代数空间上的除子

引言

本章研究代数空间上的除子及相关主题。关于代数空间的基本参考文献是 [Kn]。

伴随点与弱伴随点

在概形的情形，我们已经引入了两个相互竞争的伴随点概念，即通常的伴随点（《除子》第 02OI 节）和弱伴随点（《除子》第 056K 节）。对于一般代数空间，伴随点的概念基本无用，我们甚至不打算引入它。若代数空间局部诺特，则允许用“伴随点”一词代替“弱伴随点”，因为对诺特概形两种概念相同（《除子》引理 05AR）。在给出定义之前，先需要一个引理。

引理

设 \(S\) 为概形，\(X\) 为 \(S\) 上的代数空间，\(\mathcal{F}\) 为拟凝聚 \(\mathcal{O}_X\)-模，且 \(x \in |X|\)。下列条件等价：

对某个平展态射 \(f : U \to X\)（其中 \(U\) 是概形）以及映到 \(x\) 的 \(u \in U\)，点 \(u\) 弱伴随于 \(f^*\mathcal{F}\)；

对每个平展态射 \(f : U \to X\)（其中 \(U\) 是概形）以及映到 \(x\) 的 \(u \in U\)，点 \(u\) 弱伴随于 \(f^*\mathcal{F}\)；

\(\mathcal{O}_{X, \overline{x}}\) 的极大理想是茎 \(\mathcal{F}_{\overline{x}}\) 的弱伴随素理想。

若 \(X\) 局部诺特，则这些条件还等价于：

对某个平展态射 \(f : U \to X\)（其中 \(U\) 是概形）以及映到 \(x\) 的 \(u \in U\)，点 \(u\) 伴随于 \(f^*\mathcal{F}\)；

对每个平展态射 \(f : U \to X\)（其中 \(U\) 是概形）以及映到 \(x\) 的 \(u \in U\)，点 \(u\) 伴随于 \(f^*\mathcal{F}\)；

\(\mathcal{O}_{X, \overline{x}}\) 的极大理想是茎 \(\mathcal{F}_{\overline{x}}\) 的伴随素理想。

证明

选择带有点 \(u\) 的概形 \(U\) 以及把 \(u\) 映到 \(x\) 的平展态射 \(f : U \to X\)。把 \(\overline{x}\) 提升为 \(U\) 上位于 \(u\) 上方的几何点。回忆 \(\mathcal{O}_{X, \overline{x}} = \mathcal{O}_{U, u}^{sh}\) ，其中严格亨泽尔化是相对于所选的 \(\overline{x}\) 的提升而言；参见《空间的性质》引理 04KF。最后，有 \[\mathcal{F}_{\overline{x}} = (f^*\mathcal{F})_u \otimes_{\mathcal{O}_{U, u}} \mathcal{O}_{X, \overline{x}} = (f^*\mathcal{F})_u \otimes_{\mathcal{O}_{U, u}} \mathcal{O}_{U, u}^{sh}\] 其中等式由《空间的性质》引理 05VP 得到。因此，(1)、(2) 与 (3) 的等价性来自《平坦性的更多内容》引理 0CTU。若 \(X\) 局部诺特，则上述任意 \(U\) 都局部诺特，故由《除子》引理 05AR，(1)（相应地 (2)）等价于 (4) （相应地 (5)）。另一方面，在局部诺特情形，局部环 \(\mathcal{O}_{X, \overline{x}}\) 也诺特（《空间的性质》引理 08AH）。

因此，由同一引理（或由《代数》引理 058A）得到 (3) 与 (6) 的等价性。

定义

设 \(S\) 为概形，\(X\) 为 \(S\) 上的代数空间，\(\mathcal{F}\) 为 \(X\) 上的拟凝聚层，且 \(x \in |X|\)。

若引理 0CTW 的等价条件 (1)、(2)、(3) 成立，则称 \(x\) 弱伴随于 \(\mathcal{F}\)。

用 \(\text{WeakAss}(\mathcal{F})\) 表示 \(\mathcal{F}\) 的弱伴随点集合。

\(X\) 的弱伴随点是 \(\mathcal{O}_X\) 的弱伴随点。

若 \(X\) 局部诺特，则当且仅当 \(x\) 弱伴随于 \(\mathcal{F}\) 时，称 \(x\) 伴随于 \(\mathcal{F}\)，并置 \(\text{Ass}(\mathcal{F}) = \text{WeakAss}(\mathcal{F})\)。最后（仍假设 \(X\) 局部诺特），当且仅当 \(x\) 是 \(X\) 的弱伴随点时，称 \(x\) 是 \(X\) 的伴随点。

现在可以证明一些必备引理。

引理

设 \(S\) 为概形，\(X\) 为 \(S\) 上的代数空间，\(\mathcal{F}\) 为拟凝聚 \(\mathcal{O}_X\)-模。则 \(\text{WeakAss}(\mathcal{F}) \subset \text{Supp}(\mathcal{F})\)。

证明

这由定义立即得到。\(X\) 上阿贝尔层的支撑定义见《空间的性质》定义 04KA。

引理

设 \(S\) 为概形，\(X\) 为 \(S\) 上的代数空间。设 \(0 \to \mathcal{F}_1 \to \mathcal{F}_2 \to \mathcal{F}_3 \to 0\) 为 \(X\) 上拟凝聚层的短正合列。则 \(\text{WeakAss}(\mathcal{F}_2) \subset \text{WeakAss}(\mathcal{F}_1) \cup \text{WeakAss}(\mathcal{F}_3)\) 且 \(\text{WeakAss}(\mathcal{F}_1) \subset \text{WeakAss}(\mathcal{F}_2)\)。

证明

对每个几何点 \(\overline{x} \in X\)，茎的序列 \(0 \to \mathcal{F}_{1, \overline{x}} \to \mathcal{F}_{2, \overline{x}} \to \mathcal{F}_{3, \overline{x}} \to 0\) 是 \(\mathcal{O}_{X, \overline{x}}\)-模的短正合列。因此本引理由《代数》引理 0548 得出。

引理

设 \(S\) 为概形，\(X\) 为 \(S\) 上的代数空间，\(\mathcal{F}\) 为拟凝聚 \(\mathcal{O}_X\)-模。则 \[\mathcal{F} = (0) \Leftrightarrow \text{WeakAss}(\mathcal{F}) = \emptyset\]

证明

取概形 \(U\) 以及满平展态射 \(f : U \to X\)。则 \(\mathcal{F}\) 为零当且仅当 \(f^*\mathcal{F}\) 为零。因此，本引理由定义以及概形情形的对应引理得出；参见《除子》引理 05AP。

引理

设 \(S\) 为概形，\(X\) 为 \(S\) 上的代数空间，\(\mathcal{F}\) 为拟凝聚 \(\mathcal{O}_X\)-模，且 \(x \in |X|\)。若

\(x \in \text{Supp}(\mathcal{F})\)；

\(x\) 是 \(X\) 的余维 \(0\) 点（《空间的性质》定义 04NA）。

则 \(x \in \text{WeakAss}(\mathcal{F})\)。若 \(\mathcal{F}\) 是有限型 \(\mathcal{O}_X\)-模，其概形论支撑为 \(Z\)（《空间的态射》定义 07U1），且 \(x\) 是 \(Z\) 的余维 \(0\) 点，则 \(x \in \text{WeakAss}(\mathcal{F})\)。

证明

由于 \(x \in \text{Supp}(\mathcal{F})\)，茎 \(\mathcal{F}_{\overline{x}}\) 非零。因此，由《代数》引理 0588， \(\text{WeakAss}(\mathcal{F}_{\overline{x}})\) 非空。另一方面， \(\mathcal{O}_{X, \overline{x}}\) 的谱仅含一个点。因此按定义，\(x\) 是 \(\mathcal{F}\) 的弱伴随点。最后一个断言成立是因为

\(\mathcal{O}_{X, \overline{x}} \to \mathcal{O}_{Z, \overline{z}}\) 是满射，\(\mathcal{O}_{Z, \overline{z}}\) 的谱仅含一个点，并且 \(\mathcal{F}_{\overline{x}}\) 是非零的 \(\mathcal{O}_{Z, \overline{z}}\)-模。

引理

设 \(S\) 为概形，\(X\) 为 \(S\) 上的代数空间，\(\mathcal{F}\) 为拟凝聚 \(\mathcal{O}_X\)-模，且 \(x \in |X|\)。若

\(X\) 是良态的（例如拟分离或局部分离）；

\(x \in \text{Supp}(\mathcal{F})\)；

\(x\) 不是 \(\text{Supp}(\mathcal{F})\) 中另一个点的特化。

则 \(x \in \text{WeakAss}(\mathcal{F})\)。

证明

（拟分离代数空间是良态的，参见《良态空间》第 03I7 节；局部分离代数空间是良态的，参见《良态空间》引理 088J。）取概形 \(U\)、点 \(u \in U\) 以及把 \(u\) 映到 \(x\) 的平展态射 \(f : U \to X\)。由《良态空间》引理 03K5，若 \(u' \leadsto u\) 是非平凡特化，则 \(f(u') \not = x\)。由此可见， \(u \in \text{Supp}(f^*\mathcal{F})\) 不是 \(\text{Supp}(f^*\mathcal{F})\) 中另一个点的特化。因此，由

《除子》引理 0CUL， \(u \in \text{WeakAss}(f^*\mathcal{F})\)。

引理

设 \(S\) 为概形，\(X\) 为 \(S\) 上的局部诺特代数空间，\(\mathcal{F}\) 为凝聚 \(\mathcal{O}_X\)-模。则对每个拟紧开子集 \(W \subset |X|\)， \(\text{Ass}(\mathcal{F}) \cap W\) 是有限集。

证明

取拟紧概形 \(U\) 以及平展态射 \(U \to X\)，使得 \(W\) 是 \(|U| \to |X|\) 的像。于是 \(U\) 是诺特概形，应用《除子》引理 05AF 即得结论。

引理

设 \(S\) 为概形，\(X\) 为 \(S\) 上的代数空间，\(\mathcal{F}\) 为拟凝聚 \(\mathcal{O}_X\)-模。若 \(U \to X\) 是平展态射且 \(\text{WeakAss}(\mathcal{F}) \subset \Im(|U| \to |X|)\)，则 \(\Gamma(X, \mathcal{F}) \to \Gamma(U, \mathcal{F})\) 是单射。

证明

设 \(s \in \Gamma(X, \mathcal{F})\) 是限制到 \(U\) 上为零的截面。令 \(\mathcal{F}' \subset \mathcal{F}\) 为 \(s\) 所定义的映射 \(\mathcal{O}_X \to \mathcal{F}\) 的像。则 \(\mathcal{F}'|_U = 0\)。这蕴含 \(\text{WeakAss}(\mathcal{F}') \cap \Im(|U| \to |X|) = \emptyset\) （按弱伴随点的定义）。另一方面，由引理 0CTZ， \(\text{WeakAss}(\mathcal{F}') \subset \text{WeakAss}(\mathcal{F})\) 。故 \(\text{WeakAss}(\mathcal{F}') = \emptyset\)。于是由引理 0CU0，\(\mathcal{F}' = 0\)。

引理

设 \(S\) 为概形，\(f : X \to Y\) 为 \(S\) 上代数空间间的拟紧拟分离态射， \(\mathcal{F}\) 为拟凝聚 \(\mathcal{O}_X\)-模。设 \(y \in |Y|\) 不在 \(|f|\) 的像中。则 \(y\) 不弱伴随于 \(f_*\mathcal{F}\)。

证明

由《空间的态射》引理 03M9， \(\mathcal{O}_Y\)-模 \(f_*\mathcal{F}\) 拟凝聚，故本引理的陈述有意义。取仿射概形 \(V\)、点 \(v \in V\) 以及把 \(v\) 映到 \(y\) 的平展态射 \(V \to Y\)。可将 \(f : X \to Y\)、\(\mathcal{F}\)、\(y\) 分别替换为 \(X \times_Y V \to V\)、\(\mathcal{F}|_{X \times_Y V}\)、\(v\)。因此可设 \(Y\) 为仿射概形。此时 \(X\) 拟紧，故可取仿射概形 \(U\) 以及满平展态射 \(U \to X\)。

用 \(g : U \to Y\) 表示合成态射。于是 \(f_*\mathcal{F} \subset g_*(\mathcal{F}|_U)\)。由引理 0CTZ，可归约到概形的情形，即《除子》引理 0AVN。

引理

设 \(S\) 为概形，\(X\) 为 \(S\) 上的代数空间。设 \(\varphi : \mathcal{F} \to \mathcal{G}\) 为拟凝聚 \(\mathcal{O}_X\)-模间的映射。假设对每个 \(x \in |X|\)，下列情形至少有一个发生：

\(\mathcal{F}_{\overline{x}} \to \mathcal{G}_{\overline{x}}\) 是单射；或

\(x \not \in \text{WeakAss}(\mathcal{F})\)。

则 \(\varphi\) 是单射。

证明

这些假设蕴含 \(\text{WeakAss}(\Ker(\varphi)) = \emptyset\)，故由引理 0CU0，\(\Ker(\varphi) = 0\)。

引理

设 \(S\) 为概形，\(X\) 为 \(S\) 上的既约代数空间。则

\(X\) 的弱伴随点恰为 \(X\) 的余维 \(0\) 点。

证明

在平展局部工作，本引理由《除子》引理 0EME 及《空间的性质》引理 0BAQ 得出。

态射与弱伴随点

引理

设 \(S\) 为概形，\(f : X \to Y\) 为 \(S\) 上代数空间间的仿射态射， \(\mathcal{F}\) 为拟凝聚 \(\mathcal{O}_X\)-模。则有

\[\text{WeakAss}_S(f_*\mathcal{F}) \subset f(\text{WeakAss}_X(\mathcal{F}))\]

证明

取概形 \(V\) 以及满平展态射 \(V \to Y\)。置 \(U = X \times_Y V\)。则 \(U \to V\) 是概形间的仿射态射。由弱伴随点的定义，问题归约为概形间的态射 \(U \to V\)；这种情形已由《除子》引理 05EX 处理。

引理

设 \(S\) 为概形，\(f : X \to Y\) 为 \(S\) 上代数空间间的仿射态射， \(\mathcal{F}\) 为拟凝聚 \(\mathcal{O}_X\)-模。若 \(X\) 局部诺特，则有 \[\text{WeakAss}_Y(f_*\mathcal{F}) = f(\text{WeakAss}_X(\mathcal{F}))\]

证明

取概形 \(V\) 以及满平展态射 \(V \to Y\)。置 \(U = X \times_Y V\)。则 \(U \to V\) 是概形间的仿射态射，且 \(U\) 局部诺特。由弱伴随点的定义，问题归约为概形间的态射 \(U \to V\)；这种情形已由《除子》引理 05EY 处理。

引理

设 \(S\) 为概形，\(f : X \to Y\) 为 \(S\) 上代数空间间的有限态射， \(\mathcal{F}\) 为拟凝聚 \(\mathcal{O}_X\)-模。则 \(\text{WeakAss}(f_*\mathcal{F}) = f(\text{WeakAss}(\mathcal{F}))\)。

证明

取概形 \(V\) 以及满平展态射 \(V \to Y\)。置 \(U = X \times_Y V\)。则 \(U \to V\) 是概形间的有限态射。由弱伴随点的定义，问题归约为概形间的态射 \(U \to V\)；这种情形已由《除子》引理 05EZ 处理。

引理

设 \(S\) 为概形，\(f : X \to Y\) 为 \(S\) 上代数空间间的态射， \(\mathcal{G}\) 为拟凝聚 \(\mathcal{O}_Y\)-模。设 \(x \in |X|\) 且 \(y = f(x) \in |Y|\)。若

\(y \in \text{WeakAss}_S(\mathcal{G})\)；

\(f\) 在 \(x\) 处平坦；且

\(f\) 的纤维在 \(x\) 处的局部环维数为零（《空间的态射》定义 04NM）；

则 \(x \in \text{WeakAss}(f^*\mathcal{G})\)。

证明

取概形 \(V\)、点 \(v \in V\) 以及把 \(v\) 映到 \(y\) 的平展态射 \(V \to Y\)。取概形 \(U\)、点 \(u \in U\) 以及平展态射

\(U \to V \times_Y X\)，它把 \(v\) 映到位于 \(v\) 与 \(x\) 上方的一个点。这是可行的，因为由《空间的性质》引理

03H4，存在 \(t \in |V \times_Y X|\) 映到 \((v, y)\)。按定义可见， \(\mathcal{O}_{U_v, u}\) 的维数为零。因此 \(u\) 是纤维 \(U_v\) 的一个一般点。由弱伴随点的定义，问题归约为概形间的态射 \(U \to V\)。这种情形已由《除子》引理 05F0 处理。

引理

设 \(K/k\) 为域扩张，\(X\) 为 \(k\) 上的代数空间，\(\mathcal{F}\) 为拟凝聚 \(\mathcal{O}_X\)-模。设 \(y \in X_K\) 的像为 \(x \in X\)。若 \(y\) 是拉回 \(\mathcal{F}_K\) 的弱伴随点，则 \(x\) 是 \(\mathcal{F}\) 的弱伴随点。

证明

这是将《除子》引理 0CUC 改述为代数空间的语言所得的陈述。略去这种改述的细节。

引理

设 \(S\) 为概形，\(f : X \to Y\) 为代数空间间的有限平坦态射， \(\mathcal{G}\) 为拟凝聚 \(\mathcal{O}_Y\)-模。设 \(x \in |X|\) 的像为 \(y \in |Y|\)。则

\[x \in \text{WeakAss}(g^*\mathcal{G}) \Leftrightarrow y \in \text{WeakAss}(\mathcal{G})\]

证明

由概形的情形（《平坦性的更多内容》引理 05FN）经平展局部化立即得出。

引理

设 \(S\) 为概形，\(f : X \to Y\) 为代数空间间的平展态射， \(\mathcal{G}\) 为拟凝聚 \(\mathcal{O}_Y\)-模。设 \(x \in |X|\) 的像为 \(y \in |Y|\)。则 \[x \in \text{WeakAss}(f^*\mathcal{G}) \Leftrightarrow y \in \text{WeakAss}(\mathcal{G})\]

证明

这由弱伴随点的定义立即得到；事实上，概形情形的对应引理（《平坦性的更多内容》引理 05FP）正是本定义的基础。

相对弱伴随点集

为了定义这个对象，需要先证明几个引理。

引理

设 \(S\) 为概形，\(f : X \to Y\) 为 \(S\) 上代数空间间的态射，且 \(y \in |Y|\)。下列条件等价：

对某个概形 \(V\)、点 \(v \in V\) 以及把 \(v\) 映到 \(y\) 的平展态射 \(V \to Y\)，代数空间 \(X_v\) 局部诺特；

对每个概形 \(V\)、点 \(v \in V\) 以及把 \(v\) 映到 \(y\) 的平展态射 \(V \to Y\)，代数空间 \(X_v\) 局部诺特；且

存在域 \(k\) 以及表示 \(y\) 的态射 \(\Spec(k) \to Y\)，使得 \(X_k\) 局部诺特。

若存在域 \(k_0\) 以及表示 \(y\) 的单态射 \(\Spec(k_0) \to Y\)，则上述条件还等价于：

代数空间 \(X_{k_0}\) 局部诺特。

证明

注意 \(X_v = v \times_Y X = \Spec(\kappa(v)) \times_Y X\)。因此蕴含 (2) \(\Rightarrow\) (1) \(\Rightarrow\) (3) 是显然的。假设从某个域的谱出发的态射 \(\Spec(k) \to Y\) 使得 \(X_k\) 局部诺特。设 \(V \to Y\) 是从概形 \(V\) 出发的平展态射，并且

\(v \in V\) 是映到 \(y\) 的点。则概形 \(v \times_Y \Spec(k)\) 非空。取一点 \(w \in v \times_Y \Spec(k)\)。考虑态射 \[X_v \longleftarrow X_w \longrightarrow X_k\] 由于 \(V \to Y\) 平展，且可将 \(w\) 视为 \(V \times_Y \Spec(k)\) 的一个点，故 \(\kappa(w)/k\) 是有限可分域扩张（《态射》引理 02GL）。因此，作为 \(w \to \Spec(k)\) 的基变换，\(X_w \to X_k\) 是有限平展态射。故 \(X_w\) 局部诺特（《空间的态射》引理 04ZK）。态射 \(X_w \to X_v\) 是满、仿射、平坦的，因为它是满、仿射、平坦态射 \(w \to v\) 的基变换。于是 \(X_w\) 局部诺特蕴含 \(X_v\) 局部诺特。为看出这一点，取满平展态射 \(U \to X\)，再利用 \(U_w \to U_v\) 满、仿射且平坦。在概形 \(U_v\) 上仿射局部地工作，由《代数》引理

033E 可得 \(U_w\) 局部诺特。

最后，只需在有表示 \(y\) 的单态射 \(\Spec(k_0) \to Y\) 时证明 (3) 蕴含 (4)。此时 \(\Spec(k) \to Y\) 分解为 \(\Spec(k) \to \Spec(k_0) \to Y\)。上述论证于是表明，\(X_k\) 局部诺特

蕴含 \(X_{k_0}\) 局部诺特。

定义

设 \(S\) 为概形，\(f : X \to Y\) 为 \(S\) 上代数空间间的态射，且 \(y \in |Y|\)。若引理 0CUW 的等价条件 (1)、(2)、(3) 成立，则称 \(f\) 在 \(y\) 上的纤维局部诺特。若这对每个 \(y \in |Y|\) 都成立，则称 \(f\) 的各纤维局部诺特。

