拓扑

引言

本文将介绍基础拓扑学。可参见 [Engelking]。

基本概念

下面列出拓扑学中的若干基本概念。其中一些将在后文作更详细的讨论， 另一些已在表中定义；其余则视为基础知识而不再定义。如果你对大多数斜体概念 尚不熟悉，我们建议先阅读一本拓扑学入门教材，再继续阅读本文。

1. \(X\) 是一个拓扑空间，

2. \(x\in X\) 是一个点，

3. \(E \subset X\) 是一个局部闭子集，

4. \(x\in X\) 是一个闭点，

5. \(E \subset X\) 是一个稠密子集，

6. \(f : X_1 \to X_2\) 是连续的，

7. 扩展实值函数 \(f : X \to \mathbf{R} \cup \{\infty, -\infty\}\) 称为 上半连续的，如果对每个 \(a \in \mathbf{R}\)， \(\{x \in X \mid f(x) < a\}\) 都是开集，

8. 扩展实值函数 \(f : X \to \mathbf{R} \cup \{\infty, -\infty\}\) 称为 下半连续的，如果对每个 \(a \in \mathbf{R}\)， \(\{x \in X \mid f(x) > a\}\) 都是开集，

9. 空间间的连续映射 \(f : X \to Y\) 称为开映射，如果对每个开集 \(U \subset X\)，\(f(U)\) 在 \(Y\) 中是开集，

10. 空间间的连续映射 \(f : X \to Y\) 称为闭映射，如果对每个闭集 \(Z \subset X\)，\(f(Z)\) 在 \(Y\) 中是闭集，

11. 点 \(x \in X\) 的一个邻域是任意子集 \(E \subset X\)， 它包含某个含有 \(x\) 的开子集，

12. 子集 \(E \subset X\) 上的诱导拓扑，

13. \(\mathcal{U} : U = \bigcup_{i \in I} U_i\) 是 \(U\) 的一个 开覆盖（注意：允许任意 \(U_i\) 为空；当 \(U\) 为空时，甚至允许 \(I\) 为空集），

14. 如 (004K) 中覆盖的一个子覆盖，是满足 \(I' \subset I\) 的 开覆盖 \(\mathcal{U}' : U = \bigcup_{i \in I'} U_i\)，

15. 开覆盖 \(\mathcal{V}\) 是开覆盖 \(\mathcal{U}\) 的一个加细 （若 \(\mathcal{V} : U = \bigcup_{j \in J} V_j\) 且 \(\mathcal{U} : U = \bigcup_{i \in I} U_i\)，这意味着每个 \(V_j\) 都完全包含于某个 \(U_i\) 中），

16. \(\{ E_i \}_{i \in I}\) 是 \(X\) 中点 \(x\) 的一个邻域基本系，

17. 拓扑空间 \(X\) 称为Hausdorff 空间或分离空间，当且仅当对任意两个 不同的点 \(x, y \in X\)，存在不交的开集 \(U, V \subset X\)，使得 \(x \in U\)、\(y \in V\)，

18. 两个拓扑空间的积， [08ZB]

19. 一对连续映射 \(f : X \to Y\) 和 \(g : Z \to Y\) 的 纤维积 \(X \times_Y Z\)，

20. 集合上的离散拓扑与平凡拓扑，

21. 等等。

Hausdorff 空间

拓扑空间范畴具有有限积。

引理

设 \(X\) 为拓扑空间。下列条件等价：

1. \(X\) 是 Hausdorff 空间，

2. 对角线 \(\Delta(X) \subset X \times X\) 是闭集。

证明

假设 \(X\) 是 Hausdorff 空间。设 \((x, y) \not \in \Delta(X)\)，即 \(x \neq y\)。存在 \(X\) 中不交的开集 \(U\) 与 \(V\)，使得 \(x \in U\) 且 \(y \in V\)。于是 \(U \times V \subset (X \times X) \setminus \Delta(X)\)。这说明 \((X \times X) \setminus \Delta(X)\) 是 \(X \times X\) 的开集，也就等价于说对角线 \(\Delta(X) \subset X \times X\) 在 \(X \times X\) 中是闭集。 反之也类似：补集 \((X \times X) \setminus \Delta(X)\) 恰由满足 \(x \neq y\) 的 \((x, y) \in X\times X\) 组成。因此，如果 \(\Delta(X) \subset X \times X\) 是闭集，那么由积拓扑的定义， 对每个这样的 \((x, y)\)，存在开集 \(U, V \subset X\)，满足 \((x, y) \in U \times V\) 且 \((U \times V)\cap \Delta(X) = \emptyset\)。 换言之，\(x \in U\)、\(y \in V\) 且 \(U \cap V = \emptyset\)。

引理

设 \(f : X \to Y\) 为拓扑空间间的连续映射。 若 \(Y\) 是 Hausdorff 空间，则 \(f\) 的图在 \(X \times Y\) 中是闭的。

证明

该图是映射 \(X \times Y \to Y \times Y\) 下对角线的逆像。 因此本引理由引理 08ZE 得出。

引理

设 \(f : X \to Y\) 为拓扑空间间的连续映射。设 \(s : Y \to X\) 为满足 \(f \circ s = \text{id}_Y\) 的连续映射。若 \(X\) 是 Hausdorff 空间， 则 \(s(Y)\) 是闭集。

证明

由引理 08ZE 以及 \(s(Y) = \{x \in X \mid x = s(f(x))\}\) 可得。

引理

设 \(X \to Z\) 和 \(Y \to Z\) 为拓扑空间间的连续映射。 若 \(Z\) 是 Hausdorff 空间，则 \(X \times_Z Y\) 在 \(X \times Y\) 中是闭的。

证明

由引理 08ZE 可得，因为 \(X \times_Z Y\) 是映射 \(X \times Y \to Z \times Z\) 下 \(\Delta(Z)\) 的逆像。

分离映射

本节只给出定义和若干简单引理。

定义

拓扑空间间的连续映射 \(f : X \to Y\) 称为分离的，当且仅当 对角映射 \(\Delta : X \to X \times_Y X\) 是闭映射。

引理

设 \(f : X \to Y\) 为拓扑空间间的连续映射。下列条件等价：

1. \(f\) 是分离的，

2. \(\Delta(X) \subset X \times_Y X\) 是闭子集，

3. 对于映到 \(Y\) 中同一点的任意不同两点 \(x, x' \in X\)， 存在分别为 \(x\) 与 \(x'\) 的不交开邻域。

证明

若 \(f\) 分离，则由定义 0CY1，\(\Delta\) 是闭映射。 由于 \(X\) 在 \(X\) 中闭，\(\Delta(X)\) 在 \(X\times_Y X\) 中闭。 因此 (1) 蕴含 (2)。

假设 \(\Delta(X) \subset X \times_Y X\) 是闭子集，并令 \(U\) 表示其开补集。 这意味着存在开集 \(W \subset X \times X\)，使得 \(W \cap (X \times_Y X) = U\)。另一方面，由积拓扑的定义，若 \((x, x') \in W \cap (X \times_Y X)\)，则存在 \(X\) 的开集 \(V\) 与 \(V'\)， 使得 \(x \in V\)、\(x' \in V'\) 且 \(V \times V' \subset W\)。 若 \(V \cap V' \neq \emptyset\)，则存在 \(z \in V \cap V'\)。 然而 \((z, z) \in X \times_Y X\)，所以 \((z,z) \in (V \times V') \cap (X\times_Y X) \subset U\)，矛盾。 因此 \(V \cap V' = \emptyset\)，从而得到 \(x\) 与 \(x'\) 的两个不交开邻域。 这证明 (2) 蕴含 (3)。

最后，假设对任意映到 \(Y\) 中同一点的不同两点 \(x, x' \in X\)， 都存在 \(x\) 的一个开邻域与 \(x'\) 的一个开邻域，且二者不交。 设 \(F\) 为 \(X\) 的闭集。我们证明 \(\Delta(F)\) 是 \(X \times_Y X\) 的闭子集。取 \((x, x') \in X \times_Y X\) 且不属于 \(\Delta(F)\)。 于是或者 \(x \not = x'\)，或者 \(x \not \in F\)。 在第一种情形，选取 \(x, x'\) 的不交开邻域 \(V, V' \subset X\)，于是 \((V \times V') \cap X \times_Y X\) 是 \((x, x')\) 的一个开邻域， 且不与 \(\Delta(F)\) 相交。在第二种情形， \(((X \setminus F) \times X) \cap X \times_Y X\) 是 \((x, x')\) 的一个 开邻域，且不与 \(\Delta(F)\) 相交。由此证明 (3) 蕴含 (1)。

引理

设 \(f : X \to Y\) 为拓扑空间间的连续映射。若 \(X\) 是 Hausdorff 空间， 则 \(f\) 是分离的。

证明

由引理 0CY2 与引理 08ZE 立即可得， 因为 \(\Delta(X)\) 在 \(X \times X\) 中闭蕴含 \(\Delta(X)\) 在 \(X \times_Y X\) 中闭。

引理

设 \(f : X \to Y\) 与 \(Y' \to Y\) 为拓扑空间间的连续映射。 若 \(f\) 分离，则 \(f' : Y' \times_Y X \to Y'\) 分离。

证明

由引理 0CY2 的刻画 (2) 可得。事实上，令 \(X' = Y' \times_Y X\)，则纤维积 \(X' \times_{Y'} X'\) 中的对角线 \(\Delta(X')\) 是 \(X \times_Y X\) 中 \(\Delta(X)\) 的逆像。

基

本节介绍拓扑空间之基的基本材料。

定义

设 \(X\) 为拓扑空间。\(X\) 的一个子集族 \(\mathcal{B}\) 称为 \(X\) 上拓扑的一个基或\(X\) 上拓扑的一个基底，如果满足：

1. 每个元素 \(B \in \mathcal{B}\) 都在 \(X\) 中开。

2. 对每个开集 \(U \subset X\) 以及每个 \(x \in U\)，存在 \(B \in \mathcal{B}\)，使得 \(x \in B \subset U\)。

下面的引理有时用来定义拓扑。

引理

设 \(X\) 为集合，\(\mathcal{B}\) 为一个子集族。假设 \(X = \bigcup_{B \in \mathcal{B}} B\)，并且对任意 \(x \in B_1 \cap B_2\)，其中 \(B_1, B_2 \in \mathcal{B}\)， 都存在 \(B_3 \in \mathcal{B}\)，使得 \(x \in B_3 \subset B_1 \cap B_2\)。那么 \(X\) 上存在唯一的拓扑， 使得 \(\mathcal{B}\) 是该拓扑的一个基底。

证明

令 \(\sigma(\mathcal B)\) 表示 \(X\) 的所有可写成 \(\mathcal B\) 中元素之并的 子集所成的集合。我们断言 \(\sigma(\mathcal{B})\) 是一个拓扑。 事实上，空集属于 \(\sigma(\mathcal{B})\)（作为空并），而 \(X\) 属于 \(\sigma(\mathcal{B})\)（作为 \(\mathcal{B}\) 所有元素之并）。显然 \(\sigma(\mathcal{B})\) 对任意并封闭。最后，若 \(U, V \in \sigma(\mathcal{B})\)，则可写 \(U = \bigcup_{i \in I} U_i\) 和 \(V = \bigcup_{j \in J} V_j\)， 其中对所有 \(i \in I\) 与 \(j \in J\)，都有 \(U_i, V_j \in \mathcal{B}\)。 于是 \[U \cap V = \bigcup\nolimits_{i \in I, j \in J} U_i \cap V_j\] 引理中的假设告诉我们 \(U_i \cap V_j \in \sigma(\mathcal{B})\)， 因而 \(U \cap V\) 也属于其中。故 \(\sigma(\mathcal{B})\) 是一个拓扑。 定义 004P 的性质 (1) 与 (2) 对此拓扑立即成立。 为证明该拓扑的唯一性，设 \(\mathcal T\) 为 \(X\) 上一个以 \(\mathcal B\) 为基的拓扑。由定义 004P 的 (1)， \(\mathcal{B}\) 的每个元素当然都属于 \(\mathcal{T}\)，所以 \(\sigma(\mathcal{B}) \subset \mathcal{T}\)。反之，定义 004P 的 (2) 表明 \(\mathcal{T}\) 的每个元素都是 \(\mathcal{B}\) 中元素之并，即 \(\mathcal{T} \subset \sigma(\mathcal{B})\)。 证毕。

引理

设 \(X\) 为拓扑空间，\(\mathcal{B}\) 为 \(X\) 上拓扑的一个基底。 设 \(\mathcal{U} : U = \bigcup_i U_i\) 为 \(U \subset X\) 的一个开覆盖。 则存在开覆盖 \(U = \bigcup V_j\)，它是 \(\mathcal{U}\) 的加细， 并且每个 \(V_j\) 都是基底 \(\mathcal{B}\) 的元素。

证明

若 \(x \in U = \bigcup_{i\in I} U_i\)，则存在 \(i_x \in I\)，使得 \(x \in U_{i_x}\)。因此存在 \(B_{i_x} \in \mathcal{B}\)，满足 \(x \in B_{i_x} \subset U_{i_x}\)。令 \(J = \{i_x | x \in U\}\)，并对 \(j = i_x \in J\) 令 \(V_j = B_{i_x}\)。 这给出所需的 \(U\) 的开覆盖 \(\{V_j\}_{j \in J}\)。

定义

设 \(X\) 为拓扑空间。\(X\) 的一个子集族 \(\mathcal{B}\) 称为 \(X\) 上拓扑的一个子基或\(X\) 上拓扑的一个子基底， 如果 \(\mathcal{B}\) 中元素的有限交构成 \(X\) 上拓扑的一个基底。

特别地，\(\mathcal{B}\) 的每个元素都是开集。

引理

设 \(X\) 为集合。给定 \(X\) 的任意子集族 \(\mathcal{B}\)，\(X\) 上存在唯一的拓扑， 使得 \(\mathcal{B}\) 是该拓扑的一个子基。

证明

按约定，\(\bigcap_\emptyset B = X\)。因此可将引理 0D5P 应用于 \(\mathcal B\) 中元素的有限交所成的集合。

引理

设 \(X\) 为拓扑空间，\(\mathcal{B}\) 为 \(X\) 的一个开集族。假设 \(X = \bigcup_{U \in \mathcal{B}} U\)，并且对 \(U, V \in \mathcal{B}\) 有 \(U \cap V = \bigcup_{W \in \mathcal{B}, W \subset U \cap V} W\)。 那么存在拓扑空间间的连续映射 \(f : X \to Y\)，满足：

1. 对 \(U \in \mathcal{B}\)，像 \(f(U)\) 是开集；

2. 对 \(U \in \mathcal{B}\)，有 \(f^{-1}(f(U)) = U\)；

3. 开集 \(f(U)\)（\(U \in \mathcal{B}\)）构成 \(Y\) 上拓扑的一个基底。

证明

在 \(X\) 的点上按下式定义等价关系 \(\sim\)： \[x \sim y \Leftrightarrow (\forall U \in \mathcal{B} : x \in U \Leftrightarrow y \in U)\] 令 \(Y\) 为等价类的集合，\(f : X \to Y\) 为自然映射。 按构造，(2) 成立。对 \(\mathcal{B}\) 的假设恰好对应于引理 0D5P 对子集 \(f(U)\)（\(U \in \mathcal{B}\)）之集合的假设。 因此 \(Y\) 上存在唯一的拓扑使 (3) 成立，而 (1) 也随即显然成立。

浸没映射

若 \(X\) 是拓扑空间而 \(E \subset X\) 是一个子集，我们通常在 \(E\) 上赋予 诱导拓扑。

引理

设 \(X\) 为拓扑空间，\(Y\) 为集合，并设 \(f : Y \to X\) 为集合间的单射。 \(Y\) 上的诱导拓扑可由下列任一陈述刻画：

1. 它是使 \(f\) 连续的 \(Y\) 上最弱拓扑，

2. \(Y\) 的开子集恰为 \(f^{-1}(U)\)，其中 \(U \subset X\) 为开集，

3. \(Y\) 的闭子集恰为 \(f^{-1}(Z)\)，其中 \(Z \subset X\) 为闭集。

证明

集合 \(\mathcal{T} = \{f^{-1}(U) | U \subset X \text{ 开}\}\) 是 \(Y\) 上的一个拓扑。首先，\(\emptyset = f^{-1}(\emptyset)\) 且 \(f^{-1}(X) = Y\)。 所以 \(\mathcal{T}\) 包含 \(\emptyset\) 与 \(Y\)。

现设 \(\{V_i\}_{i \in I}\) 为一族开子集，其中 \(V_i \in \mathcal{T}\)， 并写成 \(V_i = f^{-1}(U_i)\)，这里 \(U_i\) 是 \(X\) 的开子集。则 \[\bigcup\nolimits_{i\in I} V_i = \bigcup\nolimits_{i\in I} f^{-1}(U_i) = f^{-1}\left(\bigcup\nolimits_{i\in I} U_i\right)\] 由于 \(\bigcup_{i\in I} U_i\) 在 \(X\) 中开，故 \(\bigcup_{i\in I} V_i \in \mathcal{T}\)。 再设 \(V_1, V_2 \in \mathcal{T}\)。存在 \(X\) 中的开集 \(U_1, U_2\)， 使得 \(V_1 = f^{-1}(U_1)\) 且 \(V_2 = f^{-1}(U_2)\)。于是 \[V_1 \cap V_2 = f^{-1}(U_1) \cap f^{-1}(U_2) = f^{-1}(U_1 \cap U_2)\] 由于 \(U_1 \cap U_2\) 在 \(X\) 中开，故 \(V_1 \cap V_2 \in \mathcal{T}\)。

根据连续映射的定义，\(Y\) 上任何使 \(f\) 连续的拓扑都包含 \(\mathcal{T}\)。所以 \(\mathcal{T}\) 确实是使 \(f\) 连续的 \(Y\) 上最弱拓扑。 这证明 (1) 与 (2) 等价。

对所有子集 \(E \subset X\) 都有等式 \(f^{-1}(X \setminus E) = Y \setminus f^{-1}(E)\)，故 (2) 与 (3) 等价。

对偶地，若 \(X\) 是拓扑空间且 \(X \to Y\) 是集合间的满射，则可在 \(Y\) 上赋予商拓扑。

引理

设 \(X\) 为拓扑空间，\(Y\) 为集合，并设 \(f : X \to Y\) 为集合间的满射。 \(Y\) 上的商拓扑可由下列任一陈述刻画：

1. 它是使 \(f\) 连续的 \(Y\) 上最强拓扑，

2. \(Y\) 的子集 \(V\) 是开集，当且仅当 \(f^{-1}(V)\) 是开集，

3. \(Y\) 的子集 \(Z\) 是闭集，当且仅当 \(f^{-1}(Z)\) 是闭集。

证明

集合 \(\mathcal{T} = \{V\subset Y | f^{-1}(V) \text{ 开}\}\) 是 \(Y\) 上的一个拓扑。首先，\(\emptyset = f^{-1}(\emptyset)\) 且 \(f^{-1}(Y) = X\)。 所以 \(\mathcal{T}\) 包含 \(\emptyset\) 与 \(Y\)。

设 \((V_i)_{i \in I}\) 为一族元素 \(V_i \in \mathcal{T}\)。则 \[\bigcup\nolimits_{i\in I} f^{-1}(V_i) = f^{-1}\left(\bigcup\nolimits_{i\in I} V_i\right)\] 由于 \(\bigcup_{i\in I}f^{-1}(V_i)\) 在 \(X\) 中开，故 \(\bigcup_{i\in I} V_i \in \mathcal{T}\)。此外，若 \(V_1, V_2 \in \mathcal{T}\)，则 \[f^{-1}(V_1) \cap f^{-1}(V_2) = f^{-1}(V_1 \cap V_2)\] 由于 \(f^{-1}(V_1) \cap f^{-1}(V_2)\) 在 \(X\) 中开，故 \(V_1 \cap V_2 \in \mathcal{T}\)。

最后，根据连续函数的定义，\(Y\) 上任何使 \(f\) 连续的拓扑都包含于 \(\mathcal{T}\)，所以 \(\mathcal{T}\) 是使 \(f\) 连续的 \(Y\) 上最强拓扑。 这证明 (1) 与 (2) 等价。

最后，对所有子集 \(E \subset X\) 都有 \(f^{-1}(X\setminus E) = Y \setminus f^{-1}(E)\)，故 (2) 与 (3) 等价。

设 \(f : X \to Y\) 为拓扑空间间的连续映射。此时，作为集合间的映射， 我们得到分解 \(X \to f(X) \to Y\)。可以在 \(f(X)\) 上赋予由满射 \(X \to f(X)\) 给出的商拓扑，也可以赋予由单射 \(f(X) \to Y\) 给出的 诱导拓扑。映射 \[(f(X), \text{商拓扑}) \longrightarrow (f(X), \text{诱导拓扑})\] 是连续的。

定义

设 \(f : X \to Y\) 为拓扑空间间的连续映射。

1. 如果 \(f(X)\) 上的诱导拓扑与商拓扑相同（见上面的讨论）， 则称 \(f\) 为一个拓扑空间的严格映射。

2. 如果 \(f\) 是满射且严格，则称 \(f\) 是浸没的 ¹。

因此，连续映射 \(f : X \to Y\) 是浸没的，当且仅当 \(f\) 是满射， 并且对任意 \(T \subset Y\)，\(T\) 为开集或闭集当且仅当 \(f^{-1}(T)\) 亦然。换言之，相对于满射 \(X \to Y\)，\(Y\) 具有商拓扑。

引理

设 \(f : X \to Y\) 为拓扑空间间满、开且连续的映射。 设 \(T \subset Y\) 为子集。则

1. \(f^{-1}(\overline{T}) = \overline{f^{-1}(T)}\)，

2. \(T \subset Y\) 是闭集，当且仅当 \(f^{-1}(T)\) 是闭集，

3. \(T \subset Y\) 是开集，当且仅当 \(f^{-1}(T)\) 是开集，

4. \(T \subset Y\) 是局部闭集，当且仅当 \(f^{-1}(T)\) 是局部闭集。

特别地，\(f\) 是浸没的。

证明

显然 \(\overline{f^{-1}(T)} \subset f^{-1}(\overline{T})\)。 若 \(x \in X\) 且 \(x \not \in \overline{f^{-1}(T)}\)，则存在开邻域 \(x \in U \subset X\)，使得 \(U \cap f^{-1}(T) = \emptyset\)。 由于 \(f\) 是开映射，\(f(U)\) 是 \(f(x)\) 的一个不与 \(T\) 相交的开邻域。 所以 \(x \not \in f^{-1}(\overline{T})\)。这证明 (1)。 (2) 是 (1) 的简单推论。(3) 由 \(f\) 开且满立即得出。 对于 (4)，若 \(f^{-1}(T)\) 局部闭，则 \(f^{-1}(T) \subset \overline{f^{-1}(T)} = f^{-1}(\overline{T})\) 是开集。因此，将 (3) 应用于映射 \(f^{-1}(\overline{T}) \to \overline{T}\)，可知 \(T\) 在 \(\overline{T}\) 中开，即 \(T\) 局部闭。

引理

设 \(f : X \to Y\) 为拓扑空间间满、闭且连续的映射。 设 \(T \subset Y\) 为子集。则

1. \(\overline{T} = f(\overline{f^{-1}(T)})\)，

2. \(T \subset Y\) 是闭集，当且仅当 \(f^{-1}(T)\) 是闭集，

3. \(T \subset Y\) 是开集，当且仅当 \(f^{-1}(T)\) 是开集，

4. \(T \subset Y\) 是局部闭集，当且仅当 \(f^{-1}(T)\) 是局部闭集。

特别地，\(f\) 是浸没的。

证明

显然 \(\overline{f^{-1}(T)} \subset f^{-1}(\overline{T})\)。 于是 \(T \subset f(\overline{f^{-1}(T)}) \subset \overline{T}\) 是闭子集，从而得到 (1)。(2) 由 \(f\) 是闭映射且满射立即可得。 (3) 由将 (2) 应用于 \(T\) 的补集得到。 对于 (4)，若 \(f^{-1}(T)\) 局部闭，则 \(f^{-1}(T) \subset \overline{f^{-1}(T)}\) 是开集。 由 (1)，映射 \(\overline{f^{-1}(T)} \to \overline{T}\) 是满射， 所以可将 (3) 应用于由 \(f\) 诱导的映射 \(\overline{f^{-1}(T)} \to \overline{T}\)，从而得出 \(T\) 在 \(\overline{T}\) 中开，即 \(T\) 局部闭。

连通分支

定义

设 \(X\) 为拓扑空间。

1. 如果 \(X\) 非空，并且每当 \(X = T_1 \amalg T_2\)，其中 \(T_i \subset X\) 既开又闭时，必有 \(T_1 = \emptyset\) 或 \(T_2 = \emptyset\)，则称 \(X\) 是连通的。

2. 如果 \(T \subset X\) 是 \(X\) 的极大连通子集，则称 \(T\) 是 \(X\) 的一个连通分支。

空空间不是连通的。

引理

设 \(f : X \to Y\) 为拓扑空间间的连续映射。若 \(E \subset X\) 是连通子集， 则 \(f(E) \subset Y\) 也是连通的。

证明

设 \(A \subset f(E)\) 为 \(f(E)\) 的一个既开又闭的子集。由于 \(f\) 连续， \(f^{-1}(A)\) 是 \(E\) 的一个既开又闭的子集。由于 \(E\) 连通， \(f^{-1}(A) = \emptyset\) 或 \(f^{-1}(A) = E\)。另一方面，\(A\subset f(E)\) 蕴含 \(A = f(f^{-1}(A))\)。事实上，若 \(x\in f(f^{-1}(A))\)，则存在 \(y\in f^{-1}(A)\) 使 \(f(y) = x\)；又因为 \(y\in f^{-1}(A)\)，有 \(f(y) \in A\)，即 \(x\in A\)。反之，若 \(x\in A\)，由 \(A\subset f(E)\)， 存在 \(y\in E\) 使 \(f(y) = x\)。因此 \(y\in f^{-1}(A)\)，从而 \(x\in f(f^{-1}(A))\)。于是 \(A = \emptyset\) 或 \(A = f(E)\)，这证明 \(f(E)\) 连通。

引理

设 \(X\) 为拓扑空间。

1. 若 \(T \subset X\) 连通，则其闭包也连通。

2. \(X\) 的任意连通分支都是闭的（但未必是开的）。

3. \(X\) 的每个连通子集都包含于 \(X\) 的唯一一个连通分支中。

4. \(X\) 的每个点都包含于唯一一个连通分支中；换言之，\(X\) 是其各连通分支 的不交并。

证明

设 \(\overline{T}\) 为连通子集 \(T\) 的闭包。假设 \(\overline{T} = T_1 \amalg T_2\)，其中 \(T_i \subset \overline{T}\) 既开又闭。则 \(T = (T\cap T_1) \amalg (T \cap T_2)\)。 所以 \(T\) 等于二者之一，比如 \(T = T_1 \cap T\)。于是 \(\overline{T} \subset T_1\)。这蕴含 (1) 与 (2)。

设 \(A\) 为 \(X\) 的一族非空连通子集，且 \(\Omega = \bigcap_{T \in A} T\) 非空。我们断言 \(E = \bigcup_{T \in A} T\) 连通。事实上，\(E\) 包含 \(\Omega\)，故非空。 设 \(E = E_1 \amalg E_2\)，其中 \(E_i\) 在 \(E\) 中闭。重新编号后，可设 \(E_1\) 与 \(\Omega\) 相交。于是每个 \(T \in A\) 都与 \(E_1\) 相交；由于 \(T\) 连通，它必包含于 \(E_1\)。故 \(E \subset E_1\)，断言得证。

设 \(W \subset X\) 为非空连通子集。将上一段的结果应用于 \(X\) 中所有包含 \(W\) 的连通子集所成的集合，便可看出 \(E\) 是 \(X\) 的一个连通分支。 这证明 (3) 中的存在性与唯一性。

设 \(x \in X\)。在上一段中取 \(W = \{x\}\)，可知 \(x\) 包含于 \(X\) 的 唯一一个连通分支中。任意两个不同的连通分支必不交（由第二段的结果）。

要得到连通分支不为开集的例子，只需取带有积拓扑的无穷积 \(\prod_{n \in \mathbf{N}} \{0, 1\}\)。它的连通分支都是单点集，而这些 单点集不是开集。

注

设 \(X\) 为拓扑空间，\(x \in X\)。设 \(Z \subset X\) 为 \(X\) 中经过 \(x\) 的 连通分支。考虑 \(X\) 中所有包含 \(x\) 的既开又闭子集之交 \(E\)。 显然 \(Z \subset E\)。一般而言 \(Z \not = E\)。例如，令 \(X = \{x, y, z_1, z_2, \ldots\}\)，并赋予以下开集族为基的拓扑： 对所有 \(n\)，取 \(\{z_n\}\)、\(\{x, z_n, z_{n + 1}, \ldots\}\) 以及 \(\{y, z_n, z_{n + 1}, \ldots\}\)。则 \(Z = \{x\}\) 且 \(E = \{x, y\}\)。细节从略。

引理

设 \(f : X \to Y\) 为拓扑空间间的连续映射。假设

1. \(f\) 的所有纤维都连通，并且

2. 子集 \(T \subset Y\) 是闭的，当且仅当 \(f^{-1}(T)\) 是闭的。

则 \(f\) 诱导 \(X\) 与 \(Y\) 的连通分支集合之间的双射。

证明

设 \(T \subset Y\) 为一个连通分支。注意 \(T\) 是闭的，参见引理 004T。只要证明 \(f^{-1}(T)\) 连通，本引理即得证， 因为由引理 0376，\(X\) 的任何连通子集都映入 \(Y\) 的某个连通分支。假设 \(f^{-1}(T) = Z_1 \amalg Z_2\)，其中 \(Z_1\)、\(Z_2\) 闭。对任意 \(t \in T\)，有 \(f^{-1}(\{t\}) = Z_1 \cap f^{-1}(\{t\}) \amalg Z_2 \cap f^{-1}(\{t\})\)。 由 (1)，\(f^{-1}(\{t\})\) 连通，因而或者 \(f^{-1}(\{t\}) \subset Z_1\)，或者 \(f^{-1}(\{t\}) \subset Z_2\)。 换言之，\(T = T_1 \amalg T_2\)，其中 \(f^{-1}(T_i) = Z_i\)。 由 (2)，\(T_i\) 在 \(Y\) 中闭。因此按所需，\(T_1 = \emptyset\) 或 \(T_2 = \emptyset\)。

引理

设 \(f : X \to Y\) 为拓扑空间间的连续映射。假设 (a) \(f\) 是开映射， (b) \(f\) 的所有纤维都连通。 则 \(f\) 诱导 \(X\) 与 \(Y\) 的连通分支集合之间的双射。

证明

这是引理 0377 的特殊情形。

引理

设 \(f : X \to Y\) 为非空拓扑空间间的连续映射。假设 (a) \(Y\) 连通， (b) \(f\) 是开映射且为闭映射，并且 (c) 存在点 \(y\in Y\)，使得纤维 \(f^{-1}(y)\) 为有限集。 则 \(X\) 至多有 \(|f^{-1}(y)|\) 个连通分支。因此，\(X\) 的任一连通分支 \(T\) 都既开又闭，而 \(f(T)\) 是 \(Y\) 的非空且既开又闭的子集，故等于 \(Y\)。

证明

若拓扑空间 \(X\) 至少有 \(N\) 个连通分支，其中 \(N \in \mathbf{N}\)， 则由归纳法可找到分解 \(X = X_1 \amalg \ldots \amalg X_N\)，将 \(X\) 写成 \(N\) 个非空且既开又闭的子集 \(X_1, \ldots , X_N\) 的不交并。 由于 \(f\) 开且闭，每个 \(f(X_i)\) 都是 \(Y\) 的非空且既开又闭的子集， 从而等于 \(Y\)。特别地，对每个 \(1 \leq i \leq N\)，交集 \(X_i \cap f^{-1}(y)\) 非空。因此 \(f^{-1}(y)\) 至少有 \(N\) 个元素。

