微分分次代数

引言

本章讨论微分分次代数、模、范畴等。一个基本参考文献是 [Keller-Deriving]，综述论文可见 [Keller-survey]。

由于 Stacks project 不在意叙述篇幅，我们先在微分分次模范畴的框架中发展这些材料。此后，再在微分分次范畴上的微分分次模框架中重新完成这些构造。

约定

本章继续采用如下约定：环指有 \(1\) 的交换环。若 \(R\) 是环，则一个 \(R\)-代数 \(A\) 是一个 \(R\)-模 \(A\)，连同一个 \(R\)-双线性映射 \(A \times A \to A\)（乘法），使得该乘法结合且有单位元。换言之，它们是含幺结合 \(R\)-代数，并且结构映射 \(R \to A\) 的像包含在 \(A\) 的中心中。

符号规则。 本章将研究通常配备微分的分次代数和分次模。底层复形上的符号规则总是采用（或兼容于）《更多代数》第 0FNG 节中引入的规则。这有时会使乘法结构以意外方式发生扭曲，特别是在考虑左模，或者左模与右模之间的关系时。

微分分次代数

这里只给出定义。

定义

设 \(R\) 是交换环。一个 \(R\) 上的微分分次代数是以下两者之一：

一个 \(R\)-模链复形 \(A_\bullet\)，配备 \(R\)-双线性映射 \(A_n \times A_m \to A_{n + m}\)，\((a, b) \mapsto ab\)，使得 \[\text{d}_{n + m}(ab) = \text{d}_n(a)b + (-1)^n a\text{d}_m(b)\] 并且 \(\bigoplus A_n\) 成为含幺结合 \(R\)-代数；或者

一个 \(R\)-模上链复形 \(A^\bullet\)，配备 \(R\)-双线性映射 \(A^n \times A^m \to A^{n + m}\)，\((a, b) \mapsto ab\)，使得 \[\text{d}^{n + m}(ab) = \text{d}^n(a)b + (-1)^n a\text{d}^m(b)\] 并且 \(\bigoplus A^n\) 成为含幺结合 \(R\)-代数。

我们常简写为 \(A = \bigoplus A_n\) 或 \(A = \bigoplus A^n\)，并把它看作配备一个 \(\mathbf{Z}\)-分次及一个平方为零且满足上述 Leibniz 规则的 \(R\)-线性算子 \(\text{d}\) 的含幺结合 \(R\)-代数。在这种情形下，我们常说“设 \((A, \text{d})\) 是一个微分分次代数”。

微分分次 \(R\)-代数 \(A\) 上联系微分与乘法的 Leibniz 规则，恰好意味着乘法映射给出一个上链复形映射 \[\text{Tot}(A^\bullet \otimes_R A^\bullet) \to A^\bullet\] 这里 \(A^\bullet\) 表示 \(A\) 的底层上链复形。

定义

微分分次代数的一个同态 \(f : (A, \text{d}) \to (B, \text{d})\)，是一个与分次及 \(\text{d}\) 相容的代数映射 \(f : A \to B\)。

定义

若对次数为 \(n\) 的 \(a\) 和次数为 \(m\) 的 \(b\) 有 \(ab = (-1)^{nm}ba\)，则称微分分次代数 \((A, \text{d})\) 是 交换的。若此外对 \(\deg(a)\) 为奇数的 \(a\) 有 \(a^2 = 0\)，则称 \(A\) 是 严格交换的。

下述定义一般都有意义，但或许只有在对交换微分分次代数取张量积时才是“正确的”。

定义

设 \(R\) 是环。设 \((A, \text{d})\)、\((B, \text{d})\) 是 \(R\) 上的微分分次代数。 \(A\) 与 \(B\) 的 张量积微分分次代数是代数 \(A \otimes_R B\)，其乘法定义为 \[(a \otimes b)(a' \otimes b') = (-1)^{\deg(a')\deg(b)} aa' \otimes bb'\] 并配备由下述规则定义的微分 \(\text{d}\)： \(\text{d}(a \otimes b) = \text{d}(a) \otimes b + (-1)^m a \otimes \text{d}(b)\) 其中 \(m = \deg(a)\)。

引理

设 \(R\) 是环。设 \((A, \text{d})\)、\((B, \text{d})\) 是 \(R\) 上的微分分次代数。用 \(A^\bullet\)、\(B^\bullet\) 表示底层上链复形。作为 \(R\)-模上链复形，我们有 \[(A \otimes_R B)^\bullet = \text{Tot}(A^\bullet \otimes_R B^\bullet).\]

证明

回忆全复形在 \(A^p \otimes_R B^q\) 上的微分由 \(\text{d}_1^{p, q} + (-1)^p \text{d}_2^{p, q}\) 给出。这恰好与定义 065W 中 \(A \otimes_R B\) 上的微分规则相同。

微分分次模

本章默认使用右模；左模将在第 0FPZ 节中讨论。

定义

设 \(R\) 是环。设 \((A, \text{d})\) 是 \(R\) 上的微分分次代数。 \(A\) 上的一个（右）微分分次模 \(M\) 是一个右 \(A\)-模 \(M\)，配备分次 \(M = \bigoplus M^n\) 和微分 \(\text{d}\)，使得 \(M^n A^m \subset M^{n + m}\)、\(\text{d}(M^n) \subset M^{n + 1}\)，并且 \[\text{d}(ma) = \text{d}(m)a + (-1)^n m\text{d}(a)\] 对 \(a \in A\) 和 \(m \in M^n\) 成立。微分分次模的一个同态 \(f : M \to N\)，是一个与分次及微分相容的 \(A\)-模映射。（右）微分分次 \(A\)-模的范畴记为 \(\text{Mod}_{(A, \text{d})}\)。

注意，可以把 \(M\) 看作（右）\(R\)-模的上链复形 \(M^\bullet\)。事实上，对 \(r \in R\) 有 \(\text{d}(r) = 0\)，且 \(r\) 映到 \(A\) 的一个零次元素，因而 \(\text{d}(mr) = \text{d}(m)r\)。

微分分次 \(R\)-代数 \(A\) 上的微分分次 \(R\)-模 \(M\) 中，联系微分与乘法的 Leibniz 规则恰好意味着乘法映射给出一个上链复形映射 \[\text{Tot}(M^\bullet \otimes_R A^\bullet) \to M^\bullet\] 这里 \(A^\bullet\) 和 \(M^\bullet\) 分别表示 \(A\) 和 \(M\) 的底层上链复形。

引理

设 \((A, d)\) 是微分分次代数。范畴 \(\text{Mod}_{(A, \text{d})}\) 是阿贝尔范畴，并且具有任意极限和余极限。

证明

取核或余核与取底层 \(A\)-模可交换。直和和余极限也是如此。换言之，\(\text{Mod}_{(A, \text{d})}\) 中的这些运算与到 \(A\)-模范畴的遗忘函子可交换。乘积和极限则并非如此。事实上，若 \(N_i\)（\(i \in I\)）是一族微分分次 \(A\)-模，则 \(\text{Mod}_{(A, \text{d})}\) 中的乘积 \(\prod N_i\) 由 \((\prod N_i)^n = \prod N_i^n\) 以及 \(\prod N_i = \bigoplus_n (\prod N_i)^n\) 给出。因此，乘积确实与到分次 \(A\)-模范畴的遗忘函子可交换。具有乘积和等化子的范畴具有极限；见《范畴》引理 002N。

因此，若 \((A, \text{d})\) 是 \(R\) 上的微分分次代数，则有阿贝尔范畴间的正合函子 \[\text{Mod}_{(A, \text{d})} \longrightarrow \text{Comp}(R)\] 。对于微分分次模 \(M\)，其上同调群 \(H^n(M)\) 定义为相应 \(R\)-模复形的上同调。因此，微分分次模的短正合列 \(0 \to K \to L \to M \to 0\) 产生长正合列 [09JK]\[\begin{equation} H^n(K) \to H^n(L) \to H^n(M) \to H^{n + 1}(K) \end{equation}\] ；它由上同调模组成，见《同调代数》引理 0117。

此外，从现在起，我们沿用模复形的全部术语。例如，若对所有 \(k \in \mathbf{Z}\) 都有 \(H^k(M) = 0\)，则称微分分次 \(A\)-模 \(M\) 是 无环的。若微分分次 \(A\)-模的同态 \(M \to N\) 对所有 \(k \in \mathbf{Z}\) 都诱导同构 \(H^k(M) \to H^k(N)\)，则称它为 拟同构；其余术语依此类推。

定义

设 \((A, \text{d})\) 是微分分次代数。设 \(M\) 是微分分次模，其底层 \(R\)-模复形为 \(M^\bullet\)。对任意 \(k \in \mathbf{Z}\)，如下定义 \(k\)-移位模 \(M[k]\)：

\(M[k]\) 的底层 \(R\)-模复形是 \(M^\bullet[k]\)，即 \(M[k]^n = M^{n + k}\) 且 \(\text{d}_{M[k]} = (-1)^k\text{d}_M\)；以及

作为 \(A\)-模，其乘法 \[(M[k])^n \times A^m \longrightarrow (M[k])^{n + m}\] 等于给定的乘法 \(M^{n + k} \times A^m \to M^{n + k + m}\)。

对于微分分次 \(A\)-模的态射 \(f : M \to N\)，令 \(f[k] : M[k] \to N[k]\) 为在底层 \(A\)-模上等于 \(f\) 的映射。这定义了函子 \([k] : \text{Mod}_{(A, \text{d})} \to \text{Mod}_{(A, \text{d})}\).

来验证这个选择满足 Leibniz 规则。设 \(x \in M[k]^n = M^{n + k}\)、 \(a \in A^m\)，并以 \(\cdot_{M[k]}\) 表示 \(M[k]\) 中的乘法，则 \[\begin{align*} \text{d}_{M[k]}(x \cdot_{M[k]} a) & = (-1)^k \text{d}_M(xa) \\ & = (-1)^k \text{d}_M(x) a + (-1)^{k + n + k} x \text{d}(a) \\ & = \text{d}_{M[k]}(x) a + (-1)^n x \text{d}(a) \\ & = \text{d}_{M[k]}(x) \cdot_{M[k]} a + (-1)^n x \cdot_{M[k]} \text{d}(a) \end{align*}\] 这正是所需结论，因为作为 \(M[k]\) 的齐次元素，\(x\) 的次数为 \(n\)。还注意到，在这些选择下，可把乘法映射看作复形映射 \[\text{Tot}(M^\bullet[k] \otimes _R A^\bullet) \to \text{Tot}(M^\bullet \otimes _R A^\bullet)[k] \to M^\bullet[k]\] 其中第一个箭头是《更多代数》第 0FNG 节 (0FNH) 中的箭头；在本情形下它不涉及符号。（事实上，也可由这一观察推出 Leibniz 规则成立。）

《同调代数》第 0119 节中的说明适用。特别地，我们将在不引入符号的情况下认同所有移位 \(M[k]\) 的上同调群。

至此，我们已有足够结构来讨论三角；见《导出范畴》定义 0144。下一步将发展充分的理论，以陈述并证明微分分次模的同伦范畴是三角范畴。我们先定义同伦范畴。

同伦范畴

我们的同伦考虑 \(A\)-模结构和分次，但（当然）不要求与微分相容。

定义

设 \((A, \text{d})\) 是微分分次代数。设 \(f, g : M \to N\) 是微分分次 \(A\)-模的同态。\(f\) 与 \(g\) 之间的一个同伦是一个 \(A\)-模映射 \(h : M \to N\)，使得

对所有 \(n\) 有 \(h(M^n) \subset N^{n - 1}\)；并且

对所有 \(x \in M\) 有 \(f(x) - g(x) = \text{d}_N(h(x)) + h(\text{d}_M(x))\)。

若存在这样的同伦，则称 \(f\) 与 \(g\) 同伦。

因此，\(h\) 与 \(A\)-模结构及分次相容，但不与微分相容。若 \(f = g\)，且 \(h\) 是定义中的同伦，则 \(h\) 在 \(\text{Mod}_{(A, \text{d})}\) 中定义一个态射 \(h : M \to N[-1]\)。

引理

设 \((A, \text{d})\) 是微分分次代数。设 \(f, g : L \to M\) 是微分分次 \(A\)-模的同态，并另给同态 \(a : K \to L\) 和 \(c : M \to N\)。若 \(A\)-模映射 \(h : L \to M\) 定义了 \(f\) 与 \(g\) 之间的同伦，则 \(c \circ h \circ a\) 定义了 \(c \circ f \circ a\) 与 \(c \circ g \circ a\) 之间的同伦。

证明

立即由《同调代数》引理 0112 得出。

这个引理使我们可以如下定义同伦范畴。

定义

设 \((A, \text{d})\) 是微分分次代数。同伦范畴记为 \(K(\text{Mod}_{(A, \text{d})})\)；其对象是 \(\text{Mod}_{(A, \text{d})}\) 的对象，其态射是微分分次 \(A\)-模同态的同伦类。

记号 \(K(\text{Mod}_{(A, \text{d})})\) 并非标准记号，但至少与 Stacks project 其他部分中 \(K(-)\) 的用法一致。

引理

设 \((A, \text{d})\) 是微分分次代数。同伦范畴 \(K(\text{Mod}_{(A, \text{d})})\) 具有直和和乘积。

证明

略。提示：直接使用引理 09JJ 中的直和和乘积。这是可行的，因为我们已经看到这些函子与到分次 \(A\)-模范畴的遗忘函子可交换，并且 \(\prod\) 在阿贝尔群族所成的范畴上是正合函子。

锥

我们为微分分次模范畴引入锥。

定义

设 \((A, \text{d})\) 是微分分次代数。设 \(f : K \to L\) 是微分分次 \(A\)-模的同态。\(f\) 的锥是微分分次 \(A\)-模 \(C(f)\)；它由 \(C(f) = L \oplus K\) 给出，其分次为 \(C(f)^n = L^n \oplus K^{n + 1}\)，微分为 \[d_{C(f)} = \left( \begin{matrix} \text{d}_L & f \\ 0 & -\text{d}_K \end{matrix} \right)\] 它配备由显然映射 \(L \to C(f)\) 和 \(C(f) \to K\) 所诱导的典范复形态射 \(i : L \to C(f)\) 和 \(p : C(f) \to K[1]\)。

锥三角的构造在下述意义下是函子的。

引理

设 \((A, \text{d})\) 是微分分次代数。假设 \[\xymatrix{ K_1 \ar[r]_{f_1} \ar[d]_a & L_1 \ar[d]^b \\ K_2 \ar[r]^{f_2} & L_2 }\] 是一个在相差同伦意义下交换的微分分次 \(A\)-模同态图表。那么存在态射 \(c : C(f_1) \to C(f_2)\)，它产生三角态射 \[(a, b, c) : (K_1, L_1, C(f_1), f_1, i_1, p_1) \to (K_1, L_1, C(f_1), f_2, i_2, p_2)\] ，后者位于 \(K(\text{Mod}_{(A, \text{d})})\) 中。

证明

设 \(h : K_1 \to L_2\) 是 \(f_2 \circ a\) 与 \(b \circ f_1\) 之间的同伦。用矩阵 \[c = \left( \begin{matrix} b & h \\ 0 & a \end{matrix} \right) : L_1 \oplus K_1 \to L_2 \oplus K_2\] 定义 \(c\)。矩阵计算表明 \(c\) 是微分分次模的态射。显然 \(c \circ i_1 = i_2 \circ b\)，也容易验证 \(p_2 \circ c = a \circ p_1\)。

容许短正合列

容许短正合列是逐项分裂正合列在微分分次模框架中的对应物。

定义

设 \((A, \text{d})\) 是微分分次代数。

若存在分次 \(A\)-模映射 \(L \to K\)，它是 \(K \to L\) 的左逆，则称微分分次 \(A\)-模的同态 \(K \to L\) 为 容许单态射。

若存在分次 \(A\)-模映射 \(M \to L\)，它是 \(L \to M\) 的右逆，则称微分分次 \(A\)-模的同态 \(L \to M\) 为 容许满态射。

若微分分次 \(A\)-模的短正合列 \(0 \to K \to L \to M \to 0\) 作为分次 \(A\)-模列分裂，则称它为 容许短正合列。

因此，这些分裂与除微分外的所有数据相容。给定一个容许短正合列，我们得到一个三角；这正是要求分裂与 \(A\)-模结构相容的原因。

引理

设 \((A, \text{d})\) 是微分分次代数。设 \(0 \to K \to L \to M \to 0\) 是微分分次 \(A\)-模的容许短正合列。设 \(s : M \to L\) 和 \(\pi : L \to K\) 是满足 \(\Ker(\pi) = \Im(s)\) 的分裂。那么得到态射 \[\delta = \pi \circ \text{d}_L \circ s : M \to K[1]\] ，它属于 \(\text{Mod}_{(A, \text{d})}\)，并诱导上同调长正合列 (09JK) 中的边界映射。

证明

由构造，映射 \(\pi \circ \text{d}_L \circ s\) 与 \(A\)-模结构及分次相容。由《同调代数》引理 011J，它也与微分相容。设 \(R\) 是使 \(A\) 成为其上微分分次代数的环。映射的等式是关于 \(R\)-模的陈述。因此，结论由《同调代数》引理 011J 和 011K 得出。

引理

设 \((A, \text{d})\) 是微分分次代数。设 \[\xymatrix{ K \ar[r]_f \ar[d]_a & L \ar[d]^b \\ M \ar[r]^g & N }\] 是一个相差同伦交换的微分分次 \(A\)-模同态图表。

若 \(f\) 是容许单态射，则 \(b\) 同伦于一个使图表交换的同态。

若 \(g\) 是容许满态射，则 \(a\) 同伦于一个使图表交换的态射。

证明

设 \(h : K \to N\) 是 \(bf\) 与 \(ga\) 之间的同伦，即 \(bf - ga = \text{d}h + h\text{d}\)。假设分次 \(A\)-模映射 \(\pi : L \to K\) 是 \(f\) 的左逆。取 \(b' = b - \text{d}h\pi - h\pi \text{d}\)。假设分次 \(A\)-模映射 \(s : N \to M\) 是 \(g\) 的右逆。取 \(a' = a + \text{d}sh + sh\text{d}\)。计算略。

引理

设 \((A, \text{d})\) 是微分分次代数。设 \(\alpha : K \to L\) 是微分分次 \(A\)-模的同态。存在分解 \[\xymatrix{ K \ar[r]^{\tilde \alpha} \ar@/_1pc/[rr]_\alpha & \tilde L \ar[r]^\pi & L }\] ，它位于 \(\text{Mod}_{(A, \text{d})}\) 中，并且

\(\tilde \alpha\) 是容许单态射（见定义 09JT）；

存在态射 \(s : L \to \tilde L\)，使得 \(\pi \circ s = \text{id}_L\)，并且 \(s \circ \pi\) 同伦于 \(\text{id}_{\tilde L}\)。

证明

证明与《导出范畴》引理 013N 的证明相同。具体而言，置 \(\tilde L = L \oplus C(1_K)\)，并使用锥构造的初等性质。

引理

设 \((A, \text{d})\) 是微分分次代数。设 \(L_1 \to L_2 \to \ldots \to L_n\) 是微分分次 \(A\)-模的可复合同态列。存在交换图表 \[\xymatrix{ L_1 \ar[r] & L_2 \ar[r] & \ldots \ar[r] & L_n \\ M_1 \ar[r] \ar[u] & M_2 \ar[r] \ar[u] & \ldots \ar[r] & M_n \ar[u] }\] ，它位于 \(\text{Mod}_{(A, \text{d})}\) 中，使得每个 \(M_i \to M_{i + 1}\) 都是容许单态射，且每个 \(M_i \to L_i\) 都是同伦等价。

证明

\(n = 1\) 的情形没有内容。引理 09JW 是 \(n = 2\) 的情形。假设除 \(M_n\) 外图表均已构造。对复合 \(M_{n - 1} \to L_{n - 1} \to L_n\) 应用引理 09JW，所得分解 \(M_{n - 1} \to M_n \to L_n\) 即满足要求。

引理

设 \((A, \text{d})\) 是微分分次代数。设 \(0 \to K_i \to L_i \to M_i \to 0\)（\(i = 1, 2, 3\)）是微分分次 \(A\)-模的容许短正合列。设 \(b : L_1 \to L_2\) 和 \(b' : L_2 \to L_3\) 是微分分次模的同态，使得 \[\vcenter{ \xymatrix{ K_1 \ar[d]_0 \ar[r] & L_1 \ar[r] \ar[d]_b & M_1 \ar[d]_0 \\ K_2 \ar[r] & L_2 \ar[r] & M_2 } } \quad\text{且}\quad \vcenter{ \xymatrix{ K_2 \ar[d]^0 \ar[r] & L_2 \ar[r] \ar[d]^{b'} & M_2 \ar[d]^0 \\ K_3 \ar[r] & L_3 \ar[r] & M_3 } }\] 相差同伦交换。那么 \(b' \circ b\) 同伦于 \(0\)。

证明

由引理 09JV，可把 \(b\) 和 \(b'\) 替换为与之同伦的映射，使得左图的右方块交换，而右图的左方块交换。换言之， \(\Im(b) \subset \Im(K_2 \to L_2)\) 且 \(\Ker(b') \supset \Im(K_2 \to L_2)\)。于是，作为模映射， \(b' \circ b = 0\)。

有区别三角

下述引理产生我们所用的有区别三角。

引理

设 \((A, \text{d})\) 是微分分次代数。设 \(0 \to K \to L \to M \to 0\) 是微分分次 \(A\)-模的容许短正合列。三角 [09K7]\[\begin{equation} K \to L \to M \xrightarrow{\delta} K[1] \end{equation}\] 中的 \(\delta\) 如引理 09JU 所述。该三角在 \(K(\text{Mod}_{(A, \text{d})})\) 中相差典范同构，不依赖于引理 09JU 中所作的选择。

证明

具体地，设 \((s', \pi')\) 是引理 09JU 中那种分裂的第二个选择。我们断言 \(\delta\) 与 \(\delta'\) 同伦。事实上，对某些唯一的次数为 \(-1\) 的 \(A\)-模同态 \(h : M \to K\) 和 \(g : M \to K\)，写成 \(s' = s + \alpha \circ h\) 和 \(\pi' = \pi + g \circ \beta\)。则 \(g = -h\)，且 \(g\) 是 \(\delta\) 与 \(\delta'\) 之间的同伦。相关计算见《同调代数》引理 011L 的证明。

定义

设 \((A, \text{d})\) 是微分分次代数。

若 \(0 \to K \to L \to M \to 0\) 是微分分次 \(A\)-模的容许短正合列，则 与 \(0 \to K \to L \to M \to 0\) 关联的三角是 \(K(\text{Mod}_{(A, \text{d})})\) 中的三角 (09K7)。

若 \(K(\text{Mod}_{(A, \text{d})})\) 中的三角同构于某个与微分分次 \(A\)-模的容许短正合列关联的三角，则称它为 有区别三角。

锥与有区别三角

设 \((A, \text{d})\) 是微分分次代数。设 \(f : K \to L\) 是微分分次 \(A\)-模的同态。那么 \((K, L, C(f), f, i, p)\) 构成三角 \[K \to L \to C(f) \to K[1]\] ，它位于 \(\text{Mod}_{(A, \text{d})}\) 中，因而也位于 \(K(\text{Mod}_{(A, \text{d})})\) 中。一般而言，锥并不是有区别三角，但两者只相差一个符号或一次旋转（任君选择）。下面给出两个精确陈述。

引理

设 \((A, \text{d})\) 是微分分次代数。设 \(f : K \to L\) 是微分分次模的同态。三角 \((L, C(f), K[1], i, p, f[1])\) 是与容许短正合列 \[0 \to L \to C(f) \to K[1] \to 0\] 关联的三角；该短正合列来自 \(f\) 的锥的定义。

证明

立即由定义得出。

引理

设 \((A, \text{d})\) 是微分分次代数。设 \(\alpha : K \to L\) 和 \(\beta : L \to M\) 定义容许短正合列 \[0 \to K \to L \to M \to 0\] ，它由微分分次 \(A\)-模组成。设 \((K, L, M, \alpha, \beta, \delta)\) 为关联三角。那么三角 \[(M[-1], K, L, \delta[-1], \alpha, \beta) \quad\text{且}\quad (M[-1], K, C(\delta[-1]), \delta[-1], i, p)\] 同构。

证明

选取分裂后，写 \(L = K \oplus M\)，并把 \(\alpha\) 和 \(\beta\) 分别认同为自然包含映射和投影映射。由 \(\delta\) 的构造，有 \[d_B = \left( \begin{matrix} d_K & \delta \\ 0 & d_M \end{matrix} \right)\] 另一方面，\(\delta[-1] : M[-1] \to K\) 的锥由 \(C(\delta[-1]) = K \oplus M\) 给出，其微分与上面的矩阵完全相同！引理由此得证。

引理

设 \((A, \text{d})\) 是微分分次代数。设 \(f_1 : K_1 \to L_1\) 和 \(f_2 : K_2 \to L_2\) 是微分分次 \(A\)-模的同态。设 \[(a, b, c) : (K_1, L_1, C(f_1), f_1, i_1, p_1) \longrightarrow (K_1, L_1, C(f_1), f_2, i_2, p_2)\] 为 \(K(\text{Mod}_{(A, \text{d})})\) 中的任意三角态射。若 \(a\) 和 \(b\) 是同伦等价，则 \(c\) 也是同伦等价。

证明

设 \(a^{-1} : K_2 \to K_1\) 是微分分次 \(A\)-模的同态，且它在 \(K(\text{Mod}_{(A, \text{d})})\) 中是 \(a\) 的逆。设 \(b^{-1} : L_2 \to L_1\) 是微分分次 \(A\)-模的同态，且它在该范畴中是 \(b\) 的逆。对 \(f_1 \circ a^{-1} = b^{-1} \circ f_2\) 应用引理 09KD，得到态射 \(c' : C(f_2) \to C(f_1)\)。若能证明 \(c \circ c'\) 和 \(c' \circ c\) 在 \(K(\text{Mod}_{(A, \text{d})})\) 中都是同构，结论即得。因此，只需证明：给定 \(K(\text{Mod}_{(A, \text{d})})\) 中形如 \((1, 1, c) : (K, L, C(f), f, i, p)\) 的三角态射，态射 \(c\) 是该范畴中的同构。由假设，下图中的两个方块 \[\xymatrix{ L \ar[r] \ar[d]_1 & C(f) \ar[r] \ar[d]_c & K[1] \ar[d]_1 \\ L \ar[r] & C(f) \ar[r] & K[1] }\] 相差同伦交换。由 \(C(f)\) 的构造，两行都是容许短正合列。于是，由引理 09JY，在 \(K(\text{Mod}_{(A, \text{d})})\) 中有 \((c - 1)^2 = 0\)。因此，\(c\) 是该范畴中的同构，其逆为 \(2 - c\)。

下述引理表明，同伦范畴中由锥给出的三角族与有区别三角族相差同构而相同，至少在不计符号时如此！

引理

设 \((A, \text{d})\) 是微分分次代数。

给定微分分次 \(A\)-模的容许短正合列 \(0 \to K \xrightarrow{\alpha} L \to M \to 0\) ，存在同伦等价 \(C(\alpha) \to M\)，使得图表 \[\xymatrix{ K \ar[r] \ar[d] & L \ar[d] \ar[r] & C(\alpha) \ar[r]_{-p} \ar[d] & K[1] \ar[d] \\ K \ar[r]^\alpha & L \ar[r]^\beta & M \ar[r]^\delta & K[1] }\] 在 \(K(\text{Mod}_{(A, \text{d})})\) 中定义一个三角同构。

给定复形态射 \(f : K \to L\)，存在三角同构 \[\xymatrix{ K \ar[r] \ar[d] & \tilde L \ar[d] \ar[r] & M \ar[r]_{\delta} \ar[d] & K[1] \ar[d] \\ K \ar[r] & L \ar[r] & C(f) \ar[r]^{-p} & K[1] }\] ，其中上方三角是与容许短正合列 \(K \to \tilde L \to M\) 关联的三角。

证明

证明 (1)。有 \(C(\alpha) = L \oplus K\)；我们简单地把 \(C(\alpha) \to M\) 定义为先投影到 \(L\)，再与 \(\beta\) 复合。由于复合 \(K^{n + 1} \to L^{n + 1} \to M^{n + 1}\) 为零，这定义了微分分次模的态射。选择满足 \(\Ker(\pi) = \Im(s)\) 的分裂 \(s : M \to L\) 和 \(\pi : L \to K\)，并照例置 \(\delta = \pi \circ \text{d}_L \circ s\)。取由 \((s , -\delta)\) 给出的 \(M \to C(\alpha)\) 作为同伦逆。它与微分相容，因为 \(\delta^n\) 可刻画为唯一满足下式的映射 \(M^n \to K^{n + 1}\)： \(\text{d} \circ s^n - s^{n + 1} \circ \text{d} = \alpha \circ \delta^n\), 见《同调代数》引理 011J 的证明。复合 \(M \to C(f) \to M\) 是恒等映射。复合 \(C(f) \to M \to C(f)\) 等于态射 \[\left( \begin{matrix} s \circ \beta & 0 \\ -\delta \circ \beta & 0 \end{matrix} \right)\] 为看出它同伦于恒等映射，使用由矩阵 \[\left( \begin{matrix} 0 & 0 \\ \pi & 0 \end{matrix} \right) : C(\alpha) = L \oplus K \to L \oplus K = C(\alpha)\] 给出的同伦 \(h : C(\alpha) \to C(\alpha)\)。容易验证 \[\left( \begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix} \right) - \left( \begin{matrix} s \\ -\delta \end{matrix} \right) \left( \begin{matrix} \beta & 0 \end{matrix} \right) = \left( \begin{matrix} \text{d} & \alpha \\ 0 & -\text{d} \end{matrix} \right) \left( \begin{matrix} 0 & 0 \\ \pi & 0 \end{matrix} \right) + \left( \begin{matrix} 0 & 0 \\ \pi & 0 \end{matrix} \right) \left( \begin{matrix} \text{d} & \alpha \\ 0 & -\text{d} \end{matrix} \right)\] 为完成 (1) 的证明，还须证明态射 \(-p : C(\alpha) \to K[1]\) （见定义 09KA）与复合 \(C(\alpha) \to M \to K[1]\) 相差同伦相等。这由上文显然可见。事实上，可使用同伦逆 \((s, -\delta) : M \to C(\alpha)\)，转而验证两个映射 \(M \to K[1]\) 相等。注意 \(p \circ (s, -\delta) = -\delta\)，正合所需。

证明 (2)。令 \(\tilde f : K \to \tilde L\)、\(s : L \to \tilde L\) 和 \(\pi : L \to L\) 如引理 09JW 中所述。由引理 09KD 和 09KE，三角 \((K, L, C(f), i, p)\) 与 \((K, \tilde L, C(\tilde f), \tilde i, \tilde p)\) 同构。注意，可以复合三角的同构。因此，可以用 \(\tilde L\) 替换 \(L\)，并用 \(\tilde f\) 替换 \(f\)。换言之，可以假设 \(f\) 是容许单态射。此时结论由 (1) 得出。

同伦范畴是三角范畴

我们先证明它是预三角范畴。

引理

设 \((A, \text{d})\) 是微分分次代数。同伦范畴 \(K(\text{Mod}_{(A, \text{d})})\) 连同其自然平移函子和有区别三角，是一个预三角范畴。

证明

证明 TR1。由定义，任何同构于有区别三角的三角都是有区别三角。此外，任意三角 \((K, K, 0, 1, 0, 0)\) 都是有区别三角，因为 \(0 \to K \to K \to 0 \to 0\) 是容许短正合列。最后，给定微分分次 \(A\)-模的任意同态 \(f : K \to L\)，由引理 09KF，三角 \((K, L, C(f), f, i, -p)\) 是有区别三角。

证明 TR2。设 \((X, Y, Z, f, g, h)\) 是一个三角，并假设 \((Y, Z, X[1], g, h, -f[1])\) 是有区别三角。则存在容许短正合列 \(0 \to K \to L \to M \to 0\)，使其关联三角 \((K, L, M, \alpha, \beta, \delta)\) 同构于 \((Y, Z, X[1], g, h, -f[1])\)。反向旋转可见， \((X, Y, Z, f, g, h)\) 同构于 \((M[-1], K, L, -\delta[-1], \alpha, \beta)\)。由引理 09KC，三角 \((M[-1], K, L, \delta[-1], \alpha, \beta)\) 同构于 \((M[-1], K, C(\delta[-1]), \delta[-1], i, p)\)。把前一三角同构预复合以 \(Y\) 上的 \(-1\)，可得 \((X, Y, Z, f, g, h)\) 同构于 \((M[-1], K, C(\delta[-1]), \delta[-1], i, -p)\)。因此，由引理 09KF，它是有区别三角。反过来，假设 \((X, Y, Z, f, g, h)\) 是有区别三角。由引理 09KF，这意味着它同构于某个 \(\text{Mod}_{(A, \text{d})}\) 中的态射 \(f\) 所给出的三角 \((K, L, C(f), f, i, -p)\)。于是旋转后的三角 \((Y, Z, X[1], g, h, -f[1])\) 同构于 \((L, C(f), K[1], i, -p, -f[1])\)，后者又同构于三角 \((L, C(f), K[1], i, p, f[1])\)。由引理 09KB，这个三角是有区别三角。因此，\((Y, Z, X[1], g, h, -f[1])\) 如所需是有区别三角。

证明 TR3。设 \((X, Y, Z, f, g, h)\) 和 \((X', Y', Z', f', g', h')\) 是 \(K(\mathcal{A})\) 的有区别三角，并设 \(a : X \to X'\) 和 \(b : Y \to Y'\) 是满足 \(f' \circ a = b \circ f\) 的态射。由引理 09KF，可以假设 \((X, Y, Z, f, g, h) = (X, Y, C(f), f, i, -p)\)，并且 \((X', Y', Z', f', g', h') = (X', Y', C(f'), f', i', -p')\)。此时，只需对 \(f, f', a, b\) 给出的交换图表应用引理 09KD。

在一般地证明 TR4 之前，先证明一个特殊情形。

引理

设 \((A, \text{d})\) 是微分分次代数。假设 \(\alpha : K \to L\) 和 \(\beta : L \to M\) 是微分分次 \(A\)-模的容许单态射。那么存在有区别三角 \((K, L, Q_1, \alpha, p_1, d_1)\)、 \((K, M, Q_2, \beta \circ \alpha, p_2, d_2)\) 和 \((L, M, Q_3, \beta, p_3, d_3)\)，使得 TR4 对它们成立。

