模层 · Stacks

引言

本章阐述模层的基本概念。其中尤其包括阿贝尔群层的情形，因为它们可视为 \(\underline{\mathbf{Z}}\)-模层。基本参考文献为 [FAC]、[EGA] 和 [SGA4]。

关于环拓扑斯上的模层，我们在另一章中加以讨论（见《站点上的模》第 03A5 节），不过那里大部分内容只是重述本章的讨论。

退化情形

环空间是由拓扑空间 \(X\) 与环层 \(\mathcal{O}\) 组成的序对。定义允许 \(\mathcal{O} = 0\)。此时模范畴只有一个对象（即 \(0\)）。它仍是阿贝尔范畴等，但略显退化。类似地，层 \(\mathcal{O}\) 在 \(X\) 的某些开子集上也可能为零，等等。

考察局部环空间时不会出现这种情形（我们稍后将这样做）。

模层的阿贝尔范畴

设 \((X, \mathcal{O}_X)\) 为环空间，见《层》定义 0091。设 \(\mathcal{F}\)、\(\mathcal{G}\) 为 \(\mathcal{O}_X\)-模层，见《层》定义 0077。设 \(\varphi, \psi : \mathcal{F} \to \mathcal{G}\) 为 \(\mathcal{O}_X\)-模层的态射。定义 \(\varphi + \psi : \mathcal{F} \to \mathcal{G}\)：在每个开集 \(U \subset X\) 上，它是由 \(\varphi\)、\(\psi\) 诱导的两个映射之和。显然，这仍是 \(\mathcal{O}_X\)-模层的态射。也显然，\(\mathcal{O}_X\)-模层态射的复合关于这一加法是双线性的。因此 \(\textit{Mod}(\mathcal{O}_X)\) 是预加性范畴，见《同调》定义 00ZY。

记 \(0\) 为在每个开集 \(U \subset X\) 上恒取值 \(\{0\}\) 的 \(\mathcal{O}_X\)-模层。显然，它既是 \(\textit{Mod}(\mathcal{O}_X)\) 的终对象，也是其始对象。给定 \(\mathcal{O}_X\)-模层态射 \(\varphi : \mathcal{F} \to \mathcal{G}\)，下列条件等价： (a) \(\varphi\) 为零；(b) \(\varphi\) 分解通过 \(0\)； (c) \(\varphi\) 在每个开集 \(U\) 的截面上为零； (d) 对所有 \(x \in X\)，都有 \(\varphi_x = 0\)。见《层》引理 007T。

此外，给定两个 \(\mathcal{O}_X\)-模层 \(\mathcal{F}\)、\(\mathcal{G}\)，可将直和定义为 \[\mathcal{F} \oplus \mathcal{G} = \mathcal{F} \times \mathcal{G}\] 并配以《同调》定义 0102 中显然的映射 \((i, j, p, q)\)。因此 \(\textit{Mod}(\mathcal{O}_X)\) 是加性范畴，见《同调》定义 0104。

设 \(\varphi : \mathcal{F} \to \mathcal{G}\) 为 \(\mathcal{O}_X\)-模层态射。可将 \(\Ker(\varphi)\) 定义为 \(\mathcal{F}\) 的子层，其截面为 \[\Ker(\varphi)(U) = \{ s \in \mathcal{F}(U) \mid \varphi(s) = 0 \text{ 于 } \mathcal{G}(U)\}\] 其中 \(U\) 遍历 \(X\) 的所有开集。容易看出，这确实是 \(\mathcal{O}_X\)-模层范畴中的核。换言之，态射 \(\alpha : \mathcal{H} \to \mathcal{F}\) 分解通过 \(\Ker(\varphi)\)，当且仅当 \(\varphi \circ \alpha = 0\)。此外，在茎的层次上有 \(\Ker(\varphi)_x = \Ker(\varphi_x)\)。

另一方面，将 \(\Coker(\varphi)\) 定义为下述 \(\mathcal{O}_X\)-模预层所关联的 \(\mathcal{O}_X\)-模层： \[U \longmapsto \Coker(\mathcal{F}(U)\to \mathcal{G}(U)) = \mathcal{G}(U)/\varphi(\mathcal{F}(U)).\] 由于取茎与层化可交换，见《层》引理 007Z，可得 \(\Coker(\varphi)_x = \Coker(\varphi_x)\)。因此映射 \(\mathcal{G} \to \Coker(\varphi)\) 是满射（作为集合层的态射），见《层》第 007S 节。为证明这是余核，注意若 \(\beta : \mathcal{G} \to \mathcal{H}\) 是满足 \(\beta \circ \varphi = 0\) 的 \(\mathcal{O}_X\)-模层态射，则对每个开集 \(U \subset X\)，\(\beta\) 都诱导一个从 \(\mathcal{G}(U)/\varphi(\mathcal{F}(U))\) 到 \(\mathcal{H}(U)\) 的映射。由层化的泛性质（见《层》引理 0089），得到典范映射 \(\Coker(\varphi) \to \mathcal{H}\)，使得原来的 \(\beta\) 等于复合 \(\mathcal{G} \to \Coker(\varphi) \to \mathcal{H}\)。由上述满射性，态射 \(\Coker(\varphi) \to \mathcal{H}\) 是唯一的。

引理

设 \((X, \mathcal{O}_X)\) 为环空间。范畴 \(\textit{Mod}(\mathcal{O}_X)\) 是阿贝尔范畴。此外，一个复形 \[\mathcal{F} \to \mathcal{G} \to \mathcal{H}\] 在 \(\mathcal{G}\) 处正合，当且仅当对所有 \(x \in X\)，复形 \[\mathcal{F}_x \to \mathcal{G}_x \to \mathcal{H}_x\] 在 \(\mathcal{G}_x\) 处正合。

证明

依《同调》定义 0109，只需证明像与余像一致。依《层》引理 007T，只需证明像与余像在每个 \(x \in X\) 处的茎相同。由上述核与余核的构造，这些茎正是 \(\mathcal{O}_{X, x}\)-模范畴中的余像与像。结论遂由环上模的范畴是阿贝尔范畴这一事实得到。

事实上，范畴 \(\textit{Mod}(\mathcal{O}_X)\) 还有许多其他性质。以下给出两种构造。

给定任意集合 \(I\)，并对每个 \(i \in I\) 给定一个 \(\mathcal{O}_X\)-模层，可作乘积 \[\prod\nolimits_{i \in I} \mathcal{F}_i\] 它是在每个开集 \(U\) 上取诸模 \(\mathcal{F}_i(U)\) 之积的层。这也就是范畴积，如《范畴论》定义 002I 所述。
给定任意集合 \(I\)，并对每个 \(i \in I\) 给定一个 \(\mathcal{O}_X\)-模层，可作直和 \[\bigoplus\nolimits_{i \in I} \mathcal{F}_i\] 它是在每个开集 \(U\) 上取诸模 \(\mathcal{F}_i(U)\) 之直和的预层的层化。这也就是范畴余积，如《范畴论》定义 002J 所述；由层化的泛性质即可看出这一点。

由这些构造可知，\(\textit{Mod}(\mathcal{O}_X)\) 中所有极限与余极限都存在。

引理

设 \((X, \mathcal{O}_X)\) 为环空间。

\(\textit{Mod}(\mathcal{O}_X)\) 中所有极限都存在。极限与 \(\mathcal{O}_X\)-模预层的相应极限相同（即极限与在开集上取截面可交换）。

\(\textit{Mod}(\mathcal{O}_X)\) 中所有余极限都存在。余极限是预层范畴中相应余极限的层化。取余极限与取茎可交换。

滤过余极限是正合的。

有限直和与 \(\mathcal{O}_X\)-模预层的相应有限直和相同。

证明

由于 \(\textit{Mod}(\mathcal{O}_X)\) 是阿贝尔范畴（引理 01AG），它具有所有有限极限与有限余极限（《同调》引理 010D）。因此，由积和余积的存在及其上述描述，再结合《范畴论》引理 002N 与 002P，便得到极限与余极限的存在性及其描述。由于层化与取茎可交换，可见取余极限与取茎可交换。第 (3) 项的含义如下：给定有向集 \(I\) 上一族 \(\mathcal{O}_X\)-模层的正合列 \(0 \to \mathcal{F}_i \to \mathcal{G}_i \to \mathcal{H}_i \to 0\)，则序列 \(0 \to \colim \mathcal{F}_i \to \colim \mathcal{G}_i \to \colim \mathcal{H}_i \to 0\) 也正合。由于可在茎上检验正合性（引理 01AG），这由模的相应情形，即《代数》引理 00DB 得出。第 (4) 项的证明从略。

极限与余极限的存在，使我们可以像《范畴论》第 0033 节那样，以极限和余极限来考察定义在 \(\mathcal{O}\)-模层范畴上的函子的正合性。关于用短正合列描述正合性，见《同调》引理 010N。

引理

设 \(f : (X, \mathcal{O}_X) \to (Y, \mathcal{O}_Y)\) 为环空间态射。

函子 \(f_* : \textit{Mod}(\mathcal{O}_X) \to \textit{Mod}(\mathcal{O}_Y)\) 是左正合的。事实上，它与所有极限可交换。

函子 \(f^* : \textit{Mod}(\mathcal{O}_Y) \to \textit{Mod}(\mathcal{O}_X)\) 是右正合的。事实上，它与所有余极限可交换。

阿贝尔群层上的逆像函子 \(f^{-1} : \textit{Ab}(Y) \to \textit{Ab}(X)\) 是正合的。

证明

第 (1)、(2) 项成立，是因为 \((f^*, f_*)\) 是一对伴随函子，见《层》引理 0096 和《范畴论》第 0036 节。第 (3) 项由可在茎上检验正合性（引理 01AG）以及逆像之茎的描述得出，见《层》引理 008O。

引理

设 \(j : U \to X\) 为拓扑空间的开浸入。函子 \(j_! : \textit{Ab}(U) \to \textit{Ab}(X)\) 是正合的。

证明

这由《层》引理 00A5 给出的茎的描述得出。

引理

设 \((X, \mathcal{O}_X)\) 为环空间，\(I\) 为集合。对 \(i \in I\)，设 \(\mathcal{F}_i\) 为 \(\mathcal{O}_X\)-模层。若 \(U \subset X\) 为拟紧开集，则映射 \[\bigoplus\nolimits_{i \in I} \mathcal{F}_i(U) \longrightarrow \left(\bigoplus\nolimits_{i \in I} \mathcal{F}_i\right)(U)\] 是双射。

证明

若 \(s\) 是右端的一个元素，则存在开覆盖 \(U = \bigcup_{j \in J} U_j\)，使得 \(s|_{U_j}\) 是有限和 \(\sum_{i \in I_j} s_{ji}\)，其中 \(s_{ji} \in \mathcal{F}_i(U_j)\)。由于 \(U\) 拟紧，可设此覆盖为有限覆盖，即 \(J\) 有限。于是 \(I' = \bigcup_{j \in J} I_j\) 是 \(I\) 的有限子集。显然，\(s\) 是子层 \(\bigoplus_{i \in I'} \mathcal{F}_i\) 的一个截面。有限直和无需层化，故结论由上面的引理 01AH 得出。

模层的截面

设 \((X, \mathcal{O}_X)\) 为环空间，\(\mathcal{F}\) 为 \(\mathcal{O}_X\)-模层，并设 \(s \in \Gamma(X, \mathcal{F}) = \mathcal{F}(X)\) 为整体截面。存在唯一的\(\mathcal{O}_X\)-模层态射 \[\mathcal{O}_X \longrightarrow \mathcal{F}, \ f \longmapsto fs\] 称为与 \(s\) 关联的态射。上式表示：\(\mathcal{O}_X\) 的一个局部截面 \(f\)，即某个开集 \(U\) 上的截面 \(f\)，被映到 \(f\) 与 \(s\) 在 \(U\) 上的限制之乘积。反过来，任意态射 \(\varphi : \mathcal{O}_X \to \mathcal{F}\) 都给出截面 \(s = \varphi(1)\)，并且 \(\varphi\) 正是与 \(s\) 关联的态射。

定义

设 \((X, \mathcal{O}_X)\) 为环空间，\(\mathcal{F}\) 为 \(\mathcal{O}_X\)-模层。若存在集合 \(I\) 以及整体截面 \(s_i \in \Gamma(X, \mathcal{F})\)（\(i \in I\)），使得映射 \[\bigoplus\nolimits_{i \in I} \mathcal{O}_X \longrightarrow \mathcal{F}\] 为满射，其中它在与 \(i\) 对应的直和项上就是与 \(s_i\) 关联的态射，则称 \(\mathcal{F}\) 由整体截面生成。在这种情形下，称诸截面 \(s_i\) 生成 \(\mathcal{F}\)。

我们经常沿用《层》第 0078 节引入的符号滥用：若 \(s\) 是定义在点 \(x \in X\) 的某个开邻域上的 \(\mathcal{F}\) 的局部截面，则以 \(s_x\)，甚至仍以 \(s\)，表示 \(s\) 在茎 \(\mathcal{F}_x\) 中的像。

引理

设 \((X, \mathcal{O}_X)\) 为环空间，\(\mathcal{F}\) 为 \(\mathcal{O}_X\)-模层， \(I\) 为集合，并设 \(s_i \in \Gamma(X, \mathcal{F})\)（\(i \in I\)）为整体截面。诸截面 \(s_i\) 生成 \(\mathcal{F}\)，当且仅当对所有 \(x\in X\)，诸元素 \(s_{i, x} \in \mathcal{F}_x\) 生成 \(\mathcal{O}_{X, x}\)-模 \(\mathcal{F}_x\)。

证明

略。

引理

设 \((X, \mathcal{O}_X)\) 为环空间，\(\mathcal{F}\)、\(\mathcal{G}\) 为 \(\mathcal{O}_X\)-模层。若 \(\mathcal{F}\) 与 \(\mathcal{G}\) 由整体截面生成，则 \(\mathcal{F} \otimes_{\mathcal{O}_X} \mathcal{G}\) 亦然。

证明

略。

引理

设 \((X, \mathcal{O}_X)\) 为环空间，\(\mathcal{F}\) 为 \(\mathcal{O}_X\)-模层， \(I\) 为集合。设 \(s_i\)（\(i \in I\)）为 \(\mathcal{F}\) 的一族局部截面，即对某些开集 \(U_i \subset X\) 有 \(s_i \in \mathcal{F}(U_i)\)。存在唯一的最小 \(\mathcal{O}_X\)-模子层 \(\mathcal{G}\)，使得每个 \(s_i\) 都对应于 \(\mathcal{G}\) 的一个局部截面。

证明

考虑由下述规则定义的 \(\mathcal{O}_X\)-模子预层： \[U \longmapsto \{ \text{形如 } \sum\nolimits_{i \in J} f_i (s_i|_U) \text{，其中 } J \text{ 有限，} U \subset U_i \text{ 若 } i\in J \text{，且 } f_i \in \mathcal{O}_X(U) \}\] 令 \(\mathcal{G}\) 为此子预层的层化。依《层》引理 0H7I，它是 \(\mathcal{F}\) 的子层。由于所有上述有限和显然都必须属于 \(\mathcal{G}\)，这正是所求的最小子层。

定义

设 \((X, \mathcal{O}_X)\) 为环空间，\(\mathcal{F}\) 为 \(\mathcal{O}_X\)-模层。给定集合 \(I\) 以及 \(\mathcal{F}\) 的局部截面 \(s_i\)（\(i \in I\)），称上述引理 01AP 中的子层 \(\mathcal{G}\) 为 由诸 \(s_i\) 生成的子层。

引理

设 \((X, \mathcal{O}_X)\) 为环空间，\(\mathcal{F}\) 为 \(\mathcal{O}_X\)-模层。给定集合 \(I\) 以及 \(\mathcal{F}\) 的局部截面 \(s_i\)（\(i \in I\)）。设 \(\mathcal{G}\) 为由诸 \(s_i\) 生成的子层，并设 \(x\in X\)。则 \(\mathcal{G}_x\) 是 \(\mathcal{F}_x\) 中由所有 \(s_{i, x}\) 生成的 \(\mathcal{O}_{X, x}\)-子模，其中 \(i\) 遍历使 \(s_i\) 在 \(x\) 处有定义的指标。

证明

这由引理 01AP 的证明中 \(\mathcal{G}\) 的构造立即可见。

模层与截面的支集

定义

设 \((X, \mathcal{O}_X)\) 为环空间，\(\mathcal{F}\) 为 \(\mathcal{O}_X\)-模层。

\(\mathcal{F}\) 的支集是所有满足 \(\mathcal{F}_x \not = 0\) 的点 \(x \in X\) 组成的集合。

以 \(\text{Supp}(\mathcal{F})\) 表示 \(\mathcal{F}\) 的支集。

设 \(s \in \Gamma(X, \mathcal{F})\) 为整体截面。\(s\) 的支集是所有使 \(s\) 的像 \(s_x \in \mathcal{F}_x\) 非零的点 \(x \in X\) 组成的集合。

由此当然也定义了局部截面的支集，因为局部截面就是 \(\mathcal{F}\) 的某个限制的整体截面。

引理

设 \((X, \mathcal{O}_X)\) 为环空间，\(\mathcal{F}\) 为 \(\mathcal{O}_X\)-模层， \(U \subset X\) 为开集。

\(s \in \mathcal{F}(U)\) 的支集在 \(U\) 中是闭集。

\(fs\) 的支集包含于 \(f \in \mathcal{O}_X(U)\) 与 \(s \in \mathcal{F}(U)\) 的支集之交。

\(s + s'\) 的支集包含于 \(s, s' \in \mathcal{F}(U)\) 的支集之并。

\(\mathcal{F}\) 的支集是 \(\mathcal{F}\) 的所有局部截面的支集之并。

若 \(\varphi : \mathcal{F} \to \mathcal{G}\) 为 \(\mathcal{O}_X\)-模层态射，则 \(\varphi(s)\) 的支集包含于 \(s \in \mathcal{F}(U)\) 的支集。

证明

这是因为，若 \(s_x = 0\)，则由茎的定义，\(s\) 在 \(x\) 的某个开邻域上为零。 \(f\) 的情形同理。细节从略。

一般而言，模层的支集不一定闭。例如，可在带通常阿基米德拓扑的 \(\mathbf{R}\) 上取一个阿贝尔群层，它是无穷多个非零摩天楼层的直和，其中每个摩天楼层都支撑在 \(\mathbf{R}\) 的单点 \(p_i\) 上。此时支集就是点集 \(\{p_i\}\)，而这个集合未必闭。

另一个例子是开浸入 \(j : U = (0 , \infty) \to \mathbf{R} = X\) 及阿贝尔群层 \(j_!\underline{\mathbf{Z}}_U\)。由《层》第 009Z 节，此层的支集恰为 \(U\)。

引理

设 \(X\) 为拓扑空间。环层的支集是闭集。

证明

这是因为，依我们的约定，一个环为 \(0\) 当且仅当 \(1 = 0\)；因此环层的支集就是其单位截面的支集。

闭浸入与阿贝尔群层

回忆，我们将拓扑空间 \(X\) 上的阿贝尔群层视为 \(\underline{\mathbf{Z}}_X\)-模层。因此，关于模层的任何结果和定义都可用于阿贝尔群层。

引理

设 \(X\) 为拓扑空间，\(Z \subset X\) 为闭子集。以 \(i : Z \to X\) 表示包含映射。函子 \[i_* : \textit{Ab}(Z) \longrightarrow \textit{Ab}(X)\] 是正合且全忠实的，其本质像恰由支集包含于 \(Z\) 的阿贝尔群层组成。函子 \(i^{-1}\) 是 \(i_*\) 的左逆。

证明

正合性由《层》引理 00AE 中的茎的描述及引理 01AG 得出。其余断言已在《层》引理 00AG 中证明。

设 \(\mathcal{F}\) 为拓扑空间 \(X\) 上的阿贝尔群层。给定闭子集 \(Z\)， \(\mathcal{F}\) 有一个典范阿贝尔子层，它恰由支集包含于 \(Z\) 的截面组成。准确陈述如下。

注

设 \(X\) 为拓扑空间，\(Z \subset X\) 为闭子集，\(\mathcal{F}\) 为 \(X\) 上的阿贝尔群层。对开集 \(U \subset X\)，定义 \[\mathcal{H}_Z(\mathcal{F})(U) = \{s \in \mathcal{F}(U) \mid \text{截面 }s\text{ 的支集包含于 }Z \cap U\}.\] 则 \(\mathcal{H}_Z(\mathcal{F})\) 是 \(\mathcal{F}\) 的阿贝尔子层，并且是 \(\mathcal{F}\) 中支集包含于 \(Z\) 的最大阿贝尔子层。由引理 01AX，可将（并且我们确实将） \(\mathcal{H}_Z(\mathcal{F})\) 视为 \(Z\) 上的阿贝尔群层。如此得到左正合函子 \[\textit{Ab}(X) \longrightarrow \textit{Ab}(Z),\quad \mathcal{F} \longmapsto \mathcal{H}_Z(\mathcal{F}) \text{视为 }Z\text{ 上的阿贝尔群层}\] 上述所有断言均直接由引理 01AU 得出。

这里正好可以证明，函子 \(i_*\) 在阿贝尔群层上有右伴随。

引理

设 \(i : Z \to X\) 为闭子集到拓扑空间 \(X\) 的包含映射。注 01AY 中的函子 \(\textit{Ab}(X) \to \textit{Ab}(Z)\)， \(\mathcal{F} \mapsto \mathcal{H}_Z(\mathcal{F})\)，是 \(i_* : \textit{Ab}(Z) \to \textit{Ab}(X)\) 的右伴随。特别地， \(i_*\) 与任意余极限可交换。

证明

只需证明，对 \(X\) 上任意阿贝尔群层 \(\mathcal{F}\) 以及 \(Z\) 上任意阿贝尔群层 \(\mathcal{G}\)，都有 \[\Hom_{\textit{Ab}(X)}(i_*\mathcal{G}, \mathcal{F}) = \Hom_{\textit{Ab}(Z)}(\mathcal{G}, \mathcal{H}_Z(\mathcal{F}))\] 这是显然的，因为 \(i_*\mathcal{G}\) 的任意截面的支集终究都包含于 \(Z\)。细节从略。

注

在《层》注 00AI 中，我们证明了： \(i_*\) 作为集合层范畴上的函子没有右伴随，原因很简单，它不正合。不过，与此非常接近的说法确实成立。事实上，函子 \(i_*\) 在带基点集合层上正合；对带基点集合层可以定义支集包含于 \(Z\) 的截面，而 \(\mathcal{H}_Z\) 也有意义，并且是 \(i_*\) 的右伴随。

一个典范正合列

我们为这个正合列单列一节。

引理

设 \(X\) 为拓扑空间，\(U \subset X\) 为开子集，其补集为 \(Z \subset X\)。以 \(j : U \to X\) 表示开浸入，以 \(i : Z \to X\) 表示闭浸入。对 \(X\) 上任意阿贝尔群层 \(\mathcal{F}\)，伴随态射 \(j_{!}j^{-1}\mathcal{F} \to \mathcal{F}\) 与 \(\mathcal{F} \to i_*i^{-1}\mathcal{F}\) 给出阿贝尔群层的短正合列 \[0 \to j_{!}j^{-1}\mathcal{F} \to \mathcal{F} \to i_*i^{-1}\mathcal{F} \to 0\] 。对 \(X\) 上阿贝尔群层的任意态射 \(\varphi : \mathcal{F} \to \mathcal{G}\)，得到如下短正合列之间的态射： \[\xymatrix{ 0 \ar[r] & j_{!}j^{-1}\mathcal{F} \ar[r] \ar[d] & \mathcal{F} \ar[r] \ar[d] & i_*i^{-1}\mathcal{F} \ar[r] \ar[d] & 0 \\ 0 \ar[r] & j_{!}j^{-1}\mathcal{G} \ar[r] & \mathcal{G} \ar[r] & i_*i^{-1}\mathcal{G} \ar[r] & 0 }\]

证明

短正合列的函子性立即来自伴随态射的自然性。可在茎上检验正合性（引理 01AG）。关于这里所涉及的茎的描述，见《层》引理 00A5 与 00AE。

局部由截面生成的模层

设 \((X, \mathcal{O}_X)\) 为环空间。在本节及下一节中，我们常把层限制到开子空间 \(U \subset X\)，见《层》第 009Z 节。特别地，我们常以 \((U, \mathcal{O}_U)\) 表示这个开子空间，而不用更准确的记号 \((U, \mathcal{O}_X|_U)\)，见《层》定义 00A1。

考虑开浸入 \(j : U = (0 , \infty) \to \mathbf{R} = X\) 以及阿贝尔群层 \(j_!\underline{\mathbf{Z}}_U\)。由《层》第 009Z 节，\(j_!\underline{\mathbf{Z}}_U\) 在 \(x = 0\) 处的茎为 \(0\)。事实上，此层在任意包含 \(0\) 的开区间上的截面都为 \(0\)。因此，不存在点 \(0\) 的开邻域，使得此层在其上可由截面生成。

定义

设 \((X, \mathcal{O}_X)\) 为环空间，\(\mathcal{F}\) 为 \(\mathcal{O}_X\)-模层。若对每个 \(x \in X\) 都存在 \(x\) 的开邻域 \(U\)，使得 \(\mathcal{F}|_U\) 作为 \(\mathcal{O}_U\)-模层是整体生成的，则称 \(\mathcal{F}\) 局部由截面生成。

换言之，存在集合 \(I\)，且对每个 \(i\) 存在截面 \(s_i \in \mathcal{F}(U)\)，使得相应态射 \[\bigoplus\nolimits_{i \in I} \mathcal{O}_U \longrightarrow \mathcal{F}|_U\] 为满射。

引理

设 \(f : (X, \mathcal{O}_X) \to (Y, \mathcal{O}_Y)\) 为环空间态射。若 \(\mathcal{G}\) 局部由截面生成，则其拉回 \(f^*\mathcal{G}\) 亦然。

证明

给定 \(Y\) 的开子空间 \(V\)，可考虑如下环空间交换图： \[\xymatrix{ (f^{-1}V, \mathcal{O}_{f^{-1}V}) \ar[r]_{j'} \ar[d]_{f'} & (X, \mathcal{O}_X) \ar[d]^f \\ (V, \mathcal{O}_V) \ar[r]^j & (Y, \mathcal{O}_Y) }\] 我们知道 \(f^*\mathcal{G}|_{f^{-1}V} \cong (f')^*(\mathcal{G}|_V)\)，见《层》引理 0097。因此可设 \(\mathcal{G}\) 是整体生成的。

由引理 01AJ，我们已经知道 \(f^*\) 与所有余极限可交换，并且是右正合的。因此，若有满射 \[\bigoplus\nolimits_{i \in I} \mathcal{O}_Y \to \mathcal{G} \to 0\] ，则施用 \(f^*\) 后得到满射 \[\bigoplus\nolimits_{i \in I} \mathcal{O}_X \to f^*\mathcal{G} \to 0.\] 这就证明了引理。

有限型模层

定义

设 \((X, \mathcal{O}_X)\) 为环空间，\(\mathcal{F}\) 为 \(\mathcal{O}_X\)-模层。若对每个 \(x \in X\) 都存在开邻域 \(U\)，使得 \(\mathcal{F}|_U\) 由有限多个截面生成，则称 \(\mathcal{F}\) 是有限型的。

引理

设 \(f : (X, \mathcal{O}_X) \to (Y, \mathcal{O}_Y)\) 为环空间态射。有限型 \(\mathcal{O}_Y\)-模层的拉回 \(f^*\mathcal{G}\) 是有限型 \(\mathcal{O}_X\)-模层。

证明

按照引理 01B3 的证明，可设 \(\mathcal{G}\) 由有限多个整体截面生成。由引理 01AJ，我们已经知道 \(f^*\) 与所有余极限可交换，并且是右正合的。因此，若有满射 \[\bigoplus\nolimits_{i = 1, \ldots, n} \mathcal{O}_Y \to \mathcal{G} \to 0\] ，则施用 \(f^*\) 后得到满射 \[\bigoplus\nolimits_{i = 1, \ldots, n} \mathcal{O}_X \to f^*\mathcal{G} \to 0.\] 这就证明了引理。

引理

设 \(X\) 为环空间。有限型 \(\mathcal{O}_X\)-模层之间态射的像是有限型的。设 \(0 \to \mathcal{F}_1 \to \mathcal{F}_2 \to \mathcal{F}_3 \to 0\) 为 \(\mathcal{O}_X\)-模层的短正合列。若 \(\mathcal{F}_1\) 与 \(\mathcal{F}_3\) 是有限型的，则 \(\mathcal{F}_2\) 也是有限型的。

证明

关于像的断言是平凡的。关于短正合列的断言来自以下事实： \(\mathcal{F}_3\) 的截面局部地可提升为 \(\mathcal{F}_2\) 的截面，并且环上模范畴中有相应结论（例如将其用于各个茎）。

引理

设 \(X\) 为环空间，\(\varphi : \mathcal{G} \to \mathcal{F}\) 为 \(\mathcal{O}_X\)-模层同态，且 \(x \in X\)。假设 \(\mathcal{F}\) 是有限型的，并且茎上的映射 \(\varphi_x : \mathcal{G}_x \to \mathcal{F}_x\) 为满射。则存在开邻域 \(x \in U \subset X\)，使得 \(\varphi|_U\) 为满射。

