概形

引言

本文定义概形。 一部基本参考文献是 [EGA]。

局部环层空间

回顾《层》第 0090 节中定义的环层空间。 简言之，环层空间是一个二元组 \((X, \mathcal{O}_X)\)，其中 \(X\) 是拓扑空间， \(\mathcal{O}_X\) 是环层。环层空间之间的态射 \(f : (X, \mathcal{O}_X) \to (Y, \mathcal{O}_Y)\) 由一个连续映射 \(f : X \to Y\) 和一个环层的 \(f\)-映射 \(f^\sharp : \mathcal{O}_Y \to \mathcal{O}_X\) 给出。也可以把 \(f^\sharp\) 看作映射 \(\mathcal{O}_Y \to f_*\mathcal{O}_X\)；参见《层》的定义 008J 和引理 008K。

一个值得牢记的几何例子是 \(\mathcal{C}^\infty\)-流形及 \(\mathcal{C}^\infty\)-流形之间的态射。 具体地，若 \(M\) 是 \(\mathcal{C}^\infty\)-流形，则光滑函数层 \(\mathcal{C}^\infty_M\) 是 \(M\) 上的环层。流形间的任意映射 \(f : M \to N\) 是光滑的，当且仅当对每个局部截面 \(h\)——这里指 \(\mathcal{C}^\infty_N\) 的局部截面——复合 \(h \circ f\) 都是 \(\mathcal{C}^\infty_M\) 的局部截面。 因此，光滑映射 \(f\) 自然给出环层空间之间的态射 \[f : (M , \mathcal{C}^\infty_M) \longrightarrow (N, \mathcal{C}^\infty_N)\] ；参见《层》的例 0092。 考察茎上的情形很有启发性。设 \(m \in M\)，且其像为 \(f(m) = n \in N\)。 回顾茎 \(\mathcal{C}^\infty_{M, m}\) 是 \(m\) 处光滑函数芽组成的环； 参见《层》的例 007C。 \((M, m)\) 上的函数芽代数是一个局部环，其极大理想由在 \(m\) 处消失的函数组成。 \(\mathcal{C}^\infty_{N, n}\) 的情形相同。茎上的映射 \(f^\sharp : \mathcal{C}^\infty_{N, n} \to \mathcal{C}^\infty_{M, m}\) 把极大理想映入极大理想；这直接源于 \(f(m) = n\)。

代数几何研究概形。概形上的环层并不由其底空间的某种内蕴性质决定。 给环 \(R\) 的谱（见《代数》第 00DY 节） 配上由 \(R\) 构造出的环层（见下文），便得到我们的基本构件。 稍后将看到，\(\mathcal{O}\) 在 \(\Spec(R)\) 上的各个茎正是 \(R\) 在相应素理想处的局部环。 在这一背景下引入局部环层空间有两个原因： (1) 一般而言，没有一种机制能由谱之间的连续映射自动给出相应环之间的映射， 因此我们把 \(f^\sharp\) 作为附加数据； (2) 若在环层空间范畴中考虑这些谱之间的态射，则其茎上的映射未必是局部同态， 而几何直观要求它们应当如此。为此作如下定义。

定义

局部环层空间。

1. 局部环层空间 \((X, \mathcal{O}_X)\) 是一个二元组，其中 \(X\) 是拓扑空间，\(\mathcal{O}_X\) 是环层，并且它的每个茎都是局部环。

2. 给定局部环层空间 \((X, \mathcal{O}_X)\)，称 \(\mathcal{O}_{X, x}\) 为 \(X\) 在 \(x\) 处的局部环。 以 \(\mathfrak{m}_{X, x}\)（或简记为 \(\mathfrak{m}_x\)）表示 \(\mathcal{O}_{X, x}\) 的极大理想。此外，\(X\) 在 \(x\) 处的剩余域 是 \(\kappa(x) = \mathcal{O}_{X, x}/\mathfrak{m}_x\)。

3. 局部环层空间之间的态射 \((f, f^\sharp) : (X, \mathcal{O}_X) \to (Y, \mathcal{O}_Y)\) 是满足下述条件的环层空间态射：对每个 \(x \in X\)，诱导的环同态 \(\mathcal{O}_{Y, f(x)} \to \mathcal{O}_{X, x}\) 都是局部环同态。

讨论局部环层空间时，我们通常在记号中略去环层 \(\mathcal{O}_X\)， 而只说“局部环层空间 \(X\)”。我们还滥用记号，以 \(X\) 同时表示其底拓扑空间。 相应的环层 \(\mathcal{O}_X\) 称为 \(X\) 的结构层。 此外，局部环 \(\mathcal{O}_{X, x}\) 的极大理想通常记作 \(\mathfrak{m}_{X, x}\)，或简记作 \(\mathfrak{m}_x\)。 我们会说“设 \(f : X \to Y\) 是局部环层空间之间的态射”， 从而也略去结构层。此时又滥用记号，以 \(f : X\to Y\) 同时表示底拓扑空间之间的连续映射。 与 \(f\) 对应的 \(f\)-映射通常记作 \(f^\sharp\)。 \(f\) 是局部环层空间态射这一条件，可以表述为：对每个 \(x\in X\)，茎上的映射 \[f^\sharp_x : \mathcal{O}_{Y, f(x)} \longrightarrow \mathcal{O}_{X, x}\] 把极大理想 \(\mathfrak m_{Y, f(x)}\) 映入 \(\mathfrak m_{X, x}\)。

下面利用这些记号约定说明，局部环层空间及其态射构成一个范畴。 为此只须验证，两个局部环层空间态射的复合仍是局部环层空间态射。 设 \(f : X \to Y\) 和 \(g : Y \to Z\) 是局部环层空间态射。 \(f\) 与 \(g\) 的复合定义于《层》的定义 0093。 取 \(x \in X\)。由《层》的引理 008M，复合映射 \[\mathcal{O}_{Z, g(f(x))} \xrightarrow{g^\sharp} \mathcal{O}_{Y, f(x)} \xrightarrow{f^\sharp} \mathcal{O}_{X, x}\] 就是态射 \(g \circ f\) 所诱导的茎上映射。由于局部环同态的复合仍是局部环同态， 结论随即成立。

这个定义有一个令人满意的性质：函子 \[\textit{局部环化空间} \longrightarrow \textit{环化空间}\] 反映同构（事实上还不止于此）。下面给出一个较为具体的表述。

引理

设 \(X\)、\(Y\) 为局部环层空间。若 \(f : X \to Y\) 是环层空间同构， 则 \(f\) 是局部环层空间同构。

证明

这直接归结为代数中的相应事实：若 \(A\)、\(B\) 是局部环， 则任意环同构 \(A \to B\) 都是局部环同构。

局部环层空间的开浸入

定义

设 \(f : X \to Y\) 是局部环层空间态射。称 \(f\) 为 开浸入，如果 \(f\) 将 \(X\) 同胚地映到 \(Y\) 的一个开子集上，并且映射 \(f^{-1}\mathcal{O}_Y \to \mathcal{O}_X\) 是同构。

下述构造与《层》的定义 00A1 (3) 平行。

例

设 \(X\) 为局部环层空间，\(U \subset X\) 为开子集，并令 \(\mathcal{O}_U = \mathcal{O}_X|_U\) 为 \(\mathcal{O}_X\) 在 \(U\) 上的限制。 对 \(u \in U\)，茎 \(\mathcal{O}_{U, u}\) 等于茎 \(\mathcal{O}_{X, u}\)，因而是局部环。 所以 \((U, \mathcal{O}_U)\) 是局部环层空间，且态射 \(j : (U, \mathcal{O}_U) \to (X, \mathcal{O}_X)\) 是开浸入。

定义

设 \(X\) 为局部环层空间，\(U \subset X\) 为开子集。 上面例 01HF 中的局部环层空间 \((U, \mathcal{O}_U)\) 称为 \(X\) 的与 \(U\) 相伴的开子空间。

引理

设 \(f : X \to Y\) 是局部环层空间的开浸入，并令 \(j : V = f(X) \to Y\) 为 \(Y\) 的与 \(f\) 的像相伴的开子空间。 存在唯一的局部环层空间同构 \(f' : X \cong V\)，使得 \(f = j \circ f'\)。

证明

令 \(f'\) 为 \(X\) 与 \(V\) 之间由 \(f\) 诱导的同胚。作为拓扑空间之间的映射， \(f = j \circ f'\)。由于存在层同构 \(f^\sharp : f^{-1}(\mathcal{O}_Y) \to \mathcal{O}_X\)，故有环同构 \(f^\sharp : \Gamma(U, f^{-1}(\mathcal{O}_Y)) \to \Gamma(U, \mathcal{O}_X)\)， 其中 \(U \subset X\) 为任意开子集 。由于 \(\mathcal{O}_V = j^{-1}\mathcal{O}_Y\) 且 \(f^{-1} = f'^{-1} j^{-1}\) （《层》的引理 008I），可得 \(f^{-1}\mathcal{O}_Y = f'^{-1}\mathcal{O}_V\)，从而映射 \(\Gamma(U, f'^{-1}(\mathcal{O}_V)) \to \Gamma(U, f^{-1}(\mathcal{O}_Y))\) 对每个开集 \(U \subset X\) 都是同构。将这些同构复合，便对每个开子集 \(U \subset X\) 得到环同构 \[\Gamma(U, f'^{-1}(\mathcal{O}_V)) \to \Gamma(U, \mathcal{O}_X)\] ，因而得到层同构 \(f^{-1}(\mathcal{O}_V) \to \mathcal{O}_X\)。 换言之，我们得到同构 \(f'^{\sharp} : f'^{-1}(\mathcal{O}_V) \to \mathcal{O}_X\)， 从而得到局部环层空间同构 \((f', f'^{\sharp}) : (X, \mathcal{O}_X) \to (V, \mathcal{O}_V)\) （使用引理 01HC）。按构造， 作为局部环层空间态射也有 \(f = j \circ f'\)。

再设有态射 \(f'' : (X, \mathcal{O}_X) \to (V, \mathcal{O}_V)\)，满足 \(f = j \circ f''\)。对任意 \(x \in X\)，有 \(j(f'(x)) = j(f''(x))\)，由此推出 \(f'(x) = f''(x)\)，因为 \(j\) 是包含映射。因此 \(f'\) 与 \(f''\) 作为拓扑空间态射相同。 在结构层上，对每个开子集 \(U \subset X\)，有交换图 \[\xymatrix @R=5em{ \Gamma(U, f^{-1}(\mathcal{O}_Y)) \ar[d]_\cong\ar[r]^\cong & \Gamma(U, \mathcal{O}_X) \\ \Gamma(U, f'^{-1}(\mathcal{O}_V)) \ar@/^/[ru]^{f'^\sharp} \ar@/_/[ru]_{f''^\sharp} & }\] 由此可见，\(f'^\sharp\) 与 \(f''^\sharp\) 定义同一个层态射。

从现在起，我们不再区分开子集与其相伴的开子空间。

引理

设 \(f : X \to Y\) 是局部环层空间态射，\(U \subset X\)、\(V \subset Y\) 为开子集， 并设 \(f(U) \subset V\)。存在唯一的局部环层空间态射 \(f|_U : U \to V\)， 使下图成为局部环层空间的交换方块： \[\xymatrix{ U \ar[d]_{f|_U} \ar[r] & X \ar[d]^f \\ V \ar[r] & Y }\]

证明

略。

下文将不加说明地使用由上引理得到的如下事实。给定任意局部环层空间态射 \(f : Y \to X\)，以及开子集 \(U \subset X\)，并设它满足 \(f(Y) \subset U\)， 存在唯一的局部环层空间态射 \(Y \to U\)，使复合 \(Y \to U \to X\) 等于 \(f\)。 事实上，我们甚至会滥用记号直接写成 \(f : Y \to U\)，因为这很少引起混淆。

局部环层空间的闭浸入

沿用《模》的定义 01C2 中引入的约定。

定义

设 \(i : Z \to X\) 是局部环层空间态射。若满足下列条件，则称 \(i\) 为 闭浸入：

1. 映射 \(i\) 将 \(Z\) 同胚地映到 \(X\) 的一个闭子集上。

2. 映射 \(\mathcal{O}_X \to i_*\mathcal{O}_Z\) 是满射；以 \(\mathcal{I}\) 表示其核。

3. \(\mathcal{O}_X\)-模 \(\mathcal{I}\) 局部地由截面生成。

引理

设 \(f : Z \to X\) 是局部环层空间态射。要使 \(f\) 为闭浸入，只需存在开覆盖 \(X = \bigcup U_i\)，使每个 \(f : f^{-1}U_i \to U_i\) 都是闭浸入。

证明

略。

例

设 \(X\) 是局部环层空间，\(\mathcal{I} \subset \mathcal{O}_X\) 是理想层， 并且作为 \(\mathcal{O}_X\)-模层局部地由截面生成。令 \(Z\) 为环层 \(\mathcal{O}_X/\mathcal{I}\) 的支撑。由《模》的引理 01AV，它是 \(X\) 的闭子集。 以 \(i : Z \to X\) 表示包含映射。由《模》的引理 01AX，存在唯一的环层 \(\mathcal{O}_Z\) 定义在 \(Z\) 上， 满足 \(i_*\mathcal{O}_Z = \mathcal{O}_X/\mathcal{I}\)。 对任意 \(z \in Z\)，茎 \(\mathcal{O}_{Z, z}\) 等于局部环的非零商 \(\mathcal{O}_{X, i(z)}/\mathcal{I}_{i(z)}\)，因而仍是局部环。 所以 \(i : (Z, \mathcal{O}_Z) \to (X, \mathcal{O}_X)\) 是局部环层空间的闭浸入。

定义

设 \(X\) 是局部环层空间，\(\mathcal{I}\) 是 \(X\) 上局部地由截面生成的理想层。 上面例 01HM 中的局部环层空间 \((Z, \mathcal{O}_Z)\) 称为 \(X\) 的与理想层 \(\mathcal{I}\) 相伴的闭子空间。

引理

设 \(f : X \to Y\) 是局部环层空间的闭浸入，\(\mathcal{I}\) 是映射 \(\mathcal{O}_Y \to f_*\mathcal{O}_X\) 的核，并令 \(i : Z \to Y\) 为 \(Y\) 的与 \(\mathcal{I}\) 相伴的闭子空间。存在唯一的局部环层空间同构 \(f' : X \cong Z\)，使得 \(f = i \circ f'\)。

证明

略。

引理

设 \(X\)、\(Y\) 为局部环层空间，\(\mathcal{I} \subset \mathcal{O}_X\) 是局部地由截面生成的理想层， 且 \(i : Z \to X\) 是相伴的闭子空间。态射 \(f : Y \to X\) 经 \(Z\) 分解， 当且仅当映射 \(f^*\mathcal{I} \to f^*\mathcal{O}_X = \mathcal{O}_Y\) 为零。 在这种情形下，态射 \(g : Y \to Z\) 若满足 \(f = i \circ g\)，则它是唯一的。

证明

显然，若 \(f\) 分解为 \(Y \to Z \to X\)，则映射 \(f^*\mathcal{I} \to \mathcal{O}_Y\) 为零。反过来，设 \(f^*\mathcal{I} \to \mathcal{O}_Y\) 为零。任取 \(y \in Y\)，考虑环同态 \(f^\sharp_y : \mathcal{O}_{X, f(y)} \to \mathcal{O}_{Y, y}\)。 由于复合映射 \(\mathcal{I}_{f(y)} \to \mathcal{O}_{X, f(y)} \to \mathcal{O}_{Y, y}\) 按假设为零，且 \(f^\sharp_y(1) = 1\)，可知 \(1 \not \in \mathcal{I}_{f(y)}\)，即 \(\mathcal{I}_{f(y)} \not = \mathcal{O}_{X, f(y)}\)。因此 \(f(Y) \subset Z = \text{Supp}(\mathcal{O}_X/\mathcal{I})\)。 于是 \(f = i \circ g\)，其中 \(g : Y \to Z\) 连续。考虑映射 \(f^\sharp : \mathcal{O}_X \to f_*\mathcal{O}_Y\)。 假设 \(f^*\mathcal{I} \to \mathcal{O}_Y\) 为零，意味着复合 \(\mathcal{I} \to \mathcal{O}_X \to f_*\mathcal{O}_Y\) 为零； 这是由 \(f_*\) 与 \(f^*\) 的伴随性得到的。 换言之，我们得到环层态射 \(\overline{f^\sharp} : \mathcal{O}_X/\mathcal{I} \to f_*\mathcal{O}_Y\)。 注意 \(f_*\mathcal{O}_Y = i_*g_*\mathcal{O}_Y\)，且 \(\mathcal{O}_X/\mathcal{I} = i_*\mathcal{O}_Z\)。 由《层》的引理 00AH， 得到唯一的环层态射 \(g^\sharp : \mathcal{O}_Z \to g_*\mathcal{O}_Y\)， 其沿 \(i\) 的正像为 \(\overline{f^\sharp}\)。我们略去如下验证： \((g, g^\sharp)\) 定义局部环层空间态射，并且作为局部环层空间态射有 \(f = i \circ g\)。\((g, g^\sharp)\) 的唯一性已在上面指出。

引理

设 \(f : X \to Y\) 是局部环层空间态射， \(\mathcal{I} \subset \mathcal{O}_Y\) 是局部地由截面生成的理想层， 且 \(i : Z \to Y\) 是与 \(\mathcal{I}\) 相伴的闭子空间。 令 \(\mathcal{J}\) 为映射 \(f^*\mathcal{I} \to f^*\mathcal{O}_Y = \mathcal{O}_X\) 的像。 则这个理想局部地由截面生成。再令 \(i' : Z' \to X\) 为相伴的 \(X\) 的闭子空间。 存在唯一的局部环层空间态射 \(f' : Z' \to Z\)，使下图成为局部环层空间的交换方块： \[\xymatrix{ Z' \ar[d]_{f'} \ar[r]_{i'} & X \ar[d]^f \\ Z \ar[r]^{i} & Y }\] 此外，这个图在局部环层空间范畴中是纤维方块。

证明

由《模》的引理 01B3， 理想 \(\mathcal{J}\) 局部地由截面生成。引理的其余部分由上面的引理 01HP 对“态射经闭子空间分解”的刻画得到。

仿射概形

设 \(R\) 为环。考虑拓扑空间 \(\Spec(R)\)，它与 \(R\) 相伴；参见《代数》第 00DY 节。我们将在这个空间上赋予一个环层 \(\mathcal{O}_{\Spec(R)}\)，所得二元组 \((\Spec(R), \mathcal{O}_{\Spec(R)})\) 将是一个仿射概形。

回顾 \(\Spec(R)\) 有一个由开集 \(D(f)\)（\(f \in R\)）组成的基；这些开集称为 标准开集，参见《代数》的定义 00E1。 此外，两个标准开集的交仍为标准开集： \(D(f) \cap D(g) = D(fg)\)，其中 \(f, g\in R\)。

引理

设 \(R\) 为环，\(f \in R\)。

1. 若 \(g\in R\) 且 \(D(g) \subset D(f)\)，则

   1. \(f\) 在 \(R_g\) 中可逆；

   2. \(g^e = af\)，其中 \(e \geq 1\) 且 \(a \in R\)；

   3. 存在典范环同态 \(R_f \to R_g\)；

   4. 存在典范的 \(R_f\)-模同态 \(M_f \to M_g\)，适用于任意 \(R\)-模 \(M\)。

2. \(D(f)\) 的任意开覆盖都可加细为形如 \(D(f) = \bigcup_{i = 1}^n D(g_i)\) 的有限开覆盖。

3. 若 \(g_1, \ldots, g_n \in R\)，则 \(D(f) \subset \bigcup D(g_i)\) 当且仅当 \(g_1, \ldots, g_n\) 在 \(R_f\) 中生成单位理想。

证明

回顾 \(D(g) = \Spec(R_g)\)（见《代数》的引理 00E4）。(a) 成立，是因为 \(f\) 在 \(R_g\) 中的像 不属于任何素理想，因而可逆；参见《代数》的引理 00E0。把 \(f\) 在 \(R_g\) 中的逆元写成 \(a/g^d\)。这意味着 \(g^d - af\) 被 \(g\) 的某个幂零化，从而得到 (b)。 对于 (c)，由 (a) 及局部化的泛性质，映射 \(R_f \to R_g\) 存在； 也可以把 \(b/f^n\) 映到 \(a^nb/g^{ne}\) 来定义它。利用等式 \(M_f = M \otimes_R R_f\) 可以得到模之间的映射 \(M_f \to M_g\)； 也可以把 \(x/f^n\) 映到 \(a^nx/g^{ne}\) 来定义它。

回顾 \(D(f)\) 是拟紧的，参见《代数》的引理 00F6。由于标准开集构成这个拓扑的一组基， 第二个断言立即成立。

第三个断言直接来自《代数》的引理 00E0。

在《层》第 009H 节中，我们定义了基上的层， 并说明这一概念与空间上的层本质上等价；参见《层》的引理 009N 和 009Q。此外，《层》的引理 009L 表明， 对每个标准开集，只须在一个开覆盖的共尾系上检验层条件。 由上面的引理，只须对标准开集构成的有限覆盖检验这一条件。

定义

设 \(R\) 为环。

1. \(\Spec(R)\) 的一个 标准开覆盖 是形如 \(\Spec(R) = \bigcup_{i = 1}^n D(f_i)\) 的覆盖，其中 \(f_1, \ldots, f_n \in R\)。

2. 设 \(D(f) \subset \Spec(R)\) 是标准开集。\(D(f)\) 的一个 标准开覆盖 是形如 \(D(f) = \bigcup_{i = 1}^n D(g_i)\) 的覆盖， 其中 \(g_1, \ldots, g_n \in R\)。

设 \(R\) 为环，\(M\) 为 \(R\)-模。我们将在标准开集构成的基上定义预层 \(\widetilde M\)。设 \(U \subset \Spec(R)\) 是标准开集。若 \(f, g \in R\) 满足 \(D(f) = D(g)\)，则由上面的引理 01HS， 存在互为逆映射的典范映射 \(M_f \to M_g\) 和 \(M_g \to M_f\)。 因此可以任选 \(f\)，使其满足 \(U = D(f)\)，并定义 \[\widetilde M(U) = M_f.\] 注意，若 \(D(g) \subset D(f)\)，则由上面的引理 01HS，存在典范映射 \[\widetilde M(D(f)) = M_f \longrightarrow M_g = \widetilde M(D(g)).\] 显然，这在标准开集构成的基上定义了一个阿贝尔群预层。若 \(M = R\)， 则 \(\widetilde R\) 是该基上的环预层。

下面计算 \(\widetilde M\) 在点 \(x \in \Spec(R)\) 处的茎。设 \(x\) 对应于素理想 \(\mathfrak p \subset R\)。由茎的定义可得 \[\widetilde M_x = \colim_{f\in R, f\not\in \mathfrak p} M_f\] 这里，集合 \(\{f \in R, f \not \in \mathfrak p\}\) 由规则 \(f \geq f' \Leftrightarrow D(f) \subset D(f')\) 赋予预序。 若 \(f_1, f_2 \in R \setminus \mathfrak p\)，则在这个预序中 \(f_1f_2 \geq f_1\)。因此，由《代数》的引理 00CR 可得 \[\widetilde M_x = M_{\mathfrak p}.\]

