代数曲线

引言

本章发展代数曲线理论的一些内容。关于复数域上代数曲线的一部参考书是 [ACGH]。

已有知识。除一般的代数几何之外，我们还已经证明了若干专门关于代数曲线的结果。现列举如下。

我们在《簇》，第 09N7 节中讨论了 \(1\) 维 Noether 概形的仿射开集及其上的丰沛可逆层。
我们在《簇》，第 0A22 节中看到，一条曲线要么仿射，要么投射。
我们在《簇》，第 0AYQ 节中讨论了固有曲线上局部自由模的次数。
我们在《曲线的 Picard 概形》，第 0B93 节中讨论了代数闭域上非奇异投射曲线的 Picard 概形。

曲线与函数域

本节针对曲线的情形，详细阐述《簇》，第 0BXM 节中的结果。

引理

设 \(k\) 为域，\(X\) 为曲线，\(Y\) 为固有簇。设 \(U \subset X\) 为非空开集，\(f : U \to Y\) 为态射。若 \(x \in X\) 是闭点，且 \(\mathcal{O}_{X, x}\) 为离散赋值环，则存在开集 \(U \subset U' \subset X\)，它包含 \(x\)，并且存在簇态射 \(f' : U' \to Y\)，后者延拓 \(f\)。

证明

这是《态射》，引理 0BX7 的一个特殊情形。

引理

设 \(k\) 为域，\(X\) 为正规曲线，\(Y\) 为固有簇。从 \(X\) 到 \(Y\) 的有理映射所成的集合，等于态射 \(X \to Y\) 所成的集合。

证明

从 \(X\) 到 \(Y\) 的有理映射可由引理 0BXY 延拓为态射 \(X \to Y\)，因为每个局部环都是离散赋值环（例如见《簇》，引理 0B8Y）。反之，若两个态射 \(f,g: X \to Y\) 作为有理映射等价，则由《态射》，引理 01RH 可知 \(f = g\)。

引理

设 \(k\) 为域，\(f : X \to Y\) 为 \(k\) 上曲线之间的非常值态射。若 \(Y\) 正规，则 \(f\) 平坦。

证明

取 \(x \in X\)，其像为 \(y \in Y\)。那么 \(\mathcal{O}_{Y, y}\) 或为域，或为离散赋值环（《簇》，引理 0B8Y）。由于 \(f\) 非常值，它是支配的（因为它必将 \(X\) 的泛点映到 \(Y\) 的泛点）。这说明 \(\mathcal{O}_{Y, y} \to \mathcal{O}_{X, x}\) 为单射（《态射》，引理 0CC1）。因此，\(\mathcal{O}_{X, x}\) 作为 \(\mathcal{O}_{Y, y}\)-模无挠；进而由《代数进阶》，引理 0539， \(\mathcal{O}_{X, x}\) 作为 \(\mathcal{O}_{Y, y}\)-模是平坦的。

引理

设 \(k\) 为域，\(f : X \to Y\) 为 \(k\) 上概形之间的态射。假设

\(Y\) 在 \(k\) 上分离；

\(X\) 是维数 \(\leq 1\) 的 \(k\) 上固有概形；

\(f(Z)\) 至少含有两个点，其中 \(Z \subset X\) 是维数为 \(1\) 的任一不可约分支。

则 \(f\) 有限。

证明

由《态射》，引理 01W6，态射 \(f\) 固有。因此 \(f(X)\) 是闭集，闭点的像也是闭点。设 \(y \in Y\) 是 \(X\) 中某个闭点的像。那么由条件 (3)，\(f^{-1}(\{y\})\) 是 \(X\) 的闭子集，并且不包含任何维数为 \(1\) 的不可约分支的泛点。因此 \(f^{-1}(\{y\})\) 有限。进而由《态射进阶》，引理 02UP， \(f\) 在 \(y\) 的某个开邻域上有限（若 \(Y\) 为 Noether 概形，则可以使用较容易的《概形上同调》，引理 02OH）。上面已经看到这样的点 \(y\) 足够多，故证明完毕。

引理

设 \(k\) 为域，\(X \to Y\) 为簇之间的态射，其中 \(Y\) 固有而 \(X\) 为曲线。存在分解 \(X \to \overline{X} \to Y\)，其中 \(X \to \overline{X}\) 是开浸入，且 \(\overline{X}\) 是投射曲线。

证明

这由引理 0BXY 以及《簇》，引理 0BXW 立即可得。

下面是本节的主要定理。若簇之间的态射 \(f : X \to Y\) 的像 \(f(X)\) 只由一个点 \(y\) 组成，且该点属于 \(Y\)，则称它为常值态射。在这种情形下，\(y\) 是 \(Y\) 的闭点（因为 \(X\) 的闭点之像是 \(Y\) 的闭点）。

定理

设 \(k\) 为域。下列范畴典范等价：

有限生成域扩张 \(K/k\) 所成的范畴，其中扩张的超越次数为 \(1\)。

以曲线为对象、以支配有理映射为态射的范畴。

以正规投射曲线为对象、以非常值态射为态射的范畴。

以非奇异投射曲线为对象、以非常值态射为态射的范畴。

以正则投射曲线为对象、以非常值态射为态射的范畴。

以正规固有曲线为对象、以非常值态射为态射的范畴。

证明

范畴 (1) 与 (2) 之间的等价，是《簇》，定理 0BXN 中等价的限制。具体而言，一个簇为曲线，当且仅当其函数域的超越次数为 \(1\)；例如见《簇》，引理 0A21。

范畴 (3)、(4)、(5) 与 (6) 相同。首先，“正则”与“非奇异” 是同义词，见《性质》，定义 02IS。对 Noether 的 \(1\) 维概形而言，正规与正则是同一回事（《性质》，引理 0569 及 0BX2）。曲线的情形见《簇》，引理 0B8Y。因此 (3) 与 (5) 相同。最后，由《簇》，引理 0A26，(6) 与 (3) 相同。

若 \(f : X \to Y\) 是非奇异投射曲线之间的非常值态射，则 \(f\) 把泛点 \(\eta\)（即 \(X\) 的泛点）映到泛点 \(\xi\)（即 \(Y\) 的泛点）。因此得到范畴 (1) 中的态射 \(k(Y) = \mathcal{O}_{Y, \xi} \to \mathcal{O}_{X, \eta} = k(X)\) 。若两个态射 \(f,g: X \to Y\) 给出同一态射 \(k(Y) \to k(X)\)，则由 (1) 与 (2) 之间的等价， \(f\) 与 \(g\) 作为有理映射等价；进而由引理 0BXZ，有 \(f=g\)。反之，设范畴 (1) 中给定映射 \(k(Y) \to k(X)\)。则得到态射 \(U \to Y\)，其中 \(U \subset X\) 是某个非空开集。由引理 0BXY，它可延拓到整个 \(X\)，从而得到范畴 (5) 中的态射。所以存在充分忠实函子 (5)\(\to\)(1)。

为完成证明，还须说明 (1) 中的每个 \(K/k\) 都是某条正规投射曲线的函数域。我们已经知道 \(K = k(X)\)，其中 \(X\) 是某条曲线。将 \(X\) 换成它的正规化（这是一个与 \(X\) 双有理的簇）后，可以假设 \(X\) 正规（《簇》，引理 0BXR）。然后依照《簇》，引理 0BXW，选取 \(X \to \overline{X}\)，使 \(\overline{X} \setminus X = \{x_1, \ldots, x_n\}\)。由于 \(X\) 正规，而且每个局部环 \(\mathcal{O}_{\overline{X}, x_i}\) 都正规，可知 \(\overline{X}\) 如所需是一条正规投射曲线。（备注：也可以先用《簇》，引理 0BXV 作紧化，再用《簇》，引理 0BXR 作正规化。这样便可避免使用稍显微妙的《态射》，引理 0BXB。）

定义

设 \(k\) 为域，\(X\) 为曲线。所谓\(X\) 的非奇异投射模型，是指一个二元组 \((Y, \varphi)\)，其中 \(Y\) 是非奇异投射曲线，而 \(\varphi : k(X) \to k(Y)\) 是函数域的同构。

由定理 0BY1，非奇异投射模型在唯一同构意义下确定。因此我们常说“该非奇异投射模型”。记号中通常省略 \(\varphi\)。警告：\(Y\) 未必在 \(k\) 上光滑；但引理 0BY3 表明，这种情形只能发生在正特征中。

引理

设 \(k\) 为域，\(X\) 为曲线，且 \(Y\) 是 \(X\) 的非奇异投射模型。若 \(k\) 完美，则 \(Y\) 是光滑投射曲线。

证明

例如见《簇》，引理 0B8Y。

引理

设 \(k\) 为域，\(X\) 为 \(k\) 上的几何不可约曲线。对域扩张 \(K/k\)，以 \(Y_K\) 表示 \((X_K)_{red}\) 的一个非奇异投射模型。

若 \(X\) 固有，则 \(Y_K\) 是 \(X_K\) 的正规化。

存在有限纯不可分扩张 \(K/k\)，使得 \(Y_K\) 光滑。

每当 \(Y_K\) 光滑¹时，都有 \(H^0(Y_K, \mathcal{O}_{Y_K}) = K\)。

给定域的交换图 \[\xymatrix{ \Omega & K' \ar[l] \\ K \ar[u] & k \ar[l] \ar[u] }\] 使得 \(Y_K\) 与 \(Y_{K'}\) 光滑，则 \(Y_\Omega = (Y_K)_\Omega = (Y_{K'})_\Omega\)。

证明

设 \(X'\) 是 \(X\) 的一个非奇异投射模型。则 \(X'\) 与 \(X\) 有彼此同构的非空开子概形。特别地，\(X'\) 几何不可约，正如 \(X\) 一样（省略若干细节）。所以可以假设 \(X\) 投射。

假设 \(X\) 固有。则 \(X_K\) 固有，因而其正规化 \((X_K)^\nu\) 也固有，因为它在一个固有概形上有限（《簇》，引理 0BXR，以及《态射》，引理 01WN 与 01W3）。另一方面，\(X_K\) 不可约，因为 \(X\) 几何不可约。因此 \(X_K^\nu\) 固有、正规且不可约，并与 \((X_K)_{red}\) 双有理。由于固有曲线是投射的（《簇》，引理 0A26），这就证明了 (1)。

证明 (2)。由于 \(X\) 固有并且已有 (1)，可应用《簇》，引理 0BXT，找到有限纯不可分扩张 \(K/k\)，使得 \(Y_K\) 几何正规。由于对曲线而言正规与正则等价（《性质》，引理 0BX2）， \(Y_K\) 于是几何正则。由《簇》，引理 038X，\(Y\) 是光滑簇。

若 \(Y_K\) 几何约化，则 \(Y_K\) 几何整（《簇》，引理 038K），且由《簇》，引理 04L2 可知 \(H^0(Y_K, \mathcal{O}_{Y_K}) = K\)。因为光滑簇几何约化（甚至几何正则，见《簇》，引理 038X），这就证明了 (3)。

若 \(Y_K\) 光滑，则对每个扩张 \(\Omega/K\)，基变换 \((Y_K)_\Omega\) 在 \(\Omega\) 上光滑（《态射》，引理 01VB）。因此显然有 \(Y_\Omega = (Y_K)_\Omega\)。这就证明了 (4)。

线性系

我们采用如下方式定义线性系，这与经典叙述略有不同（见备注 0CCT）。

定义

设 \(k\) 为域，\(X\) 为维数 \(\leq 1\) 的 \(k\) 上固有概形。设 \(d \geq 0\) 且 \(r \geq 0\)。所谓次数为 \(d\)、维数为 \(r\) 的线性系，是指二元组 \((\mathcal{L}, V)\)，其中 \(\mathcal{L}\) 是可逆 \(\mathcal{O}_X\)-模，次数为 \(d\) （《簇》，定义 0AYR），而 \(V \subset H^0(X, \mathcal{L})\) 是 \(k\)-向量子空间，其维数为 \(r + 1\)。简言之，我们称 \((\mathcal{L}, V)\) 是一个\(\mathfrak g^r_d\)，定义在 \(X\) 上。

我们主要在 \(X\) 为非奇异固有曲线时使用这个定义。事实上，上述定义只是推广经典 \(\mathfrak g^r_d\) 定义的一种方式。例如，若 \(X\) 是固有曲线，可以允许 \(\mathcal{L}\) 是无挠凝聚 \(\mathcal{O}_X\)-模，秩为 \(1\)，从而推广线性系的概念。在非奇异曲线上，每个无挠凝聚模都是局部自由的，所以这与我们对非奇异固有曲线所用的概念一致。

下述引理说明固有非奇异曲线上线性系的几何意义。

引理

设 \(k\) 为域，\(X\) 为 \(k\) 上的非奇异固有曲线。设 \((\mathcal{L}, V)\) 是一个 \(\mathfrak g^r_d\)，定义在 \(X\) 上。则存在态射 \[\varphi : X \longrightarrow \mathbf{P}^r_k = \text{Proj}(k[T_0, \ldots, T_r])\] ，它是 \(k\) 上簇的态射；并存在映射 \(\alpha : \varphi^*\mathcal{O}_{\mathbf{P}^r_k}(1) \to \mathcal{L}\) ，使得 \(\varphi^*T_0, \ldots, \varphi^*T_r\) 被映为 \(V\) 的一组基，所用映射为 \(\alpha\)。

证明

设 \(s_0, \ldots, s_r \in V\) 是一组 \(k\)-基。由于 \(X\) 非奇异，记该映射的像为 \(\mathcal{L}' \subset \mathcal{L}\)；该映射为 \(s_0, \ldots, s_r : \mathcal{O}_X^{\oplus r + 1} \to \mathcal{L}\) 。于是该像是可逆 \(\mathcal{O}_X\)-模；例如这可由《除子》，引理 0CC4 得到。然后应用《构造》，引理 01NE，得到态射 \[\varphi = \varphi_{(\mathcal{L}', (s_0, \ldots, s_r))} : X \longrightarrow \mathbf{P}^r_k\] ，正如引理所述。

引理

设 \(k\) 为域，\(X\) 为维数 \(\leq 1\) 的 \(k\) 上固有概形。若 \(X\) 有一个 \(\mathfrak g^r_d\)，则 \(X\) 有一个 \(\mathfrak g^s_d\)，对所有 \(0 \leq s \leq r\) 都如此。

证明

这是因为向量空间 \(V\) 的维数为 \(r + 1\)，它定义在 \(k\) 上；该空间有维数为 \(s + 1\) 的线性子空间，对所有 \(0 \leq s \leq r\) 都如此。

引理

设 \(k\) 为域，\(X\) 为 \(k\) 上的非奇异固有曲线。设 \((\mathcal{L}, V)\) 是一个 \(\mathfrak g^1_d\)，定义在 \(X\) 上。则态射 \(\varphi : X \to \mathbf{P}^1_k\) （见引理 0CCP）满足下列二者之一：

它非常值，且次数 \(\leq d\)；或

它分解通过 \(\mathbf{P}^1_k\) 的一个闭点，并且在这种情形下 \(H^0(X, \mathcal{O}_X) \not = k\)。

证明

由引理 0CCP 可知 \(\mathcal{L}' = \varphi^*\mathcal{O}_{\mathbf{P}^1_k}(1)\) 有一个非零映射 \(\mathcal{L}' \to \mathcal{L}\)。因此由《簇》，引理 0B40 可知 \(0 \leq \deg(\mathcal{L}') \leq d\)。若 \(\deg(\mathcal{L}') = 0\)，则同一引理给出 \(\mathcal{L}' \cong \mathcal{O}_X\)；又因为有两个线性无关截面，所以处于情形 (2)。若 \(\deg(\mathcal{L}') > 0\)，则 \(\varphi\) 非常值（因为可逆模沿常值态射的拉回是平凡的）。因此 \[\deg(\mathcal{L}') = \deg(X/\mathbf{P}^1_k) \deg(\mathcal{O}_{\mathbf{P}^1_k}(1))\] ，这由《簇》，引理 0AYZ 得到。由于 \(\mathcal{O}_{\mathbf{P}^1_k}(1)\) 的次数为 \(1\)，证明完成。

引理

设 \(k\) 为域，\(X\) 为 \(k\) 上满足 \(H^0(X, \mathcal{O}_X) = k\) 的固有曲线。若 \(X\) 有一个 \(\mathfrak g^r_d\)，则 \(r \leq d\)。若等号成立，则 \(H^1(X, \mathcal{O}_X) = 0\)；换言之，\(X\) 的亏格（定义 0BY7）为 \(0\)。

证明

设 \((\mathcal{L}, V)\) 是一个 \(\mathfrak g^r_d\)。由于这样只会增大 \(r\)，可以假设 \(V = H^0(X, \mathcal{L})\)。选取非零元 \(s \in V\)。于是 \(s\) 的零点概形是一个有效 Cartier 除子 \(D \subset X\)，并且 \(\mathcal{L} = \mathcal{O}_X(D)\)；还有短正合列 \[0 \to \mathcal{O}_X \to \mathcal{L} \to \mathcal{L}|_D \to 0\] ；见《除子》，引理 01X0 及备注 0C6K。由《簇》，引理 0AYY，有 \(\deg(D) = \deg(\mathcal{L}) = d\)。由于 \(D\) 是 Artin 概形，有 \(\mathcal{L}|_D \cong \mathcal{O}_D\)²。因此 \[\dim_k H^0(D, \mathcal{L}|_D) = \dim_k H^0(D, \mathcal{O}_D) = \deg(D) = d\] 另一方面，依假设 \(\dim_k H^0(X, \mathcal{O}_X) = 1\)，且 \(\dim H^0(X, \mathcal{L}) = r + 1\)。因此 \(r + 1 \leq 1 + d\)，亦即引理所述的 \(r \leq d\)。

假设等号成立。则 \(H^0(X, \mathcal{L}) \to H^0(X, \mathcal{L}|_D)\) 满射。若已知 \(H^1(X, \mathcal{L})\) 为零，则由上同调长正合列可推出 \(H^1(X, \mathcal{O}_X)\) 为零，证明便告完成。我们的策略是把 \(\mathcal{L}\) 换成一个上同调消没的高次幂。由于 \(\mathcal{L}|_D\) 是平凡可逆模（见上），可以找到截面 \(t\)，它取值于 \(\mathcal{L}\)，且其在 \(D\) 上的限制生成 \(\mathcal{L}|_D\)。考虑乘法映射 \[\mu : H^0(X, \mathcal{L}) \otimes_k H^0(X, \mathcal{L}) \longrightarrow H^0(X, \mathcal{L}^{\otimes 2})\] 以及短正合列 \[0 \to \mathcal{L} \xrightarrow{s} \mathcal{L}^{\otimes 2} \to \mathcal{L}^{\otimes 2}|_D \to 0\] 由于 \(H^0(\mathcal{L}) \to H^0(\mathcal{L}|_D)\) 满射，且 \(t\) 映到 \(\mathcal{L}|_D\) 的一个平凡化，可知 \(\mu(H^0(X, \mathcal{L}) \otimes t)\) 给出 \(H^0(X, \mathcal{L}^{\otimes 2})\) 的一个子空间，并满射到 \(\mathcal{L}^{\otimes 2}|_D\) 的整体截面。因此 \[\dim H^0(X, \mathcal{L}^{\otimes 2}) = r + 1 + d = 2r + 1 = \deg(\mathcal{L}^{\otimes 2}) + 1\] 。所以 \(\mathcal{L}^{\otimes 2}\) 与 \(\mathcal{L}\) 具有同一性质，亦即整体截面空间的维数等于次数加一。因为 \(\mathcal{L}\) 丰沛（《簇》，引理 0B5X），存在某个 \(n_0\)，使 \(\mathcal{L}^{\otimes n}\) 的 \(H^1\) 对所有 \(n \geq n_0\) 都消没（《概形的上同调》，引理 0B5T）。因此，把上述论证应用于 \(\mathcal{L}^{\otimes n}\)，其中 \(n = 2^m\) 且 \(m\) 足够大，便得引理成立。

注

设 \(X\) 为代数闭域 \(k\) 上的光滑投射曲线。称两个有效 Cartier 除子 \(D, D' \subset X\) 线性等价，当且仅当有 \(\mathcal{O}_X(D) \cong \mathcal{O}_X(D')\)，这里把二者视为 \(\mathcal{O}_X\)-模。由于 \(\Pic(X) = \text{Cl}(X)\) （《除子》，引理 0BE9），可知 \(D\) 与 \(D'\) 线性等价，当且仅当同 \(D\) 与 \(D'\) 相伴的 Weil 除子定义了 \(\text{Cl}(X)\) 的同一个元素。给定有效 Cartier 除子 \(D \subset X\)，其次数为 \(d\)；所谓它的完备线性系统或完备线性系 \(|D|\)，即 \(D\) 的完备线性系，是由所有有效 Cartier 除子 \(E \subset X\) 组成的集合，这些除子与 \(D\) 线性等价。换言之，\(|D|\) 是下述态射某条纤维的闭点集合： \[\gamma_d : \underline{\Hilbfunctor}^d_{X/k} \longrightarrow \underline{\Picardfunctor}^d_{X/k}\] 这里取曲线上 Picard 概形，引理 0BA0 中对应于 \(\mathcal{O}_X(D)\) 的闭点之上的纤维。这赋予 \(|D|\) 一个自然概形结构，并且事实证明 \(|D| \cong \mathbf{P}^m_k\)，其中 \(m + 1 = h^0(\mathcal{O}_X(D))\)。事实上，更典范地有 \[|D| = \mathbf{P}(H^0(X, \mathcal{O}_X(D))^\vee)\] ，其中 \((-)^\vee\) 表示 \(k\)-线性对偶，而 \(\mathbf{P}\) 如《构造》，例 0FCY 中所定义。用这种语言，\(X\) 上的线性系统或线性系，是可由线性方程截出的闭子簇 \(L \subset |D|\)。若 \(L\) 的维数为 \(r\)，则 \(L = \mathbf{P}(V^\vee)\)，其中 \(V \subset H^0(X, \mathcal{O}_X(D))\) 是维数为 \(r + 1\) 的线性子空间。因此，经典线性系 \(L \subset |D|\) 对应于上述定义的线性系 \((\mathcal{O}_X(D), V)\)。

对偶性

本节推导有关域上固有 \(1\) 维概形的对偶化复形与对偶性的一般理论所带来的结论。有关域上更高维固有概形的类似讨论，见《概形的对偶性》，第 0FVU 节。

引理

设 \(X\) 为维数 \(\leq 1\) 的域 \(k\) 上固有概形。存在具有下列性质的对偶化复形 \(\omega_X^\bullet\)：

\(H^i(\omega_X^\bullet)\) 仅在 \(i = -1, 0\) 时非零；

\(\omega_X = H^{-1}(\omega_X^\bullet)\) 是凝聚 Cohen–Macaulay 模，其支撑是所有维数为 \(1\) 的不可约分支；

对闭点 \(x \in X\)，模 \(H^0(\omega_{X, x}^\bullet)\) 非零，当且仅当下列二者之一成立：

\(\dim(\mathcal{O}_{X, x}) = 0\)；或

\(\dim(\mathcal{O}_{X, x}) = 1\) 且 \(\mathcal{O}_{X, x}\) 不是 Cohen–Macaulay 的；

对 \(K \in D_\QCoh(\mathcal{O}_X)\) 有函子性同构³ \[\Ext^i_X(K, \omega_X^\bullet) = \Hom_k(H^{-i}(X, K), k)\] ，并与平移及特异三角形相容；

有函子性同构 \(\Hom(\mathcal{F}, \omega_X) = \Hom_k(H^1(X, \mathcal{F}), k)\) ，其中 \(\mathcal{F}\) 是 \(X\) 上的拟凝聚模；

若 \(X \to \Spec(k)\) 光滑且相对维数为 \(1\)，则 \(\omega_X \cong \Omega_{X/k}\)。

证明

以 \(f : X \to \Spec(k)\) 表示结构态射。先取相对对偶化复形 \[\omega_X^\bullet = \omega_{X/k}^\bullet = a(\mathcal{O}_{\Spec(k)})\] ，如《概形的对偶性》，备注 0B6S 中所述。性质 (4) 由构造即得，因为 \(a\) 是 \(f_* : D_\QCoh(\mathcal{O}_X) \to D(\mathcal{O}_{\Spec(k)})\) 的右伴随。由于 \(f\) 固有，依定义有 \(f^!(\mathcal{O}_{\Spec(k)}) = a(\mathcal{O}_{\Spec(k)})\)；见《概形的对偶性》，第 0A9Y 节。因此 \(\omega_X^\bullet\) 与 \(\omega_X\) 正如《概形的对偶性》，例 0AWI 以及例 0AWJ 中所述。 (1) 与 (2) 由《概形的对偶性》，引理 0AWN 得到。对闭点 \(x \in X\)，\(\omega_{X, x}^\bullet\) 是 \(\mathcal{O}_{X, x}\) 上的正规化对偶化复形；见《概形的对偶性》，引理 0AWL。于是 (3) 由《对偶化复形》，引理 0AWS 得到。对凝聚 \(\mathcal{F}\)，(5) 由《概形的对偶性》，引理 0AWP 得到；一般情形则把 (4) 展开，并取 \(K = \mathcal{F}[0]\) 与 \(i = -1\)。 (6) 由《概形的对偶性》，引理 0BRT 得到。

引理

设 \(X\) 为域 \(k\) 上的固有概形，它是 Cohen–Macaulay 的，并且等维且维数为 \(1\)。引理 0BS2 中的模 \(\omega_X\) 具有下列性质：

\(\omega_X\) 是 \(X\) 上的对偶化模（《概形的对偶性》，第 0AWH 节）；

\(\omega_X\) 是凝聚 Cohen–Macaulay 模，其支撑为 \(X\)；

有函子性同构 \(\Ext^i_X(K, \omega_X[1]) = \Hom_k(H^{-i}(X, K), k)\) ，它们对 \(K \in D_\QCoh(X)\) 与平移相容；

有函子性同构 \(\Ext^{1 + i}(\mathcal{F}, \omega_X) = \Hom_k(H^{-i}(X, \mathcal{F}), k)\) ，其中 \(\mathcal{F}\) 是 \(X\) 上的拟凝聚模。

证明

回顾引理 0BS2 的证明，其中 \(\omega_X\) 正如《概形的对偶性》，例 0AWI 中所述，因而是对偶化模。其余断言由引理 0BS2 以及等式 \(\omega_X^\bullet = \omega_X[1]\) 得到；后者成立是因为 \(X\) 为 Cohen–Macaulay 概形（《概形的对偶性》，引理 0AWT）。

注

设 \(X\) 为维数 \(\leq 1\) 的域 \(k\) 上固有概形。设 \(\omega_X^\bullet\) 与 \(\omega_X\) 如引理 0BS2 中所定义。若 \(\mathcal{E}\) 是有限局部自由 \(\mathcal{O}_X\)-模，其对偶为 \(\mathcal{E}^\vee\)，则有典范同构 \[\Hom_k(H^{-i}(X, \mathcal{E}), k) = H^i(X, \mathcal{E}^\vee \otimes_{\mathcal{O}_X}^\mathbf{L} \omega_X^\bullet)\] 。这由上述引理及《上同调》，引理 08DQ 得到。若 \(X\) 是 Cohen–Macaulay 的，并且等维且维数为 \(1\)，则有典范同构 \[\Hom_k(H^{-i}(X, \mathcal{E}), k) = H^{1 + i}(X, \mathcal{E}^\vee \otimes_{\mathcal{O}_X} \omega_X)\] ；这由引理 0BS3 得到。特别地，若 \(\mathcal{L}\) 是可逆 \(\mathcal{O}_X\)-模，则有 \[\dim_k H^0(X, \mathcal{L}) = \dim_k H^1(X, \mathcal{L}^{\otimes -1} \otimes_{\mathcal{O}_X} \omega_X)\] 以及 \[\dim_k H^1(X, \mathcal{L}) = \dim_k H^0(X, \mathcal{L}^{\otimes -1} \otimes_{\mathcal{O}_X} \omega_X)\]

下面对对偶化复形作一次合理性检验。

引理

设 \(X\) 为维数 \(\leq 1\) 的域 \(k\) 上固有概形。设 \(\omega_X^\bullet\) 与 \(\omega_X\) 如引理 0BS2 中所定义。

若 \(X \to \Spec(k)\) 分解为 \(X \to \Spec(k') \to \Spec(k)\)，其中 \(k'\) 是某个域，则 \(\omega_X^\bullet\) 与 \(\omega_X\) 满足性质 (4)、(5)、(6)，其中把 \(k\) 换成 \(k'\)。

若 \(K/k\) 是域扩张，则 \(\omega_X^\bullet\) 与 \(\omega_X\) 在基变换 \(X_K\) 上的拉回，正如引理 0BS2 对态射 \(X_K \to \Spec(K)\) 所述。

证明

以 \(f : X \to \Spec(k)\) 表示结构态射。断言 (1) 的确切含义是： \(\omega_X^\bullet\) 与 \(\omega_X\) 正如引理 0BS2 对态射 \(f' : X \to \Spec(k')\) 所定义。在引理 0BS2 的证明中，我们取 \(\omega_X^\bullet = a(\mathcal{O}_{\Spec(k)})\)，其中 \(a\) 是《概形的对偶性》，引理 0A9E 对 \(f\) 所给函子的右伴随。因此须证明 \(a(\mathcal{O}_{\Spec(k)}) \cong a'(\mathcal{O}_{\Spec(k)})\) ，其中 \(a'\) 是《概形的对偶性》，引理 0A9E 对 \(f'\) 所给函子的右伴随。由于 \(k' \subset H^0(X, \mathcal{O}_X)\)，可知 \(k'/k\) 是有限扩张（《概形的上同调》，引理 02O6）。由伴随的唯一性，有 \(a = a' \circ b\)，其中 \(b\) 是《概形的对偶性》，引理 0A9E 对 \(g : \Spec(k') \to \Spec(k)\) 所给函子的右伴随。换言之，有 \(f^! = (f')^! \circ g^!\)。因此只需证明 \(\Hom_k(k', k) \cong k'\) 是一个 \(k'\)-模同构；见《概形的对偶性》，例 0A9F。这是因为二者都是 \(k'\)-向量空间，且维数相同（即维数 \(1\)）。

证明 (2)。这是因为由《概形的对偶性》，引理 0AA8，\(a\) 满足基变换。参见《概形的对偶性》，备注 0B6S 中的讨论。

引理

设 \(X\) 为维数 \(\leq 1\) 的域 \(k\) 上固有概形。设 \(i : Y \to X\) 为闭浸入，并设 \(\omega_X^\bullet\)、\(\omega_X\)、\(\omega_Y^\bullet\)、\(\omega_Y\) 如引理 0BS2 中所定义。则

\(\omega_Y^\bullet = R\SheafHom(\mathcal{O}_Y, \omega_X^\bullet)\)；

\(\omega_Y = \SheafHom(\mathcal{O}_Y, \omega_X)\)，且 \(i_*\omega_Y = \SheafHom_{\mathcal{O}_X}(i_*\mathcal{O}_Y, \omega_X)\)。

证明

以 \(g : Y \to \Spec(k)\) 与 \(f : X \to \Spec(k)\) 表示结构态射。于是 \(g = f \circ i\)。以 \(a, b, c\) 分别表示《概形的对偶性》，引理 0A9E 对 \(f, g, i\) 所给函子的右伴随。由右伴随的唯一性，有 \(b = c \circ a\)；这里也用到 \(Rg_* = Rf_* \circ Ri_*\)。在引理 0BS2 的证明中，我们置 \(\omega_X^\bullet = a(\mathcal{O}_{\Spec(k)})\) 且 \(\omega_Y^\bullet = b(\mathcal{O}_{\Spec(k)})\)。因此 \(\omega_Y^\bullet = c(\omega_X^\bullet)\)；由《概形的对偶性》，引理 0A9X，这蕴含 (1)。由于 \(\omega_X = H^{-1}(\omega_X^\bullet)\) 且 \(\omega_Y = H^{-1}(\omega_Y^\bullet)\)，可得 \(\omega_Y = \SheafHom(\mathcal{O}_Y, \omega_X)\)。这又蕴含 \(i_*\omega_Y = \SheafHom_{\mathcal{O}_X}(i_*\mathcal{O}_Y, \omega_X)\) ；见《概形的对偶性》，引理 0A77。

引理

设 \(X\) 为域 \(k\) 上的固有概形，它是 Gorenstein、约化的，并且等维且维数为 \(1\)。设 \(i : Y \to X\) 是等维且维数为 \(1\) 的约化闭子概形。设 \(j : Z \to X\) 是 \(X \setminus Y\) 的概形论闭包。则

\(Y\) 与 \(Z\) 都是 Cohen–Macaulay 的；

若 \(\mathcal{I} \subset \mathcal{O}_X\)、分别地 \(\mathcal{J} \subset \mathcal{O}_X\) 是 \(Y\)、分别地 \(Z\) 在 \(X\) 中的理想层，则 \[\mathcal{I} = i_*\mathcal{I}' \quad\text{且}\quad \mathcal{J} = j_*\mathcal{J}'\] ，其中 \(\mathcal{I}' \subset \mathcal{O}_Z\)、分别地 \(\mathcal{J}' \subset \mathcal{O}_Y\) 是 \(Y \cap Z\) 在 \(Z\)、分别地 \(Y\) 中的理想层；

\(\omega_Y = \mathcal{J}'(i^*\omega_X)\)，且 \(i_*(\omega_Y) = \mathcal{J}\omega_X\)；

\(\omega_Z = \mathcal{I}'(i^*\omega_X)\)，且 \(i_*(\omega_Z) = \mathcal{I}\omega_X\)；

有下列短正合列： \[\begin{align*} 0 \to \omega_X \to i_*i^*\omega_X \oplus j_*j^*\omega_X \to \mathcal{O}_{Y \cap Z} \to 0 \\ 0 \to i_*\omega_Y \to \omega_X \to j_*j^*\omega_X \to 0 \\ 0 \to j_*\omega_Z \to \omega_X \to i_*i^*\omega_X \to 0 \\ 0 \to i_*\omega_Y \oplus j_*\omega_Z \to \omega_X \to \mathcal{O}_{Y \cap Z} \to 0 \\ 0 \to \omega_Y \to i^*\omega_X \to \mathcal{O}_{Y \cap Z} \to 0 \\ 0 \to \omega_Z \to j^*\omega_X \to \mathcal{O}_{Y \cap Z} \to 0 \end{align*}\]