定义

若拓扑空间的每个连通分支都是单点集，则称该空间全不连通。

离散空间是全不连通的。全不连通空间未必离散；例如 \(\mathbf{Q} \subset \mathbf{R}\) 全不连通但不离散。

引理

设 \(X\) 为拓扑空间。令 \(\pi_0(X)\) 为 \(X\) 的连通分支集合。 令 \(X \to \pi_0(X)\) 为将 \(x \in X\) 映到 \(X\) 中经过 \(x\) 的连通分支 的映射。在 \(\pi_0(X)\) 上赋予商拓扑。则 \(\pi_0(X)\) 是全不连通空间， 并且从 \(X\) 到任意全不连通空间 \(Y\) 的连续映射 \(X \to Y\) 都通过 \(\pi_0(X)\) 分解。

证明

由引理 0377， \(\pi_0(X)\) 的连通分支都是单点集。第二个陈述的证明从略。

定义

若拓扑空间 \(X\) 的每个点 \(x \in X\) 都有一个由连通邻域组成的邻域基本系， 则称 \(X\) 局部连通。

引理

设 \(X\) 为拓扑空间。若 \(X\) 局部连通，则

1. \(X\) 的任意开子集都局部连通，并且

2. \(X\) 的连通分支都是开集。

所以 \(X\) 的开子集的连通分支也都是开集。特别地，每个点都有一个由开连通 邻域组成的邻域基本系。

证明

对所有 \(x\in X\)，记 \(\mathcal{N}(x)\) 为 \(x\) 的连通邻域基本系，并设 \(U\subset X\) 为 \(X\) 的开子集。则对所有 \(x\in U\)，\(U\) 是 \(x\) 的邻域， 所以集合 \(\{V \in \mathcal{N}(x) | V\subset U\}\) 非空，且为 \(U\) 中 \(x\) 的连通邻域基本系。因此 \(U\) 局部连通，这证明 (1)。

设 \(x \in \mathcal{C} \subset X\)，其中 \(\mathcal{C}\) 为 \(x\) 的连通分支。 由于 \(X\) 局部连通，存在 \(x\) 的一个连通邻域 \(\mathcal{N}\)。 因此由连通分支的定义，\(\mathcal{N} \subset \mathcal{C}\)，从而 \(\mathcal{C}\) 是 \(x\) 的一个邻域。这说明 \(\mathcal{C}\) 是其每一点的邻域； 换言之，\(\mathcal{C}\) 是开集，(2) 得证。

不可约分支

定义

设 \(X\) 为拓扑空间。

1. 如果 \(X\) 非空，并且每当 \(X = Z_1 \cup Z_2\)，其中 \(Z_i\) 为闭集时， 都有 \(X = Z_1\) 或 \(X = Z_2\)，则称 \(X\) 是不可约的。

2. 如果 \(Z \subset X\) 是 \(X\) 的极大不可约子集，则称 \(Z\) 是 \(X\) 的一个不可约分支。

不可约空间显然是连通的。

引理

设 \(f : X \to Y\) 为拓扑空间间的连续映射。若 \(E \subset X\) 是不可约子集， 则 \(f(E) \subset Y\) 也不可约。

证明

显然可以假设 \(E = X\)（即 \(X\) 不可约）且 \(f(E) = Y\)（即 \(f\) 满）。 首先，因为 \(X \not = \emptyset\)，所以 \(Y \not = \emptyset\)。 其次，假设 \(Y = Y_1 \cup Y_2\)，其中 \(Y_1\)、\(Y_2\) 闭。 则 \(X = X_1 \cup X_2\)，其中 \(X_i = f^{-1}(Y_i)\) 在 \(X\) 中闭。 由对 \(X\) 的假设，必有 \(X = X_1\) 或 \(X = X_2\)；又因 \(f\) 满，故 \(Y = Y_1\) 或 \(Y = Y_2\)。

引理

设 \(X\) 为拓扑空间。

1. 若 \(T \subset X\) 不可约，则它在 \(X\) 中的闭包也不可约。

2. \(X\) 的任一不可约分支都是闭的。

3. \(X\) 的任一不可约子集都包含于 \(X\) 的某个不可约分支中。

4. \(X\) 的每个点都包含于 \(X\) 的某个不可约分支中；换言之，\(X\) 是其 不可约分支之并。

证明

设 \(\overline{T}\) 为不可约子集 \(T\) 的闭包。若 \(\overline{T} = Z_1 \cup Z_2\)，其中 \(Z_i \subset \overline{T}\) 闭， 则 \(T = (T\cap Z_1) \cup (T \cap Z_2)\)，从而 \(T\) 等于二者之一，比如 \(T = Z_1 \cap T\)。于是显然 \(\overline{T} \subset Z_1\)。这证明 (1)。 (2) 由 (1) 和不可约分支的定义立即得出。

设 \(T \subset X\) 不可约。考虑所有满足 \(T \subset T' \subset X\) 的 不可约子集所成的集合 \(A\)。因为 \(T \in A\)，所以 \(A\) 非空。 包含关系给出 \(A\) 上的偏序： \(T' \leq T'' \Leftrightarrow T' \subset T''\)。 选取极大全序子集 \(A' \subset A\)，并令 \(E = \bigcup_{T' \in A'} T'\)。我们断言 \(E\) 不可约。事实上，假设 \(E = Z_1 \cup Z_2\) 是 \(E\) 的两个闭子集之并。对每个 \(T' \in A'\)， 由 \(T'\) 的不可约性，或者 \(T' \subset Z_1\)，或者 \(T' \subset Z_2\)。 假设对某个 \(T'_0 \in A'\) 有 \(T'_0 \not\subset Z_1\) （否则结论已经成立）。由于 \(A'\) 是全序的，立即可见对所有 \(T' \in A'\) 都有 \(T' \subset Z_2\)。故 \(E = Z_2\)。这证明 (3)。 因为单点空间不可约，(4) 是 (3) 的直接推论。

引理

设 \(X\) 为拓扑空间，并假设 \(X = \bigcup_{i = 1, \ldots, n} X_i\)， 其中每个 \(X_i\) 都是 \(X\) 的不可约闭子集，并且没有任何 \(X_i\) 包含于 其余各项之并。则每个 \(X_i\) 都是 \(X\) 的不可约分支，而 \(X\) 的每个 不可约分支都是某个 \(X_i\)。

证明

设 \(Y\) 为 \(X\) 的一个不可约分支。写成 \(Y = \bigcup_{i = 1, \ldots, n} (Y \cap X_i)\)。由于 \(X_i\) 在 \(X\) 中闭， 每个 \(Y \cap X_i\) 在 \(Y\) 中闭。由 \(Y\) 的不可约性，\(Y\) 等于某个 \(Y \cap X_i\)，即 \(Y \subset X_i\)。由不可约分支的极大性，得到 \(Y = X_i\)。

反之，取任一 \(X_i\)。由引理 004W，它包含于 \(X\) 的某个 不可约分支 \(Y\) 中。由上一段，某个 \(j\) 满足 \(Y = X_j\)。所以 \(X_i \subset X_j\)；由于原来的并中没有冗余项，\(X_i = X_j\)，故它是 一个不可约分支。

引理

设 \(f : X \to Y\) 为拓扑空间间满且连续的映射。若 \(X\) 有有限个不可约分支， 比如有 \(n\) 个，则 \(Y\) 有 \(\leq n\) 个不可约分支。

证明

设 \(X_1, \ldots, X_n\) 为 \(X\) 的不可约分支。由引理 0379 与 004W， \(f(X_i)\) 的闭包 \(Y_i \subset Y\) 不可约。因为 \(f\) 满， \(Y\) 是各 \(Y_i\) 之并。可以选取极小子集 \(I \subset \{1, \ldots, n\}\)，使得 \(Y = \bigcup_{i \in I} Y_i\)。 于是可应用引理 0G2Y，看出对 \(i \in I\)，\(Y_i\) 恰为 \(Y\) 的不可约分支。

单点集不可约。因此，若 \(x \in X\) 是一点，则闭包 \(\overline{\{x\}}\) 是 \(X\) 的不可约闭子集。

定义

设 \(X\) 为拓扑空间。

1. 设 \(Z \subset X\) 为不可约闭子集。如果点 \(\xi \in Z\) 满足 \(Z = \overline{\{\xi\}}\)，则称它为 \(Z\) 的一个泛点。

2. 如果对每个 \(x, x' \in X\)，只要 \(x \not = x'\)，就存在 \(X\) 的一个闭子集恰好包含这两点之一，则称空间 \(X\) 为Kolmogorov 空间。

3. 如果每个不可约闭子集都有泛点，则称空间 \(X\) 拟清醒。

4. 如果每个不可约闭子集都有唯一泛点，则称空间 \(X\) 清醒。

拓扑空间 \(X\) 为 Kolmogorov、拟清醒或清醒，当且仅当从 \(X\) 到 \(X\) 的不可约闭子集之集合的映射 \(x\mapsto\overline{\{x\}}\) 分别为单射、 满射或双射。因此，一个拓扑空间清醒，当且仅当它拟清醒且为 Kolmogorov 空间。

引理

设 \(X\) 为拓扑空间，且 \(Y\subset X\)。

1. 若 \(X\) 为 Kolmogorov 空间，则 \(Y\) 也是。

2. 假设 \(Y\) 在 \(X\) 中局部闭。若 \(X\) 拟清醒，则 \(Y\) 也拟清醒。

3. 假设 \(Y\) 在 \(X\) 中局部闭。若 \(X\) 清醒，则 \(Y\) 也清醒。

证明

(1) 的证明。假设 \(X\) 为 Kolmogorov 空间。设 \(x,y\in Y\) 且 \(x\neq y\)。则 \(\overline{\overline{\{x\}}\cap Y}=\overline{\{x\}}\neq\overline{\{y\}}= \overline{\overline{\{y\}}\cap Y}\)。故 \(\overline{\{x\}}\cap Y\neq\overline{\{y\}}\cap Y\)。这说明 \(Y\) 是 Kolmogorov 空间。

(2) 的证明。假设 \(X\) 拟清醒。只需分别考虑 \(Y\) 闭与 \(Y\) 开的情形。 先假设 \(Y\) 闭。设 \(Z\) 为 \(Y\) 的不可约闭子集。则 \(Z\) 是 \(X\) 的 不可约闭子集。因此存在 \(x \in Z\)，使得 \(\overline{\{x\}} = Z\)。 于是 \(\overline{\{x\}} \cap Y = Z\)。这说明 \(Y\) 拟清醒。 再假设 \(Y\) 开。设 \(Z\) 为 \(Y\) 的不可约闭子集。则 \(\overline{Z}\) 是 \(X\) 的不可约闭子集。因此存在 \(x \in \overline{Z}\)，使得 \(\overline{\{x\}}=\overline{Z}\)。若 \(x\notin Y\)，便得到矛盾 \(Z=Z\cap Y\subset\overline{Z}\cap Y=\overline{\{x\}}\cap Y=\emptyset\)。 所以 \(x\in Y\)。于是 \(Z=\overline{Z}\cap Y=\overline{\{x\}}\cap Y\)。 这说明 \(Y\) 拟清醒。

(3) 由 (1) 与 (2) 立即得出。

引理

设 \(X\) 为拓扑空间，\((X_i)_{i\in I}\) 为 \(X\) 的一个覆盖。

1. 假设对每个 \(i\in I\)，\(X_i\) 在 \(X\) 中局部闭。则 \(X\) 为 Kolmogorov 空间，当且仅当对每个 \(i\in I\)，\(X_i\) 都是 Kolmogorov 空间。

2. 假设对每个 \(i\in I\)，\(X_i\) 在 \(X\) 中开。则 \(X\) 拟清醒， 当且仅当对每个 \(i\in I\)，\(X_i\) 都拟清醒。

3. 假设对每个 \(i\in I\)，\(X_i\) 在 \(X\) 中开。则 \(X\) 清醒， 当且仅当对每个 \(i\in I\)，\(X_i\) 都清醒。

证明

(1) 的证明。若 \(X\) 为 Kolmogorov 空间，则由引理 0B31，对每个 \(i\in I\)，\(X_i\) 也是。 反之，假设对每个 \(i\in I\)，\(X_i\) 都是 Kolmogorov 空间。 设 \(x,y\in X\) 且 \(\overline{\{x\}}=\overline{\{y\}}\)。存在 \(i\in I\) 使 \(x\in X_i\)。存在开子集 \(U\subset X\)，使得 \(X_i\) 是 \(U\) 的闭子集。若 \(y\notin U\)，则得到矛盾 \(x\in\overline{\{x\}}\cap U=\overline{\{y\}}\cap U=\emptyset\)。 故 \(y\in U\)。于是 \(y\in\overline{\{y\}}\cap U=\overline{\{x\}}\cap U\subset X_i\)， 这说明 \(y\in X_i\)。从而 \(\overline{\{x\}}\cap X_i=\overline{\{y\}}\cap X_i\)。 由于 \(X_i\) 为 Kolmogorov 空间，得到 \(x=y\)。这说明 \(X\) 为 Kolmogorov 空间。

(2) 的证明。若 \(X\) 拟清醒，则由引理 0B31， 对每个 \(i\in I\)，\(X_i\) 也拟清醒。反之，假设对每个 \(i\in I\)， \(X_i\) 都拟清醒。设 \(Y\) 为 \(X\) 的不可约闭子集。因为 \(Y\neq\emptyset\)，存在 \(i\in I\) 使 \(X_i\cap Y\neq\emptyset\)。 由于 \(X_i\) 在 \(X\) 中开，\(X_i\cap Y\) 在 \(Y\) 中非空且开，因而不可约 并在 \(Y\) 中稠密。于是 \(X_i\cap Y\) 是 \(X_i\) 的不可约闭子集。 由于 \(X_i\) 拟清醒，存在 \(x\in X_i\cap Y\)，使得 \(X_i\cap Y=\overline{\{x\}}\cap X_i\subset\overline{\{x\}}\)。 因为 \(X_i\cap Y\) 在 \(Y\) 中稠密且 \(Y\) 在 \(X\) 中闭，所以 \(Y=\overline{X_i\cap Y}\cap Y\subset\overline{X_i\cap Y}\subset \overline{\{x\}}\subset Y\)。因此 \(Y=\overline{\{x\}}\)。 这说明 \(X\) 拟清醒。

(3) 由 (1) 与 (2) 立即得出。

例

设 \(X\) 为基数至少为 \(2\) 的平凡空间。则 \(X\) 拟清醒但不是 Kolmogorov 空间。此外，它的单点集族是由离散空间、因而由 Kolmogorov 空间组成的 \(X\) 的覆盖。

例

设 \(Y\) 为无穷集，并赋予以 \(Y\) 及 \(Y\) 的有限子集为闭集的拓扑。 则 \(Y\) 是 Kolmogorov 空间但不拟清醒。然而，它的单点集族是一个由离散空间、 因而由清醒空间组成的覆盖。

例

令 \(X\) 与 \(Y\) 如例 0B32 和例 0B33。则 \(X\amalg Y\) 既不是 Kolmogorov 空间，也不拟清醒。

例

设 \(Z\) 为无穷集，且 \(z\in Z\)。在 \(Z\) 上赋予以 \(Z\) 及 \(Z\setminus\{z\}\) 的有限子集为闭集的拓扑。则 \(Z\) 清醒，但其子空间 \(Z\setminus\{z\}\) 不拟清醒。

例

回忆，拓扑空间 \(X\) 为 Hausdorff 空间，当且仅当对任意不同的点 \(x, y \in X\)，存在不交的开集 \(U, V \subset X\)，使得 \(x \in U\)、\(y \in V\)。在这种情形，\(X\) 不可约，当且仅当 \(X\) 为单点集。 类似地，\(X\) 的任一子集不可约，当且仅当它为单点集。因此 Hausdorff 空间 是清醒的。

引理

设 \(f : X \to Y\) 为拓扑空间间的连续映射。假设 (a) \(Y\) 不可约， (b) \(f\) 是开映射，并且 (c) 存在一族稠密的点 \(y \in Y\)，使得 \(f^{-1}(y)\) 不可约。 则 \(X\) 不可约。

证明

假设 \(X = Z_1 \cup Z_2\)，其中 \(Z_i\) 闭。考虑开集 \(U_1 = Z_1 \setminus Z_2 = X \setminus Z_2\) 与 \(U_2 = Z_2 \setminus Z_1 = X \setminus Z_1\)。为得到矛盾，假设 \(U_1\) 与 \(U_2\) 都非空。由 (b)，\(f(U_i)\) 是开集。由 (a)，\(Y\) 不可约，故 \(f(U_1) \cap f(U_2) \not = \emptyset\)。由 (c)，存在一个 对应于该交集中某一点的点 \(y\)，使得纤维 \(X_y = f^{-1}(y)\) 不可约。 于是 \(X_y \cap U_1\) 与 \(X_y \cap U_2\) 是 \(X_y\) 的两个非空不交开子集， 矛盾。

引理

设 \(f : X \to Y\) 为拓扑空间间的连续映射。假设 (a) \(f\) 是开映射，并且 (b) 对每个 \(y \in Y\)，纤维 \(f^{-1}(y)\) 都不可约。 则 \(f\) 诱导不可约分支之间的双射。

证明

指出一点：假设 (b) 蕴含 \(f\) 满（见定义 004V）。设 \(T \subset Y\) 为一个 不可约分支。注意 \(T\) 是闭的，参见引理 004W。 只要证明 \(f^{-1}(T)\) 不可约，本引理即得证，因为由引理 0379，\(X\) 的任何不可约子集都映入 \(Y\) 的某个不可约分支。注意 \(f^{-1}(T) \to T\) 满足引理 004Z 的假设。因此结论成立。

下面引理中的构造有时称为“清醒化”。

引理

设 \(X\) 为拓扑空间。存在典范连续映射 \[c : X \longrightarrow X'\] 从 \(X\) 映到一个清醒拓扑空间 \(X'\)，它在从 \(X\) 到清醒拓扑空间的连续映射中 具有泛性质。此外，赋值 \(U' \mapsto c^{-1}(U')\) 给出 \(X'\) 与 \(X\) 的开集之间的双射，并且与有限交和任意并相容。像 \(c(X)\) 是 Kolmogorov 拓扑空间，而映射 \(c : X \to c(X)\) 在从 \(X\) 到 Kolmogorov 空间的映射中 具有泛性质。

证明

令 \(X'\) 为 \(X\) 的不可约闭子集之集合，并令 \[c : X \to X', \quad x \mapsto \overline{\{x\}}.\] 对开集 \(U \subset X\)，令 \(U' \subset X'\) 表示所有与 \(U\) 相交的 \(X\) 的不可约闭子集之集合。则 \(c^{-1}(U') = U\)。特别地，若 \(U_1 \not = U_2\) 是 \(X\) 中的开集，则 \(U'_1 \not = U_2'\)。 所以 \(c\) 诱导 \(X'\) 中形如 \(U'\) 的子集与 \(X\) 的开集之间的双射。

设 \(U_1, U_2\) 在 \(X\) 中开。假设 \(Z \in U'_1\) 且 \(Z \in U'_2\)。 则 \(Z \cap U_1\) 与 \(Z \cap U_2\) 是不可约空间 \(Z\) 的非空开子集， 所以 \(Z \cap U_1 \cap U_2\) 非空。因此 \((U_1 \cap U_2)' = U'_1 \cap U'_2\)。规则 \(U \mapsto U'\) 也与任意并相容 （细节从略）。于是显然，全体 \(U'\) 构成 \(X'\) 上的一个拓扑，并且得到 引理所述的双射。

接着证明 \(X'\) 清醒。设 \(T \subset X'\) 为不可约闭子集。 设 \(U \subset X\) 为满足 \(X' \setminus T = U'\) 的开集。由引理中双射的性质， \(Z = X \setminus U\) 不可约。我们断言 \(Z \in T\) 是唯一泛点。 事实上，任何不含 \(Z\) 的形如 \(V' \subset X'\) 的开集，都来自某个 不与 \(Z\) 相交、即包含于 \(U\) 的开集 \(V \subset X\)。

最后验证泛性质。设 \(f : X \to Y\) 为到清醒拓扑空间的连续映射。 令 \(f' : X' \to Y\) 将不可约闭子集 \(Z \subset X\) 映到 \(\overline{f(Z)}\) 的唯一泛点。立即可见，作为集合间映射有 \(f' \circ c = f\)，而 \(c\) 的性质蕴含 \(f'\) 连续。连续映射 \(f'\) 的唯一性的 验证从略。关于 Kolmogorov 空间的陈述之证明也从略。

引理

设 \(X\) 为连通拓扑空间，并且只有有限个不可约分支 \(X_1, \ldots, X_n\)。若 \(n > 1\)，则存在 \(1 \leq j \leq n\)，使得 \(X' = \bigcup_{i \not = j} X_i\) 连通。

证明

这是一个图论问题。令 \(\Gamma\) 为以 \(V = \{1, \ldots, n\}\) 为顶点集的图， 并且 \(i\) 与 \(j\) 之间有边，当且仅当 \(X_i \cap X_j\) 非空。 \(X\) 的连通性意味着 \(\Gamma\) 连通。问题是找出 \(1 \leq j \leq n\)， 使 \(\Gamma \setminus \{j\}\) 仍然连通。可选取距离最大的 \(j, j' \in E\)，此时 \(j\) 即可（选一个叶子！）。细节从略。

Noether 拓扑空间

定义

若 \(X\) 的闭子集满足降链条件，则称一个拓扑空间为Noether 空间。 若每一点都有一个 Noether 邻域，则称一个拓扑空间局部 Noether。

引理

设 \(X\) 为 Noether 拓扑空间。

1. \(X\) 的任意子集带诱导拓扑后都是 Noether 空间。

2. 空间 \(X\) 只有有限个不可约分支。

3. \(X\) 的每个不可约分支都包含 \(X\) 的一个非空开集。

证明

设 \(T \subset X\) 为 \(X\) 的一个子集。设 \(T_1 \supset T_2 \supset \ldots\) 为 \(T\) 的闭子集之降链。 写成 \(T_i = T \cap Z_i\)，其中 \(Z_i \subset X\) 闭。考虑闭子集的降链 \(Z_1 \supset Z_1\cap Z_2 \supset Z_1 \cap Z_2 \cap Z_3 \ldots\)。 由假设，此链稳定，因而原来的 \(T_i\) 序列也稳定。所以 \(T\) 为 Noether 空间。

令 \(A\) 为 \(X\) 的所有不具有有限多个不可约分支的闭子集之集合。 为得到矛盾，假设 \(A\) 非空。包含关系给出 \(A\) 上的偏序： \(\alpha \leq \alpha' \Leftrightarrow Z_{\alpha} \subset Z_{\alpha'}\)。 由降链条件，可以找到 \(A\) 的一个最小元素，记为 \(Z\)。因为 \(Z\) 不是 有限多个不可约分支之并，所以它不可约。故可以写成 \(Z = Z' \cup Z''\)，其中二者都是严格较小的闭子集。按构造， \(Z' = \bigcup Z'_i\) 与 \(Z'' = \bigcup Z''_j\) 各自都是其不可约分支的有限并 （引理 004W）。因此 \(Z = \bigcup Z'_i \cup \bigcup Z''_j\) 是不可约闭子集的有限并。 从这一表达式中去掉冗余项后，就得到 \(Z\) 的不可约分支分解 （引理 0G2Y），矛盾。

设 \(Z \subset X\) 为 \(X\) 的一个不可约分支。设 \(Z_1, \ldots, Z_n\) 为 \(X\) 的其他不可约分支。考虑 \(U = Z \setminus (Z_1\cup\ldots\cup Z_n)\)。它非空，否则不可约空间 \(Z\) 将包含于某个其他 \(Z_i\) 中。又因为 \(X = Z \cup Z_1 \cup \ldots Z_n\)（见引理 004W）， 还有 \(U = X \setminus (Z_1\cup\ldots\cup Z_n)\)，故该集合在 \(X\) 中开。 所以 \(Z\) 包含 \(X\) 的一个非空开集。

引理

设 \(f : X \to Y\) 为拓扑空间间的连续映射。

1. 若 \(X\) 为 Noether 空间，则 \(f(X)\) 为 Noether 空间。

2. 若 \(X\) 局部 Noether 且 \(f\) 为开映射，则 \(f(X)\) 局部 Noether。

证明

在情形 (1)，假设 \(Z_1 \supset Z_2 \supset Z_3 \supset \ldots\) 是 \(f(X)\) 的闭子集之降链（照例，它作为 \(Y\) 的子集带诱导拓扑）。则 \(f^{-1}(Z_1) \supset f^{-1}(Z_2) \supset f^{-1}(Z_3) \supset \ldots\) 是 \(X\) 的闭子集之降链，故该链稳定。由于 \(f(f^{-1}(Z_i)) = Z_i\)，可知 \(Z_1 \supset Z_2 \supset Z_3 \supset \ldots\) 也稳定。 在情形 (2)，设 \(y \in f(X)\)。选取 \(x \in X\) 使得 \(f(x) = y\)。 由假设，存在 \(x\) 的一个 Noether 邻域 \(E \subset X\)。则由 (1)， \(f(E) \subset f(X)\) 是一个 Noether 邻域。

引理

设 \(X\) 为拓扑空间。设 \(X_i \subset X\)（\(i = 1, \ldots, n\)）为有限个 子集。若每个 \(X_i\)（带诱导拓扑）都是 Noether 空间，则 \(\bigcup_{i = 1, \ldots, n} X_i\)（带诱导拓扑）也是 Noether 空间。

证明

设 \(\{F_m\}_{m \in \mathbf{N}}\) 为带诱导拓扑的 \(X' = \bigcup_{i = 1, \ldots, n} X_i\) 的闭子集之降链。 则可以找到 \(X\) 的闭子集之降链 \(\{G_m\}_{m \in \mathbf{N}}\)， 使得对所有 \(m\)，\(F_m = G_m \cap X'\)（略去一个小细节）。 由于 \(X_i\) 为 Noether 空间，而 \(\{G_m \cap X_i\}_{m \in \mathbf{N}}\) 是 \(X_i\) 的闭子集之降链， 故存在 \(m_i \in \mathbf{N}\)，使得对所有 \(m \geq m_i\)，都有 \(G_m \cap X_i = G_{m_i} \cap X_i\)。令 \(m_0 = \max_{i = 1, \ldots, n} m_i\)。则显然 \[F_m = G_m \cap X' = G_m \cap (X_1 \cup \ldots \cup X_n) = (G_m \cap X_1) \cup \ldots (G_m \cap X_n)\] 在 \(m \geq m_0\) 时稳定，证明完毕。

例

任意非空的 Kolmogorov Noether 拓扑空间都有闭点（合并引理 005E 与 04ZA）。令 \(X = \{1, 2, 3, \ldots \}\)。在 \(X\) 上定义以 \(\emptyset\)、 \(\{1, 2, \ldots, n\}\)（\(n \geq 1\)）及 \(X\) 为开集的拓扑。 于是 \(X\) 是一个没有任何闭点的局部 Noether 拓扑空间。 该空间不可能是局部 Noether 概形的底拓扑空间，参见 Properties, Lemma 02IL。

引理

设 \(X\) 为局部 Noether 拓扑空间。则 \(X\) 局部连通。

证明

设 \(x \in X\)。设 \(E\) 为 \(x\) 的一个邻域。需要找到包含于 \(E\) 的 \(x\) 的一个连通邻域。由假设，存在 \(x\) 的一个 Noether 邻域 \(E'\)。 于是 \(E \cap E'\) 为 Noether 空间，见引理 0052。 设 \(E \cap E' = Y_1 \cup \ldots \cup Y_n\) 为其不可约分支分解，见引理 0052。令 \(E'' = \bigcup_{x \in Y_i} Y_i\)。 这是 \(E \cap E'\) 的一个含 \(x\) 的连通子集。它包含 \(E \cap E'\) 的开集 \(E \cap E' \setminus (\bigcup_{x \not \in Y_i} Y_i)\)，故它是 \(X\) 中 \(x\) 的一个邻域。本引理得证。

Krull 维数

定义

设 \(X\) 为拓扑空间。

1. \(X\) 的一个不可约闭子集链是序列 \(Z_0 \subset Z_1 \subset \ldots \subset Z_n \subset X\)，其中 \(Z_i\) 闭且不可约，并且对 \(i = 0, \ldots, n - 1\) 有 \(Z_i \not = Z_{i + 1}\)。

2. \(X\) 的不可约闭子集链 \(Z_0 \subset Z_1 \subset \ldots \subset Z_n \subset X\) 的 长度是整数 \(n\)。

3. \(X\) 的维数，更准确地说是Krull 维数 \(\dim(X)\)， 是由下式定义的 \(\{-\infty, 0, 1, 2, 3, \ldots, \infty\}\) 中的元素： \[\dim(X) = \sup \{\text{不可约闭子集链的长度}\}\] 因此，\(\dim(X) = -\infty\) 当且仅当 \(X\) 为空空间。

4. 设 \(x \in X\)。\(X\) 在 \(x\) 处的Krull 维数定义为 \[\dim_x(X) = \min \{\dim(U), x\in U\subset X\text{ 开}\}\] 即当 \(U\) 遍历 \(X\) 中 \(x\) 的开邻域时 \(\dim(U)\) 的最小值。

注意，若 \(U' \subset U \subset X\) 都是开集，则 \(\dim(U') \leq \dim(U)\)。因此，若 \(\dim_x(X) = d\)，则 \(x\) 有一个 由满足 \(\dim(U) = \dim_x(X)\) 的开邻域 \(U\) 组成的邻域基本系。

引理

设 \(X\) 为拓扑空间。则 \(\dim(X) = \sup \dim_x(X)\)，其中上确界遍历 \(X\) 的所有点 \(x\)。

证明

显然，对所有 \(x \in X\) 都有 \(\dim(X) \geq \dim_x(X)\)（见定义 0055 后的讨论）。这给出一个方向的不等式。 反之，设 \(n \geq 0\)，并假设 \(\dim(X) \geq n\)。则可找到不可约闭子集链 \(Z_0 \subset Z_1 \subset \ldots \subset Z_n \subset X\)。 选取 \(x \in Z_0\)。对 \(x\) 的每个开邻域 \(U\)，得到 \(U\) 中的 不可约闭子集链 \[Z_0 \cap U \subset Z_1 \cap U \subset \ldots \subset Z_n \cap U\] 事实上，\(U \cap Z_i\) 在 \(U\) 中闭且不可约，并且各包含关系都是严格的 （细节从略；提示：\(U \cap Z_i\) 的闭包是 \(Z_i\)）。由此可见 \(\dim_x(X) \geq n\)，这证明另一个方向的不等式。

例

通常的欧氏空间 \(\mathbf{R}^n\) 的 Krull 维数是 \(0\)。

例

令 \(X = \{s, \eta\}\)，其开集为 \(\{\emptyset, \{\eta\}, \{s, \eta\}\}\)。在这种情形，一个极大的 不可约闭子集链是 \(\{s\} \subset \{s, \eta\}\)。因此 \(\dim(X) = 1\)。很容易推广此例，得到一个 Krull 维数为 \(n\) 的 \((n + 1)\) 元拓扑空间。

定义

设 \(X\) 为拓扑空间。若 \(X\) 的每个不可约分支都具有相同维数， 则称 \(X\) 等维。

余维数与链状空间

这里只定义不可约闭子集的余维数。

定义

设 \(X\) 为拓扑空间。设 \(Y \subset X\) 为不可约闭子集。\(Y\) 在 \(X\) 中的 余维数，是 \(X\) 中以 \(Y\) 起始的不可约闭子集链 \[Y = Y_0 \subset Y_1 \subset \ldots \subset Y_e \subset X\] 之长度 \(e\) 的上确界。将其记为 \(\text{codim}(Y, X)\)。

余维数是 \(\{0, 1, 2, \ldots\} \cup \{\infty\}\) 中的元素。 若 \(\text{codim}(Y, X) < \infty\)，则每条链都可以延拓为极大链 （但这些极大链未必具有相同长度）。

引理

设 \(X\) 为拓扑空间。设 \(Y \subset X\) 为不可约闭子集。 设 \(U \subset X\) 为开子集，且 \(Y \cap U\) 非空。则 \[\text{codim}(Y, X) = \text{codim}(Y \cap U, U)\]

证明

规则 \(T \mapsto \overline{T}\) 在 \(U\) 的不可约闭子集与 \(X\) 中和 \(U\) 相交的不可约闭子集之间定义一个保持包含关系的双射。由此容易得到本引理。 细节从略。