接下来检验标准开覆盖的层条件。若 \(D(f) = \bigcup_{i = 1}^n D(g_i)\)，则这个覆盖的层条件等价于下列序列的正合性： \[0 \to M_f \to \bigoplus M_{g_i} \to \bigoplus M_{g_ig_j}.\] 注意 \(D(g_i) = D(fg_i)\)，因此可将这个序列改写为 \[0 \to M_f \to \bigoplus M_{fg_i} \to \bigoplus M_{fg_ig_j}.\] 此外，由上面的引理 01HS， \(g_1, \ldots, g_n\) 在 \(R_f\) 中生成单位理想。因此可把《代数》的引理 00EK 应用于模 \(M_f\)、环 \(R_f\) 以及元素 \(g_1, \ldots, g_n\)。由此可知该序列正合。根据前面的说明， \(\widetilde M\) 是标准开集构成的基上的一个层。

由《层》第 009H 节的内容可知，存在唯一的环层 \(\mathcal{O}_{\Spec(R)}\)，它在标准开集上与 \(\widetilde R\) 一致。 注意，由上面对茎的计算，这个环层的所有茎都是局部环。

类似地，对任意 \(R\)-模 \(M\)，存在唯一的 \(\mathcal{O}_{\Spec(R)}\)-模层 \(\mathcal{F}\)，它在标准开集上与 \(\widetilde M\) 一致；参见《层》的引理 009T。

定义

设 \(R\) 为环。

1. 结构层 \(\mathcal{O}_{\Spec(R)}\)，即 \(R\) 的谱的结构层，是唯一的环层 \(\mathcal{O}_{\Spec(R)}\)，它在标准开集构成的基上与 \(\widetilde R\) 一致。

2. 局部环层空间 \((\Spec(R), \mathcal{O}_{\Spec(R)})\) 称为 \(R\) 的 谱，记作 \(\Spec(R)\)。

3. 这个 \(\mathcal{O}_{\Spec(R)}\)-模层把 \(\widetilde M\) 扩张到 \(\Spec(R)\) 的全部开集上；它称为一个 \(\mathcal{O}_{\Spec(R)}\)-模层， 且与 \(M\) 相伴。这个层仍记作 \(\widetilde M\)。

下面汇总至此所得的结果。

引理

设 \(R\) 为环，\(M\) 为 \(R\)-模，并设 \(\widetilde M\) 是一个 \(\mathcal{O}_{\Spec(R)}\)-模层，它与 \(M\) 相伴。

1. 有 \(\Gamma(\Spec(R), \mathcal{O}_{\Spec(R)}) = R\)。

2. 有 \(\Gamma(\Spec(R), \widetilde M) = M\)，且这是作为 \(R\)-模的等式。

3. 对每个 \(f \in R\)，有 \(\Gamma(D(f), \mathcal{O}_{\Spec(R)}) = R_f\)。

4. 对每个 \(f\in R\)，有 \(\Gamma(D(f), \widetilde M) = M_f\)， 且这是作为 \(R_f\)-模的等式。

5. 只要 \(D(g) \subset D(f)\)，\(\mathcal{O}_{\Spec(R)}\) 和 \(\widetilde M\) 上的限制映射就是引理 01HS 中的映射 \(R_f \to R_g\) 和 \(M_f \to M_g\)。

6. 设 \(\mathfrak p\) 是 \(R\) 的素理想，\(x \in \Spec(R)\) 是相应的点。 则有 \(\mathcal{O}_{\Spec(R), x} = R_{\mathfrak p}\)。

7. 设 \(\mathfrak p\) 是 \(R\) 的素理想，\(x \in \Spec(R)\) 是相应的点。 有 \(\widetilde M_x = M_{\mathfrak p}\)，且这是作为 \(R_{\mathfrak p}\)-模的等式。

此外，所有这些识别都关于 \(R\)-模 \(M\) 具有函子性。特别地，函子 \(M \mapsto \widetilde M\) 是从 \(R\)-模范畴到 \(\mathcal{O}_{\Spec(R)}\)-模范畴的正合函子。

证明

断言 (1)–(7) 由上面的讨论显然成立。函子 \(M \mapsto \widetilde M\) 的正合性来自以下两个事实：函子 \(M \mapsto M_{\mathfrak p}\) 是正合的， 而短正合列的正合性可以在茎上检验；参见《模》的引理 01AG。

定义

仿射概形 是这样的局部环层空间：它作为局部环层空间同构于 \(\Spec(R)\)，其中 \(R\) 是某个环。仿射概形之间的态射 是局部环层空间范畴中的态射。

仿射概形在所有局部环层空间中起着特殊作用；下一节将讨论这一点。

仿射概形范畴

注意，若 \(Y\) 是仿射概形，则存在典范的 \(1-1\) 双射， 把它的点对应到 \(\Gamma(Y, \mathcal{O}_Y)\) 中的素理想。

引理

设 \(X\) 为局部环层空间，\(Y\) 为仿射概形，并设 \(f \in \Mor(X, Y)\) 是局部环层空间态射。给定点 \(x \in X\)，考虑环同态 \[\Gamma(Y, \mathcal{O}_Y) \xrightarrow{f^\sharp} \Gamma(X, \mathcal{O}_X) \to \mathcal{O}_{X, x}\] 以 \(\mathfrak p \subset \Gamma(Y, \mathcal{O}_Y)\) 表示 \(\mathfrak m_x\) 的原像。 设 \(y \in Y\) 是相应的点，则 \(f(x) = y\)。

证明

考虑交换图 \[\xymatrix{ \Gamma(X, \mathcal{O}_X) \ar[r] & \mathcal{O}_{X, x} \\ \Gamma(Y, \mathcal{O}_Y) \ar[r] \ar[u] & \mathcal{O}_{Y, f(x)} \ar[u] }\] （参见《层》的定义 008J 下方关于 \(f\)-映射的讨论）。 由于右侧竖直箭头是局部同态，可知 \(\mathfrak m_{f(x)}\) 是 \(\mathfrak m_x\) 的原像。结论随即成立。

引理

设 \(X\) 为局部环层空间，\(f \in \Gamma(X, \mathcal{O}_X)\)。集合 \[D(f) = \{x \in X \mid \text{像 }f \not\in \mathfrak m_x\}\] 是开集。此外，\(f|_{D(f)}\) 有逆元。

证明

这是《模》的引理 01CY 的特殊情形；这里也给出直接证明。 设 \(U \subset X\) 和 \(V \subset X\) 是两个开子集，且 \(f|_U\) 有逆元 \(g\)， \(f|_V\) 有逆元 \(h\)。显然 \(g|_{U\cap V} = h|_{U\cap V}\)。 因此，只须说明 \(f\) 在任意 \(x \in D(f)\) 的某个开邻域上可逆。 这是显然的，因为 \(f \not \in \mathfrak m_x\) 意味着 \(f \in \mathcal{O}_{X, x}\) 有逆元 \(g \in \mathcal{O}_{X, x}\)； 这又意味着存在某个开邻域 \(x \in U \subset X\)，使得 \(g \in \mathcal{O}_X(U)\) 且 \(g\cdot f|_U = 1\)。

引理

在上面的引理 01HZ 中，若 \(X\) 是仿射概形， 则开集 \(D(f)\) 与前面定义的标准开集 \(D(f)\) 相同 （见《代数》的定义 00DZ）。

证明

略。

引理

设 \(X\) 为局部环层空间，\(Y\) 为仿射概形。映射 \[\Mor(X, Y) \longrightarrow \Hom(\Gamma(Y, \mathcal{O}_Y), \Gamma(X, \mathcal{O}_X))\] 把 \(f\) 映到全局截面上的 \(f^\sharp\)；这个映射是双射。

证明

由于 \(Y\) 是仿射概形，有 \((Y, \mathcal{O}_Y) \cong (\Spec(R), \mathcal{O}_{\Spec(R)})\) ，其中 \(R\) 是某个环。在证明中，我们将使用关于 \(Y\) 及其结构层的一些事实；它们直接来自已知的环谱性质， 例如引理 01HV。

受上述引理启发，我们构造逆映射。设 \(\psi_Y : \Gamma(Y, \mathcal{O}_Y) \to \Gamma(X, \mathcal{O}_X)\) 是环同态。首先定义相应的空间映射 \[\Psi : X \longrightarrow Y\] ，其规则由引理 01HY 给出。 换言之，给定 \(x \in X\)，定义 \(\Psi(x)\) 为 \(Y\) 中与下述素理想相应的点： 该素理想位于 \(\Gamma(Y, \mathcal{O}_Y)\) 中，并且是 \(\mathfrak m_x\) 在如下复合映射下的原像： \(\Gamma(Y, \mathcal{O}_Y) \xrightarrow{\psi_Y} \Gamma(X, \mathcal{O}_X) \to \mathcal{O}_{X, x}\).

我们断言映射 \(\Psi : X \to Y\) 连续。标准开集 \(D(g)\)（其中 \(g \in \Gamma(Y, \mathcal{O}_Y)\)）构成 \(Y\) 的拓扑的一组基。 因此只须证明 \(\Psi^{-1}(D(g))\) 是开集。按 \(\Psi\) 的构造，原像 \(\Psi^{-1}(D(g))\) 恰为集合 \(D(\psi_Y(g)) \subset X\)； 由引理 01HZ，它是开集。因此 \(\Psi\) 连续。

接着构造一个层的 \(\Psi\)-映射，它从 \(\mathcal{O}_Y\) 到 \(\mathcal{O}_X\)。 由《层》的引理 009V， 只须定义与限制映射相容的环同态 \(\psi_{D(g)} : \Gamma(D(g), \mathcal{O}_Y) \to \Gamma(\Psi^{-1}(D(g)), \mathcal{O}_X)\)。 存在典范同构 \(\Gamma(D(g), \mathcal{O}_Y) = \Gamma(Y, \mathcal{O}_Y)_g\)， 因为 \(Y\) 是仿射概形。 由于 \(\psi_Y(g)\) 在 \(D(\psi_Y(g))\) 上可逆，存在典范映射 \[\Gamma(Y, \mathcal{O}_Y)_g \longrightarrow \Gamma(\Psi^{-1}(D(g)), \mathcal{O}_X) = \Gamma(D(\psi_Y(g)), \mathcal{O}_X)\] ；由局部化的泛性质，它扩张映射 \(\psi_Y\)。注意，这里只能取这个典范映射！ 将它与典范识别 \(\Gamma(D(g), \mathcal{O}_Y) = \Gamma(Y, \mathcal{O}_Y)_g\) 结合， 定义为 \(\psi_{D(g)}\)。这与局部化相容，因为仿射概形上的限制映射同样由 局部化的泛性质定义；参见引理 01HV 和 01HS。

这样就定义了环层空间态射 \((\Psi, \psi) : (X, \mathcal{O}_X) \to (Y, \mathcal{O}_Y)\) ，它在全局截面上给回 \(\psi_Y\)。要说明它是局部环层空间态射， 必须证明所诱导的局部环同态 \[\psi_x : \mathcal{O}_{Y, \Psi(x)} \longrightarrow \mathcal{O}_{X, x}\] 都是局部的。这立即来自引理 01HY 的证明中的交换图以及 \(\Psi\) 的定义。

最后要说明，构造 \((\Psi, \psi) \mapsto \psi_Y\) 与构造 \(\psi_Y \mapsto (\Psi, \psi)\) 互为逆构造。显然， \(\psi_Y \mapsto (\Psi, \psi) \mapsto \psi_Y\)。因此只须证明：给定 \(\psi_Y\)，至多有一个二元组 \((\Psi, \psi)\) 产生它。 \(\Psi\) 的唯一性已在引理 01HY 中证明；给定 \(\Psi\) 的唯一性后，映射 \(\psi\) 的唯一性也已在上面的证明过程中指出。

引理

仿射概形范畴与环范畴的反范畴等价。这个等价由如下函子给出： 它把仿射概形映到其结构层的全局截面。

证明

这由定义 01HW 和引理 01I1 立即得到。

引理

设 \(Y\) 为仿射概形，\(f \in \Gamma(Y, \mathcal{O}_Y)\)。 开子空间 \(D(f)\) 是仿射概形。

证明

可以假设 \(Y = \Spec(R)\) 且 \(f \in R\)。考虑仿射概形态射 \(\phi : U = \Spec(R_f) \to \Spec(R) = Y\)，它由环同态 \(R \to R_f\) 诱导。由《代数》的引理 00E4，它同胚地映到 \(D(f)\) 上。 另一方面，映射 \(\phi^{-1}\mathcal{O}_Y \to \mathcal{O}_U\) 在茎上是同构， 因而本身是同构。所以 \(\phi\) 是开浸入。由引理 01HH， \(D(f)\) 同构于 \(U\)。

引理

仿射概形范畴有有限积和纤维积。换言之，它有有限极限。 此外，仿射概形范畴中的积和纤维积与局部环层空间范畴中的相同。 用公式表示，在局部环层空间范畴中有 \[\Spec(R) \times \Spec(S) = \Spec(R \otimes_{\mathbf{Z}} S)\] ；而给定环同态 \(R \to A\)、\(R \to B\)，有 \[\Spec(A) \times_{\Spec(R)} \Spec(B) = \Spec(A \otimes_R B).\]

证明

这只是引理 01I1 的一个应用。 首先，由该引理，仿射概形 \(\Spec(\mathbf{Z})\) 是局部环层空间范畴中的终对象。 因此第一个展示公式由第二个推出。为证明第二个公式，注意对任意局部环层空间 \(X\)，有 \[\begin{eqnarray*} \Mor(X, \Spec(A \otimes_R B)) & = & \Hom(A \otimes_R B, \mathcal{O}_X(X)) \\ & = & \Hom(A, \mathcal{O}_X(X)) \times_{\Hom(R, \mathcal{O}_X(X))} \Hom(B, \mathcal{O}_X(X)) \\ & = & \Mor(X, \Spec(A)) \times_{\Mor(X, \Spec(R))} \Mor(X, \Spec(B)) \end{eqnarray*}\] 这就证明了该公式。有关定义参见《范畴》第 001U 节。

引理

设 \(X\) 为局部环层空间。假设 \(X = U \amalg V\)，其中 \(U\) 和 \(V\) 是开集， 且 \(U\)、\(V\) 都是仿射概形，则 \(X\) 是仿射概形。

证明

令 \(R = \Gamma(X, \mathcal{O}_X)\)。由层性质， \(R = \mathcal{O}_X(U) \times \mathcal{O}_X(V)\)。 由引理 01I1，存在典范局部环层空间态射 \(X \to \Spec(R)\)。由《代数》的引理 00ED， 作为拓扑空间有 \(\Spec(\mathcal{O}_X(U)) \amalg \Spec(\mathcal{O}_X(V)) = \Spec(R)\) ，其中的映射来自环同态 \(R \to \mathcal{O}_X(U)\) 和 \(R \to \mathcal{O}_X(V)\)。这当然也意味着 \(\Spec(R)\) 是局部环层空间范畴中的余积。 按假设，态射 \(X \to \Spec(R)\) 诱导 \(\Spec(\mathcal{O}_X(U))\) 与 \(U\) 的同构， 对 \(V\) 也同样如此。因此 \(X \to \Spec(R)\) 是同构。

仿射概形上的拟凝聚层

回顾，我们已在《模》的定义 01BE 中定义了拟凝聚层这一抽象概念。本节将证明，仿射概形 \(\Spec(R)\) 上的任意拟凝聚层都对应于层 \(\widetilde M\)；这里它与某个 \(R\)-模 \(M\) 相关联。

引理

设 \((X, \mathcal{O}_X) = (\Spec(R), \mathcal{O}_{\Spec(R)})\) 为仿射概形。设 \(M\) 为 \(R\)-模。层 \(\widetilde M\)（定义 01HU）由这个 \(R\)-模 \(M\) 所关联；它与层 \(\mathcal{F}_M\) 之间存在典范同构，后者由 \(R\)-模 \(M\) 所关联 （《模》的定义 01BI）。 该同构关于 \(M\) 具有函子性。特别地，各层 \(\widetilde M\) 都是拟凝聚的。 此外，它们由如下映射性质刻画： \[\Hom_{\mathcal{O}_X}(\widetilde M, \mathcal{F}) = \Hom_R(M, \Gamma(X, \mathcal{F}))\] 其中可取任意一个 \(\mathcal{O}_X\)-模层 \(\mathcal{F}\)。这里，映射 \(\alpha : \widetilde M \to \mathcal{F}\) 对应于它在整体截面上诱导的映射。

证明

由《模》的引理 01BH， 存在一个态射 \(\mathcal{F}_M \to \widetilde M\)，它对应于映射 \(M \to \Gamma(X, \widetilde M) = M\)。设 \(x \in X\) 对应于素理想 \(\mathfrak p \subset R\)。在茎上诱导的映射是 \(\mathcal{O}_{X, x} \otimes_R M \to M_{\mathfrak p}\)；它们都是同构， 因为 \(R_{\mathfrak p} \otimes_R M = M_{\mathfrak p}\)。 所以映射 \(\mathcal{F}_M \to \widetilde M\) 是同构。所述映射性质则来自 各层 \(\mathcal{F}_M\) 的映射性质。

引理

设 \((X, \mathcal{O}_X) = (\Spec(R), \mathcal{O}_{\Spec(R)})\) 为仿射概形。存在如下典范同构：

1. \(\widetilde{M \otimes_R N} \cong \widetilde M \otimes_{\mathcal{O}_X} \widetilde N\), 参见《模》第 01CA 节。

2. \(\widetilde{\text{T}^n(M)} \cong \text{T}^n(\widetilde M)\), \(\widetilde{\text{Sym}^n(M)} \cong \text{Sym}^n(\widetilde M)\)，以及 \(\widetilde{\wedge^n(M)} \cong \wedge^n(\widetilde M)\)， 参见《模》第 01CF 节。

3. 若 \(M\) 是有限表示的 \(R\)-模，则 \(\SheafHom_{\mathcal{O}_X}(\widetilde M, \widetilde N) \cong \widetilde{\Hom_R(M, N)}\)， 参见《模》第 01CM 节。

证明

由引理 01I7 和《模》的引理 01BH 可知，函子 \(M \mapsto \widetilde M\) 可以看成 \(\pi^*\)，其中 \(\pi\) 是某个环层空间态射。 再由《模》的引理 01CD 和 01CI，模的拉回与张量构造相交换。 例如，态射 \(\pi : (X, \mathcal{O}_X) \to (\{*\}, R)\) 是平坦的， 因为 \(\mathcal{O}_X\) 的各个茎都是 \(R\) 的局部化（引理 01HV），因而在 \(R\) 上平坦。因此，当第一个模是 有限表示的时，由《模》的引理 0C6I， 沿 \(\pi\) 的拉回与内部 Hom 相交换。

证明

(1) 的证明。由引理 01I7，要给出从 \(\widetilde{M \otimes_R N}\) 到 \(\widetilde M \otimes_{\mathcal{O}_X} \widetilde N\) 的映射， 只须给出整体截面上的映射 \(M \otimes_R N \to \Gamma(X, \widetilde M \otimes_{\mathcal{O}_X} \widetilde N)\) 它由模层张量积的定义给出。要证明该映射是同构，只须检验它在各个茎上 都是同构。这来自 \(\widetilde{M}\) 的茎的描述（见引理 01HV，或《模》的引理 01BH）、张量积与局部化 相交换这一事实（《代数》的引理 00DL），以及《模》的引理 01CB。

(2) 的证明。这与 (1) 的证明类似，只须使用《代数》的引理 0C6F 和《模》的引理 01CH。

(3) 的证明。由于构造 \(M \mapsto \widetilde{M}\) 具有函子性，存在一个 \(R\)-线性映射 \(\Hom_R(M, N) \to \Hom_{\mathcal{O}_X}(\widetilde{M}, \widetilde{N})\). 该映射的目标是 \(\SheafHom_{\mathcal{O}_X}(\widetilde M, \widetilde N)\) 的整体截面。 所以由引理 01I7，得到一个 \(\mathcal{O}_X\)-模映射 \(\widetilde{\Hom_R(M, N)} \to \SheafHom_{\mathcal{O}_X}(\widetilde M, \widetilde N)\)。 比较各茎即可检验它是同构。若 \(M\) 作为 \(R\)-模是有限表示的，则 \(\widetilde M\) 作为 \(\mathcal{O}_X\)-模具有整体有限表示。因此结论来自 《代数》的引理 0583 和《模》的 引理 01CP。

证明

对任意 \(\mathcal{O}_X\)-模 \(\mathcal{F}\)，有如下关于 \(M\)、\(N\) 和 \(\mathcal{F}\) 具有函子性的同构： \[\begin{align*} \Hom_{\mathcal{O}_X}(\widetilde{M} \otimes _{\mathcal{O} _X} \widetilde{N}, \mathcal{F}) & = \Hom_{\mathcal{O}_X}(\widetilde{M}, \SheafHom_{\mathcal{O} _X} (\widetilde{N}, \mathcal{F})) \\ & = \Hom_R(M, \Gamma(X, \SheafHom_{\mathcal{O}_X}(\widetilde{N}, \mathcal{F}))) \\ & = \Hom_R(M, \Hom_{\mathcal{O}_X}(\widetilde{N}, \mathcal{F})) \\ & = \Hom_R(M, \Hom_R(N, \Gamma(X,\mathcal{F}))) \\ & = \Hom_R(M \otimes_R N, \Gamma(X, \mathcal{F})) \\ & = \Hom_{\mathcal{O}_X}(\widetilde{M \otimes_R N}, \mathcal{F}) \end{align*}\] 第一个等式是《模》的引理 01CN。 第二个等式是 \(\widetilde{M}\) 的泛性质，参见引理 01I7。第三个等式由 \(\SheafHom\) 的定义成立。 第四个等式是 \(\widetilde{N}\) 的泛性质。第五个等式是《代数》的引理 00DE。最后一个等式是 \(\widetilde{M \otimes_R N}\) 的泛性质。由米田引理（《范畴》的引理 001P）即得 (1)。

引理

设 \((X, \mathcal{O}_X) = (\Spec(S), \mathcal{O}_{\Spec(S)})\), \((Y, \mathcal{O}_Y) = (\Spec(R), \mathcal{O}_{\Spec(R)})\) 为仿射概形。设 \(\psi : (X, \mathcal{O}_X) \to (Y, \mathcal{O}_Y)\) 为仿射概形的态射，对应于环同态 \(\psi^\sharp : R \to S\) （见引理 01I2）。

1. 有 \(\psi^* \widetilde M = \widetilde{S \otimes_R M}\)，且该等式关于 \(R\)-模 \(M\) 具有函子性。

2. 有 \(\psi_* \widetilde N = \widetilde{N_R}\)，且该等式关于 \(S\)-模 \(N\) 具有函子性。

证明

第一个断言来自引理 01I7 中的认同以及《模》的 引理 01BJ。第二个断言来自等式 \(\psi^{-1}(D(f)) = D(\psi^\sharp(f))\)，因而 \[\psi_* \widetilde N(D(f)) = \widetilde N(D(\psi^\sharp(f))) = N_{\psi^\sharp(f)} = (N_R)_f = \widetilde{N_R}(D(f))\] 正是所需的等式。