这里 \(\omega_X\)、\(\omega_Y\)、\(\omega_Z\) 如引理 0BS2 中所定义。

证明

约化的 \(1\) 维 Noether 概形是 Cohen–Macaulay 的，所以 (1) 成立。由于 \(X\) 约化，在概形论意义下有 \(X = Y \cup Z\)。采用《态射》，引理 0C4J 中的记号，并由该引理的断言，有短正合列 \[0 \to \mathcal{O}_X \to \mathcal{O}_Y \oplus \mathcal{O}_Z \to \mathcal{O}_{Y \cap Z} \to 0\] 。由于 \(\mathcal{J} = \Ker(\mathcal{O}_X \to \mathcal{O}_Z)\)、 \(\mathcal{J}' = \Ker(\mathcal{O}_Y \to \mathcal{O}_{Y \cap Z})\)、 \(\mathcal{I} = \Ker(\mathcal{O}_X \to \mathcal{O}_Y)\)，以及 \(\mathcal{I}' = \Ker(\mathcal{O}_Z \to \mathcal{O}_{Y \cap Z})\)，图追踪即得 (2)。注意 \(\mathcal{I} + \mathcal{J}\) 是 \(Y \cap Z\) 的理想层，并且 \(\mathcal{I} \cap \mathcal{J} = 0\)。因此有下列正合列： \[\begin{align*} 0 \to \mathcal{O}_X \to \mathcal{O}_Y \oplus \mathcal{O}_Z \to \mathcal{O}_{Y \cap Z} \to 0 \\ 0 \to \mathcal{J} \to \mathcal{O}_X \to \mathcal{O}_Z \to 0 \\ 0 \to \mathcal{I} \to \mathcal{O}_X \to \mathcal{O}_Y \to 0 \\ 0 \to \mathcal{J} \oplus \mathcal{I} \to \mathcal{O}_X \to \mathcal{O}_{Y \cap Z} \to 0 \\ 0 \to \mathcal{J}' \to \mathcal{O}_Y \to \mathcal{O}_{Y \cap Z} \to 0 \\ 0 \to \mathcal{I}' \to \mathcal{O}_Z \to \mathcal{O}_{Y \cap Z} \to 0 \end{align*}\] 由于 \(X\) 是 Gorenstein 的，\(\omega_X\) 是可逆 \(\mathcal{O}_X\)-模（《概形的对偶性》，引理 0BFQ）。由于 \(Y \cap Z\) 的维数为 \(0\)，有 \(\omega_X|_{Y \cap Z} \cong \mathcal{O}_{Y \cap Z}\)。因此，只要证明 (3) 与 (4)，把上述短正合列与可逆模 \(\omega_X\) 作张量积，便得到引理中的短正合列。由对称性，只需证明 (3)；再由 (2)，只需证明 \(i_*(\omega_Y) = \mathcal{J}\omega_X\)。

我们有 \(i_*\omega_Y = \SheafHom_{\mathcal{O}_X}(i_*\mathcal{O}_Y, \omega_X)\) ，这由引理 0E33 得到。再次利用 \(\omega_X\) 可逆，最终只需证明 \(\SheafHom_{\mathcal{O}_X}(\mathcal{O}_X/\mathcal{I}, \mathcal{O}_X)\) 同构地映到 \(\mathcal{J}\)，其映射是在 \(1\) 处取值。换言之，\(\mathcal{J}\) 是 \(\mathcal{I}\) 的零化子。这由上文得到。

Riemann–Roch 定理

设 \(k\) 为域，\(X\) 为维数 \(\leq 1\) 的 \(k\) 上固有概形。在《簇》，第 0AYQ 节中，我们用下式定义常秩局部自由 \(\mathcal{O}_X\)-模 \(\mathcal{E}\) 的次数： [0BRX]\[\begin{equation} \deg(\mathcal{E}) = \chi(X, \mathcal{E}) - \text{rank}(\mathcal{E})\chi(X, \mathcal{O}_X) \end{equation}\] ；见《簇》，定义 0AYR。在《Chow 同调》一章中，我们把 \(\mathcal{E}\) 的第一 Chern 类定义为闭链上的运算（《Chow 同调》，第 02U4 节），并证明 [0BRY]\[\begin{equation} \deg(\mathcal{E}) = \deg(c_1(\mathcal{E}) \cap [X]_1) \end{equation}\] ；见《Chow 同调》，引理 0AZ3。结合 (0BRX) 与 (0BRY)，得到第一种 Riemann–Roch 公式： [0BRZ]\[\begin{equation} \chi(X, \mathcal{E}) = \deg(c_1(\mathcal{E}) \cap [X]_1) + \text{rank}(\mathcal{E})\chi(X, \mathcal{O}_X) \end{equation}\] 若 \(\mathcal{L}\) 是可逆 \(\mathcal{O}_X\)-模，还可以考虑数值交数 \((\mathcal{L} \cdot X)\)，其定义见《簇》，定义 0BEP。不过，这并未给出新内容，因为 [0BS0]\[\begin{equation} (\mathcal{L} \cdot X) = \deg(\mathcal{L}) \end{equation}\] ；这由《簇》，引理 0BEY 得到。若 \(\mathcal{L}\) 丰沛，则这个整数为正，并称下式 [0BS1]\[\begin{equation} \deg_\mathcal{L}(X) = (\mathcal{L} \cdot X) = \deg(\mathcal{L}) \end{equation}\] 为 \(X\) 关于 \(\mathcal{L}\) 的次数；见《簇》，定义 0BEW。

为了得到真正的 Riemann–Roch 定理，我们希望把 \(\chi(X, \mathcal{O}_X)\) 写成 \(X\) 上某个典范零维闭链的次数。完全一般的版本见 [F]。我们将利用对偶性，在 \(X\) 为 Gorenstein 时得到一个公式；不过，从某种意义上说这是一种取巧（例如，因为这种方法在更高维中不能奏效）。

我们先利用引理 0BS2 与 0BS3，得到 \(\mathcal{O}_X\) 的 Euler 示性数同对偶化复形或对偶化模的 Euler 示性数之间的关系。

引理

设 \(X\) 为维数 \(\leq 1\) 的域 \(k\) 上固有概形。令 \(\omega_X^\bullet\) 与 \(\omega_X\) 如引理 0BS2 中所定义，则 \[\chi(X, \mathcal{O}_X) = \chi(X, \omega_X^\bullet)\] 。若 \(X\) 是 Cohen–Macaulay 的，并且等维且维数为 \(1\)，则 \[\chi(X, \mathcal{O}_X) = - \chi(X, \omega_X)\]

证明

第一条公式的右端定义如下： \[\chi(X, \omega_X^\bullet) = \sum\nolimits_{i \in \mathbf{Z}} (-1)^i\dim_k H^i(X, \omega_X^\bullet)\] 这是良定义的，因为 \(\omega_X^\bullet\) 属于 \(D^b_{\textit{Coh}}(\mathcal{O}_X)\)；也可以由下式看出： \[H^i(X, \omega_X^\bullet) = \Ext^i(\mathcal{O}_X, \omega_X^\bullet) = H^{-i}(X, \mathcal{O}_X)\] 它总是有限维的，并且仅在 \(i = 0, -1\) 时非零。这当然也证明了第一条公式。在 CM 情形下， \(\omega_X^\bullet = \omega_X[1]\)，所以第二条公式由第一条公式推出；见引理 0BS3。

我们将利用引理 0BS5 得到所需的 \(\chi(X, \mathcal{O}_X)\) 公式，此时 \(\omega_X\) 可逆，亦即 \(X\) 为 Gorenstein 的。其断言是：取 \(-1/2\) 倍的 \(\omega_X\) 的第一 Chern 类，再同闭链 \([X]_1\) 作帽积；该闭链与 \(X\) 相伴。所得闭链是 \(X\) 上一个具有半整数系数的自然零维闭链，其次数为 \(\chi(X, \mathcal{O}_X)\)。Riemann–Roch 定理的陈述中无法避免分数。

引理

设 \(X\) 为域 \(k\) 上的固有概形，它是 Gorenstein 的，并且等维且维数为 \(1\)。设 \(\omega_X\) 如引理 0BS2 中所定义。则

\(\omega_X\) 是可逆 \(\mathcal{O}_X\)-模；

\(\deg(\omega_X) = -2\chi(X, \mathcal{O}_X)\)；

对常秩局部自由 \(\mathcal{O}_X\)-模 \(\mathcal{E}\)，有 \[\chi(X, \mathcal{E}) = \deg(\mathcal{E}) - \textstyle{\frac{1}{2}} \text{rank}(\mathcal{E}) \deg(\omega_X)\] ，且 \(\dim_k(H^i(X, \mathcal{E})) = \dim_k(H^{1 - i}(X, \mathcal{E}^\vee \otimes_{\mathcal{O}_X} \omega_X))\) 对所有 \(i \in \mathbf{Z}\) 成立。

非奇异（正规）曲线是 Gorenstein 的；见《概形的对偶性》，引理 0DWG。

证明

回顾 Gorenstein 概形是 Cohen–Macaulay 的（《概形的对偶性》，引理 0C00），因而 \(\omega_X\) 是 \(X\) 上的对偶化模；见引理 0BS3。从 Gorenstein 性质的定义几乎立即可知，对偶化层可逆；见《概形的对偶性》，第 0AWV 节。把 (0BRZ) 应用于 \(\omega_X\)，得到 \[\chi(X, \omega_X) = \deg(c_1(\omega_X) \cap [X]_1) + \chi(X, \mathcal{O}_X)\] 。结合引理 0BS5，得到 \[2\chi(X, \mathcal{O}_X) = - \deg(c_1(\omega_X) \cap [X]_1) = - \deg(\omega_X)\] ；第二个等号由 (0BRY) 得到。把它代回关于 \(\mathcal{E}\) 的 (0BRZ)，即得引理中的展示公式。维数的对称性是 \(X\) 的对偶性的推论；见备注 0BS4。

一些消没结果

本节包含一些很弱的消没结果。更多且更有趣的若干结果见第 0E39 节。

引理

设 \(k\) 为域，\(X\) 为 \(k\) 上维数为 \(1\) 的固有概形，且 \(H^0(X, \mathcal{O}_X) = k\)。则 \(X\) 连通、Cohen–Macaulay，并且等维且维数为 \(1\)。

证明

由于 \(\Gamma(X, \mathcal{O}_X) = k\) 没有非平凡幂等元， \(X\) 连通。这已经说明 \(X\) 等维且维数为 \(1\) （任何维数为 \(0\) 的不可约分支都会是一个连通分支）。设 \(\mathcal{I} \subset \mathcal{O}_X\) 为支撑于闭点的最大凝聚子模。这个 \(\mathcal{I}\) 存在（《除子》，引理 02OL），并由整体截面生成（《簇》，引理 0AYT）。由于 \(1 \in \Gamma(X, \mathcal{O}_X)\) 不是 \(\mathcal{I}\) 的截面，可知 \(\mathcal{I} = 0\)。所以 \(X\) 没有嵌入点（《除子》，引理 02OL）。再由《除子》，引理 0346， \(X\) 满足 \((S_1)\)。因此 \(X\) 是 Cohen–Macaulay 的。

本节始终处于下述情形。

情形

这里 \(k\) 是域，\(X\) 是 \(k\) 上维数为 \(1\) 的固有概形，并且 \(H^0(X, \mathcal{O}_X) = k\)。

由引理 0BY5，概形 \(X\) 是 Cohen–Macaulay 的，并且等维且维数为 \(1\)。引理 0BS2 与 0BS3 中讨论的对偶化模 \(\omega_X\) 具有不消没的 \(H^1\)，因为事实上 \(\dim_k H^1(X, \omega_X) = \dim_k H^0(X, \mathcal{O}_X) = 1\)。事实证明，任何比 \(\omega_X\) 稍微更“正”的对象都有消没的 \(H^1\)。

引理

在情形 0B5D 中，给定正合列 \[\omega_X \to \mathcal{F} \to \mathcal{Q} \to 0\] ，其中各项是凝聚 \(\mathcal{O}_X\)-模，且 \(H^1(X, \mathcal{Q}) = 0\) （例如 \(\dim(\text{Supp}(\mathcal{Q})) = 0\) 时如此），则或者 \(H^1(X, \mathcal{F}) = 0\)，或者 \(\mathcal{F} = \omega_X \oplus \mathcal{Q}\)。

证明

（括号中的断言由《概形的上同调》，引理 0B3J 得到。）由于 \(H^0(X, \mathcal{O}_X) = k\) 与 \(H^1(X, \omega_X)\) 对偶（见第 0B5B 节），可知 \(\dim H^1(X, \omega_X) = 1\)。层 \(\omega_X\) 表示函子 \(\mathcal{F} \mapsto \Hom_k(H^1(X, \mathcal{F}), k)\) ，这里范畴为凝聚 \(\mathcal{O}_X\)-模所成的范畴（《概形的对偶性》，引理 0AWP）。考虑引理陈述中的正合列，并假设 \(H^1(X, \mathcal{F}) \not = 0\)。由于 \(H^1(X, \mathcal{Q}) = 0\)，映射 \(H^1(X, \omega_X) \to H^1(X, \mathcal{F})\) 是同构。由上述 \(\omega_X\) 的泛性质，存在映射 \(\mathcal{F} \to \omega_X\)，其在 \(H^1\) 上的作用是该同构的逆。复合 \(\omega_X \to \mathcal{F} \to \omega_X\) 是恒等映射（由泛性质），引理得证。

引理

在情形 0B5D 中，设 \(\mathcal{L}\) 为可逆 \(\mathcal{O}_X\)-模，它由整体截面生成，且不同构于 \(\mathcal{O}_X\)。则 \(H^1(X, \omega_X \otimes \mathcal{L}) = 0\)。

证明

由第 0B5B 节所讨论的对偶性，只需证明 \(H^0(X, \mathcal{L}^{\otimes - 1}) = 0\)。否则，可以选取整体截面 \(t\)，它属于 \(\mathcal{L}^{\otimes - 1}\)；再选取整体截面 \(s\)，它属于 \(\mathcal{L}\)，使得 \(st \not = 0\)。但由假设，\(st\) 是 \(1\) 的常数倍，因为 \(H^0(X, \mathcal{O}_X) = k\)。于是 \(\mathcal{L} \cong \mathcal{O}_X\)，矛盾。

引理

在情形 0B5D 中，给定正合列 \[\omega_X \to \mathcal{F} \to \mathcal{Q} \to 0\] ，其中各项是凝聚 \(\mathcal{O}_X\)-模， \(\dim(\text{Supp}(\mathcal{Q})) = 0\) 且 \(\dim_k H^0(X, \mathcal{Q}) \geq 2\)；并假设不存在非零子模 \(\mathcal{Q}' \subset \mathcal{F}\)，使 \(\mathcal{Q}' \to \mathcal{Q}\) 单射。则 \(\mathcal{F}\) 中由整体截面生成的子模满射到 \(\mathcal{Q}\)。

证明

设 \(\mathcal{F}' \subset \mathcal{F}\) 为由整体截面以及 \(\omega_X \to \mathcal{F}\) 的像生成的子模。由于 \(\dim_k H^0(X, \mathcal{Q}) \geq 2\)，且 \(\dim_k H^1(X, \omega_X) = \dim_k H^0(X, \mathcal{O}_X) = 1\)，可知 \(\mathcal{F}' \to \mathcal{Q}\) 非零，并且 \(\omega_X \to \mathcal{F}'\) 不是同构。因此 \(H^1(X, \mathcal{F}') = 0\)；这由引理 0B5E 以及对 \(\mathcal{F}\) 的假设得到。考虑短正合列 \[0 \to \mathcal{F}' \to \mathcal{F} \to \mathcal{Q}/\Im(\mathcal{F}' \to \mathcal{Q}) \to 0\] 。若右端商非零，便产生矛盾，因为此时 \(H^0(X, \mathcal{F})\) 比 \(H^0(X, \mathcal{F}')\) 大。

下面给出一个整体生成的例子。

引理

在情形 0B5D 中，假设 \(X\) 是整的。设 \(0 \to \omega_X \to \mathcal{F} \to \mathcal{Q} \to 0\) 是凝聚 \(\mathcal{O}_X\)-模的短正合列，其中 \(\mathcal{F}\) 无挠， \(\dim(\text{Supp}(\mathcal{Q})) = 0\)，且 \(\dim_k H^0(X, \mathcal{Q}) \geq 2\)。则 \(\mathcal{F}\) 由整体截面生成。

证明

考虑由整体截面生成的子模 \(\mathcal{F}'\)。由引理 0B5F，\(\mathcal{F}' \to \mathcal{Q}\) 满射；特别地，\(\mathcal{F}' \not = 0\)。由于 \(X\) 是曲线， \(\mathcal{F}' \subset \mathcal{F}\) 是秩为 \(1\) 的层之间的包含，所以 \(\mathcal{Q}' = \mathcal{F}/\mathcal{F}'\) 支撑于有限多个点。为导出矛盾，假设 \(\mathcal{Q}'\) 非零。则 \(H^1(X, \mathcal{F}') \not = 0\)。于是由泛性质得到非零映射 \(\mathcal{F}' \to \omega_X\)（《概形的对偶性》，引理 0AWP）。复合 \(\mathcal{F}' \to \omega_X \to \mathcal{F}\) 的像由整体截面生成，所以包含于 \(\mathcal{F}'\)。于是得到非零自映射 \(\mathcal{F}' \to \mathcal{F}'\)。由于 \(\mathcal{F}'\) 是固有曲线上秩为 \(1\) 的无挠层，该映射必为自同构（省略细节）。但这就蕴含 \(\mathcal{F}'\) 包含于 \(\omega_X \subset \mathcal{F}\)，同 \(\mathcal{F}' \to \mathcal{Q}\) 的满射性矛盾。

引理

在情形 0B5D 中，设 \(\mathcal{L}\) 为非常丰沛的可逆 \(\mathcal{O}_X\)-模，且 \(\deg(\mathcal{L}) \geq 2\)。则 \(\omega_X \otimes_{\mathcal{O}_X} \mathcal{L}\) 由整体截面生成。

证明

先假设 \(k\) 代数闭。设 \(x \in X\) 为闭点。设 \(C_i \subset X\) 为各不可约分支，并对每个 \(i\)，以 \(x_i \in C_i\) 表示其泛点。由《簇》，引理 0B58，可以选取截面 \(s \in H^0(X, \mathcal{L})\)，使 \(s\) 在 \(x\) 处消没，但不在 \(x_i\) 处消没，对所有 \(i\) 都如此。相应的模映射 \(s : \mathcal{O}_X \to \mathcal{L}\) 是单射，其余核 \(\mathcal{Q}\) 支撑于有限多个点，并且 \(H^0(X, \mathcal{Q}) \geq 2\)。考虑相应的正合列 \[0 \to \omega_X \to \omega_X \otimes \mathcal{L} \to \omega_X \otimes \mathcal{Q} \to 0\] 。由引理 0B5F，由整体截面生成的模满射到 \(\omega_X \otimes \mathcal{Q}\)。由于 \(x\) 任意，引理得证。省略若干细节。

下面把 \(k\) 非代数闭的情形归约到代数闭域的情形。建议读者跳过证明的其余部分。选取代数闭包 \(\overline{k}\)，其基域为 \(k\)，并考虑基变换 \(X_{\overline{k}}\)。我们来检验 \(X_{\overline{k}} \to \Spec(\overline{k})\) 是情形 0B5D 的一个例子。由平坦基变换（《概形的上同调》，引理 02KH），有 \(H^0(X_{\overline{k}}, \mathcal{O}) = \overline{k}\)。概形 \(X_{\overline{k}}\) 在 \(\overline{k}\) 上固有（《态射》，引理 01W4），并且等维且维数为 \(1\) （《态射》，引理 02FY）。 \(\omega_X\) 在 \(X_{\overline{k}}\) 上的拉回是 \(X_{\overline{k}}\) 的对偶化模；这由引理 0E32 得到。 \(\mathcal{L}\) 在 \(X_{\overline{k}}\) 上的拉回非常丰沛（《态射》，引理 0B3F）。 \(\mathcal{L}\) 在 \(X_{\overline{k}}\) 上的拉回之次数，等于 \(\mathcal{L}\) 在 \(X\) 上的次数（《簇》，引理 0B59）。最后， \(\omega_X \otimes \mathcal{L}\) 由整体截面生成，当且仅当其基变换也如此（《簇》，引理 0B57）。因此该结果由代数闭基域的情形推出。

非常丰沛可逆层

对于可逆模 \(\mathcal{L}\)，若它定义在代数闭域上有限型概形 \(X\) 上，常用的一条非常丰沛判据是：\(\mathcal{L}\) 的截面分离点与切向量（《簇》，第 0E8R 节）。下面给出曲线的另一条判据；请同《簇》，第 08A2 小节比较。

引理

设 \(k\) 为域，\(X\) 为 \(k\) 上维数为 \(1\) 的固有概形，且 \(H^0(X, \mathcal{O}_X) = k\)。设 \(\mathcal{L}\) 为可逆 \(\mathcal{O}_X\)-模。假设

\(\mathcal{L}\) 有一个正则整体截面；

\(H^1(X, \mathcal{L}) = 0\)；且

\(\mathcal{L}\) 丰沛。

则 \(\mathcal{L}^{\otimes 6}\) 在 \(X\) 上相对于 \(k\) 非常丰沛。

证明

设 \(s\) 为 \(\mathcal{L}\) 的正则整体截面。设 \(i : Z = Z(s) \to X\) 为 \(s\) 的零点概形；见《除子》，第 0C4S 节。由条件 (3)，有 \(Z \not = \emptyset\)（省略一个小细节）。考虑短正合列 \[0 \to \mathcal{O}_X \xrightarrow{s} \mathcal{L} \to i_*(\mathcal{L}|_Z) \to 0\] 。与 \(\mathcal{L}\) 作张量积，得到 \[0 \to \mathcal{L} \to \mathcal{L}^{\otimes 2} \to i_*(\mathcal{L}^{\otimes 2}|_Z) \to 0\] 。注意 \(Z\) 的维数为 \(0\) （《除子》，引理 056N），所以它是 Artin 环的谱（《簇》，引理 06LH），进而 \(\mathcal{L}|_Z \cong \mathcal{O}_Z\) （《代数》，引理 02M9）。该短正合列还表明 \(H^1(X, \mathcal{L}^{\otimes 2}) = 0\) （例如可用《簇》，引理 0AYT 看出右端相应位置消没）。对 \(n \geq 1\) 作归纳，并使用正合列 \[0 \to \mathcal{L}^{\otimes n} \xrightarrow{s} \mathcal{L}^{\otimes n + 1} \to i_*(\mathcal{L}^{\otimes n + 1}|_Z) \to 0\] ，可知 \(H^1(X, \mathcal{L}^{\otimes n}) = 0\) 对 \(n > 0\) 成立，并且存在整体截面 \(t_{n + 1}\)，它属于 \(\mathcal{L}^{\otimes n + 1}\)，并给出 \(\mathcal{L}^{\otimes n + 1}|_Z \cong \mathcal{O}_Z\) 的平凡化。

考虑乘法映射 \[\mu_n : H^0(X, \mathcal{L}) \otimes_k H^0(X, \mathcal{L}^{\otimes n}) \oplus H^0(X, \mathcal{L}^{\otimes 2}) \otimes_k H^0(X, \mathcal{L}^{\otimes n - 1}) \longrightarrow H^0(X, \mathcal{L}^{\otimes n + 1})\] 我们断言它对 \(n \geq 3\) 满射。为此考虑短正合列 \[0 \to \mathcal{L}^{\otimes n} \xrightarrow{s} \mathcal{L}^{\otimes n + 1} \to i_*(\mathcal{L}^{\otimes n + 1}|_Z) \to 0\] 。该正合列中从左端而来的 \(\mathcal{L}^{\otimes n + 1}\) 的截面，属于 \(\mu_n\) 的像。另一方面，由于 \(H^0(\mathcal{L}^{\otimes 2}) \to H^0(\mathcal{L}^{\otimes 2}|_Z)\) 满射（见上），且 \(t_{n - 1}\) 映到 \(\mathcal{L}^{\otimes n - 1}|_Z\) 的一个平凡化，可知 \(\mu_n(H^0(X, \mathcal{L}^{\otimes 2}) \otimes t_{n - 1})\) 给出 \(H^0(X, \mathcal{L}^{\otimes n + 1})\) 的一个子空间，该子空间满射到 \(\mathcal{L}^{\otimes n + 1}|_Z\) 的整体截面。断言得证。

由上一段的断言可知，分次 \(k\)-代数 \[S = \bigoplus\nolimits_{n \geq 0} H^0(X, \mathcal{L}^{\otimes n})\] 由次数 \(0, 1, 2, 3\) 的元素在 \(k\) 上生成。回顾 \(X = \text{Proj}(S)\)；见《态射》，引理 0C6J。因此 \(S^{(6)} = \bigoplus_{n} S_{6n}\) 由次数 \(1\) 的元素生成。这意味着 \(\mathcal{L}^{\otimes 6}\) 如所需是非常丰沛的。

引理

设 \(k\) 为域，\(X\) 为 \(k\) 上维数为 \(1\) 的固有概形，且 \(H^0(X, \mathcal{O}_X) = k\)。设 \(\mathcal{L}\) 为可逆 \(\mathcal{O}_X\)-模。假设

\(\mathcal{L}\) 由整体截面生成；

\(H^1(X, \mathcal{L}) = 0\)；且

\(\mathcal{L}\) 丰沛。

则 \(\mathcal{L}^{\otimes 2}\) 在 \(X\) 上相对于 \(k\) 非常丰沛。

证明

选取基 \(s_0, \ldots, s_n\)；这是 \(H^0(X, \mathcal{L}^{\otimes 2})\) 在 \(k\) 上的一组基。由性质 (1)， \(\mathcal{L}^{\otimes 2}\) 由整体截面生成，并得到态射 \[\varphi_{\mathcal{L}^{\otimes 2}, (s_0, \ldots, s_n)} : X \longrightarrow \mathbf{P}^n_k\] ；见《构造》，第 01ND 节。引理断言此态射是闭浸入。为检验这一点，可以把 \(k\) 换成其代数闭包；见《下降》，引理 02L6。所以可以假设 \(k\) 代数闭。

假设 \(k\) 代数闭。对每个泛点 \(\eta_i \in X\)，设 \(V_i \subset H^0(X, \mathcal{L})\) 为一个 \(k\)-向量子空间，由在 \(\eta_i\) 处消没的截面组成。由于 \(\mathcal{L}\) 由整体截面生成， \(V_i \not = H^0(X, \mathcal{L})\)。由于 \(X\) 只有有限多个不可约分支，且 \(k\) 无限，可以找到 \(s \in H^0(X, \mathcal{L})\)，它在 \(\eta_i\) 处不消没，对所有 \(i\) 都如此。于是 \(s\) 是 \(\mathcal{L}\) 的正则截面（因为由引理 0BY5，\(X\) 是 Cohen–Macaulay 的，所以 \(\mathcal{L}\) 没有嵌入相伴点）。

特别地，引理 0E8V 的证明中给出的所有断言对这个 \(s\) 都成立。此外，因为 \(\mathcal{L}\) 由整体截面生成，可以找到整体截面 \(t \in H^0(X, \mathcal{L})\)，使 \(t|_Z\) 不消没（如上利用 \(Z\) 只有有限多个点来论证）。于是，在引理 0E8V 的证明中，可用 \(t\) 进一步看出乘法映射 \[\mu_n : H^0(X, \mathcal{L}) \otimes_k H^0(X, \mathcal{L}^{\otimes 2}) \longrightarrow H^0(X, \mathcal{L}^{\otimes 3})\] 满射。因此 \[S = \bigoplus\nolimits_{n \geq 0} H^0(X, \mathcal{L}^{\otimes n})\] 由次数 \(0, 1, 2\) 的元素在 \(k\) 上生成。仿照引理 0E8V 的证明论证，得到 \(S^{(2)} = \bigoplus_{n} S_{2n}\) 由次数 \(1\) 的元素生成。这意味着 \(\mathcal{L}^{\otimes 2}\) 如所需是非常丰沛的。省略若干细节。

曲线的亏格

若 \(X\) 是域 \(k\) 上光滑、投射且几何不可约的曲线，我们先前已把 \(X\) 的亏格定义为 \(H^1(X, \mathcal{O}_X)\) 的维数；见《曲线的 Picard 概形》，定义 0B9W。注意在此情形下 \(H^0(X, \mathcal{O}_X) = k\)；见《簇》，引理 04L2。现作如下推广。

定义

设 \(k\) 为域，\(X\) 为 \(k\) 上维数为 \(1\) 的固有概形，且 \(H^0(X, \mathcal{O}_X) = k\)。则 \(X\) 的亏格是 \(g = \dim_k H^1(X, \mathcal{O}_X)\)。

它有时称为 \(X\) 的算术亏格。文献中，固有曲线 \(X\)（其基域为 \(k\)）的算术亏格有时定义为 \[p_a(X) = 1 - \chi(X, \mathcal{O}_X) = 1 - \dim_k H^0(X, \mathcal{O}_X) + \dim_k H^1(X, \mathcal{O}_X)\] 。当我们的定义适用时，两者一致，因为我们假设 \(H^0(X, \mathcal{O}_X) = k\)。但须注意：

\(p_a(X)\) 可以为负；且
\(p_a(X)\) 依赖于基域 \(k\)，应写作 \(p_a(X/k)\)。

例如，若 \(k = \mathbf{Q}\) 且 \(X = \mathbf{P}^1_{\mathbf{Q}(i)}\)，则 \(p_a(X/\mathbf{Q}) = -1\) 且 \(p_a(X/\mathbf{Q}(i)) = 0\)。

我们定义中的假设 \(H^0(X, \mathcal{O}_X) = k\) 有两个后果。一方面，它意味着基域没有歧义。另一方面，它蕴含概形 \(X\) 是 Cohen–Macaulay 的，并且等维且维数为 \(1\) （引理 0BY5）。若 \(\omega_X\) 表示引理 0BS2 与 0BS3 中的对偶化模，则 [0BY8]\[\begin{equation} g = \dim_k H^1(X, \mathcal{O}_X) = \dim_k H^0(X, \omega_X) \end{equation}\] ；这由对偶性得到，见备注 0BS4。

若 \(X\) 在 \(k\) 上固有、维数 \(\leq 1\)，且 \(H^0(X, \mathcal{O}_X)\) 不等于基域 \(k\)，我们不用上面展示公式给出的算术亏格 \(p_a(X)\)，而使用不变量 \(\chi(X, \mathcal{O}_X)\)。事实上，[FAC, page 276] 与 [Hirzebruch, Introduction] 主张应把 \(\chi(X, \mathcal{O}_X)\) 称为算术亏格。

引理

设 \(k'/k\) 为域扩张，\(X\) 为 \(k\) 上维数为 \(1\) 的固有概形，且 \(H^0(X, \mathcal{O}_X) = k\)。则 \(X_{k'}\) 是 \(k'\) 上维数为 \(1\) 的固有概形，并且 \(H^0(X_{k'}, \mathcal{O}_{X_{k'}}) = k'\)。此外，\(X_{k'}\) 的亏格等于 \(X\) 的亏格。

证明

例如由《态射》，引理 02FY， \(X_{k'}\) 的维数为 \(1\)。态射 \(X_{k'} \to \Spec(k')\) 固有，这由《态射》，引理 01W4 得到。等式 \(H^0(X_{k'}, \mathcal{O}_{X_{k'}}) = k'\) 由《概形的上同调》，引理 02KH 得到。亏格相等也由同一引理得到。

引理

设 \(k\) 为域，\(X\) 为 \(k\) 上维数为 \(1\) 的固有概形，且 \(H^0(X, \mathcal{O}_X) = k\)。若 \(X\) 是 Gorenstein 的，则 \[\deg(\omega_X) = 2g - 2\] ，其中 \(g\) 是 \(X\) 的亏格，而 \(\omega_X\) 如引理 0BS2 中所定义。

证明

由引理 0BS6 立即得到。

引理

设 \(X\) 为域 \(k\) 上的光滑固有曲线，且 \(H^0(X, \mathcal{O}_X) = k\)。则 \[\dim_k H^0(X, \Omega_{X/k}) = g \quad\text{且}\quad \deg(\Omega_{X/k}) = 2g - 2\] ，其中 \(g\) 是 \(X\) 的亏格。

证明

由引理 0BS2，有 \(\Omega_{X/k} = \omega_X\)。所以这些公式由 (0BY8) 及引理 0C19 得到。

平面曲线

设 \(k\) 为域。所谓平面曲线，是指曲线 \(X\)，它同 \(\mathbf{P}^2_k\) 的某个闭子概形同构。我们常把嵌入 \(X \to \mathbf{P}^2_k\) 视为已给定。由《除子》，例 0BXK，曲线由相应的齐次理想确定： \[I(X) = \Ker\left( k[T_0, T_2, T_2] \longrightarrow \bigoplus \Gamma(X, \mathcal{O}_X(n)) \right)\] 。回顾在这种情形下有 \[X = \text{Proj}(k[T_0, T_2, T_2]/I)\] ，这是 \(\mathbf{P}^2_k\) 的闭子概形。这些构造的一般资料见《除子》，例 0BXK 及其中的参考文献。事实证明，对某个齐次多项式有 \(I(X) = (F)\)，其中 \(F \in k[T_0, T_1, T_2]\)；见引理 0BYB。由于 \(X\) 不可约，\(F\) 也不可约；见引理 0BYC。此外，考察短正合列 \[0 \to \mathcal{O}_{\mathbf{P}^2_k}(-d) \xrightarrow{F} \mathcal{O}_{\mathbf{P}^2_k} \to \mathcal{O}_X \to 0\] ，其中 \(d = \deg(F)\)，可知 \(H^0(X, \mathcal{O}_X) = k\)，且 \(X\) 的亏格为 \((d - 1)(d - 2)/2\)；见引理 0BYD 的证明。

寻找光滑平面曲线时，最容易的方法是写出显式方程。以 \(p\) 表示 \(k\) 的特征。若 \(p\) 不整除 \(d\)，可以取 \[F = T_0^d + T_1^d + T_2^d\] 。相应曲线 \(X = V_+(F)\) 称为次数为 \(d\) 的 Fermat 曲线。它光滑，因为在每个标准仿射片 \(D_+(T_i)\) 上，所得曲线同下述仿射曲线同构： \[\Spec(k[x, y]/(x^d + y^d + 1))\] 。环映射 \(k \to k[x, y]/(x^d + y^d + 1)\) 光滑，这由《代数》，引理 00TE 得到，因为 \(d x^{d - 1}\) 与 \(d y^{d - 1}\) 在 \(k[x, y]/(x^d + y^d + 1)\) 中生成单位理想。若 \(p | d\) 但 \(p \not = 3\)，则可用方程 \[F = T_0^{d - 1}T_1 + T_1^{d - 1}T_2 + T_2^{d - 1}T_0\] 。确切地说，在各仿射片上得到 \(x + x^{d - 1}y + y^{d - 1}\)，其导数为 \(1 - x^{d - 2}y\) 与 \(x^{d - 1} - y^{d - 2}\)；三者的公共零点集为空⁴。特征为 \(3\) 的例子留给读者构造。

更一般地，对任意域 \(k\) 以及任意 \(n\) 与 \(d\)，都存在次数为 \(d\) 的光滑超曲面，它位于 \(\mathbf{P}^n_k\) 中；例如见 [Poonen]。

当然，这种方法只能得到亏格为三角数的光滑曲线。为了得到任意亏格的光滑曲线，可以寻找位于 \(\mathbf{P}^1 \times \mathbf{P}^1\) 上的光滑曲线（以后在此插入参考文献）。

