簇 · Stacks

引言

本章开始研究簇，并更一般地研究域上的概形。一个基本参考文献是 [EGA]。

记号

本章始终用字母 \(k\) 表示基域。

簇

在 Stacks 计划中，我们采用如下簇的定义。

定义

设 \(k\) 为域。所谓一个簇，是指 \(X\) 是域 \(k\) 上的概形，且 \(X\) 为整概形，且结构态射 \(X \to \Spec(k)\) 分离并且是有限型的。

这个定义有如下缺点。设 \(k'/k\) 是域扩张，并设 \(X\) 是域 \(k\) 上的簇。则基变换 \(X_{k'} = X \times_{\Spec(k)} \Spec(k')\) 未必是域 \(k'\) 上的簇。后续各节将以更一般的形式详细讨论这一现象。两个簇的积未必是簇（本质上这正是同一现象）。下面给出一个例子。

例

令 \(k = \mathbf{Q}\)。令 \(X = \Spec(\mathbf{Q}(i))\) 且 \(Y = \Spec(\mathbf{Q}(i))\)。则积 \(X \times_{\Spec(k)} Y\)，亦即簇 \(X\) 与 \(Y\) 的积，不是簇，因为它是可约的。（它同构于两个 \(X\) 的不交并。）

然而，如果基域是代数闭域，那么簇的积仍是簇。这可由《代数》章中的结果推出，不过那里处理的是远为一般的情形。这里也有一个简单的直接证明，我们将其写出。

引理

设 \(k\) 为代数闭域。设 \(X\), \(Y\) 为域 \(k\) 上的簇。则 \(X \times_{\Spec(k)} Y\) 是域 \(k\) 上的簇。

证明

态射 \(X \times_{\Spec(k)} Y \to \Spec(k)\) 是有限型且分离的，因为它是态射 \(X \times_{\Spec(k)} Y \to Y \to \Spec(k)\) 的复合，而这两个态射都分离且为有限型；见《态射》引理 01T4 和 01T3，以及《概形》引理 01KU。为完成证明，只需证明 \(X \times_{\Spec(k)} Y\) 是整概形。取有限仿射开覆盖 \(X = \bigcup_{i = 1, \ldots, n} U_i\)、 \(Y = \bigcup_{j = 1, \ldots, m} V_j\)。如果能证明每个 \(U_i \times_{\Spec(k)} V_j\) 都是整概形，则由《性质》引理 01OL、 01OM 和 01ON 即得结论。所以问题约化到仿射情形。

仿射情形可转化为如下代数命题：设 \(A\), \(B\) 是整环且为有限生成 \(k\)-代数，则 \(A \otimes_k B\) 是整环。反设不然，并设 \[(\sum\nolimits_{i = 1, \ldots, n} a_i \otimes b_i) (\sum\nolimits_{j = 1, \ldots, m} c_j \otimes d_j) = 0\] 在 \(A \otimes_k B\) 中成立，且两个因子在 \(A \otimes_k B\) 中均非零。不妨设 \(b_1, \ldots, b_n\) 关于 \(k\) 在 \(B\) 中线性无关，并且 \(d_1, \ldots, d_m\) 关于 \(k\) 在 \(B\) 中线性无关。当然，也可设 \(a_1\) 与 \(c_1\) 在 \(A\) 中非零。因此 \(D(a_1c_1) \subset \Spec(A)\) 非空。由 Hilbert 零点定理（《代数》定理 00FV），可找到极大理想 \(\mathfrak m \subset A\)，它包含于 \(D(a_1c_1)\)，且 \(A/\mathfrak m = k\)；这是因为 \(k\) 代数闭。用 \(\overline{a}_i, \overline{c}_j\) 表示 \(a_i, c_j\) 在 \(A/\mathfrak m = k\) 中的剩余类。上述等式变为 \[(\sum\nolimits_{i = 1, \ldots, n} \overline{a}_i b_i) (\sum\nolimits_{j = 1, \ldots, m} \overline{c}_j d_j) = 0\] ，这与 \(\mathfrak m \in D(a_1c_1)\)、 \(b_1, \ldots, b_n\) 和 \(d_1, \ldots, d_m\) 的线性无关性以及 \(B\) 是整环这一事实矛盾。

簇与有理映射

设 \(k\) 为域。设 \(X\) 和 \(Y\) 为域 \(k\) 上的簇。我们所说的 从 \(X\) 到 \(Y\) 的簇有理映射，是指按照《态射》定义 01RS 的 \(\Spec(k)\)-有理映射，其源概形为 \(X\)，目标概形为 \(Y\)。依照惯例，“簇有理映射”这一说法并不指明这些簇（共同）的基域；但对于一般概形，我们会区分有理映射和给定基上的有理映射。

本节标题所指的是下面这个基本定理。

定理

设 \(k\) 为域。由簇及占优有理映射构成的范畴等价于有限生成域扩张 \(K/k\) 构成的范畴。

证明

设 \(X\) 和 \(Y\) 为簇，其一般点分别为 \(x \in X\) 和 \(y \in Y\)。回忆，从 \(X\) 到 \(Y\) 的占优有理映射，恰好是把 \(x\) 映到 \(y\) 的那些有理映射（见《态射》定义 0A1Z 及其后的讨论）。因此，给定占优有理映射 \(X \supset U \to Y\)，便得到函数域的映射 \[k(Y) = \kappa(y) = \mathcal{O}_{Y, y} \longrightarrow \mathcal{O}_{X, x} = \kappa(x) = k(X)\] 反之，这样的 \(k\)-代数映射（由于源和目标都是域，它自动是局部的）由《态射》引理 0BX8 唯一确定一个占优有理映射。由此得到一个全忠实函子。为完成证明，只需证明每个有限生成域扩张 \(K/k\) 都在其本质像中。由于 \(K/k\) 有限生成，存在有限型 \(k\)-代数 \(A \subset K\)，使 \(K\) 是 \(A\) 的分式域。于是 \(X = \Spec(A)\) 是函数域为 \(K\) 的簇。

设 \(k\) 为域。设 \(X\) 和 \(Y\) 为域 \(k\) 上的簇。我们所说的 \(X\) 与 \(Y\) 是双有理簇，是指按照《态射》定义 01RO，\(X\) 与 \(Y\) 是 \(\Spec(k)\)-双有理的。依照惯例，“双有理簇”这一说法并不指明这些簇（共同）的基域；但对于一般不可约概形，我们会区分双有理和给定基上双有理。

引理

设 \(X\) 与 \(Y\) 是域 \(k\) 上的簇。下列条件等价：

\(X\) 与 \(Y\) 是双有理簇；

函数域 \(k(X)\) 与 \(k(Y)\) 同构；

\(X\) 与 \(Y\) 各有一个非空开集，二者作为簇同构；

存在开集 \(U \subset X\) 以及簇的双有理态射 \(U \to Y\)。

证明

这是《态射》引理 0BAD 的特殊情形。

域变换与局部环

先给出基域扩张时局部环所发生变化的一些预备结果。

引理

设 \(K/k\) 为域扩张。设 \(X\) 为域 \(k\) 上的概形，并令 \(Y = X_K\)。若 \(y \in Y\) 的像为 \(x \in X\)，则：

\(\mathcal{O}_{X, x} \to \mathcal{O}_{Y, y}\) 是忠实平坦的局部环同态；

令 \(\mathfrak p_0 = \Ker(\kappa(x) \otimes_k K \to \kappa(y))\)，则 \(\kappa(y) = \kappa(\mathfrak p_0)\)；

\(\mathcal{O}_{Y, y} = (\mathcal{O}_{X, x} \otimes_k K)_\mathfrak p\)，其中 \(\mathfrak p \subset \mathcal{O}_{X, x} \otimes_k K\) 是 \(\mathfrak p_0\) 的逆像；

有 \(\mathcal{O}_{Y, y}/\mathfrak m_x\mathcal{O}_{Y, y} = (\kappa(x) \otimes_k K)_{\mathfrak p_0}\)。

证明

不妨设 \(X = \Spec(A)\) 为仿射概形。于是 \(Y = \Spec(A \otimes_k K)\)。由于 \(K\) 在 \(k\) 上平坦，\(A \to A \otimes_k K\) 平坦。因此 \(Y \to X\) 平坦；再用《代数》引理 00HR，便得到第一项。第二项由《概形》引理 01JT 得出。现在 \(y\) 对应于素理想 \(\mathfrak q \subset A \otimes_k K\)，而 \(x\) 对应于 \(\mathfrak r = A \cap \mathfrak q\)。于是 \(\mathfrak p_0\) 是诱导映射 \(\kappa(\mathfrak r) \otimes_k K \to \kappa(\mathfrak q)\) 的核。局部环上的映射为 \[A_\mathfrak r \longrightarrow (A \otimes_k K)_\mathfrak q\] 我们可将此映射分解经过 \(A_\mathfrak r \otimes_k K = (A \otimes_k K)_{\mathfrak r}\)，得到 \[A_\mathfrak r \longrightarrow A_\mathfrak r \otimes_k K \longrightarrow (A \otimes_k K)_\mathfrak q\] 而第二个箭头是关于某个素理想的局部化。这个素理想正是 \(\mathfrak p_0\) 的逆像（略去细节），这就证明了 (3)。为证明 (4)，使用 (3)，以及局部化和 \(- \otimes_k K\) 都是正合函子这一事实。

引理

采用引理 0C4Y 的记号。设 \(X\) 在 \(k\) 上局部有限型。则 \[\dim(\mathcal{O}_{Y, y}/\mathfrak m_x\mathcal{O}_{Y, y}) = \text{trdeg}_k(\kappa(x)) - \text{trdeg}_K(\kappa(y)) = \dim(\mathcal{O}_{Y, y}) - \dim(\mathcal{O}_{X, x})\]

证明

这只是《代数》引理 0CWE 的改述。

引理

采用引理 0C4Y 的记号。设 \(X\) 在 \(k\) 上局部有限型，并且 \(\dim(\mathcal{O}_{X, x}) = \dim(\mathcal{O}_{Y, y})\)，且 \(\kappa(x) \otimes_k K\) 约化（例如，当 \(\kappa(x)/k\) 可分或 \(K/k\) 可分时）。则 \(\mathfrak m_x \mathcal{O}_{Y, y} = \mathfrak m_y\)。

证明

（括号内的断言由《代数》引理 030U 得出。）结合引理 0C4Y 与 0C4Z，可知 \(\mathcal{O}_{Y, y}/\mathfrak m_x \mathcal{O}_{Y, y}\) 的维数为 \(0\)，并且它约化。因此它是域。

几何约化概形

如果 \(X\) 是域上的约化概形，那么扩张基域之后，\(X\) 可能变成非约化的。对于几何约化概形，这种情况不会发生。

定义

设 \(k\) 为域。设 \(X\) 为 \(k\) 上的概形。

设 \(x \in X\) 为一点。称 \(X\) 在 \(x\) 处几何约化，如果对于任意域扩张 \(k'/k\) 以及任意点 \(x' \in X_{k'}\)，只要它位于 \(x\) 上方，局部环 \(\mathcal{O}_{X_{k'}, x'}\) 就约化。

称 \(X\) 在 \(k\) 上几何约化，如果 \(X\) 在 \(X\) 的每一点处都几何约化。

初看起来，这个概念可能略显神秘，但它实际上正是《代数》章中讨论的概念。下面给出一些说明其联系的基本结果。另见引理 056V；该引理说明，对域上的簇， “几何约化”等价于“一般光滑”。

引理

设 \(k\) 为域。设 \(X\) 为 \(k\) 上的概形。设 \(x \in X\)。下列条件等价：

\(X\) 在 \(x\) 处几何约化；

环 \(\mathcal{O}_{X, x}\) 在 \(k\) 上几何约化（见《代数》定义 030S）。

证明

设 (1) 成立。这尤其说明 \(\mathcal{O}_{X, x}\) 约化。设 \(k'/k\) 为有限纯不可分域扩张。考虑环 \(\mathcal{O}_{X, x} \otimes_k k'\)。由《代数》引理 0BRA，它的谱与 \(\mathcal{O}_{X, x}\) 的谱相同，故它也是局部环（《代数》引理 00E9）。因此存在唯一的点 \(x' \in X_{k'}\) 位于 \(x\) 上方，并且 \(\mathcal{O}_{X_{k'}, x'} \cong \mathcal{O}_{X, x} \otimes_k k'\)；见引理 0C4Y。由假设，这是约化环。因此，由《代数》引理 030V 推出 (2)。

设 (2) 成立。设 \(k'/k\) 为域扩张。由于 \(\Spec(k') \to \Spec(k)\) 满射，故 \(X_{k'} \to X\) 也满射（《态射》引理 01S1）。设 \(x' \in X_{k'}\) 是位于 \(x\) 上方的任意点。由引理 0C4Y，局部环 \(\mathcal{O}_{X_{k'}, x'}\) 是环 \(\mathcal{O}_{X, x} \otimes_k k'\) 的局部化。因此由假设它约化，(1) 得证。

这个概念在特征零情形没有新的内容。

引理

设 \(X\) 是完全域 \(k\)（例如，\(k\) 的特征为零）上的概形。设 \(x \in X\)。若 \(\mathcal{O}_{X, x}\) 约化，则 \(X\) 在 \(x\) 处几何约化。若 \(X\) 约化，则 \(X\) 在 \(k\) 上几何约化。

证明

第一条断言由引理 035W、《代数》引理 030U 以及完全域的定义（《代数》定义 030Y）得出。第二条断言由第一条得出。

引理

设 \(k\) 为特征 \(p > 0\) 的域。设 \(X\) 为 \(k\) 上的概形。下列条件等价：

\(X\) 几何约化；

\(X_{k'}\) 对每个域扩张 \(k'/k\) 都约化；

\(X_{k'}\) 对每个有限纯不可分域扩张 \(k'/k\) 都约化；

\(X_{k^{1/p}}\) 约化；

\(X_{k^{perf}}\) 约化；

\(X_{\bar k}\) 约化；

对每个仿射开集 \(U \subset X\)，环 \(\mathcal{O}_X(U)\) 都几何约化（见《代数》定义 030S）。

证明

设 (1) 成立。于是，对每个域扩张 \(k'/k\) 和每个点 \(x' \in X_{k'}\)，\(X_{k'}\) 在 \(x'\) 处的局部环都约化。换言之， \(X_{k'}\) 约化。因此 (2) 成立。

设 (2) 成立。令 \(U \subset X\) 为仿射开集。于是，对每个域扩张 \(k'/k\)，概形 \(X_{k'}\) 都约化，因而 \(U_{k'} = \Spec(\mathcal{O}(U)\otimes_k k')\) 约化，继而 \(\mathcal{O}(U)\otimes_k k'\) 约化（见《性质》第 01OJ 节）。换言之，\(\mathcal{O}(U)\) 几何约化，故 (7) 成立。

设 (7) 成立。对任意域扩张 \(k'/k\)，基变换 \(X_{k'}\) 可由环 \(\mathcal{O}_X(U) \otimes_k k'\) 的谱粘合而得，其中 \(U\) 遍历 \(X\) 中的仿射开集（见《概形》第 01JO 节）。因此 \(X_{k'}\) 约化，故 (1) 成立。

这证明了 (1)、(2) 与 (7) 等价。它们又等价于 (3)、(4)、(5) 与 (6)，因为可以对 \(\mathcal{O}_X(U)\) 应用《代数》引理，其中 \(U \subset X\) 为仿射开集： 030V。

引理

设 \(k\) 为特征 \(p > 0\) 的域。设 \(X\) 为 \(k\) 上的概形。设 \(x \in X\)。下列条件等价：

\(X\) 在 \(x\) 处几何约化；

局部环 \(\mathcal{O}_{X_{k'}, x'}\) 约化，其中 \(k'\) 是 \(k\) 的任一有限纯不可分域扩张，且 \(x' \in X_{k'}\) 是位于 \(x\) 上方的唯一点；

局部环 \(\mathcal{O}_{X_{k^{1/p}}, x'}\) 约化，其中 \(x' \in X_{k^{1/p}}\) 是位于 \(x\) 上方的唯一点；

局部环 \(\mathcal{O}_{X_{k^{perf}}, x'}\) 约化，其中 \(x' \in X_{k^{perf}}\) 是位于 \(x\) 上方的唯一点。

证明

注意，若 \(k'/k\) 纯不可分，则 \(X_{k'} \to X\) 在底拓扑空间上诱导同胚；见《代数》引理 0BRA。这说明了命题中 \(x'\) 位于 \(x\) 上方时的唯一性。此外，在这种情况下， \(\mathcal{O}_{X_{k'}, x'} = \mathcal{O}_{X, x} \otimes_k k'\)。所以本引理由上面的引理 035W 以及《代数》引理 030V 得出。

引理

设 \(k\) 为域。设 \(X\) 为 \(k\) 上的概形。设 \(k'/k\) 为域扩张。设 \(x \in X\) 为一点，并设 \(x' \in X_{k'}\) 为位于 \(x\) 上方的一点。下列条件等价：

\(X\) 在 \(x\) 处几何约化；

\(X_{k'}\) 在 \(x'\) 处几何约化。

特别地，\(X\) 在 \(k\) 上几何约化，当且仅当 \(X_{k'}\) 在 \(k'\) 上几何约化。

证明

显然 (1) 蕴含 (2)。设 (2) 成立。令 \(k''/k\) 为有限纯不可分域扩张，并令 \(x'' \in X_{k''}\) 为位于 \(x\) 上方的一点（事实上，它是唯一的）。选取 \(k'''/k\)，使它是 \(k''/k\) 与 \(k'/k\) 的公共域扩张；见《域》引理 0H7K。选取一点 \(x''' \in X_{k'''}\)，它同时位于 \(x'\) 与 \(x''\) 上方。考虑局部环映射 \[\mathcal{O}_{X_{k''}, x''} \longrightarrow \mathcal{O}_{X_{k'''}, x'''}.\] 这是平坦局部环同态，因而忠实平坦。由 (2)，右侧局部环约化。于是由《代数》引理 033F 可知 \(\mathcal{O}_{X_{k''}, x''}\) 约化。因此，由引理 035Y 可知 \(X\) 在 \(x\) 处几何约化。

引理

设 \(k\) 为域。设 \(X\)、\(Y\) 为 \(k\) 上的概形。

若 \(X\) 在 \(x\) 处几何约化，且 \(Y\) 约化，则 \(X \times_k Y\) 在每个位于 \(x\) 上方的点处都约化。

若 \(X\) 在 \(k\) 上几何约化，且 \(Y\) 约化，则 \(X \times_k Y\) 约化。

若 \(X\) 与 \(Y\) 在 \(k\) 上几何约化，则 \(X \times_k Y\) 几何约化。

若 \(k\) 为完全域，且 \(X\) 与 \(Y\) 约化，则 \(X \times_k Y\) 约化。

此处补充更多内容。

证明

为证明 (1)，结合引理 035W 与《代数》引理 034N。为证明 (2)，结合引理 035X 与《代数》引理 034N。为证明 (3)，注意 \((X \times_k Y)_{\overline{k}} = X_{\overline{k}} \times_{\overline{k}} Y_{\overline{k}}\)，并使用 (2) 及引理 035X。为证明 (4)，结合使用 (3) 与引理 020I。

引理

设 \(k\) 为域。设 \(X\) 为 \(k\) 上的概形。

若 \(x' \leadsto x\) 是一次特化，且 \(X\) 在 \(x\) 处几何约化，则 \(X\) 在 \(x'\) 处几何约化。

设 \(x \in X\) 满足：(a) \(\mathcal{O}_{X, x}\) 约化；并且 (b) 对每个特化 \(x' \leadsto x\)，若 \(x'\) 是 \(X\) 的一个不可约分支的泛点，则 \(X\) 在 \(x'\) 处几何约化。那么 \(X\) 在 \(x\) 处几何约化。

若 \(X\) 约化，且在 \(X\) 的不可约分支的所有泛点处都几何约化，则 \(X\) 几何约化。

若 \(X\) 是 \(k\) 上的簇，则 \(X\) 几何约化，当且仅当其函数域是 \(k\) 的可分扩张。

证明

第 (1) 部分由引理 035W 及以下事实得出：若 \(A\) 为几何约化 \(k\)-代数，则 \(S^{-1}A\) 是几何约化 \(k\)-代数，其中 \(S\) 是 \(A\) 的任意乘法子集；见《代数》引理 04KN。

令 \(A = \mathcal{O}_{X, x}\)。第 (2) 部分的假设 (a) 与 (b) 蕴含 \(A\) 约化，并且 \(A_{\mathfrak q}\) 在 \(k\) 上几何约化，其中 \(\mathfrak q\) 遍历 \(A\) 的极小素理想。因此 \(A\) 在 \(k\) 上几何约化；见《代数》引理 07K2。由此，\(X\) 在 \(x\) 处几何约化；见引理 035W。

第 (3) 部分显然由第 (2) 部分得出。最后，第 (4) 部分由第 (3) 部分及《代数》引理 030W 得出。

引理

设 \(k\) 为域。设 \(X\) 为 \(k\) 上的概形。设 \(x \in X\)。假设 \(X\) 局部 Noether，且在 \(x\) 处几何约化。那么存在开邻域 \(U \subset X\)，它包含 \(x\)，并且在 \(k\) 上几何约化。

证明

假设 \(X\) 局部 Noether，且在 \(x\) 处几何约化。由《性质》引理 0BX3，可以找到仿射开邻域 \(U \subset X\)，它包含 \(x\)，并且使得 \(R = \mathcal{O}_X(U) \to \mathcal{O}_{X, x}\) 为单射。由引理 035W，假设意味着 \(\mathcal{O}_{X, x}\) 在 \(k\) 上几何约化。由《代数》引理 030T，这蕴含 \(R\) 在 \(k\) 上几何约化，进而蕴含 \(U\) 几何约化。

例

设 \(k = \mathbf{F}_p(s, t)\)，即素域的纯超越扩张。考虑簇 \(X = \Spec(k[x, y]/(1 + sx^p + ty^p))\)。设 \(k'/k\) 为任一扩张，使 \(s\) 与 \(t\) 都有 \(p\) 次根，且这些根属于 \(k'\)。那么基变换 \(X_{k'}\) 非约化。事实上，环 \(k'[x, y]/(1 + s x^p + ty^p)\) 包含元素 \(1 + s^{1/p}x + t^{1/p}y\)；它的 \(p\) 次幂为零，但它本身不为零（因为理想 \((1 + sx^p + ty^p)\) 显然不含任何次数 \(< p\) 的非零元素）。

引理

设 \(k\) 为域。设 \(X \to \Spec(k)\) 局部有限型。假设 \(X\) 只有有限多个不可约分支。那么存在有限纯不可分扩张 \(k'/k\)，使得 \((X_{k'})_{red}\) 在 \(k'\) 上几何约化。

证明

为证明本引理，可以将 \(X\) 替换为其约化 \(X_{red}\)。因此可以假设 \(X\) 约化且在 \(k\) 上局部有限型。令 \(x_1, \ldots, x_n \in X\) 为 \(X\) 的各不可约分支的泛点。注意，对每个纯不可分代数扩张 \(k'/k\)，态射 \((X_{k'})_{red} \to X\) 都是同胚；见《代数》引理 0BRA。因此，点 \(x'_1, \ldots, x'_n\)（分别位于 \(x_1, \ldots, x_n\) 上方）是 \((X_{k'})_{red}\) 的各不可约分支的泛点。由于 \(X\) 约化，局部环 \(K_i = \mathcal{O}_{X, x_i}\) 都是域；见《代数》引理 00EU。由于 \(X\) 在 \(k\) 上局部有限型，域扩张 \(K_i/k\) 都有限生成。最后，局部环 \(\mathcal{O}_{(X_{k'})_{red}, x'_i}\) 是域 \((K_i \otimes_k k')_{red}\)。由《代数》引理 030R，可以找到有限纯不可分扩张 \(k'/k\)，使得 \((K_i \otimes_k k')_{red}\) 都是 \(k'\) 的可分域扩张。特别地，由《代数》引理 030W，每个 \((K_i \otimes_k k')_{red}\) 都在 \(k'\) 上几何约化。此时，引理 04KS 的第 (3) 部分蕴含 \((X_{k'})_{red}\) 几何约化。

几何连通概形

如果 \(X\) 是域上的连通概形，那么扩张基域之后，\(X\) 可能变成不连通的。对于几何连通概形，这种情况不会发生。

定义

设 \(X\) 为域 \(k\) 上的概形。称 \(X\) 在 \(k\) 上几何连通，如果概形 \(X_{k'}\) 对每个域 \(k'\)（作为 \(k\) 的扩张）都连通。

按照约定，连通拓扑空间非空；因此更不必说，几何连通概形非空。下面给出一个并非几何连通的簇的例子。

例

设 \(k = \mathbf{Q}\)。概形 \(X = \Spec(\mathbf{Q}(i))\) 是 \(\Spec(\mathbf{Q})\) 上的簇。但是基变换 \(X_{\mathbf{C}}\) 是 \(\mathbf{C} \otimes_{\mathbf{Q}} \mathbf{Q}(i) \cong \mathbf{C} \times \mathbf{C}\) 的谱，也就是两个 \(\Spec(\mathbf{C})\) 的不交并。因此，这确实是一个非几何连通簇的例子。

引理

设 \(X\) 为域 \(k\) 上的概形。设 \(k'/k\) 为域扩张。那么 \(X\) 在 \(k\) 上几何连通，当且仅当 \(X_{k'}\) 在 \(k'\) 上几何连通。

证明

如果 \(X\) 在 \(k\) 上几何连通，那么显然 \(X_{k'}\) 在 \(k'\) 上几何连通。反之，对任意域扩张 \(k''/k\)，存在公共域扩张 \(k'''/k'\) 与 \(k'''/k''\)；见《域》引理 0H7K。由于态射 \(X_{k'''} \to X_{k''}\) 满射（它是域的谱之间满射的基变换）， \(X_{k'''}\) 的连通性蕴含 \(X_{k''}\) 的连通性。因此，如果 \(X_{k'}\) 在 \(k'\) 上几何连通，那么 \(X\) 在 \(k\) 上几何连通。

引理

设 \(k\) 为域。设 \(X\)、\(Y\) 为 \(k\) 上的概形。假设 \(X\) 在 \(k\) 上几何连通。那么投影态射 \[p : X \times_k Y \longrightarrow Y\] 诱导连通分支之间的双射。

证明

\(p\) 的概形论纤维连通，因为它们是几何连通概形 \(X\) 沿域扩张的基变换。此外，概形论纤维与集合论纤维同胚；见《概形》引理 01K1。由《态射》引理 0383，映射 \(p\) 是开的。因此可以应用《拓扑学》引理 0378 得出结论。

引理

设 \(k\) 为域。设 \(A\) 为 \(k\)-代数。那么 \(X = \Spec(A)\) 在 \(k\) 上几何连通，当且仅当 \(A\) 在 \(k\) 上几何连通（见《代数》定义 037T）。

证明

这直接来自定义。

引理

设 \(k'/k\) 为域扩张。设 \(X\) 为 \(k\) 上的概形。假设 \(k\) 可分代数闭。那么态射 \(X_{k'} \to X\) 诱导连通分支之间的双射。特别地，\(X\) 在 \(k\) 上几何连通，当且仅当 \(X\) 连通。

证明

由于 \(k\) 可分代数闭，可知 \(k'\) 在 \(k\) 上几何连通；见《代数》引理 037U。因此，由上面的引理 0386， \(Z = \Spec(k')\) 在 \(k\) 上几何连通。由于 \(X_{k'} = Z \times_k X\)，结论是引理 0385 的特殊情形。

引理

设 \(k\) 为域。设 \(X\) 为 \(k\) 上的概形。设 \(\overline{k}\) 为 \(k\) 的可分代数闭包。那么 \(X\) 几何连通，当且仅当基变换 \(X_{\overline{k}}\) 连通。

证明

假设 \(X_{\overline{k}}\) 连通。设 \(k'/k\) 为域扩张。存在域扩张 \(\overline{k}'/\overline{k}\)，使得 \(k'\) 嵌入 \(\overline{k}'\)，并且该嵌入是 \(k\)-扩张之间的嵌入。由引理 0363 可知 \(X_{\overline{k}'}\) 连通。由于 \(X_{\overline{k}'} \to X_{k'}\) 满射，可知 \(X_{k'}\) 连通，如所需。

引理

设 \(k\) 为域。设 \(X\) 为 \(k\) 上的概形。设 \(A\) 为 \(k\)-代数。设 \(V \subset X_A\) 为拟紧开集。那么存在有限生成 \(k\)-子代数 \(A' \subset A\) 以及拟紧开集 \(V' \subset X_{A'}\)，使得 \(V = V'_A\)。

证明

顺带指出，若 \(X\) 还拟分离，则该结论由《极限》引理 01Z4 得出。令 \(U_1, \ldots, U_n\) 为 \(X\) 的有限多个仿射开集，使得 \(V \subset \bigcup U_{i, A}\)。记 \(U_i = \Spec(R_i)\)。由于 \(V\) 拟紧，可以找到有限多个 \(f_{ij} \in R_i \otimes_k A\)，\(j = 1, \ldots, n_i\)，使得 \(V = \bigcup_i \bigcup_{j = 1, \ldots, n_i} D(f_{ij})\)，其中 \(D(f_{ij}) \subset U_{i, A}\) 是相应的标准开集。（我们并未断言 \(V \cap U_{i, A}\) 是 \(D(f_{ij})\)（\(j = 1, \ldots, n_i\)）的并。）显然可以找到有限生成 \(k\)-子代数 \(A' \subset A\)，使得 \(f_{ij}\) 是某个 \(f_{ij}' \in R_i \otimes_k A'\) 的像。置 \(V' = \bigcup D(f_{ij}')\)；这是 \(X_{A'}\) 的拟紧开集。用 \(\pi : X_A \to X_{A'}\) 表示典范态射。有 \(\pi(V) \subset V'\)，因为 \(\pi(D(f_{ij})) \subset D(f_{ij}')\)。若 \(x \in X_A\) 且 \(\pi(x) \in V'\)，则 \(\pi(x) \in D(f_{ij}')\) 对某个 \(i, j\) 成立；于是 \(x \in D(f_{ij})\)，因为 \(f_{ij}'\) 映到 \(f_{ij}\)。因此 \(V = \pi^{-1}(V')\)，如所需。

设 \(k\) 为域。设 \(\overline{k}/k\) 为（可能无限的）Galois 扩张。例如， \(\overline{k}\) 可以是 \(k\) 的可分代数闭包。对任意 \(\sigma \in \text{Gal}(\overline{k}/k)\)，得到相应的自同构 \(\Spec(\sigma) : \Spec(\overline{k}) \longrightarrow \Spec(\overline{k})\)。注意 \(\Spec(\sigma) \circ \Spec(\tau) = \Spec(\tau \circ \sigma)\)。因此得到作用 \[\text{Gal}(\overline{k}/k)^{opp} \times \Spec(\overline{k}) \longrightarrow \Spec(\overline{k})\] 即反群在概形 \(\Spec(\overline{k})\) 上的作用。

设 \(X\) 为 \(k\) 上的概形。按照定义， \(X_{\overline{k}} = \Spec(\overline{k}) \times_{\Spec(k)} X\)，所以以上作用诱导典范作用 [038A]\[\begin{equation} \text{Gal}(\overline{k}/k)^{opp} \times X_{\overline{k}} \longrightarrow X_{\overline{k}}. \end{equation}\]

引理

设 \(k\) 为域。设 \(X\) 为 \(k\) 上的概形。设 \(\overline{k}\) 为 \(k\) 的（可能无限的）Galois 扩张。设 \(V \subset X_{\overline{k}}\) 为拟紧开集。那么：

存在有限子扩张 \(\overline{k}/k'/k\) 以及拟紧开集 \(V' \subset X_{k'}\)，使得 \(V = (V')_{\overline{k}}\)；

存在开子群 \(H \subset \text{Gal}(\overline{k}/k)\)，使得 \(\sigma(V) = V\) 对所有 \(\sigma \in H\) 都成立。

证明

由引理 0388，存在有限子扩张 \(k'/k \subset \overline{k}\) 以及开集 \(V' \subset X_{k'}\)，其拉回为 \(V\)。这证明了 (1)。由于 \(\text{Gal}(\overline{k}/k')\) 是 \(\text{Gal}(\overline{k}/k)\) 的开子群，第 (2) 部分也很清楚。

引理

设 \(k\) 为域。设 \(\overline{k}/k\) 为（可能无限的）Galois 扩张。设 \(X\) 为 \(k\) 上的概形。设 \(\overline{T} \subset X_{\overline{k}}\) 满足：

\(\overline{T}\) 是 \(X_{\overline{k}}\) 的闭子集；

对每个 \(\sigma \in \text{Gal}(\overline{k}/k)\)，都有 \(\sigma(\overline{T}) = \overline{T}\)。

那么存在闭子集 \(T \subset X\)，它在 \(X_{\overline{k}}\) 中的逆像是 \(\overline{T}\)。

证明

本引理立即归约到 \(X = \Spec(A)\) 为仿射的情形。在这种情况下，令 \(\overline{I} \subset A \otimes_k \overline{k}\) 为对应于 \(\overline{T}\) 的根理想。假设 (2) 蕴含 \(\sigma(\overline{I}) = \overline{I}\) 对所有 \(\sigma \in \text{Gal}(\overline{k}/k)\) 都成立。取 \(x \in \overline{I}\)。存在有限 Galois 扩张 \(k'/k\)，它包含于 \(\overline{k}\) 中，并且使得 \(x \in A \otimes_k k'\)。置 \(G = \text{Gal}(k'/k)\)。置 \[P(T) = \prod\nolimits_{\sigma \in G} (T - \sigma(x)) \in (A \otimes_k k')[T]\] 显然，\(P(T)\) 首一，并且它实际上是 \((A \otimes_k k')^G[T] = A[T]\) 的元素（由基本 Galois 理论）。此外，若写成 \(P(T) = T^d + a_1T^{d - 1} + \ldots + a_d\)，则可见 \(a_i \in I := A \cap \overline{I}\)。结合 \(P(x) = 0\) 与 \(a_i \in I\)，得到 \(x^d = - a_1 x^{d - 1} - \ldots - a_d \in I(A \otimes_k \overline{k})\)。因此 \(x\) 属于 \(I(A \otimes_k \overline{k})\) 的根。故 \(\overline{I}\) 是 \(I(A \otimes_k \overline{k})\) 的根，而置 \(T = V(I)\) 便得到一个解。

引理

设 \(k\) 为域。设 \(X\) 为 \(k\) 上的概形。下列条件等价：

\(X\) 几何连通；

对每个有限可分域扩张 \(k'/k\)，概形 \(X_{k'}\) 都连通。

证明

由定义立即可知 (1) 蕴含 (2)。假设 \(X\) 不几何连通。设 \(k \subset \overline{k}\) 为 \(k\) 的可分代数闭包。由引理 0387，可知 \(X_{\overline{k}}\) 不连通。设 \(X_{\overline{k}} = \overline{U} \amalg \overline{V}\)，其中 \(\overline{U}\) 与 \(\overline{V}\) 均开、闭且非空。

设 \(W \subset X\) 是任意拟紧开集。那么 \(W_{\overline{k}} \cap \overline{U}\) 与 \(W_{\overline{k}} \cap \overline{V}\) 在 \(W_{\overline{k}}\) 中都既开又闭。特别地，\(W_{\overline{k}} \cap \overline{U}\) 与 \(W_{\overline{k}} \cap \overline{V}\) 都拟紧，并且由引理 04KU， \(W_{\overline{k}} \cap \overline{U}\) 与 \(W_{\overline{k}} \cap \overline{V}\) 都可在一个有限子扩张上定义，并且在 \(\text{Gal}(\overline{k}/k)\) 的一个开子群下不变。下文将不再另行说明而直接使用这一点。

选取拟紧开集 \(W_0 \subset X\)，使 \(W_{0, \overline{k}} \cap \overline{U}\) 与 \(W_{0, \overline{k}} \cap \overline{V}\) 都非空。选取有限子扩张 \(\overline{k}/k'/k\) 以及分解 \(W_{0, k'} = U_0' \amalg V_0'\)，其两项都是既开又闭的子集，并且使得 \(W_{0, \overline{k}} \cap \overline{U} = (U'_0)_{\overline{k}}\) 且 \(W_{0, \overline{k}} \cap \overline{V} = (V'_0)_{\overline{k}}\)。令 \(H = \text{Gal}(\overline{k}/k') \subset \text{Gal}(\overline{k}/k)\)。特别地， \(\sigma(W_{0, \overline{k}} \cap \overline{U}) = W_{0, \overline{k}} \cap \overline{U}\)，对 \(\overline{V}\) 也类似。

如上选定 \(W_0\)、\(k'\) 后，对每个拟紧开集 \(W \subset X\)，置 \[U_W = \bigcap\nolimits_{\sigma \in H} \sigma(W_{\overline{k}} \cap \overline{U}), \quad V_W = \bigcup\nolimits_{\sigma \in H} \sigma(W_{\overline{k}} \cap \overline{V}).\] 由于 \(W_{\overline{k}} \cap \overline{U}\) 与 \(W_{\overline{k}} \cap \overline{V}\) 在 \(\text{Gal}(\overline{k}/k)\) 的一个开子群下固定，上面的并与交都是有限的。因此 \(U_W\) 与 \(V_W\) 都既开又闭。此外，按构造有 \(W_{\bar k} = U_W \amalg V_W\)。

我们断言，若 \(W \subset W' \subset X\) 为拟紧开集，则 \(W_{\overline{k}} \cap U_{W'} = U_W\) 且 \(W_{\overline{k}} \cap V_{W'} = V_W\)。验证从略。因此，在定义 \(U = \bigcup_{W \subset X} U_W\) 与 \(V = \bigcup_{W \subset X} V_W\) 后，得到 \(X_{\overline{k}} = U \amalg V\)，这是既开又闭子集的不交并。显然 \(V\) 非空，因为它是（局部地）取并构造出的。另一方面，\(U\) 非空，因为按构造它包含 \(W_0 \cap \overline{U}\)。最后， \(U, V \subset X_{\bar k}\) 按构造闭且 \(H\)-不变。因此，由引理 038B，有 \(U = (U')_{\bar k}\) 且 \(V = (V')_{\bar k}\)，其中 \(U', V' \subset X_{k'}\) 为闭子集。显然 \(X_{k'} = U' \amalg V'\)，由此可见 \(X_{k'}\) 不连通，如所需。

引理

设 \(k\) 为域。设 \(\overline{k}/k\) 为（可能无限的）Galois 扩张。设 \(f : T \to X\) 为 \(k\) 上概形的态射。假设 \(T_{\overline{k}}\) 连通且 \(X_{\overline{k}}\) 不连通。那么 \(X\) 不连通。

证明

写成 \(X_{\overline{k}} = \overline{U} \amalg \overline{V}\)，其中 \(\overline{U}\) 与 \(\overline{V}\) 既开又闭。记 \(\overline{f} : T_{\overline{k}} \to X_{\overline{k}}\) 为 \(f\) 的基变换。由于 \(T_{\overline{k}}\) 连通，可知 \(T_{\overline{k}}\) 包含于 \(\overline{f}^{-1}(\overline{U})\) 或 \(\overline{f}^{-1}(\overline{V})\) 二者之一。不妨设 \(T_{\overline{k}} \subset \overline{f}^{-1}(\overline{U})\)。

固定拟紧开集 \(W \subset X\)。存在有限 Galois 子扩张 \(\overline{k}/k'/k\)，使得 \(\overline{U} \cap W_{\overline{k}}\) 与 \(\overline{V} \cap W_{\overline{k}}\) 来自拟紧开集 \(U', V' \subset W_{k'}\)。于是也有 \(W_{k'} = U' \amalg V'\)。考虑 \[U'' = \bigcap\nolimits_{\sigma \in \text{Gal}(k'/k)} \sigma(U'), \quad V'' = \bigcup\nolimits_{\sigma \in \text{Gal}(k'/k)} \sigma(V').\] 它们 Galois 不变、既开又闭，并且 \(W_{k'} = U'' \amalg V''\)。由引理 038B，得到既开又闭的子集 \(U_W, V_W \subset W\)，使得 \(U'' = (U_W)_{k'}\)、\(V'' = (V_W)_{k'}\) 且 \(W = U_W \amalg V_W\)。

我们断言，若 \(W \subset W' \subset X\) 为拟紧开集，则 \(W \cap U_{W'} = U_W\) 且 \(W \cap V_{W'} = V_W\)。验证从略。因此，在定义 \(U = \bigcup_{W \subset X} U_W\) 与 \(V = \bigcup_{W \subset X} V_W\) 后，得到 \(X = U \amalg V\)。显然 \(V\) 非空，因为它是（局部地）取并构造出的。另一方面，\(U\) 非空，因为按构造它包含 \(f(T)\)。

引理

设 \(k\) 为域。设 \(T \to X\) 为 \(k\) 上概形的态射。假设 \(T\) 几何连通且 \(X\) 连通。那么 \(X\) 几何连通。

证明

这是引理 038C 的改述。

引理

设 \(k\) 为域。设 \(X\) 为 \(k\) 上的概形。假设 \(X\) 连通，并且有一点 \(x\)，使得 \(k\) 在 \(\kappa(x)\) 中代数闭。那么 \(X\) 几何连通。特别地，如果 \(X\) 有 \(k\)-有理点且 \(X\) 连通，那么 \(X\) 几何连通。

证明

置 \(T = \Spec(\kappa(x))\)。设 \(\overline{k}\) 为 \(k\) 的可分代数闭包。关于 \(\kappa(x)/k\) 的假设蕴含 \(T_{\overline{k}}\) 不可约；见《代数》引理 037P。因此，由引理 056R 可知 \(X_{\overline{k}}\) 连通。由引理 0387，可知 \(X\) 几何连通。

引理

设 \(K/k\) 为域扩张。设 \(X\) 为 \(k\) 上的概形。对每个连通分支 \(T\) （属于 \(X\)），逆像 \(T_K \subset X_K\) 是 \(X_K\) 的若干连通分支之并。

证明

这是纯拓扑的陈述。记 \(p : X_K \to X\) 为投影态射。设 \(T \subset X\) 为 \(X\) 的一个连通分支。设 \(t \in T_K = p^{-1}(T)\)。设 \(C \subset X_K\) 为包含 \(t\) 的连通分支。那么 \(p(C)\) 是 \(X\) 的一个与 \(T\) 相交的连通子集，故 \(p(C) \subset T\)。因此 \(C \subset T_K\)。

下面的引理将被后面更强的引理 04PZ 所取代。

引理

设 \(K/k\) 为有限域扩张，并设 \(X\) 为 \(k\) 上的概形。用 \(p : X_K \to X\) 表示投影态射。对每个连通分支 \(T\)（属于 \(X_K\)），像 \(p(T)\) 是 \(X\) 的一个连通分支。

证明

像 \(p(T)\) 包含于某个连通分支 \(X'\) 中，而该分支属于 \(X\)。以任意方式把 \(X'\) 视为 \(X\) 的闭子概形。那么 \(T\) 也是 \(X'_K = p^{-1}(X')\) 的连通分支，因此可以假设 \(X\) 连通。态射 \(p\) 是开映射（《态射》引理 0383）、闭映射（《态射》引理 01WM），并且 \(p\) 的纤维是有限集（《态射》引理 02NU）。所以可以应用《拓扑学》引理 07VB 得出结论。

引理

设 \(K/k\) 为域扩张。设 \(X\) 为 \(k\) 上的概形。记 \(p : X_K \to X\) 为投影态射。设 \(\overline{T} \subset X_K\) 为连通分支。那么 \(p(\overline{T})\) 是 \(X\) 的连通分支。

证明

当 \(K/k\) 有限时，这就是引理 07VM。一般情况下，证明较为困难。

令 \(T \subset X\) 为 \(X\) 的包含 \(\overline{T}\) 之像的连通分支。可以将 \(X\) 替换为 \(T\)（赋予诱导的约化子概形结构）。因此可以假设 \(X\) 连通。令 \(A = H^0(X, \mathcal{O}_X)\)。设 \(L \subset A\) 为极大的弱 étale \(k\)-子代数；见《更多代数》引理 0CKS。由于 \(A\) 没有任何非平凡幂等元，由《更多代数》引理 0CKR 可知，\(L\) 是域，并且是 \(k\) 的可分代数扩张。注意，\(L\) 也是极大弱 étale \(L\)-子代数；这里所指的母代数为 \(A\)。这是因为《更多代数》引理 092J 表明，任意弱 étale \(L\)-代数在 \(k\) 上都是弱 étale 的。由《概形》引理 01I1，得到结构态射的分解 \(X \to \Spec(L) \to \Spec(k)\)。

设 \(L'/L\) 为有限可分扩张。由《概形的上同调》引理 0CKW，有 \[A \otimes_L L' = H^0(X \times_{\Spec(L)} \Spec(L'), \mathcal{O}_{X \times_{\Spec(L)} \Spec(L')})\] 极大弱 étale \(L'\)-子代数（在 \(A \otimes_L L'\) 中）是 \(L \otimes_L L' = L'\)；见《更多代数》引理 0CKU。特别地， \(A \otimes_L L'\) 没有非平凡幂等元（这样的幂等元会生成一个弱 étale 子代数），所以 \(X \times_{\Spec(L)} \Spec(L')\) 连通。由引理 0389，可知 \(X\) 在 \(L\) 上几何连通。

赋予 \(\overline{T}\) 诱导的约化概形结构，并考虑复合 \[\overline{T} \xrightarrow{i} X_K = X \times_{\Spec(k)} \Spec(K) \xrightarrow{\pi} \Spec(L \otimes_k K)\] 其像包含于 \(\Spec(L \otimes_k K)\) 的一个连通分支中。由于 \(K \to L \otimes_k K\) 整，可知 \(\Spec(L \otimes_k K)\) 的各连通分支都是点，并且所有点都闭；见《代数》引理 00GS。因此得到商域 \(L \otimes_k K \to E\)，使 \(\overline{T}\) 映入 \(\Spec(E) \subset \Spec(L \otimes_k K)\)。故 \(i(\overline{T}) \subset \pi^{-1}(\Spec(E))\)。但是 \[\pi^{-1}(\Spec(E)) = (X \times_{\Spec(k)} \Spec(K)) \times_{\Spec(L \otimes_k K)} \Spec(E) = X \times_{\Spec(L)} \Spec(E)\] 它连通，因为 \(X\) 在 \(L\) 上几何连通。于是得到等式 \(\overline{T} = X \times_{\Spec(L)} \Spec(E)\)（在集合论意义下），并由此得出 \(\overline{T} \to X\) 满射，如所需。

设 \(X\) 为概形。用 \(\pi_0(X)\) 表示 \(X\) 的连通分支集合。

引理

设 \(k\) 为域，并设 \(\overline{k}\) 为其可分代数闭包。设 \(X\) 为 \(k\) 上的概形。存在作用 \[\text{Gal}(\overline{k}/k)^{opp} \times \pi_0(X_{\overline{k}}) \longrightarrow \pi_0(X_{\overline{k}})\] 并具有下列性质：

元素 \(\overline{T} \in \pi_0(X_{\overline{k}})\) 被该作用固定，当且仅当存在连通分支 \(T \subset X\)，它在 \(k\) 上几何连通，并且满足 \(T_{\overline{k}} = \overline{T}\)。

对任意域扩张 \(k'/k\) 及其可分代数闭包 \(\overline{k}'\)，图表 \[\xymatrix{ \text{Gal}(\overline{k}'/k') \times \pi_0(X_{\overline{k}'}) \ar[r] \ar[d] & \pi_0(X_{\overline{k}'}) \ar[d] \\ \text{Gal}(\overline{k}/k) \times \pi_0(X_{\overline{k}}) \ar[r] & \pi_0(X_{\overline{k}}) }\] 交换（由引理 0363，右侧竖直箭头为双射）。

证明

作用（038A）即 \(\text{Gal}(\overline{k}/k)\) 在 \(X_{\overline{k}}\) 上的作用，它诱导在连通分支上的作用。连通分支总是闭的（《拓扑学》引理 004T）。因此，若 \(\overline{T}\) 如 (1) 所述，则由引理 038B，存在闭子集 \(T \subset X\)，使得 \(\overline{T} = T_{\overline{k}}\)。注意，\(T\) 在 \(k\) 上几何连通；见引理 0387。为说明 \(T\) 是 \(X\) 的一个连通分支，假设 \(T \subset T'\)、\(T \not = T'\)，其中 \(T'\) 是 \(X\) 的一个连通分支。在这种情况下，\(T'_{k'}\) 严格包含 \(\overline{T}\)，因而不连通。由引理 038C，这意味着 \(T'\) 不连通！矛盾。

我们略去 (2) 中函子性的证明。

引理

设 \(k\) 为域，并设 \(\overline{k}\) 为其可分代数闭包。设 \(X\) 为 \(k\) 上的概形。假设：

\(X\) 拟紧；

\(X_{\overline{k}}\) 的连通分支都是开集。

那么：

\(\pi_0(X_{\overline{k}})\) 有限；

\(\text{Gal}(\overline{k}/k)\) 在 \(\pi_0(X_{\overline{k}})\) 上的作用连续。

此外，当 \(X\) 在 \(k\) 上有限型时，假设 (1) 与 (2) 均成立。

证明

由于各连通分支都是开集、覆盖 \(X_{\overline{k}}\)（《拓扑学》引理 004T），而且 \(X_{\overline{k}}\) 拟紧，可知它们只有有限多个。因此 (a) 成立。由引理 0388，这些连通分支中的每一个都可以在 \(\overline{k}/k\) 的某个有限子扩张上定义，故得到 (b)。若 \(X\) 在 \(k\) 上有限型，则 \(X_{\overline{k}}\) 在 \(\overline{k}\) 上有限型（《态射》引理 01T4）。因此 \(X_{\overline{k}}\) 是 Noether 概形（《态射》引理 01T6）。所以 \(X_{\overline{k}}\) 只有有限多个不可约分支（《性质》引理 0BA8），更不必说，它只有有限多个连通分支（因而这些分支都是开的）。

几何不可约概形

若 \(X\) 是域上的不可约概形，则在扩张基域之后，\(X\) 可能变为可约概形。几何不可约概形不会发生这种情况。

定义

设 \(X\) 为域 \(k\) 上的概形。称 \(X\) 在 \(k\) 上几何不可约，如果概形 \(X_{k'}\) 不可约¹，其中 \(k'\) 是 \(k\) 的任意域扩张。

引理

设 \(X\) 为域 \(k\) 上的概形，并设 \(k'/k\) 为域扩张。那么，\(X\) 在 \(k\) 上几何不可约，当且仅当 \(X_{k'}\) 在 \(k'\) 上几何不可约。

证明

若 \(X\) 在 \(k\) 上几何不可约，则 \(X_{k'}\) 在 \(k'\) 上几何不可约是显然的。反过来，对任意域扩张 \(k''/k\)，存在公共域扩张 \(k'''/k'\) 和 \(k'''/k''\)；见《域》引理 0H7K。态射 \(X_{k'''} \to X_{k''}\) 是满的（因为它是域谱之间的满态射的基变换），故 \(X_{k'''}\) 不可约蕴含 \(X_{k''}\) 不可约。因此，若 \(X_{k'}\) 在 \(k'\) 上几何不可约，则 \(X\) 在 \(k\) 上几何不可约。

引理

设 \(X\) 为一个概形，它定义在可分代数闭的域 \(k\) 上。若 \(X\) 不可约，则 \(X_K\) 对任意域扩张 \(K/k\) 都不可约。换言之，\(X\) 在 \(k\) 上几何不可约。

证明

使用《性质》引理 01OM 和《代数》引理 00I7。

引理

设 \(k\) 为域，设 \(X\)、\(Y\) 为 \(k\) 上的概形。假设 \(X\) 在 \(k\) 上几何不可约。那么投影态射 \[p : X \times_k Y \longrightarrow Y\] 诱导不可约分支之间的双射。

证明

首先，\(p\) 的概形论纤维不可约，因为它们是几何不可约概形 \(X\) 沿域扩张的基变换。此外，概形论纤维与集合论纤维同胚；见《概形》引理 01K1。由《态射》引理 0383，映射 \(p\) 是开的。因此可以应用《拓扑学》引理 037A 得出结论。

引理

设 \(k\) 为域，设 \(X\) 为 \(k\) 上的概形。下列条件等价：

\(X\) 在 \(k\) 上几何不可约；

对每个非空仿射开集 \(U\)，\(k\)-代数 \(\mathcal{O}_X(U)\) 在 \(k\) 上几何不可约（见《代数》定义 037L）；

\(X\) 不可约，并且存在仿射开覆盖 \(X = \bigcup U_i\)，使得每个 \(k\)-代数 \(\mathcal{O}_X(U_i)\) 都几何不可约；

存在开覆盖 \(X = \bigcup_{i \in I} X_i\)，其中 \(I \not = \emptyset\)，使得 \(X_i\) 对每个 \(i\) 都几何不可约，并且 \(X_i \cap X_j \not = \emptyset\) 对所有 \(i, j \in I\) 都成立。

此外，若 \(X\) 几何不可约，则 \(X\) 的每个非空开子概形也几何不可约。

证明

仿射概形 \(\Spec(A)\) 在 \(k\) 上几何不可约，当且仅当 \(A\) 在 \(k\) 上几何不可约；这直接来自定义。回忆，若 \(X\) 不可约，则它的每个非空开子概形也不可约，而且任意两个非空开子集的交非空。又若每个仿射开集都不可约，则该概形不可约；见《性质》引理 01OM。因此，引理的最后一个断言，以及蕴含 (1) \(\Rightarrow\) (2)、(2) \(\Rightarrow\) (3) 和 (3) \(\Rightarrow\) (4) 都是显然的。若 (4) 成立，则对任意域扩张 \(k'/k\)，概形 \(X_{k'}\) 有一个由两两相交的不可约开集组成的覆盖。因此 \(X_{k'}\) 不可约，故 (4) 蕴含 (1)。

引理

设 \(X\) 为域 \(k\) 上的不可约概形，设 \(\xi \in X\) 为其泛点。下列条件等价：

\(X\) 在 \(k\) 上几何不可约；

\(\kappa(\xi)\) 在 \(k\) 上几何不可约；

\(k\) 在 \(\kappa(\xi)\) 中的可分代数闭包等于 \(k\)。

证明

由《代数》引理 0G33， (2) 与 (3) 等价。

假设 (1)。回忆，\(\mathcal{O}_{X, \xi}\) 是 \(\mathcal{O}_X(U)\) 的滤过余极限，其中 \(U\) 遍历 \(X\) 的非空仿射开子概形。结合引理 038G 与《代数》引理 037N，可知 \(\mathcal{O}_{X, \xi}\) 在 \(k\) 上几何不可约。由于 \(\mathcal{O}_{X, \xi} \to \kappa(\xi)\) 是具有局部幂零核的满射（见《代数》引理 00EU），由《代数》引理 0BRA 可知 \(\kappa(\xi)\) 几何不可约。

假设 (2)。可以假设 \(X\) 约化。设 \(U \subset X\) 为非空仿射开集。则 \(U = \Spec(A)\)，其中 \(A\) 是以 \(\kappa(\xi)\) 为分式域的整环。因此， \(A\) 是一个几何不可约 \(k\)-代数的 \(k\)-子代数。于是由《代数》引理 037N，\(A\) 在 \(k\) 上几何不可约。由引理 038G 得出 \(X\) 在 \(k\) 上几何不可约。

引理

概形 \(X\) 定义在域 \(k\) 上时，它在 \(k\) 上几何不可约，当且仅当 \(X\times_k X\) 不可约。

证明

若 \(X\) 在 \(k\) 上几何不可约，则由引理 038F，\(X\times_k X\) 不可约。

反过来，假设 \(X \times_k X\) 不可约。把 \(X\) 替换为其底层约化概形，可以在不改变问题的前提下假设 \(X\) 约化。由于第一投影 \(X \times_k X \to X\) 满射，\(X\) 也不可约，因而是整概形。假设存在元素 \(\alpha\)，它属于函数域 \(k(X)\)，是 \(k\) 上的可分代数元且不属于 \(k\)。令 \(E = k(\alpha)\)。

那么，存在非空仿射开子概形 \(U\)，它是 \(X\) 的开子概形，并且使得 \(k \subset E \subset O(U)\)，因而 \(E \otimes_k E \subset O(U)\otimes_k O(U) = O(U\times_k U)\)。于是有支配态射 \(U \times_k U \to \Spec(E\otimes_k E)\)。由于 \(X\times_k X\) 不可约，\(U \times_k U\) 也不可约，因而 \(\Spec(E \otimes_k E)\) 连通。若 \(E\) 严格包含 \(k\)，则 \(E \otimes_k E\) 是若干域的直积，其中一个因子为 \(E\)。它的维数为 \((\dim_k(E))^2>\dim_k(E)\)；这里维数是作为 \(k\)-向量空间计算的。故 \(E\otimes_k E\) 是至少两个域的直积，这与 \(\Spec(E \otimes_k E)\) 连通矛盾。因此事实上 \(E\) 等于 \(k\)。由引理 054Q， \(X\) 在 \(k\) 上几何不可约。

引理

设 \(k'/k\) 为域扩张，设 \(X\) 为 \(k\) 上的概形。置 \(X' = X_{k'}\)。假设 \(k\) 可分代数闭。那么态射 \(X' \to X\) 诱导不可约分支之间的双射。

证明

由于 \(k\) 可分代数闭，可知 \(k'\) 在 \(k\) 上几何不可约；见《代数》引理 037M。因此 \(Z = \Spec(k')\) 在 \(k\) 上几何不可约；见上面的引理 038G。由于 \(X' = Z \times_k X\)，结论是引理 038F 的特例。

引理

设 \(k\) 为域，设 \(X\) 为 \(k\) 上的概形。下列条件等价：

\(X\) 在 \(k\) 上几何不可约；

对每个有限可分域扩张 \(k'/k\)，概形 \(X_{k'}\) 都不可约；

\(X_{\overline{k}}\) 不可约，其中 \(k \subset \overline{k}\) 是 \(k\) 的一个可分代数闭包。

证明

假设 \(X_{\overline{k}}\) 不可约，即假设 (3)。设 \(k'/k\) 为域扩张。存在域扩张 \(\overline{k}'/\overline{k}\)，使得 \(k'\) 嵌入 \(\overline{k}'\)，并且该嵌入是 \(k\)-扩张的嵌入。由引理 038H 可知 \(X_{\overline{k}'}\) 不可约。由于 \(X_{\overline{k}'} \to X_{k'}\) 满射，可知 \(X_{k'}\) 不可约。因此 (1) 成立。

设 \(k \subset \overline{k}\) 为 \(k\) 的一个可分代数闭包。假设 (3) 不成立，即假设 \(X_{\overline{k}}\) 可约。我们的目标是证明，\(X_{k'}\) 对某个有限子扩张 \(\overline{k}/k'/k\) 也可约。设 \(X = \bigcup_{i \in I} U_i\) 为仿射开覆盖，其中 \(U_i\) 非空。若对某个 \(i\)，概形 \(U_i\) 可约，或者对某对 \(i \not = j\)，交 \(U_i \cap U_j\) 为空，则 \(X\) 可约（《性质》引理 01OM），于是结论成立。特别地，可以假设 \(U_{i, \overline{k}} \cap U_{j, \overline{k}}\) 对所有 \(i, j \in I\) 都非空；由此可知，\(U_{i, \overline{k}}\) 对某个 \(i\) 必须可约。根据《代数》引理 037K，这意味着 \(U_{i, k'}\) 对某个有限可分域扩张 \(k'/k\) 可约。因此 \(X_{k'}\) 也可约。于是 (2) 蕴含 (3)。

蕴含 (1) \(\Rightarrow\) (2) 是直接的。这就证明了引理。

引理

设 \(K/k\) 为域扩张，设 \(X\) 为 \(k\) 上的概形。对每个不可约分支 \(T\) （它是 \(X\) 的不可约分支），逆像 \(T_K \subset X_K\) 是 \(X_K\) 的若干不可约分支之并。