证明

取 \(x\) 的开邻域 \(U \subset X\)，使得 \(\mathcal{F}\) 在 \(U\) 上由 \(s_1, \ldots, s_n \in \mathcal{F}(U)\) 生成。由 \(\varphi_x\) 的满射性，缩小 \(U\) 后可设 \(s_i = \varphi(t_i)\)，其中 \(t_i \in \mathcal{G}(U)\)。于是这个 \(U\) 满足要求。

引理

设 \(X\) 为环空间，\(\mathcal{F}\) 为 \(\mathcal{O}_X\)-模层，且 \(x \in X\)。假设 \(\mathcal{F}\) 是有限型的并且 \(\mathcal{F}_x = 0\)。则存在开邻域 \(x \in U \subset X\)，使得 \(\mathcal{F}|_U\) 为零。

证明

这是把引理 01B8 用于态射 \(0 \to \mathcal{F}\) 所得的特殊情形。

引理

设 \((X, \mathcal{O}_X)\) 为环空间，\(\mathcal{F}\) 为 \(\mathcal{O}_X\)-模层。若 \(\mathcal{F}\) 是有限型的，则 \(\mathcal{F}\) 的支集是闭集。

证明

这只是引理 01B9 的改述。

引理

设 \(X\) 为环空间，\(I\) 为预序集，并设 \((\mathcal{F}_i, f_{ii'})\) 为 \(I\) 上由 \(\mathcal{O}_X\)-模层组成的系统（见《范畴论》第 002Z 节）。令 \(\mathcal{F} = \colim \mathcal{F}_i\) 为其余极限。假设 (a) \(I\) 有向；(b) \(\mathcal{F}\) 是有限型 \(\mathcal{O}_X\)-模层； (c) \(X\) 拟紧。则存在 \(i\)，使得 \(\mathcal{F}_i \to \mathcal{F}\) 为满射。若转移映射 \(f_{ii'}\) 都是单射，则可得对某个 \(i \in I\) 有 \(\mathcal{F} = \mathcal{F}_i\)。

证明

设 \(x \in X\)。存在 \(x\) 的开邻域 \(U \subset X\) 及有限多个截面 \(s_j \in \mathcal{F}(U)\)（\(j = 1, \ldots, m\)），使得 \(s_1, \ldots, s_m\) 作为 \(\mathcal{O}_U\)-模层生成 \(\mathcal{F}\)。必要时把 \(U\) 缩小为 \(x\) 的更小开邻域，可设每个 \(s_j\) 都来自某个 \(i \in I\) 所对应的 \(\mathcal{F}_i\) 的截面。于是，由于 \(X\) 拟紧，可找到有限开覆盖 \(X = \bigcup_{j = 1, \ldots, m} U_j\)；对每个 \(j\)，可找到指标 \(i_j\) 及有限多个截面 \(s_{jl} \in \mathcal{F}_{i_j}(U_j)\)，使它们的像生成 \(\mathcal{F}\) 在 \(U_j\) 上的限制。显然，任取不小于所有 \(i_j\) 的指标 \(i \in I\)，引理的结论都成立。

引理

设 \(X\) 为环空间。存在一组有限型 \(\mathcal{O}_X\)-模层 \(\{\mathcal{F}_i\}_{i \in I}\)，使得 \(X\) 上每个有限型 \(\mathcal{O}_X\)-模层都恰与其中一个 \(\mathcal{F}_i\) 同构。

证明

对每个开覆盖 \(\mathcal{U} : X = \bigcup U_j\)，考虑这样的 \(\mathcal{O}_X\)-模层 \(\mathcal{F}\)：每个限制 \(\mathcal{F}|_{U_j}\) 都是某个 \(r_j \geq 0\) 所对应的 \(\mathcal{O}_{U_j}^{\oplus r_j}\) 的商。这些层由子层 \(\mathcal{K}_j \subset \mathcal{O}_{U_j}^{\oplus r_j}\) 及粘合数据参数化： \[\varphi_{jj'} : \mathcal{O}_{U_j \cap U_{j'}}^{\oplus r_j}/ (\mathcal{K}_j|_{U_j \cap U_{j'}}) \longrightarrow \mathcal{O}_{U_j \cap U_{j'}}^{\oplus r_{j'}}/ (\mathcal{K}_{j'}|_{U_j \cap U_{j'}})\] 见《层》第 00AK 节。注意，所有粘合数据组成一个集合。所有满足映射 \(J \to \mathcal{P}(X)\)，\(j \mapsto U_j\) 为单射的覆盖 \(\mathcal{U} : X = \bigcup_{j \in J} U_i\) 也组成一个集合。因此，由上述商粘合而成的所有 \(\mathcal{O}_X\)-模层组成一个集合 \(\mathcal{I}\)。按定义，每个有限型 \(\mathcal{O}_X\)-模层都与 \(\mathcal{I}\) 中的某个元素同构。从 \(\mathcal{I}\) 内每个同构类中选取一个元素，便得到所求的层集（这里使用选择公理）。

拟凝聚模层

本节引入拟凝聚 \(\mathcal{O}_X\)-模层这一抽象概念。它在代数几何中非常有用，因为概形上的拟凝聚模层在任意仿射开集上都有良好的描述。不过我们提醒读者：在一般的（局部）环空间情形下，这一概念的行为很差。拟凝聚层范畴一般不是阿贝尔范畴；拟凝聚层的无穷直和也未必拟凝聚；等等。

定义

设 \((X, \mathcal{O}_X)\) 为环空间，\(\mathcal{F}\) 为 \(\mathcal{O}_X\)-模层。若对每个点 \(x \in X\) 都存在开邻域 \(x\in U \subset X\)，使得 \(\mathcal{F}|_U\) 同构于某个如下态射的余核： \[\bigoplus\nolimits_{j \in J} \mathcal{O}_U \longrightarrow \bigoplus\nolimits_{i \in I} \mathcal{O}_U\] 则称 \(\mathcal{F}\) 为拟凝聚 \(\mathcal{O}_X\)-模层。拟凝聚 \(\mathcal{O}_X\)-模层的范畴记为 \(\QCoh(\mathcal{O}_X)\)。

此定义是说，\(X\) 可由这样的开集 \(U\) 覆盖：\(\mathcal{F}|_U\) 具有如下形式的表示： \[\bigoplus\nolimits_{j \in J} \mathcal{O}_U \longrightarrow \bigoplus\nolimits_{i \in I} \mathcal{O}_U \longrightarrow \mathcal{F}|_U \longrightarrow 0.\] 这里“表示”是指所展示的序列正合。换言之：

对 \(X\) 的每个点 \(x\)，都存在一个开邻域 \(U\)，使得 \(\mathcal{F}|_U\) 由整体截面生成；
适当选取这些截面后，相应满射的核也由整体截面生成。

引理

设 \((X, \mathcal{O}_X)\) 为环空间。两个拟凝聚 \(\mathcal{O}_X\)-模层的直和仍是拟凝聚 \(\mathcal{O}_X\)-模层。

证明

略。

注

警告：拟凝聚 \(\mathcal{O}_X\)-模层的无穷直和一般并非拟凝聚的。关于拟凝聚模层更为奇特的行为，见例 01BL。

引理

设 \(f : (X, \mathcal{O}_X) \to (Y, \mathcal{O}_Y)\) 为环空间态射。拟凝聚 \(\mathcal{O}_Y\)-模层的拉回 \(f^*\mathcal{G}\) 是拟凝聚的。

证明

按照引理 01B3 的证明，可设 \(\mathcal{G}\) 有一个由若干份 \(\mathcal{O}_Y\) 的直和给出的整体表示。由引理 01AJ，我们已经知道 \(f^*\) 与所有余极限可交换，并且是右正合的。因此，若有正合列 \[\bigoplus\nolimits_{j \in J} \mathcal{O}_Y \longrightarrow \bigoplus\nolimits_{i \in I} \mathcal{O}_Y \longrightarrow \mathcal{G} \longrightarrow 0\] ，则施用 \(f^*\) 后得到正合列 \[\bigoplus\nolimits_{j \in J} \mathcal{O}_X \longrightarrow \bigoplus\nolimits_{i \in I} \mathcal{O}_X \longrightarrow f^*\mathcal{G} \longrightarrow 0.\] 这就证明了引理。

这给出了大量拟凝聚层的例子。

引理

设 \((X, \mathcal{O}_X)\) 为环空间， \(\alpha : R \to \Gamma(X, \mathcal{O}_X)\) 为从环 \(R\) 到 \(X\) 上整体截面环的环同态，并设 \(M\) 为 \(R\)-模。下列三种构造给出典范同构的 \(\mathcal{O}_X\)-模层：

令 \(\pi : (X, \mathcal{O}_X) \longrightarrow (\{*\}, R)\) 为如下环空间态射：\(\pi : X \to \{*\}\) 是唯一映射，且 \(\pi\)-映射 \(\pi^\sharp\) 是给定同态 \(\alpha : R \to \Gamma(X, \mathcal{O}_X)\)。置 \(\mathcal{F}_1 = \pi^*M\)。

选取一个表示 \(\bigoplus_{j \in J} R \to \bigoplus_{i \in I} R \to M \to 0\). Set \[\mathcal{F}_2 = \Coker\left( \bigoplus\nolimits_{j \in J} \mathcal{O}_X \to \bigoplus\nolimits_{i \in I} \mathcal{O}_X \right).\] 这里，在与 \(j \in J\) 对应的分量 \(\mathcal{O}_X\) 上，此态射由截面 \(\sum_i \alpha(r_{ij})\) 给出，其中 \(r_{ij}\) 是 \(M\) 的表示中该态射的矩阵系数。

令 \(\mathcal{F}_3\) 为预层 \(U \mapsto \mathcal{O}_X(U) \otimes_R M\) 所关联的层，其中映射 \(R \to \mathcal{O}_X(U)\) 是 \(\alpha\) 与限制映射 \(\mathcal{O}_X(X) \to \mathcal{O}_X(U)\) 的复合。

此构造具有下列性质：

所得 \(\mathcal{O}_X\)-模层 \(\mathcal{F}_M = \mathcal{F}_1 = \mathcal{F}_2 = \mathcal{F}_3\) 是拟凝聚的。

此构造给出从 \(R\)-模范畴到 \(X\) 上拟凝聚层范畴的函子，并且它与任意余极限可交换。

对任意 \(x \in X\)，有 \(\mathcal{F}_{M, x} = \mathcal{O}_{X, x} \otimes_R M\)，且该等式关于 \(M\) 是函子性的。

给定任意 \(\mathcal{O}_X\)-模层 \(\mathcal{G}\)，有 \[\Mor_{\mathcal{O}_X}(\mathcal{F}_M, \mathcal{G}) = \Hom_R(M, \Gamma(X, \mathcal{G}))\] 其中 \(\Gamma(X, \mathcal{G})\) 上的 \(R\)-模结构由其 \(\Gamma(X, \mathcal{O}_X)\)-模结构经 \(\alpha\) 得到。

证明

由于 \(\pi^*\) 按定义就是第 (3) 项中预层的层化，故 \(\mathcal{F}_1\) 与 \(\mathcal{F}_3\) 同构，见《层》第 0094 节。第 (2) 项与第 (1) 项的构造同构，是因为函子 \(\pi^*\) 右正合，所以 \(\pi^*(\bigoplus_{j \in J} R) \to \pi^*(\bigoplus_{i \in I} R) \to \pi^*M \to 0\) 正合；\(\pi^*\) 与任意直和可交换，见引理 01AJ；最后还要用到 \(\pi^*(R) = \mathcal{O}_X\)。

断言 (1) 由构造 (2) 显然成立。断言 (2) 由 \(\pi^*\) 具有上述性质显然成立。断言 (3) 来自拉回层之茎的描述，见《层》引理 0098。断言 (4) 来自 \(\pi_*\) 与 \(\pi^*\) 的伴随性。

定义

在引理 01BH 的情形下，称 \(\mathcal{F}_M\) 为与模 \(M\) 及环同态 \(\alpha\) 关联的层。若 \(R = \Gamma(X, \mathcal{O}_X)\) 且 \(\alpha = \text{id}_R\)，则简称 \(\mathcal{F}_M\) 为与模 \(M\) 关联的层。

引理

设 \((X, \mathcal{O}_X)\) 为环空间，并置 \(R = \Gamma(X, \mathcal{O}_X)\)。设 \(M\) 为 \(R\)-模，\(\mathcal{F}_M\) 为与 \(M\) 关联的拟凝聚 \(\mathcal{O}_X\)-模层。若 \(g : (Y, \mathcal{O}_Y) \to (X, \mathcal{O}_X)\) 为环空间态射，则 \(g^*\mathcal{F}_M\) 是与 \(\Gamma(Y, \mathcal{O}_Y)\)-模 \(\Gamma(Y, \mathcal{O}_Y) \otimes_R M\) 关联的层。

证明

由引理 01BH 中把 \(\mathcal{F}_M\) 描述为 \(\pi^*M\) 的第一种描述，以及如下环空间交换图，即可得到断言： \[\xymatrix{ (Y, \mathcal{O}_Y) \ar[r]_-\pi \ar[d]_g & (\{*\}, \Gamma(Y, \mathcal{O}_Y)) \ar[d]^{\text{由 }g^\sharp\text{ 诱导}} \\ (X, \mathcal{O}_X) \ar[r]^-\pi & (\{*\}, \Gamma(X, \mathcal{O}_X)) }\] （还要使用《层》引理 0097。）

引理

设 \((X, \mathcal{O}_X)\) 为环空间，\(x \in X\) 为一点。假设 \(x\) 有拟紧邻域基。任取拟凝聚 \(\mathcal{O}_X\)-模层 \(\mathcal{F}\)。则存在 \(x\) 的开邻域 \(U\)，使得 \(\mathcal{F}|_U\) 同构于 \((U, \mathcal{O}_U)\) 上与某个 \(\Gamma(U, \mathcal{O}_U)\)-模 \(M\) 关联的模层 \(\mathcal{F}_M\)。

证明

首先，可用 \(x\) 的一个开邻域替换 \(X\)，并设 \(\mathcal{F}\) 同构于如下态射的余核： \[\Psi : \bigoplus\nolimits_{j \in J} \mathcal{O}_X \longrightarrow \bigoplus\nolimits_{i \in I} \mathcal{O}_X.\] 问题在于，这一态射未必由一个“矩阵”给出，因为直和的整体截面模一般不同于各整体截面模的直和。

取 \(x\) 的拟紧邻域 \(x \in E \subset X\)（注意，\(E\) 未必开），再取包含于 \(E\) 的开邻域 \(x \in U \subset E\)。接着仿照引理 01AI 的证明。对每个 \(j \in J\)，以 \(s_j \in \Gamma(X, \bigoplus\nolimits_{i \in I} \mathcal{O}_X)\) 表示与 \(j\) 对应的直和项 \(\mathcal{O}_X\) 中截面 \(1\) 的像。存在有限族开集 \(U_{jk}\)（\(k \in K_j\)），使得 \(E \subset \bigcup_{k \in K_j} U_{jk}\)，并且每个限制 \(s_j|_{U_{jk}}\) 都是有限和 \(\sum_{i \in I_{jk}} f_{jki}\)，其中 \(I_{jk} \subset I\)，且 \(f_{jki}\) 属于与 \(i \in I\) 对应的直和项 \(\mathcal{O}_X\)。置 \(I_j = \bigcup_{k \in K_j} I_{jk}\)；这是有限集。由于 \(U \subset E \subset \bigcup_{k \in K_j} U_{jk}\)，截面 \(s_j|_U\) 是有限直和 \(\bigoplus_{i \in I_j} \mathcal{O}_X\) 的截面。由引理 01AH，实际上 \(s_j|_U\) 是和 \(\sum_{i \in I_j} f_{ij}\)，其中 \(f_{ij} \in \mathcal{O}_X(U) = \Gamma(U, \mathcal{O}_U)\)。

现在可将模 \(M\) 定义为如下映射的余核： \[\bigoplus\nolimits_{j \in J} \Gamma(U, \mathcal{O}_U) \longrightarrow \bigoplus\nolimits_{i \in I} \Gamma(U, \mathcal{O}_U)\] 其矩阵由 \((f_{ij})\) 给出。由引理 01BH 的构造 (2)，可见 \(\mathcal{F}_M\) 与 \(\mathcal{F}|_U\) 有相同的表示，因而 \(\mathcal{F}_M \cong \mathcal{F}|_U\)。

例

令 \(X\) 为可数多个实直线副本 \(L_1, L_2, L_3, \ldots\) 在 \(0\) 处全部粘合而成的空间；\(0\) 的一个邻域基为 \(\{U_n\}_{n \in \mathbf{N}}\)，其中 \(U_n \cap L_i = (-1/n, 1/n)\)。令 \(\mathcal{O}_X\) 为实值连续函数层。设 \(f : \mathbf{R} \to \mathbf{R}\) 为连续函数，它在 \((-1, 1)\) 上恒为零，而在 \((-\infty, -2) \cup (2, \infty)\) 上恒为 \(1\)。以 \(f_n\) 表示 \(X\) 上的连续函数，它在每条 \(L_j = \mathbf{R}\) 上都等于 \(x \mapsto f(nx)\)。令 \(1_{L_j}\) 为 \(L_j\) 的示性函数。考虑映射 \[\bigoplus\nolimits_{j \in \mathbf{N}} \mathcal{O}_X \longrightarrow \bigoplus\nolimits_{j, i \in \mathbf{N}} \mathcal{O}_X, \quad e_j \longmapsto \sum\nolimits_{i \in \mathbf{N}} f_j 1_{L_i} e_{ij}\] ，其中记号含义显然。这一定义有意义，因为 \(f_j\) 在 \(0\) 的一个邻域上为零，故该和局部有限。在 \(U_n\) 上，当 \(j > 2n\) 时，\(e_j\) 的像不能写成 \(\sum g_{ij} e_{ij}\) 这样的有限线性组合，其中 \(g_{ij}\) 连续。因此，不存在 \(0 \in X\) 的邻域，使所展示的映射像上面引理 01BK 的证明中那样由一个“矩阵”给出。

注意，\(\bigoplus\nolimits_{j \in \mathbf{N}} \mathcal{O}_X\) 是与以 \(e_j\) 为基的自由模关联的层；另一个直和亦然。因此可见，与模关联的层之间的态射一般即使在 \(X\) 上局部地也未必来自模之间的态射。类似地，应当存在环空间 \(X\) 与拟凝聚 \(\mathcal{O}_X\)-模层 \(\mathcal{F}\)，使得 \(\mathcal{F}\) 局部地也不具有 \(\mathcal{F}_M\) 的形式。（若找到这样的例子，请发电子邮件告知。）此外，应当还存在局部紧空间 \(X\) 及态射 \(\mathcal{F}_M \to \mathcal{F}_N\)，它们局部地也不来自模之间的态射（引理 01BK 的证明表明，若 \(N\) 自由，这种情形不会发生）。

有限表示模层

定义如下。

定义

设 \((X, \mathcal{O}_X)\) 为环空间，\(\mathcal{F}\) 为 \(\mathcal{O}_X\)-模层。若对每个点 \(x \in X\)，都存在开邻域 \(x\in U \subset X\) 以及 \(n, m \in \mathbf{N}\)，使得 \(\mathcal{F}|_U\) 同构于如下态射的余核： \[\bigoplus\nolimits_{j = 1, \ldots, m} \mathcal{O}_U \longrightarrow \bigoplus\nolimits_{i = 1, \ldots, n} \mathcal{O}_U\] 则称 \(\mathcal{F}\) 是有限表示的。

这就是说，\(X\) 可由这样的开集 \(U\) 覆盖：\(\mathcal{F}|_U\) 有如下形式的表示： \[\bigoplus\nolimits_{j = 1, \ldots, m} \mathcal{O}_U \longrightarrow \bigoplus\nolimits_{i = 1, \ldots, n} \mathcal{O}_U \to \mathcal{F}|_U \to 0.\] 这里“表示”是指所展示的序列正合。换言之：

对 \(X\) 的每个点 \(x\)，都存在一个开邻域 \(U\)，使得 \(\mathcal{F}|_U\) 由有限多个整体截面生成；
适当选取这些截面后，相应满射的核也由有限多个整体截面生成。

引理

设 \((X, \mathcal{O}_X)\) 为环空间。任意有限表示 \(\mathcal{O}_X\)-模层都是拟凝聚的。

证明

由定义立即得到。

引理

设 \((X,\mathcal{O}_X)\) 为环空间，\(\mathcal{F}\) 为有限表示 \(\mathcal{O}_X\)-模层，并设 \(\varphi : \mathcal{G} \to \mathcal{F}\) 为 \(\mathcal{O}_X\)-模层态射。若 \(\mathcal{G}\) 是有限型的，则 \(\Coker(\varphi)\) 是有限表示的。

证明

在 \(X\) 上局部地，可写成 \(\mathcal{F} = \mathcal{O}_X^{\oplus n} / \mathcal{M}\)，其中 \(\mathcal{M} \subset \mathcal{O}_X^{\oplus n}\) 是有限型 \(\mathcal{O}_X\)-子模层。因此 \(\Im(\varphi) = \mathcal{N} / \mathcal{M}\)，其中 \(\mathcal{N} \subset \mathcal{O}_X^{\oplus n}\) 是包含 \(\mathcal{M}\) 的 \(\mathcal{O}_X\)-子模层。由于 \(\mathcal{G} \to \Im(\varphi)\) 为满射且 \(\mathcal{G}\) 是有限型的，\(\mathcal{O}_X\)-模层 \(\Im(\varphi)\) 是有限型的。由引理 01B7，\(\mathcal{N}\) 是有限型的。因此 \(\Coker(\varphi) = \mathcal{O}_X^{\oplus n} / \mathcal{N}\) 是有限表示的。

引理

设 \((X, \mathcal{O}_X)\) 为环空间，\(\mathcal{F}\) 为有限表示 \(\mathcal{O}_X\)-模层。

若 \(\psi : \mathcal{O}_X^{\oplus r} \to \mathcal{F}\) 为满射，则 \(\Ker(\psi)\) 是有限型的。

若 \(\theta : \mathcal{G} \to \mathcal{F}\) 为满射且 \(\mathcal{G}\) 是有限型的，则 \(\Ker(\theta)\) 是有限型的。

证明

先证 (1)。设 \(x \in X\)。取 \(x\) 的开邻域 \(U \subset X\)，使得存在表示 \[\mathcal{O}_U^{\oplus m} \xrightarrow{\chi} \mathcal{O}_U^{\oplus n} \xrightarrow{\varphi} \mathcal{F}|_U \to 0.\] 令 \(e_k\) 为生成 \(\mathcal{O}_X^{\oplus r}\) 第 \(k\) 个直和因子的截面。对每个 \(k = 1, \ldots, r\)，把 \(U\) 缩小为 \(x\) 的一个较小邻域后，可将 \(\psi(e_k)\) 提升为 \(U\) 上 \(\mathcal{O}_U^{\oplus n}\) 的截面 \(\tilde e_k\)。由此得到层态射 \(\alpha : \mathcal{O}_U^{\oplus r} \to \mathcal{O}_U^{\oplus n}\)，满足 \(\varphi \circ \alpha = \psi\)。类似地，缩小 \(U\) 后可找到态射 \(\beta : \mathcal{O}_U^{\oplus n} \to \mathcal{O}_U^{\oplus r}\)，满足 \(\psi \circ \beta = \varphi\)。于是映射 \[\mathcal{O}_U^{\oplus m} \oplus \mathcal{O}_U^{\oplus r} \xrightarrow{\beta \circ \chi, 1 - \beta \circ \alpha} \mathcal{O}_U^{\oplus r}\] 满射到 \(\psi\) 的核。

为证 (2)，可局部选取满射 \(\eta : \mathcal{O}_X^{\oplus r} \to \mathcal{G}\)。由 (1)， \(\Ker(\theta \circ \eta)\) 是有限型的。由于 \(\Ker(\theta) = \eta(\Ker(\theta \circ \eta))\)，结论成立。

引理

设 \(f : (X, \mathcal{O}_X) \to (Y, \mathcal{O}_Y)\) 为环空间态射。有限表示模层的拉回 \(f^*\mathcal{G}\) 仍是有限表示的。

证明

与引理 01BG 的证明完全相同，只是指标集都是有限的。

引理

设 \((X, \mathcal{O}_X)\) 为环空间，置 \(R = \Gamma(X, \mathcal{O}_X)\)，并设 \(M\) 为 \(R\)-模。与 \(M\) 关联的 \(\mathcal{O}_X\)-模层 \(\mathcal{F}_M\) 是有限表示 \(\mathcal{O}_X\)-模层的有向余极限。

证明

这立即由引理 01BH 以及任意模都是有限表示模的有向余极限这一事实得到，见《代数》引理 00HA。

引理

设 \((X, \mathcal{O}_X)\) 为环空间，\(\mathcal{F}\) 为有限表示 \(\mathcal{O}_X\)-模层。设 \(x \in X\) 且 \(\mathcal{F}_x \cong \mathcal{O}_{X, x}^{\oplus r}\)。则存在 \(x\) 的开邻域 \(U\)，使得 \(\mathcal{F}|_U \cong \mathcal{O}_U^{\oplus r}\)。

证明

选取 \(s_1, \ldots, s_r \in \mathcal{F}_x\)，使它们经该同构映到 \(\mathcal{O}_{X, x}^{\oplus r}\) 的一组基。取 \(x\) 的开邻域 \(U\)，使每个 \(s_i\) 都提升为 \(s_i \in \mathcal{F}(U)\)。缩小 \(U\) 后，诱导态射 \(\psi : \mathcal{O}_U^{\oplus r} \to \mathcal{F}|_U\) 为满射（引理 01B8）。由引理 01BP， \(\Ker(\psi)\) 是有限型的。于是 \(\Ker(\psi)_x = 0\) 意味着再次缩小 \(U\) 后 \(\Ker(\psi)\) 变为零（引理 01B9）。

凝聚模层

本节的参考文献为 [FAC]。

环空间 \(X\) 上的凝聚层范畴比拟凝聚层范畴更为合理：无论 \(X\) 如何，它至少都是 \(\textit{Mod}(\mathcal{O}_X)\) 的阿贝尔子范畴。另一方面，在一般环空间的情形下，凝聚模层的拉回“几乎从不”凝聚。

定义

设 \((X, \mathcal{O}_X)\) 为环空间，\(\mathcal{F}\) 为 \(\mathcal{O}_X\)-模层。若下列两个条件成立，则称 \(\mathcal{F}\) 为凝聚 \(\mathcal{O}_X\)-模层：

\(\mathcal{F}\) 是有限型的；

对每个开集 \(U \subset X\) 及每个有限族 \(s_i \in \mathcal{F}(U)\)（\(i = 1, \ldots, n\)），相应态射 \(\bigoplus_{i = 1, \ldots, n} \mathcal{O}_U \to \mathcal{F}|_U\) 的核都是有限型的。

凝聚 \(\mathcal{O}_X\)-模层的范畴记为 \(\textit{Coh}(\mathcal{O}_X)\)。

引理

设 \((X, \mathcal{O}_X)\) 为环空间。任意凝聚 \(\mathcal{O}_X\)-模层都是有限表示的，因而是拟凝聚的。

证明

设 \(\mathcal{F}\) 为 \(X\) 上的凝聚层。取一点 \(x \in X\)。由凝聚定义的 (1)，可找到开邻域 \(U\) 及 \(\mathcal{F}\) 在 \(U\) 上的截面 \(s_i\)（\(i = 1, \ldots, n\)），使得 \(\Psi : \bigoplus_{i = 1, \ldots, n} \mathcal{O}_U \to \mathcal{F}\) 为满射。由凝聚定义的 (2)，可找到开邻域 \(x \in V \subset U\) 以及 \(\bigoplus_{i = 1, \ldots, n} \mathcal{O}_V\) 的截面 \(t_1, \ldots, t_m\)，它们生成 \(\Psi|_V\) 的核。于是，在 \(V\) 上得到表示 \[\bigoplus\nolimits_{j = 1, \ldots, m} \mathcal{O}_V \longrightarrow \bigoplus\nolimits_{i = 1, \ldots, n} \mathcal{O}_V \to \mathcal{F}|_V \to 0\] ，如所求。

例

假设 \(X\) 是一个点。此时上述定义给出了环上模的一个概念。 “凝聚”的定义意味着什么？它与诺特性密切相关，但二者并不相同。事实上，环 \(R = \mathbf{C}[x_1, x_2, x_3, \ldots]\) 作为自身上的模是凝聚的，却不是诺特的。更多讨论见《代数》第 05CU 节。

引理

设 \((X, \mathcal{O}_X)\) 为环空间。

凝聚层的任意有限型子层都是凝聚的。

设 \(\varphi : \mathcal{F} \to \mathcal{G}\) 为从有限型层 \(\mathcal{F}\) 到凝聚层 \(\mathcal{G}\) 的态射。则 \(\Ker(\varphi)\) 是有限型的。

设 \(\varphi : \mathcal{F} \to \mathcal{G}\) 为凝聚 \(\mathcal{O}_X\)-模层之间的态射。则 \(\Ker(\varphi)\) 与 \(\Coker(\varphi)\) 都是凝聚的。

给定 \(\mathcal{O}_X\)-模层的短正合列 \(0 \to \mathcal{F}_1 \to \mathcal{F}_2 \to \mathcal{F}_3 \to 0\) ，若其中两个模层凝聚，则第三个也凝聚。

范畴 \(\textit{Coh}(\mathcal{O}_X)\) 是 \(\textit{Mod}(\mathcal{O}_X)\) 的弱 Serre 子范畴。特别地，凝聚模层范畴是阿贝尔范畴，且包含函子 \(\textit{Coh}(\mathcal{O}_X) \to \textit{Mod}(\mathcal{O}_X)\) 是正合的。

