代数学のさらなる話題

序論

本章では、可換代数に関する結果のうち、最初の可換代数の章にあるものより 高度なものをいくつか証明する。Algebra, Section 00AP を参照せよ。 参考文献として [MatCA] がある。

読者への助言

可換代数の章以上に、本章の各節はそれぞれ独立している。 Section 0914 以降では、環上の加群の（非有界）導来圏と、 それに伴うすべての機構を自由に用いる。

安定自由加群

以下が一般に受け入れられている定義と思われる。

定義

\(R\) を環とする。

1. \(R\) 上の二つの加群 \(M\), \(N\) が it 安定同型 であるとは、ある \(n, m \geq 0\) が存在して、\(R\)-加群として \(M \oplus R^{\oplus m} \cong N \oplus R^{\oplus n}\) となることをいう。

2. 加群 \(M\) が it 安定自由 であるとは、自由加群と安定同型であることをいう。

安定自由加群は射影加群であることに注意せよ。

補題

\(R\) を環とする。有限生成射影 \(R\)-加群の短完全列 \(0 \to P' \to P \to P'' \to 0\) をとる。この \(3\) 個の加群のうち \(2\) 個が 安定自由ならば、残る一つも安定自由である。

証明

これらの加群は射影的なので、列は分裂する。従って同型 \(P = P' \oplus P''\) を選べる。\(P' \oplus R^{\oplus n}\) と \(P'' \oplus R^{\oplus m}\) が自由ならば、 \(P \oplus R^{\oplus n + m}\) が自由であることが分かる。\(P'\) と \(P\) が 安定自由であると仮定し、\(P \oplus R^{\oplus n}\) が自由であり、かつ \(P' \oplus R^{\oplus m}\) が自由であるとする。このとき \[P'' \oplus (P' \oplus R^{\oplus m}) \oplus R^{\oplus n} = (P'' \oplus P') \oplus R^{\oplus m} \oplus R^{\oplus n} = (P \oplus R^{\oplus n}) \oplus R^{\oplus m}\] は自由である。従って \(P''\) は安定自由である。対称性により、残る場合も従う。

補題

\(R\) を環とし、\(I \subset R\) をイデアルとする。\(1 + I\) のすべての元が単元で あると仮定する（言い換えれば、\(I\) は \(R\) の Jacobson 根基に含まれる）。 任意の有限生成安定自由 \(R/I\)-加群 \(E\) に対し、\(M/IM \cong E\) を満たす 有限生成安定自由 \(R\)-加群 \(M\) が存在する。

証明

整数 \(n\), \(m\) と同型 \(E \oplus (R/I)^{\oplus n} \cong (R/I)^{\oplus m}\) を選ぶ。 射影 \((R/I)^{\oplus m} \to (R/I)^{\oplus n}\) および単射 \((R/I)^{\oplus n} \to (R/I)^{\oplus m}\) の持ち上げとなる \(R\)-線型写像 \(\varphi : R^{\oplus m} \to R^{\oplus n}\) と \(\psi : R^{\oplus n} \to R^{\oplus m}\) を選ぶ。 このとき \(\varphi \circ \psi : R^{\oplus n} \to R^{\oplus n}\) は \(I\) を法として 恒等写像に帰着する。従って、この写像の行列式は \(I\) に関する仮定により可逆である。 ゆえに \(P = \Ker(\varphi)\) は安定自由であり、\(E\) を持ち上げる。

補題

\(R\) を環とし、\(I \subset R\) をイデアルとする。 \(1 + I\) のすべての元が単元であると仮定する （言い換えれば、\(I\) は \(R\) の Jacobson 根基に含まれる）。 \(M\) を有限生成平坦 \(R\)-加群とし、\(M/IM\) が射影 \(R/I\)-加群であるとする。 このとき \(M\) は有限生成射影 \(R\)-加群である。

証明

Algebra, Lemma 00NZ により、すべての素イデアル \(\mathfrak p \subset R\) に対して \(M_\mathfrak p\) は有限階数自由である。 Algebra, Lemma 00NX により、関数 \(\rho_M : \mathfrak p \mapsto \dim_{\kappa(\mathfrak p)} M \otimes_R \kappa(\mathfrak p)\) が \(\Spec(R)\) 上局所定値であることを示せば十分である。\(M/IM\) は有限生成射影なので、 これは \(V(I) \subset \Spec(R)\) 上で成り立つ。\(\Spec(R)\) のすべての閉点は \(V(I)\) に属し、素イデアル \(\mathfrak p \subset \mathfrak q \subset R\) に対して \(\rho_M(\mathfrak p) = \rho_M(\mathfrak q)\) であるから、省略する初等的な位相空間の 議論によって結論を得る。

Lemma 0BC5 の持ち上げは、次の補題により同型を除いて一意である。

補題

\(R\) を環とし、\(I \subset R\) をイデアルとする。\(1 + I\) のすべての元が単元であると 仮定する（言い換えれば、\(I\) は \(R\) の Jacobson 根基に含まれる）。\(P\) と \(P'\) を 有限生成射影 \(R\)-加群とする。このとき

1. \(\varphi : P \to P'\) が同型 \(\overline{\varphi} : P/IP \to P'/IP'\) を誘導する \(R\)-加群写像ならば、 \(\varphi\) は同型である。

2. \(P/IP \cong P'/IP'\) ならば、\(P \cong P'\) である。

証明

(1) の証明。\(P'\) は \(R\)-加群として射影的なので、写像 \(P' \to P'/IP' \xrightarrow{\overline{\varphi}^{-1}} P/IP\) の持ち上げ \(\psi : P' \to P\) を選べる。中山の補題 （Algebra, Lemma 00DV）により、\(\psi \circ \varphi\) と \(\varphi \circ \psi\) は全射である。従って、これらの写像は同型である （Algebra, Lemma 05G8）。ゆえに \(\varphi\) は同型である。

(2) の証明。同型 \(P/IP \cong P'/IP'\) を選ぶ。\(P\) は射影的なので、写像 \(P \to P/IP \to P'/IP'\) の持ち上げ \(\varphi : P \to P'\) を選べる。 (1) により \(\varphi\) は同型である。

Artin–Rees 性質についての注意

この節の内容の一部は [conrad-dejong] による。さらに参考文献を含む一般的な 議論は [Eis, Section 1] にある。

\(A\) を Noether 環とし、\(I \subset A\) をイデアルとする。有限生成 \(A\)-加群の準同型 \(f : M \to N\) が与えられたとき、すべての \(n \geq c\) に対して \[f(M) \cap I^nN \subset f(I^{n - c}M)\] を満たす \(c \geq 0\) が存在する。Algebra, Lemma 00IO を参照せよ。この状況で、it \(c\) は Artin–Rees 補題において \(f\) に対して有効である という。

補題

\(A\) を Noether 環とする。\(I \subset A\) を \(A\) の Jacobson 根基に含まれる イデアルとする。有限生成 \(A\)-加群の二つの複体 \[S : L \xrightarrow{f} M \xrightarrow{g} N \quad\text{and}\quad S' : L \xrightarrow{f'} M \xrightarrow{g'} N\] を上のようにとる。次を仮定する。

1. \(c\) は Artin–Rees 補題において \(f\) と \(g\) に対して有効である。

2. 複体 \(S\) は完全である。

3. \(f' = f \bmod I^{c + 1}M\) かつ \(g' = g \bmod I^{c + 1}N\) である。

このとき、\(c\) は Artin–Rees 補題において \(g'\) に対して有効であり、複体 \(S'\) は 完全である。

証明

まず、\(n \geq c\) に対して \(g'(M) \cap I^nN \subset g'(I^{n - c}M)\) を示す。 \(g'(a) \in I^nN\) を満たす \(M\) の元 \(a\) をとる。\(g'(a)\) を変えずに \(a\) を \(f'(L)\) の元で調整し、\(a \in I^{n-c}M\) としたい。 \(r < n - c\) かつ \(a \in I^rM\) であると仮定する。このとき \[g(a) = g'(a) + (g - g')(a) \in I^n N + I^{r + c + 1}N = I^{r + c + 1}N.\] \(g\) に対する Artin–Rees により、\(g(a) \in g(I^{r + 1}M)\) である。 \(a_1 \in I^{r + 1}M\) を用いて \(g(a) = g(a_1)\) と書く。列 \(S\) は完全なので、 \(a - a_1 \in f(L)\) である。従って、ある \(b \in L\) によって \(a = f(b) + a_1\) と書ける。すると \(f(b) = a - a_1 \in I^rM\) である。 \(f\) に対する Artin–Rees により、\(r \geq c\) ならば \(b\) を \(I^{r - c}L\) の元に取り替えられる。従っていずれの場合にも \(a = f'(b) + a_2\) と書ける。ここで \(a_2 = (f - f')(b) + a_1 \in I^{r + 1}M\) である。（実際、\(c \geq r\) ならば 仮定により \((f - f')(b) \in I^{r + 1}M\) であり、\(c < r\) ならば \(b \in I^{r - c}\) なので、やはり \((f - f')(b) \in I^{c + 1} I^{r - c} M = I^{r + 1}M\) である。） ゆえに \(f'(b) \in f'(L)\) によって \(a\) を調整し、\(r\) を \(1\) 増やせる。

実際、上の議論はすべての \(n \geq c\) に対して \((g')^{-1}(I^nN) \subset f'(L) + I^{n - c}M\) であることを示す。 従って \(I\) は \(A\) の Jacobson 根基に含まれるので、Algebra, Lemma 00IQ により \[(g')^{-1}(0) = (g')^{-1}(\bigcap I^nN) \subset \bigcap f'(L) + I^{n - c}M = f'(L)\] であり、\(S'\) は完全である。

環 \(A\) のイデアル \(I \subset A\) と \(A\)-加群 \(M\) が与えられたとき、 \[\text{Gr}_I(M) = \bigoplus I^nM/I^{n + 1}M.\] とおく。これを次数付き \(\text{Gr}_I(A)\)-加群とみなす。

補題

Lemma 07VE と同じ仮定をおく。 \(Q = \Coker(g)\) および \(Q' = \Coker(g')\) とする。このとき、次数付き \(\text{Gr}_I(A)\)-加群として \(\text{Gr}_I(Q) \cong \text{Gr}_I(Q')\) である。

証明

次数 \(n\) において \(\text{Gr}_I(Q)_n = I^nN/(I^{n + 1}N + g(M) \cap I^nN)\) であり、\(Q'\) についても同様である。次を主張する。 \[g(M) \cap I^nN \subset I^{n + 1}N + g'(M) \cap I^nN.\] 対称性により（この主張の証明では \(c\) が \(g\) に対して有効であることしか用いず、 補題により同じことが \(g'\) に対しても成り立つ）、これから \[I^{n + 1}N + g(M) \cap I^nN = I^{n + 1}N + g'(M) \cap I^nN\] が従う。従って \(\text{Gr}_I(Q)_n\) と \(\text{Gr}_I(Q')_n\) は \(N\) の部分商として 一致し、補題が従う。\(g = g' \bmod I^{c + 1}N\) なので、\(n \leq c\) の場合に 主張は明らかである。\(n > c\) とし、\(b \in g(M) \cap I^nN\) と仮定する。 \(a \in I^{n - c}M\) を用いて \(b = g(a)\) と書く。\(b' = g'(a)\) とおく。このとき \(b - b' = (g - g')(a) \in I^{n + 1}N\) であり、主張を得る。

補題

\(A \to B\) を Noether 環の平坦な環準同型とする。\(I \subset A\) をイデアルとし、 \(f : M \to N\) を有限生成 \(A\)-加群の準同型とする。\(c\) が Artin–Rees 補題に おいて \(f\) に対して有効であると仮定する。このとき、\(c\) はイデアル \(IB\) に関する Artin–Rees 補題において \(f \otimes 1 : M \otimes_A B \to N \otimes_A B\) に対して有効である。

証明

次に注意する。 \[(f \otimes 1)(M) \cap I^n N \otimes_A B = (f \otimes 1)\left((f \otimes 1)^{-1}(I^n N \otimes_A B)\right)\] 一方、 \[\begin{align*} (f \otimes 1)^{-1}(I^n N \otimes_A B) & = \Ker(M \otimes_A B \to N \otimes_A B/(I^n N \otimes_A B)) \\ & = \Ker(M \otimes_A B \to (N/I^nN) \otimes_A B) \end{align*}\] \(A \to B\) は平坦なので、核および余核をとる操作は \(B\) とのテンソル積と可換する。 従って、これは \(f^{-1}(I^nN) \otimes_A B\) に等しい。仮定により \(f^{-1}(I^nN)\) は \(\Ker(f) + I^{n - c}M\) に含まれる。ゆえに補題が成り立つ。

環のファイバー積 I

環のファイバー積はスキームの押し出しと関係する。スキームの押し出しのいくつかの 場合は More on Morphisms, Section 07RS で論じる。

補題

\(R\) を環とする。\(A \to B\) と \(C \to B\) を \(R\)-代数準同型とする。次を仮定する。

1. \(R\) は Noether 環である。

2. \(A\), \(B\), \(C\) は \(R\) 上有限型である。

3. \(A \to B\) は全射である。

4. \(B\) は \(C\) 上有限生成である。

このとき \(A \times_B C\) は \(R\) 上有限型である。

証明

\(D = A \times_B C\) とおく。完全な行をもつ可換図式 \[\xymatrix{ 0 & B \ar[l] & A \ar[l] & I \ar[l] & 0 \ar[l] \\ 0 & C \ar[l] \ar[u] & D \ar[l] \ar[u] & I \ar[l] \ar[u] & 0 \ar[l] }\] がある。\(C\)-加群としての \(B\) の生成元 \(y_1, \ldots, y_n \in B\) を選び、 \(y_i\) に写る \(x_i \in A\) を選ぶ。このとき \(1, x_1, \ldots, x_n\) は \(D\)-加群として \(A\) を生成する。写像 \(D \to A \times C\) は単射であり、環 \(A \times C\) は \(D\)-加群として有限生成である（実際、有限生成 \(D\)-加群 \(A\) と \(C\) の直和である）。従って Artin–Tate の補題 （Algebra, Lemma 00IS）から結論が従う。

補題

\(R\) を Noether 環とし、\(I\) を有限集合とする。デカルト図式 \[\xymatrix{ \prod B_i & \prod A_i \ar[l]^{\prod \varphi_i} \\ Q \ar[u]^{\prod \psi_i} & P \ar[u] \ar[l] }\] が与えられているとする。ここで \(\psi_i\) と \(\varphi_i\) は全射であり、 \(Q\), \(A_i\), \(B_i\) は \(R\) 上有限型である。このとき \(P\) は \(R\) 上有限型である。

証明

Lemma 00IT と \(I\) の濃度に関する帰納法から従う。 実際、\(I = I' \amalg \{i_0\}\) とする。補題の図式で \(I'\) を用いて定義される環を \(P'\) とする。帰納法の仮定により \(P'\) は有限型である。最後に \(P\) はファイバー積図式 \[\xymatrix{ B_{i_0} & A_{i_0} \ar[l] \\ P' \ar[u] & P \ar[u] \ar[l] & }\] に入るので、前の補題を適用できる。

補題

環のデカルト図式 \[\xymatrix{ R & R' \ar[l]^t \\ B \ar[u]_s & B'\ar[u] \ar[l] }\] が与えられている、すなわち \(B' = B \times_R R'\) であるとする。 \(h \in B'\) が \(g \in B\) および \(f \in R'\) に対応し、\(s(g) = t(f)\) を満たすならば、 図式 \[\xymatrix{ R_{s(g)} = R_{t(f)} & (R')_f \ar[l]^-t \\ B_g \ar[u]_s & (B')_h \ar[u] \ar[l] }\] もデカルトである。

証明

等式 \(B' = B \times_R R'\) は、\(B'\)-加群の列 \[0 \to B' \to B \oplus R' \xrightarrow{s, -t} R\] が完全であることを意味する。\(B'\)-加群として \(B_g = B_h\), \(R'_f = R'_h\), および \(R_{s(g)} = R_{t(f)} = R_h\) である。 局所化の完全性（Algebra, Proposition 00CS）により、列 \[0 \to B'_h \to B_g \oplus R'_f \xrightarrow{s, -t} R_{s(g)} = R_{t(f)}\] は完全である。これで補題が証明された。

環の可換図式 \[\xymatrix{ R & R' \ar[l] \\ B \ar[u] & B' \ar[u] \ar[l] }\] を考える。次の関手を考える（ここで圏のファイバー積は Categories, Example 003R で構成したものである）。 [0D2E]\[\begin{equation} \text{Mod}_{B'} \longrightarrow \text{Mod}_B \times_{\text{Mod}_R} \text{Mod}_{R'},\quad L' \longmapsto (L' \otimes_{B'} B, L' \otimes_{B'} R', can) \end{equation}\] ここで \(can\) は標準的な同一視 \(L' \otimes_{B'} B \otimes_B R = L' \otimes_{B'} R' \otimes_{R'} R\) である。 以下では右辺の対象を \((N, M', \varphi)\) と書く。すなわち、\(N\) は \(B\)-加群、 \(M'\) は \(R'\)-加群であり、 \(\varphi : N \otimes_B R \to M' \otimes_{R'} R\) は同型である。

補題

環の可換図式 \[\xymatrix{ R & R' \ar[l] \\ B \ar[u] & B' \ar[u] \ar[l] }\] が与えられているとき、関手 (0D2E) は右随伴をもつ。 その右随伴は関手 \[F : (N, M', \varphi) \longmapsto N \times_\varphi M'\] である（説明は証明を参照せよ）。

証明

圏 \(\text{Mod}_B \times_{\text{Mod}_R} \text{Mod}_{R'}\) の対象 \((N, M', \varphi)\) に対し、 \[N \times_\varphi M' = \{(n, m') \in N \times M' \mid \varphi(n \otimes 1) = m' \otimes 1\text{ in }M' \otimes_{R'} R\}\] とおき、これを \(B'\)-加群とみなす。随伴性の主張は、\(B'\)-加群 \(L'\) と三つ組 \((N, M', \varphi)\) に対して \[\Hom_{B'}(L', N \times_\varphi M') = \Hom_B(L' \otimes_{B'} B, N) \times_{\Hom_R(L' \otimes_{B'} R, M' \otimes_{R'} R)} \Hom_{R'}(L' \otimes_{B'} R', M')\] となることである。Algebra, Lemma 05DQ により、右辺は \[\Hom_{B'}(L', N) \times_{\Hom_{B'}(L', M' \otimes_{R'} R)} \Hom_{B'}(L', M')\] に等しい。従って、このファイバー積の元の対 \((g, f')\) から \(B'\)-線型写像

\(L' \to N \times_\varphi M'\), \(l' \mapsto (g(l'), f'(l'))\) が得られることは明らかである。 逆に、\(B'\)-線型写像 \(g' : L' \to N \times_\varphi M'\) が与えられたとき、 \(g\) を合成 \(L' \to N \times_\varphi M' \to N\) とし、\(f'\) を合成 \(L' \to N \times_\varphi M' \to M'\) とする。これらの構成は互いに逆であり、 所望の同型を定める。

環のファイバー積 II

本節では、次の状況におけるファイバー積を論じる。

設定

以下では環準同型 \[\xymatrix{ B \ar[r] & A & A' \ar[l] }\] を考え、\(A' \to A\) は全射で核が \(I\) であると仮定する。この状況で \(B' = B \times_A A'\) とおくと、デカルト正方形 \[\xymatrix{ A & A' \ar[l] \\ B \ar[u] & B' \ar[l] \ar[u] }\] を得る。

補題

Situation 08KH において、位相空間として \[\Spec(B') = \Spec(B) \amalg_{\Spec(A)} \Spec(A')\] である。

証明

\(B' = B \times_A A'\) なので、スペクトルの可換正方形を得る。その始域は 位相空間の圏における押し出し（Topology, Section 0B1W により存在する）であるから、これは連続写像 \[can : \Spec(B) \amalg_{\Spec(A)} \Spec(A') \longrightarrow \Spec(B')\] を誘導する。

写像 \(can\) が全射であることを示すため、素イデアル \(\mathfrak q' \subset B'\) をとる。 \(I \subset \mathfrak q'\) ならば（ここでも以下でも、\(I\) を \(A'\) のイデアルであると 同時に \(B'\) のイデアルともみなす）、\(\mathfrak q'\) は \(B\) の素イデアルに対応し、 像に入る。そうでなければ、\(h \in I\), \(h \not \in \mathfrak q'\) を選ぶ。この場合 \(B_h = A_h = 0\) であり、Lemma 01Z8 により環準同型 \(B'_h \to A'_h\) は同型である。従って \(\mathfrak q'\) は \(I\) を含まない一意的な 素イデアル \(\mathfrak p' \subset A'\) に対応する。

\(B' \to B\) は全射なので、\(can\) は成分 \(\Spec(B)\) 上で単射である。上で、 \(\Spec(A') \to \Spec(B')\) は \(V(I) \subset \Spec(A')\) の補集合上で単射であることを 見た。\(V(I) \subset \Spec(A')\) はちょうど \(\Spec(A) \to \Spec(A')\) の像なので、 自明な集合論的議論により \(can\) は単射である。

証明を終えるには \(can\) が開写像であることを示せばよい。このため、押し出しの開集合は \(V \amalg U'\) の形であることに注意する。ここで \(V \subset \Spec(B)\) と \(U' \subset \Spec(A')\) は、その \(\Spec(A)\) への逆像が一致する開集合である。 \(v \in V\) をとる。\(v \in D(g) \subset V\) を満たす \(g \in B\) を選べる。その像を \(f \in A\) とし、\(f\) に写る \(f' \in A'\) を選ぶ。このとき \(D(f') \cap U' \cap V(I) = D(f') \cap V(I)\) である。従って \(V(I) \cap D(f')\) と \(D(f') \cap (U')^c\) は \(D(f') = \Spec(A'_{f'})\) の互いに素な閉部分集合である。あるイデアル \(J \subset A'\) によって \((U')^c = V(J)\) と書く。今示した非交叉性により \[A'_{f'} \to A'_{f'}/IA'_{f'} \times A'_{f'}/JA'_{f'}\] は全射なので、\(A'_{f'}/IA'_{f'}\) で \(1\) に写り、 \(A'_{f'}/JA'_{f'}\) で零に写る \(a'' \in A'_{f'}\) を選べる。分母を払うと、\(A\) で \(f^n\) に写る元 \(a' \in J\) を得る。このとき \(D(a'f') \subset U'\) である。 \(h' = (g^{n + 1}, a'f') \in B'\) とおく。先に引用した補題により \(B'_{h'} = B_{g^{n + 1}} \times_{A_{f^{n + 1}}} A'_{a'f'}\) なので、\(D(h')\) は 押し出しにおける \(v\) の開近傍に引き戻される。すなわち \(V \amalg U'\) の像は \(v\) の像の開近傍を含む。\(u' \in U'\) かつ \(u' \not \in V(I)\) の場合にも同じことが 成り立つことの（より容易な）証明は省略する。

補題

Situation 08KH において、\(B \to A\) が整ならば \(B' \to A'\) も整である。

証明

\(a' \in A'\) とし、その像を \(a \in A\) とする。\(a\) が満たす \(B\) 係数のモニック多項式

\(x^d + b_1 x^{d - 1} + \ldots + b_d\) をとる。\(b_i \in B\) に写る \(b'_i \in B'\) を選ぶ（これは可能である）。すると \((a')^d + b'_1 (a')^{d - 1} + \ldots + b'_d\) は \(A' \to A\) の核に属する。 \(\Ker(B' \to B) = \Ker(A' \to A)\) なので、\(b'_d\) の選び方を変更して、所望の \[(a')^d + b'_1 (a')^{d - 1} + \ldots + b'_d = 0\] を得る。

Situation 08KH において、\(B'\)-加群を \(A'\), \(A\), \(B\) 上の加群によって理解したい。このため、次の関手を考える （圏のファイバー積は Categories, Example 003R で構成したものである）。 [08KI]\[\begin{equation} \text{Mod}_{B'} \longrightarrow \text{Mod}_B \times_{\text{Mod}_A} \text{Mod}_{A'},\quad L' \longmapsto (L' \otimes_{B'} B, L' \otimes_{B'} A', can) \end{equation}\] ここで \(can\) は標準的な同一視 \(L' \otimes_{B'} B \otimes_B A = L' \otimes_{B'} A' \otimes_{A'} A\) である。 以下では右辺の対象を \((N, M', \varphi)\) と書く。すなわち、\(N\) は \(B\)-加群、 \(M'\) は \(A'\)-加群であり、 \(\varphi : N \otimes_B A \to M' \otimes_{A'} A\) は同型である。しかし、多くの場合

\(\varphi\) を、同型 \(N \otimes_B A \to M' \otimes_{A'} A = M'/IM'\) を誘導する \(B\)-線型写像 \(\varphi : N \to M'/IM'\) とみなす方が便利である。

補題

Situation 08KH において、関手 (08KI) は右随伴をもつ。その右随伴は \[F : (N, M', \varphi) \longmapsto N \times_{\varphi, M} M'\] である。ここで \(M = M'/IM'\) とする。さらに、\(F\) と (08KI) の合成は \(\text{Mod}_B \times_{\text{Mod}_A} \text{Mod}_{A'}\) 上の恒等関手である。 言い換えれば、\(N' = N \times_{\varphi, M} M'\) とおくと、 \(N' \otimes_{B'} B = N\) かつ \(N' \otimes_{B'} A' = M'\) である。

証明

随伴性の主張は、より一般的な Lemma 0D2F から従う。 最後の主張を証明するため、\(B' = B \times_A A'\) および \(N' = N \times_{\varphi, M} M'\) を思い出し、これらの等式を \[\vcenter{ \xymatrix{ A & A' \ar[l] & I \ar[l] \\ B \ar[u] & B' \ar[l] \ar[u] & J \ar[l] \ar[u] } } \quad\text{and}\quad \vcenter{ \xymatrix{ M & M' \ar[l] & K \ar[l] \\ N \ar[u]_\varphi & N' \ar[l] \ar[u] & L \ar[l] \ar[u] } }\] に拡張する。ここで \(I, J, K, L\) は元の図式の水平写像の核である。 証明を一連の観察として述べる。

1. \(K = IM'\) である（補題の主張を参照せよ）。

2. \(B' \to B\) は核 \(J\) をもつ全射であり、\(J \to I\) は全単射である。

3. \(N' \to N\) は核 \(L\) をもつ全射であり、\(L \to K\) は全単射である。

4. \(JN' \subset L\) である。

5. \(\Im(N \to M)\) は \(A\)-加群として \(M\) を生成する （\(N \otimes_B A = M\) だからである）。

6. \(\Im(N' \to M')\) は \(A'\)-加群として \(M'\) を生成する （これは \(K\) を法として成り立ち、\(L\) は \(K\) に同型に写るからである）。

7. \(JN' = L\) である（前項により、\(L \cong K = I M'\) は \(x \in I\) と \(n' \in N'\) に対する元 \(x n'\) の像で生成されるからである）。

8. \(N' \otimes_{B'} B = N\) である（\(N = N'/L\), \(B = B'/J\) および前項による）。

9. 写像 \(\gamma : N' \otimes_{B'} A' \to M'\) がある。

10. \(\gamma\) は全射である（上を参照せよ）。

11. 合成 \(N' \otimes_{B'} A' \to M' \to M\) の核は、

    \(l \in K\), \(n' \in N'\), \(x \in I\) に対する元 \(l \otimes 1\) と \(n' \otimes x\) で生成される（仮定により \(M = N \otimes_B A\) であり、 \(N' \to N\) と \(A' \to A\) はそれぞれ核 \(L\) と \(I\) をもつ全射だからである）。

12. \(l \in L\), \(n' \in N'\), \(x \in I\) に対する元 \(l \otimes 1\) と \(n' \otimes x\) で生成される \(N' \otimes_{B'} A'\) の部分加群の任意の元は、 ある \(l \in L\) によって \(l \otimes 1\) と書ける（\(J\) は \(I\) に同型に写るので、 \(N' \otimes_{B'} A'\) において \(n' \otimes x = n'x \otimes 1\) である。同様に、 \(n' \in N'\), \(x \in J\), \(a' \in A'\) のとき、\(N' \otimes_{B'} A'\) において \(x n' \otimes a' = n' \otimes xa' = n'(xa') \otimes 1\) である。 既に \(JN' = L\) を見たので、主張が従う）。

13. \(\gamma\) の核は零である（(10) と (11) により、核の任意の元は \(l \in L\) による \(l \otimes 1\) の形であり、\(\gamma\) によって \(l \in K \subset M'\) に写るからである）。

これで証明が完了する。

補題

Lemma 07RU の状況で、\(B'\)-加群 \(L'\) に対する随伴写像 \[L' \longrightarrow (L' \otimes_{B'} B) \times_{(L' \otimes_{B'} A)} (L' \otimes_{B'} A')\] は全射であるが、一般には単射ではない。

証明

Lemma 07RU の証明と同様に、\(J \subset B'\) を 写像 \(B' \to B\) の核とする。このとき \(L' \otimes_{B'} B = L'/JL'\) である。 従って全射性を示すには、ファイバー積の \((0, z)\) の形の元が補題の写像の像に 入ることを示せば十分である。写像 \(L' \otimes_{B'} A' \to L' \otimes_{B'} A\) の核は \(L' \otimes_{B'} I \to L' \otimes_{B'} A'\) の像である。\(B' \to A'\) が誘導する 写像 \(J \to I\) は同型なので、合成 \[L' \otimes_{B'} J \to L' \to (L' \otimes_{B'} B) \times_{(L' \otimes_{B'} A)} (L' \otimes_{B'} A')\] は \(L' \otimes_{B'} J\) から \((0, z)\) の形の元の集合への全射を誘導する。 写像が一般には単射でないことを見るため、簡単な例を挙げる。体 \(k\) をとり、 \(B' = k[x, y]/(xy)\), \(A' = B'/(x)\), \(B = B'/(y)\), \(A = B'/(x, y)\), \(L' = B'/(x - y)\) とおく。この場合、\(L'\) における \(x\) の類は零でないが、 表示した矢印によって零に写る。

補題

Situation 08KH において、 \(\text{Mod}_B \times_{\text{Mod}_A} \text{Mod}_{A'}\) の射 \((N_1, M'_1, \varphi_1) \to (N_2, M'_2, \varphi_2)\) をとり、 \(N_1 \to N_2\) と \(M'_1 \to M'_2\) は全射であるとする。このとき、 \(M_1 = M'_1/IM'_1\) および \(M_2 = M'_2/IM'_2\) とおけば、 \[N_1 \times_{\varphi_1, M_1} M'_1 \to N_2 \times_{\varphi_2, M_2} M'_2\] は全射である。

証明

\((x_2, y_2) \in N_2 \times_{\varphi_2, M_2} M'_2\) をとる。\(x_2\) に写る \(x_1 \in N_1\) を選ぶ。\(M'_1 \to M_1\) は全射なので、 \(\varphi_1(x_1)\) に写る \(y_1 \in M'_1\) を選べる。このとき \((x_1, y_1)\) は \(N_2 \times_{\varphi_2, M_2} M'_2\) における \((x_2, y'_2)\) に写る。従って、\((0, y_2)\) の形の元が写像の像に入ることを 示せば十分である。このとき \(y_2 \in IM'_2\) である。 \(t_i \in I\) を用いて \(y_2 = \sum t_i y_{2, i}\) と書く。 \(y_{2, i}\) に写る \(y_{1, i} \in M'_1\) を選ぶ。このとき \(y_1 = \sum t_iy_{1, i} \in IM'_1\) であり、元 \((0, y_1)\) が所望のものである。

補題

Lemma 07RU と同じ \(A, A', B, B', I, M, M', N, \varphi\) をとる。

\(N\) が \(B\) 上有限生成で、\(M'\) が \(A'\) 上有限生成ならば、 \(N' = N \times_{\varphi, M} M'\) は \(B'\) 上有限生成である。

証明

以下では Lemma 07RU の結果を断りなく用いる。 \(B\) 上の \(N\) の生成元 \(y_1, \ldots, y_r\) と、\(A'\) 上の \(M'\) の生成元 \(x_1, \ldots, x_s\) を選ぶ。\(N = N' \otimes_{B'} B\) であり \(B' \to B\) は全射なので、\(N\) で \(y_1, \ldots, y_r\) に写る \(u_1, \ldots, u_r \in N'\) を選べる。\(M' = N' \otimes_{B'} A'\) なので、 ある \(a'_{ij} \in A'\) によって \(x_i = \sum v_j \otimes a'_{ij}\) となる \(v_1, \ldots, v_t \in N'\) を選べる。特に、\(v_j\) の像 \(\overline{v}_j \in M'\) は \(A'\) 上 \(M'\) を生成する。 \(u_1, \ldots, u_r, v_1, \ldots, v_t\) が \(B'\)-加群として \(N'\) を生成すると主張する。 実際、\(\xi \in N'\) をとる。まず、\(\xi\) と \(\sum b'_i u_i\) が \(N\) の同じ元に写る ように \(b'_1, \ldots, b'_r \in B'\) を選ぶ。これは \(B' \to B\) が全射で、 \(y_1, \ldots, y_r\) が \(B\) 上 \(N\) を生成するため可能である。 差 \(\xi - \sum b'_i u_i\) は、ある \(\theta\) によって \((0, \theta)\) の形である。 この元は \(IM'\) に属する。\(t_j \in I\) を用いて \(\theta\) を \(\sum t_j\overline{v}_j\) と書く。 \(J = \Ker(B' \to B)\) は \(I\) に同型に写るので、\(t_j\) に写る \(s_j \in J \subset B'\) を選べる。\(N' = N \times_{\varphi, M} M'\) なので、 所望の \(\xi = \sum b'_i u_i + \sum s_j v_j\) が従う。

補題

Situation 08KH と同じ \(A, A', B, B', I\) をとる。

1. \((N, M', \varphi)\) を \(\text{Mod}_B \times_{\text{Mod}_A} \text{Mod}_{A'}\) の対象とする。 \(M'\) が \(A'\) 上平坦で、\(N\) が \(B\) 上平坦ならば、 \(N' = N \times_{\varphi, M} M'\) は \(B'\) 上平坦である。

2. \(L'\) が平坦な \(B'\)-加群ならば、

   \(L' = (L \otimes_{B'} B) \times_{(L \otimes_{B'} A)} (L \otimes_{B'} A')\) である。

3. 平坦 \(B'\)-加群の圏は、 \(N\) が \(B\) 上平坦で \(M'\) が \(A'\) 上平坦である三つ組 \((N, M', \varphi)\) からなる \(\text{Mod}_B \times_{\text{Mod}_A} \text{Mod}_{A'}\) の充満部分圏と同値である。