当然，保证纤维局部诺特的通常方法是假设该态射局部有限型。

引理

设 \(S\) 为概形，\(f : X \to Y\) 为 \(S\) 上代数空间间的态射。若 \(f\) 局部有限型，则 \(f\) 的各纤维局部诺特。

证明

这由《空间的态射》引理 04ZK 以及域的谱为诺特概形这一事实得出。

引理

设 \(S\) 为概形，\(f : X \to Y\) 为 \(S\) 上代数空间间的态射。设 \(x \in |X|\) 且 \(y = f(x) \in |Y|\)，并设 \(\mathcal{F}\) 为拟凝聚 \(\mathcal{O}_X\)-模。考虑交换图 \[\xymatrix{ X \ar[d] & X \times_Y V \ar[d] \ar[l] & X_v \ar[d] \ar[l] \\ Y & V \ar[l] & v \ar[l] } \quad \xymatrix{ X \ar[d] & U \ar[d] \ar[l] & U_v \ar[d] \ar[l] \\ Y & V \ar[l] & v \ar[l] } \quad \xymatrix{ x \ar@{|->}[d] & x' \ar@{|->}[d] \ar@{|->}[l] & u \ar@{|->}[ld] \ar@{|->}[l] \\ y & v \ar@{|->}[l] }\] 其中 \(V\) 和 \(U\) 是概形，\(V \to Y\) 与 \(U \to X \times_Y V\) 平展，而 \(v \in V\)、\(x' \in |X_v|\)、\(u \in U\) 是按最后一个图相关联的点。

用 \(\mathcal{F}|_{X_v}\) 和 \(\mathcal{F}|_{U_v}\) 表示 \(\mathcal{F}\) 的拉回。下列条件等价：

对某组如上的 \(V, v, x'\)，点 \(x'\) 是 \(\mathcal{F}|_{X_v}\) 的弱伴随点；

对每组如上的 \(V \to Y, v, x'\)，点 \(x'\) 是 \(\mathcal{F}|_{X_v}\) 的弱伴随点；

对某组如上的 \(U, V, u, v\)，点 \(u\) 是 \(\mathcal{F}|_{U_v}\) 的弱伴随点；

对每组如上的 \(U, V, u, v\)，点 \(u\) 是 \(\mathcal{F}|_{U_v}\) 的弱伴随点；

对某个域 \(k\)、某个表示 \(y\) 的态射 \(\Spec(k) \to Y\)，以及某个映到 \(x\) 的 \(t \in |X_k|\)，点 \(t\) 是 \(\mathcal{F}|_{X_k}\) 的弱伴随点。

若存在域 \(k_0\) 以及表示 \(y\) 的单态射 \(\Spec(k_0) \to Y\)，则上述条件还等价于：

\(x_0\) 是 \(\mathcal{F}|_{X_{k_0}}\) 的弱伴随点，其中 \(x_0 \in |X_{k_0}|\) 是映到 \(x\) 的唯一点。

若 \(f\) 在 \(y\) 上的纤维局部诺特，则在条件 (1)、(2)、(3)、(4)、(6) 中，可以用“伴随”代替“弱伴随”。

证明

注意，给定引理中如上的 \(V, v, x'\)，可以找到 \(U \to X \times_Y V\) 和映到 \(x'\) 的 \(u \in U\)，于是态射 \(U_v \to X_v\) 平展。因此，(1) 与 (3) 等价以及 (2) 与 (4) 等价都是显然的；其中每个条件都蕴含 (5)。我们将证明 (5) 蕴含 (2)。设给定 \(V, v, x'\)，以及

\(\Spec(k) \to X\) 和 \(t \in |X_k|\)，使得点 \(t\) 是 \(\mathcal{F}|_{X_k}\) 的弱伴随点。可以取一点 \(w \in v \times_Y \Spec(k)\)。于是得到态射 \[X_v \longleftarrow X_w \longrightarrow X_k\] 由于 \(V \to Y\) 平展，且可将 \(w\) 视为 \(V \times_Y \Spec(k)\) 的一点，故 \(\kappa(w)/k\) 是有限可分域扩张（《态射》引理 02GL）。因此，作为 \(w \to \Spec(k)\) 的基变换，\(X_w \to X_k\) 是有限平展态射。于是由引理 0CUU，\(X_w\) 中位于 \(t\) 上方的任一点 \(x''\) 都是 \(\mathcal{F}|_{X_w}\) 的弱伴随点。可以选取映到 \(x'\) 的 \(x''\)（《空间的性质》引理 03H4）。于是引理 0CUS 蕴含 \(x'\) 是 \(\mathcal{F}|_{X_v}\) 的弱伴随点。

为完成证明，只需说明：若给定 (6) 中的 \(\Spec(k_0) \to Y\)，则等价条件 (1)–(5) 蕴含 (6)。此时，(5) 中的态射 \(\Spec(k) \to Y\) 唯一分解为 \(\Spec(k) \to \Spec(k_0) \to Y\)。于是 \(x_0\) 是 \(t\) 在态射 \(X_k \to X_{k_0}\) 下的像。因此，上述同一引理表明 (6) 成立。

定义

设 \(S\) 为概形，\(f : X \to Y\) 为 \(S\) 上代数空间间的态射， \(\mathcal{F}\) 为拟凝聚 \(\mathcal{O}_X\)-模。\(\mathcal{F}\) 在 \(X\) 中相对于 \(Y\) 的相对弱伴随点集是集合 \(\text{WeakAss}_{X/Y}(\mathcal{F}) \subset |X|\)，它由满足引理 0CUZ 中等价条件的那些 \(x \in |X|\) 组成。若 \(f\) 的各纤维局部诺特（定义 0CUX），则使用记号 \(\text{Ass}_{X/Y}(\mathcal{F})\)。

用这个记号，可以表述若干已对概形证明的结果。

引理

设 \(S\) 为概形，\(f : X \to Y\) 为 \(S\) 上代数空间间的态射， \(\mathcal{F}\) 为拟凝聚 \(\mathcal{O}_X\)-模，而 \(\mathcal{G}\) 为拟凝聚 \(\mathcal{O}_Y\)-模。假设

\(\mathcal{F}\) 在 \(Y\) 上平坦；

\(X\) 和 \(Y\) 局部诺特；且

\(f\) 的各纤维局部诺特。

则 \[\text{Ass}_X(\mathcal{F} \otimes_{\mathcal{O}_X} f^*\mathcal{G}) = \{x \in \text{Ass}_{X/Y}(\mathcal{F})\text{ 使得 } f(x) \in \text{Ass}_Y(\mathcal{G}) \}\]

证明

经平展局部化，这立即由概形情形的结果得出；参见《除子》引理 05DB。概形情形的结果更一般，仅仅是因为我们没有为非诺特代数空间定义伴随点（因此，为了使本结果甚至能够表述，必须假设 \(X\) 以及 \(X \to Y\) 的各纤维局部诺特）。

引理

设 \(S\) 为概形。设 \[\xymatrix{ X' \ar[d]_{f'} \ar[r]_{g'} & X \ar[d]^f \\ Y' \ar[r]^g & Y }\] 为 \(S\) 上代数空间的笛卡尔图。设 \(\mathcal{F}\) 为拟凝聚 \(\mathcal{O}_X\)-模，并置 \(\mathcal{F}' = (g')^*\mathcal{F}\)。若 \(f\) 局部有限型，则

\(x' \in \text{Ass}_{X'/Y'}(\mathcal{F}') \Rightarrow g'(x') \in \text{Ass}_{X/Y}(\mathcal{F})\)；

若 \(x \in \text{Ass}_{X/Y}(\mathcal{F})\)，则给定满足 \(f(x) = g(y')\) 的 \(y' \in |Y'|\)，存在 \(x' \in \text{Ass}_{X'/Y'}(\mathcal{F}')\)，使得 \(g'(x') = x\) 且 \(f'(x') = y'\)。

证明

经平展局部化，这由概形的情形得出。我们完整写出细节。取概形 \(V\) 以及满平展态射 \(V \to Y\)。取概形 \(U\) 以及满平展态射 \(U \to V \times_Y X\)。取概形 \(V'\) 以及满平展态射 \(V' \to V \times_Y Y'\)。则 \(U' = V' \times_V U\) 是概形，并且态射 \(U' \to X'\) 满且平展。

(1) 的证明。取映到 \(x'\) 的 \(u' \in U'\)。

用 \(v' \in V'\) 表示 \(u'\) 的像。按定义， \(x' \in \text{Ass}_{X'/Y'}(\mathcal{F}')\) 等价于 \(u' \in \text{Ass}(\mathcal{F}|_{U'_{v'}})\)（因为 \(U'_{v'}\) 局部诺特，所以写 \(\text{Ass}\) 而不是 \(\text{WeakAss}\) 是有意义的）。应用《除子》引理 05DC 可见，\(u'\) 的像 \(u \in U\) 属于 \(\text{Ass}(\mathcal{F}|_{U_v})\)，其中 \(v \in V\) 是 \(u\) 的像。这又意味着 \(g'(x') \in \text{Ass}_{X/Y}(\mathcal{F})\)。

(2) 的证明。取映到 \(x\) 的 \(u \in U\)。

用 \(v \in V\) 表示 \(u\) 的像。按定义， \(x \in \text{Ass}_{X/Y}(\mathcal{F})\) 等价于 \(u \in \text{Ass}(\mathcal{F}|_{U_v})\)。取一点 \(v' \in V'\)，它映到 \(y' \in |Y'|\) 及 \(v \in V\)（这由《空间的性质》引理 03H4 可行）。令 \(t \in \Spec(\kappa(v') \otimes_{\kappa(v)} \kappa(u))\) 为某个不可约分支的一般点，并令 \(u' \in U'\) 为 \(t\) 的像。应用《除子》引理 05DC 可见 \(u' \in \text{Ass}(\mathcal{F}'|_{U'_{v'}})\)。这又意味着 \(x' \in \text{Ass}_{X'/Y'}(\mathcal{F}')\)，其中 \(x' \in |X'|\) 是 \(u'\) 的像。

引理

采用引理 0CV2 的记号与假设。假设 \(g\) 局部拟有限，或更一般地，假设对每个 \(y' \in |Y'|\)，\(y'/g(y')\) 的超越次数为 \(0\)。则 \(\text{Ass}_{X'/Y'}(\mathcal{F}')\) 是 \(\text{Ass}_{X/Y}(\mathcal{F})\) 的逆像。

证明

点在其像上的超越次数定义见《空间的态射》定义 04NM。设 \(x' \in |X'|\) 的像为 \(x \in |X|\)。取概形 \(V\) 以及满平展态射 \(V \to Y\)。取概形 \(U\) 以及满平展态射 \(U \to V \times_Y X\)。取概形 \(V'\) 以及满平展态射 \(V' \to V \times_Y Y'\)。则 \(U' = V' \times_V U\) 是概形，并且态射 \(U' \to X'\) 满且平展。取映到 \(x\) 的 \(u \in U\)。

用 \(v \in V\) 表示 \(u\) 的像。按定义， \(x \in \text{Ass}_{X/Y}(\mathcal{F})\) 等价于 \(u \in \text{Ass}(\mathcal{F}|_{U_v})\)。取一点 \(u' \in U'\)，它映到 \(x' \in |X'|\) 及 \(u \in U\)（这由《空间的性质》引理 03H4 可行）。令 \(v' \in V'\) 为 \(u'\) 的像。按定义，\(x' \in \text{Ass}_{X'/Y'}(\mathcal{F}')\) 等价于 \(u' \in \text{Ass}(\mathcal{F}'|_{U'_{v'}})\)。现在，将《除子》注记 05KL 中的讨论应用于 \(u' \in \Spec(\kappa(v') \otimes_{\kappa(v)} \kappa(u))\)，即得本引理。

引理

设 \(S\) 为概形，\(f : X \to Y\) 为 \(S\) 上代数空间间的态射， \(i : Z \to X\) 为有限态射，而 \(\mathcal{G}\) 为拟凝聚 \(\mathcal{O}_Z\)-模。则 \(\text{WeakAss}_{X/Y}(i_*\mathcal{G}) = i(\text{WeakAss}_{Z/Y}(\mathcal{G}))\)。

证明

经平展局部化，这由概形情形（《除子》引理 0CUD）得出。略去细节。

引理

设 \(Y\) 为概形，\(X\) 为 \(Y\) 上有限表示的代数空间，\(\mathcal{F}\) 为有限表示的拟凝聚 \(\mathcal{O}_X\)-模。设 \(U \subset X\) 是开子空间，并且 \(U \to Y\) 拟紧。则集合 \[E = \{y \in Y \mid \text{Ass}_{X_y}(\mathcal{F}_y) \subset |U_y|\}\] 在 \(Y\) 中局部可构造。

证明

注意，由于 \(Y\) 是概形，取纤维 \(X_y = \Spec(\kappa(y)) \times_Y X\) 是有意义的。（此外，按我们的定义，集合 \(\text{Ass}_{X_y}(\mathcal{F}_y)\) 恰为 \(\text{Ass}_{X/Y}(\mathcal{F}) \to Y\) 在 \(y\) 上的纤维，但这里不需要这一点。）问题在 \(Y\) 上是局部的；事实上，只需在 \(Y\) 仿射时证明 \(E\) 可构造。在这种情形，\(X\) 拟紧。取仿射概形 \(W\) 以及满平展态射 \(\varphi : W \to X\)。则对所有 \(y \in Y\)， \(\text{Ass}_{X_y}(\mathcal{F}_y)\) 是 \(\text{Ass}_{W_y}(\varphi^*\mathcal{F}_y)\) 的像。因此，本引理由开集 \(\varphi^{-1}(U) \subset W\) 与态射 \(W \to Y\) 的概形情形得出。概形情形就是《态射的更多内容》引理 05KR。

Fitting 理想

本节继续《除子》第 0C3C 节中的讨论。设 \(S\) 为概形，\(X\) 为 \(S\) 上的代数空间，而 \(\mathcal{F}\) 为有限型拟凝聚 \(\mathcal{O}_X\)-模。在这种情形，可以构造 Fitting 理想 \[0 = \text{Fit}_{-1}(\mathcal{F}) \subset \text{Fit}_0(\mathcal{F}) \subset \text{Fit}_1(\mathcal{F}) \subset \ldots \subset \mathcal{O}_X\] ，即由下述性质刻画的拟凝聚理想层序列：

对每个平展于 \(X\) 的仿射概形 \(U = \Spec(A)\)，若 \(\mathcal{F}|_U\) 对应于 \(A\)-模 \(M\)，则 \(\text{Fit}_i(\mathcal{F})|_U\) 对应于理想 \(\text{Fit}_i(M) \subset A\)。这是良定义的拟凝聚理想层，因为若 \(A \to B\) 是平展环同态，则由《代数的更多内容》引理 07ZA 的 (3)，\(M \otimes_A B\) 作为 \(B\)-模的第 \(i\) 个 Fitting 理想等于 \(\text{Fit}_i(M) B\)。更准确地说（或许），拟凝聚理想层

\(\text{Fit}_0(\mathcal{O}_X)\) 的存在性例如可由《空间的性质》引理 03LZ 中对拟凝聚层的描述，以及《除子》引理 0C3D 给出的拉回性质得到。

以这种方式构造 Fitting 理想的优点是，可以立即看出 Fitting 理想的形成与平展局部化交换，因而 Fitting 理想的许多性质立即归约为概形情形的对应性质。我们将经常使用《空间的性质》第 05VR 节中的讨论，在概形上的拟凝聚层与代数空间上的拟凝聚层的性质之间作转化。

引理

设 \(S\) 为概形，\(f : X \to Y\) 为 \(S\) 上代数空间间的态射， \(\mathcal{F}\) 为有限型拟凝聚 \(\mathcal{O}_Y\)-模。则 \(f^{-1}\text{Fit}_i(\mathcal{F}) \cdot \mathcal{O}_X = \text{Fit}_i(f^*\mathcal{F})\)。

证明

经平展局部化，归约为《除子》引理 0C3D。

引理

设 \(S\) 为概形，\(X\) 为 \(S\) 上的代数空间，\(\mathcal{F}\) 为有限表示 \(\mathcal{O}_X\)-模。则 \(\text{Fit}_r(\mathcal{F})\) 是有限型拟凝聚理想。

证明

经平展局部化，归约为《除子》引理 0C3E。

引理

设 \(S\) 为概形，\(X\) 为 \(S\) 上的代数空间，而 \(\mathcal{F}\) 为有限型拟凝聚 \(\mathcal{O}_X\)-模。设 \(Z_0 \subset X\) 为由 \(\text{Fit}_0(\mathcal{F})\) 切出的闭子空间，\(Z \subset X\) 为 \(\mathcal{F}\) 的概形论支撑。则

作为闭子空间，\(Z \subset Z_0 \subset X\)；

作为 \(|X|\) 的闭子集， \(|Z| = |Z_0| = \text{Supp}(\mathcal{F})\)；

存在有限型拟凝聚 \(\mathcal{O}_{Z_0}\)-模 \(\mathcal{G}_0\)，使得 \[(Z_0 \to X)_*\mathcal{G}_0 = \mathcal{F}.\]

证明

回忆 \(Z\) 的形成与平展局部化交换；参见《空间的态射》定义 07U1（其中用《空间的态射》引理 07U0 定义 \(Z\)）。因此 (1) 和 (2) 由概形情形得出；参见《除子》引理 0CYX。为得到 (3) 中的 \(\mathcal{G}_0\)，可使用《空间的态射》引理 07U0 中 \(Z\) 上的 \(\mathcal{G}\)，并置 \(\mathcal{G}_0 = (Z \to Z_0)_*\mathcal{G}\)。

引理

设 \(S\) 为概形，\(X\) 为 \(S\) 上的代数空间，\(\mathcal{F}\) 为有限型拟凝聚 \(\mathcal{O}_X\)-模，且 \(x \in |X|\)。则 \(\mathcal{F}\) 在 \(x\) 的某个平展邻域中可由 \(r\) 个元素生成，当且仅当 \(\text{Fit}_r(\mathcal{F})_{\overline{x}} = \mathcal{O}_{X, \overline{x}}\)。

证明

经平展局部化，归约为《除子》引理 0C3F（还要使用《空间的性质》第 04KE 节中对局部环的描述，以及局部环的严格亨泽尔化是忠实平坦的这一事实，以看出严格亨泽尔化上的等式等价于局部环上的等式）。

引理

设 \(S\) 为概形，\(X\) 为 \(S\) 上的代数空间，\(\mathcal{F}\) 为有限型拟凝聚 \(\mathcal{O}_X\)-模。设 \(r \geq 0\)。下列条件等价：

\(\mathcal{F}\) 是秩为 \(r\) 的有限局部自由模；

\(\text{Fit}_{r - 1}(\mathcal{F}) = 0\) 且 \(\text{Fit}_r(\mathcal{F}) = \mathcal{O}_X\)；且

对 \(k < r\) 有 \(\text{Fit}_k(\mathcal{F}) = 0\)，而对 \(k \geq r\) 有 \(\text{Fit}_k(\mathcal{F}) = \mathcal{O}_X\)。

证明

经平展局部化，归约为《除子》引理 0C3G。

引理

设 \(S\) 为概形，\(X\) 为 \(S\) 上的代数空间，\(\mathcal{F}\) 为有限型拟凝聚 \(\mathcal{O}_X\)-模。由 \(\mathcal{F}\) 的 Fitting 理想定义的闭子空间

\[X = Z_{-1} \supset Z_0 \supset Z_1 \supset Z_2 \ldots\] 具有下列性质：

交集 \(\bigcap Z_r\) 为空。

由下述规则定义的函子 \((\Sch/X)^{opp} \to \textit{Sets}\) \[T \longmapsto \left\{ \begin{matrix} \{*\} & \text{若 }\mathcal{F}_T\text{ 局部可由 } \leq r\text{ 个截面生成} \\ \emptyset & \text{否则} \end{matrix} \right.\] 可由开子空间 \(X \setminus Z_r\) 表示。

由下述规则定义的函子 \(F_r : (\Sch/X)^{opp} \to \textit{Sets}\)

\[T \longmapsto \left\{ \begin{matrix} \{*\} & \text{若 }\mathcal{F}_T\text{ 是局部自由且秩为 }r\\ \emptyset & \text{否则} \end{matrix} \right.\] 可由 \(X\) 的局部闭子空间 \(Z_{r - 1} \setminus Z_r\) 表示。

若 \(\mathcal{F}\) 有限表示，则 \(Z_r \to X\)、\(X \setminus Z_r \to X\) 及 \(Z_{r - 1} \setminus Z_r \to X\) 都是有限表示态射。

证明

经平展局部化，归约为《除子》引理 05P8。

引理

设 \(S\) 为概形，\(X\) 为 \(S\) 上的代数空间，\(\mathcal{F}\) 为有限表示 \(\mathcal{O}_X\)-模。设

\(X = Z_{-1} \subset Z_0 \subset Z_1 \subset \ldots\) 如引理 0CZ9 中所述。置 \(X_r = Z_{r - 1} \setminus Z_r\)。则 \(X' = \coprod_{r \geq 0} X_r\) 表示函子

\[F_{flat} : \Sch/X \longrightarrow \textit{Sets},\quad\quad T \longmapsto \left\{ \begin{matrix} \{*\} & \text{若 }\mathcal{F}_T\text{ 平坦于 }T\\ \emptyset & \text{否则} \end{matrix} \right.\] 。此外，\(\mathcal{F}|_{X_r}\) 是秩为 \(r\) 的局部自由模，且态射 \(X_r \to X\) 与 \(X' \to X\) 都是有限表示态射。