证明

设 \(T \subset X\) 为 \(X\) 的一个不可约分支。态射 \(T_K \to T\) 平坦，故泛化可沿 \(T_K \to T\) 提升。因此，每个 \(\xi \in T_K\)，只要它是 \(T_K\) 的一个不可约分支的泛点，就映到泛点 \(\eta\)；后者是 \(T\) 的泛点。若 \(\xi' \leadsto \xi\) 是 \(X_K\) 中的一次特化，则 \(\xi'\) 映到 \(\eta\)，因为没有特化到 \(\eta\) 的点存在于 \(X\) 中。故 \(\xi' \in T_K\)，由此得出 \(\xi = \xi'\)。换言之，\(\xi\) 是 \(X_K\) 的一个不可约分支的泛点。这意味着 \(T_K\) 的所有不可约分支也都是 \(X_K\) 的不可约分支。

对概形 \(X\)，用 \(\text{IrredComp}(X)\) 表示 \(X\) 的不可约分支集合。

引理

设 \(K/k\) 为域扩张，设 \(X\) 为 \(k\) 上的概形。对每个不可约分支 \(\overline{T} \subset X_K\)，\(\overline{T}\) 在 \(X\) 中的像是 \(X\) 的一个不可约分支。这定义了典范映射 \[\text{IrredComp}(X_K) \longrightarrow \text{IrredComp}(X)\] 并且该映射满射。

证明

考虑图表 \[\xymatrix{ X_K \ar[d] & X_{\overline{K}} \ar[d] \ar[l] \\ X & X_{\overline{k}} \ar[l] }\] 其中 \(\overline{K}\) 是 \(K\) 的可分代数闭包，而 \(\overline{k}\) 是 \(k\) 的可分代数闭包。由引理 038H，态射 \(X_{\overline{K}} \to X_{\overline{k}}\) 诱导不可约分支之间的双射。因此，只需对态射 \(X_{\overline{k}} \to X\) 和 \(X_{\overline{K}} \to X_K\) 证明本引理。换言之，可以假设 \(K = \overline{k}\)。

态射 \(p : X_{\overline{k}} \to X\) 是整、平坦且满的。平坦性蕴含泛化可沿 \(p\) 提升；见《态射》引理 03HV。因此， \(X_{\overline{k}}\) 的不可约分支的泛点映到 \(X\) 的不可约分支的泛点。整性蕴含 \(p\) 万有闭；见《态射》引理 01WM。所以，不可约分支的像 \(p(\overline{T})\) 是包含 \(X\) 的某个不可约分支的泛点的闭不可约子集；因而 \(p(\overline{T})\) 是 \(X\) 的一个不可约分支。这证明了第一个断言。若 \(T \subset X\) 是不可约分支，则 \(p^{-1}(T) =T_K\) 是不可约分支的非空并；见引理 04KW。根据第一部分，这些分支中的每一个必然满射到 \(T\)。故该映射是满的。

引理

设 \(k\) 为域，设 \(X\) 为 \(k\) 上的概形。若 \(X\) 不可约且具有稠密的 \(k\)-有理点集，则 \(X\) 几何不可约。

证明

设 \(k'/k\) 为有限域扩张，并设 \(Z, Z' \subset X_{k'}\) 为不可约分支。只需证明 \(Z = Z'\)；见引理 038I。由引理 04KX，有 \(p(Z) = p(Z') = X\)，其中 \(p : X_{k'} \to X\) 是投影。若 \(Z \not = Z'\)，则 \(Z \cap Z'\) 在 \(X_{k'}\) 中无处稠密，因而由《态射》引理 03HX，\(p(Z \cap Z')\) 不稠密；这里还使用了 \(p\) 是有限态射，因为它是有限态射 \(\Spec(k') \to \Spec(k)\) 的基变换；见《态射》引理 01WL。因此，可以选取一个 \(k\)-有理点 \(x \in X\)，使得 \(x \not \in p(Z \cap Z')\)。由于 \(x\) 的剩余域是 \(k\)，可知 \(p^{-1}(\{x\}) = \{x'\}\)，其中 \(x' \in X_{k'}\) 是剩余域为 \(k'\) 的点。由于 \(x \in p(Z) = p(Z')\)，可知 \(x' \in Z \cap Z'\)；这就是所需的矛盾。

引理

设 \(k\) 为域，并设 \(\overline{k}\) 为其可分代数闭包。设 \(X\) 为 \(k\) 上的概形。存在作用 \[\text{Gal}(\overline{k}/k)^{opp} \times \text{IrredComp}(X_{\overline{k}}) \longrightarrow \text{IrredComp}(X_{\overline{k}})\] 并具有下列性质：

元素 \(\overline{T} \in \text{IrredComp}(X_{\overline{k}})\) 被该作用固定，当且仅当存在不可约分支 \(T \subset X\)，它在 \(k\) 上几何不可约，并且满足 \(T_{\overline{k}} = \overline{T}\)。

对任意域扩张 \(k'/k\) 及其可分代数闭包 \(\overline{k}'\)，图表 \[\xymatrix{ \text{Gal}(\overline{k}'/k') \times \text{IrredComp}(X_{\overline{k}'}) \ar[r] \ar[d] & \text{IrredComp}(X_{\overline{k}'}) \ar[d] \\ \text{Gal}(\overline{k}/k) \times \text{IrredComp}(X_{\overline{k}}) \ar[r] & \text{IrredComp}(X_{\overline{k}}) }\] 交换（由引理 038H，右侧竖直箭头为双射）。

证明

\(\text{Gal}(\overline{k}/k)\) 在 \(X_{\overline{k}}\) 上的作用（038A）诱导其在不可约分支上的作用。不可约分支总是闭的（《拓扑学》引理 004T）。因此，若 \(\overline{T}\) 如 (1) 所述，则由引理 038B，存在闭子集 \(T \subset X\)，使得 \(\overline{T} = T_{\overline{k}}\)。注意，\(T\) 在 \(k\) 上几何不可约；见引理 038I。为说明 \(T\) 是 \(X\) 的一个不可约分支，假设 \(T \subset T'\)、\(T \not = T'\)，其中 \(T'\) 是 \(X\) 的一个不可约分支。设 \(\overline{\eta}\) 为 \(\overline{T}\) 的泛点。它映到泛点 \(\eta\)，后者是 \(T\) 的泛点。于是泛点 \(\xi \in T'\) 特化到 \(\eta\)。由于 \(X_{\overline{k}} \to X\) 平坦，存在点 \(\overline{\xi} \in X_{\overline{k}}\)，它映到 \(\xi\) 并特化到 \(\overline{\eta}\)。于是，单点集 \(\{\overline{\xi}\}\) 在 \(X_{\overline{\xi}}\) 中的闭包是一个严格包含 \(\overline{T}\) 的不可约闭子集。这就是所需的矛盾。

我们略去 (2) 中函子性的证明。

引理

设 \(k\) 为域，并设 \(\overline{k}\) 为其可分代数闭包。设 \(X\) 为 \(k\) 上的概形。引理 04KX 的映射 \[\text{IrredComp}(X_{\overline{k}}) \longrightarrow \text{IrredComp}(X)\] 的各纤维，恰好是 \(\text{Gal}(\overline{k}/k)\) 在引理 038J 的作用下的轨道。

证明

设 \(T \subset X\) 为 \(X\) 的一个不可约分支，设 \(\eta \in T\) 为其泛点。由引理 04KW 和 04KX，\(\overline{T}\) 的各不可约分支中映入 \(T\) 的那些分支的泛点都映到 \(\eta\)。由《代数》引理 04KP，Galois 群在 \(X_{\overline{k}}\) 中所有映到 \(\eta\) 的点上可迁地作用。因此引理成立。

引理

设 \(k\) 为域。假设 \(X \to \Spec(k)\) 局部有限型。在这种情况下：

若赋予 \(\text{IrredComp}(X_{\overline{k}})\) 离散拓扑，则作用 \[\text{Gal}(\overline{k}/k)^{opp} \times \text{IrredComp}(X_{\overline{k}}) \longrightarrow \text{IrredComp}(X_{\overline{k}})\] 是连续的；

\(X_{\overline{k}}\) 的每个不可约分支都可以在 \(k\) 的某个有限扩张上定义；

给定任意不可约分支 \(T \subset X\)，概形 \(T_{\overline{k}}\) 是 \(X_{\overline{k}}\) 的有限多个不可约分支之并，而且这些分支都属于同一个 \(\text{Gal}(\overline{k}/k)\)-轨道。

证明

设 \(\overline{T}\) 为 \(X_{\overline{k}}\) 的一个不可约分支。可以选取仿射开集 \(U \subset X\)，使得 \(\overline{T} \cap U_{\overline{k}}\) 非空。写成 \(U = \Spec(A)\)；于是 \(A\) 是有限型 \(k\)-代数，见《态射》引理 01T2。因此 \(A_{\overline{k}}\) 是有限型 \(\overline{k}\)-代数，特别地，它是 Noether 环。设 \(\mathfrak p = (f_1, \ldots, f_n)\) 为对应于 \(\overline{T} \cap U_{\overline{k}}\) 的素理想。由于 \(A_{\overline{k}} = A \otimes_k \overline{k}\)，可知存在有限子扩张 \(\overline{k}/k'/k\)，使得每个 \(f_i \in A_{k'}\)。显然， \(\text{Gal}(\overline{k}/k')\) 固定 \(\overline{T}\)，这证明了 (1)。

把引理 038J (1) 应用于 \(k'\) 上的情形，可知不可约分支 \(\overline{T}\) 形如 \(T'_{\overline{k}}\)，其中 \(T' \subset X_{k'}\) 不可约，故 (2) 成立。

为证明 (3)，设 \(T \subset X\) 为一个不可约分支。选取不可约分支 \(\overline{T} \subset X_{\overline{k}}\)，它映到 \(T\)；见引理 04KX。由上可知，\(\overline{T}\) 的轨道有限，记为 \(\overline{T}_1, \ldots, \overline{T}_n\)。那么 \(\overline{T}_1 \cup \ldots \cup \overline{T}_n\) 是一个 \(\text{Gal}(\overline{k}/k)\)-不变闭子集，它位于 \(X_{\overline{k}}\) 中，故由引理 038B，它形如 \(W_{\overline{k}}\)，其中 \(W \subset X\) 是闭子集。显然 \(W = T\)，故结论成立。

引理

设 \(k\) 为域，设 \(X \to \Spec(k)\) 局部有限型。假设 \(X\) 只有有限多个不可约分支。那么存在有限可分扩张 \(k'/k\)，使得 \(X_{k'}\) 的每个不可约分支都在 \(k'\) 上几何不可约。

证明

设 \(\overline{k}\) 为 \(k\) 的可分代数闭包。\(X\) 只有有限多个不可约分支这一假设，与引理 04KZ (3) 合起来表明，\(X_{\overline{k}}\) 只有有限多个不可约分支 \(\overline{T}_1, \ldots, \overline{T}_n\)。由引理 04KZ (2)，存在有限扩张 \(\overline{k}/k'/k\) 和不可约分支 \(T_i \subset X_{k'}\)，使得 \(\overline{T}_i = T_{i, \overline{k}}\)，故结论成立。

引理

设 \(X\) 为域 \(k\) 上的概形。假设 \(X\) 只有有限多个不可约分支，并且它们全都几何不可约。那么 \(X\) 只有有限多个连通分支，并且每个连通分支都几何连通。

证明

这是显然的，因为一个连通分支是若干不可约分支之并。细节略去。

几何整概形

若 \(X\) 是域上的整概形，则在扩张基域后，\(X\) 可能变得非约化或可约。几何整概形不会发生这种情况。

定义

设 \(X\) 为域 \(k\) 上的概形。

设 \(x \in X\)。称 \(X\) 在 \(x\) 处几何逐点整，如果对每个域扩张 \(k'/k\)，以及每个 \(x' \in X_{k'}\)，只要它位于 \(x\) 上方，局部环 \(\mathcal{O}_{X_{k'}, x'}\) 都是整环。

若 \(X\) 在每一点处都几何逐点整，则称 \(X\) 几何逐点整。

称 \(X\) 在 \(k\) 上几何整，如果概形 \(X_{k'}\) 对每个域扩张 \(k'\)（它是 \(k\) 的扩张）都整。

概念 (2) 与 (3) 之间的区别是必要的。例如，若 \(k = \mathbf{R}\) 且 \(X = \Spec(\mathbf{C}[x])\)，则 \(X\) 在 \(\mathbf{R}\) 上几何逐点整，但当然不是几何整的。

引理

设 \(k\) 为域，设 \(X\) 为 \(k\) 上的概形。那么，\(X\) 在 \(k\) 上几何整，当且仅当 \(X\) 在 \(k\) 上既几何约化又几何不可约。

证明

见《性质》引理 01ON。

引理

设 \(k\) 为域，设 \(X\) 为 \(k\) 上的固有概形。

\(A = H^0(X, \mathcal{O}_X)\) 是有限维 \(k\)-代数；

\(A = \prod_{i = 1, \ldots, n} A_i\) 是 Artin 局部 \(k\)-代数的直积，\(X\) 的每个连通分支对应一个因子；

若 \(X\) 约化，则 \(A = \prod_{i = 1, \ldots, n} k_i\) 是若干域的直积，其中每个域都是 \(k\) 的有限扩张；

若 \(X\) 几何约化，则 \(k_i\) 是 \(k\) 的有限可分扩张；

若 \(X\) 几何连通，则 \(A\) 在 \(k\) 上几何不可约；

若 \(X\) 几何不可约，则 \(A\) 在 \(k\) 上几何不可约；

若 \(X\) 几何约化且几何连通，则 \(A = k\)；

若 \(X\) 几何整，则 \(A = k\)。

证明

由《概形的上同调》引理 02O6，可知 \(A = H^0(X, \mathcal{O}_X)\) 是有限维 \(k\)-代数。这证明了 (1)。

于是，由《代数》引理 00J6 和命题 00KJ，\(A\) 是若干 Artin 局部 \(k\)-代数的直积。若 \(X = Y \amalg Z\)，其中 \(Y\) 与 \(Z\) 在 \(X\) 中都是开集，则可得到幂等元 \(e \in A\)：取 \(\mathcal{O}_X\) 的一个截面，使其取值为 \(1\)（在 \(Y\) 上）、取值为 \(0\)（在 \(Z\) 上）。反过来，若 \(e \in A\) 是幂等元，则得到 \(X\) 的相应分解。最后，由于 \(X\) 的底层拓扑空间是 Noether 空间，它的连通分支都是开的。因此，\(X\) 的连通分支以 \(1\)-to-\(1\) 的方式对应于 \(A\) 的本原幂等元。这证明了 (2)。

若 \(X\) 约化，则 \(A\) 约化。因此，局部环 \(A_i = k_i\) 约化，从而是域（例如可用《代数》引理 00EU）。这证明了 (3)。

若 \(X\) 几何约化，则 \(A \otimes_k \overline{k} = H^0(X_{\overline{k}}, \mathcal{O}_{X_{\overline{k}}})\) （该等式来自《概形的上同调》引理 02KH）是约化的。这蕴含 \(k_i \otimes_k \overline{k}\) 是若干域的直积，因而 \(k_i/k\) 可分；例如可用《代数》引理 030W 和 030V。这证明了 (4)。

若 \(X\) 几何连通，则 \(A \otimes_k \overline{k} = H^0(X_{\overline{k}}, \mathcal{O}_{X_{\overline{k}}})\) 由 (2) 是零维局部环，故它的谱只有一个点，特别地，它不可约。因此 \(A\) 几何不可约。这证明了 (5)。当然，(5) 蕴含 (6)。

若 \(X\) 几何约化且几何连通，则 \(A = k_1\) 是域，而扩张 \(k_1/k\) 有限可分且几何不可约。然而，此时 \(k_1 \otimes_k \overline{k}\) 是 \([k_1 : k]\) 份 \(\overline{k}\) 的直积，故可知 \(k_1 = k\)。这证明了 (7)。当然，(7) 蕴含 (8)。

下面给出 Stein 分解的一个初步版本；真正的 Stein 分解将在《态射续篇》第 03GX 节讨论。

引理

设 \(X\) 为域 \(k\) 上的固有概形。置 \(A = H^0(X, \mathcal{O}_X)\)。典范态射 \(X \to \Spec(A)\) 的纤维几何连通。

证明

置 \(S = \Spec(A)\)。典范态射 \(X \to S\) 是通过《概形》引理 01I1 与等式 \(\Gamma(S, \mathcal{O}_S) = A = \Gamma(X, \mathcal{O}_X)\) 相对应的态射。\(k\)-代数 \(A\) 是有限直积 \(A = \prod A_i\)，其因子是 \(k\) 上有限的 Artin 局部 \(k\)-代数；见引理 0BUG。用 \(s_i \in S\) 表示对应于 \(A_i\) 的极大理想的点。选取代数闭包 \(\overline{k}\)，它是 \(k\) 的一个代数闭包，并置 \(\overline{A} = A \otimes_k \overline{k}\)。选取嵌入 \(\kappa(s_i) \to \overline{k}\)，它在 \(k\) 上；该嵌入确定 \(\overline{k}\)-代数映射 \[\sigma_i : \overline{A} = A \otimes_k \overline{k} \to \kappa(s_i) \otimes_k \overline{k} \to \overline{k}\] 考虑基变换 \[\xymatrix{ \overline{X} \ar[r] \ar[d] & X \ar[d] \\ \overline{S} \ar[r] & S }\] 它把 \(X\) 基变换到 \(\overline{S} = \Spec(\overline{A})\)。由《概形的上同调》引理 02KH，有 \(\Gamma(\overline{X}, \mathcal{O}_{\overline{X}}) = \overline{A}\)。若 \(\overline{s}_i \in \Spec(\overline{A})\) 表示一个 \(\overline{k}\)-有理点，它对应于 \(\sigma_i\)，则 \(\overline{s}_i\) 映到 \(s_i \in S\)，并且 \(\overline{X}_{\overline{s}_i}\) 是 \(X_{s_i}\) 沿 \(\Spec(\sigma_i)\) 的基变换。因此，只需在 \(k\) 代数闭的情形下证明本引理。

假设 \(k\) 代数闭。在这种情况下，\(\kappa(s_i)\) 代数闭，而我们需要证明 \(X_{s_i}\) 连通。直积分解 \(A = \prod A_i\) 对应于不交并分解 \(\Spec(A) = \coprod \Spec(A_i)\)；见《代数》引理 00ED。用 \(X_i\) 表示 \(\Spec(A_i)\) 的逆像。由引理 0BUG (2)，有 \(A_i = \Gamma(X_i, \mathcal{O}_{X_i})\)。注意， \(X_{s_i} \to X_i\) 是闭浸入，并在底层拓扑空间上诱导同构（因为 \(\Spec(A_i)\) 是单点集）。因此，若 \(X_{s_i}\) 不连通，则 \(X_i\) 也不连通。所以，要么 \(X_i\) 为空且 \(A_i = 0\)，要么 \(X_i\) 可写成 \(U \amalg V\)，其中 \(U\) 与 \(V\) 是非空开集；这将蕴含 \(A_i\) 有非平凡幂等元。由于 \(A_i\) 是局部环，这构成矛盾，证明完成。

引理

设 \(k\) 为域，设 \(X\) 为 \(k\) 上固有且几何约化的概形。下列条件等价：

\(H^0(X, \mathcal{O}_X) = k\)；

\(X\) 几何连通。

证明

由引理 0FD1，有 (1) \(\Rightarrow\) (2)。由引理 0BUG，有 (2) \(\Rightarrow\) (1)。

几何正规概形

我们已在《性质》定义 033I 中定义了正规概形的概念。这个概念甚至对非 Noether 概形也有定义。因此，与我们对 “几何正则”概形的讨论不同，这里要考虑基域的所有域扩张。

定义

设 \(X\) 为域 \(k\) 上的概形。

设 \(x \in X\)。称 \(X\) 在 \(x\) 处几何正规，如果对每个域扩张 \(k'/k\)，以及每个 \(x' \in X_{k'}\)，只要它位于 \(x\) 上方，局部环 \(\mathcal{O}_{X_{k'}, x'}\) 都正规。

称 \(X\) 在 \(k\) 上几何正规，如果 \(X\) 在每个 \(x \in X\) 处都几何正规。

引理

设 \(k\) 为域，设 \(X\) 为 \(k\) 上的概形，并设 \(x \in X\)。下列条件等价：

\(X\) 在 \(x\) 处几何正规；

对每个有限纯不可分域扩张 \(k'\)（它是 \(k\) 的扩张），以及每个 \(x' \in X_{k'}\)，只要它位于 \(x\) 上方，局部环 \(\mathcal{O}_{X_{k'}, x'}\) 就正规；

环 \(\mathcal{O}_{X, x}\) 在 \(k\) 上几何正规（见《代数》定义 0380）。

证明

(1) 蕴含 (2) 是显然的。假设 (2)。设 \(k'/k\) 为有限纯不可分域扩张（例如 \(k = k'\)）。考虑环 \(\mathcal{O}_{X, x} \otimes_k k'\)。由《代数》引理 0BRA，它的谱与 \(\mathcal{O}_{X, x}\) 的谱相同。因此，它也是局部环（《代数》引理 00E9）。所以，存在唯一的点 \(x' \in X_{k'}\) 位于 \(x\) 上方，并且 \(\mathcal{O}_{X_{k'}, x'} \cong \mathcal{O}_{X, x} \otimes_k k'\)。由假设，这是正规环。因此，由《代数》引理 037Z 得到 (3)。

假设 (3)。设 \(k'/k\) 为域扩张。由于 \(\Spec(k') \to \Spec(k)\) 满射，\(X_{k'} \to X\) 也满射（《态射》引理 01S1）。设 \(x' \in X_{k'}\) 为位于 \(x\) 上方的任意一点。局部环 \(\mathcal{O}_{X_{k'}, x'}\) 是环 \(\mathcal{O}_{X, x} \otimes_k k'\) 的一个局部化。因此，它由假设是正规的，从而证明了 (1)。

引理

设 \(k\) 为域，设 \(X\) 为 \(k\) 上的概形。下列条件等价：

\(X\) 几何正规；

\(X_{k'}\) 对每个域扩张 \(k'/k\) 都是正规概形；

\(X_{k'}\) 对每个有限生成域扩张 \(k'/k\) 都是正规概形；

\(X_{k'}\) 对每个有限纯不可分域扩张 \(k'/k\) 都是正规概形；

对每个仿射开集 \(U \subset X\)，环 \(\mathcal{O}_X(U)\) 都几何正规（见《代数》定义 0380）；

\(X_{k^{perf}}\) 是正规概形。

证明

假设 (1)。那么，对每个域扩张 \(k'/k\) 和每个点 \(x' \in X_{k'}\)，\(X_{k'}\) 在 \(x'\) 处的局部环都正规。按定义，这意味着 \(X_{k'}\) 正规。因此 (2) 成立。

(2) 蕴含 (3)、(3) 蕴含 (4)，这都是显然的。

假设 (4)，并设 \(U \subset X\) 为仿射开子概形。那么，\(U_{k'}\) 对任意有限纯不可分扩张 \(k'/k\) 都是正规概形（包括 \(k = k'\)）。这意味着，环 \(k' \otimes_k \mathcal{O}(U)\) 对所有有限纯不可分扩张 \(k'/k\) 都正规。因此， \(\mathcal{O}(U)\) 按定义是几何正规 \(k\)-代数。故 (4) 蕴含 (5)。

假设 (5)。对任意域扩张 \(k'/k\)，基变换 \(X_{k'}\) 由各个环 \(\mathcal{O}_X(U) \otimes_k k'\) 的谱粘合而得，其中 \(U\) 是 \(X\) 中的仿射开集（见《概形》第 01JO 节）。因此 \(X_{k'}\) 正规，所以 (1) 成立。

(5) 与 (6) 的等价性来自几何正规代数的定义，以及刚刚证明的 (3) 与 (4) 的等价性。

引理

设 \(k\) 为域，设 \(X\) 为 \(k\) 上的概形，设 \(k'/k\) 为域扩张。设 \(x \in X\) 为一点，并设 \(x' \in X_{k'}\) 为位于 \(x\) 上方的一点。下列条件等价：

\(X\) 在 \(x\) 处几何正规；

\(X_{k'}\) 在 \(x'\) 处几何正规。

特别地，\(X\) 在 \(k\) 上几何正规，当且仅当 \(X_{k'}\) 在 \(k'\) 上几何正规。

证明

(1) 蕴含 (2) 是显然的。假设 (2)。设 \(k''/k\) 为有限纯不可分域扩张，并设 \(x'' \in X_{k''}\) 为位于 \(x\) 上方的一点（实际上它是唯一的）。选取公共域扩张 \(k'''/k\)，它同时扩张 \(k'/k\) 与 \(k''/k\)；见《域》引理 0H7K。选取点 \(x''' \in X_{k'''}\)，它同时位于 \(x'\) 与 \(x''\) 上方。考虑局部环映射 \[\mathcal{O}_{X_{k''}, x''} \longrightarrow \mathcal{O}_{X_{k'''}, x''''}.\] 这是平坦局部环同态，因而忠实平坦。由 (2)，右侧的局部环正规。因此由《代数》引理 033G，可知 \(\mathcal{O}_{X_{k''}, x''}\) 正规。由引理 038N，可知 \(X\) 在 \(x\) 处几何正规。

引理

设 \(k\) 为域，设 \(X\) 为 \(k\) 上几何正规的概形，并设 \(Y\) 为 \(k\) 上正规的概形。那么 \(X \times_k Y\) 是正规概形。

证明

这归结为《代数》引理 06DF；所用的归约来自引理 038O。

引理

设 \(k\) 为域，设 \(X\) 为 \(k\) 上的正规概形。设 \(K/k\) 为可分域扩张。那么 \(X_K\) 是正规概形。

证明

这来自引理 06DG 和《代数》引理 0C30。

引理

设 \(k\) 为域，设 \(X\) 为 \(k\) 上固有且几何正规的概形。下列条件等价：

\(H^0(X, \mathcal{O}_X) = k\)；

\(X\) 几何连通；

\(X\) 几何不可约；

\(X\) 几何整。

证明

由引理 0FD2，(1) 与 (2) 等价。局部 Noether 正规概形（例如 \(X_{\overline{k}}\)）是其不可约分支的不交并（《性质》引理 033M）。因此 (2) 与 (3) 等价。由于假设 \(X_{\overline{k}}\) 约化，(3) 与 (4) 也等价。

域变换与局部 Noether 概形

设 \(X\) 为域 \(k\) 上的局部 Noether 概形。\(X_{k'}\) 不一定仍是局部 Noether 概形。例如，若 \(X = \Spec(\overline{\mathbf{Q}})\) 且 \(k = \mathbf{Q}\)，则 \(X_{\overline{\mathbf{Q}}}\) 是 \(\overline{\mathbf{Q}} \otimes_{\mathbf{Q}} \overline{\mathbf{Q}}\) 的谱，而后者不是 Noether 环。（提示：它有太多幂等元。）但是，如果只沿有限生成域扩张作基变换，则 Noether 性得以保持。（或者，若 \(X\) 在 \(k\) 上局部有限型，结论也成立，因为这个性质在基变换下保持。）

引理

设 \(k\) 为域，设 \(X\) 为 \(k\) 上的概形，并设 \(k'/k\) 为有限生成域扩张。那么，\(X\) 局部 Noether，当且仅当 \(X_{k'}\) 局部 Noether。

证明

利用《性质》引理 01OW，可归约到 \(X\) 仿射的情形，比如说 \(X = \Spec(A)\)。在这种情况下，需要证明 \(A\) 是 Noether 环，当且仅当 \(A_{k'}\) 是 Noether 环。由于 \(A \to A_{k'} = k' \otimes_k A\) 忠实平坦，由《代数》引理 033E，若 \(A_{k'}\) 是 Noether 环，则 \(A\) 也是 Noether 环。反过来，若 \(A\) 是 Noether 环，则由《代数》引理 045I，\(A_{k'}\) 是 Noether 环。

几何正则概形

域 \(k\) 上的几何正则概形，是域 \(k\) 上的局部 Noether 概形，并且在适当的基域变换后仍为正则概形。域 \(k\) 上的有限型概形几何正则，当且仅当它在 \(k\) 上光滑（见引理 038X）。几何正则性这个概念最有意义的情形，是无法使用光滑性的情形，例如形式纤维（此处以后插入引用）。

在下面的定义中，我们限于局部 Noether 概形，因为正则局部环这个性质只对 Noether 局部环定义。由上面的引理 038R，如果只考虑有限生成域扩张，这个性质在基域变换下保持。本节将直接使用这一说明，不再另行引用。特别地，下面的定义是有意义的。

定义

设 \(k\) 为域，设 \(X\) 为 \(k\) 上的局部 Noether 概形。

设 \(x \in X\)。称 \(X\) 在 \(x\) 处相对于 \(k\) it 几何正则，如果对每个有限生成域扩张 \(k'/k\) 以及任意 \(x' \in X_{k'}\)，只要后者位于 \(x\) 上方，局部环 \(\mathcal{O}_{X_{k'}, x'}\) 就正则。

称 \(X\) it 在 \(k\) 上几何正则，如果 \(X\) 在其所有点处都几何正则。

类似的定义也可用于定义域上的几何 Cohen–Macaulay、\((R_k)\) 与 \((S_k)\) 概形。需要时，我们会另设一节讨论这些性质。

引理

设 \(k\) 为域，设 \(X\) 为 \(k\) 上的局部 Noether 概形，并设 \(x \in X\)。下列条件等价：

\(X\) 在 \(x\) 处几何正则；

对每个有限纯不可分扩域 \(k'\)（其底域为 \(k\)）以及 \(x' \in X_{k'}\)，只要后者位于 \(x\) 上方，局部环 \(\mathcal{O}_{X_{k'}, x'}\) 就正则；

环 \(\mathcal{O}_{X, x}\) 在 \(k\) 上几何正则（见《代数》定义 0382）。

证明

(1) 蕴含 (2) 是清楚的。假设 (2)。特别地，这蕴含 \(\mathcal{O}_{X, x}\) 是正则局部环。设 \(k'/k\) 为有限纯不可分域扩张。考虑环 \(\mathcal{O}_{X, x} \otimes_k k'\)。由《代数》引理 0BRA，它的谱与 \(\mathcal{O}_{X, x}\) 的谱相同，因而它也是局部环（《代数》引理 00E9）。所以存在唯一一点 \(x' \in X_{k'}\) 位于 \(x\) 上方，且 \(\mathcal{O}_{X_{k'}, x'} \cong \mathcal{O}_{X, x} \otimes_k k'\)。根据假设，这是正则环。因此，由几何正则环的定义得到 (3)。

假设 (3)。设 \(k'/k\) 为域扩张。由于 \(\Spec(k') \to \Spec(k)\) 满射， \(X_{k'} \to X\) 也满射（《态射》引理 01S1）。任取一点 \(x' \in X_{k'}\)，使它位于 \(x\) 上方。局部环 \(\mathcal{O}_{X_{k'}, x'}\) 是环 \(\mathcal{O}_{X, x} \otimes_k k'\) 的局部化。因此，根据假设它正则，从而 (1) 得证。

引理

设 \(k\) 为域，设 \(X\) 为 \(k\) 上的局部 Noether 概形。下列条件等价：

\(X\) 几何正则；

\(X_{k'}\) 对每个有限生成域扩张 \(k'/k\) 都是正则概形；

\(X_{k'}\) 对每个有限纯不可分域扩张 \(k'/k\) 都是正则概形；

对每个仿射开集 \(U \subset X\)，环 \(\mathcal{O}_X(U)\) 几何正则（见《代数》定义 0382）；

存在仿射开覆盖 \(X = \bigcup U_i\)，使每个 \(\mathcal{O}_X(U_i)\) 都在 \(k\) 上几何正则。

证明

假设 (1)。那么，对每个有限生成域扩张 \(k'/k\) 以及每个点 \(x' \in X_{k'}\)，\(X_{k'}\) 在 \(x'\) 处的局部环都正则。由《性质》引理 02IT，这意味着 \(X_{k'}\) 正则，所以 (2) 成立。

(2) 蕴含 (3) 是清楚的。

假设 (3)，并设 \(U \subset X\) 为仿射开子概形。那么 \(U_{k'}\) 对任意有限纯不可分扩张 \(k'/k\)（包括 \(k = k'\)）都是正则概形。这意味着 \(k' \otimes_k \mathcal{O}(U)\) 对所有有限纯不可分扩张 \(k'/k\) 都是正则环。因此， \(\mathcal{O}(U)\) 是几何正则 \(k\)-代数，从而 (4) 成立。

(4) 蕴含 (5) 是清楚的。设 \(X = \bigcup U_i\) 为 (5) 中的仿射开覆盖。对任意域扩张 \(k'/k\)，基变换 \(X_{k'}\) 由各环 \(\mathcal{O}_X(U_i) \otimes_k k'\) 的谱粘合而成（见《概形》第 01JO 节）。因此 \(X_{k'}\) 正则，所以 (1) 成立。

引理

设 \(k\) 为域，设 \(X\) 为 \(k\) 上的概形。设 \(k'/k\) 为有限生成域扩张。设 \(x \in X\)，并设 \(x' \in X_{k'}\) 为位于 \(x\) 上方的点。下列条件等价：

\(X\) 在 \(x\) 处几何正则；

\(X_{k'}\) 在 \(x'\) 处几何正则。

特别地，\(X\) 在 \(k\) 上几何正则，当且仅当 \(X_{k'}\) 在 \(k'\) 上几何正则。

证明

(1) 蕴含 (2) 是清楚的。假设 (2)。设 \(k''/k\) 为有限纯不可分域扩张，并设 \(x'' \in X_{k''}\) 为位于 \(x\) 上方的点（事实上它是唯一的）。我们可以找到一个公共有限生成域扩张 \(k'''/k\)，它同时扩张 \(k'/k\) 和 \(k''/k\)，见《域》引理 0H7K 及其证明。并且可以找到一点 \(x''' \in X_{k'''}\)，它同时位于 \(x'\) 与 \(x''\) 上方。考虑局部环映射 \[\mathcal{O}_{X_{k''}, x''} \longrightarrow \mathcal{O}_{X_{k'''}, x''''}.\] 这是 Noether 局部环之间的平坦局部同态，因而忠实平坦。由 (2)，右侧局部环正则。于是由《代数》引理 00OF，可得 \(\mathcal{O}_{X_{k''}, x''}\) 正则。由引理 038U，\(X\) 在 \(x\) 处几何正则。

下一个引理是《代数》引理 07NH 的几何版本。

引理

设 \(k\) 为域，设 \(f : X \to Y\) 为 \(k\) 上局部 Noether 概形之间的态射。设 \(x \in X\)，并置 \(y = f(x)\)。如果 \(X\) 在 \(x\) 处几何正则，且 \(f\) 在 \(x\) 处平坦，那么 \(Y\) 在 \(y\) 处几何正则。特别地，如果 \(X\) 在 \(k\) 上几何正则，且 \(f\) 平坦满射，那么 \(Y\) 在 \(k\) 上几何正则。

证明

设 \(k'\) 为 \(k\) 的有限纯不可分扩张。设 \(f' : X_{k'} \to Y_{k'}\) 为 \(f\) 的基变换，并设 \(x' \in X_{k'}\) 为位于 \(x\) 上方的唯一一点。如果证明 \(Y_{k'}\) 在 \(y' = f'(x')\) 处正则，那么由引理 038V，\(Y\) 在 \(k\) 上于 \(y'\) 处几何正则。由《态射》引理 01U8，态射 \(X_{k'} \to Y_{k'}\) 在 \(x'\) 处平坦。因此环映射 \[\mathcal{O}_{Y_{k'}, y'} \longrightarrow \mathcal{O}_{X_{k'}, x'}\] 是局部 Noether 环之间的平坦局部同态，而其右侧根据假设正则。因此由《代数》引理 00OF，其左侧是正则局部环。

引理

设 \(k\) 为域，设 \(X\) 为 \(k\) 上局部有限型的概形，并设 \(x \in X\)。那么，\(X\) 在 \(x\) 处几何正则，当且仅当 \(X \to \Spec(k)\) 在 \(x\) 处光滑（《态射》定义 01V5）。

证明

问题在 \(x\) 附近是局部的，因而可以假设 \(X = \Spec(A)\)，其中所用代数是某个有限型 \(k\)-代数。设 \(x\) 对应于素理想 \(\mathfrak p\)。

如果 \(A\) 在 \(k\) 上于 \(\mathfrak p\) 处光滑，那么可以局部化 \(A\)，并假设 \(A\) 在 \(k\) 上光滑。在这种情况下，\(k' \otimes_k A\) 对所有扩域都在 \(k'\) 上光滑，其中 \(k'/k\) 任意；由《代数》引理 00TT，这些 Noether 环都正则。

假设 \(X\) 在 \(x\) 处几何正则。考虑剩余域 \(K := \kappa(x) = \kappa(\mathfrak p)\)，它属于点 \(x\)。这是 \(k\) 的有限生成扩张。由《代数》引理 030R，存在有限纯不可分扩张 \(k'/k\)，使合成域 \(k'K\) 是 \(k'\) 的可分域扩张。设 \(\mathfrak p' \subset A' = k' \otimes_k A\) 为位于 \(\mathfrak p\) 上方的素理想。由《代数》引理 0BRA，它是位于 \(\mathfrak p\) 上方的唯一素理想。因此剩余域 \(K' := \kappa(\mathfrak p')\) 就是合成域 \(k'K\)。根据假设，局部环 \((A')_{\mathfrak p'}\) 正则。于是由《代数》引理 00TV，\(k' \to A'\) 在 \(\mathfrak p'\) 处光滑。进而由《代数》引理 02UQ， \(k \to A\) 在 \(\mathfrak p\) 处光滑。引理得证。

例

设 \(k =\mathbf{F}_p(t)\)。很容易给出一个正则但非几何约化的簇 \(V\)，它在 \(k\) 上定义。例如可取 \(\Spec(k[x]/(x^p - t))\)。事实上，还存在正则且几何约化、但甚至不几何正规的簇 \(V\)。具体地，当 \(p > 2\) 时取 \(V = \Spec(k[x, y]/(y^2 - x^p + t))\)。由于多项式 \(y^2 - x^p + t \in k[x, y]\) 不可约，这是一个簇。态射 \(V \to \Spec(k)\) 在所有点处都光滑，唯独可能在点 \(v_0 \in V\) 处不光滑；该点对应于极大理想 \((y, x^p - t)\)（因为 \(2y\) 可逆）。特别地，我们看到 \(V\) 在所有点处都（几何）正则，唯独 \(v_0\) 处尚有可能例外。局部环 \[\mathcal{O}_{V, v_0} = \left(k[x, y]/(y^2 - x^p + t)\right)_{(y, x^p - t)}\] 是维数为 \(1\) 的整环。它的极大理想由 \(1\) 个元素生成，即由 \(y\) 生成。所以它是离散赋值环，从而正则。设 \(k' = k[t^{1/p}]\)。记 \(t' = t^{1/p} \in k'\)、\(V' = V_{k'}\)，并记 \(v'_0 \in V'\) 为位于 \(v_0\) 上方的唯一一点。在 \(k'\) 上，可写 \(x^p - t = (x - t')^p\)，但多项式 \(y^2 - (x - t')^p\) 仍不可约，且 \(V'\) 仍是簇。然而元素 \[\frac{y}{x - t'} \in (\text{fraction field of }\mathcal{O}_{V', v'_0})\] 在 \(\mathcal{O}_{V', v'_0}\) 上整（只须计算它的平方），却不属于该环；所以 \(V'\) 在 \(v'_0\) 处不正规。这就完成了这个例子。

域变换与 Cohen–Macaulay 性

下一个引理说明，定义几何 Cohen–Macaulay 概形没有意义，因为这样的概形恰好就是 Cohen–Macaulay 概形。

引理

设 \(X\) 为域 \(k\) 上的局部 Noether 概形。设 \(k'/k\) 为有限生成域扩张。设 \(x \in X\)，并设 \(x' \in X_{k'}\) 为位于 \(x\) 上方的点。那么 \[\mathcal{O}_{X, x}\text{ 为 Cohen--Macaulay} \Leftrightarrow \mathcal{O}_{X_{k'}, x'}\text{ 为 Cohen--Macaulay}\] 如果 \(X\) 在 \(k\) 上局部有限型，那么对任意域扩张 \(k'/k\)，同一结论成立。

证明

引理的第一种情形来自《代数》引理 045N。引理的第二种情形等价于《代数》引理 00RJ。

域变换与 Jacobson 性

域上局部有限型的概形有充足的闭点，也就是说，它是 Jacobson 概形。此外，这些剩余域都是基域的有限扩张。

引理

设 \(X\) 为在 \(k\) 上局部有限型的概形。那么：

对任意闭点 \(x \in X\)，扩张 \(\kappa(x)/k\) 是代数扩张；

\(X\) 是 Jacobson 概形（《性质》定义 01P2）。

证明

一个概形是 Jacobson 概形，当且仅当它有一个由 Jacobson 概形组成的仿射开覆盖，见《性质》引理 01P4。闭点处剩余域的性质对 \(X\) 也是局部的。因此可以假设 \(X\) 仿射。在这种情况下，结论是 Hilbert 零点定理的推论，见《代数》定理 00FV。它也可由《态射》引理 01TB、 02J5 和 02J6 合并推出。

事实证明，如果 \(X\) 不局部有限型，那么在作足够大的基域扩张后，可以得到同样的结论。

引理

设 \(X\) 为域 \(k\) 上的概形。对任意基数足够大的域扩张 \(K/k\)，有：

对任意闭点 \(x \in X_K\)，扩张 \(\kappa(x)/K\) 是代数扩张；

\(X_K\) 是 Jacobson 概形（《性质》定义 01P2）。

证明

选取仿射开覆盖 \(X = \bigcup U_i\)。由《代数》引理 046V 和《性质》引理 01P3，存在基数 \(\kappa_i\)，使得只要 \(U_{i, K}\) 是在 \(K\) 上考虑的，且 \(\#(K) \geq \kappa_i\)，它就具有所需性质。置 \(\kappa = \max\{\kappa_i\}\)。那么，如果 \(K\) 的基数大于 \(\kappa\)，每个 \(U_{i, K}\) 都满足引理的结论。因此，由《性质》引理 01P4，\(X_K\) 是 Jacobson 概形。关于 \(X_K\) 的闭点处剩余域的断言，来自 \(U_{i, K}\) 的闭点处剩余域的相应断言。

域变换与丰沛可逆层

下述结果是本节各结果的典型例子。

引理

设 \(k\) 为域，设 \(X\) 为 \(k\) 上的概形。如果 \(X_K\) 对某个域扩张 \(K/k\) 有丰沛可逆层，那么 \(X\) 有丰沛可逆层。

证明

设 \(K/k\) 为域扩张，使得 \(X_K\) 有丰沛可逆层 \(\mathcal{L}\)。态射 \(X_K \to X\) 满射。因此，\(X\) 作为拟紧概形的像而拟紧（《性质》定义 01PS）。由于 \(X_K\) 拟分离（由《性质》引理 01PY），可知 \(X\) 拟分离：如果 \(U, V \subset X\) 是仿射开集，那么 \((U \cap V)_K = U_K \cap V_K\) 拟紧，而 \((U \cap V)_K \to U \cap V\) 满射。因此《概形》引理 01KO 适用。

将 \(K = \colim A_i\) 写成 \(K\) 的各有限型 \(k\)-子代数的余极限。记 \(X_i = X \times_{\Spec(k)} \Spec(A_i)\)。由于 \(X_K = \lim X_i\)，可找到一个 \(i\) 和一个可逆层 \(\mathcal{L}_i\)，后者定义在 \(X_i\) 上，使它在 \(X_K\) 上的拉回是 \(\mathcal{L}\)（《极限》引理 0B8W；这里以及下文都使用刚刚证明的 \(X\) 拟紧且拟分离）。由《极限》引理 09MT，可以假设 \(\mathcal{L}_i\) 丰沛，只需在必要时增大 \(i\)。固定这样的 \(i\)，并设 \(\mathfrak m \subset A_i\) 为极大理想。由 Hilbert 零点定理（《代数》定理 00FV），剩余域 \(k' = A_i/\mathfrak m\) 是 \(k\) 的有限扩张。因此 \(X_{k'} \subset X_i\) 是闭子概形，从而有丰沛可逆层（《性质》引理 01PU）。由于 \(X_{k'} \to X\) 有限局部自由，由《除子》命题 0BD4，可得 \(X\) 有丰沛可逆层。

引理

设 \(k\) 为域，设 \(X\) 为 \(k\) 上的概形。如果 \(X_K\) 对某个域扩张 \(K/k\) 拟仿射，那么 \(X\) 拟仿射。

证明

设 \(K/k\) 为域扩张，使得 \(X_K\) 拟仿射。态射 \(X_K \to X\) 满射。因此， \(X\) 作为拟紧概形的像而拟紧（《性质》定义 01P6）。由于 \(X_K\) 拟分离（因为它是仿射概形的开子概形），可知 \(X\) 拟分离：如果 \(U, V \subset X\) 是仿射开集，那么 \((U \cap V)_K = U_K \cap V_K\) 拟紧，而 \((U \cap V)_K \to U \cap V\) 满射。因此《概形》引理 01KO 适用。

将 \(K = \colim A_i\) 写成 \(K\) 的各有限型 \(k\)-子代数的余极限。记 \(X_i = X \times_{\Spec(k)} \Spec(A_i)\)。由于 \(X_K = \lim X_i\)，可找到一个 \(i\)，使 \(X_i\) 拟仿射（《极限》引理 01Z5；这里使用刚刚证明的 \(X\) 拟紧且拟分离）。由 Hilbert 零点定理（《代数》定理 00FV），剩余域 \(k' = A_i/\mathfrak m\) 是 \(k\) 的有限扩张。因此 \(X_{k'} \subset X_i\) 是闭子概形，从而拟仿射（《性质》引理 0BCK）。由于 \(X_{k'} \to X\) 有限局部自由，结论来自《除子》引理 0BD5。

引理

设 \(k\) 为域，设 \(X\) 为 \(k\) 上的概形。如果 \(X_K\) 在 \(K\) 上拟射影，其中 \(K/k\) 是某个域扩张，那么 \(X\) 在 \(k\) 上拟射影。

证明

根据定义，概形态射 \(g : Y \to T\) 拟射影，是指它局部有限型、拟紧，并且存在一个相对于 \(g\) 丰沛的可逆层，定义在 \(Y\) 上。设 \(K/k\) 为域扩张，使得 \(X_K\) 在 \(K\) 上拟射影。设 \(\Spec(A) \subset X\) 为仿射开集。那么 \(U_K\) 是 \(X_K\) 的仿射开子概形，因而 \(A_K\) 是有限型 \(K\)-代数。由《代数》引理 00QP，\(A\) 是有限型 \(k\)-代数。因此 \(X \to \Spec(k)\) 局部有限型。由于 \(X_K \to \Spec(K)\) 拟紧，可知 \(X_K\) 拟紧，进而 \(X\) 拟紧，进而 \(X \to \Spec(k)\) 有限型。由《态射》引理 01VT，可知 \(X_K\) 有丰沛可逆层。再由引理 0BDC，\(X\) 有丰沛可逆层。因此，由《态射》引理 01VT， \(X \to \Spec(k)\) 拟射影。

下一个引理是《下降》引理 02L1 的特殊情形。

引理

设 \(k\) 为域，设 \(X\) 为 \(k\) 上的概形。如果 \(X_K\) 在 \(K\) 上固有，其中 \(K/k\) 是某个域扩张，那么 \(X\) 在 \(k\) 上固有。

证明

设 \(K/k\) 为域扩张，使得 \(X_K\) 在 \(K\) 上固有。回忆，这蕴含 \(X_K\) 分离且拟紧（《态射》定义 01W1）。态射 \(X_K \to X\) 满射。因此，\(X\) 作为拟紧概形的像而拟紧（《性质》定义 01PS）。由于 \(X_K\) 分离，可知 \(X\) 拟分离：如果 \(U, V \subset X\) 是仿射开集，那么 \((U \cap V)_K = U_K \cap V_K\) 拟紧，而 \((U \cap V)_K \to U \cap V\) 满射。因此《概形》引理 01KO 适用。

将 \(K = \colim A_i\) 写成 \(K\) 的各有限型 \(k\)-子代数的余极限。记 \(X_i = X \times_{\Spec(k)} \Spec(A_i)\)。由《极限》引理 081F，存在一个 \(i\)，使得 \(X_i \to \Spec(A_i)\) 固有。这里使用刚刚证明的 \(X\) 拟紧且拟分离。选取极大理想 \(\mathfrak m \subset A_i\)。由 Hilbert 零点定理（《代数》定理 00FV），剩余域 \(k' = A_i/\mathfrak m\) 是 \(k\) 的有限扩张。基变换 \(X_{k'} \to \Spec(k')\) 固有（《态射》引理 01W4）。由于 \(k'/k\) 有限， \(X_{k'} \to X\) 以及复合态射 \(X_{k'} \to \Spec(k)\) 也都固有（《态射》引理 01WN、 01W4 和 01W3）。第一个断言蕴含 \(X\) 在 \(k\) 上分离，因为 \(X_{k'}\) 分离（《态射》引理 09MQ）。第二个断言由《态射》引理 03GN 蕴含 \(X \to \Spec(k)\) 固有。

引理

设 \(k\) 为域，设 \(X\) 为 \(k\) 上的概形。如果 \(X_K\) 在 \(K\) 上射影，其中 \(K/k\) 是某个域扩张，那么 \(X\) 在 \(k\) 上射影。

证明

域 \(k\) 上的概形在 \(k\) 上射影，当且仅当它在 \(k\) 上拟射影且固有。见《态射》引理 0BCL。因此，引理由引理 0BDE 和 0BDF 推出。

切空间

本节利用取值于对偶数的点，定义概形态射在源概形一点处的切空间。

定义

对任意环 \(R\)，\(R\) 上的it 对偶数是一个 \(R\)-代数，记作 \(R[\epsilon]\)。作为 \(R\)-模，它是自由的，基为 \(1\)、\(\epsilon\)；其 \(R\)-代数结构来自规定 \(\epsilon^2 = 0\)。

设 \(f : X \to S\) 为概形态射。设 \(x \in X\) 为一点，它的像为 \(s = f(x)\)，这是 \(S\) 中的一点。考虑实线组成的交换图 [0B2A]\[\begin{equation} \vcenter{ \xymatrix{ \Spec(\kappa(x)) \ar[r] \ar[dr] \ar@/^1pc/[rr] & \Spec(\kappa(x)[\epsilon]) \ar@{.>}[r] \ar[d]& X \ar[d] \\ & \Spec(\kappa(s)) \ar[r] & S } } \end{equation}\] 其中弯曲箭头是从 \(\Spec(\kappa(x))\) 到 \(X\) 的典范态射。

引理

使图 (0B2A) 交换的虚线箭头之集合，具有典范的 \(\kappa(x)\)-向量空间结构。

证明

置 \(\kappa = \kappa(x)\)。注意，在概形范畴中有推出 \[\Spec(\kappa[\epsilon]) \amalg_{\Spec(\kappa)} \Spec(\kappa[\epsilon]) = \Spec(\kappa[\epsilon_1, \epsilon_2])\] 其中 \(\kappa[\epsilon_1, \epsilon_2]\) 是一个 \(\kappa\)-代数，以 \(1, \epsilon_1, \epsilon_2\) 为基，并且 \(\epsilon_1^2 = \epsilon_1\epsilon_2 = \epsilon_2^2 = 0\)。这立即来自环的相应结论，以及《概形》引理 01J6 中从局部环的谱到概形之态射的描述。给定两个箭头 \(\theta_1, \theta_2 : \Spec(\kappa[\epsilon]) \to X\)，可以考虑态射 \[\theta_1 + \theta_2 : \Spec(\kappa[\epsilon]) \to \Spec(\kappa[\epsilon_1, \epsilon_2]) \xrightarrow{\theta_1, \theta_2} X\] 其中第一个箭头由 \(\epsilon_i \mapsto \epsilon\) 给出。另一方面，给定 \(\lambda \in \kappa\)，存在 \(\Spec(\kappa[\epsilon])\) 的一个自映射，它对应于 \(\kappa\)-代数 \(\kappa[\epsilon]\) 的自同态，而该自同态将 \(\epsilon\) 映为 \(\lambda \epsilon\)。用这个自映射预合成 \(\theta : \Spec(\kappa[\epsilon]) \to X\)，便得到 \(\lambda \theta\)。读者可以通过验证适当概形交换图的存在性来验证向量空间公理。细节从略。（另一种证明是把一切都用局部环表述，再在环映射层面验证向量空间公理。）

定义

设 \(f : X \to S\) 为概形态射，并设 \(x \in X\)。使图 (0B2A) 交换的虚线箭头之集合，连同其典范的 \(\kappa(x)\)-向量空间结构，称为it \(X\) 在 \(S\) 上于 \(x\) 处的切空间，记作 \(T_{X/S, x}\)。这个空间的元素称为 \(X/S\) 在 \(x\) 处的it 切向量。

由于 \(x \in X\) 处的切向量存在于概形论纤维 \(X_s\) 中，而这个纤维来自 \(f : X \to S\) 且位于 \(s = f(x)\) 上，我们得到典范等同 [0BEA]\[\begin{equation} T_{X/S, x} = T_{X_s/s, x} \end{equation}\] 这个涉及点函子的优美定义有如下代数描述；它提示我们把it \(X\) 在 \(S\) 上于 \(x\) 处的余切空间定义为 \(\kappa(x)\)-向量空间 \[T^*_{X/S, x} = \Omega_{X/S, x} \otimes_{\mathcal{O}_{X, x}} \kappa(x)\] 其理由就在于，它典范地是 \(\kappa(x)\) 上的对偶，而所对偶的是 \(X\) 在 \(S\) 上于 \(x\) 处的切空间。

引理

设 \(f : X \to S\) 为概形态射，并设 \(x \in X\)。存在典范同构 \[T_{X/S, x} = \Hom_{\mathcal{O}_{X, x}}(\Omega_{X/S, x}, \kappa(x))\] 它是 \(\kappa(x)\) 上的向量空间同构。

证明

置 \(\kappa = \kappa(x)\)。给定 \(\theta \in T_{X/S, x}\)，得到映射 \[\theta^*\Omega_{X/S} \to \Omega_{\Spec(\kappa[\epsilon])/\Spec(\kappa(s))} \to \Omega_{\Spec(\kappa[\epsilon])/\Spec(\kappa)}\] 取截面得到一个 \(\mathcal{O}_{X, x}\)-线性映射 \(\xi_\theta : \Omega_{X/S, x} \to \kappa \text{d}\epsilon\)，也就是引理公式右侧的一个元素。为了证明 \(\theta \mapsto \xi_\theta\) 是同构，可以把 \(S\) 替换为 \(s\)，并把 \(X\) 替换为概形论纤维 \(X_s\)。事实上，公式两侧都只依赖于概形论纤维；对 \(T_{X/S, x}\) 这是清楚的，右侧则见《态射》引理 01V0。还可以把 \(X\) 替换为 \(\mathcal{O}_{X, x}\) 的谱，因为这既不改变 \(T_{X/S, x}\)（《概形》引理 01J6），也不改变 \(\Omega_{X/S, x}\)（《模》引理 08TE）。

设 \((A, \mathfrak m, \kappa)\) 为域 \(k\) 上的局部环。为完成证明，需要说明任意 \(A\)-线性映射 \(\xi : \Omega_{A/k} \to \kappa\) 都来自唯一的 \(k\)-代数映射 \(\varphi : A \to \kappa[\epsilon]\)，且后者与典范映射 \(c : A \to \kappa\) 在模 \(\epsilon\) 后一致。写成 \(\varphi(a) = c(a) + D(a) \epsilon\)，读者可见 \(a \mapsto D(a)\) 是 \(k\)-导子。利用 \(\Omega_{A/k}\) 的泛性质，可知每个 \(D\) 对应唯一的 \(\xi\)，反之亦然。证明完成。

引理

设 \(f : X \to S\) 为概形态射。设 \(x \in X\)，并设 \(s = f(x) \in S\)。假设 \(\kappa(x) = \kappa(s)\)。那么存在典范同构 \[\mathfrak m_x/(\mathfrak m_x^2 + \mathfrak m_s\mathcal{O}_{X, x}) = \Omega_{X/S, x} \otimes_{\mathcal{O}_{X, x}} \kappa(x)\] 和 \[T_{X/S, x} = \Hom_{\kappa(x)}( \mathfrak m_x/(\mathfrak m_x^2 + \mathfrak m_s\mathcal{O}_{X, x}), \kappa(x))\] 更一般地，当 \(\kappa(x)/\kappa(s)\) 是可分代数扩张时，结论仍成立。

证明

第二个同构由第一个同构和引理 0B2D 推出。对于第一个同构，可以把 \(S\) 替换为 \(s\)，并把 \(X\) 替换为 \(X_s\)，见《态射》引理 01V0。还可以把 \(X\) 替换为 \(\mathcal{O}_{X, x}\) 的谱，见《模》引理 08TE。因此，只须证明如下代数事实：设 \((A, \mathfrak m, \kappa)\) 为域 \(k\) 上的局部环，并且 \(\kappa/k\) 是可分代数扩张。那么典范映射 \[\mathfrak m/\mathfrak m^2 \longrightarrow \Omega_{A/k} \otimes \kappa\] 是同构。注意，\(\mathfrak m/\mathfrak m^2 = H_1(\NL_{\kappa/A})\)。由《代数》引理 00S2，只须证明 \(\Omega_{\kappa/k} = 0\) 和 \(H_1(\NL_{\kappa/k}) = 0\)。由于 \(\kappa\) 是 \(k\) 中各有限可分扩张的并，只须证明 \(\kappa\) 是 \(k\) 的有限可分扩张时的情形（《代数》引理 07BQ）。在这种情况下，环映射 \(k \to \kappa\) 是 étale 的，因而 \(\NL_{\kappa/k} = 0\)（这基本上就是定义，见《代数》第 00U0 节）。

引理

设 \(f : X \to Y\) 为基概形 \(S\) 上的概形态射。设 \(x \in X\)，并置 \(y = f(x)\)。如果 \(\kappa(y) = \kappa(x)\)，那么 \(f\) 诱导自然线性映射 \[\text{d}f : T_{X/S, x} \longrightarrow T_{Y/S, y}\] 经由引理 0B2D 的等同，它对偶于线性映射 \(\Omega_{Y/S, y} \otimes \kappa(y) \to \Omega_{X/S, x} \otimes \kappa(x)\)。

证明

从略。

引理

设 \(X\)、\(Y\) 为基 \(S\) 上的概形。设 \(x \in X\) 与 \(y \in Y\) 有同一像点 \(s \in S\)，且 \(\kappa(s) = \kappa(x)\) 和 \(\kappa(s) = \kappa(y)\)。存在典范同构 \[T_{X \times_S Y/S, (x, y)} = T_{X/S, x} \oplus T_{Y/S, y}\] 从左到右的映射由投影 \(X \times_S Y \to X\) 与 \(X \times_S Y \to Y\) 在切空间上诱导的映射给出。从右到左的映射由 \(1 \times y : X_s \to X_s \times_s Y_s\) 与 \(x \times 1 : Y_s \to X_s \times_s Y_s\) 给出，其中使用等同 (0BEA) 将切空间等同于纤维的切空间。

证明

直和分解来自《态射》引理 01V1，其中使用引理 0B2E。它与这些映射的相容性来自引理 0B2F。

引理

设 \(f : X \to Y\) 为基概形 \(S\) 上局部有限型的概形态射。设 \(x \in X\)，置 \(y = f(x)\)，并假设 \(\kappa(y) = \kappa(x)\)。那么下列条件等价：

\(\text{d}f : T_{X/S, x} \longrightarrow T_{Y/S, y}\) 是单射；

\(f\) 在 \(x\) 处非分歧。

证明

由《态射》引理 01T8，态射 \(f\) 局部有限型。映射 \(\text{d}f\) 是单射，当且仅当 \(\Omega_{Y/S, y} \otimes \kappa(y) \to \Omega_{X/S, x} \otimes \kappa(x)\) 是满射（引理 0B2F）。正合列 \(f^*\Omega_{Y/S} \to \Omega_{X/S} \to \Omega_{X/Y} \to 0\) （《态射》引理 01UX）于是说明，发生这种情况当且仅当 \(\Omega_{X/Y, x} \otimes \kappa(x) = 0\)。因此结论来自《态射》引理 02GF。

