叠的导出范畴

引言

本章讨论与代数叠相伴的导出范畴，尤其包括拟凝聚层的导出范畴；也就是说，我们将证明概形情形（参见《概形的导出范畴》第 08CV 节）和代数空间情形（参见《空间的导出范畴》第 08EZ 节）相应结果的类似结论。本章结果与 [LM-B] 中结果的主要区别是，我们始终使用“大 site”。阅读本章之前，请先快速浏览《代数叠上的层》和《代数叠的上同调》两章，其中引入了本章所用的术语。

约定、记号与语言滥用

我们继续采用《叠的性质》第 04XA 节中引入的约定和语言滥用。记号依照《叠的上同调》第 073S 节。

光滑-étale site 与平坦-fppf site

本节是《叠的上同调》第 0786 节在导出范畴情形下的类似版本。

引理

设 \(\mathcal{X}\) 为代数叠。采用《叠的上同调》引理 0788 和 0789 中的记号。

函子 \(g_! : \textit{Ab}(\mathcal{X}_{lisse,\etale}) \to \textit{Ab}(\mathcal{X}_\etale)\) 有左导出函子 \[Lg_! : D(\mathcal{X}_{lisse,\etale}) \longrightarrow D(\mathcal{X}_\etale)\] 它是 \(g^{-1}\) 的左伴随，并且 \(g^{-1}Lg_! = \text{id}\)。

函子 \(g_! : \textit{Mod}(\mathcal{X}_{lisse,\etale}, \mathcal{O}_{\mathcal{X}_{lisse,\etale}}) \to \textit{Mod}(\mathcal{X}_\etale, \mathcal{O}_{\mathcal{X}})\) 有左导出函子 \[Lg_! : D(\mathcal{O}_{\mathcal{X}_{lisse,\etale}}) \longrightarrow D(\mathcal{X}_\etale, \mathcal{O}_\mathcal{X})\] 它是 \(g^*\) 的左伴随，并且 \(g^*Lg_! = \text{id}\)。

函子 \(g_! : \textit{Ab}(\mathcal{X}_{flat,fppf}) \to \textit{Ab}(\mathcal{X}_{fppf})\) 有左导出函子 \[Lg_! : D(\mathcal{X}_{flat, fppf}) \longrightarrow D(\mathcal{X}_{fppf})\] 它是 \(g^{-1}\) 的左伴随，并且 \(g^{-1}Lg_! = \text{id}\)。

函子 \(g_! : \textit{Mod}(\mathcal{X}_{flat,fppf}, \mathcal{O}_{\mathcal{X}_{flat,fppf}}) \to \textit{Mod}(\mathcal{X}_{fppf}, \mathcal{O}_{\mathcal{X}})\) 有左导出函子 \[Lg_! : D(\mathcal{O}_{\mathcal{X}_{flat, fppf}}) \longrightarrow D(\mathcal{O}_\mathcal{X})\] 它是 \(g^*\) 的左伴随，并且 \(g^*Lg_! = \text{id}\)。

警告：先验地并不清楚模上的 \(Lg_!\) 是否与阿贝尔层上的 \(Lg_!\) 一致；参见《site 上的上同调》评注 07AE。

证明

函子 \(Lg_!\) 的存在性及其与 \(g^*\) 的伴随性由《site 上的上同调》引理 07AC 给出。（对阿贝尔层的情形，取常值层 \(\mathbf{Z}\) 为结构层。）此外，它在复形 \(\mathcal{H}^\bullet\) 上的计算方式是：取一个适当的左分解 \(\mathcal{K}^\bullet \to \mathcal{H}^\bullet\)，再将函子 \(g_!\) 作用于 \(\mathcal{K}^\bullet\)。由《叠的上同调》引理 0789 和 0788， \(g^{-1}g_!\mathcal{K}^\bullet = \mathcal{K}^\bullet\)，故每种情形下的最后一个断言都成立。

引理

采用《叠的上同调》引理 07AT 中的假设和记号。在无界导出范畴上有 \[g^{-1} \circ Rf_* = Rf'_* \circ (g')^{-1} \quad\text{且}\quad L(g')_! \circ (f')^{-1} = f^{-1} \circ Lg_!\] （模的情形和阿贝尔层的情形均成立）。

证明

令 \(\tau = \etale\)（相应地，令 \(\tau = fppf\)）。设 \(\mathcal{F}\) 为 \(\mathcal{X}_\tau\) 上的阿贝尔层。由《叠的上同调》引理 0GR3，典范的（基变换）映射 \[g^{-1}Rf_*\mathcal{F} \longrightarrow Rf'_*(g')^{-1}\mathcal{F}\] 是同构。证明的其余部分是形式的。由于阿贝尔群层与模层的上同调一致，当 \(\mathcal{F}\) 是 \(\mathcal{X}_\tau\) 上的模层时，我们也得到 \(g^{-1} Rf_*\mathcal{F} = Rf'_* (g')^{-1}\mathcal{F}\)。

接下来证明：对 \(\mathcal{Y}_{lisse,\etale}\)（相应地， \(\mathcal{Y}_{flat,fppf}\)）上的 \(\mathcal{G}\) （模层或阿贝尔群层），典范映射 \[L(g')_!(f')^{-1}\mathcal{G} \to f^{-1}Lg_!\mathcal{G}\] 是同构。为此，只需证明：对 \(\mathcal{X}_\tau\) 上任意内射层 \(\mathcal{I}\)，诱导映射 \[\Hom(L(g')_!(f')^{-1}\mathcal{G}, \mathcal{I}[n]) \leftarrow \Hom(f^{-1}Lg_!\mathcal{G}, \mathcal{I}[n])\] 对所有 \(n \in \mathbf{Z}\) 都是同构。（这里的 Hom 取自适当的导出范畴。）由 \(f^{-1}\) 与 \(Rf_*\) 的伴随性、\(Lg_!\) 与 \(g^{-1}\) 的伴随性，以及相应的“加撇”版本，这归结为上面已经证明的同构 \(g^{-1} Rf_*\mathcal{I} \to Rf'_* (g')^{-1}\mathcal{I}\)。

若 \(\mathcal{G}^\bullet\) 是 \(\mathcal{Y}_{lisse,\etale}\)（相应地，\(\mathcal{Y}_{fppf}\)）上的有界复形（模复形或阿贝尔群复形），则典范映射 [07AX]\[\begin{equation} L(g')_!(f')^{-1}\mathcal{G}^\bullet \to f^{-1}Lg_!\mathcal{G}^\bullet \end{equation}\] 是同构。这由层的情形、涉及截断的通常论证，以及 \(L(g')_!(f')^{-1}\) 和 \(f^{-1}Lg_!\) 都是三角范畴的正合函子这一事实得到。

设 \(\mathcal{G}^\bullet\) 是 \(\mathcal{Y}_{lisse,\etale}\)（相应地，\(\mathcal{Y}_{fppf}\)）上的上有界复形（模复形或阿贝尔群复形）。典范映射（07AX）是同构，因为可用笨截断 \(\sigma_{\geq -n}\)（参见《同调》第 0118 节）将 \(\mathcal{G}^\bullet\) 写成有界复形的余极限 \(\mathcal{G}^\bullet = \colim \mathcal{G}_n^\bullet\)。由此得到优三角 \[\bigoplus\nolimits_{n \geq 1} \mathcal{G}_n^\bullet \to \bigoplus\nolimits_{n \geq 1} \mathcal{G}_n^\bullet \to \mathcal{G}^\bullet \to \ldots\] 而函子 \(L(g')_!\)、\((f')^{-1}\)、\(f^{-1}\)、\(Lg_!\) 中的每一个都与（复形的）直和交换。

若 \(\mathcal{G}^\bullet\) 是 \(\mathcal{Y}_{lisse,\etale}\)（相应地，\(\mathcal{Y}_{fppf}\)）上的任意复形（模复形或阿贝尔群复形），则用典范截断 \(\tau_{\leq n}\)（参见《同调》第 0118 节）将 \(\mathcal{G}^\bullet\) 写成上有界复形的余极限，并重复上一段的论证。

最后，由 \(f^{-1}\) 与 \(Rf_*\) 的伴随性、\(Lg_!\) 与 \(g^{-1}\) 的伴随性，以及相应的“加撇”版本，我们得到：在完全一般的情形下，引理的第一个恒等式由第二个恒等式推出。