证明

经平展局部化，归约为《除子》引理 05P9。

有效 Cartier 除子

出于某种原因，先于其他一切概念定义有效 Cartier 除子的概念似乎较为方便。注意，在《空间的态射》第 03MA 节中，我们讨论了闭子空间与拟凝聚理想层之间的对应。此外，在《空间的性质》第 05VR 节中，我们讨论了拟凝聚模的性质，特别是“局部由 \(1\) 个元素生成”这一性质。这些参考结果表明，下面的定义与概形情形的定义相容。

定义

设 \(S\) 为概形，\(X\) 为 \(S\) 上的代数空间。

\(X\) 的一个局部主闭子空间是指其理想层局部由 \(1\) 个元素生成的闭子空间。

\(X\) 上的一个有效 Cartier 除子是指闭子空间 \(D \subset X\)，使得理想层 \(\mathcal{I}_D \subset \mathcal{O}_X\) 是可逆 \(\mathcal{O}_X\)-模。

因此，有效 Cartier 除子是局部主闭子空间，但逆命题并非总成立。有效 Cartier 除子是在最强意义下具有纯余维 \(1\) 的闭子空间；也就是说，它们局部由一个非零因子切出。特别地，它们无处稠密。

引理

设 \(S\) 为概形，\(X\) 为 \(S\) 上的代数空间，并设 \(D \subset X\) 为闭子空间。下列条件等价：

子空间 \(D\) 是 \(X\) 上的有效 Cartier 除子。

存在某个概形 \(U\) 及满平展态射 \(U \to X\)，使得逆像 \(D \times_X U\) 是 \(U\) 上的有效 Cartier 除子。

对任意概形 \(U\) 及任意平展态射 \(U \to X\)，逆像 \(D \times_X U\) 都是 \(U\) 上的有效 Cartier 除子。

对每个 \(x \in |D|\)，存在带点代数空间的平展态射 \((U, u) \to (X, x)\)，使得 \(U = \Spec(A)\) 且 \(D \times_X U = \Spec(A/(f))\)，其中 \(f \in A\) 不是零因子。

证明

(1)–(3) 的等价性由定义 083B 及其前面的参考结果立即得到。假设 (1) 成立，并令 \(x \in |D|\)。选取概形 \(W\) 及满平展态射 \(W \to X\)。选取映到 \(x\) 的点 \(w \in D \times_X W\)。由 (3)， \(D \times_X W\) 是 \(W\) 上的有效 Cartier 除子。于是，按照《除子》引理 01WS，在 \(W\) 中选取 \(w\) 的一个仿射开邻域，即可得到仿射平展邻域 \(U\)。

假设 (4) 成立。由《除子》引理 01WS 可知， \(\mathcal{I}_D|_U\) 可逆。所有这样的 \(U\) 与 \(X \setminus D\) 合在一起给出 \(X\) 的一个平展覆盖，故 \(\mathcal{I}_D\) 是可逆 \(\mathcal{O}_X\)-模。

引理

设 \(S\) 为概形，\(X\) 为 \(S\) 上的代数空间。设 \(Z \subset X\) 为局部主闭子空间，并令 \(U = X \setminus Z\)。则 \(U \to X\) 是仿射态射。

证明

该问题在 \(X\) 上是平展局部的，见《空间的态射》引理 03WG 和引理 083C。因此，本结论归约为概形情形，即《除子》引理 07ZT。

引理

设 \(S\) 为概形，\(X\) 为 \(S\) 上的代数空间。设 \(D \subset X\) 为有效 Cartier 除子，并令 \(U = X \setminus D\)。则 \(U \to X\) 是仿射态射，且 \(U\) 在 \(X\) 中是概形论稠密的。

证明

仿射性由引理 083D 给出。由《空间的态射》定义 0834，稠密性问题在 \(X\) 上是平展局部的。因此，本结论归约为概形情形，即《除子》引理 07ZU。

引理

设 \(S\) 为概形，\(X\) 为 \(S\) 上的代数空间。设 \(D \subset X\) 为有效 Cartier 除子，并令 \(x \in |D|\)。若 \(\dim_x(X) < \infty\)，则 \(\dim_x(D) < \dim_x(X)\)。

证明

有效 Cartier 除子的定义以及代数空间在一点处的维数之定义（《空间的性质》定义 04N5）都是平展局部的。因此，本引理归约为概形情形，即《除子》引理 056N。

定义

设 \(S\) 为概形，\(X\) 为 \(S\) 上的代数空间。给定 \(X\) 上的有效 Cartier 除子 \(D_1\)、\(D_2\)，我们令 \(D = D_1 + D_2\) 为 \(X\) 的闭子空间，它对应于拟凝聚理想层

\(\mathcal{I}_{D_1}\mathcal{I}_{D_2} \subset \mathcal{O}_S\)。称它为有效 Cartier 除子 \(D_1\) 与 \(D_2\) 的和。

显然，给定 \(X\) 上有限多个有效 Cartier 除子 \(D_i\) 及非负整数 \(n_i\)，我们可以定义和 \(\sum n_iD_i\)。

引理

两个有效 Cartier 除子的和仍是有效 Cartier 除子。

证明

略。经平展局部化，这归约为如下简单的代数事实：若 \(f_1, f_2 \in A\) 是环 \(A\) 中的非零因子，则 \(f_1f_2 \in A\) 也是非零因子。

引理

设 \(S\) 为概形，\(X\) 为 \(S\) 上的代数空间。设 \(Z, Y\) 是 \(X\) 的两个闭子空间，其理想层分别为 \(\mathcal{I}\) 和 \(\mathcal{J}\)。若 \(\mathcal{I}\mathcal{J}\) 定义了有效 Cartier 除子 \(D \subset X\)，则 \(Z\) 与 \(Y\) 都是有效 Cartier 除子，并且 \(D = Z + Y\)。

证明

由引理 083C，这归约为概形情形，即《除子》引理 07ZV。

回忆一下，我们已在《空间的态射》定义 083Q 中定义了闭子空间在任意代数空间态射下的逆像。

引理

设 \(S\) 为概形，\(f : X' \to X\) 为 \(S\) 上代数空间的态射，并设 \(Z \subset X\) 为局部主闭子空间。则逆像 \(f^{-1}(Z)\) 是 \(X'\) 的局部主闭子空间。

证明

略。

定义

设 \(S\) 为概形，\(f : X' \to X\) 为 \(S\) 上代数空间的态射，并设 \(D \subset X\) 为有效 Cartier 除子。若闭子空间 \(f^{-1}(D) \subset X'\) 是有效 Cartier 除子，则称\(D\) 沿 \(f\) 的拉回有定义。在这种情形下，将它记作 \(f^*D\) 或 \(f^{-1}(D)\)，并称之为该有效 Cartier 除子的拉回。

在实际应用中，\(f^{-1}(D)\) 是有效 Cartier 除子这一条件经常成立。

引理

设 \(S\) 为概形，\(f : X \to Y\) 为 \(S\) 上代数空间的态射，并设 \(D \subset Y\) 为有效 Cartier 除子。在下列每一种情形中，\(D\) 沿 \(f\) 的拉回都有定义：

对 \(X\) 的任意弱伴随点 \(x\)，均有 \(f(x) \not \in |D|\)；

\(f\) 是平坦的；以及

按需在此补充。

证明

经平展局部化，本引理归约为概形情形，见《除子》引理 02OO。

引理

设 \(S\) 为概形，\(f : X' \to X\) 为 \(S\) 上代数空间的态射，并设 \(D_1\)、 \(D_2\) 为 \(X\) 上的有效 Cartier 除子。若 \(D_1\) 与 \(D_2\) 的拉回都有定义，则 \(D = D_1 + D_2\) 的拉回也有定义，并且 \(f^*D = f^*D_1 + f^*D_2\)。

证明

略。

有效 Cartier 除子与可逆层

由于有效 Cartier 除子具有可逆理想层（定义 083B），下面的定义是有意义的。

定义

设 \(S\) 为概形，\(X\) 为 \(S\) 上的代数空间，并设 \(D \subset X\) 为有效 Cartier 除子，其理想层为 \(\mathcal{I}_D\)。

与 \(D\) 相伴的可逆层 \(\mathcal{O}_X(D)\) 定义为 \[\mathcal{O}_X(D) = \SheafHom_{\mathcal{O}_X}(\mathcal{I}_D, \mathcal{O}_X) = \mathcal{I}_D^{\otimes -1}.\]

典范截面通常记作 \(1\) 或 \(1_D\)，它是 \(\mathcal{O}_X(D)\) 的整体截面，对应于包含映射 \(\mathcal{I}_D \to \mathcal{O}_X\)。

记 \(\mathcal{O}_X(-D) = \mathcal{O}_X(D)^{\otimes -1} = \mathcal{I}_D\).

给定另一个有效 Cartier 除子 \(D' \subset X\)，定义 \(\mathcal{O}_X(D - D') = \mathcal{O}_X(D) \otimes_{\mathcal{O}_X} \mathcal{O}_X(-D')\).

作几点说明。下文将看到，赋值 \(D \mapsto \mathcal{O}_X(D)\) 把有效 Cartier 除子的加法（定义 083U）变为 \(X\) 的 Picard 群中的加法（引理 0842）。然而，上述定义中的表达式 \(D - D'\) 本身没有任何几何意义。更精确地，可以把 \(X\) 上所有有效 Cartier 除子构成的集合看成交换幺半群 \(\text{EffCart}(X)\)，其零元为空的有效 Cartier 除子。于是，赋值 \((D, D') \mapsto \mathcal{O}_X(D - D')\) 定义了群同态 \[\text{EffCart}(X)^{gp} \longrightarrow \Pic(X)\] ，其中左端是 \(\text{EffCart}(X)\) 的群化。换言之，在写 \(\mathcal{O}_X(D - D')\) 时，可以把 \(D - D'\) 看成 \(\text{EffCart}(X)^{gp}\) 的一个元素。

引理

设 \(S\) 为概形，\(X\) 为 \(S\) 上的代数空间，并设 \(D \subset X\) 为有效 Cartier 除子。则余法层满足

\(\mathcal{C}_{D/X} = \mathcal{I}_D|D = \mathcal{O}_X(D)^{\otimes -1}|_D\)。

证明

略。

引理

设 \(S\) 为概形，\(X\) 为 \(S\) 上的代数空间。设 \(D_1\)、\(D_2\) 为 \(X\) 上的有效 Cartier 除子，并令 \(D = D_1 + D_2\)。则存在唯一的同构 \[\mathcal{O}_X(D_1) \otimes_{\mathcal{O}_X} \mathcal{O}_X(D_2) \longrightarrow \mathcal{O}_X(D)\] ，它把 \(1_{D_1} \otimes 1_{D_2}\) 映到 \(1_D\)。

证明

略。

定义

设 \(S\) 为概形，\(X\) 为 \(S\) 上的代数空间，并设 \(\mathcal{L}\) 为 \(X\) 上的可逆层。若映射 \(\mathcal{O}_X \to \mathcal{L}\)，\(f \mapsto fs\) 是单射，则称整体截面 \(s \in \Gamma(X, \mathcal{L})\) 为正则截面。

引理

设 \(S\) 为概形，\(X\) 为 \(S\) 上的代数空间，并设 \(f \in \Gamma(X, \mathcal{O}_X)\)。下列条件等价：

\(f\) 是正则截面；

对任意 \(x \in X\)，像 \(f \in \mathcal{O}_{X, \overline{x}}\) 都不是零因子；

对任意平展于 \(X\) 的仿射概形 \(U = \Spec(A)\)，限制 \(f|_U\) 都是 \(A\) 中的非零因子；以及

存在概形 \(U\) 及满平展态射 \(U \to X\)，使得 \(f|_U\) 是 \(\mathcal{O}_U\) 的正则截面。

证明

略。

注意，可逆 \(\mathcal{O}_X\)-模 \(\mathcal{L}\) 的整体截面 \(s\) 可以看作 \(\mathcal{O}_X\)-模映射 \(s : \mathcal{O}_X \to \mathcal{L}\)。因此，其对偶是映射 \(s : \mathcal{L}^{\otimes -1} \to \mathcal{O}_X\)。（关于对偶可逆层，见《位点上的模》引理 040A。）

定义

设 \(S\) 为概形，\(X\) 为 \(S\) 上的代数空间。设 \(\mathcal{L}\) 为可逆层，并设 \(s \in \Gamma(X, \mathcal{L})\)。\(s\) 的零点概形是闭子空间 \(Z(s) \subset X\)，它由拟凝聚理想层 \(\mathcal{I} \subset \mathcal{O}_X\) 定义；该理想层是映射 \(s : \mathcal{L}^{\otimes -1} \to \mathcal{O}_X\) 的像。

引理

设 \(S\) 为概形，\(X\) 为 \(S\) 上的代数空间。设 \(\mathcal{L}\) 为可逆 \(\mathcal{O}_X\)-模，并设 \(s \in \Gamma(X, \mathcal{L})\)。

考虑满足下述条件的闭浸入 \(i : Z \to X\)：

\(i^*s \in \Gamma(Z, i^*\mathcal{L}))\) 为零；并按包含关系对这些闭浸入排序。零点概形 \(Z(s)\) 是这个偏序集的最大元。

对任意 \(S\) 上代数空间的态射 \(f : Y \to X\)，\(f^*s = 0\) 在 \(\Gamma(Y, f^*\mathcal{L})\) 中成立，当且仅当 \(f\) 经由 \(Z(s)\) 分解。

零点概形 \(Z(s)\) 是 \(X\) 的局部主闭子空间。

零点概形 \(Z(s)\) 是 \(X\) 上的有效 Cartier 除子，当且仅当 \(s\) 是 \(\mathcal{L}\) 的正则截面。

证明

略。

引理

设 \(S\) 为概形，\(X\) 为 \(S\) 上的代数空间。

若 \(D \subset X\) 是有效 Cartier 除子，则 \(\mathcal{O}_X(D)\) 的典范截面 \(1_D\) 是正则的。

反之，若 \(s\) 是可逆层 \(\mathcal{L}\) 的正则截面，则存在唯一的有效 Cartier 除子 \(D = Z(s) \subset X\) 以及唯一的同构 \(\mathcal{O}_X(D) \to \mathcal{L}\)，该同构把 \(1_D\) 映到 \(s\)。

构造 \(D \mapsto (\mathcal{O}_X(D), 1_D)\) 与 \((\mathcal{L}, s) \mapsto Z(s)\) 给出下列集合之间的互逆映射： \[\left\{ \begin{matrix} \text{有效 Cartier 除子，其所在空间为 }X \end{matrix} \right\} \leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} \text{二元组 }(\mathcal{L}, s)\text{，其中所含对象为一个可逆}\\ \mathcal{O}_X\text{-模和一个正则整体截面} \end{matrix} \right\}\]

证明

略。

诺特空间上的有效 Cartier 除子

在局部诺特情形下，关于有效 Cartier 除子和正则截面的大部分讨论都会有所简化。

引理

设 \(S\) 为概形，\(X\) 为 \(S\) 上的局部诺特代数空间。设 \(D \subset X\) 为有效 Cartier 除子。若 \(X\) 满足 \((S_k)\)，则 \(D\) 满足 \((S_{k - 1})\)。

证明

由我们对代数空间的性质 \((S_k)\) 所作的定义（《空间的性质》第 03E5 节）以及引理 083C，本结论归约为概形情形（《除子》引理 0B3R）。

引理

设 \(S\) 为概形，\(X\) 为 \(S\) 上的局部诺特正规代数空间。设 \(D \subset X\) 为有效 Cartier 除子。则 \(D\) 满足 \((S_1)\)。

证明

由我们对代数空间的正规性所作的定义（《空间的性质》第 03E5 节）以及引理 083C，本结论归约为概形情形（《除子》引理 0B3S）。

下面的引理有时可用于构造有效 Cartier 除子。

引理

设 \(S\) 为概形，\(X\) 为 \(S\) 上的正则诺特分离代数空间。设 \(U \subset X\) 为稠密仿射开子空间。则存在有效 Cartier 除子 \(D \subset X\)，使得 \(U = X \setminus D\)。

证明

我们断言，\(X \setminus U\) 上的约化诱导代数空间结构 \(D\)（《空间的性质》定义 047X）就是所求的有效 Cartier 除子。\(D\) 的构造与平展局部化可交换，见《空间的性质》引理 03IQ 的证明。取满平展态射 \(X' \to X\)，其中 \(X'\) 为仿射概形。由于 \(X\) 分离， \(U' = X' \times_X U\) 是仿射的。由于 \(|X'| \to |X|\) 是开映射，\(U'\) 在 \(X'\) 中稠密。又由于 \(D' = X' \times_X D\) 是 \(X' \setminus U'\) 上诱导的约化概形结构，由《除子》引理 0BCW 及其证明， \(D'\) 是有效 Cartier 除子。这正是所要证明的。

引理

设 \(S\) 为概形，\(X\) 为 \(S\) 上的正则诺特分离代数空间。则每个可逆 \(\mathcal{O}_X\)-模都同构于 \[\mathcal{O}_X(D - D') = \mathcal{O}_X(D) \otimes_{\mathcal{O}_X} \mathcal{O}_X(D')^{\otimes -1}\] ，其中 \(D, D'\) 是 \(X\) 上的某些有效 Cartier 除子。

证明

设 \(\mathcal{L}\) 为可逆 \(\mathcal{O}_X\)-模。选取稠密仿射开子空间 \(U \subset X\)，使得 \(\mathcal{L}|_U\) 平凡。这是可能的，因为 \(X\) 有一个为概形的稠密开子空间，见《空间的性质》命题 06NH。

将平凡化记作 \(s : \mathcal{O}_U \to \mathcal{L}|_U\)。\(U\) 的补集是一个有效 Cartier 除子 \(D\)。我们断言，对某个 \(n > 0\)，映射 \(s\) 唯一延拓为映射 \[s : \mathcal{O}_X(-nD) \longrightarrow \mathcal{L}\] 。该断言蕴含本引理，因为它表明 \(\mathcal{L} \otimes_{\mathcal{O}_X} \mathcal{O}_X(nD)\) 有一个正则整体截面，故由引理 0847，它同构于某个有效 Cartier 除子 \(D'\) 所对应的 \(\mathcal{O}_X(D')\)。为证明该断言，可以在平展局部工作。因此可设 \(X\) 为仿射诺特概形。由于 \(\mathcal{O}_X(-nD) = \mathcal{I}^n\)，其中 \(\mathcal{I} = \mathcal{O}_X(-D)\) 是 \(D\) 在 \(X\) 中的理想层，此情形由《概形的上同调》引理 01YB 得到。

下面的引理其实应当放在另一节中。

引理

设 \(R\) 为赋值环，其分式域为 \(K\)。设 \(X\) 为 \(R\) 上的代数空间，且 \(X \to \Spec(R)\) 光滑。对每个有效 Cartier 除子 \(D \subset X_K\)，都存在有效 Cartier 除子 \(D' \subset X\)，使得 \(D'_K = D\)。

证明

令 \(D' \subset X\) 为 \(D \to X_K \to X\) 的概形论像。由于该态射拟紧，\(D'\) 的形成与平坦基变换可交换，见《空间的态射》引理 089E。特别地， \(D'_K = D\)。因此可以假设 \(X\) 仿射，记 \(X = \Spec(A)\)。于是 \(X_K = \Spec(A \otimes_R K)\)，且 \(D\) 对应于理想 \(I \subset A \otimes_R K\)。我们必须证明 \(J = I \cap A\) 在 \(X\) 中切出一个有效 Cartier 除子。首先注意，\(A/J\) 在 \(R\) 上平坦（因为它是无挠 \(R\)-模，见《代数进阶》引理 0539），因而由《代数进阶》引理 053E 及《代数》引理 0519，\(J\) 是有限生成的。因此，只需证明对每个素理想 \(\mathfrak q \subset A\)，\(J_\mathfrak q \subset A_\mathfrak q\) 均由单个元素生成。令 \(\mathfrak p = R \cap \mathfrak q\)。则 \(R_\mathfrak p\) 是赋值环（《代数》引理 088Y）。另由《代数》引理 00TT， \(A_\mathfrak q/\mathfrak p A_\mathfrak q\) 是正则环。因此，可以应用《代数进阶》引理 0DLQ 得到 \(I(A_\mathfrak q \otimes_R K)\) 由单个元素 \(f \in A_\mathfrak p \otimes_R K\) 生成。清去分母后，可以假设 \(f \in A_\mathfrak q\)。令 \(\mathfrak c \subset R_\mathfrak p\) 为 \(f\) 的内容理想（见《代数进阶》定义 0ASA 及《平坦性进阶》引理 0ASX）。由于 \(R_\mathfrak p\) 是赋值环，且 \(\mathfrak c\) 有限生成（《代数进阶》引理 0ASB），存在 \(\pi \in R_\mathfrak p\) 使得 \(\mathfrak c = (\pi)\)（《代数》引理 090Q）。

把 \(f\) 替换为 \(\pi^{-1}f\) 后，有 \(f \in A_\mathfrak q\) 且 \(f \not \in \mathfrak pA_\mathfrak q\)。

断言：\(I_\mathfrak q = (f)\)；这将完成证明。为证明该断言，注意 \(f \in I_\mathfrak q\)。因而有满射 \(A_\mathfrak q/(f) \to A_\mathfrak q/I_\mathfrak q\)，它在 \(R\) 上与 \(K\) 张量后成为同构。因此，只要 \(A_\mathfrak q/(f)\) 在 \(R_\mathfrak p\) 上平坦，证明就完成了。这由《代数》引理 046Z 及我们对 \(f\) 的选择得到。