证明

设 \(\pi_1 : L \to K\) 和 \(\pi_3 : M \to L\) 是分次 \(A\)-模同态，分别为 \(\alpha\) 和 \(\beta\) 的左逆。于是 \(K \to M\) 也是容许单态射，其左逆为 \(\pi_2 = \pi_1 \circ \pi_3\)。用 \(Q_1\)、\(Q_2\)、\(Q_3\) 分别表示 \(K \to L\)、\(K \to M\)、\(L \to M\) 的余核。则作为分次 \(A\)-模，有认同 \(Q_1 = \Ker(\pi_1)\)、\(Q_3 = \Ker(\pi_3)\) 和 \(Q_2 = \Ker(\pi_2)\)。又有 \(L = K \oplus Q_1\) 和 \(M = L \oplus Q_3\)，故 \(M = K \oplus Q_1 \oplus Q_3\)。注意，\(\pi_2 = \pi_1 \circ \pi_3\) 在 \(Q_1\) 和 \(Q_3\) 上均为零。因此 \(Q_2 = Q_1 \oplus Q_3\)。考虑交换图表 \[\begin{matrix} 0 & \to & K & \to & L & \to & Q_1 & \to & 0 \\ & & \downarrow & & \downarrow & & \downarrow & \\ 0 & \to & K & \to & M & \to & Q_2 & \to & 0 \\ & & \downarrow & & \downarrow & & \downarrow & \\ 0 & \to & L & \to & M & \to & Q_3 & \to & 0 \end{matrix}\] 该图表的各行都是容许短正合列，因而按定义确定有区别三角。此外，上图中的向下箭头与所选分裂相容，因而定义三角态射 \[(K \to L \to Q_1 \to K[1]) \longrightarrow (K \to M \to Q_2 \to K[1])\] 以及 \[(K \to M \to Q_2 \to K[1]) \longrightarrow (L \to M \to Q_3 \to L[1]).\] 注意，把图表中最下方列的分裂 \(Q_3 \to M\) 与 \(M \to Q_2\) 复合，就得到分裂列 \(0 \to Q_1 \to Q_2 \to Q_3 \to 0\) 的一个分裂。由此容易看出，相应有区别三角 \[(Q_1 \to Q_2 \to Q_3 \to Q_1[1])\] 中的态射 \(\delta : Q_3 \to Q_1[1]\) 等于复合 \(Q_3 \to L[1] \to Q_1[1]\)。因此，我们得到公理 TR4 结论中的结构。

下面给出最终结论。

命题

设 \((A, \text{d})\) 是微分分次代数。微分分次 \(A\)-模的同伦范畴 \(K(\text{Mod}_{(A, \text{d})})\) 连同其自然平移函子和有区别三角，是一个三角范畴。

证明

已知 \(K(\text{Mod}_{(A, \text{d})})\) 是预三角范畴。因此，只需证明 TR4，而证明它可使用《导出范畴》引理 014C。设 \(K \to L\) 和 \(L \to M\) 是 \(K(\text{Mod}_{(A, \text{d})})\) 中的可复合态射。由引理 09JX，可以假设 \(K \to L\) 和 \(L \to M\) 都是容许单态射。此时结论由引理 09KI 得出。

左模

迄今所述的一切在左微分分次模的框架中都有对应版本，但必须留意某些符号规则。

设 \((A, \text{d})\) 是微分分次 \(R\)-代数。完全类似于右模，把一个 左微分分次 \(A\)-模 \(M\) 定义为一个左 \(A\)-模 \(M\)，它配备分次 \(M = \bigoplus M^n\) 和微分 \(\text{d}\)，使得 \(A^n M^m \subset M^{n + m}\)、\(\text{d}(M^n) \subset M^{n + 1}\)，并且 \[\text{d}(am) = \text{d}(a) m + (-1)^{\deg(a)}a \text{d}(m)\] 对齐次元素 \(a \in A\) 和 \(m \in M\) 成立。如前，这一 Leibniz 规则恰好意味着乘法定义复形映射 \[\text{Tot}(A^\bullet \otimes_R M^\bullet) \to M^\bullet\] 这里 \(A^\bullet\) 和 \(M^\bullet\) 表示 \(A\) 和 \(M\) 的底层 \(R\)-模复形。

定义

设 \(R\) 是环。设 \((A, \text{d})\) 是 \(R\) 上的微分分次代数。 反微分分次代数是 \(R\) 上的微分分次代数 \((A^{opp}, \text{d})\)；作为分次 \(R\)-模，有 \(A^{opp} = A\)，微分满足 \(\text{d} = \text{d}\)，而乘法由 \[a \cdot_{opp} b = (-1)^{\deg(a)\deg(b)} b a\] 给出，其中 \(a, b \in A\) 为齐次元素。

该定义成立，因为 \[\begin{align*} \text{d}(a \cdot_{opp} b) & = (-1)^{\deg(a)\deg(b)} \text{d}(b a) \\ & = (-1)^{\deg(a)\deg(b)} \text{d}(b) a + (-1)^{\deg(a)\deg(b) + \deg(b)}b\text{d}(a) \\ & = (-1)^{\deg(a)}a \cdot_{opp} \text{d}(b) + \text{d}(a) \cdot_{opp} b \end{align*}\] ，正合所需。用底层 \(R\)-模复形表述，这意味着图表 \[\xymatrix{ \text{Tot}(A^\bullet \otimes_R A^\bullet) \ar[rrr]_-{A^{opp}\text{ 的乘法}} \ar[d]_{\text{交换性约束}} & & & A^\bullet \ar[d]^{\text{id}} \\ \text{Tot}(A^\bullet \otimes_R A^\bullet) \ar[rrr]^-{A\text{ 的乘法}} & & & A^\bullet }\] 交换。这里，\(R\)-模复形的对称幺半范畴上的交换性约束见《更多代数》第 0FNG 节。

设 \((A, \text{d})\) 是 \(R\) 上的微分分次代数。设 \(M\) 是左微分分次 \(A\)-模。把 \(M\) 视为右 \(A^{opp}\)-模时记为 \(M^{opp}\)，其乘法 \(\cdot_{opp}\) 由规则 \[m \cdot_{opp} a = (-1)^{\deg(a)\deg(m)} a m\] 定义，其中 \(a\) 和 \(m\) 为齐次元素。它与微分相容，因为也可以用图表 \[\xymatrix{ \text{Tot}(M^\bullet \otimes_R A^\bullet) \ar[rrr]_-{M^{opp}\text{ 上的乘法}} \ar[d]_{\text{交换性约束}} & & & M^\bullet \ar[d]^{\text{id}} \\ \text{Tot}(A^\bullet \otimes_R M^\bullet) \ar[rrr]^-{M\text{ 上的乘法}} & & & M^\bullet }\] 来定义 \(M^{opp}\) 上的乘法 \(\cdot_{opp}\)。为看出它是结合乘法，对齐次元素 \(a, b \in A\) 和 \(m \in M\) 计算如下： \[\begin{align*} m \cdot_{opp} (a \cdot_{opp} b) & = (-1)^{\deg(a)\deg(b)} m \cdot_{opp} (ba) \\ & = (-1)^{\deg(a)\deg(b) + \deg(ab)\deg(m)} bam \\ & = (-1)^{\deg(a)\deg(b) + \deg(ab)\deg(m) + \deg(b)\deg(am)} (am) \cdot_{opp} b \\ & = (-1)^{\deg(a)\deg(b) + \deg(ab)\deg(m) + \deg(b)\deg(am) + \deg(a)\deg(m)} (m \cdot_{opp} a) \cdot_{opp} b \\ & = (m \cdot_{opp} a) \cdot_{opp} b \end{align*}\] 当然，也可利用 \(R\)-模复形的对称幺半范畴上结合性约束与交换性约束之间的相容性证明这一点。

引理

设 \((A, \text{d})\) 是微分分次 \(R\)-代数。从左微分分次 \(A\)-模范畴到右微分分次 \(A^{opp}\)-模范畴的函子 \(M \mapsto M^{opp}\) 是等价。

证明

略。

接着讨论移位。设 \((A, \text{d})\) 是微分分次代数。设 \(M\) 是左微分分次 \(A\)-模，其底层 \(R\)-模复形记为 \(M^\bullet\)。对任意 \(k \in \mathbf{Z}\)，如下定义 \(k\)-移位模 \(M[k]\)：

\(M[k]\) 的底层 \(R\)-模复形是 \(M^\bullet[k]\)；
作为 \(A\)-模，其乘法 \[A^n \times (M[k])^m \longrightarrow (M[k])^{n + m}\] 等于给定乘法 \(A^n \times M^{m + k} \to M^{n + m + k}\) 的 \((-1)^{nk}\) 倍。

来验证该选择满足 Leibniz 规则。设 \(a \in A^n\)、 \(x \in M[k]^m = M^{m + k}\)，并以 \(\cdot_{M[k]}\) 表示 \(M[k]\) 中的乘法，则 \[\begin{align*} \text{d}_{M[k]}(a \cdot_{M[k]} x) & = (-1)^{k + nk} \text{d}_M(ax) \\ & = (-1)^{k + nk} \text{d}(a) x + (-1)^{k + nk + n} a \text{d}_M(x) \\ & = \text{d}(a) \cdot_{M[k]} x + (-1)^{nk + n} a \text{d}_{M[k]}(x) \\ & = \text{d}(a) \cdot_{M[k]} x + (-1)^n a \cdot_{M[k]} \text{d}_{M[k]}(x) \end{align*}\] 这正是所需结论，因为作为 \(A\) 的齐次元素，\(a\) 的次数为 \(n\)。还注意到，在这些选择下，可把乘法映射看作复形映射 \[\text{Tot}(A^\bullet \otimes_R M^\bullet[k]) \to \text{Tot}(A^\bullet \otimes_R M^\bullet)[k] \to M^\bullet[k]\] 其中第一个箭头是《更多代数》第 0FNG 节 (0FNH) 中的箭头；在本情形下它恰好涉及上面所选的符号。（事实上，也可由这一观察推出 Leibniz 规则成立。）

由上述规则，有典范认同 \[(M[k])^{opp} = M^{opp}[k]\] ，它是右微分分次 \(A^{opp}\)-模之间不引入符号的认同。换言之，引理 0FQ0 的等价与移位函子相容。

上述选择要求作出如下定义。

定义

设 \(R\) 是环。设 \(A\) 是 \(\mathbf{Z}\)-分次 \(R\)-代数。

给定右分次 \(A\)-模 \(M\)，把 第 \(k\) 移位 \(A\)-模 \(M[k]\) 定义为与之相同的右 \(A\)-模，但分次改为 \((M[k])^n = M^{n + k}\)。

给定左分次 \(A\)-模 \(M\)，把 第 \(k\) 移位 \(A\)-模 \(M[k]\) 定义为分次满足 \((M[k])^n = M^{n + k}\) 的模，其乘法 \(A^n \times (M[k])^m \to (M[k])^{n + m}\) 等于给定乘法 \(A^n \times M^{m + k} \to M^{n + m + k}\) 的 \((-1)^{nk}\) 倍。

设 \((A, \text{d})\) 是微分分次代数。设 \(f, g : M \to N\) 是左微分分次 \(A\)-模的同态。\(f\) 与 \(g\) 之间的一个同伦是分次 \(A\)-模映射 \(h : M \to N[-1]\)（注意移位！），使得 \[f(x) - g(x) = \text{d}_N(h(x)) + h(\text{d}_M(x))\] 对所有 \(x \in M\) 成立。若存在这样的同伦，则称 \(f\) 与 \(g\) 同伦。因此，\(h\) 与 \(A\)-模结构（\(N\) 上采用移位后的结构）及分次（\(N\) 上采用移位后的分次）相容，但不与微分相容。若 \(f = g\) 且 \(h\) 是同伦，则 \(h\) 定义左微分分次 \(A\)-模的态射 \(h : M \to N[-1]\)。

由上述规则可知，\(f, g : M \to N\) 同伦，当且仅当所诱导的态射 \(f^{opp}, g^{opp} : M^{opp} \to N^{opp}\) 作为右微分分次 \(A^{opp}\)-模同态同伦（使用同一个同伦）。

同伦范畴、锥、容许短正合列和有区别三角，全都按与右微分分次模完全相同的方式定义（在底层 \(R\)-模复形上，一切都与 \(R\)-模复形的构造一致）。这样也得到命题 09KJ 关于左模的对应版本；或者也可通过研究反代数上的右模推出它。

张量积

设 \(R\) 是环。设 \(A\) 是 \(R\)-代数（见第 09JF 节）。给定右 \(A\)-模 \(M\) 和左 \(A\)-模 \(N\)，有 张量积 \[M \otimes_A N\] 该张量积是 \(R\)-模。作为 \(R\)-模，\(M \otimes_A N\) 由符号 \(x \otimes y\)（\(x \in M\)、\(y \in N\)）生成，并满足关系 \[\begin{matrix} (x_1 + x_2) \otimes y - x_1 \otimes y - x_2 \otimes y, \\ x \otimes (y_1 + y_2) - x \otimes y_1 - x \otimes y_2, \\ xa \otimes y - x \otimes ay \end{matrix}\] ，其中 \(a \in A\)、\(x, x_1, x_2 \in M\) 且 \(y, y_1, y_2 \in N\)。下面列出张量积的一些性质。

张量积关于每个变元都是右正合的；事实上，它与直和及任意余极限可交换。

张量积 \(M \otimes_A N\) 承载普遍的 \(A\)-双线性映射 \(M \times N \to M \otimes_A N\)，\((x, y) \mapsto x \otimes y\)。用公式表示为 \[\text{双线性}_A(M \times N, Q) = \Hom_R(M \otimes_A N, Q)\] ，对任意 \(R\)-模 \(Q\) 成立。

若 \(A\) 是 \(\mathbf{Z}\)-分次代数，而 \(M\)、\(N\) 是分次 \(A\)-模，则 \(M \otimes_A N\) 是分次 \(R\)-模。此时，\(M \otimes_A N\) 的第 \(n\) 分次部分 \((M \otimes_A N)^n\) 等于 \[\Coker\left( \bigoplus\nolimits_{r + t + s = n} M^r \otimes_R A^t \otimes_R N^s \to \bigoplus\nolimits_{p + q = n} M^p \otimes_R N^q \right)\] 其中映射把 \(x \otimes a \otimes y\) 送到 \(x \otimes ay - xa \otimes y\)；这里 \(x \in M^r\)、\(y \in N^s\)、 \(a \in A^t\) 且 \(r + s + t = n\)。在这种情形下，映射 \(M \times N \to M \otimes_A N\) 是 \(A\)-双线性的、与分次相容的，并在下述意义下是普遍的： \[\text{分次双线性}_A(M \times N, Q) = \Hom_{\text{分次 }R\text{-模}}(M \otimes_A N, Q)\] ，对任意分次 \(R\)-模 \(Q\) 成立；这里采用分次双线性映射的显然概念。

若 \((A, \text{d})\) 是微分分次代数，而 \(M\) 和 \(N\) 分别是左、右微分分次 \(A\)-模，则 \(M \otimes_A N\) 是微分分次 \(R\)-模，其微分为 \[\text{d}(x \otimes y) = \text{d}(x) \otimes y + (-1)^{\deg(x)}x \otimes \text{d}(y)\] ，其中 \(x \in M\) 和 \(y \in N\) 为齐次元素。在这种情形下，映射 \(M \times N \to M \otimes_A N\) 是 \(A\)-双线性的，并与分次及微分相容，且在下述意义下是普遍的： \[\text{微分分次双线性}_A(M \times N, Q) = \Hom_{\text{Comp}(R)}(M \otimes_A N, Q)\] ，对任意微分分次 \(R\)-模 \(Q\) 成立；这里采用微分分次双线性映射的显然概念。

Hom 复形与微分分次模

我们强烈建议读者跳过本节。

设 \(R\) 是环，\(M^\bullet\) 是 \(R\)-模复形。考虑 \(R\)-模复形 \[E^\bullet = \Hom^\bullet(M^\bullet, M^\bullet)\] ，它在《更多代数》第 0A8H 节中引入。由《更多代数》引理 0A8I，有典范复合法则 \[\text{Tot}(E^\bullet \otimes_R E^\bullet) \to E^\bullet\] ，它是复形映射。因此，\(E^\bullet\) 连同这一乘法是微分分次 \(R\)-代数，记为 \((E, \text{d})\)。此外，把 \(M^\bullet\) 看作 \(\Hom^\bullet(R, M^\bullet)\)，可见复合定义乘法 \[\text{Tot}(E^\bullet \otimes_R M^\bullet) \to M^\bullet\] ，它使 \(M^\bullet\) 成为一个左微分分次 \(E\)-模，记为 \(M\)。

引理

在上述情形中，设 \(A\) 是微分分次 \(R\)-代数。在 \(M\) 上给定左 \(A\)-模结构，等价于给定微分分次 \(R\)-代数同态 \(A \to E\)。

证明

证明略。注意，这一对应不涉及符号。

继续上述讨论，并假设另给一个 \(R\)-模复形 \(N^\bullet\)。考虑《更多代数》第 0A8H 节中引入的 \(R\)-模复形 \(\Hom^\bullet(M^\bullet, N^\bullet)\)。如上可见，复合 \[\text{Tot}(\Hom^\bullet(M^\bullet, N^\bullet) \otimes_R E^\bullet) \to \Hom^\bullet(M^\bullet, N^\bullet)\] 定义一个乘法，使 \(\Hom^\bullet(M^\bullet, N^\bullet)\) 成为一个右微分分次 \(E\)-模。应用引理 0FQ3，可得：给定左微分分次 \(A\)-模 \(M\) 和 \(R\)-模复形 \(N^\bullet\)，存在一个典范的右微分分次 \(A\)-模，其底层 \(R\)-模复形为 \(\Hom^\bullet(M^\bullet, N^\bullet)\)，且乘法 \[\Hom^n(M^\bullet, N^\bullet) \times A^m \longrightarrow \Hom^{n + m}(M^\bullet, N^\bullet)\] 把满足 \(f_{p, q} \in \Hom(M^{-q}, N^p)\) 的 \(f = (f_{p, q})_{p + q = n}\) 及 \(a \in A^m\) 送到元素 \(f \cdot a = (f_{p, q} \circ a)\)，其中 \(f_{p, q} \circ a\) 是映射 \[M^{-q - m} \xrightarrow{a} M^{-q} \xrightarrow{f_{p, q}} N^p, \quad x \longmapsto f_{p, q}(ax)\] ；这里不引入符号。用记号 \(\Hom(M, N^\bullet)\) 表示这个右微分分次 \(A\)-模。

引理

设 \(R\) 是环。设 \((A, \text{d})\) 是微分分次 \(R\)-代数。设 \(M'\) 是右微分分次 \(A\)-模，\(M\) 是左微分分次 \(A\)-模， \(N^\bullet\) 是 \(R\)-模复形。那么有 \[\Hom_{\text{Mod}_{(A, d)}}(M', \Hom(M, N^\bullet)) = \Hom_{\text{Comp}(R)}(M' \otimes_A M, N^\bullet)\] ，其中如第 09LL 节那样，把 \(M \otimes_A M\) 看作 \(R\)-模复形。

证明

来说明等式两边都对应于与微分相容的分次 \(A\)-双线性映射 \[M' \times M \longrightarrow N^\bullet\] 。第 09LL 节已经说明右边确实如此。给定左边的一个元素 \(g\)，《更多代数》引理 0A5Y 中的等式确定一个 \(R\)-模复形映射 \(g' : \text{Tot}(M' \otimes_R M) \to N^\bullet\)。换言之，得到一个与微分相容的分次 \(R\)-双线性映射 \(g'' : M' \times M \to N^\bullet\)。\(g\) 的 \(A\)-线性立即转化为 \(g''\) 的 \(A\)-双线性。

设 \(R\)、\(M^\bullet\)、\(E^\bullet\)、\(E\) 和 \(M\) 如上。不过，现在假设给定一个微分分次 \(R\)-代数 \(A\) 以及 \(M\) 上的一个右微分分次 \(A\)-模结构。于是可考虑映射 \[\text{Tot}(A^\bullet \otimes_R M^\bullet) \xrightarrow{\psi} \text{Tot}(A^\bullet \otimes_R M^\bullet) \to M^\bullet\] 其中第一个箭头是 \(R\)-模复形的微分分次范畴上的交换性约束。这对应于 \(R\)-模复形映射 \[\tau : A^\bullet \longrightarrow E^\bullet\] 。回忆 \(E^n = \prod_{p + q = n} \Hom_R(M^{-q}, M^p)\)，并对 \(a \in A^n\) 写 \(\tau(a) = (\tau_{p, q}(a))_{p + q = n}\)。于是 \[\tau_{p, q}(a) : M^{-q} \longrightarrow M^p,\quad x \longmapsto (-1)^{\deg(a)\deg(x)}x a = (-1)^{-nq}xa\] 正如读者根据第 0FPZ 节的讨论所应预料的，它与 \(A\) 上的乘法不相容。事实上，有 \[\tau(a a') = (-1)^{\deg(a)\deg(a')}\tau(a') \tau(a)\] 由此得到下述引理。

引理

在上述情形中，设 \(A\) 是微分分次 \(R\)-代数。在 \(M\) 上给定右 \(A\)-模结构，等价于给定微分分次 \(R\)-代数同态 \(\tau : A \to E^{opp}\)。

证明

见上面的讨论，并注意，由乘法映射 \(M^n \times A^m \to M^{n + m}\) 构造 \(\tau\) 时使用了符号。

设 \(R\)、\(M^\bullet\)、\(E^\bullet\)、\(E\)、\(A\) 和 \(M\) 如上，并如引理中那样在 \(M\) 上给定右微分分次 \(A\)-模结构。在这种情形下，存在一个典范的左微分分次 \(A\)-模，其底层 \(R\)-模复形为 \(\Hom^\bullet(M^\bullet, N^\bullet)\)。具体而言，乘法可取为 \[\begin{align*} \text{Tot}(A^\bullet \otimes_R \Hom^\bullet(M^\bullet, N^\bullet)) & \xrightarrow{\psi} \text{Tot}(\Hom^\bullet(M^\bullet, N^\bullet) \otimes_R A^\bullet) \\ & \xrightarrow{\tau} \text{Tot}(\Hom^\bullet(M^\bullet, N^\bullet) \otimes_R \Hom^\bullet(M^\bullet, M^\bullet)) \\ & \to \text{Tot}(\Hom^\bullet(M^\bullet, N^\bullet) \end{align*}\] 第一个箭头使用 \(R\)-模复形范畴上的交换性约束，第二个箭头如上所述，第三个箭头是 Hom 复形的复合法则。每个映射都是复形映射，因而所得映射也是复形映射。事实上，这一构造使 \(\Hom^\bullet(M^\bullet, N^\bullet)\) 成为左微分分次 \(A\)-模（乘法的结合性可用对称幺半结构证明，也可使用下面的公式直接计算）。把该乘法明确写为 \[A^n \times \Hom^m(M^\bullet, N^\bullet) \longrightarrow \Hom^{n + m}(M^\bullet, N^\bullet)\] 。它把 \(a \in A^n\) 以及满足 \(f_{p, q} \in \Hom(M^{-q}, N^p)\) 的 \(f = (f_{p, q})_{p + q = m}\) 送到元素 \(a \cdot f\)；后者的分量为 \[(-1)^{nm}f_{p, q} \circ \tau_{-q, q + n}(a) = (-1)^{nm - n(q + n)}f_{p, q} \circ a = (-1)^{np + n} f_{p, q} \circ a\] ，它位于 \(\Hom_R(M^{-q - n}, N^p)\) 中；其中 \(f_{p, q} \circ a\) 是映射 \[M^{-q - n} \xrightarrow{a} M^{-q} \xrightarrow{f_{p, q}} N^p,\quad x \longmapsto f_{p, q}(xa)\] 。这里确实引入了符号 \((-1)^{np + n}\)。用记号 \(\Hom(M, N^\bullet)\) 表示这个左微分分次 \(A\)-模。

引理

设 \(R\) 是环。设 \((A, \text{d})\) 是微分分次 \(R\)-代数。设 \(M\) 是右微分分次 \(A\)-模，\(M'\) 是左微分分次 \(A\)-模， \(N^\bullet\) 是 \(R\)-模复形。那么有 \[\Hom_{\text{左微分分次 }A\text{-模}}(M', \Hom(M, N^\bullet)) = \Hom_{\text{Comp}(R)}(M \otimes_A M', N^\bullet)\] ，其中如第 09LL 节那样，把 \(M \otimes_A M'\) 看作 \(R\)-模复形。

证明

来说明等式两边都对应于与微分相容的分次 \(A\)-双线性映射 \[M \times M' \longrightarrow N^\bullet\] 。第 09LL 节已经说明右边确实如此。给定左边的一个元素 \(g\)，《更多代数》引理 0A5Y 中的等式确定复形映射 \(g' : \text{Tot}(M' \otimes_R M) \to N^\bullet\)。预复合以交换性约束，得到 \[\text{Tot}(M \otimes_R M') \xrightarrow{\psi} \text{Tot}(M' \otimes_R M) \xrightarrow{g'} N^\bullet\] ，它对应于与微分相容的分次 \(R\)-双线性映射 \(g'' : M \times M' \to N^\bullet\)。\(g\) 的 \(A\)-线性立即转化为 \(g''\) 的 \(A\)-双线性。具体地，设 \(x \in M^e\)、 \(x' \in (M')^{e'}\)、\(a \in A^n\)。一方面有 \[\begin{align*} g''(x, ax') & = (-1)^{e(n + e')} g'(ax' \otimes x) \\ & = (-1)^{e(n + e')} g(ax')(x) \\ & = (-1)^{e(n + e')} (a \cdot g(x'))(x) \\ & = (-1)^{e(n + e') + n(n + e + e') + n} g(x')(xa) \end{align*}\] 另一方面有 \[g''(xa, x') = (-1)^{(e + n)e'} g'(x' \otimes xa) = (-1)^{(e + n)e'} g(x')(xa)\] 对指数作一个简单的模 \(2\) 计算，便知两者相同。

注

设 \(R\) 是环，\(A\) 是微分分次 \(R\)-代数，\(M\) 是左微分分次 \(A\)-模， \(N^\bullet\) 是 \(R\)-模复形。上述构造先产生右微分分次 \(A\)-模 \(\Hom(M, N^\bullet)\)，再产生左微分分次 \(A\)-模 \(\Hom(\Hom(M, N^\bullet), N^\bullet)\)。我们断言存在求值映射 \[ev : M \longrightarrow \Hom(\Hom(M, N^\bullet), N^\bullet)\] ，它位于左微分分次 \(A\)-模范畴中。由引理 0FQ4，为定义它，只需构造与分次及微分相容的 \(A\)-双线性配对 \[\Hom(M, N^\bullet) \times M \longrightarrow N^\bullet\] 。为此取 \[(f, x) \longmapsto f(x)\] 它与分次、微分及 \(A\)-双线性的相容性留给读者验证。\(ev\) 在底层 \(R\)-模复形上的映射是《更多代数》条目 (0FNM)。

注

设 \(R\) 是环，\(A\) 是微分分次 \(R\)-代数，\(M\) 是右微分分次 \(A\)-模， \(N^\bullet\) 是 \(R\)-模复形。上述构造先产生左微分分次 \(A\)-模 \(\Hom(M, N^\bullet)\)，再产生右微分分次 \(A\)-模 \(\Hom(\Hom(M, N^\bullet), N^\bullet)\)。我们断言存在求值映射 \[ev : M \longrightarrow \Hom(\Hom(M, N^\bullet), N^\bullet)\] ，它位于右微分分次 \(A\)-模范畴中。由引理 0FQ4，为定义它，只需构造与分次及微分相容的 \(A\)-双线性配对 \[M \times \Hom(M, N^\bullet) \longrightarrow N^\bullet\] 。为此取 \[(x, f) \longmapsto (-1)^{\deg(x)\deg(f)}f(x)\] 它与分次、微分及 \(A\)-双线性的相容性留给读者验证。\(ev\) 在底层 \(R\)-模复形上的映射是《更多代数》条目 (0FNM)。

注

设 \(R\) 是环，\(A\) 是微分分次 \(R\)-代数，\(M^\bullet\) 和 \(N^\bullet\) 是 \(R\)-模复形。设 \(k \in \mathbf{Z}\)，考虑 \(R\)-模复形同构 \[\Hom^\bullet(M^\bullet, N^\bullet)[-k] \longrightarrow \Hom^\bullet(M^\bullet[k], N^\bullet)\] ，它在《更多代数》条目 (0FNN) 中定义。若 \(M^\bullet\) 具有左（分别地，右）微分分次 \(A\)-模结构，则这是右（分别地，左）微分分次 \(A\)-模的映射（模结构采用本节的定义）。验证略。提醒读者：左分次 \(A\)-模的移位上的 \(A\)-模结构用一个符号定义；见定义 0FQ1。

代数上的投射模

本节讨论代数上的投射模，类似于《代数》第 05CD 节。本节或许应移到别处。

设 \(R\) 是环，\(A\) 是 \(R\)-代数；约定见第 09JF 节。显然 \(A\) 是投射右 \(A\)-模，因为对任意右 \(A\)-模 \(M\) 都有 \(\Hom_A(A, M) = M\)（因而 \(\Hom_A(A, -)\) 正合）。反之，设 \(P\) 是投射右 \(A\)-模。通过选择 \(P\) 在 \(A\) 上的一组生成元 \(\{p_i\}_{i \in I}\)，可以选取满射 \(\bigoplus_{i \in I} A \to P\)。由于 \(P\) 投射，该满射有左逆，故 \(P\) 同构于某个自由模的直和项，与交换情形完全相同（《代数》引理 05CF）。

我们得到：

\(A\)-模范畴有足够多投射对象；
\(A\) 是投射 \(A\)-模；
每个 \(A\)-模都是若干个 \(A\) 的直和的商；
每个投射 \(A\)-模都是若干个 \(A\) 的直和的一个直和项。

分次代数上的投射模

本节讨论分次代数上的投射分次模，类似于《代数》第 05CD 节。

设 \(R\) 是环。设 \(A\) 是 \(R\) 上的 \(\mathbf{Z}\)-分次代数。约定见第 09JF 节。用 \(\text{Mod}_A\) 表示分次右 \(A\)-模范畴。对整数 \(k\)，用 \(A[k]\) 表示 \(A\) 的移位。对于分次右 \(A\)-模，有 \[\Hom_{\text{Mod}_A}(A[k], M) = M^{-k}\] 由于函子 \(M \mapsto M^{-k}\) 在 \(\text{Mod}_A\) 上正合， \(A[k]\) 是 \(\text{Mod}_A\) 的投射对象。反之，假设 \(P\) 是 \(\text{Mod}_A\) 的投射对象。选择 \(P\) 作为 \(A\)-模的一组齐次生成元，可以找到满射 \[\bigoplus\nolimits_{i \in I} A[k_i] \longrightarrow P\] 因此，\(\text{Mod}_A\) 的投射对象是若干个移位 \(A[k]\) 的直和的一个直和项。

我们得到：

分次 \(A\)-模范畴有足够多投射对象；
对每个 \(k \in \mathbf{Z}\)，\(A[k]\) 都是投射 \(A\)-模；
每个分次 \(A\)-模都是若干个模 \(A[k]\)（\(k\) 可变）的直和的商；
每个投射 \(A\)-模都是若干个模 \(A[k]\)（\(k\) 可变）的直和的一个直和项。

投射模与微分分次代数

若 \((A, \text{d})\) 是微分分次代数，而 \(P\) 是 \(\text{Mod}_{(A, \text{d})}\) 的对象，则称 \(P\) 作为分次 \(A\)-模是投射的，有时也称 \(P\) 是分次投射的；这意指 \(P\) 是第 0FQA 节中分次 \(A\)-模的阿贝尔范畴 \(\text{Mod}_A\) 的投射对象。

引理

设 \((A, \text{d})\) 是微分分次代数。设 \(M \to P\) 是微分分次 \(A\)-模的满同态。若 \(P\) 作为分次 \(A\)-模是投射的，则 \(M \to P\) 是容许满态射。

证明

这立即由定义得出。

引理

设 \((A, d)\) 是微分分次代数。那么，对任意微分分次 \(A\)-模 \(M\)，有 \[\Hom_{\text{Mod}_{(A, \text{d})}}(A[k], M) = \Ker(\text{d} : M^{-k} \to M^{-k + 1})\] 并且 \[\Hom_{K(\text{Mod}_{(A, \text{d})})}(A[k], M) = H^{-k}(M)\] 。

证明

立即由定义得出。

代数上的内射模

本节讨论代数上的内射模，类似于《更多代数》第 01D8 节。本节或许应移到别处。

设 \(R\) 是环，\(A\) 是 \(R\)-代数；约定见第 09JF 节。对右 \(A\)-模 \(M\)，置 \[M^\vee = \Hom_\mathbf{Z}(M, \mathbf{Q}/\mathbf{Z})\] 并借助乘法 \((a f)(x) = f(xa)\) 把它看作左 \(A\)-模。事实上， \(((ab)f)(x) = f(xab) = (bf)(xa) = (a(bf))(x)\)。反之，若 \(M\) 是左 \(A\)-模，则 \(M^\vee\) 是右 \(A\)-模。由于 \(\mathbf{Q}/\mathbf{Z}\) 是内射阿贝尔群（《更多代数》引理 01D7），函子 \(M \mapsto M^\vee\) 是正合的（《更多代数》引理 01DA）。此外，对所有模 \(M\)，求值映射 \(M \to (M^\vee)^\vee\) 是单射（《更多代数》引理 01DB）。

我们断言 \(A^\vee\) 是内射右 \(A\)-模。事实上，给定右 \(A\)-模 \(N\)，有 \[\Hom_A(N, A^\vee) = \Hom_A(N, \Hom_\mathbf{Z}(A, \mathbf{Q}/\mathbf{Z})) = N^\vee\] ；结论由函子 \(N \mapsto N^\vee\) 的正合性得出。第二个等式成立，是因为 \[\Hom_\mathbf{Z}(N, \Hom_\mathbf{Z}(A, \mathbf{Q}/\mathbf{Z})) = \Hom_\mathbf{Z}(N \otimes_\mathbf{Z} A, \mathbf{Q}/\mathbf{Z})\] ，见《代数》引理 00DE。在这个模中，\(A\)-线性恰好挑出双线性映射 \(\varphi : N \times A \to \mathbf{Q}/\mathbf{Z}\)，它们在 \(x \otimes a\) 和 \(xa \otimes 1\) 上取相同值；换言之，它们来自 \(N^\vee\) 的元素。

最后，对每个右 \(A\)-模 \(M\)，可选择满射 \(\bigoplus_{i \in I} A \to M^\vee\)，从而得到单射 \(M \to (M^\vee)^\vee \to \prod_{i \in I} A^\vee\)。