引理

设 \(\mathcal{X}\) 为代数叠。采用《叠的上同调》引理 0788 中的记号。

设 \(\mathcal{H}\) 为 \(\mathcal{X}\) 的光滑-étale site 上的拟凝聚 \(\mathcal{O}_{\mathcal{X}_{lisse,\etale}}\)-模。对所有 \(p \in \mathbf{Z}\)，层 \(H^p(Lg_!\mathcal{H})\) 都是 \(\mathcal{X}\) 上具有平坦基变换性质的局部拟凝聚模。

设 \(\mathcal{H}\) 为 \(\mathcal{X}\) 的平坦-fppf site 上的拟凝聚 \(\mathcal{O}_{\mathcal{X}_{flat,fppf}}\)-模。对所有 \(p \in \mathbf{Z}\)，层 \(H^p(Lg_!\mathcal{H})\) 都是 \(\mathcal{X}\) 上具有平坦基变换性质的局部拟凝聚模。

证明

选择概形 \(U\) 以及满的光滑态射 \(x : U \to \mathcal{X}\)。由《site 上的模》定义 03DL，存在一个 étale （相应地，fppf）覆盖 \(\{U_i \to U\}_{i \in I}\)，使得每个拉回 \(f_i^{-1}\mathcal{H}\) 都有全局表示（参见《site 上的模》定义 03DE）。这里 \(f_i : U_i \to \mathcal{X}\) 是复合 \(U_i \to U \to \mathcal{X}\)，因而是代数叠之间的态射。（回忆拉回“就是”在 \(\mathcal{X}/f_i\) 上的限制；参见《叠上的层》定义 06W1 及其后的讨论。）加细覆盖后，可设每个 \(U_i\) 都是仿射概形。由于每个 \(f_i\) 都是光滑的（相应地，平坦的），由引理 07AV 可知 \(f_i^{-1}Lg_!\mathcal{H} = Lg_{i, !}(f'_i)^{-1}\mathcal{H}\)。利用《叠的上同调》引理 07AQ，我们将引理的断言约化到如下情形： \(\mathcal{H}\) 有全局表示，并且对某个仿射概形 \(X = \Spec(A)\) 有 \(\mathcal{X} = (\Sch/X)_{fppf}\)。

设我们的表示形如 \[\bigoplus\nolimits_{j \in J} \mathcal{O} \longrightarrow \bigoplus\nolimits_{i \in I} \mathcal{O} \longrightarrow \mathcal{H} \longrightarrow 0\] 其中 \(\mathcal{O} = \mathcal{O}_{\mathcal{X}_{lisse,\etale}}\) （相应地，\(\mathcal{O} = \mathcal{O}_{\mathcal{X}_{flat,fppf}}\)）。注意 site \(\mathcal{X}_{lisse,\etale}\) （相应地，\(\mathcal{X}_{flat,fppf}\)）有终对象，即 \(X/X\)，而且它是拟紧的（参见《site 上的上同调》第 0737 节）。因此由《Site》引理 0738 有 \[\Gamma(\bigoplus\nolimits_{i \in I} \mathcal{O}) = \bigoplus\nolimits_{i \in I} A\] 所以表示中的映射对应于 \(A\)-模 \(M\) 的类似表示 \[\bigoplus\nolimits_{j \in J} A \longrightarrow \bigoplus\nolimits_{i \in I} A \longrightarrow M \longrightarrow 0\] 此外，\(\mathcal{H}\) 等于与 \(M\) 相伴的拟凝聚层 \(M^a\) 在光滑-étale（相应地，平坦-fppf）site 上的限制。选择一个由自由 \(A\)-模组成的分解 \[\ldots \to F_2 \to F_1 \to F_0 \to M \to 0\] 复形 \[\ldots \mathcal{O} \otimes_A F_2 \to \mathcal{O} \otimes_A F_1 \to \mathcal{O} \otimes_A F_0 \to \mathcal{H} \to 0\] 是 \(\mathcal{H}\) 的自由 \(\mathcal{O}\)-模分解，因为对 \(\mathcal{X}_{lisse,\etale}\)（相应地， \(\mathcal{X}_{flat,fppf}\)）的每个对象 \(U/X\)，结构态射 \(U \to X\) 都是平坦的。因此按构造，\(Lg_!\mathcal{H}\) 的值为 \[\ldots \to \mathcal{O}_\mathcal{X} \otimes_A F_2 \to \mathcal{O}_\mathcal{X} \otimes_A F_1 \to \mathcal{O}_\mathcal{X} \otimes_A F_0 \to 0 \to \ldots\] 由于这是 \(\mathcal{X}_\etale\)（相应地， \(\mathcal{X}_{fppf}\)）上的拟凝聚模复形，由《叠的上同调》命题 0771 可知 \(H^p(Lg_!\mathcal{H})\) 是拟凝聚的。

上同调与光滑-étale、平坦-fppf site

我们已经看到，代数叠 \(\mathcal{X}\) 上的层的上同调可在平坦-fppf site

上计算。本节证明，对 \(\mathcal{X}\) 的直接范畴中（可能）无界的对象，同样的结论成立。

引理

设 \(\mathcal{X}\) 为代数叠。无论 \(Lg_!\) 取引理 07AS 第 (1) 部分中的函子，还是 \(Lg_!\) 取引理 07AS 第 (3) 部分中的函子，都有 \(Lg_!\mathbf{Z} = \mathbf{Z}\)。

证明

我们先对平坦-fppf site 与 fppf site 的比较作证明；光滑-étale site 的情形完全相同。我们需要证明：当 \(i \not = 0\) 时 \(H^i(Lg_!\mathbf{Z})\) 为 \(0\)，并且典范映射 \(H^0(Lg_!\mathbf{Z}) \to \mathbf{Z}\) 是同构。设 \(f : \mathcal{U} \to \mathcal{X}\) 为满的平坦态射，其中 \(\mathcal{U}\) 是概形，并且 \(f\) 还是局部有限表现的。（例如，选择一个表示 \(U \to \mathcal{X}\)，并令 \(\mathcal{U}\) 为与 \(U\) 对应的代数叠。）由《叠上的层》引理 06XD 和 06XH，只需证明：当 \(i \not = 0\) 时，拉回 \(f^{-1}H^i(Lg_!\mathbf{Z})\) 为 \(0\)，并且 \(H^0(Lg_!\mathbf{Z}) \to f^{-1}\mathbf{Z}\) 的拉回是同构。由引理 07AV 可得 \(f^{-1}Lg_!\mathbf{Z} = L(g')_!\mathbf{Z}\)，其中 \(g' : \Sh(\mathcal{U}_{flat, fppf}) \to \Sh(\mathcal{U}_{fppf})\) 是 \(\mathcal{U}\) 对应的比较态射。这将我们约化到下一段所研究的情形。

设对某个概形 \(X\) 有 \(\mathcal{X} = (\Sch/X)_{fppf}\)。此时范畴 \(\mathcal{X}_{flat, fppf}\) 有终对象 \(e\)，即 \(X/X\)；而且函子 \(u : \mathcal{X}_{flat, fppf} \to \mathcal{X}_{fppf}\) 将 \(e\) 映到终对象。由于 \(\mathbf{Z}\) 是终对象上的自由阿贝尔层（只要终对象存在），由《site 上的上同调》引理 07AC 中 \(Lg_!\) 的构造本身可得 \(Lg_!\mathbf{Z} = \mathbf{Z}\)。

引理

设 \(\mathcal{X}\) 为代数叠。采用引理 07AS 中的记号。

对 \(D(\mathcal{X}_\etale)\) 中的 \(K\)，有

\(R\Gamma(\mathcal{X}_\etale, K) = R\Gamma(\mathcal{X}_{lisse,\etale}, g^{-1}K)\)，以及

对 \(\mathcal{X}_{lisse,\etale}\) 的任意对象 \(x\)，有 \(R\Gamma(x, K) = R\Gamma(\mathcal{X}_{lisse,\etale}/x, g^{-1}K)\)。

对 \(D(\mathcal{X}_{fppf})\) 中的 \(K\)，有

\(R\Gamma(\mathcal{X}_{fppf}, K) = R\Gamma(\mathcal{X}_{flat,fppf}, g^{-1}K)\)，以及