一般有限态射

本节重新讨论《态射》第 02NV 节研究过的概形一般有限态射。

引理

设 \(f : X \to Y\) 局部有限型。设 \(y \in Y\) 为一点，使 \(\mathcal{O}_{Y, y}\) 是维数 \(\leq 1\) 的 Noether 环。再假设下列条件之一成立：

对每个泛点 \(\eta\)，若它属于 \(X\) 的某个不可约分支，则域扩张 \(\kappa(\eta)/\kappa(f(\eta))\) 有限（或为代数扩张）；

对每个泛点 \(\eta\)，若它属于 \(X\) 的某个不可约分支，且 \(f(\eta) \leadsto y\)，域扩张 \(\kappa(\eta)/\kappa(f(\eta))\) 就有限（或为代数扩张）；

\(f\) 在 \(X\) 的不可约分支的每个泛点处拟有限；

\(Y\) 局部 Noether，且 \(f\) 在 \(X\) 的一个稠密点集上拟有限；

此处添加更多条件。

那么，\(f\) 在 \(X\) 中位于 \(y\) 上方的每一点处都拟有限。

证明

条件 (4) 蕴含 \(X\) 局部 Noether（《态射》引理 01T6）。态射拟有限的点集是开集（《态射》引理 01TI）。局部 Noether 概形的稠密开集包含不可约分支的所有泛点，因而 (4) 蕴含 (3)。由《态射》引理 01TG，条件 (3) 蕴含条件 (1)。条件 (1) 蕴含条件 (2)。所以只须在 (2) 成立时证明引理。

假设 (2) 成立。回忆，\(\Spec(\mathcal{O}_{Y, y})\) 是 \(Y\) 中特化到 \(y\) 的点集，见《概形》引理 01J7。结合《态射》引理 01TM，这说明可以把 \(Y\) 替换为 \(\Spec(\mathcal{O}_{Y, y})\)。因此可以假设 \(Y = \Spec(B)\)，其中 \(B\) 是维数 \(\leq 1\) 的 Noether 局部环，而 \(y\) 是闭点。

设 \(X = \bigcup X_i\) 是 \(X\) 的不可约分支，并把它们看作约化闭子概形。如果能证明每个纤维 \(X_{i, y}\) 都是离散空间，那么 \(X_y = \bigcup X_{i, y}\) 也离散；由《态射》引理 01TH，可得 \(X \to Y\) 在 \(X_y\) 的所有点处拟有限。因此可以假设 \(X\) 是整概形。

如果 \(X \to Y\) 把泛点 \(\eta\)（它是 \(X\) 的泛点）映到 \(y\)，那么 \(X\) 是 \(\kappa(y)\) 的一个有限扩张的谱，结论成立。假设 \(X\) 把 \(\eta\) 映到一个极小素理想 \(\mathfrak q\)（它属于 \(B\)）所对应的点，并且该点不同于 \(\mathfrak m_B\)。我们得到分解 \(X \to \Spec(B/\mathfrak q) \to \Spec(B)\)。设 \(x \in X\) 为位于 \(y\) 上方的点。由维数公式（《态射》引理 02JU），有 \[\dim(\mathcal{O}_{X, x}) \leq \dim(B/\mathfrak q) + \text{trdeg}_{\kappa(\mathfrak q)}(R(X)) - \text{trdeg}_{\kappa(y)} \kappa(x)\] 我们知道 \(\dim(B/\mathfrak q) = 1\)；\(X\) 的泛点不等于 \(x\) 且特化到 \(x\)；并且 \(R(X)\) 是 \(\kappa(\mathfrak q)\) 的代数扩张。因此得到 \[1 \leq 1 - \text{trdeg}_{\kappa(y)} \kappa(x)\] 于是，每一点 \(x\)（属于 \(X_y\)）都在 \(X_y\) 中闭，这是由《态射》引理 01TE 得到的；再由《态射》引理 01TH， \(X \to Y\) 在每一点 \(x\)（属于 \(X_y\)）处拟有限（该引理也蕴含 \(X_y\) 是离散拓扑空间）。

引理

设 \(f : X \to Y\) 为固有态射。设 \(y \in Y\) 为一点，使 \(\mathcal{O}_{Y, y}\) 是维数 \(\leq 1\) 的 Noether 环。再假设下列条件之一成立：

对每个泛点 \(\eta\)，若它属于 \(X\) 的某个不可约分支，则域扩张 \(\kappa(\eta)/\kappa(f(\eta))\) 有限（或为代数扩张）；

对每个泛点 \(\eta\)，若它属于 \(X\) 的某个不可约分支，且 \(f(\eta) \leadsto y\)，域扩张 \(\kappa(\eta)/\kappa(f(\eta))\) 就有限（或为代数扩张）；

\(f\) 在 \(X\) 的每个泛点处拟有限；

\(Y\) 局部 Noether，且 \(f\) 在 \(X\) 的一个稠密点集上拟有限；

此处添加更多条件。

那么，存在开邻域 \(V \subset Y\)，它包含 \(y\)，并使得 \(f^{-1}(V) \to V\) 有限。

证明

由引理 0AB6，态射 \(f\) 在纤维 \(X_y\) 的每一点处拟有限。因此 \(X_y\) 是离散拓扑空间（《态射》引理 01TH）。由于 \(f\) 固有，纤维 \(X_y\) 拟紧，也就是说，它是有限集。因此可以应用《概形上同调》引理 02OH 得出结论。

引理

设 \(X\) 为 Noether 概形。设 \(f : Y \to X\) 为双有理固有态射，且 \(Y\) 约化。设 \(U \subset X\) 为 \(f\) 在其上为同构的最大开集。那么 \(U\) 包含：

每个余维为 \(0\) 的点，只要它属于 \(X\)；

每个 \(x \in X\)，只要它余维为 \(1\)（这是在 \(X\) 上计算的），且 \(\mathcal{O}_{X, x}\) 是离散赋值环；

每个 \(x \in X\)，只要 \(Y \to X\) 在 \(x\) 上的纤维有限，且 \(\mathcal{O}_{X, x}\) 正规；

每个 \(x \in X\)，只要 \(f\) 在某个 \(y \in Y\) 处拟有限，该点位于 \(x\) 上方，并且 \(\mathcal{O}_{X, x}\) 正规。

证明

(1) 来自《态射》引理 0BAJ。(2) 来自 (3) 以及引理 0AB7（并使用有限态射有有限纤维这一事实）。

(3) 来自 (4) 和《态射》引理 02NG，但我们也给出一个直接证明。设 \(x \in X\) 如 (3) 所述。由《概形上同调》引理 02OH，可以假设 \(f\) 有限。可以假设 \(X\) 仿射。这把问题归约为 Noether 仿射概形之间的有限双有理态射 \(Y \to X\) 的情形，其中 \(x \in X\) 且 \(\mathcal{O}_{X, x}\) 是正规整环。由于 \(\mathcal{O}_{X, x}\) 是整环且 \(X\) Noether，可以把 \(X\) 替换为 \(x\) 的某个仿射开集，使之整。于是，由于 \(Y \to X\) 双有理且 \(Y\) 约化，可知 \(Y\) 整。写成 \(X = \Spec(A)\) 和 \(Y = \Spec(B)\)，可知 \(A \subset B\) 是分式域相同的整环之间的有限包含。如果 \(\mathfrak p \subset A\) 是对应于 \(x\) 的素理想，那么 \(A_\mathfrak p\) 正规蕴含 \(A_\mathfrak p \subset B_\mathfrak p\) 为等式。由于 \(B\) 是有限 \(A\)-模，可知存在 \(a \in A\)、\(a \not \in \mathfrak p\)，使 \(A_a \to B_a\) 是同构。

设 \(x \in X\) 与 \(y \in Y\) 如 (4) 所述。用仿射开邻域替换 \(X\) 后，可以假设 \(X = \Spec(A)\) 且 \(A \subset \mathcal{O}_{X, x}\)，见《性质》引理 0BX3。于是 \(A\) 是整环，从而 \(X\) 整。由于 \(f\) 双有理且 \(Y\) 约化，\(Y\) 也整。考虑环映射 \(\mathcal{O}_{X, x} \to \mathcal{O}_{Y, y}\)。这是本质有限型的环映射，剩余域扩张有限，并且 \(\dim(\mathcal{O}_{Y, y}/\mathfrak m_x\mathcal{O}_{Y, y}) = 0\)（要看出这一点，可逐项追溯《态射》定义 01TD 与《代数》定义 00PL 中拟有限映射的定义）。由《代数》引理 052V， \(\mathcal{O}_{Y, y}\) 是某个有限 \(\mathcal{O}_{X, x}\)-代数 \(B\) 的局部化。当然，可以用 \(B\) 的像替换 \(B\)，该像取在 \(\mathcal{O}_{Y, y}\) 中；并假设 \(B\) 是与 \(\mathcal{O}_{Y, y}\) 有相同分式域的整环。那么 \(\mathcal{O}_{X, x} \subset B\) 与之有相同分式域，因为 \(f\) 双有理。由于 \(\mathcal{O}_{X, x}\) 正规，可得 \(\mathcal{O}_{X, x} = B\)（因为有限蕴含整），特别地，\(\mathcal{O}_{X, x} = \mathcal{O}_{Y, y}\)。由《态射》引理 0BX6，缩小 \(X\) 后，可以假设存在截面 \(X \to Y\)，它是 \(f\) 的截面，把 \(x\) 映到 \(y\)，并在局部环上诱导给定同构。由于 \(X \to Y\) 是闭的（由《概形》引理 01KT），并且必然把 \(X\) 的泛点映到 \(Y\) 的泛点，可知 \(X \to Y\) 的像就是 \(Y\)。于是 \(Y = X\)，所需结论得证。

Noether 正规化的变式

Noether 正规化定理断言：若 \(k\) 是域，\(A\) 是有限型 \(k\)-代数，且维数为 \(d\)，那么存在有限单射 \(k\)-代数同态 \(k[x_1, \ldots, x_d] \to A\)。见《代数》引理 00OY。在几何上，这意味着存在有限满态射 \(\Spec(A) \to \mathbf{A}^d_k\)，它定义在 \(\Spec(k)\) 上。

引理

设 \(f : X \to S\) 为概形态射。设 \(x \in X\)，其像为 \(s \in S\)。设 \(V \subset S\) 是 \(s\) 的仿射开邻域。若 \(f\) 局部有限型且 \(\dim_x(X_s) = d\)，那么存在仿射开集 \(U \subset X\)，使得 \(x \in U\) 且 \(f(U) \subset V\)，并且 \(f|_U : U \to V\) 有分解 \[U \xrightarrow{\pi} \mathbf{A}^d_V \to V\] 其中 \(\pi\) 拟有限。

证明

这来自《代数》引理 00QE。

引理

设 \(f : X \to S\) 为仿射概形之间的有限型态射。设 \(s \in S\)。若 \(\dim(X_s) = d\)，那么 \(f\) 存在分解 \[X \xrightarrow{\pi} \mathbf{A}^d_S \to S\] 使得态射 \(\pi_s : X_s \to \mathbf{A}^d_{\kappa(s)}\)（即在 \(s\) 上的纤维态射）有限。

证明

写成 \(S = \Spec(A)\) 与 \(X = \Spec(B)\)，并设 \(A \to B\) 是对应于 \(f\) 的环映射。设 \(\mathfrak p \subset A\) 是对应于 \(s\) 的素理想。可以选取满射 \(A[x_1, \ldots, x_r] \to B\)。由《代数》引理 00OY，存在元 \(y_1, \ldots, y_d \in A\)，它们位于一个 \(\mathbf{Z}\)-子代数中；该子代数是在 \(A\) 中由 \(x_1, \ldots, x_r\) 生成的，并且使 \(A\)-代数同态 \(A[t_1, \ldots, t_d] \to B\)（把 \(t_i\) 送到 \(y_i\)）诱导有限 \(\kappa(\mathfrak p)\)-代数同态 \(\kappa(\mathfrak p)[t_1, \ldots, t_d] \to B \otimes_A \kappa(\mathfrak p)\)。这证明了引理。

引理

设 \(f : X \to S\) 为概形态射。设 \(x \in X\)。设 \(V = \Spec(A)\) 是 \(f(x)\) 的仿射开邻域，并且位于 \(S\) 中。若 \(f\) 在 \(x\) 处非分歧，那么存在仿射开集 \(U \subset X\)，使 \(x \in U\) 且 \(f(U) \subset V\)，并且存在交换图 \[\xymatrix{ X \ar[d] & U \ar[l] \ar[rd] \ar[r]^-j & \Spec(A[t]_{g'}/(g)) \ar[d] \ar[r] & \Spec(A[t]) = \mathbf{A}^1_V \ar[ld] \\ Y & & V \ar[ll] }\] 其中 \(j\) 是浸入，\(g \in A[t]\) 是首一多项式，而 \(g'\) 是 \(g\) 对 \(t\) 的导数。若 \(f\) 在 \(x\) 处是 étale 的，那么可选取该图，使 \(j\) 是开浸入。

证明

非分歧情形是《代数》命题 0395 的几何翻译。在 étale 情形，这是《代数》命题 00UE 的几何翻译；或者等价地，它来自《态射》引理 02GT，尽管两处的表述略有不同。

引理

设 \(f : X \to S\) 为仿射概形之间的有限型态射。设 \(x \in X\)，其像为 \(s \in S\)。设 \[r = \dim_{\kappa(x)} \Omega_{X/S, x} \otimes_{\mathcal{O}_{X, x}} \kappa(x) = \dim_{\kappa(x)} \Omega_{X_s/s, x} \otimes_{\mathcal{O}_{X_s, x}} \kappa(x) = \dim_{\kappa(x)} T_{X/S, x}\] 那么 \(f\) 存在分解 \[X \xrightarrow{\pi} \mathbf{A}^r_S \to S\] 使得 \(\pi\) 在 \(x\) 处非分歧。

证明

由《态射》引理 01V2，第一个维数是有限的。第一个等式来自《态射》引理 01V0：\(\Omega_{X/S}\) 到纤维上的限制就是微分模。最后一个等式来自引理 0B2D。因此该表述有意义。

为证明引理，写成 \(S = \Spec(A)\) 与 \(X = \Spec(B)\)，并设 \(A \to B\) 是对应于 \(f\) 的环映射。设 \(\mathfrak q \subset B\) 是对应于 \(x\) 的素理想。选取 \(A\)-代数的满射 \(A[x_1, \ldots, x_t] \to B\)。由于 \(\Omega_{B/A}\) 由 \(\text{d}x_1, \ldots, \text{d}x_t\) 生成，它们在 \(\Omega_{X/S, x} \otimes_{\mathcal{O}_{X, x}} \kappa(x)\) 中的像生成该 \(\kappa(x)\)-向量空间。重新编号后，可以假设 \(\text{d}x_1, \ldots, \text{d}x_r\) 的像构成 \(\Omega_{X/S, x} \otimes_{\mathcal{O}_{X, x}} \kappa(x)\) 的一组基。我们断言 \(P = A[x_1, \ldots, x_r] \to B\) 在 \(\mathfrak q\) 处非分歧。为此，只须证明 \(\Omega_{B/P, \mathfrak q} = 0\)（《代数》引理 00UV）。注意，\(\Omega_{B/P}\) 是 \(\Omega_{B/A}\) 对由 \(\text{d}x_1, \ldots, \text{d}x_r\) 生成的子模之商。因此有 \(\Omega_{B/P, \mathfrak q} \otimes_{B_\mathfrak q} \kappa(\mathfrak q) = 0\)；这是由我们对 \(x_1, \ldots, x_r\) 的选取得到的。由 Nakayama 引理，更精确地说，由《代数》引理 00DV 的 (2)（它可用，因为 \(\Omega_{B/P}\) 是有限模，见上面的引用），可得 \(\Omega_{B/P, \mathfrak q} = 0\)。

引理

设 \(f : X \to S\) 为概形态射。设 \(x \in X\)，其像为 \(s \in S\)。设 \(V \subset S\) 是 \(s\) 的仿射开邻域。若 \(f\) 局部有限型且 \[r = \dim_{\kappa(x)} \Omega_{X/S, x} \otimes_{\mathcal{O}_{X, x}} \kappa(x) = \dim_{\kappa(x)} \Omega_{X_s/s, x} \otimes_{\mathcal{O}_{X_s, x}} \kappa(x) = \dim_{\kappa(x)} T_{X/S, x}\] 那么存在下列两种情形：

存在仿射开集 \(U \subset X\)，使 \(x \in U\) 且 \(f(U) \subset V\)，并且 \(f|_U\) 存在分解 \[U \xrightarrow{j} \mathbf{A}^{r + 1}_V \to V\] 其中 \(j\) 是浸入；或者

存在仿射开集 \(U \subset X\)，使 \(x \in U\) 且 \(f(U) \subset V\)，并且 \(f|_U\) 存在分解 \[U \xrightarrow{j} D \to V\] 其中 \(j\) 是闭浸入，而 \(D \to V\) 光滑且相对维数为 \(r\)。

证明

任取仿射开集 \(U \subset X\)，使 \(x \in U\) 且 \(f(U) \subset V\)。对 \(U \to V\) 应用引理 0CBK，得到该引理中的 \(U \to \mathbf{A}^r_V \to V\)。由引理 0CBJ，得到分解 \[U \xrightarrow{j} D \xrightarrow{j'} \mathbf{A}^{r + 1}_V \xrightarrow{p} \mathbf{A}^r_V \to V\] 其中 \(j\) 与 \(j'\) 是浸入，\(p\) 是投影，而 \(p \circ j'\) 是标准 étale 态射。特别地，这说明 (1) 与 (2) 成立。

纤维的维数

我们已经看到，有限型态射的纤维维数通常会跳升。本节讨论余维 \(1\) 中不会发生这种现象，并更一般地讨论纤维维数能跳升多少。下面列出一些相关结果：

对有限型态射 \(X \to S\)，若点 \(x \in X\) 满足 \(\dim_x(X_{f(x)}) \leq d\)，则所有这类点组成开集，见《代数》引理 00QH 和《态射》引理 02FZ。
我们有维数公式，见《代数》引理 02IJ 和《态射》引理 02JU。
对支配赋值环的整有限型概形，纤维维数为常数，见《代数》引理 00QK。
若 \(X \to S\) 有限型，并且在 \(X\) 的每个泛点处拟有限，那么 \(X \to S\) 在余维 \(1\) 中拟有限，见《代数》引理 02MA 和引理 0AB6。

上述最后一个结果可如下推广。

引理

设 \(f : X \to Y\) 局部有限型。设 \(x \in X\) 是一点，其像为 \(y \in Y\)，并且 \(\mathcal{O}_{Y, y}\) 是维数 \(\leq 1\) 的 Noether 环。设 \(d \geq 0\) 是整数，使得对每个泛点 \(\eta\)，若它属于 \(X\) 的一个包含 \(x\) 的不可约分支，则 \(\dim_\eta(X_{f(\eta)}) = d\)。那么 \(\dim_x(X_y) = d\)。

证明

回忆，\(\Spec(\mathcal{O}_{Y, y})\) 是 \(Y\) 中特化到 \(y\) 的点集，见《概形》引理 01J7。因此可以替换 \(Y\)，把它取为 \(\Spec(\mathcal{O}_{Y, y})\)，并假设 \(Y = \Spec(B)\)，其中 \(B\) 是维数 \(\leq 1\) 的 Noether 局部环，而 \(y\) 是闭点。还可以替换 \(X\)，把它取为 \(x\) 的一个仿射邻域。

设 \(X = \bigcup X_i\) 是 \(X\) 的不可约分支，并把它们视为约化闭子概形。若能证明每个纤维 \(X_{i, y}\) 的维数都为 \(d\)，那么 \(X_y = \bigcup X_{i, y}\) 的维数也为 \(d\)。因此可以假设 \(X\) 是整概形。

若 \(X \to Y\) 把泛点 \(\eta\)（它是 \(X\) 的泛点）映到 \(y\)，那么 \(X\) 是 \(\kappa(y)\) 上的概形，结论由假设立即成立。假设 \(X\) 把 \(\eta\) 映到点 \(\xi \in Y\)，它对应于极小素理想 \(\mathfrak q\)（它属于 \(B\)），且它不同于 \(\mathfrak m_B\)。我们得到分解 \(X \to \Spec(B/\mathfrak q) \to \Spec(B)\)。由维数公式（《态射》引理 02JU），有 \[\dim(\mathcal{O}_{X, x}) + \text{trdeg}_{\kappa(y)} \kappa(x) \leq \dim(B/\mathfrak q) + \text{trdeg}_{\kappa(\mathfrak q)}(R(X))\] 我们有 \(\dim(B/\mathfrak q) = 1\)。又有 \(\text{trdeg}_{\kappa(\mathfrak q)}(R(X)) = d\)，这来自假设 \(\dim_\eta(X_\xi) = d\)，见《态射》引理 02FX。由于 \(\mathcal{O}_{X, x} \to \mathcal{O}_{X_s, x}\) 有核（因为 \(\eta \mapsto \xi \not = y\)），并且 \(\mathcal{O}_{X, x}\) 是 Noether 整环，可知 \(\dim(\mathcal{O}_{X, x}) > \dim(\mathcal{O}_{X_y, x})\)。从而 \[\dim_x(X_s) = \dim(\mathcal{O}_{X_s, x}) + \text{trdeg}_{\kappa(y)} \kappa(x) \leq d\] （《态射》引理 02FX）。另一方面，由《态射》引理 02FZ，有 \(\dim_x(X_s) \geq \dim_\eta(X_{f(\eta)}) = d\)。

引理

设 \(f : X \to \Spec(R)\) 是从不可约概形到赋值环之谱的态射。若 \(f\) 局部有限型且满射，那么特殊纤维等维，且其维数等于一般纤维的维数。

证明

可以用其约化替换 \(X\)，因为这不改变 \(X\) 或特殊纤维的维数。于是 \(X\) 整，引理来自《代数》引理 00QK。

下一个引理推广引理 0B2I。

引理

设 \(f : X \to Y\) 局部有限型。设 \(x \in X\) 是一点，其像为 \(y \in Y\)，并且 \(\mathcal{O}_{Y, y}\) 是 Noether 环。设 \(d \geq 0\) 是整数，使得对每个泛点 \(\eta\)，若它属于 \(X\) 的一个包含 \(x\) 的不可约分支，则有 \(f(\eta) \not = y\) 且 \(\dim_\eta(X_{f(\eta)}) = d\)。那么 \(\dim_x(X_y) \leq d + \dim(\mathcal{O}_{Y, y}) - 1\)。

证明

与引理 0B2I 的证明完全一样，我们把问题归约到 \(X = \Spec(A)\) 的情形，其中 \(A\) 是整环，而 \(Y = \Spec(B)\)，其中 \(B\) 是局部 Noether 环，它的极大理想对应于 \(y\)。把 \(B\) 替换为 \(B/\Ker(B \to A)\) 后，可以假设 \(B\) 是整环且 \(B \subset A\)。然后使用维数公式（《态射》引理 02JU）得到 \[\dim(\mathcal{O}_{X, x}) + \text{trdeg}_{\kappa(y)} \kappa(x) \leq \dim(B) + \text{trdeg}_B(A)\] 我们有 \(\text{trdeg}_B(A) = d\)，这是因为假设 \(\dim_\eta(X_\xi) = d\)，见《态射》引理 02FX。由于 \(\mathcal{O}_{X, x} \to \mathcal{O}_{X_y, x}\) 有核（因为 \(f(\eta) \not = y\)），并且 \(\mathcal{O}_{X, x}\) 是 Noether 整环，可知 \(\dim(\mathcal{O}_{X, x}) > \dim(\mathcal{O}_{X_y, x})\)。从而 \[\dim_x(X_y) = \dim(\mathcal{O}_{X_y, x}) + \text{trdeg}_{\kappa(y)} \kappa(x) < \dim(B) + d\] （等式来自《态射》引理 02FX），这就证明了所需结论。

代数概形

下列定义取自 [EGA, I Definition 6.4.1]。

定义

设 \(k\) 为域。称 \(k\) 上的概形 \(X\) 为it 代数 \(k\)-概形，如果结构态射 \(X \to \Spec(k)\) 有限型。称 \(k\) 上的概形 \(X\) 为it 局部代数 \(k\)-概形，如果结构态射 \(X \to \Spec(k)\) 局部有限型。

注意，每个（局部）代数 \(k\)-概形都是（局部）Noether 概形，见《态射》引理 01T6。代数 \(k\)-概形的范畴具有所有积和纤维积（这不同于 \(k\) 上簇的范畴）。局部代数 \(k\)-概形的范畴也一样。

引理

设 \(k\) 为域。设 \(X\) 是局部代数 \(k\)-概形，且维数为 \(0\)。那么 \(X\) 是若干局部 Artin \(k\)-代数 \(A\) 的谱的不交并，并且 \(\dim_k(A) < \infty\)。若 \(X\) 是代数 \(k\)-概形，且维数为 \(0\)，那么此外 \(X\) 是仿射的，并且态射 \(X \to \Spec(k)\) 是有限态射。

证明

设 \(X\) 是局部代数 \(k\)-概形，且维数为 \(0\)。设 \(U = \Spec(A) \subset X\) 是仿射开子概形。由于 \(\dim(X) = 0\)，可知 \(\dim(A) = 0\)。由 Noether 正规化（见《代数》引理 00OY），存在有限单射 \(k \to A\)，即 \(\dim_k(A) < \infty\)。因此 \(A\) 是 Artin 环，见《代数》引理 00J6。这蕴涵 \(A = A_1 \times \ldots \times A_r\) 是有限多个 Artin 局部环的积，见《代数》引理 00JB。当然，\(\dim_k(A_i) < \infty\) 对每个 \(i\) 都成立，因为这些维数之和等于 \(\dim_k(A)\)。

以上论证说明，\(X\) 有一个开覆盖，其成员都是有限离散拓扑空间。因此 \(X\) 是离散拓扑空间。于是 \(X\) 同构于其连通分支的不交并，而每个连通分支都是单点。单点概形是仿射的，故由上一段的结果，每个这样的单点都是某个局部 Artin \(k\)-代数 \(A\) 的谱，并且 \(\dim_k(A) < \infty\)。

最后，若 \(X\) 是代数 \(k\)-概形且维数为 \(0\)，则 \(X\) 拟紧，因而是有限不交并 \(X = \Spec(A_1) \amalg \ldots \amalg \Spec(A_r)\)，所以是仿射的（见《概形》引理 01I5）；而证明的第一段已经说明 \(X \to \Spec(k)\) 是有限态射。

下列引理汇集了局部代数概形维数论的一些陈述。

引理

设 \(k\) 为域。设 \(X\) 是局部代数 \(k\)-概形。

\(X\) 的拓扑空间是链状的（《拓扑》定义 02I1）。

若 \(x \in X\) 是闭点，则 \(\dim_x(X) = \dim(\mathcal{O}_{X, x})\)。

若 \(X\) 不可约，则有 \(\dim(X) = \dim(U)\)，其中 \(U \subset X\) 为任意非空开集；并且有 \(\dim(X) = \dim_x(X)\)，其中 \(x \in X\) 任意。

若 \(X\) 不可约，则不可约闭子集的任意链都可以延拓为极大链，并且不可约闭子集的每条极大链的长度都等于 \(\dim(X)\)。

对 \(x \in X\)，有 \(\dim_x(X) = \max \dim(Z) = \min \dim(\mathcal{O}_{X, x'})\)，其中极大值取遍不可约分支 \(Z \subset X\)，这些分支包含 \(x\)；极小值取遍满足 \(x \leadsto x'\) 且 \(x'\) 在 \(X\) 中闭的特化。

若 \(X\) 不可约且泛点为 \(x\)，则 \(\dim(X) = \text{trdeg}_k(\kappa(x))\)。

若 \(x \leadsto x'\) 是 \(X\) 中点的直接特化，则 \(\text{trdeg}_k(\kappa(x)) = \text{trdeg}_k(\kappa(x')) + 1\)。

\(X\) 的维数等于数 \(\text{trdeg}_k(\kappa(x))\) 的上确界，其中 \(x\) 取遍 \(X\) 的不可约分支的泛点。

若 \(x \leadsto x'\) 是 \(X\) 中点的非平凡特化，则

\(\dim_x(X) \leq \dim_{x'}(X)\)，

\(\dim(\mathcal{O}_{X, x}) < \dim(\mathcal{O}_{X, x'})\)，

\(\text{trdeg}_k(\kappa(x)) > \text{trdeg}_k(\kappa(x'))\)，并且

任意非平凡特化的极大链 \(x = x_0 \leadsto x_1 \leadsto \ldots \leadsto x_n = x'\) 的长度为 \(n = \text{trdeg}_k(\kappa(x)) - \text{trdeg}_k(\kappa(x'))\)。

对 \(x \in X\)，有 \(\dim_x(X) = \text{trdeg}_k(\kappa(x)) + \dim(\mathcal{O}_{X, x})\)。

若 \(x \leadsto x'\) 是 \(X\) 中点的直接特化，并且 \(X\) 不可约或等维，则 \(\dim(\mathcal{O}_{X, x'}) = \dim(\mathcal{O}_{X, x}) + 1\)。

证明

我们不依赖前面证明的更一般结果，而把这些陈述归约为有限型 \(k\)-代数的相应陈述，并引用交换代数章中的结果。

(0B17) 的证明。由《拓扑》引理 02I2，这是关于 \(X\) 的局部问题。因此可以假设 \(X = \Spec(A)\)，其中 \(A\) 是有限型 \(k\)-代数。我们必须证明 \(A\) 是链环（《代数》引理 02IH）。利用《代数》引理 00NK，可以归约到 \(k[x_1, \ldots, x_n]\)，然后应用《代数》引理 00OR。另一种证明是：\(k\) 显然是 Cohen–Macaulay 环，而 Cohen–Macaulay 环是普遍链环（《代数》引理 00NM）。

(0B18) 的证明。选取仿射邻域 \(U = \Spec(A)\)，它包含 \(x\)。则 \(\dim_x(X) = \dim_x(U)\)。因此归约到仿射情形，这正是《代数》引理 00OU。

(0B19) 的证明。只需证明任意两个非空仿射开集 \(U, U' \subset X\) 具有相同维数（不可约子集的任意有限链都与某个仿射开集相交）。选取闭点 \(x\)（它是 \(X\) 的闭点），使得 \(x \in U \cap U'\)。这是可能的，因为 \(X\) 不可约，故 \(U \cap U'\) 非空；又由引理 0478， \(X\) 是 Jacobson 概形，所以其中存在这样的闭点。由《代数》引理 00OS，有 \(\dim(U) = \dim(\mathcal{O}_{X, x}) = \dim(U')\)（严格地说，应用该引理前必须用其约化替换 \(X\)）。

(0B1A) 的证明。给定不可约闭子集的一条链，可以找到与其中最小者相交的仿射开集 \(U \subset X\)。因此，结论来自《代数》引理 00OS 以及我们在 (0B19) 中看到的 \(\dim(U) = \dim(X)\)。

(0B1B) 的证明。选取仿射邻域 \(U = \Spec(A)\)，它包含 \(x\)。则 \(\dim_x(X) = \dim_x(U)\)。规则 \(Z \mapsto Z \cap U\) 给出 \(X\) 的不可约分支（它们经过 \(x\)）与 \(U\) 的不可约分支（它们经过 \(x\)）之间的双射。并且由 (0B19)，有 \(\dim(Z \cap U) = \dim(Z)\)，这对这样的 \(Z\) 成立。因此结论来自《代数》引理 00OT。

(0B1C) 的证明。由 (0B19)，可以归约到 \(X = \Spec(A)\) 为仿射的情形。此时，把《代数》引理 00P0 应用于 \(A_{red}\) 即得结论。

(0B1D) 的证明。设 \(Z = \overline{\{x\}} \supset Z' = \overline{\{x'\}}\)。由 (0B1A)，\(Z \supset Z'\) 是 \(Z\) 中不可约闭子概形的一条极大链的开端，因而 \(\dim(Z) = \dim(Z') + 1\)。再由 (0B1C) 即得结论。

(0B1E) 的证明。一个简单的拓扑论证说明 \(\dim(X) = \sup \dim(Z)\)，其中上确界取遍 \(X\) 的不可约分支（提示：使用《拓扑》引理 004W）。因此结论来自 (0B1C)。

(0B1F) 的证明。(a) 来自如下事实：每个开集 \(U \subset X\)，若它包含 \(x'\)，则也包含 \(x\)。(b) 来自如下事实：\(\mathcal{O}_{X, x}\) 是 \(\mathcal{O}_{X, x'}\) 的一个局部化，因而 \(\mathcal{O}_{X, x}\) 中的每条素理想链都对应于 \(\mathcal{O}_{X, x'}\) 中的一条素理想链，而且可在末端添加 \(\mathfrak m_{x'}\) 来延长它。(c) 和 (d) 都形式地来自 (0B1D)。

(0B1G) 的证明。选取仿射邻域 \(U = \Spec(A)\)，它包含 \(x\)。则 \(\dim_x(X) = \dim_x(U)\)。因此归约到仿射情形，这正是《代数》引理 00P1。

(0B1H) 的证明。若 \(X\) 等维（《拓扑》定义 0058），则 \(\dim(X)\) 等于 \(X\) 的每个不可约分支的维数，从而由 (0B1B)，有 \(\dim_x(X) = \dim(X) = \dim_{x'}(X)\)。因此结论来自 (0B1D)。

引理

设 \(k\) 为域。设 \(f : X \to Y\) 是局部代数 \(k\)-概形之间的态射。

对 \(y \in Y\)，纤维 \(X_y\) 是 \(\kappa(y)\) 上的局部代数概形，因而引理 0A21 的所有结果都适用。

假设 \(X\) 不可约。令 \(Z = \overline{f(X)}\)，并令 \(d = \dim(X) - \dim(Z)\)。则

有 \(\dim_x(X_{f(x)}) \geq d\)，对所有 \(x \in X\) 都成立，

点 \(x \in X\) 中满足 \(\dim_x(X_{f(x)}) = d\) 的那些点组成稠密开集，

若 \(\dim(\mathcal{O}_{Z, f(x)}) \geq 1\)，则 \(\dim_x(X_{f(x)}) \leq d + \dim(\mathcal{O}_{Z, f(x)}) - 1\)，

若 \(\dim(\mathcal{O}_{Z, f(x)}) = 1\)，则 \(\dim_x(X_{f(x)}) = d\)。

对 \(x \in X\)，若 \(y = f(x)\)，则有 \(\dim_x(X_y) \geq \dim_x(X) - \dim_y(Y)\)。

证明

由《态射》引理 01T8，态射 \(f\) 局部有限型。因此基变换 \(X_y \to \Spec(\kappa(y))\) 局部有限型。这证明了 (1)。在证明的其余部分，我们将自由地对 \(X\)、\(Y\) 和 \(f\) 的纤维使用引理 0A21 的结果。

(2) 的证明。设 \(\eta \in X\) 为泛点，并令 \(\xi = f(\eta)\)。则 \(Z = \overline{\{\xi\}}\)。因此 \[d = \dim(X) - \dim(Z) = \text{trdeg}_k \kappa(\eta) - \text{trdeg}_k \kappa(\xi) = \text{trdeg}_{\kappa(\xi)} \kappa(\eta) = \dim_\eta(X_\xi)\] 于是 (2)(a) 和 (2)(b) 来自《态射》引理 02FZ。(2)(c) 和 (2)(d) 来自引理 0B2K 和 0B2I。

(3) 的证明。设 \(x \in X\)。设 \(X' \subset X\) 是 \(X\) 的一个不可约分支，它经过 \(x\) 且维数为 \(\dim_x(X)\)。于是 (2) 蕴涵 \(\dim_x(X_y) \geq \dim(X') - \dim(Z')\)，其中 \(Z' \subset Y\) 是 \(X'\) 的像的闭包。这证明了 (3)。

引理

设 \(k\) 为域。设 \(X\)、\(Y\) 是局部代数 \(k\)-概形。

若 \(z \in X \times Y\) 位于 \((x, y)\) 上方，则 \(\dim_z(X \times Y) = \dim_x(X) + \dim_y(Y)\)。

有 \(\dim(X \times Y) = \dim(X) + \dim(Y)\)。

证明

(1) 的证明。考虑结构态射的分解 \[X \times Y \longrightarrow Y \longrightarrow \Spec(k)\] 第一个态射 \(p : X \times Y \to Y\) 是平坦态射，因为它是平坦态射 \(X \to \Spec(k)\) 的基变换，见《态射》引理 01U9。此外，由《态射》引理 02FY，有 \(\dim_z(p^{-1}(y)) = \dim_x(X)\)。因此由《态射》引理 02JS，有 \(\dim_z(X \times Y) = \dim_x(X) + \dim_y(Y)\)。(2) 是 (1) 的直接推论。

完备局部环

这里给出域上概形的完备局部环的一些结果。

引理

设 \(k\) 为域。设 \(X\) 是 \(k\) 上的局部 Noether 概形。设 \(x \in X\) 是一点，其剩余域为 \(\kappa\)。存在同构 [0C53]\[\begin{equation} \kappa[[x_1, \ldots, x_n]]/I \longrightarrow \mathcal{O}_{X, x}^\wedge \end{equation}\] 它在剩余域上诱导恒等映射。一般而言，不能选取 (0C53) 使其成为 \(k\)-代数同构。然而，若扩张 \(\kappa/k\) 可分，则可以选取 (0C53) 使其成为 \(k\)-代数同构。

证明

该同构的存在性是 Cohen 结构定理的直接推论²（《代数》定理 032A）。

设 \(p\) 为奇素数，设 \(k = \mathbf{F}_p(t)\)，并令 \(A = k[x, y]/(y^2 + x^p - t)\)。则完备化 \(A^\wedge\)（即 \(A\) 在极大理想 \(\mathfrak m = (y)\) 处的完备化）作为环同构于 \(k(t^{1/p})[[z]]\)，但不作为 \(k\)-代数同构。原因是 \(A^\wedge\) 不含有 \(p\) 次幂为 \(t\) 的元素（读者可以通过模 \(y^2\) 计算看出这一点）。这也说明 (0C53) 的任何同构都不可能是 \(k\)-代数同构。

若 \(\kappa/k\) 可分，则由《代数进阶》引理 0C34，存在 \(k\)-代数同态 \(\kappa \to \mathcal{O}_{X, x}^\wedge\)，它在剩余域上诱导恒等映射。设 \(f_1, \ldots, f_n \in \mathfrak m_x\) 为一组生成元。考虑映射 \[\kappa[[x_1, \ldots, x_n]] \longrightarrow \mathcal{O}_{X, x}^\wedge,\quad x_i \longmapsto f_i\] 由于两边关于 \((x_1, \ldots, x_n)\) 都完备（右边的完备性见《代数》引理 05GG），而且按构造，该映射模 \((x_1, \ldots, x_n)\) 是满射，所以由《代数》引理 0315，该映射是满射。

引理

设 \(K/k\) 是域扩张。设 \(X\) 是局部代数 \(k\)-概形。令 \(Y = X_K\)。设 \(y \in Y\) 是一点，其像为 \(x \in X\)。假设 \(\dim(\mathcal{O}_{X, x}) = \dim(\mathcal{O}_{Y, y})\)，并且 \(\kappa(x)/k\) 可分。选取如 (0C53) 中的 \(k\)-代数同构 \[\kappa(x)[[x_1, \ldots, x_n]]/(g_1, \ldots, g_m) \longrightarrow \mathcal{O}_{X, x}^\wedge\] 则存在如 (0C53) 中的 \(K\)-代数同构 \[\kappa(y)[[x_1, \ldots, x_n]]/(g_1, \ldots, g_m) \longrightarrow \mathcal{O}_{Y, y}^\wedge\] 这里使用 \(\kappa(x) \to \kappa(y)\)，把 \(g_j\) 看作 \(\kappa(y)\) 上的幂级数。

证明

局部环映射 \(\mathcal{O}_{X, x} \to \mathcal{O}_{Y, y}\) 诱导局部环映射 \(\mathcal{O}_{X, x}^\wedge \to \mathcal{O}_{Y, y}^\wedge\)。诱导映射 \[\kappa(x) \to \kappa(x)[[x_1, \ldots, x_n]]/(g_1, \ldots, g_m) \to \mathcal{O}_{X, x}^\wedge \to \mathcal{O}_{Y, y}^\wedge\] 与到 \(\kappa(y)\) 的投影复合后，就是典范同态 \(\kappa(x) \to \kappa(y)\)。由引理 0C4Y，剩余域 \(\kappa(y)\) 是 \(\kappa(x) \otimes_k K\) 在核 \(\mathfrak p_0\) 处的局部化；这里所指的同态为 \(\kappa(x) \otimes_k K \to \kappa(y)\)。另一方面，由引理 0C50，局部环 \((\kappa(x) \otimes_k K)_{\mathfrak p_0}\) 等于 \(\kappa(y)\)。因此映射 \[\kappa(x) \otimes_k K \to \mathcal{O}_{Y, y}^\wedge\] 典范地经过 \(\kappa(y)\) 分解。我们得到交换图 \[\xymatrix{ \kappa(y) \ar[rr] & & \mathcal{O}_{Y, y}^\wedge \\ \kappa(x) \ar[r] \ar[u] & \kappa(x)[[x_1, \ldots, x_n]]/(g_1, \ldots, g_m) \ar[r] & \mathcal{O}_{X, x}^\wedge \ar[u] }\] 设 \(f_i \in \mathfrak m_x^\wedge \subset \mathcal{O}_{X, x}^\wedge\) 为 \(x_i\) 的像。注意，由于该映射是满射，有 \(\mathfrak m_x^\wedge = (f_1, \ldots, f_n)\)。考虑映射 \[\kappa(y)[[x_1, \ldots, x_n]] \longrightarrow \mathcal{O}_{Y, y}^\wedge,\quad x_i \longmapsto f_i\] 这里的 \(f_i\) 实际上是指 \(f_i\) 在 \(\mathfrak m_y^\wedge\) 中的像。由引理 0C50，有 \(\mathfrak m_x \mathcal{O}_{Y, y} = \mathfrak m_y\)，所以右边关于 \((x_1, \ldots, x_n)\) 完备（使用《代数》引理 05GG 可知它是完备局部环）。由于两边关于 \((x_1, \ldots, x_n)\) 都完备，而该映射模 \((x_1, \ldots, x_n)\) 是满射，故由《代数》引理 0315，我们的映射是满射。当然，幂级数 \(g_1, \ldots, g_m\) 在此映射下映为零，因为它们在 \(\mathcal{O}_{X, x}^\wedge\) 中已经映为零。因此有交换图 \[\xymatrix{ \kappa(y)[[x_1, \ldots, x_n]]/(g_1, \ldots, g_m) \ar[r] & \mathcal{O}_{Y, y}^\wedge \\ \kappa(x)[[x_1, \ldots, x_n]]/(g_1, \ldots, g_m) \ar[r] \ar[u] & \mathcal{O}_{X, x}^\wedge \ar[u] }\] 还需要证明上方的水平箭头是同构。我们已经知道它是满射。由引理 0C4Y，\(\mathcal{O}_{X, x} \to \mathcal{O}_{Y, y}\) 是平坦的，这蕴涵 \(\mathcal{O}_{X, x}^\wedge \to \mathcal{O}_{Y, y}^\wedge\) 是平坦的（《代数进阶》引理 0C4G）。因此可以应用《代数》引理 00ME，其中 \(R = \kappa(x)[[x_1, \ldots, x_n]]/(g_1, \ldots, g_m)\)， \(S = \kappa(y)[[x_1, \ldots, x_n]]/(g_1, \ldots, g_m)\)， \(M = \mathcal{O}_{Y, y}^\wedge\)，并且 \(N = S\)，从而得出该映射是单射。

全局生成

这里给出与准凝聚模全局生成有关的一些引理。

引理

设 \(X \to \Spec(A)\) 是概形的态射。设 \(A \subset A'\) 是忠实平坦环映射。设 \(\mathcal{F}\) 是准凝聚 \(\mathcal{O}_X\)-模。那么 \(\mathcal{F}\) 全局生成，当且仅当基变换 \(\mathcal{F}_{A'}\) 全局生成。

证明

更准确地说，令 \(X_{A'} = X \times_{\Spec(A)} \Spec(A')\)。令 \(\mathcal{F}_{A'} = p^*\mathcal{F}\)，其中 \(p : X_{A'} \to X\) 是投影。由《概形上同调》引理 02KH，有 \(H^0(X_{k'}, \mathcal{F}_{A'}) = H^0(X, \mathcal{F}) \otimes_A A'\)。因此，若 \(s_i\)（\(i \in I\)）是 \(H^0(X, \mathcal{F})\) 作为 \(A\)-模的一组生成元，则它们在 \(H^0(X_{A'}, \mathcal{F}_{A'})\) 中的像是 \(H^0(X_{A'}, \mathcal{F}_{A'})\) 作为 \(A'\)-模的一组生成元。所以只需证明映射 \(\alpha : \bigoplus_{i \in I} \mathcal{O}_X \to \mathcal{F}\)， \((f_i) \mapsto \sum f_i s_i\) 是满射，当且仅当 \(p^*\alpha\) 是满射。这可以在仿射开集 \(U = \Spec(B)\) 上检验；它是 \(X\) 的开集。此时 \(\mathcal{F}|_U\) 对应于 \(B\)-模 \(M\)，而 \(s_i|_U\) 对应于元素 \(x_i \in M\)。因此只需证明 \(\bigoplus_{i \in I} B \to M\) 是满射，当且仅当基变换 \(\bigoplus_{i \in I} B \otimes_A A' \to M \otimes_A A'\) 是满射。这成立是因为 \(A \to A'\) 忠实平坦。

引理

设 \(k\) 是无限域。设 \(X\) 是 \(k\) 上的有限型概形。设 \(\mathcal{L}\) 是 \(X\) 上的甚丰沛可逆层。设 \(n \geq 0\)，并设 \(x, x_1, \ldots, x_n \in X\) 是若干点，其中 \(x\) 是 \(k\)-有理点，即 \(\kappa(x) = k\)，并且有 \(x \not = x_i\)，其中 \(i = 1, \ldots, n\)。那么存在 \(s \in H^0(X, \mathcal{L})\)，它在 \(x\) 处为零，但在 \(x_i\) 处不为零。

证明

若 \(n = 0\)，结论显然，故假设 \(n > 0\)。由甚丰沛可逆层的定义，引理立即归约到 \(X = \mathbf{P}^r_k\) 的情形，其中某个 \(r > 0\)，并且 \(\mathcal{L} = \mathcal{O}_X(1)\)。写成 \(\mathbf{P}^r_k = \text{Proj}(k[T_0, \ldots, T_r])\)。令 \(V = H^0(X, \mathcal{L}) = kT_0 \oplus \ldots \oplus kT_r\)。由于 \(x\) 是 \(k\)-有理点，元素 \(s \in V\) 中在 \(x\) 处为零的那些元素组成余维为 \(1\) 的子空间 \(W \subset V\)，并且 \(W\) 生成与 \(x\) 对应的齐次素理想。由于 \(x_i \not = x\)，相应的齐次素理想 \(\mathfrak p_i \subset k[T_0, \ldots, T_r]\) 不包含 \(W\)。由于 \(k\) 无限，可知 \(W \not = \bigcup W \cap \mathfrak q_i\)，证明完成。

引理

设 \(k\) 是无限域。设 \(X\) 是代数 \(k\)-概形。设 \(\mathcal{L}\) 是可逆 \(\mathcal{O}_X\)-模。设 \(V \to \Gamma(X, \mathcal{L})\) 是 \(k\)-向量空间的线性映射，其像生成 \(\mathcal{L}\)。那么存在子空间 \(W \subset V\)，满足 \(\dim_k(W) \leq \dim(X) + 1\)，并且它生成 \(\mathcal{L}\)。

证明

在整个证明中，我们将使用如下事实：对每个 \(x \in X\)，线性映射 \[\psi_x : V \to \Gamma(X, \mathcal{L}) \to \mathcal{L}_x \to \mathcal{L}_x \otimes_{\mathcal{O}_{X, x}} \kappa(x)\] 非零。证明对 \(\dim(X)\) 使用归纳法。

基始情形是 \(\dim(X) = 0\)。此时 \(X\) 只有有限多个点 \(X = \{x_1, \ldots, x_n\}\)（例如见引理 06LH）。由于 \(k\) 无限，存在向量 \(v \in V\)，使得 \(\psi_{x_i}(v) \not = 0\) 对所有 \(i\) 都成立。于是 \(W = k\cdot v\) 满足要求。

假设 \(\dim(X) > 0\)。设 \(X_i \subset X\) 是维数等于 \(\dim(X)\) 的不可约分支。由于 \(X\) 是 Noether 概形，这样的分支只有有限多个。对每个 \(i\)，选取一点 \(x_i \in X_i\)。如上选取 \(v \in V\)，使得 \(\psi_{x_i}(v) \not = 0\) 对所有 \(i\) 都成立。设 \(Z \subset X\) 是 \(v\) 在 \(\Gamma(X, \mathcal{L})\) 中之像的零概形，见《除子》定义 02OQ。按构造，\(\dim(Z) < \dim(X)\)。由归纳假设，可以找到 \(W \subset V\)，满足 \(\dim(W) \leq \dim(X)\)，使得 \(W\) 生成 \(\mathcal{L}|_Z\)。于是 \(W + k\cdot v\) 生成 \(\mathcal{L}\)。

分离点与切向量

本节就是下列结果。

引理

设 \(k\) 是代数闭域。设 \(X\) 是固有 \(k\)-概形。设 \(\mathcal{L}\) 是可逆 \(\mathcal{O}_X\)-模。设 \(V \subset H^0(X, \mathcal{L})\) 是 \(k\)-向量子空间。如果

对每一对互异闭点 \(x, y \in X\)，存在截面 \(s \in V\)，它在 \(x\) 处为零而在 \(y\) 处不为零；并且

对每个闭点 \(x \in X\) 和非零切向量 \(\theta \in T_{X/k, x}\)，存在截面 \(s \in V\)，它在 \(x\) 处为零，但经 \(\theta\) 拉回后非零，

那么 \(\mathcal{L}\) 甚丰沛，并且典范态射 \(\varphi_{\mathcal{L}, V} : X \to \mathbf{P}(V)\) 是闭浸入。

证明

条件 (1) 尤其蕴涵 \(V\) 的元素生成 \(\mathcal{L}\)（作为 \(X\) 上的层）。因此由《构造》例 0FCY，得到典范态射 \[\varphi = \varphi_{\mathcal{L}, V} : X \longrightarrow \mathbf{P}(V)\] 由《态射》引理 01W6，态射 \(\varphi\) 是固有的。由 (1)，映射 \(\varphi\) 在闭点上是单射（略去计算）。特别地，\(\mathbf{P}(V)\) 的任意闭点上方的纤维都是单点（略去一个小细节）。因此 \(\varphi\) 是有限态射；例如可使用《概形上同调》引理 02OH。为完成证明，只需说明映射 \[\varphi^\sharp : \mathcal{O}_{\mathbf{P}(V)} \longrightarrow \varphi_*\mathcal{O}_X\] 是满射。这可以在闭点的茎上检验。设 \(x \in X\) 是闭点，其像为闭点 \(p = \varphi(x) \in \mathbf{P}(V)\)。由 (1)，有 \(\varphi^{-1}(\{p\}) = \{x\}\)；又因为 \(\varphi\) 固有（因而是闭映射）， \(\varphi^{-1}(U)\) 取遍 \(x\) 的开邻域的一个基本系，其中 \(U\) 取遍 \(p\) 的开邻域的一个基本系。因此在 \(p\) 处取茎，得到映射 \[\varphi^\sharp_x : \mathcal{O}_{\mathbf{P}(V), p} \longrightarrow \mathcal{O}_{X, x}\] 特别地，\(\mathcal{O}_{X, x}\) 是有限 \(\mathcal{O}_{\mathbf{P}(V), p}\)-模。此外，\(x\) 和 \(p\) 的剩余域都等于 \(k\)（因为 \(k\) 代数闭；使用 Hilbert 零点定理）。最后，条件 (2) 蕴涵映射 \[T_{X/k, x} \longrightarrow T_{\mathbf{P}(V)/k, p}\] 是单射，因为该映射的核中的任何非零 \(\theta\) 都不可能满足 (2) 的结论。就上述局部环映射而言，这意味着 \[\mathfrak m_p/\mathfrak m_p^2 \longrightarrow \mathfrak m_x/\mathfrak m_x^2\] 是满射，见引理 0B2E。现在应用《代数》引理 0E8M 即完成证明。

引理

设 \(k\) 是代数闭域。设 \(X\) 是固有 \(k\)-概形。设 \(\mathcal{L}\) 是可逆 \(\mathcal{O}_X\)-模。假设对每个闭子概形 \(Z \subset X\)，只要它的维数为 \(0\)、次数为 \(2\)（相对于 \(k\)），映射 \[H^0(X, \mathcal{L}) \longrightarrow H^0(Z, \mathcal{L}|_Z)\] 就是满射。那么 \(\mathcal{L}\) 在 \(X\) 上相对于 \(k\) 甚丰沛。

证明

这是引理 0E8S 的改述。事实上，给定互异闭点 \(x, y \in X\)，取 \(Z = x \cup y\)（视为闭子概形），便得到该引理的条件 (1)。给定非零切向量 \(\theta \in T_{X/k, x}\)，态射 \(\theta : \Spec(k[\epsilon]) \to X\) 是闭浸入。令 \(Z = \Im(\theta)\)，便得到该引理的条件 (2)。

积的闭包

以下给出若干关于闭包与积之间关系的结果。

引理

设 \(k\) 是域。设 \(X\)、\(Y\) 是 \(k\)-概形，并设 \(A \subset X\)、\(B \subset Y\) 是子集。令 \[AB = \{z \in X \times_k Y \mid \text{pr}_X(z) \in A, \ \text{pr}_Y(z) \in B\} \subset X \times_k Y\] 则在集合论意义下有 \[\overline{A} \times_k \overline{B} = \overline{AB}\]

证明

包含关系 \(\overline{AB} \subset \overline{A} \times_k \overline{B}\) 是显然的。我们可将 \(X\) 和 \(Y\) 分别替换为既约闭子概形 \(\overline{A}\) 和 \(\overline{B}\)。设 \(W \subset X \times_k Y\) 是非空开子集。由《态射》引理 0383，子集 \(U = \text{pr}_X(W)\) 是 \(X\) 中的非空开集。因此 \(A \cap U\) 非空；取 \(a \in A \cap U\)。记 \(Y_a = \{a\} \times_k Y \cong Y_{\kappa(a)}\) 为投影 \(\text{pr}_X : X \times_k Y \to X\) 在 \(a\) 上方的纤维。再次由《态射》引理 0383，态射 \(Y_a \to Y\) 是开映射，因为 \(\Spec(\kappa(a)) \to \Spec(k)\) 是万有开态射。因此非空开子集 \(W_a = W \times_{X \times_k Y} Y_a\) 映到 \(Y\) 的非空开子集。于是该像中存在 \(b \in B\)。故 \(AB \cap W \not = \emptyset\)，正是所需结论。

引理

设 \(k\) 是域。设 \(f : A \to X\)、\(g : B \to Y\) 是 \(k\)-概形之间的态射。则在集合论意义下有 \[\overline{f(A)} \times_k \overline{g(B)} = \overline{(f \times g)(A \times_k B)}\]

证明

这由引理 047B 得出，因为在该引理的记号下， \(f \times g\) 的像为 \(f(A)g(B)\)。

引理

设 \(k\) 是域。设 \(f : A \to X\)、\(g : B \to Y\) 是 \(k\)-概形之间的拟紧态射。设 \(Z \subset X\) 是 \(f\) 的概形论像，见《态射》定义 01R7。类似地，设 \(Z' \subset Y\) 是 \(g\) 的概形论像。则 \(Z \times_k Z'\) 是 \(f \times g\) 的概形论像。

证明

回忆 \(Z\) 是 \(X\) 的最小闭子概形，并且 \(f\) 分解通过它；\(Z'\) 也类似。设 \(W \subset X \times_k Y\) 是 \(f \times g\) 的概形论像。由于 \(f \times g\) 分解通过 \(Z \times_k Z'\)，故 \(W \subset Z \times_k Z'\)。

为证明反向包含，设 \(U \subset X\) 和 \(V \subset Y\) 是仿射开集。由《态射》引理 01R8，概形 \(Z \cap U\) 是 \(f|_{f^{-1}(U)} : f^{-1}(U) \to U\) 的概形论像；\(Z' \cap V\) 和 \(W \cap U \times_k V\) 也类似。因此可假设 \(X\) 和 \(Y\) 是仿射的。由于 \(f\) 和 \(g\) 拟紧，这蕴涵 \(A = \bigcup U_i\) 是仿射开集的有限并，而 \(B = \bigcup V_j\) 也是仿射开集的有限并。于是可将 \(A\) 替换为 \(\coprod U_i\)，将 \(B\) 替换为 \(\coprod V_j\)；也就是说，还可假设 \(A\) 和 \(B\) 也是仿射的。在此情形，\(Z\) 由 \(\Ker(\Gamma(X, \mathcal{O}_X) \to \Gamma(A, \mathcal{O}_A))\) 截出， \(Z'\) 和 \(W\) 也类似。因此结论由等式 \[\Gamma(A \times_k B, \mathcal{O}_{A \times_k B}) = \Gamma(A, \mathcal{O}_A) \otimes_k \Gamma(B, \mathcal{O}_B)\] 得出；该等式成立是因为 \(A\) 和 \(B\) 是仿射的。略去细节。

域上的光滑概形

下面给出两个刻画域上光滑概形的引理。

引理

设 \(k\) 是域。设 \(X\) 是 \(k\)-概形。假设

\(X\) 在 \(k\) 上局部有限型，

\(\Omega_{X/k}\) 局部自由，并且

\(k\) 的特征为零。

那么结构态射 \(X \to \Spec(k)\) 是光滑的。

证明

这由《代数》引理 00TX 得出。

在正特征中，存在微分层自由的有限型非既约概形，例如 \(\Spec(\mathbf{F}_p[t]/(t^p))\) 在 \(\Spec(\mathbf{F}_p)\) 上的情形。若基域 \(k\) 的特征为 \(p\) 且非完全，则存在既约概形 \(X/k\)，其微分层 \(\Omega_{X/k}\) 自由却不光滑，例如 \(\Spec(k[t]/(t^p-a)\)，其中 \(a \in k\) 不是 \(p\) 次幂。

引理

设 \(k\) 是域。设 \(X\) 是 \(k\)-概形。假设

\(X\) 在 \(k\) 上局部有限型，

\(\Omega_{X/k}\) 局部自由，

\(X\) 既约，并且

\(k\) 完全。

那么结构态射 \(X \to \Spec(k)\) 是光滑的。

证明

设 \(x \in X\) 是一点。因为 \(X\) 局部 Noether（见《态射》引理 01T6），只有有限多个不可约分支 \(X_1, \ldots, X_n\) 通过 \(x\)（见《性质》引理 01OZ 和《拓扑》引理 0052）。设 \(\eta_i \in X_i\) 是泛点。由于 \(X\) 既约，有 \(\mathcal{O}_{X, \eta_i} = \kappa(\eta_i)\)，见《代数》引理 00EU。此外，\(\kappa(\eta_i)\) 是完全域 \(k\) 的有限生成域扩张，因而在 \(k\) 上可分生成（见《代数》第 030I 节）。所以 \(\Omega_{X/k, \eta_i} = \Omega_{\kappa(\eta_i)/k}\) 是自由的，其秩等于 \(\kappa(\eta_i)\) 在 \(k\) 上的超越次数。由《态射》引理 02FX，得到 \(\dim_{\eta_i}(X_i) = \text{rank}_{\eta_i}(\Omega_{X/k})\)。由于 \(x \in X_1 \cap \ldots \cap X_n\)，可见 \[\text{rank}_x(\Omega_{X/k}) = \text{rank}_{\eta_i}(\Omega_{X/k}) = \dim(X_i).\] 因此 \(\dim_x(X) = \text{rank}_x(\Omega_{X/k})\)，见《代数》引理 00OT。于是例如由《代数》引理 00TT，\(X \to \Spec(k)\) 在 \(x\) 处光滑。

引理

设 \(X \to \Spec(k)\) 是光滑态射，其中 \(k\) 是域。则 \(X\) 是正则概形。

证明

（另见引理 038X。）由《代数》引理 00TT，每个局部环 \(\mathcal{O}_{X, x}\) 都正则。又因为 \(X\) 在 \(k\) 上局部有限型，所以它局部 Noether。因此由《性质》引理 02IT， \(X\) 正则。