证明

定义 01BV 的条件 (2) 对凝聚层的任意子层都成立。因此得到 (1)。

假设 (2) 的条件成立。来证明 \(\Ker(\varphi)\) 是有限型的。取 \(x \in X\)，并取 \(x\) 在 \(X\) 中的开邻域 \(U\)，使得 \(\mathcal{F}|_U\) 由 \(s_1, \ldots, s_n\) 生成。由定义 01BV，诱导态射 \(\bigoplus_{i = 1}^n \mathcal{O}_U \to \mathcal{G}\), \(e_i \mapsto \varphi(s_i)\) 的核 \(\mathcal{K}\) 是有限型的。因此， \(\Ker(\varphi)\) 作为复合 \(\mathcal{K} \to \bigoplus_{i = 1}^n \mathcal{O}_U \to \mathcal{F}\) 的像，是有限型的。

假设 (3) 的条件成立。由 (2)，\(\varphi\) 的核是有限型的；再由 (1)，它是凝聚的。

在相同条件下，来证明 \(\Coker(\varphi)\) 凝聚。由于 \(\mathcal{G}\) 是有限型的， \(\Coker(\varphi)\) 也是有限型的。设 \(U \subset X\) 为开集，且 \(\overline{s}_i \in \Coker(\varphi)(U)\)（\(i = 1, \ldots, n\)）为截面。只需证明相应态射 \(\overline{\Psi} : \bigoplus_{i = 1}^n \mathcal{O}_U \to \Coker(\varphi)\) 的核是有限型的。存在 \(U\) 的一个开覆盖，使得在其中每个开集上，所有 \(\overline{s}_i\) 都提升为 \(\mathcal{G}\) 的截面 \(s_i\)。因此可设这在整个 \(U\) 上成立。还可设存在 \(\Im(\varphi)\) 在 \(U\) 上的截面 \(t_j\)（\(j = 1, \ldots, m\)），它们在 \(U\) 上生成 \(\Im(\varphi)\)。令 \(\Phi : \bigoplus_{j = 1}^m \mathcal{O}_U \to \Im(\varphi)\) 由 \(t_j\) 定义，并令 \(\Psi : \bigoplus_{j = 1}^m \mathcal{O}_U \oplus \bigoplus_{i = 1}^n \mathcal{O}_U \to \mathcal{G}\) 由 \(t_j\) 与 \(s_i\) 定义。考虑如下交换图： \[\xymatrix{ 0 \ar[r] & \bigoplus_{j = 1}^m \mathcal{O}_U \ar[d]_\Phi \ar[r] & \bigoplus_{j = 1}^m \mathcal{O}_U \oplus \bigoplus_{i = 1}^n \mathcal{O}_U \ar[d]_\Psi \ar[r] & \bigoplus_{i = 1}^n \mathcal{O}_U \ar[d]_{\overline{\Psi}} \ar[r] & 0 \\ 0 \ar[r] & \Im(\varphi) \ar[r] & \mathcal{G} \ar[r] & \Coker(\varphi) \ar[r] & 0 }\] 由蛇形引理得到正合列 \(\Ker(\Psi) \to \Ker(\overline{\Psi}) \to 0\)。由于 \(\Ker(\Psi)\) 是有限型模层，可见 \(\Ker(\overline{\Psi})\) 是有限型的。

证明 (4)。设 \(0 \to \mathcal{F}_1 \to \mathcal{F}_2 \to \mathcal{F}_3 \to 0\) 为 \(\mathcal{O}_X\)-模层的短正合列。由 (3)，只需证明：若 \(\mathcal{F}_1\) 与 \(\mathcal{F}_3\) 凝聚，则 \(\mathcal{F}_2\) 也凝聚。由引理 01B7，\(\mathcal{F}_2\) 是有限型的。设 \(s_1, \ldots, s_n\) 为 \(\mathcal{F}_2\) 的有限多个局部截面，它们定义在 \(X\) 的同一开集 \(U\) 上。只需证明它们之间的关系模层 \(\mathcal{K}\) 是有限型的。考虑如下交换图： \[\xymatrix{ 0 \ar[r] & 0 \ar[r] \ar[d] & \bigoplus_{i = 1}^{n} \mathcal{O}_U \ar[r] \ar[d] & \bigoplus_{i = 1}^{n} \mathcal{O}_U \ar[r] \ar[d] & 0 \\ 0 \ar[r] & \mathcal{F}_1 \ar[r] & \mathcal{F}_2 \ar[r] & \mathcal{F}_3 \ar[r] & 0 }\] ，其中记号含义显然。由蛇形引理得到短正合列 \(0 \to \mathcal{K} \to \mathcal{K}_3 \to \mathcal{F}_1\) ，其中 \(\mathcal{K}_3\) 是诸截面 \(s_i\) 在 \(\mathcal{F}_3\) 中的像之间的关系模层。由于 \(\mathcal{F}_1\) 凝聚，可见 \(\mathcal{K}\) 是从有限型模层到凝聚模层的某个态射之核，故由 (2)，它是有限型的。

证明 (5)。这是因为 (3) 与 (4) 表明《同调》引理 0754 适用。

引理

设 \((X, \mathcal{O}_X)\) 为环空间，\(\mathcal{F}\) 为 \(\mathcal{O}_X\)-模层。假设 \(\mathcal{O}_X\) 作为 \(\mathcal{O}_X\)-模层是凝聚的。则 \(\mathcal{F}\) 凝聚，当且仅当它是有限表示的。

证明

略。

引理

设 \(X\) 为环空间，\(\varphi : \mathcal{G} \to \mathcal{F}\) 为 \(\mathcal{O}_X\)-模层同态，且 \(x \in X\)。假设 \(\mathcal{G}\) 是有限型的， \(\mathcal{F}\) 凝聚，并且茎上的映射 \(\varphi_x : \mathcal{G}_x \to \mathcal{F}_x\) 为单射。则存在开邻域 \(x \in U \subset X\)，使得 \(\varphi|_U\) 为单射。

证明

以 \(\mathcal{K} \subset \mathcal{G}\) 表示 \(\varphi\) 的核。由引理 01BY，\(\mathcal{K}\) 是有限型 \(\mathcal{O}_X\)-模层。假设给出 \(\mathcal{K}_x = 0\)。由引理 01B9，存在 \(x\) 的开邻域 \(U\)，使得 \(\mathcal{K}|_U = 0\)。于是这个 \(U\) 满足要求。

环空间的闭浸入

何时称环空间态射 \(i : (Z, \mathcal{O}_Z) \to (X, \mathcal{O}_X)\) 为闭浸入？

受正规拓扑空间的闭浸入（配以连续函子层）或微分流形的闭浸入（配以可微函数层）这些例子的启发，至少作如下假设似乎是自然的：

映射 \(i\) 是拓扑空间的闭浸入。
相应态射 \(\mathcal{O}_X \to i_*\mathcal{O}_Z\) 为满射。以 \(\mathcal{I}\) 表示其核。

仅这些条件就已蕴含若干令人满意的结果。例如，我们将证明 \(\mathcal{O}_Z\)-模层范畴等价于被 \(\mathcal{I}\) 零化的 \(\mathcal{O}_X\)-模层范畴，从而推广第 01AW 节关于阿贝尔群层的结果。

不过，在 Stacks Project 中，我们选取的定义保证：若 \(i\) 是闭浸入且 \((X, \mathcal{O}_X)\) 是概形，则 \((Z, \mathcal{O}_Z)\) 也是概形。此外，在这种情形下，我们希望 \(i_*\) 与 \(i^*\) 给出拟凝聚 \(\mathcal{O}_Z\)-模层范畴和被 \(\mathcal{I}\) 零化的拟凝聚 \(\mathcal{O}_X\)-模层范畴之间的等价。一个最低条件是 \(i_*\mathcal{O}_Z\) 为拟凝聚 \(\mathcal{O}_X\)-模层。保证这一点的一种好办法是要求 \(\mathcal{I}\) 局部由截面生成。可以把这个条件理解为： “\((Z, \mathcal{O}_Z)\) 在 \((X, \mathcal{O}_X)\) 上局部地由令某些正则函数 \(f_i\)（即 \(\mathcal{O}_X\) 的局部截面）等于零来定义”。这引出如下定义。

定义

环空间的闭浸入¹是态射 \(i : (Z, \mathcal{O}_Z) \to (X, \mathcal{O}_X)\) ，并具有下列性质：

映射 \(i\) 是拓扑空间的闭浸入。

相应态射 \(\mathcal{O}_X \to i_*\mathcal{O}_Z\) 为满射。以 \(\mathcal{I}\) 表示其核。

\(\mathcal{O}_X\)-模层 \(\mathcal{I}\) 局部由截面生成。

事实上，此定义仍不能保证拟凝聚 \(\mathcal{O}_Z\)-模层的 \(i_*\) 是拟凝聚 \(\mathcal{O}_X\)-模层。问题在于，尚不清楚如何把拟凝聚 \(\mathcal{O}_Z\)-模层的局部表示转化为其直像的局部表示。不过下述结论是平凡的。

引理

设 \(i : (Z, \mathcal{O}_Z) \to (X, \mathcal{O}_X)\) 为环空间的闭浸入， \(\mathcal{F}\) 为拟凝聚 \(\mathcal{O}_Z\)-模层。则在 \(X\) 上局部地， \(i_*\mathcal{F}\) 是拟凝聚 \(\mathcal{O}_X\)-模层之间某个态射的余核。

证明

由定义，\(i_*\mathcal{O}_Z\) 是拟凝聚的。并且在 \(Z\) 上局部地，层 \(\mathcal{F}\) 是若干份 \(\mathcal{O}_Z\) 的直和之间某个态射的余核。此外，同一个拟凝聚层的任意多份副本之直和是拟凝聚的。最后， \(i_*\) 与任意余极限可交换，见引理 01AZ。略去一些细节。

引理

设 \(i : (Z, \mathcal{O}_Z) \to (X, \mathcal{O}_X)\) 为环空间态射。假设 \(i\) 是从 \(Z\) 到 \(X\) 的某个闭子集上的同胚，并且 \(\mathcal{O}_X \to i_*\mathcal{O}_Z\) 为满射。设 \(\mathcal{F}\) 为 \(\mathcal{O}_Z\)-模层。则 \(i_*\mathcal{F}\) 是有限型的，当且仅当 \(\mathcal{F}\) 是有限型的。

证明

假设 \(\mathcal{F}\) 是有限型的。取 \(x \in X\)。若 \(x \not \in Z\)，则 \(i_*\mathcal{F}\) 在 \(x\) 的某个邻域上为零，因而在该邻域上有限生成。若 \(x = i(z)\)，则取开邻域 \(z \in V \subset Z\) 及截面 \(s_1, \ldots, s_n \in \mathcal{F}(V)\)，使它们在 \(V\) 上生成 \(\mathcal{F}\)。对某个开集 \(U \subset X\) 写成 \(V = Z \cap U\)。注意，\(U\) 是 \(x\) 的邻域。显然，诸 \(s_i\) 给出 \(i_*\mathcal{F}\) 在 \(U\) 上的截面 \(s_i\)。所得态射 \[\bigoplus\nolimits_{i = 1, \ldots, n} \mathcal{O}_U \longrightarrow i_*\mathcal{F}|_U\] 为满射，这可由考察其在茎上的作用看出（这里使用 \(\mathcal{O}_X \to i_*\mathcal{O}_Z\) 为满射）。因此 \(i_*\mathcal{F}\) 是有限型的。

反过来，假设 \(i_*\mathcal{F}\) 是有限型的。取 \(z \in Z\)，置 \(x = i(z)\)。依假设，存在 \(x\) 的开邻域 \(U \subset X\) 及截面 \(s_1, \ldots, s_n \in (i_*\mathcal{F})(U)\)，它们在 \(U\) 上生成 \(i_*\mathcal{F}\)。置 \(V = Z \cap U\)。由 \(i_*\) 的定义，诸截面 \(s_i\) 对应于 \(\mathcal{F}\) 在 \(V\) 上的截面 \(s_i\)。所得态射 \[\bigoplus\nolimits_{i = 1, \ldots, n} \mathcal{O}_V \longrightarrow \mathcal{F}|_V\] 为满射，这可由考察其在茎上的作用看出。因此 \(\mathcal{F}\) 是有限型的。

引理

设 \(i : (Z, \mathcal{O}_Z) \to (X, \mathcal{O}_X)\) 为环空间态射。假设 \(i\) 是从 \(Z\) 到 \(X\) 的某个闭子集上的同胚，并且 \(i^\sharp : \mathcal{O}_X \to i_*\mathcal{O}_Z\) 为满射。以 \(\mathcal{I} \subset \mathcal{O}_X\) 表示 \(i^\sharp\) 的核。函子 \[i_* : \textit{Mod}(\mathcal{O}_Z) \longrightarrow \textit{Mod}(\mathcal{O}_X)\] 是正合且全忠实的，其本质像由满足 \(\mathcal{I}\mathcal{G} = 0\) 的 \(\mathcal{O}_X\)-模层 \(\mathcal{G}\) 组成。

证明

我们断言，对 \(\mathcal{O}_Z\)-模层 \(\mathcal{F}\)，典范态射 \[i^*i_*\mathcal{F} \longrightarrow \mathcal{F}\] 是同构。可在茎上检验这一点。设 \(z \in Z\) 且 \(x = i(z)\)。有 \[(i^*i_*\mathcal{F})_z = (i_*\mathcal{F})_x \otimes_{\mathcal{O}_{X, x}} \mathcal{O}_{Z, z} = \mathcal{F}_z \otimes_{\mathcal{O}_{X, x}} \mathcal{O}_{Z, z} = \mathcal{F}_z\] ，这里使用《层》引理 0098、 \(\mathcal{O}_{Z, z}\) 是 \(\mathcal{O}_{X, x}\) 的商这一事实，以及《层》引理 00AE。由此可知 \(i_*\) 全忠实。

设 \(\mathcal{G}\) 为满足 \(\mathcal{I}\mathcal{G} = 0\) 的 \(\mathcal{O}_X\)-模层。我们将证明典范态射 \[\mathcal{G} \longrightarrow i_*i^*\mathcal{G}\] 是同构。这就证明了 \(\mathcal{G} = i_*\mathcal{F}\)，其中 \(\mathcal{F} = i^*\mathcal{G}\)，从而完成证明。检验所展示的态射在茎上诱导同构。若 \(x \in X\) 且 \(x \not \in i(Z)\)，则 \(\mathcal{G}_x = 0\)，因为此时 \(\mathcal{I}_x = \mathcal{O}_{X, x}\)。同上，由《层》引理 00AE，有 \((i_*i^*\mathcal{G})_x = 0\)。另一方面，若 \(x \in Z\)，则得到态射 \[\mathcal{G}_x \longrightarrow \mathcal{G}_x \otimes_{\mathcal{O}_{X, x}} \mathcal{O}_{Z, x}\] ，这里使用《层》引理 0098 与 00AE。此态射是同构，因为 \(\mathcal{O}_{Z, x} = \mathcal{O}_{X, x}/\mathcal{I}_x\)，且依假设 \(\mathcal{G}_x\) 被 \(\mathcal{I}_x\) 零化。

注

设 \((X, \mathcal{O}_X)\) 为环空间，\(Z \subset X\) 为闭子集。对 \(\mathcal{O}_X\)-模层 \(\mathcal{F}\)，可以考虑支集包含于 \(Z\) 的截面子模层，记为 \(\mathcal{H}_Z(\mathcal{F})\)，由下式定义： \[\mathcal{H}_Z(\mathcal{F})(U) = \{s \in \mathcal{F}(U) \mid \text{Supp}(s) \subset U \cap Z\}\] 注意，\(\mathcal{H}_Z(\mathcal{F})(U)\) 是 \(\mathcal{O}_X(U)\)-模；换言之，\(\mathcal{H}_Z(\mathcal{F})\) 是 \(\mathcal{O}_X\)-模层。由构造，它是 \(\mathcal{F}\) 中支集包含于 \(Z\) 的最大 \(\mathcal{O}_X\)-子模层。将引理 08KS 用于环空间态射 \((Z, \mathcal{O}_X|_Z) \to (X, \mathcal{O}_X)\)，可将（并且我们确实将）\(\mathcal{H}_Z(\mathcal{F})\) 视为 \(Z\) 上的 \(\mathcal{O}_X|_Z\)-模层。由此得到函子 \[\textit{Mod}(\mathcal{O}_X) \longrightarrow \textit{Mod}(\mathcal{O}_X|_Z), \quad \mathcal{F} \longmapsto \mathcal{H}_Z(\mathcal{F}) \text{视为一个 }\mathcal{O}_X|_Z\text{-模层，其底空间为 }Z\] 此函子左正合，但一般并不正合。上述所有断言均直接由引理 01AU 得出。显然，此构造与注 01AY 中的构造相容。

引理

设 \((X, \mathcal{O}_X)\) 为环空间，\(i : Z \to X\) 为闭子集的包含映射。注 0G6N 中的函子 \(\mathcal{H}_Z : \textit{Mod}(\mathcal{O}_X) \to \textit{Mod}(\mathcal{O}_X|_Z)\) 是 \(i_* : \textit{Mod}(\mathcal{O}_X|_Z) \to \textit{Mod}(\mathcal{O}_X)\) 的右伴随。

证明

只需证明，对任意 \(\mathcal{O}_X\)-模层 \(\mathcal{F}\) 以及任意 \(\mathcal{O}_X|_Z\)-模层 \(\mathcal{G}\)，都有 \[\Hom_{\mathcal{O}_X|_Z}(\mathcal{G}, \mathcal{H}_Z(\mathcal{F})) = \Hom_{\mathcal{O}_X}(i_*\mathcal{G}, \mathcal{F})\] 这是显然的，因为 \(i_*\mathcal{G}\) 的任意截面的支集终究都包含于 \(Z\)。细节从略。

局部自由层

设 \((X, \mathcal{O}_X)\) 为环空间。我们的约定允许（某些）茎 \(\mathcal{O}_{X, x}\) 为零环。这意味着在定义局部自由层的秩时必须稍加谨慎。

定义

设 \((X, \mathcal{O}_X)\) 为环空间，\(\mathcal{F}\) 为 \(\mathcal{O}_X\)-模层。

若对每个点 \(x \in X\)，都存在集合 \(I\) 及开邻域 \(x \in U \subset X\)，使得 \(\mathcal{F}|_U\) 作为 \(\mathcal{O}_X|_U\)-模层同构于 \(\bigoplus_{i \in I} \mathcal{O}_X|_U\)，则称 \(\mathcal{F}\) 局部自由。

若可将指标集 \(I\) 选为有限集，则称 \(\mathcal{F}\) 有限局部自由。

若可将指标集 \(I\) 选为基数 \(r\) 的集合，则称 \(\mathcal{F}\) 有限局部自由且秩为 \(r\)。

（有限）局部自由层的有限直和仍是（有限）局部自由的。不过，局部自由层的无穷直和未必局部自由。

引理

设 \((X, \mathcal{O}_X)\) 为环空间，\(\mathcal{F}\) 为 \(\mathcal{O}_X\)-模层。若 \(\mathcal{F}\) 局部自由，则它拟凝聚。

证明

略。

引理

设 \(f : (X, \mathcal{O}_X) \to (Y, \mathcal{O}_Y)\) 为环空间态射。若 \(\mathcal{G}\) 是局部自由 \(\mathcal{O}_Y\)-模层，则 \(f^*\mathcal{G}\) 是局部自由 \(\mathcal{O}_X\)-模层。

证明

略。

引理

设 \((X, \mathcal{O}_X)\) 为环空间。假设 \(\mathcal{O}_X\) 的支集为 \(X\)，即 \(\mathcal{O}_X\) 的所有茎都是非零环。设 \(\mathcal{F}\) 为局部自由 \(\mathcal{O}_X\)-模层。存在局部常值函数 \[\text{rank}_\mathcal{F} : X \longrightarrow \{0, 1, 2, \ldots\}\cup\{\infty\}\] ，使得对任意点 \(x \in X\)，凡集合 \(I\) 满足 \(\mathcal{F}\) 在 \(x\) 的某个邻域上同构于 \(\bigoplus_{i\in I} \mathcal{O}_X\)，其基数都等于 \(\text{rank}_\mathcal{F}(x)\)。

证明

在引理的假设下，\(I\) 的基数可由非零环 \(\mathcal{O}_{X, x}\) 上自由模 \(\mathcal{F}_x\) 的秩读出，并且它在 \(x\) 的某个邻域上为常数。

引理

设 \((X, \mathcal{O}_X)\) 为环空间，\(r \geq 0\)。设 \(\varphi : \mathcal{F} \to \mathcal{G}\) 为秩 \(r\) 的有限局部自由 \(\mathcal{O}_X\)-模层之间的态射。则 \(\varphi\) 是同构，当且仅当 \(\varphi\) 为满射。

证明

假设 \(\varphi\) 为满射。取 \(x \in X\)。存在 \(x\) 的开邻域 \(U\)，使得 \(\mathcal{F}|_U\) 与 \(\mathcal{G}|_U\) 都同构于 \(\mathcal{O}_U^{\oplus r}\)。选取 \(\mathcal{G}|_U\) 的自由生成元的提升，得到态射 \(\psi : \mathcal{G}|_U \to \mathcal{F}|_U\)，满足 \(\varphi|_U \circ \psi = \text{id}\)。因此，由 \(\varphi\) 诱导的映射 \(\Gamma(U, \mathcal{F}) \to \Gamma(U, \mathcal{G})\) 为满射。由于 \(\Gamma(U, \mathcal{F})\) 与 \(\Gamma(U, \mathcal{G})\) 作为 \(\Gamma(U, \mathcal{O}_U)\)-模都同构于 \(\Gamma(U, \mathcal{O}_U)^{\oplus r}\)，可应用《代数》引理 05G8，得到 \(\Gamma(U, \mathcal{F}) \to \Gamma(U, \mathcal{G})\) 为单射。证明完成。

引理

设 \((X, \mathcal{O}_X)\) 为环空间。若所有茎 \(\mathcal{O}_{X, x}\) 都是局部环，则有限局部自由 \(\mathcal{O}_X\)-模层的任意直和项都是有限局部自由的。

证明

假设 \(\mathcal{F}\) 是有限局部自由 \(\mathcal{O}_X\)-模层 \(\mathcal{H}\) 的直和项。设 \(x \in X\)。则 \(\mathcal{H}_x\) 是有限自由 \(\mathcal{O}_{X, x}\)-模。由于 \(\mathcal{O}_{X, x}\) 是局部环，对某个 \(r\) 有 \(\mathcal{F}_x \cong \mathcal{O}_{X, x}^{\oplus r}\)，见《代数》引理 00NX。由引理 0B8J，\(\mathcal{F}\) 在 \(x\) 的某个开邻域上是秩 \(r\) 的自由模层。（注意，\(\mathcal{F}\) 作为 \(\mathcal{H}\) 的直和项是有限表示的。）

双线性映射

设 \((X, \mathcal{O}_X)\) 为环空间，\(\mathcal{F}\)、\(\mathcal{G}\)、 \(\mathcal{H}\) 为 \(\mathcal{O}_X\)-模层。\(\mathcal{O}_X\)-模层的 双线性映射 \(f : \mathcal{F} \times \mathcal{G} \to \mathcal{H}\) 是所示的集合层态射，并且对每个开集 \(U \subset X\)，诱导映射 \[\mathcal{F}(U) \times \mathcal{G}(U) \to \mathcal{H}(U)\] 都是模的 \(\mathcal{O}_X(U)\)-双线性映射。等价地，可以模仿模的双线性映射的通常公理，要求集合层的某些态射图交换。例如，公理 \(f(x + y, z) = f(x, z) + f(y, z)\) 由下图的交换性表示： \[\xymatrix{ \mathcal{F} \times \mathcal{F} \times \mathcal{G} \ar[rrr]_{(f \circ \text{pr}_{13}, f \circ \text{pr}_{23})} \ar[d]_{(+ \circ \text{pr}_{12}, \text{pr}_3)} & & & \mathcal{H} \times \mathcal{H} \ar[d]^{+} \\ \mathcal{F} \times \mathcal{G} \ar[rrr]^f & & & \mathcal{H} }\] 另一种刻画如下：若 \(f : \mathcal{F} \times \mathcal{G} \to \mathcal{H}\) 是集合层态射，并且它在 \(X\) 的每个点的茎上都诱导模的双线性映射，则 \(f\) 是模层的双线性映射。这是因为，可以通过在茎上检验来判断局部截面是否相等。

以 \(\text{Mor}( - , - )\) 表示 \(X\) 上集合层范畴中的态射。双线性映射还有如下刻画：集合层态射 \(f : \mathcal{F} \times \mathcal{G} \to \mathcal{H}\) 是双线性的，如果对任意集合层 \(\mathcal{S}\)，规则 \[\text{Mor}(\mathcal{S}, \mathcal{F}) \times \text{Mor}(\mathcal{S}, \mathcal{G}) \to \text{Mor}(\mathcal{S}, \mathcal{H}),\quad (a, b) \mapsto f \circ (a \times b)\] 都是环 \(\text{Mor}(\mathcal{S}, \mathcal{O}_X)\) 上模的双线性映射。我们通常不采用这一观点，因为从局部截面集的角度思考更容易，而且两种观点显然等价。

最后，还可用另一种方式表述此定义：\(\mathcal{O}_X\) 是集合层范畴中的环对象，而 \(\mathcal{F}\)、\(\mathcal{G}\)、\(\mathcal{H}\) 是该环对象上的模对象。于是，在任意范畴中，都可对环对象上的模对象定义双线性映射。为了表述何为环对象、何为环对象上的模对象，以及这类对象在范畴中的双线性映射，假设该范畴具有有限积会很方便（但并非绝对必要）；集合层范畴确实具有这一性质。

张量积

我们已经在《层》第 006P 节与第 0088 节中，在换环的情形下简要讨论过张量积。现在将其推广到模层的张量积。

设 \((X, \mathcal{O}_X)\) 为环空间，\(\mathcal{F}\)、\(\mathcal{G}\) 为 \(\mathcal{O}_X\)-模层。首先定义张量积预层 \[\mathcal{F} \otimes_{p, \mathcal{O}_X} \mathcal{G}\] ：它给每个开集 \(U \subset X\) 指派 \(\mathcal{O}_X(U)\)-模 \(\mathcal{F}(U) \otimes_{\mathcal{O}_X(U)} \mathcal{G}(U)\)。然后把张量积层定义为上述预层的层化： \[\mathcal{F} \otimes_{\mathcal{O}_X} \mathcal{G} = (\mathcal{F} \otimes_{p, \mathcal{O}_X} \mathcal{G})^\#\] 它可刻画为这样的 \(\mathcal{O}_X\)-模层：对任意第三个 \(\mathcal{O}_X\)-模层 \(\mathcal{H}\)，都有 \[\Hom_{\mathcal{O}_X} (\mathcal{F} \otimes_{\mathcal{O}_X} \mathcal{G}, \mathcal{H}) = \text{Bilin}_{\mathcal{O}_X}(\mathcal{F} \times \mathcal{G}, \mathcal{H}).\] 这里右端表示第 0GIG 节所定义的 \(\mathcal{O}_X\)-模层双线性映射的集合。

环 \(R\) 上模 \(M,N\) 的张量积满足对称性，即 \(M \otimes_R N = N \otimes_R M\)；因此模层的张量积也满足同样的性质，即有 \[\mathcal{F} \otimes_{\mathcal{O}_X} \mathcal{G} = \mathcal{G} \otimes_{\mathcal{O}_X} \mathcal{F}\] ，且关于 \(\mathcal{F}\)、\(\mathcal{G}\) 是函子性的。由于模的张量积满足结合性，还得到典范的函子性同构 \[(\mathcal{F} \otimes_{\mathcal{O}_X} \mathcal{G}) \otimes_{\mathcal{O}_X} \mathcal{H} = \mathcal{F} \otimes_{\mathcal{O}_X} (\mathcal{G} \otimes_{\mathcal{O}_X} \mathcal{H})\] ，它关于 \(\mathcal{F}\)、\(\mathcal{G}\)、\(\mathcal{H}\) 是函子性的。

引理

设 \((X, \mathcal{O}_X)\) 为环空间，\(\mathcal{F}\)、\(\mathcal{G}\) 为 \(\mathcal{O}_X\)-模层，且 \(x \in X\)。存在 \(\mathcal{O}_{X, x}\)-模的典范同构 \[(\mathcal{F} \otimes_{\mathcal{O}_X} \mathcal{G})_x = \mathcal{F}_x \otimes_{\mathcal{O}_{X, x}} \mathcal{G}_x\] ，它关于 \(\mathcal{F}\) 与 \(\mathcal{G}\) 是函子性的。

证明

略。

引理

设 \((X, \mathcal{O}_X)\) 为环空间。设 \(\mathcal{F}'\)、\(\mathcal{G}'\) 为 \(\mathcal{O}_X\)-模预层，其层化分别为 \(\mathcal{F}\)、\(\mathcal{G}\)。则 \(\mathcal{F} \otimes_{\mathcal{O}_X} \mathcal{G} = (\mathcal{F}' \otimes_{p, \mathcal{O}_X} \mathcal{G}')^\#\).

