单纯方法 · Stacks

引言

这是对单纯方法的一份最低限度的介绍。我们只在后文需要某项内容时，才把它加入这里。关于这些材料，一份一般性的参考文献或许是 [SimpHom]。这些方法能够完成何种工作的例子包括 Quillen 关于同伦代数的论文，见 [Quillen]，以及 Artin 与 Mazur 关于 ’Etale 同伦的论文，见 [ArtinMazur]。

有限全序集的范畴

范畴 \(\Delta\) 定义如下：

其对象为 \([0], [1], [2], \ldots\)，其中 \([n] = \{0, 1, 2, \ldots, n\}\)；
态射 \([n] \to [m]\) 是相应集合之间的非减映射 \(\{0, 1, 2, \ldots, n\} \to \{0, 1, 2, \ldots, m\}\)。

这里，映射 \(\varphi : [n] \to [m]\) 为非减的，按定义是指：若 \(i \geq j\)，则 \(\varphi(i) \geq \varphi(j)\)。换言之，\(\Delta\) 等价于以非空有限全序集为对象、以非减映射为态射的“大”范畴。恰有 \(n + 1\) 个态射 \([0] \to [n]\)，而恰有 \(1\) 个态射 \([n] \to [0]\)。恰有 \((n + 1)(n + 2)/2\) 个态射 \([1] \to [n]\)，而恰有 \(n + 2\) 个态射 \([n] \to [1]\)。其余情形以此类推。

定义

对任意整数 \(n\geq 1\) 及任意 \(0\leq j \leq n\)，以 \(\delta^n_j : [n-1] \to [n]\) 表示跳过 \(j\) 的保序单射。对任意整数 \(n\geq 0\) 及任意 \(0\leq j \leq n\)，以 \(\sigma^n_j : [n + 1] \to [n]\) 表示满足 \((\sigma^n_j)^{-1}(\{j\}) = \{j, j + 1\}\) 的保序满射。

引理

\(\Delta\) 中的任一态射都可写成若干态射 \(\delta^n_j\) 与 \(\sigma^n_j\) 的复合。

证明

设 \(\varphi : [n] \to [m]\) 为 \(\Delta\) 的态射。若 \(j \not \in \Im(\varphi)\)，则对某个态射 \(\psi : [n] \to [m - 1]\)，可将 \(\varphi\) 写成 \(\delta^m_j \circ \psi\)。若 \(\varphi(j) = \varphi(j + 1)\)，则对某个态射 \(\psi : [n - 1] \to [m]\)，可将 \(\varphi\) 写成 \(\psi \circ \sigma^{n - 1}_j\)。上述每次替换都会减小 \(n + m\)，故在某一步 \(\varphi\) 将同时为单射和满射，因而为恒等态射，结论随即成立。

引理

态射 \(\delta^n_j\) 与 \(\sigma^n_j\) 满足下列关系。

若 \(0 \leq i < j \leq n + 1\)，则 \(\delta^{n + 1}_j \circ \delta^n_i = \delta^{n + 1}_i \circ \delta^n_{j - 1}\)。换言之，下图交换： \[\xymatrix{ & [n] \ar[rd]^{\delta^{n + 1}_j} & \\ [n - 1] \ar[ru]^{\delta^n_i} \ar[rd]_{\delta^n_{j - 1}} & & [n + 1] \\ & [n] \ar[ru]_{\delta^{n + 1}_i} & }\]

若 \(0 \leq i < j \leq n - 1\)，则 \(\sigma^{n - 1}_j \circ \delta^n_i = \delta^{n - 1}_i \circ \sigma^{n - 2}_{j - 1}\)。换言之，下图交换： \[\xymatrix{ & [n] \ar[rd]^{\sigma^{n - 1}_j} & \\ [n - 1] \ar[ru]^{\delta^n_i} \ar[rd]_{\sigma^{n - 2}_{j - 1}} & & [n - 1] \\ & [n - 2] \ar[ru]_{\delta^{n - 1}_i} & }\]

若 \(0 \leq j \leq n - 1\)，则 \(\sigma^{n - 1}_j \circ \delta^n_j = \text{id}_{[n - 1]}\) 且 \(\sigma^{n - 1}_j \circ \delta^n_{j + 1} = \text{id}_{[n - 1]}\)。换言之，下图交换： \[\xymatrix{ & [n] \ar[rd]^{\sigma^{n - 1}_j} & \\ [n - 1] \ar[ru]^{\delta^n_j} \ar[rd]_{\delta^n_{j + 1}} \ar[rr]^{\text{id}_{[n - 1]}} & & [n - 1] \\ & [n] \ar[ru]_{\sigma^{n - 1}_j} & }\]

若 \(0 < j + 1 < i \leq n\)，则 \(\sigma^{n - 1}_j \circ \delta^n_i = \delta^{n - 1}_{i - 1} \circ \sigma^{n - 2}_j\)。换言之，下图交换： \[\xymatrix{ & [n] \ar[rd]^{\sigma^{n - 1}_j} & \\ [n - 1] \ar[ru]^{\delta^n_i} \ar[rd]_{\sigma^{n - 2}_j} & & [n - 1] \\ & [n - 2] \ar[ru]_{\delta^{n - 1}_{i - 1}} & }\]

若 \(0 \leq i \leq j \leq n - 1\)，则 \(\sigma^{n - 1}_j \circ \sigma^n_i = \sigma^{n - 1}_i \circ \sigma^n_{j + 1}\)。换言之，下图交换： \[\xymatrix{ & [n] \ar[rd]^{\sigma^{n - 1}_j} & \\ [n + 1] \ar[ru]^{\sigma^n_i} \ar[rd]_{\sigma^n_{j + 1}} & & [n - 1] \\ & [n] \ar[ru]_{\sigma^{n - 1}_i} & }\]

证明

略。

引理

范畴 \(\Delta\) 是具有对象 \([n]\)（\(n \geq 0\)）及态射 \(\delta^n_j\)、\(\sigma^n_j\) 的泛范畴，并满足：(a) 每个态射都是这些态射的复合；(b) 引理 0167 所列关系成立； (c) 这些态射之间的任一关系都是上述关系的推论。

证明

略。

单纯对象

定义

设 \(\mathcal{C}\) 为范畴。

\(\mathcal{C}\) 的一个单纯对象 \(U\) 是从 \(\Delta\) 到 \(\mathcal{C}\) 的反变函子 \(U\)，即 \[U : \Delta^{opp} \longrightarrow \mathcal{C}\]

若 \(\mathcal{C}\) 为集合范畴，则称 \(U\) 为单纯集。

若 \(\mathcal{C}\) 为阿贝尔群范畴，则称 \(U\) 为单纯阿贝尔群。

单纯对象之间的一个态射 \(U \to U'\) 是函子之间的自然变换。

\(\mathcal{C}\) 的单纯对象范畴记为 \(\text{Simp}(\mathcal{C})\)。

这意味着存在对象 \(U([0]), U([1]), U([2]), \ldots\)，并且对任意非减映射 \(\varphi\)，即 \(\varphi : [m] \to [n]\)，存在态射 \(U(\varphi) : U([n]) \to U([m])\)，满足 \(U(\varphi \circ \psi) = U(\psi) \circ U(\varphi)\)。

特别地，存在唯一态射 \(U([0]) \to U([n])\)，并且与 \(n + 1\) 个映射 \([0] \to [n]\) 相对应，恰有 \(n + 1\) 个态射 \(U([n]) \to U([0])\)。显然，为了清楚地讨论这些单纯对象，还需要更多记号。为此我们使用上面第 0164 节中挑出的那些态射。

引理

设 \(\mathcal{C}\) 为范畴。

给定 \(\mathcal{C}\) 中的单纯对象 \(U\)，得到对象列 \(U_n = U([n])\)，以及态射 \(d^n_j = U(\delta^n_j) : U_n \to U_{n-1}\) 和 \(s^n_j = U(\sigma^n_j) : U_n \to U_{n + 1}\)。这些态射满足引理 0167 所列关系的反向关系，即

若 \(0 \leq i < j \leq n + 1\)，则 \(d^n_i \circ d^{n + 1}_j = d^n_{j - 1} \circ d^{n + 1}_i\)。

若 \(0 \leq i < j \leq n - 1\)，则 \(d^n_i \circ s^{n - 1}_j = s^{n - 2}_{j - 1} \circ d^{n - 1}_i\)。

若 \(0 \leq j \leq n - 1\)，则 \(\text{id} = d^n_j \circ s^{n - 1}_j = d^n_{j + 1} \circ s^{n - 1}_j\)。

若 \(0 < j + 1 < i \leq n\)，则 \(d^n_i \circ s^{n - 1}_j = s^{n - 2}_j \circ d^{n - 1}_{i - 1}\)。

若 \(0 \leq i \leq j \leq n - 1\)，则 \(s^n_i \circ s^{n - 1}_j = s^n_{j + 1} \circ s^{n - 1}_i\)。

反过来，给定对象列 \(U_n\) 及满足 (1)(a)–(e) 的态射 \(d^n_j\)、\(s^n_j\)，则存在唯一的 \(\mathcal{C}\) 中的单纯对象 \(U\)，使得 \(U_n = U([n])\)、\(d^n_j = U(\delta^n_j)\) 且 \(s^n_j = U(\sigma^n_j)\)。

单纯对象 \(U\) 与 \(U'\) 之间的态射由一族与态射 \(d^n_j\) 和 \(s^n_j\) 交换的态射 \(U_n \to U'_n\) 给出。

证明

这由引理 0168 得出。

注

稍微滥用记号，我们有时以 \(d_i : U_n \to U_{n - 1}\) 代替 \(d^n_i\)，并对 \(s_i : U_n \to U_{n + 1}\) 使用类似记法。态射 \(d^n_i\) 与 \(s^n_i\) 之间的关系可表为：

若 \(i < j\)，则 \(d_i \circ d_j = d_{j - 1} \circ d_i\)。

若 \(i < j\)，则 \(d_i \circ s_j = s_{j - 1} \circ d_i\)。

有 \(\text{id} = d_j \circ s_j = d_{j + 1} \circ s_j\)。

若 \(i > j + 1\)，则 \(d_i \circ s_j = s_j \circ d_{i - 1}\)。

若 \(i \leq j\)，则 \(s_i \circ s_j = s_{j + 1} \circ s_i\)。

这表示，只要等式左右两侧的复合都有定义，相应等式就成立。

存在唯一态射 \(s^0_0 = U(\sigma^0_0) : U_0 \to U_1\)，以及两个态射 \(d^1_0 = U(\delta^1_0)\) 和 \(d^1_1 = U(\delta^1_1)\)，它们都是 \(U_1 \to U_0\) 的态射。存在两个态射 \(s^1_0 = U(\sigma^1_0)\)、\(s^1_1 = U(\sigma^1_1)\)，它们都是 \(U_1 \to U_2\) 的态射。还存在三个态射 \(d^2_0 = U(\delta^2_0)\)、\(d^2_1 = U(\delta^2_1)\)、\(d^2_2 = U(\delta^2_2)\)，它们都是 \(U_3 \to U_2\) 的态射。依此类推。

在图示上，我们把 \(U\) 看作： \[\xymatrix{ U_2 \ar@<2ex>[r] \ar@<0ex>[r] \ar@<-2ex>[r] & U_1 \ar@<1ex>[r] \ar@<-1ex>[r] \ar@<1ex>[l] \ar@<-1ex>[l] & U_0 \ar@<0ex>[l] }\] 这里，指向右侧的箭头是 \(d\)-态射，指向左侧的箭头是 \(s\)-态射。

例

最简单的例子是取值为 \(X \in \Ob(\mathcal{C})\) 的常值单纯对象。换言之，\(U_n = X\)，且所有映射均为 \(\text{id}_X\)。

例

设 \(Y\to X\) 为 \(\mathcal{C}\) 的态射，并且所有纤维积 \(Y \times_X Y \times_X \ldots \times_X Y\) 都存在。令 \(U_n\) 等于 \((n + 1)\) 重纤维积，并使 \(\varphi : [n] \to [m]\) 对应于如下映射（用“坐标”表示）： \((y_0, \ldots, y_m) \mapsto (y_{\varphi(0)}, \ldots, y_{\varphi(n)})\)。换言之，映射 \(U_0 = Y \to U_1 = Y \times_X Y\) 是对角映射，而两个映射 \(U_1 = Y \times_X Y \to U_0 = Y\) 是投影映射。

从几何上说，上面的例 016E 十分重要。它表明，最好把映射 \(d^n_j : U_n \to U_{n - 1}\) 看成投影映射（忘掉第 \(j\) 个分量），并把映射 \(s^n_j : U_n \to U_{n + 1}\) 看成对角映射（重复第 \(j\) 个坐标）。后面各节还会回到这一点。

引理

设 \(\mathcal{C}\) 为范畴，\(U\) 为 \(\mathcal{C}\) 的单纯对象。每个态射 \(s^n_i : U_n \to U_{n + 1}\) 都有左逆。特别地，\(s^n_i\) 是单态射。

证明

这是因为 \(d_i^{n + 1} \circ s^n_i = \text{id}_{U_n}\)。

作为预层的单纯对象

另一个观察是，可以把 \(\mathcal{C}\) 的单纯对象看作 \(\Delta\) 上取值于 \(\mathcal{C}\) 的预层。见 Sites，定义 00V3。事实上，若 \(U\)、\(U'\) 是 \(\mathcal{C}\) 的单纯对象，则 [016H]\[\begin{equation} \Mor(U, U') = \Mor_{\textit{PSh}(\Delta)}(U, U'). \end{equation}\] 下面的一些材料可以用位点一章中更一般的构造来替代。不过，采用单纯对象所特有的论证似乎能给出更清楚的图景。

余单纯对象

范畴 \(\mathcal{C}\) 的余单纯对象当然可以直接定义为对偶范畴 \(\mathcal{C}^{opp}\) 的单纯对象。不过，人的思维通常并不这样运作，因此我们在这里单独引入余单纯对象，并指出它们的一些简单性质。

定义

设 \(\mathcal{C}\) 为范畴。

\(\mathcal{C}\) 的一个余单纯对象 \(U\) 是从 \(\Delta\) 到 \(\mathcal{C}\) 的协变函子 \(U\)，即 \[U : \Delta \longrightarrow \mathcal{C}\]

若 \(\mathcal{C}\) 是集合范畴，则称 \(U\) 为余单纯集。

若 \(\mathcal{C}\) 是阿贝尔群范畴，则称 \(U\) 为余单纯阿贝尔群。

余单纯对象之间的态射 \(U \to U'\) 是函子之间的变换。

\(\mathcal{C}\) 的余单纯对象范畴记作 \(\text{CoSimp}(\mathcal{C})\)。

这就是说，我们有对象 \(U([0]), U([1]), U([2]), \ldots\)；对于任意非降映射 \(\varphi\)，即 \(\varphi : [m] \to [n]\)，都有一个态射 \(U(\varphi) : U([m]) \to U([n])\)，并且满足 \(U(\varphi \circ \psi) = U(\varphi) \circ U(\psi)\)。

特别地，有唯一的态射 \(U([n]) \to U([0])\)，并且恰有 \(n + 1\) 个态射 \(U([0]) \to U([n])\)，它们对应于 \(n + 1\) 个映射 \([0] \to [n]\)。显然，要恰当地讨论这些单纯对象，还需要更多记号。

为此，我们考察上面第 0164 节中挑出的那些态射。

引理

设 \(\mathcal{C}\) 为范畴。

给定 \(\mathcal{C}\) 中的余单纯对象 \(U\)，我们得到一列对象 \(U_n = U([n])\)，并带有态射 \(\delta^n_j = U(\delta^n_j) : U_{n - 1} \to U_n\) 和 \(\sigma^n_j = U(\sigma^n_j) : U_{n + 1} \to U_n\)。这些态射满足引理 0167 中列出的关系。

反之，给定一列对象 \(U_n\) 和满足这些关系的态射 \(\delta^n_j\)、\(\sigma^n_j\)，存在唯一的 \(\mathcal{C}\) 中的余单纯对象 \(U\)，使得 \(U_n = U([n])\)、\(\delta^n_j = U(\delta^n_j)\) 且 \(\sigma^n_j = U(\sigma^n_j)\)。

余单纯对象 \(U\) 与 \(U'\) 之间的态射由一族态射 \(U_n \to U'_n\) 给出，并且它们与态射 \(\delta^n_j\) 和 \(\sigma^n_j\) 可交换。

证明

这由引理 0168 推出。

注

我们有时滥用记号，以 \(\delta_i : U_{n - 1} \to U_n\) 代替 \(\delta^n_i\)，并对 \(\sigma_i : U_{n + 1} \to U_n\) 使用类似记法。态射 \(\delta^n_i\) 与 \(\sigma^n_i\) 之间的关系可以表述如下：

若 \(i < j\)，则 \(\delta_j \circ \delta_i = \delta_i \circ \delta_{j - 1}\)。

若 \(i < j\)，则 \(\sigma_j \circ \delta_i = \delta_i \circ \sigma_{j - 1}\)。

有 \(\text{id} = \sigma_j \circ \delta_j = \sigma_j \circ \delta_{j + 1}\)。

若 \(i > j + 1\)，则 \(\sigma_j \circ \delta_i = \delta_{i - 1} \circ \sigma_j\)。

若 \(i \leq j\)，则 \(\sigma_j \circ \sigma_i = \sigma_i \circ \sigma_{j + 1}\)。

这里的意思是，只要等式两边的复合都有定义，相应等式就应成立。

我们得到唯一的态射 \(\sigma^0_0 = U(\sigma^0_0) : U_1 \to U_0\)，以及两个态射 \(\delta^1_0 = U(\delta^1_0)\) 和 \(\delta^1_1 = U(\delta^1_1)\)，它们都是态射 \(U_0 \to U_1\)。有两个态射 \(\sigma^1_0 = U(\sigma^1_0)\)、 \(\sigma^1_1 = U(\sigma^1_1)\)，它们都是态射 \(U_2 \to U_1\)。还有三个态射 \(\delta^2_0 = U(\delta^2_0)\)、 \(\delta^2_1 = U(\delta^2_1)\)、\(\delta^2_2 = U(\delta^2_2)\)，它们都是态射 \(U_2 \to U_3\)。依此类推。

在图示上，我们把 \(U\) 看作： \[\xymatrix{ U_0 \ar@<1ex>[r] \ar@<-1ex>[r] & U_1 \ar@<0ex>[l] \ar@<2ex>[r] \ar@<0ex>[r] \ar@<-2ex>[r] & U_2 \ar@<1ex>[l] \ar@<-1ex>[l] }\] 这里，指向右侧的箭头是 \(\delta\)-态射，指向左侧的箭头是 \(\sigma\)-态射。

例

最简单的例子是取值为 \(X \in \Ob(\mathcal{C})\) 的常值余单纯对象。换言之，\(U_n = X\)，且所有映射均为 \(\text{id}_X\)。

例

设 \(X\to Y\) 为 \(C\) 的态射，并且所有推出 \(Y\amalg_X Y \amalg_X \ldots \amalg_X Y\) 都存在。

令 \(U_n\) 等于 \((n + 1)\) 重推出，并使 \(\varphi : [n] \to [m]\) 对应于 “坐标”上的映射 \[(y \text{ 于 }i\text{次分量}) \mapsto (y \text{ 于 }\varphi(i)\text{次分量})\] 换言之，映射 \(U_1 = Y \amalg_X Y \to U_0 = Y\) 在每个分量上都是恒等映射。两个映射 \(U_0 = Y \to U_1 = Y \amalg_X Y\) 是两个余投影。

例

对每个 \(n \geq 0\)，以 \(C[n]\) 表示余单纯集 \[\Delta \longrightarrow \textit{Sets},\quad [k] \longmapsto \Mor_{\Delta}([n], [k])\] 这个例子与例 0176 对偶。

引理

设 \(\mathcal{C}\) 为范畴，\(U\) 为 \(\mathcal{C}\) 的余单纯对象。每个态射 \(\delta^n_i : U_{n - 1} \to U_n\) 都有左逆。特别地，\(\delta^n_i\) 是单态射。

证明

这是因为当 \(j < n\) 时， \(\sigma_i^{n - 1} \circ \delta^n_i = \text{id}_{U_n}\)。

单纯对象的积

当然，我们应当把单纯对象的积定义为单纯对象范畴中的积。这可能导致一种容易混淆的情形：积虽然存在，却不能按下面的方式描述。为避免这种情形，我们直接作如下定义。

定义

设 \(\mathcal{C}\) 为范畴，\(U\) 和 \(V\) 为 \(\mathcal{C}\) 的单纯对象。假设积 \(U_n \times V_n\) 在 \(\mathcal{C}\) 中存在。 \(U\) 与 \(V\) 的积是如下定义的单纯对象 \(U \times V\)：

\((U \times V)_n = U_n \times V_n\)，

\(d^n_i = (d^n_i, d^n_i)\)，且

\(s^n_i = (s^n_i, s^n_i)\)。

换言之，\(U \times V\) 是 \(\Delta\) 上预层 \(U\) 与 \(V\) 的积。

引理

若 \(U\) 和 \(V\) 是范畴 \(\mathcal{C}\) 中的单纯对象，且 \(U \times V\) 存在，则对 \(\mathcal{C}\) 的任意第三个单纯对象 \(W\)，都有 \[\Mor(W, U \times V) = \Mor(W, U) \times \Mor(W, V)\]

证明

略。

单纯对象的纤维积

当然，我们应当把单纯对象的纤维积定义为单纯对象范畴中的纤维积。这可能导致一种容易混淆的情形：纤维积虽然存在，却不能按下面的方式描述。为避免这种情形，我们直接作如下定义。

定义

设 \(\mathcal{C}\) 为范畴，\(U, V, W\) 为 \(\mathcal{C}\) 的单纯对象，并设 \(a : V \to U\)、\(b : W \to U\) 为态射。假设纤维积 \(V_n \times_{U_n} W_n\) 在 \(\mathcal{C}\) 中存在。 \(V\) 与 \(W\) 在 \(U\) 上的纤维积是如下定义的单纯对象 \(V \times_U W\)：

\((V \times_U W)_n = V_n \times_{U_n} W_n\)，

\(d^n_i = (d^n_i, d^n_i)\)，且

\(s^n_i = (s^n_i, s^n_i)\)。

换言之，\(V \times_U W\) 是 \(\Delta\) 上预层 \(V\) 与 \(W\) 在预层 \(U\) 上的纤维积。

引理

若 \(U, V, W\) 是范畴 \(\mathcal{C}\) 中的单纯对象， \(a : V \to U\)、\(b : W \to U\) 是态射，并且 \(V \times_U W\) 存在，则对 \(\mathcal{C}\) 的任意第四个单纯对象 \(T\)，都有 \[\Mor(T, V \times_U W) = \Mor(T, V) \times_{\Mor(T, U)} \Mor(T, W)\]

证明

略。

单纯对象的推出

当然，我们应当把单纯对象的推出定义为单纯对象范畴中的推出。这可能导致一种容易混淆的情形：推出虽然存在，却不能按下面的方式描述。为避免这种情形，我们直接作如下定义。

定义

设 \(\mathcal{C}\) 为范畴，\(U, V, W\) 为 \(\mathcal{C}\) 的单纯对象，并设 \(a : U \to V\)、\(b : U \to W\) 为态射。假设推出 \(V_n \amalg_{U_n} W_n\) 在 \(\mathcal{C}\) 中存在。 \(V\) 与 \(W\) 在 \(U\) 上的推出是如下定义的单纯对象 \(V\amalg_U W\)：

\((V \amalg_U W)_n = V_n \amalg_{U_n} W_n\)，

\(d^n_i = (d^n_i, d^n_i)\)，且

\(s^n_i = (s^n_i, s^n_i)\)。

换言之，\(V\amalg_U W\) 是 \(\Delta\) 上预层 \(V\) 与 \(W\) 在预层 \(U\) 上的推出。

引理

若 \(U, V, W\) 是范畴 \(\mathcal{C}\) 中的单纯对象， \(a : U \to V\)、\(b : U \to W\) 是态射，并且 \(V\amalg_U W\) 存在，则对 \(\mathcal{C}\) 的任意第四个单纯对象 \(T\)，都有 \[\Mor(V\amalg_U W, T) = \Mor(V, T) \times_{\Mor(U, T)} \Mor(W, T)\]

证明

略。

余单纯对象的积

当然，我们应当把余单纯对象的积定义为余单纯对象范畴中的积。这可能导致一种容易混淆的情形：积虽然存在，却不能按下面的方式描述。为避免这种情形，我们直接作如下定义。

定义

设 \(\mathcal{C}\) 为范畴，\(U\) 和 \(V\) 为 \(\mathcal{C}\) 的余单纯对象。假设积 \(U_n \times V_n\) 在 \(\mathcal{C}\) 中存在。 \(U\) 与 \(V\) 的积是如下定义的余单纯对象 \(U \times V\)：

\((U \times V)_n = U_n \times V_n\)，

对任意 \(\varphi : [n] \to [m]\)，映射 \((U \times V)(\varphi) : U_n \times V_n \to U_m \times V_m\) 是积 \(U(\varphi) \times V(\varphi)\)。

引理

若 \(U\) 和 \(V\) 是范畴 \(\mathcal{C}\) 中的余单纯对象，且 \(U \times V\) 存在，则对 \(\mathcal{C}\) 的任意第三个余单纯对象 \(W\)，都有 \[\Mor(W, U \times V) = \Mor(W, U) \times \Mor(W, V)\]

证明

略。

余单纯对象的纤维积

当然，我们应当把余单纯对象的纤维积定义为余单纯对象范畴中的纤维积。这可能导致一种容易混淆的情形：积虽然存在，却不能按下面的方式描述。为避免这种情形，我们直接作如下定义。

定义

设 \(\mathcal{C}\) 为范畴，\(U, V, W\) 为 \(\mathcal{C}\) 的余单纯对象，并设 \(a : V \to U\) 和 \(b : W \to U\) 为态射。假设纤维积 \(V_n \times_{U_n} W_n\) 在 \(\mathcal{C}\) 中存在。 \(V\) 与 \(W\) 在 \(U\) 上的纤维积是如下定义的余单纯对象 \(V \times_U W\)：

\((V \times_U W)_n = V_n \times_{U_n} W_n\)，

对任意 \(\varphi : [n] \to [m]\)，映射 \((V \times_U W)(\varphi) : V_n \times_{U_n} W_n \to V_m \times_{U_m} W_m\) 是积 \(V(\varphi) \times_{U(\varphi)} W(\varphi)\)。

引理

若 \(U, V, W\) 是范畴 \(\mathcal{C}\) 中的余单纯对象， \(a : V \to U\)、\(b : W \to U\) 是态射，并且 \(V \times_U W\) 存在，则对 \(\mathcal{C}\) 的任意第四个余单纯对象 \(T\)，都有 \[\Mor(T, V \times_U W) = \Mor(T, V) \times_{\Mor(T, U)} \Mor(T, W)\]

证明

略。

单纯集

设 \(U\) 为单纯集。可以把 \(U_0\) 看作\(0\)-单形的集合，把 \(U_1\) 看作\(1\)-单形的集合，把 \(U_2\) 看作 \(2\)-单形的集合，依此类推。

我们把映射 \(s^n_j : U_n \to U_{n + 1}\) 看作这样的映射：它把 \(n\)-单形 \(A\) 送到退化的 \((n + 1)\)-单形 \(B\)，其中该单形的 \((j, j + 1)\)-边被收缩到 \(A\) 的第 \(j\) 个顶点。我们把映射 \(d^n_j : U_n \to U_{n - 1}\) 看作把 \(n\)-单形 \(A\) 送到它的一个面，即略去第 \(j\) 个顶点所得的面。这样一来，就可以从几何上理解映射 \(s^n_j\) 与 \(d^n_j\) 之间的关系。

定义

设 \(U\) 为单纯集。称 \(x\) 是 \(U\) 的一个\(n\)-单形，是指 \(x\) 是 \(U_n\) 的元素。称 \(y\) 是 \(x\) 的第 \(j\) 个面，是指 \(d^n_jx = y\)。若 \(z = s^n_jx\)，则称 \(z\) 是 \(x\) 的第 \(j\) 个退化。若一个单形是另一单形的退化，则称它为退化的。

下面给出几个基本例子。

例

对每个 \(n \geq 0\)，以 \(\Delta[n]\) 表示单纯集 \[\Delta^{opp} \longrightarrow \textit{Sets},\quad [k] \longmapsto \Mor_{\Delta}([k], [n])\] 下列断言留给读者验证。若 \(m > n\)，则 \(\Delta[n]\) 的每个 \(m\)-单形都是退化的。\(\Delta[n]\) 有唯一的非退化 \(n\)-单形，即 \(\text{id}_{[n]}\)。

引理

设 \(U\) 为单纯集，\(n \geq 0\) 为整数。存在典范双射 \[\Mor(\Delta[n], U) \longrightarrow U_n\] 它把态射 \(\varphi\) 送到 \(\varphi\) 在 \(\Delta[n]\) 的唯一非退化 \(n\)-单形上的取值。

证明

略。

例

考虑 \(\Delta\) 中 \([n]\) 上的对象所成的范畴 \(\Delta/[n]\)，见 Categories，例 001G。有一个函子 \(p : \Delta/[n] \to \Delta\)。\(p\) 在 \([k]\) 上的纤维范畴（见 Categories，第 003S 节）以 \(\Delta[n]\) 中 \(k\)-单形的集合 \(\Delta[n]_k\) 为对象，并且只有恒等态射。对 \(\Delta\) 的每个态射 \(\varphi : [k] \to [l]\) 以及 \([l]\) 上纤维范畴中的每个对象 \(\psi : [l] \to [n]\)，在 \([k]\) 上恰有一个对象带有覆盖 \(\varphi\) 的态射，即 \(\psi \circ \varphi : [k] \to [n]\)。因此，\(\Delta/[n]\) 是 \(\Delta\) 上以集合为纤维的范畴。换言之，可把 \(\Delta/[n]\) 看成 \(\Delta\) 上的集合预层。另见 Categories，例 0044。这个集合预层与单纯集 \(\Delta[n]\) 一致。特别地，由公式 (016H) 和上面的引理 0177，对任意单纯集 \(U\)，得到公式 \[\Mor_{\textit{PSh}(\Delta)}(\Delta/[n], U) = U_n\]

引理

设 \(U\)、\(V\) 为单纯集，\(a, b \geq 0\) 为整数。假设当 \(n > a\) 时， \(U\) 的每个 \(n\)-单形都是退化的；并假设当 \(n > b\) 时，\(V\) 的每个 \(n\)-单形都是退化的。则当 \(n > a + b\) 时，\(U \times V\) 的每个 \(n\)-单形都是退化的。

证明

设 \(n > a + b\)，并取 \((u, v) \in (U \times V)_n = U_n \times V_n\)。由假设，存在 \(\alpha : [n] \to [a]\)、\(u' \in U_a\)、\(\beta : [n] \to [b]\) 和 \(v' \in V_b\)，使得 \(u = U(\alpha)(u')\) 且 \(v = V(\beta)(v')\)。由于 \(n > a + b\)，存在 \(0 \leq i \leq a + b\)，使得 \(\alpha(i) = \alpha(i + 1)\) 且 \(\beta(i) = \beta(i + 1)\)。立即可知，\((u, v)\) 属于 \(s^{n - 1}_i\) 的像。

截断单纯对象与骨架函子

以 \(\Delta_{\leq n}\) 表示 \(\Delta\) 的全子范畴，其对象为 \([0], [1], [2], \ldots, [n]\)。设 \(\mathcal{C}\) 为范畴。

定义

\(\mathcal{C}\) 的一个\(n\)-截断单纯对象是从 \(\Delta_{\leq n}\) 到 \(\mathcal{C}\) 的反变函子。 \(n\)-截断单纯对象之间的态射是函子之间的变换。 \(\mathcal{C}\) 的 \(n\)-截断单纯对象范畴记作 \(\text{Simp}_n(\mathcal{C})\)。

给定 \(\mathcal{C}\) 的单纯对象 \(U\)，截断 \(\text{sk}_n U\) 是 \(U\) 在子范畴 \(\Delta_{\leq n}\) 上的限制。由此定义一个骨架函子 \[\text{sk}_n : \text{Simp}(\mathcal{C}) \longrightarrow \text{Simp}_n(\mathcal{C})\] 它从 \(\mathcal{C}\) 的单纯对象范畴到 \(\mathcal{C}\) 的 \(n\)-截断单纯对象范畴。为避免与文献中的其他函子混淆，见备注 018Q。

与单纯集的积

设 \(\mathcal{C}\) 为范畴，\(U\) 为单纯集，\(V\) 为 \(\mathcal{C}\) 的单纯对象。可以考虑如下协变函子：它把 \(\mathcal{C}\) 的单纯对象 \(W\) 送到集合 [017B]\[\begin{equation} \left\{ (f_{n, u} : V_n \to W_n)_{n \geq 0, u \in U_n} \text{ 使得 } \begin{matrix} \forall \varphi : [m] \to [n] \\ f_{m, U(\varphi)(u)} \circ V(\varphi) = W(\varphi) \circ f_{n, u} \end{matrix} \right\} \end{equation}\] 若此函子具有形式 \(\Mor_{\text{Simp}(\mathcal{C})}(Q, -)\)，则可以把 \(Q\) 看作 \(U\) 与 \(V\) 的积。我们不作这种形式化，而是直接作如下定义。

定义

设 \(\mathcal{C}\) 为范畴，且 \(\mathcal{C}\) 的任意两个对象的余积都存在。设 \(U\) 为单纯集， \(V\) 为 \(\mathcal{C}\) 的单纯对象，并假设每个 \(U_n\) 都是有限非空的。在这种情形下，定义 \(U\) 与 \(V\) 的积 \(U \times V\)为 \(\mathcal{C}\) 的如下单纯对象，其第 \(n\) 项为 \[(U \times V)_n = \coprod\nolimits_{u\in U_n} V_n\] 对 \(\varphi : [m] \to [n]\)，相应映射为 \[\coprod\nolimits_{u\in U_n} V_n \longrightarrow \coprod\nolimits_{u'\in U_m} V_m\] 它通过态射 \(V(\varphi)\)，把对应于 \(u\) 的分量 \(V_n\) 映到对应于 \(u' = U(\varphi)(u)\) 的分量 \(V_m\)。更宽泛地，若上面列出的所有余积都存在（不对 \(\mathcal{C}\) 作任何假设），则称积 \(U \times V\) 存在。

引理

设 \(\mathcal{C}\) 为范畴，且 \(\mathcal{C}\) 的任意两个对象的余积都存在。设 \(U\) 为单纯集， \(V\) 为 \(\mathcal{C}\) 的单纯对象，并假设每个 \(U_n\) 都是有限非空的。函子 \(W \mapsto \Mor_{\text{Simp}(\mathcal{C})}(U \times V, W)\) 与把 \(W\) 送到公式 (017B) 中集合的函子典范同构。

