形变问题

引言

本章旨在具体研究《形式形变理论》《形变理论》和《余切复形》三章中 发展的一般理论的若干例子。

Schlessinger 的论文 [Sch] 第 3 节也讨论了一些例子。

形变问题的例子

此处应加入的内容如下：

1. 概形的形变：

   1. Rim–Schlessinger 条件；

   2. 切空间的计算；

   3. 无穷小形变的计算；

   4. 仿射超曲面的形变范畴。

2. 层的形变（例如固定 \(X/S\)、\(S\) 的一个有限型点 \(s\)，以及 \(X_s\) 上的拟凝聚层 \(\mathcal{F}_s\)）；

3. 代数空间的形变（与概形的形变非常相似，或许甚至更容易？）；

4. 映射的形变（例如概形之间的态射；可以固定靶与源中的一个或两个）；

5. 此处还需补充。

一般纲要

本节列出讨论下面几个例子时所遵循的步骤。

步骤 I。在每一节中，我们固定一个诺特环 \(\Lambda\)，并固定一个有限环同态 \(\Lambda \to k\)，其中 \(k\) 是域。照例，令 \(\mathcal{C}_\Lambda = \mathcal{C}_{\Lambda, k}\) 为基范畴，参见 《形式形变理论》定义 06GC。

步骤 II。在每一节中，我们定义一个在 \(\mathcal{C}_\Lambda\) 上 以群胚为纤维余纤维化的范畴 \(\mathcal{F}\)。有时，我们转而考虑函子 \(F : \mathcal{C}_\Lambda \to \textit{Sets}\)。

步骤 III。我们说明 \(\mathcal{F}\) 在何种程度上满足《形式形变理论》第 06J1 节所讨论的 Rim–Schlessinger 条件 (RS)。类似地，我们可以讨论 \(\mathcal{F}\) 在何种程度上满足 (S1) 与 (S2)，或 \(F\) 在何种程度上满足相应的 Schlessinger 条件 (H1) 与 (H2)。参见《形式形变理论》第 06HV 节。

步骤 IV。设 \(x_0\) 为 \(\mathcal{F}(k)\) 的对象，换言之，它是 \(\mathcal{F}\) 在 \(k\) 上的对象。本章使用记号 \[\Deformationcategory_{x_0} = \mathcal{F}_{x_0}\] 表示《形式形变理论》注 06GU 中构造的预形变范畴。 若 \(\mathcal{F}\) 满足 (RS)，则 \(\Deformationcategory_{x_0}\) 是形变范畴 （《形式形变理论》引理 06JC）， 并满足 (S1) 与 (S2)（《形式形变理论》引理 06J7）。若满足 (S1) 与 (S2)， 则一个重要问题是切空间 \[T\Deformationcategory_{x_0} = T_{x_0}\mathcal{F} = T\mathcal{F}_{x_0}\] 是否有限维（参见《形式形变理论》注 06IK 与定义 06IG）。有限维性保证 \(\Deformationcategory_{x_0}\) 具有通用形式对象（《形式形变理论》引理 06IW）。

步骤 V。若 \(\mathcal{F}\) 通过步骤 IV，则下一个问题是 \(k\)-向量空间 \[\text{Inf}(\Deformationcategory_{x_0}) = \text{Inf}_{x_0}(\mathcal{F})\] （即 \(x_0\) 的无穷小自同构空间）是否有限维。若是，则 \(\Deformationcategory_{x_0}\) 可由 \(\mathcal{C}_\Lambda\) 上函子范畴中的 光滑 pro-可表示群胚给出表示，参见《形式形变理论》定理 06L8。

有限投射模

本节只是热身。有限投射模当然不应有任何“模空间”。

例

如下定义范畴 \(\mathcal{F}\)：

1. 对象是二元组 \((A,M)\)，其中 \(A\) 是 \(\mathcal{C}_\Lambda\) 的对象， \(M\) 是有限投射 \(A\)-模；

2. 态射 \((f,g):(B,N)\to(A,M)\) 由 \(\mathcal{C}_\Lambda\) 中的态射 \(f:B\to A\) 与映射 \(g:N\to M\) 组成，其中该映射是 \(f\)-线性的，并诱导同构 \(N\otimes_{B,f}A\cong M\)。

函子 \(p:\mathcal{F}\to\mathcal{C}_\Lambda\) 把 \((A,M)\) 送到 \(A\)， 把 \((f,g)\) 送到 \(f\)。显然，\(p\) 以群胚为纤维余纤维化。 给定有限维 \(k\)-向量空间 \(V\)，令 \(x_0=(k,V)\) 为 \(\mathcal{F}(k)\) 的相应对象。记 \[\Deformationcategory_V = \mathcal{F}_{x_0}\]

由于局部环上的每个有限投射模都是有限自由模（《代数》引理 00NX），可见 \[\begin{matrix} \mathcal{F}(A)\text{ 的对象的} \\ \text{同构类} \end{matrix} = \coprod\nolimits_{n \geq 0} \{*\}\] 尽管这意味着 \(\mathcal{F}\) 的形变理论本质上是平凡的，我们仍依照 第 0DVM 节所列步骤完整推导，作为一个简单例子。

引理

例 0D3I 满足 Rim–Schlessinger 条件 (RS)。特别地，对任意有限维 \(k\)-向量空间 \(V\)， \(\Deformationcategory_V\) 是形变范畴。

证明

设 \(A_1\to A\) 与 \(A_2\to A\) 是 \(\mathcal{C}_\Lambda\) 的态射， 并假设 \(A_2\to A\) 满射。由《形式形变理论》引理 06J5，只须证明函子 \(\mathcal{F}(A_1 \times_A A_2) \to \mathcal{F}(A_1) \times_{\mathcal{F}(A)} \mathcal{F}(A_2)\) 是范畴等价。

因此，须证明 \(A_1\times_AA_2\) 上的有限投射模范畴，等价于 \(A_1\) 与 \(A_2\) 上的有限投射模范畴在 \(A\) 上有限投射模范畴之上的 纤维积。这是《更多代数》引理 0D2J 的特殊情形。回忆，其逆函子把三元组 \((M_1,M_2,\varphi)\) 送到有限投射 \(A_1\times_AA_2\)-模 \(M_1\times_\varphi M_2\)；这里 \(M_1\) 是有限投射 \(A_1\)-模，\(M_2\) 是有限投射 \(A_2\)-模，而 \(\varphi:M_1\otimes_{A_1}A\to M_2\otimes_{A_2}A\) 是 \(A\)-模同构。

引理

在例 0D3I 中，设 \(V\) 为有限维 \(k\)-向量空间。则 \[T\Deformationcategory_V = (0) \quad\text{且}\quad \text{Inf}(\Deformationcategory_V) = \text{End}_k(V)\] 均为有限维。

证明

令 \(\mathcal{F}\) 如例 0D3I，并置 \(x_0=(k,V)\in\Ob(\mathcal{F}(k))\)。回忆， \(T\Deformationcategory_V=T_{x_0}\mathcal{F}\) 是二元组 \((x,\alpha)\) 的同构类之集；其中 \(x\) 是 \(\mathcal{F}\) 在对偶数 \(k[\epsilon]\) 上的对象， \(\alpha:x\to x_0\) 是 \(\mathcal{F}\) 中位于 \(k[\epsilon]\to k\) 上方的态射。

在同构意义下，存在唯一的二元组 \((M,\alpha)\)，其中 \(M\) 是 \(k[\epsilon]\) 上的有限投射模，\(\alpha:M\to V\) 是诱导同构 \(M\otimes_{k[\epsilon]}k\to V\) 的 \(k[\epsilon]\)-线性映射。 例如，若 \(V=k^{\oplus n}\)，则取 \(M=k[\epsilon]^{\oplus n}\)， 并令 \(\alpha\) 为显然的映射。

类似地，\(\text{Inf}(\Deformationcategory_V)=\text{Inf}_{x_0}(\mathcal{F})\) 是 \(x_0\) 在 \(k[\epsilon]\) 上的平凡形变 \(x'_0\) 的自同构之集。 详见《形式形变理论》定义 06JQ。

给定第二段中的 \((M,\alpha)\)，可见 \(\text{Inf}_{x_0}(\mathcal{F})\) 的元素是满足 \(\gamma\bmod\epsilon=\text{id}\) 的自同构 \(\gamma:M\to M\)。于是可写成 \(\gamma=\text{id}_M+\epsilon\psi\)，其中 \(\psi:M/\epsilon M\to M/\epsilon M\) 是 \(k\)-线性的。利用 \(\alpha\)， 可将 \(\psi\) 看作 \(\text{End}_k(V)\) 的元素，证明完毕。

群表示

表示的形变理论可能非常有趣。

例

设 \(\Gamma\) 为群。如下定义范畴 \(\mathcal{F}\)：

1. 对象是三元组 \((A,M,\rho)\)，其中 \(A\) 是 \(\mathcal{C}_\Lambda\) 的对象，\(M\) 是有限投射 \(A\)-模，且 \(\rho:\Gamma\to\text{GL}_A(M)\) 是同态；

2. 态射 \((f,g):(B,N,\tau)\to(A,M,\rho)\) 由 \(\mathcal{C}_\Lambda\) 中的态射 \(f:B\to A\) 与映射 \(g:N\to M\) 组成，其中该映射是 \(f\)-线性且 \(\Gamma\)-等变的，并诱导同构 \(N\otimes_{B,f}A\cong M\)。

函子 \(p:\mathcal{F}\to\mathcal{C}_\Lambda\) 把 \((A,M,\rho)\) 送到 \(A\)， 把 \((f,g)\) 送到 \(f\)。显然，\(p\) 以群胚为纤维余纤维化。 给定有限维 \(k\)-向量空间 \(V\) 与表示 \(\rho_0:\Gamma\to\text{GL}_k(V)\)，令 \(x_0=(k,V,\rho_0)\) 为 \(\mathcal{F}(k)\) 的相应对象。记 \[\Deformationcategory_{V, \rho_0} = \mathcal{F}_{x_0}\]

由于局部环上的每个有限投射模都是有限自由模（《代数》引理 00NX），可见 \[\begin{matrix} \mathcal{F}(A)\text{ 的对象的} \\ \text{同构类} \end{matrix} = \coprod\nolimits_{n \geq 0}\quad \begin{matrix} \text{同态 }\rho:\Gamma\to\text{GL}_n(A)\text{ 的}\\ \text{GL}_n(A)\text{-共轭类} \end{matrix}\] 这已经比第 0DVN 节的讨论更有趣。

引理

例 0D3J 满足 Rim–Schlessinger 条件 (RS)。 特别地，对任意有限维表示 \(\rho_0:\Gamma\to\text{GL}_k(V)\)， \(\Deformationcategory_{V,\rho_0}\) 是形变范畴。

证明

设 \(A_1\to A\) 与 \(A_2\to A\) 是 \(\mathcal{C}_\Lambda\) 的态射， 并假设 \(A_2\to A\) 满射。由《形式形变理论》引理 06J5，只须证明函子 \(\mathcal{F}(A_1 \times_A A_2) \to \mathcal{F}(A_1) \times_{\mathcal{F}(A)} \mathcal{F}(A_2)\) 是范畴等价。

考虑范畴 \(\mathcal{F}(A_1)\times_{\mathcal{F}(A)}\mathcal{F}(A_2)\) 的对象 \[((A_1, M_1, \rho_1), (A_2, M_2, \rho_2), (\text{id}_A, \varphi))\] 。如引理 0DVP 的证明所示， 可以考虑有限投射 \(A_1\times_AA_2\)-模 \(M_1\times_\varphi M_2\)。 由于 \(\varphi\) 与给定作用相容，得到 \[\rho_1 \times \rho_2 : \Gamma \longrightarrow \text{GL}_{A_1 \times_A A_2}(M_1 \times_\varphi M_2)\] 于是 \((M_1\times_\varphi M_2,\rho_1\times\rho_2)\) 是 \(\mathcal{F}(A_1\times_AA_2)\) 的对象。此构造给出上述函子的拟逆。

引理

在例 0D3J 中，设 \(\rho_0:\Gamma\to\text{GL}_k(V)\) 为有限维表示。则 \[T\Deformationcategory_{V, \rho_0} = \Ext^1_{k[\Gamma]}(V, V) = H^1(\Gamma, \text{End}_k(V)) \quad\text{且}\quad \text{Inf}(\Deformationcategory_{V, \rho_0}) = H^0(\Gamma, \text{End}_k(V))\] 因此，\(\text{Inf}(\Deformationcategory_{V,\rho_0})\) 总是有限维； 若 \(\Gamma\) 有限生成，则 \(T\Deformationcategory_{V,\rho_0}\) 也是有限维。

证明

先处理无穷小自同构。令 \(M=V\otimes_k k[\epsilon]\)，并赋予其诱导作用 \(\rho_0':\Gamma\to\text{GL}_n(M)\)。无穷小自同构，即 \(\text{Inf}(\Deformationcategory_{V,\rho_0})\) 的元素，由自同构 \(\gamma = \text{id} + \epsilon \psi : M \to M\) 给出，正如引理 0DVQ 的证明； 此外，\(\psi\) 必须与 \(\Gamma\) 的作用（由 \(\rho_0\) 给出）交换。因此 \[\text{Inf}(\Deformationcategory_{V, \rho_0}) = H^0(\Gamma, \text{End}_k(V))\] ，正如引理所述。

其次，设 \((k[\epsilon],M,\rho)\) 为 \(\mathcal{F}\) 在 \(k[\epsilon]\) 上的对象，并设 \(\alpha:M\to V\) 为诱导同构 \(M/\epsilon M\to V\) 的 \(\Gamma\)-等变映射。由于 \(M\) 是自由 \(k[\epsilon]\)-模，得到 \(\Gamma\)-模的扩张 \[0 \to V \to M \xrightarrow{\alpha} V \to 0\] 左端映射的具体构造从略。反之，若给定如上的 \(\Gamma\)-模扩张， 便可据此在 \(M\) 上赋予 \(k[\epsilon]\)-模结构，并得到 \(\mathcal{F}(k[\epsilon])\) 的对象以及如上的映射 \(\alpha\)。因此 \[T\Deformationcategory_{V, \rho_0} = \Ext^1_{k[\Gamma]}(V, V)\] ，正如引理所述。由《Étale 上同调》引理 0DVE，它等于 \(H^1(\Gamma,\text{End}_k(V))\)。

关于维数的断言来自《Étale 上同调》引理 0DVF。

在例 0D3J 中，若 \(\Gamma\) 有限生成，且 \((V,\rho_0)\) 是 \(\Gamma\) 在 \(k\) 上的有限维表示，则 \(\Deformationcategory_{V,\rho_0}\) 可由 \(\mathcal{C}_\Lambda\) 上 函子范畴中的光滑 pro-可表示群胚给出表示，因而具有一个（极小）通用 形式对象。这来自引理 0DVS、 0DVT 以及第 0DVM 节的一般讨论。

引理

在例 0D3J 中，假设 \(\Gamma\) 有限生成。 设 \(\rho_0:\Gamma\to\text{GL}_k(V)\) 为有限维表示，并假设 \(\Lambda\) 是剩余域为 \(k\) 的完备局部环（经典情形）。则函子 \[F : \mathcal{C}_\Lambda \longrightarrow \textit{Sets},\quad A \longmapsto \Ob(\Deformationcategory_{V, \rho_0}(A))/\cong\] （它取对象的同构类）具有包络。若 \(H^0(\Gamma,\text{End}_k(V))=k\)，则 \(F\) 是 pro-可表示的。

证明

包络的存在性来自引理 0DVS、 0DVT、《形式形变理论》引理 06J7 与注 06IZ。

假设 \(H^0(\Gamma,\text{End}_k(V))=k\)。为证明 \(F\) 是 pro-可表示的， 只须证明 \(F\) 是形变函子，参见《形式形变理论》定理 06JM。 换言之，须证明 \(F\) 满足 (RS)。为此可使用《形式形变理论》引理 06J8 的判据。 若能证明 \[A \cdot \text{id}_M = \text{End}_{A[\Gamma]}(M)\] 对 \(\mathcal{F}\) 中每个满足 \(M\otimes_Ak\) 作为 \(\Gamma\)-表示同构于 \(V\) 的对象 \((A,M,\rho)\) 都成立，便可得到所需的自同构群满射性。 由于左端包含于右端，只须证明 \(\text{length}_A \text{End}_{A[\Gamma]}(M) \leq \text{length}_A A\). 选取两两不同的理想 \((0) = I_n \subset \ldots \subset I_1 \subset A\) ，其中 \(n=\text{length}(A)\)。相应地过滤 \(M\)，可见只须证明 \(\Hom_{A[\Gamma]}(M,I_tM/I_{t+1}M)\) 的长度为 \(1\)。由于 \(I_tM/I_{t+1}M\cong M\otimes_Ak\)，且任意 \(A[\Gamma]\)-模映射 \(M\to M\otimes_Ak\) 都唯一地通过商映射 \(M\to M\otimes_Ak\) 分解， 从而给出 \[\text{End}_{A[\Gamma]}(M \otimes_A k) = \text{End}_{k[\Gamma]}(V) = k\] ，结论即得。