对 \(\mathcal{X}_{flat,fppf}\) 的任意对象 \(x\)，有 \(H^p(x, K) = R\Gamma(\mathcal{X}_{flat,fppf}/x, g^{-1}K)\)。

两种情形下，对模也有同样结论，因为 \(g^{-1} = g^*\)，并且由《site 上的上同调》引理 0D6J，上同调的计算没有区别。

证明

我们先对平坦-fppf site 与 fppf site 的比较作证明；光滑-étale site 的情形完全相同。由引理 0H0Z，有 \(Lg_!\mathbf{Z} = \mathbf{Z}\)。于是得到 \[\begin{align*} R\Gamma(\mathcal{X}_{fppf}, K) & = R\Hom(\mathbf{Z}, K) \\ & = R\Hom(Lg_!\mathbf{Z}, K) \\ & = R\Hom(\mathbf{Z}, g^{-1}K) \\ & = R\Gamma(\mathcal{X}_{lisse,\etale}, g^{-1}K) \end{align*}\]

这证明了 (1)(a)。 (1)(b) 由 (1)(a) 推出。事实上，若 \(x\) 位于概形 \(U\) 之上，则 site \(\mathcal{X}_\etale/x\) 等价于 \((\Sch/U)_\etale\)，而

\(\mathcal{X}_{lisse,\etale}\) 等价于 \(U_{lisse, \etale}\)。

拟凝聚模的导出范畴

设 \(\mathcal{X}\) 为代数叠。由于包含函子 \(\QCoh(\mathcal{O}_\mathcal{X}) \to \textit{Mod}(\mathcal{O}_\mathcal{X})\) 不是正合的，我们不能把 \(D_\QCoh(\mathcal{O}_\mathcal{X})\) 定义为 \(D(\mathcal{O}_\mathcal{X})\) 中由上同调层拟凝聚的复形组成的充满子范畴。作为替代，我们仿照《叠的上同调》评注 07B2，将拟凝聚模的导出范畴定义为一个商。

回忆 \(\textit{LQCoh}^{fbc}(\mathcal{O}_\mathcal{X}) \subset \textit{Mod}(\mathcal{O}_\mathcal{X})\) 表示由具有平坦基变换性质的局部拟凝聚 \(\mathcal{O}_\mathcal{X}\)-模组成的充满子范畴；参见《叠的上同调》第 0GQG 节。我们将缩写 \[D_{\textit{LQCoh}^{fbc}}(\mathcal{O}_\mathcal{X}) = D_{\textit{LQCoh}^{fbc}(\mathcal{O}_\mathcal{X})}(\mathcal{O}_\mathcal{X})\] 由《导出范畴》引理 06UQ 和《叠的上同调》命题 0771 第 (2) 部分，可知 \(D_{\textit{LQCoh}^{fbc}}(\mathcal{O}_\mathcal{X})\) 是 \(D(\mathcal{O}_\mathcal{X})\) 的严格充满饱和三角子范畴。

令 \(\textit{Parasitic}(\mathcal{O}_\mathcal{X}) \subset \textit{Mod}(\mathcal{O}_\mathcal{X})\) 表示由寄生 \(\mathcal{O}_\mathcal{X}\)-模组成的充满子范畴；参见《叠的上同调》第 0772 节。我们将缩写 \[D_{\textit{Parasitic}}(\mathcal{O}_\mathcal{X}) = D_{\textit{Parasitic}(\mathcal{O}_\mathcal{X})}(\mathcal{O}_\mathcal{X})\] 与前面一样，这是 \(D(\mathcal{O}_\mathcal{X})\) 的严格充满饱和三角子范畴，因为 \(\textit{Parasitic}(\mathcal{O}_\mathcal{X})\) 是 \(\textit{Mod}(\mathcal{O}_\mathcal{X})\) 的 Serre 子范畴；参见《叠的上同调》引理 0774。

\(\textit{Mod}(\mathcal{O}_\mathcal{X})\) 的弱 Serre 子范畴 \(\textit{Parasitic}(\mathcal{O}_\mathcal{X}) \cap \textit{LQCoh}^{fbc}(\mathcal{O}_\mathcal{X})\) 的交仍是弱 Serre 子范畴。类似地，我们缩写 \[\begin{align*} D_{\textit{Parasitic} \cap \textit{LQCoh}^{fbc}}(\mathcal{O}_\mathcal{X}) & = D_{\textit{Parasitic}(\mathcal{O}_\mathcal{X}) \cap \textit{LQCoh}^{fbc}(\mathcal{O}_\mathcal{X})}(\mathcal{O}_\mathcal{X}) \\ & = D_{\textit{Parasitic}}(\mathcal{O}_\mathcal{X}) \cap D_{\textit{LQCoh}^{fbc}}(\mathcal{O}_\mathcal{X}) \end{align*}\] 与前面一样，这是 \(D(\mathcal{O}_\mathcal{X})\) 的严格充满饱和三角子范畴。因而更是 \(D_{\textit{LQCoh}^{fbc}}(\mathcal{O}_\mathcal{X})\) 的严格充满饱和三角子范畴。

定义

设 \(\mathcal{X}\) 为代数叠。采用上述记号，我们把 上同调层拟凝聚的 \(\mathcal{O}_\mathcal{X}\)-模导出范畴 定义为 Verdier 商¹ \[D_\QCoh(\mathcal{O}_\mathcal{X}) = D_{\textit{LQCoh}^{fbc}}(\mathcal{O}_\mathcal{X})/ D_{\textit{Parasitic} \cap \textit{LQCoh}^{fbc}}(\mathcal{O}_\mathcal{X})\]

Verdier 商定义见《导出范畴》第 05RA 节。 \(D_{\textit{LQCoh}^{fbc}}(\mathcal{O}_\mathcal{X})\) 中的态射 \(a : E \to E'\) 在 \(D_\QCoh(\mathcal{O}_\mathcal{X})\) 中成为同构，当且仅当锥 \(C(a)\) 的上同调层寄生；参见《导出范畴》引理 05RL。

考虑函子 \[D_{\textit{LQCoh}^{fbc}}(\mathcal{O}_\mathcal{X}) \xrightarrow{H^i} \textit{LQCoh}^{fbc}(\mathcal{O}_\mathcal{X}) \xrightarrow{Q} \QCoh(\mathcal{O}_\mathcal{X})\] 注意 \(Q\) 零化子范畴 \(\textit{Parasitic}(\mathcal{O}_\mathcal{X}) \cap \textit{LQCoh}^{fbc}(\mathcal{O}_\mathcal{X})\)；参见《叠的上同调》引理 0779。由《导出范畴》引理 05RJ，我们得到上同调函子 [07B7]\[\begin{equation} H^i : D_\QCoh(\mathcal{O}_\mathcal{X}) \longrightarrow \QCoh(\mathcal{O}_\mathcal{X}) \end{equation}\] 此外，\(E \in D_\QCoh(\mathcal{O}_\mathcal{X})\) 为零，当且仅当对所有 \(i \in \mathbf{Z}\) 都有 \(H^i(E) = 0\)，因为由《叠的上同调》引理 0779， \(Q\) 的核恰好等于 \(\textit{Parasitic}(\mathcal{O}_\mathcal{X}) \cap \textit{LQCoh}^{fbc}(\mathcal{O}_\mathcal{X})\)。

注意范畴 \(\textit{Parasitic}(\mathcal{O}_\mathcal{X}) \cap \textit{LQCoh}^{fbc}(\mathcal{O}_\mathcal{X})\) 和 \(\textit{LQCoh}^{fbc}(\mathcal{O}_\mathcal{X})\) 也是 étale 拓扑中模的阿贝尔范畴 \(\textit{Mod}(\mathcal{X}_\etale, \mathcal{O}_\mathcal{X})\) 的弱 Serre 子范畴；参见《叠的上同调》命题 0771 和引理 0774。因此下述引理的陈述有意义。