証明

証明では Lemma 07RU を断りなく用いる。

(1) の証明。\(J = \Ker(B' \to B)\) とおく。これは \(B'\) のイデアルであり、 \(I = \Ker(A' \to A)\) に同型に写る。\(\mathfrak b' \subset B'\) をイデアルとする。 Algebra, Lemma 00HD により、 \(\mathfrak b' \otimes_{B'} N' \to N'\) が単射であることを示せばよい。 \(N\) は \(B\) 上平坦なので、 \[\mathfrak b'/(\mathfrak b' \cap J) \otimes_{B'} N' = \mathfrak b'/(\mathfrak b' \cap J) \otimes_B N \to N\] は単射である。列 \(\mathfrak b' \cap J \to \mathfrak b' \to \mathfrak b'/(\mathfrak b' \cap J) \to 0\) は完全なので、 \((\mathfrak b' \cap J) \otimes_{B'} N' \to N'\) が単射であることを示せば十分である。 従って \(\mathfrak b' \subset J\) と仮定してよい。次に、\(J \to I\) は同型なので \[J \otimes_{B'} N' = I \otimes_{A'} A' \otimes_{B'} N' = I \otimes_{A'} M'\] であり、\(M'\) は平坦な \(A'\)-加群なので、これは \(M'\) に単射で写る。 従って \(J \otimes_{B'} N' \to N'\) は単射であり、Algebra, Remark 00M6 により \(\text{Tor}_1^{B'}(B'/J, N') = 0\) と結論する。ゆえに、\(B'\) 上の \(N'\) と イデアル \(J\) に Algebra, Lemma 051C を適用できる。 イデアル \(\mathfrak b' \subset J\) に戻り、その \(I\) における像が \(I\) の \(A'\)-部分加群となるような最小のイデアル \(\mathfrak b' \subset \mathfrak b'' \subset J\) をとる。言い換えれば、 \(J = I\) を \(A'\)-加群とみなすと \(\mathfrak b'' = A' \mathfrak b'\) である。 このとき \(\mathfrak b''/\mathfrak b'\) は \(J\) で零化され、補題の適用による \(\text{Tor}_1^{B'}(\mathfrak b''/\mathfrak b', N')\) の消滅から短完全列 \[0 \to \mathfrak b' \otimes_{B'} N' \to \mathfrak b'' \otimes_{B'} N' \to \mathfrak b''/\mathfrak b' \otimes_{B'} N' \to 0\] を得る。従って \(\mathfrak b'\) を \(\mathfrak b''\) に置き換えてよい。 特に、\(\mathfrak b'\) が \(A'\)-加群であり、\(A'\) のイデアルに写ると仮定してよい。 このとき \[\mathfrak b' \otimes_{B'} N' = \mathfrak b' \otimes_{A'} A' \otimes_{B'} N' = \mathfrak b' \otimes_{A'} M'\] である。このテンソル積は、\(M'\) が \(A'\) 上平坦であるという仮定により \(M'\) に単射で写る。従って \(\mathfrak b' \otimes_{B'} N' \to N' \to M'\) は単射であり、所望のように 最初の写像も単射である。

(2) の証明。短完全列 \(0 \to B' \to B \oplus A' \to A \to 0\) と \(L'\) との \(B'\) 上のテンソル積をとれば従う。

(3) の証明。(1) と (2) の直ちの帰結である。

補題

Situation 08KH と同じ \(A, A', B, B', I\) をとる。有限生成射影 \(B'\)-加群の圏は、 \(N\) が \(B\) 上有限生成射影で \(M'\) が \(A'\) 上有限生成射影である三つ組 \((N, M', \varphi)\) からなる \(\text{Mod}_B \times_{\text{Mod}_A} \text{Mod}_{A'}\) の充満部分圏と同値である。

証明

加群が有限生成射影であることと、有限表示かつ平坦であることは同値である。 Algebra, Lemma 00NX を参照せよ。 Lemmas 0D2I および 0D2H を用いると、\(N\) が \(B\) 上有限生成射影で、 \(M'\) が \(A'\) 上有限生成射影であるとき、 \(N' = N \times_{\varphi, M} M'\) が有限表示 \(B'\)-加群であることを示せばよい。

Lemma 0D2H により、\(N'\) は \(B'\) 上有限生成である。 核を \(K'\) とする全射 \((B')^{\oplus n} \to N'\) を選ぶ。基底変換により、核がそれぞれ \(K_B\), \(K_{A'}\), \(K_A\) である写像 \(B^{\oplus n} \to N\), \((A')^{\oplus n} \to M'\), \(A^{\oplus n} \to M\) を得る。 標準写像 \[K' \longrightarrow K_B \times_{K_A} K_{A'}\] がある。一方、\(N' = N \times_{\varphi, M} M'\) および \(B' = B \times_A A'\) なので、表示した矢印の逆となる標準写像 \(K_B \times_{K_A} K_{A'} \to K'\) もある。従って表示した写像は同型である。 Algebra, Lemma 0519 により、\(K_B\) と \(K_{A'}\) は有限生成である。 Lemma 0D2H により、 \(K_B \to K_A\) と \(K_{A'} \to K_A\) が同型 \(K_B \otimes_B A = K_A = K_{A'} \otimes_{A'} A\) を誘導するならば、 \(K'\) は有限生成 \(B'\)-加群であると結論する。

これは、平坦性の仮定により、テンソル積をとっても列 \[0 \to K_B \to B^{\oplus n} \to N \to 0 \quad\text{and}\quad 0 \to K_{A'} \to (A')^{\oplus n} \to M' \to 0\] が完全に保たれるため成り立つ。Algebra, Lemma 00HL を参照せよ。

環のファイバー積 III

本節では、次の状況におけるファイバー積を論じる。

設定

\(A, A', B, B', I\) を Situation 08KH と同じものとする。 環準同型 \(B' \to D'\) をとり、\(D = D' \otimes_{B'} B\), \(C' = D' \otimes_{B'} A'\), \(C = D' \otimes_{B'} A\) とおく。これにより環の大きな 可換図式 \[\xymatrix{ C & & & C' \ar[lll] \\ & A \ar[ul] & A' \ar[l] \ar[ru] \\ & B \ar[u] \ar[ld] & B' \ar[l] \ar[u] \ar[rd] \\ D \ar[uuu] & & & D' \ar[lll] \ar[uuu] }\] を得る。写像 \(D' \to D \times_C C'\) が同型であるとは 仮定しない ことに 注意せよ¹。 この状況で、(08KI) と同様の関手 [08KL]\[\begin{equation} \text{Mod}_{D'} \longrightarrow \text{Mod}_D \times_{\text{Mod}_C} \text{Mod}_{C'},\quad L' \longmapsto (L' \otimes_{D'} D, L' \otimes_{D'} C', can) \end{equation}\] を得る。次に注意せよ。

\(L' \otimes_{D'} D = L \otimes_{D'} (D' \otimes_{B'} B) = L \otimes_{B'} B\) であり、同様に \(L' \otimes_{D'} C' = L \otimes_{D'} (D' \otimes_{B'} A') = L \otimes_{B'} A'\) であるから、図式 \[\xymatrix{ \text{Mod}_{D'} \ar[r] \ar[d] & \text{Mod}_D \times_{\text{Mod}_C} \text{Mod}_{C'} \ar[d] \\ \text{Mod}_{B'} \ar[r] & \text{Mod}_B \times_{\text{Mod}_A} \text{Mod}_{A'} }\] は可換である。以下では \(\text{Mod}_D \times_{\text{Mod}_C} \text{Mod}_{C'}\) の対象を \((N, M', \varphi)\) と書く。すなわち、\(N\) は \(D\)-加群、\(M'\) は \(C'\)-加群であり、

\(\varphi : N \otimes_B A \to M' \otimes_{A'} A\) は \(C\)-加群の同型である。 しかし、多くの場合、\(\varphi\) を、同型

\(N \otimes_B A \to M' \otimes_{A'} A = M'/IM'\) を誘導する \(D\)-線型写像 \(\varphi : N \to M'/IM'\) とみなす方が便利である。

補題

Situation 08KK において、関手 (08KL) は右随伴をもつ。その右随伴は関手 \[F : (N, M', \varphi) \longmapsto N \times_{\varphi, M} M'\] である。ここで \(M = M'/IM'\) とする。さらに、\(F\) と (08KL) の合成は \(\text{Mod}_D \times_{\text{Mod}_C} \text{Mod}_{C'}\) 上の恒等関手である。 言い換えれば、\(N' = N \times_{\varphi, M} M'\) とおくと、 \(N' \otimes_{D'} D = N\) かつ \(N' \otimes_{D'} C' = M'\) である。

証明

随伴性の主張は、より一般的な Lemma 0D2F から従う。 最後の主張は Lemma 07RU の対応する主張から従う。 実際、 \(N' \otimes_{D'} D = N' \otimes_{D'} D' \otimes_{B'} B = N' \otimes_{B'} B\) および \(N' \otimes_{D'} C' = N' \otimes_{D'} D' \otimes_{B'} A' = N' \otimes_{B'} A'\) だからである。

補題

Situation 08KK において、 \(J = \Ker(B' \to B)\) とおくと、写像 \(JD' \to IC'\) は全射である。

証明

\(C' = D' \otimes_{B'} A'\) なので、\(IC'\) は写像 \(D' \otimes_{B'} I = C' \otimes_{A'} I \to C'\) の像である。 環準同型 \(B' \to A'\) は同型 \(J \to I\) を誘導するので、補題が従う。

補題

Lemma 08KM と同じ \(A, A', B, B', C, C', D, D', I, M', M, N, \varphi\) をとる。

\(N\) が \(D\) 上有限生成で、\(M'\) が \(C'\) 上有限生成ならば、 \(N' = N \times_{\varphi, M} M'\) は \(D'\) 上有限生成である。

証明

Lemma 08IG により \(D' \to D \times_C C'\) は全射であることを思い出そう。 \(N' = N \times_{\varphi, M} M'\) は \(D \times_C C'\) 上の加群である。 データ \(C, C', D, D', IC', M', M, N, \varphi\) に Lemma 0D2H を適用すると、 \(N' = N \times_{\varphi, M} M'\) は \(D \times_C C'\) 上有限生成である。 従って \(D'\) 上有限生成である。

補題

Situation 08KK と同じ \(A, A', B, B', C, C', D, D', I\) をとる。

1. \((N, M', \varphi)\) を \(\text{Mod}_D \times_{\text{Mod}_C} \text{Mod}_{C'}\) の対象とする。 \(M'\) が \(A'\) 上平坦で、\(N\) が \(B\) 上平坦ならば、 \(N' = N \times_{\varphi, M} M'\) は \(B'\) 上平坦である。

2. \(L'\) が \(B'\) 上平坦な \(D'\)-加群ならば、

   \(L' = (L \otimes_{D'} D) \times_{(L \otimes_{D'} C)} (L \otimes_{D'} C')\) である。

3. \(B'\) 上平坦な \(D'\)-加群の圏は、 \(N\) が \(B\) 上平坦で \(M'\) が \(A'\) 上平坦である \(\text{Mod}_D \times_{\text{Mod}_C} \text{Mod}_{C'}\) の対象 \((N, M', \varphi)\) の圏と同値である。

証明

(1) は Lemma 0D2I の (1) から従う。

(2) は Lemma 0D2I の (2) と、 \(L' \otimes_{D'} D = L' \otimes_{B'} B\), \(L' \otimes_{D'} C' = L' \otimes_{B'} A'\), および \(L' \otimes_{D'} C = L' \otimes_{B'} A\) から従う。 Situation 08KK の議論を参照せよ。

(3) は (1) と (2) の直ちの帰結である。

次の補題は、絶対的な場合の対応物 （Lemma 0D2J）よりはるかに 興味深いが、証明は本質的に同じである。

補題

Lemma 08KM と同じ \(A, A', B, B', C, C', D, D', I, M', M, N, \varphi\) をとる。次を仮定する。

1. \(N\) は \(D\) 上有限表示であり、\(B\) 上平坦である。

2. \(M'\) は \(C'\) 上有限表示であり、\(A'\) 上平坦である。

3. 環準同型 \(B' \to D'\) は \(B' \to D'' \to D'\) と分解し、 \(B' \to D''\) は平坦、\(D'' \to D'\) は有限表示である。

このとき \(N' = N \times_M M'\) は \(D'\) 上有限表示である。

証明

有限生成な核 \(J\) をもつ全射 \(D''' = D''[x_1, \ldots, x_n] \to D'\) を選ぶ。Algebra, Lemma 0564 により、\(N'\) が \(D'''\)-加群として有限表示であることを示せば十分である。さらに、 \(D''' \otimes_{B'} B \to D' \otimes_{B'} B = D\) および \(D''' \otimes_{B'} A' \to D' \otimes_{B'} A' = C'\) は、その核が \(J\) の像で 生成される全射である。従って、再び Algebra, Lemma 0564 により、\(N\) は 有限表示 \(D''' \otimes_{B'} B\)-加群であり、\(M'\) は有限表示 \(D''' \otimes_{B'} A'\)-加群である。ゆえに \(D'\) を \(D'''\) に、 \(D\) を \(D''' \otimes_{B'} B\) に置き換え、以下同様にしてよい。 \(D'''\) は \(B'\) 上平坦なので、\(B' \to D'\) が平坦であると仮定してよい。

\(B' \to D'\) が平坦であると仮定する。 Lemma 08IH により、 \(N'\) は \(D'\) 上有限生成である。核を \(K'\) とする全射 \((D')^{\oplus n} \to N'\) を選ぶ。基底変換により、核がそれぞれ \(K_D\), \(K_{C'}\), \(K_C\) である写像 \(D^{\oplus n} \to N\), \((C')^{\oplus n} \to M'\), \(C^{\oplus n} \to M\) を得る。 標準写像 \[K' \longrightarrow K_D \times_{K_C} K_{C'}\] がある。一方、\(N' = N \times_M M'\) であり、 \(D' = D \times_C C'\) であるから（平坦 \(B'\)-加群 \(D'\) に Lemma 0D2I を適用せよ）、表示した矢印の逆となる 標準写像 \(K_D \times_{K_C} K_{C'} \to K'\) もある。従って表示した写像は同型である。 Algebra, Lemma 0519 により、\(K_D\) と \(K_{C'}\) は有限生成である。 Lemma 08IH により、 \(K_D \to K_C\) と \(K_{C'} \to K_C\) が同型 \(K_D \otimes_B A = K_C = K_{C'} \otimes_{A'} A\) を誘導するならば、 \(K'\) は有限生成 \(D'\)-加群であると結論する。

これは、平坦性の仮定により、テンソル積をとっても列 \[0 \to K_D \to D^{\oplus n} \to N \to 0 \quad\text{and}\quad 0 \to K_{C'} \to (C')^{\oplus n} \to M' \to 0\] が完全に保たれるため成り立つ。Algebra, Lemma 00HL を参照せよ。

補題

Situation 08KH と同じ \(A, A', B, B', I\) をとる。\(B\)-代数 \(D\)、\(A'\)-代数 \(C'\)、および同型

\(D \otimes_B A \to C'/IC' = C\) からなる系 \((D, C', \varphi)\) をとる。 Lemma 07RU と同様に \(D' = D \times_C C'\) とおく。このとき

1. \(B' \to D'\) が有限型であることと、\(B \to D\) および \(A' \to C'\) が 有限型であることは同値である。

2. \(B' \to D'\) が平坦であることと、\(B \to D\) および \(A' \to C'\) が平坦で あることは同値である。

3. \(B' \to D'\) が平坦かつ有限表示であることと、\(B \to D\) および \(A' \to C'\) が平坦かつ有限表示であることは同値である。

4. \(B' \to D'\) が滑らかであることと、\(B \to D\) および \(A' \to C'\) が滑らかで あることは同値である。

5. \(B' \to D'\) が étale であることと、\(B \to D\) および \(A' \to C'\) が étale であることは同値である。

さらに、\(D'\) が平坦な \(B'\)-代数ならば、 \(D' \to (D' \otimes_{B'} B) \times_{(D' \otimes_{B'} A)} (D' \otimes_{B'} A')\) は同型である。このようにして、平坦 \(B'\)-代数の圏は、上のような系 \((D, C', \varphi)\) のうち \(D\) が \(B\) 上平坦で \(C'\) が \(A'\) 上平坦であるものの圏と 同値である。

証明

含意「\(\Rightarrow\)」は、Algebra, Lemmas 05G5, 00HI, 00T4, 00U2 から従う。 実際、Lemma 07RU により \(D' \otimes_{B'} B = D\) および \(D' \otimes_{B'} A' = C'\) である。 従って、逆向きの含意を証明すれば十分である。

(1) について。\(D\) が \(B\) 上有限型で、\(C'\) が \(A'\) 上有限型であると仮定する。

以下では Lemma 07RU の結果を断りなく用いる。 \(B\) 上の \(D\) の生成元 \(x_1, \ldots, x_r\) と、\(A'\) 上の \(C'\) の生成元 \(y_1, \ldots, y_s\) を選ぶ。\(D = D' \otimes_{B'} B\) であり \(B' \to B\) は全射なので、\(D\) で \(x_1, \ldots, x_r\) に写る \(u_1, \ldots, u_r \in D'\) を選べる。\(C' = D' \otimes_{B'} A'\) なので、 ある \(a'_{ij} \in A'\) によって \(y_i = \sum v_j \otimes a'_{ij}\) となる \(v_1, \ldots, v_t \in D'\) を選べる。特に \(v_j\) の \(C'\) における像は \(A'\)-代数として \(C'\) を生成する。\(N = r + t\) とおき、環の立方体 \[\xymatrix{ A[x_1, \ldots, x_N] & & A'[x_1, \ldots, x_N] \ar[ll] \\ & A \ar[lu] & & A' \ar[ll] \ar[lu] \\ B[x_1, \ldots, x_N] \ar[uu] & & B'[x_1, \ldots, x_N] \ar[uu] \ar[ll] \\ & B \ar[uu] \ar[lu] & & B' \ar[ll] \ar[uu] \ar[lu] }\] を考える。背面の正方形もデカルトであることに注意せよ。環準同型 \[B'[x_1, \ldots, x_N] \to D',\quad x_i \mapsto u_i \quad\text{and}\quad x_{r + j} \mapsto v_j.\] を考える。このとき誘導される写像 \(B[x_1, \ldots, x_N] \to D\) および \(A'[x_1, \ldots, x_N] \to C'\) は全射、特に有限である。 Lemma 08IH により \(B'[x_1, \ldots, x_N] \to D'\) は有限である。従って、例えば Algebra, Lemma 00F4 により、\(D'\) は \(B'\) 上有限型である。

(2) について。含意「\(\Leftarrow\)」は Lemma 07RW から従う。 さらに、最後の主張は Lemma 07RW の最後の主張から従う。

(3) について。\(B \to D\) と \(A' \to C'\) が平坦かつ有限表示であると仮定する。 \(B' \to D'\) の平坦性は (2) で見た。(1) により \(B' \to D'\) は有限型である。 全射 \(B'[x_1, \ldots, x_N] \to D'\) を選ぶ。Algebra, Lemma 00R2 により、環 \(D\) は \(B[x_1, \ldots, x_N]\)-加群として有限表示であり、環 \(C'\) は \(A'[x_1, \ldots, x_N]\)-加群として有限表示である。 Lemma 08KP により、 \(D'\) は \(B'[x_1, \ldots, x_N]\)-加群として有限表示である。すなわち \(B' \to D'\) は有限表示である。

(4) について。\(B \to D\) と \(A' \to C'\) が滑らかであると仮定する。 (3) により \(B' \to D'\) は平坦かつ有限表示である。Algebra, Lemma 00TF により、\(B'\) 上の任意の体 \(k\) に対して \(D' \otimes_{B'} k\) が滑らかであることを確認すれば十分である。 合成 \(J \to B' \to k\) が零ならば、\(B' \to k\) は \(B' \to B \to k\) と分解し、 \[D' \otimes_{B'} k = D' \otimes_{B'} B \otimes_B k = D \otimes_B k\] を得る。\(B \to D\) は滑らかなので、これは滑らかである。 合成 \(J \to B' \to k\) が零でなければ、\(k\) で零に写らない \(h \in J\) が存在する。 このとき \(B' \to k\) は \(B' \to B'_h \to k\) と分解する。\(h\) は \(B\) で零に写るので \(B_h = 0\) である。従って Lemma 01Z8 により \(B'_h = A'_h\) であり、 \[D' \otimes_{B'} k = D' \otimes_{B'} B'_h \otimes_{B'_h} k = C'_h \otimes_{A'_h} k\] を得る。\(A' \to C'\) は滑らかなので、これは滑らかである。

(5) について。\(B \to D\) と \(A' \to C'\) が étale であると仮定する。 (4) により \(B' \to D'\) は滑らかである。滑らかな写像が étale であるか否かは ファイバーの次元から読み取れるので、(5) が従う （ファイバーを同定するには (4) の証明と同様に論じればよい。詳細の一部は省略する）。

注意

Situation 08KK において、 \(B' \to D'\) は有限表示であり、\(D'\)-加群 \(L'\) が与えられていると仮定する。 次の二つの間に全単射な対応があると主張する。

1. \(Q'\) が \(D'\) 上有限表示かつ \(B'\) 上平坦であるような \(D'\)-加群の全射 \(L' \to Q'\)。

2. 加群の全射の対 \((L' \otimes_{D'} D \to Q_1, L' \otimes_{D'} C' \to Q_2)\) で、次を満たすもの。

   1. \(Q_1\) は \(D\) 上有限表示であり、\(B\) 上平坦である。

   2. \(Q_2\) は \(C'\) 上有限表示であり、\(A'\) 上平坦である。

   3. \(L' \otimes_{D'} C\) の商として \(Q_1 \otimes_D C = Q_2 \otimes_{C'} C\) である。

これらの対応は \(Q \mapsto (Q_1, Q_2)\) により与えられる。ここで \(Q_1 = Q \otimes_{D'} D\) および \(Q_2 = Q \otimes_{D'} C'\) である。 逆向きには \(Q = Q_1 \times_{Q_{12}} Q_2\) を用いる。ここで \(Q_{12}\) は \(L' \otimes_{D'} C\) の共通の商 \(Q_1 \otimes_D C = Q_2 \otimes_{C'} C\) である。商写像として \[L' \longrightarrow (L' \otimes_{D'} D) \times_{(L' \otimes_{D'} C)} (L' \otimes_{D'} C') \longrightarrow Q_1 \times_{Q_{12}} Q_2 = Q\] を用いる。最初の矢印は Lemma 08IG により全射で、 第二の矢印は Lemma 08KJ により全射である。 主張は Lemmas 07RW および 08KP から従う。

Fitting イデアル

有限加群の Fitting イデアルとは、Lemma 07Z8 の構成によって定まるイデアルである。

補題

\(R\) を環とする。\(A\) を成分が \(R\) に属する \(n \times m\) 行列とする。 \(I_r(A)\) を \(A\) の \(r \times r\) 小行列式が生成するイデアルとし、 \(I_0(A) = R\)、また \(r > \min(n, m)\) のとき \(I_r(A) = 0\) と約束する。 このとき

1. \(I_0(A) \supset I_1(A) \supset I_2(A) \supset \ldots\),

2. \(B\) が \((n + n') \times m\) 行列で、\(A\) が \(B\) の最初の \(n\) 行からなるならば、\(I_{r + n'}(B) \subset I_r(A)\),

3. \(C\) が \(n \times n\) 行列ならば、\(I_r(CA) \subset I_r(A)\).

4. \(A\) が分割行列 \[\left( \begin{matrix} A_1 & 0 \\ 0 & A_2 \end{matrix} \right)\] ならば、\(I_r(A) = \sum_{r_1 + r_2 = r} I_{r_1}(A_1) I_{r_2}(A_2)\).

5. ここにさらに追加する。

証明

省略する。（ヒント：行列式は一つの列または行に沿って展開することで計算できる。）

補題

\(R\) を環とし、\(M\) を有限 \(R\)-加群とする。\(M\) の表示 \[\bigoplus\nolimits_{j \in J} R \longrightarrow R^{\oplus n} \longrightarrow M \longrightarrow 0.\] を選ぶ。\(A = (a_{ij})_{i = 1, \ldots, n, j \in J}\) を写像 \(\bigoplus_{j \in J} R \to R^{\oplus n}\) の行列とする。 \(A\) の \((n - k) \times (n - k)\) 小行列式が生成するイデアル \(\text{Fit}_k(M)\) は、表示の選び方によらない。

証明

\(K \subset R^{\oplus n}\) を全射 \(R^{\oplus n} \to M\) の核とする。 \(z_1, \ldots, z_{n - k} \in K\) を選び、 \(z_j = (z_{1j}, \ldots, z_{nj})\) と書く。 イデアル \(\text{Fit}_k(M)\) は、こうして得られるすべての行列 \((z_{ij})\) の \((n - k) \times (n - k)\) 小行列式によって生成される イデアルとしても記述できる。

この全射を、核が \(K'\) である全射 \(R^{\oplus n + n'} \to M\) に取り替えるとする。 ここで \(R^{\oplus n + n'}\) の最初の \(n\) 個の標準基底ベクトル上では元の写像を用い、 最後の \(n'\) 個の基底ベクトル上では \(0\) とする。このとき、対応するイデアルは等しい。 実際、上のように \(z_1, \ldots, z_{n - k} \in K\) をとり、 \(j = 1, \ldots, n - k\) に対して \(z'_j = (z_{1j}, \ldots, z_{nj}, 0, \ldots, 0) \in K'\) と置き、さらに \(z'_{n + j'} = (0, \ldots, 0, 1, 0, \ldots, 0) \in K'\) と置く。 すると、\((z_{ij})\) の \((n - k) \times (n - k)\) 小行列式が生成するイデアルは、 \((z'_{ij})\) の \((n + n' - k) \times (n + n' - k)\) 小行列式が生成する イデアルと一致する。これで一方の包含が得られる。 逆に、\(K'\) の元 \(z'_1, \ldots, z'_{n + n' - k}\) が与えられたとする。 これらを \(R^{\oplus n}\) に射影すると、\(K\) の元 \(z_1, \ldots, z_{n + n' - k}\) が得られる。Lemma 07Z7 により、\((z'_{ij})\) の \((n + n' - k) \times (n + n' - k)\) 小行列式が生成するイデアルは、 \((z_{ij})\) の \((n - k) \times (n - k)\) 小行列式が生成するイデアルに含まれる。 これでもう一方の包含が得られる。

\(R^{\oplus m} \to M\) を、核が \(L\) である別の全射とする。 Schanuel の補題（Algebra, Lemma 00O3）と前段の結果により、 \(m = n\) であり、かつ \(M\) への全射と可換する同型 \(R^{\oplus n} \to R^{\oplus m}\) があると仮定してよい。 \(C = (c_{li})\) をこの写像の（可逆な）行列とする （\(n = m\) なので、これは正方行列である）。すると、上のように \(z'_1, \ldots, z'_{n - k} \in L\) が与えられたとき、 \(z_1, \ldots, z_{n - k} \in K\) で \(z_1' = Cz_1, \ldots, z'_{n - k} = Cz_{n - k}\) を満たすものがとれる。 Lemma 07Z7 により一方の包含が得られ、 対称性によりもう一方が得られる。

定義

\(R\) を環、\(M\) を有限 \(R\)-加群、\(k \geq 0\) とする。 \(M\) の 第 \(k\) Fitting イデアルとは、Lemma 07Z8 で構成したイデアル \(\text{Fit}_k(M)\) のことである。 \(\text{Fit}_{-1}(M) = 0\) と置く。

Fitting イデアルは一つの大きな行列の小行列式イデアルであり （Lemma 07Z7 における順序とは逆向きに番号が付いている）、 ある \(t \gg 0\) に対して \[0 = \text{Fit}_{-1}(M) \subset \text{Fit}_0(M) \subset \text{Fit}_1(M) \subset \ldots \subset \text{Fit}_t(M) = R\] となることが分かる。以下に Fitting イデアルの基本的な性質を挙げる。

補題

\(R\) を環とし、\(M\) を有限 \(R\)-加群とする。

1. \(M\) が \(n\) 個の元で生成できるならば、\(\text{Fit}_n(M) = R\).

2. 二つ目の有限 \(R\)-加群 \(M'\) が与えられたとき、 \(\text{Fit}_0(M \oplus M') = \text{Fit}_0(M)\text{Fit}_0(M')\) であり、 より一般に \[\text{Fit}_l(M \oplus M') = \sum\nolimits_{k + k' = l} \text{Fit}_k(M)\text{Fit}_{k'}(M')\]

3. \(R \to R'\) が環写像ならば、\(\text{Fit}_k(M \otimes_R R')\) は \(\text{Fit}_k(M)\) の像が \(R'\) において生成するイデアルである。

4. \(M\) が有限表示ならば、\(\text{Fit}_k(M)\) は有限生成イデアルである。

5. \(M \to M'\) が全射ならば、 \(\text{Fit}_k(M) \subset \text{Fit}_k(M')\).

6. \(\text{Fit}_0(M) \subset \text{Ann}_R(M)\) である。

7. \(V(\text{Fit}_0(M)) = \text{Supp}(M)\) である。

8. \(I\) が \(R\) のイデアルならば、\(\text{Fit}_0(R/I) = I\).

9. ここにさらに追加する。

証明

(1) は Lemma 07Z7 における \(I_0(A) = R\) という事実から従う。

(2) は Lemma 07Z7 の対応する主張から従う。

(3) は \(\otimes_R R'\) が右完全であることから従う。従って、\(M\) の表示を 基底変換して得られる列は \(M \otimes_R R'\) の表示である。

(4) の証明。表示 \(R^{\oplus m} \xrightarrow{A} R^{\oplus n} \to M \to 0\) をとる。このとき \(\text{Fit}_k(M)\) は、行列 \(A\) の \((n - k) \times (n - k)\) 小行列式が生成するイデアルである。

(5) は定義から直ちに従う。

(6) の証明。Lemma 07Z8 のように、行列 \(A\) をもつ \(M\) の表示を選ぶ。\(J' \subset J\) を濃度 \(n\) の部分集合とする。 \(f = \det(a_{ij})_{i = 1, \ldots, n, j \in J'}\) が \(M\) を零化することを 示せば十分である。これは明らかである。というのも、 \[R^{\oplus n} \xrightarrow{A' = (a_{ij})_{i = 1, \ldots, n, j \in J'}} R^{\oplus n} \to M \to 0\] の余核は \(f\) によって零化されるからである。実際、 \(A' B = f1_{n \times n}\) を満たす行列 \(B\) が存在する。

(7) の証明。Lemma 07Z8 のように、行列 \(A\) をもつ \(M\) の表示を選ぶ。Nakayama の補題（Algebra, Lemma 00DV）により \[M_\mathfrak p \not = 0 \Leftrightarrow M \otimes_R \kappa(\mathfrak p) \not = 0 \Leftrightarrow \text{rank}(\text{image }A\text{ in }\kappa(\mathfrak p)) < n\] である。\(\text{Fit}_0(M)\) が、この性質をもつ素イデアルの集合をちょうど 切り出すことは明らかである。

例

\(R\) を環とする。有限自由加群 \(M = R^{\oplus n}\) の Fitting イデアルは、 \(k < n\) のとき \(\text{Fit}_k(M) = 0\) であり、\(k \geq n\) のとき \(\text{Fit}_k(M) = R\) である。

例

\(R\) を環とし、\(I, J\subset R\) をイデアルとする。このとき \(\text{Fit}_0(R/I) = I\), \(\text{Fit}_0(R/I \oplus R/J) = IJ\), \(\text{Fit}_1(R/I\oplus R/J) = I+J\).

補題

\(R\) を環、\(M\) を有限 \(R\)-加群、\(k \geq 0\) とする。 \(\mathfrak p \subset R\) を素イデアルとする。次の条件は同値である。

1. \(\text{Fit}_k(M) \not \subset \mathfrak p\),

2. \(\dim_{\kappa(\mathfrak p)} M \otimes_R \kappa(\mathfrak p) \leq k\),

3. \(M_\mathfrak p\) は \(R_\mathfrak p\) 上 \(k\) 個の元で生成できる、かつ

4. ある \(f \in R\), \(f \not \in \mathfrak p\) に対して、\(M_f\) は \(R_f\) 上 \(k\) 個の元で生成できる。

証明

Nakayama の補題（Algebra, Lemma 00DV）により、 \(M \otimes_R \kappa(\mathfrak p)\) が \(k\) 個の元で生成できるならば、 ある \(f \in R\), \(f \not \in \mathfrak p\) に対して \(M_f\) は \(R_f\) 上 \(k\) 個の元で生成できる。従って (2), (3), (4) は同値である。 Lemma 07ZA の (3) を用いると、問題は \(R\) が体で \(\mathfrak p = (0)\) である場合に帰着する。この場合の結果は Example 07ZB から従う。

補題

\(R\) を環、\(M\) を有限 \(R\)-加群、\(r \geq 0\) とする。 次の条件は同値である。

1. \(M\) は rank \(r\) の有限局所自由加群である （Algebra, Definition 00NW）、

2. \(\text{Fit}_{r - 1}(M) = 0\) かつ \(\text{Fit}_r(M) = R\)、かつ

3. \(k < r\) に対して \(\text{Fit}_k(M) = 0\) であり、\(k \geq r\) に対して \(\text{Fit}_k(M) = R\) である。

証明

Fitting イデアルは増大するイデアル列をなすので、(2) と (3) が同値であることは 直ちに分かる。\(\text{Fit}_k(M)\) の形成は基底変換と可換するので （Lemma 07ZA）、Example 07ZB と貼り合わせに関する結果 （Algebra, Section 00EN）から (1) は (2) を含意する。 逆に (2) を仮定する。Lemma 07ZC により、 \(M\) は \(r\) 個の元で生成されると仮定してよい。

従って表示 \(\bigoplus_{j \in J} R \to R^{\oplus r} \to M \to 0\) がとれる。 ここで \(\text{Fit}_{r - 1}(M) = 0\) という仮定から、写像 \(\bigoplus_{j \in J} R \to R^{\oplus r}\) の行列のすべての成分は零である。 従って \(M\) は自由である。

補題

\(R\) を局所環、\(M\) を有限 \(R\)-加群、\(k \geq 0\) とする。 ある \(f \in R\) に対して \(\text{Fit}_k(M) = (f)\) と仮定する。 \(M'\) を \(M\) の \(\{x \in M \mid fx = 0\}\) による商とする。 このとき \(M'\) は \(k\) 個の元で生成できる。

証明

全射 \(R^{\oplus n} \to M\) に対応する生成元 \(x_1, \ldots, x_n \in M\) を選ぶ。 \(R\) は局所環なので、元の集合 \(E \subset (f)\) が \((f)\) を生成するならば、 ある \(e \in E\) が \((f)\) を生成する。Algebra, Lemma 00DV を参照せよ。従って、\(R^{\oplus n} \to M\) の核から \(z_1, \ldots, z_{n - k}\) を、\(n \times (n - k)\) 行列 \(A = (z_{ij})\) のある \((n - k) \times (n - k)\) 小行列式が \((f)\) を 生成するように選べる。\(x_i\) の番号を付け替えることにより、最初の小行列式 \(\det(z_{ij})_{1 \leq i, j \leq n - k}\) が \((f)\) を生成すると仮定してよい。 すなわち、ある単元 \(u \in R\) に対して \(\det(z_{ij})_{1 \leq i, j \leq n - k} = uf\) である。 他のすべての小行列式は \(f\) の倍数である。Algebra, Lemma 080R により、ある \(n - k \times n - k\) 行列 \(B\) が存在して \[AB = f \left( \begin{matrix} u 1_{n - k \times n - k} \\ C \end{matrix} \right)\] となる。ここで \(C\) は成分が \(R\) に属するある行列である。従って、すべての \(i \leq n - k\) に対して、元 \(y_i = ux_i + \sum_j c_{ji}x_j\) は \(f\) により 零化される。\(M/\sum Ry_i\) は \(x_{n - k + 1}, \ldots, x_n\) の像によって 生成されるので、主張が従う。

補題

\(R\) を環、\(M\) を有限表示 \(R\)-加群、\(k \geq 0\) とする。 ある非零因子 \(f \in R\) に対して \(\text{Fit}_k(M) = (f)\) であり、 \(\text{Fit}_{k - 1}(M) = 0\) であると仮定する。このとき

1. \(M\) の射影次元は \(\leq 1\) である、

2. \(M' = \Ker(f : M \to M)\) は \(M\) の \(f\)-冪ねじれ部分加群である、

3. \(M'\) の射影次元は \(\leq 1\) である、

4. \(M/M'\) は rank \(k\) の有限局所自由加群である、かつ

5. \(M \cong M/M' \oplus M'\).