证明

略。

引理

设 \(\mathcal{C}\) 为范畴，且 \(\mathcal{C}\) 的任意两个对象的余积都存在。暂以 \(\textit{FSSets}\) 表示各分量均有限非空的单纯集所成的范畴。

规则 \((U, V) \mapsto U \times V\) 定义了函子 \(\textit{FSSets} \times \text{Simp}(\mathcal{C}) \to \text{Simp}(\mathcal{C})\)。

对上面的每一对 \(U\)、\(V\)，都有单纯对象之间的典范映射 \[U \times V \longrightarrow V\] 它在 \((U \times V)_n = \coprod_u V_n\) 的每个分量上取恒等映射。

证明

略。

我们简要考察上述构造的一种特殊情形。设 \(\mathcal{C}\) 为范畴， \(X\) 为 \(\mathcal{C}\) 的对象，\(k \geq 0\) 为整数。若所有余积 \(X \amalg \ldots \amalg X\) 都存在，则按上述定义，积 \[X \times \Delta[k]\] 存在；这里把 \(X\) 看作相应的常值单纯对象。

引理

沿用上面的 \(X\) 和 \(k\)。对 \(\mathcal{C}\) 的任意单纯对象 \(V\)，有如下典范双射 \[\Mor_{\text{Simp}(\mathcal{C})}(X \times \Delta[k], V) \longrightarrow \Mor_\mathcal{C}(X, V_k).\] 它把 \(\gamma\) 送到态射 \(\gamma_k\) 在对应于 \(\text{id}_{[k]}\) 的分量上的限制。类似地，对任意 \(n \geq k\)，若 \(W\) 是 \(\mathcal{C}\) 的 \(n\)-截断单纯对象，则有 \[\Mor_{\text{Simp}_n(\mathcal{C})}(\text{sk}_n(X \times \Delta[k]), W) = \Mor_\mathcal{C}(X, W_k).\]

证明

态射 \(\gamma : X \times \Delta[k] \to V\) 由一族态射 \(\gamma_\alpha : X \to V_n\) 给出，其中 \(\alpha : [n] \to [k]\)。这些态射必须满足：对所有 \(\varphi : [m] \to [n]\)，图表 \[\xymatrix{ X \ar[r]^{\gamma_\alpha} \ar[d]^{\text{id}_X} & V_n \ar[d]^{V(\varphi)} \\ X \ar[r]^{\gamma_{\alpha \circ \varphi}} & V_m }\] 可交换。取 \(\alpha = \text{id}_{[k]}\)，可见对任意 \(\varphi : [m] \to [k]\)，都有 \(\gamma_\varphi = V(\varphi) \circ \gamma_{\text{id}_{[k]}}\)。因此，态射 \(\gamma\) 由 \(\gamma\) 在对应于 \(\text{id}_{[k]}\) 的分量上的取值决定。反之，给定这样的态射 \(f : X \to V_k\)，令 \(\gamma_\alpha = V(\alpha) \circ f\)，即可构造态射 \(\gamma\)。

截断情形类似，留给读者验证。

一个特殊例子是 \(k = 0\) 的情形。此时，引理中的公式只是在说 \[\Mor_\mathcal{C}(X, V_0) = \Mor_{\text{Simp}(\mathcal{C})}(X, V)\] 其中右边的 \(X\) 表示取值为 \(X\) 的常值单纯对象。下文将直接使用这个公式，不再另行说明。

从单纯集到余单纯对象的 Hom

设 \(\mathcal{C}\) 为范畴，\(U\) 为 \(\mathcal{C}\) 的单纯对象， \(V\) 为 \(\mathcal{C}\) 的余单纯对象。于是得到如下余单纯集 \(\Hom_\mathcal{C}(U, V)\)：

令 \(\Hom_\mathcal{C}(U, V)_n = \Mor_\mathcal{C}(U_n, V_n)\)；
对 \(\varphi : [m] \to [n]\)，取映射 \(\Hom_\mathcal{C}(U, V)_m \to \Hom_\mathcal{C}(U, V)_n\)，它由 \(f \mapsto V(\varphi) \circ f \circ U(\varphi)\) 给出。

这正是下述定义的动机。

定义

设 \(\mathcal{C}\) 为有有限积的范畴，\(V\) 为 \(\mathcal{C}\) 的余单纯对象， \(U\) 为单纯集，并且每个 \(U_n\) 都是有限非空的。定义 \(\Hom(U, V)\) 为 \(\mathcal{C}\) 的如下余单纯对象：

令 \(\Hom(U, V)_n = \prod_{u \in U_n} V_n\)；换言之，它是 \(\mathcal{C}\) 中唯一满足下列 \(X\)-值点等式的对象： \[\Mor_\mathcal{C}(X, \Hom(U, V)_n) = \text{Map}(U_n, \Mor_\mathcal{C}(X, V_n))\] 并且

对 \(\varphi : [m] \to [n]\)，取映射 \(\Hom(U, V)_m \to \Hom(U, V)_n\)；在上述 \(X\)-值点上，它由 \(f \mapsto V(\varphi) \circ f \circ U(\varphi)\) 给出。

把这个定义用积之间的映射完整写出，留给读者。还要指出，该构造关于 \(U\) 反变、关于 \(V\) 协变，正如引理 017E 中单纯集与单纯对象之积的情形一样。

从余单纯集到单纯对象的 Hom

设 \(\mathcal{C}\) 为范畴，\(U\) 为 \(\mathcal{C}\) 的余单纯对象， \(V\) 为 \(\mathcal{C}\) 的单纯对象。于是得到如下单纯集 \(\Hom_\mathcal{C}(U, V)\)：

令 \(\Hom_\mathcal{C}(U, V)_n = \Mor_\mathcal{C}(U_n, V_n)\)；
对 \(\varphi : [m] \to [n]\)，取映射 \(\Hom_\mathcal{C}(U, V)_n \to \Hom_\mathcal{C}(U, V)_m\)，它由 \(f \mapsto V(\varphi) \circ f \circ U(\varphi)\) 给出。

这正是下述定义的动机。

定义

设 \(\mathcal{C}\) 为有有限积的范畴，\(V\) 为 \(\mathcal{C}\) 的单纯对象， \(U\) 为余单纯集，并且每个 \(U_n\) 都是有限非空的。定义 \(\Hom(U, V)\) 为 \(\mathcal{C}\) 的如下单纯对象：

令 \(\Hom(U, V)_n = \prod_{u \in U_n} V_n\)；换言之，它是 \(\mathcal{C}\) 中唯一满足下列 \(X\)-值点等式的对象： \[\Mor_\mathcal{C}(X, \Hom(U, V)_n) = \text{Map}(U_n, \Mor_\mathcal{C}(X, V_n))\] 并且

对 \(\varphi : [m] \to [n]\)，取映射 \(\Hom(U, V)_n \to \Hom(U, V)_m\)；在上述 \(X\)-值点上，它由 \(f \mapsto V(\varphi) \circ f \circ U(\varphi)\) 给出。

我们在一种特殊情形下把上述构造明确写出。设 \(X\) 为范畴 \(\mathcal{C}\) 的对象，并假设自积 \(X \times \ldots \times X\) 存在。设 \(k\) 为整数。考虑各项为 \[U_n = \prod\nolimits_{\alpha \in \Mor([k], [n])} X\] 的单纯对象 \(U\)；对 \(\varphi : [m] \to [n]\)，映射为 \[U(\varphi) : \prod\nolimits_{\alpha \in \Mor([k], [n])} X \longrightarrow \prod\nolimits_{\alpha' \in \Mor([k], [m])} X, \quad (f_{\alpha})_{\alpha} \longmapsto (f_{\varphi \circ \alpha'})_{\alpha'}\] 用“坐标”表示，元素 \((x_\alpha)_\alpha\) 被映到元素 \((x_{\varphi \circ \alpha'})_{\alpha'}\)。我们断言，这个对象等于 \(\Hom(C[k], X)\)；这里把 \(X\) 看作取值为 \(X\) 的常值单纯对象，而 \(C[k]\) 是例 0B13 中的余单纯集。

引理

沿用上面的 \(X\)、\(k\) 和 \(U\)。

对 \(\mathcal{C}\) 的任意单纯对象 \(V\)，有如下典范双射 \[\Mor_{\text{Simp}(\mathcal{C})}(V, U) \longrightarrow \Mor_\mathcal{C}(V_k, X).\] 它把 \(\gamma\) 送到态射 \(\gamma_k\) 与投影到对应于 \(\text{id}_{[k]}\) 的因子的复合。

类似地，若 \(W\) 是 \(\mathcal{C}\) 的 \(k\)-截断单纯对象，则有 \[\Mor_{\text{Simp}_k(\mathcal{C})}(W, \text{sk}_k U) = \Mor_\mathcal{C}(W_k, X).\]

上面构造的对象 \(U\) 是 \(\Hom(C[k], X)\) 的一种实现；其中 \(C[k]\) 是例 0B13 中的余单纯集。

证明

先证明 (1)。设 \(\gamma : V \to U\) 为态射。它由一族态射 \(\gamma_{\alpha} : V_n \to X\) 给出，其中 \(\alpha : [k] \to [n]\)。这些态射必须满足：对所有 \(\varphi : [m] \to [n]\)，图表 \[\xymatrix{ X \ar[d]^{\text{id}_X} & V_n \ar[d]^{V(\varphi)} \ar[l]^{\gamma_{\varphi \circ \alpha'}} \\ X & V_m \ar[l]_{\gamma_{\alpha'}} }\] 对所有 \(\alpha' : [k] \to [m]\) 都可交换。取 \(\alpha' = \text{id}_{[k]}\)，可见对任意 \(\varphi : [k] \to [n]\)，都有 \(\gamma_\varphi = \gamma_{\text{id}_{[k]}} \circ V(\varphi)\)。因此，态射 \(\gamma\) 由 \(\gamma_k\) 对应于 \(\text{id}_{[k]}\) 的分量决定。反之，给定这样的态射 \(f : V_k \to X\)，令 \(\gamma_\alpha = f \circ V(\alpha)\)，即可构造态射 \(\gamma\)。

截断情形类似，留给读者验证。

(3) 由 \(U\) 的构造以及等式 \(C[k]_n = \Mor([k], [n])\) 立即推出；后者正是构造 \(U_n\) 时使用的指标集。

内部 Hom

设 \(\mathcal{C}\) 为有有限非空积的范畴，\(U\)、\(V\) 为单纯对象 \(\mathcal{C}\)。

在某些情形下，函子 \[\text{Simp}(\mathcal{C})^{opp} \longrightarrow \textit{Sets}, \quad W \longmapsto \Mor_{\text{Simp}(\mathcal{C})}(W \times V, U)\] 是可表示的。在这种情形下，把所得的 \(\mathcal{C}\) 的单纯对象记作 \(\SheafHom(V, U)\)，并称从 \(V\) 到 \(U\) 的内部 Hom 存在。此外，在这种情形下，给定 \(\mathcal{C}\) 中的 \(X\)，有 \[\begin{align*} \Mor_\mathcal{C}(X, \SheafHom(V, U)_n) & = \Mor_{\text{Simp}(\mathcal{C})}(X \times \Delta[n], \SheafHom(V, U)) \\ & = \Mor_{\text{Simp}(\mathcal{C})}(X \times \Delta[n]\times V, U) \\ & = \Mor_{\text{Simp}(\mathcal{C})}(X, \SheafHom(\Delta[n] \times V, U)) \\ & = \Mor_\mathcal{C}(X, \SheafHom(\Delta[n] \times V, U)_0) \end{align*}\] 只要 \(\SheafHom(\Delta[n] \times V, U)\) 也存在即可。第一个和最后一个等式由引理 017F 推出。

由此得到的要点是：给定 \(U\) 和 \(V\)，若要构造内部 Hom，就应尝试构造对象 \[\SheafHom(\Delta[n] \times V, U)_0\] 因为它们应当是 \(\SheafHom(V, U)\) 的第 \(n\) 项。下一节将研究单纯对象 “\(\Hom(\Delta[n], U)\)”的一种构造。

从单纯集到单纯对象的 Hom

受上述内部 Hom 讨论的启发，我们定义一个单纯对象，它应当分类从单纯集到范畴 \(\mathcal{C}\) 的某个给定单纯对象的态射。

定义

设 \(\mathcal{C}\) 为任意两个对象的余积都存在的范畴。设 \(U\) 为单纯集，并且对所有 \(n \geq 0\)，\(U_n\) 都有限非空。设 \(V\) 为 \(\mathcal{C}\) 的单纯对象。以 \(\Hom(U, V)\) 表示任意满足下式的 \(\mathcal{C}\) 的单纯对象： \[\Mor_{\text{Simp}(\mathcal{C})}(W, \Hom(U, V)) = \Mor_{\text{Simp}(\mathcal{C})}(W \times U, V)\] 其中等式关于 \(\mathcal{C}\) 的单纯对象 \(W\) 函子性地成立。

当然，\(\Hom(U, V)\) 未必存在。此外，由第 017G 节的讨论可预期，若它存在，则 \(\Hom(U, V)_n = \Hom(U \times \Delta[n], V)_0\)。这里不对这些 Hom 对象使用斜体记号，因为 \(\Hom(U, V)\) 不是内部 Hom。

引理

假设范畴 \(\mathcal{C}\) 有任意两个对象的余积和可数极限。设 \(U\) 为单纯集，并且对所有 \(n \geq 0\)，\(U_n\) 都有限非空。设 \(V\) 为 \(\mathcal{C}\) 的单纯对象。则函子 \[\begin{eqnarray*} \mathcal{C}^{opp} & \longrightarrow & \textit{Sets} \\ X & \longmapsto & \Mor_{\text{Simp}(\mathcal{C})}(X \times U, V) \end{eqnarray*}\] 是可表示的。

证明

从 \(X \times U\) 到 \(V\) 的态射由一族态射 \(f_u : X \to V_n\) 给出，其中 \(n \geq 0\) 且 \(u \in U_n\)。而这样的一族态射恰好在下述条件下定义一个态射：对所有 \(\varphi : [m] \to [n]\)，图表 \[\xymatrix{ X \ar[r]^{f_u} \ar[d]_{\text{id}_X} & V_n \ar[d]^{V(\varphi)} \\ X \ar[r]^{f_{U(\varphi)(u)}} & V_m }\] 都可交换。因此自然要引入范畴 \(\mathcal{U}\) 和函子 \(\mathcal{V} : \mathcal{U}^{opp} \to \mathcal{C}\)，定义如下：

\(\mathcal{U}\) 的对象集是 \(\coprod_{n \geq 0} U_n\)；

从 \(u' \in U_m\) 到 \(u \in U_n\) 的态射，是满足 \(U(\varphi)(u) = u'\) 的 \(\varphi : [m] \to [n]\)；

对 \(u \in U_n\)，令 \(\mathcal{V}(u) = V_n\)；且

对满足 \(U(\varphi)(u) = u'\) 的 \(\varphi : [m] \to [n]\)，令 \(\mathcal{V}(\varphi) = V(\varphi) : V_n \to V_m\)。

此时很清楚，我们的函子正是定义 \[\lim_{\mathcal{U}^{opp}} \mathcal{V}\] 的函子。因此，若 \(\mathcal{C}\) 有可数极限，则此极限存在，从而表示引理中函子的对象也存在。

引理

假设范畴 \(\mathcal{C}\) 有任意两个对象的余积和有限极限。设 \(U\) 为单纯集，并且对所有 \(n \geq 0\)，\(U_n\) 都有限非空。假设对所有 \(n \gg 0\)，\(U\) 的每个 \(n\)-单形都是退化的。设 \(V\) 为 \(\mathcal{C}\) 的单纯对象。则函子 \[\begin{eqnarray*} \mathcal{C}^{opp} & \longrightarrow & \textit{Sets} \\ X & \longmapsto & \Mor_{\text{Simp}(\mathcal{C})}(X \times U, V) \end{eqnarray*}\] 是可表示的。

证明

我们必须证明，引理 017J 的证明中所述范畴 \(\mathcal{U}\) 有一个有限子范畴 \(\mathcal{U}'\)，使得 \(\mathcal{V}\) 在 \(\mathcal{U}'\) 上的极限与 \(\mathcal{V}\) 在 \(\mathcal{U}\) 上的极限相同。我们将使用 Categories，引理 002R。对 \(m > 0\)，以 \(\mathcal{U}_{\leq m}\) 表示对象为 \(\coprod_{0 \leq n \leq m} U_m\) 的全子范畴。

取整数 \(m_0\)，使得当 \(n > m_0\) 时，单纯集 \(U\) 的每个 \(n\)-单形都退化。对任意充分大的 \(m \geq m_0\)，子范畴 \(\mathcal{U}_{\leq m}\) 满足 Categories，定义 09WP 的性质 (1)。

设 \(u \in U_n\)、\(u' \in U_{n'}\)，其中 \(n, n' \leq m_0\)；并设 \(\varphi : [k] \to [n]\)、\(\varphi' : [k] \to [n']\) 为满足 \(U(\varphi)(u) = U(\varphi')(u')\) 的态射。一个简单的组合论论证表明，若 \(k > 2m_0\)，则存在指标 \(0 \leq i \leq 2m_0\)，使得 \(\varphi(i) =\varphi(i + 1)\) 且 \(\varphi'(i) = \varphi'(i + 1)\)。（鸽巢原理会告诉你，当 \(k > m_0^2\) 时这也成立；对下面的论证而言已经足够。）因此，若 \(k > 2m_0\)，则可写成 \(\varphi = \psi \circ \sigma^{k - 1}_i\) 和 \(\varphi' = \psi' \circ \sigma^{k - 1}_i\)，其中 \(\psi : [k - 1] \to [n]\)、\(\psi' : [k - 1] \to [n']\)。由于 \(s^{k - 1}_i : U_{k - 1} \to U_k\) 是单射（见引理 016F），也可得 \(U(\psi)(u) = U(\psi')(u')\)。继续这一过程可知：给定 \(\mathcal{U}\) 的态射 \(u \to z\) 和 \(u' \to z\)，其中 \(u, u' \in \mathcal{U}_{\leq m_0}\)，存在可交换图表 \[\xymatrix{ u \ar[rd] \ar[rrd] & & \\ & a \ar[r] & z \\ u' \ar[ru] \ar[rru] }\] 其中 \(a \in \mathcal{U}_{\leq 2m_0}\)。

容易由此推出，有限子范畴 \(\mathcal{U}_{\leq 2m_0}\) 符合要求。事实上，设给定 \(x' \in U_n\) 和 \(x'' \in U_{n'}\)，其中 \(n, n' \leq 2m_0\)；并给定 \(\mathcal{U}\) 中具有同一目标的态射 \(x' \to x\) 和 \(x'' \to x\)。由 \(m_0\) 的选取，可以找到 \(\mathcal{U}_{\leq m_0}\) 的对象 \(u, u'\) 以及态射 \(u \to x'\)、\(u' \to x''\)。由上述结论，可以找到 \(a \in \mathcal{U}_{\leq 2m_0}\) 以及态射 \(u \to a\)、\(u' \to a\)，使得 \[\xymatrix{ u \ar[rd] \ar[rrd] \ar[r] & x' \ar[rd] & \\ & a \ar[r] & x \\ u' \ar[ru] \ar[rru] \ar[r] & x'' \ar[ru] & }\] 可交换。把这个图顺时针旋转 90 度，就得到 Categories，定义 09WP 中 (2) 所要求的图表。

引理

假设范畴 \(\mathcal{C}\) 有任意两个对象的余积和有限极限。设 \(U\) 为单纯集，并且对所有 \(n \geq 0\)，\(U_n\) 都有限非空。假设对所有 \(n \gg 0\)，\(U\) 的每个 \(n\)-单形都是退化的。设 \(V\) 为 \(\mathcal{C}\) 的单纯对象。则 \(\Hom(U, V)\) 存在，而且有预期的等式 \[\Hom(U, V)_n = \Hom(U \times \Delta[n], V)_0.\]

证明

如下构造这个单纯对象。对 \(n \geq 0\)，以 \(\Hom(U, V)_n\) 表示 \(\mathcal{C}\) 中表示函子 \[X \longmapsto \Mor_{\text{Simp}(\mathcal{C})}(X \times U \times \Delta[n], V)\] 的对象。由引理 017K，它存在，因为 \(U \times \Delta[n]\) 是一个各单形集有限、且在足够高次数没有非退化单形的单纯集；见引理 0179。对 \(\varphi : [m] \to [n]\)，得到诱导的单纯集映射 \(\varphi : \Delta[m] \to \Delta[n]\)。因而得到关于 \(X\) 函子性的态射 \(X \times U \times \Delta[m] \to X \times U \times \Delta[n]\)，进而得到函子之间的变换，再进而给出 \[\Hom(U, V)(\varphi) : \Hom(U, V)_n \longrightarrow \Hom(U, V)_m.\] 显然，这定义了从 \(\Delta\) 到范畴 \(\mathcal{C}\) 的反变函子 \(\Hom(U, V)\)。换言之，我们得到 \(\mathcal{C}\) 的一个单纯对象。

还需证明 \(\Hom(U, V)\) 满足所需的泛性质 \[\Mor_{\text{Simp}(\mathcal{C})}(W, \Hom(U, V)) = \Mor_{\text{Simp}(\mathcal{C})}(W \times U, V)\] 为此，给定 \(f : W \to \Hom(U, V)\)。我们要构造右端的元素 \(f' : W \times U \to V\)。由构造，每个 \(f_n : W_n \to \Hom(U, V)_n\) 对应于态射 \(f_n : W_n \times U \times \Delta[n] \to V\)。此外，对每个态射 \(\varphi : [m] \to [n]\)，图表 \[\xymatrix{ W_n \times U \times \Delta[m] \ar[rr]_{W(\varphi)\times \text{id} \times \text{id}} \ar[d]_{\text{id} \times \text{id} \times \varphi} & & W_m \times U \times \Delta[m] \ar[d]^{f_m} \\ W_n \times U \times \Delta[n] \ar[rr]^{f_n} & & V }\] 可交换。对 \((\Delta[n])_k\) 中的 \(\psi : [n] \to [k]\)，以 \((f_n)_{k, \psi} : W_n \times U_k \to V_k\) 表示 \((f_n)_k\) 对应于元素 \(\psi\) 的分量。定义 \(f'_n : W_n \times U_n \to V_n\) 为 \(f'_n = (f_n)_{n, \text{id}}\)；换言之，它是 \((f_n)_n : W_n \times U_n \times (\Delta[n])_n \to V_n\) 在 \(W_n \times U_n \times \text{id}_{[n]}\) 上的限制。为证明族 \((f'_n)\) 定义了单纯对象之间的态射，必须证明对任意 \(\varphi : [m] \to [n]\)，都有 \(V(\varphi) \circ f'_n = f'_m \circ W(\varphi) \times U(\varphi)\)。上面的可交换图表说明， \((f_n)_{m, \varphi} : W_n \times U_m \to V_m\) 等于 \((f_m)_{m, \text{id}} \circ W(\varphi) : W_n \times U_m \to V_m\)。另一方面，\(f_n\) 是单纯对象之间的态射这一事实蕴含图表 \[\xymatrix{ W_n \times U_n \times (\Delta[n])_n \ar[r]_-{(f_n)_n} \ar[d]_{\text{id} \times U(\varphi) \times \varphi} & V_n \ar[d]^{V(\varphi)} \\ W_n \times U_m \times (\Delta[n])_m \ar[r]^-{(f_n)_m} & V_m }\] 可交换。这又蕴含 \((f_n)_{m, \varphi} \circ U(\varphi)\) 等于 \(V(\varphi) \circ (f_n)_{n, \text{id}}\)。综上，得到 \(V(\varphi) \circ (f_n)_{n, \text{id}} = (f_n)_{m, \varphi} \circ U(\varphi) = (f_m)_{m, \text{id}} \circ W(\varphi)\circ U(\varphi) = (f_m)_{m, \text{id}} \circ W(\varphi)\times U(\varphi)\) 如所欲证。

反过来，给定态射 \(f' : W \times U \to V\)，我们如下定义态射 \(f : W \to \Hom(U, V)\)。由引理 017F，态射 \(\text{id} : W_n \to W_n\) 对应于唯一态射 \(c_n : W_n \times \Delta[n] \to W\)。因此可以考虑复合 \[W_n \times \Delta[n] \times U \xrightarrow{c_n} W \times U \xrightarrow{f'} V.\] 由构造，这对应于唯一态射 \(f_n : W_n \to \Hom(U, V)_n\)。所需的这些态射定义了单纯集之间的态射这一点，留给读者验证。

同样留给读者验证，\(f \mapsto f'\) 和 \(f' \mapsto f\) 是互逆操作。

引理

假设范畴 \(\mathcal{C}\) 有任意两个对象的余积和有限极限。设 \(a : U \to V\)、\(b : U \to W\) 为单纯集之间的态射。假设对所有 \(n \geq 0\)，\(U_n, V_n, W_n\) 都有限非空。假设对所有 \(n \gg 0\)，\(U, V, W\) 的每个 \(n\)-单形都是退化的。设 \(T\) 为 \(\mathcal{C}\) 的单纯对象。则 \[\Hom(V, T) \times_{\Hom(U, T)} \Hom(W, T) = \Hom(V \amalg_U W, T)\] 换言之，左边的纤维积由右边的 Hom 对象表示。

证明

由引理 017L，所需的所有 \(\Hom\) 对象都存在并满足正确的函子性。现在可以把左边的第 \(n\) 项识别为表示把 \(X\) 送到如下函子性等式链中第一个集合的对象： \[\begin{align*} & \Mor(X \times \Delta[n], \Hom(V, T) \times_{\Hom(U, T)} \Hom(W, T)) \\ & = \Mor(X \times \Delta[n], \Hom(V, T)) \times_{\Mor(X \times \Delta[n], \Hom(U, T))} \Mor(X \times \Delta[n], \Hom(W, T)) \\ & = \Mor(X \times \Delta[n] \times V, T) \times_{\Mor(X \times \Delta[n] \times U, T)} \Mor(X \times \Delta[n] \times W, T) \\ & = \Mor(X \times \Delta[n] \times (V \amalg_U W), T)) \end{align*}\]

这里使用了等式 \[(X \times \Delta[n] \times V) \times_{X \times \Delta[n] \times U} (X \times \Delta[n] \times W) = X \times \Delta[n] \times (V \amalg_U W)\]

逐项验证此等式很容易。引理的结论随即由上列等式的最后一项对应于 \(\Hom(V \amalg_U W, T)_n\) 得出。

单纯对象的分裂

范畴 \(\mathcal{C}\) 的对象 \(X\) 的子对象 \(N\)，是 \(\mathcal{C}\) 的一个对象 \(N\) 连同一个单态射 \(N \to X\)。当然，如果存在与到 \(X\) 的态射相容的同构 \(N \to N'\)，我们就（滥用记号地）称子对象 \(N\)、\(N'\) 相等。子对象全体构成偏序集。（这是由于我们对范畴的约定；例如，对差一个同伦意义下的空间范畴并不成立。）

定义

设 \(\mathcal{C}\) 为有有限非空余积的范畴。称 \(\mathcal{C}\) 的单纯对象 \(U\) 是分裂的，如果存在 \(U_m\) 的子对象 \(N(U_m)\)（\(m \geq 0\)），使得对所有 \(n \geq 0\)，映射 [017Q]\[\begin{equation} \coprod\nolimits_{\varphi : [n] \to [m]\text{ 满射}} N(U_m) \longrightarrow U_n \end{equation}\] 都是同构。若 \(U\) 是 \(\mathcal{C}\) 的 \(r\)-截断单纯对象，则称 \(U\) 是分裂的，如果存在 \(U_m\) 的子对象 \(N(U_m)\)（\(r \geq m \geq 0\)），使得对 \(r \geq n \geq 0\)，映射 (017Q) 是同构。

在这种情形下，\(N(U_0) = U_0\)。其次有 \(U_1 = U_0 \amalg N(U_1)\)。再者有 \[U_2 = U_0 \amalg N(U_1) \amalg N(U_1) \amalg N(U_2).\] 事实表明，在许多范畴 \(\mathcal{C}\) 中，每个单纯对象都是分裂的。

引理

设 \(U\) 为单纯集。则 \(U\) 有唯一的分裂，其中 \(N(U_m)\) 等于非退化 \(m\)-单形的集合。

证明

由定义立即可知，若存在分裂，则 \(N(U_m)\) 必须是非退化单形的集合。设 \(x \in U_n\)。假设存在满射 \(\varphi : [n] \to [k]\) 和 \(\psi : [n] \to [l]\)，以及非退化单形 \(y \in U_k\)、\(z \in U_l\)，使得 \(x = U(\varphi)(y)\) 且 \(x = U(\psi)(z)\)。取 \(\psi\) 的右逆 \(\xi : [l] \to [n]\)，即 \(\psi \circ \xi = \text{id}_{[l]}\)。于是 \(z = U(\xi)(x)\)，从而 \(z = U(\xi)(x) = U(\varphi \circ \xi)(y)\)。由于 \(z\) 非退化，可知 \(\varphi \circ \xi : [l] \to [k]\) 是满射，故 \(l \geq k\)。类似地，\(k \geq l\)。因此，对 \(\psi\) 的右逆 \(\xi\) 的任意选取， \(\varphi \circ \xi : [l] \to [k]\) 都必须是恒等映射。这很容易推出 \(\psi = \varphi\)。

当然，单纯集之间的映射可能把非退化 \(n\)-单形映到退化 \(n\)-单形。因此，引理 017R 的分裂不是函子性的。下面给出一种它具有函子性的情形。

引理

设 \(f : U \to V\) 为单纯集之间的态射。假设 (a) \(U\) 的每个非退化单形的像都是 \(V\) 的非退化单形，并且 (b) \(f\) 从 \(U\) 的非退化单形集合到 \(V\) 的非退化单形集合的限制是单射。则对所有 \(n\)，\(f_n\) 都是单射。把“单射”替换成“满射”或“双射”时，结论同样成立。

证明

在假设 (a) 下，映射 \(f\) 保持引理 017R 的分裂给出的不交并分解；换言之，得到可交换图表 \[\xymatrix{ \coprod\nolimits_{\varphi : [n] \to [m]\text{ 满射}} N(U_m) \ar[r] \ar[d] & U_n \ar[d] \\ \coprod\nolimits_{\varphi : [n] \to [m]\text{ 满射}} N(V_m) \ar[r] & V_n. }\] 于是 (b) 清楚地表明，左侧竖直箭头是单射（相应地，满射或双射）。

引理

设 \(U\) 为单纯集，\(n \geq 0\) 为整数。规则 \[U'_m = \bigcup\nolimits_{\varphi : [m] \to [i], \ i\leq n} \Im(U(\varphi))\] 定义了子单纯集 \(U' \subset U\)，并且当 \(i \leq n\) 时 \(U'_i = U_i\)。此外，对所有 \(m > n\)，\(U'\) 的每个 \(m\)-单形都是退化的。

证明

若 \(x \in U_m\)，且对某个 \(y \in U_i\)、\(i \leq n\) 和某个 \(\varphi : [m] \to [i]\) 有 \(x = U(\varphi)(y)\)，则对任意 \(\psi : [m'] \to [m]\)，像 \(U(\psi)(x)\) 等于 \(U(\varphi \circ \psi)(y)\)，而且 \(\varphi \circ \psi : [m'] \to [i]\)。因此 \(U'\) 是单纯集。由构造，所有次数为 \(n + 1\) 或更高的单形都是退化的。

引理

设 \(U\) 为单纯阿贝尔群。则 \(U\) 有如下分裂：取 \(N(U_0) = U_0\)，并对 \(m \geq 1\) 取 \[N(U_m) = \bigcap\nolimits_{i = 0}^{m - 1} \Ker(d^m_i).\] 此外，这个分裂在单纯阿贝尔群范畴上是函子性的。

证明

对 \(n\) 归纳，我们将证明，引理中对 \(N(U_m)\) 的选取保证 (017Q) 对 \(m \leq n\) 是同构。\(n = 0\) 时显然。在本证明的其余部分，为提高可读性，我们将省略映射 \(d_i\) 和 \(s_i\) 的上标。还将反复使用备注 016C 中的关系。

先作一般性观察。对 \(0 \leq i \leq m\) 和 \(z \in U_m\)，有 \(d_i(s_i(z)) = z\)。因此，通过取 \(x' = (x - s_i(d_i(x)))\) 和 \(x'' = s_i(d_i(x))\)，可以把任意 \(x \in U_{m + 1}\) 唯一写成 \(x = x' + x''\)，其中 \(d_i(x') = 0\) 且 \(x'' \in \Im(s_i)\)。此外，满足 \(x'' = s_i(z)\) 的元素 \(z \in U_m\) 是唯一的，因为 \(s_i\) 是单射。

下面给出分解任意 \(x \in U_{n + 1}\) 的步骤。先写成 \(x = x_0 + s_0(z_0)\)，其中 \(d_0(x_0) = 0\)。再写成 \(x_0 = x_1 + s_1(z_1)\)，其中 \(d_1(x_1) = 0\)。如此继续，得到 \[\begin{eqnarray*} x & = & x_0 + s_0(z_0), \\ x_0 & = & x_1 + s_1(z_1), \\ x_1 & = & x_2 + s_2(z_2), \\ \ldots & \ldots & \ldots \\ x_{n - 1} & = & x_n + s_n(z_n) \end{eqnarray*}\] 其中对所有 \(i = n, \ldots, 0\)，都有 \(d_i(x_i) = 0\)。由上面的一般性观察，所有 \(x_i\) 和 \(z_i\) 都由 \(x\) 唯一确定。我们断言 \(x_i \in \Ker(d_0) \cap \Ker(d_1) \cap \ldots \cap \Ker(d_i)\) 且 \(z_i \in \Ker(d_0) \cap \ldots \cap \Ker(d_{i - 1})\) 对 \(i = n, \ldots, 0\) 成立。在这里以及下文，核的空交表示整个空间；也就是说，当 \(i = 0\) 时，记号 \(z_0 \in \Ker(d_0) \cap \ldots \cap \Ker(d_{i - 1})\) 表示 \(z_0 \in U_n\)，没有任何限制。