上面的引理 01I9 特别说明：把层 \(\widetilde M\) 限制到标准仿射开子空间 \(D(f)\) 上，所得就是 \(\widetilde{M_f}\)。下文将直接使用这一事实，不再另行说明。

引理

设 \((X, \mathcal{O}_X) = (\Spec(R), \mathcal{O}_{\Spec(R)})\) 为仿射概形，\(\mathcal{F}\) 为拟凝聚 \(\mathcal{O}_X\)-模。那么 \(\mathcal{F}\) 同构于由 \(R\)-模 \(\Gamma(X, \mathcal{F})\) 所关联的层。

证明

设 \(\mathcal{F}\) 为拟凝聚 \(\mathcal{O}_X\)-模。由于每个标准开集 \(D(f)\) 都是拟紧的，可见 \(X\) 是局部拟紧的；也就是说，每一点都有一个 由拟紧邻域组成的基本系，参见《拓扑》的定义 0068。因此，由《模》的引理 01BK，对每个素理想 \(\mathfrak p \subset R\) 及其对应的点 \(x \in X\)，都存在开邻域 \(x \in U \subset X\)， 使得 \(\mathcal{F}|_U\) 同构于由某个 \(\mathcal{O}_X(U)\)-模 \(M\) 所关联的 拟凝聚层。换言之，我们得到一个由具有这一性质的 \(U\) 组成的开覆盖。 例如，由引理 01HS，可把这个覆盖加细为标准开覆盖。 于是得到覆盖 \(\Spec(R) = \bigcup D(f_i)\)、\(R_{f_i}\)-模 \(M_i\)，以及同构 \(\varphi_i : \mathcal{F}|_{D(f_i)} \to \mathcal{F}_{M_i}\)，其中再次把 相应的 \(R_{f_i}\)-模记为 \(M_i\)。在交叠处得到同构 \[\xymatrix{ \mathcal{F}_{M_i}|_{D(f_if_j)} \ar[rr]^{\varphi_i^{-1}|_{D(f_if_j)}} & & \mathcal{F}|_{D(f_if_j)} \ar[rr]^{\varphi_j|_{D(f_if_j)}} & & \mathcal{F}_{M_j}|_{D(f_if_j)}. }\] 把这些同构记作 \(\psi_{ij}\)。显然，在三重交叠处有余循环条件 \[\psi_{jk}|_{D(f_if_jf_k)} \circ \psi_{ij}|_{D(f_if_jf_k)} = \psi_{ik}|_{D(f_if_jf_k)}\] 。

回顾，每个开子空间 \(D(f_i)\)、\(D(f_if_j)\)、\(D(f_if_jf_k)\) 都是仿射概形。 因此，各层 \(\mathcal{F}_{M_i}\) 都同构于层 \(\widetilde M_i\)；这是上面的 引理 01I7 的结论。特别地， \(\mathcal{F}_{M_i}(D(f_if_j)) = (M_i)_{f_j}\)，等等。再由上面的引理 01I7 可知，\(\psi_{ij}\) 对应于唯一的 \(R_{f_if_j}\)-模同构 \[\psi_{ij} : (M_i)_{f_j} \longrightarrow (M_j)_{f_i}\] 即 \(\psi_{ij}\) 在 \(D(f_if_j)\) 上的截面所诱导的映射。此外，这些同构满足 如下余循环条件： \[\xymatrix{ (M_i)_{f_jf_k} \ar[rd]_{\psi_{ij}} \ar[rr]^{\psi_{ik}} & & (M_k)_{f_if_j} \\ & (M_j)_{f_if_k} \ar[ru]_{\psi_{jk}} }\] 对任意三元组 \(i, j, k\)，该图交换。

现在，《代数》的引理 00EQ 表明，存在一个 \(R\)-模 \(M\)，使得 \(M_i = M_{f_i}\)，并与各态射 \(\psi_{ij}\) 相容。 考虑 \(\mathcal{F}_M = \widetilde M\)。此时，要证明 \(\widetilde M\) 同构于 我们最初的拟凝聚层 \(\mathcal{F}\)，只剩一个形式性步骤。确切地说， 层 \(\mathcal{F}\) 与 \(\widetilde M\) 给出的 \(\mathcal{O}_X\)-模层粘合数据 彼此同构；这里所取覆盖为 \(X = \bigcup D(f_i)\)。参见《层》第 00AK 节，尤其是引理 00AN。具体到当前情形，这归结为如下论证： 我们构造一个 \(R\)-模映射 \[M \longrightarrow \Gamma(X, \mathcal{F}).\] 具体而言，给定 \(m \in M\)，得到 \(m_i = m/1 \in M_{f_i} = M_i\)； 这是 \(M\) 的构造所致。由 \(M_i\) 的构造，这对应于一个截面 \(s_i \in \mathcal{F}(U_i)\)（即 \(\varphi^{-1}_i(m_i)\)）。我们断言 \(s_i|_{D(f_if_j)} = s_j|_{D(f_if_j)}\)。这成立是因为，由 \(M\) 的构造， 有 \(\psi_{ij}(m_i) = m_j\)，并且各 \(\psi_{ij}\) 正是按上述方式构造的。 由 \(\mathcal{F}\) 的层条件，这组截面唯一地给出一个截面 \(s\)；它是 \(\mathcal{F}\) 在 \(X\) 上的截面。留给读者验证 \(m \mapsto s\) 是 \(R\)-模映射。由引理 01I7，得到相应的 \(\mathcal{O}_X\)-模映射 \[\widetilde M \longrightarrow \mathcal{F}.\] 按构造，该映射化为同构 \(\varphi_i^{-1}\)；在每个 \(D(f_i)\) 上皆如此， 因而该映射本身是同构。

引理

设 \((X, \mathcal{O}_X) = (\Spec(R), \mathcal{O}_{\Spec(R)})\) 为仿射概形。函子 \(M \mapsto \widetilde M\) 与 \(\mathcal{F} \mapsto \Gamma(X, \mathcal{F})\) 给出如下范畴之间互为拟逆的等价： \[\xymatrix{ \QCoh(\mathcal{O}_X) \ar@<1ex>[r] & \text{Mod}_R \ar@<1ex>[l] }\] 即拟凝聚 \(\mathcal{O}_X\)-模范畴与 \(R\)-模范畴之间的等价。

证明

见上面的引理 01I7 和 01IA。

从现在起，我们不再区分仿射概形上的拟凝聚层与形如 \(\widetilde M\) 的层。

引理

设 \(X = \Spec(R)\) 为仿射概形。拟凝聚 \(\mathcal{O}_X\)-模之间映射的核与余核 都是拟凝聚的。

证明

这来自函子 \(\widetilde{\ }\) 的正合性，因为由引理 01I7 可知，任意映射 \(\psi : \widetilde{M} \to \widetilde{N}\) 都来自一个 \(R\)-模映射 \(\varphi : M \to N\)。（所以有 \(\Ker(\psi) = \widetilde{\Ker(\varphi)}\) 和 \(\Coker(\psi) = \widetilde{\Coker(\varphi)}\)。）

引理

设 \(X = \Spec(R)\) 为仿射概形。\(X\) 上任意一族拟凝聚层的直和仍是拟凝聚的； 余极限也同样如此。

证明

设 \(\mathcal{F}_i\)（\(i \in I\)）是 \(X\) 上的一族拟凝聚层。由上面的引理 01IB，可写成 \(\mathcal{F}_i = \widetilde{M_i}\)，其中它来自某个 \(R\)-模 \(M_i\)。 令 \(M = \bigoplus M_i\)，并考虑层 \(\widetilde{M}\)。对每个标准开集 \(D(f)\)，有 \[\widetilde{M}(D(f)) = M_f = \left(\bigoplus M_i\right)_f = \bigoplus M_{i, f}.\] 因此可见，拟凝聚 \(\mathcal{O}_X\)-模 \(\widetilde{M}\) 正是各层 \(\mathcal{F}_i\) 的直和。一般余极限的情形可用类似论证处理。

引理

设 \((X, \mathcal{O}_X) = (\Spec(R), \mathcal{O}_{\Spec(R)})\) 为仿射概形。设 \[0 \to \mathcal{F}_1 \to \mathcal{F}_2 \to \mathcal{F}_3 \to 0\] 是 \(\mathcal{O}_X\)-模层的短正合列。若三项中有两项是拟凝聚的， 则第三项也是拟凝聚的。

证明

若 \(\mathcal{F}_1\) 和 \(\mathcal{F}_2\) 都是拟凝聚的，则断言显然成立， 因为函子 \(M \mapsto \widetilde M\) 是正合的；见引理 01HV。\(\mathcal{F}_2\) 和 \(\mathcal{F}_3\) 都拟凝聚的情形 也类似。现在设 \(\mathcal{F}_1 = \widetilde M_1\) 和 \(\mathcal{F}_3 = \widetilde M_3\) 都是拟凝聚的。令 \(M_2 = \Gamma(X, \mathcal{F}_2)\)。我们断言，只须证明序列 \[0 \to M_1 \to M_2 \to M_3 \to 0\] 正合。事实上，若它正合，则利用引理 01I7 的映射性质可得到交换图 \[\xymatrix{ 0 \ar[r] & \widetilde M_1 \ar[r] \ar[d] & \widetilde M_2 \ar[r] \ar[d] & \widetilde M_3 \ar[r] \ar[d] & 0 \\ 0 \ar[r] & \mathcal{F}_1 \ar[r] & \mathcal{F}_2 \ar[r] & \mathcal{F}_3 \ar[r] & 0 }\] 于是由蛇引理即得结论。

这里的“标准”论证应当先证明 \(H^1(X, \mathcal{F}) = 0\)，其中 \(\mathcal{F}\) 是任意拟凝聚层。这其实并不十分困难，但最好留到后面再做。 这里我们改用一个小技巧。

取 \(m \in M_3 = \Gamma(X, \mathcal{F}_3)\)。考虑如下集合： \[I = \{ f \in R \mid \text{元素 }fm\text{ 来自 }M_2\}.\] 显然这是一个理想。只须证明 \(1 \in I\)。因此，只须证明对任意素理想 \(\mathfrak p\)，都存在 \(f \in I\)，且 \(f \not\in \mathfrak p\)。 设 \(x \in X\) 为对应于 \(\mathfrak p\) 的点。由于满射性可以在茎上检验， 存在一个开邻域 \(U\)，它是 \(x\) 的邻域，并使得 \(m|_U\) 来自某个局部截面 \(s \in \mathcal{F}_2(U)\)。事实上，可以假定 \(U = D(f)\) 是标准开集， 即 \(f \in R\) 且 \(f \not \in \mathfrak p\)。我们将证明，对某个 \(N \gg 0\) 有 \(f^N \in I\)，这便完成证明。

任取一点 \(z \in V(f)\)，设它对应于素理想 \(\mathfrak q \subset R\)。 还可以找到 \(g \in R\)，满足 \(g \not \in \mathfrak q\)，使得 \(m|_{D(g)}\) 可提升为某个 \(s' \in \mathcal{F}_2(D(g))\)。考虑差 \(s|_{D(fg)} - s'|_{D(fg)}\)。这是一个元素 \(m'\)，它属于 \(\mathcal{F}_1(D(fg)) = (M_1)_{fg}\)。对某个整数 \(n = n(z)\)，元素 \(f^n m'\) 来自某个 \(m'_1 \in (M_1)_g\)。可见 \(f^n s\) 延拓为一个截面 \(\sigma\)，它是 \(\mathcal{F}_2\) 在 \(D(f) \cup D(g)\) 上的截面；这是因为它与 \(f^n s' + m'_1\) 的限制 在 \(D(f) \cap D(g) = D(fg)\) 上相同。此外，\(\sigma\) 映到 \(f^n m\) 在 \(D(f) \cup D(g)\) 上的限制。

由于 \(V(f)\) 是拟紧的，存在有限多个元素 \(g_1, \ldots, g_m \in R\)， 使得 \(V(f) \subset \bigcup D(g_j)\)；还存在一个整数 \(n > 0\) 以及截面 \(\sigma_j \in \mathcal{F}_2(D(f) \cup D(g_j))\)，使得 \(\sigma_j|_{D(f)} = f^n s\)，并且 \(\sigma_j\) 映到截面 \(f^nm|_{D(f) \cup D(g_j)}\)；后者是 \(\mathcal{F}_3\) 的截面。考虑这些差： \[\sigma_j|_{D(f) \cup D(g_jg_k)} - \sigma_k|_{D(f) \cup D(g_jg_k)}.\] 它们对应于 \(\mathcal{F}_1\) 在 \(D(f) \cup D(g_jg_k)\) 上的截面， 并且在 \(D(f)\) 上为零。特别地，它们在 \(\mathcal{F}_1(D(g_jg_k)) = (M_1)_{g_jg_k}\) 中的像，在 \((M_1)_{g_jg_kf}\) 中为零。因此，\(f\) 的某个高次幂把每一个这样的像都 零化。换言之，各元素 \(f^N \sigma_j\) 对某个 \(N \gg 0\) 满足层性质的 粘合条件，并给出一个截面 \(\sigma\)；它属于 \(\mathcal{F}_2\)，定义在 \(\bigcup (D(f) \cup D(g_j)) = X\) 上，正如所需。

仿射概形的闭子空间

例

设 \(R\) 为环，\(I \subset R\) 为理想。考虑仿射概形的态射 \(i : Z = \Spec(R/I) \to \Spec(R) = X\)。由《代数》的引理 00E5，它把 \(Z\) 同胚地映到 \(X\) 的一个闭子集上。 此外，若 \(I \subset \mathfrak p \subset R\) 是对应于点 \(x = i(z)\) 的 素理想，其中 \(x \in X\)、\(z \in Z\)，则在茎上得到映射 \[\mathcal{O}_{X, x} = R_{\mathfrak p} \longrightarrow R_{\mathfrak p}/IR_{\mathfrak p} = \mathcal{O}_{Z, z}\] 由此可见，\(i\) 是局部环层空间的闭浸入；见定义 01HK。显然，它同构于由 拟凝聚理想层 \(\widetilde I\) 所关联的闭子空间，如例 01HM 所述。

引理

设 \((X, \mathcal{O}_X) = (\Spec(R), \mathcal{O}_{\Spec(R)})\) 为仿射概形，\(i : Z \to X\) 为局部环层空间的任意闭浸入。则存在唯一理想 \(I \subset R\)，使得态射 \(i : Z \to X\) 可与闭浸入 \(\Spec(R/I) \to \Spec(R)\) 认同；后一个闭浸入是在上面的例 01IG 中构造的。

证明

这几乎是显然的！事实上，由引理 01HO，可以把 \(Z \to X\) 与由理想层 \(\mathcal{I} \subset \mathcal{O}_X\) 所关联的闭子空间 认同，如定义 01HN 和例 01HM 所述。依照我们的约定，该理想层作为 \(\mathcal{O}_X\)-模层局部地由截面生成。因此，商层 \(\mathcal{O}_X / \mathcal{I}\) 在 \(X\) 上局部地是某个映射 \(\bigoplus_{j \in J} \mathcal{O}_U \to \mathcal{O}_U\) 的余核。 所以按定义，\(\mathcal{O}_X / \mathcal{I}\) 是拟凝聚的。由第 01I6 节的结果，它形如 \(\widetilde S\)， 是由某个 \(R\)-模 \(S\) 得到的。此外，由于 \(\mathcal{O}_X = \widetilde R \to \widetilde S\) 是满射，由引理 01IE 可见，\(\mathcal{I}\) 也是拟凝聚的， 记作 \(\mathcal{I} = \widetilde I\)。当然，\(I \subset R\) 且 \(S = R/I\)， 一切都已清楚。

概形

定义

概形是满足如下性质的局部环层空间：每一点都有一个本身为仿射概形的 开邻域。概形态射是局部环层空间的态射。概形范畴记作 \(\Sch\)。

设 \(X\) 为概形。我们将作如下（极轻微的）语言滥用：若开子空间 \(U \subset X\) 中的 \(U\) 是仿射概形，就称它为仿射开集或 开仿射集。 我们常写 \(U = \Spec(R)\)，以表示 \(U\) 同构于 \(\Spec(R)\)，并且还表示 我们将暂时认同 \(U\) 与 \(\Spec(R)\)。

引理

设 \(X\) 为概形，\(j : U \to X\) 为局部环层空间的开浸入。则 \(U\) 是概形。 特别地，\(X\) 的任意开子空间都是概形。

证明

设 \(U \subset X\)，并取 \(u \in U\)。选取仿射开邻域 \(u \in V \subset X\)。由于 \(V\) 的标准开集构成 \(V\) 上拓扑的一组基， 存在 \(f\in \mathcal{O}_V(V)\)，使得 \(u \in D(f) \subset U\)。而由引理 01I3，\(D(f)\) 是仿射概形。这就证明了 \(U\) 的 每一点都有一个仿射开邻域。

显然，该引理（或其证明）表明，任意概形 \(X\) 的拓扑都有一组由仿射开集 构成的基（见《拓扑》第 004O 节）。

例

设 \(k\) 为域。开子空间 \(U = \Spec(k[x, y]) \setminus \{ (x, y)\}\) 位于仿射概形 \(X =\Spec(k[x, y])\) 中，并给出了一个非仿射概形的例子。 它由以下两个仿射开集覆盖：

\(D(x) = \Spec(k[x, y, 1/x])\)，\qquad \(D(y) = \Spec(k[x, y, 1/y])\)。

二者之交为 \(D(xy) = \Spec(k[x, y, 1/xy])\)。由 \(\mathcal{O}_U\) 的层性质，存在正合列 \[0 \to \Gamma(U, \mathcal{O}_U) \to k[x, y, 1/x] \times k[x, y, 1/y] \to k[x, y, 1/xy]\] 由此可知，映射 \(k[x, y] \to \Gamma(U, \mathcal{O}_U)\)（它来自态射 \(U \to X\)）是同构。因此 \(U\) 不可能是仿射的；否则由引理 01I2 将有 \(U \cong X\)。

概形的浸入

在引理 01IK 中，我们看到概形的任意开子空间 仍是概形。下面将证明，概形的闭子空间也有同样的性质。

注意，拟凝聚 \(\mathcal{O}_X\)-模层的概念对任意环层空间 \(X\) 都有定义， 特别是在 \(X\) 为概形时。由第 01I6 节的结果 可知，这样的层在任意仿射开集 \(U \subset X\) 上都形如 \(\widetilde M\)， 其中它来自某个 \(\mathcal{O}_X(U)\)-模 \(M\)。

引理

设 \(X\) 为概形，\(i : Z \to X\) 为局部环层空间的闭浸入。

1. 局部环层空间 \(Z\) 是概形；

2. 核 \(\mathcal{I}\) 是拟凝聚理想层；这里所取映射为 \(\mathcal{O}_X \to i_*\mathcal{O}_Z\)；

3. 对任意仿射开集 \(U = \Spec(R)\)，若它属于 \(X\)，则态射 \(i^{-1}(U) \to U\) 可与 \(\Spec(R/I) \to \Spec(R)\) 认同，其中 \(I \subset R\) 是某个理想；

4. 有 \(\mathcal{I}|_U = \widetilde I\)。

特别地，任意局部由截面生成的理想层都是拟凝聚理想层（反之亦然）， 而且 \(X\) 的任意闭子空间都是概形。

证明

设 \(i : Z \to X\) 为闭浸入，并取一点 \(z \in Z\)。任取一个仿射开邻域 \(i(z) \in U \subset X\)，记 \(U = \Spec(R)\)。由引理 01IH 可知，\(i^{-1}(U) \to U\) 可与 仿射概形的态射 \(\Spec(R/I) \to \Spec(R)\) 认同。首先，这说明 \(z \in i^{-1}(U) \subset Z\) 是 \(z\) 的仿射邻域，因而 \(Z\) 是概形。 其次，这说明 \(\mathcal{I}|_U\) 就是 \(\widetilde I\)。换言之，对每一点 \(x \in i(Z)\)，都存在一个开邻域，使得 \(\mathcal{I}\) 在该邻域中拟凝聚。 注意，\(\mathcal{I}|_{X \setminus i(Z)} \cong \mathcal{O}_{X \setminus i(Z)}\)。因此，该理想层在 \(X \setminus i(Z)\) 上的限制也是拟凝聚的。由此可知，\(\mathcal{I}\) 拟凝聚。

定义

设 \(X\) 为概形。

1. 若一个概形态射作为局部环层空间态射是开浸入，就称它为 开浸入（见定义 01HE）。

2. \(X\) 的开子概形是 \(X\) 的开子空间，其含义见定义 01HG；\(X\) 的开子概形由引理 01IK 可知是概形。

3. 若一个概形态射作为局部环层空间态射是闭浸入，就称它为 闭浸入（见定义 01HK）。

4. \(X\) 的闭子概形是 \(X\) 的闭子空间，其含义见定义 01HN；由引理 01IN， 闭子概形是概形。

5. 若概形态射 \(f : X \to Y\) 可分解为 \(j \circ i\)，其中 \(i\) 是闭浸入、 \(j\) 是开浸入，就称它为浸入或局部闭浸入。

由第 01HD 节和第 01HJ 节中的引理可知，概形的任意开浸入 （相应地，闭浸入）都同构于目标中某个开子概形（相应地，闭子概形）的 包含映射。

我们对闭浸入的定义介于 Hartshorne 与 EGA 的定义之间。Hartshorne 把 闭浸入定义为概形态射 \(f : X \to Y\)：它把 \(X\) 同胚地映到 \(Y\) 的一个 闭子集上，并且 \(f^\# : \mathcal{O}_Y \to f_*\mathcal{O}_X\) 是满射；见 [H, Page 85]。我们将在引理 01LD 中证明，这与我们的概念等价。 在 [EGA] 中，Grothendieck 和 Dieudonné 首先利用拟凝聚理想层， 通过例 01HM 的构造定义闭子概形；然后把闭浸入 定义为一个态射 \(f : X \to Y\)，它诱导出与某个闭子概形的同构。由引理 01IN 可知，这与我们的概念一致。

从教学角度说，上面的定义简直是一场灾难。给学生讲授这些材料时，我们发现 常常更方便的做法是把闭浸入定义为概形的仿射态射 \(f : X \to Y\)，并要求 \(f^\# : \mathcal{O}_Y \to f_*\mathcal{O}_X\) 是满射。事实上，仿射态射这一 概念（《态射》第 01S5 节）十分自然且容易理解。