引理

设 \(Z \subset \mathbf{P}^2_k\) 为闭子概形，它等维且维数为 \(1\)，并且没有嵌入点（等价地，\(Z\) 是 Cohen–Macaulay 的）。则理想 \(I(Z) \subset k[T_0, T_1, T_2]\) 是主理想；这个理想同 \(Z\) 相应。

证明

这是《除子》，引理 0BXL 的特殊情形（另见《簇》，引理 0BXU）。括号中的断言来自如下事实：\(1\) 维 Noether 概形是 Cohen–Macaulay 的，当且仅当它没有嵌入点；见《除子》，引理 0BXG。

引理

设 \(Z \subset \mathbf{P}^2_k\) 如引理 0BYB 中所述，并设 \(I(Z) = (F)\)，其中 \(F \in k[T_0, T_1, T_2]\)。则 \(Z\) 是曲线，当且仅当 \(F\) 不可约。

证明

若 \(F\) 可约，比如 \(F = F' F''\)，令 \(Z'\) 为 \(\mathbf{P}^2_k\) 中由 \(F'\) 定义的闭子概形。显然 \(Z' \subset Z\) 且 \(Z' \not = Z\)。由于 \(Z'\) 也具有维数 \(1\)，可知 \(Z\) 或者不约化，或者 \(Z\) 不可约。反之，写成 \(Z = \sum a_i D_i\)，其中 \(D_i\) 是 \(Z\) 的不可约分支；见《除子》，引理 0AGB 与 0BXH。设 \(F_i \in k[T_0, T_1, T_2]\) 为生成 \(D_i\) 之理想的齐次多项式。显然 \(F\) 与 \(\prod F_i^{a_i}\) 截出 \(\mathbf{P}^2_k\) 中的同一个闭子概形。因此有 \(F = \lambda \prod F_i^{a_i}\)，其中 \(\lambda \in k^*\)；这是因为二者都生成 \(Z\) 的理想。所以若 \(F\) 不可约，则 \(Z\) 是素除子，亦即曲线。

引理

设 \(Z \subset \mathbf{P}^2_k\) 如引理 0BYB 中所述，并设 \(I(Z) = (F)\)，其中 \(F \in k[T_0, T_1, T_2]\)。则 \(H^0(Z, \mathcal{O}_Z) = k\)，且 \(Z\) 的亏格为 \((d - 1)(d - 2)/2\)，其中 \(d = \deg(F)\)。

证明

设 \(S = k[T_0, T_1, T_2]\)。有分次模的正合列 \[0 \to S(-d) \xrightarrow{F} S \to S/(F) \to 0\] 。以 \(i : Z \to \mathbf{P}^2_k\) 表示给定的闭浸入。应用正合函子 \(\widetilde{\ }\) （《构造》，引理 01M7），得到 \[0 \to \mathcal{O}_{\mathbf{P}^2_k}(-d) \to \mathcal{O}_{\mathbf{P}^2_k} \to i_*\mathcal{O}_Z \to 0\] ，因为 \(F\) 生成 \(Z\) 的理想。注意 \(\mathcal{O}_{\mathbf{P}^2_k}(-d)\) 与 \(\mathcal{O}_{\mathbf{P}^2_k}\) 的上同调群由《概形的上同调》，引理 01XT 给出。另一方面，有 \(H^q(Z, \mathcal{O}_Z) = H^q(\mathbf{P}^2_k, i_*\mathcal{O}_Z)\)；这由《概形的上同调》，引理 089W。应用上同调长正合列，首先得到 \[k = H^0(\mathbf{P}^2_k, \mathcal{O}_{\mathbf{P}^2_k}) \longrightarrow H^0(Z, \mathcal{O}_Z)\] 是同构；其次得到边界映射 \[H^1(Z, \mathcal{O}_Z) \longrightarrow H^2(\mathbf{P}^2_k, \mathcal{O}_{\mathbf{P}^2_k}(-d)) \cong k[T_0, T_1, T_2]_{d - 3}\] 是同构。容易看出后者的维数为 \((d - 1)(d - 2)/2\)，证明完成。

引理

设 \(Z \subset \mathbf{P}^2_k\) 如引理 0BYB 中所述，并设 \(I(Z) = (F)\)，其中 \(F \in k[T_0, T_1, T_2]\)。若 \(Z \to \Spec(k)\) 至少在一点光滑，且 \(k\) 无限，则光滑轨迹中存在闭点 \(z \in Z\)，使得 \(\kappa(z)/k\) 是次数至多为 \(d\) 的有限可分扩张。

证明

设 \(z' \in Z\) 是 \(Z \to \Spec(k)\) 光滑的一个点。必要时重新编号坐标，可以假设 \(z'\) 属于 \(D_+(T_0)\)。置 \(f = F(1, x, y) \in k[x, y]\)。则 \(Z \cap D_+(X_0)\) 同 \(k[x, y]/(f)\) 的谱同构。设 \(f_x, f_y\) 为 \(f\) 对 \(x, y\) 的偏导数。由于 \(z'\) 是 \(Z/k\) 的光滑点，\(f_x\) 或 \(f_y\) 在 \(z'\) 处非零（见《代数》，第 00T1 节中的讨论）。重新编号坐标后，可以假设 \(f_y\) 在 \(z'\) 处非零。因此存在非空开子概形 \(V \subset Z \cap D_{+}(X_0)\)，使投影 \[p : V \longrightarrow \Spec(k[x])\] 是 étale 的。由于把 \(f\) 看作 \(y\) 的多项式时次数至多为 \(d\)，投影 \(p\) 的各纤维之次数至多为 \(d\) （见《态射》，第 03J3 节中的讨论）。此外，因为 \(p\) 是 étale 的，\(p\) 的像是开集 \(U \subset \Spec(k[x])\)。最后，由于 \(k\) 无限，\(k\)-有理点集合 \(U(k)\)（它属于 \(U\)）无限，特别地非空。任选 \(t \in U(k)\)，并令 \(z \in V\) 为映到 \(t\) 的一个点。此 \(z\) 即满足要求。

亏格为零的曲线

以后我们需要知道固有的亏格为零曲线具有怎样的形状。事实证明，Gorenstein 的固有亏格零曲线是次数为 \(2\) 的平面曲线，也就是一条二次曲线；见引理 0C6N。一般的固有亏格零曲线可由一条非奇异曲线（定义在某个更大的域上）通过推出过程得到；见引理 0DJB。由于非奇异曲线是 Gorenstein 的，这两个结果涵盖了所有可能情形。

引理

设 \(X\) 是域 \(k\) 上的固有曲线，且 \(H^0(X, \mathcal{O}_X) = k\)。若 \(X\) 的亏格为 \(0\)，则每个可逆 \(\mathcal{O}_X\)-模 \(\mathcal{L}\)，只要次数为 \(0\)，都是平凡的。

证明

确实，由 Riemann–Roch（引理 0BS6）有 \(\dim_k H^0(X, \mathcal{L}) \geq 0 + 1 - 0 = 1\)，故 \(\mathcal{L}\) 有非零截面，进而由《簇》，引理 0B40，有 \(\mathcal{L} \cong \mathcal{O}_X\)。

引理

设 \(X\) 是域 \(k\) 上的固有曲线，且 \(H^0(X, \mathcal{O}_X) = k\)。假设 \(X\) 的亏格为 \(0\)。设 \(\mathcal{L}\) 为可逆 \(\mathcal{O}_X\)-模，其次数为 \(d > 0\)。则

\(\dim_k H^0(X, \mathcal{L}) = d + 1\) 且 \(\dim_k H^1(X, \mathcal{L}) = 0\)；

\(\mathcal{L}\) 非常丰沛，并定义了到 \(\mathbf{P}^d_k\) 的闭浸入。

证明

由次数与亏格的定义，有 \[\dim_k H^0(X, \mathcal{L}) - \dim_k H^1(X, \mathcal{L}) = d + 1\] 。设 \(s\) 为 \(\mathcal{L}\) 的非零截面。则 \(s\) 的零点概形是有效 Cartier 除子 \(D \subset X\)，有 \(\mathcal{L} = \mathcal{O}_X(D)\)，并且有短正合列 \[0 \to \mathcal{O}_X \to \mathcal{L} \to \mathcal{L}|_D \to 0\] ；见《除子》，引理 01X0 与注 0C6K。由假设 \(H^1(X, \mathcal{O}_X) = 0\)，故 \(H^0(X, \mathcal{L}) \to H^0(X, \mathcal{L}|_D)\) 满射。又因 \(\mathcal{L}|_D\) 由整体截面生成（因为 \(\dim(D) = 0\)；见《簇》，引理 0AYT），所以可逆模 \(\mathcal{L}\) 由整体截面生成。事实上，由于 \(D\) 是 Artin 概形，有 \(\mathcal{L}|_D \cong \mathcal{O}_D\)⁵；因此可以找到一个截面 \(t\)，它属于 \(\mathcal{L}\)，其在 \(D\) 上的限制生成 \(\mathcal{L}|_D\)。该短正合列还表明 \(H^1(X, \mathcal{L}) = 0\)。

对 \(n \geq 1\)，考察乘法映射 \[\mu_n : H^0(X, \mathcal{L}) \otimes_k H^0(X, \mathcal{L}^{\otimes n}) \longrightarrow H^0(X, \mathcal{L}^{\otimes n + 1})\] 。我们断言它是满射。为此，考察短正合列 \[0 \to \mathcal{L}^{\otimes n} \xrightarrow{s} \mathcal{L}^{\otimes n + 1} \to \mathcal{L}^{\otimes n + 1}|_D \to 0\] 。此列中由左端给出的 \(\mathcal{L}^{\otimes n + 1}\) 的截面属于 \(\mu_n\) 的像。另一方面，由于 \(H^0(\mathcal{L}) \to H^0(\mathcal{L}|_D)\) 满射，且 \(t^n\) 映为 \(\mathcal{L}^{\otimes n}|_D\) 的一个平凡化，可见 \(\mu_n(H^0(X, \mathcal{L}) \otimes t^n)\) 给出 \(H^0(X, \mathcal{L}^{\otimes n + 1})\) 的一个子空间，它满射到 \(\mathcal{L}^{\otimes n + 1}|_D\) 的整体截面空间。这就证明了断言。

注意，由《簇》，引理 0B5X， \(\mathcal{L}\) 是丰沛的。因此《态射》，引理 0C6J 给出同构 \[X \longrightarrow \text{Proj}\left( \bigoplus\nolimits_{n \geq 0} H^0(X, \mathcal{L}^{\otimes n})\right)\] 。由于映射 \(\mu_n\) 对所有 \(n \geq 1\) 都是满射，右端的分次代数是 \(H^0(X, \mathcal{L})\) 上对称代数的商。选取一个 \(k\)-基 \(s_0, \ldots, s_d\)，作为 \(H^0(X, \mathcal{L})\) 的基，可见它是一个含 \(d + 1\) 个变量的多项式代数的商。分次环的商对应于 \(\text{Proj}\) 的闭浸入（《构造》，引理 01N1），故得到闭浸入 \(X \to \mathbf{P}^d_k\)。我们略去如下验证：该态射正是《构造》，引理 01NE 中同截面 \(s_0, \ldots, s_d\)（它们属于 \(\mathcal{L}\)）相联系的态射。

引理

设 \(X\) 是域 \(k\) 上的固有曲线，且 \(H^0(X, \mathcal{O}_X) = k\)。若 \(X\) 是 Gorenstein 的且亏格为 \(0\)，则 \(X\) 同次数为 \(2\) 的平面曲线同构。

证明

考察可逆层 \(\mathcal{L} = \omega_X^{\otimes -1}\)，其中 \(\omega_X\) 如引理 0BS2 所述。由引理 0C19， \(\deg(\omega_X) = -2\)，故 \(\deg(\mathcal{L}) = 2\)。由引理 0C6T，选取一个基 \(s_0, s_1, s_2\)，它是如下 \(k\)-向量空间的基： \(\mathcal{L}\) 的整体截面空间。由此得到闭浸入 \[\varphi_{(\mathcal{L}, (s_0, s_1, s_2))} : X \longrightarrow \mathbf{P}^2_k\] 。因此 \(X\) 是某个次数为 \(d\) 的平面曲线。设 \(F \in k[T_0, T_1, T_2]_d\) 为其方程（引理 0BYB）。由于 \(X\) 的亏格为 \(0\)，可知 \(d\) 是 \(1\) 或 \(2\) （引理 0BYD）。注意，\(F\) 在 \(\varphi(X)\) 上的限制是零截面，因此 \(F(s_0, s_1, s_2)\) 是 \(\mathcal{L}^{\otimes 2}\) 的零截面。由于 \(s_0, s_1, s_2\) 线性无关，\(F\) 不可能是线性的，即 \(d = \deg(F) \geq 2\)。所以 \(d = 2\)，证明完成。

命题

设 \(k\) 为域，设 \(X\) 为 \(k\) 上的固有曲线。下列条件等价：

\(X \cong \mathbf{P}^1_k\)；

\(X\) 在 \(k\) 上光滑且几何不可约，\(X\) 的亏格为 \(0\)，并且 \(X\) 有次数为奇数的可逆模；

\(X\) 在 \(k\) 上几何整，\(X\) 的亏格为 \(0\)，\(X\) 是 Gorenstein 的，并且 \(X\) 有次数为奇数的可逆层；

\(H^0(X, \mathcal{O}_X) = k\)，\(X\) 的亏格为 \(0\)，\(X\) 是 Gorenstein 的，并且 \(X\) 有次数为奇数的可逆层；

\(X\) 在 \(k\) 上几何整，\(X\) 的亏格为 \(0\)，并且 \(X\) 有可逆 \(\mathcal{O}_X\)-模，其次数为 \(1\)；

\(H^0(X, \mathcal{O}_X) = k\)，\(X\) 的亏格为 \(0\)，并且 \(X\) 有可逆 \(\mathcal{O}_X\)-模，其次数为 \(1\)；

\(H^1(X, \mathcal{O}_X) = 0\)，并且 \(X\) 有可逆 \(\mathcal{O}_X\)-模，其次数为 \(1\)；

\(H^1(X, \mathcal{O}_X) = 0\)，且 \(X\) 有闭点 \(x_1, \ldots, x_n\)，使得 \(\mathcal{O}_{X, x_i}\) 正规且 \(\gcd([\kappa(x_i) : k]) = 1\)；以及

以后在此添加更多条件。

证明

我们将证明条件 (2) – (8) 中的每一个都推出 (1)，并略去 (1) 推出 (2) – (8) 的验证。

假设 (2)。\(k\) 上的光滑概形是几何约化的（《簇》，引理 056T）且正则（《簇》，引理 056S）。因此 \(X\) 是 Gorenstein 的（《概形的对偶性》，引理 0DWG）。于是归结为 (3)。

假设 (3)。由于 \(X\) 在 \(k\) 上几何整，由《簇》，引理 04L2，有 \(H^0(X, \mathcal{O}_X) = k\)。于是归结为 (4)。

假设 (4)。由于 \(X\) 是 Gorenstein 的，引理 0BS2 中的对偶化模 \(\omega_X\) 由引理 0C19 具有次数 \(\deg(\omega_X) = -2\)。结合存在奇数次数可逆模的假设，可知存在次数为 \(1\) 的可逆模。这样便归结为 (6)。

假设 (5)。由于 \(X\) 在 \(k\) 上几何整，由《簇》，引理 04L2，有 \(H^0(X, \mathcal{O}_X) = k\)。于是归结为 (6)。

假设 (6)。由引理 0C6T，有 \(X \cong \mathbf{P}^1_k\)。

假设 (7)。注意，由《簇》，引理 04L2， \(\kappa = H^0(X, \mathcal{O}_X)\) 是 \(k\) 的有限域扩张。若 \(d = [\kappa : k] > 1\)，则每个可逆层的次数都被 \(d\) 整除，因而不可能存在次数为 \(1\) 的可逆层。所以 \(d = 1\)，归结为情形 (6)。

假设 (8)。注意，由《簇》，引理 04L2， \(\kappa = H^0(X, \mathcal{O}_X)\) 是 \(k\) 的有限域扩张。由于 \(\kappa \subset \kappa(x_i)\)，次数最大公因数的假设给出 \(k = \kappa\)。同一条件使我们可以找到整数 \(a_i\)，使得 \(1 = \sum a_i[\kappa(x_i) : k]\)。由《簇》，引理 0B8Y， \(x_i\) 在 \(X\) 上定义一个有效 Cartier 除子，故可考察可逆模 \(\mathcal{O}_X(\sum a_i x_i)\)。按我们对 \(a_i\) 的选取， \(\mathcal{L}\) 的次数为 \(1\)。由引理 0C6T，有 \(X \cong \mathbf{P}^1_k\)。

引理

设 \(X\) 是域 \(k\) 上的固有曲线，且 \(H^0(X, \mathcal{O}_X) = k\)。假设 \(X\) 奇异且亏格为 \(0\)。则存在交换图 \[\xymatrix{ x' \ar[d] \ar[r] & X' \ar[d]^\nu \ar[r] & \Spec(k') \ar[d] \\ x \ar[r] & X \ar[r] & \Spec(k) }\] ，其中

\(k'/k\) 是非平凡有限扩张；

\(X' \cong \mathbf{P}^1_{k'}\)；

\(x'\) 是一个 \(k'\)-有理点，它属于 \(X'\)；

\(x\) 是一个 \(k\)-有理点，它属于 \(X\)；

\(X' \setminus \{x'\} \to X \setminus \{x\}\) 是同构；

\(0 \to \mathcal{O}_X \to \nu_*\mathcal{O}_{X'} \to k'/k \to 0\) 是短正合列，其中 \(k'/k = \kappa(x')/\kappa(x)\) 表示支撑在点 \(x\) 上的摩天层。

证明

设 \(\nu : X' \to X\) 为 \(X\) 的正规化；见《簇》，第 0BXQ 节与第 0C44 节。由于 \(X\) 奇异，\(\nu\) 不是同构。于是 \(k' = H^0(X', \mathcal{O}_{X'})\) 是 \(k\) 的有限扩张（《簇》，引理 04L2）。短正合列 \[0 \to \mathcal{O}_X \to \nu_*\mathcal{O}_{X'} \to \mathcal{Q} \to 0\] 以及 \(\mathcal{Q}\) 支撑在有限多个闭点上的事实告诉我们：

\(H^1(X', \mathcal{O}_{X'}) = 0\)，即 \(X'\) 的亏格为 \(0\)，这里把它视作 \(k'\) 上的曲线；

有短正合列 \(0 \to k \to k' \to H^0(X, \mathcal{Q}) \to 0\)。

特别地，\(k'/k\) 是非平凡扩张。

下面考察通常称为导子理想的对象 \[\mathcal{I} = \SheafHom_{\mathcal{O}_X}(\nu_*\mathcal{O}_{X'}, \mathcal{O}_X)\] 。这是拟凝聚 \(\mathcal{O}_X\)-模。把 \(\mathcal{I}\) 看成 \(\mathcal{O}_X\) 中的理想，所用映射为 \(\varphi \mapsto \varphi(1)\)。于是 \(\mathcal{I}(U)\) 是所有 \(f \in \mathcal{O}_X(U)\) 的集合，它们满足 \(f \left(\nu_*\mathcal{O}_{X'}(U)\right) \subset \mathcal{O}_X(U)\)。换言之，条件是 \(f\) 零化 \(\mathcal{Q}\)。再换言之，有定义性正合列 \[0 \to \mathcal{I} \to \mathcal{O}_X \to \SheafHom_{\mathcal{O}_X}(\mathcal{Q}, \mathcal{Q})\] 。设 \(U \subset X\) 为包含 \(\mathcal{Q}\) 之支撑的仿射开集。则 \(V = \mathcal{Q}(U) = H^0(X, \mathcal{Q})\) 是 \(k\)-向量空间，维数为 \(n - 1\)。映射 \(\mathcal{O}_X(U) \to \Hom_k(V, V)\) 的像是交换子代数，故其维数 \(\leq n - 1\)；这里维数取自 \(k\) （这是矩阵代数的交换子代数所具有的性质；略去细节）。由此得到短正合列 \[0 \to \mathcal{I} \to \mathcal{O}_X \to \mathcal{A} \to 0\] ，其中 \(\text{Supp}(\mathcal{A}) = \text{Supp}(\mathcal{Q})\) 且 \(\dim_k H^0(X, \mathcal{A}) \leq n - 1\)。另一方面，描述 \(\mathcal{I} = \SheafHom_{\mathcal{O}_X}(\nu_*\mathcal{O}_{X'}, \mathcal{O}_X)\) 赋予 \(\mathcal{I}\) 一个 \(\nu_*\mathcal{O}_{X'}\)-模结构，使包含映射 \(\mathcal{I} \to \nu_*\mathcal{O}_{X'}\) 成为 \(\nu_*\mathcal{O}_{X'}\)-模映射。因此有 \(\mathcal{I} = \nu_*\mathcal{I}'\)，其中 \(\mathcal{I}' \subset \mathcal{O}_{X'}\) 是某个拟凝聚理想层；见《态射》，引理 01SB。把 \(\mathcal{A}'\) 定义为余核： \[0 \to \mathcal{I}' \to \mathcal{O}_{X'} \to \mathcal{A}' \to 0\] 。合并以上正合列，得到短正合列 \(0 \to \mathcal{A} \to \nu_*\mathcal{A}' \to \mathcal{Q} \to 0\)。使用上述估计，并结合 \(\dim_k H^0(X, \mathcal{Q}) = n - 1\)，得到 \[\dim_k H^0(X', \mathcal{A}') = \dim_k H^0(X, \mathcal{A}) + \dim_k H^0(X, \mathcal{Q}) \leq 2 n - 2\] 。然而，由于 \(X'\) 是 \(k'\) 上的曲线，左端被 \(n\) 整除（《簇》，引理 0C6P）。由于 \(\mathcal{A}\) 与 \(\mathcal{A}'\) 都不可能为零，可知 \(\dim_k H^0(X', \mathcal{A}') = n\)；这意味着 \(\mathcal{I}'\) 是某个 \(k'\)-有理点 \(x'\) 的理想层。由命题 0C6U，得到 \(X' \cong \mathbf{P}^1_{k'}\)。回到上述等式，可知 \(\dim_k H^0(X, \mathcal{A}) = 1\)。这意味着 \(\mathcal{I}\) 是某个 \(k\)-有理点 \(x\) 的理想层。于是，作为摩天层，有 \(\mathcal{A} = \kappa(x) = k\) 且 \(\mathcal{A}' = \kappa(x') = k'\)。比较上述正合列，立刻得到引理所述的结构层结论。

例

事实上，对任意非平凡有限扩张 \(k'/k\)，引理 0DJB 所描述的情形都会发生。具体地，可以考察 \[A = \{f \in k'[x] \mid f(0) \in k \}\] 。\(A\) 的谱是一条仿射曲线；可把它同 \(B = k'[y]\) 的谱粘合，所用同构为 \(A_x \cong B_y\)，它把 \(x^{-1}\) 映到 \(y\)。所得结果是固有曲线 \(X\)，满足 \(H^0(X, \mathcal{O}_X) = k\)，并有奇异点 \(x\)，它同极大理想 \(A \cap (x)\) 相应。 \(X\) 的正规化恰如引理中所述，是 \(\mathbf{P}^1_{k'}\)。

几何亏格

若 \(X\) 是 \(k\) 上的固有且光滑的曲线，并且 \(H^0(X, \mathcal{O}_X) = k\)，则 \[p_g(X) = \dim_k H^0(X, \Omega_{X/k})\] 称为 \(X\) 的几何亏格。由引理 0C1A， \(X\) 的几何亏格同（算术）亏格一致。然而在更高维时，几何亏格与算术亏格并不相同；见注 0BYG。

对奇异曲线，几何亏格定义如下。

定义

设 \(k\) 为域，设 \(X\) 为 \(k\) 上的几何不可约曲线。 \(X\) 的几何亏格，是 \(X\) 的某个光滑射影模型的亏格；该模型可以定义在 \(k\) 的某个扩域上，如引理 0BY4 中所述。

若 \(k\) 完美，则非奇异射影模型 \(Y\)，也就是 \(X\) 的非奇异射影模型，是光滑的（引理 0BY3），而 \(X\) 的几何亏格就是 \(Y\) 的亏格。但若 \(k\) 不完美，这可能不成立。在这种情形下，选取扩张 \(K/k\)，使非奇异射影模型 \(Y_K\)（它是 \((X_K)_{red}\) 的模型）成为光滑射影曲线，并把 \(X\) 的几何亏格定义为 \(Y_K\) 的亏格。由引理 0BY4 与 0BY9，这个定义是良定的。

注

设 \(X\) 是 \(d\) 维固有光滑簇，定义在代数闭域 \(k\) 上。此时算术亏格通常定义为 \(p_a(X) = (-1)^d(\chi(X, \mathcal{O}_X) - 1)\)，而几何亏格 定义为 \(p_g(X) = \dim_k H^0(X, \Omega^d_{X/k})\)。在这种情形下，算术亏格与几何亏格不再一致，尽管仍有 \(\omega_X \cong \Omega_{X/k}^d\)。例如，若 \(d = 2\)，则 \[\begin{align*} p_a(X) - p_g(X) & = h^0(X, \mathcal{O}_X) - h^1(X, \mathcal{O}_X) + h^2(X, \mathcal{O}_X) - 1 - h^0(X, \Omega^2_{X/k}) \\ & = - h^1(X, \mathcal{O}_X) + h^2(X, \mathcal{O}_X) - h^0(X, \omega_X) \\ & = - h^1(X, \mathcal{O}_X) \end{align*}\] ，其中 \(h^i(X, \mathcal{F}) = \dim_k H^i(X, \mathcal{F})\)，最后一个等式来自对偶性。因此对曲面而言，差 \(p_g(X) - p_a(X)\) 总是非负的；它有时称为曲面的不规则度。若 \(X = C_1 \times C_2\) 是亏格分别为 \(g_1\) 与 \(g_2\) 的光滑射影曲线之积，则不规则度为 \(g_1 + g_2\)。

Riemann–Hurwitz 公式

设 \(k\) 为域。设 \(f : X \to Y\) 为 \(k\) 上光滑曲线之间的态射。由《态射》，引理 01UX，得到典范正合列 \[f^*\Omega_{Y/k} \xrightarrow{\text{d}f} \Omega_{X/k} \longrightarrow \Omega_{X/Y} \longrightarrow 0\] 。由于 \(X\) 与 \(Y\) 光滑，层 \(\Omega_{X/k}\) 与 \(\Omega_{Y/k}\) 是可逆模；见《态射》，引理 02G1。假设第一个映射非零，也就是说，假设 \(f\) 泛 étale；见引理 0C1C。设 \(R \subset X\) 为不同理想 \(\mathfrak{D}_f\) 所截出的闭子概形；这是 \(f\) 的不同理想。由《判别式》，引理 0BWJ，它也就是 \(\text{d}f\) 的消没轨迹；它是有效 Cartier 除子，并且有 \[f^*\Omega_{Y/k} \otimes_{\mathcal{O}_X} \mathcal{O}_X(R) = \Omega_{X/k}\] 。特别地，若 \(X\), \(Y\) 是射影的，且 \(k = H^0(Y, \mathcal{O}_Y) = H^0(X, \mathcal{O}_X)\)，并且 \(X\), \(Y\) 的亏格分别为 \(g_X\), \(g_Y\)，则得到 Riemann–Hurwitz 公式 \[\begin{align*} 2g_X - 2 & = \deg(\Omega_{X/k}) \\ & = \deg(f^*\Omega_{Y/k} \otimes_{\mathcal{O}_X} \mathcal{O}_X(R)) \\ & = \deg(f) \deg(\Omega_{Y/k}) + \deg(R) \\ & = \deg(f) (2g_Y - 2) + \deg(R) \end{align*}\] 。第一个与最后一个等式来自引理 0C1A。第二个等式来自上面给出的可逆层同构。第三个等式来自次数的可加性（《簇》，引理 0AYX）、拉回次数的公式（《簇》，引理 0AYZ），以及最后关于 \(\mathcal{O}_X(R)\) 次数的公式（《簇》，引理 0AYY）。

为了使用 Riemann–Hurwitz 公式，需要计算 \(\deg(R) = \dim_k \Gamma(R, \mathcal{O}_R)\)。由 \(k\) 上零维概形的结构（例如见《簇》，引理 06LH），可知 \(R\) 是 Artin 局部环之谱的有限不交并： \(R = \coprod_{x \in R} \Spec(\mathcal{O}_{R, x})\)，其中每个 \(\mathcal{O}_{R, x}\) 在 \(k\) 上都是有限维的。因此 \[\deg(R) = \sum\nolimits_{x \in R} \dim_k \mathcal{O}_{R, x} = \sum\nolimits_{x \in R} d_x [\kappa(x) : k]\] ，其中 \[d_x = \text{length}_{\mathcal{O}_{R, x}} \mathcal{O}_{R, x} = \text{length}_{\mathcal{O}_{X, x}} \mathcal{O}_{R, x}\] 是 \(x\) 在 \(R\) 中的重数（见《代数》，引理 02M0）。设 \(x \in X\) 为闭点，其像为 \(y \in Y\)。考察茎，得到正合列 \[\Omega_{Y/k, y} \to \Omega_{X/k, x} \to \Omega_{X/Y, x} \to 0\] 。选取局部生成元 \(\eta_x\) 与 \(\eta_y\)；它们分别生成秩为 \(1\) 的自由模 \(\Omega_{X/k, x}\) 与 \(\Omega_{Y/k, y}\)。可知 \(\eta_y \mapsto h \eta_x\) ，其中 \(h \in \mathcal{O}_{X, x}\) 非零。由正合列可知， \(\Omega_{X/Y, x} \cong \mathcal{O}_{X, x}/h\mathcal{O}_{X, x}\)；这是作为 \(\mathcal{O}_{X, x}\)-模的同构。由于除子 \(R\) 由 \(h\) 截出（见上），有 \(\mathcal{O}_{R, x} = \mathcal{O}_{X, x}/h\mathcal{O}_{X, x}\)。于是得到下列等式： \[\begin{align*} d_x & = \text{length}_{\mathcal{O}_{X, x}}(\mathcal{O}_{R, x}) \\ & = \text{length}_{\mathcal{O}_{X, x}}(\mathcal{O}_{X, x}/h\mathcal{O}_{X, x}) \\ & = \text{length}_{\mathcal{O}_{X, x}}(\Omega_{X/Y, x}) \\ & = \text{ord}_{\mathcal{O}_{X, x}}(h) \\ & = \text{ord}_{\mathcal{O}_{X, x}}(``\eta_y/\eta_x") \end{align*}\] 。第一个等式来自 \(d_x\) 的定义。第二个与第三个等式已在上面看到。第四个等式是 \(\text{ord}\) 的定义；见《代数》，定义 02MD。注意，由于 \(\mathcal{O}_{X, x}\) 是离散赋值环，整数 \(\text{ord}_{\mathcal{O}_{X, x}}(h)\) 就是 \(h\) 的赋值。第五个等式是一种记忆法。

下面给出一种可以用其他不变量来“计算”重数 \(d_x\) 的情形。确切地说，若 \(\kappa(x)\) 在 \(k\) 上可分，则可取 \(\eta_x = \text{d}s\) 与 \(\eta_y = \text{d}t\)，其中 \(s\) 与 \(t\) 分别是 \(\mathcal{O}_{X, x}\) 与 \(\mathcal{O}_{Y, y}\) 中的一致化元（引理 0C1E）。于是有 \(t \mapsto u s^{e_x}\)，其中 \(u \in \mathcal{O}_{X, x}\) 是某个单位，而 \(e_x\) 是扩张 \(\mathcal{O}_{Y, y} \subset \mathcal{O}_{X, x}\) 的分歧指数。因此 \[\eta_y = \text{d}t = \text{d}(u s^{e_x}) = e s^{e_x - 1} u \text{d}s + s^{e_x} \text{d}u\] 。将 \(\text{d}u = w \text{d}s\) 写成此形式，其中 \(w \in \mathcal{O}_{X, x}\)，可见 \[``\eta_y/\eta_x" = e s^{e_x - 1} u + s^{e_x} w = (e_x u + s w)s^{e_x - 1}\] 。因此其消没阶为 \(e_x - 1\)；例外是 \(\kappa(x)\) 的特征为 \(p > 0\) 且 \(p\) 整除 \(e_x\) 的情形，此时消没阶 \(> e_x - 1\)。

合并以上全部结果可知，若 \(k\) 的特征为零，则 \[2g_X - 2 = (2g_Y - 2)\deg(f) + \sum\nolimits_{x \in X} (e_x - 1)[\kappa(x) : k]\] ，其中 \(e_x\) 是 \(\mathcal{O}_{X, x}\) 在 \(\mathcal{O}_{Y, f(x)}\) 上的分歧指数。当且仅当所有分歧都是温和的，也就是剩余域扩张 \(\kappa(x)/\kappa(y)\) 可分且 \(e_x\) 与 \(k\) 的特征互素时，这个精确公式才成立；不过以上论证不足以证明这一点。参见引理 0C1F 及其证明。

引理

设 \(k\) 为域。设 \(f : X \to Y\) 为 \(k\) 上光滑曲线之间的态射。下列条件等价：

\(\text{d}f : f^*\Omega_{Y/k} \to \Omega_{X/k}\) 非零；

\(\Omega_{X/Y}\) 支撑在 \(X\) 的某个真闭子集上；

存在非空开集 \(U \subset X\)，使 \(f|_U : U \to Y\) 非分歧；

存在非空开集 \(U \subset X\)，使 \(f|_U : U \to Y\) 为 étale；

函数域扩张 \(k(X)/k(Y)\) 是有限可分扩张。

证明

由于 \(X\) 与 \(Y\) 光滑，层 \(\Omega_{X/k}\) 与 \(\Omega_{Y/k}\) 是可逆模；见《态射》，引理 02G1。利用《态射》，引理 01UX 的正合列 \[f^*\Omega_{Y/k} \longrightarrow \Omega_{X/k} \longrightarrow \Omega_{X/Y} \longrightarrow 0\] ，可知 (1) 与 (2) 等价，并且二者等价于 \(f^*\Omega_{Y/k} \to \Omega_{X/k}\) 在泛点处非零这一条件。 (2) 与 (3) 的等价性来自《态射》，引理 02G5。 (3) 与 (4) 的等价性来自《态射》，引理 02GV，以及平坦性自动成立这一事实（引理 0CCK）。为看出 (5) 与 (4) 等价，可用《代数》，引理 07ND。略去若干细节。

引理

设 \(f : X \to Y\) 为域 \(k\) 上光滑固有曲线之间的态射，它满足引理 0C1C 中的等价条件。若 \(k = H^0(Y, \mathcal{O}_Y) = H^0(X, \mathcal{O}_X)\)，并且 \(X\) 与 \(Y\) 的亏格分别为 \(g_X\) 与 \(g_Y\)，则 \[2g_X - 2 = (2g_Y - 2) \deg(f) + \deg(R)\] ，其中 \(R \subset X\) 是 \(f\) 的不同理想所截出的有效 Cartier 除子。