引理

设 \(\mathcal{X}\) 为代数叠。缩写 \(\mathcal{P}_\mathcal{X} = \textit{Parasitic}(\mathcal{O}_\mathcal{X}) \cap \textit{LQCoh}^{fbc}(\mathcal{O}_\mathcal{X})\)。比较态射 \(\epsilon : \mathcal{X}_{fppf} \to \mathcal{X}_\etale\) 诱导交换图 \[\xymatrix{ D_{\textit{Parasitic} \cap \textit{LQCoh}^{fbc}}(\mathcal{O}_\mathcal{X}) \ar[r] & D_{\textit{LQCoh}^{fbc}}(\mathcal{O}_\mathcal{X}) \ar[r] & D(\mathcal{O}_\mathcal{X}) \\ D_{\mathcal{P}_\mathcal{X}}(\mathcal{X}_\etale, \mathcal{O}_\mathcal{X}) \ar[r] \ar[u]^{\epsilon^*} & D_{\textit{LQCoh}^{fbc}(\mathcal{O}_\mathcal{X})}( \mathcal{X}_\etale, \mathcal{O}_\mathcal{X}) \ar[r] \ar[u]^{\epsilon^*} & D(\mathcal{X}_\etale, \mathcal{O}_\mathcal{X}) \ar[u]^{\epsilon^*} }\] 此外，左边两个竖直箭头都是三角范畴的等价，因而还得到等价 \[D_{\textit{LQCoh}^{fbc}(\mathcal{O}_\mathcal{X})} (\mathcal{X}_\etale, \mathcal{O}_\mathcal{X}) / D_{\mathcal{P}_\mathcal{X}}(\mathcal{X}_\etale, \mathcal{O}_\mathcal{X}) \longrightarrow D_\QCoh(\mathcal{O}_\mathcal{X})\]

证明

由于 \(\epsilon^*\) 正合，显然可得到引理陈述中的图。我们将把《site 上的上同调》引理 07A8 应用于下述情形，以证明中间的竖直箭头是等价： \(\mathcal{C} = \mathcal{X}\)， \(\tau = fppf\)， \(\tau' = \etale\)， \(\mathcal{O} = \mathcal{O}_\mathcal{X}\)， \(\mathcal{A} = \textit{LQCoh}^{fbc}(\mathcal{O}_\mathcal{X})\)，而 \(\mathcal{B}\) 是 \(\mathcal{X}\) 中位于仿射概形之上的对象的集合。要说明该引理适用，需要检验条件 (1)、(2)、(3)、(4)。条件 (1) 和 (2) 由上面的讨论显然成立（明确地说，这由《叠的上同调》命题 0771 得出）。条件 (3) 成立是因为每个概形都有由仿射开集组成的 Zariski 开覆盖。条件 (4) 由《下降》引理 0756 得出。

我们略去下述验证：范畴的等价 \(\epsilon^* : D_{\textit{LQCoh}^{fbc}(\mathcal{O}_\mathcal{X})}( \mathcal{X}_\etale, \mathcal{O}_\mathcal{X}) \to D_{\textit{LQCoh}^{fbc}}(\mathcal{O}_\mathcal{X})\) 在上同调层寄生的复形子范畴之间诱导等价。

设 \(\mathcal{X}\) 为代数叠。由《叠的上同调》引理 07B4，拟凝聚模范畴 \(\QCoh(\mathcal{O}_{\mathcal{X}_{lisse,\etale}})\) 构成 \(\textit{Mod}(\mathcal{O}_{\mathcal{X}_{lisse,\etale}})\) 的弱 Serre 子范畴，而 \(\QCoh(\mathcal{O}_{\mathcal{X}_{flat,fppf}})\) 构成 \(\textit{Mod}(\mathcal{O}_{\mathcal{X}_{flat,fppf}})\) 的弱 Serre 子范畴。因此可以考虑 \[D_\QCoh(\mathcal{O}_{\mathcal{X}_{lisse,\etale}}) = D_{\QCoh(\mathcal{O}_{\mathcal{X}_{lisse,\etale}})}( \mathcal{O}_{\mathcal{X}_{lisse,\etale}}) \subset D(\mathcal{O}_{\mathcal{X}_{lisse,\etale}})\] 以及类似的 \[D_\QCoh(\mathcal{O}_{\mathcal{X}_{flat,fppf}}) = D_{\QCoh(\mathcal{O}_{\mathcal{X}_{flat,fppf}})}( \mathcal{O}_{\mathcal{X}_{flat,fppf}}) \subset D(\mathcal{O}_{\mathcal{X}_{flat,fppf}})\] 与上面一样，它们都是严格充满饱和三角子范畴。事实表明，\(D_\QCoh(\mathcal{O}_\mathcal{X})\) 与其中任意一个都等价。

引理

设 \(\mathcal{X}\) 为代数叠。令 \(\mathcal{P}_\mathcal{X} = \textit{Parasitic}(\mathcal{O}_\mathcal{X}) \cap \textit{LQCoh}^{fbc}(\mathcal{O}_\mathcal{X})\)。

设 \(\mathcal{F}^\bullet\) 是 \(D_{\textit{LQCoh}^{fbc}(\mathcal{O}_\mathcal{X})} (\mathcal{X}_\etale, \mathcal{O}_\mathcal{X})\) 的对象。对光滑-étale site，取《叠的上同调》引理 0788 中的 \(g\)，则

\(g^*\mathcal{F}^\bullet\) 属于 \(D_\QCoh(\mathcal{O}_{\mathcal{X}_{lisse,\etale}})\)；

\(g^*\mathcal{F}^\bullet = 0\)，当且仅当 \(\mathcal{F}^\bullet\) 属于 \(D_{\mathcal{P}_\mathcal{X}}(\mathcal{X}_\etale, \mathcal{O}_\mathcal{X})\)；

对 \(D_\QCoh(\mathcal{O}_{\mathcal{X}_{lisse,\etale}})\) 中的 \(\mathcal{H}^\bullet\)， \(Lg_!\mathcal{H}^\bullet\) 属于 \(D_{\textit{LQCoh}^{fbc}(\mathcal{O}_\mathcal{X})}( \mathcal{X}_\etale, \mathcal{O}_\mathcal{X})\)；并且

函子 \(g^*\) 和 \(Lg_!\) 给出互逆函子 \[\xymatrix{ D_\QCoh(\mathcal{O}_\mathcal{X}) \ar@<1ex>[r]^-{g^*} & D_\QCoh(\mathcal{O}_{\mathcal{X}_{lisse,\etale}}) \ar@<1ex>[l]^-{Lg_!} }\]

设 \(\mathcal{F}^\bullet\) 是 \(D_{\textit{LQCoh}^{fbc}}(\mathcal{O}_\mathcal{X})\) 的对象。对平坦-fppf site，取《叠的上同调》引理 0788 中的 \(g\)，则

\(g^*\mathcal{F}^\bullet\) 属于 \(D_\QCoh(\mathcal{O}_{\mathcal{X}_{flat, fppf}})\)；

\(g^*\mathcal{F}^\bullet = 0\)，当且仅当 \(\mathcal{F}^\bullet\) 属于 \(D_{\mathcal{P}_\mathcal{X}}(\mathcal{O}_\mathcal{X})\)；

对 \(D_\QCoh(\mathcal{O}_{\mathcal{X}_{flat,fppf}})\) 中的 \(\mathcal{H}^\bullet\)， \(Lg_!\mathcal{H}^\bullet\) 属于 \(D_{\textit{LQCoh}^{fbc}}(\mathcal{O}_\mathcal{X})\)；并且

函子 \(g^*\) 和 \(Lg_!\) 给出互逆函子 \[\xymatrix{ D_\QCoh(\mathcal{O}_\mathcal{X}) \ar@<1ex>[r]^-{g^*} & D_\QCoh(\mathcal{O}_{\mathcal{X}_{flat,fppf}}) \ar@<1ex>[l]^-{Lg_!} }\]

证明

函子 \(g^* = g^{-1}\) 正合，故 (1)(a)、(2)(a)、(1)(b) 和 (2)(b) 由《叠的上同调》引理 07B1 和 07AR 得出。