引理

设 \(X \to \Spec(k)\) 是光滑态射，其中 \(k\) 是域。则 \(X\) 在 \(k\) 上几何正则、几何正规且几何既约。

证明

（另见引理 038X。）设 \(k'\) 是 \(k\) 的有限纯不可分扩张。只需证明 \(X_{k'}\) 正则、正规且既约，见引理 038V、038O 和 035Y。由《态射》引理 01VB，态射 \(X_{k'} \to \Spec(k')\) 也是光滑的。因此只需说明域上的光滑概形 \(X\) 正则、正规且既约。由引理 056S 可知 \(X\) 正则。于是《性质》引理 0569 保证 \(X\) 正规。

引理

设 \(k\) 是域。设 \(d \geq 0\)。设 \(W \subset \mathbf{A}^d_k\) 是非空开集。则存在闭点 \(w \in W\)，使得 \(k \subset \kappa(w)\) 是有限可分扩张。

证明

必要时缩小 \(W\) 后，可假设 \(W = \mathbf{A}^d_k \setminus V(f)\)，其中 \(f \in k[x_1, \ldots, x_d]\)。若引理不成立，则 \(f(a_1, \ldots, a_d) = 0\) 对所有 \((a_1, \ldots, a_d) \in (k^{sep})^d\) 都成立。这是荒谬的，因为 \(k^{sep}\) 是无限域。

引理

设 \(k\) 是域。若 \(X\) 在 \(\Spec(k)\) 上光滑，则集合 \[\{x \in X\text{ closed such that }k \subset \kappa(x) \text{ is finite separable}\}\] 在 \(X\) 中稠密。

证明

只需说明：给定非空光滑概形 \(X\)（定义在 \(k\) 上），至少存在一个剩余域在 \(k\) 上有限可分的闭点。为此，选取图表 \[\xymatrix{ X & U \ar[l] \ar[r]^-\pi & \mathbf{A}^d_k }\] 其中 \(\pi\) 为平展态射，见《态射》引理 054L。态射 \(\pi : U \to \mathbf{A}^d_k\) 是开映射，见《态射》引理 03WT。由引理 055T，可选取闭点 \(w \in \pi(U)\)，其剩余域在 \(k\) 上有限可分。任选 \(x \in U\) 使得 \(\pi(x) = w\)。由《态射》引理 02GL，域扩张 \(\kappa(x)/\kappa(w)\) 有限可分。故 \(\kappa(x)/k\) 有限可分。由《态射》引理 01TE，点 \(x\) 是 \(X\) 的闭点。

引理

设 \(X\) 是域 \(k\) 上局部有限型的既约概形。则 \(X\) 在 \(k\) 上几何既约，当且仅当 \(X\) 含有一个在 \(k\) 上光滑的稠密开集。

证明

问题关于 \(X\) 是局部的，故可假设 \(X\) 拟紧。设 \(X = X_1 \cup \ldots \cup X_n\) 是 \(X\) 的不可约分支。先假设 \(X\) 含有一个在 \(k\) 上光滑的稠密开集。那么 \(X\) 在每个 \(X_i\) 的泛点处几何既约（例如由引理 056T）。由引理 04KS，可知 \(X\) 几何既约。

反之，假设 \(X\) 几何既约。由于 \(Z = \bigcup_{i \not = j} X_i \cap X_j\) 在 \(X\) 中无处稠密，可将 \(X\) 替换为 \(X \setminus Z\)。因为 \(X \setminus Z\) 是不可约概形的不交并，问题归结为 \(X\) 不可约的情形。由于 \(X\) 不可约且既约，它是整概形，见《性质》引理 01ON。设 \(\eta \in X\) 是其泛点。那么函数域 \(K = k(X) = \kappa(\eta) = \mathcal{O}_{X, \eta}\) 在 \(k\) 上几何既约，因而在 \(k\) 上可分，见《代数》引理 030W。任取非空仿射开集 \(U = \Spec(A) \subset X\)，使得 \(K = A_{(0)}\) 是 \(A\) 的分式域。应用《代数》引理 00TV，可知 \(A\) 在 \((0)\) 处在 \(k\) 上光滑。按定义，这意味着 \(A\) 的某个主局部化在 \(k\) 上光滑，结论得证。

引理

设 \(k\) 是完全域。设 \(X\) 是局部代数的既约 \(k\)-概形，例如 \(k\) 上的簇。则 \[\{x \in X \mid X \to \Spec(k)\text{ is smooth at }x\} = \{x \in X \mid \mathcal{O}_{X, x}\text{ 正则}\}\] 且这是 \(X\) 的稠密开子概形。

证明

两个集合相等立即由《代数》引理 00TV 和各定义得出（完全域的定义见《代数》定义 030Y）。该集合是开的，因为概形态射的光滑点集合是开的，见《态射》定义 01V5。最后给出两种论证说明它稠密： (1) \(X\) 的泛点属于该集合，因为泛点处的局部环是域（《代数》引理 00EU），因而正则。 (2) 由引理 020I，\(X\) 几何既约，因此可应用引理 056V。

引理

设 \(k\) 是域。设 \(f : X \to Y\) 是 \(k\) 上局部有限型概形之间的态射。设 \(x \in X\) 是一点，并令 \(y = f(x)\)。若 \(X \to \Spec(k)\) 在 \(x\) 处光滑，且 \(f\) 在 \(x\) 处平坦，则 \(Y \to \Spec(k)\) 在 \(y\) 处光滑。特别地，若 \(X\) 在 \(k\) 上光滑，并且 \(f\) 平坦且满射，则 \(Y\) 在 \(k\) 上光滑。

证明

只需说明 \(Y\) 在 \(y\) 处几何正则，见引理 038X。这由引理 05AW 得出（并将引理 038X 应用于 \((X, x)\)）。

引理

设 \(k\) 是域。设 \(X\) 是 \(k\) 上的簇，并有一个 \(k\)-有理点 \(x\)，使得 \(X\) 在 \(x\) 处光滑。则 \(X\) 在 \(k\) 上几何整。

证明

设 \(U \subset X\) 是 \(X\) 的光滑点集。由假设，\(U\) 非空，因而稠密且概形论稠密。于是 \(U_{\overline{k}} \subset X_{\overline{k}}\) 也稠密且概形论稠密（略去若干细节）。因此只需说明 \(U\) 几何整。由于 \(U\) 有一个 \(k\)-有理点，由引理 04KV，它几何连通。另一方面， \(U_{\overline{k}}\) 既约且正规（引理 056T）。由于连通正规 Noether 概形是整概形（《性质》引理 033M），证明完成。

引理

设 \(X\) 是域 \(k\) 上的有限型概形。存在有限纯不可分扩张 \(k'/k\)、整数 \(t \geq 0\) 和闭子概形 \[X_{k'} \supset Z_0 \supset Z_1 \supset \ldots \supset Z_t = \emptyset\] 使得 \(Z_0 = (X_{k'})_{red}\)，并且 \(Z_i \setminus Z_{i + 1}\) 在 \(k'\) 上对所有 \(i\) 都光滑。

证明

可对 \(\dim(X)\) 使用归纳法。由引理 04KT，可找到有限纯不可分扩张 \(k'/k\)，使得 \((X_{k'})_{red}\) 在 \(k'\) 上几何既约。由引理 056V，存在无处稠密闭子概形 \(X' \subset (X_{k'})_{red}\)，使得 \((X_{k'})_{red} \setminus X'\) 在 \(k'\) 上光滑。于是 \(\dim(X') < \dim(X)\)。由归纳假设，存在有限纯不可分扩张 \(k''/k'\)、整数 \(t' \geq 0\) 和闭子概形 \[X'_{k''} \supset Y_0 \supset Y_1 \supset \ldots \supset Y_{t'} = \emptyset\] 使得 \(Y_0 = (X'_{k''})_{red}\)，并且 \(Y_i \setminus Y_{i + 1}\) 在 \(k''\) 上对所有 \(i\) 都光滑。令 \(t = t' + 1\)，并考虑 \[X_{k''} \supset Z_0 \supset Z_1 \supset \ldots \supset Z_t = \emptyset\] 其中 \(Z_0 = (X_{k''})_{red}\)，且 \(Z_i = Y_{i - 1}\)（当 \(i > 0\)）；这是有意义的，因为 \(X'_{k''}\) 是 \(X_{k''}\) 的闭子概形。略去所有所述性质均成立的验证。

簇的类型

本短节讨论簇的一些初等整体性质。

定义

设 \(k\) 是域。设 \(X\) 是 \(k\) 上的簇。

若 \(X\) 是仿射概形，则称 \(X\) 为仿射簇。这等价于要求 \(X\) 同构于 \(\mathbf{A}^n_k\) 的闭子概形，其中 \(n\) 适当选取。

称 \(X\) 为射影簇，如果结构态射 \(X \to \Spec(k)\) 是射影态射。由《态射》引理 01WB，这成立当且仅当 \(X\) 同构于 \(\mathbf{P}^n_k\) 的闭子概形，其中 \(n\) 适当选取。

称 \(X\) 为拟射影簇，如果结构态射 \(X \to \Spec(k)\) 是拟射影态射。由《态射》引理 01VZ，这成立当且仅当 \(X\) 同构于 \(\mathbf{P}^n_k\) 的局部闭子概形，其中 \(n\) 适当选取。

固有簇是态射 \(X \to \Spec(k)\) 固有的簇。

光滑簇是态射 \(X \to \Spec(k)\) 光滑的簇。

注意，射影簇是固有簇，见《态射》引理 01WC。此外，仿射簇是拟射影的，因为 \(\mathbf{A}^n_k\) 同构于 \(\mathbf{P}^n_k\) 的开子概形，见《构造》引理 01NG。

引理

设 \(X\) 是 \(k\) 上的固有簇。则

\(K = H^0(X, \mathcal{O}_X)\) 是域，并且是域 \(k\) 的有限扩张；

若 \(X\) 几何既约，则 \(K/k\) 可分；

若 \(X\) 几何不可约，则 \(K/k\) 纯不可分；

若 \(X\) 几何整，则 \(K = k\)。

证明

这是引理 0BUG 的特殊情形。

正规化

下面讨论与正规化有关的一些问题。

引理

设 \(k\) 是域。设 \(X\) 是 \(k\) 上的局部代数概形。设 \(\nu : X^\nu \to X\) 是正规化态射，见《态射》定义 035N。则

\(\nu\) 有限且支配，而 \(X^\nu\) 是 \(k\) 上正规不可约局部代数概形的不交并；

\(\nu\) 分解为 \(X^\nu \to X_{red} \to X\)，且第一个态射是 \(X_{red}\) 的正规化态射；

若 \(X\) 是既约代数概形，则 \(\nu\) 是双有理的；

若 \(X\) 是簇，则 \(X^\nu\) 是簇，且 \(\nu\) 是簇的有限双有理态射。

证明

由于 \(X\) 是域上的局部有限型概形，可知 \(X\) 局部 Noether（《态射》引理 01T6），因此每个拟紧开集只有有限多个不可约分支（《性质》引理 0BA8）。所以可应用《态射》定义 035N。正规化 \(X^\nu\) 总是正规整概形的不交并，且正规化态射 \(\nu\) 总是支配的，见《态射》引理 035Q。由于 \(X\) 万有 Nagata（《态射》引理 035B），可知 \(\nu\) 有限（《态射》引理 035S）。故 \(X^\nu\) 也是局部代数的。至此已证明 (1)。

(2) 是《态射》引理 035O。

(3) 是《态射》引理 0BXC。

(4) 由 (1)、(2)、(3) 以及如下事实得出：\(X^\nu\) 作为分离概形上的有限概形是分离的。

引理

设 \(k\) 是域。设 \(X\) 是 \(k\) 上的固有概形。设 \(\nu : X^\nu \to X\) 是正规化态射，见《态射》定义 035N。则 \(X^\nu\) 在 \(k\) 上固有。若 \(X\) 在 \(k\) 上射影，则 \(X^\nu\) 在 \(k\) 上射影。

证明

由引理 0BXR，态射 \(\nu\) 有限。故由《态射》引理 01WN 和 01W3，\(X^\nu\) 在 \(k\) 上固有。由《态射》引理 0B3I，态射 \(\nu\) 是射影的；所以若 \(X\) 在 \(k\) 上射影，则由《态射》引理 0C4P，\(X^\nu\) 在 \(k\) 上射影。

引理

设 \(k\) 是域。设 \(f : Y \to X\) 是 \(k\) 上局部代数概形之间的拟紧态射。设 \(X'\) 是 \(X\) 在 \(Y\) 中的正规化。若 \(Y\) 既约，则 \(X' \to X\) 有限。

证明

由于 \(Y\) 拟分离（由《性质》引理 01OY 和《态射》引理 01T6），态射 \(f\) 拟分离（《概形》引理 01KV）。因此可应用《态射》定义 035H。结论由《态射》引理 0AVK 得出。这里用到：局部代数概形局部 Noether（因而局部只有有限多个不可约分支），并且局部代数概形是 Nagata 的（《态射》引理 035B）。略去一些小细节。

引理

设 \(k\) 是域。设 \(X\) 是代数 \(k\)-概形。则存在有限纯不可分扩张 \(k'/k\)，使得正规化 \(Y\)（取自 \(X_{k'}\)）在 \(k'\) 上几何正规。

证明

令 \(K = k^{perf}\) 为完全闭包。设 \(Y_K\) 是 \(X_K\) 的正规化，见引理 0BXR。由《极限》引理 01ZM，存在有限子扩张 \(K/k'/k\) 和有限表示态射 \(\nu : Y \to X_{k'}\)，其到 \(K\) 的基变换是正规化态射 \(\nu_K : Y_K \to X_K\)。注意 \(Y\) 在 \(k'\) 上几何正规（引理 038O）。增大 \(k'\) 后，可假设 \(Y \to X_{k'}\) 有限（《极限》引理 01ZO）。由于 \(\nu_K : Y_K \to X_K\) 是正规化态射，它诱导双有理态射 \(Y_K \to (X_K)_{red}\)。故存在稠密开集 \(V_K \subset X_K\)，使得 \(\nu_K^{-1}(V_K) \to V_K\) 是闭浸入（并诱导 \(\nu_K^{-1}(V_K)\) 与 \(V_{K, red}\) 的同构；例如见《态射》引理 0BAJ）。增大 \(k'\) 后，可找到 \(V_K\) 是某个稠密开集 \(V \subset Y\) 的基变换，并且态射 \(\nu^{-1}(V) \to V\) 是闭浸入（《极限》引理 01Z4 和 01ZP）。由此容易看出 \(\nu\) 是正规化态射，证明完成。

引理

设 \(k\) 是域。设 \(X\) 是局部代数 \(k\)-概形。设 \(K/k\) 是域扩张。设 \(\nu : X^\nu \to X\) 是 \(X\) 的正规化，并设 \(Y^\nu \to X_K\) 是基变换的正规化。那么典范态射 \[Y^\nu \longrightarrow X^\nu \times_{\Spec(k)} \Spec(K)\] 在 \(K/k\) 可分时是同构，一般情形下是万有同胚。

证明

令 \(Y = X_K\)。设 \(X^{(0)}\) 和 \(Y^{(0)}\) 分别是 \(X\) 和 \(Y\) 的不可约分支泛点集。那么投影态射 \(\pi : Y \to X\) 满足 \(\pi(Y^{(0)}) = X^{(0)}\)。这是因为 \(\pi\) 满射、开且保泛化，见《态射》引理 0383 和 040F。若将 \(X^{(0)}\) 和 \(Y^{(0)}\) 分别视为（既约）概形，则 \(X^\nu\) 和 \(Y^\nu\) 分别是 \(X\) 和 \(Y\) 在 \(X^{(0)}\) 和 \(Y^{(0})\) 中的正规化。因此《态射》引理 035J 给出典范态射 \(Y^\nu \to X^\nu\)，它位于 \(Y \to X\) 上方；再由纤维积的万有性质给出本引理中的典范态射。

为证明该态射具有引理所述性质，可假设 \(X = \Spec(A)\) 是仿射的。设 \(Q(A_{red})\) 为 \(A_{red}\) 的总分式环。那么 \(X^\nu\) 是整闭包 \(A'\) 的谱，该整闭包取自 \(A\) 在 \(Q(A_{red})\) 中的整闭包，见《态射》引理 035O 和 035P。类似地，\(Y^\nu\) 是整闭包 \(B'\) 的谱，该整闭包取自 \(A \otimes_k K\) 在 \(Q((A \otimes_k K)_{red})\) 中的整闭包。有典范映射 \(Q(A_{red}) \to Q((A \otimes_k K)_{red})\)、典范映射 \(A' \to B'\)，而引理中的态射对应于诱导映射 \[A' \otimes_k K \longrightarrow B'\] 这个 \(K\)-代数映射的核由幂零元组成，因为 \(Q(A_{red}) \otimes_k K \to Q((A \otimes_k K)_{red})\) 的核就是幂零元集合。

若 \(K/k\) 可分，则由引理 0C3M， \(A' \otimes_k K\) 正规。特别地，它既约，因而 \(Q((A \otimes_k K)_{red}) = Q(A' \otimes_k K)\)，并且由《代数》引理 030C， \(B' = A' \otimes_k K\)。

假设 \(K/k\) 不可分。那么 \(k\) 的特征为 \(p > 0\)。我们将证明：对每个 \(b \in B'\)，都存在幂 \(q\)，它是 \(p\) 的幂，使得 \(b^q\) 属于 \(A' \otimes_k K\) 的像。由《代数》引理 0BRA，这将证明上述映射是万有同胚。给定 \(b\)，存在子域 \(F \subset K\)，其中 \(F/k\) 有限生成，使得 \(b\) 属于 \(Q((A \otimes_k F)_{red})\)，且整于 \(A \otimes_k F\)。选取首一多项式 \(P = T^d + \alpha_1 T^{d - 1} + \ldots + \alpha _d\)，使得 \(P(b) = 0\) 且 \(\alpha_i \in A \otimes_k F\)。选取超越基 \(t_1, \ldots, t_r\)，它是 \(F\) 在 \(k\) 上的超越基。设 \(F/F'/k(t_1, \ldots, t_r)\) 是最大可分子扩张（《域》引理 030K）。由于 \(F/F'\) 有限纯不可分，存在 \(q\)，使得 \(\lambda^q \in F'\) 对所有 \(\lambda \in F\) 都成立。于是 \(b^q\) 属于 \(Q((A \otimes_k F')_{red})\)，并满足多项式 \(T^d + \alpha_1^q T^{d - 1} + \ldots + \alpha _d^q\)，其中 \(\alpha_i^q \in A \otimes_k F'\)。由可分情形可知 \(b^q \in A' \otimes_k F'\)，证明完成。

引理

设 \(k\) 是域。设 \(X\) 是局部代数 \(k\)-概形。设 \(\nu : X^\nu \to X\) 是 \(X\) 的正规化。设 \(x \in X\) 是一点，满足：(a) \(\mathcal{O}_{X, x}\) 既约； (b) \(\dim(\mathcal{O}_{X, x}) = 1\)；并且 (c) 对每个 \(x' \in X^\nu\)，若 \(\nu(x') = x\)，则扩张 \(\kappa(x')/k\) 可分。那么 \(X\) 在 \(x\) 处几何既约，并且 \(X^\nu\) 在 \(x'\) 处几何正则，只要 \(\nu(x') = x\)。

证明

以下不再特别说明地使用引理 0BXR 的结果。设 \(x' \in X^\nu\) 是 \(x\) 上方的一点。由维数理论（第 06LF 节），有 \(\dim(\mathcal{O}_{X^\nu, x'}) = 1\)。由于 \(X^\nu\) 正规，可知 \(\mathcal{O}_{X^\nu, x'}\) 是离散赋值环（《性质》引理 0345）。因此 \(\mathcal{O}_{X^\nu, x'}\) 是正则局部 \(k\)-代数，其剩余域在 \(k\) 上可分。故 \(k \to \mathcal{O}_{X^\nu, x'}\) 在 \(\mathfrak m_{x'}\)-进拓扑下形式光滑，见《更多代数》引理 07EJ。于是由《更多代数》定理 07EL，\(\mathcal{O}_{X^\nu, x'}\) 在 \(k\) 上几何正则。再由引理 038U，\(X^\nu\) 在 \(x'\) 处几何正则。

由于 \(\mathcal{O}_{X, x}\) 既约，映射族 \(\mathcal{O}_{X, x} \to \mathcal{O}_{X^\nu, x'}\) 是单射。由于 \(\mathcal{O}_{X^\nu, x'}\) 是几何既约 \(k\)-代数，立即可知 \(\mathcal{O}_{X, x}\) 是几何既约 \(k\)-代数。故由引理 035W，\(X\) 在 \(x\) 处几何既约。

可逆函数群

群 \(\mathcal{O}^*(X)/k^*\) 往往（但不总是）是有限生成 Abel 群，只要 \(X\) 是 \(k\) 上的簇。我们用一系列引理证明这一点。一切都建立在下述特殊情形上。

引理

设 \(k\) 是代数闭域。设 \(\overline{X}\) 是 \(k\) 上的固有簇。设 \(X \subset \overline{X}\) 是开子概形。假设 \(X\) 正规。则 \(\mathcal{O}^*(X)/k^*\) 是有限生成 Abel 群。

证明

由于命题只涉及 \(X\)，可以将 \(\overline{X}\) 替换为 \(k\) 上另一个固有簇。设 \(\nu : \overline{X}^\nu \to \overline{X}\) 是正规化态射。由引理 0BXR，\(\nu\) 有限，且 \(\overline{X}^\nu\) 是簇。由于 \(X\) 正规，可知 \(\nu^{-1}(X) \to X\) 是同构（略去一个小细节）。最后，因为有限态射是固有的（《态射》引理 01WN），且固有态射的复合是固有的（《态射》引理 01W3），可知 \(\overline{X}^\nu\) 在 \(k\) 上固有。因此可以且将假设 \(\overline{X}\) 正规。

以下不再特别说明地使用：对任意仿射开集 \(U\)（它是 \(\overline{X}\) 的开集），环 \(\mathcal{O}(U)\) 是有限生成 \(k\)-代数，它是 Noether 环、整环且正规；见《代数》引理 00FN、《性质》定义 01OK、《性质》引理 01OW 和 033J，以及《态射》引理 01T2。

设 \(\xi_1, \ldots, \xi_r\) 是 \(X\) 在 \(\overline{X}\) 中之补集的泛点。它们只有有限多个，因为 \(\overline{X}\) 的底拓扑空间是 Noether 的（见《态射》引理 01T6、《性质》引理 01OZ 和《拓扑》引理 0052）。对每个 \(i\)，局部环 \(\mathcal{O}_i = \mathcal{O}_{X, \xi_i}\) 是正规 Noether 局部整环（因为它是 Noether 正规整环的局部化）。设 \(J \subset \{1, \ldots, r\}\) 为所有指标 \(i\) 所成的集合，这些指标满足 \(\dim(\mathcal{O}_i) = 1\)。对 \(j \in J\)，局部环 \(\mathcal{O}_j\) 是离散赋值环，见《代数》引理 00PD。因此得到赋值 \[v_j : k(\overline{X})^* \longrightarrow \mathbf{Z}\] 并且 \(v_j(f) \geq 0 \Leftrightarrow f \in \mathcal{O}_j\)。

将 \(\mathcal{O}(X)\) 视为一个 \(k\)-子代数，包含在 \(k(X) = k(\overline{X})\) 中。我们断言映射 \[\mathcal{O}(X)^* \longrightarrow \prod\nolimits_{j \in J} \mathbf{Z}, \quad f \longmapsto \prod v_j(f)\] 的核是 \(k^*\)。显然，该断言证明引理。事实上，设 \(f \in \mathcal{O}(X)\) 是核中的一个元素。设 \(U = \Spec(B) \subset \overline{X}\) 是任意仿射开集。则 \(B\) 是 Noether 正规整环。对每个高为一的素理想 \(\mathfrak q \subset B\) 及其对应点 \(\xi \in X\)，可知要么 \(\xi = \xi_j\) 对某个 \(j \in J\) 成立，要么 \(\xi \in X\)。理由是，由《性质》引理 02IZ， \(\text{codim}(\overline{\{\xi\}}, \overline{X}) = 1\)；所以若 \(\xi \in \overline{X} \setminus X\)，则它必是 \(\overline{X} \setminus X\) 的泛点，从而等于某个 \(\xi_j\)，\(j \in J\)。两种情形下都有 \(f \in \mathcal{O}_{X, \xi} = B_{\mathfrak q}\)，因为 \(f\) 在该映射的核中。因此 \(f \in \bigcap_{\text{ht}(\mathfrak q) = 1} B_{\mathfrak q} = B\)，见《代数》引理 031T。换言之，可知 \(f \in \Gamma(\overline{X}, \mathcal{O}_{\overline{X}})\)。但由于 \(k\) 代数闭，由引理 04L2 可得 \(f \in k\)。

接下来，我们用一些初等论证推广上述情形，仍然保持域代数闭。

引理

设 \(k\) 是代数闭域。设 \(X\) 是 \(k\) 上的局部有限型整概形。则 \(\mathcal{O}^*(X)/k^*\) 是有限生成 Abel 群。

证明

由于 \(X\) 是整的，限制映射 \(\mathcal{O}(X) \to \mathcal{O}(U)\) 对任意非空开子概形 \(U \subset X\) 都是单射。因此可假设 \(X\) 仿射。选取闭浸入 \(X \to \mathbf{A}^n_k\)，并用 \(\overline{X}\) 表示 \(X\) 在 \(\mathbf{P}^n_k\) 中经由通常浸入 \(\mathbf{A}^n_k \to \mathbf{P}^n_k\) 所得的闭包。从而可假设 \(X\) 是某个射影簇 \(\overline{X}\) 的仿射开集。

设 \(\nu : \overline{X}^\nu \to \overline{X}\) 是正规化态射，见《态射》定义 035N。我们知道 \(\nu\) 有限且支配，并且 \(\overline{X}^\nu\) 是正规不可约概形，见《态射》引理 035Q、 035R 和 035B。因此 \(\overline{X}^\nu\) 是固有簇，因为 \(\overline{X} \to \Spec(k)\) 作为有限态射与固有态射的复合是固有的（见《态射》第 01W0 节和第 01WG 节中的结果）。还可知 \(\nu\) 是满射，因为 \(\nu\) 的像是闭的，并包含 \(\overline{X}\) 的泛点。因此令 \(X^\nu = \nu^{-1}(X)\)，可知只需对 \(X^\nu\) 证明结论。换言之，可假设 \(X\) 是正规固有簇 \(\overline{X}\) 的非空开集。该情形由引理 04L4 处理。

前一引理立即给出下述稍微的推广。

引理

设 \(k\) 是代数闭域。设 \(X\) 是 \(k\) 上局部有限型的连通既约概形，并且只有有限多个不可约分支。则 \(\mathcal{O}^*(X)/k^*\) 是有限生成 Abel 群。

证明

设 \(X = \bigcup X_i\) 是不可约分支的并。由引理 04L5，可知 \(\mathcal{O}(X_i)^*/k^*\) 是有限生成 Abel 群。设 \(f \in \mathcal{O}(X)^*\) 属于映射 \[\mathcal{O}(X)^* \longrightarrow \prod \mathcal{O}(X_i)^*/k^*.\] 的核。则对每个 \(i\)，存在元素 \(\lambda_i \in k\)，使得 \(f|_{X_i} = \lambda_i\)。限制到 \(X_i \cap X_j\) 可得 \(\lambda_i = \lambda_j\)，只要 \(X_i \cap X_j \not = \emptyset\)。由于 \(X\) 连通，可知所有 \(\lambda_i\) 相等，因而 \(f \in k^*\)。这证明了 \[\mathcal{O}(X)^*/k^* \subset \prod \mathcal{O}(X_i)^*/k^*\] 而引理得证，因为右端是有限多个有限生成 Abel 群的积。

引理

设 \(k\) 是域。设 \(X\) 是 \(k\) 上连通且既约的概形。则 \(k\) 在 \(\Gamma(X, \mathcal{O}_X)\) 中的整闭包是域。

证明

设 \(k' \subset \Gamma(X, \mathcal{O}_X)\) 是 \(k\) 的整闭包。则 \(X \to \Spec(k)\) 经由 \(\Spec(k')\) 分解，见《概形》引理 01I1。由于 \(X\) 既约，可知 \(k'\) 没有非零幂零元。由于 \(k \to k'\) 整，可知 \(k'\) 的每个素理想既是极大理想，又是极小素理想，而 \(\Spec(k')\) 全不连通；见《代数》引理 00GT 和 04MG。由于 \(X\) 连通，态射 \(X \to \Spec(k')\) 为常值态射，设其像为对应于 \(\mathfrak p \subset k'\) 的点。那么任意 \(f \in k'\) 若满足 \(f \not \in \mathfrak p\)，其像都是 \(\mathcal{O}_X\) 的可逆元。由 \(k'\) 的定义，这进而迫使 \(f\) 是 \(k'\) 的单位。所以 \(k'\) 是以 \(\mathfrak p\) 为极大理想的局部环，见《代数》引理 00E9。我们已经看到 \(k'\) 既约，因此这意味着 \(k'\) 是域，见《代数》引理 00EU。

命题

设 \(k\) 是域。设 \(X\) 是 \(k\) 上的概形。假设 \(X\) 在 \(k\) 上局部有限型、连通、既约，并且只有有限多个不可约分支。若除上述条件外，下列条件之一成立，则 \(\mathcal{O}(X)^*/k^*\) 是有限生成 Abel 群：

\(k\) 在 \(\Gamma(X, \mathcal{O}_X)\) 中的整闭包是 \(k\)；

\(X\) 有一个 \(k\)-有理点；或

\(X\) 几何整。

证明

设 \(\overline{k}\) 是 \(k\) 的代数闭包。设 \(Y\) 是 \((X_{\overline{k}})_{red}\) 的一个连通分支。注意，典范态射 \(p : Y \to X\) 是开的（由《态射》引理 0383），也是闭的（由《态射》引理 01WM）。因此 \(p(Y) = X\)，因为假设 \(X\) 连通。特别地，由于 \(X\) 既约，这意味着 \(\mathcal{O}(X) \subset \mathcal{O}(Y)\)。由引理 04KZ，可知 \(Y\) 只有有限多个不可约分支（该引理中的域 \(\overline{k}\) 是可分代数闭包，但这无关紧要，因为由引理 038H，两个基变换 \(X_{\overline{k}}\) 有相同的不可约分支）。因此引理 04L6 可应用于 \(Y\)。这意味着：若 \(\mathcal{O}(X)^*/k^*\) 不是有限生成 Abel 群，则存在元素 \(f \in \mathcal{O}(X)\)、\(f \not \in k\)，其像属于 \(\overline{k}\)，这里使用映射 \(\mathcal{O}(X) \to \mathcal{O}(Y)\)。在这种情形下， \(f\) 在 \(k\) 上代数，从而整于 \(k\)。因此若条件 (1) 成立，则这不可能发生。为完成证明，我们证明条件 (2) 和 (3) 都推出 (1)。

设 \(k \subset k' \subset \Gamma(X, \mathcal{O}_X)\) 为 \(k\) 在 \(\Gamma(X, \mathcal{O}_X)\) 中的整闭包。由引理 04MI，可知 \(k'\) 是域。若 \(e : \Spec(k) \to X\) 是 \(k\)-有理点，则 \(e^\sharp : \Gamma(X, \mathcal{O}_X) \to k\) 是包含映射 \(k \to \Gamma(X, \mathcal{O}_X)\) 的一个截面。特别地，\(e^\sharp\) 限制到 \(k'\) 后是域映射 \(k' \to k\)，且位于 \(k\) 上；这显然表明 (2) 推出 (1)。

若整闭包 \(k'\)，即 \(k\) 在 \(\Gamma(X, \mathcal{O}_X)\) 中的整闭包，非平凡，则可知：要么 \(X\) 不几何连通（当 \(k'/k\) 不是纯不可分的时候），要么 \(X\) 不几何既约（当 \(k'/k\) 是非平凡纯不可分的时候）。略去细节。因此 (3) 推出 (1)。

引理

设 \(k\) 是域。设 \(X\) 是 \(k\) 上的簇。若下列条件中至少一个成立，则群 \(\mathcal{O}(X)^*/k^*\) 是有限生成 Abel 群：

\(k\) 在 \(\Gamma(X, \mathcal{O}_X)\) 中整闭；

\(k\) 在 \(k(X)\) 中代数闭；

\(X\) 在 \(k\) 上几何整；或

\(k\) 是域扩张 \(\kappa(x)/k\) 的“交”，其中 \(x\) 遍历 \(x\) 的闭点。

证明

由命题 04L7 可知 (1) 足够。我们略去 (2)、(3)、(4) 各自推出 (1) 的验证。

Künneth 公式，I

本节证明底是域且我们考虑拟凝聚模上同调时的 Künneth 公式。更一般的版本见《概形的导出范畴》第 0FLN 节。

引理

设 \(k\) 是域。设 \(X\) 和 \(Y\) 是 \(k\) 上的概形，并设 \(\mathcal{F}\) 和 \(\mathcal{G}\) 分别是拟凝聚 \(\mathcal{O}_X\)-模和 \(\mathcal{O}_Y\)-模。则有典范同构 \[H^n(X \times_{\Spec(k)} Y, \text{pr}_1^*\mathcal{F} \otimes_{\mathcal{O}_{X \times_{\Spec(k)} Y}} \text{pr}_2^*\mathcal{G}) = \bigoplus\nolimits_{p + q = n} H^p(X, \mathcal{F}) \otimes_k H^q(Y, \mathcal{G})\] 只要 \(X\) 和 \(Y\) 拟紧且具有仿射对角态射³（例如 \(X\) 和 \(Y\) 都分离）。

证明

在本证明中，没有额外标注的积与张量积都取在 \(k\) 上。作为映射 \[H^p(X, \mathcal{F}) \otimes H^q(Y, \mathcal{G}) \longrightarrow H^n(X \times Y, \text{pr}_1^*\mathcal{F} \otimes_{\mathcal{O}_{X \times Y}} \text{pr}_2^*\mathcal{G})\] 我们先利用上同调的函子性得到映射 \(H^p(X, \mathcal{F}) \to H^p(X \times Y, \text{pr}_1^*\mathcal{F})\) 和 \(H^p(Y, \mathcal{G}) \to H^p(X \times Y, \text{pr}_2^*\mathcal{G})\)，然后使用杯积 \[\cup : H^p(X \times Y, \text{pr}_1^*\mathcal{F}) \otimes H^q(X \times Y, \text{pr}_2^*\mathcal{G}) \longrightarrow H^n(X \times Y, \text{pr}_1^*\mathcal{F} \otimes_{\mathcal{O}_{X \times Y}} \text{pr}_2^*\mathcal{G})\] 当 \(X\) 和 \(Y\) 仿射时，结论由仿射概形上高次上同调群的消失（《概形的上同调》引理 01XB）以及定义（拟凝聚模的拉回和拟凝聚模的张量积的定义）得出。

选取有限仿射开覆盖 \(\mathcal{U} : X = \bigcup_{i \in I} U_i\) 和 \(\mathcal{V} : Y = \bigcup_{j \in J} V_j\)。它们确定仿射开覆盖 \(\mathcal{W} : X \times Y = \bigcup_{(i, j) \in I \times J} U_i \times V_j\)。注意，\(\mathcal{W}\) 同时是 \(\text{pr}_1^{-1}\mathcal{U}\) 和 \(\text{pr}_2^{-1}\mathcal{V}\) 的加细。所以由《上同调》引理 01FD，得到映射 \[\check{\mathcal{C}}^\bullet(\mathcal{U}, \mathcal{F}) \to \check{\mathcal{C}}^\bullet(\mathcal{W}, \text{pr}_1^*\mathcal{F}) \quad\text{且}\quad \check{\mathcal{C}}^\bullet(\mathcal{V}, \mathcal{G}) \to \check{\mathcal{C}}^\bullet(\mathcal{W}, \text{pr}_2^*\mathcal{G})\] 它们与上同调上的拉回映射相容。在《上同调》等式 (07MB) 中，我们已构造复形映射 \[\text{Tot}( \check{\mathcal{C}}^\bullet(\mathcal{W}, \text{pr}_1^*\mathcal{F}) \otimes \check{\mathcal{C}}^\bullet(\mathcal{W}, \text{pr}_2^*\mathcal{G})) \longrightarrow \check{\mathcal{C}}^\bullet(\mathcal{W}, \text{pr}_1^*\mathcal{F} \otimes_{\mathcal{O}_{X \times Y}} \text{pr}_2^*\mathcal{G})\] 它定义上同调上的杯积。结合上述映射，得到复形映射 [0BEE]\[\begin{equation} \text{Tot}( \check{\mathcal{C}}^\bullet(\mathcal{U}, \mathcal{F}) \otimes \check{\mathcal{C}}^\bullet(\mathcal{V}, \mathcal{G})) \longrightarrow \check{\mathcal{C}}^\bullet(\mathcal{W}, \text{pr}_1^*\mathcal{F} \otimes_{\mathcal{O}_{X \times Y}} \text{pr}_2^*\mathcal{G}) \end{equation}\] 我们提醒读者，该映射不是复形的同构。回忆，可用这些覆盖计算我们的拟凝聚层的上同调（《概形的上同调》引理 0BDX 和 01XD）。因此， (0BEE) 在上同调上重现本引理的映射。

考虑拟凝聚模的短正合列 \(0 \to \mathcal{F} \to \mathcal{F}' \to \mathcal{F}'' \to 0\)。由于 (0BEE) 的构造对 \(\mathcal{F}\) 具有函子性，并且相关 Čech 复形的构造对变量 \(\mathcal{F}\) 正合（因为我们在仿射开集上取截面），得到短正合复形列之间的映射 \scriptsize \[\xymatrix{ \text{Tot}( \check{\mathcal{C}}^\bullet(\mathcal{U}, \mathcal{F}) \otimes \check{\mathcal{C}}^\bullet(\mathcal{V}, \mathcal{G})) \ar[r] \ar[d] & \text{Tot}( \check{\mathcal{C}}^\bullet(\mathcal{U}, \mathcal{F}') \otimes \check{\mathcal{C}}^\bullet(\mathcal{V}, \mathcal{G})) \ar[r] \ar[d] & \text{Tot}( \check{\mathcal{C}}^\bullet(\mathcal{U}, \mathcal{F}'') \otimes \check{\mathcal{C}}^\bullet(\mathcal{V}, \mathcal{G})) \ar[d] \\ \check{\mathcal{C}}^\bullet(\mathcal{W}, \text{pr}_1^*\mathcal{F} \otimes_{\mathcal{O}_{X \times Y}} \text{pr}_2^*\mathcal{G}) \ar[r] & \check{\mathcal{C}}^\bullet(\mathcal{W}, \text{pr}_1^*\mathcal{F}' \otimes_{\mathcal{O}_{X \times Y}} \text{pr}_2^*\mathcal{G}) \ar[r] & \check{\mathcal{C}}^\bullet(\mathcal{W}, \text{pr}_1^*\mathcal{F}'' \otimes_{\mathcal{O}_{X \times Y}} \text{pr}_2^*\mathcal{G}) }\] （我们略去了外侧的零项）。考察上同调长正合列，可知：若引理的结论对 \(2\)-out-of-\(3\) of \(\mathcal{F}, \mathcal{F}', \mathcal{F}''\) 成立，则它对第三个也成立。

注意，\(X\) 对拟凝聚模具有有限上同调维数，见《概形的上同调》引理 01XI。对 \(d(\mathcal{F}) = \max \{d \mid H^d(X, \mathcal{F}) \not = 0\}\) 作归纳，我们将化归到 \(d(\mathcal{F}) = 0\) 的情形。假设 \(d(\mathcal{F}) > 0\)。由《概形的上同调》引理 0BDY，我们已经看到，存在嵌入 \(\mathcal{F} \to \mathcal{F}'\)，使得 \(H^p(X, \mathcal{F}') = 0\) 对所有 \(p \geq 1\) 成立。令 \(\mathcal{F}'' = \Coker(\mathcal{F} \to \mathcal{F}')\)，则 \(d(\mathcal{F}'') < d(\mathcal{F})\)。因此可用前段的结果看出，只需对 \(\mathcal{F}'\) 和 \(\mathcal{F}''\) 证明引理，由此完成归纳步骤。

对 \(\mathcal{G}\) 作同样的论证，可假设 \(\mathcal{F}\) 和 \(\mathcal{G}\) 都只在次数 \(0\) 具有非零上同调。设 \(V \subset Y\) 是仿射开集。考虑仿射开覆盖 \(\mathcal{U}_V : X \times V = \bigcup_{i \in I} U_i \times V\)。立即有 \[\check{\mathcal{C}}^\bullet(\mathcal{U}, \mathcal{F}) \otimes \mathcal{G}(V) = \check{\mathcal{C}}^\bullet(\mathcal{U}_V, \text{pr}_1^*\mathcal{F} \otimes_{\mathcal{O}_{X \times Y}} \text{pr}_2^*\mathcal{G})\] （复形相等）。我们得出 \[R\text{pr}_{2, *}(\text{pr}_1^*\mathcal{F} \otimes_{\mathcal{O}_{X \times Y}} \text{pr}_2^*\mathcal{G}) \cong \Gamma(X, \mathcal{F}) \otimes_k \mathcal{G} \cong \bigoplus\nolimits_{\alpha \in A} \mathcal{G}\] 在 \(Y\) 上成立。这里 \(A\) 是 \(k\)-向量空间 \(\Gamma(X, \mathcal{F})\) 的一组基。 \(Y\) 上的上同调与直和可交换（《上同调》引理 01FF）。对 \(\text{pr}_2\) 使用 Leray 谱序列（经由《上同调》引理 01F4），我们得出， \(H^n(X \times Y, \text{pr}_1^*\mathcal{F} \otimes_{\mathcal{O}_{X \times Y}} \text{pr}_2^*\mathcal{G})\) 在 \(n > 0\) 时为零，且同构于 \(H^0(X, \mathcal{F}) \otimes H^0(Y, \mathcal{G})\)，当 \(n = 0\) 时。这完成了证明（除了还应检查该同构确实由次数 \(0\) 上的杯积给出；我们略去验证）。

引理

设 \(k\) 是域。设 \(X\) 和 \(Y\) 是 \(k\) 上的概形，并设 \(\mathcal{F}\) 和 \(\mathcal{G}\) 分别是拟凝聚 \(\mathcal{O}_X\)-模和 \(\mathcal{O}_Y\)-模。则有典范同构 \[H^n(X \times_{\Spec(k)} Y, \text{pr}_1^*\mathcal{F} \otimes_{\mathcal{O}_{X \times_{\Spec(k)} Y}} \text{pr}_2^*\mathcal{G}) = \bigoplus\nolimits_{p + q = n} H^p(X, \mathcal{F}) \otimes_k H^q(Y, \mathcal{G})\] 只要 \(X\) 和 \(Y\) 拟紧且拟分离。

证明

若 \(X\) 和 \(Y\) 分离，或更一般地具有仿射对角态射，请参见引理 0BED 中的“更好”证明（它胜过本证明之处在于：它把这些映射识别为先拉回再作杯积）。设 \(X'\) 和 \(Y'\) 分别是 \(X\) 和 \(Y\) 的无穷小加厚，其结构层分别为 \(\mathcal{O}_{X'} = \mathcal{O}_X \oplus \mathcal{F}\) 和 \(\mathcal{O}_{Y'} = \mathcal{O}_Y \oplus \mathcal{G}\)，其中 \(\mathcal{F}\) 和 \(\mathcal{G}\) 分别是平方为零的理想。那么 \[\mathcal{O}_{X' \times Y'} = \mathcal{O}_{X \times Y} \oplus \text{pr}_1^*\mathcal{F} \oplus \text{pr}_2^*\mathcal{G} \oplus \text{pr}_1^*\mathcal{F} \otimes_{\mathcal{O}_{X \times Y}} \text{pr}_2^*\mathcal{G}\] 作为 \(X \times Y\) 上的层成立。由此可知，只需证明 \[H^n(X \times Y, \mathcal{O}_{X \times Y}) = \bigoplus\nolimits_{p + q = n} H^p(X, \mathcal{O}_X) \otimes_k H^q(Y, \mathcal{O}_Y)\] 对 \(k\) 上任意一对拟紧拟分离概形成立。略去一些细节。

为证明此断言，我们使用《概形的上同调》引理 01XN 所给出形式的上同调与基变换。该引理告诉我们，存在一个下有界的 \(k\)-向量空间复形，也就是复形 \(\mathcal{K}^\bullet\)，它由 \(\Spec(k)\) 上的拟凝聚模组成，它万有地计算 \(Y\) 在 \(\Spec(k)\) 上的上同调。特别地，可知 \[R\text{pr}_{1, *}(\mathcal{O}_{X \times Y}) \cong (X \to \Spec(k))^*\mathcal{K}^\bullet\] 在 \(D(\mathcal{O}_X)\) 中成立。在同伦意义下，复形 \(\mathcal{K}^\bullet\) 同构于 \(\bigoplus_{q \geq 0} H^q(Y, \mathcal{O}_Y)[-q]\)，因为域上的每个向量空间复形都如此。我们得出 \[R\text{pr}_{1, *}(\mathcal{O}_{X \times Y}) \cong \bigoplus\nolimits_{q \geq 0} H^q(Y, \mathcal{O}_Y)[-q] \otimes_k \mathcal{O}_X\] 在 \(D(\mathcal{O}_X)\) 中成立。于是 \[\begin{align*} R\Gamma(X \times Y, \mathcal{O}_{X \times Y}) & = R\Gamma(X, R\text{pr}_{1, *}(\mathcal{O}_{X \times Y})) \\ & = R\Gamma(X, \bigoplus\nolimits_{q \geq 0} H^q(Y, \mathcal{O}_Y)[-q] \otimes_k \mathcal{O}_X) \\ & = \bigoplus\nolimits_{q \geq 0} R\Gamma(X, H^q(Y, \mathcal{O}_Y) \otimes \mathcal{O}_X)[-q] \\ & = \bigoplus\nolimits_{q \geq 0} R\Gamma(X, \mathcal{O}_X) \otimes_k H^q(Y, \mathcal{O}_Y)[-q] \\ & = \bigoplus\nolimits_{p, q \geq 0} H^p(X, \mathcal{O}_X)[-p] \otimes_k H^q(Y, \mathcal{O}_Y)[-q] \end{align*}\] 如所求。第一个等式由 \(\text{pr}_1\) 的 Leray 谱序列得出（《上同调》引理 01EZ）。第二个等式由上面给出的总直像分解得出。第三个等式成立，因为上同调总与有限直和可交换（并且由《概形的上同调》引理 071L，\(Y\) 的上同调在充分高次数上消失）。第四个等式成立，因为由《上同调》引理 01FF，\(X\) 上的上同调与无限直和可交换。最后一个等式由上面对域的导出范畴的评论得出。

簇的 Picard 群

本节汇集代数簇的 Picard 群的一些初等结果。

引理

设 \(A \to B\) 是忠实平坦环同态。设 \(X\) 是 \(A\) 上的拟紧拟分离概形。设 \(\mathcal{L}\) 是可逆 \(\mathcal{O}_X\)-模，其到 \(X_B\) 的拉回平凡。则 \(H^0(X, \mathcal{L})\) 和 \(H^0(X, \mathcal{L}^{\otimes -1})\) 是可逆 \(H^0(X, \mathcal{O}_X)\)-模，并且乘法映射诱导同构 \[H^0(X, \mathcal{L}) \otimes_{H^0(X, \mathcal{O}_X)} H^0(X, \mathcal{L}^{\otimes -1}) \longrightarrow H^0(X, \mathcal{O}_X)\]

证明

以 \(\mathcal{L}_B\) 表示 \(\mathcal{L}\) 到 \(X_B\) 的拉回。选取同构 \(\mathcal{L}_B \to \mathcal{O}_{X_B}\)。令 \(R = H^0(X, \mathcal{O}_X)\)、\(M = H^0(X, \mathcal{L})\)，并将 \(M\) 视为 \(R\)-模。对每个拟凝聚 \(\mathcal{O}_X\)-模 \(\mathcal{F}\)，记 \(\mathcal{F}_B\) 为它在 \(X_B\) 上的拉回，则有典范同构 \(H^0(X_B, \mathcal{F}_B) = H^0(X, \mathcal{F}) \otimes_A B\)；见《概形的上同调》引理 02KH。因此有 \[M \otimes_R (R \otimes_A B) = M \otimes_A B = H^0(X_B, \mathcal{L}_B) \cong H^0(X_B, \mathcal{O}_{X_B}) = R \otimes_A B\] 由于 \(R \to R \otimes_A B\) 忠实平坦（它是忠实平坦同态 \(A \to B\) 的基变换），由《代数》命题 058S 可知，\(M\) 是可逆 \(R\)-模。类似地，\(N = H^0(X, \mathcal{L}^{\otimes -1})\) 是可逆 \(R\)-模。要看关于张量积的断言成立，只需利用它在拉回到 \(X_B\) 后成立，以及 \(R \to R \otimes_A B\) 的忠实平坦性。略去一些细节。

引理

设 \(A \to B\) 是忠实平坦环同态。设 \(X\) 是 \(A\) 上的概形，并且

\(X\) 拟紧且拟分离；

\(R = H^0(X, \mathcal{O}_X)\) 是半局部环。

则拉回映射 \(\Pic(X) \to \Pic(X_B)\) 是单射。

证明

设 \(\mathcal{L}\) 是可逆 \(\mathcal{O}_X\)-模，其拉回 \(\mathcal{L}'\) 在 \(X_B\) 上平凡。令 \(M = H^0(X, \mathcal{L})\) 和 \(N = H^0(X, \mathcal{L}^{\otimes - 1})\)。由引理 0CDX，\(R\)-模 \(M\) 和 \(N\) 可逆。由于 \(R\) 半局部， \(M \cong R\) 且 \(N \cong R\)；见《代数》引理 02M9。选取生成元 \(s \in M\) 和 \(t \in N\)。由引理 0CDX 的最后一部分， \(st \in R = H^0(X, \mathcal{O}_X)\) 是单位。我们得出，\(s\) 和 \(t\) 分别给出 \(\mathcal{L}\) 和 \(\mathcal{L}^{\otimes -1}\) 在 \(X\) 上的平凡化。

引理

设 \(k'/k\) 是域扩张。设 \(X\) 是 \(k\) 上的概形，并且

\(X\) 拟紧且拟分离；

\(R = H^0(X, \mathcal{O}_X)\) 是半局部环，例如当 \(\dim_k R < \infty\) 时如此。

则拉回映射 \(\Pic(X) \to \Pic(X_{k'})\) 是单射。

证明

这是引理 0CDY 的特殊情形。若 \(\dim_k R < \infty\)，则 \(R\) 是 Artin 环，因而是半局部环（《代数》引理 00J6 和 00J7）。

例

若不对概形 \(X\)（视为域 \(k\) 上的概形）施加某种条件，引理 0CC5 并不成立。下面给出一个例子。设 \(k\) 是域。设 \(t \in \mathbf{P}^1_k\) 是闭点。令 \(X = \mathbf{P}^1 \setminus \{t\}\)。则有满射 \[\mathbf{Z} = \Pic(\mathbf{P}^1_k) \longrightarrow \Pic(X)\] 第一个等式由《除子》引理 0BXJ 得出，满射性由《除子》引理 0BD9 得出（因为 \(\mathbf{P}^1_k\) 的维数为 \(1\)，且它在 \(k\) 上光滑，故其所有局部环都是离散赋值环）。若 \(\mathcal{L}\) 位于所示映射的核中，则有 \(\mathcal{L} \cong \mathcal{O}_{\mathbf{P}^1_k}(nt)\)，其中 \(n \in \mathbf{Z}\)。我们把下述验证留给读者： \(\mathcal{O}_{\mathbf{P}^1_k}(t) \cong \mathcal{O}_{\mathbf{P}^1_k}(d)\)，其中 \(d = [\kappa(t) : k]\)。因此 \[\Pic(X) = \mathbf{Z}/d\mathbf{Z}\] 所以，若 \(t\) 不是 \(k\)-有理点，则 \(d > 1\)，这个 Picard 群非零。另一方面，若把底域 \(k\) 扩张为任意域扩张 \(k'\)，且存在 \(k\)-嵌入 \(\kappa(t) \to k'\)，则 \(\mathbf{P}^1_{k'} \setminus X_{k'}\) 有一个 \(k'\)-有理点 \(t'\)。因此 \(\mathcal{O}_{\mathbf{P}^1_{k'}}(1) = \mathcal{O}_{\mathbf{P}^1_{k'}}(t')\) 属于映射 \(\mathbf{Z} \to \Pic(X_{k'})\) 的核；按与上面相同的方法可得 \(\Pic(X_{k'}) = 0\)。

下列引理告诉我们，在正规簇上，“有理等价的可逆模”彼此同构。

引理

设 \(k\) 是域。设 \(X\) 是 \(k\) 上的正规簇。设 \(U \subset \mathbf{A}^n_k\) 是开子概形，并具有 \(k\)-有理点 \(p, q \in U(k)\)。对每个可逆模 \(\mathcal{L}\)（定义在 \(X \times_{\Spec(k)} U\) 上），其限制 \(\mathcal{L}|_{X \times p}\) 和 \(\mathcal{L}|_{X \times q}\) 同构。

证明

\(X \times_{\Spec(k)} U \to X\) 的纤维是域上的仿射 \(n\)-空间的开子概形。因此，由《除子》引理 0BDA，这些纤维的 Picard 群平凡。应用《除子》引理 0BD7，可见 \(\mathcal{L}\) 是某个可逆模 \(\mathcal{N}\) 的拉回，而该模定义在 \(X\) 上。

底域的唯一性

“设 \(X\) 是 \(k\) 上的概形”这一说法意指 \(X\) 是一个概形，并配备态射 \(X \to \Spec(k)\)。现在可以问，域 \(k\) 是否由概形 \(X\) 唯一确定。当然并非如此。例如，我们通常把 \(\mathbf{A}^1_{\mathbf{C}}\) 看作复数域 \(\mathbf{C}\) 上的概形，但也可以把它看作 \(\mathbf{Q}\) 上的概形。然而，若要求态射 \(X \to \Spec(k)\) 不通过 \(X \to \Spec(k') \to \Spec(k)\) 分解，其中 \(k'/k\) 是任意非平凡域扩张，情形又如何？换言之，我们要求 \(k\) 在某种意义下是使 \(X\) 定义在 \(k\) 上的极大域。

下列例子表明，这仍不能保证 \(k\) 的唯一性。考虑概形 \[X = \Spec\left( \mathbf{Q}(x)[y]\left[\frac{1}{P(y)}, P \in \mathbf{Q}[y], P \not = 0\right] \right)\] 乍看之下，它似乎是 \(\mathbf{Q}(x)\) 上的概形；再看便会发现，它也是 \(\mathbf{Q}(y)\) 上的概形。此外，域 \(\mathbf{Q}(x)\) 和 \(\mathbf{Q}(y)\) 都是 \(R = \Gamma(X, \mathcal{O}_X)\) 的子域，并且在 \(R\) 的所有子域中极大（略去细节）。特别地，\(\mathbf{Q}(x)\) 和 \(\mathbf{Q}(y)\) 在上述意义下都是极大的。注意，态射 \(X \to \Spec(\mathbf{Q}(x))\) 和 \(X \to \Spec(\mathbf{Q}(y))\) 都“本质有限型” （即对应的环同态本质有限型）。因此 \(X\) 是有限维 Noether 概形，也就是说，它并非完全病态。

另一个可能妨碍唯一性的问题是，概形 \(X\) 可能非既约。在这种情形，从 \(X\) 到给定域的谱可以有许多不同的态射。作为一个显式例子，考虑对偶数 \(D = \mathbf{C}[y]/(y^2) = \mathbf{C} \oplus \epsilon \mathbf{C}\)。给定任意导子 \(\theta : \mathbf{C} \to \mathbf{C}\)（定义在 \(\mathbf{Q}\) 上），便得到环同态 \[\mathbf{C} \longrightarrow D, \quad c \longmapsto c + \epsilon \theta(c).\] \(\mathbf{C}\) 中使所有这些映射都相同的子域是 \(\mathbf{Q}\) 的代数闭包。这意味着，若 \(X\) 非既约，把 \(X\) 能定义于其上的所有域取交，所得可能是很小的域。

与此有关的一个观察如下：给定域 \(k\) 以及两个子域 \(k_1, k_2\)（它们都是 \(k\) 的子域），若 \(k\) 在 \(k_1\) 和 \(k_2\) 上都有限，一般而言 \(k\) 在 \(k_1 \cap k_2\) 上并不有限。例如，取域 \(k = \mathbf{Q}(t)\) 及其子域 \(k_1 = \mathbf{Q}(t^2)\) 和 \(\mathbf{Q}((t + 1)^2)\)。在此情形， \(k_1 \cap k_2 = \mathbf{Q}\)。因此在下文取域的交时必须谨慎。

说完这些，我们现在证明：若 \(X\) 在某个域上局部有限型，则仍有某种唯一性。精确结果如下。

命题

设 \(X\) 是概形。设 \(a : X \to \Spec(k_1)\) 和 \(b : X \to \Spec(k_2)\) 是从 \(X\) 到域的谱的态射。假设 \(a, b\) 局部有限型，并且 \(X\) 既约且连通。则 \(k_1' = k_2'\)，其中 \(k_i' \subset \Gamma(X, \mathcal{O}_X)\) 是 \(k_i\) 在 \(\Gamma(X, \mathcal{O}_X)\) 中的整闭包。

证明

首先假设该引理在 \(X\) 拟紧的情形成立（我们将在下面处理拟紧情形）。由于 \(X\) 在域上局部有限型，它局部 Noether；见《态射》引理 01T6。特别地，这意味着它局部连通，开子集的连通分支是开集，并且拟紧开集的交拟紧；见《性质》引理 01OZ、《拓扑》引理 04ME、《拓扑》第 0050 节以及《拓扑》引理 005L。选取开覆盖 \(X = \bigcup_{i \in I} U_i\)，使每个 \(U_i\) 都拟紧且连通。对每个 \(i\)，令 \(K_i \subset \mathcal{O}_X(U_i)\) 为 \(k_1\) 和 \(k_2\) 的整闭包。对每对 \(i, j \in I\)，把 \[U_i \cap U_j = \coprod U_{i, j, l}\] 分解为其有限多个连通分支。记 \(K_{i, j, l} \subset \mathcal{O}(U_{i, j, l})\) 为 \(k_1\) 和 \(k_2\) 的整闭包。由引理 04MI，环 \(K_i\) 和 \(K_{i, j, l}\) 都是域。现在我们断言，\(k_1'\) 和 \(k_2'\) 都等于下列映射的核： \[\prod K_i \longrightarrow \prod K_{i, j, l}, \quad (x_i)_i \longmapsto x_i|_{U_{i, j, l}} - x_j|_{U_{i, j, l}}\] 这便证明了所求。的确，显然 \(k_1'\) 包含于这个核。反过来，设 \((x_i)_i\) 位于该核中。由层条件，\((x_i)_i\) 对应于 \(f \in \mathcal{O}(X)\)。选取某个 \(i_0 \in I\)，并令 \(P(T) \in k_1[T]\) 为满足 \(P(x_{i_0}) = 0\) 的首一多项式。于是我们断言 \(P(f) = 0\)；这证明了 \(f \in k_1\)。为证明这一点，须证明 \(P(x_i) = 0\) 对所有 \(i\) 成立。选取 \(i \in I\)。由于 \(X\) 连通，存在序列 \(i_0, i_1, \ldots, i_n = i \in I\)，使得 \(U_{i_t} \cap U_{i_{t + 1}} \not = \emptyset\)。这意味着，对每个 \(t\)，存在 \(l_t\)，使 \(x_{i_t}\) 和 \(x_{i_{t + 1}}\) 映到域 \(K_{i_t, i_{t + 1}, l_t}\) 的同一个元素。因此若 \(P(x_{i_t}) = 0\)，则 \(P(x_{i_{t + 1}}) = 0\)。从 \(P(x_{i_0}) = 0\) 出发归纳，便得到 \(P(x_i) = 0\)，如所求。