证明

见以上讨论；其中用到了《判别式》，引理 0BWJ、引理 0C1A，以及《簇》，引理 0AYX 与 0AYZ。

引理

设 \(X \to \Spec(k)\) 光滑且相对维数为 \(1\)；这里是在闭点 \(x \in X\) 处而言。若 \(\kappa(x)\) 在 \(k\) 上可分，则对任意一致化元 \(s\)，它位于离散赋值环 \(\mathcal{O}_{X, x}\) 中，元素 \(\text{d}s\) 都自由生成 \(\Omega_{X/k, x}\)；这里生成是在 \(\mathcal{O}_{X, x}\) 上而言。

证明

由《代数》，引理 00TT，环 \(\mathcal{O}_{X, x}\) 是离散赋值环。由于 \(x\) 是闭点， \(\kappa(x)\) 是 \(k\) 的有限扩张。因此，若 \(\kappa(x)/k\) 可分，则由《代数》，引理 00TU，任意一致化元 \(s\) 都映为 \(\Omega_{X/k, x} \otimes_{\mathcal{O}_{X, x}} \kappa(x)\) 中的非零元素。由于 \(\Omega_{X/k, x}\) 是秩为 \(1\) 的自由模，而该模定义在 \(\mathcal{O}_{X, x}\) 上，结论成立。

引理

沿用引理 0C1D 的记号与假设。对闭点 \(x \in X\)，设 \(d_x\) 为 \(x\) 在 \(R\) 中的重数。则 \[2g_X - 2 = (2g_Y - 2) \deg(f) + \sum\nolimits d_x [\kappa(x) : k]\] 。此外，有下列结论：

\(d_x = \text{length}_{\mathcal{O}_{X, x}}(\Omega_{X/Y, x})\)；

\(d_x \geq e_x - 1\)，其中 \(e_x\) 是 \(\mathcal{O}_{X, x}\) 在 \(\mathcal{O}_{Y, y}\) 上的分歧指数；

\(d_x = e_x - 1\)，当且仅当 \(\mathcal{O}_{X, x}\) 在 \(\mathcal{O}_{Y, y}\) 上温和分歧。

证明

由引理 0C1D 与以上讨论（其中用到了《簇》，引理 06LH 以及《代数》，引理 02M0），只需证明重数 \(d_x\) 所满足的结论；这是 \(x\) 在 \(R\) 中的重数。第 (1) 部分已在以上讨论中证明。以上讨论只在 \(\kappa(x)\) 在 \(k\) 上可分的情形证明了 (2) 与 (3)。在证明的其余部分，我们用关于拟有限 Gorenstein 态射之不同理想的材料，统一处理 (2) 与 (3)。

首先注意，\(f\) 是拟有限 Gorenstein 态射。例如，这是因为 \(f\) 是平坦的拟有限态射，且 \(X\) 是 Gorenstein 的（见《概形的对偶性》，引理 0C12）；也可以使用《判别式》，引理 0BWJ 的证明中所得的结果（上面已经使用过该引理）。因此，由《判别式》，引理 0C16， \(\omega_{X/Y}\) 可逆；在把 \(X\) 换成开集以及沿某个 \(Y' \to Y\) 作基变换之后，这一点仍然成立。以下将不再说明而直接使用。

选取仿射开集 \(U \subset X\) 与 \(V \subset Y\)，使得 \(x \in U\)、\(y \in V\)、\(f(U) \subset V\)，且 \(x\) 是 \(U\) 中位于 \(y\) 上方的唯一一点。写成 \(U = \Spec(A)\) 与 \(V = \Spec(B)\)。于是 \(R \cap U\) 是 \(f|_U : U \to V\) 的不同理想。由《判别式》，引理 0BW7，在本情形中，不同理想的形成同任意基变换交换。由 \(U\) 与 \(V\) 的选取，有 \[A \otimes_B \kappa(y) = \mathcal{O}_{X, x} \otimes_{\mathcal{O}_{Y, y}} \kappa(y) = \mathcal{O}_{X, x}/(s^{e_x})\] ，其中 \(e_x\) 是引理陈述中的分歧指数。令 \(C = \mathcal{O}_{X, x}/(s^{e_x})\)，把它视作 \(\kappa(y)\) 上的有限代数。设 \(\mathfrak{D}_{C/\kappa(y)}\) 为 \(C\) 在 \(\kappa(y)\) 上的不同理想，其含义见《判别式》，定义 0BW4。只需证明：\(\mathfrak{D}_{C/\kappa(y)}\) 非零，当且仅当扩张 \(\mathcal{O}_{Y, y} \subset \mathcal{O}_{X, x}\) 温和分歧；并且在温和分歧情形，\(\mathfrak{D}_{C/\kappa(y)}\) 等于由 \(s^{e_x - 1}\) 生成的理想；这是 \(C\) 中的理想。回顾温和分歧恰好意味着 \(\kappa(x)/\kappa(y)\) 可分，且 \(\kappa(y)\) 的特征不整除 \(e_x\)。另一方面， \(C/\kappa(y)\) 的不同理想非零，当且仅当 \(\tau_{C/\kappa(y)} \in \omega_{C/\kappa(y)}\) 非零。确实，由于 \(\omega_{C/\kappa(y)}\) 是可逆 \(C\)-模（它是 \(\omega_{A/B}\) 的基变换），它是秩为 \(1\) 的自由模；设生成元为 \(\lambda\)。写成 \(\tau_{C/\kappa(y)} = h\lambda\)，其中 \(h \in C\)。于是 \(\mathfrak{D}_{C/\kappa(y)} = (h) \subset C\)，从而得到该断言。由《判别式》，引理 0C13，有 \(\tau_{C/\kappa(y)} \not = 0\)，当且仅当 \(\kappa(x)/\kappa(y)\) 可分且 \(e_x\) 与该特征互素。最后，即使 \(\tau_{C/\kappa(y)}\) 非零，仍有 \(s \tau_{C/\kappa(y)} = 0\)，因为 \(s\tau_{C/\kappa(y)} : C \to \kappa(y)\) 把 \(c\) 映为幂零算子 \(sc\) 的迹，而这个迹为零。因此 \(sh = 0\)，从而 \(h \in (s^{e_x - 1})\)；这证明始终有 \(\mathfrak{D}_{C/\kappa(y)} \subset (s^{e_x - 1})\)。由于 \((s^{e_x - 1}) \subset C\) 是最小的非零理想，最终断言得证。

不可分态射

下面对不可分态射下亏格的行为作一些说明。

引理

设 \(k\) 为域。设 \(f : X \to Y\) 为 \(k\) 上曲线之间的满态射。若 \(X\) 在 \(k\) 上光滑，且 \(Y\) 正规，则 \(Y\) 在 \(k\) 上光滑。

证明

设 \(y \in Y\)。选取 \(x \in X\)，使它映到 \(y\)。由《簇》，引理 05AX，只需证明 \(f\) 在 \(x\) 处平坦。这由引理 0CCK 得到。

引理

设 \(k\) 为特征 \(p > 0\) 的域。设 \(f : X \to Y\) 为 \(k\) 上固有非奇异曲线之间的非常值态射。若函数域扩张 \(k(X)/k(Y)\) 纯不可分，则存在分解 \[X = X_0 \to X_1 \to \ldots \to X_n = Y\] ，使每个 \(X_i\) 都是固有非奇异曲线，并且 \(X_i \to X_{i + 1}\) 是次数为 \(p\) 的态射，而 \(k(X_{i + 1}) \subset k(X_i)\) 不可分。

证明

这由定理 0BY1 以及如下事实得到：域的有限纯不可分扩张总能写成一列次数为 \(p\) 的（不可分）扩张；见《域》，引理 09HI。

引理

设 \(k\) 为特征 \(p > 0\) 的域。设 \(f : X \to Y\) 为 \(k\) 上固有非奇异曲线之间的非常值态射。若 \(X\) 光滑，且 \(k(Y) \subset k(X)\) 是次数为 \(p\) 的不可分扩张，则存在唯一同构 \(Y = X^{(p)}\)，使 \(f\) 就是 \(F_{X/k}\)。

证明

相对 Frobenius 态射 \(F_{X/k} : X \to X^{(p)}\) 构造于《簇》，第 0CC6 节。注意，\(X^{(p)}\) 是 \(k\) 上的光滑固有曲线；这是 \(X\) 的基变换。由《簇》，引理 0CCF，态射 \(F_{X/k}\) 的次数为 \(p\)。因此 \(k(X^{(p)})\) 与 \(k(Y)\) 都是 \(k(X)\) 的子域，并且 \([k(X) : k(Y)] = [k(X) : k(X^{(p)})] = p\)。为了证明引理，只需证明 \(k(Y) = k(X^{(p)})\) 在 \(k(X)\) 中成立；见定理 0BY1。

写成 \(K = k(X)\)。考察映射 \(\text{d} : K \to \Omega_{K/k}\)。由引理 0C1C 可知， \(k(Y)\) 包含于 \(\text{d}\) 的核中。由《簇》，引理 0CCC 可知， \(k(X^{(p)})\) 也包含于 \(\text{d}\) 的核中。由于 \(X\) 是光滑曲线，\(\Omega_{K/k}\) 是维数为 \(1\) 的向量空间，定义在 \(K\) 上。于是《代数进阶》，引理 07P2 蕴含 \(\Ker(\text{d}) = kK^p\) 且 \([K : kK^p] = p\)。因次数相同，便有 \(k(Y) = kK^p = k(X^{(p)})\)。

引理

设 \(k\) 为特征 \(p > 0\) 的域。设 \(f : X \to Y\) 为 \(k\) 上固有非奇异曲线之间的非常值态射。若 \(X\) 光滑，且 \(k(Y) \subset k(X)\) 纯不可分，则存在唯一的 \(n \geq 0\) 与唯一同构 \(Y = X^{(p^n)}\)，使 \(f\) 是 \(n\) 重相对 Frobenius 态射；这是 \(X/k\) 的相对 Frobenius。

证明

\(n\) 重相对 Frobenius 态射（对 \(X/k\) 而言）定义于《簇》，注 0CCG。合并引理 0CCY 与 0CCX 即得结论。

引理

设 \(k\) 为特征 \(p > 0\) 的域。设 \(f : X \to Y\) 为 \(k\) 上固有非奇异曲线之间的非常值态射。假设

\(X\) 光滑；

\(H^0(X, \mathcal{O}_X) = k\)；

\(k(X)/k(Y)\) 纯不可分。

则 \(Y\) 光滑，\(H^0(Y, \mathcal{O}_Y) = k\)，并且 \(Y\) 的亏格等于 \(X\) 的亏格。

证明

由引理 0CCZ，可知 \(Y = X^{(p^n)}\) 是 \(X\) 沿 \(F_{\Spec(k)}^n\) 的基变换。因此 \(Y\) 光滑，而关于上同调与亏格的结论来自引理 0BY9。

例

本例说明，在非奇异射影曲线之间的纯不可分态射下，亏格可能改变。设 \(k\) 为特征 \(3\) 的域。假设存在元素 \(a \in k\)，它不是 \(3\) 次幂；例如可以取 \(k = \mathbf{F}_3(a)\)。设 \(X\) 为齐次方程 \[F = T_1^2T_0 - T_2^3 + aT_0^3\] 所定义的平面曲线，如第 0BYA 节所述。在仿射片 \(D_+(T_0)\) 上使用坐标 \(x = T_1/T_0\) 与 \(y = T_2/T_0\)，得到 \(x^2 - y^3 + a = 0\)，它定义一条非奇异仿射曲线。此外，无穷远点 \((0 : 1: 0)\) 是光滑点。因此 \(X\) 是亏格为 \(1\) 的非奇异射影曲线（引理 0BYD）。另一方面，考察态射 \(f : X \to \mathbf{P}^1_k\)；它在 \(D_+(T_0)\) 上把 \((x, y)\) 映到 \(x \in \mathbf{A}^1_k \subset \mathbf{P}^1_k\)。则 \(f\) 是 \(k\) 上固有非奇异曲线之间的态射，诱导次数为 \(p = 3\) 的不可分函数域扩张；但 \(X\) 的亏格为 \(1\)，而 \(\mathbf{P}^1_k\) 的亏格为 \(0\)。

命题

设 \(k\) 为特征 \(p > 0\) 的域。设 \(f : X \to Y\) 为 \(k\) 上固有光滑曲线之间的非常值态射。则可把 \(f\) 分解为 \[X \longrightarrow X^{(p^n)} \longrightarrow Y\] ，其中 \(X^{(p^n)} \to Y\) 是固有光滑曲线之间的非常值态射，诱导可分域扩张 \(k(X^{(p^n)})/k(Y)\)，且 \[X^{(p^n)} = X \times_{\Spec(k), F_{\Spec(k)}^n} \Spec(k),\] 而 \(X \to X^{(p^n)}\) 是 \(n\) 重相对 Frobenius 态射，作用于 \(X\)。

证明

由《域》，引理 030K，存在子扩张 \(k(X)/E/k(Y)\)，使 \(k(X)/E\) 纯不可分而 \(E/k(Y)\) 可分。由定理 0BY1，这对应于分解 \(X \to Z \to Y\)；它是 \(f\) 的分解，其中 \(Z\) 是非奇异固有曲线。把引理 0CCZ 应用于态射 \(X \to Z\) 即得结论。

引理

设 \(k\) 为特征 \(p > 0\) 的域。设 \(X\) 为 \(k\) 上的光滑固有曲线。设 \((\mathcal{L}, V)\) 为 \(\mathfrak g^r_d\)，其中 \(r \geq 1\)。则下列两种情形之一成立：

存在一个 \(\mathfrak g^1_d\)，其相应态射 \(X \to \mathbf{P}^1_k\)（引理 0CCP）泛 étale（即如引理 0C1C 中所述）；或者

存在 \(\mathfrak g^r_{d'}\)，它在 \(X^{(p)}\) 上，其中 \(d' \leq d/p\)。

证明

选取两个 \(k\)-线性无关元素 \(s, t \in V\)。则 \(f = s/t\) 是定义态射 \(X \to \mathbf{P}^1_k\) 的有理函数；该态射对应于线性系 \((\mathcal{L}, ks + kt)\)。若此态射并非泛 étale，则由命题 0CD2，有 \(f \in k(X^{(p)})\)。现在选取一个基 \(s_0, \ldots, s_r\)，作为 \(V\) 的基，并令 \(\mathcal{L}' \subset \mathcal{L}\) 为由 \(s_0, \ldots, s_r\) 生成的可逆层。置 \(f_i = s_i/s_0\)，把它看作 \(k(X)\) 中的元素。若对每一对 \((s_0, s_i)\) 都有 \(f_i \in k(X^{(p)})\)，则态射 \[\varphi = \varphi_{(\mathcal{L}', (s_0, \ldots, s_r)} : X \longrightarrow \mathbf{P}^r_k = \text{Proj}(k[T_0, \ldots, T_r])\] 经由 \(X^{(p)}\) 分解，因为这在仿射开集 \(D_+(T_0)\) 上成立，而由引理 0BXZ，可以把仿射部分上的态射延拓到整个光滑曲线 \(X^{(p)}\) 上。引入记号，设有如下分解： \[X \xrightarrow{F_{X/k}} X^{(p)} \xrightarrow{\psi} \mathbf{P}^r_k\] ；这是 \(\varphi\) 的分解。则 \(\mathcal{N} = \psi^*\mathcal{O}_{\mathbf{P}^1_k}(1)\) 是可逆 \(\mathcal{O}_{X^{(p)}}\)-模，满足 \(\mathcal{L}' = F_{X/k}^*\mathcal{N}\)，并且 \(\psi^*T_0, \ldots, \psi^*T_r\) 在 \(k\) 上线性无关（因为它们拉回为 \(s_0, \ldots, s_r\)，这是在 \(X\) 上的拉回）。最后有 \[d = \deg(\mathcal{L}) \geq \deg(\mathcal{L}') = \deg(F_{X/k}) \deg(\mathcal{N}) = p \deg(\mathcal{N})\] ，正如所需。这里使用了《簇》，引理 0B40、 0AYZ 与 0CCF。

引理

设 \(k\) 为域。设 \(X\) 为 \(k\) 上光滑固有曲线，满足 \(H^0(X, \mathcal{O}_X) = k\)，且亏格 \(g \geq 2\)。则存在闭点 \(x \in X\)，使 \(\kappa(x)/k\) 可分且次数 \(\leq 2g - 2\)。

证明

置 \(\omega = \Omega_{X/k}\)。由引理 0C1A，它的次数为 \(2g - 2\)，并有 \(g\) 个整体截面。因此有一个 \(\mathfrak g^{g - 1}_{2g - 2}\)。由平凡的引理 0CCQ，存在一个 \(\mathfrak g^1_{2g - 2}\)；再由引理 0CCR，得到态射 \[\varphi : X \longrightarrow \mathbf{P}^1_k\] ，其次数为 \(d \leq 2g - 2\)。由于 \(\varphi\) 平坦（引理 0CCK）且有限（引理 0CCL），它是次数为 \(d\) 的有限局部自由态射（《态射》，引理 02KB）。任取有理点 \(t \in \mathbf{P}^1_k\)，并任取点 \(x \in X\)，使 \(\varphi(x) = t\)。则 \[d \geq [\kappa(x) : \kappa(t)] = [\kappa(x) : k]\] ，例如由《态射》，引理 0CC2 与 03J5。因此若 \(k\) 完美（例如特征为零或有限），引理得证。于是归结为下一段讨论的情形。

假设 \(k\) 是特征 \(p > 0\) 的无限域。如上，将使用 \(X\) 有一个 \(\mathfrak g^{g - 1}_{2g - 2}\) 这一事实。光滑固有曲线 \(X^{(p)}\) 与 \(X\) 亏格相同，故其亏格 \(> 0\)。由引理 0CCS，可知 \(X^{(p)}\) 没有 \(\mathfrak g^{g - 1}_d\)，这里 \(d \leq g - 1\) 任意。把引理 0CD3 应用于我们的 \(\mathfrak g^{g - 1}_{2g - 2}\)（并注意 \(2g - 2/p \leq g - 1\)），可知情形 (2) 不会发生。因此得到态射 \[\varphi : X \longrightarrow \mathbf{P}^1_k\] ，它泛 étale（按该引理的含义），且次数 \(\leq 2g - 2\)。设 \(U \subset X\) 为 \(\varphi\) 是 étale 的非空开子概形。则 \(\varphi(U) \subset \mathbf{P}^1_k\) 是非空 Zariski 开集；可以选取 \(k\)-有理点 \(t \in \varphi(U)\)，因为 \(k\) 无限。令 \(u \in U\) 为满足 \(\varphi(u) = t\) 的一点。则 \(\kappa(u)/\kappa(t)\) 可分（《态射》，引理 02GL）， \(\kappa(t) = k\)，并且如前有 \([\kappa(u) : k] \leq 2g - 2\)。

下面的引理其实不属于本节，但我们不知道还能把它放在何处。

引理

设 \(X\) 为域 \(k\) 上的光滑曲线。设 \(\overline{x} \in X_{\overline{k}}\) 为闭点，其像为 \(x \in X\)。则 \(\mathcal{O}_{X, x} \subset \mathcal{O}_{X_{\overline{k}}, \overline{x}}\) 的分歧指数等于 \(\kappa(x)/k\) 的不可分次数。

证明

缩小 \(X\) 后，可以假设存在 étale 态射 \(\pi : X \to \mathbf{A}^1_k\)；见《态射》，引理 054L。于是可以考察局部环的交换图 \[\xymatrix{ \mathcal{O}_{X_{\overline{k}}, \overline{x}} & \mathcal{O}_{\mathbf{A}^1_{\overline{k}}, \pi(\overline{x})} \ar[l] \\ \mathcal{O}_{X, x} \ar[u] & \mathcal{O}_{\mathbf{A}^1_k, \pi(x)} \ar[l] \ar[u] }\] 。水平箭头的分歧指数为 \(1\)，因为它们对应于 étale 态射。此外，扩张 \(\kappa(x)/\kappa(\pi(x))\) 可分，故 \(\kappa(x)\) 与 \(\kappa(\pi(x))\) 在 \(k\) 上具有相同的不可分次数。由分歧指数的乘法性，只需在 \(x\) 是仿射直线上的点时证明结论。

假设 \(X = \mathbf{A}^1_k\)。此时 \(X\) 在 \(x\) 处的局部环形如 \[\mathcal{O}_{X, x} = k[t]_{(P)}\] ，其中 \(P\) 是 \(k\) 上不可约的首一多项式。于是有 \(P(t) = Q(t^q)\)，其中 \(Q \in k[t]\) 是某个可分多项式；见《域》，引理 09H0。注意，\(\kappa(x) = k[t]/(P)\) 的不可分次数为 \(q\)，这是在 \(k\) 上而言。另一方面，在 \(\overline{k}\) 上可以分解 \(Q(t) = \prod (t - \alpha_i)\)，其中 \(\alpha_i\) 两两不同。写成 \(\alpha_i = \beta_i^q\)，其中存在唯一的 \(\beta_i \in \overline{k}\)。于是点 \(\overline{x}\) 对应于其中一个 \(\beta_i\)。现在可以得出结论，因为 \[k[t]_{(P)} \longrightarrow \overline{k}[t]_{(t - \beta_i)}\] 的分歧指数确实等于 \(q\)：一致化元 \(P\) 映为 \((t - \beta_i)^q\) 乘以一个单位。

推出

设 \(k\) 为域。考察实线图 \[\xymatrix{ Z' \ar[d] \ar[r]_{i'} & X' \ar@{..>}[d]^a \\ Z \ar@{..>}[r]^i & X }\] ；这是 \(k\) 上概形的图，并满足

\(X'\) 是 \(k\) 上分离的有限型概形，且维数 \(\leq 1\)；
\(i : Z' \to X'\) 是闭浸入；
\(Z'\) 与 \(Z\) 在 \(\Spec(k)\) 上有限；并且
\(Z' \to Z\) 满射。

在这种情形下，\(X'\) 的每个有限点集都包含于某个仿射开集中；见《簇》，命题 09NN。因此满足《态射进阶》，命题 0E25 的假设，并得到如下结论：

推出 \(X = Z \amalg_{Z'} X'\) 在概形范畴中存在；
\(i : Z \to X\) 是闭浸入；
\(a : X' \to X\) 是整满态射；
由《态射进阶》，引理 0E26， \(X \to \Spec(k)\) 是分离的；
由《态射进阶》，引理 0E27， \(X \to \Spec(k)\) 是有限型的；
因此，由《态射》，引理 01WJ 与 01T8， \(a : X' \to X\) 是有限的；
若 \(X' \to \Spec(k)\) 固有，则由《态射》，引理 03GN， \(X \to \Spec(k)\) 固有。

下面的引理可以作显著推广。

引理

在上述情形中，设 \(Z = \Spec(k')\)，其中 \(k'\) 为域；并设 \(Z' = \Spec(k'_1 \times \ldots \times k'_n)\)，其中 \(k'_i/k'\) 是有限域扩张。设 \(x \in X\) 为 \(Z \to X\) 的像，并设 \(x'_i \in X'\) 为 \(\Spec(k'_i) \to X'\) 的像。则有纤维积图 \[\xymatrix{ \prod\nolimits_{i = 1, \ldots, n} k'_i & \prod\nolimits_{i = 1, \ldots, n} \mathcal{O}_{X', x'_i}^\wedge \ar[l] \\ k' \ar[u] & \mathcal{O}_{X, x}^\wedge \ar[u] \ar[l] }\] ，其中水平箭头由到剩余域的映射给出。

证明

选取仿射开邻域 \(\Spec(A)\)，它是 \(x\) 在 \(X\) 中的邻域。设 \(\Spec(A') \subset X'\) 为其逆像。由构造，有纤维积图 \[\xymatrix{ \prod\nolimits_{i = 1, \ldots, n} k'_i & A' \ar[l] \\ k' \ar[u] & A \ar[u] \ar[l] }\] 。由于所有对象在 \(A\) 上都有限，考察极大理想 \(\mathfrak m \subset A\)，它同 \(x\) 相应。对它作完备化后，该图仍为纤维积图（《代数》，引理 00MB）。最后应用《代数》，引理 07N9，以识别 \(A'\) 的完备化。

粘合与压缩

以下用 \(k[\epsilon]\) 表示 \(k\) 上的对偶数代数，其定义见《簇》，定义 0B29。

引理

设 \(k\) 为代数闭域。设 \(k \subset A\) 为环扩张，并且 \(A\) 恰有两个 \(k\)-子代数。则 \(A = k \times k\) 或 \(A = k[\epsilon]\)。

证明

假设意味着 \(k \not = A\)，并且任意子环 \(k \subset C \subset A\) 都等于 \(k\) 或 \(A\)。取 \(t \in A\) 且 \(t \not \in k\)。则 \(A\) 由 \(t\) 在 \(k\) 上生成，故有 \(A = k[x]/I\)，其中 \(I\) 是某个理想。若 \(I = (0)\)，则会有不允许出现的子代数 \(k[x^2]\)。否则，\(I\) 由某个首一多项式 \(P\) 生成。写成 \(P = \prod_{i = 1}^d (t - a_i)\)。若 \(d > 2\)，则由 \((t - a_1)(t - a_2)\) 生成的子代数给出矛盾。所以 \(d = 2\)。若 \(a_1 \not = a_2\)，则 \(A = k \times k\)；若 \(a_1 = a_2\)，则 \(A = k[\epsilon]\)。

例

设 \(k\) 为代数闭域。设 \(f : X' \to X\) 为代数 \(k\)-概形之间的态射。若下列条件成立，就称 \(X\) 由粘合 \(a\) 与 \(b\) 得到；这两点位于 \(X'\) 中：

\(a, b \in X'(k)\) 是不同的点，它们映到同一点 \(x \in X(k)\)；

\(f\) 有限，并且 \(f^{-1}(X \setminus \{x\}) \to X \setminus \{x\}\) 是同构；

有短正合列 \[0 \to \mathcal{O}_X \to f_*\mathcal{O}_{X'} \xrightarrow{a - b} x_*k \to 0\] ，其中右端箭头把局部截面 \(h\)（它属于 \(f_*\mathcal{O}_{X'}\)）映到差 \(h(a) - h(b) \in k\)。

若属于这种情形，则还有短正合列 \[0 \to \mathcal{O}_X^* \to f_*\mathcal{O}_{X'}^* \xrightarrow{ab^{-1}} x_*k^* \to 0\] ，其中右端箭头把局部截面 \(h\)（它属于 \(f_*\mathcal{O}_{X'}^*\)）映到乘法差 \(h(a)h(b)^{-1} \in k^*\)。

例

设 \(k\) 为代数闭域。设 \(f : X' \to X\) 为代数 \(k\)-概形之间的态射。若下列条件成立，就称 \(X\) 由压缩切向量 \(\vartheta\) 得到；该切向量位于 \(X'\) 中：

\(\vartheta : \Spec(k[\epsilon]) \to X'\) 是 \(k\) 上的闭浸入，且 \(f \circ \vartheta\) 经由一点 \(x \in X(k)\) 分解；

\(f\) 有限，并且 \(f^{-1}(X \setminus \{x\}) \to X \setminus \{x\}\) 是同构；

有短正合列 \[0 \to \mathcal{O}_X \to f_*\mathcal{O}_{X'} \xrightarrow{\vartheta} x_*k \to 0\] ，其中右端箭头把局部截面 \(h\)（它属于 \(f_*\mathcal{O}_{X'}\)）映到 \(\epsilon\) 的系数；该系数取自 \(\vartheta^\sharp(h) \in k[\epsilon]\)。

若属于这种情形，则还有短正合列 \[0 \to \mathcal{O}_X^* \to f_*\mathcal{O}_{X'}^* \xrightarrow{\vartheta} x_*k \to 0\] ，其中右端箭头把局部截面 \(h\)（它属于 \(f_*\mathcal{O}_{X'}^*\)）映到 \(\text{d}\log(\vartheta^\sharp(h))\)，这里 \(\text{d}\log : k[\epsilon]^* \to k\) 是把 \(a + b\epsilon\) 映到 \(b/a \in k\) 的交换群同态。

引理

设 \(k\) 为代数闭域。设 \(f : X' \to X\) 为代数 \(k\)-概形之间的有限态射，满足 \(\mathcal{O}_X \subset f_*\mathcal{O}_{X'}\)，并且 \(f\) 在某个有限点集之外是同构。则存在分解 \[X' = X_n \to X_{n - 1} \to \ldots \to X_1 \to X_0 = X\] ，使每个 \(X_i \to X_{i - 1}\) 或者是两个点的粘合，或者是一个切向量的压缩（见例 0C1J 与 0C1K）。

证明

设 \(U \subset X\) 为使 \(f\) 成为同构的最大开集。则 \(X \setminus U = \{x_1, \ldots, x_n\}\)，其中 \(x_i \in X(k)\)。我们将考察分解 \(X' \to Y \to X\)；这是 \(f\) 的分解，要求两个态射都有限，并且 \[\mathcal{O}_X \subset g_*\mathcal{O}_Y \subset f_*\mathcal{O}_{X'}\] ，其中 \(g : Y \to X\) 为给定态射。由假设， \(\mathcal{O}_{X, x} \to (f_*\mathcal{O}_{X'})_x\) 是同构，除非有 \(x = x_i\)，其中 \(i\) 为某个指标。因此余核 \[f_*\mathcal{O}_{X'}/\mathcal{O}_X = \bigoplus \mathcal{Q}_i\] 是摩天层 \(\mathcal{Q}_i\) 之直和；它们支撑在 \(x_1, \ldots, x_n\) 上。由于所显示的商是凝聚 \(\mathcal{O}_X\)-模，可知 \(\mathcal{Q}_i\) 在 \(\mathcal{O}_{X, x_i}\) 上具有有限长度。因此可以对这些长度之和，也就是整个余核的长度，作归纳。

若 \(n > 1\)，则可以定义 \(\mathcal{O}_X\)-子代数 \(\mathcal{A} \subset f_*\mathcal{O}_{X'}\)，方法是取 \(\mathcal{Q}_1\) 的逆像。这将给出非平凡分解，于是可用归纳。

假设 \(n = 1\)。简记 \(x = x_1\)。考察有限 \(k\)-代数扩张 \[A = \mathcal{O}_{X, x} \subset (f_*\mathcal{O}_{X'})_x = B\] 。注意，\(\mathcal{Q} = \mathcal{Q}_1\) 是值为 \(B/A\) 的摩天层。有 \(k\)-子代数 \(A \subset A + \mathfrak m_A B \subset B\)。若两个包含都严格，则得到非平凡分解，并如上用归纳。若 \(A + \mathfrak m_A B = B\)，则由 Nakayama 有 \(A = B\)；此时 \(f\) 是同构，无事可证。由此可假设 \(B = A + \mathfrak m_A B\)。置 \(C = B/\mathfrak m_A B\)。若 \(C\) 有多于 \(2\) 个 \(k\)-子代数，则得到介于 \(A\) 与 \(B\) 之间的子代数，方法是在 \(B\) 中取逆像。因此可假设 \(C\) 恰有 \(2\) 个 \(k\)-子代数。由引理 0C1I，有 \(C = k \times k\) 或 \(C = k[\epsilon]\)。在这种情形下，\(f\) 相应地是两个点的粘合，或一个切向量的压缩。

引理

设 \(k\) 为代数闭域。若 \(f : X' \to X\) 是如例 0C1J 中由粘合两点 \(a, b\) 得到的态射，则有正合列 \[k^* \to \Pic(X) \to \Pic(X') \to 0\] 。若 \(a\) 与 \(b\) 位于 \(X'\) 的不同连通分支上，则第一个映射为零；若 \(X'\) 固有且 \(a\) 与 \(b\) 位于 \(X'\) 的同一连通分支上，则第一个映射为单射。

证明

由《簇》，引理 0C0T，映射 \(\Pic(X) \to \Pic(X')\) 满射。使用短正合列 \[0 \to \mathcal{O}_X^* \to f_*\mathcal{O}_{X'}^* \xrightarrow{ab^{-1}} x_*k^* \to 0\] ，得到 \[H^0(X', \mathcal{O}_{X'}^*) \xrightarrow{ab^{-1}} k^* \to H^1(X, \mathcal{O}_X^*) \to H^1(X, f_*\mathcal{O}_{X'}^*)\] 。有 \(H^1(X, f_*\mathcal{O}_{X'}^*) \subset H^1(X', \mathcal{O}_{X'}^*)\) （例如由 Leray 谱序列；见《上同调》，引理 01F2）。因此 \(\Pic(X) \to \Pic(X')\) 的核是 \(ab^{-1} : H^0(X', \mathcal{O}_{X'}^*) \to k^*\) 的余核。若 \(a\) 与 \(b\) 位于 \(X'\) 的不同连通分支上，则 \(ab^{-1}\) 满射。由于 \(k\) 代数闭，\(k\) 上约化连通固有概形的任意正则函数都来自 \(k\) 的一个元素；见《簇》，引理 0BUG。因此 \(ab^{-1}\) 为零，如果 \(X'\) 固有且 \(a\) 与 \(b\) 位于同一连通分支上。

引理

设 \(k\) 为代数闭域。若 \(f : X' \to X\) 是如例 0C1K 中对切向量 \(\vartheta\) 的压缩，则有正合列 \[(k, +) \to \Pic(X) \to \Pic(X') \to 0\] ，并且若 \(X'\) 固有且约化，则第一个映射为单射。

证明

由《簇》，引理 0C0T，映射 \(\Pic(X) \to \Pic(X')\) 满射。使用例 0C1K 的短正合列 \[0 \to \mathcal{O}_X^* \to f_*\mathcal{O}_{X'}^* \xrightarrow{\vartheta} x_*k \to 0\] ，得到 \[H^0(X', \mathcal{O}_{X'}^*) \xrightarrow{\vartheta} k \to H^1(X, \mathcal{O}_X^*) \to H^1(X, f_*\mathcal{O}_{X'}^*)\] 。有 \(H^1(X, f_*\mathcal{O}_{X'}^*) \subset H^1(X', \mathcal{O}_{X'}^*)\) （例如由 Leray 谱序列；见《上同调》，引理 01F2）。因此 \(\Pic(X) \to \Pic(X')\) 的核是映射 \(\vartheta : H^0(X', \mathcal{O}_{X'}^*) \to k\) 的余核。由于 \(k\) 代数闭，\(k\) 上约化连通固有概形的任意正则函数都来自 \(k\) 的一个元素；见《簇》，引理 0BUG。由此得到引理的最后一个断言。

