引言
本章讨论群胚及其商（当商存在时）的一般理论。 关于这个主题有大量文献，例如参见 [GIT], [seshadri_quotients], [KollarQuotients], [K-M], [KollarFinite] 以及更多文献。
约定与记号
本章采用《空间中的群胚》第 0439 节和第 043A 节中引入的约定与记号。
不变态射
定义
设 \(S\) 为概形，\(B\) 为 \(S\) 上的代数空间。 设 \(j = (t, s) : R \to U \times_B U\) 为 \(B\) 上代数空间的一个预关系。 若下图交换，则称 \(B\) 上代数空间的态射 \(\phi : U \to X\) 是\(R\)-不变的： \[\xymatrix{ R \ar[r]_s \ar[d]_t & U \ar[d]^\phi \\ U \ar[r]^\phi & X }\] 若 \(j : R \to U \times_B U\) 来自群代数空间 \(G\) 在 \(B\) 上对 \(U\) 的作用，如《空间中的群胚》引理 0444 所述， 则称 \(\phi\) 是\(G\)-不变的。
换言之，态射 \(U \to X\) 是 \(R\)-不变的，当且仅当它使 \(s\) 与 \(t\) 相等。用相应的商层可将这一条件改述如下。
引理
设 \(S\) 为概形，\(B\) 为 \(S\) 上的代数空间。 设 \(j = (t, s) : R \to U \times_B U\) 为 \(B\) 上代数空间的一个预关系。 代数空间的态射 \(\phi : U \to X\) 是 \(R\)-不变的，当且仅当它分解为 \(U \to U/R \to X\).
证明
这由《空间中的群胚》第 044H 节中商层的定义立即得到。
引理
设 \(S\) 为概形，\(B\) 为 \(S\) 上的代数空间。 设 \(j = (t, s) : R \to U \times_B U\) 为 \(B\) 上代数空间的一个预关系。 设 \(U \to X\) 为 \(B\) 上代数空间的一个 \(R\)-不变态射， 并设 \(X' \to X\) 为代数空间的任意态射。
令 \(U' = X' \times_X U\)、\(R' = X' \times_X R\)，则得到一个预关系 \(j' : R' \to U' \times_B U'\)。
若 \(j\) 是关系，则 \(j'\) 是关系。
若 \(j\) 是预等价关系，则 \(j'\) 是预等价关系。
若 \(j\) 是等价关系，则 \(j'\) 是等价关系。
若 \(j\) 来自 \(B\) 上代数空间中的群胚 \((U, R, s, t, c)\)，则
\((U, R, s, t, c)\) 是 \(X\) 上代数空间中的群胚；并且
\(j'\) 来自此群胚到 \(X'\) 的基变换 \((U', R', s', t', c')\)，参见《空间中的群胚》引理 0DTA.
若 \(j\) 来自群代数空间 \(G/B\) 在 \(U\) 上的作用，如《空间中的群胚》引理 0444 所述，则 \(j'\) 来自 \(G\) 在 \(U'\) 上的诱导作用。
证明
略。提示：结合下图采用函子观点： \[\xymatrix{ R' = X' \times_X R \ar[dd] \ar[rr] \ar[rd] & & X' \times_X U = U' \ar'[d][dd] \ar[rd] \\ & R \ar[dd] \ar[rr] & & U \ar[dd] \\ U' = X' \times_X U \ar'[r][rr] \ar[rd] & & X' \ar[rd] \\ & U \ar[rr] & & X }\]
定义
在引理 048G 的情形下， 称 \(j' : R' \to U' \times_B U'\) 为预关系 \(j\) 到 \(X'\) 的基变换。 若 \(X' \to X\) 是代数空间的平坦态射，则称其为平坦基变换。
这种基变换与取商层和商叠相容良好。
引理
在引理 048G 的情形下，存在层的同构 \[U'/R' = X' \times_X U/R\] 关于商层的构造，参见《空间中的群胚》第 044H 节。
证明
由于 \(U \to X\) 是 \(R\)-不变的，显然映射 \(U \to X\) 通过商层 \(U/R\) 分解。 回顾按定义， \[\xymatrix{ R \ar@<1ex>[r] \ar@<-1ex>[r] & U \ar[r] & U/R }\] 是 \((\Sch/S)_{fppf}\) 上集合层范畴 \(\Sh\) 中的余等化子图。 事实上，它还是逗号范畴 \(\Sh/X\) 中的余等化子图。 由于基变换函子 \(X' \times_X - : \Sh/X \to \Sh/X'\) 是正合的（这在任意拓扑斯中都成立）， 结论随即得到。
引理
设 \(S\) 为概形，\(B\) 为 \(S\) 上的代数空间。 设 \((U, R, s, t, c)\) 为 \(B\) 上代数空间中的群胚。 设 \(U \to X\) 为 \(B\) 上代数空间的一个 \(R\)-不变态射， \(g : X' \to X\) 为 \(B\) 上代数空间的态射，并令 \((U', R', s', t', c')\) 为引理 048G 中的基变换。则 \[\xymatrix{ [U'/R'] \ar[r] \ar[d] & [U/R] \ar[d] \\ \mathcal{S}_{X'} \ar[r] & \mathcal{S}_X }\] 是 \((\Sch/S)_{fppf}\) 上群胚叠的一个 \(2\)-纤维积。 关于商叠以及图中态射的构造，参见《空间中的群胚》第 044O 节。
证明
我们使用《空间中的群胚》引理 044X 给出的商叠之显式描述来证明这一点。 不过，我们强烈建议读者自行找出证明。 首先，可将 \((U, R, s, t, c)\) 视为 \(X\) 上代数空间中的群胚， 从而得到映射 \(f : [U/R] \to \mathcal{S}_X\)，参见《空间中的群胚》引理 044R。 类似地，有 \(f' : [U'/R'] \to X'\)。
\(S\) 上概形 \(T\) 上的 \(2\)-纤维积 \(\mathcal{S}_{X'} \times_{\mathcal{S}_X} [U/R]\) 的一个对象， 等价于一个态射 \(x' : T \to X'\) 和 \(T\) 上 \([U/R]\) 的一个对象 \(y\)， 满足复合 \(g \circ x'\) 等于 \(f(y)\)。 这是有意义的，因为 \(T\) 上 \(\mathcal{S}_X\) 的对象就是态射 \(T \to X\)。 由《空间中的群胚》引理 044X 可设 \(y\) 由相对于一个 fppf 覆盖 \(\{T_i \to T\}\) 的 \([U/R]\)-下降数据 \((u_i, r_{ij})\) 给出。 等式 \(g \circ x' = f(y)\) 意味着下列图表 \[\vcenter{ \xymatrix{ T_i \ar[rr]_{u_i} \ar[d] & & U \ar[d] \\ T \ar[r]^{x'} & X' \ar[r]^g & X } } \quad\text{以及}\quad \vcenter{ \xymatrix{ T_i \times_T T_j \ar[rr]_{r_{ij}} \ar[d] & & R \ar[d] \\ T \ar[r]^{x'} & X' \ar[r]^g & X } }\] 均交换。