我们对 \(i\) 作递增归纳来证明此断言。由 \(x_0\) 和 \(z_0\) 的构造， \(i = 0\) 时显然。假设对 \(i - 1\) 结论成立，来证明 \(0 < i \leq n\) 的情形。首先，由构造有 \(d_i(x_i) = 0\)。取满足 \(0 \leq j < i\) 的 \(j\)。由归纳假设，\(d_j(x_{i - 1}) = 0\)。因此 \[0 = d_j(x_{i - 1}) = d_j(x_i) + d_j(s_i(z_i)) = d_j(x_i) + s_{i - 1}(d_j(z_i)).\] 最后一个等式由备注 016C 的关系得到。这些关系还蕴含 \(d_{i - 1}(d_j(x_i)) = d_j(d_i(x_i)) = 0\)，因为由构造 \(d_i(x_i)= 0\)。于是，上面一般性观察中的唯一性表明，等式 \(0 = x' + x'' = d_j(x_i) + s_{i - 1}(d_j(z_i))\) 只能在两项都为零时成立。我们得到 \(d_j(x_i) = 0\)；又由 \(s_{i - 1}\) 的单射性，得到 \(d_j(z_i) = 0\)。断言得证。

该断言蕴含，可唯一写成 \[x = s_0(z_0) + s_1(z_1) + \ldots + s_n(z_n) + x_n\] 其中 \(x_n \in N(U_{n + 1})\)，且 \(z_i \in \Ker(d_0) \cap \ldots \cap \Ker(d_{i - 1})\)。这也可以表述为我们找到了直和分解 \[U_{n + 1} = N(U_{n + 1}) \oplus \bigoplus\nolimits_{i = 0}^{i = n} s_i\Big(\Ker(d_0) \cap \ldots \cap \Ker(d_{i - 1})\Big)\] 并且它满足：对 \(j = 0, \ldots, n\)，有 \[\Ker(d_0) \cap \ldots \cap \Ker(d_j) = N(U_{n + 1}) \oplus \bigoplus\nolimits_{i = j + 1}^{i = n} s_i\Big(\Ker(d_0) \cap \ldots \cap \Ker(d_{i - 1})\Big)\] 结论可由此得到。\(x\) 的表达式中的每个 \(z_i\) 都可以唯一写成 \[z_i = s_i(z'_{i, i}) + \ldots + s_{n - 1}(z'_{i, n - 1}) + z_{i, 0}\] 其中 \(z_{i, 0} \in N(U_n)\)，且 \(z'_{i, j} \in \Ker(d_0) \cap \ldots \cap \Ker(d_{j - 1})\)。因为 \(z_i\) 已经属于 \(d_0, \ldots, d_i\) 的核，分解 \(z_i\) 时最初的几步为零。这又唯一给出 \[x = x_n + s_0(z_{0, 0}) + s_1(z_{1, 0}) + \ldots + s_n(z_{n, 0}) + \sum\nolimits_{0 \leq i \leq j \leq n - 1} s_i(s_j(z'_{i, j})).\] 继续这一过程，最终可见，\(x\) 被分解成如下形式的项之和： \[s_{i_1} s_{i_2} \ldots s_{i_k} (z)\] 其中 \(0 \leq i_1 \leq i_2 \leq \ldots \leq i_k \leq n - k + 1\)，且 \(z \in N(U_{n + 1 - k})\)。这正是所需的分解，因为任意满射 \([n + 1] \to [n + 1 - k]\) 都可以唯一表示为 \[\sigma^{n - k}_{i_k} \ldots \sigma^{n - 1}_{i_2} \sigma^n_{i_1}\] 其中 \(0 \leq i_1 \leq i_2 \leq \ldots \leq i_k \leq n - k + 1\)。

引理

设 \(\mathcal{A}\) 为阿贝尔范畴，\(U\) 为 \(\mathcal{A}\) 中的单纯对象。则 \(U\) 有如下分裂：取 \(N(U_0) = U_0\)，并对 \(m \geq 1\) 取 \[N(U_m) = \bigcap\nolimits_{i = 0}^{m - 1} \Ker(d^m_i).\] 此外，这个分裂在 \(\mathcal{A}\) 的单纯对象范畴上是函子性的。

证明

对 \(\mathcal{A}\) 的任意对象 \(A\)，得到单纯阿贝尔群 \(\Mor_\mathcal{A}(A, U)\)。其中每一个都由引理 017U 典范地分裂。此外，

\[N(\Mor_\mathcal{A}(A, U_m)) = \bigcap\nolimits_{i = 0}^{m - 1} \Ker(d^m_i) = \Mor_\mathcal{A}(A, N(U_m)).\] 因此，对 \(\mathcal{A}\) 的任意对象应用函子 \(\Mor_\mathcal{A}(A, -)\) 后，态射 (017Q) 都成为同构。故由 Yoneda 引理，它本身是同构。

引理

设 \(\mathcal{A}\) 为阿贝尔范畴，\(f : U \to V\) 为 \(\mathcal{A}\) 的单纯对象之间的态射。若对所有 \(i\)，诱导态射 \(N(f)_i : N(U)_i \to N(V)_i\) 都是单射，则对所有 \(i\)，\(f_i\) 都是单射。把“单射”替换成“满射”或“同构”时，结论同样成立。

证明

这由引理 017V 和分裂的定义立即推出。

引理

设 \(\mathcal{A}\) 为阿贝尔范畴，\(U\) 为 \(\mathcal{A}\) 中的单纯对象。令 \(N(U_m)\) 如上面的引理 017V 所述。

则 \(d^m_m(N(U_m)) \subset N(U_{m - 1})\)。

证明

对 \(j = 0, \ldots, m - 2\)，由备注 016C 中的关系，有 \(d^{m - 1}_j d^m_m = d^{m - 1}_{m - 1} d^m_j\)。结论随即成立。

引理

设 \(\mathcal{A}\) 为阿贝尔范畴，\(U\) 为 \(\mathcal{A}\) 的单纯对象， \(n \geq 0\) 为整数。规则 \[U'_m = \sum\nolimits_{\varphi : [m] \to [i], \ i\leq n} \Im(U(\varphi))\] 定义了子单纯对象 \(U' \subset U\)，并且当 \(i \leq n\) 时 \(U'_i = U_i\)。此外，对所有 \(m > n\)，都有 \(N(U'_m) = 0\)。

证明

取 \(m\)、\(i \leq n\) 和某个 \(\varphi : [m] \to [i]\)。对任意 \(\psi : [m'] \to [m]\)，\(\Im(U(\varphi))\) 在 \(U(\psi)\) 下的像等于 \(U(\varphi \circ \psi)\) 的像，并且 \(\varphi \circ \psi : [m'] \to [i]\)。因此 \(U'\) 是单纯对象。取 \(m > n\)。必须证明 \(N(U'_m) = 0\)。由 \(N(U_m)\) 和 \(N(U'_m)\) 的定义，有 \(N(U'_m) = U'_m \cap N(U_m)\)（子对象的交）。由于引理 017V 表明 \(U\) 是分裂的，只需证明 \(U'_m\) 包含于和 \[\sum\nolimits_{\varphi : [m] \to [m']\text{ 满射}, \ m' < m} \Im(U(\varphi)|_{N(U_{m'})}).\] 由分裂，每个 \(U_{m'}\) 都是 \(N(U_{m''})\) 在满射 \(\psi : [m'] \to [m'']\) 所诱导的 \(U(\psi)\) 下的像之和。因此，上面显示的和等于 \[\sum\nolimits_{\varphi : [m] \to [m']\text{ 满射}, \ m' < m} \Im(U(\varphi)).\] 显然，\(U'_m\) 包含于其中：在 \(U'_m\) 定义中出现的任意 \(\varphi : [m] \to [i]\)（\(i \leq n\)）都可分解为 \([m] \to [m'] \to [i]\)，其中 \([m] \to [m']\) 是满射，且 \(m' < m\)，正如上面最后一个显示的和中那样。

余骨架函子

设 \(\mathcal{C}\) 为范畴。余骨架函子（若存在）是函子 \[\text{cosk}_n : \text{Simp}_n(\mathcal{C}) \longrightarrow \text{Simp}(\mathcal{C})\] 它是骨架函子的右伴随。用公式表示为 [0181]\[\begin{equation} \Mor_{\text{Simp}(\mathcal{C})}(U, \text{cosk}_n V) = \Mor_{\text{Simp}_n(\mathcal{C})}(\text{sk}_n U, V) \end{equation}\] 给定 \(n\)-截断单纯对象 \(V\)，如果存在 \(\text{cosk}_nV \in \Ob(\text{Simp}(\mathcal{C}))\) 以及态射 \(\text{sk}_n \text{cosk}_n V \to V\)，使得上述公式成立，则称 \(\text{cosk}_nV\) 存在；换言之，函子 \(U \mapsto \Mor_{\text{Simp}_n(\mathcal{C})}(\text{sk}_n U, V)\) 是可表示的。若它存在，则由 Yoneda 引理，它在唯一同构的意义下唯一。见 Categories，第 001L 节。

例

假设范畴 \(\mathcal{C}\) 有有限非空自积。\(\mathcal{C}\) 的 \(0\)-截断单纯对象与 \(\mathcal{C}\) 的对象 \(X\) 是同一回事。在这种情形下，我们断言 \(\text{cosk}_0(X)\) 是单纯对象 \(U\)，其中 \(U_n = X^{n + 1}\) 是 \(X\) 的 \((n + 1)\) 重自积，而其单纯对象结构如例 016E 所述。事实上，态射 \(V \to U\)（其中 \(V\) 是单纯对象）由态射 \(V_n \to X^{n + 1}\) 给出，并且所有图表 \[\xymatrix{ V_n \ar[r] \ar[d]_{V([0] \to [n], 0 \mapsto i)} & X^{n + 1} \ar[d]^{\text{pr}_i} \\ V_0 \ar[r] & X }\] 都可交换。显然，这意味着该映射确定并且由唯一态射 \(V_0 \to X\) 确定。这就证明了公式 (0181)。

回忆范畴 \(\Delta/[n]\)，见例 0178。以 \((\Delta/[n])_{\leq m}\) 表示 \(\Delta/[n]\) 的全子范畴，其对象为 \(\Delta/[n]\) 中满足 \(k \leq m\) 的 \([k] \to [n]\)。换言之，有如下范畴与函子的可交换图表： \[\xymatrix{ (\Delta/[n])_{\leq m} \ar[r] \ar[d] & \Delta/[n] \ar[d] \\ \Delta_{\leq m} \ar[r] & \Delta }\] 给定 \(\mathcal{C}\) 的 \(m\)-截断单纯对象 \(U\)，按下列规则定义函子 \[U(n) : (\Delta/[n])_{\leq m}^{opp} \longrightarrow \mathcal{C}\] ： \[\begin{eqnarray*} ([k] \to [n]) & \longmapsto & U_k \\ \psi : ([k'] \to [n]) \to ([k] \to [n]) & \longmapsto & U(\psi) : U_k \to U_{k'} \end{eqnarray*}\] 对 \(\Delta\) 的给定态射 \(\varphi : [n] \to [n']\)，有相应函子 \[\overline{\varphi} : (\Delta/[n])_{\leq m} \longrightarrow (\Delta/[n'])_{\leq m}\] 它把 \(\alpha : [k] \to [n]\) 送到 \(\varphi \circ \alpha : [k] \to [n']\)。复合 \(U(n') \circ \overline{\varphi}\) 等于函子 \(U(n)\)。

引理

若范畴 \(\mathcal{C}\) 有有限极限，则对所有 \(m\)，函子 \(\text{cosk}_m\) 都存在。此外，对任意 \(m\)-截断单纯对象 \(U\)，单纯对象 \(\text{cosk}_mU\) 由公式 \[(\text{cosk}_mU)_n = \lim_{(\Delta/[n])_{\leq m}^{opp}} U(n)\] 描述；而对 \(\varphi : [n] \to [n']\)，映射 \(\text{cosk}_mU(\varphi)\) 由上面的等同 \(U(n') \circ \overline{\varphi} = U(n)\)，通过 Categories，引理 002L 得到。

证明

在本引理的证明中，以 \(\text{cosk}_mU\) 表示单纯对象，其中 \((\text{cosk}_mU)_n\) 等于 \(\lim_{(\Delta/[n])_{\leq m}^{opp}} U(n)\)。证明最后将说明，它确实满足所需的映射性质。

设 \(V\) 为单纯对象。态射 \(\gamma : V \to \text{cosk}_mU\) 由一列态射 \(\gamma_n : V_n \to (\text{cosk}_mU)_n\) 给出。由极限的定义，这等价于给出一族态射 \(\gamma(\alpha) : V_n \to U_k\)，其中 \(\alpha\) 取遍所有满足 \(k \leq m\) 的 \(\alpha : [k] \to [n]\)。对任意 \(0 \leq k, k' \leq m\)、\(0 \leq n, n'\) 以及 \(\Delta\) 中满足 \(\varphi \circ \alpha = \alpha' \circ \psi\) 的 \(\psi : [k] \to [k']\)、\(\varphi : [n] \to [n']\)、 \(\alpha : [k] \to [n]\) 和 \(\alpha' : [k'] \to [n']\)，这些态射还满足图表 \[\xymatrix{ V_n \ar[r]_{\gamma(\alpha)} & U_k \\ V_{n'} \ar[r]^{\gamma(\alpha')} \ar[u]^{V(\varphi)} & U_{k'} \ar[u]_{U(\psi)} }\] 可交换。取 \(n = k = k'\)、\(\varphi = \alpha'\)，以及 \(\alpha = \psi = \text{id}_{[k]}\)，得到 \(\gamma(\alpha') = \gamma(\text{id}_{[k]}) \circ V(\alpha')\)。换言之，态射 \(\gamma(\text{id}_{[k]})\)（\(k \leq m\)）确定态射 \(\gamma\)。容易看出，这些态射组成一个态射 \(\text{sk}_m V \to U\)。

反过来，给定态射 \(\gamma : \text{sk}_m V \to U\)，令 \(\gamma(\alpha) = \gamma(\text{id}_{[k]}) \circ V(\alpha)\)，便得到一族态射 \(\gamma(\alpha)\)，其中 \(\alpha\) 取遍所有满足 \(k \leq m\) 的 \(\alpha : [k] \to [n]\)。这些态射满足上图所示的全部可交换条件，因而给出态射 \(V \to \text{cosk}_m U\)。

引理

设 \(\mathcal{C}\) 为范畴，\(U\) 为 \(\mathcal{C}\) 的 \(m\)-截断单纯对象。对 \(n \leq m\)，极限 \(\lim_{(\Delta/[n])_{\leq m}^{opp}} U(n)\) 存在，并典范同构于 \(U_n\)。

证明

这是因为在这种情形下，范畴 \((\Delta/[n])_{\leq m}\) 有一个终对象，即恒等映射 \([n] \to [n]\)。

引理

设 \(\mathcal{C}\) 为有有限极限的范畴，\(U\) 为 \(\mathcal{C}\) 的 \(n\)-截断单纯对象。态射 \(\text{sk}_n \text{cosk}_n U \to U\) 是同构。

证明

合并引理 0183 与引理 0184。

下面更详细地描述余骨架函子的一个特例。滥用记号，对任意 \(n' \geq n\)，也以 \(\text{sk}_n\) 表示限制函子 \(\text{Simp}_{n'}(\mathcal{C}) \to \text{Simp}_n(\mathcal{C})\)。我们将描述函子 \(\text{sk}_n : \text{Simp}_{n + 1}(\mathcal{C}) \to \text{Simp}_n(\mathcal{C})\) 的一个右伴随。对 \(n \geq 1\)、\(0 \leq i < j \leq n + 1\)，定义 \(\delta^{n + 1}_{i, j} : [n - 1] \to [n + 1]\) 为略去 \(i\) 和 \(j\) 的递增映射。注意 \(\delta^{n + 1}_{i, j} = \delta^{n + 1}_j \circ \delta^n_i = \delta^{n + 1}_i \circ \delta^n_{j - 1}\)；见引理 0167。这引出下述引理。

引理

设整数 \(n\)，并要求其值 \(\geq 1\)。设 \(U\) 为 \(\mathcal{C}\) 的 \(n\)-截断单纯对象。考虑从 \(\mathcal{C}\) 到 \(\textit{Sets}\) 的反变函子，它把对象 \(T\) 送到集合 \[\{ (f_0, \ldots, f_{n + 1}) \in \Mor_\mathcal{C}(T, U_n) \mid d^n_{j - 1} \circ f_i = d^n_i \circ f_j \ \forall\ 0\leq i < j\leq n + 1\}\] 若此函子由 \(\mathcal{C}\) 的某个对象 \(U_{n + 1}\) 表示，则 \[U_{n + 1} = \lim_{(\Delta/[n + 1])_{\leq n}^{opp}} U(n)\]

证明

该极限若存在，就表示把对象 \(T\) 送到集合 \[\{ (f_\alpha)_{\alpha : [k] \to [n + 1], k \leq n} \mid f_{\alpha \circ \psi} = U(\psi) \circ f_\alpha\ \forall \ \psi : [k'] \to [k], \alpha : [k] \to [n + 1] \}.\] 事实上，我们将证明此函子同构于引理中显示的函子。一个方向的映射由规则 \[(f_\alpha)_{\alpha} \longmapsto (f_{\delta^{n + 1}_0}, \ldots, f_{\delta^{n + 1}_{n + 1}}).\] 给出。由引理前回忆的关系，它满足引理中的条件，因为 \[d^n_{j - 1} \circ f_{\delta^{n + 1}_i} = f_{\delta^{n + 1}_i \circ \delta^n_{j - 1}} = f_{\delta^{n + 1}_j \circ \delta^n_i} = d^n_i \circ f_{\delta^{n + 1}_j}\] 为构造反方向的映射，必须把引理中显示公式里的系统 \((f_0, \ldots, f_{n + 1})\) 送到映射系统 \(f_\alpha\)。给定 \(\alpha : [k] \to [n + 1]\)。由于 \(k \leq n\)，映射 \(\alpha\) 不是满射。因此，可以写成 \(\alpha = \delta^{n + 1}_i \circ \psi\)，其中 \(0 \leq i \leq n + 1\)，且 \(\psi : [k] \to [n]\)。我们只能定义 \[f_\alpha = U(\psi) \circ f_i.\] 当然，必须检查它与对偶 \((i, \psi)\) 的选择无关。首先注意，给定 \(i\)，符合条件的 \(\psi\) 唯一。其次，设 \((j, \phi)\) 为另一对。则 \(i \not = j\)，并可假设 \(i < j\)。由于 \(i, j\) 都不在 \(\alpha\) 的像中，实际上可写 \(\alpha = \delta^{n + 1}_{i, j} \circ \xi\)；于是 \(\psi = \delta^n_{j - 1} \circ \xi\)，且 \(\phi = \delta^n_i \circ \xi\)。因此 \[\begin{eqnarray*} U(\psi) \circ f_i & = & U(\delta^n_{j - 1} \circ \xi) \circ f_i \\ & = & U(\xi) \circ d^n_{j - 1} \circ f_i \\ & = & U(\xi) \circ d^n_i \circ f_j \\ & = & U(\delta^n_i \circ \xi) \circ f_j \\ & = & U(\phi) \circ f_j \end{eqnarray*}\] 如所欲证。还需验证，如此定义的映射 \(f_\alpha\) 满足映射系统 \((f_\alpha)_\alpha\) 的规则。为此，设 \(\psi : [k'] \to [k]\)、\(\alpha : [k] \to [n + 1]\)，其中 \(k, k' \leq n\)。令 \(\alpha' = \alpha \circ \psi\)。取不在 \(\alpha\) 的像中的 \(i\)，则 \(i\) 显然也不在 \(\alpha'\) 的像中。写 \(\alpha = \delta^{n + 1}_i \circ \phi\)（这里不能使用字母 \(\psi\)，因为它已经用过）。则显然 \(\alpha' = \delta^{n + 1}_i \circ \phi \circ \psi\)。由上述构造，有 \[U(\psi) \circ f_\alpha = U(\psi) \circ U(\phi) \circ f_i = U(\phi \circ \psi) \circ f_i = f_{\alpha \circ \psi} = f_{\alpha'}\] 如所欲证。留给读者一项愉快的工作：验证这些构造给出互逆双射，并且关于 \(T\) 函子性地成立。

引理

设整数 \(n\)，并要求其值 \(\geq 1\)。设 \(U\) 为 \(\mathcal{C}\) 的 \(n\)-截断单纯对象。考虑从 \(\mathcal{C}\) 到 \(\textit{Sets}\) 的反变函子，它把对象 \(T\) 送到集合 \[\{ (f_0, \ldots, f_{n + 1}) \in \Mor_\mathcal{C}(T, U_n) \mid d^n_{j - 1} \circ f_i = d^n_i \circ f_j \ \forall\ 0\leq i < j\leq n + 1\}\] 若此函子由 \(\mathcal{C}\) 的某个对象 \(U_{n + 1}\) 表示，则存在 \((n + 1)\)-截断单纯对象 \(\tilde U\)，满足 \(\text{sk}_n \tilde U = U\) 和 \(\tilde U_{n + 1} = U_{n + 1}\)，并且有如下伴随关系： \[\Mor_{\text{Simp}_{n + 1}(\mathcal{C})}(V, \tilde U) = \Mor_{\text{Simp}_n(\mathcal{C})}(\text{sk}_nV, U)\]

证明

由引理 0184，对 \(0 \leq i \leq n\) 有等同 \[U_i = \lim_{(\Delta/[i])_{\leq n}^{opp}} U(i)\] 由引理 0186，有 \[U_{n + 1} = \lim_{(\Delta/[n + 1])_{\leq n}^{opp}} U(n).\] 因此，对任意满足 \(i, j \leq n + 1\) 的 \(\varphi : [i] \to [j]\)，可以完全按照引理 0183 定义相应映射 \(\tilde U(\varphi) : \tilde U_j \to \tilde U_i\)。这定义了满足 \(\text{sk}_n \tilde U = U\) 的 \((n + 1)\)-截断单纯对象 \(\tilde U\)。

为证明伴随关系，论证如下。给定公式右端的任意元素 \(\gamma : \text{sk}_n V \to U\)，考虑态射 \(f_i = \gamma_n \circ d^{n + 1}_i : V_{n + 1} \to V_n \to U_n\)。它们显然满足关系 \(d^n_{j - 1} \circ f_i = d^n_i \circ f_j\)，因而由 \(U_{n + 1}\) 的选取，定义唯一态射 \(V_{n + 1} \to U_{n + 1}\)。反之，给定左端的态射 \(\gamma' : V \to \tilde U\)，只需限制到 \(\Delta_{\leq n}\)，便得到右端的一个元素。留给读者证明这两个构造互逆。

注

设 \(U\) 和 \(U_{n + 1}\) 如引理 0187 中所述。在 \(T\)-值点上，可以容易地描述 \(\tilde U\) 的面映射和退化映射。具体地，映射 \(d^{n + 1}_i : U_{n + 1} \to U_n\) 由 \[(f_0, \ldots, f_{n + 1}) \longmapsto f_i.\] 给出，而映射 \(s^n_j : U_n \to U_{n + 1}\) 由 \[\begin{eqnarray*} f & \longmapsto & ( s^{n - 1}_{j - 1} \circ d^{n - 1}_0 \circ f, \\ & & s^{n - 1}_{j - 1} \circ d^{n - 1}_1 \circ f, \\ & & \ldots\\ & & s^{n - 1}_{j - 1} \circ d^{n - 1}_{j - 1} \circ f, \\ & & f, \\ & & f, \\ & & s^{n - 1}_j \circ d^{n - 1}_{j + 1} \circ f, \\ & & s^{n - 1}_j \circ d^{n - 1}_{j + 2} \circ f, \\ & & \ldots\\ & & s^{n - 1}_j \circ d^{n - 1}_n \circ f ) \end{eqnarray*}\] 给出；留给读者验证，右端是引理 0187 中显示集合的元素。当 \(n = 0\) 时，有一个映射，即 \(f \mapsto (f, f)\)。当 \(n = 1\) 时，有两个映射，即 \(f \mapsto (f, f, s_0d_1f)\) 和 \(f \mapsto (s_0d_0f, f, f)\)。当 \(n = 2\) 时，有三个映射，即 \(f \mapsto (f, f, s_0d_1f, s_0d_2f)\)、 \(f \mapsto (s_0d_0f, f, f, s_1d_2f)\) 和 \(f \mapsto (s_1d_0f, s_1d_1f, f, f)\)。依此类推。

注

上面的引理 0187 在单纯集情形下的构造如下。给定 \(n\)-截断单纯集 \(U\)，如下作出典范的 \((n + 1)\)-截断单纯集 \(\tilde U\)。利用引理中的公式添加一个 \((n + 1)\)-单形集 \(U_{n + 1}\)。也就是说，\(U_{n + 1}\) 的一个元素是一列编号的 \(n\)-单形 \((f_0, \ldots, f_{n + 1})\)，它们具有与一个 \((n + 1)\)-单形的各面相同的粘合性质。换言之，当 \(i < j\) 时， \(f_j\) 的第 \(i\) 个面是 \(f_i\) 的第 \((j-1)\) 个面。从几何上看，如何定义 \(\tilde U\) 的面映射和退化映射是显然的。若 \(V\) 是 \((n + 1)\)-截断单纯集，则它的 \((n + 1)\)-单形给出相容的 \(n\)-单形族 \((f_0, \ldots, f_{n + 1})\)，其中 \(f_i \in V_n\)。因此有自然映射 \(\Mor(\text{sk}_nV, U) \to \Mor(V, \tilde U)\)，它与反方向的典范限制映射互逆。

此外，只需在截断单纯集的情形下完成该构造的组合论部分。事实上，对范畴 \(\mathcal{C}\) 的任意对象 \(T\) 和 \(\mathcal{C}\) 的任意 \(n\)-截断单纯对象 \(U\)，可以考虑 \(n\)-截断单纯集 \(\Mor(T, U)\)。可以对此应用上述构造，取其 \((n + 1)\)-单形集，并要求它可表示。这是理解引理 0187 结论的一种好方法。

注

余骨架的归纳构造。 假设 \(\mathcal{C}\) 是有有限极限的范畴，\(U\) 是 \(\mathcal{C}\) 中的 \(m\)-截断单纯对象。可以如下归纳构造 \(n\)-截断对象 \(U^n\)：

从 \(U^m = U\) 开始。

给定 \(n \geq m\) 时的 \(U^n\)，令 \(U^{n + 1} = \tilde U^n\)，其中 \(\tilde U^n\) 按引理 0187 由 \(U^n\) 构造。

由于引理 0187 的构造保持 \(U^n\) 的 \(n\)-骨架不变，可以把 \(\text{cosk}_m U\) 定义为满足 \((\text{cosk}_m U)_n = U^n_n = U^{n + 1}_n = \ldots\) 的单纯对象。而且由引理 0187 形式地推出，对所有 \(n \geq m\)， \(U^n\) 满足公式 \[\Mor_{\text{Simp}_n(\mathcal{C})}(V, U^n) = \Mor_{\text{Simp}_m(\mathcal{C})}(\text{sk}_mV, U)\] 进而又形式地推出 \[\Mor_{\text{Simp}(\mathcal{C})}(V, \text{cosk}_mU) = \Mor_{\text{Simp}_m(\mathcal{C})}(\text{sk}_mV, U)\] 其中 \(\text{cosk}_mU\) 按上述方式选取。

引理

设 \(\mathcal{C}\) 为有有限极限的范畴。

对每个 \(n\)，函子 \(\text{sk}_n : \text{Simp}(\mathcal{C}) \to \text{Simp}_n(\mathcal{C})\) 有右伴随 \(\text{cosk}_n\)。

对每个 \(n' \geq n\)，函子 \(\text{sk}_n : \text{Simp}_{n'}(\mathcal{C}) \to \text{Simp}_n(\mathcal{C})\) 有右伴随，即 \(\text{sk}_{n'}\text{cosk}_n\)。

对每个 \(m \geq n \geq 0\) 以及 \(\mathcal{C}\) 的每个 \(n\)-截断单纯对象 \(U\)，有 \(\text{cosk}_m \text{sk}_m \text{cosk}_n U = \text{cosk}_n U\)。

若 \(U\) 是 \(\mathcal{C}\) 的单纯对象，并且对某个 \(n \geq 0\)，典范映射 \(U \to \text{cosk}_n \text{sk}_nU\) 是同构，则对所有 \(m \geq n\)，典范映射 \(U \to \text{cosk}_m \text{sk}_mU\) 都是同构。

证明

(1) 中的存在性由上面的引理 0183 推出。 (2) 和 (3) 由备注 018A 中的讨论推出。于是 (4) 显然。

注

定义余骨架函子并不需要所有有限极限。说明如下：

在例 0182 中已经看到，若 \(\mathcal{C}\) 有对象对的积，则 \(\text{cosk}_0\) 存在。

对 \(k > 0\)，若 \(\mathcal{C}\) 有有限连通极限，则函子 \(\text{cosk}_k\) 存在。

这由余骨架的归纳构造步骤（备注 0189 和 018A）清楚可见；也可以由下述事实推出：引理 0183 中使用的范畴 \((\Delta/[n])_{\leq k}\) 在 \(k \geq 1\) 且 \(n \geq k + 1\) 时是连通的。注意，由引理 0184 或引理 0185，我们不需要 \(n \leq k\) 时的那些范畴。（随着 \(k\) 增大，在 \(k \geq 1\) 且 \(n \geq k + 1\) 时，范畴 \((\Delta/[n])_{\leq k}\) 在拓扑意义下越来越连通。）

引理

设 \(U\)、\(V\) 为范畴 \(\mathcal{C}\) 的 \(n\)-截断单纯对象。只要等式两端都存在，就有 \[\text{cosk}_n (U \times V) = \text{cosk}_nU \times \text{cosk}_nV\]

证明

设 \(W\) 为单纯对象。有 \[\begin{eqnarray*} \Mor(W, \text{cosk}_n (U \times V)) & = & \Mor(\text{sk}_n W, U \times V) \\ & = & \Mor(\text{sk}_n W, U) \times \Mor(\text{sk}_nW, V) \\ & = & \Mor(W, \text{cosk}_n U) \times \Mor(W, \text{cosk}_n V) \\ & = & \Mor(W, \text{cosk}_n U \times \text{cosk}_n V) \end{eqnarray*}\] 引理得证。

引理

假设 \(\mathcal{C}\) 有纤维积。设 \(U \to V\) 和 \(W \to V\) 为范畴 \(\mathcal{C}\) 的 \(n\)-截断单纯对象之间的态射。只要等式两端存在，就有 \[\text{cosk}_n (U \times_V W) = \text{cosk}_nU \times_{\text{cosk}_n V} \text{cosk}_nW\]

证明

略；证明与上面的引理 018C 的证明非常相似。

引理

设 \(\mathcal{C}\) 为有有限极限的范畴，并设 \(X \in \Ob(\mathcal{C})\)。对 \(k \geq 1\)，函子 \(\mathcal{C}/X \to \mathcal{C}\) 与余骨架函子 \(\text{cosk}_k\) 交换。

证明

该断言的意思是：若 \(U\) 是 \(\mathcal{C}/X\) 的单纯对象，可把它看成 \(\mathcal{C}\) 的一个单纯对象，连同一个指向常值单纯对象 \(X\) 的态射；那么在 \(\mathcal{C}/X\) 中计算的 \(\text{cosk}_k U\) 与在 \(\mathcal{C}\) 中计算的相同。例如，这由 Categories，引理 002T 推出，因为引理 0183 中使用的范畴 \((\Delta/[n])_{\leq k}\) 在 \(k \geq 1\) 且 \(n \geq k + 1\) 时是连通的。注意，由引理 0184 或引理 0185，我们不需要 \(n \leq k\) 时的那些范畴。

引理

典范映射 \(\Delta[n] \to \text{cosk}_1 \text{sk}_1 \Delta[n]\) 是同构。

证明

考虑单纯集 \(U\) 和态射 \(f : U \to \Delta[n]\)。这是一条规则：它把每个 \(u \in U_i\) 关联到 \(\Delta\) 中的映射 \(f_u : [i] \to [n]\)。此外，这些映射应满足：对任意 \(\varphi : [j] \to [i]\)，有 \(f_u \circ \varphi = f_{U(\varphi)(u)}\)。以 \(\epsilon^i_j : [0] \to [i]\) 表示把 \(0\) 映到 \(j\) 的映射。以 \(F : U_0 \to [n]\) 表示映射 \(u \mapsto f_u(0)\)。于是可见 \[f_u(j) = F(\epsilon^i_j(u))\] 对所有 \(0 \leq j \leq i\) 和 \(u \in U_i\) 成立。特别地，若知道函数 \(F\)，则对所有 \(u\in U_i\) 和所有 \(i\)，都知道映射 \(f_u\)。反之，给定映射 \(F : U_0 \to [n]\)，可以对任意 \(i\)、任意 \(u \in U_i\) 和任意 \(0 \leq j \leq i\) 令 \[f_u(j) = F(\epsilon^i_j(u))\] 一般而言，这并不定义上面的单纯集态射 \(f\)。条件是所有映射 \(f_u\) 都非降。这显然等价于：当 \(0 \leq j \leq j' \leq i\) 且 \(u \in U_i\) 时， \(F(\epsilon^i_j(u)) \leq F(\epsilon^i_{j'}(u))\)。但在这种情形下，态射 \[\epsilon^i_j, \epsilon^i_{j'} : [0] \to [i]\] 都通过映射 \(\epsilon^i_{j, j'} : [1] \to [i]\) 分解；后者由规则 \(0 \mapsto j\)、\(1 \mapsto j'\) 定义。换言之，只需对 \(i = 1\) 和 \(u \in X_1\) 检查这些不等式。

也就是说，有 \[\Mor(U, \Delta[n]) = \Mor(\text{sk}_1 U, \text{sk}_1 \Delta[n])\] 如所欲证。

增广

定义

设 \(\mathcal{C}\) 为范畴，\(U\) 为 \(\mathcal{C}\) 的单纯对象。 \(U\) 向 \(\mathcal{C}\) 的对象 \(X\) 的一个增广 \(\epsilon : U \to X\)，是从 \(U\) 到常值单纯对象 \(X\) 的态射。

引理

设 \(\mathcal{C}\) 为范畴，\(X \in \Ob(\mathcal{C})\)，并设 \(U\) 为 \(\mathcal{C}\) 的单纯对象。给出 \(U\) 向 \(X\) 的一个增广，等价于给出态射 \(\epsilon_0 : U_0 \to X\)，使得 \(\epsilon_0 \circ d^1_0 = \epsilon_0 \circ d^1_1\)。

证明

给定态射 \(\epsilon : U \to X\)，当然得到引理中所述的 \(\epsilon_0\)。反之，给定引理中所述的 \(\epsilon_0\)，任选态射 \(\alpha : [0] \to [n]\)，并令 \(\epsilon_n = \epsilon_0 \circ U(\alpha)\)，从而定义 \(\epsilon_n : U_n \to X\)。事实上，若 \(\beta : [0] \to [n]\) 是另一种选择，则存在态射 \(\gamma : [1] \to [n]\)，使得 \(\alpha\) 和 \(\beta\) 都分解为 \([0] \to [1] \to [n]\)。因此，对 \(\epsilon_0\) 的条件说明 \(\epsilon_n\) 是良定义的。容易证明， \((\epsilon_n) : U \to X\) 是单纯对象之间的态射。