连续表示

一个非常有趣的做法是选取无限 Galois 群，研究其表示的形变理论， 参见 [Mazur-deforming]。

例

设 \(\Gamma\) 为拓扑群。如下定义范畴 \(\mathcal{F}\)：

1. 对象是三元组 \((A,M,\rho)\)，其中 \(A\) 是 \(\mathcal{C}_\Lambda\) 的对象，\(M\) 是有限投射 \(A\)-模，且 \(\rho:\Gamma\to\text{GL}_A(M)\) 是连续同态；这里 \(\text{GL}_A(M)\) 赋予离散拓扑¹；

2. 态射 \((f,g):(B,N,\tau)\to(A,M,\rho)\) 由 \(\mathcal{C}_\Lambda\) 中的态射 \(f:B\to A\) 与映射 \(g:N\to M\) 组成，其中该映射是 \(f\)-线性且 \(\Gamma\)-等变的，并诱导同构 \(N\otimes_{B,f}A\cong M\)。

函子 \(p:\mathcal{F}\to\mathcal{C}_\Lambda\) 把 \((A,M,\rho)\) 送到 \(A\)， 把 \((f,g)\) 送到 \(f\)。显然，\(p\) 以群胚为纤维余纤维化。 给定有限维 \(k\)-向量空间 \(V\) 与连续表示 \(\rho_0:\Gamma\to\text{GL}_k(V)\)，令 \(x_0=(k,V,\rho_0)\) 为 \(\mathcal{F}(k)\) 的相应对象。记 \[\Deformationcategory_{V, \rho_0} = \mathcal{F}_{x_0}\]

由于局部环上的每个有限投射模都是有限自由模（《代数》引理 00NX），可见 \[\begin{matrix} \mathcal{F}(A)\text{ 的对象的} \\ \text{同构类} \end{matrix} = \coprod\nolimits_{n \geq 0}\quad \begin{matrix} \text{连续同态 }\rho:\Gamma\to\text{GL}_n(A)\text{ 的}\\ \text{GL}_n(A)\text{-共轭类} \end{matrix}\]

引理

例 0D3K 满足 Rim–Schlessinger 条件 (RS)。特别地，对任意有限维连续表示 \(\rho_0:\Gamma\to\text{GL}_k(V)\)， \(\Deformationcategory_{V,\rho_0}\) 是形变范畴。

证明

证明与引理 0DVS 的证明完全相同。

引理

在例 0D3K 中，设 \(\rho_0:\Gamma\to\text{GL}_k(V)\) 为有限维连续表示。则 \[T\Deformationcategory_{V, \rho_0} = H^1(\Gamma, \text{End}_k(V)) \quad\text{且}\quad \text{Inf}(\Deformationcategory_{V, \rho_0}) = H^0(\Gamma, \text{End}_k(V))\] 因此，\(\text{Inf}(\Deformationcategory_{V,\rho_0})\) 总是有限维； 若 \(\Gamma\) 拓扑有限生成，则 \(T\Deformationcategory_{V,\rho_0}\) 也是有限维。

证明

证明与引理 0DVT 的证明完全相同。

在例 0D3K 中，若 \(\Gamma\) 拓扑有限生成， 且 \((V,\rho_0)\) 是 \(\Gamma\) 在 \(k\) 上的有限维连续表示，则 \(\Deformationcategory_{V,\rho_0}\) 可由 \(\mathcal{C}_\Lambda\) 上 函子范畴中的光滑 pro-可表示群胚给出表示，因而具有一个（极小）通用 形式对象。这来自引理 0DVV、 0DVW 以及第 0DVM 节的一般讨论。

引理

在例 0D3K 中，假设 \(\Gamma\) 拓扑有限生成。设 \(\rho_0:\Gamma\to\text{GL}_k(V)\) 为有限维表示， 并假设 \(\Lambda\) 是剩余域为 \(k\) 的完备局部环（经典情形）。则函子 \[F : \mathcal{C}_\Lambda \longrightarrow \textit{Sets},\quad A \longmapsto \Ob(\Deformationcategory_{V, \rho_0}(A))/\cong\] （它取对象的同构类）具有包络。若 \(H^0(\Gamma,\text{End}_k(V))=k\)，则 \(F\) 是 pro-可表示的。

证明

证明与引理 0ET1 的证明完全相同。

分次代数

在证明极化固有概形之叠是代数叠时，我们将使用本节的例子。因此， 我们考虑齐次分量均为有限投射模的交换分次代数（有时称为“局部有限”）。

例

如下定义范畴 \(\mathcal{F}\)：

1. 对象是二元组 \((A,P)\)，其中 \(A\) 是 \(\mathcal{C}_\Lambda\) 的对象， \(P\) 是分次 \(A\)-代数，并且对所有 \(d\geq0\)，\(P_d\) 都是有限投射 \(A\)-模；

2. 态射 \((f,g):(B,Q)\to(A,P)\) 由 \(\mathcal{C}_\Lambda\) 中的态射 \(f:B\to A\) 与映射 \(g:Q\to P\) 组成，其中该映射是 \(f\)-线性的， 并诱导同构 \(Q\otimes_{B,f}A\cong P\)。

函子 \(p:\mathcal{F}\to\mathcal{C}_\Lambda\) 把 \((A,P)\) 送到 \(A\)， 把 \((f,g)\) 送到 \(f\)。显然，\(p\) 以群胚为纤维余纤维化。 给定满足对所有 \(d\geq0\) 均有 \(\dim_k(P_d)<\infty\) 的分次 \(k\)-代数 \(P\)，令 \(x_0=(k,P)\) 为 \(\mathcal{F}(k)\) 的相应对象。记 \[\Deformationcategory_P = \mathcal{F}_{x_0}\]

引理

例 0D3L 满足 Rim–Schlessinger 条件 (RS)。 特别地，对任意分次 \(k\)-代数 \(P\)，\(\Deformationcategory_P\) 是形变范畴。

证明

设 \(A_1\to A\) 与 \(A_2\to A\) 是 \(\mathcal{C}_\Lambda\) 的态射， 并假设 \(A_2\to A\) 满射。由《形式形变理论》引理 06J5，只须证明函子 \(\mathcal{F}(A_1 \times_A A_2) \to \mathcal{F}(A_1) \times_{\mathcal{F}(A)} \mathcal{F}(A_2)\) 是范畴等价。

考虑范畴 \(\mathcal{F}(A_1)\times_{\mathcal{F}(A)}\mathcal{F}(A_2)\) 的对象 \[((A_1, P_1), (A_2, P_2), (\text{id}_A, \varphi))\] 。考虑 \(P_1\times_\varphi P_2\)。由于 \(\varphi : P_1 \otimes_{A_1} A \to P_2 \otimes_{A_2} A\) 是分次代数同构，可见 \(P_1\times_\varphi P_2\) 的各分次分量都是有限投射 \(A_1\times_AA_2\)-模，参见引理 0DVP 的证明。因此， \(P_1\times_\varphi P_2\) 是 \(\mathcal{F}(A_1\times_AA_2)\) 的对象。 此构造给出上述函子的拟逆，证明完毕。

引理

在例 0D3L 中，设 \(P\) 为分次 \(k\)-代数。则 \[T\Deformationcategory_P \quad\text{且}\quad \text{Inf}(\Deformationcategory_P) = \text{Der}_k(P, P)\] 若 \(P\) 在 \(k\) 上有限生成，二者均为有限维。

证明

先处理无穷小自同构。令 \(Q=P\otimes_k k[\epsilon]\)。 \(\text{Inf}(\Deformationcategory_P)\) 的元素由自同构 \(\gamma = \text{id} + \epsilon \delta : Q \to Q\) 给出，其中 \(\delta:P\to P\)。\(\gamma\) 是分次的，蕴含 \(\delta\) 是次数为 \(0\) 的齐次映射；\(\gamma\) 是 \(k\)-线性的，蕴含 \(\delta\) 是 \(k\)-线性的；\(\gamma\) 保乘法，蕴含 \(\delta\) 是 \(k\)-导子。 反之，给定次数为 \(0\) 的齐次 \(k\)-导子 \(\delta:P\to P\)，便得到如上的 自同构 \(\gamma=\text{id}+\epsilon\delta\)。因此 \[\text{Inf}(\Deformationcategory_P) = \text{Der}_k(P, P)\] ，正如引理所述。显然，若 \(P\) 由 \(P_i\)（\(0\leq i\leq N\)）中的元素生成， 则 \(\delta\) 由线性映射 \(\delta_i:P_i\to P_i\)（\(0\leq i\leq N\)）确定， 因而 \[\dim_k \text{Der}_k(P, P) < \infty\] ，如所需。

为完成引理的证明，我们证明形变空间是有限维的。为此选取分次 \(k\)-代数的呈示 \[k[X_1, \ldots, X_n]/(F_1, \ldots, F_m) \longrightarrow P\] ，其中 \(\deg(X_i)=d_i\)，且 \(F_j\) 是次数为 \(e_j\) 的齐次元。 设 \(Q\) 为每一次数上有限自由的任意分次 \(k[\epsilon]\)-代数，并给定同构 \(\alpha:Q/\epsilon Q\to P\)，使 \((Q,\alpha)\) 定义 \(T\Deformationcategory_P\) 的元素。选取次数为 \(d_i\) 的齐次元 \(q_i\in Q\)，使其映到 \(X_i\) 在 \(P\) 中的像。于是得到 \[k[\epsilon][X_1, \ldots, X_n] \longrightarrow Q,\quad X_i \longmapsto q_i\] 。由于 \(P=Q/\epsilon Q\)，Nakayama 引理表明此映射满射。 一个简短的追图表明，可以选取次数为 \(e_j\) 的齐次元 \(F_{\epsilon,j}\in k[\epsilon][X_1,\ldots,X_n]\)，使其在 \(Q\) 中映到零， 并在 \(k[X_1,\ldots,X_n]\) 中映到 \(F_j\)。于是 \[k[\epsilon][X_1, \ldots, X_n]/(F_{\epsilon, 1}, \ldots, F_{\epsilon, m}) \longrightarrow Q\] 由 \(Q\) 在 \(k[\epsilon]\) 上的平坦性，这是 \(Q\) 的一个呈示。写成 \[F_{\epsilon, j} = F_j + \epsilon G_j\] 向量 \((G_1,\ldots,G_m)\) 存在某些不定性。首先，改变 \(F_{\epsilon,j}\) 的选择，可以用核 映射 \(k[X_1,\ldots,X_n]\to P\) 的核中次数为 \(e_j\) 的任意元素修改 \(G_j\)。 因此，我们不记录 \((G_1,\ldots,G_m)\) 本身，而记录元素 \[(g_1, \ldots, g_m) \in P_{e_1} \oplus \ldots \oplus P_{e_m}\] ，其中 \(g_j\) 是 \(G_j\) 在 \(P_{e_j}\) 中的像。此外，若把 \(q_i\) 的选择改为 \(q_i+\epsilon p_i\)，其中 \(p_i\) 的次数为 \(d_i\)，则一个从略的计算表明， \(g_j\) 变为 \[g_j^{new} = g_j - \sum\nolimits_{i = 1}^n p_i \partial F_j / \partial X_i\] 由此可见，\(Q\) 的同构类由向量 \((G_1,\ldots,G_m)\) 在 \(k\)-向量空间 \[W = \Coker(P_{d_1} \oplus \ldots \oplus P_{d_n} \xrightarrow{(\frac{\partial F_j}{\partial X_i})} P_{e_1} \oplus \ldots \oplus P_{e_m})\] 中的像确定。这样便得到单射 \[T\Deformationcategory_P \longrightarrow W\] 显然 \(W\) 有限维，故引理成立。

在例 0D3L 中，若 \(P\) 是有限生成分次 \(k\)-代数，则 \(\Deformationcategory_P\) 可由 \(\mathcal{C}_\Lambda\) 上 函子范畴中的光滑 pro-可表示群胚给出表示，因而具有一个（极小）通用 形式对象。这来自引理 0DVY、 0DVZ 以及第 0DVM 节的一般讨论。

引理

在例 0D3L 中，假设 \(P\) 是有限生成分次 \(k\)-代数，并假设 \(\Lambda\) 是剩余域为 \(k\) 的完备局部环（经典情形）。 则函子 \[F : \mathcal{C}_\Lambda \longrightarrow \textit{Sets},\quad A \longmapsto \Ob(\Deformationcategory_P(A))/\cong\] （它取对象的同构类）具有包络。

证明

这立即来自引理 0DVY、 0DVZ、《形式形变理论》引理 06J7 与注 06IZ。

环

环的形变理论与仿射概形的形变理论相同。对环和概形而言，我们所说的 形变都是指平坦形变。

例

如下定义范畴 \(\mathcal{F}\)：

1. 对象是二元组 \((A,P)\)，其中 \(A\) 是 \(\mathcal{C}_\Lambda\) 的对象， \(P\) 是平坦 \(A\)-代数；

2. 态射 \((f,g):(B,Q)\to(A,P)\) 由 \(\mathcal{C}_\Lambda\) 中的态射 \(f:B\to A\) 与映射 \(g:Q\to P\) 组成，其中该映射是 \(f\)-线性的， 并诱导同构 \(Q\otimes_{B,f}A\cong P\)。

函子 \(p:\mathcal{F}\to\mathcal{C}_\Lambda\) 把 \((A,P)\) 送到 \(A\)， 把 \((f,g)\) 送到 \(f\)。显然，\(p\) 以群胚为纤维余纤维化。 给定 \(k\)-代数 \(P\)，令 \(x_0=(k,P)\) 为 \(\mathcal{F}(k)\) 的相应对象。记 \[\Deformationcategory_P = \mathcal{F}_{x_0}\]

引理

例 0DY1 满足 Rim–Schlessinger 条件 (RS)。特别地， 对任意 \(k\)-代数 \(P\)，\(\Deformationcategory_P\) 是形变范畴。

证明

设 \(A_1\to A\) 与 \(A_2\to A\) 是 \(\mathcal{C}_\Lambda\) 的态射， 并假设 \(A_2\to A\) 满射。由《形式形变理论》引理 06J5，只须证明函子 \(\mathcal{F}(A_1 \times_A A_2) \to \mathcal{F}(A_1) \times_{\mathcal{F}(A)} \mathcal{F}(A_2)\) 是范畴等价。这是《更多代数》引理 08KQ 的特殊情形。

引理

在例 0DY1 中，设 \(P\) 为 \(k\)-代数。则 \[T\Deformationcategory_P = \text{Ext}^1_P(\NL_{P/k}, P) \quad\text{且}\quad \text{Inf}(\Deformationcategory_P) = \text{Der}_k(P, P)\]

证明

回忆，\(\text{Inf}(\Deformationcategory_P)\) 是 \(P\) 在 \(k[\epsilon]\) 上的平凡形变 \(P[\epsilon]=P\otimes_k k[\epsilon]\) 中模 \(\epsilon\) 等于恒等的自同构之集。由《形变理论》引理 08S5，它等于 \(\Hom_P(\Omega_{P/k},P)\)； 再由《代数》引理 00RO，后者等于 \(\text{Der}_k(P,P)\)。

回忆，\(T\Deformationcategory_P\) 是 \(P\) 在 \(k[\epsilon]\) 上的平坦形变 \(Q\) 的同构类之集；更确切地说，它是 \(\Deformationcategory_P(k[\epsilon])\) 的同构类之集。再回忆，满足 \(Q/\epsilon Q=P\) 的 \(k[\epsilon]\)-代数 \(Q\) 在 \(k[\epsilon]\) 上平坦， 当且仅当 \[0 \to P \xrightarrow{\epsilon} Q \to P \to 0\] 正合。这在《更多态射》引理 063Y 中得到证明； 更一般的结果见《形变理论》引理 08LI。 因此可应用《形变理论》引理 08S7，得到这类形变的 同构类之集等于 \(\text{Ext}^1_P(\NL_{P/k},P)\)。

引理

在例 0DY1 中，设 \(P\) 为光滑 \(k\)-代数。则 \(T\Deformationcategory_P=(0)\)。

证明

由引理 0DY3，须证明 \(\text{Ext}^1_P(\NL_{P/k},P)=(0)\)。由于 \(k\to P\) 光滑， \(\NL_{P/k}\) 拟同构于由置于次数 \(0\) 的有限投射 \(P\)-模组成的复形。

