除子

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引言

本章研究定义除子等问题所涉及的一些最基本问题。 基础参考文献是 [EGA]。

伴随点

设 \(R\) 为环，\(M\) 为 \(R\)-模。 回忆，若素理想 \(\mathfrak p \subset R\) 具有如下性质， 则称它是 \(M\) 的伴随素理想：\(M\) 中存在某个元素， 其零化子为 \(\mathfrak p\)。 参见《代数》定义 00LA。 下面给出概形上拟凝聚层的伴随点定义， 该定义取自 [EGA, IV Definition 3.1.1]。

定义

设 \(X\) 为概形。 设 \(\mathcal{F}\) 为 \(X\) 上的拟凝聚层。

1. 称 \(x \in X\) 是 \(\mathcal{F}\) 的伴随点， 如果极大理想 \(\mathfrak m_x\) 是 \(\mathcal{O}_{X, x}\)-模 \(\mathcal{F}_x\) 的伴随素理想。

2. 以 \(\text{Ass}(\mathcal{F})\) 或 \(\text{Ass}_X(\mathcal{F})\) 表示 \(\mathcal{F}\) 的伴随点集。

3. 所谓 \(X\) 的伴随点，是指 \(\mathcal{O}_X\) 的伴随点。

当 \(X\) 局部 Noether 且 \(\mathcal{F}\) 为有限型时， 这些定义最为有用。 例如，\(X\) 的某个不可约分支的泛点可能不是 \(X\) 的伴随点，见 例 05AI。 在非 Noether 情形下，使用弱伴随点有时更为方便，见 第 056K 节。 下面把概形论概念与仿射开集上的代数概念联系起来； 注意，这一对应只有对局部 Noether 概形才完全成立。

引理

设 \(X\) 为概形，\(\mathcal{F}\) 为 \(X\) 上的拟凝聚层。 设 \(\Spec(A) = U \subset X\) 为仿射开集，并置 \(M = \Gamma(U, \mathcal{F})\)。 设 \(x \in U\)，并令 \(\mathfrak p \subset A\) 为与之对应的素理想。

1. 若 \(\mathfrak p\) 是 \(M\) 的伴随素理想，则 \(x\) 是 \(\mathcal{F}\) 的伴随点。

2. 若 \(\mathfrak p\) 有限生成，则逆命题也成立。

特别地，若 \(X\) 局部 Noether，则对上述所有配对 \((\mathfrak p, x)\) 都有等价关系 \[\mathfrak p \in \text{Ass}(M) \Leftrightarrow x \in \text{Ass}(\mathcal{F})\] 成立。

证明

这由《代数》引理 0310 推出。 也可如下直接论证。 假设 \(\mathfrak p\) 是 \(M\) 的伴随素理想。 则存在 \(m \in M\)，其零化子为 \(\mathfrak p\)。 由于局部化是正合的，可见 \(\mathfrak pA_{\mathfrak p}\) 是 \(m/1 \in M_{\mathfrak p}\) 的零化子。又因 \(M_{\mathfrak p} = \mathcal{F}_x\) （《概形》引理 01HV）， 可知 \(x\) 是 \(\mathcal{F}\) 的伴随点。

反之，假设 \(x\) 是 \(\mathcal{F}\) 的伴随点，且 \(\mathfrak p\) 有限生成。 由 \(x\) 是 \(\mathcal{F}\) 的伴随点， 存在 \(m' \in M_{\mathfrak p}\)，其零化子为 \(\mathfrak pA_{\mathfrak p}\)。将其写成 \(m' = m/f\)，其中 \(f \in A\) 且 \(f \not \in \mathfrak p\)。 设 \(I\) 为 \(m\) 的零化子。它是 \(A\) 的理想，并满足 \(IA_{\mathfrak p} = \mathfrak pA_{\mathfrak p}\)。因此 \(I \subset \mathfrak p\)，且 \((\mathfrak p/I)_{\mathfrak p} = 0\)。 由于 \(\mathfrak p\) 有限生成，存在 \(g \in A\) 且 \(g \not \in \mathfrak p\)，使得 \(g(\mathfrak p/I) = 0\)。因此 \(gm\) 的零化子为 \(\mathfrak p\)，结论得证。

若 \(X\) 局部 Noether，则 \(A\) 为 Noether 环 （《性质》引理 01OW）， 因而 \(\mathfrak p\) 总是有限生成的。

引理

设 \(X\) 为概形。 设 \(\mathcal{F}\) 为拟凝聚 \(\mathcal{O}_X\)-模。 则 \(\text{Ass}(\mathcal{F}) \subset \text{Supp}(\mathcal{F})\)。

证明

这由定义立即推出。

引理

设 \(X\) 为概形，并设 \(0 \to \mathcal{F}_1 \to \mathcal{F}_2 \to \mathcal{F}_3 \to 0\) 为 \(X\) 上拟凝聚层的短正合列。则 \(\text{Ass}(\mathcal{F}_2) \subset \text{Ass}(\mathcal{F}_1) \cup \text{Ass}(\mathcal{F}_3)\)， 并且 \(\text{Ass}(\mathcal{F}_1) \subset \text{Ass}(\mathcal{F}_2)\)。

证明

对每个点 \(x \in X\)，茎的序列 \(0 \to \mathcal{F}_{1, x} \to \mathcal{F}_{2, x} \to \mathcal{F}_{3, x} \to 0\) 是 \(\mathcal{O}_{X, x}\)-模的短正合列。 因此本引理由《代数》引理 02M3 推出。

引理

设 \(X\) 为局部 Noether 概形。 设 \(\mathcal{F}\) 为凝聚 \(\mathcal{O}_X\)-模。 则 \(\text{Ass}(\mathcal{F}) \cap U\) 对每个拟紧开集 \(U \subset X\) 均为有限集。

证明

这是因为 Noether 环上的有限模只有有限多个伴随素理想；见 《代数》引理 00LC。 为把概形陈述转化为代数陈述，使用如下事实： \(U\) 是有限多个仿射开集的并；每个这样的开集都是某个 Noether 环的谱 （《性质》引理 01OW）； \(\mathcal{F}\) 对应于该环上的有限模 （《概形上同调》引理 01XZ）； 最后应用引理 02OK。

引理

设 \(X\) 为局部 Noether 概形，\(\mathcal{F}\) 为拟凝聚 \(\mathcal{O}_X\)-模。则 \[\mathcal{F} = 0 \Leftrightarrow \text{Ass}(\mathcal{F}) = \emptyset.\]

证明

若 \(\mathcal{F} = 0\)，则由定义 \(\text{Ass}(\mathcal{F}) = \emptyset\)。 反之，若 \(\text{Ass}(\mathcal{F}) = \emptyset\)，则由 《代数》引理 0587 可知 \(\mathcal{F} = 0\)。 为把概形陈述转化为代数陈述，只需限制到任意仿射开集并应用 引理 02OK。

例

设 \(k\) 为域。环 \(R = k[x_1, x_2, x_3, \ldots]/(x_i^2)\) 是局部环，其极大理想 \(\mathfrak m\) 局部幂零。 \(R\) 中不存在零化子为 \(\mathfrak m\) 的元素。 因此 \(\text{Ass}(R) = \emptyset\)，而 \(X = \Spec(R)\) 给出了一个没有伴随点的概形例子。

引理

设 \(X\) 为局部 Noether 概形，\(\mathcal{F}\) 为拟凝聚 \(\mathcal{O}_X\)-模。若 \(U \subset X\) 为开集且 \(\text{Ass}(\mathcal{F}) \subset U\)，则 \(\Gamma(X, \mathcal{F}) \to \Gamma(U, \mathcal{F})\) 为单射。

证明

设 \(s \in \Gamma(X, \mathcal{F})\) 为限制到 \(U\) 上等于零的截面。 令 \(\mathcal{F}' \subset \mathcal{F}\) 为映射 \(\mathcal{O}_X \to \mathcal{F}\) 的像，其中该映射由 \(s\) 定义。于是 \(\text{Supp}(\mathcal{F}') \cap U = \emptyset\)。另一方面，由 引理 05AE 有 \(\text{Ass}(\mathcal{F}') \subset \text{Ass}(\mathcal{F})\)。 又有 \(\text{Ass}(\mathcal{F}') \subset \text{Supp}(\mathcal{F}')\) （引理 05AD），故 \(\text{Ass}(\mathcal{F}') = \emptyset\)。 最后由引理 05AG 得 \(\mathcal{F}' = 0\)。

引理

设 \(X\) 为局部 Noether 概形。 设 \(\mathcal{F}\) 为拟凝聚 \(\mathcal{O}_X\)-模。 设 \(x \in \text{Supp}(\mathcal{F})\) 为 \(\mathcal{F}\) 的支撑中的点， 且它不是 \(\text{Supp}(\mathcal{F})\) 中任何其他点的特殊化。 则 \(x \in \text{Ass}(\mathcal{F})\)。 特别地，\(X\) 的每个不可约分支的泛点都是 \(X\) 的伴随点。

证明

由于 \(x \in \text{Supp}(\mathcal{F})\)，模 \(\mathcal{F}_x\) 非零。因此 \(\text{Ass}(\mathcal{F}_x) \subset \Spec(\mathcal{O}_{X, x})\) 由《代数》引理 0587 非空。 另一方面，由假设 \(\text{Supp}(\mathcal{F}_x) = \{\mathfrak m_x\}\)。 又因 \(\text{Ass}(\mathcal{F}_x) \subset \text{Supp}(\mathcal{F}_x)\) （《代数》引理 0586）， 可知 \(\mathfrak m_x\) 是 \(\mathcal{F}_x\) 的伴随素理想， 结论得证。

下一个引理对应于《代数进阶》引理 0AV7。

引理

设 \(X\) 为局部 Noether 概形，并设 \(\varphi : \mathcal{F} \to \mathcal{G}\) 为拟凝聚 \(\mathcal{O}_X\)-模之间的映射。 假设对每个 \(x \in X\)，以下至少一种情形成立：

1. \(\mathcal{F}_x \to \mathcal{G}_x\) 为单射；或

2. \(x \not \in \text{Ass}(\mathcal{F})\)。

则 \(\varphi\) 为单射。

证明

这些假设蕴含 \(\text{Ass}(\Ker(\varphi)) = \emptyset\)， 故由引理 05AG 有 \(\Ker(\varphi) = 0\)。

引理

设 \(X\) 为局部 Noether 概形，并设 \(\varphi : \mathcal{F} \to \mathcal{G}\) 为拟凝聚 \(\mathcal{O}_X\)-模之间的映射。假设 \(\mathcal{F}\) 凝聚， 并且对每个 \(x \in X\)，以下一种情形成立：

1. \(\mathcal{F}_x \to \mathcal{G}_x\) 为同构；或

2. \(\text{depth}(\mathcal{F}_x) \geq 2\) 且 \(x \not \in \text{Ass}(\mathcal{G})\)。

则 \(\varphi\) 为同构。

证明

这只是把《代数进阶》引理 0AV8 改写成概形语言。

态射与伴随点

设 \(f : X \to S\) 为概形的态射。 设 \(\mathcal{F}\) 为 \(\mathcal{O}_X\)-模层。 若 \(s \in S\) 是一点，则常用 \(\mathcal{F}_s\) 表示下述 \(\mathcal{O}_{X_s}\)-模：它是把 \(\mathcal{F}\) 沿态射 \(i_s : X_s \to X\) 拉回所得的模。 这里 \(X_s\) 是 \(f\) 在 \(s\) 上的概形论纤维。用公式表示即 \[\mathcal{F}_s = i_s^*\mathcal{F}\] 当然，这一记号会与 \(\mathcal{F}\) 在点 \(x \in X\) 处的茎所用的 既有记号冲突，这里指 \(f = \text{id}_X\) 的情形。不过，这一记号通常很方便， 如下述引理的表述所示。

引理

设 \(f : X \to S\) 为概形的态射。 设 \(\mathcal{F}\) 为 \(X\) 上在 \(S\) 上平坦的拟凝聚层。 设 \(\mathcal{G}\) 为 \(S\) 上的拟凝聚层。则有 \[\text{Ass}_X(\mathcal{F} \otimes_{\mathcal{O}_X} f^*\mathcal{G}) \supset \bigcup\nolimits_{s \in \text{Ass}_S(\mathcal{G})} \text{Ass}_{X_s}(\mathcal{F}_s)\] 而当 \(S\) 局部 Noether 时等号成立（记号 \(\mathcal{F}_s\) 见上文）。

