函子与态射 · Stacks

引言

设 \(X\) 和 \(Y\) 为概形。本章围绕函子 \(\QCoh(\mathcal{O}_Y) \to \QCoh(\mathcal{O}_X)\) 与概形态射 \(X \to Y\) 之间的关系展开。更一般地，我们研究 \(\QCoh(\mathcal{O}_X)\) 与 \(X\) 之间的关系；若 \(X\) 为 Noether 概形，则研究 \(\textit{Coh}(\mathcal{O}_X)\) 与 \(X\) 之间的关系。 Gabriel 在 [Gabriel] 中研究了这种关系。

模范畴上的函子

对环 \(A\)，记 \(\text{Mod}^{fp}_A\) 为有限表示 \(A\)-模所成的范畴。

引理

设 \(A\) 为环，\(\mathcal{B}\) 为具有滤过余极限的范畴，并设 \(F : \text{Mod}^{fp}_A \to \mathcal{B}\) 为函子。则 \(F\) 唯一地延拓为与滤过余极限交换的函子 \(F' : \text{Mod}_A \to \mathcal{B}\)。

证明

这由 Categories, Lemma 0FWY 得出。为说明该引理适用，注意由 Algebra, Lemma 0G8P，有限表示 \(A\)-模是 \(\text{Mod}_A\) 中范畴意义下的紧对象。此外，由 Algebra, Lemma 00HA，每个 \(A\)-模都是有限表示 \(A\)-模的滤过余极限。

若范畴 \(\mathcal{B}\) 可加且具有滤过余极限，则 \(\mathcal{B}\) 具有任意直和：任一直和都可写成有限直和的滤过余极限。

引理

设 \(A\)、\(\mathcal{B}\)、\(F\) 如引理 0GNJ 中所述。假设 \(\mathcal{B}\) 可加且 \(F\) 可加。则 \(F'\) 可加，并与任意直和交换。

证明

为证明 \(F'\) 可加，只需证明态射 \(F'(M) \oplus F'(M') \to F'(M \oplus M')\) 对任意 \(A\)-模 \(M\)、\(M'\) 都是同构；参见 Homology, Lemma 0DLP。把 \(M = \colim_i M_i\) 和 \(M' = \colim_j M'_j\) 写成有限表示 \(A\)-模 \(M_i\) 的滤过余极限。于是 \(F'(M) = \colim_i F(M_i)\)、\(F'(M') = \colim_j F(M'_j)\)，以及 \[\begin{align*} F'(M \oplus M') & = F'(\colim_{i, j} M_i \oplus M'_j) \\ & = \colim_{i, j} F(M_i \oplus M'_j) \\ & = \colim_{i, j} F(M_i) \oplus F(M'_j) \\ & = F'(M) \oplus F'(M') \end{align*}\] 正合所需。为证明 \(F'\) 与直和交换，假设 \(M = \bigoplus_{i \in I} M_i\)。则 \(M = \colim_{I' \subset I\text{ 有限}} \bigoplus_{i \in I'} M_i\) 是一个滤过余极限。由此得到 \[\begin{align*} F'(M) & = \colim_{I' \subset I\text{ 有限}} F'(\bigoplus\nolimits_{i \in I'} M_i) \\ & = \colim_{I' \subset I\text{ 有限}} \bigoplus\nolimits_{i \in I'} F'(M_i) \\ & = \bigoplus\nolimits_{i \in I} F'(M_i) \end{align*}\] 第二个等号由已经证明的 \(F'\) 的可加性成立。

若范畴 \(\mathcal{B}\) 可加、具有滤过余极限且具有余核，则 \(\mathcal{B}\) 具有任意余极限；参见上述讨论和 Categories, Lemma 002P。

引理

设 \(A\)、\(\mathcal{B}\)、\(F\) 如引理 0GNJ 中所述。假设 \(\mathcal{B}\) 可加、具有余核，且 \(F\) 右正合。则 \(F'\) 可加、右正合，并与任意直和交换。

证明

由于 \(F\) 右正合，\(F\) 与二元余积交换，而这种余积由直和表示。故由 Homology, Lemma 0DLP，\(F\) 可加。再由引理 0GNK，\(F'\) 可加并与直和交换。我们建议读者自行证明 \(F'\) 右正合，而不要阅读下面的证明。

为证明 \(F'\) 右正合，只需证明 \(F'\) 与等化余子交换；参见 Categories, Lemma 0GMN。若 \(a, b : K \to L\) 为 \(A\)-模态射，则 \(a\) 与 \(b\) 的等化余子是 \(a - b : K \to L\) 的余核。因此，设 \(K \to L \to M \to 0\) 为 \(A\)-模的正合序列。我们必须证明，在 \[F'(K) \to F'(L) \to F'(M) \to 0\] 第二个箭头是第一个箭头在 \(\mathcal{B}\) 中的余核（若 \(\mathcal{B}\) 为 Abel 范畴，我们会说所示序列正合）。由 Algebra, Lemma 00HA，把 \(M = \colim_{i \in I} M_i\) 写成有限表示 \(A\)-模的滤过余极限。令 \(L_i = L \times_M M_i\)。由此得到一族正合序列 \(K \to L_i \to M_i \to 0\)，它们以 \(I\) 为参数。由 Categories, Lemma 002M，余极限与余极限交换；又因为余核是一类等化余子，所以只需证明 \(F'(L_i) \to F(M_i)\) 是 \(F'(K) \to F'(L_i)\) 在 \(\mathcal{B}\) 中的余核，对所有 \(i \in I\) 均成立。换言之，可以假设 \(M\) 有限表示。把 \(L = \colim_{i \in I} L_i\) 写成有限表示 \(A\)-模的滤过余极限，使每个 \(L_i\) 都满射到 \(M\)。令 \(K_i = K \times_L L_i\)。由此得到一族短正合序列 \(K_i \to L_i \to M \to 0\)，它们以 \(I\) 为参数。重复上述论证，可归约为证明：\(F(L_i) \to F(M_i)\) 是 \(F'(K) \to F(L_i)\) 在 \(\mathcal{B}\) 中的余核，对所有 \(i \in I\) 均成立。换言之，可以假设 \(L\) 和 \(M\) 都是有限表示 \(A\)-模。此时模 \(\Ker(L \to M)\) 是有限的（Algebra, Lemma 0519）。因此可把 \(K = \colim_{i \in I} K_i\) 写成有限表示 \(A\)-模的滤过余极限，其中每一项都满射到 \(\Ker(L \to M)\)。由此得到一族短正合序列 \(K_i \to L \to M \to 0\)，它们以 \(I\) 为参数。重复上述论证，可归约为证明：\(F(L) \to F(M)\) 是 \(F(K_i) \to F(L)\) 在 \(\mathcal{B}\) 中的余核，对所有 \(i \in I\) 均成立。换言之，可以假设 \(K\)、\(L\)、\(M\) 都是有限表示 \(A\)-模。最后一种情形由 \(F\) 右正合的假设得出。

若范畴 \(\mathcal{B}\) 可加且具有核，则 \(\mathcal{B}\) 具有有限极限。事实上，有限积是存在的直和，而 \(a, b : L \to M\) 的等化子是存在的 \(a - b : K \to L\) 的核。因此由 Categories, Lemma 002O，所有有限极限都存在。

引理

设 \(A\)、\(\mathcal{B}\)、\(F\) 如引理 0GNJ 中所述。假设 \(A\) 是凝聚环（Algebra, Definition 05CV），\(\mathcal{B}\) 可加且具有核，滤过余极限与取核交换，并且 \(F\) 左正合。则 \(F'\) 可加、左正合，并与任意直和交换。

证明

由于 \(A\) 凝聚，范畴 \(\text{Mod}^{fp}_A\) 是 Abel 范畴，且其核与余核同 \(\text{Mod}_A\) 中的一样；参见 Algebra, Lemmas 05CX 和 05CW。因此 \(\text{Mod}^{fp}_A\) 中所有有限极限都存在，并且 Categories, Definition 0034 适用。由于 \(F\) 左正合， \(F\) 与二元积交换，而这种积由直和表示。故由 Homology, Lemma 0DLP，\(F\) 可加。再由引理 0GNK，\(F'\) 可加并与直和交换。我们建议读者自行证明 \(F'\) 左正合，而不要阅读下面的证明。

为证明 \(F'\) 左正合，只需证明 \(F'\) 与等化子交换；参见 Categories, Lemma 0035。若 \(a, b : L \to M\) 为 \(A\)-模态射，则 \(a\) 与 \(b\) 的等化子是 \(a - b : L \to M\) 的核。因此，设 \(0 \to K \to L \to M\) 为 \(A\)-模的正合序列。我们必须证明，在 \[0 \to F'(K) \to F'(L) \to F'(M)\] 箭头 \(F'(K) \to F'(L)\) 是 \(F'(L) \to F'(M)\) 在 \(\mathcal{B}\) 中的核（若 \(\mathcal{B}\) 为 Abel 范畴，我们会说所示序列正合）。由 Algebra, Lemma 00HA，把 \(M = \colim_{i \in I} M_i\) 写成有限表示 \(A\)-模的滤过余极限。令 \(L_i = L \times_M M_i\)。由此得到一族正合序列 \(0 \to K \to L_i \to M_i\)，它们以 \(I\) 为参数。根据假设，\(\mathcal{B}\) 中的滤过余极限与取核交换，故只需证明 \(F'(K) \to F'(L_i)\) 是 \(F'(L_i) \to F(M_i)\) 在 \(\mathcal{B}\) 中的核，对所有 \(i \in I\) 均成立。换言之，可以假设 \(M\) 有限表示。把 \(L = \colim_{i \in I} L_i\) 写成有限表示 \(A\)-模的滤过余极限。令 \(K_i = K \times_L L_i\)。由此得到一族短正合序列 \(0 \to K_i \to L_i \to M\)，它们以 \(I\) 为参数。重复上述论证，可归约为证明： \(F'(K_i) \to F(L_i)\) 是 \(F(L_i) \to F(M)\) 在 \(\mathcal{B}\) 中的核，对所有 \(i \in I\) 均成立。换言之，可以假设 \(L\) 和 \(M\) 都是有限表示 \(A\)-模。由于 \(A\) 凝聚，\(A\)-模 \(K = \Ker(L \to M)\) 具有有限表示，因为有限表示 \(A\)-模的范畴是 Abel 范畴（见上述参考文献）。换言之，\(K\)、\(L\)、\(M\) 三个模都是有限表示 \(A\)-模。最后一种情形由 \(F\) 左正合的假设得出。

若范畴 \(\mathcal{B}\) 可加且具有余核，则 \(\mathcal{B}\) 具有有限余极限。事实上，有限余积是存在的直和，而 \(a, b : K \to L\) 的等化余子是存在的 \(a - b : K \to L\) 的余核。因此由 Categories, Lemma 002Q，所有有限余极限都存在。

引理

设 \(A\) 为环，\(\mathcal{B}\) 为具有余核的可加范畴。下列两个范畴等价：

右正合函子 \(F : \text{Mod}^{fp}_A \to \mathcal{B}\) 所成的范畴；

二元组 \((K, \kappa)\) 所成的范畴，其中 \(K \in \Ob(\mathcal{B})\)，且 \(\kappa : A \to \text{End}_\mathcal{B}(K)\) 为环同态。

此等价由把 \(F\) 映到 \(F(A)\) 并赋予后者自然 \(A\)-作用这一规则给出。

证明

设 \((K, \kappa)\) 如 (2) 中所述。我们将构造函子 \(F : \text{Mod}^{fp}_A \to \mathcal{B}\)，使 \(F(A) = K\) 带有所给的 \(A\)-作用 \(\kappa\)。具体地，对整数 \(n \geq 0\)，令 \[F(A^{\oplus n}) = K^{\oplus n}\] 给定 \(A\)-线性映射 \(\varphi : A^{\oplus m} \to A^{\oplus n}\)，其矩阵为 \((a_{ij}) \in \text{Mat}(n \times m, A)\)，定义 \[F(\varphi) : F(A^{\oplus m}) = K^{\oplus m} \longrightarrow K^{\oplus n} = F(A^{\oplus n})\] 为矩阵为 \((\kappa(a_{ij}))\) 的映射。由此定义了可加函子 \(F\)，它从 \(\text{Mod}^{fp}_A\) 中以 \(0\)、\(A\)、\(A^{\oplus 2}\)、\(\ldots\) 为对象的全子范畴取值于 \(\mathcal{B}\)；验证从略。