证明

略。

引理

设 \((X, \mathcal{O}_X)\) 为环空间，\(\mathcal{G}\) 为 \(\mathcal{O}_X\)-模层。若 \(\mathcal{F}_1 \to \mathcal{F}_2 \to \mathcal{F}_3 \to 0\) 是 \(\mathcal{O}_X\)-模层的正合列，则诱导序列 \[\mathcal{F}_1 \otimes_{\mathcal{O}_X} \mathcal{G} \to \mathcal{F}_2 \otimes_{\mathcal{O}_X} \mathcal{G} \to \mathcal{F}_3 \otimes_{\mathcal{O}_X} \mathcal{G} \to 0\] 正合。

证明

这由以下三点得出：可在茎上检验正合性（引理 01AG）；茎的描述（引理 01CB）；以及模的张量积的相应结果（《代数》引理 00DF）。

引理

设 \(f : (X, \mathcal{O}_X) \to (Y, \mathcal{O}_Y)\) 为环空间态射， \(\mathcal{F}\)、\(\mathcal{G}\) 为 \(\mathcal{O}_Y\)-模层。则 \(f^*(\mathcal{F} \otimes_{\mathcal{O}_Y} \mathcal{G}) = f^*\mathcal{F} \otimes_{\mathcal{O}_X} f^*\mathcal{G}\) ，且关于 \(\mathcal{F}\)、\(\mathcal{G}\) 是函子性的。

证明

略。

引理

设 \((X, \mathcal{O}_X)\) 为环空间。对任意 \(\mathcal{O}_X\)-模层 \(\mathcal{F}\)，函子 \[\textit{Mod}(\mathcal{O}_X) \longrightarrow \textit{Mod}(\mathcal{O}_X) , \quad \mathcal{G} \longmapsto \mathcal{F} \otimes_{\mathcal{O}_X} \mathcal{G}\] 与任意余极限可交换。

证明

设 \(I\) 为预序集，\(\{\mathcal{G}_i\}\) 为 \(I\) 上的系统，并置 \(\mathcal{G} = \colim_i \mathcal{G}_i\)。回忆，\(\mathcal{G}\) 是与预层 \(\mathcal{G}' : U \mapsto \colim_i \mathcal{G}_i(U)\) 关联的层，见《层》第 009E 节。由引理 05NA，张量积 \(\mathcal{F} \otimes_{\mathcal{O}_X} \mathcal{G}\) 是如下预层的层化： \[U \longmapsto \mathcal{F}(U) \otimes_{\mathcal{O}_X(U)} \colim_i \mathcal{G}_i(U) = \colim_i \mathcal{F}(U) \otimes_{\mathcal{O}_X(U)} \mathcal{G}_i(U)\] 其中等号来自《代数》引理 00DD。因此，引理由 \(\textit{Mod}(\mathcal{O}_X)\) 中余极限的描述得出，见引理 01AH。

引理

设 \((X, \mathcal{O}_X)\) 为环空间，\(\mathcal{F}\)、\(\mathcal{G}\) 为 \(\mathcal{O}_X\)-模层。

若 \(\mathcal{F}\)、\(\mathcal{G}\) 局部由截面生成，则 \(\mathcal{F} \otimes_{\mathcal{O}_X} \mathcal{G}\) 亦然。

若 \(\mathcal{F}\)、\(\mathcal{G}\) 是有限型的，则 \(\mathcal{F} \otimes_{\mathcal{O}_X} \mathcal{G}\) 亦然。

若 \(\mathcal{F}\)、\(\mathcal{G}\) 拟凝聚，则 \(\mathcal{F} \otimes_{\mathcal{O}_X} \mathcal{G}\) 亦然。

若 \(\mathcal{F}\)、\(\mathcal{G}\) 是有限表示的，则 \(\mathcal{F} \otimes_{\mathcal{O}_X} \mathcal{G}\) 亦然。

若 \(\mathcal{F}\) 是有限表示的且 \(\mathcal{G}\) 凝聚，则 \(\mathcal{F} \otimes_{\mathcal{O}_X} \mathcal{G}\) 凝聚。

若 \(\mathcal{F}\)、\(\mathcal{G}\) 凝聚，则 \(\mathcal{F} \otimes_{\mathcal{O}_X} \mathcal{G}\) 亦然。

若 \(\mathcal{F}\)、\(\mathcal{G}\) 局部自由，则 \(\mathcal{F} \otimes_{\mathcal{O}_X} \mathcal{G}\) 亦然。

证明

首先证明局部自由 \(\mathcal{O}_X\)-模层的张量积局部自由。只需证明 \((\bigoplus_{i \in I} \mathcal{O}_X) \otimes_{\mathcal{O}_X} (\bigoplus_{j \in J} \mathcal{O}_X) \cong \bigoplus_{(i, j) \in I \times J} \mathcal{O}_X\). 层 \(\bigoplus_{i \in I} \mathcal{O}_X\) 是与预层 \(U \mapsto \bigoplus_{i \in I} \mathcal{O}_X(U)\) 关联的层。因此，该张量积是与如下预层关联的层： \[U \longmapsto (\bigoplus\nolimits_{i \in I} \mathcal{O}_X(U)) \otimes_{\mathcal{O}_X(U)} (\bigoplus\nolimits_{j \in J} \mathcal{O}_X(U)).\] 由于对任意环 \(R\) 都有 \((\bigoplus_{i \in I} R) \otimes_R (\bigoplus_{j \in J} R) = \bigoplus_{(i, j) \in I \times J} R\)，遂得到所需结论。

若 \(\mathcal{F}_2 \to \mathcal{F}_1 \to \mathcal{F} \to 0\) 正合，则由引理 01CC，复形 \(\mathcal{F}_2 \otimes_{\mathcal{O}_X} \mathcal{G} \to \mathcal{F}_1 \otimes_{\mathcal{O}_X} \mathcal{G} \to \mathcal{F} \otimes_{\mathcal{O}_X} \mathcal{G} \to 0\) 正合。由此可证明 (5)。事实上，在这种情形下，局部存在上述正合列，且 \(\mathcal{F}_i\)（\(i = 1, 2\)）有限自由。因此两项 \(\mathcal{F}_2 \otimes_{\mathcal{O}_X} \mathcal{G}\) 与 \(\mathcal{F}_1 \otimes_{\mathcal{O}_X} \mathcal{G}\) 同构于 \(\mathcal{G}\) 的有限直和（例如由引理 05NB）。由于有限直和是凝聚层，这两项凝聚，因而该态射的余核也凝聚，见引理 01BY。

若此外 \(\mathcal{G}_2 \to \mathcal{G}_1 \to \mathcal{G} \to 0\) 也正合，则可见 \[\mathcal{F}_2 \otimes_{\mathcal{O}_X} \mathcal{G}_1 \oplus \mathcal{F}_1 \otimes_{\mathcal{O}_X} \mathcal{G}_2 \to \mathcal{F}_1 \otimes_{\mathcal{O}_X} \mathcal{G}_1 \to \mathcal{F} \otimes_{\mathcal{O}_X} \mathcal{G} \to 0\] 正合。由此例如可证明 (3)。事实上，假设意味着局部可找到上述表示，其中 \(\mathcal{F}_i\)、\(\mathcal{G}_i\) 都是自由 \(\mathcal{O}_X\)-模层。因此，所展示的表示也是用自由层给出的张量积表示。

其余断言的证明从略。

平坦模层

可以完全仿照环上模的情形来定义平坦模层。

定义

设 \((X, \mathcal{O}_X)\) 为环空间。若函子 \[\textit{Mod}(\mathcal{O}_X) \longrightarrow \textit{Mod}(\mathcal{O}_X), \quad \mathcal{G} \mapsto \mathcal{G} \otimes_{\mathcal{O}_X} \mathcal{F}\] 是正合的，则称 \(\mathcal{O}_X\)-模层 \(\mathcal{F}\) 平坦。

平坦性可以通过考察茎来刻画。

引理

设 \((X, \mathcal{O}_X)\) 为环空间。\(\mathcal{O}_X\)-模层 \(\mathcal{F}\) 平坦，当且仅当对所有 \(x \in X\)，茎 \(\mathcal{F}_x\) 都是平坦 \(\mathcal{O}_{X, x}\)-模。

证明

假设对所有 \(x \in X\)，\(\mathcal{F}_x\) 都是平坦 \(\mathcal{O}_{X, x}\)-模。此时，若 \(\mathcal{G} \to \mathcal{H} \to \mathcal{K}\) 正合，则 \(\mathcal{G} \otimes_{\mathcal{O}_X} \mathcal{F} \to \mathcal{H} \otimes_{\mathcal{O}_X} \mathcal{F} \to \mathcal{K} \otimes_{\mathcal{O}_X} \mathcal{F}\) 也正合，因为可以在茎上检验正合性，且张量积与取茎可交换，见引理 01CB。反过来，假设 \(\mathcal{F}\) 平坦，并设 \(x \in X\)。考虑摩天楼层 \(i_{x, *} M\)，其中 \(M\) 为 \(\mathcal{O}_{X, x}\)-模。注意 \[M \otimes_{\mathcal{O}_{X, x}} \mathcal{F}_x = \left(i_{x, *} M \otimes_{\mathcal{O}_X} \mathcal{F}\right)_x\] ，这再次由引理 01CB 得到。由于 \(i_{x, *}\) 正合， \(\mathcal{F}\) 平坦意味着 \(M \mapsto M \otimes_{\mathcal{O}_{X, x}} \mathcal{F}_x\) 正合。因此 \(\mathcal{F}_x\) 是平坦 \(\mathcal{O}_{X, x}\)-模。

因此下述定义是合理的。

定义

设 \((X, \mathcal{O}_X)\) 为环空间，\(x \in X\)。若 \(\mathcal{F}_x\) 是平坦 \(\mathcal{O}_{X, x}\)-模，则称 \(\mathcal{O}_X\)-模层 \(\mathcal{F}\) 在 \(x\) 处平坦。

因此，\(\mathcal{F}\) 是平坦 \(\mathcal{O}_X\)-模层，当且仅当它在每一点处平坦。

引理

设 \(f : (X, \mathcal{O}_X) \to (Y, \mathcal{O}_Y)\) 为环空间态射。若 \(\mathcal{G}\) 是平坦 \(\mathcal{O}_Y\)-模层，则 \(f^*\mathcal{G}\) 是平坦 \(\mathcal{O}_X\)-模层。

证明

结合引理 05NE、《层》引理 0098 及《代数》引理 00HI 即得。

引理

设 \((X, \mathcal{O}_X)\) 为环空间。平坦 \(\mathcal{O}_X\)-模层的滤过余极限是平坦的；平坦 \(\mathcal{O}_X\)-模层的直和也是平坦的。

证明

这由引理 05NB、引理 01CB、《代数》引理 00DB，以及可以在茎上检验正合性这一事实得出。

引理

设 \((X, \mathcal{O}_X)\) 为环空间，\(U \subset X\) 为开集。层 \(j_{U!}\mathcal{O}_U\) 是平坦 \(\mathcal{O}_X\)-模层。

证明

\(j_{U!}\mathcal{O}_U\) 的茎或为零，或等于 \(\mathcal{O}_{X, x}\)。应用引理 05NE 即得。

引理

设 \((X, \mathcal{O}_X)\) 为环空间。

任意 \(\mathcal{O}_X\)-模层都是某个直和 \(\bigoplus j_{U_i!}\mathcal{O}_{U_i}\) 的商。

任意 \(\mathcal{O}_X\)-模层都是某个平坦 \(\mathcal{O}_X\)-模层的商。

证明

设 \(\mathcal{F}\) 为 \(\mathcal{O}_X\)-模层。对每个开集 \(U \subset X\) 及每个 \(s \in \mathcal{F}(U)\)，都得到态射 \(j_{U!}\mathcal{O}_U \to \mathcal{F}\)，即态射 \(\mathcal{O}_U \to \mathcal{F}|_U\)，\(1 \mapsto s\) 的伴随态射。显然，态射 \[\bigoplus\nolimits_{(U, s)} j_{U!}\mathcal{O}_U \longrightarrow \mathcal{F}\] 为满射；结合引理 05NG 与 05NH 可知其源平坦。

引理

设 \((X, \mathcal{O}_X)\) 为环空间。设 \[0 \to \mathcal{F}'' \to \mathcal{F}' \to \mathcal{F} \to 0\] 为 \(\mathcal{O}_X\)-模层的短正合列。假设 \(\mathcal{F}\) 平坦。则对任意 \(\mathcal{O}_X\)-模层 \(\mathcal{G}\)，序列 \[0 \to \mathcal{F}'' \otimes_\mathcal{O} \mathcal{G} \to \mathcal{F}' \otimes_\mathcal{O} \mathcal{G} \to \mathcal{F} \otimes_\mathcal{O} \mathcal{G} \to 0\] 正合。

证明

对每个 \(x \in X\)，\(\mathcal{F}_x\) 都是平坦 \(\mathcal{O}_{X, x}\)-模，且可在茎上检验正合性；故结论由《代数》引理 00HL 得出。

引理

设 \((X, \mathcal{O}_X)\) 为环空间。设 \[0 \to \mathcal{F}_2 \to \mathcal{F}_1 \to \mathcal{F}_0 \to 0\] 为 \(\mathcal{O}_X\)-模层的短正合列。

若 \(\mathcal{F}_2\) 与 \(\mathcal{F}_0\) 平坦，则 \(\mathcal{F}_1\) 也平坦。

若 \(\mathcal{F}_1\) 与 \(\mathcal{F}_0\) 平坦，则 \(\mathcal{F}_2\) 也平坦。

证明

由于正合性与平坦性都可在茎的层次上检验，结论由《代数》引理 00HM 得出。

引理

设 \((X, \mathcal{O}_X)\) 为环空间。设 \[\ldots \to \mathcal{F}_2 \to \mathcal{F}_1 \to \mathcal{F}_0 \to \mathcal{Q} \to 0\] 为 \(\mathcal{O}_X\)-模层的正合复形。若 \(\mathcal{Q}\) 与所有 \(\mathcal{F}_i\) 都是平坦 \(\mathcal{O}_X\)-模层，则对任意 \(\mathcal{O}_X\)-模层 \(\mathcal{G}\)，复形 \[\ldots \to \mathcal{F}_2 \otimes_{\mathcal{O}_X} \mathcal{G} \to \mathcal{F}_1 \otimes_{\mathcal{O}_X} \mathcal{G} \to \mathcal{F}_0 \otimes_{\mathcal{O}_X} \mathcal{G} \to \mathcal{Q} \otimes_{\mathcal{O}_X} \mathcal{G} \to 0\] 也正合。

证明

由引理 05NJ，把该复形拆成短正合列，并用引理 05NK 归纳证明 \(\Im(\mathcal{F}_{i + 1} \to \mathcal{F}_i)\) 平坦，即得结论。

下述引理给出平坦性的方程判据（《代数》引理 00HK）的一个方向。

引理

设 \((X, \mathcal{O}_X)\) 为环空间，\(\mathcal{F}\) 为平坦 \(\mathcal{O}_X\)-模层，\(U \subset X\) 为开集，并设 \[\mathcal{O}_U \xrightarrow{(f_1, \ldots, f_n)} \mathcal{O}_U^{\oplus n} \xrightarrow{(s_1, \ldots, s_n)} \mathcal{F}|_U\] 为 \(\mathcal{O}_U\)-模层的复形。对每个 \(x \in U\)，都存在 \(x\) 的开邻域 \(V \subset U\) 以及 \((s_1, \ldots, s_n)|_V\) 的分解 \[\mathcal{O}_V^{\oplus n} \xrightarrow{A} \mathcal{O}_V^{\oplus m} \xrightarrow{(t_1, \ldots, t_m)} \mathcal{F}|_V\] ，使得 \(A \circ (f_1, \ldots, f_n)|_V = 0\)。

证明

令 \(\mathcal{I} \subset \mathcal{O}_U\) 为由 \(f_1, \ldots, f_n\) 生成的理想层。则 \(\sum f_i \otimes s_i\) 是 \(\mathcal{I} \otimes_{\mathcal{O}_U} \mathcal{F}|_U\) 的截面，并且它在 \(\mathcal{F}|_U\) 中的像为零。由于 \(\mathcal{F}|_U\) 平坦，态射 \(\mathcal{I} \otimes_{\mathcal{O}_U} \mathcal{F}|_U \to \mathcal{F}|_U\) 为单射。由于 \(\mathcal{I} \otimes_{\mathcal{O}_U} \mathcal{F}|_U\) 是与预层张量积关联的层，可见存在 \(x\) 的开邻域 \(V \subset U\)，使得 \(\sum f_i|_V \otimes s_i|_V\) 在 \(\mathcal{I}(V) \otimes_{\mathcal{O}(V)} \mathcal{F}(V)\) 中为零。利用《代数》引理 04VX 展开定义，得到 \(t_1, \ldots, t_m \in \mathcal{F}(V)\) 及 \(a_{ij} \in \mathcal{O}(V)\)，使得 \(\sum a_{ij}f_i|_V = 0\) 且 \(s_i|_V = \sum a_{ij}t_j\)。

对偶

设 \((X, \mathcal{O}_X)\) 为环空间。赋予第 01CA 节所构造张量积的 \(\mathcal{O}_X\)-模层范畴是对称幺半范畴。对于 \(\mathcal{O}_X\)-模层 \(\mathcal{F}\)，下列条件等价：

\(\mathcal{F}\) 在 \(\mathcal{O}_X\)-模层的幺半范畴中有左对偶；
\(\mathcal{F}\) 局部为有限自由 \(\mathcal{O}_X\)-模层的直和项；
作为 \(\mathcal{O}_X\)-模层，\(\mathcal{F}\) 有限表示且平坦。

本节的例 0FNV 及引理 0FNW、08BL 证明了这一点。

例

设 \((X, \mathcal{O}_X)\) 为环空间。设 \(\mathcal{F}\) 为 \(\mathcal{O}_X\)-模层，且局部为有限自由 \(\mathcal{O}_X\)-模层的直和项。则态射 \[\mathcal{F} \otimes_{\mathcal{O}_X} \SheafHom_{\mathcal{O}_X}(\mathcal{F}, \mathcal{O}_X) \longrightarrow \SheafHom_{\mathcal{O}_X}(\mathcal{F}, \mathcal{F})\] 是同构。事实上，这是一个局部问题；当 \(\mathcal{F}\) 有限自由时结论成立，而且若结论对某个模层成立，则对它的任一直和项也成立。记 \[\eta : \mathcal{O}_X \longrightarrow \mathcal{F} \otimes_{\mathcal{O}_X} \SheafHom_{\mathcal{O}_X}(\mathcal{F}, \mathcal{O}_X)\] 为把 \(1\) 映到上述同构之下与 \(\text{id}_\mathcal{F}\) 对应的截面的态射。记 \[\epsilon : \SheafHom_{\mathcal{O}_X}(\mathcal{F}, \mathcal{O}_X) \otimes_{\mathcal{O}_X} \mathcal{F} \longrightarrow \mathcal{O}_X\] 为求值态射。于是 \(\SheafHom_{\mathcal{O}_X}(\mathcal{F}, \mathcal{O}_X), \eta, \epsilon\) 是《范畴论》定义 0FFP 意义下 \(\mathcal{F}\) 的左对偶。我们略去下列等式的验证： \((1 \otimes \epsilon) \circ (\eta \otimes 1) = \text{id}_\mathcal{F}\) 以及 \((\epsilon \otimes 1) \circ (1 \otimes \eta) = \text{id}_{\SheafHom_{\mathcal{O}_X}(\mathcal{F}, \mathcal{O}_X)}\).

引理

设 \((X, \mathcal{O}_X)\) 为环空间，\(\mathcal{F}\) 为 \(\mathcal{O}_X\)-模层。设 \(\mathcal{G}, \eta, \epsilon\) 是 \(\mathcal{O}_X\)-模层的幺半范畴中 \(\mathcal{F}\) 的左对偶，参见《范畴论》定义 0FFP。则

\(\mathcal{F}\) 局部为有限自由 \(\mathcal{O}_X\)-模层的直和项；

态射 \(e : \SheafHom_{\mathcal{O}_X}(\mathcal{F}, \mathcal{O}_X) \to \mathcal{G}\) 把局部截面 \(\lambda\) 映到 \((\lambda \otimes 1)(\eta)\)，且它是同构；

对 \(\mathcal{F}\) 与 \(\mathcal{G}\) 的局部截面 \(f\) 与 \(g\)，有 \(\epsilon(f, g) = e^{-1}(g)(f)\)。

证明

这些假设意味着 \[\mathcal{F} \xrightarrow{\eta \otimes 1} \mathcal{F} \otimes_{\mathcal{O}_X} \mathcal{G} \otimes_{\mathcal{O}_X} \mathcal{F} \xrightarrow{1 \otimes \epsilon} \mathcal{F} \quad\text{且}\quad \mathcal{G} \xrightarrow{1 \otimes \eta} \mathcal{G} \otimes_{\mathcal{O}_X} \mathcal{F} \otimes_{\mathcal{O}_X} \mathcal{G} \xrightarrow{\epsilon \otimes 1} \mathcal{G}\] 均为恒等态射。设 \(x \in X\)。可以找到 \(x\) 的开邻域 \(U\)，以及 \(\mathcal{F}\) 与 \(\mathcal{G}\) 在 \(U\) 上的有限多个截面 \(f_1, \ldots, f_n\) 与 \(g_1, \ldots, g_n\)，使得 \(\eta(1) = \sum f_i g_i\)。记 \[\mathcal{O}_U^{\oplus n} \to \mathcal{F}|_U\] 为把第 \(i\) 个基向量映到 \(f_i\) 的态射。于是态射 \(\eta|_U\) 可经由态射 \(\tilde \eta : \mathcal{O}_U \to \mathcal{O}_U^{\oplus n} \otimes_{\mathcal{O}_U} \mathcal{G}|_U\) 分解。由此得到交换图 \[\xymatrix{ \mathcal{F}|_U \ar[rr]_-{\eta \otimes 1} \ar[rrd]_-{\tilde \eta \otimes 1} & & \mathcal{F}|_U \otimes \mathcal{G}|_U \otimes \mathcal{F}|_U \ar[r]_-{1 \otimes \epsilon} & \mathcal{F}|_U \\ & & \mathcal{O}_U^{\oplus n} \otimes \mathcal{G}|_U \otimes \mathcal{F}|_U \ar[u] \ar[r]^-{1 \otimes \epsilon} & \mathcal{O}_U^{\oplus n} \ar[u] }\] 这表明 \(\mathcal{F}\) 上的恒等态射在 \(X\) 上局部地经由有限自由模层分解，从而证明了 (1)。由《范畴论》引理 0FFQ 及其证明得到 (2)。由本证明中的第一个等式得到 (3)。也可以由左对偶的唯一性（《范畴论》注 0FFR）以及例 0FNV 中左对偶的构造推出 (2) 与 (3)。

引理

设 \((X, \mathcal{O}_X)\) 为环空间。设 \(\mathcal{F}\) 为有限表示的平坦 \(\mathcal{O}_X\)-模层。则 \(\mathcal{F}\) 局部为有限自由 \(\mathcal{O}_X\)-模层的直和项。

证明

以一个开覆盖的成员替换 \(X\) 后，可以假设存在表示 \[\mathcal{O}_X^{\oplus r} \to \mathcal{O}_X^{\oplus n} \to \mathcal{F} \to 0\] 设 \(x \in X\)。由引理 08BK，把 \(X\) 缩小为 \(x\) 的某个开邻域后，可以假设存在分解 \[\mathcal{O}_X^{\oplus n} \to \mathcal{O}_X^{\oplus n_1} \to \mathcal{F}\] 使得复合 \(\mathcal{O}_X^{\oplus r} \to \mathcal{O}_X^{\oplus n} \to \mathcal{O}_X^{\oplus n_1}\) 零化 \(\mathcal{O}_X^{\oplus r}\) 的第一个直和项。再重复此论证 \(r - 1\) 次，得到分解 \[\mathcal{O}_X^{\oplus n} \to \mathcal{O}_X^{\oplus n_r} \to \mathcal{F}\] 使得复合 \(\mathcal{O}_X^{\oplus r} \to \mathcal{O}_X^{\oplus n} \to \mathcal{O}_X^{\oplus n_r}\) 为零。这意味着满射 \(\mathcal{O}_X^{\oplus n_r} \to \mathcal{F}\) 有截面，故得证。

可构造集合层

设 \(X\) 为拓扑空间。给定集合 \(S\)，回顾 \(\underline{S}\) 或 \(\underline{S}_X\) 表示取值为 \(S\) 的常值层，参见《层》定义 006W。设 \(U \subset X\) 为拓扑空间 \(X\) 的开子集。我们以 \(j_U\) 表示包含态射，并以 \(j_{U!} : \Sh(U) \to \Sh(X)\) 表示《层》第 009Z 节所述的以空集延拓。

引理

设 \(X\) 为拓扑空间，\(\mathcal{B}\) 为 \(X\) 的一个拓扑基， \(\mathcal{F}\) 为 \(X\) 上的集合层。则存在集合 \(I\)，并且对每个 \(i \in I\) 存在 \(U_i \in \mathcal{B}\) 及有限集 \(S_i\)，使得存在满射 \(\coprod_{i \in I} j_{U_i!}\underline{S_i} \to \mathcal{F}\)。

证明

设 \(S\) 为单点集。我们将以 \(S_i = S\) 证明结论。对每个 \(x \in X\) 及元素 \(s \in \mathcal{F}_x\)，可选取 \(U(x, s) \in \mathcal{B}\) 与 \(s(x, s) \in \mathcal{F}(U(x, s))\)，使后者在 \(\mathcal{F}_x\) 中映到 \(s\)。由《层》引理 00A3，截面 \(s(x, s)\) 对应于层态射 \(j_{U(x, s)!}\underline{S} \to \mathcal{F}\)。于是 \[\coprod\nolimits_{(x, s)} j_{U(x, s)!}\underline{S} \to \mathcal{F}\] 在茎上满射，因而是满射。

引理

设 \(X\) 为拓扑空间，\(\mathcal{B}\) 为 \(X\) 的一个拓扑基，并假设每个 \(U \in \mathcal{B}\) 都拟紧。则 \(X\) 上的每个集合层都是如下形式的层的滤过余极限： [0CAJ]\[\begin{equation} \text{余等化子}\left( \xymatrix{ \coprod\nolimits_{b = 1, \ldots, m} j_{V_b!}\underline{S_b} \ar@<1ex>[r] \ar@<-1ex>[r] & \coprod\nolimits_{a = 1, \ldots, n} j_{U_a!}\underline{S_a} } \right) \end{equation}\] 其中 \(U_a,V_b \in \mathcal{B}\)，而 \(S_a,S_b\) 为有限集。

证明

由引理 0CAH，每个集合层 \(\mathcal{F}\) 都是某个满射的靶，该满射的源 \(\mathcal{F}_0\) 是形如 \(j_{U!}\underline{S}\) 的层的余积，其中 \(U \in \mathcal{B}\) 且 \(S\) 有限。把这一结论应用于 \(\mathcal{F}_0 \times_\mathcal{F} \mathcal{F}_0\)，可见 \(\mathcal{F}\) 是一对态射的余等化子： \[\xymatrix{ \coprod\nolimits_{b \in B} j_{V_b!}\underline{S_b} \ar@<1ex>[r] \ar@<-1ex>[r] & \coprod\nolimits_{a \in A} j_{U_a!}\underline{S_a} }\] 这里 \(A,B\) 为某些指标集，\(V_b,U_a \in \mathcal{B}\)，而 \(S_a,S_b\) 有限。对每个有限子集 \(B' \subset B\)，存在有限子集 \(A' \subset A\)，使得两态射都把 \(b \in B'\) 上的余积映入 \(a \in A'\) 上的余积。事实上，可以把右端视为具有单射转移态射的滤过余极限。因此，在拟紧开集 \(V_b\)（\(b \in B'\)）上取截面与此余积可交换，参见《层》引理 009F。所以我们的层是有限余积之间这些态射的余核的余极限。

引理

设 \(X\) 为谱拓扑空间，\(\mathcal{B}\) 为 \(X\) 的拟紧开子集之集， \(\mathcal{F}\) 为式 (0CAJ) 所示的集合层。则存在到某个有限清醒拓扑空间 \(Y\) 的连续谱映射 \(f : X \to Y\)，以及 \(Y\) 上具有有限茎的集合层 \(\mathcal{G}\)，使得 \(f^{-1}\mathcal{G} \cong \mathcal{F}\)。

证明

可以把 \(X = \lim X_i\) 写成有限清醒空间的有向逆极限，参见《拓扑学》引理 09XX。转移态射 \(X_{i'} \to X_i\) 自然都是谱映射，故由《拓扑学》引理 0A2Z，态射 \(p_i : X \to X_i\) 都是谱映射。对某个 \(i\)，可找到 \(X_i\) 的开集 \(U_{a, i}\) 与 \(V_{b, i}\)，其逆像分别为 \(U_a\) 与 \(V_b\)，参见《拓扑学》引理 0A30。以 \(\mathcal{F}\) 为余等化子的两个态射 \[\beta, \gamma : \coprod\nolimits_{b \in B} j_{V_b!}\underline{S_b} \longrightarrow \coprod\nolimits_{a \in A} j_{U_a!}\underline{S_a}\] 经伴随对应于两族集合映射 \[\beta_b, \gamma_b : S_b \longrightarrow \Gamma(V_b, \coprod\nolimits_{a \in A} j_{U_a!}\underline{S_a}), \quad b \in B\] 。注意 \(p_i^{-1}(j_{U_{a, i}!}\underline{S_a}) = j_{U_a!}\underline{S_a}\) ，且 \((X_{i'} \to X_i)^{-1}(j_{U_{a, i}!}\underline{S_a}) = j_{U_{a, i'}!}\underline{S_a}\)。由《层》引理 0A32（并利用 \(S_b\) 与 \(B\) 均为有限集），增大 \(i\) 后可找到映射 \[\beta_{b, i}, \gamma_{b, i} : S_b \longrightarrow \Gamma(V_{b, i}, \coprod\nolimits_{a \in A} j_{U_{a, i}!}\underline{S_a}) , \quad b \in B\] ，它们经 \(p_i\) 拉回后给出映射 \(\beta_b\) 与 \(\gamma_b\)。这些映射又依次对应于 \(X_i\) 上的层态射 \[\beta_i, \gamma_i : \coprod\nolimits_{b \in B} j_{V_{b, i}!}\underline{S_b} \longrightarrow \coprod\nolimits_{a \in A} j_{U_{a, i}!}\underline{S_a}\] 。于是可取 \(Y = X_i\) 以及 \[\mathcal{G} = \text{余等化子}\left( \xymatrix{ \coprod\nolimits_{b = 1, \ldots, m} j_{V_{b, i}!}\underline{S_b} \ar@<1ex>[r] \ar@<-1ex>[r] & \coprod\nolimits_{a = 1, \ldots, n} j_{U_{a, i}!}\underline{S_a} } \right)\] 我们略去若干细节。