证明 (1)(c) 和 (2)(c)。引理 07AS 中 \(Lg_!\) 的构造（通过《site 上的上同调》引理 07AC，而该引理又使用《导出范畴》命题 0794）表明：对 \(D(\mathcal{O}_{\mathcal{X}_{lisse,\etale}})\) 中任意对象 \(\mathcal{H}^\bullet\)，\(Lg_!\) 的计算式为 \[Lg_!\mathcal{H}^\bullet = \colim g_!\mathcal{K}_n^\bullet = g_! \colim \mathcal{K}_n^\bullet\] （逐项取余极限），其中拟同构 \(\colim \mathcal{K}_n^\bullet \to \mathcal{H}^\bullet\) 诱导拟同构 \(\mathcal{K}_n^\bullet \to \tau_{\leq n} \mathcal{H}^\bullet\)。由于包含函子 \[\textit{LQCoh}^{fbc}(\mathcal{O}_\mathcal{X}) \subset \textit{Mod}(\mathcal{X}_\etale, \mathcal{O}_\mathcal{X}) \quad\text{且}\quad \textit{LQCoh}^{fbc}(\mathcal{O}_\mathcal{X}) \subset \textit{Mod}(\mathcal{O}_\mathcal{X})\] 与滤过余极限相容，只需对 \(D_\QCoh(\mathcal{O}_{\mathcal{X}_{lisse,\etale}})\) 和 \(D_\QCoh(\mathcal{O}_{\mathcal{X}_{flat,fppf}})\) 中的上有界复形 \(\mathcal{H}^\bullet\) 证明 (c)。在此情形下，为证明 \(H^n(Lg_!\mathcal{H}^\bullet)\) 属于 \(\textit{LQCoh}^{fbc}(\mathcal{O}_\mathcal{X})\)，可对满足 \(\mathcal{H}^i = 0\)（当 \(i > m\) 时）的整数 \(m\) 作归纳。若 \(m < n\)，则 \(H^n(Lg_!\mathcal{H}^\bullet) = 0\)，结论成立。一般地，考虑优三角 \[\tau_{\leq m - 1}\mathcal{H}^\bullet \to \mathcal{H}^\bullet \to H^m(\mathcal{H}^\bullet)[-m] \to \ldots\] （《导出范畴》评注 08J5），并作用函子 \(Lg_!\)。由于 \(\textit{LQCoh}^{fbc}(\mathcal{O}_\mathcal{X})\) 是模范畴的弱 Serre 子范畴，只需对三项中的两项证明 (c)。对 \(Lg_!\tau_{\leq m - 1}\mathcal{H}^\bullet\)，结论由归纳假设成立；对 \(Lg_!H^m(\mathcal{H}^\bullet)[-m]\)，结论由引理 07B3 成立。所以 (c) 成立。

我们证明 (2)(d)。由 (2)(a) 和 (2)(b)，函子 \(g^{-1} = g^*\) 诱导函子 \[c : D_\QCoh(\mathcal{O}_\mathcal{X}) \longrightarrow D_\QCoh(\mathcal{O}_{\mathcal{X}_{flat, fppf}})\] 参见《导出范畴》引理 05RJ。因此有下述三角范畴的图 \[\xymatrix{ D_{\textit{LQCoh}^{fbc}}(\mathcal{O}_\mathcal{X}) \ar[rd]^{g^{-1}} \ar[rr]_q & & D_\QCoh(\mathcal{O}_\mathcal{X}) \ar[ld]^c \\ & D_\QCoh(\mathcal{O}_{\mathcal{X}_{flat, fppf}}) \ar@<1ex>[lu]^{Lg_!} }\] 其中 \(q\) 为商函子，内三角交换，并且 \(g^{-1}Lg_! = \text{id}\)。

对 \(D_{\textit{LQCoh}^{fbc}}(\mathcal{O}_\mathcal{X})\) 中 \(E\) 的任意对象，映射 \(a : Lg_!g^{-1}E \to E\) 在 \(D(\mathcal{O}_{\mathcal{X}_{flat, fppf}})\) 中映为拟同构。因此 \(a\) 的锥在 \(g^{-1}\) 下映为零，由 (2)(b) 可知 \(q(a)\) 是同构。所以 \(q \circ Lg_!\) 是 \(c\) 的拟逆。

在光滑-étale site 的情形下，与上面完全相同的论证证明 \[D_{\textit{LQCoh}^{fbc}(\mathcal{O}_\mathcal{X})}( \mathcal{X}_\etale, \mathcal{O}_\mathcal{X}) / D_{\mathcal{P}_\mathcal{X}}( \mathcal{X}_\etale, \mathcal{O}_\mathcal{X})\] 等价于 \(D_\QCoh(\mathcal{O}_{\mathcal{X}_{lisse,\etale}})\)。应用引理 07B8 中的最后一个等价即可完成证明。

下述引理告诉我们，商函子 \(D_{\textit{LQCoh}^{fbc}}(\mathcal{O}_\mathcal{X}) \to D_\QCoh(\mathcal{O}_\mathcal{X})\) 有左伴随。参见评注 0H11。

引理

设 \(\mathcal{X}\) 为代数叠。设 \(E\) 是 \(D_{\textit{LQCoh}^{fbc}}(\mathcal{O}_\mathcal{X})\) 的对象。在 \(D_{\textit{LQCoh}^{fbc}}(\mathcal{O}_\mathcal{X})\) 中存在典范优三角 \[E' \to E \to P \to E'[1]\] 使得 \(P\) 属于 \(D_{\textit{Parasitic} \cap \textit{LQCoh}^{fbc}} (\mathcal{O}_\mathcal{X})\)，并且对所有 \(D_{\textit{Parasitic} \cap \textit{LQCoh}^{fbc}}(\mathcal{O}_\mathcal{X})\) 中的 \(P'\)，都有 \[\Hom_{D(\mathcal{O}_\mathcal{X})}(E', P') = 0\]

证明

考虑《叠的上同调》第 0786 节所研究的赋环拓扑斯态射 \(g : \Sh(\mathcal{X}_{flat, fppf}) \longrightarrow \Sh(\mathcal{X}_{fppf})\)。令 \(E' = Lg_!g^*E\)，并令 \(P\) 为伴随映射 \(E' \to E\) 的锥；参见引理 07AS 第 (4) 部分。由引理 07B9 的 (2)(a) 和 (2)(c)， \(E'\) 属于 \(D_{\textit{LQCoh}^{fbc}}(\mathcal{O}_\mathcal{X})\)。所以 \(P\) 也属于 \(D_{\textit{LQCoh}^{fbc}}(\mathcal{O}_\mathcal{X})\)。由引理 07AS 第 (4) 部分， \(g^*Lg_! = \text{id}\)，故映射 \(g^*E' \to g^*E\) 是同构。因此 \(g^*P = 0\)，进而由引理 07B9 的 (2)(b)，\(P\) 是 \(D_{\textit{Parasitic} \cap \textit{LQCoh}^{fbc}}(\mathcal{O}_\mathcal{X})\) 的对象。最后，对 \(D_{\textit{Parasitic} \cap \textit{LQCoh}^{fbc}}(\mathcal{O}_\mathcal{X})\) 中的 \(P'\)，有 \[\Hom(E', P') = \Hom(Lg_!g^*E, P') = \Hom(g^*E, g^*P') = 0\] 因为由引理 07B9 的 (2)(b)， \(g^*P' = 0\)。优三角 \(E' \to E \to P \to E'[1]\) 是典范的

（更精确地说，直到诱导 \(E\) 上恒等映射的三角同构为止是唯一的）；这由《导出范畴》第 0CQP 节中的讨论得到。

注

引理 07BA 的结论告诉我们， \[D_{\textit{Parasitic} \cap \textit{LQCoh}^{fbc}}(\mathcal{O}_\mathcal{X}) \subset D_{\textit{LQCoh}^{fbc}}(\mathcal{O}_\mathcal{X})\] 是左可容许子范畴；参见《导出范畴》第 0CQP 节。特别地，若 \(\mathcal{A} \subset D_{\textit{LQCoh}^{fbc}}(\mathcal{O}_\mathcal{X})\) 表示它的左正交，则《导出范畴》命题 0H0P 推出： \(\mathcal{A}\) 是 \(D_{\textit{LQCoh}^{fbc}}(\mathcal{O}_\mathcal{X})\) 中的右可容许子范畴，并且复合 \[\mathcal{A} \longrightarrow D_{\textit{LQCoh}^{fbc}}(\mathcal{O}_\mathcal{X}) \longrightarrow D_\QCoh(\mathcal{O}_\mathcal{X})\] 是等价。这意味着，可将 \(D_\QCoh(\mathcal{O}_\mathcal{X})\) 视为 \(D_{\textit{LQCoh}^{fbc}}(\mathcal{O}_\mathcal{X})\) 的严格充满饱和三角子范畴，也可视为 \(D(\mathcal{X}_{fppf}, \mathcal{O}_\mathcal{X})\) 的严格充满饱和三角子范畴。