对每个对象 \(M\)（属于 \(\text{Mod}^{fp}_A\)），选取一个表示 \[A^{\oplus m_M} \xrightarrow{\varphi_M} A^{\oplus n_M} \to M \to 0\] 这是 \(M\) 作为 \(A\)-模的表示。采用平凡表示 \(0 \to A^{\oplus n} \xrightarrow{1} A^{\oplus n} \to 0\)，若 \(M = A^{\oplus n}\) （这并非必需，但可简化叙述）。对每个态射 \(f : M \to N\) （属于 \(\text{Mod}^{fp}_A\)），可以选取交换图 [0GNP]\[\begin{equation} \vcenter{ \xymatrix{ A^{\oplus m_M} \ar[r]_{\varphi_M} \ar[d]_{\psi_f} & A^{\oplus n_M} \ar[r] \ar[d]_{\chi_f} & M \ar[r] \ar[d]_f & 0 \\ A^{\oplus m_N} \ar[r]^{\varphi_N} & A^{\oplus n_N} \ar[r] & N \ar[r] & 0 } } \end{equation}\] 作出这些选择后，可以如下定义：对对象 \(M\)（属于 \(\text{Mod}^{fp}_A\)），令 \[F(M) = \Coker(F(\varphi_M) : F(A^{\oplus m_M}) \to F(A^{\oplus n_M}))\] 而对态射 \(f : M \to N\)（属于 \(\text{Mod}^{fp}_A\)），令 \[F(f) = \text{映射 }F(M) \to F(N)\text{ 由下列对象诱导： } F(\psi_f)\text{ 且 }F(\chi_f)\text{ on cokernels}\] 注意，该规则延拓了已有的函子 \(F\)；该函子原定义于由自由模 \(A^{\oplus n}\) 组成的全子范畴。还需证明 \(F\) 是函子、\(F\) 可加并且 \(F\) 右正合。

设 \(f : M \to N\) 是 \(\text{Mod}^{fp}_A\) 的态射。我们断言，上面定义的 \(F(f)\) 与 (0GNP) 中 \(\psi_f\) 和 \(\chi_f\) 的选择无关。事实上，设 \[\xymatrix{ A^{\oplus m_M} \ar[r]_{\varphi_M} \ar[d]_\psi & A^{\oplus n_M} \ar[r] \ar[d]_\chi & M \ar[r] \ar[d]_f & 0 \\ A^{\oplus m_N} \ar[r]^{\varphi_N} & A^{\oplus n_N} \ar[r] & N \ar[r] & 0 }\] 也交换。记 \(F(f)' : F(M) \to F(N)\) 为由 \(F(\psi)\) 和 \(F(\chi)\) 诱导的映射。考察这些交换图，由初等交换代数，存在映射 \(\omega : A^{\oplus n_M} \to A^{\oplus m_N}\)，使得 \(\chi = \chi_f + \varphi_N \circ \omega\)。应用 \(F\)，得到 \(F(\chi) = F(\chi_f) + F(\varphi_N) \circ F(\omega)\)。由于 \(F(N)\) 是 \(F(\varphi_N)\) 的余核，映射 \(F(A^{\oplus n_M}) \to F(M)\) 等化 \(F(f)\) 与 \(F(f)'\)。余核是满态射，故 \(F(f) = F(f)'\)。

下面证明 \(F\) 是函子。首先，\(F(\text{id}_M) = \text{id}_{F(M)}\)，因为可以在上图中把 \(\psi_f\) 和 \(\chi_f\) 都取为恒等映射，当 \(f = \text{id}_M\) 时。其次，设有 \(f : M \to N\) 和 \(g : L \to M\)。此时 \(\psi = \psi_f \circ \psi_g\) 和 \(\chi = \chi_f \circ \chi_g\) 可用于 \(f \circ g\) 的 (0GNP)。因此它们诱导出正确的映射，恰好说明 \(F(f) \circ F(g) = F(f \circ g)\)。

下面证明 \(F\) 可加。设有 \(f, g : M \to N\)。此时 \(\psi = \psi_f + \psi_g\) 和 \(\chi = \chi_f + \chi_g\) 可用于 \(f + g\) 的 (0GNP)。因此它们诱导出正确的映射，恰好说明 \(F(f) + F(g) = F(f + g)\)。

最后证明 \(F\) 右正合。只需证明 \(F\) 与等化余子交换；参见 Categories, Lemma 0GMN。为此，只需证明 \(F\) 与余核交换。设 \(K \to L \to M \to 0\) 为 \(A\)-模的正合序列，且 \(K\)、\(L\)、\(M\) 都有限表示。由于 \(F\) 是可加函子，这当然给出复形 \[F(K) \to F(L) \to F(M) \to 0\] 而我们必须证明第二个箭头是第一个箭头在 \(\mathcal{B}\) 中的余核。无论如何，都得到一个映射 \(\Coker(F(K) \to F(L)) \to F(M)\)。由初等交换代数，存在交换图 \[\xymatrix{ A^{\oplus m_M} \ar[r]_{\varphi_M} \ar[d]_\psi & A^{\oplus n_M} \ar[r] \ar[d]_\chi & M \ar[r] \ar[d]_1 & 0 \\ K \ar[r] & L \ar[r] & M \ar[r] & 0 }\] 对此图应用 \(F\)，并使用把 \(F(M)\) 构造成 \(F(\varphi_M)\) 的余核这一事实，可知存在映射 \(F(M) \to \Coker(F(K) \to F(L))\)，它是映射 \(\Coker(F(K) \to F(L)) \to F(M)\) 的右逆。这首先说明 \(F(L) \to F(M)\) 总是满态射。其次，上述论证给出 \[\Coker(F(K) \to F(L)) = F(M) \oplus E\] 并且这一直接和分解同时与 \(F(M) \to \Coker(F(K) \to F(L))\) 和 \(\Coker(F(K) \to F(L)) \to F(M)\) 相容。然而，此时满态射 \(p : F(L) \to E\) 与 \(F(K) \to F(L)\) 复合后为零，与 \(F(A^{n_M}) \to F(L)\) 复合后也为零。又因为 \(K \oplus A^{n_M} \to L\) 满射（省略代数论证），由上述结果可知 \(F(K \oplus A^{n_M}) \to F(L)\) 是满态射，故 \(E = 0\)。证明完毕。

引理

设 \(A\) 为环，\(\mathcal{B}\) 为具有任意直和及余核的可加范畴。下列两个范畴等价：

右正合且与任意直和交换的函子 \(F : \text{Mod}_A \to \mathcal{B}\) 所成的范畴；

二元组 \((K, \kappa)\) 所成的范畴，其中 \(K \in \Ob(\mathcal{B})\)，且 \(\kappa : A \to \text{End}_\mathcal{B}(K)\) 为环同态。

此等价由把 \(F\) 映到 \(F(A)\) 并赋予后者自然 \(A\)-作用这一规则给出。

证明

合并引理 0GNN 和 0GNL 即得。

模范畴之间的函子

下列引理是本章各结果的典型范例。

引理

设 \(A\) 和 \(B\) 为环，并设 \(F : \text{Mod}_A \to \text{Mod}_B\) 为函子。下列条件等价：

\(F\) 同构于函子 \(M \mapsto M \otimes_A K\)，这里所用的是某个 \(A \otimes_\mathbf{Z} B\)-模 \(K\)；

\(F\) 右正合且与所有直和交换；

\(F\) 与所有余极限交换；

\(F\) 有右伴随函子 \(G\)。

证明

若 (1) 成立，则 (4) 成立，因为 \(M \mapsto M \otimes_A K\) 的右伴随是 \(N \mapsto \Hom_B(K, N)\)；参见 Differential Graded Algebra, Lemma 09LN。若 (4) 成立，则由 Categories, Lemma 0038，(3) 成立。 (3) \(\Rightarrow\) (2) 由定义立即得到。

假设 (2)。我们证明 (1)。由 Homology, Section 010M 中的讨论，函子 \(F\) 可加。因此 \(F\) 诱导环同态 \(A \to \text{End}_B(F(M))\), \(a \mapsto F(a \cdot \text{id}_M)\)，对每个 \(A\)-模 \(M\) 都如此。从而 \(F(M)\) 成为 \(A \otimes_\mathbf{Z} B\)-模，并且关于 \(M\) 具有函子性。令 \(K = F(A)\)。定义 \[M \otimes_A K = M \otimes_A F(A) \longrightarrow F(M), \quad m \otimes k \longmapsto F(\varphi_m)(k)\] 这里 \(\varphi_m : A \to M\) 的映射规则为 \(a \to am\)。规则 \((m, k) \mapsto F(\varphi_m)(k)\) 是 \(A\)-双线性的（并且关于右侧为 \(B\)-线性），因而如所需给出上示 \(A \otimes_\mathbf{Z} B\)-线性映射。此构造关于 \(M\) 具有函子性，故定义函子变换 \(- \otimes_A K \to F(-)\)；在 \(A\) 上取值时它是同构。对每个 \(A\)-模 \(M\)，可以选取正合序列 \[\bigoplus\nolimits_{j \in J} A \to \bigoplus\nolimits_{i \in I} A \to M \to 0\] 利用上面构造的映射，得到交换图 \[\xymatrix{ (\bigoplus\nolimits_{j \in J} A) \otimes_A K \ar[r] \ar[d] & (\bigoplus\nolimits_{i \in I} A) \otimes_A K \ar[r] \ar[d] & M \otimes_A K \ar[r] \ar[d] & 0 \\ F(\bigoplus\nolimits_{j \in J} A) \ar[r] & F(\bigoplus\nolimits_{i \in I} A) \ar[r] & F(M) \ar[r] & 0 }\] 下行因 \(F\) 右正合而正合。上行因与 \(K\) 的张量积右正合而正合。由于 \(F\) 与直和交换，左边两个竖直箭头都是双射。结论随即成立。

例

设 \(R\) 为环，\(A\) 和 \(B\) 为 \(R\)-代数，并设 \(K\) 为 \(A \otimes_R B\)-模。此时可以考虑函子 [0GNU]\[\begin{equation} F : \text{Mod}_A \longrightarrow \text{Mod}_B,\quad M \longmapsto M \otimes_A K \end{equation}\] 此函子是 \(R\)-线性的、右正合的，与任意直和及所有余极限交换，并且有右伴随（引理 0GNS）。

引理

设 \(R\) 为环，\(A\) 和 \(B\) 为 \(R\)-代数。下列两个范畴等价：

右正合且与任意直和交换的 \(R\)-线性函子 \(F : \text{Mod}_A \to \text{Mod}_B\) 所成的范畴；

范畴 \(\text{Mod}_{A \otimes_R B}\)。

此等价把 \(K\) 映到 (0GNU) 中的函子 \(F\)。

证明

设 \(F\) 为第一个范畴的对象。由引理 0GNS，可以假设 \(F(M) = M \otimes_A K\) 关于 \(M\) 函子性地成立，其中所用的是某个 \(A \otimes_\mathbf{Z} B\)-模 \(K\)。\(R\)-线性这一 \(F\) 的性质立即说明， \(A \otimes_\mathbf{Z} B\)-模结构在 \(K\) 上来自唯一的 \(A \otimes_R B\)-模结构在 \(K\) 上。因此，(0GNU) 中把 \(K\) 映到 \(F\) 的函子本质满。