引理

设 \(X\) 为谱拓扑空间，\(\mathcal{B}\) 为 \(X\) 的拟紧开子集之集， \(\mathcal{F}\) 为式 (0CAJ) 所示的集合层。则存在有限多个可构造闭子集 \(Z_1, \ldots, Z_n \subset X\) 及有限集 \(S_i\)，使得 \(\mathcal{F}\) 同构于 \(\prod (Z_i \to X)_*\underline{S_i}\) 的一个子层。

证明

由引理 0CAK，可归约到有限清醒拓扑空间以及具有有限茎的层这一情形。此时 \(\mathcal{F} \subset \prod_{x \in X} i_{x, *}\mathcal{F}_x\)，其中 \(i_x : \{x\} \to X\) 为嵌入。我们略去 \(i_{x, *}\mathcal{F}_x\) 是 \(\overline{\{x\}}\) 上常值层的证明。

环空间的平坦态射

下述逐点定义由上面的引理 05NE 与定义 05NF 所启发。

定义

设 \(f : X \to Y\) 为环空间态射，\(x \in X\)。若环同态 \(\mathcal{O}_{Y, f(x)} \to \mathcal{O}_{X, x}\) 平坦，则称 \(f\) 在 \(x\) 处平坦。若 \(f\) 在每个 \(x \in X\) 处都平坦，则称 \(f\) 平坦。

考虑环层态射 \(f^\sharp : f^{-1}\mathcal{O}_Y \to \mathcal{O}_X\)。可见它在 \(x\) 处的茎就是环同态 \(f^\sharp_x : \mathcal{O}_{Y, f(x)} \to \mathcal{O}_{X, x}\)。因此，\(f\) 在 \(x\) 处平坦，当且仅当作为 \(f^{-1}\mathcal{O}_Y\)-模层的 \(\mathcal{O}_X\) 在 \(x\) 处平坦； \(f\) 平坦，当且仅当 \(\mathcal{O}_X\) 作为 \(f^{-1}\mathcal{O}_Y\)-模层平坦。平坦态射的一个非常特殊的情形是开浸入。

引理

设 \(f : X \to Y\) 为环空间的平坦态射。则拉回函子 \(f^* : \textit{Mod}(\mathcal{O}_Y) \to \textit{Mod}(\mathcal{O}_X)\) 正合。

证明

函子 \(f^*\) 是正合函子 \(f^{-1} : \textit{Mod}(\mathcal{O}_Y) \to \textit{Mod}(f^{-1}\mathcal{O}_Y)\) 与换环函子 \[\textit{Mod}(f^{-1}\mathcal{O}_Y) \to \textit{Mod}(\mathcal{O}_X), \quad \mathcal{F} \longmapsto \mathcal{F} \otimes_{f^{-1}\mathcal{O}_Y} \mathcal{O}_X.\] 的复合。因此结论由定义 02N3 后的讨论得到。

定义

设 \(f : (X, \mathcal{O}_X) \to (Y, \mathcal{O}_Y)\) 为环空间态射， \(\mathcal{F}\) 为 \(\mathcal{O}_X\)-模层。

若茎 \(\mathcal{F}_x\) 是平坦 \(\mathcal{O}_{Y, f(x)}\)-模，则称 \(\mathcal{F}\) 在点 \(x \in X\) 处在 \(Y\) 上平坦。

若 \(\mathcal{F}\) 在 \(X\) 的每一点 \(x\) 处都在 \(Y\) 上平坦，则称 \(\mathcal{F}\) 在 \(Y\) 上平坦。

根据此定义可见，\(\mathcal{F}\) 在 \(x\) 处在 \(Y\) 上平坦，当且仅当 \(\mathcal{F}\) 作为 \(f^{-1}\mathcal{O}_Y\)-模层在 \(x\) 处平坦，因为由《层》引理 008H，有 \((f^{-1}\mathcal{O}_Y)_x = \mathcal{O}_{Y, f(x)}\)。

引理

设 \(f : X \to Y\) 为环空间态射，\(\mathcal{F}\) 为在 \(Y\) 上平坦的 \(\mathcal{O}_X\)-模层。则函子 \[\textit{Mod}(\mathcal{O}_Y) \to \textit{Mod}(\mathcal{O}_X),\quad \mathcal{G} \longmapsto f^*\mathcal{G} \otimes_{\mathcal{O}_X} \mathcal{F}\] 正合。

证明

这是因为 \(f^*\mathcal{G} \otimes_{\mathcal{O}_X} \mathcal{F} = f^{-1}\mathcal{G} \otimes_{f^{-1}\mathcal{O}_Y} \mathcal{F}\), 函子 \(f^{-1}\) 正合，而 \(\mathcal{F}\) 是平坦 \(f^{-1}\mathcal{O}_Y\)-模层。

对称幂与外幂

设 \((X, \mathcal{O}_X)\) 为环空间，\(\mathcal{F}\) 为 \(\mathcal{O}_X\)-模层。定义 \(\mathcal{F}\) 的张量代数为非交换 \(\mathcal{O}_X\)-代数层 \[\text{T}(\mathcal{F}) = \text{T}_{\mathcal{O}_X}(\mathcal{F}) = \bigoplus\nolimits_{n \geq 0} \text{T}^n(\mathcal{F}).\] 这里 \(\text{T}^0(\mathcal{F}) = \mathcal{O}_X\)， \(\text{T}^1(\mathcal{F}) = \mathcal{F}\) ，且当 \(n \geq 2\) 时有 \[\text{T}^n(\mathcal{F}) = \mathcal{F} \otimes_{\mathcal{O}_X} \ldots \otimes_{\mathcal{O}_X} \mathcal{F} \ \ (n\text{ 个因子})\] 定义 \(\wedge(\mathcal{F})\) 为 \(\text{T}(\mathcal{F})\) 关于如下双边理想的商：该理想由 \(\text{T}^2(\mathcal{F})\) 中形如 \(s \otimes s\) 的局部截面生成，其中 \(s\) 是 \(\mathcal{F}\) 的局部截面。这称为 \(\mathcal{F}\) 的外代数。类似地，定义 \(\text{Sym}(\mathcal{F})\) 为 \(\text{T}(\mathcal{F})\) 关于如下双边理想的商：该理想由 \(\text{T}^2(\mathcal{F})\) 中形如 \(s \otimes t - t \otimes s\) 的局部截面生成。

代数 \(\text{T}(\mathcal{F})\)、\(\wedge(\mathcal{F})\) 与 \(\text{Sym}(\mathcal{F})\) 是《微分分次层》定义 0FQW 意义下的分次 \(\mathcal{O}_X\)-代数。此外，\(\text{Sym}(\mathcal{F})\) 交换，而 \(\wedge(\mathcal{F})\) 分次交换。

引理

在上述情形中，层 \(\wedge^n\mathcal{F}\) 是预层 \[U \longmapsto \wedge^n_{\mathcal{O}_X(U)}(\mathcal{F}(U)).\] 的层化，参见《代数》第 00DM 节。类似地，层 \(\text{Sym}^n\mathcal{F}\) 是预层 \[U \longmapsto \text{Sym}^n_{\mathcal{O}_X(U)}(\mathcal{F}(U)).\] 的层化。

证明

略。用这种方式定义 \(\text{Sym}(\mathcal{F})\) 与 \(\wedge(\mathcal{F})\)，可能比上述方法更高效。

引理

在上述情形中，设 \(x \in X\)。存在 \(\mathcal{O}_{X, x}\)-模的典范同构 \(\text{T}(\mathcal{F})_x = \text{T}(\mathcal{F}_x)\)、 \(\text{Sym}(\mathcal{F})_x = \text{Sym}(\mathcal{F}_x)\) 与 \(\wedge(\mathcal{F})_x = \wedge(\mathcal{F}_x)\).

证明

由上面的引理 01CG 与《代数》引理 00DQ 立即得到。

引理

设 \(f : (X, \mathcal{O}_X) \to (Y, \mathcal{O}_Y)\) 为环空间态射， \(\mathcal{F}\) 为 \(\mathcal{O}_Y\)-模层。则 \(f^*\text{T}(\mathcal{F}) = \text{T}(f^*\mathcal{F})\)；与 \(\mathcal{F}\) 关联的外代数与对称代数也有类似结论。

证明

略。

引理

设 \((X, \mathcal{O}_X)\) 为环空间。设 \(\mathcal{F}_2 \to \mathcal{F}_1 \to \mathcal{F} \to 0\) 为 \(\mathcal{O}_X\)-模层的正合列。对每个 \(n \geq 1\)，存在正合列 \[\mathcal{F}_2 \otimes_{\mathcal{O}_X} \text{Sym}^{n - 1}(\mathcal{F}_1) \to \text{Sym}^n(\mathcal{F}_1) \to \text{Sym}^n(\mathcal{F}) \to 0\] 以及类似的正合列 \[\mathcal{F}_2 \otimes_{\mathcal{O}_X} \wedge^{n - 1}(\mathcal{F}_1) \to \wedge^n(\mathcal{F}_1) \to \wedge^n(\mathcal{F}) \to 0\]

证明

参见《代数》引理 00DO。

引理

设 \((X, \mathcal{O}_X)\) 为环空间，\(\mathcal{F}\) 为 \(\mathcal{O}_X\)-模层。

若 \(\mathcal{F}\) 局部由截面生成，则每个 \(\text{T}^n(\mathcal{F})\)、\(\wedge^n(\mathcal{F})\) 与 \(\text{Sym}^n(\mathcal{F})\) 也如此。

若 \(\mathcal{F}\) 为有限型，则每个 \(\text{T}^n(\mathcal{F})\)、\(\wedge^n(\mathcal{F})\) 与 \(\text{Sym}^n(\mathcal{F})\) 也为有限型。

若 \(\mathcal{F}\) 有限表示，则每个 \(\text{T}^n(\mathcal{F})\)、\(\wedge^n(\mathcal{F})\) 与 \(\text{Sym}^n(\mathcal{F})\) 也有限表示。

若 \(\mathcal{F}\) 凝聚，则对 \(n > 0\)，每个 \(\text{T}^n(\mathcal{F})\)、\(\wedge^n(\mathcal{F})\) 与 \(\text{Sym}^n(\mathcal{F})\) 都凝聚。

若 \(\mathcal{F}\) 拟凝聚，则每个 \(\text{T}^n(\mathcal{F})\)、\(\wedge^n(\mathcal{F})\) 与 \(\text{Sym}^n(\mathcal{F})\) 也拟凝聚。

若 \(\mathcal{F}\) 局部自由，则每个 \(\text{T}^n(\mathcal{F})\)、\(\wedge^n(\mathcal{F})\) 与 \(\text{Sym}^n(\mathcal{F})\) 也局部自由。

证明

关于 \(\text{T}^n(\mathcal{F})\) 的这些陈述由引理 01CE 得到。

陈述 (1) 与 (2) 源于 \(\wedge^n(\mathcal{F})\) 和 \(\text{Sym}^n(\mathcal{F})\) 都是 \(\text{T}^n(\mathcal{F})\) 的商。

陈述 (6) 由《代数》引理 00DN 得到。

对 (3) 与 (5)，我们将使用上面的引理 01CJ。局部选取表示 \(\mathcal{F}_2 \to \mathcal{F}_1 \to \mathcal{F} \to 0\) ，其中 \(\mathcal{F}_i\) 自由或有限自由，并应用该引理，可见 \(\text{Sym}^n(\mathcal{F})\)、\(\wedge^n(\mathcal{F})\) 有类似表示；这里使用了 (6) 与引理 01CE。

为证明 (4)，我们将使用《代数》引理 00DP。可以在 \(X\) 上局部化，并假设 \(\mathcal{F}\) 由有限族整体截面 \((s_i)_{i \in I}\) 生成。上述引理结合引理 01CG 表明，当 \(n \geq 2\) 时存在正合列 \[\bigoplus\nolimits_{j \in J} \text{T}^{n - 2}(\mathcal{F}) \to \text{T}^n(\mathcal{F}) \to \text{Sym}^n(\mathcal{F}) \to 0\] 其中指标集 \(J\) 有限。已知 \(\text{T}^{n - 2}(\mathcal{F})\) 有限生成，故第一个箭头的像是 \(\text{T}^n(\mathcal{F})\) 的凝聚子层，参见引理 01BY。再由同一引理可知 \(\text{Sym}^n(\mathcal{F})\) 凝聚。

引理

设 \((X, \mathcal{O}_X)\) 为环空间，\(\mathcal{F}\) 为 \(\mathcal{O}_X\)-模层。

若 \(\mathcal{F}\) 拟凝聚，则 \(\text{T}(\mathcal{F})\)、\(\wedge(\mathcal{F})\) 与 \(\text{Sym}(\mathcal{F})\) 也都拟凝聚。

若 \(\mathcal{F}\) 局部自由，则 \(\text{T}(\mathcal{F})\)、\(\wedge(\mathcal{F})\) 与 \(\text{Sym}(\mathcal{F})\) 也都局部自由。

证明

局部自由模层的无限直和 \(\bigoplus \mathcal{G}_i\) 未必局部自由，拟凝聚模层的无限直和也未必拟凝聚。问题在于，给定点 \(x \in X\)，使 \(\mathcal{G}_i\) 变为自由（相应地，具有适当表示）的 \(x\) 的开邻域 \(U_i\)，其交集未必仍为 \(x\) 的开邻域。然而，在引理 01CK 的证明中我们看到，一旦为 \(\mathcal{F}\) 选定适当的开邻域，该开邻域便同时适用于每个层 \(\text{T}^n(\mathcal{F})\)、\(\wedge^n(\mathcal{F})\) 及 \(\text{Sym}^n(\mathcal{F})\)。引理得证。

内 Hom

设 \((X, \mathcal{O}_X)\) 为环空间，\(\mathcal{F},\mathcal{G}\) 为 \(\mathcal{O}_X\)-模层。考虑规则 \[U \longmapsto \Hom_{\mathcal{O}_X|_U}(\mathcal{F}|_U, \mathcal{G}|_U).\] 由《层》第 00AK 节的讨论，这是一个阿贝尔群层。此外，给定元素 \(\varphi \in \Hom_{\mathcal{O}_X|_U}(\mathcal{F}|_U, \mathcal{G}|_U)\) 与截面 \(f \in \mathcal{O}_X(U)\)，可以定义 \(f\varphi \in \Hom_{\mathcal{O}_X|_U}(\mathcal{F}|_U, \mathcal{G}|_U)\) ：或者前复合 \(\mathcal{F}|_U\) 上的乘 \(f\) 态射，或者后复合 \(\mathcal{G}|_U\) 上的乘 \(f\) 态射（两者给出相同结果）。因此实际上得到一个 \(\mathcal{O}_X\)-模层，记为 \(\SheafHom_{\mathcal{O}_X}(\mathcal{F}, \mathcal{G})\)。存在典范的“求值”态射 \[\mathcal{F} \otimes_{\mathcal{O}_X} \SheafHom_{\mathcal{O}_X}(\mathcal{F}, \mathcal{G}) \longrightarrow \mathcal{G}.\] 对每个 \(x \in X\)，还存在典范态射 \[\SheafHom_{\mathcal{O}_X}(\mathcal{F}, \mathcal{G})_x \to \Hom_{\mathcal{O}_{X, x}}(\mathcal{F}_x, \mathcal{G}_x)\] ，但它很少是同构。

引理

设 \((X, \mathcal{O}_X)\) 为环空间，\(\mathcal{F},\mathcal{G},\mathcal{H}\) 为 \(\mathcal{O}_X\)-模层。存在典范同构 \[\SheafHom_{\mathcal{O}_X} (\mathcal{F} \otimes_{\mathcal{O}_X} \mathcal{G}, \mathcal{H}) \longrightarrow \SheafHom_{\mathcal{O}_X} (\mathcal{F}, \SheafHom_{\mathcal{O}_X}(\mathcal{G}, \mathcal{H}))\] ，它对三个变量都具有函子性（三处都是层 Hom）。特别地，给出态射 \(\mathcal{F} \otimes_{\mathcal{O}_X} \mathcal{G} \to \mathcal{H}\) 等价于给出态射 \(\mathcal{F} \to \SheafHom_{\mathcal{O}_X}(\mathcal{G}, \mathcal{H})\)。

证明

这是《代数》引理 00DE 的类似结果。证明相同，故略。

引理

设 \((X, \mathcal{O}_X)\) 为环空间，\(\mathcal{F},\mathcal{G}\) 为 \(\mathcal{O}_X\)-模层。

若 \(\mathcal{F}_2 \to \mathcal{F}_1 \to \mathcal{F} \to 0\) 是 \(\mathcal{O}_X\)-模层的正合列，则 \[0 \to \SheafHom_{\mathcal{O}_X}(\mathcal{F}, \mathcal{G}) \to \SheafHom_{\mathcal{O}_X}(\mathcal{F}_1, \mathcal{G}) \to \SheafHom_{\mathcal{O}_X}(\mathcal{F}_2, \mathcal{G})\] 正合。

若 \(0 \to \mathcal{G} \to \mathcal{G}_1 \to \mathcal{G}_2\) 是 \(\mathcal{O}_X\)-模层的正合列，则 \[0 \to \SheafHom_{\mathcal{O}_X}(\mathcal{F}, \mathcal{G}) \to \SheafHom_{\mathcal{O}_X}(\mathcal{F}, \mathcal{G}_1) \to \SheafHom_{\mathcal{O}_X}(\mathcal{F}, \mathcal{G}_2)\] 正合。

证明

设 \(\mathcal{F}_2 \to \mathcal{F}_1 \to \mathcal{F} \to 0\) 如 (1) 所述。对每个开集 \(U \subset X\)，序列 \[0 \to \Hom_{\mathcal{O}_U}(\mathcal{F}|_U, \mathcal{G}|_U) \to \Hom_{\mathcal{O}_U}(\mathcal{F}_1|_U, \mathcal{G}|_U) \to \Hom_{\mathcal{O}_U}(\mathcal{F}_2|_U, \mathcal{G}|_U)\] 由《同调》引理 05AA 正合。这意味着对 (1) 中的层序列在 \(U\) 上取截面会得到阿贝尔群的正合列。因此按照定义，(1) 中的序列正合。(2) 的证明完全相同。

引理

设 \(X\) 为拓扑空间，\(\mathcal{O}_1 \to \mathcal{O}_2\) 为环层同态。则有 \[\Hom_{\mathcal{O}_1}(\mathcal{F}_{\mathcal{O}_1}, \mathcal{G}) = \Hom_{\mathcal{O}_2}(\mathcal{F}, \SheafHom_{\mathcal{O}_1}(\mathcal{O}_2, \mathcal{G}))\] ，它关于 \(\mathcal{F} \in \textit{Mod}(\mathcal{O}_2)\) 与 \(\mathcal{G} \in \textit{Mod}(\mathcal{O}_1)\) 双函子地成立。

证明

略。这是《代数》引理 08YP 的类似结果，证明完全相同。

引理

设 \((X, \mathcal{O}_X)\) 为环空间，\(\mathcal{F},\mathcal{G}\) 为 \(\mathcal{O}_X\)-模层。若 \(\mathcal{F}\) 为有限型，则典范态射 \[\SheafHom_{\mathcal{O}_X}(\mathcal{F}, \mathcal{G})_x \to \Hom_{\mathcal{O}_{X, x}}(\mathcal{F}_x, \mathcal{G}_x)\] 为单射。若 \(\mathcal{F}\) 有限表示，则该典范态射为同构。

证明

该态射把 \(\SheafHom_{\mathcal{O}_X}(\mathcal{F}, \mathcal{G})_x\) 中 \((U,\varphi)\) 的等价类映到在 \(x\) 处的诱导茎态射 \(\varphi_x : \mathcal{F}_x \to \mathcal{G}_x\)，其中 \(x \in U \subset X\) 为开集，且 \(\varphi \in \Hom_{\mathcal{O}_U}(\mathcal{F}|_U, \mathcal{G}|_U)\)。

假设 \(\mathcal{F}\) 为有限型。取该态射核中某元素 \(\sigma\) 的代表 \((U,\varphi)\)，即 \(\varphi_x=0\)。必要时缩小 \(U\)，选取生成 \(\mathcal{F}|_U\) 的截面 \(s^1, \ldots, s^n \in \mathcal{F}(U)\)。由于 \(\varphi_x(s^i_x)=0\)，且所涉截面只有有限多个，可以找到 \(x\) 的开邻域 \(V \subset U\)，使得对所有 \(i=1,\ldots,n\) 都有 \(\varphi_V(s^i|_V)=0\)。由于 \(s^i|_V\)（\(i=1,\ldots,n\)）生成 \(\mathcal{F}|_V\)，这意味着 \(\varphi|_V=0\)。又因 \((U,\varphi)\) 与 \((V,\varphi|_V)\) 等价，故 \(\sigma=0\)，于是该态射为单射。

接着假设 \(\mathcal{F}\) 有限表示。在 \(X\) 上局部化后，可以假设 \(\mathcal{F}\) 有表示 \[\bigoplus\nolimits_{j = 1, \ldots, m} \mathcal{O}_X \longrightarrow \bigoplus\nolimits_{i = 1, \ldots, n} \mathcal{O}_X \to \mathcal{F} \to 0.\] 由引理 01CO，这给出正合列 \(0 \to \SheafHom_{\mathcal{O}_X}(\mathcal{F}, \mathcal{G}) \to \bigoplus\nolimits_{i = 1, \ldots, n} \mathcal{G} \longrightarrow \bigoplus\nolimits_{j = 1, \ldots, m} \mathcal{G}.\) 取茎得到正合列 \(0 \to \SheafHom_{\mathcal{O}_X}(\mathcal{F}, \mathcal{G})_x \to \bigoplus\nolimits_{i = 1, \ldots, n} \mathcal{G}_x \longrightarrow \bigoplus\nolimits_{j = 1, \ldots, m} \mathcal{G}_x\) 。结论随即成立，因为 \(\mathcal{F}_x\) 位于正合列 \(\bigoplus\nolimits_{j = 1, \ldots, m} \mathcal{O}_{X, x} \longrightarrow \bigoplus\nolimits_{i = 1, \ldots, n} \mathcal{O}_{X, x} \to \mathcal{F}_x \to 0\) 中，而该列诱导正合列 \(0 \to \Hom_{\mathcal{O}_{X, x}}(\mathcal{F}_x, \mathcal{G}_x) \to \bigoplus\nolimits_{i = 1, \ldots, n} \mathcal{G}_x \longrightarrow \bigoplus\nolimits_{j = 1, \ldots, m} \mathcal{G}_x\) ，它与上面的正合列相同。

引理

设 \(f : (X, \mathcal{O}_X) \to (Y, \mathcal{O}_Y)\) 为环空间态射， \(\mathcal{F},\mathcal{G}\) 为 \(\mathcal{O}_Y\)-模层。若 \(\mathcal{F}\) 有限表示且 \(f\) 平坦，则典范态射 \[f^*\SheafHom_{\mathcal{O}_Y}(\mathcal{F}, \mathcal{G}) \longrightarrow \SheafHom_{\mathcal{O}_X}(f^*\mathcal{F}, f^*\mathcal{G})\] 为同构。

证明

注意 \(f^*\mathcal{F}\) 也有限表示（引理 01BQ）。设 \(x \in X\) 映到 \(y \in Y\)。考察 \(x\) 处的茎，由引理 01CP 与《代数详论》引理 087R，可知在此情形中 \(\Hom\) 与经 \(\mathcal{O}_{Y,y}\to\mathcal{O}_{X,x}\) 的基变换可交换，故得到同构。第二种证明：使用引理 01CP 证明中完全相同的论证。

引理

设 \((X,\mathcal{O}_X)\) 为环空间，\(\mathcal{F},\mathcal{G}\) 为 \(\mathcal{O}_X\)-模层。若 \(\mathcal{F}\) 有限表示，则层 \(\SheafHom_{\mathcal{O}_X}(\mathcal{F}, \mathcal{G})\) 局部是由 \(\mathcal{G}\) 的有限直和之间某态射的核。特别地，若 \(\mathcal{G}\) 凝聚，则 \(\SheafHom_{\mathcal{O}_X}(\mathcal{F}, \mathcal{G})\) 也凝聚。

证明

第一个断言已见于引理 01CP 的证明。关于凝聚层的结论随即由引理 01BY 得到。

引理

设 \(X\) 为环空间，\(\mathcal{F}\) 为有限表示的 \(\mathcal{O}_X\)-模层。设 \(\mathcal{G} = \colim_{\lambda \in \Lambda} \mathcal{G}_\lambda\) 为 \(\mathcal{O}_X\)-模层的滤过余极限。则典范态射 \[\colim_\lambda \SheafHom_{\mathcal{O}_X}(\mathcal{F}, \mathcal{G}_\lambda) \longrightarrow \SheafHom_{\mathcal{O}_X}(\mathcal{F}, \mathcal{G})\] 为同构。

证明

模层的余极限与限制到开集可交换，参见《层》第 009E 节。因此可以假设 \(\mathcal{F}\) 有整体表示 \[\bigoplus\nolimits_{j = 1, \ldots, m} \mathcal{O}_X \longrightarrow \bigoplus\nolimits_{i = 1, \ldots, n} \mathcal{O}_X \to \mathcal{F} \to 0\] 函子 \(\SheafHom_{\mathcal{O}_X}(-,-)\) 对任一变量都与有限直和可交换，而 \(\SheafHom_{\mathcal{O}_X}(\mathcal{O}_X,-)\) 是恒等函子。由此及引理 01CO，得到正合列 \[0 \to \SheafHom_{\mathcal{O}_X}(\mathcal{F}, \mathcal{G}) \to \bigoplus\nolimits_{i = 1, \ldots, n} \mathcal{G} \to \bigoplus\nolimits_{j = 1, \ldots, m} \mathcal{G}\] 由于滤过余极限在 \(\textit{Mod}(\mathcal{O}_X)\) 中正合，下列交换图的顶行也正合： \[\small \xymatrix{ 0 \ar[r] & \colim_\lambda \SheafHom_{\mathcal{O}_X}(\mathcal{F}, \mathcal{G}_\lambda) \ar[r] \ar[d] & \colim_\lambda \bigoplus\nolimits_{i = 1, \ldots, n} \mathcal{G}_\lambda \ar[r] \ar[d] & \colim_\lambda \bigoplus\nolimits_{j = 1, \ldots, m} \mathcal{G}_\lambda \ar[d] \\ 0 \ar[r] & \SheafHom_{\mathcal{O}_X}(\mathcal{F}, \mathcal{G}) \ar[r] & \bigoplus\nolimits_{i = 1, \ldots, n} \mathcal{G} \ar[r] & \bigoplus\nolimits_{j = 1, \ldots, m} \mathcal{G} }\] 右侧两个竖直箭头都是同构，故得结论。

引理

设 \(X\) 为环空间，\(I\) 为预序集，且 \((\mathcal{F}_i,\varphi_{ii'})\) 为 \(I\) 上由 \(\mathcal{O}_X\)-模层组成的系统（参见《范畴论》第 002Z 节）。假设

\(I\) 有向；

\(\mathcal{G}\) 是有限表示的 \(\mathcal{O}_X\)-模层；

\(X\) 有一个共尾的开覆盖系统 \(\mathcal{U} : X = \bigcup_{j\in J} U_j\)，，其中 \(J\) 有限，且对所有 \(j,j'\in J\)， \(U_j\cap U_{j'}\) 都拟紧。

则有 \[\colim_i \Hom_X(\mathcal{G}, \mathcal{F}_i) = \Hom_X(\mathcal{G}, \colim_i \mathcal{F}_i).\]

证明

置 \(\mathcal{H} = \SheafHom_{\mathcal{O}_X}(\mathcal{G}, \colim \mathcal{F}_i)\) 及 \(\mathcal{H}_i = \SheafHom_{\mathcal{O}_X}(\mathcal{G}, \mathcal{F}_i)\)。回顾按照构造有 \[\Hom_X(\mathcal{G}, \mathcal{F}) = \Gamma(X, \mathcal{H}) \quad\text{且}\quad \Hom_X(\mathcal{G}, \mathcal{F}_i) = \Gamma(X, \mathcal{H}_i)\] 。由引理 0GMV，有 \(\mathcal{H}=\colim\mathcal{H}_i\)。因此本引理由《层》引理 009F 得到。

注

在上述引理中，除 \(X\) 拟紧之外还需要某种条件。参见《层》例 009G。

模层的零化子

设 \((X,\mathcal{O}_X)\) 为环空间，\(\mathcal{F}\) 为 \(\mathcal{O}_X\)-模层。存在典范的 \(\mathcal{O}_X\)-模层态射 \[\mathcal{O}_X \longrightarrow \SheafHom_{\mathcal{O}_X}(\mathcal{F}, \mathcal{F})\] ，它把局部截面 \(f\in\mathcal{O}_X(U)\) 映到由乘 \(f\) 给出的态射 \(f:\mathcal{F}|_U\to\mathcal{F}|_U\)。

定义

设 \((X,\mathcal{O}_X)\) 为环空间，\(\mathcal{F}\) 为 \(\mathcal{O}_X\)-模层。\(\mathcal{F}\) 的零化子，记作 \(\text{Ann}_{\mathcal{O}_X}(\mathcal{F})\)，是上述态射 \(\mathcal{O}_X \to \SheafHom_{\mathcal{O}_X}(\mathcal{F}, \mathcal{F})\) 的核。

对每个 \(x\in X\)，有 \(\mathcal{O}_{X,x}\) 的理想之间的包含： [0H2I]\[\begin{equation} (\text{Ann}_{\mathcal{O}_X}(\mathcal{F}))_x \subset \text{Ann}_{\mathcal{O}_{X, x}}(\mathcal{F}_x) \end{equation}\] 因为 \(\text{Ann}_{\mathcal{O}_X}(\mathcal{F})\) 的任一截面，都会零化 \(\mathcal{F}\) 在其定义域中各点处的茎。下述简单情形中， (0H2I) 成为等式。

引理

设 \((X,\mathcal{O}_X)\) 为环空间，\(\mathcal{F}\) 为 \(\mathcal{O}_X\)-模层。若 \(\mathcal{F}\) 为有限型，则 \((\text{Ann}_{\mathcal{O}_X}(\mathcal{F}))_x = \text{Ann}_{\mathcal{O}_{X, x}}(\mathcal{F}_x)\).

