n}\)，并且对所有 \(i \in I_n\) 都有 \(U_i \in \mathcal{B}\)。

证明

此证明与引理 0DAV 的证明几乎相同。这里只说明不同之处。

设 \(n \geq 1\)。所谓一个\(n\)-截断 \(\mathcal{B}\)-超覆盖，是 \(\text{SR}(\mathcal{C})\) 的一个 \(n\)-截断单纯对象 \(K\)，满足：对 \(i \in I_a\)、\(0 \leq a \leq n\) 有 \(U_{a, i} \in \mathcal{B}\)；并且

\(F(K_0)^\# \to *\) 是满射；

\(F(K_1)^\# \to F(K_0)^\# \times F(K_0)^\#\) 是满射；

\(F(K_{a + 1})^\# \to F((\text{cosk}_a \text{sk}_a K)_{a + 1})^\#\) 对 \(a = 1, \ldots, n - 1\) 是满射。

先显式构造一个分裂 \(1\)-截断 \(\mathcal{B}\)-超覆盖。

取 \(I_0 = \mathcal{B}\) 和 \(K_0 = \{U\}_{U \in \mathcal{B}}\)。由关于 \(\mathcal{B}\) 的假设，(1) 成立。置 \[\Omega = \{(U, V, W, a, b) \mid U, V, W \in \mathcal{B}, a : U \to V, b : U \to W\}\] 再置 \(I_1 = I_0 \amalg \Omega\)。对 \(i \in I_1\)，若 \(i \in I_0\)，置 \(U_{1, i} = U_{0, i}\)；若 \(i = (U, V, W, a, b) \in \Omega\)，置 \(U_{1, i} = U\)。映射 \(K(\sigma^0_0) : K_0 \to K_1\) 对应于包含 \(\alpha(\sigma^0_0) : I_0 \to I_1\) 和对象上的恒等态射 \(f_{\sigma^0_0, i} : U_{0, i} \to U_{1, i}\)。映射 \(K(\delta^1_0), K(\delta^1_1) : K_1 \to K_0\) 对应于两个映射 \(I_1 \to I_0\)：它们在 \(I_0 \subset I_1\) 上为恒等，并分别把 \((U, V, W, a, b) \in \Omega \subset I_1\) 映到 \(V\) 和 \(W\)。相应态射 \(f_{\delta^1_0, i}, f_{\delta^1_1, i} : U_{1, i} \to U_{0, i}\)，在 \(i \in I_0\) 时为恒等；在 \(i = (U, V, W, a, b) \in \Omega\) 时分别为 \(a,b\)。 (2) 成立的理由如下：\(F(K_0)^\# \times F(K_0)^\#\) 在 \(\mathcal{C}\) 的对象 \(U\) 上的任意截面，在用某个覆盖的各成员替换 \(U\) 后，都来自映射 \(U \to F(K_0) \times F(K_0)\)。这又意味着存在 \(V,W \in \mathcal{B}\) 和两个态射 \(U \to V\)、\(U \to W\)。进一步用某个覆盖的各成员替换 \(U\) 后，可以按要求假设 \(U \in \mathcal{B}\)。

若能证明：对 \(n \geq 1\)，给定一个分裂 \(n\)-截断 \(\mathcal{B}\)-超覆盖 \(K\)，可以把它扩张为一个分裂 \((n + 1)\)-截断 \(\mathcal{B}\)-超覆盖，则引理成立。这里的论证与引理 0DAV 的证明完全相同。除以下说明外，精确细节从略。第一，在本引理的证明中不需要假设 (2)，因为无需态射 \(K_{n + 1} \to (\text{cosk}_n K)_{n + 1}\) 本身是覆盖；只需它在相伴集合层上诱导满射，而这由《位点与层》引理 00WT 得出。第二，\(\mathcal{C}\) 具有纤维积和等化子的假设保证 \(\text{SR}(\mathcal{C})\) 具有纤维积和等化子，并且 \(F\) 与它们交换（引理 01G2）。这足以保证所用的余骨架函子存在（见《单纯方法》评注 09VS 和《范畴论》引理 04AT）。

引理

设 \(f : \mathcal{C} \to \mathcal{D}\) 是由函子 \(u : \mathcal{D} \to \mathcal{C}\) 给出的位点态射。假设 \(\mathcal{D}\) 和 \(\mathcal{C}\) 具有等化子和纤维积，且 \(u\) 与它们交换。若 \(\text{SR}(\mathcal{D})\) 的单纯对象 \(K\) 是超覆盖，则 \(u(K)\) 是超覆盖。