例

令 \(X = [0, 1]\) 为单位区间，并赋予以下拓扑：开集是 \([0, 1]\)、 对 \(n \in \mathbf{N}\) 的 \((1 - 1/n, 1]\) 以及 \(\emptyset\)。 所以闭集是 \(\emptyset\)、\(\{0\}\)、对 \(n > 1\) 的 \([0, 1 - 1/n]\) 以及 \([0, 1]\)。这显然是一个 Noether 拓扑空间。 但不可约闭子集 \(Y = \{0\}\) 具有无穷余维数 \(\text{codim}(Y, X) = \infty\)。只需注意所有闭集 \([0, 1 - 1/n]\) 都不可约即可看出这一点。

定义

设 \(X\) 为拓扑空间。如果对每一对不可约闭子集 \(T \subset T'\)，都有 \(\text{codim}(T, T') < \infty\)，并且每条不可约闭子集极大链 \[T = T_0 \subset T_1 \subset \ldots \subset T_e = T'\] 都具有相同长度（等于余维数），则称 \(X\) 是链状的。

引理

设 \(X\) 为拓扑空间。下列条件等价：

1. \(X\) 是链状的，

2. \(X\) 有一个由链状空间组成的开覆盖。

此外，在这种情形，\(X\) 的任意局部闭子空间都是链状的。

证明

假设 \(X\) 是链状的，并设 \(U \subset X\) 为开子集。规则 \(T \mapsto \overline{T}\) 在 \(U\) 的不可约闭子集与 \(X\) 中和 \(U\) 相交的不可约闭子集之间定义一个保持包含关系的双射。由此容易得到本引理。 细节从略。

引理

设 \(X\) 为拓扑空间。下列条件等价：

1. \(X\) 是链状的，并且

2. 对每一对不可约闭子集 \(Y \subset Y'\)，都有 \(\text{codim}(Y, Y') < \infty\)，且对每一组三个不可约闭子集 \(Y \subset Y' \subset Y''\)，都有 \[\text{codim}(Y, Y'') = \text{codim}(Y, Y') + \text{codim}(Y', Y'').\]

证明

先假设 \(X\) 是链状的。由定义 02I1，对每一对 不可约闭子集 \(Y \subset Y'\) 都有 \(\text{codim}(Y,Y') < \infty\)。 设 \(Y \subset Y' \subset Y''\) 为 \(X\) 的三个不可约闭子集。设 \[Y = Y_0 \subset Y_1 \subset ... \subset Y_{e_1} = Y'\] 为 \(Y\) 与 \(Y'\) 之间的不可约闭子集极大链，其中 \(e_1 = \text{codim}(Y,Y')\)。又设 \[Y' = Y_{e_1} \subset Y_{e_1 + 1}\subset ... \subset Y_{e_1 + e_2} = Y''\] 为 \(Y'\) 与 \(Y''\) 之间的不可约闭子集极大链，其中 \(e_2 = \text{codim}(Y',Y'')\)。由于这两条链都是极大的，其连接 \[Y = Y_0\subset Y_1 \subset ... \subset Y_{e_1} = Y' = Y_{e_1} \subset Y_{e_1+1}\subset ... \subset Y_{e_1+e_2}=Y''\] 也是 \(Y\) 与 \(Y''\) 之间的极大链，且其长度等于 \(e_1 + e_2\)。 因为 \(X\) 是链状的，每条极大链都具有等于余维数的相同长度。 所以 (2) 中的等式 \(\text{codim}(Y,Y'') = e_1 + e_2 = \text{codim}(Y,Y') + \text{codim}(Y',Y'')\) 成立。

反之，由归纳法证明：若 \(Y = Y_1 \subset ... \subset Y_n = Y'\)，则 \(\text{codim}(Y,Y') = \text{codim}(Y_1,Y_2) + ... + \text{codim}(Y_{n-1},Y_n)\)。因此，极大链被迫具有相同长度。

拟紧空间与拟紧映射

“紧”一词将保留给 Hausdorff 拓扑空间使用，而代数几何中出现的许多空间 并不是 Hausdorff 空间。

定义

拟紧性。

1. 若拓扑空间 \(X\) 的每个开覆盖都有有限子覆盖，则称 \(X\) 拟紧。

2. 若对每个拟紧开集 \(V \subset Y\)，连续映射 \(f : X \to Y\) 的逆像 \(f^{-1}(V)\) 都拟紧，则称该映射拟紧。

3. 若包含映射 \(Z \to X\) 拟紧，则称子集 \(Z \subset X\) 逆紧。

许多拓扑学文本把拟紧且 Hausdorff 的空间称为紧空间；另一些文本 则省略 Hausdorff 条件。为避免代数几何中的混淆，我们采用“拟紧”一词。 映射的拟紧性与“固有映射”的概念大不相同：在后一概念中，除了闭性与分离性， 还要求目标中任意拟紧子集的逆像拟紧；而在上面的定义中，我们仅考虑拟紧 开集。

引理

拟紧映射的复合是拟紧的。

证明

由定义立即可得。

引理

拟紧拓扑空间的闭子集是拟紧的。

证明

设 \(E \subset X\) 为拟紧空间 \(X\) 的闭子集。设 \(E = \bigcup V_j\) 为一个开覆盖。选取开集 \(U_j \subset X\)，使得 \(V_j = E \cap U_j\)。 则 \(X = (X \setminus E) \cup \bigcup U_j\) 是 \(X\) 的开覆盖。因此，对某个 \(n\) 及某些指标 \(j_i\)，有 \(X = (X \setminus E) \cup U_{j_1} \cup \ldots \cup U_{j_n}\)。 于是按所需，\(E = V_{j_1} \cup \ldots \cup V_{j_n}\)。

引理

设 \(X\) 为 Hausdorff 拓扑空间。

1. 若 \(E \subset X\) 拟紧，则它是闭集。

2. 若 \(E_1, E_2 \subset X\) 是不交的拟紧子集，则存在开集 \(E_i \subset U_i\)，使得 \(U_1 \cap U_2 = \emptyset\)。

证明

(1) 的证明。设 \(x \in X\)，且 \(x \not \in E\)。对每个 \(e \in E\)， 都可以找到不交的开集 \(V_e\) 与 \(U_e\)，使得 \(e \in V_e\) 且 \(x \in U_e\)。因为 \(E \subset \bigcup V_e\)，可以找到有限多个 \(e_1, \ldots, e_n\)，使得 \(E \subset V_{e_1} \cup \ldots \cup V_{e_n}\)。 于是 \(U = U_{e_1} \cap \ldots \cap U_{e_n}\) 是 \(x\) 的一个开邻域， 它不与 \(V_{e_1} \cup \ldots \cup V_{e_n}\) 相交，特别地不与 \(E\) 相交。 所以 \(E\) 是闭的。

(2) 的证明。在 (1) 的证明中已经看到，给定 \(x \in E_1\)，可以找到 开邻域 \(x \in U_x\) 和一个开集 \(E_2 \subset V_x\)，使得 \(U_x \cap V_x = \emptyset\)。由于 \(E_1\) 拟紧，可以找到有限多个 \(x_i \in E_1\)，使得 \(E_1 \subset U = U_{x_1} \cup \ldots \cup U_{x_n}\)。 取 \(V = V_{x_1} \cap \ldots \cap V_{x_n}\)，证明即告完成。

引理

设 \(X\) 为拟紧 Hausdorff 空间，\(E \subset X\)。下列条件等价： (a) \(E\) 在 \(X\) 中闭；(b) \(E\) 拟紧。

证明

蕴含关系 (a) \(\Rightarrow\) (b) 是引理 005C；蕴含关系 (b) \(\Rightarrow\) (a) 是引理 08YB。

下面的结果其实只是拟紧性质的另一种表述。

引理

设 \(X\) 为拟紧拓扑空间。若 \(\{Z_\alpha\}_{\alpha \in A}\) 是一族闭子集， 并且每个有限子族之交均非空，则 \(\bigcap_{\alpha \in A} Z_\alpha\) 非空。

证明

假设 \(\bigcap_{\alpha \in A} Z_{\alpha} = \emptyset\)。 取补集可得 \(\bigcup_{\alpha \in A} (X\setminus Z_{\alpha})=X\)。 因为各子集 \(Z_\alpha\) 都闭， \(\bigcup_{\alpha \in A} (X \setminus Z_{\alpha})\) 是拟紧空间 \(X\) 的 开覆盖。因此存在有限子集 \(J \subset A\)，使得 \(X = \bigcup_{\alpha \in J} (X\setminus Z_{\alpha})\)。 其补集于是为空，即 \(\bigcap_{\alpha \in J} Z_{\alpha} = \emptyset\)。 这证明存在有限子族 \(\{Z_{\alpha}\}_{\alpha \in J}\) 满足 \(\bigcap_{\alpha \in J} Z_{\alpha}=\emptyset\)；由逆否命题得到结论。

引理

设 \(f : X \to Y\) 为拓扑空间间的连续映射。

1. 若 \(X\) 拟紧，则 \(f(X)\) 拟紧。

2. 若 \(f\) 拟紧，则 \(f(X)\) 逆紧。

证明

若 \(f(X) = \bigcup V_i\) 是开覆盖，则 \(X = \bigcup f^{-1}(V_i)\) 是开覆盖。因此，若 \(X\) 拟紧，则对某些 \(i_1, \ldots, i_n \in I\)，有 \(X = f^{-1}(V_{i_1}) \cup \ldots \cup f^{-1}(V_{i_n})\)，从而 \(f(X) = V_{i_1} \cup \ldots \cup V_{i_n}\)。这证明 (1)。 假设 \(f\) 拟紧，并设 \(V \subset Y\) 为拟紧开集。则 \(f^{-1}(V)\) 拟紧， 故由 (1)，\(f(f^{-1}(V)) = f(X) \cap V\) 拟紧。因此 \(f(X)\) 逆紧。

引理

设 \(X\) 为拓扑空间。假设

1. \(X\) 非空，

2. \(X\) 拟紧，并且

3. \(X\) 为 Kolmogorov 空间。

则 \(X\) 有闭点。

证明

考虑 \(X\) 中所有单点闭包所成的集合 \[\mathcal{T} = \{Z \subset X \mid Z = \overline{\{x\}} \text{ 对某个 }x \in X\}\] 因为 \(X\) 非空，它也非空。用包含关系将 \(\mathcal{T}\) 视为偏序集。 设 \(Z_\alpha\)（\(\alpha \in A\)）是 \(\mathcal{T}\) 的一个全序子集。 由引理 005D， \(\bigcap_{\alpha \in A} Z_\alpha \not = \emptyset\)。故存在某个 \(x \in \bigcap_{\alpha \in A} Z_\alpha\)，而且 \(Z = \overline{\{x\}}\in \mathcal{T}\) 是该族的一个下界。 由 Zorn 引理，存在极小元素 \(Z \in \mathcal{T}\)。因为 \(X\) 为 Kolmogorov 空间，可知对某个 \(x\) 有 \(Z = \{x\}\)，且 \(x \in X\) 是闭点。

引理

设 \(X\) 为拟紧 Kolmogorov 空间。则 \(X\) 的闭点集合 \(X_0\) 拟紧。

证明

设 \(X_0 = \bigcup U_{i, 0}\) 为开覆盖。对某个开集 \(U_i \subset X\)， 写成 \(U_{i, 0} = X_0 \cap U_i\)。考虑 \(\bigcup U_i\) 的补集 \(Z\)。 它是 \(X\) 的闭子集，故拟紧（引理 005C）， 并且是 Kolmogorov 空间。由引理 005E， 若 \(Z\) 非空，它就会有闭点，这与 \(X_0 \subset \bigcup U_i\) 矛盾。 因此 \(Z = \emptyset\) 且 \(X = \bigcup U_i\)。由于 \(X\) 拟紧，该覆盖有 有限子覆盖，结论得证。

引理

设 \(X\) 为拓扑空间。假设

1. \(X\) 拟紧，

2. \(X\) 有一个由拟紧开集组成的拓扑基，并且

3. 两个拟紧开集之交拟紧。

对任意 \(x \in X\)，\(X\) 中包含 \(x\) 的连通分支，等于 \(X\) 中所有包含 \(x\) 的既开又闭子集之交。

证明

设 \(T\) 为包含 \(x\) 的连通分支。设 \(S = \bigcap_{\alpha \in A} Z_\alpha\) 为 \(X\) 中所有包含 \(x\) 的既开又闭 子集 \(Z_\alpha\) 之交。注意 \(S\) 在 \(X\) 中闭。还要注意，任意有限多个 \(Z_\alpha\) 之交仍是某个 \(Z_\alpha\)。因为 \(T\) 连通且 \(x \in T\)，有 \(T \subset S\)。只需证明 \(S\) 连通。若不然，则存在不交并分解 \(S = B \amalg C\)，其中 \(B\) 与 \(C\) 在 \(S\) 中既开又闭。特别地， \(B\) 与 \(C\) 在 \(X\) 中闭，所以由引理 005C 及假设 (1)，二者拟紧。由假设 (2)，存在拟紧开集 \(U, V \subset X\)， 使得 \(B = S \cap U\) 且 \(C = S \cap V\)（细节从略）。于是 \(U \cap V \cap S = \emptyset\)，故 \(\bigcap_\alpha U \cap V \cap Z_\alpha = \emptyset\)。 由假设 (3)，交 \(U \cap V\) 拟紧。由引理 005D，对某个 \(\alpha' \in A\)，有 \(U \cap V \cap Z_{\alpha'} = \emptyset\)。 因为 \(X \setminus (U \cup V)\) 与 \(S\) 不交，且在 \(X\) 中闭、因而拟紧， 可以使用同一引理，看出对某个 \(\alpha'' \in A\) 有 \(Z_{\alpha''} \subset U \cup V\)。于是 \(Z_\alpha = Z_{\alpha'} \cap Z_{\alpha''}\) 包含于 \(U \cup V\)， 并与 \(U \cap V\) 不交。所以 \(Z_\alpha = U \cap Z_\alpha \amalg V \cap Z_\alpha\) 是两个开部分的不交并， 从而 \(U \cap Z_\alpha\) 与 \(V \cap Z_\alpha\) 在 \(X\) 中既开又闭。 因此，若比如 \(x \in B\)，则可见 \(S \subset U \cap Z_\alpha\)， 从而 \(C = \emptyset\)。

引理

设 \(X\) 为拓扑空间。假设 \(X\) 拟紧且为 Hausdorff 空间。 对任意 \(x \in X\)，\(X\) 中包含 \(x\) 的连通分支，等于 \(X\) 中所有包含 \(x\) 的既开又闭子集之交。

证明

设 \(T\) 为包含 \(x\) 的连通分支。设 \(S = \bigcap_{\alpha \in A} Z_\alpha\) 为 \(X\) 中所有包含 \(x\) 的既开又闭 子集 \(Z_\alpha\) 之交。注意 \(S\) 在 \(X\) 中闭。还要注意，任意有限多个 \(Z_\alpha\) 之交仍是某个 \(Z_\alpha\)。因为 \(T\) 连通且 \(x \in T\)，有 \(T \subset S\)。只需证明 \(S\) 连通。若不然，则存在不交并分解 \(S = B \amalg C\)，其中 \(B\) 与 \(C\) 在 \(S\) 中既开又闭。特别地， \(B\) 与 \(C\) 在 \(X\) 中闭，所以由引理 005C 可知二者拟紧。由引理 08YB， 存在不交的开集 \(U, V \subset X\)，使得 \(B \subset U\) 且 \(C \subset V\)。 于是 \(X \setminus U \cup V\) 在 \(X\) 中闭，故拟紧 （引理 005C）。由引理 005D，对某个 \(\alpha\) 有 \((X \setminus U \cup V) \cap Z_\alpha = \emptyset\)。换言之， \(Z_\alpha \subset U \cup V\)。因此 \(Z_\alpha = Z_\alpha \cap V \amalg Z_\alpha \cap U\) 是两个开部分的不交并， 从而 \(U \cap Z_\alpha\) 与 \(V \cap Z_\alpha\) 在 \(X\) 中既开又闭。 因此，若比如 \(x \in B\)，则可见 \(S \subset U \cap Z_\alpha\)， 从而 \(C = \emptyset\)。

引理

设 \(X\) 为拓扑空间。假设

1. \(X\) 拟紧，

2. \(X\) 有一个由拟紧开集组成的拓扑基，并且

3. 两个拟紧开集之交拟紧。

对一个子集 \(T \subset X\)，下列条件等价：

1. \(T\) 是 \(X\) 的若干既开又闭子集之交，并且

2. \(T\) 在 \(X\) 中闭，且是 \(X\) 的若干连通分支之并。

证明

显然 (a) 蕴含 (b)。假设 (b)。设 \(x \in X\)，且 \(x \not \in T\)。 设 \(x \in C \subset X\) 为 \(X\) 中包含 \(x\) 的连通分支。由引理 005F，可见 \(C = \bigcap V_\alpha\) 是 \(X\) 中所有包含 \(C\) 的既开又闭子集 \(V_\alpha\) 之交。特别地，任意两项之交 \(V_\alpha \cap V_\beta\) 仍作为某个 \(V_\alpha\) 出现。因为 \(T\) 是 \(X\) 的若干连通分支之并， \(C \cap T = \emptyset\)。所以 \(T \cap \bigcap V_\alpha = \emptyset\)。由于 \(T\) 是拟紧空间的闭子集， 所以它拟紧（见引理 005C）。由引理 005D，可知对某个 \(\alpha\) 有 \(T \cap V_\alpha = \emptyset\)。对这个 \(\alpha\)， \(U_\alpha = X \setminus V_\alpha\) 是 \(X\) 的一个既开又闭的子集， 它包含 \(T\) 但不含 \(x\)。本引理得证。

引理

设 \(X\) 为 Noether 拓扑空间。

1. 空间 \(X\) 拟紧。

2. \(X\) 的任意子集都逆紧。

证明

假设 \(X = \bigcup U_i\) 是由集合 \(I\) 索引的 \(X\) 的开覆盖，并且不存在 有限开覆盖对它的加细。按下述方式归纳选取 \(I\) 中的元素 \(i_1, i_2, \ldots\)：选取 \(i_{n + 1}\)，使得 \(U_{i_{n + 1}}\) 不包含于 \(U_{i_1} \cup \ldots \cup U_{i_n}\)。于是得到闭子集的严格 无穷降链 \(X \supset (X \setminus U_{i_1}) \supset (X \setminus U_{i_1} \cup U_{i_2}) \supset \ldots\)。 这与 \(X\) 为 Noether 空间矛盾，故第一个断言得证。第二个断言现在很清楚， 因为由引理 0052，\(X\) 的每个子集都是 Noether 空间。

引理

拟紧的局部 Noether 空间是 Noether 空间。

证明

这些条件立即蕴含 \(X\) 有一个由有限多个 Noether 子集组成的覆盖，故由引理 0053，该空间是 Noether 空间。

引理

设 \(X\) 为拓扑空间，\(\mathcal{B}\) 为 \(X\) 的一个子基。若每个由 \(\mathcal{B}\) 中元素组成的 \(X\) 的覆盖都有有限加细，则 \(X\) 拟紧。

证明

假设 \(X\) 有一个不存在有限加细的开覆盖。利用 Zorn 引理，可以选取 一个不存在有限加细的极大开覆盖 \(X = \bigcup_{i \in I} U_i\)（细节从略）。换言之，若 \(U \subset X\) 是一个没有作为某个 \(U_i\) 出现的开集，则覆盖 \(X = U \cup \bigcup_{i \in I} U_i\) 确实有有限加细。 令 \(I' \subset I\) 为满足 \(U_i \in \mathcal{B}\) 的指标集合。 则 \(\bigcup_{i \in I'} U_i \not = X\)，否则由对 \(\mathcal{B}\) 的假设， 会得到覆盖 \(X\) 的有限加细。选取 \(x \in X\)，使得 \(x \not \in \bigcup_{i \in I'} U_i\)。选取 \(i \in I\) 使 \(x \in U_i\)。 选取 \(V_1, \ldots, V_n \in \mathcal{B}\)，使得 \(x \in V_1 \cap \ldots \cap V_n \subset U_i\)。这是可行的，因为 \(\mathcal{B}\) 是 \(X\) 的一个子基。注意 \(V_j\) 不作为某个 \(U_i\) 出现。 由所选覆盖的极大性，对每个 \(j\)，存在 \(i_{j, 1}, \ldots, i_{j, n_j} \in I\)，使得 \(X = V_j \cup U_{i_{j, 1}} \cup \ldots \cup U_{i_{j, n_j}}\)。 因为 \(V_1 \cap \ldots \cap V_n \subset U_i\)，可得 \(X = U_i \cup \bigcup U_{i_{j, l}}\)，矛盾。

局部拟紧空间

回忆一点：一个点的邻域未必是开集。

定义

若拓扑空间 \(X\) 的每个点都有一个拟紧邻域基本系，则称该空间 局部拟紧²。

文献中的局部紧空间一词通常指下列引理中的空间。

引理

Hausdorff 空间局部拟紧，当且仅当每个点都有一个拟紧邻域。

证明

设 \(X\) 为 Hausdorff 空间。设 \(x \in X\)，并设 \(x \in E \subset X\) 为一个拟紧邻域。由引理 08YB，\(E\) 闭。假设 \(x \in U \subset X\) 是 \(x\) 的一个开邻域。则 \(Z = E \setminus U\) 是 \(E\) 的一个不含 \(x\) 的闭子集。由引理 08YB，可以找到 \(E\) 的一对不交开子集 \(W, V \subset E\)，使得 \(x \in V\) 且 \(Z \subset W\)。 于是 \(\overline{V} \subset E\) 是 \(x\) 的一个包含于 \(E \cap U\) 的闭邻域。 此外，\(\overline{V}\) 作为 \(E\) 的闭子集是拟紧的 （引理 005C）。由此得到 \(x\) 的一个 拟紧邻域基本系。

引理

设 \(X\) 为局部拟紧 Hausdorff 空间。设 \(U_n \subset X\)（\(n \geq 1\)） 为稠密开子集。则 \(\bigcap_{n \geq 1} U_n\) 在 \(X\) 中稠密。

证明

将 \(U_n\) 替换为 \(\bigcap_{i = 1, \ldots, n} U_i\) 后，可以假设 \(U_1 \supset U_2 \supset \ldots\)。设 \(x \in X\)。我们将证明 \(x\) 属于 \(\bigcap_{n \geq 1} U_n\) 的闭包。为此，设 \(E\) 为 \(x\) 的一个邻域。 为证明 \(E \cap \bigcap_{n \geq 1} U_n\) 非空，可以把 \(E\) 换成一个 更小的邻域。将 \(E\) 这样替换后，可以假设 \(E\) 拟紧。

置 \(x_0 = x\) 且 \(E_0 = E\)。下面归纳选取点 \(x_i \in E_{i - 1} \cap U_i\)，以及 \(x_i\) 的拟紧邻域 \(E_i\)，使得 \(E_i \subset E_{i - 1} \cap U_i\)。因为 \(X\) 为 Hausdorff 空间， 各子集 \(E_i \subset X\) 都是闭的 （引理 08YB）。又因各 \(E_i\) 非空， 由引理 005D 可知 \(\bigcap_{i \geq 1} E_i\) 非空。由于 \(\bigcap_{i \geq 1} E_i \subset E \cap \bigcap_{n \geq 1} U_n\)， 本引理得证。

基础情形 \(i = 0\) 已在上面完成。现作归纳步骤。因为 \(E_{i - 1}\) 是 \(x_{i - 1}\) 的邻域，可以找到开集 \(x_{i - 1} \in W \subset E_{i - 1}\)。由于 \(U_i\) 在 \(X\) 中稠密， \(W \cap U_i\) 非空。任取 \(x_i \in W \cap U_i\)。由局部拟紧空间的定义， 可以找到 \(x_i\) 的一个包含于 \(W \cap U_i\) 的拟紧邻域 \(E_i\)。 于是按所需，\(E_i \subset E_{i - 1} \cap U_i\)。

引理

设 \(X\) 为 Hausdorff 且拟紧的空间。设 \(X = \bigcup_{i \in I} U_i\) 为开覆盖。则存在开覆盖 \(X = \bigcup_{i \in I} V_i\)，使得对所有 \(i\) 都有 \(\overline{V_i} \subset U_i\)。

证明

设 \(x \in X\)。选取 \(i(x) \in I\)，使得 \(x \in U_{i(x)}\)。 因为 \(X \setminus U_{i(x)}\) 与 \(\{x\}\) 是 \(X\) 的不交闭子集， 由引理 005C 和 08YB，存在 \(x\) 的开邻域 \(U_x\)， 其闭包与 \(X \setminus U_{i(x)}\) 不交。所以 \(\overline{U_x} \subset U_{i(x)}\)。因为 \(X\) 拟紧，存在有限多个点 \(x_1, \ldots, x_m\)，使得 \(X = U_{x_1} \cup \ldots \cup U_{x_m}\)。令 \(V_i = \bigcup_{i = i(x_j)} U_{x_j}\)，证明完成。

引理

设 \(X\) 为 Hausdorff 且拟紧的空间。设 \(X = \bigcup_{i \in I} U_i\) 为开覆盖。假设给定整数 \(p \geq 0\)， 并且对 \(I\) 的每个 \((p + 1)\) 元组 \(i_0, \ldots, i_p\)，都给定开覆盖 \(U_{i_0} \cap \ldots \cap U_{i_p} = \bigcup W_{i_0 \ldots i_p, k}\)。 则存在开覆盖 \(X = \bigcup_{j \in J} V_j\) 与映射 \(\alpha : J \to I\)，使得 \(\overline{V_j} \subset U_{\alpha(j)}\)， 并且对某个 \(k\)，每个 \(V_{j_0} \cap \ldots \cap V_{j_p}\) 都包含于 \(W_{\alpha(j_0) \ldots \alpha(j_p), k}\) 中。

证明

因为 \(X\) 拟紧，可以归约到 \(I\) 有限的情形（细节从略）。 对有限的 \(I\)，关于 \(p\) 归纳证明。基础情形 \(p = 0\) 立即由取引理 09UV 中的一个覆盖得到，该覆盖加细开覆盖 \(X = \bigcup W_{i_0, k}\)。

归纳步骤。假设本引理对 \(p - 1\) 已证。对 \(I\) 的所有 \(p\) 元组 \(i'_0, \ldots, i'_{p - 1}\)，令 \(U_{i'_0} \cap \ldots \cap U_{i'_{p - 1}} = \bigcup W_{i'_0 \ldots i'_{p - 1}, k}\) 为如下这些覆盖的一个共同加细： \(U_{i_0} \cap \ldots \cap U_{i_p} = \bigcup W_{i_0 \ldots i_p, k}\)， 其中相应的 \((p + 1)\) 元组满足 \(\{i'_0, \ldots, i'_{p - 1}\} = \{i_0, \ldots, i_p\}\)（集合相等）。 （因为 \(I\) 有限，这样的覆盖只有有限多个。）由归纳假设，对这些开集存在 一个解，记为 \(X = \bigcup V_j\) 与 \(\alpha : J \to I\)。 此时，覆盖 \(X = \bigcup_{j \in J} V_j\) 与 \(\alpha\) 满足 \(\overline{V_j} \subset U_{\alpha(j)}\)；并且只要 \(\alpha(j_0), \ldots, \alpha(j_p)\) 中有重复项，对某个 \(k\)，每个 \(V_{j_0} \cap \ldots \cap V_{j_p}\) 都包含于 \(W_{\alpha(j_0) \ldots \alpha(j_p), k}\)。当然，可以且确实假设 \(J\) 有限。

固定两两不同的 \(i_0, \ldots, i_p \in I\)。考虑 \((p + 1)\) 元组 \(j_0, \ldots, j_p \in J\)，它满足 \(i_0 = \alpha(j_0), \ldots, i_p = \alpha(j_p)\)，并且 \(V_{j_0} \cap \ldots \cap V_{j_p}\) 对任意 \(k\) 都不包含于 \(W_{\alpha(j_0) \ldots \alpha(j_p), k}\)。令 \(N\) 为这种 \((p + 1)\) 元组的个数。我们说明如何减小 \(N\)。由于 \[\overline{V_{j_0}} \cap \ldots \cap \overline{V_{j_p}} \subset U_{i_0} \cap \ldots \cap U_{i_p} = \bigcup W_{i_0 \ldots i_p, k}\] 可以找到有限集 \(K = \{k_1, \ldots, k_t\}\)，使左端包含于 \(\bigcup_{k \in K} W_{i_0 \ldots i_p, k}\)。于是考虑开覆盖 \[V_{j_0} = (V_{j_0} \setminus (\overline{V_{j_1}} \cap \ldots \cap \overline{V_{j_p}})) \cup (\bigcup\nolimits_{k \in K} V_{j_0} \cap W_{i_0 \ldots i_p, k})\] 右端第一个开集与 \(V_{j_1} \cap \ldots \cap V_{j_p}\) 之交为空， 而右端其他开集 \(V_{j_0, k}\) 满足 \(V_{j_0, k} \cap V_{j_1} \ldots \cap V_{j_p} \subset W_{\alpha(j_0) \ldots \alpha(j_p), k}\)。令 \(J' = J \amalg K\)。 对 \(j \in J\)，若 \(j \not = j_0\)，令 \(V'_j = V_j\)；并令 \(V'_{j_0} = V_{j_0} \setminus (\overline{V_{j_1}} \cap \ldots \cap \overline{V_{j_p}})\)。 对 \(k \in K\)，令 \(V'_k = V_{j_0, k}\)。最后，映射 \(\alpha' : J' \to I\) 在 \(J\) 上由 \(\alpha\) 给出，并将 \(K\) 的每个元素 映到 \(i_0\)。简单检查可见，经此替换后 \(N\) 减少一。 重复此过程 \(N\) 次，就达到 \(N = 0\) 的情形。

为完成证明，对下述数目 \(M\) 作归纳：具有两两不同分量的 \((p + 1)\) 元组 \(i_0, \ldots, i_p \in I\) 的数目，其中存在 \((p + 1)\) 元组 \(j_0, \ldots, j_p \in J\)，满足 \(i_0 = \alpha(j_0), \ldots, i_p = \alpha(j_p)\)，且 \(V_{j_0} \cap \ldots \cap V_{j_p}\) 对任意 \(k\) 都不包含于 \(W_{\alpha(j_0) \ldots \alpha(j_p), k}\)。为此，断言上一段所作的操作 不会增大 \(M\)。这形式地来自如下事实：映射 \(\alpha' : J' \to I\) 通过某个映射 \(\beta : J' \to J\) 分解，并且 \(V'_{j'} \subset V_{\beta(j')}\)。

引理

设 \(X\) 为 Hausdorff 且局部拟紧的空间。设 \(Z \subset X\) 为拟紧 （因而闭的）子集。假设给定整数 \(p \geq 0\)、集合 \(I\)、对每个 \(i \in I\) 给定开集 \(U_i \subset X\)，并且对 \(I\) 的每个 \((p + 1)\) 元组 \(i_0, \ldots, i_p\) 给定开集 \(W_{i_0 \ldots i_p} \subset U_{i_0} \cap \ldots \cap U_{i_p}\)，使得

1. \(Z \subset \bigcup U_i\)，并且

2. 对每个 \(i_0, \ldots, i_p\)，有 \(W_{i_0 \ldots i_p} \cap Z = U_{i_0} \cap \ldots \cap U_{i_p} \cap Z\)。

则存在 \(X\) 的开集 \(V_i\)，使得 \(Z \subset \bigcup V_i\)， 对所有 \(i\) 都有 \(\overline{V_i} \subset U_i\)，并且对所有 \((p + 1)\) 元组 \(i_0, \ldots, i_p\)，都有 \(V_{i_0} \cap \ldots \cap V_{i_p} \subset W_{i_0 \ldots i_p}\)。

证明

因为 \(Z\) 拟紧，可以归约到 \(I\) 有限的情形（细节从略）。 因为 \(X\) 局部拟紧且 \(Z\) 拟紧，可以找到拟紧邻域 \(Z \subset E\)， 即 \(E\) 拟紧并且包含 \(Z\) 在 \(X\) 中的一个开邻域。若将 \(X\) 替换为 \(E\) 后能证明该结果，则原结果随即成立。因此可假设 \(X\) 拟紧。