证明

由引理 01CP，态射 \[\SheafHom_{\mathcal{O}_X}(\mathcal{F}, \mathcal{F})_x \longrightarrow \Hom_{\mathcal{O}_{X,x}}(\mathcal{F}_x, \mathcal{F}_x)\] 为单射。因此，若 \(\mathcal{O}_X\) 在 \(x\) 的开邻域 \(U\) 上的截面 \(f\) 在 \(\mathcal{F}_x\) 上作用为零，则存在开集 \(U\supset V\ni x\)，使得 \(f\) 在 \(\mathcal{F}|_V\) 上作用为零。故包含式 (0H2I) 是等式。

引理

设 \((X,\mathcal{O}_X)\) 为环空间，\(\mathcal{F}\) 为 \(\mathcal{O}_X\)-模层，\(\mathcal{I}\subset\mathcal{O}_X\) 为理想层。若 \(\mathcal{I} \subset \text{Ann}_{\mathcal{O}_X}(\mathcal{F})\), 则 \(\mathcal{F}\) 有自然的 \(\mathcal{O}_X/\mathcal{I}\)-模层结构，且它在茎上与通常的交换代数构造一致。

证明

对包含态射 \(\mathcal{I}\to\mathcal{O}_X\) 的余核应用泛性质，得到 \(\mathcal{O}_X\)-模层的交换图 \[\xymatrix{ \mathcal{O}_X \ar[r] \ar[d] & \SheafHom_{\mathcal{O}_X}(\mathcal{F}, \mathcal{F}) \\ \mathcal{O}_X/\mathcal{I} \ar@{-->}[ur] }\] 。由引理 01CN，所得态射 \(\mathcal{O}_X/\mathcal{I} \to \SheafHom_{\mathcal{O}_X}(\mathcal{F}, \mathcal{F})\) 对应于 \(\mathcal{O}_X\)-模层态射 \[\mathcal{O}_X/\mathcal{I} \otimes_{\mathcal{O}_X} \mathcal{F} \longrightarrow \mathcal{F}\] ，这意味着 \(\mathcal{F}\) 上有与给定 \(\mathcal{O}_X\)-模层结构相容的 \(\mathcal{O}_X/\mathcal{I}\)-模层结构。我们略去关于茎的断言的验证。

引理

设 \((X,\mathcal{O}_X)\) 为环空间。若 \(\mathcal{O}_X\) 与 \(\mathcal{F}\) 凝聚，则 \(\text{Ann}_{\mathcal{O}_X}(\mathcal{F})\) 也凝聚。

证明

由于 \(\text{Ann}_{\mathcal{O}_X}(\mathcal{F})\) 是 \(\mathcal{O}_X \to \SheafHom_{\mathcal{O}_X}(\mathcal{F}, \mathcal{F})\) 的核，由引理 01BY，只需证明 \(\SheafHom_{\mathcal{O}_X}(\mathcal{F}, \mathcal{F})\) 凝聚。这由引理 01CQ 以及如下事实得到：\(\mathcal{F}\) 凝聚，因而特别有限表示（引理 01BW）。

Koszul 复形

建议先阅读《代数详论》第 0621 节中关于 Koszul 复形的内容。我们如下定义 \(\mathcal{O}_X\)-模层范畴中的 Koszul 复形。

定义

设 \(X\) 为环空间，\(\varphi:\mathcal{E}\to\mathcal{O}_X\) 为 \(\mathcal{O}_X\)-模层态射。与 \(\varphi\) 关联的 Koszul 复形 \(K_\bullet(\varphi)\) 是如下定义的交换微分分次代数层：

其底层分次代数是外代数 \(K_\bullet(\varphi)=\wedge(\mathcal{E})\)；

微分 \(d:K_\bullet(\varphi)\to K_\bullet(\varphi)\) 是满足如下条件的唯一导子：对 \(\mathcal{E}=K_1(\varphi)\) 的所有局部截面 \(e\)， \(d(e)=\varphi(e)\)。

具体地，若 \(e_1\wedge\ldots\wedge e_n\) 是 \(\mathcal{E}\) 的局部截面的外积，则 \[d(e_1 \wedge \ldots \wedge e_n) = \sum\nolimits_{i = 1, \ldots, n} (-1)^{i + 1} \varphi(e_i)e_1 \wedge \ldots \wedge \widehat{e_i} \wedge \ldots \wedge e_n.\] 易见这在张量代数上给出良定义的导子；它零化 \(e\wedge e\)，因而经由外代数分解。

定义

设 \(X\) 为环空间，且 \(f_1,\ldots,f_n\in\Gamma(X,\mathcal{O}_X)\)。 \(f_1,\ldots,f_n\) 上的 Koszul 复形是与态射 \((f_1, \ldots, f_n) : \mathcal{O}_X^{\oplus n} \to \mathcal{O}_X\). 关联的 Koszul 复形。记作 \(K_\bullet(\mathcal{O}_X,f_1,\ldots,f_n)\) 或 \(K_\bullet(\mathcal{O}_X,f_\bullet)\)。

当然，给定 \(\mathcal{O}_X\)-模层态射 \(\varphi:\mathcal{E}\to\mathcal{O}_X\)，若 \(\mathcal{E}\) 有限局部自由，则 \(K_\bullet(\varphi)\) 在 \(X\) 上局部同构于某个 Koszul 复形 \(K_\bullet(\mathcal{O}_X,f_1,\ldots,f_n)\)。

可逆模层

与环上模的情形类似（《代数详论》第 0AFW 节），有下述定义。

定义

设 \((X,\mathcal{O}_X)\) 为环空间。可逆 \(\mathcal{O}_X\)-模层是满足如下条件的 \(\mathcal{O}_X\)-模层 \(\mathcal{L}\)：函子 \[\textit{Mod}(\mathcal{O}_X) \longrightarrow \textit{Mod}(\mathcal{O}_X),\quad \mathcal{F} \longmapsto \mathcal{L} \otimes_{\mathcal{O}_X} \mathcal{F}\] 是范畴等价。若 \(\mathcal{L}\) 作为 \(\mathcal{O}_X\)-模层同构于 \(\mathcal{O}_X\)，则称 \(\mathcal{L}\) 平凡。

下面的引理 0B8M 说明它与秩 \(1\) 局部自由模层之间的关系。

引理

设 \((X,\mathcal{O}_X)\) 为环空间，\(\mathcal{L}\) 为 \(\mathcal{O}_X\)-模层。下列条件等价：

\(\mathcal{L}\) 可逆；

存在 \(\mathcal{O}_X\)-模层 \(\mathcal{N}\)，使得 \(\mathcal{L} \otimes_{\mathcal{O}_X} \mathcal{N} \cong \mathcal{O}_X\).

在此情形中，\(\mathcal{L}\) 局部为有限自由 \(\mathcal{O}_X\)-模层的直和项，且 (2) 中的模层 \(\mathcal{N}\) 同构于 \(\SheafHom_{\mathcal{O}_X}(\mathcal{L}, \mathcal{O}_X)\).

证明

假设 (1) 成立。则函子 \(-\otimes_{\mathcal{O}_X}\mathcal{L}\) 本质满，故存在 (2) 所述的 \(\mathcal{O}_X\)-模层 \(\mathcal{N}\)。若 (2) 成立，则函子 \(-\otimes_{\mathcal{O}_X}\mathcal{N}\) 是函子 \(-\otimes_{\mathcal{O}_X}\mathcal{L}\) 的拟逆，故 (1) 成立。

假设 (1) 与 (2) 成立。记 \(\psi : \mathcal{L} \otimes_{\mathcal{O}_X} \mathcal{N} \to \mathcal{O}_X\) 为给定同构。设 \(x\in X\)。选取开邻域 \(U\)、整数 \(n\geq1\) 以及截面 \(s_i\in\mathcal{L}(U)\)、\(t_i\in\mathcal{N}(U)\)，使得 \(\psi(\sum s_i\otimes t_i)=1\)。考虑同构 \[\mathcal{L}|_U \to \mathcal{L}|_U \otimes_{\mathcal{O}_U} \mathcal{L}|_U \otimes_{\mathcal{O}_U} \mathcal{N}|_U \to \mathcal{L}|_U\] ，其中第一个箭头把 \(s\) 映到 \(\sum s_i\otimes s\otimes t_i\)，第二个箭头把 \(s\otimes s'\otimes t\) 映到 \(\psi(s'\otimes t)s\)。可知 \(s\mapsto\sum\psi(s\otimes t_i)s_i\) 是 \(\mathcal{L}|_U\) 的自同构。此自同构分解为 \[\mathcal{L}|_U \to \mathcal{O}_U^{\oplus n} \to \mathcal{L}|_U\] ，其中第一个箭头由 \(s \mapsto (\psi(s \otimes t_1), \ldots, \psi(s \otimes t_n))\) 给出，第二个箭头由 \((a_1,\ldots,a_n)\mapsto\sum a_i s_i\) 给出。因此 \(\mathcal{L}|_U\) 是有限自由 \(\mathcal{O}_U\)-模层的直和项。

假设 (1) 与 (2) 成立。考虑求值态射 \[\mathcal{L} \otimes_{\mathcal{O}_X} \SheafHom_{\mathcal{O}_X}(\mathcal{L}, \mathcal{O}_X) \longrightarrow \mathcal{O}_X\] 为完成引理的证明，我们将通过检验它在茎上诱导同构来证明它是同构。设 \(x\in X\)。由上一段已知 \(\mathcal{L}\) 是有限表示的 \(\mathcal{O}_X\)-模层，故由引理 01CP，只需证明 \[\mathcal{L}_x \otimes_{\mathcal{O}_{X, x}} \Hom_{\mathcal{O}_{X, x}}(\mathcal{L}_x, \mathcal{O}_{X, x}) \longrightarrow \mathcal{O}_{X, x}\] 为同构。由于 \(\mathcal{L}_x \otimes_{\mathcal{O}_{X, x}} \mathcal{N}_x = (\mathcal{L} \otimes_{\mathcal{O}_X} \mathcal{N})_x = \mathcal{O}_{X, x}\)（引理 01CB），所需结论由《代数详论》引理 0B8I 得到。

引理

设 \(f:(X,\mathcal{O}_X)\to(Y,\mathcal{O}_Y)\) 为环空间态射。可逆 \(\mathcal{O}_Y\)-模层的拉回 \(f^*\mathcal{L}\) 可逆。

证明

由引理 0B8K，存在 \(\mathcal{O}_Y\)-模层 \(\mathcal{N}\)，使得 \(\mathcal{L} \otimes_{\mathcal{O}_Y} \mathcal{N} \cong \mathcal{O}_Y\). 拉回后，由引理 01CD 得到 \(f^*\mathcal{L} \otimes_{\mathcal{O}_X} f^*\mathcal{N} \cong \mathcal{O}_X\) 。因此由引理 0B8K，\(f^*\mathcal{L}\) 可逆。

引理

设 \((X,\mathcal{O}_X)\) 为环空间。任一秩 \(1\) 局部自由 \(\mathcal{O}_X\)-模层都是可逆的。若所有茎 \(\mathcal{O}_{X,x}\) 都是局部环，则逆命题也成立（但一般情形并非如此）。

证明

括号中的断言可由如下例子看出：考虑单点空间 \(X\)，其环层 \(\mathcal{O}_X\) 由环 \(R\) 给出。此时可逆 \(\mathcal{O}_X\)-模层对应于可逆 \(R\)-模，因此只要 \(\Pic(R)\) 不是平凡群，就得到一个例子。

假设 \(\mathcal{L}\) 是秩 \(1\) 局部自由模层，考虑求值态射 \[\mathcal{L} \otimes_{\mathcal{O}_X} \SheafHom_{\mathcal{O}_X}(\mathcal{L}, \mathcal{O}_X) \longrightarrow \mathcal{O}_X\] 在使 \(\mathcal{L}\) 平凡化的开覆盖上考察，可见此态射为同构。故由引理 0B8K，\(\mathcal{L}\) 可逆。

假设所有茎 \(\mathcal{O}_{X,x}\) 都是局部环，且 \(\mathcal{L}\) 可逆。在引理 0B8K 的证明中已看到，对所有 \(x\in X\)， \(\mathcal{L}_x\) 都是可逆 \(\mathcal{O}_{X,x}\)-模。由于 \(\mathcal{O}_{X,x}\) 是局部环，故 \(\mathcal{L}_x \cong \mathcal{O}_{X, x}\) （《代数详论》第 0AFW 节）。由引理 0B8K，\(\mathcal{L}\) 有限表示，故由引理 0B8J， \(\mathcal{L}\) 是秩 \(1\) 局部自由模层。

引理

设 \((X,\mathcal{O}_X)\) 为环空间。

若 \(\mathcal{L},\mathcal{N}\) 是可逆 \(\mathcal{O}_X\)-模层，则 \(\mathcal{L} \otimes_{\mathcal{O}_X} \mathcal{N}\). 也可逆。

若 \(\mathcal{L}\) 是可逆 \(\mathcal{O}_X\)-模层，则 \(\SheafHom_{\mathcal{O}_X}(\mathcal{L},\mathcal{O}_X)\) 也可逆，且求值态射 \(\mathcal{L} \otimes_{\mathcal{O}_X} \SheafHom_{\mathcal{O}_X}(\mathcal{L}, \mathcal{O}_X) \to \mathcal{O}_X\) 为同构。

证明

(1) 由定义立即得到，(2) 由引理 0B8K 及其证明得到。

定义

设 \((X,\mathcal{O}_X)\) 为环空间。给定 \(X\) 上的可逆层 \(\mathcal{L}\) 及 \(n\in\mathbf{Z}\)，定义 \(\mathcal{L}\) 的第 \(n\) 个张量幂 \(\mathcal{L}^{\otimes n}\) 为 \(\mathcal{O}_X\) 在恰好应用 \(n\) 次如下等价后的像： \(\mathcal{F} \mapsto\mathcal{F} \otimes_{\mathcal{O}_X} \mathcal{L}\)

这对负的 \(n\) 也有意义，因为我们已把可逆 \(\mathcal{O}_X\)-模层定义为张量作用给出等价的模层。更具体地，有 \[\mathcal{L}^{\otimes n} = \left\{ \begin{matrix} \mathcal{O}_X & \text{若} & n = 0 \\ \SheafHom_{\mathcal{O}_X}(\mathcal{L}, \mathcal{O}_X) & \text{若} & n = -1\\ \mathcal{L} \otimes_{\mathcal{O}_X} \ldots \otimes_{\mathcal{O}_X} \mathcal{L} & \text{若} & n > 0 \\ \mathcal{L}^{\otimes -1} \otimes_{\mathcal{O}_X} \ldots \otimes_{\mathcal{O}_X} \mathcal{L}^{\otimes -1} & \text{若} & n < -1 \end{matrix} \right.\] ，参见引理 01CT。根据此定义，有典范同构 \(\mathcal{L}^{\otimes n} \otimes_{\mathcal{O}_X} \mathcal{L}^{\otimes m} \to \mathcal{L}^{\otimes n + m}\)，且这些同构满足交换性约束与结合性约束（略去表述）。

设 \((X,\mathcal{O}_X)\) 为环空间。可在 \(\bigoplus\Gamma(X,\mathcal{L}^{\otimes n})\) 上定义 \(\mathbf{Z}\)-分次环结构：把 \(s\in\Gamma(X,\mathcal{L}^{\otimes n})\) 与 \(t\in\Gamma(X,\mathcal{L}^{\otimes m})\) 映到 \(\Gamma(X,\mathcal{L}^{\otimes n+m})\) 中与 \(s\otimes t\) 对应的截面。我们略去它定义含幺元的交换结合环的验证。然而，按照《代数》第 00JL 节中的约定，分次环在负次数中没有非零元。这引出下述定义。

定义

设 \((X,\mathcal{O}_X)\) 为环空间。给定 \(X\) 上的可逆层 \(\mathcal{L}\)，定义关联分次环为 \[\Gamma_*(X, \mathcal{L}) = \bigoplus\nolimits_{n \geq 0} \Gamma(X, \mathcal{L}^{\otimes n})\] 给定 \(\mathcal{O}_X\)-模层 \(\mathcal{F}\)，置 \[\Gamma_*(X, \mathcal{L}, \mathcal{F}) = \bigoplus\nolimits_{n \in \mathbf{Z}} \Gamma(X, \mathcal{F} \otimes_{\mathcal{O}_X} \mathcal{L}^{\otimes n})\] ，将其视为分次 \(\Gamma_*(X,\mathcal{L})\)-模。

我们常简写为 \(\Gamma_*(\mathcal{L})\) 与 \(\Gamma_*(\mathcal{F})\) （但若 \(\mathcal{F}\) 可逆，这一记法有歧义）。 \(\Gamma_*(\mathcal{L})\) 在 \(\Gamma_*(\mathcal{F})\) 上的乘法用上述同构定义。若 \(\gamma:\mathcal{F}\to\mathcal{G}\) 为 \(\mathcal{O}_X\)-模层态射，则得到 \(\Gamma_*(\mathcal{L})\)-模同态 \(\gamma:\Gamma_*(\mathcal{F})\to\Gamma_*(\mathcal{G})\)。若 \(\alpha:\mathcal{L}\to\mathcal{N}\) 是可逆 \(\mathcal{O}_X\)-模层之间的态射，则得到分次环同态 \(\Gamma_*(\mathcal{L})\to\Gamma_*(\mathcal{N})\)。若 \(f:(Y,\mathcal{O}_Y)\to(X,\mathcal{O}_X)\) 为环空间态射，且 \(\mathcal{L}\) 在 \(X\) 上可逆，则在 \(Y\) 上得到可逆层 \(f^*\mathcal{L}\)（引理 0B8L）以及诱导的分次环同态 \[f^* : \Gamma_*(X, \mathcal{L}) \longrightarrow \Gamma_*(Y, f^*\mathcal{L})\] 此外，上述构造之间还存在一些相容性；我们略去其表述。

引理

设 \((X,\mathcal{O}_X)\) 为环空间。存在一族可逆模层 \(\{\mathcal{L}_i\}_{i\in I}\)，使得 \(X\) 上的每个可逆模层恰好同构于其中一个 \(\mathcal{L}_i\)。

证明

回顾任一可逆 \(\mathcal{O}_X\)-模层局部都是有限自由 \(\mathcal{O}_X\)-模层的直和项，参见引理 0B8K。对每个开覆盖 \(\mathcal{U}:X=\bigcup_{j\in J}U_j\) 及映射 \(r:J\to\mathbf{N}\)，考虑满足如下条件的 \(\mathcal{O}_X\)-模层 \(\mathcal{F}\)： \(\mathcal{F}_j=\mathcal{F}|_{U_j}\) 是 \(\mathcal{O}_{U_j}^{\oplus r(j)}\) 的直和项。 \(\mathcal{F}_j\) 的同构类之全体是集合，因为 \(\Hom_{\mathcal{O}_U}(\mathcal{O}_U^{\oplus r}, \mathcal{O}_U^{\oplus r})\) 是集合。层 \(\mathcal{F}\) 由粘合 \(\mathcal{F}_j\) 得到，参见《层》第 00AK 节。注意所有粘合数据之全体构成集合。所有覆盖 \(\mathcal{U} : X = \bigcup_{j \in J} U_i\) 之全体也构成集合，其中 \(J \to \mathcal{P}(X)\)、\(j \mapsto U_j\) 为单射。对每个覆盖，映射 \(r:J\to\mathbf{N}\) 之全体为集合。因此所有 \(\mathcal{F}\) 之全体构成集合。

粗略地说，此引理断言可逆层的同构类之全体构成集合。引理 01CT 断言张量积在该集合上定义阿贝尔群结构。

定义

设 \((X,\mathcal{O}_X)\) 为环空间。\(X\) 的 Picard 群 \(\Pic(X)\) 是如下阿贝尔群：其元素为可逆 \(\mathcal{O}_X\)-模层的同构类，加法对应于张量积。

引理

设 \(X\) 为环空间。假设每个茎 \(\mathcal{O}_{X,x}\) 都是以 \(\mathfrak m_x\) 为极大理想的局部环。设 \(\mathcal{L}\) 为可逆 \(\mathcal{O}_X\)-模层。对任一截面 \(s\in\Gamma(X,\mathcal{L})\)，集合 \[X_s = \{x \in X \mid \text{像 }s \not\in \mathfrak m_x\mathcal{L}_x\}\] 在 \(X\) 中开。态射 \(s:\mathcal{O}_{X_s}\to\mathcal{L}|_{X_s}\) 是同构，且存在 \(\mathcal{L}^{\otimes-1}\) 在 \(X_s\) 上的截面 \(s'\)，使得 \(s'(s|_{X_s})=1\)。

证明

设 \(x\in X_s\)。由引理 01CT，有同构 \[\mathcal{L}_x \otimes_{\mathcal{O}_{X, x}} (\mathcal{L}^{\otimes -1})_x \longrightarrow \mathcal{O}_{X, x}\] 。\(\mathcal{L}_x\) 与 \((\mathcal{L}^{\otimes-1})_x\) 都是秩 \(1\) 自由 \(\mathcal{O}_{X,x}\)-模。由《代数》中的 Nakayama 引理 00DV，可知 \(s_x\) 是 \(\mathcal{L}_x\) 的一个基。因此存在基元 \(t_x\in(\mathcal{L}^{\otimes-1})_x\)，使得 \(s_x\otimes t_x\) 映到 \(1\)。选取 \(x\) 的开邻域 \(U\)，使 \(t_x\) 来自 \(\mathcal{L}^{\otimes-1}\) 在 \(U\) 上的截面 \(t\)，且 \(s\otimes t\) 映到 \(1\in\mathcal{O}_X(U)\)。显然，对每个 \(x'\in U\)，\(s\) 都生成模 \(\mathcal{L}_{x'}\)。故 \(U\subset X_s\)，这证明 \(X_s\) 为开集。此外，上面在 \(U\) 上构造的截面 \(t\) 是唯一的，因而它们粘合成引理中的截面 \(s'\)。

注

给定局部环空间态射 \(f:Y\to X\)（参见《概形》定义 01HB），逆像 \(f^{-1}(X_s)\) 等于 \(Y_{f^*s}\)，其中 \(f^*s\in\Gamma(Y,f^*\mathcal{L})\) 是 \(s\) 的拉回。

秩与行列式

设 \((X,\mathcal{O}_X)\) 为环空间。考虑有限局部自由 \(\mathcal{O}_X\)-模层的范畴 \(\textit{Vect}(X)\)。这是正合范畴（参见《内射对象》注 05SF），其可容许满态射为满射，而可容许单态射为满射的核。此外， \(\textit{Vect}(X)\) 的对象同构类构成集合（略去证明）。因此可以构造第零 Grothendieck \(K\)-群 \(K_0(\textit{Vect}(X))\)。具体地，此时 \(K_0(\textit{Vect}(X))\) 是由有限局部自由 \(\mathcal{O}_X\)-模层 \(\mathcal{E}\) 所对应的 \([\mathcal{E}]\) 生成、并服从如下关系的阿贝尔群： \[[\mathcal{E}] = [\mathcal{E}'] + [\mathcal{E}'']\] ，只要存在有限局部自由 \(\mathcal{O}_X\)-模层的短正合列 \(0 \to \mathcal{E}' \to \mathcal{E} \to \mathcal{E}'' \to 0\) 。

秩。假设所有茎 \(\mathcal{O}_{X,x}\) 都是非零环。给定有限局部自由 \(\mathcal{O}_X\)-模层 \(\mathcal{E}\)，其秩是局部常值函数 \[\text{rank}_\mathcal{E} : X \longrightarrow \mathbf{Z}_{\geq 0},\quad x \longmapsto \text{rank}_{\mathcal{O}_{X, x}} \mathcal{E}_x\] ，参见引理 01C9。由局部自由模层的定义，函数 \(\text{rank}_\mathcal{E}\) 局部常值。若 \(0 \to \mathcal{E}' \to \mathcal{E} \to \mathcal{E}'' \to 0\) 是有限局部自由 \(\mathcal{O}_X\)-模层的短正合列，则 \(\text{rank}_\mathcal{E} = \text{rank}_{\mathcal{E}'} + \text{rank}_{\mathcal{E}''}\), 。因此秩定义同态 \[K_0(\textit{Vect}(X)) \longrightarrow \text{Map}_{cont}(X, \mathbf{Z}),\quad [\mathcal{E}] \longmapsto \text{rank}_\mathcal{E}\]

行列式。给定有限局部自由 \(\mathcal{O}_X\)-模层 \(\mathcal{E}\)，得到不交并分解 \[X = X_0 \amalg X_1 \amalg X_2 \amalg \ldots\] ，其中 \(X_i\) 开且闭，而 \(\mathcal{E}\) 在 \(X_i\) 上为秩 \(i\) 的有限局部自由模层（这恰好等价于 \(\text{rank}_\mathcal{E}\) 局部常值）。在此情形中，定义 \(\det(\mathcal{E})\) 为 \(X\) 上如下可逆层：对每个 \(i\geq0\)，它在 \(X_i\) 上等于 \(\wedge^i(\mathcal{E}|_{X_i})\)。由于上述分解不交，无需检验任何粘合条件。由下面的引理 0B38，这定义阿贝尔群同态 \[\det : K_0(\textit{Vect}(X)) \longrightarrow \Pic(X),\quad [\mathcal{E}] \longmapsto \det(\mathcal{E})\] 。由此得到的 \(\Pic(X)\) 中元素都是秩 \(1\) 局部自由的（推广见引理之后）。

引理

设 \(X\) 为环空间。设 \(0 \to \mathcal{E}' \to \mathcal{E} \to \mathcal{E}'' \to 0\) 为有限局部自由 \(\mathcal{O}_X\)-模层的短正合列。则存在典范同构 \[\det(\mathcal{E}') \otimes_{\mathcal{O}_X}\det(\mathcal{E}'') \longrightarrow \det(\mathcal{E})\] ，它是 \(\mathcal{O}_X\)-模层同构。

证明

可把 \(X\) 分解为不交的开闭子集，使得 \(\mathcal{E}'\) 与 \(\mathcal{E}''\) 在每个子集上都具有常秩。于是可归约到 \(\mathcal{E}'\) 与 \(\mathcal{E}''\) 分别具有常秩 \(r'\) 与 \(r''\) 的情形。在此情形中如下定义 \[\wedge^{r'}(\mathcal{E}') \otimes_{\mathcal{O}_X} \wedge^{r''}(\mathcal{E}'') \longrightarrow \wedge^{r' + r''}(\mathcal{E})\] 。给定 \(\mathcal{E}'\) 的局部截面 \(s'_1,\ldots,s'_{r'}\) 及 \(\mathcal{E}''\) 的局部截面 \(s''_1,\ldots,s''_{r''}\)，我们把 \[s'_1 \wedge \ldots \wedge s'_{r'} \otimes s''_1 \wedge \ldots \wedge s''_{r''} \quad\text{映到}\quad s'_1 \wedge \ldots \wedge s'_{r'} \wedge \tilde s''_1 \wedge \ldots \wedge \tilde s''_{r''}\] ，其中 \(\tilde s''_i\) 是截面 \(s''_i\) 到 \(\mathcal{E}\) 的某个局部提升。我们略去细节。