多重交叉与结点奇点

本节讨论最简单的一类曲线奇点。

设 \(k\) 为域。考察完备局部 \(k\)-代数 [0C1U]\[\begin{equation} A = \{(f_1, \ldots, f_n) \in k[[t]] \times \ldots \times k[[t]] \mid f_1(0) = \ldots = f_n(0)\} \end{equation}\] 采用《簇》，定义 0C41 引入的术语，\(A\) 是 \(n\) 个 \(1\) 元幂级数环（系数域为 \(k\)）的楔和。注意， \(k[[t]] \times \ldots \times k[[t]]\) 是 \(A\) 在其全分式环中的整闭包。因此 \(\delta\)-不变量在 \(A\) 上的值为 \(n - 1\)。存在同构 \[k[[x_1, \ldots, x_n]]/(\{x_ix_j\}_{i \not = j}) \longrightarrow A\] ，它把 \(x_i\) 映到 \((0, \ldots, 0, t, 0, \ldots, 0)\)；后者位于 \(A\) 中。由此 \(\dim(A) = 1\)，且 \(\dim_k \mathfrak m/\mathfrak m^2 = n\). 特别地，\(A\) 正则当且仅当 \(n = 1\)。

引理

设 \(k\) 为可分闭域。设 \(A\) 为 \(1\) 维约化 Nagata 局部 \(k\)-代数，其剩余域为 \(k\)。则 \[\delta\text{-invariant }A \geq \text{number of branches of }A - 1\] 若等号成立，则 \(A^\wedge\) 如式 (0C1U) 所示。

证明

由于 \(A\) 的剩余域可分闭，\(A\) 的分支数等于 \(A\) 的几何分支数；见《代数补篇》，定义 0C26。不等式由《簇》，引理 0C43 给出。假设等号成立。可以把 \(A\) 替换为 \(A\) 的完备化；这不改变分支数或 \(\delta\)-不变量；见《代数补篇》，引理 0C2D 以及《簇》，引理 0C3W。此时 \(A\) 严格 Hensel；见《代数》，引理 04GM。由《簇》，引理 0C42， \(A\) 是若干完备离散赋值环的楔和。由《代数》，引理 0C0S，其中每一个都同构于 \(k[[t]]\)。所以 \(A\) 如式 (0C1U) 所示。

定义

设 \(k\) 为代数闭域。设 \(X\) 为代数 \(1\) 维 \(k\)-概形，并设 \(x \in X\) 为闭点。称 \(x\) 定义了一个多重交叉奇点，如果完备化 \(\mathcal{O}_{X, x}^\wedge\) 对某个 \(n \geq 2\) 同构于式 (0C1U)。称 \(x\) 是一个结点或普通二重点，也称它 定义了一个结点奇点，如果 \(n = 2\)。

在某种意义上，这些是代数闭域上曲线所能具有的最简单奇点。

引理

设 \(k\) 为代数闭域。设 \(X\) 为约化代数 \(1\) 维 \(k\)-概形，并设 \(x \in X\)。下列条件等价：

\(x\) 定义一个多重交叉奇点；

\(\delta\)-不变量（对 \(X\) 在 \(x\) 处而言）等于 \(X\) 在 \(x\) 处的分支数减 \(1\)；

存在态射序列 \(U_n \to U_{n - 1} \to \ldots \to U_0 = U \subset X\) ，其中 \(U\) 是 \(x\) 的开邻域，\(U_n\) 非奇异，并且每个 \(U_i \to U_{i - 1}\) 都是例 0C1J 所述的两点粘合。

证明

条件 (1) 与 (2) 的等价性就是引理 0C1V。

假设 (3) 成立。我们对 \(i\) 作降序归纳，证明 \(U_i\) 的所有奇点都是多重交叉奇点。对 \(U_n\) 这显然成立，因为 \(U_n\) 没有奇点。若 \(U_i\) 是把 \(U_{i + 1}\) 中的 \(a, b \in U_{i + 1}\) 粘合为一点 \(c \in U_i\) 而得到的，则 \[\mathcal{O}_{U_i, c}^\wedge \subset \mathcal{O}_{U_{i + 1}, a}^\wedge \times \mathcal{O}_{U_{i + 1}, b}^\wedge\] 恰由在 \(k\) 中剩余类相同的元素组成。因此 \(c\) 处的分支数等于 \(a\) 与 \(b\) 处分支数之和，而 \(\delta\)-不变量在 \(c\) 处等于 \(\delta\)-不变量在 \(a\) 与 \(b\) 处的值之和再加 \(1\) （因为所显示的包含之余维为 \(1\)）。这就按要求证明了 (2)。

假设等价条件 (1) 与 (2) 成立。可以选取开集 \(U \subset X\)，使得 \(x\) 是 \(U\) 的唯一奇点。对正规化态射应用引理 0C1L： \[U^\nu = U_n \to U_{n - 1} \to \ldots \to U_1 \to U_0 = U\] 只需证明每一步都没有压缩切向量。假设 \(U_{i + 1} \to U_i\) 是第一次出现这种情形的步骤，即 \(i\) 最小，并且该步骤压缩切向量 \(\theta\)，其所在点为 \(u' \in U_{i + 1}\)，位于 \(u \in U_i\) 上方。按上述论证可知， \(u_i\) 是多重交叉奇点（因为各映射 \(U_i \to \ldots \to U_0\) 都是成对粘合点）。然而此时 \(u'\) 与 \(u\) 处的分支数相同，而 \(\delta\)-不变量在 \(U_i\) 的 \(u\) 处之值为 \(1\) 加上 \(\delta\)-不变量在 \(U_{i + 1}\) 的 \(u'\) 处之值。由引理 0C1V，这说明 \(u\) 不可能是多重交叉奇点，矛盾。

引理

设 \(k\) 为代数闭域。设 \(X\) 为约化代数 \(1\) 维 \(k\)-概形。设 \(x \in X\) 为多重交叉奇点（定义 0C1W）。若 \(X\) 为 Gorenstein，则 \(x\) 为结点。

证明

映射 \(\mathcal{O}_{X, x} \to \mathcal{O}_{X, x}^\wedge\) 平坦，并且在如下意义下非分歧： \(\kappa(x) = \mathcal{O}_{X, x}^\wedge/\mathfrak m_x \mathcal{O}_{X, x}^\wedge\). （见《代数补篇》，节 07NU。）因此，\(X\) 为 Gorenstein 蕴含 \(\mathcal{O}_{X, x}\) 为 Gorenstein；再由《对偶复形》，引理 0BJL，可推出 \(\mathcal{O}_{X, x}^\wedge\) 为 Gorenstein。所以只需证明式 (0C1U) 中的环 \(A\) 在 \(n \geq 2\) 时为 Gorenstein 当且仅当 \(n = 2\)。

若 \(n = 2\)，则 \(A = k[[x, y]]/(xy)\) 是完全交，从而为 Gorenstein。例如，把《概形的对偶性》，引理 0BVA 应用于 \(k[[x, y]] \to A\)，并使用正则局部环 \(k[[x, y]]\) 由《对偶复形》，引理 0AWX 为 Gorenstein，即得此结论。

假设 \(n > 2\)。若 \(A\) 为 Gorenstein，则 \(A\) 将是 \(A\) 上的对偶复形（《概形的对偶性》，定义 0AWW）。于是 \(R\Hom(k, A)\) 将等于 \(k[n]\)，其中 \(n \in \mathbf{Z}\)；见《对偶复形》，引理 0A7L。由此可推出 \(\Ext^1_A(k, A) \cong k\) 或 \(\Ext^1_A(k, A) = 0\)（取决于 \(n\) 的值；事实上 \(n\) 必须为 \(-1\)，但这一点在此无关紧要）。利用正合列 \[0 \to \mathfrak m_A \to A \to k \to 0\] 可得 \[\Ext^1_A(k, A) = \Hom_A(\mathfrak m_A, A)/A\] ，其中 \(A \to \Hom_A(\mathfrak m_A, A)\) 由 \(a \mapsto (a' \mapsto aa')\) 给出。设 \(e_i \in \Hom_A(\mathfrak m_A, A)\) 是把 \((f_1, \ldots, f_n) \in \mathfrak m_A\) 映到 \((0, \ldots, 0, f_i, 0, \ldots, 0)\) 的元素。容易验证， \(e_1, \ldots, e_{n - 1}\) 关于 \(k\) 线性无关，其像位于 \(\Hom_A(\mathfrak m_A, A)/A\) 中。因此 \(\dim_k \Ext^1_A(k, A) \geq n - 1 \geq 2\)，证毕。（注意，\(e_1 + \ldots + e_n\) 是 \(1\) 在映射 \(A \to \Hom_A(\mathfrak m_A, A)\) 下的像。）

Picard 群中的挠元

本节给出域上 \(1\) 维固有概形的 Picard 群中挠元的界。这将在研究曲线的半稳定约化时使用。

似乎没有初等方法可得引理 0C1Z 的结论。分析其证明可见两个关键要素：(1) 存在一个分类光滑射影曲线上零次可逆层的阿贝尔簇；(2) 可以确定阿贝尔簇上挠点的结构。

引理

设 \(k\) 为代数闭域。设 \(X\) 为亏格为 \(g\) 的光滑射影曲线，其底域为 \(k\)。

若 \(n \geq 1\) 在 \(k\) 中可逆，则 \(\Pic(X)[n] \cong (\mathbf{Z}/n\mathbf{Z})^{\oplus 2g}\).

若 \(k\) 的特征为 \(p > 0\)，则存在整数 \(0 \leq f \leq g\)，使得 \(\Pic(X)[p^m] \cong (\mathbf{Z}/p^m\mathbf{Z})^{\oplus f}\) 对所有 \(m \geq 1\) 都成立。

证明

用 \(\Pic^0(X) \subset \Pic(X)\) 表示由次数为 \(0\) 的可逆层组成的子群。换言之，有短正合列 \[0 \to \Pic^0(X) \to \Pic(X) \xrightarrow{\deg} \mathbf{Z} \to 0.\] 群 \(\Pic^0(X)\) 是 \(k\)-点集；它取自群概形 \(\underline{\Picardfunctor}^0_{X/k}\)。见《曲线的 Picard 概形》，引理 0BA0。同一引理还说明 \(\underline{\Picardfunctor}^0_{X/k}\) 是 \(g\) 维阿贝尔簇，定义在 \(k\) 上；其定义见《群胚》，定义 03RO。于是结论来自《群胚》，命题 03RP。

引理

设 \(k\) 为域。设 \(n\) 与 \(k\) 的特征互素。设 \(X\) 为 \(k\) 上光滑固有曲线，满足 \(H^0(X, \mathcal{O}_X) = k\)，且亏格为 \(g\)。

若 \(g = 1\)，则存在有限可分扩张 \(k'/k\)，使得 \(X_{k'}\) 有一个 \(k'\)-有理点，且 \(\Pic(X_{k'})[n] \cong (\mathbf{Z}/n\mathbf{Z})^{\oplus 2}\).

若 \(g \geq 2\)，则存在有限可分扩张 \(k'/k\)，满足 \([k' : k] \leq (2g - 2)(n^{2g})!\)，使得 \(X_{k'}\) 有一个 \(k'\)-有理点，且 \(\Pic(X_{k'})[n] \cong (\mathbf{Z}/n\mathbf{Z})^{\oplus 2g}\).

证明

假设 \(g \geq 2\)。首先可选取次数至多为 \(2g - 2\) 的有限可分扩张，使 \(X\) 获得一个有理点；见引理 0CD4。因此可假设 \(X\) 有一个 \(k\)-有理点 \(x \in X(k)\)，但此时必须在如下界下证明引理： \([k' : k] \leq (n^{2g})!\). 设 \(k \subset k^{sep} \subset \overline{k}\) 是代数闭包中的一个可分代数闭包。由引理 0C1Z 有 \[\Pic(X_{\overline{k}})[n] \cong (\mathbf{Z}/n\mathbf{Z})^{\oplus 2g}\] 由《曲线的 Picard 概形》，引理 0CD5，可得 \[\Pic(X_{k^{sep}})[n] \cong (\mathbf{Z}/n\mathbf{Z})^{\oplus 2g}\] 再由《曲线的 Picard 概形》，引理 0CD5，有连续作用 \[\text{Gal}(k^{sep}/k) \longrightarrow \text{Aut}(\Pic(X_{k^{sep}})[n]\] ，而对该映射核的固定域 \(k'\)，引理成立。由于作用连续，其核为开，所以 \(k'/k\) 有限。由 Galois 理论， \(\text{Gal}(k'/k)\) 是所显示箭头的像。基数为 \(n^{2g}\) 的集合之置换群的基数为 \((n^{2g})!\)，故再由 Galois 理论可得 \([k' : k] \leq (n^{2g})!\)。（当然，这实际上以 \(|\text{GL}_{2g}(\mathbf{Z}/n\mathbf{Z})|\) 为界证明了引理，但这里所需的只是存在某个界。）

若亏格为 \(1\)，则使 \(X\) 获得有理点的有限可分域扩张之次数不存在统一上界（略去细节）。不过，这样的扩张确实存在，例如由《簇》，引理 056U 可知。其余证明与 \(g \geq 2\) 的情形相同。

命题

设 \(k\) 为代数闭域。设 \(X\) 为 \(k\) 上约化、连通且维数为 \(1\) 的固有概形。设 \(g\) 为 \(X\) 的亏格，并设 \(g_{geom}\) 为 \(X\) 各不可约分支之几何亏格的和。对任意素数 \(\ell\)，若它不同于 \(k\) 的特征，则有 \[\dim_{\mathbf{F}_\ell} \Pic(X)[\ell] \leq g + g_{geom}\] ，且等号成立当且仅当 \(X\) 的所有奇点都是多重交叉奇点。

证明

设 \(\nu : X^\nu \to X\) 为正规化（《簇》，引理 0C1R）。选取分解 \[X^\nu = X_n \to X_{n - 1} \to \ldots \to X_1 \to X_0 = X\] ，如引理 0C1L 所述。记 \(h^0_i = \dim_k H^0(X_i, \mathcal{O}_{X_i})\) 以及 \(h^1_i = \dim_k H^1(X_i, \mathcal{O}_{X_i})\)。由引理 0C1M 与 0C1N，对每个 \(n > i \geq 0\)，出现下列三种情形之一：

\(X_i\) 由粘合位于不同连通分支上的 \(a, b \in X_{i + 1}\) 得到；此时 \(\Pic(X_i) = \Pic(X_{i + 1})\), \(h^0_{i + 1} = h^0_i + 1\), \(h^1_{i + 1} = h^1_i\),

\(X_i\) 由粘合位于同一连通分支上的 \(a, b \in X_{i + 1}\) 得到；此时有短正合列 \[0 \to k^* \to \Pic(X_i) \to \Pic(X_{i + 1}) \to 0,\] ，且 \(h^0_{i + 1} = h^0_i\)，\(h^1_{i + 1} = h^1_i - 1\)；

\(X_i\) 由压缩 \(X_{i + 1}\) 中的一个切向量得到；此时有短正合列 \[0 \to (k, +) \to \Pic(X_i) \to \Pic(X_{i + 1}) \to 0,\] ，且 \(h^0_{i + 1} = h^0_i\)，\(h^1_{i + 1} = h^1_i - 1\)。

关于结构层上同调群维数的断言，使用例 0C1J 与 0C1K 中的正合列即可证明。由于 \(k\) 代数闭且其特征与 \(\ell\) 互素，可知 \((k, +)\) 与 \(k^*\) 都是 \(\ell\)-可除群，并且其 \(\ell\)-挠子群满足 \((k, +)[\ell] = 0\) 以及 \(k^*[\ell] \cong \mathbf{F}_\ell\)。因此 \[\dim_{\mathbf{F}_\ell} \Pic(X_{i + 1})[\ell] - \dim_{\mathbf{F}_\ell}\Pic(X_i)[\ell]\] 除情形 (2) 中等于 \(-1\) 外，该量均为零。此过程结束时得到正规化 \(X^\nu = X_n\)，它是 \(k\) 上光滑射影曲线的不交并。因此有

\(h^1_n = g_{geom}\)；并且

\(\dim_{\mathbf{F}_\ell} \Pic(X_n)[\ell] = 2g_{geom}\).

最后一个等式来自引理 0C1Z。由于 \(g = h^1_0\)，可知类型 (2) 与 (3) 的步骤数至多为 \(h^1_0 - h^1_n = g - g_{geom}\)。由上述秩差的计算可得 \[\dim_{\mathbf{F}_\ell} \Pic(X)[\ell] \leq g - g_{geom} + 2g_{geom} = g + g_{geom}\] ，且等号成立当且仅当不出现类型 (3) 的步骤。由引理 0C1X，这恰好意味着 \(X\) 的所有奇点都是多重交叉奇点。反过来，若所有奇点都是多重交叉奇点，则引理 0C1X 保证可以找到如上的序列 \(X^\nu = X_n \to \ldots \to X_0 = X\)，其中不出现类型 (3) 的步骤，于是引理中的等号成立（只需对每个点粘合局部序列，即可得到一个同时适用于 \(x\) 的所有奇点的序列；略去若干细节）。

亏格与几何亏格的比较

设 \(k\) 为域，其代数闭包为 \(\overline{k}\)。设 \(X\) 为维数 \(\leq 1\) 的固有概形，其底域为 \(k\)。定义 \(g_{geom}(X/k)\) 为 \(X_{\overline{k}}\) 的所有 \(1\) 维不可约分支之几何亏格的和。

引理

设 \(k\) 为域。设 \(X\) 为维数 \(\leq 1\) 的固有概形，其底域为 \(k\)。则 \[g_{geom}(X/k) = \sum\nolimits_{C \subset X} g_{geom}(C/k)\] ，其中求和遍历不可约分支 \(C \subset X\)，其维数为 \(1\)。

证明

这直接来自定义以及如下事实：不可约分支 \(\overline{Z}\) （属于 \(X_{\overline{k}}\)）满射到不可约分支 \(Z\)（属于 \(X\)）（《簇》，引理 04KX），且两者维数相同（把《态射》，引理 02FY 用于 \(\overline{Z}\) 的一般点）。

引理

设 \(k\) 为域。设 \(X\) 为维数 \(\leq 1\) 的固有概形，其底域为 \(k\)。则

有 \(g_{geom}(X/k) = g_{geom}(X_{red}/k)\)。

若 \(X' \to X\) 是双有理固有态射，则 \(g_{geom}(X'/k) = g_{geom}(X/k)\).

若 \(X^\nu \to X\) 是正规化态射，则 \(g_{geom}(X^\nu/k) = g_{geom}(X/k)\).

证明

第 (1) 点直接来自引理 0CE1。若 \(X' \to X\) 双有理且固有，则它是有限态射，并在某个稠密开集上为同构（见《簇》，引理 0AB7 与 0BFP）。因此 \(X'_{\overline{k}} \to X_{\overline{k}}\) 在某个稠密开集上为同构。所以 \(X'_{\overline{k}}\) 与 \(X_{\overline{k}}\) 的不可约分支一一对应，而且对应分支的函数域同构。特别地，这些分支的非奇异射影模型同构，因而具有相同的几何亏格。这证明了 (2)。第 (3) 点来自 (1)、(2) 以及 \(X^\nu \to X_{red}\) 双有理这一事实（《态射》，引理 0BXC）。

引理

设 \(k\) 为域。设 \(X\) 为维数 \(\leq 1\) 的固有概形，其底域为 \(k\)。设 \(f : Y \to X\) 为有限态射，并且存在稠密开集 \(U \subset X\)，使得 \(f\) 在其上为闭浸入。则 \[\dim_k H^1(X, \mathcal{O}_X) \geq \dim_k H^1(Y, \mathcal{O}_Y)\]

证明

考察正合列 \[0 \to \mathcal{G} \to \mathcal{O}_X \to f_*\mathcal{O}_Y \to \mathcal{F} \to 0\] ，它由 \(X\) 上的凝聚层组成。由假设，\(\mathcal{F}\) 支撑在有限多个闭点上，因而高次上同调消失（《簇》，引理 0AYT）。另一方面，由《上同调》，命题 02UZ 有 \(H^2(X, \mathcal{G}) = 0\)。于是形式地可知诱导映射 \(H^1(X, \mathcal{O}_X) \to H^1(X, f_*\mathcal{O}_Y)\) 满射。由于 \(H^1(X, f_*\mathcal{O}_Y) = H^1(Y, \mathcal{O}_Y)\) （《概形的上同调》，引理 089W），引理得证。

引理

设 \(k\) 为域。设 \(X\) 为维数 \(\leq 1\) 的固有概形，其底域为 \(k\)。若 \(X' \to X\) 是双有理固有态射，则 \[\dim_k H^1(X, \mathcal{O}_X) \geq \dim_k H^1(X', \mathcal{O}_{X'})\] 若 \(X\) 约化，映射 \(H^0(X, \mathcal{O}_X) \to H^0(X', \mathcal{O}_{X'})\) 满射，并且等号成立，则 \(X' = X\)。

证明

若 \(f : X' \to X\) 双有理且固有，则它是有限态射，并在某个稠密开集上为同构（见《簇》，引理 0AB7 与 0BFP）。因此不等式来自引理 0CE3。假设 \(X\) 约化。则 \(\mathcal{O}_X \to f_*\mathcal{O}_{X'}\) 为单射，并得到短正合列 \[0 \to \mathcal{O}_X \to f_*\mathcal{O}_{X'} \to \mathcal{F} \to 0\] 在第二个断言的假设下，由上同调长正合列可得 \(H^0(X, \mathcal{F}) = 0\)。于是 \(\mathcal{F} = 0\)，因为 \(\mathcal{F}\) 由整体截面生成（《簇》，引理 0AYT）。并且 \(\mathcal{O}_X = f_*\mathcal{O}_{X'}\)。由于 \(f\) 仿射，这蕴含 \(X = X'\)。

引理

设 \(k\) 为域。设 \(C\) 为 \(k\) 上的固有曲线。置 \(\kappa = H^0(C, \mathcal{O}_C)\)。则 \[[\kappa : k]_s \dim_\kappa H^1(C, \mathcal{O}_C) \geq g_{geom}(C/k)\]

证明

《簇》，引理 04L2 说明 \(\kappa\) 是域，并且是 \(k\) 的有限扩张。由《域》，引理 09HJ，有 \([\kappa : k]_s = |\Mor_k(\kappa, \overline{k})|\)；从而 \(\Spec(\kappa \otimes_k \overline{k})\) 有 \([\kappa : k]_s\) 个点，每个点的剩余域都是 \(\overline{k}\)。因此 \[C_{\overline{k}} = \bigcup\nolimits_{t \in \Spec(\kappa \otimes_k \overline{k})} C_t\] （集合论意义下的并）。这里 \(C_t = C \times_{\Spec(\kappa), t} \Spec(\overline{k})\)，而 \(t\) 被视为 \(k\)-代数映射 \(t : \kappa \to \overline{k}\)。由此得到 \(g_{geom}(C/k) = \sum_t g_{geom}(C_t/\overline{k})\)，且求和指标集的大小为 \([\kappa : k]_s\)。有 \[H^0(C_t, \mathcal{O}_{C_t}) = \overline{k} \quad\text{且}\quad \dim_{\overline{k}} H^1(C_t, \mathcal{O}_{C_t}) = \dim_\kappa H^1(C, \mathcal{O}_C)\] ，这是上同调与基变换的结果（《概形的上同调》，引理 02KH）。注意，正规化 \(C_t^\nu\) 是 \(C_t\) 各不可约分支之非奇异射影模型的不交并（《态射》，引理 0CDV）。因此 \(\dim_{\overline{k}} H^1(C_t^\nu, \mathcal{O}_{C_t^\nu})\) 等于 \(g_{geom}(C_t/\overline{k})\)。由引理 0CE3 有 \[\dim_{\overline{k}} H^1(C_t, \mathcal{O}_{C_t}) \geq \dim_{\overline{k}} H^1(C_t^\nu, \mathcal{O}_{C_t^\nu})\] ，证毕。

引理

设 \(k\) 为域。设 \(X\) 为维数 \(\leq 1\) 的固有概形，其底域为 \(k\)。设 \(\ell\) 为在 \(k\) 中可逆的素数。则 \[\dim_{\mathbf{F}_\ell} \Pic(X)[\ell] \leq \dim_k H^1(X, \mathcal{O}_X) + g_{geom}(X/k)\] ，其中 \(g_{geom}(X/k)\) 如上定义。

证明

由《簇》，引理 0CC5，映射 \(\Pic(X) \to \Pic(X_{\overline{k}})\) 为单射。由《概形的上同调》，引理 02KH， \(\dim_k H^1(X, \mathcal{O}_X)\) 等于 \(\dim_{\overline{k}} H^1(X_{\overline{k}}, \mathcal{O}_{X_{\overline{k}}})\)。因此可假设 \(k\) 代数闭。

设 \(X_{red}\) 为 \(X\) 的约化。则满射 \(\mathcal{O}_X \to \mathcal{O}_{X_{red}}\) 诱导满射 \(H^1(X, \mathcal{O}_X) \to H^1(X, \mathcal{O}_{X_{red}})\) ，因为由《上同调》，命题 02UZ，拟凝聚层的上同调在次数 \(\geq 2\) 时消失。由于 \(X_{red} \to X\) 在 \(\overline{k}\) 上的不可约分支之间诱导同构，并在 Picard 群的 \(\ell\)-挠子群上诱导同构（《曲线的 Picard 概形》，引理 0CD5），可以把 \(X\) 替换为 \(X_{red}\)。这样就归约到命题 0C20。

结点曲线

我们已经定义了代数闭域上的普通二重点；见定义 0C1W。具体地，若 \(x \in X\) 是某个 \(1\) 维代数概形的闭点，而该概形定义在代数闭域 \(k\) 上，则 \(x\) 为普通二重点当且仅当 \[\mathcal{O}_{X, x}^\wedge \cong k[[x, y]]/(xy)\] 见式 (0C1U) 及节 0C1P 中其后的讨论。

定义

设 \(k\) 为域。设 \(X\) 为 \(1\) 维局部代数 \(k\)-概形。

称闭点 \(x \in X\) 是结点或普通二重点，也称它定义了结点奇点，如果存在普通二重点 \(\overline{x} \in X_{\overline{k}}\) 映到 \(x\)。

称\(X\) 的奇点至多为结点型，如果 \(X\) 的每个闭点或者位于结构态射 \(X \to \Spec(k)\) 的光滑轨迹中，或者是普通二重点。

若 \(1\) 维代数概形 \(X\) 的奇点至多为结点型，通常就称 \(X\) 为 结点曲线。有时还要求结点曲线固有。按此方式定义的结点曲线未必不可约，因此这与我们先前把曲线定义为维数为 \(1\) 的簇相冲突。

引理

设 \((A, \mathfrak m)\) 为维数 \(2\) 的正则局部环，并设 \(I \subset \mathfrak m\) 为理想。

若 \(A/I\) 约化，则 \(I = (0)\)、\(I = \mathfrak m\)，或者 \(I = (f)\)，其中 \(f \in \mathfrak m\) 非零。

若 \(A/I\) 的深度为 \(1\)，则 \(I = (f)\)，其中非零 \(f \in \mathfrak m\)。

证明

假设 \(I \not = 0\)。写成 \(I = (f_1, \ldots, f_r)\)。由于 \(A\) 是唯一分解整环（《代数补篇》，引理 0AG0），可写成 \(f_i = fg_i\)，其中 \(f\) 是 \(f_1, \ldots, f_r\) 的最大公因子。所以 \(g_1, \ldots, g_r\) 的最大公因子为 \(1\)，这意味着不存在高度 \(1\) 的素理想包含 \(g_1, \ldots, g_r\)。于是或者 \((g_1, \ldots, g_r) = A\)，从而 \(I = (f)\)；或者不是如此，此时 \(\dim(A) = 2\) 蕴含 \(V(g_1, \ldots, g_r) = \{\mathfrak m\}\), i.e., \(\mathfrak m = \sqrt{(g_1, \ldots, g_r)}\).

假设 \(A/I\) 约化，即 \(I\) 为根理想。若 \(f\) 是单位，则由 \(I\) 为根理想可知 \(I = \mathfrak m\)。若 \(f \in \mathfrak m\)，则 \(f^n\) 在 \(A/I\) 中的像为零。由约化性得到 \(f \in I\)，故 \(I = (f)\)。

假设 \(A/I\) 的深度为 \(1\)。则 \(\mathfrak m\) 不是 \(A/I\) 的伴随素理想。由于 \(f\) 模 \(I\) 的类被 \(g_1, \ldots, g_r\) 零化，可知 \(f\) 的类在 \(A/I\) 中为零。因此按要求有 \(I = (f)\)。

设 \(\kappa\) 为域，\(V\) 为 \(\kappa\) 上的向量空间。称 \(q \in \text{Sym}^2_\kappa(V)\) 非退化，如果诱导的 \(\kappa\)-线性映射 \(V^\vee \to V\) 为同构。若 \(q = \sum_{i \leq j} a_{ij} x_i x_j\) 对某个 \(\kappa\)-基 \(x_1, \ldots, x_n\) 成立，而该基属于 \(V\)，则这意味着下列矩阵的行列式 \[\left( \begin{matrix} 2a_{11} & a_{12} & \ldots \\ a_{12} & 2a_{22} & \ldots \\ \ldots & \ldots & \ldots \end{matrix} \right)\] 非零。这等价于如下条件：\(q\) 关于 \(x_i\) 的各偏导数在概形论意义下截出 \(0\)。

引理

设 \(k\) 为域。设 \((A, \mathfrak m, \kappa)\) 为 Noether 局部 \(k\)-代数。下列条件等价：

\(\kappa/k\) 可分，\(A\) 约化， \(\dim_\kappa(\mathfrak m/\mathfrak m^2) = 2\)，并且存在非退化元素 \(q \in \text{Sym}^2_\kappa(\mathfrak m/\mathfrak m^2)\) ，它在 \(\mathfrak m^2/\mathfrak m^3\) 中映为零；

\(\kappa/k\) 可分，\(\text{depth}(A) = 1\)， \(\dim_\kappa(\mathfrak m/\mathfrak m^2) = 2\)，并且存在非退化元素 \(q \in \text{Sym}^2_\kappa(\mathfrak m/\mathfrak m^2)\) ，它在 \(\mathfrak m^2/\mathfrak m^3\) 中映为零；

\(\kappa/k\) 可分，并且 \(A^\wedge \cong \kappa[[x, y]]/(ax^2 + bxy + cy^2)\) 为 \(k\)-代数同构，其中 \(ax^2 + bxy + cy^2\) 是 \(\kappa\) 上的非退化二次型。

证明

假设 (3) 成立。则 \(A^\wedge\) 约化，因为 \(ax^2 + bxy + cy^2\) 或者不可约，或者是两个不相伴素元的乘积。因此 \(A \subset A^\wedge\) 约化，从而 (1) 成立。

假设 (1) 成立。\(A\) 不可能是 Artin 环，否则由 \(\mathfrak m \not = (0)\) 可知它不约化。因此 \(\dim(A) \geq 1\)；再由《代数》，引理 031R 得到 \(\text{depth}(A) \geq 1\)。另一方面，\(\dim(A) = 2\) 蕴含 \(A\) 正则；由《代数》，引理 00NO，这与 \(q\) 的存在矛盾。所以 \(\dim(A) \leq 1\)；再由《代数》，引理 00LK 得到 \(\text{depth}(A) = 1\)。故 (2) 成立。

假设 (2) 成立。\(A\) 的深度与 \(A^\wedge\) 的深度相同（《代数补篇》，引理 07NW），而其余条件不受完备化影响，因此可假设 \(A\) 完备。按《代数补篇》，引理 0C34 选取 \(\kappa \to A\)。由于 \(\dim_\kappa(\mathfrak m/\mathfrak m^2) = 2\)，可以选取 \(x_0, y_0 \in \mathfrak m\)，使其像构成一组基。得到连续 \(\kappa\)-代数映射 \[\kappa[[x, y]] \longrightarrow A\] ，其规则为 \(x \mapsto x_0\) 与 \(y \mapsto y_0\)。设 \(q\) 是 \(ax_0^2 + bx_0y_0 + cy_0^2\) 在 \(\text{Sym}^2_\kappa(\mathfrak m/\mathfrak m^2)\) 中的类。把 \(Q(x, y) = ax^2 + bxy + cy^2\) 视为二元多项式。于是 \[Q(x_0, y_0) = ax_0^2 + bx_0y_0 + cy_0^2 = \sum\nolimits_{i + j = 3} a_{ij} x_0^iy_0^j\] ，其中某些 \(a_{ij}\) 属于 \(A\)。我们要证明，可以通过改变 \(x_0\)、\(y_0\) 的选取来提高消没阶。假设 \(x_1, y_1 \in \mathfrak m^2\)。则 \[Q(x_0 + x_1, y_0 + y_1) = Q(x_0, y_0) + (2ax_0 + by_0)x_1 + (bx_0 + 2cy_0)y_1 \bmod \mathfrak m^4\] 由引理之前的讨论，\(Q\) 非退化恰好意味着 \(2ax_0 + by_0\) 与 \(bx_0 + 2cy_0\) 是一组 \(\kappa\)-基；它是 \(\mathfrak m/\mathfrak m^2\) 的基。因此当然可以选取 \(x_1, y_1 \in \mathfrak m^2\)，使得 \(Q(x_0 + x_1, y_0 + y_1) \in \mathfrak m^4\). 如此归纳下去，可以找到 \(x_i, y_i \in \mathfrak m^{i + 1}\)，使得 \[Q(x_0 + x_1 + \ldots + x_n, y_0 + y_1 + \ldots + y_n) \in \mathfrak m^{n + 3}\] 由于 \(A\) 完备，可以置 \(x_\infty = \sum x_i\) 以及 \(y_\infty = \sum y_i\)，并考察映射 \(\kappa[[x, y]] \longrightarrow A\)，它把 \(x\) 映到 \(x_\infty\)，把 \(y\) 映到 \(y_\infty\)。由《代数》，引理 0315，该映射诱导满射 \(\kappa[[x, y]]/(Q) \longrightarrow A\)。由引理 0C48， \(k[[x, y]] \to A\) 的核为主理想。但该核不能包含 \(Q\) 的真因子，因为这样的因子的次数将为 \(1\)，所用变量为 \(x, y\)；这与 \(\dim(\mathfrak m/\mathfrak m^2) = 2\) 矛盾。因此按要求，\(Q\) 生成该核。

引理

设 \(k\) 为域。设 \((A, \mathfrak m, \kappa)\) 为 Nagata 局部 \(k\)-代数。下列条件等价：

\(k \to A\) 如引理 0C49 所述；

\(\kappa/k\) 可分，\(A\) 约化且维数为 \(1\)， \(\delta\)-不变量在 \(A\) 上为 \(1\)，并且 \(A\) 有 \(2\) 个几何分支。

若这些条件成立，则整闭包 \(A'\)（即 \(A\) 在其全分式环中的整闭包）有 \(1\) 个或 \(2\) 个极大理想 \(\mathfrak m'\)，而扩张 \(\kappa(\mathfrak m')/k\) 可分。