为证明该函子全忠实，必须证明：给定 \(A \otimes_R B\)-模 \(K\) 和 \(K'\)，对应函子之间的任意变换 \(t : F \to F'\) 都来自唯一的 \(\varphi : K \to K'\)。由于 \(K = F(A)\) 且 \(K' = F'(A)\)，可把 \(\varphi\) 取为值 \(t_A : F(A) \to F'(A)\)，即 \(t\) 在 \(A\) 处的值。此映射是 \(A \otimes_R B\)-线性的；这是由引理 0GNS 证明中 \(A \otimes B\)-模结构在 \(F(A)\) 和 \(F'(A)\) 上的定义得出的。

注

设 \(R\) 为环，\(A\)、\(B\)、\(C\) 为 \(R\)-代数。设 \(F : \text{Mod}_A \to \text{Mod}_B\) 和 \(F' : \text{Mod}_B \to \text{Mod}_C\) 是与任意直和交换的 \(R\)-线性右正合函子。若在引理 0GNV 的等价下，对象 \(K\)（位于 \(\text{Mod}_{A \otimes_R B}\)）对应于 \(F\)，而对象 \(K'\)（位于 \(\text{Mod}_{B \otimes_R C}\)）对应于 \(F'\)，则把 \(K \otimes_B K'\) 视为 \(\text{Mod}_{A \otimes_R C}\) 的对象时，它对应于 \(F' \circ F\)。

注

在引理 0GNV 的情形下，假设 \(F\) 对应于 \(K\)。则 \(F\) 正合 \(\Leftrightarrow\) \(K\) 在 \(A\) 上平坦。

注

在引理 0GNV 的情形下，假设 \(F\) 对应于 \(K\)。则 \(F\) 把有限 \(A\)-模映到有限 \(B\)-模 \(\Leftrightarrow\) \(K\) 作为 \(B\)-模是有限的。

注

在引理 0GNV 的情形下，假设 \(F\) 对应于 \(K\)。则 \(F\) 把有限表示 \(A\)-模映到有限表示 \(B\)-模 \(\Leftrightarrow\) \(K\) 作为 \(B\)-模是有限表示的。

引理

设 \(A\) 和 \(B\) 为环。若 \[F : \text{Mod}_A \longrightarrow \text{Mod}_B\] 是范畴等价，则存在环同构 \(A \to B\) 及可逆 \(B\)-模 \(L\)，使得 \(F\) 同构于函子 \(M \mapsto (M \otimes_A B) \otimes_B L\)。

证明

由于等价与所有余极限交换，引理 0GNS 适用。令 \(K\) 为 \(A \otimes_\mathbf{Z} B\)-模，使 \(F\) 同构于函子 \(M \mapsto M \otimes_A K\)。令 \(K'\) 为 \(B \otimes_\mathbf{Z} A\)-模，使 \(F\) 的一个拟逆同构于函子 \(N \mapsto N \otimes_B K'\)。由注 0GNW 和引理 0GNV，有同构 \[\psi : K \otimes_B K' \longrightarrow A\] 它是 \(A \otimes_\mathbf{Z} A\)-模同构。同样，有同构 \[\psi' : K' \otimes_A K \longrightarrow B\] 它是 \(B \otimes_\mathbf{Z} B\)-模同构。选取元素 \(\xi = \sum_{i = 1, \ldots, n} x_i \otimes y_i \in K \otimes_B K'\)，使 \(\psi(\xi) = 1\)。考察同构 \[K \xrightarrow{\psi^{-1} \otimes \text{id}_K} K \otimes_B K' \otimes_A K \xrightarrow{\text{id}_K \otimes \psi'} K\] 其复合是同构，并由下式给出： \[k \longmapsto \sum x_i \psi'(y_i \otimes k)\] 由此可知，该自同构分解为 \[K \to B^{\oplus n} \to K\] 这是 \(B\)-模映射的分解。所以 \(K\) 作为 \(B\)-模是有限投射的。

我们断言 \(K\) 作为 \(B\)-模可逆。这等价于要求 \(K\) 作为 \(B\)-模的秩恒为 \(1\)；参见 More on Algebra, Lemma 0B8I 和 Algebra, Lemma 00NX。否则，存在极大理想 \(\mathfrak m \subset B\)，使得或者 (a) \(K \otimes_B B/\mathfrak m = 0\)，或者 (b) 存在满射 \(K \to (B/\mathfrak m)^{\oplus 2}\)，它是 \(B\)-模满射。情形 (a) 不可能，因为 \(K' \otimes_A K \otimes_B N = N\) 对所有 \(B\)-模 \(N\) 都成立。情形 (b) 将给出满射 \[A = K \otimes_B K' \longrightarrow (B/\mathfrak m \otimes_B K')^{\oplus 2}\] 这是（右）\(A\)-模满射。这是不可能的，因为目标是至少需要两个生成元的 \(A\)-模： \(B/\mathfrak m \otimes_B K'\) 非零，因为它是非零模 \(B/\mathfrak m\) 在 \(F\) 的拟逆下的像。

由于 \(K\) 作为 \(B\)-模可逆，有 \(\Hom_B(K, K) = B\)。又因为 \(K = F(A)\)， \(A\) 在 \(K\) 上的作用定义环同构 \(A \to B\)。引理得证。

引理

设 \(R\) 为环，\(A\) 和 \(B\) 为 \(R\)-代数。若 \[F : \text{Mod}_A \longrightarrow \text{Mod}_B\] 是 \(R\)-线性范畴等价，则存在同构 \(A \to B\)（作为 \(R\)-代数）及可逆 \(B\)-模 \(L\)，使 \(F\) 同构于函子 \(M \mapsto (M \otimes_A B) \otimes_B L\)。

证明

由引理 0GP0 得到 \(A \to B\) 和 \(L\)。为完成证明，只需说明 \(R\)-线性这一 \(F\) 的性质迫使 \(A \to B\) 为 \(R\)-代数态射。细节从略。

注

设 \(A\) 和 \(B\) 为环。用模的张量积赋予 \(\text{Mod}_A\) 和 \(\text{Mod}_B\) 通常的幺半结构。设 \(F : \text{Mod}_A \to \text{Mod}_B\) 为幺半范畴之间的函子；参见 Categories, Definition 0FFL。有如下说明：

由我们的定义，\(F(A)\) 是单位对象，故 \(F(A) = B\)。

得到乘法映射 \(\varphi : A \to B\)：它把 \(a \in A\) 映到其在 \(F(A) = B\) 上的作用。

取 \(A = B\) 且 \(F(M) = M \otimes_A M\)。此时 \(\varphi(a) = a^2\)。

若 \(F\) 可加，则 \(\varphi\) 是环态射。

取 \(A = B = \mathbf{Z}\) 且 \(F(M) = M/\text{torsion}\)。此时 \(\varphi = \text{id}_\mathbf{Z}\)，但 \(F\) 不是恒等函子。

若 \(F\) 右正合且与直和交换，则由引理 0GNS， \(F(M) = M \otimes_{A, \varphi} B\)。

换言之，环态射 \(A \to B\) 与那些同所有余极限交换的幺半范畴函子 \(\text{Mod}_A \to \text{Mod}_B\) 的同构类之间有双射。

模范畴上函子的延拓

对环 \(A\)，用 \(\text{Mod}^{fp}_A\) 表示有限表示 \(A\)-模所成的范畴。

引理

设 \(A\) 和 \(B\) 为环，并设 \(F : \text{Mod}^{fp}_A \to \text{Mod}^{fp}_B\) 为函子。则 \(F\) 唯一延拓为与滤过余极限交换的函子 \(F' : \text{Mod}_A \to \text{Mod}_B\)。

证明

这是引理 0GNJ 的特殊情形。

注

令 \(A\)、\(B\)、\(F\) 和 \(F'\) 如引理 0GP4 中所述。注意，两个有限表示模的张量积仍是有限表示的；参见 Algebra, Lemma 05BS。因此可用模的张量积赋予 \(\text{Mod}^{fp}_A\)、\(\text{Mod}^{fp}_B\)、\(\text{Mod}_A\) 和 \(\text{Mod}_B\) 通常的幺半结构。此时，若 \(F\) 是幺半范畴之间的函子，则 \(F'\) 也是。这立即来自模的张量积与滤过余极限交换这一事实。

引理

令 \(A\)、\(B\)、\(F\) 和 \(F'\) 如引理 0GP4 中所述。

若 \(F\) 可加，则 \(F'\) 可加并与任意直和交换；

若 \(F\) 右正合，则 \(F'\) 右正合。

证明

这由引理 0GNK 和 0GNL 得出。

注

结合注 0GP2、注 0GP5 和引理 0GP6，得到如下结论。给定环 \(A\) 和 \(B\)，环态射 \(A \to B\) 所成的集合与右正合幺半范畴函子 \(\text{Mod}^{fp}_A \to \text{Mod}^{fp}_B\) 的同构类集合之间有双射。

引理

令 \(A\)、\(B\)、\(F\) 和 \(F'\) 如引理 0GP4 中所述。假设 \(A\) 为相干环（Algebra, Definition 05CV）。若 \(F\) 左正合，则 \(F'\) 左正合。

证明

这是引理 0GNM 的特殊情形。

对环 \(A\)，用 \(\text{Mod}^{fg}_A\) 表示有限生成 \(A\)-模（亦称有限 \(A\)-模）所成的范畴。

引理

设 \(A\) 和 \(B\) 为诺特环，并设 \(F : \text{Mod}^{fg}_A \to \text{Mod}^{fg}_B\) 为函子。则 \(F\) 唯一延拓为与滤过余极限交换的函子 \(F' : \text{Mod}_A \to \text{Mod}_B\)。若 \(F\) 可加，则 \(F'\) 可加并与任意直和交换。若 \(F\) 正合、左正合或右正合，则 \(F'\) 也具有相应性质。

证明

参见引理 0GP6 和 0GP8。还要用到有限 \(A\)-模是有限表示 \(A\)-模这一事实；参见 Algebra, Lemma 00FP；以及诺特环是相干环这一事实；参见 Algebra, Lemma 05CY。

拟凝聚模范畴之间的函子

本节简要研究拟凝聚模范畴之间的函子。

例

设 \(R\) 为环，\(X\) 和 \(Y\) 为 \(R\) 上的概形，且 \(X\) 拟紧且拟分离。设 \(\mathcal{K}\) 为拟凝聚 \(\mathcal{O}_{X \times_R Y}\)-模。于是可考虑函子 [0FZC]\[\begin{equation} F : \QCoh(\mathcal{O}_X) \longrightarrow \QCoh(\mathcal{O}_Y),\quad \mathcal{F} \longmapsto \text{pr}_{2, *}(\text{pr}_1^*\mathcal{F} \otimes_{\mathcal{O}_{X \times_R Y}} \mathcal{K}) \end{equation}\] 态射 \(\text{pr}_2\) 拟紧且拟分离（Schemes, Lemmas 01K5 和 01KU）。故沿此态射的推前保持拟凝聚模；参见 Schemes, Lemma 01LC。此外，该函子是 \(R\)-线性的，并与任意直和交换；参见 Cohomology of Schemes, Lemma 07TB。

下述引理是引理 0GNV 的自然推广。

引理

设 \(R\) 为环，\(X\) 和 \(Y\) 为 \(R\) 上的概形，且 \(X\) 仿射。下列两个范畴等价：

\(R\)-线性函子 \(F : \QCoh(\mathcal{O}_X) \to \QCoh(\mathcal{O}_Y)\) 中右正合且与任意直和交换者所成的范畴；

范畴 \(\QCoh(\mathcal{O}_{X \times_R Y})\)。

此等价把 \(\mathcal{K}\) 送到 (0FZC) 中的函子 \(F\)。

证明

设 \(\mathcal{K}\) 为 \(\QCoh(\mathcal{O}_{X \times_R Y})\) 的对象，且 \(F_\mathcal{K}\) 为函子 (0FZC)。由例 0FZB 中的讨论，已经知道 \(F\) 是 \(R\)-线性的，并与任意直和交换。由于 \(\text{pr}_2 : X \times_R Y \to Y\) 是仿射的（Morphisms, Lemma 01SD），函子 \(\text{pr}_{2, *}\) 正合；参见 Cohomology of Schemes, Lemma 01XC。故 \(F\) 也右正合；换言之， \(F\) 如 (1) 中所述。