相对有效 Cartier 除子

下面的引理表明，在基上平坦的有效 Cartier 除子实际上是基上的一个“有效 Cartier 除子族”。例如，它在任意纤维上的限制都是有效 Cartier 除子。

引理

设 \(S\) 为概形，\(f : X \to Y\) 为 \(S\) 上代数空间的态射，并设 \(D \subset X\) 为闭子空间。假设

\(D\) 是有效 Cartier 除子；并且

\(D \to Y\) 是平坦态射。

则对每个概形态射 \(g : Y' \to Y\)，拉回 \((g')^{-1}D\) 都是 \(X' = Y' \times_Y X\) 上的有效 Cartier 除子，其中 \(g' : X' \to X\) 是投影。

证明

由引理 083C，成为有效 Cartier 除子这一性质是平展局部的。因此，本引理立即归约为概形情形，即《除子》引理 056Q。

这个引理促成了下面的定义。

定义

设 \(S\) 为概形，\(f : X \to Y\) 为 \(S\) 上代数空间的态射。\(X/Y\) 上的一个 相对有效 Cartier 除子是指有效 Cartier 除子 \(D \subset X\)，使得 \(D \to Y\) 是代数空间的平坦态射。

亚纯函数与截面

本节对应于《除子》第 01X1 节。请注意：

在代数空间情形下，处理这些材料甚至比在概形情形下更容易出错！

设 \(S\) 为概形，\(X\) 为 \(S\) 上的代数空间。对任意平展于 \(X\) 的概形 \(U\)，我们已经定义了集合 \(\mathcal{S}(U) \subset \mathcal{O}_X(U)\) ，它由 \(U\) 上 \(\mathcal{O}_X\) 的正则截面组成，见定义 0843。正则截面限制到平展的 \(V/U\) 上仍是正则的。因此，\(\mathcal{S} : U \mapsto \mathcal{S}(U)\) 是 \(\mathcal{O}_X\) 的一个（集合）子层。若要标明它对 \(X\) 的依赖性，有时记 \(\mathcal{S} = \mathcal{S}_X\)。此外，对每个 \(U\)，\(\mathcal{S}(U)\) 都是环 \(\mathcal{O}_X(U)\) 的乘法子集。因此，可以考虑 \(X_\etale\) 上的环预层 \[U \longmapsto \mathcal{S}(U)^{-1} \mathcal{O}_X(U),\] 及其层化，见《位点上的模》第 0EMB 节。

定义

设 \(S\) 为概形，\(X\) 为 \(S\) 上的代数空间。\(X\) 上的亚纯函数层是与上面所示预层相伴的 \(X_\etale\) 上的层 \(\mathcal{K}_X\)。\(X\) 上的一个 亚纯函数是 \(\mathcal{K}_X\) 的整体截面。

由于每个 \(\mathcal{S}(U)\) 的每个元素都是 \(\mathcal{O}_X(U)\) 中的非零因子，可见环层的自然映射 \(\mathcal{O}_X \to \mathcal{K}_X\) 是单射。此外，由层化与取茎的相容性，对 \(X\) 的任意几何点 \(\overline{x}\)，有 \[\mathcal{K}_{X, \overline{x}} = \mathcal{S}_{\overline{x}}^{-1}\mathcal{O}_{X, \overline{x}}\] 。集合 \(\mathcal{S}_{\overline{x}}\) 是 \(\mathcal{O}_{X, \overline{x}}\) 中非零因子集合的子集，但一般并不等于后者。

引理

设 \(S\) 为概形，\(X\) 为 \(S\) 上的代数空间。若 \(U\) 是平展于 \(X\) 的仿射概形，则集合 \(\mathcal{S}_X(U)\) 正是 \(\mathcal{O}_X(U)\) 中非零因子的集合。

证明

由引理 0844 得到。

接着，设 \(\mathcal{F}\) 为 \(X_\etale\) 上的 \(\mathcal{O}_X\)-模层。考虑预层 \(U \mapsto \mathcal{S}(U)^{-1}\mathcal{F}(U)\)。它的层化是 \(\mathcal{F} \otimes_{\mathcal{O}_X} \mathcal{K}_X\)，见《位点上的模》引理 0EMD。

定义

设 \(S\) 为概形，\(X\) 为 \(S\) 上的代数空间，并设 \(\mathcal{F}\) 为 \(X_\etale\) 上的 \(\mathcal{O}_X\)-模层。

用 \(\mathcal{K}_X(\mathcal{F})\) 表示如下 \(\mathcal{K}_X\)-模层：它是预层 \(U \mapsto \mathcal{S}(U)^{-1}\mathcal{F}(U)\) 的层化。等价地， \(\mathcal{K}_X(\mathcal{F}) = \mathcal{F} \otimes_{\mathcal{O}_X} \mathcal{K}_X\)（见上文）。

\(\mathcal{F}\) 的一个亚纯截面是 \(\mathcal{K}_X(\mathcal{F})\) 的整体截面。

特别地，对 \(X\) 的任意几何点 \(\overline{x}\)，有 \[\mathcal{K}_X(\mathcal{F})_{\overline{x}} = \mathcal{F}_{\overline{x}} \otimes_{\mathcal{O}_{X, \overline{x}}} \mathcal{K}_{X, \overline{x}} = \mathcal{S}_{\overline{x}}^{-1}\mathcal{F}_{\overline{x}}\] 。不过必须谨慎，因为如上所述，\(\mathcal{S}_{\overline{x}}\) 未必是平展局部环 \(\mathcal{O}_{X, \overline{x}}\) 中非零因子的集合。亚纯截面层一般不是拟凝聚模，但确实与拟凝聚模共有一些性质。

引理

设 \(S\) 为概形，\(X\) 为 \(S\) 上的代数空间。假设：

\(X\) 的每个弱伴随点都是余维 \(0\) 的点；并且

\(X\) 满足《空间的态射》引理 0BB1 中的等价条件。

则：

\(\mathcal{K}_X\) 是拟凝聚 \(\mathcal{O}_X\)-代数层；

对仿射的 \(U \in X_\etale\)，\(\mathcal{K}_X(U)\) 是 \(\mathcal{O}_X(U)\) 的全分式环；

对几何点 \(\overline{x}\)，集合 \(\mathcal{S}_{\overline{x}}\) 是 \(\mathcal{O}_{X, \overline{x}}\) 中非零因子的集合；并且

对几何点 \(\overline{x}\)，环 \(\mathcal{K}_{X, \overline{x}}\) 是 \(\mathcal{O}_{X, \overline{x}}\) 的全分式环。

证明

由引理 0844 可知，对仿射的 \(U \in X_\etale\)，\(\mathcal{S}_X(U) \subset \mathcal{O}_X(U)\) 是 \(\mathcal{O}_X(U)\) 中非零因子的集合。因此，预层 \(\mathcal{S}^{-1}\mathcal{O}_X\) 在 \(X_{affine, \etale}\) 上等于 \[U \longmapsto Q(\mathcal{O}_X(U))\] ，记号见《代数》例 02C5。注意，\(X\) 的余维 \(0\) 点对应于 \(U\) 的一般点，见《空间的性质》引理 0BAQ。因此，若 \(U = \Spec(A)\)，则环 \(A\) 只有有限多个极小素理想，并且 \(A\) 的每个弱伴随素理想都是极小的。对 \(A\) 的任意平展扩张，同样的结论成立（因为这种扩张的谱是平展于 \(X\) 的仿射概形，因而可在上一句中充当 \(A\)）。为证明我们的预层是层且拟凝聚，只需证明，当 \(A \to B\) 是平展环同态时， \[Q(A) \otimes_A B \longrightarrow Q(B)\] 是同构，见《空间的性质》引理 03LZ。（为定义上述箭头，注意 \(A \to B\) 平坦，故它把非零因子映为非零因子。）由《代数》引理 02LX 及 05C3

，有 \[Q(A) = \prod\nolimits_{\mathfrak p \subset A\text{ 为极小素理想}} A_\mathfrak p \quad\text{且}\quad Q(B) = \prod\nolimits_{\mathfrak q \subset B\text{ 为极小素理想}} B_\mathfrak q\] 。由于 \(A \to B\) 平展，\(B\) 的极小素理想恰好是位于 \(A\) 的极小素理想之上的 \(B\) 的素理想（例如由《代数进阶》引理 07QP）。由《代数》引理 06RS、 04GG (13) 及 04GJ，\(A_\mathfrak p \otimes_A B\) 是有限多个局部环的直积，这些局部环都是 \(A_\mathfrak p\) 上的有限平展代数。这显然蕴含 \(A_\mathfrak p \otimes_A B = \prod_{\mathfrak q\text{ 位于 }\mathfrak p} B_\mathfrak q\)，正如所需。

至此，我们已经知道 (1) 和 (2) 成立。证明 (3)。设 \(s \in \mathcal{O}_{X, \overline{x}}\) 为非零因子。可以找到平展邻域 \((U, \overline{u}) \to (X, \overline{x})\) 以及映到 \(s\) 的 \(f \in \mathcal{O}_X(U)\)。令 \(u \in U\) 为 \(\overline{u}\) 所确定的点。由于 \(\mathcal{O}_{U, u} \to \mathcal{O}_{X, \overline{x}}\) 忠实平坦（后者是前者的严格亨泽尔化），可见 \(f\) 在 \(\mathcal{O}_{U, u}\) 中的像是非零因子。由《除子》引理 0EMF，缩小 \(U\) 后可使 \(f\) 成为非零因子，因而成为 \(\mathcal{S}_X(U)\) 的截面。(4) 通过由 (3) 计算茎得到。

引理

设 \(S\) 为概形，\(X\) 为 \(S\) 上的代数空间。假设：

\(X\) 的每个弱伴随点都是余维 \(0\) 的点；

\(X\) 满足《空间的态射》引理 0BB1 中的等价条件；

\(X\) 可由概形 \(X_0\) 表示（这是一个别扭但临时使用的记号）。

则亚纯函数层 \(\mathcal{K}_X\) 是与拟凝聚亚纯函数层 \(\mathcal{K}_{X_0}\) 相伴的拟凝聚 \(\mathcal{O}_X\)-代数层。

证明

关于 \(\QCoh(\mathcal{O}_X)\) 与 \(\QCoh(\mathcal{O}_{X_0})\) 之间的等价，见《空间的性质》第 03G5 节。本引理成立，因为由引理 0EN6 及《除子》引理 0EMF，\(\mathcal{K}_X\) 与 \(\mathcal{K}_{X_0}\) 都拟凝聚，并且在 \(X\) 与 \(X_0\) 的相应仿射开集上取值相同。

定义

设 \(S\) 为概形，\(f : X \to Y\) 为 \(S\) 上代数空间的态射。若对每个交换图 \[\xymatrix{ U \ar[r] \ar[d] & X \ar[d] \\ V \ar[r] & Y }\] ，其中 \(U \in X_\etale\) 且 \(V \in Y_\etale\)，以及任意截面 \(s \in \mathcal{S}_Y(V)\)，拉回 \(f^\sharp(s) \in \mathcal{O}_X(U)\) 都属于 \(\mathcal{S}_X(U)\)，则称亚纯函数沿 \(f\) 的拉回有定义。

在这种情形下，存在诱导映射 \(f^\sharp : f_{small}^{-1}\mathcal{K}_Y \to \mathcal{K}_X\)；换言之，得到带环拓扑斯态射的交换图 \[\xymatrix{ (\Sh(X_\etale), \mathcal{K}_X) \ar[r] \ar[d]^{f_{small}} & (\Sh(X_\etale), \mathcal{O}_X) \ar[d]^{f_{small}} \\ (\Sh(Y_\etale), \mathcal{K}_Y) \ar[r] & (\Sh(Y_\etale), \mathcal{O}_Y) }\] 对截面 \(s \in \Gamma(Y, \mathcal{K}_Y)\)，有时记 \(f^*(s) = f^\sharp(s)\)。

引理

设 \(S\) 为概形，\(f : X \to Y\) 为 \(S\) 上代数空间的态射。在下列每一种情形中，亚纯截面的拉回都有定义：

\(X\) 的弱伴随点被映到 \(Y\) 的余维 \(0\) 点；

\(f\) 是平坦的；

按需在此补充。

证明

经平展局部化，这转化为概形情形，见《除子》引理 02OU。完成这一转化时，使用引理 0844（正则截面的描述）、定义 0CTX（弱伴随点的定义）以及《空间的性质》引理 0BAQ（余维 \(0\) 点的描述）。

引理

设 \(S\) 为概形，\(X\) 为 \(S\) 上的代数空间。假设：

\(X\) 的每个弱伴随点都是余维 \(0\) 的点；

\(X\) 满足《空间的态射》引理 0BB1 中的等价条件；

\(X\) 的每个余维 \(0\) 点都可由单态射 \(\Spec(k) \to X\) 表示。

令 \(X^0 \subset |X|\) 为 \(X\) 的余维 \(0\) 点所成的集合。则有 \[\mathcal{K}_X = \bigoplus\nolimits_{\eta \in X^0} j_{\eta, *}\mathcal{O}_{X, \eta} = \prod\nolimits_{\eta \in X^0} j_{\eta, *}\mathcal{O}_{X, \eta}\] ，其中 \(j_\eta : \Spec(\mathcal{O}_{X, \eta}) \to X\) 是《概形》第 01J5 节中的典范映射；这是有意义的，因为 \(X^0\) 包含在 \(X\) 的概形轨迹中。类似地，对每个拟凝聚 \(\mathcal{O}_X\)-模 \(\mathcal{F}\)，得到公式 \[\mathcal{K}_X(\mathcal{F}) = \bigoplus\nolimits_{\eta \in X^0} j_{\eta, *}\mathcal{F}_\eta = \prod\nolimits_{\eta \in X^0} j_{\eta, *}\mathcal{F}_\eta\] ，它描述 \(\mathcal{F}\) 的亚纯截面层。最后，\(X\) 的有理函数环就是 \(X\) 上的亚纯函数环；写成公式即 \(R(X) = \Gamma(X, \mathcal{K}_X)\)。

证明

由《良态空间》引理 0BB8 及第 03I7 节，\(X\) 是良态的 ¹。因此， \(X^0 \subset |X|\) 是不可约分支的一般点所成的集合（《良态空间》引理 0ABV），且由 (b)，\(X^0\) 在 \(|X|\) 中局部有限。于是 \(X^0\) 包含在 \(|X|\) 的每个稠密开子集中。特别地，\(X^0\) 包含在概形轨迹中（《良态空间》定理 086U）。因此，局部环 \(\mathcal{O}_{X, \eta}\) 与态射 \(j_\eta\) 都有定义。

注意，模层的局部有限直和等于其直积。这个事实连同 \(X^0\) 在 \(|X|\) 中局部有限，解释了陈述中直和与直积之间的等式。又由于 \(\mathcal{K}_X(\mathcal{F}) = \mathcal{F} \otimes_{\mathcal{O}_X} \mathcal{K}_X\)，第二个等式由第一个等式得到。

令 \(j : Y = \coprod\nolimits_{\eta \in X^0} \Spec(\mathcal{O}_{X, \eta}) \to X\)

为诸态射 \(j_\eta\) 的乘积。我们要证明 \(\mathcal{K}_X = j_*\mathcal{O}_Y\)。注意，\(\mathcal{K}_Y = \mathcal{O}_Y\)，因为 \(Y\) 是若干维数为 \(0\) 的局部环之谱的不交并：在零维局部环中，任意非零因子都是单位。接着，由引理 0EN9，亚纯函数沿 \(j\) 的拉回有定义。这给出映射 \[\mathcal{K}_X \longrightarrow j_*\mathcal{O}_Y.\] 设仿射的 \(U \in X_\etale\)。由引理 0EN6，

左端的取值是 \(\mathcal{O}_X(U)\) 的全分式环。另一方面，右端等于 \(U\) 在各余维 \(0\) 点（即 \(U\) 的一般点）处的局部环之直积。这两个环相等（正如我们已在引理 0EN6 的证明中看到的），这是由《代数》引理 02LX 及 05C3 得到的。因此，我们的映射是同构。

最后，必须证明 \(R(X) = \Gamma(X, \mathcal{K}_X)\)。把概形情形（《除子》引理 0EMF）应用于概形轨迹 \(X' \subset X\) 即得。确切地说，由于它是 \(X\) 的稠密开子空间（见上文），按照定义，\(X\) 的有理函数环与 \(X'\) 的有理函数环相同。当把 \(X'\) 看作概形时， \(R(X')\) 当然与其有理函数环一致。另一方面，由上面对 \(\mathcal{K}_X\) 的描述，以及上面所见的 \(X^0 \subset |X'|\) 包含在每个稠密开集中的事实，可知 \(\Gamma(X, \mathcal{K}_X) = \Gamma(X', \mathcal{K}_{X'})\)。最后使用引理 0EN7 中记录的相容性。

定义

设 \(S\) 为概形，\(X\) 为 \(S\) 上的代数空间，并设 \(\mathcal{L}\) 为可逆 \(\mathcal{O}_X\)-模。若诱导映射 \(\mathcal{K}_X \to \mathcal{K}_X(\mathcal{L})\) 是单射，则称 \(\mathcal{L}\) 的亚纯截面 \(s\) 是正则的。

下面详细说明（正则）亚纯截面何时可以拉回。

引理

设 \(S\) 为概形，\(f : X \to Y\) 为 \(S\) 上代数空间的态射。假设亚纯函数沿 \(f\) 的拉回有定义（见定义 0EN8）。

设 \(\mathcal{F}\) 为 \(\mathcal{O}_Y\)-模层。存在亚纯截面的典范拉回映射 \(f^* : \Gamma(Y, \mathcal{K}_Y(\mathcal{F})) \to \Gamma(X, \mathcal{K}_X(f^*\mathcal{F}))\) ，其定义在 \(\mathcal{F}\) 的亚纯截面上。

设 \(\mathcal{L}\) 为可逆 \(\mathcal{O}_X\)-模。\(\mathcal{L}\) 的正则亚纯截面 \(s\) 拉回为 \(f^*\mathcal{L}\) 的正则亚纯截面 \(f^*s\)。

证明

略。

引理

设 \(S\) 为概形，\(X\) 为 \(S\) 上的代数空间，且满足引理 0ENA 的 (a)、(b)、(c)。则每个可逆 \(\mathcal{O}_X\)-模 \(\mathcal{L}\) 都有正则亚纯截面。

证明

使用引理 0ENA 的记号。对所有

\(\eta \in X^0\)，\(\mathcal{L}\) 的茎 \(\mathcal{L}_\eta\) 都有定义，并且它是秩 \(1\) 的自由 \(\mathcal{O}_{X, \eta}\)-模。对每个 \(\eta \in X^0\) 选取生成元 \(s_\eta \in \mathcal{L}_\eta\)。由引理 0ENA 中对 \(\mathcal{K}_X\) 与 \(\mathcal{K}_X(\mathcal{L})\) 的描述，立即可知 \(s = \prod s_\eta\) 是 \(\mathcal{L}\) 的正则亚纯截面。

相对 Proj

本节在代数空间的框架下重新讨论相对 Proj 的构造。本节内容对应于概形情形下《构造》第 01NS 节及《除子》第 07ZW 节的内容。

情形

这里，\(S\) 是概形，\(X\) 是 \(S\) 上的代数空间，而 \(\mathcal{A}\) 是拟凝聚分次 \(\mathcal{O}_X\)-代数。

在情形 0849 中，我们将定义函子 \(F : (\Sch/S)_{fppf}^{opp} \to \textit{Sets}\)，它最终将是一个代数空间。我们作适当修改后沿用《构造》第 01NS 节的步骤。首先，给定 \(S\) 上的概形 \(T\)，定义一个\(T\) 上的四元组为系统 \((d, f : T \to X, \mathcal{L}, \psi)\)

\(d \geq 1\) 是整数；
\(f : T \to X\) 是 \(S\) 上的态射；
\(\mathcal{L}\) 是可逆 \(\mathcal{O}_T\)-模；并且
\(\psi : f^*\mathcal{A}^{(d)} \to \bigoplus_{n \geq 0}\mathcal{L}^{\otimes n}\) 是分次 \(\mathcal{O}_T\)-代数同态，且 \(f^*\mathcal{A}_d \to \mathcal{L}\) 是满的。

称两个四元组 \((d, f, \mathcal{L}, \psi)\) 与 \((d', f', \mathcal{L}', \psi')\) 等价²，当且仅当 \(f = f'\)，并且对某个正整数 \(m = ad = a'd'\)，存在同构 \(\beta : \mathcal{L}^{\otimes a} \to (\mathcal{L}')^{\otimes a'}\) ，使得 \(\beta \circ \psi|_{f^*\mathcal{A}^{(m)}}\) 与 \(\psi'|_{f^*\mathcal{A}^{(m)}}\) 作为如下分次环同态相同：

\(f^*\mathcal{A}^{(m)} \to \bigoplus_{n \geq 0} (\mathcal{L}')^{\otimes mn}\)。给定四元组 \((d, f, \mathcal{L}, \psi)\) 与态射 \(h : T' \to T\)，其拉回为 \((d, f \circ h, h^*\mathcal{L}, h^*\psi)\)。拉回保持此等价关系。最后，对 \(S\) 上的拟紧概形 \(T\)，令 \[F(T) = \text{四元组等价类的集合，其基底为 }T\] ；对 \(S\) 上任意概形 \(T\)，令 \[F(T) = \lim_{V \subset T\text{ 的拟紧开子集}} F(V).\] 换言之，\(F(T)\) 的元素 \(\xi\) 对应于一族相容的元素选择 \(\xi_V \in F(V)\)，其中 \(V\) 遍历 \(T\) 的拟紧开子集。因此，我们定义了函子 [084A]\[\begin{equation} F : \Sch^{opp} \longrightarrow \textit{Sets} \end{equation}\] 存在函子态射 \(F \to X\)，它把四元组 \((d, f, \mathcal{L}, \psi)\) 映到 \(f\)。