我们得到：

\(A\)-模范畴有足够多内射对象；
\(A^\vee\) 是内射 \(A\)-模；以及
每个 \(A\)-模都单射到若干个 \(A^\vee\) 的乘积中。

分次代数上的内射模

本节讨论分次代数上的内射分次模，类似于《更多代数》第 01D8 节。

设 \(R\) 是环。设 \(A\) 是 \(R\) 上的 \(\mathbf{Z}\)-分次代数。约定见第 09JF 节。若 \(M\) 是分次 \(R\)-模，置 \[M^\vee = \bigoplus\nolimits_{n \in \mathbf{Z}} \Hom_\mathbf{Z}(M^{-n}, \mathbf{Q}/\mathbf{Z}) = \bigoplus\nolimits_{n \in \mathbf{Z}} (M^{-n})^\vee\] ，把它视为分次 \(R\)-模（\(R\) 在齐次部分上的作用不带符号）。若 \(M\) 具有左分次 \(A\)-模结构，则如下定义 \(M^\vee\) 上的右分次 \(A\)-模结构：令 \(a \in A^m\) 按 \[(M^{-n})^\vee \to (M^{-n - m})^\vee, \quad f \mapsto f \circ a\] 作用，如第 0FQ2 节所述。若 \(M\) 具有右分次 \(A\)-模结构，则如下定义 \(M^\vee\) 上的左分次 \(A\)-模结构：令 \(a \in A^n\) 按 \[(M^{-m})^\vee \to (M^{-m - n})^\vee, \quad f \mapsto (-1)^{nm}f \circ a\] 作用，如第 0FQ2 节所述（这个符号是被迫的，因为研究微分分次模时我们希望使用同一个公式；若只关心分次模，则可在此省略该符号）。在（左或右）分次 \(A\)-模范畴上，函子 \(M \mapsto M^\vee\) 正合（在各分次部分上验证）。此外，有单射的求值映射 \[ev : M \longrightarrow (M^\vee)^\vee, \quad ev^n = (-1)^n \text{ 倍的求值映射 }M^n \to ((M^n)^\vee)^\vee\] ，它是分次 \(R\)-模的映射；见《更多代数》条目 (0FNM)。若 \(M\) 是左（分别地，右）\(A\)-模，则这个求值映射是左（分别地，右）\(A\)-模同态；见评注 0FQ7 和 0FQ8。最后，给定 \(k \in \mathbf{Z}\)，有典范同构 \[M^\vee[-k] \longrightarrow (M[k])^\vee\] ；它是使用一个符号的分次 \(R\)-模同构。若 \(M\) 是左（分别地，右） \(A\)-模，则它是右（分别地，左）\(A\)-模的同构。见评注 0FQ9。

我们断言 \(A^\vee\) 是分次右 \(A\)-模范畴 \(\text{Mod}_A\) 的内射对象。事实上，给定分次右 \(A\)-模 \(N\)，有 \[\Hom_{\text{Mod}_A}(N, A^\vee) = \Hom_{\text{Comp}(\mathbf{Z})}(N \otimes_A A, \mathbf{Q}/\mathbf{Z})) = (N^0)^\vee\] ；这是引理 0FQ4 应用于所有微分均为零的情形。结论由函子 \(N \mapsto (N^0)^\vee = (N^\vee)^0\) 的正合性得出。

最后，对每个分次右 \(A\)-模 \(M\)，可以选择分次左 \(A\)-模的满射 \[\bigoplus\nolimits_{i \in I} A[k_i] \to M^\vee\] ，其中 \(A[k_i]\) 表示 \(A\) 由 \(k_i \in \mathbf{Z}\) 给出的移位。为此，选择 \(M^\vee\) 的齐次生成元。这样得到单射 \[M \to (M^\vee)^\vee \to \prod A[k_i]^\vee = \prod A^\vee[-k_i]\] 注意，上式中的乘积是分次模范畴中的乘积（换言之，先在每个次数上取乘积，再对各部分取直和）。

我们得到：

分次 \(A\)-模范畴有足够多内射对象；
对每个 \(k \in \mathbf{Z}\)，模 \(A^\vee[k]\) 都是内射的；以及
每个 \(A\)-模都单射到分次模范畴中若干个移位 \(A^\vee[k]\) 的乘积中。

内射模与微分分次代数

若 \((A, \text{d})\) 是微分分次代数，而 \(I\) 是 \(\text{Mod}_{(A, \text{d})}\) 的对象，则称 \(I\) 作为分次 \(A\)-模是内射的，有时也称 \(I\) 是分次内射的；这意指 \(I\) 是分次 \(A\)-模的阿贝尔范畴 \(\text{Mod}_A\) 的内射对象。

引理

设 \((A, \text{d})\) 是微分分次代数。设 \(I \to M\) 是微分分次 \(A\)-模的单同态。若 \(I\) 是分次内射的，则 \(I \to M\) 是容许单态射。

证明

这立即由定义得出。

设 \((A, \text{d})\) 是微分分次代数。若 \(M\) 是左（分别地，右）微分分次 \(A\)-模，则 \[M^\vee = \Hom^\bullet(M^\bullet, \mathbf{Q}/\mathbf{Z})\] 连同第 0FQC 节中构造的 \(A\)-模结构，由第 0FQ2 节的讨论，是右（分别地，左）微分分次 \(A\)-模。由评注 0FQ7 和 0FQ8，第 0FQC 节的求值映射 \[M \longrightarrow (M^\vee)^\vee\] 是左（分别地，右）微分分次 \(A\)-模的同态。

引理

设 \((A, \text{d})\) 是微分分次代数。若 \(M\) 是左微分分次 \(A\)-模， \(N\) 是右微分分次 \(A\)-模，则 \[\begin{align*} \Hom_{\text{Mod}_{(A, \text{d})}}(N, M^\vee) & = \Hom_{\text{Comp}(\mathbf{Z})}(N \otimes_A M, \mathbf{Q}/\mathbf{Z}) \\ & = \text{微分分次双线性}_A(N \times M, \mathbf{Q}/\mathbf{Z}) \end{align*}\]

证明

第一个等式是引理 0FQ4，第二个等式已在第 09LL 节中证明。

引理

设 \((A, \text{d})\) 是微分分次代数。那么有 \[\Hom_{\text{Mod}_{(A, \text{d})}}(M, A^\vee[k]) = \Ker(\text{d} : (M^\vee)^k \to (M^\vee)^{k + 1})\] 并且 \[\Hom_{K(\text{Mod}_{(A, \text{d})})}(M, A^\vee[k]) = H^k(M^\vee)\] ；它们是关于微分分次 \(A\)-模 \(M\) 的函子等式。

证明

这由上面的讨论显然可见。

P-分辨

本节是《导出范畴》第 06XW 节的对应版本。

设 \((A, \text{d})\) 是微分分次代数。设 \(P\) 是微分分次 \(A\)-模。若存在滤过 \[0 = F_{-1}P \subset F_0P \subset F_1P \subset \ldots \subset P\] ，它由微分分次子模组成，并且

\(P = \bigcup F_pP\)；
包含映射 \(F_iP \to F_{i + 1}P\) 是容许单态射；
作为微分分次 \(A\)-模，商 \(F_{i + 1}P/F_iP\) 同构于若干个 \(A[k]\) 的直和，

则称 \(P\) 具有性质 (P)。事实上，条件 (2) 是条件 (3) 的推论；见引理 09K0。此外，读者可以验证，作为分次 \(A\)-模，\(P\) 同构于若干个 \(A\) 的移位的直和。

引理

设 \((A, \text{d})\) 是微分分次代数。设 \(P\) 是微分分次 \(A\)-模。若 \(F_\bullet\) 是性质 (P) 中的滤过，则得到容许短正合列 \[0 \to \bigoplus\nolimits F_iP \to \bigoplus\nolimits F_iP \to P \to 0\] ，它由微分分次 \(A\)-模组成。

证明

第二个映射是各包含映射的直和。第一个映射在源的直和项 \(F_iP\) 上，等于恒等映射 \(F_iP \to F_iP\) 与包含映射 \(F_iP \to F_{i + 1}P\) 的负映射之和。选择分次 \(A\)-模同态 \(s_i : F_{i + 1}P \to F_iP\)，使它们是包含映射的左逆。复合后，对所有 \(j > i\) 得到映射 \(s_{j, i} : F_jP \to F_iP\)。于是，第一个箭头的一个左逆把 \(x \in F_jP\) 映到 \(\bigoplus F_iP\) 中的 \((s_{j, 0}(x), s_{j, 1}(x), \ldots, s_{j, j - 1}(x), 0, \ldots)\)。

下述引理表明，具有性质 (P) 的微分分次模是 K-内射模的对偶概念（即在某种意义下它们是 K-投射的）。见《导出范畴》定义 070H。

引理

设 \((A, \text{d})\) 是微分分次代数。设 \(P\) 是具有性质 (P) 的微分分次 \(A\)-模。那么 \[\Hom_{K(\text{Mod}_{(A, \text{d})})}(P, N) = 0\] 对所有无环微分分次 \(A\)-模 \(N\) 成立。

证明

将使用 \(K(\text{Mod}_{(A, \text{d})})\) 是三角范畴这一事实（命题 09KJ）。设 \(F_\bullet\) 是 \(P\) 上性质 (P) 中的滤过。引理 09KL 的短正合列产生一个有区别三角。因此，由《导出范畴》引理 0149，只需证明 \[\Hom_{K(\text{Mod}_{(A, \text{d})})}(F_iP, N) = 0\] 对所有无环微分分次 \(A\)-模 \(N\) 和所有 \(i\) 成立。每个微分分次模 \(F_iP\) 都具有由容许单态射给出的有限滤过，其分次部分是若干个移位 \(A[k]\) 的直和。因此，只需证明 \[\Hom_{K(\text{Mod}_{(A, \text{d})})}(A[k], N) = 0\] 对所有无环微分分次 \(A\)-模 \(N\) 和所有 \(k\) 成立。这由引理 09K1 得出。

引理

设 \((A, \text{d})\) 是微分分次代数。设 \(M\) 是微分分次 \(A\)-模。存在具有下列性质的微分分次 \(A\)-模同态 \(P \to M\)：

\(P \to M\) 是满射；

\(\Ker(\text{d}_P) \to \Ker(\text{d}_M)\) 是满射；以及

\(P\) 位于容许短正合列 \(0 \to P' \to P \to P'' \to 0\) 中，其中 \(P'\)、\(P''\) 是若干个 \(A\) 的移位的直和。

证明

令 \(P_k\) 为自由 \(A\)-模，其生成元 \(x,y\) 的次数分别为 \(k\) 和 \(k+1\)。通过置 \(\text{d}(x) = y\)、\(\text{d}(y) = 0\)，在 \(P_k\) 上定义微分分次 \(A\)-模结构。对每个元素 \(m \in M^k\)，都有同态 \(P_k \to M\)，它把 \(x\) 映到 \(m\)，把 \(y\) 映到 \(\text{d}(m)\)。因此，若干个 \(P_k\) 的直和到 \(M\) 有一个满射。这显然产生具有性质 (1) 和 (3) 的 \(P \to M\)。为得到性质 (2)，注意：若 \(m \in \Ker(\text{d}_M)\) 的次数为 \(k\)，则有把 \(1\) 映到 \(m\) 的映射 \(A[k] \to M\)。因此，加入若干个 \(A\) 的移位的直和即可满足 (2)。

引理

设 \((A, \text{d})\) 是微分分次代数。设 \(M\) 是微分分次 \(A\)-模。存在微分分次 \(A\)-模同态 \(P \to M\)，使得

\(P \to M\) 是拟同构；并且

\(P\) 具有性质 (P)。

证明

置 \(M=M_0\)。归纳选取短正合列 \[0 \to M_{i + 1} \to P_i \to M_i \to 0\] ，其中映射 \(P_i \to M_i\) 按引理 09KN 选取。这给出一个“分辨” \[\ldots \to P_2 \xrightarrow{f_2} P_1 \xrightarrow{f_1} P_0 \to M \to 0\] 然后置 \[P = \bigoplus\nolimits_{i \geq 0} P_i\] ，把它视为 \(A\)-模，其分次由 \(P^n = \bigoplus_{a + b = n} P_{-a}^b\) 给出，微分则如双复形关联全复形的构造那样，由 \[\text{d}_P(x) = f_{-a}(x) + (-1)^a \text{d}_{P_{-a}}(x)\] 给出，其中 \(x \in P_{-a}^b\)。在这些约定下，\(P\) 确实是微分分次 \(A\)-模。回忆每个 \(P_i\) 都有两步滤过 \(0 \to P_i' \to P_i \to P_i'' \to 0\)，置 \[F_{2i}P = \bigoplus\nolimits_{i \geq j \geq 0} P_j \subset \bigoplus\nolimits_{i \geq 0} P_i = P\] 并把 \(P'_{i + 1}\) 加到 \(F_{2i}P\) 中得到 \(F_{2i + 1}\)。这些都是微分分次子模，且相继的商是若干个 \(A\) 的移位的直和。由引理 09K0，包含映射 \(F_iP \to F_{i + 1}P\) 是容许单态射。最后，还须证明由增广 \(P_0 \to M\) 给出的映射 \(P \to M\) 是拟同构。这由《同调代数》引理 09IZ 得出。

I-分辨

本节是 P-分辨一节的对偶。

设 \((A, \text{d})\) 是微分分次代数。设 \(I\) 是微分分次 \(A\)-模。若存在滤过 \[I = F_0I \supset F_1I \supset F_2I \supset \ldots \supset 0\] ，它由微分分次子模组成，并且

\(I = \lim I/F_pI\)；
映射 \(I/F_{i + 1}I \to I/F_iI\) 是容许满态射；
作为微分分次 \(A\)-模，商 \(F_iI/F_{i + 1}I\) 同构于第 0FQD 节构造的若干个 \(A^\vee[k]\) 的直积，

则称 \(I\) 具有性质 (I)。事实上，条件 (2) 是条件 (3) 的推论；见引理 09K2。读者可以验证，作为分次模，\(I\) 同构于若干个 \(A^\vee[k]\) 的直积。

引理

设 \((A, \text{d})\) 是微分分次代数。设 \(I\) 是微分分次 \(A\)-模。若 \(F_\bullet\) 是性质 (I) 中的滤过，则得到容许短正合列 \[0 \to I \to \prod\nolimits I/F_iI \to \prod\nolimits I/F_iI \to 0\] ，它由微分分次 \(A\)-模组成。

证明

略。提示：这是引理 09KL 的对偶。

下述引理表明，具有性质 (I) 的微分分次模是 K-内射模的对应概念。见《导出范畴》定义 070H。

引理

设 \((A, \text{d})\) 是微分分次代数。设 \(I\) 是具有性质 (I) 的微分分次 \(A\)-模。那么 \[\Hom_{K(\text{Mod}_{(A, \text{d})})}(N, I) = 0\] 对所有无环微分分次 \(A\)-模 \(N\) 成立。

证明

将使用 \(K(\text{Mod}_{(A, \text{d})})\) 是三角范畴这一事实（命题 09KJ）。设 \(F_\bullet\) 是 \(I\) 上性质 (I) 中的滤过。引理 09KR 的短正合列产生一个有区别三角。因此，由《导出范畴》引理 0149，只需证明 \[\Hom_{K(\text{Mod}_{(A, \text{d})})}(N, I/F_iI) = 0\] 对所有无环微分分次 \(A\)-模 \(N\) 和所有 \(i\) 成立。每个微分分次模 \(I/F_iI\) 都具有由容许单态射给出的有限滤过，其分次部分是若干个 \(A^\vee[k]\) 的直积。因此，只需证明 \[\Hom_{K(\text{Mod}_{(A, \text{d})})}(N, A^\vee[k]) = 0\] 对所有无环微分分次 \(A\)-模 \(N\) 和所有 \(k\) 成立。这由引理 09K4 以及 \((-)^\vee\) 是正合函子这一事实得出。

引理

设 \((A, \text{d})\) 是微分分次代数。设 \(M\) 是微分分次 \(A\)-模。存在具有下列性质的微分分次 \(A\)-模同态 \(M \to I\)：

\(M \to I\) 是单射；

\(\Coker(\text{d}_M) \to \Coker(\text{d}_I)\) 是单射；以及

\(I\) 位于容许短正合列 \(0 \to I' \to I \to I'' \to 0\) 中，其中 \(I'\)、\(I''\) 是若干个 \(A^\vee\) 的移位的直积。

证明

将使用第 0FQD 节构造的函子 \(N \mapsto N^\vee\)（从左微分分次模到右微分分次模，以及从右微分分次模到左微分分次模）及其全部性质。对每个 \(k \in \mathbf{Z}\)，令 \(Q_k\) 为自由左 \(A\)-模，其生成元 \(x,y\) 的次数分别为 \(k\) 和 \(k+1\)。通过置 \(\text{d}(x) = y\)、\(\text{d}(y) = 0\)，在 \(Q_k\) 上定义左微分分次 \(A\)-模结构。完全仿照引理 09KN 的证明，可得左微分分次 \(A\)-模的满射 \[\bigoplus\nolimits_{i \in I} Q_{k_i} \longrightarrow M^\vee\] 。于是可以考虑单射 \[M \to (M^\vee)^\vee \to (\bigoplus\nolimits_{i \in I} Q_{k_i})^\vee = \prod\nolimits_{i \in I} I_{k_i}\] ，其中 \(I_k = Q_{-k}^\vee\) 是“对偶”右微分分次 \(A\)-模。此外，短正合列 \(0 \to A[-k - 1] \to Q_k \to A[-k] \to 0\) 产生短正合列 \(0 \to A^\vee[k] \to I_k \to A^\vee[k + 1] \to 0\).

上一段的结果给出具有性质 (1) 和 (3) 的 \(M \to I\)。为得到性质 (2)，设 \(\overline{m} \in \Coker(\text{d}_M)\) 是次数为 \(k\) 的非零元素。选取映射 \(\lambda : M^k \to \mathbf{Q}/\mathbf{Z}\)，使它在 \(\Im(M^{k - 1} \to M^k)\) 上为零，而在 \(m\) 上不为零。由引理 09K4，这对应于在 \(m\) 上不为零的微分分次 \(A\)-模同态 \(M \to A^\vee[k]\)。因此，加入若干个 \(A^\vee\) 的移位的副本的直积，即可满足 (2)。

引理

设 \((A, \text{d})\) 是微分分次代数。设 \(M\) 是微分分次 \(A\)-模。存在微分分次 \(A\)-模同态 \(M \to I\)，使得

\(M \to I\) 是拟同构；并且

\(I\) 具有性质 (I)。

证明

置 \(M=M_0\)。归纳选取短正合列 \[0 \to M_i \to I_i \to M_{i + 1} \to 0\] ，其中映射 \(M_i \to I_i\) 按引理 09KT 选取。这给出一个“分辨” \[0 \to M \to I_0 \xrightarrow{f_0} I_1 \xrightarrow{f_1} I_1 \to \ldots\] 以 \(I\) 表示微分分次 \(A\)-模，其分次部分为 \[I^n = \prod\nolimits_{i \geq 0} I^{n - i}_i\] ，微分定义为 \[\text{d}_I(x) = f_i(x) + (-1)^i \text{d}_{I_i}(x)\] ，其中 \(x \in I_i^{n-i}\)。在这些约定下，\(I\) 确实是微分分次 \(A\)-模。回忆每个 \(I_i\) 都有两步滤过 \(0 \to I_i' \to I_i \to I_i'' \to 0\)，置 \[F_{2i}I^n = \prod\nolimits_{j \geq i} I^{n - j}_j \subset \prod\nolimits_{i \geq 0} I^{n - i}_i = I^n\] ，并把因子 \(I'_{i+1}\) 加到 \(F_{2i}I\) 中得到 \(F_{2i+1}I\)。这些都是微分分次子模，且相继的商是若干个 \(A^\vee\) 的移位的直积。由引理 09K2，包含映射 \(F_{i+1}I \to F_iI\) 是容许单态射。最后，还须证明由增广 \(M \to I_0\) 给出的映射 \(M \to I\) 是拟同构。这由《同调代数》引理 09J0 得出。

导出范畴

回忆，无环微分分次模和微分分次模之间的拟同构这两个概念均有定义（见第 09JH 节）。

引理

设 \((A, \text{d})\) 是微分分次代数。由无环模组成的 \(K(\text{Mod}_{(A, \text{d})})\) 的满子范畴 \(\text{Ac}\)，是 \(K(\text{Mod}_{(A, \text{d})})\) 的严格满且饱和的三角子范畴。相应的 \(K(\text{Mod}_{(A, \text{d})})\) 的饱和乘法系（见《导出范畴》引理 05RL）是拟同构类 \(\text{Qis}\)。特别地，局部化函子 \[Q : K(\text{Mod}_{(A, \text{d})}) \to \text{Qis}^{-1}K(\text{Mod}_{(A, \text{d})})\] 的核是 \(\text{Ac}\)。此外，函子 \(H^0\) 通过 \(Q\) 分解。

证明

由同调长正合列 (09JK)，知道 \(H^0\) 是同调函子。 \(H^0\) 的核是无环对象的子范畴，而在所有 \(H^i\) 上诱导同构的箭头正是拟同构。因此，本引理是《导出范畴》引理 05RM 的特例。

集合论说明。《导出范畴》命题 05R6 中的局部化构造，假定给定的三角范畴是“小”的，即其底层对象族构成一个集合。令 \(V_\alpha\) 是包含 \((A, \text{d})\) 的部分宇宙（如《集合》第 000B 节），并且 \(\alpha\) 的共尾数大于 \(\aleph_0\)（见《集合》命题 05N3）。于是可以考虑由 \(V_\alpha\) 中的微分分次 \(A\)-模组成的范畴 \(\text{Mod}_{(A, \text{d}), \alpha}\)。直接核查可见，命题 09KJ 的证明中使用的全部构造都能在 \(\text{Mod}_{(A, \text{d}), \alpha}\) 内进行（因为至多只需取微分分次模的有限直和）。因此得到三角范畴 \(\text{Qis}_\alpha^{-1}K(\text{Mod}_{(A, \text{d}), \alpha})\)。下文将看到，若 \(\beta>\alpha\)，则过渡函子 \[\text{Qis}_\alpha^{-1}K(\text{Mod}_{(A, \text{d}), \alpha}) \longrightarrow \text{Qis}_\beta^{-1}K(\text{Mod}_{(A, \text{d}), \beta})\] 是全忠实的，因为商范畴中的态射集由同伦范畴中从 P-分辨出发的映射计算（引理 09KP 的证明中构造 P-分辨时，要取可数直和以及由给定模的子集作指标的直和）。因此，读者应把引理中的范畴视为这些子范畴的并。

考虑到前一引理证明末尾的集合论说明，按如下方式定义导出范畴。

定义

设 \((A, \text{d})\) 是微分分次代数。令 \(\text{Ac}\) 和 \(\text{Qis}\) 如引理 09KW 所述。\((A, \text{d})\) 的导出范畴是三角范畴 \[D(A, \text{d}) = K(\text{Mod}_{(A, \text{d})})/\text{Ac} = \text{Qis}^{-1}K(\text{Mod}_{(A, \text{d})}).\] 以 \(H^0 : D(A, \text{d}) \to \text{Mod}_R\) 表示唯一的函子，使得它与商函子的复合正好给出上文定义的函子 \(H^0\)。

下面是此前所称的、计算导出范畴中态射集的引理。

引理

设 \((A, \text{d})\) 是微分分次代数。设 \(M\) 和 \(N\) 是微分分次 \(A\)-模。

设 \(P \to M\) 是引理 09KP 中的 P-分辨。那么 \[\Hom_{D(A, \text{d})}(M, N) = \Hom_{K(\text{Mod}_{(A, \text{d})})}(P, N)\]

设 \(N \to I\) 是引理 09KU 中的 I-分辨。那么 \[\Hom_{D(A, \text{d})}(M, N) = \Hom_{K(\text{Mod}_{(A, \text{d})})}(M, I)\]

证明

设 \(P \to M\) 如 (1) 中所述。由于 \(P \to M\) 是拟同构，由导出范畴的定义有 \[\Hom_{D(A, \text{d})}(P, N) = \Hom_{D(A, \text{d})}(M, N)\] 。\(D(A, \text{d})\) 中的态射 \(f:P\to N\) 等于 \(s^{-1}f'\)，其中 \(f':P\to N'\) 是态射，而 \(s:N\to N'\) 是拟同构。选择有区别三角 \[N \to N' \to Q \to N[1]\] 。由于 \(s\) 是拟同构，\(Q\) 是无环的。因此，由引理 09KM，对所有 \(k\) 都有 \(\Hom_{K(\text{Mod}_{(A, \text{d})})}(P, Q[k]) = 0\)。由于 \(\Hom_{K(\text{Mod}_{(A, \text{d})})}(P, -)\) 是上同调的，故 \(f':P\to N'\) 可唯一提升为态射 \(f:P\to N\)。这就完成了证明。

(2) 的证明是 (1) 的对偶：使用引理 09KS 代替引理 09KM 即可。

引理

设 \((A, \text{d})\) 是微分分次代数。那么

\(D(A, \text{d})\) 既有直和，也有直积；

直和可由微分分次模的直和得到；

直积可由微分分次模的直积得到。

证明

将使用如下事实：\(\text{Mod}_{(A, \text{d})}\) 是具有任意直和与直积的阿贝尔范畴，并且它们在 \(K(\text{Mod}_{(A, \text{d})})\) 中产生直和与直积。见引理 09JJ 和 09JR。

设 \(M_j\) 是一族微分分次 \(A\)-模。考虑分次直和 \(M=\bigoplus M_j\)；它是具有显然的……的微分分次 \(A\)-模。对微分分次 \(A\)-模 \(N\)，选取拟同构 \(N\to I\)，其中 \(I\) 是具有性质 (I) 的微分分次 \(A\)-模；见引理 09KU。利用引理 09KY，有 \[\begin{align*} \Hom_{D(A, \text{d})}(M, N) & = \Hom_{K(A, \text{d})}(M, I) \\ & = \prod \Hom_{K(A, \text{d})}(M_j, I) \\ & = \prod \Hom_{D(A, \text{d})}(M_j, N) \end{align*}\] 由此得到 \(D(A, \text{d})\) 中的直和，正如引理第 (2) 项所述。

设 \(M_j\) 是一族微分分次 \(A\)-模。考虑微分分次 \(A\)-模的直积 \(M=\prod M_j\)。对微分分次 \(A\)-模 \(N\)，选取拟同构 \(P\to N\)，其中 \(P\) 是具有性质 (P) 的微分分次 \(A\)-模；见引理 09KP。利用引理 09KY，有 \[\begin{align*} \Hom_{D(A, \text{d})}(N, M) & = \Hom_{K(A, \text{d})}(P, M) \\ & = \prod \Hom_{K(A, \text{d})}(P, M_j) \\ & = \prod \Hom_{D(A, \text{d})}(N, M_j) \end{align*}\] 由此得到 \(D(A, \text{d})\) 中的直和，正如引理第 (3) 项所述。

注

设 \(R\) 是环，\((A, \text{d})\) 是微分分次 \(R\)-代数。利用 P-分辨，有时可将关于 \(D(A, \text{d})\) 中一般对象的命题约化为关于 \(A[k]\) 的命题。具体地，设 \(T\) 是 \(D(A, \text{d})\) 中对象的一个性质，并假设

若 \(K_i\)（\(i\in I\)）是 \(D(A, \text{d})\) 中的一族对象，且对所有 \(i\in I\) 都有 \(T(K_i)\)，则 \(T(\bigoplus K_i)\) 成立；

若 \(K\to L\to M\to K[1]\) 是 \(D(A, \text{d})\) 中的有区别三角，且 \(T\) 对其中两个对象成立，则它对第三个对象也成立；以及

对所有 \(k\in\mathbf{Z}\)，\(T(A[k])\) 成立。

那么 \(T\) 对 \(D(A, \text{d})\) 的所有对象成立。这由引理 09KL 和 09KP 即得。

典范 delta-函子

设 \((A, \text{d})\) 是微分分次代数。考虑函子 \(\text{Mod}_{(A, \text{d})} \to K(\text{Mod}_{(A, \text{d})})\)。一般而言，这个函子不是 \(\delta\)-函子。然而，函子 \(\text{Mod}_{(A, \text{d})} \to D(A, \text{d})\) 的确是一个 \(\delta\)-函子。为说明这一点，必须定义与阿贝尔范畴 \(\text{Mod}_{(A, \text{d})}\) 中的短正合列 \[0 \to K \xrightarrow{a} L \xrightarrow{b} M \to 0\] 相联系的态射 \(\delta\)。考虑态射 \(a\) 的锥 \(C(a)\)。有 \(C(a)=L\oplus K\)，并把 \(q:C(a)\to M\) 定义为先投影到 \(L\)，再复合 \(b\)。于是得到微分分次 \(A\)-模同态 \[q : C(a) \longrightarrow M.\] 显然 \(q\circ i=b\)，其中 \(i\) 如定义 09KA 所述。注意，由于 \(a\) 是单射，\(q\) 的核可与 \(\text{id}_K\) 的锥等同，而后者是无环的。故 \(q\) 是拟同构。由引理 09KF，三角 \[(K, L, C(a), a, i, -p)\] 是 \(K(\text{Mod}_{(A, \text{d})})\) 中的有区别三角。由于局部化函子 \(K(\text{Mod}_{(A, \text{d})}) \to D(A, \text{d})\) 是正合的， \((K,L,C(a),a,i,-p)\) 也是 \(D(A, \text{d})\) 中的有区别三角。由于 \(q\) 是拟同构，它在 \(D(A, \text{d})\) 中是同构。因此推出 \[(K, L, M, a, b, -p \circ q^{-1})\] 是 \(D(A, \text{d})\) 中的有区别三角。这引出下述引理。

引理

设 \((A, \text{d})\) 是微分分次代数。上面定义的函子 \(\text{Mod}_{(A, \text{d})} \to D(A, \text{d})\) 自然具有 \(\delta\)-函子结构，其中 \[\delta_{K \to L \to M} = - p \circ q^{-1}\] ，而 \(p\) 和 \(q\) 如上文所述。

证明

已经看到，对复形的每个短正合列，这个选择都会给出有区别三角。还须证明该构造的函子性；见《导出范畴》定义 0150。稍作推导即可由引理 09KD 得出。可与《导出范畴》引理 0152 比较。

引理

设 \((A, \text{d})\) 是微分分次代数，\(M_n\) 是一个微分分次模系统。那么， \(D(A, \text{d})\) 中的导出余极限 \(\text{hocolim} M_n\) 由微分分次模 \(\colim M_n\) 表示。

证明

置 \(M=\colim M_n\)。由《导出范畴》引理 093W（应用于其底层阿贝尔群复形），有微分分次模的正合列 \[0 \to \bigoplus M_n \to \bigoplus M_n \to M \to 0\] 。由引理 09QI，这些直和也是 \(D(\mathcal{A})\) 中的直和。因此，结论由《导出范畴》定义 090Z 中导出余极限的定义，以及复形的短正合列给出有区别三角这一事实（引理 09L0）得出。

线性范畴

这里只给出定义。

定义

设 \(R\) 是环。\(R\)-线性范畴 \(\mathcal{A}\) 是这样的范畴：每个态射集都带有 \(R\)-模结构，并且对 \(x,y,z\in\Ob(\mathcal{A})\)，复合律 \[\Hom_\mathcal{A}(y, z) \times \Hom_\mathcal{A}(x, y) \longrightarrow \Hom_\mathcal{A}(x, z)\] 是 \(R\)-双线性的。

因此，复合确定 \(R\)-模的 \(R\)-线性映射 \[\Hom_\mathcal{A}(y, z) \otimes_R \Hom_\mathcal{A}(x, y) \longrightarrow \Hom_\mathcal{A}(x, z)\] 。注意，这里并不假设 \(R\)-线性范畴是加性范畴。

定义

设 \(R\) 是环。\(R\)-线性范畴之间的函子，也称为 \(R\)-线性函子，是函子 \(F:\mathcal{A}\to\mathcal{B}\)，使得对 \(\mathcal{A}\) 的所有对象 \(x,y\)，映射 \(F : \Hom_\mathcal{A}(x, y) \to \Hom_\mathcal{B}(F(x), F(y))\) 是 \(R\)-模同态。

分次范畴

这里只给出一些定义。

定义

设 \(R\) 是环。\(R\) 上的分次范畴 \(\mathcal{A}\) 是这样的范畴：每个态射集都带有分次 \(R\)-模结构，并且对 \(x,y,z\in\Ob(\mathcal{A})\)，复合是 \(R\)-双线性的，并诱导分次 \(R\)-模同态 \[\Hom_\mathcal{A}(y, z) \otimes_R \Hom_\mathcal{A}(x, y) \longrightarrow \Hom_\mathcal{A}(x, z)\] （即保持次数的同态）。

在这种情形下，以 \(\Hom_\mathcal{A}^i(x,y)\) 表示分次对象 \(\Hom_\mathcal{A}(x,y)\) 的次数 \(i\) 部分，从而 \[\Hom_\mathcal{A}(x, y) = \bigoplus\nolimits_{i \in \mathbf{Z}} \Hom_\mathcal{A}^i(x, y)\] 是它按分次部分的直和分解。

定义

设 \(R\) 是环。\(R\) 上分次范畴之间的函子，也称为 分次函子，是函子 \(F:\mathcal{A}\to\mathcal{B}\)，使得对 \(\mathcal{A}\) 的所有对象 \(x,y\)，映射 \(F : \Hom_\mathcal{A}(x, y) \to \Hom_\mathcal{A}(F(x), F(y))\) 是分次 \(R\)-模同态。

给定一个分次范畴，往往关心其对应的、态射次数为 \(0\) 的“通常”范畴。正式定义如下。

定义

设 \(R\) 是环，\(\mathcal{A}\) 是 \(R\) 上的分次范畴。令 \(\mathcal{A}^0\) 为与 \(\mathcal{A}\) 具有相同对象的范畴，并置 \[\Hom_{\mathcal{A}^0}(x, y) = \Hom^0_\mathcal{A}(x, y)\] ，即取 \(\mathcal{A}\) 的态射分次模的次数 \(0\) 部分。

定义

设 \(R\) 是环，\(\mathcal{A}\) 是 \(R\) 上的分次范畴。若 \(\mathcal{A}\) 中的直和 \((x,y,z,i,j,p,q)\)（记号同《同调代数》评注 0103）中的 \(i,j,p,q\) 都是次数 \(0\) 的齐次态射，则称它为分次直和。