另一方面，由《空间中的群胚》引理 044X 可知，\(S\) 上概形 \(T\) 上 \([U'/R']\) 的一个对象 \(y'\)， 由相对于一个 fppf 覆盖 \(\{T_i \to T\}\) 的 \([U'/R']\)-下降数据 \((u'_i, r'_{ij})\) 给出。 令 \(f'(y') = x' : T \to X'\)，可见下列图表
\[\vcenter{ \xymatrix{ T_i \ar[r]_{u'_i} \ar[d] & U' \ar[d] \\ T \ar[r]^{x'} & X' } } \quad\text{以及}\quad \vcenter{ \xymatrix{ T_i \times_T T_j \ar[r]_{r'_{ij}} \ar[d] & U' \ar[d] \\ T \ar[r]^{x'} & X' } }\] 均交换。
有了这些记号，定义函子 \[[U'/R'] \longrightarrow \mathcal{S}_{X'} \times_{\mathcal{S}_X} [U/R]\] 如下：将上述 \(y' = (u'_i, r'_{ij})\) 送到对象 \((x', (u_i, r_{ij}))\)，其中 \(x' = f'(y')\)， \(u_i\) 是复合 \(T_i \to U' \to U\)， \(r_{ij}\) 是复合 \(T_i \times_T T_j \to R' \to R\)。
反之，给定右侧的对象 \((x', (u_i, r_{ij})\)， 可将其送到左侧的对象 \(((x', u_i), (x', r_{ij}))\)。 关于如何处理态射的讨论从略（其处理方式完全相同）。
范畴商
这是所能考虑的最基本的一类商。
定义
设 \(S\) 为概形，\(B\) 为 \(S\) 上的代数空间。 设 \(j = (t, s) : R \to U \times_B U\) 为 \(B\) 上代数空间中的预关系。
若 \(B\) 上代数空间的态射 \(\phi : U \to X\) 是 \(R\)-不变的， 且对 \(B\) 上代数空间的每个 \(R\)-不变态射 \(\psi : U \to Y\)， 都存在唯一态射 \(\chi : X \to Y\)，使得 \(\psi = \phi \circ \chi\). 则称其为范畴商。
设 \(\mathcal{C}\) 为 \(B\) 上代数空间范畴的一个全子范畴， 并设 \(U,R\) 为 \(\mathcal{C}\) 的对象。在这种情形下，若 \(X \in \Ob(\mathcal{C})\)、\(\phi\) 是 \(R\)-不变的，且对每个满足 \(Y \in \Ob(\mathcal{C})\) 的 \(R\)-不变态射 \(\psi : U \to Y\)，都存在唯一态射 \(\chi : X \to Y\)，使得
\(\psi = \phi \circ \chi\)，则称 \(B\) 上代数空间的态射 \(\phi : U \to X\) 为\(\mathcal{C}\) 中的范畴商。
若 \(B=S\) 且 \(\mathcal{C}\) 是 \(S\) 上概形的范畴， 则称 \(U\to X\) 为概形范畴中的范畴商，或简称为 概形中的范畴商。
我们常用某种分离性公理从 \(B\) 上代数空间中选出一个范畴 \(\mathcal{C}\)；若干标准情形见例 049V。 注意，\(\phi : U \to X\) 是范畴商，当且仅当 \(U \to X\) 是该范畴中态射 \(t,s:R\to U\) 的余等化子。 因此立即得到下列引理。
引理
设 \(S\) 为概形，\(B\) 为 \(S\) 上的代数空间，并设 \(j : R \to U \times_B U\) 为 \(B\) 上代数空间中的预关系。 若 \(B\) 上代数空间范畴中的范畴商存在，则它在唯一同构意义下唯一。 \(\textit{Spaces}/B\) 的全子范畴中的范畴商亦然。
证明
参见《范畴》第 0029 节。
例
设 \(S\) 为概形，\(B\) 为 \(S\) 上的代数空间。
应用定义 048J 时常遇到如下范畴 \(\mathcal{C}\) 的标准例子：
\(\mathcal{C}\) 是所有 \(B\) 上代数空间的范畴；
\(B\) 是分离的，且 \(\mathcal{C}\) 是所有 \(B\) 上分离代数空间的范畴；
\(B\) 是拟分离的，且 \(\mathcal{C}\) 是所有 \(B\) 上拟分离代数空间的范畴；
\(B\) 是局部分离的，且 \(\mathcal{C}\) 是所有 \(B\) 上局部分离代数空间的范畴；
\(B\) 是合宜的，且 \(\mathcal{C}\) 是所有 \(B\) 上合宜代数空间的范畴；以及
\(S=B\)，且 \(\mathcal{C}\) 是 \(S\) 上概形的范畴。
在这些情形中，若 \(\phi : U \to X\) 是范畴商，则分别称 \(U \to X\) 为 (1) 范畴商， (2) 分离代数空间中的范畴商， (3) 拟分离代数空间中的范畴商， (4) 局部分离代数空间中的范畴商， (5) 合宜代数空间中的范畴商， (6) 概形中的范畴商。
定义
设 \(S\) 为概形，\(B\) 为 \(S\) 上的代数空间。 设 \(\mathcal{C}\) 为 \(B\) 上代数空间范畴中对纤维积封闭的全子范畴。
设 \(j = (t, s) : R \to U \times_B U\) 为 \(\mathcal{C}\) 中的预关系， 并设 \(U \to X\) 为一个 \(R\)-不变态射，其中 \(X \in \Ob(\mathcal{C})\)。
若对 \(\mathcal{C}\) 中每个态射 \(X'\to X\)，态射 \(U'=X'\times_XU\to X'\) 都是 \(j\) 的基变换
\(j':R'\to U'\) 在 \(\mathcal{C}\) 中的范畴商， 则称 \(U\to X\) 为 \(\mathcal{C}\) 中的泛范畴商。
若对 \(\mathcal{C}\) 中每个平坦态射 \(X'\to X\)，态射 \(U'=X'\times_XU\to X'\) 都是 \(j\) 的基变换
\(j':R'\to U'\) 在 \(\mathcal{C}\) 中的范畴商， 则称 \(U\to X\) 为 \(\mathcal{C}\) 中的一致范畴商。
引理
在定义 048J 的情形下， 若 \(\phi : U \to X\) 是范畴商且 \(U\) 是既约的，则 \(X\) 是既约的。 对于例 049V 所列空间范畴 \(\mathcal{C}\) 中的范畴商，同样成立。