引理

在情形 0849 中，上述函子 \(F\) 是代数空间。对任意态射 \(g : Z \to X\)，其中 \(Z\) 是概形，存在与进一步基变换相容的典范同构 \(\underline{\text{Proj}}_Z(g^*\mathcal{A}) = Z \times_X F\) 。

证明

只需证明第二个断言，见《空间》引理 02WY。设 \(g : Z \to X\) 为态射，其中 \(Z\) 是概形。令 \(F'\) 为与分次拟凝聚 \(\mathcal{O}_Z\)-代数 \(g^*\mathcal{A}\) 相伴的四元组函子。于是存在典范同构 \(F' = Z \times_X F\)，它把 \(F'\) 的四元组 \((d, f : T \to Z, \mathcal{L}, \psi)\) 映到 \((d, g \circ f, \mathcal{L}, \psi)\)（略去细节，见《构造》引理 01NT 的证明）。由《构造》诸引理 01NW、 01NY、

01NZ 以及定义 01O0 可知，\(F'\) 由 \(\underline{\text{Proj}}_Z(g^*\mathcal{A})\) 表示。

上述引理说明以下定义是有意义的。

定义

设 \(S\) 为概形，\(X\) 为 \(S\) 上的代数空间，并设 \(\mathcal{A}\) 为拟凝聚分次 \(\mathcal{O}_X\)-代数层。\(\mathcal{A}\) 在 \(X\) 上的相对齐次谱，或 \(\mathcal{A}\) 在 \(X\) 上的齐次谱，或 \(\mathcal{A}\) 在 \(X\) 上的 相对 Proj，是引理 084B 中 \(X\) 上的代数空间 \(F\)。将其记作 \(\pi : \underline{\text{Proj}}_X(\mathcal{A}) \to X\)。

特别地，由构造，相对 Proj 的结构态射是可表的。也可以通过黏合来理解相对 Proj。设 \(\varphi : U \to X\) 为满平展态射，其中 \(U\) 是概形。令 \(R = U \times_X U\)，其投影态射为 \(s, t : R \to U\)。由引理 084B，存在 \(U\) 上的典范同构 \[\gamma : \underline{\text{Proj}}_U(\varphi^*\mathcal{A}) \longrightarrow \underline{\text{Proj}}_X(\mathcal{A}) \times_X U\] 。令 \(\alpha : t^*\varphi^*\mathcal{A} \to s^*\varphi^*\mathcal{A}\) 为《空间的性质》命题 03M3 中的典范同构。则图 \[\xymatrix{ & \underline{\text{Proj}}_U(\varphi^*\mathcal{A}) \times_{U, s} R \ar@{=}[r] & \underline{\text{Proj}}_R(s^*\varphi^*\mathcal{A}) \ar[dd]_{\text{诱导自 }\alpha} \\ \underline{\text{Proj}}_X(\mathcal{A}) \times_X R \ar[ru]_{s^*\gamma} \ar[rd]^{t^*\gamma} \\ & \underline{\text{Proj}}_U(\varphi^*\mathcal{A}) \times_{U, t} R \ar@{=}[r] & \underline{\text{Proj}}_R(t^*\varphi^*\mathcal{A}) }\] 交换（等号来自《构造》引理 01O3）。因此，若用 \(\mathcal{A}_U\)、\(\mathcal{A}_R\) 表示 \(\mathcal{A}\) 到 \(U\)、\(R\) 的拉回，

则 \(P = \underline{\text{Proj}}_X(\mathcal{A})\) 有由概形 \(P_U = \underline{\text{Proj}}_U(\mathcal{A}_U)\) 给出的平展覆盖，并且 \(P_U \times_P P_U\) 等于 \(P_R = \underline{\text{Proj}}_R(\mathcal{A}_R)\)。利用这些说明，可以按通常方式使用平展局部化，把概形情形中相对 Proj 的结果转移到代数空间情形。

引理

在情形 0849 中，相对 Proj 带有拟凝聚 \(\mathbf{Z}\)-分次代数层 \(\bigoplus_{n \in \mathbf{Z}} \mathcal{O}_{\underline{\text{Proj}}_X(\mathcal{A})}(n)\) 及分次代数的典范同态 \[\psi : \pi^*\mathcal{A} \longrightarrow \bigoplus\nolimits_{n \geq 0} \mathcal{O}_{\underline{\text{Proj}}_X(\mathcal{A})}(n)\] ；它们基变换到 \(X\) 上任意概形后，与《构造》引理 01NR 相符。

证明

如定义 084C 后的讨论，选取概形 \(U\) 及满平展态射 \(U \to X\)，令 \(R = U \times_X U\)，其投影为 \(s, t : R \to U\)，并令 \(\mathcal{A}_U = \mathcal{A}|_U\)、\(\mathcal{A}_R = \mathcal{A}|_R\)，以及 \(\pi : P = \underline{\text{Proj}}_X(\mathcal{A}) \to X\)、 \(\pi_U : P_U = \underline{\text{Proj}}_U(\mathcal{A}_U)\) 以及

\(\pi_R : P_R = \underline{\text{Proj}}_U(\mathcal{A}_R)\)。

由《构造》引理 01NR，有拟凝聚 \(\mathbf{Z}\)-分次 \(\mathcal{O}_{P_U}\)-代数层 \(\bigoplus_{n \in \mathbf{Z}} \mathcal{O}_{P_U}(n)\) 以及典范映射 \(\psi_U : \pi_U^*\mathcal{A}_U \to \bigoplus_{n \geq 0} \mathcal{O}_{P_U}(n)\) ；对 \(P_R\) 亦然。由《构造》引理 01O3，经任一投影 \(P_R \to P_U\) 拉回 \(\mathcal{O}_{P_U}(n)\) 与 \(\psi_U\)，分别得到 \(\mathcal{O}_{P_R}(n)\) 与 \(\psi_R\)。由《空间的性质》命题 03M3 得到 \(\mathcal{O}_{P}(n)\) 与 \(\psi\)。略去其与拉回到 \(X\) 上任意概形相容的验证。

构造出相对 Proj 后，下面讨论它的一些基本性质。

引理

设 \(S\) 为概形，\(g : X' \to X\) 为 \(S\) 上代数空间的态射，并设 \(\mathcal{A}\) 为拟凝聚分次 \(\mathcal{O}_X\)-代数层。则存在典范同构 \[r : \underline{\text{Proj}}_{X'}(g^*\mathcal{A}) \longrightarrow X' \times_X \underline{\text{Proj}}_X(\mathcal{A})\] 以及相应的同构 \[\theta : r^*\text{pr}_2^*\left(\bigoplus\nolimits_{d \in \mathbf{Z}} \mathcal{O}_{\underline{\text{Proj}}_X(\mathcal{A})}(d)\right) \longrightarrow \bigoplus\nolimits_{d \in \mathbf{Z}} \mathcal{O}_{\underline{\text{Proj}}_{X'}(g^*\mathcal{A})}(d)\] ，它是 \(\mathbf{Z}\)-分次 \(\mathcal{O}_{\underline{\text{Proj}}_{X'}(g^*\mathcal{A})}\)-代数的同构。

证明

令 \(F\) 为函子 (084A)，并令 \(F'\) 为在 \(X'\) 上用 \(g^*\mathcal{A}\) 定义的相应函子。我们断言存在函子的典范同构 \(r : F' \to X' \times_X F\)（当然，\(r\) 正是本引理中的同构）。只需对 \(S\) 上的拟紧概形 \(T\) 构造双射 \(r : F'(T) \to X'(T) \times_{X(T)} F(T)\)。首先，若 \(\xi = (d', f', \mathcal{L}', \psi')\) 是 \(F'\) 的一个 \(T\) 上四元组，则可令 \(r(\xi) = (f', (d', g \circ f', \mathcal{L}', \psi'))\)。这是有意义的，因为

\((g \circ f')^*\mathcal{A}^{(d)} = (f')^*(g^*\mathcal{A})^{(d)}\)。逆映射把配对 \((f', (d, f, \mathcal{L}, \psi))\) 映到四元组 \((d, f', \mathcal{L}, \psi)\)。略去最后一个断言的证明（提示：通过平展局部化约化到概形情形，并应用《构造》引理 01O3）。

引理

在情形 0849 中，态射 \(\pi : \underline{\text{Proj}}_X(\mathcal{A}) \to X\) 是分离的。

证明

由《空间的态射》引理 03KM 及相对 Proj 的构造，这归结为概形情形，即《构造》引理 01O2。

引理

在情形 0849 中，若下列条件之一成立：

\(\mathcal{A}\) 作为 \(\mathcal{A}_0\)-代数层是有限型的；

\(\mathcal{A}\) 作为 \(\mathcal{A}_0\)-代数由 \(\mathcal{A}_1\) 生成，且 \(\mathcal{A}_1\) 是有限型 \(\mathcal{A}_0\)-模；

存在有限型拟凝聚 \(\mathcal{A}_0\)-子模 \(\mathcal{F} \subset \mathcal{A}_{+}\)，使得 \(\mathcal{A}_{+}/\mathcal{F}\mathcal{A}\) 是 \(\mathcal{A}/\mathcal{F}\mathcal{A}\) 的局部幂零理想层；

则 \(\pi : \underline{\text{Proj}}_X(\mathcal{A}) \to X\) 是拟紧的。

证明

由《空间的态射》引理 03KG 及相对 Proj 的构造，这归结为概形情形，即《除子》引理 07ZX。

引理

在情形 0849 中，若 \(\mathcal{A}\) 作为 \(\mathcal{O}_X\)-代数层是有限型的，则 \(\pi : \underline{\text{Proj}}_X(\mathcal{A}) \to X\) 是有限型的。

证明

由《空间的态射》引理 040Y 及相对 Proj 的构造，这归结为概形情形，即《除子》引理 07ZY。

引理

在情形 0849 中，若 \(\mathcal{O}_X \to \mathcal{A}_0\) 是整代数映射³，且 \(\mathcal{A}\) 作为 \(\mathcal{A}_0\)-代数是有限型的，则 \(\pi : \underline{\text{Proj}}_X(\mathcal{A}) \to X\) 是普遍闭的。

证明

由《空间的态射》引理 03IT 及相对 Proj 的构造，这归结为概形情形，即《除子》引理 07ZZ。

引理

在情形 0849 中，下列条件等价：

\(\mathcal{A}_0\) 是有限型 \(\mathcal{O}_X\)-模，且 \(\mathcal{A}\) 作为 \(\mathcal{A}_0\)-代数是有限型的；

\(\mathcal{A}_0\) 是有限型 \(\mathcal{O}_X\)-模，且 \(\mathcal{A}\) 作为 \(\mathcal{O}_X\)-代数是有限型的。

若这些条件成立，则 \(\pi : \underline{\text{Proj}}_X(\mathcal{A}) \to X\) 是固有的。

证明

由《空间的态射》引理 083R 及相对 Proj 的构造，这归结为概形情形，即《除子》引理

07ZZ。

引理

设 \(S\) 为概形，\(X\) 为 \(S\) 上的代数空间。设 \(\mathcal{A}\) 为拟凝聚分次 \(\mathcal{O}_X\)-模层，

并由 \(\mathcal{A}_1\) 作为 \(\mathcal{A}_0\)-代数生成。令 \(P = \underline{\text{Proj}}_X(\mathcal{A})\)，则：

\(P\) 表示函子 \(F_1\)；该函子把 \(S\) 上的 \(T\) 映到三元组 \((f, \mathcal{L}, \psi)\) 的同构类所成的集合，其中 \(f : T \to X\) 是 \(S\) 上的态射，\(\mathcal{L}\) 是可逆 \(\mathcal{O}_T\)-模，而 \(\psi : f^*\mathcal{A} \to \bigoplus_{n \geq 0} \mathcal{L}^{\otimes n}\) 是分次 \(\mathcal{O}_T\)-代数映射，并诱导满射 \(f^*\mathcal{A}_1 \to \mathcal{L}\)；

典范映射 \(\pi^*\mathcal{A}_1 \to \mathcal{O}_P(1)\) 是满的；并且

每个 \(\mathcal{O}_P(n)\) 都可逆，且乘法映射诱导同构 \(\mathcal{O}_P(n) \otimes_{\mathcal{O}_P} \mathcal{O}_P(m) = \mathcal{O}_P(n + m)\)。

证明

略。概形情形见《构造》引理 01O4。

相对 Proj 的函子性

本节对应于《构造》第 07ZF 节。

引理

设 \(S\) 为概形，\(X\) 为 \(S\) 上的代数空间。设 \(\psi : \mathcal{A} \to \mathcal{B}\) 为拟凝聚分次 \(\mathcal{O}_X\)-代数的映射。令 \(P = \underline{\text{Proj}}_X(\mathcal{A}) \to X\) 以及 \(Q = \underline{\text{Proj}}_X(\mathcal{B}) \to X\)。存在典范开子空间 \(U(\psi) \subset Q\) 以及 \(X\) 上代数空间的典范态射 \[r_\psi : U(\psi) \longrightarrow P\] 和 \(\mathbf{Z}\)-分次 \(\mathcal{O}_{U(\psi)}\)-代数的映射 \[\theta = \theta_\psi : r_\psi^*\left( \bigoplus\nolimits_{d \in \mathbf{Z}} \mathcal{O}_P(d) \right) \longrightarrow \bigoplus\nolimits_{d \in \mathbf{Z}} \mathcal{O}_{U(\psi)}(d).\] 三元组 \((U(\psi), r_\psi, \theta)\) 由下述性质刻画：对任意平展于 \(X\) 的概形 \(W\)，三元组 \[(U(\psi) \times_X W,\quad r_\psi|_{U(\psi) \times_X W} : U(\psi) \times_X W \to P \times_X W,\quad \theta|_{U(\psi) \times_X W})\] 等于《构造》引理 07ZG 中与 \(\psi : \mathcal{A}|_W \to \mathcal{B}|_W\) 相伴的三元组。

证明

本引理由平展局部化及概形情形得到，见定义 084C 后的讨论。略去细节。

引理

设 \(S\) 为概形，\(X\) 为 \(S\) 上的代数空间。设 \(\mathcal{A}\)、\(\mathcal{B}\)、 \(\mathcal{C}\) 为拟凝聚分次 \(\mathcal{O}_X\)-代数。令 \(P = \underline{\text{Proj}}_X(\mathcal{A})\)、 \(Q = \underline{\text{Proj}}_X(\mathcal{B})\) 及 \(R = \underline{\text{Proj}}_X(\mathcal{C})\)。设 \(\varphi : \mathcal{A} \to \mathcal{B}\)、 \(\psi : \mathcal{B} \to \mathcal{C}\) 为分次 \(\mathcal{O}_X\)-代数映射。则有

\[U(\psi \circ \varphi) = r_\varphi^{-1}(U(\psi)) \quad \text{且} \quad r_{\psi \circ \varphi} = r_\varphi \circ r_\psi|_{U(\psi \circ \varphi)}.\] 此外有 \[\theta_\psi \circ r_\psi^*\theta_\varphi = \theta_{\psi \circ \varphi}\] ，其中采用显然的记号。

证明

略。

引理

沿用上述引理 085F 的假设与记号。假设当 \(d \gg 0\) 时，\(\mathcal{A}_d \to \mathcal{B}_d\) 是满的。则：

\(U(\psi) = Q\)；

\(r_\psi : Q \to R\) 是闭浸入；并且

映射 \(\theta : r_\psi^*\mathcal{O}_P(n) \to \mathcal{O}_Q(n)\) 是满的，但一般不是同构（即使 \(\mathcal{A} \to \mathcal{B}\) 是满的）。

证明

通过平展局部化，这由概形情形（《构造》引理 07ZI）得到。

引理

沿用上述引理 085F 的假设与记号。假设对所有 \(d \gg 0\)，\(\mathcal{A}_d \to \mathcal{B}_d\) 都是同构。则：

\(U(\psi) = Q\)；

\(r_\psi : Q \to P\) 是同构；并且

映射 \(\theta : r_\psi^*\mathcal{O}_P(n) \to \mathcal{O}_Q(n)\) 都是同构。

证明

通过平展局部化，这由概形情形（《构造》引理 07ZJ）得到。

引理

沿用上述引理 085F 的假设与记号。假设当 \(d \gg 0\) 时，\(\mathcal{A}_d \to \mathcal{B}_d\) 是满的，并且 \(\mathcal{A}\) 在 \(\mathcal{A}_0\) 上由 \(\mathcal{A}_1\) 生成。则：

\(U(\psi) = Q\)；

\(r_\psi : Q \to P\) 是闭浸入；并且

映射 \(\theta : r_\psi^*\mathcal{O}_P(n) \to \mathcal{O}_Q(n)\) 都是同构。

证明

通过平展局部化，这由概形情形（《构造》引理 07ZK）得到。

可逆层与到相对 Proj 的态射

看来我们可能会在某处用到下面这个引理。情形如下：

设 \(S\) 为概形，\(Y\) 为 \(S\) 上的代数空间。
设 \(\mathcal{A}\) 为拟凝聚分次 \(\mathcal{O}_Y\)-代数。
以 \(\pi : \underline{\text{Proj}}_Y(\mathcal{A}) \to Y\) 表示 \(\mathcal{A}\) 在 \(Y\) 上的相对 Proj。
设 \(f : X \to Y\) 为 \(S\) 上代数空间的态射。
设 \(\mathcal{L}\) 为可逆 \(\mathcal{O}_X\)-模。
设 \(\psi : f^*\mathcal{A} \to \bigoplus_{d \geq 0} \mathcal{L}^{\otimes d}\) 为分次 \(\mathcal{O}_X\)-代数的同态。

给定这些数据，令 \(U(\psi) \subset X\) 为满足下式的开子空间： \[|U(\psi)| = \bigcup\nolimits_{d \geq 1} \{\text{满足下述条件的轨迹：}f^*\mathcal{A}_d \to \mathcal{L}^{\otimes d} \text{ 为满射}\}\] \(U(\psi) \subset X\) 的构造与沿任意态射 \(X' \to X\) 的拉回可交换。

引理

采用上述假设与记号。态射 \(\psi\) 诱导一个 \(Y\) 上代数空间的典范态射 \[r_{\mathcal{L}, \psi} : U(\psi) \longrightarrow \underline{\text{Proj}}_Y(\mathcal{A})\] ，并伴随一个分次 \(\mathcal{O}_{U(\psi)}\)-代数映射 \[\theta : r_{\mathcal{L}, \psi}^*\left( \bigoplus\nolimits_{d \geq 0} \mathcal{O}_{\underline{\text{Proj}}_Y(\mathcal{A})}(d) \right) \longrightarrow \bigoplus\nolimits_{d \geq 0} \mathcal{L}^{\otimes d}|_{U(\psi)}\] ，它由下列性质刻画：

对平展态射 \(V \to Y\) 和 \(d \geq 0\)，下图

\[\xymatrix{ \mathcal{A}_d(V) \ar[d]_{\psi} \ar[r]_{\psi} & \Gamma(V \times_Y X, \mathcal{L}^{\otimes d}) \ar[d]^{restrict} \\ \Gamma(V \times_Y \underline{\text{Proj}}_Y(\mathcal{A}), \mathcal{O}_{\underline{\text{Proj}}_Y(\mathcal{A})}(d)) \ar[r]^-\theta & \Gamma(V \times_Y U(\psi), \mathcal{L}^{\otimes d}) }\] 可交换。

对任意 \(d \geq 1\) 以及任意态射 \(W \to X\)，其中 \(W\) 为概形，若 \(\psi|_W : f^*\mathcal{A}_d|_W \to \mathcal{L}^{\otimes d}|_W\) 为满射，则 (a) \(W \to X\) 分解经过 \(U(\psi)\)，且 (b) \(W \to U(\psi)\) 与 \(r_{\mathcal{L}, \psi}\) 的复合等同于态射 \(W \to \underline{\text{Proj}}_Y(\mathcal{A})\)；后者因 \(\underline{\text{Proj}}_Y(\mathcal{A})\) 的构造而存在，见定义 084C。

考虑可交换图 \[\xymatrix{ X' \ar[r]_{g'} \ar[d]_{f'} & X \ar[d]^f \\ Y' \ar[r]^g & Y }\] ，其中 \(X'\) 与 \(Y'\) 为概形。置 \(\mathcal{A}' = g^*\mathcal{A}\) 及 \(\mathcal{L}' = (g')^*\mathcal{L}\)，并以

\(\psi' : (f')^*\mathcal{A} \to \bigoplus_{d \geq 0} (\mathcal{L}')^{\otimes d}\) 表示 \(\psi\) 的拉回。令 \(U(\psi')\)、

\(r_{\psi', \mathcal{L}'}\) 及 \(\theta'\) 为

《构造》引理 0D2Z 中所构造的开子空间、态射及同态。那么 \(U(\psi') = (g')^{-1}(U(\psi))\)，且在引理 085C 的同构 \(\underline{\text{Proj}}_{Y'}(\mathcal{A}') = Y' \times_Y \underline{\text{Proj}}_Y(\mathcal{A})\) 下，\(r_{\psi', \mathcal{L}'}\) 等同于 \(r_{\psi, \mathcal{L}}\) 的基变换。此外，\(\theta'\) 是 \(\theta\) 的拉回。