証明

成分が \(R\) に属するある行列 \(A\) による表示 \[R^{\oplus m} \xrightarrow{A} R^{\oplus n} \to M \to 0\] を選ぶ。

まず \(R\) が局所環である場合に補題を証明する。主張におけるように \(M' = \{x \in M \mid fx = 0\}\) と置く。Lemma 080Z により、\(M/M'\) を生成する \(x_1, \ldots, x_k \in M\) を選べる。すると \(x_1, \ldots, x_k\) は \(M_f = (M/M')_f\) を生成する。従って、\(M\) において関係 \(\sum a_ix_i = 0\) があるならば、\(a_1, \ldots, a_k\) の \(R_f\) における像は 零である。そうでなければ \(\text{Fit}_{k - 1}(M) R_f = \text{Fit}_{k - 1}(M_f)\) が非零となるからである。 \(f\) は非零因子なので、\(a_1 = \ldots = a_k = 0\) と結論できる。 従って \(M \cong R^{\oplus k} \oplus M'\) である。上の表示の基底を取り替えることで、 \(R^{\oplus n}\) の最初の \(n - k\) 個の基底ベクトルは \(M\) の直和因子 \(M'\) に写り、

\(R^{\oplus n}\) の最後の \(k\) 個の基底ベクトルは \(M\) の直和因子 \(R^{\oplus k}\) の基底元に写ると 仮定してよい。こうすると、行列 \(A\) の最後の \(k\) 行は零になる。 このようにして、\(M\) を \(M'\) に、\(k\) を \(0\) に、\(n\) を \(n - k\) に、 \(A\) を最後の \(k\) 行を削除した小行列にそれぞれ取り替えることにより、 次段で論じる場合に帰着する。

\(R\) が局所環、\(k = 0\) であり、\(M\) が \(f\) により零化されると仮定する。 このとき \(M\) の第 \(0\) Fitting イデアルは \((f)\) であり、大きさ \(n \times m\) の行列 \(A\) の \(n \times n\) 小行列式によって生成される （特に、これは \(m \geq n\) を含意する）。\(R\) は局所環なので、\(A\) のある \(n \times n\) 小行列式は、単元 \(u \in R\) に対して \(uf\) である。 番号を付け替えて、これが最初の小行列式であると仮定してよい。 さらに、\(A\) の他のすべての \(n \times n\) 小行列式は \(f\) で割り切れる。 \(A = (A_1 A_2)\) と分割して書く。ここで \(A_1\) は \(n \times n\) 行列、 \(A_2\) は \(n \times (m - n)\) 行列である。Algebra, Lemma 080R を \(A\) の転置に適用すると（！）、 ある \(n \times n\) 行列 \(B\) が存在して \[BA = B(A_1 A_2) = f \left( \begin{matrix} u 1_{n \times n} & C \end{matrix} \right)\] となる。ここで \(C\) は成分が \(R\) に属する \(n \times (m - n)\) 行列である。 まず \(BA_1 = fu 1_{n \times n}\) が従う。従って \[BA_2 = fC = u^{-1}fuC = u^{-1}BA_1C\] である。\(B\) の行列式は非零因子なので、\(A_2 = u^{-1}A_1C\) と結論できる。 従って \(A\) の像は \(A_1\) の像に等しく、後者は \(A_1\) の行列式が非零因子であるため \(R^{\oplus n}\) と同型である。よって \(M\) の射影次元は \(\leq 1\) である。

一般の環 \(R\) の場合に戻る。局所的な場合から、\(M/M'\) は rank \(k\) の 有限局所自由加群であることが分かる。Algebra, Lemma 00NX を参照せよ。従って完全列 \(0 \to M' \to M \to M/M' \to 0\) は分裂する。これより \(M'\) は有限表示加群である。 短完全列 \(0 \to K \to R^{\oplus a} \to M' \to 0\) を選ぶ。 このとき \(K\) は有限 \(R\)-加群である。Algebra, Lemma 0519 を参照せよ。局所的な場合から、すべての素イデアルに対して \(K_\mathfrak p \cong R_\mathfrak p^{\oplus a}\) である。従って再び Algebra, Lemma 00NX により、\(K\) は rank \(a\) の有限局所自由加群である。 これより \(M'\) の射影次元は \(\leq 1\) であり、補題が証明された。

持ち上げ

この節では、次の型の持ち上げに関する主張を扱う補題をいくつか集める。 \(A\) が環、\(I \subset A\) がイデアルで、\(\overline{\xi}\) が \(A/I\) 上のある種の構造ならば、 \(\overline{\xi}\) を \(A\) 上、または \(A\) のある étale 拡大上の同種の構造 \(\xi\) に 持ち上げることができる。すでにいくつかの結果を証明した構造の種類を以下に挙げる。

1. 冪等元。Algebra, Lemmas 00J9 および 05BU を参照せよ、

2. 射影加群。Algebra, Lemmas 07LV および 0D47 を参照せよ、

3. 有限安定自由加群。Lemma 0BC5 を参照せよ、

4. 基底元。Algebra, Lemmas 051F および 051H を参照せよ、

5. 環写像、すなわち、ある代数が形式的に滑らかであることの証明。Algebra, Lemma 00TK, Proposition 00TN, および Lemma 07K4 を参照せよ、

6. syntomic 環写像。Algebra, Lemma 00T0 を参照せよ、

7. 滑らかな環写像。Algebra, Lemma 04B1 を参照せよ、

8. étale 環写像。Algebra, Lemma 04D1 を参照せよ、

9. 多項式の因数分解。Algebra, Lemma 00UH を参照せよ、かつ

10. Algebra, Section 04GE では Hensel 的局所環を論じる。

関心のある読者は、特に Smoothing Ring Maps, Section 07CD および Smoothing Ring Maps, Proposition 07M8 に、この種の結果をさらに見出すだろう。

\(A\) を環、\(I \subset A\) をイデアルとし、\(\overline{\xi}\) を \(A/I\) 上の ある種の構造とする。以下の補題では、同型 \(A/I \to A'/IA'\) を誘導する étale 環写像 \(A \to A'\) と、\(\overline{\xi}\) を持ち上げる \(A'\) 上の対象 \(\xi'\) を探す。一般的な注意として、\(A/I \cong A'/IA'\) および \(A'/IA' \cong A''/IA''\) を満たす étale 環写像 \(A \to A' \to A''\) が与えられると、合成 \(A \to A''\) も étale であり （Algebra, Lemma 00U2）、さらに \(A/I \cong A''/IA''\) を満たす。以下の補題では、このことを断らずに頻繁に用いる。 まず、求めている型の結果の自明な例を挙げる。

補題

\(A\) を環、\(I \subset A\) をイデアルとし、\(\overline{u} \in A/I\) を可逆元とする。 同型 \(A/I \to A'/IA'\) を誘導する étale 環写像 \(A \to A'\) と、 \(\overline{u}\) を持ち上げる可逆元 \(u' \in A'\) が存在する。

証明

\(\overline{u}\) の任意の持ち上げ \(f \in A\) を選び、\(A' = A_f\) と置き、 \(u\) を \(A'\) における \(f\) の像とする。

補題

\(A\) を環、\(I \subset A\) をイデアルとし、\(\overline{e} \in A/I\) を冪等元とする。 同型 \(A/I \to A'/IA'\) を誘導する étale 環写像 \(A \to A'\) と、 \(\overline{e}\) を持ち上げる冪等元 \(e' \in A'\) が存在する。

証明

\(\overline{e}\) の任意の持ち上げ \(x \in A\) を選ぶ。次のように置く。 \[A' = A[t]/(t^2 - t)\left[\frac{1}{t - 1 + x}\right].\] \((2t - 1)\text{d}t = 0\) かつ \((2t - 1)(2t - 1) = 1\) は可逆なので、 環写像 \(A \to A'\) は étale である。さらに \(A'/IA' = A/I[t]/(t^2 - t)[\frac{1}{t - 1 + \overline{e}}] \cong A/I\) である。最後の写像は \(t\) を \(\overline{e}\) に送り、\(\overline{e}\) は \(t^2 - t\) の根なので、これはうまくいく。また、\(e'\) を \(A'\) における \(t\) の類とすればよいことも分かる。

補題

\(A\) を環、\(I \subset A\) をイデアルとする。 \(\Spec(A/I) = \coprod_{j \in J} \overline{U}_j\) を有限の互いに素な開被覆とする。 このとき、同型 \(A/I \to A'/IA'\) を誘導する étale 環写像 \(A \to A'\) と、 与えられた被覆を持ち上げる有限の互いに素な開被覆 \(\Spec(A') = \coprod_{j \in J} U'_j\) が存在する。

証明

これは Lemma 07LY と、スペクトルの開かつ閉な部分集合が 冪等元に対応するという事実から従う。Algebra, Lemma 00EE を参照せよ。

補題

\(A \to B\) を環写像、\(J \subset B\) をイデアルとする。 \(A \to B\) が \(V(J)\) のすべての素イデアルで étale ならば、 \(B/J\) で可逆元に写る \(g \in B\) で、\(A' = B_g\) が \(A\) 上 étale となるものが存在する。

証明

\(A \to B\) が étale でない \(\Spec(B)\) の点の集合は \(\Spec(B)\) の閉集合である。 Algebra, Definition 00U1 を参照せよ。 これをあるイデアル \(J' \subset B\) に対する \(V(J')\) と書く。このとき \(V(J') \cap V(J) = \emptyset\) なので、Algebra, Lemma 00E0 により \(J + J' = B\) である。 \(f \in J\), \(g \in J'\) によって \(1 = f + g\) と書けば、この \(g\) が求めるものである。

次の三つの補題は、多項式の因数分解を持ち上げられることを述べる。

補題

\(A\) を環、\(I \subset A\) をイデアルとする。\(f \in A[x]\) をモニック多項式とする。 \(\overline{f} = \overline{g} \overline{h}\) を \(A/I[x]\) における \(f\) の因数分解とし、 \(\overline{g}\) と \(\overline{h}\) はモニックで \(A/I[x]\) の単位イデアルを生成すると仮定する。 このとき、同型 \(A/I \to A'/IA'\) を誘導する étale 環写像 \(A \to A'\) と、 与えられた \(A/I\) 上の因数分解を持ち上げる、\(g'\), \(h'\) がモニックである \(A'[x]\) における因数分解 \(f = g' h'\) が存在する。

証明

これを、先に証明した普遍因数分解に関する結果から導く。ただし、この技巧を使わない 独自の証明を見つけることを読者に勧める。 \(\deg(\overline{g}) = n\), \(\deg(\overline{h}) = m\) とする。従って \(\deg(f) = n + m\) である。ある \(\alpha_1, \ldots, \alpha_{n + m} \in A\) によって \(f = x^{n + m} + \sum \alpha_i x^{n + m - i}\) と書く。Algebra, Example 00UA の環写像 \[R = \mathbf{Z}[a_1, \ldots, a_{n + m}] \longrightarrow S = \mathbf{Z}[b_1, \ldots, b_n, c_1, \ldots, c_m]\] を考える。\(a_i\) を \(\alpha_i\) に送る環写像を \(R \to A\) とする。次のように置く。 \[B = A \otimes_R S\] 構成により、\(B[x]\) における \(f\) の像 \(f_B\) は因数分解する。 \(f_B = g_B h_B\) と書く。ここで \(g_B = x^n + \sum (1 \otimes b_i) x^{n - i}\) であり、\(h_B\) についても同様である。 \(\overline{g} = x^n + \sum \overline{\beta}_i x^{n - i}\) および \(\overline{h} = x^m + \sum \overline{\gamma}_i x^{m - i}\) と書く。 \(A\)-代数写像 \[B \longrightarrow A/I, \quad 1 \otimes b_i \mapsto \overline{\beta}_i, \quad 1 \otimes c_i \mapsto \overline{\gamma}_i\] は、\(g_B\) と \(h_B\) をそれぞれ \(A/I[x]\) の \(\overline{g}\) と \(\overline{h}\) に送る。 この表示された写像は全射である。その核を \(J \subset B\) と書く。 Algebra, Example 00UA の議論から、

\(A \to B\) が \(V(J) \subset \Spec(B)\) のすべての点で étale であることは明らかである。 Lemma 07M0 のように \(g \in B\) を選び、\(A\)-代数 \(B_g\) を考える。 \(g\) は \(B/J = A/I\) において単元に写るので、\(A/I\)-代数の写像 \(B_g/I B_g \to A/I\) も得られる。\(A/I \to B_g/I B_g\) は étale なので、 \(B_g/IB_g \to A/I\) も étale である （Algebra, Lemma 00U7）。従って、 \(A/I = (B_g/I B_g)_e\) となる冪等元 \(e \in B_g/I B_g\) が存在する （Algebra, Lemma 00U8）。 \(e\) の持ち上げ \(h \in B_g\) を選ぶ。このとき \(A \to A' = (B_g)_h\) と、 \(A'\) における因数分解 \(f_B = g_B h_B\) の像が与える因数分解とが、 補題の問題の解である。

補題

\(A\) を環、\(I \subset A\) をイデアルとする。\(f \in A[x]\) をモニック多項式とする。 \(\overline{f} = \overline{g} \overline{h}\) を \(A/I[x]\) における \(f\) の因数分解とし、 次を仮定する。

1. \(\overline{g}\) の最高次係数は \(A/I\) の可逆元である、かつ

2. \(\overline{g}\), \(\overline{h}\) は \(A/I[x]\) の単位イデアルを生成する。

このとき、同型 \(A/I \to A'/IA'\) を誘導する étale 環写像 \(A \to A'\) と、 与えられた \(A/I\) 上の因数分解を持ち上げる、\(A'[x]\) における因数分解 \(f = g' h'\) が存在する。

証明

Lemma 07LX を適用することで、\(\overline{g}\) の 最高次係数は可逆元 \(u \in A\) の剰余であると仮定してよい。そこで \(\overline{g}\) を \(\overline{u}^{-1}\overline{g}\) に、\(\overline{h}\) を \(\overline{u}\overline{h}\) に取り替えられる。従って \(\overline{g}\) はモニックと 仮定してよい。\(f\) はモニックなので、\(\overline{h}\) もモニックである。 この場合、結果は Lemma 0ALH から従う。

例

この例は、Lemma 07M1 における最高次係数に関する条件を 取り除けないことを示す。実際、\(A = \mathbf{Z}\), \(I = 4\mathbf{Z}\), \(f = 1\) とし、 \(A/I[x]\) において \(\bar{g} = \bar{h} = 2x^2 + 2x + 1\) とする。 \(A \to A'\) が étale で \(A'/I A' = A/I\) ならば、\(A'\) の \(2\)-進完備化は \(\mathbf{Z}_2\) と同型である。ところが、\(4\) を法として \(2x^2 + 2x + 1\) と合同な \(\mathbf{Z}_2[x]\) の任意の多項式 \(g'\) は、\(\mathbf{Z}_2[x]\) において多項式の 乗法逆元をもたない。従って補題の結論は成立しない。

補題

\(R \to S\) を環写像とする。\(I \subset R\) を \(R\) のイデアル、\(J \subset S\) を \(S\) のイデアルとする。\(\Spec(R)\) における \(V(J)\) の像の閉包が \(V(I)\) と 交わらないならば、\(R/I\) で \(1\) に写り、\(S\) では \(J\) の元に写る元 \(f \in R\) が存在する。

証明

\(V(I')\) が \(V(J)\) の像の閉包となるイデアル \(I' \subset R\) をとる。 仮定により \(V(I) \cap V(I') = \emptyset\) なので、Algebra, Lemma 00E0 により \(I + I' = R\) である。 \(g \in I\), \(f \in I'\) によって \(1 = g + f\) と書く。 \(f'\) を \(S\) における \(f\) の像とすれば、\(V(f') \supset V(J)\) である。 従って、ある \(n\) に対して \((f')^n \in J\) である。Algebra, Lemma 00E0 を参照せよ。\(f\) を \(f^n\) に取り替えればよい。

補題

\(I\) を環 \(A\) のイデアルとし、\(A \to B\) を整な環写像とする。 \(b \in B\) は \(B/IB\) で冪等元に写るとする。このとき、ある \(d \geq 1\) に対して \(f(b) = 0\) かつ \(f \bmod I = x^d(x - 1)^d\) を満たすモニック多項式 \(f \in A[x]\) が存在する。

証明

\(z = b^2 - b\) は \(IB\) の元であることに注意する。Algebra, Lemma 00H5 により、次数 \(d\) のモニック多項式 \(g(x) = x^d + \sum a_j x^j\) で、\(a_j \in I\) かつ \(B\) において \(g(z) = 0\) を 満たすものが存在する。従って \(f(x) = g(x^2 - x) \in A[x]\) はモニックで、 \(f(x) \equiv x^d(x - 1)^d \bmod I\) かつ \(B\) において \(f(b) = 0\) を満たす。

補題

\(A\) を環、\(I \subset A\) をイデアルとする。\(A \to B\) を整な環写像とし、 \(\overline{e} \in B/IB\) を冪等元とする。このとき、同型 \(A/I \to A'/IA'\) を誘導する étale 環写像 \(A \to A'\) と、 \(\overline{e}\) を持ち上げる冪等元 \(e' \in B \otimes_A A'\) が存在する。

証明

\(\overline{e}\) を持ち上げる元 \(y \in B\) を選ぶ。\(y\) に対して Lemma 09XG のような \(f \in A[x]\) を選ぶ。Lemma 07M1 により、同型 \(A/I \to A'/IA'\) を誘導する étale 環写像 \(A \to A'\) であって、

\(A[x]\) において \(f = gh\) となり、\(g(x) = x^d \bmod IA'\) かつ \(h(x) = (x - 1)^d \bmod IA'\) となるものを見つけられる。 \(A\) を \(A'\) に取り替えることで、この因数分解は \(A\) 上定義されていると仮定してよい。 この場合、\(b_1 = g(y) \in B\) は \(\overline{e}^d = \overline{e}\) の持ち上げであり、 \(b_2 = h(y) \in B\) は \((\overline{e} - 1)^d = (-1)^d (1 - \overline{e})^d = (-1)^d(1 - \overline{e})\) の持ち上げである。さらに \(b_1b_2 = 0\) である。従って \((b_1, b_2)B/IB = B/IB\) であり、\(V(b_1, b_2) \subset \Spec(B)\) は \(V(IB)\) と交わらない。\(\Spec(B) \to \Spec(A)\) は閉写像なので （Algebra, Lemmas 00GU および 00HZ を参照）、\(A/I\) で可逆元に写り、\(B\) における像が \((b_1, b_2)\) に属する元 \(a \in A\) を見つけられる。Lemma 07M3 を参照せよ。 \(A\) を局所化 \(A_a\) に取り替えると、\((b_1, b_2) = B\) となる。このとき \(\Spec(B) = D(b_1) \amalg D(b_2)\) である。これは \(b_1b_2 = 0\) なので非交和であり、 \((b_1, b_2) = B\) なので \(\Spec(B)\) を被覆する。開かつ閉な部分集合 \(D(b_1)\) に 対応する冪等元を \(e \in B\) とする。Algebra, Lemma 00EE を参照せよ。 \(b_1\) は \(\overline{e}\) の持ち上げで、\(b_2\) は \(\pm (1 - \overline{e})\) の 持ち上げなので、Algebra, Lemma 00EE の 一意性の主張から、\(e\) は \(\overline{e}\) の持ち上げであると結論できる。

補題

\(A\) を環、\(I \subset A\) をイデアルとする。\(\overline{P}\) を有限生成射影 \(A/I\)-加群とする。このとき、同型 \(A/I \to A'/IA'\) を誘導する étale 環写像 \(A \to A'\) と、\(\overline{P}\) を持ち上げる有限生成射影 \(A'\)-加群 \(P'\) が存在する。

証明

ある整数 \(n\) と、ある \(R/I\)-加群 \(\overline{K}\) による直和分解

\((A/I)^{\oplus n} = \overline{P} \oplus \overline{K}\) を選べる。 直和因子 \(\overline{P}\) に対応する射影子 \(\overline{p}\) の持ち上げ \(\varphi : A^{\oplus n} \to A^{\oplus n}\) を選ぶ。 \(f \in A[x]\) を \(\varphi\) の特性多項式とし、\(B = A[x]/(f)\) と置く。 Cayley–Hamilton により（Algebra, Lemma 00DX）、 \(x\) を \(\varphi\) に送る写像 \(B \to \text{End}_A(A^{\oplus n})\) がある。 各素イデアル \(\mathfrak p \supset I\) に対して、\(\kappa(\mathfrak p)\) における \(f\) の像は \((x - 1)^rx^{n - r}\) である。ここで \(r\) は \(\overline{P} \otimes_{A/I} \kappa(\mathfrak p)\) の次元である。 従って、すべての \(\mathfrak p \supset I\) に対して \((x - 1)^nx^n\) は \(B \otimes_A \kappa(\mathfrak p)\) で零に写る。よって \(x(1 - x)\) は \(B/IB\) のすべての素イデアルに含まれる。従って、ある \(N \geq 1\) に対して \(x^N(1 - x)^N\) は \(IB\) に含まれる。 これより \(x^N + (1 - x)^N\) は \(B/IB\) の単元であり、 \[\overline{e} = \text{image of }\frac{x^N}{x^N + (1 - x)^N}\text{ in }B/IB\] は冪等元である。この二つの主張はいずれも \(\mathbf{Z}[x]/(x^N(x - 1)^N)\) において成り立つからである。 \(\text{End}_{A/I}((A/I)^{\oplus n})\) における \(\overline{e}\) の像は \[\frac{\overline{p}^N}{\overline{p}^N + (1 - \overline{p})^N} = \overline{p}\] である。\(\overline{p}\) は冪等元だからである。補題にあるような étale 拡大 \(A'\) で \(A\) を取り替えることで、\(B/IB\) で \(\overline{e}\) に写る冪等元 \(e \in B\) が存在すると仮定してよい。Lemma 07M4 を参照せよ。このとき写像 \[B = A[x]/(f) \longrightarrow \text{End}_A(A^{\oplus n}).\] による \(e\) の像は、\(\overline{p}\) を持ち上げる冪等元 \(p\) である。 \(P = \Im(p)\) と置けばよい。

補題

\(A\) を環とする。

\(0 \to K \to A^{\oplus m} \to M \to 0\) を \(A\)-加群の列とする。全射 \(A^{\oplus m} \to M\) から得られる表示 \(\alpha : A[y_1, \ldots, y_m] \to C\) を備えた \(A\)-代数 \(C = \text{Sym}^*_A(M)\) を考える。このとき \[\NL(\alpha) = (K \otimes_A C \to \bigoplus\nolimits_{j = 1, \ldots, m} C \text{d}y_j)\] であり（Algebra, Section 00S0 を参照）、特に \(\Omega_{C/A} = M \otimes_A C\) である。

証明

\(J = \Ker(\alpha)\) と置く。補題の主張は \(J/J^2 \cong K \otimes_A C\) である。\(\alpha\) は次数付き代数の準同型であることに 注意する。次数 \(d\) において \((J/J^2)_d = K \otimes_A C_{d - 1}\) であることを証明する。まず \[J_d = \Ker(\text{Sym}^d_A(A^{\oplus m}) \to \text{Sym}^d_A(M)) = \Im(K \otimes_A \text{Sym}^{d - 1}_A(A^{\oplus m}) \to \text{Sym}^d_A(A^{\oplus m})),\] である。Algebra, Lemma 00DO を参照せよ。 従って \((J^2)_d = \sum_{a + b = d} J_a \cdot J_b\) は

\[K \otimes_A K \otimes_A \text{Sym}^{d - 2}_A(A^{\otimes m}) \to \text{Sym}^d_A(A^{\oplus m}).\] の像である。上で参照した補題により、写像 \(K \otimes_A \text{Sym}^{d - 2}_A(A^{\otimes m}) \to \text{Sym}^{d - 1}_A(A^{\oplus m})\) の余核は \(\text{Sym}^{d - 1}_A(M)\) である。従って \((J/J^2)_d = J_d/(J^2)_d\) が次に等しいことは明らかである。 \[\begin{align*} \Coker( K \otimes_A K \otimes_A \text{Sym}^{d - 2}_A(A^{\otimes m}) \to K \otimes_A \text{Sym}^{d - 1}_A(A^{\otimes m})) & = K \otimes_A \text{Sym}^{d - 1}_A(M) \\ & = K \otimes_A C_{d -1} \end{align*}\] これが求める主張である。

補題

\(A\) を環、\(M\) を \(A\)-加群とする。このとき \(C = \text{Sym}_A^*(M)\) が \(A\) 上滑らかであるための必要十分条件は、\(M\) が有限生成射影 \(A\)-加群であることである。

証明

\(\sigma : C \to A\) を \(C\) の次数 \(0\) 部分への射影とする。このとき \(J = \Ker(\sigma)\) は次数 \(> 0\) の部分であり、\(A\)-加群として \(J/J^2 = M\) である。 従って \(A \to C\) が滑らかならば、Algebra, Lemma 05D5 により \(M\) は有限生成射影 \(A\)-加群である。

逆に、\(M\) が有限生成射影であると仮定し、核が \(K\) である全射 \(A^{\oplus n} \to M\) を選ぶ。もちろん \(M\) は射影的なので、列 \(0 \to K \to A^{\oplus n} \to M \to 0\) は分裂する。特に \(K\) は有限 \(A\)-加群であり、従って \(C\) は \(A\) 上有限表示である。実際、\(C\) は \(A[x_1, \ldots, x_n]\) を \(K \subset \bigoplus Ax_i\) が生成するイデアルで割った 商である。Lemma 07EV の計算は、

\(\NL_{C/A}\) が \((K \to M) \otimes_A C\) とホモトピー同値であることを示す。 従って \(\NL_{C/A}\) は次数 \(0\) に置かれた \(C \otimes_A M\) と擬同型である。 これは、Algebra, Definition 00T2 により、\(C\) が \(A\) 上滑らかであることを意味する。

補題

\(A\) を環、\(I \subset A\) をイデアルとする。可換図式 \[\xymatrix{ B \ar[rd] \\ A \ar[u] \ar[r] & A/I }\] を考える。ここで \(B\) は滑らかな \(A\)-代数である。このとき、同型 \(A/I \to A'/IA'\) を誘導する étale 環写像 \(A \to A'\) と、環写像 \(B \to A/I\) を持ち上げる \(A\)-代数写像 \(B \to A'\) が存在する。

証明

\(J \subset B\) を \(B \to A/I\) の核とする。従って \(B/J = A/I\) である。 Algebra, Lemma 06A9 により列 \[0 \to I/I^2 \to J/J^2 \to \Omega_{B/A} \otimes_B B/J \to 0\] は分裂完全である。従って \(\overline{P} = J/(J^2 + IB) = \Omega_{B/A} \otimes_B B/J\) は有限生成射影 \(A/I\)-加群である。ある整数 \(n\) と直和分解

\(A/I^{\oplus n} = \overline{P} \oplus \overline{K}\) を選ぶ。 Lemma 07M5 により、同型 \(A/I \to A'/IA'\) を誘導する étale 環写像 \(A \to A'\) と、\(\overline{K}\) を持ち上げる有限生成射影

\(A\)-加群 \(K\) を見つけられる。\(A\) を \(A'\) に取り替えることにする。 \(B' = B \otimes_A \text{Sym}_A^*(K)\) と置く。Lemma 07M6 により \(A \to \text{Sym}_A^*(K)\) は滑らかなので、 \(B \to B'\) は滑らかであり、従って \(A \to B'\) も滑らかである （Algebra, Lemmas 00T4 および 00TC を参照）。さらに、切断 \(\text{Sym}^*_A(K) \to A\) は切断 \(B' \to B\) を定め、合成 \(B' \to B \to A/I\) を \(B' \to A/I\) とする。\(J' \subset B'\) を \(B' \to A/I\) の核とする。 \(JB' \subset J'\) および \(B \otimes_A K \subset J'\) である。これらの写像は合わさって 同型 \[(A/I)^{\oplus n} \cong J/(J^2 + IB) \oplus \overline{K} \longrightarrow J'/((J')^2 + IB')\] を与える。従って \(B\) を \(B'\) に取り替えることで、 \(J/(J^2 + IB) = \Omega_{B/A} \otimes_B B/J\) は rank \(n\) の自由 \(A/I\)-加群であると仮定してよい。

この場合、\(J/(J^2 + IB)\) の基底に写る \(f_1, \ldots, f_n \in J\) を選ぶ。 有限表示 \(A\)-代数 \(C = B/(f_1, \ldots, f_n)\) を考える。完全列 \[0 \to H_1(L_{C/A}) \to (f_1, \ldots, f_n)/(f_1, \ldots, f_n)^2 \to \Omega_{B/A} \otimes_B C \to \Omega_{C/A} \to 0\] があることに注意する。Algebra, Lemma 00S2 を参照せよ （\(H_1(L_{B/A}) = 0\) であり、\(\Omega_{B/A}\) は有限生成射影、特に平坦なので、 Tor 群が消えることに注意せよ）。\(B\) の任意の素イデアル \(\mathfrak q \supset J\) に対して、加群 \(\Omega_{B/A, \mathfrak q}\) は rank \(n\) の 自由加群である。これは \(\Omega_{B/A}\) が有限生成射影であり、かつ \(\Omega_{B/A} \otimes_B B/J\) が rank \(n\) の自由加群だからである （Algebra, Lemma 00NX を参照）。 \(f_1, \ldots, f_n\) の選び方により、写像 \[\left((f_1, \ldots, f_n)/(f_1, \ldots, f_n)^2\right)_{\mathfrak q} \to \Omega_{B/A, \mathfrak q}\] は \(J\) を法として全射である。従って、局所環 \(C_{\mathfrak q}\) 上のこの加群写像は 同型でなければならないことが分かる （Algebra, Lemma 00DV により全射であり、例えば Algebra, Lemma 05G8 により、 \(((f_1, \ldots, f_n)/(f_1, \ldots, f_n)^2)_{\mathfrak q}\) は \(n\) 個の元で 生成されるので単射である）。従って \(H_1(L_{C/A})_{\mathfrak q} = 0\) かつ \(\Omega_{C/A, \mathfrak q} = 0\) である。 Algebra, Lemma 07BU により、\(A \to C\) は \(\mathfrak q\) に対応する \(C\) の素イデアル \(\overline{\mathfrak q}\) で滑らかである。 \(\Omega_{C/A, \mathfrak q} = 0\) なので、実際には \(\overline{\mathfrak q}\) で étale である。従って \(A \to C\) は、\(JC\) を含む \(C\) のすべての素イデアルで étale である。Lemma 07M0 により、\(C/JC\) で可逆元に写り、 \(A \to C_f\) が étale となる \(f \in C\) を見つけられる。\(f\) の選び方により、 依然として \(C_f/JC_f = A/I\) である。写像 \(C_f/IC_f \to A/I\) は全射であり、 Algebra, Lemma 00U7 により étale である。 従って \(A/I\) は \(C_f/IC_f\) をある元 \(g \in C\) で局所化したものと同型である。 Algebra, Lemma 00U8 を参照せよ。 \(A' = C_{fg}\) と置けば証明が完了する。

Zariski 対

この節と次節において、it 対とは、\(A\) が環で \(I \subset A\) がイデアルであるような 対 \((A, I)\) のことである。it 対の射 \((A, I) \to (B, J)\) とは、 \(\varphi(I) \subset J\) を満たす環写像 \(\varphi : A \to B\) のことである。

定義

it Zariski 対とは、\(I\) が \(A\) の Jacobson 根基に含まれるような対 \((A, I)\) のことである。

補題

\((A, I)\) を Zariski 対とする。\(A\) の冪等元から \(A/I\) の冪等元への写像は単射である。

証明

局所環の冪等元は \(0\) または \(1\) である。従って、Algebra, Lemma 00HN により、冪等元はそれが消える極大イデアルの 集合によって決まる。

補題

\((A, I)\) を Zariski 対とする。\(A \to B\) を平坦かつ整で有限表示な環写像とし、 \(A/I \to B/IB\) は同型であるとする。このとき \(A \to B\) は同型である。

証明

Algebra, Lemma 02JJ により、 環写像 \(A \to B\) は有限である。従って Algebra, Lemma 0564 により、\(B\) は \(A\)-加群として有限表示である。従って Algebra, Lemma 00NX により、\(B\) は有限局所自由 \(A\)-加群である。 加群 \(B\) は \(V(I)\) に沿って rank \(1\) であり （Algebra, Lemma 00NX で記述される rank 関数を参照）、 \((A, I)\) は Zariski 対なので、rank は至る所 \(1\) であると結論できる。 これより \(A \to B\) は同型である。実際、\(S\) が rank \(1\) の局所自由 \(R\)-加群となる環写像 \(R \to S\) は同型であることを示すのは、よい演習である （ヒント：局所環を考えよ）。

補題

\((A, I)\) を Zariski 対とし、\(A \to B\) を有限環写像とする。次を仮定する。

1. \(B/IB = B_1 \times B_2\) は \(A/I\)-代数の積である、

2. \(A/I \to B_1/IB_1\) は全射である、

3. \(b \in B\) はこの積において \((1, 0)\) に写る。

このとき、ある \(d \geq 1\) に対して \(f(b) = 0\) かつ \(f \bmod I = (x - 1)x^d\) を満たすモニック多項式 \(f \in A[x]\) が存在する。

証明

Lemma 07M4 により、同型 \(A/I \to A'/IA'\) を誘導する étale 環写像 \(A \to A'\) で、 \(B' = B \otimes_A A'\) が \(B'/IB'\) における \(b\) の像を持ち上げる冪等元 \(e'\) を含むものを見つけられる。対応する \(A'\)-代数の分解 \[B' = B'_1 \times B'_2\] を考える。これは \(I\) を法として簡約すると、補題で与えられた分解と両立する。 写像 \(A' \to B'_1\) は \(IA'\) を法として全射である。Nakayama の補題 （Algebra, Lemma 00DV）により、ある \(i \in IA'\) を見つけ、 \(A'\) を \(A'_{1 + i}\) に取り替えた後で \(A' \to B'_1\) が全射となるようにできる。 第1因子における \(b\) の像 \(b'_1 \in B'_1\) は \(b'_1 - 1 \in IB'_1\) を満たすことに注意する。従って、\(b'_1 - 1\) に写る \(a' \in IA'\) を選べる。一方、第2因子における \(b\) の像 \(b'_2 \in B'_2\) は \(IB'_2\) に属する。Algebra, Lemma 00H5 により、次数 \(d\) のモニック多項式 \(g(x) = x^d + \sum a'_j x^j\) で、\(a'_j \in IA'\) かつ \(B'_2\) において \(g(b'_2) = 0\) を満たすものが存在する。従って積における \(b\) の像 \(b' = (b'_1, b'_2) \in B'\) は多項式 \((x - 1 - a')g(x)\) の根である。 これより \[(b' - 1)(b')^d \in \sum\nolimits_{j = 0, \ldots, d} IA' \cdot (b')^j\] と結論する。我々は、これから \(B\) において \[(b - 1)b^d \in \sum\nolimits_{j = 0, \ldots, d} I \cdot b^j\] が従うと主張する。そのためには、環写像 \(A \to A'\) が忠実平坦であることを 示せば十分である。というのも、この条件は \(B/\sum_{j = 0, \ldots, d} Ib^j\) において \((b - 1)b^d\) の像が零であるという 条件だからである（Algebra, Lemma 05CK を用いよ）。