拟凝聚模的导出直像

作为上面材料的第一个应用，我们构造导出直像。读者可在《例》第 07DC 节找到代数叠之间的拟紧拟分离态射 \(f : \mathcal{X} \to \mathcal{Y}\) 的一个例子，其中直像函子 \(Rf_*\) 并不诱导函子 \(D_\QCoh(\mathcal{O}_\mathcal{X}) \to D_\QCoh(\mathcal{O}_\mathcal{Y})\)。因此，有必要限制到下有界复形。

命题

设 \(f : \mathcal{X} \to \mathcal{Y}\) 为代数叠之间的拟紧拟分离态射。函子 \(Rf_*\) 诱导交换图 \[\xymatrix{ D^{+}_{\textit{Parasitic} \cap \textit{LQCoh}^{fbc}}(\mathcal{O}_\mathcal{X}) \ar[r] \ar[d]^{Rf_*} & D^{+}_{\textit{LQCoh}^{fbc}}(\mathcal{O}_\mathcal{X}) \ar[r] \ar[d]^{Rf_*} & D(\mathcal{O}_\mathcal{X}) \ar[d]^{Rf_*} \\ D^{+}_{\textit{Parasitic} \cap \textit{LQCoh}^{fbc}}(\mathcal{O}_\mathcal{Y}) \ar[r] & D^{+}_{\textit{LQCoh}^{fbc}}(\mathcal{O}_\mathcal{Y}) \ar[r] & D(\mathcal{O}_\mathcal{Y}) }\] 从而在商范畴上诱导函子 \[Rf_{\QCoh, *} : D^{+}_\QCoh(\mathcal{O}_\mathcal{X}) \longrightarrow D^{+}_\QCoh(\mathcal{O}_\mathcal{Y})\] 此外，《叠的上同调》命题 077A 中的函子

\(R^if_\QCoh\) 等于 \(H^i \circ Rf_{\QCoh, *}\)，其中 \(H^i\) 如（07B7）所示。

证明

需要证明：对 \(D^{+}_{\textit{LQCoh}^{fbc}}(\mathcal{O}_\mathcal{X})\) 中的 \(E\)，\(Rf_*E\) 是 \(D^{+}_{\textit{LQCoh}^{fbc}}(\mathcal{O}_\mathcal{Y})\) 的对象。这由《叠的上同调》命题 0771 以及谱序列 \(R^if_*H^j(E) \Rightarrow R^{i + j}f_*E\) 得出。对寄生模的情形，用《叠的上同调》引理 0775 作同样的论证。最后一个断言由（07B7）中 \(H^i\) 的定义显然成立。

拟凝聚模的导出拉回

具有拟凝聚上同调层的复形的导出拉回总是存在。

命题

设 \(f : \mathcal{X} \to \mathcal{Y}\) 为代数叠之间的态射。正合函子 \(f^*\) 诱导交换图 \[\xymatrix{ D_{\textit{LQCoh}^{fbc}}(\mathcal{O}_\mathcal{X}) \ar[r] & D(\mathcal{O}_\mathcal{X}) \\ D_{\textit{LQCoh}^{fbc}}(\mathcal{O}_\mathcal{Y}) \ar[r] \ar[u]^{f^*} & D(\mathcal{O}_\mathcal{Y}) \ar[u]^{f^*} }\] 复合 \[D_{\textit{LQCoh}^{fbc}}(\mathcal{O}_\mathcal{Y}) \xrightarrow{f^*} D_{\textit{LQCoh}^{fbc}}(\mathcal{O}_\mathcal{X}) \xrightarrow{q_\mathcal{X}} D_\QCoh(\mathcal{O}_\mathcal{X})\] 相对于局部化 \(D_{\textit{LQCoh}^{fbc}}(\mathcal{O}_\mathcal{Y}) \to D_\QCoh(\mathcal{O}_\mathcal{Y})\) 是左可导的，并可把 \(Lf^*_\QCoh\) 定义为它的左导出函子 \[Lf_\QCoh^* : D_\QCoh(\mathcal{O}_\mathcal{Y}) \longrightarrow D_\QCoh(\mathcal{O}_\mathcal{X})\] （参见《导出范畴》定义 05S9 和 05SV）。若 \(f\) 拟紧且拟分离，则 \(Lf^*_\QCoh\) 和 \(Rf_{\QCoh, *}\) 满足下述伴随关系： \[\Hom_{D_\QCoh(\mathcal{O}_\mathcal{X})}(Lf^*_\QCoh A, B) = \Hom_{D_\QCoh(\mathcal{O}_\mathcal{Y})}(A, Rf_{\QCoh, *}B)\] 其中 \(A \in D_\QCoh(\mathcal{O}_\mathcal{Y})\) 且 \(B \in D^{+}_\QCoh(\mathcal{O}_\mathcal{X})\)。

证明

为证明第一个断言，需要说明：对 \(D_{\textit{LQCoh}^{fbc}}(\mathcal{O}_\mathcal{Y})\) 中的 \(E\)， \(f^*E\) 是 \(D_{\textit{LQCoh}^{fbc}}(\mathcal{O}_\mathcal{X})\) 的对象。由于 \(f^* = f^{-1}\) 正合，而由《叠的上同调》命题 0771， \(f^*\) 将 \(\textit{LQCoh}^{fbc}(\mathcal{O}_\mathcal{Y})\) 映入 \(\textit{LQCoh}^{fbc}(\mathcal{O}_\mathcal{X})\)，所以结论立即成立。

令 \(\mathcal{D} = D_{\textit{LQCoh}^{fbc}}(\mathcal{O}_\mathcal{Y})\)。令 \(S\) 为 \(\mathcal{D}\) 中由下述态射组成的类：其锥是 \(D_{\textit{Parasitic} \cap \textit{LQCoh}^{fbc}}(\mathcal{O}_\mathcal{Y})\) 的对象。令 \(\mathcal{D}' = D_\QCoh(\mathcal{O}_\mathcal{X})\)。令 \(F = q_\mathcal{X} \circ f^* : \mathcal{D} \to \mathcal{D}'\)。那么 \(\mathcal{D}, S, \mathcal{D}', F\) 如《导出范畴》情形 05S8 和定义 05S9 所述。我们证明：对 \(\mathcal{D}\) 的任意对象 \(E\)，\(LF(E)\) 都有定义。事实上，考虑引理 07BA 中构造的三角 \[E' \to E \to P \to E'[1]\] 注意 \(s : E' \to E\) 是 \(S\) 的元素。我们断言 \(E'\) 计算 \(LF\)。事实上，设 \(s' : E'' \to E\) 是 \(S\) 的另一个元素，也就是说，它嵌入三角 \(E'' \to E \to P' \to E''[1]\)，其中 \(P'\) 属于 \(D_{\textit{Parasitic} \cap \textit{LQCoh}^{fbc}}(\mathcal{O}_\mathcal{Y})\)。由引理 07BA（及其证明）， \(E' \to E\) 通过 \(E'' \to E\) 分解。因此 \(E' \to E\) 在系统 \(S/E\) 中是共终的。于是显然 \(E'\) 计算 \(LF\)。