关于闭浸入的更多信息，建议读者参阅《态射》第 01QN 节和第 01QX 节。

本节末尾将讨论局部闭子概形与浸入。

注

若 \(f : X \to Y\) 是概形的浸入，则一般不能把 \(f\) 分解成先开浸入、 后闭浸入的复合。见《态射》的例 01QW。

引理

设 \(f : Y \to X\) 为概形的浸入。则 \(f\) 是闭浸入，当且仅当 \(f(Y) \subset X\) 是闭子集。

证明

若 \(f\) 是闭浸入，则按定义 \(f(Y)\) 为闭集。反过来，设 \(f(Y)\) 为闭集。 按定义，存在开子概形 \(U \subset X\)，使得 \(f\) 是闭浸入 \(i : Y \to U\) 与开浸入 \(j : U \to X\) 的复合。设 \(\mathcal{I} \subset \mathcal{O}_U\) 为与闭浸入 \(i\) 关联的拟凝聚理想层。 注意 \(\mathcal{I}|_{U \setminus i(Y)} = \mathcal{O}_{U \setminus i(Y)} = \mathcal{O}_{X \setminus i(Y)}|_{U \setminus i(Y)}\). 所以可以把它们粘合（见《层》第 00AK 节）： 将 \(\mathcal{I}\) 与 \(\mathcal{O}_{X \setminus i(Y)}\) 粘合成理想层 \(\mathcal{J} \subset \mathcal{O}_X\)。由于 \(X\) 的每一点都有一个邻域， 使得 \(\mathcal{J}\) 在该邻域上拟凝聚，可见 \(\mathcal{J}\) 是拟凝聚的 （特别地，它局部由截面生成）。按构造，\(\mathcal{O}_X/\mathcal{J}\) 的支集包含在 \(U\) 中，并且限制到那里就等于 \(\mathcal{O}_U/\mathcal{I}\)。因此，与 \(\mathcal{I}\) 和 \(\mathcal{J}\) 关联的闭子空间典范同构；见例 01HM。特别地， \(U\) 中与 \(\mathcal{I}\) 关联的闭子空间同构于 \(X\) 的一个闭子空间。 由于 \(Y \to U\) 与由 \(\mathcal{I}\) 关联的闭子空间认同（见引理 01HO），所以 \(Y \to U \to X\) 是闭浸入。

设 \(f : Y \to X\) 为浸入。令 \(Z = \overline{f(Y)} \setminus f(Y)\)；这是 \(X\) 的闭子集。再令 \(U = X \setminus Z\)。该引理说明，\(U\) 是 \(X\) 的最大开子空间，使得 \(f : Y \to X\) 可通过一个进入 \(U\) 的闭浸入分解。我们把 \(X\) 的一个 局部闭子概形定义为二元组 \((Z, U)\)，其中 \(Z\) 是开子概形 \(U\) 的 闭子概形，而后者又是 \(X\) 的开子概形，并且还满足 \(\overline{Z} \cup U = X\)。通常只说“设 \(Z\) 为 \(X\) 的局部闭子概形”， 因为可以恢复 \(U\)，所依据的是态射 \(Z \to X\)。上面的论述表明，任意浸入 \(f : Y \to X\) 唯一地分解为 \(Y \to Z \to X\)，其中 \(Z\) 是 \(X\) 的 局部闭子空间，而 \(Y \to Z\) 是同构。

这一做法的意义在于，\(X\) 的所有局部闭子概形构成一个集合。可以在该集合上 定义一个偏序；出于显然的理由，我们称之为包含关系。具体地，若 \(Z \to X\) 和 \(Z' \to X\) 是 \(X\) 的两个局部闭子概形，那么我们称 \(Z\) 包含于 \(Z'\)，当且仅当态射 \(Z \to X\) 通过 \(Z'\) 分解。若确实如此， 则 \(Z\) 当然与 \(Z'\) 的唯一一个局部闭子概形认同，依此类推。

关于浸入的更多信息，参见《态射》第 07RJ 节。

概形的 Zariski 拓扑

关于适用于概形 Zariski 拓扑的一些基础拓扑材料，见《拓扑》第 004D 节。

引理

设 \(X\) 为概形。\(X\) 的任意不可约闭子集都有唯一泛点。换言之， \(X\) 是清醒拓扑空间；见《拓扑》的定义 004X。

证明

设 \(Z \subset X\) 为不可约闭子集。对每个仿射开集 \(U \subset X\)， \(U = \Spec(R)\)，都有 \(Z \cap U = V(I)\)，其中 \(I \subset R\) 是唯一根理想。 注意，\(Z \cap U\) 或为空，或不可约。在后一种情形（它至少对一个 \(U\) 发生），可见 \(I = \mathfrak p\) 是素理想；它给出一个泛点 \(\xi\)， 属于 \(Z \cap U\)。于是 \(Z = \overline{\{\xi\}}\)；换言之， \(\xi\) 是 \(Z\) 的泛点。若 \(\xi'\) 是另一个泛点，则 \(\xi' \in Z \cap U\)，从而立即得到 \(\xi' = \xi\)。

引理

设 \(X\) 为概形。\(X\) 的所有仿射开集构成 \(X\) 上拓扑的一组基。

证明

这来自第 01II 节中关于开子概形的讨论。

注

一般而言，\(X\) 中两个仿射开集的交不再是仿射开集。见例 01JD。

引理

任意概形的底拓扑空间都是局部拟紧的；见《拓扑》的定义 0068。

证明

这来自上面的引理 01IT，以及环的谱是拟紧的这一 事实；见《代数》的引理 00E8。

引理

设 \(X\) 为概形。设 \(U, V\) 为 \(X\) 的仿射开集，且 \(x \in U \cap V\)。 存在一个仿射开邻域 \(W\)，它是 \(x\) 的邻域，并使得 \(W\) 同时是 \(U\) 和 \(V\) 的标准开集。

证明

写成 \(U = \Spec(A)\) 和 \(V = \Spec(B)\)。设 \(x\) 对应于素理想 \(\mathfrak p \subset A\) 以及素理想 \(\mathfrak q \subset B\)。可以选取 \(f \in A\)，\(f \not \in \mathfrak p\)，使得 \(D(f) \subset U \cap V\)。 注意，\(D(f)\) 的任意标准开集都是 \(\Spec(A) = U\) 的标准开集。因此可以 假定 \(U \subset V\)。换言之，现在可以把 \(U\) 看成 \(V\) 的一个仿射开集。 接着选取 \(g \in B\)，\(g \not \in \mathfrak q\)，使得 \(D(g) \subset U\)。 此时可见 \(D(g) = D(g_A)\)，其中 \(g_A \in A\) 表示 \(g\) 在映射 \(B \to A\) 下的像。引理得证。

引理

设 \(X\) 为概形。设 \(X = \bigcup_i U_i\) 为仿射开覆盖，并设 \(V \subset X\) 为仿射开集。存在标准开覆盖 \(V = \bigcup_{j = 1, \ldots, m} V_j\)（见定义 01HT），使得每个 \(V_j\) 都是某个 \(U_i\) 中的标准开集。

证明

取 \(v \in V\)。则有 \(v \in U_i\)，其中 \(i\) 是某个指标。由上面的引理 01IW，存在开集 \(v \in W_v \subset V \cap U_i\)，使得 \(W_v\) 同时是 \(V\) 和 \(U_i\) 中的标准开集。由于 \(V\) 拟紧，引理得证。

引理

设 \(X\) 为概形。设 \(\mathcal{B}\) 为 \(X\) 的所有仿射开集构成的集合。 设 \(\mathcal{F}\) 为 \(\mathcal{B}\) 上的集合预层，见《层》的定义 009I。以下条件等价：

1. \(\mathcal{F}\) 是 \(X\) 上某个层限制到 \(\mathcal{B}\) 的结果；

2. \(\mathcal{F}\) 是 \(\mathcal{B}\) 上的层；

3. \(\mathcal{F}(\emptyset)\) 是单点集，并且每当 \(U = V \cup W\)，其中 \(U, V, W \in \mathcal{B}\) 且 \(V, W \subset U\) 是标准开集（《代数》的定义 00E1），映射 \[\mathcal{F}(U) \longrightarrow \mathcal{F}(V) \times \mathcal{F}(W)\] 是单射，其像由所有二元组 \((s, t)\) 构成，并且这些二元组满足 \(s|_{V \cap W} = t|_{V \cap W}\)。

证明

(1) 与 (2) 的等价性就是《层》的引理 009O。显然，(2) 蕴含 (3)。 所以只须证明 (3) 蕴含 (2)。由《层》的引理 009L 和引理 01HS，只须对标准开覆盖（定义 01HT）证明层条件；这里覆盖的是 \(\mathcal{B}\) 中的元素。设 \(U = U_1 \cup \ldots \cup U_n\) 是标准开覆盖，其中 \(U \subset X\) 为 仿射开集。我们对 \(n\) 归纳证明该覆盖满足层条件。若 \(n = 0\)，则 \(U\) 为空，层条件由假设成立。若 \(n = 1\)，则无事可证。若 \(n = 2\)， 这正是条件 (3)。若 \(n > 2\)，则写 \(U_i = D(f_i)\)，其中 \(f_i \in A = \mathcal{O}_X(U)\)。设 \(s_i \in \mathcal{F}(U_i)\) 是截面， 且有 \(s_i|_{U_i \cap U_j} = s_j|_{U_i \cap U_j}\)，这对所有 \(1 \leq i < j \leq n\) 都成立。由于 \(U = U_1 \cup \ldots \cup U_n\)，有 \(1 = \sum_{i = 1, \ldots, n} a_i f_i\)；该等式在 \(A\) 中成立，其中某个 \(a_i \in A\)。见 《代数》的引理 00E0。令 \(g = \sum_{i = 1, \ldots, n - 1} a_if_i\)。于是 \(U = D(g) \cup D(f_n)\)。注意， \(D(g) = D(gf_1) \cup \ldots \cup D(gf_{n - 1})\) 是标准开覆盖。 由归纳假设，存在唯一截面 \(s' \in \mathcal{F}(D(g))\)，它与 \(s_i|_{D(gfi)}\) 对 \(i = 1, \ldots, n - 1\) 的每个值都相符。我们断言 \(s'\) 与 \(s_n\) 在 \(D(gf_n)\) 上的限制相同。这来自归纳假设以及覆盖 \(D(gf_n) = D(gf_nf_1) \cup \ldots \cup D(gf_nf_{n - 1})\)。因此存在唯一截面 \(s \in \mathcal{F}(U)\)，它在 \(D(g)\) 上的限制是 \(s'\)，在 \(D(f_n)\) 上的 限制是 \(s_n\)。我们略去如下验证：\(s\) 的限制是 \(s_i\)，相应开集为 \(D(f_i)\)，其中 \(i = 1, \ldots, n - 1\)；也略去 \(s\) 唯一性的验证。

引理

设 \(X\) 为概形，其底拓扑空间是有限离散集。则 \(X\) 是仿射的。

证明

写成 \(X = \{x_1, \ldots, x_n\}\)。则 \(U_i = \{x_i\}\) 是 \(x_i\) 的开邻域。 由引理 01IT，它是仿射的。因此 \(X\) 是有限多个 仿射概形的不交并，进而由引理 01I5 可知它是 仿射的。

例

存在没有闭点的概形。事实上，设 \(R\) 为局部整环，其谱形如 \((0) = \mathfrak p_0 \subset \mathfrak p_1 \subset \mathfrak p_2 \subset \ldots \subset \mathfrak m\)。那么开子概形 \(\Spec(R) \setminus \{\mathfrak m\}\) 没有闭点。为说明这样的环 \(R\) 确实存在，使用如下事实：给定任意全序群 \((\Gamma, \geq)\)，存在赋值环 \(A\)，其值群为 \((\Gamma, \geq)\)；见 [Krull]。记号见《代数》第 00I8 节。我们取 \(\Gamma = \mathbf{Z}x_1 \oplus \mathbf{Z}x_2 \oplus \mathbf{Z}x_3 \oplus \ldots\)，并定义 \(\sum_i a_i x_i \geq 0\) 当且仅当第一个非零的 \(a_i\) 满足 \(> 0\)，或所有 \(a_i = 0\)。于是 \(x_1 \geq x_2 \geq x_3 \geq \ldots \geq 0\)。各子集 \(x_i + \Gamma_{\geq 0}\) 是 \((\Gamma, \geq)\) 的素理想；参见《代数》的 引理 00IH 上方的记号。它们连同 \(\emptyset\) 与 \(\Gamma_{\geq 0}\) 是全部素理想。因此，\(A\) 是一个环的 例子，其谱具有上述结构；这来自《代数》的引理 00IH。

约化概形

定义

设 \(X\) 为概形。称 \(X\) 是约化的，如果每个局部环 \(\mathcal{O}_{X, x}\) 都是约化的。

引理

概形 \(X\) 是约化的，当且仅当 \(\mathcal{O}_X(U)\) 是约化环；这里 \(U \subset X\) 是任意开集。

证明

先设 \(X\) 约化。取截面 \(f \in \mathcal{O}_X(U)\)，并设 \(f^n = 0\)。 则 \(f\) 在 \(\mathcal{O}_{U, u}\) 中的像为零；这对所有 \(u \in U\) 都成立。 所以 \(f\) 为零；见《层》的引理 0079。反过来，设 \(\mathcal{O}_X(U)\) 约化；这对所有开集 \(U\) 都成立。任取非零元素 \(f \in \mathcal{O}_{X, x}\)。任意代表 \((U, f \in \mathcal{O}(U))\)， 只要它代表 \(f\)，就非零，因而不是幂零元。 所以 \(f\) 在 \(\mathcal{O}_{X, x}\) 中不是幂零元。

引理

仿射概形 \(\Spec(R)\) 约化，当且仅当 \(R\) 约化。

证明

正向蕴含立即来自上面的引理 01J1。反向蕴含则来自如下事实： 约化环的任意局部化仍约化，特别地，约化环的各局部环都约化。

引理

设 \(X\) 为概形，\(T \subset X\) 为闭子集。存在唯一闭子概形 \(Z \subset X\)，满足：(a) \(Z\) 的底拓扑空间等于 \(T\)；(b) \(Z\) 约化。

证明

设 \(\mathcal{I} \subset \mathcal{O}_X\) 为由下式定义的子预层： \[\mathcal{I}(U) = \{f \in \mathcal{O}_X(U) \mid f(t) = 0\text{ 对所有 }t \in T\cap U\}\] 这里用 \(f(t)\) 表示 \(f\) 在剩余域 \(\kappa(t)\) 中的像；该域是 \(X\) 于 \(t\) 处的剩余域。 由于该条件具有局部性，显然 \(\mathcal{I}\) 是理想层。此外，设 \(U = \Spec(R)\) 为仿射开集。可以写成 \(T \cap U = V(I)\)，其中 \(I \subset R\) 是唯一根理想。给定素理想 \(\mathfrak p \in V(I)\)， 它对应于 \(t \in T \cap U\)；再给定元素 \(f \in R\)，则有 \(f(t) = 0 \Leftrightarrow f \in \mathfrak p\)。所以， \(\mathcal{I}(U) = \bigcap_{\mathfrak p \in V(I)} \mathfrak p = I\)；这是《代数》的引理 00E0 的结论。 此外，对任意标准开集 \(D(g) \subset \Spec(R) = U\)，同样的论证给出 \(\mathcal{I}(D(g)) = I_g\)。所以 \(\widetilde I\) 与 \(\mathcal{I}|_U\) 在一组开集基上作为理想相同，因而二者相等。因此，\(\mathcal{I}\) 是拟凝聚 理想层。

现在可以把 \(Z\) 定义为由理想层 \(\mathcal{I}\) 所关联的闭子空间。 对每个仿射开集 \(U = \Spec(R)\)，若它属于 \(X\)，则有 \(Z \cap U = \Spec(R/I)\)，其中 \(I\) 是根理想，因而 \(Z\) 约化 （由上面的引理 01J2）。按构造，\(Z\) 的底闭子集就是 \(T\)。因此已经找到满足 (a)、(b) 的闭子概形。

设 \(Z' \subset X\) 是另一个满足 (a)、(b) 的闭子概形。对每个仿射开集 \(U = \Spec(R)\)，若它属于 \(X\)，则有 \(Z' \cap U = \Spec(R/I')\)，其中 \(I' \subset R\) 是某个理想。由引理 01J2，环 \(R/I'\) 约化，因而 \(I'\) 是根理想。由于 \(V(I') = T \cap U = V(I)\)，得到 \(I = I'\)；这是《代数》的引理 00E0 的结论。所以 \(Z'\) 与 \(Z\) 由同一个理想层定义，因而相等。

定义

设 \(X\) 为概形，\(Z \subset X\) 为闭子集。\(Z\) 上的一个概形结构 由闭子概形 \(Z'\) 给出；它属于 \(X\)，且其底集合等于 \(Z\)。我们常说“设 \((Z, \mathcal{O}_Z)\) 是 \(Z\) 上的一个概形结构”来表达这一点。\(Z\) 上的 约化诱导概形结构是引理 01J3 中构造的结构。约化 \(X_{red}\)，其对象为 \(X\)，是 \(X\) 本身上的 约化诱导概形结构。

我们说“设 \(Z \subset X\) 为 \(X\) 的一个不可约分支”时，通常使用约化诱导 概形结构，把 \(Z\) 看成 \(X\) 的约化闭子概形。

注

设 \(X\) 为概形，\(T \subset X\) 为局部闭子集。在这种情形下，我们有时也使用 “\(T\) 上的约化诱导概形结构”这一说法。它指如下结构：按照定义 01J4，把 \(T\) 看成开子概形 \(X \setminus \partial T\) 中的闭子集；后者是 \(X\) 的开子概形。这里 \(\partial T = \overline{T} \setminus T\) 是 \(T\) 在 \(X\) 的拓扑空间中的“边界”。

引理

设 \(X\) 为概形，\(Z \subset X\) 为闭子概形，\(Y\) 为约化概形。态射 \(f : Y \to X\) 通过 \(Z\) 分解，当且仅当 \(f(Y) \subset Z\)（在集合论意义下）。 特别地，任意态射 \(Y \to X\) 都分解为 \(Y \to X_{red} \to X\)。

证明

设 \(f(Y) \subset Z\)（在集合论意义下）。设 \(\mathcal{I} \subset \mathcal{O}_X\) 为 \(Z\) 的理想层。对任意仿射开集 \(U \subset X\)、\(\Spec(B) = V \subset Y\)，若 \(f(V) \subset U\)，并任取 \(g \in \mathcal{I}(U)\)，则其拉回 \(b = f^\sharp(g) \in \Gamma(V, \mathcal{O}_Y) = B\) 在任意 \(y \in V\) 的剩余域中都映为零。换言之， \(b \in \bigcap_{\mathfrak p \subset B} \mathfrak p\)。这推出 \(b = 0\)， 因为 \(B\) 约化（引理 01J1 以及《代数》的引理 00E0）。因此，\(f\) 通过 \(Z\) 分解； 这是引理 01HP 的结论。

概形的点

给定概形 \(X\)，可以定义函子 \[h_X : \Sch^{opp} \longrightarrow \textit{Sets}, \quad T \longmapsto \Mor(T, X).\] 见《范畴》的例 001O。它称为 \(X\) 的 点函子。概形理论中颇有趣的一项工作，是描述 \(X\) 的内部几何； 这里所用的是函子 \(h_X\)。本节将给出描述 \(X\) 的点的一种简单方法。

设 \(X\) 为概形，\(R\) 为局部环，其极大理想为 \(\mathfrak m \subset R\)。 设 \(f : \Spec(R) \to X\) 为概形态射。令 \(x \in X\) 为闭点 \(\mathfrak m \in \Spec(R)\) 的像。于是得到局部环之间的局部同态 \[f^\sharp : \mathcal{O}_{X, x} \longrightarrow \mathcal{O}_{\Spec(R), \mathfrak m} = R.\]

引理

设 \(X\) 为概形，\(R\) 为局部环。上述构造在态射 \(\Spec(R) \to X\) 与二元组 \((x, \varphi)\) 之间给出一一对应；后二者由点 \(x \in X\) 和局部环的局部同态 \(\varphi : \mathcal{O}_{X, x} \to R\) 组成。

证明

设 \(A\) 为环。对任意环同态 \(\psi : A \to R\)，存在唯一素理想 \(\mathfrak p \subset A\) 以及分解 \(A \to A_{\mathfrak p} \to R\)， 使得后一个映射是局部环的局部同态。事实上， \(\mathfrak p = \psi^{-1}(\mathfrak m)\)。由引理 01I1，这就证明了当 \(X\) 是仿射概形时的断言。

现设 \(X\) 为一般概形。任意 \(x \in X\) 都包含在某个仿射开集 \(U \subset X\) 中。由仿射情形可知，每个二元组 \((x, \varphi)\) 都由引理前的 构造产生。

要完成证明，只须说明任意态射 \(f : \Spec(R) \to X\) 的像都包含在每个 含有闭点像 \(x\) 的仿射开集中；这里闭点属于 \(\Spec(R)\)。事实上，设 \(x \in V \subset X\) 是任意含 \(x\) 的开邻域。则 \(f^{-1}(V) \subset \Spec(R)\) 是包含唯一闭点的开集，因而等于 \(\Spec(R)\)。

作为上面引理的特例，对每一点 \(x\)，若它属于概形 \(X\)，便得到典范态射 [02NA]\[\begin{equation} \Spec(\mathcal{O}_{X, x}) \longrightarrow X \end{equation}\] 它对应于 \(X\) 在 \(x\) 处局部环上的恒等映射。上面的引理也可以重述为： 对任意态射 \(f : \Spec(R) \to X\)，存在唯一点 \(x \in X\)，使得 \(f\) 分解为 \(\Spec(R) \to \Spec(\mathcal{O}_{X, x}) \to X\) 其中第一个映射来自局部同态 \(\mathcal{O}_{X, x} \to R\)。

若有概形态射 \(f : X \to S\)，且点 \(x\) 映到点 \(s \in S\)，则得到交换图 \[\xymatrix{ \Spec(\mathcal{O}_{X, x}) \ar[r] \ar[d] & X \ar[d] \\ \Spec(\mathcal{O}_{S, s}) \ar[r] & S }\] 其中左侧竖直映射对应于局部环同态 \(f^\sharp_x : \mathcal{O}_{S, s} \to \mathcal{O}_{X, x}\)。

引理

设 \(X\) 为概形。设 \(x, x' \in X\) 为 \(X\) 的点。则 \(x' \in X\) 是 \(x\) 的泛化， 当且仅当 \(x'\) 属于典范态射 \(\Spec(\mathcal{O}_{X, x}) \to X\) 的像。

证明

连续映射保持特化／泛化关系。由于 \(\Spec(\mathcal{O}_{X, x})\) 的每个点 都是闭点的泛化，可见 \(\Spec(\mathcal{O}_{X, x}) \to X\) 像中的每一点 都是 \(x\) 的泛化。反过来，设 \(x'\) 是 \(x\) 的泛化。选取仿射开邻域 \(U = \Spec(R)\)，使它成为 \(x\) 的邻域。则 \(x' \in U\)。设素理想 \(\mathfrak p \subset R\) 与 \(\mathfrak p' \subset R\) 分别对应于 \(x\) 和 \(x'\)。由于 \(x'\) 是 \(x\) 的 泛化，可见 \(\mathfrak p' \subset \mathfrak p\)。这意味着 \(\mathfrak p'\) 属于态射 \(\Spec(\mathcal{O}_{X, x}) = \Spec(R_{\mathfrak p}) \to \Spec(R) = U \subset X\) as desired.