证明

设 \(x \in X\)，并令 \(s = f(x) \in S\)。 置 \(B = \mathcal{O}_{X, x}\)、\(A = \mathcal{O}_{S, s}\)、 \(N = \mathcal{F}_x\) 和 \(M = \mathcal{G}_s\)。 注意，\(\mathcal{F} \otimes_{\mathcal{O}_X} f^*\mathcal{G}\) 在 \(x\) 处的茎等于 \(B\)-模 \(M \otimes_A N\)。因此， \(x \in \text{Ass}_X(\mathcal{F} \otimes_{\mathcal{O}_X} f^*\mathcal{G})\) 当且仅当 \(\mathfrak m_B\) 属于 \(\text{Ass}_B(M \otimes_A N)\)。 类似地，\(s \in \text{Ass}_S(\mathcal{G})\) 且 \(x \in \text{Ass}_{X_s}(\mathcal{F}_s)\)，当且仅当 \(\mathfrak m_A \in \text{Ass}_A(M)\) 且 \(\mathfrak m_B/\mathfrak m_A B \in \text{Ass}_{B \otimes \kappa(\mathfrak m_A)}(N \otimes \kappa(\mathfrak m_A))\)。 于是本引理由《代数》引理 05C2 得出。

嵌入点

设 \(R\) 为环，\(M\) 为 \(R\)-模。 回忆，若素理想 \(\mathfrak p \subset R\) 是 \(M\) 的伴随素理想， 但在 \(M\) 的伴随素理想中不是极小的，则称它为 \(M\) 的 嵌入伴随素理想。参见《代数》定义 02M5。 下面给出概形上拟凝聚层的嵌入伴随点定义， 该定义取自 [EGA, IV Definition 3.1.1]。

定义

设 \(X\) 为概形。 设 \(\mathcal{F}\) 为 \(X\) 上的拟凝聚层。

1. 称 \(\mathcal{F}\) 的某个伴随点为嵌入伴随点， 如果它在 \(\mathcal{F}\) 的伴随点中不是极大的；换言之， 它是 \(\mathcal{F}\) 的另一个伴随点的特化。

2. 设点 \(x\) 所在的概形为 \(X\)。若 \(x\) 是 \(\mathcal{O}_X\) 的嵌入伴随点，则称其为嵌入点。

3. \(X\) 的一个嵌入分支是不可约闭子集 \(Z = \overline{\{x\}}\)，其中 \(x\) 是 \(X\) 的嵌入点。

在 Noether 情形下，当 \(\mathcal{F}\) 凝聚时，有下述结论。

引理

设 \(X\) 为局部 Noether 概形。 设 \(\mathcal{F}\) 为凝聚 \(\mathcal{O}_X\)-模。则

1. \(\text{Supp}(\mathcal{F})\) 的不可约分支的泛点是 \(\mathcal{F}\) 的伴随点；

2. \(\mathcal{F}\) 的伴随点是嵌入伴随点，当且仅当它不是 \(\text{Supp}(\mathcal{F})\) 的某个不可约分支的泛点。

特别地，\(X\) 的嵌入点就是 \(X\) 的伴随点中那些不是 \(X\) 的 不可约分支泛点的点。

证明

回忆，在此情形下 \(Z = \text{Supp}(\mathcal{F})\) 是闭集，见 《态射》引理 056J；并且 \(Z\) 的不可约分支的泛点是 \(\mathcal{F}\) 的伴随点，见引理 05AH。最后，由引理 05AD 有 \(\text{Ass}(\mathcal{F}) \subset Z\)。 结合这些结论以及 \(Z\) 是 sober 拓扑空间这一事实（因而 \(Z\) 的 每个点都是 \(Z\) 的某个泛点的特化），便得到 (1) 和 (2)。

引理

设 \(X\) 为局部 Noether 概形。 设 \(\mathcal{F}\) 为 \(X\) 上的凝聚层。则以下条件等价：

1. \(\mathcal{F}\) 没有嵌入伴随点；

2. \(\mathcal{F}\) 具有性质 \((S_1)\)。

证明

这是《代数》引理 031Q 与上面的引理 02OK 的结合。

引理

设 \(X\) 为维数 \(\leq 1\) 的局部 Noether 概形。以下条件等价：

1. \(X\) 是 Cohen-Macaulay 概形；

2. \(X\) 没有嵌入点。

证明

由引理 0346 及各定义立即得到。

引理

设 \(X\) 为局部 Noether 概形，并设 \(U \subset X\) 为开子概形。 以下条件等价：

1. \(U\) 在 \(X\) 中概形论稠密 （《态射》定义 01RB）；

2. \(U\) 在 \(X\) 中稠密，且 \(U\) 包含 \(X\) 的所有嵌入点；

3. \(U\) 包含 \(X\) 的所有伴随点。

证明

问题在 \(X\) 上是局部的，故可假设 \(X = \Spec(A)\)，其中 \(A\) 为 Noether 环。此时 \(U\) 拟紧（《性质》引理 01OX），因而 \(U = D(f_1) \cup \ldots \cup D(f_n)\) （《代数》引理 00F6）。在此情形下， \(U\) 在 \(X\) 中概形论稠密，当且仅当 \(A \to A_{f_1} \times \ldots \times A_{f_n}\) 是单射，见《态射》例 056C。 条件 (3) 翻译为代数语言就是说：对每个伴随素理想 \(\mathfrak p\)，若它是 \(A\) 的伴随素理想，则都存在某个 \(i\) 使得 \(f_i \not \in \mathfrak p\)。

假设 (1)，即 \(A \to A_{f_1} \times \ldots \times A_{f_n}\) 是单射。 设 \(a \in A\) 的零化子是素理想 \(\mathfrak p\)。由于 \(a\) 在某个 \(A_{f_i}\) 中的像非零，便知对某个 \(i\) 有 \(f_i \not \in \mathfrak p\)。故 (3) 成立。

注意，\(U\) 在 \(\Spec(A)\) 中稠密，当且仅当它包含所有极小素理想。 由于 \(A\) 的伴随素理想之集等于极小素理想之集与嵌入伴随素理想 之集的并（见《代数》命题 02CE）， 可知 (2) 与 (3) 等价。

假设 (3)。这表示每个伴随素理想 \(\mathfrak p\)，如果它是 \(A\) 的伴随素理想，便对应于某个 \(A_{f_i}\) 的一个素理想，其中 \(i\) 可适当选取。因此 \(A \to A_{f_1} \times \ldots \times A_{f_n}\) 是单射，因为由 《代数》引理 0311，映射 \(A \to \prod_{\mathfrak p \in \text{Ass}(A)} A_\mathfrak p\) 是单射。 由此可见 (3) 蕴含 (1)。

引理

设 \(X\) 为局部 Noether 概形。 设 \(\mathcal{F}\) 为 \(X\) 上的凝聚层。满足下述条件的凝聚子层之集 \[\{ \mathcal{K} \subset \mathcal{F} \mid \text{Supp}(\mathcal{K})\text{ is nowhere dense in }\text{Supp}(\mathcal{F}) \}\] 有一个极大元 \(\mathcal{K}\)。令 \(\mathcal{F}' = \mathcal{F}/\mathcal{K}\)，则有

1. \(\text{Supp}(\mathcal{F}') = \text{Supp}(\mathcal{F})\)；

2. \(\mathcal{F}'\) 没有嵌入伴随点；

3. 存在稠密开集 \(U \subset X\)，使得 \(U \cap \text{Supp}(\mathcal{F})\) 在 \(\text{Supp}(\mathcal{F})\) 中稠密，且 \(\mathcal{F}'|_U \cong \mathcal{F}|_U\)。

证明

这由《代数》引理 02M6 和 02M7 得出。 注意，\(U\) 可取为 \(\mathcal{F}\) 的嵌入伴随点之集的闭包的补集。

引理

设 \(X\) 为局部 Noether 概形。 设 \(\mathcal{F}\) 为没有嵌入伴随点的凝聚 \(\mathcal{O}_X\)-模。置 \[\mathcal{I} = \Ker(\mathcal{O}_X \longrightarrow \SheafHom_{\mathcal{O}_X}(\mathcal{F}, \mathcal{F})).\] 这是一个凝聚理想层，并定义了没有嵌入点的闭子概形 \(Z \subset X\)。此外，存在凝聚层 \(\mathcal{G}\)，它定义在 \(Z\) 上，并且 (a) \(\mathcal{F} = (Z \to X)_*\mathcal{G}\)， (b) \(\mathcal{G}\) 没有嵌入伴随点，且 (c) \(\text{Supp}(\mathcal{G}) = Z\)（作为集合）。

证明

其中一些断言已在《概形上同调》引理 01Y5 的证明中见过， 其余断言由《代数》引理 02M8 得出。

弱伴随点

设 \(R\) 为环，\(M\) 为 \(R\)-模。 回忆，称素理想 \(\mathfrak p \subset R\) 与 \(M\) 弱伴随， 如果存在一个元素 \(m\)，它属于 \(M\)，并且 \(\mathfrak p\) 在包含 \(m\) 的零化子的素理想中极小。参见《代数》定义 0547。 若 \(R\) 是极大理想为 \(\mathfrak m\) 的局部环，则 \(\mathfrak m\) 与 \(M\) 弱伴随，当且仅当存在元素 \(m \in M\)， 其零化子的根理想为 \(\mathfrak m\)，见《代数》引理 0566。

定义

设 \(X\) 为概形。 设 \(\mathcal{F}\) 为 \(X\) 上的拟凝聚层。

1. 称 \(x \in X\) 与 \(\mathcal{F}\) 弱伴随，如果极大理想 \(\mathfrak m_x\) 与 \(\mathcal{O}_{X, x}\)-模 \(\mathcal{F}_x\) 弱伴随。

2. 用 \(\text{WeakAss}(\mathcal{F})\) 表示 \(\mathcal{F}\) 的 弱伴随点之集。

3. \(X\) 的弱伴随点是 \(\mathcal{O}_X\) 的弱伴随点。

在这种情形下，在任意仿射开集上，这一概念恰好对应于上面定义的 弱伴随素理想。精确表述如下。

引理

设 \(X\) 为概形，\(\mathcal{F}\) 为 \(X\) 上的拟凝聚层。 设 \(\Spec(A) = U \subset X\) 为仿射开集，并置 \(M = \Gamma(U, \mathcal{F})\)。 设 \(x \in U\)，并设 \(\mathfrak p \subset A\) 为对应的素理想。 以下条件等价：

1. \(\mathfrak p\) 与 \(M\) 弱伴随；

2. \(x\) 与 \(\mathcal{F}\) 弱伴随。

证明

这由《代数》引理 0566 得出。

引理

设 \(X\) 为概形。 设 \(\mathcal{F}\) 为拟凝聚 \(\mathcal{O}_X\)-模。则 \[\text{Ass}(\mathcal{F}) \subset \text{WeakAss}(\mathcal{F}) \subset \text{Supp}(\mathcal{F}).\]

证明

这由定义立即得到。

引理

设 \(X\) 为概形。设 \(0 \to \mathcal{F}_1 \to \mathcal{F}_2 \to \mathcal{F}_3 \to 0\) 为 \(X\) 上拟凝聚层的短正合列。则 \(\text{WeakAss}(\mathcal{F}_2) \subset \text{WeakAss}(\mathcal{F}_1) \cup \text{WeakAss}(\mathcal{F}_3)\)，且 \(\text{WeakAss}(\mathcal{F}_1) \subset \text{WeakAss}(\mathcal{F}_2)\)。

证明

对每个点 \(x \in X\)，茎的序列 \(0 \to \mathcal{F}_{1, x} \to \mathcal{F}_{2, x} \to \mathcal{F}_{3, x} \to 0\) 是 \(\mathcal{O}_{X, x}\)-模的短正合列。因此，本引理由《代数》引理 0548 得出。

引理

设 \(X\) 为概形。 设 \(\mathcal{F}\) 为拟凝聚 \(\mathcal{O}_X\)-模。则 \[\mathcal{F} = (0) \Leftrightarrow \text{WeakAss}(\mathcal{F}) = \emptyset\]

证明

由引理 056M 和《代数》引理 0588 得出。

引理

设 \(X\) 为概形，\(\mathcal{F}\) 为拟凝聚 \(\mathcal{O}_X\)-模。 若 \(U \subset X\) 是开集，且 \(\text{WeakAss}(\mathcal{F}) \subset U\)，则映射 \(\Gamma(X, \mathcal{F}) \to \Gamma(U, \mathcal{F})\) 是单射。

证明

设 \(s \in \Gamma(X, \mathcal{F})\) 为一个限制到 \(U\) 上为零的截面。 令 \(\mathcal{F}' \subset \mathcal{F}\) 为映射 \(\mathcal{O}_X \to \mathcal{F}\) 的像，该映射由 \(s\) 定义。于是 \(\text{Supp}(\mathcal{F}') \cap U = \emptyset\)。另一方面，由引理 05AN，有 \(\text{WeakAss}(\mathcal{F}') \subset \text{WeakAss}(\mathcal{F})\)。 又有 \(\text{WeakAss}(\mathcal{F}') \subset \text{Supp}(\mathcal{F}')\) （引理 05AM），故 \(\text{WeakAss}(\mathcal{F}') = \emptyset\)。 再由引理 05AP 得 \(\mathcal{F}' = 0\)。