为证明最后一个断言，写 \(B = q_\mathcal{X}(H)\) 和 \(A = q_\mathcal{Y}(E)\)。如上选择 \(E' \to E\)。一方面我们将使用 \(Rf_{\QCoh, *}(B) = q_\mathcal{Y}(Rf_*H)\)，另一方面使用 \(Lf^*_\QCoh(A) = q_\mathcal{X}(f^*E')\)。 \[\begin{align*} \Hom_{D_\QCoh(\mathcal{O}_\mathcal{X})}(Lf^*_\QCoh A, B) & = \Hom_{D_\QCoh(\mathcal{O}_\mathcal{X})}(q_\mathcal{X}(f^*E'), q_\mathcal{X}(H)) \\ & = \colim_{H \to H'} \Hom_{D(\mathcal{O}_\mathcal{X})}(f^*E', H') \\ & = \colim_{H \to H'} \Hom_{D(\mathcal{O}_\mathcal{Y})}(E', Rf_*H') \\ & = \Hom_{D(\mathcal{O}_\mathcal{Y})}(E', Rf_*H) \\ & = \Hom_{D_\QCoh(\mathcal{O}_\mathcal{Y})}(A, Rf_{\QCoh, *}B) \end{align*}\] 这里的余极限取遍 \(D^+_{\textit{LQCoh}^{fbc}}(\mathcal{O}_\mathcal{X})\) 中满足下述条件的态射 \(s : H \to H'\)：其锥 \(P(s)\) 是 \(D^+_{\textit{Parasitic} \cap \textit{LQCoh}^{fbc}}(\mathcal{O}_\mathcal{X})\) 的对象。第一个等式已经在上面看到。第二个等式由 Verdier 商的构造成立。第三个等式由《site 上的上同调》引理 07A6 成立。由命题 07BC， \(Rf_*P(s)\) 是 \(D^+_{\textit{Parasitic} \cap \textit{LQCoh}^{fbc}}(\mathcal{O}_\mathcal{Y})\) 的对象，因而 \(\Hom_{D(\mathcal{O}_\mathcal{Y})}(E', Rf_*P(s)) = 0\)。所以第四个等式成立。最后一个等式由 \(E'\) 的构造成立。

导出范畴中的拟凝聚对象

本节接续《叠上的层》第 0H0G 节。设 \(\mathcal{X}\) 为代数叠。在该节中，我们定义了三角范畴 \[\mathit{QC}(\mathcal{X}) = \mathit{QC}(\mathcal{X}_{affine}, \mathcal{O})\] 并证明：若 \(\mathcal{X}\) 可由代数空间 \(X\) 表示，则 \(\mathit{QC}(\mathcal{X})\) 等价于 \(D_\QCoh(\mathcal{O}_X)\)。事实表明，我们已经发展了恰好足够的理论来证明：对任意代数叠，同一结论都成立。

引理

设 \(\mathcal{X}\) 为代数叠。设 \(K\) 是 \(D(\mathcal{X}_{fppf})\) 的对象，且其上同调层寄生。那么，对 \(\mathcal{X}\) 中位于概形 \(U\) 之上的每个对象 \(x\)，只要 \(U \to \mathcal{X}\) 平坦，就有 \(R\Gamma(x, K) = 0\)。

证明

以 \(g : \Sh(\mathcal{X}_{flat, fppf}) \to \Sh(\mathcal{X}_{fppf})\) 表示第 08MZ 节讨论的拓扑斯态射。设 \(x\) 为 \(\mathcal{X}\) 中位于概形 \(U\) 之上的对象，且 \(U \to \mathcal{X}\) 平坦；也就是说， \(x\) 是 \(\mathcal{X}_{flat, fppf}\) 的对象。由引理 0H10 的 (2)(b)，有 \(R\Gamma(x, K) = R\Gamma(\mathcal{X}_{flat, fppf}/x, g^{-1}K)\)。然而，我们的假设意味着 \(D(\mathcal{X}_{flat, fppf})\) 的对象 \(g^{-1}K\) 的上同调层为零；参见《叠的上同调》定义 0773。所以 \(g^{-1}K = 0\)，结论成立。

引理

设 \(\mathcal{X}\) 为代数叠。设 \(K\) 是 \(D(\mathcal{X}_{fppf})\) 的对象，并且对 \(\mathcal{X}\) 中位于仿射概形 \(U\) 之上的所有对象 \(x\)，只要 \(U \to \mathcal{X}\) 平坦，就有 \(R\Gamma(x, K) = 0\)。那么对所有 \(i\) 都有 \(H^i(\mathcal{X}, K) = 0\)。

证明

以 \(g : \Sh(\mathcal{X}_{flat, fppf}) \to \Sh(\mathcal{X}_{fppf})\) 表示第 08MZ 节讨论的拓扑斯态射。由引理 0H10 的 (2)(b)，我们的假设意味着：在 \(\mathcal{X}_{flat, fppf}\) 中位于仿射概形之上的每个对象上，\(g^{-1}K\) 的上同调都为零。由于 \(\mathcal{X}_{flat, fppf}\) 的每个对象 \(x\) 都有由此类对象组成的覆盖，可知 \(g^{-1}K\) 的上同调层为零，即 \(g^{-1}K = 0\)。于是当然有 \(R\Gamma(\mathcal{X}_{flat, fppf}, g^{-1}K) = 0\)，再由引理 0H10 的 (2)(a)，这推出所需结论。

引理

设 \(\mathcal{X}\) 为代数叠。设 \(K\) 是 \(D_\QCoh(\mathcal{O}_{\mathcal{X}_{flat, fppf}})\) 的对象。那么 \(Lg_!K\) 满足下述性质：对 \(\mathcal{X}_{affine}\) 的任意态射 \(x \to x'\)，映射 \[R\Gamma(x', Lg_!K) \otimes_{\mathcal{O}(x')}^\mathbf{L} \mathcal{O}(x) \longrightarrow R\Gamma(x, Lg_!K)\] 是拟同构。

证明

由引理 07B9 的 (2)(c)，对象 \(Lg_!K\) 属于 \(D_{\textit{LQCoh}^{fbc}}(\mathcal{O}_\mathcal{X})\)。由此很容易看出，若 \(\mathcal{O}(x') \to \mathcal{O}(x)\) 是平坦环同态，则引理中显示的映射是同构；细节从略。

本段说明该问题对 étale 拓扑是局部的。设 \(x \to x'\) 是 \(\mathcal{X}_{affine}\) 的一般态射。设 \(\{x'_i \to x'\}\) 是 \(\mathcal{X}_{affine, \etale}\) 中的覆盖。令 \(x_i = x \times_{x'} x'_i\)，则 \(\{x_i \to x\}\) 也是 \(\mathcal{X}_{affine, \etale}\) 的覆盖。此时 \(\mathcal{O}(x') \to \prod \mathcal{O}(x'_i)\) 是忠实平坦 étale 环同态，并且 \[\prod \mathcal{O}(x_i) = \mathcal{O}(x) \otimes_{\mathcal{O}(x')} \left(\prod \mathcal{O}(x'_i)\right)\] 因此，一个我们略去的简单代数论证表明：只需对 \(\mathcal{X}_{affine}\) 中的每个态射 \(x_i \to x'_i\) 证明引理陈述中的结论。换言之，该问题在 étale 拓扑中是局部的。

选择概形 \(X\) 以及满的光滑态射 \(f : X \to \mathcal{X}\)。可以（按照我们的语言滥用）把 \(f\) 视为 \(\mathcal{X}\) 的对象；于是 \((\Sch/X)_{fppf} = \mathcal{X}/f\)，参见《叠上的层》第 075C 节。例如，由《叠上的层》引理 06XH，存在 étale 覆盖 \(\{x'_i \to x'\}\)，使得 \(x'_i : U'_i = p(x'_i) \to \mathcal{X}\) 通过 \(f\) 分解。由上一段的结果，可设 \(x \to x'\) 是 \((\textit{Aff}/X)_{fppf}\) 中某个态射 \(U \to U'\) 在函子 \((\Sch/X)_{fppf} \to \mathcal{X}\) 下的像。

此时我们看出，\(Lg_!K\) 在 \((\Sch/X)_{fppf}\) 上的限制等于 \(f^*Lg_!K = L(g')_!(f')^*K\)；这由引理 07AV 得出。这将我们约化到下一段讨论的情形。

设 \(\mathcal{X} = (\Sch/X)_{fppf}\)，且 \(x \to x'\) 对应于仿射概形态射 \(U \to U'\)。我们仍可在 \(U'\) 上 étale（或 Zariski）局部地工作，因而可设 \(U' \to X\) 通过 \(X\) 的某个仿射开集分解。这将我们约化到下一段讨论的情形。