设 \(F\) 如 (1) 中所述。不妨设 \(X = \Spec(A)\)。考虑拟凝聚 \(\mathcal{O}_Y\)-模 \(\mathcal{G} = F(\mathcal{O}_X)\)。函子 \(F\) 诱导 \(R\)-线性映射 \(A \to \text{End}_{\mathcal{O}_Y}(\mathcal{G})\), \(a \mapsto F(a \cdot \text{id})\)。因此 \(\mathcal{G}\) 是下述层上的模层： \[A \otimes_R \mathcal{O}_Y = \text{pr}_{2, *}\mathcal{O}_{X \times_R Y}\] 由 Morphisms, Lemma 01SB，存在唯一的拟凝聚模 \(\mathcal{K}\) 在 \(X \times_R Y\) 上，使得 \(F(\mathcal{O}_X) = \mathcal{G} = \text{pr}_{2, *}\mathcal{K}\)，且与 \(A\) 和 \(\mathcal{O}_Y\) 的作用相容。以 \(F_\mathcal{K}\) 表示由 (0FZC) 给出的函子。存在等价 \(\text{Mod}_A \to \QCoh(\mathcal{O}_X)\)，它把 \(A\) 送到 \(\mathcal{O}_X\)；参见 Schemes, Lemma 01IB。因此，由引理 0GNQ 得到同构 \(F \cong F_\mathcal{K}\)，因为按构造已有同构 \(F(\mathcal{O}_X) \cong F_\mathcal{K}(\mathcal{O}_X)\)，且它与 \(A\)-作用相容。

这说明把 \(\mathcal{K}\) 送到 \(F_\mathcal{K}\) 的函子本质满。其全忠实性的验证从略。

注

下文将用到：对仿射态射 \(h : T \to S\)，有 \(h_*\mathcal{G} \otimes_{\mathcal{O}_S} \mathcal{H} = h_*(\mathcal{G} \otimes_{\mathcal{O}_T} h^*\mathcal{H})\)，其中 \(\mathcal{G} \in \QCoh(\mathcal{O}_T)\) 且 \(\mathcal{H} \in \QCoh(\mathcal{O}_S)\)。将其翻译成代数后立即可得。

引理

在引理 0FZD 中，设 \(F\) 对应于 \(\mathcal{K}\)，后者属于 \(\QCoh(\mathcal{O}_{X \times_R Y})\)。则：

若 \(f : X' \to X\) 为仿射态射，则 \(F \circ f_*\) 对应于 \((f \times \text{id}_Y)^*\mathcal{K}\)；

若 \(g : Y' \to Y\) 为平坦态射，则 \(g^* \circ F\) 对应于 \((\text{id}_X \times g)^*\mathcal{K}\)；

若 \(j : V \to Y\) 为开浸入，则 \(j^* \circ F\) 对应于 \(\mathcal{K}|_{X \times_R V}\)。

证明

(1) 的证明。考虑交换图 \[\xymatrix{ X' \times_R Y \ar[rrd]^{\text{pr}'_2} \ar[rd]_{f \times \text{id}_Y} \ar[dd]_{\text{pr}'_1} \\ & X \times_R Y \ar[r]_{\text{pr}_2} \ar[d]_{\text{pr}_1} & Y \\ X' \ar[r]^f & X }\] 设 \(\mathcal{F}'\) 为 \(X'\) 上的拟凝聚模。则 \[\begin{align*} \text{pr}_{2, *}(\text{pr}_1^*f_*\mathcal{F}' \otimes_{\mathcal{O}_{X \times_R Y}} \mathcal{K}) & = \text{pr}_{2, *}((f \times \text{id}_Y)_* (\text{pr}'_1)^*\mathcal{F}' \otimes_{\mathcal{O}_{X \times_R Y}} \mathcal{K}) \\ & = \text{pr}_{2, *}(f \times \text{id}_Y)_* \left((\text{pr}'_1)^*\mathcal{F}' \otimes_{\mathcal{O}_{X' \times_R Y}} (f \times \text{id}_Y)^*\mathcal{K})\right) \\ & = \text{pr}'_{2, *}((\text{pr}'_1)^*\mathcal{F}' \otimes_{\mathcal{O}_{X' \times_R Y}} (f \times \text{id}_Y)^*\mathcal{K}) \end{align*}\] 这里，第一个等式是图中左侧方块的仿射基变换；参见 Cohomology of Schemes, Lemma 02KG。第二个等式由注 0FZE 得到。第三个等式是模的推前的函子性。这证明了 (1)。

(2) 的证明。考虑交换图 \[\xymatrix{ X \times_R Y' \ar[rr]_-{\text{pr}'_2} \ar[rd]^{\text{id}_X \times g} \ar[rdd]_{\text{pr}'_1} & & Y' \ar[d]^g \\ & X \times_R Y \ar[r]_-{\text{pr}_2} \ar[d]^{\text{pr}_1} & Y \\ & X }\] 有 \[\begin{align*} g^*\text{pr}_{2, *}(\text{pr}_1^*\mathcal{F} \otimes_{\mathcal{O}_{X \times_R Y}} \mathcal{K}) & = \text{pr}'_{2, *}( (\text{id}_X \times g)^*( \text{pr}_1^*\mathcal{F} \otimes_{\mathcal{O}_{X \times_R Y}} \mathcal{K})) \\ & = \text{pr}'_{2, *}((\text{pr}'_1)^*\mathcal{F} \otimes_{\mathcal{O}_{X \times_R Y'}} (\text{id}_X \times g)^*\mathcal{K}) \end{align*}\] 第一个等式由图中方块的平坦基变换得到；参见 Cohomology of Schemes, Lemma 02KH。第二个等式由拉回的函子性以及张量积的拉回是各拉回的张量积这一事实得到。

(3) 是 (2) 的特殊情形。

引理

设 \(R\) 为环，\(X\) 和 \(Y\) 为 \(R\) 上的概形。假设 \(X\) 拟紧且对角态射仿射。设 \(F : \QCoh(\mathcal{O}_X) \to \QCoh(\mathcal{O}_Y)\) 为与任意直和交换的 \(R\)-线性右正合函子。则可构造：

拟凝聚模 \(\mathcal{K}\) 在 \(X \times_R Y\) 上；

自然变换 \(t : F \to F_\mathcal{K}\)，其中 \(F_\mathcal{K}\) 表示函子 (0FZC)。

它们使得 \(t : F \circ f_* \to F_\mathcal{K} \circ f_*\) 是同构，其中 \(f : X' \to X\) 为源是仿射概形的任意态射。

证明

考虑态射 \(f' : X' \to X\)，其中 \(X'\) 仿射。由于 \(X\) 的对角态射仿射， \(f'\) 是仿射态射（Morphisms, Lemma 01SG）。因此 \(f'_* : \QCoh(\mathcal{O}_{X'}) \to \QCoh(\mathcal{O}_X)\) 是 \(R\)-线性正合函子（Cohomology of Schemes, Lemma 01XC），并与直和交换（Cohomology of Schemes, Lemma 07TB）。故 \(F \circ f'_*\) 是与任意直和交换的 \(R\)-线性右正合函子。于是由引理 0FZD，有 \(F \circ f'_* = F_{\mathcal{K}'}\)，其中 \(\mathcal{K}'\) 在 \(X' \times_R Y\) 上。此外，给定态射 \(f'' : X'' \to X'\)，其中 \(X''\) 仿射，由已给出的引用与引理 0FZF 可得典范识别 \((f'' \times \text{id}_Y)^*\mathcal{K}' = \mathcal{K}''\) 。再给定态射 \(f''' : X''' \to X''\) 时，这些识别满足余圈条件；其写法留给读者。

选取仿射开覆盖 \(X = \bigcup_{i = 1, \ldots, n} U_i\)。由于 \(X\) 的对角态射仿射，交 \(U_{i_0 \ldots i_p} = U_{i_0} \cap \ldots \cap U_{i_p}\) 是仿射的。如上，包含态射 \(j_{i_0 \ldots i_p} : U_{i_0 \ldots i_p} \to X\) 是仿射的。以 \(\mathcal{K}_{i_0 \ldots i_p}\) 表示 \(U_{i_0 \ldots i_p} \times_R Y\) 上对应于 \(F \circ j_{i_0 \ldots i_p *}\) 的上述拟凝聚模。由上可得识别 \[\mathcal{K}_{i_0 \ldots i_p} = \mathcal{K}_{i_0 \ldots \hat i_j \ldots i_p}|_{U_{i_0 \ldots i_p} \times_R Y}\] 它们满足粘合所需的通常相容性。换言之，得到唯一的拟凝聚模 \(\mathcal{K}\) 在 \(X \times_R Y\) 上，其在 \(U_{i_0 \ldots i_p} \times_R Y\) 上的限制为 \(\mathcal{K}_{i_0 \ldots i_p}\)，并与所示识别相容。

接着构造变换 \(t\)。给定拟凝聚 \(\mathcal{O}_X\)-模 \(\mathcal{F}\)，以 \(\mathcal{F}_{i_0 \ldots i_p}\) 表示 \(\mathcal{F}\) 在 \(U_{i_0 \ldots i_p}\) 上的限制，并以 \((\text{pr}_1^*\mathcal{F} \otimes \mathcal{K})_{i_0 \ldots i_p}\) 表示 \(\text{pr}_1^*\mathcal{F} \otimes \mathcal{K}\) 在 \(U_{i_0 \ldots i_p} \times_R Y\) 上的限制。注意 \[\begin{align*} F(j_{i_0 \ldots i_p *}\mathcal{F}_{i_0 \ldots i_p}) & = \text{pr}_{i_0 \ldots i_p, 2, *}( \text{pr}_{i_0 \ldots i_p, 1}^*\mathcal{F}_{i_0 \ldots i_p} \otimes \mathcal{K}_{i_0 \ldots i_p}) \\ & = \text{pr}_{i_0 \ldots i_p, 2, *} (\text{pr}_1^*\mathcal{F} \otimes \mathcal{K})_{i_0 \ldots i_p} \end{align*}\] 其中 \(\text{pr}_{i_0 \ldots i_p, 2} : U_{i_0 \ldots i_p} \times_R Y \to Y\) 是投影，另一投影亦类似。此外，这些识别与上一段所示识别相容。回顾 Cohomology of Schemes, Lemma 01XL：相对 Čech 复形 \[\bigoplus \text{pr}_{i_0, 2, *} (\text{pr}_1^*\mathcal{F} \otimes \mathcal{K})_{i_0} \to \bigoplus \text{pr}_{i_0i_1, 2, *} (\text{pr}_1^*\mathcal{F} \otimes \mathcal{K})_{i_0i_1} \to \bigoplus \text{pr}_{i_0i_1i_2, 2, *} (\text{pr}_1^*\mathcal{F} \otimes \mathcal{K})_{i_0i_1i_2} \to \ldots\] 计算 \(R\text{pr}_{2, *}(\text{pr}_1^*\mathcal{F} \otimes \mathcal{K})\)。因此其 \(0\) 次上同调层是 \(F_\mathcal{K}(\mathcal{F})\)。于是由考察下列交换图得到所需映射 \(t : F(\mathcal{F}) \to F_\mathcal{K}(\mathcal{F})\) \[\xymatrix{ & F(\mathcal{F}) \ar[r] \ar@{..>}[d] & \bigoplus F(j_{i_0*}\mathcal{F}_{i_0}) \ar[r] \ar[d] & \bigoplus F(j_{i_0i_1*}\mathcal{F}_{i_0i_1}) \ar[d] \\ 0 \ar[r] & F_\mathcal{K}(\mathcal{F}) \ar[r] & \bigoplus \text{pr}_{i_0, 2, *} (\text{pr}_1^*\mathcal{F} \otimes \mathcal{K})_{i_0} \ar[r] & \bigoplus \text{pr}_{i_0i_1, 2, *} (\text{pr}_1^*\mathcal{F} \otimes \mathcal{K})_{i_0i_1} }\] 上行由把 \(F\) 作用于（正合）复形 \(0 \to \mathcal{F} \to \bigoplus j_{i_0*}\mathcal{F}_{i_0} \to \bigoplus j_{i_0i_1*}\mathcal{F}_{i_0i_1}\) 得到（但由于 \(F\) 不正合，上行只是复形而不一定正合）。实线竖直箭头是上述识别。这确实按要求定义了虚线箭头。该箭头关于 \(\mathcal{F}\) 函子性地变化；细节从略。