引理

设 \(\mathcal{C}\) 为有纤维积的范畴。设 \(f : Y\to X\) 为 \(\mathcal{C}\) 的态射，并设 \(U\) 为 \(\mathcal{C}\) 的单纯对象，其第 \(n\) 项是 \((n + 1)\) 重纤维积 \(Y \times_X Y \times_X \ldots \times_X Y\)。

见例 016E。对 \(\mathcal{C}\) 的任意单纯对象 \(V\)，有 \[\begin{align*} \Mor_{\text{Simp}(\mathcal{C})}(V, U) & = \Mor_{\text{Simp}_1(\mathcal{C})}(\text{sk}_1 V, \text{sk}_1 U) \\ & = \{g_0 : V_0 \to Y \mid f \circ g_0 \circ d^1_0 = f \circ g_0 \circ d^1_1\} \end{align*}\] 特别地，有 \(U = \text{cosk}_1 \text{sk}_1 U\)。

证明

设 \(g : \text{sk}_1V \to \text{sk}_1U\) 为 \(1\)-截断单纯对象之间的态射。则图表 \[\xymatrix{ V_1 \ar@<1ex>[r]^{d^1_0} \ar@<-1ex>[r]_{d^1_1} \ar[d]_{g_1} & V_0 \ar[d]^{g_0} \\ Y \times_X Y \ar@<1ex>[r]^{pr_1} \ar@<-1ex>[r]_{pr_0} & Y \ar[r] & X }\] 可交换，这证明了引理中显示的关系。反过来，必须证明：给定满足关系 \(f \circ g_0 \circ d^1_0 = f \circ g_0 \circ d^1_1\) 的态射 \(g_0\)，可得到唯一的单纯对象态射 \(g : V \to U\)。作法如下。对任意 \(n \geq 1\)，令 \(g_{n, i} = g_0 \circ V([0] \to [n], 0 \mapsto i) : V_n \to Y\)。由可交换图表 \[\xymatrix{ [0] \ar[rd]_{0 \mapsto 0} \ar[rrrrrd]^{0 \mapsto i} \\ & [1] \ar[rrrr]^{0 \mapsto i, 1\mapsto i + 1} & & & & [n] \\ [0] \ar[ru]^{0 \mapsto 1} \ar[rrrrru]_{0 \mapsto i + 1} }\] 上述等式蕴含 \(f \circ g_{n, i} = f \circ g_{n, i + 1}\)。因此得到 \((g_{n, 0}, \ldots, g_{n, n}) : V_n \to Y \times_X\ldots \times_X Y = U_n\)。留给读者验证，这是单纯对象之间的态射。引理最后一个断言等价于引理中显示公式的第一个等式。

注

设 \(\mathcal{C}\) 为有纤维积的范畴，\(V\) 为单纯对象， \(\epsilon : V \to X\) 为增广。设 \(U\) 为如下单纯对象：其第 \(n\) 项是 \(V_0\) 在 \(X\) 上的第 \((n + 1)\) 个纤维积。

简单地结合引理 018H 与引理 018I，得到典范态射 \(V \to U\)。

骨架函子的左伴随

本节在某些情形下构造骨架函子 \(\text{sk}_m\) 的左伴随 \(i_{m!}\)。伴随公式为 \[\Mor_{\text{Simp}_m(\mathcal{C})}(U, \text{sk}_mV) = \Mor_{\text{Simp}(\mathcal{C})}(i_{m!}U, V).\] 事实表明，当范畴 \(\mathcal{C}\) 有有限余极限时，这个左伴随存在。

我们使用与第 017Z 节相似的构造。回忆 \([n]\) 下对象所成的范畴 \([n]/\Delta\)，见 Categories，例 001H。其对象是态射 \(\alpha : [n] \to [k]\)，其态射是可交换三角形。以 \(([n]/\Delta)_{\leq m}\) 表示 \([n]/\Delta\) 的全子范畴，由满足 \(k \leq m\) 的对象 \([n] \to [k]\) 组成。给定 \(\mathcal{C}\) 的 \(m\)-截断单纯对象 \(U\)，按下列规则定义函子 \[U(n) : ([n]/\Delta)_{\leq m}^{opp} \longrightarrow \mathcal{C}\] ： \[\begin{eqnarray*} ([n] \to [k]) & \longmapsto & U_k \\ \psi : ([n] \to [k']) \to ([n] \to [k]) & \longmapsto & U(\psi) : U_k \to U_{k'} \end{eqnarray*}\] 对 \(\Delta\) 的给定态射 \(\varphi : [n] \to [n']\)，有相应函子 \[\underline{\varphi} : ([n']/\Delta)_{\leq m} \longrightarrow ([n]/\Delta)_{\leq m}\] 它把 \(\alpha : [n'] \to [k]\) 送到 \(\varphi \circ \alpha : [n] \to [k]\)。复合 \(U(n) \circ \underline{\varphi}\) 等于函子 \(U(n')\)。

引理

设 \(\mathcal{C}\) 为有有限余极限的范畴。对所有 \(m\)，函子 \(i_{m!}\) 都存在。设 \(U\) 为 \(\mathcal{C}\) 的 \(m\)-截断单纯对象。单纯对象 \(i_{m!}U\) 由公式 \[(i_{m!}U)_n = \colim_{([n]/\Delta)_{\leq m}^{opp}} U(n)\] 描述；而对 \(\varphi : [n] \to [n']\)，映射 \(i_{m!}U(\varphi)\) 由上面的等同 \(U(n) \circ \underline{\varphi} = U(n')\)，通过 Categories，引理 002K 得到。

证明

在本证明中，以 \(i_{m!}U\) 表示其第 \(n\) 项由引理中显示公式给出的单纯对象。我们将证明它满足伴随性质。

设 \(V\) 为 \(\mathcal{C}\) 的单纯对象，并给定 \(\gamma : U \to \text{sk}_mV\)。态射 \[\colim_{([n]/\Delta)_{\leq m}^{opp}} U(n) \to T\] 由一个相容的态射系统 \(f_\alpha : U_k \to T\) 给出，其中 \(\alpha : [n] \to [k]\) 且 \(k \leq m\)。当然，取复合 \[U_k \xrightarrow{\gamma_k} V_k \xrightarrow{V(\alpha)} V_n.\] 便得到这样的态射系统。因此得到诱导态射 \((i_{m!}U)_n \to V_n\)。留给读者验证，它们组成单纯对象之间的态射 \(\gamma' : i_{m!}U \to V\)。

反过来，给定态射 \(\gamma' : i_{m!}U \to V\)，对 \(0 \leq i \leq n\)，令 \(\gamma_i : U_i \to V_i\) 等于复合 \[U_i \xrightarrow{\text{id}_{[i]}} \colim_{([i]/\Delta)_{\leq m}^{opp}} U(i) \xrightarrow{\gamma'_i} V_i\]

从而得到态射 \(\gamma : U \to \text{sk}_m V\)。留给读者验证，这是上述构造的逆。

引理

设 \(\mathcal{C}\) 为范畴，\(U\) 为 \(\mathcal{C}\) 的 \(m\)-截断单纯对象。对任意 \(n \leq m\)，余极限 \[\colim_{([n]/\Delta)_{\leq m}^{opp}} U(n)\] 存在，并等于 \(U_n\)。

证明

这是因为范畴 \(([n]/\Delta)_{\leq m}\) 有初对象，即 \(\text{id} : [n] \to [n]\)。

引理

设 \(\mathcal{C}\) 为有有限余极限的范畴，\(U\) 为 \(\mathcal{C}\) 的 \(m\)-截断单纯对象。映射 \(U \to \text{sk}_m i_{m!}U\) 是同构。

证明

合并引理 018L 与引理 018M。

引理

若 \(U\) 是 \(m\)-截断单纯集且 \(n > m\)，则 \(i_{m!}U\) 的所有 \(n\)-单形都是退化的。

证明

这可以从引理 018L 中 \(i_{m!}U\) 的构造看出，也可如下直接论证。令 \(V = i_{m!}U\)。设 \(V' \subset V\) 为如下单纯子集：当 \(i \leq m\) 时 \(V'_i = V_i\)，而当 \(i > m\) 时所有 \(i\)-单形都退化；见引理 017T。由伴随公式，又因为 \(\text{sk}_m V' = U\)，单射 \(V' \to V\) 有逆。因此 \(V' = V\)。

引理

设 \(U\) 为单纯集，\(n \geq 0\) 为整数。态射 \(i_{n!} \text{sk}_n U \to U\) 把 \(i_{n!} \text{sk}_n U\) 与引理 017T 中定义的单纯集 \(U' \subset U\) 等同起来。

证明

由引理 018O，\(i_{n!} \text{sk}_n U\) 的非退化单形只出现在次数 \(\leq n\)。映射 \(i_{n!} \text{sk}_n U \to U\) 在次数 \(\leq n\) 上是同构。综合这两点，得到映射 \(i_{n!} \text{sk}_n U \to U\) 把非退化单形映到非退化单形，并且任意两个非退化单形的像都不相同。因此可应用引理 017S。于是 \(i_{n!} \text{sk}_n U \to U\) 是单射。结论容易由此推出。

注

在一些文献中，复合函子 \[\text{Simp}(\mathcal{C}) \xrightarrow{\text{sk}_m} \text{Simp}_m(\mathcal{C}) \xrightarrow{i_{m!}} \text{Simp}(\mathcal{C})\] 记作 \(\text{sk}_m\)。对单纯集而言这是合理的，因为此时引理 018P 表明，\(i_{m!} \text{sk}_m V\) 正是 \(V\) 的如下子单纯集：它由 \(V\) 的所有 \(i\)-单形（\(i \leq m\)）及其退化组成。在这些文献中，通常还把复合 \[\text{Simp}(\mathcal{C}) \xrightarrow{\text{sk}_m} \text{Simp}_m(\mathcal{C}) \xrightarrow{\text{cosk}_m} \text{Simp}(\mathcal{C})\] 记作 \(\text{cosk}_m\)。

引理

设 \(U \subset V\) 为单纯集。假设 \(n \geq 0\)，且 \(x \in V_n\)、\(x \not \in U_n\) 满足：

当 \(i < n\) 时，\(V_i = U_i\)；

\(V_n = U_n \cup \{x\}\)；

当 \(j > n\) 时，任意 \(z \in V_j\)、\(z \not \in U_j\) 都退化。

设 \(\Delta[n] \to V\) 为把 \(\Delta[n]\) 的非退化 \(n\)-单形映到 \(x\) 的唯一态射。此时图表 \[\xymatrix{ \Delta[n] \ar[r] & V \\ i_{(n - 1)!} \text{sk}_{n - 1} \Delta[n] \ar[r] \ar[u] & U \ar[u] }\] 是推出图表。

证明

为方便起见，记 \(\partial \Delta[n] = i_{(n - 1)!} \text{sk}_{n - 1} \Delta[n]\)。有自然映射 \(U \amalg_{\partial \Delta[n]} \Delta[n] \to V\)。必须证明它在每个次数 \(j\) 上都是双射，并且这对所有 \(j\) 都成立。当 \(j \leq n\) 时显然。设 \(j > n\)。第三个条件意味着，任意 \(z \in V_j\)、 \(z \not \in U_j\) 都是退化单形，例如 \(z = s^{j - 1}_i(z')\)。当然，\(z' \not \in U_{j - 1}\)。由归纳可知，\(z'\) 是 \(x\) 的一个退化。因此，\(V\) 的所有 \(j\)-单形或者属于 \(U\)，或者是 \(x\) 的退化。这蕴含映射 \(U \amalg_{\partial \Delta[n]} \Delta[n] \to V\) 是满射。注意，\(U \amalg_{\partial \Delta[n]} \Delta[n]\) 的非退化单形，或者是 \(U\) 的某个非退化单形的像，或者是 \(\Delta[n]\) 的（唯一）非退化 \(n\)-单形的像。由于 \(x\) 显然非退化，可推出 \(U \amalg_{\partial \Delta[n]} \Delta[n] \to V\) 把非退化单形映到非退化单形，并在非退化单形上是单射。因此，由引理 017S，它是单射。

引理

设 \(U \subset V\) 为单纯集，并且对所有 \(n\)，\(U_n, V_n\) 都有限非空。假设 \(U\) 和 \(V\) 只有有限多个非退化单形。则存在子单纯集序列 \[U = W^0 \subset W^1 \subset W^2 \subset \ldots W^r = V\]

使得引理 018R 可应用于每个包含 \(W^i \subset W^{i + 1}\)。

证明

设 \(n\) 为使 \(V\) 有一个不属于 \(U\) 的非退化单形的最小整数。取这样的非退化单形 \(x \in V_n\)、\(x\not \in U_n\)。设 \(W \subset V\) 为如下元素的集合：这些元素或者属于 \(U\)，或者是 \(x\) 的（反复）退化（换言之，具有形式 \(V(\varphi)(x)\)，其中 \(\varphi : [m] \to [n]\) 是满射）。容易看出，\(W\) 是单纯集。包含 \(U \subset W\) 满足引理 018R 的条件。此外，\(V\) 中不属于 \(W\) 的非退化单形数，恰比 \(V\) 中不属于 \(U\) 的非退化单形数少一。因此，对这个数归纳即可。

引理

设 \(\mathcal{A}\) 为阿贝尔范畴

设 \(U\) 为 \(\mathcal{A}\) 的 \(m\)-截断单纯对象。对 \(n > m\)，有 \(N(i_{m!}U)_n = 0\)。

证明

令 \(V = i_{m!}U\)。设 \(V' \subset V\) 为 \(V\) 的如下单纯子对象：当 \(i \leq m\) 时 \(V'_i = V_i\)，而当 \(i > m\) 时 \(N(V'_i) = 0\)；见引理 017Y。由伴随公式，又因为 \(\text{sk}_m V' = U\)，单射 \(V' \to V\) 有逆。因此 \(V' = V\)。

引理

设 \(\mathcal{A}\) 为阿贝尔范畴，\(U\) 为 \(\mathcal{A}\) 的单纯对象， \(n \geq 0\) 为整数。态射 \(i_{n!} \text{sk}_n U \to U\) 把 \(i_{n!} \text{sk}_n U\) 与引理 017Y 中定义的单纯子对象 \(U' \subset U\) 等同起来。

证明

由引理 018T，当 \(i > n\) 时，有 \(N(i_{n!} \text{sk}_n U)_i = 0\)。映射 \(i_{n!} \text{sk}_n U \to U\) 在次数 \(\leq n\) 上是同构，见引理 018N。综合这两点，得到映射 \(i_{n!} \text{sk}_n U \to U\) 对所有 \(i\) 都诱导单射 \(N(i_{n!} \text{sk}_n U)_i \to N(U)_i\)。因此可应用引理 017W。于是 \(i_{n!} \text{sk}_n U \to U\) 是单射。结论容易由此推出。

下面利用上述材料给出理解余骨架函子的另一种方式。

引理

设 \(\mathcal{C}\) 为有有限余积和有限极限的范畴，\(V\) 为 \(\mathcal{C}\) 的单纯对象。此时 \[(\text{cosk}_n \text{sk}_n V)_{n + 1} = \Hom(i_{n !}\text{sk}_n \Delta[n + 1], V)_0.\]

证明

由引理 017F，左边的对象表示把 \(X\) 送到下列等式中第一个集合的函子： \[\begin{eqnarray*} \Mor(X \times \Delta[n + 1], \text{cosk}_n \text{sk}_n V) & = & \Mor(X \times \text{sk}_n \Delta[n + 1], \text{sk}_n V) \\ & = & \Mor(X \times i_{n !} \text{sk}_n \Delta[n + 1], V). \end{eqnarray*}\] 引理公式右边的对象由把 \(X\) 送到该等式链中最后一个集合的函子表示。这证明了结论。

在该等式链中，我们使用了 \(\text{sk}_n (X \times \Delta[n + 1]) = X \times \text{sk}_n \Delta[n + 1]\) 以及 \(i_{n!}(X \times \text{sk}_n \Delta[n + 1]) = X \times i_{n !} \text{sk}_n \Delta[n + 1]\)。第一个等式显然。对 \(\mathcal{C}\) 的任意（可能截断的）单纯对象 \(W\) 和 \(\mathcal{C}\) 的任意对象 \(X\)，暂以 \(\Mor_\mathcal{C}(X, W)\) 表示（可能截断的）单纯集 \([n] \mapsto \Mor_\mathcal{C}(X, W_n)\)。由定义，对任意（可能截断的）单纯集 \(U\)，有 \(\Mor(U \times X, W) = \Mor(U, \Mor_\mathcal{C}(X, W))\)。因此 \[\begin{eqnarray*} \Mor(X \times i_{n !} \text{sk}_n \Delta[n + 1], W) & = & \Mor(i_{n !} \text{sk}_n \Delta[n + 1], \Mor_\mathcal{C}(X, W)) \\ & = & \Mor(\text{sk}_n \Delta[n + 1], \text{sk}_n\Mor_\mathcal{C}(X, W)) \\ & = & \Mor(X \times \text{sk}_n \Delta[n + 1], \text{sk}_nW) \\ & = & \Mor(i_{n!}(X \times \text{sk}_n \Delta[n + 1]), W). \end{eqnarray*}\] 这证明了所用的第二个等式，也结束了引理的证明。

阿贝尔范畴中的单纯对象

回顾阿贝尔范畴的定义见《同调代数》第 00ZX 节。

引理

设 \(\mathcal{A}\) 为阿贝尔范畴。

范畴 \(\text{Simp}(\mathcal{A})\) 和 \(\text{CoSimp}(\mathcal{A})\) 都是阿贝尔范畴。

（余）单纯对象的态射 \(f : A \to B\) 为单射，当且仅当每个 \(f_n : A_n \to B_n\) 都为单射。

（余）单纯对象的态射 \(f : A \to B\) 为满射，当且仅当每个 \(f_n : A_n \to B_n\) 都为满射。

（余）单纯对象的序列 \[A \xrightarrow{f} B \xrightarrow{g} C\] 在 \(B\) 处正合，当且仅当每个序列 \[A_i \xrightarrow{f_i} B_i \xrightarrow{g_i} C_i\] 都在 \(B_i\) 处正合。

证明

预加性很容易验证。终对象由所有次数中的 \(U_n = 0\) 给出。直积的存在性已见引理 016R 和 0170。核与余核可逐项取核与余核得到。

对 \(\mathcal{A}\) 的对象 \(A\) 和整数 \(k\)，考虑满足下列条件的 \(k\)-截断单纯对象 \(U\)：

当 \(i < k\) 时，\(U_i = 0\)；
\(U_k = A\)；
所有态射 \(U(\varphi)\) 都等于零，唯有 \(U(\text{id}_{[k]}) = \text{id}_A\)。

由于 \(\mathcal{A}\) 既有有限极限也有有限余极限， \(\text{cosk}_k U\) 和 \(i_{k!}U\) 都存在。我们将描述二者以及典范映射 \(i_{k!}U \to \text{cosk}_kU\)。

引理

设 \(A\)、\(k\) 和 \(U\) 如上，即当 \(i < k\) 时 \(U_i = 0\)，且 \(U_k = A\)。

给定 \(k\)-截断单纯对象 \(V\)，有 \[\Mor(U, V) = \{ f : A \to V_k \mid d^k_i \circ f = 0, \ i = 0, \ldots, k \}\] 以及 \[\Mor(V, U) = \{ f : V_k \to A \mid f \circ s^{k - 1}_i = 0, \ i = 0, \ldots, k - 1 \}.\]

对象 \(i_{k!} U\) 的第 \(n\) 项等于 \(\bigoplus_\alpha A\)，其中 \(\alpha\) 遍历所有满射 \(\alpha : [n] \to [k]\)。

对任意 \(\varphi : [m] \to [n]\)，映射 \(i_{k!} U(\varphi)\) 可描述为映射 \(\bigoplus_\alpha A \to \bigoplus_{\alpha'} A\)：若 \(\alpha \circ \varphi\) 不是满射，则它把与 \(\alpha : [n] \to [k]\) 对应的分量映为零；若其为满射，则以恒等映射把该分量映到与 \(\alpha \circ \varphi\) 对应的分量。

对象 \(\text{cosk}_k U\) 的第 \(n\) 项等于 \(\bigoplus_\beta A\)，其中 \(\beta\) 遍历所有单射 \(\beta : [k] \to [n]\)。

对任意 \(\varphi : [m] \to [n]\)，映射 \(\text{cosk}_k U(\varphi)\) 可描述为映射 \(\bigoplus_\beta A \to \bigoplus_{\beta'} A\)：若 \(\beta\) 不经由 \(\varphi\) 分解，则它把与 \(\beta : [k] \to [n]\) 对应的分量映为零；若能够分解，则以恒等映射把该分量映到每个满足 \(\beta = \varphi \circ \beta'\) 的 \(\beta'\) 所对应的分量。

典范映射 \(c : i_{k !} U \to \text{cosk}_k U\) 在次数 \(n\) 上的 \((\alpha, \beta)\) 系数 \(A \to A\)：若 \(\alpha \circ \beta\) 不是恒等映射，则等于零；若其为恒等映射，则等于 \(\text{id}_A\)。

典范映射 \(c : i_{k !} U \to \text{cosk}_k U\) 为单射。

证明

(1) 的证明留给读者。

我们把 (2) 和 (3) 的规则作为一个单纯对象的定义，记为 \(\tilde U\)。下面证明它是 \(i_{k!}U\) 的一种实现。这将同时证明 (2) 和 (3)。必须证明：给定态射 \(f : U \to \text{sk}_kV\)，存在唯一态射 \(\tilde f : \tilde U \to V\)，使其取 \(k\)-骨架后恢复为 \(f\)。由 (1)，\(f\) 对应于态射 \(f_k : A \to V_k\)，且它对所有 \(i\) 都落在 \(d^k_i\) 的核中。对任意满射 \(\alpha : [n] \to [k]\)，令 \(\tilde f_\alpha : A \to V_n\) 等于复合 \(\tilde f_\alpha = V(\alpha) \circ f_k : A \to V_n\)。定义 \(\tilde f_n : \tilde U_n \to V_n\) 为所有满射 \(\alpha : [n] \to [k]\) 所对应的 \(\tilde f_\alpha\) 之和。这样的一族 \(\tilde f_\alpha\) 定义单纯对象的态射，当且仅当对任意 \(\varphi : [m] \to [n]\)，图 \[\xymatrix{ \bigoplus_{\alpha : [n] \to [k]\text{ 满射}} A \ar[r]_-{\tilde f_n} \ar[d]_{(3)} & V_n \ar[d]^{V(\varphi)} \\ \bigoplus_{\alpha' : [m] \to [k]\text{ 满射}} A \ar[r]^-{\tilde f_m} & V_m }\] 交换。取 \(\varphi = \alpha\) 可知，对 \(\tilde f_\alpha\) 的选择由 \(f_k\) 唯一决定。一般情形的交换性可以分别在左上角的每个直和分量上检验。对于满足 \(\alpha \circ \varphi\) 为满射的 \(\alpha\) 所对应的分量，这是显然的，因为这些分量通过 \(\text{id}_A\) 映到 \(\alpha' = \alpha \circ \varphi\) 所对应的分量，并且 \(\tilde f_{\alpha'} = V(\alpha') \circ f_k = V(\alpha \circ \varphi) \circ f_k = V(\varphi) \circ \tilde f_\alpha\)。对于 \(\alpha \circ \varphi\) 不是满射的情形，必须证明 \(V(\varphi) \circ \tilde f_\alpha = 0\)。按定义，它等于 \(V(\varphi) \circ V(\alpha) \circ f_k = V(\alpha \circ \varphi) \circ f_k\)。由于 \(\alpha \circ \varphi\) 不是满射，可以将其写成 \(\delta^k_i \circ \psi\)，于是由上可得 \(V(\varphi) \circ V(\alpha) \circ f_k = V(\psi) \circ d^k_i \circ f_k = 0\)。

我们把 (4) 和 (5) 的规则作为一个单纯对象的定义，也记为 \(\tilde U\)。下面证明它是 \(\text{cosk}_k U\) 的一种实现。这将同时证明 (4) 和 (5)。论证与上面 (2)、(3) 的证明完全对偶，但我们仍将其写出。必须证明：给定态射 \(f : \text{sk}_kV \to U\)，存在唯一态射 \(\tilde f : V \to \tilde U\)，使其取 \(k\)-骨架后恢复为 \(f\)。由 (1)，\(f\) 对应于态射 \(f_k : V_k \to A\)，且对所有 \(i\) 都在 \(s^{k - 1}_i\) 的像上为零。对任意单射 \(\beta : [k] \to [n]\)，令 \(\tilde f_\beta : V_n \to A\) 等于复合 \(\tilde f_\beta = f_k \circ V(\beta) : V_n \to A\)。定义 \(\tilde f_n : V_n \to \tilde U_n\) 为所有单射 \(\beta : [k] \to [n]\) 所对应的 \(\tilde f_\beta\) 之和。这样的一族 \(\tilde f_\beta\) 定义单纯对象的态射，当且仅当对任意 \(\varphi : [m] \to [n]\)，图 \[\xymatrix{ V_n \ar[d]_{V(\varphi)} \ar[r]_-{\tilde f_n} & \bigoplus_{\beta : [k] \to [n]\text{ 单射}} A \ar[d]^{(5)} \\ V_m \ar[r]^-{\tilde f_m} & \bigoplus_{\beta' : [k] \to [m]\text{ 单射}} A }\] 交换。取 \(\varphi = \beta\) 可知，对 \(\tilde f_\beta\) 的选择由 \(f_k\) 唯一决定。一般情形的交换性可以分别在右下角的每个直和分量上检验。对于满足 \(\varphi \circ \beta'\) 为单射的 \(\beta'\) 所对应的分量，这是显然的，因为恰有 \(\beta = \varphi \circ \beta'\) 所对应的分量映入其中，并且在这种情形下 \(\tilde f_{\beta'} \circ V(\varphi) = f_k \circ V(\beta') \circ V(\varphi) = f_k \circ V(\beta) = \tilde f_\beta\)。对于 \(\varphi \circ \beta'\) 不是单射的情形，必须证明 \(\tilde f_{\beta'} \circ V(\varphi) = 0\)。按定义，它等于 \(f_k \circ V(\beta') \circ V(\varphi) = f_k \circ V(\varphi \circ \beta')\)。由于 \(\varphi \circ \beta'\) 不是单射，可以将其写成 \(\psi \circ \sigma^{k - 1}_i\)，于是由上可得 \(f_k \circ V(\beta') \circ V(\varphi) = f_k \circ s^{k - 1}_i \circ V(\psi) = 0\)。

复合 \(i_{k!}U \to \text{cosk}_kU\) 是唯一的单纯对象态射，并且在 \(A = U_k = (i_{k!}U)_k = (\text{cosk}_kU)_k\) 上为恒等映射。因此，只需检验所给规则定义了单纯对象的态射。为此，必须证明对任意 \(\varphi : [m] \to [n]\)，图 \[\xymatrix{ \bigoplus_{\alpha : [n] \to [k]\text{ 满射}} A \ar[d]_{(3)} \ar[r]_{(6)} & \bigoplus_{\beta : [k] \to [n]\text{ 单射}} A \ar[d]^{(5)} \\ \bigoplus_{\alpha' : [m] \to [k]\text{ 满射}} A \ar[r]^{(6)} & \bigoplus_{\beta' : [k] \to [m]\text{ 单射}} A }\] 交换。现在可按如下方式把它理解为仅以 \(0\) 和 \(1\) 填充的矩阵： (3) 的矩阵具有非零的 \((\alpha', \alpha)\) 项，当且仅当 \(\alpha' = \alpha \circ \varphi\)。同样，(5) 的矩阵具有非零的 \((\beta', \beta)\) 项，当且仅当 \(\beta = \varphi \circ \beta'\)。(6) 的上方矩阵具有非零的 \((\alpha, \beta)\) 项，当且仅当 \(\alpha \circ \beta = \text{id}_{[k]}\)；(6) 的下方矩阵也一样。于是，该图的交换性归结为分别计算两个复合的 \((\alpha, \beta')\) 项并看出它们相等。这又归结为等式 \[\# \left\{ \beta \mid \beta = \varphi \circ \beta' \text{ 且 } \alpha \circ \beta = \text{id}_{[k]} \right\} = \# \left\{ \alpha' \mid \alpha' = \alpha \circ \varphi \text{ 且 } \alpha' \circ \beta' = \text{id}_{[k]} \right\}\] 其证明可以放心地留给读者。

最后证明 (7)。它直接由引理 017W、 0185、018N 和 018T 得出。

定义

设 \(\mathcal{A}\) 为阿贝尔范畴，\(A\) 为 \(\mathcal{A}\) 的对象，且 \(k\) 为整数并满足 \(\geq 0\)。Eilenberg–Mac Lane 对象 \(K(A, k)\) 是对象 \(K(A, k) = i_{k!}U\)，它已在上面的引理 0190 中描述。

引理

设 \(\mathcal{A}\) 为阿贝尔范畴，\(A\) 为 \(\mathcal{A}\) 的对象，且 \(k\) 为整数并满足 \(\geq 0\)。考虑由下列规则定义的单纯对象 \(E\)：

\(E_n = \bigoplus_\alpha A\)，其中直和遍历所有 \(\alpha : [n] \to [k + 1]\)，其像为 \([k]\) 或 \([k + 1]\)；

给定 \(\varphi : [m] \to [n]\)，若 \(\Im(\alpha \circ \varphi)\) 等于 \([k]\) 或 \([k + 1]\)，则映射 \(E_n \to E_m\) 通过 \(\text{id}_A\) 把 \(\alpha\) 所对应的直和分量映到 \(\alpha \circ \varphi\) 所对应的直和分量。

则存在逐项分裂正合的短正合序列 \[0 \to K(A, k) \to E \to K(A, k + 1) \to 0\]

证明

映射 \(K(A, k)_n \to E_n\) 以及 \(E_n \to K(A, k + 1)_n\) 分别由直和的嵌入与投影给出，这从指标集的包含关系是显然的。显然，它们是单纯对象的态射。

引理

设 \(\mathcal{A}\) 为阿贝尔范畴。对 \(\mathcal{A}\) 的任意单纯对象 \(V\)，有 \[V = \colim_n i_{n!}\text{sk}_n V\] 且所有转移映射都是单射。

证明

这是因为一旦 \(n \geq m\)，每个 \(V_m\) 就等于 \((i_{n!}\text{sk}_n V)_m\)。关于转移映射，另见引理 018U。

单纯对象与链复形

设 \(\mathcal{A}\) 为阿贝尔范畴。关于链复形的约定和记号，见《同调代数》第 010V 节。设 \(U\) 为 \(\mathcal{A}\) 的单纯对象。\(U\) 的 伴随链复形 \(s(U)\)，有时称为 Moore 复形，是链复形 \[\ldots \to U_2 \to U_1 \to U_0 \to 0 \to 0 \to \ldots\] 其边界映射 \(d_n : U_n \to U_{n - 1}\) 由公式 \[d_n = \sum\nolimits_{i = 0}^n (-1)^i d^n_i.\] 给出。它确为复形，因为根据备注 016C 中列出的关系，有 \[\begin{eqnarray*} d_n \circ d_{n + 1} & = & (\sum\nolimits_{i = 0}^n (-1)^i d^n_i) \circ (\sum\nolimits_{j = 0}^{n + 1} (-1)^j d^{n + 1}_j) \\ & = & \sum\nolimits_{0 \leq i < j \leq n + 1} (-1)^{i + j} d^n_{j - 1} \circ d^{n + 1}_i + \sum\nolimits_{n \geq i \geq j \geq 0} (-1)^{i + j} d^n_i \circ d^{n + 1}_j \\ & = & 0. \end{eqnarray*}\] 各符号相互抵消！我们用 \(s(U)\) 表示这个伴随链复形。显然，该构造具有函子性，因此定义函子 \[s : \text{Simp}(\mathcal{A}) \longrightarrow \text{Ch}_{\geq 0}(\mathcal{A}).\] 于是得到这个看似令人困惑但正确的公式 \(s(U)_n = U_n\)。

引理

函子 \(s\) 是正合的。

证明

由引理 018Z 立即得出。

引理

设 \(\mathcal{A}\) 为阿贝尔范畴，\(A\) 为 \(\mathcal{A}\) 的对象， \(k\) 为整数。设 \(E\) 为引理 0192 中描述的对象。则复形 \(s(E)\) 是零调的。

证明

对态射 \(\alpha : [n] \to [k + 1]\)，定义 \(\alpha' : [n + 1] \to [k + 1]\) 为满足 \(\alpha'|_{[n]} = \alpha\) 及 \(\alpha'(n + 1) = k + 1\) 的映射。注意，如果 \(\alpha\) 的像为 \([k]\) 或 \([k + 1]\)，那么 \(\alpha'\) 的像为 \([k + 1]\)。考虑一族映射 \(h_n : E_n \to E_{n + 1}\)，它通过 \(A\) 上的恒等映射，把 \(\alpha\) 所对应的分量映到 \(\alpha'\) 所对应的分量。我们来计算 \(d_{n + 1} \circ h_n - h_{n - 1} \circ d_n\)。先在 \(\mathcal{A}\) 为阿贝尔群范畴的情形下计算。用记号 \(x_\alpha\) 表示 \(E_n\) 中由指标集内的映射 \(\alpha\) 所对应的直和分量里的元素 \(x \in A\)。我们还约定：只要 \(\Im(\alpha)\) 不是 \([k]\) 或 \([k + 1]\)， \(x_\alpha\) 就表示 \(E_n\) 的零元。由这些约定可见 \[d_{n + 1}(h_n(x_\alpha)) = \sum\nolimits_{i = 0}^{n + 1} (-1)^i x_{\alpha' \circ \delta^{n + 1}_i}\] 以及 \[h_{n - 1}(d_n(x_\alpha)) = \sum\nolimits_{i = 0}^n (-1)^i x_{(\alpha \circ \delta_i^n)'}\] 容易看出，当 \(i = 0, \ldots, n\) 时， \(\alpha' \circ \delta^{n + 1}_i = (\alpha \circ \delta_i^n)'\)；也容易看出 \(\alpha' \circ \delta^{n + 1}_{n + 1} = \alpha\)。因此 \[(d_{n + 1} \circ h_n - h_{n - 1} \circ d_n)(x_\alpha) = (-1)^{n + 1} x_\alpha\] 若 \(\mathcal{A}\) 为任意阿贝尔范畴，这些恒等式仍然成立，因为它们在单纯阿贝尔群 \([n] \mapsto \Hom(A, E_n)\) 中成立；细节留给读者。由此，\(E\) 上的恒等映射同伦于零，同伦由一族映射 \(h'_n = (-1)^{n + 1}h_n : E_n \to E_{n + 1}\) 给出。因而 \(E\) 是零调的；例如可由《同调代数》引理 0110 得出。