设 \(\mathcal{X} = (\Sch/X)_{fppf}\)，其中 \(X = \Spec(R)\) 是仿射概形，并且 \(x \to x'\) 对应于仿射概形态射 \(U \to U'\)。令 \(M^\bullet\) 为表示 \(R\Gamma(X, K)\) 的 \(R\)-模复形。由《代数进阶》引理 06Y4 中的构造，可设 \(M^\bullet = \colim P_n^\bullet\)，其中每个 \(P_n^\bullet\) 都是自由 \(R\)-模的上有界复形。细节从略；另见《代数进阶》评注 09PB。考虑 \(X_{flat, fppf} = (\Sch/X)_{flat, fppf}\) 上由规则 \[U \longmapsto \Gamma(U, M^\bullet \otimes_R \mathcal{O}_U)\] 给出的模复形 \(M^\bullet_{flat, fppf}\)。由《下降》第 03DR 节中的讨论，这是层的复形。存在典范映射 \(M^\bullet_{flat, fppf} \to K\)；由证明开头的评注，该映射在 \(X_{flat, fppf}\) 的仿射对象上的截面上给出同构。由于 \(X_{flat, fppf}\) 的每个对象都有由仿射对象组成的覆盖，可知 \(M^\bullet_{flat, fppf}\) 与 \(K\) 一致。

令 \(M^\bullet_{fppf}\) 为 \(X_{fppf}\) 上由上述同一公式给出的模复形。回忆 \(Lg_!\mathcal{O} = g_!\mathcal{O} = \mathcal{O}\)。由于 \(Lg_!\) 是 \(g_!\) 的左导出函子，可得 \(Lg_!P_{n, flat, fppf}^\bullet = P_{n, fppf}^\bullet\)。由于函子 \(Lg_!\) 与同伦余极限交换（也可使用它在《site 上的上同调》引理 07AC 中的构造），并且 \(M^\bullet = \colim P_n^\bullet\)，可得 \(Lg_!M^\bullet_{flat, fppf} = M^\bullet_{fppf}\)。设 \(U = \Spec(A)\)、\(U' = \Spec(A')\)，并且 \(U \to U'\) 对应于环同态 \(A' \to A\)。由上可知 \[R\Gamma(U, Lg_!K) = M^\bullet \otimes_R A \quad\text{且}\quad R\Gamma(U', Lg_!K) = M^\bullet \otimes_R A'\] 由于 \(M^\bullet\) 是 \(R\)-模的 K-平坦复形，由张量积的传递性， \[R\Gamma(U', Lg_!K) \otimes_{A'}^\mathbf{L} A \longrightarrow R\Gamma(U, Lg_!K)\] 是所需的拟同构。

命题

设 \(\mathcal{X}\) 为代数叠。那么 \(\mathit{QC}(\mathcal{X})\) 典范等价于 \(D_\QCoh(\mathcal{O}_\mathcal{X})\)。

证明

由《叠上的层》引理 0H0X，沿比较态射 \(\epsilon : \mathcal{X}_{affine, fppf} \to \mathcal{X}_{affine}\) 的拉回将 \(\mathit{QC}(\mathcal{X})\) 与充满子范畴 \(Q_\mathcal{X} \subset D(\mathcal{X}_{affine, fppf}, \mathcal{O})\) 等同。利用《叠上的层》公式（0H0C）中的赋环拓扑斯等价，我们可以并将会把 \(Q_\mathcal{X}\) 视为 \(D(\mathcal{X}_{fppf}, \mathcal{O})\) 的充满子范畴。

类似地，由引理 07BA 和评注 0H11，可将 \(D_\QCoh(\mathcal{O}_\mathcal{X})\) 视为左可容许子范畴 \(D_{\textit{Parasitic} \cap \textit{LQCoh}^{fbc}}(\mathcal{O}_\mathcal{X})\) 在 \(D_{\textit{LQCoh}^{fbc}}(\mathcal{O}_\mathcal{X})\) 中的左正交 \(\mathcal{A}\)。

为完成证明，我们将说明：作为 \(D(\mathcal{X}_{fppf}, \mathcal{O})\) 的子范畴， \(Q_\mathcal{X}\) 等于 \(\mathcal{A}\)。

步骤 1：\(Q_\mathcal{X}\) 包含于 \(D_{\textit{LQCoh}^{fbc}}(\mathcal{O}_\mathcal{X})\)。 \(Q_\mathcal{X}\) 的对象 \(K\) 由下述性质刻画：将 \(K\) 视为 \(D(\mathcal{X}_{affine, fppf}, \mathcal{O})\) 的对象时， \(R\epsilon_*K\) 是 \(\mathit{QC}(\mathcal{X}_{affine}, \mathcal{O})\) 的对象。这又恰好意味着：对 \(\mathcal{X}_{affine}\) 的所有态射 \(x \to x'\)，映射 \[R\Gamma(x', K) \otimes_{\mathcal{O}(x')}^\mathbf{L} \mathcal{O}(x) \longrightarrow R\Gamma(x, K)\] 是同构；参见《site 上的上同调》引理 0GZS 陈述中的脚注。

现在，若 \(x' \to x\) 位于仿射概形之间的某个平坦态射之上，则这意味着 \[H^i(x', K) \otimes_{\mathcal{O}(x')} \mathcal{O}(x) \cong H^i(x, K)\] 这清楚地意味着 \(H^i(K)\) 是 étale 拓扑的层（《叠上的层》引理 0H0E），并且具有平坦基变换性质（略去一个小细节）。

步骤 2：\(Q_\mathcal{X}\) 包含于 \(\mathcal{A}\)。为证明这一点，只需说明：对 \(Q_\mathcal{X}\) 中的 \(K\) 以及 \(D_{\textit{Parasitic} \cap \textit{LQCoh}^{fbc}}(\mathcal{O}_\mathcal{X})\) 中的所有 \(P\)，都有 \(\Hom(K, P) = 0\)。考虑对象 \[H = R\SheafHom_{\mathcal{O}_\mathcal{X}}(K, P)\] 设 \(x\) 为 \(\mathcal{X}\) 中位于仿射概形 \(U = p(x)\) 之上的对象。由《site 上的上同调》引理 08JA，下式中的第一个等式成立： \[R\Gamma(x, H) = R\Hom_{\mathcal{O}_\mathcal{X}}(K|_{\mathcal{X}/x}, P|_{\mathcal{X}/x}) = R\Hom_{\mathcal{O}}(K|_{\mathcal{X}_{affine}/x}, P|_{\mathcal{X}_{affine}/x})\] 第二个等式来自下述事实： site \(\mathcal{X}/x\) 的拓扑斯等价于 site \(\mathcal{X}_{affine}/x\) 的拓扑斯；参见《叠上的层》公式（0H0C）。可对某个 \(\mathit{QC}(\mathcal{O})\) 中的 \(N\) 写 \(K = \epsilon^*N\)。于是由《site 上的上同调》引理 0H0T，有 \[R\Gamma(x, H) = R\Hom_{D(\mathcal{O}(x))}(R\Gamma(x, N), R\Gamma(x, P))\] 由引理 0H13，若 \(U \to \mathcal{X}\) 平坦，则 \(R\Gamma(x, P) = 0\)，因而在相同假设下 \(R\Gamma(x, H) = 0\)。由引理 0H14，可得 \(R\Gamma(\mathcal{X}, H) = 0\)，从而 \(\Hom(K, P) = 0\)。

步骤 3：\(\mathcal{A}\) 包含于 \(Q_\mathcal{X}\)。设 \(K\) 是 \(\mathcal{A}\) 的对象，并设 \(x \to x'\) 为 \(\mathcal{X}_{affine}\) 的态射。需要证明 \[R\Gamma(x', K) \otimes_{\mathcal{O}(x')}^\mathbf{L} \mathcal{O}(x) \longrightarrow R\Gamma(x, K)\] 是拟同构；参见《site 上的上同调》引理 0GZS 陈述中的脚注。由引理 07BA 的证明和评注 0H11 中的讨论可知， \(\mathcal{A}\) 是 \(Lg_!\) 在 \(D_\QCoh(\mathcal{O}_{\mathcal{X}_{flat, fppf}})\) 上的限制的像。因此可设对某个 \(D_\QCoh(\mathcal{O}_{\mathcal{X}_{flat, fppf}})\) 中的 \(M\)，有 \(K = Lg_!M\)。

于是所需等式由引理 0H15 得出。

此定义不同于文献中的定义；参见 [olsson_sheaves, 6.3]，但由引理 07B9，它与该定义一致。↩︎