证明
设 \(X_{red}\) 为代数空间 \(X\) 的既约化。 由于 \(U\) 既约，态射 \(\phi : U \to X\) 通过 \(i : X_{red} \to X\) 分解（《空间的性质》引理 03JJ）。 将所得态射记为 \(\phi_{red} : U \to X_{red}\)。 由 \(\phi \circ s = \phi \circ t\)，又因 \(i : X_{red} \to X\) 是单态射，可知 \(\phi_{red} \circ s = \phi_{red} \circ t\)。 因此由 \(\phi\) 的泛性质，存在态射 \(\chi : X \to X_{red}\)，使得
\(\phi_{red} = \phi \circ \chi\)。由唯一性， \(i \circ \chi = \text{id}_X\) 且 \(\chi \circ i = \text{id}_{X_{red}}\)。 故 \(i\) 是同构，\(X\) 既约。
要说明此论证在范畴 \(\mathcal{C}\) 中成立，只需说明 \(\mathcal{C}\) 中对象的既约化仍是 \(\mathcal{C}\) 的对象。 对每个标准例子的验证从略。
作为轨道空间的商
设 \(j = (t, s) : R \to U \times_B U\) 为预关系。 若 \(j\) 是预等价关系，则粗略地说，\(R\) 在 \(U\) 上的“轨道” 就是 \(U\) 的子集 \(t(s^{-1}(\{u\}))\)。 然而，若 \(j\) 只是预关系，就需要取由 \(R\) 生成的等价关系。
定义
设 \(S\) 为概形，\(B\) 为 \(S\) 上的代数空间，并设 \(j : R \to U \times_B U\) 为 \(B\) 上的预关系。 若 \(u \in |U|\)，则 \(u\) 的轨道，更确切地说其 \(R\)-轨道，定义为 \[O_u = \left\{ u' \in |U|\ : \begin{matrix} \exists n \geq 1, \ \exists u_0, \ldots, u_n \in |U|\text{，使得 } u_0 = u \text{ 且 } u_n = u' \\ \text{并且对所有 }i \in \{0, \ldots, n - 1\}\text{，下列情形之一成立：} u_i = u_{i + 1}\text{，或 } \\ \exists r \in |R|, \ s(r) = u_i, t(r) = u_{i + 1} \text{，或 } \\ \exists r \in |R|, \ t(r) = u_i, s(r) = u_{i + 1} \end{matrix} \right\}\]
显然，这些集合是某个等价关系的等价类；也就是说， \(u' \in O_u\) 当且仅当 \(u \in O_{u'}\)。 下列引理是《空间中的群胚》引理 043F 的改述。
引理
设 \(B\to S\) 如第 048C 节所述， 并设 \(j : R \to U \times_B U\) 为 \(B\) 上代数空间的预等价关系。则 \[O_u = \{u' \in |U| \text{，使得 } \exists r \in |R|, \ s(r) = u, \ t(r) = u'\}.\]
证明
由上述《空间中的群胚》引理 043F 可知，引理中定义的轨道 \(O_u\) 给出 \(|U|\) 的不交并分解。 因此它们等于定义 048N 中定义的轨道。
引理
在定义 048N 的情形下， 设 \(\phi : U \to X\) 为 \(B\) 上代数空间的一个 \(R\)-不变态射。 则 \(|\phi| : |U| \to |X|\) 在每条轨道上为常值。
证明
只需对所有满足如下条件的 \(u,u'\in|U|\) 证明 \(\phi(u)=\phi(u')\)：存在 \(r\in|R|\)，使得 \(s(r)=u\) 且 \(t(r)=u'\)。由于 \(\phi\) 使 \(s\) 与 \(t\) 相等，这是显然的。
若试图用轨道 \(O_u\subset|U|\) 刻画商映射的性质，会遇到若干问题。 其中一个如下。设 \(\Spec(k)\to B\) 为 \(B\) 的几何点，考虑典范映射 \[U(k) \longrightarrow |U|.\] 通常，由 \(j(R(k)) \subset U(k) \times U(k)\) 生成的等价关系之等价类， 并不是轨道 \(O_u\subset|U|\) 的逆像。 一个简单得近乎可笑的例子是取 \(S=B=\Spec(\mathbf{Z})\)、\(U=R=\Spec(k)\)，且 \(s=t=\text{id}_k\)。此时 \(|U|=|R|\) 只有一个点， 但 \(U(k)/R(k)\) 却极其庞大。 一个更有意思的例子是取 \(S=B=\Spec(\mathbf{Q})\)，
选择数域 \(K\subset L\)，令 \(U=\Spec(L)\)、 \(R=\Spec(L\otimes_KL)\)，并取显然的映射 \(s,t:R\to U\)。 此时 \(|U|\) 仍只有一个点，但商 \[U(k)/R(k) = \Hom(K, k)\] 含有不止一个元素。由这两个例子可见，若 \(U\to X\) 是 \(R\)-不变映射，而我们希望它“分离轨道”，那么考虑诱导映射 \(U(k)\to X(k)\) 并要求这些映射分离轨道，会得到强得多且更有意义的概念。
这也有一个问题。具体而言，设 \(S=B=\Spec(\mathbf{R})\)、\(U=\Spec(\mathbf{C})\)，并设 \(R=\Spec(\mathbf{C})\amalg\Spec(K)\)， 其中 \(\sigma:\mathbf{C}\to K\) 是某个域扩张。 令映射 \(s,t\) 在分支 \(\Spec(\mathbf{C})\) 上均由恒等映射给出， 而在第二个分支上分别由 \(\sigma,\sigma\circ\tau\) 给出， 其中 \(\tau\) 是复共轭。若 \(K\) 是 \(\mathbf{C}\) 的非平凡扩张， 则两点 \(1,\tau\in U(\mathbf{C})\) 在 \(j(R(\mathbf{C}))\) 下并不等价。 然而，选取基数足够大的扩张 \(\mathbf{C}\subset\Omega\) （例如其基数大于 \(K\) 的基数）后， \(1,\tau\in U(\mathbf{C})\) 在 \(U(\Omega)\) 中的像却会变得等价！ 直观上很清楚，这要么是因为 \(s,t:R\to U\) 不是局部有限型的， 要么是因为域 \(k\) 的基数不够大。
基于这一点，作如下定义。
定义
设 \(S\) 为概形，\(B\) 为 \(S\) 上的代数空间， \(j:R\to U\times_BU\) 为 \(B\) 上的预关系，并设 \(\Spec(k)\to B\) 为 \(B\) 的几何点。