引理

设 \(\mathcal{A}\) 为阿贝尔范畴，\(A\) 为 \(\mathcal{A}\) 的对象， \(k\) 为整数。当 \(i = k\) 时 \(H_i(s(K(A, k))) = A\)，其他情形为 \(0\)。

证明

先证明 \(k = 0\) 的情形。此时，对所有 \(n\) 都有 \(K(A, 0)_n = A\)。此外，这个单纯阿贝尔群中的所有映射都是 \(\text{id}_A\)；换言之，\(K(A, 0)\) 是取值为 \(A\) 的常值单纯对象。边界映射 \(d_n = \sum_{i = 0}^n (-1)^i \text{id}_A = 0\) （当 \(n\) 为奇数），而当 \(n\) 为偶数时，则 \(= \text{id}_A\)。因此 \(s(K(A, 0))\) 形如 \[\ldots \to A \xrightarrow{0} A \xrightarrow{1} A \xrightarrow{0} A \to 0\] 结论显然。

下面对 \(k\) 归纳证明一般结论。假设 \(k\) 的结论成立，考虑引理 0192 中的短正合序列 \[0 \to K(A, k) \to E \to K(A, k + 1) \to 0\] 由引理 018Z，相应的链复形序列正合。由引理 0196，\(s(E)\) 是零调的。于是 \(k + 1\) 的结论由同调长正合序列得出；见《同调代数》引理 0111。

还可以把第二个链复形关联给 \(\mathcal{A}\) 的单纯对象。回顾引理 017V： \(\mathcal{A}\) 的任意单纯对象 \(U\) 都典范分裂，并且 \(N(U_m) = \bigcap_{i = 0}^{m - 1} \Ker(d^m_i)\)。定义 规范化链复形 \(N(U)\) 为链复形 \[\ldots \to N(U_2) \to N(U_1) \to N(U_0) \to 0 \to 0 \to \ldots\] 其边界映射 \(d_n : N(U_n) \to N(U_{n - 1})\) 是 \((-1)^nd^n_n\) 在 \(U_n\) 的直和分量 \(N(U_n)\) 上的限制。注意，引理 017X 蕴含 \(d^n_n(N(U_n)) \subset N(U_{n - 1})\)。它确为复形，因为 \(d^n_n \circ d^{n + 1}_{n + 1} = d^n_n \circ d^{n + 1}_n\)，而按定义，\(d^{n + 1}_n\) 在 \(N(U_{n + 1})\) 上为零。这样得到第二个函子 \[N : \text{Simp}(\mathcal{A}) \longrightarrow \text{Ch}_{\geq 0}(\mathcal{A}).\] 以下说明微分中符号的由来。

引理

设 \(\mathcal{A}\) 为阿贝尔范畴，\(U\) 为 \(\mathcal{A}\) 的单纯对象。典范映射 \(N(U_n) \to U_n\) 给出复形态射 \(N(U) \to s(U)\)。

证明

这是显然的，因为 \(s(U)_n = U_n\) 上的微分是 \(\sum (-1)^i d^n_i\)，且当 \(i < n\) 时，映射 \(d^n_i\) 在 \(N(U_n)\) 上为零；而按定义，\((-1)^nd^n_n\) 的限制正是 \(N(U)\) 的边界映射。

引理

设 \(\mathcal{A}\) 为阿贝尔范畴，\(A\) 为 \(\mathcal{A}\) 的对象， \(k\) 为整数。当 \(i = k\) 时，\(N(K(A, k))_i = A\)；其他情形为 \(0\)。

证明

当 \(i < k\) 时，\(N(K(A, k))_i = 0\) 是显然的，因为此时 \(K(A, k)_i = 0\)。又因 \(K(A, k)_{k - 1} = 0\) 且 \(K(A, k)_k = A\)，显然有 \(N(K(A, k))_k = A\)。当 \(i > k\) 时，由引理 018T 及 \(K(A, k)\) 的定义可得 \(N(K(A, k))_i = 0\)；见定义 0191。

引理

设 \(\mathcal{A}\) 为阿贝尔范畴，\(U\) 为 \(\mathcal{A}\) 的单纯对象。链复形的典范态射 \(N(U) \to s(U)\) 是分裂的。事实上，对某个复形 \(D(U)\)，有 \[s(U) = N(U) \oplus D(U)\] 构造 \(U \mapsto D(U)\) 具有函子性。

证明

定义 \(D(U)_n\) 为映射 \[\bigoplus\nolimits_{\varphi : [n] \to [m]\text{ 满射}, \ m < n} N(U_m) \xrightarrow{\bigoplus U(\varphi)} U_n\] 的像。根据引理 017V 和定义 017P，它是 \(U_n\) 中与 \(N(U_n)\) 互补的子对象。下面证明 \(D(U)\) 是子复形。取满射 \(\varphi : [n] \to [m]\)，其中 \(m < n\)，并考虑复合 \[N(U_m) \xrightarrow{U(\varphi)} U_n \xrightarrow{d_n} U_{n - 1}.\] 这个复合是映射 \[N(U_m) \xrightarrow{U(\varphi \circ \delta^n_i)} U_{n - 1}\] 之和，其符号为 \((-1)^i\)，其中 \(i = 0, \ldots, n\)。

先对 \(m\) 作升序归纳，证明当 \(0 \leq m < n - 1\) 时，所有映射 \(U(\varphi \circ \delta^n_i)\) 都把 \(N(U_m)\) 映入 \(D(U)_{n - 1}\)。（情形 \(m = n - 1\) 在下面处理。）只要映射 \(\varphi \circ \delta^n_i : [n - 1] \to [m]\) 为满射，根据定义，\(N(U_m)\) 在 \(U(\varphi \circ \delta^n_i)\) 下的像就包含于 \(D(U)_{n - 1}\)。若 \(\varphi \circ \delta^n_i : [n - 1] \to [m]\) 不是满射，令 \(j = \varphi(i)\)，并注意 \(i\) 是在 \(\varphi\) 下映为 \(j\) 的唯一指标。对某个 \(\psi : [n - 1] \to [m - 1]\)，可写成 \(\varphi \circ \delta^n_i = \delta^m_j \circ \psi \circ \delta^n_i\)。

因此 \(U(\varphi \circ \delta^n_i) = U(\psi \circ \delta^n_i) \circ d^m_j\)，它在 \(N(U_m)\) 上为零，除非 \(j = m\)。若 \(j = m\)，则 \(d^m_m(N(U_m)) \subset N(U_{m - 1})\)，从而 \(U(\varphi \circ \delta^n_i)(N(U_m)) \subset U(\psi \circ \delta^n_i)(N(U_{m - 1}))\)，由归纳假设即得结论。

为了完成 \(D(U)\) 是子复形的证明，还须在 \(m = n - 1\) 的情形下处理复合 \[N(U_m) \xrightarrow{U(\varphi)} U_n \xrightarrow{d_n} U_{n - 1}.\] 。

此时，对某个 \(0 \leq j \leq n - 1\)，有 \(\varphi = \sigma^{n - 1}_j\)，且 \(U(\varphi) = s^{n - 1}_j\)。因此，该复合由下列和给出： \[\sum (-1)^i d^n_i \circ s^{n - 1}_j\] 回顾备注 016C， \(d^n_j \circ s^{n - 1}_j = d^n_{j + 1} \circ s^{n - 1}_j = \text{id}\)，而相应两项符号相反，故相互抵消。若 \(j < n - 1\)，则映射 \(d^n_n \circ s^{n - 1}_j\) 等于 \(s^{n - 2}_j \circ d^{n - 1}_{n - 1}\)。由于 \(d^{n - 1}_{n - 1}\) 把 \(N(U_{n - 1})\) 映入 \(N(U_{n - 2})\)，可见像 \(d^n_n ( s^{n - 1}_j (N(U_{n - 1}))\)

包含于 \(s^{n - 2}_j(N(U_{n - 2}))\)，而根据定义，后者包含于 \(D(U_{n - 1})\)。

对于所有其他的 \((i, j)\) 组合，或者 \(d^n_i \circ s^{n - 1}_j = s^{n - 2}_{j - 1} \circ d^{n - 1}_i\) （若 \(i < j\)），或者 \(d^n_i \circ s^{n - 1}_j = s^{n - 2}_j \circ d^{n - 1}_{i - 1}\) （若 \(n > i > j + 1\)）；在这些情形下，由 \(N(U_{n - 1})\) 的定义，该映射为零。

注

在引理 019A 的情形下，子复形 \(D(U) \subset s(U)\) 也可以定义为项 \[D(U)_n = \Im\left( \bigoplus\nolimits_{\varphi : [n] \to [m]\text{ 满射}, \ m < n} U_m \xrightarrow{\bigoplus U(\varphi)} U_n\right)\] 所组成的子复形。事实上，\(U_m\) 是子对象 \(N(U_m)\) 与所有满射 \([m] \to [k]\)（其中 \(k < m\)）所给出的 \(N(U_k)\) 之像的直和；因此这显然等同于引理 019A 的证明中给出的 \(D(U)_n\) 的定义。由此可见，若 \(U\) 是单纯阿贝尔群，则 \(D(U)_n\) 的元素恰为退化 \(n\)-单形之和。

引理

函子 \(N\) 是正合的。

证明

由引理 0195 及引理 019A 的函子性分解即得。

引理

设 \(\mathcal{A}\) 为阿贝尔范畴，\(V\) 为 \(\mathcal{A}\) 的单纯对象。链复形的典范态射 \(N(V) \to s(V)\) 是拟同构。换言之，引理 019A 中的复形 \(D(V)\) 是零调的。

证明

由引理 0197 和 0199，对任意对象 \(A\) 和任意 \(k \geq 0\)，结论对 \(K(A, k)\) 成立。考虑假设 \(IH_{n, m}\)：对所有满足 \(j \leq m\) 时 \(V_j = 0\) 的 \(V\)，并对所有 \(i \leq n\)，映射 \(N(V) \to s(V)\) 诱导同构 \(H_i(N(V)) \to H_i(s(V))\)。

作为归纳的起点，\(IH_{n, n}\) 显然成立，因为在这种情形下 \(N(V)_n = 0\) 且 \(s(V)_n = 0\)。

假设 \(IH_{n, m}\)，其中 \(m \leq n\)。取满足当 \(j < m\) 时 \(V_j = 0\) 的单纯对象 \(V\)。由引理 0190 和定义 0191，有 \(K(V_m, m) = i_{m!} \text{sk}_mV\)。由引理 018U，自然态射 \[K(V_m, m) = i_{m!} \text{sk}_mV \to V\] 为单射。因此，对某个满足当 \(i = 0, \ldots, m\) 时 \(W_i = 0\) 的 \(W\)，得到短正合序列 \[0 \to K(V_m, m) \to V \to W \to 0\] 这个短正合序列诱导伴随复形的短正合序列之间的态射

\[\xymatrix{ 0 \ar[r] & N(K(V_m, m)) \ar[r] \ar[d] & N(V) \ar[r] \ar[d] & N(W) \ar[r] \ar[d] & 0 \\ 0 \ar[r] & s(K(V_m, m)) \ar[r] & s(V) \ar[r] & s(W) \ar[r] & 0 }\] ；见引理 0195 和 019B。因此，由两端的结论可推出 \(V\) 的结论。

Dold–Kan

本节证明 Dold–Kan 定理，它把阿贝尔范畴中的单纯对象与链复形联系起来。

引理

设 \(\mathcal{A}\) 为阿贝尔范畴。函子 \(N\) 是忠实的，并且反映同构、单射和满射。

证明

忠实性立即由引理 017V 的典范分裂得出。反映单射、满射和同构的断言由引理 017W 得出。

引理

设 \(\mathcal{A}\) 和 \(\mathcal{B}\) 为阿贝尔范畴，并设 \(N : \mathcal{A} \to \mathcal{B}\) 与 \(S : \mathcal{B} \to \mathcal{A}\) 为函子。假设：

函子 \(S\) 和 \(N\) 都正合；

存在到 \(\mathcal{B}\) 上恒等函子的同构 \(g : N \circ S \to \text{id}_\mathcal{B}\)；

\(N\) 忠实；

\(S\) 本质满。

则 \(S\) 和 \(N\) 是互为拟逆的范畴等价。

证明

只需构造函子性同构 \(S(N(A)) \cong A\)。为此，选取 \(B\) 和同构 \(f : A \to S(B)\)。考虑映射 \[f^{-1} \circ g_{S(B)} \circ S(N(f)) : S(N(A)) \to S(N(S(B))) \to S(B) \to A.\] 容易证明它不依赖于对 \(f, B\) 的选择，并给出所需同构 \(S \circ N \to \text{id}_\mathcal{A}\)。

定理

设 \(\mathcal{A}\) 为阿贝尔范畴。函子 \(N\) 诱导范畴等价 \[N : \text{Simp}(\mathcal{A}) \longrightarrow \text{Ch}_{\geq 0}(\mathcal{A})\]

证明

我们将描述一个反方向的函子，它受引理 0192 中的构造启发（但为了得到正确的边界映射，要加入一个符号）。设 \(A_\bullet\) 为边界映射 \(d_{A, n} : A_n \to A_{n - 1}\) 的链复形。对每个 \(n \geq 0\)，记 \[I_n = \Big\{ \alpha : [n] \to \{0, 1, 2, \ldots\} \mid \Im(\alpha) = [k]\text{ 对某个 }k \Big\}.\] 对 \(\alpha \in I_n\)，以 \(k(\alpha)\) 表示满足 \(\Im(\alpha) = [k]\) 的唯一整数。如下定义单纯对象 \(S(A_\bullet)\)：

\(S(A_\bullet)_n = \bigoplus_{\alpha \in I_n} A_{k(\alpha)}\)，并将其写成 \(\bigoplus_{\alpha \in I_n} A_{k(\alpha)} \cdot \alpha\)，以提示把“\(\alpha\)”看作相应直和分量的基向量；

给定 \(\varphi : [m] \to [n]\)，按如下规则，在 \(S(A_\bullet)_n\) 的直和分量 \(A_{k(\alpha)} \cdot \alpha\) 上定义 \(S(A_\bullet)(\varphi)\)：

若 \(\alpha \circ \varphi \not \in I_m\)，则令它等于零；

若 \(\alpha \circ \varphi \in I_m\)，但 \(k(\alpha \circ \varphi)\) 既不等于 \(k(\alpha)\)，也不等于 \(k(\alpha) - 1\)，则也令它等于零；

若 \(\alpha \circ \varphi \in I_m\) 且 \(k(\alpha \circ \varphi) = k(\alpha)\)，则通过恒等映射映到 \(S(A_\bullet)_m\) 的分量 \(A_{k(\alpha \circ \varphi)} \cdot (\alpha \circ \varphi)\)；

若 \(\alpha \circ \varphi \in I_m\) 且 \(k(\alpha \circ \varphi) = k(\alpha) - 1\)，则使用 \((-1)^{k(\alpha)} d_{A, k(\alpha)}\) 映到 \(S(A_\bullet)_m\) 的分量 \(A_{k(\alpha \circ \varphi)}\cdot (\alpha \circ \varphi)\)。

下面证明 \(S(A_\bullet)\) 是 \(\mathcal{A}\) 的单纯对象。为此，设有映射 \(\varphi : [m] \to [n]\) 和 \(\psi : [n] \to [p]\)。我们将证明 \(S(A_\bullet)(\varphi) \circ S(A_\bullet)(\psi) = S(A_\bullet)(\psi \circ \varphi)\)。选取 \(\beta \in I_p\)，并令 \(\alpha = \beta \circ \psi\) 和 \(\gamma = \alpha \circ \varphi\)，将它们分别视为映射 \(\alpha : [n] \to \{0, 1, 2, \ldots\}\) 和 \(\gamma : [m] \to \{0, 1, 2, \ldots\}\)。图示为 \[\xymatrix{ [m] \ar[r]_\varphi \ar[d]_\gamma & [n] \ar[r]_\psi \ar[d]_\alpha & [p] \ar[d]^\beta \\ \Im(\gamma) \ar[r] & \Im(\alpha) \ar[r] & [k(\beta)] }\] 我们将证明映射 \(S(A_\bullet)(\varphi) \circ S(A_\bullet)(\psi)\) 和 \(S(A_\bullet)(\psi \circ \varphi)\) 在分量 \(A_{k(\beta)} \cdot \beta\) 上的限制相同。

需要考虑若干情形：

设 \(\alpha \not \in I_n\)，因而 \(S(A_\bullet)(\psi)\) 在 \(A_{k(\beta)} \cdot \beta\) 上的限制为零。此时，或者 \(\gamma \not \in I_m\)；或者 \([k(\gamma)] = \Im(\gamma) \subset \Im(\alpha) \subset [k(\beta)]\)，且 \([k(\beta)]\) 的子集 \(\Im(\alpha)\) 有缺口，故 \(k(\gamma) < k(\beta) - 1\)。在两种情形下， \(S(A_\bullet)(\psi \circ \varphi)\) 在 \(A_{k(\beta)} \cdot \beta\) 上的限制也为零。

设 \(\alpha \in I_n\) 且 \(k(\alpha) < k(\beta) - 1\)，因而 \(S(A_\bullet)(\psi)\) 在 \(A_{k(\beta)} \cdot \beta\) 上的限制为零。此时，或者 \(\gamma \not \in I_m\)；或者 \([k(\gamma)] \subset [k(\alpha)] \subset [k(\beta)]\)，从而 \(k(\gamma) < k(\beta) - 1\)。在两种情形下， \(S(A_\bullet)(\psi \circ \varphi)\) 在 \(A_{k(\beta)} \cdot \beta\) 上的限制也为零。

设 \(\alpha \in I_n\) 且 \(k(\alpha) = k(\beta)\)，因而 \(S(A_\bullet)(\psi)\) 在 \(A_{k(\beta)} \cdot \beta\) 上的限制是从 \(A_{k(\beta)} \cdot \beta\) 到 \(A_{k(\alpha)} \cdot \alpha\) 的恒等映射。在这种情形下，由于 \(\Im(\alpha) =[k(\beta)]\)， \(S(A_\bullet)(\psi \circ \varphi)\) 在分量 \(A_{k(\beta)} \cdot \beta\) 上的限制规则，恰与 \(S(A_\bullet)(\varphi)\) 在分量 \(A_{k(\alpha)} \cdot \alpha\) 上的限制规则相同，故二者相合。

设 \(\alpha \in I_n\) 且 \(k(\alpha) = k(\beta) - 1\)，因而 \(S(A_\bullet)(\psi)\) 在 \(A_{k(\beta)} \cdot \beta\) 上的限制由到 \(A_{k(\alpha)} \cdot \alpha\) 的 \((-1)^{k(\beta)}d_{A, k(\beta)}\) 给出。分以下子情形：

若 \(\gamma \not \in I_m\)，则 \(S(A_\bullet)(\psi \circ \varphi)\) 在分量 \(A_{k(\beta)} \cdot \beta\) 上的限制，以及 \(S(A_\bullet)(\varphi)\) 在分量 \(A_{k(\alpha)} \cdot \alpha\) 上的限制都为零，故二者相合。

若 \(\gamma \in I_m\) 但 \(k(\gamma) < k(\alpha) - 1\)，则两个限制同样都为零，故二者相合。

若 \(\gamma \in I_m\) 且 \(k(\gamma) = k(\alpha)\)，则 \(\Im(\gamma) = \Im(\alpha)\)。此时， \(S(A_\bullet)(\psi \circ \varphi)\) 在分量 \(A_{k(\beta)} \cdot \beta\) 上的限制由到 \(A_{k(\gamma)} \cdot \gamma\) 的 \((-1)^{k(\beta)}d_{A, k(\beta)}\) 给出，而 \(S(A_\bullet)(\varphi)\) 在分量 \(A_{k(\alpha)} \cdot \alpha\) 上的限制是恒等映射 \(A_{k(\alpha)} \cdot \alpha \to A_{k(\gamma)} \cdot \gamma\)。故二者相合。

最后，若 \(\gamma \in I_m\) 且 \(k(\gamma) = k(\alpha) - 1\)，则 \(S(A_\bullet)(\varphi)\) 在分量 \(A_{k(\alpha)} \cdot \alpha\) 上的限制由 \((-1)^{k(\alpha)} d_{A, k(\alpha)}\) 给出，作为映射 \(A_{k(\alpha)} \cdot \alpha \to A_{k(\beta)} \cdot \beta\)。

由于 \(A_\bullet\) 是复形，可见复合 \(A_{k(\beta)} \cdot \beta \to A_{k(\alpha)} \cdot \alpha \to A_{k(\gamma)} \cdot \gamma\) 为零；这与 \(S(A_\bullet)(\psi \circ \varphi)\) 在分量 \(A_{k(\beta)} \cdot \beta\) 上的限制所得结果相合，因为 \(k(\gamma) = k(\beta) - 2 < k(\beta) - 1\)。

所以 \(S(A_\bullet)\) 是 \(\mathcal{A}\) 的单纯对象。

下面构造关于 \(A_\bullet\) 具有函子性的同构 \(A_\bullet \to N(S(A_\bullet))\)。回顾引理 019A 给出的链复形分解 \[S(A_\bullet) = N(S(A_\bullet)) \oplus D(S(A_\bullet))\] 另一方面，由备注 0FKI 和 \(S(A_\bullet)\) 的构造可得 \[D(S(A_\bullet))_n = \bigoplus\nolimits_{\alpha \in I_n,\ k(\alpha) < n} A_{k(\alpha)} \cdot \alpha \subset \bigoplus\nolimits_{\alpha \in I_n} A_{k(\alpha)} \cdot \alpha\] 然而，若 \(\alpha \in I_n\)，则 \(k(\alpha) \geq n \Leftrightarrow \alpha = \text{id}_{[n]} : [n] \to [n]\)。因此，\(S(A_\bullet)_n\) 的分量 \(A_n \cdot \text{id}_{[n]}\) 是分量 \(D(S(A_\bullet))_n\) 的补。所有映射 \(d^n_i : S(A_\bullet)_n \to S(A_\bullet)_n\)

在分量 \(A_n \cdot \text{id}_{[n]}\) 上的限制都为零，唯有 \(d^n_n\) 从 \(A_n \cdot \text{id}_{[n]}\) 到 \(A_{n - 1} \cdot \text{id}_{[n - 1]}\) 给出 \((-1)^n d_{A, n}\)。由此断定，\(A_n \cdot \text{id}_{[n]}\) 必定等于分量 \(N(S(A_\bullet))_n\)；而且微分 \(d_n = \sum (-1)^id^n_i : S(A_\bullet)_n \to S(A_\bullet)_{n - 1}\) 在分量 \(A_n \cdot \text{id}_{[n]}\) 上的限制正给出所需映射！

最后，必须证明 \(S \circ N\) 同构于恒等函子。设 \(U\) 为 \(\mathcal{A}\) 的单纯对象。则可定义显然的映射 \[S(N(U))_n = \bigoplus\nolimits_{\alpha \in I_n} N(U)_{k(\alpha)} \cdot \alpha \longrightarrow U_n\] ：在 \(\alpha\) 所对应的分量上使用 \(U(\alpha) : N(U)_{k(\alpha)} \to U_n\)。由定义 017P，这是同构。为了完成证明，还须证明它与单纯对象中的映射相容。为此，设 \(\varphi : [m] \to [n]\) 且 \(\alpha \in I_n\)，并令 \(\beta = \alpha \circ \varphi\)。图示为 \[\xymatrix{ [m] \ar[r]_\varphi \ar[d]_\beta & [n] \ar[d]_\alpha \\ \Im(\beta) \ar[r] & [k(\alpha)] }\] 需要考虑若干情形：

设 \(\beta \not \in I_m\)。则存在指标 \(0 \leq j < k(\alpha)\)，满足 \(j \not \in \Im(\alpha \circ \varphi)\)，从而可以选取分解 \(\alpha \circ \varphi = \delta^{k(\alpha)}_j \circ \psi\)，其中 \(\psi : [m] \to [k(\alpha) - 1]\)。由此可知， \(U(\varphi)\) 在分量 \(N(U)_{k(\alpha)} \cdot \alpha\) 的像上为零，因为 \(U(\varphi) \circ U(\alpha) = U(\alpha \circ \varphi) = U(\psi) \circ d^{k(\alpha)}_j\) 根据 \(N\) 的构造在 \(N(U)_{k(\alpha)}\) 上为零。这与上面对 \(S(N(U))\) 所定的规则一致。

设 \(\beta \in I_m\) 且 \(k(\beta) < k(\alpha) - 1\)。此时完全按情形 (1) 论证，取 \(j = k(\alpha) - 1\)。

设 \(\beta \in I_m\) 且 \(k(\beta) = k(\alpha)\)。此时，分量 \(N(U)_{k(\alpha)} \cdot \alpha\) 通过恒等映射映到分量 \(N(U)_{k(\beta)} \cdot \beta\)。这与 \(U(\varphi)\) 的作用相同，因为在这种情形下 \(U(\varphi) \circ U(\alpha) = U(\beta)\)。

设 \(\beta \in I_m\) 且 \(k(\beta) = k(\alpha) - 1\)。此时，使用微分 \((-1)^{k(\alpha)} d_{N(U), k(\alpha)}\) 把分量 \(N(U)_{k(\alpha)} \cdot \alpha\) 映到分量 \(N(U)_{k(\beta)} \cdot \beta\)。另一方面，因为此时 \(\Im(\beta) = [k(\beta)]\)，有 \(\alpha \circ \varphi = \delta^{k(\alpha)}_{k(\alpha)} \circ \beta\)。因此，\(U(\varphi)\) 与 \(U(\alpha)\) 在 \(N(U)_{k(\alpha)}\) 上的限制之复合，等于 \(U(\beta)\) 前复合 \(d^{k(\alpha)}_{k(\alpha)}\) 在 \(N(U)_{k(\alpha)}\) 上的限制。由于 \(d_{N(U), k(\alpha)} = \sum (-1)^i d^{k(\alpha)}_i\)，并且当 \(i < k(\alpha)\) 时，\(d^{k(\alpha)}_i\) 在 \(N(U)_{k(\alpha)}\) 上的限制为零，可见二者相等。

定理得证。

余单纯对象的 Dold–Kan 对应

设 \(\mathcal{A}\) 为阿贝尔范畴。根据《同调代数》引理 010A，\(\mathcal{A}^{opp}\) 也是阿贝尔范畴。由定义形式地推出 \[\text{CoSimp}(\mathcal{A}) = \text{Simp}(\mathcal{A}^{opp})^{opp}.\] 于是 Dold–Kan 对应（定理 019G）蕴含 \(\text{CoSimp}(\mathcal{A})\) 等价于范畴 \(\text{Ch}_{\geq 0}(\mathcal{A}^{opp})^{opp}\)。由定义还形式地推出 \[\text{CoCh}_{\geq 0}(\mathcal{A}) = \text{Ch}_{\geq 0}(\mathcal{A}^{opp})^{opp}.\] 将这些箭头合在一起，得到等价 \[Q : \text{CoSimp}(\mathcal{A}) \longrightarrow \text{CoCh}_{\geq 0}(\mathcal{A}).\] 本节描述 \(Q\)。

先定义余单纯对象 \(U\) 的 伴随上链复形 \(s(U)\)。它是在负次数中为零，并且当 \(n \geq 0\) 时满足 \(s(U)^n = U_n\) 的上链复形。作为微分，使用映射 \(d^n : s(U)^n \to s(U)^{n + 1}\)，其定义为 \(d^n = \sum_{i = 0}^{n + 1} (-1)^i \delta^{n + 1}_i\)。换言之，复形 \(s(U)\) 形如 \[\xymatrix{ 0 \ar[r] & U_0 \ar[rr]^{\delta^1_0 - \delta^1_1} & & U_1 \ar[rr]^{\delta^2_0 - \delta^2_1 + \delta^2_2} & & U_2 \ar[r] & \ldots }\] 它有时也称为 \(U\) 的 Moore 复形。

另一方面，给定 \(\mathcal{A}\) 的余单纯对象 \(U\)，令 \(Q(U)^0 = U_0\)，并令 \[Q(U)^n = \Coker( \xymatrix{ \bigoplus_{i = 0}^{n - 1} U_{n - 1} \ar[r]^-{\delta^n_i} & U_n }).\] 微分 \(d^n : Q(U)^n \to Q(U)^{n + 1}\) 由 \((-1)^{n + 1}\delta^{n + 1}_{n + 1}\) 诱导；也就是说，把态射 \((-1)^{n + 1}\delta^{n + 1}_{n + 1}\) 放入交换图 \[\xymatrix{ U_n \ar[rr]_{(-1)^{n + 1}\delta^{n + 1}_{n + 1}} \ar[d] & & U_{n + 1} \ar[d] \\ Q(U)^n \ar[rr]^{d_n} & & Q(U)^{n + 1}. }\]

留给读者证明这个图是有意义的；即当 \(i = 0, \ldots, n - 1\) 时，\(\delta^n_i\) 的像映入右侧竖直箭头的核。（这与引理 017X 对偶。）因此，上链复形 \(Q(U)\) 形如 \[0 \to Q(U)^0 \to Q(U)^1 \to Q(U)^2 \to \ldots\] 它称为 \(U\) 的 伴随规范化上链复形。 Dold–Kan 定理 019G 的对偶如下。

引理

设 \(\mathcal{A}\) 为阿贝尔范畴。

函子 \(s : \text{CoSimp}(\mathcal{A}) \to \text{CoCh}_{\geq 0}(\mathcal{A})\) 是正合的。

映射 \(s(U)^n \to Q(U)^n\) 定义上链复形的态射。

在 \(\text{CoCh}_{\geq 0}(\mathcal{A})\) 中存在函子性直和分解 \(s(U) = D(U) \oplus Q(U)\)。

函子 \(Q\) 是正合的。

复形态射 \(s(U) \to Q(U)\) 是拟同构。

函子 \(U \mapsto Q(U)^\bullet\) 定义范畴等价 \(\text{CoSimp}(\mathcal{A}) \to \text{CoCh}_{\geq 0}(\mathcal{A})\)。

证明

略。但这些结果正好分别是引理 0195、0198、 019A、 019B、019C 以及定理 019G 的对偶陈述。

同伦

考虑单纯集 \(\Delta[0]\) 和 \(\Delta[1]\)。回顾有两个态射 \[e_0, e_1 : \Delta[0] \longrightarrow \Delta[1],\] 它们来自把 \(0\) 映到 \([1] = \{0, 1\}\) 的一个元素的态射 \([0] \to [1]\)。还回顾每个集合 \(\Delta[1]_k\) 都是有限的。因此，若范畴 \(\mathcal{C}\) 有有限余积，则对 \(\mathcal{C}\) 的任意单纯对象 \(U\)，都可以构成积 \[U \times \Delta[1]\] ；见定义 017C。注意，\(\Delta[0]\) 的性质是：对所有 \(k \geq 0\)， \(\Delta[0]_k = \{*\}\) 都是单点集。因此 \(U \times \Delta[0] = U\)。于是，上面的 \(e_0, e_1\) 给出态射

\[e_0, e_1 : U \to U \times \Delta[1].\]

定义

设 \(\mathcal{C}\) 为有有限余积的范畴，\(U\) 和 \(V\) 为 \(\mathcal{C}\) 的两个单纯对象，并设 \(a, b : U \to V\) 为两个态射。

如果态射 \[h : U \times \Delta[1] \longrightarrow V\] 满足 \(a = h \circ e_0\) 且 \(b = h \circ e_1\)，则称它为 从 \(a\) 到 \(b\) 的同伦。

如果存在一列从 \(U\) 到 \(V\) 的态射 \(a = a_0, a_1, \ldots, a_n = b\)，使得对每个 \(i = 1, \ldots, n\)，或者存在从 \(a_{i - 1}\) 到 \(a_i\) 的同伦，或者存在从 \(a_i\) 到 \(a_{i - 1}\) 的同伦，则称态射 \(a\) 和 \(b\) 同伦，或者称它们 属于同一个同伦类。

一般而言，“存在从 \(a\) 到 \(b\) 的同伦”这一关系既不传递也不对称；例 07KA 将说明它是自反的。当然，“同伦” 是集合 \(\Mor(U, V)\) 上的等价关系，并且是由“存在从 \(a\) 到 \(b\) 的同伦”这一关系生成的等价关系。事实上，可以在任意范畴中定义单纯对象态射对之间的同伦。在详细分析存在态射 \(h : U \times \Delta[1] \to V\) 的含义之后，我们将在备注 019M 中完成这一点。

设 \(\mathcal{C}\) 为有有限余积的范畴，\(U\)、\(V\) 为 \(\mathcal{C}\) 的单纯对象，\(a, b : U \to V\) 为态射。进一步假设 \(h : U \times \Delta[1] \to V\) 是从 \(a\) 到 \(b\) 的同伦。对每个 \(n \geq 0\)，记 \[\Delta[1]_n = \{\alpha^n_0, \ldots, \alpha^n_{n + 1}\}\] 其中 \(\alpha^n_i : [n] \to [1]\) 是满足 \[\alpha^n_i(j) = \left\{ \begin{matrix} 0 & \text{若} & j < i\\ 1 & \text{若} & j \geq i \end{matrix} \right.\] 的映射。因此 \[h_n : (U \times \Delta[1])_n = \coprod U_n \cdot \alpha^n_i \longrightarrow V_n\] 具有分量 \(h_{n, i} : U_n \to V_n\)；对每个 \(i = 0, \ldots, n + 1\)，它是在 \(\alpha^n_i\) 所对应的分量上的限制。

引理

在上述情形下，有如下关系：

\(h_{n, 0} = b_n\) 且 \(h_{n, n + 1} = a_n\)。

当 \(i > j\) 时， \(d^n_j \circ h_{n, i} = h_{n - 1, i - 1} \circ d^n_j\)。

当 \(i \leq j\) 时， \(d^n_j \circ h_{n, i} = h_{n - 1, i} \circ d^n_j\)。

当 \(i > j\) 时， \(s^n_j \circ h_{n, i} = h_{n + 1, i + 1} \circ s^n_j\)。

当 \(i \leq j\) 时， \(s^n_j \circ h_{n, i} = h_{n + 1, i} \circ s^n_j\)。

反之，给定满足上述性质的一族映射 \(h_{n, i}\)，它们定义态射 \(h\)，并且这是从 \(a\) 到 \(b\) 的同伦。

证明

略。最后一个断言可利用如下事实证明：根据引理 0168，给出单纯对象的态射，等价于给出与所有 \(d^n_j\) 和 \(s^n_j\) 交换的一列态射 \(h_n\)。