证明

如本节引言中那样写 \(K_n = \{U_{n, i}\}_{i \in I_n}\)，则 \(u(K)\) 是 \(\text{SR}(\mathcal{C})\) 的对象，其中 \(u(K_n) = \{u(U_i)\}_{i \in I_n}\)。由《位点与层》引理 04D3，对 \(U \in \Ob(\mathcal{D})\) 有 \(f^{-1}h_U^\# = h_{u(U)}^\#\)。这意味着对所有 \(n\)， \(f^{-1}F(K_n)^\# = F(u(K_n))^\#\)。验证定义 09VU 中 \(u(K)\) 成为超覆盖的条件 (1)、(2)、(3)。由于 \(f^{-1}\) 是正合函子，可得 \[F(u(K_0))^\# = f^{-1}F(K_0)^\# \to f^{-1}* = *\] 作为满射的拉回是满射，故得到 (1)。类似地， \[F(u(K_1))^\# = f^{-1}F(K_1)^\# \to f^{-1} (F(K_0) \times F(K_0))^\# = F(u(K_0))^\# \times F(u(K_0))^\#\] 作为拉回是满射，故得到 (2)。对于条件 (3)，要用相同方法得出结论，只需有 \[F((\text{cosk}_n \text{sk}_n u(K))_{n + 1})^\# = f^{-1}F((\text{cosk}_n \text{sk}_n K)_{n + 1})^\#\] 以上说明 \(f^{-1}F(-) = F(u(-))\)。因此只需证明，对 \(n \geq 1\)， \(u\) 与定义 \((\text{cosk}_n \text{sk}_n K)_{n + 1}\) 时所用的极限交换。由《单纯方法》评注 09VS，这些极限是有限连通极限；由假设，\(u\) 与它们交换。

引理

设 \(\mathcal{C},\mathcal{D}\) 是位点， \(u : \mathcal{D} \to \mathcal{C}\) 是连续函子。假设 \(\mathcal{D}\) 和 \(\mathcal{C}\) 具有纤维积，且 \(u\) 与纤维积交换。设 \(Y \in \mathcal{D}\)，并设 \(K \in \text{SR}(\mathcal{D}, Y)\) 是 \(Y\) 的超覆盖。则 \(u(K)\) 是 \(u(Y)\) 的超覆盖。

证明

这比引理 0DAY 的证明容易，因为“是某个对象的超覆盖”这一概念更强，见定义 01G5 和 01G3。事实上，由位点态射的定义，\(u\) 把覆盖送到覆盖。只需验证，对 \(n \geq 1\)，\(u\) 与定义 \((\text{cosk}_n \text{sk}_n K)_{n + 1}\) 时所用的极限交换。这是显然的，因为诱导函子 \(\mathcal{D}/Y \to \mathcal{C}/X\) 与所有有限极限交换（而由《范畴论》引理 002O，源和靶都具有所有有限极限）。

引理

设 \(\mathcal{C}\) 是位点，\(\mathcal{B} \subset \Ob(\mathcal{C})\) 是子集。假设

\(\mathcal{C}\) 具有纤维积；

对所有 \(X \in \Ob(\mathcal{C})\)，存在满足 \(U_i \in \mathcal{B}\) 的有限覆盖 \(\{U_i \to X\}_{i \in I}\)；

若 \(\{U_i \to X\}_{i \in I}\) 是满足 \(U_i \in \mathcal{B}\) 的有限覆盖，且 \(U \to X\) 是满足 \(U \in \mathcal{B}\) 的态射，则 \(\{U_i \to X\}_{i \in I} \amalg \{U \to X\}\) 是覆盖。

则对每个 \(X\)，存在 \(X\) 的超覆盖 \(K\)，使每个 \(K_n = \{U_{n, i} \to X\}_{i \in I_n}\) 中 \(I_n\) 有限，且 \(U_{n, i} \in \mathcal{B}\)。

证明

此引理是引理 01H7 的位点版本。证明时完全依照引理 0DAV 的证明，并注意以下两点：

选取初始覆盖 \(\{U_{0, i} \to X\}_{i \in I_0}\)，使 \(U_{0, i} \in \mathcal{B}\) 且指标集 \(I_0\) 有限；

选取覆盖 (0DAW) 时，取 \(J_{i'}\) 为有限集。

读者容易看出，经过这些修改，最终对所有 \(n\) 都得到有限指标集 \(I_n\)。

注

设 \(\mathcal{C}\) 是位点，\(K,L\) 是 \(\text{SR}(\mathcal{C})\) 的对象。写 \(K = \{U_i\}_{i \in I}\)、\(L = \{V_j\}_{j \in J}\)。假设 \(U = \coprod_{i \in I} U_i\) 和 \(V = \coprod_{j \in J} V_j\) 存在。于是得到 \[\Mor_{\text{SR}(\mathcal{C})}(K, L) \longrightarrow \Mor_\mathcal{C}(U, V)\] 如下。给定由 \(\alpha : I \to J\) 和 \(f_i : U_i \to V_{\alpha(i)}\) 给出的 \(f : K \to L\)，得到函子的变换 \[\Mor_\mathcal{C}(V, -) = \prod\nolimits_{j \in J} \Mor_\mathcal{C}(V_j, -) \to \prod\nolimits_{i \in I} \Mor_\mathcal{C}(U_i, -) = \Mor_\mathcal{C}(U, -)\] 它把 \((g_j)_{j \in J}\) 送到 \((g_{\alpha(i)} \circ f_i)_{i \in I}\)。因此 Yoneda 引理给出相应映射 \(U \to V\)。当然，\(U \to V\) 通过态射 \(f_i\) 把直和项 \(U_i\) 映入直和项 \(V_{\alpha(i)}\)。