若 \(\overline{u},\overline{u}'\in U(k)\) 在由关系 \(j(R(k))\subset U(k)\times U(k)\) 生成的等价关系下属于同一等价类， 则称二者弱 \(R\)-等价。
若存在上域 \(k\subset\Omega\)，使二者在 \(U(\Omega)\) 中的像 弱 \(R\)-等价，则称 \(\overline{u},\overline{u}'\in U(k)\) \(R\)-等价。
\(\overline{u}\in U(k)\) 的弱轨道，更确切地说其 弱 \(R\)-轨道，是 \(U(k)\) 中所有与 \(\overline{u}\) 弱 \(R\)-等价的元素所成的集合。
\(\overline{u}\in U(k)\) 的轨道，更确切地说其 \(R\)-轨道，是 \(U(k)\) 中所有与 \(\overline{u}\) \(R\)-等价的元素所成的集合。
在良好情形下，轨道与弱轨道实际上相同，见引理 048U。下列引理在预等价关系这一特殊情形中 说明二者的差异。
引理
设 \(S\) 为概形，\(B\) 为 \(S\) 上的代数空间， \(\Spec(k)\to B\) 为 \(B\) 的几何点，并设 \(j:R\to U\times_BU\) 为 \(B\) 上的预等价关系。 此时 \(\overline{u}\in U(k)\) 的弱轨道就是 \[\{ \overline{u}' \in U(k) \text{，使得 } \exists \overline{r} \in R(k), \ s(\overline{r}) = \overline{u}, \ t(\overline{r}) = \overline{u}' \}\] 而 \(\overline{u}\in U(k)\) 的轨道为 \[\{ \overline{u}' \in U(k) : \exists\text{ 域扩张 }K/k, \ \exists\ r \in R(K), \ s(r) = \overline{u}, \ t(r) = \overline{u}'\}\]
证明
这是因为按照预等价关系的定义，像 \(j(R(k))\subset U(k)\times U(k)\) 是等价关系。
下面描述将任意预关系变成预等价关系的方法。我们将使用态射 [048S]\[\begin{equation} \begin{matrix} j_{diag} & : & U & \longrightarrow & U \times_B U, & u & \longmapsto & (u, u) \\ j_{flip} & : & R & \longrightarrow & U \times_B U, & r & \longmapsto & (s(r), t(r)) \\ j_{comp} & : & R \times_{s, U, t} R & \longrightarrow & U \times_B U, & (r, r') & \longmapsto & (t(r), s(r')) \end{matrix} \end{equation}\] 定义 \(j_1 = (t_1, s_1) : R_1 \to U \times_B U\) 为态射 \[j \amalg j_{diag} \amalg j_{flip} : R \amalg U \amalg R \longrightarrow U \times_B U\] 其中记号如方程 (048S) 所示。对 \(n>1\)，令 \[j_n = (t_n, s_n) : R_n = R_1 \times_{s_1, U, t_{n - 1}} R_{n - 1} \longrightarrow U \times_B U\] 其中 \(t_n\) 是 \(t_1\) 与到 \(R_1\) 的投影之预复合， \(s_n\) 是 \(s_{n-1}\) 与到 \(R_{n-1}\) 的投影之预复合。最后记 \[j_\infty = (t_\infty, s_\infty) : R_\infty = \coprod\nolimits_{n \geq 1} R_n \longrightarrow U \times_B U.\]
引理
设 \(S\) 为概形，\(B\) 为 \(S\) 上的代数空间， 并设 \(j:R\to U\times_BU\) 为 \(B\) 上的预关系。 则 \(j_\infty:R_\infty\to U\times_BU\) 是 \(B\) 上的预等价关系。此外，
\(\phi:U\to X\) 是 \(R\)-不变的，当且仅当它是 \(R_\infty\)-不变的；
商层的典范映射 \(U/R\to U/R_\infty\)（见《空间中的群胚》第 044H 节）是同构；
弱 \(R\)-轨道与弱 \(R_\infty\)-轨道相同；
\(R\)-轨道与 \(R_\infty\)-轨道相同；
若 \(s,t\) 是局部有限型的，则 \(s_\infty,t_\infty\) 是局部有限型的；
按需在此增补。
证明
略。对 (5) 的提示：\(s,t\) 的任何满足下列条件的性质都会由 \(s_\infty,t_\infty\) 继承：对复合稳定、对基变换稳定， 且在源上是 Zariski 局部的。
引理
设 \(S\) 为概形，\(B\) 为 \(S\) 上的代数空间， \(j:R\to U\times_BU\) 为 \(B\) 上的预关系，并设 \(\Spec(k)\to B\) 为 \(B\) 的几何点。
若 \(s,t:R\to U\) 是局部有限型的，则 \(U(k)\) 上的弱 \(R\)-等价与 \(R\)-等价相同，且 \(U(k)\) 上的弱 \(R\)-轨道与 \(R\)-轨道相同。
若 \(k\) 的基数足够大，则 \(U(k)\) 上的弱 \(R\)-等价与 \(R\)-等价相同，且 \(U(k)\) 上的弱 \(R\)-轨道与 \(R\)-轨道相同。
证明
先证明 (1)。设 \(s,t\) 局部有限型。由引理 048T，可设 \(R\) 是预等价关系。 设 \(k\) 为 \(B\) 上的代数闭域，并设 \(\overline{u},\overline{u}'\in U(k)\) 是 \(R\)-等价的。 则对某个扩域 \(\Omega/k\)，存在一点 \(\overline{r}\in R(\Omega)\) 映到 \((\overline{u},\overline{u}')\in(U\times_BU)(\Omega)\)， 见引理 048R。因此 \[Z = R \times_{j, U \times_B U, (\overline{u}, \overline{u}')} \Spec(k)\] 非空。由于 \(s\) 局部有限型，\(j\) 也局部有限型，见《空间的态射》引理 0462。 这说明 \(Z\) 是代数闭域 \(k\) 上非空且局部有限型的代数空间 （使用《空间的态射》引理 03XH）。 于是 \(Z\) 有一个 \(k\)-值点，见《空间的态射》引理 0487。 故存在 \(\overline{r}\in R(k)\)，使 \(j(\overline{r})=(\overline{u},\overline{u}')\)，从而