引理

设 \(X\) 为概形。 设 \(\mathcal{F}\) 为拟凝聚 \(\mathcal{O}_X\)-模。 设 \(x \in \text{Supp}(\mathcal{F})\) 是 \(\mathcal{F}\) 的支撑中的一点， 并且它不是 \(\text{Supp}(\mathcal{F})\) 中另一个点的特化。则 \(x \in \text{WeakAss}(\mathcal{F})\)。 特别地，\(X\) 的任一不可约分支的泛点都与 \(\mathcal{O}_X\) 弱伴随。

证明

由于 \(x \in \text{Supp}(\mathcal{F})\)，模 \(\mathcal{F}_x\) 非零。 因此，由《代数》引理 0588，集合 \(\text{WeakAss}(\mathcal{F}_x) \subset \Spec(\mathcal{O}_{X, x})\) 非空。另一方面，根据假设， \(\text{Supp}(\mathcal{F}_x) = \{\mathfrak m_x\}\)。 又因为 \(\text{WeakAss}(\mathcal{F}_x) \subset \text{Supp}(\mathcal{F}_x)\) （《代数》引理 0589），可见 \(\mathfrak m_x\) 与 \(\mathcal{F}_x\) 弱伴随，结论成立。

引理

设 \(X\) 为概形。 设 \(\mathcal{F}\) 为拟凝聚 \(\mathcal{O}_X\)-模。 若 \(\mathfrak m_x\) 是 \(\mathcal{O}_{X, x}\) 的有限生成理想，则 \[x \in \text{Ass}(\mathcal{F}) \Leftrightarrow x \in \text{WeakAss}(\mathcal{F}).\] 特别地，若 \(X\) 局部 Noether，则 \(\text{Ass}(\mathcal{F}) = \text{WeakAss}(\mathcal{F})\)。

证明

见《代数》引理 058A。

引理

设 \(f : X \to S\) 为拟紧拟分离的概形态射。 设 \(\mathcal{F}\) 为拟凝聚 \(\mathcal{O}_X\)-模。 设 \(s \in S\) 是一个不属于 \(f\) 的像的点。则 \(s\) 不与 \(f_*\mathcal{F}\) 弱伴随。

证明

考虑基变换 \(f' : X' \to \Spec(\mathcal{O}_{S, s})\)；它由 \(f\) 沿态射 \(g : \Spec(\mathcal{O}_{S, s}) \to S\) 得到。记另一个投影为 \(g' : X' \to X\)。于是 \[(f_*\mathcal{F})_s = (g^*f_*\mathcal{F})_s = (f'_*(g')^*\mathcal{F})_s\] 第一个等式成立，是因为 \(g\) 在 \(s\) 处的局部环上诱导同构； 第二个等式由平坦基变换得到（《概形上同调》引理 02KH）。当然， \(s \in \Spec(\mathcal{O}_{S, s})\) 不属于 \(f'\) 的像。 因此可假设 \(S\) 是局部环 \((A, \mathfrak m)\) 的谱，并且 \(s\) 对应于 \(\mathfrak m\)。由《概形》引理 01LC，层 \(f_*\mathcal{F}\) 拟凝聚，设它对应于 \(A\)-模 \(M\)。 由于 \(s\) 不属于 \(f\) 的像，可见 \(X = \bigcup_{a \in \mathfrak m} f^{-1}D(a)\) 是一个开覆盖。 因为 \(X\) 拟紧，可找到 \(a_1, \ldots, a_n \in \mathfrak m\)，使得 \(X = f^{-1}D(a_1) \cup \ldots \cup f^{-1}D(a_n)\)。由此 \[M \to M_{a_1} \oplus \ldots \oplus M_{a_r}\] 是单射。因此，对任意非零元素 \(m\)，若把它视作茎 \(M_\mathfrak p\) 的元素， 存在一个 \(i\)，使得 \(a_i^n m\) 对所有 \(n \geq 0\) 都非零。 故 \(\mathfrak m\) 不与 \(M\) 弱伴随。

引理

设 \(X\) 为概形。设 \(\varphi : \mathcal{F} \to \mathcal{G}\) 为拟凝聚 \(\mathcal{O}_X\)-模之间的映射。假设对每个 \(x \in X\)， 以下至少一种情形成立：

1. \(\mathcal{F}_x \to \mathcal{G}_x\) 是单射；

2. \(x \not \in \text{WeakAss}(\mathcal{F})\)。

则 \(\varphi\) 是单射。

证明

这些假设蕴含 \(\text{WeakAss}(\Ker(\varphi)) = \emptyset\)， 故由引理 05AP 有 \(\Ker(\varphi) = 0\)。

引理

设 \(X\) 为局部 Noether 概形，\(\mathcal{F}\) 为凝聚 \(\mathcal{O}_X\)-模。设 \(j : U \to X\) 为开子概形，并且对 \(x \in X \setminus U\) 有 \(\text{depth}(\mathcal{F}_x) \geq 2\)。则 \[\mathcal{F} \longrightarrow j_*(\mathcal{F}|_U)\] 是同构，从而 \(\Gamma(X, \mathcal{F}) \to \Gamma(U, \mathcal{F})\) 也是同构。

证明

我们断言，引理 0AVM 可用于本引理中展示的映射。 设 \(x \in X\)。若 \(x \in U\)，则该映射在茎上是同构，因为 \(j_*(\mathcal{F}|_U)|_U = \mathcal{F}|_U\)。 若 \(x \in X \setminus U\)，则 \(x \not \in \text{Ass}(j_*(\mathcal{F}|_U))\) （引理 0AVN 和 05AM）。再结合假设 \(\text{depth}(\mathcal{F}_x) \geq 2\)，证明即告完成。

引理

设 \(X\) 为约化概形。则 \(X\) 的弱伴随点恰好是 \(X\) 的 不可约分支的泛点。

证明

由《代数》引理 0EMA 得出。

态射与弱伴随点

引理

设 \(f : X \to S\) 为概形的仿射态射。 设 \(\mathcal{F}\) 为拟凝聚 \(\mathcal{O}_X\)-模。则 \[\text{WeakAss}_S(f_*\mathcal{F}) \subset f(\text{WeakAss}_X(\mathcal{F}))\]

证明

可以假设 \(X\) 和 \(S\) 仿射，故 \(X \to S\) 来自环映射 \(A \to B\)。于是 \(\mathcal{F} = \widetilde M\)，这里所用的是某个 \(B\)-模 \(M\)。由引理 056M， \(\mathcal{F}\) 的弱伴随点恰好对应于 \(M\) 的弱伴随素理想。 类似地，\(f_*\mathcal{F}\) 的弱伴随点恰好对应于把 \(M\) 看作 \(A\)-模时的弱伴随素理想。因此，本引理由《代数》引理 05C6 得出。

引理

设 \(f : X \to S\) 为概形的仿射态射。 设 \(\mathcal{F}\) 为拟凝聚 \(\mathcal{O}_X\)-模。 若 \(X\) 局部 Noether，则 \[f(\text{Ass}_X(\mathcal{F})) = \text{Ass}_S(f_*\mathcal{F}) = \text{WeakAss}_S(f_*\mathcal{F}) = f(\text{WeakAss}_X(\mathcal{F}))\]

证明

可以假设 \(X\) 和 \(S\) 仿射，故 \(X \to S\) 来自环映射 \(A \to B\)。由于 \(X\) 局部 Noether，环 \(B\) 是 Noether 环，见 《性质》引理 01OW。 写 \(\mathcal{F} = \widetilde M\)，这里所用的是某个 \(B\)-模 \(M\)。 由引理 02OK，\(\mathcal{F}\) 的伴随点 恰好对应于 \(M\) 的伴随素理想；而把 \(M\) 看作 \(A\)-模时的任一 伴随素理想，都是 \(f_*\mathcal{F}\) 的一个伴随点。因此，由《代数》引理 05DZ 得到包含关系 \[f(\text{Ass}_X(\mathcal{F})) \subset \text{Ass}_S(f_*\mathcal{F})\] 由引理 05AM，有包含关系 \[\text{Ass}_S(f_*\mathcal{F}) \subset \text{WeakAss}_S(f_*\mathcal{F})\] 由引理 05EX，有包含关系 \[\text{WeakAss}_S(f_*\mathcal{F}) \subset f(\text{WeakAss}_X(\mathcal{F}))\] 由引理 05AR，最外侧的两个集合相等， 故处处均为等号。

引理

设 \(f : X \to S\) 为概形的有限态射。 设 \(\mathcal{F}\) 为拟凝聚 \(\mathcal{O}_X\)-模。则 \(\text{WeakAss}(f_*\mathcal{F}) = f(\text{WeakAss}(\mathcal{F}))\)。

证明

可以假设 \(X\) 和 \(S\) 仿射，故 \(X \to S\) 来自有限环映射 \(A \to B\)。写 \(\mathcal{F} = \widetilde M\)，这里所用的是某个 \(B\)-模 \(M\)。由引理 056M， \(\mathcal{F}\) 的弱伴随点恰好对应于 \(M\) 的弱伴随素理想。 类似地，\(f_*\mathcal{F}\) 的弱伴随点恰好对应于把 \(M\) 看作 \(A\)-模时的弱伴随素理想。因此，本引理由《代数》引理 05E1 得出。

引理

设 \(f : X \to S\) 为概形的态射，\(\mathcal{G}\) 为拟凝聚 \(\mathcal{O}_S\)-模。设 \(x \in X\) 且 \(s = f(x)\)。 若 \(f\) 在 \(x\) 处平坦，点 \(x\) 是纤维 \(X_s\) 的泛点，并且 \(s \in \text{WeakAss}_S(\mathcal{G})\)，则 \(x \in \text{WeakAss}(f^*\mathcal{G})\)。

证明

置 \(A = \mathcal{O}_{S, s}\)、\(B = \mathcal{O}_{X, x}\) 和 \(M = \mathcal{G}_s\)。设 \(m \in M\) 为一个元素，其零化子 \(I = \{a \in A \mid am = 0\}\) 的根理想为 \(\mathfrak m_A\)。 \(m \otimes 1\) 的零化子为 \(I B\)，因为 \(A \to B\) 忠实平坦。 因此，只须证明 \(\sqrt{I B} = \mathfrak m_B\)。这由以下两点得出： \(B/\mathfrak m_AB\) 的极大理想局部幂零（见《代数》引理 00EU），以及假设 \(\sqrt{I} = \mathfrak m_A\)。略去一些细节。

引理

设 \(K/k\) 为域扩张，\(X\) 为 \(k\) 上的概形。 设 \(\mathcal{F}\) 为拟凝聚 \(\mathcal{O}_X\)-模。 设 \(y \in X_K\) 的像为 \(x \in X\)。若 \(y\) 是拉回 \(\mathcal{F}_K\) 的弱伴随点，则 \(x\) 是 \(\mathcal{F}\) 的弱伴随点。

证明

这只是把《代数》引理 0CUB 改写成概形语言。

下面是一个简单引理，它表明直像常常具有至少为 2 的深度。

引理

设 \(f : X \to S\) 为拟紧拟分离的概形态射。 设 \(\mathcal{F}\) 为拟凝聚 \(\mathcal{O}_X\)-模。 设 \(s \in S\)。

1. 若 \(s \not \in f(X)\)，则 \(s\) 不与 \(f_*\mathcal{F}\) 弱伴随。

2. 若 \(s \not \in f(X)\) 且 \(\mathcal{O}_{S, s}\) 是 Noether 环， 则 \(s\) 不是 \(f_*\mathcal{F}\) 的伴随点。

3. 若 \(s \not \in f(X)\)，\((f_*\mathcal{F})_s\) 是有限 \(\mathcal{O}_{S, s}\)-模，并且 \(\mathcal{O}_{S, s}\) 是 Noether 环， 则 \(\text{depth}((f_*\mathcal{F})_s) \geq 2\)。

4. 若 \(\mathcal{F}\) 在 \(S\) 上平坦，并且 \(a \in \mathfrak m_s\) 是非零因子，则 \(a\) 在 \((f_*\mathcal{F})_s\) 上是非零因子。

5. 若 \(\mathcal{F}\) 在 \(S\) 上平坦，并且 \(a, b \in \mathfrak m_s\) 是正则序列，则 \(a\) 在 \((f_*\mathcal{F})_s\) 上是非零因子，且 \(b\) 在 \((f_*\mathcal{F})_s/a(f_*\mathcal{F})_s\) 上是非零因子。