写像 \(A \to A'\) は étale なので平坦である （Algebra, Lemma 00U2）。一方、誘導されるスペクトル上の写像は 開写像であり（Algebra, Proposition 00I1 と先に参照した 補題を用いよ）、その像は \(V(I)\) を含む。\(I\) は \(A\) の Jacobson 根基に含まれるので、 結論が従う。

補題

\((A, I)\) を Zariski 対とし、\(A\) は Noether 環であるとする。 \(f \in I\) とする。このとき \(A_f\) は Jacobson 環である。

証明

Algebra, Lemma 00KX の判定法を用いる。 \(\mathfrak p_f = \mathfrak p A_f\) が素イデアルで極大でないような素イデアル \(\mathfrak p \subset A\) をとる。\(A_f/\mathfrak p_f = (A/\mathfrak p)_f\) が無限個の 素イデアルをもつことを示す必要がある。\(A\) を \(A/\mathfrak p\) に取り替えることで、 \(A\) は整域、\(\dim A_f > 0\) であり、目標は \(\Spec(A_f)\) が無限であることだと 仮定してよい。\(\dim A_f > 0\) なので、\(f\) を含まない非零素イデアル \(\mathfrak q \subset A\) を見つけられる。\(\mathfrak q\) を含む極大イデアル \(\mathfrak m \subset A\) を選ぶ。\((A, I)\) は Zariski 対なので \(I \subset \mathfrak m\) である。従って \(\mathfrak m \not = \mathfrak q\) かつ \(\dim(A_\mathfrak m) > 1\) である。Algebra, Lemma 02IG により \(\Spec((A_\mathfrak m)_f) \subset \Spec(A_f)\) は無限であり、主張が従う。

Hensel 対

Section 07LW の結果のいくつかは、Hensel 対に関する結果と みなすことができる。この節において、it 対とは、\(A\) が環で \(I \subset A\) がイデアルであるような対 \((A, I)\) のことである。 it 対の射 \((A, I) \to (B, J)\) とは、\(\varphi(I) \subset J\) を満たす 環写像 \(\varphi : A \to B\) のことである。Section 07LW と同様に、 \(A\) 上の対象 \(\xi\) が与えられたとき、\(\xi\) を \(A/I\) 上の対象へ「基底変換」したものを \(\overline{\xi}\) で表す（これが意味をもつ場合に限る）。

定義

it Hensel 対とは、次を満たす対 \((A, I)\) のことである。

1. \(I\) は \(A\) の Jacobson 根基に含まれる、かつ

2. 任意のモニック多項式 \(f \in A[T]\) と、\(A/I[T]\) の単位イデアルを生成する モニック多項式 \(g_0, h_0 \in A/I[T]\) による因数分解 \(\overline{f} = g_0h_0\) に対して、\(g, h\) がモニックで \(g_0 = \overline{g}\), \(h_0 = \overline{h}\) を満たす \(A[T]\) における因数分解 \(f = gh\) が存在する。

\(A\) が局所環で \(I = \mathfrak m\) が極大イデアルならば、\((A, I)\) が Hensel 対である ための必要十分条件は、\(A\) が Hensel 局所環であることである。Algebra, Lemma 04GG を参照せよ。Lemma 09XI では Hensel 対のいくつかの同値な特徴付けを 与える（そして今後さらに追加する）。

補題

\((A, I)\) を、\(I\) が局所冪零である対とする。関手 \(B \mapsto B/IB\) は、 \(A\) 上の étale 代数の圏と \(A/I\) 上の étale 代数の圏との間の同値を誘導する。 さらに、この対は Hensel 対である。

証明

本質的全射性は Algebra, Lemma 04D1 により成立する。 \(B\), \(B'\) が \(A\) 上 étale で、\(B/IB \to B'/IB'\) が \(A/I\)-代数の射ならば、 Algebra, Lemma 07K4 によりこれを持ち上げられる。 最後に、\(f, g : B \to B'\) が \(f \bmod I = g \bmod I\) を満たす二つの \(A\)-代数写像であるとする。乗法写像 \(B \otimes_A B \to B\) の核を生成する冪等元 \(e \in B \otimes_A B\) を選ぶ。Algebra, Lemmas 02FL および 00UV （étale が不分岐であることを見るため）を参照せよ。このとき \((f \otimes g)(e) \in IB'\) である。\(IB'\) は局所冪零なので （Algebra, Lemma 0544）、Algebra, Lemma 00J9 により \((f \otimes g)(e) = 0\) が従う。 従って \(f = g\) である。

\(I\) が \(A\) の Jacobson 根基に含まれることは明らかである。 \(f \in A[T]\) をモニック多項式とし、\(g_0, h_0 \in A/I[T]\) がモニックで \(A/I[T]\) の単位イデアルを生成するような \(\overline{f} = f \bmod I\) の因数分解 \(\overline{f} = g_0h_0\) をとる。 Lemma 0ALH により、同型 \(A/I \to A'/IA'\) を誘導する étale 環写像 \(A \to A'\) で、因数分解が \(A'\) 上のモニック多項式への因数分解に持ち上がるものが存在する。 上で示したことにより \(A = A'\) であり、この因数分解は \(A\) 上にある。

補題

\(A = \lim A_n\) とする。ここで \((A_n)\) は環の逆系であり、その遷移写像は全射で 局所冪零な核をもつ。\(I_n = \Ker(A \to A_n)\) と置くと、\((A, I_n)\) は Hensel 対である。

証明

\(n\) を固定する。\(A_n\) で \(1\) に写る元 \(a \in A\) をとる。Algebra, Lemma 0AMG により、\(a\) はすべての \(m \geq n\) に対して \(A_m\) の単元に写る。従って \(a\) は \(A\) の単元である。よって Algebra, Lemma 0AME により、イデアル \(I_n\) は \(A\) の Jacobson 根基に含まれる。\(f \in A[T]\) をモニック多項式とし、\(g_n, h_n \in A_n[T]\) が モニックで \(A_n[T]\) の単位イデアルを生成するような \(\overline{f} = f \bmod I_n\) の因数分解 \(\overline{f} = g_nh_n\) をとる。 Lemma 0ALI により、この因数分解を逐次的に、 すべての \(m \geq n\) に対する \(A_m[T]\) のモニック多項式 \(g_m, h_m\) による \(f \bmod I_m = g_m h_m\) に持ち上げられる。各段階で、持ち上げ \(g_m, h_m\) が \(A_n[T]\) の単位イデアルを生成することを確認しなければならない。

これは \(g_n, h_n\) に対する対応する事実と、\(A_m \to A_n\) の核が局所冪零なので \(\Spec(A_n[T]) = \Spec(A_m[T])\) であることから従う。 \(A = \lim A_m\) なので証明が完了する。

補題

\((A, I)\) を対とする。\(A\) が \(I\)-進完備ならば、この対は Hensel 対である。

証明

Algebra, Lemma 05GI により、イデアル \(I\) は \(A\) の Jacobson 根基に含まれる。\(f \in A[T]\) をモニック多項式とし、 \(g_0, h_0 \in A/I[T]\) がモニックで \(A/I[T]\) の単位イデアルを生成するような \(\overline{f} = f \bmod I\) の因数分解 \(\overline{f} = g_0h_0\) をとる。 Lemma 0ALI により、この因数分解を逐次的に、 すべての \(n \geq 1\) に対する \(A/I^n[T]\) のモニック多項式 \(g_n, h_n\) による \(f \bmod I^n = g_n h_n\) に持ち上げられる。\(A = \lim A/I^n\) なので証明が完了する。

補題

\((A, I)\) を対とする。\(A \to B\) を有限型環写像とし、 \(B/IB = C_1 \times C_2\)、かつ \(A/I \to C_1\) は有限であるとする。 \(B'\) を \(B\) における \(A\) の整閉包とする。このとき、写像 \(B'/IB' \to B/IB\) が積分解を保つように \(B'/IB' = C_1 \times C'_2\) と書くことができ、 さらに \(C_1 \times C'_2\) で \((1, 0)\) に写る \(g \in B'\) で \(B'_g \to B_g\) が同型となるものが存在する。

証明

\(A \to B\) は閉部分集合 \(T = \Spec(C_1) \subset \Spec(B)\) のすべての素イデアルで 準有限であることに注意する（ファイバー環を見れば従う。Algebra, Definition 00PL を参照）。位相空間の図式 \[\xymatrix{ \Spec(B) \ar[rr]_\phi \ar[rd]_\psi & & \Spec(B') \ar[ld]^{\psi'} \\ & \Spec(A) }\] を考える。Algebra, Theorem 00Q9 により、 各 \(\mathfrak p \in T\) に対して \(h_\mathfrak p \in B'\) で、 \(h_\mathfrak p \not \in \mathfrak p\) かつ

\(B'_h \to B_h\) が同型となるものが存在する。和集合 \(U = \bigcup D(h_\mathfrak p)\) は、\(\phi^{-1}(U) \to U\) が同相で \(T \subset \phi^{-1}(U)\) となる開集合 \(U \subset \Spec(B')\) を与える。 \(T\) は \(\psi^{-1}(V(I))\) において開なので、\(\phi(T)\) は \(U \cap (\psi')^{-1}(V(I))\) において開である。従って \(\phi(T)\) は \((\psi')^{-1}(V(I))\) において開である。一方、\(C_1\) は \(A/I\) 上有限なので \(B'\) 上有限である。従って Algebra, Lemmas 00HZ および 00GU により、\(\phi(T)\) は \(\Spec(B')\) の閉部分集合である。 従って \(\Spec(B'/IB') \supset \phi(T)\) であり、この部分集合は開かつ閉である。Algebra, Lemma 00EM により、対応する積分解 \(B'/IB' = C'_1 \times C'_2\) を得る。スペクトル上で何が起こるかを見ることで、 写像 \(B'/IB' \to B/IB\) は \(C'_1\) を \(C_1\) に、\(C'_2\) を \(C_2\) に送ることが分かる （ヒント：\(\phi(T)\) の逆像はちょうど \(T\) である。詳細の一部は省略する）。 \(C'_1 \times C'_2\) において \((1, 0)\) に写り、\(D(g) \subset U\) となる \(g \in B'\) を選ぶ。これは \(\Spec(C'_1)\) と \(\Spec(C'_2)\) が \(\Spec(B')\) の 互いに素な閉部分集合で、\(\Spec(C'_1)\) が \(U\) に含まれるので可能である。 すると \(B'_g \to B_g\) はスペクトル上の同相と局所環上の同型を定める （上の \(U\) の選び方による）。従って、例えば Algebra, Lemma 00HN により、これは同型である。 最後に \(C'_1 = C_1\) が従い、証明が完了する。

補題

\((A, I)\) を対とする。次の条件は同値である。

1. \((A, I)\) は Hensel 対である、

2. étale 環写像 \(A \to A'\) と \(A\)-代数写像 \(\sigma : A' \to A/I\) が与えられると、\(\sigma\) を持ち上げる \(A\)-代数写像 \(A' \to A\) が存在する、

3. 任意の有限 \(A\)-代数 \(B\) に対して、写像 \(B \to B/IB\) は冪等元上の 全単射を誘導する、

4. 任意の整 \(A\)-代数 \(B\) に対して、写像 \(B \to B/IB\) は冪等元上の 全単射を誘導する、かつ

5. (Gabber) \(I\) は \(A\) の Jacobson 根基に含まれ、\(a_n, \ldots, a_0 \in I\), \(n \ge 1\) を満たす次の形の任意のモニック多項式 \(f(T) \in A[T]\) は、 根 \(\alpha \in 1 + I\) をもつ。 \[f(T) = T^n(T - 1) + a_n T^n + \ldots + a_1 T + a_0\]

さらに、(5) における根は一意である。

証明

(2) が成り立つと仮定する。このとき \(I\) は \(A\) の Jacobson 根基に含まれる。 そうでなければ、\(I\) を法として \(1\) と合同な非単元 \(f \in A\) が存在し、写像 \(A \to A_f\) が (2) に矛盾するからである。従って \(B\) が \(A\) 上整ならば、 \(IB \subset B\) は \(B\) の Jacobson 根基に含まれる。実際、Algebra, Lemmas 00HZ および 00GU により \(\Spec(B) \to \Spec(A)\) は閉写像である。よって Lemma 09XF により、\(B\) の冪等元から \(B/IB\) の冪等元への写像は単射である。一方、(2) が成り立つので、Lemma 07M4 により \(B/IB\) の各冪等元は \(B\) の冪等元に 持ち上がる。これで (2) が (4) を含意することが分かる。

含意 (4) \(\Rightarrow\) (3) は自明である。

(3) を仮定する。\(\mathfrak m\) を極大イデアルとし、有限写像 \(A \to B = A/(I \cap \mathfrak m)\) を考える。\(B \to B/IB\) が冪等元上の 全単射を誘導するという条件から、\(I \subset \mathfrak m\) が従う （そうでなければ、\(B = A/I \times A/\mathfrak m\) かつ \(B/IB = A/I\) となる）。 従って \(I\) は \(A\) の Jacobson 根基に含まれる。 \(f \in A[T]\) をモニックとし、\(A/I[T]\) の単位イデアルを生成するモニック多項式 \(g_0, h_0 \in A/I[T]\) による因数分解 \(\overline{f} = g_0h_0\) が与えられたとする。 \(B = A[T]/(f)\) と置く。\(A\)-代数の分解 \[B/IB = A/I[T]/(g_0) \times A/I[T]/(h_0)\] に対応する \(B/IB\) の冪等元を \(\overline{e}\) とする。(3) の仮定により存在する \(\overline{e}\) の持ち上げを \(e \in B\) とする。これから積分解 \[B = eB \times (1 - e)B\] が得られる。\(B\) は \(A\)-加群として rank \(\deg(f)\) の自由加群であることに注意する。 従って \(eB\) と \((1 - e)B\) は有限局所自由 \(A\)-加群である。しかも、\(A/I\) 上で \(eB\) と \((1 - e)B\) はそれぞれ一定の rank \(\deg(g_0)\) と \(\deg(h_0)\) をもつので、 \(\Spec(A)\) 上でも同じことが成り立つ。従って \[\begin{align*} f & = \text{CharPol}_A(T : B \to B) \\ & = \text{CharPol}_A(T : eB \to eB) \text{CharPol}_A(T : (1 - e)B \to (1 - e)B) \end{align*}\] は、\(I\) を法として与えられた因数分解に簡約するモニック多項式への因数分解である。 ここで \(\text{CharPol}_A\) は、有限局所自由 \(A\)-加群の自己準同型の特性多項式を表す。 加群が自由ならば、\(\text{CharPol}_A\) は対応する行列の特性多項式として定義され、 一般には Algebra, Lemma 00EJ を用いて貼り合わせる。 詳細は省略する。従って (3) は (1) を含意する。

(1) を仮定する。\(f\) を (5) のような多項式とする。\(f \bmod I\) の \(T^n\) と \(T - 1\) への因数分解は、Definition 09XE により、 \(g\) と \(h\) がモニックである因数分解 \(f = gh\) に持ち上がる。このとき \(h\) の次数は \(1\) でなければならず、\(f\) は \(I\) を法として \(1\) に簡約する根をもつことが分かる。 最後に、Hensel 対の定義により \(I\) は Jacobson 根基に含まれる。 従って (1) は (5) を含意する。

最後の段階の証明を与える前に、(5) の根 \(\alpha\) が存在するならば一意であることを 示そう。実際、\(f(T)\) の明示的な形により \(f'(\alpha) \in 1 + I\) である。 ここで \(f'\) は \(T\) に関する \(f\) の導関数である。初等的な議論により \[f(T) = f(\alpha + T - \alpha) = f(\alpha) + f'(\alpha) \cdot (T - \alpha) \bmod (T - \alpha)^2 A[T]\] となる。従って \(f(T)\) の別の根 \(\alpha' \in 1 + I\) は、ある \(i \in I\) に対して \(0 = f(\alpha') - f(\alpha) = (\alpha' - \alpha)(1 + i)\) を満たす。 \(1 + i\) は \(A\) の単元なので、\(\alpha = \alpha'\) である。

(5) を仮定する。(2) が成り立つこと、すなわち、任意の étale 写像 \(A \to A'\) に対して、\(I\) を法とする任意の切断 \(\sigma : A' \to A/I\) が 切断 \(A' \to A\) に持ち上がることを示す。\(A \to A'\) は étale なので、切断 \(\sigma\) は \(A/I\)-代数の分解 [0EM1]\[\begin{equation} A'/IA' \cong A/I \times C \end{equation}\] を定める。実際、全射環写像 \(A'/IA' \to A/I\) は Algebra, Lemma 00U7 により étale であり、Algebra, Lemma 00U8 により求める冪等元が得られる。 この分解が、\(A'_1\) が \(A\) 上整であるような \(A\)-代数の分解 [0EM2]\[\begin{equation} A' \cong A'_1 \times A'_2 \end{equation}\] に持ち上がることを示す。すると \(A \to A'_1\) は整かつ étale で、 \(A/I \to A'_1/IA'_1\) は同型である。従って Lemma 0ELZ により \(A \to A'_1\) は同型である （ここでは étale 環写像が平坦かつ有限表示であることも用いる。Algebra, Lemma 00U2 を参照せよ）。

\(B'\) を \(A'\) における \(A\) の整閉包とする。Lemma 09XH により、(0EM1) と両立するように \(A/I\)-代数として [0EM3]\[\begin{equation} B'/IB' \cong A/I \times C' \end{equation}\] と分解でき、\((1, 0)\) を持ち上げる \(b \in B'\) で \(B'_b \to A'_b\) が同型となるものを見つけられる。分解 (0EM3) が \(A\)-代数の分解 [0EM4]\[\begin{equation} B' \cong B'_1 \times B'_2 \end{equation}\] に持ち上がるならば、誘導される分解 \(A' = A'_1 \times A'_2\) は、求める (0EM2) を与える。実際、\(b\) は \(B'_1\) の単元なので （詳細は省略する）、\(B'_1 \cong A'_1\) となり、\(A'_1\) は \(A\) 上整となる。

\(b\) を含む有限 \(A\)-部分代数 \(B'' \subset B'\) を選ぶ （\(B'\) の任意の有限生成 \(A\)-部分代数は \(A\) 上有限であることに注意せよ）。 \(B''\) を拡大することで、\(b\) は \(B''/IB''\) において冪等元に写り、分解 [0EM5]\[\begin{equation} B''/IB'' \cong C''_1 \times C''_2 \end{equation}\] を生じると仮定してよい。\(B'_b \cong A'_b\) なので、\(B'_b\) は \(A\) 上有限型である。 \(B'_b\) は \(A\) 上 \(b_1/b^n, \ldots, b_t/b^n\) によって生成されるとし、 \(b_1, \ldots, b_t \in B''\) となるように \(B''\) を拡大する。 すると \(B''_b \to B'_b\) は全射かつ単射、従って同型である。特に \(C''_1 = A/I\) である！ 従って \(A/I \to C''_1\) は同型、特に全射である。 Lemma 0EM0 により、\(a_n, \ldots, a_0 \in I\), \(n \ge 1\) で、\(f(b) = 0\) を満たす形 \[f(T) = T^n(T - 1) + a_n T^n + \ldots + a_1 T + a_0\] の \(f(T) \in A[T]\) を見つけられる。特に \(B'\) は

\(A[T]/(f)\)-代数である。(5) により、\(f\) の根 \(a \in 1 + I\) が存在する。 これは、\(B'/IB'\) の分解 (0EM3) と両立する積分解 \(A[T]/(f) = A[T]/(T - a) \times D\) を生じる。そこから誘導される \(B'\) の分解が 求める (0EM4) である。

補題

\(A\) を環とし、\(I, J \subset A\) を \(V(I) = V(J)\) を満たすイデアルとする。 このとき \((A, I)\) が Hensel 対であるための必要十分条件は、\((A, J)\) が Hensel 対であることである。

証明

任意の整環写像 \(A \to B\) に対して \(V(IB) = V(JB)\) である。従って \(B/IB\) の 冪等元と \(B/JB\) の冪等元は全単射に対応する （Algebra, Lemma 00EE）。これより、 \(B \to B/IB\) が冪等元の集合上の全単射を誘導するための必要十分条件は、 \(B \to B/JB\) が冪等元の集合上の全単射を誘導することである。 従って Lemma 09XI により結論が従う。

補題

\((A, I)\) を Hensel 対とし、\(A \to B\) を整環写像とする。このとき \((B, IB)\) は Hensel 対である。

証明

Lemma 09XI における Hensel 対の第4の特徴付けと、 整環写像の合成が整であるという事実から直ちに従う。

補題

\(I \subset J \subset A\) を環 \(A\) のイデアルとする。次の条件は同値である。

1. \((A, I)\) と \((A/I, J/I)\) は Hensel 対である、かつ

2. \((A, J)\) は Hensel 対である。

証明

(1) を仮定する。\(B\) を整 \(A\)-代数とする。環写像 \[B \to B/IB \to B/JB\] を考える。Lemma 09XI により、両方の矢印が 冪等元上の全単射を誘導することが分かる。従って合成もそうである。 よって Lemma 09XI により \((A, J)\) は Hensel 対である。

逆に (2) が成り立つと仮定する。Lemma 09XK により \((A/I, J/I)\) は Hensel 対である。\(B\) を整 \(A\)-代数とし、環写像 \[B \to B/IB \to B/JB\] を考える。Lemma 09XI により、合成と第2の矢印は 冪等元上の全単射を誘導する。従って第1の矢印もそうである。よって再び同じ補題により \((A, I)\) は Hensel 対である。

補題

\(A\) を環とし、\((A, I)\) と \((A, I')\) を Hensel 対とする。このとき

\((A, I + I')\) は Hensel 対である。

証明

Lemma 09XK により、対 \((A/I, (I' + I)/I)\) は Hensel 対である。従って Lemma 0DYD から結論を得る。

補題

\(J\) を集合、\(\{ (A_j, I_j)\}_{j \in J}\) を対の族とする。このとき \((\prod_{j \in J} A_j, \prod_{j\in J} I_j)\) が Hensel 対であるための必要十分条件は、 各 \((A_j, I_j)\) が Hensel 対であることである。

証明

各 \(j \in J\) に対して、射影 \(\prod_{j \in J} A_j \rightarrow A_j\) は整環写像なので、 \((\prod_{j \in J} A_j, \prod_{j\in J} I_j)\) が Hensel 対ならば、Lemma 09XK により各 \((A_j, I_j)\) も Hensel 対である。

逆に、各 \((A_j, I_j)\) が Hensel 対であると仮定する。このとき \(x \in \prod_{j \in J} I_j\) に対する各 \(1 + x\) は、成分ごとに単元なので \(\prod_{j \in J} A_j\) の単元である。ここで Algebra, Lemma 0AME と Definition 09XE を用いた。従って再び Algebra, Lemma 0AME により、\(\prod_{j \in J} I_j\) は \(\prod_{j \in J} A_j\) の Jacobson 根基に含まれる。引き続き成分ごとに考えると、 任意のモニック \(f \in (\prod_{j \in J} A_j)[T]\) と、 \(\overline{f} = g_0h_0\) という因数分解で、 \(g_0, h_0 \in (\prod_{j \in J} A_j / \prod_{j \in J} I_j)[T] = (\prod_{j \in J} A_j/I_j)[T]\) がモニックで \((\prod_{j \in J} A_j / \prod_{j \in J} I_j)[T]\) の単位イデアルを 生成するものに対して、\((\prod_{j \in J} A_j)[T]\) における \(g\), \(h\) がモニックで \(g_0\), \(h_0\) に簡約する因数分解 \(f = gh\) が存在する。 結論として Definition 09XE により \((\prod_{j \in J} A_j, \prod_{j\in J} I_j)\) は Hensel 対である。

補題

Hensel 対であるという性質は、対の極限をとることで保たれる。より正確には、 \(J\) を前順序集合、\((A_j, I_j)\) を \(J\) 上の Hensel 対の逆系とする。このとき、 イデアル \(I = \lim I_j\) を備えた \(A = \lim A_j\) は Hensel 対 \((A, I)\) である。

証明

Categories, Lemma 002N により、積と等化子だけを 考えればよい。積については、主張は Lemma 0ATD から従う。 そこで、等化子図式 \[\xymatrix{ (A, I) \ar[r] & (A', I') \ar@<1ex>[r]^{\varphi} \ar@<-1ex>[r]_{\psi} & (A'', I'') }\] を考える。ここで対 \((A', I')\) と \((A'', I'')\) は Hensel 対である。 対 \((A, I)\) も Hensel 対であることを確認するため、Lemma 09XI の Gabber の判定法を用いる。 \(1 + I\) の各元は \(A\) の単元である。実際、単元の逆元の一意性により、これは \((A', I')\) において確認できる。従って Algebra, Lemma 0AME により \(I\) は \(A\) の Jacobson 根基に含まれる。 そこで、\(a_{N - 1}, \dotsc, a_0 \in I\), \(N \ge 1\) に対する多項式

\[f(T) = T^{N - 1}(T - 1) + a_{N - 1} T^{N - 1} + \dotsb + a_1 T + a_0\] を \(A[T]\) においてとる。\(A'[T]\) における \(f(T)\) の像は一意な根 \(\alpha' \in 1 + I'\) をもち、\(A''[T]\) におけるそのさらなる像についても同様である。 従って一意性により \(\varphi(\alpha') = \psi(\alpha')\) であり、これは \(\alpha'\) が求めるように \(1 + I\) における \(f(T)\) の根を定めることを意味する。

補題

Hensel 対であるという性質は、対のフィルター付き余極限をとることで保たれる。 より正確には、\(J\) を有向集合、\((A_j, I_j)\) を \(J\) 上の Hensel 対の系とする。 このとき、イデアル \(I = \colim I_j\) を備えた \(A = \colim A_j\) は Hensel 対 \((A, I)\) である。

証明

\(u \in 1 + I\) ならば、ある \(j \in J\) に対して \(u\) はある \(u_j \in 1 + I_j\) の像である。\(I_j\) は \(A_j\) の Jacobson 根基に含まれるという仮定と Algebra, Lemma 0AME により、\(u_j\) は \(A_j\) で可逆である。 従って \(u\) は \(A\) で可逆である。よって同じ補題により、\(I\) は \(A\) の Jacobson 根基に含まれる。

\(f \in A[T]\) をモニック多項式とし、\(A/I[T]\) の単位イデアルを生成するモニック多項式 \(g_0, h_0 \in A/I[T]\) による因数分解 \(\overline{f} = g_0 h_0\) をとる。 ある \(g'_0, h'_0 \in A/I[T]\) によって \(1 = g_0 g'_0 + h_0 h'_0\) と書く。 \(A = \colim A_j\) と \(A/I = \colim A_j/I_j\) はフィルター付き余極限なので、 ある \(j \in J\) と

\(f_j \in A_j\)、およびモニック多項式 \(g_{j, 0}, h_{j, 0} \in A_j/I_j[T]\) による 因数分解 \(\overline{f}_j = g_{j, 0} h_{j, 0}\) で、ある \(g'_{j, 0}, h'_{j, 0} \in A_j/I_j[T]\) に対して \(1 = g_{j, 0} g'_{j, 0} + h_{j, 0} h'_{j, 0}\) を満たし、 \(f_j, g_{j, 0}, h_{j, 0}, g'_{j, 0}, h'_{j, 0}\) がそれぞれ \(f, g_0, h_0, g'_0, h'_0\) に写るものを見つけられる。 \((A_j, I_j)\) は Hensel 対なので、\(\overline{f}_j = g_{j, 0} h_{j, 0}\) を \(A_j\) 上の因数分解に持ち上げられる。その像を \(A\) にとると、対応する \(A\) における因数分解が得られる。従って \((A, I)\) は Hensel 対である。

例

Lemma 0FWT は、余極限がフィルター付きでなければ 正しくない。例えば Hensel 対 \((\mathbf{Z}_p, (p))\) と \((\mathbf{Z}_p, (p))\) の余積をとると、\(A = \mathbf{Z}_p \otimes_\mathbf{Z} \mathbf{Z}_p\) に対する \((A, pA)\) が得られる。これは Hensel 対ではない。

\(A/pA = \mathbf{F}_p\) なので、もし \((A, pA)\) が Hensel 対ならば、\(A\) は局所環で なければならない。しかし \(\Spec(A)\) は非連結である。例えば奇素数 \(p\) に対して、 非自明な冪等元 \[(1/2 \otimes 1) \left(1 \otimes 1 - (1 + p)^{-1}u \otimes u\right)\] がある。ここで \(u \in \mathbf{Z}_p\) は \(1 + p\) の平方根である。詳細の一部は省略する。

補題

\(A\) を環とする。\((A, I)\) が Hensel 対となる最大のイデアル \(I \subset A\) が存在する。

証明

Lemmas 0DYD, 0G1R, および 0FWT を組み合わせればよい。

補題

\((A, I)\) を Hensel 対とし、\(\mathfrak p \subset A\) を素イデアルとする。 このとき \(V(\mathfrak p + I)\) は連結である。

証明

Lemma 09XK により、

\((A/\mathfrak p, I + \mathfrak p/\mathfrak p)\) は Hensel 対である。 従って、\((A, I)\) が Hensel 対で \(A\) が整域ならば \(\Spec(A/I) = V(I)\) は連結である、という主張を証明すれば十分である。 そうでなければ、Algebra, Lemma 00EF により \(A/I\) は非自明な冪等元をもつ。Lemma 09XI により、 これは \(A\) が非自明な冪等元をもつことを含意する。これは矛盾である。

対の Hensel 化

Section 09XD で始めた議論を続ける。

補題

包含関手 \[\text{category of henselian pairs} \longrightarrow \text{category of pairs}\] は左随伴 \((A, I) \mapsto (A^h, I^h)\) をもつ。

証明

\((A, I)\) を対とする。同型 \(A/I \to B/IB\) を誘導する étale 環写像 \(A \to B\) からなる圏を \(\mathcal{C}\) とする。圏 \(\mathcal{C}\) が有向であり、 イデアル \(I^h = IA^h\) を備えた \(A^h = \colim_{B \in \mathcal{C}} B\) が 求める随伴を与えることを示す。

まず \(\mathcal{C}\) が有向であることを示す （Categories, Definition 002V）。 \(\text{id} : A \to A\) は対象なので、この圏は空でない。\(B\) と \(B'\) が \(\mathcal{C}\) の二つの対象ならば、\(B'' = B \otimes_A B'\) は \(\mathcal{C}\) の対象であり （Algebra, Lemma 00U2 を用いよ）、射 \(B \to B''\) と \(B' \to B''\) がある。\(f, g : B \to B'\) が \(\mathcal{C}\) の対象間の二つの写像ならば、 余等化子は \[(B' \otimes_{f, B, g} B') \otimes_{(B' \otimes_A B')} B'\] である。これは Algebra, Lemmas 00U2 および 00U7 により \(A\) 上 étale である。 従って圏 \(\mathcal{C}\) は有向である。

\(\mathcal{C}\) のすべての対象 \(B\) に対して \(B/IB = A/I\) なので、 \(A^h/I^h = A^h/IA^h = \colim B/IB = \colim A/I = A/I\) である。

次に、\(I^h = IA^h\) を備えた \(A^h = \colim_{B \in \mathcal{C}} B\) が Hensel 対で あることを示す。そのため Lemma 09XI の条件 (2) を 確認する。すなわち、étale 環写像 \(A^h \to A'\) と \(A^h\)-代数写像 \(\sigma : A' \to A^h/I^h\) が与えられたとする。このとき、ある \(B \in \mathcal{C}\) と étale 環写像 \(B \to B'\) が存在して \(A' = B' \otimes_B A^h\) となる。Algebra, Lemma 00U2 を参照せよ。 \(A^h/I^h = A/I\) なので、写像 \(\sigma\) は \(A\)-代数写像 \(s : B' \to A/I\) を誘導する。 このとき \(A/I\)-代数として \(B'/IB' = A/I \times C\) である。ここで \(C\) は

\(s\) が誘導する写像 \(B'/IB' \to A/I\) の核である。 \((1, 0) \in A/I \times C\) に写る \(g \in B'\) をとる。このとき \(B \to B'_g\) は étale で、\(A/I \to B'_g/IB'_g\) は同型である。すなわち \(B'_g\) は \(\mathcal{C}\) の対象である。従って標準写像 \(B'_g \to A^h\) が得られ、 \[\vcenter{ \xymatrix{ B'_g \ar[r] & A^h \\ B \ar[u] \ar[ur] } } \quad\text{and}\quad \vcenter{ \xymatrix{ B' \ar[r] \ar[rrd]_s & B'_g \ar[r] & A^h \ar[d] \\ & & A/I } }\] は可換である。これは求めるように \(\sigma\) と両立する写像 \(A' = B' \otimes_B A^h \to A^h\) を誘導する。

\((A, I) \to (A', I')\) を対の射とし、\((A', I')\) は Hensel 対であるとする。 一意な因数分解 \(A \to A^h \to A'\) が存在することを示す。これで証明が完了する。 実際、\(\mathcal{C}\) の各 \(A \to B\) に対して、環写像 \(A' \to B' = A' \otimes_A B\) は étale で、同型 \(A'/I' \to B'/I'B'\) を誘導する。従って Lemma 09XI により切断 \(\sigma_B : B' \to A'\) が存在する。 \(\mathcal{C}\) の射 \(B_1 \to B_2\) が与えられたとき、図式 \[\xymatrix{ B'_1 \ar[rr] \ar[rd]_{\sigma_{B_1}} & & B'_2 \ar[ld]^{\sigma_{B_2}} \\ & A' }\] が可換であると主張する。これは、\(\mathcal{C}\) の各 \(B\) に対して切断 \(\sigma_B\) が一意な \(A'\)-代数写像 \(B' \to A'\) であることを証明すれば従う。 ある環 \(R\) に対して \(B' \otimes_{A'} B' = B' \times R\) である。 Algebra, Lemma 02FL を参照せよ。この場合 \(B'/I'B' = A'/I'\) なので \(R/I'R = 0\) である。従って二つの \(A'\)-代数写像 \(\sigma_B, \sigma_B' : B' \to A'\) が与えられると、 \(e = (\sigma_B \otimes \sigma_B')(0, 1) \in A'\) は \(I'\) に含まれる冪等元である。 Lemma 09XF により \(e = 0\) と結論する。 従って求めるように \(\sigma_B = \sigma_B'\) である。この可換性を用いて \[A^h = \colim_{B \in \mathcal{C}} B \to \colim_{B \in \mathcal{C}} A' \otimes_A B \xrightarrow{\colim \sigma_B} A'\] を得る。写像 \(\sigma_B\) の一意性は、この写像も一意であることを保証する。 従って \((A, I) \mapsto (A^h, I^h)\) が求める随伴である。

補題

\((A, I)\) を対とし、\((A^h, I^h)\) を Lemma 0A02 のものとする。 このとき \(A \to A^h\) は平坦、\(I^h = IA^h\) であり、すべての \(n\) に対して \(A/I^n \to A^h/I^nA^h\) は同型である。