\(\overline{u},\overline{u}'\) 如所需地是 \(R\)-等价的。
第 (2) 部分的证明相同，只需用《空间的态射》引理 0488 代替《空间的态射》引理 0487。 这说明，只要 \(|k|>\lambda(R)\)，断言即成立；其中 \(\lambda(R)\) 是在《空间的态射》引理 0487 之前引入的。
在下述定义中，术语“\(k\) 是 \(B\) 上的域”是指 \(\Spec(k)\) 配备了一个态射 \(\Spec(k)\to B\)。
定义
设 \(S\) 为概形，\(B\) 为 \(S\) 上的代数空间，并设 \(j:R\to U\times_BU\) 为 \(B\) 上的预关系。
称 \(\phi:U\to X\) 在集合论意义下 \(R\)-不变， 当且仅当对 \(B\) 上每个代数闭域 \(k\)，映射 \(U(k)\to X(k)\) 都使两个映射 \(s,t:R(k)\to U(k)\) 相等。
若 \(\phi:U\to X\) 在集合论意义下 \(R\)-不变， 且对 \(B\) 上每个代数闭域 \(k\)，等式 \(\phi(\overline{u})=\phi(\overline{u}')\) 在 \(X(k)\) 中成立时， \(\overline{u},\overline{u}'\in U(k)\) 均位于同一轨道， 则称该态射分离轨道，或分离 \(R\)-轨道。
例 048Z 将说明，在代数空间范畴中， 集合论意义下的不变性是一个“过弱”的概念。 关于集合论意义下不变或分离轨道之含义的更几何化改述，见引理 049Y。
引理
在定义 048V 的情形下， 态射 \(\phi:U\to X\) 在集合论意义下 \(R\)-不变，当且仅当对 \(B\) 上任意代数闭域 \(k\)，映射 \(U(k)\to X(k)\) 在每条轨道上为常值。
证明
这是因为该条件要求对 \(B\) 上所有代数闭域成立。
引理
在定义 048V 的情形下， 不变态射在集合论意义下不变。
证明
这由定义立即得到。
引理
在定义 048V 的情形下， 设 \(\phi:U\to X\) 为 \(B\) 上代数空间的态射。假设
\(\phi\) 在集合论意义下 \(R\)-不变；
\(R\) 既约；并且
\(X\) 在 \(B\) 上局部分离。
则 \(\phi\) 是 \(R\)-不变的。
证明
考虑等化子代数空间 \[Z = R \times_{(\phi, \phi) \circ j, X \times_B X, \Delta_{X/B}} X\] 。由假设 (3)，\(Z\to R\) 是浸入。由假设 (1)， \(|Z|\to|R|\) 是满射。这说明 \(Z\to R\) 是双射闭浸入 （使用《概形》引理 01IQ）； 再由假设 (2) 得 \(Z=R\)。
例
存在既约拟分离代数空间 \(X,Y\) 以及一对态射 \(a,b:Y\to X\)，它们在所有 \(k\)-值点上一致，但彼此不相等。 为得到一个例子，取 \(Y=\Spec(k[[x]])\) 以及 \[X = \mathbf{A}^1_k \Big/ \big(\Delta \amalg \{(x, -x) \mid x \not = 0\}\big)\] 即《空间》例 02Z1 中的代数空间。两个态射 \(a,b:Y\to X\) 来自 \(Y\) 到 \(\mathbf{A}^1_k=\Spec(k[x])\) 的两个映射 \(x\mapsto x\) 和 \(x\mapsto -x\)。在一般点处，这两个映射相同， 因为在空间 \(X\) 的开部分 \(x\not =0\) 上，函数 \(x\) 与 \(-x\) 相等。 在闭点处，两个映射显然也相同。另一方面，\(a\not =b\)。 这说明，若把引理 048Y 中的假设 (3) 换成 \(X\) 拟分离，该引理便不成立。具体地，考虑图表 \[\xymatrix{ Y \ar[d]_{-1} \ar[r]_1 & Y \ar[d]^a \\ Y \ar[r]^a & X }\] 则复合 \(a\circ(-1)=b\)。因此可令 \(R=Y\)、\(U=Y\)、 \(s=1\)、\(t=-1\)、\(\phi=a\)，从而得到一个在集合论意义下不变、 但并非不变的态射之例。
上述例子很有启发性，因为映射 \(Y\to X\) 甚至分离轨道。 它表明代数空间范畴中集合论意义下不变的态射实在太多。 下面定义 \(R\) 为集合论等价关系的含义；同时要记住， 为使其正确成立，必须允许域扩张。
定义
设 \(S\) 为概形，\(B\) 为 \(S\) 上的代数空间，并设 \(j:R\to U\times_BU\) 为 \(B\) 上的预关系。
若对 \(B\) 上所有代数闭域 \(k\)，由下式定义的 \(U(k)\) 上关系 \(\sim_R\) \[\overline{u} \sim_R \overline{u}' \Leftrightarrow \begin{matrix} \exists\text{ 域扩张 }K/k, \ \exists\ r \in R(K), \\ s(r) = \overline{u}, \ t(r) = \overline{u}' \end{matrix}\] 都是等价关系，则称 \(j\) 为集合论预等价关系。
若 \(j\) 是泛单射且是集合论预等价关系， 则称 \(j\) 为集合论等价关系。
下面用更几何的语言改述这一点。
引理
在定义 0490 的情形下， 下列条件等价：
态射 \(j\) 是集合论预等价关系。
子集 \(j(|R|)\subset|U\times_BU|\) 包含方程 (048S) 中任一态射 \(j'\) 的 \(|j'|\) 之像。
对 \(B\) 上每个基数足够大的代数闭域 \(k\)，子集 \(j(R(k))\subset U(k)\times U(k)\) 是等价关系。
若 \(s,t\) 局部有限型，则这些条件还等价于
对 \(B\) 上每个代数闭域 \(k\)，子集 \(j(R(k))\subset U(k)\times U(k)\) 是等价关系。
证明
假设 (2)。设 \(k\) 为 \(B\) 上的代数闭域。我们将证明 \(\sim_R\) 是等价关系。设 \(\overline{u}_i:\Spec(k)\to U\)（\(i=1,2\)）为 \(U\) 的 \(k\)-值点， 并设 \((\overline{u}_1,\overline{u}_2)\) 是某个 \(K\)-值点 \(r\in R(K)\) 的像。考虑实线部分交换的图表 \[\xymatrix{ \Spec(K') \ar@{..>}[r] \ar@{..>}[d] & \Spec(k) \ar[d]_{(\overline{u}_2, \overline{u}_1)} & \Spec(K) \ar[d] \ar[l] \\ R \ar[r]^-j & U \times_B U & R \ar[l]_-{j_{flip}} }\] 仍以 \(r\in|R|\) 表示 \(r\) 的像。依假设， \(|j_{flip}|\) 的像包含于 \(|j|\) 的像；换言之，存在 \(r'\in|R|\)，使 \(|j|(r')=|j_{flip}|(r)\)。 注意，由图表实线部分的交换性， \((\overline{u}_2,\overline{u}_1)\) 位于定义 \(|j|(r')\) 的等价类中。 这意味着存在域扩张 \(K'/k\) 和态射