现在讨论从域的谱出发的态射。设 \((R, \mathfrak m, \kappa)\) 为局部环， 其极大理想为 \(\mathfrak m\)，剩余域为 \(\kappa\)。设 \(K\) 为域。按定义， 局部同态 \(R \to K\) 分解为 \(R \to \kappa \to K\)；也就是说，它等同于态射 \(\kappa \to K\)。所以可见，态射 \[\Spec(K) \longrightarrow X\] 对应于二元组 \((x, \kappa(x) \to K)\)。可以在从域的谱到 \(X\) 的态射上 定义预序：若 \(\Spec(K) \to X\) 通过 \(\Spec(L) \to X\) 分解， 就说 \(\Spec(K) \to X\) 支配 \(\Spec(L) \to X\)。这提示如下概念：暂且称 两个态射 \(p : \Spec(K) \to X\) 与 \(q : \Spec(L) \to X\) 等价， 如果存在第三个域 \(\Omega\) 以及交换图 \[\xymatrix{ \Spec(\Omega) \ar[r] \ar[d] & \Spec(L) \ar[d]^q \\ \Spec(K) \ar[r]^p & X }\] 当然，这立即说明三个概形 \(\Spec(K)\)、\(\Spec(L)\) 和 \(\Spec(\Omega)\) 的 唯一点都映到同一个 \(x \in X\)。因此，由上面的讨论，这样的图对应于一点 \(x \in X\) 以及如下域的交换图： \[\xymatrix{ \Omega & L \ar[l] \\ K \ar[u] & \kappa(x) \ar[l] \ar[u] }\] 这定义了一个等价关系，因为给定任意一族域扩张 \(K_i/\kappa\)，都存在某个 域扩张 \(\Omega/\kappa\)，使得所有域扩张 \(K_i\) 都包含在扩张 \(\Omega\) 中。

引理

设 \(X\) 为概形。\(X\) 的点与从域的谱到 \(X\) 的态射之等价类一一对应。 此外，每个等价类都包含一个最小元 \(\Spec(\kappa(x)) \to X\)， 它在唯一同构意义下唯一。

证明

这来自上面的讨论。

当然，态射 \(\Spec(\kappa(x)) \to X\) 通过典范态射 \(\Spec(\mathcal{O}_{X, x}) \to X\) 分解。在当前语境下，引理 01J7 的内容是：态射 \(\Spec(\kappa(x')) \to X\) 分解为 \(\Spec(\kappa(x')) \to \Spec(\mathcal{O}_{X, x}) \to X\) 只要 \(x'\) 是 \(x\) 的泛化。若有概形态射 \(f : X \to S\)，且点 \(x\) 映到点 \(s \in S\)，则得到交换图 \[\xymatrix{ \Spec(\kappa(x)) \ar[r] \ar[d] & \Spec(\mathcal{O}_{X, x}) \ar[r] \ar[d] & X \ar[d] \\ \Spec(\kappa(s)) \ar[r] & \Spec(\mathcal{O}_{S, s}) \ar[r] & S. }\]

概形的粘合

设 \(I\) 为集合。对每个 \(i \in I\)，设 \((X_i, \mathcal{O}_i)\) 为局部环层空间。 （事实上，下面的构造对环层空间同样适用。）对每一对 \(i, j \in I\)，设 \(U_{ij} \subset X_i\) 为开子空间。对每一对 \(i, j \in I\)，设 \[\varphi_{ij} : U_{ij} \to U_{ji}\] 为局部环层空间的同构。为方便起见，假设 \(U_{ii} = X_i\)。对每个三元组 \(i, j, k \in I\)，假设：

1. 有 \(\varphi_{ij}^{-1}(U_{ji} \cap U_{jk}) = U_{ij} \cap U_{ik}\)；

2. 下图 \[\xymatrix{ U_{ij} \cap U_{ik} \ar[rr]_{\varphi_{ik}} \ar[rd]_{\varphi_{ij}} & & U_{ki} \cap U_{kj} \\ & U_{ji} \cap U_{jk} \ar[ru]_{\varphi_{jk}} }\] 交换。

（特别地，由此可得 \(\varphi_{ii} = \text{id}_{X_i}\)。）称一个族 \((I, (X_i)_{i\in I}, (U_{ij})_{i, j\in I}, (\varphi_{ij})_{i, j\in I})\) 若满足上述条件，就是一组粘合数据。

引理

给定局部环层空间的任意粘合数据，存在局部环层空间 \(X\)、开子空间 \(U_i \subset X\)，以及局部环层空间的同构 \(\varphi_i : X_i \to U_i\)，使得

1. \(X=\bigcup_{i\in I} U_i\),

2. \(\varphi_i(U_{ij}) = U_i \cap U_j\), and

3. \(\varphi_{ij} = \varphi_j^{-1}|_{U_i \cap U_j} \circ \varphi_i|_{U_{ij}}\).

局部环层空间 \(X\) 由如下映射性质刻画：给定局部环层空间 \(Y\)，有 \[\begin{eqnarray*} \Mor(X, Y) & = & \{ (f_i)_{i\in I} \mid f_i : X_i \to Y, \ f_j \circ \varphi_{ij} = f_i|_{U_{ij}}\} \\ f & \mapsto & (f|_{U_i} \circ \varphi_i)_{i \in I} \\ \Mor(Y, X) & = & \left\{ \begin{matrix} \text{开覆盖 }Y = \bigcup\nolimits_{i \in I} V_i\text{ 且 } (g_i : V_i \to X_i)_{i \in I} \text{ 使得}\\ g_i^{-1}(U_{ij}) = V_i \cap V_j \text{ 且 } g_j|_{V_i \cap V_j} = \varphi_{ij} \circ g_i|_{V_i \cap V_j} \end{matrix} \right\} \\ g & \mapsto & V_i = g^{-1}(U_i), \ g_i = \varphi_i^{-1} \circ g|_{V_i} \end{eqnarray*}\]

证明

分阶段构造 \(X\)。作为集合，取 \[X = (\coprod X_i) / \sim.\] 这里，给定 \(x \in X_i\) 与 \(x' \in X_j\)，规定 \(x \sim x'\) 当且仅当 \(x \in U_{ij}\)、\(x' \in U_{ji}\) 且 \(\varphi_{ij}(x) = x'\)。这是等价关系： 若 \(x \in X_i\)、\(x' \in X_j\)、\(x'' \in X_k\)，并且 \(x \sim x'\)、 \(x' \sim x''\)，则 \(x' \in U_{ji} \cap U_{jk}\)；于是由粘合数据的条件 (1)， 还有 \(x \in U_{ij} \cap U_{ik}\) 与 \(x'' \in U_{ki} \cap U_{kj}\)，再由条件 (2) 得到 \(\varphi_{ik}(x) = x''\)。（自反性与对称性来自假设 \(U_{ii} = X_i\) 和 \(\varphi_{ii} = \text{id}_{X_i}\)。）把自然映射记作 \(\varphi_i : X_i \to X\)，并记 \(U_i = \varphi_i(X_i) \subset X\)。 注意，\(\varphi_i : X_i \to U_i\) 是双射。

\(X\) 上的拓扑按如下规则定义：\(U \subset X\) 为开集，当且仅当 \(\varphi_i^{-1}(U)\) 对所有 \(i\) 都是开集。留给读者验证，这确实定义了拓扑。 特别地，注意 \(U_i\) 是开集，因为 \(\varphi_j^{-1}(U_i) = U_{ji}\) 是 \(X_j\) 中的开集；这对所有 \(j\) 都成立。此外，对任意开集 \(W \subset X_i\)，其像 \(\varphi_i(W) \subset U_i\) 是开集，因为 \(\varphi_j^{-1}(\varphi_i(W)) = \varphi_{ji}^{-1}(W \cap U_{ij})\)。 因此，\(\varphi_i : X_i \to U_i\) 是同胚。

要得到局部环层空间，还须构造环层 \(\mathcal{O}_X\)。我们通过粘合各环层 \(\mathcal{O}_{U_i} := \varphi_{i, *} \mathcal{O}_i\) 来完成。具体而言， 在交换图 \[\xymatrix{ U_{ij} \ar[rr]_{\varphi_{ij}} \ar[rd]_{\varphi_i|_{U_{ij}}} & & U_{ji} \ar[ld]^{\varphi_j|_{U_{ji}}} \\ & U_i \cap U_j & }\] 中，上方箭头是环层空间的同构，因而得到唯一的环层同构 \[\mathcal{O}_{U_i}|_{U_i \cap U_j} \longrightarrow \mathcal{O}_{U_j}|_{U_i \cap U_j}.\] 它们满足《层》第 00AK 节中的余循环条件。 由该节的结果，得到环层 \(\mathcal{O}_X\)；它定义在 \(X\) 上，并使得 \(\mathcal{O}_X|_{U_i}\) 与 \(\mathcal{O}_{U_i}\) 同构，并与上面展示的粘合映射 相容。特别地，\((X, \mathcal{O}_X)\) 是局部环层空间，因为 \(\mathcal{O}_X\) 的茎等于对应点处 \(\mathcal{O}_i\) 的茎。

映射性质的证明略去。

引理

在上面的引理 01JB 中，假设所有 \(X_i\) 都是概形。 则所得局部环层空间 \(X\) 是概形。

证明

这是显然的，因为每个 \(U_i\) 都是概形，因而每个 \(x \in X\) 都有仿射邻域。

通常把 \(X_i\) 看成 \(X\) 的开子空间；所借助的是同构 \(\varphi_i\)。 下面两个例子中都采用这一约定。

例

设 \(k\) 为域，\(n \geq 1\)。令 \(X_1 = \Spec(k[x_1, \ldots, x_n])\)， 令 \(X_2 = \Spec(k[y_1, \ldots, y_n])\)。令 \(0_1 \in X_1\) 为对应于极大理想 \((x_1, \ldots, x_n) \subset k[x_1, \ldots, x_n]\) 的点。令 \(0_2 \in X_2\) 为对应于极大理想 \((y_1, \ldots, y_n) \subset k[y_1, \ldots, y_n]\) 的点。 令 \(U_{12} = X_1 \setminus \{0_1\}\)，并令 \(U_{21} = X_2 \setminus \{0_2\}\)。设 \(\varphi_{12} : U_{12} \to U_{21}\) 为来自 \(k\)-代数同构 \(k[y_1, \ldots, y_n] \to k[x_1, \ldots, x_n]\) 的同构；该同构把 \(y_i\) 映到 \(x_i\)（并诱导出 \(X_1 \cong X_2\)，把 \(0_1\) 映到 \(0_2\)）。 设 \(X\) 为由粘合数据 \((X_1, X_2, U_{12}, U_{21}, \varphi_{12}, \varphi_{21} = \varphi_{12}^{-1})\) 所得的概形。按照例子上方引入的轻微记号滥用，把 \(X_1, X_2 \subset X\) 看成开子概形。存在态射 \(f : X \to \Spec(k[t_1, \ldots, t_n])\)， 它在 \(X_1\) 上（相应地，在 \(X_2\) 上）对应于 \(k\)-代数同态 \(k[t_1, \ldots, t_n] \to k[x_1, \ldots, x_n]\) (resp. \(k[t_1, \ldots, t_n] \to k[y_1, \ldots, y_n]\)) 它把 \(t_i\) 映到 \(x_i\)（相应地，把 \(t_i\) 映到 \(y_i\)）。容易看出， 该态射把 \(k[t_1, \ldots, t_n]\) 与 \(\Gamma(X, \mathcal{O}_X)\) 认同。 由于 \(f(0_1) = f(0_2)\)，可见 \(X\) 不是仿射的。

注意，\(X_1\) 与 \(X_2\) 都是 \(X\) 的仿射开集。但若 \(n = 2\)，则 \(X_1 \cap X_2\) 是例 01IL 中描述的概形，因而不是仿射的。 所以一般而言，概形的仿射开集之交不再仿射。（更一般地，该事实对任意 \(n > 1\) 都成立。）

该例还有如下奇特性质。若 \(n > 1\)，则存在许多不可约闭子集 \(T \subset X\) （例如取 \(X_1\) 中任意非闭点的闭包）。但除非 \(T = \{0_1\}\) 或 \(T = \{0_2\}\)，总有 \(0_1 \in T \Leftrightarrow 0_2 \in T\)。证明略去。

例

设 \(k\) 为域。令 \(X_1 = \Spec(k[x])\)，令 \(X_2 = \Spec(k[y])\)。 令 \(0 \in X_1\) 为对应于极大理想 \((x) \subset k[x]\) 的点。 令 \(\infty \in X_2\) 为对应于极大理想 \((y) \subset k[y]\) 的点。 令 \(U_{12} = X_1 \setminus \{0\} = D(x) = \Spec(k[x, 1/x])\)，并令 \(U_{21} = X_2 \setminus \{\infty\} = D(y) = \Spec(k[y, 1/y])\)。 设 \(\varphi_{12} : U_{12} \to U_{21}\) 为来自 \(k\)-代数同构 \(k[y, 1/y] \to k[x, 1/x]\) 的同构；该同构把 \(y\) 映到 \(1/x\)。 设 \(\mathbf{P}^1_k\) 为由粘合数据 \((X_1, X_2, U_{12}, U_{21}, \varphi_{12}, \varphi_{21} = \varphi_{12}^{-1})\) 所得的概形。按照例子上方引入的轻微记号滥用，把 \(X_i \subset \mathbf{P}^1_k\) 看成开子概形。在此情形下， \(\Gamma(\mathbf{P}^1_k, \mathcal{O}) = k\)，因为满足如下条件的多项式 \(g(x)\) 只有常数多项式：它是 \(x\) 中的多项式，\(g(1/y)\) 也是 \(y\) 中的 多项式。由于 \(\mathbf{P}^1_k\) 是无限的，可见 \(\mathbf{P}^1_k\) 不是仿射的。

我们断言存在仿射开集 \(U \subset \mathbf{P}^1_k\)，它同时包含 \(0\) 与 \(\infty\)。事实上，令 \(U = \mathbf{P}^1_k \setminus \{1\}\)，其中 \(1\) 是 \(X_1\) 中对应于极大理想 \((x - 1)\) 的点，也是 \(X_2\) 中对应于极大理想 \((y - 1)\) 的点。容易看出 \(s = 1/(x - 1) = y/(1 - y) \in \Gamma(U, \mathcal{O}_U)\)。事实上，可以证明 \(\Gamma(U, \mathcal{O}_U)\) 等于多项式环 \(k[s]\)，且相应态射 \(U \to \Spec(k[s])\) 是概形同构。细节略去。

一个可表性判据

本节用函子的语言重新表述第 01JA 节的粘合引理。 先回顾《范畴》第 001L 节的一些材料。 回顾，给定概形 \(X\)，可以定义函子 \[h_X : \Sch^{opp} \longrightarrow \textit{Sets}, \quad T \longmapsto \Mor(T, X).\] 它称为 \(X\) 的点函子。

设 \(F\) 为从概形范畴到集合范畴的反变函子。写成公式即 \[F : \Sch^{opp} \longrightarrow \textit{Sets}.\] 我们采用《位点》第 00V1 节中的相同术语。 具体地，给定概形 \(T\)、元素 \(\xi \in F(T)\) 以及态射 \(f : T' \to T\)， 用 \(f^*\xi\) 表示元素 \(F(f)(\xi)\)，有时甚至采用记号 \(\xi|_{T'}\)。

定义

（见《范畴》的定义 001Q。） 设 \(F\) 为从概形范畴到集合范畴的反变函子（如上）。称 \(F\) 由概形表示，或称它可表，如果存在概形 \(X\)，使得 \(h_X \cong F\)。

设 \(F\) 由概形 \(X\) 表示，且 \(s : h_X \to F\) 是同构。由《范畴》的米田引理 001P，二元组 \((X, s : h_X \to F)\) 若存在， 就在唯一同构意义下唯一。此外，米田引理说明，对上述任意反变函子 \(F\) 和任意概形 \(Y\)，都有双射 \[\Mor_{\text{Fun}(\Sch^{opp}, \textit{Sets})} (h_Y, F) \longrightarrow F(Y), \quad s \longmapsto s(\text{id}_Y).\] 反向构造如下：给定任意 \(\xi \in F(Y)\)，函子变换 \(s_\xi : h_Y \to F\) 把任意态射 \(f : T \to Y\) 送到元素 \(f^*\xi \in F(T)\)。

特别地，当 \(F\) 可表时，存在概形 \(X\) 和元素 \(\xi \in F(X)\)，使得相应态射 \(h_X \to F\) 是同构。在这种情形下，也说二元组 \((X, \xi)\) 表示 \(F\)。 元素 \(\xi \in F(X)\) 常称为“泛族”；等到讨论代数栈时，这一名称的 理由会更加清楚（此处将来插入参考）。目前只须注意：若二元组 \((X, \xi)\) 表示 \(F\)，则每个元素 \(\xi' \in F(T)\)（其中 \(T\) 任意）都形如 \(\xi' = f^*\xi\)，其中 \(f : T \to X\) 唯一。

例

考虑如下规则：把每个概形 \(T\) 送到集合 \(F(T) = \Gamma(T, \mathcal{O}_T)\)。 对态射 \(f : T' \to T\) 使用拉回映射 \(f^\sharp : \Gamma(T, \mathcal{O}_T) \to \Gamma(T', \mathcal{O}_{T'})\)， 即可把它变成反变函子。给定环 \(R\) 和元素 \(t \in R\)，存在唯一环同态 \(\mathbf{Z}[x] \to R\)，把 \(x\) 映到 \(t\)。因此，利用引理 01I1，可见 \[\Mor(T, \Spec(\mathbf{Z}[x])) = \Hom(\mathbf{Z}[x], \Gamma(T, \mathcal{O}_T)) = \Gamma(T, \mathcal{O}_T).\] 这确实给出同构 \(h_{\Spec(\mathbf{Z}[x])} \to F\)。“泛族” \(\xi\) 是什么？ 要得到它，必须把上面的认同应用于 \(\text{id}_{\Spec(\mathbf{Z}[x])}\)。显然，在这些认同下得到 \(\xi = x \in \Gamma(\Spec(\mathbf{Z}[x]), \mathcal{O}_{\Spec(\mathbf{Z}[x])}) = \mathbf{Z}[x]\) ，正如预期。

定义

设 \(F\) 为概形范畴上取值于集合的反变函子。

1. 称 \(F\) 满足 Zariski 拓扑的层性质，如果对每个概形 \(T\)、 每个开覆盖 \(T = \bigcup_{i \in I} U_i\)， 以及任意一族元素 \(\xi_i \in F(U_i)\)，只要 \(\xi_i|_{U_i \cap U_j} = \xi_j|_{U_i \cap U_j}\)，就存在唯一元素 \(\xi \in F(T)\)，使得 \(\xi_i = \xi|_{U_i}\) 在 \(F(U_i)\) 中成立。

2. 子函子 \(H \subset F\) 是如下规则：对每个概形 \(T\)，赋予子集 \(H(T) \subset F(T)\)，使得映射 \(F(f) : F(T) \to F(T')\) 把 \(H(T)\) 映入 \(H(T')\)；这对所有概形态射 \(f : T' \to T\) 都成立。

3. 设 \(H \subset F\) 为子函子。称 \(H \subset F\) 由开浸入表示， 如果对所有二元组 \((T, \xi)\)，其中 \(T\) 是概形且 \(\xi \in F(T)\)， 都存在具有如下性质的开子概形 \(U_\xi \subset T\)：

   • 态射 \(f : T' \to T\) 通过 \(U_\xi\) 分解，当且仅当 \(f^*\xi \in H(T')\)。

4. 设 \(I\) 为集合。对每个 \(i \in I\)，设 \(H_i \subset F\) 为子函子。 称族 \((H_i)_{i \in I}\) 覆盖 \(F\)，当且仅当对每个 \(\xi \in F(T)\)，都存在开覆盖 \(T = \bigcup U_i\)，使得 \(\xi|_{U_i} \in H_i(U_i)\)。

在条件 (4) 中，若 \(H_i \subset F\) 对所有 \(i\) 都由开浸入表示， 则要检验 \((H_i)_{i \in I}\) 覆盖 \(F\)，只须检验 \(F(T) = \bigcup H_i(T)\)；这里 \(T\) 是域的谱。

引理

设 \(F\) 为概形范畴上取值于集合范畴的反变函子。假设：

1. \(F\) 满足 Zariski 拓扑的层性质；

2. 存在集合 \(I\) 以及一族子函子 \(F_i \subset F\)，使得

   1. 每个 \(F_i\) 可表；

   2. 每个 \(F_i \subset F\) 由开浸入表示；

   3. 族 \((F_i)_{i \in I}\) 覆盖 \(F\)。

则 \(F\) 可表。

证明

令 \(X_i\) 为表示 \(F_i\) 的概形，并令 \(\xi_i \in F_i(X_i) \subset F(X_i)\) 为“泛族”。 由于 \(F_j \subset F\) 由开浸入表示， 存在开子集 \(U_{ij} \subset X_i\)，使得 \(T \to X_i\) 经由 \(U_{ij}\) 分解，当且仅当 \(\xi_i|_T \in F_j(T)\)。特别地， \(\xi_i|_{U_{ij}} \in F_j(U_{ij})\)，因而得到典范态射 \(\varphi_{ij} : U_{ij} \to X_j\)，满足 \(\varphi_{ij}^*\xi_j = \xi_i|_{U_{ij}}\)。按照 \(U_{ji}\) 的定义， 这表明 \(\varphi_{ij}\) 经由 \(U_{ji}\) 分解。 由于 \((\varphi_{ij} \circ \varphi_{ji})^*\xi_j =\varphi_{ji}^*(\varphi_{ij}^*\xi_j) = \varphi_{ji}^*\xi_i = \xi_j\)，我们断定 \(\varphi_{ij} \circ \varphi_{ji} = \text{id}_{U_{ji}}\)， 这是因为二元组 \((X_j, \xi_j)\) 表示 \(F_j\)。 特别地，映射 \(\varphi_{ij} : U_{ij} \to U_{ji}\) 都是概形同构。 接着须证明 \(\varphi_{ij}^{-1}(U_{ji} \cap U_{jk}) = U_{ij} \cap U_{ik}\)。 这是因为：(a) \(U_{ji} \cap U_{jk}\) 是 \(U_{ji}\) 中使 \(\xi_j\) 限制为 \(F_k\) 的一个元素的最大开子集； (b) \(U_{ij} \cap U_{ik}\) 是 \(U_{ij}\) 中使 \(\xi_i\) 限制为 \(F_k\) 的一个元素的最大开子集； (c) \(\varphi_{ij}^*\xi_j = \xi_i\)。此外， 第 01JA 节中的余圈条件成立，因为 \(\varphi_{jk}|_{U_{ji} \cap U_{jk}} \circ \varphi_{ij}|_{U_{ij} \cap U_{ik}}\) 与 \(\varphi_{ik}|_{U_{ij} \cap U_{ik}}\) 都把 \(\xi_k\) 拉回为元素 \(\xi_i\)。 因此可以应用引理 01JC， 得到概形 \(X\)、开覆盖 \(X = \bigcup U_i\)，以及同构 \(\varphi_i : X_i \to U_i\)， 它们具有引理 01JB 中的性质。 令 \(\xi_i' = (\varphi_i^{-1})^* \xi_i\)。 引理 01JB 的条件蕴含 \(\xi_i'|_{U_i \cap U_j} = \xi_j'|_{U_i \cap U_j}\)。 因此，由于 \(F\) 满足 Zariski 拓扑的层条件， 可知存在元素 \(\xi' \in F(X)\)，使得 \(\xi_i = \varphi_i^*\xi'|_{U_i}\) 对所有 \(i\) 都成立。 由于 \(\varphi_i\) 是同构，还可得到 \((U_i, \xi'|_{U_i})\) 表示函子 \(F_i\)。