还需证明最后一个断言。设 \(f : X' \to X\) 如引理陈述所述，并设 \(\mathcal{K}'\) 为证明第一段中在 \(X' \times_R Y\) 上构造的拟凝聚模。若态射 \(f : X' \to X\) 的像落在某个开集 \(U_i\) 中，则结果由引理 0FZF 得出，因为此时已知 \(\mathcal{K}_i = \mathcal{K}|_{U_i \times_R Y}\) 拉回为 \(\mathcal{K}\)。一般地，得到仿射开覆盖 \(X' = \bigcup U'_i\)，其中 \(U'_i = f^{-1}(U_i)\)，以及同构 \(\mathcal{K}'|_{U'_i} = f_i^*\mathcal{K}_i\)，其中 \(f_i : U'_i \to U_i\) 是诱导态射。这些态射满足粘合为同构 \(\mathcal{K}' = f^*\mathcal{K}\) 所需的相容条件，结论得证。部分细节从略。

引理

在引理 0FZD 或引理 0GPA 中，若 \(F\) 是正合函子，则对应对象 \(\mathcal{K}\) 属于 \(\QCoh(\mathcal{O}_{X \times_R Y})\)，并在 \(X\) 上平坦。

证明

可假设 \(X\) 仿射，于是处于引理 0FZD 的情形。由引理 0FZF，可假设 \(Y\) 仿射。在仿射情形，该断言翻译为注 0GNX。

引理

设 \(R\) 为环，\(X\) 和 \(Y\) 为 \(R\) 上的概形。假设 \(X\) 拟紧且对角态射仿射。下列两个范畴等价：

\(R\)-线性正合函子 \(F : \QCoh(\mathcal{O}_X) \to \QCoh(\mathcal{O}_Y)\) 中与任意直和交换者所成的范畴；

\(\QCoh(\mathcal{O}_{X \times_R Y})\) 的全子范畴，其对象为满足下列条件的 \(\mathcal{K}\)：

\(\mathcal{K}\) 在 \(X\) 上平坦；

对 \(\mathcal{F} \in \QCoh(\mathcal{O}_X)\)，有 \(R^q\text{pr}_{2, *}(\text{pr}_1^*\mathcal{F} \otimes_{\mathcal{O}_{X \times_R Y}} \mathcal{K}) = 0\)，只要 \(q > 0\)。

此等价把 \(\mathcal{K}\) 送到 (0FZC) 中的函子 \(F\)。

证明

设 \(\mathcal{K}\) 如 (2) 中所述。(0FZC) 中的函子 \(F\) 与直和交换。由于由 (1)(a) 模 \(\mathcal{K}\) 在 \(X\) 上平坦，给定短正合列 \(0 \to \mathcal{F}_1 \to \mathcal{F}_2 \to \mathcal{F}_3 \to 0\)，得到短正合列 \[0 \to \text{pr}_1^*\mathcal{F}_1 \otimes_{\mathcal{O}_{X \times_R Y}} \mathcal{K} \to \text{pr}_1^*\mathcal{F}_2 \otimes_{\mathcal{O}_{X \times_R Y}} \mathcal{K} \to \text{pr}_1^*\mathcal{F}_3 \otimes_{\mathcal{O}_{X \times_R Y}} \mathcal{K} \to 0\] 由于由 (2)(b)，第一项的高阶直接像 \(R^1\text{pr}_{2, *}\) 为零，遂得 \(0 \to F(\mathcal{F}_1) \to F(\mathcal{F}_2) \to F(\mathcal{F}_3) \to 0\) 正合，故 \(F\) 如 (1) 中所述。

设 \(F\) 如 (1) 中所述，并令 \(\mathcal{K}\) 和 \(t : F \to F_\mathcal{K}\) 如引理 0GPA 中所述。由引理 0FZG，\(\mathcal{K}\) 在 \(X\) 上平坦。为完成证明，须说明 \(t\) 是同构并证明有关高阶直接像的断言。两者都来自相对 Čech 复形 \[\bigoplus \text{pr}_{i_0, 2, *} (\text{pr}_1^*\mathcal{F} \otimes \mathcal{K})_{i_0} \to \bigoplus \text{pr}_{i_0i_1, 2, *} (\text{pr}_1^*\mathcal{F} \otimes \mathcal{K})_{i_0i_1} \to \bigoplus \text{pr}_{i_0i_1i_2, 2, *} (\text{pr}_1^*\mathcal{F} \otimes \mathcal{K})_{i_0i_1i_2} \to \ldots\] 计算 \(R\text{pr}_{2, *}(\text{pr}_1^*\mathcal{F} \otimes \mathcal{K})\) 这一事实。关于记号及其原因，参见引理 0GPA 的证明。在引理 0GPA 的证明中还已看到，此复形等于 \(F\) 作用于复形 \[\bigoplus j_{i_0*}\mathcal{F}_{i_0} \to \bigoplus j_{i_0i_1*}\mathcal{F}_{i_0i_1} \to \bigoplus j_{i_0i_1i_2*}\mathcal{F}_{i_0i_1i_2} \to \ldots\] 此复形除零次外正合，且零次上同调层等于 \(\mathcal{F}\)。因此，由于 \(F\) 是正合函子，可得 \(F = F_\mathcal{K}\)，并且 (2)(b) 成立。

从略如下证明：把 \(F\) 送到 \(\mathcal{K}\) 的构造具有函子性，并且是把 \(\mathcal{K}\) 送到由 (0FZC) 确定的函子 \(F_\mathcal{K}\) 的函子的拟逆。

注

设 \(R\) 为环，\(X\) 和 \(Y\) 为 \(R\) 上的概形。假设 \(X\) 拟紧且对角态射仿射。引理 0FZH 可推广如下：与 \(X \times_R Y\) 上拟凝聚模相关联的函子 (0FZC)，恰为满足下列性质的函子 \(F : \QCoh(\mathcal{O}_X) \to \QCoh(\mathcal{O}_Y)\) ：

\(F\) 是 \(R\)-线性的，并与任意直和交换；

\(F \circ j_*\) 右正合，只要 \(j : U \to X\) 是仿射开集的包含；

序列 \(0 \to F(\mathcal{F}) \to F(\mathcal{G}) \to F(\mathcal{H})\) 正合，只要 \(0 \to \mathcal{F} \to \mathcal{G} \to \mathcal{H} \to 0\) 是正合列，且对所有 \(x \in X\)，茎上的序列 \(0 \to \mathcal{F}_x \to \mathcal{G}_x \to \mathcal{H}_x \to 0\) 是分裂短正合列。

确切地说，这些假设足以构造引理 0GPA 中那样的变换 \(t : F \to F_\mathcal{K}\) 并证明它是同构。此外，函子 (0FZC) 的确具有性质 (1)、(2)、(3)。若以后需要此结论，我们将在此仔细陈述并证明它。

引理

设 \(R\) 为环，\(X\)、\(Y\)、\(Z\) 为 \(R\) 上的概形。假设 \(X\) 和 \(Y\) 拟紧且对角态射仿射。设 \[F : \QCoh(\mathcal{O}_X) \to \QCoh(\mathcal{O}_Y) \quad\text{且}\quad G : \QCoh(\mathcal{O}_Y) \to \QCoh(\mathcal{O}_Z)\] 为与任意直和交换的 \(R\)-线性正合函子。令 \(\mathcal{K}\) 属于 \(\QCoh(\mathcal{O}_{X \times_R Y})\)，\(\mathcal{L}\) 属于 \(\QCoh(\mathcal{O}_{Y \times_R Z})\)，它们是相应的“核”；参见引理 0FZH。则 \(G \circ F\) 对应于 \(\text{pr}_{13, *}(\text{pr}_{12}^*\mathcal{K} \otimes_{\mathcal{O}_{X \times_R Y \times_R Z}} \text{pr}_{23}^*\mathcal{L})\)，它属于 \(\QCoh(\mathcal{O}_{X \times_R Z})\)。

证明

由于 \(G \circ F : \QCoh(\mathcal{O}_X) \to \QCoh(\mathcal{O}_Z)\) 是 \(R\)-线性正合函子且与任意直和交换，由引理 0FZH，存在 \(\mathcal{M}\) 属于 \(\QCoh(\mathcal{O}_{X \times_R Z})\)，它对应于 \(G \circ F\)。另一方面，记 \(\mathcal{E} = \text{pr}_{13, *}(\text{pr}_{12}^*\mathcal{K} \otimes \text{pr}_{23}^*\mathcal{L})\)。这里及证明以下部分均省略张量积的下标。设 \(U \subset X\) 和 \(W \subset Z\) 为仿射开子概形。为证明引理，将构造同构 \[\Gamma(U \times_R W, \mathcal{E}) \cong \Gamma(U \times_R W, \mathcal{M})\] 并使其与随 \(U\) 和 \(W\) 变化的限制映射相容。

首先注意 \[\Gamma(U \times_R W, \mathcal{E}) = \Gamma(U \times_R Y \times_R W, \text{pr}_{12}^*\mathcal{K} \otimes \text{pr}_{23}^*\mathcal{L})\] 这是由构造得到的。因此只需证明 \(\mathcal{M}\) 也有同样的性质。

写 \(U = \Spec(A)\)，并以 \(j : U \to X\) 表示包含态射。回顾引理 0FZD 的证明中 \(\mathcal{M}\) 的构造： \[\Gamma(U \times_R W, \mathcal{M}) = \Gamma(W, G(F(j_*\mathcal{O}_U)))\] 其中右端的 \(A\)-模作用由 \(A\) 在 \(\mathcal{O}_U\) 上的作用给出。\(F\) 与 \(\mathcal{K}\) 之间的对应告诉我们 \(F(j_*\mathcal{O}_U) = b_*(a^*j_*\mathcal{O}_U \otimes \mathcal{K})\) 其中 \(a : X \times_R Y \to X\) 和 \(b : X \times_R Y \to Y\) 是投影态射。由于 \(j\) 是仿射态射，由 Cohomology of Schemes, Lemma 02KG，有 \(a^*j_*\mathcal{O}_U = (j \times \text{id}_Y)_*\mathcal{O}_{U \times_R Y}\) 。接着，例如由注 0FZE，有 \((j \times \text{id}_Y)_*\mathcal{O}_{U \times_R Y} \otimes \mathcal{K} = (j \times \text{id}_Y)_*\mathcal{K}|_{U \times_R Y}\)。汇总所得结果，得到 \[F(j_*\mathcal{O}_U) = (U \times_R Y \to Y)_*\mathcal{K}|_{U \times_R Y}\] 它带有显然的 \(A\)-作用。（此公式隐含在引理 0FZD 的证明中。）应用函子 \(G\) 得 \[G(F(j_*\mathcal{O}_U)) = t_*(s^*((U \times_R Y \to Y)_*\mathcal{K}|_{U \times_R Y}) \otimes \mathcal{L})\] 其中 \(s : Y \times_R Z \to Y\) 和 \(t : Y \times_R Z \to Z\) 为投影态射。再次使用仿射基变换（Cohomology of Schemes, Lemma 02KG），但这次用于方块 \[\xymatrix{ U \times_R Y \times_R Z \ar[r] \ar[d] & U \times_R Y \ar[d] \\ Y \times_R Z \ar[r] & Y }\] 得到 \[s^*((U \times_R Y \to Y)_*\mathcal{K}|_{U \times_R Y}) = (U \times_R Y \times_R Z \to Y \times_R Z)_* \text{pr}_{12}^*\mathcal{K}|_{U \times_R Y \times_R Z}\] 再次使用注 0FZE，得到 \[\begin{align*} (U \times_R Y \times_R Z \to Y \times_R Z)_* \text{pr}_{12}^*\mathcal{K}|_{U \times_R Y \times_R Z} \otimes \mathcal{L} \\ = (U \times_R Y \times_R Z \to Y \times_R Z)_* \left(\text{pr}_{12}^*\mathcal{K} \otimes \text{pr}_{23}^*\mathcal{L}\right)|_{U \times_R Y \times_R Z} \end{align*}\] 对此应用函子 \(\Gamma(W, t_*(-)) = \Gamma(Y \times_R W, -)\)，得到 \[\begin{align*} \Gamma(U \times_R W, \mathcal{M}) & = \Gamma(W, G(F(j_*\mathcal{O}_U))) \\ & = \Gamma(Y \times_R W, (U \times_R Y \times_R Z \to Y \times_R Z)_* (\text{pr}_{12}^*\mathcal{K} \otimes \text{pr}_{23}^*\mathcal{L})|_{U \times_R Y \times_R Z}) \\ & = \Gamma(U \times_R Y \times_R W, \text{pr}_{12}^*\mathcal{K} \otimes \text{pr}_{23}^*\mathcal{L}) \end{align*}\] 如所需。关于这些同构与限制映射相容的验证从略。