\(r':\Spec(K)\to R\)（也滥用记号写成 \(r'\)），满足 \(j\circ r'=(\overline{u}_2,\overline{u}_1)\circ i\)， 其中 \(i:\Spec(K')\to\Spec(K)\) 是显然的映射。 换言之，图表虚线部分交换。这证明 \(\sim_R\) 是 \(U(k)\) 上的对称关系。 类似地，利用 \(|j_{diag}|\) 的像包含于 \(|j|\) 的像， 可见 \(\sim_R\) 是自反的（细节从略）。
为证明 \(\sim_R\) 的传递性，设给定 \(\overline{u}_i:\Spec(k)\to U\)（\(i=1,2,3\)）、 域扩张 \(K_i/k\) 以及点 \(r_i:\Spec(K_i)\to R\)（\(i=1,2\)），使得 \(j(r_1)=(\overline{u}_1,\overline{u}_2)\) 且
\(j(r_1)=(\overline{u}_2,\overline{u}_3)\)。于是可选择域的交换图表 \[\xymatrix{ K & K_2 \ar[l] \\ K_1 \ar[u] & k \ar[l] \ar[u] }\] 并可视为 \(r_1,r_2\in R(K)\)。考虑实线部分交换的图表 \[\xymatrix{ \Spec(K') \ar@{..>}[r] \ar@{..>}[d] & \Spec(k) \ar[d]_{(\overline{u}_1, \overline{u}_3)} & \Spec(K) \ar[d]^{(r_1, r_2)} \ar[l] \\ R \ar[r]^-j & U \times_B U & R \times_{s, U, t} R \ar[l]_-{j_{comp}} }\] 采用与证明第一部分完全相同的论证，但这次使用 \(|j_{comp}|((r_1,r_2))\) 位于 \(|j|\) 的像中，可得存在域 \(K'\) 和虚线箭头，使图表交换。这证明 \(\sim_R\) 是传递的， 也就完成了 (2) 推出 (1) 的证明。
假设 (1)，并设 \(k\) 为 \(B\) 上基数大于 \(\lambda(R)\) 的代数闭域， 见《空间的态射》引理 0488。 设 \(\overline{u}\sim_R\overline{u}'\)，其中 \(\overline{u},\overline{u}'\in U(k)\)。依假设，存在 \(|R|\) 中一点 映到 \((\overline{u},\overline{u}')\in|U\times_BU|\)。 因此由《空间的态射》引理 0488， 存在 \(\overline{r}\in R(k)\)，使 \(j(\overline{r})=(\overline{u},\overline{u}')\)。 由此可见 (1) 推出 (3)。
假设 (3)。来证明 \(\Im(|j_{comp}|)\subset\Im(|j|)\)。任取一点 \(c\in|R\times_{s,U,t}R|\)。可用态射 \(\overline{c}:\Spec(k)\to R\times_{s,U,t}R\) 表示它， 其中 \(k\) 是 \(B\) 上基数足够大的域。依假设， \(j_{comp}(\overline{c})\in U(k)\times U(k)=(U\times_BU)(k)\) 也可写成某个 \(\overline{r}\in R(k)\) 的像 \(j(\overline{r})\)。 故如所需，\(j_{comp}(c)=j(r)\) 在 \(|U\times_BU|\) 中成立 （其中 \(r\in|R|\) 是 \(\overline{r}\) 的等价类）。 同一论证还说明 \(\Im(|j_{diag}|)\subset\Im(|j|)\) 以及 \(\Im(|j_{flip}|)\subset\Im(|j|)\)（细节从略）。 由此可见 (3) 推出 (2)。至此已证明 (1)、(2)、(3) 相互等价。
显然 (4) 推出 (3)（无需对 \(s,t\) 作任何假设）。 为完成引理的证明，来说明当 \(s,t\) 局部有限型时 (1) 推出 (4)。 设 \(k\) 为 \(B\) 上的代数闭域，并设 \(\overline{u}\sim_R\overline{u}'\)，其中 \(\overline{u},\overline{u}'\in U(k)\)。依假设，代数空间 \(Z=R\times_{j,U\times_BU,(\overline{u},\overline{u}')}\Spec(k)\) 非空。另一方面，由于 \(j=(t,s)\) 局部有限型，态射 \(Z\to\Spec(k)\) 也局部有限型（使用《空间的态射》引理 0462 和 03XH）。 因此由《空间的态射》引理 0487， \(Z\) 有一个 \(k\)-点，从而如所需地有 \((\overline{u},\overline{u}')\in j(R(k))\)。 引理得证。
引理
在定义 0490 的情形下， 下列条件等价：
态射 \(j\) 是集合论等价关系。
态射 \(j\) 是泛单射，且 \(j(|R|)\subset|U\times_BU|\) 包含方程 (048S) 中任一态射 \(j'\) 的 \(|j'|\) 之像。
对 \(B\) 上每个基数足够大的代数闭域 \(k\)，映射 \(j:R(k)\to U(k)\times U(k)\) 是单射，且其像是等价关系。
若 \(j\) 合宜、局部分离或拟分离，则这些条件还等价于
对 \(B\) 上每个代数闭域 \(k\)，映射 \(j:R(k)\to U(k)\times U(k)\) 是单射，且其像是等价关系。
证明
(1) \(\Rightarrow\) (2) 和 (2) \(\Rightarrow\) (3) 由引理 0491 及定义得到。 同一引理说明 (3) 蕴含 \(j\) 是集合论预等价关系。 当然，条件 (3) 还蕴含 \(j\) 泛单射，见《空间的态射》引理 040X， 故 \(j\) 的确是集合论等价关系。至此已知 (1)、(2)、(3) 相互等价。