6. 若 \(\mathcal{F}\) 在 \(S\) 上平坦，并且 \((f_*\mathcal{F})_s\) 是有限 \(\mathcal{O}_{S, s}\)-模，则 \(\text{depth}((f_*\mathcal{F})_s) \geq \min(2, \text{depth}(\mathcal{O}_{S, s}))\)。

证明

(1) 是引理 0AVN。 (2) 由 (1) 和引理 05AR 得出。

证明 (3)。要证明深度 \(\geq 2\)，只须证明 \(\Hom_{\mathcal{O}_{S, s}}(\kappa(s), (f_*\mathcal{F})_s) = 0\) 及 \(\Ext^1_{\mathcal{O}_{S, s}}(\kappa(s), (f_*\mathcal{F})_s) = 0\)， 见《代数》引理 00LW。

利用正合列 \(0 \to \mathfrak m_s \to \mathcal{O}_{S, s} \to \kappa(s) \to 0\)， 只须证明映射 \[\Hom_{\mathcal{O}_{S, s}}(\mathcal{O}_{S, s}, (f_*\mathcal{F})_s) \to \Hom_{\mathcal{O}_{S, s}}(\mathfrak m_s, (f_*\mathcal{F})_s)\] 是同构。由平坦基变换（《概形上同调》引理 02KH），可以把 \(S\) 替换为 \(\Spec(\mathcal{O}_{S, s})\)，并把 \(X\) 替换为 \(\Spec(\mathcal{O}_{S, s}) \times_S X\)。 用 \(\mathfrak m \subset \mathcal{O}_S\) 表示 \(s\) 的理想层。于是 \[\Hom_{\mathcal{O}_{S, s}}(\mathfrak m_s, (f_*\mathcal{F})_s) = \Hom_{\mathcal{O}_S}(\mathfrak m, f_*\mathcal{F}) = \Hom_{\mathcal{O}_X}(f^*\mathfrak m, \mathcal{F})\] 第一个等式成立，是因为 \(S\) 是以 \(s\) 为闭点的局部概形； 第二个等式由拟凝聚模上 \(f^*, f_*\) 的伴随性得到。然而，由于 \(s \not \in f(X)\)，可见 \(f^*\mathfrak m = \mathcal{O}_X\)。 沿上述论证逆推，便得到所需等式。

为证明 (4)、(5) 和 (6)，利用平坦基变换（《概形上同调》引理 02KH），可约化到 \(S\) 是 \(\mathcal{O}_{S, s}\) 的谱的情形。此时非零因子 \(a \in \mathcal{O}_{S, s}\) 确定短正合列 \[0 \to \mathcal{O}_S \xrightarrow{a} \mathcal{O}_S \to \mathcal{O}_S/a \mathcal{O}_S \to 0\] 由于 \(\mathcal{F}\) 在 \(S\) 上平坦，得到正合列 \[0 \to \mathcal{F} \xrightarrow{a} \mathcal{F} \to \mathcal{F}/a\mathcal{F} \to 0\] 取直像，得到正合列 \[0 \to f_*\mathcal{F} \xrightarrow{a} f_*\mathcal{F} \to f_*(\mathcal{F}/a\mathcal{F})\] 这证明了 (4)，并且说明 \(f_*\mathcal{F}/ af_*\mathcal{F} \subset f_*(\mathcal{F}/a\mathcal{F})\)。 若 \(b\) 在 \(\mathcal{O}_{S, s}/a\mathcal{O}_{S, s}\) 上是非零因子， 则完全相同的论证说明 \(b : \mathcal{F}/a\mathcal{F} \to \mathcal{F}/a\mathcal{F}\) 是单射。 取直像可知 \[b : f_*(\mathcal{F}/a\mathcal{F}) \to f_*(\mathcal{F}/a\mathcal{F})\] 是单射，因而 \(b : f_*\mathcal{F}/ af_*\mathcal{F} \to f_*\mathcal{F}/ af_*\mathcal{F}\) 也为单射。这证明了 (5)。(6) 由 (4)、(5) 及各定义得出。

相对伴随点集

设 \(A \to B\) 为环映射，\(N\) 为 \(B\)-模。回忆，若素理想 \(\mathfrak q \subset B\) 满足如下条件，则称它属于 \(N\) 在 \(B/A\) 上的相对伴随素理想集：\(\mathfrak q\) 是 \(N \otimes_A \kappa(\mathfrak p)\) 的伴随素理想。这里 \(\mathfrak p = A \cap \mathfrak q\)。见《代数》定义 05GC。 下面定义概形态射上拟凝聚层的相对伴随点集。

定义

设 \(f : X \to S\) 为概形的态射。 设 \(\mathcal{F}\) 为拟凝聚 \(\mathcal{O}_X\)-模。 \(\mathcal{F}\) 在 \(X\) 中、\(S\) 上的相对伴随点集是集合 \[\text{Ass}_{X/S}(\mathcal{F}) = \bigcup\nolimits_{s \in S} \text{Ass}_{X_s}(\mathcal{F}_s)\] 其中 \(\mathcal{F}_s = (X_s \to X)^*\mathcal{F}\) 是 \(\mathcal{F}\) 在 \(f\) 于 \(s\) 处的纤维上的限制。

这里仍有一个注意事项：最好只在 \(f\) 的纤维局部 Noether 且 \(\mathcal{F}\) 为有限型时使用这一概念。一般情形下，或许应当使用 相对弱伴随点集（定义见下一节）。下面把概形论概念与仿射开集上的 代数概念联系起来；注意，这一对应只有在概形态射的纤维局部 Noether 时才完全成立。

引理

设 \(f : X \to S\) 为概形的态射。 设 \(\mathcal{F}\) 为 \(X\) 上的拟凝聚层。 设 \(U \subset X\) 和 \(V \subset S\) 为仿射开集，且 \(f(U) \subset V\)。写 \(U = \Spec(A)\)、\(V = \Spec(R)\)，并置 \(M = \Gamma(U, \mathcal{F})\)。 设 \(x \in U\)，并设 \(\mathfrak p \subset A\) 为对应的素理想。则 \[\mathfrak p \in \text{Ass}_{A/R}(M) \Rightarrow x \in \text{Ass}_{X/S}(\mathcal{F})\] 若所有纤维 \(X_s\)（即 \(f\) 的纤维）都局部 Noether，则等价式 \(\mathfrak p \in \text{Ass}_{A/R}(M) \Leftrightarrow x \in \text{Ass}_{X/S}(\mathcal{F})\) 对上述每一对 \((\mathfrak p, x)\) 都成立。

证明

集合 \(\text{Ass}_{A/R}(M)\) 定义于《代数》定义 05GC。选取一对 \((\mathfrak p, x)\)，并令 \(s = f(x)\)。 设 \(\mathfrak r \subset R\) 为位于 \(\mathfrak p\) 之下的素理想， 即对应于 \(s\) 的素理想。设 \(\mathfrak p' \subset A \otimes_R \kappa(\mathfrak r)\) 为逆像等于 \(\mathfrak p\) 的素理想；换言之，它对应于把 \(x\) 看作其纤维 \(X_s\) 的点时的那个点。于是， \(\mathfrak p \in \text{Ass}_{A/R}(M)\) 当且仅当 \(\mathfrak p'\) 是 \(M \otimes_R \kappa(\mathfrak r)\) 的伴随素理想，见《代数》引理 05GB。 注意，环 \(A \otimes_R \kappa(\mathfrak r)\) 对应于 \(U_s\)，而模 \(M \otimes_R \kappa(\mathfrak r)\) 对应于拟凝聚层 \(\mathcal{F}_s|_{U_s}\)。因此，由引理 02OK，\(x\) 是 \(\mathcal{F}_s\) 的伴随点。 若 \(\mathfrak p'\) 有限生成，则逆命题也成立；这便说明了最后一句。

引理

设 \(f : X \to S\) 为概形的态射。 设 \(\mathcal{F}\) 为拟凝聚 \(\mathcal{O}_X\)-模。 设 \(g : S' \to S\) 为概形的态射。考虑基变换图 \[\xymatrix{ X' \ar[d] \ar[r]_{g'} & X \ar[d] \\ S' \ar[r]^g & S }\] 并置 \(\mathcal{F}' = (g')^*\mathcal{F}\)。设点 \(x' \in X'\) 的像 分别为 \(x \in X\)、\(s' \in S'\) 和 \(s \in S\)。假设 \(f\) 局部有限型。 则 \(x' \in \text{Ass}_{X'/S'}(\mathcal{F}')\) 当且仅当 \(x \in \text{Ass}_{X/S}(\mathcal{F})\)，并且 \(x'\) 对应于 \(\Spec(\kappa(s') \otimes_{\kappa(s)} \kappa(x))\) 的一个不可约分支的泛点。

证明

考虑纤维态射 \(X'_{s'} \to X_s\)。由于 \(X_{s'} = X_s \times_{\Spec(\kappa(s))} \Spec(\kappa(s'))\)， 这是平坦态射。此外，\(\mathcal{F}'_{s'}\) 是 \(\mathcal{F}_s\) 沿此态射的拉回。 由于 \(X_s\) 在 Noether 概形 \(\Spec(\kappa(s))\) 上局部有限型， 故 \(X_s\) 局部 Noether，见《态射》引理 01T6。因此可应用引理 05DB，得到 \[\text{Ass}_{X'_{s'}}(\mathcal{F}'_{s'}) = \bigcup\nolimits_{x \in \text{Ass}(\mathcal{F}_s)} \text{Ass}((X'_{s'})_x).\] 于是，为证明本引理，只须说明纤维 \((X'_{s'})_x\) 的伴随点就是其泛点； 这里该纤维是态射 \(X'_{s'} \to X_s\) 在 \(x\) 上的纤维。注意，作为概形有 \((X'_{s'})_x = \Spec(\kappa(s') \otimes_{\kappa(s)} \kappa(x))\)。 由《代数》引理 045M，环 \(\kappa(s') \otimes_{\kappa(s)} \kappa(x)\) 是 Noether Cohen-Macaulay 环。因此，它的伴随素理想就是其极小素理想；见 《代数》命题 02CE （极小素理想是伴随素理想）和《代数》引理 031Q（没有嵌入素理想）。

注

采用引理 05DC 的记号和假设， 总有 \((g')^{-1}(\text{Ass}_{X/S}(\mathcal{F})) \supset \text{Ass}_{X'/S'}(\mathcal{F}')\)。 若态射 \(S' \to S\) 局部拟有限，则事实上有 \[(g')^{-1}(\text{Ass}_{X/S}(\mathcal{F})) = \text{Ass}_{X'/S'}(\mathcal{F}')\] 因为此时域扩张 \(\kappa(s')/\kappa(s)\) 总是有限的。事实上， 对任意满足下述条件的态射 \(g : S' \to S\)，这一结论仍成立： 所有域扩张 \(\kappa(s')/\kappa(s)\) 都是代数扩张。这是因为此时 \(\kappa(s') \otimes_{\kappa(s)} \kappa(x)\) 的所有素理想都是 极大（且极小）素理想，见《代数》引理 00GS。

相对弱伴随点集

定义

设 \(f : X \to S\) 为概形的态射。 设 \(\mathcal{F}\) 为拟凝聚 \(\mathcal{O}_X\)-模。 \(\mathcal{F}\) 在 \(X\) 中、\(S\) 上的相对弱伴随点集是集合 \[\text{WeakAss}_{X/S}(\mathcal{F}) = \bigcup\nolimits_{s \in S} \text{WeakAss}(\mathcal{F}_s)\] 其中 \(\mathcal{F}_s = (X_s \to X)^*\mathcal{F}\) 是 \(\mathcal{F}\) 在 \(f\) 于 \(s\) 处的纤维上的限制。

引理

设 \(f : X \to S\) 为局部有限型的概形态射。 设 \(\mathcal{F}\) 为拟凝聚 \(\mathcal{O}_X\)-模。则 \(\text{WeakAss}_{X/S}(\mathcal{F}) = \text{Ass}_{X/S}(\mathcal{F})\)。

证明

这是因为 \(f\) 的纤维都是局部 Noether 概形，并且在局部 Noether 概形上，伴随点与弱伴随点一致，见引理 05AR。

引理

设 \(f : X \to S\) 为概形的态射。 设 \(i : Z \to X\) 为有限态射。 设 \(\mathcal{F}\) 为拟凝聚 \(\mathcal{O}_Z\)-模。则 \(\text{WeakAss}_{X/S}(i_*\mathcal{F}) = i(\text{WeakAss}_{Z/S}(\mathcal{F}))\)。