例

在上述情形下，假设 \(a = b\)。则存在从 \(a\) 到 \(b\) 的平凡同伦，即满足 \(h_{n, i} = a_n = b_n\) 的同伦。

注

设 \(\mathcal{C}\) 为任意范畴（不作任何假设），\(U\) 和 \(V\) 为 \(\mathcal{C}\) 的单纯对象，\(a, b : U \to V\) 为 \(\mathcal{C}\) 中单纯对象的态射。一个 从 \(a\) 到 \(b\) 的同伦 由态射¹ \(h_{n, i} : U_n \to V_n\) 给出，其中 \(n \geq 0\) 且 \(i = 0, \ldots, n + 1\)，并要求它们满足引理 019L 中的关系。与定义 019K 一样，如果存在一列从 \(U\) 到 \(V\) 的态射 \(a = a_0, a_1, \ldots, a_n = b\)，使得对每个 \(i = 1, \ldots, n\)，或者存在从 \(a_{i - 1}\) 到 \(a_i\) 的同伦，或者存在从 \(a_i\) 到 \(a_{i - 1}\) 的同伦，则称态射 \(a\) 和 \(b\) 同伦。显然，若 \(F : \mathcal{C} \to \mathcal{C}'\) 为任意函子，且 \(\{h_{n, i}\}\) 是从 \(a\) 到 \(b\) 的同伦，则 \(\{F(h_{n, i})\}\) 是从 \(F(a)\) 到 \(F(b)\) 的同伦。同样，若 \(a\) 和 \(b\) 同伦，则 \(F(a)\) 和 \(F(b)\) 同伦。由于该引理表明，当有限余积存在时，新概念与旧概念相同，

特别可知，只要两个范畴都有有限余积，函子就保持原来的同伦概念。

注

设 \(\mathcal{C}\) 为任意范畴。假设单纯对象的两个态射 \(a, a' : U \to V\) 同伦。则对任意态射 \(b : V \to W\)，两个映射 \(b \circ a, b \circ a' : U \to W\) 同伦。同样，对任意态射 \(c : X \to U\)，两个映射 \(a \circ c, a' \circ c : X \to V\) 同伦。事实上，映射 \(b \circ a \circ c, b \circ a' \circ c : X \to W\) 同伦。确切地说，如果映射 \(h_{n, i} : U_n \to V_n\) 定义从 \(a\) 到 \(a'\) 的同伦，那么映射 \(b \circ h_{n, i} \circ c\) 定义从 \(b \circ a \circ c\) 到 \(b \circ a' \circ c\) 的同伦。由此得到一个新范畴 \(\text{hSimp}(\mathcal{C})\)：它与 \(\text{Simp}(\mathcal{C})\) 有相同的对象，而其态射是 \(\text{Simp}(\mathcal{C})\) 中态射的同伦类。因此有典范函子 \[\text{Simp}(\mathcal{C}) \longrightarrow \text{hSimp}(\mathcal{C})\] 它本质满，并且在态射集上满射。

定义

设 \(U\) 和 \(V\) 为范畴 \(\mathcal{C}\) 的两个单纯对象。如果存在态射 \(b : V \to U\)，使得 \(a \circ b\) 同伦于 \(\text{id}_V\)，且 \(b \circ a\) 同伦于 \(\text{id}_U\)，则称态射 \(a : U \to V\) 为 同伦等价。如果存在同伦等价 \(a : U \to V\)，则称 \(U\) 和 \(V\) 同伦等价。

例

单纯集 \(\Delta[m]\) 同伦等价于 \(\Delta[0]\)。事实上，考虑唯一态射 \(f : \Delta[m] \to \Delta[0]\)，以及由 \(\Delta[m]\) 的最后一个 \(0\)-单形的包含给出的态射 \(g : \Delta[0] \to \Delta[m]\)。有 \(f \circ g = \text{id}\)。下面给出从 \(\text{id}_{\Delta[m]}\) 到 \(g \circ f\) 的同伦 \(h : \Delta[m] \times \Delta[1] \to \Delta[m]\)。确切地说， \(h\) 由映射 \[\Mor_\Delta([n], [m]) \times \Mor_\Delta([n], [1]) \to \Mor_\Delta([n], [m])\] 给出，它们把 \((\varphi, \alpha)\) 映到 \[k \mapsto \left\{ \begin{matrix} \varphi(k) & \text{若} & \alpha(k) = 0 \\ m & \text{若} & \alpha(k) = 1 \end{matrix} \right.\] 。注意，这只因我们取 \(g\) 为最后一个 \(0\)-单形的包含而成立。若取 \(g\) 为第一个 \(0\)-单形的包含，则可找到从 \(g \circ f\) 到 \(\text{id}_{\Delta[m]}\) 的同伦。这说明了单纯集范畴中同伦所固有的不对称性。

下面的引理说明 \(U \times \Delta[1]\) 同伦等价于 \(U\)。

引理

设 \(\mathcal{C}\) 为有有限余积的范畴，\(U\) 为 \(\mathcal{C}\) 的单纯对象。考虑映射 \(e_1, e_0 : U \to U \times \Delta[1]\) 和 \(\pi : U \times \Delta[1] \to U\)；见引理 017E。

\(\pi \circ e_1 = \pi \circ e_0 = \text{id}_U\)；

态射 \(\text{id}_{U \times \Delta[1]}\) 与 \(e_0 \circ \pi\) 同伦；

态射 \(\text{id}_{U \times \Delta[1]}\) 与 \(e_1 \circ \pi\) 同伦。

证明

第一个断言平凡。考虑单纯集映射 \(\Delta[1] \times \Delta[1] \longrightarrow \Delta[1]\)，它在次数 \(n\) 上把一对 \((\beta_1, \beta_2)\)，其中 \(\beta_i : [n] \to [1]\)，映到由规则 \[\beta(i) = \max\{\beta_1(i), \beta_2(i)\}.\] 定义的态射 \(\beta : [n] \to [1]\)。这是单纯集的态射，因为作用 \(\Delta[1](\varphi) : \Delta[1]_n \to \Delta[1]_m\) （其中 \(\varphi : [m] \to [n]\)）是前复合。使用上面引入的记号 \(\Delta[1]_n = \{\alpha^n_0, \ldots, \alpha^n_{n + 1}\}\)，若 \(\beta_2 = \alpha^n_0\)，则 \(\beta = \alpha^n_0\)；若 \(\beta_2 = \alpha^n_{n + 1}\)，则 \(\beta = \beta_1\)。由于 \(\alpha^n_0\) 与 \(\alpha^n_{n + 1}\) 分别是取值为 \(1\) 与 \(0\) 的常值映射，这意味着引理 017E 的诱导态射 \[U \times \Delta[1] \times \Delta[1] \longrightarrow U \times \Delta[1]\] 是从 \(\text{id}_{U \times \Delta[1]}\) 到 \(e_1 \circ \pi\) 的同伦。\(e_0 \circ \pi\) 的情形类似（使用最小值而不是最大值）。

引理

设 \(f : Y \to X\) 为有纤维积的范畴 \(\mathcal{C}\) 中的态射，并假设 \(f\) 有截面 \(s\)。考虑例 016E 中从 \(f\) 构造的单纯对象 \(U\)。态射 \(U \to U\) 在每个次数上都是 \(Y \times_X \ldots \times_X Y\) 的自映射 \((s \circ f)^{n + 1}\)，即在每个因子上由 \(s \circ f\) 给出；这个态射同伦于 \(U\) 上的恒等映射。特别地，\(U\) 同伦等价于常值单纯对象 \(X\)。

证明

令 \(g^0 = \text{id}_Y\) 且 \(g^1 = s \circ f\)。使用态射 \[\begin{eqnarray*} Y \times_X \ldots \times_X Y \times \Mor([n], [1]) & \to & Y \times_X \ldots \times_X Y \\ (y_0, \ldots, y_n) \times \alpha & \mapsto & (g^{\alpha(0)}(y_0), \ldots, g^{\alpha(n)}(y_n)) \end{eqnarray*}\] 这里采用函子点观点来定义这些映射。

换言之， \(h_{n, 0} = \text{id}\)、 \(h_{n, n + 1} = (s \circ f)^{n + 1}\)，且 \(h_{n, i} = \text{id}_Y^{i + 1} \times (s \circ f)^{n + 1 - i}\)。留给读者证明它们满足引理 019L 的关系，因而定义所需同伦。另见备注 019M；它说明不必对范畴 \(\mathcal{C}\) 作任何其他假设。

引理

设 \(\mathcal{C}\) 为范畴，\(T\) 为集合。对 \(t \in T\)，设 \(X_t\)、\(Y_t\) 为 \(\mathcal{C}\) 的单纯对象，并假设 \(X = \prod_{t \in T} X_t\) 和 \(Y = \prod_{t \in T} Y_t\) 存在。

若对所有 \(t \in T\)，\(X_t\) 与 \(Y_t\) 同伦等价，且 \(T\) 有限，则 \(X\) 与 \(Y\) 同伦等价。

对 \(t \in T\)，设 \(a_t, b_t : X_t \to Y_t\) 为态射，并令 \(a = \prod a_t : X \to Y\) 及 \(b = \prod b_t : X \to Y\)。

若对所有 \(t \in T\) 都存在从 \(a_t\) 到 \(b_t\) 的同伦，则存在从 \(a\) 到 \(b\) 的同伦。

若 \(T\) 有限，且对 \(t \in T\)， \(a_t, b_t : X_t \to Y_t\) 同伦，则 \(a\) 与 \(b\) 同伦。

证明

若 \(h_t = (h_{t, n , i})\) 是从 \(a_t\) 到 \(b_t\) 的同伦（见备注 019M），则 \(h = (\prod_t h_{t, n, i})\) 是从 \(\prod a_t\) 到 \(\prod b_t\) 的同伦。这证明 (2)。

证明 (3)。选取 \(t \in T\)。存在整数 \(n \geq 0\) 和链 \(a_t = a_{t, 0}, a_{t, 1}, \ldots, a_{t, n} = b_t\)，使得对每个 \(1 \leq i \leq n\)，或者存在从 \(a_{t, i - 1}\) 到 \(a_{t, i}\) 的同伦，或者存在从 \(a_{t, i}\) 到 \(a_{t, i - 1}\) 的同伦。若 \(n = 0\)，就另取一个 \(t\)。（若对所有 \(t \in T\) 都有 \(a_t = b_t\)，则已经完成。）所以假设 \(n > 0\)。由例 07KA，对所有 \(t' \in T \setminus \{t\}\)，存在从 \(b_{t'}\) 到 \(b_{t'}\) 的同伦。

因此由 (2)，或者存在从 \(a_{t, n - 1} \times \prod_{t'} b_{t'}\) 到 \(b\) 的同伦，或者存在从 \(b\) 到 \(a_{t, n - 1} \times \prod_{t'} b_{t'}\) 的同伦。如此可将 \(n\) 减少 \(1\)。这证明 (3)。

(1) 由 (3) 和定义得出。

阿贝尔范畴中的同伦

设 \(\mathcal{A}\) 为加性范畴，\(U\)、\(V\) 为 \(\mathcal{A}\) 的单纯对象，\(a, b : U \to V\) 为态射。进一步假设 \(h : U \times \Delta[1] \to V\) 是从 \(a\) 到 \(b\) 的同伦。下面证明链复形的两个态射 \(s(a), s(b) : s(U) \longrightarrow s(V)\) 在《同调代数》第 010V 节的意义下同伦。使用第 019J 节引入的记号，按公式 [019R]\[\begin{equation} s(h)_n = \sum\nolimits_{i = 0}^n (-1)^{i + 1} h_{n + 1, i + 1} \circ s^n_i. \end{equation}\] 定义 \[s(h)_n : U_n \longrightarrow V_{n + 1}\] 。计算 \(d_{n + 1} \circ s(h)_n + s(h)_{n - 1} \circ d_n\)。首先， \[\begin{eqnarray*} d_{n + 1} \circ s(h)_n & = & \sum\nolimits_{j = 0}^{n + 1} \sum\nolimits_{i = 0}^n (-1)^{j + i + 1} d^{n + 1}_j \circ h_{n + 1, i + 1} \circ s^n_i \\ & = & \sum\nolimits_{1 \leq i + 1 \leq j \leq n + 1} (-1)^{j + i + 1} h_{n, i + 1} \circ d^{n + 1}_j \circ s^n_i \\ & & + \sum\nolimits_{n \geq i \geq j \geq 0} (-1)^{i + j + 1} h_{n, i} \circ d^{n + 1}_j \circ s^n_i \\ & = & \sum\nolimits_{1 \leq i + 1 < j \leq n + 1} (-1)^{j + i + 1} h_{n, i + 1} \circ s^{n - 1}_i \circ d^n_{j - 1} \\ & & + \sum\nolimits_{1 \leq i + 1 = j \leq n + 1} (-1)^{j + i + 1} h_{n, i + 1} \\ & & + \sum\nolimits_{n \geq i = j \geq 0} (-1)^{i + j + 1} h_{n, i} \\ & & + \sum\nolimits_{n \geq i > j \geq 0} (-1)^{i + j + 1} h_{n, i} \circ s^{n - 1}_{i - 1} \circ d^n_j \end{eqnarray*}\] 留给读者验证：四个和式中的第一个与最后一个，恰好同 \[s(h)_{n - 1} \circ d_n = \sum_{i = 0}^{n - 1} \sum_{j = 0}^n (-1)^{i + 1 + j} h_{n, i + 1} \circ s^{n - 1}_i \circ d^n_j.\] 的所有项相消。因此得到 \[\begin{eqnarray*} d_{n + 1} \circ s(h)_n + s(h)_{n - 1} \circ d_n & = & \sum_{j = 1}^{n + 1} (-1)^{2j} h_{n, j} + \sum_{i = 0}^n (-1)^{2i + 1} h_{n, i} \\ & = & h_{n, n + 1} - h_{n , 0} \\ & = & a_n - b_n \end{eqnarray*}\] ，正是所需结论。

引理

设 \(\mathcal{A}\) 为加性范畴，\(a, b : U \to V\) 为 \(\mathcal{A}\) 中单纯对象的态射。若 \(a\)、\(b\) 同伦，则 \(s(a), s(b) : s(U) \to s(V)\) 是链复形的同伦态射。若 \(\mathcal{A}\) 为阿贝尔范畴，则 \(N(a), N(b) : N(U) \to N(V)\) 也是链复形的同伦态射。

证明

可以选取一列从 \(U\) 到 \(V\) 的态射 \(a = a_0, a_1, \ldots, a_n = b\)，使得对每个 \(i = 1, \ldots, n\)，或者存在从 \(a_i\) 到 \(a_{i - 1}\) 的同伦，或者存在从 \(a_{i - 1}\) 到 \(a_i\) 的同伦。上面的计算说明，在此情形下，或者 \(s(a_i)\) 作为链复形映射同伦于 \(s(a_{i - 1})\)，或者 \(s(a_{i - 1})\) 作为链复形映射同伦于 \(s(a_i)\)。当然，这两个断言等价；而且同伦是链复形映射集上的等价关系，见《同调代数》第 010V 节。这证明 \(s(a)\) 和 \(s(b)\) 作为链复形映射同伦。

下面处理 \(N(a)\) 和 \(N(b)\)。由引理 019A， \(N(a)\)、\(N(b)\) 是复合 \[N(U) \to s(U) \to s(V) \to N(V)\] ，其中中间使用 \(s(a)\)、\(s(b)\)。因此，断言由《同调代数》引理 010W 得出。

引理

设 \(\mathcal{A}\) 为加性范畴，\(a : U \to V\) 为 \(\mathcal{A}\) 中单纯对象的态射。若 \(a\) 是同伦等价，则 \(s(a) : s(U) \to s(V)\) 是链复形的同伦等价。若进一步 \(\mathcal{A}\) 为阿贝尔范畴，则 \(N(a) : N(U) \to N(V)\) 也是链复形的同伦等价。

证明

略。见上面的引理 019S。

同伦与余单纯对象

设 \(\mathcal{C}\) 为有有限积的范畴，\(V\) 为余单纯对象，并考虑 \(\Hom(\Delta[1], V)\)；见第 07K9 节。态射 \(e_0, e_1 : \Delta[0] \to \Delta[1]\) 给出两个态射 \(e_0, e_1 : \Hom(\Delta[1], V) \to V\)。

定义

设 \(\mathcal{C}\) 为有有限积的范畴，\(U\) 和 \(V\) 为 \(\mathcal{C}\) 的两个余单纯对象，\(a, b : U \to V\) 为 \(\mathcal{C}\) 中余单纯对象的两个态射。

若态射 \[h : U \longrightarrow \Hom(\Delta[1], V)\] 满足 \(a = e_0 \circ h\) 且 \(b = e_1 \circ h\)，则称它为 从 \(a\) 到 \(b\) 的同伦。

如果存在一列从 \(U\) 到 \(V\) 的态射 \(a = a_0, a_1, \ldots, a_n = b\)，使得对每个 \(i = 1, \ldots, n\)，或者存在从 \(a_i\) 到 \(a_{i - 1}\) 的同伦，或者存在从 \(a_{i - 1}\) 到 \(a_i\) 的同伦，则称 \(a\) 和 \(b\) 同伦，或者称它们 属于同一个同伦类。

这与第 019J 节为单纯对象引入的概念对偶。为作说明，考虑定义中的从 \(a\) 到 \(b\) 的同伦 \(h : U \to \Hom(\Delta[1], V)\)。回顾 \(\Delta[1]_n\) 是有限集。\(h\) 的次数 \(n\) 分量是态射 \[h_n = (h_{n, \alpha}) : U \longrightarrow \Hom(\Delta[1], V)_n = \prod\nolimits_{\alpha \in \Delta[1]_n} V_n\]

\(\mathcal{C}\) 的态射 \(h_{n, \alpha} : U_n \to V_n\) 具有如下性质：对 \(\Delta\) 的每个态射 \(f : [n] \to [m]\)，有 [07KB]\[\begin{equation} h_{m, \alpha} \circ U(f) = V(f) \circ h_{n, \alpha \circ f} \end{equation}\] 此外，条件 \(a = e_0 \circ h\) 意味着 \(a_n = h_{n, 0 : [n] \to [1]}\)，其中 \(0 : [n] \to [1]\) 是取值为 \(0\) 的常值映射。同样，条件 \(b = e_1 \circ h\) 意味着 \(b_n = h_{n, 1 : [n] \to [1]}\)，其中 \(1 : [n] \to [1]\) 是取值为 \(1\) 的常值映射。反之，给定一族态射 \(\{h_{n, \alpha}\}\)，使得 (07KB) 对 \(\Delta\) 的所有态射 \(f\) 都成立，并且对所有 \(n \geq 0\) 都有 \(a_n = h_{n, 0 : [n] \to [1]}\) 和 \(b_n = h_{n, 1 : [n] \to [1]}\)，那么令 \(h = \prod_{\alpha \in \Delta[1]_n} h_{n, \alpha}\)，便得到从 \(a\) 到 \(b\) 的同伦 \(h\)。

注

设 \(\mathcal{C}\) 为任意范畴（不作任何假设），\(U\) 和 \(V\) 为 \(\mathcal{C}\) 的余单纯对象，\(a, b : U \to V\) 为 \(\mathcal{C}\) 中余单纯对象的态射。一个 从 \(a\) 到 \(b\) 的同伦 由态射 \(h_{n, \alpha} : U_n \to V_n\) 给出，其中 \(n \geq 0\) 且 \(\alpha \in \Delta[1]_n\)；要求它们对 \(\Delta\) 的所有态射 \(f\) 都满足 (07KB)，并且对所有 \(n \geq 0\) 都有 \(a_n = h_{n, 0 : [n] \to [1]}\) 与 \(b_n = h_{n, 1 : [n] \to [1]}\)。与定义 019W 一样，如果存在一列从 \(U\) 到 \(V\) 的态射 \(a = a_0, a_1, \ldots, a_n = b\)，使得对每个 \(i = 1, \ldots, n\)，或者存在从 \(a_{i - 1}\) 到 \(a_i\) 的同伦，或者存在从 \(a_i\) 到 \(a_{i - 1}\) 的同伦，则称态射 \(a\) 和 \(b\) 同伦。显然，若 \(F : \mathcal{C} \to \mathcal{C}'\) 为任意函子，且 \(\{h_{n, i}\}\) 是从 \(a\) 到 \(b\) 的同伦，

则 \(\{F(h_{n, i})\}\) 是从 \(F(a)\) 到 \(F(b)\) 的同伦。同样，若 \(a\) 和 \(b\) 同伦，则 \(F(a)\) 和 \(F(b)\) 同伦。当有限积存在时，这个新概念与旧概念相同。因此特别可知，只要两个范畴都有有限积，函子就保持原来的概念。

引理

设 \(\mathcal{C}\) 为范畴，\(U\) 和 \(V\) 为 \(\mathcal{C}\) 的两个余单纯对象，\(a, b : U \to V\) 为余单纯对象的态射。回顾 \(U\)、\(V\) 分别对应于 \(\mathcal{C}^{opp}\) 的单纯对象 \(U'\)、\(V'\)，而 \(a, b\) 分别对应于态射 \(a', b' : V' \to U'\)。下列条件等价：

存在备注 0FKJ 意义下，从 \(a\) 到 \(b\) 的同伦 \(h = \{h_{n, \alpha}\}\)。

存在备注 019M 意义下，从 \(a'\) 到 \(b'\) 的同伦 \(h = \{h_{n, i}\}\)。

因此，\(a\) 与 \(b\) 在备注 0FKJ 的意义下同伦，当且仅当 \(a'\) 与 \(b'\) 在备注 019M 的意义下同伦。

证明

若 \(\mathcal{C}\) 有有限积，则 \(\mathcal{C}^{opp}\) 有有限余积，并且可以用定义 019W 和 019K 代替备注 0FKJ 和 019M。此时，\(h : U \to \Hom(\Delta[1], V)\) 等同于态射 \(h' : \Hom(\Delta[1], V)' \to U'\)。由于积与余积也相互交换，立即有 \((\Hom(\Delta[1], V))' = V' \times \Delta[1]\)。此外，态射 \(e_0, e_1 : \Hom(\Delta[1], V) \to V\) 的“加撇”版本是态射 \(e_0, e_1 : V' \to \Delta[1] \times V\)。因此，\(e_0 \circ h = a\) 转化为 \(h' \circ e_0 = a'\)，同样地，\(e_1 \circ h = b\) 转化为 \(h' \circ e_1 = b'\)。这证明了这种情形的引理。

一般情形下，需要把 (07KB) 给出的关系转化为引理 019L 中的关系。细节从略。

最后一个断言形式地由 (1) 与 (2) 的等价性得出。

引理

设 \(\mathcal{C}, \mathcal{C}', \mathcal{D}, \mathcal{D}'\) 为范畴。术语如备注 0FKJ 和 019M 所述。

设 \(a, b : U \to V\) 为 \(\mathcal{D}\) 中单纯对象的态射， \(F : \mathcal{D} \to \mathcal{D}'\) 为协变函子。若 \(a\) 与 \(b\) 同伦，则 \(F(a)\)、\(F(b)\) 是单纯对象之间同伦的态射 \(F(U) \to F(V)\)。

设 \(a, b : U \to V\) 为 \(\mathcal{C}\) 中余单纯对象的态射， \(F : \mathcal{C} \to \mathcal{C}'\) 为协变函子。若 \(a\) 与 \(b\) 同伦，则 \(F(a)\)、\(F(b)\) 是余单纯对象之间同伦的态射 \(F(U) \to F(V)\)。

设 \(a, b : U \to V\) 为 \(\mathcal{D}\) 中单纯对象的态射， \(F : \mathcal{D} \to \mathcal{C}\) 为反变函子。若 \(a\) 与 \(b\) 同伦，则 \(F(a)\)、\(F(b)\) 是余单纯对象之间同伦的态射 \(F(V) \to F(U)\)。

设 \(a, b : U \to V\) 为 \(\mathcal{C}\) 中余单纯对象的态射， \(F : \mathcal{C} \to \mathcal{D}\) 为反变函子。若 \(a\) 与 \(b\) 同伦，则 \(F(a)\)、\(F(b)\) 是单纯对象之间同伦的态射 \(F(V) \to F(U)\)。

证明

由上面的引理 019X，可以把 \(F\) 变为一对范畴之间的协变函子，而只须证明函子保持同伦的映射对。这已在备注 019M 中说明。

引理

设 \(f : X \to Y\) 为有推出的范畴 \(\mathcal{C}\) 中的态射，并假设存在态射 \(s : Y \to X\)，满足 \(s \circ f = \text{id}_X\)。考虑例 016N 中从 \(f\) 构造的余单纯对象 \(U\)。态射 \(U \to U\) 在每个次数上都是 \(Y \amalg_X \ldots \amalg_X Y\) 的自映射，并且在每个因子上由 \(f \circ s\) 给出；它同伦于 \(U\) 上的恒等映射。特别地，\(U\) 同伦等价于常值余单纯对象 \(X\)。

证明

本引理与引理 019P 对偶。因此，它由引理 019X 得出。

引理

设 \(\mathcal{A}\) 为加性范畴，\(a, b : U \to V\) 为 \(\mathcal{A}\) 中余单纯对象的态射。若 \(a\)、\(b\) 同伦，则 \(s(a), s(b) : s(U) \to s(V)\) 是上链复形的同伦映射。若进一步 \(\mathcal{A}\) 为阿贝尔范畴，则 \(Q(a), Q(b) : Q(U) \to Q(V)\) 是上链复形的同伦映射。

证明

设 \((-)' : \mathcal{A} \to \mathcal{A}^{opp}\) 为反变函子 \(A \mapsto A\)。根据引理 019Z，映射 \(a'\) 和 \(b'\) 同伦。

由引理 019S，\(s(a')\) 和 \(s(b')\) 是链复形的同伦映射。由于 \(s(a') = (s(a))'\) 且 \(s(b') = (s(b))'\)，应用加性反变函子 \((-)'' : \mathcal{A}^{opp} \to \mathcal{A}\) 可知 \(s(a)\) 和 \(s(b)\) 也同伦。对 \(Q\)-复形的结论以相同方式得出，这里使用 \(Q(U)' = N(U')\)。

引理

设 \(\mathcal{A}\) 为加性范畴，\(a : U \to V\) 为 \(\mathcal{A}\) 中余单纯对象的态射。若 \(a\) 是同伦等价，则 \(s(a) : s(U) \to s(V)\) 是链复形的同伦等价。若进一步 \(\mathcal{A}\) 为阿贝尔范畴，则 \(Q(a) : Q(U) \to Q(V)\) 也是链复形的同伦等价。

证明

略。见上面的引理 01A0。

阿贝尔范畴中的更多同伦

设 \(\mathcal{A}\) 为阿贝尔范畴。本节将证明： \(\text{Ch}_{\geq 0}(\mathcal{A})\) 中态射之间的同伦，总是来自单纯对象范畴中的态射 \(U \times \Delta[1] \to V\)。在某种意义下，这将给出引理 019S 的逆命题。先发展一些关于链复形态射之间同伦的材料。

引理

设 \(\mathcal{A}\) 为阿贝尔范畴，\(A\) 为链复形。考虑协变函子 \[B \longmapsto \{ (a, b, h) \mid a, b : A \to B\text{ 且 }h\text{ 下列二者之间的同伦： }a, b \}\] 存在链复形 \(\diamond A\)，使得 \(\Mor_{\text{Ch}(\mathcal{A})}(\diamond A, -)\) 同构于所显示的函子。构造 \(A \mapsto \diamond A\) 具有函子性。

证明

令 \(\diamond A_n = A_n \oplus A_n \oplus A_{n - 1}\)，并以矩阵 \[d_{\diamond A, n} = \left( \begin{matrix} d_{A, n} & 0 & \text{id}_{A_{n - 1}} \\ 0 & d_{A, n} & -\text{id}_{A_{n - 1}} \\ 0 & 0 & -d_{A, n - 1} \end{matrix} \right) : A_n \oplus A_n \oplus A_{n - 1} \to A_{n - 1} \oplus A_{n - 1} \oplus A_{n - 2}\] 定义 \(d_{\diamond A, n}\)。若 \(\mathcal{A}\) 是阿贝尔群范畴，且 \((x, y, z) \in A_n \oplus A_n \oplus A_{n - 1}\)，则 \(d_{\diamond A, n}(x, y, z) = (d_n(x) + z, d_n(y) - z, -d_{n - 1}(z))\)。容易验证 \(d^2 = 0\)。显然有两个映射 \(\diamond a, \diamond b : A \to \diamond A\) （第一与第二直和分量），以及映射 \(\diamond A \to A[-1]\)，它们给出逐项分裂的短正合序列 \[0 \to A \oplus A \to \diamond A \to A[-1] \to 0\] 。此外，有一列映射 \(\diamond h_n : A_n \to \diamond A_{n + 1}\)，即从 \(A_n\) 到 \(\diamond A_{n + 1}\) 的分量 \(A_n\) 的恒等映射，使得 \(\diamond h\) 是 \(\diamond a\) 与 \(\diamond b\) 之间的同伦。

由此，任意态射 \(f : \diamond A \to B\) 都通过令 \(a = f \circ \diamond a\)、\(b = f \circ \diamond b\) 以及 \(h_n = f_{n + 1} \circ \diamond h_n\) 给出三元组 \((a, b, h)\)。反之，给定三元组 \((a, b, h)\)，取 \[f_n = (a_n, b_n, h_{n - 1}).\] 即可得到态射 \(f : \diamond A \to B\)。要看出这是链复形的态射，需要作一次计算。这里只在 \(\mathcal{A}\) 为阿贝尔群范畴的情形下计算：设 \((x, y, z) \in \diamond A_n = A_n \oplus A_n \oplus A_{n - 1}\)。则 \[\begin{eqnarray*} f_{n - 1}(d_n(x, y, z)) & = & f_{n - 1}(d_n(x) + z, d_n(y) - z, -d_{n - 1}(z)) \\ & = & a_n(d_n(x)) + a_n(z) + b_n(d_n(y)) - b_n(z) - h_{n - 2}(d_{n - 1}(z)) \end{eqnarray*}\]

以及 \[\begin{eqnarray*} d_n(f_n(x, y, z) & = & d_n(a_n(x) + b_n(y) + h_{n - 1}(z)) \\ & = & d_n(a_n(x)) + d_n(b_n(y)) + d_n(h_{n - 1}(z)) \end{eqnarray*}\] 根据同伦的定义，二者相同。

注意，扩张 \[0 \to A \oplus A \to \diamond A \to A[-1] \to 0\] 配有态射 \(\diamond A_n \to A[-1]_n\) 的截面，并且相应的态射 \(\delta : A[-1] \to (A \oplus A)[-1]\)（见《同调代数》引理 011D）等于态射 \((1, -1) : A[-1] \to A[-1] \oplus A[-1]\)。

引理

设 \(\mathcal{A}\) 为阿贝尔范畴，并设 \[0 \to A \oplus A \to B \to C \to 0\] 为 \(\mathcal{A}\) 中链复形的短正合序列。进一步假设给定态射 \(s_n : C_n \to B_n\)，它们在次数 \(n\) 上分裂相应的短正合序列。设 \(\delta(s) : C \to (A \oplus A)[-1] = A[-1] \oplus A[-1]\) 为相应的复形态射；见《同调代数》引理 011D。若 \(\delta(s)\) 经态射 \((1, -1) : A[-1] \to A[-1] \oplus A[-1]\) 分解，则存在唯一态射 \(B \to \diamond A\)，使其嵌入交换图 \[\xymatrix{ 0 \ar[r] & A \oplus A \ar[d] \ar[r] & B \ar[r] \ar[d] & C \ar[d] \ar[r] & 0 \\ 0 \ar[r] & A \oplus A \ar[r] & \diamond A \ar[r] & A[-1] \ar[r] & 0 }\] ，其中竖直映射也分别与截面 \(s_n\) 及 \(\diamond A_n \to A[-1]_n\) 的截面相容。

证明

以 \((p_n, q_n) : B_n \to A_n \oplus A_n\) 表示《同调代数》引理 011D 中的态射 \(\pi_n\)。又将短正合序列中的映射写成 \((a, b) : A \oplus A \to B\) 和 \(r : B \to C\)。把 \(\delta(s)\) 的分解写成 \(\delta(s) = (1, -1) \circ f\)。这意味着 \(p_{n - 1} \circ d_{B, n} \circ s_n = f_n\)，并且 \(q_{n - 1} \circ d_{B, n} \circ s_n = - f_n\)，并且

令 \(B_n \to \diamond A_n = A_n \oplus A_n \oplus A_{n - 1}\) 等于 \((p_n, q_n, f_n \circ r_n)\)。

现在必须检验这确实定义了复形态射。这里只在阿贝尔群情形下验证。取 \(x \in B_n\)。则 \(x = a_n(x_1) + b_n(x_2) + s_n(x_3)\)，并且只须分别对每一项证明我们的定义与微分交换。对于项 \(a_n(x_1)\)，有 \((p_n, q_n, f_n \circ r_n)(a_n(x_1)) = (x_1, 0, 0)\)，结论显然。项 \(b_n(x_2)\) 的情形类似。对于项 \(s_n(x_3)\)，有 \[\begin{eqnarray*} (p_n, q_n, f_n \circ r_n)(d_n(s_n(x_3))) & = & (p_n, q_n, f_n \circ r_n)( \\ & & \ \ \ \ \ a_n(f_n(x_3)) - b_n(f_n(x_3)) + s_n(d_n(x_3))) \\ & = & (f_n(x_3), -f_n(x_3), f_n(d_n(x_3))) \end{eqnarray*}\]

，这是由 \(f_n\) 的定义得到的。另一方面， \[\begin{eqnarray*} d_n(p_n, q_n, f_n \circ r_n)(s_n(x_3)) & = & d_n(0, 0, f_n(x_3)) \\ & = & (f_n(x_3), - f_n(x_3), d_{A[-1], n}(f_n(x_3))) \end{eqnarray*}\] 由于 \(f\) 是复形态射，结论成立。

引理

设 \(\mathcal{A}\) 为阿贝尔范畴，\(U\)、\(V\) 为 \(\mathcal{A}\) 的单纯对象，\(a, b : U \to V\) 为一对态射。假设相应的链复形映射 \(N(a), N(b) : N(U) \to N(V)\) 通过同伦 \(\{N_n : N(U)_n \to N(V)_{n + 1}\}\) 同伦。则存在定义 019K 意义下从 \(a\) 到 \(b\) 的同伦。此外，可以选取同伦 \(h : U \times \Delta[1] \to V\)，使得 \(N_n = N(h)_n\)，其中 \(N(h)\) 是按第 019Q 节从 \(h\) 得到的同伦。