无需对 \(j\) 作任何进一步假设，条件 (4) 就推出 (3)。 设 \(j\) 合宜、局部分离或拟分离，且等价条件 (1)、(2)、(3) 成立。 由《空间态射进阶》引理 0484 可知 \(j\) 是纯不可分态射。任取 \(B\) 上代数闭域 \(k\)，并设 \(\overline{u},\overline{u}'\in U(k)\) 满足 \(\overline{u}\sim_R\overline{u}'\)。可见 \(R \times_{U \times_B U, (\overline{u}, \overline{u}')} \Spec(k)\) 非空。由于 \(j\) 是纯不可分态射，其既约化是 \(k\) 的一个纯不可分扩域之谱。 又因 \(k=\overline{k}\)，它就是 \(k\) 的谱。因此如所需，存在一点 \(\overline{r}\in R(k)\)，使 \(t(\overline{r})=\overline{u}\) 且 \(s(\overline{r})=\overline{u}'\)。
引理
设 \(S\) 为概形，\(B\) 为 \(S\) 上的代数空间，并设 \(j:R\to U\times_BU\) 为 \(B\) 上的预关系。
若 \(j\) 是预等价关系，则 \(j\) 是集合论预等价关系。 特别地，当 \(j\) 来自代数空间中的群胚，或来自群代数空间在 \(U\) 上的作用时，此结论成立。
若 \(j\) 是等价关系，则 \(j\) 是集合论等价关系。
证明
略。
引理
设 \(B\to S\) 如第 048C 节所述， \(j:R\to U\times_BU\) 为预关系，并设 \(\phi:U\to X\) 为 \(B\) 上代数空间的态射。考虑图表 \[\xymatrix{ (U \times_X U) \times_{(U \times_B U)} R \ar[d]^q \ar[r]_-p & R \ar[d]^j \\ U \times_X U \ar[r]^c & U \times_B U }\] 则有：
态射 \(\phi\) 在集合论意义下不变，当且仅当 \(p\) 满射。
若 \(j\) 是集合论预等价关系，则 \(\phi\) 分离轨道， 当且仅当 \(p\) 与 \(q\) 都满射。
若 \(p\) 与 \(q\) 都满射，则 \(j\) 是集合论预等价关系 （且 \(\phi\) 分离轨道）。
若 \(\phi\) 是 \(R\)-不变的，且 \(j\) 是集合论预等价关系， 则 \(\phi\) 分离轨道，当且仅当诱导态射 \(R\to U\times_XU\) 满射。
证明
假设 \(\phi\) 在集合论意义下不变。这意味着对 \(B\) 上任意代数闭域 \(k\) 及任意 \(\overline{r}\in R(k)\)，都有 \(\phi(s(\overline{r}))=\phi(t(\overline{r}))\)。因此
\(((\phi(t(\overline{r})),\phi(s(\overline{r}))),\overline{r})\) 定义了纤维积中的一点，并经 \(p\) 映到 \(\overline{r}\)。 这说明 \(p\) 满射。反之，设 \(p\) 满射。取 \(\overline{r}\in R(k)\)。由 \(p\) 满射，可找到域扩张 \(K/k\) 以及纤维积的一个 \(K\)-值点 \(\tilde r\)，使 \(p(\tilde r)=\overline{r}\)。于是 \(q(\tilde r)\in U\times_XU\) 在 \(U\times_BU\) 中映到 \((t(\overline{r}),s(\overline{r}))\)，从而 \(\phi(s(\overline{r}))=\phi(t(\overline{r}))\)。 这证明 \(\phi\) 在集合论意义下不变。
(2)、(3)、(4) 的证明从略。提示：设 \(k\) 是 \(B\) 上基数很大的代数闭域。 考虑相应的集合图表 \[\xymatrix{ (U(k) \times_{X(k)} U(k)) \times_{U(k) \times U(k)} R(k) \ar[d]^q \ar[r]_-p & R(k) \ar[d]^j \\ U(k) \times_{X(k)} U(k) \ar[r]^c & U(k) \times U(k) }\] 由上述引理，(2)、(3)、(4) 中的等价性都化为与刚才图表有关的 集合论问题；这里使用《空间的态射》引理 0488， 它将满射性转化为 \(k\)-值点上的满射性。
上文已看到，在代数空间范畴中，集合论意义下不变态射的概念相当弱。 因此如下定义预关系的轨道空间。
定义
设 \(B\to S\) 如第 048C 节所述， 并设 \(j:R\to U\times_BU\) 为预关系。若
\(\phi\) 是 \(R\)-不变的；
\(\phi\) 分离 \(R\)-轨道；并且
\(\phi\) 满射，
则称 \(\phi:U\to X\) 为\(R\) 的轨道空间。
分离 \(R\)-轨道的定义涉及取值于代数闭域的点。 但如前所见，在许多情形中，这只对应于某些典范相伴的代数空间态射之满射性。 下面用轨道空间的刻画概括上文的部分讨论。
引理
设 \(B\to S\) 如第 048C 节所述， 并设 \(j:R\to U\times_BU\) 为集合论预等价关系。 态射 \(\phi:U\to X\) 是 \(R\) 的轨道空间，当且仅当
\(\phi\circ s=\phi\circ t\)，即 \(\phi\) 不变；
诱导态射 \((t,s):R\to U\times_XU\) 满射；并且
态射 \(\phi:U\to X\) 满射。
例如，当 \(j\) 是预等价关系，或来自 \(B\) 上代数空间中的群胚， 或来自 \(B\) 上群代数空间在 \(U\) 上的作用时，此刻画均适用。
证明
由引理 049Y 的第 (4) 部分立即得到。
在下列引理中，仅假设态射 \(s,t\) 局部有限型（大概）还不够。 原因是某个映射 \(\phi:U\to X\) 可能是轨道空间，却并非局部有限型。 在这种情形下，对 \(B\) 上所有代数闭域 \(k\)，映射 \(U(k)\to X(k)\) 未必都满射。
引理
设 \(B\to S\) 如第 048C 节所述， \(j=(t,s):R\to U\times_BU\) 为预关系，并假设 \(R,U\) 在 \(B\) 上局部有限型。设 \(\phi:U\to X\) 为 \(B\) 上代数空间的 \(R\)-不变态射。则 \(\phi\) 是 \(R\) 的轨道空间，当且仅当自然映射 \[U(k)/\big(\text{由 }j(R(k))\text{ 生成的等价关系}\big) \longrightarrow X(k)\] 对 \(B\) 上所有代数闭域 \(k\) 都是双射。
证明