证明

略。提示：首先注意，对 \(X\) 上的拟紧概形 \(W\)，下列条件等价：

\(W \to X\) 分解经过 \(U(\psi)\)；以及

存在 \(d\)，使得 \(\psi|_W : f^*\mathcal{A}_d|_W \to \mathcal{L}^{\otimes d}|_W\) 为满射。

这就把 \(U(\psi)\) 描述为基范畴 \((\Sch/S)_{fppf}\) 上 \(X\) 的子函子。对这样的 \(W\) 与 \(d\)，考虑四元组 \((d, W \to Y, \mathcal{L}|_W, \psi^{(d)}|_W)\)。由 \(\underline{\text{Proj}}_Y(\mathcal{A})\) 的定义，得到态射 \(W \to \underline{\text{Proj}}_Y(\mathcal{A})\)。根据四元组的等价概念可见，此态射与 \(d\) 的选取无关。这显然定义了函子之间的变换 \(r_{\psi, \mathcal{L}} : U(\psi) \to \underline{\text{Proj}}_Y(\mathcal{A})\)，即代数空间的态射。按构造，此态射满足 (2)。由于《构造》引理 01O9 中构造的态射满足同一性质，故 (3) 成立。

为构造 \(\theta\) 并验证引理中相容性 (1)，在 \(Y\) 与 \(X\) 上平展局部地工作，论证同定义 084C 后的讨论。

相对丰沛层

本节是《态射》第 01VG 节在代数空间情形下的对应版本。我们如下定义相对丰沛可逆层。

定义

设 \(S\) 为概形，\(f : X \to Y\) 为 \(S\) 上代数空间的态射， \(\mathcal{L}\) 为可逆 \(\mathcal{O}_X\)-模。若 \(f : X \to Y\) 可表，且对每个从概形 \(Z\) 出发的态射 \(Z \to Y\)，\(\mathcal{L}\) 到 \(X_Z = Z \times_Y X\) 上的拉回 \(\mathcal{L}_Z\) 按照《态射》定义 01VH 在 \(X_Z/Z\) 上丰沛，则称 \(\mathcal{L}\) 相对丰沛，或称为 \(f\)-相对丰沛、 在 \(X/Y\) 上丰沛、或 \(f\)-丰沛。

我们几乎总会把有关相对丰沛可逆层的问题归约到概形情形。因此，本节主要包含一些基本检验。

引理

设 \(S\) 为概形，\(f : X \to Y\) 为 \(S\) 上代数空间的态射， \(\mathcal{L}\) 为可逆 \(\mathcal{O}_X\)-模。假设 \(Y\) 是概形。下列条件等价：

\(\mathcal{L}\) 在定义 0D31 的意义下在 \(X/Y\) 上丰沛；以及

\(X\) 是概形，且 \(\mathcal{L}\) 在《态射》定义 01VH 的意义下在 \(X/Y\) 上丰沛。

证明

这由定义及《态射》引理 0893 得出（该引理说明，对概形而言，相对丰沛性在基变换下保持）。

引理

设 \(S\) 为概形，\(f : X \to Y\) 为 \(S\) 上代数空间的态射， \(\mathcal{L}\) 为可逆 \(\mathcal{O}_X\)-模。设 \(Y' \to Y\) 为 \(S\) 上代数空间的态射，\(f' : X' \to Y'\) 为 \(f\) 的基变换，并以 \(\mathcal{L}'\) 表示 \(\mathcal{L}\) 到 \(X'\) 上的拉回。若 \(\mathcal{L}\) 是 \(f\)-丰沛的，则 \(\mathcal{L}'\) 是 \(f'\)-丰沛的。

证明

这立即由定义得出！（提示：使用基变换的传递性。）

引理

设 \(S\) 为概形，\(f : X \to Y\) 为 \(S\) 上代数空间的态射。若存在一个 \(f\)-丰沛可逆层，则 \(f\) 可表、拟紧且分离。

证明

这由定义及《态射》引理 01VI 显然可得。（若对此有疑问，可参看《代数空间》引理 02YO 的原理。）

引理

设 \(V \to U\) 为仿射概形之间的满平展态射，\(X\) 为 \(U\) 上的代数空间， \(\mathcal{L}\) 为可逆 \(\mathcal{O}_X\)-模。令 \(Y = V \times_U X\)，并令 \(\mathcal{N}\) 为 \(\mathcal{L}\) 到 \(Y\) 上的拉回。下列条件等价：

\(\mathcal{L}\) 在 \(X/U\) 上丰沛；以及

\(\mathcal{N}\) 在 \(Y/V\) 上丰沛。

证明

蕴含关系 (1) \(\Rightarrow\) (2) 由引理 0D33 得出。假设 (2)。这蕴含 \(Y \to V\) 拟紧且分离（引理 0D34），并且 \(Y\) 是概形。因此，态射 \(f : X \to U\) 拟紧且分离（《空间的态射》引理 03KG 及 03KM）。置 \(\mathcal{A} = \bigoplus_{d \geq 0} f_*\mathcal{L}^{\otimes d}\)。这是拟凝聚分次 \(\mathcal{O}_U\)-代数层（《空间的态射》引理 03M9）。由伴随性得到映射 \(\psi : f^*\mathcal{A} \to \bigoplus_{d \geq 0} \mathcal{L}^{\otimes d}\)。应用引理 0D2Z，得到开子空间 \(U(\psi) \subset X\) 及态射 \[r_{\mathcal{L}, \psi} : U(\psi) \to \underline{\text{Proj}}_U(\mathcal{A})\]

由于 \(h : V \to U\) 平展，故 \(\mathcal{A}|_V = (Y \to V)_*(\bigoplus_{d \geq 0} \mathcal{N}^{\otimes d})\)，见《空间的性质》引理 03LX。因此， \(\psi\) 到 \(Y\) 上的拉回 \(\psi'\) 是《态射》引理 01VJ 第 (5) 部分中情形 \((Y \to V, \mathcal{N})\) 的伴随映射。由于 \(\mathcal{N}\) 在 \(Y/V\) 上丰沛，由刚引用的引理可得 \(U(\psi') = Y\)，且 \(r_{\mathcal{N}, \psi'}\) 是开浸入。引理 0D2Z 告诉我们， \(r_{\mathcal{L}, \psi}\) 的构造与基变换可交换，故 \(U(\psi) = X\)，并且有可交换图 \[\xymatrix{ Y \ar[r]_-{r'} \ar[d] & \underline{\text{Proj}}_V(\mathcal{A}|_V) \ar[d] \ar[r] & V \ar[d] \\ X \ar[r]^-r & \underline{\text{Proj}}_U(\mathcal{A}) \ar[r] & U }\] ，其中两个方块都是纤维积。由《空间的态射》引理 03M4 可知 \(r\) 是开浸入。因此， \(X\) 是概形。于是可应用《态射》引理 01VJ 第 (5) 部分，得出 \(\mathcal{L}\) 在 \(X/U\) 上丰沛。

引理

设 \(S\) 为概形，\(f : X \to Y\) 为 \(S\) 上代数空间的态射， \(\mathcal{L}\) 为可逆 \(\mathcal{O}_X\)-模。下列条件等价：

\(\mathcal{L}\) 在 \(X/Y\) 上丰沛；

对每个概形 \(Z\) 及每个态射 \(Z \to Y\)，代数空间 \(X_Z = Z \times_Y X\) 都是概形，且拉回 \(\mathcal{L}_Z\) 在 \(X_Z/Z\) 上丰沛；

对每个仿射概形 \(Z\) 及每个态射 \(Z \to Y\)，代数空间 \(X_Z = Z \times_Y X\) 都是概形，且拉回 \(\mathcal{L}_Z\) 在 \(X_Z/Z\) 上丰沛；

存在概形 \(V\) 及满平展态射 \(V \to Y\)，使得代数空间 \(X_V = V \times_Y X\) 是概形，且拉回 \(\mathcal{L}_V\) 在 \(X_V/V\) 上丰沛。

证明

按定义，(1) 与 (2) 等价。蕴含关系 (2) \(\Rightarrow\) (3) 是直接的。若 (3) 成立且 \(Z \to Y\) 如 (2) 所述，则可见

\(X_Z \to Z\) 在 \(Z\) 上仿射局部地可表。因此，例如由《空间的性质》引理 03JH，\(X_Z\) 是概形。于是 \(\mathcal{L}_Z\) 在 \(X_Z/Z\) 上丰沛，因为这在 \(Z\) 上是局部的，并且可以使用《态射》引理 01VJ。故 (1)、(2)、 (3) 等价。显然，这些条件蕴含 (4)。

假设 (4)。设 \(Z \to Y\) 为态射，其中 \(Z\) 仿射。则 \(U = V \times_Y Z \to Z\) 是满平展态射，且 \(\mathcal{L}_Z\) 沿 \(X_U \to X_Z\) 的拉回在 \(X_U/U\) 上相对丰沛。

当然，我们可以用一个仿射开集替换 \(U\)。于是由引理 0D35，\(\mathcal{L}_Z\) 在 \(X_Z/Z\) 上丰沛。故 (4) \(\Rightarrow\) (3)，证明完毕。

引理

设 \(S\) 为概形，\(f : X \to Y\) 为 \(S\) 上代数空间的态射。则 \(f\) 拟仿射，当且仅当 \(\mathcal{O}_X\) 是 \(f\)-相对丰沛的。

证明

这由概形情形得出，见《态射》引理 0891。

相对丰沛性与上同调

本节包含一些与《概形的上同调》第 02OF 节及第 01XO 节中的结果相关的结论。

下面的引理只是我们所能做的一例。

引理

设 \(R\) 为诺特环，\(X\) 为 \(R\) 上的代数空间，并且结构态射 \(f : X \to \Spec(R)\) 固有。设 \(\mathcal{L}\) 为可逆 \(\mathcal{O}_X\)-模。下列条件等价：

\(\mathcal{L}\) 在 \(X/R\) 上丰沛（定义 0D31）；

对每个凝聚 \(\mathcal{O}_X\)-模 \(\mathcal{F}\)，存在 \(n_0 \geq 0\)，使得 \(H^p(X, \mathcal{F} \otimes \mathcal{L}^{\otimes n}) = 0\) 对所有 \(n \geq n_0\) 及 \(p > 0\) 成立。

证明

蕴含关系 (1) \(\Rightarrow\) (2) 由《概形的上同调》引理 0B5T 得出，因为假设 (1) 蕴含 \(X\) 是概形。蕴含关系 (2) \(\Rightarrow\) (1) 即《空间的上同调》引理 0D2W。

引理

设 \(Y\) 为诺特概形，\(X\) 为 \(Y\) 上的代数空间，并且结构态射 \(f : X \to Y\) 固有。设 \(\mathcal{L}\) 为可逆 \(\mathcal{O}_X\)-模， \(\mathcal{F}\) 为凝聚 \(\mathcal{O}_X\)-模。设 \(y \in Y\) 为一点，使得 \(X_y\) 是概形，且 \(\mathcal{L}_y\) 在 \(X_y\) 上丰沛。则存在 \(d_0\)，使得对所有 \(d \geq d_0\) 都有 \[R^pf_*(\mathcal{F} \otimes_{\mathcal{O}_X} \mathcal{L}^{\otimes d})_y = 0 \text{ 对 }p > 0\] ，并且映射 \[f_*(\mathcal{F} \otimes_{\mathcal{O}_X} \mathcal{L}^{\otimes d})_y \longrightarrow H^0(X_y, \mathcal{F}_y \otimes_{\mathcal{O}_{X_y}} \mathcal{L}_y^{\otimes d})\] 是满射。

证明

注意，\(\mathcal{O}_{Y, y}\) 是诺特局部环。考虑典范态射 \(c : \Spec(\mathcal{O}_{Y, y}) \to Y\)，见《概形》公式 (02NA)。由于它诱导局部环的等同，故为平坦态射。暂以 \(f' : X' \to \Spec(\mathcal{O}_{Y, y})\) 表示 \(f\) 到该局部环上的基变换。由《空间的上同调》引理 073K 可见 \(c^*R^pf_*\mathcal{F} = R^pf'_*\mathcal{F}'\)。此外，纤维 \(X_y\) 与 \(X'_y\) 被等同。因此，可以假设 \(Y = \Spec(A)\) 是诺特局部环 \((A, \mathfrak m, \kappa)\) 的谱，且 \(y \in Y\) 对应于 \(\mathfrak m\)。在此情形下，对所有 \(p \geq 0\) 都有 \(R^pf_*(\mathcal{F} \otimes_{\mathcal{O}_X} \mathcal{L}^{\otimes d})_y = H^p(X, \mathcal{F} \otimes_{\mathcal{O}_X} \mathcal{L}^{\otimes d})\) 。以 \(f_y : X_y \to \Spec(\kappa)\) 表示投影。

令 \(B = \text{Gr}_\mathfrak m(A) = \bigoplus_{n \geq 0} \mathfrak m^n/\mathfrak m^{n + 1}\)。考虑拟凝聚分次 \(\mathcal{O}_{X_y}\)-代数层 \(\mathcal{B} = f_y^*\widetilde{B}\)。我们将沿用《空间的上同调》第 08AU 节的记号，其中以 \(\mathfrak m\) 代替 \(I\)。由于 \(X_y\) 是由 \(\mathfrak m\mathcal{O}_X\) 截出的 \(X\) 的闭子空间，可以把 \(\mathfrak m^n\mathcal{F}/\mathfrak m^{n + 1}\mathcal{F}\) 看作凝聚 \(\mathcal{O}_{X_y}\)-模，见《空间的上同调》引理 08AM。于是 \(\bigoplus_{n \geq 0} \mathfrak m^n\mathcal{F}/\mathfrak m^{n + 1}\mathcal{F}\) 是有限型拟凝聚分次 \(\mathcal{B}\)-模，因为它在 \(\mathcal{B}\) 上由 0 次部分生成，

且其 0 次部分为 \(\mathcal{F}_y = \mathcal{F}/\mathfrak m \mathcal{F}\) ，这是凝聚 \(\mathcal{O}_{X_y}\)-模。因此，由《概形的上同调》引理 0897 第 (2) 部分，存在 \(d_0\)，使得 \[H^p(X_y, \mathfrak m^n \mathcal{F}/ \mathfrak m^{n + 1}\mathcal{F} \otimes_{\mathcal{O}_{X_y}} \mathcal{L}_y^{\otimes d}) = 0\] 对所有 \(p > 0\)、\(d \geq d_0\) 及 \(n \geq 0\) 成立。由《空间的上同调》引理 0D2U，这等价于 \(H^p(X, \mathfrak m^n \mathcal{F}/ \mathfrak m^{n + 1}\mathcal{F} \otimes_{\mathcal{O}_X} \mathcal{L}^{\otimes d}) = 0\) 对所有 \(p > 0\)、\(d \geq d_0\) 及 \(n \geq 0\) 成立。

考虑凝聚 \(\mathcal{O}_X\)-模的短正合列 \[0 \to \mathfrak m^n\mathcal{F}/\mathfrak m^{n + 1} \mathcal{F} \to \mathcal{F}/\mathfrak m^{n + 1} \mathcal{F} \to \mathcal{F}/\mathfrak m^n \mathcal{F} \to 0\] 。与 \(\mathcal{L}^{\otimes d}\) 作张量积是正合函子，因而得到短正合列 \[0 \to \mathfrak m^n\mathcal{F}/\mathfrak m^{n + 1} \mathcal{F} \otimes_{\mathcal{O}_X} \mathcal{L}^{\otimes d} \to \mathcal{F}/\mathfrak m^{n + 1} \mathcal{F} \otimes_{\mathcal{O}_X} \mathcal{L}^{\otimes d} \to \mathcal{F}/\mathfrak m^n \mathcal{F} \otimes_{\mathcal{O}_X} \mathcal{L}^{\otimes d} \to 0\] 。利用上同调长正合列及上述消失性，以归纳法得出：

\(H^p(X, \mathcal{F}/\mathfrak m^n \mathcal{F} \otimes_{\mathcal{O}_X} \mathcal{L}^{\otimes d}) = 0\) 对所有 \(p > 0\)、\(d \geq d_0\) 及 \(n \geq 0\) 成立；以及

\(H^0(X, \mathcal{F}/\mathfrak m^n \mathcal{F} \otimes_{\mathcal{O}_X} \mathcal{L}^{\otimes d}) \to H^0(X_y, \mathcal{F}_y \otimes_{\mathcal{O}_{X_y}} \mathcal{L}_y^{\otimes d})\) 对所有 \(d \geq d_0\) 及 \(n \geq 1\) 都是满射。

由形式函数定理（《空间的上同调》定理 08AZ），可知 \(H^p(X, \mathcal{F} \otimes_{\mathcal{O}_X} \mathcal{L}^{\otimes d})\) 的 \(\mathfrak m\)-进完备化对所有 \(d \geq d_0\) 及 \(p > 0\) 都为零。由《空间的上同调》引理 08AS， \(H^p(X, \mathcal{F} \otimes_{\mathcal{O}_X} \mathcal{L}^{\otimes d})\) 是有限 \(A\)-模，故由 Nakayama 引理（《代数》引理 00DV）， \(H^p(X, \mathcal{F} \otimes_{\mathcal{O}_X} \mathcal{L}^{\otimes d})\) 对所有 \(d \geq d_0\) 及 \(p > 0\) 都为零。对 \(p = 0\)，由《空间的上同调》引理 08AY 第 (3) 部分可知 \(H^0(X, \mathcal{F} \otimes_{\mathcal{O}_X} \mathcal{L}^{\otimes d}) \to H^0(X_y, \mathcal{F}_y \otimes_{\mathcal{O}_{X_y}} \mathcal{L}_y^{\otimes d})\) 是满射，这就给出引理的最后一个断言。

引理

（更一般的版本见《空间上的下降》引理 0D3D。）设 \(Y\) 为诺特概形， \(X\) 为 \(Y\) 上的代数空间，并且结构态射 \(f : X \to Y\) 固有。设 \(\mathcal{L}\) 为可逆 \(\mathcal{O}_X\)-模。设 \(y \in Y\) 为一点，使得 \(X_y\) 是概形，且 \(\mathcal{L}_y\) 在 \(X_y\) 上丰沛。则存在 \(y\) 的开邻域 \(V \subset Y\)，使得 \(\mathcal{L}|_{f^{-1}(V)}\) 在 \(f^{-1}(V)/V\) 上丰沛（如定义 0D31）。

证明

对 \(\mathcal{F} = \mathcal{O}_X\)，选取引理 0D39 中的 \(d_0\)。选取 \(d \geq d_0\)，使得存在 \(r \geq 0\) 及截面 \(s_{y, 0}, \ldots, s_{y, r} \in H^0(X_y, \mathcal{L}_y^{\otimes d})\) ，它们定义闭浸入 \[\varphi_y = \varphi_{\mathcal{L}_y^{\otimes d}, (s_{y, 0}, \ldots, s_{y, r})} : X_y \to \mathbf{P}^r_{\kappa(y)}.\] 这由《态射》引理 01VT 保证；此外，为看出 \(\varphi_y\) 是闭浸入，我们还使用《态射》引理 01W6，并使用《构造》第 01ND 节关于以可逆层和截面描述到射影空间之态射的内容。由 \(d_0\) 的选取，在用 \(y\) 的一个开邻域替换 \(Y\) 后，可以选取 \(s_0, \ldots, s_r \in H^0(X, \mathcal{L}^{\otimes d})\) ，它们映到 \(s_{y, 0}, \ldots, s_{y, r}\)。令 \(X_{s_i} \subset X\) 为 \(s_i\) 生成 \(\mathcal{L}^{\otimes d}\) 所在的开子空间。由于诸 \(s_{y, i}\) 生成 \(\mathcal{L}_y^{\otimes d}\)，可见 \(|X_y| \subset U = \bigcup |X_{s_i}|\)。由于 \(X \to Y\) 是闭的，存在开邻域 \(y \in V \subset Y\)，使得 \(|f|^{-1}(V) \subset U\)。用 \(V\) 替换 \(Y\) 后，可以假设诸 \(s_i\) 生成 \(\mathcal{L}^{\otimes d}\)。于是得到态射 \[\varphi = \varphi_{\mathcal{L}^{\otimes d}, (s_0, \ldots, s_r)} : X \longrightarrow \mathbf{P}^r_Y\] ，满足 \(\mathcal{L}^{\otimes d} \cong \varphi^*\mathcal{O}_{\mathbf{P}^r_Y}(1)\)，其到 \(y\) 的基变换给出 \(\varphi_y\)（严格来说，我们需要写出一个证明，说明《构造》第 01ND 节给出的到射影空间之态射的构造也能用于描述从代数空间到射影空间的态射；我们略去细节）。

我们将用一个小技巧完成证明；“正确的”证明是直接说明，在基变换到 \(y\) 的一个开邻域后，\(\varphi\) 是闭浸入。具体而言，由《空间的上同调》引理 0A4W 可见，

\(\varphi\) 在 \(\mathbf{P}^r_Y \to Y\) 位于 \(y\) 上方的纤维 \(\mathbf{P}^r_{\kappa(y)}\) 的一个开邻域上是有限的。利用 \(\mathbf{P}^r_Y \to Y\) 是闭的，在缩小 \(Y\) 后，可以假设 \(\varphi\) 有限。特别地，\(X\) 是概形。于是，由非常一般的《态射》引理 0892， \(\mathcal{L}^{\otimes d} \cong \varphi^*\mathcal{O}_{\mathbf{P}^r_Y}(1)\) 是丰沛的。

相对 Proj 的闭子空间

这里给出一些关于相对 Proj 的闭子空间的辅助引理。本节是《除子》第 084M 节的对应版本。

引理

设 \(S\) 为概形，\(X\) 为 \(S\) 上的代数空间，\(\mathcal{A}\) 为拟凝聚分次 \(\mathcal{O}_X\)-代数。设 \(\pi : P = \underline{\text{Proj}}_X(\mathcal{A}) \to X\) 为 \(\mathcal{A}\) 的相对 Proj，\(i : Z \to P\) 为闭子空间。以 \(\mathcal{I} \subset \mathcal{A}\) 表示典范映射 \[\mathcal{A} \longrightarrow \bigoplus\nolimits_{d \geq 0} \pi_*\left((i_*\mathcal{O}_Z)(d)\right)\] 的核。若 \(\pi\) 拟紧，则有同构 \(Z = \underline{\text{Proj}}_X(\mathcal{A}/\mathcal{I})\)。

证明

由引理 084E，态射 \(\pi\) 分离。由于 \(\pi\) 拟紧， \(\pi_*\) 把拟凝聚模变为拟凝聚模，见《空间的态射》引理 03M9。因此，\(\mathcal{I}\) 是拟凝聚 \(\mathcal{O}_X\)-模。特别地，\(\mathcal{B} = \mathcal{A}/\mathcal{I}\) 是拟凝聚分次 \(\mathcal{O}_X\)-代数。函子性态射 \(Z' = \underline{\text{Proj}}_X(\mathcal{B}) \to \underline{\text{Proj}}_X(\mathcal{A})\) 处处有定义，并且是闭浸入，见引理 085H。因此，只需证明 \(Z = Z'\)（作为 \(P\) 的闭子空间）。

在此之后，该问题在基上是平展局部的，故通过平展局部化归约到概形情形（《除子》引理 0801）。

当闭子空间局部由有限多个方程截出时，可以用 \(\mathcal{A}\) 的有限型理想层定义它。

引理

设 \(S\) 为概形，\(X\) 为 \(S\) 上拟紧且拟分离的代数空间，\(\mathcal{A}\) 为拟凝聚分次 \(\mathcal{O}_X\)-代数。设 \(\pi : P = \underline{\text{Proj}}_X(\mathcal{A}) \to X\) 为 \(\mathcal{A}\) 的相对 Proj，\(i : Z \to P\) 为闭子概形。若 \(\pi\) 拟紧，且

\(i\) 有限表示，则存在 \(d > 0\) 以及有限型拟凝聚 \(\mathcal{O}_X\)-子模 \(\mathcal{F} \subset \mathcal{A}_d\)，使得 \(Z = \underline{\text{Proj}}_X(\mathcal{A}/\mathcal{F}\mathcal{A})\).