我们声称二元组 \((X, \xi')\) 表示函子 \(F\)。 为证此点，令 \(T\) 为概形，并令 \(\xi \in F(T)\)。 我们将构造唯一态射 \(g : T \to X\)，使得 \(g^*\xi' = \xi\)。确切地说，由子函子 \(F_i\) 覆盖 \(F\) 这一条件，存在开覆盖 \(T = \bigcup V_i\)， 使得对每个 \(i\)，限制 \(\xi|_{V_i} \in F_i(V_i)\)。 此外，由于每个包含 \(F_i \subset F\) 都由开浸入表示， 可假设每个 \(V_i \subset T\) 都是具有此性质的最大开子集。 由于 \((U_i, \xi'|_{U_i})\) 表示函子 \(F_i\)， 得到唯一态射 \(g_i : V_i \to U_i\)，使得 \(g_i^*\xi'|_{U_i} = \xi|_{V_i}\)。在交集 \(V_i \cap V_j\) 上， 态射 \(g_i\) 与 \(g_j\) 相同；例如，这是因为它们都把 \(\xi'|_{U_i \cap U_j} \in F_i(U_i \cap U_j)\) 拉回为同一个元素。因此态射 \(g_i\) 粘合成唯一态射 \(T \to X\)，正合所需。

注

设函子 \(F\) 定义在所有局部环层空间上， 并把引理 01JJ 的条件替换为以下条件：

1. \(F\) 在局部环层空间范畴上满足层性质；

2. 存在集合 \(I\) 以及一族子函子 \(F_i \subset F\)，使得

   1. 每个 \(F_i\) 都由概形表示；

   2. 每个 \(F_i \subset F\) 在局部环层空间范畴上都由开浸入表示；

   3. 族 \((F_i)_{i \in I}\) 在局部环层空间范畴上的函子意义下覆盖 \(F\)。

我们把进一步写出细节留给读者。 最终结论是：函子 \(F\) 在局部环层空间范畴中可表， 并且表示对象是一个概形。

概形纤维积的存在性

一个非常基本的问题是：概形范畴中是否存在乘积与纤维积。 我们先抽象地证明乘积与纤维积存在，下一节再说明如何以一种 合理的方式理解概形的纤维积。

引理

概形范畴具有终对象、乘积和纤维积。 换言之，概形范畴具有有限极限；见《范畴》， 引理 002O。

证明

请跳过这个证明。更重要的是学习如何使用下一节所说明的纤维积。

由引理 01I1， 概形 \(\Spec(\mathbf{Z})\) 是局部环层空间范畴中的终对象。 因此只须证明纤维积存在。

令 \(f : X \to S\) 与 \(g : Y \to S\) 为概形态射。须证明函子 \[\begin{eqnarray*} F : \Sch^{opp} & \longrightarrow & \textit{Sets} \\ T & \longmapsto & \Mor(T, X) \times_{\Mor(T, S)} \Mor(T, Y) \end{eqnarray*}\] 可表。我们声称引理 01JJ 适用于函子 \(F\)。证明此点便证得本引理。

首先证明 \(F\) 满足 Zariski 拓扑的层性质。具体而言，设 \(T\) 为概形， \(T = \bigcup_{i \in I} U_i\) 为开覆盖，并且 \(\xi_i \in F(U_i)\) 满足 \(\xi_i|_{U_i \cap U_j} = \xi_j|_{U_i \cap U_j}\)；这对所有二元组 \(i, j\) 都成立。按照定义，\(\xi_i\) 对应于二元组 \((a_i, b_i)\)，其中 \(a_i : U_i \to X\) 与 \(b_i : U_i \to Y\) 是概形态射，满足 \(f \circ a_i = g \circ b_i\)。粘合条件说明 \(a_i|_{U_i \cap U_j} = a_j|_{U_i \cap U_j}\) and \(b_i|_{U_i \cap U_j} = b_j|_{U_i \cap U_j}\). 因此，粘合态射 \(a_i\) 得到一个局部环层空间态射 （即概形态射）\(a : T \to X\)；同样得到 \(b : T \to Y\) （例如见引理 01JB 的映射性质）。此外，在某个开覆盖的 各成员上，复合 \(f \circ a\) 与 \(g \circ b\) 相同。因此 \(f \circ a = g \circ b\)，二元组 \((a, b)\) 定义了 \(F(T)\) 的一个元素， 它限制为二元组 \((a_i, b_i)\)，在每个 \(U_i\) 上皆如此。层条件得证。

接着构造子函子族。选取由仿射开子集构成的开覆盖 \(S = \bigcup\nolimits_{i \in I} U_i\)。 对每个 \(i \in I\)，选取由仿射开子集构成的开覆盖 \(f^{-1}(U_i) = \bigcup\nolimits_{j \in J_i} V_j\)，以及 \(g^{-1}(U_i) = \bigcup\nolimits_{k \in K_i} W_k\)。 注意，\(X = \bigcup_{i \in I} \bigcup_{j \in J_i} V_j\) 是开覆盖；\(Y\) 也同样。对任意 \(i \in I\) 以及每一对 \((j, k) \in J_i \times K_i\)，都有交换图 \[\xymatrix{ & W_k \ar[d] \ar[rd] & \\ V_j \ar[rd] \ar[r] & U_i \ar[rd] & Y \ar[d] \\ & X \ar[r] & S }\] 其中所有斜箭头都是开浸入。对这样的三元组，得到函子 \[\begin{eqnarray*} F_{i, j, k} : \Sch^{opp} & \longrightarrow & \textit{Sets} \\ T & \longmapsto & \Mor(T, V_j) \times_{\Mor(T, U_i)} \Mor(T, W_k). \end{eqnarray*}\] 存在显然的函子变换 \(F_{i, j, k} \to F\) （来自上面的巨大交换图），它是单射，因此可把 \(F_{i, j, k}\) 视为 \(F\) 的子函子。

检验引理 01JJ 的条件 (2)(a)。 这直接由引理 01I4 得出。 （注意，这里用到了：仿射概形范畴中的纤维积也是整个局部环层空间 范畴中的纤维积。）

检验引理 01JJ 的条件 (2)(b)。 令 \(T\) 为概形，并令 \(\xi \in F(T)\)。换言之， \(\xi = (a, b)\)，其中 \(a : T \to X\) 与 \(b : T \to Y\) 是概形态射， 满足 \(f \circ a = g \circ b\)。 令 \(V_{i, j, k} = a^{-1}(V_j) \cap b^{-1}(W_k)\)。对任意另一个态射 \(h : T' \to T\)，都有 \(h^*\xi = (a \circ h, b \circ h)\)。因此可知， \(h^*\xi \in F_{i, j, k}(T')\) 当且仅当 \(a(h(T')) \subset V_j\) 且 \(b(h(T')) \subset W_k\)。 换言之，当且仅当 \(h(T') \subset V_{i, j, k}\)。这证明了条件 (2)(b)。

检验引理 01JJ 的条件 (2)(c)。 令 \(T\) 为概形，并令 \(\xi = (a, b) \in F(T)\) 如上。 仍令 \(V_{i, j, k} = a^{-1}(V_j) \cap b^{-1}(W_k)\)。 条件 (2)(c) 正是说 \(T = \bigcup V_{i, j, k}\)，这显然成立。 因此引理得证，纤维积存在。

注

利用注 01JK， 可以证明：概形态射的纤维积在局部环层空间范畴中存在， 并且是概形。

概形的纤维积

尽管已经证明了概形的纤维积存在，这里仍回顾其一般定义。

定义

给定概形态射 \(f : X \to S\) 与 \(g : Y \to S\)， 纤维积是概形 \(X \times_S Y\) 连同投影态射 \(p : X \times_S Y \to X\) 与 \(q : X \times_S Y \to Y\)， 它们处于下列交换图中： \[\xymatrix{ X \times_S Y \ar[r]_q \ar[d]_p & Y \ar[d]^g \\ X \ar[r]^f & S }\] 并且此图在所有这类图中具有泛性质；见《范畴》， 定义 001V。

换言之，给定任意由概形态射组成的实线交换图 \[\xymatrix{ T \ar[rrrd] \ar@{-->}[rrd] \ar[rrdd] & & \\ & & X \times_S Y \ar[d] \ar[r] & Y \ar[d] \\ & & X \ar[r] & S }\] 存在唯一的虚线箭头使该图交换。我们将证明若干引理， 以说明应如何理解纤维积。

引理

令 \(f : X \to S\) 与 \(g : Y \to S\) 为具有相同目标的概形态射。 若 \(X, Y, S\) 都是仿射的，则 \(X \times_S Y\) 是仿射的。

证明

设 \(X = \Spec(A)\)、\(Y = \Spec(B)\)，且 \(S = \Spec(R)\)。由引理 01I4， 仿射概形 \(\Spec(A \otimes_R B)\) 是局部环层空间范畴中的纤维积 \(X \times_S Y\)。因而它当然也是概形范畴中的纤维积。

引理

令 \(f : X \to S\) 与 \(g : Y \to S\) 为具有相同目标的概形态射。 令 \(X \times_S Y\)、\(p\)、\(q\) 为该纤维积。设 \(U \subset S\)，\(V \subset X\)、\(W \subset Y\) 是开子概形，满足 \(f(V) \subset U\) 且 \(g(W) \subset U\)。则典范态射 \(V \times_U W \to X \times_S Y\) 是开浸入，它把 \(V \times_U W\) 等同于 \(p^{-1}(V) \cap q^{-1}(W)\)。

证明

令 \(T\) 为概形。设 \(a : T \to V\) 与 \(b : T \to W\) 为态射， 并且有 \(f \circ a = g \circ b\)，这里把二者视为到 \(U\) 的态射。 那么它们作为到 \(S\) 的态射也相同。由纤维积的泛性质， 得到唯一态射 \(T \to X \times_S Y\)。当然，该态射的像包含在开集 \(p^{-1}(V) \cap q^{-1}(W)\) 中。因此 \(p^{-1}(V) \cap q^{-1}(W)\) 是 \(V\) 与 \(W\) 在 \(U\) 上的纤维积。 结论由纤维积的唯一性得出；见《范畴》， 第 001U 节。

特别地，这说明在该引理的情形下 \(V \times_U W = V \times_S W\)。此外，若 \(U, V, W\) 都是仿射的， 则已知 \(V \times_U W\) 是仿射的。当然，可以覆盖 \(X \times_S Y\)， 所用的是这样的仿射开集 \(V \times_U W\)。将此表述为一个引理。

引理

令 \(f : X \to S\) 与 \(g : Y \to S\) 为具有相同目标的概形态射。 令 \(S = \bigcup U_i\) 为 \(S\) 的任意仿射开覆盖。对每个 \(i \in I\)， 令 \(f^{-1}(U_i) = \bigcup_{j \in J_i} V_j\) 为 \(f^{-1}(U_i)\) 的仿射开覆盖， 并令 \(g^{-1}(U_i) = \bigcup_{k \in K_i} W_k\) 为 \(g^{-1}(U_i)\) 的仿射开覆盖。 则 \[X \times_S Y = \bigcup\nolimits_{i \in I} \bigcup\nolimits_{j \in J_i, \ k \in K_i} V_j \times_{U_i} W_k\] 是 \(X \times_S Y\) 的仿射开覆盖。

证明

见本引理上方的讨论。

换言之，我们本可以利用前一个引理，通过粘合仿射概形直接构造纤维积。 （当然，这恰好正是引理 01JM 的证明中所做的。） 下面给出描述概形纤维积点集的一种方式。

引理

令 \(f : X \to S\) 与 \(g : Y \to S\) 为具有相同目标的概形态射。 点 \(z\)（视为 \(X \times_S Y\) 的点）与下列四元组一一对应： \[(x, y, s, \mathfrak p)\] 其中 \(x \in X\)、\(y \in Y\)、\(s \in S\) 是满足 \(f(x) = s\)、\(g(y) = s\) 的点，而 \(\mathfrak p\) 是环 \(\kappa(x) \otimes_{\kappa(s)} \kappa(y)\) 的素理想。 \(z\) 的剩余域对应于素理想 \(\mathfrak p\) 的剩余域。

证明

令 \(z\) 为 \(X \times_S Y\) 的一个点，并构造上述四元组。 回忆可以把 \(z\) 看成态射 \(\Spec(\kappa(z)) \to X \times_S Y\)；见引理 01J9。此态射对应于态射 \(a : \Spec(\kappa(z)) \to X\) 与 \(b : \Spec(\kappa(z)) \to Y\)，它们满足 \(f \circ a = g \circ b\)。再次应用同一引理，得到点 \(x \in X\)、\(y \in Y\)，它们位于同一点 \(s \in S\) 上方；还得到域映射 \(\kappa(x) \to \kappa(z)\)、\(\kappa(y) \to \kappa(z)\)，使得复合 \(\kappa(s) \to \kappa(x) \to \kappa(z)\) 与 \(\kappa(s) \to \kappa(y) \to \kappa(z)\) 相同。换言之，得到环映射 \(\kappa(x) \otimes_{\kappa(s)} \kappa(y) \to \kappa(z)\)。 令 \(\mathfrak p\) 为此映射的核。

反过来，给定四元组 \((x, y, s, \mathfrak p)\)，得到实线交换图 \[\xymatrix{ X \times_S Y \ar@/_/[dddr] \ar@/^/[rrrd] & & & \\ & \Spec(\kappa(x) \otimes_{\kappa(s)} \kappa(y)/\mathfrak p) \ar[r] \ar[d] \ar@{-->}[lu] & \Spec(\kappa(y)) \ar[d] \ar[r] & Y \ar[dd] \\ & \Spec(\kappa(x)) \ar[r] \ar[d] & \Spec(\kappa(s)) \ar[rd] & \\ & X \ar[rr] & & S }\] 见第 01J5 节中的讨论。因而得到虚线箭头。 相应的点 \(z\)（作为 \(X \times_S Y\) 的点）是下列概形泛点的像： \(\Spec(\kappa(x) \otimes_{\kappa(s)} \kappa(y)/\mathfrak p)\)。 我们略去验证这两个构造互逆的过程。

引理

令 \(f : X \to S\) 与 \(g : Y \to S\) 为具有相同目标的概形态射。

1. 若 \(f : X \to S\) 是闭浸入，则 \(X \times_S Y \to Y\) 是闭浸入。此外，若 \(X \to S\) 对应于拟凝聚理想层 \(\mathcal{I} \subset \mathcal{O}_S\)，则 \(X \times_S Y \to Y\) 对应于理想层 \(\Im(g^*\mathcal{I} \to \mathcal{O}_Y)\)。

2. 若 \(f : X \to S\) 是开浸入，则 \(X \times_S Y \to Y\) 是开浸入。

3. 若 \(f : X \to S\) 是浸入，则 \(X \times_S Y \to Y\) 是浸入。

证明

假设 \(X \to S\) 是对应于拟凝聚理想层 \(\mathcal{I} \subset \mathcal{O}_S\) 的闭浸入。由引理 01HQ，闭子空间 \(Z \subset Y\)， 它由理想层 \(\Im(g^*\mathcal{I} \to \mathcal{O}_Y)\) 定义， 是局部环层空间范畴中的纤维积。 由引理 01IN，\(Z\) 是概形。 因此 \(Z = X \times_S Y\)，第一项得证。例如，第二项由引理 01JR 得出。第三项是前两项的结合。

定义

令 \(f : X \to Y\) 为概形态射。令 \(Z \subset Y\) 为 \(Y\) 的闭子概形。 所谓逆像 \(f^{-1}(Z)\)，即闭子概形 \(Z\) 的逆像，是闭子概形 \(Z \times_Y X\)（视为 \(X\) 的闭子概形）。见上面的引理 01JU。

有时我们也把这个术语用于局部闭子概形和开子概形。

代数几何中的基变换

引入概形语言的一个动机是：它精确刻画了在某个给定域上定义一个簇 是什么意思。例如，簇 \(X\) 在 \(\mathbf{Q}\) 上，等价于 （《簇》，定义 020D）一个有限型、分离、 不可约且约化的态射 \(X \to \Spec(\mathbf{Q})\)¹。 无论如何，更一般的思想是在给定的基底概形上研究概形， 这个基底通常记为 \(S\)。我们说“令 \(X\) 为 \(S\) 上的概形”， 仅仅是指 \(X\) 配备了一个态射 \(X \to S\)。在图中，我们会尽量把 结构态射 \(X \to S\) 画成从 \(X\) 向下指向 \(S\) 的箭头。 我们往往更关心 \(X\) 相对于 \(S\) 的性质，而不是 \(X\) 的内在几何。 例如，我们希望了解态射 \(X \to S\) 的纤维、\(X\) 在基变换后会发生什么，等等。

下面引入一些惯用术语。当然，这些术语只是研究一个范畴中某个给定对象 之上对象的范畴这一思想的特例；见《范畴》， 例 001G。

定义

令 \(S\) 为概形。

1. 我们称 \(X\) 为\(S\) 上的概形，是指 \(X\) 配备一个概形态射 \(X \to S\)。态射 \(X \to S\) 有时称为结构态射。

2. 若 \(R\) 为环，我们说 \(X\) 是\(R\) 上的概形， 而不说 \(X\) 是 \(\Spec(R)\) 上的概形。

3. 所谓态射 \(f : X \to Y\)，即 \(S\) 上概形的态射， 是指一个概形态射，使得复合 \(X \to Y \to S\) （由 \(f\) 与 \(Y\) 的结构态射组成）等于 \(X\) 的结构态射。

4. 记 \(\Mor_S(X, Y)\) 为所有从 \(X\) 到 \(Y\) 且位于 \(S\) 上的态射所成的集合。

5. 令 \(X\) 为 \(S\) 上的概形，并令 \(S' \to S\) 为概形态射。 \(X\) 的基变换是概形 \(X_{S'} = S' \times_S X\)，视为 \(S'\) 上的概形。

6. 令 \(f : X \to Y\) 为 \(S\) 上的概形态射，并令 \(S' \to S\) 为概形态射。 \(f\) 的基变换是诱导态射 \(f' : X_{S'} \to Y_{S'}\) （即态射 \(\text{id}_{S'} \times_{\text{id}_S} f\)）。

7. 令 \(R\) 为环。令 \(X\) 为 \(R\) 上的概形。令 \(R \to R'\) 为环同态。 基变换 \(X_{R'}\) 是概形 \(\Spec(R') \times_{\Spec(R)} X\)， 视为 \(R'\) 上的概形。

下面是一个典型结论。

引理

令 \(S\) 为概形。令 \(f : X \to Y\) 为 \(S\) 上概形的浸入 （分别地，闭浸入、开浸入）。则 \(f\) 的任意基变换仍为浸入 （分别地，闭浸入、开浸入）。

证明

可以把 \(f\) 沿态射 \(S' \to S\) 的基变换看作下列交换图中 左上方的竖直箭头： \[\xymatrix{ X_{S'} \ar[r] \ar[d] & X \ar[d] \ar@/^4ex/[dd] \\ Y_{S'} \ar[r] \ar[d] & Y \ar[d] \\ S' \ar[r] & S }\] 此图蕴含 \(X_{S'} \cong Y_{S'} \times_Y X\)， 本引理由引理 01JU 得出。

事实上，这类结论如此典型，以至于有一个专门术语来表述它。

定义

性质与基变换。

1. 令 \(\mathcal{P}\) 为基底上概形的一种性质。我们称 \(\mathcal{P}\) 在任意基变换下保持，或简称 \(\mathcal{P}\) 在基变换下保持，如果每当 \(X/S\) 具有 \(\mathcal{P}\) 时，任意基变换 \(X_{S'}/S'\) 都具有 \(\mathcal{P}\)。

2. 令 \(\mathcal{P}\) 为基底上概形态射的一种性质。我们称 \(\mathcal{P}\) 在任意基变换下保持，或简称在基变换下保持， 如果每当 \(f : X \to Y\) 在 \(S\) 上具有 \(\mathcal{P}\) 时，任意基变换 \(f' : X_{S'} \to Y_{S'}\) 在 \(S'\) 上都具有 \(\mathcal{P}\)。

现在可以说，“是闭浸入”这一性质在任意基变换下保持。

定义

令 \(f : X \to S\) 为概形态射。令 \(s \in S\) 为一点。 所谓概形论纤维 \(X_s\)，即 \(f\) 在 \(s\) 上方的纤维， 或简称\(f\) 在 \(s\) 上方的纤维，是处于下列纤维积图中的概形： \[\xymatrix{ X_s = \Spec(\kappa(s)) \times_S X \ar[r] \ar[d] & X \ar[d] \\ \Spec(\kappa(s)) \ar[r] & S }\] 我们始终把纤维 \(X_s\) 看作 \(\kappa(s)\) 上的概形。

引理

令 \(f : X \to S\) 为概形态射。考虑下列两图： \[\vcenter{ \xymatrix{ X_s \ar[r] \ar[d] & X \ar[d] \\ \Spec(\kappa(s)) \ar[r] & S } } \quad\text{且}\quad \vcenter{ \xymatrix{ \Spec(\mathcal{O}_{S, s}) \times_S X \ar[r] \ar[d] & X \ar[d] \\ \Spec(\mathcal{O}_{S, s}) \ar[r] & S } }\] 在两种情形中，这些图都诱导拓扑空间的纤维方块；特别地， 上方的水平箭头是到其像的同胚。

证明

选取仿射开集 \(U \subset S\)，使其包含 \(s\)。 下方的水平态射经由 \(U\) 分解；例如见引理 01J6。 因此可假设 \(S\) 是仿射的。若 \(X\) 也是仿射的，则结论由 《代数》，注 00E6 得出。 一般情形可通过用仿射开集覆盖 \(X\) 得出。

引理

令 \(f : X \to S\) 为概形态射。令 \(x \in X\) 的像为 \(s \in S\)。 把 \(x\) 看作 \(X_s\) 的一点（见引理 01K1），则有 \[\mathcal{O}_{X_s, x} \cong \mathcal{O}_{X, x}/\mathfrak m_s\mathcal{O}_{X, x} \cong \mathcal{O}_{X, x} \otimes_{\mathcal{O}_{S, s}} \kappa(s)\]