引理

令 \(R\)、\(X\)、\(Y\) 和 \(\mathcal{K}\) 如引理 0FZH 的 (2) 中所述。则对任意概形 \(T\) 在 \(R\) 上，有 \[R^q\text{pr}_{13, *}(\text{pr}_{12}^*\mathcal{F} \otimes_{\mathcal{O}_{T \times_R X \times_R Y}} \text{pr}_{23}^*\mathcal{K}) = 0\] 其中 \(\mathcal{F}\) 为 \(T \times_R X\) 上的拟凝聚模，且 \(q > 0\)。

证明

问题在 \(T\) 上是局部的，故可假设 \(T\) 仿射。此时可考虑图 \[\xymatrix{ T \times_R X \ar[d] & T \times_R X \times_R Y \ar[d] \ar[l] \ar[r] & T \times_R Y \ar[d] \\ X & X \times_R Y \ar[l] \ar[r] & Y }\] 其竖直箭头均为仿射态射。特别地，沿 \(T \times_R Y \to Y\) 的推前是忠实正合的（Cohomology of Schemes, Lemma 01XC 和 Morphisms, Lemma 01SB）。利用沿仿射态射的高阶直接像消失这一事实（见上述引用）追踪此图，可知只需证明 \[R^q\text{pr}_{2, *}( \text{pr}_{23, *}(\text{pr}_{12}^*\mathcal{F} \otimes_{\mathcal{O}_{T \times_R X \times_R Y}} \text{pr}_{23}^*\mathcal{K})) = R^q\text{pr}_{2, *}( \text{pr}_{23, *}(\text{pr}_{12}^*\mathcal{F}) \otimes_{\mathcal{O}_{X \times_R Y}} \mathcal{K}))\] 为零；这由对 \(\mathcal{K}\) 的假设成立。等号由注 0FZE 得出。

引理

在引理 0FZH 中，令 \(F\) 和 \(\mathcal{K}\) 相互对应。若 \(X\) 分离且在 \(R\) 上平坦，则存在满射 \(\mathcal{O}_X \boxtimes F(\mathcal{O}_X) \to \mathcal{K}\).

证明

设 \(\Delta : X \to X \times_R X\) 为对角态射，并置 \(\mathcal{O}_\Delta = \Delta_*\mathcal{O}_X\)。由于 \(\Delta\) 是闭浸入，有短正合列 \[0 \to \mathcal{I} \to \mathcal{O}_{X \times_R X} \to \mathcal{O}_\Delta \to 0\] 由于 \(\mathcal{K}\) 在 \(X\) 上平坦，其拉回 \(\text{pr}_{23}^*\mathcal{K}\) 到 \(X \times_R X \times_R Y\) 后，在 \(X \times_R X\) 上平坦。因此得到短正合列 \[0 \to \text{pr}_{12}^*\mathcal{I} \otimes \text{pr}_{23}^*\mathcal{K} \to \text{pr}_{23}^*\mathcal{K} \to \text{pr}_{12}^*\mathcal{O}_\Delta \otimes \text{pr}_{23}^*\mathcal{K} \to 0\] 在 \(X \times_R X \times_R Y\) 上；参见 Modules, Lemma 0GMU。于是由引理 0FZI 得到满射 \[\text{pr}_{13, *}(\text{pr}_{23}^*\mathcal{K}) \to \text{pr}_{13, *}( \text{pr}_{12}^*\mathcal{O}_\Delta \otimes \text{pr}_{23}^*\mathcal{K})\] 由平坦基变换（Cohomology of Schemes, Lemma 02KH），此箭头的源等于 \(\text{pr}_2^*\text{pr}_{2, *}\mathcal{K} = \mathcal{O}_X \boxtimes F(\mathcal{O}_X)\)。另一方面，其目标等于 \[\text{pr}_{13, *}( \text{pr}_{12}^*\mathcal{O}_\Delta \otimes \text{pr}_{23}^*\mathcal{K}) = \text{pr}_{13, *} (\Delta \times \text{id}_Y)_* \mathcal{K} = \mathcal{K}\] 这就完成了证明。例如，第一个等式由 Cohomology, Lemma 0B55 以及事实 \(\text{pr}_{12}^*\mathcal{O}_\Delta = (\Delta \times \text{id}_Y)_*\mathcal{O}_{X \times_R Y}\) 得出。

Gabriel–Rosenberg 重构

本节标题所指的是命题 0GPJ 这一类结果。除 Gabriel 的原始论文 [Gabriel] 外，也请参见 [Brandenburg]；其中证明了拟分离概形的相应结果，并讨论了相关文献。本节仅证明拟紧拟分离概形的 Gabriel–Rosenberg 重构。

引理

设 \(X\) 为拟紧拟分离概形，\(\mathcal{F}\) 为拟凝聚 \(\mathcal{O}_X\)-模。则 \(\mathcal{F}\) 是 \(\QCoh(\mathcal{O}_X)\) 的范畴紧对象，当且仅当 \(\mathcal{F}\) 是有限表示的。

证明

关于范畴中范畴紧对象的概念，参见 Categories, Definition 0FWX。若 \(\mathcal{F}\) 是有限表示的，则由 Modules, Lemma 01BS，它是范畴紧的。反过来，任意拟凝聚模 \(\mathcal{F}\) 都可写为滤过余极限 \(\mathcal{F} = \colim \mathcal{F}_i\)，其中各项是有限表示（因而拟凝聚） \(\mathcal{O}_X\)-模；参见 Properties, Lemma 01PK。若 \(\mathcal{F}\) 范畴紧，则存在某个 \(i\) 及态射 \(\mathcal{F} \to \mathcal{F}_i\)，它是给定态射 \(\mathcal{F}_i \to \mathcal{F}\) 的右逆。因此 \(\mathcal{F}\) 是某有限表示模的直和因子，故其自身也有限表示。

引理

设 \(X\) 为仿射概形，\(\mathcal{F}\) 为有限表示 \(\mathcal{O}_X\)-模，且 \(\mathcal{E}\) 为非零拟凝聚 \(\mathcal{O}_X\)-模。若 \(\text{Supp}(\mathcal{E}) \subset \text{Supp}(\mathcal{F})\), 则存在非零映射 \(\mathcal{F} \to \mathcal{E}\)。

证明

把该断言翻译成代数。设 \(A\) 为环，\(M\) 为有限表示 \(A\)-模，\(N\) 为非零 \(A\)-模。假设 \(\text{Supp}(N) \subset \text{Supp}(M)\)。要证 \(\Hom_A(M, N)\) 非零。可假设 \(N = A/I\) 是循环模（用 \(N\) 的任意非零循环子模代替它）。选取表示 \[A^{\oplus m} \xrightarrow{T} A^{\oplus n} \to M \to 0\] 回顾 \(\text{Supp}(M)\) 由 \(\text{Fit}_0(M)\) 截出；后者是由 \(n \times n\) 阶子式生成的理想，这里矩阵为 \(T\)。参见 More on Algebra, Lemma 07ZA。假设 \(\text{Supp}(N) \subset \text{Supp}(M)\) 现在意味着 \(\text{Fit}_0(M)\) 的元素在 \(A/I\) 中幂零。考虑正合列 \[0 \to \Hom_A(M, A/I) \to (A/I)^{\oplus n} \xrightarrow{T^t} (A/I)^{\oplus m}\] 须证明 \(T^t\) 不可能单射；建议读者利用 \(\text{Fit}_0(M)\) 的元素在 \(A/I\) 中幂零这一事实自行寻找证明。下面给出我们的证明。由于 \(\text{Fit}_0(M)\) 有限生成，幂零性意味着零化子 \(J \subset A/I\) 非零；它是 \(\text{Fit}_0(M)\) 在 \(A/I\) 中的零化子。为证明 \(T^t\) 不单射，可在一个素理想处局部化。选取适当素理想后，可假设 \(A\) 是局部环且 \(J\) 仍非零。于是由 More on Algebra, Lemma 00MX，\(T^t\) 有非零核。

引理

设 \(X\) 为拟紧拟分离概形，\(\mathcal{F}\) 为有限表示 \(\mathcal{O}_X\)-模。 \(\QCoh(\mathcal{O}_X)\) 的下列两个子范畴相等：

全子范畴 \(\mathcal{A} \subset \QCoh(\mathcal{O}_X)\)，其对象为支集在集合意义下包含于 \(\text{Supp}(\mathcal{F})\) 的拟凝聚模；

最小 Serre 子范畴 \(\mathcal{B} \subset \QCoh(\mathcal{O}_X)\)，它包含 \(\mathcal{F}\)，并对扩张和任意直和封闭。

证明

注意，该断言有意义，因为有限表示 \(\mathcal{O}_X\)-模是拟凝聚的。由于 \(\mathcal{A}\) 是对扩张和直和封闭的 Serre 子范畴，且 \(\mathcal{F}\) 是 \(\mathcal{A}\) 的对象，故 \(\mathcal{B} \subset \mathcal{A}\)。只需再证明 \(\mathcal{A}\) 包含于 \(\mathcal{B}\)。

设 \(\mathcal{E}\) 为 \(\mathcal{A}\) 的对象。存在极大子模 \(\mathcal{E}' \subset \mathcal{E}\)，它属于 \(\mathcal{B}\)。确切地说，设 \(\mathcal{E}_i \subset \mathcal{E}\)、\(i \in I\) 是所有属于 \(\mathcal{B}\) 的子对象。则 \(\bigoplus \mathcal{E}_i\) 属于 \(\mathcal{B}\)，故 \[\mathcal{E}' = \Im(\bigoplus \mathcal{E}_i \longrightarrow \mathcal{E})\] 显然这正是所求极大子模。

现在假设有非零映射 \(\mathcal{G} \to \mathcal{E}/\mathcal{E}'\) ，其中 \(\mathcal{G}\) 属于 \(\mathcal{B}\)。则 \(\mathcal{G}' = \mathcal{E} \times_{\mathcal{E}/\mathcal{E}'} \mathcal{G}\) 属于 \(\mathcal{B}\)，因为它是 \(\mathcal{E}'\) 与 \(\mathcal{G}\) 的扩张。于是 \(\mathcal{G}' \to \mathcal{E}\) 的像会严格大于 \(\mathcal{E}'\)，与 \(\mathcal{E}'\) 的极大性矛盾。因此只需证明下一段的断言。