为完成该引理的证明，我们在附加假设 \(X\) 拟紧的条件下证明该引理。由引理 04MI，把 \(k_i\) 替换为 \(k_i'\) 后，可以假设 \(k_i\) 在 \(\Gamma(X, \mathcal{O}_X)\) 中整闭。这蕴涵 \(\mathcal{O}(X)^*/k_i^*\) 是有限生成 Abel 群；见命题 04L7。令 \(k_{12} = k_1 \cap k_2\)，视其为 \(\mathcal{O}(X)\) 的子环。注意，\(k_{12}\) 是域。由于有映射 \[k_1^*/k_{12}^* \longrightarrow \mathcal{O}(X)^*/k_2^*\] 可见 \(k_1^*/k_{12}^*\) 也是有限生成 Abel 群。因此存在 \(\alpha_1, \ldots, \alpha_n \in k_1^*\)，使每个元素 \(\lambda \in k_1\) 都具有形式 \[\lambda = c \alpha_1^{e_1} \ldots \alpha_n^{e_n}\] 其中 \(e_i \in \mathbf{Z}\) 且 \(c \in k_{12}\)。特别地，环同态 \[k_{12}[x_1, \ldots, x_n, \frac{1}{x_1 \ldots x_n}] \longrightarrow k_1, \quad x_i \longmapsto \alpha_i\] 是满射。由 Hilbert 零点定理，即《代数》定理 00FV，可知 \(k_1\) 是 \(k_{12}\) 的有限扩张。同理可知 \(k_2\) 是 \(k_{12}\) 的有限扩张。特别地，\(k_1\) 和 \(k_2\) 都包含于整闭包 \(k_{12}'\)；这是 \(k_{12}\) 在 \(\Gamma(X, \mathcal{O}_X)\) 中的整闭包。但由引理 04MI，\(k_{12}'\) 是域；并且由于我们选取 \(k_i\) 在 \(\Gamma(X, \mathcal{O}_X)\) 中整闭，故得到 \(k_1 = k_{12} = k_2\)，如所求。

自同构

本节讨论域上概形的自同构。关于曲线的（无穷小）自同构的一些信息，见《代数曲线》第 0E66 节和《曲线的模》第 0DST 节。

引理

设 \(X\) 是域 \(k\) 上有限型的既约概形。设 \(f : X \to X\) 是 \(k\) 上的自同构，并且它在 \(X\) 的底拓扑空间上诱导恒等映射。则

有 \(f^*\mathcal{F} \cong \mathcal{F}\)，对任意凝聚 \(\mathcal{O}_X\)-模皆然；

若每个不可约分支的维数都满足 \(\dim(Z) > 0\)（其中 \(Z \subset X\)），则 \(f\) 是恒等映射。

证明

(1) 由 (2) 以及 \(X\) 的维数为 \(0\) 的连通分支都是域的谱这一事实得出。

设 \(Z \subset X\) 是不可约分支，并把它看作整的闭子概形。显然 \(f(Z) \subset Z\)，且 \(f|_Z : Z \to Z\) 是 \(k\) 上的自同构，并在 \(Z\) 的底拓扑空间上诱导恒等映射。由于 \(X\) 既约，只须证明箭头 \(f|_Z : Z \to Z\) 是恒等映射。这把问题归约到下一段讨论的情形。

假设 \(X\) 不可约且维数 \(> 0\)。选取非空仿射开集 \(U \subset X\)。由于 \(f(U) \subset U\)，并且 \(U \subset X\) 概形论稠密，只须证明 \(f|_U : U \to U\) 是恒等映射。

假设 \(X = \Spec(A)\) 仿射、不可约、维数 \(> 0\)，并且 \(k\) 是无限域。设 \(g \in A\) 非常数。集合 \[S = \bigcup\nolimits_{\lambda \in k} V(g - \lambda)\] 在 \(X\) 中稠密，因为它是稠密子集 \(\mathbf{A}^1_k(k)\) 在非常数态射 \(g : X \to \mathbf{A}^1_k\) 下的逆像。若 \(x \in S\)，则 \(g(x)\)（即 \(g\) 在 \(\kappa(x)\) 中的像）属于 \(k \to \kappa(x)\) 的像。因此 \(f^\sharp : \kappa(x) \to \kappa(x)\) 固定 \(g(x)\)。所以 \(f^\sharp(g)\) 在 \(\kappa(x)\) 中的像等于 \(g(x)\)。我们得出 \[S \subset V(g - f^\sharp(g))\] 而由于 \(X\) 既约且 \(S\) 稠密，便得到 \(g=f^\sharp(g)\)。这证明 \(f^\sharp = \text{id}_A\)，因为 \(A\) 作为 \(k\)-代数由上述元素 \(g\) 生成（略去细节；提示：常数函数之集是有限维 \(k\)-向量子空间，位于 \(A\) 中）。我们得出 \(f = \text{id}_X\)。

假设 \(X = \Spec(A)\) 仿射、不可约、维数 \(> 0\)，并且 \(k\) 是有限域。若对每个 \(1\) 维整的闭子概形 \(C \subset X\)，限制 \(f|_C : C \to C\) 都是恒等映射，则 \(f\) 是恒等映射。这把问题归约到 \(X\) 为曲线的情形。有限域上的曲线具有有限自同构群（略去细节）。因此 \(f\) 具有有限阶，记为 \(n\)。然后如上选取非常数态射 \(g : X \to \mathbf{A}^1_k\)，并考虑 \[S = \{x \in X\text{ closed such that }[\kappa(g(x)) : k] \text{ is prime to }n\}\] 如前论证，可知 \(S\) 在 \(X\) 中稠密。对闭点 \(x \in X\)，映射 \(f^\sharp : \kappa(x) \to \kappa(x)\) 是阶整除 \(n\) 的自同构。因此对 \(x \in S\)，该自同构在由 \(g\) 在 \(\kappa(x)\) 中的像生成的子域上作用平凡。于是 \(S \subset V(g - f^\sharp(g))\)，按前述论证即得结论。

欧拉示性数

本节证明域上固有概形上的凝聚层的欧拉示性数的一些初等性质。

定义

设 \(k\) 是域。设 \(X\) 是 \(k\) 上的固有概形。设 \(\mathcal{F}\) 是凝聚 \(\mathcal{O}_X\)-模。在此情形下，\(\mathcal{F}\) 的欧拉示性数是整数 \[\chi(X, \mathcal{F}) = \sum\nolimits_i (-1)^i \dim_k H^i(X, \mathcal{F}).\] 关于这个公式的合理性，见下文。

在该定义的情形下，向量空间 \(H^i(X, \mathcal{F})\) 中只有有限多个非零（《概形的上同调》引理 01XJ），并且这些空间都是有限维的（《概形的上同调》引理 02O6）。因此 \(\chi(X, \mathcal{F}) \in \mathbf{Z}\) 有良好定义。注意，这个定义依赖于域 \(k\)，而不只依赖于二元组 \((X, \mathcal{F})\)。

引理

设 \(k\) 是域。设 \(X\) 是 \(k\) 上的固有概形。设 \(0 \to \mathcal{F}_1 \to \mathcal{F}_2 \to \mathcal{F}_3 \to 0\) 是 \(X\) 上凝聚模的短正合列。则 \[\chi(X, \mathcal{F}_2) = \chi(X, \mathcal{F}_1) + \chi(X, \mathcal{F}_3)\]

证明

考虑与该引理中的短正合列相伴的上同调长正合列 \[0 \to H^0(X, \mathcal{F}_1) \to H^0(X, \mathcal{F}_2) \to H^0(X, \mathcal{F}_3) \to H^1(X, \mathcal{F}_1) \to \ldots\] 线性代数中的秩-零化度定理表明 \[0 = \dim H^0(X, \mathcal{F}_1) - \dim H^0(X, \mathcal{F}_2) + \dim H^0(X, \mathcal{F}_3) - \dim H^1(X, \mathcal{F}_1) + \ldots\] 这立即蕴涵该引理。

引理

设 \(k\) 是域。设 \(X\) 是 \(k\) 上的固有概形。设 \(\mathcal{F}\) 是满足 \(\dim(\text{Supp}(\mathcal{F})) \leq 0\) 的凝聚层。则

\(\mathcal{F}\) 由全局截面生成，

\(H^0(X, \mathcal{F}) = \bigoplus_{x \in \text{Supp}(\mathcal{F})} \mathcal{F}_x\)，

\(H^i(X, \mathcal{F}) = 0\) 对每个 \(i > 0\) 成立，

\(\chi(X, \mathcal{F}) = \dim_k H^0(X, \mathcal{F})\)，并且

等式 \(\chi(X, \mathcal{F} \otimes \mathcal{E}) = n\chi(X, \mathcal{F})\) 对每个局部自由模 \(\mathcal{E}\)（其秩为 \(n\)）成立。

证明

由《概形的上同调》引理 01Y5，可知 \(\mathcal{F} = i_*\mathcal{G}\)，其中 \(i : Z \to X\) 是 \(\mathcal{F}\) 的概形论支集的包含映射，而 \(\mathcal{G}\) 是凝聚 \(\mathcal{O}_Z\)-模。由概形论支集的定义，\(Z\) 的底拓扑空间是 \(\text{Supp}(\mathcal{F})\)。由于 \(Z\) 的维数为 \(0\)，由《性质》引理 0AAX 可知 \(Z\) 是仿射概形。所以 \(\mathcal{G}\) 是全局生成的，并且 \(\mathcal{G}\) 的高阶上同调群为零（《概形的上同调》引理 01XB）。事实上，由引理 06LH，概形 \(Z\) 是局部 Artin 环的谱的有限不交并。因此相应地有 \(H^0(Z, \mathcal{G}) = \bigoplus_{z \in Z} \mathcal{G}_z\)。由《概形的上同调》引理 089W， \(\mathcal{F}\) 与 \(\mathcal{G}\) 的上同调相同。因此 \(H^i(X, \mathcal{F}) = 0\) 对每个 \(i > 0\) 成立，并且 \(H^0(X, \mathcal{F}) = H^0(Z, \mathcal{G})\)。特别地，(3) 成立。对 \(z \in Z\)，若它对应于 \(x \in \text{Supp}(\mathcal{F})\)，则有 \(\mathcal{G}_z = (i_*\mathcal{G})_x = \mathcal{F}_x\)。我们得出 (2) 成立。当然，(2) 蕴涵 (1)。由欧拉示性数 \(\chi(X, \mathcal{F})\) 的定义和 (3)，得到 (4)。由投影公式（《上同调》引理 01E8），有 \[i_*(\mathcal{G} \otimes i^*\mathcal{E}) = \mathcal{F} \otimes \mathcal{E}.\] 由于 \(Z\) 的维数为 \(0\)，局部自由层 \(i^*\mathcal{E}\) 同构于 \(\mathcal{O}_Z^{\oplus n}\)；按上述方式论证即知 (5) 成立。

引理

设 \(k'/k\) 是域扩张。设 \(X\) 是 \(k\) 上的固有概形。设 \(\mathcal{F}\) 是 \(X\) 上的凝聚层。设 \(\mathcal{F}'\) 是 \(\mathcal{F}\) 在 \(X_{k'}\) 上的拉回。则 \(\chi(X, \mathcal{F}) = \chi(X', \mathcal{F}')\)。

证明

这是因为由平坦基变换有 \[H^i(X_{k'}, \mathcal{F}') = H^i(X, \mathcal{F}) \otimes_k k'\] 见《概形的上同调》引理 02KH。

引理

设 \(k\) 是域。设 \(f : Y \to X\) 是 \(k\) 上的固有概形之间的态射。设 \(\mathcal{G}\) 是凝聚 \(\mathcal{O}_Y\)-模。则 \[\chi(Y, \mathcal{G}) = \sum (-1)^i \chi(X, R^if_*\mathcal{G})\]

证明

该公式是有意义的：层 \(R^if_*\mathcal{G}\) 是凝聚的，并且其中只有有限多个非零；见《概形的上同调》命题 02O5 和引理 01XJ。由《上同调》引理 01F2，存在以 \[E_2^{p, q} = H^p(X, R^qf_*\mathcal{G})\] 为第二页并收敛到 \(H^{p + q}(Y, \mathcal{G})\) 的谱序列。由 \(X\) 上上同调的有限性可知，只有有限多个 \(E_2^{p, q}\) 非零，并且每个 \(E_2^{p, q}\) 都是有限维向量空间。由此，\(E_r^{p, q}\) 对每个 \(r \geq 2\) 亦如此，并且 \[\sum (-1)^{p + q} \dim_k E_r^{p, q}\] 与 \(r\) 无关。对充分大的 \(r\)，有 \(E_r^{p, q} = E_\infty^{p, q}\)；而收敛是指 \(H^n(Y, \mathcal{G})\) 上存在一个滤过，其分次片为 \(E_\infty^{p, q}\)，其中 \(p + q = n\)（这就是谱序列收敛的含义），故得出结论。另见更一般的《同调》引理 0BDW。

射影空间

域上的射影空间的一些结果。

引理

设 \(k\) 是域且 \(n \geq 0\)。则 \(\mathbf{P}^n_k\) 是维数为 \(n\) 的 \(k\) 上光滑射影簇。

证明

从略。

引理

设 \(k\) 是域且 \(n \geq 0\)。设 \(X, Y \subset \mathbf{A}^n_k\) 为闭子集。假设 \(X\) 和 \(Y\) 都是等维的， \(\dim(X) = r\) 且 \(\dim(Y) = s\)。则 \(X \cap Y\) 的每个不可约分支的维数都 \(\geq r + s - n\)。

证明

考虑闭子概形 \(X \times Y \subset \mathbf{A}^{2n}_k\)，这里使用坐标 \(x_1, \ldots, x_n, y_1, \ldots, y_n\)。于是 \(X \cap Y = X \times Y \cap V(x_1 - y_1, \ldots, x_n - y_n)\)。设 \(t \in X \cap Y \subset X \times Y\) 为闭点。由引理 0B2M，有 \(\dim_t(X \times Y) = \dim(X) + \dim(Y)\)。因而由引理 0A21，有 \(\dim(\mathcal{O}_{X \times Y, t}) = r + s\)。由《代数》引理 00KW，可得 \[\dim(\mathcal{O}_{X \cap Y, t}) = \dim(\mathcal{O}_{X \times Y, t}/(x_1 - y_1, \ldots, x_n - y_n)) \geq r + s - n\] 再由引理 0A21 即得结论。

引理

设 \(k\) 是域且 \(n \geq 0\)。设 \(X, Y \subset \mathbf{P}^n_k\) 为非空闭子集。若 \(\dim(X) = r\) 且 \(\dim(Y) = s\)，并且 \(r + s \geq n\)，则 \(X \cap Y\) 非空，且 \(\dim(X \cap Y) \geq r + s - n\)。

证明

记 \(\mathbf{A}^n = \Spec(k[x_0, \ldots, x_n])\) 且 \(\mathbf{P}^n = \text{Proj}(k[T_0, \ldots, T_n])\)。考虑态射 \(\pi : \mathbf{A}^{n + 1} \setminus \{0\} \to \mathbf{P}^n\)，它把 \((x_0, \ldots, x_n)\) 送到点 \([x_0 : \ldots : x_n]\)。更准确地说，它是由二元组 \((\mathcal{O}_{\mathbf{A}^{n + 1} \setminus \{0\}}, (x_0, \ldots, x_n))\) 相伴的态射；见《构造》引理 01NE。在标准仿射开集 \(D_+(T_i)\) 上，得到由环同态 \[k\left[\frac{T_0}{T_i}, \ldots, \frac{T_n}{T_i}\right] \longrightarrow k\left[T_0, \ldots, T_n, \frac{1}{T_i}\right] \cong k\left[\frac{T_0}{T_i}, \ldots, \frac{T_n}{T_i}\right] \left[T_i, \frac{1}{T_i}\right]\] 相伴的态射；该环同态是满的，并且是相对维数为 \(1\)、纤维不可约的光滑同态（略去细节）。因此 \(\pi^{-1}(X)\) 和 \(\pi^{-1}(Y)\) 是维数分别为 \(r + 1\) 和 \(s + 1\) 的非空闭子集。选取不可约分支 \(V \subset \pi^{-1}(X)\)，其维数为 \(r + 1\)；再选取不可约分支 \(W \subset \pi^{-1}(Y)\)，其维数为 \(s + 1\)。注意，这蕴涵 \(V\) 和 \(W\) 包含它们所遇到的 \(\pi\) 的每条纤维（因为 \(\pi\) 的纤维是维数为 \(1\) 的不可约集，且引理 0B2L 表明 \(V \to \pi(V)\) 和 \(W \to \pi(W)\) 的纤维维数都 \(\geq 1\)）。令 \(\overline{V}\) 和 \(\overline{W}\) 分别为 \(V\) 和 \(W\) 在 \(\mathbf{A}^{n + 1}\) 中的闭包。因为 \(0 \in \mathbf{A}^{n + 1}\) 属于 \(\pi\) 的每条纤维的闭包，所以 \(0 \in \overline{V} \cap \overline{W}\)。由引理 0B2Q，有 \(\dim(\overline{V} \cap \overline{W}) \geq r + s - n + 1\)。再次使用引理 0B2L 如上论证，便得出 \(\pi(V \cap W) \subset X \cap Y\) 的维数至少为 \(r + s - n\)，如所需。

引理

设 \(k\) 是域。设 \(Z \subset \mathbf{P}^n_k\) 是没有嵌入点的闭子概形，且 \(Z\) 的每个不可约分支的维数都是 \(n - 1\)。则理想 \(I(Z) \subset k[T_0, \ldots, T_n]\)（与 \(Z\) 对应）是主理想。

证明

这是《除子》引理 0BXL 的特殊情形。

射影空间上的凝聚层

本节证明域上的 \(\mathbf{P}^n\) 上凝聚层之上同调的一些结果；这些结果可见 [Mum]。以后讨论 Quot 概形和 Hilbert 概形时会用到它们。

预备知识

设 \(k\) 是域，\(n \geq 1\)，\(d \geq 1\)，并设 \(s \in \Gamma(\mathbf{P}_k^n, \mathcal{O}(d))\) 为非零截面。本节用 \(\mathcal{O}(d)\) 表示射影空间上结构层的第 \(d\) 次扭转（《构造》定义 01MN 和 01NF）。由于 \(\mathbf{P}^n_k\) 是簇，该截面是正则的；因而 \(s\) 是 \(\mathcal{O}(d)\) 的正则截面，并定义有效 Cartier 除子 \(H = Z(s) \subset \mathbf{P}^n_k\)；见《除子》第 01WQ 节。这样的除子 \(H\) 称为it 超曲面；若 \(d = 1\)，则称为it 超平面。

引理

设 \(k\) 是域。设 \(n \geq 1\)。设 \(i : H \to \mathbf{P}^n_k\) 是超平面。则存在同构 \[\varphi : \mathbf{P}^{n - 1}_k \longrightarrow H\] 使得 \(i^*\mathcal{O}(1)\) 拉回为 \(\mathcal{O}(1)\)。

证明

有 \(\mathbf{P}^n_k = \text{Proj}(k[T_0, \ldots, T_n])\)。截面 \(s\) 对应于 \(T_0, \ldots, T_n\) 中次数为 \(1\) 的齐次形式；见《概形的上同调》第 01XS 节。设 \(s = \sum a_i T_i\)。由《构造》引理 03GL，有 \(H = \text{Proj}(k[T_0, \ldots, T_n]/I)\)，其中分次理想 \(I\) 的定义是： \(I_d\) 等于映射 \(\Gamma(\mathbf{P}^n_k, \mathcal{O}(d)) \to \Gamma(H, i^*\mathcal{O}(d))\) 的核。由《除子》定义 02OQ 中 \(Z(s)\) 的构造可知，在 \(D_{+}(T_j)\) 上，\(H\) 的理想由 \(\sum a_i T_i/T_j\) 生成；这是多项式环 \(k[T_0/T_j, \ldots, T_n/T_j]\) 中的元素。因此很清楚，\(I\) 是由 \(\sum a_i T_i\) 生成的理想。注意 \[k[T_0, \ldots, T_n]/I = k[T_0, \ldots, T_n]/(\sum a_i T_i) \cong k[S_0, \ldots, S_{n - 1}]\] 为分次环同构。例如，若 \(a_n \not = 0\)，则令 \(S_i\) 映到 \(T_i\) 的类即可。由 \(\text{Proj}\) 的函子性得到所需同构。结构层扭转的相等性例如由《构造》引理 01N1 推出。

引理

设 \(k\) 是无限域。设 \(n \geq 1\)。设 \(\mathcal{F}\) 是 \(\mathbf{P}^n_k\) 上的凝聚模。则存在非零截面 \(s \in \Gamma(\mathbf{P}^n_k, \mathcal{O}(1))\) 和短正合列 \[0 \to \mathcal{F}(-1) \to \mathcal{F} \to i_*\mathcal{G} \to 0\] 其中 \(i : H \to \mathbf{P}^n_k\) 是超平面 \(H\)，它与 \(s\) 相伴，且 \(\mathcal{G} = i^*\mathcal{F}\)。

证明

映射 \(\mathcal{F}(-1) \to \mathcal{F}\) 来自《构造》等式 (03GJ)，其中 \(n = 1\)、 \(m = -1\)，并取截面 \(s\)（属于 \(\mathcal{O}(1)\)）。具体考察该映射限制到 \(D_{+}(T_0)\) 后的形式。记 \(D_{+}(T_0) = \Spec(k[x_1, \ldots, x_n])\)，其中 \(x_i = T_i/T_0\)。将 \(\mathcal{O}(1)|_{D_{+}(T_0)}\) 与 \(\mathcal{O}\) 等同，所用截面为 \(T_0\)。因此，若 \(s = \sum a_iT_i\)，则在上述等同下 \(s|_{D_{+}(T_0)} = a_0 + \sum a_ix_i\)。再假设 \(\mathcal{F}|_{D_{+}(T_0)}\) 对应于有限 \(k[x_1, \ldots, x_n]\)-模 \(M\)。通过等同 \(\mathcal{F}(-1) = \mathcal{F} \otimes \mathcal{O}(-1)\) 及所选的 \(\mathcal{O}(1)\) 平凡化，可知 \(\mathcal{F}(-1)\) 也对应于 \(M\)。所以，把 \(\mathcal{F}(-1) \to \mathcal{F}\) 限制到 \(D_{+}(T_0)\)，得到映射 \[M \xrightarrow{a_0 + \sum a_ix_i} M\] 为说明该箭头是单射，只须选取 \(a_0 + \sum a_ix_i\)，使它不属于 \(M\) 的任何相伴素理想；见《代数》引理 00LD。由《代数》引理 00LC，集合 \(\text{Ass}(M)\)（即 \(M\) 的相伴素理想集）是有限的。注意，对 \(\mathfrak p \in \text{Ass}(M)\)，交集 \(\mathfrak p \cap \{a_0 + \sum a_i x_i\}\) 是真 \(k\)-向量子空间。我们得出，存在真子向量空间的有限族 \(V_1, \ldots, V_m \subset \Gamma(\mathbf{P}^n_k, \mathcal{O}(1))\)，使得若取 \(s\) 不属于 \(\bigcup V_i\)，则乘以 \(s\) 在 \(D_{+}(T_0)\) 上是单射。对限制到 \(D_{+}(T_j)\) 的情形也同样，其中 \(j = 1, \ldots, n\)。由于 \(k\) 是无限域，有限个真子向量空间的并绝不等于整个空间，故可选取 \(s\) 使该映射为单射。 \(\mathcal{F}(-1) \to \mathcal{F}\) 的余核被 \(\Im(s : \mathcal{O}(-1) \to \mathcal{O})\) 零化；由《除子》定义 02OQ，后者是 \(H\) 的理想层。因此，由《概形的上同调》引理 087T，得到 \(\mathcal{G}\)，它在 \(H\) 上。

注

设 \(k\) 是无限域。设 \(n \geq 1\)。给定有限多个凝聚模 \(\mathcal{F}_i\)，它们在 \(\mathbf{P}^n_k\) 上，可选取同一个 \(s \in \Gamma(\mathbf{P}^n_k, \mathcal{O}(1))\)，使引理 08A0 的陈述对每个模都成立。为证明这一点，只需把该引理应用于 \(\bigoplus \mathcal{F}_i\)。

注

在引理 089Z 和 08A0 的情形下，有 \(H \cong \mathbf{P}^{n - 1}_k\)，且 Serre 扭转满足 \(\mathcal{O}_H(d) = i^*\mathcal{O}_{\mathbf{P}^n_k}(d)\)。对每个 \(d \in \mathbf{Z}\)，有短正合列 \[0 \to \mathcal{F}(d - 1) \to \mathcal{F}(d) \to i_*(\mathcal{G}(d)) \to 0\] 事实上，与 \(\mathcal{O}_{\mathbf{P}^n_k}(d)\) 作张量积是正合函子，并且由投影公式（《上同调》引理 01E8），有 \(i_*(\mathcal{G}(d)) = i_*\mathcal{G} \otimes \mathcal{O}_{\mathbf{P}^n_k}(d)\)。得到相应的长正合列 \[H^i(\mathbf{P}^n_k, \mathcal{F}(d - 1)) \to H^i(\mathbf{P}^n_k, \mathcal{F}(d)) \to H^i(H, \mathcal{G}(d)) \to H^{i + 1}(\mathbf{P}^n_k, \mathcal{F}(d - 1))\] 这是由上述事实以及下列等式推出的：由《概形的上同调》引理 089W（闭浸入是仿射的），有 \(H^i(\mathbf{P}^n_k, i_*\mathcal{G}(d)) = H^i(H, \mathcal{G}(d))\)。

正则性

定义如下。

定义

设 \(k\) 是域。设 \(n \geq 0\)。设 \(\mathcal{F}\) 是 \(\mathbf{P}^n_k\) 上的凝聚层。称 \(\mathcal{F}\) 是it \(m\)-正则的，若 \[H^i(\mathbf{P}^n_k, \mathcal{F}(m - i)) = 0\] 对 \(i = 1, \ldots, n\) 成立。

注意，\(\mathcal{F} = \mathcal{O}(d)\) 是 \(m\)-正则的，当且仅当 \(d \geq -m\)。这由《概形的上同调》等式 (01XU) 中的上同调群计算推出。也就是说，\(H^n(\mathbf{P}^n_k, \mathcal{O}(d)) = 0\)，当且仅当 \(d \geq -n\)。

引理

设 \(k'/k\) 是域扩张。设 \(n \geq 0\)。设 \(\mathcal{F}\) 是 \(\mathbf{P}^n_k\) 上的凝聚层。设 \(\mathcal{F}'\) 是 \(\mathcal{F}\) 在 \(\mathbf{P}^n_{k'}\) 上的拉回。则 \(\mathcal{F}\) 是 \(m\)-正则的，当且仅当 \(\mathcal{F}'\) 是 \(m\)-正则的。

证明

这是因为由平坦基变换有 \[H^i(\mathbf{P}^n_{k'}, \mathcal{F}') = H^i(\mathbf{P}^n_k, \mathcal{F}) \otimes_k k'\] 见《概形的上同调》引理 02KH。

引理

在引理 08A0 的情形下，若 \(\mathcal{F}\) 是 \(m\)-正则的，则 \(\mathcal{G}\) 是 \(m\)-正则的；这里它在 \(H \cong \mathbf{P}^{n - 1}_k\) 上。

证明

回忆，由《概形的上同调》引理 089W，有 \(H^i(\mathbf{P}^n_k, i_*\mathcal{G}) = H^i(H, \mathcal{G})\)。因此由评注 0EGK 可知，对 \(i \geq 1\) 得到 \[H^i(\mathbf{P}^n_k, \mathcal{F}(m - i)) \to H^i(H, \mathcal{G}(m - i)) \to H^{i + 1}(\mathbf{P}^n_k, \mathcal{F}(m - 1 - i))\] 该引理随即成立。

引理

设 \(k\) 是域。设 \(n \geq 0\)。设 \(\mathcal{F}\) 是 \(\mathbf{P}^n_k\) 上的凝聚层。若 \(\mathcal{F}\) 是 \(m\)-正则的，则 \(\mathcal{F}\) 是 \((m + 1)\)-正则的。

证明

对 \(n\) 作归纳证明。若 \(n = 0\)，则每个层对所有 \(m\) 都是 \(m\)-正则的，无需证明。由引理 08A4，可把 \(k\) 替换为无限扩域，并假设 \(k\) 是无限域。于是可应用引理 08A0。由引理 08A5，知道 \(\mathcal{G}\) 是 \(m\)-正则的。对 \(n\) 使用归纳假设，便知 \(\mathcal{G}\) 是 \((m + 1)\)-正则的。考察与下列正合列相伴的上同调长正合列 \[0 \to \mathcal{F}(m - i) \to \mathcal{F}(m + 1 - i) \to i_*\mathcal{G}(m + 1 - i) \to 0\] 如评注 0EGK 所述，读者容易推出：对 \(i \geq 1\)，\(H^i(\mathbf{P}^n_k, \mathcal{F}(m + 1 - i))\) 消失；这是由 \(H^i(\mathbf{P}^n_k, \mathcal{F}(m - i))\) 和 \(H^i(\mathbf{P}^n_k, \mathcal{G}(m + 1 - i))\) 的（已知）消失得出的。

引理

设 \(k\) 是域。设 \(n \geq 0\)。设 \(\mathcal{F}\) 是 \(\mathbf{P}^n_k\) 上的凝聚层。若 \(\mathcal{F}\) 是 \(m\)-正则的，则乘法映射 \[H^0(\mathbf{P}^n_k, \mathcal{F}(m)) \otimes_k H^0(\mathbf{P}^n_k, \mathcal{O}(1)) \longrightarrow H^0(\mathbf{P}^n_k, \mathcal{F}(m + 1))\] 是满射。

证明

设 \(k'/k\) 是域扩张。设 \(\mathcal{F}'\) 如引理 08A4 中所定义。由《概形的上同调》引理 02KH，该引理的线性映射基变换到 \(k'\) 后，就是层 \(\mathcal{F}'\) 的同一线性映射。由于 \(k \to k'\) 忠实平坦，只须在 \(k'\) 上证明该引理；也就是说，可以假设 \(k\) 是无限域。

假设 \(k\) 是无限域。对 \(n\) 作归纳证明。情形 \(n = 0\) 是平凡的，因为 \(\mathcal{O}(1) \cong \mathcal{O}\) 由 \(T_0\) 生成。对 \(n > 0\)，应用引理 08A0，并将该正合列与 \(\mathcal{O}(m + 1)\) 作张量积，得到 \[0 \to \mathcal{F}(m) \xrightarrow{s} \mathcal{F}(m + 1) \to i_*\mathcal{G}(m + 1) \to 0\] 见评注 0EGK。设 \(t \in H^0(\mathbf{P}^n_k, \mathcal{F}(m + 1))\)。由归纳假设，像 \(\overline{t} \in H^0(H, \mathcal{G}(m + 1))\) 是 \(\sum g_i \otimes \overline{s}_i\) 的像，其中 \(\overline{s}_i \in \Gamma(H, \mathcal{O}(1))\) 且 \(g_i \in H^0(H, \mathcal{G}(m))\)。由于 \(\mathcal{F}\) 是 \(m\)-正则的，有 \(H^1(\mathbf{P}^n_k, \mathcal{F}(m - 1)) = 0\)；因此，与短正合列 \[0 \to \mathcal{F}(m - 1) \xrightarrow{s} \mathcal{F}(m) \to i_*\mathcal{G}(m) \to 0\] 相伴的上同调长正合列表明，可把 \(g_i\) 提升为 \(f_i \in H^0(\mathbf{P}^n_k, \mathcal{F}(m))\)。也可以把 \(\overline{s}_i\) 提升为 \(s_i \in H^0(\mathbf{P}^n_k, \mathcal{O}(1))\)（例如见引理 089Z 的证明）。减去 \(\sum f_i \otimes s_i\) 的像后，可把 \(t\) 取为满足 \(\overline{t} = 0\)。但这恰好意味着 \(t\) 是某个 \(f \otimes s\) 的像，其中 \(f \in H^0(\mathbf{P}^n_k, \mathcal{F}(m))\)，如所需。

引理

设 \(k\) 是域。设 \(n \geq 0\)。设 \(\mathcal{F}\) 是 \(\mathbf{P}^n_k\) 上的凝聚层。若 \(\mathcal{F}\) 是 \(m\)-正则的，则 \(\mathcal{F}(m)\) 是全局生成的。

证明

对所有 \(d \gg 0\)，层 \(\mathcal{F}(d)\) 都是全局生成的。这例如由《概形的上同调》引理 01YS 的第一部分推出。选取 \(d \geq m\)，使 \(\mathcal{F}(d)\) 全局生成。选取一组基 \(f_1, \ldots, f_r \in H^0(\mathbf{P}^n_k, \mathcal{F})\)。由引理 08A7，每个元素 \(f \in H^0(\mathbf{P}^n_k, \mathcal{F}(d))\) 都可写成 \(f = \sum P_if_i\)，其中某些 \(P_i \in k[T_0, \ldots, T_n]\) 是次数为 \(d - m\) 的齐次多项式。由于截面 \(f\) 生成 \(\mathcal{F}(d)\)，可知截面 \(f_i\) 生成 \(\mathcal{F}(m)\)。

Hilbert 多项式

下面的引理将被更一般的引理 0BEM 所取代。

引理

设 \(k\) 是域。设 \(n \geq 0\)。设 \(\mathcal{F}\) 是 \(\mathbf{P}^n_k\) 上的凝聚层。函数 \[d \longmapsto \chi(\mathbf{P}^n_k, \mathcal{F}(d))\] 是多项式。

证明

对 \(n\) 作归纳证明。若 \(n = 0\)，则 \(\mathbf{P}^n_k = \Spec(k)\) 且 \(\mathcal{F}(d) = \mathcal{F}\)。因此在此情形下，该函数是常数，即次数为 \(0\) 的多项式。假设 \(n > 0\)。由引理 08AB，可假设 \(k\) 是无限域。应用引理 08A0。把引理 08AA 应用于扭转后的正合列 \(0 \to \mathcal{F}(d - 1) \to \mathcal{F}(d) \to i_*\mathcal{G}(d) \to 0\)，得到 \[\chi(\mathbf{P}^n_k, \mathcal{F}(d)) - \chi(\mathbf{P}^n_k, \mathcal{F}(d - 1)) = \chi(H, \mathcal{G}(d))\] 见评注 0EGK。由于 \(H \cong \mathbf{P}^{n - 1}_k\)，由归纳假设，右端是多项式。最后注意：任何函数 \(f : \mathbf{Z} \to \mathbf{Z}\)，若映射 \(d \mapsto f(d) - f(d - 1)\) 是多项式，则其自身也是多项式；这便完成证明。略去该事实的证明（提示：与《代数》引理 00JZ 比较）。

定义

设 \(k\) 是域。设 \(n \geq 0\)。设 \(\mathcal{F}\) 是 \(\mathbf{P}^n_k\) 上的凝聚层。函数 \(d \mapsto \chi(\mathbf{P}^n_k, \mathcal{F}(d))\) 称为 \(\mathcal{F}\) 的it Hilbert 多项式。

Hilbert 多项式的系数属于 \(\mathbf{Q}\)，一般并不属于 \(\mathbf{Z}\)。例如，\(\mathcal{O}_{\mathbf{P}^n_k}\) 的 Hilbert 多项式为 \[d \longmapsto {d + n \choose n} = \frac{d^n}{n!} + \ldots\] 这由下面的引理和下列事实推出： \[H^0(\mathbf{P}^n_k, \mathcal{O}_{\mathbf{P}^n_k}(d)) = k[T_0, \ldots, T_n]_d\] 是次数为 \(d\) 的部分，其在 \(k\) 上的维数是 \({d + n \choose n}\)。

引理

设 \(k\) 是域。设 \(n \geq 0\)。设 \(\mathcal{F}\) 是 \(\mathbf{P}^n_k\) 上的凝聚层，其 Hilbert 多项式为 \(P \in \mathbf{Q}[t]\)。则 \[P(d) = \dim_k H^0(\mathbf{P}^n_k, \mathcal{F}(d))\] 对所有 \(d \gg 0\) 成立。

证明

这由 \(\mathcal{F}\) 的充分高次扭转之上同调消失推出。见《概形的上同调》引理 01YS。

商的有界性

本小节用 Hilbert 多项式来界定 \(\mathbf{P}^n\) 上给定凝聚层之商的正则性。

引理

设 \(k\) 是域。设 \(n \geq 0\)。设 \(r \geq 1\)。设 \(P \in \mathbf{Q}[t]\)。存在整数 \(m\)，它依赖于 \(n\)、\(r\) 和 \(P\)，并具有如下性质：若 \[0 \to \mathcal{K} \to \mathcal{O}^{\oplus r} \to \mathcal{F} \to 0\] 是 \(\mathbf{P}^n_k\) 上凝聚层的短正合列，并且 \(\mathcal{F}\) 的 Hilbert 多项式为 \(P\)，则 \(\mathcal{K}\) 是 \(m\)-正则的。

证明

对 \(n\) 作归纳证明。若 \(n = 0\)，则 \(\mathbf{P}^n_k = \Spec(k)\)，任何凝聚模都是 \(0\)-正则的，而任何满射在全局截面上也是满射。假设 \(n > 0\)。考虑引理中的正合列。设 \(P' \in \mathbf{Q}[t]\) 为多项式 \(P'(t) = P(t) - P(t - 1)\)。设 \(m'\) 为对 \(n - 1\)、\(r\) 和 \(P'\) 有效的整数。由引理 08A4 和 08AB，可把 \(k\) 替换为域扩张，故可假设 \(k\) 是无限域。把引理 08A0 应用于凝聚层 \(\mathcal{F}\)。 \(\mathcal{F}' = i^*\mathcal{F}\) 的 Hilbert 多项式为 \(P'\)（见引理 08AC 的证明）。由于 \(i^*\) 右正合，可知 \(\mathcal{F}'\) 是 \(\mathcal{O}_H^{\oplus r} = i^*\mathcal{O}^{\oplus r}\) 的商。因而归纳假设适用于 \(\mathcal{F}'\)；它在 \(H \cong \mathbf{P}^{n - 1}_k\) 上（引理 089Z）。注意，映射 \(\mathcal{K}(-1) \to \mathcal{K}\) 是单射，因为 \(\mathcal{K} \subset \mathcal{O}^{\oplus r}\)；其余核为 \(i_*\mathcal{H}\)，其中 \(\mathcal{H} = i^*\mathcal{K}\)。由蛇形引理（《同调》引理 010H），得到行、列都正合的交换图 \[\xymatrix{ & 0 \ar[d] & 0 \ar[d] & 0 \ar[d] \\ 0 \ar[r] & \mathcal{K}(-1) \ar[r] \ar[d] & \mathcal{O}^{\oplus r}(-1) \ar[r] \ar[d] & \mathcal{F}(-1) \ar[d] \ar[r] & 0 \\ 0 \ar[r] & \mathcal{K} \ar[r] \ar[d] & \mathcal{O}^{\oplus r} \ar[r] \ar[d] & \mathcal{F} \ar[d] \ar[r] & 0\\ 0 \ar[r] & i_*\mathcal{H} \ar[r] \ar[d] & i_*\mathcal{O}_H^{\oplus r} \ar[r] \ar[d] & i_*\mathcal{F}' \ar[r] \ar[d] & 0 \\ & 0 & 0 & 0 }\] 因此，归纳假设适用于正合列 \(0 \to \mathcal{H} \to \mathcal{O}_H^{\oplus r} \to \mathcal{F}' \to 0\)；该列在 \(H \cong \mathbf{P}^{n - 1}_k\) 上（引理 089Z），且 \(\mathcal{H}\) 是 \(m'\)-正则的。回忆，这蕴涵 \(\mathcal{H}\) 是 \(d\)-正则的，对所有 \(d \geq m'\) 都如此（引理 08A6）。

设 \(i \geq 2\) 且 \(d \geq m'\)。由与上图左列相伴的上同调长正合列以及 \(H^{i - 1}(H, \mathcal{H}(d))\) 的消失可知，映射 \[H^i(\mathbf{P}^n_k, \mathcal{K}(d - 1)) \longrightarrow H^i(\mathbf{P}^n_k, \mathcal{K}(d))\] 是单射。由于这些群对 \(d \gg 0\) 为零（《概形的上同调》引理 01YS），可知 \(H^i(\mathbf{P}^n_k, \mathcal{K}(d))\) 对所有 \(d \geq m'\) 和 \(i \geq 2\) 都为零。

还须控制 \(H^1\)。首先注意，所有映射 \[H^1(\mathbf{P}^n_k, \mathcal{K}(m' - 1)) \to H^1(\mathbf{P}^n_k, \mathcal{K}(m')) \to H^1(\mathbf{P}^n_k, \mathcal{K}(m' + 1)) \to \ldots\] 都是满射，因为 \(H^1(H, \mathcal{H}(d))\) 对 \(d \geq m'\) 消失。假设 \(d > m'\)，且 \[H^1(\mathbf{P}^n_k, \mathcal{K}(d - 1)) \longrightarrow H^1(\mathbf{P}^n_k, \mathcal{K}(d))\] 是单射。则 \(H^0(\mathbf{P}^n_k, \mathcal{K}(d)) \to H^0(H, \mathcal{H}(d))\) 是满射。考虑交换图 \[\xymatrix{ H^0(\mathbf{P}^n_k, \mathcal{K}(d)) \otimes_k H^0(\mathbf{P}^n_k, \mathcal{O}(1)) \ar[r] \ar[d] & H^0(\mathbf{P}^n_k, \mathcal{K}(d + 1)) \ar[d] \\ H^0(H, \mathcal{H}(d)) \otimes_k H^0(H, \mathcal{O}_H(1)) \ar[r] & H^0(H, \mathcal{H}(d + 1)) }\] 由引理 08A7，下方水平箭头是满射。因此右侧竖直箭头是满射。我们得出 \[H^1(\mathbf{P}^n_k, \mathcal{K}(d)) \longrightarrow H^1(\mathbf{P}^n_k, \mathcal{K}(d + 1))\] 是单射。归纳可知 \[H^1(\mathbf{P}^n_k, \mathcal{K}(d - 1)) \to H^1(\mathbf{P}^n_k, \mathcal{K}(d)) \to H^1(\mathbf{P}^n_k, \mathcal{K}(d + 1)) \to \ldots\] 全都是单射；由这些群最终消失，得出 \(H^1(\mathbf{P}^n_k, \mathcal{K}(d - 1)) = 0\)。所以，群 \(H^1(\mathbf{P}^n_k, \mathcal{K}(d))\) 的维数在 \(d \geq m'\) 时严格递减，直至变为零。由此，\(\mathcal{K}\) 的正则性被下式所界： \(m' + \dim_k H^1(\mathbf{P}^n_k, \mathcal{K}(m'))\)。另一方面，由高阶上同调群的消失，有 \[\dim_k H^1(\mathbf{P}^n_k, \mathcal{K}(m')) = - \chi(\mathbf{P}^n_k, \mathcal{K}(m')) + \dim_k H^0(\mathbf{P}^n_k, \mathcal{K}(m'))\] 注意，\(H^0\) 的维数被 \(H^0(\mathbf{P}^n_k, \mathcal{O}^{\oplus r}(m'))\) 的维数所界；后者至多为 \(r{n + m' \choose n}\)（若 \(m' > 0\)），否则为零。最后，项 \(\chi(\mathbf{P}^n_k, \mathcal{K}(m'))\) 等于 \(r{n + m' \choose n} - P(m')\)。这给出了所需类型的界，从而完成引理的证明。

Frobenius 态射

设 \(p\) 为素数。若 \(X\) 是概形，则称 “\(X\) 具有特征 \(p\)”，或称 “\(X\) 是特征 \(p\) 的”，或称 “\(X\) 处于特征 \(p\)”，若 \(p\) 在 \(\mathcal{O}_X\) 中为零。

定义

设 \(p\) 为素数。设 \(X\) 是特征 \(p\) 的概形。 \(X\) 的绝对 Frobenius 是态射 \(F_X : X \to X\)，它在底层拓扑空间上为恒等映射，并且其 \(F_X^\sharp : \mathcal{O}_X \to \mathcal{O}_X\) 由 \(g \mapsto g^p\) 给出。

这是有意义的，因为对于任意环 \(A\)（其特征为 \(p\)），映射 \(F_A : A \to A\)，\(a \mapsto a^p\) 是一个环自同态，并且在 \(\Spec(A)\) 上诱导恒等映射。此外，若 \(A\) 是局部环，则 \(F_A\) 是局部同态。因此，我们看到 \(X\) 的绝对 Frobenius 是 \(X\) 的一个自同态，且属于概形范畴。事实证明，绝对 Frobenius 在特征 \(p\) 的概形范畴上定义了恒等函子的一个自映射。

引理

设 \(p > 0\) 为素数。设 \(f : X \to Y\) 是特征 \(p\) 的概形之间的态射。则下图交换： \[\xymatrix{ X \ar[d]_f \ar[r]_{F_X} & X \ar[d]^f \\ Y \ar[r]^{F_Y} & Y }\]

证明

这直接由如下平凡的代数事实得到：若 \(\varphi : A \to B\) 是特征 \(p\) 的环同态，则 \(\varphi(a^p) = \varphi(a)^p\)。

引理

设 \(p > 0\) 为素数。设 \(X\) 是特征 \(p\) 的概形。则绝对 Frobenius \(F_X : X \to X\) 是泛同胚，是整的，且诱导纯不可分的剩余域扩张。

证明

这由 Frobenius 自同态 \(F_A : A \to A\) 的相应结果得到，其中 \(A\) 是特征 \(p > 0\) 的环。例如参见《代数》一节 0BR5 的讨论，特别是引理 0BRA。

若我们在固定的底概形上工作，则有 Frobenius 态射的相对版本。

定义

设 \(p > 0\) 为素数。设 \(S\) 是特征 \(p\) 的概形。设 \(X\) 是 \(S\) 上的概形。定义 \[X^{(p)} = X^{(p/S)} = X \times_{S, F_S} S\] 并将其视为 \(S\) 上的概形。应用引理 0CC7，可知存在唯一的态射 \(F_{X/S} : X \longrightarrow X^{(p)}\)，它在 \(S\) 上且使下图交换： \[\xymatrix{ X \ar[rr]_{F_{X/S}} \ar[rrd] \ar@/^1em/[rrrr]^{F_X} & & X^{(p)} \ar[rr] \ar[d] & & X \ar[d] \\ & & S \ar[rr]^{F_S} & & S }\] 其中右方的方形是笛卡尔的。态射 \(F_{X/S}\) 称为 \(X/S\) 的相对 Frobenius 态射。

注意，\(X \mapsto X^{(p)}\) 是一个函子；它是绝对 Frobenius 态射 \(F_S : S \to S\) 的基变换函子。关于相对 Frobenius 态射，我们有与此前相同的引理。

引理

设 \(p > 0\) 为素数。设 \(S\) 是特征 \(p\) 的概形。设 \(f : X \to Y\) 是 \(S\) 上概形之间的态射。则下图交换： \[\xymatrix{ X \ar[d]_f \ar[r]_{F_{X/S}} & X^{(p)} \ar[d]^{f^{(p)}} \\ Y \ar[r]^{F_{Y/S}} & Y^{(p)} }\]

证明

这由引理 0CC7 及定义得到。

引理

设 \(p > 0\) 为素数。设 \(S\) 是特征 \(p\) 的概形。设 \(X\) 是 \(S\) 上的概形。则相对 Frobenius \(F_{X/S} : X \to X^{(p)}\) 是泛同胚，是整的，且诱导纯不可分的剩余域扩张。

证明

由引理 0CC8，态射 \(F_X : X \to X\) 以及基变换 \(h : X^{(p)} \to X\)（它是 \(F_S\) 的基变换）都是泛同胚。由于 \(h \circ F_{X/S} = F_X\)，我们得到 \(F_{X/S}\) 是泛同胚（《态射》引理 0H2M）。由《态射》引理 04DF 和 01S4，我们也得到 \(F_{X/S}\) 具有其余性质。

引理

设 \(p > 0\) 为素数。设 \(S\) 是特征 \(p\) 的概形。设 \(X\) 是 \(S\) 上的概形。则 \(\Omega_{X/S} = \Omega_{X/X^{(p)}}\)。

证明

这转化为如下代数事实。设 \(A \to B\) 是特征 \(p\) 的环同态。置 \(B' = B \otimes_{A, F_A} A\)，并考虑环映射 \(F_{B/A} : B' \to B\)，\(b \otimes a \mapsto b^pa\)。我们要断言的是 \(\Omega_{B/A} = \Omega_{B/B'}\)。这是正确的，因为有 \(\text{d}(b^pa) = 0\)；其中 \(\text{d} : B \to \Omega_{B/A}\) 是泛导子，因而 \(\text{d}\) 是一个 \(B'\)-导子。

引理

设 \(p > 0\) 为素数。设 \(S\) 是特征 \(p\) 的概形。设 \(X\) 是 \(S\) 上的概形。若 \(X \to S\) 局部有限型，则 \(F_{X/S}\) 是有限的。

证明

这转化为如下代数事实。设 \(A \to B\) 是特征 \(p\) 的有限型环同态。置 \(B' = B \otimes_{A, F_A} A\)，并考虑环映射 \(F_{B/A} : B' \to B\)，\(b \otimes a \mapsto b^pa\)。我们要断言的是 \(F_{B/A}\) 是有限的。事实上，若 \(x_1, \ldots, x_n \in B\) 是在 \(A\) 上的生成元，则 \(x_i\) 在 \(B'\) 上整，因为 \(x_i^p = F_{B/A}(x_i \otimes 1)\)。因此由《代数》引理 02JJ， \(F_{B/A} : B' \to B\) 是有限的。

引理

设 \(k\) 是特征 \(p > 0\) 的域。设 \(X\) 是 \(k\) 上的概形。则 \(X\) 几何约化，当且仅当 \(X^{(p)}\) 约化。

证明

考虑绝对 Frobenius \(F_k : k \to k\)。则 \(F_k(k) = k^p\)；换言之，\(F_k : k \to k\) 同构于 \(k\) 到 \(k^{1/p}\) 的嵌入。因此引理由引理 035X 得到。

引理

设 \(k\) 是特征 \(p > 0\) 的域。设 \(X\) 是 \(k\) 上的簇。以下条件等价：

\(X^{(p)}\) 约化；

\(X\) 几何约化；

存在非空开子集 \(U \subset X\)，其到 \(k\) 光滑。

在此情形，\(X^{(p)}\) 是 \(k\) 上的簇，且 \(F_{X/k} : X \to X^{(p)}\) 是次数为 \(p^{\dim(X)}\) 的有限主导态射。

证明

我们已经在引理 0CCE 中证明了 (1) 与 (2) 等价。我们已经在引理 056V 中证明了 (2) 蕴含 (3)。若 (3) 成立，则 \(U\) 几何约化（例如见引理 038X），从而由引理 04KS， \(X\) 几何约化。由此可见 (1)、(2) 与 (3) 等价。

假设 (1)、(2) 与 (3) 成立。由于 \(F_{X/k}\) 是同胚（引理 0CCB），我们看到 \(X^{(p)}\) 是一个簇。随后由引理 0CCD，\(F_{X/k}\) 是有限的。它是主导的，因为它是满射。为计算次数（《态射》定义 02NY），只需计算 \(F_{U/k} : U \to U^{(p)}\) 的次数（因为由引理 0CCA， \(F_{U/k} = F_{X/k}|_U\)）。缩小一点 \(U\) 后，不妨设存在 ’etale 态射 \(h : U \to \mathbf{A}^n_k\)，见《态射》引理 054L。当然 \(n = \dim(U)\)，因为 \(\mathbf{A}^n_k \to \Spec(k)\) 是相对维数为 \(n\) 的光滑态射，’etale 态射 \(h\) 是相对维数为 \(0\) 的光滑态射，而 \(U \to \Spec(k)\) 是相对维数为 \(\dim(U)\) 的光滑态射，且相对维数正确相加（《态射》引理 02NL）。注意，\(h\) 是簇之间的一般有限主导态射，因而 \(\deg(h)\) 有定义。由引理 0CCA，有交换图 \[\xymatrix{ U \ar[rr]_{F_{X/k}} \ar[d]_h & & U^{(p)} \ar[d]^{h^{(p)}} \\ \mathbf{A}^n_k \ar[rr]^{F_{\mathbf{A}^n_k/k}} & & (\mathbf{A}^n_k)^{(p)} }\] 由于 \(h^{(p)}\) 是 \(h\) 的基变换，它也是 ’etale 的，因此 \(h^{(p)}\) 也是簇之间的一般有限主导态射。\(h^{(p)}\) 的次数是扩张 \(k(X^{(p)})/k((\mathbf{A}^n_k)^{(p)})\) 的次数；该次数与扩张 \(k(X)/k(\mathbf{A}^n_k)\) 的次数相同，因为 \(h^{(p)}\) 是 \(h\) 的基变换（省略细节）。由次数的乘法性（《态射》引理 02NZ），只需证明 \(F_{\mathbf{A}^n_k/k}\) 的次数为 \(p^n\)。为此注意 \((\mathbf{A}^n_k)^{(p)} = \mathbf{A}^n_k\)，且 \(F_{\mathbf{A}^n_k/k}\) 由将坐标映射为其 \(p\) 次幂的映射给出。

注

设 \(p > 0\) 为素数。设 \(S\) 是特征 \(p\) 的概形。设 \(X\) 是 \(S\) 上的概形。对 \(n \geq 1\)， \[X^{(p^n)} = X^{(p^n/S)} = X \times_{S, F_S^n} S\] 并将其视为 \(S\) 上的概形。注意，\(X \mapsto X^{(p^n)}\) 是一个函子。应用引理 0CC7，可知 \(F_{X/S, n} = (F_X^n, \text{id}_S) : X \longrightarrow X^{(p^n)}\) 是一个在 \(S\) 上的态射，并且适合下列交换图： \[\xymatrix{ X \ar[rr]_{F_{X/S, n}} \ar[rrd] \ar@/^1em/[rrrr]^{F_X^n} & & X^{(p^n)} \ar[rr] \ar[d] & & X \ar[d] \\ & & S \ar[rr]^{F_S^n} & & S }\] 其中右方的方形是笛卡尔的。态射 \(F_{X/S, n}\) 有时称为 \(n\) 重相对 Frobenius 态射（\(X/S\)）。这是有意义的，因为我们有公式 \[F_{X/S, n} = F_{X^{(p^{n - 1})}/S} \circ \ldots \circ F_{X^{(p)}/S} \circ F_{X/S}\] 这表明 \(F_{X/S, n}\) 是 \(n\) 个相对 Frobenius 的复合。由于 \[F_{X^{(p^m)}/S} = F_{X^{(p^{m - 1})}/S}^{(p)} = \ldots = F_{X/S}^{(p^m)}\] （细节略去），我们还得到 \[F_{X/S, n} = F_{X/S}^{(p^{n - 1})} \circ \ldots \circ F_{X/S}^{(p)} \circ F_{X/S}\]

粘合一维环

本节给出一些代数预备，用于证明：分离概形的有限个余维 \(1\) 点包含于某个仿射开集。

情形

给定环的交换图 \[\xymatrix{ A \ar[r] & K \\ R \ar[u] \ar[r] & B \ar[u] }\] 其中 \(K\) 是域，\(A\)、\(B\) 是 \(K\) 的子环，且分式域都是 \(K\)。最后， \(R = A \times_K B = A \cap B\)。

引理

在情形 09MY 中，假设 \(B\) 是赋值环。那么对每个单元 \(u\)（来自 \(A\)），或者 \(u \in R\)，或者 \(u^{-1} \in R\)。

证明

事实上，若 \(c\)（\(u\) 在 \(K\) 中的像）属于 \(B\)，则 \(u \in R\)。否则 \(c^{-1} \in B\) （《代数》引理 00IB），从而 \(u^{-1} \in R\)。

下面的引理解释稍后反复出现的条件 “\(A \otimes B \to K\) 是满射”的含义。

引理

在情形 09MY 中，假设 \(A\) 是维数为 \(1\) 的 Noether 环。以下条件等价：

\(A \otimes B \to K\) 不是满射；

存在离散赋值环 \(\mathcal{O} \subset K\)，它包含 \(A\) 与 \(B\)。

证明

(2) 蕴含 (1) 是显然的。另一方面，若 \(A \otimes B \to K\) 不是满射，则其像 \(C \subset K\) 不是域，因而 \(C\) 有非零极大理想 \(\mathfrak m\)。取 \(\mathcal{O} \subset K\) 为支配 \(C_\mathfrak m\) 的赋值环。由《代数》引理 00PG 应用于 \(A \subset \mathcal{O}\)，环 \(\mathcal{O}\) 是 Noether 环。因此，由《代数》引理 00II， \(\mathcal{O}\) 是离散赋值环。

引理

在情形 09MY 中，假设

\(A\) 是维数为 \(1\) 的 Noether 半局部整环；

\(B\) 是离散赋值环；

则有以下两种可能：

若 \(A^*\) 不包含于 \(R\)，则 \(\Spec(A) \to \Spec(R)\) 与 \(\Spec(B) \to \Spec(R)\) 都是覆盖 \(\Spec(R)\) 的开浸入，并且 \(K = A \otimes_R B\)；

若 \(A^*\) 包含于 \(R\)，则 \(B\) 支配 \(A\) 在某个极大理想处的局部环，并且 \(A \otimes B \to K\) 不是满射。

证明

假设 (a) 成立，则存在一个单元 \(u\)，它属于 \(A\)，其在 \(K\) 中的像属于 \(B\) 的极大理想。于是 \(u\) 是 \(R\) 中的非零因子，并且对每个 \(a \in A\)，存在某个 \(n\) 使 \(u^n a \in R\)。因此 \(A = R_u\)。

令 \(\mathfrak m_A\) 为 \(A\) 的 Jacobson 根。取非零元 \(x \in \mathfrak m_A\)。由于 \(\dim(A) = 1\)，可知 \(K = A_x\)。将 \(x\) 替换为某个 \(x^n u^m\)（其中 \(n \geq 1\) 且 \(m \in \mathbf{Z}\)）后，可假设 \(x\) 映到 \(B\) 的单元。于是对每个 \(b \in B\)，都有 \(x^nb\) 属于 \(R\) 的像，对某个 \(n\) 成立。因此 \(B = R_x\)。

设 \(z \in R\)。若 \(z \not \in \mathfrak m_A\) 且 \(z\) 不映到 \(\mathfrak m_B\) 中的元素，则 \(z\) 可逆。因此 \(x + u\) 在 \(R\) 中可逆。于是 \(\Spec(R) = D(x) \cup D(u)\)。上面已经看到 \(D(u) = \Spec(A)\) 且 \(D(x) = \Spec(B)\)。

情形 (b)。若 \(x \in \mathfrak m_A\)，则 \(1 + x\) 是单元，因而 \(1 + x \in R\)，即 \(x \in R\)。所以 \(\mathfrak m_A \subset R \subset A\)。事实上，在此情形 \(A\) 在 \(R\) 上整。将 \(A/\mathfrak m_A = \kappa_1 \times \ldots \times \kappa_n\) 写成域的乘积。设 \(x = (c_1, \ldots, c_r, 0, \ldots, 0)\) 是一个其中 \(c_i \not = 0\) 的元素。则 \[x^2 - x(c_1, \ldots, c_r, 1, \ldots, 1) = 0\] 由于 \(R\) 包含所有单元，可知 \(A/\mathfrak m_A\) 在 \(R\) 在其中的像上整，从而 \(A\) 在 \(R\) 上整。由此得到 \(R \subset A \subset B\)，因为 \(B\) 整闭。此外，若非零元 \(x \in \mathfrak m_A\)，则 \(K = A_x = \bigcup x^{-n}A = \bigcup x^{-n}R\)。因此 \(x^{-1} \not \in B\)，即 \(x \in \mathfrak m_B\)。我们得到 \(\mathfrak m_A \subset \mathfrak m_B\)。于是 \(A \cap \mathfrak m_B\) 是 \(A\) 的极大理想，证明完成。

引理

设 \(B\) 是维数为 \(1\) 的 Noether 半局部整环。设 \(B'\) 是 \(B\) 在其分式域中的整闭包。则 \(B'\) 是半局部 Dedekind 整环。设 \(x\) 是 \(B'\) 的 Jacobson 根中的非零元。则对每个 \(y \in B'\)，存在某个 \(n\) 使得 \(x^n y \in B\)。