例

设 \(\mathcal{B}\) 是加性范畴。回忆，在《同调代数》定义 0125 中已经定义了 \(\mathcal{B}\) 的分次对象范畴 \(\text{Gr}(\mathcal{B})\)。本例将构造 \(R=\mathbf{Z}\) 上的分次范畴 \(\text{Gr}^{gr}(\mathcal{B})\)，使其对应范畴 \(\text{Gr}^{gr}(\mathcal{B})^0\) 恢复 \(\text{Gr}(\mathcal{B})\)。取 \(\mathcal{B}\) 的分次对象作为 \(\text{Gr}^{gr}(\mathcal{B})\) 的对象。给定 \(\mathcal{B}\) 的分次对象 \(A=(A^i)\) 和 \(B=(B^i)\)，置 \[\Hom_{\text{Gr}^{gr}(\mathcal{B})}(A, B) = \bigoplus\nolimits_{n \in \mathbf{Z}} \Hom^n(A, B)\] ，其中次数 \(n\) 的分次部分是从 \(A\) 到 \(B\) 的次数 \(n\) 齐次映射所组成的阿贝尔群。具体地， \[\Hom^n(A, B) = \prod\nolimits_{p + q = n} \Hom_\mathcal{B}(A^{-q}, B^p)\] （注意指标的反转，并注意这里是直积而不是直和）。换言之，从 \(A\) 到 \(B\) 的次数 \(n\) 态射 \(f\) 可视为系统 \(f=(f_{p,q})\)，其中 \(p,q\in\mathbf{Z}\)、\(p+q=n\)，且 \(f_{p,q}:A^{-q}\to B^p\) 是 \(\mathcal{B}\) 的态射。给定 \(\mathcal{B}\) 的分次对象 \(A,B,C\)， \(\text{Gr}^{gr}(\mathcal{B})\) 中态射的复合通过映射 \[\Hom^m(B, C) \times \Hom^n(A, B) \longrightarrow \Hom^{n + m}(A, C)\] 定义，即取分次对象齐次映射的普通复合 \((g,f)\mapsto g\circ f\)。按分量写为 \[(g \circ f)_{p, r} = g_{p, q} \circ f_{-q, r}\] ，其中 \(q\) 满足 \(p+q=m\) 和 \(-q+r=n\)。

例

设 \(A\) 是环 \(R\) 上的 \(\mathbf{Z}\)-分次代数。构造 \(R\) 上的分次范畴 \(\text{Mod}^{gr}_A\)，使其对应范畴 \((\text{Mod}^{gr}_A)^0\) 是分次 \(A\)-模范畴。取右分次 \(A\)-模作为 \(\text{Mod}^{gr}_A\) 的对象（见第 09JZ 节）。给定分次 \(A\)-模 \(L\) 和 \(M\)，置 \[\Hom_{\text{Mod}^{gr}_A}(L, M) = \bigoplus\nolimits_{n \in \mathbf{Z}} \Hom^n(L, M)\] ，其中 \(\Hom^n(L,M)\) 是次数 \(n\) 齐次的右 \(A\)-模映射 \(L\to M\) 的集合，即对所有 \(i\in\mathbf{Z}\) 都有 \(f(L^i)\subset M^{i+n}\)。按分量写， \[\Hom^n(L, M) \subset \prod\nolimits_{p + q = n} \Hom_R(L^{-q}, M^p)\] （注意指标的反转）是由满足下式的 \(f=(f_{p,q})\) 组成的子集： \[f_{p, q}(m a) = f_{p - i, q + i}(m)a\] ，其中 \(a\in A^i\)、\(m\in L^{-q-i}\)。对分次 \(A\)-模 \(K,L,M\)，通过映射 \[\Hom^m(L, M) \times \Hom^n(K, L) \longrightarrow \Hom^{n + m}(K, M)\] 定义 \(\text{Mod}^{gr}_A\) 中的复合，即取右 \(A\)-模映射的普通复合 \((g,f)\mapsto g\circ f\)。

注

设 \(R\) 是环，\(\mathcal{D}\) 是 \(R\)-线性范畴，并带有由 \(n\in\mathbf{Z}\) 作指标的一族 \(R\)-线性函子 \([n]:\mathcal{D}\to\mathcal{D}\)、\(x\mapsto x[n]\)，使得 \([n]\circ[m]=[n+m]\) 且 \([0]=\text{id}_\mathcal{D}\)（作为函子相等）。由此可以构造 \(R\) 上与 \(\mathcal{D}\) 具有相同对象的分次范畴 \(\mathcal{D}^{gr}\)，置 \[\Hom_{\mathcal{D}^{gr}}(x, y) = \bigoplus\nolimits_{n \in \mathbf{Z}} \Hom_\mathcal{D}(x, y[n])\] ，其中 \(x,y\) 是 \(\mathcal{D}\) 的对象。注意 \((\mathcal{D}^{gr})^0=\mathcal{D}\)（见定义 09ML）。此外，分次范畴 \(\mathcal{D}^{gr}\) 继承 \(R\)-线性分次函子 \([n]\)，满足 \([n]\circ[m]=[n+m]\) 和 \([0]=\text{id}_{\mathcal{D}^{gr}}\)，并具有性质 \[\Hom_{\mathcal{D}^{gr}}(x, y[n]) = \Hom_{\mathcal{D}^{gr}}(x, y)[n]\] ；这是与态射复合相容的分次 \(R\)-模同构。

反过来，设给定 \(R\) 上的分次范畴 \(\mathcal{A}\)，它带有一族 \(R\)-线性分次函子 \([n]\)，满足 \([n]\circ[m]=[n+m]\) 和 \([0]=\text{id}_\mathcal{A}\)，并且还带有同构 \[\Hom_\mathcal{A}(x, y[n]) = \Hom_\mathcal{A}(x, y)[n]\] ；这是与态射复合相容的分次 \(R\)-模同构。读者容易证明 \(\mathcal{A}=(\mathcal{A}^0)^{gr}\)。

下面是上述关系 \(\mathcal{D}\leftrightarrow\mathcal{A}\) 的两个例子：

设 \(\mathcal{B}\) 是加性范畴。若 \(\mathcal{D}=\text{Gr}(\mathcal{B})\)，则 \(\mathcal{A}=\text{Gr}^{gr}(\mathcal{B})\)，如例 09MM 所述。

若 \(A\) 是分次环，且 \(\mathcal{D}=\text{Mod}_A\) 是分次右 \(A\)-模范畴，则 \(\mathcal{A}=\text{Mod}^{gr}_A\)；见例 09MN。

微分分次范畴

注意，若 \(R\) 是环，则 \(R\) 是自身之上的微分分次代数（当然取 \(R=R^0\)）。此时，微分分次 \(R\)-模与 \(R\)-模复形是一回事。特别地，给定两个微分分次 \(R\)-模 \(M\) 和 \(N\)，以 \(M\otimes_R N\) 表示如下微分分次 \(R\)-模：先取与 \(M,N\) 对应的 \(R\)-模复形的张量积所得到的双复形，再取其关联全复形。

定义

设 \(R\) 是环。\(R\) 上的微分分次范畴 \(\mathcal{A}\) 是这样的范畴：每个态射集都带有微分分次 \(R\)-模结构，并且对 \(x,y,z\in\Ob(\mathcal{A})\)，复合是 \(R\)-双线性的，并诱导微分分次 \(R\)-模同态 \[\Hom_\mathcal{A}(y, z) \otimes_R \Hom_\mathcal{A}(x, y) \longrightarrow \Hom_\mathcal{A}(x, z)\] 。

定义中的最后一个条件表示：若 \(f\in\Hom_\mathcal{A}^n(x,y)\) 和 \(g\in\Hom_\mathcal{A}^m(y,z)\) 分别是次数 \(n\) 和 \(m\) 的齐次态射，则在 \(\Hom_\mathcal{A}^{n+m+1}(x,z)\) 中有 \[\text{d}(g \circ f) = \text{d}(g) \circ f + (-1)^mg \circ \text{d}(f)\] 。这由双复形全复形上的微分符号法则得出；见《同调代数》定义 012Z。

定义

设 \(R\) 是环。\(R\) 上微分分次范畴之间的函子是函子 \(F:\mathcal{A}\to\mathcal{B}\)，使得对 \(\mathcal{A}\) 的所有对象 \(x,y\)，映射 \(F : \Hom_\mathcal{A}(x, y) \to \Hom_\mathcal{A}(F(x), F(y))\) 是微分分次 \(R\)-模同态。

给定一个微分分次范畴，往往关心其对应的复形范畴和同伦范畴。正式定义如下。

定义

设 \(R\) 是环，\(\mathcal{A}\) 是 \(R\) 上的微分分次范畴。定义

\(\mathcal{A}\) 的复形范畴¹ 为范畴 \(\text{Comp}(\mathcal{A})\)；它与 \(\mathcal{A}\) 具有相同对象，并且 \[\Hom_{\text{Comp}(\mathcal{A})}(x, y) = \Ker(d : \Hom^0_\mathcal{A}(x, y) \to \Hom^1_\mathcal{A}(x, y))\]

\(\mathcal{A}\) 的同伦范畴为范畴 \(K(\mathcal{A})\)；它与 \(\mathcal{A}\) 具有相同对象，并且 \[\Hom_{K(\mathcal{A})}(x, y) = H^0(\Hom_\mathcal{A}(x, y))\]

这里对符号 \(K(\mathcal{A})\) 的用法并不标准，但至少与 Stacks 项目其他章中 \(K(-)\) 的用法相容。

定义

设 \(R\) 是环，\(\mathcal{A}\) 是 \(R\) 上的微分分次范畴。若 \(\mathcal{A}\) 中的直和 \((x,y,z,i,j,p,q)\)（记号同《同调代数》评注 0103）中的 \(i,j,p,q\) 都是次数 \(0\) 的齐次闭态射，即 \(\text{d}(i)=0\) 等，则称它为微分分次直和。

引理

设 \(R\) 是环。\(R\) 上微分分次范畴之间的函子 \(F:\mathcal{A}\to\mathcal{B}\) 诱导函子 \(\text{Comp}(\mathcal{A}) \to \text{Comp}(\mathcal{B})\) 和 \(K(\mathcal{A})\to K(\mathcal{B})\)。

证明

略。

例

设 \(\mathcal{B}\) 是加性范畴。构造 \(R=\mathbf{Z}\) 上的微分分次范畴 \(\text{Comp}^{dg}(\mathcal{B})\)，使其对应的复形范畴是 \(\text{Comp}(\mathcal{B})\)，对应的同伦范畴是 \(K(\mathcal{B})\)。取 \(\mathcal{B}\) 的复形作为 \(\text{Comp}^{dg}(\mathcal{B})\) 的对象。给定 \(\mathcal{B}\) 的复形 \(A^\bullet\) 和 \(B^\bullet\)，有时也以 \(A^\bullet\) 和 \(B^\bullet\) 表示 \(\mathcal{B}\) 中相应的分次对象（即忘掉微分）。采用这一记号上的滥用，置 \[\Hom_{\text{Comp}^{dg}(\mathcal{B})}(A^\bullet, B^\bullet) = \Hom_{\text{Gr}^{gr}(\mathcal{B})}(A^\bullet, B^\bullet) = \bigoplus\nolimits_{n \in \mathbf{Z}} \Hom^n(A, B)\] ，把它视为分次 \(\mathbf{Z}\)-模，记号和定义同例 09MM。换言之，第 \(n\) 个分次部分是分次对象之间次数 \(n\) 的齐次态射所组成的阿贝尔群 \[\Hom^n(A^\bullet, B^\bullet) = \prod\nolimits_{p + q = n} \Hom_\mathcal{B}(A^{-q}, B^p)\] 。注意指标的反转，并注意这里是直积而不是直和。对次数为 \(n\) 的元素 \(f\in\Hom^n(A^\bullet,B^\bullet)\)，置 \[\text{d}(f) = \text{d}_B \circ f - (-1)^n f \circ \text{d}_A\] 。符号与《代数进阶》第 0FNG 节完全相同。为使此式有意义，把 \(\text{d}_B\) 和 \(\text{d}_A\) 看作 \(\mathcal{B}\) 的分次对象之间次数 \(1\) 的齐次映射，并在右侧使用范畴 \(\text{Gr}^{gr}(\mathcal{B})\) 中的复合。按分量写，若 \(f=(f_{p,q})\) 且 \(f_{p,q}:A^{-q}\to B^p\)，则 [09LA]\[\begin{equation} \text{d}(f_{p, q}) = \text{d}_B \circ f_{p, q} - (-1)^{p + q} f_{p, q} \circ \text{d}_A \end{equation}\] 注意，此表达式的第一项属于 \(\Hom_\mathcal{B}(A^{-q},B^{p+1})\)，第二项属于 \(\Hom_\mathcal{B}(A^{-q-1},B^p)\)。读者可以验证：

\(\text{d}\) 的平方为零；

\(\Hom^n(A^\bullet,B^\bullet)\) 中的元素 \(f\) 满足 \(\text{d}(f)=0\)，当且仅当 \(\mathcal{B}\) 的分次对象之间的态射 \(f:A^\bullet\to B^\bullet[n]\) 实际上是复形映射；

特别地，\(\text{Comp}^{dg}(\mathcal{B})\) 的复形范畴等于 \(\text{Comp}(\mathcal{B})\)；

(2) 中由 \(f\) 定义的复形态射与零同伦，当且仅当存在 \(g\in\Hom^{n-1}(A^\bullet,B^\bullet)\) 使得 \(f=\text{d}(g)\)；

特别地，得到典范同构 \[\Hom_{K(\mathcal{B})}(A^\bullet, B^\bullet) \longrightarrow H^0(\Hom_{\text{Comp}^{dg}(\mathcal{B})}(A^\bullet, B^\bullet))\] ，并且 \(\text{Comp}^{dg}(\mathcal{B})\) 的同伦范畴等于 \(K(\mathcal{B})\)。

给定复形 \(A^\bullet,B^\bullet,C^\bullet\)，通过分次范畴 \(\text{Gr}^{gr}(\mathcal{B})\) 中的复合 \((g,f)\mapsto g\circ f\) 定义复合 \[\Hom^m(B^\bullet, C^\bullet) \times \Hom^n(A^\bullet, B^\bullet) \longrightarrow \Hom^{n + m}(A^\bullet, C^\bullet)\] ；见例 09MM。这定义微分分次模的映射 \[\Hom_{\text{Comp}^{dg}(\mathcal{B})}(B^\bullet, C^\bullet) \otimes_R \Hom_{\text{Comp}^{dg}(\mathcal{B})}(A^\bullet, B^\bullet) \longrightarrow \Hom_{\text{Comp}^{dg}(\mathcal{B})}(A^\bullet, C^\bullet)\] ，正如定义 09L5 所要求的，因为 \[\begin{align*} \text{d}(g \circ f) & = \text{d}_C \circ g \circ f - (-1)^{n + m} g \circ f \circ \text{d}_A \\ & = \left(\text{d}_C \circ g - (-1)^m g \circ \text{d}_B\right) \circ f + (-1)^m g \circ \left(\text{d}_B \circ f - (-1)^n f \circ \text{d}_A\right) \\ & = \text{d}(g) \circ f + (-1)^m g \circ \text{d}(f) \end{align*}\] ，这正是所需等式。

引理

设 \(F:\mathcal{B}\to\mathcal{B}'\) 是加性范畴之间的加性函子。那么 \(F\) 诱导例 09L9 中微分分次范畴之间的函子 \[F : \text{Comp}^{dg}(\mathcal{B}) \to \text{Comp}^{dg}(\mathcal{B}')\] ，并在复形范畴和同伦范畴上诱导通常的函子。

证明

略。

例

设 \((A, \text{d})\) 是环 \(R\) 上的微分分次代数。构造 \(R\) 上的微分分次范畴 \(\text{Mod}^{dg}_{(A, \text{d})}\)，使其复形范畴是 \(\text{Mod}_{(A, \text{d})}\)，同伦范畴是 \(K(\text{Mod}_{(A, \text{d})})\)。取微分分次 \(A\)-模作为 \(\text{Mod}^{dg}_{(A, \text{d})}\) 的对象。给定微分分次 \(A\)-模 \(L,M\)，置 \[\Hom_{\text{Mod}^{dg}_{(A, \text{d})}}(L, M) = \Hom_{\text{Mod}^{gr}_A}(L, M) = \bigoplus \Hom^n(L, M)\] ，把它视为分次 \(R\)-模，其中右侧如例 09MN 所定义。换言之，第 \(n\) 个分次部分 \(\Hom^n(L,M)\) 是次数 \(n\) 齐次的右 \(A\)-模映射所组成的 \(R\)-模。对元素 \(f\in\Hom^n(L,M)\)，置 \[\text{d}(f) = \text{d}_M \circ f - (-1)^n f \circ \text{d}_L\] 。为使此式有意义，把 \(\text{d}_M\) 和 \(\text{d}_L\) 看作分次 \(R\)-模映射，并采用分次 \(R\)-模映射的复合。显然，作为分次 \(R\)-模映射， \(\text{d}(f)\) 是次数 \(n+1\) 的齐次映射；它还是 \(A\)-线性的，因为 \[\begin{align*} \text{d}(f)(xa) & = \text{d}_M(f(x) a) - (-1)^n f (\text{d}_L(xa)) \\ & = \text{d}_M(f(x)) a + (-1)^{\deg(x) + n} f(x) \text{d}(a) - (-1)^n f(\text{d}_L(x)) a - (-1)^{n + \deg(x)} f(x) \text{d}(a) \\ & = \text{d}(f)(x) a \end{align*}\] ，这正是所需等式（注意，若 \(\Hom\) 上微分的定义中没有这个符号，计算就不能成立）。按分量表示 \(f\) 的微分时，也有与例 09L9 类似的公式。读者可以仿照例 09L9 验证：

\(\text{d}\) 的平方为零；

\(\Hom^n(L,M)\) 中的元素 \(f\) 满足 \(\text{d}(f)=0\)，当且仅当 \(f:L\to M[n]\) 是微分分次 \(A\)-模同态；

特别地，\(\text{Mod}^{dg}_{(A, \text{d})}\) 的复形范畴是 \(\text{Mod}_{(A, \text{d})}\)；

(2) 中由 \(f\) 定义的同态与零同伦，当且仅当存在 \(g\in\Hom^{n-1}(L,M)\) 使得 \(f=\text{d}(g)\)；

特别地，得到典范同构 \[\Hom_{K(\text{Mod}_{(A, \text{d})})}(L, M) \longrightarrow H^0(\Hom_{\text{Mod}^{dg}_{(A, \text{d})}}(L, M))\] ，并且 \(\text{Mod}^{dg}_{(A, \text{d})}\) 的同伦范畴是 \(K(\text{Mod}_{(A, \text{d})})\)。

给定微分分次 \(A\)-模 \(K,L,M\)，通过齐次右 \(A\)-模映射的复合 \((g,f)\mapsto g\circ f\) 定义复合 \[\Hom^m(L, M) \times \Hom^n(K, L) \longrightarrow \Hom^{n + m}(K, M)\] 。这定义微分分次模的映射 \[\Hom_{\text{Mod}^{dg}_{(A, \text{d})}}(L, M) \otimes_R \Hom_{\text{Mod}^{dg}_{(A, \text{d})}}(K, L) \longrightarrow \Hom_{\text{Mod}^{dg}_{(A, \text{d})}}(K, M)\] ，正如定义 09L5 所要求的，因为 \[\begin{align*} \text{d}(g \circ f) & = \text{d}_M \circ g \circ f - (-1)^{n + m} g \circ f \circ \text{d}_K \\ & = \left(\text{d}_M \circ g - (-1)^m g \circ \text{d}_L\right) \circ f + (-1)^m g \circ \left(\text{d}_L \circ f - (-1)^n f \circ \text{d}_K\right) \\ & = \text{d}(g) \circ f + (-1)^m g \circ \text{d}(f) \end{align*}\] ，这正是所需等式。

引理

设 \(\varphi:(A,\text{d})\to(E,\text{d})\) 是微分分次代数同态。那么 \(\varphi\) 诱导例 09LC 中微分分次范畴之间的函子 \[F : \text{Mod}^{dg}_{(E, \text{d})} \longrightarrow \text{Mod}^{dg}_{(A, \text{d})}\] ，并在微分分次模范畴和同伦范畴上诱导显然的限制函子。

证明

略。

引理

设 \(R\) 是环，\(\mathcal{A}\) 是 \(R\) 上的微分分次范畴，\(x\) 是 \(\mathcal{A}\) 的对象。令 \[(E, \text{d}) = \Hom_\mathcal{A}(x, x)\] 为 \(x\) 的自同态微分分次 \(R\)-代数。令 \(E\) 通过 \(\mathcal{A}\) 中的复合作用在 \(\Hom_\mathcal{A}(x,y)\) 上，得到微分分次范畴之间的函子 \[\mathcal{A} \longrightarrow \text{Mod}^{dg}_{(E, \text{d})},\quad y \longmapsto \Hom_\mathcal{A}(x, y)\] 。应用引理 09L8，此函子诱导函子 \[\text{Comp}(\mathcal{A}) \to \text{Mod}_{(A, \text{d})} \quad\text{且}\quad K(\mathcal{A}) \to K(\text{Mod}_{(A, \text{d})})\] 。

证明

本引理不证自明。

得到三角范畴

本节讨论《导出范畴》命题 014S 和命题 09KJ 的证明论证所适用的最一般框架。

设 \(R\) 是环，\(\mathcal{A}\) 是 \(R\) 上的微分分次范畴。为使论证成立，对 \(\mathcal{A}\) 施加下列公理：

\(\mathcal{A}\) 有零对象以及两个对象的微分分次直和（如定义 09P4）。
存在微分分次范畴之间的函子 \([n]:\mathcal{A}\longrightarrow\mathcal{A}\)，使得 \([0]=\text{id}_\mathcal{A}\) 且 \([n+m]=[n]\circ[m]\)，并且给定与复合相容的微分分次 \(R\)-模同构 \[\Hom_\mathcal{A}(x, y[n]) = \Hom_\mathcal{A}(x, y)[n]\] 。

对上述微分分次范畴 \(\mathcal{A}\)，规定：

若在底层分次范畴中存在同构 \(y\cong x\oplus z\)，使得 \(x\to z\) 和 \(y\to z\) 是（余）投影，则称 \(\text{Comp}(\mathcal{A})\) 中的态射列 \(x\to y\to z\) 为容许短正合列。
若 \(\text{Comp}(\mathcal{A})\) 中的态射 \(x\to y\) 可延拓为容许短正合列 \(x\to y\to z\)，则称它为容许单态射。
若 \(\text{Comp}(\mathcal{A})\) 中的态射 \(y\to z\) 可延拓为容许短正合列 \(x\to y\to z\)，则称它为容许满态射。

下一个引理说明，在公理 (A) 和 (B) 成立时，容许短正合列给出一个三角。

引理

设 \(\mathcal{A}\) 是满足公理 (A)、(B) 的微分分次范畴。给定容许短正合列 \(x\to y\to z\)，得到（见证明）\(\text{Comp}(\mathcal{A})\) 中的三角 \[x \to y \to z \to x[1]\] ，其性质为：\(z[-1]\to x\to y\to z\to x[1]\) 中任意两个相邻箭头的复合在 \(K(\mathcal{A})\) 中为零。

证明

选择图表 \[\xymatrix{ x \ar[rr]_1 \ar[rd]_a & & x \\ & y \ar[ru]_\pi \ar[rd]^b & \\ z \ar[rr]^1 \ar[ru]^s & & z }\] ，它给出容许短正合列定义中的分次对象同构 \(y\cong x\oplus z\)。在此情形下，下列等式成立：

\(1=\pi a\)，从而 \(\text{d}(\pi)a=0\)；

\(1=bs\)，从而 \(b\text{d}(s)=0\)；

\(1=a\pi+sb\)，从而 \(a\text{d}(\pi)+\text{d}(s)b=0\)；

\(\pi s=0\)，从而 \(\text{d}(\pi)s+\pi\text{d}(s)=0\)；

\(\text{d}(s)=a\pi\text{d}(s)\)，因为 \(\text{d}(s)=(a\pi+sb)\text{d}(s)\) 且 \(b\text{d}(s)=0\)；

\(\text{d}(\pi)=\text{d}(\pi)sb\)，因为 \(\text{d}(\pi)=\text{d}(\pi)(a\pi+sb)\) 且 \(\text{d}(\pi)a=0\)；

\(\text{d}(\pi\text{d}(s))=0\)，因为将它后复合单态射 \(a\)，得到 \(\text{d}(a\pi\text{d}(s))=\text{d}(\text{d}(s))=0\)；以及

\(\text{d}(\text{d}(\pi)s)=0\)，因为由 (4)，它是 \(\text{d}(\pi\text{d}(s))\) 的负值，而后者由 (7) 为 \(0\)。

这里反复使用了 \(\text{d}(a)=0\)、\(\text{d}(b)=0\) 和 \(\text{d}(1)=0\)。由 (7)， \[\delta = \pi \text{d}(s) = - \text{d}(\pi) s : z \to x[1]\] 是 \(\text{Comp}(\mathcal{A})\) 中的态射。由 (5)，复合 \(a\delta=a\pi\text{d}(s)=\text{d}(s)\) 与零同伦。由 (6)，复合 \(\delta b=-\text{d}(\pi)sb=\text{d}(-\pi)\) 与零同伦。

除公理 (A)、(B) 外，还需要一个关于锥存在性的公理。将全部条件正式写成如下情形。

情形

这里 \(R\) 是环，\(\mathcal{A}\) 是 \(R\) 上满足公理 (A)、(B) 以及下列公理的微分分次范畴：

给定次数为 \(0\) 且满足 \(\text{d}(f)=0\) 的箭头 \(f:x\to y\)， \(\text{Comp}(\mathcal{A})\) 中存在容许短正合列 \(y\to c(f)\to x[1]\)，使引理 09P6 中的映射 \(x[1]\to y[1]\) 等于 \(f[1]\)。

称 \(c(f)\) 为态射 \(f\) 的一个锥。若 (A)、(B)、(C) 成立，则锥在一种较弱的意义下具有函子性。

引理

在情形 09QJ 中，设图表 \[\xymatrix{ x_1 \ar[r]_{f_1} \ar[d]_a & y_1 \ar[d]^b \\ x_2 \ar[r]^{f_2} & y_2 }\] 在 \(\text{Comp}(\mathcal{A})\) 中在同伦意义下交换。则存在态射 \(c:c(f_1)\to c(f_2)\)，它在 \(K(\mathcal{A})\) 中给出三角态射 \[(a, b, c) : (x_1, y_1, c(f_1)) \to (x_1, y_1, c(f_1))\] 。

证明

假设意味着存在次数为 \(-1\) 的态射 \(h:x_1\to y_2\)，使得 \(\text{d}(h)=bf_1-f_2a\)。选择与态射 \(y_i\to c(f_i)\to x_i[1]\) 相容的分次对象同构 \(c(f_i)=y_i\oplus x_i[1]\)。以 \(a_i:y_i\to c(f_i)\)、\(b_i:c(f_i)\to x_i[1]\)、 \(s_i:x_i[1]\to c(f_i)\) 和 \(\pi_i:c(f_i)\to y_i\) 表示这些给定态射。回忆，\(x_i[1]\to y_i[1]\) 由 \(\pi_i\text{d}(s_i)\) 给出。由公理 (C)，这意味着 \[f_i = \pi_i \text{d}(s_i) = - \text{d}(\pi_i) s_i\] （利用移位函子 \([1]\) 将 \(\Hom(x_i,y_i)\) 与 \(\Hom(x_i[1],y_i[1])\) 识别）。置 \(c=a_2b\pi_1+s_2ab_1+a_2hb\)。利用引理 09P6 证明中得到的等式，有 \[\begin{align*} \text{d}(c) & = a_2 b \text{d}(\pi_1) + \text{d}(s_2) a b_1 + a_2 \text{d}(h) b_1 \\ & = - a_2 b f_1 b_1 + a_2 f_2 a b_1 + a_2 (b f_1 - f_2 a) b_1 \\ & = 0 \end{align*}\] （这里特别使用了 \(\text{d}(\pi_1) = \text{d}(\pi_1) s_1 b_1 = f_1 b_1\) 以及 \(\text{d}(s_2)=a_2\pi_2\text{d}(s_2)=a_2f_2\)）。因此，\(c\) 是 \(\mathcal{A}\) 中次数为 \(0\) 的态射 \(c:c(f_1)\to c(f_2)\)，并与给定态射 \(y_i\to c(f_i)\to x_i[1]\) 相容。

在情形 09QJ 中，若存在容许短正合列 \(x'\to y'\to z'\)，使得 \(K(\mathcal{A})\) 中的三角 \((x,y,z,f,g,h)\) 作为三角同构于引理 09P6 构造的三角 \((x',y',z',x'\to y',y'\to z',\delta)\)，则称它为有区别三角。下文将证明 \[\boxed{ K(\mathcal{A})\text{ 是三角范畴} }\] 这个结果虽没有想象中那么一般，却适用于 Stacks 项目迄今所讨论情形的若干自然推广。下面给出一些例子：

设 \((X,\mathcal{O}_X)\) 是环化空间，\((A,d)\) 是微分分次 \(\mathcal{O}_X\)-代数层，\(\mathcal{A}\) 是微分分次 \(A\)-模的微分分次范畴。那么 \(K(\mathcal{A})\) 是三角范畴。
设 \((\mathcal{C},\mathcal{O})\) 是环化位点，\((A,d)\) 是微分分次 \(\mathcal{O}\)-代数层，\(\mathcal{A}\) 是微分分次 \(A\)-模的微分分次范畴。那么 \(K(\mathcal{A})\) 是三角范畴。见《微分分次层》命题 0FS7。
另外两个风格不同的例子见《例》第 09R6 节。

下面这个简单引理是该构造的关键。

引理

在情形 09QJ 中，给定 \(\mathcal{A}\) 的任意对象 \(x\) 以及恒等态射 \(1_x:x\to x\) 的锥 \(C(1_x)\)，\(C(1_x)\) 上的恒等态射与零同伦。

证明

考虑公理 (C) 给出的容许短正合列 \[\xymatrix{ x \ar@<0.5ex>[r]^a & C(1_x) \ar@<0.5ex>[l]^{\pi} \ar@<0.5ex>[r]^b & x[1]\ar@<0.5ex>[l]^s }\] 。由引理 09P6，在移位下识别 Hom 集，有 \(1_x=\pi d(s)=-d(\pi)s\)，其中把 \(s\) 看作 \(\Hom_{\mathcal{A}}^{-1}(x,C(1_x))\) 中的态射。因此，利用引理 09P6 的公式 (5)，有 \(a=a\pi d(s)=d(s)\)；利用引理 09P6 的公式 (6)，有 \(b=-d(\pi)sb=-d(\pi)\)。故 \[1_{C(1_x)} = a\pi + sb = d(s)\pi - sd(\pi) = d(s\pi)\] ，因为 \(s\) 的次数为 \(-1\)。

上述引理的更一般版本将见于引理 09QU。下述引理是引理 09JV 的对应版本。

引理

在情形 09QJ 中，给定 \(\text{Comp}(\mathcal{A})\) 中在同伦意义下交换的图表 \[\xymatrix{x\ar[r]^f\ar[d]_a & y\ar[d]^b\\ z\ar[r]^g & w}\] 。那么

若 \(f\) 是容许单态射，则 \(b\) 同伦于某个使图表交换的态射 \(b'\)。

若 \(g\) 是容许满态射，则 \(a\) 同伦于某个使图表交换的态射 \(a'\)。

证明

为证明 (1)，注意假设蕴含：存在 \(\Hom_{\mathcal{A}}(x,w)\) 中次数为 \(-1\) 的某个 \(h\)，使得 \(bf-ga=d(h)\)。由于 \(f\) 是容许单态射，在范畴 \(\mathcal{A}\) 中存在次数为 \(0\) 的态射 \(\pi:y\to x\)。令 \(b'=b-d(h\pi)\)。于是 \[\begin{align*} b'f = bf - d(h\pi)f = & bf - d(h\pi f) \quad (\text{因为 }d(f) = 0) \\ = & bf-d(h) \\ = & ga \end{align*}\] ，这正是所需等式。(2) 的证明略。

下述引理是引理 09JW 的对应版本。

引理

在情形 09QJ 中，设 \(\alpha:x\to y\) 是 \(\text{Comp}(\mathcal{A})\) 中的态射。那么在 \(\text{Comp}(\mathcal{A})\) 中存在分解 \[\xymatrix{ x \ar[r]^{\tilde{\alpha}} & \tilde{y} \ar@<0.5ex>[r]^{\pi} & y\ar@<0.5ex>[l]^s }\] ，使得

\(\tilde{\alpha}\) 是容许单态射，且 \(\pi\tilde{\alpha}=\alpha\)；

\(\text{Comp}(\mathcal{A})\) 中存在态射 \(s:y\to\tilde{y}\)，使得 \(\pi s=1_y\)，且 \(s\pi\) 与 \(1_{\tilde{y}}\) 同伦。

证明

由公理 (A)，可令 \(\tilde y\) 为 \(y\) 与 \(C(1_x)\) 的微分分次直和；即存在图表 \[\xymatrix@C=3pc{ y \ar@<0.5ex>[r]^s & y\oplus C(1_x) \ar@<0.5ex>[l]^{\pi} \ar@<0.5ex>[r]^{p} & C(1_x)\ar@<0.5ex>[l]^t }\] ，其中所有态射次数均为零，且都在 \(\text{Comp}(\mathcal{A})\) 中。令 \(\tilde y=y\oplus C(1_x)\)。于是 \(1_{\tilde y}=s\pi+tp\)。现考虑图表 \[\xymatrix{ x \ar[r]^{\tilde{\alpha}} & \tilde{y} \ar@<0.5ex>[r]^{\pi} & y\ar@<0.5ex>[l]^s }\] ，其中 \(\tilde\alpha\) 由态射 \(x\xrightarrow{\alpha}y\) 以及下述容许短正合列中的自然态射 \(x\to C(1_x)\) 诱导： \[\xymatrix{ x \ar@<0.5ex>[r] & C(1_x) \ar@<0.5ex>[l] \ar@<0.5ex>[r] & x[1]\ar@<0.5ex>[l] }\] 因此，该图表中次数为 \(0\) 的态射 \(C(1_x)\to x\) 与零态射 \(y\to x\) 共同诱导次数为 \(0\) 的态射 \(\beta:\tilde y\to x\)。\(\tilde\alpha\) 是容许单态射，因为它位于容许短正合列 \[\xymatrix{ x\ar[r]^{\tilde{\alpha}} & \tilde{y} \ar[r] & x[1] }\] 中。此外，由 \(\tilde\alpha\) 的构造，\(\pi\tilde\alpha=\alpha\)；由第一个图表，\(\pi s=1_y\)。只须证明 \(s\pi\) 与 \(1_{\tilde y}\) 同伦。把 \(1_x\) 写成某个次数为 \(-1\) 的映射的微分 \(d(h)\)。于是，最后一个断言由下式得出： \[\begin{align*} 1_{\tilde{y}} - s\pi = & tp \\ = & t(dh)p\quad\text{（由引理 \href{dga.html#dga-lemma-id-cone-null}{09QK}）} \\ = & d(thp) \end{align*}\] ，因为 \(dt=dp=0\)，且 \(t\) 的次数为零。