在 \(I\) 有限且 \(X\) 拟紧的情形，关于 \(p\) 归纳证明。基础情形为 \(p = 0\)。此时 \(X = (X \setminus Z) \cup \bigcup W_i\)。由引理 09UV，可以找到由开集组成的覆盖 \(X = V \cup \bigcup V_i\)，其中 \(V_i \subset W_i\)、 \(V \subset X \setminus Z\)，并且对所有 \(i\)， \(\overline{V_i} \subset W_i\)。于是得到引理所提问题的一个解。

归纳步骤。假设本引理对 \(p - 1\) 已证。令 \(W_{j_0 \ldots j_{p - 1}}\) 等于所有满足 \(\{j_0, \ldots, j_{p - 1}\} = \{i_0, \ldots, i_p\}\)（集合相等）的 \(W_{i_0 \ldots i_p}\) 之交。由归纳假设，对这些开集存在一个解，记为 \(V_i \subset U_i\)。由 \(W_{j_0 \ldots j_{p - 1}}\) 的选取方式可知， 对所有满足某个 \(0 \leq a < b \leq p\) 有 \(i_a = i_b\) 的 \((p + 1)\) 元组 \(i_0, \ldots, i_p\)，都有 \(V_{i_0} \cap \ldots \cap V_{i_p} \subset W_{i_0 \ldots i_p}\)。 所以，仅当对某个元素两两不同的 \((p + 1)\) 元组 \(i_0, \ldots, i_p\) 有 \(V_{i_0} \cap \ldots \cap V_{i_p} \not \subset W_{i_0 \ldots i_p}\) 时， 才需修改 \(V_i\) 的选取。在这种情形，有 \[T = \overline{V_{i_0} \cap \ldots \cap V_{i_p} \setminus W_{i_0 \ldots i_p}} \subset \overline{V_{i_0}} \cap \ldots \cap \overline{V_{i_p}} \setminus W_{i_0 \ldots i_p}\] 它是 \(X\) 的闭子集，包含于 \(U_{i_0} \cap \ldots \cap U_{i_p}\)， 并且不与 \(Z\) 相交。因此可将 \(V_{i_0}\) 替换为 \(V_{i_0} \setminus T\) 来“修正”该问题。对每个有问题的元组有限次重复此操作后， 本引理得证。

引理

设 \(X\) 为拓扑空间。设 \(Z \subset X\) 为拟紧子集，且 \(Z\) 的任意两点在 \(X\) 中都有不交开邻域。假设给定整数 \(p \geq 0\)、集合 \(I\)、对每个 \(i \in I\) 给定开集 \(U_i \subset X\)，并且对 \(I\) 的每个 \((p + 1)\) 元组 \(i_0, \ldots, i_p\) 给定开集 \(W_{i_0 \ldots i_p} \subset U_{i_0} \cap \ldots \cap U_{i_p}\)，使得

1. \(Z \subset \bigcup U_i\)，并且

2. 对每个 \(i_0, \ldots, i_p\)，有 \(W_{i_0 \ldots i_p} \cap Z = U_{i_0} \cap \ldots \cap U_{i_p} \cap Z\)。

则存在 \(X\) 的开集 \(V_i\)，使得

1. \(Z \subset \bigcup V_i\)，

2. 对所有 \(i\)，\(V_i \subset U_i\)，

3. 对所有 \(i\)，\(\overline{V_i} \cap Z \subset U_i\)，并且

4. 对所有 \((p + 1)\) 元组 \(i_0, \ldots, i_p\)，有 \(V_{i_0} \cap \ldots \cap V_{i_p} \subset W_{i_0 \ldots i_p}\)。

证明

因为 \(Z\) 拟紧，可以归约到 \(I\) 有限的情形（细节从略）。 在 \(I\) 有限的情形，关于 \(p\) 归纳证明。

基础情形为 \(p = 0\)。对 \(z \in Z \cap U_i\) 与 \(z' \in Z \setminus U_i\)，存在 \(X\) 中不交的开集 \(z \in V_{z, z'}\) 与 \(z' \in W_{z, z'}\)。因为 \(Z \setminus U_i\) 拟紧（引理 005C）， 可以选取有限多个 \(z'_1, \ldots, z'_r\)，使得 \(Z \setminus U_i \subset W_{z, z'_1} \cup \ldots \cup W_{z, z'_r}\)。 于是 \(V_z = V_{z, z'_1} \cap \ldots \cap V_{z, z'_r} \cap U_i\) 是 \(z\) 的一个包含于 \(U_i\) 的开邻域，并具有 \(\overline{V_z} \cap Z \subset U_i\) 的性质。由于 \(z\) 与 \(i\) 任意， 并且 \(Z\) 拟紧，可以找到有限列表 \(z_1, i_1, \ldots, z_t, i_t\) 以及 开集 \(V_{z_j} \subset U_{i_j}\)，满足 \(\overline{V_{z_j}} \cap Z \subset U_{i_j}\) 且 \(Z \subset \bigcup V_{z_j}\)。于是可令 \(V_i = W_i \cap (\bigcup_{j : i = i_j} V_{z_j})\)，解决 \(p = 0\) 的情形。

归纳步骤。假设本引理对 \(p - 1\) 已证。令 \(W_{j_0 \ldots j_{p - 1}}\) 等于所有满足 \(\{j_0, \ldots, j_{p - 1}\} = \{i_0, \ldots, i_p\}\)（集合相等）的 \(W_{i_0 \ldots i_p}\) 之交。由归纳假设，对这些开集存在一个解，记为 \(V_i \subset U_i\)。由 \(W_{j_0 \ldots j_{p - 1}}\) 的选取方式可知， 对所有满足某个 \(0 \leq a < b \leq p\) 有 \(i_a = i_b\) 的 \((p + 1)\) 元组 \(i_0, \ldots, i_p\)，都有 \(V_{i_0} \cap \ldots \cap V_{i_p} \subset W_{i_0 \ldots i_p}\)。 所以，仅当对某个元素两两不同的 \((p + 1)\) 元组 \(i_0, \ldots, i_p\) 有 \(V_{i_0} \cap \ldots \cap V_{i_p} \not \subset W_{i_0 \ldots i_p}\) 时， 才需修改 \(V_i\) 的选取。在这种情形，有 \[T = \overline{V_{i_0} \cap \ldots \cap V_{i_p} \setminus W_{i_0 \ldots i_p}} \subset \overline{V_{i_0}} \cap \ldots \cap \overline{V_{i_p}} \setminus W_{i_0 \ldots i_p}\] 由开集 \(V_i\) 的性质 (3)，它是 \(X\) 的一个不与 \(Z\) 相交的闭子集。 因此可将 \(V_{i_0}\) 替换为 \(V_{i_0} \setminus T\) 来“修正”该问题。 对每个有问题的元组有限次重复此操作后，本引理得证。

空间的极限

拓扑空间范畴具有积。具体地，若 \(I\) 为集合，并且对 \(i \in I\) 给定 拓扑空间 \(X_i\)，就在 \(\prod_{i \in I} X_i\) 上赋予积拓扑。 拓扑基取为形如 \(\prod U_i\) 的集合，其中 \(U_i \subset X_i\) 为开集， 且除有限多个 \(i\) 外都有 \(U_i = X_i\)。

拓扑空间范畴具有等化子。具体地，若 \(a, b : X \to Y\) 是拓扑空间的态射， 则 \(a\) 与 \(b\) 的等化子是赋予诱导拓扑的子集 \(\{x \in X \mid a(x) = b(x)\} \subset X\)。

引理

拓扑空间范畴具有极限，而且到集合范畴的遗忘函子与极限交换。

证明

这由上面的讨论和 Categories, Lemma 002N 得出。 从上面的描述可知，遗忘函子与极限交换。另一种看法是使用 Categories, Lemma 0038，并利用遗忘函子具有左伴随这一事实； 该左伴随就是把一个集合映到相应离散拓扑空间的函子。

引理

设 \(\mathcal{I}\) 为余滤范畴。设 \(i \mapsto X_i\) 为 \(\mathcal{I}\) 上的 拓扑空间图。设 \(X = \lim X_i\) 为极限，其投影映射为 \(f_i : X \to X_i\)。

1. \(X\) 的任意开集都形如 \(\bigcup_{j \in J} f_j^{-1}(U_j)\)， 其中 \(J \subset I\) 为某个子集，且 \(U_j \subset X_j\) 为开集。

2. \(X\) 的任意拟紧开集都形如 \(f_i^{-1}(U_i)\)，其中 \(i\) 为某个指标， 且 \(U_i \subset X_i\) 为某个开集。

证明

上面给出的极限构造表明，\(X \subset \prod X_i\) 并带诱导拓扑。 \(\prod X_i\) 的一个拓扑基由开集 \(\prod U_i\) 构成，其中 \(U_i \subset X_i\) 开，并且除有限多个 \(i\) 外都有 \(U_i = X_i\)。 设 \(i_1, \ldots, i_n \in \Ob(\mathcal{I})\) 是满足 \(U_{i_j} \not = X_{i_j}\) 的对象。则 \[X \cap \prod U_i = f_{i_1}^{-1}(U_{i_1}) \cap \ldots \cap f_{i_n}^{-1}(U_{i_n})\] 对拓扑空间的一般极限而言，这些集合构成 \(X\) 上拓扑的一个基。 不过，如果 \(\mathcal{I}\) 如引理陈述中那样余滤，就可以选取 \(j \in \Ob(\mathcal{I})\) 以及态射 \(j \to i_l\)（\(l = 1, \ldots, n\)）。令 \[U_j = (X_j \to X_{i_1})^{-1}(U_{i_1}) \cap \ldots \cap (X_j \to X_{i_n})^{-1}(U_{i_n})\] 于是显然 \(X \cap \prod U_i = f_j^{-1}(U_j)\)。因此，对 \(X\) 的任意开集 \(W\)，存在集合 \(A\)、映射 \(\alpha : A \to \Ob(\mathcal{I})\) 以及开集 \(U_a \subset X_{\alpha(a)}\)，使得 \(W = \bigcup f_{\alpha(a)}^{-1}(U_a)\)。置 \(J = \Im(\alpha)\)，并对 \(j \in J\) 置 \(U_j = \bigcup_{\alpha(a) = j} U_a\)，即可看出 \(W = \bigcup_{j \in J} f_j^{-1}(U_j)\)。这证明 (1)。

为证明 (2)，假设 \(\bigcup_{j \in J} f_j^{-1}(U_j)\) 拟紧。 则对某些 \(j_1, \ldots, j_m \in J\)，它等于 \(f_{j_1}^{-1}(U_{j_1}) \cup \ldots \cup f_{j_m}^{-1}(U_{j_m})\)。 因为 \(\mathcal{I}\) 余滤，可以选取 \(i \in \Ob(\mathcal{I})\) 和态射 \(i \to j_l\)（\(l = 1, \ldots, m\)）。令 \[U_i = (X_i \to X_{j_1})^{-1}(U_{j_1}) \cup \ldots \cup (X_i \to X_{j_m})^{-1}(U_{j_m})\] 则按所需，该开集等于 \(f_i^{-1}(U_i)\)。

引理

设 \(\mathcal{I}\) 为余滤范畴。设 \(i \mapsto X_i\) 为 \(\mathcal{I}\) 上的 拓扑空间图。设 \(X\) 为拓扑空间，并满足

1. 作为集合，\(X = \lim X_i\)（用 \(f_i\) 表示投影映射），

2. 对 \(i \in \Ob(\mathcal{I})\) 以及开集 \(U_i \subset X_i\)， 所有集合 \(f_i^{-1}(U_i)\) 构成 \(X\) 上拓扑的一个基。

则作为拓扑空间，\(X\) 是各 \(X_i\) 的极限。

证明

由引理 0A2P 中对极限拓扑的描述得出。

定理

拟紧空间的积拟紧。

证明

设 \(I\) 为集合，并对 \(i \in I\) 设 \(X_i\) 为拟紧拓扑空间。 置 \(X = \prod X_i\)。令 \(\mathcal{B}\) 为 \(X\) 的所有形如 \(U_i \times \prod_{i' \in I, i' \not = i} X_{i'}\) 的子集之集合， 其中 \(U_i \subset X_i\) 开。按构造，该族是 \(X\) 上拓扑的一个子基。 由引理 08ZP，只需证明任何由 \(\mathcal{B}\) 中元素 \(B_j\) 组成的覆盖 \(X = \bigcup_{j \in J} B_j\) 都有有限加细。 可以分解 \(J = \coprod J_i\)，使得若 \(j \in J_i\)，则 \(B_j = U_j \times \prod_{i' \not = i} X_{i'}\)，其中 \(U_j \subset X_i\) 开。若 \(X_i = \bigcup_{j \in J_i} U_j\)， 则存在有限加细，从而 \(X = \bigcup_{j \in J} B_j\) 有有限加细。 若非如此，则对每个 \(i\)，可以选取一点 \(x_i \in X_i\)，使它不属于 \(\bigcup_{j \in J_i} U_j\)。但此时点 \(x = (x_i)_{i \in I}\) 属于 \(X\)， 却不属于 \(\bigcup_{j \in J} B_j\)，矛盾。

若去掉空间 \(X_i\) 为 Hausdorff 空间的假设，下面的引理不成立；参见 Examples, Section 09ZJ。

引理

设 \(\mathcal{I}\) 为范畴，\(i \mapsto X_i\) 为拓扑空间范畴中 \(\mathcal{I}\) 上的图。若每个 \(X_i\) 都拟紧且为 Hausdorff 空间，则 \(\lim X_i\) 拟紧。

证明

回忆，\(\lim X_i\) 是 \(\prod X_i\) 的子空间。由定理 08ZU，该积拟紧。因此只需证明 \(\lim X_i\) 是 \(\prod X_i\) 的闭子空间（引理 005C）。 若 \(\varphi : j \to k\) 是 \(\mathcal{I}\) 的一个态射，令 \(\Gamma_\varphi \subset X_j \times X_k\) 表示相应连续映射 \(X_j \to X_k\) 的图。由引理 08ZF，该图闭。 显然，\(\lim X_i\) 是下列闭子集之交： \[\Gamma_\varphi \times \prod\nolimits_{l \not = j, k} X_l \subset \prod X_i\] 故结论成立。

下面的引理推广了 Categories, Lemma 086J，并部分推广了引理 005D。

引理

设 \(\mathcal{I}\) 为余滤范畴，\(i \mapsto X_i\) 为拓扑空间范畴中 \(\mathcal{I}\) 上的图。若每个 \(X_i\) 都拟紧、Hausdorff 且非空， 则 \(\lim X_i\) 非空。

证明

在引理 08ZV 的证明中已经看到， \(X = \lim X_i\) 是拟紧空间 \(\prod X_i\) 内下列闭子集之交： \[Z_\varphi = \Gamma_\varphi \times \prod\nolimits_{l \not = j, k} X_l\] 其中 \(\varphi : j \to k\) 是 \(\mathcal{I}\) 的一个态射，而 \(\Gamma_\varphi \subset X_j \times X_k\) 是相应态射 \(X_j \to X_k\) 的图。 所以由引理 005D，只需证明这些 子集的任意有限交非空。假设 \(\varphi_t : j_t \to k_t\)（\(t = 1, \ldots, n\)）为 \(\mathcal{I}\) 的 有限多个态射。因为 \(\mathcal{I}\) 余滤，可以选取对象 \(j\)，并对每个 \(t\) 选取态射 \(\psi_t : j \to j_t\)。对每一对 \(t, t'\)，如果 (a) \(j_t = j_{t'}\)，或 (b) \(j_t = k_{t'}\)，或 (c) \(k_t = k_{t'}\)， 就得到两个态射 \(j \to l\)；在情形 (a)、(b) 中 \(l = j_t\)，而在情形 (c) 中 \(l = k_t\)。因为 \(\mathcal{I}\) 余滤，并且序对 \((t, t')\) 只有有限多个，可以选取一个映射 \(j' \to j\)，使所有这些序对 \((t, t')\) 所对应的两个态射等化。选取元素 \(x \in X_{j'}\)，并对每个 \(t\)，令 \(x_{j_t}\)、相应地令 \(x_{k_t}\)，分别为 \(x\) 在态射 \(X_{j'} \to X_j \to X_{j_t}\)、相应地在态射 \(X_{j'} \to X_j \to X_{j_t} \to X_{k_t}\) 下的像。 对任一指标 \(l \in \Ob(\mathcal{I})\)，若对所有 \(t\) 它都不等于 \(j_t\) 或 \(k_t\)，则任选元素 \(x_l \in X_l\)（使用选择公理）。于是按构造， \((x_i)_{i \in \Ob(\mathcal{I})}\) 属于交集 \[Z_{\varphi_1} \cap \ldots \cap Z_{\varphi_n}\] 证明完成。

可构造集

定义

设 \(X\) 为拓扑空间，\(E \subset X\) 为 \(X\) 的一个子集。

1. 若 \(E\) 是有限多个形如 \(U \cap V^c\) 的子集之并，其中 \(U, V \subset X\) 在 \(X\) 中开且逆紧，则称 \(E\) 在 \(X\) 中 可构造³。

2. 若存在开覆盖 \(X = \bigcup V_i\)，使得每个 \(E \cap V_i\) 在 \(V_i\) 中可构造，则称 \(E\) 在 \(X\) 中局部可构造。

引理

可构造集族对有限交、有限并和补集封闭。

证明

注意，若 \(U_1\)、\(U_2\) 在 \(X\) 中开且逆紧，则 \(U_1 \cup U_2\) 也如此， 因为 \(X\) 的两个拟紧子集之并拟紧。\(U_1 \cap U_2\) 也逆紧。 事实上，假设 \(U \subset X\) 是拟紧开集；因为 \(U_2\) 在 \(X\) 中逆紧， \(U_2 \cap U\) 拟紧；又因为 \(U_1\) 在 \(X\) 中逆紧，可知 \(U_1 \cap (U_2 \cap U)\) 拟紧。由此形式地可证：可构造集的补集可构造， 有限多个可构造集之并可构造，而有限多个可构造集之交可构造。

引理

设 \(f : X \to Y\) 为拓扑空间间的连续映射。如果 \(Y\) 的每个逆紧开子集的逆像 在 \(X\) 中逆紧，则可构造集的逆像可构造。

证明

这是因为 \(f^{-1}(U \cap V^c) = f^{-1}(U) \cap f^{-1}(V)^c\)， 再结合可构造集的定义即可。

引理

设 \(U \subset X\) 为开集。对可构造集 \(E \subset X\)，交集 \(E \cap U\) 在 \(U\) 中可构造。

证明

假设 \(V \subset X\) 在 \(X\) 中开且逆紧。由引理 005I，只需证明 \(V \cap U\) 在 \(U\) 中逆紧。为此，设 \(W \subset U\) 开且拟紧。则 \(W\) 在 \(X\) 中也开且拟紧。 因为 \(V\) 在 \(X\) 中逆紧，故 \(V \cap W = V \cap U \cap W\) 拟紧。

引理

设 \(U \subset X\) 为逆紧开集，\(E \subset U\)。若 \(E\) 在 \(U\) 中可构造， 则 \(E\) 在 \(X\) 中可构造。

证明

假设 \(V, W \subset U\) 在 \(U\) 中开且逆紧。则 \(V, W\) 在 \(X\) 中开且逆紧 （引理 005B）。因此 \(V \cap (U \setminus W) = V \cap (X \setminus W)\) 在 \(X\) 中可构造。 又因 \(U\) 的每个可构造子集都是有限多个形如 \(V \cap (U \setminus W)\) 的子集之并，结论成立。

引理

设 \(X\) 为拓扑空间，\(E \subset X\) 为子集。设 \(X = V_1 \cup \ldots \cup V_m\) 为由逆紧开集组成的有限覆盖。 则 \(E\) 在 \(X\) 中可构造，当且仅当对每个 \(j = 1, \ldots, m\)， \(E \cap V_j\) 在 \(V_j\) 中可构造。

证明

若 \(E\) 在 \(X\) 中可构造，则由引理 005J，对所有 \(j\)， \(E \cap V_j\) 在 \(V_j\) 中可构造。反之，假设对每个 \(j = 1, \ldots, m\)，\(E \cap V_j\) 在 \(V_j\) 中可构造。由引理 09YD， \(E = \bigcup E \cap V_j\) 是可构造集的有限并，因而可构造。

引理

设 \(X\) 为拓扑空间。设 \(Z \subset X\) 为闭子集，并且 \(X \setminus Z\) 拟紧。则对可构造集 \(E \subset X\)，交集 \(E \cap Z\) 在 \(Z\) 中可构造。

证明

假设 \(V \subset X\) 在 \(X\) 中开且逆紧。由引理 005I，只需证明 \(V \cap Z\) 在 \(Z\) 中逆紧。为此，设 \(W \subset Z\) 开且拟紧。子集 \(W' = W \cup (X \setminus Z)\) 拟紧、开，并且 \(W = Z \cap W'\)。 于是 \(V \cap Z \cap W = V \cap Z \cap W'\) 是拟紧开集 \(V \cap W'\) 的闭子集，因为 \(V\) 在 \(X\) 中逆紧。因此由引理 005C，\(V \cap Z \cap W\) 拟紧。

引理

设 \(X\) 为拓扑空间，\(T \subset X\) 为子集。假设

1. \(T\) 在 \(X\) 中逆紧，

2. 拟紧开集构成 \(X\) 上拓扑的一个基。

则对可构造集 \(E \subset X\)，交集 \(E \cap T\) 在 \(T\) 中可构造。

证明

假设 \(V \subset X\) 在 \(X\) 中开且逆紧。由引理 005I，只需证明 \(V \cap T\) 在 \(T\) 中逆紧。为此，设 \(W \subset T\) 开且拟紧。由假设 (2)，可以找到 拟紧开集 \(W' \subset X\)，使得 \(W = T \cap W'\)（细节从略）。 于是 \(V \cap T \cap W = V \cap T \cap W'\) 是 \(T\) 与拟紧开集 \(V \cap W'\) 之交，因为 \(V\) 在 \(X\) 中逆紧。因此 \(V \cap T \cap W\) 拟紧。

引理

设 \(Z \subset X\) 为闭子集，其补集为逆紧开集。设 \(E \subset Z\)。 若 \(E\) 在 \(Z\) 中可构造，则 \(E\) 在 \(X\) 中可构造。

证明

假设 \(V \subset Z\) 在 \(Z\) 中开且逆紧。考虑 \(X\) 的开子集 \(\tilde V = V \cup (X \setminus Z)\)。设 \(W \subset X\) 开且拟紧。则 \[W \cap \tilde V = \left(V \cap W\right) \cup \left((X \setminus Z) \cap W\right).\] 第一部分拟紧，因为 \(V \cap W = V \cap (Z \cap W)\)，且 \((Z \cap W)\) 在 \(Z\) 中开且拟紧 （引理 005C），而 \(V\) 在 \(Z\) 中逆紧。 第二部分拟紧，因为 \((X \setminus Z)\) 在 \(X\) 中逆紧。由此可知 \(\tilde V\) 在 \(X\) 中逆紧。因此，若 \(V_1, V_2 \subset Z\) 开且逆紧， 则 \[V_1 \cap (Z \setminus V_2) = \tilde V_1 \cap (X \setminus \tilde V_2)\] 在 \(X\) 中可构造。又因 \(Z\) 的每个可构造子集都是有限多个形如 \(V_1 \cap (Z \setminus V_2)\) 的子集之并，结论成立。

引理

设 \(X\) 为拓扑空间。\(X\) 的每个可构造子集都逆紧。

证明

设 \(E = \bigcup_{i = 1, \ldots, n} U_i \cap V_i^c\)，其中 \(U_i, V_i\) 在 \(X\) 中开且逆紧。设 \(W \subset X\) 为拟紧开集。则 \(E \cap W = \bigcup_{i = 1, \ldots, n} U_i \cap V_i^c \cap W\)。 所以，只需证明：若 \(U, V\) 开且逆紧，而 \(W\) 开且拟紧，则 \(U \cap V^c \cap W\) 拟紧。这是因为 \(U \cap V^c \cap W\) 是拟紧集 \(U \cap W\) 的闭子集，故可应用引理 005C。

问题：若仅假设 \(X\) 是拟紧拓扑空间，下面的引理是否仍然成立？ 与引理 09YE 比较。

引理

设 \(X\) 为拓扑空间。假设 \(X\) 有一个由拟紧开集组成的基。 若 \(E, E'\) 在 \(X\) 中可构造，则交集 \(E \cap E'\) 在 \(E\) 中可构造。

证明

合并引理 09YF 与 09YH。

引理

设 \(X\) 为拓扑空间。假设 \(X\) 有一个由拟紧开集组成的基。 设 \(E\) 在 \(X\) 中可构造，而 \(F \subset E\) 在 \(E\) 中可构造。 则 \(F\) 在 \(X\) 中可构造。

证明

注意，\(X\) 的任意逆紧子集 \(T\) 的诱导拓扑都有一个由拟紧开集组成的基。 特别地，这对任意可构造子集成立 （引理 09YH）。写成 \(E = E_1 \cup \ldots \cup E_n\)，其中 \(E_i = U_i \cap V_i^c\)，而 \(U_i, V_i \subset X\) 开且逆紧。注意，由引理 09YI， \(E_i = E \cap E_i\) 在 \(E\) 中可构造。再由引理 09YI， \(F \cap E_i\) 在 \(E_i\) 中可构造。所以，只需证明 \(E = U \cap V^c\) 的情形，其中 \(U, V \subset X\) 开且逆紧。 在这种情形，包含映射 \(E \subset X\) 是复合 \[E = U \cap V^c \to U \to X\] 然后可将引理 09YG 应用于第一个包含， 将引理 09YD 应用于第二个包含。

引理

设 \(X\) 为拟紧拓扑空间，它有一个由拟紧开集组成的基，并且任意两个拟紧开集 之交拟紧。设 \(T \subset X\) 为局部闭子集，且 \(T\) 拟紧，而 \(T^c\) 在 \(X\) 中逆紧。则 \(T\) 在 \(X\) 中可构造。

证明

注意，\(T\) 拟紧且在 \(\overline{T}\) 中开。利用由拟紧开集组成的基， 可以写成 \(T = U \cap \overline{T}\)，其中 \(U\) 是 \(X\) 中的拟紧开集。 则 \(V = U \setminus T = U \cap T^c\) 在 \(U\) 中逆紧，因为 \(T^c\) 在 \(X\) 中逆紧。所以 \(V\) 拟紧。由于任意两个拟紧开集之交拟紧， \(X\) 的任意拟紧开集都逆紧。因此，\(T = U \cap V^c\)，其中 \(U\) 与 \(V = U \setminus T\) 都是 \(X\) 的逆紧开集。更不必说，\(T\) 在 \(X\) 中可构造。

引理

设 \(X\) 为拓扑空间，并且有一个由拟紧开集组成的拓扑基。 设 \(E \subset X\) 为子集。设 \(X = E_1 \cup \ldots \cup E_m\) 为由可构造子集组成的有限覆盖。 则 \(E\) 在 \(X\) 中可构造，当且仅当对每个 \(j = 1, \ldots, m\)， \(E \cap E_j\) 在 \(E_j\) 中可构造。

证明

合并引理 09YI 与 09YJ。

引理

设 \(X\) 为拓扑空间。假设 \(Z \subset X\) 不可约。设 \(E \subset X\) 为有限多个局部闭子集之并（例如，\(E\) 可构造）。下列条件等价：

1. 交集 \(E \cap Z\) 包含 \(Z\) 的一个稠密开子集。

2. 交集 \(E \cap Z\) 在 \(Z\) 中稠密。

若 \(Z\) 有泛点 \(\xi\)，则这些条件还等价于

1. 有 \(\xi \in E\)。

证明

蕴含关系 (1) \(\Rightarrow\) (2) 显然。假设 (2)。注意，\(E \cap Z\) 是 \(Z\) 的有限多个局部闭子集 \(Z_i\) 之并。由于 \(Z\) 不可约，必有某个 \(Z_i\) 在 \(Z\) 中稠密。因为该 \(Z_i\) 在其闭包中开，所以它在 \(Z\) 中 稠密且开。因此 (1) 成立。

假设 \(\xi \in Z\) 为泛点。若等价条件 (1)、(2) 成立，则 \(\xi \in E\)。反之，若 \(\xi \in E\)，则 \(\xi \in E \cap Z\)， 从而 \(E \cap Z\) 在 \(Z\) 中稠密。

可构造集与 Noether 空间

引理

设 \(X\) 为 Noether 拓扑空间。\(X\) 中的可构造集恰为 \(X\) 的有限多个 局部闭子集之并。

证明

这立即由引理 04ZA 得出。

引理

设 \(f : X \to Y\) 为 Noether 拓扑空间之间的连续映射。 若 \(E \subset Y\) 在 \(Y\) 中可构造，则 \(f^{-1}(E)\) 在 \(X\) 中可构造。

证明

这立即由引理 005L 和连续映射的定义得出。

引理

设 \(X\) 为 Noether 拓扑空间，\(E \subset X\) 为子集。下列条件等价：

1. \(E\) 在 \(X\) 中可构造；

2. 对每个不可约闭子集 \(Z \subset X\)，交集 \(E \cap Z\) 或者包含 \(Z\) 的一个非空开集，或者在 \(Z\) 中不稠密。

证明

假设 \(E\) 可构造，且 \(Z \subset X\) 为不可约闭子集。由引理 053Y，\(E \cap Z\) 在 \(Z\) 中可构造。 因此，\(E \cap Z\) 是 \(Z\) 的有限多个非空局部闭子集 \(T_i\) 之并。 显然，若所有 \(T_i\) 都不在 \(Z\) 中开，则 \(E \cap Z\) 在 \(Z\) 中不稠密。 由此可见 (1) 蕴含 (2)。

反之，假设 (2) 成立。考虑由 \(X\) 的所有闭子集 \(Y\) 组成的集合 \(\mathcal{S}\)，其中 \(E \cap Y\) 在 \(Y\) 中不可构造。若 \(\mathcal{S} \not = \emptyset\)，则由于 \(X\) 是 Noether 的， 它有一个极小元 \(Y\)。设 \(Y = Y_1 \cup \ldots \cup Y_r\) 是 \(Y\) 的不可约分支分解，参见引理 0052。若 \(r > 1\)，则每个 \(Y_i \cap E\) 在 \(Y_i\) 中可构造，因而是 \(Y_i\) 的有限多个局部闭子集之并。于是 \(E \cap Y\) 也是 \(Y\) 的有限多个局部闭子集之并；由引理 005L，\(E \cap Y\) 在 \(Y\) 中可构造。 这产生矛盾，故 \(r = 1\)。若 \(r = 1\)，则 \(Y\) 不可约；由假设 (2)， \(E \cap Y\) 或者 (a) 包含 \(Y\) 的一个开集 \(V\)，或者 (b) 在 \(Y\) 中 不稠密。在情形 (a)，由 \(Y\) 的极小性，\(E \cap (Y \setminus V)\) 是 \(Y \setminus V\) 的有限多个局部闭子集之并。因此，\(E \cap Y\) 是 \(Y\) 的有限多个局部闭子集之并，并由引理 005L 可知其可构造。这产生矛盾， 所以必处于情形 (b)。在情形 (b)，存在真闭子集 \(Y' \subset Y\)，使得 \(E \cap Y = E \cap Y'\)。由 \(Y\) 的极小性，\(E \cap Y'\) 是 \(Y'\) 的有限多个局部闭子集之并；由此可见，\(E \cap Y' = E \cap Y\) 是 \(Y\) 的有限多个局部闭子集之并，并由引理 005L 可知其可构造。 这个矛盾完成了引理的证明。