证明

令 \(\mathfrak m_B\) 为 \(B\) 的 Jacobson 根。 \(B'\) 的结构由《代数》引理 09IG 给出。给定引理陈述中的 \(x, y \in B'\)，考虑子环 \(B \subset A \subset B'\)，它由 \(x\) 与 \(y\) 生成。则 \(A\) 在 \(B\) 上有限（《代数》引理 02JJ）。由于 \(B\) 与 \(A\) 的分式域相同，可知有限模 \(A/B\) 支集于 \(B\) 的闭点集。因此有 \(\mathfrak m_B^n A \subset B\)，其中 \(n\) 适当。此外，\(\Spec(B') \to \Spec(A)\) 是满射（《代数》引理 00GQ），所以 \(A\) 也是半局部的。同样可知 \(x\) 属于 Jacobson 根 \(\mathfrak m_A\)，这是 \(A\) 的 Jacobson 根。注意 \(\mathfrak m_A = \sqrt{\mathfrak m_B A}\)。因此有 \(x^m y \in \mathfrak m_B A\)，其中 \(m\) 适当。于是 \(x^{nm} y \in B\)。

引理

在情形 09MY 中，假设

\(A\) 是维数为 \(1\) 的 Noether 半局部整环；

\(B\) 是维数为 \(1\) 的 Noether 半局部整环；

\(A \otimes B \to K\) 是满射。

则 \(\Spec(A) \to \Spec(R)\) 与 \(\Spec(B) \to \Spec(R)\) 是覆盖 \(\Spec(R)\) 的开浸入，并且 \(K = A \otimes_R B\)。

证明

特殊情形：\(B\) 在 \(K\) 中整闭。这意味着 \(B\) 是 Dedekind 整环（《代数》引理 034X），所以它在极大理想处的所有局部化都是离散赋值环。令 \(\mathfrak m_1, \ldots, \mathfrak m_r\) 为 \(B\) 的极大理想。置 \[R_1 = A \times_K B_{\mathfrak m_1}\] 注意到 \(A \otimes_{R_1} B_{\mathfrak m_1} \to K\) 是满射，由引理 09N1 可知，\(A\) 与 \(B_{\mathfrak m_1}\) 定义覆盖 \(\Spec(R_1)\) 的开子概形，并且 \(K = A \otimes_{R_1} B_{\mathfrak m_1}\)。特别地，\(R_1\) 是维数为 \(1\) 的 Noether 半局部环。归纳定义 \[R_{i + 1} = R_i \times_K B_{\mathfrak m_{i + 1}}\] 其中 \(i = 1, \ldots, r - 1\)。注意，\(R = R_r\)，因为 \(B = B_{\mathfrak m_1} \cap \ldots \cap B_{\mathfrak m_r}\) （见《代数》引理 031T）。由这一归纳过程，\(R \to A\) 定义开浸入 \(\Spec(A) \to \Spec(R)\)。另一方面，极大理想 \(\mathfrak n_i\)（属于 \(R\) 且不在这个开集内）对应于极大理想 \(\mathfrak m_i\)（属于 \(B\)）；事实上环同态 \(R \to B\) 定义同构 \(R_{\mathfrak n_i} \to B_{\mathfrak m_i}\)（细节略去；提示：在每一步中我们恰好向 \(\Spec(R_i)\) 添加了一个极大理想）。所以 \(\Spec(B) \to \Spec(R)\) 是开浸入，如所需。

一般情形。令 \(B' \subset K\) 为 \(B\) 的整闭包。见引理 09N2。于是特殊情形适用于 \(R' = A \times_K B'\)。取 \(x \in R'\)，使它不属于 \(A\) 的极大理想，而属于 \(B'\) 的极大理想（见《代数》引理 00DT）。由引理 09N2，存在整数 \(n\) 使得 \(x^n \in R = A \times_K B\)。将 \(x\) 替换为 \(x^n\)，于是 \(x \in R\)。对每个 \(y \in R'\)，存在整数 \(n\) 使得 \(x^n y \in R\)。另一方面，显然 \(R'_x = A\)。因此 \(R_x = A\)。交换 \(A\) 与 \(B\) 的角色，还可找到 \(y \in R\) 使得 \(B = R_y\)。注意，同时对 \(x\) 与 \(y\) 取逆后只剩下 \((0)\) 这一素理想。因此 \(K = R_{xy} = R_x \otimes_R R_y\)。证明完成。

引理

设 \(K\) 为域。设 \(A_1, \ldots, A_r \subset K\) 是维数为 \(1\) 的 Noether 半局部环，其分式域为 \(K\)。若 \(A_i \otimes A_j \to K\) 对所有 \(i \not = j\) 都是满射，则存在 Noether 半局部整环 \(A \subset K\)，其维数为 \(1\)，并且它包含于 \(A_1, \ldots, A_r\)，并且满足：

\(A \to A_i\) 诱导开浸入 \(j_i : \Spec(A_i) \to \Spec(A)\)；

\(\Spec(A)\) 是各开集 \(j_i(\Spec(A_i))\) 的并；

\(\Spec(A)\) 的每个闭点恰好属于这些开集中的一个。

证明

事实上，可以取 \(A = A_1 \cap \ldots \cap A_r\)。首先注意，一旦证明了 (1) 和 (2)，则 (3) 由假设 \(A_i \otimes A_j \to K\) 是满射推出，因为若 \(\mathfrak m \in j_i(\Spec(A_i)) \cap j_j(\Spec(A_j))\)，则 \(A_i \otimes A_j \to K\) 的像落在 \(A_\mathfrak m\) 中。为证明 (1) 和 (2)，对 \(r\) 归纳。若 \(r > 1\)，由归纳假设，(1) 和 (2) 对 \(B = A_2 \cap \ldots \cap A_r\) 成立。再应用引理 09N3，可知它们对 \(A = A_1 \cap B\) 也成立。

引理

设 \(A\) 为分式域是 \(K\) 的整环。设 \(B_1, \ldots, B_r \subset K\) 为 Noether \(1\)-维半局部整环，其分式域均是 \(K\)。若 \(A \otimes B_i \to K\) 对 \(i = 1, \ldots, r\) 都是满射，则存在 \(x \in A\)，使得 \(x^{-1}\) 属于 \(B_i\) 的 Jacobson 根，对 \(i = 1, \ldots, r\) 都成立。

证明

设 \(B_i'\) 为 \(B_i\) 在 \(K\) 中的整闭包。假设能找到非零元 \(x \in A\)，使得 \(x^{-1}\) 属于 \(B'_i\) 的 Jacobson 根，对 \(i = 1, \ldots, r\) 都成立。则由引理 09N2，将 \(x\) 替换为某个幂后，得到 \(x^{-1} \in B_i\)。由于 \(\Spec(B'_i) \to \Spec(B_i)\) 是满射，可知 \(x^{-1}\) 也属于 \(B_i\) 的 Jacobson 根。因此可以假设每个 \(B_i\) 都是半局部 Dedekind 整环。

若 \(B_i\) 不是局部环，则从列表中删去 \(B_i\)，并加入有限个局部环 \((B_i)_\mathfrak m\)。因此可以假设 \(B_i\) 是离散赋值环，对 \(i = 1, \ldots, r\) 都成立。

设 \(v_i : K \to \mathbf{Z}\)（\(i = 1, \ldots, r\)）为相应的离散赋值（见《代数》引理 034X）。我们要找非零元 \(x \in A\)，使得 \(v_i(x) < 0\)，对 \(i = 1, \ldots, r\) 都成立。对此对 \(r\) 归纳。

若 \(r = 1\) 且结论不成立，则 \(A \subset B\)，并且映射 \(A \otimes B \to K\) 不是满射，矛盾。

若 \(r > 1\)，则由归纳假设，可以找到非零元 \(x \in A\)，使得 \(v_i(x) < 0\) 对 \(i = 1, \ldots, r - 1\) 都成立。若 \(v_r(x) < 0\)，则已经完成；所以可假设 \(v_r(x) \geq 0\)。由基本情形，可找到非零元 \(y \in A\)，使得 \(v_r(y) < 0\)。将 \(x\) 替换为某个幂后，可假设 \(v_i(x) < v_i(y)\)，对 \(i = 1, \ldots, r - 1\) 都成立。于是 \(x + y\) 就是所需元素。

引理

设 \(A\) 是维数为 \(1\) 的 Noether 局部环。令 \(L = \prod A_\mathfrak p\)，其中乘积取遍 \(A\) 的极小素理想。设 \(a_1, a_2 \in \mathfrak m_A\) 映到 \(L\) 中的同一元素。则有 \(a_1^n = a_2^n\)，对某个 \(n > 0\) 成立。

证明

写成 \(a_1 = a_2 + x\)。则 \(x\) 在 \(L\) 中的像为零。因此 \(x\) 是 \(A\) 的幂零元，因为 \(\bigcap \mathfrak p\) 是 \((0)\) 的根基，而零化理想 \(I\)（即 \(x\) 的零化理想）包含极大理想的某个幂，这是由于对所有极小素理想都有 \(\mathfrak p \not \in V(I)\)。设 \(x^k = 0\) 且 \(\mathfrak m^n \subset I\)。则 \[a_1^{k + n} = a_2^{k + n} + {n + k \choose 1} a_2^{n + k - 1} x + {n + k \choose 2} a_2^{n + k - 2} x^2 + \ldots + {n + k \choose k - 1} a_2^{n + 1} x^{k - 1} = a_2^{n + k}\] 因为 \(a_2 \in \mathfrak m_A\)。

引理

设 \(A\) 是维数为 \(1\) 的 Noether 局部环。令 \(L = \prod A_\mathfrak p\) 且 \(I = \bigcap \mathfrak p\)，其中乘积与交均取遍 \(A\) 的极小素理想。设 \(f \in L\) 是形如 \(f = i + a\) 的元素，其中 \(a \in \mathfrak m_A\) 且 \(i \in IL\)。则 \(f\) 的某个幂属于 \(A \to L\) 的像。

证明

由于 \(A\) 是 Noether 环，有 \(I^t = 0\)，对某个 \(t > 0\) 成立。假设已知 \(f = a + i\)，其中 \(i \in I^kL\)。则 \(f^n = a^n + na^{n - 1}i \bmod I^{k + 1}L\)。所以只需证明：\(na^{n - 1}i\) 属于 \(I^k \to I^kL\) 的像，对某个 \(n \gg 0\) 成立。为此，取 \(g \in A\)，使得 \(\mathfrak m_A = \sqrt{(g)}\) （《代数》引理 00KK）。于是，例如由《代数》命题 00KJ 可知 \(L = A_g\)。另一方面，存在某个 \(n\) 使得 \(a^n \in (g)\)。因此，可以清除 \(L\) 中元素的分母，方法是乘以 \(a\) 的高次幂。

引理

设 \(A\) 是维数为 \(1\) 的 Noether 局部环。令 \(L = \prod A_\mathfrak p\)，其中乘积取遍 \(A\) 的极小素理想。设 \(K \to L\) 为整的环同态。则存在 \(a \in \mathfrak m_A\) 与 \(x \in K\)，它们映到 \(L\) 中的同一元素，并且 \(\mathfrak m_A = \sqrt{(a)}\)。

证明

由引理 0AB3，可以把 \(A\) 替换为 \(A/(\bigcap \mathfrak p)\)，并假设 \(A\) 是约化环（略去一些细节）。还可以把 \(K\) 替换为 \(K \to L\) 的像。于是 \(K\) 是约化环。映射 \(\Spec(L) \to \Spec(K)\) 是满射且是闭映射（细节略去）。因此 \(\Spec(K)\) 是有限离散空间。所以 \(K\) 是有限多个域的积。

令 \(\mathfrak p_j\)（\(j = 1, \ldots, m\)）为 \(A\) 的极小素理想。令 \(L_j\) 为 \(A_j\) 的分式域，从而 \(L = \prod_{j = 1, \ldots, m} L_j\)。令 \(A_j\) 为 \(A/\mathfrak p_j\) 的正规化。则 \(A_j\) 是至少有一个极大理想的半局部 Dedekind 整环，见《代数》引理 09IG。令 \(n\) 为 \(A_1, \ldots, A_m\) 的极大理想个数之和。对这样的极大理想 \(\mathfrak m \subset A_j\)，考虑函数 \[v_{\mathfrak m} : L \to L_j \to \mathbf{Z} \cup \{\infty\}\] 其中第二个箭头是与离散赋值环 \((A_j)_{\mathfrak m}\) 相应的离散赋值，并通过把 \(0\) 映到 \(\infty\) 来扩张。这样得到 \(n\) 个函数 \(v_1, \ldots, v_n : L \to \mathbf{Z} \cup \{\infty\}\)。我们将找出 \(x \in K\)，使得 \(v_i(x) < 0\)，对所有 \(i = 1, \ldots, n\) 成立。

首先断言：对每个 \(i\)，存在 \(x \in K\) 使得 \(v_i(x) < 0\)。事实上，假设 \(v_i\) 对应于 \(\mathfrak m \subset A_j\)。若 \(v_i(x) \geq 0\) 对所有 \(x \in K\) 都成立，则 \(K\) 映入 \((A_j)_{\mathfrak m}\)，这是分式域 \(L_j\)（\(A_j\) 的分式域）中的子环。 \(K\) 在 \(L_j\) 中的像是域；\(L_j\) 在该域上是代数的，这是由《代数》引理 00GR 得到的。结合起来，这与《代数》引理 0AAV 矛盾。

假设已经找到 \(x \in K\)，使得 \(v_1(x) < 0, \ldots, v_r(x) < 0\)，其中某个 \(r < n\)。若 \(v_{r + 1}(x) < 0\)，则 \(x\) 对 \(r + 1\) 也适用。否则，由上一段的结果，可以选取某个 \(y \in K\)，使 \(v_{r + 1}(y) < 0\)。将 \(x\) 替换为某个 \(x^n\)（其中 \(n > 0\)）后，可以假设 \(v_i(x) < v_i(y)\) 对 \(i = 1, \ldots, r\) 成立。于是由赋值的性质， \(v_j(x + y) = v_j(x) < 0\) 对 \(j = 1, \ldots, r\) 成立；类似地， \(v_{r + 1}(x + y) = v_{r + 1}(y) < 0\)。归纳可得 \(x \in K\)，使得 \(v_i(x) < 0\) 对 \(i = 1, \ldots, n\) 成立。

特别地，元素 \(x \in K\) 在 \(K\) 的每个因子中的投影均非零（回忆 \(K\) 是有限多个域的积；如果 \(x\) 的某个分量为零，则某个值 \(v_i(x)\) 会是 \(\infty\)）。因此 \(x\) 可逆，而 \(x^{-1} \in K\) 满足 \(\infty > v_i(x^{-1}) > 0\)，对所有 \(i\) 都成立。由引理 09N2，可知对某个 \(e < 0\)，元素 \(x^e \in K\) 映到 \(\mathfrak m_A/\mathfrak p_j \subset A/\mathfrak p_j\) 中，对所有 \(j = 1, \ldots, m\) 都成立。注意，映射 \(\mathfrak m_A \to \prod \mathfrak m_A/\mathfrak p_j\) 的余核被 \(\mathfrak m_A\) 的某个幂零化。因此，把 \(e\) 替换为一个更小的 \(e\) 后，可找到 \(a \in \mathfrak m_A\)，使它在 \(\mathfrak m_A/\mathfrak p_j\) 中的像等于 \(x^e\) 的像。于是二元组 \((a, x^e)\) 满足引理的结论。

引理

设 \(A\) 是环。设 \(\mathfrak p_1, \ldots, \mathfrak p_r\) 是 \(A\) 的有限个素理想。令 \(S = A \setminus \bigcup \mathfrak p_i\)。则 \(S\) 是乘法系，而 \(S^{-1}A\) 是半局部环，其极大理想对应于集合 \(\{\mathfrak p_i\}\) 的极大元。

证明

若 \(a, b \in A\) 且 \(a, b \in S\)，则 \(a, b \not \in \mathfrak p_i\)，从而 \(ab \not \in \mathfrak p_i\)，所以 \(ab \in S\)。又有 \(1 \in S\)。因此 \(S\) 是 \(A\) 的乘法子集。由《代数》引理 00E3 中对 \(\Spec(S^{-1}A)\) 的描述，以及《代数》引理 00DS，可知 \(S^{-1}A\) 的素理想对应于 \(A\) 中包含于某个 \(\mathfrak p_i\) 的素理想。所以 \(S^{-1}A\) 的极大理想一一对应于集合 \(\{\mathfrak p_1, \ldots, \mathfrak p_r\}\) 中关于包含关系的极大元。

一维 Noether 概形

本节的主要结果是：维数为 \(1\) 的 Noether 分离概形具有丰沛可逆层。见命题 09NZ。

引理

设 \(X\) 是概形，其所有局部环都是维数 \(\leq 1\) 的 Noether 环。设 \(U \subset X\) 是逆紧开集，并以 \(j : U \to X\) 表示包含态射。则 \(R^pj_*\mathcal{F} = 0\)，其中 \(p > 0\)；这对每个拟凝聚 \(\mathcal{O}_U\)-模 \(\mathcal{F}\) 都成立。

证明

可以在茎上检验 \(R^pj_*\mathcal{F}\) 的消失性。 \(R^qj_*\) 的形成与平坦基变换可交换，见《概形上同调》引理 02KH。因此可假设 \(X\) 是维数 \(\leq 1\) 的 Noether 局部环的谱。在此情形，\(X\) 有一个闭点 \(x\)，以及有限个其他点 \(x_1, \ldots, x_n\)；它们特化到 \(x\)，但彼此之间不发生特化（见《代数》引理 00FR）。若 \(x \in U\)，则 \(U = X\)，结论显然。否则，在必要时重编号各点后，有 \(U = \{x_1, \ldots, x_r\}\)，对某个 \(r\) 成立。于是 \(U\) 是仿射的（《概形》引理 02O0）。因此结论由《概形上同调》引理 01XC 得到。

引理

设 \(X\) 是仿射概形，其所有局部环都是维数 \(\leq 1\) 的 Noether 环。则任意拟紧开集 \(U \subset X\) 都是仿射的。

证明

以 \(j : U \to X\) 表示包含态射。设 \(\mathcal{F}\) 是拟凝聚 \(\mathcal{O}_U\)-模。由引理 09N8，高阶正像 \(R^pj_*\mathcal{F}\) 均为零。\(\mathcal{O}_X\)-模 \(j_*\mathcal{F}\) 是拟凝聚的（《概形》引理 01LC）。因此，由《概形上同调》引理 01XB，它的高阶上同调群均为零。由 Leray 谱序列（《上同调》引理 01F4），有 \(H^p(U, \mathcal{F}) = 0\)，对所有 \(p > 0\) 都成立。所以 \(U\) 是仿射的，例如可由《概形上同调》引理 01XF 得到。

引理

设 \(X\) 是概形，\(U \subset X\) 是开集。假设

\(U\) 是 \(X\) 的逆紧开集；

\(X \setminus U\) 是离散的；

对 \(x \in X \setminus U\)，局部环 \(\mathcal{O}_{X, x}\) 是维数 \(\leq 1\) 的 Noether 环。

则 (1) 存在可逆 \(\mathcal{O}_X\)-模 \(\mathcal{L}\) 以及一个截面 \(s\)，使得 \(U = X_s\)；并且 (2) 映射 \(\Pic(X) \to \Pic(U)\) 是满射。

证明

令 \(X \setminus U = \{x_i; i \in I\}\)。选择仿射开集 \(U_i \subset X\)，使得 \(x_i \in U_i\) 且 \(x_j \not \in U_i\)，其中 \(j \not = i\)。这由条件 (2) 可以做到。写 \(U_i = \Spec(A_i)\)。令 \(\mathfrak m_i \subset A_i\) 为与 \(x_i\) 对应的极大理想。由对局部环的假设，只有有限多个素理想 \(\mathfrak q \subset \mathfrak m_i\) 满足 \(\mathfrak q \not = \mathfrak m_i\)（见《代数》引理 00FR）。所以，由素理想回避（《代数》引理 00DS），可以找到 \(f_i \in \mathfrak m_i\)，使它不属于上述任何素理想。于是 \(V(f_i) = \{\mathfrak m_i\} \amalg Z_i\)，其中某个闭子集 \(Z_i \subset U_i\)；这是因为 \(Z_i\) 是 \(V(f_i)\) 中逆紧且对特化封闭的开子集，见《代数》引理 00I0。缩小 \(U_i\) 后，可假设 \(V(f_i) = \{x_i\}\)。于是 \[\mathcal{U} : X = U \cup \bigcup U_i\] 是 \(X\) 的开覆盖。考虑 \(2\)-余循环，它取值于 \(\mathcal{O}_X^*\)：由 \(f_i\) 在 \(U \cap U_i\) 上给出，并由 \(f_i/f_j\) 在 \(U_i \cap U_j\) 上给出。它定义一个线丛 \(\mathcal{L}\)；而截面 \(s\) 由 \(1\) 在 \(U\) 上定义、由 \(f_i\) 在 \(U_i\) 上定义，它满足引理的陈述。

设 \(\mathcal{N}\) 是可逆 \(\mathcal{O}_U\)-模。设 \(N_i\) 为可逆 \((A_i)_{f_i}\)-模，使得 \(\mathcal{N}|_{U \cap U_i}\) 等于 \(\tilde N_i\)。注意 \((A_{\mathfrak m_i})_{f_i}\) 是 Artin 环（因为它是零维 Noether 环，见《代数》引理 00KH）。所以它是局部环的乘积（《代数》引理 00JB），因而其 Picard 群平凡。因此，缩小 \(U_i\) （即把 \(A_i\) 替换为某个 \((A_i)_g\)，其中 \(g \in A_i\) 且 \(g \not \in \mathfrak m_i\)）后，可假设 \(N_i = (A_i)_{f_i}\)，即 \(\mathcal{N}|_{U \cap U_i}\) 平凡。在这种情形，如何将 \(\mathcal{N}\) 扩张为 \(X\) 上的可逆层是显然的（在每个 \(U_i\) 上用平凡可逆模扩张）。

引理

设 \(X\) 是整分离概形。设 \(U \subset X\) 是非空仿射开集，使得 \(X \setminus U\) 是有限点集 \(x_1, \ldots, x_r\)，其中 \(\mathcal{O}_{X, x_i}\) 是维数为 \(1\) 的 Noether 环。则存在全局生成的可逆 \(\mathcal{O}_X\)-模 \(\mathcal{L}\) 以及一个截面 \(s\)，使得 \(U = X_s\)。

证明

写 \(U = \Spec(A)\)，并令 \(K\) 为 \(X\) 的函数域。写 \(B_i = \mathcal{O}_{X, x_i}\) 且 \(\mathfrak m_i = \mathfrak m_{x_i}\)。由于 \(x_i \not \in U\)，可知开集 \(U \times_X \Spec(B_i)\)（属于 \(\Spec(B_i)\)）只有一个点，即 \(U \times_X \Spec(B_i) = \Spec(K)\)。由于 \(X\) 是分离的，可知 \(\Spec(K)\) 是 \(U \times \Spec(B_i)\) 的闭子概形，即映射 \(A \otimes B_i \to K\) 是满射。由引理 09N5，可以找到非零元 \(f \in A\)，使得 \(f^{-1} \in \mathfrak m_i\) 对 \(i = 1, \ldots, r\) 都成立。选择开集 \(x_i \in U_i \subset X\)，使得 \(f^{-1} \in \mathcal{O}(U_i)\)。于是 \[\mathcal{U} : X = U \cup \bigcup U_i\] 是 \(X\) 的开覆盖。考虑 \(2\)-余循环，它取值于 \(\mathcal{O}_X^*\)：由 \(f\) 在 \(U \cap U_i\) 上给出，并由 \(1\) 在 \(U_i \cap U_j\) 上给出。它定义一个线丛 \(\mathcal{L}\)，并且该线丛有两个截面：

截面 \(s\) 由 \(1\) 在 \(U\) 上定义，由 \(f^{-1}\) 在 \(U_i\) 上定义；它满足引理的陈述；

截面 \(t\) 由 \(f\) 在 \(U\) 上定义，并由 \(1\) 在 \(U_i\) 上定义。

注意 \(X_t \supset U_1 \cup \ldots \cup U_r\)。因此 \(s, t\) 生成 \(\mathcal{L}\)，引理得证。

引理

设 \(X\) 是拟紧概形。若对每个 \(x \in X\) 都存在二元组 \((\mathcal{L}, s)\)，其中 \(\mathcal{L}\) 是全局生成的可逆层， \(s\) 是全局截面，且 \(x \in X_s\)、\(X_s\) 是仿射的，则 \(X\) 具有丰沛可逆层。

证明

由于 \(X\) 拟紧，可以找到有限多个二元组 \((\mathcal{L}_i, s_i)\)（\(i = 1, \ldots, n\)），使得 \(\mathcal{L}_i\) 全局生成，\(X_{s_i}\) 是仿射的，并且 \(X = \bigcup X_{s_i}\)。再由 \(X\) 拟紧，对每个 \(i\) 可以找到有限多个截面 \(t_{i, j}\)，它们属于 \(\mathcal{L}_i\)（\(j = 1, \ldots, m_i\)），使得 \(X = \bigcup X_{t_{i, j}}\)。置 \(t_{i, 0} = s_i\)。考虑可逆层 \[\mathcal{L} = \mathcal{L}_1 \otimes_{\mathcal{O}_X} \ldots \otimes_{\mathcal{O}_X} \mathcal{L}_n\] 及其全局截面 \[\tau_J = t_{1, j_1} \otimes \ldots \otimes t_{n, j_n}\] 由《性质》引理 01PV，开集 \(X_{\tau_J}\) 在只要有 \(j_i = 0\)（对某个 \(i\)）时就是仿射的。不难看出这些开集覆盖 \(X\)。所以按定义，\(\mathcal{L}\) 是丰沛的。

引理

设 \(X\) 是维数为 \(1\) 的 Noether 整分离概形。则 \(X\) 具有丰沛可逆层。

证明

选择仿射开覆盖 \(X = U_1 \cup \ldots \cup U_n\)。由于 \(X\) 是 Noether 的，每个集合 \(X \setminus U_i\) 都是有限的。因此，由引理 09NB，可以找到二元组 \((\mathcal{L}_i, s_i)\)，其中 \(\mathcal{L}_i\) 是全局生成的可逆层， \(s_i\) 是全局截面，且 \(U_i = X_{s_i}\)。由引理 09NC，得到 \(X\) 具有丰沛可逆层。

引理

设 \(f : X \to Y\) 是概形的有限态射。假设存在开集 \(V \subset Y\)，使得 \(f^{-1}(V) \to V\) 是同构，并且 \(Y \setminus V\) 是离散空间。则每个可逆 \(\mathcal{O}_X\)-模都是某个可逆 \(\mathcal{O}_Y\)-模的拉回。

证明

我们将使用 \(\Pic(X) = H^1(X, \mathcal{O}_X^*)\)，见《上同调》引理 09NU。考虑阿贝尔层 \(\mathcal{O}_X^*\) 与 \(f\) 的 Leray 谱序列，见《上同调》引理 01F2。考虑诱导映射 \[H^1(X, \mathcal{O}_X^*) \longrightarrow H^0(Y, R^1f_*\mathcal{O}_X^*)\] 《除子》引理 0BUT 恰好说明此映射为零。因此 Leray 谱序列给出 \(H^1(X, \mathcal{O}_X^*) = H^1(Y, f_*\mathcal{O}_X^*)\)。接着考虑映射 \[f^\sharp : \mathcal{O}_Y^* \longrightarrow f_*\mathcal{O}_X^*\] 由假设，此映射的核与余核都支集于闭子集 \(T = Y \setminus V\)（属于 \(Y\)）上。因为按假设 \(T\) 是离散拓扑空间，所以 \(Y\) 上支集于 \(T\) 的任意阿贝尔层的高阶上同调群都为零（这由《上同调》引理 02UV、《模》引理 01AX，以及如下事实推出： \(H^i(T, \mathcal{F}) = 0\)，对任意 \(i > 0\) 与任意阿贝尔层 \(\mathcal{F}\)（在 \(T\) 上）都成立）。把上述映射分解为短正合列 \[0 \to \Ker(f^\sharp) \to \mathcal{O}_Y^* \to \Im(f^\sharp) \to 0,\quad 0 \to \Im(f^\sharp) \to f_*\mathcal{O}_X^* \to \Coker(f^\sharp) \to 0\] 先得到 \(H^1(Y, \mathcal{O}_Y^*) \to H^1(Y, \Im(f^\sharp))\) 是满射，再得到 \(H^1(Y, \Im(f^\sharp)) \to H^1(Y, f_*\mathcal{O}_X^*)\) 是满射。结合以上各点，得到 \(H^1(Y, \mathcal{O}_Y^*) \to H^1(X, \mathcal{O}_X^*)\) 是满射，如所需。

引理

设 \(X\) 是概形。设 \(Z_1, \ldots, Z_n \subset X\) 为闭子概形。设 \(\mathcal{L}_i\) 为 \(Z_i\) 上的可逆层。假设

\(X\) 是约化的；

在集合论意义下 \(X = \bigcup Z_i\)；

\(Z_i \cap Z_j\) 是离散拓扑空间，其中 \(i \not = j\)。

则存在可逆层 \(\mathcal{L}\)（在 \(X\) 上），其在 \(Z_i\) 上的限制是 \(\mathcal{L}_i\)。此外，若给定截面 \(s_i \in \Gamma(Z_i, \mathcal{L}_i)\)，它们在 \(Z_i \cap Z_j\) 的各点处不消失，则可选择 \(\mathcal{L}\)，使得存在 \(s \in \Gamma(X, \mathcal{L})\)，并且有 \(s|_{Z_i} = s_i\)，对所有 \(i\) 都成立。

证明

\(\mathcal{L}\) 的存在性可以由引理 0C0T 推出；但我们也将给出直接证明，并用该证明说明关于截面的陈述成立。置 \(T = \bigcup_{i \not = j} Z_i \cap Z_j\)。由于 \(X\) 约化，作为概形有 \[X \setminus T = \bigcup (Z_i \setminus T)\] 。假设 (3) 蕴含 \(T\) 是 \(X\) 的离散子集。所以对每个 \(t \in T\)，可以找到开集 \(U_t \subset X\)，使得 \(t \in U_t\)，但 \(t' \not \in U_t\)；这里 \(t' \in T\) 且 \(t' \not = t\)。必要时缩小 \(U_t\)，可假设存在同构 \(\varphi_{t, i} : \mathcal{L}_i|_{U_t \cap Z_i} \to \mathcal{O}_{U_t \cap Z_i}\)。此外，对每个 \(i\) 选择开覆盖 \[Z_i \setminus T = \bigcup\nolimits_j U_{ij}\] 使得存在同构 \(\varphi_{i, j} : \mathcal{L}_i|_{U_{ij}} \cong \mathcal{O}_{U_{ij}}\)。注意 \[\mathcal{U} : X = \bigcup U_t \cup \bigcup U_{ij}\] 是 \(X\) 的开覆盖。我们断言，可以用这些同构 \(\varphi_{t, i}\) 和 \(\varphi_{i, j}\) 为此覆盖定义一个 \(2\)-余循环，它取值于 \(\mathcal{O}_X^*\)，并定义引理陈述中的 \(\mathcal{L}\)。

事实上，若 \(i \not = i'\)，则 \(U_{i, j} \cap U_{i', j'} = \emptyset\)，无事可做。对 \(U_{i, j} \cap U_{i, j'}\)，由证明开头的说明，有 \(\mathcal{O}_X(U_{i, j} \cap U_{i, j'}) = \mathcal{O}_{Z_i}(U_{i, j} \cap U_{i, j'})\)。所以 \(\mathcal{L}_i\) 的转移函数（更准确地说， \(\varphi_{i, j} \circ \varphi_{i, j'}^{-1}\)）定义了余循环在这一交集上的值。对 \(U_t \cap U_{i, j}\) 可以作同样处理。最后，当 \(t \not = t'\) 时，有 \[U_t \cap U_{t'} = \coprod (U_t \cap U_{t'}) \cap Z_i\] ，而且交集 \(U_t \cap U_{t'} \cap Z_i\) 包含于 \(Z_i \setminus T\)。所以，由与前面相同的理由，有 \[\mathcal{O}_X(U_t \cap U_{t'}) = \prod \mathcal{O}_{Z_i}(U_t \cap U_{t'} \cap Z_i)\] ，并且可以用 \(\mathcal{L}_i\) 的转移函数（更准确地说， \(\varphi_{t, i} \circ \varphi_{t', i}^{-1}\)）定义余循环在 \(U_t \cap U_{t'}\) 上的值。这就完成了 \(\mathcal{L}\) 的存在性证明。

给定引理最后一个断言中的截面 \(s_i\)。在上述论证中，选择 \(U_t\)，使得 \(s_i|_{U_t \cap Z_i}\) 不消失，并选择 \(\varphi_{t, i}\)，使得 \(\varphi_{t, i}(s_i|_{U_t \cap Z_i}) = 1\)。于是，使用 \(1\)（在 \(U_t\) 上）以及 \(\varphi_{i, j}(s_i|_{U_{i, j}})\)（在 \(U_{i, j}\) 上），将定义 \(\mathcal{L}\) 的一个截面，它限制为 \(s_i\)（在 \(Z_i\) 上）。

注

设 \(A\) 是约化环。设 \(I, J\) 是 \(A\) 的理想，并且 \(V(I) \cup V(J) = \Spec(A)\)。置 \(B = A/J\)。则 \(I \to IB\) 是 \(A\)-模的同构。事实上，有 \(IB = I + J/J = I/(I \cap J)\)；而 \(I \cap J\) 为零，因为 \(A\) 约化，并且 \(\Spec(A) = V(I) \cup V(J) = V(I \cap J)\)。所以对任意投射 \(A\)-模 \(P\)，也有 \(IP = I(P/JP)\)。

引理

设 \(X\) 是维数为 \(1\) 的 Noether 约化分离概形。则 \(X\) 具有丰沛可逆层。

证明

令 \(Z_i\)（\(i = 1, \ldots, n\)）为 \(X\) 的不可约分支。把它们视为 \(X\) 的约化闭子概形。由引理 09ND，存在丰沛可逆层 \(\mathcal{L}_i\)（在 \(Z_i\) 上）。置 \(T = \bigcup_{i \not = j} Z_i \cap Z_j\)。由于 \(X\) 是维数 \(1\) 的 Noether 概形，集合 \(T\) 是有限的，并由 \(X\) 的闭点组成。对每个 \(i\)，在必要时把 \(\mathcal{L}_i\) 替换为某个幂后，可以选择 \(s_i \in \Gamma(Z_i, \mathcal{L}_i)\)，使得 \((Z_i)_{s_i}\) 是仿射的并包含 \(T \cap Z_i\)，见《性质》引理 09NV。

由引理 09NE，可以找到可逆层 \(\mathcal{L}\)（在 \(X\) 上）以及 \(s \in \Gamma(X, \mathcal{L})\)，使得 \((\mathcal{L}, s)|_{Z_i} = (\mathcal{L}_i, s_i)\)。注意 \(X_s\) 包含 \(T\)，而且在集合论意义下等于这些仿射闭子概形 \((Z_i)_{s_i}\) 的并。因此，由《极限》引理 09NL，它是仿射的。为完成证明，只需对每个 \(x \in X\)（其中 \(x \not \in T\)）找到整数 \(m > 0\) 和截面 \(t \in \Gamma(X, \mathcal{L}^{\otimes m})\)，使得 \(X_t\) 是仿射的且 \(x \in X_t\)。由于 \(x \not \in T\)，可知 \(x \in Z_i\)，其中 \(i\) 唯一；设 \(i = 1\)。令 \(Z \subset X\) 为约化闭子概形，其底拓扑空间是 \(Z_2 \cup \ldots \cup Z_n\)。令 \(\mathcal{I} \subset \mathcal{O}_X\) 为 \(Z\) 的理想层。以 \(\mathcal{I}_1 \subset \mathcal{O}_{Z_1}\) 表示该理想层在包含态射 \(Z_1 \to X\) 下的逆像。注意 \[\Gamma(X, \mathcal{I}\mathcal{L}^{\otimes m}) = \Gamma(Z_1, \mathcal{I}_1 \mathcal{L}_1^{\otimes m})\] ，见注 09NW。所以只需找到 \(m > 0\) 以及 \(t \in \Gamma(Z_1, \mathcal{I}_1 \mathcal{L}_1^{\otimes m})\)，使得 \(x \in (Z_1)_t\) 且它是仿射的。由于 \(\mathcal{L}_1\) 丰沛，并且 \(x\) 不在 \(Z_1 \cap T = V(\mathcal{I}_1)\) 中，可以找到截面 \(t_1 \in \Gamma(Z_1, \mathcal{I}_1 \mathcal{L}_1^{\otimes m_1})\)，使得 \(x \in (Z_1)_{t_1}\)，见《性质》命题 01Q3。由于 \(\mathcal{L}_1\) 丰沛，可以找到截面 \(t_2 \in \Gamma(Z_1, \mathcal{L}_1^{\otimes m_2})\)，使得 \(x \in (Z_1)_{t_2}\) 且 \((Z_1)_{t_2}\) 是仿射的，见《性质》定义 01PS。置 \(m = m_1 + m_2\) 且 \(t = t_1 t_2\)。则由构造， \(t \in \Gamma(Z_1, \mathcal{I}_1 \mathcal{L}_1^{\otimes m})\)，且 \(x \in (Z_1)_t\)；并且由《性质》引理 01PV，\((Z_1)_t\) 是仿射的。

引理

设 \(i : Z \to X\) 是概形的闭浸入。若 \(X\) 的底拓扑空间是 Noether 的，并且 \(\dim(X) \leq 1\)，则 \(\Pic(X) \to \Pic(Z)\) 是满射。

证明

考虑 \(X\) 上阿贝尔层的短正合列 \[0 \to (1 + \mathcal{I}) \cap \mathcal{O}_X^* \to \mathcal{O}^*_X \to i_*\mathcal{O}^*_Z \to 0\] ，其中 \(\mathcal{I}\) 是与 \(Z\) 对应的拟凝聚理想层。由于 \(\dim(X) \leq 1\)，有 \(H^2(X, \mathcal{F}) = 0\)；这对任意阿贝尔层 \(\mathcal{F}\) 成立，见《上同调》命题 02UZ。因此映射 \(H^1(X, \mathcal{O}^*_X) \to H^1(X, i_*\mathcal{O}_Z^*)\) 是满射。由《上同调》引理 02UV，有 \(H^1(X, i_*\mathcal{O}_Z^*) = H^1(Z, \mathcal{O}_Z^*)\)。再由《上同调》引理 09NU，这就证明了引理。

命题

设 \(X\) 是维数为 \(1\) 的 Noether 分离概形。则 \(X\) 具有丰沛可逆层。

证明

令 \(Z \subset X\) 为 \(X\) 的约化。由引理 09NX，概形 \(Z\) 具有丰沛可逆层。所以，由引理 09NY，存在可逆 \(\mathcal{O}_X\)-模 \(\mathcal{L}\)（在 \(X\) 上），它在 \(Z\) 上的限制是丰沛的。于是，应用《概形上同调》引理 09MS，可知 \(\mathcal{L}\) 是丰沛的。

注

事实上，若 \(X\) 是概形，其约化是维数为 \(1\) 的 Noether 分离概形，则 \(X\) 具有丰沛可逆层。证明这一点的论证与命题 09NZ 的证明相同，只是使用《极限》引理 09MW 来代替《概形上同调》引理 09MS。

下面的引理实际上对拟有限分离态射也成立；读者可以使用 Zariski 主定理（《关于态射的更多内容》引理 05K0）以及引理 09NA 看出这一点。

引理

设 \(f : X \to Y\) 是概形的态射。假设 \(Y\) 是维数 \(\leq 1\) 的 Noether 概形，\(f\) 是有限的，并且存在稠密开集 \(V \subset Y\)，使得 \(f^{-1}(V) \to V\) 是闭浸入。则每个可逆 \(\mathcal{O}_X\)-模都是某个可逆 \(\mathcal{O}_Y\)-模的拉回。

证明

把 \(f\) 分解为 \(X \to Z \to Y\)，其中 \(Z\) 是 \(f\) 的概形论像。则 \(X \to Z\) 在 \(V \cap Z\) 上是同构，并可应用引理 0C0T。另一方面，引理 09NY 适用于 \(Z \to Y\)。略去一些细节。

\(\delta\) 不变量

本节定义奇异点的 \(\delta\)-不变量，其中该点位于约化 \(1\) 维 Nagata 概形上。

引理

设 \((A, \mathfrak m)\) 是 Noether \(1\) 维局部环。设 \(f \in \mathfrak m\)。下列条件等价：

\(\mathfrak m = \sqrt{(f)}\)；

\(f\) 不包含在 \(A\) 的任何极小素理想中；

有 \(A_f = \prod_{\mathfrak p\text{ minimal}} A_\mathfrak p\)（作为 \(A\)-代数）。

这样的 \(f \in \mathfrak m\) 总是存在。若 \(\text{depth}(A) = 1\)（例如 \(A\) 约化），则 (1)–(3) 还等价于：

\(f\) 是非零因子；

\(A_f\) 是 \(A\) 的总分式环。

若 \(A\) 约化，则 (1)–(5) 还等价于：

\(A_f\) 是 \(A\) 在各极小素理想处的剩余域之积。

证明

\(A\) 的谱有有限多个素理想 \(\mathfrak p_1, \ldots, \mathfrak p_n\) 位于 \(\mathfrak m\) 之外，并且它们全都极小；见《代数》引理 00FR。于是 (1) 与 (2) 的等价性由《代数》引理 00E0 得出。显然，(3) 蕴含 (2)。反之，若 (2) 成立，则 \(A_f\) 的谱是子集 \(\{\mathfrak p_1, \ldots, \mathfrak p_n\}\)，它位于 \(\Spec(A)\) 中并赋予诱导拓扑；见《代数》引理 00E3。这是有限离散拓扑空间。故由《代数》命题 00KJ， \(A_f = \prod_{\mathfrak p\text{ minimal}} A_\mathfrak p\)。《代数》引理 00KK 断言了这样的 \(f\) 的存在性。

假设 \(A\) 的深度为 \(1\)。（由《代数》引理 00LK，这是最大可能值；若 \(A\) 约化，则由《代数》引理 031R 可知它成立。）于是 \(\mathfrak m\) 不是 \(A\) 的相伴素理想。 \(A\) 的每个极小素理想都是相伴素理想（《代数》命题 02CE）。因此，由《代数》引理 00LD， \(A\) 的非零因子集合恰为不包含在任何极小素理想中的元素集合。所以 (4) 等价于 (2)。由《代数》引理 02LX， (5) 等价于 (3)。

\(A_\mathfrak p\) 是域，其中 \(\mathfrak p \subset A\) 极小；见《代数》引理 00EU。故 (3) 等价于 (6)。

引理

设 \((A, \mathfrak m)\) 是约化 Nagata \(1\) 维局部环。设 \(A'\) 是 \(A\) 在 \(A\) 的总分式环中的整闭包。则 \(A'\) 是正规 Nagata 环，\(A \to A'\) 有限，并且 \(A'/A\) 作为 \(A\)-模具有有限长度。

证明

总分式环在 \(A\) 上本质有限型；因此 \(A \to A'\) 有限，因为 \(A\) 是 Nagata 环；见《代数》引理 03GH。例如，由《代数》引理 030C 和 00FR 可知环 \(A'\) 正规。例如，由《代数》引理 032T 可知环 \(A'\) 是 Nagata 环。按引理 0C3R 选取 \(f \in \mathfrak m\)。由于 \(A' \subset A_f\)，显然 \(A_f = A'_f\)。因此有限 \(A\)-模 \(A'/A\) 的支撑包含在 \(\{\mathfrak m\}\) 中。由《代数》引理 00L5，它具有有限长度。

定义

设 \(A\) 是维数为 \(1\) 的约化 Nagata 局部环。 \(\delta\)-不变量（关于 \(A\)）定义为 \(\text{length}_A(A'/A)\)，其中 \(A'\) 如引理 0C3S 所述。

下面证明关于这个不变量之行为的一些引理。

引理

设 \(A\) 是维数为 \(1\) 的约化 Nagata 局部环。 \(\delta\)-不变量（关于 \(A\)）为 \(0\)，当且仅当 \(A\) 是离散赋值环。

证明

若 \(A\) 是离散赋值环，则 \(A\) 正规，并且环 \(A'\) 等于 \(A\)。反之，若 \(\delta\)-不变量（关于 \(A\)）为 \(0\)，则 \(A\) 在其总分式环中整闭，从而 \(A\) 正规（《代数》引理 030C）；再由《代数》引理 00PD，这迫使 \(A\) 成为离散赋值环。

引理

设 \(A\) 是维数为 \(1\) 的约化 Nagata 局部环。令 \(A \to A'\) 如引理 0C3S 所述。令 \(A^h\)、\(A^{sh}\) 以及相应的 \(A^\wedge\) 分别为 \(A\) 的 Hensel 化、严格 Hensel 化以及完备化。则 \(A^h\)、\(A^{sh}\) 以及相应的 \(A^\wedge\) 都是约化 Nagata 局部环，维数为 \(1\)，并且 \(A' \otimes_A A^h\)、\(A' \otimes_A A^{sh}\) 以及相应的 \(A' \otimes_A A^\wedge\) 分别是 \(A^h\)、\(A^{sh}\) 以及相应的 \(A^\wedge\) 在其总分式环中的整闭包。

证明

注意 \(A^\wedge\) 约化；见《代数续篇》引理 07NZ。由《代数续篇》引理 06DH，环 \(A^h\) 与 \(A^{sh}\) 约化。由《代数续篇》引理 07NV 和 06LK， \(A\)、\(A^h\)、\(A^{sh}\) 与 \(A^\wedge\) 的维数相同。

回顾：Noether 局部环是 Nagata 环，当且仅当 \(A\) 的形式纤维几何约化；见《代数续篇》引理 0BJ0。这个性质由 \(A^h\) 与 \(A^{sh}\) 继承；见《代数续篇》第 0BIR 节中的材料，尤其是引理 0C36。由《代数》引理 032W，完备化是 Nagata 环。

现在证明关于整闭包的陈述。继续之前，按引理 0C3R 选取 \(f \in \mathfrak m\)。 \(f\) 在 \(A^h\)、\(A^{sh}\) 与 \(A^\wedge\) 中的像显然都在相应环中满足性质 (1)–(6)。

由于 \(A \to A'\) 有限，可知 \(A' \otimes_A A^h\) 与 \(A' \otimes_A A^{sh}\) 分别是若干 Hensel 局部环之积，而这些局部环分别在 \(A^h\) 与 \(A^{sh}\) 上有限；见《代数》引理 04GH。其中每个局部环都是 \(A'\) 在某个极大理想 \(\mathfrak m' \subset A'\) 处的 Hensel 化，该理想位于 \(\mathfrak m\) 上方；见《代数》引理 05WP 或 05WR。故由《代数续篇》引理 06DI，这些局部环都是正规整环。于是 \(A' \otimes_A A^h\) 与 \(A' \otimes_A A^{sh}\) 是正规环。由于 \(A^h \to A' \otimes_A A^h\) 与 \(A^{sh} \to A' \otimes_A A^{sh}\) 有限（因而整），并且 \(A' \otimes_A A^h \subset (A^h)_f = Q(A^h)\) 与 \(A' \otimes_A A^{sh} \subset (A^{sh})_f = Q(A^{sh})\)，我们断定 \(A' \otimes_A A^h\) 与 \(A' \otimes_A A^{sh}\) 就是所需的整闭包。

对于完备化，论证完全相同。首先，由《代数》引理 07N9 有 \[A' \otimes_A A^\wedge = (A')^\wedge = \prod\nolimits (A'_{\mathfrak m'})^\wedge\] 局部环 \(A'_{\mathfrak m'}\) 正规且维数为 \(1\) （例如由《代数》引理 02MA，或由《代数》第 00OG 节中的讨论）。故由《代数》引理 00PD， \(A'_{\mathfrak m'}\) 是离散赋值环。再由《代数续篇》引理 0AP1， \((A'_{\mathfrak m'})^\wedge\) 是离散赋值环。于是 \(A' \otimes_A A^\wedge\) 是正规环，并且可以完全按前面的方式得出结论。

引理

设 \(A\) 是维数为 \(1\) 的约化 Nagata 局部环。 \(\delta\)-不变量（关于 \(A\)）与 \(\delta\)-不变量（关于 \(A\) 的 Hensel 化、严格 Hensel 化或完备化）相同。

证明

我们证明完备化 \(B = A^\wedge\) 的情形；其他情形的证明完全相同。令 \(A'\) 以及相应的 \(B'\) 分别为 \(A\) 以及相应的 \(B\) 在其总分式环中的整闭包。由引理 0C3V， \(B' = A' \otimes_A B\)。故 \(B'/B = (A'/A) \otimes_A B\)。现在，等式由《代数》引理 02M1 以及 \(B \otimes_A \kappa_A = \kappa_B\) 这一事实得出。

定义

设 \(k\) 是域。设 \(X\) 是局部代数 \(k\)-概形。设 \(x \in X\) 是一点，使得 \(\mathcal{O}_{X, x}\) 约化且 \(\dim(\mathcal{O}_{X, x}) = 1\)。 \(\delta\)-不变量（\(X\) 在 \(x\) 处）定义为 \(\delta\)-不变量（关于 \(\mathcal{O}_{X, x}\)），如定义 0C3T 所述。

这个定义有意义，因为局部代数概形的局部环由《代数》命题 0335 是 Nagata 环。当然，更一般地，只要概形的一点 \(x \in X\) 的局部环 \(\mathcal{O}_{X, x}\) 是约化 Nagata 环且维数为 \(1\)，我们都可以作此定义。由引理 0C3W， \(\delta\)-不变量（\(X\) 在 \(x\) 处）为 \[\delta\text{-invariant of }X\text{ 在 }x = \delta\text{-invariant of }\mathcal{O}_{X, x}^h = \delta\text{-invariant of }\mathcal{O}_{X, x}^\wedge\] 由此可见，\(\delta\)-不变量是该点之完备局部环的不变量。

引理

设 \(k\) 是域。设 \(X\) 是局部代数 \(k\)-概形。设 \(K/k\) 是域扩张，并令 \(Y = X_K\)。设 \(y \in Y\) 的像为 \(x \in X\)。假设 \(X\) 在 \(x\) 处几何约化，并且 \(\dim(\mathcal{O}_{X, x}) = \dim(\mathcal{O}_{Y, y}) = 1\)。则 \[\delta\text{-invariant of }X\text{ 在 }x \leq \delta\text{-invariant of }Y\text{ 在 }y\]

证明

置 \(A = \mathcal{O}_{X, x}\) 与 \(B = \mathcal{O}_{Y, y}\)。由引理 035W 可知 \(A\) 几何约化。因此，\(B\) 是 \(A \otimes_k K\) 的一个局部化。令 \(A \to A'\) 如引理 0C3S 所述。则 \[B' = B \otimes_{(A \otimes_k K)} (A' \otimes_k K)\] 在 \(B\) 上有限，并且 \(B \to B'\) 在总分式环上诱导同构。事实上，选取满足引理 0C3R 中 (1)–(6) 的 \(f \in \mathfrak m_A\)；由于 \(\dim(B) = 1\)，可知 \(f \in \mathfrak m_B\) 对 \(B\) 起同样作用；又有 \(B_f = B'_f\)，因为 \(A_f = A'_f\)。令 \(B''\) 是 \(B\) 在其总分式环中的整闭包，如引理 0C3S 所述。则 \(B' \subset B''\)。因此，\(\delta\)-不变量（\(Y\) 在 \(y\) 处）为 \(\text{length}_B(B''/B)\)，并且 \[\begin{align*} \text{length}_B(B''/B) & \geq \text{length}_B(B'/B) \\ & = \text{length}_B((A'/A) \otimes_A B) \\ & = \text{length}_B(B/\mathfrak m_A B) \text{length}_A(A'/A) \end{align*}\] 这是因为 \(A \to B\) 平坦（它是 \(A \to A \otimes_k K\) 的一个局部化），并可应用《代数》引理 02M1。由于 \(\text{length}_A(A'/A)\) 是 \(\delta\)-不变量（\(X\) 在 \(x\) 处），又由于 \(\text{length}_B(B/\mathfrak m_A B) \geq 1\)，引理得证。

引理

设 \(k\) 是域。设 \(X\) 是局部代数 \(k\)-概形。设 \(K/k\) 是域扩张，并令 \(Y = X_K\)。设 \(y \in Y\) 的像为 \(x \in X\)。假设引理 0C3P 中的假设 (a)、(b)、(c) 对 \(x \in X\) 成立，并且 \(\dim(\mathcal{O}_{Y, y}) = 1\)。则 \(\delta\)-不变量（\(X\) 在 \(x\) 处）等于 \(\delta\)-不变量（\(Y\) 在 \(y\) 处）。

证明

置 \(A = \mathcal{O}_{X, x}\) 与 \(B = \mathcal{O}_{Y, y}\)。由引理 0C3P 可知 \(A\) 几何约化。因此，\(B\) 是 \(A \otimes_k K\) 的一个局部化。令 \(A \to A'\) 如引理 0C3S 所述。由引理 0C3P 可知 \(A' \otimes_k K\) 正规。因此 \[B' = B \otimes_{(A \otimes_k K)} (A' \otimes_k K)\] 正规、在 \(B\) 上有限，并且 \(B \to B'\) 在总分式环上诱导同构。事实上，选取满足引理 0C3R 中 (1)–(6) 的 \(f \in \mathfrak m_A\)；由于 \(\dim(B) = 1\)，可知 \(f \in \mathfrak m_B\) 对 \(B\) 起同样作用；又有 \(B_f = B'_f\)，因为 \(A_f = A'_f\)。由此，\(B \to B'\) 对 \(B\) 而言如引理 0C3S 所述。因此只需证明 \(\text{length}_A(A'/A) = \text{length}_B(B'/B) = \text{length}_B((A'/A) \otimes_A B)\)。由于 \(A \to B\) 平坦（它是 \(A \to A \otimes_k K\) 的一个局部化），并且 \(\mathfrak m_B = \mathfrak m_A B\)（因为 \(B/\mathfrak m_A B\) 由上述说明是零维的，又是 \(K \otimes_k \kappa(x)\) 的一个局部化；后者约化，因为 \(\kappa(x)\) 在 \(k\) 上可分），结论由《代数》引理 02M1 得出。

分枝数

我们已在《性质》第 0BQ1 节中定义了概形在一点处的分枝数。

引理

设 \(X\) 是概形。假设 \(X\) 的每个拟紧开集都只有有限多个不可约分支。设 \(\nu : X^\nu \to X\) 是 \(X\) 的正规化。设 \(x \in X\)。

\(X\) 在 \(x\) 处的分枝数等于 \(x\) 在 \(X^\nu\) 中的逆像数。

\(X\) 在 \(x\) 处的几何分枝数为 \(\sum_{\nu(x^\nu) = x} [\kappa(x^\nu) : \kappa(x)]_s\)。

证明

首先注意，对 \(X\) 的假设恰好意味着正规化有定义；见《态射》定义 035N。于是茎 \(A' = (\nu_*\mathcal{O}_{X^\nu})_x\) 是 \(A = \mathcal{O}_{X, x}\) 在 \(A_{red}\) 的总分式环中的整闭包；见《态射》引理 0C3B。由于 \(\nu\) 是整态射，可知 \(X^\nu\) 中位于 \(x\) 上方的点对应于 \(A'\) 中位于极大理想 \(\mathfrak m\) 上方的素理想，而后者是 \(A\) 的极大理想。由于 \(A \to A'\) 是整的，这也就是 \(A'\) 的极大理想（《代数》引理 00GT 与 00GU）。因此，本引理由其代数版本得出：《代数续篇》引理 0C37。

引理

设 \(k\) 是域。设 \(X\) 是局部代数 \(k\)-概形。设 \(K/k\) 是域扩张。设 \(y \in X_K\) 是一点，其像 \(x\) 位于 \(X\) 中。则 \(X\) 在 \(x\) 处的几何分枝数等于 \(X_K\) 在 \(y\) 处的几何分枝数。

证明

记 \(Y = X_K\)，并令 \(X^\nu\) 以及相应的 \(Y^\nu\) 为 \(X\) 以及相应的 \(Y\) 的正规化。考虑交换图 \[\xymatrix{ Y^\nu \ar[r] \ar[d] & X^\nu_K \ar[r] \ar[d]_{\nu_K} & X^\nu \ar[d]_\nu \\ Y \ar@{=}[r] & Y \ar[r] & X }\] 由引理 0C3N，左上方的水平箭头是泛同胚。因此它诱导纯不可分剩余域扩张；见《态射》引理 04DF 与 01S4。故由引理 0C1S，\(Y\) 在 \(y\) 处的几何分枝数为 \(\sum_{\nu_K(y') = y} [\kappa(y') : \kappa(y)]_s\)。类似地，\(\sum_{\nu(x') = x} [\kappa(x') : \kappa(x)]_s\) 是 \(X\) 在 \(x\) 处的几何分枝数。利用《概形》引理 01JT，我们的陈述由下列代数事实得出：给定域扩张 \(l/\kappa\) 与代数域扩张 \(m/\kappa\)，则 \[\sum\nolimits_{m \otimes_\kappa l \to m'} [m' : l']_s = [m : \kappa]_s\] 其中求和遍历 \(m \otimes_\kappa l\) 的商域。可以用初等方法证明这一点，也可以把引理 0363 应用于 \[\Spec(m \otimes_\kappa l) \times_{\Spec(l)} \Spec(\overline{l}) = \Spec(m) \otimes_{\Spec(\kappa)} \Spec(\overline{l}) \longrightarrow \Spec(m) \times_{\Spec(\kappa)} \Spec(\overline{\kappa})\] 因为可以把 \([m : \kappa]_s\) 解释为右端的连通分支数，而把和 \(\sum_{m \otimes_\kappa l \to m'} [m' : l']_s\) 解释为左端的连通分支数。

引理

设 \(k\) 是域。设 \(X\) 是局部代数 \(k\)-概形。设 \(K/k\) 是域扩张。设 \(y \in X_K\) 是一点，其像 \(x\) 位于 \(X\) 中。则 \(X\) 在 \(x\) 处几何单枝，当且仅当 \(X_K\) 在 \(y\) 处几何单枝。

证明

这立即由引理 0C40 和《代数续篇》引理 0C37 得出。

定义

设 \(A\) 以及 \(A_i\)（\(1 \leq i \leq n\)）都是局部环。称 \(A\) 是 \(A_1, \ldots, A_n\) 的楔合，若存在同构 \[\kappa_{A_1} \to \kappa_{A_2} \to \ldots \to \kappa_{A_n}\] 且 \(A\) 同构于由那些 \(n\)-元组 \((a_1, \ldots, a_n) \in A_1 \times \ldots \times A_n\) 构成的环，其中这些元组映到 \(\kappa_{A_n}\) 的同一个元素。

若给定基环 \(\Lambda\)，并且 \(A\) 与 \(A_i\) 都是 \(\Lambda\)-代数，则还要求 \(\kappa_{A_i} \to \kappa_{A_{i + 1}}\) 是 \(\Lambda\)-代数同构，并要求 \(A\) 作为 \(\Lambda\)-代数同构于如下 \(\Lambda\)-代数：它由那些 \(n\)-元组 \((a_1, \ldots, a_n) \in A_1 \times \ldots \times A_n\) 构成，且这些元组映到 \(\kappa_{A_n}\) 的同一个元素。特别地，若 \(\Lambda = k\) 是域，且映射 \(k \to \kappa_{A_i}\) 都是同构，则诸同构 \(\kappa_{A_i} \to \kappa_{A_{i + 1}}\) 有唯一选择，并且我们常说\(A_1, \ldots, A_n\) 的楔合。

引理

设 \((A, \mathfrak m)\) 是严格 Hensel 的 \(1\) 维约化 Nagata 局部环。则 \[\delta\text{-invariant of }A \geq \text{number of geometric branches of }A - 1\] 若等号成立，则 \(A\) 是 \(n \geq 1\) 个严格 Hensel 离散赋值环的楔合。