注

设 \(\mathcal{C}\) 是具有纤维积和等化子的位点，\(K\) 是超覆盖。写 \(K_n = \{U_{n, i}\}_{i \in I_n}\)。假设

\(U_n = \coprod_{i \in I_n} U_{n, i}\) 存在；

\(\coprod_{i \in I_n} h_{U_{n, i}} \to h_{U_n}\) 在层化后诱导同构。

于是得到 \(\text{SR}(\mathcal{C})\) 的另一个单纯对象 \(L\)，其中 \(L_n = \{U_n\}\)，见评注 0DB0。我们断言 \(L\) 是超覆盖。为此验证定义 09VU 的条件 (1)、(2)、(3)。条件 (1) 由 (b) 和 \(K\) 的条件 (1) 得出；条件 (2) 完全类似。条件 (3) 由下式得出： \[\begin{align*} F((\text{cosk}_n \text{sk}_n L)_{n + 1})^\# & = ((\text{cosk}_n \text{sk}_n F(L)^\#)_{n + 1}) \\ & = ((\text{cosk}_n \text{sk}_n F(K)^\#)_{n + 1}) \\ & = F((\text{cosk}_n \text{sk}_n K)_{n + 1})^\# \end{align*}\] 其中 \(n \geq 1\)；因此完全如 (1)、(2) 那样，\(K\) 的相应条件蕴含 \(L\) 的相应条件。注意，\(F\) 与连通极限交换且层化正合，这证明第一和最后一个等式；中间的等式由 (b) 中 \(F(K)^\# = F(L)^\#\) 得出。

注

设 \(\mathcal{C}\) 是位点，\(X \in \Ob(\mathcal{C})\)。假设 \(\mathcal{C}\) 具有纤维积，并设 \(K\) 是 \(X\) 的超覆盖。写 \(K_n = \{U_{n, i}\}_{i \in I_n}\)。假设

\(U_n = \coprod_{i \in I_n} U_{n, i}\) 存在；

给定 \(\text{SR}(\mathcal{C})\) 中的态射 \((\alpha, f_i) : \{U_i\}_{i \in I} \to \{V_j\}_{j \in J}\) 和 \((\beta, g_k) : \{W_k\}_{k \in K} \to \{V_j\}_{j \in J}\) ，且 \(U = \coprod U_i\)、\(V = \coprod V_j\) 和 \(W = \coprod W_j\) 存在，则 \(U \times_V W = \coprod_{(i, j, k), \alpha(i) = j = \beta(k)} U_i \times_{V_j} W_k\)；

若 \((\alpha, f_i) : \{U_i\}_{i \in I} \to \{V_j\}_{j \in J}\) 是定义 01G3 意义下的覆盖，且 \(U = \coprod U_i\) 和 \(V = \coprod V_j\) 存在，则评注 0DB0 中相应的态射 \(U \to V\) 是 \(\mathcal{C}\) 的覆盖。

于是得到 \(\text{SR}(\mathcal{C})\) 的另一个单纯对象 \(L\)，其中 \(L_n = \{U_n\}\)，见评注 0DB0。我们断言 \(L\) 是 \(X\) 的超覆盖。为此验证定义 01G5 的条件 (1)、(2)。条件 (1) 由 (c) 和 \(K\) 的条件 (1) 得出，因为 \(K\) 的条件 (1) 表明 \(K_0 = \{U_{0, i}\}_{i \in I_0}\) 是定义 01G3 意义下 \(\{X\}\) 的覆盖。条件 (2) 成立，是因为 \(\mathcal{C}/X\) 具有所有有限极限，故 \(\text{SR}(\mathcal{C}/X)\) 也具有所有有限极限，而条件 (b) 表明 “取不交并”的构造与这些有限极限交换。因此态射 \[L_{n + 1} \longrightarrow (\text{cosk}_n \text{sk}_n L)_{n + 1}\] 是覆盖，因为它是把“取不交并”函子应用于态射 \[K_{n + 1} \longrightarrow (\text{cosk}_n \text{sk}_n K)_{n + 1}\] 所得的结果；由 \(K\) 的条件 (2)，后者被假设为定义 01G3 意义下的覆盖。这一说法有意义，因为性质 (b) 特别保证：若从 \(X\) 上一张可取不交并的半可表对象有限图出发，则该图在 \(\text{SR}(\mathcal{C}/X)\) 中的极限仍是 \(X\) 上可取不交并的半可表对象。

由于 \(\mathcal{C}\) 有纤维积，范畴 \(\mathcal{C}/X\) 有全部有限极限。因此，由《单纯方法》引理 0183，所需余骨架存在。↩︎
\(\mathcal{C}\) 中具有此性质的态射有时称为“覆盖态射”。↩︎
例如，若 \(i\) 非退化，则 \(m = m_0\) 且 \(\psi = \text{id}_{[m]}\)。↩︎