证明

与引理 01K1 的证明相同，这归结为 \(X\) 与 \(S\) 均仿射的情形。在仿射情形中，该陈述转化为《代数》， 注 0H9M。

拟紧态射

若一个概形的底拓扑空间拟紧，则称该概形拟紧。 相对版本的概念定义如下。

定义

若一个概形态射的底拓扑空间映射拟紧，则称该态射拟紧； 见《拓扑》，定义 005A。

引理

令 \(f : X \to S\) 为概形态射。下列条件等价：

1. \(f : X \to S\) 拟紧；

2. 每个仿射开集的逆像拟紧；

3. 存在某个仿射开覆盖 \(S = \bigcup_{i \in I} U_i\)， 使得 \(f^{-1}(U_i)\) 对所有 \(i\) 都拟紧。

证明

设给定 (3) 中的覆盖 \(S = \bigcup_{i \in I} U_i\)。 首先，令 \(U \subset S\) 为任意仿射开集。对任意 \(u \in U\)， 可以找到指标 \(i(u) \in I\)，使得 \(u \in U_{i(u)}\)。 由于标准开集构成 \(U_{i(u)}\) 的拓扑基，可以找到 \(W_u \subset U \cap U_{i(u)}\)，它是 \(U_{i(u)}\) 中的标准开集。 由拟紧性，可以找到有限多个点 \(u_1, \ldots, u_n \in U\)，使得 \(U = \bigcup_{j = 1}^n W_{u_j}\)。对每个 \(j\)，把 \(f^{-1}U_{i(u_j)} = \bigcup_{k \in K_j} V_{jk}\) 写成有限多个仿射开集的并。 由于 \(W_{u_j} \subset U_{i(u_j)}\) 是标准开集，可知 \(f^{-1}(W_{u_j}) \cap V_{jk}\) 是 \(V_{jk}\) 的标准开集；见《代数》， 引理 00E2。因此 \(f^{-1}(W_{u_j}) \cap V_{jk}\) 是仿射的，从而 \(f^{-1}(W_{u_j})\) 是有限多个仿射概形的并。这证明任意仿射开集的 逆像都是有限多个仿射开集的并。

接着，假设每个仿射开集的逆像都是有限多个仿射开集的并。 令 \(K \subset S\) 为任意拟紧开集。由于 \(S\) 具有由仿射开集组成的拓扑基， 可知 \(K\) 是有限多个仿射开集的并。因此 \(K\) 的逆像是有限多个仿射开集的并， 所以 \(f\) 拟紧。

最后，假设 \(f\) 拟紧。此时，前一段的论证说明任意仿射开集的逆像 都是有限多个仿射开集的并。

引理

“拟紧”是基底上概形态射的一种性质，并且在任意基变换下保持。

证明

略。

引理

拟紧态射的复合拟紧。

证明

这由定义及《拓扑》， 引理 005B 得出。

引理

闭浸入拟紧。

证明

这由定义及《拓扑》， 引理 005C 得出。

例

一般而言，开浸入不拟紧。标准例子是开子空间 \(U \subset X\)，其中 \(X = \Spec(k[x_1, x_2, x_3, \ldots])\)， \(U\) 是 \(X \setminus \{0\}\)，而 \(0\) 是 \(X\) 中对应于极大理想 \((x_1, x_2, x_3, \ldots)\) 的点。

引理

令 \(f : X \to S\) 为拟紧概形态射。下列条件等价：

1. \(f(X) \subset S\) 是闭集；

2. \(f(X) \subset S\) 在特化下稳定。

证明

由《拓扑》，引理 0062， 有 (1) \(\Rightarrow\) (2)。假设 (2)。令 \(U \subset S\) 为仿射开集。 只须证明 \(f(X) \cap U\) 闭。由于 \(U \cap f(X)\) 在 \(U\) 中的特化下稳定， 问题归结为 \(S\) 仿射的情形。因为 \(f\) 拟紧，可推出 \(X = f^{-1}(S)\) 拟紧，这是由于 \(S\) 仿射。因此可以写成 \(X = \bigcup_{i = 1}^n U_i\)，其中 \(U_i \subset X\) 是仿射开集。 设 \(S = \Spec(R)\)，并令 \(U_i = \Spec(A_i)\)，其中 \(R\)-代数为 \(A_i\)。于是 \(f(X) = \Im(\Spec(A_1 \times \ldots \times A_n) \to \Spec(R))\)。因此本引理由《代数》， 引理 00HY 得出。

引理

令 \(f : X \to S\) 为拟紧概形态射。则 \(f\) 是闭映射，当且仅当特化可沿 \(f\) 提升；见《拓扑》，定义 0063。

证明

由《拓扑》，引理 0066， 若 \(f\) 是闭映射，则特化可沿 \(f\) 提升。反过来，假设特化可沿 \(f\) 提升。 令 \(Z \subset X\) 为闭子集。赋予 \(Z\) 约化诱导概形结构，便可把它看作概形； 见定义 01J4。由于 \(Z \subset X\) 闭， \(f\) 在 \(Z\) 上的限制仍拟紧。此外，特化也可沿 \(Z \to S\) 提升； 见《拓扑》，引理 0064。 因此，只须证明 \(f(X)\) 闭，前提是特化可沿 \(f\) 提升。 特别地，\(f(X)\) 在特化下稳定；见《拓扑》， 引理 0065。于是由引理 05JL，\(f(X)\) 闭。

万有闭性的赋值判据

《拓扑》第 005M 节讨论了固有映射： 可以把它看作所有纤维都拟紧的拓扑空间闭映射， 也可以看作所有基变换都是闭映射的映射。下面给出代数几何中的对应概念。

定义

若概形态射 \(f : X \to S\) 的每个基变换 \(f' : X_{S'} \to S'\) 都是闭映射，则称它万有闭。

事实上，形容词“万有”经常这样使用。换言之，给定态射的一种性质 \(\mathcal{P}\)，我们说“\(X \to S\) 万有地具有 \(\mathcal{P}\)”， 当且仅当每个基变换 \(X_{S'} \to S'\) 都具有 \(\mathcal{P}\)。

关于万有闭态射性质的更详细讨论，请见《态射》， 第 01W0 节。本节只讨论万有闭态射与满足 赋值判据存在性部分的态射之间的关系。

引理

令 \(f : X \to S\) 为概形态射。

1. 若 \(f\) 万有闭，则特化可沿 \(f\) 的任意基变换提升； 见《拓扑》，定义 0063。

2. 若 \(f\) 拟紧，且特化可沿 \(f\) 的任意基变换提升，则 \(f\) 万有闭。

证明

(1) 直接由《拓扑》，引理 0066 得出。 (2) 由引理 01K9 与 01K5 得出。

定义

令 \(f : X \to S\) 为概形态射。称 \(f\)满足赋值判据的存在性部分， 如果给定任意实线交换图 \[\xymatrix{ \Spec(K) \ar[r] \ar[d] & X \ar[d] \\ \Spec(A) \ar[r] \ar@{-->}[ru] & S }\] 其中 \(A\) 是以 \(K\) 为分式域的赋值环，虚线箭头总存在。称 \(f\) 满足赋值判据的唯一性部分，如果对任意上述图，虚线箭头 至多有一个（当然不要求存在）。

赋值环是其分式域中支配关系下极大的局部整环；见《代数》， 定义 00I9。因此，赋值环的谱有唯一泛点 \(\eta\) 和唯一闭点 \(0\)，当然还有特化 \(\eta \leadsto 0\)。 赋值环的重要性在于：任意概形中点的任何特化，都是某个赋值环之谱的 某个态射下 \(\eta \leadsto 0\) 的像。精确结论如下。

引理

令 \(S\) 为概形。令 \(s' \leadsto s\) 为 \(S\) 中点的特化。则：

1. 存在赋值环 \(A\) 和态射 \(f : \Spec(A) \to S\)，使得泛点 \(\eta\)（属于 \(\Spec(A)\)）映到 \(s'\)，而特殊点映到 \(s\)；

2. 给定域扩张 \(K/\kappa(s')\)，可以安排使扩张 \(\kappa(\eta)/\kappa(s')\)（由 \(f\) 诱导）同构于给定扩张。

证明

令 \(s' \leadsto s\) 为 \(S\) 中的特化，并令 \(K/\kappa(s')\) 为域扩张。 由引理 01J7 及引理 01J9 后面的讨论，得到环映射 \(\mathcal{O}_{S, s} \to \kappa(s') \to K\)。 令 \(A \subset K\) 为任意赋值环，其分式域为 \(K\)，并且它支配 \(\mathcal{O}_{S, s} \to K\) 的像；见《代数》，引理 00IA。环同态 \(\mathcal{O}_{S, s} \to A\) 诱导态射 \(f : \Spec(A) \to S\)；见引理 01J6。按照构造，此态射具有所有所需性质。

引理

令 \(f : X \to S\) 为概形态射。下列条件等价：

1. 特化可沿 \(f\) 的任意基变换提升；

2. 态射 \(f\) 满足赋值判据的存在性部分。

证明

假设 (1) 成立。给定定义 01KD 中的实线图。 为了找到虚线箭头，可以把 \(X \to S\) 替换为 \(X_{\Spec(A)} \to \Spec(A)\)，因为该假设在基变换下保持。 因此可假设 \(S = \Spec(A)\)。令 \(x' \in X\) 为 \(\Spec(K) \to X\) 的像，于是 \(\kappa(x') \subset K\)； 见引理 01J9。 由假设，存在特化 \(x' \leadsto x\)，它发生在 \(X\) 中，使得 \(x\) 映到 \(S = \Spec(A)\) 的闭点。得到局部环同态 \(A \to \mathcal{O}_{X, x}\) 以及环同态 \(\mathcal{O}_{X, x} \to \kappa(x')\)；见引理 01J7 及引理 01J9 后面的讨论。复合 \(A \to \mathcal{O}_{X, x} \to \kappa(x') \to K\) 是给定的单射 \(A \to K\)。由于 \(A \to \mathcal{O}_{X, x}\) 是局部同态， \(\mathcal{O}_{X, x} \to K\) 的像支配 \(A\)，因而等于 \(A\)； 见《代数》，定义 00I9。 因此得到环同态 \(\mathcal{O}_{X, x} \to A\)，进而得到态射 \(\Spec(A) \to X\)（见引理 01J6 及其后的讨论）。这证明了 (2)。

反过来，假设 (2) 成立。考察下列交换图，立即可知赋值判据的存在性部分 对任意基变换 \(X_{S'} \to S'\) 都成立；这里该基变换来自 \(f\)： \[\xymatrix{ \Spec(K) \ar[r] \ar[d] & X_{S'} \ar[r] \ar[d] & X \ar[d] \\ \Spec(A) \ar[r] \ar@{-->}[ru] \ar@{-->}[rru] & S' \ar[r] & S }\] 具体而言，由纤维积的定义，较为水平的虚线箭头会给出另一个虚线箭头。 因此显然只须证明特化可沿 \(f\) 提升。 令 \(s' \leadsto s\) 为 \(S\) 中的特化，并令 \(x' \in X\) 为位于 \(s'\) 上方的点。 将引理 01J8 应用于 \(s' \leadsto s\) 以及域扩张 \(K = \kappa(x')/\kappa(s')\)，得到交换图 \[\xymatrix{ \Spec(K) \ar[rr] \ar[d] & & X \ar[d] \\ \Spec(A) \ar[r] \ar@{-->}[rru] & \Spec(\mathcal{O}_{S, s}) \ar[r] & S }\] 由条件 (2) 得到虚线箭头。闭点的像 \(x\)，这里闭点属于 \(\Spec(A)\)， 而该像位于 \(X\) 中，便是所求解。也就是说，\(x\) 是 \(x'\) 的特化， 并映到 \(s\)。

命题

令 \(f\) 为拟紧概形态射。则 \(f\) 万有闭，当且仅当 \(f\) 满足赋值判据的存在性部分。

证明

这是上面的引理 01KC 与 01KE 的形式推论。

例

令 \(k\) 为域。考虑结构态射 \(p : \mathbf{P}^1_k \to \Spec(k)\)，它来自 \(k\) 上的射影直线； 见例 01JE。 利用上面的赋值判据证明 \(p\) 万有闭。 按照构造，\(\mathbf{P}^1_k\) 由两个仿射开集覆盖，因而 \(p\) 拟紧。 给定交换图 \[\xymatrix{ \Spec(K) \ar[r]_\xi \ar[d] & \mathbf{P}^1_k \ar[d] \\ \Spec(A) \ar[r]^\varphi & \Spec(k) }\] 其中 \(A\) 是赋值环，\(K\) 是其分式域。回忆 \(\mathbf{P}^1_k\) 由 \(\Spec(k[x])\) 与 \(\Spec(k[y])\) 粘合而得，其中把 \(D(x)\) 与 \(D(y)\) 经由 \(x = y^{-1}\) 粘合（或更对称地写成 \(xy = 1\)）。 为了证明存在态射 \(\Spec(A) \to \mathbf{P}^1_k\) 斜向嵌入上图， 由对称性可假设 \(\xi\) 映入开集 \(\Spec(k[x])\)。这给出下列环的交换图： \[\xymatrix{ K & k[x] \ar[l]^{\xi^\sharp} \\ A \ar[u] & k \ar[u] \ar[l]_{\varphi^\sharp} }\] 由《代数》，引理 00IB， 可知或者 \(\xi^\sharp(x) \in A\)，或者 \(\xi^\sharp(x)^{-1} \in A\)。 在第一种情形，得到环同态 \[k[x] \to A, \ \lambda \mapsto \varphi^\sharp(\lambda), \ x \mapsto \xi^\sharp(x)\] 它嵌入上面的环图中，结论得证。在第二种情形，得到环同态 \[k[y] \to A, \ \lambda \mapsto \varphi^\sharp(\lambda), \ y \mapsto \xi^\sharp(x)^{-1}.\] 这给出态射 \(\Spec(A) \to \Spec(k[y]) \to \mathbf{P}^1_k\)， 它斜向嵌入本例开头的交换图中（验证略）。

分离公理

拓扑空间 \(X\) 是豪斯多夫的，当且仅当对角线 \(\Delta \subset X \times X\) 是闭子集。代数几何中的类似做法是： 给定概形 \(X\)，它位于基底概形 \(S\) 上，考虑对角态射 \[\Delta_{X/S} : X \longrightarrow X \times_S X.\] 这是满足 \(\text{pr}_1 \circ \Delta_{X/S} = \text{id}_X\) 以及 \(\text{pr}_2 \circ \Delta_{X/S} = \text{id}_X\) 的唯一概形态射 （它在任何具有纤维积的范畴中都存在）。

引理

仿射概形之间态射的对角态射是闭浸入。

证明

与态射 \(\Spec(S) \to \Spec(R)\) 相关联的对角态射，是由环同态 \(S \otimes_R S \to S\)、\(a \otimes b \mapsto ab\) 所对应的谱上态射。 此映射显然满射，故有 \(S \cong S \otimes_R S/J\)，其中 \(J \subset S \otimes_R S\) 是某个理想。因此 \(\Delta\) 是闭浸入； 见例 01IG。

引理

令 \(X\) 为 \(S\) 上的概形。对角态射 \(\Delta_{X/S}\) 是浸入。

证明

回忆，若 \(V \subset X\) 是仿射开集并映入仿射开集 \(U \subset S\)， 则 \(V \times_U V\) 是 \(X \times_S X\) 中的仿射开集；见引理 01JQ 与 01JR。 考虑开子概形 \(W\)（属于 \(X \times_S X\)），它是这些仿射开集 \(V \times_U V\) 的并。由引理 01HL， 只须证明每个态射 \(\Delta_{X/S}^{-1}(V \times_U V) \to V \times_U V\) 都是闭浸入。 由于 \(V = \Delta_{X/S}^{-1}(V \times_U V)\)，这正是在检验 \(\Delta_{V/U}\) 是闭浸入，而这就是引理 01KI。

定义

令 \(f : X \to S\) 为概形态射。

1. 称 \(f\)分离，如果对角态射 \(\Delta_{X/S}\) 是闭浸入。

2. 称 \(f\)拟分离，如果对角态射 \(\Delta_{X/S}\) 拟紧。

3. 称概形 \(Y\)分离，如果态射 \(Y \to \Spec(\mathbf{Z})\) 分离。

4. 称概形 \(Y\)拟分离，如果态射 \(Y \to \Spec(\mathbf{Z})\) 拟分离。

由引理 01KJ 与 01IQ， 可知 \(\Delta_{X/S}\) 是闭浸入，当且仅当 \(\Delta_{X/S}(X) \subset X \times_S X\) 是闭子集。此外，由引理 01K7，分离态射必拟分离。 引入拟分离态射的原因是：研究代数簇时（尤其在模空间、代数栈等问题中） 自然会出现非分离态射，但它们多数仍然拟分离。

例

下面给出一个非拟分离态射的例子。设 \(X = X_1 \cup X_2 \to S = \Spec(k)\)，其中 \(X_1 = X_2 = \Spec(k[t_1, t_2, t_3, \ldots])\)， 并沿 \(\{0\} = \{(t_1, t_2, t_3, \ldots)\}\) 的补集粘合 （粘合法同例 01JD）。 此时，仿射概形 \(X_1 \times_S X_2\) 在 \(\Delta_{X/S}\) 下的逆像是概形 \(\Spec(k[t_1, t_2, t_3, \ldots]) \setminus \{0\}\)，它不拟紧。

引理

令 \(X\)、\(Y\) 为 \(S\) 上的概形。令 \(a, b : X \to Y\) 为 \(S\) 上的概形态射。 存在最大的局部闭子概形 \(Z \subset X\)，使得 \(a|_Z = b|_Z\)。 事实上，\(Z\) 是 \((a, b)\) 的等化子。此外，若 \(Y\) 在 \(S\) 上分离， 则 \(Z\) 是闭子概形。

证明

由范畴论理由，\((a, b)\) 的等化子是下图中的纤维积 \(Z\)： \[\xymatrix{ Z = Y \times_{(Y \times_S Y)} X \ar[r] \ar[d] & X \ar[d]^{(a , b)} \\ Y \ar[r]^-{\Delta_{Y/S}} & Y \times_S Y }\] 因此本引理由引理 01JY、 01KJ 及定义 01KK 得出。

引理

令 \(f : X \to S\) 为概形态射。下列条件等价：

1. 态射 \(f\) 拟分离。

2. 对每一对仿射开集 \(U, V \subset X\)，若它们映入 \(S\) 的同一个 仿射开集，则交集 \(U \cap V\) 是 \(X\) 的有限多个仿射开集的并。

3. 存在仿射开覆盖 \(S = \bigcup_{i \in I} U_i\)，并且对每个 \(i\) 存在仿射开覆盖 \(f^{-1}U_i = \bigcup_{j \in I_i} V_j\)，使得对每个 \(i\) 以及每一对 \(j, j' \in I_i\)，交集 \(V_j \cap V_{j'}\) 都是 \(X\) 的 有限多个仿射开集的并。

证明

先证明 (3) 蕴含 (1)。由引理 01JS，覆盖 \(X \times_S X = \bigcup_i \bigcup_{j, j'} V_j \times_{U_i} V_{j'}\) 是 \(X \times_S X\) 的仿射开覆盖。此外， \(\Delta_{X/S}^{-1}(V_j \times_{U_i} V_{j'}) = V_j \cap V_{j'}\)。 故该蕴含由引理 01K4 得出。

(1) \(\Rightarrow\) (2) 来自如下事实：在 (2) 的假设下，纤维积 \(U \times_S V\) 是 \(X \times_S X\) 的仿射开集。 (2) \(\Rightarrow\) (3) 是平凡的。

引理

令 \(f : X \to S\) 为概形态射。

1. 若 \(f\) 分离，则对每一对仿射开集 \((U, V)\)（属于 \(X\)）， 只要它们映入 \(S\) 的同一个仿射开集，就有：

   1. 交集 \(U \cap V\) 是仿射的；

   2. 环同态 \(\mathcal{O}_X(U) \otimes_{\mathbf{Z}} \mathcal{O}_X(V) \to \mathcal{O}_X(U \cap V)\) 满射。

2. 若任意一对点 \(x_1, x_2 \in X\) 位于同一点 \(s \in S\) 上方， 都分别包含在仿射开集 \(x_1 \in U\)、\(x_2 \in V\) 中，且这些开集映入 \(S\) 的同一个仿射开集并满足 (a)、(b)，则 \(f\) 分离。

证明

假设 \(f\) 分离。设 \((U, V)\) 是 (1) 中的一对开集。 令 \(W = \Spec(R)\) 为 \(S\) 的仿射开集，并同时包含 \(f(U)\) 与 \(f(V)\)。 写成 \(U = \Spec(A)\)、\(V = \Spec(B)\)，其中用到 \(R\)-代数 \(A\) 与 \(B\)。 由引理 01JR， \(U \times_S V = U \times_W V = \Spec(A \otimes_R B)\) 是 \(X \times_S X\) 的仿射开集。因而由引理 01IN 可知， \(\Delta^{-1}(U \times_S V) \to U \times_S V\) 可等同于 \(\Spec((A \otimes_R B)/J) \to \Spec(A \otimes_R B)\)， 其中 \(J \subset A \otimes_R B\) 是某个理想。 因此 \(U \cap V = \Delta^{-1}(U \times_S V)\) 是仿射的。 断言 (1)(b) 成立，因为 \(A \otimes_{\mathbf{Z}} B \to (A \otimes_R B)/J\) 满射。

假设 (2) 中表述的假设成立。显然，仿射开集 \(U \times_S V\)， 对应于 (2) 中各对 \((U, V)\)，构成 \(X \times_S X\) 的仿射开覆盖 （例如见引理 01JS）。 因此，只须证明每个态射 \(U \cap V = \Delta_{X/S}^{-1}(U \times_S V) \to U \times_S V\) 都是闭浸入；见引理 01HL。 由假设 (a)，有 \(U \cap V = \Spec(C)\)，其中 \(C\) 为某个环。 选取仿射开集 \(W = \Spec(R)\)（属于 \(S\)），使 \(U\) 与 \(V\) 都映入其中， 并写成 \(U = \Spec(A)\)、\(V = \Spec(B)\)，则假设 (b) 是说复合 \[A \otimes_{\mathbf{Z}} B \to A \otimes_R B \to C\] 满射。因此 \(A \otimes_R B \to C\) 满射，从而 \(\Spec(C) \to \Spec(A \otimes_R B)\) 是闭浸入。

例

令 \(k\) 为域。考虑结构态射 \(p : \mathbf{P}^1_k \to \Spec(k)\)，它来自 \(k\) 上的射影直线； 见例 01JE。利用上面的引理证明 \(p\) 分离。 按照构造，\(\mathbf{P}^1_k\) 由两个仿射开集 \(U = \Spec(k[x])\) 与 \(V = \Spec(k[y])\) 覆盖，其交集为 \(U \cap V = \Spec(k[x, y]/(xy - 1))\)（采用显然的记号）。 因此，只须检验引理 01KP 的条件 (2)(a)、(2)(b) 对仿射开集对 \((U, U)\)、\((U, V)\)、\((V, U)\) 及 \((V, V)\) 成立。 对 \((U, U)\) 与 \((V, V)\) 而言这是平凡的。对 \((U, V)\) 而言， 这相当于证明 \(U \cap V\) 仿射（确实如此），并且环同态 \[k[x] \otimes_{\mathbf{Z}} k[y] \longrightarrow k[x, y]/(xy - 1)\] 满射。这是显然的，因为右端的任意元素都可写成关于 \(x\) 的多项式 与关于 \(y\) 的多项式之和。