証明

Lemma 0A02 の証明で、\(A^h\) は、同型 \(A/I \to B/IB\) を誘導する étale \(A\)-代数 \(B\) のフィルター付き余極限であり、 \(I^h = IA^h\) であることを見た。étale 環写像は平坦なので （Algebra, Lemma 00U2）、Algebra, Lemma 05UT により \(A \to A^h\) は平坦である。 各 \(A \to B\) は平坦なので、写像 \(A/I^n \to B/I^nB\) も同型である （例えば Algebra, Lemma 051H による）。 余極限をとると、求める \(A/I^n = A^h/I^nA^h\) が得られる。

補題

Lemma 0A02 の関手は、局所環 \((A, \mathfrak m)\) にその Hensel 化を対応させる。

証明

\((A^h, \mathfrak m^h)\) を、Lemma 0A02 で構成した対 \((A, \mathfrak m)\) の Hensel 化とする。Lemma 0AGU により \(\mathfrak m^h = \mathfrak m A^h\) は極大イデアルであり、これは Jacobson 根基に 含まれるので、\(A^h\) は極大イデアル \(\mathfrak m^h\) をもつ局所環である。 ここから証明を終える方法は二つある。

第1の証明：Algebra, Lemma 04GN の証明における 余極限としての構成は、Lemma 0A02 で \(A^h\) を構成するために 用いた余極限と同じであることに注意する。 第2の証明：Hensel 化 \(A \to S\) と Lemma 0A02 の \(A \to A^h\) はともに局所環準同型であり、\(S\) と \(A^h\) はともに étale \(A\)-代数のフィルター付き余極限であり、\(S\) と \(A^h\) はともに Hensel 局所環であり、 \(S\) と \(A^h\) の剰余体はともに \(\kappa(\mathfrak m)\) に等しい （後者については Lemma 0AGU による）。従って Algebra, Lemma 08HT により、これらは標準的に同型である。

補題

\((A, I)\) を \(A\) が Noether 環である対とし、\((A^h, I^h)\) を Lemma 0A02 のものとする。このとき \(I\)-進完備化の写像 \[A^\wedge \to (A^h)^\wedge\] は同型である。さらに \(A^h\) は Noether 環であり、写像 \(A \to A^h \to A^\wedge\) は平坦で、\(A^h \to A^\wedge\) は忠実平坦である。

証明

最初の主張は Lemma 0AGU の直ちに従う帰結であり、実際 \(A\) が Noether 環であるという仮定なしに成り立つ。Lemma 0A02 の証明で、\(A^h\) は、同型 \(A/I \to B/IB\) を誘導する étale \(A\)-代数 \(B\) のフィルター付き余極限であることを見た。このような各 \(A \to B\) に対して、誘導される写像 \(A^\wedge \to B^\wedge\) は同型である （Lemma 0AGU の証明を参照）。Algebra, Lemma 00MB により、環写像 \(B \to A^\wedge = B^\wedge = (A^h)^\wedge\) は各 \(B\) に対して平坦である。 従って Algebra, Lemma 05UU により \(A^h \to A^\wedge = (A^h)^\wedge\) は平坦である。\(I^h = IA^h\) は \(A^h\) の Jacobson 根基に含まれ、\(A^h \to A^\wedge\) は同型 \(A^h/I^h \to A/I\) を誘導するので、 Algebra, Lemma 00HP により \(A^h \to A^\wedge\) は忠実平坦である。 Algebra, Lemma 0316 により 環 \(A^\wedge\) は Noether 環である。従って Algebra, Lemma 033E により \(A^h\) は Noether 環であると結論する。

補題

\((A, I) = \colim (A_i, I_i)\) を対のフィルター付き余極限とする。Lemma 0A02 の関手は \(A^h = \colim A_i^h\) および \(I^h = \colim I_i^h\) を与える。

この補題はフィルター付きでない余極限に対しては正しくない。Example 0FWU を参照せよ。

証明

Categories, Lemma 0038 により、\((A^h, I^h)\) は Hensel 対の圏における系 \((A_i^h, I_i^h)\) の余極限である。従って Hensel 対 \((B, J)\) に対して \[\Mor((A^h, I^h), (B, J)) = \lim \Mor((A_i^h, I_i^h), (B, J)) = \Mor(\colim (A_i^h, I_i^h), (B, J))\] である。ここで余極限は対の圏におけるものである。余極限はフィルター付きなので、 対の圏において \(\colim (A_i^h, I_i^h) = (\colim A_i^h, \colim I_i^h)\) を得る。詳細は省略する。

余極限がフィルター付きであることを再び用いると、これは Hensel 対である （Lemma 0FWT）。従って Yoneda の補題により \((A^h, I^h) = (\colim A_i^h, \colim I_i^h)\) を得る。

補題

\(A\) をイデアル \(I\), \(J\) をもつ環とする。\(V(I) = V(J)\) ならば、Lemma 0A02 の関手は対 \((A, I)\) と対 \((A, J)\) に同じ環を与える。

証明

対 \((A, I)\) から Lemma 0A02 によって得られる対を \((A', IA')\) とする。Lemma 0AGU を参照せよ。 対 \((A, J)\) から Lemma 0A02 によって得られる対を \((A'', JA'')\) とする。Lemma 09XJ により、 \((A', JA')\) は Hensel 対であり、\((A'', IA'')\) も Hensel 対である。 構成の普遍性により、一意な \(A\)-代数写像 \(A'' \to A'\) と \(A' \to A''\) を得る。 一意性から、これらは互いに逆である。

補題

\((A, I) \to (B, J)\) を \(V(J) = V(IB)\) を満たす対の写像とする。 \((A^h , I^h) \to (B^h, J^h)\) を Hensel 化上の誘導写像とする （Lemma 0A02）。\(A \to B\) が整ならば、誘導写像 \(A^h \otimes_A B \to B^h\) は同型である。

証明

Lemma 0F0L により \(J = IB\) と仮定してよい。 Lemma 09XK により、対 \((A^h \otimes_A B, I^h(A^h \otimes_A B))\) は Hensel 対である。 \((B^h, IB^h)\) の普遍性により、写像 \(B^h \to A^h \otimes_A B\) を得る。 この写像が補題の写像の逆であることの証明は省略する。

補題

\(I_1, I_2, \dots, I_n \subset A\) を環 \(A\) のイデアルとする。 \(i \not = j\), \(1 \leq i, j \leq n\) に対して \(I_i + I_j = A\) と仮定する。 \(A^h\) を対 \((A, I_1 \cap \ldots \cap I_n)\) の Hensel 化、\(A_i^h\) を対 \((A, I_i)\) の Hensel 化とする。このとき自然な射 \[A^h \to \prod\nolimits_{i = 1, \ldots, n} A^h_i\] は同型である。

証明

この写像は構成の関手性から得られる。\(n = 1\) ならば結果は直ちに従う。 \(n > 1\) ならば、イデアルに関する仮定から \((I_1 \cap \ldots \cap I_{n - 1}) + I_n = A\) であることに注意する。 従って \(n = 2\) に対して補題を証明すれば、すべての \(n\) に対して帰納法で従う。

\(n = 2\) の場合。\(f_1 + f_2 = 1\) を満たす \(f_i \in I_i\) を選ぶ。 \(A^h\) は、\(A \to B\) が étale で、

\(A/I_1 \cap I_2 \to B/(I_1 \cap I_2)B\) が同型となる \(A\)-代数 \(B\) の余極限として 構成されることを思い出す。Lemma 0A02 の証明を参照せよ。 このような \(A\)-代数 \(B\) の圏を \(Hens\) と書く。同様に、\(i = 1, 2\) に対して、 \(A/I_i \to B/I_iB\) が同型となる étale \(A\)-代数 \(B\) の圏を \(Hens_i\) と書く。

\(f_2\) が可逆となるような \(B\) からなる部分圏 \(Hens_1(f_2) \subset Hens_1\) を考える。これは共終部分圏である。実際、 \(B\) が \(Hens_1\) に属すれば \(B_{f_2}\) も \(Hens_1\) に属する （ヒント：\(f_2\) は \(I_1\) を法として単元なので \(B_{f_2}/I_1B_{f_2} = (B/I_1B)_{f_2} = B/I_1B\)）。同様に部分圏 \(Hens_2(f_1) \subset Hens_2\) も共終である。従って \(A_1^h\) と \(A_2^h\) の計算には

これらのより小さい圏を用いてよい。Categories, Lemma 04E7 を参照せよ。

関手 \[Hens_1(f_2) \times Hens_2(f_1) \to Hens,\quad (B_1, B_2) \mapsto B_1 \times B_2\] を考える。次の計算により、この関手は意味をもつ。 \[\begin{align*} (B_1 \times B_2)/(I_1 \cap I_2)(B_1 \times B_2) & = B_1/(I_1 \cap I_2)B_1 \times B_2/(I_1 \cap I_2)B_2 \\ & = B_1/I_1B_1 \times B_2/I_2B_2 \\ & = A/I_1 \times A/I_2 \\ & = A/(I_1 \cap I_2) \end{align*}\] 第2の等式は、\(f_2 \in I_2\) が \(B_1\) において可逆なので \((I_1 \cap I_2)B_1 = I_1B_1 \cap I_2B_1 = I_1B_1\) であることから従う （Algebra, Lemma 0BBY も用いた）。 最後の等式は Algebra, Lemma 00DT による。 証明を終えるには、表示された関手が共終であることを示せば十分である （上で引用した補題を参照）。Categories, Definition 04E6 の第1の条件は、\(Hens\) の対象 \(B\) が 関手の像に属する \(B_{f_2} \times B_{f_1}\) に写るので成り立つ。 第2の条件も常に成り立つ。実際、\(B \to B_1 \times B_2\) と \(B \to B'_1 \times B'_2\) が与えられ、\(B_1, B'_1 \in Hens_1(f_2)\) および \(B_2, B'_2 \in Hens_2(f_1)\) ならば、\(Hens_1(f_2)\) に属する \(B''_1 = B_1 \otimes_B B'_1\) と、同様に \(Hens_2(f_1)\) に属する

\(B''_2 = B_2 \otimes_B B''_2\) を置くことで、可換図式に入る写像 \(B \to B''_1 \times B''_2\) を見つけられる。 \[\xymatrix{ & B \ar[ld] \ar[d] \ar[rd] \\ B_1 \times B_2 \ar[r] & B_1'' \times B_2'' & B_1' \times B_2' \ar[l] }\] これで証明が完了する。

持ち上げと Hensel 対

この節では主に Sections 07LW と 09XD の結果を組み合わせる。

補題

\((R, I)\) を Hensel 対とする。写像 \[P \longrightarrow P/IP\] は、有限生成射影 \(R\)-加群の同型類の集合と有限生成射影 \(R/I\)-加群の同型類の 集合との間の全単射を誘導する。特に、任意の有限生成射影 \(R/I\)-加群は、 ある有限生成射影 \(R\)-加群 \(P\) に対する \(P/IP\) と同型である。

証明

まず最後の主張を証明する。\(\overline{P}\) を有限生成射影 \(R/I\)-加群とする。 \(R/I = R'/IR'\) を満たす、\(R\) 上 étale なある \(R'\) 上の有限生成射影加群 \(P'\) で、\(P'/IP'\) が \(\overline{P}\) と同型となるものを見つけられる。 Lemma 07M5 を参照せよ。\((R, I)\) は Hensel 対なので、 étale 環写像 \(R \to R'\) は切断 \(\tau : R' \to R\) をもつ （Lemma 09XI）。 \(P = P' \otimes_{R', \tau} R\) と置くと、\(P/IP\) は \(\overline{P}\) と同型である。 もちろん、これは補題の主張にある写像が全射であることを示す。

単射性。\(P_1\) と \(P_2\) を有限生成射影 \(R\)-加群とし、\(R/I\)-加群として \(P_1/IP_1 \cong P_2/IP_2\) であるとする。\(P_1\) は射影的なので、与えられた同型を 持ち上げる \(R\)-加群写像 \(u : P_1 \to P_2\) を見つけられる。 すると Nakayama の補題（Algebra, Lemma 00DV）により \(u\) は全射である。 同様に全射 \(v : P_2 \to P_1\) を見つけられる。Algebra, Lemma 05G8 により写像 \(v \circ u\) は同型であり、\(u\) も同型と結論する。

補題

\((A, I)\) を Hensel 対とする。関手 \(B \to B/IB\) は、有限 étale \(A\)-代数と 有限 étale \(A/I\)-代数との間の同値を定める。

証明

\(B, B'\) を \(A\) 上有限 étale な二つの \(A\)-代数とする。このとき \(B' \to B'' = B \otimes_A B'\) も有限 étale である （Algebra, Lemmas 00U2 および 02JK）。次の間に \(1\) 対 \(1\) の対応がある。

1. \(A\)-代数写像 \(B \to B'\),

2. \(B' \to B''\) の切断、かつ

3. \(B' \to B'' \to eB''\) が同型となる \(B''\) の冪等元 \(e\).

(2) と (3) の間の全単射は、\(\sigma : B'' \to B'\) を、\((1 - e)\) が \(\sigma\) の核を生成する冪等元となるような \(e\) に送る。この冪等元は Algebra, Lemmas 00U7 および 00U8 により存在する。 同様に、\(A/I\)-代数写像 \(B/IB \to B'/IB'\) と、 \(B'/IB' \to B''/IB'' \to \overline{e}(B''/IB'')\) が同型となる \(B''/IB''\) の冪等元 \(\overline{e}\) との間にも対応がある。しかし \(B''/IB''\) の各冪等元 \(\overline{e}\) は \(B''\) の冪等元 \(e\) に一意に持ち上がる （Lemma 09XI）。さらに、 \(B'/IB' \to \overline{e}(B''/IB'')\) が同型ならば、Nakayama の補題 （Algebra, Lemma 00DV）により \(B' \to eB''\) も同型である。 こうしてこの関手が充満忠実であることが分かる。

本質的全射性。\(A/I \to C\) を有限 étale 写像とする。Algebra, Lemma 04D1 により、\(B/IB \cong C\) となる étale 写像 \(A \to B\) が存在する。\(B'\) を \(B\) における \(A\) の整閉包とする。 Lemma 09XH により、ある環 \(C'\) に対して \(B'/IB' = C \times C'\) であり、\((1, 0) \in C \times C'\) に写るある \(g \in B'\) に対して \(B'_g \cong B_g\) である。冪等元は持ち上がるので （Lemma 09XI）、 \(C = B'_1/IB'_1\) および \(C' = B'_2/IB'_2\) を満たす \(B' = B'_1 \times B'_2\) を得る。\(B'_1\) における \(g\) の像は可逆である。

すると \(B_g = B'_g = B'_1 \times (B_2)_g\) であり、これは \(A \to B'_1\) が étale であることを含意する。従って \(B'_1\) は \(A\) 上有限 étale である （例えば Algebra, Lemma 02JJ により、整かつ étale ならば 有限 étale である）。これで証明が完了する。

補題

\(R\) を環、\(S\) を滑らかな \(R\)-代数とする。\(A\) は \(R\)-代数で、\((A,I)\) は Hensel 対であると仮定する。このとき任意の \(R\)-代数写像 \(S \to A/I\) は \(R\)-代数写像 \(S \to A\) に持ち上げられる。

証明

\(\tau : S \to A/I\) を \(R\)-代数写像とする。Algebra, Lemma 00T4 により、\(S \otimes_R A\) は滑らかな \(A\)-代数である。従って Lemma 07M7 により、 誘導写像 \(S \otimes_R A \to A/I\) を \(A\)-代数準同型

\(S \otimes_R A \to A'\) に持ち上げられる。ここで \(A \to A'\) は étale で、 同型 \(A/I \to A'/IA'\) を誘導する。\((A, I)\) は Hensel 対なので、Lemma 09XI により \(A\)-代数写像 \(A' \to A\) がある。 合成 \(S \to S \otimes_R A \to A' \to A\) が求める持ち上げである。

補題

\(A = \lim A_n\) を環の逆系 \((A_n)\) の極限とする。\(A_n\)-加群 \(M_n\) と \(A_{n + 1}\)-加群写像 \(M_{n + 1} \to M_n\) が与えられているとし、次を仮定する。

1. 遷移写像 \(A_{n + 1} \to A_n\) は全射で、その核は局所冪零である、

2. \(M_1\) は有限生成射影 \(A_1\)-加群である、

3. \(M_n\) は有限平坦 \(A_n\)-加群である、かつ

4. 写像は同型 \(M_{n + 1} \otimes_{A_{n + 1}} A_n \to M_n\) を誘導する。

このとき \(M = \lim M_n\) は有限生成射影 \(A\)-加群であり、すべての \(n\) に対して \(M \otimes_A A_n \to M_n\) は同型である。

証明

Lemma 0CT7 により、対 \((A, \Ker(A \to A_1))\) は Hensel 対である。 Lemma 0D4A により、有限生成射影 \(A\)-加群 \(P\) と 同型 \(P \otimes_A A_1 \to M_1\) を選べる。\(P\) は射影的なので、\(A\)-加群写像 \(P \to M_1\) を \(A\)-加群写像 \(P \to M_2\), \(P \to M_3\) などへ逐次的に 持ち上げられる。従って写像 \[P \longrightarrow M\] を得る。\(P\) は有限生成射影なので、ある \(m \geq 0\) と \(A\)-加群 \(Q\) に対して \(A^{\oplus m} = P \oplus Q\) と書ける。\(A = \lim A_n\) なので \(P = \lim P \otimes_A A_n\) と結論する。従って表示された \(A\)-加群写像が同型で あることを示すには、写像 \(P \otimes_A A_n \to M_n\) が同型であることを示せば十分である。 Lemma 0D48 により、\(M_n\) は有限生成射影加群である。 Lemma 0BC6 により、写像 \(P \otimes_A A_n \to M_n\) は同型である。

絶対整閉包

ここで定義を与える。

定義

任意のモニック多項式 \(f \in A[T]\) が一次因子の積であるとき、環 \(A\) は 絶対整閉であるという。

注意が必要である。\(f\) は一次因子の積として多くの異なる仕方で書けることがある。

補題

\(A\) を環とする。次は同値である。

1. \(A\) は絶対整閉である、かつ

2. 任意のモニック多項式 \(f \in A[T]\) は \(A\) に根をもつ。

証明

省略する。

補題

\(A\) を絶対整閉環とする。

1. \(A\) の任意の商環 \(A/I\) は絶対整閉である。

2. 任意の局所化 \(S^{-1}A\) は絶対整閉である。

証明

省略する。

補題

\(A\) を環とする。\(S \subset A\) を非零因子からなる乗法的部分集合とする。 \(S^{-1}A\) が絶対整閉であり、\(A \subset S^{-1}A\) が \(S^{-1}A\) の中で整閉ならば、 \(A\) は絶対整閉である。

証明

省略する。

補題

\(A\) を正規整域とする。このとき \(A\) が絶対整閉であることと、その分数体が 代数閉であることは同値である。

証明

体が代数閉であることと、それが環として絶対整閉であることは同値である。 従って補題は Lemmas 0DCN および 0DCP から従う。

補題

任意の環 \(A\) に対して、次を満たす拡大 \(A \subset B\) が存在する。

1. \(B\) は有限自由 \(A\)-代数のフィルター付き余極限である、

2. \(B\) は \(A\)-加群として自由である、かつ

3. \(B\) は絶対整閉である。

証明

\(I\) を \(A\) 上のモニック多項式全体の集合とする。\(i \in I\) に対し、

\(x_i\) を変数とし、\(P_i\) を変数 \(x_i\) における対応するモニック多項式とする。 そして \[F(A) = A[x_i; i \in I]/(P_i; i \in I)\] とおく。記号が示唆するように、\(F\) は環の圏からそれ自身への関手である。 \(A \subset F(A)\) であること、\(F(A)\) が \(A\)-加群として自由であること、および \(F(A)\) が有限自由 \(A\)-代数のフィルター付き余極限であることに注意せよ。次に \[B = \colim F^n(A)\] とおく。ここで遷移写像は包含 \(F^n(A) \subset F(F^n(A)) = F^{n + 1}(A)\) である。係数が \(B\) に属する任意のモニック多項式は、実際にはある \(n\) に対して 係数が \(F^n(A)\) に属し、従って構成により \(F^{n + 1}(A)\) に解をもつ。 Lemma 0DCM により、これは \(B\) が絶対整閉で あることを含意する。他の性質の証明は省略する。

補題

\(A\) を絶対整閉環とする。\(\mathfrak p \subset A\) を素イデアルとする。 このとき局所環 \(A_\mathfrak p\) は強 Hensel 環である。

証明

Lemma 0DCN により、 \(A\) が局所環で \(\mathfrak p\) がその極大イデアルであると仮定してよい。 剰余体は Lemma 0DCN により代数閉である。 任意のモニック多項式は一次因子に完全分解するので、Algebra, Definition 04GF が直接適用される。

補題

\(A\) を絶対整閉環とする。\(I \subset A\) をイデアルとする。このとき \((A, I)\) が Hensel 対であるための必要十分条件は、次が成り立つことである。

1. \(I\) は \(A\) の Jacobson 根基に含まれる、

2. \(A \to A/I\) は冪等元の集合の間の全単射を誘導する。

証明

\(f \in A[T]\) をモニック多項式とし、 \(f \bmod I = g_0 h_0\) を \(A/I\) 上の因数分解で、\(g_0\), \(h_0\) はモニックであり、 さらに \(g_0\) と \(h_0\) が \(A/I[T]\) の単位イデアルを生成するものとする。これは \[A/I[T]/(f) = A/I[T]/(g_0) \times A/I[T]/(h_0)\] を意味する。

\(e \in A/I[T]/(f)\) を、右辺の環の冪等元 \((1, 0)\) に対応する元とする。 \(a_i \in A\) を用いて \(f = (T - a_1) \ldots (T - a_d)\) と書く。 各 \(i \in \{1, \ldots, d\}\) に対し、\(A\)-代数写像 \(\varphi_i : A[T]/(f) \to A\), \(T \mapsto a_i\) を得て、これは同様の \(A/I\)-代数写像 \(\overline{\varphi}_i : A/I[T]/(f) \to A/I\) を誘導する。 \(e_i = \overline{\varphi}_i(e) \in A/I\) とおく。これらは冪等元である。 仮定 (2) により、\(e_i\) を \(A\) の冪等元に持ち上げられる。これは \(A = \prod A_j\) を環の有限積として書き、各 \(A_j/IA_j\) において各 \(e_i\) が \(0\) または \(1\) となるようにできることを意味する。いくつかの詳細は省略する。 \(A_j\) は \(A\) の因子環として絶対整閉であることに注意せよ。 \(f\) の \(A_j/IA_j\) 上の因数分解を \(A_j\) 上へ持ち上げれば十分である。 これにより次段落で論じる状況へ帰着する。

\(i = 1, \ldots, r\) に対して \(e_i = 1\)、\(i = r + 1, \ldots, d\) に対して \(e_i = 0\) と仮定する。\((g_0, h_0) = A/I[T]\) から、 \(g_0 k_0 + h_0 l_0 = 1\) を満たす \(k_0, l_0 \in A/I[T]\) が存在する。 \(e = h_0 l_0\) および \(e_i = h_0(a_i) l_0(a_i)\) である。 従って \(i = 1, \dots ,r\) に対して \(h_0(a_i)\) は単元である。 \(f(a_i) = 0\) なので \(0 = h_0(a_i)g_0(a_i)\) であり、 \(i = 1, \ldots, r\) に対して \(g_0(a_i) = 0\) と結論する。 従って \((T - a_1)\) は \(A/I[T]\) において \(g_0\) を割り、 \(g_0 = (T - a_1) g_0'\) と書ける。 \(f' = (T - a_2) \ldots (T - a_d)\) および \(h'_0 = h_0\) とおく。

\(d\) に関する帰納法により、因数分解 \(f' \bmod I = g'_0 h'_0\) を \(A\) 上の因数分解 \(f' = g' h'\) に持ち上げられ、これは所望のように 因数分解 \(f \bmod I = g_0 h_0\) を持ち上げる因数分解 \(f = (T - a_1) g' h'\) を与える。

自己随伴環

この内容の一部は [Autour] にある。

定義

環 \(R\) が局所環であり、その極大イデアル \(\mathfrak m\) が \(R\) に弱随伴するとき、 \(R\) は 自己随伴であるという。

補題

自己随伴環 \(R\) は次の性質をもつ。(P) 任意の真の有限生成イデアル \(I \subset R\) は非零の零化イデアルをもつ。

証明

仮定により、任意の \(f \in \mathfrak m\) に対して

ある指数について \(f^n x = 0\) となるような非零元 \(x \in R\) が存在する。 \(I = (f_1, \ldots, f_r)\) と書く。このとき \(x\) は \(R \to \bigoplus R_{f_i}\) の核に属する。従って Algebra, Lemma 0565 により、すべての \(i\) に対して \(f_i y = 0\) となる非零元 \(y \in R\) が存在する。 \(y \in \text{Ann}_R(I)\) なので主張が従う。

補題

\(R\) を Lemma 05GN の性質 (P) をもつ環とする。 \(u : N \to M\) を射影 \(R\)-加群の準同型とする。このとき \(u\) が普遍的単射であることと \(u\) が単射であることは同値である。

証明

\(u\) が単射であると仮定する。目標は \(u\) が普遍的単射であることを示すことである。 まず \(N \oplus Q\) が自由となるような加群 \(Q\) を選ぶ。 写像 \(N \oplus Q \to M \oplus Q\) を考えることにより、\(N\) が自由な場合に 補題を証明すれば十分である。この場合 \(N\) は有限自由 \(R\)-加群の有向余極限である。 従って \(N\) が有限自由 \(R\)-加群である場合に帰着する。 \(N = R^{\oplus n}\) とおき、\(n\) に関する帰納法で補題を証明する。 \(n = 0\) の場合は自明である。

\(u : R^{\oplus n} \to M\) を単射な加群写像とし、\(M\) は射影的であるとする。 \(M \oplus Q\) が自由となるような \(R\)-加群 \(Q\) を選ぶ。\(u\) を合成 \(R^{\oplus n} \to M \to M \oplus Q\) で置き換えると、\(M\) は自由であると 仮定してよい。このとき \(u(R^{\oplus n}) \subset R^{\oplus m}\) を満たす直和因子 \(R^{\oplus m} \subset M\) を見つけられる。従って \(M = R^{\oplus m}\) と仮定してよい。 この場合 \(u\) は行列 \(A = (a_{ij})\) により \(u(x_1, \ldots, x_n) = (\sum x_i a_{i1}, \ldots, \sum x_i a_{im})\) と与えられる。\(u\) は単射なので、特に \(x \not = 0\) ならば \(u(x, 0, \ldots, 0) = (xa_{11}, xa_{12}, \ldots, xa_{1m}) \not = 0\) である。 \(R\) は性質 (P) をもつので \(a_{11}R + a_{12}R + \ldots + a_{1m}R = R\) である。従って

\(R(a_{11}, \ldots, a_{1m}) \subset R^{\oplus m}\) は \(R^{\oplus m}\) の直和因子であり、 特に \(R^{\oplus m}/R(a_{11}, \ldots, a_{1m})\) は射影 \(R\)-加群である。 可換図式 \[\xymatrix{ 0 \ar[r] & R \ar[rr] \ar[d]^1 & & R^{\oplus n} \ar[r] \ar[d]^u & R^{\oplus n - 1} \ar[r] \ar[d] & 0 \\ 0 \ar[r] & R \ar[rr]^{(a_{11}, \ldots, a_{1m})} & & R^{\oplus m} \ar[r] & R^{\oplus m}/R(a_{11}, \ldots, a_{1m}) \ar[r] & 0 }\] を得る。各行は分裂完全である。従って右の縦の矢印は単射であり、帰納法の仮定を 適用して右の縦の矢印が普遍的単射であると結論できる。ゆえに中央の縦の矢印は 普遍的単射である。

補題

\(R\) を環とする。次は同値である。

1. \(R\) は Lemma 05GN の性質 (P) をもつ、

2. 射影 \(R\)-加群の任意の単射は普遍的単射である、

3. \(u : N \to M\) が単射で、\(N\), \(M\) が有限射影 \(R\)-加群ならば、 \(\Coker(u)\) は有限射影 \(R\)-加群である、

4. \(N \subset M\) であり、\(N\), \(M\) が \(R\)-加群として有限射影ならば、 \(N\) は \(M\) の直和因子である、かつ

5. 任意の単射 \(R \to R^{\oplus n}\) は分裂単射である。

証明

(1) \(\Rightarrow\) (2) は Lemma 05GP である。 (3) と (4) が同値であることは明らかである。Algebra, Lemma 058L により (2) \(\Rightarrow\) (3), (4) である。(5) は (4) の特殊な場合である。 (5) を仮定する。\(I = (a_1, \ldots, a_n)\) を \(R\) の真の有限生成イデアルとする。 \(I \not = R\) なので \(R \to R^{\oplus n}\), \(x \mapsto (xa_1, \ldots, xa_n)\) は分裂単射でない。従って非零の核をもち、 \(\text{Ann}_R(I) \not = 0\) と結論する。ゆえに (1) が成り立つ。

例

Lemma 05GQ の同値な条件が成り立っても、自由 \(R\)-加群の任意の 単射が常に分裂単射になるとは限らない。例えば \(R = k[x_1, x_2, x_3, \ldots]/(x_i^2)\) と仮定する。これは自己随伴環である。 自由 \(R\)-加群の写像 \[u : \bigoplus\nolimits_{i \geq 1} Re_i \longrightarrow \bigoplus\nolimits_{i \geq 1} Rf_i, \quad e_i \longmapsto f_i - x_if_{i + 1}.\] を考える。任意の整数 \(n\) に対して、\(u\) の \(\bigoplus_{i = 1, \ldots, n} Re_i\) への制限は単射である。実際、 像 \(u(e_1), \ldots, u(e_n)\) は \(R\) 上線形独立である。 従って \(u\) は単射であり、補題により普遍的単射である。 \(u \otimes \text{id}_k\) は全単射なので、もし \(u\) が分裂単射ならば \(u\) は全射である。しかし \(u\) は全射でない。実際、\(f_1\) の逆像は元 \[\sum\nolimits_{i \geq 0} x_1 \ldots x_ie_{i + 1} = e_1 + x_1e_2 + x_1x_2e_3 + \ldots\] でなければならないが、これは直和の元ではない。付言すると、 \(\Coker(u)\) は平坦で（\(u\) が普遍的単射だからである）、可算生成な \(R\)-加群であるが、射影的でなく（\(u\) が分裂しないからである）、 従って Mittag-Leffler でない（Algebra, Lemma 059X を参照）。

次の補題は、局所環が Noether 環である場合の Algebra, Proposition 00N1 の特殊な場合である。

補題

\((R, \mathfrak m)\) を局所環とする。 \(\varphi : R^m \to R^n\) を有限自由加群の写像とする。次は同値である。

1. \(\varphi\) は単射である、

2. \(\varphi\) の階数は \(m\) であり、\(R\) における \(I(\varphi)\) の零化イデアルは零である。

\(R\) が Noether 環ならば、これらはさらに次と同値である。

1. \(\varphi\) の階数は \(m\) であり、 \(I(\varphi) = R\) であるか、またはそれは非零因子を含む。

ここで \(\varphi\) の階数および \(I(\varphi)\) は Algebra, Definition 00MV と同様に定義される。

証明

\(\varphi\) のいずれかの行列成分が \(\mathfrak m\) に属さないならば、Algebra, Lemma 00MT を適用し、\(\varphi\) を \(1 : R \to R\) と写像 \(\varphi' : R^{m-1} \to R^{n-1}\) の和として書く。 \(\varphi'\) に対する補題が \(\varphi\) に対する補題を含意することは容易に分かる。 従って初めから \(\varphi\) のすべての行列成分が \(\mathfrak m\) に属すると 仮定してよい。

\(\varphi\) が単射であると仮定する。\(m > 0\) と仮定してよい。 \(\mathfrak q \in \text{WeakAss}(R)\) とし、従って \(R_\mathfrak q\) は自己随伴環である。このとき \(\varphi\) は単射 \(R_\mathfrak q^m \to R_\mathfrak q^n\) を誘導し、これは Lemmas 05GN および 05GP により 普遍的単射である。従って \(\varphi : \kappa(\mathfrak q)^m \to \kappa(\mathfrak q)^n\) は単射である。ゆえに \(\varphi \bmod \mathfrak q\) の階数は \(m\) であり、 \(I(\varphi \otimes \kappa(\mathfrak q))\) は零イデアルでない。 \(m\) は \(\varphi\) がもち得る最大の階数なので、\(\varphi\) の階数も \(m\) であると 結論する（行列の階数は基底変換後には下がることしかない）。従って \(I(\varphi) \cdot \kappa(\mathfrak q) = I(\varphi \otimes \kappa(\mathfrak q))\) は非零である。 ゆえに \(I(\varphi)\) は \(\mathfrak q\) に含まれない。従って \(R\) の弱随伴素イデアルは どれも \(R\)-加群 \(\text{Ann}_R I(\varphi)\) の弱随伴素イデアルでない。 従って \(\text{Ann}_R I(\varphi)\) は弱随伴素イデアルをもたない （Algebra, Lemma 0548 を参照）。 Algebra, Lemma 0588 により \(\text{Ann}_R I(\varphi)\) は零である。

逆に (2) を仮定する。階数が \(m\) であることは \(n \geq m\) を含意する。 \(I(\varphi)\) は有限生成なので \(I(\varphi) = (f_1, \ldots, f_r)\) と書く。 Algebra, Lemma 07DQ により、

\(\psi \circ \varphi = f_i \text{id}_{R^m}\) を満たす写像 \(\psi_i : R^n \to R^m\) を見つけられる。従って \(\varphi(x) = 0\) は \(i = 1, \ldots, r\) に対して \(f_i x = 0\) を含意する。 これは \(x = 0\) を含意するので、\(\varphi\) は単射である。

Noether 局所環の場合の (1) と (3) の同値性については、Algebra, Proposition 00N1 を参照する。 環 \(R\) が Noether 環だが局所環でないならば、読者は局所環の場合からこれを 導ける。詳細は省略する。別の方法として、随伴素イデアルを用いて上の議論を やり直すこともできる。その際には、それらが有限個しかないこと、素イデアル回避、 および Noether 環の非零因子はどの随伴素イデアルにも含まれない元として特徴づけ られることを用いる。

補題

\(R\) を環とする。

\(\varphi : R^n \to R^n\) が同じ階数の有限自由加群の単射であると仮定する。 このとき \(\Hom_R(\Coker(\varphi), R) = 0\) である。

証明

\(\varphi^t : R^n \to R^n\) を \(\varphi\) の転置とする。 補題の主張は \(\varphi^t\) が単射であるということである。 Lemma 00MX と同じ記号を用いると、\(\varphi^t\) の階数は \(n\) であり、\(I(\varphi) = I(\varphi^t)\) であることが分かる。 従って補題の (1) と (2) の同値性から結論を得る。

平坦化分層

\(R \to S\) を環写像、\(M\) を \(S\)-加群とする。任意の \(R\)-代数 \(R'\) に対して、 基底変換 \(S' = S \otimes_R R'\) および \(M' = M \otimes_R R'\) を考えられる。 加群 \(M'\) が \(R'\) 上平坦であるとき、\(R \to R'\) は \(M\) を 平坦化するという。\(M\) を平坦化する環写像 \(R \to R'\) 全体の構造を 理解したい。特に、\(M\) の普遍平坦化 \(R \to R_{univ}\)、すなわち \(M\) を平坦化し、\(M\) を平坦化する任意の環写像 \(R \to R'\) が \(R \to R_{univ}\) を経由して分解するという性質をもつ環写像 \(R \to R_{univ}\) が存在するかを知りたい。そのような普遍解は通常存在しない ことが分かる。