下述引理是引理 09JX 的对应版本。

引理

在情形 09QJ 中，设 \(x_1\to x_2\to\ldots\to x_n\) 是 \(\text{Comp}(\mathcal{A})\) 中一列可复合态射。那么 \(\text{Comp}(\mathcal{A})\) 中存在交换图表 \[\xymatrix{x_1\ar[r] & x_2\ar[r] & \ldots\ar[r] & x_n\\ y_1\ar[r]\ar[u] & y_2\ar[r]\ar[u] & \ldots\ar[r] & y_n\ar[u]}\] ，使每个 \(y_i\to y_{i+1}\) 都是容许单态射，而每个 \(y_i\to x_i\) 都是同伦等价。

证明

\(n=1\) 的情形是平凡的：只须取 \(y_1=x_1\)，而 \(x_1\) 上的恒等态射当然是同伦等价。\(n=2\) 的情形由引理 09QM 给出。假设已经把图表构造到 \(x_{n-1}\)。对复合 \(y_{n-1}\to x_{n-1}\to x_n\) 应用引理 09QM，得到 \(y_n\)。于是 \(y_{n-1}\to y_n\) 是容许单态射， \(y_n\to x_n\) 是同伦等价。

下述引理是引理 09JY 的对应版本。

引理

在情形 09QJ 中，设 \(x_i\to y_i\to z_i\) 是 \(\mathcal{A}\) 中的态射（\(i=1,2,3\)），并且 \(x_2\to y_2\to z_2\) 是容许短正合列。设 \(b:y_1\to y_2\) 和 \(b':y_2\to y_3\) 是 \(\text{Comp}(\mathcal{A})\) 中的态射，使得 \[\vcenter{ \xymatrix{ x_1 \ar[d]_0 \ar[r] & y_1 \ar[r] \ar[d]_b & z_1 \ar[d]_0 \\ x_2 \ar[r] & y_2 \ar[r] & z_2 } } \quad\text{且}\quad \vcenter{ \xymatrix{ x_2 \ar[d]^0 \ar[r] & y_2 \ar[r] \ar[d]^{b'} & z_2 \ar[d]^0 \\ x_3 \ar[r] & y_3 \ar[r] & z_3 } }\] 中的两个图表均在同伦意义下交换。那么 \(b'\circ b\) 与 \(0\) 同伦。

证明

由引理 09QL，可分别用与 \(b,b'\) 同伦的映射 \(\tilde b,\tilde b'\) 替代它们，使左图的右方块交换，右图的左方块交换。设对 \(\mathcal{A}\) 中次数为 \(-1\) 的态射 \(h,h'\)，有 \(b=\tilde b+d(h)\)、\(b'=\tilde b'+d(h')\)。于是 \[b'b = \tilde{b}'\tilde{b} + d(\tilde{b}'h + h'\tilde{b} + h'd(h))\] ，因为 \(d(\tilde b)=d(\tilde b')=0\)。也就是说，\(b'b\) 与 \(\tilde b'\tilde b\) 同伦。现证明 \(\tilde b'\tilde b=0\)。由于 \(x_2\xrightarrow{f}y_2\xrightarrow{g}z_2\) 是容许短正合列，存在次数为 \(0\) 的态射 \(\pi:y_2\to x_2\) 和 \(s:z_2\to y_2\)，使得 \(\text{id}_{y_2}=f\pi+sg\)。因此 \[\tilde{b}'\tilde{b} = \tilde{b}'(f\pi + sg)\tilde{b} = 0\] ，因为两个交换方块分别蕴含 \(g\tilde b=0\) 和 \(\tilde b'f=0\)。

下述引理是引理 09K6 的对应版本。

引理

在情形 09QJ 中，设 \(0\to x\to y\to z\to 0\) 是 \(\text{Comp}(\mathcal{A})\) 中的容许短正合列。以引理 09P6 中定义的 \(\delta:z\to x[1]\) 构成三角 \[\xymatrix{x\ar[r] & y\ar[r] & z\ar[r]^{\delta} & x[1]}\] 。在 \(K(\mathcal{A})\) 中，除典范同构外，它不依赖于引理 09P6 中所作的选择。

证明

假设 \(\delta\) 由分裂 \[\xymatrix{ x \ar@<0.5ex>[r]^{a} & y \ar@<0.5ex>[r]^b\ar@<0.5ex>[l]^{\pi} & z \ar@<0.5ex>[l]^s }\] 定义，而 \(\delta'\) 由以 \(\pi',s'\) 代替 \(\pi,s\) 的分裂定义。那么 \[s'-s = (a\pi + sb)(s'-s) = a\pi s'\] ，因为 \(bs'=bs=1_z\) 且 \(\pi s=0\)。类似地， \[\pi' - \pi = (\pi' - \pi)(a\pi + sb) = \pi'sb\] 由于按引理 09P6 的构造，\(\delta=\pi d(s)\) 且 \(\delta'=\pi'd(s')\)，可计算 \[\delta' = \pi'd(s') = (\pi + \pi'sb)d(s + a\pi s') = \delta + d(\pi s')\] ；这里使用了 \(\pi a=1_x\)、\(ba=0\)，以及由引理 09P6 的公式 (5) 得出的 \(\pi'sbd(s')=\pi'sba\pi d(s')=0\)。

下述引理是引理 09KB 的对应版本。

引理

在情形 09QJ 中，设 \(f:x\to y\) 是 \(\text{Comp}(\mathcal{A})\) 中的态射。三角 \((y,c(f),x[1],i,p,f[1])\) 是与容许短正合列 \[\xymatrix{y\ar[r] & c(f) \ar[r] & x[1]}\] 相联系的三角，其中锥 \(c(f)\) 如引理 09P6 中所定义。

证明

这由公理 (C) 得出。

下述引理是引理 09KC 的对应版本。

引理

在情形 09QJ 中，设 \(\alpha:x\to y\) 和 \(\beta:y\to z\) 给出 \(\text{Comp}(\mathcal{A})\) 中的容许短正合列 \[\xymatrix{ x \ar[r] & y\ar[r] & z }\] 。令 \((x,y,z,\alpha,\beta,\delta)\) 为 \(K(\mathcal{A})\) 中相联系的三角。那么三角 \[(z[-1], x, y, \delta[-1], \alpha, \beta) \quad\text{且}\quad (z[-1], x, c(\delta[-1]), \delta[-1], i, p)\] 同构。

证明

有如下形式的图表 \[\xymatrix{ z[-1]\ar[r]^{\delta[-1]}\ar[d]^1 & x\ar@<0.5ex>[r]^{\alpha}\ar[d]^1 & y\ar@<0.5ex>[r]^{\beta}\ar@{.>}[d]\ar@<0.5ex>[l]^{\tilde{\alpha}} & z\ar[d]^1\ar@<0.5ex>[l]^{\tilde\beta} \\ z[-1] \ar[r]^{\delta[-1]} & x\ar@<0.5ex>[r]^i & c(\delta[-1]) \ar@<0.5ex>[r]^p\ar@<0.5ex>[l]^{\tilde i} & z\ar@<0.5ex>[l]^{\tilde p} }\] ，其中 \(\alpha,\beta,i,p\) 的分裂分别由 \(\tilde\alpha,\tilde\beta,\tilde i,\tilde p\) 给出。把态射 \(y\to c(\delta[-1])\) 定义为 \(i\tilde\alpha+\tilde p\beta\)，把态射 \(c(\delta[-1])\to y\) 定义为 \(\alpha\tilde i+\tilde\beta p\)。先验证它们确实是 \(\text{Comp}(\mathcal{A})\) 中的态射。由引理 09P6 中的恒等式，有关系 \(\delta[-1]=\tilde\alpha d(\tilde\beta)=-d(\tilde\alpha)\tilde\beta\) 以及 \(\delta[-1]=\tilde i d(\tilde p)\)。于是 \[\begin{align*} d(\tilde{\alpha}) & = d(\tilde{\alpha})\tilde{\beta}\beta \\ & = -\delta[-1]\beta \end{align*}\] ，其中第一个等号使用了引理 09P6 的公式 (6)，第二个等号使用了前述关系。类似地，得到 \(d(\tilde p)=i\delta[-1]\)。因此 \[\begin{align*} d(i\tilde{\alpha} + \tilde{p}\beta) & = d(i)\tilde{\alpha} + id(\tilde{\alpha}) + d(\tilde{p})\beta + \tilde{p}d(\beta) \\ & = id(\tilde{\alpha}) + d(\tilde{p})\beta \\ & = -i\delta[-1]\beta + i\delta[-1]\beta \\ & = 0 \end{align*}\] ，故 \(i\tilde\alpha+\tilde p\beta\) 确实是 \(\text{Comp}(\mathcal{A})\) 中的态射。类似计算表明，\(\alpha\tilde i+\tilde\beta p\) 也是 \(\text{Comp}(\mathcal{A})\) 中的态射。显然这些态射组成上述交换图表。计算得 \[\begin{align*} (i\tilde{\alpha} + \tilde{p}\beta)(\alpha \tilde{i} + \tilde{\beta} p) & = i\tilde{\alpha}\alpha\tilde{i} + i\tilde{\alpha}\tilde{\beta}p + \tilde{p}\beta\alpha\tilde{i} + \tilde{p}\beta\tilde{\beta}p \\ & = i\tilde{i} + \tilde{p}p \\ & = 1_{c(\delta[-1])} \end{align*}\] ，其中自由使用了引理 09P6 中的恒等式。类似地，计算得 \((\alpha \tilde{i} + \tilde{\beta} p)(i\tilde{\alpha} + \tilde{p}\beta) = 1_y\), ，故 \(y\cong c(\delta[-1])\)。因此，所讨论的两个三角同构。

下述引理是引理 09KE 的对应版本。

引理

在情形 09QJ 中，设 \(f_1:x_1\to y_1\) 和 \(f_2:x_2\to y_2\) 是 \(\text{Comp}(\mathcal{A})\) 中的态射。设 \[(a,b,c): (x_1,y_1,c(f_1), f_1, i_1, p_1) \to (x_2,y_2, c(f_2), f_2, i_1, p_1)\] 是 \(K(\mathcal{A})\) 中任意三角态射。若 \(a\) 和 \(b\) 是同伦等价，则 \(c\) 也是同伦等价。

证明

由于 \(a,b\) 是同伦等价，它们在 \(K(\mathcal{A})\) 中可逆。以 \(a^{-1},b^{-1}\) 表示它们在 \(K(\mathcal{A})\) 中的逆，得到交换图表 \[\xymatrix{ x_2\ar[d]^{a^{-1}}\ar[r]^{f_2} & y_2\ar[d]^{b^{-1}}\ar[r]^{i_2} & c(f_2)\ar[d]^{c'} \\ x_1\ar[r]^{f_1} & y_1 \ar[r]^{i_1} & c(f_1) }\] ，其中映射 \(c'\) 通过把引理 09P7 应用于上图左侧交换方块而定义。由于图表在 \(K(\mathcal{A})\) 中交换，由引理 09QP，只需证明：给定 \(K(\mathcal{A})\) 中的三角态射 \((1,1,c): (x,y,c(f),f,i,p)\to (x,y,c(f),f,i,p)\) ，映射 \(c\) 是 \(K(\mathcal{A})\) 中的同构。在 \(K(\mathcal{A})\) 中有交换图表 \[\vcenter{ \xymatrix{ y\ar[d]^{1}\ar[r] & c(f)\ar[d]^{c}\ar[r] & x[1]\ar[d]^{1} \\ y\ar[r] & c(f) \ar[r] & x[1] } } \quad\Rightarrow\quad \vcenter{ \xymatrix{ y\ar[d]^{0}\ar[r] & c(f)\ar[d]^{c-1}\ar[r] & x[1]\ar[d]^{0} \\ y\ar[r] & c(f) \ar[r] & x[1] } }\] 由于各行都是容许短正合列，由引理 09QP 得到恒等式 \((c-1)^2=0\)。由此推出 \(2-c\) 是 \(c\) 在 \(K(\mathcal{A})\) 中的逆，因而 \(c\) 是同构。

下述引理是引理 09KF 的对应版本。

引理

在情形 09QJ 中：

给定容许短正合列 \(x\xrightarrow{\alpha}y\xrightarrow{\beta}z\)。那么存在同伦等价 \(e:C(\alpha)\to z\)，使图表 [09QV]\[\begin{equation} \vcenter{ \xymatrix{ x\ar[r]^{\alpha}\ar[d] & y\ar[r]^{b}\ar[d] & C(\alpha)\ar[r]^{-c}\ar@{.>}[d]^{e} & x[1]\ar[d] \\ x\ar[r]^{\alpha} & y\ar[r]^{\beta} & z\ar[r]^{\delta} & x[1] } } \end{equation}\] 在 \(K(\mathcal{A})\) 中定义三角同构。这里 \(y\xrightarrow{b}C(\alpha)\xrightarrow{c}x[1]\) 是按公理 (C) 给出的容许短正合列。

给定 \(\text{Comp}(\mathcal{A})\) 中的态射 \(\alpha:x\to y\)，令 \(x\xrightarrow{\tilde\alpha}\tilde y\to y\) 为引理 09QM 中给出的分解，其中容许单态射 \(x\xrightarrow{\tilde\alpha}y\) 延拓为容许短正合列 \[\xymatrix{ x \ar[r]^{\tilde{\alpha}} & \tilde{y} \ar[r] & z }\] 。那么存在三角同构 \[\xymatrix{ x \ar[r]^{\tilde{\alpha}} \ar[d] & \tilde{y} \ar[r] \ar[d] & z \ar[r]^{\delta} \ar@{.>}[d]^{e} & x[1] \ar[d] \\ x \ar[r]^{\alpha} & y \ar[r] & C(\alpha) \ar[r]^{-c} & x[1] }\] ，其中上方三角是与列 \(x\xrightarrow{\tilde\alpha}\tilde y\to z\) 相联系的三角。

证明

对 (1)，考虑下述更完整的图表，其中不改变 \(c\) 的符号： \[\xymatrix{ x\ar@<0.5ex>[r]^{\alpha} \ar[d] & y\ar@<0.5ex>[l]^{\pi} \ar@<0.5ex>[r]^{b}\ar[d] & C(\alpha)\ar@<0.5ex>[l]^{p} \ar@<0.5ex>[r]^{c}\ar@{.>}@<0.5ex>[d]^{e} & x[1]\ar@<0.5ex>[l]^{\sigma} \ar[d]\ar@<0.5ex>[r]^{\alpha} & y[1]\ar@<0.5ex>[l]^{\pi} \\ x\ar@<0.5ex>[r]^{\alpha} & y\ar@<0.5ex>[r]^{\beta} \ar@<0.5ex>[l]^{\pi} & z\ar[r]^{\delta}\ar@<0.5ex>[l]^{s} \ar@{.>}@<0.5ex>[u]^{f} & x[1] }\] 其中容许短正合列 \(x\xrightarrow{\alpha}y\xrightarrow{\beta}z\) 带有分裂 \(\pi,s\)，容许短正合列 \(y\xrightarrow{b}C(\alpha)\xrightarrow{c}x[1]\) 带有分裂 \(p,\sigma\)。注意（在移位下识别 Hom 集），由引理 09P6 中的构造， \[\alpha = pd(\sigma) = -d(p)\sigma,\quad \delta = \pi d(s) = -d(\pi)s\] 。

定义 \(e=\beta p\) 和 \(f=bs-\sigma\delta\)。先验证它们是 \(\text{Comp}(\mathcal{A})\) 中的态射。为证明 \(d(e)=\beta d(p)\) 为零，只需证明 \(\beta d(p)b\) 和 \(\beta d(p)\sigma\) 均为零，而 \[\beta d(p)b = \beta d(pb) = \beta d(1_y) = 0,\quad \beta d(p)\sigma = -\beta\alpha = 0\] 。类似地，为验证 \(d(f)=bd(s)-d(\sigma)\delta\) 为零，只需验证它与 \(p\) 及 \(c\) 的后复合都为零，而 \[\begin{align*} pbd(s) - pd(\sigma)\delta = & d(s)-\alpha\delta = d(s)-\alpha\pi d(s) = 0 \\ cbd(s)-cd(\sigma)\delta = & -cd(\sigma)\delta = -d(c\sigma)\delta = 0 \end{align*}\] 。图表 09QV 左侧两个方块的交换性直接由定义得出。在证明右侧方块在同伦意义下交换之前，先验证 \(e\) 是同伦等价。显然， \[ef=\beta p (bs-\sigma\delta)=\beta s=1_z\] 。为验证 \(fe\) 与 \(1_{C(\alpha)}\) 同伦，先注意 \[b\alpha = bpd(\alpha) = d(\sigma),\quad \alpha c = -d(p)\sigma c = -d(p),\quad d(\pi)p = d(\pi)s\beta p = -\delta\beta p\] 。利用这些恒等式，计算得 \[\begin{align*} 1_{C(\alpha)} = & bp + \sigma c \quad (\text{由 }y \xrightarrow{b} C(\alpha) \xrightarrow{c} x[1]) \\ = & b(\alpha\pi + s\beta)p + \sigma(\pi\alpha)c \quad (\text{由 }x \xrightarrow{\alpha} y \xrightarrow{\beta} z) \\ = & d(\sigma)\pi p + bs\beta p - \sigma\pi d(p) \quad (\text{由上述前两个恒等式}) \\ = & d(\sigma)\pi p + bs\beta p - \sigma\delta\beta p + \sigma\delta\beta p - \sigma\pi d(p) \\ = & (bs - \sigma\delta)\beta p + d(\sigma)\pi p - \sigma d(\pi)p - \sigma\pi d(p)\quad (\text{由上述第三个恒等式}) \\ = & fe + d(\sigma \pi p) \end{align*}\] ，因为 \(\sigma\in\Hom^{-1}(x,C(\alpha))\)（参见引理 09QK 的证明）。因此 \(e,f\) 互为同伦逆。最后，为验证图表 09QV 的右侧方块在同伦意义下交换，只须验证 \(-cf=\delta\)。这由下式得出： \[-cf = -c(bs-\sigma\delta) = c\sigma\delta = \delta\] ，因为 \(cb=0\)。

对 (2)，考虑引理 09QM 中给出的分解 \(x\xrightarrow{\tilde\alpha}\tilde y\to y\)，故第二个态射是同伦等价。由引理 09P7 和 09QT，下列两个三角之间存在三角同构： \[x \xrightarrow{\alpha} y \to C(\alpha) \to x[1] \quad\text{且}\quad x \xrightarrow{\tilde{\alpha}} \tilde{y} \to C(\tilde{\alpha}) \to x[1]\] 。由于可以复合三角同构，通过以 \(\tilde\alpha\) 替代 \(\alpha\)、以 \(\tilde y\) 替代 \(y\)、以 \(C(\tilde\alpha)\) 替代 \(C(\alpha)\)，可假设 \(\alpha\) 是容许单态射。在这种情形下，结论由 (1) 得出。

下述引理是引理 09KH 的对应版本。

引理

在情形 09QJ 中，同伦范畴 \(K(\mathcal{A})\) 连同其自然平移函子和有区别三角，是预三角范畴。

证明

逐一验证 TR1、TR2 和 TR3。

TR1 的证明。由定义，每个与有区别三角同构的三角都是有区别的。由于 \[\xymatrix{x\ar[r]^{1_x} & x\ar[r] & 0}\] 是容许短正合列，\((x,x,0,1_x,0,0)\) 是有区别三角。此外，给定 \(\text{Comp}(\mathcal{A})\) 中的态射 \(\alpha:x\to y\)，由引理 09QU，三角 \((x,y,c(\alpha),\alpha,i,-p)\) 是有区别的。

TR2 的证明。设 \((x,y,z,\alpha,\beta,\gamma)\) 是三角，并假设 \((y,z,x[1],\beta,\gamma,-\alpha[1])\) 是有区别的。则存在容许短正合列 \(0\to x'\to y'\to z'\to0\)，使相联系的三角 \((x',y',z',\alpha',\beta',\gamma')\) 同构于 \((y,z,x[1],\beta,\gamma,-\alpha[1])\)。旋转后，得出 \((x,y,z,\alpha,\beta,\gamma)\) 同构于 \((z'[-1],x',y',\gamma'[-1],\alpha',\beta')\)。由引理 09QS，后者同构于 \((z'[-1],x',c(\gamma'[-1]),\gamma'[-1],i,p)\)。按下图所示改变符号并复合这两个同构： \[\xymatrix@C=3pc{ x\ar[r]^{\alpha}\ar[d] & y\ar[r]^{\beta}\ar[d] & z\ar[r]^{\gamma}\ar[d] & x[1]\ar[d] \\ z'[-1]\ar[r]^{-\gamma'[-1]}\ar[d]_{-1_{z'[-1]}} & x \ar[r]^{\alpha'}\ar@{=}[d] & y' \ar[r]^{\beta'} \ar[d] & z'\ar[d]^{-1_{z'}} \\ z'[-1]\ar[r]^{\gamma'[-1]} & x \ar[r]^{\alpha'} & c(\gamma'[-1]) \ar[r]^{-p} & z' }\] 由引理 09QU (2)，推出 \((x,y,z,\alpha,\beta,\gamma)\) 是有区别的。反过来，假设 \((x,y,z,\alpha,\beta,\gamma)\) 是有区别的。由引理 09QU (1)，它同构于形如 \((x',y',c(\alpha'),\alpha',i,-p)\) 的三角，其中 \(\alpha':x'\to y'\) 是 \(\text{Comp}(\mathcal{A})\) 中的某个态射。旋转后的三角 \((y,z,x[1],\beta,\gamma,-\alpha[1])\) 同构于 \((y',c(\alpha'),x'[1],i,-p,-\alpha[1])\)，而后者同构于 \((y',c(\alpha'),x'[1],i,p,\alpha[1])\)。由引理 09QR，这个三角是有区别的，从而 \((y,z,x[1],\beta,\gamma,-\alpha[1])\) 是有区别的。

TR3 的证明。设 \((x,y,z,\alpha,\beta,\gamma)\) 和 \((x',y',z',\alpha',\beta',\gamma')\) 是 \(\text{Comp}(\mathcal{A})\) 中的有区别三角，且 \(f:x\to x'\)、\(g:y\to y'\) 是满足 \(\alpha'\circ f=g\circ\alpha\) 的态射。由引理 09QU，可假设 \((x,y,z,\alpha,\beta,\gamma)= (x,y,c(\alpha),\alpha, i, -p)\) ，且 \((x',y',z',\alpha',\beta',\gamma')=(x',y',c(\alpha'),\alpha',i',-p')\)。现应用引理 09P7 即得结论。

下述引理是引理 09KI 的对应版本。

引理

在情形 09QJ 中，给定 \(\mathcal{A}\) 中的容许单态射 \(x\xrightarrow{\alpha}y\)、\(y\xrightarrow{\beta}z\)，存在有区别三角 \((x,y,q_1,\alpha,p_1,\delta_1)\)、\((x,z,q_2,\beta\alpha,p_2,\delta_2)\) 和 \((y,z,q_3,\beta,p_3,\delta_3)\)，使 TR4 成立。

证明

给定容许单态射 \(x\xrightarrow{\alpha}y\) 和 \(y\xrightarrow{\beta}z\)，通过将它们延拓为容许短正合列，可以得到有区别三角 \[\xymatrix{ x\ar@<0.5ex>[r]^{\alpha} & y\ar@<0.5ex>[l]^{\pi_1} \ar@<0.5ex>[r]^{p_1} & q_1 \ar[r]^{\delta_1} \ar@<0.5ex>[l]^{s_1} & x[1] }\] \[\xymatrix{ x\ar@<0.5ex>[r]^{\beta\alpha} & z\ar@<0.5ex>[l]^{\pi_1\pi_3} \ar@<0.5ex>[r]^{p_2} & q_2 \ar[r]^{\delta_2} \ar@<0.5ex>[l]^{s_2} & x[1] }\] \[\xymatrix{ y\ar@<0.5ex>[r]^{\beta} & z\ar@<0.5ex>[l]^{\pi_3} \ar@<0.5ex>[r]^{p_3} & q_3 \ar[r]^{\delta_3} \ar@<0.5ex>[l]^{s_3} & x[1] }\] 。在这些图表中，映射 \(\delta_i\) 类似于引理 09P6 中定义的映射，定义为 \(\delta_i=\pi_i d(s_i)\)。它们构成下述实线交换图表 \[\xymatrix@C=5pc@R=3pc{ x\ar@<0.5ex>[r]^{\alpha} \ar@<0.5ex>[dr]^{\beta\alpha} & y\ar@<0.5ex>[d]^{\beta} \ar@<0.5ex>[l]^{\pi_1} \ar@<0.5ex>[r]^{p_1} & q_1 \ar[r]^{\delta_1} \ar@<0.5ex>[l]^{s_1} \ar@{.>}[dd]^{p_2\beta s_1} & x[1] \\ & z \ar@<0.5ex>[u]^{\pi_3}\ar@<0.5ex>[d]^{p_3} \ar@<0.5ex>[dr]^{p_2} \ar@<0.5ex>[ul]^{\pi_1\pi_3} & & \\ & q_3\ar@<0.5ex>[u]^{s_3} \ar[d]^{\delta_3} & q_2 \ar@{.>}[l]^{p_3s_2} \ar@<0.5ex>[ul]^{s_2} \ar[dr]^{\delta_2} \\ & y[1] & & x[1]}\] ，其中虚线箭头按图中所示定义。显然，它们的复合 \(p_3s_2p_2\beta s_1=0\)，因为 \(s_2p_2=0\)。断言两者都是 \(\text{Comp}(\mathcal{A})\) 中的态射。可利用引理 09P6 中的等式验证这一点： \[d(p_2\beta s_1) = p_2\beta d(s_1) = p_2\beta\alpha\pi_1 d(s_1) = 0\] ，因为 \(p_2\beta\alpha=0\)；并且 \[d(p_3s_2) = p_3d(s_2) = p_3\beta\alpha\pi_1\pi_3 d(s_2) = 0\] ，因为 \(p_3\beta=0\)。为验证 \(q_1\to q_2\to q_3\) 是容许短正合列，还须证明在底层分次范畴中 \(q_2=q_1\oplus q_3\)，且上述两个态射分别是余投影和投影。为此，注意在底层分次范畴 \(\mathcal{C}\) 中有 \[y = x\oplus q_1,\quad z = y\oplus q_3 = x\oplus q_1\oplus q_3\] ，其中 \(\pi_1\pi_3\) 给出到第一个因子的投影态射 \(x\oplus q_1\oplus q_3\to z\)。由 \(\mathcal{A}\) 的公理 (A)， \(\mathcal{C}\) 是加性范畴。因此可应用《同调代数》引理 09QG，得出 \[\Ker(\pi_1\pi_3) = q_1\oplus q_3\] 在 \(\mathcal{C}\) 中成立。再把《同调代数》引理 09QG 应用于 \(z=x\oplus q_2\)，得到 \(\Ker(\pi_1\pi_3)=q_2\)。故在 \(\mathcal{C}\) 中 \(q_2\cong q_1\oplus q_3\)。显然，上述虚线态射给出余投影和投影。

最后，还须验证容许短正合列 \(q_1\to q_2\to q_3\) 诱导的态射 \(\delta:q_3\to q_1[1]\) 与 \(p_1\delta_3\) 一致。由引理 09P6 中的构造，态射 \(\delta\) 由下式给出： \[\begin{align*} p_1\pi_3s_2d(p_2s_3) = & p_1\pi_3s_2p_2d(s_3) \\ = & p_1\pi_3(1-\beta\alpha\pi_1\pi_3)d(s_3) \\ = & p_1\pi_3d(s_3)\quad (\text{因为 }\pi_3\beta = 0) \\ = & p_1\delta_3 \end{align*}\] ，这正是所需等式。证明完成。

汇集以上结果，终于得到命题 09KJ 的对应版本。

命题

在情形 09QJ 中，同伦范畴 \(K(\mathcal{A})\) 连同其自然平移函子和有区别三角，是三角范畴。

证明

由引理 09QW， \(K(\mathcal{A})\) 是预三角范畴。把引理 09QN、09QX 与《导出范畴》引理 014C 结合，得出 \(K(\mathcal{A})\) 是三角范畴。

引理

设 \(R\) 是环，\(F:\mathcal{A}\to\mathcal{B}\) 是满足公理 (A)、(B)、(C) 的 \(R\) 上微分分次范畴之间的函子，并且 \(F(x[1])=F(x)[1]\)。那么 \(F\) 诱导三角范畴之间的正合函子 \(K(\mathcal{A})\to K(\mathcal{B})\)。

证明

确实，若 \(x\to y\to z\) 是 \(\text{Comp}(\mathcal{A})\) 中的容许短正合列，则 \(F(x)\to F(y)\to F(z)\) 是 \(\text{Comp}(\mathcal{B})\) 中的容许短正合列。此外，引理 09P6 中构造的“边界”态射 \(\delta=\pi\text{d}(s):z\to x[1]\) 产生态射 \(F(\delta):F(z)\to F(x[1])=F(x)[1]\)；它等于容许短正合列 \(F(x)\to F(y)\to F(z)\) 的边界映射 \(F(\pi)\text{d}(F(s))\)。

双模

继续第 09LL 节开始的讨论。

定义

双模。设 \(R\) 是环。

设 \(A,B\) 是 \(R\)-代数。\((A,B)\)-双模是带有 \(R\)-双线性映射 \[A \times M \to M, (a, x) \mapsto ax \quad\text{且}\quad M \times B \to M, (x, b) \mapsto xb\] 的 \(R\)-模 \(M\)，并满足

\(a'(ax)=(a'a)x\) 且 \((xb)b'=x(bb')\)；

\(a(xb)=(ax)b\)；以及

\(1x=x=x1\)。

设 \(A,B\) 是 \(\mathbf{Z}\)-分次 \(R\)-代数。分次 \((A,B)\)-双模 是带有分次 \(M=\bigoplus M^n\) 的 \((A,B)\)-双模 \(M\)，使得 \(A^nM^m\subset M^{n+m}\) 且 \(M^nB^m\subset M^{n+m}\)。

设 \(A,B\) 是微分分次 \(R\)-代数。微分分次 \((A,B)\)-双模 是带有次数为 \(1\) 的齐次微分 \(\text{d}:M\to M\) 的分次 \((A,B)\)-双模，使得对齐次元素 \(a\in A\)、\(x\in M\)、\(b\in B\)，有 \(\text{d}(ax)=\text{d}(a)x+(-1)^{\deg(a)}a\text{d}(x)\) 且 \(\text{d}(xb)=\text{d}(x)b+(-1)^{\deg(x)}x\text{d}(b)\)。

注意，微分分次 \((A,B)\)-双模 \(M\) 与下述数据是一回事：\(M\) 是右微分分次 \(B\)-模，同时也是左微分分次 \(A\)-模，两个分次和微分彼此一致，并且 \(A\)-模结构与 \(B\)-模结构交换。精确表述如下。

引理

设 \(R\) 是环，\((A,\text{d})\) 和 \((B,\text{d})\) 是 \(R\) 上的微分分次代数， \(M\) 是右微分分次 \(B\)-模。\(M\) 上与给定微分分次 \(B\)-模结构相容的 \((A,B)\)-双模结构，与微分分次 \(R\)-代数同态 \[A \longrightarrow \Hom_{\text{Mod}^{dg}_{(B, \text{d})}}(M, M)\] 之间有一一对应。

证明

设 \(\mu:A\times M\to M\) 在 \(M\) 的底层 \(R\)-模复形 \(M^\bullet\) 上定义左微分分次 \(A\)-模结构。由引理 0FQ3，结构 \(\mu\) 对应于微分分次 \(R\)-代数的映射 \(\gamma:A\to\Hom^\bullet(M^\bullet,M^\bullet)\)。本引理的断言恰是： \(\mu\) 与 \(B\)-作用交换，当且仅当 \(\gamma\) 的像落在 \[\Hom_{\text{Mod}^{dg}_{(B, \text{d})}}(M, M) \subset \Hom^\bullet(M^\bullet, M^\bullet)\] 中。详细计算略。

设 \(M\) 是微分分次 \((A,B)\)-双模。回忆第 0FPZ 节：左微分分次 \(A\)-模结构对应于右微分分次 \(A^{opp}\)-模结构。由于 \(A\)-模结构与 \(B\)-模结构交换，这赋予 \(M\) 微分分次 \(A^{opp}\otimes_R B\)-模结构： \[x \cdot (a \otimes b) = (-1)^{\deg(a)\deg(x)} axb\] 。反过来，若有微分分次 \(A^{opp}\otimes_R B\)-模 \(M\)，则可利用上式得到微分分次 \((A,B)\)-双模。

引理

设 \(R\) 是环，\((A,\text{d})\) 和 \((B,\text{d})\) 是 \(R\) 上的微分分次代数。上述构造定义范畴等价 \[\begin{matrix} \text{微分分次}\\ (A, B)\text{-双模} \end{matrix} \longleftrightarrow \begin{matrix} \text{右微分分次}\\ A^{opp} \otimes_R B\text{-模} \end{matrix}\]

证明

由上述讨论立即得出。

设 \(R\) 是环，\((A,\text{d})\) 和 \((B,\text{d})\) 是微分分次 \(R\)-代数。设 \(P\) 是微分分次 \((A,B)\)-双模。若存在滤过 \[0 = F_{-1}P \subset F_0P \subset F_1P \subset \ldots \subset P\] ，它由微分分次 \((A,B)\)-双模组成，并且

\(P=\bigcup F_pP\)；
包含映射 \(F_iP\to F_{i+1}P\) 作为分次 \((A,B)\)-双模映射是分裂的；
作为微分分次 \((A,B)\)-双模，商 \(F_{i+1}P/F_iP\) 同构于若干个 \((A\otimes_R B)[k]\) 的直和，

则称 \(P\) 具有性质 (P)。

引理

设 \(R\) 是环，\((A,\text{d})\) 和 \((B,\text{d})\) 是微分分次 \(R\)-代数， \(M\) 是微分分次 \((A,B)\)-双模。存在微分分次 \((A,B)\)-双模同态 \(P\to M\)，它是拟同构，并且 \(P\) 具有上面定义的性质 (P)。