证明

在两种条件下，\(A\) 与 \(A^\wedge\) 都约化。在情形 (2) 中，这是因为约化 Nagata 局部环的完备化约化（《代数补篇》，引理 07NZ）。在两种条件下， \(A\) 与 \(A^\wedge\) 的维数都是 \(1\)（《代数补篇》，引理 07NV）。由《簇》，引理 0C3W 以及《代数补篇》，引理 0C2D， \(\delta\)-不变量以及 \(A\) 与 \(A^\wedge\) 的几何分支数都相同。按《簇》，引理 0C3S，设 \(A'\) 为 \(A\) 在其全分式环中的整闭包。由《簇》，引理 0C3V， \(A' \otimes_A A^\wedge\) 对 \(A^\wedge\) 扮演同一角色。因此可以把 \(A\) 替换为 \(A^\wedge\)，并假设 \(A\) 完备。

假设 (1) 成立。只需证明 \(A\) 有两个几何分支且 \(\delta\)-不变量为 \(1\)。可以假设 \(A = \kappa[[x, y]]/(ax^2 + bxy + cy^2)\)，其中 \(q = ax^2 + bxy + cy^2\) 非退化。分两种情形。

情形 I：\(q\) 在 \(\kappa\) 上分裂。改变坐标后，可假设 \(q = xy\)。于是 \[A' = \kappa[[x, y]]/(x) \times \kappa[[x, y]]/(y)\]

情形 II：\(q\) 不分裂。此时 \(c \not = 0\)，而非退化意味着 \(b^2 - 4ac \not = 0\)。因此 \(\kappa' = \kappa[t]/(a + bt + ct^2)\) 是次数为 \(2\) 的可分扩张，其底域为 \(\kappa\)。于是 \(t = y/x\) 在 \(A\) 上整，并得到 \[A' = \kappa'[[x]]\] ，其中 \(y\) 在右端映到 \(tx\)。

在两种情形下，直接验证可知 \(\delta\)-不变量为 \(1\)，几何分支数为 \(2\)。由此可见 (1) 蕴含 (2)。此外也得到引理最后一个断言。

假设 (2) 成立。由《代数补篇》，引理 0C37，\(A'\) 或者有两个极大理想，或者 \(A'\) 有一个极大理想，且 \([\kappa(\mathfrak m') : \kappa]_s = 2\)。

情形 I：\(A'\) 有两个极大理想 \(\mathfrak m'_1\)、\(\mathfrak m'_2\)，其剩余域分别为 \(\kappa_1\)、\(\kappa_2\)。由于 \(\delta\)-不变量等于 \(A'/A\) 的长度，并且存在满射 \(A'/A \to (\kappa_1 \times \kappa_2)/\kappa\)，可知 \(\kappa = \kappa_1 = \kappa_2\)。由于 \(A\) 完备（并且由《代数》，引理 04GM 可知它 Hensel），而 \(A'\) 在 \(A\) 上有限，可知 \(A' = A_1 \times A_2\) （由《代数》，引理 04GH）。由于 \(A'\) 为正规环，\(A_1\) 与 \(A_2\) 都是离散赋值环。因此由《代数补篇》，引理 0C35， \(A_1\) 与 \(A_2\) 都同构于 \(\kappa[[t]]\)（作为 \(k\)-代数）。由于 \(\delta\)-不变量为 \(1\)，可知 \(A\) 是 \(A_1\) 与 \(A_2\) 的楔和（《簇》，定义 0C41）。容易得到 \(A \cong \kappa[[x, y]]/(xy)\)。

情形 II：\(A'\) 只有一个极大理想 \(\mathfrak m'\)，其剩余域为 \(\kappa'\)，且 \([\kappa' : \kappa]_s = 2\)。完全照情形 I 的论证，可知 \([\kappa' : \kappa] = 2\)，并且 \(\kappa'\) 在 \(\kappa\) 上可分。由于 \(A'\) 正规，可知 \(A'\) 同构于 \(\kappa'[[t]]\) （见上面的引文）。由于 \(A'/A\) 的长度为 \(1\)，得到 \[A = \{f \in \kappa'[[t]] \mid f(0) \in \kappa\}\] 于是简单计算表明 \(A\) 如情形 (1) 所述。

引理

设 \(k\) 为域。设 \(A = k[[x_1, \ldots, x_n]]\)，并设 \(I = (f_1, \ldots, f_m) \subset A\) 为理想。对任意 \(r \geq 0\)， \(A/I\) 中由 \(r \times r\) 子式生成的理想（这些子式来自矩阵 \((\partial f_j/\partial x_i)\)），与 \(I\) 的生成元以及正则参数系 \(x_1, \ldots, x_n\) 的选取无关；该参数系属于 \(A\)。

证明

此引理的“正确”证明是说明该理想为一个连续微分模的第 \((n - r)\) 个 Fitting 理想；该模属于 \(A/I\) 相对于 \(k\)。下面给出直接证明。若 \(g_1, \ldots g_l\) 是 \(I\) 的另一组生成元，则可写成 \(g_s = \sum a_{sj}f_j\)，并有矩阵等式 \[(\partial g_s/\partial x_i) = (a_{sj}) (\partial f_j/\partial x_i) + (\partial a_{sj}/\partial x_i f_j)\] 最后一项在 \(A/I\) 中为零。由 Cauchy–Binet 公式，\(g_s\) 所对应的子式理想包含于 \(f_j\) 所对应的理想。由对称性，两理想相同。若 \(y_1, \ldots, y_n \in \mathfrak m_A\) 是另一组正则参数系，则矩阵 \((\partial y_j/\partial x_i)\) 可逆，此时可使用微分的链式法则。略去若干细节。

引理

设 \(k\) 为域。设 \(A = k[[x_1, \ldots, x_n]]\)，并设 \(I = (f_1, \ldots, f_m) \subset \mathfrak m_A\) 为理想。下列条件等价：

\(k \to A/I\) 如引理 0C49 所述；

\(A/I\) 约化，并且各 \((n - 1) \times (n - 1)\) 子式（来自矩阵 \((\partial f_j/\partial x_i)\)）生成 \(I + \mathfrak m_A\)；

\(\text{depth}(A/I) = 1\)，并且各 \((n - 1) \times (n - 1)\) 子式（来自矩阵 \((\partial f_j/\partial x_i)\)）生成 \(I + \mathfrak m_A\)。

证明

由引理 0C4B，证明中可以改变坐标系以及生成元的选取。

若 (1) 成立，则可改变坐标，使得 \(x_1, \ldots, x_{n - 2}\) 在 \(A/I\) 中映为零，并且 \(A/I = k[[x_{n - 1}, x_n]]/(a x_{n - 1}^2 + b x_{n - 1}x_n + c x_n^2)\) ，其中 \(a x_{n - 1}^2 + b x_{n - 1}x_n + c x_n^2\) 是某个非退化二次型。直接计算即可证明 (2) 与 (3) 均成立。

假设矩阵的各 \((n - 1) \times (n - 1)\) 子式（该矩阵为 \((\partial f_j/\partial x_i)\)）生成 \(I + \mathfrak m_A\)。假设对某个 \(i\) 与 \(j\)，偏导数 \(\partial f_j/\partial x_i\) 是 \(A\) 中的单位。此时可使用参数系 \(f_j, x_1, \ldots, x_{i - 1}, \hat x_i, x_{i + 1}, \ldots, x_n\) 以及生成元 \(f_j, f_1, \ldots, f_{j - 1}, \hat f_j, f_{j + 1}, \ldots, f_m\) 来生成 \(I\)。于是得到正则参数系 \(x_1, \ldots, x_n\)，以及生成元 \(x_1, f_2, \ldots, f_m\)；它们生成 \(I\)。接着寻找满足 \(i \geq 2\) 与 \(j \geq 2\) 的指标，使 \(\partial f_j/\partial x_i\) 是 \(A\) 中的单位。若存在这样的指标对，则可作上述替换，并假设有正则参数系 \(x_1, \ldots, x_n\)，以及生成元 \(x_1, x_2, f_3, \ldots, f_m\)；它们生成 \(I\)。继续进行，有限步后达到如下情形：存在正则参数系 \(x_1, \ldots, x_n\)，以及生成元 \(x_1, \ldots, x_t, f_{t + 1}, \ldots, f_m\)；它们生成 \(I\)，并且 \(\partial f_j/\partial x_i \in \mathfrak m_A\) 对所有 \(i, j \geq t + 1\) 都成立。

此时偏导数组成的矩阵具有如下分块形状： \[\left( \begin{matrix} I_{t \times t} & * \\ 0 & \mathfrak m_A \end{matrix} \right)\] 因此每个 \((n - 1) \times (n - 1)\) 子式都属于 \(\mathfrak m_A^{n - 1 - t}\)。注意，\(I \not = \mathfrak m_A\)，否则子式理想将包含 \(1\)。由此 \(n - 1 - t \leq 1\)，因为存在 \(\mathfrak m_A \setminus \mathfrak m_A^2 + I\) 中的元素（否则由 Nakayama 有 \(I = \mathfrak m_A\)）。因此 \(t \geq n - 2\)。上面已经看到 \(t \not = n\)；类似地，若 \(t = n - 1\)，则存在可逆的 \((n - 1) \times (n - 1)\) 子式，这同样不允许。因此 \(t = n - 2\)。于是 \(A/I\) 是 \(k[[x_{n - 1}, x_n]]\) 的商。引理 0C48 说明，在情形 (2) 与 (3) 中，\(I\) 都由 \(x_1, \ldots, x_{n - 2}, f\) 生成，其中 \(f = f(x_{n - 1}, x_n)\)。此时关于子式的条件恰好说明 \(f\) 的二次项非退化，即 \(A/I\) 如引理 0C49 所述。

引理

设 \(k\) 为域。设 \(X\) 为 \(1\) 维代数 \(k\)-概形，并设 \(x \in X\) 为闭点。下列条件等价：

\(x\) 是结点；

\(k \to \mathcal{O}_{X, x}\) 如引理 0C49 所述；

任意 \(\overline{x} \in X_{\overline{k}}\)，若它映到 \(x\)，就定义结点奇点；

\(\kappa(x)/k\) 可分，\(\mathcal{O}_{X, x}\) 约化，并且 \(\Omega_{X/k}\) 的第一 Fitting 理想生成 \(\mathfrak m_x\)；这一生成发生在 \(\mathcal{O}_{X, x}\) 中；

\(\kappa(x)/k\) 可分，\(\text{depth}(\mathcal{O}_{X, x}) = 1\)，并且 \(\Omega_{X/k}\) 的第一 Fitting 理想生成 \(\mathfrak m_x\)；这一生成发生在 \(\mathcal{O}_{X, x}\) 中；

\(\kappa(x)/k\) 可分，并且 \(\mathcal{O}_{X, x}\) 约化，其 \(\delta\)-不变量为 \(1\)，且有 \(2\) 个几何分支。

证明

先假设 \(k\) 代数闭。此时 (1) 与 (3) 的等价性显然。 (1)、(3) 与 (2) 等价，因为二元非退化二次型在坐标变换下只有 \(xy\) 一种。(1) 与 (6) 的等价性就是引理 0C1V。把 \(X\) 替换为 \(x\) 的一个仿射邻域后，可假设存在闭浸入 \(X \to \mathbf{A}^n_k\)，它把 \(x\) 映到 \(0\)。设 \(f_1, \ldots, f_m \in k[x_1, \ldots, x_n]\) 是理想 \(I\) 的生成元；该理想定义 \(X\) 在 \(\mathbf{A}^n_k\) 中的嵌入。此时 \(\Omega_{X/k}\) 对应于 \(R = k[x_1, \ldots, x_n]/I\)-模 \(\Omega_{R/k}\)，后者有展示 \[R^{\oplus m} \xrightarrow{(\partial f_j/\partial x_i)} R^{\oplus n} \to \Omega_{R/k} \to 0\] （见《代数》，节 00RM 与 00S0.) 因此 \(\Omega_{R/k}\) 的第一 Fitting 理想就是由 \((n - 1) \times (n - 1)\) 子式生成的理想；这些子式来自矩阵 \((\partial f_j/\partial x_i)\)。把引理 0C4C 用于 \(k[x_1, \ldots, x_n] \to R\) 在极大理想 \((x_1, \ldots, x_n)\) 处的完备化，即知 (2)、(4)、(5) 等价。

现在假设 \(k\) 为任意域。在情形 (2)、(4)、(5)、(6) 中，剩余域 \(\kappa(x)\) 在 \(k\) 上可分。我们来证明情形 (1)、(3) 也具有这一性质。设 \(Z \subset X\) 为 \(X\) 的闭子概形，它由 \(\Omega_{X/k}\) 的第一 Fitting 理想定义。\(Z\) 的形成与域扩张交换（《除子》，引理 0C3I）。若 (1) 或 (3) 成立，则存在一点 \(\overline{x}\)；它属于 \(X_{\overline{k}}\)，并且 \(\overline{x}\) 是重数为 \(1\) 的孤立点，所在概形为 \(Z_{\overline{k}}\)（因为在 \(\overline{k}\) 上，引理的各条件等价）。特别地，\(Z_{\overline{x}}\) 在 \(\overline{x}\) 处几何约化（因为 \(\overline{k}\) 代数闭）。所以 \(Z\) 在 \(x\) 处几何约化（《簇》，引理 0384）。特别地， \(Z\) 在 \(x\) 处约化，因而 \(Z = \Spec(\kappa(x))\) 在 \(x\) 的一个邻域中成立，并且 \(\kappa(x)\) 在 \(k\) 上几何约化。这意味着 \(\kappa(x)/k\) 可分（《代数》，引理 030W）。

上一段的论证表明，若 (1) 或 (3) 成立，则 \(\Omega_{X/k}\) 的第一 Fitting 理想生成 \(\mathfrak m_x\)。由于 \(\mathcal{O}_{X, x} \to \mathcal{O}_{X_{\overline{k}}, \overline{x}}\) 平坦，并且 \(\mathcal{O}_{X_{\overline{k}}, \overline{x}}\) 约化且深度为 \(1\)，可知 (4) 与 (5) 成立（使用《代数》，引理 033F 与 0337). 反过来，由《代数》，引理 031R， (4) 蕴含 (5)。若 (5) 成立，则 \(Z\) 在 \(x\) 处几何约化（因为 \(\kappa(x)/k\) 可分，并且在一个邻域中 \(Z\) 就是 \(x\)）。所以 \(Z_{\overline{k}}\) 在任意点 \(\overline{x}\) 处约化；该点属于 \(X_{\overline{k}}\) 且位于 \(x\) 上方。换言之， \(\Omega_{X_{\overline{k}}/\overline{k}}\) 的第一 Fitting 理想生成 \(\mathfrak m_{\overline{x}}\)；这一生成发生在 \(\mathcal{O}_{X_{\overline{k}, \overline{x}}}\) 中。此外，由于 \(\mathcal{O}_{X, x} \to \mathcal{O}_{X_{\overline{k}}, \overline{x}}\) 平坦，可知 \(\text{depth}(\mathcal{O}_{X_{\overline{k}}, \overline{x}}) = 1\) （见上面的引文）。因此 (5) 对 \(\overline{x} \in X_{\overline{k}}\) 成立，从而 (3) 成立（使用代数闭域上各条件的等价性）。由此可见 (1)、(3)、(4)、(5) 等价。

(2) 与 (6) 的等价性来自引理 0C4A。

最后证明 (2) \(=\) (6) 与 (1) \(=\) (3) \(=\) (4) \(=\) (5) 等价。首先，由《簇》，引理 0C40， \(X\) 在 \(x\) 处的几何分支数等于 \(X_{\overline{k}}\) 在 \(\overline{x}\) 处的几何分支数。根据目前已有的信息可知，在所有情形中这个数都等于 \(2\)。另一方面，在情形 (1) 中，\(X\) 显然在 \(x\) 处几何约化，因而 \[\delta\text{-invariant of }X\text{ 在 }x \leq \delta\text{-invariant of }X_{\overline{k}}\text{ 在 }\overline{x}\] ，这来自《簇》，引理 0C3X。在情形 (1) 中，右端为 \(1\)，这迫使 \(\delta\)-不变量（对 \(X\) 在 \(x\) 处而言）为 \(1\)（因为若其为零，则由《簇》，引理 0C3U， \(\mathcal{O}_{X, x}\) 将是离散赋值环，因而单分支，矛盾）。所以 (5) 成立。反过来，若 (2) \(=\) (5) 成立，则《簇》，引理 0C3P 的假设 (a)、(b)、(c) 由引理 0C4A 可知对 \(x \in X\) 成立。因此《簇》，引理 0C3Y 适用，并说明上述不等式中等号成立。由此可知 (5) 对 \(\overline{x} \in X_{\overline{k}}\) 成立；再由代数闭域上各条件的等价性，回到情形 (1)。

注

设 \(k\) 为域。设 \((A, \mathfrak m, \kappa)\) 为 Noether 局部 \(k\)-代数。假设 \((A, \mathfrak m, \kappa)\) 如引理 0C49 所述，或者 \(A\) 为引理 0C4A 所述的 Nagata 环，或者 \(A\) 完备且如引理 0C4C 所述。则 \(A\) 按如下方式典范地定义次数为 \(2\) 的可分 \(\kappa\)-代数 \(\kappa'\)：

设 \(q = ax^2 + bxy + cy^2\) 为引理 0C49 所述的非退化二次型，并选取坐标 \(x, y\) 使 \(a \not = 0\)，再置 \(\kappa' = \kappa[x]/(ax^2 + bx + c)\),

设 \(A' \supset A\) 为 \(A\) 在其全分式环中的整闭包，并置 \(\kappa' = A'/\mathfrak m A'\)；或者

令 \(\kappa'\) 为满足下式的 \(\kappa\)-代数： \(\text{Proj}(\bigoplus_{n \geq 0} \mathfrak m^n/\mathfrak m^{n + 1}) = \Spec(\kappa')\).

引理 0C4A 的证明已经给出 (1) 与 (2) 的等价性。略去它们与 (3) 的等价性。若 \(X\) 是局部 Noether \(k\)-概形，而 \(x \in X\) 是满足 \(\mathcal{O}_{X, x} = A\) 的点，则 (3) 表明 \(\Spec(\kappa') = X^\nu \times_X \Spec(\kappa)\)，其中 \(\nu : X^\nu \to X\) 是正规化态射。

注

设 \(k\) 为域。设 \((A, \mathfrak m, \kappa)\) 如评注 0CBT 所述，并设 \(\kappa'/\kappa\) 为相伴的次数为 \(2\) 的可分代数。下列条件等价：

\(\kappa' \cong \kappa \times \kappa\) 为 \(\kappa\)-代数同构；

引理 0C49 中的形式 \(q\) 可选为 \(xy\)；

\(A\) 有两个分支；

引理 0C4A 中的扩张 \(A'/A\) 有两个极大理想；并且

\(A^\wedge \cong \kappa[[x, y]]/(xy)\) 为 \(k\)-代数同构。

这些条件的等价性已在引理 0C4A 的证明中给出。若 \(X\) 是局部 Noether \(k\)-概形，而 \(x \in X\) 满足 \(\mathcal{O}_{X, x} = A\)，则这恰好意味着有两个点 \(x_1, x_2\)；它们属于正规化 \(X^\nu\)，位于 \(x\) 上方，并且 \(\kappa(x) = \kappa(x_1) = \kappa(x_2)\)。

定义

设 \(k\) 为域。设 \(X\) 为 \(1\) 维代数 \(k\)-概形，并设 \(x \in X\) 为闭点。称 \(x\) 为分裂结点，如果 \(x\) 是结点， \(\kappa(x) = k\)，并且评注 0CBU 中的等价断言对 \(A = \mathcal{O}_{X, x}\) 成立。

把关于这一概念已经知道的内容表述为如下必备引理。

引理

设 \(k\) 为域。设 \(X\) 为 \(1\) 维代数 \(k\)-概形，并设 \(x \in X\) 为闭点。下列条件等价：

\(x\) 是分裂结点；

\(x\) 是结点，并且恰有两个点 \(x_1, x_2\)；它们属于正规化 \(X^\nu\)，位于 \(x\) 上方，且 \(k = \kappa(x_1) = \kappa(x_2)\),

\(\mathcal{O}_{X, x}^\wedge \cong k[[x, y]]/(xy)\) 为 \(k\)-代数同构；并且

此处增补更多内容。

证明

这来自评注 0CBU 中的讨论以及引理 0C4D。

引理

设 \(K/k\) 为域扩张。设 \(X\) 为局部代数 \(k\)-概形，其维数为 \(1\)。设 \(y \in X_K\) 为一个点，其像为 \(x \in X\)。以下条件等价：

\(x\) 是 \(X\) 的闭点且为结点；

\(y\) 是 \(Y\) 的闭点且为结点。

证明

若 \(x\) 是 \(X\) 的闭点，则 \(y\) 也是闭点（考察剩余域即可）。但逆命题未必成立；确实，\(Y\) 的一个闭点可能映到 \(X\) 的非闭点。不过在这种情形下，\(y\) 不可能是结点。事实上，此时 \(X\) 在 \(x\) 处几何单分支（因为 \(x\) 将是 \(X\) 的泛点，且 \(\mathcal{O}_{X, x}\) 为 Artin 环，而任意 Artin 局部环都几何单分支），所以 \(Y\) 在 \(y\) 处几何单分支（《簇》，引理 0C55）。由引理 0C4D，这意味着 \(y\) 不可能是结点。因此我们可以并且确实假设 \(x\) 与 \(y\) 都是闭点。

选取代数闭包 \(\overline{k}\)、\(\overline{K}\)，以及映射 \(\overline{k} \to \overline{K}\)，它延拓给定映射 \(k \to K\)。利用引理 0C4D 中 (1) 与 (3) 的等价性，可归约到 \(k\) 与 \(K\) 都是代数闭域的情形。在这种情形下，可以像引理 0C4D 的证明那样论证：几何分支数和 \(\delta\)-不变量，对 \(X\) 在 \(x\) 处与对 \(Y\) 在 \(y\) 处相同。另一种论证是选取一个同构 \(k[[x_1, \ldots, x_n]]/(g_1, \ldots, g_m) \to \mathcal{O}_{X, x}^\wedge\) ；按照《簇》，引理 0C52，这是一个 \(k\)-代数同构。由《簇》，引理 0C54，它给出 \(K[[x_1, \ldots, x_n]]/(g_1, \ldots, g_m) \to \mathcal{O}_{Y, y}^\wedge\) 这一 \(K\)-代数同构。根据定义，我们必须证明 \[k[[x_1, \ldots, x_n]]/(g_1, \ldots, g_m) \cong k[[s, t]]/(st)\] 当且仅当 \[K[[x_1, \ldots, x_n]]/(g_1, \ldots, g_m) \cong K[[s, t]]/(st)\] 。我们鼓励读者自行证明这一点。由于 \(k\) 与 \(K\) 都是代数闭域，这等价于要求这些环满足引理 0C49 中的条件。借助引理 0C4C，它转化为关于 \((n - 1) \times (n - 1)\) 阶子式的陈述；这些子式来自矩阵 \((\partial g_j/\partial x_i)\)，且该陈述显然与所用的域无关。细节从略。

引理

设 \(k\) 为域。设 \(X\) 为局部代数 \(k\)-概形，其维数为 \(1\)。设 \(Y \to X\) 为 étale 态射，且 \(y \in Y\) 为一个像等于 \(x \in X\) 的点。以下条件等价：

\(x\) 是 \(X\) 的闭点且为结点；

\(y\) 是 \(Y\) 的闭点且为结点。

证明

由引理 0C56，我们可以基变换到 \(k\) 的代数闭包。此时 \(x\) 与 \(y\) 的剩余域都是 \(k\)。所以映射 \(\mathcal{O}_{X, x}^\wedge \to \mathcal{O}_{Y, y}^\wedge\) 是同构（例如见《Étale 态射》，引理 039M，或《代数进阶》，引理 0AGX）。故结论显然。

引理

设 \(k'/k\) 为有限可分域扩张。设 \(X\) 为局部代数 \(k'\)-概形，其维数为 \(1\)。并设 \(x \in X\) 为闭点。以下条件等价：

\(x\) 是结点；

\(x\) 是结点，其中将 \(X\) 视为局部代数 \(k\)-概形。

证明

这立即来自引理 0C4D 对结点的刻画。

引理

设 \(k\) 为域。设 \(X\) 为局部代数 \(k\)-概形，等维且维数为 \(1\)。以下条件等价：

\(X\) 的奇点至多为结点；

\(X\) 在 \(k\) 上为局部完全交，并且闭子概形 \(Z \subset X\) 由 \(\Omega_{X/k}\) 的第一 Fitting 理想截出，且在 \(k\) 上非分歧。

证明

我们强烈建议读者自行寻找本引理的证明；下面只是把先前的结果拼合起来，反而可能掩盖真正发生的事情。

假设 (2)。由于 \(Z \to \Spec(k)\) 是拟有限的（《态射》，引理 02V5），由《态射》，引理 01TG，点 \(x \in Z\) 的剩余域是 \(k\) 的有限扩张（并且可分）。因此由《态射》，引理 01TE，每个 \(x \in Z\) 都是 \(X\) 的闭点。由《代数》，引理 00SB，局部环 \(\mathcal{O}_{X, x}\) 是 Cohen–Macaulay 环。根据维数理论， \(\dim(\mathcal{O}_{X, x}) = 1\)（《簇》，节 06LF），故 \(\text{depth}(\mathcal{O}_{X, x})) = 1\)。由引理 0C4D，\(x\) 是结点。若 \(x \in X\) 且 \(x \not \in Z\)，则由《除子》，引理 0C3K， \(X \to \Spec(k)\) 在 \(x\) 处光滑。

假设 (1)。在此假设下，\(X\) 在每个闭点处几何约化（见《簇》，引理 0384）。因此由《簇》，引理 056V， \(X \to \Spec(k)\) 在一个稠密开集上光滑。于是 \(Z\) 是闭的，并且仅由闭点组成。由《除子》，引理 0C3K，态射 \(X \setminus Z \to \Spec(k)\) 光滑。因此由《态射》，引理 01VD 以及《态射》，定义 01UC 中对局部完全交的定义， \(X \setminus Z\) 是局部完全交。由引理 0C4D，对每个点 \(x \in Z\)，局部环 \(\mathcal{O}_{Z, x}\) 等于 \(\kappa(x)\)，且 \(\kappa(x)\) 在 \(k\) 上可分。所以 \(Z \to \Spec(k)\) 非分歧（《态射》，引理 02G7）。最后，引理 0C4D 结合引理 0C49 的 (3) 说明 \(\mathcal{O}_{X, x}\) 是《除幂代数》，定义 09Q3 意义下的完全交。不过，《除幂代数》，引理 09Q6 与《态射》，引理 01UG 说明，这与定义域上局部完全交概形时所用的概念一致。证明完成。

引理

设 \(k\) 为域。设 \(X\) 为局部代数 \(k\)-概形，等维且维数为 \(1\)，其奇点至多为结点。则 \(X\) 为 Gorenstein 且几何约化。

证明

Gorenstein 断言来自引理 0C4E 和《概形的对偶性》，引理 0BVA。也可以使用如下事实：只需在传到代数闭包后检验（《概形的对偶性》，引理 0C03）；再利用 Noether 局部环为 Gorenstein 当且仅当其完备化为 Gorenstein （《对偶复形》，引理 0BJL）；最后直接证明局部环 \(k[[t]]\) 与 \(k[[x, y]]/(xy)\) 为 Gorenstein。

为证明 \(X\) 几何约化，只需证明 \(X_{\overline{k}}\) 约化（《簇》，引理 020I 和 035X）。但 \(X_{\overline{k}}\) 是代数闭域上的结点曲线。因此 \(X_{\overline{k}}\) 的完备局部环同构于 \(\overline{k}[[t]]\) 或 \(\overline{k}[[x, y]]/(xy)\)；这些环都约化，正合所需。

引理

设 \(k\) 为域。设 \(X\) 为局部代数 \(k\)-概形，等维且维数为 \(1\)，其奇点至多为结点。若 \(Y \subset X\) 是等维且维数为 \(1\) 的约化闭子概形，则

\(Y\) 的奇点至多为结点；

若 \(Z \subset X\) 是 \(X \setminus Y\) 的概形论闭包，则

概形论交 \(Y \cap Z\) 是 \(k\) 的若干有限可分扩张的谱的不交并；

\(Y \cap Z\) 的每个点都是 \(X\) 的结点；

\(Y \to \Spec(k)\) 在 \(Y \cap Z\) 的每个点处光滑。

证明

由于 \(X\) 与 \(Y\) 都约化、等维且维数为 \(1\)，可知 \(Y\) 是 \(X\) 的一部分不可约分支的概形论并（在约化环中，\((0)\) 是诸极小素理想之交）。设 \(y \in Y\) 为闭点。若 \(y\) 位于 \(X \to \Spec(k)\) 的光滑轨迹中，则 \(y\) 位于 \(X\) 的唯一一个不可约分支上，并且 \(Y\) 与 \(X\) 在 \(y\) 的某个开邻域中相同。故 \(Y \to \Spec(k)\) 在 \(y\) 处光滑。若 \(y\) 是 \(X\) 的结点，但仍只位于 \(X\) 的一个不可约分支上，则由同一论证，\(y\) 是 \(Y\) 的结点。假设 \(y\) 位于多于 \(1\) 个不可约分支上，而这些分支属于 \(X\)。由于 \(X\) 在 \(y\) 处的几何分支数为 \(2\)（引理 0C4D），由《性质》，引理 0E20，不可约分支的数目至多为 \(2\)，并且这些分支通过 \(y\)。若 \(Y\) 同时包含这两个分支，则 \(Y = X\) 在 \(y\) 的某个开邻域中再次成立，且 \(y\) 是 \(Y\) 的结点。最后，假设 \(Y\) 只包含其中一个不可约分支。把 \(X\) 替换为 \(x\) 的一个开邻域后，可以假设 \(Y\) 是这两个不可约分支之一，而 \(Z\) 是另一个。再次由《性质》，引理 0E20，可知 \(X\) 在 \(y\) 处有两个分支；也就是说，局部环 \(\mathcal{O}_{X, y}\) 有两个分支，它们分别来自 \(\mathcal{O}_{Y, y}\) 与 \(\mathcal{O}_{Z, y}\)。写成 \(\mathcal{O}_{X, y}^\wedge \cong \kappa(y)[[u, v]]/(uv)\) ，如评注 0CBU 所示。例如由引理 0C4D，域 \(\kappa(y)\) 是 \(k\) 的有限可分扩张。因此，必要时交换 \(u\) 与 \(v\) 的作用后，映射 \(\mathcal{O}_{X, y} \to \mathcal{O}_{Y, Y}\) 的完备化对应于 \(\kappa(y)[[u, v]]/(uv) \to \kappa(y)[[u]]\)，而映射 \(\mathcal{O}_{X, y} \to \mathcal{O}_{Y, Y}\) 的完备化对应于 \(\kappa(y)[[u, v]]/(uv) \to \kappa(y)[[v]]\)。 \(Y \cap Z\) 的概形论交由它们的理想之和截出；该理想之和在完备化中为 \((u, v)\)，即极大理想。因此 (2)(a) 与 (2)(b) 显然。最后，(2)(c) 成立：\(\mathcal{O}_{Y, y}\) 的完备化正则，所以 \(\mathcal{O}_{Y, y}\) 正则（《代数进阶》，引理 07NY）；又因 \(\kappa(y)/k\) 可分，由《代数》，引理 00TV，它在某个开邻域中光滑。

结点曲线族

在 Stacks 项目中，曲线是维数 \(1\) 的不可约簇；但在文献中， “半稳定曲线”或“结点曲线”通常并非不可约，并且常被假设为固有的，尤其是在“半稳定曲线族”“结点曲线族”或“结点族”等说法中。因此，要选取一个既与文献一致又在内部自洽的术语颇为困难。此外，我们实际上想先研究下述引理中引入的概念（该概念在源上是局部的）。

引理

设 \(f : X \to S\) 为概形态射。以下条件等价：

\(f\) 平坦且局部有限表示，每个非空纤维 \(X_s\) 都等维且维数为 \(1\)，并且 \(X_s\) 的奇点至多为结点；

\(f\) 是相对维数为 \(1\) 的 syntomic 态射，并且闭子概形 \(\text{Sing}(f) \subset X\) 由 \(\Omega_{X/S}\) 的第一 Fitting 理想定义，且在 \(S\) 上非分歧。

证明

回忆 \(\text{Sing}(f)\) 的形成与基变换交换，见《除子》，引理 0C3I。于是本引理来自引理 0C4E、《态射》，引理 01UF，以及《态射》，引理 02G8。（我们还使用显然的《态射》，引理 01UK 和 01UL。）

定义

设 \(f : X \to S\) 为概形态射。若 \(f\) 相对维数为 \(1\) 且至多为结点，是指 \(f\) 满足引理 0C59 中的等价条件。

之所以采用这个繁复术语，有以下几个原因⁶。第一，我们要确保这个概念不与文献中的其他概念混淆（见本节引言）。第二，可以设想该概念对较高相对维数态射的若干推广（例如，可以要求态射在 étale 局部是若干至多为结点的态射之复合；也可以要求态射的纤维维数更高，但至多具有普通二重点）。

引理

相对维数为 \(1\) 的光滑态射相对维数为 \(1\) 且至多为结点。

证明

略。

引理

设 \(f : X \to S\) 相对维数为 \(1\) 且至多为结点。则 \(f\) 的任意基变换也具有同一性质。

证明

这是因为 syntomic 态射的基变换仍为 syntomic （《态射》，引理 01UI）；相对维数为 \(1\) 的态射之基变换仍有相对维数 \(1\) （《态射》，引理 02NK）； \(\text{Sing}(f)\) 的形成与基变换交换（《除子》，引理 0C3I）；并且非分歧态射的基变换仍非分歧（《态射》，引理 02GA）。

下面的引理说明，可以在纤维上检验一个态射是否相对维数为 \(1\) 且至多为结点。

引理

设 \(f : X \to S\) 为平坦且局部有限表示的概形态射。则存在极大开子概形 \(U \subset X\)，使得 \(f|_U : U \to S\) 相对维数为 \(1\) 且至多为结点。此外，\(U\) 的形成与任意基变换交换。

证明

由《态射》，引理 02V3，存在这样的开集， \(f\) 在其上为 syntomic。因此可以假设 \(f\) 是 syntomic 态射。特别地，\(f\) 是 Cohen–Macaulay 态射（《概形的对偶性》，引理 0C15 和 0C06）。因此 \(X\) 是若干开闭子概形的不交并，而 \(f\) 在每个子概形上具有给定的相对维数；见《态射》，引理 02NM。这一分解被任意基变换保持；见《态射》，引理 02NK。舍去除一个部分之外的所有部分后，可以假设 \(f\) 是相对维数为 \(1\) 的 syntomic 态射。设 \(\text{Sing}(f) \subset X\) 为 \(\Omega_{X/S}\) 的第一 Fitting 理想定义的闭子概形。存在极大开子概形 \(W \subset \text{Sing}(f)\)，使得 \(W \to S\) 非分歧，并且它的形成与基变换交换（《态射》，引理 0475）。又因为 \(\text{Sing}(f)\) 的形成与基变换交换（《除子》，引理 0C3I），可知 \[U = (X \setminus \text{Sing}(f)) \cup W\] 是 \(X\) 的极大开子概形，使得 \(f|_U : U \to S\) 相对维数为 \(1\) 且至多为结点；并且 \(U\) 的形成与基变换交换。