引理

在引理 0DY3 中，若 \(P\) 是有限型 \(k\)-代数，则

1. \(\text{Inf}(\Deformationcategory_P)\) 有限维，当且仅当 \(\dim(P)=0\)；

2. 若 \(\Spec(P)\to\Spec(k)\) 除有限多个点外均光滑，则 \(T\Deformationcategory_P\) 有限维。

证明

证明 (1)。把 \(\text{Der}_k(P,P)\) 看作 \(P\)-模。若它在 \(k\) 上有限维， 则作为 \(P\)-模具有有限长度，因而其支集包含于 \(\Spec(P)\) 的有限多个闭点 （《代数》引理 00J3）。由于 \(\text{Der}_k(P,P)=\Hom_P(\Omega_{P/k},P)\)，可见 \(\text{Der}_k(P, P)_\mathfrak p = \text{Der}_k(P_\mathfrak p, P_\mathfrak p)\) 对任意素理想 \(\mathfrak p\subset P\) 都成立（这里使用《代数》引理 00RT, 00RY 以及 0583）。设 \(\mathfrak p\) 为 \(P\) 的极小素理想，对应于维数 \(d>0\) 的不可约分支。那么 \(P_\mathfrak p\) 是本质有限型于 \(k\) 的 Artin 局部环，具有剩余域；并且， 例如由《代数》引理 00TT， \(\Omega_{P_\mathfrak p/k}\) 非零。

Artin 局部环上的任意非零有限模，都有同构于剩余域的子模与商模。因此 \(\text{Der}_k(P_\mathfrak p, P_\mathfrak p) = \Hom_{P_\mathfrak p}(\Omega_{P_\mathfrak p/k}, P_\mathfrak p)\) 也非零。综合以上各点即得 (1)。

证明 (2)。对 \(P\) 的素理想 \(\mathfrak p\)，我们使用 \(\NL_{P_\mathfrak p/k} = (\NL_{P/k})_\mathfrak p\) （《代数》引理 00S7）以及 \(\text{Ext}_P^1(\NL_{P/k}, P)_\mathfrak p = \text{Ext}_{P_\mathfrak p}^1(\NL_{P_\mathfrak p/k}, P_\mathfrak p)\) （《更多代数》引理 087R）。 给定素理想 \(\mathfrak p\subset P\)，环同态 \(k\to P\) 在 \(\mathfrak p\) 处光滑，当且仅当 \((\NL_{P/k})_\mathfrak p\) 拟同构于 置于次数 \(0\) 的有限投射模（这直接来自光滑环同态的定义，也可由更强的 《代数》引理 07BU 得到）。

假设 \(P\) 在 \(k\) 上除有限多个素理想外均光滑。由《代数》引理 0ALW 以及这些“坏”素理想 构成 \(\Spec(P)\) 的闭子集这一事实，它们都是极大理想 \(\mathfrak m_1,\ldots,\mathfrak m_n\subset P\)。对 \(\mathfrak p\not\in\{\mathfrak m_1,\ldots,\mathfrak m_n\}\)，上述结果给出 \(\text{Ext}^1_P(\NL_{P/k},P)_\mathfrak p=0\)。因此 \(\text{Ext}^1_P(\NL_{P/k},P)\) 是有限 \(P\)-模，其支集包含于 \(\{\mathfrak m_1,\ldots,\mathfrak m_r\}\)。

例如由《代数》命题 02CE， \(\text{Ext}^1_P(\NL_{P/k},P)\) 在 \(k\) 上的维数是若干 \(\dim_k\kappa(\mathfrak m_i)\) 的有限整数线性组合；由 Hilbert 零点定理 （《代数》定理 00FV），它是有限的。

在例 0DY1 中，设 \(P\) 为有限型 \(k\)-代数。 \(\Deformationcategory_P\) 可由 \(\mathcal{C}_\Lambda\) 上函子范畴中的 光滑 pro-可表示群胚给出表示，当且仅当 \(\dim(P)=0\)。此外，若 \(\Spec(P)\to\Spec(k)\) 只有有限多个奇点，则 \(\Deformationcategory_P\) 具有通用形式对象。这来自引理 0DY2、0DY4 以及第 0DVM 节的一般讨论。

引理

在例 0DY1 中，假设 \(P\) 是有限型 \(k\)-代数，且 \(\Spec(P)\to\Spec(k)\) 除有限多个点外均光滑。再假设 \(\Lambda\) 是剩余域为 \(k\) 的完备局部环（经典情形）。则函子 \[F : \mathcal{C}_\Lambda \longrightarrow \textit{Sets},\quad A \longmapsto \Ob(\Deformationcategory_P(A))/\cong\] （它取对象的同构类）具有包络。

证明

这立即来自引理 0DY2、 0DY4、《形式形变理论》引理 06J7 与注 06IZ。

引理

在例 0DY1 中，设 \(P\) 为 \(k\)-代数，并设 \(S\subset P\) 为乘法子集。存在形变范畴之间的自然函子 \[\Deformationcategory_P \longrightarrow \Deformationcategory_{S^{-1}P}\]

证明

给定 \(P\) 的形变，可以将其局部化，从而得到该局部化的形变；这是显然的， 我们建议读者跳过此证明。更确切地说，设 \((A,Q)\to(k,P)\) 是 \(\mathcal{F}\) 中的态射，即 \(\Deformationcategory_P\) 的对象。令 \(S_Q\subset Q\) 为 \(S\) 的原像。 因此，\((A,S_Q^{-1}Q)\to(k,S^{-1}P)\) 是 \(\Deformationcategory_{S^{-1}P}\) 的所需对象。

引理

在例 0DY1 中，设 \(P\) 为 \(k\)-代数，\(J\subset P\) 为理想。 以 \((P^h,J^h)\) 表示二元组 \((P,J)\) 的 Hensel 化。存在形变范畴之间的 自然函子 \[\Deformationcategory_P \longrightarrow \Deformationcategory_{P^h}\]

证明

给定 \(P\) 的形变，可以取其 Hensel 化，从而得到 Hensel 化的形变； 这是显然的，我们建议读者跳过此证明。更确切地说，设 \((A,Q)\to(k,P)\) 是 \(\mathcal{F}\) 中的态射，即 \(\Deformationcategory_P\) 的对象。以 \(J_Q\subset Q\) 表示 \(J\) 在 \(Q\) 中的原像，并设 \((Q^h,J_Q^h)\) 为二元组 \((Q,J_Q)\) 的 Hensel 化。 回忆，\(Q\to Q^h\) 平坦（《更多代数》引理 0AGU），故 \(Q^h\) 在 \(A\) 上平坦。 由《更多代数》引理 0DYE， 态射 \(Q^h\to P^h\) 诱导同构 \(Q^h\otimes_Ak=Q^h\otimes_QP=P^h\)。因此， \((A,Q^h)\to(k,P^h)\) 是 \(\Deformationcategory_{P^h}\) 的所需对象。

引理

在例 0DY1 中，设 \(P\) 为 \(k\)-代数。假设 \(P\) 是局部环， 并设 \(P^{sh}\) 为 \(P\) 的一个严格 Hensel 化。存在形变范畴之间的自然函子 \[\Deformationcategory_P \longrightarrow \Deformationcategory_{P^{sh}}\]

证明

给定 \(P\) 的形变，可以取其严格 Hensel 化，从而得到严格 Hensel 化的 形变；这是显然的，我们建议读者跳过此证明。更确切地说，设 \((A,Q)\to(k,P)\) 是 \(\mathcal{F}\) 中的态射，即 \(\Deformationcategory_P\) 的对象。由于满射 \(Q\to P\) 的核幂零， \(Q\) 是与 \(P\) 具有相同剩余域的局部环。设 \(Q^{sh}\) 为 \(Q\) 的严格 Hensel 化。回忆，\(Q\to Q^{sh}\) 平坦（《更多代数》引理 07QM），故 \(Q^{sh}\) 在 \(A\) 上平坦。由《代数》引理 05WS，态射 \(Q^{sh}\to P^{sh}\) 诱导同构 \(Q^{sh}\otimes_Ak=Q^{sh}\otimes_QP=P^{sh}\)。因此， \((A,Q^{sh})\to(k,P^{sh})\) 是 \(\Deformationcategory_{P^{sh}}\) 的所需对象。

引理

在例 0DY1 中，设 \(P\) 为 \(k\)-代数。假设 \(P\) 是 Noether 环， 并设 \(J\subset P\) 为理想，以 \(P^\wedge\) 表示 \(J\)-进完备化。 存在形变范畴之间的自然函子 \[\Deformationcategory_P \longrightarrow \Deformationcategory_{P^\wedge}\]

证明

给定 \(P\) 的形变，可以将其完备化，从而得到完备化的形变；这是显然的， 我们建议读者跳过此证明。更确切地说，设 \((A,Q)\to(k,P)\) 是 \(\mathcal{F}\) 中的态射，即 \(\Deformationcategory_P\) 的对象。注意 \(Q\) 是诺特环：满环同态 \(Q\to P\) 的核幂零且有限生成，而 \(P\) 是诺特环；应用《代数》引理 05GH。以 \(J_Q\subset Q\) 表示 \(J\) 在 \(Q\) 中的原像，并设 \(Q^\wedge\) 为 \(Q\) 的 \(J_Q\)-进完备化。 回忆，\(Q\to Q^\wedge\) 平坦（《代数》引理 00MB），故 \(Q^\wedge\) 在 \(A\) 上平坦。 例如由《代数》引理 00MA，诱导态射 \(Q^\wedge\to P^\wedge\) 诱导同构 \(Q^\wedge\otimes_Ak=Q^\wedge\otimes_QP=P^\wedge\)。因此， \((A,Q^\wedge)\to(k,P^\wedge)\) 是 \(\Deformationcategory_{P^\wedge}\) 的所需对象。

引理

在引理 0DY3 中，若 \(P=k[[x_1,\ldots,x_n]]/(f)\)，其中非零的 \(f\in(x_1,\ldots,x_n)^2\)，则

1. \(\text{Inf}(\Deformationcategory_P)\) 有限维，当且仅当 \(n=1\)；

2. 若 \[\sqrt{(f, \partial f/\partial x_1, \ldots, \partial f/\partial x_n)} = (x_1, \ldots, x_n)\] ，则 \(T\Deformationcategory_P\) 有限维。

证明

证明 (1)。考虑 \(k[[x_1,\ldots,x_n]]\) 在 \(k\) 上的导子 \(\partial/\partial x_i\)。记 \(f_i=\partial f/\partial x_i\)。导子 \[\theta = \sum h_i \partial/\partial x_i\] 是 \(k[[x_1,\ldots,x_n]]\) 的导子；它在 \(P=k[[x_1,\ldots,x_n]]/(f)\) 上诱导导子，当且仅当 \(\sum h_if_i\in(f)\)。此外，所诱导的 \(P\) 上导子为零，当且仅当对 \(i=1,\ldots,n\) 均有 \(h_i\in(f)\)。因此得到 \[\Ker((f_1, \ldots, f_n) : P^{\oplus n} \longrightarrow P) \subset \text{Der}_k(P, P)\] 左端仅在 \(n=1\) 时才是有限维 \(k\)-向量空间；证明从略。右端在 \(n=1\) 时有限维这一点也留给读者验证。由此得到 (1)。

证明 (2)。令 \(Q\) 为 \(P\) 在 \(k[\epsilon]\) 上的平坦形变，如引理 0DY3 的证明中那样。选取 \(x_i\) 在 \(P\) 中之像的提升 \(q_i\in Q\)。则 \(Q\) 是完备局部环，其极大理想由 \(q_1,\ldots,q_n\) 与 \(\epsilon\) 生成（略去一个简短论证）。因此得到满射 \[k[\epsilon][[x_1, \ldots, x_n]] \longrightarrow Q,\quad x_i \longmapsto q_i\] 选取映到 \(Q\) 中零的元素 \(f+\epsilon g\in k[\epsilon][[x_1,\ldots,x_n]]\)。注意，\(g\) 模 \((f)\) 良定义。由于 \(Q\) 在 \(k[\epsilon]\) 上平坦，得到 \[Q = k[\epsilon][[x_1, \ldots, x_n]]/(f + \epsilon g)\] 最后，改变 \(q_i\) 的选择，相当于对某些 \(h_i\in k[[x_1,\ldots,x_n]]\)，把坐标 \(x_i\) 改为 \(x_i+\epsilon h_i\)。于是 \(f+\epsilon g\) 变为 \(f+\epsilon(g+\sum h_if_i)\)，其中 \(f_i=\partial f/\partial x_i\)。

因此，形变 \(Q\) 的同构类由下列空间中的一个元素确定： \[k[[x_1, \ldots, x_n]]/ (f, \partial f/\partial x_1, \ldots, \partial f/\partial x_n)\] 它在 \(k\) 上有限维，当且仅当其支集是 \(k[[x_1,\ldots,x_n]]\) 的闭点；这又当且仅当 \(\sqrt{(f, \partial f/\partial x_1, \ldots, \partial f/\partial x_n)} = (x_1, \ldots, x_n)\).

概形

概形的形变理论。

例

如下定义范畴 \(\mathcal{F}\)：

1. 对象是二元组 \((A,X)\)，其中 \(A\) 是 \(\mathcal{C}_\Lambda\) 的对象， \(X\) 是在 \(A\) 上平坦的概形；

2. 态射 \((f,g):(B,Y)\to(A,X)\) 由 \(\mathcal{C}_\Lambda\) 中的态射 \(f:B\to A\) 与态射 \(g:X\to Y\) 组成，使概形的交换图 \[\xymatrix{ X \ar[r]_g \ar[d] & Y \ar[d] \\ \Spec(A) \ar[r]^f & \Spec(B) }\] 为笛卡儿图。

函子 \(p:\mathcal{F}\to\mathcal{C}_\Lambda\) 把 \((A,X)\) 送到 \(A\)， 把 \((f,g)\) 送到 \(f\)。显然，\(p\) 以群胚为纤维余纤维化。 给定 \(k\) 上概形 \(X\)，令 \(x_0=(k,X)\) 为 \(\mathcal{F}(k)\) 的相应对象。记 \[\Deformationcategory_X = \mathcal{F}_{x_0}\]

引理

例 0DY7 满足 Rim–Schlessinger 条件 (RS)。特别地， 对任意 \(k\) 上概形 \(X\)，\(\Deformationcategory_X\) 是形变范畴。

证明

设 \(A_1\to A\) 与 \(A_2\to A\) 是 \(\mathcal{C}_\Lambda\) 的态射， 并假设 \(A_2\to A\) 满射。由《形式形变理论》引理 06J5，只须证明函子 \(\mathcal{F}(A_1 \times_A A_2) \to \mathcal{F}(A_1) \times_{\mathcal{F}(A)} \mathcal{F}(A_2)\) 是范畴等价。注意 \[\xymatrix{ \Spec(A) \ar[r] \ar[d] & \Spec(A_2) \ar[d] \\ \Spec(A_1) \ar[r] & \Spec(A_1 \times_A A_2) }\] 是《更多态射》引理 07RT 中的推出图。 因此，本引理是《更多态射》引理 07RX 的特殊情形。

引理

在例 0DY7 中，设 \(X\) 为 \(k\) 上概形。则 \[\text{Inf}(\Deformationcategory_X) = \text{Ext}^0_{\mathcal{O}_X}(\NL_{X/k}, \mathcal{O}_X) = \Hom_{\mathcal{O}_X}(\Omega_{X/k}, \mathcal{O}_X) = \text{Der}_k(\mathcal{O}_X, \mathcal{O}_X)\] 且 \[T\Deformationcategory_X = \text{Ext}^1_{\mathcal{O}_X}(\NL_{X/k}, \mathcal{O}_X)\]

证明

回忆，\(\text{Inf}(\Deformationcategory_X)\) 是 \(X\) 在 \(k[\epsilon]\) 上的平凡形变 \(X'=X\times_{\Spec(k)}\Spec(k[\epsilon])\) 中模 \(\epsilon\) 等于恒等的 自同构之集。由《形变理论》引理 0D14，它等于 \(\text{Ext}^0_{\mathcal{O}_X}(\NL_{X/k},\mathcal{O}_X)\)。等式 \(\text{Ext}^0_{\mathcal{O}_X}(\NL_{X/k},\mathcal{O}_X)= \Hom_{\mathcal{O}_X}(\Omega_{X/k},\mathcal{O}_X)\) 来自《更多态射》引理 0D0J。等式 \(\Hom_{\mathcal{O}_X}(\Omega_{X/k}, \mathcal{O}_X) = \text{Der}_k(\mathcal{O}_X, \mathcal{O}_X)\) 来自《态射》引理 01UR。