More on Flatness, Section 052F において、 スキーム論的な設定 \(\mathcal{F}/X/S\) で 普遍平坦化と 平坦化分層を論じる。普遍平坦化 \(R \to R_{univ}\) が存在するならば、 スキームの射 \(\Spec(R_{univ}) \to \Spec(R)\) は \(\Spec(S)\) 上の準連接加群 \(\widetilde{M}\) の普遍平坦化である。

本節および続くいくつかの節では、これに関係する基本的な代数の事実を証明する。 最も基本的な結果はおそらく次である。

補題

\(R\) を環、\(M\) を \(R\)-加群、\(I_1\), \(I_2\) を \(R\) のイデアルとする。 \(M/I_1M\) が \(R/I_1\) 上平坦で、\(M/I_2M\) が \(R/I_2\) 上平坦ならば、 \(M/(I_1 \cap I_2)M\) は \(R/(I_1 \cap I_2)\) 上平坦である。

証明

\(R\) を \(R/(I_1 \cap I_2)\) で、\(M\) を \(M/(I_1 \cap I_2)M\) で置き換えることにより、 \(I_1 \cap I_2 = 0\) と仮定してよい。\(J \subset R\) をイデアルとする。 \(M\) が \(R\) 上平坦であることを証明するには、 \(J \otimes_R M \to M\) が単射であることを示さなければならない （Algebra, Lemma 00HD を参照）。 \(M/I_1M\) は \(R/I_1\) 上平坦なので、写像 \[J/(J \cap I_1) \otimes_R M = (J + I_1)/I_1 \otimes_{R/I_1} M/I_1M \longrightarrow M/I_1M\] は単射である。\(0 \to (J \cap I_1) \to J \to J/(J \cap I_1) \to 0\) は完全なので、図式 \[\xymatrix{ (J \cap I_1) \otimes_R M \ar[r] \ar[d] & J \otimes_R M \ar[r] \ar[d] & J/(J \cap I_1) \otimes_R M \ar[r] \ar[d] & 0 \\ M \ar@{=}[r] & M \ar[r] & M/I_1M }\] を得る。従って \((J \cap I_1) \otimes_R M \to M\) が単射であることを 示せば十分である。\(I_1 \cap I_2 = 0\) なので、イデアル \(J \cap I_1\) は イデアル \(J' \subset R/I_2\) に同型に写り、 \((J \cap I_1) \otimes_R M = J' \otimes_{R/I_2} M/I_2M\) である。 \(M/I_2M\) は \(R/I_2\) 上平坦なので、写像 \(J' \otimes_{R/I_2} M/I_2M \to M/I_2M\) は単射であり、これは明らかに \((J \cap I_1) \otimes_R M \to M\) が単射であることを含意する。

Artin 環上の平坦化

基礎環が Artin 局所環であるとき、普遍平坦化が存在する。 これは任意の加群に対して存在する。従って後で見るように、基礎スキームが

Artin 局所環のスペクトルであるとき、平坦化分層が存在する。

補題

\(R\) を Artin 環、\(M\) を \(R\)-加群とする。このとき \(M/IM\) が \(R/I\) 上平坦となるような最小のイデアル \(I \subset R\) が存在する。

証明

これは Lemma 0522 と Artin 性から直接従う。

このイデアルは次の普遍性をもつ。

補題

\(R\) を Artin 環、\(M\) を \(R\)-加群とする。\(I \subset R\) を、 \(M/IM\) が \(R/I\) 上平坦となるような最小のイデアル \(I \subset R\) とする。 このとき \(I\) は次の普遍性をもつ。任意の環写像 \(\varphi : R \to R'\) に対して \[R' \otimes_R M\text{ is flat over }R' \Leftrightarrow \text{we have }\varphi(I) = 0.\] である。

証明

\(I\) は Lemma 0524 により存在することに注意せよ。

含意 \(\Rightarrow\) は Algebra, Lemma 00HI から従う。 \(M \otimes_R R'\) が \(R'\) 上平坦となるような \(\varphi : R \to R'\) をとる。\(J = \Ker(\varphi)\) とおく。Algebra, Lemma 051L と、 \(R' \otimes_R M = R' \otimes_{R/J} M/JM\) が \(R'\) 上平坦であることから、 \(M/JM\) は \(R/J\) 上平坦であると結論する。従って所望のように \(I \subset J\) である。

基底の閉部分集合上の平坦化

\(R \to S\) を環写像、\(I \subset R\) をイデアル、\(M\) を \(S\)-加群とする。 以下では次の条件を考える。 [052W]\[\begin{equation} \forall \mathfrak q \in V(IS) \subset \Spec(S) : M_{\mathfrak q}\text{ is flat over }R. \end{equation}\] 幾何学的には、これは \(M\) が \(\Spec(S)\) における \(V(I)\) の逆像に沿って \(R\) 上平坦であることを意味する。\(R\) と \(S\) が Noether 環で、\(M\) が有限 \(S\)-加群ならば、(052W) は、すべての \(n \geq 1\) に対して \(M/I^nM\) が \(R/I^n\) 上平坦であるという条件と同値である （Algebra, Lemma 0523 を参照）。

補題

\(R \to S\) を環写像、\(I \subset R\) をイデアル、\(M\) を \(S\)-加群とする。 \(R \to R'\) を環写像とし、\(IR' \subset I' \subset R'\) をイデアルとする。 \((R \to S, I, M)\) に対して (052W) が成り立つならば、 \((R' \to S \otimes_R R', I', M \otimes_R R')\) に対しても (052W) が成り立つ。

証明

\((R \to S, I \subset R, M)\) に対して (052W) が成り立つと仮定する。 \(I'(S \otimes_R R') \subset \mathfrak q'\) を \(S \otimes_R R'\) の素イデアルとし、 \(\mathfrak q \subset S\) を対応する \(S\) の素イデアルとする。 このとき \(IS \subset \mathfrak q\) である。 \((M \otimes_R R')_{\mathfrak q'}\) は基底変換 \(M_{\mathfrak q} \otimes_R R'\) の局所化であることに注意せよ。 従って \((M \otimes_R R')_{\mathfrak q'}\) は平坦加群の局所化として \(R'\) 上平坦である（Algebra, Lemmas 00HI および 00HT を参照）。

補題

\(R \to S\) を環写像、\(I \subset R\) をイデアル、\(M\) を \(S\)-加群とする。 \(R \to R'\) を環写像とし、\(IR' \subset I' \subset R'\) を次を満たす イデアルとする。

1. \(\Spec(R') \to \Spec(R)\) が誘導する写像 \(V(I') \to V(I)\) は全射である、かつ

2. すべての素イデアル \(\mathfrak p' \in V(I')\) に対して \(R'_{\mathfrak p'}\) は \(R\) 上平坦である。

\((R' \to S \otimes_R R', I', M \otimes_R R')\) に対して (052W) が成り立つならば、 \((R \to S, I, M)\) に対して (052W) が成り立つ。

証明

\((R' \to S \otimes_R R', IR', M \otimes_R R')\) に対して (052W) が成り立つと仮定する。 素イデアル \(IS \subset \mathfrak q \subset S\) をとり、 \(I \subset \mathfrak p \subset R\) を対応する \(R\) の素イデアルとする。 仮定により、\(\mathfrak p\) の上にある \(R'\) の素イデアル \(\mathfrak p' \in V(I')\) で \(R_{\mathfrak p} \to R'_{\mathfrak p'}\) が 平坦となるものが存在する。 \(\overline{\mathfrak q}' \subset \kappa(\mathfrak q) \otimes_{\kappa(\mathfrak p)} \kappa(\mathfrak p')\) を素イデアルとして選ぶ。これは \(\mathfrak q\) と \(\mathfrak p'\) の上にある 素イデアル \(\mathfrak q' \subset S \otimes_R R'\) に対応する。 \((S \otimes_R R')_{\mathfrak q'}\) は \(S_{\mathfrak q} \otimes_{R_{\mathfrak p}} R'_{\mathfrak p'}\) の局所化であることに注意せよ。仮定により加群 \((M \otimes_R R')_{\mathfrak q'}\) は \(R'_{\mathfrak p'}\) 上平坦である。 従って Algebra, Lemma 00MQ は \(M_{\mathfrak q}\) が \(R_{\mathfrak p}\) 上平坦であることを含意し、 これが示すべきことであった。

補題

\(R \to S\) を有限表示な環写像、\(M\) を有限表示 \(S\)-加群とする。 \(R' = \colim_{\lambda \in \Lambda} R_\lambda\) を \(R\)-代数の有向余極限とする。\(\mu \geq \lambda\) のとき \(I_\lambda R_\mu \subset I_\mu\) を満たすイデアル \(I_\lambda \subset R_\lambda\) をとり、\(I' = \colim_\lambda I_\lambda\) とおく。 \((R' \to S \otimes_R R', I', M \otimes_R R')\) に対して (052W) が成り立つならば、ある \(\lambda \in \Lambda\) が存在して \((R_\lambda \to S \otimes_R R_\lambda, I_\lambda, M \otimes_R R_\lambda)\) に対して (052W) が成り立つ。

証明

\(S_\lambda = S \otimes_R R_\lambda\), \(S' = S \otimes_R R'\), \(M_\lambda = M \otimes_R R_\lambda\) および \(M' = M \otimes_R R'\) と書く。 基底変換 \(S'\) は \(R'\) 上有限表示で、\(M'\) は \(S'\) 上有限表示であり、 添字 \(\lambda\) をもつ版についても同様である （Algebra, Lemma 05G5 を参照）。 Algebra, Theorem 00RC により、集合 \[U' = \{\mathfrak q' \in \Spec(S') \mid M'_{\mathfrak q'}\text{ is flat over }R'\}\] は \(\Spec(S')\) の開集合である。\(V(I'S')\) は仮定により \(U'\) に含まれる 準コンパクト空間であることに注意せよ。従って有限個の \(g'_j \in S'\), \(j = 1, \ldots, m\) が存在し、\(D(g'_j) \subset U'\) かつ \(V(I'S') \subset \bigcup D(g'_j)\) となる。特に \((M')_{g'_j}\) は \(R'\) 上平坦な加群である。

以下、\(\lambda \in \Lambda\) を順次十分大きくとる。まず、 \(g'_j\) に写る \(g_{j, \lambda} \in S_{\lambda}\) を見つけられるほど大きくとる。 包含 \(V(I'S') \subset \bigcup D(g'_j)\) は \(I'S' + (g'_1, \ldots, g'_m) = S'\) を意味し、これは、ある \(z_s \in I'\), \(h_s, f_j \in S'\) による \(1 = \sum z_sh_s + \sum f_jg'_j\) と表せる。 \(\lambda\) を大きくした後、このような等式が \(S_\lambda\) で成り立つと仮定してよい。 従って \(V(I_\lambda S_\lambda) \subset \bigcup D(g_{j, \lambda})\) と仮定してよい。Algebra, Lemma 02JO により、十分大きいある \(\lambda\) に対して加群 \((M_\lambda)_{g_{j, \lambda}}\) は \(R_\lambda\) 上平坦である。特に加群 \(M_\lambda\) は、イデアル \(I_\lambda\) の上にあるすべての素イデアルにおいて \(R_\lambda\) 上平坦である。

始域と基底の閉部分集合上の平坦化

本節では Section 05LK の議論を少し一般化する。 読者にはまず同節を読み、理解することを強く勧める。

設定

\(R \to S\) を環写像、\(J \subset S\) をイデアル、\(M\) を \(S\)-加群とする。

この状況で、\(R\)-代数 \(R'\) とイデアル \(I' \subset R'\) が与えられたとき、 \(S' = S \otimes_R R'\) および \(M' = M \otimes_R R'\) とおく。 次の条件を考える。 [05LQ]\[\begin{equation} \forall \mathfrak q' \in V(I'S' + JS') \subset \Spec(S') : M'_{\mathfrak q'}\text{ is flat over }R'. \end{equation}\] 幾何学的には、これは \(M'\) が、\(V(I')\) の逆像と \(V(J)\) の逆像との交わりに沿って \(R'\) 上平坦であることを意味する。\((R \to S, J, M)\) は固定されているので、 条件 (05LQ) は、\(R'\) を \(R\)-代数とみたときの対 \((R', I')\) のみに依存する。

補題

Situation 05LP において、 \(R' \to R''\) を \(R\)-代数写像とする。\(I' \subset R'\) および \(I'R'' \subset I'' \subset R''\) をイデアルとする。 \((R', I')\) に対して (05LQ) が成り立つならば、 \((R'', I'')\) に対しても (05LQ) が成り立つ。

証明

\((R', I')\) に対して (05LQ) が成り立つと仮定する。 \(I''S'' + JS'' \subset \mathfrak q''\) を \(S''\) の素イデアルとし、 \(\mathfrak q' \subset S'\) を対応する \(S'\) の素イデアルとする。 \(\mathfrak q''\) に対して対応する条件が成り立つので、 \(I'S' \subset \mathfrak q'\) と \(JS' \subset \mathfrak q'\) の両方が成り立つ。 \((M'')_{\mathfrak q''}\) は基底変換

\(M'_{\mathfrak q'} \otimes_R R''\) の局所化であることに注意せよ。 従って \((M'')_{\mathfrak q''}\) は平坦加群の局所化として \(R''\) 上平坦である （Algebra, Lemmas 00HI および 00HT を参照）。

補題

Situation 05LP において、 \(R' \to R''\) を \(R\)-代数写像とする。\(I' \subset R'\) および \(I'R'' \subset I'' \subset R''\) をイデアルとする。次を仮定する。

1. \(\Spec(R'') \to \Spec(R')\) が誘導する写像 \(V(I'') \to V(I')\) は全射である、かつ

2. すべての素イデアル \(\mathfrak p'' \in V(I'')\) に対して \(R''_{\mathfrak p''}\) は \(R'\) 上平坦である。

\((R'', I'')\) に対して (05LQ) が成り立つならば、 \((R', I')\) に対して (05LQ) が成り立つ。

証明

\((R'', I'')\) に対して (05LQ) が成り立つと仮定する。 素イデアル \(I'S' + JS' \subset \mathfrak q' \subset S'\) をとり、 \(I' \subset \mathfrak p' \subset R'\) を対応する \(R'\) の素イデアルとする。 仮定により、\(\mathfrak p'\) の上にある \(R''\) の素イデアル \(\mathfrak p'' \in V(I'')\) で、 \(R'_{\mathfrak p'} \to R''_{\mathfrak p''}\) が平坦となるものが存在する。 素イデアル \(\overline{\mathfrak q}'' \subset \kappa(\mathfrak q') \otimes_{\kappa(\mathfrak p')} \kappa(\mathfrak p'')\) を選ぶ。これは \(\mathfrak q'\) と \(\mathfrak p''\) の上にある素イデアル \(\mathfrak q'' \subset S'' = S' \otimes_{R'} R''\) に対応する。 特に \(I''S'' \subset \mathfrak q''\) および \(JS'' \subset \mathfrak q''\) である。 \((S' \otimes_{R'} R'')_{\mathfrak q''}\) は \(S'_{\mathfrak q'} \otimes_{R'_{\mathfrak p'}} R''_{\mathfrak p''}\) の局所化であることに注意せよ。仮定により加群 \((M' \otimes_{R'} R'')_{\mathfrak q''}\) は \(R''_{\mathfrak p''}\) 上平坦である。 従って Algebra, Lemma 00MQ は \(M'_{\mathfrak q'}\) が \(R'_{\mathfrak p'}\) 上平坦であることを含意し、 これが示すべきことであった。

補題

Situation 05LP において、\(R \to S\) は本質的有限表示で、 \(M\) は有限表示 \(S\)-加群であると仮定する。 \(R' = \colim_{\lambda \in \Lambda} R_\lambda\) を \(R\)-代数の有向余極限とする。すべての \(\mu \geq \lambda\) に対して \(I_\lambda R_\mu \subset I_\mu\) を満たすイデアル \(I_\lambda \subset R_\lambda\) をとり、\(I' = \colim_\lambda I_\lambda\) とおく。 \((R', I')\) に対して (05LQ) が成り立つならば、 ある \(\lambda \in \Lambda\) が存在し、\((R_\lambda, I_\lambda)\) に対して (05LQ) が成り立つ。

証明

まず \(R \to S\) が有限表示である場合に補題を証明し、その後で一般の場合に 必要な変更を説明する。\(S_\lambda = S \otimes_R R_\lambda\), \(S' = S \otimes_R R'\), \(M_\lambda = M \otimes_R R_\lambda\) および \(M' = M \otimes_R R'\) と書く。 基底変換 \(S'\) は \(R'\) 上有限表示で、\(M'\) は \(S'\) 上有限表示であり、 添字 \(\lambda\) をもつ版についても同様である （Algebra, Lemma 05G5 を参照）。 Algebra, Theorem 00RC により、集合 \[U' = \{\mathfrak q' \in \Spec(S') \mid M'_{\mathfrak q'}\text{ is flat over }R'\}\] は \(\Spec(S')\) の開集合である。\(V(I'S' + JS')\) は仮定により \(U'\) に含まれる 準コンパクト空間であることに注意せよ。従って有限個の \(g'_j \in S'\), \(j = 1, \ldots, m\) が存在し、\(D(g'_j) \subset U'\) かつ \(V(I'S' + JS') \subset \bigcup D(g'_j)\) となる。特に \((M')_{g'_j}\) は \(R'\) 上平坦な加群である。

以下、\(\lambda \in \Lambda\) を順次十分大きくとる。まず、 \(g'_j\) に写る \(g_{j, \lambda} \in S_{\lambda}\) を見つけられるほど大きくとる。 包含 \(V(I'S' + JS') \subset \bigcup D(g'_j)\) は \(I'S' + JS' + (g'_1, \ldots, g'_m) = S'\) を意味し、これは、ある \(z_s \in I'\), \(y_t \in J\), \(k_t, h_s, f_j \in S'\) に対する \[1 = \sum y_tk_t + \sum z_sh_s + \sum f_jg'_j\] と表せる。\(\lambda\) を大きくした後、このような等式が \(S_\lambda\) で 成り立つと仮定してよい。従って \(V(I_\lambda S_\lambda + J S_\lambda) \subset \bigcup D(g_{j, \lambda})\) と仮定してよい。Algebra, Lemma 02JO により、十分大きいある \(\lambda\) に対して加群 \((M_\lambda)_{g_{j, \lambda}}\) は \(R_\lambda\) 上平坦である。特に加群 \(M_\lambda\) は、 \(V(I_\lambda S_\lambda + J S_\lambda)\) の点に対応するすべての素イデアルにおいて \(R_\lambda\) 上平坦である。

\(S\) が本質的有限表示である場合、\(R \to C\) が有限表示で \(\Sigma \subset C\) が乗法的部分集合となるように \(S = \Sigma^{-1}C\) と書ける。また、有限表示 \(C\)-加群 \(N\) を用いて \(M = \Sigma^{-1}N\) と書ける （Algebra, Lemma 05N5 を参照）。 ここで \(C_\lambda\), \(C'\), \(N_\lambda\), \(N'\) を導入する。 すると上の議論で、\(N'\) が \(R'\) 上平坦となる開集合 \(U' \subset \Spec(C')\) を得る。(05LQ) が成り立つという仮定は \(V(I'S' + JS')\) が \(U'\) に写ることを意味する。実際、 素イデアル \(\mathfrak q' \subset S'\) に対応する 素イデアル \(\mathfrak r' \subset C'\) に対して \(M'_{\mathfrak q'} = N'_{\mathfrak r'}\) である。 従って \(\bigcup D(g'_j)\) が \(V(I'S' + JS')\) の像を含むような \(g'_j \in C'\) を見つけられる。証明の残りは前とまったく同じである。

補題

Situation 05LP におく。 \(I \subset R\) をイデアルとする。次を仮定する。

1. \(R\) は Noether 環である、

2. \(S\) は Noether 環である、

3. \(M\) は有限 \(S\)-加群である、かつ

4. 各 \(n \geq 1\) と任意の素イデアル \(\mathfrak q \in V(J + IS)\) に対して、加群 \((M/I^n M)_{\mathfrak q}\) は \(R/I^n\) 上平坦である。

このとき \((R, I)\) に対して (05LQ) が成り立つ。 すなわち、任意の素イデアル \(\mathfrak q \in V(J + IS)\) に対して 局所化 \(M_{\mathfrak q}\) は \(R\) 上平坦である。

証明

\(\mathfrak q \in V(J + IS)\) とする。 Algebra, Lemma 0523 を \(R \to S_{\mathfrak q}\) および \(M_{\mathfrak q}\) に適用すると、 \(M_{\mathfrak q}\) は \(R\) 上平坦であることが従う。

完備 Noether 局所環上の平坦化

基底が完備 Noether 局所環 \(R\) で、与えられた加群が有限型 \(R\)-代数 \(S\) 上 有限であるとき、次の三つの補題は「局所」平坦化分層の存在に対する 完全に代数的な証明を与える。

補題

\(R \to S\) を環写像、\(M\) を \(S\)-加群とする。次を仮定する。

1. \((R, \mathfrak m)\) は完備 Noether 局所環である、

2. \(S\) は Noether 環である、かつ

3. \(M\) は \(S\) 上有限である。

このとき、次を満たすイデアル \(I \subset \mathfrak m\) が存在する。

1. \(\mathfrak m\) の上にある \(S/IS\) のすべての素イデアル \(\mathfrak q\) に対して、\((M/IM)_{\mathfrak q}\) は \(R/I\) 上平坦である、かつ

2. \(J \subset R\) が、\(\mathfrak m\) の上にあるすべての素イデアル \(\mathfrak q\) に対して \((M/JM)_{\mathfrak q}\) が \(R/J\) 上平坦となる イデアルならば、\(I \subset J\) である。

言い換えれば、\(I\) は \((\overline{R} \to \overline{S}, \overline{\mathfrak m}, \overline{M})\) に対して (052W) が成り立つような \(R\) の最小の イデアルである。ここで \(\overline{R} = R/I\), \(\overline{S} = S/IS\), \(\overline{\mathfrak m} = \mathfrak m/I\) および \(\overline{M} = M/IM\) である。

証明

\(J \subset R\) をイデアルとする。Algebra, Lemma 0523 を環 \(R/J\) 上の加群 \(M/JM\) に適用する。 このとき

\((M/JM)_{\mathfrak q}\) が \(S/JS\) のすべての素イデアル \(\mathfrak q\) に対して \(R/J\) 上平坦であることと、すべての \(n \geq 1\) に対して \(M/(J + \mathfrak m^n)M\) が \(R/(J + \mathfrak m^n)\) 上平坦であることは同値である。 以下ではこの注意を用いる。

すべての \(n \geq 1\) に対して、局所環 \(R/\mathfrak m^n\) は Artin 環である。 従って Lemma 0524 により、 \(M/I_nM\) が \(R/I_n\) 上平坦となるような最小のイデアル \(I_n \supset \mathfrak m^n\) が存在する。

\(I_{n + 1} + \mathfrak m^n\) が \(I_n\) を含むことは明らかであり、 Lemma 0522 を適用すると \(I_n = I_{n + 1} + \mathfrak m^n\) が分かる。 \(R = \lim_n\ R/\mathfrak m^n\) なので \(I = \lim_n\ I_n/\mathfrak m^n\) は \(R\) のイデアルであり、すべての \(n \geq 1\) に対して \(I_n = I + \mathfrak m^n\) である。 証明冒頭の注意により、\(I\) は (1) と (2) を満たす。いくつかの詳細は省略する。

補題

Lemma 0526 と同じ記号 \(R \to S\), \(M\), \(I\) および仮定を用いる。 \(R'\) が Noether 環となるような局所環の局所準同型 \(\varphi : (R, \mathfrak m) \to (R', \mathfrak m')\) を考える。 このとき次は同値である。

1. \((R' \to S \otimes_R R', \mathfrak m', M \otimes_R R')\) に対して 条件 (052W) が成り立つ、かつ

2. \(\varphi(I) = 0\).

証明

含意 (2) \(\Rightarrow\) (1) は Lemma 052X から従う。 \(\varphi : R \to R'\) を補題の通りで (1) を満たすものとする。 \(\varphi(I) = 0\) を示さなければならない。これは条件 \(\varphi(I)R' = 0\) と同値である。Noether 局所環 \(R'\) における Artin–Rees により（Algebra, Lemma 00IP を参照）、これは すべての \(n > 0\) に対して \(\varphi(I)R' + (\mathfrak m')^n = (\mathfrak m')^n\) であるという条件と同値である。 従ってこれは、各 \(n\) に対して合成 \(\varphi_n : R \to R' \to R'/(\mathfrak m')^n\) が \(I\) を零化するという条件と 同値である。\(\varphi\) に対する仮定 (1) は、Lemma 052X により \(\varphi_n\) に対する 仮定 (1) を含意する。これにより \(R'\) が Artin 局所環である場合に帰着する。

\(R'\) が Artin 環であると仮定する。\(J = \Ker(\varphi)\) とおく。 \(I \subset J\) を示さなければならない。Lemma 0526 における \(I\) の構成により、 \(\mathfrak m\) の上にある \(S/JS\) の各素イデアル \(\mathfrak q\) に対して \((M/JM)_{\mathfrak q}\) が \(R/J\) 上平坦であることを示せば十分である。 \(R'\) は Artin 環なので、条件 (1) は \(M \otimes_R R'\) が \(R'\) 上平坦であることを 意味する。\(R'\) は Artin 環であり、\(R/J \to R'\) は単射な局所環写像なので、 \(R/J\) も Artin 環である。従って \(M \otimes_R R' = M/JM \otimes_{R/J} R'\) が \(R'\) 上平坦であることは、 Algebra, Lemma 051L により \(M/JM\) が \(R/J\) 上平坦であることを含意する。これで証明が完了する。

補題

Lemma 0526 と同じ記号 \(R \to S\), \(M\), \(I\) および仮定を用いる。さらに \(R \to S\) は有限型であると仮定する。 このとき任意の局所環の局所準同型 \(\varphi : (R, \mathfrak m) \to (R', \mathfrak m')\) に対して次は同値である。

1. \((R' \to S \otimes_R R', \mathfrak m', M \otimes_R R')\) に対して 条件 (052W) が成り立つ、かつ

2. \(\varphi(I) = 0\).

証明

含意 (2) \(\Rightarrow\) (1) は Lemma 052X から従う。 \(\varphi : R \to R'\) を補題の通りで (1) を満たすものとする。 \(R\) は Noether 環なので、\(R \to S\) は有限表示で、\(M\) は有限表示 \(S\)-加群である。 この環を、極大イデアル \(\mathfrak m_\lambda = R_\lambda \cap \mathfrak m'\) をもち、各 \(R_\lambda\) が \(R\) 上本質的有限型であるような局所 \(R\)-部分代数 \(R_\lambda \subset R'\) の有向余極限 \(R' = \colim_\lambda R_\lambda\) と書く。Lemma 05LM により、ある \(\lambda\) に対して \((R_\lambda \to S \otimes_R R_\lambda, \mathfrak m_\lambda, M \otimes_R R_\lambda)\) に条件 (052W) が成り立つ。 従って Lemma 0527 を 環写像 \(R \to R_\lambda\) に適用でき、\(I\) は \(R_\lambda\) で零に写ることが分かる。 従って、まして \(R'\) で零に写る。

整写像に沿う平坦性の降下

まずいくつかの簡単な補題を示す。

補題

\(R\) を環とし、\(P(T)\) を係数が \(R\) に属するモニック多項式とする。 \(P(\alpha) = 0\) を満たす \(\alpha \in R\) をとる。このとき、あるモニック多項式 \(Q(T) \in R[T]\) に対して \(P(T) = (T - \alpha)Q(T)\) である。

証明

\(P\) の次数に関する帰納法による。\(\deg(P) = 1\) ならば \(P(T) = T - \alpha\) なので結果は正しい。\(\deg(P) > 1\) ならば、 長除法により、次数が \(< \deg(P)\) である多項式 \(Q \in R[T]\) と \(r \in R\) を用いて \(P(T) = (T - \alpha)Q(T) + r\) と書ける。 仮定により \(0 = P(\alpha) = (\alpha - \alpha)Q(\alpha) + r = r\) なので、 所望のように \(r = 0\) と結論する。

補題

\(R\) を環とし、\(P(T)\) を係数が \(R\) に属するモニック多項式とする。 ある \(\alpha \in R'\) とモニック多項式 \(Q(T) \in R'[T]\) に対して \(P(T) = (T - \alpha)Q(T)\) となるような有限自由な環写像 \(R \to R'\) が存在する。

証明

\(P(T) = T^d + a_1T^{d - 1} + \ldots + a_0\) と書き、 \(R' = R[x]/(x^d + a_1x^{d - 1} + \ldots + a_0)\) とおく。 \(\alpha\) を \(x\) の剰余類とする。このとき \(P(\alpha) = 0\) は明らかである。 従って Lemma 052Z により主張が従う。

補題

\(R \to S\) を有限な環写像とする。\(S \otimes_R R'\) が \[R'[T_1, \ldots, T_n]/(P_1(T_1), \ldots, P_n(T_n))\] の形の環の商となるような有限自由環拡大 \(R \subset R'\) が存在する。 ここで、ある \(\alpha_{ij} \in R'\) に対して \(P_i(T) = \prod_{j = 1, \ldots, d_i} (T - \alpha_{ij})\) である。

証明

\(x_1, \ldots, x_n \in S\) を \(R\) 上の \(S\) の生成元とする。 各 \(i\) に対し、\(S\) において \(P_i(x_i) = 0\) となるモニック多項式 \(P_i(T) \in R[T]\) を選べる （Algebra, Lemma 00GK を参照）。 \(\deg(P_i) = d_i\) とおく。Lemma 0530 を \(\sum d_i\) 回適用することにより、各 \(P_i\) が \[P_i(T) = \prod\nolimits_{j = 1, \ldots, d_i} (T - \alpha_{ij})\] と完全分解するような有限自由環拡大 \(R \subset R'\) が存在する。

ここで \(\alpha_{ik} \in R'\) である。 \(T_i\) を \(x_i \otimes 1\) に送る \(R'\)-代数写像 \(R'[T_1, \ldots, T_n] \to S \otimes_R R'\) を考える。 これは \(P_i(T_i)\) を零に送るので、所望の全射を誘導する。

補題

\(R\) を環とし、\(S = R[T_1, \ldots, T_n]/J\) とする。 ある \(\alpha_{ij} \in R\) に対して \(P_i(T) = \prod_{j = 1, \ldots, d_i} (T - \alpha_{ij})\) となる形の元 \(P_i(T_i)\) を \(J\) が含むと仮定する。 \(1 \leq k_i \leq d_i\) を満たす \(\underline{k} = (k_1, \ldots, k_n)\) に対し、環写像 \[\Phi_{\underline{k}} : R[T_1, \ldots, T_n] \to R, \quad T_i \longmapsto \alpha_{ik_i}\] を考える。\(J_{\underline{k}} = \Phi_{\underline{k}}(J)\) とおく。 このとき \(\Spec(S) \to \Spec(R)\) の像は \(V(\bigcap J_{\underline{k}})\) に等しい。

証明

この補題はほとんど自明である。ヒント： \(V(\bigcap J_{\underline{k}}) = \bigcup V(J_{\underline{k}})\).