引理

设 \(f : X \to S\) 相对维数为 \(1\) 且至多为结点。若 \(Y \to X\) 是 étale 态射，则复合 \(g : Y \to S\) 相对维数为 \(1\) 且至多为结点。

证明

注意，\(g\) 是平坦且局部有限表示的，因为它是两个平坦且局部有限表示态射的复合（使用《态射》，引理 02GR、 02GS、 01TR 和 01U7）。因此只需证明纤维的奇点至多为结点。这来自引理 0C57（以及如下事实：étale 态射与光滑态射的复合仍光滑；见《态射》，引理 02GK 和 01VA）。

引理

设 \(S' \to S\) 为概形的 étale 态射。设 \(f : X \to S'\) 相对维数为 \(1\) 且至多为结点。则复合 \(g : X \to S\) 相对维数为 \(1\) 且至多为结点。

证明

注意，\(g\) 是平坦且局部有限表示的，因为它是两个平坦且局部有限表示态射的复合（使用《态射》，引理 02GR、 02GS、 01TR 和 01U7）。因此只需证明 \(g\) 的纤维之奇点至多为结点。这来自引理 0CD6 以及对光滑点的类似结果。

引理

设 \(f : X \to S\) 为概形态射。设 \(\{U_i \to X\}\) 为 étale 覆盖。以下条件等价：

\(f\) 相对维数为 \(1\) 且至多为结点；

每个 \(U_i \to S\) 都相对维数为 \(1\) 且至多为结点。

换言之，相对维数为 \(1\) 且至多为结点这一性质在源上是 étale 局部的。

证明

一个方向已见于引理 0C5C。对另一个方向，注意局部有限表示、平坦，或具有相对维数 \(1\)，都是在源上 étale 局部的性质（《下降》，引理 036N、 036K 和 04NL）。取纤维后，归约到 \(S\) 为某个域的谱的情形。在这种情形下，结论来自引理 0C57（以及光滑性在源上 étale 局部这一事实；见《下降》，引理 036U）。

引理

设 \(f : X \to S\) 为概形态射。设 \(\{U_i \to S\}\) 为 fpqc 覆盖。以下条件等价：

\(f\) 相对维数为 \(1\) 且至多为结点；

每个 \(X \times_S U_i \to U_i\) 都相对维数为 \(1\) 且至多为结点。

换言之，相对维数为 \(1\) 且至多为结点这一性质在靶上是 fpqc 局部的。

证明

一个方向已见于引理 0C5B。对另一个方向，注意局部有限表示、平坦，或具有相对维数 \(1\)，都是在靶上 fpqc 局部的性质（《下降》，引理 02KY、 02L2，以及《态射》，引理 02FY）。取纤维后，归约到 \(S\) 为某个域的谱的情形。在这种情形下，结论来自引理 0C56（以及光滑性在靶上 fpqc 局部这一事实；见《下降》，引理 02VL）。

引理

设 \(S = \lim S_i\) 为一族概形的有向系统之极限，转移态射均为仿射。设 \(0 \in I\)，并设 \(f_0 : X_0 \to Y_0\) 为 \(S_0\) 上的概形态射。假设 \(S_0\)、\(X_0\)、\(Y_0\) 都拟紧且拟分离。设 \(f_i : X_i \to Y_i\) 为 \(f_0\) 到 \(S_i\) 的基变换，并设 \(f : X \to Y\) 为 \(f_0\) 到 \(S\) 的基变换。若

\(f\) 相对维数为 \(1\) 且至多为结点；

\(f_0\) 局部有限表示，

则存在 \(i \geq 0\)，使得 \(f_i\) 相对维数为 \(1\) 且至多为结点。

证明

由《极限》，引理 0C3L，存在 \(i\)，使得 \(f_i\) 为 syntomic。于是 \(X_i = \coprod_{d \geq 0} X_{i, d}\) 是若干开闭子概形的不交并，且 \(X_{i, d} \to Y_i\) 具有相对维数 \(d\)；见《态射》，引理 02K1。根据《态射》，引理 02FY 所给出的纤维维数在基变换下的行为，可知 \(X \to X_i\) 映入 \(X_{i, 1}\)。于是存在 \(i' \geq i\)，使得 \(X_{i'} \to X_i\) 映入 \(X_{i, 1}\)；见《极限》，引理 05F4。因此 \(f_{i'} : X_{i'} \to Y_{i'}\) 是相对维数为 \(1\) 的 syntomic 态射（再次使用《态射》，引理 02FY）。考虑态射 \(\text{Sing}(f_{i'}) \to Y_{i'}\)。我们知道它到 \(Y\) 的基变换非分歧。因此由《极限》，引理 0C4W，增大 \(i'\) 后，态射 \(\text{Sing}(f_{i'}) \to Y_{i'}\) 变为非分歧。证明完成。

引理

设 \(f : T \to S\) 为概形态射。设 \(t \in T\) 的像为 \(s \in S\)。假设

\(f\) 在 \(t\) 处平坦；

\(\mathcal{O}_{S, s}\) 是 Noether 环；

\(f\) 局部有限型；

\(t\) 是纤维 \(T_s\) 的分裂结点。

则存在 \(h \in \mathfrak m_s^\wedge\) 以及同构 \[\mathcal{O}_{T, t}^\wedge \cong \mathcal{O}_{S, s}^\wedge[[x, y]]/(xy - h)\] ，它是 \(\mathcal{O}_{S, s}^\wedge\)-代数同构。

证明

把 \(S\) 替换为 \(\Spec(\mathcal{O}_{S, s})\)，并把 \(T\) 替换为到 \(\Spec(\mathcal{O}_{S, s})\) 的基变换。此时 \(T\) 局部 Noether，因而 \(\mathcal{O}_{T, t}\) 是 Noether 环。置 \(A = \mathcal{O}_{S, s}^\wedge\)、\(\mathfrak m = \mathfrak m_A\)，并置 \(B = \mathcal{O}_{T, t}^\wedge\)。由《代数进阶》，引理 0C4G，\(A \to B\) 平坦。由于 \(\mathcal{O}_{T, t}/\mathfrak m_s \mathcal{O}_{T, t} = \mathcal{O}_{T_s, t}\) ，可知 \(B/\mathfrak m B = \mathcal{O}_{T_s, t}^\wedge\)。由假设 (4) 和引理 0CBW，存在 \(\overline{u}, \overline{v} \in B/\mathfrak m B\)，使得映射 \[(A/\mathfrak m)[[x, y]] \longrightarrow B/\mathfrak m B,\quad x \longmapsto \overline{u}, x \longmapsto \overline{v}\] 为满射，且核为 \((xy)\)。

假设已有 \(n \geq 1\) 以及 \(u, v \in B\)，它们映到 \(\overline{u}, \overline{v}\)，并且 \[u v = h + \delta\] ，其中 \(h \in A\) 且 \(\delta \in \mathfrak m^nB\)。我们断言，存在 \(u', v' \in B\)，满足 \(u - u', v - v' \in \mathfrak m^n B\)，并且 \[u' v' = h' + \delta'\] ，其中 \(h' \in A\) 且 \(\delta' \in \mathfrak m^{n + 1}B\)。为此，写成 \(\delta = \sum f_i b_i\)，其中 \(f_i \in \mathfrak m^n\) 且 \(b_i \in B\)。再写成 \(b_i = a_i + u b_{i, 1} + v b_{i, 2} + \delta_i\) ，其中 \(a_i \in A\)、\(b_{i, 1}, b_{i, 2} \in B\)，且 \(\delta_i \in \mathfrak m B\)。这是可行的，因为 \(B\) 的剩余域等于 \(A\) 的剩余域，并且 \(u\) 与 \(v\) 在 \(B/\mathfrak m B\) 中的像生成极大理想。然后置 \[u' = u - \sum b_{i, 2}f_i,\quad v' = v - \sum b_{i, 1}f_i\] ，得到 \[u'v' = h + \delta - \sum (b_{i, 1}u + b_{i, 2}v)f_i + \sum c_{ij}f_if_j = h + \sum a_if_i + \sum f_i \delta_i + \sum c_{ij}f_if_j\] ，其中某些 \(c_{i, j} \in B\)。因此得到上述形式的等式，其中 \(h' = h + \sum a_if_i\)，且 \(\delta' = \sum f_i \delta_i + \sum c_{ij}f_if_j\)。

作归纳论证，并从任意提升 \(u_1, v_1 \in B\) 开始；它们提升 \(\overline{u}, \overline{v}\)。上一段的结果给出元素序列 \(u_n, v_n \in B\) 以及 \(h_n \in A\)，使得 \(u_n - u_{n + 1} \in \mathfrak m^n B\), \(v_n - v_{n + 1} \in \mathfrak m^n B\), \(h_n - h_{n + 1} \in \mathfrak m^n\), 并且 \(u_n v_n - h_n \in \mathfrak m^n B\)。由于 \(A\) 与 \(B\) 完备，可以置 \(u_\infty = \lim u_n\)、\(v_\infty = \lim v_n\)，以及 \(h_\infty = \lim h_n\)，于是得到 \(u_\infty v_\infty = h_\infty\) 于 \(B\) 中成立。因此有 \(A\)-代数映射 \[A[[x, y]]/(xy - h_\infty) \longrightarrow B\] ，它把 \(x\) 映到 \(u_\infty\)，把 \(v\) 映到 \(v_\infty\)。这是平坦 \(A\)-代数之间的映射，模去 \(\mathfrak m\) 后是同构。它模 \(\mathfrak m\) 为满射，故由完备性和《代数》，引理 0315 可知它是满射。再应用《代数》，引理 00ME，可知它是同构。

引理

设 \(f : X \to S\) 为概形态射。假设

\(f\) 固有；

\(f\) 相对维数为 \(1\) 且至多为结点；

\(f\) 的几何纤维连通。

则 (a) \(f_*\mathcal{O}_X = \mathcal{O}_S\)，且此等式在任意基变换后仍成立；(b) \(R^1f_*\mathcal{O}_X\) 是有限局部自由 \(\mathcal{O}_S\)-模，其形成与任意基变换交换；(c) \(R^qf_*\mathcal{O}_X = 0\) 对 \(q \geq 2\) 成立。

证明

(a) 来自《概形的导出范畴》，引理 0E0L。由《概形的导出范畴》，引理 0E62，在 \(S\) 上局部可以写成 \(Rf_*\mathcal{O}_X = \mathcal{O}_S \oplus P\)，其中 \(P\) 是 Tor 振幅包含于 \([1, \infty)\) 的完美复形。回忆 \(Rf_*\mathcal{O}_X\) 的形成与任意基变换交换（《概形的导出范畴》，引理 0B91）。所以对 \(s \in S\) 有 \[H^i(P \otimes_{\mathcal{O}_S}^\mathbf{L} \kappa(s)) = H^i(X_s, \mathcal{O}_{X_s}) \text{ 对 }i \geq 1\] 。除非 \(i = 1\)，否则该式为零，因为 \(X_s\) 是维数 \(1\) 的 Noether 概形；见《上同调》，命题 02UZ。于是 \(P = H^1(P)[-1]\)，并且 \(H^1(P)\) 有限局部自由，例如由《代数进阶》，引理 0BCD 可知。所有构造都与基变换相容，结论随即成立。

结点曲线族的 Étale 局部结构

考虑概形态射 \[\Spec(\mathbf{Z}[u, v, a]/(uv - a)) \longrightarrow \Spec(\mathbf{Z}[a])\] 下一个引理说明，这个态射是结点曲线族的 étale 局部结构模型。

引理

设 \(f : X \to S\) 为概形态射。假设 \(f\) 相对维数为 \(1\) 且至多为结点。设 \(x \in X\) 是纤维 \(X_s\) 的一个奇点。则存在概形的交换图 \[\xymatrix{ X \ar[d] & U \ar[rr] \ar[l] \ar[rd] & & W \ar[r] \ar[ld] & \Spec(\mathbf{Z}[u, v, a]/(uv - a)) \ar[d] \\ S & & V \ar[ll] \ar[rr] & & \Spec(\mathbf{Z}[a]) }\] 其中 \(X \leftarrow U\)、\(S \leftarrow V\) 与 \(U \to W\) 是 étale 态射，右侧方块是笛卡尔方块，并且存在一个点 \(u \in U\) 映到 \(x\)（在 \(X\) 中）。

证明

首先使用绝对 Noether 逼近，把情形归约到有限型 \(\mathbf{Z}\)-概形。问题在 \(X\) 与 \(S\) 上是局部的，因此可假设 \(X\) 与 \(S\) 都是仿射的。于是可写 \(S = \Spec(R)\)，并把 \(R\) 写成滤过余极限 \(R = \colim R_i\)，其中 \(\mathbf{Z}\)-代数均为有限型。由《极限》，引理 01ZM，可找到 \(i\) 以及 \(f_i : X_i \to \Spec(R_i)\)，其到 \(S\) 的基变换为 \(f\)。增大 \(i\) 后可假设 \(f_i\) 相对维数为 \(1\) 且至多为结点，见引理 0C5F。\(x_i \in X_i\) 是 \(x\) 的像，并且是其纤维的奇点，例如这是因为 \(\text{Sing}(f)\) 的形成与基变换交换（《除子》，引理 0C3I）。若能对 \(f_i : X_i \to S_i\) 与 \(x_i\) 证明本引理，则通过基变换即可得到 \(f : X \to S\) 的结论。因此归约到下一段研究的情形。

假设 \(S\) 在 \(\mathbf{Z}\) 上有限型。设 \(s \in S\) 为 \(x\) 的像。回忆 \(\kappa(x)\) 是 \(\kappa(s)\) 的有限可分扩张，例如因为 \(\text{Sing}(f) \to S\) 非分歧，或者因为 \(x\) 是纤维 \(X_s\) 的结点，从而可应用引理 0C4D。此外，设 \(\kappa'/\kappa(x)\) 为次数为 \(2\) 的、评注 0CBT 中与 \(\mathcal{O}_{X_s, x}\) 相伴的二次可分代数。由《态射进阶》，引理 02LF，可以选取一个 étale 邻域 \((V, v) \to (S, s)\)，使扩张 \(\kappa(v)/\kappa(s)\) 在 \(\kappa(x)/\kappa(s)\) 的情形（即 \(\kappa' \cong \kappa(x) \times \kappa(x)\)）中实现前一扩张，而在扩张 \(\kappa'/\kappa(s)\) 中，若 \(\kappa'\) 为域则实现之。把 \(X\) 替换为 \(X \times_S V\)，把 \(S\) 替换为 \(V\)，就归约到下一段的情形。

假设 \(S\) 在 \(\mathbf{Z}\) 上有限型，且 \(x \in X_s\) 是分裂结点，见定义 0CBV。由引理 0CBX，存在 \(\mathcal{O}_{S, s}\)-代数同构 \[\mathcal{O}_{X, x}^\wedge \cong \mathcal{O}_{S, s}^\wedge[[s, t]]/(st - h)\] ，其中 \(h \in \mathfrak m_s^\wedge \subset \mathcal{O}_{S, s}^\wedge\)。换言之，考虑同态 \[\sigma : \mathbf{Z}[a] \longrightarrow \mathcal{O}_{S, s}^\wedge\] 将 \(a\) 映到 \(h\)，则存在 \(\mathcal{O}_{S, s}\)-代数同构 \[\mathcal{O}_{X, x}^\wedge \longrightarrow \mathcal{O}_{Y_\sigma, y_\sigma}^\wedge\] 其中 \[Y_\sigma = \Spec(\mathbf{Z}[u, v, t]/(uv - a)) \times_{\Spec(\mathbf{Z}[a]), \sigma} \Spec(\mathcal{O}_{S, s}^\wedge)\] 且 \(y_\sigma\) 是 \(Y_\sigma\) 中位于 \(\Spec(\mathcal{O}_{S, s}^\wedge)\) 闭点之上的点，其坐标 \(u, v\) 均为零。由于 \(\mathcal{O}_{S, s}\) 是 G-环（《代数进阶》，命题 07PX），可应用《态射进阶》，引理 0GDX，结论得证。

证明

我们只略述此证明；它由 Mohan Swaminathan 提供，并仿照 [ACG, Proposition X.2.1] 中的论证。与前一个证明不同，本证明使用实际方程。

以与第一个证明完全相同的方式，我们归约到 \(S\) 在 \(\mathbf{Z}\) 上有限型且 \(x \in X_s\) 为分裂结点的情形；见定义 0CBV。由引理 0CBW，存在 \(\kappa(s)\)-代数同构 \[\mathcal{O}_{X_s, x}^\wedge \cong \kappa(s)[[u, v]]/(uv)\] 注意 \(X_s\) 在 \(x\) 处的切空间维数为 \(2\)。因此由《簇》，引理 0CBL，经 Zariski 缩小后可假设存在闭浸入 \(X \to Y\)，该浸入在 \(S\) 上，且 \(Y \to S\) 光滑、相对维数为 \(2\)。由于 \(X\) 按定义是相对维数为 \(1\) 的 syntomic 概形，可知 \(X\) 是 \(Y\) 中的有效 Cartier 除子（见《除子》，引理 067T）。于是缩小 \(Y\) 与 \(X\) 后，可假设 \(Y = \Spec(B)\) 为仿射的，并存在非零因子 \(g \in B\)，使得 \(X = \Spec(B/gB)\)。

写 \(S = \Spec(R)\)，记 \(\mathfrak p \subset R\) 为对应于 \(s\) 的素理想。令 \(\mathfrak q \subset B\) 为对应于 \(x\) 的素理想（视为 \(Y\) 中的点）。有映射 \[B_\mathfrak q / \mathfrak p B_\mathfrak q \longrightarrow B_\mathfrak q / g B_\mathfrak q + \mathfrak p B_\mathfrak q \longrightarrow \kappa(s)[[u, v]]/(uv)\] 其中第二个箭头在完备化后成为同构。把 \(B\) 替换为适当的主元局部化后，可假设存在 \(U, V \in B\)，它们分别映到 \(u\) 与 \(v\)，模去 \((u, v)^2\) 意义下相等。于是 \(B_\mathfrak q/\mathfrak p B_\mathfrak q\) 的完备化是 \(\kappa(s)[[U, V]]\)。此外，缩小 \(Y\) 并以单位乘 \(g\) 后，可假设 \(g\) 映到 \(UV\) 加上 \(\kappa(s)[[U, V]]\) 中的高阶项。再缩小 \(Y\)，还可假设

\(\mathfrak q = \mathfrak pB + (U, V)\)

\(\Omega_{B/R}\) 在 \(\text{d}U\) 与 \(\text{d}V\) 上自由

写 \(\text{d}(g) = g_2 \text{d}U + g_1 \text{d}V\)，其中 \(g_1, g_2 \in B\)。注意，理想 \(J = (g_1, g_2) \subset B\) 与坐标 \(U\)、\(V\) 的选择无关（\(g\) 固定）。模去 \(\mathfrak p B_\mathfrak q + (U, V)^3B_\mathfrak q\) 考察，可知 \(g_1\) 与 \(g_2\) 分别与 \(U\)、\(V\) 同余，模去 \(\mathfrak p B_\mathfrak q + (U, V)^2B_\mathfrak q\)。因此可把上面的论证以 \(U\) 替换为 \(g_1\)、以 \(V\) 替换为 \(g_2\) 重新进行。于是得到 \(J = (U, V)\)，从而 \(g_1, g_2 \in (U, V) = J\)（当然，这里的 \(g_1\) 与 \(g_2\) 与先前坐标选择所得的同名元素不同）。

注意 \(\Spec(B/J) \to S = \Spec(R)\) 在 \(x\) 处 étale。因此把 \(S\) 替换为一个 étale 邻域并再次缩小 \(Y\) 后，可假设 \(R \to B \to B/J\) 是同构。记 \(r \in R\) 为其在 \(B/J\) 中的像等于 \(-g\) 的像的元素。于是可写 \[g + r \equiv a U + b V \bmod (U, V)^2\] 其中 \(a, b \in R\)。利用 \(\text{d}g \in J\Omega_{B/R}\) 求导，可得 \(a = b = 0\)。因此可写 \[g + r = \alpha U^2 + \beta UV + \gamma V^2\] 其中 \(\alpha, \beta, \gamma \in B\)。于是 \(\beta\) 映到 \(1\) 于 \(\kappa(x)\)，而 \(\alpha\) 与 \(\gamma\) 映到 \(0\) 于 \(\kappa(x)\)。所以可假设 \(\beta\) 与 \(\alpha + \beta + \gamma\) 在 \(B\) 中可逆。考虑由下式给出的覆盖 \(Y'\)，它覆盖 \(Y\)： \[Y' = \Spec(B[t]/(t(1 - t) - \alpha \gamma / \beta^2))\] 其中 \(x'\) 是 \(x\) 上满足 \(t = 1\) 的唯一点。注意 \(Y' \to Y\) 在 \(x'\) 处 étale。考虑 \[T_1 = (\alpha + t \beta)U + ((1 - t)\beta + \gamma)V \quad\text{且}\quad T_2 = \frac{(\alpha + (1 - t) \beta)U + (t\beta + \gamma)V}{\alpha + \beta + \gamma}\] 它们属于 \(\Gamma(Y', \mathcal{O}_{Y'})\)。于是 \[g = T_1 T_2 - r\] 由于 \(T_1\) 与 \(T_2\) 在上述意义下也是坐标，可知态射 \(Y' \to \mathbf{A}^2_S\)（由 \(T_1\) 与 \(T_2\) 给出）在 \(x'\) 的某个邻域内 étale，且 \(X' \subset Y'\) 是 \(X\) 的拉回，是 \(\mathbf{A}^2_S = \Spec(R[x_1, x_2])\) 中由方程 \(x_1x_2 - r = 0\) 给出的闭子概形的逆像（必要时再次缩小 \(Y'\)）。我们把这些数据拼合成所需的交换图，细节留给读者。

压缩有理尾

本节讨论压缩概形以改善其典范层正性性质的最简单情形。

例

令 \(k\) 为一个域。令 \(X\) 为 \(k\) 上维数为 \(1\) 的 proper 概形，且 \(H^0(X, \mathcal{O}_X) = k\)。假设 \(X\) 的奇点至多为结点。称一个有理尾为不可约分支 \(C \subset X\) （视为整闭子概形），满足以下性质：

\(X' \not = \emptyset\)，其中 \(X' \subset X\) 是 \(X \setminus C\) 的概形论闭包；

概形论交 \(C \cap X'\) 是单个约化点 \(x\)；

\(H^0(C, \mathcal{O}_C)\) 同构地映到 \(x\) 的剩余域；

\(C\) 的亏格为零。

由于至少有两个 \(X\) 的不可约分支经过 \(x\)，故 \(x\) 是结点。置 \(k' = H^0(C, \mathcal{O}_C) = \kappa(x)\)。则 \(k'/k\) 是有限可分域扩张（引理 0C4D）。存在典范态射 \[c : X \longrightarrow X'\] 它在 \(X'\) 上诱导恒等态射，并将 \(C\) 映到 \(x \in X'\)；该映射通过典范态射 \(C \to \Spec(k') = x\) 给出。这由《态射》引理 0C4J 得到，因为 \(X\) 是 \(C\) 与 \(X'\) 的概形论并（\(X\) 约化）。此外，我们断言 \[c_*\mathcal{O}_X = \mathcal{O}_{X'} \quad\text{且}\quad R^1c_*\mathcal{O}_X = 0\] 为此，记 \(i_C : C \to X\)、\(i_{X'} : X' \to X\) 及 \(i_x : x \to X\) 为这些嵌入，并使用正合序列 \[0 \to \mathcal{O}_X \to i_{C, *}\mathcal{O}_C \oplus i_{X', *}\mathcal{O}_{X'} \to i_{x, *}\kappa(x) \to 0\] （《态射》引理 0C4J）。考察高阶直接像的长正合序列可知，只需证明 \(H^0(C, \mathcal{O}_C) = k'\) 且 \(H^1(C, \mathcal{O}_C) = 0\)，而这由假设得到。注意 \(X'\) 也是 \(k\) 上维数为 \(1\) 的 proper 概形，其奇点至多为结点（引理 0E38），满足 \(H^0(X', \mathcal{O}_{X'}) = k\)，且 \(X'\) 与 \(X\) 有相同亏格。我们称 \(c : X \to X'\) 为 有理尾的压缩。

引理

令 \(k\) 为域。令 \(X\) 为 \(k\) 上维数为 \(1\) 的 proper 概形，且 \(H^0(X, \mathcal{O}_X) = k\)。假设 \(X\) 的奇点至多为结点。令 \(C \subset X\) 为有理尾（例 0E3H）。则 \(\deg(\omega_X|_C) < 0\)。

证明

令 \(X' \subset X\) 如例中所述。则有短正合序列 \[0 \to \omega_C \to \omega_X|_C \to \mathcal{O}_{C \cap X'} \to 0\] 见引理 0E34、 0E37 及 0E38。取例中的 \(k'\)，则 \(\deg(\omega_C) = -2[k' : k]\)，因为由命题 0C6U 有 \(C \cong \mathbf{P}^1_{k'}\)，且 \(\deg(C \cap X') = [k' : k]\)。所以 \(\deg(\omega_X|_C) = -[k' : k]\)，为负数。

引理

令 \(k\) 为域。令 \(X\) 为 \(k\) 上维数为 \(1\) 的 proper 概形，且 \(H^0(X, \mathcal{O}_X) = k\)。假设 \(X\) 的奇点至多为结点。令 \(C \subset X\) 为有理尾（例 0E3H）。对任意域扩张 \(K/k\)，基变换 \(C_K \subset X_K\) 是有限个互不相交有理尾的并。

证明

令 \(x \in C\)，并令 \(k' = \kappa(x)\) 如例中所述。由命题 0C6U，有 \(C \cong \mathbf{P}^1_{k'}\)。由于 \(k'/k\) 是有限可分扩张，有 \(k' \otimes_k K = K'_1 \times \ldots \times K'_n\)，它是有限个有限可分扩张 \(K'_i/K\) 的乘积。置 \(C_i = \mathbf{P}^1_{K'_i}\)，并记 \(x_i \in C_i\) 为 \(x\) 的逆像。则 \(C_K = \coprod C_i\) 且 \(X'_K \cap C_i = x_i\)，如所需。

引理

令 \(k\) 为域。令 \(X\) 为 \(k\) 上维数为 \(1\) 的 proper 概形，且 \(H^0(X, \mathcal{O}_X) = k\)。假设 \(X\) 的奇点至多为结点。若 \(X\) 没有有理尾（例 0E3H），则对每个约化连通闭子概形 \(Y \subset X\)，若 \(Y \not = X\) 且维数为 \(1\)，有 \(\deg(\omega_X|_Y) \geq \dim_k H^1(Y, \mathcal{O}_Y)\).

证明

令 \(Y \subset X\) 如陈述所述。则 \(k' = H^0(Y, \mathcal{O}_Y)\) 是域且是 \(k\) 的有限扩张，并且 \([k' : k]\) 整除下面与 \(Y\) 及 \(Y\) 上凝聚层相关的所有数值不变量，见《簇论》引理 0C6P。令 \(Z \subset X\) 如引理 0E34 所述。以下不再特别指出地使用该引理以及引理 0E37 和 0E38 的结果。于是得到短正合序列 \[0 \to \omega_Y \to \omega_X|_Y \to \mathcal{O}_{Y \cap Z} \to 0\] 见引理 0E34。从而 \[\deg(\omega_X|_Y) = \deg(Y \cap Z) + \deg(\omega_Y) = \deg(Y \cap Z) - 2\chi(Y, \mathcal{O}_Y)\] 因此，若引理不成立，则 \[2[k' : k] > \deg(Y \cap Z) + \dim_k H^1(Y, \mathcal{O}_Y)\] 由于 \(Y \cap Z\) 非空，且由上述整除性可知，只有在 \(Y \cap Z\) 是单个 \(k'\)-有理点，且该点位于 \(Y\) 的光滑轨迹中，并且 \(H^1(Y, \mathcal{O}_Y) = 0\) 时才可能发生这种情况。若 \(Y\) 不可约，则这意味着 \(Y\) 是有理尾。若 \(Y\) 可约，则由于 \(\deg(\omega_X|_Y) = -[k' : k]\)，可知存在不可约分支 \(C\)，属于 \(Y\)，满足 \(\deg(\omega_X|_C) < 0\)，见《簇论》引理 0AYW。将上述分析应用于 \(C\)，可知 \(C\) 是有理尾。

引理

令 \(k\) 为域。令 \(X\) 为 \(k\) 上维数为 \(1\) 的 proper 概形，且 \(H^0(X, \mathcal{O}_X) = k\)。假设 \(X\) 的奇点至多为结点。假设 \(X\) 没有有理尾（例 0E3H）。若

\(X\) 的亏格为 \(0\)，则 \(X\) 同构于不可约平面圆锥，且 \(\omega_X^{\otimes -1}\) 非常丰沛；

\(X\) 的亏格为 \(1\)，则 \(\omega_X \cong \mathcal{O}_X\)；

\(X\) 的亏格满足 \(\geq 2\)，则 \(\omega_X^{\otimes m}\) 对 \(m \geq 2\) 由整体截面生成。

证明

由引理 0E37，\(X\) 是 Gorenstein 的，即 \(\omega_X\) 是可逆的 \(\mathcal{O}_X\)-模。

若 \(X\) 的亏格为零，则 \(\deg(\omega_X) < 0\)；因此若 \(X\) 有多于一个不可约分支，就与引理 0E3J 矛盾。在不可约情形，由引理 0C6N 可知 \(X\) 同构于不可约平面圆锥，且 \(\omega_X^{\otimes -1}\) 非常丰沛。

若 \(X\) 的亏格为 \(1\)，则 \(\omega_X\) 有整体截面，且 \(\deg(\omega_X|_C) = 0\) 对每个不可约分支成立。确切地说，由引理 0E3J，有 \(\deg(\omega_X|_C) \geq 0\) 对所有不可约分支 \(C\) 成立；由引理 0C19，这些数之和为 \(0\)，于是可应用《簇论》引理 0AYW。再由《簇论》引理 0E22，有 \(\omega_X \cong \mathcal{O}_X\)。

假设亏格为 \(g\) 的 \(X\) 大于或等于 \(2\)。若 \(X\) 不可约，则由引理 0E3C 即得结论。假设 \(X\) 可约。由引理 0E3J，引理 0E3F 的不等式对陈述中的每个 \(Y \subset X\) 都成立，但 \(Y = X\) 除外。分析引理 0E3F 的证明可知（在可约情形）对 \(Y = X\) 所用的唯一不等式是 \[\deg(\omega_X^{\otimes m}) > -2 \chi(\mathcal{O}_X) \quad\text{且}\quad \deg(\omega_X^{\otimes m}) + \chi(\mathcal{O}_X) > \dim_k H^1(X, \mathcal{O}_X)\] 由于在假设 \(g \geq 2\) 且 \(m \geq 2\) 下二者均成立，故得证。

引理

令 \(k\) 为域。令 \(X\) 为 \(k\) 上维数为 \(1\) 的 proper 概形，且 \(H^0(X, \mathcal{O}_X) = k\)。假设 \(X\) 的奇点至多为结点。考虑序列 \[X = X_0 \to X_1 \to \ldots \to X_n = X'\] 它由有理尾的压缩（例 0E3H）组成，直到不再有有理尾。则

若 \(X\) 的亏格为 \(0\)，则 \(X'\) 是不可约平面圆锥；

若 \(X\) 的亏格为 \(1\)，则 \(\omega_{X'} \cong \mathcal{O}_X\)；

若 \(X\) 的亏格为 \(> 1\)，则 \(\omega_{X'}^{\otimes m}\) 对 \(m \geq 2\) 由整体截面生成。

若 \(X\) 的亏格满足 \(\geq 1\)，则态射 \(X \to X'\) 与选择无关，且该态射的形成与基域扩张相交换。

证明

我们不断压缩有理尾，直到不再有有理尾。由引理 0E3K，可知 (1)、(2)、(3) 成立。

唯一性。要证明 \(f : X \to X'\) 与所作选择无关，只需证明：任意有理尾 \(C \subset X\) 都被 \(X \to X'\) 映到一点；细节略去。若不然，则存在截面 \(s \in \Gamma(X', \omega_{X'}^{\otimes 2})\)，它在不可约分支 \(f(C)\) 的一般点处不为零。由于每个压缩 \(X_i \to X_{i + 1}\) 都有截面 \(X_{i + 1} \to X_i\)，故存在截面 \(X' \to X\)，它是 \(f\) 的截面。于是有正合序列 \[0 \to \omega_{X'} \to \omega_X \to \omega_X|_{X''} \to 0\] 其中 \(X'' \subset X\) 是被 \(f\) 压缩的不可约分支之并。见引理 0E34。于是得到态射 \(\omega_{X'}^{\otimes 2} \to \omega_X^{\otimes 2}\)，取 \(s\) 的像得到 \(\omega_X^{\otimes 2}\) 的一个截面，它在 \(C\) 的一般点处不为零。这与 \(\omega_X\) 限制到有理尾上的次数为负相矛盾（引理 0E63）。

关于基域扩张的陈述由引理 0E3I 得到。细节略去。

压缩有理桥

本节讨论继第 0E3G 节所述情形之后，压缩概形以改善其典范层正性性质的下一个最简单情形。

例

令 \(k\) 为域。令 \(X\) 为 \(k\) 上维数为 \(1\) 的 proper 概形，且 \(H^0(X, \mathcal{O}_X) = k\)。假设 \(X\) 的奇点至多为结点。称一个有理桥为不可约分支 \(C \subset X\) （视为整闭子概形），满足以下性质：

\(X' \not = \emptyset\)，其中 \(X' \subset X\) 是 \(X \setminus C\) 的概形论闭包；

概形论交 \(C \cap X'\) 的次数为 \(2\)（相对于 \(H^0(C, \mathcal{O}_C)\)）；

\(C\) 的亏格为零。

置 \(k' = H^0(C, \mathcal{O}_C)\) 且 \(k'' = H^0(C \cap X', \mathcal{O}_{C \cap X'})\)。则 \(k'\) 是域（《簇论》引理 0BUG），且 \(\dim_{k'}(k'') = 2\)。由于 \(X\) 的至少两个不可约分支经过 \(C \cap X'\) 的每个点，故这些点是 \(X\) 的结点，并且在 \(C\) 与 \(X'\) 上均为光滑点（引理 0E38）。因此 \(k'/k\) 是有限可分域扩张，且 \(k''/k'\) 要么是次数为 \(2\) 的可分域扩张，要么 \(k'' = k' \times k'\)（引理 0C4D）。由第 0E35 节，存在推出 \[\xymatrix{ C \cap X' \ar[r] \ar[d] & X' \ar[d]^a \\ \Spec(k') \ar[r] & Y }\] 它具有许多良好性质（以下使用时不再逐一说明）。令 \(y \in Y\) 为 \(\Spec(k') \to Y\) 的像。则 \[\mathcal{O}_{Y, y}^\wedge \cong k'[[s, t]]/(st) \quad\text{或}\quad \mathcal{O}_{Y, y}^\wedge \cong \{f \in k''[[s]] : f(0) \in k'\}\] 取决于 \(C \cap X'\) 有 \(2\) 个还是 \(1\) 个点。这由引理 0E36 以及事实 \(\mathcal{O}_{X', p} \cong \kappa(p)[[t]]\) 得到，其中 \(p \in C \cap X'\)，而该事实见《代数补遗》引理 0C35。因此 \(y \in Y\) 是结点，见引理 0C4D 与 0C4A，特别是引理 0C4A 中 (2) \(\Rightarrow\) (1) 的证明里情形 II 的讨论。故 \(Y\) 的奇点至多为结点。