回忆，\(T_{x_0}\Deformationcategory_X\) 是 \(X\) 在 \(k[\epsilon]\) 上的 平坦形变 \(X'\) 的同构类之集；更确切地说，它是 \(\Deformationcategory_X(k[\epsilon])\) 的同构类之集。因此，引理的 第二个断言来自《形变理论》引理 0D14。

引理

在引理 0DY9 中，若 \(X\) 在 \(k\) 上固有，则 \(\text{Inf}(\Deformationcategory_X)\) 与 \(T\Deformationcategory_X\) 均为有限维。

证明

由该引理，须证明 \(\Ext^1_{\mathcal{O}_X}(\NL_{X/k},\mathcal{O}_X)\) 与 \(\Ext^0_{\mathcal{O}_X}(\NL_{X/k},\mathcal{O}_X)\) 有限维。 由《更多态射》引理 0D0K 以及 \(X\) 为诺特概形这一事实，\(\NL_{X/k}\) 的上同调层均凝聚， 且除次数 \(0\) 与 \(-1\) 外均为零。由《概形的导出范畴》引理 0D0D，所示 \(\Ext\) 群都是有限维 \(k\)-向量空间，证明完毕。

在例 0DY7 中，若 \(X\) 是 \(k\) 上固有概形，则 \(\Deformationcategory_X\) 可由 \(\mathcal{C}_\Lambda\) 上函子范畴中的 光滑 pro-可表示群胚给出表示，因而具有一个（极小）通用形式对象。 这来自引理 0DY8、0DYA 以及第 0DVM 节的一般讨论。

引理

在例 0DY7 中，假设 \(X\) 是固有 \(k\)-概形，并假设 \(\Lambda\) 是剩余域为 \(k\) 的完备局部环（经典情形）。则函子 \[F : \mathcal{C}_\Lambda \longrightarrow \textit{Sets},\quad A \longmapsto \Ob(\Deformationcategory_X(A))/\cong\] （它取对象的同构类）具有包络。若 \(\text{Der}_k(\mathcal{O}_X,\mathcal{O}_X)=0\)，则 \(F\) 是 pro-可表示的。

证明

包络的存在性立即来自引理 0DY8、 0DYA、《形式形变理论》引理 06J7 与注 06IZ。

假设 \(\text{Der}_k(\mathcal{O}_X,\mathcal{O}_X)=0\)。由《形式形变理论》 引理 06K0， \(\Deformationcategory_X\) 与 \(F\) 等价。因此，\(F\) 是具有有限维切空间的 形变函子（因为 \(\Deformationcategory_X\) 是形变范畴），可以应用 《形式形变理论》定理 06JM。

引理

在例 0DY7 中，设 \(X\) 为 \(k\) 上概形，\(U\subset X\) 为开子概形。存在形变范畴之间的自然函子 \[\Deformationcategory_X \longrightarrow \Deformationcategory_U\]

证明

给定 \(X\) 的形变，可以取其中相应的开子概形，从而得到 \(U\) 的形变。 细节从略。

引理

在例 0DY7 中，设 \(X=\Spec(P)\) 为仿射 \(k\)-概形。 令 \(\Deformationcategory_P\) 如例 0DY1。存在形变范畴的 自然等价 \[\Deformationcategory_X \longrightarrow \Deformationcategory_P\]

证明

该函子把 \((A,Y)\) 送到 \(\Gamma(Y,\mathcal{O}_Y)\)。这是可行的，因为由 《更多态射》引理 06AD， \(X\) 的任意形变都是仿射的。

引理

在例 0DY7 中，设 \(X\) 为 \(k\) 上概形，并设 \(p\in X\) 为一点。令 \(\Deformationcategory_{\mathcal{O}_{X,p}}\) 如例 0DY1。存在形变范畴之间的自然函子 \[\Deformationcategory_X \longrightarrow \Deformationcategory_{\mathcal{O}_{X, p}}\]

证明

选取包含 \(p\) 的仿射开子概形 \(U=\Spec(P)\subset X\)。则 \(\mathcal{O}_{X,p}\) 是 \(P\) 的一个局部化。复合引理 0DYW、0DYX 与 0DYS 中的函子即可。

情形

设 \(\Lambda\to k\) 如第 0DVM 节。设 \(X\) 为 \(k\) 上概形， 具有仿射开覆盖 \(X=U_1\cup U_2\)，且 \(U_{12}=U_1\cap U_2\) 也仿射。写成 \(U_1=\Spec(P_1)\)、\(U_2=\Spec(P_2)\) 与 \(U_{12}=\Spec(P_{12})\)。 令 \(\Deformationcategory_X\)、\(\Deformationcategory_{U_1}\)、 \(\Deformationcategory_{U_2}\) 与 \(\Deformationcategory_{U_{12}}\) 如例 0DY7，并令 \(\Deformationcategory_{P_1}\)、\(\Deformationcategory_{P_2}\) 与 \(\Deformationcategory_{P_{12}}\) 如例 0DY1。

引理

在情形 0DYY 中，存在形变范畴的等价 \[\Deformationcategory_X = \Deformationcategory_{P_1} \times_{\Deformationcategory_{P_{12}}} \Deformationcategory_{P_2}\] ，参见例 0DY7 与 0DY1。

证明

只须证明引理 0DYW 的函子定义等价 \[\Deformationcategory_X \longrightarrow \Deformationcategory_{U_1} \times_{\Deformationcategory_{U_{12}}} \Deformationcategory_{U_2}\] ，因为这样便可应用引理 0DYX 转化为环的情形。 为此构造一个拟逆。以 \(F_i:\Deformationcategory_{U_i}\to\Deformationcategory_{U_{12}}\) 表示引理 0DYW 的函子。右端的对象由 \(\mathcal{C}_\Lambda\) 中的 \(A\)、对象 \((A,V_1)\to(k,U_1)\) 与 \((A,V_2)\to(k,U_2)\)，以及态射 \[g : F_1(A, V_1) \to F_2(A, V_2)\] 给出。这里 \(F_i(A,V_i)=(A,V_{i,3-i})\)，其中 \(V_{i,3-i}\subset V_i\) 是基变换到 \(k\) 后成为 \(U_{12}\subset U_i\) 的开子概形。态射 \(g\) 定义 \(A\) 上概形的同构 \(V_{1,2}\to V_{2,1}\)，且它与 \(k\) 上的 \(\text{id}:U_{12}\to U_{12}\) 相容。因此 \((\{1,2\},V_i,V_{i,3-i},g,g^{-1})\) 是《概形》第 01JA 节中的粘合数据。设 \(Y\) 为所得粘合， 参见《概形》引理 01JB。则 \(Y\) 是 \(A\) 上概形， 上述相容性给出典范同构 \(Y\times_{\Spec(A)}\Spec(k)=X\)。因此 \((A,Y)\to(k,X)\) 是 \(\Deformationcategory_X\) 的对象。 关于此构造是函子且为给定函子的拟逆这一验证从略。

概形态射

本节讨论概形态射的形变理论。 当然，这不过是概形图表形变的一个例子。

例

定义范畴 \(\mathcal{F}\) 如下：

1. 对象是一个偶对 \((A, X \to Y)\)，其中 \(A\) 是 \(\mathcal{C}_\Lambda\) 的对象，而 \(X \to Y\) 是 \(A\) 上的概形态射， 且 \(X\) 与 \(Y\) 都在 \(A\) 上平坦；

2. 态射 \((f, g, h) : (A', X' \to Y') \to (A, X \to Y)\) 由 \(\mathcal{C}_\Lambda\) 中的态射 \(f : A' \to A\)，以及概形态射 \(g : X \to X'\) 与 \(h : Y \to Y'\) 组成，并使得 \[\xymatrix{ X \ar[r]_g \ar[d] & X' \ar[d] \\ Y \ar[r]_h \ar[d] & Y' \ar[d] \\ \Spec(A) \ar[r]^f & \Spec(A') }\] 是概形的交换图，且其中两个方块都是笛卡儿的。

函子 \(p : \mathcal{F} \to \mathcal{C}_\Lambda\) 把 \((A, X \to Y)\) 送到 \(A\)，把 \((f, g, h)\) 送到 \(f\)。显然，\(p\) 以群胚为纤维余纤维化。 给定 \(k\) 上的概形态射 \(X \to Y\)，令 \(x_0 = (k, X \to Y)\) 为 \(\mathcal{F}(k)\) 中相应的对象。置 \[\Deformationcategory_{X \to Y} = \mathcal{F}_{x_0}\]

引理

例 0E3T 满足 Rim–Schlessinger 条件 (RS)。 特别地，对 \(k\) 上任意概形态射 \(X \to Y\)， \(\Deformationcategory_{X \to Y}\) 都是形变范畴。

证明

设 \(A_1 \to A\) 与 \(A_2 \to A\) 是 \(\mathcal{C}_\Lambda\) 中的态射， 并假设 \(A_2 \to A\) 是满射。根据形式形变理论引理 06J5 ，只需证明函子 \(\mathcal{F}(A_1 \times_A A_2) \to \mathcal{F}(A_1) \times_{\mathcal{F}(A)} \mathcal{F}(A_2)\) 是范畴等价。注意到 \[\xymatrix{ \Spec(A) \ar[r] \ar[d] & \Spec(A_2) \ar[d] \\ \Spec(A_1) \ar[r] & \Spec(A_1 \times_A A_2) }\] 是态射进阶引理 07RT 中的推出图。 因而本引理由态射进阶引理 07RX 立即得到：该引理把在 \(A_1 \times_A A_2\) 上平坦的概形所成范畴描述为 在 \(A_1\) 上平坦的概形所成范畴与在 \(A_2\) 上平坦的概形所成范畴， 在 \(A\) 上平坦的概形所成范畴之上的纤维积。

引理

在例 0DY7 中，设 \(f : X \to Y\) 是 \(k\) 上的概形态射。 有如下典范的 \(k\)-向量空间正合列： \[\xymatrix{ 0 \ar[r] & \text{Inf}(\Deformationcategory_{X \to Y}) \ar[r] & \text{Inf}(\Deformationcategory_X \times \Deformationcategory_Y) \ar[r] & \text{Der}_k(\mathcal{O}_Y, f_*\mathcal{O}_X) \ar[lld] \\ & T\Deformationcategory_{X \to Y} \ar[r] & T(\Deformationcategory_X \times \Deformationcategory_Y) \ar[r] & \text{Ext}^1_{\mathcal{O}_X}(Lf^*\NL_{Y/k}, \mathcal{O}_X) }\]

证明

形变范畴间的显然映射 \(\Deformationcategory_{X \to Y} \to \Deformationcategory_X \times \Deformationcategory_Y\) 给出了引理中正合列的两个箭头。回忆， \(\text{Inf}(\Deformationcategory_{X \to Y})\) 是平凡形变 \[f' : X' = X \times_{\Spec(k)} \Spec(k[\epsilon]) \xrightarrow{f \times \text{id}} Y' = Y \times_{\Spec(k)} \Spec(k[\epsilon])\] 在模 \(\epsilon\) 意义下等于恒等的自同构所成的集合；这里该平凡形变是 \(X \to Y\) 到 \(k[\epsilon]\) 上的形变。这显然等同于偶对 \((\alpha, \beta) \in \text{Inf}(\Deformationcategory_X \times \Deformationcategory_Y)\) ，其中二者分别是 \(X\) 与 \(Y\) 的无穷小自同构， 且与 \(f'\) 相容；也就是说 \(f' \circ \alpha = \beta \circ f'\)。 由形变理论引理 08U8， 对任意偶对 \((\alpha, \beta)\)，态射 \(f' : X' \to Y'\) 与态射 \(\beta^{-1} \circ f' \circ \alpha : X' \to Y'\) 之差定义了 \[\text{Der}_k(\mathcal{O}_Y, f_*\mathcal{O}_X) = \Hom_{\mathcal{O}_Y}(\Omega_{Y/k}, f_*\mathcal{O}_X)\] 中的一个元素。这里的等号由态射进阶引理 0D0J 给出。 这定义了最上方最后一个水平箭头，并证明了前两处的正合性。对于映射 \[\text{Der}_k(\mathcal{O}_Y, f_*\mathcal{O}_X) \to T\Deformationcategory_{X \to Y}\] ，利用形变理论引理 08U8， 我们把源中的元素解释为 \(\Spec(k[\epsilon])\) 上的态射 \(f_\epsilon : X' \to Y'\)，并要求其模 \(\epsilon\) 等于 \(f\)。 我们把 \(f_\epsilon\) 送到 \(T\Deformationcategory_{X \to Y}\) 中 \((f_\epsilon : X' \to Y')\) 的同构类。注意， \((f_\epsilon : X' \to Y')\) 与平凡形变 \((f' : X' \to Y')\) 同构，当且仅当

对某个偶对 \((\alpha, \beta)\) 有 \(f_\epsilon = \beta^{-1} \circ f \circ \alpha\)； 这说明第三处正合。显然，若某个一阶形变 \((f_\epsilon : X_\epsilon \to Y_\epsilon)\) 在 \(T(\Deformationcategory_X \times \Deformationcategory_Y)\) 中映为零， 则可选取同构 \(X' \to X_\epsilon\) 与 \(Y' \to Y_\epsilon\)， 从而得到它位于左下方向箭头的像中。因此第四处正合。 最后，给定 \(X\)、\(Y\) 的两个一阶形变 \(X_\epsilon\)、\(Y_\epsilon\)， 存在障碍 \[ob(X_\epsilon, Y_\epsilon) \in \text{Ext}^1_{\mathcal{O}_X}(Lf^*\NL_{Y/k}, \mathcal{O}_X)\] ；该障碍消失，当且仅当 \(f : X \to Y\) 可提升为 \(X_\epsilon \to Y_\epsilon\)；参见形变理论引理 08U8。证明完毕。

引理

在引理 0E3V 中，若 \(X\) 与 \(Y\) 都在 \(k\) 上固有，则 \(\text{Inf}(\Deformationcategory_{X \to Y})\) 与 \(T\Deformationcategory_{X \to Y}\) 都是有限维的。

证明

从略。提示：仿照引理 0DYA 论证， 并使用本引理的正合列。

在例 0E3T 中，若 \(X \to Y\) 是 \(k\) 上固有概形之间的态射，则 \(\Deformationcategory_{X \to Y}\) 可由 \(\mathcal{C}_\Lambda\) 上函子中的一个光滑 pro-可表示群胚给出呈示，因而更有一个 （极小）通用形式对象。这由引理 0E3U、 0E3W 以及 第 0DVM 节的一般讨论推出。

引理

在例 0E3T 中，假设 \(X \to Y\) 是固有 \(k\)-概形之间的态射。再假设 \(\Lambda\) 是剩余域为 \(k\) 的完备局部环（经典情形）。则函子 \[F : \mathcal{C}_\Lambda \longrightarrow \textit{Sets},\quad A \longmapsto \Ob(\Deformationcategory_{X \to Y}(A))/\cong\] 把对象映到其同构类；它有包络。若 \(\text{Der}_k(\mathcal{O}_X, \mathcal{O}_X) = \text{Der}_k(\mathcal{O}_Y, \mathcal{O}_Y) = 0\)， 则 \(F\) 是 pro-可表示的。

证明

包络的存在性立即由引理 0E3U、 0E3W、形式形变理论引理 06J7 以及注 06IZ 推出。

假设 \(\text{Der}_k(\mathcal{O}_X, \mathcal{O}_X) = \text{Der}_k(\mathcal{O}_Y, \mathcal{O}_Y) = 0\)。 引理 0E3V 的正合列结合引理 0DY9 表明 \(\text{Inf}(\Deformationcategory_{X \to Y}) = 0\)。 于是由形式形变理论引理 06K0， \(\Deformationcategory_{X \to Y}\) 与 \(F\) 等价。因此 \(F\) 是具有 有限维切空间的形变函子（因为 \(\Deformationcategory_{X \to Y}\) 是形变范畴），我们可以应用形式形变理论定理 06JM。

引理

在例 0DY7 中，设 \(f : X \to Y\) 是 \(k\) 上的概形态射。 若 \(f_*\mathcal{O}_X = \mathcal{O}_Y\) 且 \(R^1f_*\mathcal{O}_X = 0\)， 则形变范畴的态射 \[\Deformationcategory_{X \to Y} \to \Deformationcategory_X\] 是等价。