证明

由引理 0FQJ 和 09KP 立即得出。

引理

设 \(R\) 是环，\((A,\text{d})\) 和 \((B,\text{d})\) 是微分分次 \(R\)-代数。设 \(P\) 是具有性质 (P) 的微分分次 \((A,B)\)-双模，其相应滤过为 \(F_\bullet\)。那么得到短正合列 \[0 \to \bigoplus\nolimits F_iP \to \bigoplus\nolimits F_iP \to P \to 0\] ，它由微分分次 \((A,B)\)-双模组成，并且作为分次 \((A,B)\)-双模列是分裂的。

证明

由引理 0FQJ 和 09KL 立即得出。

双模与张量积

设 \(R\) 是环，\(A,B\) 是 \(R\)-代数，\(M\) 是右 \(A\)-模，\(N\) 是 \((A,B)\)-双模。那么 \(M\otimes_A N\) 是右 \(B\)-模。

若在上一段的情形中，\(A,B\) 是 \(\mathbf{Z}\)-分次代数，\(M\) 是分次 \(A\)-模，\(N\) 是分次 \((A,B)\)-双模，则 \(M\otimes_A N\) 是右分次 \(B\)-模。该构造关于 \(M\) 具有函子性，并定义例 09MN 中分次范畴之间的函子 \[- \otimes_A N : \text{Mod}^{gr}_A \longrightarrow \text{Mod}^{gr}_B\] 。确实，若 \(M,M'\) 是分次 \(A\)-模，\(f:M\to M'\) 是次数 \(n\) 齐次的 \(A\)-模同态，则 \(f\otimes\text{id}_N:M\otimes_A N\to M'\otimes_A N\) 是次数 \(n\) 齐次的 \(B\)-模同态。

若在上一段的情形中，\((A,\text{d})\) 和 \((B,\text{d})\) 是微分分次代数， \(M\) 是微分分次 \(A\)-模，\(N\) 是微分分次 \((A,B)\)-双模，则 \(M\otimes_A N\) 是右微分分次 \(B\)-模。

引理

设 \(R\) 是环，\((A,\text{d})\) 和 \((B,\text{d})\) 是 \(R\) 上的微分分次代数， \(N\) 是微分分次 \((A,B)\)-双模。那么 \(M\mapsto M\otimes_A N\) 定义微分分次范畴之间的函子 \[- \otimes_A N : \text{Mod}^{dg}_{(A, \text{d})} \longrightarrow \text{Mod}^{dg}_{(B, \text{d})}\] 。应用引理 09L8，此函子诱导函子 \[\text{Mod}_{(A, \text{d})} \to \text{Mod}_{(B, \text{d})} \quad\text{以及}\quad K(\text{Mod}_{(A, \text{d})}) \to K(\text{Mod}_{(B, \text{d})})\] 。

证明

上面已经看到该构造如何定义底层分次范畴之间的函子。因此，只需证明该构造与微分相容。设 \(M,M'\) 是微分分次 \(A\)-模，\(f:M\to M'\) 是次数 \(n\) 齐次的 \(A\)-模同态。那么 \[\text{d}(f) = \text{d}_{M'} \circ f - (-1)^n f \circ \text{d}_M\] 。另一方面， \[\text{d}(f \otimes \text{id}_N) = \text{d}_{M' \otimes_A N} \circ (f \otimes \text{id}_N) - (-1)^n (f \otimes \text{id}_N) \circ \text{d}_{M \otimes_A N}\] 。把它应用于元素 \(x\otimes y\)，其中 \(x\in M\)、\(y\in N\) 是齐次元素，得到 \[\begin{align*} \text{d}(f \otimes \text{id}_N)(x \otimes y) = & \text{d}_{M'}(f(x)) \otimes y + (-1)^{n + \deg(x)}f(x) \otimes \text{d}_N(y) \\ & - (-1)^n f(\text{d}_M(x)) \otimes y - (-1)^{n + \deg(x)}f(x) \otimes \text{d}_N(y) \\ = & \text{d}(f) (x \otimes y) \end{align*}\] 故 \(\text{d}(f)\otimes\text{id}_N= \text{d}(f\otimes\text{id}_N)\)。证明完成。

注

设 \(R\) 是环，\((A,\text{d})\) 和 \((B,\text{d})\) 是 \(R\) 上的微分分次代数， \(N\) 是微分分次 \((A,B)\)-双模，\(M\) 是右微分分次 \(A\)-模。那么对每个 \(k\in\mathbf{Z}\)，有右微分分次 \(B\)-模同构 \[(M \otimes_A N)[k] \longrightarrow M[k] \otimes_A N\] ，其定义不引入符号；见《代数进阶》第 0FNG 节。

若有环 \(R\)、\(R\)-代数 \(A,B,C\)、右 \(A\)-模 \(M\)、\((A,B)\)-双模 \(N\) 以及 \((B,C)\)-双模 \(N'\)，则 \(N\otimes_B N'\) 是 \((A,C)\)-双模，并且 \[(M \otimes_A N) \otimes_B N' = M \otimes_A (N \otimes_B N')\] 。这个等式在分次情形和微分分次情形中仍成立。符号法则见《代数进阶》第 0FNG 节。

双模与内部 Hom

设 \(R\) 是环。若 \(A\) 是 \(R\)-代数（见第 09JF 节中的约定），而 \(M,M'\) 是右 \(A\)-模，则像通常一样定义 \[\Hom_A(M, M') = \{f : M \to M' \mid f \text{ 是 }A\text{-线性的}\}\] 。

设 \(R\) 是环，\(A,B\) 是 \(R\)-代数，\(N\) 是 \((A,B)\)-双模，\(N'\) 是右 \(B\)-模。在这种情形下，通过前复合把 \[\Hom_B(N, N')\] 看作右 \(A\)-模。

设 \(R\) 是环，\(A,B\) 是 \(\mathbf{Z}\)-分次 \(R\)-代数，\(N\) 是分次 \((A,B)\)-双模，\(N'\) 是右分次 \(B\)-模。在这种情形下，通过前复合把例 09MN 中定义的分次 \(R\)-模 \[\Hom_{\text{Mod}^{gr}_B}(N, N')\] 看作右分次 \(A\)-模。该构造关于 \(N'\) 具有函子性，并定义例 09MN 中分次范畴之间的函子 \[\Hom_{\text{Mod}^{gr}_B}(N, -) : \text{Mod}^{gr}_B \longrightarrow \text{Mod}^{gr}_A\] 。确实，若 \(N_1,N_2\) 是分次 \(B\)-模，而 \(f:N_1\to N_2\) 是次数 \(n\) 齐次的 \(B\)-模同态，则诱导映射 \(\Hom_{\text{Mod}^{gr}_B}(N,N_1)\to \Hom_{\text{Mod}^{gr}_B}(N,N_2)\) 是次数 \(n\) 齐次的 \(A\)-模同态。

设 \(R\) 是环，\(A,B\) 是微分 \(\mathbf{Z}\)-分次 \(R\)-代数，\(N\) 是微分分次 \((A,B)\)-双模，\(N'\) 是右微分分次 \(B\)-模。在这种情形下，通过如分次情形中的前复合，把例 09LC 中定义的微分分次 \(R\)-模 \[\Hom_{\text{Mod}^{dg}_{(B, \text{d})}}(N, N')\] 看作右微分分次 \(A\)-模。这与微分相容，因为乘法是复合 \[\Hom_{\text{Mod}^{dg}_B}(N, N') \otimes_R A \to \Hom_{\text{Mod}^{dg}_B}(N, N') \otimes_R \Hom_{\text{Mod}^{dg}_B}(N, N) \to \Hom_{\text{Mod}^{dg}_B}(N, N')\] 。第一个箭头使用引理 0FQI 中的映射，第二个箭头是微分分次范畴 \(\text{Mod}^{dg}_{(B, \text{d})}\) 中的复合。

引理

设 \(R\) 是环，\((A,\text{d})\) 和 \((B,\text{d})\) 是 \(R\) 上的微分分次代数， \(N\) 是微分分次 \((A,B)\)-双模。上述构造定义微分分次范畴之间的函子 \[\Hom_{\text{Mod}^{dg}_{(B, \text{d})}}(N, -) : \text{Mod}^{dg}_{(B, \text{d})} \longrightarrow \text{Mod}^{dg}_{(A, \text{d})}\] 。应用引理 09L8，此函子诱导函子 \[\text{Mod}_{(B, \text{d})} \to \text{Mod}_{(A, \text{d})} \quad\text{以及}\quad K(\text{Mod}_{(B, \text{d})}) \to K(\text{Mod}_{(A, \text{d})})\] 。

证明

上面已经看到该构造如何定义底层分次范畴之间的函子。因此，只需证明该构造与微分相容。设 \(N_1,N_2\) 是微分分次 \(B\)-模。记 \[H_{12} = \Hom_{\text{Mod}^{dg}_{(B, \text{d})}}(N_1, N_2),\quad H_1 = \Hom_{\text{Mod}^{dg}_{(B, \text{d})}}(N, N_1),\quad H_2 = \Hom_{\text{Mod}^{dg}_{(B, \text{d})}}(N, N_2)\] 。考虑微分分次范畴 \(\text{Mod}^{dg}_{(B, \text{d})}\) 中的复合 \[c : H_{12} \otimes_R H_1 \longrightarrow H_2\] 。设 \(f:N_1\to N_2\) 是次数 \(n\) 齐次的 \(B\)-模同态；换言之， \(f\in H_{12}^n\)。引理中的函子把 \(f\) 映到 \(c_f:H_1\to H_2\)、\(g\mapsto c(f,g)\)。\(\text{d}(f)\) 也类似。另一方面， \[\Hom_{\text{Mod}^{dg}_{(A, \text{d})}}(H_1, H_2)\] 上的微分把 \(c_f\) 映到 \(\text{d}_{H_2}\circ c_f-(-1)^n c_f\circ\text{d}_{H_1}\)。由于 \(c\) 是 \(R\)-模复形之间的态射，有 \(\text{d}c(f,g)=c(\text{d}f,g)+(-1)^n c(f,\text{d}g)\)。因此 \[\begin{align*} (\text{d}c_f)(g) & = \text{d}c(f,g) - (-1)^n c(f, \text{d}g) \\ & = c(\text{d}f, g) + (-1)^n c(f, \text{d}g) - (-1)^n c(f, \text{d}g) \\ & = c(\text{d}f, g) = c_{\text{d}f}(g) \end{align*}\] 。证明完成。

注

设 \(R\) 是环，\((A,\text{d})\) 和 \((B,\text{d})\) 是 \(R\) 上的微分分次代数， \(N\) 是微分分次 \((A,B)\)-双模，\(N'\) 是右微分分次 \(B\)-模。那么对每个 \(k\in\mathbf{Z}\)，有右微分分次 \(A\)-模同构 \[\Hom_{\text{Mod}^{gr}_B}(N, N')[k] \longrightarrow \Hom_{\text{Mod}^{gr}_B}(N, N'[k])\] ，其定义不引入符号；见《代数进阶》第 0FNG 节。

引理

设 \(R\) 是环，\(A,B\) 是 \(R\)-代数，\(M\) 是右 \(A\)-模，\(N\) 是 \((A,B)\)-双模，\(N'\) 是右 \(B\)-模。那么有 \(R\)-模的典范同构 \[\Hom_B(M \otimes_A N, N') = \Hom_A(M, \Hom_B(N, N'))\] 。若 \(A,B,M,N,N'\) 带有彼此相容的分次，则有分次 \(R\)-模的典范同构 \[\Hom_{\text{Mod}_B^{gr}}(M \otimes_A N, N') = \Hom_{\text{Mod}_A^{gr}}(M, \Hom_{\text{Mod}_B^{gr}}(N, N'))\] 。若 \(A,B,M,N,N'\) 带有彼此相容的微分分次结构，则有 \(R\)-模复形的典范同构 \[\Hom_{\text{Mod}^{dg}_{(B, \text{d})}}(M \otimes_A N, N') = \Hom_{\text{Mod}^{dg}_{(A, \text{d})}}(M, \Hom_{\text{Mod}^{dg}_{(B, \text{d})}}(N, N'))\] 。

证明

略。提示：在非分次情形下，把两边都解释为右侧 \(B\)-线性的 \(A\)-双线性映射 \(\psi:M\times N\to N'\)。在（微分）分次情形下，使用《代数进阶》引理 0A5Y 的同构，并验证它与模结构相容。或者，使用引理 0FQ4 的同构，并证明它与 \(B\)-模结构相容。

导出 Hom

本节与《代数进阶》第 0A5W 节对应。

设 \(R\) 是环，\((A,\text{d})\) 和 \((B,\text{d})\) 是 \(R\) 上的微分分次代数， \(N\) 是微分分次 \((A,B)\)-双模。考虑第 0FQP 节的函子 [09LG]\[\begin{equation} \Hom_{\text{Mod}^{dg}_{(B, \text{d})}}(N, -) : \text{Mod}_{(B, \text{d})} \longrightarrow \text{Mod}_{(A, \text{d})} \end{equation}\] 。

引理

函子 (09LG) 定义三角范畴之间的正合函子 \(K(\text{Mod}_{(B, \text{d})})\to K(\text{Mod}_{(A, \text{d})})\)。

证明

通过引理 0FQQ 和评注 0FQR，这由引理 0FQF 的一般原理得出。

回忆，有三角范畴之间的正合函子 \[\Hom_{\text{Mod}^{dg}_{(B, \text{d})}}(N, -) : K(\text{Mod}_{(B, \text{d})}) \to K(\text{Mod}_{(A, \text{d})})\] ；见引理 09LH。考虑图表 \[\xymatrix{ K(\text{Mod}_{(B, \text{d})}) \ar[d] \ar[rr]_{\text{见上文}} \ar[rrd]_F & & K(\text{Mod}_{(A, \text{d})}) \ar[d] \\ D(B, \text{d}) \ar@{..>}[rr] & & D(A, \text{d}) }\] 希望把虚线箭头构造为复合 \(F\) 的右导出函子。（警告：在多数有意义的情形中，图表并不交换。）具体地，在《导出范畴》第 05S7 节的一般框架中，希望计算 \(F\) 关于 \(K(\text{Mod}_{(A, \text{d})})\) 中拟同构乘法系的右导出函子。

引理

在上述情形中，\(F\) 的右导出函子存在。记为 \(R\Hom(N,-):D(B,\text{d})\to D(A,\text{d})\)。

证明

使用《导出范畴》引理 06XN 来证明。取具有性质 (I) 的对象作为对象族 \(\mathcal{I}\)。性质 (1) 已在引理 09KU 中证明。性质 (2) 成立，因为若 \(s:I\to I'\) 是具有性质 (I) 的模之间的拟同构，则由引理 09KY，\(s\) 是同伦等价。

引理

设 \(R\) 是环，\((A,\text{d})\) 和 \((B,\text{d})\) 是微分分次 \(R\)-代数， \(f:N\to N'\) 是微分分次 \((A,B)\)-双模同态。那么 \(f\) 诱导函子态射 \[- \circ f : R\Hom(N', -) \longrightarrow R\Hom(N, -)\] 。若 \(f\) 是拟同构，则 \(f\circ-\) 是函子同构。

证明

记 \(\mathcal{B}=\text{Mod}^{dg}_{(B, \text{d})}\) 为微分分次 \(B\)-模的微分分次范畴；见例 09LC。设 \(I\) 是具有性质 (I) 的微分分次 \(B\)-模。那么 \(f\circ-:\Hom_\mathcal{B}(N',I)\to\Hom_\mathcal{B}(N,I)\) 是微分分次 \(A\)-模之间的映射，并且关于 \(I\) 具有函子性。由于函子 \(R\Hom(N',-)\) 和 \(R\Hom(N,-)\) 通过把 \(\Hom_\mathcal{B}\) 应用于具有性质 (I) 的对象来计算（引理 09LI），便得到所示的函子变换。

假设 \(f\) 是拟同构。设 \(F_\bullet\) 是 \(I\) 上的给定滤过。由于 \(I=\lim I/F_pI\)，有 \(\Hom_\mathcal{B}(N', I) = \lim \Hom_\mathcal{B}(N', I/F_pI)\)，并且 \(\Hom_\mathcal{B}(N,I)=\lim\Hom_\mathcal{B}(N,I/F_pI)\)。由于系统 \(I/F_pI\) 的过渡映射作为分次模映射是分裂的，系统 \(\Hom_\mathcal{B}(N',I/F_pI)\) 和 \(\Hom_\mathcal{B}(N,I/F_pI)\) 的过渡映射都是满射。因此，把 \(\Hom_\mathcal{B}(N',I)\)（分别地， \(\Hom_\mathcal{B}(N,I)\)）看作阿贝尔群复形，它计算复形系统 \(\Hom_\mathcal{B}(N',I/F_pI)\)（分别地， \(\Hom_\mathcal{B}(N,I/F_pI)\)）的 \(R\lim\)。见《代数进阶》引理 07KW。因此只需证明每个映射 \[\Hom_\mathcal{B}(N', I/F_pI) \to \Hom_\mathcal{B}(N, I/F_pI)\] 都是拟同构。由于满射 \(I/F_{p+1}I\to I/F_pI\) 作为分次 \(B\)-模映射是分裂的，故 \[0 \to \Hom_\mathcal{B}(N', F_pI/F_{p + 1}I) \to \Hom_\mathcal{B}(N', I/F_{p + 1}I) \to \Hom_\mathcal{B}(N', I/F_pI) \to 0\] 是微分分次 \(A\)-模的短正合列。对 \(N\) 有类似的列，并且 \(f\) 诱导短正合列之间的映射。因此，对 \(p\) 归纳（从 \(p=0\) 开始，此时 \(I/F_0I=0\)），得出只需证明映射 \(\Hom_\mathcal{B}(N', F_pI/F_{p + 1}I) \to \Hom_\mathcal{B}(N, F_pI/F_{p + 1}I)\) 是拟同构。由于 \(F_pI/F_{p+1}I\) 是若干个 \(A^\vee\) 的移位的直积，只需证明 \(\Hom_\mathcal{B}(N', B^\vee[k]) \to \Hom_\mathcal{B}(N, B^\vee[k])\) 是拟同构。由引理 09K4，只需证明 \((N')^\vee\to N^\vee\) 是拟同构。这成立，因为 \(f\) 是拟同构，且 \((\ )^\vee\) 是正合函子。

引理

设 \((A,\text{d})\) 和 \((B,\text{d})\) 是环 \(R\) 上的微分分次代数，\(N\) 是微分分次 \((A,B)\)-双模。那么对每个 \(n\in\mathbf{Z}\)，有 \(R\)-模同构 \[H^n(R\Hom(N, M)) = \Ext^n_{D(B, \text{d})}(N, M)\] ，它关于 \(M\) 具有函子性。关于引理 0BYV 中所述的运算，它也关于 \(N\) 具有函子性。

证明

在引理 09LI 的证明中已经看到 \[R\Hom(N, M) = \Hom_{\text{Mod}^{dg}_{(B, \text{d})}}(N, I)\] 作为微分分次 \(A\)-模成立，其中 \(M\to I\) 是从 \(M\) 到具有性质 (I) 的微分分次 \(B\)-模的拟同构。因此，由引理 09KY，该复形具有正确的上同调模。这些等同的函子性讨论从略。

引理

设 \(R\) 是环，\((A,\text{d})\) 和 \((B,\text{d})\) 是微分分次 \(R\)-代数， \(N\) 是微分分次 \((A,B)\)-双模。若 \(\Hom_{D(B, \text{d})}(N, N') = \Hom_{K(\text{Mod}_{(B, \text{d})})}(N, N')\) 对所有 \(N'\in K(B,\text{d})\) 成立（例如，若 \(N\) 作为微分分次 \(B\)-模具有性质 (P)），则在 \(D(B,\text{d})\) 中关于 \(M\) 函子地有 \[R\Hom(N, M) = \Hom_{\text{Mod}^{dg}_{(B, \text{d})}}(N, M)\] 。

证明

由构造（引理 09LI），为求 \(R\Hom(N,M)\)，选择拟同构 \(M\to I\)，其中 \(I\) 是具有性质 (I) 的微分分次 \(B\)-模，并置 \(R\Hom(N, M) = \Hom_{\text{Mod}^{dg}_{(B, \text{d})}}(N, I)\). 由假设，\(M\to I\) 诱导的映射 \[\Hom_{\text{Mod}^{dg}_{(B, \text{d})}}(N, M) \longrightarrow \Hom_{\text{Mod}^{dg}_{(B, \text{d})}}(N, I)\] 是拟同构；见例 09LC 中的讨论。这证明了本引理。若 \(N\) 作为 \(B\)-模具有性质 (P)，则由引理 09KY，假设成立。

导出 Hom 的一种变体

设 \(\mathcal{A}\) 是阿贝尔范畴。考虑 \(\mathcal{A}\) 的复形所组成的微分分次范畴 \(\text{Comp}^{dg}(\mathcal{A})\)；见例 09L9。设 \(K^\bullet\) 是 \(\mathcal{A}\) 的复形。置 \[(E, \text{d}) = \Hom_{\text{Comp}^{dg}(\mathcal{A})}(K^\bullet, K^\bullet)\] ，并考虑引理 09LE 中微分分次范畴之间的函子 \[\text{Comp}^{dg}(\mathcal{A}) \longrightarrow \text{Mod}^{dg}_{(E, \text{d})}, \quad X^\bullet \longmapsto \Hom_{\text{Comp}^{dg}(\mathcal{A})}(K^\bullet, X^\bullet)\] 。

引理

在上述情形中，若 \(\Hom(K^\bullet,-):K(\mathcal{A})\to D(\textit{Ab})\) 的右导出函子 \(R\Hom(K^\bullet,-)\) 在 \(D(\mathcal{A})\) 上处处有定义，则得到三角范畴之间的典范正合函子 \[R\Hom(K^\bullet, -) : D(\mathcal{A}) \longrightarrow D(E, \text{d})\] ；取相应的阿贝尔群复形后，它化为通常的函子。

证明

注意，由引理 09LE，有相应函子 \(K(\mathcal{A})\to K(\text{Mod}_{(E, \text{d})})\)。断言它是三角范畴之间的正合函子。确实，设 \(f:A^\bullet\to B^\bullet\) 是 \(\mathcal{A}\) 的复形映射。计算表明 \[\Hom_{\text{Comp}^{dg}(\mathcal{A})}(K^\bullet, C(f)^\bullet) = C\left( \Hom_{\text{Comp}^{dg}(\mathcal{A})}(K^\bullet, A^\bullet) \to \Hom_{\text{Comp}^{dg}(\mathcal{A})}(K^\bullet, B^\bullet) \right)\] ，其中右侧是本章前文在 \(\text{Mod}_{(E, \text{d})}\) 中定义的锥。这表明该函子与锥相容，因而与有区别三角相容。设 \(X^\bullet\) 是 \(K(\mathcal{A})\) 的对象。考虑拟同构 \(s:X^\bullet\to Y^\bullet\) 的范畴。已知函子 \((s : X^\bullet \to Y^\bullet) \mapsto \Hom_\mathcal{A}(K^\bullet, Y^\bullet)\) 在 \(D(\textit{Ab})\) 中看时本质上是常值的。但由于遗忘函子 \(D(E,\text{d})\to D(\textit{Ab})\) 与取上同调相容，在 \(D(E,\text{d})\) 中也有同样结论。这证明了本引理。

警告：虽然本引理按其表述成立，并可能按此形式发挥作用，但除非对所有 \(n\in\mathbf{Z}\) 都有 \(H^n(E) = \Ext^n_{D(\mathcal{A})}(K^\bullet, K^\bullet)\) ，否则微分代数 \(E\) 不是“正确”的微分代数。

导出张量积

本节与《代数进阶》第 06Y5 节对应。

设 \(R\) 是环，\((A,\text{d})\) 和 \((B,\text{d})\) 是 \(R\) 上的微分分次代数， \(N\) 是微分分次 \((A,B)\)-双模。考虑第 0FQM 节定义的函子 [09LQ]\[\begin{equation} \text{Mod}_{(A, \text{d})} \longrightarrow \text{Mod}_{(B, \text{d})},\quad M \longmapsto M \otimes_A N \end{equation}\] 。

引理

函子 (09LQ) 定义三角范畴之间的正合函子 \(K(\text{Mod}_{(A, \text{d})})\to K(\text{Mod}_{(B, \text{d})})\)。

证明

通过引理 09LM 和评注 0FQN，这由引理 0FQF 的一般原理得出。

此时可以考虑图表 \[\xymatrix{ K(\text{Mod}_{(A, \text{d})}) \ar[d] \ar[rr]_{- \otimes_A N} \ar[rrd]_F & & K(\text{Mod}_{(B, \text{d})}) \ar[d] \\ D(A, \text{d}) \ar@{..>}[rr] & & D(B, \text{d}) }\] 下文构造的虚线箭头将是复合 \(F\) 的左导出函子。（警告：该图表并不交换。）具体地，在《导出范畴》第 05S7 节的一般框架中，希望计算 \(F\) 关于 \(K(\text{Mod}_{(A, \text{d})})\) 中拟同构乘法系的左导出函子。

引理

在上述情形中，\(F\) 的左导出函子存在。记为 \(-\otimes_A^\mathbf{L}N:D(A,\text{d})\to D(B,\text{d})\)。

证明

使用《导出范畴》引理 06XN 来证明。取具有性质 (P) 的对象作为对象族 \(\mathcal{P}\)。性质 (1) 已在引理 09KP 中证明。性质 (2) 成立，因为若 \(s:P\to P'\) 是具有性质 (P) 的模之间的拟同构，则由引理 09KY，\(s\) 是同伦等价。

引理

设 \(R\) 是环，\((A,\text{d})\) 和 \((B,\text{d})\) 是微分分次 \(R\)-代数， \(f:N\to N'\) 是微分分次 \((A,B)\)-双模同态。那么 \(f\) 诱导函子态射 \[1\otimes f : - \otimes_A^\mathbf{L} N \longrightarrow - \otimes_A^\mathbf{L} N'\] 。若 \(f\) 是拟同构，则 \(1\otimes f\) 是函子同构。

证明

设 \(M\) 是具有性质 (P) 的微分分次 \(A\)-模。那么 \(1\otimes f:M\otimes_A N\to M\otimes_A N'\) 是微分分次 \(B\)-模之间的映射，并且关于 \(M\) 具有函子性。由于函子 \(-\otimes_A^\mathbf{L}N\) 和 \(-\otimes_A^\mathbf{L}N'\) 通过在具有性质 (P) 的对象上取张量来计算（引理 09LS），便得到所示的函子变换。

假设 \(f\) 是拟同构。设 \(F_\bullet\) 是 \(M\) 上的给定滤过。注意 \(M \otimes_A N = \colim F_i(M) \otimes_A N\)，并且 \(M \otimes_A N' = \colim F_i(M) \otimes_A N'\)。因此只需证明 \(F_n(M) \otimes_A N \to F_n(M) \otimes_A N'\) 是拟同构（滤过余极限是正合的；见《代数》引理 00DB）。由于包含映射 \(F_n(M)\to F_{n+1}(M)\) 作为分次 \(A\)-模映射是分裂的，故 \[0 \to F_n(M) \otimes_A N \to F_{n + 1}(M) \otimes_A N \to F_{n + 1}(M)/F_n(M) \otimes_A N \to 0\] 是微分分次 \(B\)-模的短正合列。对 \(N'\) 有类似的列，并且 \(f\) 诱导短正合列之间的映射。因此，对 \(n\) 归纳（从 \(n=-1\) 开始，此时 \(F_{-1}(M)=0\)），得出只需证明映射 \(F_{n+1}(M)/F_n(M)\otimes_A N\to F_{n+1}(M)/F_n(M)\otimes_A N'\) 是拟同构。这成立，因为 \(F_{n+1}(M)/F_n(M)\) 是若干个 \(A\) 的移位的直和，而对 \(A[k]\) 结论成立，原因是 \(f:N\to N'\) 是拟同构。

引理

设 \(R\) 是环，\((A,\text{d})\) 和 \((B,\text{d})\) 是微分分次 \(R\)-代数。设 \(N\) 是微分分次 \((A,B)\)-双模，并且作为左微分分次 \(A\)-模具有性质 (P)。那么对所有微分分次 \(A\)-模 \(M\)，\(M\otimes_A^\mathbf{L}N\) 由 \(M\otimes_A N\) 计算。

证明

设 \(f:M\to M'\) 是微分分次 \(A\)-模之间的拟同构。断言 \(f\otimes\text{id}:M\otimes_A N\to M'\otimes_A N\) 是拟同构。若断言成立，则由引理 09LS 证明中导出张量积的构造，得到所需结论。映射 \(f\otimes\text{id}\) 的构造只依赖于 \(N\) 上的左微分分次 \(A\)-模结构。此外， \(M\otimes_A N=N\otimes_{A^{opp}}M=N\otimes_{A^{opp}}^\mathbf{L}M\)，因为 \(N\) 作为微分分次 \(A^{opp}\)-模具有性质 (P)。因此，断言由引理 09S3 得出。

引理

设 \(R\) 是环，\((A,\text{d})\) 和 \((B,\text{d})\) 是微分分次 \(R\)-代数， \(N\) 是微分分次 \((A,B)\)-双模。那么引理 09LS 中的函子 \[- \otimes_A^\mathbf{L} N : D(A, \text{d}) \longrightarrow D(B, \text{d})\] 是引理 09LI 中函子 \[R\Hom(N, -) : D(B, \text{d}) \longrightarrow D(A, \text{d})\] 的左伴随。

证明

这由《导出范畴》引理 0FND，以及引理 09LN 中 \(-\otimes_A N\) 与 \(\Hom_{\text{Mod}^{dg}_{(B, \text{d})}}(N,-)\) 互为伴随这一事实得出。

例

设 \(R\) 是环，\((A,\text{d})\to(B,\text{d})\) 是微分分次 \(R\)-代数同态。可以把 \(B\) 看作微分分次 \((A,B)\)-双模，并得到函子 \[- \otimes_A B : D(A, \text{d}) \longrightarrow D(B, \text{d})\] 。由引理 09LT，它的左伴随是函子 \(R\Hom(B,-)\)。对微分分次 \(B\)-模 \(N\)，以 \(N_A\) 表示通过 \(A\to B\) 限制得到的微分分次 \(A\)-模。那么显然有关于 \(B\)-模 \(N\) 函子的典范同构 \[\Hom_{\text{Mod}^{dg}_{(B, \text{d})}}(B, N) \longrightarrow N_A,\quad f \longmapsto f(1)\] 。因此，\(R\Hom(B,-)\) 是限制函子，并得到 \[\Hom_{D(A, \text{d})}(M, N_A) = \Hom_{D(B, \text{d})}(M \otimes^\mathbf{L}_A B, N)\] ；它对 \(M\) 与 \(N\) 双函子地成立，正如交换环的情形。最后注意，限制也是张量函子，因为 \(N_A = N \otimes_B {}_BB_A = N \otimes_B^\mathbf{L} {}_BB_A\)，其中 \({}_BB_A\) 表示把 \(B\) 看作微分分次 \((B,A)\)-双模。

引理

沿用引理 09LT 的记号与假设。假设

\(N\) 在 \(D(B,\text{d})\) 中定义一个紧对象；

对每个 \(k\in\mathbf{Z}\)，映射 \(H^k(A) \to \Hom_{D(B, \text{d})}(N, N[k])\) 都是同构。

则函子 \(-\otimes_A^\mathbf{L}N\) 是全忠实的。

证明

由引理 09LT，我们的函子有由 \(R\Hom(N,-)\) 给出的左伴随。由《范畴》引理 07RB，只需证明：对任意微分分次 \(A\)-模 \(M\)，映射 \[M \longrightarrow R\Hom(N, M \otimes_A^\mathbf{L} N)\] 在 \(D(A,\text{d})\) 中是同构。为此，只需证明 \[H^n(M) \longrightarrow \text{Ext}^n_{D(B, \text{d})}(N, M \otimes_A^\mathbf{L} N)\] 是同构，见引理 0CS5。由于 \(N\) 是紧对象，右端与直和交换。因此由评注 0FQE，只需在 \(M=A[k]\) 时证明此映射为同构。由评注 0FQN， \((A[k]\otimes_A^\mathbf{L}N)=N[k]\)；而对 \(N\) 的假设 (2) 正是说结论在这些情形下成立。

引理

设 \(R\to R'\) 是环映射，\((A,\text{d})\) 是微分分次 \(R\)-代数，而 \((A',\text{d})\) 是其基变换，即 \(A'=A\otimes_RR'\)。若 \(A\) 作为 \(R\)-模复形是 K-平坦的，则

\(- \otimes_A^\mathbf{L} A' : D(A, \text{d}) \to D(A', \text{d})\) 等于函子 \[K(A, \text{d}) \longrightarrow K(A', \text{d}),\quad M \longmapsto M \otimes_R R'\] 的右导出函子；

图表 \[\xymatrix{ D(A, \text{d}) \ar[r]_{- \otimes_A^\mathbf{L} A'} \ar[d]_{\text{限制}} & D(A', \text{d}) \ar[d]^{\text{限制}} \\ D(R) \ar[r]^{- \otimes_R^\mathbf{L} R'} & D(R') }\] 交换；

若 \(M\) 作为 \(R\)-模复形是 K-平坦的，则微分分次 \(A'\)-模 \(M\otimes_RR'\) 表示 \(M\otimes_A^\mathbf{L}A'\)。

证明

对任意微分分次 \(A\)-模 \(M\)，都有典范映射 \[c_M : M \otimes_R R' \longrightarrow M \otimes_A A'\] 。设 \(P\) 是具有性质 (P) 的微分分次 \(A\)-模。我们断言 \(c_P\) 是同构，并且 \(P\) 作为 \(R\)-模复形是 K-平坦的。利用引理 09LS 和《代数进阶》第 06XY 节中导出张量积的定义，这将通过形式论证证明引理所述全部结论。

设 \(F_\bullet\) 是表明 \(P\) 具有性质 (P) 的滤过。注意 \(c_A\) 是同构，且依假设 \(A\) 作为 \(R\)-模复形是 K-平坦的。因此，对 \(A\) 的平移的直和同样成立（处理直和时也可使用《代数进阶》引理 06Y3）。于是，这对复形 \(F_{p+1}P/F_pP\) 成立。由于短正合列 \[0 \to F_pP \to F_{p + 1}P \to F_{p + 1}P/F_pP \to 0\] 作为分次模列是分裂正合的，可归纳得出：对每个 \(p\)，\(c_{F_pP}\) 都是同构，且 \(F_pP\) 作为 \(R\)-模复形是 K-平坦的（使用《代数进阶》引理 06Y2）。最后，由 \(P=\colim F_pP\) 可知 \(c_P\) 是同构，且 \(P\) 作为 \(R\)-模复形是 K-平坦的（使用《代数进阶》引理 06Y3）。