证明

几何分枝数等于 \(A\) 的分枝数（这由《代数续篇》定义 0C26 立即得出）。令 \(A \to A'\) 如引理 0C3S 所述。注意，\(A\) 的分枝数等于 \(A'\) 的极大理想数；见《代数续篇》引理 0C37。有满射 \[A'/A \longrightarrow \left(\prod\nolimits_{\mathfrak m'} \kappa(\mathfrak m')\right)/ \kappa(\mathfrak m)\] 由于 \(\dim_{\kappa(\mathfrak m)} \prod \kappa(\mathfrak m')\) 是 \(\geq\) 分枝数，不等式显然成立。

若等号成立，则 \(\kappa(\mathfrak m') = \kappa(\mathfrak m)\) 对所有 \(\mathfrak m' \subset A'\) 都成立，并且上面的显示箭头是同构。由于 \(A\) 是 Hensel 环且 \(A \to A'\) 有限，可知 \(A'\) 是若干 Hensel 局部环之积；见《代数》引理 04GH。这些因子就是局部环 \(A'_{\mathfrak m'}\)；由于 \(A'\) 正规，这些因子是离散赋值环（《代数》引理 00PD）。由于显示箭头是同构，可知 \(A\) 确实是这些局部环的楔合。

引理

设 \((A, \mathfrak m)\) 是 \(1\) 维约化 Nagata 局部环。则 \[\delta\text{-invariant of }A \geq \text{number of geometric branches of }A - 1\]

证明

可以把 \(A\) 替换为 \(A\) 的严格 Hensel 化，而不改变 \(\delta\)-不变量（引理 0C3W），也不改变 \(A\) 的几何分枝数（这由定义立即得出；见《代数续篇》定义 0C26）。因此可以假设 \(A\) 严格 Hensel，并应用引理 0C42。

一维概形的正规化

由 Krull–Akizuki 结果，维数为 \(1\) 的 Noether 概形的正规化态射具有意想不到的良好性质。

引理

设 \(X\) 是维数为 \(1\) 的局部 Noether 概形。设 \(\nu : X^\nu \to X\) 是正规化。则

\(\nu\) 是整的、满的，并在不可约分支上诱导双射；

存在分解 \(X^\nu \to X_{red} \to X\)，且态射 \(X^\nu \to X_{red}\) 是 \(X_{red}\) 的正规化；

\(X^\nu \to X_{red}\) 是双有理的；

对每个闭点 \(x \in X\)，茎 \((\nu_*\mathcal{O}_{X^\nu})_x\) 是 \(\mathcal{O}_{X, x}\) 在 \((\mathcal{O}_{X, x})_{red} = \mathcal{O}_{X_{red}, x}\) 的总分式环中的整闭包；

\(\nu\) 的纤维有限，且剩余域扩张有限；

\(X^\nu\) 是若干整正规局部 Noether 概形的不交并，且每个仿射开集都是有限个 Dedekind 整环之积的谱。

证明

许多结论实际上都是正规化态射的一般性质；见《态射》引理 035O、 0C3B、 035Q 和 0BXC。并不明显的是：纤维有限，所诱导的剩余域扩张有限，以及 \(X^\nu\) 局部看起来是 Dedekind 整环的谱（因而是 Noether 的）。为证明这一点，可以假设 \(X = \Spec(A)\) 仿射、Noether、维数为 \(1\)，并且 \(A\) 约化。然后可以使用《态射》引理 035P 中的描述，把问题约化到 \(A\) 是维数为 \(1\) 的 Noether 整环的情形。此时所需性质由 Krull–Akizuki 定理得出，其形式见《代数》引理 09IG。

当然，当 \(X\) 不约化时，下列引理也有一个变体。

引理

设 \(X\) 是维数为 \(1\) 的约化 Nagata 概形。设 \(\nu : X^\nu \to X\) 是正规化。设 \(x \in X\) 表示一个闭点。则

\(\nu : X^\nu \to X\) 有限、满且双有理；

\(\mathcal{O}_X \subset \nu_*\mathcal{O}_{X^\nu}\)，并且 \(\nu_*\mathcal{O}_{X^\nu}/\mathcal{O}_X\) 是摩天层的直和，其值为 \(\mathcal{Q}_x\)，位于 \(x\) 处；后者非零当且仅当 \(x\) 是 \(X\) 的奇异点；

\(A' = (\nu_*\mathcal{O}_{X^\nu})_x\) 是 \(A = \mathcal{O}_{X, x}\) 在其总分式环中的整闭包；

\(\mathcal{Q}_x = A'/A\) 具有有限长度，且该长度等于 \(\delta\)-不变量（\(X\) 在 \(x\) 处）；

\(A'\) 是半局部环，它是有限个 Dedekind 整环之积；

\(A^\wedge\) 是维数为 \(1\) 的约化 Noether 完备局部环；

\((A')^\wedge\) 是 \(A^\wedge\) 在其总分式环中的整闭包；

\((A')^\wedge\) 是有限个完备离散赋值环之积；

\(A'/A \cong (A')^\wedge/A^\wedge\)。

证明

我们可以并且将要使用引理 0C45 的全部结论。 \(\nu\) 的有限性由《态射》引理 035S 得出。由于 \(X\) 约化、Nagata 且维数为 \(1\)，由《代数续篇》命题 07PJ 可知正则轨迹是稠密开集 \(U \subset X\)。由于正则概形正规，这说明 \(\nu\) 在 \(U\) 上是同构。由于 \(\dim(X) \leq 1\)，这意味着 \(\nu\) 在一离散闭点集 \(x \in X\) 上不是同构。特别地，有短正合列 \[0 \to \mathcal{O}_X \to \nu_*\mathcal{O}_{X^\nu} \to \bigoplus\nolimits_{x \in X \setminus U} \mathcal{Q}_x \to 0\] 由于引理 0C45 已描述 \(\nu_*\mathcal{O}_{X^\nu}\) 的茎，我们断定 \(Q_x = A'/A\) 的长度确实等于 \(\delta\)-不变量（\(X\) 在 \(x\) 处）。例如由引理 0C3U 可知， \(Q_x \not = 0\) 恰好当 \(x\) 是奇异点。 \(A'\) 是若干半局部 Dedekind 整环之积这一描述也由引理 0C45 得出。 \(A\)、\(A'\) 与 \((A')^\wedge\) 之间的关系，我们已在引理 0C3V（及其证明）中见过。

寻找仿射开集

我们继续《性质》第 01ZU 节中开始的讨论。事实证明，在分离概形上，可以找到包含给定有限个余维 \(1\) 的点的仿射开集。见命题 09NN。

我们将在《下降》引理 09NQ 中改进下列引理。

引理

设 \(f : X \to Y\) 是概形态射。以 \(X^0\) 表示 \(X\) 的不可约分支的泛点集合。若

\(f\) 分离；

存在开覆盖 \(X = \bigcup U_i\)，使得 \(f|_{U_i} : U_i \to Y\) 是开浸入；

若 \(\xi, \xi' \in X^0\) 且 \(\xi \not = \xi'\)，则 \(f(\xi) \not = f(\xi')\)，

则 \(f\) 是开浸入。

证明

假设 \(y = f(x) = f(x')\)。选取特化 \(y_0 \leadsto y\)，其中 \(y_0\) 是 \(Y\) 的某个不可约分支的泛点。由于 \(f\) 在源上局部为同构，可以选取特化 \(x_0 \leadsto x\) 与 \(x'_0 \leadsto x'\)，它们映到 \(y_0 \leadsto y\)。注意 \(x_0, x'_0 \in X^0\)。故由假设 (3)，\(x_0 = x'_0\)。由于 \(f\) 分离，我们断定 \(x = x'\)。因此 \(f\) 是开浸入。

引理

设 \(X \to S\) 是概形态射。设 \(x \in X\) 是一点，其像为 \(s \in S\)。若

\(\mathcal{O}_{X, x} = \mathcal{O}_{S, s}\)；

\(S\) 约化；

\(X \to S\) 是有限型的；

\(S\) 有有限多个不可约分支，

则存在开邻域 \(U\)（关于 \(x\)），使得 \(f|_U\) 是开浸入。

证明

可以移除 \(S\) 中不包含 \(s\) 的（有限多个）不可约分支。可以用仿射开邻域替换 \(S\)，该邻域包含 \(s\)。可以用仿射开邻域替换 \(X\)，该邻域包含 \(x\)。记 \(S = \Spec(A)\)、\(X = \Spec(B)\)。令 \(\mathfrak q \subset B\) 以及相应的 \(\mathfrak p \subset A\) 分别为对应于 \(x\) 以及相应的 \(s\) 的素理想。由于 \(A\) 约化，且 \(A\) 的所有极小素理想都包含在 \(\mathfrak p\) 中，可知 \(A \subset A_\mathfrak p\)。由于 \(X \to S\) 是有限型的，\(B\) 在 \(A\) 上有限型。设 \(b_1, \ldots, b_n \in B\) 是生成 \(B\)（在 \(A\) 上）的元素。由于 \(A_\mathfrak p = B_\mathfrak q\)，可以找到 \(f \in A\)、\(f \not \in \mathfrak p\) 以及 \(a_i \in A\)，使得 \(b_i\) 与 \(a_i/f\) 在 \(B_\mathfrak q\) 中有相同的像。因此可以找到 \(g \in B\)、\(g \not \in \mathfrak q\)，使得 \(g(fb_i - a_i) = 0\) 于 \(B\) 中。由此， \(A_f \to B_{fg}\) 的像包含 \(b_1, \ldots, b_n\) 的像，特别也包含 \(g\) 的像。选取 \(n \geq 0\) 与 \(f' \in A\)，使得 \(f'/f^n\) 映到 \(g\) 在 \(B_{fg}\) 中的像。由于 \(A_\mathfrak p = B_\mathfrak q\)，可知 \(f' \not \in \mathfrak p\)。我们断定 \(A_{ff'} \to B_{fg}\) 满。最后，由于 \(A_{ff'} \subset A_\mathfrak p = B_\mathfrak q\) （见上文），映射 \(A_{ff'} \to B_{fg}\) 单，因而是同构。

引理

设 \(f : T \to X\) 是概形态射。以 \(X^0\) 以及相应的 \(T^0\) 表示不可约分支的泛点集合。设 \(t_1, \ldots, t_m \in T\) 是有限点集，其像为 \(x_j = f(t_j)\)。若

\(T\) 仿射；

\(X\) 拟分离；

\(X^0\) 有限；

\(f(T^0) \subset X^0\)，且 \(f : T^0 \to X^0\) 单；

\(\mathcal{O}_{X, x_j} = \mathcal{O}_{T, t_j}\)，

则存在 \(X\) 的仿射开集，包含 \(x_1, \ldots, x_r\)。

证明

使用《极限》命题 05YU，可立即约化到 \(X\) 与 \(T\) 都约化的情形。略去细节。

假设 \(X\) 与 \(T\) 约化。可以把 \(T = \lim_{i \in I} T_i\) 写成 \(X\) 上有限表示概形的有向极限，转移态射为仿射态射；见《极限》引理 09MV。选取 \(i \in I\) 使得 \(T_i\) 仿射；见《极限》引理 01Z6。记 \(T_i = \Spec(R_i)\)、\(T = \Spec(R)\)。令 \(R' \subset R\) 是 \(R_i \to R\) 的像。则 \(T' = \Spec(R')\) 仿射、约化、在 \(X\) 上有限型，且 \(T \to T'\) 支配。对 \(j = 1, \ldots, r\)，令 \(t'_j \in T'\) 为 \(t_j\) 的像。考虑局部环映射 \[\mathcal{O}_{X, x_j} \to \mathcal{O}_{T', t'_j} \to \mathcal{O}_{T, t_j}\] 以 \((T')^0\) 表示 \(T'\) 的不可约分支的泛点集合。设 \(\xi \leadsto t'_j\) 是一个特化，其中 \(\xi \in (T')^0\)。由于 \(T \to T'\) 支配，可以选取 \(\eta \in T^0\) 映到 \(\xi\)（警告：事先并不知道 \(\eta\) 特化到 \(t_j\)）。把假设 (3) 应用于 \(\eta\)，可知像 \(\theta\)（即 \(\xi\) 在 \(X\) 中的像）对应于 \(\mathcal{O}_{X, x_j}\) 的一个极小素理想。通过 (5) 中的同构提升 \(\xi\)，得到特化 \(\eta' \leadsto t_j\)，其中 \(\eta' \in T^0\) 映到 \(\theta \leadsto x_j\)。 (4) 的单射性表明 \(\eta = \eta'\)。因此 \(\mathcal{O}_{T', t'_j}\) 的每个极小素理想都位于 \(\mathcal{O}_{T, t_j}\) 的一个极小素理想之下。我们断定 \(\mathcal{O}_{T', t'_j} \to \mathcal{O}_{T, t_j}\) 单，因而上面两个映射都是同构。

由引理 09NH，存在开集 \(U \subset T'\)，它包含所有点 \(t'_j\)，使得 \(U \to X\) 是引理 09NG 意义下的局部同构。由该引理可知 \(U \to X\) 是开浸入。最后，由《性质》引理 01ZY，可以找到开集 \(W \subset U \subset T'\)，它包含所有 \(t'_j\)。 \(W\) 在 \(X\) 中的像就是所需的仿射开集。

引理

设 \(X\) 是整分离概形。设 \(x_1, \ldots, x_r \in X\) 是有限点集，使得 \(\mathcal{O}_{X, x_i}\) 是维数 \(\leq 1\) 的 Noether 环。则存在 \(X\) 的仿射开子概形，它包含所有 \(x_1, \ldots, x_r\)。

证明

设 \(K\) 是 \(X\) 的有理函数域。置 \(A_i = \mathcal{O}_{X, x_i}\)。则 \(A_i \subset K\)，且 \(K\) 是 \(A_i\) 的分式域。由于 \(X\) 分离，并且 \(x_i \not = x_j\)，不可能存在赋值环 \(\mathcal{O} \subset K\) 同时支配 \(A_i\) 与 \(A_j\)。事实上，考虑图 \[\xymatrix{ \Spec(\mathcal{O}) \ar[r] \ar[d] & \Spec(A_1) \ar[d] \\ \Spec(A_2) \ar[r] & X }\] 并应用分离性的赋值判据（《概形》引理 01KZ），就会得到 \(x_i = x_j\)。因此，由引理 09N0 可知，\(A_i \otimes A_j \to K\) 对所有 \(i \not = j\) 都满。由引理 09N4 可知 \(A = A_1 \cap \ldots \cap A_r\) 是 Noether 半局部环，恰有 \(r\) 个极大理想 \(\mathfrak m_1, \ldots, \mathfrak m_r\)，使得 \(A_i = A_{\mathfrak m_i}\)。此外， \[\Spec(A) = \Spec(A_1) \cup \ldots \cup \Spec(A_r)\] 是开覆盖，并且该覆盖任意两块的交都是 \(\Spec(K)\)。因此，给定态射 \(\Spec(A_i) \to X\) 可粘合为概形态射 \[\Spec(A) \longrightarrow X\] 它把 \(\mathfrak m_i\) 映到 \(x_i\)，并诱导局部环同构。于是结论由引理 09NI 得出。

引理

设 \(A\) 是环，\(I \subset A\) 是理想， \(\mathfrak p_1, \ldots, \mathfrak p_r\) 是 \(A\) 的素理想，并且 \(\overline{f} \in A/I\) 是元素。若 \(I \not \subset \mathfrak p_i\) 对所有 \(i\) 都成立，则存在 \(f \in A\)、\(f \not \in \mathfrak p_i\)，它映到 \(\overline{f}\)（在 \(A/I\) 中）。

证明

可以假设诸 \(\mathfrak p_i\) 之间没有包含关系（移除较小的素理想即可）。首先选取任意 \(f \in A\) 提升 \(\overline{f}\)。令 \(S\) 为那些 \(s \in \{1, \ldots, r\}\) 的集合，使得 \(f \in \mathfrak p_s\)。若 \(S\) 为空，则已经完成。否则，考虑理想 \(J = I \prod_{i \not \in S} \mathfrak p_i\)。注意，\(J\) 不包含在 \(\mathfrak p_s\) 中，其中 \(s \in S\)，因为诸 \(\mathfrak p_i\) 之间没有包含关系，并且 \(I\) 不包含在任何 \(\mathfrak p_i\) 中。故由《代数》引理 00DS，可以选取 \(g \in J\)、\(g \not \in \mathfrak p_s\)，其中 \(s \in S\)。于是 \(f + g\) 是引理所述问题的一个解。

引理

设 \(X\) 是概形。设 \(T \subset X\) 是有限点集。假设

\(X\) 有有限多个不可约分支 \(Z_1, \ldots, Z_t\)；

\(Z_i \cap T\) 包含在与 \(Z_i\) 对应的赋予约化诱导结构的子概形的一个仿射开集中。

则存在 \(X\) 的仿射开子概形，它包含 \(T\)。

证明

使用《极限》命题 05YU，可立即约化到 \(X\) 约化的情形。略去细节。在证明的其余部分，对 \(X\) 的每个闭子集都赋予诱导约化闭子概形结构。

我们归纳证明，可以找到仿射开集 \(U \subset Z_1 \cup \ldots \cup Z_r\)，它包含 \(T \cap (Z_1 \cup \ldots \cup Z_r)\)。当 \(r = 1\) 时，这由假设成立。设 \(r > 1\)，并令 \(U \subset Z_1 \cup \ldots \cup Z_{r - 1}\) 是包含 \(T \cap (Z_1 \cup \ldots \cup Z_{r - 1})\) 的仿射开集。设 \(V \subset X_r\) 是包含 \(T \cap Z_r\) 的仿射开集（由假设存在）。则 \(U \cap V\) 包含 \(T \cap ( Z_1 \cup \ldots \cup Z_{r - 1} ) \cap Z_r\)。因此 \[\Delta = (U \cap Z_r) \setminus (U \cap V)\] 不包含 \(T\) 的任何元素。注意 \(\Delta\) 是 \(U\) 的闭子集。由素理想回避（《代数》引理 00DS），可以找到标准开集 \(U'\)（属于 \(U\)），它包含 \(T \cap U\) 并避开 \(\Delta\)，即 \(U' \cap Z_r \subset U \cap V\)。把 \(U\) 替换为 \(U'\) 后，可以假设 \(U \cap V\) 在 \(U\) 中闭。

与上面相同的论证还表明，集合 \(\Delta' = (U \cap (Z_1 \cup \ldots \cup Z_{r - 1})) \setminus (U \cap V)\) 不包含 \(T\) 的任何元素。利用这一点，可以找到 \(h \in \mathcal{O}(V)\)，使得 \(D(h) \subset V\) 包含 \(T \cap V\)，并且 \(U \cap D(h) \subset U \cap V\)。利用 \(U \cap V\) 在 \(U\) 中闭这一事实，可以应用引理 09NK 找到 \(g \in \mathcal{O}(U)\)，它在 \(U \cap V\) 上的限制等于 \(h\) 在 \(U \cap V\) 上的限制，并且 \(T \cap U \subset D(g)\)。然后可以把 \(U\) 替换为 \(D(g)\)，把 \(V\) 替换为 \(D(h)\)，从而达到 \(U \cap V\) 在 \(U\) 与 \(V\) 中都闭的情形。此时概形 \(U \cup V\) 由《极限》引理 09NL 是仿射的。这证明了归纳步骤，从而证明了引理。

下面是我们可以从上述材料中得出的结论。

命题

设 \(X\) 是分离概形，使得每个拟紧开集只有有限多个不可约分支。设 \(x_1, \ldots, x_r \in X\) 是点，使得 \(\mathcal{O}_{X, x_i}\) 是维数 \(\leq 1\) 的 Noether 环。则存在 \(X\) 的仿射开子概形，它包含所有 \(x_1, \ldots, x_r\)。

证明

可以替换 \(X\)，所用拟紧开集包含 \(x_1, \ldots, x_r\)，因而可以假设 \(X\) 有有限多个不可约分支。由引理 09NM，可约化到 \(X\) 为整概形的情形。这就是引理 09NJ。

曲线

在 Stacks 计划中，我们采用如下曲线定义。

定义

设 \(k\) 为域。所谓一条曲线，是指维数为 \(1\) 的、域 \(k\) 上的簇。

域 \(k\) 上曲线的两个标准例子是仿射直线 \(\mathbf{A}^1_k\) 和射影直线 \(\mathbf{P}^1_k\)。

概形 \(X = \Spec(k[x, y]/(f))\) 是曲线，当且仅当 \(f \in k[x, y]\) 不可约。

曲线的定义具有与簇的定义相同的问题；见定义 020D 之后的讨论。此外，这意味着每条曲线都带有一个指定的定义域。例如，\(X = \Spec(\mathbf{C}[x])\) 是域 \(\mathbf{C}\) 上的曲线，但我们也可以把它看成域 \(\mathbf{R}\) 上的曲线。概形 \(\Spec(\mathbf{Z})\) 不是曲线，尽管概形 \(\Spec(\mathbf{Z})\) 与 \(\mathbf{A}^1_{\mathbf{F}_p}\) 在许多方面表现相似。

引理

设 \(X\) 是维数 \(> 0\) 的、域 \(k\) 上的分离不可约概形。设 \(x \in X\) 为闭点。开子概形 \(X \setminus \{x\}\) 在 \(k\) 上不固有。

证明

由于 \(X\) 不可约，\(U = X \setminus \{x\}\) 在 \(X\) 中不是闭集。特别地，浸入 \(U \to X\) 不固有。由《态射》引理 01W6 （这里使用了 \(X\) 分离），\(U \to \Spec(k)\) 也不固有。

引理

设 \(X\) 是域 \(k\) 上分离的有限型概形。若 \(\dim(X) \leq 1\)，则 \(X\) 在 \(k\) 上 H-拟射影。

证明

由命题 09NZ，概形 \(X\) 具有丰沛可逆层 \(\mathcal{L}\)。由《态射》引理 01VS，可知 \(X\) 同构于 \(\mathbf{P}^n_k\) 在 \(\Spec(k)\) 上的一个局部闭子概形。这正是在 \(k\) 上 H-拟射影的定义；见《态射》定义 01VW。

引理

设 \(X\) 是域 \(k\) 上的固有概形。若 \(\dim(X) \leq 1\)，则 \(X\) 在 \(k\) 上 H-射影。

证明

由引理 0A25，可知 \(X\) 是 \(\mathbf{P}^n_k\) 的局部闭子概形，其中 \(k\) 为某个域。由于 \(X\) 在 \(k\) 上固有，可知 \(X\) 是 \(\mathbf{P}^n_k\) 的闭子概形（《态射》引理 01W6）。

引理

设 \(X\) 是 \(k\) 上分离的有限型概形。若 \(\dim(X) \leq 1\)，则存在开浸入 \(j : X \to \overline{X}\)，满足下列性质：

\(\overline{X}\) 在 \(k\) 上 H-射影，即 \(\overline{X}\) 是 \(\mathbf{P}^d_k\) 的闭子概形，对某个 \(d\) 成立；

\(j(X) \subset \overline{X}\) 稠密且概形论稠密；

\(\overline{X} \setminus X = \{x_1, \ldots, x_n\}\)，其中 \(x_i \in \overline{X}\) 是闭点。

证明

由引理 0A25，可假设 \(X\) 是 \(\mathbf{P}^d_k\) 的局部闭子概形，其中 \(d\) 为某个整数。令 \(\overline{X} \subset \mathbf{P}^d_k\) 为 \(X \to \mathbf{P}^d_k\) 的概形论像；见《态射》定义 01R7。《态射》引理 01RG 中的描述给出性质 (1) 与 (2)。例如考察泛点并应用引理 0A21，可知 \(\dim(X) = 1 \Rightarrow \dim(\overline{X}) = 1\)。由于 \(\overline{X}\) 是 Noether 概形，因而 \(\overline{X} \setminus X = \{x_1, \ldots, x_n\}\) 是有限个闭点组成的集合。

引理

设 \(X\) 是 \(k\) 上分离的有限型概形。若 \(X\) 约化且 \(\dim(X) \leq 1\)，则存在开浸入 \(j : X \to \overline{X}\)，使得

\(\overline{X}\) 在 \(k\) 上 H-射影，即 \(\overline{X}\) 是 \(\mathbf{P}^d_k\) 的闭子概形，对某个 \(d\) 成立；

\(j(X) \subset \overline{X}\) 稠密且概形论稠密；

\(\overline{X} \setminus X = \{x_1, \ldots, x_n\}\)，其中 \(x_i \in \overline{X}\) 是闭点；

局部环 \(\mathcal{O}_{\overline{X}, x_i}\) 都是离散赋值环，对 \(i = 1, \ldots, n\) 成立。

证明

取引理 0BXV 中的 \(j : X \to \overline{X}\)。考虑正规化 \(X'\)，即 \(\overline{X}\) 在 \(X\) 中的正规化。由引理 0BXS，态射 \(X' \to \overline{X}\) 有限。由《态射》引理 0B3I， \(X' \to \overline{X}\) 射影。由《态射》引理 087S，可知 \(X' \to \overline{X}\) H-射影。由《态射》引理 01WE，可知 \(X' \to \Spec(k)\) H-射影。令 \(\{x'_1, \ldots, x'_m\} \subset X'\) 为 \(\{x_1, \ldots, x_n\} = \overline{X} \setminus X\) 的逆像。则都有 \(\dim(\mathcal{O}_{X', x'_i}) = 1\)，对所有 \(1 \leq i \leq m\) 成立。因此，由《态射》引理 0BXB，局部环 \(\mathcal{O}_{X', x'}\) 都是离散赋值环。于是 \(X \to X'\) 与 \(\{x'_1, \ldots, x'_m\}\) 即为所求。

引理

设 \(X\) 是 \(k\) 上分离的有限型概形，且 \(\dim(X) \leq 1\)。则存在交换图 \[\xymatrix{ \overline{Y}_1 \amalg \ldots \amalg \overline{Y}_n \ar[rd] & Y_1 \amalg \ldots \amalg Y_n \ar[r]_-\nu \ar[d] \ar[l]^j & X_{k'} \ar[r] \ar[d] & X \ar[d]^f \\ & \Spec(k'_1) \amalg \ldots \amalg \Spec(k'_n) \ar[r] & \Spec(k') \ar[r] & \Spec(k) }\] 满足下列性质：

\(k'/k\) 是域的有限纯不可分扩张；

\(\nu\) 是 \(X_{k'}\) 的正规化；

\(j\) 是像稠密的开浸入；

\(k'_i/k'\) 是有限可分扩张，对 \(i = 1, \ldots, n\) 成立；

\(\overline{Y}_i\) 光滑、射影、几何不可约，维数 \(\leq 1\)，其基域为 \(k'_i\)。

证明

由于可以把 \(X\) 替换为它的约化，我们可以并且确实假设 \(X\) 约化。选取引理 0BXW 中的 \(X \to \overline{X}\)。若能对 \(\overline{X}\) 证明本引理，则对 \(X\) 的结论也随之成立（略去细节）。因此可以并且确实假设 \(X\) 射影。

选取有限纯不可分扩张 \(k'/k\)，使 \(X_{k'}\) 的正规化在 \(k'\) 上几何正规；见引理 0BXT。以 \(Y = (X_{k'})^\nu\) 记该正规化；关于正规化的性质，见第 0BXQ 节。 \(Y\) 几何正则，因为在维数 \(\leq 1\) 时正规与正则等价；见《性质》引理 0BX2。因而由引理 038X， \(Y\) 在 \(k'\) 上光滑。设 \(Y = Y_1 \amalg \ldots \amalg Y_n\) 为 \(Y\) 的不可约分支分解。置 \(k'_i = \Gamma(Y_i, \mathcal{O}_{Y_i})\)。由引理 0BUG，这些都是 \(k'\) 的有限可分扩张。最后应用引理 0FD1 即完成证明。

引理

设 \(k\) 为域，\(X\) 为域 \(k\) 上的曲线，\(x \in X\) 为闭点。我们把 \(x\) 看作 \(X\) 的一个（约化）闭子概形，其理想层为 \(\mathcal{I}\)。下列条件等价：

\(\mathcal{O}_{X, x}\) 正则；

\(\mathcal{O}_{X, x}\) 正规；

\(\mathcal{O}_{X, x}\) 是离散赋值环；

\(\mathcal{I}\) 是可逆 \(\mathcal{O}_X\)-模；

\(x\) 是 \(X\) 上的有效 Cartier 除子。

若 \(k\) 完全，或者 \(\kappa(x)\) 在 \(k\) 上可分，则这些条件还等价于

\(X \to \Spec(k)\) 在 \(x\) 处光滑。

证明

由于 \(X\) 是曲线，局部环 \(\mathcal{O}_{X, x}\) 是维数为 \(1\) 的 Noether 局部整环（引理 0A21）。条件 (4) 与 (5) 依定义等价，并且都等价于 \(\mathcal{I}_x = \mathfrak m_x \subset \mathcal{O}_{X, x}\) 可以由一个元素生成（《除子》引理 0AG8）。因此，(1)、(2)、(3)、(4)、(5) 的等价性由《代数》引理 00PD 得出。当 \(k\) 完全时，最后的陈述由引理 0B8X 得出。若 \(\kappa(x)/k\) 可分，则该等价性由《代数》引理 00TV 得出。

注

设 \(k\) 为域，\(X\) 为域 \(k\) 上的正则曲线。由引理 0B8Y 与 0BXW，存在非奇异射影曲线 \(\overline{X}\)，它是 \(X\) 的紧化；换言之，存在开浸入 \(j : X \to \overline{X}\)，其补集由有限个闭点组成。若 \(k\) 完全，则 \(X\) 与 \(\overline{X}\) 都在 \(k\) 上光滑，而 \(\overline{X}\) 是 \(X\) 的光滑射影紧化。

注意，若仿射概形 \(X\) 在 \(k\) 上且在 \(k\) 上固有，则 \(X\) 在 \(k\) 上有限（《态射》引理 01WN），因而维数为 \(0\) （《代数》引理 00J6 与命题 00KJ）。因此，维数 \(> 0\) 的、域 \(k\) 上的概形不可能既仿射又在 \(k\) 上固有。所以，下面引理中的两种可能相互排斥。

引理

设 \(X\) 是域 \(k\) 上的曲线。则 \(X\) 或者是仿射概形，或者 \(X\) 在 \(k\) 上 H-射影。

证明

选取引理 0BXW 中的 \(X \to \overline{X}\)，使得 \(\overline{X} \setminus X = \{x_1, \ldots, x_r\}\)。于是 \(\overline{X}\) 也是曲线。若 \(r = 0\)，则 \(X = \overline{X}\) 在 \(k\) 上 H-射影。因此可以假设 \(r \geq 1\)，我们的目标是证明 \(X\) 仿射。由引理 09N9，只须证明 \(\overline{X} \setminus \{x_1\}\) 仿射。这把问题约化为下一段中的断言。

设 \(X\) 为域 \(k\) 上的 H-射影曲线。设 \(x \in X\) 为闭点，使得 \(\mathcal{O}_{X, x}\) 是离散赋值环。我们断言 \(U = X \setminus \{x\}\) 仿射。由引理 0B8Y，点 \(x\) 定义了 \(X\) 上的有效 Cartier 除子。对 \(n \geq 1\)，以 \(nx = x + \ldots + x\) 表示 \(n\) 重和；见《除子》定义 01WT。以 \(\mathcal{O}_{nx}\) 表示 \(nx\) 的结构层，把它看作 \(X\) 上的凝聚模。由于局部概形 \(nx\) 上的每个可逆模都是平凡的，《除子》注 0C6K 中的第一个短正合列在这里成为 \[0 \to \mathcal{O}_X \xrightarrow{1} \mathcal{O}_X(nx) \to \mathcal{O}_{nx} \to 0\] 注意，\(\dim_k H^0(X, \mathcal{O}_{nx}) \geq n\)。事实上，由引理 0AYT，有 \(H^0(X, \mathcal{O}_{nx}) = \mathcal{O}_{X, x}/(\pi^n)\)，其中 \(\pi\) 是 \(\mathcal{O}_{X, x}\) 中的素元，并且幂 \(\pi^i\) 映到关于 \(k\) 线性无关的 \(\mathcal{O}_{X, x}/(\pi^n)\) 中元素，对 \(i = 0, 1, \ldots, n - 1\) 成立。由《概形上同调》引理 02O6，有 \(\dim_k H^1(X, \mathcal{O}_X) < \infty\)。若 \(n > \dim_k H^1(X, \mathcal{O}_X)\)，则由同调长正合列可知，存在 \(s \in \Gamma(X, \mathcal{O}_X(nx))\)，它不是 \(\mathcal{O}_X\) 的截面。若取具有此性质的最小 \(n\)，则 \(s\) 映到茎 \(\left(\mathcal{O}_X(nx)\right)_x\) 的一个生成元；否则它会定义 \(\mathcal{O}_X((n - 1)x) \subset \mathcal{O}_X(nx)\) 的一个截面。对这个 \(n\)，可知 \(s_0 = 1\) 与 \(s_1 = s\) 生成可逆模 \(\mathcal{L} = \mathcal{O}_X(nx)\)。

考虑《构造》第 01ND 节中的相应态射 \(f = \varphi_{\mathcal{L}, (s_0, s_1)} : X \to \mathbf{P}^1_k\)。注意，\(D_{+}(T_0)\) 的逆像是 \(U = X \setminus \{x\}\)，因为截面 \(s_0\)（作为 \(\mathcal{L}\) 的截面）仅在 \(x\) 处消失。特别地，\(f\) 不是常值态射，即 \(\Im(f)\) 含有不止一个点。因此，\(f\) 必把泛点 \(\eta\)（\(X\) 的泛点）映到 \(\mathbf{P}^1_k\) 的泛点。所以，若 \(y \in \mathbf{P}^1_k\) 是闭点，则 \(f^{-1}(\{y\})\) 是 \(X\) 中不含 \(\eta\) 的闭集，因而是有限集。最后，\(f\) 固有⁴。由《概形上同调》引理 02OH ⁵，可知 \(f\) 有限。因此 \(U = f^{-1}(D_{+}(T_0))\) 仿射。

下面的引理与引理 0A24 合用说明：给定分离概形 \(X\)，其维数为 \(1\) 且在 \(k\) 上有限型，那么 \(X \setminus Z\) 是仿射概形，只要闭子集 \(Z\) 与 \(X\) 的每个不可约分支相交。

引理

设 \(X\) 是 \(k\) 上分离的有限型概形。若 \(\dim(X) \leq 1\)，并且 \(X\) 的不可约分支中没有维数为 \(1\) 的固有分支，则 \(X\) 仿射。

证明

令 \(X = \bigcup X_i\) 为 \(X\) 的不可约分支分解。我们把 \(X_i\) 看作整概形（赋予约化诱导概形结构；见《概形》定义 01J4）。特别地，\(X_i\) 或者是单点集（因而仿射），或者是曲线，从而由引理 0A27 仿射。于是 \(\coprod X_i \to X\) 是有限满射，而 \(\coprod X_i\) 仿射。因此，由《概形上同调》引理 01YQ，可知 \(X\) 仿射。

曲线上的次数

我们开始定义域上维数为 \(1\) 的固有概形之可逆层，乃至更一般的局部自由层的次数。在第 0BEI 节中，我们定义了凝聚层 \(\mathcal{F}\)（位于固有概形 \(X\) 上，基域为 \(k\)）的欧拉示性数，公式为 \[\chi(X, \mathcal{F}) = \sum (-1)^i \dim_k H^i(X, \mathcal{F}).\]

定义

设 \(k\) 为域，\(X\) 为维数 \(\leq 1\) 的固有概形，其基域为 \(k\)， \(\mathcal{L}\) 为可逆 \(\mathcal{O}_X\)-模。\(\mathcal{L}\) 的次数定义为 \[\deg(\mathcal{L}) = \chi(X, \mathcal{L}) - \chi(X, \mathcal{O}_X)\] 更一般地，若 \(\mathcal{E}\) 是秩为 \(n\) 的局部自由层，则定义 \(\mathcal{E}\) 的次数为 \[\deg(\mathcal{E}) = \chi(X, \mathcal{E}) - n\chi(X, \mathcal{O}_X)\]

注意，这依赖于三元组 \(\mathcal{E}/X/k\)。若 \(X\) 不连通，而 \(\mathcal{E}\) 有限局部自由（但秩不恒定），则可以修改定义，对 \(\mathcal{E}\) 在 \(X\) 各连通分支上的限制之次数求和。若 \(\mathcal{E}\) 只是凝聚层，则有若干不同的方式扩展此定义⁶。下面用一系列引理证明，该定义具有次数应有的一切性质。

引理

设 \(k'/k\) 为域扩张。设 \(X\) 是维数 \(\leq 1\) 的固有概形，其基域为 \(k\)。设 \(\mathcal{E}\) 是局部自由 \(\mathcal{O}_X\)-模，其秩恒为 \(n\)。则 \(\mathcal{E}/X/k\) 的次数等于 \(\mathcal{E}_{k'}/X_{k'}/k'\) 的次数。

证明

更明确地，置 \(X_{k'} = X \times_{\Spec(k)} \Spec(k')\)。令 \(\mathcal{E}_{k'} = p^*\mathcal{E}\)，其中 \(p : X_{k'} \to X\) 是投影。由《概形上同调》引理 02KH，有 \(H^i(X_{k'}, \mathcal{E}_{k'}) = H^i(X, \mathcal{E}) \otimes_k k'\) 以及 \(H^i(X_{k'}, \mathcal{O}_{X_{k'}}) = H^i(X, \mathcal{O}_X) \otimes_k k'\)。因此欧拉示性数不变，次数也不变。

引理

设 \(k\) 为域。设 \(X\) 是维数 \(\leq 1\) 的固有概形，其基域为 \(k\)。设 \(0 \to \mathcal{E}_1 \to \mathcal{E}_2 \to \mathcal{E}_3 \to 0\) 是有限恒秩局部自由 \(\mathcal{O}_X\)-模的短正合列。则 \[\deg(\mathcal{E}_2) = \deg(\mathcal{E}_1) + \deg(\mathcal{E}_3)\]

证明

这立即由欧拉示性数的可加性（引理 08AA）与秩的可加性得出。

引理

设 \(k\) 为域。设 \(f : X' \to X\) 是维数 \(\leq 1\) 的固有概形之间的双有理态射，这些概形定义在 \(k\) 上。则 \[\deg(f^*\mathcal{E}) = \deg(\mathcal{E})\] 对每个恒秩有限局部自由层都成立。更一般地，只须 \(f\) 在维数为 \(1\) 的不可约分支之间诱导双射，并在相应泛点处的局部环之间诱导同构。

证明

态射 \(f\) 固有（《态射》引理 01W6），且其纤维维数 \(\leq 0\)。因此 \(f\) 有限（《概形上同调》引理 02OH）。从而 \[Rf_*f^*\mathcal{E} = f_*f^*\mathcal{E} = \mathcal{E} \otimes_{\mathcal{O}_X} f_*\mathcal{O}_{X'}\] 由于 \(f\) 在所有维数为 \(1\) 的不可约分支的泛点处的局部环上诱导同构，可知核与余核 \[0 \to \mathcal{K} \to \mathcal{O}_X \to f_*\mathcal{O}_{X'} \to \mathcal{Q} \to 0\] 的支撑维数 \(\leq 0\)。注意，由于 \(\mathcal{E}\) 局部自由，把该列与 \(\mathcal{E}\) 张量后仍是正合列。于是得到 \[\begin{align*} \chi(X, \mathcal{E}) - \chi(X', f^*\mathcal{E}) & = \chi(X, \mathcal{E}) - \chi(X, f_*f^*\mathcal{E}) \\ & = \chi(X, \mathcal{E}) - \chi(X, \mathcal{E} \otimes f_*\mathcal{O}_{X'}) \\ & = \chi(X, \mathcal{K} \otimes \mathcal{E}) - \chi(X, \mathcal{Q} \otimes \mathcal{E}) \\ & = n\chi(X, \mathcal{K}) - n\chi(X, \mathcal{Q}) \\ & = n\chi(X, \mathcal{O}_X) - n\chi(X, f_*\mathcal{O}_{X'}) \\ & = n\chi(X, \mathcal{O}_X) - n\chi(X', \mathcal{O}_{X'}) \end{align*}\] 这正是所需结论。第一个等号来自 \(f\) 有限；见《概形上同调》引理 089W。第二个等号来自投影公式；见《同调》引理 01E8。第三个等号来自欧拉示性数的可加性；见引理 08AA。第四个等号来自引理 0AYT。

引理

设 \(k\) 为域。设 \(X\) 是 \(k\) 上泛点为 \(\xi\) 的固有曲线。设 \(\mathcal{E}\) 是局部自由 \(\mathcal{O}_X\)-模，其秩为 \(n\)， \(\mathcal{F}\) 是凝聚 \(\mathcal{O}_X\)-模。则 \[\chi(X, \mathcal{E} \otimes \mathcal{F}) = r \deg(\mathcal{E}) + n \chi(X, \mathcal{F})\] 其中 \(r = \dim_{\kappa(\xi)} \mathcal{F}_\xi\) 是 \(\mathcal{F}\) 的秩。

证明

令 \(\mathcal{P}\) 为凝聚层 \(\mathcal{F}\)（位于 \(X\) 上）的如下性质：引理中的公式成立。我们断言，《概形上同调》引理 01YI 的假设 (1) 与 (2) 对 \(\mathcal{P}\) 成立。事实上，(1) 成立，因为欧拉示性数与秩 \(r\) 在凝聚层的短正合列中都可加。(2) 也成立：若 \(Z = X\)，则可取 \(\mathcal{G} = \mathcal{O}_X\)，而 \(\mathcal{P}(\mathcal{O}_X)\) 依次数定义为真。若 \(i : Z \to X\) 是一个闭点的包含态射，则可取 \(\mathcal{G} = i_*\mathcal{O}_Z\)；而 \(\mathcal{P}\) 成立，这由引理 0AYT 以及此时 \(r = 0\) 这一事实得出。

设 \(k\) 为域。设 \(X\) 是 \(k\) 上维数 \(\leq 1\) 的有限型概形。设 \(C_i \subset X\)（\(i = 1, \ldots, t\)）为维数 \(1\) 的不可约分支。我们赋予 \(C_i\) 约化诱导概形结构，从而把它看作概形。令 \(\xi_i \in C_i\) 为泛点。\(C_i\) 在 \(X\) 中的重数定义为长度 \[m_i = \text{length}_{\mathcal{O}_{X, \xi_i}} \mathcal{O}_{X, \xi_i}\] 这是有意义的，因为 \(\mathcal{O}_{X, \xi_i}\) 是零维 Noether 局部环，因而作为自身上的模具有有限长度（《代数》命题 00KJ）。更多信息见《Chow 同调》第 02QS 节。事实上，局部自由层的次数只依赖于它在各不可约分支上的限制。

引理

设 \(k\) 为域。设 \(X\) 是维数 \(\leq 1\) 的固有概形，其基域为 \(k\)。设 \(\mathcal{E}\) 是局部自由 \(\mathcal{O}_X\)-模，其秩为 \(n\)。则 \[\deg(\mathcal{E}) = \sum m_i \deg(\mathcal{E}|_{C_i})\] 其中 \(C_i \subset X\)（\(i = 1, \ldots, t\)）是赋予约化诱导概形结构的维数 \(1\) 的不可约分支，而 \(m_i\) 是 \(C_i\) 在 \(X\) 中的重数。

证明

先注意，该陈述有意义，因为 \(C_i \to \Spec(k)\) 固有且维数为 \(1\)；下面还将使用如下事实：由《态射》引理 01W5 与 01W3，\(X\) 的任意闭子概形都在 \(k\) 上固有。考虑开子概形 \(U_i = X \setminus (\bigcup_{j \not = i} C_j)\)，并令 \(X_i \subset X\) 为 \(U_i\) 的概形论闭包。注意，\(X_i \cap U_i = U_i\)（概形论意义下），而 \(X_i \cap U_j = \emptyset\)（集合论意义下），对 \(i \not = j\) 成立；这由《态射》引理 01RG 中对概形论闭包的描述得出。因此可把引理 0AYU 应用于态射 \(X' = \coprod X_i \to X\)。显然，\(C_i \subset X_i\)（概形论意义下），且 \(C_i\) 在 \(X_i\) 中的重数等于 \(C_i\) 在 \(X\) 中的重数，故问题约化为下一段所讨论的情形。

假设 \(X\) 不可约，泛点为 \(\xi\)。设 \(C = X_{red}\) 的重数为 \(m\)。我们必须证明 \(\deg(\mathcal{E}) = m \deg(\mathcal{E}|_C)\)。令 \(\mathcal{I} \subset \mathcal{O}_X\) 为定义闭子概形 \(C\) 的理想。取最小的 \(e \geq 0\)，使 \(\mathcal{I}^{e + 1} = 0\) （《概形上同调》引理 01Y9）。我们对 \(e\) 作归纳。若 \(e = 0\)，则 \(X = C\)，结论显然。否则，置 \(\mathcal{F} = \mathcal{I}^e\)，将其看作凝聚 \(\mathcal{O}_C\)-模（《概形上同调》引理 087T）。令 \(X' \subset X\) 为凝聚理想 \(\mathcal{I}^e\) 截出的闭子概形，并令 \(m'\) 为 \(C\) 在 \(X'\) 中的重数。取短正合列 \[0 \to \mathcal{F} \to \mathcal{O}_X \to \mathcal{O}_{X'} \to 0\] 在 \(\xi\) 处的茎，可得（使用《代数》引理 00IV、 00IY 与 00IX） \[m = \text{length}_{\mathcal{O}_{X, \xi}} \mathcal{O}_{X, \xi} = \dim_{\kappa(\xi)} \mathcal{F}_\xi + \text{length}_{\mathcal{O}_{X', \xi}} \mathcal{O}_{X', \xi} = r + m'\] 其中 \(r\) 是 \(\mathcal{F}\) 作为 \(C\) 上凝聚层的秩。与 \(\mathcal{E}\) 张量后，得到短正合列 \[0 \to \mathcal{E}|_C \otimes \mathcal{F} \to \mathcal{E} \to \mathcal{E} \otimes \mathcal{O}_{X'} \to 0\] 由归纳假设，有 \(\deg(\mathcal{E}|_{X'}) = m' \deg(\mathcal{E}|_C)\)。由引理 0AYV，有 \(\chi(\mathcal{E}|_C \otimes \mathcal{F}) = r \deg(\mathcal{E}|_C) + n \chi(\mathcal{F})\)。综合以上各式，即得结论。

引理

设 \(k\) 为域，\(X\) 为维数 \(\leq 1\) 的固有概形，其基域为 \(k\)， \(\mathcal{E}\)、\(\mathcal{V}\) 为恒定有限秩的局部自由 \(\mathcal{O}_X\)-模。则 \[\deg(\mathcal{E} \otimes \mathcal{V}) = \text{rank}(\mathcal{E}) \deg(\mathcal{V}) + \text{rank}(\mathcal{V}) \deg(\mathcal{E})\]

证明

由引理 0AYW 与初等算术，问题约化为固有曲线的情形。此情形由引理 0AYV 得出。

引理

设 \(k\) 为域，\(X\) 为维数 \(\leq 1\) 的固有概形，其基域为 \(k\)， \(\mathcal{E}\) 为局部自由 \(\mathcal{O}_X\)-模，秩为 \(n\)。则 \[\deg(\mathcal{E}) = \deg(\wedge^n(\mathcal{E})) = \deg(\det(\mathcal{E}))\]

证明

由引理 0AYW 与初等算术，问题约化为固有曲线的情形。此时存在修正 \(f : X' \to X\)，使得 \(f^*\mathcal{E}\) 具有一个逐次商均为可逆模的滤过；见《除子》引理 0AYP。由引理 0AYU，可在 \(X'\) 上处理。因此，可以假设存在由局部自由 \(\mathcal{O}_X\)-模组成的滤过 \[0 = \mathcal{E}_0 \subset \mathcal{E}_1 \subset \mathcal{E}_2 \subset \ldots \subset \mathcal{E}_n = \mathcal{E}\] 使得 \(\mathcal{L}_i = \mathcal{E}_i/\mathcal{E}_{i - 1}\) 可逆。由《模》引理 0B38 及归纳法，可得 \(\det(\mathcal{E}) = \mathcal{L}_1 \otimes \ldots \otimes \mathcal{L}_n\)。于是等式由引理 0AYX 与可加性（引理 0AYS）得出。

引理

设 \(k\) 为域，\(X\) 为维数 \(\leq 1\) 的固有概形，其基域为 \(k\)。设 \(D\) 是 \(X\) 上的有效 Cartier 除子。则 \(D\) 在 \(\Spec(k)\) 上有限，次数为 \(\deg(D) = \dim_k \Gamma(D, \mathcal{O}_D)\)。对于局部自由层 \(\mathcal{E}\)，若其秩为 \(n\)，则有 \[\deg(\mathcal{E}(D)) = n\deg(D) + \deg(\mathcal{E})\] 其中 \(\mathcal{E}(D) = \mathcal{E} \otimes_{\mathcal{O}_X} \mathcal{O}_X(D)\)。

证明

由于 \(D\) 在 \(X\) 中无处稠密（《除子》引理 07ZU），可知 \(\dim(D) \leq 0\)。因此由引理 06LH，\(D\) 在 \(k\) 上有限。由于 \(k\) 为域，态射 \(D \to \Spec(k)\) 有限局部自由，因而具有次数（《态射》定义 02KA）；该次数显然等于 \(\dim_k \Gamma(D, \mathcal{O}_D)\)，如引理所述。由《除子》定义 01WX，存在短正合列 \[0 \to \mathcal{O}_X \to \mathcal{O}_X(D) \to i_*i^*\mathcal{O}_X(D) \to 0\] 其中 \(i : D \to X\) 是闭浸入。与 \(\mathcal{E}\) 张量，得到短正合列 \[0 \to \mathcal{E} \to \mathcal{E}(D) \to i_*i^*\mathcal{E}(D) \to 0\] 引理中的等式由欧拉示性数的可加性（引理 08AA）与引理 0AYT 得出。

引理

设 \(k\) 为域。设 \(X\) 是 \(k\) 上约化且连通的固有概形。令 \(\kappa = H^0(X, \mathcal{O}_X)\)。则 \(\kappa/k\) 是有限域扩张，并且 \(w = [\kappa : k]\) 整除下列各数：

\(\deg(\mathcal{E})\)，其中所取的是任意局部自由 \(\mathcal{O}_X\)-模 \(\mathcal{E}\)；

\([\kappa(x) : k]\)，其中 \(x \in X\) 为任意闭点；以及

\(\deg(D)\)，其中 \(D \subset X\) 为任意零维闭子概形。

证明

关于 \(\kappa\) 的断言见引理 0BUG。对每个拟凝聚 \(\mathcal{O}_X\)-模，\(k\)-向量空间 \(H^i(X, \mathcal{F})\) 都是 \(\kappa\)-向量空间。上述整除性很容易由这一陈述与各定义得出。

引理

设 \(k\) 为域。设 \(f : X \to Y\) 是 \(k\) 上固有曲线之间的非常值态射。设 \(\mathcal{E}\) 是局部自由 \(\mathcal{O}_Y\)-模。则 \[\deg(f^*\mathcal{E}) = \deg(X/Y) \deg(\mathcal{E})\]

证明

\(X\) 在 \(Y\) 上的次数定义见《态射》定义 02NY。因此 \(f_*\mathcal{O}_X\) 是凝聚 \(\mathcal{O}_Y\)-模，其秩为 \(\deg(X/Y)\)；换言之， \(\deg(X/Y) = \dim_{\kappa(\xi)} (f_*\mathcal{O}_X)_\xi\)，其中 \(\xi\) 是 \(Y\) 的泛点。于是得到 \[\begin{align*} \chi(X, f^*\mathcal{E}) & = \chi(Y, f_*f^*\mathcal{E}) \\ & = \chi(Y, \mathcal{E} \otimes f_*\mathcal{O}_X) \\ & = \deg(X/Y) \deg(\mathcal{E}) + n \chi(Y, f_*\mathcal{O}_X) \\ & = \deg(X/Y) \deg(\mathcal{E}) + n \chi(X, \mathcal{O}_X) \end{align*}\] 这正是所需结论。第一个等号来自 \(f\) 有限；见《概形上同调》引理 089W。第二个等号来自投影公式；见《同调》引理 01E8。第三个等号来自引理 0AYV。

下面是以上次数结果的一个平凡但重要的推论。

引理

设 \(k\) 为域。设 \(X\) 是 \(k\) 上的固有曲线。设 \(\mathcal{L}\) 是可逆 \(\mathcal{O}_X\)-模。

若 \(\mathcal{L}\) 有非零截面，则 \(\deg(\mathcal{L}) \geq 0\)。

若 \(\mathcal{L}\) 有一个在某点处消失的非零截面 \(s\)，则 \(\deg(\mathcal{L}) > 0\)。

若 \(\mathcal{L}\) 与 \(\mathcal{L}^{-1}\) 都有非零截面，则 \(\mathcal{L} \cong \mathcal{O}_X\)。

若 \(\deg(\mathcal{L}) \leq 0\) 且 \(\mathcal{L}\) 有非零截面，则 \(\mathcal{L} \cong \mathcal{O}_X\)。

若 \(\mathcal{N} \to \mathcal{L}\) 是可逆 \(\mathcal{O}_X\)-模之间的非零映射，则 \(\deg(\mathcal{L}) \geq \deg(\mathcal{N})\)；若等号成立，则该映射是同构。

证明

设 \(s\) 是 \(\mathcal{L}\) 的非零截面。由于 \(X\) 是曲线，可知 \(s\) 是正则截面。因此存在有效 Cartier 除子 \(D \subset X\) 以及同构 \(\mathcal{L} \to \mathcal{O}_X(D)\)，它把 \(s\) 映到典范截面 \(1\)，即 \(\mathcal{O}_X(D)\) 的典范截面；见《除子》引理 01X0。于是由引理 0AYY， \(\deg(\mathcal{L}) = \deg(D)\)。由于 \(\deg(D) \geq 0\)，且其 \(= 0\) 当且仅当 \(D = \emptyset\)，这证明了 (1) 与 (2)。在情形 (3) 中，可知 \(\deg(\mathcal{L}) = 0\) 且 \(D = \emptyset\)。情形 (4) 同理。为证明 (5)，把 (1) 与 (4) 应用于可逆层 \[\mathcal{L} \otimes_{\mathcal{O}_X} \mathcal{N}^{\otimes -1} = \SheafHom_{\mathcal{O}_X}(\mathcal{N}, \mathcal{L})\] 即可；由引理 0AYX，该层的次数为 \(\deg(\mathcal{L}) - \deg(\mathcal{N})\)。

引理

设 \(k\) 为域。设 \(X\) 是 \(k\) 上约化、连通且等维数的固有概形，其维数为 \(1\)。设 \(\mathcal{L}\) 是可逆 \(\mathcal{O}_X\)-模。若 \(\deg(\mathcal{L}|_C) \leq 0\) 对每个不可约分支 \(C\) 均成立（这些分支均取自 \(X\)），则或者 \(H^0(X, \mathcal{L}) = 0\)，或者 \(\mathcal{L} \cong \mathcal{O}_X\)。

证明

设 \(s \in H^0(X, \mathcal{L})\) 非零。由于 \(X\) 约化，存在不可约分支 \(C\)，它是 \(X\) 的分支，并且 \(s|_C \not = 0\)。然而，若 \(s|_C\) 非零，则由引理 0B40，\(s\) 在 \(C\) 上处处不消失。这又蕴含 \(s\) 在 \(X\) 的每个与 \(C\) 相交的不可约分支上都处处不消失。由于 \(X\) 连通，可知 \(s\) 无处消失，引理得证。

引理

设 \(k\) 为域。设 \(X\) 是 \(k\) 上的固有曲线。设 \(\mathcal{L}\) 是可逆 \(\mathcal{O}_X\)-模。则 \(\mathcal{L}\) 丰沛，当且仅当 \(\deg(\mathcal{L}) > 0\)。

证明

若 \(\mathcal{L}\) 丰沛，则存在 \(n > 0\) 以及截面 \(s \in H^0(X, \mathcal{L}^{\otimes n})\)，使 \(X_s\) 仿射。由于 \(X\) 不仿射（否则由《态射》引理 01WN，\(X\) 将是有限概形），可知 \(s\) 在某点处消失。因此由引理 0B40，有 \(\deg(\mathcal{L}^{\otimes n}) > 0\)。由引理 0AYX，可得 \(\deg(\mathcal{L}) = 1/n\deg(\mathcal{L}^{\otimes n}) > 0\)。

假设 \(\deg(\mathcal{L}) > 0\)。则 \[\dim_k H^0(X, \mathcal{L}^{\otimes n}) \geq \chi(X, \mathcal{L}^n) = n\deg(\mathcal{L}) + \chi(X, \mathcal{O}_X)\] 随 \(n\) 线性增长。因此，对任意有限个闭点 \(x_1, \ldots, x_t\)（均在 \(X\) 上），可以找到 \(n\)，使得 \(\dim_k H^0(X, \mathcal{L}^{\otimes n}) > \sum \dim_k \kappa(x_i)\)。（回忆，由 Hilbert 零点定理，域扩张 \(\kappa(x_i)/k\) 有限；例如见《态射》引理 01TF。）因此可以找到非零截面 \(s \in H^0(X, \mathcal{L}^{\otimes n})\)，它在 \(x_1, \ldots, x_t\) 处消失。特别地，若选取 \(x_1, \ldots, x_t\)，使 \(X \setminus \{x_1, \ldots, x_t\}\) 仿射，则 \(X_s\) 也仿射（例如由《性质》引理 01PV；不过，若选取该有限集，使得 \(\mathcal{L}|_{X \setminus \{x_1, \ldots, x_t\}}\) 平凡，则结论是立即的）。所以可以找到 \(n > 0\) 与非零截面 \(s \in H^0(X, \mathcal{L}^{\otimes n})\)，使 \(X_s\) 仿射。

我们将证明：对每个拟凝聚理想层 \(\mathcal{I}\)，都存在 \(m > 0\)，使 \(H^1(X, \mathcal{I} \otimes \mathcal{L}^{\otimes m})\) 为零。由《概形上同调》引理 0B5U，这将完成证明。为此，考虑映射 \[\mathcal{I} \xrightarrow{s} \mathcal{I} \otimes \mathcal{L}^{\otimes n} \xrightarrow{s} \mathcal{I} \otimes \mathcal{L}^{\otimes 2n} \xrightarrow{s} \ldots\] 由于 \(\mathcal{I}\) 无挠，这些映射是单射，并且在 \(X_s\) 上是同构；因而这些映射的余核的 \(H^1\) 为零（例如由《概形上同调》引理 0B3J）。可知向量空间的映射 \[H^1(X, \mathcal{I}) \to H^1(X, \mathcal{I} \otimes \mathcal{L}^{\otimes n}) \to H^1(X, \mathcal{I} \otimes \mathcal{L}^{\otimes 2n}) \to \ldots\] 均为满射。另一方面，\(H^1(X, \mathcal{I})\) 的维数有限，且由《概形上同调》引理 01XR，每个元素最终都映到零。因此，对某个 \(e > 0\)，有 \(H^1(X, \mathcal{I} \otimes \mathcal{L}^{\otimes en})\) 为零。证明完成。

引理

设 \(k\) 为域。设 \(X\) 是维数 \(\leq 1\) 的固有概形，其基域为 \(k\)。设 \(\mathcal{L}\) 是可逆 \(\mathcal{O}_X\)-模。设 \(C_i \subset X\)（\(i = 1, \ldots, t\)）为维数 \(1\) 的不可约分支。下列条件等价：

\(\mathcal{L}\) 丰沛；以及

\(\deg(\mathcal{L}|_{C_i}) > 0\) 对 \(i = 1, \ldots, t\) 均成立。

证明

设 \(x_1, \ldots, x_r \in X\) 为孤立闭点。把 \(x_i = \Spec(\kappa(x_i))\) 看作概形。考虑概形态射 \[f : C_1 \amalg \ldots \amalg C_t \amalg x_1 \amalg \ldots \amalg x_r \longrightarrow X\] 这是 \(k\) 上固有概形之间的有限满射（略去细节）。因此，\(\mathcal{L}\) 丰沛，当且仅当 \(f^*\mathcal{L}\) 丰沛（《概形上同调》引理 0B5V）。于是结论由引理 0B5X 得出。