证明

我们构造引理中遗忘函子的一个拟逆。设 \((A,U)\) 是 \(\Deformationcategory_X\) 的对象。给定映射 \(X \to U\) 是有限阶加厚， 可据此把 \(U\) 与 \(X\) 的底拓扑空间等同起来；参见态射进阶第 04EW 节。因此我们可以并确实把 \(\mathcal{O}_U\) 看作 \(X\) 上的 \(A\)-代数层；此外， \(U \to \Spec(A)\) 平坦意味着 \(\mathcal{O}_U\) 作为 \(A\)-模层平坦。 特别地，有滤过 \[0 = \mathfrak m_A^n\mathcal{O}_U \subset \mathfrak m_A^{n - 1}\mathcal{O}_U \subset \ldots \subset \mathfrak m_A^2\mathcal{O}_U \subset \mathfrak m_A\mathcal{O}_U \subset \mathcal{O}_U\] ；由平坦性，其相继商等于 \(\mathcal{O}_X \otimes_k \mathfrak m_A^i/\mathfrak m_A^{i + 1}\) ；参见态射进阶引理 063Y， 或更一般的形变理论引理 08LI。置 \[\mathcal{O}_V = f_*\mathcal{O}_U\] ，把它视作 \(Y\) 上的 \(A\)-代数层。由于 \(R^1f_*\mathcal{O}_X = 0\)，由上述描述可知 \(R^1f_*(\mathfrak m_A^i\mathcal{O}_U/\mathfrak m_A^{i + 1}\mathcal{O}_U) = 0\) 对所有 \(i\) 成立。这意味着序列 \[0 \to (f_*\mathcal{O}_X) \otimes_k \mathfrak m_A^i/\mathfrak m_A^{i + 1} \to f_*(\mathcal{O}_U/\mathfrak m_A^{i + 1}\mathcal{O}_U) \to f_*(\mathcal{O}_U/\mathfrak m_A^i\mathcal{O}_U) \to 0\] 对所有 \(i\) 都正合。反向应用上述文献（并使用归纳法），可知 \(\mathcal{O}_V\) 是平坦的 \(A\)-代数层，且 \(\mathcal{O}_V/\mathfrak m_A\mathcal{O}_V = \mathcal{O}_Y\)。 应用态射进阶引理 05YV 可知 \((Y,\mathcal{O}_V)\) 是概形，记为 \(V\)。 等式 \(\mathcal{O}_V = f_*\mathcal{O}_U\) 定义了带环空间的态射 \(U \to V\)，容易看出它是概形态射。结合已经证明的平坦性， 这就完成了证明。

代数空间

本节讨论代数空间的形变理论。

例

定义范畴 \(\mathcal{F}\) 如下：

1. 对象是偶对 \((A,X)\)，其中 \(A\) 是 \(\mathcal{C}_\Lambda\) 的对象，\(X\) 是在 \(A\) 上平坦的代数空间；

2. 态射 \((f,g):(B,Y)\to(A,X)\) 由 \(\mathcal{C}_\Lambda\) 中的态射 \(f:B\to A\) 以及 \(\Lambda\) 上代数空间的态射 \(g:X\to Y\) 组成，并使得 \[\xymatrix{ X \ar[r]_g \ar[d] & Y \ar[d] \\ \Spec(A) \ar[r]^f & \Spec(B) }\] 是代数空间的笛卡儿交换图。

函子 \(p:\mathcal{F}\to\mathcal{C}_\Lambda\) 把 \((A,X)\) 送到 \(A\)， 把 \((f,g)\) 送到 \(f\)。显然，\(p\) 以群胚为纤维余纤维化。 给定 \(k\) 上的代数空间 \(X\)，令 \(x_0=(k,X)\) 为 \(\mathcal{F}(k)\) 中相应的对象。置 \[\Deformationcategory_X = \mathcal{F}_{x_0}\]

引理

例 0E3Z 满足 Rim–Schlessinger 条件 (RS)。 特别地，对 \(k\) 上任意代数空间 \(X\)， \(\Deformationcategory_X\) 都是形变范畴。

证明

设 \(A_1\to A\) 与 \(A_2\to A\) 是 \(\mathcal{C}_\Lambda\) 中的态射， 并假设 \(A_2\to A\) 为满射。根据形式形变理论引理 06J5 ，只需证明函子 \(\mathcal{F}(A_1 \times_A A_2) \to \mathcal{F}(A_1) \times_{\mathcal{F}(A)} \mathcal{F}(A_2)\) 是范畴等价。注意到 \[\xymatrix{ \Spec(A) \ar[r] \ar[d] & \Spec(A_2) \ar[d] \\ \Spec(A_1) \ar[r] & \Spec(A_1 \times_A A_2) }\] 是空间的推出引理 07VX 中的推出图。 因而本引理是空间的推出引理 07W3 的特殊情形。

引理

在例 0E3Z 中，设 \(X\) 是 \(k\) 上的代数空间。则 \[\text{Inf}(\Deformationcategory_X) = \text{Ext}^0_{\mathcal{O}_X}(\NL_{X/k}, \mathcal{O}_X) = \Hom_{\mathcal{O}_X}(\Omega_{X/k}, \mathcal{O}_X) = \text{Der}_k(\mathcal{O}_X, \mathcal{O}_X)\] 以及 \[T\Deformationcategory_X = \text{Ext}^1_{\mathcal{O}_X}(\NL_{X/k}, \mathcal{O}_X)\]

证明

回忆，\(\text{Inf}(\Deformationcategory_X)\) 是 \(X\) 到 \(k[\epsilon]\) 上的平凡形变 \(X'=X\times_{\Spec(k)}\Spec(k[\epsilon])\) 在模 \(\epsilon\) 意义下等于恒等的自同构所成的集合。 由形变理论引理 0D17，它等于 \(\text{Ext}^0_{\mathcal{O}_X}(\NL_{X/k},\mathcal{O}_X)\)。 等式 \(\text{Ext}^0_{\mathcal{O}_X}(\NL_{X/k}, \mathcal{O}_X) = \Hom_{\mathcal{O}_X}(\Omega_{X/k}, \mathcal{O}_X)\) 由空间态射进阶引理 0D0Y 得到。等式 \(\Hom_{\mathcal{O}_X}(\Omega_{X/k}, \mathcal{O}_X) = \text{Der}_k(\mathcal{O}_X, \mathcal{O}_X)\) 由空间态射进阶定义 04CT 与位点上的模定义 04BN 得到。

回忆，\(T_{x_0}\Deformationcategory_X\) 是 \(X\) 到 \(k[\epsilon]\) 上的平坦形变 \(X'\) 的同构类所成的集合；更准确地说， 它是 \(\Deformationcategory_X(k[\epsilon])\) 中同构类所成的集合。 因此引理的第二个断言由形变理论引理 0D17 得到。

引理

在引理 0E41 中，若 \(X\) 在 \(k\) 上固有，则 \(\text{Inf}(\Deformationcategory_X)\) 与 \(T\Deformationcategory_X\) 都是有限维的。

证明

由该引理，我们须证明 \(\Ext^1_{\mathcal{O}_X}(\NL_{X/k}, \mathcal{O}_X)\) 与 \(\Ext^0_{\mathcal{O}_X}(\NL_{X/k}, \mathcal{O}_X)\) 是有限维的。 由空间态射进阶引理 0D0Z 以及 \(X\) 是 Noether 的这一事实可知，\(\NL_{X/k}\) 的凝聚上同调层 除次数 \(0\) 与 \(-1\) 外均为零。由空间的导出范畴引理 0D0T，上述 \(\Ext\) 群都是有限维 \(k\)-向量空间，证明完毕。

在例 0E3Z 中，若 \(X\) 是 \(k\) 上的固有代数空间， 则 \(\Deformationcategory_X\) 可由 \(\mathcal{C}_\Lambda\) 上函子中的一个光滑 pro-可表示群胚给出呈示，因而更有一个 （极小）通用形式对象。这由引理 0E40、 0E42 以及第 0DVM 节的一般讨论推出。

引理

在例 0E3Z 中，假设 \(X\) 是 \(k\) 上的固有代数空间。 再假设 \(\Lambda\) 是剩余域为 \(k\) 的完备局部环（经典情形）。则函子 \[F : \mathcal{C}_\Lambda \longrightarrow \textit{Sets},\quad A \longmapsto \Ob(\Deformationcategory_X(A))/\cong\] 把对象映到其同构类；它有包络。若 \(\text{Der}_k(\mathcal{O}_X, \mathcal{O}_X)=0\)， 则 \(F\) 是 pro-可表示的。

证明

包络的存在性立即由引理 0E40、 0E42、形式形变理论引理 06J7 以及注 06IZ 推出。

假设 \(\text{Der}_k(\mathcal{O}_X,\mathcal{O}_X)=0\)。 由形式形变理论引理 06K0， \(\Deformationcategory_X\) 与 \(F\) 等价。因此 \(F\) 是具有有限维切空间的 形变函子（因为 \(\Deformationcategory_X\) 是形变范畴）， 我们可以应用形式形变理论定理 06JM。

完备化的形变

本节比较由一个代数及其完备化所给出的形变问题。 我们先讨论“可提升性”。

引理

设 \(A'\to A\) 是核为幂零理想的环满射， \(A'\to P'\) 是平坦环同态。置 \(P=P'\otimes_{A'}A\)。 设 \(M\) 是在 \(A\) 上平坦的 \(P\)-模。则下列条件等价：

1. 存在在 \(A'\) 上平坦的 \(P'\)-模 \(M'\)，使得 \(M'\otimes_{P'}P=M\)；

2. 存在对象 \(K'\in D^-(P')\)，使得 \(K'\otimes_{P'}^\mathbf{L}P=M\)。

证明

假设 \(M'\) 如 (1) 所述。则

\[M = M' \otimes_P P' = M' \otimes_{A'} A = M' \otimes_A^\mathbf{L} A' = M' \otimes_{P'}^\mathbf{L} P\] 前两个等式是显然的；第三个等式由 \(M'\) 在 \(A'\) 上平坦得到； 第四个等式由代数进阶引理 0661 得到。因此 (2) 成立。 反之，假设 \(K'\) 如 (2) 所述。我们可以并确实假设 \(M\) 非零。 令 \(t\) 为使 \(H^t(K')\) 非零的最大整数（它因 \(M\) 非零而存在）。 若 \(t>0\)，则 \(H^t(K')\otimes_{P'}P=H^t(K'\otimes_{P'}^\mathbf{L}P)\) 为零。 由于 \(P'\to P\) 的核幂零，由 Nakayama 引理可得 \(H^t(K')=0\)， 矛盾。因此 \(t=0\)（\(t<0\) 的情形同样荒谬）。于是 \(M'=H^0(K')\) 是满足 \(M=M'\otimes_{P'}P\) 的 \(P'\)-模， 而 Tor 谱序列给出单射 \[\text{Tor}_1^{P'}(M', P) \to H^{-1}(M' \otimes_{P'}^\mathbf{L} P) = 0\] 。由上述导出基变换文献， \(0 = \text{Tor}_1^{P'}(M', P) = \text{Tor}_1^{A'}(M', A)\). 再由代数引理 051C 可知， \(M'\) 在 \(A'\) 上平坦。

引理

考虑 Noether 环的交换图 \[\xymatrix{ A' \ar[d] \ar[r] & P' \ar[d] \ar[r] & Q' \ar[d] \\ A \ar[r] & P \ar[r] & Q }\] ，其中两个方块均为笛卡儿方块，水平箭头均平坦， 竖直箭头均为核幂零的满射。设 \(J'\subset P'\) 是满足 \(P'/J'=Q'/J'Q'\) 的理想，且 \(M\) 是在 \(A\) 上平坦的 \(P\)-模。 假设对每个 \(g\in J'\)，都存在在 \(A'\) 上平坦的 \((P')_g\)-模提升 \(M_g\)。则下列条件等价：

1. \(M\) 有一个在 \(A'\) 上平坦的 \(P'\)-模提升；

2. \(M\otimes_PQ\) 有一个在 \(A'\) 上平坦的 \(Q'\)-模提升。

证明

令 \(I=\Ker(A'\to A)\)。对满足 \(I^n=0\) 的整数 \(n>1\) 作归纳， 可约化到 \(I\) 是平方零理想的情形；细节从略。 我们把 \(M\) 的可提升条件转化为寻找引理 0DZ1 中那样的 \(D^-(P')\) 对象的问题。相应的障碍是元素 \[\omega(M) \in \text{Ext}^2_P(M, M \otimes_P^\mathbf{L} IP) = \text{Ext}^2_P(M, M \otimes_P IP)\] ，它由形变理论引理 0DYR 构造。 显示公式中的等式成立，是因为 \(M\) 与 \(P\) 都在 \(A\) 上平坦，故 \(M\otimes_P^\mathbf{L}IP=M\otimes_PIP\)²。 同样，提升 \(M\otimes_PQ\) 的障碍是元素 \[\omega(M \otimes_P Q) \in \text{Ext}^2_Q(M \otimes_P Q, (M \otimes_P Q) \otimes_Q IQ)\] ；由形变理论引理 0DYR 中构造 \(\omega(-)\) 的函子性，它是 \(\omega(M)\) 的像。 由代数进阶引理 0A6A，有 \[\text{Ext}^2_Q(M \otimes_P Q, (M \otimes_P Q) \otimes_Q IQ) = \text{Ext}^2_P(M, M \otimes_P IP) \otimes_P Q\] 。这里使用了 \(P\) 是 Noether 环且 \(M\) 有限。

关于 \(P'\to Q'\) 的假设保证：对任意 \(P\)-模 \(E\)，映射 \(E\to E\otimes_PQ\) 在 \(J'\)-幂挠子模上为双射；参见代数进阶引理 05EC。 因此只需证明 \(\omega(M)\) 是 \(J'\)-幂挠的。换言之，只需证明 \(\omega(M)\) 在 \[\text{Ext}^2_P(M, M \otimes_P IP)_g = \text{Ext}^2_{P_g}(M_g, M_g \otimes_{P_g} IP_g)\] 中对所有 \(g\in J'\) 都变为零。由 \(\omega(M)\) 的构造与基变换的相容性， 这确实成立，因为假设 \(M_g\) 有提升（当然还须再次使用整串等价）。

引理

设 \(A'\to A\) 是核幂零的 Noether 环满射， \(A\to B\) 是有限型平坦环同态。设 \(\mathfrak b\subset B\) 是理想， 使得 \(\Spec(B)\to\Spec(A)\) 在 \(V(\mathfrak b)\) 的补集上为 syntomic。 则 \(B\) 有到 \(A'\) 的平坦提升，当且仅当其 \(\mathfrak b\)-进完备化 \(B^\wedge\) 有到 \(A'\) 的平坦提升。

证明

选取 \(A\)-代数满射 \(P=A[x_1,\ldots,x_n]\to B\)。 令 \(\mathfrak p\subset P\) 为 \(\mathfrak b\) 的逆像。置 \(P'=A'[x_1,\ldots,x_n]\)，并以 \(\mathfrak p'\subset P'\) 表示 \(\mathfrak p\) 的逆像（当然，这里的 \(\mathfrak p\) 与 \(\mathfrak p'\) 并不表示素理想）。以 \(P^\wedge\) 与 \((P')^\wedge\) 分别表示相应的完备化。

假设 \(A'\to B'\) 是 \(A\to B\) 的平坦提升；换言之， \(A'\to B'\) 平坦，且有 \(A\)-代数同构 \(B=B'\otimes_{A'}A\)。 于是可选取提升给定满射 \(P\to B\) 的 \(A'\)-代数同态 \(P'\to B'\)。 由 Nakayama 引理（代数引理 00DV）， \(B'\) 是 \(P'\) 的商。因此可以赋予 \(B'\) 一个在 \(A'\) 上平坦的 \(P'\)-模结构，它提升作为在 \(A\) 上平坦的 \(P\)-模的 \(B\)。 反之，若可把 \(B\) 提升为在 \(A'\) 上平坦的 \(P'\)-模 \(M'\)， 则再次应用 Nakayama 可知 \(M'\) 是循环模 \(M'\cong P'/J'\)； 置 \(B'=P'/J'\)，便得到 \(B\) 作为代数的平坦提升。

置 \(C=B^\wedge\) 与 \(\mathfrak c=\mathfrak bC\)。 假设 \(A'\to C'\) 是 \(A\to C\) 的平坦提升。则 \(C'\) 关于 \(\mathfrak c\) 的逆像 \(\mathfrak c'\) 完备（代数引理 0DYC）。选取提升 \(A\)-代数同态 \(P\to C\) 的 \(A'\)-代数同态 \(P'\to C'\)。 这些同态经由完备化给出满射 \(P^\wedge\to C\) 与 \((P')^\wedge\to C'\)（对后一个再次使用 Nakayama 引理）。 特别地，可以赋予 \(C'\) 一个在 \(A'\) 上平坦的 \((P')^\wedge\)-模结构， 它提升作为在 \(A\) 上平坦的 \(P^\wedge\)-模的 \(C\)。 反之，若可把 \(C\) 提升为在 \(A'\) 上平坦的 \((P')^\wedge\)-模 \(N'\)， 则再次应用 Nakayama 可知 \(N'\) 是循环模 \(N'\cong(P')^\wedge/\tilde J\)；置 \(C'=(P')^\wedge/\tilde J\)，便得到 \(C\) 作为代数的平坦提升。