证明

读者可以重做概形情形所用的论证。不过，我们将用一个技巧说明该引理由概形情形得出。设 \(\mathcal{I} \subset \mathcal{A}\) 为引理 085L 中截出 \(Z\) 的拟凝聚分次理想。选取仿射概形 \(U\) 及满平展态射 \(U \to X\)，见《空间的性质》引理 03H6。由概形情形（《除子》引理 0802），存在 \(d > 0\) 及有限型拟凝聚 \(\mathcal{O}_U\)-子模 \(\mathcal{F}' \subset \mathcal{I}_d|_U \subset \mathcal{A}_d|_U\) ，使得 \(Z \times_X U\) 等于 \(\underline{\text{Proj}}_U(\mathcal{A}|_U/\mathcal{F}'\mathcal{A}|_U)\). 由《空间的极限》引理 0829，可找到有限型拟凝聚子模 \(\mathcal{F} \subset \mathcal{I}_d\)，使得 \(\mathcal{F}' \subset \mathcal{F}|_U\)。令 \(Z' = \underline{\text{Proj}}_X(\mathcal{A}/\mathcal{F}\mathcal{A})\). 则 \(Z' \to P\) 是闭浸入

（引理 085J），且因为 \(\mathcal{F}\mathcal{A} \subset \mathcal{I}\)，有 \(Z \subset Z'\)。另一方面，由 \(\mathcal{F}\) 的选取，\(Z' \times_X U \subset Z \times_X U\)。故如愿有 \(Z = Z'\)。

引理

设 \(S\) 为概形，\(X\) 为 \(S\) 上拟紧且拟分离的代数空间，\(\mathcal{A}\) 为拟凝聚分次 \(\mathcal{O}_X\)-代数。设 \(\pi : P = \underline{\text{Proj}}_X(\mathcal{A}) \to X\) 为 \(\mathcal{A}\) 的相对 Proj。设

\(i : Z \to X\) 为闭子空间，\(U \subset X\) 为开集。假设：

\(\pi\) 拟紧；

\(i\) 有限表示；

\(|U| \cap |\pi|(|i|(|Z|)) = \emptyset\),

\(U\) 拟紧；

对所有 \(n\)，\(\mathcal{A}_n\) 都是有限型 \(\mathcal{O}_X\)-模。

则存在 \(d > 0\) 及有限型拟凝聚 \(\mathcal{O}_X\)-子模 \(\mathcal{F} \subset \mathcal{A}_d\)，满足 (a) \(Z = \underline{\text{Proj}}_X(\mathcal{A}/\mathcal{F}\mathcal{A})\) ，且 (b) \(\mathcal{A}_d/\mathcal{F}\) 的支撑与 \(U\) 不交。

证明

我们采用与引理 085M 的证明相同的技巧，归约到概形情形。设 \(\mathcal{I} \subset \mathcal{A}\) 为引理 085L 中截出 \(Z\) 的拟凝聚分次理想。选取仿射概形 \(W\) 及满平展态射 \(W \to X\)，见《空间的性质》引理 03H6。由概形情形（《除子》引理 0803），存在 \(d > 0\) 及有限型拟凝聚 \(\mathcal{O}_W\)-子模 \(\mathcal{F}' \subset \mathcal{I}_d|_W \subset \mathcal{A}_d|_W\) ，使得 (a) \(Z \times_X W\) 等于 \(\underline{\text{Proj}}_W(\mathcal{A}|_W/\mathcal{F}'\mathcal{A}|_W)\) ，且 (b) \(\mathcal{A}_d|_W/\mathcal{F}'\) 的支撑与 \(U \times_X W\) 不交。由《空间的极限》引理 0829，可找到有限型拟凝聚子模 \(\mathcal{F} \subset \mathcal{I}_d\)，使得 \(\mathcal{F}' \subset \mathcal{F}|_W\)。令 \(Z' = \underline{\text{Proj}}_X(\mathcal{A}/\mathcal{F}\mathcal{A})\). 则 \(Z' \to P\) 是闭浸入（引理

085J），且因为 \(\mathcal{F}\mathcal{A} \subset \mathcal{I}\)，有 \(Z \subset Z'\)。另一方面，由 \(\mathcal{F}\) 的选取，\(Z' \times_X W \subset Z \times_X W\)。故 \(Z = Z'\)。最后，\(\mathcal{A}_d|_W/\mathcal{F}|_W\) 是 \(\mathcal{A}_d|_W/\mathcal{F}'\) 的商，而后者的支撑包含于

\(W \setminus U \times_X W\)，故可见 \(\mathcal{A}_d/\mathcal{F}\) 的支撑包含于 \(X \setminus U\)。引理得证。

引理

设 \(S\) 为概形，\(X\) 为 \(S\) 上的代数空间，\(\mathcal{E}\) 为拟凝聚 \(\mathcal{O}_X\)-模。存在双射 \[\left\{ \begin{matrix} \text{截面 }\sigma\text{，其所属的} \\ \text{态射为 } \mathbf{P}(\mathcal{E}) \to X \end{matrix} \right\} \leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} \text{满射 }\mathcal{E} \to \mathcal{L}\text{，其中} \\ \mathcal{L}\text{ 是可逆 }\mathcal{O}_X\text{-模} \end{matrix} \right\}\] 在此情形下，\(\sigma\) 是闭浸入，并且有典范同构 \[\Ker(\mathcal{E} \to \mathcal{L}) \otimes_{\mathcal{O}_X} \mathcal{L}^{\otimes -1} \longrightarrow \mathcal{C}_{\sigma(X)/\mathbf{P}(\mathcal{E})}\] 该双射和同构都与基变换相容。

证明

由于这些构造与基变换相容，只需在 \(X\) 上平展局部地验证该断言。因此，可以假设 \(X\) 是概形，此时结果即《除子》引理 0B3V。

爆破

爆破是代数几何中的重要工具。

定义

设 \(S\) 为概形，\(X\) 为 \(S\) 上的代数空间。设 \(\mathcal{I} \subset \mathcal{O}_X\) 为拟凝聚理想层，并设 \(Z \subset X\) 为 \(\mathcal{I}\) 所对应的闭子空间（《空间的态射》引理 03MB）。沿 \(Z\) 的 \(X\) 的爆破，或在理想层 \(\mathcal{I}\) 处的 \(X\) 的爆破，是态射 \[b : \underline{\text{Proj}}_X \left(\bigoplus\nolimits_{n \geq 0} \mathcal{I}^n\right) \longrightarrow X\] 。爆破的 例外除子 是逆像 \(b^{-1}(Z)\)。有时称 \(Z\) 为爆破的中心。

稍后会看到，例外除子是有效 Cartier 除子。此外，爆破可以刻画为 \(X\) 上使 \(Z\) 的逆像成为有效 Cartier 除子的“最小”代数空间。

若 \(b : X' \to X\) 是 \(X\) 在 \(Z\) 处的爆破，则常以 \(\mathcal{O}_{X'}(n)\) 表示结构层的扭转。注意，它们是可逆 \(\mathcal{O}_{X'}\)-模，并且 \(\mathcal{O}_{X'}(n) = \mathcal{O}_{X'}(1)^{\otimes n}\) ，因为 \(X'\) 是一个由 \(1\) 次部分生成的拟凝聚分次 \(\mathcal{O}_X\)-代数的相对 Proj，见引理 085D。

引理

设 \(S\) 为概形，\(X\) 为 \(S\) 上的代数空间， \(\mathcal{I} \subset \mathcal{O}_X\) 为拟凝聚理想层。设 \(U = \Spec(A)\) 为平展于 \(X\) 的仿射概形，并设 \(I \subset A\) 为 \(\mathcal{I}|_U\) 所对应的理想。若 \(X' \to X\) 是 \(X\) 在 \(\mathcal{I}\) 处的爆破，则有典范同构 \[U \times_X X' = \text{Proj}(\bigoplus\nolimits_{d \geq 0} I^d)\] ，这是 \(U\) 上概形的同构；右端是 \(A\) 中 \(I\) 的 Rees 代数的齐次谱。此外， \(U \times_X X'\) 有一个由仿射爆破代数 \(A[\frac{I}{a}]\) 的谱组成的仿射开覆盖。

证明

注意，限制 \(\mathcal{I}|_U\) 等于 \(\mathcal{I}\) 沿态射 \(U \to X\) 的拉回，见《空间的性质》第 03LT 节。因此，将引理 084B 与《除子》引理 0804 结合即得本引理。

引理

设 \(S\) 为概形，\(X_1 \to X_2\) 为 \(S\) 上代数空间的平坦态射， \(Z_2 \subset X_2\) 为闭子空间。设 \(Z_1\) 为 \(Z_2\) 在 \(X_1\) 中的逆像，并设 \(X'_i\) 为 \(X_i\) 在 \(Z_i\) 处的爆破。则存在笛卡尔图 \[\xymatrix{ X_1' \ar[r] \ar[d] & X_2' \ar[d] \\ X_1 \ar[r] & X_2 }\] ，其中各项都是 \(S\) 上的代数空间。

证明

设 \(\mathcal{I}_2\) 为 \(Z_2\) 在 \(X_2\) 中的理想层，以 \(g : X_1 \to X_2\) 表示给定态射。则 \(Z_1\) 的理想层 \(\mathcal{I}_1\) 是映射 \(g^*\mathcal{I}_2 \to \mathcal{O}_{X_1}\) 的像（见《空间的态射》定义 083Q 及定义后的讨论）。由引理 085C 可见， \(X_1 \times_{X_2} X_2'\) 是 \(\bigoplus_{n \geq 0} g^*\mathcal{I}_2^n\) 的相对 Proj。由于 \(g\) 平坦，映射 \(g^*\mathcal{I}_2^n \to \mathcal{O}_{X_1}\) 是单射，其像为 \(\mathcal{I}_1^n\)。故 \(X_1 \times_{X_2} X_2' = X_1'\)。

引理

设 \(S\) 为概形，\(X\) 为 \(S\) 上的代数空间，\(Z \subset X\) 为闭子空间。 \(X\) 在 \(Z\) 处的爆破 \(b : X' \to X\) 具有下列性质：

\(b|_{b^{-1}(X \setminus Z)} : b^{-1}(X \setminus Z) \to X \setminus Z\) 是同构；

例外除子 \(E = b^{-1}(Z)\) 是 \(X'\) 上的有效 Cartier 除子；

有典范同构 \(\mathcal{O}_{X'}(-1) = \mathcal{O}_{X'}(E)\)

证明

设 \(U\) 为概形，\(U \to X\) 为满平展态射。由于爆破与平坦基变换可交换（引理 085S），可以在基变换到 \(U\) 后证明各断言。这把问题归约到概形情形，此时结果即《除子》引理 02OS。

引理

设 \(S\) 为概形，\(X\) 为 \(S\) 上的代数空间，\(Z \subset X\) 为闭子空间。设 \(\mathcal{C}\) 为 \((\textit{Spaces}/X)\) 的满子范畴，其对象是满足如下条件的 \(Y \to X\)：\(Z\) 的逆像是 \(Y\) 上的有效 Cartier 除子。则 \(X\) 在 \(Z\) 处的爆破 \(b : X' \to X\) 是 \(\mathcal{C}\) 的终对象。

证明

由引理 085T 可见， \(b : X' \to X\) 是 \(\mathcal{C}\) 的对象。设 \(f : Y \to X\) 为 \(\mathcal{C}\) 的对象。我们须证明存在唯一的 \(X\) 上态射 \(Y \to X'\)。令 \(D = f^{-1}(Z)\)。设 \(\mathcal{I} \subset \mathcal{O}_X\) 为 \(Z\) 的理想层， \(\mathcal{I}_D\) 为 \(D\) 的理想层。则 \(f^*\mathcal{I} \to \mathcal{I}_D\) 是到可逆 \(\mathcal{O}_Y\)-模的满射。它延拓为分次 \(\mathcal{O}_Y\)-代数映射 \(\psi : \bigoplus f^*\mathcal{I}^d \to \bigoplus \mathcal{I}_D^d\) 。（注意，因为 \(D\) 是有效 Cartier 除子，有 \(\mathcal{I}_D^d = \mathcal{I}_D^{\otimes d}\)。）由引理

085D，三元组 \((f : Y \to X, \mathcal{I}_D, \psi)\) 定义了 \(X\) 上态射 \(Y \to X'\)。其限制 \[Y \setminus D \longrightarrow X' \setminus b^{-1}(Z) = X \setminus Z\] 是唯一的。由引理 083S，开子空间 \(Y \setminus D\) 在 \(Y\) 中概形论稠密。因此，由《空间的态射》引理 084N，态射 \(Y \to X'\) 唯一（而且由引理 084E，\(b\) 分离）。

引理

设 \(S\) 为概形，\(X\) 为 \(S\) 上的代数空间，\(Z \subset X\) 为有效 Cartier 除子。\(X\) 在 \(Z\) 处的爆破是 \(X\) 的恒等态射。

证明

这立即由爆破的泛性质（引理 085U）得出。

引理

设 \(S\) 为概形，\(X\) 为 \(S\) 上的代数空间， \(\mathcal{I} \subset \mathcal{O}_X\) 为拟凝聚理想层。若 \(X\) 约化，则 \(X\) 在 \(\mathcal{I}\) 处的爆破 \(X'\) 约化。

证明

设 \(U\) 为概形，\(U \to X\) 为满平展态射。由于爆破与平坦基变换可交换（引理 085S），可以在基变换到 \(U\) 后证明该断言。这把问题归约到概形情形，此时结果即《除子》引理 0808。

引理

设 \(S\) 为概形，\(X\) 为 \(S\) 上的代数空间，\(b : X' \to X\) 为 \(X\) 在某闭子空间处的爆破。若 \(X\) 满足《空间的态射》引理 0BB1 的等价条件，则 \(X'\) 也满足。

证明

这立即由陈述中所引用的引理、引理 085R 中爆破的平展局部描述以及《除子》引理 0BFM 得出。

引理

设 \(S\) 为概形，\(X\) 为 \(S\) 上的代数空间，\(b : X' \to X\) 为 \(X\) 在某闭子空间处的爆破。对 \(X\) 上任意有效 Cartier 除子 \(D\)，拉回 \(b^{-1}D\) 有定义（见定义 083Y）。

证明

由引理 085R 及 083C，这归约为下列代数事实：设 \(A\) 为环，\(I \subset A\) 为理想，\(a \in I\)，而 \(x \in A\) 为非零因子。则 \(x\) 在 \(A[\frac{I}{a}]\) 中的像是非零因子。事实上，假设 \(x (y/a^n) = 0\) 在 \(A[\frac{I}{a}]\) 中成立。则对某个 \(m\)，在 \(A\) 中有 \(a^mxy = 0\)。由于 \(x\) 是非零因子，故 \(a^my = 0\)。于是如所需，\(y/a^n\) 在 \(A[\frac{I}{a}]\) 中为零。

引理

设 \(S\) 为概形，\(X\) 为 \(S\) 上的代数空间。设

\(\mathcal{I} \subset \mathcal{O}_X\) 及 \(\mathcal{J}\) 为拟凝聚理想层。设 \(b : X' \to X\) 为 \(X\) 在 \(\mathcal{I}\) 处的爆破，\(b' : X'' \to X'\) 为 \(X'\) 在 \(b^{-1}\mathcal{J} \mathcal{O}_{X'}\) 处的爆破。则 \(X'' \to X\) 典范同构于 \(X\) 在 \(\mathcal{I}\mathcal{J}\) 处的爆破。

证明

设 \(E \subset X'\) 为 \(b\) 的例外除子，由引理 085T，它是有效 Cartier 除子。由引理 085X，\((b')^{-1}E\) 是 \(X''\) 上的有效 Cartier 除子。设 \(E' \subset X''\) 为 \(b'\) 的例外除子（它也是有效 Cartier 除子）。考虑有效 Cartier 除子 \(E'' = E' + (b')^{-1}E\)。按构造，\(E''\) 的理想为 \((b \circ b')^{-1}\mathcal{I} (b \circ b')^{-1}\mathcal{J} \mathcal{O}_{X''}\). 因此，由引理 085U，存在从 \(X''\) 到 \(X\) 在 \(\mathcal{I}\mathcal{J}\) 处的爆破 \(c : Y \to X\) 的典范态射。反过来，由于 \(\mathcal{I}\mathcal{J}\) 拉回为可逆理想，可见 \(c^{-1}\mathcal{I}\mathcal{O}_Y\) 定义有效 Cartier 除子，见引理 083W。因此，由引理

085U，存在 \(X\) 上态射 \(c' : Y \to X'\)。于是 \((c')^{-1}b^{-1}\mathcal{J}\mathcal{O}_Y = c^{-1}\mathcal{J}\mathcal{O}_Y\)，它也定义有效 Cartier 除子。因此，存在 \(X'\) 上态射 \(c'' : Y \to X''\)。我们略去验证此态射与先前构造的态射 \(X'' \to Y\) 互逆。

引理

设 \(S\) 为概形，\(X\) 为 \(S\) 上的代数空间， \(\mathcal{I} \subset \mathcal{O}_X\) 为拟凝聚理想层。设 \(b : X' \to X\) 为 \(X\) 在理想层 \(\mathcal{I}\) 处的爆破。若 \(\mathcal{I}\) 是有限型的，则 \(b : X' \to X\) 是固有态射。

证明

设 \(U\) 为概形，\(U \to X\) 为满平展态射。由于爆破与平坦基变换可交换（引理 085S），可以在基变换到 \(U\) 后证明该断言（见《空间的态射》引理 083R）。这把问题归约到概形情形。此时，由《除子》引理 02NS，态射 \(b\) 是射影的，故由《态射》引理 01WC，它是固有的。

引理

设 \(S\) 为概形，\(X\) 为 \(S\) 上的代数空间。假设 \(X\) 拟紧且拟分离。设 \(Z \subset X\) 为有限表示闭子空间，\(b : X' \to X\) 为中心为 \(Z\) 的爆破。设 \(Z' \subset X'\) 为有限表示闭子空间，\(X'' \to X'\) 为中心为 \(Z'\) 的爆破。则存在有限表示闭子空间 \(Y \subset X\)，使得：

\(|Y| = |Z| \cup |b|(|Z'|)\)；

复合态射 \(X'' \to X\) 同构于 \(X\) 在 \(Y\) 处的爆破。

证明

条件 \(Z \to X\) 有限表示意味着 \(Z\) 由有限型拟凝聚理想层 \(\mathcal{I} \subset \mathcal{O}_X\) 截出，见《空间的态射》引理 084Q。写 \(\mathcal{A} = \bigoplus_{n \geq 0} \mathcal{I}^n\)，从而 \(X' = \underline{\text{Proj}}(\mathcal{A})\)。注意，由《空间的极限》引理 0855，\(X \setminus Z\) 是 \(X\) 的拟紧开子空间。由于 \(b^{-1}(X \setminus Z) \to X \setminus Z\) 是同构（引理 085T），同一结果表明 \(b^{-1}(X \setminus Z) \setminus Z'\) 是 \(X'\) 的拟紧开子空间。因此， \(U = X \setminus (Z \cup b(Z'))\) 是 \(X\) 的拟紧开子空间。由引理 085N，存在 \(d > 0\) 及有限型 \(\mathcal{O}_X\)-子模 \(\mathcal{F} \subset \mathcal{I}^d\)，使得 \(Z' = \underline{\text{Proj}}(\mathcal{A}/\mathcal{F}\mathcal{A})\)，并且 \(\mathcal{I}^d/\mathcal{F}\) 的支撑包含于 \(X \setminus U\)。