引理

令 \(f : X \to T\) 与 \(g : Y \to T\) 为具有相同目标的概形态射， 并令 \(h : T \to S\) 为概形态射。则诱导态射 \(i : X \times_T Y \to X \times_S Y\) 是浸入。若 \(T \to S\) 分离， 则 \(i\) 是闭浸入；若 \(T \to S\) 拟分离，则 \(i\) 拟紧。

证明

由一般范畴论，下图 \[\xymatrix{ X \times_T Y \ar[r] \ar[d] & X \times_S Y \ar[d] \\ T \ar[r]^{\Delta_{T/S}} \ar[r] & T \times_S T }\] 是纤维积图。本引理由引理 01KJ、 01JU 与 01K5 得出。

引理

令 \(g : X \to Y\) 为 \(S\) 上的概形态射。态射 \(i : X \to X \times_S Y\) 是浸入。若 \(Y\) 在 \(S\) 上分离， 则它是闭浸入；若 \(Y\) 在 \(S\) 上拟分离，则它拟紧。

证明

这是把引理 01KR 应用于态射 \(X = X \times_Y Y \to X \times_S Y\) 所得的特殊情形。

引理

令 \(f : X \to S\) 为概形态射。令 \(s : S \to X\) 为 \(f\) 的截面 （用公式写为 \(f \circ s = \text{id}_S\)）。则 \(s\) 是浸入。 若 \(f\) 分离，则 \(s\) 是闭浸入；若 \(f\) 拟分离，则 \(s\) 拟紧。

证明

这是把引理 01KS 应用于 \(g =s\) 所得的特殊情形； 此时态射为 \(i = s : S \to S \times_S X\)。

引理

恒久性质。

1. 分离态射的复合分离。

2. 拟分离态射的复合拟分离。

3. 分离态射的基变换分离。

4. 拟分离态射的基变换拟分离。

5. 分离态射的（纤维）积分离。

6. 拟分离态射的（纤维）积拟分离。

证明

令 \(X \to Y \to Z\) 为态射。假设 \(X \to Y\) 与 \(Y \to Z\) 分离。复合 \[X \to X \times_Y X \to X \times_Z X\] 是闭浸入，因为第一个态射依假设是闭浸入，第二个态射则由引理 01KR 是闭浸入。同一论证也适用于“拟分离” （使用相同的引理）。

令 \(f : X \to Y\) 为基底 \(S\) 上的概形态射。令 \(S' \to S\) 为概形态射。 令 \(f' : X_{S'} \to Y_{S'}\) 为 \(f\) 的基变换。则 \(f'\) 的对角态射为 \[\Delta_{f'} : X_{S'} = S' \times_S X \longrightarrow X_{S'} \times_{Y_{S'}} X_{S'} = S' \times _S (X \times_Y X)\] 容易看出，这是 \(\Delta_f\) 的基变换。因此，(3)、(4) 由如下事实得出： 闭浸入与拟紧态射在任意基变换下保持（引理 01JU 与 01K5）。

若 \(f : X \to Y\) 与 \(g : U \to V\) 是基底 \(S\) 上的概形态射，则 \(f \times g\) 是 \(X \times_S U \to X \times_S V\)（\(g\) 的基变换）与 \(X \times_S V \to Y \times_S V\)（\(f\) 的基变换）的复合。 因此 (5)、(6) 由 (1)–(4) 得出。

引理

令 \(f : X \to Y\) 与 \(g : Y \to Z\) 为概形态射。 若 \(g \circ f\) 分离，则 \(f\) 也分离； 若 \(g \circ f\) 拟分离，则 \(f\) 也拟分离。

证明

假设 \(g \circ f\) 分离。考虑其对角态射的分解 \(X \to X \times_Y X \to X \times_Z X\)；这里所说的对角态射属于 \(g \circ f\)。由引理 01KR，后一个态射是浸入。 依假设，\(X\) 在 \(X \times_Z X\) 中的像闭，因而它在 \(X \times_Y X\) 中也闭。因此由引理 01IQ， \(X \to X \times_Y X\) 是闭浸入。

假设 \(g \circ f\) 拟分离。令 \(V \subset Y\) 为映入 \(Z\) 的某个仿射开集 的仿射开集。令 \(U_1, U_2 \subset X\) 为映入 \(V\) 的仿射开集。于是 \(U_1 \cap U_2\) 是有限多个仿射开集的并，因为 \(U_1, U_2\) 映入 \(Z\) 的同一个仿射开集。又因为可以覆盖 \(Y\)，所用仿射开集形如 \(V\)， 本引理由引理 01KO 得出。

引理

令 \(f : X \to Y\) 与 \(g : Y \to Z\) 为概形态射。 若 \(g \circ f\) 拟紧且 \(g\) 拟分离，则 \(f\) 拟紧。

证明

这是因为 \(f\) 等于复合 \((1, f) : X \to X \times_Z Y \to Y\)。第一个映射由引理 01KT 拟紧，因为它是拟分离态射 \(X \times_Z Y \to X\) 的截面（该态射是 \(g\) 的基变换； 见引理 01KU）。第二个映射也拟紧， 因为它是 \(g \circ f\) 的基变换；见引理 01K5。最后，拟紧态射的复合拟紧； 见引理 01K6。

引理

仿射概形分离。从仿射概形到另一个概形的态射分离。

证明

令 \(U = \Spec(A)\) 为仿射概形。由引理 01KI，\(U \to \Spec(\mathbf{Z})\) 的对角闭。 因此由定义 01KK，\(U\) 分离。 若 \(U \to X\) 是概形态射，则可把引理 01KV 应用于态射 \(U \to X \to \Spec(\mathbf{Z})\)，从而得出 \(U \to X\) 分离。

读者或许会问：为了断定一对仿射开集的交仍仿射， 是否真的必须只考虑其像包含在某个仿射开集中的那些对？往往并不需要！

引理

令 \(f : X \to S\) 为态射。假设 \(f\) 分离且 \(S\) 是分离概形。 设 \(U \subset X\) 与 \(V \subset X\) 为仿射开集。则 \(U \cap V\) 仿射 （并且是 \(U \times V\) 的闭子概形）。

证明

在此情形，由引理 01KU，\(X\) 分离。 因此 \(U \cap V\) 仿射；这是把引理 01KP 应用于态射 \(X \to \Spec(\mathbf{Z})\) 所得的结论。

另一方面，下例说明不能指望仿射概形的像包含在某个仿射开集中。

例

考虑非仿射概形 \(U = \Spec(k[x, y]) \setminus \{(x, y)\}\)， 见例 01IL。另一方面，考虑概形 \[\mathbf{GL}_{2, k} = \Spec(k[a, b, c, d, 1/ad - bc]).\] 存在态射 \(\mathbf{GL}_{2, k} \to U\)，它对应于环同态 \(x \mapsto a\)、\(y \mapsto b\)。容易看出该态射满射，故其像不包含在 \(U\) 的任何仿射开集中。事实上，仿射概形 \(\mathbf{GL}_{2, k}\) 也满射到 \(\mathbf{P}^1_k\)，而 \(\mathbf{P}^1_k\) 甚至不能浸入任何仿射概形。

注

令 \(P\) 为以下 \(4\) 种性质之一：“拟分离”、“分离”、 “拟紧且拟分离”或“拟紧且分离”。则下列陈述成立：

1. 任意仿射概形都具有 \(P\)。

2. 给定概形态射 \(f : X \to Y\)，若 \(Y\) 具有 \(P\)，则 \(f\) 具有 \(P\) 当且仅当 \(X\) 具有 \(P\)。

3. 若 \(X \to Y\) 与 \(Z \to Y\) 为概形态射，并且 \(X\)、\(Y\)、\(Z\) 都具有 \(P\)，则 \(X \times_Y Z\) 具有 \(P\)。

陈述 (1) 显然。令 \(f : X \to Y\) 如 (2)。若 \(f\) 具有 \(P\)，则 \(X\) 也具有， 这是把引理 01KU 与 01K6 应用于 \(X \to Y \to \Spec(\mathbf{Z})\) 所得。若 \(X\) 具有 \(P\)，则 \(f\) 也具有， 这是把引理 01KV 与 03GI 应用于 \(X \to Y \to \Spec(\mathbf{Z})\) 所得。 令 \(X \to Y\) 与 \(Z \to Y\) 如 (3)。投影 \(X \times_Y Z \to Z\) 具有 \(P\)， 因为它是箭头 \(X \to Y\) 的基变换，而该箭头由 (2) 具有 \(P\)； 见引理 01KU 与 01K5。因此由 (2)， \(X \times_Y Z\) 具有 \(P\)。

分离性的赋值判据

引理

令 \(f : X \to S\) 为概形态射。若 \(f\) 分离，则 \(f\) 满足 赋值判据的唯一性部分。

证明

给定定义 01KD 中的一个图。假设有两个态射 \(a, b : \Spec(A) \to X\) 嵌入该图。令 \(Z \subset \Spec(A)\) 为 \(a\) 与 \(b\) 的等化子。由引理 01KM，它是 \(\Spec(A)\) 的 闭子概形。依假设，它包含 \(\Spec(A)\) 的泛点。由于 \(A\) 是整环， 这蕴含 \(Z = \Spec(A)\)。故如所需，\(a = b\)。

引理

令 \(f : X \to S\) 为态射。假设：

1. 态射 \(f\) 拟分离；

2. 态射 \(f\) 满足赋值判据的唯一性部分。

则 \(f\) 分离。

证明

由假设 (1)、命题 01KF， 以及引理 01KJ、01IQ， 可知只须证明态射 \(\Delta_{X/S} : X \to X \times_S X\) 满足赋值判据的存在性部分。 给定实线交换图 \[\xymatrix{ \Spec(K) \ar[r] \ar[d] & X \ar[d] \\ \Spec(A) \ar[r] \ar@{-->}[ru] & X \times_S X }\] 右下箭头对应于一对态射 \(a, b : \Spec(A) \to X\)，它们位于 \(S\) 上。 由 (2) 可知 \(a = b\)。因此取 \(a\) 为虚线箭头即可。

单态射

定义

若一个概形态射是概形范畴中的单态射，则称它为单态射； 见《范畴》，定义 003B。

引理

令 \(j : X \to Y\) 为概形态射。则 \(j\) 是单态射，当且仅当对角态射 \(\Delta_{X/Y} : X \to X \times_Y X\) 是同构。

证明

这在任何具有纤维积的范畴中都成立。

引理

概形单态射分离。

证明

这是因为同构是闭浸入，并应用上面的引理 01L3。

引理

单态射的复合是单态射。

证明

这在任何范畴中都成立。

引理

单态射的基变换是单态射。

证明

这在任何具有纤维积的范畴中都成立。

引理

令 \(j : X \to Y\) 为概形态射。若 \(j\) 在点上单射，则 \(j\) 分离。

证明

令 \(z\) 为 \(X \times_Y X\) 的点。则 \(x = \text{pr}_1(z)\) 与 \(\text{pr}_2(z)\) 相同，因为 \(j\) 把这两点映到同一点 \(y\)（属于 \(Y\)）。 于是可选取仿射开邻域 \(V \subset Y\)，它包含 \(y\)；以及仿射开邻域 \(U \subset X\)，它包含 \(x\)，并使得 \(j(U) \subset V\)。于是 \(z \in U \times_V U \subset X \times_Y X\)。 因此 \(X \times_Y X\) 是仿射开集 \(U \times_V U\) 的并。由于 \(\Delta_{X/Y}^{-1}(U \times_V U) = U\)，并且 \(U \to U \times_V U\) 是闭浸入，可断定 \(\Delta_{X/Y}\) 是闭浸入 （见引理 01KJ 证明中的论证）。

引理

令 \(j : X \to Y\) 为概形态射。若

1. \(j\) 在点上单射；

2. 对任意 \(x \in X\)，环同态 \(j^\sharp_x : \mathcal{O}_{Y, j(x)} \to \mathcal{O}_{X, x}\) 满射，

则 \(j\) 是单态射。

证明

令 \(a, b : Z \to X\) 为两个概形态射，满足 \(j \circ a = j \circ b\)。由 (1)，作为底拓扑空间映射有 \(a = b\)。 对任意 \(z \in Z\)，有 \(a^\sharp_z \circ j^\sharp_{a(z)} = b^\sharp_z \circ j^\sharp_{b(z)}\)， 这是从 \(\mathcal{O}_{Y, j(a(z))} \to \mathcal{O}_{Z, z}\) 的映射。 映射 \(j^\sharp_x\) 的满射性迫使 \(a^\sharp_z = b^\sharp_z\)，\(\forall z \in Z\)。这蕴含 \(a^\sharp = b^\sharp\)，因此如所需，作为概形态射有 \(a = b\)。

引理

概形浸入是单态射。特别地，任意浸入都分离。

证明

可以通过检验引理 01L6 的判据适用来证明。或许更优雅的是，利用引理 01HI 与 01HP：它们蕴含开浸入和闭浸入 都是单态射，因而任意浸入（它是这类态射的复合）都是单态射。

引理

令 \(f : X \to S\) 为分离态射。任意局部闭子概形 \(Z \subset X\) 在 \(S\) 上分离。

证明

这由引理 01L7 以及分离态射的复合分离 这一事实得出（引理 01KU）。

例

态射 \(\Spec(\mathbf{Q}) \to \Spec(\mathbf{Z})\) 是单态射， 因为 \(\mathbf{Q} \otimes_{\mathbf{Z}} \mathbf{Q} = \mathbf{Q}\)。 更一般地，对任意概形 \(S\) 及任意点 \(s \in S\)，典范态射 \[\Spec(\mathcal{O}_{S, s}) \longrightarrow S\] 是单态射。

引理

令 \(k_1, \ldots, k_n\) 为域。对任意概形单态射 \(X \to \Spec(k_1 \times \ldots \times k_n)\)，存在子集 \(I \subset \{1, \ldots, n\}\)，使得 \(X \cong \Spec(\prod_{i \in I} k_i)\)；这里把它们视为 \(\Spec(k_1 \times \ldots \times k_n)\) 上的概形。 更一般地，若 \(X = \coprod_{i \in I} \Spec(k_i)\) 是域的谱的不交并， 且 \(Y \to X\) 是单态射，则存在子集 \(J \subset I\)，使得 \(Y = \coprod_{i \in J} \Spec(k_i)\)。

证明

先归结为 \(n = 1\)（或 \(\# I = 1\)）的情形；方法是取开闭子概形 \(\Spec(k_i)\) 的逆像。此时 \(X\) 只有一个点，因而是仿射的。 相应的代数问题如下：若 \(k \to R\) 为代数同态，并且 \(R \otimes_k R \cong R\)，则 \(R \cong k\) 或 \(R = 0\)。 这由维数理由成立。另见《代数》， 引理 04VV。

拟凝聚模的函子性

令 \(X\) 为概形。记 \(\QCoh(\mathcal{O}_X)\) 为拟凝聚 \(\mathcal{O}_X\)-模所成的范畴，定义见《模》， 定义 01BE。我们已在第 01I6 节看到，范畴 \(\QCoh(\mathcal{O}_X)\) 在 \(X\) 仿射时具有许多良好性质。由于拟凝聚性在 \(X\) 上是局部的， 这些性质也由任意概形 \(X\) 上的拟凝聚层范畴继承。现列举如下。

1. \(\mathcal{O}_X\)-模层 \(\mathcal{F}\) 拟凝聚，当且仅当 \(\mathcal{F}\) 在每个仿射开集 \(U = \Spec(R)\) 上的限制都形如 \(\widetilde M\)，其中它来自某个 \(R\)-模 \(M\)。

2. \(\mathcal{O}_X\)-模层 \(\mathcal{F}\) 拟凝聚，当且仅当 \(\mathcal{F}\) 在某个仿射开覆盖的每个成员上的限制拟凝聚。

3. 拟凝聚层的任意直和拟凝聚。

4. 拟凝聚层的任意余极限拟凝聚。

5. 拟凝聚层态射的核与余核拟凝聚。

6. 给定 \(\mathcal{O}_X\)-模的短正合列 \(0 \to \mathcal{F}_1 \to \mathcal{F}_2 \to \mathcal{F}_3 \to 0\) ，若其中两个拟凝聚，则第三个也拟凝聚。

7. 给定概形态射 \(f : Y \to X\)，拟凝聚 \(\mathcal{O}_X\)-模的拉回是 拟凝聚 \(\mathcal{O}_Y\)-模。见《模》，引理 01BG。

8. 给定两个拟凝聚 \(\mathcal{O}_X\)-模，其张量积拟凝聚；见《模》， 引理 01CE。

9. 给定拟凝聚 \(\mathcal{O}_X\)-模 \(\mathcal{F}\)，其上的张量代数、 对称代数与外代数 \(\mathcal{F}\) 都拟凝聚；见《模》，引理 01CL。

10. 给定两个拟凝聚 \(\mathcal{O}_X\)-模 \(\mathcal{F}\)、\(\mathcal{G}\)， 并且 \(\mathcal{F}\) 是有限表示的，则内部 Hom \(\SheafHom_{\mathcal{O}_X}(\mathcal{F}, \mathcal{G})\) 拟凝聚；见《模》，引理 01CQ 及上面的 (01LB)。

另一方面，拟凝聚模的推前一般并不拟凝聚。下面给出它确实拟凝聚的一种情形。

引理

令 \(f : X \to S\) 为概形态射。若 \(f\) 拟紧且拟分离，则 \(f_*\) 把拟凝聚 \(\mathcal{O}_X\)-模变为拟凝聚 \(\mathcal{O}_S\)-模。

证明

此问题在 \(S\) 上是局部的，故可假设 \(S\) 仿射。由于 \(X\) 拟紧，可以写成 \(X = \bigcup_{i = 1}^n U_i\)，其中每个 \(U_i\) 都是仿射开集。 由于 \(f\) 拟分离，可以把 \(U_i \cap U_j = \bigcup_{k = 1}^{n_{ij}} U_{ijk}\) 写成某些仿射开集 \(U_{ijk}\) 的并；见引理 01KO。 记 \(f_i : U_i \to S\) 与 \(f_{ijk} : U_{ijk} \to S\) 为 \(f\) 的限制。 对任意开集 \(V\)（属于 \(S\)）以及任意层 \(\mathcal{F}\)（定义在 \(X\) 上），有 \[\begin{eqnarray*} f_*\mathcal{F}(V) & = & \mathcal{F}(f^{-1}V) \\ & = & \Ker\left( \bigoplus\nolimits_i \mathcal{F}(f^{-1}V \cap U_i) \to \bigoplus\nolimits_{i, j, k} \mathcal{F}(f^{-1}V \cap U_{ijk})\right) \\ & = & \Ker\left( \bigoplus\nolimits_i f_{i, *}(\mathcal{F}|_{U_i})(V) \to \bigoplus\nolimits_{i, j, k} f_{ijk, *}(\mathcal{F}|_{U_{ijk}})(V)\right) \\ & = & \Ker\left( \bigoplus\nolimits_i f_{i, *}(\mathcal{F}|_{U_i}) \to \bigoplus\nolimits_{i, j, k} f_{ijk, *}(\mathcal{F}|_{U_{ijk}})\right)(V) \end{eqnarray*}\] 换言之，有层的正合列 \[0 \to f_*\mathcal{F} \to \bigoplus f_{i, *}\mathcal{F}_i \to \bigoplus f_{ijk, *}\mathcal{F}_{ijk}\] 其中 \(\mathcal{F}_i, \mathcal{F}_{ijk}\) 表示 \(\mathcal{F}\) 在相应开集上的限制。 若 \(\mathcal{F}\) 是拟凝聚 \(\mathcal{O}_X\)-模，则 \(\mathcal{F}_i\) 是拟凝聚 \(\mathcal{O}_{U_i}\)-模，而 \(\mathcal{F}_{ijk}\) 是拟凝聚 \(\mathcal{O}_{U_{ijk}}\)-模。因此由引理 01I9， 正合列的第二、第三项都是拟凝聚 \(\mathcal{O}_S\)-模。故 \(f_*\mathcal{F}\) 是拟凝聚 \(\mathcal{O}_S\)-模。

利用这一点，可以如下刻画概形的（闭）浸入。

引理

令 \(f : X \to Y\) 为概形态射。假设：

1. \(f\) 诱导 \(X\) 到 \(Y\) 的某个闭子集上的同胚；

2. \(f^\sharp : \mathcal{O}_Y \to f_*\mathcal{O}_X\) 满射。

则 \(f\) 是概形的闭浸入。

证明

假设 (1)、(2)。由 (1)，态射 \(f\) 拟紧 （见《拓扑》，引理 005C）。 条件 (1)、(2) 蕴含引理 01L6 的条件 (1)、(2)。因此 \(f : X \to Y\) 是单态射。特别地，\(f\) 分离； 见引理 01L4。于是可以应用上面的引理 01LC，得出 \(f_*\mathcal{O}_X\) 是拟凝聚 \(\mathcal{O}_Y\)-模。因此，\(\mathcal{O}_Y \to f_*\mathcal{O}_X\) 的核拟凝聚； 见引理 01IE。由于拟凝聚层局部由截面生成 （见《模》，定义 01BE），这蕴含 \(f\) 是闭浸入；见定义 01HK。

可以用这个引理证明下面的引理。

引理

概形浸入的复合是浸入；概形闭浸入的复合是闭浸入； 概形开浸入的复合是开浸入。

证明

开浸入的情形显然，因为开子空间的开子空间仍是开子空间。

设 \(a : Z \to Y\) 与 \(b : Y \to X\) 为概形闭浸入。我们验证 \(c = b \circ a\) 也是闭浸入。假设蕴含 \(a\) 与 \(b\) 都是到闭子集上的同胚， 因而 \(c = b \circ a\) 也是到闭子集上的同胚。此外，映射 \(\mathcal{O}_X \to c_*\mathcal{O}_Z\) 满射，因为它分解为满射 \(\mathcal{O}_X \to b_*\mathcal{O}_Y\) 与 \(b_*\mathcal{O}_Y \to b_*a_*\mathcal{O}_Z\) 的复合（后者满射是因为 \(b_*\) 正合；见《模》，引理 01AX）。 因此由上面的引理 01LD，\(c\) 是闭浸入。

最后处理一般浸入。设 \(a : Z \to Y\) 与 \(b : Y \to X\) 为概形浸入。 这意味着存在开子概形 \(V \subset Y\) 与 \(U \subset X\)，使得 \(a(Z) \subset V\)、\(b(Y) \subset U\)，且 \(a : Z \to V\) 与 \(b : Y \to U\) 都是闭浸入。由于 \(Y\) 上的拓扑由 \(U\) 上的拓扑诱导， 可以找到开集 \(U' \subset U\)，使得 \(V = b^{-1}(U')\)。于是 \(Z \to V = b^{-1}(U') \to U'\) 是闭浸入的复合，因而是闭浸入。 这证明 \(Z \to X\) 是浸入，结论得证。