设 \(\mathcal{E}\) 为 \(\mathcal{A}\) 的非零对象。断言存在非零映射 \(\mathcal{G} \to \mathcal{E}\)，其中 \(\mathcal{G}\) 属于 \(\mathcal{B}\)。对此按最小个数 \(n\) 归纳；这里 \(U_i\) 是 \(X\) 的仿射开集，且满足 \(\text{Supp}(\mathcal{E}) \subset U_1 \cup \ldots \cup U_n\). 置 \(U = U_n\)，并以 \(j : U \to X\) 表示包含态射。记 \(\mathcal{E}' = \Im(\mathcal{E} \to j_*\mathcal{E}|_U)\)。其核 \(\mathcal{E}''\)（这里所指的满射为 \(\mathcal{E} \to \mathcal{E}'\)）的支集包含于 \(U_1 \cup \ldots \cup U_{n - 1}\)。若 \(\mathcal{E}''\) 非零，结论即得。因此可假设 \(\mathcal{E} \subset j_*\mathcal{E}|_U\)。特别地，\(\mathcal{E}|_U\) 非零。由引理 0GPF，存在非零映射 \(\mathcal{F}|_U \to \mathcal{E}|_U\)。它对应于映射 \[\varphi : \mathcal{F} \longrightarrow j_*(\mathcal{E}|_U)\] 其在 \(U\) 上的限制非零。置 \(\mathcal{G} = \varphi^{-1}(\mathcal{E})\) 即得结论。

引理

设 \(X\) 为拟紧拟分离概形，\(Z \subset X\) 为闭子集，并且 \(U = X \setminus Z\) 拟紧。设 \(\mathcal{A} \subset \QCoh(\mathcal{O}_X)\) 为全子范畴，其对象是在 \(Z\) 上有支集的拟凝聚模。则限制函子 \(\QCoh(\mathcal{O}_X) \to \QCoh(\mathcal{O}_U)\) 诱导等价 \(\QCoh(\mathcal{O}_X)/\mathcal{A} \cong \QCoh(\mathcal{O}_U)\)。

证明

由商构造的泛性质（Homology, Lemma 02MS），当然得到诱导函子 \(\QCoh(\mathcal{O}_X)/\mathcal{A} \cong \QCoh(\mathcal{O}_U)\)。以 \(j : U \to X\) 表示包含态射。由于 \(j\) 拟紧且拟分离，得到函子 \(j_* : \QCoh(\mathcal{O}_U) \to \QCoh(\mathcal{O}_X)\)。读者可验证它定义了拟逆；细节从略。

引理

设 \(X\) 为拟紧拟分离概形。若 \(\QCoh(\mathcal{O}_X)\) 等价于某个环上的模范畴，则 \(X\) 仿射。

证明

设 \(F : \text{Mod}_R \to \QCoh(\mathcal{O}_X)\) 为等价。则 \(\mathcal{F} = F(R)\) 具有下列性质：

它是有限表示 \(\mathcal{O}_X\)-模（引理 0GPE）；

\(\Hom_X(\mathcal{F}, -)\) 正合；

\(\Hom_X(\mathcal{F}, \mathcal{F})\) 是交换环；

\(\QCoh(\mathcal{O}_X)\) 的每个对象都是若干份 \(\mathcal{F}\) 的直和的商。

设 \(x \in X\) 为闭点。考虑满射 \[\mathcal{O}_X \to i_*\kappa(x)\] 其目标是 \(\kappa(x)\) 沿包含态射 \(i : x \to X\) 的推前。有 \[\Hom_X(\mathcal{F}, i_*\kappa(x)) = \Hom_{\mathcal{O}_{X, x}}(\mathcal{F}_x, \kappa(x))\] 这首先由 (4) 蕴含 \(\mathcal{F}_x\) 非零。由 (2)，每个映射 \(\mathcal{F}_x \to \kappa(x)\) 都提升为映射 \(\mathcal{F}_x \to \mathcal{O}_{X, x}\)（事实上它甚至提升为整体映射 \(\mathcal{F} \to \mathcal{O}_X\)）。由于 \(\mathcal{F}_x\) 是有限 \(\mathcal{O}_{X, x}\)-模，这蕴含 \(\mathcal{F}_x\) 是非零有限自由 \(\mathcal{O}_{X, x}\)-模。又因 \(\mathcal{F}\) 有限表示，故 \(\mathcal{F}\) 在 \(x\) 的某个开邻域上是正秩有限自由的（Modules, Lemma 0B8J）。由于 \(X\) 的每个闭子集都含有闭点（Topology, Lemma 005E），这蕴含 \(\mathcal{F}\) 是正秩有限局部自由的。类似地，映射 \[\Hom_X(\mathcal{F}, \mathcal{F}) \to \Hom_X(\mathcal{F}, i_*i^*\mathcal{F}) = \Hom_{\kappa(x)}(\mathcal{F}_x/\mathfrak m_x \mathcal{F}_x, \mathcal{F}_x/\mathfrak m_x \mathcal{F}_x)\] 满射。由性质 (3)，可知秩 \(\mathcal{F}_x\) 必为 \(1\)。因此 \(\mathcal{F}\) 是可逆 \(\mathcal{O}_X\)-模。于是可知函子 \[\mathcal{H} \longmapsto \Gamma(X, \mathcal{H}) = \Hom_X(\mathcal{O}_X, \mathcal{H}) = \Hom_X(\mathcal{F}, \mathcal{H} \otimes_{\mathcal{O}_X} \mathcal{F})\] 在 \(\QCoh(\mathcal{O}_X)\) 上也正合。这蕴含第一 \(\Ext\) 群 \[\Ext^1_{\QCoh(\mathcal{O}_X)}(\mathcal{O}_X, \mathcal{H}) = 0\] 在阿贝尔范畴 \(\QCoh(\mathcal{O}_X)\) 中计算时，对所有 \(\mathcal{H}\)（属于 \(\QCoh(\mathcal{O}_X)\)）都消失。不过，由于 \(\QCoh(\mathcal{O}_X) \subset \textit{Mod}(\mathcal{O}_X)\) 对扩张封闭（Schemes, Section 01LA），拟凝聚模之间的 \(\Ext^1\) 在 \(\QCoh(\mathcal{O}_X)\) 中的计算与在 \(\textit{Mod}(\mathcal{O}_X)\) 中的计算相同。因此 \[H^1(X, \mathcal{H}) = \Ext^1_{\textit{Mod}(\mathcal{O}_X)}(\mathcal{O}_X, \mathcal{H}) = 0\] 对所有 \(\mathcal{H}\)（属于 \(\QCoh(\mathcal{O}_X)\)）都成立。例如由 Cohomology of Schemes, Lemma 01XF，这蕴含 \(X\) 仿射。

命题

设 \(X\) 和 \(Y\) 为拟紧拟分离概形。若 \(F : \QCoh(\mathcal{O}_X) \to \QCoh(\mathcal{O}_Y)\) 为等价，则存在概形同构 \(f : Y \to X\) 以及可逆 \(\mathcal{O}_Y\)-模 \(\mathcal{L}\)，使得 \(F(\mathcal{F}) = f^*\mathcal{F} \otimes \mathcal{L}\)。

证明

当然，\(F\) 可加、正合，与所有极限、所有余极限、直和等交换。设 \(U \subset X\) 为仿射开子概形。设 \(\mathcal{I} \subset \mathcal{O}_X\) 为有限型拟凝聚理想层，使得 \(Z = V(\mathcal{I})\) 是 \(U\) 在 \(X\) 中的补集；参见 Properties, Lemma 01PH。则 \(\mathcal{O}_X/\mathcal{I}\) 是有限表示 \(\mathcal{O}_X\)-模。因此由引理 0GPE，\(\mathcal{G} = F(\mathcal{O}_X/\mathcal{I})\) 是有限表示 \(\mathcal{O}_Y\)-模。以 \(T \subset Y\) 表示 \(\mathcal{G}\) 的支集，并置 \(V = Y \setminus T\)。由于 \(\mathcal{G}\) 有限表示，概形 \(V\) 是 \(Y\) 的拟紧开集。由引理 0GPG，\(F\) 在下列范畴之间诱导等价：

\(\QCoh(\mathcal{O}_X)\) 中由支集在 \(Z\) 上的模组成的全子范畴；

\(\QCoh(\mathcal{O}_Y)\) 中由支集在 \(T\) 上的模组成的全子范畴。

由引理 0GPH 得到交换图 \[\xymatrix{ \QCoh(\mathcal{O}_X) \ar[r]_F \ar[d] & \QCoh(\mathcal{O}_Y) \ar[d] \\ \QCoh(\mathcal{O}_U) \ar[r]^{F_U} & \QCoh(\mathcal{O}_V) }\] 其中竖直箭头为限制函子，水平箭头为等价。由引理 0GPI，\(V\) 仿射。仿射情形已有引理 0GP0。因此存在同构 \(f_U : V \to U\) 及可逆 \(\mathcal{O}_V\)-模 \(\mathcal{L}_U\)，使得 \(F_U\) 是函子 \(\mathcal{F} \mapsto f_U^*\mathcal{F} \otimes \mathcal{L}_U\).

注意上述各图关于 \(X\) 的仿射开子概形之间的包含满足显然的相容性，即可完成证明。因此态射 \(f_U\) 与可逆模 \(\mathcal{L}_U\) 可粘合。细节从略。

相干模范畴之间的函子

下述引理保证：给定相干模范畴之间的函子时，可以使用拟凝聚模范畴之间函子的材料。

引理

设 \(X\) 和 \(Y\) 为诺特概形，并设 \(F : \textit{Coh}(\mathcal{O}_X) \to \textit{Coh}(\mathcal{O}_Y)\) 为函子。则 \(F\) 唯一延拓为与滤过余极限交换的函子 \(\QCoh(\mathcal{O}_X) \to \QCoh(\mathcal{O}_Y)\) 。若 \(F\) 可加，则其延拓与任意直和交换。若 \(F\) 正合、左正合或右正合，则其延拓也具有相应性质。

证明

延拓的存在唯一性是一般事实；参见 Categories, Lemma 0FWY。为说明该引理适用，注意相干模是有限表示的（Modules, Lemma 01BW），因而由 Modules, Lemma 01BS，它们是 \(\textit{Mod}(\mathcal{O}_X)\) 的范畴紧对象。最后，例如由 Properties, Lemma 01PG，每个拟凝聚模都是相干模的滤过余极限。

假设 \(F\) 可加。若 \(\mathcal{F} = \bigoplus_{j \in J} \mathcal{H}_j\)，其中 \(\mathcal{H}_j\) 拟凝聚，则 \(\mathcal{F} = \colim_{J' \subset J\text{ 有限}} \bigoplus_{j \in J'} \mathcal{H}_j\). 仍把 \(F\) 的延拓记作 \(F\)，得到 \[\begin{align*} F(\mathcal{F}) & = \colim_{J' \subset J\text{ 有限}} F(\bigoplus\nolimits_{j \in J'} \mathcal{H}_j) \\ & = \colim_{J' \subset J\text{ 有限}} \bigoplus\nolimits_{j \in J'} F(\mathcal{H}_j) \\ & = \bigoplus\nolimits_{j \in J} F(\mathcal{H}_j) \end{align*}\] 故 \(F\) 与任意直和交换。

设 \(0 \to \mathcal{F} \to \mathcal{F}' \to \mathcal{F}'' \to 0\) 为拟凝聚 \(\mathcal{O}_X\)-模的短正合列。把 \(\mathcal{F}' = \bigcup \mathcal{F}'_i\) 写成其相干子模的并；参见 Properties, Lemma 01PG。以 \(\mathcal{F}''_i \subset \mathcal{F}''\) 表示 \(\mathcal{F}'_i\) 的像，并置 \(\mathcal{F}_i = \mathcal{F} \cap \mathcal{F}'_i = \Ker(\mathcal{F}'_i \to \mathcal{F}''_i)\)。显然 \(\mathcal{F} = \bigcup \mathcal{F}_i\) 且 \(\mathcal{F}'' = \bigcup \mathcal{F}''_i\)，并且有短正合列 \[0 \to \mathcal{F}_i \to \mathcal{F}_i' \to \mathcal{F}_i'' \to 0\] 由于该延拓与滤过余极限交换，有 \(F(\mathcal{F}) = \colim_{i \in I} F(\mathcal{F}_i)\)、 \(F(\mathcal{F}') = \colim_{i \in I} F(\mathcal{F}'_i)\)，以及 \(F(\mathcal{F}'') = \colim_{i \in I} F(\mathcal{F}''_i)\)。由于滤过余极限正合（Modules, Lemma 01AH）， \(F\) 的正合性性质由其延拓继承。