次の結果は Ferrand による。文献 [Ferrand] を参照せよ。

補題

\(R \to S\) を Noether 環の有限単射準同型とし、\(M\) を \(R\)-加群とする。 \(M \otimes_R S\) が平坦 \(S\)-加群ならば、\(M\) は平坦 \(R\)-加群である。

証明

\(M \otimes_R S\) が \(S\) 上平坦となる \(R\)-加群 \(M\) をとる。 Algebra, Lemma 00HJ により、\(M\) の平坦性を 証明する際には \(R\) を任意の忠実平坦環拡大で置き換えてよい。 Lemma 0531 により、あるイデアル \(J \subset R'[T_1, \ldots, T_n]\) に対して \(S' = S \otimes_R R' = R'[T_1, \ldots, T_n]/J\) となるような有限局所自由環拡大 \(R \subset R'\) を見つけられる。ここでこのイデアルは、ある \(\alpha_{ij} \in R'\) に対して \(P_i(T) = \prod_{j = 1, \ldots, d_i} (T - \alpha_{ij})\) となる形の元 \(P_i(T_i)\) を含む。

\(R'\) は Noether 環で、\(R' \subset S'\) は有限環拡大であることに注意せよ。 従って \(R\) を \(R'\) で置き換え、\(S\) が Lemma 0532 のような表示をもつと仮定してよい。 \(\Spec(S) \to \Spec(R)\) は全射であることに注意せよ （Algebra, Lemma 00GQ を参照）。 従って Lemma 0532 を用いると、 \(I = \bigcap J_{\underline{k}}\) は \(V(I) = \Spec(R)\) を満たすイデアルであると 結論する。これは \(I \subset \sqrt{(0)}\) を意味し、\(R\) は Noether 環なので \(I\) は冪零である。写像 \(\Phi_{\underline{k}}\) は可換図式 \[\xymatrix{ S \ar[rr] & & R/J_{\underline{k}} \\ & R \ar[lu] \ar[ru] }\] を誘導する。これから \(M/J_{\underline{k}}M\) は \(R/J_{\underline{k}}\) 上平坦であると結論する。 Lemma 0522 により \(M/IM\) は \(R/I\) 上平坦である。 最後に Algebra, Lemma 051J を適用して、 \(M\) は \(R\) 上平坦であると結論する。

補題

\(R \to S\) を単射な整環写像とする。\(M\) を \(R[x_1, \ldots, x_n]\) 上の有限表示加群とする。 \(M \otimes_R S\) が \(S\) 上平坦ならば、\(M\) は \(R\) 上平坦である。

証明

表示 \[R[x_1, \ldots, x_n]^{\oplus t} \to R[x_1, \ldots, x_n]^{\oplus r} \to M \to 0.\] を選ぶ。最初の写像が、\(f_{ij} \in R[x_1, \ldots, x_n]\) を成分とする \(r \times t\)-行列 \(T = (f_{ij})\) で与えられるとする。 \(f_{ij, I} \in R\) を用いて \(f_{ij} = \sum f_{ij, I} x^I\) と書く（多重添字記法）。 図式 \[\xymatrix{ R \ar[r] & S \\ R_\lambda \ar[u] \ar[r] & S_\lambda \ar[u] }\] を考える。ここで \(R_\lambda\) はすべての \(f_{ij, I}\) を含む \(R\) の有限生成 \(\mathbf{Z}\)-部分代数で、\(S_\lambda\) は \(S\) の有限 \(R_\lambda\)-部分代数である。同じ表示と同じ行列 \(T\) を \(R_\lambda[x_1, \ldots, x_n]\) 上の行列とみなして定まる有限 \(R_\lambda[x_1, \ldots, x_n]\)-加群を \(M_\lambda\) とする。 \(S\) は \(S_\lambda\) の有向余極限であることに注意せよ（詳細は省略する）。 Algebra, Lemma 02JO により、 ある \(\lambda\) に対して加群 \(M_\lambda \otimes_{R_\lambda} S_\lambda\) は \(S_\lambda\) 上平坦である。 Lemma 0533 により、 \(M_\lambda\) は \(R_\lambda\) 上平坦であると結論する。 \(M = M_\lambda \otimes_{R_\lambda} R\) なので、Algebra, Lemma 00HI により主張が従う。

補題

\(R \to S\) を Noether 環の有限単射準同型とし、\(P\) を \(R\)-加群とする。 \(P \otimes_R S\) が射影 \(S\)-加群ならば、\(P\) は射影 \(R\)-加群である。

証明

\(P \otimes_R S\) が \(S\) 上射影的となる \(R\)-加群 \(P\) をとる。 Algebra, Theorem 05A9 により、\(P\) の 射影性を証明する際には \(R\) を任意の忠実平坦環拡大で置き換えてよい。 Lemma 0531 により、あるイデアル \(J \subset R'[T_1, \ldots, T_n]\) に対して \(S' = S \otimes_R R' = R'[T_1, \ldots, T_n]/J\) となるような有限局所自由環拡大 \(R \subset R'\) を見つけられる。ここでこのイデアルは、ある \(\alpha_{ij} \in R'\) に対して \(P_i(T) = \prod_{j = 1, \ldots, d_i} (T - \alpha_{ij})\) となる形の元 \(P_i(T_i)\) を含む。

\(R'\) は Noether 環で、\(R' \subset S'\) は有限環拡大であることに注意せよ。 従って \(R\) を \(R'\) で置き換え、\(S\) が Lemma 0532 のような表示をもつと仮定してよい。 \(\Spec(S) \to \Spec(R)\) は全射であることに注意せよ （Algebra, Lemma 00GQ を参照）。 従って Lemma 0532 を用いると、 \(I = \bigcap J_{\underline{k}}\) は \(V(I) = \Spec(R)\) を満たすイデアルであると 結論する。これは \(I \subset \sqrt{(0)}\) を意味し、\(R\) は Noether 環なので \(I\) は冪零である。写像 \(\Phi_{\underline{k}}\) は可換図式 \[\xymatrix{ S \ar[rr] & & R/J_{\underline{k}} \\ & R \ar[lu] \ar[ru] }\] を誘導する。これから \(P/J_{\underline{k}}P\) は \(R/J_{\underline{k}}\) 上射影的であると結論する。 Algebra, Lemma 0H7M により、 \(P/IP\) は \(R/I\) 上射影的である。Lemma 0533 により \(P\) は \(R\) 上平坦なので、Algebra, Lemma 05CG を適用して \(P\) は \(R\) 上射影的であると 結論できる。

ねじれのない加群

本節では、ねじれのない加群と平坦性との関係（特に次元 1 の環上での関係）を論じる。

定義

\(R\) を整域、\(M\) を \(R\)-加群とする。

1. 非零元 \(f \in R\) で \(fx = 0\) となるものが存在するとき、 元 \(x \in M\) は ねじれ元であるという。

2. \(M\) のねじれ元が \(0\) のみであるとき、\(M\) は ねじれがないという。

3. \(M\) のすべての元がねじれ元であるとき、\(M\) は ねじれ加群であるという。

\(R\) を整域とし、\(S = R \setminus \{0\}\) を \(R\) の非零元からなる乗法的集合とする。 \(R\)-加群 \(M\) がねじれをもたないことと、\(M \to S^{-1}M\) が単射であることは 同値である。言い換えれば、\(K = S^{-1}R\) を \(R\) の分数体とするとき、写像 \(M \to M \otimes_R K\) が単射であることと同値である。

補題

\(R\) を整域、\(M\) を \(R\)-加群とする。\(M\) のねじれ元全体の集合 \(M_{tors}\) は写像 \(M \to M \otimes_R K\) の核である。 従って \(M_{tors}\) は \(M\) の \(R\)-部分加群である。 商加群 \(M/M_{tors}\) はねじれをもたない。

証明

上の議論を参照せよ。

補題

\(R\) を整域、\(M\) をねじれのない \(R\)-加群とする。任意の乗法的集合 \(S \subset R\) に対して、加群 \(S^{-1}M\) はねじれのない \(S^{-1}R\)-加群である。

証明

省略する。

補題

\(R \to R'\) を整域の平坦準同型とする。\(M\) がねじれのない \(R\)-加群ならば、\(M \otimes_R R'\) はねじれのない \(R'\)-加群である。

証明

\(M\) がねじれをもたないならば、\(K\) を \(R\) の分数体として \(M \subset M \otimes_R K\) は単射である。\(R'\) は \(R\) 上平坦なので、 \(M \otimes_R R' \to (M \otimes_R K) \otimes_R R'\) は単射である。 \(M \otimes_R K\) は \(K\) のコピーの直和と同型なので、 \(K \otimes_R R'\) がねじれをもたないことを示せば十分である。 これは \(R'\) の局所化なので正しい。

補題

\(R\) を整域とし、\(0 \to M \to M' \to M'' \to 0\) を \(R\)-加群の短完全列とする。\(M\) と \(M''\) がねじれをもたないならば、 \(M'\) もねじれをもたない。

証明

省略する。

補題

\(R\) を整域、\(M\) を \(R\)-加群とする。このとき \(M\) がねじれをもたないことと、 \(R\) のすべての極大イデアル \(\mathfrak m\) に対して \(M_\mathfrak m\) がねじれのない \(R_\mathfrak m\)-加群であることは同値である。

証明

省略する。ヒント：Lemma 0AUR および Algebra, Lemma 00HN を用いよ。

補題

\(R\) を整域、\(M\) を有限 \(R\)-加群とする。このとき \(M\) がねじれをもたないことと、 \(M\) が有限自由加群の部分加群であることは同値である。

証明

\(M\) が \(R^{\oplus n}\) の部分加群ならば、\(M\) はねじれをもたない。 逆に \(M\) がねじれをもたないと仮定する。\(K\) を \(R\) の分数体とする。 このとき \(M \otimes_R K\) は有限次元 \(K\)-ベクトル空間である。 このベクトル空間の基底 \(e_1, \ldots, e_r\) を選び、 \(x_1, \ldots, x_n\) を \(M\) の生成元とする。 \(b_{ij} \not = 0\) を満たすある \(a_{ij}, b_{ij} \in R\) により \(x_i = \sum (a_{ij}/b_{ij}) e_j\) と書く。\(b = \prod_{i, j} b_{ij}\) とおく。 \(M\) はねじれをもたないので、写像 \(M \to M \otimes_R K\) は単射であり、 その像は \(R^{\oplus r} = R e_1/b \oplus \ldots \oplus Re_r/b\) に含まれる。

補題

\(R\) を Noether 整域、\(M\) を非零有限 \(R\)-加群とする。次は同値である。

1. \(M\) はねじれをもたない、

2. \(M\) は有限自由加群の部分加群である、

3. \((0)\) は \(M\) の唯一の随伴素イデアルである、

4. \((0)\) は \(M\) の台に属し、\(M\) は性質 \((S_1)\) をもつ、かつ

5. \((0)\) は \(M\) の台に属し、\(M\) は埋込み随伴素イデアルをもたない。

証明

(1) と (2) の同値性は Lemma 0AUU で見た。 (4) と (5) の同値性は Algebra, Lemma 031Q で見た。 (3) と (5) の同値性は定義から直ちに従う。 ねじれのない加群の局所化はねじれをもたない （Lemma 0AUR）。従って

\(M\) が \((0)\) と異なる随伴素イデアルをもたないことは明らかである。 従って (1) は (5) を含意する。逆に (5) を仮定する。 \(M\) がねじれをもつならば、\(R\) のある非零イデアル \(I\) に対して 埋め込み \(R/I \subset M\) が存在する。従って \(M\) は \((0)\) と異なる 随伴素イデアルをもつ （Algebra, Lemmas 02M3 および 0587 を参照）。 これは仮定に反する埋込み随伴素イデアルである。

補題

\(R\) を整域とする。任意の平坦 \(R\)-加群はねじれをもたない。

証明

\(x \in R\) が非零ならば \(x : R \to R\) は単射である。従って \(M\) が \(R\) 上平坦ならば \(x : M \to M\) は単射である。ゆえに \(M\) が \(R\) 上平坦ならば \(M\) はねじれをもたない。

補題

\(A\) を付値環とする。\(A\)-加群 \(M\) が \(A\) 上平坦であることと、 \(M\) がねじれをもたないことは同値である。

証明

含意「flat \(\Rightarrow\) torsion free」は Lemma 0538 である。逆に \(M\) がねじれをもたないと仮定する。 平坦性の等式判定法により（Algebra, Lemma 00HK を参照）、\(M\) の任意の関係が自明であることを 示さなければならない。そのため、\(x_i \in M\) と \(a_i \in A\) に対して \(\sum_{i = 1, \ldots, n} a_i x_i = 0\) であると仮定する。 番号を付け直すことにより、すべての \(i\) に対して \(v(a_1) \leq v(a_i)\) と仮定してよい。従って、ある \(a'_i \in A\) に対して \(a_i = a'_i a_1\) と書ける。\(a'_1 = 1\) であることに注意せよ。 \(M\) はねじれをもたないので \(x_1 = - \sum_{i \geq 2} a'_i x_i\) である。従って \(y_i = x_i\), \(i = 2, \ldots, n\) と選べば \[x_1 = \sum\nolimits_{j \geq 2} -a'_j y_j, \quad x_i = y_i, (i \geq 2)\quad 0 = a_1 \cdot (-a'_j) + a_j \cdot 1 (j \geq 2)\] は関係が自明であったことを示す（明示的には、元 \(a_{ij}\) は \(a_{11} = 0\), \(a_{1j} = -a'_j\) (\(j > 1\)) および \(a_{ij} = \delta_{ij}\) (\(i, j \geq 2\)) とおくことで定義される）。

補題

\(A\) を Dedekind 整域（例えば離散付値環、より一般には PID）とする。

1. \(A\)-加群が平坦であることと、ねじれをもたないことは同値である。

2. 有限でねじれのない \(A\)-加群は有限局所自由である。

3. \(A\) が PID ならば、有限でねじれのない \(A\)-加群は有限自由である。

証明

（補題の括弧内の注意については、Algebra, Lemma 0AUQ を参照。）(1) の証明。 Lemma 0AUT および Algebra, Lemma 00HT により、\(\mathfrak m \subset A\) が 極大であるとき \(A_\mathfrak m\) 上で主張を確認すれば十分である。 \(A_\mathfrak m\) は離散付値環なので （Algebra, Lemma 034X）、 Lemma 0539 により主張が従う。

(2) の証明。Algebra, Lemma 00NX と (1) から従う。

(3) の証明。\(A\) を PID とし、\(M\) を有限でねじれのない加群とする。 Lemma 0AUU により、ある \(n\) に対して \(M \subset A^{\oplus n}\) である。\(n\) に関する帰納法で \(M\) が自由であることを示す。 \(n = 1\) の場合は、\(A\) が PID であるという事実そのものである。 \(n > 1\) ならば、\(M' \subset A^{\oplus n - 1}\) を \(A^{\oplus n}\) の最後の \(n - 1\) 個の直和因子への射影の像とする。 このとき短完全列 \(0 \to I \to M \to M' \to 0\) を得る。ここで \(I\) は \(M\) と \(A^{\oplus n}\) の最初の直和因子 \(A\) との交わりである。 帰納法により \(M\) は有限自由 \(A\)-加群の拡大であり、従って有限自由である。

補題

\(R\) を整域、\(M\), \(N\) を \(R\)-加群とする。\(N\) がねじれをもたないならば、 \(\Hom_R(M, N)\) もねじれをもたない。

証明

全射 \(\bigoplus_{i \in I} R \to M\) を選ぶ。 このとき \(\Hom_R(M, N) \subset \prod_{i \in I} N\) である。

加群の階数

ここで定義を与える。

定義

\(R\) を分数体 \(K\) をもつ整域とする。\(R\)-加群 \(M\) の 階数とは \(\dim_K(M \otimes_R K)\) のことである。

両方の定義が適用できる場合、この定義は Algebra, Definition 00NW における階数 \(r\) の局所自由加群という 概念と矛盾しない。

補題

\(R\) を整域とする。\(M \to M'\) が、核と余核がねじれ加群である \(R\)-加群写像ならば、\(M\) の階数は \(M'\) の階数に等しい。

証明

省略する。ヒント：\(K\) が \(R\) の分数体ならば、誘導写像 \(M \otimes_R K \to M' \otimes_R K\) は同型である。

補題

\(R\) を整域とし、\(0 \to M \to M' \to M'' \to 0\) を \(R\)-加群の短完全列とする。このとき \(M'\) の階数は \(M\) と \(M''\) の階数の和である。

証明

省略する。

補題

\(R\) を整域とし、\(M\) と \(N\) を \(R\)-加群とする。

1. \(M \otimes_R N\) の階数は \(M\) と \(N\) の階数の積である。

2. \(M\) が有限表示 \(R\)-加群ならば、\(\Hom_R(M, N)\) の階数は \(M\) と \(N\) の階数の積である。

証明

(1) はベクトル空間に対する同じ事実から従う。 \(M\) が有限表示 \(R\)-加群であると仮定する。このとき Algebra, Lemma 0583 により、 \(K\)-ベクトル空間として \(\Hom_R(M, N) \otimes_R K\) は \(\Hom_K(M \otimes_R K, N \otimes_R K)\) と同型である。 \(M \otimes_R K\) も有限次元なので、ベクトル空間に対する対応する事実から 結論が従う。

補題

\(R \subset R'\) を整域の拡大とする。\(M\) が \(R\)-加群ならば、 \(R\) 上の \(M\) の階数は \(R'\) 上の \(M \otimes_R R'\) の階数に等しい。

証明

これはベクトル空間の次元が基礎体の拡大で不変だからである。

補題

\(R\) を整域、\(M\) を有限 \(R\)-加群とする。このとき

1. \(M\) は有限階数 \(r \geq 0\) をもつ、

2. 核と余核がねじれ加群である写像 \(M \to R^{\oplus r}\) が存在する、

3. \(M_f\) が階数 \(r\) の自由加群となるような \(f \in R\), \(f \not = 0\) が存在する、かつ

4. 余核がねじれ加群である単射 \(R^{\oplus r} \to M\) が存在する。

証明

\(M\) は有限なので、\(M \otimes_R K\) は \(R\) の分数体 \(K\) 上の有限次元 ベクトル空間である。従って階数 \(r\) は有限である。

\(M\) の生成元 \(x_1, \ldots, x_n\) と、\(M \otimes_R K\) の基底 \(e_1, \ldots, e_r\) を選ぶ。\(b_{ij} \not = 0\) を満たすある

\(a_{ij} , b_{ij} \in R\) によって \(x_i \otimes 1 = \sum (a_{ij}/b_{ij}) e_j\) と書ける。 \(b = \prod b_{ij}\) とおき、\(a_{ij}\) を \(a_{ij}b/b_{ij}\) で置き換えることにより、 \(x_i \otimes 1 = \sum (a_{ij}/b) e_j\) と仮定してよい。 \(M\) に関係式 \(\sum r_i x_i = 0\) があるならば、すべての \(j = 1, \ldots, r\) に対して \(R\) で \(\sum r_ia_{ij} = 0\) であることに注意せよ。

(2) の証明。上の最後の注意により、\(x_i\) を \(\sum a_{ij} e_j\) に送る写像

\(M \to \bigoplus Re_j\) が定まり、これは良定義である。 \(e_1, \ldots, e_r\) が \(M \otimes_R K\) の基底をなすことから、 この写像は \(K\) をテンソルした後に同型となる。従ってこれは (2) の写像である。

(3) の証明。(2) で構成した写像 \(M \to R^{\oplus r}\) の余核は有限かつ ねじれ加群である。従ってこの余核を零化する \(g \in R\), \(g \not = 0\) を見つけられる。言い換えれば、写像

\(M_g \to R_g^{\oplus r}\) は全射である。従って分裂 \(M_g = N \oplus R_g^{\oplus r}\) を選べる。このとき \(N\) は \(N \otimes_{R_g} K = 0\) を満たす有限 \(R_g\)-加群である。 言い換えれば、\(N\) は \(R_g\) 上有限なねじれ加群である。 従って \(N\) を零化する \(g' \in R\) を見つけられる。 \(f= gg'\) とおくと (3) が成り立つ。

(4) を証明するため、(3) の \(f\) に対する \(M_f\) の基底 \(y_1, \ldots, y_r\) を選ぶ。ある \(m_j \in M\) と \(t_j \geq 0\) により \(y_j = m_j/f^{t_j}\) と書く。第 \(j\) 基底ベクトルを \(m_j\) に送る写像 \(R^{\oplus r} \to M\) が (4) の写像となる。詳細は省略する。

反射的加群

ここで定義を与える。

定義

\(R\) を整域とする。\(m \in M\) を、\(\varphi \in \Hom_R(M, R)\) を \(\varphi(m) \in R\) に送る写像に対応させる標準写像 \[j : M \longrightarrow \Hom_R(\Hom_R(M, R), R)\] が同型であるとき、\(R\)-加群 \(M\) は 反射的であるという。

この定義はより一般の環に対しても行えるが、既に上の定義には難点がある。 Noether 整域と有限でねじれのない加群に制限し、さらに（おそらく） \(R\) に何らかの正則性条件（例えば \(R\) が正規であること）を課すのが賢明であろう。

補題

\(R\) を整域、\(M\) を \(R\)-加群とする。

1. \(M\) が反射的ならば、\(M\) はねじれをもたない。

2. \(M\) が有限ならば、写像 \(j : M \to \Hom_R(\Hom_R(M, R), R)\) の核と余核はねじれ加群である。

3. \(M\) が有限ならば、\(j\) が単射であることと \(M\) がねじれをもたないことは 同値である。

証明

(1) を見るには、Lemma 0AUX により \(M\) の二重双対がねじれをもたないことを用いる。 \(M\) が有限であると仮定し、\(R\) 上の \(M\) の生成元 \(x_1, \ldots, x_n\) を選ぶ。\(K\) を \(R\) の分数体とする。 番号を付け直すことにより、ある \(0 \leq r \leq n\) に対して \(x_1, \ldots, x_r\) の像が \(K\) 上 \(M \otimes_R K\) の基底になると仮定してよい。 \(r < i \leq n\) に対して、ある \(k_{ij} \in K\) により \(x_i \otimes 1 = \sum_{1 \leq j \leq r} x_j \otimes k_{ij}\) と書く。 \(a_{ij} = ck_{ij} \in R\) となり、かつ \(M\) において

\(cx_i = \sum_{1 \leq j \leq r} a_{ij} x_j\) となるような \(c \in R\) を選ぶ （細部を一つ省略する）。すると写像 \[R^{\oplus r} \xrightarrow{\alpha} M \xrightarrow{\beta} R^{\oplus r} \xrightarrow{\alpha} M\] を得て、\(\alpha \circ \beta\) と \(\beta \circ \alpha\) はともに \(c\) 倍で与えられる。 ここで \(\alpha\) は \(x_1, \ldots, x_r\) を用い、\(\beta\) は \(1 \leq i \leq r\) に対して \(x_i\) を第 \(i\) 基底ベクトルの \(c\) 倍に送り、 \(r < i \leq n\) に対してベクトル \((a_{i1}, \ldots, a_{ir})\) に送る。 可換図式 \[\xymatrix{ R^{\oplus r} \ar[r] \ar[d]^{\text{id}} & M \ar[r] \ar[d]^j & R^{\oplus r} \ar[d]^{\text{id}} \ar[r] & M \ar[d]^j \\ R^{\oplus r} \ar[r] & \Hom_R(\Hom_R(M, R), R) \ar[r] & R^{\oplus r} \ar[r] & \Hom_R(\Hom_R(M, R), R) }\] を考える。もちろん、下段の連続する矢印の合成は \(c\) 倍に等しい。 この図式は \(j\) の核と余核が \(c\) で零化されることを示し、(2) が従う。 (3) については、\(M\) がねじれをもたないならば \(\beta\) は単射であり、 これは \(j\) が単射であることを含意する。逆は明らかである。実際、 \(M\) の二重双対がねじれをもたないことは既に見た。

補題

\(R\) を離散付値環、\(M\) を有限 \(R\)-加群とする。このとき写像 \(j : M \to \Hom_R(\Hom_R(M, R), R)\) は全射である。

証明

\(M_{tors} \subset M\) をねじれ部分加群とする。このとき \[\Hom_R(M, R) = \Hom_R(M/M_{tors}, R)\] である（これは任意の整域上で成り立つ）。 従って \(M\) がねじれをもたないと仮定してよい。このとき Lemma 0AUW により \(M\) は自由であり、補題は明らかである。

補題

\(R\) を Noether 整域、\(M\) を有限 \(R\)-加群とする。次は同値である。

1. \(M\) は反射的である、

2. すべての素イデアル \(\mathfrak p \subset R\) に対して \(M_\mathfrak p\) は反射的 \(R_\mathfrak p\)-加群である、かつ

3. \(R\) のすべての極大イデアル \(\mathfrak m\) に対して \(M_\mathfrak m\) は反射的 \(R_\mathfrak m\)-加群である。

証明

写像 \(j : M \to \Hom_R(\Hom_R(M, R), R)\) の素イデアル \(\mathfrak p\) における局所化は、Noether 局所整域 \(R_\mathfrak p\) 上の加群 \(M_\mathfrak p\) に対する対応する写像である。Algebra, Lemma 0583 を参照せよ。 従って補題は Algebra, Lemma 00HN により成り立つ。

補題

\(R\) を Noether 整域とする。

\(0 \to M \to M' \to M''\) を有限 \(R\)-加群の完全列とする。 \(M'\) が反射的で \(M''\) がねじれをもたないならば、\(M\) は反射的である。

証明

有限 \(R\)-加群 \(N\), \(N'\) に対して \(\Hom_R(N, N')\) は有限 \(R\)-加群であることを、以下断りなく用いる。Algebra, Lemma 08YR を参照せよ。 双対をとると列 \[\Hom_R(M, R) \leftarrow \Hom_R(M', R) \leftarrow \Hom_R(M'', R)\] を得る。もう一度双対をとると可換図式 \[\xymatrix{ \Hom_R(\Hom_R(M, R), R) \ar[r]_j & \Hom_R(\Hom_R(M', R), R) \ar[r] & \Hom_R(\Hom_R(M'', R), R) \\ M \ar[u] \ar[r] & M' \ar[u] \ar[r] & M'' \ar[u] }\] を得る。上段が完全であるかは分からない。しかし仮定により中央の縦の矢印は 同型で、右の縦の矢印は単射である （Lemma 0AV0）。\(j\) が単射であると主張する。 この主張を仮定すれば、図式追跡により左の縦の矢印が同型であること、すなわち \(M\) が反射的であることが分かる。

主張の証明。\(Q\) を定義する完全列 \(\Hom_R(M',R)\to \Hom_R(M,R)\to Q \to 0\) を考える。 Algebra, Lemma 0583 を適用すると \[\Hom_K(M'\otimes_R K,K) \to \Hom_K(M\otimes_R K,K) \to Q\otimes_R K\to 0\] を得る。しかし \(M \otimes_R K \to M' \otimes_R K\) はベクトル空間の単射で、 従って分裂単射であるから、\(Q \otimes_R K = 0\)、すなわち \(Q\) はねじれ加群である。 すると完全列 \[0 \to \Hom_R(Q,R) \to \Hom_R(\Hom_R(M,R),R) \to \Hom_R(\Hom_R(M',R),R)\] を得て、\(Q\) はねじれ加群なので \(\Hom_R(Q,R)=0\) である。

補題

\(R\) を Noether 整域、\(M\) を有限 \(R\)-加群とする。次は同値である。

1. \(M\) は反射的である、

2. \(F\) が有限自由で \(N\) がねじれをもたない短完全列 \(0 \to M \to F \to N \to 0\) が存在する。

証明

有限自由加群が反射的であることに注意せよ。 Lemma 0EB8 により (2) は (1) を含意する。 \(M\) が反射的であると仮定し、表示 \(R^{\oplus m} \to R^{\oplus n} \to \Hom_R(M, R) \to 0\) を選ぶ。 双対をとると完全列 \[0 \to \Hom_R(\Hom_R(M, R), R) \to R^{\oplus n} \to N \to 0\] を得る。ここで \(N = \Im(R^{\oplus n} \to R^{\oplus m})\) はねじれのない加群である。 \(M = \Hom_R(\Hom_R(M, R), R)\) なので、(2) のような完全列を得る。

補題

\(R \to R'\) を Noether 整域の平坦準同型とする。\(M\) が有限反射的 \(R\)-加群ならば、\(M \otimes_R R'\) は有限反射的 \(R'\)-加群である。

証明

\(F\) が有限自由で \(N\) がねじれをもたない短完全列 \(0 \to M \to F \to N \to 0\) を選ぶ。Lemma 0AV2 を参照せよ。\(R \to R'\) は平坦なので、 \(F \otimes_R R'\) が有限自由で \(N \otimes_R R'\) がねじれをもたない 短完全列 \(0 \to M \otimes_R R' \to F \otimes_R R' \to N \otimes_R R' \to 0\) を得る（Lemma 0AXM）。 従って Lemma 0AV2 により \(M \otimes_R R'\) は反射的である。

補題

\(R\) を Noether 整域、\(M\) を有限 \(R\)-加群、\(N\) を有限反射的 \(R\)-加群とする。このとき \(\Hom_R(M, N)\) は反射的である。

証明

表示 \(R^{\oplus m} \to R^{\oplus n} \to M \to 0\) を選ぶ。 すると \[0 \to \Hom_R(M, N) \to N^{\oplus n} \to N' \to 0\] を得る。ここで \(N' = \Im(N^{\oplus n} \to N^{\oplus m})\) はねじれをもたない。 Lemma 0EB8 により結論する。

定義

\(R\) を Noether 整域、\(M\) を有限 \(R\)-加群とする。加群 \[M^{**} = \Hom_R(\Hom_R(M, R), R)\] を \(M\) の 反射包という。

反射包は Lemma 0AV3 により反射的なので、この定義には意味がある。 対応 \(M \mapsto M^{**}\) は関手である。 \(\varphi : M \to N\) が反射的 \(R\)-加群 \(N\) への \(R\)-加群写像ならば、 \(\varphi\) は \(M\) の反射包を経由して \(M \to M^{**} \to N\) と分解する。 別の言い方をすれば、反射包をとる関手は、Noether 整域 \(R\) 上の包含関手 \[\text{finite reflexive modules} \subset \text{finite modules}\] の左随伴である。

補題

\(R\) を Noether 局所環とし、\(M\), \(N\) を有限 \(R\)-加群とする。

1. \(N\) の深さが \(\geq 1\) ならば、\(\Hom_R(M, N)\) の深さも \(\geq 1\) である。

2. \(N\) の深さが \(\geq 2\) ならば、\(\Hom_R(M, N)\) の深さも \(\geq 2\) である。

証明

表示 \(R^{\oplus m} \to R^{\oplus n} \to M \to 0\) を選ぶ。 双対をとると完全列 \[0 \to \Hom_R(M, N) \to N^{\oplus n} \to N' \to 0\] を得る。ここで \(N' = \Im(N^{\oplus n} \to N^{\oplus m})\) である。 深さ \(\geq 1\) の加群の部分加群は深さ \(\geq 1\) であり、これは定義から 直ちに従う。従って (1) は明らかである。(2) については、ここでは仮定と 先の注意から \(N'\) の深さが \(\geq 1\) であることに注意せよ。

加群 \(N^{\oplus n}\) の深さは \(\geq 2\) である。 Algebra, Lemma 00LX から \(\Hom_R(M, N)\) の深さが \(\geq 2\) であると結論する。

補題

\(R\) を Noether 環とし、\(M\), \(N\) を有限 \(R\)-加群とする。

1. \(N\) が性質 \((S_1)\) をもつならば、\(\Hom_R(M, N)\) も性質 \((S_1)\) をもつ。

2. \(N\) が性質 \((S_2)\) をもつならば、\(\Hom_R(M, N)\) も性質 \((S_2)\) をもつ。

3. \(R\) が整域で、\(N\) がねじれをもたず \((S_2)\) ならば、 \(\Hom_R(M, N)\) はねじれをもたず、性質 \((S_2)\) をもつ。

証明

有限 \(R\)-加群については素イデアルでの局所化と \(\Hom_R\) をとることが可換なので （Algebra, Lemma 08YR）、(1) と (2) は Lemma 0AV5 から直ちに従う。(3) は (2) と Lemma 0AUX から従う。

補題

\(R\) を Noether 環とし、\(\varphi : M \to N\) を \(R\)-加群の写像とする。 \(R\) の任意の素イデアル \(\mathfrak p\) に対して、次の少なくとも一方が 成り立つと仮定する。

1. \(M_\mathfrak p \to N_\mathfrak p\) は単射である、または

2. \(\mathfrak p \not \in \text{Ass}(M)\) である。

このとき \(\varphi\) は単射である。

証明

\(\mathfrak p\) を \(\Ker(\varphi)\) の随伴素イデアルとする。このとき \(M_\mathfrak p \to N_\mathfrak p\) の核に属し、その零化イデアルが \(\mathfrak pR_\mathfrak p\) である元 \(x \in M_\mathfrak p\) が存在する （Algebra, Lemma 0310）。 これはいずれの場合にも不可能である。従って \(\text{Ass}(\Ker(\varphi)) = \emptyset\) であり、Algebra, Lemma 0587 により \(\Ker(\varphi) = 0\) と結論する。

補題

\(R\) を Noether 環とし、\(\varphi : M \to N\) を \(R\)-加群の写像とする。 \(M\) は有限であり、\(R\) の任意の素イデアル \(\mathfrak p\) に対して 次のいずれかが成り立つと仮定する。

1. \(M_\mathfrak p \to N_\mathfrak p\) は同型である、または

2. \(\text{depth}(M_\mathfrak p) \geq 2\) かつ \(\mathfrak p \not \in \text{Ass}(N)\) である。

このとき \(\varphi\) は同型である。

証明

Lemma 0AV7 により \(\varphi\) は単射である。 \(M\) の像を含む有限生成 \(R\)-部分加群 \(N' \subset N\) をとる。

このとき \(\text{Ass}(N_\mathfrak p) = \emptyset\) ならば \(\text{Ass}(N'_\mathfrak p) = \emptyset\) である。

従ってこの補題の仮定は \(M \to N'\) に対しても成り立つ。 \(\varphi\) が同型であることを示すには、そのようなすべての \(N' \subset N\) について同じことを示せば十分である。従って \(N\) を有限 \(R\)-加群としてよい。この場合、 \(\mathfrak p \not \in \text{Ass}(N) \Rightarrow \text{depth}(N_\mathfrak p) \geq 1\) である。Algebra, Lemma 00LL を参照せよ。\(Q\) を定める短完全列 \[0 \to M \to N \to Q \to 0\] を考える。条件を見ると、場合 (1) には \(Q_\mathfrak p = 0\) であり、 場合 (2) には Algebra, Lemma 00LX により \(\text{depth}(Q_\mathfrak p) \geq 1\) である。従って \(Q\) は随伴素イデアルを 一つももたず、Algebra, Lemma 0587 により \(Q = 0\) である。

補題

\(R\) を Noether 整域とし、\(\varphi : M \to N\) を \(R\)-加群の写像とする。 \(M\) は有限で \(N\) はねじれをもたず、\(R\) の任意の素イデアル \(\mathfrak p\) に対して次のいずれかが成り立つと仮定する。

1. \(M_\mathfrak p \to N_\mathfrak p\) は同型である、または

2. \(\text{depth}(M_\mathfrak p) \geq 2\) である。

このとき \(\varphi\) は同型である。

証明

これは Lemma 0AV8 の特別な場合である。

補題

\(R\) を Noether 整域とし、\(M\) を有限 \(R\)-加群とする。次は同値である。

1. \(M\) は反射的である、

2. \(R\) の任意の素イデアル \(\mathfrak p\) に対して次のいずれかが成り立つ。

   1. \(M_\mathfrak p\) は反射的 \(R_\mathfrak p\)-加群である、または

   2. \(\text{depth}(M_\mathfrak p) \geq 2\) である。

証明

(1) が成り立つならば、Lemma 0AV1 により \(M_\mathfrak p\) はすべての素イデアル \(\mathfrak p\) に対して反射的である。

従って (1) \(\Rightarrow\) (2) である。(2) を仮定する。 \(N = \Hom_R(\Hom_R(M, R), R)\) とおく。このとき \(R\) の任意の素イデアル \(\mathfrak p\) に対して \[N_\mathfrak p = \Hom_{R_\mathfrak p}( \Hom_{R_\mathfrak p}(M_\mathfrak p, R_\mathfrak p), R_\mathfrak p)\] である。Algebra, Lemma 0583 を 参照せよ。写像 \(j : M \to N\) に Lemma 0AV9 を適用する。\(M\) は有限であり、 Lemma 0AUX により \(N\) はねじれをもたないので、 これは可能である。場合 (2)(a) には写像 \(M_\mathfrak p \to N_\mathfrak p\) は同型であり、場合 (2)(b) には \(\text{depth}(M_\mathfrak p) \geq 2\) である。

補題

\(R\) を Noether 整域、\(M\) を有限反射的 \(R\)-加群、 \(\mathfrak p \subset R\) を素イデアルとする。

1. \(\text{depth}(R_\mathfrak p) \geq 2\) ならば、 \(\text{depth}(M_\mathfrak p) \geq 2\) である。

2. \(R\) が \((S_2)\) ならば、\(M\) も \((S_2)\) である。

証明

反射包 \(\Hom_R(\Hom_R(M, R), R)\) の形成は局所化と可換なので （Algebra, Lemma 0583）、 (1) は Lemma 0AV5 から従う。 (2) は Lemma 0AV6 から直ちに従う。

例

上と下の結果は反射性が条件 \((S_2)\) と関係することを示唆するが、 過度に楽観的な予想を防ぐ例を挙げる。\(k\) を体とする。 \(R\) を \(1, y, x^2, xy, x^3\) で生成される \(k[x, y]\) の \(k\)-部分代数とする。このとき \(R\) は \((S_2)\) ではない。従って \(R\) を \(R\)-加群とみれば、\((S_2)\) でない反射的 \(R\)-加群の例となる。 \(M = k[x, y]\) を \(R\)-加群とみなす。このとき \[\Hom_R(M, R) = \mathfrak m = (y, x^2, xy, x^3) \quad\text{and}\quad \Hom_R(\mathfrak m, R) = M\] であるから \(M\) は反射的 \(R\)-加群である。また \(M\) は \(R\)-加群として \((S_2)\) である（計算は省略する）。従って \(R\) は反射的な \((S_2)\) 加群をもつ Noether 整域であるが、\(R\) 自身は \((S_2)\) ではない。

補題

\(R\) を分数体 \(K\) をもつ Noether 正規整域とし、\(M\) を有限 \(R\)-加群とする。次は同値である。

1. \(M\) は反射的である、

2. \(M\) はねじれをもたず、性質 \((S_2)\) をもつ、

3. \(M\) はねじれをもたず、 \(M = \bigcap_{\text{height}(\mathfrak p) = 1} M_{\mathfrak p}\) である。ここで共通部分は \(M_K = M \otimes_R K\) の中でとる。

証明

Algebra, Lemma 031S により、 \(R\) は \((R_1)\) と \((S_2)\) を満たす。

(1) を仮定する。このとき Lemma 0AV0 により \(M\) はねじれをもたず、Lemma 0EBA により \((S_2)\) を 満たす。従って (2) が成り立つ。