注意，\(P'\to(P')^\wedge\) 是平坦环同态，并诱导同构 \(P'/\mathfrak p'=(P')^\wedge/\mathfrak p'(P')^\wedge\)。 因此，只要能证明对 \(g\in\mathfrak p'\)，\(B_g\) 可提升为 在 \(A'\) 上平坦的 \(P'_g\)-模，本引理便由引理 0DZ2 推出。然而环同态 \(A\to B_g\) 是 syntomic，故由环同态的光滑化命题 07M8，它可提升为在 \(A'\) 上平坦的代数 \(B'\)。由于 \(A'\to P'_g\) 光滑，可以像此前一样把 \(P_g\to B_g\) 提升为满射 \(P'_g\to B'\)，这正是所需结论。

记号。设 \(A\to B\) 是环同态，\(N\) 是 \(B\)-模。以 \(\text{Exal}_A(B,N)\) 表示扩张 \[0 \to N \to C \to B \to 0\] 的同构类所成的集合；这里扩张属于 \(A\)-代数，且 \(N\) 是 \(C\) 中的平方零理想。给定另一个这样的扩张 \(0\to N\to C'\to B\to0\)，所谓同构，是使得下图交换的 \(A\)-代数同构 \(C\to C'\)： \[\xymatrix{ 0 \ar[r] & N \ar[r] \ar[d]_{\text{id}} & C \ar[r] \ar[d] & B \ar[r] \ar[d]_{\text{id}} & 0 \\ 0 \ar[r] & N \ar[r] & C' \ar[r] & B \ar[r] & 0 }\] 指派 \(N\mapsto\text{Exal}_A(B,N)\) 是把积变成积的函子。 因此它是加性函子，而 \(\text{Exal}_A(B,N)\) 具有自然的 \(B\)-模结构。事实上，由形变理论引理 08S7， 有 \(\text{Exal}_A(B,N)=\text{Ext}^1_B(\NL_{B/A},N)\)。

引理

设 \(k\) 是域，\(B\) 是有限型 \(k\)-代数。设 \(J\subset B\) 是理想， 使得 \(\Spec(B)\to\Spec(k)\) 在 \(V(J)\) 的补集上光滑。 设 \(N\) 是有限 \(B\)-模。则有典范双射 \[\text{Exal}_k(B, N) \to \text{Exal}_k(B^\wedge, N^\wedge)\] 。这里 \(B^\wedge\) 与 \(N^\wedge\) 是 \(J\)-进完备化。

证明

该映射由完备化给出：给定 \(\text{Exal}_k(B,N)\) 中的 \(0\to N\to C\to B\to0\)，把它送到 \(C\) 关于 \(J\) 的逆像的 完备化 \(C^\wedge\)。可与引理 0DYV 的证明比较。

由于 \(k\to B\) 是有限呈示，复形 \(\NL_{B/k}\) 可由复形 \(N^{-1}\to N^0\) 表示，其中每个 \(N^i\) 都是有限 \(B\)-模； 参见代数第 00S0 节，特别是代数引理 00S1。由于 \(B\) 是 Noether 环， 这意味着 \(\NL_{B/k}\) 是伪凝聚的。对 \(g\in J\)，\(k\)-代数 \(B_g\) 光滑，因而 \((\NL_{B/k})_g=\NL_{B_g/k}\) 拟同构于置于次数 \(0\) 的有限投射 \(B\)-模。

所以对任意 \(B\)-模 \(N\) 及 \(i\geq1\)，有 \(\text{Ext}^i_B(\NL_{B/k},N)_g=0\)。由代数进阶引理 0DYJ 可得 \[\text{Ext}^1_B(\NL_{B/k}, N) \longrightarrow \lim_n \text{Ext}^1_B(\NL_{B/k}, N/J^n N)\] 对任意有限 \(B\)-模 \(N\) 都是同构。

映射的单射性。假设 \(0\to N\to C\to B\to0\) 属于 \(\text{Exal}_k(B,N)\)， 并在 \(\text{Exal}_k(B^\wedge,N^\wedge)\) 中映为零。 选取分裂 \(C^\wedge=B^\wedge\oplus N^\wedge\)。于是诱导映射 \(C\to C^\wedge\to N^\wedge\) 对每个 \(n\) 都给出映射 \(C\to N/J^nN\)。因此可见，我们的元素属于各映射 \[\text{Ext}^1_B(\NL_{B/k}, N) \to \text{Ext}^1_B(\NL_{B/k}, N/J^n N)\] 的核，且这对所有 \(n\) 均成立。由上一段可知，该元素为零。

映射的满射性。设 \(0\to N^\wedge\to C'\to B^\wedge\to0\) 是 \(\text{Exal}_k(B^\wedge,N^\wedge)\) 中的元素。 沿 \(B\to B^\wedge\) 拉回，得到 \(\text{Exal}_k(B,N^\wedge)\) 中的元素 \(0\to N^\wedge\to C''\to B\to0\)。有 \[\text{Ext}^1_B(\NL_{B/k}, N^\wedge) = \text{Ext}^1_B(\NL_{B/k}, N) \otimes_B B^\wedge = \text{Ext}^1_B(\NL_{B/k}, N)\] 。第一个等式由 \(N^\wedge=N\otimes_BB^\wedge\)（代数引理 00MA）以及代数进阶引理 087Q 得到。 第二个等式成立，是因为 \(\text{Ext}^1_B(\NL_{B/k},N)\) 是 \(J\)-幂挠的（见上文），\(B\to B^\wedge\) 平坦并诱导同构 \(B/J\to B^\wedge/JB^\wedge\)，以及代数进阶引理 05EC。因此可找到 \(C\in\text{Exal}_k(B,N)\)，它在 \(\text{Exal}_k(B,N^\wedge)\) 中映到 \(C''\)。于是 \[0 \to N^\wedge \to C' \to B^\wedge \to 0 \quad\text{且}\quad 0 \to N^\wedge \to C^\wedge \to B^\wedge \to 0\] 是 \(\text{Exal}_k(B^\wedge,N^\wedge)\) 中的两个元素， 它们映到 \(\text{Exal}_k(B,N^\wedge)\) 中的同一个元素。 取差，得到 \(\text{Exal}_k(B^\wedge,N^\wedge)\) 中的元素 \(0\to N^\wedge\to C'\to B^\wedge\to0\)，其在 \(\text{Exal}_k(B,N^\wedge)\) 中的像为零。这意味着存在 \[\xymatrix{ 0 \ar[r] & N^\wedge \ar[r] & C' \ar[r] & B^\wedge \ar[r] & 0 \\ & & B \ar[u]^\sigma \ar[ru] }\] 。令 \(J'\subset C'\) 为 \(JB^\wedge\subset B^\wedge\) 的逆像。 为完成证明，只需注意：\(\sigma\) 关于 \(B\) 上的 \(J\)-进拓扑和 \(C'\) 上的 \(J'\)-进拓扑连续，而且由代数引理 0DYC，\(C'\) 是 \(J'\)-进完备的 （这里还使用了 \(C'\) 是 Noether 环；略去一个小细节）。 这就是说，\(\sigma\) 经由完备化 \(B^\wedge\) 分解，且 \(C'=0\) 在 \(\text{Exal}_k(B^\wedge,N^\wedge)\) 中成立。

引理

在例 0DY1 中，设 \(P\) 是 \(k\)-代数， \(J\subset P\) 是理想，并以 \(P^\wedge\) 表示 \(J\)-进完备化。若

1. \(k\to P\) 是有限型的；

2. \(\Spec(P)\to\Spec(k)\) 在 \(V(J)\) 的补集上光滑，

则引理 0DYV 中形变范畴之间的函子 \[\Deformationcategory_P \longrightarrow \Deformationcategory_{P^\wedge}\] 光滑，并在切空间上诱导同构。

证明

由引理 0DY2，我们知道 \(\Deformationcategory_P\) 与 \(\Deformationcategory_{P^\wedge}\) 都是形变范畴。因此只须检验该函子等同切空间并对应可提升性； 参见形式形变理论引理 0DYP。 可提升性由引理 0DZ3 证明， 切空间上的同构则是引理 0DZ4 中 \(N=B\) 的特殊情形。

局部化的形变

本节比较由一个代数及其关于乘法子集的局部化所给出的形变问题。 我们先讨论“可提升性”。

引理

设 \(A'\to A\) 是核幂零的 Noether 环满射， \(A\to B\) 是有限型平坦环同态。设 \(S\subset B\) 是乘法子集， 且只要 \(\Spec(B)\to\Spec(A)\) 在 \(\mathfrak q\) 处不是 syntomic， 就有 \(S\cap\mathfrak q=\emptyset\)。则 \(B\) 有到 \(A'\) 的平坦提升， 当且仅当 \(S^{-1}B\) 有到 \(A'\) 的平坦提升。

证明

本证明与引理 0DZ3 的证明相同，但更容易。 建议读者略过。选取 \(A\)-代数满射 \(P=A[x_1,\ldots,x_n]\to B\)。令 \(S_P\subset P\) 为 \(S\) 的逆像。 置 \(P'=A'[x_1,\ldots,x_n]\)，并以 \(S_{P'}\subset P'\) 表示 \(S_P\) 的逆像。

假设 \(A'\to B'\) 是 \(A\to B\) 的平坦提升；换言之， \(A'\to B'\) 平坦，且有 \(A\)-代数同构 \(B=B'\otimes_{A'}A\)。 于是可选取提升给定满射 \(P\to B\) 的 \(A'\)-代数同态 \(P'\to B'\)。 由 Nakayama 引理（代数引理 00DV）， \(B'\) 是 \(P'\) 的商。特别地，可以赋予 \(B'\) 一个在 \(A'\) 上平坦的 \(P'\)-模结构，它提升作为在 \(A\) 上平坦的 \(P\)-模的 \(B\)。 反之，若可把 \(B\) 提升为在 \(A'\) 上平坦的 \(P'\)-模 \(M'\)， 则再次应用 Nakayama 可知 \(M'\) 是循环模 \(M'\cong P'/J'\)； 置 \(B'=P'/J'\)，便得到 \(B\) 作为代数的平坦提升。

置 \(C=S^{-1}B\)。假设 \(A'\to C'\) 是 \(A\to C\) 的平坦提升。 \(C'\) 中映到 \(C\) 的可逆元的元素本身也可逆。选取提升 \(A\)-代数同态 \(P\to C\) 的 \(A'\)-代数同态 \(P'\to C'\)。 由上述说明，这些同态经由局部化给出满射 \(S_P^{-1}P\to C\) 与 \(S_{P'}^{-1}P'\to C'\)（对后一个使用 Nakayama 引理）。特别地，可以赋予 \(C'\) 一个在 \(A'\) 上平坦的 \(S_{P'}^{-1}P'\)-模结构，它提升作为在 \(A\) 上平坦的 \(S_P^{-1}P\)-模的 \(C\)。反之，若可把 \(C\) 提升为在 \(A'\) 上平坦的 \(S_{P'}^{-1}P'\)-模 \(N'\)，则再次应用 Nakayama 可知 \(N'\) 是循环模 \(N'\cong S_{P'}^{-1}P'/\tilde J\)；置 \(C'=S_{P'}^{-1}P'/\tilde J\)，便得到 \(C\) 作为代数的平坦提升。

概形态射的 syntomic 轨迹按定义是开集。令 \(J_B\subset B\) 为 定义 \(\Spec(B)\) 中 \(\Spec(B)\to\Spec(A)\) 不是 syntomic 的点集的理想， 并以 \(J_P\subset P\) 与 \(J_{P'}\subset P'\) 表示相应理想。 注意，由引理中关于 \(S\) 的假设，平坦环同态 \(P'\to S_{P'}^{-1}P'\) 诱导同构 \(P'/J_{P'}=S_{P'}^{-1}P'/J_{P'}S_{P'}^{-1}P'\)；具体地说， 引理中的假设恰好是 \(B/J_B=S^{-1}(B/J_B)\)。 因此，只要能证明对 \(g\in J_B\)，\(B_g\) 可提升为在 \(A'\) 上平坦的 \(P'_g\)-模，本引理便由引理 0DZ2 推出。

然而环同态 \(A\to B_g\) 是 syntomic，故由环同态的光滑化命题 07M8，它可提升为在 \(A'\) 上平坦的 代数 \(B'\)。由于 \(A'\to P'_g\) 光滑，可以像此前一样把 \(P_g\to B_g\) 提升为满射 \(P'_g\to B'\)，这正是所需结论。

引理

设 \(k\) 是域，\(B\) 是有限型 \(k\)-代数。设 \(S\subset B\) 是乘法子集， 且只要 \(\Spec(B)\to\Spec(k)\) 在 \(\mathfrak q\) 处不光滑， 就有 \(S\cap\mathfrak q=\emptyset\)。设 \(N\) 是有限 \(B\)-模。 则有典范双射

\[\text{Exal}_k(B, N) \to \text{Exal}_k(S^{-1}B, S^{-1}N)\]

证明

本证明与引理 0DZ4 的证明相同，但更容易。 建议读者略过。该映射由局部化给出：给定 \(\text{Exal}_k(B,N)\) 中的 \(0\to N\to C\to B\to0\)， 把它送到 \(C\) 关于 \(S\) 的逆像 \(S_C\subset C\) 的局部化 \(S_C^{-1}C\)。可与引理 0DYS 的证明比较。

概形态射的光滑轨迹按定义是开集。令 \(J\subset B\) 为定义 \(\Spec(B)\) 中 \(\Spec(B)\to\Spec(A)\) 不光滑的点集的理想。

由于 \(k\to B\) 是有限呈示，复形 \(\NL_{B/k}\) 可由复形 \(N^{-1}\to N^0\) 表示，其中每个 \(N^i\) 都是有限 \(B\)-模； 参见代数第 00S0 节，特别是代数引理 00S1。由于 \(B\) 是 Noether 环， 这意味着 \(\NL_{B/k}\) 是伪凝聚的。对 \(g\in J\)，\(k\)-代数 \(B_g\) 光滑，因而 \((\NL_{B/k})_g=\NL_{B_g/k}\) 拟同构于置于次数 \(0\) 的有限投射 \(B\)-模。

所以对任意 \(B\)-模 \(N\) 及 \(i\geq1\)，有 \(\text{Ext}^i_B(\NL_{B/k},N)_g=0\)。最后，有 \[\text{Ext}^1_{S^{-1}B}(\NL_{S^{-1}B/k}, S^{-1}N) = \text{Ext}^1_B(\NL_{B/k}, N) \otimes_B S^{-1}B = \text{Ext}^1_B(\NL_{B/k}, N)\] 。第一个等式由代数进阶引理 0A6A 与代数引理 00S7 得到。第二个等式成立，是因为 \(\text{Ext}^1_B(\NL_{B/k},N)\) 是 \(J\)-幂挠的，而 \(S\) 中元素在 \(J\)-幂挠模上可逆地作用。结合引理 0DZ4 紧前方把 \(\text{Exal}_A(B,N)\) 描述为 \(\text{Ext}^1_B(\NL_{B/A},N)\) 的结论，证明完毕。

引理

在例 0DY1 中，设 \(P\) 是 \(k\)-代数， \(S\subset P\) 是乘法子集。若

1. \(k\to P\) 是有限型的；

2. 对每个 \(g\in S\)，\(\Spec(P)\to\Spec(k)\) 在 \(V(g)\) 的所有点处都光滑，

则引理 0DYS 中形变范畴之间的函子 \[\Deformationcategory_P \longrightarrow \Deformationcategory_{S^{-1}P}\] 光滑，并在切空间上诱导同构。

证明

由引理 0DY2，我们知道 \(\Deformationcategory_P\) 与 \(\Deformationcategory_{S^{-1}P}\) 都是形变范畴。因此只须检验该函子等同切空间并对应可提升性； 参见形式形变理论引理 0DYP。 可提升性由引理 0DZ7 证明， 切空间上的同构则是引理 0DZ8 中 \(N=B\) 的特殊情形。

Hensel 化的形变

本节比较由一个代数及其完备化所给出的形变问题。

我们先讨论“可提升性”。

引理

设 \(A'\to A\) 是核幂零的 Noether 环满射， \(A\to B\) 是有限型平坦环同态。设 \(\mathfrak b\subset B\) 是理想， 使得 \(\Spec(B)\to\Spec(A)\) 在 \(V(\mathfrak b)\) 的补集上为 syntomic。 设 \((B^h,\mathfrak b^h)\) 是对 \((B,\mathfrak b)\) 的 Hensel 化。 则 \(B\) 有到 \(A'\) 的平坦提升，当且仅当 \(B^h\) 有到 \(A'\) 的平坦提升。