证明

设 \(i_s : Z_s \to X_s\) 为纤维间的诱导态射。于是 \((i_*\mathcal{F})_s = i_{s, *}(\mathcal{F}_s)\)；这是《概形上同调》引理 02KG 与 \(i\) 是仿射态射这一事实的结果。 因此可应用引理 05EZ 得出结论。

Fitting 理想

本节继续《代数进阶》第 07Z6 节中的讨论。 设 \(S\) 为概形，\(\mathcal{F}\) 为有限型拟凝聚 \(\mathcal{O}_S\)-模。 在这种情形下，可以构造 Fitting 理想 \[0 = \text{Fit}_{-1}(\mathcal{F}) \subset \text{Fit}_0(\mathcal{F}) \subset \text{Fit}_1(\mathcal{F}) \subset \ldots \subset \mathcal{O}_S\] 它们是由下述性质刻画的拟凝聚理想序列：对每个仿射开集 \(U = \Spec(A)\)，若它是 \(S\) 的开集且 \(\mathcal{F}|_U\) 对应于 \(A\)-模 \(M\)，则 \(\text{Fit}_i(\mathcal{F})|_U\) 对应于理想 \(\text{Fit}_i(M) \subset A\)。这一定义良好，并给出拟凝聚理想层， 因为若 \(f \in A\)，则第 \(i\) 个 Fitting 理想（即 \(M_f\) 在 \(A_f\) 上的相应理想）等于 \(\text{Fit}_i(M) A_f\)，见《代数进阶》引理 07ZA。

也可以用 \(\mathcal{F}\) 的局部展示来构造 Fitting 理想。具体地， 若 \(U \subset X\) 为开集，并且 \[\bigoplus\nolimits_{i \in I} \mathcal{O}_U \to \mathcal{O}_U^{\oplus n} \to \mathcal{F}|_U \to 0\] 是 \(\mathcal{F}\) 在 \(U\) 上的一个展示，则 \(\text{Fit}_r(\mathcal{F})|_U\) 由定义该展示中第一个箭头的矩阵的 所有 \((n - r) \times (n - r)\) 子式生成。这与上述构造相容， 因为环上模的 Fitting 理想本来就是这样定义的。略去一些细节。

引理

设 \(f : T \to S\) 为概形的态射。 设 \(\mathcal{F}\) 为有限型拟凝聚 \(\mathcal{O}_S\)-模。则 \(f^{-1}\text{Fit}_i(\mathcal{F}) \cdot \mathcal{O}_T = \text{Fit}_i(f^*\mathcal{F})\)。

证明

由《代数进阶》引理 07ZA 的 (3) 立即得到。

引理

设 \(S\) 为概形。 设 \(\mathcal{F}\) 为有限展示 \(\mathcal{O}_S\)-模。则 \(\text{Fit}_r(\mathcal{F})\) 是有限型拟凝聚理想。

证明

由《代数进阶》引理 07ZA 的 (4) 立即得到。

引理

设 \(S\) 为概形。 设 \(\mathcal{F}\) 为有限型拟凝聚 \(\mathcal{O}_S\)-模。 设 \(Z_0 \subset S\) 为由 \(\text{Fit}_0(\mathcal{F})\) 截出的闭子概形。 设 \(Z \subset S\) 为 \(\mathcal{F}\) 的概形论支撑。则

1. 作为闭子概形，有 \(Z \subset Z_0 \subset S\)；

2. 作为闭子集，有 \(Z = Z_0 = \text{Supp}(\mathcal{F})\)；

3. 存在有限型拟凝聚 \(\mathcal{O}_{Z_0}\)-模 \(\mathcal{G}_0\)，使得 \[(Z_0 \to X)_*\mathcal{G}_0 = \mathcal{F}.\]

证明

回忆，\(Z\) 局部由 \(\mathcal{F}\) 的零化子截出，见《态射》定义 05JV（该定义使用《态射》引理 05JU 来定义 \(Z\)）。因此， 由《代数进阶》引理 07ZA 的 (6)， 可见在概形论意义下 \(Z \subset Z_0\)。另一方面，由《态射》引理 05JU，集合论上有 \(Z = \text{Supp}(\mathcal{F})\)；又由《代数进阶》引理 07ZA 的 (7)，集合论上有 \(Z_0 = Z\)。最后，为得到 (3) 中的 \(\mathcal{G}_0\)，可以使用 《态射》引理 05JU 给出的 \(\mathcal{G}\)（它定义在 \(Z\) 上），并置 \(\mathcal{G}_0 = (Z \to Z_0)_*\mathcal{G}\)；也可以使用《态射》引理 01QY，以及由《代数进阶》引理 07ZA 的 (6) 得到的事实： \(\text{Fit}_0(\mathcal{F})\) 零化 \(\mathcal{F}\)。

引理

设 \(S\) 为概形，\(\mathcal{F}\) 为有限型拟凝聚 \(\mathcal{O}_S\)-模， 并设 \(s \in S\)。则 \(\mathcal{F}\) 能由 \(r\) 个元素生成， 并且可在 \(s\) 的一个邻域中如此生成，当且仅当 \(\text{Fit}_r(\mathcal{F})_s = \mathcal{O}_{S, s}\)。

证明

由《代数进阶》引理 07ZC 立即得到。

引理

设 \(S\) 为概形，\(\mathcal{F}\) 为有限型拟凝聚 \(\mathcal{O}_S\)-模， 并设 \(r \geq 0\)。以下条件等价：

1. \(\mathcal{F}\) 是秩为 \(r\) 的有限局部自由模；

2. \(\text{Fit}_{r - 1}(\mathcal{F}) = 0\) 且 \(\text{Fit}_r(\mathcal{F}) = \mathcal{O}_S\)；

3. \(\text{Fit}_k(\mathcal{F}) = 0\) 对 \(k < r\) 成立，而 \(\text{Fit}_k(\mathcal{F}) = \mathcal{O}_S\) 对 \(k \geq r\) 成立。

证明

由《代数进阶》引理 07ZD 立即得到。

引理

设 \(S\) 为概形，\(\mathcal{F}\) 为有限型拟凝聚 \(\mathcal{O}_S\)-模。 由 \(\mathcal{F}\) 的 Fitting 理想定义的闭子概形 \[S = Z_{-1} \supset Z_0 \supset Z_1 \supset Z_2 \ldots\] 具有下述性质：

1. 交集 \(\bigcap Z_r\) 为空。

2. 由规则 \[T \longmapsto \left\{ \begin{matrix} \{*\} & \text{若 }\mathcal{F}_T\text{ is locally generated by } \leq r\text{ sections} \\ \emptyset & \text{otherwise} \end{matrix} \right.\] 定义的函子 \((\Sch/S)^{opp} \to \textit{Sets}\) 由开子概形 \(S \setminus Z_r\) 表示。

3. 由规则 \[T \longmapsto \left\{ \begin{matrix} \{*\} & \text{若 }\mathcal{F}_T\text{ locally free rank }r\\ \emptyset & \text{otherwise} \end{matrix} \right.\] 定义的函子 \(F_r : (\Sch/S)^{opp} \to \textit{Sets}\) 由局部闭子概形 \(Z_{r - 1} \setminus Z_r\) 表示；它是 \(S\) 的局部闭子概形。

若 \(\mathcal{F}\) 有限展示，则态射 \(Z_r \to S\)、 \(S \setminus Z_r \to S\) 和 \(Z_{r - 1} \setminus Z_r \to S\) 都是有限展示的。

证明

(1) 成立，是因为在每个仿射开集 \(U\) 上，都存在整数 \(n\)，使得 \(\text{Fit}_n(\mathcal{F})|_U = \mathcal{O}_U\)。事实上，可取 \(n\) 为 \(\mathcal{F}\) 在 \(U\) 上的生成元个数；见《代数进阶》第 07Z6 节。

对任意态射 \(g : T \to S\)，由引理 0C3D 和 0C3F 可见，\(\mathcal{F}_T\) 局部由 \(\leq r\) 个截面生成，当且仅当 \(\text{Fit}_r(\mathcal{F}) \cdot \mathcal{O}_T = \mathcal{O}_T\)。 这证明了 (2)。

对任意态射 \(g : T \to S\)，由引理 0C3D 和 0C3G 可见，\(\mathcal{F}_T\) 是秩为 \(r\) 的自由模，当且仅当 \(\text{Fit}_r(\mathcal{F}) \cdot \mathcal{O}_T = \mathcal{O}_T\) 且 \(\text{Fit}_{r - 1}(\mathcal{F}) \cdot \mathcal{O}_T = 0\)。 这证明了 (3)。

假设 \(\mathcal{F}\) 有限展示。则每个态射 \(Z_r \to S\) 都是有限展示的， 因为 \(\text{Fit}_r(\mathcal{F})\) 有限型（引理 0C3E 和《态射》引理 01TV）。这说明 \(Z_{r - 1} \setminus Z_r\) 是 \(Z_r\) 中的逆紧开集（《性质》引理 01PH），因而态射 \(Z_{r - 1} \setminus Z_r \to Z_r\) 也是有限展示的。

尽管有引理 05P8，若 \(\mathcal{F}\) 只是有限型拟凝聚模，下述引理并不成立。确实，此时分层仍然存在， 但一般而言它并不表示函子 \(F_{flat}\)。

引理

设 \(S\) 为概形，\(\mathcal{F}\) 为有限展示 \(\mathcal{O}_S\)-模。 设 \(S = Z_{-1} \supset Z_0 \supset Z_1 \supset \ldots\) 如引理 05P8 所述。置 \(S_r = Z_{r - 1} \setminus Z_r\)。则 \(S' = \coprod_{r \geq 0} S_r\) 表示函子 \[F_{flat} : \Sch/S \longrightarrow \textit{Sets},\quad\quad T \longmapsto \left\{ \begin{matrix} \{*\} & \text{若 }\mathcal{F}_T\text{ flat over }T\\ \emptyset & \text{otherwise} \end{matrix} \right.\] 此外，\(\mathcal{F}|_{S_r}\) 是秩为 \(r\) 的局部自由模，且态射 \(S_r \to S\) 和 \(S' \to S\) 都是有限展示的。

证明

设 \(g : T \to S\) 是概形态射，并且拉回 \(\mathcal{F}_T = g^*\mathcal{F}\) 平坦。则 \(\mathcal{F}_T\) 是有限展示 平坦 \(\mathcal{O}_T\)-模。因此，由《性质》引理 05P2，\(\mathcal{F}_T\) 有限局部自由。 于是 \(T = \coprod_{r \geq 0} T_r\)，其中 \(\mathcal{F}_T|_{T_r}\) 局部自由且秩为 \(r\)。这说明在 \(\Sch/S\) 上的 Zariski 层范畴中 \[F_{flat} = \coprod\nolimits_{r \geq 0} F_r\] 其中 \(F_r\) 如引理 05P8 所述。 因此，\(F_{flat}\) 由 \(\coprod_{r \geq 0} (Z_{r - 1} \setminus Z_r)\) 表示，其中 \(Z_r\) 如引理 05P8 所述。 其他断言也由该引理得出。

例

设 \(R = \prod_{n \in \mathbf{N}} \mathbf{F}_2\)。设 \(I \subset R\) 为由这样的元素 \(a = (a_n)_{n \in \mathbf{N}}\) 构成的理想： 它们只有有限多个分量非零。设 \(\mathfrak m\) 为包含 \(I\) 的极大理想。 则 \(M = R/\mathfrak m\) 是有限平坦 \(R\)-模，因为 \(R\) 绝对平坦 （《代数进阶》引理 092G）。 置 \(S = \Spec(R)\) 和 \(\mathcal{F} = \widetilde{M}\)。 引理 05P8 中的闭子概形为 \(S = Z_{-1}\)、\(Z_0 = \Spec(R/\mathfrak m)\)，以及 \(Z_i = \emptyset\)（当 \(i > 0\) 时）。但是，\(\text{id} : S \to S\) 不通过 \((S \setminus Z_0) \amalg Z_0\) 分解，因为 \(\mathfrak m\) 是 \(S\) 的非孤立点。因此，引理 05P9 对有限型模不成立。

态射的奇异点集

设 \(f : X \to S\) 为概形的有限型态射。令点集 \(U\) 由 \(f\) 光滑的点组成； 它是 \(X\) 的开集（由《态射》定义 01V5）。 在许多情形下，拥有一个典范闭子概形 \(\text{Sing}(f) \subset X\) 很有用：它的补集为 \(U\)，并且它的构造 与任意基变换交换。