引理

设 \(X\) 为 Noether 拓扑空间，\(x \in X\)，且 \(E \subset X\) 在 \(X\) 中可构造。下列条件等价：

1. \(E\) 是 \(x\) 的邻域；

2. 对 \(X\) 的每个包含 \(x\) 的不可约闭子集 \(Y\)，交集 \(E \cap Y\) 在 \(Y\) 中稠密。

证明

(1) 蕴含 (2) 是清楚的。假设 (2)。考虑由 \(X\) 的所有包含 \(x\) 的闭子集 \(Y\) 组成的集合 \(\mathcal{S}\)，其中 \(E \cap Y\) 不是 \(Y\) 中 \(x\) 的邻域。若 \(\mathcal{S} \not = \emptyset\)，则由于 \(X\) 是 Noether 的，它有一个极小元 \(Y\)。假设 \(Y = Y_1 \cup Y_2\)，其中 \(Y_1\)、\(Y_2\) 是两个更小的非空闭子集。 若对 \(i = 1, 2\) 都有 \(x \in Y_i\)，则 \(Y_i \cap E\) 是 \(Y_i\) 中 \(x\) 的邻域，从而 \(Y \cap E\) 是 \(Y\) 中 \(x\) 的邻域，矛盾。 若 \(x \in Y_1\) 但 \(x \not\in Y_2\)（不妨如此），则 \(Y_1 \cap E\) 是 \(Y_1\) 中 \(x\) 的邻域，因而也是 \(Y\) 中 \(x\) 的邻域， 这同样产生矛盾。因此，\(Y\) 是不可约闭集。由假设 (2)，\(E \cap Y\) 在 \(Y\) 中稠密。于是 \(E \cap Y\) 包含 \(Y\) 的一个开集 \(V\)，参见引理 053Z。若 \(x \in V\)，则 \(E \cap Y\) 是 \(Y\) 中 \(x\) 的邻域，矛盾。若 \(x \not \in V\)，则 \(Y' = Y \setminus V\) 是包含 \(x\) 的 \(Y\) 的真闭子集。由 \(Y\) 的极小性， \(E \cap Y'\) 包含 \(Y'\) 中 \(x\) 的一个开邻域 \(V' \subset Y'\)。 但此时 \(V' \cup V\) 是 \(Y\) 中包含于 \(E\) 的 \(x\) 的开邻域，矛盾。 这个矛盾完成了引理的证明。

引理

设 \(X\) 为 Noether 拓扑空间，\(E \subset X\) 为子集。下列条件等价：

1. \(E\) 在 \(X\) 中开；

2. 对每个不可约闭子集 \(Y\)，交集 \(E \cap Y\) 或者为空，或者包含 \(Y\) 的一个非空开集。

证明

这形式地由引理 053Z 与 0540 得出。

固有映射的刻画

本节讨论通常拓扑学中的固有映射概念。我们称拓扑空间的连续映射为 固有的，如果它是普遍闭且分离的。虽然这与代数几何中固有态射的 定义很好地吻合，但它不同于 Bourbaki 的定义。采用我们对拓扑空间固有映射 的定义，固有基变换定理（Cohomology，定理 09V6）无需任何进一步假设即成立。 此外，给定 \(\mathbf{C}\) 上有限型概形的态射 \(f : X \to Y\)，有如下结论： \(f\) 作为概形态射是固有的，当且仅当在赋予经典拓扑的 \(\mathbf{C}\)-点上，连续映射 \(f : X(\mathbf{C}) \to Y(\mathbf{C})\) 是固有的。这在 [SGA1, Exp. XII, Prop. 3.2(v)] 中得到说明； 其中还有一个脚注指出，他们在拓扑学中采用的是附加了分离性的 Bourbaki 固有性概念。

我们发现，为三个不同的概念分别命名很有用：分离、普遍闭，以及二者兼具 （即固有性）。对于局部紧 Hausdorff 空间的连续映射 \(f : X \to Y\)， “固有”一词长期以来用于表示“\(f^{-1}(\)紧集\() =\) 紧集”这一概念； 对于这样良好的空间，它等价于普遍闭。事实上，我们将会看到，若为清楚起见 用“拟紧”来表述原像条件，并加入映射为闭映射这一假设，则该条件一般地等价于 普遍闭。另见 [LangReal, Exercises 22-26 in Chapter II]，但须注意， Lang 与 Bourbaki 一样，把“固有”用作“普遍闭”的同义词。

引理

设 \(X\) 与 \(Y\) 为拓扑空间，\(A \subset X\) 与 \(B \subset Y\) 为拟紧子集。 设 \(A \times B \subset W \subset X \times Y\)，其中 \(W\) 在 \(X \times Y\) 中开。则存在开集 \(A \subset U \subset X\) 与 \(B \subset V \subset Y\)，使得 \(U \times V \subset W\)。

证明

对每个 \(a \in A\) 与 \(b \in B\)，存在 \(X\) 的开集 \(U_{(a, b)}\) 和 \(Y\) 的开集 \(V_{(a, b)}\)，使得 \((a, b) \in U_{(a, b)} \times V_{(a, b)} \subset W\)。 固定 \(b\)，则存在有限多个 \(a_1, \ldots, a_n\)，使得 \(A \subset U_{(a_1, b)} \cup \ldots \cup U_{(a_n, b)}\)。因此 \[A \times \{b\} \subset (U_{(a_1, b)} \cup \ldots \cup U_{(a_n, b)}) \times (V_{(a_1, b)} \cap \ldots \cap V_{(a_n, b)}) \subset W.\] 所以，对每个 \(b \in B\)，存在开集 \(U_b \subset X\) 与 \(V_b \subset Y\)，使得 \(A \times \{b\} \subset U_b \times V_b \subset W\)。 同上，存在有限多个 \(b_1, \ldots, b_m\)，使得 \(B \subset V_{b_1} \cup \ldots \cup V_{b_m}\)。此时结论成立，因为 \(A \times B \subset (U_{b_1} \cap \ldots \cap U_{b_m}) \times (V_{b_1} \cup \ldots \cup V_{b_m})\)。

以下定义中的术语可能与你习惯的略有不同。

定义

设 \(f : X\to Y\) 为拓扑空间之间的连续映射。

1. 若每个闭子集的像都是闭的，则称映射 \(f\) 为闭映射。

2. 若对任意拓扑空间 \(Z\)，映射 \(Z \times X\to Z \times Y\) 都是闭映射， 则称映射 \(f\) 为 Bourbaki-固有的⁴。

3. 若每个拟紧子集 \(V \subset Y\) 的原像 \(f^{-1}(V)\) 都拟紧， 则称映射 \(f\) 为拟固有的。

4. 若对任意连续映射 \(g: Z \to Y\)，映射 \(f': Z \times_Y X \to Z\) 都是闭映射，则称 \(f\) 为普遍闭的。

5. 若 \(f\) 分离且普遍闭，则称 \(f\) 为固有的。

下面的引理以后会用到。

引理

拓扑空间 \(X\) 拟紧，当且仅当对任意拓扑空间 \(Z\)，投影映射 \(Z \times X \to Z\) 都是闭映射。

证明

（另见下面的评注。）若 \(X\) 不拟紧，则存在开覆盖 \(X = \bigcup_{i \in I} U_i\)，使得任意有限多个 \(U_i\) 都不能覆盖 \(X\)。 令 \(Z\) 为 \(I\) 的幂集 \(\mathcal{P}(I)\) 的子集，由 \(I\) 本身以及 \(I\) 的所有非空有限子集组成。在 \(Z\) 上定义拓扑，并以下列集合为拓扑基：

1. \(Z\setminus\{I\}\) 的所有子集。

2. 对 \(I\) 的每个有限子集 \(K\)，取集合

   \(U_K := \{J\subset I \mid J \in Z, \ K\subset J \})\)。

留给读者验证这确实是一个拓扑基。考虑由下式定义的 \(Z \times X\) 的子集 \[M = \{(J, x) \mid J \in Z, \ x \in \bigcap\nolimits_{i \in J} U_i^c)\}\] 若 \((J, x) \not \in M\)，则对某个 \(i \in J\) 有 \(x \in U_i\)。 因此，\(U_{\{i\}} \times U_i \subset Z \times X\) 是一个包含 \((J, x)\) 且不与 \(M\) 相交的开子集。所以 \(M\) 是闭的。 \(M\) 到 \(Z\) 的投影是 \(Z-\{I\}\)，它不是闭的。因此 \(Z \times X \to Z\) 不是闭映射。

假设 \(X\) 拟紧。设 \(Z\) 为拓扑空间，\(M \subset Z \times X\) 为闭子集。 设 \(z \in Z\) 是一个不属于 \(\text{pr}_1(M)\) 的点。由管状引理 005N，存在开集 \(U \subset Z\)，使得 \(U \times X\) 包含于 \(M\) 的补集。因此，\(\text{pr}_1(M)\) 是闭的。

注

引理 005P 是 [Bourbaki, I, p. 75, Lemme 1] 与 [Bourbaki, I, p. 76, Corollaire 1] 的结合。

定理

设 \(f: X\to Y\) 为拓扑空间之间的连续映射。下列条件等价：

1. 映射 \(f\) 拟固有且为闭映射。

2. 映射 \(f\) 是 Bourbaki-固有的。

3. 映射 \(f\) 普遍闭。

4. 映射 \(f\) 是闭映射，并且对任意 \(y\in Y\)，\(f^{-1}(y)\) 拟紧。

证明

（另见下面的评注。）若映射 \(f\) 满足 (1)，则它自动满足 (4)，因为单点 总是拟紧的。

假设映射 \(f\) 满足 (4)。我们将证明它普遍闭，即 (3) 成立。 设 \(g : Z \to Y\) 为拓扑空间的连续映射，并考虑图表 \[\xymatrix{ Z \times_Y X \ar[r]_{g'} \ar[d]_{f'} & X \ar[d]^f \\ Z \ar[r]^g & Y }\] 在证明中，我们会用到 \(Z \times_Y X \to Z \times X\) 是到其像上的同胚； 也就是说，可将 \(Z \times_Y X\) 与 \(Z \times X\) 中相应的子集按诱导拓扑 等同起来。\(f' : Z \times_Y X \to Z\) 的像是 \(\Im(f') = \{z : g(z) \in f(X)\}\)。因为 \(f(X)\) 是闭的，所以 \(\Im(f')\) 是 \(Z\) 的闭子空间。考虑闭子集 \(P \subset Z \times_Y X\)。设 \(z \in Z\)，且 \(z \not \in f'(P)\)。 若 \(z \not \in \Im(f')\)，则 \(Z \setminus \Im(f')\) 是避开 \(f'(P)\) 的一个开邻域。若 \(z\) 属于 \(\Im(f')\)，则 \((f')^{-1}\{z\} = \{z\} \times f^{-1}\{g(z)\}\)，并且由假设， \(f^{-1}\{g(z)\}\) 拟紧。因为 \(P\) 是 \(Z \times_Y X\) 的闭子集， 存在 \(Z \times X\) 的闭子集 \(P'\)，使得 \(P = P' \cap Z \times_Y X\)。由于 \((f')^{-1}\{z\}\) 是 \(P^c = P'^c \cup (Z \times_Y X)^c\) 的子集，并且 \((f')^{-1}\{z\}\) 与 \((Z \times_Y X)^c\) 不相交，故 \((f')^{-1}\{z\}\) 包含于 \(P'^c\)。可将管状引理 005N 应用于 \((f')^{-1}\{z\} = \{z\} \times f^{-1}\{g(z)\} \subset (P')^c \subset Z \times X\)。由此得到包含 \((f')^{-1}\{z\}\) 的 \(V \times U\)，其中 \(U\) 和 \(V\) 分别是 \(X\) 与 \(Z\) 中的开集，并且 \(V \times U\) 与 \(P'\) 的交为空。于是集合 \(V \cap g^{-1}(Y-f(U^c))\) 在 \(Z\) 中开，因为 \(f\) 是闭映射；它包含 \(z\)，并且与 \(P\) 的像不相交。因此 \(f'(P)\) 是闭的。换言之，映射 \(f\) 普遍闭。

蕴含关系 (3) \(\Rightarrow\) (2) 是平凡的。事实上，给定任意拓扑空间 \(Z\)，考虑投影态射 \(g : Z \times Y \to Y\)。此时容易看出，\(f'\) 就是映射 \(Z \times X \to Z \times Y\)；换言之， \((Z \times Y) \times_Y X = Z \times X\)。（这一等同纯粹是范畴性质， 本身与拓扑空间无关。）

假设 \(f\) 满足 (2)。我们将证明它满足 (1)。注意，\(f\) 是闭映射，因为 \(f\) 可与映射 \(\{pt\} \times X \to \{pt\} \times Y\) 等同，而后者依假设 是闭映射。任取拟紧子集 \(K \subset Y\)。设 \(Z\) 为任意拓扑空间。 因为 \(Z \times X \to Z \times Y\) 是闭映射，所以映射 \(Z \times f^{-1}(K) \to Z \times K\) 是闭映射（若 \(T\) 在 \(Z \times f^{-1}(K)\) 中闭，可将其写成 \(T = Z \times f^{-1}(K) \cap T'\)，其中 \(T' \subset Z \times X\) 闭）。因为 \(K\) 拟紧，由引理 005P， \(K \times Z\to Z\) 是闭映射。因此复合 \(Z \times f^{-1}(K)\to Z \times K \to Z\) 是闭映射；再次由引理 005P，\(f^{-1}(K)\) 必拟紧。

注

下面给出一些文献出处。在 [Bourbaki, I, p. 75, Theorem 1] 中可找到： (2) \(\Leftrightarrow\) (4)。在 [Bourbaki, I, p. 77, Proposition 6] 中可找到：(2) \(\Rightarrow\) (1)。当然，平凡地有 (1) \(\Rightarrow\) (4)。所以 (1)、(2) 与 (4) 等价。 (3) 与 (4) 的等价性见 [LangReal, Chapter II, Exercise 25]。

引理

设 \(f : X \to Y\) 为拓扑空间的连续映射。若 \(X\) 拟紧且 \(Y\) 为 Hausdorff 空间，则 \(f\) 普遍闭。

证明

由于 \(Y\) 的每个点都是闭点，由引理 005C 可知，对所有 \(y \in Y\)，\(X\) 的闭子集 \(f^{-1}(y)\) 都拟紧。因此， 由定理 005R，只需证明 \(f\) 是闭映射。 若 \(E \subset X\) 闭，则它拟紧（引理 005C）， 所以 \(f(E) \subset Y\) 拟紧（引理 04Z9）， 进而 \(f(E)\) 在 \(Y\) 中闭（引理 08YB）。

引理

设 \(f : X \to Y\) 为拓扑空间的连续映射。若 \(f\) 是双射，\(X\) 拟紧， 且 \(Y\) 为 Hausdorff 空间，则 \(f\) 是同胚。

证明

只需证明 \(f\) 是闭映射，因为这蕴含 \(f^{-1}\) 连续。若 \(T \subset X\) 闭，则由引理 005C，\(T\) 拟紧；因此由引理 04Z9，\(f(T)\) 拟紧；进而由引理 08YB，\(f(T)\) 闭。

Jacobson 空间

定义

设 \(X\) 为拓扑空间，\(X_0\) 为 \(X\) 的闭点集。若每个闭子集 \(Z \subset X\) 都是 \(Z \cap X_0\) 的闭包，则称 \(X\) 是 Jacobson 空间。

注意，拓扑空间 \(X\) 是 Jacobson 空间，当且仅当 \(X\) 的每个非空局部闭 子集都有一个在 \(X\) 中闭的点。

设 \(X\) 为 Jacobson 空间，并设 \(X_0\) 为赋予诱导拓扑的 \(X\) 的闭点集。 显然，定义蕴含态射 \(X_0 \to X\) 在 \(X_0\) 的闭子集与 \(X\) 的闭子集之间 诱导双射。因此，\(X\) 的许多性质由 \(X_0\) 继承。例如，\(X\) 与 \(X_0\) 的 Krull 维数相同。

引理

设 \(X\) 为拓扑空间，\(X_0\) 为 \(X\) 的闭点集。假设对每个点 \(x\in X\)， 交集 \(X_0 \cap \overline{\{x\}}\) 在 \(\overline{\{x\}}\) 中稠密。 则 \(X\) 是 Jacobson 空间。

证明

设 \(Z\) 为 \(X\) 的闭子集，\(U\) 为 \(X\) 的开子集，并且 \(U\cap Z\) 非空。 于是，对 \(x\in U\cap Z\)，\(\overline{\{x\}}\cap U\) 是 \(Z\cap U\) 的非空子集；由假设，它包含一个在 \(X\) 中闭的点，正合所需。

引理

设 \(X\) 为具有拟紧开集基的 Kolmogorov 拓扑空间。若 \(X\) 不是 Jacobson 空间，则存在非闭点 \(x \in X\)，使得 \(\{x\}\) 局部闭。

证明

因为 \(X\) 不是 Jacobson 空间，存在 \(X\) 中的闭集 \(Z\) 与开集 \(U\)， 使得 \(Z \cap U\) 非空且不包含在 \(X\) 中闭的点。由于 \(X\) 有拟紧开集基， 可将 \(U\) 替换为 \(Z\cap U\) 中某点的拟紧开邻域；故可假设 \(U\) 是拟紧 开集。由引理 005E，存在点 \(x \in Z \cap U\)，它在 \(Z \cap U\) 中闭。因此 \(\{x\}\) 局部闭， 但在 \(X\) 中不闭。

引理

设 \(X\) 为拓扑空间，\(X = \bigcup U_i\) 为一个开覆盖。则 \(X\) 是 Jacobson 空间，当且仅当每个 \(U_i\) 都是 Jacobson 空间。此外，在这种 情形有 \(X_0 = \bigcup U_{i, 0}\)。

证明

设 \(X\) 为拓扑空间，\(X_0\) 为 \(X\) 的闭点集，\(U_{i, 0}\) 为 \(U_i\) 的闭点集。于是 \(X_0 \cap U_i \subset U_{i, 0}\)，但一般未必相等。

先假设每个 \(U_i\) 都是 Jacobson 空间。我们断言在这种情形 \(X_0 \cap U_i = U_{i, 0}\)。事实上，假设 \(x \in U_{i, 0}\)，即 \(x\) 在 \(U_i\) 中闭。令 \(\overline{\{x\}}\) 为其在 \(X\) 中的闭包，并考虑 \(\overline{\{x\}} \cap U_j\)。若 \(x \not \in U_j\)，则 \(\overline{\{x\}} \cap U_j = \emptyset\)。若 \(x \in U_j\)，则 \(U_i \cap U_j \subset U_j\) 是 \(U_j\) 中包含 \(x\) 的开子集。令 \(T' = U_j \setminus U_i \cap U_j\) 且 \(T = \{x\} \amalg T'\)。 由于 \(x\) 在 \(U_i \cap U_j\) 中闭（因为 \(x\) 在 \(U_i\) 中闭），可知 \(T\)、\(T'\) 都是 \(U_j\) 的闭子集，且 \(T\) 包含 \(x\)。因为 \(U_j\) 是 Jacobson 空间，\(U_j\) 的闭点在 \(T\) 中稠密。鉴于 \(T = \{x\} \amalg T'\)，这只有在 \(x\) 于 \(U_j\) 中闭时才可能成立。 因此 \(\overline{\{x\}} \cap U_j = \{x\}\)。由此得出 \(\overline{\{x\}} = \{ x \}\)，正合所需。

设 \(Z \subset X\) 为闭子集（仍假设每个 \(U_i\) 都是 Jacobson 空间）。 既然现在知道 \(X_0 \cap Z \cap U_i = U_{i, 0} \cap Z\) 在 \(Z \cap U_i\) 中稠密，便立即得出 \(X_0 \cap Z\) 在 \(Z\) 中稠密。

反之，假设 \(X\) 是 Jacobson 空间。设 \(Z \subset U_i\) 为闭子集。 则 \(X_0 \cap \overline{Z}\) 在 \(\overline{Z}\) 中稠密。由于 \(\overline{Z} \setminus Z\) 是闭的，\(X_0 \cap Z\) 也在 \(Z\) 中稠密。 由 \(X_0 \cap U_i \subset U_{i, 0}\) 可知，\(U_{i, 0} \cap Z\) 在 \(Z\) 中稠密。因此 \(U_i\) 是 Jacobson 空间，正合所需。

引理

设 \(X\) 为 Jacobson 空间。下列类型的子集 \(T \subset X\) 都是 Jacobson 空间：

1. 开子空间。

2. 闭子空间。

3. 局部闭子空间。

4. 局部闭子空间之并。

5. 可构造集。

6. 任意在 \(X\) 上局部地为局部闭子集之并的子集 \(T \subset X\)。

在每种情形，\(T\) 的闭点都在 \(X\) 中闭。

证明

设 \(X_0\) 为 \(X\) 的闭点集。对任意子集 \(T \subset X\)，以 \((*)\) 表示下列性质：

• \(T\) 的每个非空局部闭子集都有一个在 \(X\) 中闭的点。

注意，总有 \(X_0 \cap T \subset T_0\)。因此性质 \((*)\) 蕴含 \(T\) 是 Jacobson 空间。此外，它显然蕴含 \(T\) 的每个闭点都在 \(X\) 中闭。

假设 \(T=\bigcup_i T_i\)，其中 \(T_i\) 在 \(X\) 中局部闭。任取 \(T\) 中的非空局部闭子集 \(A\subset T\)，则存在某个 \(T_i\)，使得 \(A\cap T_i\) 非空；它在 \(T_i\) 中局部闭，从而也在 \(X\) 中局部闭。 因为 \(X\) 是 Jacobson 空间，\(A\) 有一个在 \(X\) 中闭的点。

引理

有限 Jacobson 空间是离散的。只有有限多个闭点的 Jacobson 空间是离散的。

证明

若 \(X\) 有限，则闭点集 \(X_0 \subset X\) 有限。假设 \(X_0\) 有限且 \(X\) 是 Jacobson 空间。由 Jacobson 性质，\(\overline{X_0} = X\)。 现在 \(X_0 =\{x_1, \ldots, x_n\} = \bigcup_{i = 1, \ldots, n} \{x_i\}\) 是有限多个闭集之并，因而闭；所以 \(X = \overline{X_0} = X_0\)。 每个点都闭，并且由有限性，每个点都开。

引理

假设 \(X\) 为 Jacobson 拓扑空间，并设 \(X_0\) 为 \(X\) 的闭点集。 存在一个保持包含关系的双射对应 \[\{\text{局部闭子集的有限并，位于 } X\} \leftrightarrow \{\text{局部闭子集的有限并，位于 } X_0\}\] 由 \(E \mapsto E \cap X_0\) 给出。这个对应保持其中的局部闭子集、开子集 与闭子集。

证明

只需证明对应 \(E \mapsto E \cap X_0\) 是单射。事实上，若 \(E\neq E'\)， 则不妨设 \(E\setminus E'\) 非空；它是有限多个局部闭集之并（略去细节）。 由于 \(X\) 是 Jacobson 空间，可知 \((E \setminus E') \cap X_0 = E \cap X_0 \setminus E' \cap X_0\) 非空。

引理

假设 \(X\) 为 Jacobson 拓扑空间，并设 \(X_0\) 为 \(X\) 的闭点集。 存在一个保持包含关系的双射对应 \[\{\text{下列对象的可构造子集： } X\} \leftrightarrow \{\text{下列对象的可构造子集： } X_0\}\] 由 \(E \mapsto E \cap X_0\) 给出。这个对应保持其中的逆紧开子集以及 这些子集的补集。

证明

由上面的引理 005Z，只需证明： 若 \(U\) 在 \(X\) 中开，则 \(U\cap X_0\) 在 \(X_0\) 中逆紧，当且仅当 \(U\) 在 \(X\) 中逆紧。为此，只需证明：若 \(U\) 在 \(X\) 中开，则 \(U\cap X_0\) 拟紧，当且仅当 \(U\) 拟紧。由引理 005X，可以用 \(U\) 替换 \(X\)，并假设 \(U = X\)。 最后注意，\(X\) 的任意开集族 \(\mathcal{U}\) 覆盖 \(X\)，当且仅当它覆盖 \(X_0\)。这是因为若闭集 \(X\setminus \bigcup \mathcal{U}\) 非空， 利用 \(X\) 的 Jacobson 性质可在其中找到一个属于 \(X_0\) 的点。

特化

定义

设 \(X\) 为拓扑空间。

1. 若 \(x, x' \in X\)，且 \(x \in \overline{\{x'\}}\)，则称 \(x\) 是 \(x'\) 的一个特化，或称 \(x'\) 是 \(x\) 的一个一般化。 记作 \(x' \leadsto x\)。

2. 若对所有 \(x' \in T\) 以及每个特化 \(x' \leadsto x\)，都有 \(x \in T\)，则称子集 \(T \subset X\) 对特化稳定。

3. 若对所有 \(x \in T\) 以及每个一般化 \(x' \leadsto x\)，都有 \(x' \in T\)，则称子集 \(T \subset X\) 对一般化稳定。

引理

设 \(X\) 为拓扑空间。

1. \(X\) 的任意闭子集对特化稳定。

2. \(X\) 的任意开子集对一般化稳定。

3. 子集 \(T \subset X\) 对特化稳定，当且仅当其补集 \(T^c\) 对一般化稳定。

证明

设 \(F\) 为 \(X\) 的闭子集。若 \(y\in F\)，则 \(\{y\} \subset F\)； 由于 \(F\) 闭，故 \(\overline{\{y\}} \subset \overline{F} = F\)。 所以，对 \(y\) 的每个特化 \(x\)，都有 \(x\in F\)。

设 \(x, y\in X\) 且 \(x\in \overline{\{y\}}\)，并设 \(T\) 为 \(X\) 的子集。说 \(T\) 对特化稳定，就是说 \(y\in T\) 蕴含 \(x\in T\)； 反过来，说 \(T\) 对一般化稳定，就是说 \(x\in T\) 蕴含 \(y\in T\)。 因此，取逆否命题即证得 (3)。

对补集应用 (1) 与 (3)，即得第二条性质。

引理

设 \(T \subset X\) 为拓扑空间 \(X\) 的子集。下列条件等价：

1. \(T\) 对特化稳定；

2. \(T\) 是 \(X\) 的闭子集的（有向）并。

证明

假设 \(T\) 对特化稳定，则对所有 \(y\in T\) 都有 \(\overline{\{y\}} \subset T\)。所以 \(T = \bigcup_{y\in T} \overline{\{y\}}\)，这是 \(X\) 的闭子集之并。 反之，假设 \(T = \bigcup_{i\in I}F_i\)，其中 \(F_i\) 是 \(X\) 的闭子集。若 \(y\in T\)， 则存在 \(i\in I\) 使得 \(y\in F_i\)。因为 \(F_i\) 闭，有 \(\overline{\{y\}} \subset F_i \subset T\)，这证明了 \(T\) 对特化稳定。

定义

设 \(f : X \to Y\) 为拓扑空间的连续映射。

1. 若给定 \(Y\) 中的 \(y' \leadsto y\) 以及任意满足 \(f(x') = y'\) 的 \(x'\in X\)，都存在 \(X\) 中 \(x'\) 的一个特化 \(x' \leadsto x\)，使得 \(f(x) = y\)，则称特化可沿 \(f\) 提升， 或称 \(f\) 是特化型的。

2. 若给定 \(Y\) 中的 \(y' \leadsto y\) 以及任意满足 \(f(x) = y\) 的 \(x\in X\)，都存在 \(X\) 中 \(x\) 的一个一般化 \(x' \leadsto x\)，使得 \(f(x') = y'\)，则称一般化可沿 \(f\) 提升， 或称 \(f\) 是一般化型的。

引理

设 \(f : X \to Y\) 与 \(g : Y \to Z\) 为拓扑空间的连续映射。 若特化可沿 \(f\) 和 \(g\) 提升，则特化可沿 \(g \circ f\) 提升。 “一般化可沿其提升”的情形也同样成立。

证明

设 \(z'\leadsto z\) 为 \(Z\) 中的特化，并设 \(x' \in X\) 满足 \(g\circ f (x') = z'\)。因为特化可沿 \(g\) 提升，存在 \(Y\) 中 \(f(x')\) 的一个特化 \(f(x') \leadsto y\)，使得 \(g(y) = z\)。同样，因为特化可沿 \(f\) 提升，存在 \(X\) 中 \(x'\) 的一个特化 \(x' \leadsto x\)，使得 \(f(x) = y\)。这给出 \(X\) 中 \(x'\) 的一个特化 \(x' \leadsto x\)，满足 \(g\circ f(x) = z\)。换言之，特化可沿 \(g\circ f\) 提升。

引理

设 \(f : X \to Y\) 为拓扑空间的连续映射。

1. 若特化可沿 \(f\) 提升，并且 \(T \subset X\) 对特化稳定，则 \(f(T) \subset Y\) 对特化稳定。

2. 若一般化可沿 \(f\) 提升，并且 \(T \subset X\) 对一般化稳定，则 \(f(T) \subset Y\) 对一般化稳定。

证明

设 \(y' \leadsto y\) 为 \(Y\) 中的特化，其中 \(y'\in f(T)\)；并取 \(x'\in T\)，使得 \(f(x') = y'\)。因为特化可沿 \(f\) 提升，存在 \(X\) 中 \(x'\) 的一个特化 \(x'\leadsto x\)，使得 \(f(x) = y\)。但 \(T\) 对特化稳定，所以 \(x\in T\)，进而 \(y \in f(T)\)。因此 \(f(T)\) 对特化稳定。

(2) 的证明完全相同，只需使用一般化可沿 \(f\) 提升。

引理

设 \(f : X \to Y\) 为拓扑空间的连续映射。

1. 若 \(f\) 是闭映射，则特化可沿 \(f\) 提升。

2. 若 \(f\) 是开映射，\(X\) 是 Noether 拓扑空间，\(X\) 的每个不可约 闭子集都有泛点，并且 \(Y\) 是 Kolmogorov 空间，则一般化可沿 \(f\) 提升。

证明

假设 \(f\) 是闭映射。给定 \(Y\) 中的 \(y' \leadsto y\) 以及任意满足 \(f(x') = y'\) 的 \(x'\in X\)。考虑 \(X\) 的闭子集 \(T = \overline{\{x'\}}\)。于是 \(f(T) \subset Y\) 是闭子集，且 \(y' \in f(T)\)。所以也有 \(y \in f(T)\)。故 \(y = f(x)\)，其中 \(x \in T\)；也就是说，\(x' \leadsto x\)。

假设 \(f\) 是开映射，\(X\) 是 Noether 的，\(X\) 的每个不可约闭子集都有泛点， 并且 \(Y\) 是 Kolmogorov 空间。给定 \(Y\) 中的 \(y' \leadsto y\) 以及任意 满足 \(f(x) = y\) 的 \(x \in X\)。考虑 \(T = f^{-1}(\{y'\}) \subset X\)。取包含关系 \(x \in U \subset X\) 所给出的 \(x\) 的开邻域。于是 \(f(U) \subset Y\) 开且 \(y \in f(U)\)， 故也有 \(y' \in f(U)\)。换言之，\(T \cap U \not = \emptyset\)。 这证明 \(x \in \overline{T}\)。由于 \(X\) 是 Noether 的，\(T\) 也是 Noether 的（引理 0052）。因此它有不可约分支分解 \(T = T_1 \cup \ldots \cup T_n\)。相应地， \(\overline{T} = \overline{T_1} \cup \ldots \cup \overline{T_n}\)。 由上可知，对某个 \(i\) 有 \(x \in \overline{T_i}\)。依假设，存在泛点 \(x' \in \overline{T_i}\)，从而 \(x' \leadsto x\)。由于 \(x' \in \overline{T}\)，可知 \(f(x') \in \overline{\{y'\}}\)。注意 \(f(\overline{T_i}) = f(\overline{\{x'\}}) \subset \overline{\{f(x')\}}\)。 若 \(f(x') \not = y'\)，则由于 \(Y\) 是 Kolmogorov 空间，\(f(x')\) 不是不可约闭子集 \(\overline{\{y'\}}\) 的泛点，并且包含关系 \(\overline{\{f(x')\}} \subset \overline{\{y'\}}\) 是严格的； 也就是说，\(y' \not \in f(\overline{T_i})\)。这与 \(f(T_i) = \{y'\}\) 矛盾。所以 \(f(x') = y'\)，结论得证。

引理

假设 \(s, t : R \to U\) 与 \(\pi : U \to X\) 为拓扑空间的连续映射，并且

1. \(\pi\) 是开映射；

2. \(U\) 是清醒的；

3. \(s, t\) 的纤维有限；

4. 一般化可沿 \(s, t\) 提升；

5. \((t, s)(R) \subset U \times U\) 是 \(U\) 上的等价关系，并且 \(X\) 作为集合是 \(U\) 关于此等价关系的商。