引理

设 \(k\) 为代数闭域。设 \(X\) 是 \(k\) 上的固有曲线。则存在

可逆 \(\mathcal{O}_X\)-模 \(\mathcal{L}\)，使 \(\dim_k H^0(X, \mathcal{L}) = 1\) 且 \(H^1(X, \mathcal{L}) = 0\)；以及

可逆 \(\mathcal{O}_X\)-模 \(\mathcal{N}\)，使 \(\dim_k H^0(X, \mathcal{N}) = 0\) 且 \(H^1(X, \mathcal{N}) = 0\)。

证明

选取闭浸入 \(i : X \to \mathbf{P}^n_k\) （引理 0A26）。置 \(\mathcal{L} = i^*\mathcal{O}_{\mathbf{P}^n}(d)\)，其中 \(d \gg 0\)，可知存在可逆层 \(\mathcal{L}\)，满足 \(H^0(X, \mathcal{L}) \not = 0\) 且 \(H^1(X, \mathcal{L}) = 0\)（关于消失，见《概形上同调》引理 0B5U；关于非消失，见该处所列参考）。我们对 \(t = \dim_k H^0(X, \mathcal{L})\) 作降归纳，以完成 (1) 的证明。基础情形 \(t = 1\) 显然。假设 \(t > 1\)。

令 \(U \subset X\) 为引理 0B8X 中所研究的非奇异点组成的非空开集。设 \(s \in H^0(X, \mathcal{L})\) 非零。存在闭点 \(x \in U\)，使得 \(s\) 在 \(x\) 处不消失。设 \(\mathcal{I}\) 为引理 0B8Y 中 \(i : x \to X\) 的理想层。考察短正合列 \[0 \to \mathcal{I} \otimes_{\mathcal{O}_X} \mathcal{L} \to \mathcal{L} \to i_*i^*\mathcal{L} \to 0\] 注意，\(H^0(X, i_*i^*\mathcal{L}) = H^0(x, i^*\mathcal{L})\) 的维数为 \(1\)，因为 \(x\) 是 \(k\)-有理点（\(k\) 代数闭）。由于 \(s\) 在 \(x\) 处不消失，可知 \[H^0(X, \mathcal{L}) \longrightarrow H^0(X, i_*i^*\mathcal{L})\] 满射。因此 \(\dim_k H^0(X, \mathcal{I} \otimes_{\mathcal{O}_X} \mathcal{L}) = t - 1\)。最后，同调长正合列还表明 \(H^1(X, \mathcal{I} \otimes_{\mathcal{O}_X} \mathcal{L}) = 0\)，从而完成归纳步骤的证明。

为得到 (2) 中的可逆层，取 (1) 中的可逆层 \(\mathcal{L}\)，再作一次上一段的论证即可。

引理

设 \(k\) 为代数闭域。设 \(X\) 是 \(k\) 上的固有曲线。置 \(g = \dim_k H^1(X, \mathcal{O}_X)\)。对每个可逆 \(\mathcal{O}_X\)-模 \(\mathcal{L}\)，若 \(\deg(\mathcal{L}) \geq 2g - 1\)，则 \(H^1(X, \mathcal{L}) = 0\)。

证明

令 \(\mathcal{N}\) 为引理 0B8Z 第 (2) 部分中找到的可逆模。 \(\mathcal{N}\) 的次数为 \(\chi(X, \mathcal{N}) - \chi(X, \mathcal{O}_X) = 0 - (1 - g) = g - 1\)。因此 \(\mathcal{L} \otimes \mathcal{N}^{\otimes - 1}\) 的次数为 \(\deg(\mathcal{L}) - (g - 1) \geq g\)。从而 \(\chi(X, \mathcal{L} \otimes \mathcal{N}^{\otimes -1}) \geq g + 1 - g = 1\)。所以存在非零整体截面 \(s\)，其零点概形是有效 Cartier 除子 \(D\)，且次数为 \(\deg(\mathcal{L}) - (g - 1)\)。这给出短正合列 \[0 \to \mathcal{N} \xrightarrow{s} \mathcal{L} \to i_*(\mathcal{L}|_D) \to 0\] 其中 \(i : D \to X\) 是包含态射。可知 \(H^0(X, \mathcal{L})\) 同构地映到 \(H^0(D, \mathcal{L}|_D)\)，后者的维数为 \(\deg(\mathcal{L}) - (g - 1)\)。结论由次数定义得出。

数值相交

本节利用固有概形上凝聚层的欧拉示性数作一些运算，从而得到可逆模的数值相交数。我们的主要工具是下述引理。

引理

设 \(k\) 为域。设 \(X\) 是 \(k\) 上的固有概形。设 \(\mathcal{F}\) 是凝聚 \(\mathcal{O}_X\)-模。设 \(\mathcal{L}_1, \ldots, \mathcal{L}_r\) 是可逆 \(\mathcal{O}_X\)-模。映射 \[(n_1, \ldots, n_r) \longmapsto \chi(X, \mathcal{F} \otimes \mathcal{L}_1^{\otimes n_1} \otimes \ldots \otimes \mathcal{L}_r^{\otimes n_r})\] 是关于 \(n_1, \ldots, n_r\) 的数值多项式，其总次数不超过 \(\mathcal{F}\) 的支撑的维数。

证明

我们对 \(\dim(\text{Supp}(\mathcal{F}))\) 作归纳。若该数为零，则由引理 0AYT，此函数为常值函数，其值为 \(\dim_k \Gamma(X, \mathcal{F})\)。假设 \(\dim(\text{Supp}(\mathcal{F})) > 0\)。

若 \(\mathcal{F}\) 有嵌入伴随点，则可考虑《除子》引理 02OL 中构造的短正合列 \(0 \to \mathcal{K} \to \mathcal{F} \to \mathcal{F}' \to 0\)。由于 \(\mathcal{K}\) 的支撑维数严格较小，由归纳假设，结论对 \(\mathcal{K}\) 成立，且所得总次数严格较小。由欧拉示性数的可加性（引理 08AA），只需对 \(\mathcal{F}'\) 证明结论。因此可以假设 \(\mathcal{F}\) 没有嵌入伴随点。

若 \(i : Z \to X\) 是闭浸入，且 \(\mathcal{F} = i_*\mathcal{G}\)，则关于 \(X\)、\(\mathcal{F}\)、 \(\mathcal{L}_1, \ldots, \mathcal{L}_r\) 的结论等价于关于 \(Z\)、\(\mathcal{G}\)、 \(i^*\mathcal{L}_1, \ldots, i^*\mathcal{L}_r\) 的结论（因为二者的上同调相同；见《概形上同调》引理 089W）。应用《除子》引理 02OM，可以假设 \(X\) 没有嵌入分支，并且 \(X = \text{Supp}(\mathcal{F})\)。

选取正则亚纯截面 \(s\)，它是 \(\mathcal{L}_1\) 的截面；见《除子》引理 02OZ。令 \(\mathcal{I} \subset \mathcal{O}_X\) 为 \(s\) 的分母理想，并考虑《除子》引理 02P2 中的映射 \[\mathcal{I}\mathcal{F} \to \mathcal{F},\quad \mathcal{I}\mathcal{F} \to \mathcal{F} \otimes \mathcal{L}_1\] 它们都是单射，余核分别为 \(\mathcal{Q}\)、\(\mathcal{Q}'\)，这些余核支撑在 \(X = \text{Supp}(\mathcal{F})\) 的无处稠密闭子概形上。与可逆模 \(\mathcal{L}_1^{\otimes n_1} \otimes \ldots \otimes \mathcal{L}_r^{\otimes n_r}\) 张量是正合的；因此再次使用可加性可知 \[\begin{align*} &\chi(X, \mathcal{F} \otimes \mathcal{L}_1^{\otimes n_1} \otimes \ldots \otimes \mathcal{L}_r^{\otimes n_r}) - \chi(X, \mathcal{F} \otimes \mathcal{L}_1^{\otimes n_1 + 1} \otimes \ldots \otimes \mathcal{L}_r^{\otimes n_r}) \\ & = \chi(\mathcal{Q} \otimes \mathcal{L}_1^{\otimes n_1} \otimes \ldots \otimes \mathcal{L}_r^{\otimes n_r}) - \chi(\mathcal{Q}' \otimes \mathcal{L}_1^{\otimes n_1} \otimes \ldots \otimes \mathcal{L}_r^{\otimes n_r}) \end{align*}\] 因此，引理中的函数 \(P(n_1, \ldots, n_r)\) 具有如下性质： \[P(n_1 + 1, n_2, \ldots, n_r) - P(n_1, \ldots, n_r)\] 是总次数 \(<\) \(\mathcal{F}\) 支撑维数的数值多项式。当然，由对称性，对任意 \(i \in \{1, \ldots, r\}\)，同一结论也适用于 \[P(n_1, \ldots, n_{i - 1}, n_i + 1, n_{i + 1}, \ldots, n_r) - P(n_1, \ldots, n_r)\] 一个简单的算术论证表明，\(P\) 是总次数不超过 \(\dim(\text{Supp}(\mathcal{F}))\) 的数值多项式。

下述引理粗略地说明，首项系数只依赖于凝聚模在其支撑泛点处的长度。

引理

设 \(k\) 为域。设 \(X\) 是 \(k\) 上的固有概形。设 \(\mathcal{F}\) 是凝聚 \(\mathcal{O}_X\)-模。设 \(\mathcal{L}_1, \ldots, \mathcal{L}_r\) 是可逆 \(\mathcal{O}_X\)-模。令 \(d = \dim(\text{Supp}(\mathcal{F}))\)。设 \(Z_i \subset X\) 是 \(\text{Supp}(\mathcal{F})\) 的维数为 \(d\) 的不可约分支。令 \(\xi_i \in Z_i\) 为泛点，并置 \(m_i = \text{length}_{\mathcal{O}_{X, \xi_i}}(\mathcal{F}_{\xi_i})\)。则 \[\chi(X, \mathcal{F} \otimes \mathcal{L}_1^{\otimes n_1} \otimes \ldots \otimes \mathcal{L}_r^{\otimes n_r}) - \sum\nolimits_i m_i\ \chi(Z_i, \mathcal{L}_1^{\otimes n_1} \otimes \ldots \otimes \mathcal{L}_r^{\otimes n_r}|_{Z_i})\] 是关于 \(n_1, \ldots, n_r\) 的数值多项式，其总次数 \(< d\)。

证明

考虑二元组 \((\xi , Z)\)，其中 \(Z \subset X\) 是维数为 \(d\) 的整闭子概形，而 \(\xi\) 是其泛点。有限 \(\mathcal{O}_{X, \xi}\)-模 \(\mathcal{F}_\xi\) 的支撑包含在 \(\{\xi\}\) 中；因此长度 \(m_Z = \text{length}_{\mathcal{O}_{X, \xi}}(\mathcal{F}_\xi)\) 有限（《代数》引理 00L5），并且除非 \(Z = Z_i\) 对某个 \(i\) 成立，否则它为零。所以引理中的表达式可写成 \[E(\mathcal{F}) = \chi(X, \mathcal{F} \otimes \mathcal{L}_1^{\otimes n_1} \otimes \ldots \otimes \mathcal{L}_r^{\otimes n_r}) - \sum\nolimits m_Z\ \chi(Z, \mathcal{L}_1^{\otimes n_1} \otimes \ldots \otimes \mathcal{L}_r^{\otimes n_r}|_Z)\] 其中求和遍历所有整闭子概形 \(Z \subset X\)，其维数为 \(d\)。赋值 \(\mathcal{F} \mapsto E(\mathcal{F})\) 在短正合列 \(0 \to \mathcal{F} \to \mathcal{F}' \to \mathcal{F}'' \to 0\) 中可加；这些列由凝聚 \(\mathcal{O}_X\)-模组成，其支撑维数 \(\leq d\)。这由欧拉示性数的可加性（引理 08AA）与长度的可加性（《代数》引理 00IV）得出。应用《概形上同调》引理 01YF，取滤过 \[0 = \mathcal{F}_0 \subset \mathcal{F}_1 \subset \ldots \subset \mathcal{F}_m = \mathcal{F}\] 其中各项均为凝聚子层，并且对每个 \(j = 1, \ldots, m\)，都存在整闭子概形 \(V_j \subset X\) 与非零理想层 \(\mathcal{I}_j \subset \mathcal{O}_{V_j}\)，使得 \[\mathcal{F}_j/\mathcal{F}_{j - 1} \cong (V_j \to X)_* \mathcal{I}_j\] 于是 \(V_j \subset \text{Supp}(\mathcal{F})\)，故 \(\dim(V_j) \leq d\)。由上述可加性，只须对每个次商 \(\mathcal{F}_j/\mathcal{F}_{j - 1}\) 证明结论。所以只须考虑 \(\mathcal{F} = (V \to X)_*\mathcal{I}\)，其中 \(V \subset X\) 是维数 \(\leq d\) 的整闭子概形，而 \(\mathcal{I} \subset \mathcal{O}_V\) 是非零凝聚理想层。若 \(\dim(V) < d\)，更一般地，若 \(\mathcal{F}\) 的支撑维数 \(< d\)，则由引理 0BEM， \(E(\mathcal{F})\) 中第一项的总次数 \(< d\)，第二项为零。若 \(\dim(V) = d\)，则可使用短正合列 \[0 \to (V \to X)_*\mathcal{I} \to (V \to X)_*\mathcal{O}_V \to (V \to X)_*(\mathcal{O}_V/\mathcal{I}) \to 0\] 结论对中间的层成立，因为求和中唯一出现的 \(Z\) 是 \(Z = V\)，且 \(m_Z = 1\)；此外，由投影公式（《同调》第 01E6 节）与《概形上同调》引理 089W，有 \[H^i(X, ((V \to X)_*\mathcal{O}_V) \otimes \mathcal{L}_1^{\otimes n_1} \otimes \ldots \otimes \mathcal{L}_r^{\otimes n_r}) = H^i(V, \mathcal{L}_1^{\otimes n_1} \otimes \ldots \otimes \mathcal{L}_r^{\otimes n_r}|_V)\] 因此在此情形中，实际上 \(E(\mathcal{F}) = 0\)。结论对右端的层也成立，因为其支撑维数 \(< d\)。所以结论对左端的层成立，引理得证。

定义

设 \(k\) 为域。设 \(X\) 是 \(k\) 上的固有概形。设 \(i : Z \to X\) 是维数为 \(d\) 的闭子概形。设 \(\mathcal{L}_1, \ldots, \mathcal{L}_d\) 是可逆 \(\mathcal{O}_X\)-模。定义相交数 \((\mathcal{L}_1 \cdots \mathcal{L}_d \cdot Z)\) 为下述数值多项式中 \(n_1 \ldots n_d\) 的系数： \[\chi(X, i_*\mathcal{O}_Z \otimes \mathcal{L}_1^{\otimes n_1} \otimes \ldots \otimes \mathcal{L}_d^{\otimes n_d}) = \chi(Z, \mathcal{L}_1^{\otimes n_1} \otimes \ldots \otimes \mathcal{L}_d^{\otimes n_d}|_Z)\] 在特殊情形 \(\mathcal{L}_1 = \ldots = \mathcal{L}_d = \mathcal{L}\) 下，记作 \((\mathcal{L}^d \cdot Z)\)。

定义中的显示等式由投影公式（《同调》第 01E6 节）与《概形上同调》引理 089W 得出。下面证明关于这些相交数的几个引理。

引理

在定义 0BEP 的情形中，相交数 \((\mathcal{L}_1 \cdots \mathcal{L}_d \cdot Z)\) 是整数。

证明

任意次数为 \(e\)、关于 \(n_1, \ldots, n_d\) 的数值多项式，都可以唯一地写成 \(\mathbf{Z}\)-线性组合，所用函数为 \({n_1 \choose k_1}{n_2 \choose k_2} \ldots {n_d \choose k_d}\)，其中 \(k_1 + \ldots + k_d \leq e\)。取 \(e = d\) 即可。细节留作练习。

引理

在定义 0BEP 的情形中，相交数 \((\mathcal{L}_1 \cdots \mathcal{L}_d \cdot Z)\) 可加：若 \(\mathcal{L}_i = \mathcal{L}_i' \otimes \mathcal{L}_i''\)，则 \[(\mathcal{L}_1 \cdots \mathcal{L}_i \cdots \mathcal{L}_d \cdot Z) = (\mathcal{L}_1 \cdots \mathcal{L}_i' \cdots \mathcal{L}_d \cdot Z) + (\mathcal{L}_1 \cdots \mathcal{L}_i'' \cdots \mathcal{L}_d \cdot Z)\]

证明

这是因为，由引理 0BEM，函数 \[(n_1, \ldots, n_{i - 1}, n_i', n_i'', n_{i + 1}, \ldots, n_d) \mapsto \chi(Z, \mathcal{L}_1^{\otimes n_1} \otimes \ldots \otimes (\mathcal{L}_i')^{\otimes n_i'} \otimes (\mathcal{L}_i'')^{\otimes n_i''} \otimes \ldots \otimes \mathcal{L}_d^{\otimes n_d}|_Z)\] 是总次数至多为 \(d\) 的数值多项式，变量个数为 \(d + 1\)。

引理

在定义 0BEP 的情形中，设 \(Z_i \subset Z\) 是维数为 \(d\) 的不可约分支。令 \(m_i = \text{length}_{\mathcal{O}_{X, \xi_i}}(\mathcal{O}_{Z, \xi_i})\)，其中 \(\xi_i \in Z_i\) 为泛点。则 \[(\mathcal{L}_1 \cdots \mathcal{L}_d \cdot Z) = \sum m_i(\mathcal{L}_1 \cdots \mathcal{L}_d \cdot Z_i)\]

证明

这立即由引理 0BEN 与各定义得出。

引理

设 \(k\) 为域。设 \(f : Y \to X\) 是 \(k\) 上固有概形之间的态射。设 \(Z \subset Y\) 是维数为 \(d\) 的整闭子概形，并设 \(\mathcal{L}_1, \ldots, \mathcal{L}_d\) 是可逆 \(\mathcal{O}_X\)-模。则 \[(f^*\mathcal{L}_1 \cdots f^*\mathcal{L}_d \cdot Z) = \deg(f|_Z : Z \to f(Z)) (\mathcal{L}_1 \cdots \mathcal{L}_d \cdot f(Z))\] 其中 \(\deg(Z \to f(Z))\) 的定义见《态射》定义 02NY；也可将其取为 \(0\)，条件是 \(\dim(f(Z)) < d\)。

证明

左端由下述函数中 \(n_1 \ldots n_d\) 的系数计算： \[\chi(Y, \mathcal{O}_Z \otimes f^*\mathcal{L}_1^{\otimes n_1} \otimes \ldots \otimes f^*\mathcal{L}_d^{\otimes n_d}) = \sum (-1)^i \chi(X, R^if_*\mathcal{O}_Z \otimes \mathcal{L}_1^{\otimes n_1} \otimes \ldots \otimes \mathcal{L}_d^{\otimes n_d})\] 该等式由引理 0BEK 与投影公式（《同调》引理 01E8）得出。若 \(f(Z)\) 的维数 \(< d\)，则由引理 0BEM，右端是总次数 \(< d\) 的多项式，故结论成立。假设 \(\dim(f(Z)) = d\)。令 \(\xi \in f(Z)\) 为泛点。由维数理论（见引理 0A21 与 0B2L）， \(Z\) 的泛点是 \(Z\) 中唯一映到 \(\xi\) 的点。于是 \(f : Z \to f(Z)\) 在 \(f(Z)\) 的某个非空开集上有限；见《态射》引理 02NW。因此 \(\deg(f : Z \to f(Z))\) 有定义；事实上，它等于 \(f_*\mathcal{O}_Z\) 在 \(\xi\) 处的茎作为 \(\mathcal{O}_{X, \xi}\)-模的长度。此外， \(R^if_*\mathcal{O}_X\) 在 \(\xi\) 处的茎对 \(i > 0\) 为零，因为刚刚已经看到 \(f|_Z\) 在 \(\xi\) 的一个邻域上有限（因而《概形上同调》引理 01Y6 给出该消失）。所以各项 \(\chi(X, R^if_*\mathcal{O}_Z \otimes \mathcal{L}_1^{\otimes n_1} \otimes \ldots \otimes \mathcal{L}_d^{\otimes n_d})\)（其中 \(i > 0\)）的总次数 \(< d\)，并且由引理 0BEN，模掉一个总次数 \(< d\) 的多项式后，有 \[\chi(X, f_*\mathcal{O}_Z \otimes \mathcal{L}_1^{\otimes n_1} \otimes \ldots \otimes \mathcal{L}_d^{\otimes n_d}) = \deg(f : Z \to f(Z)) \chi(f(Z), \mathcal{L}_1^{\otimes n_1} \otimes \ldots \otimes \mathcal{L}_d^{\otimes n_d}|_{f(Z)})\] 所需结论随即得出。

引理

设 \(k\) 为域。设 \(X\) 在 \(k\) 上固有。设 \(Z \subset X\) 是维数为 \(d\) 的闭子概形。设 \(\mathcal{L}_1, \ldots, \mathcal{L}_d\) 是可逆 \(\mathcal{O}_X\)-模。假设存在有效 Cartier 除子 \(D \subset Z\)，使得 \(\mathcal{L}_1|_Z \cong \mathcal{O}_Z(D)\)。则 \[(\mathcal{L}_1 \cdots \mathcal{L}_d \cdot Z) = (\mathcal{L}_2 \cdots \mathcal{L}_d \cdot D)\]

证明

可以把 \(X\) 替换为 \(Z\)，并把 \(\mathcal{L}_i\) 替换为 \(\mathcal{L}_i|_Z\)。因此可以假设 \(X = Z\) 且 \(\mathcal{L}_1 = \mathcal{O}_X(D)\)。此时 \(\mathcal{L}_1^{-1}\) 是 \(D\) 的理想层，并可考虑短正合列 \[0 \to \mathcal{L}_1^{\otimes -1} \to \mathcal{O}_X \to \mathcal{O}_D \to 0\] 置 \(P(n_1, \ldots, n_d) = \chi(X, \mathcal{L}_1^{\otimes n_1} \otimes \ldots \otimes \mathcal{L}_d^{\otimes n_d})\) 以及 \(Q(n_1, \ldots, n_d) = \chi(D, \mathcal{L}_1^{\otimes n_1} \otimes \ldots \otimes \mathcal{L}_d^{\otimes n_d}|_D)\)。由可加性可得 \[P(n_1, \ldots, n_d) - P(n_1 - 1, n_2, \ldots, n_d) = Q(n_1, \ldots, n_d)\] 由于 \(P\) 的总次数至多为 \(d\)，可知 \(n_1 \ldots n_d\) 在 \(P\) 中的系数等于 \(n_2 \ldots n_d\) 在 \(Q\) 中的系数。

引理

设 \(k\) 为域。设 \(X\) 在 \(k\) 上固有。设 \(Z \subset X\) 是维数为 \(d\) 的闭子概形。若 \(\mathcal{L}_1, \ldots, \mathcal{L}_d\) 都丰沛，则 \((\mathcal{L}_1 \cdots \mathcal{L}_d \cdot Z)\) 为正。

证明

我们对 \(d\) 作归纳。\(d = 0\) 的情形由引理 0AYT 得出。假设 \(d > 0\)。由引理 0BES，可以假设 \(Z\) 是整闭子概形。事实上，可以把 \(X\) 替换为 \(Z\)，并把 \(\mathcal{L}_i\) 替换为 \(\mathcal{L}_i|_Z\)，从而约化到 \(Z = X\) 是维数为 \(d\) 的固有簇的情形。由引理 0BER，可以把 \(\mathcal{L}_1\) 替换为它的某个正张量幂。所以可以假设存在非零截面 \(s \in \Gamma(X, \mathcal{L}_1)\)，使得 \(X_s\) 仿射（这里使用丰沛可逆层的定义；见《性质》定义 01PS）。注意，\(X\) 不仿射，因为固有且仿射蕴含有限（《态射》引理 01WN），这与 \(d > 0\) 矛盾。因此 \(s\) 有非空消失概形 \(Z(s) \subset X\)。由于 \(X\) 是簇，\(s\) 是 \(\mathcal{L}_1\) 的正则截面，所以 \(Z(s)\) 是有效 Cartier 除子；因而 \(Z(s)\) 的余维为 \(1\)（这是在 \(X\) 中而言），所以 \(Z(s)\) 的维数为 \(d - 1\)（这里使用《除子》第 01WQ、 0C4S、 0B3Q 节中的材料，以及引理 0A21 所用的维数理论）。由引理 0BEU，有 \[(\mathcal{L}_1 \cdots \mathcal{L}_d \cdot X) = (\mathcal{L}_2 \cdots \mathcal{L}_d \cdot Z(s))\] 由归纳假设，右端为正，证明完成。

定义

设 \(k\) 为域。设 \(X\) 是 \(k\) 上的固有概形。设 \(\mathcal{L}\) 是丰沛可逆 \(\mathcal{O}_X\)-模。对任意闭子概形 \(Z\)，其关于 \(\mathcal{L}\) 的次数记作 \(\deg_\mathcal{L}(Z)\)，并定义为相交数 \((\mathcal{L}^d \cdot Z)\)，其中 \(d = \dim(Z)\)。

由引理 0BEV，子概形的次数总是正整数。注意，\(\deg_\mathcal{L}(Z) = d\) 当且仅当 \[\chi(Z, \mathcal{L}^{\otimes n}|_Z) = \frac{d}{\dim(Z)!} n^{\dim(Z)} + l.o.t\] 这可由下式看出： \[(n_1 + \ldots + n_{\dim(Z)})^{\dim(Z)} = \dim(Z)!\ n_1 \ldots n_{\dim(Z)} + \text{other terms}\]

引理

设 \(k\) 为域。设 \(f : Y \to X\) 是 \(k\) 上固有簇之间的有限支配态射。设 \(\mathcal{L}\) 是丰沛可逆 \(\mathcal{O}_X\)-模。则 \[\deg_{f^*\mathcal{L}}(Y) = \deg(f) \deg_\mathcal{L}(X)\] 其中 \(\deg(f)\) 的定义见《态射》定义 02NY。

证明

该陈述有意义，因为由《态射》引理 0892， \(f^*\mathcal{L}\) 丰沛。说明这一点后，结论就是引理 0BET 的特殊情形。

最后，我们把与曲线的相交数同第 0AYQ 节中引入的曲线上可逆模次数联系起来。

引理

设 \(k\) 为域。设 \(X\) 是 \(k\) 上的固有概形。设 \(Z \subset X\) 是维数 \(\leq 1\) 的闭子概形。设 \(\mathcal{L}\) 是可逆 \(\mathcal{O}_X\)-模。则 \[(\mathcal{L} \cdot Z) = \deg(\mathcal{L}|_Z)\] 其中 \(\deg(\mathcal{L}|_Z)\) 的定义见定义 0AYR。若 \(\mathcal{L}\) 丰沛，则 \(\deg_\mathcal{L}(Z) = \deg(\mathcal{L}|_Z)\)。

证明

这是因为函数 \(n \mapsto \chi(Z, \mathcal{L}|_Z^{\otimes n})\) 的次数为 \(1\)，故其首项系数等于相邻两值之差。

命题

设 \(k\) 为域。设 \(X\) 是 \(k\) 上维数为 \(d\) 的固有概形。设 \(\mathcal{L}\) 是丰沛可逆 \(\mathcal{O}_X\)-模。则 \[\dim_k \Gamma(X, \mathcal{L}^{\otimes n}) \sim c n^d + l.o.t.\] 其中 \(c = \deg_\mathcal{L}(X)/d!\) 是正的常数。

证明

这由各定义、引理 0BEV，以及《概形上同调》引理 0B5U 中的高次上同调消失得出。

嵌入维数

嵌入维数有若干种定义方式，但对于代数闭域上的代数概形的闭点，所有定义都与下述定义等价。

定义

设 \(k\) 是代数闭域。设 \(X\) 是局部代数 \(k\)-概形，并设 \(x \in X\) 是闭点。定义\(X\) 在 \(x\) 处的嵌入维数为 \(\dim_k \mathfrak m_x/\mathfrak m_x^2\)。

下面列出关于嵌入维数的一些事实。设 \(k, X, x\) 如定义 0C1Q 所述。

\(X\) 在 \(x\) 处的嵌入维数，等于切空间 \(T_{X/k, x}\)（定义 0B2C）作为 \(k\)-向量空间的维数。
\(X\) 在 \(x\) 处的嵌入维数，是使得存在如下满射的最小整数 \(d \geq 0\)： \[k[[x_1, \ldots, x_d]] \longrightarrow \mathcal{O}_{X, x}^\wedge\] 这里要求它是 \(k\)-代数满射。
\(X\) 在 \(x\) 处的嵌入维数，是最小整数 \(d \geq 0\)，使得存在开邻域 \(U \subset X\)（它是 \(x\) 的邻域）以及闭浸入 \(U \to Y\)，其中 \(Y\) 是维数为 \(d\) 的 \(k\) 上光滑簇。
\(X\) 在 \(x\) 处的嵌入维数，是最小整数 \(d \geq 0\)，使得存在开邻域 \(U \subset X\)（它是 \(x\) 的邻域）以及非分歧态射 \(U \to \mathbf{A}^d_k\)。
若给定闭嵌入 \(X \to Y\)，且 \(Y\) 在 \(k\) 上光滑，则 \(X\) 在 \(x\) 处的嵌入维数是满足下述条件的最小整数 \(d \geq 0\)：存在闭子概形 \(Z \subset Y\)，使得 \(X \subset Z\)，\(Z \to \Spec(k)\) 在 \(x\) 处光滑，并且 \(\dim_x(Z) = d\)。

若以后需要这些事实，我们会陈述精确结果并给出证明。

非代数闭的基域或非闭点。设 \(k\) 是域，且 \(X\) 是局部代数 \(k\)-概形。若 \(x \in X\) 是一点，则定义 \(X\) 在 \(x\) 处的嵌入维数有若干种选择。具体说，可以采用

\(\dim_{\kappa(x)}(\mathfrak m_x/\mathfrak m_x^2)\)，
\(\dim_{\kappa(x)}(T_{X/k, x}) = \dim_{\kappa(x)}(\Omega_{X/k, x} \otimes_{\mathcal{O}_{X, x}} \kappa(x))\) （引理 0B2D），
最小整数 \(d \geq 0\)，使得存在开邻域 \(U \subset X\)（它是 \(x\) 的邻域）以及闭浸入 \(U \to Y\)，其中 \(Y\) 是维数为 \(d\) 的 \(k\) 上光滑簇。

在特征零的情形，(1) \(=\) (2) 在 \(x\) 是闭点时成立；更一般地，若 \(\kappa(x)\) 是 \(k\) 上的可分代数扩张，这一等式也成立，见引理 0B2E。几何定义 (3) 似乎最贴近“嵌入维数”这一措辞所唤起的几何直观。由于可以证明 (3) 与 (2) 定义同一个数（这由引理 0CBL 得出），我们将采用这个定义。在术语中，我们会明确说明所取的是相对于基域的嵌入维数。

定义

设 \(k\) 是域。设 \(X\) 是局部代数 \(k\)-概形。设 \(x \in X\) 是一点。定义\(X/k\) 在 \(x\) 处的嵌入维数为 \(\dim_{\kappa(x)}(T_{X/k, x})\)。

若 \((A, \mathfrak m, \kappa)\) 是 Noether 局部环，有时将 \(A\) 的嵌入维数定义为 \(\mathfrak m/\mathfrak m^2\) 在 \(\kappa\) 上的维数。上文已经看到，若 \(A\) 具有域 \(k\) 上的代数结构，采用 \(\dim_\kappa(\Omega_{A/k} \otimes_A \kappa)\) 可能更合适。我们将此量称为 \(A/k\) 的嵌入维数。采用这一术语，有 \[\text{embed dim of }X/k\text{ 在 }x = \text{embed dim of }\mathcal{O}_{X, x}/k = \text{embed dim of }\mathcal{O}_{X, x}^\wedge/k\] 其中 \(k, X, x\) 如定义 0C2H 所述。

Bertini 定理

本节证明如下类型的结果：给定一个光滑射影簇 \(X\)，其基域为 \(k\)，存在一个光滑的丰沛除子 \(H \subset X\)。

引理

设 \(k\) 是域。设 \(X\) 是 \(k\) 上的本征概形。设 \(\mathcal{L}\) 是丰沛可逆 \(\mathcal{O}_X\)-模。设 \(Z \subset X\) 是闭子概形。则存在整数 \(n_0\)，使得对所有 \(n \geq n_0\)，令 \(V_n\) 表示映射 \(\Gamma(X, \mathcal{L}^{\otimes n}) \to \Gamma(Z, \mathcal{L}^{\otimes n}|_Z)\) 的核；它生成 \(\mathcal{L}^{\otimes n}|_{X \setminus Z}\)，并且典范态射 \[X \setminus Z \longrightarrow \mathbf{P}(V_n)\] 是 \(k\) 上概形的浸入。

证明

设 \(\mathcal{I} \subset \mathcal{O}_X\) 是 \(Z\) 的拟凝聚理想层。注意，通过包含关系 \(\mathcal{I} \otimes_{\mathcal{O}_X} \mathcal{L}^{\otimes n} \subset \mathcal{L}^{\otimes n}\)，有 \(V_n = \Gamma(X, \mathcal{I} \otimes_{\mathcal{O}_X} \mathcal{L}^{\otimes n})\)。选取 \(n_1\)，使得对 \(n \geq n_1\)，层 \(\mathcal{I} \otimes \mathcal{L}^{\otimes n}\) 是全局生成的，见《性质》，命题 01Q3。于是 \(V_n\) 生成 \(\mathcal{L}^{\otimes n}|_{X \setminus Z}\)，只要 \(n \geq n_1\)。

对 \(n \geq n_1\)，将限制映射记为 \(\psi_n : V_n \to \Gamma(X \setminus Z, \mathcal{L}^{\otimes n}|_{X \setminus Z})\)。由《构造》，例 0FCY，得到典范态射 \[\varphi = \varphi_{\mathcal{L}^{\otimes n}|_{X \setminus Z}, \psi_n} : X \setminus Z \longrightarrow \mathbf{P}(V_n)\] 。选取 \(n_2\)，使得对所有 \(n \geq n_2\)，可逆层 \(\mathcal{L}^{\otimes n}\) 在 \(X\) 上很丰沛。我们断言 \(n_0 = n_1 + n_2\) 可用。

断言的证明。设 \(n \geq n_0\)，并写成 \(n = n_1 + n'\)。对 \(x \in X \setminus Z\)，可选取 \(s_1 \in V_1\)，使它在 \(x\) 处不消失。置 \(V' = \Gamma(X, \mathcal{L}^{\otimes n'})\)。由对 \(n\) 与 \(n'\) 的选取可知，相应态射 \(\varphi' : X \to \mathbf{P}(V')\) 是闭浸入。因此，若选取 \(s' \in \Gamma(X, \mathcal{L}^{\otimes n'})\) 在 \(x\) 处不消失，则 \(X_{s'} = (\varphi')^{-1}(D_+(s'))\)（见《构造》，引理 01NK）是仿射的，且 \(X_{s'} \to D_+(s')\) 是闭浸入。于是 \(s = s_1 \otimes s' \in V_n\) 在 \(x\) 处不消失。若 \(D_+(s) \subset \mathbf{P}(V_n)\) 表示该射影空间中相应的开仿射空间，则 \(\varphi^{-1}(D_+(s)) = X_s \subset X \setminus Z\)（见上引文）。开集 \(X_s = X_{s'} \cap X_{s_1}\) 是仿射的，见《性质》，引理 01PV。考虑定义态射 \(X_s \to D_+(s)\) 的环映射 \[\text{Sym}(V)_{(s)} \longrightarrow \mathcal{O}_X(X_s)\] 。因为 \(X_{s'} \to D_+(s')\) 是闭浸入，以下元素的像 \[\frac{s_1 \otimes t'}{s_1 \otimes s'}\] （其中 \(t' \in V'\)）生成映射 \(\mathcal{O}_X(X_{s'}) \to \mathcal{O}_X(X_s)\) 的像。由于 \(X_s \to X_{s'}\) 是开浸入，这说明 \(X_s \to D_+(s)\) 是仿射概形的浸入（见下文）。从而由《态射》，引理 0FCZ，\(\varphi_n\) 是浸入。

设 \(a : A' \to A\) 与 \(c : B \to A\) 是环映射，且 \(\Spec(a)\) 是浸入并满足 \(\Im(a) \subset \Im(c)\)。置 \(B' = A' \times_A B\)，其投影为 \(b : B' \to B\) 与 \(c' : B' \to A'\)。由假设，\(c'\) 是满射，因而 \(\Spec(c')\) 是闭浸入。于是 \(\Spec(c') \circ \Spec(a)\) 是浸入（《概形》，引理 02V0）。由于 \(\Spec(c)\) 分解浸入 \(\Spec(c') \circ \Spec(a) = \Spec(b) \circ \Spec(c)\)，故它必为浸入，见《态射》，引理 07RK。

情形

设 \(k\) 是域，设 \(X\) 是 \(k\) 上的概形，设 \(\mathcal{L}\) 是可逆 \(\mathcal{O}_X\)-模，设 \(V\) 是有限维 \(k\)-向量空间，并且设 \(\psi : V \to \Gamma(X, \mathcal{L})\) 是 \(k\)-线性映射。设 \(\dim(V) = r\)，且 \(v_1, \ldots, v_r\) 是 \(V\) 的一组基。于是得到“泛除子” \[H_{univ} = Z(s_{univ}) \subset \mathbf{A}^r \times_k X\] ，它是截面 \[s_{univ} = \sum\nolimits_{i = 1, \ldots, r} x_i \psi(v_i) \in \Gamma(\mathbf{A}^r \times_k X, \text{pr}_2^*\mathcal{L})\] 的零概形（《除子》，定义 02OQ）。对域扩张 \(k'/k\)，\(k'\)-点 \(v \in \mathbf{A}^r_k(k')\) 对应于向量 \((a_1, \ldots, a_r)\)，其分量均属于 \(k'\)。因此，一方面可以把 \(v\) 看作元素 \(v = \sum_{i = 1, \ldots, r} a_i v_i \in V \otimes_k k'\)，另一方面可以向 \(v\) 指派截面 \[\psi(v) = \sum\nolimits_{i = 1, \ldots, r} a_i \psi(v_i) \in \Gamma(X_{k'}, \mathcal{L}|_{X_{k'}})\] 。按此记号，\(H_{univ}\) 在 \(v \in V \otimes k'\) 上的纤维显然是 \(\psi(v)\) 的零概形。写成公式即 \[H_v = H_{univ, v} = Z(\psi(v))\] 。如式中所示，将这个公共值记作 \(H_v\)。最后，在此情形中，令 \(P\) 是向量 \(v \in V \otimes_k k'\) 的一个性质，其中 \(k'/k\) 是任意域扩张⁷。称 \(P\) 对一般的 \(v \in V \otimes_k k'\) 成立，如果存在非空 Zariski 开集 \(U \subset \mathbf{A}^r_k\)，使得只要 \(v\) 对应于一个 \(k'\)-点且该点属于 \(U\)，则对任意 \(k'/k\) 都有 \(P(v)\) 成立。

引理

在情形 0G47 中，假设

\(X\) 在 \(k\) 上光滑，

\(\psi : V \to \Gamma(X, \mathcal{L})\) 的像生成 \(\mathcal{L}\)，

相应态射 \(\varphi_{\mathcal{L}, \psi} : X \to \mathbf{P}(V)\) 是浸入。

则对一般的 \(v \in V \otimes_k k'\)，概形 \(H_v\) 在 \(k'\) 上光滑。

证明

（注意，\(X\) 作为射影空间的局部闭子概形，是分离且有限型的。）采用引理陈述上方引入的记号。考虑投影 \[\xymatrix{ \mathbf{A}^r_k \times_k X \ar[d] & H_{univ} \ar[l] \ar[ld]^p \ar[r] \ar[rd]_q & \mathbf{A}^r_k \times_k X \ar[d] \\ X & & \mathbf{A}^r_k }\] 。设 \(\Sigma \subset H_{univ}\) 是态射 \(q : H_{univ} \to \mathbf{A}^r_k\) 的奇异轨迹，即 \(q\) 不光滑的点集。由于态射的光滑轨迹按定义是开的，\(\Sigma\) 是闭的。光滑态射的纤维是光滑的，故只需证明 \(q(\Sigma)\) 包含在 \(\mathbf{A}^r_k\) 的真闭子集中。因为 \(\Sigma\)（赋予约化诱导概形结构）是 \(k\) 上有限型概形，只需证明 \(\dim(\Sigma) < r\)。这由引理 0B2L 得出。以更大的域代替 \(k\) 不改变维数（《态射》，引理 02FY），因此不妨假设 \(k\) 是代数闭的。由维数理论（引理 0B2L），只需证明：对闭点 \(x \in X \setminus Z\)，有 \(p^{-1}(\{x\}) \cap \Sigma\) 的维数 \(< r - \dim(X')\)，其中 \(X'\) 是 \(X\) 中包含 \(x\) 的唯一不可约分支。由于 \(X\) 在 \(k\) 上光滑且 \(x\) 是闭点，有 \(\dim(X') = \dim \mathfrak m_x/\mathfrak m_x^2\) （《态射》，引理 02G1 及《代数》，引理 00TR）。因此，只要对所有闭点 \(x \in X\) 都有 \[\dim p^{-1}(x) \cap \Sigma < r - \dim \mathfrak m_x/\mathfrak m_x^2\] ，结论即成立。

由于 \(V\) 全局生成 \(\mathcal{L}\)，对每个不可约分支 \(X'\)（它属于 \(X\)），\(\mathbf{A}^r\) 都有一个非空 Zariski 开集，使得 \(q\) 在该开集上的纤维不包含 \(X'\)。（例如，若 \(x' \in X'\) 是闭点，则可取对应于下述向量的开集： \(v \in V\)，且 \(\psi(v)\) 在 \(x'\) 处不消失。这个开集是 \(\mathbf{A}^r_k\) 中一个超平面的补集。）令 \(U \subset \mathbf{A}^r\) 为这些开集的（非空）交。则 \(q^{-1}(U) \to U\) 的纤维是 \(U \times_k X \to U\) 的纤维上的有效 Cartier 除子（因为整概形上可逆模的非零截面是正则截面）。因此由《除子》，引理 062Y，态射 \(q^{-1}(U) \to U\) 是平坦的。从而，对闭点 \(x \in X\) 与 \(v \in V = \mathbf{A}^r_k(k)\)，若 \((x, v) \in H_{univ}\)，即 \(x \in H_v\)，则 \(q\) 在 \((x, v)\) 处光滑当且仅当纤维 \(H_v\) 在 \(x\) 处光滑，见《态射》，引理 01V9。

考虑像 \(\psi(v)_x\)；它位于茎 \(\mathcal{L}_x\) 中，来自与 \(v \in V\) 对应的截面。有 \[x \in H_v \Leftrightarrow \psi(v)_x \in \mathfrak m_x\mathcal{L}_x\] 。若此条件成立，则有 \[H_v\text{ singular at }x \Leftrightarrow \psi(v)_x \in \mathfrak m_x^2\mathcal{L}_x\] 。事实上，\(\psi(v)_x\) 不属于 \(\mathfrak m_x^2\mathcal{L}_x\) \(\Leftrightarrow\) \(H_v \subset X\) 在 \(x\) 处的局部方程不属于 \(\mathfrak m_x^2\) \(\Leftrightarrow\) \(\mathcal{O}_{H_v, x}\) 是正则的（《代数》，引理 00NQ） \(\Leftrightarrow\) \(H_v\) 在点 \(x\) 处相对于 \(k\) 光滑（《代数》，引理 00TV）。由此，\(p^{-1}(x) \cap \Sigma\) 的闭点对应于这些 \(v \in V\)：它们满足 \(\psi(v)_x \in \mathfrak m_x^2\mathcal{L}_x\)。然而，由于 \(\varphi_{\mathcal{L}, \psi}\) 是浸入，映射 \[V \longrightarrow \mathcal{L}_x/\mathfrak m_x^2\mathcal{L}_x\] 是满射（略去一个小细节）。由上可知，将轨迹 \(p^{-1}(x) \cap \Sigma\) 视为 \(V\) 的子空间时，其闭点构成此映射的核，因而其维数为 \(r - \dim \mathfrak m_x/\mathfrak m_x^2 - 1\)，如所欲证。

Enriques–Severi–Zariski 定理

本节证明若干如下形式的结果：以一个“非常负”的可逆模扭转会使低次上同调消失。我们还推出，维数 \(\geq 2\) 的正规本征概形的超曲面截面是连通的。

引理

设 \(k\) 是域。设 \(X\) 是 \(k\) 上的本征概形。设 \(\mathcal{L}\) 是丰沛可逆 \(\mathcal{O}_X\)-模。设 \(\mathcal{F}\) 是凝聚 \(\mathcal{O}_X\)-模。若 \(\text{Ass}(\mathcal{F})\) 不含任何闭点，则 \(\Gamma(X, \mathcal{F} \otimes_{\mathcal{O}_X} \mathcal{L}^{\otimes n}) = 0\)，只要 \(n \ll 0\)。

证明

对凝聚 \(\mathcal{O}_X\)-模 \(\mathcal{F}\)，令 \(\mathcal{P}(\mathcal{F})\) 表示如下性质：存在 \(n_0 \in \mathbf{Z}\)，使得对 \(n \leq n_0\)，每个截面 \(s\)（它是 \(\mathcal{F} \otimes_{\mathcal{O}_X} \mathcal{L}^{\otimes n}\) 的截面）的支撑都只由闭点组成。由于 \(\text{Ass}(\mathcal{F}) = \text{Ass}(\mathcal{F} \otimes_{\mathcal{O}_X} \mathcal{L}^{\otimes n})\)，只需证明 \(\mathcal{P}\) 对 \(X\) 上所有凝聚模都成立。为此，证明《概形的上同调》，引理 01YM 中的条件 (1)、(2) 和 (3) 均成立。

为验证条件 (1)，设 \[0 \to \mathcal{F}_1 \to \mathcal{F} \to \mathcal{F}_2 \to 0\] 是凝聚 \(\mathcal{O}_X\)-模的短正合列，并且已有 \(\mathcal{P}\) 对 \(\mathcal{F}_i\) 成立，其中 \(i = 1, 2\)。令 \(n_1, n_2\) 为所得界限。令 \(\mathcal{F}'_2 \subset \mathcal{F}_2\) 为支撑是有限闭点集的最大凝聚子模。令 \(\mathcal{I} \subset \mathcal{O}_X\) 为 \(\mathcal{F}'_2\) 的零化子。由于 \(\mathcal{L}\) 丰沛，可找到 \(e > 0\)，使 \(\mathcal{I} \otimes_{\mathcal{O}_X} \mathcal{L}^{\otimes e}\) 是全局生成的。置 \(n_0 = \min(n_2, n_1 - e)\)。取 \(n \leq n_0\)，并令 \(t\) 是 \(\mathcal{F} \otimes \mathcal{L}^{\otimes n}\) 的一个全局截面。截面 \(t\) 在 \(\mathcal{F}_2 \otimes \mathcal{L}^{\otimes n}\) 中的像落在 \(\mathcal{F}'_2 \otimes \mathcal{L}^{\otimes n}\) 中，这是因为 \(n \leq n_2\)。因此，对任意 \(s \in \Gamma(X, \mathcal{I} \otimes_{\mathcal{O}_X} \mathcal{L}^{\otimes e})\)，乘积 \(t \otimes s\) 属于 \(\mathcal{F}_1 \otimes \mathcal{L}^{\otimes n + e}\)。 \(t \otimes s\) 的支撑包含在 \(\text{Ass}(\mathcal{F}_1)\) 中的有限闭点集中，因为 \(n + e \leq n_1\)。依照对 \(e\) 的选取，可选取 \(s\) 在任何不属于 \(\mathcal{F}'_2\) 支撑的点处可逆；故 \(t\) 的支撑包含在 \(\text{Ass}(\mathcal{F}_1)\) 中的有限闭点集与 \(\text{Ass}(\mathcal{F}_2)\) 中的有限闭点集之并中。这就完成了条件 (1) 的证明。

条件 (2) 是立即的。

对条件 (3)，取 \(\mathcal{G} = \mathcal{O}_Z\)。在这种情形下，若 \(Z\) 是 \(X\) 的闭点，则无须证明。若 \(\dim(Z) > 0\)，则证明 \(\Gamma(Z, \mathcal{L}^{\otimes n}|_Z) = 0\)，只要 \(n < 0\)。事实上，令 \(s\) 是 \(\mathcal{L}|_Z\) 的某个负次幂的非零截面。选取非零截面 \(t\)，它属于 \(\mathcal{L}|_Z\) 的某个正次幂（这是可能的，因为 \(\mathcal{L}\) 丰沛，见《性质》，命题 01Q3）。则 \(s^{\deg(t)} \otimes t^{\deg(s)}\) 是 \(\mathcal{O}_Z\) 的非零全局截面（因为 \(Z\) 是整的），从而是单位（引理 0BUG）。这说明 \(t\) 是 \(\mathcal{L}\) 的某个正次幂的平凡化截面。于是函数 \(n \mapsto \dim_k \Gamma(X, \mathcal{L}^{\otimes n})\) 在一个无穷正整数集上有界；由于 \(\dim(Z) > 0\)，这与渐近 Riemann–Roch（命题 0BJ8）矛盾。

引理

设 \(k\) 是域。设 \(X\) 是 \(k\) 上的本征概形。设 \(\mathcal{L}\) 是丰沛可逆 \(\mathcal{O}_X\)-模。设 \(\mathcal{F}\) 是凝聚 \(\mathcal{O}_X\)-模。假设对闭点 \(x \in X\) 有 \(\text{depth}(\mathcal{F}_x) \geq 2\)。则 \(H^1(X, \mathcal{F} \otimes_{\mathcal{O}_X} \mathcal{L}^{\otimes m}) = 0\)，只要 \(m \ll 0\)。

证明

选取闭浸入 \(i : X \to \mathbf{P}^n_k\)，使得 \(i^*\mathcal{O}(1) \cong \mathcal{L}^{\otimes e}\)，其中 \(e > 0\) （见《态射》，引理 01VT）。只需在 \(\mathbf{P}^n_k\) 上对 \[\mathcal{G} = i_*(\mathcal{F} \oplus \mathcal{F} \otimes \mathcal{L} \oplus \ldots \oplus \mathcal{F} \otimes \mathcal{L}^{\otimes e - 1}) \quad\text{且}\quad \mathcal{O}(1)\] 证明引理。事实上，由《概形的上同调》，引理 089W，有 \[H^1(\mathbf{P}^n_k, \mathcal{G}(m)) = \bigoplus\nolimits_{j = 0, \ldots, e - 1} H^1(X, \mathcal{F} \otimes \mathcal{L}^{\otimes j + me})\] 。另外，若 \(y \in \mathbf{P}^n_k\) 是闭点，则 \(\text{depth}(\mathcal{G}_y) = \infty\)，如果 \(y \not \in i(X)\)；并且 \(\text{depth}(\mathcal{G}_y) = \text{depth}(\mathcal{F}_x)\)，如果 \(y = i(x)\)。这是因为在后一种情形下，有 \(\mathcal{G}_y \cong \mathcal{F}_x^{\oplus e}\)，这是作为 \(\mathcal{O}_{\mathbf{P}^n_k, x}\)-模而言；并可用例如《代数》，引理 0AUK 得到该等式。

假设 \(X = \mathbf{P}^n_k\)、\(\mathcal{L} = \mathcal{O}(1)\)，且 \(k\) 是无限域。选取 \(s \in H^0(\mathbf{P}^1_k, \mathcal{O}(1))\)，它确定正合列 \[0 \to \mathcal{F}(-1) \xrightarrow{s} \mathcal{F} \to \mathcal{G} \to 0\] ，如引理 08A0 中所述。由于映射 \(\mathcal{F}(-1) \to \mathcal{F}\) 在仿射局部由 \(\mathcal{F}\) 上的非零因子相乘给出，所以对闭点 \(x \in \mathbf{P}^n_k\) 有 \(\text{depth}(\mathcal{G}_x) \geq 1\)，见《代数》，引理 090R。因此由引理 0FD7， \(H^0(\mathcal{G}(m)) = 0\)，只要 \(m \ll 0\)。考察扭转后的上同调长正合列（见注 0EGK），可知数列 \[\dim H^1(\mathbf{P}^n_k, \mathcal{F}(m))\] 在 \(m \leq m_0\) 时稳定，其中 \(m_0\) 是某个整数。令 \(N\) 为这些空间在 \(m \leq m_0\) 时的公共维数。需要证明 \(N = 0\)。

对 \(d > 0\) 与 \(m \leq m_0\)，考虑双线性映射 \[H^0(\mathbf{P}^n_k, \mathcal{O}(d)) \times H^1(\mathbf{P}^n_k, \mathcal{F}(m - d)) \longrightarrow H^1(\mathbf{P}^n_k, \mathcal{F}(m))\] 。由线性代数，存在余维 \(\leq N^2\) 的子空间 \(V_m \subset H^0(\mathbf{P}^n_k, \mathcal{O}(d))\)，使得由 \(s' \in V_m\) 给出的乘法零化 \(H^1(\mathbf{P}^n_k, \mathcal{F}(m - d))\)。注意，对 \(m' < m \leq m_0\)，图表 \[\xymatrix{ H^0(\mathbf{P}^n_k, \mathcal{O}(d)) \times H^1(\mathbf{P}^n_k, \mathcal{F}(m' - d)) \ar[r] \ar[d]^{1 \times s^{m' - m}} & H^1(\mathbf{P}^n_k, \mathcal{F}(m')) \ar[d]^{s^{m' - m}}\\ H^0(\mathbf{P}^n_k, \mathcal{O}(d)) \times H^1(\mathbf{P}^n_k, \mathcal{F}(m - d)) \ar[r] & H^1(\mathbf{P}^n_k, \mathcal{F}(m)) }\] 可交换，且竖直映射均为同构。因此 \(V_m = V\) 与 \(m \leq m_0\) 无关。对 \(x \in \text{Ass}(\mathcal{F})\)，置 \(Z = \overline{\{x\}}\)。当 \(d\) 足够大时，线性映射 \[H^0(\mathbf{P}^n_k, \mathcal{O}(d)) \to H^0(Z, \mathcal{O}(d)|_Z)\] 的秩 \(> N^2\)，因为 \(\dim(Z) \geq 1\) （例如，这由渐近 Riemann–Roch 与 \(\mathcal{O}(1)\) 的丰沛性得出；略去细节）。因此可找到 \(s' \in V\)，使得 \(s'\) 在 \(\mathcal{F}\) 的任何伴随点都不消失（使用伴随点集有限这一事实）。于是得到 \[0 \to \mathcal{F}(-d) \xrightarrow{s'} \mathcal{F} \to \mathcal{G}' \to 0\] ；与前面一样可知，乘以 \(s'\) 在 \(H^1(\mathbf{P}^n_k, \mathcal{F}(m - d))\) 上是单射，只要 \(m \ll 0\)。这与对 \(s'\) 的选取矛盾，除非 \(N = 0\)，故结论成立。

还须处理 \(k\) 是有限域的情形。此时，令 \(K/k\) 为任意无限代数域扩张。记 \(\mathcal{F}_K\) 与 \(\mathcal{L}_K\) 为 \(\mathcal{F}\) 与 \(\mathcal{L}\) 到 \(X_K = \Spec(K) \times_{\Spec(k)} X\) 上的拉回。由《概形的上同调》，引理 02KH，有 \[H^1(X_K, \mathcal{F}_K \otimes \mathcal{L}_K^{\otimes m}) = H^1(X, \mathcal{F} \otimes \mathcal{L}^{\otimes m}) \otimes_k K\] 。另一方面，闭点 \(x_K\)（它属于 \(X_K\)）映到闭点 \(x\)（它属于 \(X\)），因为 \(K/k\) 是代数扩张。环映射 \(\mathcal{O}_{X, x} \to \mathcal{O}_{X_K, x_K}\) 是平坦的（引理 0C4Y）。因此由《代数》，引理 0338，有 \[\text{depth}(\mathcal{F}_{x_K}) = \text{depth}(\mathcal{F}_x \otimes_{\mathcal{O}_{X, x}} \mathcal{O}_{X_K, x_K}) \geq \text{depth}(\mathcal{F}_x)\] （事实上这里等号成立，但我们不需要它）。所以 \(k\) 上的结果由无限域 \(K\) 上的结果得出，证明完成。

引理

设 \(k\) 是域。设 \(X\) 是 \(k\) 上的本征概形。设 \(\mathcal{L}\) 是丰沛可逆 \(\mathcal{O}_X\)-模。设 \(s \in \Gamma(X, \mathcal{L})\)。假设

\(s\) 是正则截面（《除子》，定义 01WY），

对每个闭点 \(x \in X\)，有 \(\text{depth}(\mathcal{O}_{X, x}) \geq 2\)，并且

\(X\) 是连通的。

则 \(Z(s)\)（即 \(s\) 的零概形）是连通的。

证明

由于 \(s\) 是正则截面， \(s^n \in \Gamma(X, \mathcal{L}^{\otimes n})\) 对所有 \(n > 1\) 也是正则截面。此外，包含态射 \(Z(s) \to Z(s^n)\) 在底拓扑空间上是双射。因此，若 \(Z(s)\) 不连通，则 \(Z(s^n)\) 也不连通。现在考虑典范短正合列 \[0 \to \mathcal{L}^{\otimes -n} \xrightarrow{s^n} \mathcal{O}_X \to \mathcal{O}_{Z(s^n)} \to 0\] 。考虑 \(k\)-代数 \(R_n = \Gamma(X, \mathcal{O}_{Z(s^n)})\)。若 \(Z(s)\) 不连通，即 \(Z(s^n)\) 不连通，则或者 \(R_n\) 为零（当 \(Z(s^n) = \emptyset\) 时），或者 \(R_n\) 含有非平凡幂等元（当 \(Z(s^n) = U \amalg V\)，其中 \(U, V \subset Z(s^n)\) 开且非空时；读者可查阅引理 0BUG）。所以映射 \(\Gamma(X, \mathcal{O}_X) \to R_n\) 不可能是同构。从而，要么 \(H^0(X, \mathcal{L}^{\otimes -n})\) 非零，要么 \(H^1(X, \mathcal{L}^{\otimes -n})\) 对无穷多个正整数 \(n\) 非零。这与引理 0FD7 或 0FD8 矛盾，证明完成。

不可约空间非空。↩︎
注意，若 \(\kappa\) 的特征为 \(p\)，则该定理只说明存在满射 \(\Lambda[[x_1, \ldots, x_n]] \to \mathcal{O}_{X, x}^\wedge\)，其中 \(\Lambda\) 是 \(\kappa\) 的 Cohen 环。但在这种情形下，该映射当然经过 \(\Lambda/p\Lambda[[x_1, \ldots, x_n]]\) 分解，并且 \(\Lambda/p\Lambda = \kappa\)。↩︎
\(X\) 和 \(Y\) 拟分离的情形将在下文引理 0BEF 中讨论。↩︎
事实上，由《态射》引理 0BCL， H-射影簇是固有簇。由《态射》引理 01W6，源为固有簇的簇之间的态射是固有态射。↩︎
可以避免使用这个依赖形式函数定理的引理。事实上，\(X\) 射影，因此只须证明：固有态射 \(f : X \to Y\) 若连接两个在 \(k\) 上拟射影的概形且纤维有限，则是有限态射。为此，选取 \(X\) 中包含 \(f\) 在某点 \(y\) 上之纤维的仿射开集；这里使用了拟射影概形的任意有限点集在域 \(k\) 上都包含于某个仿射开集这一事实。把 \(Y\) 缩小到 \(y\) 的一个小仿射邻域后，问题约化为仿射概形之间的固有态射。由《态射》引理 01WM，这种态射有限。↩︎
若 \(X\) 是固有曲线，\(\mathcal{F}\) 是 \(X\) 上的凝聚层，则次数常定义为 \(\chi(X, \mathcal{F}) - r\chi(X, \mathcal{O}_X)\)，其中 \(r = \dim_{\kappa(\xi)} \mathcal{F}_\xi\) 是 \(\mathcal{F}\) 在泛点 \(\xi\)（\(X\) 的泛点）处的秩。↩︎
例如，可以考虑 \(H_v\) 在 \(k'\) 上光滑，或在 \(k'\) 上几何不可约这一条件。↩︎