设 \((X,\mathcal{O}_X)\) 为环空间。除了有限局部自由 \(\mathcal{O}_X\)-模层，还可以考察如下 \(\mathcal{O}_X\)-模层 \(\mathcal{F}\)：它在 \(X\) 上局部为有限自由 \(\mathcal{O}_X\)-模层的直和项。这等价于要求 \(\mathcal{F}\) 是有限表示的平坦 \(\mathcal{O}_X\)-模层，参见引理 08BL。若所有茎 \(\mathcal{O}_{X,x}\) 都是局部环，则这样的 \(\mathcal{F}\) 有限局部自由，参见引理 0BCI。然而一般情形并非如此；例如，\(X\) 可以是一个点， \(\Gamma(X,\mathcal{O}_X)\) 可以是两个非零环的积 \(A\times B\)，而 \(\mathcal{F}\) 可以对应于 \(A\times0\)。因此对这样的模层，秩函数没有定义。不过仍可定义 \(\det(\mathcal{F})\)，而且它是定义 01CS 意义下的可逆 \(\mathcal{O}_X\)-模层（未必是秩 \(1\) 局部自由模层）。当 \(\mathcal{F}\) 有限局部自由时，我们的构造与上述构造一致。我们建议读者跳过本节余下部分。

引理

设 \((X,\mathcal{O}_X)\) 为环空间，\(\mathcal{F}\) 为平坦且有限表示的 \(\mathcal{O}_X\)-模层。记 \[\det(\mathcal{F}) \subset \wedge^*_{\mathcal{O}_X}(\mathcal{F})\] 为 \(\mathcal{F}\subset\wedge^*_{\mathcal{O}_X}(\mathcal{F})\) 的零化子。则 \(\det(\mathcal{F})\) 是可逆 \(\mathcal{O}_X\)-模层。

证明

为证明此结论，可以在 \(X\) 上局部工作。因此可以假设 \(\mathcal{F}\) 是有限自由模层的直和项，参见引理 08BL。设 \(\mathcal{F} \oplus \mathcal{G} = \mathcal{O}_X^{\oplus n}\). 置 \(R=\mathcal{O}_X(X)\)。于是 \(\mathcal{F}(X) \oplus \mathcal{G}(X) = R^{\oplus n}\) ，相应地，对所有开集 \(U\subset X\) 有 \(\mathcal{F}(U) \oplus \mathcal{G}(U) = \mathcal{O}_X(U)^{\oplus n}\) 。可知 \(\mathcal{F}=\mathcal{F}_M\)，如引理 01BH 所述，其中 \(M=\mathcal{F}(X)\) 是有限投射 \(R\)-模。换言之， \(\mathcal{F}(U)=M\otimes_R\mathcal{O}_X(U)\)。这蕴含 \(\det(M) \otimes_R \mathcal{O}_X(U) = \det(\mathcal{F}(U))\) 对所有开集 \(U\subset X\) 成立，其中 \(\det\) 如《代数详论》第 0FJ9 节所述。由《代数详论》注 0FJA，可见 \[\det(M) \otimes_R \mathcal{O}_X(U) = \det(\mathcal{F}(U)) \subset \wedge^*_{\mathcal{O}_X(U)}(\mathcal{F}(U))\] 是 \(\mathcal{F}(U)\) 的零化子。可知引理陈述中所定义的 \(\det(\mathcal{F})\) 等于 \(\mathcal{F}_{\det(M)}\)。略去一些细节；必须注意，不能把零化子定义为“在开集上对截面取零化子” 所得预层的层化。因此 \(\det(\mathcal{F})\) 是一个可逆模的拉回，故得结论。

环层的局部化

设 \(X\) 为拓扑空间，\(\mathcal{O}_X\) 为环预层， \(\mathcal{S}\subset\mathcal{O}_X\) 为包含于 \(\mathcal{O}_X\) 的集合预层。假设对每个开集 \(U\subset X\)，集合 \(\mathcal{S}(U)\subset\mathcal{O}_X(U)\) 都是乘法子集，参见《代数》定义 00CN。此时可以考虑环预层 \[\mathcal{S}^{-1}\mathcal{O}_X : U \longmapsto \mathcal{S}(U)^{-1}\mathcal{O}_X(U).\] 若 \(V\subset U\) 是 \(X\) 的开集，则限制映射把截面 \(f/s\)（\(f\in\mathcal{O}_X(U)\)、\(s\in\mathcal{S}(U)\)）映到 \((f|_V)/(s|_V)\)。

引理

设 \(X\) 为拓扑空间，\(\mathcal{O}_X\) 为环预层， \(\mathcal{S}\subset\mathcal{O}_X\) 为包含于 \(\mathcal{O}_X\) 的集合预层。假设对每个开集 \(U\subset X\)，集合 \(\mathcal{S}(U)\subset\mathcal{O}_X(U)\) 都是乘法子集。

存在环预层态射 \(\mathcal{O}_X \to \mathcal{S}^{-1}\mathcal{O}_X\) ，使得 \(\mathcal{S}\) 的每个局部截面都映到 \(\mathcal{O}_X\) 的可逆截面。

对任一环预层同态 \(\mathcal{O}_X\to\mathcal{A}\)，若 \(\mathcal{S}\) 的每个局部截面都映到 \(\mathcal{A}\) 的可逆截面，则存在唯一分解 \(\mathcal{S}^{-1}\mathcal{O}_X \to \mathcal{A}\).

对任意 \(x\in X\)，有 \[(\mathcal{S}^{-1}\mathcal{O}_X)_x = \mathcal{S}_x^{-1} \mathcal{O}_{X, x}.\]

层化 \((\mathcal{S}^{-1}\mathcal{O}_X)^\#\) 是环层，并带有环层态射 \((\mathcal{O}_X)^\# \to (\mathcal{S}^{-1}\mathcal{O}_X)^\#\) ；它对于 \((\mathcal{O}_X)^\#\) 到如下环层的态射具有泛性质： \(\mathcal{S}\) 的每个局部截面都映到可逆截面。

对任意 \(x\in X\)，有 \[(\mathcal{S}^{-1}\mathcal{O}_X)^\#_x = \mathcal{S}_x^{-1} \mathcal{O}_{X, x}.\]

证明

略。

设 \(X\) 为拓扑空间，\(\mathcal{O}_X\) 为环预层， \(\mathcal{S}\subset\mathcal{O}_X\) 为包含于 \(\mathcal{O}_X\) 的集合预层。假设对每个开集 \(U\subset X\)，集合 \(\mathcal{S}(U)\subset\mathcal{O}_X(U)\) 都是乘法子集。设 \(\mathcal{F}\) 为 \(\mathcal{O}_X\)-模预层。此时可以考虑 \(\mathcal{S}^{-1}\mathcal{O}_X\)-模预层 \[\mathcal{S}^{-1}\mathcal{F} : U \longmapsto \mathcal{S}(U)^{-1}\mathcal{F}(U).\] 若 \(V\subset U\) 是 \(X\) 的开集，则限制映射把截面 \(t/s\)（\(t\in\mathcal{F}(U)\)、\(s\in\mathcal{S}(U)\)）映到 \((t|_V)/(s|_V)\)。

引理

设 \(X\) 为拓扑空间，\(\mathcal{O}_X\) 为环预层， \(\mathcal{S}\subset\mathcal{O}_X\) 为包含于 \(\mathcal{O}_X\) 的集合预层。假设对每个开集 \(U\subset X\)，集合 \(\mathcal{S}(U)\subset\mathcal{O}_X(U)\) 都是乘法子集。对任一 \(\mathcal{O}_X\)-模预层 \(\mathcal{F}\)，有 \[\mathcal{S}^{-1}\mathcal{F} = \mathcal{S}^{-1}\mathcal{O}_X \otimes_{p, \mathcal{O}_X} \mathcal{F}\] （记法见《层》第 006P 节）；若 \(\mathcal{F}\) 与 \(\mathcal{O}_X\) 都是层，则 \[(\mathcal{S}^{-1}\mathcal{F})^\# = (\mathcal{S}^{-1}\mathcal{O}_X)^\# \otimes_{\mathcal{O}_X} \mathcal{F}\] （记法见《层》第 0088 节）。

证明

略。

微分模

本节简述如何为环空间态射定义相对微分模。建议读者先看交换代数章节中的相应部分（《代数》第 00RM 节）。

定义

设 \(X\) 为拓扑空间，\(\varphi:\mathcal{O}_1\to\mathcal{O}_2\) 为环层同态，\(\mathcal{F}\) 为 \(\mathcal{O}_2\)-模层。取值于 \(\mathcal{F}\) 的一个 \(\mathcal{O}_1\)-导子，更准确地说一个 \(\varphi\)-导子，是满足如下条件的态射 \(D:\mathcal{O}_2\to\mathcal{F}\)：它可加，零化 \(\mathcal{O}_1\to\mathcal{O}_2\) 的像，并满足 Leibniz 法则 \[D(ab) = aD(b) + D(a)b\] ，对 \(\mathcal{O}_2\) 的所有局部截面 \(a,b\)（在二者同时有定义之处）都成立。以 \(\text{Der}_{\mathcal{O}_1}(\mathcal{O}_2,\mathcal{F})\) 表示取值于 \(\mathcal{F}\) 的 \(\varphi\)-导子之集。

这是《代数》定义 00RN 的层论类似物。给定定义中所述的导子 \(D:\mathcal{O}_2\to\mathcal{F}\)，整体截面上的态射 \[D : \Gamma(X, \mathcal{O}_2) \longrightarrow \Gamma(X, \mathcal{F})\] 是代数定义意义下的 \(\Gamma(X,\mathcal{O}_1)\)-导子。注意，若 \(\alpha:\mathcal{F}\to\mathcal{G}\) 为 \(\mathcal{O}_2\)-模层态射，则存在诱导态射 \[\text{Der}_{\mathcal{O}_1}(\mathcal{O}_2, \mathcal{F}) \longrightarrow \text{Der}_{\mathcal{O}_1}(\mathcal{O}_2, \mathcal{G})\] ，由规则 \(D\mapsto\alpha\circ D\) 给出。换言之，我们得到一个函子。

引理

设 \(X\) 为拓扑空间，\(\varphi:\mathcal{O}_1\to\mathcal{O}_2\) 为环层同态。函子 \[\textit{Mod}(\mathcal{O}_2) \longrightarrow \textit{Ab}, \quad \mathcal{F} \longmapsto \text{Der}_{\mathcal{O}_1}(\mathcal{O}_2, \mathcal{F})\] 可表。

证明

证明与代数中的类似陈述完全相同。在本证明中，对 \(X\) 上任一集合层 \(\mathcal{F}\)，以 \(\mathcal{O}_2[\mathcal{F}]\) 表示预层 \(U\mapsto\mathcal{O}_2(U)[\mathcal{F}(U)]\) 的层化，其中后者表示以集合 \(\mathcal{F}(U)\) 为基的自由 \(\mathcal{O}_2(U)\)-模。对 \(s\in\mathcal{F}(U)\)，以 \([s]\) 表示 \(\mathcal{O}_2[\mathcal{F}]\) 在 \(U\) 上的相应截面。若 \(\mathcal{F}\) 是 \(\mathcal{O}_2\)-模层，则存在典范态射 \[c : \mathcal{O}_2[\mathcal{F}] \longrightarrow \mathcal{F}\] ，它在预层层面由规则 \(\sum f_s[s]\mapsto\sum f_s s\) 给出。我们将用简写 \([s]\mapsto s\) 描述此态射，下面的其他态射也类似。考虑 \(\mathcal{O}_2\)-模层态射 [08RN]\[\begin{equation} \begin{matrix} \mathcal{O}_2[\mathcal{O}_2 \times \mathcal{O}_2] \oplus \mathcal{O}_2[\mathcal{O}_2 \times \mathcal{O}_2] \oplus \mathcal{O}_2[\mathcal{O}_1] & \longrightarrow & \mathcal{O}_2[\mathcal{O}_2] \\ [(a, b)] \oplus [(f, g)] \oplus [h] & \longmapsto & [a + b] - [a] - [b] + \\ & & [fg] - g[f] - f[g] + \\ & & [\varphi(h)] \end{matrix} \end{equation}\] ，这里使用上述简写。置 \(\Omega_{\mathcal{O}_2/\mathcal{O}_1}\) 等于此态射的余核。显然存在集合层态射 \[\text{d} : \mathcal{O}_2 \longrightarrow \Omega_{\mathcal{O}_2/\mathcal{O}_1}\] ，它把局部截面 \(f\) 映到 \([f]\) 在 \(\Omega_{\mathcal{O}_2/\mathcal{O}_1}\) 中的像。按照构造， \(\text{d}\) 是 \(\mathcal{O}_1\)-导子。接着，设 \(\mathcal{F}\) 为 \(\mathcal{O}_2\)-模层，\(D:\mathcal{O}_2\to\mathcal{F}\) 为 \(\mathcal{O}_1\)-导子。考虑把 \([g]\) 映到 \(D(g)\) 的 \(\mathcal{O}_2\)-线性态射 \(\mathcal{O}_2[\mathcal{O}_2]\to\mathcal{F}\)。由导子的定义，此态射零化态射 (08RN) 像中的截面，因而定义态射 \[\alpha_D : \Omega_{\mathcal{O}_2/\mathcal{O}_1} \longrightarrow \mathcal{F}\] 显然 \(D=\alpha_D\circ\text{d}\)，引理得证。

定义

设 \(X\) 为拓扑空间，\(\varphi:\mathcal{O}_1\to\mathcal{O}_2\) 为 \(X\) 上的环层同态。\(\varphi\) 的微分模是表示函子 \(\mathcal{F} \mapsto \text{Der}_{\mathcal{O}_1}(\mathcal{O}_2, \mathcal{F})\) 的对象；其存在性由引理 08RM 保证。它记作 \(\Omega_{\mathcal{O}_2/\mathcal{O}_1}\)，而泛 \(\varphi\)-导子记作 \(\text{d} : \mathcal{O}_2 \to \Omega_{\mathcal{O}_2/\mathcal{O}_1}\).

注意 \(\Omega_{\mathcal{O}_2/\mathcal{O}_1}\) 是 \(\mathcal{O}_2\)-模层态射 (08RN) 的余核。此外，态射 \(\text{d}\) 由如下规则描述：\(\text{d}f\) 是局部截面 \([f]\) 的像。

引理

设 \(X\) 为拓扑空间，\(\varphi:\mathcal{O}_1\to\mathcal{O}_2\) 为 \(X\) 上的环层同态。则 \(\Omega_{\mathcal{O}_2/\mathcal{O}_1}\) 是与预层 \(U\mapsto\Omega_{\mathcal{O}_2(U)/\mathcal{O}_1(U)}\) 关联的层。

证明

考虑态射 (08RN)。存在类似的预层态射，其在开集 \(U\) 上的值为 \[\mathcal{O}_2(U)[\mathcal{O}_2(U) \times \mathcal{O}_2(U)] \oplus \mathcal{O}_2(U)[\mathcal{O}_2(U) \times \mathcal{O}_2(U)] \oplus \mathcal{O}_2(U)[\mathcal{O}_1(U)] \longrightarrow \mathcal{O}_2(U)[\mathcal{O}_2(U)]\] 由《代数》定义 07BK 中微分模的构造，此态射的余核在 \(U\) 上的值为 \(\Omega_{\mathcal{O}_2(U)/\mathcal{O}_1(U)}\)。另一方面， (08RN) 中的各层是上述预层的层化。由于层化正合，结论随即成立。

引理

设 \(X\) 为拓扑空间，\(\varphi:\mathcal{O}_1\to\mathcal{O}_2\) 为环层同态。对开集 \(U\subset X\)，存在典范同构 \[\Omega_{\mathcal{O}_2/\mathcal{O}_1}|_U = \Omega_{(\mathcal{O}_2|_U)/(\mathcal{O}_1|_U)}\] ，它与泛导子相容。

证明

这是因为 \(\Omega_{\mathcal{O}_2/\mathcal{O}_1}\) 是态射 (08RN) 的余核。

引理

设 \(f:Y\to X\) 为拓扑空间的连续映射， \(\varphi:\mathcal{O}_1\to\mathcal{O}_2\) 为 \(X\) 上的环层同态。则存在典范等同 \(f^{-1}\Omega_{\mathcal{O}_2/\mathcal{O}_1} = \Omega_{f^{-1}\mathcal{O}_2/f^{-1}\mathcal{O}_1}\) ，它与泛导子相容。

证明

这是因为层 \(\Omega_{\mathcal{O}_2/\mathcal{O}_1}\) 是态射 (08RN) 的余核， \(\Omega_{f^{-1}\mathcal{O}_2/f^{-1}\mathcal{O}_1}\) 也有类似陈述，而函子 \(f^{-1}\) 正合，并且 \(f^{-1}(\mathcal{O}_2[\mathcal{O}_2]) = f^{-1}\mathcal{O}_2[f^{-1}\mathcal{O}_2]\), \(f^{-1}(\mathcal{O}_2[\mathcal{O}_2 \times \mathcal{O}_2]) = f^{-1}\mathcal{O}_2[f^{-1}\mathcal{O}_2 \times f^{-1}\mathcal{O}_2]\)，且 \(f^{-1}(\mathcal{O}_2[\mathcal{O}_1]) = f^{-1}\mathcal{O}_2[f^{-1}\mathcal{O}_1]\).

引理

设 \(X\) 为拓扑空间，\(\mathcal{O}_1\to\mathcal{O}_2\) 为 \(X\) 上的环层同态，\(x\in X\)。则有 \(\Omega_{\mathcal{O}_2/\mathcal{O}_1, x} = \Omega_{\mathcal{O}_{2, x}/\mathcal{O}_{1, x}}\).

证明

这是把引理 08RR 应用于包含映射 \(\{x\}\to X\) 所得的特殊情形。另一种证明使用引理 08TD、《层》引理 007Z 及《代数》引理 031G。

引理

设 \(X\) 为拓扑空间。设 \[\xymatrix{ \mathcal{O}_2 \ar[r]_\varphi & \mathcal{O}_2' \\ \mathcal{O}_1 \ar[r] \ar[u] & \mathcal{O}'_1 \ar[u] }\] 为 \(X\) 上环层的交换图。态射 \(\mathcal{O}_2 \to \mathcal{O}'_2\) 与态射 \(\text{d} : \mathcal{O}'_2 \to \Omega_{\mathcal{O}'_2/\mathcal{O}'_1}\) 的复合是 \(\mathcal{O}_1\)-导子。因此得到典范的 \(\mathcal{O}_2\)-模层态射 \(\Omega_{\mathcal{O}_2/\mathcal{O}_1} \to \Omega_{\mathcal{O}'_2/\mathcal{O}'_1}\). 。它由下述性质唯一刻画： \(\text{d}(f) \mapsto \text{d}(\varphi(f))\) 对 \(\mathcal{O}_2\) 的任一局部截面 \(f\) 成立。这样， \(\Omega_{-/-}\) 成为环层箭头范畴上的函子。

证明

本引理由其表述即得。

引理

在引理 08RS 中，假设 \(\mathcal{O}_2\to\mathcal{O}'_2\) 为满射，其核为 \(\mathcal{I}\subset\mathcal{O}_2\)，并假设 \(\mathcal{O}_1=\mathcal{O}'_1\)。则存在典范的 \(\mathcal{O}'_2\)-模层正合列 \[\mathcal{I}/\mathcal{I}^2 \longrightarrow \Omega_{\mathcal{O}_2/\mathcal{O}_1} \otimes_{\mathcal{O}_2} \mathcal{O}'_2 \longrightarrow \Omega_{\mathcal{O}'_2/\mathcal{O}_1} \longrightarrow 0\] 最左侧态射由如下规则刻画：\(\mathcal{I}\) 的局部截面 \(f\) 映到 \(\text{d}f\otimes1\)。

证明

对 \(\mathcal{I}\) 的局部截面 \(f\)，以 \(\overline f\) 表示 \(f\) 在 \(\mathcal{I}/\mathcal{I}^2\) 中的像。为证明态射 \(\overline f\mapsto\text{d}f\otimes1\) 良定义，只需检验：若 \(f_1,f_2\) 是 \(\mathcal{I}\) 的局部截面，则 \(\text{d}f_1f_2\otimes1=0\)。这由 Leibniz 法则立即得到： \(\text{d} f_1f_2 \otimes 1 = (f_1 \text{d}f_2 + f_2 \text{d} f_1 )\otimes 1 = \text{d}f_2 \otimes f_1 + \text{d}f_1 \otimes f_2 = 0\). 类似计算表明，此态射是 \(\mathcal{O}'_2=\mathcal{O}_2/\mathcal{I}\)-线性的。右侧态射来自引理 08RS。为证明该序列正合，可在茎上检验（引理 01AG）。由引理 08TE，这归结为《代数》引理 00RU。

定义

设 \((f,f^\sharp):(X,\mathcal{O}_X)\to(S,\mathcal{O}_S)\) 为环空间态射。

设 \(\mathcal{F}\) 为 \(\mathcal{O}_X\)-模层。取值于 \(\mathcal{F}\) 的 \(S\)-导子是 \(f^{-1}\mathcal{O}_S\)-导子，更准确地说，是定义 01UN 意义下的 \(f^\sharp\)-导子。以 \(\text{Der}_S(\mathcal{O}_X,\mathcal{F})\) 表示取值于 \(\mathcal{F}\) 的 \(S\)-导子之集。

\(X\) 在 \(S\) 上的微分层 \(\Omega_{X/S}\) 是带有其泛 \(S\)-导子 \(\text{d}_{X/S}:\mathcal{O}_X\to\Omega_{X/S}\) 的微分模 \(\Omega_{\mathcal{O}_X/f^{-1}\mathcal{O}_S}\)。

下面给出导子自然出现的一种特殊情形。

引理

设 \((f,f^\sharp):(X,\mathcal{O}_X)\to(S,\mathcal{O}_S)\) 为环空间态射。考虑短正合列 \[0 \to \mathcal{I} \to \mathcal{A} \to \mathcal{O}_X \to 0\] 这里 \(\mathcal{A}\) 是 \(f^{-1}\mathcal{O}_S\)-代数层， \(\pi:\mathcal{A}\to\mathcal{O}_X\) 是 \(f^{-1}\mathcal{O}_S\)-代数层的满射，而 \(\mathcal{I}=\Ker(\pi)\) 是其核。假设 \(\mathcal{I}\) 是 \(\mathcal{A}\) 中平方为零的理想层。因此 \(\mathcal{I}\) 自然具有 \(\mathcal{O}_X\)-模层结构。\(\pi\) 的截面 \(s:\mathcal{O}_X\to\mathcal{A}\) 是满足 \(\pi\circ s=\text{id}\) 的 \(f^{-1}\mathcal{O}_S\)-代数层态射。给定 \(\pi\) 的任一截面 \(s:\mathcal{O}_X\to\mathcal{A}\) 与任一 \(S\)-导子 \(D:\mathcal{O}_X\to\mathcal{I}\)，态射 \[s + D : \mathcal{O}_X \to \mathcal{A}\] 是 \(\pi\) 的截面，并且每个截面 \(s'\) 都能唯一地写成 \(s+D\)，其中 \(D\) 是 \(S\)-导子。

证明

回顾 \(\mathcal{I}\) 上的 \(\mathcal{O}_X\)-模层结构由 \(h\tau=\tilde h\tau\)（在 \(\mathcal{A}\) 中相乘）给出，其中 \(h\) 是 \(\mathcal{O}_X\) 的局部截面，\(\tilde h\) 是 \(h\) 到 \(\mathcal{A}\) 的局部截面的某个局部提升，而 \(\tau\) 是 \(\mathcal{I}\) 的局部截面。特别地，给定 \(s\)，可取 \(\tilde h=s(h)\)。为验证 \(s+D\) 是环层同态，计算 \[\begin{eqnarray*} (s + D)(ab) & = & s(ab) + D(ab) \\ & = & s(a)s(b) + aD(b) + D(a)b \\ & = & s(a) s(b) + s(a)D(b) + D(a)s(b) \\ & = & (s(a) + D(a))(s(b) + D(b)) \end{eqnarray*}\] ，这里使用了 Leibniz 法则。以同样方式，由于 \(D\) 是 \(S\)-导子，可证明 \(s+D\) 是 \(f^{-1}\mathcal{O}_S\)-代数层态射。反之，给定 \(s'\)，置 \(D=s'-s\)。略去细节。

引理

设 \[\xymatrix{ X' \ar[d]_{h'} \ar[r]_f & X \ar[d]^h \\ S' \ar[r]^g & S }\] 为环空间的交换图。

典范态射 \(\mathcal{O}_X\to f_*\mathcal{O}_{X'}\) 与 \(f_*\text{d}_{X'/S'}:f_*\mathcal{O}_{X'}\to f_*\Omega_{X'/S'}\) 的复合是 \(S\)-导子，并由此得到典范的 \(\mathcal{O}_X\)-模层态射 \(\Omega_{X/S} \to f_*\Omega_{X'/S'}\).

交换图 \[\xymatrix{ f^{-1}\mathcal{O}_X \ar[r] & \mathcal{O}_{X'} \\ f^{-1}h^{-1}\mathcal{O}_S \ar[u] \ar[r] & (h')^{-1}\mathcal{O}_{S'} \ar[u] }\] 由引理 08RR 与 08RS 诱导典范态射 \(f^{-1}\Omega_{X/S}\to\Omega_{X'/S'}\)。

这两个态射（通过 \(f_*\) 与 \(f^*\) 的伴随性，并通过 \(f^*\Omega_{X/S} = f^{-1}\Omega_{X/S} \otimes_{f^{-1}\mathcal{O}_X} \mathcal{O}_{X'}\) 以及《层》引理 008A）对应于同一个 \(\mathcal{O}_{X'}\)-模层同态 \[c_f : f^*\Omega_{X/S} \longrightarrow \Omega_{X'/S'}\] ，它由如下性质唯一刻画：对 \(\mathcal{O}_X\) 的任一局部截面 \(a\)，\(f^*\text{d}_{X/S}(a)\) 映到 \(\text{d}_{X'/S'}(f^*a)\)。

证明

略。

引理

设 \[\xymatrix{ X'' \ar[d] \ar[r]_g & X' \ar[d] \ar[r]_f & X \ar[d] \\ S'' \ar[r] & S' \ar[r] & S }\] 为环空间的交换图。使用引理 08RU 中的记法，有 \[c_{f \circ g} = c_g \circ g^* c_f\] ，这是从 \((f\circ g)^*\Omega_{X/S}\) 到 \(\Omega_{X''/S''}\) 的态射等式。

证明

略。

引理

设 \(f:X\to Y\)、\(g:Y\to S\) 为环空间态射。则存在典范正合列 \[f^*\Omega_{Y/S} \to \Omega_{X/S} \to \Omega_{X/Y} \to 0\] ，其中各态射由应用引理 08RU 得到。

证明

在 \(x\in X\) 处取诱导的茎态射，并使用引理 08TE，得到序列 \[\mathcal{O}_{X, x} \otimes_{\mathcal{O}_{Y, f(x)}} \Omega_{\mathcal{O}_{Y, f(x)}/\mathcal{O}_{S, g(f(x))}} \to \Omega_{\mathcal{O}_{X, x}/\mathcal{O}_{S, g(f(x))}} \to \Omega_{\mathcal{O}_{X, x}/\mathcal{O}_{Y, f(x)}} \to 0\] 只需说明该序列中的态射与《代数》引理 00RS 中的态射相同。这是因为引理 08RU 对这些态射的刻画，并且通过《层》引理 0098 的同构，对任一 \(\mathcal{O}_Y\)-模层的局部截面 \(s\)，有 \((f^*s)_x=s_x\otimes1\)。

有限阶微分算子

本节介绍有限阶微分算子。建议读者先看交换代数章节中的相应部分（《代数》第 09CH 节）。

定义

设 \(X\) 为拓扑空间，\(\varphi:\mathcal{O}_1\to\mathcal{O}_2\) 为 \(X\) 上的环层同态，\(k\geq0\) 为整数，而 \(\mathcal{F},\mathcal{G}\) 为 \(\mathcal{O}_2\)-模层。 \(k\) 阶微分算子 \(D:\mathcal{F}\to\mathcal{G}\)是满足如下条件的 \(\mathcal{O}_1\)-线性态射：对 \(\mathcal{O}_2\) 的所有局部截面 \(g\)，态射 \(s\mapsto D(gs)-gD(s)\) 是 \(k-1\) 阶微分算子。对于起始情形 \(k=0\)，定义 \(0\) 阶微分算子为 \(\mathcal{O}_2\)-线性态射。

若 \(D:\mathcal{F}\to\mathcal{G}\) 是 \(k\) 阶微分算子，则对 \(\mathcal{O}_2\) 的所有局部截面 \(g\)，态射 \(gD\) 也是 \(k\) 阶微分算子。两个 \(k\) 阶微分算子之和仍是 \(k\) 阶微分算子。因此所有这类算子之集 \[\text{Diff}^k(\mathcal{F}, \mathcal{G}) = \text{Diff}^k_{\mathcal{O}_2/\mathcal{O}_1}(\mathcal{F}, \mathcal{G})\] 是 \(\Gamma(X,\mathcal{O}_2)\)-模。我们有 \[\text{Diff}^0(\mathcal{F}, \mathcal{G}) \subset \text{Diff}^1(\mathcal{F}, \mathcal{G}) \subset \text{Diff}^2(\mathcal{F}, \mathcal{G}) \subset \ldots\] 把开集 \(U\subset X\) 映到 \(k\) 阶微分算子 \(D:\mathcal{F}|_U\to\mathcal{G}|_U\) 所成模的规则，是 \(X\) 上的 \(\mathcal{O}_2\)-模层。由此得到微分算子层（若以后需要，我们会在此补上定义）。