可将上面的交换图扩展为图 \[\xymatrix{ C \cap X' \ar[r] \ar[d] & X' \ar[d]^a \ar[r] & X \ar[ld]^c & C \ar[ld] \ar[l] \\ \Spec(k') \ar[r] & Y & \Spec(k') \ar[l] }\] 其中下方两条水平态射相同。确切地说，\(X\) 是 \(X'\) 与 \(C\) 的概形论并（因此由《态射》引理 0C4J 为推出），且态射 \(C \to Y\) 与 \(X' \to Y\) 在 \(C \cap X'\) 上相同。最后，我们断言 \[c_*\mathcal{O}_X = \mathcal{O}_Y \quad\text{且}\quad R^1c_*\mathcal{O}_X = 0\] 为此使用正合序列 \[0 \to \mathcal{O}_X \to \mathcal{O}_C \oplus \mathcal{O}_{X'} \to \mathcal{O}_{C \cap X'} \to 0\] （《态射》引理 0C4J）。高阶直接像的长正合序列为 \[0 \to c_*\mathcal{O}_X \to c_*\mathcal{O}_C \oplus c_*\mathcal{O}_{X'} \to c_*\mathcal{O}_{C \cap X'} \to R^1c_*\mathcal{O}_X \to R^1c_*\mathcal{O}_C \oplus R^1c_*\mathcal{O}_{X'}\] 由于 \(c|_{X'} = a\) 是仿射态射，故 \(R^1c_*\mathcal{O}_{X'} = 0\). 由于 \(c|_C\) 分解为 \(C \to \Spec(k') \to X\)，且 \(C\) 亏格为零，故 \(R^1c_*\mathcal{O}_C = 0\)。由于 \(\mathcal{O}_{X'} \to \mathcal{O}_{C \cap X'}\) 是满射，且 \(c|_{X'}\) 是仿射态射，可知 \(c_*\mathcal{O}_{X'} \to c_*\mathcal{O}_{C \cap X'}\) 是满射。这证明了 \(R^1c_*\mathcal{O}_X = 0\)。最后有 \(\mathcal{O}_Y = c_*\mathcal{O}_X\)，这是由正合序列以及《态射补遗》命题 0E25 中对推出的结构层的描述得到的。

综上，\(Y\) 也是 \(k\) 上维数为 \(1\) 的 proper 概形，且 \(H^0(Y, \mathcal{O}_Y) = k\)，其奇点至多为结点（引理 0E38），并且 \(Y\) 与 \(X\) 有相同亏格。我们称 \(c : X \to Y\) 为 有理桥的压缩。

引理

令 \(k\) 为域。令 \(X\) 为 \(k\) 上维数为 \(1\) 的 proper 概形，且 \(H^0(X, \mathcal{O}_X) = k\)。假设 \(X\) 的奇点至多为结点。令 \(C \subset X\) 为有理桥（例 0E3M）。则 \(\deg(\omega_X|_C) = 0\)。

证明

令 \(X' \subset X\) 如例中所述。则有短正合序列 \[0 \to \omega_C \to \omega_X|_C \to \mathcal{O}_{C \cap X'} \to 0\] 见引理 0E34、 0E37 及 0E38。取例中的 \(k''/k'/k\)，有 \(\deg(\omega_C) = -2[k' : k]\)，因为 \(C\) 的亏格为 \(0\) （引理 0BS6），且 \(\deg(C \cap X') = [k'' : k] = 2[k' : k]\)。因此 \(\deg(\omega_X|_C) = 0\)。

引理

令 \(k\) 为域。令 \(X\) 为 \(k\) 上维数为 \(1\) 的 proper 概形，且 \(H^0(X, \mathcal{O}_X) = k\)。假设 \(X\) 的奇点至多为结点。令 \(C \subset X\) 为有理桥（例 0E3M）。对任意域扩张 \(K/k\)，基变换 \(C_K \subset X_K\) 是有限个互不相交有理桥的并。

证明

令 \(k''/k'/k\) 如例中所述。由于 \(k'/k\) 是有限可分扩张，有 \(k' \otimes_k K = K'_1 \times \ldots \times K'_n\)，它是有限个有限可分扩张 \(K'_i/K\) 的乘积。相应的乘积分解 \(k'' \otimes_k K = \prod K''_i\) 给出次数为 \(2\) 的可分代数扩张 \(K''_i/K'_i\)。置 \(C_i = C_{K'_i}\)。则 \(C_K = \coprod C_i\)，因而每个 \(C_i\) 的亏格为 \(0\)（视为 \(K'_i\) 上的曲线），因为由平坦基变换有 \(H^1(C_K, \mathcal{O}_{C_K}) = 0\)。最后，\(X'_K \cap C_i = \Spec(K''_i)\) 的次数为 \(2\)（相对于 \(K'_i\)），如所需。

引理

令 \(c : X \to Y\) 为有理桥的压缩（例 0E3M）。则 \(c^*\omega_Y \cong \omega_X\)。

证明

可以通过直接计算证明这一点，但我们更愿意使用如下特征：将 \(\omega_X\) 看作拟凝聚 \(\mathcal{O}_X\)-模，它表示函子 \(\textit{Coh}(\mathcal{O}_X) \to \textit{Sets}\), \(\mathcal{F} \mapsto \Hom_k(H^1(X, \mathcal{F}), k) = H^1(X, \mathcal{F})^\vee\)，见引理 0BS3，或《概形的对偶性》引理 0AWP。

严格地说，记 \(\mathcal{C}_Y\) 为如下范畴：对象是可逆的 \(\mathcal{O}_Y\)-模，态射是 \(\mathcal{O}_Y\)-模同态。记 \(\mathcal{C}_X\) 为如下范畴：对象是可逆的 \(\mathcal{O}_X\)-模 \(\mathcal{L}\)，满足 \(\mathcal{L}|_C \cong \mathcal{O}_C\)，态射是 \(\mathcal{O}_Y\)-模同态。我们断言函子 \[c^* : \mathcal{C}_Y \to \mathcal{C}_X\] 是范畴等价。确切地说，由《态射的更多性质》引理 0E24，它本质满射。再由投影公式（《上同调》引理 01E8）得到 \(c_*c^*\mathcal{N} = \mathcal{N}\)，因而 \(c^*\) 是范畴等价，其拟逆为 \(c_*\)。

我们断言 \(\omega_X\) 是 \(\mathcal{C}_X\) 的对象。事实上，有短正合列 \[0 \to \omega_C \to \omega_X|_C \to \mathcal{O}_{C \cap X'} \to 0\] 见引理 0E34。取次数可得 \(\deg(\omega_X|_C) = 0\)（略去一个小细节）。因此由引理 0C6M，\(\omega_X|_C\) 是平凡的，从而 \(\omega_X\) 是 \(\mathcal{C}_X\) 的对象。

由于 \(R^1c_*\mathcal{O}_X = 0\)，投影公式表明 \(R^1c_*c^*\mathcal{N} = 0\)，其中 \(\mathcal{N} \in \Ob(\mathcal{C}_Y)\)。因此，Leray 谱序列（《上同调》引理 01F4）给出如下 \[\xymatrix{ \mathcal{C}_Y \ar[rr]_{c^*} \ar[dr]_{H^1(Y, -)^\vee} & & \mathcal{C}_X \ar[ld]^{H^1(X, -)^\vee} \\ & \textit{Sets} }\] 范畴与函子的图表是交换的。由于 \(\omega_Y \in \Ob(\mathcal{C}_Y)\) 表示东南方向的函子，且 \(\omega_X \in \Ob(\mathcal{C}_X)\) 表示东南方向的函子，由 Yoneda 引理（《范畴》引理 001P）即得结论。

引理

令 \(k\) 为域。令 \(X\) 为 \(k\) 上的真概形，维数为 \(1\)，且 \(H^0(X, \mathcal{O}_X) = k\)。假设

\(X\) 的奇点至多为结点，

\(X\) 没有有理尾（例 0E3H），

\(X\) 没有有理桥（例 0E3M），

\(g\) 为 \(X\) 的亏格，且 \(\geq 2\)。

则 \(\omega_X\) 是丰沛的。

证明

只需证明 \(\deg(\omega_X|_C) > 0\) 对每个不可约分支 \(C\)（它属于 \(X\)）都成立，见《簇》引理 0B5Y。若 \(X = C\) 不可约，则由 \(g \geq 2\) 及引理 0C19 得到结论。否则，置 \(k' = H^0(C, \mathcal{O}_C)\)。这是 \(k\) 的一个域有限扩张，并且 \([k' : k]\) 整除下文与 \(C\) 及在 \(C\) 上的拟凝聚层相关的所有数值不变量，见《簇》引理 0C6P。令 \(X' \subset X\) 为 \(X \setminus C\) 的闭包，如引理 0E34 中所述。下文将直接使用该引理以及引理 0E37 和 0E38 的结果。于是得到短正合列 \[0 \to \omega_C \to \omega_X|_C \to \mathcal{O}_{C \cap X'} \to 0\] 见引理 0E34。因此 \[\deg(\omega_X|_C) = \deg(C \cap X') + \deg(\omega_C) = \deg(C \cap X') - 2\chi(C, \mathcal{O}_C)\] 所以若引理不成立，则 \[2[k' : k] \geq \deg(C \cap X') + 2\dim_k H^1(C, \mathcal{O}_C)\] 由于 \(C \cap X'\) 非空，且由上面提到的整除性，只有以下两种情形之一才可能发生：

\(C \cap X'\) 是一个 \(k'\)-有理点，且属于 \(C\)， \(H^1(C, \mathcal{O}_C) = 0\)；

\(C \cap X'\) 的次数为 \(2\)（在 \(k'\) 上），且 \(H^1(C, \mathcal{O}_C) = 0\)。

第一种可能意味着 \(C\) 是有理尾，第二种意味着 \(C\) 是有理桥。由于两者都被排除，证明完成。

引理

令 \(k\) 为域。令 \(X\) 为 \(k\) 上维数为 \(1\) 的真概形，满足 \(H^0(X, \mathcal{O}_X) = k\) 且亏格为 \(g \geq 2\)。假设 \(X\) 的奇点至多为结点，且 \(X\) 没有有理尾。考虑一列 \[X = X_0 \to X_1 \to \ldots \to X_n = X'\] 有理桥的压缩（例 0E3M），直至不再有有理桥。则 \(\omega_{X'}\) 是丰沛的。态射 \(X \to X'\) 与选择无关，且该态射的构造与基域扩张相容。

证明

我们不断压缩有理桥，直至不再有有理桥。由引理 0E3P，此时 \(\omega_{X'}\) 是丰沛的。

记 \(f : X \to X'\) 为其复合。由引理 0E3N 及归纳法可知 \(f^*\omega_{X'} = \omega_X\)。有 \(f_*\mathcal{O}_X = \mathcal{O}_{X'}\)，因为有理桥的压缩具有这一性质。因此投影公式给出 \(f_*f^*\mathcal{L} = \mathcal{L}\)，对所有可逆的 \(\mathcal{O}_{X'}\)-模 \(\mathcal{L}\) 均成立。于是 \[\Gamma(X', \omega_{X'}^{\otimes m}) = \Gamma(X, \omega_X^{\otimes m})\] 对所有 \(m\) 成立。由于 \(X'\) 是这些空间直和的 Proj，由《态射》引理 0C6J，我们得到态射 \(X \to X'\) 完全是典范的。

令 \(K/k\) 为域扩张，则 \(\omega_{X_K}\) 是 \(\omega_X\) 的拉回（引理 0E32），并且由《概形的上同调》引理 02KH，有 \(\Gamma(X, \omega_X^{\otimes m}) \otimes_k K\) 等于 \(\Gamma(X_K, \omega_{X_K}^{\otimes m})\)。因此由上述论证，\(f : X \to X'\) 的构造与 \(K/k\) 的基变换相容。细节略。

压缩为稳定曲线

本节结合在节 0E3G 与 0E7M 中得到的压缩态射。具体地，设 \(k\) 为域，令 \(X\) 为 \(k\) 上维数为 \(1\) 的真概形，满足 \(H^0(X, \mathcal{O}_X) = k\) 且亏格 \(g \geq 2\)。假设 \(X\) 的奇点至多为结点。将引理 0E3L 的态射与引理 0E3Q 的态射复合，得到态射 \[c : X \longrightarrow Y\] 使得 \(Y\) 也是 \(k\) 上维数为 \(1\) 的真概形，奇点至多为结点，且 \(k = H^0(Y, \mathcal{O}_Y)\)，亏格为 \(g\)，并满足 \(\mathcal{O}_Y = c_*\mathcal{O}_X\) 及 \(R^1c_*\mathcal{O}_X = 0\)，以及 \(\omega_Y\) 在 \(Y\) 上丰沛。引理 0E7Q 表明这些条件事实上刻画了该态射。

引理

令 \(k\) 为域。令 \(c : X \to Y\) 为 \(k\) 上真概形之间的态射。假设

\(\mathcal{O}_Y = c_*\mathcal{O}_X\) 且 \(R^1c_*\mathcal{O}_X = 0\)，

\(X\) 与 \(Y\) 都约化、Gorenstein，且维数为 \(1\)，

满足 \(\exists\ m \in \mathbf{Z}\)，使得 \(H^1(X, \omega_X^{\otimes m}) = 0\) 且 \(\omega_X^{\otimes m}\) 由整体截面生成。

则 \(c^*\omega_Y \cong \omega_X\)。

证明

由《态射的更多性质》定理 03H0，\(c\) 的纤维几何连通。特别地，\(c\) 是满射。在有限多个闭点 \(y = y_1, \ldots, y_r\)（它们属于 \(Y\)）处 \(X_y\) 的维数为 \(1\)，而在 \(Y \setminus \{y_1, \ldots, y_r\}\) 上态射 \(c\) 是同构。细节略；提示：在 \(\{y_1, \ldots, y_r\}\) 之外，态射 \(c\) 是有限的，见《概形的上同调》引理 02OG。

下面仔细构造映射 \(b : c^*\omega_Y \to \omega_X\)。记 \(f : X \to \Spec(k)\) 及 \(g : Y \to \Spec(k)\) 为结构态射。我们有 \(f^!k = \omega_X[1]\) 及 \(g^!k = \omega_Y[1]\)，见引理 0BS2 及其证明。于是 \(f^! = c^! \circ g^!\)，从而 \(c^!\omega_Y = \omega_X\)。因此有函子性同构 \[\Hom_{D(\mathcal{O}_X)}(\mathcal{F}, \omega_X) \longrightarrow \Hom_{D(\mathcal{O}_Y)}(Rc_*\mathcal{F}, \omega_Y)\] 对拟凝聚 \(\mathcal{O}_X\)-模 \(\mathcal{F}\)，这是按 \(c^!\) 的定义得到的⁷。该同构由迹映射 \(t : Rc_*\omega_X \to \omega_Y\) （伴随的余单位）诱导。由投影公式（《上同调》引理 01E8），典范映射 \(a : \omega_Y \to Rc_*c^*\omega_Y\) 是同构。结合上述内容，得到满足下式的典范映射 \(b : c^*\omega_Y \to \omega_X\)： \[t \circ Rc_*(b) = a^{-1}\] 特别地，将 \(b\) 限制到 \(c^{-1}(Y \setminus \{y_1, \ldots, y_r\})\) 后，它是同构（因为它是可逆模之间的映射，且与另一个映射的复合给出同构 \(a^{-1}\)）。

取 (3) 中的 \(m \in \mathbf{Z}\)，考虑映射 \[b^{\otimes m} : \Gamma(Y, \omega_Y^{\otimes m}) \longrightarrow \Gamma(X, \omega_X^{\otimes m})\] 由于 \(Y\) 约化，且由构造中提到的 \(b\) 的最后一个性质，该映射是单射。由 Riemann–Roch（引理 0BS6）有 \(\chi(X, \omega_X^{\otimes m}) =\chi(Y, \omega_Y^{\otimes m})\). 因此 \[\dim_k \Gamma(Y, \omega_Y^{\otimes m}) \geq \dim_k \Gamma(X, \omega_X^{\otimes m}) = \chi(X, \omega_X^{\otimes m})\] 从而 \(b^{\otimes m}\) 在整体截面上诱导同构。因此 \(b^{\otimes m} : c^*\omega_Y^{\otimes m} \to \omega_X^{\otimes m}\) 是满射，因为 \(\omega_X^{\otimes m}\) 的生成元都在像中。于是 \(b^{\otimes m}\) 是同构，因而 \(b\) 是同构。

引理

令 \(k\) 为域。令 \(X\) 为 \(k\) 上维数为 \(1\) 的真概形，满足 \(H^0(X, \mathcal{O}_X) = k\) 且亏格为 \(g \geq 2\)。假设 \(X\) 的奇点至多为结点。存在唯一的态射（在唯一同构意义下） \[c : X \longrightarrow Y\] 它是 \(k\) 上概形之间的态射，并具有下列性质：

\(Y\) 在 \(k\) 上真，\(\dim(Y) = 1\)，且 \(Y\) 的奇点至多为结点；

\(\mathcal{O}_Y = c_*\mathcal{O}_X\) 且 \(R^1c_*\mathcal{O}_X = 0\)；

\(\omega_Y\) 在 \(Y\) 上丰沛。

证明

存在性：由本节引言中所述，结合引理 0E3L 与 0E3Q，存在具有所列全部性质的态射。此外，它可写成复合 \[X \to X_1 \to X_2 \ldots \to X_n \to X_{n + 1} \to \ldots \to X_{n + n'}\] 其中前 \(n\) 个态射是有理尾的压缩，后 \(n'\) 个态射是有理桥的压缩。注意，性质 (2) 对每个有理尾的压缩（例 0E3H）和有理桥的压缩（例 0E3M）都成立。容易看出，该性质在态射的复合下保持。

唯一性：令 \(c : X \to Y\) 为满足条件 (1)、(2)、(3) 的态射。我们将证明存在唯一同构 \(X_{n + n'} \to Y\)，使其与态射 \(X \to X_{n + n'}\) 及 \(c\) 相容。

开始证明前，先对 \(c\) 作一些观察。首先由《态射的更多性质》定理 03H0，\(c\) 的纤维几何连通。特别地，\(c\) 是满射。对闭点 \(y \in Y\)，纤维 \(X_y\) 满足 \[H^1(X_y, \mathcal{O}_{X_y}) = 0 \quad\text{且}\quad H^0(X_y, \mathcal{O}_{X_y}) = \kappa(y)\] 第一个等式由《态射的更多性质》引理 0E7F 得到，第二个等式由《态射的更多性质》引理 0E7I 得到。因此，要么 \(X_y = x\)，其中 \(x\) 是 \(X\) 中映到 \(y\) 的唯一点，且与 \(y\) 有相同的剩余域；要么 \(X_y\) 是 \(\kappa(y)\) 上维数为 \(1\) 的真概形。注意在第二种情形 \(X_y\) 是 Cohen–Macaulay 的（引理 0BY5）。然而，由于 \(X\) 约化，\(X_y\) 在其所有一般点处必为约化的（细节略），因而由《性质》引理 0344，\(X_y\) 约化。由此 \(X_y\) 的奇点至多为结点（引理 0E38）。注意 \(X_y\) 的亏格为零（见上文）。最后，只有有限多个点 \(y\) 使得纤维 \(X_y\) 的维数为 \(1\)，记为 \(\{y_1, \ldots, y_r\}\)，并且 \(c^{-1}(Y \setminus \{y_1, \ldots, y_r\})\) 经 \(c\) 同构映到 \(Y \setminus \{y_1, \ldots, y_r\}\)。细节略；提示：在 \(\{y_1, \ldots, y_r\}\) 之外，态射 \(c\) 是有限的，见《概形的上同调》引理 02OG。

令 \(C \subset X\) 为有理尾。我们断言 \(c\) 将 \(C\) 映到一点。假设并非如此以导出矛盾，则 \(C\) 的像是 \(D \subset Y\) 的不可约分支。回忆 \(H^0(C, \mathcal{O}_C) = k'\) 是 \(k\) 的有限可分扩张，且 \(C\) 有一个 \(k'\)-有理点 \(x\)，它也是 \(C\) 与 \(X\) 的“其余部分”的唯一交点。由上面的总体讨论可知 \(C \setminus \{x\} \subset c^{-1}(Y \setminus \{y_1, \ldots, y_r\})\) 经同构映到 \(D\) 的一个开子集 \(V\)。令 \(y = c(x) \in D\)。注意 \(y\) 是 \(D\) 与 \(Y\) 的“其余部分”相交的唯一点。若 \(y \not \in \{y_1, \ldots, y_r\}\)，则 \(C \cong D\)，显然 \(D\) 是 \(Y\) 的有理尾，这与 \(\omega_Y\) 的丰沛性矛盾（引理 0E63）。因此 \(y \in \{y_1, \ldots, y_r\}\) 且 \(\dim(X_y) = 1\)。于是 \(x \in X_y \cap C\)，并且 \(x\) 是 \(X_y\) 及 \(C\) 的光滑点（引理 0E38）。若 \(y \in D\) 是 \(D\) 的奇点，则 \(y\) 是结点，且 \(Y = D\) （因为由引理 0E38，\(Y\) 不可能有另一个分支经过 \(y\)）。于是 \(X = X_y \cup C\)，这意味着 \(g = 0\)，因为按例 0E3H 中的讨论，它等于 \(X_y\) 的亏格；矛盾。若 \(y \in D\) 是 \(D\) 的光滑点，则 \(C \to D\) 是同构（因为非奇异射影模型唯一，且 \(C\) 与 \(D\) 双有理，见节 0BXX）。于是 \(D\) 是 \(Y\) 的有理尾，这与 \(\omega_Y\) 的丰沛性矛盾。

假设 \(n \geq 1\)。若 \(C \subset X\) 是被 \(X \to X_1\) 压缩的有理尾，则由上一段 \(C\) 被映到 \(Y\) 中的一点。因此 \(c : X \to Y\) 经由 \(X \to X_1\) 分解（因为 \(X\) 是 \(C\) 与 \(X_1\) 的推出，见例 0E3H 中的讨论）。将 \(X\) 替换为 \(X_1\) 后，\(n\) 减少了。由归纳法可假设 \(n = 0\)，即 \(X\) 没有有理尾。

假设 \(n = 0\)，即 \(X\) 没有任何有理尾。由引理 0E3K， \(\omega_X^{\otimes 2}\) 与 \(\omega_X^{\otimes 3}\) 由整体截面生成。由引理 0B62 得到 \(H^1(X, \omega_X^{\otimes 3}) = 0\)。应用引理 0E7P（取 \(m = 3\)），可得 \(c^*\omega_Y \cong \omega_X\)。由引理 0E3N 及归纳法，还有 \(\omega_X = (X \to X_{n'})^*\omega_{X_{n'}}\)。对 \(c\) 和 \(X \to X_{n'}\) 均应用投影公式，得到 \[\Gamma(X_{n'}, \omega_{X_{n'}}^{\otimes m}) = \Gamma(X, \omega_X^{\otimes m}) = \Gamma(Y, \omega_Y^{\otimes m})\] 对所有 \(m\) 成立。由于 \(X_{n'}\) 与 \(Y\) 都是这些空间直和的 Proj，由《态射》引理 0C6J，得到典范同构 \(X_{n'} = Y\)，如所需。使图表交换的该同构的唯一性验证略去。

引理

令 \(k\) 为域。令 \(X\) 为 \(k\) 上维数为 \(1\) 的真概形，满足 \(H^0(X, \mathcal{O}_X) = k\) 且亏格为 \(g \geq 2\)。假设 \(X\) 的奇点至多为结点且 \(\omega_X\) 丰沛。则 \(\omega_X^{\otimes 3}\) 非常丰沛，且 \(H^1(X, \omega_X^{\otimes 3}) = 0\)。

证明

结合《簇》引理 0B5Y 及引理 0E63 与 0E64，可知 \(X\) 不含有理尾或有理桥。于是由引理 0E3L， \(\omega_X^{\otimes 3}\) 由整体截面生成。取 \(H^0(X, \omega_X^{\otimes 3})\) 的 \(k\)-基 \(s_0, \ldots, s_n\)。得到态射 \[\varphi_{\omega_X^{\otimes 3}, (s_0, \ldots, s_n)} : X \longrightarrow \mathbf{P}^n_k\] 见《构造》节 01ND。引理断言该态射是闭浸入。为检验这一点，可将 \(k\) 替换为其代数闭包，见《下降》引理 02L6。因此可假设 \(k\) 代数闭。

假设 \(k\) 代数闭。我们将使用《簇》引理 0E8T 证明本引理。令 \(Z \subset X\) 为次数 \(2\) 的闭子概形（在 \(Z\) 上），其理想层为 \(\mathcal{I} \subset \mathcal{O}_X\)。我们需要证明 \[H^0(X, \mathcal{L}) \to H^0(Z, \mathcal{L}|_Z)\] 是满射。因此只需证明 \(H^1(X, \mathcal{I}\mathcal{L}) = 0\)。为此使用引理 0E3E。于是只需证明 \[3\deg(\omega_X|_Y) > -2\chi(Y, \mathcal{O}_Y) + \deg(Z \cap Y)\] 对每个约化连通闭子概形 \(Y \subset X\) 都成立。由于 \(k\) 代数闭且 \(Y\) 连通约化，有 \(H^0(Y, \mathcal{O}_Y) = k\)（《簇》引理 0BUG). 因此 \(\chi(Y, \mathcal{O}_Y) = 1 - \dim H^1(Y, \mathcal{O}_Y)\)。所以需要证明 \[3\deg(\omega_X|_Y) > -2 + 2\dim H^1(Y, \mathcal{O}_Y) + \deg(Z \cap Y)\] 由引理 0E3J 可得，除非 \(Y = X\) 或 \(\deg(\omega_X|_Y) = 0\)，上述不等式成立。由于 \(\omega_X\) 丰沛，第二种可能不发生（见本证明引用的第一个引理）。最后，若 \(Y = X\)，由 Riemann–Roch（引理 0BS6）及 \(g \geq 2\) 可知该不等式成立。对 \(Z = \emptyset\) 使用同样论证可得 \(H^1(X, \omega_X^{\otimes 3}) = 0\).

向量场

本节研究曲线上的向量场空间。向量场对应于无穷小自同构，见《态射的更多性质》节 04BU，因而在模空间理论中发挥重要作用。

令 \(k\) 为代数闭域。令 \(X\) 为 \(k\) 上的有限型概形。令 \(x \in X\) 为闭点。若元素 \(D \in \text{Der}_k(\mathcal{O}_X, \mathcal{O}_X)\) 固定 \(x\)，是指 \(D(\mathcal{I}) \subset \mathcal{I}\)，其中 \(\mathcal{I} \subset \mathcal{O}_X\) 是 \(x\) 的理想层。

引理

令 \(k\) 为代数闭域。令 \(X\) 为 \(k\) 上光滑、真且连通的曲线。令 \(g\) 为 \(X\) 的亏格。

若 \(g \geq 2\)，则 \(\text{Der}_k(\mathcal{O}_X, \mathcal{O}_X)\) 为零；

若 \(g = 1\) 且 \(D \in \text{Der}_k(\mathcal{O}_X, \mathcal{O}_X)\) 非零，则 \(D\) 不固定 \(X\) 的任何闭点；

若 \(g = 0\) 且 \(D \in \text{Der}_k(\mathcal{O}_X, \mathcal{O}_X)\) 非零，则 \(D\) 至多固定 \(X\) 的 \(2\) 个闭点。

证明

回忆我们有一个泛 \(k\)-导数 \(d : \mathcal{O}_X \to \Omega_{X/k}\)，因而对某个 \(\mathcal{O}_X\)-线性映射 \(\theta : \Omega_{X/k} \to \mathcal{O}_X\) 有 \(D = \theta \circ d\)。回忆 \(\Omega_{X/k} \cong \omega_X\)，见引理 0BS2。由 Riemann–Roch 有 \(\deg(\omega_X) = 2g - 2\) （引理 0BS6）。因此当 \(g > 1\) 时，由《簇》引理 0B40. 必有 \(\theta\) 为零。这证明了 (1)。若 \(g = 1\)，则非零 \(\theta\) 处处不消失；若 \(g = 0\)，则非零 \(\theta\) 的零点构成次数为 \(2\) 的因子。因此，只需证明闭点 \(x \in X\) 处 \(\theta\) 消失等价于 \(D\) 固定 \(x\)（如上所定义），即可得到 (2)、(3)。令 \(z \in \mathcal{O}_{X, x}\) 为局部参数。则 \(dz\) 是 \(\Omega_{X, x}\) 的一个基元素，见引理 0C1E。由于 \(D(z) = \theta(dz)\)，结论成立。

引理

令 \(k\) 为代数闭域。令 \(X\) 为 \(k\) 上奇点至多为结点的、真且连通的维数为 \(1\) 的概形。令 \(\nu : X^\nu \to X\) 为正规化。令 \(S \subset X^\nu\) 为 \(\nu\) 不是同构处的点集。则 \[\text{Der}_k(\mathcal{O}_X, \mathcal{O}_X) = \{D' \in \text{Der}_k(\mathcal{O}_{X^\nu}, \mathcal{O}_{X^\nu}) \mid D' \text{ fixes every }x^\nu \in S\}\]

证明

令 \(x \in X\) 为结点。令 \(x', x'' \in X^\nu\) 为 \(x\) 的逆像。（由于 \(k\) 代数闭，每个结点都是分裂结点，见定义 0CBV 及引理 0CBW。）令 \(u \in \mathcal{O}_{X^\nu, x'}\) 及 \(v \in \mathcal{O}_{X^\nu, x''}\) 为局部参数。注意我们有正合列 \[0 \to \mathcal{O}_{X, x} \to \mathcal{O}_{X^\nu, x'} \times \mathcal{O}_{X^\nu, x''} \to k \to 0\] 这由引理 0C1X 得到。因此可将 \(u\) 与 \(v\) 视为 \(\mathcal{O}_{X, x}\) 中的元素，且 \(uv = 0\)。

令 \(D \in \text{Der}_k(\mathcal{O}_X, \mathcal{O}_X)\)。则 \(0 = D(uv) = vD(u) + uD(v)\)。由于 \((u)\) 是 \(\mathcal{O}_{X, x}\) 中 \(v\) 的湮灭子，反之亦然，故 \(D(u) \in (u)\) 且 \(D(v) \in (v)\)。由于 \(\mathcal{O}_{X^\nu, x'} = k + (u)\)，可将 \(D\) 延拓到 \(\mathcal{O}_{X^\nu, x'}\)，且该延拓固定 \(x'\)。这给出等式右端的某个 \(D'\)。反之，给定固定 \(x'\) 与 \(x''\) 的 \(D'\)，可知 \(D'\) 保持子环 \(\mathcal{O}_{X, x} \subset \mathcal{O}_{X^\nu, x'} \times \mathcal{O}_{X^\nu, x''}\)，这就是等式中从右向左的构造。

引理

令 \(k\) 为代数闭域。令 \(X\) 为 \(k\) 上奇点至多为结点的、真且连通的维数为 \(1\) 的概形。假设 \(X\) 的亏格至少为 \(2\)，且 \(X\) 没有有理尾或有理桥。则 \(\text{Der}_k(\mathcal{O}_X, \mathcal{O}_X) = 0\).

证明

令 \(D \in \text{Der}_k(\mathcal{O}_X, \mathcal{O}_X)\)。令 \(X^\nu\) 为 \(X\) 的正规化。令 \(D' \in \text{Der}_k(\mathcal{O}_{X^\nu}, \mathcal{O}_{X^\nu})\) 为经引理 0E68 与 \(D\) 对应的元素。令 \(C \subset X^\nu\) 为不可约分支。若 \(C\) 的亏格为 \(> 1\)，则由引理 0E67 第 (1) 部分， \(D'|_{\mathcal{O}_C} = 0\)。若 \(C\) 的亏格为 \(1\)，则 \(C\) 至少有一个闭点 \(c\) 映到 \(X\) 的结点（否则 \(X \cong C\) 将有亏格 \(1\)）。由对应关系，这意味着 \(D'|_{\mathcal{O}_C}\) 固定 \(c\)，故由引理 0E67 第 (2) 部分它为零。最后，若 \(C\) 的亏格为零，则至少有 \(3\) 个两两不同的闭点 \(c_1, c_2, c_3 \in C\) 映到 \(X\) 的结点；否则会出现以下情形之一： \(X\) 是将 \(C\) 的两个点粘合而成（\(C\) 的两个点映到同一结点），或 \(C\) 是有理桥（两个点映到 \(X\) 的不同结点），或 \(C\) 是有理尾（一个点映到 \(X\) 的结点）。这三种可能都不允许，因为 \(C\) 的亏格 \(\geq 2\)，且没有有理桥或有理尾。因此 \(D'|_{\mathcal{O}_C}\) 固定 \(c_1, c_2, c_3\)，故由引理 0E67 第 (3) 部分它为零。

甚至只需几何约化。↩︎
在我们的情形下，这由《除子》，引理 0BUT 得到，因为 \(D \to \Spec(k)\) 有限。↩︎
由 Yoneda 引理，这一性质在唯一同构意义下刻画 \(\omega_X^\bullet\) 作为 \(D_\QCoh(\mathcal{O}_X)\) 中的对象。由于 \(\omega_X^\bullet\) 属于 \(D^b_{\textit{Coh}}(\mathcal{O}_X)\)，事实上只需考虑 \(K \in D^b_{\textit{Coh}}(\mathcal{O}_X)\)。↩︎
确实，由 \(x^{d - 1} = y^{d - 2}\)，有 \(0 = x + x^{d - 1}y + y^{d - 1} = x + 2 x^{d - 1} y\)。由于 \(x \not = 0\)（这是因为 \(1 = x^{d - 2}y\)），故 \(0 = 1 + 2x^{d - 2}y = 3\)；除非 \(3 = 0\)，这不可能。↩︎
在本情形中，这也由《除子》，引理 0BUT 得到，因为 \(D \to \Spec(k)\) 是有限的。↩︎
不过，如果您有更好的建议，请给 Stacks 项目的维护者发送电子邮件。↩︎
它是《概形的对偶性》引理 0A9E 中右伴随函子限制到 \(D^+_\QCoh(\mathcal{O}_Y)\) 后的结果。↩︎

引言