注意，由于 \(U,R\) 在 \(B\) 上局部有限型，所有态射 \(s,t,j,\phi\) 都局部有限型，见《空间的态射》引理 0462。 下文还将默认使用《空间的态射》引理 0487。 假设 \(\phi\) 是轨道空间。任取 \(B\) 上代数闭域 \(k\) 及 \(\overline{x}\in X(k)\)。考虑 \(U \times_{\phi, X, \overline{x}} \Spec(k)\). 这是 \(k\) 上非空且局部有限型的代数空间，故它有一个 \(k\)-值点。 这说明引理中的映射满射。设 \(\overline{u},\overline{u}'\in U(k)\) 映到 \(X(k)\) 中同一元素。 由定义 048V， 这意味着 \(\overline{u},\overline{u}'\) 位于同一 \(R\)-轨道。 由引理 048U，这又意味着二者在由 \(j(R(k))\) 生成的等价关系下等价。因此所显示的态射是单射。
反之，假设对 \(B\) 上所有代数闭域 \(k\)，所显示的映射都是双射。 该条件显然蕴含 \(\phi\) 满射。我们已经假设 \(\phi\) 是 \(R\)-不变的。 最后，所有这些映射的单射性蕴含 \(\phi\) 分离轨道。 故 \(\phi\) 是轨道空间。
粗商
这里只是补入这一概念，以便以后说明粗商对应于粗模空间（或模概形）。
定义
设 \(S\) 为概形，\(B\) 为 \(S\) 上的代数空间， 并设 \(j:R\to U\times_BU\) 为预关系。若 \(B\) 上代数空间的态射 \(\phi:U\to X\) 满足
\(\phi\) 是范畴商；并且
\(\phi\) 是轨道空间，
则称其为粗商。若 \(S=B\) 且 \(U,R\) 均为概形， 那么若概形态射 \(\phi:U\to X\) 满足
\(\phi\) 是概形中的范畴商；并且
\(\phi\) 是轨道空间，
则称其为概形中的粗商。
在许多情形下，代数空间 \(R,U\) 在 \(B\) 上局部有限型， 而轨道空间条件仅意味着 \[U(k)/\big(\text{由 }j(R(k))\text{ 生成的等价关系}\big) \cong X(k)\] 对所有代数闭域 \(k\) 成立。参见引理 04A0。 若 \(j\) 还是（集合论）预等价关系，则此条件仅等价于： 对所有代数闭域 \(k\)，\(U(k)/j(R(k))\to X(k)\) 是双射。
拓扑性质
设 \(S\) 为概形，\(B\) 为 \(S\) 上的代数空间，并设 \(j:R\to U\times_BU\) 为预关系。若作为 \(|R|\) 的子集有 \(s^{-1}(T)=t^{-1}(T)\)，则称子集 \(T\subset|U|\) 为 \(R\)-不变的。注意，若 \(T\) 闭，则 \(U\) 中相应的既约闭子空间 未必是 \(R\)-不变的（如《空间中的群胚》定义 044F 所述）， 因为拉回 \(s^{-1}(T),t^{-1}(T)\) 未必既约。 对不变态射 \(\phi:U\to X\)，可考虑如下条件。
定义
设 \(S\) 为概形，\(B\) 为 \(S\) 上的代数空间， \(j:R\to U\times_BU\) 为预关系，并设 \(\phi:U\to X\) 为 \(B\) 上代数空间的 \(R\)-不变态射。
态射 \(\phi\) 是下沉的。
对任意 \(R\)-不变闭子集 \(Z\subset|U|\)，像 \(\phi(Z)\) 在 \(|X|\) 中闭。
条件 (04A6) 成立，且对任意一对 \(R\)-不变闭子集 \(Z_1,Z_2\subset|U|\)，有 \[\phi(Z_1 \cap Z_2) = \phi(Z_1) \cap \phi(Z_2)\]
态射 \((t,s):R\to U\times_XU\) 是泛下沉的。 [04A8]
还可对这些性质逐一要求其在任意平坦基变换后成立， 或在任意基变换后成立，见定义 048H。 在这些情形下，分别称条件 (04A5), (04A6), (04A7)，或 (04A8) 一致地成立或泛地成立。
不变函数
在某些情形下，要求每个不变函数都是商之结构层的局部截面， 可以方便地确定商的结构层。
定义
设 \(S\) 为概形，\(B\) 为 \(S\) 上的代数空间， \(j:R\to U\times_BU\) 为预关系，并设 \(\phi:U\to X\) 为 \(R\)-不变态射。记 \(\phi'=\phi\circ s=\phi\circ t:R\to X\)。
以 \((\phi_*\mathcal{O}_U)^R\) 表示 \(\phi_*\mathcal{O}_U\) 的 \(\mathcal{O}_X\)-子代数，它是下列两个映射的等化子： \[\xymatrix{ \phi_*\mathcal{O}_U \ar@<1ex>[rr]^{\phi_*s^\sharp} \ar@<-1ex>[rr]_{\phi_*t^\sharp} & & \phi'_*\mathcal{O}_R }\] 这里的映射定义在 \(X_\etale\) 上。有时称其为 \(X\) 上的 \(R\)-不变函数层。
若自然映射 \(\mathcal{O}_X\to(\phi_*\mathcal{O}_U)^R\) 是同构， 则称\(X\) 上的函数就是 \(U\) 上的 \(R\)-不变函数。
当然，可以要求此性质在任意（平坦或一般）基变换后成立， 从而得到（一致或）泛的概念。为得到（更为）唯一的商， 常把此条件与其他条件一并加入。整个主题的很大一部分动机， 当然来自如下特殊情形：\(U=\Spec(A)\) 是域 \(S=B=\Spec(k)\) 上的仿射概形，\(R=G\times U\)， 其中 \(G\) 是 \(k\) 上的仿射群概形。此时可取如下商： \[X = \Spec(A^G)\] 这样至少满足上述定义中的条件。虽然这是一个不错的构造， 但它往往不是正确的商；例如，若 \(U=\text{GL}_{n,k}\) 且 \(G\) 为上三角矩阵群，则上述构造给出 \(X=\Spec(k)\)， 而事实上存在好得多的商，即旗簇。
良商
特别是在取群作用的商时，下列定义很有用。
定义
设 \(S\) 为概形，\(B\) 为 \(S\) 上的代数空间， 并设 \(j:R\to U\times_BU\) 为预关系。 若 \(B\) 上代数空间的态射 \(\phi:U\to X\) 满足
\(\phi\) 不变；
\(\phi\) 是仿射的；
\(\phi\) 满射；
条件 (04A7) 泛地成立；并且
\(X\) 上的函数就是 \(U\) 上的 \(R\)-不变函数，
则称其为良商。
Seshadri 在 [seshadri_quotients] 中给出几乎相同的定义； 区别是他用“条件 (04A7) 成立” 代替 (4)，并不要求该条件泛地成立。
几何商
这是 Mumford 对几何商的定义（至少是 GIT 第一版中的定义； 据我们所知，后来的版本把“泛下沉”改成了“下沉”）。
定义
设 \(S\) 为概形，\(B\) 为 \(S\) 上的代数空间， 并设 \(j:R\to U\times_BU\) 为预关系。 若 \(B\) 上代数空间的态射 \(\phi:U\to X\) 满足
\(\phi\) 是轨道空间；
条件 (04A5) 泛地成立，即 \(\phi\) 泛下沉；并且
\(X\) 上的函数就是 \(U\) 上的 \(R\)-不变函数，
则称其为几何商。