(2) を仮定する。定義により \(M' = \bigcap_{\text{height}(\mathfrak p) = 1} M_{\mathfrak p}\) は写像 \[M_K \longrightarrow \bigoplus\nolimits_{\text{height}(\mathfrak p) = 1} M_K/M_\mathfrak p \subset \prod\nolimits_{\text{height}(\mathfrak p) = 1} M_K/M_\mathfrak p\] の核である。示したとおり、この写像は実際に直和を経由することに注意せよ。 実際、\(a/b \in K\) を与えると、\(b \in \mathfrak p\) となる高さ \(1\) の 素イデアル \(\mathfrak p\) は高々有限個である。\(\mathfrak p_0\) を高さ \(1\) の 素イデアルとする。このとき \(\mathfrak p = \mathfrak p_0\) でない限り \((M_K/M_\mathfrak p)_{\mathfrak p_0} = 0\) であり、等しい場合には \((M_K/M_\mathfrak p)_{\mathfrak p_0} = M_K/M_{\mathfrak p_0}\) を得る。 従って局所化の完全性と局所化が直和と可換であることから、 \(M'_{\mathfrak p_0} = M_{\mathfrak p_0}\) である。\(M\) は高さ \(> 1\) の 素イデアルにおいて深さ \(\geq 2\) をもつので、Lemma 0AV9 により \(M \to M'\) は同型である。 従って (3) が成り立つ。

(3) を仮定する。\(\mathfrak p\) を高さ \(1\) の素イデアルとする。 \((R_1)\) により \(R_\mathfrak p\) は離散付値環である。Lemma 0AUW により \(M_\mathfrak p\) は有限自由であり、 特に反射的である。従って写像 \(M \to M^{**}\) は高さ \(1\) のすべての 素イデアル \(\mathfrak p\) で同型を誘導する。ゆえに条件 \(M = \bigcap_{\text{height}(\mathfrak p) = 1} M_{\mathfrak p}\) から \(M = M^{**}\) が従い、(1) が成り立つ。

補題

\(R\) を Noether 正規整域とし、\(M\) を有限 \(R\)-加群とする。このとき \(M\) の反射包は \[M^{**} = \bigcap\nolimits_{\text{height}(\mathfrak p) = 1} M_{\mathfrak p}/(M_\mathfrak p)_{tors} = \bigcap\nolimits_{\text{height}(\mathfrak p) = 1} (M/M_{tors})_\mathfrak p\] という共通部分であり、これは \(M \otimes_R K\) の中でとる。

証明

\(\mathfrak p\) を高さ \(1\) の素イデアルとする。 \(M_\mathfrak p \to M \otimes_R K\) の核は \(M_\mathfrak p\) のねじれ部分加群 \((M_\mathfrak p)_{tors}\) である。さらに \((M/M_{tors})_\mathfrak p = M_\mathfrak p/(M_\mathfrak p)_{tors}\) であり、これは離散付値環 \(R_\mathfrak p\) 上の有限自由加群である （Lemma 0AUW）。従って \(M_\mathfrak p/(M_\mathfrak p)_{tors} \to (M_\mathfrak p)^{**} = (M^{**})_\mathfrak p\) は同型であり、この補題は Lemma 0AVB から従う。

補題

\(A\) を分数体 \(K\) をもつ Noether 正規整域とし、\(L\) を \(K\) の有限拡大とする。 \(L\) における \(A\) の整閉包 \(B\) が \(A\) 上有限ならば、\(B\) は \(A\)-加群として反射的である。

証明

共通部分を高さ \(1\) の素イデアル \(\mathfrak p \subset A\) にわたってとるとき \(B = \bigcap B_\mathfrak p\) であることを示せば十分である。Lemma 0AVB を参照せよ。 \(b \in \bigcap B_\mathfrak p\) とし、 \(x^d + a_1x^{d - 1} + \ldots + a_d\) を \(K\) 上の \(b\) の最小多項式とする。 \(a_i \in A\) を示したい。Algebra, Lemma 00H7 により、すべての \(i\) と すべての高さ一の素イデアル \(\mathfrak p\) に対して \(a_i \in A_\mathfrak p\) である。従って Algebra, Lemma 031T から 所望の結論を得る（あるいは \(A\) がそれ自身上の反射的加群であることから、 すでに引用した補題を用いてもよい）。

内容イデアル

この定義は予想しているものとは異なるかもしれない。

定義

\(A\) を環、\(M\) を平坦 \(A\)-加群、\(x \in M\) とする。 \(x \in IM\) を満たす \(A\) のイデアル \(I\) 全体の集合が最小元をもつならば、 それを \(x\) の 内容イデアルという。

\(M\) は \(A\) 上平坦なので、\(A\) のイデアルの対 \(I, I'\) に対して \(IM \cap I'M = (I \cap I')M\) であることに注意せよ。これは完全列 \(0 \to I \cap I' \to I \oplus I' \to I + I' \to 0\) を \(M\) と テンソルすることから分かる。

補題

\(A\) を環、\(M\) を平坦 \(A\)-加群、\(x \in M\) とする。 \(x\) の内容イデアルが存在するならば、それは有限生成である。

証明

\(x \in IM\) とする。このとき \(f_i \in I\) および \(x_i \in M\) を用いて \(x = \sum_{i = 1, \ldots, n} f_i x_i\) と書ける。従って \(I' = (f_1, \ldots, f_n)\) とおけば \(x \in I'M\) である。

補題

\((A, \mathfrak m)\) を局所環とし、\(u : M \to N\) を平坦 \(A\)-加群の写像で、 \(\overline{u} : M/\mathfrak m M \to N/\mathfrak m N\) が単射であるものとする。 \(x \in M\) が内容イデアル \(I\) をもつならば、\(u(x)\) も内容イデアル \(I\) をもつ。

証明

\(u(x) \in IN\) は明らかである。\(u(x) \in I'N\) ならば \(u(x) \in (I' \cap I)N\) である。Definition 0ASA に続く議論を参照せよ。従って次を示せば十分である：

\(x \in I'N\) かつ \(I' \subset I\), \(I' \not = I\) ならば

\(u(x) \not \in I'N\) である。\(I/I'\) は零でない有限 \(A\)-加群なので （Lemma 0ASB）、Nakayama の補題 （Algebra, Lemma 00DV）により、零でない \(A\)-加群写像 \(\chi : I/I' \to A/\mathfrak m\) が存在する。\(I\) は \(x\) の内容イデアルなので、 \(I'' = \Ker(\chi)\) とおくと \(x \not \in I''M\) である。 従って \(x\) は写像 \[IM = I \otimes_A M \xrightarrow{\chi \otimes 1} A/\mathfrak m \otimes M \cong M/\mathfrak m M\] の核に属さない。\(\overline{u}\) に関する仮定を適用すると、\(u(x)\) は写像 \[IN = I \otimes_A N \xrightarrow{\chi \otimes 1} A/\mathfrak m \otimes N \cong N/\mathfrak m N\] によって零に写らないと結論でき、証明が完了する。

補題

\(A\) を環とし、\(M\) を平坦 Mittag–Leffler 加群とする。 このとき \(M\) のすべての元は内容イデアルをもつ。

証明

これは Algebra, Lemma 059S の特別な場合である。

平坦性と有限性条件

この節では「平坦 \(+\) 有限型 \(\Rightarrow\) 有限表示」という型のいくつかの 含意を論じる。この結果には平坦性を扱う章で再び戻る。More on Flatness, Section 057N を参照せよ。この型の最初の結果は Algebra, Lemma 052U で証明された。

補題

\(R\) を環とし、\(S = R[x_1, \ldots, x_n]\) を \(R\) 上の多項式環、 \(M\) を \(S\)-加群とする。次を仮定する。

1. \(R \to \prod R_{\mathfrak p_j}\) が単射となる \(R\) の有限個の 素イデアル \(\mathfrak p_1, \ldots, \mathfrak p_m\) が存在する、

2. \(M\) は有限 \(S\)-加群である、

3. \(M\) は \(R\) 上平坦である、かつ

4. \(R\) の任意の素イデアル \(\mathfrak p\) に対して、加群 \(M_{\mathfrak p}\) は \(S_{\mathfrak p}\) 上有限表示である。

このとき \(M\) は \(S\) 上有限表示である。

証明

\(S\)-加群としての \(M\) の表示 \[0 \to K \to S^{\oplus r} \to M \to 0\] を選ぶ。\(\mathfrak q\) を \(R\) の素イデアル \(\mathfrak p\) 上にある \(S\) の素イデアルとする。仮定により、\(K' = \sum Sk_j \subset K\) とおけば \(K'_{\mathfrak p} = K_{\mathfrak p}\) かつ \(j = 1, \ldots, m\) に対して \(K'_{\mathfrak p_j} = K_{\mathfrak p_j}\) となるような有限個の元 \(k_1, \ldots, k_t \in K\) が存在する。\(M' = S^{\oplus r}/K'\) とおけば、 特に \(M'_{\mathfrak q} = M_{\mathfrak q}\) である。平坦性の開性 （Algebra, Theorem 00RC）により、 \(M'_g\) が \(R\) 上平坦となる \(g \in S\), \(g \not \in \mathfrak q\) が存在する。 従って \(M'_g \to M_g\) は平坦 \(R\)-加群の全射である。可換図式 \[\xymatrix{ M'_g \ar[r] \ar[d] & M_g \ar[d] \\ \prod (M'_g)_{\mathfrak p_j} \ar[r] & \prod (M_g)_{\mathfrak p_j} }\] を考える。下の矢印は \(k_1, \ldots, k_t\) の選び方により同型である。 \(R \to \prod R_{\mathfrak p_j}\) は単射で \(M'_g\) は \(R\) 上平坦なので、 左の垂直矢印は単射である。従って上の水平矢印は単射、ゆえに同型である。 これにより \(M_g\) は \(S_g\) 上有限表示である。Algebra, Lemma 00EO を適用して結論する。

補題

\(R \to S\) を環準同型とする。次を仮定する。

1. \(R \to \prod R_{\mathfrak p_j}\) が単射となる \(R\) の有限個の 素イデアル \(\mathfrak p_1, \ldots, \mathfrak p_m\) が存在する、

2. \(R \to S\) は有限型である、

3. \(S\) は \(R\) 上平坦である、かつ

4. \(R\) の任意の素イデアル \(\mathfrak p\) に対して、環 \(S_{\mathfrak p}\) は \(R_{\mathfrak p}\) 上有限表示である。

このとき \(S\) は \(R\) 上有限表示である。

証明

仮定により \(S\) は \(R\) 上の多項式環の商である。従って結果は Lemma 053A から直接従う。

補題

\(R\) を環とする。\(S = R[x_1, \ldots, x_n]\) を \(R\) 上の次数付き 多項式代数、すなわち \(\deg(x_i) > 0\) だが必ずしも \(1\) に等しくないものとする。 \(M\) を次数付き \(S\)-加群とする。次を仮定する。

1. \(R\) は局所環である、

2. \(M\) は有限 \(S\)-加群である、かつ

3. \(M\) は \(R\) 上平坦である。

このとき \(M\) は \(S\)-加群として有限表示である。

証明

\(M = \bigoplus M_d\) を \(M\) の次数付けとする。\(M\) の斉次生成元 \(m_1, \ldots, m_r \in M\) を選び、\(\deg(m_i) = d_i \in \mathbf{Z}\) とする。 これにより表示 \[0 \to K \to \bigoplus\nolimits_{i = 1, \ldots, r} S(-d_i) \to M \to 0\] を得て、各次数 \(d\) において短完全列 \[0 \to K_d \to \bigoplus\nolimits_{i = 1, \ldots, r} S_{d - d_i} \to M_d \to 0.\] を得る。仮定により各 \(M_d\) は有限平坦 \(R\)-加群である。Algebra, Lemma 00NZ により、各 \(M_d\) は有限自由 \(R\)-加群である。従って各 \(K_d\) は有限 \(R\)-加群である。また Algebra, Lemma 00HM により各 \(K_d\) は \(R\) 上平坦でもある。 ゆえに再び Algebra, Lemma 00NZ により、 各 \(K_d\) は有限自由である。

\(\mathfrak m\) を \(R\) の極大イデアルとする。\(M\) は \(R\) 上平坦なので、上の 短完全列は \(\kappa = \kappa(\mathfrak m)\) とテンソルした後も短完全である。 環 \(S \otimes_R \kappa\) は Noether なので、その像 \(\overline{k}_j\) が \(K \otimes_R \kappa\) を \(S \otimes_R \kappa\) 上生成する斉次元 \(k_1, \ldots, k_t \in K\) が存在する。\(\deg(k_j) = e_j\) とする。 従って任意の \(d\) に対する写像 \[\bigoplus\nolimits_{j = 1, \ldots, t} S_{d - e_j} \longrightarrow K_d\] は \(\kappa\) とテンソルした後に全射となる。Nakayama の補題 （Algebra, Lemma 00DV）により、この写像は \(R\) 上 全射である。従って \(K\) は \(k_1, \ldots, k_t\) によって \(S\) 上生成され、 証明が完了する。

補題

\(R\) を環とし、\(S = \bigoplus_{n \geq 0} S_n\) を次数付き \(R\)-代数、 \(M = \bigoplus_{d \in \mathbf{Z}} M_d\) を次数付き \(S\)-加群とする。 \(S\) は \(R\)-代数として有限生成であり、\(S_0\) は有限 \(R\)-代数であり、 \(R \to \prod R_{\mathfrak p_j}\) が単射となる有限個の素イデアル \(\mathfrak p_j\), \(i = 1, \ldots, m\) が存在すると仮定する。

1. \(S\) が \(R\) 上平坦ならば、\(S\) は有限表示 \(R\)-代数である。

2. \(M\) が \(R\)-加群として平坦で \(S\)-加群として有限ならば、 \(M\) は \(S\)-加群として有限表示である。

証明

\(S\) は \(R\)-代数として有限生成なので、\(S_0\)-代数としても有限生成である。 次数 \(d_1, \ldots, d_n > 0\) の斉次元 \(t_1, \ldots, t_n \in S\) で生成されるとする。 \(P = R[x_1, \ldots, x_n]\) とおき、\(\deg(x_i) = d_i\) とする。 \(S_0\) は有限 \(R\)-加群なので、環写像 \(P \to S\), \(x_i \to t_i\) は有限である。 (1) を証明するには \(S\) が有限表示 \(P\)-加群であることを示せば十分である。 (2) を証明するには \(M\) が有限表示 \(P\)-加群であることを示せば十分である。

従って、\(S = P\) が次数付き多項式環で、\(M\) が \(R\) 上平坦な有限 \(S\)-加群ならば \(M\) は有限表示 \(S\)-加群であることを示せば十分である。 Lemma 053C により、 \(R\) の任意の素イデアル \(\mathfrak p\) に対して \(M_{\mathfrak p}\) は有限表示 \(S_{\mathfrak p}\)-加群である。従って結果は Lemma 053A から従う。

注意

\(R\) を環とする。Lemmas 053A, 053B, および 053D で述べた条件を \(R\) が満たすのはいつか。次の各場合には満たされる。

1. \(R\) が局所環である、

2. \(R\) が Noether である、

3. \(R\) が整域である、

4. \(R\) が有限個の極小素イデアルをもつ被約環である、または

5. \(R\) が有限個の弱随伴素イデアルをもつ。Algebra, Lemma 05CB を参照せよ。

従ってこれらの補題は上に挙げたすべての場合に成り立つ。

次の補題は More on Flatness, Proposition 053G で強化される。

補題

\(A\) を付値環、\(A \to B\) を有限型の環写像、\(M\) を有限 \(B\)-加群とする。

1. \(B\) が \(A\) 上平坦ならば、\(B\) は有限表示 \(A\)-代数である。

2. \(M\) が \(A\)-加群として平坦ならば、\(M\) は \(B\)-加群として有限表示である。

証明

\(A\)-加群が平坦であることとねじれをもたないことが同値であるという事実を用いる。 Lemma 0539 を参照せよ。 Algebra, Lemma 052N により、\(S_0 = A\) で 次数 \(1\) の有限個の元によって生成される次数付き \(A\)-代数 \(S\)、元 \(f \in S_1\)、および有限次数付き \(S\)-加群 \(N\) で、 \(B \cong S_{(f)}\) および \(M \cong N_{(f)}\) を満たすものを見つけられる。 \(M\) がねじれをもたないならば、\(N\) を \(N/N_{tors}\) で置き換えることにより、 \(N\) もねじれをもたないとしてよい。Lemma 0537 を参照せよ。 同様に、\(B\) がねじれをもたないならば、\(S\) を \(S/S_{tors}\) で置き換える ことにより、ねじれをもたないものとしてよい。従って場合 (1) には Lemma 053D を適用して、 \(S\) が有限表示 \(A\)-代数であることが分かり、それゆえ \(B = S_{(f)}\) も有限表示 \(A\)-代数である。(2) を示すには、まず \(S\) を 次数付き多項式環で置き換え、次に Lemma 053C を適用すればよい。

補題

\(A\) を付値環、\(A \to B\) を本質的有限型の局所準同型、 \(M\) を有限 \(B\)-加群とする。

1. \(B\) が \(A\) 上平坦ならば、\(B\) は \(A\) 上本質的有限表示である。

2. \(M\) が \(A\)-加群として平坦ならば、\(M\) は \(B\)-加群として有限表示である。

証明

仮定により、\(B\) は多項式代数 \(P = A[x_1, \ldots, x_n]\) を素イデアル \(\mathfrak q\) で局所化した環の商として書ける。場合 (1) には \(M = B\) を \(P_\mathfrak q\) 上の有限加群とみなし、場合 (2) には \(M\) を \(P_\mathfrak q\) 上の有限加群とみなす。いずれの場合にも、これが有限表示 \(P_\mathfrak q\)-加群であることを示さなければならない。場合 (2) については Algebra, Lemma 0561 を参照せよ。

\(M\) は \(P_\mathfrak q\) 上有限なので、表示 \(0 \to K \to P_\mathfrak q^{\oplus r} \to M \to 0\) を選ぶ。 \(L = P^{\oplus r} \cap K\) とおく。Algebra, Lemma 00CU により \(K = L_\mathfrak q\) である。 このとき \(N = P^{\oplus r}/L\) は \(M\) の部分加群であり、従って Lemma 0539 により平坦である。さらに \(N\) は 有限 \(P\)-加群なので、Lemma 053E により \(P\)-加群として有限表示である。局所化は完全なので （Algebra, Proposition 00CS）、 \(N_\mathfrak q = M\) であり、結論を得る。

ブローアップと平坦性

この節では「ブローアップの後に狭義変換が平坦になる」という形の結果の議論を 始める。この型のさらなる結果は Divisors, Section 0F84 および More on Flatness, Section 080X にある。

定義

\(R\) を環、\(I \subset R\) をイデアル、\(a \in I\) とする。 \(R[\frac{I}{a}]\) をアフィン・ブローアップ代数とする。Algebra, Definition 052Q を参照せよ。\(M\) を \(R\)-加群とする。 \(R \to R[\frac{I}{a}]\) に沿う \(M\) の狭義変換とは、 \(R[\frac{I}{a}]\)-加群 \[M' = \left(M \otimes_R R[\textstyle{\frac{I}{a}}]\right)/a\text{-power torsion}\] のことである。

次はブローアップによる平坦化の非常に弱い形だが、それでも有用な場合がある。

補題

\((R, \mathfrak m)\) を分数体 \(K\) をもつ局所整域とする。 \(S\) を有限型 \(R\)-代数、\(M\) を有限 \(S\)-加群とする。 \(R\) を支配する任意の付値環 \(A \subset K\) に対して、イデアル \(I \subset \mathfrak m\) と零でない元 \(a \in I\) で、次を満たすものが存在する。

1. \(I\) は有限生成である、

2. \(A\) は \(R[\frac{I}{a}]\) 上に中心をもつ、

3. \(\mathfrak m\) における \(R \to R[\frac{I}{a}]\) のファイバー環は 零でない、かつ

4. \(R \to R[\frac{I}{a}]\) に沿う \(S\) の狭義変換 \(S_{I, a}\) は \(R\) 上平坦かつ有限表示であり、\(R \to R[\frac{I}{a}]\) に沿う \(M\) の狭義変換 \(M_{I, a}\) は \(R\) 上平坦かつ \(S_{I, a}\) 上有限表示である。

証明

\(S = R[x_1, \ldots, x_n]/J\) と書き、\(N = S \oplus M\) を \(P = R[x_1, \ldots, x_n]\) 上の加群とみなす。\(S\) が \(R\) 上の多項式代数である 場合に補題を証明できるならば、(1), (2), (3) を満たす \(I, a\) で、 \(R \to R[\frac{I}{a}]\) に沿う \(N\) の狭義変換 \(N_{I, a}\) が \(R\) 上平坦で、 \(P\) の狭義変換 \(P_{I, a}\) 上有限表示となるものを見つけられる。 \(P_{I, a} = R[\frac{I}{a}][x_1, \ldots, x_n]\) なので（細部を一つ省略する）、 直和因子 \(S_{I, a} \subset N_{I, a}\) は \(R\) 上平坦であり、 \(R[\frac{I}{a}][x_1, \ldots, x_n]\) 上有限表示である。従って \(S_{I, a}\) は有限表示 \(R[\frac{I}{a}]\)-代数である。さらに直和因子 \(M_{I, a} \subset N_{I, a}\) は \(R\) 上平坦で、\(P_{I, a}\) 上有限表示、 従って \(S_{I, a}\) 上でも有限表示である。Algebra, Lemma 0561 を参照せよ。 これにより次の段落で論じる場合に帰着する。

\(S = R[x_1, \ldots, x_n]\) と仮定し、表示 \[0 \to K \to S^{\oplus r} \to M \to 0.\] を選ぶ。\(M_A\) を \(M \otimes_R A\) のねじれ部分加群による商とする。 Lemma 0537 を参照せよ。このとき \(M_A\) は \(S_A = A[x_1, \ldots, x_n]\) 上の有限加群である。Lemma 0539 により \(M_A\) は \(A\) 上平坦であり、 Lemma 053E により \(M_A\) は有限表示である。従って、表示 \(S_A^{\oplus r} \to M_A\) の核を \(S_A\)-加群として生成する有限個の元 \(k_1, \ldots, k_t \in S_A^{\oplus r}\) が存在する。(1), (2), (3) を満たす 任意の選択 \(a \in I \subset \mathfrak m\) に対し、 \(R \to R[\frac{I}{a}]\) に沿う \(M\) の狭義変換を \(M_{I, a}\) と表す。 これは \(S_{I, a} = R[\frac{I}{a}][x_1, \ldots, x_n]\) 上の有限加群である。 Algebra, Lemma 052M により \(A = \colim_{I, a} R[\frac{I}{a}]\) である。従って \(S_A = \colim S_{I, a}\) であり、 \[\colim M \otimes_R R[\textstyle{\frac{I}{a}}] = M \otimes_R A\] である。\(I, a\) と持ち上げ \(k_1, \ldots, k_t \in S_{I, a}^{\oplus r}\) を選ぶ。 \(M_A\) は \(M \otimes_R A\) のねじれによる商なので、 \(M \otimes_R A\) における \(k_1, \ldots, k_t\) の像は、ある零でない元 \(\alpha \in A\) によって零化される。\(I, a\) を別の対で置き換えれば （余極限がフィルター付きであることを想起せよ）、 ある零でない \(x \in I^n\) に対して \(\alpha = x/a^n\) と仮定してよい。 すると \(x k_1, \ldots, x k_t\) は \(M \otimes_R A\) で零に写る。 さらに \(I, a\) を別の対で置き換えると、ある零でない \(x \in R\) に対して \(x k_1, \ldots, x k_t\) が \(M \otimes_R R[\frac{I}{a}]\) で零に写ると仮定してよい。 最後に \(I, a\) を \(xI, xa\) で置き換えることで、 \(k_1, \ldots, k_t\) は \(M \otimes_R R[\frac{I}{a}]\) の \(a\)-冪ねじれ元に写ると仮定してよい。そのような各対 \((I, a)\) に対して \[M'_{I, a} = S_{I, a}^{\oplus r}/ \sum S_{I, a}k_j.\] とおく。\(M_A = S_A^{\oplus r}/ \sum S_Ak_j\) なので、 \(M_A = \colim_{I, a} M'_{I, a}\) である。ここでようやく Algebra, Lemma 02JO (3) を適用し、 上のようなある対 \((I, a)\) に対して \(M'_{I, a}\) が平坦であると結論する。 狭義変換の系 \[M_{I, a} = (M \otimes_R R[\textstyle{\frac{I}{a}}])/a\text{-power torsion}\] には、遷移写像が補題の仮定を満たすとは限らないため、この補題を先験的には 適用できない。しかし平坦性はねじれがないことを含意し （Lemma 0538）、さらに \(M_{I, a}\) は \(M'_{I, a}\) を \(a\)-冪ねじれ部分加群で割った商である （\(k_1, \ldots, k_t\) が \(M_{I, a}\) で零に写るようにしておいた）ので、 そのような対に対して \(M'_{I, a} = M_{I, a}\) と結論でき、証明が完了する。

補題

\(R\) を環、\(M\) を有限 \(R\)-加群とする。\(k \geq 0\) とし、 \(I = \text{Fit}_k(M)\) とおく。任意の \(a \in I\) に対し \(R' = R[\frac{I}{a}]\) とおけば、狭義変換 \[M' = (M \otimes_R R')/a\text{-power torsion}\] は \(\text{Fit}_k(M') = R'\) を満たす。

証明

まず \(\text{Fit}_k(M \otimes_R R') = IR' = aR'\) であることに注意せよ。 最初の等式は Lemma 07ZA の (3) により、 二つ目は Algebra, Lemma 07Z3 による。 Lemma 080Z と局所化の完全性から、 \(R'\) の任意の素イデアル \(\mathfrak p'\) に対して \(M'_{\mathfrak p'}\) は \(\leq k\) 個の元で生成できる。従って、例えば Lemma 07ZC により \(\text{Fit}_k(M') = R'\) である。

補題

\(R\) を環、\(M\) を有限 \(R\)-加群とする。\(k \geq 0\) とし、 \(I = \text{Fit}_k(M)\) とおく。任意の \(\mathfrak p \not \in V(I)\) に対して \(M_\mathfrak p\) は階数 \(k\) の自由加群である と仮定する。このとき任意の \(a \in I\) に対して \(R' = R[\frac{I}{a}]\) とおけば、狭義変換 \[M' = (M \otimes_R R')/a\text{-power torsion}\] は階数 \(k\) の局所自由加群である。

証明

Lemma 0CZM により \(\text{Fit}_k(M') = R'\) である。Lemma 07ZD により、 \(\text{Fit}_{k - 1}(M') = 0\) を示せば十分である。Algebra, Lemma 07Z3 により \(R' \subset R'_a = R_a\) であることを想起せよ。従って \(\text{Fit}_{k - 1}(M')\) が \(R'_a = R_a\) で零に写ることを示せば十分である。 明らかに \((M')_a = M_a\) なので、Fitting イデアルの形成は基底変換と可換する （Lemma 07ZA の (3)）ことから、 \(\text{Fit}_{k - 1}(M_a) = 0\) を示すことに帰着する。これは仮定により \(M_a\) が階数 \(k\) の有限局所自由加群であること （Algebra, Lemma 00NX）と、すでに引用した Lemma 07ZD から従う。

補題

\(R\) を環、\(M\) を有限 \(R\)-加群とする。\(f \in R\) を、 \(M_f\) が階数 \(r\) の有限局所自由加群となる元とする。このとき \(V(f) = V(I)\) を満たす有限生成イデアル \(I \subset R\) で、 任意の \(a \in I\) に対し \(R' = R[\frac{I}{a}]\) とおけば、狭義変換 \[M' = (M \otimes_R R')/a\text{-power torsion}\] が階数 \(r\) の局所自由加群となるものが存在する。

証明

全射 \(R^{\oplus n} \to M\) を選ぶ。\(f\) を逆にすると \(R^{\oplus n}/K \to M\) が同型となるような有限部分加群 \(K \subset \Ker(R^{\oplus n} \to M)\) を選ぶ。これは、例えば Algebra, Lemma 00NX により \(M_f\) が有限表示なので可能である。 \(M_1 = R^{\oplus n}/K\) とおき、\(M_1\) に対して補題を証明できると仮定する。 \(I \subset R\) を対応するイデアルとする。このとき \(a \in I\) に対して写像 \[M_1' = (M_1 \otimes_R R')/a\text{-power torsion} \longrightarrow M' = (M \otimes_R R')/a\text{-power torsion}\] は全射である。また、Algebra, Lemma 080U により \(R'\) で \(a\) を逆にすると \(R'_a = R_f\) なので、この写像は同型となる。

しかし \(a\) は \(M'_1\) 上の非零因子なので、表示された写像は同型である。 従って \(M\) が有限表示 \(R\)-加群である場合に補題を証明すれば十分である。

\(M\) を有限表示 \(R\)-加群と仮定する。このとき \(J = \text{Fit}_r(M) \subset S\) は有限生成イデアルである。

\(I = fJ\) が使えると主張する。

まず \(V(f) = V(I)\) を確認する。包含 \(V(f) \subset V(I)\) は明らかである。 逆に \(f \not \in \mathfrak p\) ならば、Lemma 07ZC により \(\mathfrak p\) は \(V(J)\) の元ではない。従って \(\mathfrak p \not \in V(fJ) = V(I)\) である。

\(a \in I\) とし、\(R' = R[\frac{I}{a}]\) とおく。ある \(b \in J\) によって \(a = fb\) と書ける。Algebra, Lemmas 07Z3 および 0BBI により \(J R' = b R'\) であり、\(b\) は \(R'\) の非零因子である。 \(\mathfrak p' \subset R' = R[\frac{I}{a}]\) を素イデアルとする。 このとき \(JR'_{\mathfrak p'}\) は \(b\) で生成される。Lemma 080Z により、 \(M'_{\mathfrak p'}\) は \(r\) 個の元で生成できる。\(M'\) は有限なので、 対応する写像 \((R')^{\oplus r} \to M'\) が \(g\) を逆にした後に全射となる \(m_1, \ldots, m_r \in M'\) と \(g \in R'\), \(g \not \in \mathfrak p'\) が存在する。

最後にイデアル \(J' = \text{Fit}_{k - 1}(M')\) を考える。

\(J' R'_g\) は \(m_1, \ldots, m_r\) の間の関係式の係数で生成されることに 注意せよ（Fitting イデアルと基底変換との両立性）。従って Lemma 07ZD により \(J' = 0\) を示せば十分である。Algebra, Lemma 080U により \(R'_a = R_f\) であり、

\(M'_a = M_f\) は階数 \(r\) の自由加群なので、\(J'_a = 0\) である。 \(a\) は \(R'\) の非零因子なので、\(J' = 0\) と結論でき、証明が完了する。

完備化と平坦性

この節では「大きな」平坦加群の完備化がいつ平坦になるかを論じる。

補題

\(R\) を環、\(I \subset R\) をイデアル、\(A\) を集合とする。 \(R\) は Noether で \(I\) に関して完備であると仮定する。直和の \(I\)-進完備化から 直積への標準写像 \[\left(\bigoplus\nolimits_{\alpha \in A} R\right)^\wedge \longrightarrow \prod\nolimits_{\alpha \in A} R\] が存在し、これは普遍単射である。

証明

定義により、左辺の元 \(x\) は \(x = (x_n)\) という形であり、ここで \(x_n = (x_{n, \alpha}) \in \bigoplus\nolimits_{\alpha \in A} R/I^n\) かつ \(x_{n, \alpha} = x_{n + 1, \alpha} \bmod I^n\) である。 \(R = R^\wedge\) なので、任意の \(\alpha\) に対して \(x_{n, \alpha} = y_\alpha \bmod I^n\) を満たす \(y_\alpha \in R\) が存在する。 各 \(n\) に対して、元 \(x_{n, \alpha}\) が零でない \(\alpha\) は有限個しかない ことに注意せよ。逆に \((y_\alpha) \in \prod_\alpha R\) が与えられ、各 \(n\) に 対して \(y_{\alpha} \bmod I^n\) が零でない \(\alpha\) が有限個しかなければ、 これは左辺の元を定める。従って左辺の元は、\(y_\alpha \in R\) で、各 \(n\) に 対して \(I^n\) を法として零でない \(y_\alpha\) が有限個しかないような無限の 「収束和」\(\sum_\alpha y_\alpha\) と考えられる。表示された写像はこの元を 直積の元 \((y_\alpha)\) に写す。

特にこの写像は単射である。

\(Q\) を有限 \(R\)-加群とする。Algebra, Theorem 058K により、写像 \[Q \otimes_R \left(\bigoplus\nolimits_{\alpha \in A} R\right)^\wedge \longrightarrow Q \otimes_R \left(\prod\nolimits_{\alpha \in A} R\right)\] が単射であることを示さなければならない。表示 \(R^{\oplus k} \to R^{\oplus m} \to Q \to 0\) を選び、対応する \(Q\) の生成元を \(q_1, \ldots, q_m \in Q\) と表す。Artin–Rees （Algebra, Lemma 00IN）により、定数 \(c\) で \[\Im(R^{\oplus k} \to R^{\oplus m}) \cap (I^N)^{\oplus m} \subset \Im((I^{N - c})^{\oplus k} \to R^{\oplus m})\] を満たすものが存在する。図式 \[\xymatrix{ \bigoplus_{l = 1}^k \left(\bigoplus\nolimits_{\alpha \in A} R\right)^\wedge \ar[r] \ar[d] & \bigoplus_{j = 1}^m \left(\bigoplus\nolimits_{\alpha \in A} R\right)^\wedge \ar[r] \ar[d] & Q \otimes_R \left(\bigoplus\nolimits_{\alpha \in A} R\right)^\wedge \ar[r] \ar[d] & 0 \\ \bigoplus_{l = 1}^k \left(\prod\nolimits_{\alpha \in A} R\right) \ar[r] & \bigoplus_{j = 1}^m \left(\prod\nolimits_{\alpha \in A} R\right) \ar[r] & Q \otimes_R \left(\prod\nolimits_{\alpha \in A} R\right) \ar[r] & 0 }\] を考える。その行は完全である。 \(\bigoplus_{j = 1, \ldots, m} \left(\bigoplus\nolimits_{\alpha \in A} R\right)^\wedge\) の元 \(\sum_j \sum_\alpha y_{j, \alpha}\) を選ぶ。この元が \(Q \otimes_R \left(\prod\nolimits_{\alpha \in A} R\right)\) で零に写るならば、 特に各 \(\alpha\) に対して \(\sum_j q_j \otimes y_{j, \alpha} = 0\) が \(Q\) で成り立つ。 従って \((y_{1, \alpha}, \ldots, y_{m, \alpha}) \in \bigoplus_{j = 1, \ldots, m} R\) に写る元 \((z_{1, \alpha}, \ldots, z_{k, \alpha}) \in \bigoplus_{l = 1, \ldots, k} R\) を見つけられる。さらに \(j = 1, \ldots, m\) に対して \(y_{j, \alpha} \in I^{N_\alpha}\) ならば、 \(l = 1, \ldots, k\) に対して \(z_{l, \alpha} \in I^{N_\alpha - c}\) と仮定してよい。従って和 \(\sum_l \sum_\alpha z_{l, \alpha}\) は「収束」し、 \[\bigoplus_{l = 1, \ldots, k} \left(\bigoplus\nolimits_{\alpha \in A} R\right)^\wedge\] の元を定め、最初の元 \(\sum_j \sum_\alpha y_{j, \alpha}\) に写る。 従って右の垂直矢印は単射であり、証明が完了する。