证明

设 \((\diamond N(U), \diamond a, \diamond b, \diamond h)\) 如引理 01A2 及其证明中所述。由该引理，存在表示三元组 \((N(a), N(b), \{N_n\})\) 的态射 \(\diamond N(U) \to N(V)\)。下面证明存在态射 \(\psi : N(U \times \Delta[1]) \to \diamond{N(U)}\)，使得 \(\diamond a = \psi \circ N(e_0)\) 且 \(\diamond b = \psi \circ N(e_1)\)。还将证明：由 (019R) 及引理 019S，取 \(h = \text{id}_{U \times \Delta[1]}\) 得到的 \(N(e_0), N(e_1) : N(U) \to N(U \times \Delta[1])\) 之间的同伦，经 \(\psi\) 映到映射 \(\diamond a, \diamond b : N(U) \to \diamond{N(U)}\) 之间的典范同伦 \(\diamond h\)。这当然蕴含引理。

注意，作为函子， \(N : \text{Simp}(\mathcal{A}) \to \text{Ch}_{\geq 0}(\mathcal{A})\) 是函子 \(s : \text{Simp}(\mathcal{A}) \to \text{Ch}_{\geq 0}(\mathcal{A})\) 的直和分量。并且函子 \(\diamond\) 与直和相容。因此，只须改为构造具有相应性质的态射 \(\Psi : s(U \times \Delta[1]) \to \diamond{s(U)}\)。下面正是这一构造。

由定义 019K，态射 \(e_0 : U \to U \times \Delta[1]\) 与 \(e_1 : U \to U \times \Delta[1]\) 通过同伦 \(\text{id}_{U \times \Delta[1]}\) 同伦。由引理 019S，得到链复形态射 \(s(e_0) : s(U) \to s(U \times \Delta[1])\) 与 \(s(e_1) : s(U) \to s(U \times \Delta[1])\) 之间的显式同伦 \(\{h_n : s(U)_n \to s(U \times \Delta[1])_{n + 1}\}\)。由上面的引理 01A3，得到相应态射 \[\Phi : \diamond{s(U)} \to s(U \times \Delta[1])\] 根据构造，\(\Phi_n\) 在 \(\diamond{s(U)}_n\) 的分量 \(s(U)[-1]_n = s(U)_{n - 1}\) 上的限制等于 \(h_{n - 1}\)。并且 \[h_{n - 1} = \sum\nolimits_{i = 0}^{n - 1} (-1)^{i + 1} s^n_i \cdot \alpha^n_{i + 1} : U_{n - 1} \to \bigoplus\nolimits_j U_n \cdot \alpha^n_j.\]

这里采用显然的记号。

另一方面，态射 \(e_i : U \to U \times \Delta[1]\) 诱导态射 \((e_0, e_1) : U \oplus U \to U \times \Delta[1]\)。以 \(W\) 表示余核。注意，若写成 \((U \times \Delta[1])_n = \bigoplus_{\alpha : [n] \to [1]} U_n \cdot \alpha\)，则可以把 \(W_n = \bigoplus_{i = 1}^n U_n \cdot \alpha^n_i\) 作如第 019J 节中的 \(\alpha^n_i\) 那样的识别。有交换图 \[\xymatrix{ 0 \ar[r] & U \oplus U \ar[rd]_{(1, 1)} \ar[r] & U \times \Delta[1] \ar[d]^\pi \ar[r] & W \ar[r] & 0 \\ & & U & & }\] 这意味着应用函子 \(s\) 后有类似的交换图。然后选取分裂 \(\sigma_n : s(W)_n \to s(U \times \Delta[1])_n\)：通过 \((-1, 1)\)，把分量 \(U_n \cdot \alpha^n_i \subset W_n\) 映到分量 \(U_n \cdot \alpha^n_0 \oplus U_n \cdot \alpha^n_i \subset (U \times \Delta[1])_n\)。注意 \(s(\pi)_n \circ \sigma_n = 0\)，从而 \((1, 1) \circ \delta(\sigma)_n = 0\)。因此 \(\delta(\sigma)\) 如引理 01A3 中那样分解。由该引理，得到典范态射 \(\Psi : s(U \times \Delta[1]) \to \diamond{s(U)}\)。

为了计算 \(\Psi\)，先计算态射 \(\delta(\sigma) : s(W) \to s(U)[-1] \oplus s(U)[-1]\)。根据《同调代数》引理 011D 及其证明，为此必须计算

\[d_{s(U \times \delta[1]), n} \circ \sigma_n - \sigma_{n - 1} \circ d_{s(W), n}\]

并把它写成到 \(U_{n - 1} \cdot \alpha^{n - 1}_0 \oplus U_{n - 1} \cdot \alpha^{n - 1}_n\) 的态射。这里只在 \(\mathcal{A}\) 是阿贝尔群范畴的情形下计算。采用简写 \(x_{\alpha}\)：对 \(x \in U_n\)，以它表示 \((U \times \Delta[1])_n\) 的分量 \(U_n \cdot \alpha\) 中的元素 \(x\)。回顾 \[d_{s(U \times \delta[1]), n} = \sum\nolimits_{i = 0}^n (-1)^i d^n_i\] 其中 \(d^n_i\) 通过单纯对象 \(U\) 的态射 \(d^n_i\)，把分量 \(U_n \cdot \alpha\) 映到分量 \(U_{n - 1} \cdot (\alpha \circ \delta^n_i)\)。用上述记号，这意味着 \[d_{s(U \times \delta[1]), n}(x_\alpha) = \sum\nolimits_{i = 0}^n (-1)^i (d^n_i(x))_{\alpha \circ \delta^n_i}\] 从 \(x_\alpha \in W_n\) 出发，换言之，对某个 \(j \in \{1, \ldots, n\}\) 有 \(\alpha = \alpha^n_j\)，可见 \(\sigma_n(x_\alpha) = x_\alpha - x_{\alpha^n_0}\)，因而 \[(d_{s(U \times \delta[1]), n} \circ \sigma_n)(x_\alpha) = \sum\nolimits_{i = 0}^n (-1)^i (d^n_i(x))_{\alpha \circ \delta^n_i} - \sum\nolimits_{i = 0}^n (-1)^i (d^n_i(x))_{\alpha^n_0 \circ \delta^n_i}\] 为了计算 \(d_{s(W), n}(x_\alpha)\)，必须删去所有满足 \(\alpha \circ \delta^n_i = \alpha^{n - 1}_0, \alpha^{n - 1}_n\) 的项。因此得到 \[\begin{matrix} (\sigma_{n - 1} \circ d_{s(W), n})(x_\alpha) = \\ \sum\nolimits_{i = 0, \ldots, n\text{ 且 } \alpha \circ \delta^n_i \not = \alpha^{n - 1}_0\text{ 或 }\alpha^{n - 1}_n} \Big((-1)^i (d^n_i(x))_{\alpha \circ \delta^n_i} - (-1)^i (d^n_i(x))_{\alpha^{n - 1}_0} \Big) \end{matrix}\]

显然，两项之差是和 \[\sum\nolimits_{i = 0, \ldots, n\text{ 且 } \alpha \circ \delta^n_i = \alpha^{n - 1}_0\text{ 或 }\alpha^{n - 1}_n} \Big((-1)^i (d^n_i(x))_{\alpha \circ \delta^n_i} - (-1)^i (d^n_i(x))_{\alpha^{n - 1}_0} \Big)\] 当然，若 \(\alpha \circ \delta^n_i = \alpha^{n - 1}_0\)，则该项消失。回顾对某个 \(j \in \{1, \ldots, n\}\)，有 \(\alpha = \alpha^n_j\)。等式 \(\alpha^n_j \circ \delta^n_i = \alpha^{n - 1}_n\) 成立的唯一可能是 \(j = n\) 且 \(i = n\)。因此，除非 \(j = n\)，实际所得为 \(0\)；在该情形下得到 \((-1)^n(d^n_n(x))_{\alpha^{n - 1}_n} - (-1)^n(d^n_n(x))_{\alpha^{n - 1}_0}\)。换言之，态射 \[\delta(\sigma)_n : W_n \to (s(U)[-1] \oplus s(U)[-1])_n = U_{n - 1} \oplus U_{n - 1}\] 在除 \(U_n \cdot \alpha^n_n\) 以外的所有分量上为零，而在该分量上等于 \(((-1)^nd^n_n, -(-1)^nd^n_n)\)。（也就是说，两个分量中的第一个对应于 \(\alpha^{n - 1}_n\) 所在的因子，因为这是把所有元素映到 \(0\) 的映射 \([n - 1] \to [1]\)，因而对应于 \(e_0\)。）

得到典范图 \[\xymatrix{ 0 \ar[r] & s(U) \oplus s(U) \ar[r] \ar[d] & \diamond{s(U)} \ar[r] \ar[d]^{\Phi}& s(U)[-1] \ar[r] \ar[d] & 0 \\ 0 \ar[r] & s(U) \oplus s(U) \ar[r] \ar[d] & s(U \times \Delta[1]) \ar[r] \ar[d]^\Psi & s(W) \ar[r] \ar[d] & 0 \\ 0 \ar[r] & s(U) \oplus s(U) \ar[r] & \diamond{s(U)} \ar[r] & s(U)[-1] \ar[r] & 0 }\] 断言 \(\Phi \circ \Psi\) 是恒等映射。为此，只须证明 \(\Phi\) 与 \(\delta(\sigma)\) 的复合，作为映射 \(s(U)[-1] \to s(W) \to s(U)[-1] \oplus s(U)[-1]\)，在第一个因子上是恒等映射，在第二个因子上是负恒等映射。根据上面的计算，它是 \(((-1)^nd^n_0, -(-1)^nd^n_0) \circ (-1)^n s^n_n = (1, -1)\)，

正如所需。

平凡 Kan 纤维化

回顾当 \(n \geq 0\) 时，单纯集 \(\Delta[n]\) 由规则 \([k] \mapsto \Mor_\Delta([k], [n])\) 给出；见例 0176。回顾 \(\Delta[n]\) 有唯一的非退化 \(n\)-单形，并且所有非退化单形都是这个 \(n\)-单形的面。事实上，\(\Delta[n]\) 的非退化单形恰好对应于单射 \([k] \to [n]\)，可以把它们与 \([n]\) 的子集等同起来。此外，回顾对任意单纯集 \(X\)，有 \(\Mor(\Delta[n], X) = X_n\)（引理 0177）。令 \[\partial \Delta[n] = i_{(n - 1)!}\text{sk}_{n - 1}\Delta[n]\] 并称它为 \(\Delta[n]\) 的边界。由引理 018P 可知， \(\partial \Delta[n] \subset \Delta[n]\) 是这样的单纯子集：它在次数 \(\leq n - 1\) 中具有相同的非退化单形，但不含那个非退化 \(n\)-单形。

定义

若单纯集映射 \(X \to Y\) 满足 \(X_0 \to Y_0\) 为满射，并且对所有 \(n \geq 1\) 及任意交换实线图 \[\xymatrix{ \partial \Delta[n] \ar[r] \ar[d] & X \ar[d] \\ \Delta[n] \ar[r] \ar@{-->}[ru] & Y }\] 都存在使图交换的虚线箭头，则称它为 平凡 Kan 纤维化。

平凡 Kan 纤维化满足一种非常一般的提升性质。

引理

设 \(f : X \to Y\) 为单纯集的平凡 Kan 纤维化。对任意单纯集交换实线图 \[\xymatrix{ Z \ar[r]_b \ar[d] & X \ar[d] \\ W \ar[r]^a \ar@{-->}[ru] & Y }\] ，若 \(Z \to W\)（逐项）为单射，则存在使图交换的虚线箭头。

证明

假设 \(Z \not = W\)。设 \(n\) 为满足 \(Z_n \not = W_n\) 的最小整数。取 \(x \in W_n\)，且 \(x \not \in Z_n\)。以 \(Z' \subset W\) 表示包含 \(Z\)、\(x\) 以及 \(x\) 的所有退化的单纯子集。设 \(\varphi : \Delta[n] \to Z'\) 为与 \(x\) 对应的态射（引理 0177）。由于 \(\partial \Delta[n]\) 的所有非退化单形都映入 \(Z\)， \(\varphi|_{\partial \Delta[n]}\) 映入 \(Z\)。由假设，可将 \(b \circ \varphi|_{\partial \Delta[n]}\) 延拓为 \(\beta : \Delta[n] \to X\)。由引理 018R，单纯集 \(Z'\) 是 \(\Delta[n]\) 与 \(Z\) 沿 \(\partial \Delta[n]\) 的推出。因此 \(b\) 和 \(\beta\) 定义态射 \(b' : Z' \to X\)。换言之，我们已把态射 \(b\) 延拓到 \(Z\) 的一个更大单纯子集。

应用 Zorn 引理即可完成证明（从略）。

引理

设 \(f : X \to Y\) 为单纯集的平凡 Kan 纤维化，并设 \(Y' \to Y\) 为单纯集态射。则 \(X \times_Y Y' \to Y'\) 是平凡 Kan 纤维化。

证明

这立即由纤维积的函子性（引理 016U）和定义得出。

引理

两个平凡 Kan 纤维化的复合仍是平凡 Kan 纤维化。

证明

略。

引理

设 \(\ldots \to U^2 \to U^1 \to U^0\) 为一列平凡 Kan 纤维化。令 \(U = \lim U^t\)，其定义为逐项取 \(U_n = \lim U_n^t\)。则 \(U \to U^0\) 是平凡 Kan 纤维化。

证明

略。提示：使用集合的可数满射序列之逆极限非空这一事实。

引理

设 \(X_i \to Y_i\) 为一族平凡 Kan 纤维化。则 \(\prod X_i \to \prod Y_i\) 是平凡 Kan 纤维化。

证明

略。

引理

平凡 Kan 纤维化的滤过余极限仍是平凡 Kan 纤维化。

证明

略。提示：见《范畴论》第 04AX 节中集合的滤过余极限之描述。

引理

设 \(f : X \to Y\) 为单纯集的平凡 Kan 纤维化。则 \(f\) 是同伦等价。

证明

由引理 08NM，可以选取 \(f\) 的右逆 \(g : Y \to X\)。

考虑图 \[\xymatrix{ \partial \Delta[1] \times X \ar[d] \ar[r] & X \ar[d] \\ \Delta[1] \times X \ar[r] \ar@{-->}[ru] & Y }\] 这里，上方水平箭头由 \(\text{id}_X\) 和 \(g \circ f\) 给出；使用了对所有 \(n \geq 0\) 都有 \((\partial \Delta[1] \times X)_n = X_n \amalg X_n\)。下方水平箭头由映射 \(\Delta[1] \to \Delta[0]\) 和 \(f : X \to Y\) 给出。由于 \(f \circ g \circ f = f\)，该图交换。由引理 08NM 可以填入虚线箭头，结论即得。

Kan 纤维化

设 \(n\)、\(k\) 为满足 \(0 \leq k \leq n\) 且 \(1 \leq n\) 的整数。令 \(\sigma_0, \ldots, \sigma_n\) 为 \(\Delta[n]\) 的唯一非退化 \(n\)-单形 \(\sigma\) 的 \(n + 1\) 个面，即 \(\sigma_i = d_i\sigma\)。令 \[\Lambda_k[n] \subset \Delta[n]\] 为 \(n\)-单形 \(\Delta[n]\) 的 第 \(k\) 个角。它是由 \(\sigma_0, \ldots, \hat \sigma_k, \ldots, \sigma_n\) 生成的 \(\Delta[n]\) 的单纯子集。换言之，所显示包含的像含有 \(\Delta[n]\) 的所有非退化单形，唯独不含 \(\sigma\) 和 \(\sigma_k\)。

定义

若单纯集映射 \(X \to Y\) 满足：对所有整数 \(k, n\)，其中 \(1 \leq n\)、\(0 \leq k \leq n\)，以及任意交换实线图 \[\xymatrix{ \Lambda_k[n] \ar[r] \ar[d] & X \ar[d] \\ \Delta[n] \ar[r] \ar@{-->}[ru] & Y }\] 都存在使图交换的虚线箭头，则称它为 Kan 纤维化。若单纯集 \(X\) 到单点集上的常值单纯集 \(*\) 的映射 \(X \to *\) 为 Kan 纤维化，则称它为 Kan 复形。

注意，\(\Lambda_k[n]\) 总是非空的。因此，从空单纯集到任意单纯集的态射总是 Kan 纤维化。由引理 08NM 可知，平凡 Kan 纤维化是 Kan 纤维化。

引理

设 \(f : X \to Y\) 为单纯集的 Kan 纤维化，并设 \(Y' \to Y\) 为单纯集态射。则 \(X \times_Y Y' \to Y'\) 是 Kan 纤维化。

证明

这立即由纤维积的函子性（引理 016U）和定义得出。

引理

两个 Kan 纤维化的复合仍是 Kan 纤维化。

证明

略。

引理

设 \(\ldots \to U^2 \to U^1 \to U^0\) 为一列 Kan 纤维化。令 \(U = \lim U^t\)，其定义为逐项取 \(U_n = \lim U_n^t\)。则 \(U \to U^0\) 是 Kan 纤维化。

证明

略。提示：使用集合的可数满射序列之逆极限非空这一事实。

引理

设 \(X_i \to Y_i\) 为一族 Kan 纤维化。则 \(\prod X_i \to \prod Y_i\) 是 Kan 纤维化。

证明

略。

下面的引理由 J.C. Moore 给出，见 [Moore-Cartan]。

引理

设 \(X\) 为单纯群。则 \(X\) 是 Kan 复形。

证明

下面的证明基本上只是把上述参考文献中的证明译成英语。

使用本节引言中说明的术语，设 \(f : \Lambda_k[n] \to X\) 为从一个角出发的态射。对 \(i = 0, \ldots, \hat k, \ldots, n\)，令 \(x_i = f(\sigma_i) \in X_{n - 1}\)。这意味着，当 \(i < j\) 且 \(i, j \not = k\) 时，有 \(d_i x_j = d_{j - 1} x_i\)。必须找到 \(x \in X_n\)，使得对 \(i = 0, \ldots, \hat k, \ldots, n\)，有 \(x_i = d_ix\)。

先证明存在 \(u \in X_n\)，使得对 \(i < k\) 有 \(d_i u = x_i\)。当 \(k = 0\) 时这是平凡的。若 \(k > 0\)，则归纳定义 \(u^r \in X_n\)，使得对 \(0 \leq i \leq r\) 有 \(d_i u^r = x_i\)。从 \(u^0 = s_0x_0\) 开始。若 \(r < k - 1\)，令 \[y^r = s_{r + 1}((d_{r + 1}u^r)^{-1}x_{r + 1}),\quad u^{r + 1} = u^r y^r.\] 简单计算表明，当 \(i \leq r\) 时，\(d_iy^r = 1\) （群 \(X_{n - 1}\) 的单位元），且 \(d_{r + 1}y^r = (d_{r + 1}u^r)^{-1}x_{r + 1}\)。因此，当 \(i \leq r + 1\) 时，\(d_iu^{r + 1} = x_i\)。最后取 \(u = u^{k - 1}\)，得到所需的 \(u\)。

接着对整数 \(r\) 归纳证明：当 \(0 \leq r \leq n - k\) 时，存在 \(x^r \in X_n\)，使得

\[d_i x^r = x_i\quad\text{对 }i < k\text{ 且 }i > n - r.\] 当 \(r = 0\) 时，从 \(x^0 = u\) 开始。若已对 \(r \leq n - k - 1\) 定义了 \(x^r\)，令 \[z^r = s_{n - r - 1}((d_{n - r}x^r)^{-1}x_{n - r}),\quad x^{r + 1} = x^rz^r\] 利用给定关系作简单计算，可知当 \(i < k\) 及 \(i > n - r\) 时 \(d_iz^r = 1\)，并且 \(d_{n - r}(z^r) = (d_{n - r}x^r)^{-1}x_{n - r}\)。从而当 \(i < k\) 及 \(i > n - r - 1\) 时， \(d_ix^{r + 1} = x_i\)。最后取 \(x = x^{n - k}\)，证明完成。

引理

设 \(f : X \to Y\) 为逐项满射的单纯阿贝尔群同态。则 \(f\) 是单纯集的 Kan 纤维化。

证明

考虑定义 08NU 中的交换实线图 \[\xymatrix{ \Lambda_k[n] \ar[r]_a \ar[d] & X \ar[d] \\ \Delta[n] \ar[r]^b \ar@{-->}[ru] & Y }\] 映射 \(a\) 对应于满足 \(d_i x_j = d_{j - 1} x_i\)（当 \(i < j\) 且 \(i, j \not = k\)）的元素 \(x_0, \ldots, \hat x_k, \ldots, x_n \in X_{n - 1}\)。映射 \(b\) 对应于元素 \(y \in Y_n\)，使得当 \(i \not = k\) 时 \(d_iy = f(x_i)\)。任务是构造 \(x \in X_n\)，使得当 \(i \not = k\) 时 \(d_ix = x_i\)，且 \(f(x) = y\)。

由于 \(f\) 逐项满射，可取 \(x \in X_n\) 使得 \(f(x) = y\)。以 \(0 = y - f(x)\) 代替 \(y\)，并对 \(i \not = k\)，以 \(x_i - d_ix\) 代替 \(x_i\)。于是可以假设 \(y = 0\)。特别地，\(f(x_i) = 0\)。换言之，可以把 \(X\) 替换为 \(\Ker(f) \subset X\)，并把 \(Y\) 替换为 \(0\)。在这种情形下，该陈述化为引理 08NZ。

引理

设 \(f : X \to Y\) 为逐项满射的单纯阿贝尔群同态，并且在伴随链复形上诱导拟同构。则 \(f\) 是单纯集的平凡 Kan 纤维化。

证明

考虑定义 08NL 中的交换实线图 \[\xymatrix{ \partial \Delta[n] \ar[r]_a \ar[d] & X \ar[d] \\ \Delta[n] \ar[r]^b \ar@{-->}[ru] & Y }\] 映射 \(a\) 对应于满足当 \(i < j\) 时 \(d_i x_j = d_{j - 1} x_i\) 的元素 \(x_0, \ldots, x_n \in X_{n - 1}\)。映射 \(b\) 对应于元素 \(y \in Y_n\)，使得 \(d_iy = f(x_i)\)。任务是构造 \(x \in X_n\)，使得 \(d_ix = x_i\) 且 \(f(x) = y\)。

由于 \(f\) 逐项满射，可取 \(x \in X_n\) 使得 \(f(x) = y\)。以 \(0 = y - f(x)\) 代替 \(y\)，并以 \(x_i - d_ix\) 代替 \(x_i\)。于是可以假设 \(y = 0\)。特别地，\(f(x_i) = 0\)。换言之，可以把 \(X\) 替换为 \(\Ker(f) \subset X\)，并把 \(Y\) 替换为 \(0\)。这是可行的，因为由《同调代数》引理 0111， \(\Ker(f)\) 的伴随链复形之同调为零，因此 \(\Ker(f) \to 0\) 在伴随链复形上诱导拟同构。

由于 \(X\) 是 Kan 复形（引理 08NZ），可取 \(x \in X_n\)，使得对 \(i = 0, \ldots, n - 1\) 有 \(d_i x = x_i\)。对 \(i = 0, \ldots, n\)，以 \(x_i - d_ix\) 代替 \(x_i\) 后，可以假设 \(x_0 = x_1 = \ldots = x_{n - 1} = 0\)。此时可见，当 \(i = 0, \ldots, n - 1\) 时，\(d_i x_n = 0\)。因此 \(x_n \in N(X)_{n - 1}\)，并属于微分 \(N(X)_{n - 1} \to N(X)_{n - 2}\) 的核。这里 \(N(X)\) 是与 \(X\) 伴随的规范化链复形，见第 0194 节。由于 \(N(X)\) 拟同构于 \(s(X)\) （引理 019C），因而是零调的，可取 \(x \in N(X_n)\)，其微分为 \(x_n\)。

这个 \(x\) 回答了引理提出的问题，证明完成。

引理

设 \(f : X \to Y\) 为单纯阿贝尔群的映射。若 \(f\) 是单纯集的同伦等价，则 \(f\) 在伴随链复形上诱导拟同构。

证明

在本证明中，当 \(Z\) 是单纯阿贝尔群时，记 \(H_n(Z) = H_n(s(Z)) = H_n(N(Z))\)，其中 \(s\) 与 \(N\) 如第 0194 节所述。以 \(\mathbf{Z}[X]\) 表示把 \(X\) 视为单纯集后生成的自由阿贝尔群， \(\mathbf{Z}[Y]\) 亦然。考虑单纯阿贝尔群的交换图 \[\xymatrix{ \mathbf{Z}[X] \ar[r]_g \ar[d] & \mathbf{Z}[Y] \ar[d] \\ X \ar[r]^f & Y }\] 由于在集合上取自由阿贝尔群是函子，水平箭头是单纯阿贝尔群的同伦等价；见引理 019Y。由引理 019T，对所有 \(n \geq 0\)，映射 \(H_n(g) : H_n(\mathbf{Z}[X]) \to H_n(\mathbf{Z}[Y])\) 都是双射。

设 \(\xi \in H_n(Y)\)。根据 \(N(Y)\) 的定义，可以用边界为零的元素 \(y \in N(Y_n)\) 表示 \(\xi\)。这意味着 \(y \in Y_n\)，并且 \(d^n_0(y) = \ldots = d^n_{n - 1}(y) = 0\)，因为 \(y \in N(Y_n)\)；并且 \(d^n_n(y) = 0\)，因为 \(y\) 的边界为零。以 \(0_n \in Y_n\) 表示零元。则 \[\tilde y = [y] - [0_n] \in (\mathbf{Z}[Y])_n\] 满足 \(d^n_0(\tilde y) = \ldots = d^n_{n - 1}(\tilde y) = 0\) 以及 \(d^n_n(\tilde y) = 0\)。因此，\(\tilde y\) 属于 \(N(\mathbf{Z}[Y])_n\)，其边界为 \(0\)；也就是说， \(\tilde y\) 决定一个映到 \(\xi\) 的类 \(\tilde \xi \in H_n(\mathbf{Z}[Y])\)。

因为 \(H_n(\mathbf{Z}[X]) \to H_n(\mathbf{Z}[Y])\) 是双射，可以把 \(\tilde \xi\) 提升为 \(H_n(\mathbf{Z}[X])\) 中的一个类。由上面的交换图可知，\(\xi\) 属于 \(H_n(X) \to H_n(Y)\) 的像。

设 \(\xi \in H_n(X)\) 映为 \(H_n(Y)\) 中的零。与上一段完全一样，可以用边界为零的元素 \(x \in N(X_n)\) 表示 \(\xi\)，即 \(d^n_0(x) = \ldots = d^n_{n - 1}(x) = d^n_n(x) = 0\)。

特别地，\([x] - [0_n]\) 是 \(N(\mathbf{Z}[X])_n\) 中边界为零的元素，从而定义 \(\xi\) 的提升 \(\tilde \xi \in H_n(\mathbf{Z}[x])\)。

\(\xi\) 映为 \(H_n(Y)\) 中的零意味着存在 \(y \in N(Y_{n + 1})\)，其边界为 \(f_n(x)\)。这意味着 \(d^{n + 1}_0(y) = \ldots = d^{n + 1}_n(y) = 0\) 且 \(d^{n + 1}_{n + 1}(y) = f(x)\)。然而，这恰好意味着 \(z = [y] - [0_{n + 1}]\) 属于 \(N(\mathbf{Z}[y])_{n + 1}\)，并且

\[g([x] - [0_n]) = [f(x)] - [0_n] = \text{下列对象的边界： }z\] 这证明 \(\tilde \xi\) 映为 \(H_n(\mathbf{Z}[y])\) 中的零。

因为 \(H_n(\mathbf{Z}[X]) \to H_n(\mathbf{Z}[Y])\) 是双射，可得 \(\tilde \xi = 0\)，从而 \(\xi = 0\)。

一个同伦等价

设 \(A\)、\(B\) 为集合，\(f : A \to B\) 为映射。考虑相应的单纯集映射 \[\xymatrix{ \text{cosk}_0(A) \ar@{=}[r] & \Big(\ldots A \times A \times A \ar[d] \ar@<2ex>[r] \ar@<0ex>[r] \ar@<-2ex>[r] & A \times A \ar[d] \ar@<1ex>[r] \ar@<-1ex>[r] \ar@<1ex>[l] \ar@<-1ex>[l] & A \Big) \ar[d] \ar@<0ex>[l] \\ \text{cosk}_0(B) \ar@{=}[r] & \Big( \ldots B \times B \times B \ar@<2ex>[r] \ar@<0ex>[r] \ar@<-2ex>[r] & B \times B \ar@<1ex>[r] \ar@<-1ex>[r] \ar@<1ex>[l] \ar@<-1ex>[l] & B \Big) \ar@<0ex>[l] }\] 见例 0182。下面引理在 \(n = 0\) 的情形说明：若 \(f\) 为满射，则这个单纯集映射是平凡 Kan 纤维化。

引理

设 \(f : V \to U\) 为单纯集态射，\(n \geq 0\) 为整数。假设：

当 \(i < n\) 时，映射 \(f_i : V_i \to U_i\) 是双射；

映射 \(f_n : V_n \to U_n\) 是满射；

典范态射 \(U \to \text{cosk}_n \text{sk}_n U\) 是同构；

典范态射 \(V \to \text{cosk}_n \text{sk}_n V\) 是同构。

则 \(f\) 是平凡 Kan 纤维化。

证明

考虑定义 08NL 中的实线图 \[\xymatrix{ \partial \Delta[k] \ar[r] \ar[d] & V \ar[d] \\ \Delta[k] \ar[r] \ar@{-->}[ru] & U }\] 。设 \(x \in U_k\) 为与下方水平箭头对应的 \(k\)-单形。若 \(k \leq n\)，则虚线箭头与 \(x\) 的提升 \(y \in V_k\) 对应；该图交换，因为 \(\Delta[k]\) 的其他非退化单形都在次数 \(< k\) 中，而 \(f\) 在这些次数中为同构。若 \(k > n\)，则由条件 (3) 和 (4)，利用骨架函子与余骨架函子的伴随性，有 \[\Mor(\Delta[k], U) = \Mor(\text{sk}_n\Delta[k], \text{sk}_nU) = \Mor(\text{sk}_n\partial\Delta[k], \text{sk}_nU) = \Mor(\partial \Delta[k], U)\] ，\(V\) 也同样，因为当 \(k > n\) 时， \(\text{sk}_n\Delta[k] = \text{sk}_n\partial\Delta[k]\)。因此，在这种情形下也得到唯一的虚线箭头嵌入该图。

设 \(A, B\) 为集合，\(f^0, f^1 : A \to B\) 为集合映射。考虑同样记号所表示的诱导映射 \(f^0, f^1 : \text{cosk}_0(A) \to \text{cosk}_0(B)\)。下面引理在 \(n = 0\) 的情形说明 \(f^0\) 同伦于 \(f^1\)。事实上，存在从 \(f^0\) 到 \(f^1\) 的同伦 \(h : \text{cosk}_0(A) \times \Delta[1] \to \text{cosk}_0(A)\)，

其分量为 \[\begin{eqnarray*} h_m : A \times \ldots \times A \times \Mor_{\Delta}([m], [1]) & \longrightarrow & B \times \ldots \times B, \\ (a_0, \ldots, a_m, \alpha) & \longmapsto & (f^{\alpha(0)}(a_0), \ldots, f^{\alpha(m)}(a_m)) \end{eqnarray*}\] 为了检验其成立，注意对映射 \(\varphi : [k] \to [m]\)，诱导映射为 \((a_0, \ldots, a_m) \mapsto (a_{\varphi(0)}, \ldots, a_{\varphi(k)})\) 以及 \(\alpha \mapsto \alpha \circ \varphi\)。因此 \(h = (h_m)_{m \geq 0}\) 显然是所需的单纯集映射。

引理

设 \(f^0, f^1 : V \to U\) 为单纯集映射，\(n \geq 0\) 为整数。假设：

当 \(i < n\) 时，映射 \(f^j_i : V_i \to U_i\)（\(j = 0, 1\)）相等；

典范态射 \(U \to \text{cosk}_n \text{sk}_n U\) 是同构；

典范态射 \(V \to \text{cosk}_n \text{sk}_n V\) 是同构。

则 \(f^0\) 同伦于 \(f^1\)。

证明

设 \(W\) 为 \(n\)-截断单纯集，其中当 \(i < n\) 时 \(W_i = U_i\)，而 \(W_n = U_n / \sim\)；这里 \(\sim\) 是由对 \(y \in V_n\) 的关系 \(f^0(y) \sim f^1(y)\) 生成的等价关系。这是有意义的，因为与 \(\varphi : [i] \to [n]\)（\(i < n\)）对应的态射 \(U(\varphi) : U_n \to U_i\) 经商映射 \(U_n \to W_n\) 分解：这是由于 \(f^0\) 和 \(f^1\) 为单纯集态射，并且在次数 \(< n\) 中相等。接着，取 \(\text{cosk}_n W\)，把 \(W\) 提升为单纯集。由引理 01A6，态射 \(g : U \to W\) 是平凡 Kan 纤维化。根据构造， \(g \circ f^0 = g \circ f^1\)；以 \(f : V \to W\) 表示该态射。考虑图 \[\xymatrix{ \partial \Delta[1] \times V \ar[rr]_{f^0, f^1} \ar[d] & & U \ar[d] \\ \Delta[1] \times V \ar[rr]^f \ar@{-->}[rru] & & W }\] 由引理 08NM，虚线箭头存在，证明完成。

证明

必须构造单纯集态射 \(h : V \times \Delta[1] \to U\)，它与 \(e_i\) 复合后恢复 \(f^i\)。 \(n = 0\) 的情形已在引理之前处理。因此可假设 \(n \geq 1\)。映射 \(\Delta[1] \to \text{cosk}_1 \text{sk}_1 \Delta[1]\) 是同构；见引理 018E。由引理 018B，因 \(n \geq 1\)， \(\Delta[1] \to \text{cosk}_n \text{sk}_n \Delta[1]\) 也是同构。因此，由引理 018C， \(V \times \Delta[1] \to \text{cosk}_n \text{sk}_n (V \times \Delta[1])\) 也是同构。换言之，为了构造同伦，只须构造合适的 \(n\)-截断单纯集态射 \(h : \text{sk}_n V \times \text{sk}_n \Delta[1] \to \text{sk}_n U\)。