引理

设 \(X\) 和 \(Y\) 为诺特概形，并设 \(F : \textit{Coh}(\mathcal{O}_X) \to \textit{Coh}(\mathcal{O}_Y)\) 为范畴等价。则存在同构 \(f : Y \to X\) 及可逆 \(\mathcal{O}_Y\)-模 \(\mathcal{L}\)，使得 \(F(\mathcal{F}) = f^*\mathcal{F} \otimes \mathcal{L}\)。

证明

由引理 0FZL，得到唯一的函子 \(F' : \QCoh(\mathcal{O}_X) \to \QCoh(\mathcal{O}_Y)\) 延拓 \(F\)。\(F\) 的拟逆亦然，故由唯一性，\(F'\) 是等价。由命题 0GPJ，存在同构 \(f : Y \to X\) 及可逆 \(\mathcal{O}_Y\)-模 \(\mathcal{L}\)，使得 \(F'(\mathcal{F}) = f^*\mathcal{F} \otimes \mathcal{L}\)。于是 \(f\) 和 \(\mathcal{L}\) 对 \(F\) 也适用。

注

在引理 0GPK 中，若 \(X\) 和 \(Y\) 定义在同一基环 \(R\) 上，且 \(F\) 是 \(R\)-线性的，则同构 \(f\) 是 \(R\) 上的概形态射。

引理

设 \(f : V \to X\) 为诺特概形之间的拟有限分离态射。若存在相干 \(\mathcal{O}_V\)-模 \(\mathcal{K}\)，其支集为 \(V\)，且 \(f_*\mathcal{K}\) 相干并有 \(R^qf_*\mathcal{K} = 0\)，则 \(f\) 有限。

证明

由 Zariski 主定理，可找到开浸入 \(j : V \to Y\) 在 \(X\) 上，其中 \(\pi : Y \to X\) 有限；参见 More on Morphisms, Lemma 05K0。由于 \(\pi\) 仿射，函子 \(\pi_*\) 在相干 \(\mathcal{O}_X\)-模范畴上正合且忠实。因此 \(j_*\mathcal{K}\) 相干，且 \(R^qj_*\mathcal{K}\) 在 \(q > 0\) 时为零。换言之，问题归约到下一段讨论的情形。

假设 \(f\) 为开浸入。可将 \(X\) 替换为 \(V\) 的概形论闭包。为导出矛盾，假设 \(X \setminus V\) 非空。选取泛点 \(\xi \in X \setminus V\)，它属于 \(X \setminus V\) 的某个不可约分支。利用平坦基变换，在沿 \(\Spec(\mathcal{O}_{X, \xi}) \to X\) 基变换后考察情形，并使用 Local Cohomology, Lemma 0BK0，归约到下一段讨论的代数问题。

设 \((A, \mathfrak m)\) 为诺特局部环，\(M\) 为有限 \(A\)-模，且其支集为 \(\Spec(A)\)。则 \(H^i_\mathfrak m(M) \not = 0\)，其中 \(i\) 为某个整数。这由 Dualizing Complexes, Lemma 0AVZ 以及 \(M\) 非零从而具有有限深度这一事实得出。

下一个引理可推广到 \(k\) 为诺特环且 \(X\) 在 \(k\) 上平坦的情形（其他假设不变）。

引理

设 \(k\) 为域，\(X\)、\(Y\) 为 \(k\) 上的有限型概形，且 \(X\) 分离。下列两个范畴等价：

\(k\)-线性正合函子 \(F : \textit{Coh}(\mathcal{O}_X) \to \textit{Coh}(\mathcal{O}_Y)\) 所成的范畴；

相干 \(\mathcal{O}_{X \times Y}\)-模 \(\mathcal{K}\) 所成的范畴，其中这些模在 \(X\) 上平坦，且其支集在 \(Y\) 上有限。

此等价把 \(\mathcal{K}\) 送到函子 (0FZC) 在 \(\textit{Coh}(\mathcal{O}_X)\) 上的限制。

证明

设 \(\mathcal{K}\) 如 (2) 中所述。由引理 0FZH， (0FZC) 给出的函子 \(F\) 正合且 \(k\)-线性。此外，例如由 Cohomology of Schemes, Lemma 08DS，\(F\) 把 \(\textit{Coh}(\mathcal{O}_X)\) 送入 \(\textit{Coh}(\mathcal{O}_Y)\)。

构造该构造的拟逆。设 \(F\) 如 (1) 中所述。由引理 0FZL，可把 \(F\) 延拓为拟凝聚模范畴上的 \(k\)-线性正合函子，且它与任意直和交换。由引理 0FZH，该延拓对应于唯一的拟凝聚模 \(\mathcal{K}\)，它在 \(X\) 上平坦，并满足 \(R^q\text{pr}_{2, *}(\text{pr}_1^*\mathcal{F} \otimes_{\mathcal{O}_{X \times Y}} \mathcal{K}) = 0\)，其中 \(q > 0\)，并且上述 \(\mathcal{O}_X\)-模 \(\mathcal{F}\) 可为任意拟凝聚模。由于 \(F(\mathcal{O}_X)\) 是相干 \(\mathcal{O}_Y\)-模，由引理 0FZJ 可知 \(\mathcal{K}\) 相干。

对闭点 \(x \in X\)，以 \(\mathcal{O}_x\) 表示在 \(x\) 处取值为 \(x\) 的剩余域的摩天层。有 \[F(\mathcal{O}_x) = \text{pr}_{2, *}(\text{pr}_1^*\mathcal{O}_x \otimes \mathcal{K}) = (x \times Y \to Y)_*(\mathcal{K}|_{x \times Y})\] 由于 \(x \times Y \to Y\) 有限，沿该态射的推前忠实。因此，若 \(y \in Y\) 属于 \(\mathcal{K}|_{x \times Y}\) 的支集之像，则 \(y\) 属于 \(F(\mathcal{O}_x)\) 的支集。

设 \(Z \subset X \times Y\) 为概形论支集 \(Z\)，即 \(\mathcal{K}\) 的概形论支集；参见 Morphisms, Definition 05JV。先证明 \(Z \to Y\) 拟有限；为此证明其在闭点上的纤维有限。确切地说，若 \(Z \to Y\) 在闭点 \(y \in Y\) 上的纤维维数 \(> 0\)，则可找到无穷多个两两不同的闭点 \(x_1, x_2, \ldots\)，它们位于 \(Z_y \to X\) 的像中。由于存在满射 \(\mathcal{O}_X \to \bigoplus_{i = 1, \ldots, n} \mathcal{O}_{x_i}\) ，得到满射 \[F(\mathcal{O}_X) \to \bigoplus\nolimits_{i = 1, \ldots, n} F(\mathcal{O}_{x_i})\] 由上述讨论，点 \(y\) 属于每个相干模 \(F(\mathcal{O}_{x_i})\) 的支集。由于 \(F(\mathcal{O}_X)\) 是相干模，这会导出矛盾：\(F(\mathcal{O}_X)\) 在 \(y\) 处的茎可由 \(< n\) 个元素生成，只要 \(n\) 足够大。因此 \(Z \to Y\) 拟有限。由于 \(\text{pr}_{2, *}\mathcal{K}\) 相干，且 \(R^q\text{pr}_{2, *}\mathcal{K} = 0\) 对 \(q > 0\) 成立，由引理 0FZM， \(Z \to Y\) 有限。

引理

设 \(f : X \to Y\) 为概形之间的有限型分离态射。设 \(\mathcal{F}\) 为 \(X\) 上的有限型拟凝聚模，其支集在 \(Y\) 上有限，并且 \(\mathcal{L} = f_*\mathcal{F}\) 是可逆 \(\mathcal{O}_X\)-模。则存在截面 \(s : Y \to X\)，使得 \(\mathcal{F} \cong s_*\mathcal{L}\)。

证明

在仿射局部考察，这翻译为下述代数问题。设 \(A \to B\) 为环态射，\(N\) 为 \(B\)-模，并且作为 \(A\)-模可逆。则零化子 \(J\)，即 \(N\) 在 \(B\) 中的零化子，具有如下性质： \(A \to B/J\) 是同构。细节从略。

引理

设 \(f : X \to Y\) 为概形之间的有限型分离态射，且有截面 \(s : Y \to X\)。设 \(\mathcal{F}\) 为 \(X\) 上的有限型拟凝聚模，在集合意义下支集于 \(s(Y)\)，并且 \(\mathcal{L} = f_*\mathcal{F}\) 为可逆 \(\mathcal{O}_X\)-模。若 \(Y\) 既约，则 \(\mathcal{F} \cong s_*\mathcal{L}\)。

证明

由引理 0FZP，存在截面 \(s' : Y \to X\)，使得 \(\mathcal{F} = s'_*\mathcal{L}\)。由于 \(s'(Y)\) 与 \(s(Y)\) 有相同的底闭子集，并且二者都是 \(X\) 的既约闭子概形，故必相等。因此 \(s = s'\)，引理得证。

引理

设 \(k\) 为域，\(X\)、\(Y\) 为 \(k\) 上的有限型概形，且 \(X\) 分离、\(Y\) 既约。若存在 \(k\)-线性范畴等价 \(F : \textit{Coh}(\mathcal{O}_X) \to \textit{Coh}(\mathcal{O}_Y)\) ，则存在同构 \(f : Y \to X\) 在 \(k\) 上，以及可逆 \(\mathcal{O}_Y\)-模 \(\mathcal{L}\)，使得 \(F(\mathcal{F}) = f^*\mathcal{F} \otimes \mathcal{L}\)。

证明

本引理是引理 0GPK 与注 0GPL 中所讨论结果的弱形式。

证明

由引理 0FZN，得到相干 \(\mathcal{O}_{X \times Y}\)-模 \(\mathcal{K}\)，它在 \(X\) 上平坦、支集在 \(Y\) 上有限，并且 \(F\) 由函子 (0FZC) 在 \(\textit{Coh}(\mathcal{O}_X)\) 上的限制给出。若能证明 \(F(\mathcal{O}_X)\) 是可逆 \(\mathcal{O}_Y\)-模，则由引理 0FZP，有 \(\mathcal{K} = s_*\mathcal{L}\)，其中 \(s : Y \to X \times Y\) 是 \(\text{pr}_2\) 的某个截面，另有某个可逆 \(\mathcal{O}_Y\)-模 \(\mathcal{L}\)。这将说明 \(F\) 具有所述形式，其中 \(f = \text{pr}_1 \circ s\)。部分细节从略。

只需再证明 \(F(\mathcal{O}_X)\) 可逆。这里只勾勒证明并省略一些细节。对闭点 \(x \in X\)，以 \(\mathcal{O}_x\) 表示 \(\textit{Coh}(\mathcal{O}_X)\) 中在 \(x\) 处取值为 \(\kappa(x)\) 的摩天层。首先注意，范畴 \(\textit{Coh}(\mathcal{O}_X)\) 的单对象恰为这些摩天层 \(\mathcal{O}_x\)。对 \(Y\) 也同样成立。因此，对每个闭点 \(y \in Y\)，存在闭点 \(x \in X\)，使得 \(\mathcal{O}_y \cong F(\mathcal{O}_x)\)。此外，考察自同态可知，有 \(\kappa(x) \cong \kappa(y)\)，它们是 \(k\) 的有限扩张。于是 \[\Hom_Y(F(\mathcal{O}_X), \mathcal{O}_y) \cong \Hom_Y(F(\mathcal{O}_X), F(\mathcal{O}_x)) \cong \Hom_X(\mathcal{O}_X, \mathcal{O}_x) \cong \kappa(x) \cong \kappa(y)\] 这蕴含相干 \(\mathcal{O}_Y\)-模 \(F(\mathcal{O}_X)\) 在 \(y \in Y\) 处的茎可由 \(1\) 个生成元生成（且不能更少），对每个闭点 \(y \in Y\) 都如此。立即可知 \(F(\mathcal{O}_X)\) 局部可由 \(1\) 个元素生成（且不能更少）；又因 \(Y\) 既约，这确实说明它是可逆模。