证明

这个证明有所取巧。事实上，若 \(B\) 有平坦提升 \(B'\)， 则取 Hensel 化 \((B')^h\)，便得到 \(B^h\) 的平坦提升 （可与引理 0DYT 的证明比较）。 反之，假设 \(C'\) 是 \((B')^h\) 的一个在 \(A'\) 上平坦的提升。

令 \(\mathfrak c'\subset C'\) 为理想 \(\mathfrak b^h\) 的逆像。 则 \(C'\) 关于 \(\mathfrak c'\) 的完备化 \((C')^\wedge\) 是 \(B^\wedge\) 的提升（细节从略）。因此由引理 0DZ3 可知，\(B\) 有平坦提升。

证明

选取 \(A\)-代数满射 \(P=A[x_1,\ldots,x_n]\to B\)。 令 \(\mathfrak p\subset P\) 为 \(\mathfrak b\) 的逆像。置 \(P'=A'[x_1,\ldots,x_n]\)，并以 \(\mathfrak p'\subset P'\) 表示 \(\mathfrak p\) 的逆像（当然，这里的 \(\mathfrak p\) 与 \(\mathfrak p'\) 并不表示素理想）。以 \(P^h\) 与 \((P')^h\) 分别表示相应的 Hensel 化。我们将使用 Hensel 化的函子性， 以及商的 Hensel 化就是 Hensel 化的相应商；参见代数进阶引理 09Y6 与 0DYE。

假设 \(A'\to B'\) 是 \(A\to B\) 的平坦提升；换言之， \(A'\to B'\) 平坦，且有 \(A\)-代数同构 \(B=B'\otimes_{A'}A\)。 于是可选取提升给定满射 \(P\to B\) 的 \(A'\)-代数同态 \(P'\to B'\)。 由 Nakayama 引理（代数引理 00DV）， \(B'\) 是 \(P'\) 的商。特别地，可以赋予 \(B'\) 一个在 \(A'\) 上平坦的 \(P'\)-模结构，它提升作为在 \(A\) 上平坦的 \(P\)-模的 \(B\)。 反之，若可把 \(B\) 提升为在 \(A'\) 上平坦的 \(P'\)-模 \(M'\)， 则再次应用 Nakayama 可知 \(M'\) 是循环模 \(M'\cong P'/J'\)； 置 \(B'=P'/J'\)，便得到 \(B\) 作为代数的平坦提升。

置 \(C=B^h\) 与 \(\mathfrak c=\mathfrak bC\)。假设 \(A'\to C'\) 是 \(A\to C\) 的平坦提升。则 \(C'\) 关于 \(\mathfrak c\) 的逆像 \(\mathfrak c'\) 是 Hensel 的（由代数进阶引理 0DYD 以及 \(C'\to C\) 的核幂零这一事实）。选取提升 \(A\)-代数同态 \(P\to C\) 的 \(A'\)-代数同态 \(P'\to C'\)。这些同态经由 Hensel 化 给出满射 \(P^h\to C\) 与 \((P')^h\to C'\)（对后一个再次使用 Nakayama 引理）。特别地，可以赋予 \(C'\) 一个在 \(A'\) 上平坦的 \((P')^h\)-模结构，它提升作为在 \(A\) 上平坦的 \(P^h\)-模的 \(C\)。 反之，若可把 \(C\) 提升为在 \(A'\) 上平坦的 \((P')^h\)-模 \(N'\)， 则再次应用 Nakayama 可知 \(N'\) 是循环模 \(N'\cong(P')^h/\tilde J\)；置 \(C'=(P')^h/\tilde J\)， 便得到 \(C\) 作为代数的平坦提升。

注意，\(P'\to(P')^h\) 是平坦环同态，并诱导同构 \(P'/\mathfrak p'=(P')^h/\mathfrak p'(P')^h\)（代数进阶引理 0AGU）。因此，只要能证明对 \(g\in\mathfrak p'\)，\(B_g\) 可提升为在 \(A'\) 上平坦的 \(P'_g\)-模， 本引理便由引理 0DZ2 推出。然而环同态 \(A\to B_g\) 是 syntomic，故由环同态的光滑化命题 07M8，它可提升为在 \(A'\) 上平坦的 代数 \(B'\)。由于 \(A'\to P'_g\) 光滑，可以像此前一样把 \(P_g\to B_g\) 提升为满射 \(P'_g\to B'\)，这正是所需结论。

引理

设 \(k\) 是域，\(B\) 是有限型 \(k\)-代数。设 \(J\subset B\) 是理想， 使得 \(\Spec(B)\to\Spec(k)\) 在 \(V(J)\) 的补集上光滑。 设 \(N\) 是有限 \(B\)-模。则有典范双射 \[\text{Exal}_k(B, N) \to \text{Exal}_k(B^h, N^h)\] 。这里 \((B^h,J^h)\) 是对 \((B,J)\) 的 Hensel 化， 且 \(N^h=N\otimes_BB^h\)。

证明

本证明与引理 0DZ4 的证明相同，但更容易。 建议读者略过。该映射由 Hensel 化给出：给定 \(\text{Exal}_k(B,N)\) 中的 \(0\to N\to C\to B\to0\)， 把它送到 \(C\) 关于 \(J\) 的逆像 \(J_C\subset C\) 的 Hensel 化 \(C^h\)。可与引理 0DYT 的证明比较。

由于 \(k\to B\) 是有限呈示，复形 \(\NL_{B/k}\) 可由复形 \(N^{-1}\to N^0\) 表示，其中每个 \(N^i\) 都是有限 \(B\)-模； 参见代数第 00S0 节，特别是代数引理 00S1。由于 \(B\) 是 Noether 环， 这意味着 \(\NL_{B/k}\) 是伪凝聚的。对 \(g\in J\)，\(k\)-代数 \(B_g\) 光滑，因而 \((\NL_{B/k})_g=\NL_{B_g/k}\) 拟同构于置于次数 \(0\) 的有限投射 \(B\)-模。

所以对任意 \(B\)-模 \(N\) 及 \(i\geq1\)，有 \(\text{Ext}^i_B(\NL_{B/k},N)_g=0\)。最后，有 \[\begin{align*} \text{Ext}^1_{B^h}(\NL_{B^h/k}, N^h) & = \text{Ext}^1_{B^h}(\NL_{B/k} \otimes_B B^h, N \otimes_B B^h) \\ & = \text{Ext}^1_B(\NL_{B/k}, N) \otimes_B B^h \\ & = \text{Ext}^1_B(\NL_{B/k}, N) \end{align*}\] 第一个等式由代数进阶引理 0D08（更准确地说，是其关于 Hensel 对之 Hensel 化的类似结论）得到。第二个等式由代数进阶引理 0A6A 得到。第三个等式成立， 是因为 \(\text{Ext}^1_B(\NL_{B/k},N)\) 是 \(J\)-幂挠的，映射 \(B\to B^h\) 平坦并诱导同构 \(B/J\to B^h/JB^h\)（代数进阶引理 0AGU），以及代数进阶引理 05EC。结合引理 0DZ4 紧前方把 \(\text{Exal}_A(B,N)\) 描述为 \(\text{Ext}^1_B(\NL_{B/A},N)\) 的结论， 证明完毕。

引理

在例 0DY1 中，设 \(P\) 是 \(k\)-代数， \(J\subset P\) 是理想。以 \((P^h,J^h)\) 表示对 \((P,J)\) 的 Hensel 化。若

1. \(k\to P\) 是有限型的；

2. \(\Spec(P)\to\Spec(k)\) 在 \(V(J)\) 的补集上光滑，

则引理 0DYT 中形变范畴之间的函子 \[\Deformationcategory_P \longrightarrow \Deformationcategory_{P^h}\] 光滑，并在切空间上诱导同构。

证明

由引理 0DY2，我们知道 \(\Deformationcategory_P\) 与 \(\Deformationcategory_{P^h}\) 都是形变范畴。 因此只须检验该函子等同切空间并对应可提升性；参见形式形变理论引理 0DYP。可提升性由引理 0DZB 证明，切空间上的同构则是 引理 0DZC 中 \(N=B\) 的特殊情形。

孤立奇点的应用

我们应用上述讨论，研究只有有限多个奇点的有限型代数的形变理论。

引理

在例 0DY1 中，设 \(P\) 是 \(k\)-代数。 假设 \(k\to P\) 是有限型的，且 \(\Spec(P)\to\Spec(k)\) 除在 \(P\) 的极大理想 \(\mathfrak m_1,\ldots,\mathfrak m_n\) 处外均光滑。 分别以 \(P_{\mathfrak m_i}\)、\(P_{\mathfrak m_i}^h\)、 \(P_{\mathfrak m_i}^\wedge\) 表示局部环、Hensel 化和完备化。 则形变范畴的映射 \[\Deformationcategory_P \to \prod \Deformationcategory_{P_{\mathfrak m_i}} \to \prod \Deformationcategory_{P_{\mathfrak m_i}^h} \to \prod \Deformationcategory_{P_{\mathfrak m_i}^\wedge}\] 光滑，并在其有限维切空间上诱导同构。

证明

由引理 0DY4，切空间是有限维的。 这些范畴之间的函子在引理 0DYS、 0DYT 与 0DYV 中构造 （我们略去一些形如“Hensel 化的完备化就是完备化”的验证）。

置 \(J=\mathfrak m_1\cap\ldots\cap\mathfrak m_n\)，应用引理 0DZ5 可知 \(\Deformationcategory_P \to \Deformationcategory_{P^\wedge}\) 光滑，并在切空间上诱导同构；这里 \(P^\wedge\) 是 \(P\) 的 \(J\)-进完备化。然而，由于 \(P^\wedge=\prod P_{\mathfrak m_i}^\wedge\)， 可见映射 \(\Deformationcategory_P\to \prod \Deformationcategory_{P_{\mathfrak m_i}^\wedge}\) 光滑，并在切空间上诱导同构。

设 \((P^h,J^h)\) 是对 \((P,J)\) 的 Hensel 化。则 \(P^h=\prod P_{\mathfrak m_i}^h\)（考察幂等元并应用代数进阶引理 09XI）。 因此可应用引理 0DZD， 像完备化情形一样得到结论。

为得到最后一种情形，只需分别对每个 \(i\) 证明 \(\Deformationcategory_{P_{\mathfrak m_i}} \to \Deformationcategory_{P_{\mathfrak m_i}^\wedge}\) 光滑，并在切空间上诱导同构。

为此，可把 \(P\) 替换为一个主局部化，使其唯一奇点是极大理想 \(\mathfrak m\)（对应于原来 \(P\) 中的 \(\mathfrak m_i\)）。 然后对乘法子集 \(S=P\setminus\mathfrak m\) 应用引理 0DZ9 即得结论。略去次要细节。

无阻碍形变问题

设 \(p:\mathcal{F}\to\mathcal{C}_\Lambda\) 是以群胚为纤维的余纤维化范畴。 回忆，若 \(p\) 光滑，就称 \(\mathcal{F}\) 光滑或无阻碍。 这意味着：给定 \(\mathcal{C}_\Lambda\) 中的满射 \(\varphi:A'\to A\) 以及 \(x\in\Ob(\mathcal{F}(A))\)， 存在 \(\mathcal{F}\) 中的态射 \(f:x'\to x\)，满足 \(p(f)=\varphi\)。参见形式形变理论第 0DYK 节。本节给出若干具有几何意义的例子。

引理

在例 0DY1 中，设 \(P\) 是 \(k\) 上的局部完全交 （代数定义 00S9）。 则 \(\Deformationcategory_P\) 无阻碍。

证明

设 \((A,Q)\to(k,P)\) 是 \(\Deformationcategory_P\) 的对象。 由代数定义 00SL，\(A\to Q\) 是 syntomic 环同态。 因此，对 \(\mathcal{C}_\Lambda\) 中任意满射 \(A'\to A\)， 由环同态的光滑化命题 07M8， 存在提升 \(A'\to A\) 的态射 \((A',Q')\to(A,Q)\)。这就证明了引理。

引理

在情形 0DYY 中，若 \(U_{12}\to\Spec(k)\) 光滑， 则态射 \[\Deformationcategory_X \longrightarrow \Deformationcategory_{U_1} \times \Deformationcategory_{U_2} = \Deformationcategory_{P_1} \times \Deformationcategory_{P_2}\] 光滑。若此外 \(U_1\) 是 \(k\) 上的局部完全交，则 \[\Deformationcategory_X \longrightarrow \Deformationcategory_{U_2} = \Deformationcategory_{P_2}\] 光滑。

证明

这些等号由引理 0DYX 成立。按照形式形变理论第 0DYK 节，把 \(\mathcal{C}_\Lambda\) 看作 \(\mathcal{C}_\Lambda\) 上的形变范畴。于是 \[\Deformationcategory_{P_1} \times \Deformationcategory_{P_2} = \Deformationcategory_{P_1} \times_{\mathcal{C}_\Lambda} \Deformationcategory_{P_2},\] 参见形式形变理论注 06GK （0DZJ）。利用引理 0DYZ， 第一个断言是函子 \[\Deformationcategory_{P_1} \times_{\Deformationcategory_{P_{12}}} \Deformationcategory_{P_2} \longrightarrow \Deformationcategory_{P_1} \times_{\mathcal{C}_\Lambda} \Deformationcategory_{P_2}\] 光滑。只要能证明 \(T\Deformationcategory_{P_{12}}=(0)\)， 这就由形式形变理论引理 0DYN 得到。 由于 \(P_{12}\) 在 \(k\) 上光滑，该消失性由引理 0DZL 得到。对第二个断言，只需证明 \(\Deformationcategory_{P_1} \to \mathcal{C}_\Lambda\) 光滑；参见形式形变理论引理 06HM。换言之，须证明 \(\Deformationcategory_{P_1}\) 无阻碍，这正是引理 0DZH。

引理

在例 0DY7 中，设 \(X\) 是 \(k\) 上的概形。假设

1. \(X\) 是分离的、在 \(k\) 上有限型，且 \(\dim(X)\leq1\)；

2. \(X\to\Spec(k)\) 除在闭点 \(p_1,\ldots,p_n\in X\) 处外均光滑。

分别以 \(\mathcal{O}_{X,p_1}\)、\(\mathcal{O}_{X,p_1}^h\)、 \(\mathcal{O}_{X,p_1}^\wedge\) 表示局部环、Hensel 化和完备化。

考虑形变范畴的映射 \[\Deformationcategory_X \longrightarrow \prod \Deformationcategory_{\mathcal{O}_{X, p_i}} \longrightarrow \prod \Deformationcategory_{\mathcal{O}_{X, p_i}^h} \longrightarrow \prod \Deformationcategory_{\mathcal{O}_{X, p_i}^\wedge}\] 第一个箭头光滑；第二、第三个箭头光滑，并在切空间上诱导同构。

证明

选取仿射开集 \(U_2\subset X\)，使其包含 \(p_1,\ldots,p_n\) 以及 \(X\) 每个不可约分支的泛点。这由代数簇引理 0A25 与性质引理 01ZY 得以实现。 于是 \(X\setminus U_2\) 是有限集，可以选取仿射开集 \(U_1\subset X\setminus\{p_1,\ldots,p_n\}\)，使得 \(X=U_1\cup U_2\)。置 \(U_{12}=U_1\cap U_2\)。 此时 \(U_1\) 与 \(U_{12}\) 都是 \(k\) 上的光滑仿射概形。因此 \[\Deformationcategory_X \longrightarrow \Deformationcategory_{U_2}\] 由引理 0DZN 是光滑的。 应用引理 0DYX 与 0DZF 即得结论。

引理

在例 0DY7 中，设 \(X\) 是 \(k\) 上的概形。假设

1. \(X\) 是分离的、在 \(k\) 上有限型，且 \(\dim(X)\leq1\)；

2. \(X\) 是 \(k\) 上的局部完全交；

3. \(X\to\Spec(k)\) 除在有限多个点处外均光滑。

则 \(\Deformationcategory_X\) 无阻碍。

证明

设 \(p_1,\ldots,p_n\in X\) 是 \(X\to\Spec(k)\) 不光滑的点。 选取仿射开集 \(U_2\subset X\)，使其包含 \(p_1,\ldots,p_n\) 以及 \(X\) 每个不可约分支的泛点。这由代数簇引理 0A25 与性质引理 01ZY 得以实现。 于是 \(X\setminus U_2\) 是有限集，可以选取仿射开集 \(U_1\subset X\setminus\{p_1,\ldots,p_n\}\)，使得 \(X=U_1\cup U_2\)。置 \(U_{12}=U_1\cap U_2\)。 此时 \(U_1\) 与 \(U_{12}\) 都是 \(k\) 上的光滑仿射概形。因此 \[\Deformationcategory_X \longrightarrow \Deformationcategory_{U_2}\] 由引理 0DZN 是光滑的。 应用引理 0DYX 与 0DZH 即得结论。