则 \(X\) 是 Kolmogorov 空间。

证明

性质 (3) 与 (5) 蕴含点 \(x\) 对应于该等价关系的一个有限等价类 \(\{u_1, \ldots, u_n\} \subset U\)。假设 \(x' \in X\) 是另一个点， 对应于等价类 \(\{u'_1, \ldots, u'_m\} \subset U\)。假设对某个 \(i, j\) 有 \(u_i \leadsto u'_j\)。那么，对任意满足 \(s(r') = u'_j\) 的 \(r' \in R\)，由 (4) 可找到 \(r \leadsto r'\)， 使得 \(s(r) = u_i\)。所以 \(t(r) \leadsto t(r')\)。由于 \(\{u'_1, \ldots, u'_m\} = t(s^{-1}(\{u'_j\}))\)，可知 \(\{u'_1, \ldots, u'_m\}\) 的每个元素都是 \(\{u_1, \ldots, u_n\}\) 中某个元素的特化。因此 \(\overline{\{u_1\}} \cup \ldots \cup \overline{\{u_n\}}\) 是等价类之并，从而形如 \(\pi^{-1}(Z)\)，其中 \(Z \subset X\) 为某个子集。 由 (1)，\(Z\) 在 \(X\) 中闭；事实上 \(Z = \overline{\{x\}}\)，因为对每个 \(i\) 都有 \(\pi(\overline{\{u_i\}}) \subset \overline{\{x\}}\)。换言之， \(x \leadsto x'\) 当且仅当 \(x\) 在 \(U\) 中的某个提升特化到 \(x'\) 在 \(U\) 中的某个提升；这又当且仅当 \(x'\) 在 \(U\) 中的每个提升都是 \(x\) 在 \(U\) 中的某个提升的特化。

假设 \(x \leadsto x'\) 与 \(x' \leadsto x\) 都成立。仍如上，设 \(x\) 对应于 \(\{u_1, \ldots, u_n\}\)，而 \(x'\) 对应于 \(\{u'_1, \ldots, u'_m\}\)。由上一段的结果，可以找到序列 \[\ldots \leadsto u'_{j_3} \leadsto u_{i_3} \leadsto u'_{j_2} \leadsto u_{i_2} \leadsto u'_{j_1} \leadsto u_{i_1}\] 它必定重复；所以由 (2) 可知 \(\{u_1, \ldots, u_n\} = \{u'_1, \ldots, u'_m\}\)，即 \(x = x'\)。 因此 \(X\) 是 Kolmogorov 空间。

引理

设 \(f : X \to Y\) 为拓扑空间的态射。假设 \(Y\) 是清醒拓扑空间，且 \(f\) 满射。若特化或一般化二者之一可沿 \(f\) 提升，则 \(\dim(X) \geq \dim(Y)\)。

证明

假设特化可沿 \(f\) 提升。

设 \(Z_0 \subset Z_1 \subset \ldots Z_e \subset Y\) 为 \(X\) 的不可约闭子集链。 设 \(\xi_e \in X\) 为一个映到 \(Z_e\) 的泛点的点。依假设，存在 \(X\) 中的特化 \(\xi_e \leadsto \xi_{e - 1}\)，使得 \(\xi_{e - 1}\) 映到 \(Z_{e - 1}\) 的泛点。如此继续，得到特化序列 \[\xi_e \leadsto \xi_{e - 1} \leadsto \ldots \leadsto \xi_0\] 其中 \(\xi_i\) 映到 \(Z_i\) 的泛点。这显然蕴含不可约闭子集序列 \[\overline{\{\xi_0\}} \subset \overline{\{\xi_1\}} \subset \ldots \overline{\{\xi_e\}}\] 是 \(X\) 中长度为 \(e\) 的链。一般化可沿 \(f\) 提升的情形类似。

引理

设 \(X\) 为 Noether 清醒拓扑空间，\(E \subset X\) 为 \(X\) 的子集。

1. 若 \(E\) 可构造且对特化稳定，则 \(E\) 闭。

2. 若 \(E\) 可构造且对一般化稳定，则 \(E\) 开。

证明

设 \(E\) 可构造且对一般化稳定。设 \(Y \subset X\) 为不可约闭子集， 其泛点为 \(\xi \in Y\)。若 \(E \cap Y\) 非空，则由对一般化的稳定性， 它包含 \(\xi\)，因而在 \(Y\) 中稠密；所以它包含 \(Y\) 的一个非空开集， 参见引理 053Z。 由引理 0541，\(E\) 是开的。 这证明了 (2)。为证明 (1)，对 \(E\) 在 \(X\) 中的补集应用 (2)。

维数函数

除非所考虑的空间是清醒的（定义 004X）， 否则考虑维数函数几乎没有意义。因此，可以用与 \(X\) 关联的清醒拓扑空间 来改进下面的定义。由于概形的底拓扑空间是清醒的，我们不作这一改进。

定义

设 \(X\) 为拓扑空间。

1. 设 \(x, y \in X\) 且 \(x \not = y\)。假设 \(x \leadsto y\)，即 \(y\) 是 \(x\) 的一个特化。若不存在 \(z \in X \setminus \{x, y\}\)，使得 \(x \leadsto z\) 且 \(z \leadsto y\)，则称 \(y\) 是 \(x\) 的一个 直接特化。

2. 若映射 \(\delta : X \to \mathbf{Z}\) 满足下列条件，则称它为 维数函数⁵：

   1. 每当 \(x \leadsto y\) 且 \(x \not = y\) 时，都有 \(\delta(x) > \delta(y)\)；

   2. 对 \(X\) 中的每个直接特化 \(x \leadsto y\)，都有 \(\delta(x) = \delta(y) + 1\)。

显然，若 \(\delta\) 是维数函数，则对任意 \(t \in \mathbf{Z}\)， \(\delta + t\) 也是维数函数。下面是一个有趣的引理。

引理

设 \(X\) 为拓扑空间。若 \(X\) 清醒且有维数函数，则 \(X\) 是链状空间。 此外，对任意 \(x \leadsto y\)，有 \[\delta(x) - \delta(y) = \text{codim}\left(\overline{\{y\}}, \ \overline{\{x\}}\right).\]

证明

假设 \(Y \subset Y' \subset X\) 为不可约闭子集，并设 \(\xi \in Y\)、\(\xi' \in Y'\) 为它们的泛点。由定义立即可见 \(\text{codim}(Y, Y') \leq \delta(\xi) - \delta(\xi') < \infty\)。 事实上，第一个不等式是等式。设 \[Y = Y_0 \subset Y_1 \subset \ldots \subset Y_e = Y'\] 为任意不可约闭子集极大链，并以 \(\xi_i \in Y_i\) 表示泛点。 那么 \(\xi_i \leadsto \xi_{i + 1}\) 是直接特化。因此， \(e = \delta(\xi) - \delta(\xi')\)，正合所需。这也证明了引理的最后一个 断言。

引理

设 \(X\) 为拓扑空间，并设 \(\delta\)、\(\delta'\) 为 \(X\) 上的两个维数函数。 若 \(X\) 局部 Noether 且清醒，则 \(\delta - \delta'\) 在 \(X\) 上局部常值。

证明

设 \(x \in X\) 为一点。我们将证明 \(\delta - \delta'\) 在 \(x\) 的一个邻域 上常值。可以把 \(X\) 替换为 \(X\) 中 \(x\) 的一个 Noether 开邻域。 因此可假设 \(X\) Noether 且清醒。设 \(Z_1, \ldots, Z_r\) 为 \(X\) 中经过 \(x\) 的不可约分支。（因为 \(X\) 是 Noether 的，它们只有有限多个， 参见引理 0052。）设 \(\xi_i \in Z_i\) 为泛点。 注意，\(Z_1 \cup \ldots \cup Z_r\) 是 \(X\) 中 \(x\) 的一个邻域 （未必闭）。我们断言 \(\delta - \delta'\) 在 \(Z_1 \cup \ldots \cup Z_r\) 上常值。事实上，若 \(y \in Z_i\)，则 \[\delta(x) - \delta(y) = \delta(x) - \delta(\xi_i) + \delta(\xi_i) - \delta(y) = - \text{codim}(\overline{\{x\}}, Z_i) + \text{codim}(\overline{\{y\}}, Z_i)\] 这是由引理 02IA 得出的。 对 \(\delta'\) 也同样。因此结论成立。

引理

设 \(X\) 局部 Noether、清醒且链状。则每个点都有一个拥有维数函数的开邻域 \(U \subset X\)。

证明

我们将反复使用：链状空间的开子空间仍为链状空间，参见引理 02I2；以及 Noether 拓扑空间只有有限多个不可约分支， 参见引理 0052。在引理 02IB 的证明中，我们已经看到如何构造 这样的函数。具体而言，先把 \(X\) 替换为 \(x\) 的一个 Noether 开邻域。 接着，设 \(Z_1, \ldots, Z_r \subset X\) 为 \(X\) 的不可约分支。设 \[Z_i \cap Z_j = \bigcup Z_{ijk}\] 为不可约分支分解。将 \(X\) 替换为 \[X \setminus \left( \bigcup\nolimits_{x \not \in Z_i} Z_i \cup \bigcup\nolimits_{x \not \in Z_{ijk}} Z_{ijk} \right)\] 于是可以假设对所有 \(i\) 都有 \(x \in Z_i\)，并且对所有 \(i, j, k\) 都有 \(x \in Z_{ijk}\)。对 \(y \in X\)，任取满足 \(y \in Z_i\) 的 \(i\)， 并令 \[\delta(y) = - \text{codim}(\overline{\{y\}}, Z_i) + \text{codim}(\overline{\{x\}}, Z_i).\] 我们断言这是一个维数函数。先证明它是良定义的，即与 \(i\) 的选择无关。 假设对某个 \(i, j, k\) 有 \(y \in Z_{ijk}\)。则有（使用引理 02I6） \[\begin{align*} \delta(y) & = - \text{codim}(\overline{\{y\}}, Z_i) + \text{codim}(\overline{\{x\}}, Z_i) \\ & = - \text{codim}(\overline{\{y\}}, Z_{ijk}) - \text{codim}(Z_{ijk}, Z_i) + \text{codim}(\overline{\{x\}}, Z_{ijk}) + \text{codim}(Z_{ijk}, Z_i) \\ & = - \text{codim}(\overline{\{y\}}, Z_{ijk}) + \text{codim}(\overline{\{x\}}, Z_{ijk}) \end{align*}\] 它关于 \(i\) 与 \(j\) 对称。略去验证它是维数函数的证明。

注

合并引理 02IB 与 02IC 可知，在链状、局部 Noether、清醒的 拓扑空间上，存在维数函数的障碍是 \(H^1(X, \mathbf{Z})\) 的一个元素。

无处稠密集

定义

设 \(X\) 为拓扑空间。

1. 给定子集 \(T \subset X\)，\(T\) 的内部是 \(X\) 中包含于 \(T\) 的最大开子集。

2. 若 \(T\) 的闭包内部为空，则称子集 \(T \subset X\) 无处稠密。

引理

设 \(X\) 为拓扑空间。有限多个无处稠密集之并仍为无处稠密集。

证明

只需对两个无处稠密集证明本引理，一般结果即可由归纳法得出。 设 \(A,B \subset X\) 为无处稠密子集。有 \(\overline{A \cup B} = \overline{A} \cup \overline{B}\)。因此，若 \(U \subset \overline{A \cup B}\) 是 \(X\) 的开子集，则

\(U \setminus U \cap \overline{B}\) 是 \(U\) 以及 \(X\) 的开子集，并包含于 \(\overline{A}\)，因而为空。同理，\(U \setminus U \cap \overline{A}\) 为空。所以 \(U = \emptyset\)，正合所需。

引理

设 \(X\) 为拓扑空间，\(U \subset X\) 为开集，\(T \subset U\) 为子集。 若 \(T\) 在 \(U\) 中无处稠密，则 \(T\) 在 \(X\) 中无处稠密。

证明

假设 \(T\) 在 \(U\) 中无处稠密。假设 \(x \in X\) 是 \(T\) 在 \(X\) 中的闭包 \(\overline{T}\) 的一个内点。设 \(x \in V \subset \overline{T}\)，其中 \(V \subset X\) 在 \(X\) 中开。注意，\(\overline{T} \cap U\) 是 \(T\) 在 \(U\) 中的闭包。由于 \(\overline{T} \cap U\) 的内部为空，必有 \(V \cap U = \emptyset\)。所以 \(x\) 不可能属于 \(U\) 的闭包，更不可能属于 \(T\) 的闭包，矛盾。

引理

设 \(X\) 为拓扑空间，\(X = \bigcup U_i\) 为开覆盖，且 \(T \subset X\) 为子集。若对所有 \(i\)，\(T \cap U_i\) 在 \(U_i\) 中无处稠密，则 \(T\) 在 \(X\) 中无处稠密。

证明

以 \(\overline{T}_i\) 表示 \(T \cap U_i\) 在 \(U_i\) 中的闭包。 有 \(\overline{T} \cap U_i = \overline{T}_i\)。取内部与同开集求交可交换， 所以 \[(\text{下列对象的内部： }\overline{T}) \cap U_i = \text{下列对象的内部： }(\overline{T} \cap U_i) = \text{在下列对象中的内部： }U_i\text{ 属于 }\overline{T}_i\] 由假设，最后一项为空。因此 \(T\) 在 \(X\) 中无处稠密。

引理

设 \(f : X \to Y\) 为拓扑空间的连续映射，\(T \subset X\) 为子集。 若 \(f\) 是 \(X\) 到 \(Y\) 的一个闭子集上的同胚，并且 \(T\) 在 \(X\) 中无处稠密，则 \(f(T)\) 在 \(Y\) 中也无处稠密。

证明

因为 \(f(X)\) 在 \(Y\) 中闭，并且 \(f\) 是 \(X\) 到 \(f(X)\) 上的同胚， 所以 \(f(T)\) 在 \(Y\) 中的闭包等于 \(f(\overline{T})\)。因此，若 \(V \subset Y\) 是包含于 \(f(T)\) 闭包的开集，则 \(U = f^{-1}(V)\) 是包含于 \(\overline{T}\) 的开集。所以 \(U = \emptyset\)，进而 \(V = \emptyset\)，正合所需。

引理

设 \(f : X \to Y\) 为拓扑空间的连续映射，\(T \subset Y\) 为子集。 若 \(f\) 是开映射，且 \(T\) 是 \(Y\) 的闭无处稠密子集，则 \(f^{-1}(T)\) 也是 \(X\) 的闭无处稠密子集。若 \(f\) 满射且为开映射，则 \(T\) 是闭无处 稠密集，当且仅当 \(f^{-1}(T)\) 是闭无处稠密集。

证明

略。（提示：在第一种情形，\(f^{-1}(T)\) 的内部映入 \(T\) 的内部； 在第二种情形，\(f^{-1}(T)\) 的内部满射到 \(T\) 的内部。）

引理

设 \(X\) 为拓扑空间。设 \(E \subset X\) 为有限多个局部闭子集之并 （例如，\(E\) 可构造）。则 \(E\) 包含其闭包的一个稠密开子集。

证明

用 \(E\) 的闭包替换 \(X\) 后，可以假设 \(E\) 在 \(X\) 中稠密；我们需要证明 \(E\) 包含一个稠密开集。于是 \(E\) 的补集 \(T\) 是有限多个局部闭子集之并， 设 \(T = T_1 \cup \ldots \cup T_n\)，并且 \(T\) 在 \(X\) 中无处稠密。 由于 \(T_i\) 在其闭包 \(Z_i\) 中开且稠密，可知 \(Z_i\) 在 \(X\) 中也无处 稠密。于是，由引理 03HO，\(T\) 的闭包 \(Z = Z_1 \cup \ldots \cup Z_n\) 在 \(X\) 中无处稠密。由此得出，\(E\) 包含稠密开集 \(X \setminus Z\)。

仿有限空间

定义如下。

定义

若一个拓扑空间同胚于有限离散空间图表的极限，则称它是 仿有限的。

这并不是仿有限空间最方便的刻画。

引理

设 \(X\) 为拓扑空间。下列条件等价：

1. \(X\) 是仿有限空间；

2. \(X\) 是 Hausdorff、拟紧且全不连通的。

若这些条件成立，则 \(X\) 是有限离散空间的余滤极限。

证明

假设 (1)。选取有限离散空间的图表 \(i \mapsto X_i\)，使得 \(X = \lim X_i\)。因为每个 \(X_i\) 都是 Hausdorff 且拟紧的，由引理 08ZV 可知 \(X\) 拟紧。若 \(x, x' \in X\) 是不同的点，则 \(x\) 与 \(x'\) 在某个 \(X_i\) 中的像不同。 所以 \(x\) 与 \(x'\) 有不交开邻域，即 \(X\) 是 Hausdorff 的。用完全相同的 方法可见 \(X\) 全不连通。

假设 (2)。令 \(\mathcal{I}\) 为所有有限不交并分解 \(X = \coprod_{i \in I} U_i\) 构成的集合，其中对所有 \(i \in I\)， \(U_i\) 都是非空开（因而也闭）子集。对每个 \(I \in \mathcal{I}\)， 存在连续映射 \(X \to I\)，把 \(U_i\) 的点送到 \(i\)。定义偏序如下： 对 \(I, I' \in \mathcal{I}\)，\(I \leq I'\) 当且仅当 \(I'\) 对应的覆盖 加细 \(I\) 对应的覆盖。在这种情形，我们得到典范映射 \(I' \to I\)。 换言之，我们得到以 \(\mathcal{I}\) 为指标的有限离散空间逆系统。 映射 \(X \to I\) 相容地拼合，给出连续映射 \[X \longrightarrow \lim_{I \in \mathcal{I}} I\] 我们断言此映射是同胚，这便完成证明。（最后一个断言也随之成立，因为 偏序集 \(\mathcal{I}\) 是有向的：给定 \(X\) 的两个不交并分解，可以找到 一个同时加细二者的第三个分解。）事实上，该映射是单射，因为 \(X\) 全不连通，故 \(\{x\}\) 是 \(X\) 中所有包含 \(x\) 的开闭子集之交 （引理 08ZN）； 该映射由引理 005D 是满射。 由引理 08YE，该映射是同胚。

引理

仿有限空间的极限仍是仿有限空间。

证明

设 \(i \mapsto X_i\) 为以指标范畴 \(\mathcal{I}\) 为指标的仿有限空间图表。 使用引理 08ZY 对仿有限空间的刻画。特别地，每个 \(X_i\) 都是 Hausdorff、拟紧且全不连通的。由引理 08ZT，极限 \(X = \lim X_i\) 存在。由引理 08ZV， 极限 \(X\) 拟紧。设 \(x, x' \in X\) 为不同的点。则存在某个 \(i\)，使得 \(x\) 与 \(x'\) 在 \(X_i\) 中的像 \(x_i\) 与 \(x'_i\) 在投影 \(X \to X_i\) 下彼此不同。 于是 \(x_i\) 与 \(x'_i\) 在 \(X_i\) 中有不交开邻域。取这些开集的原像， 可知 \(X\) 是 Hausdorff 的。同样，\(x_i\) 与 \(x'_i\) 位于 \(X_i\) 的不同 连通分支中，从而 \(x\) 与 \(x'\) 必位于 \(X\) 的不同连通分支中。因此 \(X\) 全不连通。这完成了证明。

引理

设 \(X\) 为仿有限空间。\(X\) 的每个开覆盖都有一个形如 \(X = \coprod U_i\) 的有限覆盖加细，其中 \(U_i\) 开且闭。

证明

将 \(X = \lim X_i\) 写成以有向集 \(I\) 为指标的有限离散空间逆系统的极限 （引理 08ZY）。以 \(f_i : X \to X_i\) 表示投影。 对每个点 \(x = (x_i) \in X\)，开邻域的一个基本系由 \(f_i^{-1}(\{x_i\})\) 构成。因此，由于 \(X\) 拟紧，可以假设有开覆盖 \[X = f_{i_1}^{-1}(\{x_{i_1}\}) \cup \ldots \cup f_{i_n}^{-1}(\{x_{i_n}\})\] 选取 \(i \in I\)，使得对 \(j = 1, \ldots, n\) 有 \(i \geq i_j\) （因为 \(I\) 是有向集，这是可能的）。于是覆盖 \[X = \coprod\nolimits_{t \in X_i} f_i^{-1}(\{t\})\] 加细给定覆盖，并且具有所要求的形式。

引理

设 \(X\) 为拓扑空间。若 \(X\) 拟紧，并且 \(X\) 的每个连通分支都是所有 包含它的开闭子集之交，则 \(\pi_0(X)\) 是仿有限空间。

证明

我们用引理 08ZY 来证明。由于 \(\pi_0(X)\) 是拟紧空间的像， 它拟紧（引理 04Z9）。按构造，它全不连通 （引理 08ZL）。设 \(C, D \subset X\) 为 \(X\) 的两个不同连通分支。把 \(C = \bigcap U_\alpha\) 写成 \(X\) 中所有 包含 \(C\) 的开闭子集之交。\(U_\alpha\) 的任意有限交仍属此类。由于 \(\bigcap U_\alpha \cap D = \emptyset\)，可知对某个 \(\alpha\) 有 \(U_\alpha \cap D = \emptyset\)（使用引理 004T、005C 与 005D）。因为 \(U_\alpha\) 开且闭， 它是其所包含的连通分支之并；也就是说，\(U_\alpha\) 是某个开闭子集 \(V_\alpha \subset \pi_0(X)\) 的原像。这证明了对应于 \(C\) 与 \(D\) 的点 包含于不交开子集中，即 \(\pi_0(X)\) 是 Hausdorff 的。

谱空间

本节材料取自 [Hochster] 与 [Hochster-thesis]。Hochster 在其 博士论文中证明了（除其他结果外），谱空间恰好是能够作为某个环的谱出现的 拓扑空间。

定义

若拓扑空间 \(X\) 清醒且拟紧，任意两个拟紧开集之交拟紧，并且拟紧开集族 构成拓扑基，则称它为谱空间。若谱空间的连续映射 \(f : X \to Y\) 对每个拟紧开集的原像都拟紧，则称它为谱映射。

换言之，谱空间的连续映射是谱映射，当且仅当它拟紧 （定义 005A）。

设 \(X\) 为谱空间。\(X\) 上的可构造拓扑，是以集合 \(U\) 与 \(U^c\) 为开集子基的拓扑，其中 \(U\) 是 \(X\) 的拟紧开集。注意，因为 \(X\) 是谱空间， 开集 \(U \subset X\) 逆紧，当且仅当 \(U\) 拟紧。因此，可构造拓扑也可刻画为 使 \(X\) 的每个可构造子集同时开且闭的最粗拓扑（可构造集的定义与性质见 第 04ZC 节）。由此可知，\(X\) 的子集在可构造拓扑 中开（相应地，闭），当且仅当它是可构造子集之并（相应地，交）。 由于拟紧开集族构成 \(X\) 的拓扑基，可见可构造拓扑比 \(X\) 上的给定拓扑更细。

引理

设 \(X\) 为谱空间。可构造拓扑是 Hausdorff、全不连通且拟紧的。

证明

设 \(x, y \in X\) 且 \(x \not = y\)。因为 \(X\) 清醒，存在恰好包含两点 \(x, y\) 之一的开子集 \(U\)。不妨设 \(x \in U\)。可将 \(U\) 替换为包含于 \(U\) 的 \(x\) 的拟紧开邻域。于是 \(U\) 与 \(U^c\) 在可构造拓扑中都开且闭。 因为 \(x \in U\) 与 \(y \in U^c\) 是可构造拓扑中的不交开集，所以 \(X\) 在可构造拓扑中是 Hausdorff 的。\(U\) 的存在也蕴含 \(x\) 与 \(y\) 在可构造 拓扑中位于不同连通分支，故 \(X\) 在可构造拓扑中全不连通。

令 \(\mathcal{B}\) 为所有子集 \(B \subset X\) 构成的集合，其中 \(B\) 或者是拟紧开集，或者是具有拟紧补集的闭集。若 \(B \in \mathcal{B}\)， 则 \(B^c \in \mathcal{B}\)。由引理 08ZP，只需证明 每个满足 \(B_i \in \mathcal{B}\) 的覆盖 \(X = \bigcup_{i \in I} B_i\) 都有有限加细。取补集可知，我们必须证明： 若 \(\mathcal{B}\) 中的元素族 \(\{B_i\}_{i \in I}\) 对所有 \(n\) 以及所有 \(i_1, \ldots, i_n \in I\) 都满足 \(B_{i_1} \cap \ldots \cap B_{i_n} \not = \emptyset\)，则它有公共交点。 可以并且确实假设：若 \(i \not = i'\)，则 \(B_i \not = B_{i'}\)。

反设 \(\{B_i\}_{i \in I}\) 是 \(\mathcal{B}\) 中具有有限交性质但总交为空 的元素族。应用 Zorn 引理可假设该族极大（略去细节）。令 \(I' \subset I\) 为使得 \(B_i\) 闭的那些指标，并置 \(Z = \bigcap_{i \in I'} B_i\)。由引理 005D，这是 \(X\) 的非空闭子集。 若 \(Z\) 可约，则可写成 \(Z = Z' \cup Z''\)，其中两个闭子集都 不等于 \(Z\)。特别地，这意味着可以找到与 \(Z'\) 相交但不与 \(Z''\) 相交的拟紧开集 \(U' \subset X\)。类似地，可以找到与 \(Z''\) 相交但不与 \(Z'\) 相交的拟紧开集 \(U'' \subset X\)。置 \(B' = X \setminus U'\) 与 \(B'' = X \setminus U''\)。注意 \(Z'' \subset B'\) 且 \(Z' \subset B''\)。若存在有限多个指标 \(i_1, \ldots, i_n \in I\)，使得 \(B' \cap B_{i_1} \cap \ldots \cap B_{i_n} = \emptyset\)，并且还存在 有限多个指标 \(j_1, \ldots, j_m \in I\)，使得 \(B'' \cap B_{j_1} \cap \ldots \cap B_{j_m} = \emptyset\)，则可得 \(Z \cap B_{i_1} \cap \ldots \cap B_{i_n} \cap B_{j_1} \cap \ldots \cap B_{j_m} = \emptyset\)。然而，集合 \(B_{i_1} \cap \ldots \cap B_{i_n} \cap B_{j_1} \cap \ldots \cap B_{j_m}\) 拟紧，因此可以找到有限多个指标 \(i'_1, \ldots, i'_l \in I'\)，使得 \(B_{i_1} \cap \ldots \cap B_{i_n} \cap B_{j_1} \cap \ldots \cap B_{j_m} \cap B_{i'_1} \cap \ldots \cap B_{i'_l} = \emptyset\)，矛盾。 因此，可以把 \(B'\) 或 \(B''\) 之一加入给定族，这与极大性矛盾。 由此得出 \(Z\) 不可约。但这也导致矛盾，因为此时对每个 \(i \in I \setminus I'\)，非空开集 \(Z \cap B_i\)（其非空性由上面同样的 论证得出）都包含 \(Z\) 的唯一泛点。这个矛盾证明了引理。

引理

设 \(f : X \to Y\) 为谱空间之间的谱映射。则

1. \(f\) 对可构造拓扑连续；

2. \(f\) 的纤维拟紧；

3. 其像在可构造拓扑中闭。

证明

以 \(X'\) 与 \(Y'\) 表示分别赋予可构造拓扑的 \(X\) 与 \(Y\)；由引理 0901，它们是拟紧 Hausdorff 空间。第 (1) 条是说 \(X' \to Y'\) 连续，它立即由定义得出。第 (3) 条成立， 因为 \(f(X')\) 是 Hausdorff 空间 \(Y'\) 的拟紧子集，参见引理 08YB。我们有拓扑空间连续映射的交换图 \[\xymatrix{ X' \ar[r] \ar[d] & X \ar[d] \\ Y' \ar[r] & Y }\] 因为 \(Y'\) 是 Hausdorff 的，可知纤维 \(X'_y\) 在 \(X'\) 中闭。因为 \(X'\) 拟紧，可知 \(X'_y\) 拟紧（引理 005C）。 由于 \(X'_y \to X_y\) 是满连续映射，由引理 04Z9 得出 \(X_y\) 拟紧。

引理

设 \(X\) 与 \(Y\) 为谱空间，\(f : X \to Y\) 为连续映射。则 \(f\) 是谱映射， 当且仅当 \(f\) 对可构造拓扑连续。

证明

必要性是引理 0A2S。假设 \(f\) 对可构造拓扑连续。设 \(V \subset Y\) 为拟紧开集。则 \(V\) 在可构造拓扑 中开且闭。因此 \(f^{-1}(V)\) 在可构造拓扑中开且闭。由引理 0901，\(X\) 在可构造拓扑中 拟紧，所以 \(f^{-1}(V)\) 在可构造拓扑中拟紧。由于恒等映射 \(f^{-1}(V) \to f^{-1}(V)\) 从可构造拓扑到通常拓扑是满且连续的， 由引理 04Z9，\(f^{-1}(V)\) 在 \(X\) 的拓扑中拟紧。 这完成了证明。

引理

设 \(X\) 为谱空间。设 \(E \subset X\) 在可构造拓扑中闭（例如可构造或闭）。 则赋予诱导拓扑的 \(E\) 是谱空间。

证明

设 \(Z \subset E\) 为闭不可约子集，并设 \(\eta\) 为 \(Z\) 在 \(X\) 中的闭包 \(\overline{Z}\) 的泛点。为证明 \(E\) 清醒，我们证明 \(\eta \in E\)。 若不然，因为 \(E\) 在可构造拓扑中闭，存在可构造子集 \(F \subset X\)， 使得 \(\eta \in F\) 且 \(F \cap E = \emptyset\)。由引理 005K，这蕴含 \(F \cap \overline{Z}\) 包含 \(\overline{Z}\) 的一个非空开子集。但这是不可能 的，因为 \(\overline{Z}\) 是 \(Z\) 的闭包，而 \(Z \cap F = \emptyset\)。

因为 \(E\) 在可构造拓扑中闭，所以它在可构造拓扑中拟紧 （引理 005C 与 0901）。因此，它在来自 \(X\) 的拓扑中更是拟紧的。若 \(U \subset X\) 是拟紧开集，则 \(E \cap U\) 在可构造拓扑中闭，因而拟紧（如上所见）。由此可知，\(E\) 的拟紧开子集 是形如 \(E \cap U\) 的交集，其中 \(U\) 是 \(X\) 的拟紧开集。这些集合构成 拓扑基。最后，给定两个拟紧开集 \(U, U' \subset X\)，交集 \((E \cap U) \cap (E \cap U') = E \cap (U \cap U')\)，并且由于 \(X\) 是谱空间，\(U \cap U'\) 拟紧。这完成了证明。

引理

设 \(X\) 为谱空间。设 \(E \subset X\) 为在可构造拓扑中闭的子集 （例如可构造子集）。

1. 若 \(x \in \overline{E}\)，则 \(x\) 是 \(E\) 中某点的特化。

2. 若 \(E\) 对特化稳定，则 \(E\) 闭。

3. 若 \(E' \subset X\) 在可构造拓扑中开（例如可构造），并且对一般化 稳定，则 \(E'\) 开。

证明

证明 (1)。设 \(x \in \overline{E}\)。令 \(\{U_i\}\) 为 \(x\) 的所有拟紧 开邻域构成的集合。有限多个 \(U_i\) 之交仍属此类。对所有 \(i\)，交集 \(U_i \cap E\) 非空。由于子集 \(U_i \cap E\) 在可构造拓扑中闭，由引理 0901 与引理 005D 可知 \(\bigcap (U_i \cap E)\) 非空。因为 \(\{U_i\}\) 是 \(x\) 的开邻域基本系， 可知 \(\bigcap U_i\) 是 \(x\) 的一般化点集。因此，\(x\) 是 \(E\) 中某点的特化。

第 (2) 条立即由 (1) 得出。

证明 (3)。假设 \(E'\) 如 (3) 所述。\(E'\) 的补集在可构造拓扑中闭 （引理 005H），并且对特化稳定 （引理 0062）。所以由 (2)，该补集闭； 也就是说，\(E'\) 开。

引理

设 \(X\) 为谱空间，\(x, y \in X\)。那么，或者存在一个同时特化到 \(x\) 与 \(y\) 的第三个点，或者存在分别包含 \(x\) 与 \(y\) 的不交开邻域。