若 \(f\) 有限展示，一种选择是考虑由仿射局部意义下“严格标准”的 函数截出的闭子概形 \(Z\)；“严格标准”取《环映射的光滑化》定义 07C7 的意义。 由《环映射的光滑化》引理 07CC，若 \(f' : X' \to S'\) 是 \(f\) 沿态射 \(S' \to S\) 的基变换，则 \(Z' \subset S' \times_S Z\)，其中 \(Z'\) 是 \(X'\) 中由仿射局部严格标准 函数截出的闭子概形。然而，等号是否成立并不清楚。 严格标准元这一概念在 Popescu 定理一章中很有用。据我们所知， 由这些元素定义的闭子概形在文献中并未使用¹。

若 \(f\) 平坦且有限展示，并且 \(f\) 的所有纤维都等维且维数为 \(d\)， 则可用第 \(d\) 个 Fitting 理想（即 \(\Omega_{X/S}\) 的相应理想）得到一个 良好的闭子概形。对任意有限型态射，\(X\) 的各闭子概形若由 \(\Omega_{X/S}\) 的 Fitting 理想定义，则给出 \(X\) 的一个分层； 该分层按照 \(\Omega_{X/S}\) 的秩划分，其构造与基变换交换。 这一分层可能很有帮助，并与纤维的 嵌入维数有关，见《簇》第 0C2G 节。

引理

设 \(f : X \to S\) 为局部有限型的概形态射。 设 \(X = Z_{-1} \supset Z_0 \supset Z_1 \supset \ldots\) 为由 \(\Omega_{X/S}\) 的 Fitting 理想定义的闭子概形。则 \(Z_i\) 的构造 与任意基变换交换。

证明

注意，\(\Omega_{X/S}\) 是有限型拟凝聚 \(\mathcal{O}_X\)-模 （《态射》引理 01V2）， 故其 Fitting 理想有定义。若 \(f' : X' \to S'\) 是 \(f\) 沿 \(g : S' \to S\) 的基变换，则 \(\Omega_{X'/S'} = (g')^*\Omega_{X/S}\)，其中 \(g' : X' \to X\) 为投影 （《态射》引理 01V0）。因此 \((g')^{-1}\text{Fit}_i(\Omega_{X/S}) \cdot \mathcal{O}_{X'} = \text{Fit}_i(\Omega_{X'/S'})\)。这表示在概形论意义下 \[Z'_i = (g')^{-1}(Z_i) = Z_i \times_X X'\] 而这正是本引理断言的含义。

第 \(0\) 个 Fitting 理想（关于 \(\Omega\)）截出态射的“分歧点集”。

引理

设 \(f : X \to S\) 为局部有限型的概形态射。 闭子概形 \(Z \subset X\) 由第 \(0\) 个 Fitting 理想（关于 \(\Omega_{X/S}\)）截出；它恰好是 \(f\) 不为非分歧的点之集。

证明

由引理 0CYX，\(Z\) 的补集恰好是 \(\Omega_{X/S}\) 为零的点集。由《态射》引理 02G5，这恰好是 \(f\) 非分歧的点集。

引理

设 \(f : X \to S\) 为概形的态射，并设 \(d \geq 0\) 为整数。假设

1. \(f\) 平坦；

2. \(f\) 局部有限展示；

3. \(f\) 的每个非空纤维都等维且维数为 \(d\)。

设 \(Z \subset X\) 为第 \(d\) 个 Fitting 理想（关于 \(\Omega_{X/S}\)） 截出的闭子概形。则 \(Z\) 恰好是 \(f\) 不光滑的点之集。

证明

由引理 05P8，\(Z\) 的补集恰好是 \(\Omega_{X/S}\) 可由至多 \(d\) 个元素生成的点集。因此，本引理由 《态射》引理 01V9 得出。

无挠模

本节是《代数进阶》第 0549 节关于拟凝聚模的对应版本。

引理

设 \(X\) 为泛点是 \(\eta\) 的整概形，\(\mathcal{F}\) 为拟凝聚 \(\mathcal{O}_X\)-模。设 \(U \subset X\) 为非空开集，且 \(s \in \mathcal{F}(U)\)。则下列条件等价：

1. 对某个 \(x \in U\)，\(s\) 在 \(\mathcal{F}_x\) 中的像是挠元；

2. 对所有 \(x \in U\)，\(s\) 在 \(\mathcal{F}_x\) 中的像都是挠元；

3. \(s\) 在 \(\mathcal{F}_\eta\) 中的像为零；

4. \(s\) 在 \(j_*\mathcal{F}_\eta\) 中的像为零，其中 \(j : \eta \to X\) 是包含态射。

证明

略。

定义

设 \(X\) 为整概形，\(\mathcal{F}\) 为拟凝聚 \(\mathcal{O}_X\)-模。

1. 若 \(\mathcal{F}\) 的一个局部截面满足引理 0AXR 中的等价条件，则称它是挠截面。

2. 称 \(\mathcal{F}\) 是无挠的，如果 \(\mathcal{F}\) 的每个 挠截面都是 \(0\)。

下面给出按例必须有的引理，将此定义与通常的代数定义作比较。

引理

设 \(X\) 为整概形，\(\mathcal{F}\) 为拟凝聚 \(\mathcal{O}_X\)-模。 则下列条件等价：

1. \(\mathcal{F}\) 无挠；

2. 对每个仿射开集 \(U \subset X\)，\(\mathcal{F}(U)\) 都是无挠 \(\mathcal{O}(U)\)-模。

证明

略。

引理

设 \(X\) 为整概形，\(\mathcal{F}\) 为拟凝聚 \(\mathcal{O}_X\)-模。 \(\mathcal{F}\) 的挠截面构成一个拟凝聚 \(\mathcal{O}_X\)-子模 \(\mathcal{F}_{tors} \subset \mathcal{F}\)。 商模 \(\mathcal{F}/\mathcal{F}_{tors}\) 无挠。

证明

略。代数版本见《代数进阶》引理 0537。

引理

设 \(X\) 为整概形。任何平坦的拟凝聚 \(\mathcal{O}_X\)-模都是无挠的。

证明

略。参见《代数进阶》引理 0538。

引理

设 \(f : X \to Y\) 为整概形之间的平坦态射，\(\mathcal{G}\) 为无挠的 拟凝聚 \(\mathcal{O}_Y\)-模。则 \(f^*\mathcal{G}\) 是无挠的 \(\mathcal{O}_X\)-模。

证明

略。代数版本见《代数进阶》引理 0AXM。

引理

设 \(f : X \to Y\) 为概形的平坦态射。若 \(Y\) 是整概形，且 \(f\) 的泛纤维 是整概形，则 \(X\) 是整概形。

证明

其代数版本如下：设 \(A\) 为整环，分式域为 \(K\)；设 \(B\) 为平坦 \(A\)-代数，且 \(B \otimes_A K\) 是整环。则 \(B\) 是整环。这是因为由 《代数进阶》引理 0538， \(B\) 无挠，因而 \(B \subset B \otimes_A K\)。

引理

设 \(X\) 为整概形，\(\mathcal{F}\) 为拟凝聚 \(\mathcal{O}_X\)-模。 则 \(\mathcal{F}\) 无挠，当且仅当 \(\mathcal{F}_x\) 是无挠的 \(\mathcal{O}_{X, x}\)-模；这一条件须对所有 \(x \in X\) 成立。

证明

略。参见《代数进阶》引理 0AUT。

引理

设 \(X\) 为整概形，并设 \(0 \to \mathcal{F} \to \mathcal{F}' \to \mathcal{F}'' \to 0\) 为拟凝聚 \(\mathcal{O}_X\)-模的短正合列。若 \(\mathcal{F}\) 和 \(\mathcal{F}''\) 无挠，则 \(\mathcal{F}'\) 无挠。

证明

略。代数版本见《代数进阶》引理 0AUS。

引理

设 \(X\) 为泛点是 \(\eta\) 的局部诺特整概形，\(\mathcal{F}\) 为非零凝聚 \(\mathcal{O}_X\)-模。则下列条件等价：

1. \(\mathcal{F}\) 无挠；

2. \(\eta\) 是 \(\mathcal{F}\) 的唯一伴随素理想；

3. \(\eta\) 属于 \(\mathcal{F}\) 的支撑，且 \(\mathcal{F}\) 具有性质 \((S_1)\)；

4. \(\eta\) 属于 \(\mathcal{F}\) 的支撑，且 \(\mathcal{F}\) 没有嵌入伴随素理想。

证明

这是把《代数进阶》引理 0AUV 翻译成概形语言的结果。略去该翻译。

引理

设 \(X\) 为维数 \(\leq 1\) 的整正则概形，\(\mathcal{F}\) 为凝聚 \(\mathcal{O}_X\)-模。则下列条件等价：

1. \(\mathcal{F}\) 无挠；

2. \(\mathcal{F}\) 有限局部自由。

证明

有限局部自由模显然无挠。反过来，我们将说明：若 \(\mathcal{F}\) 无挠， 则 \(\mathcal{F}_x\) 是自由 \(\mathcal{O}_{X, x}\)-模；这一结论对所有 \(x \in X\) 成立。由《代数》引理 00NX 以及 \(\mathcal{F}\) 凝聚这一事实， 这就足够了。若 \(\dim(\mathcal{O}_{X, x}) = 0\)，则 \(\mathcal{O}_{X, x}\) 是域，结论显然。若 \(\dim(\mathcal{O}_{X, x}) = 1\)，则 \(\mathcal{O}_{X, x}\) 是离散赋值环 （《代数》引理 00PD），并且 \(\mathcal{F}_x\) 无挠。因此，由《代数进阶》引理 0AUW， \(\mathcal{F}_x\) 是自由的。

引理

设 \(X\) 为整概形，\(\mathcal{F}\)、\(\mathcal{G}\) 为拟凝聚 \(\mathcal{O}_X\)-模。若 \(\mathcal{G}\) 无挠，且 \(\mathcal{F}\) 有限展示， 则 \(\SheafHom_{\mathcal{O}_X}(\mathcal{F}, \mathcal{G})\) 无挠。

证明

该断言有意义，因为 \(\SheafHom_{\mathcal{O}_X}(\mathcal{F}, \mathcal{G})\) 由《概形》第 01LA 节可知是拟凝聚的。 断言的证明见《代数进阶》引理 0AUX。略去一些细节。

引理

设 \(X\) 为整的局部诺特概形，并设 \(\varphi : \mathcal{F} \to \mathcal{G}\) 为拟凝聚 \(\mathcal{O}_X\)-模的映射。假设 \(\mathcal{F}\) 凝聚、\(\mathcal{G}\) 无挠， 且对每个 \(x \in X\)，下列情形之一成立：

1. \(\mathcal{F}_x \to \mathcal{G}_x\) 是同构；或

2. \(\text{depth}(\mathcal{F}_x) \geq 2\)。

则 \(\varphi\) 是同构。

证明

这是把《代数进阶》引理 0AV9 翻译成概形语言的结果。

模的秩

本节是《代数进阶》第 0H9T 节关于拟凝聚模的 对应版本。回忆，若 \(X\) 是泛点为 \(\eta\) 的整概形，则局部环 \(\mathcal{O}_{X, \eta}\) 等于剩余域 \(\kappa(\eta)\)，见《态射》引理 01RV。

定义

设 \(X\) 为泛点是 \(\eta\) 的整概形，\(\mathcal{F}\) 为拟凝聚 \(\mathcal{O}_X\)-模。\(\mathcal{F}\) 的秩定义为 \(\dim_{\kappa(\eta)} \mathcal{F}_\eta\)。

当两个定义都适用时，这与局部自由模之秩的定义并不冲突。若概形 \(X\) 不是不可约的，或者泛点处的局部环 \(\mathcal{O}_{X, \eta}\) 不是域，则给 拟凝聚模定义秩看来不是好主意²

引理

设 \(X\) 为整概形，\(\mathcal{F}\) 为拟凝聚 \(\mathcal{O}_X\)-模，并设 \(r\) 为一个基数。则下列条件等价：

1. \(\mathcal{F}\) 的秩为 \(r\)；

2. 对所有非空仿射开集 \(U \subset X\)，\(\mathcal{F}(U)\) 都是 \(\mathcal{O}_X(U)\)-模，其秩为 \(r\)；

3. 对某个非空仿射开集 \(U \subset X\)，\(\mathcal{F}(U)\) 是 \(\mathcal{O}_X(U)\)-模，其秩为 \(r\)。

证明

略。

引理

设 \(f : X \to Y\) 为整概形之间的支配态射，\(\mathcal{G}\) 为拟凝聚 \(\mathcal{O}_Y\)-模。则 \(\mathcal{G}\) 在 \(Y\) 上的秩等于 \(f^*\mathcal{G}\) 在 \(X\) 上的秩。