对 \(k = 0, \ldots, n - 1\)，以公式 \(h_k(v, \alpha) = f^0(v) = f^1(v)\) 定义 \(h_k\)。映射 \(h_n : V_n \times \Mor_{\Delta}([n], [1]) \to U_n\) 如下定义。取 \(v \in V_n\) 与 \(\alpha : [n] \to [1]\)：

若 \(\Im(\alpha) = \{0\}\)，令 \(h_n(v, \alpha) = f^0(v)\)；

若 \(\Im(\alpha) = \{0, 1\}\)，令 \(h_n(v, \alpha) = f^0(v)\)；

若 \(\Im(\alpha) = \{1\}\)，令 \(h_n(v, \alpha) = f^1(v)\)。

设 \(\varphi : [k] \to [l]\) 为 \(\Delta_{\leq n}\) 的态射。我们将证明图 \[\xymatrix{ V_{l} \times \Mor([l], [1]) \ar[r] \ar[d] & U_{l} \ar[d] \\ V_{k} \times \Mor([k], [1]) \ar[r] & U_{k} }\] 交换。取 \(v \in V_{l}\) 和 \(\alpha : [l] \to [1]\)。交换性意味着 \[h_k(V(\varphi)(v), \alpha \circ \varphi) = U(\varphi)(h_l(v, \alpha)).\] 几乎在所有情形下，这都由 \(h_k(V(\varphi)(v), \alpha \circ \varphi) = f^0(V(\varphi)(v))\) 和 \(U(\varphi)(h_l(v, \alpha)) = U(\varphi)(f^0(v))\)，结合 \(f^0\) 为单纯集态射这一事实得出。唯一不满足这一描述的情形是：或者 (A) \(\Im(\alpha) = \{1\}\) 且 \(l = n\)，或者 (B) \(\Im(\alpha \circ \varphi) = \{1\}\) 且 \(k = n\)。还注意，对 \(V\) 的任意退化 \(n\)-单形，必有 \(f^0(v) = f^1(v)\)。因此，可把上述情形进一步缩小为： (A) \(\Im(\alpha) = \{1\}\)、\(l = n\) 且 \(v\) 非退化；以及 (B) \(\Im(\alpha \circ \varphi) = \{1\}\)、 \(k = n\) 且 \(V(\varphi)(v)\) 非退化。

在情形 (A) 中，也有 \(\Im(\alpha \circ \varphi) = \{1\}\)。因此，不仅 \(h_l(v, \alpha) = f^1(v)\)，而且 \(h_k(V(\varphi)(v), \alpha \circ \varphi) = f^1(V(\varphi)(v))\)。由于 \(f^1\) 是单纯集态射，该关系成立。

在情形 (B) 中，断定 \(l = k = n\) 且 \(\varphi\) 为双射，否则 \(V(\varphi)(v)\) 是退化的。因此 \(\varphi = \text{id}_{[n]}\)，这是平凡情形。

引理

设 \(A\)、\(B\) 为集合，并设 \(f : A \to B\) 为映射。

考虑第 \(n\) 个单形为 \[A \times_B A \times_B \ldots \times_B A\ (n + 1 \text{ 可分解）}.\] 的单纯集 \(U\)；见例 016E。若 \(f\) 满射，则态射 \(U \to B\) 是平凡 Kan 纤维化；这里 \(B\) 表示取值为 \(B\) 的常值单纯集。

证明

注意，\(U\) 嵌入笛卡尔方块 \[\xymatrix{ U \ar[d] \ar[r] & \text{cosk}_0(A) \ar[d] \\ B \ar[r] & \text{cosk}_0(B) }\] 由引理 01A6，右侧竖直箭头是平凡 Kan 纤维化；再由引理 08NN，左侧也如此。

标准预解式的准备

本节材料可见 [Godement, Appendix 1]

例

设 \(Y : \mathcal{C} \to \mathcal{C}\) 为一个范畴到自身的函子，并设给定函子变换 \[d : Y \longrightarrow \text{id}_\mathcal{C} \quad\text{且}\quad s : Y \longrightarrow Y \circ Y\] 利用这些变换，我们可以构造一个形似单纯对象的东西。具体地，对 \(n \geq 0\)，定义 \[X_n = Y \circ \ldots \circ Y \quad (n + 1\text{ 复合})\] 注意，对 \(n, m \geq 0\)，有 \(X_{n + m + 1} = X_n \circ X_m\)。接着，对 \(n \geq 0\) 和 \(0 \leq j \leq n\)，采用《范畴论》第 003D 节中的记号，定义 \[d^n_j = 1_{X_{j - 1}} \star d \star 1_{X_{n - j - 1}} : X_n \to X_{n - 1} \quad\text{且}\quad s^n_j = 1_{X_{j - 1}} \star s \star 1_{X_{n - j - 1}} : X_n \to X_{n + 1}\] 因此，\(d^n_j\)（相应地，\(s^n_j\)）是在定义 \(X_n\) 的复合中，对从左数第 \(j\) 个 \(Y\) 使用 \(d\)（相应地，\(s\)）所得的自然变换。

引理

在例 0G5M 中，若 \[1_Y = (d \star 1_Y) \circ s = (1_Y \star d) \circ s \quad\text{且}\quad (s \star 1) \circ s = (1 \star s) \circ s\] 则 \(X = (X_n, d^n_j, s^n_j)\) 是 \(\mathcal{C}\) 的自函子范畴中的单纯对象，且 \(d : X_0 = Y \to \text{id}_\mathcal{C}\) 定义一个增广。

证明

为证明所得对象是单纯对象，须验证引理 016B 的关系 (1)(a)–(e)。我们将使用简写 \[1_a = 1_{X_{a - 1}} = 1_Y \star \ldots \star 1_Y \quad (a\text{ 可分解})\] ，其中 \(a \geq 0\)。采用此记号，有 \[d^n_j = 1_j \star d \star 1_{n - j} \quad\text{且}\quad s^n_j = 1_j \star s \star 1_{n - j}\]

下文反复使用如下规则：对函子变换 \(a, a', b, b'\)，只要公式中的 \(\star\) 与 \(\circ\) 复合有定义，就有 \((a' \circ a) \star (b' \circ b) = (a' \star b') \circ (a \star b)\)；见《范畴论》引理 003F。

条件 (1)(a) 总是成立（不需要对 \(d\) 和 \(s\) 作任何假设）。事实上，设 \(0 \leq i < j \leq n + 1\)。我们须证明 \(d^n_i \circ d^{n + 1}_j = d^n_{j - 1} \circ d^{n + 1}_i\)，即 \[(1_i \star d \star 1_{n - i}) \circ (1_j \star d \star 1_{n + 1 - j}) = (1_{j - 1} \star d \star 1_{n + 1 - j}) \circ (1_i \star d \star 1_{n + 1 - i})\] 左端可改写为 \[\begin{align*} & (1_i \star d \star 1_{j - i - 1} \star 1_{n + 1 - j}) \circ (1_i \star 1_1 \star 1_{j - i - 1} \star d \star 1_{n + 1 - j}) \\ & = 1_i \star \left((d \star 1_{j - i - 1}) \circ (1_1 \star 1_{j - i - 1} \star d)\right) \star 1_{n + 1 - j} \\ & = 1_i \star d \star 1_{j - i - 1} \star d \star 1_{n + 1 - j} \end{align*}\] 第二个等号成立，是因为 \(d \circ 1_1 = d\)，且 \(1_{j - i} \circ (1_{j - i - 1} \star d) = 1_{j - i - 1} \star d\)。对右端作相同计算也得到同一结果。

验证条件 (1)(b)。设 \(0 \leq i < j \leq n - 1\)。须证明 \(d^n_i \circ s^{n - 1}_j = s^{n - 2}_{j - 1} \circ d^{n - 1}_i\)，即 \[(1_i \star d \star 1_{n - i}) \circ (1_j \star s \star 1_{n - 1 - j}) = (1_{j - 1} \star s \star 1_{n - 1 - j}) \circ (1_i \star d \star 1_{n - 1 - i})\] 通过与情形 (1)(a) 相同的计算，两端都化为 \(1_i \star d \star 1_{j - i - 1} \star s \star 1_{n - j - 1}\)。

验证条件 (1)(c)。设 \(0 \leq j \leq n - 1\)。须证明 \(\text{id} = d^n_j \circ s^{n - 1}_j = d^n_{j + 1} \circ s^{n - 1}_j\)，即 \[1_n = (1_j \star d \star 1_{n - j}) \circ (1_j \star s \star 1_{n - 1 - j}) = (1_{j + 1} \star d \star 1_{n - j - 1}) \circ (1_j \star s \star 1_{n - 1 - j})\] 容易看出，这由引理的第一个假设推出。

验证条件 (1)(d)。设 \(0 < j + 1 < i \leq n\)。须证明 \(d^n_i \circ s^{n - 1}_j = s^{n - 2}_j \circ d^{n - 1}_{i - 1}\)，即 \[(1_i \star d \star 1_{n - i}) \circ (1_j \star s \star 1_{n - 1 - j}) = (1_j \star s \star 1_{n - 2 - j}) \circ (1_{i - 1} \star d \star 1_{n - i})\] 通过与情形 (1)(a) 相同的计算，两端都化为 \(1_j \star s \star 1_{i - j - 2} \star d \star 1_{n - i}\)。

验证条件 (1)(e)。设 \(0 \leq i \leq j \leq n - 1\)。须证明 \(s^n_i \circ s^{n - 1}_j = s^n_{j + 1} \circ s^{n - 1}_i\)，即 \[(1_i \star s \star 1_{n - i}) \circ (1_j \star s \star 1_{n - 1 - j}) = (1_{j + 1} \star s \star 1_{n - 1 - j}) \circ (1_i \star s \star 1_{n - 1 - i})\] 通过与情形 (1)(a) 相同的计算，这化为 \[(s \star 1_{j - i + 1}) \circ (1_{j - i} \star s) = (1_{j - i + 1} \star s) \circ (s \star 1_{j - i})\] 若 \(j = i\)，这恰为引理的两个假设之一。若 \(j > i\)，通过与情形 (1)(a) 相似的计算，左端和右端都化为等式 \(s \star 1_{j - i - 1} \star s\)。

最后，为证明 \(d\) 定义一个增广，须证明 \(d \circ (1_1 \star d) = d \circ (d \star 1_1)\)；这是成立的，因为两端都等于 \(d \star d\)。

例

设 \(\mathcal{C}\)、\(Y\)、\(d\)、\(s\) 如例 0G5M，并满足引理 0G5N 的等式。给定函子 \(F : \mathcal{A} \to \mathcal{C}\) 和 \(G : \mathcal{C} \to \mathcal{B}\)，我们在从 \(\mathcal{A}\) 到 \(\mathcal{B}\) 的函子范畴中得到单纯对象 \(G \circ X \circ F\)，它带有到 \(G \circ F\) 的增广。

引理

设 \(\mathcal{A}\)、\(\mathcal{B}\)、\(\mathcal{C}\)、\(Y\)、\(d\)、\(s\)、\(F\)、 \(G\) 如例 0G5P。给定函子变换 \(h_0 : G \circ F \to G \circ Y \circ F\)，使得 \[1_{G \circ F} = (1_G \star d \star 1_F) \circ h_0\] 则存在单纯对象态射 \(h : G \circ F \to G \circ X \circ F\)，满足 \(\epsilon \circ h = \text{id}\)；这里 \(\epsilon : G \circ X \circ F \to G \circ F\) 是增广。

证明

以 \(u_n : Y = X_0 \to X_n\) 表示单纯对象 \(X\) 中与 \(\Delta\) 的唯一态射 \([n] \to [0]\) 对应的映射。令 \(h_n : G \circ F \to G \circ X_n \circ F\) 等于 \((1_G \star u_n \star 1_F) \circ h_0\)。

对任意范畴中的任意单纯对象 \(X = (X_n)\)， \(u =(u_n) : X_0 \to X\) 是从取值为 \(X_0\) 的常值单纯对象到 \(X\) 的态射。因此，\(h\) 是单纯对象态射，因为它是 \(1_G \star u \star 1_F\) 与 \(h_0\) 的复合。

验证 \(\epsilon \circ h = \text{id}\)。计算得 \[\epsilon_n \circ (1_G \star u_n \star 1_F) \circ h_0 = \epsilon_0 \circ h_0 = \text{id}\] 第一个等号成立是因为 \(\epsilon\) 是单纯对象态射；第二个等号成立是因为 \(\epsilon_0 = (1_G \star d \star 1_F)\)，故可应用引理陈述中的假设。

引理

设 \(\mathcal{A}\)、\(\mathcal{B}\)、\(\mathcal{C}\)、\(Y\)、\(d\)、\(s\)、\(F\)、 \(G\) 如例 0G5P。设 \(F' : \mathcal{A} \to \mathcal{C}\) 和 \(G' : \mathcal{C} \to \mathcal{B}\) 为两个函子。设 \((a_n) : G \circ X \to G' \circ X\) 为单纯对象态射，且经增广与 \(a : G \to G'\) 相容。设 \((b_n) : X \circ F \to X \circ F'\) 为单纯对象态射，且经增广与 \(b : F \to F'\) 相容。则两个映射 \[a \star (b_n), (a_n) \star b : G \circ X \circ F \to G' \circ X \circ F'\] 同伦。

证明

为证明这些态射同伦，我们构造态射 \[h_{n, i} : G \circ X_n \circ F \to G' \circ X_n \circ F'\] ，其中 \(n \geq 0\) 且 \(0 \leq i \leq n + 1\)，并使其满足引理 019L 中所述关系；另见注 019M。为满足引理 019L 的条件 (1)，必须令 \(h_{n, 0} = a \star b_n\) 和 \(h_{n , n + 1} = a_n \star b\)。因此合理的选择是 \[h_{n , i} = a_{i - 1} \star b_{n - i}\] ，其中 \(1 \leq i \leq n\)。令 \(a = a_{-1}\)、\(b = b_{-1}\)，可见

上述公式对 \(0 \leq i \leq n + 1\) 都成立。

回顾 \[d^n_j = 1_G \star 1_j \star d \star 1_{n - j} \star 1_F\] 在 \(G \circ X \circ F\) 上成立；这里采用引理 0G5N 证明中引入的记号 \(1_a = 1_{Y \circ \ldots \circ Y}\)。下文将使用其改写 \[\begin{align*} d^n_j & = d^j_j \star 1_{n - j} = d^{j + 1}_j \star 1_{n - j} = \ldots = d^{n - 1}_j \star 1_1 \\ & = 1_j \star d^{n - j}_0 = 1_{j - 1} \star d^{n - j + 1}_1 = \ldots = 1_1 \star d^{n - 1}_{j - 1} \end{align*}\] 当然，在 \(G' \circ X \circ F'\) 上的 \(d^n_j\) 也有类似公式。

验证引理 019L 的条件 (2)。设 \(i > j\)。须证明 \[d^n_j \circ (a_{i - 1} \star b_{n - i}) = (a_{i - 2} \star b_{n - i}) \circ d^n_j\] 因 \(i - 1 \geq j\)，可用 \(d^n_j\) 的一种描述把左端改写为 \[(d^{i - 1}_j \star 1_{n - i + 1}) \circ (a_{i - 1} \star b_{n - i}) = (d^{i - 1}_j \circ a_{i - 1}) \star b_{n - i} = (a_{i - 2} \circ d^{i - 1}_j) \star b_{n - i}\] 同样，右端变为 \[(a_{i - 2} \star b_{n - i}) \circ (d^{i - 1}_j \star 1_{n - i + 1}) = (a_{i - 2} \circ d^{i - 1}_j) \star b_{n - i}\] 故两端结果相同，条件 (2) 得证。

验证引理 019L 的条件 (3)。设 \(i \leq j\)。须证明 \[d^n_j \circ (a_{i - 1} \star b_{n - i}) = (a_{i - 1} \star b_{n - 1 - i}) \circ d^n_j\] 因 \(j \geq i\)，可把左端改写为 \[(1_i \star d^{n - i}_{j - i}) \circ (a_{i - 1} \star b_{n - i}) = a_{i - 1} \star (b_{n - 1 - i} \circ d^{n - i}_{j - i})\] 相同的变形表明它与右端相等。

回顾 \[s^n_j = 1_G \star 1_j \star s \star 1_{n - j} \star 1_F\] 在 \(G \circ X \circ F\) 上成立。下文将使用其改写 \[\begin{align*} s^n_j & = s^j_j \star 1_{n - j} = s^{j + 1}_j \star 1_{n - j - 1} = \ldots = s^{n - 1}_j \star 1_1 \\ & = 1_j \star s^{n - j}_0 = 1_{j - 1} \star s^{n - j + 1}_1 = \ldots = 1_1 \star s^{n - 1}_{j - 1} \end{align*}\] 当然，在 \(G' \circ X \circ F'\) 上的 \(s^n_j\) 也有类似公式。

验证引理 019L 的条件 (4)。设 \(i > j\)。须证明 \[s^n_j \circ (a_{i - 1} \star b_{n - i}) = (a_i \star b_{n - i}) \circ s^n_j\] 因 \(i - 1 \geq j\)，可把左端改写为 \[(s^{i - 1}_j \star 1_{n - i + 1}) \circ (a_{i - 1} \star b_{n - i}) = (s^{i - 1}_j \circ a_{i - 1}) \star b_{n - i} = (a_i \circ s^{i - 1}_j) \star b_{n - i}\] 同样，右端变为 \[(a_i \star b_{n - i}) \circ (s^{i - 1}_j \star 1_{n - i + 1}) = (a_i \circ s^{i - 1}_j) \star b_{n - i}\] ，正是所需等式。

验证引理 019L 的条件 (5)。设 \(i \leq j\)。须证明 \[s^n_j \circ (a_{i - 1} \star b_{n - i}) = (a_{i - 1} \star b_{n + 1 - i}) \circ s^n_j\] 与上面的论证完全相同，两端都化为 \(a_{i - 1} \star (s^{n - i}_{j - i} \circ b_{n - i}) = a_{i - 1} \star (b_{n + 1 - i} \circ s^{n - i}_{j - i})\)，故等式成立。

引理

设 \(\mathcal{C}\)、\(Y\)、\(d\)、\(s\) 如例 0G5M，并满足引理 0G5N 的等式。设 \(f : \text{id}_\mathcal{C} \to \text{id}_\mathcal{C}\) 为恒等函子的自同态。则 \(f \star 1_X, 1_X \star f : X \to X\) 是单纯对象映射，且经增广 \(\epsilon : X \to \text{id}_\mathcal{C}\) 与 \(f\) 相容。此外，\(f \star 1_X\) 与 \(1_X \star f\) 同伦。

证明

映射 \(f \star 1_X\) 的分量为 \[X_n = \text{id}_\mathcal{C} \circ X_n \xrightarrow{f \star 1_{X_n}} \text{id}_\mathcal{C} \circ X_n = X_n\] 。对 \(\mathcal{C}\) 的自函子之间的变换 \(a : F \to G\)，有 \(a \circ (f \star 1_F) = f \star a = (f \star 1_G) \circ a\)。因此 \(f \star 1_X\) 确为单纯对象态射；\(1_X \star f\) 的情形相同。

为证明这些态射同伦，我们对 \(n \geq 0\) 和 \(0 \leq i \leq n + 1\) 构造态射 \(h_{n, i} : X_n \to X_n\)，使其满足引理 019L 中所述关系；另见注 019M。可以取 \[h_{n, i} = 1_i \star f \star 1_{n + 1 - i}\] ，其中 \(1_i\) 是引理 0G5N 证明中 \(Y \circ \ldots \circ Y\) 上的恒等变换。我们有 \(h_{n, 0} = f \star 1_{X_n}\) 和 \(h_{n, n + 1} = 1_{X_n} \star f\)，这验证了第一个条件。验证其余条件时，我们使用引理 0G5R 证明中关于映射 \(d^n_j\) 与 \(s^n_j\) 的说明。

验证引理 019L 的条件 (2)。设 \(i > j\)。须证明 \[d^n_j \circ (1_i \star f \star 1_{n + 1 - i}) = (1_{i - 1} \star f \star 1_{n + 1 - i}) \circ d^n_j\] 因 \(i - 1 \geq j\)，可用 \(d^n_j\) 的一种描述把左端改写为 \[(d^{i - 1}_j \star 1_{n - i + 1}) \circ (1_i \star f \star 1_{n + 1 - i}) = d^{i - 1}_j \star f \star 1_{n + 1 - i}\] 同样，右端变为 \[(1_{i - 1} \star f \star 1_{n + 1 - i}) \circ (d^{i - 1}_j \star 1_{n - i + 1}) = d^{i - 1}_j \star f \star 1_{n + 1 - i}\] 故两端结果相同，条件 (2) 得证。

引理 019L 的条件 (3)、(4)、(5) 可完全同样地验证，采用引理 0G5R 证明中的策略即可。细节从略²。

标准预解式

本节部分材料可见 [Godement, Appendix 1] 和 [cotangent, I 1.5]。

情形

设 \(\mathcal{A}\)、\(\mathcal{S}\) 为范畴，且 \(V : \mathcal{A} \to \mathcal{S}\) 是具有左伴随 \(U : \mathcal{S} \to \mathcal{A}\) 的函子。

在这一极一般的情形下，我们将在从 \(\mathcal{A}\) 到 \(\mathcal{A}\) 的函子范畴中构造一个单纯对象 \(X\)。建议在阅读本节正文之前，先看后面给出的例子。

构造中将使用《范畴论》第 003D 节所定义的水平复合。《范畴论》第 0036 节中伴随态射³的定义为 \[d : U \circ V \to \text{id}_\mathcal{A} \quad (\text{余单位}) \quad\text{且}\quad \eta : \text{id}_\mathcal{S} \to V \circ U \quad (\text{单位})\] ，并说明复合 [08NB]\[\begin{equation} V \xrightarrow{\eta \star 1_V} V \circ U \circ V \xrightarrow{1_V \star d} V \quad\text{且}\quad U \xrightarrow{1_U \star \eta} U \circ V \circ U \xrightarrow{d \star 1_U} U \end{equation}\] 都是恒等态射。这里，为定义态射 \(\eta \star 1_V\)，我们默认把 \(V\) 与 \(\text{id}_\mathcal{S} \circ V\) 识别，而 \(1_V\) 表示 \(\text{id}_V : V \to V\)。下文将反复使用这些记号和关系。对 \(n \geq 0\)，令 \[X_n = (U \circ V)^{\circ (n + 1)} = U \circ V \circ U \circ \ldots \circ U \circ V\] 。换言之，\(X_n\) 是 \(U \circ V\) 与自身的 \((n + 1)\) 重复合。还令 \(X_{-1} = \text{id}_\mathcal{A}\)。对所有 \(n, m \geq -1\)，有 \(X_{n + m + 1} = X_n \circ X_m\)。我们将通过构造函子态射 \[d^n_j : X_n \to X_{n - 1},\quad s^n_j : X_n \to X_{n + 1}\] ，使其满足引理 0167 中所列关系，从而赋予这个函子序列以 \(\text{Fun}(\mathcal{A}, \mathcal{A})\) 中单纯对象的结构。具体地，令 \[d^n_j = 1_{X_{j - 1}} \star d \star 1_{X_{n - j - 1}} \quad\text{且}\quad s^n_j = 1_{X_{j - 1} \circ U} \star \eta \star 1_{V \circ X_{n - j - 1}}\] 最后，记 \(\epsilon_0 = d : X_0 \to X_{-1}\)。

引理

在情形 08N9 中，系统 \(X = (X_n, d^n_j, s^n_j)\) 是 \(\text{Fun}(\mathcal{A}, \mathcal{A})\) 中的单纯对象，且 \(\epsilon_0\) 定义从 \(X\) 到取值为 \(X_{-1} = \text{id}_\mathcal{A}\) 的常值单纯对象的增广 \(\epsilon\)。

证明

考虑 \(Y = U \circ V : \mathcal{A} \to \mathcal{A}\)。我们已有变换 \(d : Y = U \circ V \to \text{id}_\mathcal{A}\)。记 \[s = 1_U \star \eta \star 1_V : Y = U \circ \text{id}_\mathcal{S} \circ V \longrightarrow U \circ V \circ U \circ V = Y \circ Y\] 这使我们处于例 0G5M 的情形。由公式立即可见，上面构造的 \(X, d^n_i, s^n_i\) 与从 \(Y, d, s\) 按例 0G5M 构造的

\(X, s^n_i, s^n_i\) 一致。因此，由引理 0G5N，只须证明 \[1_Y = (d \star 1_Y) \circ s = (1_Y \star d) \circ s \quad\text{且}\quad (s \star 1) \circ s = (1 \star s) \circ s\] 第一个等号转化为 \[1_U \star 1_V = (d \star 1_U \star 1_V) \circ (1_U \star \eta \star 1_V)\] ；只要有 \(1_U = (d \star 1_U) \circ (1_U \star \eta)\)，它便成立，而后者由 (08NB) 成立。第二个等号同理。对最后一个等式，须证明 \[(1_U \star \eta \star 1_V \star 1_U \star 1_V) \circ (1_U \star \eta \star 1_V) = (1_U \star 1_V \star 1_U \star \eta \star 1_V) \circ (1_U \star \eta \star 1_V)\] 为此，只须证明 \((\eta \star 1_V \star 1_U) \circ \eta = (1_V \star 1_U \star \eta) \circ \eta\)；这是成立的，因为两端都与 \(\eta \star \eta\) 相同。

阅读下一个引理的证明之前，建议先看例 08NE 中讨论的例子，以理解该引理的目的。

引理

在情形 08N9 中，映射 \[1_V \star \epsilon : V \circ X \to V, \quad\text{且}\quad \epsilon \star 1_U : X \circ U \to U\] 都是同伦等价。

证明

如引理 08NC 的证明，令 \(Y = U \circ V\)，于是处于例 0G5M 的情形。

证明第一个同伦等价。由引理 0G5Q，为构造映射 \(h : V \to V \circ X\)，使它成为 \(1_V \star \epsilon\) 的右逆，只须构造映射 \(h_0 : V \to V \circ Y = V \circ U \circ V\)，使 \(1_V = (1_V \star d) \circ h_0\)。当然，取 \(h_0 = \eta \star 1_V\)，等式由 (08NB) 成立。为完成证明，须说明两个映射 \[(1_V \star \epsilon) \circ h, 1_V \star \text{id}_X : V \circ X \longrightarrow V \circ X\] 同伦。这立即由引理 0G5R 得出（取 \(G = G' = V\) 且 \(F = F' = \text{id}_\mathcal{S}\)）。

证明第二个同伦等价。由引理 0G5Q，为构造映射 \(h : U \to X \circ U\)，使它成为 \(\epsilon \star 1_U\) 的右逆，只须构造映射 \(h_0 : U \to Y \circ U = U \circ V \circ U\)，使 \(1_U = (d \star 1_U) \circ h_0\)。当然，取 \(h_0 = 1_U \star \eta\)，等式由 (08NB) 成立。为完成证明，须说明两个映射 \[(\epsilon \star 1_U) \circ h, \text{id}_X \star 1_U : X \circ U \longrightarrow X \circ U\] 同伦。这立即由引理 0G5R 得出（取 \(G = G' = \text{id}_\mathcal{A}\) 且 \(F = F' = U\)）。

例

设 \(R\) 为环。作为上述构造的一个例子，可取遗忘函子 \(i : \text{Mod}_R \to \textit{Sets}\)，以及把集合 \(E\) 送到由 \(E\) 生成的自由 \(R\)-模 \(R[E]\) 的函子 \(F : \textit{Sets} \to \text{Mod}_R\)。对 \(R\)-模 \(M\)，单纯 \(R\)-模 \(X(M)\) 具有如下形状： \[X(M) = \left( \ldots \xymatrix{ R[R[R[M]]] \ar@<2ex>[r] \ar@<0ex>[r] \ar@<-2ex>[r] & R[R[M]] \ar@<1ex>[r] \ar@<-1ex>[r] \ar@<1ex>[l] \ar@<-1ex>[l] & R[M] \ar@<0ex>[l] } \right)\] ，并带有到 \(M\) 的增广。我们还将证明该增广在集合层面为同伦等价。由引理 08NS、 08P2 和 08P1，这等价于要求

\(M\) 是与单纯模 \(X(M)\) 伴随的链复形唯一的非零上同调群。

例

设 \(A\) 为环，\(\textit{Alg}_A\) 为交换 \(A\)-代数的范畴。作为上述构造的一个例子，可取遗忘函子 \(i : \textit{Alg}_A \to \textit{Sets}\)，以及把集合 \(E\) 送到 \(A\) 上由 \(E\) 生成的多项式代数 \(A[E]\) 的函子 \(F : \textit{Sets} \to \textit{Alg}_A\)。（对于本例与例 0G5T 之间的记号重叠，我们深表歉意。）对 \(A\)-代数 \(B\)，单纯 \(A\)-代数 \(X(B)\) 具有如下形状： \[X(B) = \left( \ldots \xymatrix{ A[A[A[B]]] \ar@<2ex>[r] \ar@<0ex>[r] \ar@<-2ex>[r] & A[A[B]] \ar@<1ex>[r] \ar@<-1ex>[r] \ar@<1ex>[l] \ar@<-1ex>[l] & A[B] \ar@<0ex>[l] } \right)\] ，并带有到 \(B\) 的增广。我们还将证明该增广在集合层面为同伦等价。由引理 08NS、 08P2 和 08P1，这等价于要求 \(B\) 是把 \(X(B)\) 视为单纯 \(A\)-模后与之伴随的 \(A\)-模链复形唯一的非零上同调群。

例

在例 0G5T 中， \(X_n(M) = R[R[\ldots [M]\ldots]]\) 有 \(n + 1\) 层方括号。我们用 \(X_1(M)\) 的一个典型元素 \[\xi = \sum\nolimits_i r_i\left[\sum\nolimits_j r_{ij}[m_{ij}]\right]\] 描述上面构造的映射。映射 \(d_0, d_1 : R[R[M]] \to R[M]\) 由 \[d_0(\xi) = \sum\nolimits_{i, j} r_ir_{ij}[m_{ij}] \quad\text{且}\quad d_1(\xi) = \sum\nolimits_i r_i\left[\sum\nolimits_j r_{ij}m_{ij}\right].\] 给出。映射 \(s_0, s_1 : R[R[M]] \to R[R[R[M]]]\) 由 \[s_0(\xi) = \sum\nolimits_i r_i\left[\left[\sum\nolimits_j r_{ij}[m_{ij}]\right]\right] \quad\text{且}\quad s_1(\xi) = \sum\nolimits_i r_i\left[\sum\nolimits_j r_{ij}[[m_{ij}]]\right].\] 给出。

例

在例 08NA 中， \(X_n(B) = A[A[\ldots [B]\ldots]]\) 有 \(n + 1\) 层方括号。我们用一个典型元素 \[\xi = \sum\nolimits_i a_i [x_{i, 1}] \ldots [x_{i, m_i}] \in A[A[B]] = X_1(B)\] 描述上面构造的映射，其中对每个 \(i, j\)，可写 \[x_{i, j} = \sum a_{i, j, k} [b_{i, j, k, 1}] \ldots [b_{i, j, k, n_{i, j, k}}] \in A[B]\] 显然，这个记号极其可怕！为简化记号，也为了看清 \(A\)-代数映射 \(d_0, d_1 : A[A[B]] \to A[B]\) 的作用，只须考察变量 \([x]\)；这里 \[x = \sum a_k [b_{k, 1}] \ldots [b_{k, n_k}] \in A[B]\] 是一般元素。对这些变量，有 \[d_0([x]) = x = \sum a_k [b_{k, 1}] \ldots [b_{k, n_k}] \quad\text{且}\quad d_1([x]) = \left[\sum a_k b_{k, 1} \ldots b_{k, n_k}\right]\] 映射 \(s_0, s_1 : A[A[B]] \to A[A[A[B]]]\) 由 \[s_0([x]) = \left[\left[\sum a_k [b_{k, 1}] \ldots [b_{k, n_k}]\right]\right] \quad\text{且}\quad s_1([x]) = \left[\sum a_k [[b_{k, 1}]] \ldots [[b_{k, n_k}]]\right]\] 给出。

例

回到例 08NA 中讨论的例子。引理 08ND 表明，对任意环映射 \(A \to B\)，单纯环映射 \[\xymatrix{ A[A[A[B]]] \ar[d] \ar@<2ex>[r] \ar@<0ex>[r] \ar@<-2ex>[r] & A[A[B]] \ar[d] \ar@<1ex>[r] \ar@<-1ex>[r] \ar@<1ex>[l] \ar@<-1ex>[l] & A[B] \ar[d] \ar@<0ex>[l] \\ B \ar@<2ex>[r] \ar@<0ex>[r] \ar@<-2ex>[r] & B \ar@<1ex>[r] \ar@<-1ex>[r] \ar@<1ex>[l] \ar@<-1ex>[l] & B \ar@<0ex>[l] }\] 在底层单纯集上为同伦等价。此外，引理 08ND 中构造的逆映射在次数 \(n\) 上由 \[b \longmapsto [\ldots[b]\ldots]\] 给出，记号含义显然。反过来，该引理还说明，对每个集合 \(E\)，存在环的同伦等价 \[\xymatrix{ A[A[A[A[E]]]] \ar[d] \ar@<2ex>[r] \ar@<0ex>[r] \ar@<-2ex>[r] & A[A[A[E]]] \ar[d] \ar@<1ex>[r] \ar@<-1ex>[r] \ar@<1ex>[l] \ar@<-1ex>[l] & A[A[E]] \ar[d] \ar@<0ex>[l] \\ A[E] \ar@<2ex>[r] \ar@<0ex>[r] \ar@<-2ex>[r] & A[E] \ar@<1ex>[r] \ar@<-1ex>[r] \ar@<1ex>[l] \ar@<-1ex>[l] & A[E] \ar@<0ex>[l] }\] 。引理中构造的逆映射在次数 \(n\) 上由环映射 \[\sum a_{e_1,\ldots,e_p}[e_1][e_2] \ldots [e_p] \longmapsto \sum a_{e_1,\ldots,e_p}[\ldots[e_1]\ldots][\ldots[e_2]\ldots] \ldots [\ldots[e_p]\ldots]\] 给出（记号含义显然）。

文献中经常使用映射 \(h_{n + 1, i} \circ s_i : U_n \to V_{n + 1}\)，而不是映射 \(h_{n, i}\)。当然，这些映射所满足的关系不同于引理 019L 中的关系。↩︎
当 \(f\) 可逆时，只须证明 \((a_n) = 1_X\) 与 \((b_n) = f^{-1} \star 1_X \star f\) 同伦。但这由引理 0G5R 得出，因为此时 \(a = b = 1_{\text{id}_\mathcal{C}}\)。↩︎
不能以 \(\epsilon\) 表示伴随的余单位，因为我们要用 \(\epsilon\) 表示单纯对象的增广。↩︎