证明

令 \(\{U_i\}\) 为 \(x\) 的所有拟紧开邻域构成的集合。有限多个 \(U_i\) 之交仍属此类。令 \(\{V_j\}\) 为 \(y\) 的所有拟紧开邻域构成的集合。 有限多个 \(V_j\) 之交仍属此类。若对某个 \(i, j\)，\(U_i \cap V_j\) 为空， 则结论成立。否则，对所有 \(i\) 与 \(j\)，交集 \(U_i \cap V_j\) 都非空。 集合 \(U_i \cap V_j\) 在 \(X\) 的可构造拓扑中闭。由引理 0901 与引理 005D 可知 \(\bigcap (U_i \cap V_j)\) 非空。由于 \(X\) 清醒，且 \(\{U_i\}\) 是 \(x\) 的开邻域基本系，可知 \(\bigcap U_i\) 是 \(x\) 的一般化点集。类似地， \(\bigcap V_j\) 是 \(y\) 的一般化点集。因此， \(\bigcap (U_i \cap V_j)\) 的任意元素都同时特化到 \(x\) 与 \(y\)。

引理

设 \(X\) 为谱空间。下列条件等价：

1. \(X\) 仿有限；

2. \(X\) 是 Hausdorff 的；

3. \(X\) 全不连通；

4. 每个拟紧开集都闭；

5. 点之间不存在非平凡特化；

6. \(X\) 的每个点都闭；

7. \(X\) 的每个点都是 \(X\) 的某个不可约分支的泛点；

8. 可构造拓扑等于 \(X\) 上的给定拓扑；

9. 在此添加更多条件。

证明

引理 08ZY 给出蕴含关系 (1) \(\Rightarrow\) (3)。 不可约分支是闭的，所以若 \(X\) 全不连通，则每个点都闭。因此 (3) 蕴含 (6)。(6) 与 (5) 的等价性是立即的；而因为 \(X\) 清醒， (6) \(\Leftrightarrow\) (7) 成立。假设 (5)。则 \(X\) 的所有可构造子集都闭 （引理 0903），特别地， 所有拟紧开集都闭。所以 (5) 蕴含 (4)。因为 \(X\) 清醒，对任意两点， 存在恰好包含其中一点的拟紧开集，故 (4) 蕴含 (2)。由可构造拓扑的定义， (4) 与 (8) 等价。只需再证明 (2) 蕴含 (1)。假设 \(X\) 是 Hausdorff 的。 每个拟紧开集也闭（引理 08YB）。 这蕴含 \(X\) 全不连通。所以由引理 08ZY，它仿有限。

引理

若 \(X\) 为谱空间，则 \(\pi_0(X)\) 为仿有限空间。

证明

合并引理 005F 与 0900。

引理

两个谱空间的积是谱空间。

证明

设 \(X\)、\(Y\) 为谱空间。以 \(p : X \times Y \to X\) 与 \(q : X \times Y \to Y\) 表示投影。设 \(Z \subset X \times Y\) 为闭不可约 子集。那么 \(p(Z) \subset X\) 不可约，且 \(q(Z) \subset Y\) 不可约。

设 \(x \in X\) 为 \(p(X)\) 的闭包的泛点，并设 \(y \in Y\) 为 \(q(Y)\) 的闭包的泛点。若 \((x, y) \not \in Z\)，则存在开集 \(x \in U \subset X\)、\(y \in V \subset Y\)，使得 \(Z \cap U \times V = \emptyset\)。所以 \(Z\) 包含于 \((X \setminus U) \times Y \cup X \times (Y \setminus V)\)。由于 \(Z\) 不可约，可知或者 \(Z \subset (X \setminus U) \times Y\)，或者 \(Z \subset X \times (Y \setminus V)\)。在第一种情形， \(p(Z) \subset (X \setminus U)\)；在第二种情形， \(q(Z) \subset (Y \setminus V)\)。两种情形都荒谬，因为 \(x\) 位于 \(p(Z)\) 的闭包中，且 \(y\) 位于 \(q(Z)\) 的闭包中。因此 \((x, y) \in Z\)，这意味着 \((x, y)\) 是 \(Z\) 的泛点。

\(X \times Y\) 的拓扑基由形如 \(U \times V\) 的开集组成，其中 \(U \subset X\) 与 \(V \subset Y\) 为拟紧开集（这里用到 \(X\) 与 \(Y\) 都是谱空间）。那么，作为拟紧空间之积，\(U \times V\) 拟紧。此外， \(X \times Y\) 的任意拟紧开集都是这种拟紧矩形 \(U \times V\) 的有限并。 由此可知，任意两个这种开集之交仍拟紧（因为 \(X\) 与 \(Y\) 是谱空间）。 这完成了证明。

引理

设 \(f : X \to Y\) 为拓扑空间的连续映射。若

1. \(X\) 与 \(Y\) 都是谱空间；

2. \(f\) 是双射谱映射；

3. 一般化（相应地，特化）可沿 \(f\) 提升，

则 \(f\) 是同胚。

证明

因为 \(f\) 是谱映射，它在 \(X\) 与 \(Y\) 的可构造拓扑之间定义连续映射。 由引理 0901 与 08YE，\(X \to Y\) 在可构造拓扑中是同胚。 设 \(U \subset X\) 为拟紧开集。则 \(f(U)\) 在 \(Y\) 中可构造。设 \(y \in Y\) 特化到 \(f(U)\) 中的某个点。由最后一个假设，\(f^{-1}(y)\) 特化到 \(U\) 的某个点。所以 \(f^{-1}(y) \in U\)，从而 \(y \in f(U)\)。 由引理 0903，可知 \(f(U)\) 开。因此 \(f\) 是同胚。为在特化可沿 \(f\) 提升的情形证明本引理， 改为证明：若 \(X \setminus Z\) 是 \(X\) 的拟紧开集，则 \(f(Z)\) 闭。

引理

有限清醒拓扑空间的有向逆系统之逆极限是谱拓扑空间。

证明

设 \(I\) 为有向集，\(X_i\) 为以 \(I\) 为指标的有限清醒空间逆系统。 令 \(X = \lim X_i\)，其存在性由引理 08ZT 得出。 作为集合，\(X = \lim X_i\)。以 \(p_i : X \to X_i\) 表示投影。 因为 \(I\) 有向，可以应用引理 0A2P。拓扑基由开集 \(p_i^{-1}(U_i)\) 给出，其中 \(U_i \subset X_i\) 开。因为 \(p_i^{-1}(U_i)\) 的开覆盖特别也是仿有限拓扑中的开覆盖，可知 \(p_i^{-1}(U_i)\) 拟紧。给定 \(U_i \subset X_i\) 与 \(U_j \subset X_j\)， 则对某个 \(k \geq i, j\) 以及某个开集 \(U_k \subset X_k\)，有 \(p_i^{-1}(U_i) \cap p_j^{-1}(U_j) = p_k^{-1}(U_k)\)。最后，若 \(Z \subset X\) 不可约且闭，则 \(p_i(Z) \subset X_i\) 不可约，因而有唯一 泛点 \(\xi_i\)（因为 \(X_i\) 是有限清醒拓扑空间）。于是 \(\xi = \lim \xi_i\) 是 \(Z\) 的泛点（它是 \(Z\) 的点，因为 \(Z\) 闭）。 这完成了证明。

引理

设 \(W\) 为恰有两个点的拓扑空间，其中一个点闭，另一个不闭。一个拓扑空间 是谱空间，当且仅当它同胚于若干个 \(W\) 的积的一个子空间，且该子空间在 可构造拓扑中闭。

证明

写成 \(W = \{0, 1\}\)，其中 \(0\) 是 \(1\) 的特化，但反之不然。设 \(I\) 为集合。由引理 09XV， 空间 \(\prod_{i \in I} W\) 是谱空间。因此，由引理 0902， \(\prod_{i \in I} W\) 中在可构造拓扑下闭的子空间是谱空间。

反之，设 \(X\) 为谱空间。设 \(U \subset X\) 为拟紧开集。考虑连续映射 \[f_U : X \longrightarrow W\] 它把 \(U\) 中的每个点映到 \(1\)，把 \(X \setminus U\) 中的每个点映到 \(0\)。 取这些映射的积，得到连续映射 \[f = \prod f_U : X \longrightarrow \prod\nolimits_U W\]

按构造，映射 \(f : X \to Y\) 是谱映射。由引理 0A2S，\(f\) 的像在可构造拓扑中闭。 若 \(x', x \in X\) 不同，则因为 \(X\) 清醒，或者 \(x'\) 不是 \(x\) 的特化， 或者反过来。无论哪种情形（因为拟紧开集构成 \(X\) 的拓扑基），都存在 拟紧开集 \(U \subset X\)，使得 \(f_U(x') \not = f_U(x)\)。因此 \(f\) 是单射。令 \(Y = f(X)\) 并赋予诱导拓扑。设 \(y' \leadsto y\) 为 \(Y\) 中的特化，并设 \(f(x') = y'\) 且 \(f(x) = y\)。如上论证可知 \(x' \leadsto x\)，因为否则存在某个 \(U\)，使得 \(x \in U\) 且 \(x' \not \in U\)，这会蕴含 \(f_U(x') \not \leadsto f_U(x)\)。 由引理 09XU，得出 \(f : X \to Y\) 是同胚。

引理

一个拓扑空间是谱空间，当且仅当它是有限清醒拓扑空间的有向逆极限。

证明

一个方向由引理 09XV 给出。 反之，假设 \(X\) 是谱空间。由引理 09XW，可以假设 \(X \subset \prod_{i \in I} W\) 是在可构造拓扑中闭的子集，其中 \(W = \{0, 1\}\)。可以把 \[\prod\nolimits_{i \in I} W = \lim_{J \subset I\text{ 有限 }} \prod\nolimits_{j \in J} W\] 写成余滤极限。对每个 \(J\)，令 \(X_J \subset \prod_{j \in J} W\) 为 \(X\) 的像。因为 \(X\) 在赋予可构造拓扑的积中闭，可知作为集合 \(X = \lim X_J\)（略去细节）。关于极限的一个形式论证（略）表明， 作为拓扑空间也有 \(X = \lim X_J\)。

引理

设 \(X\) 为拓扑空间，并设 \(c : X \to X'\) 为从 \(X\) 到清醒拓扑空间的 泛映射，参见引理 0A2N。

1. 若 \(X\) 拟紧，则 \(X'\) 也拟紧。

2. 若 \(X\) 拟紧、有拟紧开集基，并且任意两个拟紧开集之交拟紧， 则 \(X'\) 是谱空间。

3. 若 \(X\) 是 Noether 的，则 \(X'\) 是 Noether 谱空间。

证明

设 \(U \subset X\) 为开集，并设 \(U' \subset X'\) 为对应开集，即满足 \(c^{-1}(U') = U\) 的开集。于是 \(U\) 拟紧，当且仅当 \(U'\) 拟紧，因为沿 \(c\) 拉回给出 \(X\) 与 \(X'\) 的开集之间保持并的双射。这特别证明了 (1)。

证明 (2)。由上可知，\(X'\) 有拟紧开集基。因为 \(c^{-1}\) 也与成对开集之交 可交换，可知 \(X'\) 的任意两个拟紧开集之交拟紧。最后，由 (1)，\(X'\) 拟紧；而按构造，它清醒。因此 \(X'\) 是谱空间。

证明 (3)。\(X'\) 是 Noether 的，这是立即的，因为该性质由开子集的升链 条件定义，而这一条件对 \(X\) 成立。我们已经在 (2) 中看到 \(X'\) 是谱空间。

谱空间的极限

引理 09XX 告诉我们，每个 谱空间都是有限清醒空间的余滤极限。每个有限清醒空间都是谱空间，并且 有限清醒空间的每个连续映射都是谱空间之间的谱映射。本节证明一些关于 由谱映射组成的谱拓扑空间系统之极限的引理。

引理

设 \(\mathcal{I}\) 为范畴，\(i \mapsto X_i\) 为谱空间图表，并且对 \(\mathcal{I}\) 中的 \(a : j \to i\)，相应映射 \(f_a : X_j \to X_i\) 是谱映射。

1. 给定在可构造拓扑中闭的子集 \(Z_i \subset X_i\)，并且对 \(\mathcal{I}\) 中所有 \(a : j \to i\) 都有 \(f_a(Z_j) \subset Z_i\)， 则 \(\lim Z_i\) 拟紧。

2. 空间 \(X = \lim X_i\) 拟紧。

证明

由引理 08ZT，极限 \(Z = \lim Z_i\) 存在。以 \(X'_i\) 表示赋予可构造拓扑的空间 \(X_i\)，以 \(Z'_i\) 表示 \(X'_i\) 的相应子空间。 设 \(a : j \to i\) 为 \(\mathcal{I}\) 中的态射。因为 \(f_a\) 是谱映射， 它定义连续映射 \(f_a : X'_j \to X'_i\)。所以 \(f_a|_{Z_j} : Z'_j \to Z'_i\) 是拟紧 Hausdorff 空间的连续映射 （由引理 0901 与 005C）。因此，由引理 08ZV，\(Z' = \lim Z_i\) 拟紧。 映射 \(Z'_i \to Z_i\) 连续，故 \(Z' \to Z\) 连续且在底集合上为双射。 所以，作为满连续映射 \(Z' \to Z\) 的像，\(Z\) 拟紧 （引理 04Z9）。

引理

设 \(\mathcal{I}\) 为余滤范畴，\(i \mapsto X_i\) 为谱空间图表，并且对 \(\mathcal{I}\) 中的 \(a : j \to i\)，相应映射 \(f_a : X_j \to X_i\) 是谱映射。

1. 给定在可构造拓扑中闭的非空子集 \(Z_i \subset X_i\)，并且对 \(\mathcal{I}\) 中所有 \(a : j \to i\) 都有 \(f_a(Z_j) \subset Z_i\)， 则 \(\lim Z_i\) 非空。

2. 若每个 \(X_i\) 都非空，则 \(X = \lim X_i\) 非空。

证明

以 \(X'_i\) 表示赋予可构造拓扑的空间 \(X_i\)，以 \(Z'_i\) 表示 \(X'_i\) 的相应子空间。设 \(a : j \to i\) 为 \(\mathcal{I}\) 中的态射。因为 \(f_a\) 是谱映射，它定义连续映射 \(f_a : X'_j \to X'_i\)。所以 \(f_a|_{Z_j} : Z'_j \to Z'_i\) 是拟紧 Hausdorff 空间的连续映射 （由引理 0901 与 005C）。由引理 0A2R， 空间 \(\lim Z'_i\) 非空。由于作为集合有 \(\lim Z'_i = \lim Z_i\)，结论成立。

引理

设 \(\mathcal{I}\) 为余滤范畴，\(i \mapsto X_i\) 为谱空间图表，并且对 \(\mathcal{I}\) 中的 \(a : j \to i\)，相应映射 \(f_a : X_j \to X_i\) 是谱映射。 令 \(X = \lim X_i\)，投影为 \(p_i : X \to X_i\)。设 \(i \in \Ob(\mathcal{I})\)，并设 \(E, F \subset X_i\) 为子集，其中 \(E\) 在可构造拓扑中闭，\(F\) 在可构造拓扑中开。那么 \(p_i^{-1}(E) \subset p_i^{-1}(F)\)，当且仅当存在 \(\mathcal{I}\) 中的态射 \(a : j \to i\)，使得 \(f_a^{-1}(E) \subset f_a^{-1}(F)\)。

证明

注意 \[p_i^{-1}(E) \setminus p_i^{-1}(F) = \lim_{a : j \to i} f_a^{-1}(E) \setminus f_a^{-1}(F)\] 因为 \(f_a\) 是谱映射，它对可构造拓扑连续，故集合 \(f_a^{-1}(E) \setminus f_a^{-1}(F)\) 在可构造拓扑中闭。因此可应用引理 0A2W，得到左边非空，当且仅当 右边每个空间都非空。

引理

设 \(\mathcal{I}\) 为余滤范畴，\(i \mapsto X_i\) 为谱空间图表，并且对 \(\mathcal{I}\) 中的 \(a : j \to i\)，相应映射 \(f_a : X_j \to X_i\) 是谱映射。 令 \(X = \lim X_i\)，投影为 \(p_i : X \to X_i\)。设 \(E \subset X\) 为可构造子集。则存在 \(i \in \Ob(\mathcal{I})\) 以及可构造子集 \(E_i \subset X_i\)，使得 \(p_i^{-1}(E_i) = E\)。若 \(E\) 开（相应地，闭）， 则可选取开（相应地，闭）的 \(E_i\)。

证明

假设 \(E\) 是 \(X\) 的拟紧开集。由引理 0A2P， 可以对某个 \(i\) 与某个开集 \(U_i \subset X_i\) 写成 \(E = p_i^{-1}(U_i)\)。将 \(U_i = \bigcup U_{i, \alpha}\) 写成拟紧开集之并。 因为 \(E\) 拟紧，可以找到 \(\alpha_1, \ldots, \alpha_n\)，使得 \(E = p_i^{-1}(U_{i, \alpha_1} \cup \ldots \cup U_{i, \alpha_n})\)。 所以 \(E_i = U_{i, \alpha_1} \cup \ldots \cup U_{i, \alpha_n}\) 合用。

假设 \(E\) 是闭可构造子集。则 \(E^c\) 是拟紧开集。由上一段的结果， 对某个 \(i\) 以及拟紧开集 \(F_i \subset X_i\)，有 \(E^c = p_i^{-1}(F_i)\)。于是 \(E = p_i^{-1}(F_i^c)\)，正合所需。

若 \(E\) 一般，可以写成 \(E = \bigcup_{l = 1, \ldots, n} U_l \cap Z_l\)， 其中 \(U_l\) 是可构造开集，\(Z_l\) 是可构造闭集。由前几段的结果，可写成 \(U_l = p_{i_l}^{-1}(U_{l, i_l})\) 与 \(Z_l = p_{j_l}^{-1}(Z_{l, j_l})\)，其中 \(U_{l, i_l} \subset X_{i_l}\) 为可构造开集， \(Z_{l, j_l} \subset X_{j_l}\) 为可构造闭集。由于 \(\mathcal{I}\) 余滤， 可以选取 \(\mathcal{I}\) 的对象 \(k\) 以及态射 \(a_l : k \to i_l\) 与 \(b_l : k \to j_l\)。于是取 \(E_k = \bigcup_{l = 1, \ldots, n} f_{a_l}^{-1}(U_{l, i_l}) \cap f_{b_l}^{-1}(Z_{l, j_l})\)，得到 \(X_k\) 的一个可构造子集，其在 \(X\) 中的原像为 \(E\)。

引理

设 \(\mathcal{I}\) 为余滤指标范畴，\(i \mapsto X_i\) 为谱空间图表，并且对 \(\mathcal{I}\) 中的 \(a : j \to i\)，相应映射 \(f_a : X_j \to X_i\) 是谱映射。 则逆极限 \(X = \lim X_i\) 是谱拓扑空间，并且投影 \(p_i : X \to X_i\) 是谱映射。

证明

极限 \(X = \lim X_i\) 存在（引理 08ZT），并由引理 0A2V 拟紧。

以 \(p_i : X \to X_i\) 表示投影。因为 \(\mathcal{I}\) 余滤，可以应用引理 0A2P。所以 \(X\) 的拓扑基由开集 \(p_i^{-1}(U_i)\) 给出，其中 \(U_i \subset X_i\) 开。由于 \(X_i\) 的拓扑基由拟紧开集给出， 可知 \(X\) 的一个拓扑基由 \(p_i^{-1}(U_i)\) 给出，其中 \(U_i \subset X_i\) 是拟紧开集。形式论证表明，作为拓扑空间有 \[p_i^{-1}(U_i) = \lim_{a : j \to i} f_a^{-1}(U_i)\] 因为每个 \(f_a\) 都是谱映射，集合 \(f_a^{-1}(U_i)\) 在 \(X_j\) 的可构造 拓扑中闭，所以由引理 0A2V， \(p_i^{-1}(U_i)\) 拟紧。因此，\(X\) 有一个由拟紧开集组成的拓扑基。

\(X\) 的任意拟紧开集 \(U\) 都形如 \(U = p_i^{-1}(U_i)\)，其中 \(i\) 为某个 指标，\(U_i \subset X_i\) 为某个拟紧开集（见引理 0A2Y）。给定拟紧开集 \(U_i \subset X_i\) 与 \(U_j \subset X_j\)，则对某个 \(k\) 以及拟紧开集 \(U_k \subset X_k\)，有 \(p_i^{-1}(U_i) \cap p_j^{-1}(U_j) = p_k^{-1}(U_k)\)。事实上，选取 \(k\) 以及态射 \(k \to i\) 与 \(k \to j\)，并令 \(U_k\) 为 \(U_i\) 与 \(U_j\) 在 \(X_k\) 中的拉回之交。由此可见，\(X\) 的任意两个拟紧开集之交仍为 拟紧开集。

最后，设 \(Z \subset X\) 不可约且闭。则 \(p_i(Z) \subset X_i\) 不可约， 因而 \(Z_i = \overline{p_i(Z)}\) 有唯一泛点 \(\xi_i\)（因为 \(X_i\) 是谱空间）。 对 \(\mathcal{I}\) 中的 \(a : j \to i\)，有 \(f_a(\xi_j) = \xi_i\)，因为 \(\overline{f_a(Z_j)} = Z_i\)。所以 \(\xi = \lim \xi_i\) 是 \(X\) 的点。 断言：\(\xi \in Z\)。若不然，可以找到包含 \(\xi\) 且与 \(Z\) 不相交的 拟紧开集。它应当形如 \(p_i^{-1}(U_i)\)，其中 \(i\) 为某个指标， \(U_i \subset X_i\) 为拟紧开集。于是 \(\xi_i \in U_i\)，但 \(p_i(Z) \cap U_i = \emptyset\)，这与 \(\xi_i \in \overline{p_i(Z)}\) 矛盾。 所以 \(\xi \in Z\)，从而 \(\overline{\{\xi\}} \subset Z\)。反过来， 每个 \(z \in Z\) 都在 \(\xi\) 的闭包中。事实上，给定 \(z\) 的拟紧开邻域 \(U\)，将 \(U = p_i^{-1}(U_i)\) 写成上述形式，其中 \(i\) 为某个指标， \(U_i \subset X_i\) 为拟紧开集。由 \(p_i(z) \in U_i\) 得 \(\xi_i \in U_i\)，进而 \(\xi \in U\)。因此 \(\xi\) 是 \(Z\) 的泛点。 略去 \(\xi\) 是 \(Z\) 的唯一泛点的证明（提示：证明第二个泛点必须等于 \(\xi\)；为此证明它在 \(X_i\) 中必映到 \(\xi_i\)，因为由 \(X_i\) 的谱性， 不可约集 \(Z_i\) 有唯一泛点）。这完成了证明。

引理

设 \(\mathcal{I}\) 为余滤指标范畴，\(i \mapsto X_i\) 为谱空间图表，并且对 \(\mathcal{I}\) 中的 \(a : j \to i\)，相应映射 \(f_a : X_j \to X_i\) 是谱映射。 置 \(X = \lim X_i\)，并以 \(p_i : X \to X_i\) 表示投影。

1. 给定任意拟紧开集 \(U \subset X\)，存在 \(i \in \Ob(\mathcal{I})\) 以及拟紧开集 \(U_i \subset X_i\)，使得 \(p_i^{-1}(U_i) = U\)。

2. 给定拟紧开集 \(U_i \subset X_i\) 与 \(U_j \subset X_j\)，并假设 \(p_i^{-1}(U_i) \subset p_j^{-1}(U_j)\)，则存在 \(k \in \Ob(\mathcal{I})\) 以及态射 \(a : k \to i\) 与 \(b : k \to j\)， 使得 \(f_a^{-1}(U_i) \subset f_b^{-1}(U_j)\)。

3. 若 \(U_i, U_{1, i}, \ldots, U_{n, i} \subset X_i\) 是拟紧开集，且 \(p_i^{-1}(U_i) = p_i^{-1}(U_{1, i}) \cup \ldots \cup p_i^{-1}(U_{n, i})\)， 则对 \(\mathcal{I}\) 中的某个态射 \(a : j \to i\)，有 \(f_a^{-1}(U_i) = f_a^{-1}(U_{1, i}) \cup \ldots \cup f_a^{-1}(U_{n, i})\)。

4. 与 (3) 相同的断言，但把并换成交。

证明

第 (1) 条是引理 0A2Y 的特殊情形。第 (2) 条是引理 0A2X 的特殊情形，因为拟紧开集 在可构造拓扑中既开又闭。第 (3)、(4) 条形式地由 (1)、(2) 以及子集取原像 与取并、取交可交换这一事实得出。

引理

设 \(W\) 为谱空间 \(X\) 的子集。下列条件等价：

1. \(W\) 是可构造集之交，并且对一般化封闭；

2. \(W\) 拟紧且对一般化封闭；

3. 存在拟紧子集 \(E \subset X\)，使得 \(W\) 是特化到 \(E\) 的点集；

4. \(W\) 是拟紧开子集之交；

5. 存在非空集合 \(I\) 以及拟紧开集 \(U_i \subset X\)（\(i \in I\)），使得 \(W = \bigcap U_i\)，并且对所有 \(i, j \in I\)，存在 \(k \in I\) 满足 \(U_k \subset U_i \cap U_j\)。

在这种情形，(a) \(W\) 是谱空间，(b) 作为拓扑空间有 \(W = \lim U_i\)， 并且 (c) 对任意包含 \(W\) 的开集 \(U\)，存在某个 \(i\) 使得 \(U_i \subset U\)。

证明

设 \(W \subset X\) 满足 (1)。则 \(W\) 在可构造拓扑中闭，故在可构造拓扑 中拟紧（由引理 0901 与 005C），进而在 \(X\) 的拓扑中拟紧 （因为 \(X\) 的开集在可构造拓扑中开）。所以 (2) 成立。

取 \(E = W\)，显然可见 (2) 蕴含 (3)。

设 \(X\) 为谱空间，且 \(E \subset W\) 如 (3) 所述。因为 \(W\) 的每个点 都特化到 \(E\) 的某个点，所以 \(W\) 的包含 \(E\) 的开集等于 \(W\)。 因此，因为 \(E\) 拟紧，\(W\) 也拟紧。若 \(x \in X\) 且 \(x \not \in W\)， 则 \(Z = \overline{\{x\}}\) 与 \(W\) 不相交。因为 \(W\) 拟紧，可以找到拟紧 开集 \(U\)，使得 \(W \subset U\) 且 \(U \cap Z = \emptyset\)。由此得出 (4)。

若 \(W = \bigcap_{j \in J} U_j\)，则令 \(I\) 等于 \(J\) 的有限子集集，并对 \(i = \{j_1, \ldots, j_r\}\) 令 \(U_i = U_{j_1} \cap \ldots \cap U_{j_r}\)，即可看出 (4) 蕴含 (5)。 (5) 蕴含 (1) 是立即的。

设 \(I\) 与 \(U_i\) 如 (5) 所述。因为 \(W = \bigcap U_i\)，由极限的泛性质， 有 \(W = \lim U_i\)。于是由引理 0A2Z，\(W\) 是谱空间。 设 \(U \subset X\) 为 \(W\) 的开邻域。于是 \(E_i = U_i \cap (X \setminus U)\) 是谱空间 \(Z = X \setminus U\) 中的可构造子集族，其总交为空。利用 \(Z\) 上的谱拓扑拟紧

（引理 0901），再由引理 005D 可知，对某个 \(i\) 有 \(E_i = \emptyset\)。

引理

设 \(X\) 为谱空间，\(E \subset X\) 为可构造子集。设 \(W \subset X\) 为 \(X\) 中特化到 \(E\) 的某个点的点集。则 \(W \setminus E\) 是谱空间。 若 \(W = \bigcap U_i\)，其中 \(U_i\) 如引理 0A31 的 (0ANZ) 所述，则 \(W \setminus E = \lim (U_i \setminus E)\)。

证明

因为 \(E\) 可构造，所以它拟紧，因而引理 0A31 可应用于 \(W\)。若 \(E\) 可构造，则对所有 \(i \in I\)，\(E\) 在 \(U_i\) 中可构造。因此，由引理 0902，\(U_i \setminus E\) 是谱空间。因为 \(W \setminus E = \bigcap (U_i \setminus E)\)，由极限的 泛性质有

\(W \setminus E = \lim U_i \setminus E\)。于是由引理 0A2Z，\(W \setminus E\) 是谱空间。

Stone-Čech 紧化

拓扑空间 \(X\) 的 Stone-Čech 紧化，是从 \(X\) 到 Hausdorff 拟紧空间 \(\beta(X)\) 的映射 \(X \to \beta(X)\)，它对这类映射具有泛性质。 我们用一个标准论证证明其存在；该论证使用下面的简单引理。

引理

设 \(f : X \to Y\) 为拓扑空间的连续映射。假设 \(f(X)\) 在 \(Y\) 中稠密， 且 \(Y\) 是 Hausdorff 的。则 \(Y\) 的基数不超过 \(P(P(X))\) 的基数， 其中 \(P\) 表示幂集运算。

证明

令 \(S = f(X) \subset Y\)。令 \(\mathcal{D}\) 为 \(Y\) 的所有闭域组成的集合， 即等于自身内部之闭包的子集 \(D \subset Y\)。注意，\(Y\) 的开子集之闭包 是闭域。对 \(y \in Y\)，考虑集合 \[I_y = \{T \subset S \mid \text{ 存在 } D \in \mathcal{D}\text{ 其中 }T = S \cap D\text{ 且 }y \in D\}.\] 因为 \(S\) 在 \(Y\) 中稠密，所以对每个闭域 \(D\)，\(S \cap D\) 在 \(D\) 中稠密。因此，若对 \(D, D' \in \mathcal{D}\) 有 \(D \cap S = D' \cap S\)，则 \(D = D'\)。于是，\(I_y = I_{y'}\) 蕴含 \(y = y'\)，因为 Hausdorff 条件保证可以找到包含 \(y\) 而不包含 \(y'\) 的闭域。结论随即成立。

设 \(X\) 为拓扑空间。由引理 0909，存在集合 \(I\)， 其元素为具有稠密像的连续映射 \(f : X \to Y\) 的同构类，其中 \(Y\) 为 Hausdorff 且拟紧。对 \(i \in I\)，选取代表 \(f_i : X \to Y_i\)。 考虑映射 \[\prod f_i : X \longrightarrow \prod\nolimits_{i \in I} Y_i\] 并以 \(\beta(X)\) 表示其像的闭包。因为每个 \(Y_i\) 都是 Hausdorff 的， \(\beta(X)\) 也是。因为每个 \(Y_i\) 都拟紧，\(\beta(X)\) 也拟紧 （使用定理 08ZU 与引理 005C）。

我们来证明典范映射 \(X \to \beta(X)\) 对到 Hausdorff 拟紧空间的映射 满足泛性质。具体地，设 \(f : X \to Y\) 为这种态射。令 \(Z \subset Y\) 为 \(f(X)\) 的闭包。那么 \(X \to Z\) 同构于映射 \(f_i : X \to Y_i\) 之一，设为 \(f_{i_0} : X \to Y_{i_0}\)。所以 \(f\) 按所需方式分解为 \(X \to \beta(X) \to \prod Y_i \to Y_{i_0} \cong Z \to Y\)。

引理

设 \(X\) 为 Hausdorff 局部拟紧空间。存在映射 \(X \to X^*\)，它把 \(X\) 等同于拟紧 Hausdorff 空间 \(X^*\) 的开子空间，并且 \(X^* \setminus X\) 是单点集（单点紧化）。特别地，映射 \(X \to \beta(X)\) 把 \(X\) 等同于 \(\beta(X)\) 的开子空间。

证明

置 \(X^* = X \amalg \{\infty\}\)。规定 \(X^*\) 的子集 \(V\) 为开集， 如果或者 \(V \subset X\) 在 \(X\) 中开，或者 \(\infty \in V\)，并且 \(U = V \cap X\) 是 \(X\) 的开集，满足 \(X \setminus U\) 拟紧。 略去验证这定义了一个拓扑。显然，

\(X \to X^*\) 把 \(X\) 等同于 \(X\) 的开子空间。

因为 \(X\) 局部拟紧，每个点 \(x \in X\) 都有拟紧邻域 \(x \in E \subset X\)。于是 \(E\) 闭（引理 08YB 的第 (1) 条），并且 \(V = (X \setminus E) \amalg \{\infty\}\) 是 \(\infty\) 的开邻域， 与 \(E\) 的内部不交。因此 \(X^*\) 是 Hausdorff 的。