引理

设 \(R\) 是环，\((A,\text{d})\) 与 \((B,\text{d})\) 是微分分次 \(R\)-代数，\(T\) 是微分分次 \((A,B)\)-双模。假设

\(T\) 在 \(D(B,\text{d})\) 中定义一个紧对象；

\(S = \Hom_{\text{Mod}^{dg}_{(B, \text{d})}}(T, B)\) 在 \(D(A,\text{d})\) 中表示 \(R\Hom(T,B)\)。

则 \(S\) 具有微分分次 \((B,A)\)-双模结构，并有同构 \[N \otimes_B^\mathbf{L} S \longrightarrow R\Hom(T, N)\] ，它关于 \(D(B,\text{d})\) 中的 \(N\) 是函子的。

证明

记 \(\mathcal{B}=\text{Mod}^{dg}_{(B,\text{d})}\)。\(S\) 上的右 \(A\)-模结构来自映射 \(A\to\Hom_\mathcal{B}(T,T)\) 以及例 09LC 中定义的复合 \(\Hom_\mathcal{B}(T, B) \otimes \Hom_\mathcal{B}(T, T) \to \Hom_\mathcal{B}(T, B)\)。再次使用这一乘法，可得映射 \[c_N : N \otimes_B S = \Hom_\mathcal{B}(B, N) \otimes_B \Hom_\mathcal{B}(T, B) \longrightarrow \Hom_\mathcal{B}(T, N)\] ，它关于 \(N\) 是函子的。给定 \(N\)，可选取拟同构 \(P\to N\to I\)，其中 \(P\)（相应地 \(I\)）是具有性质 (P)（相应地 (I)）的微分分次 \(B\)-模。于是利用 \(c_N\)，在分别表示 \(S\otimes_B^\mathbf{L}N\) 与 \(R\Hom(T,N)\) 的对象之间得到映射 \(P\otimes_BS\to\Hom_\mathcal{B}(T,I)\)。显然，这定义了引理所述的函子变换 \(c\)。

为证明 \(c\) 是函子同构，可假设 \(N\) 是具有性质 (P) 的微分分次 \(B\)-模。由于 \(T\) 在 \(D(B,\text{d})\) 中定义紧对象，且箭头两端都定义三角范畴的正合函子，利用引理 09KL，可约化到 \(N\) 具有有限滤过、其分次片是若干 \(B[k]\) 的直和的情形。再次利用箭头两端都是三角范畴的正合函子以及 \(T\) 的紧性，可进一步约化到 \(N=B[k]\) 的情形。假设 (2) 恰好断言此时 \(c\) 是同构。

导出张量积的复合

我们建议读者略过本节。

设 \(R\) 是环，\((A,\text{d})\)、\((B,\text{d})\) 和 \((C,\text{d})\) 是微分分次 \(R\)-代数。设 \(N\) 是微分分次 \((A,B)\)-双模，\(N'\) 是微分分次 \((B,C)\)-模。以 \(N_B\) 表示把双模 \(N\) 看作微分分次 \(B\)-模（忘掉 \(A\)-结构）所得的模。存在典范映射 [0BZ2]\[\begin{equation} N_B \otimes_B^\mathbf{L} N' \longrightarrow (N \otimes_B N')_C \end{equation}\] 于 \(D(C,\text{d})\) 中。这里，\((N\otimes_BN')_C\) 表示把 \((A,C)\)-双模 \(N\otimes_BN'\) 看作微分分次 \(C\)-模所得的模。事实上，此映射来自如下事实：导出张量积总有到普通张量积的映射（因为它是左导出函子）。

引理

设 \(R\) 是环，\((A,\text{d})\)、\((B,\text{d})\) 和 \((C,\text{d})\) 是微分分次 \(R\)-代数。设 \(N\) 是微分分次 \((A,B)\)-双模，\(N'\) 是微分分次 \((B,C)\)-模。假设 (0BZ2) 是同构。则复合 \[\xymatrix{ D(A, \text{d}) \ar[rr]^{- \otimes_A^\mathbf{L} N} & & D(B, \text{d}) \ar[rr]^{- \otimes_B^\mathbf{L} N'} & & D(C, \text{d}) }\] 同构于 \(-\otimes_A^\mathbf{L}N''\)，其中 \(N''=N\otimes_BN'\) 被看作 \((A,C)\)-双模。

证明

我们定义函子变换 \[(- \otimes_A^\mathbf{L} N) \otimes_B^\mathbf{L} N' \longrightarrow - \otimes_A^\mathbf{L} N''\] 。为此，设 \(M\) 是具有性质 (P) 的微分分次 \(A\)-模。按照引理 09LS 的证明中函子 \(-\otimes_A^\mathbf{L}N''\) 的构造，普通张量积 \(M\otimes_AN''\) 在 \(D(C,\text{d})\) 中表示 \(M\otimes_A^\mathbf{L}N''\)。于是可写成 \[M \otimes_A N'' = M \otimes_A (N \otimes_B N') = (M \otimes_A N) \otimes_B N'\] 。模 \(M\otimes_AN\) 在 \(D(B,\text{d})\) 中表示 \(M\otimes_A^\mathbf{L}N\)。选取拟同构 \(Q\to M\otimes_AN\)，其中 \(Q\) 是具有性质 (P) 的微分分次 \(B\)-模。则 \(Q\otimes_BN'\) 在 \(D(C,\text{d})\) 中表示 \((M\otimes_A^\mathbf{L}N)\otimes_B^\mathbf{L}N'\)。因此，可由下式定义所需映射： \[(M \otimes_A^\mathbf{L} N) \otimes_B^\mathbf{L} N' = Q \otimes_B N' \to M \otimes_A N \otimes_B N' = M \otimes_A^\mathbf{L} N''\] 。此映射的构造关于 \(M\) 是函子的，并与有区别三角及直和相容；细节从略。考虑 \(D(A,\text{d})\) 的对象 \(M\) 的性质 \(T\)，其含义是此映射为同构。则

若每个 \(M_i\) 都满足 \(T\)，则 \(\bigoplus M_i\) 满足 \(T\)；

对一个有区别三角，若三个对象中的两个满足 \(T\)，则第三个也满足；

\(A[k]\) 满足 \(T\)，因为此时所得映射是 (0BZ2) 的一个平移，而我们已经假设后者是同构。

因此由评注 0FQE，性质 \(T\) 恒成立，证明完毕。

设 \(R\) 是环，\((A,\text{d})\)、\((B,\text{d})\) 和 \((C,\text{d})\) 是微分分次 \(R\)-代数。暂以 \((A\otimes_RB)_B\) 表示把微分分次代数 \(A\otimes_RB\) 看作（右）微分分次 \(B\)-模所得的模；以 \({}_B(B\otimes_RC)_C\) 表示把微分分次代数 \(B\otimes_RC\) 看作微分分次 \((B,C)\)-双模所得的双模。于是存在典范映射 [0BZ4]\[\begin{equation} (A \otimes_R B)_B \otimes_B^\mathbf{L} {}_B(B \otimes_R C)_C \longrightarrow (A \otimes_R B \otimes_R C)_C \end{equation}\] 于 \(D(C,\text{d})\) 中，其中 \((A\otimes_RB\otimes_RC)_C\) 表示把微分分次 \(R\)-代数 \(A\otimes_RB\otimes_RC\) 看作（右）微分分次 \(C\)-模所得的模。事实上，此映射来自等同 \[(A \otimes_R B)_B \otimes_B {}_B(B \otimes_R C)_C = (A \otimes_R B \otimes_R C)_C\] 以及导出张量积总有到普通张量积的映射这一事实（因为它是左导出函子）。

引理

设 \(R\) 是环，\((A,\text{d})\)、\((B,\text{d})\) 和 \((C,\text{d})\) 是微分分次 \(R\)-代数。假设 (0BZ4) 是同构。设 \(N\) 是微分分次 \((A,B)\)-双模，\(N'\) 是微分分次 \((B,C)\)-双模。则复合 \[\xymatrix{ D(A, \text{d}) \ar[rr]^{- \otimes_A^\mathbf{L} N} & & D(B, \text{d}) \ar[rr]^{- \otimes_B^\mathbf{L} N'} & & D(C, \text{d}) }\] 同构于 \(-\otimes_A^\mathbf{L}N''\)，其中微分分次 \((A,C)\)-双模 \(N''\) 将在证明中描述。

证明

由引理 09S3，可把 \(N\) 与 \(N'\) 替换为与之拟同构的双模。因此可假设 \(N\)（相应地 \(N'\)）作为微分分次 \((A,B)\)-双模（相应地 \((B,C)\)-双模）具有性质 (P)，见引理 0FQK。我们断言，对 \((A,C)\)-双模 \(N''=N\otimes_BN'\)，引理成立。为证明这一点，只需证明 \[N_B \otimes_B^\mathbf{L} N' \longrightarrow (N \otimes_B N')_C\] 在 \(D(C,\text{d})\) 中是同构，见引理 0BZ3。

设 \(F_\bullet\) 是双模性质 (P) 中 \(N\) 上的滤过。由引理 0FQL，存在微分分次 \((A,B)\)-双模的短正合列 \[0 \to \bigoplus\nolimits F_iN \to \bigoplus\nolimits F_iN \to N \to 0\] ，它作为分次 \((A,B)\)-双模列是分裂的。因而它更是微分分次 \(B\)-模的容许短正合列，并给出 \(D(B,\text{d})\) 中的有区别三角 \[\bigoplus\nolimits F_iN_B \to \bigoplus\nolimits F_iN_B \to N_B \to \bigoplus\nolimits F_iN_B[1]\] 。利用 \(-\otimes_B^\mathbf{L}N'\) 是三角范畴的正合函子且与直和交换，并利用 \(-\otimes_BN'\) 把容许正合列变为容许正合列且与直和交换，可将问题约化为证明：对每个 \(p\)， \[(F_pN)_B \otimes_B^\mathbf{L} N' \longrightarrow (F_pN)_B \otimes_B N'\] 都是拟同构。对 \((A,B)\)-双模的短正合列 \[0 \to F_pN \to F_{p + 1}N \to F_{p + 1}N/F_pN \to 0\] 重复此论证；这些列作为分次 \((A,B)\)-双模列是分裂的，故可约化为对 \(F_{p+1}N/F_pN\) 证明同一断言。由于这些模是 \((A\otimes_RB)_B\) 的平移的直和，又可约化为证明 \[(A \otimes_R B)_B \otimes_B^\mathbf{L} N' \longrightarrow (A \otimes_R B)_B \otimes_B N'\] 是拟同构。

选取双模性质 (P) 中 \(N'\) 上的滤过 \(F_\bullet\)。选取微分分次 \(B\)-模的拟同构 \(P\to(A\otimes_RB)_B\)，其中 \(P\) 具有性质 (P)。由引理 09LS 中的构造，\(P\otimes_BN'\) 在 \(D(C,\text{d})\) 中表示 \((A\otimes_RB)_B\otimes_B^\mathbf{L}N'\)；因此我们必须证明 \(P\otimes_BN'\to(A\otimes_RB)_B\otimes_BN'\) 是拟同构。由于 \(N'=\colim F_pN'\)，只需证明 \(P\otimes_BF_pN'\to(A\otimes_RB)_B\otimes_BF_pN'\) 是拟同构。利用短正合列 \(0 \to F_pN' \to F_{p + 1}N' \to F_{p + 1}N'/F_pN' \to 0\) 作为分次 \((B,C)\)-双模列是分裂的，可约化为证明：对每个 \(p\)， \(P \otimes_B F_{p + 1}N'/F_pN' \to (A \otimes_R B)_B \otimes_B F_{p + 1}N'/F_pN'\) 是拟同构。最后，利用 \(F_{p+1}N'/F_pN'\) 是 \({}_B(B\otimes_RC)_C\) 的平移的直和，可知只需证明 \[P \otimes_B {}_B(B \otimes_R C)_C \to (A \otimes_R B)_B \otimes_B {}_B(B \otimes_R C)_C\] 是拟同构。由于 \(P\to(A\otimes_RB)_B\) 是由满足性质 (P) 的模给出的分辨，此微分分次 \(C\)-模映射在 \(D(C,\text{d})\) 中表示态射 (0BZ4)，证明完毕。

引理

设 \(R\) 是环，\((A,\text{d})\)、\((B,\text{d})\) 和 \((C,\text{d})\) 是微分分次 \(R\)-代数。若 \(C\) 作为 \(R\)-模复形是 K-平坦的，则 (0BZ4) 是同构，并且引理 0BZ5 的结论成立。

证明

选取微分分次 \(B\)-模的拟同构 \(P\to(A\otimes_RB)_B\)，其中 \(P\) 具有性质 (P)。于是只需证明 \[P \otimes_B (B \otimes_R C) \longrightarrow (A \otimes_R B) \otimes_B (B \otimes_R C)\] 是拟同构。等价地，我们考察 \[P \otimes_R C \longrightarrow A \otimes_R B \otimes_R C\] 。若 \(C\) 作为 \(R\)-模复形是 K-平坦的，则由《代数进阶》引理 06Y0，这是拟同构。

导出张量积的一种变体

设 \((\mathcal{C},\mathcal{O})\) 是环化位点。于是有函子 \[\text{Comp}(\mathcal{O}) \to K(\mathcal{O}) \to D(\mathcal{O})\] ；如上所见，还有微分分次增强 \(\text{Comp}^{dg}(\mathcal{O})\)。具体地说，这是例 09L9 中与阿贝尔范畴 \(\textit{Mod}(\mathcal{O})\) 相关联的微分分次范畴。设 \(K^\bullet\) 是 \(\mathcal{O}\)-模复形，换言之，是 \(\text{Comp}^{dg}(\mathcal{O})\) 的对象。令 \[(E, \text{d}) = \Hom_{\text{Comp}^{dg}(\mathcal{O})}(K^\bullet, K^\bullet)\] 。这是微分分次 \(\mathbf{Z}\)-代数。我们断言，在这种情形下有导出基变换的类似物。

引理

在上述情形下，存在微分分次范畴的函子 \[- \otimes_E K^\bullet : \text{Mod}^{dg}_{(E, \text{d})} \longrightarrow \text{Comp}^{dg}(\mathcal{O})\] 。此函子把 \(E\) 映到 \(K^\bullet\)，并与直和交换。

证明

设 \(M\) 是微分分次 \(E\)-模。对 \(\mathcal{C}\) 的每个对象 \(U\)，复形 \(K^\bullet(U)\) 既是左微分分次 \(E\)-模，也是右 \(\mathcal{O}(U)\)-模。两个作用交换，故得到一个双模。因此，由第 09LL 节与第 0FQG 节中的构造，可以形成张量积 \[M \otimes_E K^\bullet(U)\] ；它是微分分次 \(\mathcal{O}(U)\)-模，即 \(\mathcal{O}(U)\)-模复形。此构造关于 \(U\) 是函子的，故可层化而得到 \(\mathcal{O}\)-模复形，记为 \[M \otimes_E K^\bullet\] 。此外，对每个 \(U\)，由引理 09LM，此构造确定微分分次范畴的函子 \(\text{Mod}^{dg}_{(E, \text{d})} \to \text{Comp}^{dg}(\mathcal{O}(U))\) 。因此，显然得到引理所述函子。

引理

引理 09LV 的函子定义三角范畴的正合函子 \(K(\text{Mod}_{(E, \text{d})}) \to K(\mathcal{O})\).

证明

由引理 09L8，该函子诱导同伦范畴之间的函子。我们必须证明 \(-\otimes_EK^\bullet\) 把有区别三角变为有区别三角。设 \(0\to K\to L\to M\to0\) 是微分分次 \(E\)-模的容许短正合列。设 \(s:M\to L\) 是分次 \(E\)-模同态，并且是 \(L\to M\) 的左逆。则 \(s\) 定义分次 \(\mathcal{O}\)-模的映射 \(M\otimes_EK^\bullet\to L\otimes_EK^\bullet\) （即保持 \(\mathcal{O}\)-模结构与分次，但不保持微分），它是 \(L\otimes_EK^\bullet\to M\otimes_EK^\bullet\) 的左逆。因此 \[0 \to K \otimes_E K^\bullet \to L \otimes_E K^\bullet \to M \otimes_E K^\bullet \to 0\] 是逐项分裂的复形短正合列，也就是说，它在 \(K(\mathcal{O})\) 中定义一个有区别三角。

引理

引理 09LW 的函子 \(K(\text{Mod}_{(E, \text{d})})\to K(\mathcal{O})\) 有定义在整个 \(D(E,\text{d})\) 上的左导出版本，记为 \(- \otimes_E^\mathbf{L} K^\bullet : D(E, \text{d}) \to D(\mathcal{O})\).

证明

使用《导出范畴》引理 06XN 来证明。取具有性质 (P) 的对象为对象族 \(\mathcal{P}\)。性质 (1) 已在引理 09KP 中证明。性质 (2) 成立，因为若 \(s:P\to P'\) 是具有性质 (P) 的模之间的拟同构，则由引理 09KY，\(s\) 是同伦等价。

引理

设 \(R\) 是环，\(\mathcal{C}\) 是位点，\(\mathcal{O}\) 是交换 \(R\)-代数层，\(K^\bullet\) 是 \(\mathcal{O}\)-模复形。引理 09LX 的函子具有如下性质：对 \(D(E,\text{d})\) 中的任意 \(M,N\)，在 \(D(R)\) 中有典范映射 \[R\Hom(M, N) \longrightarrow R\Hom_\mathcal{O}(M \otimes_E^\mathbf{L} K^\bullet, N \otimes_E^\mathbf{L} K^\bullet)\] ；它在上同调模上给出由函子 \(-\otimes_E^\mathbf{L}K^\bullet\) 诱导的映射 \[\Ext^n_{D(E, \text{d})}(M, N) \to \Ext^n_{D(\mathcal{O})} (M \otimes_E^\mathbf{L} K^\bullet, N \otimes_E^\mathbf{L} K^\bullet)\] 。

证明

箭头右端是《位点上的上同调》第 0B6E 节引入的全局导出 Hom，它具有正确的上同调模。对左端，把 \(M\) 看作 \((R,A)\)-双模，并使用第 09LF 节引入的导出 \(\Hom\)；它也具有正确的上同调模。为证明引理，可假设 \(M,N\) 都是具有性质 (P) 的微分分次 \(E\)-模；由引理 0BYV，这不改变箭头左端。由引理 0BYW，箭头左端于是变为 \(\Hom_{\text{Mod}^{dg}_{(B, \text{d})}}(M, N)\). 在引理 09LV、 09LW 与 09LX 中，我们已经构造微分分次范畴的函子 \[- \otimes_E K^\bullet : \text{Mod}^{dg}_{(E, \text{d})} \longrightarrow \text{Comp}^{dg}(\mathcal{O})\] ，并已证明，在具有性质 (P) 的微分分次 \(E\)-模上取此函子的值即可计算 \(-\otimes_E^\mathbf{L}K^\bullet\)。因此得到 \(R\)-模复形的映射 \[\Hom_{\text{Mod}^{dg}_{(B, \text{d})}}(M, N) \longrightarrow \Hom_{\text{Comp}^{dg}(\mathcal{O})} (M \otimes_E K^\bullet, N \otimes_E K^\bullet)\] 。对任意 \(\mathcal{O}\)-模复形 \(\mathcal{F}^\bullet\)、 \(\mathcal{G}^\bullet\)，存在典范映射 \[\Hom_{\text{Comp}^{dg}(\mathcal{O})} (\mathcal{F}^\bullet, \mathcal{G}^\bullet) = \Gamma(\mathcal{C}, \SheafHom^\bullet(\mathcal{F}^\bullet, \mathcal{G}^\bullet)) \longrightarrow R\Hom_\mathcal{O}(\mathcal{F}^\bullet, \mathcal{G}^\bullet).\] 合并这些映射，即得引理所需映射。

引理

设 \((\mathcal{C},\mathcal{O})\) 是环化位点，\(K^\bullet\) 是 \(\mathcal{O}\)-模复形。则引理 09LX 的函子 \[- \otimes_E^\mathbf{L} K^\bullet : D(E, \text{d}) \longrightarrow D(\mathcal{O})\] 是引理 09LK 的函子 \[R\Hom(K^\bullet, -) : D(\mathcal{O}) \longrightarrow D(E, \text{d})\] 的左伴随。

证明

此断言的含义是，存在关于 \(M\) 与 \(L^\bullet\) 双函子的等式 \[\Hom_{D(E, \text{d})}(M, R\Hom(K^\bullet, L^\bullet)) = \Hom_{D(\mathcal{O})}(M \otimes^\mathbf{L}_E K^\bullet, L^\bullet)\] 。为说明这一点，可把 \(M\) 替换为具有性质 (P) 的微分分次 \(E\)-模 \(P\)，也可把 \(L^\bullet\) 替换为 K-内射的 \(\mathcal{O}\)-模复形 \(I^\bullet\)。结合引理 09KY 与陈述中所引诸引理给出的导出函子计算，上式化为 \[\Hom_{K(\text{Mod}_{(E, \text{d})})} (P, \Hom_\mathcal{B}(K^\bullet, I^\bullet)) = \Hom_{K(\mathcal{O})}(P \otimes_E K^\bullet, I^\bullet)\] ，其中 \(\mathcal{B}=\text{Comp}^{dg}(\mathcal{O})\)。存在从右端到左端、关于 \(P\) 与 \(I^\bullet\) 函子的求值映射（细节从略）。选取性质 (P) 定义中 \(P\) 上的滤过 \(F_\bullet\)。由引理 09KL，并利用等式两端在 \(K(\text{Mod}_{(E,\text{d})})\) 上都是关于 \(P\) 的同调函子，可约化到把 \(P\) 换成微分分次 \(E\)-模 \(\bigoplus F_iP\) 的情形。由于两端都把变量 \(P\) 中的直和变为直积，可再约化到 \(P\) 是某个微分分次 \(E\)-模 \(F_iP\) 的情形。每个 \(F_iP\) 都有由容许单态射给出的有限滤过，其分次片是分次投射 \(E\)-模，故可约化到 \(P\) 是分次投射 \(E\)-模的情形。此时显然有 \[\Hom_{\text{Mod}^{dg}_{(E, \text{d})}} (P, \Hom_\mathcal{B}(K^\bullet, I^\bullet)) = \Hom_{\text{Comp}^{dg}(\mathcal{O})}(P \otimes_E K^\bullet, I^\bullet)\] 作为分次 \(\mathbf{Z}\)-模的等式（因为此断言可约化到 \(P=E[k]\) 这一显然的情形）。该同构与微分相容，故得结论。

引理

设 \((\mathcal{C},\mathcal{O})\) 是环化位点，\(K^\bullet\) 是 \(\mathcal{O}\)-模复形。假设

\(K^\bullet\) 表示 \(D(\mathcal{O})\) 的一个紧对象；

\(E = \Hom_{\text{Comp}^{dg}(\mathcal{O})}(K^\bullet, K^\bullet)\) 计算 \(K^\bullet\) 在 \(D(\mathcal{O})\) 中的 Ext 群。

则引理 09LX 的函子 \[- \otimes_E^\mathbf{L} K^\bullet : D(E, \text{d}) \longrightarrow D(\mathcal{O})\] 是全忠实的。

证明

由引理 09LY，我们的函子有由 \(R\Hom(K^\bullet,-)\) 给出的左伴随。因此只需证明：对微分分次 \(E\)-模 \(M\)，映射 \[H^0(M) \longrightarrow \Hom_{D(\mathcal{O})}(K^\bullet, M \otimes_E^\mathbf{L} K^\bullet)\] 是同构。可假设 \(M=P\) 是具有性质 (P) 的微分分次 \(E\)-模。由于 \(K^\bullet\) 定义紧对象，利用引理 09KL，可约化到 \(P\) 具有有限滤过且其分次片是若干 \(E[k]\) 的直和的情形。再次利用紧性，可约化到 \(P=E[k]\) 的情形。对 \(K^\bullet\) 的假设正是说结论在这些情形下成立。

紧对象的刻画

加性范畴的紧对象定义于《导出范畴》定义 07LS。本节刻画微分分次代数的导出范畴中的紧对象。

注

设 \((A,\text{d})\) 是微分分次代数。能否刻画满足下列条件的微分分次 \(A\)-模 \(P\)：对每个微分分次 \(A\)-模 \(M\)，都有 \[\Hom_{K(A, \text{d})}(P, M) = \Hom_{D(A, \text{d})}(P, M)\] ？设 \(\mathcal{D}\subset K(A,\text{d})\) 是以满足上述条件的对象 \(P\) 为对象的满子范畴。则 \(\mathcal{D}\) 是 \(K(A,\text{d})\) 的严格满饱和三角子范畴。若 \(P\) 作为分次 \(A\)-模是投射的，则要判定 \(P\) 是否为 \(\mathcal{D}\) 的对象，只需检验：每当 \(M\) 非循环时， \(\Hom_{K(A,\text{d})}(P,M)=0\)。然而，一般来说，仅假设 \(P\) 作为分次 \(A\)-模是投射的还不够。例如，取 \(A=R=k[\epsilon]\)，其中 \(k\) 是域，\(k[\epsilon]=k[x]/(x^2)\) 是对偶数环。令 \(P\) 为如下对象：对每个 \(n\in\mathbf{Z}\) 都有 \(P^n=R\)，且微分由乘以 \(\epsilon\) 给出。于是 \(\text{id}_P\in\Hom_{K(A,\text{d})}(P,P)\) 是非零元素，但 \(P\) 非循环。

注

设 \((A,\text{d})\) 是微分分次代数。若微分分次 \(A\)-模 \(M\) 作为右 \(A\)-模由有限多个元素生成，就称 \(M\) 是有限的。若微分分次 \(A\)-模 \(P\) 是有限分次投射的，可以问：\(P\) 是否给出 \(D(A,\text{d})\) 的紧对象？推测一般并非如此，但我们不知道反例。然而，若 \(P\) 还是评注 09R0 的范畴 \(\mathcal{D}\) 的对象，则答案是肯定的（这来自如下事实： \(D(A,\text{d})\) 中的直和由模的直和给出；细节从略）。

引理

设 \((A,\text{d})\) 是微分分次代数，\(E\) 是 \(D(A,\text{d})\) 的紧对象。设 \(P\) 是微分分次 \(A\)-模，它具有有限滤过 \[0 = F_{-1}P \subset F_0P \subset F_1P \subset \ldots \subset F_nP = P\] ，其各项为微分分次子模，并且对某些集合 \(J_i\) 与整数 \(k_{i,j}\) 有 \[F_{i + 1}P/F_iP \cong \bigoplus\nolimits_{j \in J_i} A[k_{i, j}]\] 作为微分分次 \(A\)-模的同构。设 \(E\to P\) 是 \(D(A,\text{d})\) 的态射。则存在微分分次子模 \(P'\subset P\)，使得对某些有限子集 \(J'_i\subset J_i\)，\(F_{i+1}P\cap P'/(F_iP\cap P')\) 等于 \(\bigoplus_{j\in J'_i}A[k_{i,j}]\)，并且 \(E\to P\) 通过 \(P'\) 分解。

证明

我们对 \(-1\leq m\leq n\) 向下归纳，证明存在微分分次子模 \(P'\subset P\) 使得

\(F_mP\subset P'\)；

对 \(i\geq m\)，商 \(F_{i+1}P\cap P'/(F_iP\cap P')\) 同构于 \(\bigoplus_{j\in J'_i}A[k_{i,j}]\)，其中 \(J'_i\subset J_i\) 为有限子集；

\(E\to P\) 通过 \(P'\) 分解。

初始情形是 \(m=n\)，此时可取 \(P'=P\)。

归纳步骤。假设 \(P'\) 对 \(m\) 有效。对 \(i\geq m\) 与 \(j\in J'_i\)，取次数为 \(k_{i,j}\) 的齐次元素 \(x_{i,j}\in F_{i+1}P\cap P'\)，使其在 \(F_{i+1}P\cap P'/(F_iP\cap P')\) 中的像是对应于 \(j\in J_i\) 的直和项的生成元。诸 \(x_{i,j}\) 作为 \(A\)-模生成 \(P'/F_mP\)。写成 \[\text{d}(x_{i, j}) = \sum x_{i', j'} a_{i, j}^{i', j'} + y_{i, j}\] ，其中 \(y_{i,j}\in F_mP\) 且 \(a_{i,j}^{i',j'}\in A\)。存在有限子集 \(J'_{m-1}\subset J_{m-1}\)，使每个 \(y_{i,j}\) 都映到 \(F_mP/F_{m-1}P\) 的子模 \(\bigoplus_{j\in J'_{m-1}}A[k_{m-1,j}]\) 中。令 \(P''\subset F_mP\) 为该子模在映射 \(F_mP\to F_mP/F_{m-1}P\) 下的逆像。于是可见 \(A\)-子模 \[P'' + \sum x_{i, j}A\] 是所求类型的微分分次子模。此外， \[P'/(P'' + \sum x_{i, j}A) = \bigoplus\nolimits_{j \in J_{m - 1} \setminus J'_{m - 1}} A[k_{m - 1, j}]\] 。由于 \(E\) 是紧的，给定映射 \(E\to P'\) 与商映射的复合通过上面所示模的一个有限直和子项分解。因此，扩大 \(J'_{m-1}\) 后，可假设 \(E\to P'\) 通过 \(P''+\sum x_{i,j}A\) 分解，正合所需。

并非 \(D(A,\text{d})\) 的每个紧对象都来自有限分次投射的微分分次 \(A\)-模；见《例》第 09R4 节。

命题

设 \((A,\text{d})\) 是微分分次代数，\(E\) 是 \(D(A,\text{d})\) 的对象。则下列条件等价：

\(E\) 是紧对象；

\(E\) 是 \(D(A,\text{d})\) 的某个对象的直和项，该对象由微分分次模 \(P\) 表示；\(P\) 有由微分分次子模组成的有限滤过 \(F_\bullet\)，并且 \(F_iP/F_{i-1}P\) 是 \(A\) 的平移的有限直和。

证明

假设 \(E\) 是紧的。由引理 09KP，可假设 \(E\) 由具有性质 (P) 的微分分次 \(A\)-模 \(P\) 表示。考虑由引理 09KL 的容许短正合列给出的有区别三角 \[\bigoplus F_iP \to \bigoplus F_iP \to P \xrightarrow{\delta} \bigoplus F_iP[1]\] 。由于 \(E\) 是紧的，对某些态射 \(\delta_i:P\to F_iP[1]\)，有 \(\delta = \sum_{i = 1, \ldots, n} \delta_i\) 。\(\delta\) 与映射 \(\bigoplus F_iP[1]\to\bigoplus F_iP[1]\) 的复合为零（《导出范畴》引理 0146），故 \(\delta=0\)（这是因为 \(\bigoplus F_iP\to\bigoplus F_iP\) 在直和项 \(F_iP\) 上是恒等映射与到 \(F_{i-1}P\) 的包含映射之差）。因此，由《导出范畴》引理 05QT，\(E\) 上的恒等映射在 \(D(A,\text{d})\) 中通过 \(\bigoplus F_iP\) 分解。再次利用 \(P\) 的紧性，可知映射 \(E\to\bigoplus F_iP\) 对某个 \(n\) 通过 \(\bigoplus_{i=1,\ldots,n}F_iP\) 分解。换言之，\(E\) 上的恒等映射通过 \(\bigoplus_{i=1,\ldots,n}F_iP\) 分解。由引理 09R2，\(E\) 的恒等映射可分解为 \(E\to P\to E\)，其中 \(P\) 如引理陈述的第 (2) 项所述。于是已经证明 (1) 蕴含 (2)。

假设 (2)。由《导出范畴》引理 09QH，只需证明 \(P\) 给出紧对象。注意 \(P\) 具有性质 (P)，故由引理 09KY，对任意微分分次模 \(M\) 都有 \[\Hom_{D(A, \text{d})}(P, M) = \Hom_{K(A, \text{d})}(P, M)\] 。由于 \(D(A,\text{d})\) 中的直和由分次模的直和给出（引理 09QI），问题约化为证明 \(\Hom_{K(A,\text{d})}(P,M)\) 与直和交换。利用 \(K(A,\text{d})\) 是三角范畴、\(\Hom\) 在第一变量中是上同调函子以及 \(P\) 上的滤过，可约化到 \(P\) 是 \(A\) 的平移的有限直和的情形，进而约化到显然的情形 \(P=A[k]\)。

引理

设 \((A,\text{d})\) 是微分分次代数。对 \(D(A,\text{d})\) 的每个紧对象 \(E\)，存在整数 \(a\leq b\)，使得只要对 \(i\in[a,b]\) 有 \(H^i(M)=0\)，就有 \(\Hom_{D(A,\text{d})}(E,M)=0\)。

证明

注意，\(D(A,\text{d})\) 中存在这样一对整数的对象所成的子范畴，是 \(D(A,\text{d})\) 的饱和严格满三角子范畴。因此由命题 09R3，只需在 \(E\) 由如下微分分次模 \(P\) 表示时证明： \(P\) 有由微分分次子模组成的有限滤过 \(F_\bullet\)，且 \(F_iP/F_{i-1}P\) 是 \(A\) 的平移的有限直和。利用与三角的相容性，只需对 \(P=A\) 证明。此时 \(\Hom_{D(A,\text{d})}(A,M)=H^0(M)\)，并且取 \(a=b=0\) 即得结论。

若 \((A,\text{d})\) 只是置于次数 \(0\) 且微分为零的代数，或者更一般地，只分布于有限多个次数，则确实可以得到对紧对象更精确的描述。

引理

设 \((A,\text{d})\) 是微分分次代数，并假设当 \(|n|\gg0\) 时 \(A^n=0\)。设 \(E\) 是 \(D(A,\text{d})\) 的对象。下列条件等价：

\(E\) 是紧对象；

\(E\) 可由微分分次 \(A\)-模 \(P\) 表示，其中 \(P\) 作为分次 \(A\)-模是有限投射的，并且对每个微分分次 \(A\)-模 \(M\) 都满足 \(\Hom_{K(A, \text{d})}(P, M) = \Hom_{D(A, \text{d})}(P, M)\) 。

证明

设 \(\mathcal{D}\subset K(A,\text{d})\) 是评注 09R0 中讨论的三角子范畴。设 \(P\) 是 \(\mathcal{D}\) 的对象，并且作为分次 \(A\)-模是有限投射的。则由评注 09R1，\(P\) 表示 \(D(A,\text{d})\) 的紧对象。