光滑化

设给定域 \(k\) 上的有限型概形或代数空间 \(X\)。寻找有限型平坦态射 \(Y\to\Spec(k[[t]])\) 往往很有用，其中一般纤维光滑，特殊纤维同构于 \(X\)。这样的对象称为 \(X\) 的一个光滑化。本节将为具有孤立局部完全交 奇点的 \(1\) 维分离 \(X\) 找到光滑化。

引理

设 \(k\) 是域。置 \(S=\Spec(k[[t]])\) 与 \(S_n=\Spec(k[t]/(t^n))\)。设 \(Y\to S\) 是固有平坦概形态射， 其特殊纤维 \(X\) 是 Cohen–Macaulay 且为 \(d\) 维等维的。 记 \(X_n=Y\times_SS_n\)。若对某个 \(n\geq1\)， \(\Omega_{X_n/S_n}\) 的第 \(d\) 个 Fitting 理想包含 \(t^{n-1}\)， 则 \(Y\to S\) 的一般纤维光滑。

证明

由态射进阶引理 045U 可知 \(Y\to S\) 是 Cohen–Macaulay 态射。由态射引理 02NM 可知 \(Y\to S\) 的相对维数为 \(d\)。由除子引理 0C3K， \(\Omega_{Y/S}\) 的第 \(d\) 个 Fitting 理想 \(\mathcal{I}\subset\mathcal{O}_Y\) 定义了态射 \(Y\to S\) 的奇异轨迹。 换言之，\(V(\mathcal{I})\subset Y\) 是 \(Y\to S\) 不光滑的点所成的闭子集。 由除子引理 0C3I， 该 Fitting 理想的形成与基变换交换。根据假设，\(t^{n-1}\) 是 \(\mathcal{I}+t^n\mathcal{O}_Y\) 的截面。因此，对每个 \(x\in X=V(t)\subset Y\)，有 \(t^{n-1}\in\mathcal{I}_x\)； 这里 \(\mathcal{I}_x\) 是在 \(x\) 处的茎。这意味着在 \(Y\) 中 \(X\) 的某个开邻域内有 \(V(\mathcal{I})\subset V(t)\)。由于 \(Y\to S\) 固有，可得所需的 \(V(\mathcal{I})\subset V(t)\)。

引理

设 \(k\) 是域，\(1\leq c\leq n\) 是整数。设 \(f_1,\ldots,f_c\in k[x_1,\ldots x_n]\)，并令 \(a_{ij}\)（\(0\leq i\leq n\)，\(1\leq j\leq c\)）为变量。考虑

\[g_j = f_j + a_{0j} + a_{1j}x_1 + \ldots + a_{nj}x_n \in k[a_{ij}][x_1, \ldots, x_n]\] 以 \(Y\subset\mathbf{A}^{n+c(n+1)}_k\) 表示由 \(g_1,\ldots,g_c\) 定义的闭子概形。以 \(\pi:Y\to\mathbf{A}^{c(n+1)}_k\) 表示到以 \(a_{ij}\) 为变量的 仿射空间的投影。则 \(\mathbf{A}^{c(n+1)}_k\) 中存在非空 Zariski 开子集，使得 \(\pi\) 在其上光滑。

证明

回忆，\(\pi\) 光滑的点所成的集合是开集，故其补集，即奇异轨迹， 是闭集。由 Chevalley 定理（采用态射引理 054J 的形式），奇异轨迹的像是可构造集。 因此，只要 \(\mathbf{A}^{c(n+1)}_k\) 的泛点不在奇异轨迹的像中， 本引理便成立（例如可用拓扑引理 005K）。所以须证明： 不存在映到 \(\mathbf{A}^{c(n+1)}_k\) 泛点的点 \(y\in Y\)， 使得 \(\pi\) 在该点不光滑。考虑偏导数矩阵 \[(\frac{\partial g_j}{\partial x_i}) = (\frac{\partial f_j}{\partial x_i} + a_{ij})\] 该矩阵在 \(\kappa(y)\) 中的像必有秩 \(<c\)，否则 \(\pi\) 将在 \(y\) 处光滑；参见环同态的光滑化第 07C4 节的讨论。因此可找到不全为零的 \(\lambda_1,\ldots,\lambda_c\in\kappa(y)\)，使向量 \((\lambda_1,\ldots,\lambda_c)\) 位于该矩阵的核中。重新编号后， 可假设 \(\lambda_1\not = 0\)。除以 \(\lambda_1\) 后，可假设该向量形如 \((1,\lambda_2,\ldots,\lambda_c)\)。于是得到

\[a_{i1} = - \frac{\partial f_j}{\partial x_1} - \sum\nolimits_{j = 2, \ldots, c} \lambda_j(\frac{\partial f_j}{\partial x_i} + a_{ij})\] 在 \(\kappa(y)\) 中对 \(i=1,\ldots,n\) 成立。此外，由于 \(y\in Y\)，还有 \[a_{0j} = -f_j - a_{1j}x_1 - \ldots - a_{nj}x_n\] 在 \(\kappa(y)\) 中成立。这意味着 \(\kappa(y)\) 中由 \(a_{ij}\) 生成的 子域，包含于 \(\kappa(y)\) 中由 \(x_1,\ldots,x_n,\lambda_2,\ldots,\lambda_c\) 的像， 以及除 \(a_{i1}\) 与 \(a_{0j}\) 外的 \(a_{ij}\) 所生成的子域。 计数可知，后者的超越次数至多为 \(c(n+1)-1\)。因此 \(y\) 不可能映到泛点，正如所需。

引理

设 \(k\) 是域，\(A\) 是 \(k\) 上的全局完全交。存在有限型平坦环同态 \(k[[t]]\to B\)，满足 \(B/tB\cong A\)，并使 \(B[1/t]\) 在 \(k((t))\) 上光滑。

证明

按照代数定义 00S9，写成 \(A=k[x_1,\ldots,x_n]/(f_1,\ldots,f_c)\)。我们将选取 \(a_{ij}\in(t)\subset k[[t]]\)，并置 \[g_j = f_j + a_{0j} + a_{1j}x_1 + \ldots + a_{nj}x_n \in k[[t]][x_1, \ldots, x_n]\] 。随后取 \(B=k[[t]][x_1,\ldots,x_n]/(g_1,\ldots,g_c)\)。 我们断言 \(k[[t]]\to B\) 在每个位于 \((t)\) 上方的素理想处都平坦。 事实上，元素 \(f_1,\ldots,f_c\) 对 \(k[x_1,\ldots,x_n]\) 中任何包含 \(f_1,\ldots,f_c\) 的素理想 \(\mathfrak p\)，都在相应局部环中 构成正则序列（代数引理 00SC）。因此 \(g_1,\ldots,g_c\) 局部地是正则序列的提升，可以应用代数引理 00MG。 在位于 \((0)\subset k[[t]]\) 上方的素理想处，平坦性自动成立， 因为 \(k((t))=k[[t]]_{(0)}\) 是域。因此 \(B\) 在 \(k[[t]]\) 上平坦。

只须再证明：适当选取 \(a_{ij}\) 后，一般纤维 \(B_{(0)}\) 在 \(k((t))\) 上光滑。为此，须证明可以选取 \(a_{ij}\)，使诱导态射 \[(a_{ij}) : \Spec(k[[t]]) \longrightarrow \mathbf{A}^{c(n + 1)}_k\] 映入引理 0E7U 中的非空 Zariski 开集。 这是显然的，因为不存在关于 \(a_{ij}\) 的非零多项式在 \((t)^{\oplus c(n+1)}\) 上恒为零（留作读者练习）。

引理

设 \(k\) 是域。设 \(A\) 是有限维 \(k\)-代数，并且是 \(k\) 上的局部完全交。 则存在有限平坦 \(k[[t]]\)-代数 \(B\)，满足 \(B/tB\cong A\)， 且 \(B[1/t]\) 在 \(k((t))\) 上为 étale。

证明

由于 \(A\) 是 Artin 环（代数引理 00J6），可把 \(A\) 写成局部 Artin 环的积（代数引理 00JB）。 因此只须证明 \(A\) 为局部环的情形（这里使用了取主局部化保持 局部完全交性质；参见代数引理 00SA）。 在这种情形下，\(A\) 是全局完全交。考虑引理 0E7V 中构造的代数 \(B\)。则 \(k[[t]]\to B\) 在 \(B\) 中唯一位于 \((t)\) 上方的素理想处拟有限 （代数定义 00PL）。注意，\(k[[t]]\) 是 Hensel 局部环（代数引理 04GM）。 因此 \(B=B'\times C\)，其中 \(B'\) 在 \(k[[t]]\) 上有限，而 \(C\) 没有位于 \((t)\) 上方的素理想；参见代数引理 04GG。于是 \(B'\) 正是所求的环 （回忆，étale 等价于相对维数为 \(0\) 的光滑）。

引理

设 \(k\) 是域，\(A\) 是 \(k\)-代数。假设

1. \(A\) 是本质有限型 \(k\)-局部环；

2. \(A\) 是 \(k\) 上的完全交 （代数定义 00SD）。

置 \(d=\dim(A)+\text{trdeg}_k(\kappa)\)，其中 \(\kappa\) 是 \(A\) 的剩余域。则存在整数 \(n\) 以及本质有限型平坦环同态 \(k[[t]]\to B\)，满足 \(B/tB\cong A\)，并使 \(t^n\) 属于 \(\Omega_{B/k[[t]]}\) 的第 \(d\) 个 Fitting 理想。

证明

由代数引理 00SF，可把 \(A\) 写成 \(k\) 上的全局完全交 \(P\) 在某个素理想 \(\mathfrak p\) 处的局部化。 由代数引理 00P1， 注意到 \(\dim(P)=d\)。由引理 0E7V， 可找到有限型平坦环同态 \(k[[t]]\to Q\)，使得 \(P\cong Q/tQ\)， 并使 \(k((t))\to Q[1/t]\) 光滑。由该引理中 \(Q\) 的构造可知， \(k[[t]]\to Q\) 是相对维数为 \(d\) 的相对全局完全交；或者， 代数引理 00SY 表明 \(Q\) 或 \(Q\) 的某个适当主局部化是这样的全局完全交。因此由除子引理 0C3K， \(\Omega_{Q/k[[t]]}\) 的第 \(d\) 个 Fitting 理想 \(I\subset Q\) 定义了 \(\Spec(Q)\to\Spec(k[[t]])\) 的奇异轨迹。 于是对某个 \(n\) 有 \(t^n\in I\)。令 \(\mathfrak q\subset Q\) 为 \(\mathfrak p\) 的逆像，置 \(B=Q_\mathfrak q\)。引理得证。

引理

设 \(X\) 是域 \(k\) 上的概形。假设

1. \(X\) 在 \(k\) 上固有；

2. \(X\) 是 \(k\) 上的局部完全交；

3. \(X\) 的维数 \(\leq1\)；

4. \(X\to\Spec(k)\) 除在有限多个点处外均光滑。

则存在平坦射影态射 \(Y\to\Spec(k[[t]])\)，其一般纤维光滑， 特殊纤维同构于 \(X\)。

证明

注意，\(X\) 是 Cohen–Macaulay 的；参见代数引理 00SB。因此 \(X=X'\amalg X''\)，其中 \(\dim(X')=0\)，而 \(X''\) 是 \(1\) 维等维的；参见态射引理 02NM。 由于 \(X'\) 在 \(k\) 上有限（代数簇引理 06LH），由引理 0E7W 可找到 \(Y'\to\Spec(k[[t]])\)，其特殊纤维为 \(X'\)，一般纤维光滑。 因此只须对 \(X''\) 证明本引理。以 \(X''\) 替换 \(X\) 后， \(X\) 是 Cohen–Macaulay 且为 \(1\) 维等维的。

我们将对情形 \(\Lambda=k\to k\) 使用形变理论。令 \(p_1,\ldots,p_r\in X\) 为 \(X\) 的闭奇点，即 \(X\to\Spec(k)\) 不光滑的点。对每个 \(i\)，选取整数 \(n_i\) 和本质有限型平坦环同态 \[k[[t]] \longrightarrow B_i\] ，满足 \(B_i/tB_i\cong\mathcal{O}_{X,p_i}\)，并使 \(t^{n_i}\) 属于 \(\Omega_{B_i/k[[t]]}\) 的第 \(1\) 个 Fitting 理想。由引理 0E7X，这可以做到。注意，系统 \((B_i/t^nB_i)\) 定义了 \(\Deformationcategory_{\mathcal{O}_{X,p_i}}\) 在 \(k[[t]]\) 上的形式对象。由引理 0DZP，映射 \[\Deformationcategory_X \longrightarrow \prod\nolimits_{i = 1, \ldots, r} \Deformationcategory_{\mathcal{O}_{X, p_i}}\] 是形变范畴之间的光滑映射。因此由形式形变理论引理 06HN ，\(\Deformationcategory_X\) 中存在形式对象 \((X_n)\)， 经上述箭头映到形式对象 \(\prod_i(B_i/t^n)\)。由空间态射进阶引理 0E7R ，存在 \(k[[t]]\) 上的射影概形 \(Y\) 以及相容同构 \(Y\times_{\Spec(k[[t]])}\Spec(k[t]/(t^n))\cong X_n\)。 由态射进阶引理 0D4G 可知 \(Y\to\Spec(k[[t]])\) 平坦。由于 \(X\) 是 Cohen–Macaulay 且为 \(1\) 维等维的，可应用引理 0E7T 检验 \(Y\) 的一般纤维光滑³。 选取严格大于上述整数 \(n_i\) 之最大值的 \(n\)。若能证明 \(t^{n-1}\) 属于 \(\Omega_{X_n/S_n}\) 的第一个 Fitting 理想， 其中 \(S_n=\Spec(k[t]/(t^n))\)，则证明完成。为此，只须在 \(X_n\) 每个闭点 \(p\) 处的局部环中证明这一点。然而，若 \(p\) 对应于 \(X\to\Spec(k)\) 的光滑点，则 \(\Omega_{X_n/S_n,p}\) 是秩为 \(1\) 的自由模，第一个 Fitting 理想等于该局部环。若对某个 \(i\) 有 \(p=p_i\)，则 \[\Omega_{X_n/S_n, p_i} = \Omega_{(B_i/t^nB_i)/(k[t]/(t^n))} = \Omega_{B_i/k[[t]]}/t^n\Omega_{B_i/k[[t]]}\] 由于取 Fitting 理想与基变换交换（我们已经使用过这一点； 在这里的代数情形中，它由代数进阶引理 07ZA 得到），并且 \(n-1\geq n_i\)，可知 \(t^{n-1}\) 属于该模作为 \(B_i/t^nB_i\)-模的 Fitting 理想，正如所需。

引理

设 \(k\) 是域，\(X\) 是 \(k\) 上的概形。假设

1. \(X\) 是分离的、在 \(k\) 上有限型，且 \(\dim(X)\leq1\)；

2. \(X\) 是 \(k\) 上的局部完全交；

3. \(X\to\Spec(k)\) 除在有限多个点处外均光滑。

则存在有限型平坦分离态射 \(Y\to\Spec(k[[t]])\)，其一般纤维光滑， 特殊纤维同构于 \(X\)。

证明

若 \(X\) 既约，则可像代数簇引理 0BXW 中那样选取嵌入 \(X\subset\overline{X}\)。写成 \(X=\overline{X}\setminus\{x_1,\ldots,x_n\}\)，可见 \(\mathcal{O}_{\overline{X},x_i}\) 是离散赋值环，因而特别是局部完全交 （代数定义 00SD）。因此 \(\overline{X}\) 是 \(k\) 上的局部完全交：在开集 \(X\) 上这一点成立， 而在点 \(x_i\) 处由代数引理 00SF 成立。 故可应用引理 0E7Y，找到 射影平坦态射 \(\overline{Y}\to\Spec(k[[t]])\)，其一般纤维光滑， 特殊纤维为 \(\overline{X}\)。随后从 \(\overline{Y}\) 中移去 \(x_1,\ldots,x_n\)，得到 \(Y\)。

在一般情形下，写成 \(X=X'\amalg X''\)，其中 \(\dim(X')=0\)，而 \(X''\) 是 \(1\) 维等维的。

此时 \(X''\) 既约，第一段适用于它。另一方面，可以像引理 0E7Y 的证明中那样处理 \(X'\)。略去一些细节。