引理

设 \(X\) 为拓扑空间，\(\mathcal{O}_1\to\mathcal{O}_2\) 为 \(X\) 上的环层态射，\(\mathcal{E},\mathcal{F},\mathcal{G}\) 为 \(\mathcal{O}_2\)-模层。若 \(D:\mathcal{E}\to\mathcal{F}\) 与 \(D':\mathcal{F}\to\mathcal{G}\) 分别为 \(k\) 阶与 \(k'\) 阶微分算子，则 \(D'\circ D\) 是 \(k+k'\) 阶微分算子。

证明

设 \(g\) 为 \(\mathcal{O}_2\) 的局部截面。于是把 \(\mathcal{E}\) 的局部截面 \(x\) 映到 \[D'(D(gx)) - gD'(D(x)) = D'(D(gx)) - D'(gD(x)) + D'(gD(x)) - gD'(D(x))\] 的态射，是两个较低阶微分算子的复合之和。因此对 \(k+k'\) 归纳即得本引理。

引理

设 \(X\) 为拓扑空间，\(\mathcal{O}_1\to\mathcal{O}_2\) 为 \(X\) 上的环层态射，\(\mathcal{F}\) 为 \(\mathcal{O}_2\)-模层， \(k\geq0\)。存在 \(\mathcal{O}_2\)-模层 \(\mathcal{P}^k_{\mathcal{O}_2/\mathcal{O}_1}(\mathcal{F})\) 及典范同构 \[\text{Diff}^k_{\mathcal{O}_2/\mathcal{O}_1}(\mathcal{F}, \mathcal{G}) = \Hom_{\mathcal{O}_2}( \mathcal{P}^k_{\mathcal{O}_2/\mathcal{O}_1}(\mathcal{F}), \mathcal{G})\] ，它关于 \(\mathcal{O}_2\)-模层 \(\mathcal{G}\) 具有函子性。

证明

存在性由一般范畴论论证得到（此处以后补引用），但我们也给出直接构造，因为此构造将在后续证明中有用。我们将自由使用引理 08RM 的证明中引入的记法。给定任一微分算子 \(D:\mathcal{F}\to\mathcal{G}\)，得到 \(\mathcal{O}_2\)-线性态射 \(L_D : \mathcal{O}_2[\mathcal{F}] \to \mathcal{G}\) ，把 \([m]\) 映到 \(D(m)\)。若 \(D\) 为 \(0\) 阶，则 \(L_D\) 零化局部截面 \[[m + m'] - [m] - [m'],\quad g_0[m] - [g_0m]\] ，其中 \(g_0\) 是 \(\mathcal{O}_2\) 的局部截面，而 \(m,m'\) 是 \(\mathcal{F}\) 的局部截面。若 \(D\) 为 \(1\) 阶，则 \(L_D\) 零化局部截面 \[[m + m' - [m] - [m'],\quad f[m] - [fm], \quad g_0g_1[m] - g_0[g_1m] - g_1[g_0m] + [g_1g_0m]\] ，其中 \(f\) 是 \(\mathcal{O}_1\) 的局部截面， \(g_0,g_1\) 是 \(\mathcal{O}_2\) 的局部截面，而 \(m,m'\) 是 \(\mathcal{F}\) 的局部截面。若 \(D\) 为 \(k\) 阶，则 \(L_D\) 零化局部截面 \([m+m']-[m]-[m']\)、\(f[m]-[fm]\) 以及局部截面 \[g_0g_1\ldots g_k[m] - \sum g_0 \ldots \hat g_i \ldots g_k[g_im] + \ldots +(-1)^{k + 1}[g_0\ldots g_km]\] 反之，若 \(L:\mathcal{O}_2[\mathcal{F}]\to\mathcal{G}\) 是零化前一句所列全部局部截面的 \(\mathcal{O}_2\)-线性态射，则 \(m\mapsto L([m])\) 是 \(k\) 阶微分算子。因此 \(\mathcal{P}^k_{\mathcal{O}_2/\mathcal{O}_1}(\mathcal{F})\) 是 \(\mathcal{O}_2[\mathcal{F}]\) 关于由这些局部截面生成的 \(\mathcal{O}_2\)-子模层的商。

定义

设 \(X\) 是一个拓扑空间， \(\mathcal{O}_1 \to \mathcal{O}_2\) 是 \(X\) 上环层之间的一个同态， \(\mathcal{F}\) 是一个 \(\mathcal{O}_2\)-模层。称引理 0G3S 中构造的模层 \(\mathcal{P}^k_{\mathcal{O}_2/\mathcal{O}_1}(\mathcal{F})\) 为 \(\mathcal{F}\) 的 \(k\) 阶主部模层。

注意，包含关系 \[\text{Diff}^0(\mathcal{F}, \mathcal{G}) \subset \text{Diff}^1(\mathcal{F}, \mathcal{G}) \subset \text{Diff}^2(\mathcal{F}, \mathcal{G}) \subset \ldots\] 通过 Yoneda 引理（《范畴论》，引理 001P）对应于满射 \[\ldots \to \mathcal{P}^2_{\mathcal{O}_2/\mathcal{O}_1}(\mathcal{F}) \to \mathcal{P}^1_{\mathcal{O}_2/\mathcal{O}_1}(\mathcal{F}) \to \mathcal{P}^0_{\mathcal{O}_2/\mathcal{O}_1}(\mathcal{F}) = \mathcal{F}\]

引理

设 \(X\) 是一个拓扑空间，\(\mathcal{O}_1 \to \mathcal{O}_2\) 是 \(X\) 上环预层之间的一个同态，\(\mathcal{F}\) 是一个 \(\mathcal{O}_2\)-模预层。则 \(\mathcal{P}^k_{\mathcal{O}_2^\#/\mathcal{O}_1^\#}(\mathcal{F}^\#)\) 是预层 \(U \mapsto P^k_{\mathcal{O}_2(U)/\mathcal{O}_1(U)}(\mathcal{F}(U))\). 的伴随层。

证明

这可以完全仿照引理 08TD 中微分层的情形证明。也许更自然的办法是直接利用引理 0G3S 的泛性质来得到该等式。细节从略。

引理

设 \(X\) 是一个拓扑空间，\(\mathcal{O}_1 \to \mathcal{O}_2\) 是 \(X\) 上环层之间的一个同态，\(\mathcal{F}\) 是一个 \(\mathcal{O}_2\)-模层。存在典范短正合列 \[0 \to \Omega_{\mathcal{O}_2/\mathcal{O}_1} \otimes_{\mathcal{O}_2} \mathcal{F} \to \mathcal{P}^1_{\mathcal{O}_2/\mathcal{O}_1}(\mathcal{F}) \to \mathcal{F} \to 0\] 它对 \(\mathcal{F}\) 具有函子性，称为主部序列。

证明

这由交换代数版本（《代数》，引理 09CN）以及引理 08TD 和 0G3U 推出。

注

设 \(X\) 是一个拓扑空间，并给定 \(X\) 上环层的交换图 \[\xymatrix{ \mathcal{B} \ar[r] & \mathcal{B}' \\ \mathcal{A} \ar[u] \ar[r] & \mathcal{A}' \ar[u] }\] 以及一个 \(\mathcal{B}\)-模层 \(\mathcal{F}\)、一个 \(\mathcal{B}'\)-模层 \(\mathcal{F}'\) 和一个 \(\mathcal{B}\)-线性同态 \(\mathcal{F} \to \mathcal{F}'\)。于是得到一族相容的模同态 \[\xymatrix{ \ldots \ar[r] & \mathcal{P}^2_{\mathcal{B}'/\mathcal{A}'}(\mathcal{F}') \ar[r] & \mathcal{P}^1_{\mathcal{B}'/\mathcal{A}'}(\mathcal{F}') \ar[r] & \mathcal{P}^0_{\mathcal{B}'/\mathcal{A}'}(\mathcal{F}') \\ \ldots \ar[r] & \mathcal{P}^2_{\mathcal{B}/\mathcal{A}}(\mathcal{F}) \ar[r] \ar[u] & \mathcal{P}^1_{\mathcal{B}/\mathcal{A}}(\mathcal{F}) \ar[r] \ar[u] & \mathcal{P}^0_{\mathcal{B}/\mathcal{A}}(\mathcal{F}) \ar[u] }\] 这些同态与此类同态的进一步复合相容。最容易的验证方法是使用引理 0G3S 的证明中以（局部）生成元和关系给出的模层 \(\mathcal{P}^k_{\mathcal{B}/\mathcal{A}}(\mathcal{M})\) 的描述；也可以直接从这些模层的泛性质看出这一点。此外，这些同态与引理 0G3V 的短正合列相容。

下面将定义推广到环空间的态射。

定义

设 \((f, f^\sharp) : (X, \mathcal{O}_X) \to (S, \mathcal{O}_S)\) 是环空间的一个态射，\(\mathcal{F}\) 和 \(\mathcal{G}\) 是 \(\mathcal{O}_X\)-模层，\(k \geq 0\) 是一个整数。所谓 \(X/S\) 上的一个\(k\) 阶微分算子，是指关于 \(f^\sharp : f^{-1}\mathcal{O}_S \to \mathcal{O}_X\) 的微分算子 \(D : \mathcal{F} \to \mathcal{G}\)。用 \(\text{Diff}^k_{X/S}(\mathcal{F}, \mathcal{G})\) 表示这些微分算子的集合。

de Rham 复形

本节是《代数》第 0FKF 节对环空间态射的类似版本。我们建议读者先阅读该节。

设 \(X\) 是一个拓扑空间，\(\mathcal{A} \to \mathcal{B}\) 是环层的一个同态。用 \(\text{d} : \mathcal{B} \to \Omega_{\mathcal{B}/\mathcal{A}}\) 表示第 08RL 节中构造的微分模层及其泛 \(\mathcal{A}\)-导子。对 \(i \geq 0\)，令 \[\Omega_{\mathcal{B}/\mathcal{A}}^i = \wedge^i_\mathcal{B}(\Omega_{\mathcal{B}/\mathcal{A}})\] 为第 01CF 节意义下的第 \(i\) 个外幂。

定义

在上述情形中，\(\mathcal{B}\) 在 \(\mathcal{A}\) 上的 de Rham 复形是唯一的 \(\mathcal{A}\)-模层复形 \[\Omega_{\mathcal{B}/\mathcal{A}}^0 \to \Omega_{\mathcal{B}/\mathcal{A}}^1 \to \Omega_{\mathcal{B}/\mathcal{A}}^2 \to \ldots\] 其 \(0\) 次微分由 \(\text{d} : \mathcal{B} \to \Omega_{\mathcal{B}/\mathcal{A}}\) 给出，而更高次数的微分具有以下性质： [0FKN]\[\begin{equation} \text{d}\left(b_0\text{d}b_1 \wedge \ldots \wedge \text{d}b_p\right) = \text{d}b_0 \wedge \text{d}b_1 \wedge \ldots \wedge \text{d}b_p \end{equation}\] 其中 \(b_0, \ldots, b_p \in \mathcal{B}(U)\) 是同一个开集 \(U \subset X\) 上的截面。

我们可以重复《代数》第 0FKF 节中繁复的论证来构造此复形。不过，回忆 \(\Omega_{\mathcal{B}/\mathcal{A}}\) 是预层 \(U \mapsto \Omega_{\mathcal{B}(U)/\mathcal{A}(U)}\) 的层化，见引理 08TD。因此， \(\Omega_{\mathcal{B}/\mathcal{A}}^i\) 是预层 \(U \mapsto \Omega^i_{\mathcal{B}(U)/\mathcal{A}(U)}\) 的层化，见引理 01CG。所以，可以把 de Rham 复形定义为下述规则的层化： \[U \longmapsto \Omega^\bullet_{\mathcal{B}(U)/\mathcal{A}(U)}\]

引理

设 \(f : Y \to X\) 是拓扑空间的一个连续映射， \(\mathcal{A} \to \mathcal{B}\) 是 \(X\) 上环层的一个同态。则 de Rham 复形之间存在典范等同 \(f^{-1}\Omega^\bullet_{\mathcal{B}/\mathcal{A}} = \Omega^\bullet_{f^{-1}\mathcal{B}/f^{-1}\mathcal{A}}\) 。

证明

从略。提示：与引理 08RR 比较。

引理

设 \(X\) 是一个拓扑空间，\(\mathcal{A} \to \mathcal{B}\) 是 \(X\) 上环层的一个同态。微分 \(\text{d} : \Omega^i_{\mathcal{B}/\mathcal{A}} \to \Omega^{i + 1}_{\mathcal{B}/\mathcal{A}}\) 是一阶微分算子。

证明

根据上面把 de Rham 复形构造为规则 \(U \mapsto \Omega^\bullet_{\mathcal{B}(U)/\mathcal{A}(U)}\) 的层化，这由《代数》引理 0G34 推出。

设 \(X\) 是一个拓扑空间，并设 \[\xymatrix{ \mathcal{B} \ar[r] & \mathcal{B}' \\ \mathcal{A} \ar[r] \ar[u] & \mathcal{A}' \ar[u] }\] 是 \(X\) 上环层的一个交换图。存在 de Rham 复形的自然同态 \[\Omega^\bullet_{\mathcal{B}/\mathcal{A}} \longrightarrow \Omega^\bullet_{\mathcal{B}'/\mathcal{A}'}\] 具体而言，在 \(0\) 次它是同态 \(\mathcal{B} \to \mathcal{B}'\)；在 \(1\) 次它是第 08RL 节中构造的同态 \(\Omega_{\mathcal{B}/\mathcal{A}} \to \Omega_{\mathcal{B}'/\mathcal{A}'}\) ；而对 \(p \geq 2\)，它是诱导同态 \(\Omega^p_{\mathcal{B}/\mathcal{A}} = \wedge^p_\mathcal{B}(\Omega_{\mathcal{B}/\mathcal{A}}) \to \wedge^p_{\mathcal{B}'}(\Omega_{\mathcal{B}'/\mathcal{A}'}) = \Omega^p_{\mathcal{B}'/\mathcal{A}'}\). 它与微分的相容性由公式 (0FKN) 对微分的刻画得到。

定义

设 \(f : (X, \mathcal{O}_X) \to (Y, \mathcal{O}_Y)\) 是环空间的一个态射。 \(f\) 的 de Rham 复形，或称 \(X\) 在 \(Y\) 上的 de Rham 复形，是复形 \[\Omega^\bullet_{X/Y} = \Omega^\bullet_{\mathcal{O}_X/f^{-1}\mathcal{O}_Y}\]

考虑环空间的交换图 \[\xymatrix{ X' \ar[d]_{h'} \ar[r]_f & X \ar[d]^h \\ S' \ar[r]^g & S }\] 于是得到 de Rham 复形的典范同态 \[\Omega^\bullet_{X/S} \to f_*\Omega^\bullet_{X'/S'}\] 事实上，\(X'\) 上环层的交换图 \[\xymatrix{ f^{-1}\mathcal{O}_X \ar[r] & \mathcal{O}_{X'} \\ f^{-1}h^{-1}\mathcal{O}_S \ar[u] \ar[r] & (h')^{-1}\mathcal{O}_{S'} \ar[u] }\] 产生复形同态（见上文） \[f^{-1}\Omega^\bullet_{X/S} = \Omega^\bullet_{f^{-1}\mathcal{O}_X/f^{-1}h^{-1}\mathcal{O}_S} \longrightarrow \Omega^\bullet_{\mathcal{O}_{X'}/(h')^{-1}\mathcal{O}_{S'}} = \Omega^\bullet_{X'/S'}\] （第一个等式使用引理 0FKP），然后应用伴随性即可。

引理

设 \(f : X \to Y\) 是环空间的一个态射。微分 \(\text{d} : \Omega^i_{X/Y} \to \Omega^{i + 1}_{X/Y}\) 是 \(X/Y\) 上的一阶微分算子。

证明

这立即由引理 0G3Y 和定义得到。

朴素余切复形

本节是《代数》第 00S0 节对环空间态射的类似版本。我们建议读者先阅读该节。

设 \(X\) 是一个拓扑空间，\(\mathcal{A} \to \mathcal{B}\) 是环层的一个同态。在本节中，对 \(X\) 上任意集合层 \(\mathcal{E}\)，用 \(\mathcal{A}[\mathcal{E}]\) 表示预层 \(U \mapsto \mathcal{A}(U)[\mathcal{E}(U)]\) 的层化。这里， \(\mathcal{A}(U)[\mathcal{E}(U)]\) 表示 \(\mathcal{A}(U)\) 上以 \(\mathcal{E}(U)\) 的元素为变量的多项式代数。对 \(e \in \mathcal{E}(U)\)，用 \([e] \in \mathcal{A}(U)[\mathcal{E}(U)]\) 表示与 \(e\) 对应的变量。存在 \(\mathcal{A}\)-代数的典范满射 [08TH]\[\begin{equation} \mathcal{A}[\mathcal{B}] \longrightarrow \mathcal{B},\quad [b] \longmapsto b \end{equation}\] 把它的核记作 \(\mathcal{I} \subset \mathcal{A}[\mathcal{B}]\)。容易看出，\(\mathcal{I}\) 由局部截面 \([b][b'] - [bb']\) 和 \([a] - a\) 生成。根据引理 08TF，存在典范同态 [08TI]\[\begin{equation} \mathcal{I}/\mathcal{I}^2 \longrightarrow \Omega_{\mathcal{A}[\mathcal{B}]/\mathcal{A}} \otimes_{\mathcal{A}[\mathcal{B}]} \mathcal{B} \end{equation}\] 其余核典范同构于 \(\Omega_{\mathcal{B}/\mathcal{A}}\)。

定义

设 \(X\) 是一个拓扑空间，\(\mathcal{A} \to \mathcal{B}\) 是环层的一个同态。 朴素余切复形 \(\NL_{\mathcal{B}/\mathcal{A}}\) 是链复形 (08TI)： \[\NL_{\mathcal{B}/\mathcal{A}} = \left(\mathcal{I}/\mathcal{I}^2 \longrightarrow \Omega_{\mathcal{A}[\mathcal{B}]/\mathcal{A}} \otimes_{\mathcal{A}[\mathcal{B}]} \mathcal{B}\right)\] 其中 \(\mathcal{I}/\mathcal{I}^2\) 位于 \(-1\) 次，而 \(\Omega_{\mathcal{A}[\mathcal{B}]/\mathcal{A}} \otimes_{\mathcal{A}[\mathcal{B}]} \mathcal{B}\) 位于 \(0\) 次。

此构造具有类似于引理 08RS 中对微分模层所讨论的函子性。具体而言，给定交换图 [08TK]\[\begin{equation} \vcenter{ \xymatrix{ \mathcal{B} \ar[r] & \mathcal{B}' \\ \mathcal{A} \ar[u] \ar[r] & \mathcal{A}' \ar[u] } } \end{equation}\] 作为 \(X\) 上环层的图，存在典范的 \(\mathcal{B}\)-线性复形同态 \[\NL_{\mathcal{B}/\mathcal{A}} \longrightarrow \NL_{\mathcal{B}'/\mathcal{A}'}\] 事实上，交换图中的同态给出典范同态 \(\mathcal{A}[\mathcal{B}] \to \mathcal{A}'[\mathcal{B}']\) ，它把 \(\mathcal{I}\) 映入 \(\mathcal{I}' = \Ker(\mathcal{A}'[\mathcal{B}'] \to \mathcal{B}')\). 由此得到同态 \(\mathcal{I}/\mathcal{I}^2 \to \mathcal{I}'/(\mathcal{I}')^2\) 以及微分模层之间的同态，二者共同给出所需的朴素余切复形之间的同态。该同态在如下意义下与复合相容：给定交换图 \[\xymatrix{ \mathcal{B} \ar[r] & \mathcal{B}' \ar[r] & \mathcal{B}'' \\ \mathcal{A} \ar[u] \ar[r] & \mathcal{A}' \ar[u] \ar[r] & \mathcal{A}'' \ar[u] }\] 作为环层的图，则复合 \[\NL_{\mathcal{B}/\mathcal{A}} \longrightarrow \NL_{\mathcal{B}'/\mathcal{A}'} \longrightarrow \NL_{\mathcal{B}''/\mathcal{A}''}\] 就是外部矩形所对应的同态。

可以选取 \(\mathcal{B}\) 作为 \(\mathcal{A}\) 上多项式代数之商的另一个表示，而仍在 \(D(\mathcal{B})\) 中得到同一个对象。为说明这一点，设 \(\mathcal{E}\) 是 \(X\) 上的一个集合层， \(\alpha : \mathcal{E} \to \mathcal{B}\) 是集合层的一个映射。于是得到一个 \(\mathcal{A}\)-代数同态 \(\mathcal{A}[\mathcal{E}] \to \mathcal{B}\)。若此同态满射，也就是说，若 \(\alpha(\mathcal{E})\) 作为 \(\mathcal{A}\)-代数生成 \(\mathcal{B}\)，则令 \[\NL(\alpha) = \left( \mathcal{J}/\mathcal{J}^2 \longrightarrow \Omega_{\mathcal{A}[\mathcal{E}]/\mathcal{A}} \otimes_{\mathcal{A}[\mathcal{E}]} \mathcal{B}\right)\] 其中 \(\mathcal{J} \subset \mathcal{A}[\mathcal{E}]\) 是满射 \(\mathcal{A}[\mathcal{E}] \to \mathcal{B}\) 的核。结论如下。

引理

在上述情形中，\(D(\mathcal{B})\) 中存在典范同构 \(\NL(\alpha) = \NL_{\mathcal{B}/\mathcal{A}}\)。

证明

注意 \(\NL_{\mathcal{B}/\mathcal{A}} = \NL(\text{id}_\mathcal{B})\)。因此，只需证明：给定如上的两个映射 \(\alpha_i : \mathcal{E}_i \to \mathcal{B}\)，在 \(D(\mathcal{B})\) 中存在典范拟同构 \(\NL(\alpha_1) = \NL(\alpha_2)\)。为此，令 \(\mathcal{E} = \mathcal{E}_1 \amalg \mathcal{E}_2\) 且 \(\alpha = \alpha_1 \amalg \alpha_2 : \mathcal{E} \to \mathcal{B}\). 令 \(\mathcal{J}_i = \Ker(\mathcal{A}[\mathcal{E}_i] \to \mathcal{B})\) 以及 \(\mathcal{J} = \Ker(\mathcal{A}[\mathcal{E}] \to \mathcal{B})\). 我们得到把 \(\mathcal{J}_i\) 映入 \(\mathcal{J}\) 的同态 \(\mathcal{A}[\mathcal{E}_i] \to \mathcal{A}[\mathcal{E}]\)。因而得到典范复形同态 \[\NL(\alpha_i) \longrightarrow \NL(\alpha)\] ，只需证明这些同态是拟同构。为此，只需在茎上检验（引理 01AG）。若 \(x \in X\)，则 \(\NL(\alpha)\) 的茎是《代数》第 00S0 节中与映射 \(\alpha_x : \mathcal{E}_x \to \mathcal{B}_x\) 所给表示 \(\mathcal{A}_x[\mathcal{E}_x] \to \mathcal{B}_x\) 相伴的复形 \(\NL(\alpha_x)\)。（省略若干细节；用引理 08TE 验证形成微分与取茎相容。）于是由《代数》引理 00S1 得到结论。

引理

设 \(f : X \to Y\) 是拓扑空间的一个连续映射， \(\mathcal{A} \to \mathcal{B}\) 是 \(Y\) 上环层的一个同态。则 \(f^{-1}\NL_{\mathcal{B}/\mathcal{A}} = \NL_{f^{-1}\mathcal{B}/f^{-1}\mathcal{A}}\)。

证明

从略。提示：使用引理 08RR。

引理

设 \(X\) 是一个拓扑空间，\(\mathcal{A} \to \mathcal{B}\) 是 \(X\) 上环层的一个同态，并设 \(x \in X\)。则 \(\NL_{\mathcal{B}/\mathcal{A}, x} = \NL_{\mathcal{B}_x/\mathcal{A}_x}\)。

证明

这是引理 08TM 对包含映射 \(\{x\} \to X\) 的特殊情形。

引理

设 \(X\) 是一个拓扑空间，并设 \(\mathcal{A} \to \mathcal{B} \to \mathcal{C}\) 是环层的同态。令 \(C\) 为复形同态 \(\NL_{\mathcal{C}/\mathcal{A}} \to \NL_{\mathcal{C}/\mathcal{B}}\) 的锥（《导出范畴》，定义 014E）。存在 \(\mathcal{C}\)-模层复形的典范同态 \[c : \NL_{\mathcal{B}/\mathcal{A}} \otimes_\mathcal{B} \mathcal{C} \longrightarrow C[-1]\] ，它给出上同调层的典范六项正合列 \[\xymatrix{ H^0(\NL_{\mathcal{B}/\mathcal{A}} \otimes_\mathcal{B} \mathcal{C}) \ar[r] & H^0(\NL_{\mathcal{C}/\mathcal{A}}) \ar[r] & H^0(\NL_{\mathcal{C}/\mathcal{B}}) \ar[r] & 0 \\ H^{-1}(\NL_{\mathcal{B}/\mathcal{A}} \otimes_\mathcal{B} \mathcal{C}) \ar[r] & H^{-1}(\NL_{\mathcal{C}/\mathcal{A}}) \ar[r] & H^{-1}(\NL_{\mathcal{C}/\mathcal{B}}) \ar[llu] }\] 。

证明

为给出同态 \(c\)，必须给出同态 \(c_1 : \NL_{\mathcal{B}/\mathcal{A}} \otimes_\mathcal{B} \mathcal{C} \to \NL_{\mathcal{C}/\mathcal{A}}\)，以及复合 \[\NL_{\mathcal{B}/\mathcal{A}} \otimes_\mathcal{B} \mathcal{C} \to \NL_{\mathcal{C}/\mathcal{A}} \to \NL_{\mathcal{C}/\mathcal{B}}\] 与零同态之间的一个显式同伦，见《导出范畴》引理 08RI。对 \(c_1\)，对显然的图使用上述函子性。对该同伦，使用同态 \[\NL_{\mathcal{B}/\mathcal{A}}^0 \otimes_\mathcal{B} \mathcal{C} \longrightarrow \NL_{\mathcal{C}/\mathcal{B}}^{-1},\quad \text{d}[b] \otimes 1 \longmapsto [\varphi(b)] - b[1]\] 其中 \(\varphi : \mathcal{B} \to \mathcal{C}\) 是给定同态。请与《代数》评注 07VC 比较。为得到关于上同调层的结论，只需证明 \(H^0(c)\) 是同构且 \(H^{-1}(c)\) 是满射。为此可以考察茎，见引理 0D09；然后使用交换代数中的相应结论，见《代数》引理 00S2。省略若干细节。

环空间态射的余切复形用上面定义的余切复形来定义。

定义

环空间态射 \(f : (X, \mathcal{O}_X) \to (Y, \mathcal{O}_Y)\) 的 朴素余切复形 \(\NL_f = \NL_{X/Y}\) 是 \(\NL_{\mathcal{O}_X/f^{-1}\mathcal{O}_Y}\)。

给定环空间的交换图 \[\xymatrix{ X' \ar[r]_g \ar[d]_{f'} & X \ar[d]^f \\ Y' \ar[r]^h & Y }\] ，存在典范同态 \(c : g^*\NL_{X/Y} \to \NL_{X'/Y'}\)。具体而言，它是同态 \[g^*\NL_{X/Y} = \mathcal{O}_{X'} \otimes_{g^{-1}\mathcal{O}_X} \NL_{g^{-1}\mathcal{O}_X/g^{-1}f^{-1}\mathcal{O}_Y} \longrightarrow \NL_{\mathcal{O}_{X'}/(f')^{-1}\mathcal{O}_{Y'}} = \NL_{X'/Y'}\] ，其中箭头来自环层的交换图 \[\xymatrix{ g^{-1}\mathcal{O}_X \ar[r]_{g^\sharp} & \mathcal{O}_{X'} \\ g^{-1}f^{-1}\mathcal{O}_Y \ar[r]^{g^{-1}h^\sharp} \ar[u]^{g^{-1}f^\sharp} & (f')^{-1}\mathcal{O}_{Y'} \ar[u]_{(f')^\sharp} }\] ，如上面的 (08TK)。再给定一个这样的图 \[\xymatrix{ X'' \ar[r]_{g'} \ar[d] & X' \ar[d] \\ Y'' \ar[r] & Y' }\] ，则 \((g')^*c\) 与同态 \(c' : (g')^*\NL_{X'/Y'} \to \NL_{X''/Y''}\) 的复合是同态 \((g \circ g')^*\NL_{X''/Y''} \to \NL_{X/Y}\)。

引理

设 \(f : X \to Y\) 和 \(g : Y \to Z\) 是环空间的态射。令 \(C\) 为 \(\mathcal{O}_X\)-模层复形同态 \(\NL_{X/Z} \to \NL_{X/Y}\) 的锥。存在典范同态 \[f^*\NL_{Y/Z} \to C[-1]\] ，它给出上同调层的典范六项正合列 \[\xymatrix{ H^0(f^*\NL_{Y/Z}) \ar[r] & H^0(\NL_{X/Z}) \ar[r] & H^0(\NL_{X/Y}) \ar[r] & 0 \\ H^{-1}(f^*\NL_{Y/Z}) \ar[r] & H^{-1}(\NL_{X/Z}) \ar[r] & H^{-1}(\NL_{X/Y}) \ar[llu] }\] 。

证明

考虑环层的同态 \[(g \circ f)^{-1}\mathcal{O}_Z \to f^{-1}\mathcal{O}_Y \to \mathcal{O}_X\] 并应用引理 0E1Y。

这是非标准记法；见上面的讨论。↩︎