证明

使用引理 0HAG、《态射》引理 0CC1 以及《代数进阶》引理 0H9Y。

引理

设 \(X\) 为整概形，并设 \(0 \to \mathcal{F} \to \mathcal{F}' \to \mathcal{F}'' \to 0\) 为拟凝聚 \(\mathcal{O}_X\)-模的短正合列。则 \(\mathcal{F}'\) 的秩等于 \(\mathcal{F}\) 与 \(\mathcal{F}''\) 的秩之和。

证明

略。参见《代数进阶》引理 0H9W。

引理

设 \(X\) 为整概形，\(\mathcal{F}\) 和 \(\mathcal{G}\) 为拟凝聚 \(\mathcal{O}_X\)-模。

1. \(\mathcal{F} \otimes_{\mathcal{O}_X} \mathcal{G}\) 的秩等于 \(\mathcal{F}\) 与 \(\mathcal{G}\) 的秩之积。

2. 若 \(\mathcal{F}\) 有限展示，则 \(\SheafHom_{\mathcal{O}_X}(\mathcal{F}, \mathcal{G})\) 的秩等于 \(\mathcal{F}\) 与 \(\mathcal{G}\) 的秩之积。

证明

略。注意，(2) 是有意义的，因为 \(\SheafHom_{\mathcal{O}_X}(\mathcal{F}, \mathcal{G})\) 由《概形》第 01LA 节的 (10) 可知是拟凝聚的。本引理的代数版本是《代数进阶》引理 0H9X。

引理

设 \(X\) 为整概形，\(\mathcal{F}\) 为有限型拟凝聚 \(\mathcal{O}_X\)-模。 则

1. \(\mathcal{F}\) 具有有限秩 \(r \geq 0\)；

2. 存在非空开集 \(U \subset X\)，使得 \(\mathcal{F}|_U\) 是秩为 \(r\) 的自由模。

证明

代数版本见《代数进阶》引理 0H9Z。

自反模

本节是《代数进阶》第 0AUY 节关于局部诺特 概形上凝聚模的对应版本。之所以考察凝聚模，是因为 \(\SheafHom_{\mathcal{O}_X}(\mathcal{F}, \mathcal{G})\) 对任意一对凝聚 \(\mathcal{O}_X\)-模 \(\mathcal{F}, \mathcal{G}\) 都是凝聚的， 见《模》引理 01CQ。

定义

设 \(X\) 为整的局部诺特概形，\(\mathcal{F}\) 为凝聚 \(\mathcal{O}_X\)-模。\(\mathcal{F}\) 的自反包是 \(\mathcal{O}_X\)-模 \[\mathcal{F}^{**} = \SheafHom_{\mathcal{O}_X}( \SheafHom_{\mathcal{O}_X}(\mathcal{F}, \mathcal{O}_X), \mathcal{O}_X)\] 称 \(\mathcal{F}\) 是自反的，如果自然映射 \(j : \mathcal{F} \longrightarrow \mathcal{F}^{**}\) 是同构。

由引理 0AY4，自反包是自反 \(\mathcal{O}_X\)-模。在更一般的情形中也可以用同一定义来定义自反模， 但这看来并不十分有用。下面给出按例必须有的引理，将此定义与通常的 代数定义作比较。

引理

设 \(X\) 为整的局部诺特概形，\(\mathcal{F}\) 为凝聚 \(\mathcal{O}_X\)-模。则下列条件等价：

1. \(\mathcal{F}\) 自反；

2. 对仿射开集 \(U \subset X\)，\(\mathcal{F}(U)\) 是自反 \(\mathcal{O}(U)\)-模。

证明

略。

注

若 \(X\) 是域上的有限型概形，则有时会使用另一种自反模的概念 （例如见 [HL, 第 5 页底部及定义 1.1.9]）。这种概念使用 \(R\SheafHom\) 取值于对偶化复形 \(\omega_X^\bullet\)，而不是取值于 \(\mathcal{O}_X\) 的版本；它也许应当另取名称，因为当 \(X\) 不是 Gorenstein 概形时，两者可能不同。例如，若 \(X = \Spec(k[t^3, t^4, t^5])\)，则计算表明，对偶化层 \(\omega_X\) 按我们的定义并不自反，但按另一种定义是自反的，因为 \(\omega_X \to \SheafHom(\SheafHom(\omega_X, \omega_X), \omega_X)\) 是同构。

引理

设 \(X\) 为整的局部诺特概形，\(\mathcal{F}\) 为凝聚 \(\mathcal{O}_X\)-模。

1. 若 \(\mathcal{F}\) 自反，则 \(\mathcal{F}\) 无挠。

2. 映射 \(j : \mathcal{F} \longrightarrow \mathcal{F}^{**}\) 是单射， 当且仅当 \(\mathcal{F}\) 无挠。

证明

略。参见《代数进阶》引理 0AV0。

引理

设 \(X\) 为整的局部诺特概形，\(\mathcal{F}\) 为凝聚 \(\mathcal{O}_X\)-模。则下列条件等价：

1. \(\mathcal{F}\) 自反；

2. \(\mathcal{F}_x\) 是自反 \(\mathcal{O}_{X, x}\)-模，这对所有 \(x \in X\) 都成立；

3. \(\mathcal{F}_x\) 是自反 \(\mathcal{O}_{X, x}\)-模，这对所有闭点 \(x \in X\) 都成立。

证明

由《模》引理 01CP，(1) 与 (2) 等价。由于 \(X\) 的每个点都特化到某个闭点（《性质》引理 02IL）， (2) 与 (3) 等价。

引理

设 \(f : X \to Y\) 为整的局部诺特概形之间的平坦态射，\(\mathcal{G}\) 为凝聚自反 \(\mathcal{O}_Y\)-模。则 \(f^*\mathcal{G}\) 是凝聚自反 \(\mathcal{O}_X\)-模。

证明

略。代数版本见《代数进阶》引理 0EB9。

引理

设 \(X\) 为整的局部诺特概形，并设 \(0 \to \mathcal{F} \to \mathcal{F}' \to \mathcal{F}''\) 为凝聚 \(\mathcal{O}_X\)-模的正合列。若 \(\mathcal{F}'\) 自反且 \(\mathcal{F}''\) 无挠，则 \(\mathcal{F}\) 自反。

证明

略。参见《代数进阶》引理 0EB8。

引理

设 \(X\) 为整的局部诺特概形，\(\mathcal{F}\)、\(\mathcal{G}\) 为凝聚 \(\mathcal{O}_X\)-模。若 \(\mathcal{G}\) 自反，则 \(\SheafHom_{\mathcal{O}_X}(\mathcal{F}, \mathcal{G})\) 自反。

证明

该断言有意义，因为 \(\SheafHom_{\mathcal{O}_X}(\mathcal{F}, \mathcal{G})\) 由《概形的上同调》引理 01Y2 可知是凝聚的。断言的证明见 《代数进阶》引理 0AV3。 略去一些细节。

注

设 \(X\) 为整的局部诺特概形。由引理 0AY4， 我们知道自反包 \(\mathcal{F}^{**}\) 对凝聚 \(\mathcal{O}_X\)-模而言 是凝聚自反的。考虑范畴 \(\mathcal{C}\)，其对象为凝聚自反 \(\mathcal{O}_X\)-模。取自反包给出包含函子 \(\mathcal{C} \to \textit{Coh}(\mathcal{O}_X)\) 的左伴随。 注意，\(\mathcal{C}\) 是具有核和余核的加性范畴。事实上，给定 \(\varphi : \mathcal{F} \to \mathcal{G}\)，并设它是 \(\mathcal{C}\) 中的态射， 通常的核 \(\Ker(\varphi)\) 是自反的（引理 0EBG），而通常余核的自反包 \(\Coker(\varphi)^{**}\) 是 \(\mathcal{C}\) 中的余核。此外， \(\mathcal{C}\) 继承了张量积 \[\mathcal{F} \otimes_\mathcal{C} \mathcal{G} = (\mathcal{F} \otimes_{\mathcal{O}_X} \mathcal{G})^{**}\] 它是结合且对称的。还存在内 Hom：对任意三个对象 \(\mathcal{F}, \mathcal{G}, \mathcal{H}\)（它们属于 \(\mathcal{C}\)），有恒等式 \[\Hom_\mathcal{C}(\mathcal{F} \otimes_\mathcal{C} \mathcal{G}, \mathcal{H}) = \Hom_\mathcal{C}(\mathcal{F}, \SheafHom_{\mathcal{O}_X}(\mathcal{G}, \mathcal{H}))\] 见《模》引理 01CN。在 \(\mathcal{C}\) 中， 每个对象 \(\mathcal{F}\) 都有一个对偶对象 \(\SheafHom_{\mathcal{O}_X}(\mathcal{F}, \mathcal{O}_X)\)。 若不对 \(X\) 加进一步条件，则可能有 \[\SheafHom_{\mathcal{O}_X}(\mathcal{F}, \mathcal{G}) \not \cong \SheafHom_{\mathcal{O}_X}(\mathcal{F}, \mathcal{O}_X) \otimes_\mathcal{C} \mathcal{G} \quad\text{且}\quad \mathcal{F} \otimes_\mathcal{C} \SheafHom_{\mathcal{O}_X}(\mathcal{F}, \mathcal{O}_X) \not \cong \mathcal{O}_X\] 其中 \(\mathcal{F}, \mathcal{G}\) 的秩为 \(1\)，且它们是 \(\mathcal{C}\) 中的对象。 为构造一个例子，令 \(X = \Spec(R)\)，其中 \(R\) 如《代数进阶》例 0EBB 所述，并令 \(\mathcal{F}, \mathcal{G}\) 为与 \(M\) 对应的模。略去计算。

引理

设 \(X\) 为整的局部诺特概形，\(\mathcal{F}\) 为凝聚 \(\mathcal{O}_X\)-模。则下列条件等价：

1. \(\mathcal{F}\) 自反；

2. 对每个 \(x \in X\)，下列情形之一成立：

   1. \(\mathcal{F}_x\) 是自反 \(\mathcal{O}_{X, x}\)-模；或

   2. \(\text{depth}(\mathcal{F}_x) \geq 2\)。

证明

略。参见《代数进阶》引理 0AVA。

引理

设 \(X\) 为整的局部诺特概形，\(\mathcal{F}\) 为凝聚自反 \(\mathcal{O}_X\)-模，并设 \(x \in X\)。

1. 若 \(\text{depth}(\mathcal{O}_{X, x}) \geq 2\)，则 \(\text{depth}(\mathcal{F}_x) \geq 2\)。

2. 若 \(X\) 具有 \((S_2)\) 性质，则 \(\mathcal{F}\) 具有 \((S_2)\) 性质。

证明

略。参见《代数进阶》引理 0EBA。

引理

设 \(X\) 为整的局部诺特概形，\(j : U \to X\) 为补集是 \(Z\) 的开子概形。 假设 \(\mathcal{O}_{X, z}\) 的深度 \(\geq 2\)，且这一条件对所有 \(z \in Z\) 成立。则 \(j^*\) 与 \(j_*\) 给出凝聚自反 \(\mathcal{O}_X\)-模范畴 同凝聚自反 \(\mathcal{O}_U\)-模范畴之间的等价。

证明

设 \(\mathcal{F}\) 为凝聚自反 \(\mathcal{O}_X\)-模。对 \(z \in Z\)， 由引理 0EBI，茎 \(\mathcal{F}_z\) 的深度 \(\geq 2\)。因此，由引理 0E9I， \(\mathcal{F} \to j_*j^*\mathcal{F}\) 是同构。反之，设 \(\mathcal{G}\) 为凝聚自反 \(\mathcal{O}_U\)-模。只须证明 \(j_*\mathcal{G}\) 是凝聚自反 \(\mathcal{O}_X\)-模。为此，可以假设 \(X\) 仿射。由《性质》引理 0G41，存在凝聚 \(\mathcal{O}_X\)-模 \(\mathcal{F}\)，使得 \(\mathcal{G} = j^*\mathcal{F}\)。取 \(\mathcal{F}\) 的自反包后， 可以假设 \(\mathcal{F}\) 自反 （见上文讨论，特别是引理 0AY4）。 由上述论证，\(j_*\mathcal{G} = j_*j^*\mathcal{F} = \mathcal{F}\)， 这正是所需结论。

若概形正规，则自反等价于无挠并满足 \((S_2)\)。

引理

设 \(X\) 为整的局部诺特正规概形，\(\mathcal{F}\) 为凝聚 \(\mathcal{O}_X\)-模。则下列条件等价：

1. \(\mathcal{F}\) 自反；

2. \(\mathcal{F}\) 无挠并具有性质 \((S_2)\)；

3. 存在开子概形 \(j : U \to X\)，使得

   1. \(X \setminus U\) 的每个不可约分支的余维都 \(\geq 2\) （余维在 \(X\) 中计算）；

   2. \(j^*\mathcal{F}\) 有限局部自由；

   3. \(\mathcal{F} = j_*j^*\mathcal{F}\)。

证明

使用引理 0AY0，(1) 与 (2) 的等价性 由《代数进阶》引理 0AVB 得出。设 \(U \subset X\) 如 (3) 所述。由《性质》引理 0345，有 \(\text{depth}(\mathcal{O}_{X, x}) \geq 2\)，其中 \(x \not \in U\)。 由于有限局部自由模自反， 引理 0EBJ 表明 (3) 蕴含 (1)。