为证明逆命题，设 \(E\) 是 \(D(A,\text{d})\) 的紧对象。固定引理 09RA 中的 \(a\leq b\)。必要时减小 \(a\) 并增大 \(b\)，还可假设当 \(i\notin[a,b]\) 时 \(H^i(E)=0\) （这由命题 09R3 及对 \(A\) 的假设得出）。此外，固定整数 \(c>0\)，使得当 \(|n|\geq c\) 时 \(A^n=0\)。

由命题 09R3，可见在 \(D(A,\text{d})\) 中，\(E\) 是某个微分分次 \(A\)-模 \(P\) 的直和项；\(P\) 有由微分分次子模组成的有限滤过 \(F_\bullet\)，且 \(F_iP/F_{i-1}P\) 是 \(A\) 的平移的有限直和。特别地，\(P\) 具有性质 (P)，并且由引理 09KY，对任意微分分次模 \(M\) 有 \(\Hom_{D(A, \text{d})}(P, M) = \Hom_{K(A, \text{d})}(P, M)\) 。换言之，\(P\) 是评注 09R0 中讨论的三角子范畴 \(\mathcal{D}\subset K(A,\text{d})\) 的对象。注意 \(P\) 作为分次 \(A\)-模是有限自由的。

选取 \(n>0\) 使 \(b+4c-n<a\)。以微分分次 \(A\)-模的自同态 \(\varphi:P\to P\) 表示到 \(E\) 上的投影算子。考虑 \(K(A,\text{d})\) 中的有区别三角 \[P \xrightarrow{1 - \varphi} P \to C \to P[1]\] ，其中 \(C\) 是第一个箭头的锥。则 \(C\) 是 \(\mathcal{D}\) 的对象，在 \(D(A,\text{d})\) 中有 \(C\cong E\oplus E[1]\)，并且 \(C\) 是有限分次自由 \(A\)-模。接着考虑 \(K(A,\text{d})\) 中的有区别三角 \[C[1] \to C \to C' \to C[2]\] ，其中 \(C'\) 是某个态射 \(C[1]\to C\) 的锥，而该态射表示 \(D(A,\text{d})\) 中的复合 \[C[1] \cong E[1] \oplus E[2] \to E[1] \to E \oplus E[1] \cong C\] 。于是可见 \(C'\) 表示 \(E\oplus E[2]\)。依此继续，可找到微分分次 \(A\)-模 \(P\)，它是 \(\mathcal{D}\) 的对象，作为分次 \(A\)-模是有限自由的，并表示 \(E\oplus E[n]\)。

选取 \(P\) 作为 \(A\)-模的齐次元素基 \(x_i\)（\(i\in I\)）。令 \(d_i=\deg(x_i)\)。令 \(P_1\) 为由满足 \(d_i\leq a-c-1\) 的 \(x_i\) 与 \(\text{d}(x_i)\) 生成的 \(P\) 的 \(A\)-子模；令 \(P_2\) 为由满足 \(d_i\geq b-n+c\) 的 \(x_i\) 与 \(\text{d}(x_i)\) 生成的 \(P\) 的 \(A\)-子模。注意

\(P_1\) 与 \(P_2\) 是 \(P\) 的微分分次子模；

当 \(t\geq a\) 时，\(P_1^t=0\)；

当 \(t\leq a-2c\) 时，\(P_1^t=P^t\)；

当 \(t\leq b-n\) 时，\(P_2^t=0\)；

当 \(t\geq b-n+2c\) 时，\(P_2^t=P^t\)。

由于按 \(n\) 的选取有 \(b-n+2c\geq a-2c\)，得到微分分次 \(A\)-模的短正合列 \[0 \to P_1 \cap P_2 \to P_1 \oplus P_2 \xrightarrow{\pi} P \to 0\] 。由于 \(P\) 作为分次 \(A\)-模是投射的，这是容许短正合列（引理 09K0）。因此在 \(K(A,\text{d})\) 中得到边界映射 \(\delta:P\to(P_1\cap P_2)[1]\)，见引理 09JU。由于 \(P=E\oplus E[n]\)，且 \(P_1\cap P_2\) 集中于次数 \((b-n,a)\)，可知 \(\Hom_{D(A,\text{d})}(E\oplus E[n],(P_1\cap P_2)[1])\) 为零。又因 \(P\) 是 \(\mathcal{D}\) 的对象，故 \(\delta\) 作为 \(K(A,\text{d})\) 中的态射为零。由《导出范畴》引理 05QT，可找到映射 \(s:P\to P_1\oplus P_2\)，使得 \(\pi \circ s = \text{id}_P + \text{d}h + h\text{d}\) ，其中 \(h:P\to P\) 的次数为 \(-1\)。由于 \(P_1\oplus P_2\to P\) 是满射，且 \(P\) 作为分次 \(A\)-模是投射的，可以选取 \(h\) 的齐次提升 \(\tilde h:P\to P_1\oplus P_2\)。把 \(s\) 改为 \(s+\text{d}\tilde h+\tilde h\text{d}\)，即可得到 \(\pi\circ s=\text{id}_P\)。这意味着得到直和分解 \(P=s^{-1}(P_1)\oplus s^{-1}(P_2)\)。由于 \(s^{-1}(P_2)\) 在次数 \(\geq b-n+2c\) 上等于 \(P\)，可见 \(s^{-1}(P_2)\to P\to E\) 是拟同构，即 \(D(A,\text{d})\) 中的同构。证明完毕。

导出范畴的等价

设 \(R\) 是环，\((A,\text{d})\) 与 \((B,\text{d})\) 是微分分次 \(R\)-代数。一个自然出现的问题是：\(D(A,\text{d})\) 与 \(D(B,\text{d})\) 作为 \(R\)-线性三角范畴等价意味着什么？这是相当微妙的问题，而且事实将表明，它并不总是正确的问题。尽管如此，本节仍汇集若干保证这种等价成立的条件。

我们强烈建议读者参阅关于此主题的开创性论文 [Rickard]。

引理

设 \(R\) 是环，\((A,\text{d})\to(B,\text{d})\) 是微分分次 \(R\)-代数的同态，并在上同调代数上诱导同构。则 \[- \otimes_A^\mathbf{L} B : D(A, \text{d}) \to D(B, \text{d})\] 给出三角范畴的 \(R\)-线性等价，其拟逆为限制函子 \(N\mapsto N_A\)。

证明

由引理 09R9，函子 \(M\mapsto M\otimes_A^\mathbf{L}B\) 是全忠实的。由引理 09LT，函子 \(N\mapsto R\Hom(B,N)=N_A\) 是右伴随，见例 0BYX。显然 \(R\Hom(B,-)\) 的核为零。结论遂由《导出范畴》引理 09J1 得出。

分析上述证明可见，下列推广无需额外工作即可得到。

引理

设 \(R\) 是环，\((A,\text{d})\) 与 \((B,\text{d})\) 是微分分次 \(R\)-代数， \(N\) 是微分分次 \((A,B)\)-双模。假设

\(N\) 在 \(D(B,\text{d})\) 中定义紧对象；

若 \(N'\in D(B,\text{d})\)，且对每个 \(n\in\mathbf{Z}\) 有 \(\Hom_{D(B,\text{d})}(N,N'[n])=0\)，则 \(N'=0\)；

对每个 \(k\in\mathbf{Z}\)，映射 \(H^k(A)\to\Hom_{D(B,\text{d})}(N,N[k])\) 都是同构。

则 \[- \otimes_A^\mathbf{L} N : D(A, \text{d}) \to D(B, \text{d})\] 给出三角范畴的 \(R\)-线性等价。

证明

由引理 09R9，函子 \(M\mapsto M\otimes_A^\mathbf{L}N\) 是全忠实的。由引理 09LT，函子 \(N'\mapsto R\Hom(N,N')\) 是右伴随。由假设 (3)，\(R\Hom(N,-)\) 的核为零。因此结论由《导出范畴》引理 09J1 得出。

注

在引理 09S7 中，可把条件 (2) 替换为 \(N\) 是 \(D_{compact}(B,d)\) 的经典生成元这一条件，见《导出范畴》命题 09SR。此外，若已知 \(R\Hom(N,B)\) 是 \(D(A,\text{d})\) 的紧对象，则只需检验 \(N\) 是 \(D_{compact}(B,\text{d})\) 的弱生成元。证明从略；如果 Stacks project 今后用到此结论，我们会在这里补上证明。

有时把下述引理中的 \(B\)-模 \(P\) 称为“\((A,B)\)-倾斜复形”。

引理

设 \(R\) 是环，\((A,\text{d})\) 与 \((B,\text{d})\) 是微分分次 \(R\)-代数。假设 \(A=H^0(A)\)。下列条件等价：

\(D(A,\text{d})\) 与 \(D(B,\text{d})\) 作为 \(R\)-线性三角范畴等价；

存在 \(D(B,\text{d})\) 的对象 \(P\)，使得

\(P\) 是 \(D(B,\text{d})\) 的紧对象；

若 \(N\in D(B,\text{d})\)，且对每个 \(i\in\mathbf{Z}\) 有 \(\Hom_{D(B,\text{d})}(P,N[i])=0\)，则 \(N=0\)；

当 \(i\neq0\) 时，\(\Hom_{D(B,\text{d})}(P,P[i])=0\)；当 \(i=0\) 时，该群等于 \(A\)。

由 (2) 构造的等价 \(D(A,\text{d})\to D(B,\text{d})\) 把 \(A\) 映到 \(P\)。

证明

设 \(F:D(A,\text{d})\to D(B,\text{d})\) 是等价。则 \(F\) 把紧对象映到紧对象。因此 \(P=F(A)\) 是紧的，即 (2)(a) 成立。条件 (2)(b) 与 (2)(c) 由 \(F\) 是等价立即得出。

设 \(P\) 是 (2) 中的对象，以具有性质 (P) 的微分分次模表示 \(P\)。令 \[(E, \text{d}) = \Hom_{\text{Mod}^{dg}_{(B, \text{d})}}(P, P)\] 。由引理 09KY 与假设 (2)(c)，有 \(H^0(E)=A\)，且当 \(k\neq0\) 时 \(H^k(E)=0\)。把 \(P\) 看作 \((E,B)\)-双模，并使用引理 09S7 与假设 (2)(b)，得到等价 \[D(E, \text{d}) \to D(B, \text{d})\] ，它把 \(E\) 映到 \(P\)。令 \(E'\subset E\) 为如下微分分次 \(R\)-子代数： \[(E')^i = \left\{ \begin{matrix} E^i & \text{若 }i < 0 \\ \Ker(E^0 \to E^1) & \text{若 }i = 0 \\ 0 & \text{若 }i > 0 \end{matrix} \right.\] 于是有微分分次代数的拟同构 \((A,\text{d})\leftarrow(E',\text{d})\rightarrow(E,\text{d})\)。因此由引理 09S6 得到等价 \[D(A, \text{d}) \leftarrow D(E', \text{d}) \rightarrow D(E, \text{d}) \rightarrow D(B, \text{d})\] 。

注

设 \(R\) 是环，\((A,\text{d})\) 与 \((B,\text{d})\) 是微分分次 \(R\)-代数。设给定三角范畴的 \(R\)-线性等价 \[F : D(A, \text{d}) \longrightarrow D(B, \text{d})\] 。令 \(N=F(A)\)。则 \(N\) 是微分分次 \(B\)-模。由于 \(F\) 是等价，且 \(A\) 是 \(D(A,\text{d})\) 的紧对象，可知 \(N\) 是 \(D(B,\text{d})\) 的紧对象。由于 \(A\) 生成 \(D(A,\text{d})\) 且 \(F\) 是等价，可见 \(N\) 生成 \(D(B,\text{d})\)。最后， \(H^k(A)=\Hom_{D(A,\text{d})}(A,A[k])\)，而由 \(F\) 是等价可知，对每个 \(k\)，\(F\) 诱导同构 \(H^k(A)=\Hom_{D(B,\text{d})}(N,N[k])\)。要得出存在由引理 09S7 的构造产生的等价 \(D(A,\text{d})\to D(B,\text{d})\)，所需的只是在 \(N\) 上给出一个与微分相容、并与给定右 \(B\)-模结构交换的左 \(A\)-模结构。事实上，只需在把 \(N\) 替换为与之拟同构的微分分次 \(B\)-模后完成此事。在某些情形下可以构造这一模结构。例如，若假设 \(F\) 可提升为微分分次函子 \[F^{dg} : \text{Mod}^{dg}_{(A, \text{d})} \longrightarrow \text{Mod}^{dg}_{(B, \text{d})}\] （记号见例 09LC），它位于相应微分分次范畴之间，则上述要求成立。另一种情形将在下面的命题中讨论。

命题

设 \(R\) 是环，\((A,\text{d})\) 与 \((B,\text{d})\) 是微分分次 \(R\)-代数， \(F:D(A,\text{d})\to D(B,\text{d})\) 是三角范畴的 \(R\)-线性等价。假设

\(A=H^0(A)\)；

\(B\) 作为 \(R\)-模复形是 K-平坦的。

则存在引理 09S7 所述的 \((A,B)\)-双模 \(N\)。

证明

如上面的评注 09S9，在 \(D(B,\text{d})\) 中令 \(N=F(A)\)。可假设 \(N\) 是具有性质 (P) 的微分分次 \(B\)-模。令 \[(E, \text{d}) = \Hom_{\text{Mod}^{dg}_{(B, \text{d})}}(N, N)\] 。由引理 09KY，有 \(H^0(E)=A\)，且当 \(k\neq0\) 时 \(H^k(E)=0\)。此外，由评注 09S9 中的讨论及引理 09S7，可见 \(N\) 作为 \((E,B)\)-双模诱导等价 \(-\otimes_E^\mathbf{L}N:D(E,\text{d})\to D(B,\text{d})\)。令 \(E'\subset E\) 为如下微分分次 \(R\)-子代数： \[(E')^i = \left\{ \begin{matrix} E^i & \text{若 }i < 0 \\ \Ker(E^0 \to E^1) & \text{若 }i = 0 \\ 0 & \text{若 }i > 0 \end{matrix} \right.\] 于是有微分分次代数的拟同构 \((A,\text{d})\leftarrow(E',\text{d})\rightarrow(E,\text{d})\)。因此由引理 09S6 得到等价 \[D(A, \text{d}) \leftarrow D(E', \text{d}) \rightarrow D(E, \text{d}) \rightarrow D(B, \text{d})\] 。注意，左侧箭头的拟逆 \(D(A,\text{d})\to D(E',\text{d})\) 由 \(M\mapsto M\otimes_A^\mathbf{L}A\) 给出，其中把 \(A\) 看作 \((A,E')\)-双模，见例 0BYX。另一方面，函子 \(D(E',\text{d})\to D(B,\text{d})\) 由 \(M\mapsto M\otimes_{E'}^\mathbf{L}N\) 给出，其中 \(N\) 如上。由引理 09S4 即得结论。

注

设 \(A,B,F,N\) 如命题 09SA。尚不清楚 \(F\) 与函子 \(G(-)=-\otimes_A^\mathbf{L}N\) 是否同构。按构造，在 \(D(B,\text{d})\) 中有同构 \(N=G(A)\to F(A)\)。当 \(M\) 是分次投射的微分分次 \(A\)-模（例如 \(A\) 的平移的直和）时，可以直接把它扩张为函子同构 \(G(M)\to F(M)\)。进而，当 \(M\) 是此类模之间某个映射的锥时，可得 \(G(M)\cong F(M)\)。一般情形下是否还有更多结论，我们并不知道。

引理

设 \(R\) 是环，\(A,B\) 是 \(R\)-代数。下列条件等价：

存在三角范畴的 \(R\)-线性等价 \(D(A)\to D(B)\)；

存在 \(D(B)\) 的对象 \(P\)，使得

\(P\) 可由有限投射 \(B\)-模组成的有限复形表示；

若 \(K\in D(B)\)，且对每个 \(i\in\mathbf{Z}\) 有 \(\Ext^i_B(P,K)=0\)，则 \(K=0\)；

当 \(i\neq0\) 时，\(\Ext^i_B(P,P)=0\)；当 \(i=0\) 时，该群等于 \(A\)。

此外，若 \(B\) 作为 \(R\)-模是平坦的，则上述条件还等价于

存在 \((A,B)\)-双模 \(N\)，使得 \(-\otimes_A^\mathbf{L}N:D(A)\to D(B)\) 是等价。

证明

(1) 与 (2) 的等价，是引理 09S8 结合引理 09RB 对 \(D(B)\) 的紧对象之刻画所得的特例（略去一个小细节）。当 \(B\) 是 \(R\)-平坦的时，与 (3) 的等价由命题 09SA 得出。

注

设 \(R\) 是环，\(A,B\) 是 \(R\)-代数。若 \(D(A)\) 与 \(D(B)\) 作为 \(R\)-线性三角范畴等价，则 \(A\) 与 \(B\) 的中心作为 \(R\)-代数同构。特别地，若 \(A,B\) 交换，则 \(A\cong B\)。这一颇为棘手的证明见 [Rickard, Proposition 9.2] 或 [KZ, Proposition 6.3.2]。另一种途径或许是使用 Hochschild 上同调（见下面的评注）。

注

设 \(R\) 是环，\((A,\text{d})\) 与 \((B,\text{d})\) 是导出等价的微分分次 \(R\)-代数，即存在三角范畴的 \(R\)-线性等价 \(D(A,\text{d})\to D(B,\text{d})\)。我们想证明 \((A,\text{d})\) 与 \((B,\text{d})\) 的某些不变量相同。在许多情形下，可以更好地控制局面。例如，可能存在形如 \[- \otimes_A \Omega : D(A, \text{d}) \longrightarrow D(B, \text{d})\] 的等价，其中 \(\Omega\) 是某个微分分次 \((A,B)\)-双模（命题 09SA 的情形即如此；若等价来自几何构造，也常常如此）。若该函子的拟逆又由 \[- \otimes_B^\mathbf{L} \Omega' : D(B, \text{d}) \longrightarrow D(A, \text{d})\] 给出，其中 \(\Omega'\) 是微分分次 \((B,A)\)-双模（同前，这样的模 \(\Omega'\) 在实际中常常存在），则可考虑双模导出范畴之间的函子 \[D(A^{opp} \otimes_R A, \text{d}) \longrightarrow D(B^{opp} \otimes_R B, \text{d}),\quad M \longmapsto \Omega' \otimes^\mathbf{L}_A M \otimes_A^\mathbf{L} \Omega\] （使用引理 0FQJ 把双模化为右模）。注意，此函子把 \((A,A)\)-双模 \(A\) 映到 \((B,B)\)-双模 \(B\)。在适当条件下（例如 \(A,B,\Omega\) 在 \(R\) 上的平坦性等），此函子也将是等价。若确实如此，则得到 Hochschild 上同调群的同构 \[HH^i(A, \text{d}) = \Hom_{D(A^{opp} \otimes_R A, \text{d})}(A, A[i]) \longrightarrow \Hom_{D(B^{opp} \otimes_R B, \text{d})}(B, B[i]) = HH^i(B, \text{d}).\] 例如，若 \(A=H^0(A)\)，则 \(HH^0(A,\text{d})\) 等于 \(A\) 的中心，这就给出了评注 09SD 中所述结果的概念性证明。如果今后用到本评注，我们将在此给出精确陈述与详细证明。

微分分次代数的分辨

设 \(R\) 是环。按我们的约定，集合 \(S\) 上的自由 \(R\)-代数 \(R\langle S\rangle\) 是如下代数：它以表达式 \[s_1 s_2 \ldots s_n\] 为 \(R\)-基，其中 \(n\geq0\)，而 \(s_1,\ldots,s_n\in S\) 是 \(S\) 中元素的一个序列。乘法由连接给出： \[(s_1 s_2 \ldots s_n) \cdot (s'_1 s'_2 \ldots s'_m) = s_1 \ldots s_n s'_1 \ldots s'_m\] 。此代数由如下性质刻画：对每个 \(R\)-代数 \(A\)，映射 \[\Mor_{R\text{-代数}}(R\langle S \rangle, A) \to \text{Map}(S, A),\quad \varphi \longmapsto (s \mapsto \varphi(s))\] 是双射。

在分次 \(R\)-代数范畴中，集合 \(S\) 应带有分次，我们把它看作映射 \(\deg:S\to\mathbf{Z}\)。于是 \(R\langle S\rangle\) 带有分次，使单项式的次数为 \[\deg(s_1 s_2 \ldots s_n) = \deg(s_1) + \ldots + \deg(s_n)\] 。在此设定下，对每个分次 \(R\)-代数 \(A\)，映射 \[\Mor_{\text{分次 }R\text{-代数}}(R\langle S \rangle, A) \to \text{Map}_{\text{分次集合}}(S, A),\quad \varphi \longmapsto (s \mapsto \varphi(s))\] 是双射。

若 \(A\) 是分次 \(R\)-代数，\(S\) 是分次集合，也可类似地构造 \(A\langle S\rangle\)。\(A\langle S\rangle\) 的元素是形如 \[a_0 s_1 a_1 s_2 \ldots a_{n - 1} s_n a_n\] 的元素之和，其中 \(a_i\in A\)，并模去使这些表达式关于 \((a_0,\ldots,a_n)\) 为 \(R\)-多重线性的关系。因此，对 \(S\) 中元素的每个序列 \(s_1,\ldots,s_n\)，都有包含 \[A \otimes_R \ldots \otimes_R A \subset A\langle S \rangle\] ，而该代数是这些项的直和。由此定义，读者可证明映射 \[\Mor_{\text{分次 }R\text{-代数}}(A\langle S \rangle, B) \to \Mor_{\text{分次 }R\text{-代数}}(A, B) \times \text{Map}_{\text{分次集合}}(S, B),\] 把 \(\varphi\) 映到 \((\varphi|_A,(s\mapsto\varphi(s)))\)；对每个分次 \(R\)-代数 \(A\)，该映射是双射。注意，若 \(A\) 是自由分次 \(R\)-代数，则 \(A\langle S\rangle\) 也是自由分次 \(R\)-代数。

设 \(A\) 是微分分次 \(R\)-代数，\(S\) 是分次集合。再假设对每个 \(s\in S\)，给定齐次元素 \(f_s\in A\)，满足 \(\deg(f_s)=\deg(s)+1\) 且 \(\text{d}f_s=0\)。则在 \(A\langle S\rangle\) 上存在唯一的微分分次代数结构，使得 \(\text{d}(s)=f_s\)。例如，给定 \(a,b,c\in A\) 与 \(s,t\in S\)，定义 \[\begin{align*} \text{d}(asbtc) & = \text{d}(a)sbtc + (-1)^{\deg(a)}a f_s b t c + (-1)^{\deg(a) + \deg(s)} as\text{d}(b)tc \\ & + (-1)^{\deg(a) + \deg(s) + \deg(b)} asb f_t c + (-1)^{\deg(a) + \deg(s) + \deg(b) + \deg(t)} asbt\text{d}(c) \end{align*}\] 。细节从略。

引理

设 \(R\) 是环，\((B,\text{d})\) 是微分分次 \(R\)-代数。存在微分分次 \(R\)-代数的拟同构 \((A,\text{d})\to(B,\text{d})\)，并具有下列性质：

\(A\) 作为 \(R\)-模复形是 K-平坦的；

\(A\) 是自由分次 \(R\)-代数。

证明

首先断言，可找到具有 (1)、(2) 且在上同调上诱导满射的 \((A_0,\text{d})\to(B,\text{d})\)。具体地，取分次集合 \(S\)；对每个 \(s\in S\)，取次数为 \(\deg(s)\) 的齐次元素 \(b_s\in\Ker(d:B\to B)\)，使其在 \(H^*(B)\) 中的类 \(\overline b_s\) 作为 \(R\)-模生成 \(H^*(B)\)。可令 \(A_0=R\langle S\rangle\)，微分为零，并以 \(s\mapsto b_s\) 定义 \(A_0\to B\)。

给定在上同调上诱导满射的 \(A_0\to B\)，归纳构造序列 \[A_0 \to A_1 \to A_2 \to \ldots B\] 。给定 \(A_n\to B\)，令 \(S_n\) 为分次集合；对每个 \(s\in S_n\)，令 \(a_s\in\Ker(\text{d}:A_n\to A_n)\) 为次数 \(\deg(s)+1\) 的齐次元素，其在 \(H^*(A_n)\) 中的类 \(\overline a_s\) 映到 \(H^*(B)\) 中的零。取 \(S_n\) 足够大，使诸 \(\overline a_s\) 作为 \(R\)-模生成 \(\Ker(H^*(A_n)\to H^*(B))\)。然后令 \[A_{n + 1} = A_n\langle S_n \rangle\] ，其微分由 \(\text{d}(s)=a_s\) 给出，见上面的讨论。于是每个 \((A_n,\text{d})\) 都满足 (1)、(2)；细节从略。映射 \(H^*(A_n)\to H^*(B)\) 是满射，因为 \(n=0\) 时已经如此。

显然 \(A=\colim A_n\) 是自由分次 \(R\)-代数。由《代数进阶》引理 06Y3，它是 K-平坦的。映射 \(H^*(A)\to H^*(B)\) 是同构：它是满射，也是单射。事实上， \(H^*(A)\) 的每个元素都来自某个 \(H^*(A_n)\) 中的元素；若它在 \(H^*(B)\) 中消失，则它在 \(H^*(A_{n+1})\) 中消失，因而也在 \(H^*(A)\) 中消失。

作为应用，我们证明引理 0BZ5 的“正确”版本。

引理

设 \(R\) 是环，\((A,\text{d})\)、\((B,\text{d})\) 和 \((C,\text{d})\) 是微分分次 \(R\)-代数。假设 \(A\otimes_RC\) 在 \(D(R)\) 中表示 \(A\otimes_R^\mathbf{L}C\)。设 \(N\) 是微分分次 \((A,B)\)-双模， \(N'\) 是微分分次 \((B,C)\)-双模。则复合 \[\xymatrix{ D(A, \text{d}) \ar[rr]^{- \otimes_A^\mathbf{L} N} & & D(B, \text{d}) \ar[rr]^{- \otimes_B^\mathbf{L} N'} & & D(C, \text{d}) }\] 同构于 \(-\otimes_A^\mathbf{L}N''\)，其中 \(N''\) 是某个微分分次 \((A,C)\)-双模。

证明

利用引理 0BZ7，选取拟同构 \((B',\text{d})\to(B,\text{d})\)，其中 \(B'\) 作为 \(R\)-模复形是 K-平坦的。由引理 09S6，函子 \(-\otimes_{B'}^\mathbf{L}B:D(B',\text{d})\to D(B,\text{d})\) 是等价，其拟逆由限制给出。注意，限制典范同构于函子 \(-\otimes_B^\mathbf{L}B:D(B,\text{d})\to D(B',\text{d})\)，其中把 \(B\) 看作 \((B,B')\)-双模。因此，只需对下列复合证明引理： \[D(A) \to D(B) \to D(B'),\quad D(B') \to D(B) \to D(C),\quad D(A) \to D(B') \to D(C).\] 第一个复合由引理 09S4 处理，因为 \(B'\) 作为 \(R\)-模复形是 K-平坦的。第二个复合成立，因为 \(B \otimes_B^\mathbf{L} N' = N' = B \otimes_B N'\) ，故可应用引理 0BZ3。于是约化到 \(B\) 作为 \(R\)-模复形是 K-平坦的情形。

假设 \(B\) 作为 \(R\)-模复形是 K-平坦的。只需证明 (0BZ4) 是同构，见引理 0BZ5。选取拟同构 \(L\to A\)，其中 \(L\) 是具有性质 (P) 的微分分次 \(R\)-模。显然 \(P=L\otimes_RB\) 作为微分分次 \(B\)-模具有性质 (P)。因此必须证明 \(P\to A\otimes_RB\) 诱导拟同构 \[P \otimes_B (B \otimes_R C) \longrightarrow (A \otimes_R B) \otimes_B (B \otimes_R C)\] 。可将其改写为 \[P \otimes_R B \otimes_R C \longrightarrow A \otimes_R B \otimes_R C\] 。由于 \(B\) 作为 \(R\)-模复形是 K-平坦的，由《代数进阶》引理 06Y0，只需证明 \[P \otimes_R C \to A \otimes_R C\] 是拟同构，而这恰是我们的假设。

下列引理其实不属于本节，但似乎没有更自然的安置位置。

引理

设 \((A,\text{d})\) 是微分分次代数，且对每个 \(i\)，\(H^i(A)\) 都可数。设 \(M\) 是 \(D(A,\text{d})\) 的对象。下列条件等价：

\(M=\text{hocolim},E_n\)，其中 \(E_n\) 是 \(D(A,\text{d})\) 的紧对象；

对每个 \(i\)，\(H^i(M)\) 都可数。

证明

假设 (1) 成立。由《导出范畴》引理 0CRK，有 \(H^i(M)=\colim H^i(E_n)\)。因此只需证明对每个 \(n\)，\(H^i(E_n)\) 可数。由命题 09R3，可见 \(E_n\) 在 \(D(A,\text{d})\) 中同构于某个微分分次模 \(P\) 的直和项；\(P\) 有由微分分次子模组成的有限滤过 \(F_\bullet\)，且 \(F_jP/F_{j-1}P\) 是 \(A\) 的平移的有限直和。依假设，群 \(H^i(F_jP/F_{j-1}P)\) 可数。对滤过长度归纳并使用上同调长正合列，即得 (2)。更有趣的是反向蕴含。

我们断言，存在可数微分分次子代数 \(A'\subset A\)，使包含映射 \(A'\to A\) 在上同调上定义同构。为构造 \(A'\)，选取可数微分分次子代数 \[A_1 \subset A_2 \subset A_3 \subset \ldots\] ，使得：(a) \(H^i(A_1)\to H^i(A)\) 是满射；(b) 对 \(n>1\)，映射 \(H^i(A_{n-1})\to H^i(A_n)\) 的核与映射 \(H^i(A_{n-1})\to H^i(A)\) 的核相同。为构造 \(A_1\)，取生成 \(A\) 的上同调（作为环或作为分次阿贝尔群）的任意可数上链集 \(S\subset A\)，并令 \(A_1\) 为由 \(S\) 生成的 \(A\) 的微分分次子代数。给定 \(A_{n-1}\) 后，为构造 \(A_n\)，对每个在 \(H^i(A)\) 中映到零的上链 \(a\in A_{n-1}^i\)，选取 \(s_a\in A^{i-1}\) 使 \(\text{d}(s_a)=a\)，并令 \(A_n\) 为由 \(A_{n-1}\) 与诸元素 \(s_a\) 生成的 \(A\) 的微分分次子代数。最后取 \(A'=\bigcup A_n\)。

由引理 09S6，限制映射 \(D(A,\text{d})\to D(A',\text{d})\)，\(M\mapsto M_{A'}\)，是等价。由于 \(M\) 与 \(M_{A'}\) 的上同调群相同，只需对 \((A',\text{d})\) 证明蕴含 (2) \(\Rightarrow\) (1)。

假设 \(A\) 可数。用与上面完全相同类型的论证可见，对 \(D(A,\text{d})\) 中的 \(M\)，下列两者等价：对每个 \(i\)，\(H^i(M)\) 可数；\(M\) 可由可数微分分次模表示。因此，为证明蕴含 (2) \(\Rightarrow\) (1)，可约化到下一段所述情形。

假设 \(A\) 可数，且 \(M\) 是可数微分分次 \(A\)-模。我们断言，存在微分分次 \(A\)-模同态 \(P\to M\)，使得

\(P\to M\) 是拟同构；

\(P\) 具有性质 (P)；

\(P\) 可数。

查看引理 09KP 中构造 P-分辨的证明可见，只需说明在可数微分分次模的设定下仍能证明引理 09KN。这由该证明立即得出。

假设 \(A\) 可数，且 \(M\) 是具有性质 (P) 的可数微分分次模。选取由微分分次子模组成的滤过 \[0 = F_{-1}P \subset F_0P \subset F_1P \subset \ldots \subset P\] ，使得

\(P=\bigcup F_pP\)；

\(F_iP\to F_{i+1}P\) 是容许单态射；

对某些集合 \(J_i\) 与整数 \(k_j\)，有微分分次模的同构 \(F_iP/F_{i - 1}P \to \bigoplus_{j \in J_i} A[k_j]\) 。

当然，对每个 \(i\)，\(J_i\) 都可数。对每个 \(i\) 与 \(j\in J_i\)，选取次数为 \(k_j\) 的 \(x_{i,j}\in F_iP\)，使其在 \(F_iP/F_{i-1}P\) 中的像生成对应于 \(j\) 的直和项。

断言：给定 \(n\) 以及有限子集 \(S_i\subset J_i\)（\(i=1,\ldots,n\)），存在有限子集 \(S_i\subset T_i\subset J_i\)（\(i=1,\ldots,n\)），使得 \(P'=\bigoplus_{i\leq n}\bigoplus_{j\in T_i}Ax_{i,j}\) 是 \(P\) 的微分分次子模。这已在引理 09R2 的证明中说明，也容易直接证明：诸元素 \(x_{i,j}\) 作为右 \(A\)-模自由生成 \(P\)。 \(P\) 的结构表明 \[\text{d}(x_{i, j}) = \sum\nolimits_{i' < i} x_{i', j'}a_{i', j'}\] ，其中求和当然是有限的。因此，给定 \(S_0,\ldots,S_n\)，可先选取 \(S_0\subset S'_0,\ldots,S_{n-1}\subset S'_{n-1}\)，使得对每个 \(j\in S_n\) 都有 \(\text{d}(x_{n, j}) \in \bigoplus_{i' < n, j' \in S'_{i'}} x_{i', j'}A\) 。然后对 \(n\) 归纳，可以选取 \(S'_0\subset T_0,\ldots,S'_{n-1}\subset T_{n-1}\)，保证 \(\bigoplus_{i'<n,j'\in T_{i'}}x_{i',j'}A\) 是微分分次 \(A\)-子模。令 \(T_n=S_n\)，便得到所需的 \(P'=\bigoplus_{i\leq n,j\in T_i}x_{i,j}A\)。

由此断言显然可知，\(P=\bigcup P'_n\) 是上述 \(P'_n\) 的可数递增并。按构造，每个 \(P'_n\) 都是具有性质 (P) 的微分分次模，其滤过有限，且逐次商是 \(A\) 的平移的有限直和。因此 \(P'_n\) 定义 \(D(A,\text{d})\) 的紧对象，例如见命题 09R3。由引理 0CRL，在 \(D(A,\text{d})\) 中有 \(P=\text{hocolim},P'_n\)，故蕴含 (2) \(\Rightarrow\) (1) 证明完毕。

这可能不是标准术语。↩︎