由于 \(\mathcal{F} \subset \mathcal{I}^d\) 是 \(\mathcal{O}_X\)-子模，可以把 \(\mathcal{F} \subset \mathcal{I}^d \subset \mathcal{O}_X\) 看作 \(X\) 上的有限型拟凝聚理想层。为避免混淆，将其记为 \(\mathcal{J} \subset \mathcal{O}_X\)。由于 \(\mathcal{I}^d / \mathcal{J}\) 及 \(\mathcal{O}/\mathcal{I}^d\) 的支撑都包含于 \(|X| \setminus |U|\)，可见 \(|V(\mathcal{J})|\) 包含于 \(|X| \setminus |U|\)。反过来，由于 \(\mathcal{J} \subset \mathcal{I}^d\)，可见 \(|Z| \subset |V(\mathcal{J})|\)。在 \(X \setminus Z \cong X' \setminus b^{-1}(Z)\) 上，理想层 \(\mathcal{J}\) 截出 \(Z'\)（见下方公式）。因此，\(|V(\mathcal{J})|\) 等于 \(|Z| \cup |b|(|Z'|)\)，从而还有 \(|V(\mathcal{I}\mathcal{J})| = |Z| \cup |b|(|Z'|)\)。此外， \(\mathcal{I}\mathcal{J}\) 是两个有限型理想之积，故也是有限型理想。我们断言 \(X'' \to X\) 同构于 \(X\) 在 \(\mathcal{I}\mathcal{J}\) 处的爆破；令 \(Y = V(\mathcal{I}\mathcal{J})\)，这便完成引理的证明。

首先回顾，\(X\) 在 \(\mathcal{I}\mathcal{J}\) 处的爆破等同于 \(X'\) 在 \(b^{-1}\mathcal{J} \mathcal{O}_{X'}\) 处的爆破，见引理 085Y。因此，只需证明 \(X'\) 在 \(b^{-1}\mathcal{J} \mathcal{O}_{X'}\) 处的爆破与 \(X'\) 在 \(Z'\) 处的爆破一致。我们将证明 \[b^{-1}\mathcal{J} \mathcal{O}_{X'} = \mathcal{I}_E^d \mathcal{I}_{Z'}\]

，这是 \(X''\) 上理想层的等式。这将证明所需，因为 \(\mathcal{I}_E^d\) 截出有效 Cartier 除子 \(dE\)，而我们可以使用引理 085V 和 085Y。

为验证所示理想的等式，可以局部进行。采用引理 085R 中的记号 \(A\)、\(I\)、\(a \in I\)，可见

\(\mathcal{F}\) 对应于一个 \(R\)-子模 \(M \subset I^d\)，后者同构映到理想 \(J \subset R\)。条件 \(Z' = \underline{\text{Proj}}(\mathcal{A}/\mathcal{F}\mathcal{A})\) 意味着 \(Z' \cap \Spec(A[\frac{I}{a}])\) 由元素 \(m/a^d\)（\(m \in M\)）生成的理想截出。设元素 \(m \in M\) 对应于函数 \(f \in J\)。那么在仿射爆破代数 \(A' = A[\frac{I}{a}]\) 中，有 \(f = (a^dm)/a^d = a^d (m/a^d)\)。故等式成立。

严格变换

本节是《除子》第 080C 节的对应版本。设 \(S\) 为概形，\(B\) 为 \(S\) 上的代数空间，且 \(Z \subset B\) 为闭子空间。设 \(b : B' \to B\) 为 \(B\) 在 \(Z\) 处的爆破，并以 \(E \subset B'\) 表示例外除子

\(E = b^{-1}Z\)。下文常考虑 \(B\) 上的代数空间 \(X\)，并作笛卡尔图 \[\xymatrix{ \text{pr}_{B'}^{-1}E \ar[r] \ar[d] & X \times_B B' \ar[r]_-{\text{pr}_X} \ar[d]_{\text{pr}_{B'}} & X \ar[d]^f \\ E \ar[r] & B' \ar[r] & B }\] 。由于 \(E\) 是有效 Cartier 除子（引理 085T），可见 \(\text{pr}_{B'}^{-1}E \subset X \times_B B'\) 是局部主的（引理 083X）。因此， \(\text{pr}_{B'}^{-1}E\) 在 \(X \times_B B'\) 中之补集的包含态射是仿射的，特别地是拟紧的（引理 083D）。因此，对拟凝聚 \(\mathcal{O}_{X \times_B B'}\)-模 \(\mathcal{G}\)，支撑于 \(|\text{pr}_{B'}^{-1}E|\) 的截面子层是拟凝聚子模，见《空间的极限》定义 085A。若 \(\mathcal{G}\) 是拟凝聚代数层，例如 \(\mathcal{G} = \mathcal{O}_{X \times_B B'}\)，则此子层是 \(\mathcal{G}\) 的理想。

定义

沿用上述 \(Z \subset B\) 与 \(f : X \to B\)。

给定拟凝聚 \(\mathcal{O}_X\)-模 \(\mathcal{F}\)，\(\mathcal{F}\) 关于 \(B\) 在 \(Z\) 处爆破的严格变换，是 \(\text{pr}_X^*\mathcal{F}\) 模去支撑于 \(|\text{pr}_{B'}^{-1}E|\) 的截面子模所得的商 \(\mathcal{F}'\)。

\(X\) 的严格变换是闭子空间 \(X' \subset X \times_B B'\)，它由 \(\mathcal{O}_{X \times_B B'}\) 中支撑于 \(|\text{pr}_{B'}^{-1}E|\) 的截面所成的拟凝聚理想截出。

注意，沿一次爆破取严格变换依赖于该爆破所使用的闭子空间（而不仅依赖于态射 \(B' \to B\)）。

引理

处于定义 0862 的情形。设 \[\xymatrix{ U \ar[r] \ar[d] & X \ar[d] \\ V \ar[r] & B }\] 为态射的交换图，其中 \(U\) 与 \(V\) 为概形，水平箭头为平展态射。设 \(V' \to V\) 为 \(V\) 在 \(Z \times_B V\) 处的爆破。则

\(V' = V \times_B B'\)，且态射 \(V' \to B'\) 与 \(U \times_V V' \to X \times_B B'\) 都是平展的；

\(U\) 关于 \(V' \to V\) 的严格变换 \(U'\) 等于 \(X' \times_X U\)，其中 \(X'\) 是 \(X\) 关于 \(B' \to B\) 的严格变换；并且

对拟凝聚 \(\mathcal{O}_X\)-模 \(\mathcal{F}\)，严格变换 \(\mathcal{F}'\) 在 \(U \times_V V'\) 上的限制是 \(\mathcal{F}|_U\) 关于 \(V' \to V\) 的严格变换。

证明

(1) 由爆破与平坦基变换可交换（引理 085S）、平展态射平坦以及平展态射的基变换仍平展这些事实得出。(3) 随即由下述事实得出：取支撑于闭集的截面层与沿平展态射的拉回可交换，见《空间的极限》引理

0859。(2) 由把 (3) 应用于 \(\mathcal{F} = \mathcal{O}_X\) 得出。

引理

处于定义 0862 的情形。

\(X\) 的严格变换 \(X'\) 是 \(X\) 在闭子空间 \(f^{-1}Z\) 处的爆破；这里该闭子空间位于 \(X\) 中。

对拟凝聚 \(\mathcal{O}_X\)-模 \(\mathcal{F}\)，严格变换 \(\mathcal{F}'\) 典范同构于 \(\mathcal{F}\) 关于爆破 \(X' \to X\) 的严格变换沿 \(X' \to X \times_B B'\) 的正像。

证明

设 \(X'' \to X\) 为 \(X\) 在 \(f^{-1}Z\) 处的爆破。由爆破的泛性质（引理 085U），存在交换图 \[\xymatrix{ X'' \ar[r] \ar[d] & X \ar[d] \\ B' \ar[r] & B }\] ，从而得到态射 \(i : X'' \to X \times_B B'\)。引理的第一个断言是 \(i\) 为像等于 \(X'\) 的闭浸入。第二个断言是 \(\mathcal{F}' = i_*\mathcal{F}''\)，其中 \(\mathcal{F}''\) 是 \(\mathcal{F}\) 关于爆破 \(X'' \to X\) 的严格变换。可以在 \(X\) 上平展局部地检验这些断言，因而归约到概形情形（《除子》引理 080E）。略去若干细节。

引理

处于定义 0862 的情形。

若 \(X\) 在所有位于 \(Z\) 上方的点处都平坦于 \(B\)，则 \(X\) 的严格变换等于基变换 \(X \times_B B'\)。

设 \(\mathcal{F}\) 为拟凝聚 \(\mathcal{O}_X\)-模。若 \(\mathcal{F}\) 在所有位于 \(Z\) 上方的点处都平坦于 \(B\)，则 \(\mathcal{F}\) 的严格变换 \(\mathcal{F}'\) 等于拉回 \(\text{pr}_X^*\mathcal{F}\)。

证明

略。提示：由概形情形（《除子》引理 080F）经平展局部化（引理 0863）得出。

引理

设 \(S\) 为概形，\(B\) 为 \(S\) 上的代数空间，\(Z \subset B\) 为闭子空间。设 \(b : B' \to B\) 为 \(B\) 在 \(Z\) 处的爆破，\(g : X \to Y\) 为 \(B\) 上代数空间的仿射态射。设 \(\mathcal{F}\) 为 \(X\) 上的拟凝聚层。设 \(g' : X \times_B B' \to Y \times_B B'\) 为 \(g\) 的基变换，\(\mathcal{F}'\) 为 \(\mathcal{F}\) 关于 \(b\) 的严格变换。则 \(g'_*\mathcal{F}'\) 是 \(g_*\mathcal{F}\) 的严格变换。

证明

略。提示：由概形情形（《除子》引理 080G）经平展局部化（引理 0863）得出。

引理

设 \(S\) 为概形，\(B\) 为 \(S\) 上的代数空间，\(Z \subset B\) 为闭子空间。设 \(D \subset B\) 为有效 Cartier 除子，\(Z' \subset B\) 为由 \(Z\) 与 \(D\) 的理想层之积截出的闭子空间。设 \(B' \to B\) 为 \(B\) 在 \(Z\) 处的爆破。

\(B\) 在 \(Z'\) 处的爆破同构于 \(B' \to B\)。

设 \(f : X \to B\) 为代数空间的态射，\(\mathcal{F}\) 为拟凝聚 \(\mathcal{O}_X\)-模。若 \(\mathcal{F}\) 中支撑于 \(|f^{-1}D|\) 的截面子层为零，则 \(\mathcal{F}\) 关于在 \(Z\) 处爆破的严格变换，与 \(\mathcal{F}\) 关于 \(B\) 在 \(Z'\) 处爆破的严格变换一致。

证明

略。提示：由概形情形（《除子》引理 080H）经平展局部化（引理 0863）得出。

引理

设 \(S\) 为概形，\(B\) 为 \(S\) 上的代数空间，\(Z \subset B\) 为闭子空间。设 \(b : B' \to B\) 为中心为 \(Z\) 的爆破。设 \(Z' \subset B'\) 为闭子空间， \(B'' \to B'\) 为中心为 \(Z'\) 的爆破。设

\(Y \subset B\) 为闭子概形，并且 \(|Y| = |Z| \cup |b|(|Z'|)\)，复合态射 \(B'' \to B\) 同构于 \(B\) 在 \(Y\) 处的爆破。在此情形，对任意 \(B\) 上概形 \(X\) 及 \(\mathcal{F} \in \QCoh(\mathcal{O}_X)\)，有

\(\mathcal{F}\) 关于 \(B\) 在 \(Y\) 处爆破的严格变换，等于先取 \(\mathcal{F}\) 关于 \(B\) 在 \(Z\) 处的爆破 \(B' \to B\) 的严格变换，再取所得层关于在 \(Z'\) 处的爆破 \(B'' \to B'\) 的严格变换；并且

\(X\) 关于 \(B\) 在 \(Y\) 处爆破的严格变换，等于先取 \(X\) 关于 \(B\) 在 \(Z\) 处的爆破 \(B' \to B\) 的严格变换，再取所得空间关于在 \(Z'\) 处的爆破 \(B'' \to B'\) 的严格变换。

证明

略。提示：由概形情形（《除子》引理 080I）经平展局部化（引理 0863）得出。

引理

处于定义 0862 的情形。假设 \[0 \to \mathcal{F}_1 \to \mathcal{F}_2 \to \mathcal{F}_3 \to 0\] 是 \(X\) 上拟凝聚层的正合列，并且在任意基变换 \(T \to B\) 后仍正合。则关于任意爆破 \(B' \to B\) 的严格变换

\(\mathcal{F}_i'\) 也组成短正合列 \(0 \to \mathcal{F}'_1 \to \mathcal{F}'_2 \to \mathcal{F}'_3 \to 0\)。

证明

略。提示：由概形情形（《除子》引理 080W）经平展局部化（引理 0863）得出。

引理

设 \(S\) 为概形，\(B\) 为 \(S\) 上的代数空间，\(\mathcal{F}\) 为有限型拟凝聚 \(\mathcal{O}_B\)-模。设

\(Z_k \subset S\) 为由 \(\text{Fit}_k(\mathcal{F})\) 截出的闭子概形，见第 0CZ3 节。设 \(B' \to B\) 为 \(B\) 在 \(Z_k\) 处的爆破， \(\mathcal{F}'\) 为 \(\mathcal{F}\) 的严格变换。则 \(\mathcal{F}'\) 局部可由 \(\leq k\) 个截面生成。

证明

略。由概形情形（《除子》引理 0CZP）经平展局部化（引理 0863）得出。

引理

设 \(S\) 为概形，\(B\) 为 \(S\) 上的代数空间，\(\mathcal{F}\) 为有限型拟凝聚 \(\mathcal{O}_B\)-模。设

\(Z_k \subset S\) 为由 \(\text{Fit}_k(\mathcal{F})\) 截出的闭子概形，见第 0CZ3 节。假设 \(\mathcal{F}\) 在 \(B \setminus Z_k\) 上局部自由且秩为 \(k\)。设 \(B' \to B\) 为 \(B\) 在 \(Z_k\) 处的爆破，\(\mathcal{F}'\) 为 \(\mathcal{F}\) 的严格变换。则 \(\mathcal{F}'\) 局部自由且秩为 \(k\)。

证明

略。由概形情形（《除子》引理 0CZQ）经平展局部化（引理 0863）得出。

容许爆破

为更好地控制所用的爆破，引入以下标准术语。

定义

设 \(S\) 为概形，\(X\) 为 \(S\) 上的代数空间，\(U \subset X\) 为开子空间。若存在有限表示闭浸入 \(Z \to X\)，其中 \(Z\) 与 \(U\) 不交，并且 \(X'\) 同构于 \(X\) 在 \(Z\) 处的爆破，则称态射 \(X' \to X\) 为\(U\)-容许爆破。

回顾：\(Z \to X\) 有限表示，当且仅当理想层 \(\mathcal{I}_Z \subset \mathcal{O}_X\) 为有限型，见《空间的态射》引理 084Q。特别地， \(U\)-容许爆破是固有态射，见引理 085Z。注意，可能有多个中心给出同一态射。因此，要求仅仅是存在某个与 \(U\) 不交且产生 \(X'\) 的中心。最后，由于态射 \(b : X' \to X\) 在 \(U\) 上是同构（见引理 085T），我们常滥用记号，也把 \(U\) 看作 \(X'\) 的开子空间。

引理

设 \(S\) 为概形，\(X\) 为 \(S\) 上拟紧拟分离的代数空间，\(U \subset X\) 为拟紧开子空间。设 \(b : X' \to X\) 为 \(U\)-容许爆破，\(X'' \to X'\) 为 \(U\)-容许爆破。则复合态射 \(X'' \to X\) 是 \(U\)-容许爆破。

证明

立即由更精确的引理 0860 得出。

引理

设 \(S\) 为概形。设

\(X\) 为拟紧拟分离代数空间，\(U, V \subset X\) 为拟紧开子空间。设 \(b : V' \to V\) 为 \(U \cap V\)-容许爆破。则存在 \(U\)-容许爆破 \(X' \to X\)，其在 \(V\) 上的限制为 \(V'\)。

证明

设 \(\mathcal{I} \subset \mathcal{O}_V\) 为有限型拟凝聚理想层，使得 \(V(\mathcal{I})\) 与 \(U \cap V\) 不交，且 \(V'\) 同构于 \(V\) 在 \(\mathcal{I}\) 处的爆破。设 \(\mathcal{I}' \subset \mathcal{O}_{U \cup V}\) 为拟凝聚理想层，其在 \(U\) 上的限制为 \(\mathcal{O}_U\)，在 \(V\) 上的限制为 \(\mathcal{I}\)。由《空间的极限》引理 0853，存在有限型拟凝聚理想层 \(\mathcal{J} \subset \mathcal{O}_X\)，其在 \(U \cup V\) 上的限制为 \(\mathcal{I}'\)。引理得证。

引理

设 \(S\) 为概形，\(X\) 为 \(S\) 上拟紧拟分离的代数空间，\(U \subset X\) 为拟紧开子空间。设

\(b_i : X_i \to X\)（\(i = 1, \ldots, n\)）为 \(U\)-容许爆破。则存在 \(U\)-容许爆破 \(b : X' \to X\)，使得 (a) 对 \(i = 1, \ldots, n\)，\(b\) 分解为 \(X' \to X_i \to X\)；且 (b) 每个态射 \(X' \to X_i\) 都是 \(U\)-容许爆破。

证明

设 \(\mathcal{I}_i \subset \mathcal{O}_X\) 为有限型拟凝聚理想层，使得 \(V(\mathcal{I}_i)\) 与 \(U\) 不交，且 \(X_i\) 同构于 \(X\) 在 \(\mathcal{I}_i\) 处的爆破。令 \(\mathcal{I} = \mathcal{I}_1 \cdot \ldots \cdot \mathcal{I}_n\)，并令 \(X'\) 为 \(X\) 在 \(\mathcal{I}\) 处的爆破。则由引理 085Y， \(X' \to X\) 经由 \(b_i\) 分解。

引理

设 \(S\) 为概形，\(X\) 为 \(S\) 上拟紧拟分离的代数空间，\(U, V\) 为 \(X\) 的两个不交拟紧开子空间。则存在 \(U \cup V\)-容许爆破 \(b : X' \to X\)，使得 \(X'\) 是开子空间的不交并 \(X' = X'_1 \amalg X'_2\)，并且 \(b^{-1}(U) \subset X'_1\)、 \(b^{-1}(V) \subset X'_2\)。

证明

选取有限型拟凝聚理想层 \(\mathcal{I}\) 与 \(\mathcal{J}\)，分别使得 \(X \setminus U = V(\mathcal{I})\) 与 \(X \setminus V = V(\mathcal{J})\)，见《空间的极限》引理 0855。于是 \(|V(\mathcal{I}\mathcal{J})| = |X|\)，故 \(\mathcal{I}\mathcal{J}\) 是局部幂零理想层。由于 \(\mathcal{I}\) 与 \(\mathcal{J}\) 是有限型的，且 \(X\) 拟紧，存在 \(n > 0\) 使得 \(\mathcal{I}^n \mathcal{J}^n = 0\)。可以并且确实用 \(\mathcal{I}^n\) 代替 \(\mathcal{I}\)，用 \(\mathcal{J}^n\) 代替 \(\mathcal{J}\)。于是 \(\mathcal{I} \mathcal{J} = 0\)。设 \(b : X' \to X\) 为在 \(\mathcal{I} + \mathcal{J}\) 处的爆破。由于

\(|V(\mathcal{I} + \mathcal{J})| = |X| \setminus |U| \cup |V|\)，它是 \(U \cup V\)-容许的。我们将证明，如引理陈述中那样，\(X'\) 是开子空间的不交并 \(X' = X'_1 \amalg X'_2\)。

由于 \(|V(\mathcal{I} + \mathcal{J})|\) 是 \(|U \cup V|\) 的补集，可知 \(V \cup U\) 在 \(X'\) 中概形论稠密，见引理 085T 及 083S。因此，若存在这样的分解 \(X' = X'_1 \amalg X'_2\) 为开闭子空间，则 \(X'_1\) 是 \(U\) 在 \(X'\) 中的概形论闭包，类似地，\(X'_2\) 是 \(V\) 在 \(X'\) 中的概形论闭包。由于 \(U \to X'\) 与 \(V \to X'\) 拟紧，取概形论闭包与平展局部化可交换（《空间的态射》引理 082Z）。因此，为验证 \(X'_1\) 与 \(X'_2\) 的存在性，可以在 \(X\) 上平展局部地进行。这把问题归约到概形情形；该情形已在《除子》引理 080P 的证明中处理。

反之，若 \(X\) 良态，则条件 (c) 自动成立。↩︎
此定义受到《构造》引理 01NW 的启发。采用这一定义的优点是，它显然定义了一个等价关系。↩︎
换言之，\(\mathcal{O}_X\) 在 \(\mathcal{A}_0\) 中的整闭包（见《空间的态射》定义 0821）等于 \(\mathcal{A}_0\)。↩︎