设 \(X^* = \bigcup V_i\) 为开覆盖。则对某个 \(i\)（设为 \(i_0\)），有 \(\infty \in V_{i_0}\)。按构造，\(Z = X^* \setminus V_{i_0}\) 拟紧。 因此覆盖 \(Z \subset \bigcup_{i \not = i_0} Z \cap V_i\) 有有限加细， 这蕴含 \(X^*\) 的给定覆盖有有限加细。所以 \(X^*\) 拟紧。

由 Stone-Čech 紧化的泛性质，映射 \(X \to X^*\) 分解为 \(X \to \beta(X) \to X^*\)。令 \(\varphi : \beta(X) \to X^*\) 为该分解。 那么 \(X \to \varphi^{-1}(X)\) 是 \(\varphi^{-1}(X) \to X\) 的截面， 所以其像闭（引理 08ZG）。由于 \(X \to \beta(X)\) 的像稠密，得出 \(X = \varphi^{-1}(X)\)。

极端不连通空间

本节材料取自 [Gleason]（并按 [Rainwater] 作了轻微修改）。 Gleason 的论文证明，在拟紧 Hausdorff 空间范畴中，“投射对象”恰好是 极端不连通空间。

定义

若拓扑空间 \(X\) 的每个开子集之闭包仍开，则称 \(X\) 为 极端不连通的。

若 \(X\) 是 Hausdorff 且极端不连通的，则 \(X\) 全不连通 （一般情形下这不成立）。若 \(X\) 拟紧、Hausdorff 且极端不连通，则由引理 08ZY，\(X\) 仿有限；但逆命题一般不成立。例如，\(p\)-进整数 \(\mathbf{Z}_p = \lim \mathbf{Z}/p^n\mathbf{Z}\) 是并非极端不连通的 仿有限空间。事实上，若 \(U \subset \mathbf{Z}_p\) 为所有赋值为偶数的 非零元素构成的集合，则 \(U\) 开，但其闭包 \(U \cup \{0\}\) 不开。

引理

设 \(f : X \to Y\) 为拓扑空间的连续映射。假设 \(f\) 满射，并且对每个真闭 子集 \(E \subset X\) 都有 \(f(E) \not = Y\)。那么，对开集 \(U \subset X\)， 子集 \(f(U)\) 包含于 \(Y \setminus f(X \setminus U)\) 的闭包。

证明

取 \(y \in f(U)\)，并设 \(V \subset Y\) 为 \(y\) 的任意开邻域。我们证明 \(V\) 与 \(Y \setminus f(X \setminus U)\) 相交。注意， \(W = U \cap f^{-1}(V)\) 是 \(X\) 的非空开子集，所以 \(f(X \setminus W) \not = Y\)。取 \(y' \in Y\)，使得 \(y' \not \in f(X \setminus W)\)。容易证明 \(y' \in V\) 且 \(y' \in Y \setminus f(X \setminus U)\)。

引理

设 \(X\) 为极端不连通空间。若 \(U, V \subset X\) 是不交开子集，则 \(\overline{U}\) 与 \(\overline{V}\) 也不交。

证明

由假设，\(\overline{U}\) 开，所以 \(V \cap \overline{U}\) 是与 \(U\) 不交的 开集；它必为空，因为 \(\overline{U}\) 是 \(X\) 中所有包含 \(U\) 的闭子集之交。 这意味着开集 \(\overline{V} \cap \overline{U}\) 避开 \(V\)，故由同一论证 它为空。

引理

设 \(f : X \to Y\) 为 Hausdorff 拟紧拓扑空间的连续映射。若 \(Y\) 极端不连通，\(f\) 满射，并且对 \(X\) 的每个真闭子集 \(Z\) 都有 \(f(Z) \not = Y\)，则 \(f\) 是同胚。

证明

由引理 08YE，只需证明 \(f\) 单射。假设 \(x, x' \in X\) 为不同的点，且 \(y = f(x) = f(x')\)。选取 \(x, x'\) 的不交开邻域 \(U, U' \subset X\)。注意，\(f\) 是闭映射 （引理 08YD），故 \(T = f(X \setminus U)\) 与 \(T' = f(X \setminus U')\) 在 \(Y\) 中闭。 因为 \(X\) 是 \(X \setminus U\) 与 \(X \setminus U'\) 之并，可知 \(Y = T \cup T'\)。由引理 08YJ，\(y\) 同时属于 \(Y \setminus T\) 的闭包与 \(Y \setminus T'\) 的闭包。另一方面，由引理 08YK，二者之交为空。这样便得到所需矛盾。

引理

设 \(f : X \to Y\) 为 Hausdorff 拟紧拓扑空间之间的满连续映射。 则存在拟紧子集 \(E \subset X\)，使得 \(f(E) = Y\)，但对所有真闭子集 \(E' \subset E\) 都有 \(f(E') \not = Y\)。

证明

我们将不再特别说明地使用：\(X\) 的拟紧子集恰好是其闭子集 （引理 08YC）。考虑所有满足 \(f(E) = Y\) 的拟紧子集 \(E \subset X\) 按包含关系组成的集合 \(\mathcal{E}\)。 我们用 Zorn 引理证明 \(\mathcal{E}\) 有极小元。为此，只需证明： 给定 \(\mathcal{E}\) 中的全序族 \(E_\lambda\)，交集 \(\bigcap E_\lambda\) 属于 \(\mathcal{E}\)。它是闭的，因而拟紧。 对每个 \(y \in Y\)，集合 \(E_\lambda \cap f^{-1}(\{y\})\) 非空且闭， 故由引理 005D，交集 \(\bigcap E_\lambda \cap f^{-1}(\{y\}) = \bigcap (E_\lambda \cap f^{-1}(\{y\}))\) 非空。这完成了证明。

命题

设 \(X\) 为 Hausdorff 拟紧拓扑空间。下列条件等价：

1. \(X\) 极端不连通；

2. 对任意满连续映射 \(f : Y \to X\)，若 \(Y\) 是 Hausdorff 拟紧的， 则存在连续截面；

3. 对拟紧 Hausdorff 空间连续映射的任意实线交换图 \[\xymatrix{ & Y \ar[d] \\ X \ar@{..>}[ru] \ar[r] & Z }\] 若 \(Y \to Z\) 满射，则在拓扑空间范畴中存在使图表交换的点线箭头。

证明

显然，(3) 蕴含 (2)。另一方面，若 (2) 成立，并且 \(X \to Z\) 与 \(Y \to Z\) 如 (3) 所述，则 (2) 保证投影 \(X \times_Z Y \to X\) 有截面， 这蕴含存在合适的点线箭头（略去细节）。所以 (3) 与 (2) 等价。

假设 \(X\) 极端不连通，并设 \(f : Y \to X\) 如 (2) 所述。由引理 08YM，存在拟紧子集 \(E \subset Y\)，使得 \(f(E) = X\)，但对所有真闭子集 \(E' \subset E\) 都有 \(f(E') \not = X\)。 由引理 08YL，\(f|_E : E \to X\) 是同胚，其逆给出 所需截面。

假设 (2)。设 \(U \subset X\) 为开集，补集为 \(Z\)。考虑满连续映射 \(f : \overline{U} \amalg Z \to X\)。设 \(\sigma\) 为一个截面。于是 \(\overline{U} = \sigma^{-1}(\overline{U})\) 开。因此 \(X\) 极端不连通。

引理

设 \(f : X \to X\) 为 Hausdorff 拓扑空间的满连续自映射。若 \(f\) 不是 \(\text{id}_X\)，则存在真闭子集 \(E \subset X\)，使得 \(X = E \cup f(E)\)。

证明

取 \(p \in X\)，使得 \(f(p) \not = p\)。选取不交开邻域 \(p \in U\)、\(f(p) \in V\)，并置

\(E = X \setminus U \cap f^{-1}(V)\)。于是 \(p \not \in E\)，故 \(E\) 是真闭 子集。若 \(x \in X\)，则或者 \(x \in E\)；否则 \(x \in U \cap f^{-1}(V)\)。写成 \(x = f(y)\)（因为 \(f\) 满射，这是可能的）。 若 \(y \in U \cap f^{-1}(V)\)，则会有 \(x = f(y) \in V\)，这与 \(x \in U\) 矛盾。所以 \(y \in E\)，并且 \(x \in f(E)\)。

例

可以用命题 08YN 看出， 离散空间 \(X\) 的 Stone-Čech 紧化 \(\beta(X)\) 极端不连通。 事实上，设 \(f : Y \to \beta(X)\) 为连续满射，其中 \(Y\) 拟紧且 Hausdorff。 因为 \(X\) 离散，可以把映射 \(X \to \beta(X)\) 提升为连续（！）映射 \(X \to Y\)。由 Stone-Čech 紧化的泛性质，得到分解 \(X \to \beta(X) \to Y\)。因为 \(\beta(X) \to Y \to \beta(X)\) 在稠密 子集 \(X\) 上等于恒等映射，可知我们得到了一个截面。特别地，离散空间的 Stone-Čech 紧化全不连通，从而仿有限（见定义 08YI 后的讨论与引理 08ZY）。

利用例 090C 所提供的大量极端不连通空间， 可以证明每个拟紧 Hausdorff 空间在拟紧 Hausdorff 空间范畴中都有 “投射覆盖”。

引理

设 \(X\) 为拟紧 Hausdorff 空间。存在连续满射 \(X' \to X\)，其中 \(X'\) 拟紧、Hausdorff 且极端不连通。若要求 \(X'\) 的每个真闭子集都不映满 \(X\)，则 \(X'\) 在同构意义下唯一。

证明

令 \(Y = X\)，但赋予离散拓扑。令 \(X' = \beta(Y)\)。连续映射 \(Y \to X\) 分解为 \(Y \to X' \to X\)。由例 090C，这证明了引理的第一个断言。

由引理 08YM，可以找到拟紧子集 \(E \subset X'\)， 它满射到 \(X\)，且 \(E\) 的任何真闭子集都不满射到 \(X\)。因为 \(X'\) 极端不连通，存在 \(X\) 上的连续映射 \(f : X' \to E\) （命题 08YN）。把 \(f\) 与映射 \(E \to X'\) 复合，得到连续自映射 \(f|_E : E \to E\)。注意，\(f|_E\) 必定满射，否则其像会是真闭子集并满射到 \(X\)。所以 \(f|_E\) 必须是 \(\text{id}_E\)，否则引理 090B 表明 \(E\) 并非极小。 因此，\(\text{id}_E\) 经过极端不连通空间 \(X'\) 分解。形式的范畴论论证 （使用命题 08YN 的刻画） 表明 \(E\) 极端不连通。

为证明唯一性，假设有第二个极小覆盖 \(X'' \to X\)。由命题 08YN 中证明的提升性质， 可以找到 \(X\) 上的连续映射 \(g : X' \to X''\)。注意，\(g\) 是闭映射 （引理 08YD）。因此 \(g(X') \subset X''\) 是满射到 \(X\) 的闭子集；由 \(X''\) 的极小性，得出 \(g(X') = X''\)。另一方面， 若 \(E \subset X'\) 是真闭子集，则 \(g(E) \not = X''\)，因为由 \(X'\) 的极小性，\(E\) 不满射到 \(X\)。由引理 08YL，\(g\) 是同构。

注

设 \(X\) 为拟紧 Hausdorff 空间，并设 \(\kappa\) 为不小于 \(X\) 基数的无限 基数。那么，极小拟紧 Hausdorff 极端不连通覆盖 \(X' \to X\)（引理 090D）的基数至多为 \(2^{2^\kappa}\)。事实上，选取子集 \(S \subset X'\)，使其双射地映到 \(X\)。 由 \(X'\) 的极小性，集合 \(S\) 在 \(X'\) 中稠密。因此，由引理 0909，\(|X'| \leq 2^{2^\kappa}\)。

杂项

下面的引理适用于与拟分离概形关联的底拓扑空间。

引理

设 \(X\) 为满足下列条件的拓扑空间：

1. 有一个由拟紧开集组成的拓扑基；

2. 任意两个拟紧开集之交拟紧。

则

1. \(X\) 局部拟紧；

2. 拟紧开集 \(U \subset X\) 逆紧；

3. 任意拟紧开集 \(U \subset X\) 都有一个开覆盖的共尾系 \(\mathcal{U} : U = \bigcup_{j\in J} U_j\)，其中 \(J\) 有限，并且所有 \(U_j\) 与 \(U_j \cap U_{j'}\) 都拟紧；

4. 在此添加更多条件。

证明

略。

定义

设 \(X\) 为拓扑空间。若 \(\{x\}\) 在 \(X\) 中开，则称 \(x \in X\) 是 \(X\) 的孤立点。

分划与分层

分层可以用许多不同方式定义。欢迎对本节的定义选择提出意见。

定义

设 \(X\) 为拓扑空间。\(X\) 的一个分划是分解 \(X = \coprod X_i\)，其中 \(X_i\) 是局部闭子集。\(X_i\) 称为该分划的 分块。给定 \(X\) 的两个分划，若其中一个的各分块都是另一个的 若干分块之并，则称后者加细前者。

任意拓扑空间 \(X\) 都有按连通分支给出的分划。若 \(X\) 有有限多个不可约 分支 \(Z_1, \ldots, Z_r\)，则有一个分块为 \(X_I = \bigcap_{i \in I} Z_i \setminus (\bigcup_{i \not \in I} Z_i)\) 的分划，其指标是子集 \(I \subset \{1, \ldots, r\}\)；该分划加细按连通 分支给出的分划。

定义

设 \(X\) 为拓扑空间。\(X\) 的一个良好分层是分划 \(X = \coprod X_i\)，满足对所有 \(i, j \in I\) 都有 \[X_i \cap \overline{X_j} \not = \emptyset \Rightarrow X_i \subset \overline{X_j}.\]

给定良好分层 \(X = \coprod_{i \in I} X_i\)，通过规定 \(i \leq j\) 当且仅当 \(X_i \subset \overline{X_j}\)，在 \(I\) 上得到偏序。于是 \[\overline{X_j} = \bigcup\nolimits_{i \leq j} X_i\] 然而，代数几何中经常出现的情形是：在最后一个展示公式中，左边只是右边 的子集。这引出下面的定义。

定义

设 \(X\) 为拓扑空间。\(X\) 的一个分层由分划 \(X = \coprod_{i \in I} X_i\) 以及 \(I\) 上的一个偏序给出，使得对每个 \(j \in I\) 都有 \[\overline{X_j} \subset \bigcup\nolimits_{i \leq j} X_i\] 分块 \(X_i\) 称为该分层的层。

我们常对分层附加条件。例如，若分层局部有限，即每个点都有只与 有限多个层相交的邻域，则它尤其良好。更一般地，引入下面的定义。

定义

设 \(X\) 为拓扑空间，\(I\) 为集合，并且对 \(i \in I\) 设 \(E_i \subset X\) 为子集。若对所有 \(x \in X\)，都存在 \(x\) 的开邻域 \(U\)， 使得 \(\{i \in I | E_i \cap U \not = \emptyset\}\) 有限，则称集合族 \(\{E_i\}_{i \in I}\) 局部有限。

注

给定拓扑空间 \(X\) 的局部有限分层 \(X = \coprod X_i\)，得到由 \(I\) 指标化的 \(X\) 的闭子集族 \(Z_i = \bigcup_{j \leq i} X_j\)，并且 \[Z_i \cap Z_j = \bigcup\nolimits_{k \leq i, j} Z_k\] 反之，给定由偏序集 \(I\) 指标化的闭子集 \(Z_i \subset X\)，假设 \(X = \bigcup Z_i\)，每个点都有只与有限多个 \(Z_i\) 相交的邻域，并且上面的 展示公式成立；那么，令 \(X_i = Z_i \setminus \bigcup_{j < i} Z_j\)， 得到 \(X\) 的一个局部有限分层。

引理

设 \(X\) 为拓扑空间，\(X = \coprod X_i\) 为 \(X\) 的有限分划。 则存在加细它的 \(X\) 的有限分层。

证明

令 \(T_i = \overline{X_i}\) 且 \(\Delta_i = T_i \setminus X_i\)。令 \(S\) 为所有 \(T_i\) 与 \(\Delta_i\) 的交所组成的集合。（例如 \(T_1 \cap T_2 \cap \Delta_4\) 是 \(S\) 的一个元素。）那么 \(S = \{Z_s\}\) 是 \(X\) 的有限闭子集族，并且对所有 \(s, s' \in S\)， 有 \(Z_s \cap Z_{s'} \in S\)。在 \(S\) 上定义包含偏序。然后令 \(Y_s = Z_s \setminus \bigcup_{s' < s} Z_{s'}\)，便得到所需分层。

引理

设 \(X\) 为拓扑空间。假设 \(X = T_1 \cup \ldots \cup T_n\) 被写成可构造 子集之并。则存在有限分层 \(X = \coprod X_i\)，其中每个 \(X_i\) 可构造， 并且每个 \(T_k\) 都是若干层之并。

证明

由可构造子集的定义，可将每个 \(T_i\) 写成有限多个 \(U \cap V^c\) 之并， 其中 \(U, V \subset X\) 是逆紧开集。因此可假设 \(T_i = U_i \cap V_i^c\)，其中 \(U_i, V_i \subset X\) 是逆紧开集。 令 \(S\) 为 \(X\) 的有限闭子集集，由 \(\emptyset, X, U_i^c, V_i^c\) 以及它们的有限交组成。若 \(Z \in S\)， 则 \(Z\) 在 \(X\) 中可构造（引理 005H）。此外，对所有 \(Z, Z' \in S\)，有 \(Z \cap Z' \in S\)。在 \(S\) 上定义包含偏序。 对 \(Z \in S\)，令 \(X_Z = Z \setminus \bigcup_{Z' < Z,\ Z' \in S} Z'\)，得到满足引理所述 性质的分层 \(X = \coprod_{Z \in S} X_Z\)。

引理

设 \(X\) 为 Noether 拓扑空间。\(X\) 的任意有限分划都可由有限良好分层加细。

证明

设 \(X = \coprod X_i\) 为 \(X\) 的有限分划，并设 \(Z\) 为 \(X\) 的一个不可约 分支。由于 \(X = \bigcup \overline{X_i}\)，且指标集有限，存在某个 \(i\) 使得 \(Z \subset \overline{X_i}\)。因为 \(X_i\) 局部闭，这蕴含 \(Z \cap X_i\) 包含 \(Z\) 的一个开集。所以 \(Z \cap X_i\) 包含 \(X\) 的一个 开集 \(U\)（引理 0052）。写成 \(X_i = U \amalg X_i^1 \amalg X_i^2\)，其中 \(X_i^1 = (X_i \setminus U) \cap \overline{U}\) 且 \(X_i^2 = (X_i \setminus U) \cap \overline{U}^c\)。对 \(i' \not = i\)，令 \(X_{i'}^1 = X_{i'} \cap \overline{U}\) 且 \(X_{i'}^2 = X_{i'} \cap \overline{U}^c\)。于是 \[X \setminus U = \coprod X^k_l\] 是一个满足 \(\overline{U} \setminus U = \bigcup X_l^1\) 的分划。 注意，\(X \setminus U\) 闭且严格小于 \(X\)。由 Noether 归纳法，可以把这个 分划加细为有限良好分层 \(X \setminus U = \coprod_{\alpha \in A} T_\alpha\)。于是 \(X = U \amalg \coprod_{\alpha \in A} T_\alpha\) 是加细原分划的 \(X\) 的有限良好分层。

空间的余极限

拓扑空间范畴有余积。具体地，若 \(I\) 是集合，并且对 \(i \in I\) 给定拓扑 空间 \(X_i\)，则在集合 \(\coprod_{i \in I} X_i\) 上赋予余积拓扑。 我们用形如 \(U_i\) 的集合构成这一拓扑的基，其中 \(U_i \subset X_i\) 开。

拓扑空间范畴有余等化子。具体地，若 \(a, b : X \to Y\) 为拓扑空间的态射， 则 \(a\) 与 \(b\) 的余等化子，是集合范畴中的余等化子 \(Y/\sim\) 赋予商拓扑 （第 0405 节）。

引理

拓扑空间范畴有余极限，并且到集合范畴的遗忘函子与余极限可交换。

证明

这由上面的讨论以及 Categories，引理 002P 得出。 Categories，评注 0AHP 中勾勒了余极限存在性的 另一个证明。由上可知，遗忘函子与余极限可交换。另一种看法是使用 Categories，引理 0038，以及遗忘函子有右伴随 这一事实；该右伴随把集合赋予相应的混沌（或无差别）拓扑空间。

拓扑群、环与模

本节仅简要给出一些定义和初等性质。

定义

所谓一个拓扑群，是指赋予了拓扑的群 \(G\)，使得乘法 \(G \times G \to G\)，\((x, y) \mapsto xy\) 与取逆映射 \(G \to G\)，\(x \mapsto x^{-1}\) 都连续。 所谓一个拓扑群同态，是指连续的群同态。

若 \(G\) 是拓扑群且 \(H \subset G\) 是子群，则 \(H\) 赋予诱导拓扑后是 拓扑群。若 \(G\) 是拓扑群且 \(G \to H\) 是群的满射，则 \(H\) 赋予商拓扑后 是拓扑群。

例

设 \(E\) 为集合。我们可以在自映射集 \(\text{Map}(E, E)\) 上赋予紧开拓扑； 也就是说，对给定的 \(f : E \to E\)，由集合 \(U_S(f) = \{f' : E \to E \mid f'|_S = f|_S\}\) 构成 \(f\) 的一个邻域基本系， 其中 \(S \subset E\) 有限。当 \(E\) 赋予离散拓扑时，作用 \[\text{Map}(E, E) \times E \longrightarrow E,\quad (f, e) \longmapsto f(e)\] 连续。若 \(X\) 是拓扑空间且 \(X \times E \to E\) 是连续映射，则映射 \(X \to \text{Map}(E, E)\) 连续。换言之，紧开拓扑是使上面所示的“作用” 映射连续的最粗拓扑。复合映射 \[\text{Map}(E, E) \times \text{Map}(E, E) \to \text{Map}(E, E)\] 也连续（利用上面对邻域的描述很容易验证）。最后，若 \(\text{Aut}(E) \subset \text{Map}(E, E)\) 是可逆映射的子集，则取逆映射 \(i : \text{Aut}(E) \to \text{Aut}(E)\)，\(f \mapsto f^{-1}\) 也连续。事实上， 设 \(S \subset E\) 有限，则 \(i^{-1}(U_S(f^{-1})) = U_{f^{-1}(S)}(f)\)。因此 \(\text{Aut}(E)\) 是定义 0B1Z 所述的拓扑群。

引理

拓扑群范畴有极限，并且极限与到以下范畴的遗忘函子可交换： (a) 拓扑空间范畴；(b) 群范畴。

证明

只需证明积和等化子的存在性及交换性，见 Categories，引理 002N。设 \(G_i\)，\(i \in I\) 是一族 拓扑群。取通常的积 \(G = \prod G_i\)，并赋予积拓扑。由于作为拓扑空间有 \(G \times G = \prod (G_i \times G_i)\)（因为在任意范畴中，积与积可交换）， 所以 \(G\) 上的乘法连续。取逆映射也同样连续。设 \(a, b : G \to H\) 是两个拓扑群同态。作为等化子，我们可以直接取 \(a\) 与 \(b\) 作为拓扑空间映射的等化子；这与把它们视为群同态时的等化子赋予诱导 拓扑所得对象相同。

引理

设 \(G\) 为拓扑群。下列条件等价：

1. 作为拓扑空间，\(G\) 是仿有限的；

2. \(G\) 是有限离散拓扑群所成图表的极限；

3. \(G\) 是有限离散拓扑群的余滤极限。

证明

对于拓扑空间，我们已有相应结果，见引理 08ZY。结合引理 0B20，可知只需证明 (1) 蕴含 (3)。

我们先证明，单位元 \(e\) 的每个邻域 \(E\) 都包含一个开子群。事实上，由于 \(G\) 是有限离散拓扑空间的余滤极限（引理 08ZY），可以选择 到有限离散空间 \(T\) 的连续映射 \(f : G \to T\)，使得 \(f^{-1}(f(\{e\})) \subset E\)。考虑 \[H = \{g \in G \mid f(gg') = f(g')\text{ 对所有 }g' \in G\}\] 这是 \(G\) 的一个子群，并且包含于 \(E\)。因此只需证明 \(H\) 是开的。

取 \(t \in T\)，并令 \(W = f^{-1}(\{t\})\)。注意 \(W \subset G\) 是开闭的， 尤其是拟紧的。对每个 \(w \in W\)，存在开邻域 \(e \in U_w \subset G\) 和 \(w \in U'_w \subset W\)，使得 \(U_wU'_w \subset W\)。由拟紧性，可以找到 \(w_1, \ldots, w_n\)，使得 \(W = \bigcup U'_{w_i}\)。于是

\(U_t = U_{w_1} \cap \ldots \cap U_{w_n}\) 是 \(e\) 的开邻域，并且对所有 \(w \in W\) 都有 \(f(gw) = t\)。由于 \(T\) 有限，可知 \(\bigcap_{t \in T} U_t \subset H\) 是 \(e\) 的开邻域。又因为 \(H \subset G\) 是子群，所以 \(H\) 是开的。

假设 \(H \subset G\) 是开子群。由于 \(G\) 拟紧，可知 \(H\) 在 \(G\) 中的指数 有限。设 \(G = Hg_1 \cup \ldots \cup Hg_n\)。则

\(N = \bigcap_{i = 1, \ldots, n} g_iHg_i^{-1}\) 是包含于 \(H\) 的开正规子群。 由于 \(N\) 的指数也有限，可知 \(G \to G/N\) 是到一个有限离散拓扑群的满射。

考虑映射 \[G \longrightarrow \lim_{N \subset G\text{ 开且正规}} G/N\] 我们断言该映射是拓扑群的同构。这就完成了引理的证明，因为右侧的极限是 余滤的（两个开正规子群之交仍是开正规子群）。该映射连续，因为每个 \(G \to G/N\) 都连续。该映射为单射，因为 \(G\) 是 Hausdorff 的，并且由 上面的论证，\(e\) 的每个邻域都包含某个 \(N\)。由引理 005D，该映射为满射。由引理 08YE，该映射是同胚。

定义

若一个拓扑群满足引理 0BR1 中的等价条件，则称它为 仿有限群。

若 \(G_1 \to G_2 \to G_3 \to \ldots\) 是一个拓扑群系统，则它在拓扑群中 的余极限 \(G = \colim G_n\)（引理 0B21） 一般不同于它在拓扑空间中的余极限（引理 0B1X），尽管二者 具有相同的底层集合。见 Examples，第 0B2Y 节。

引理

拓扑群范畴有余极限，并且余极限与到群范畴的遗忘函子可交换。

证明

我们将用 Categories，评注 0AHP 中的论证来 证明余极限存在。具体地，假设

\(\mathcal{I} \to \textit{Top}\)，\(i \mapsto G_i\) 是一个取值于拓扑群范畴 \(\textit{TopGroup}\) 的函子。于是可以考虑 \[F : \textit{TopGroup} \longrightarrow \textit{Sets},\quad H \longmapsto \lim_\mathcal{I} \Mor_{\textit{TopGroup}}(G_i, H)\] 该函子与极限可交换。此外，给定任意拓扑群 \(H\) 以及 \(F(H)\) 的一个元素 \((\varphi_i : G_i \to H)\)，存在基数不超过 \(|\coprod G_i|\) 的子群 \(H' \subset H\)（这里的余积取在群范畴中，即诸 \(G_i\) 的自由积），使得 同态 \(\varphi_i\) 的像都落在 \(H'\) 中。事实上，可以取由诸 \(\varphi_i\) 的像生成的子群，并赋予诱导拓扑。因此，Categories，引理 0AHN 的假设显然满足，从而得到表示函子 \(F\) 的拓扑群 \(G\)；这恰好意味着 \(G\) 是图表 \(i \mapsto G_i\) 的余极限。

为证明它与到群范畴的遗忘函子可交换，我们使用 Categories，引理 0038。事实上，该遗忘函子有右伴随，即把一个群 赋予相应的混沌（或无差别）拓扑群的函子。

定义

所谓一个拓扑环，是指赋予了拓扑的环 \(R\)，使得加法 \(R \times R \to R\)，\((x, y) \mapsto x + y\) 和乘法 \(R \times R \to R\)，\((x, y) \mapsto xy\) 都连续。 所谓一个拓扑环同态，是指连续的环同态。

在 Stacks Project 中，环是有 \(1\) 的交换环。若 \(R\) 是拓扑环，则 \((R, +)\) 是拓扑群，因为 \(x \mapsto -x\) 连续。若 \(R\) 是拓扑环且 \(R' \subset R\) 是子环，则 \(R'\) 赋予诱导拓扑后是拓扑环。若 \(R\) 是拓扑环 且 \(R \to R'\) 是环的满射，则 \(R'\) 赋予商拓扑后是拓扑环。

引理

拓扑环范畴有极限，并且极限与到以下范畴的遗忘函子可交换： (a) 拓扑空间范畴；(b) 环范畴。

证明

只需证明积和等化子的存在性及交换性，见 Categories，引理 002N。设 \(R_i\)，\(i \in I\) 是一族 拓扑环。取通常的积 \(R = \prod R_i\)，并赋予积拓扑。由于作为拓扑空间有 \(R \times R = \prod (R_i \times R_i)\)（因为在任意范畴中，积与积可交换）， 所以 \(R\) 上的加法和乘法连续。设 \(a, b : R \to R'\) 是两个拓扑环同态。 作为等化子，我们可以直接取 \(a\) 与 \(b\) 作为拓扑空间映射的等化子；这与 把它们视为环同态时的等化子赋予诱导拓扑所得对象相同。

引理

拓扑环范畴有余极限，并且余极限与到环范畴的遗忘函子可交换。

证明

与引理 0B21 的证明中所用完全相同的论证表明 余极限存在。为证明它与到环范畴的遗忘函子可交换，我们使用 Categories， 引理 0038。事实上，该遗忘函子有右伴随，即把 一个环赋予相应的混沌（或无差别）拓扑环的函子。

定义

设 \(R\) 为拓扑环。所谓一个拓扑模，是指赋予了拓扑的 \(R\)-模 \(M\)， 使得加法 \(M \times M \to M\) 与纯量乘法 \(R \times M \to M\) 都连续。 所谓一个拓扑模同态，是指连续的模同态。

若 \(R\) 是拓扑环且 \(M\) 是拓扑模，则 \((M, +)\) 是拓扑群，因为 \(x \mapsto -x\) 连续。若 \(R\) 是拓扑环，\(M\) 是拓扑模且 \(M' \subset M\) 是子模，则 \(M'\) 赋予诱导拓扑后是拓扑模。若 \(R\) 是拓扑环， \(M\) 是拓扑模且 \(M \to M'\) 是模的满射，则 \(M'\) 赋予商拓扑后是拓扑模。

引理

设 \(R\) 为拓扑环。\(R\) 上的拓扑模范畴有极限，并且极限与到以下范畴的遗忘 函子可交换：(a) 拓扑空间范畴；(b) \(R\)-模范畴。

证明

只需证明积和等化子的存在性及交换性，见 Categories，引理 002N。设 \(M_i\)，\(i \in I\) 是一族 \(R\) 上的拓扑模。取通常的积 \(M = \prod M_i\)，并赋予积拓扑。由于作为 拓扑空间有 \(M \times M = \prod (M_i \times M_i)\)（因为在任意范畴中， 积与积可交换），所以 \(M\) 上的加法连续。乘法 \(R \times M \to M\) 也同样 连续。设 \(a, b : M \to M'\) 是两个 \(R\) 上的拓扑模同态。作为等化子，我们 可以直接取 \(a\) 与 \(b\) 作为拓扑空间映射的等化子；这与把它们视为模同态时 的等化子赋予诱导拓扑所得对象相同。

引理

设 \(R\) 为拓扑环。\(R\) 上的拓扑模范畴有余极限，并且余极限与到 \(R\)-模范畴 的遗忘函子可交换。

证明

与引理 0B21 的证明中所用完全相同的论证表明 余极限存在。为证明它与到 \(R\)-模范畴的遗忘函子可交换，我们使用 Categories，引理 0038。事实上，该遗忘函子有 右伴随，即把一个模赋予相应的混沌（或无差别）拓扑模的函子。