假设 (1)。设 \(U \subset X\) 为使 \(j^*\mathcal{F} = \mathcal{F}|_U\) 有限局部自由的极大开子概形。 于是 (3)(b) 成立。设 \(x \in X\)。若 \(\mathcal{F}_x\) 是自由 \(\mathcal{O}_{X, x}\)-模，则由《模》引理 0B8J 有 \(x \in U\)。 若 \(\dim(\mathcal{O}_{X, x}) \leq 1\)，则 \(\mathcal{O}_{X, x}\) 是域或离散赋值环（《性质》引理 0345），从而 \(\mathcal{F}_x\) 是自由的 （《代数进阶》引理 0AUW）。因此 \(x \not \in U \Rightarrow \dim(\mathcal{O}_{X, x}) \geq 2\)。 此时《性质》引理 02IZ 给出 (3)(a)。 再次使用前述《性质》引理 0345，还可知 \(\text{depth}(\mathcal{O}_{X, x}) \geq 2\)，其中 \(x \not \in U\)； 于是 (3)(c) 由引理 0EBJ 得出。

引理

设 \(X\) 为泛点是 \(\eta\) 的整局部诺特正规概形，\(\mathcal{F}\)、 \(\mathcal{G}\) 为凝聚 \(\mathcal{O}_X\)-模。设 \(T : \mathcal{G}_\eta \to \mathcal{F}_\eta\) 为线性映射。则 \(T\) 可延拓为映射 \(\mathcal{G} \to \mathcal{F}^{**}\)，且该映射为 \(\mathcal{O}_X\)-模映射，当且仅当

• 对每个 \(x \in X\)，若 \(\dim(\mathcal{O}_{X, x}) = 1\)，则有 \[T\left(\Im(\mathcal{G}_x \to \mathcal{G}_\eta)\right) \subset \Im(\mathcal{F}_x \to \mathcal{F}_\eta).\]

证明

由于 \(\mathcal{F}^{**}\) 无挠，且 \(\mathcal{F}_\eta = \mathcal{F}^{**}_\eta\)，所以延拓若存在就唯一。 因此，只须在 \(X\) 的一个开覆盖的各成员上证明本引理；也就是说，可以假设 \(X\) 仿射。在这种情形下，我们问的是如下代数问题：设 \(R\) 为分式域是 \(K\) 的诺特正规整环，\(M\)、\(N\) 为有限 \(R\)-模，并设 \(T : M \otimes_R K \to N \otimes_R K\) 为 \(K\)-线性映射。\(T\) 何时能延拓为映射 \(N \to M^{**}\)？由《代数进阶》引理 0AVC，这当且仅当 \(N_\mathfrak p\) 映入 \((M/M_{tors})_\mathfrak p\)，而这对每个高为 \(1\) 的素理想 \(\mathfrak p\)（属于 \(R\)）都成立。这恰好是本引理的 条件 \((*)\)。

引理

设 \(X\) 为维数 \(\leq 2\) 的正则概形，\(\mathcal{F}\) 为凝聚 \(\mathcal{O}_X\)-模。则下列条件等价：

1. \(\mathcal{F}\) 自反；

2. \(\mathcal{F}\) 有限局部自由。

证明

有限局部自由模显然自反。反过来，我们将说明：若 \(\mathcal{F}\) 自反， 则 \(\mathcal{F}_x\) 是自由 \(\mathcal{O}_{X, x}\)-模，这对所有 \(x \in X\) 都成立。由《代数》引理 00NX 以及 \(\mathcal{F}\) 凝聚这一事实， 这就足够了。若 \(\dim(\mathcal{O}_{X, x}) = 0\)，则 \(\mathcal{O}_{X, x}\) 是域，结论显然。若 \(\dim(\mathcal{O}_{X, x}) = 1\)，则 \(\mathcal{O}_{X, x}\) 是离散赋值环 （《代数》引理 00PD），并且 \(\mathcal{F}_x\) 无挠。因此，由《代数进阶》引理 0AUW， \(\mathcal{F}_x\) 是自由的。若 \(\dim(\mathcal{O}_{X, x}) = 2\)， 则 \(\mathcal{O}_{X, x}\) 是维数为 \(2\) 的正则局部环。由《代数进阶》引理 0AVB， \(\mathcal{F}_x\) 的深度 \(\geq 2\)。因此，由《代数》引理 00NT，\(\mathcal{F}_x\) 是自由的。

有效 Cartier 除子

在定义其他类型的除子之前，我们先定义有效 Cartier 除子。

定义

设 \(S\) 为概形。

1. \(S\) 的一个局部主闭子概形，是其理想层可局部由单个元素 生成的闭子概形。

2. \(S\) 上的一个有效 Cartier 除子，是闭子概形 \(D \subset S\)，其理想层 \(\mathcal{I}_D \subset \mathcal{O}_S\) 是可逆 \(\mathcal{O}_S\)-模。

因此，有效 Cartier 除子是局部主闭子概形，但反之并非总是成立。 在最强的可能意义下，有效 Cartier 除子是纯余维 \(1\) 的闭子概形。 具体而言，它们局部由单个非零因子截出。特别地，它们无处稠密。

引理

设 \(S\) 为概形，\(D \subset S\) 为闭子概形。则下列条件等价：

1. 子概形 \(D\) 是 \(S\) 上的有效 Cartier 除子。

2. 对每个 \(x \in D\)，都存在仿射开邻域 \(\Spec(A) = U \subset S\)，它是 \(x\) 的邻域，并且 \(U \cap D = \Spec(A/(f))\)，其中 \(f \in A\) 是非零因子。

证明

假设 (1)。对每个 \(x \in D\)，都存在仿射开邻域 \(\Spec(A) = U \subset S\)，它是 \(x\) 的邻域，并且 \(\mathcal{I}_D|_U \cong \mathcal{O}_U\)。换言之，存在截面 \(f \in \Gamma(U, \mathcal{I}_D)\)，它自由生成限制 \(\mathcal{I}_D|_U\)。因此 \(f \in A\)，且乘法映射 \(f : A \to A\) 是单射。又因为 \(\mathcal{I}_D\) 拟凝聚，所以 \(D \cap U = \Spec(A/(f))\)。

假设 (2)。设 \(x \in D\)。根据假设，存在仿射开邻域 \(\Spec(A) = U \subset S\)，它是 \(x\) 的邻域，并且 \(U \cap D = \Spec(A/(f))\)，其中 \(f \in A\) 是非零因子。 于是 \(\mathcal{I}_D|_U \cong \mathcal{O}_U\)，因为它等于 \(\widetilde{(f)} \cong \widetilde{A} \cong \mathcal{O}_U\)。 当然，\(\mathcal{I}_D\) 在开子概形 \(S \setminus D\) 上的限制同构于 \(\mathcal{O}_{S \setminus D}\)。因此 \(\mathcal{I}_D\) 是可逆 \(\mathcal{O}_S\)-模。

引理

设 \(S\) 为概形，\(Z \subset S\) 为局部主闭子概形，并设 \(U = S \setminus Z\)。则 \(U \to S\) 是仿射态射。

证明

该问题在 \(S\) 上是局部的，见《态射》引理 01S8。因此可以假设 \(S = \Spec(A)\) 且 \(Z = V(f)\)，其中 \(f \in A\)。此时 \(U = D(f) = \Spec(A_f)\) 仿射，故 \(U \to S\) 仿射。

引理

设 \(S\) 为概形，\(D \subset S\) 为有效 Cartier 除子，并设 \(U = S \setminus D\)。则 \(U \to S\) 是仿射态射，且 \(U\) 在 \(S\) 中 概形论稠密。

证明

仿射性由引理 07ZT 给出。 稠密性问题在 \(S\) 上是局部的，见《态射》引理 01RE。 因此可以假设 \(S = \Spec(A)\)，而 \(D\) 对应于非零因子 \(f \in A\)， 见引理 01WS。于是 \(A \subset A_f\)，这说明 \(U \subset S\) 概形论稠密，见《态射》例 056C。

引理

设 \(S\) 为概形，\(D \subset S\) 为有效 Cartier 除子，并设 \(s \in D\)。若 \(\dim_s(S) < \infty\)，则 \(\dim_s(D) < \dim_s(S)\)。

证明

假设 \(\dim_s(S) < \infty\)。设 \(U = \Spec(A) \subset S\) 为 \(s\) 的仿射开邻域，使得 \(\dim(U) = \dim_s(S)\)，并使得 \(D = V(f)\)，其中 \(f \in A\) 是非零因子（见引理 01WS）。回忆， \(\dim(U)\) 是环 \(A\) 的 Krull 维数，而 \(\dim(U \cap D)\) 是环 \(A/(f)\) 的 Krull 维数。于是 \(f\) 不属于 \(A\) 的任何极小素理想。 因此，把 \(A/(f)\) 中任一极大素理想链看作 \(A\) 中的素理想链后， 都可以添加一个极小素理想来延长它。

定义

设 \(S\) 为概形。给定有效 Cartier 除子 \(D_1\)、\(D_2\)，它们定义在 \(S\) 上， 令 \(D = D_1 + D_2\) 为 \(S\) 的闭子概形，它对应于拟凝聚理想层 \(\mathcal{I}_{D_1}\mathcal{I}_{D_2} \subset \mathcal{O}_S\)。 称它为有效 Cartier 除子 \(D_1\) 与 \(D_2\) 的和。

显然，可以定义和 \(\sum n_iD_i\)，只要给定有限多个有效 Cartier 除子 \(D_i\)（定义在 \(X\) 上）和非负整数 \(n_i\)。

引理

两个有效 Cartier 除子的和仍是有效 Cartier 除子。

证明

略。局部地，\(f_1, f_2 \in A\) 都是非零因子，因而 \(f_1f_2 \in A\) 也是非零因子。

引理

设 \(X\) 为概形，\(D, D'\) 为 \(X\) 上两个有效 Cartier 除子。 若 \(D \subset D'\)（作为 \(X\) 的闭子概形），则存在有效 Cartier 除子 \(D''\)，使得 \(D' = D + D''\)。

证明

略。

引理

设 \(X\) 为概形，\(Z, Y\) 为 \(X\) 的两个闭子概形，其理想层分别为 \(\mathcal{I}\) 和 \(\mathcal{J}\)。若 \(\mathcal{I}\mathcal{J}\) 定义有效 Cartier 除子 \(D \subset X\)，则 \(Z\) 和 \(Y\) 都是 有效 Cartier 除子，且 \(D = Z + Y\)。

证明

应用引理 01WS，得到如下 代数情形：\(A\) 是环，\(I, J \subset A\) 是理想，\(f \in A\) 是非零因子， 且 \(IJ = (f)\)。因此，结论由《代数》引理 09ME 得出。

引理

设 \(X\) 为概形，\(D, D' \subset X\) 为有效 Cartier 除子，并假设 概形论交 \(D \cap D'\) 是 \(D'\) 上的有效 Cartier 除子。则 \(D + D'\) 是 \(D\) 与 \(D'\) 的概形论并。

证明

概形论交与并的定义见《态射》定义 0C4H。 为证明本引理，局部工作（使用引理 01WS）后得到如下代数问题： 给定环 \(A\) 与非零因子 \(f_1, f_2 \in A\)，且 \(f_1\) 在 \(A/f_2A\) 中的像是非零因子，证明 \(f_1A \cap f_2A = f_1f_2A\)。略去这个直接的论证。

回忆，我们已在《概形》定义 01JV 中定义了闭子概形 在任意概形态射下的逆像。

引理

设 \(f : S' \to S\) 为概形态射，\(Z \subset S\) 为局部主闭子概形。 则逆像 \(f^{-1}(Z)\) 是 \(S'\) 的局部主闭子概形。

证明

略。

定义

设 \(f : S' \to S\) 为概形态射，\(D \subset S\) 为有效 Cartier 除子。 称\(D\) 沿 \(f\) 的拉回有定义，如果闭子概形 \(f^{-1}(D) \subset S'\) 是有效 Cartier 除子。此时将它记作 \(f^*D\) 或 \(f^{-1}(D)\)，并称之为有效 Cartier 除子的拉回。

\(f^{-1}(D)\) 是有效 Cartier 除子这一条件在实践中经常满足。 下面给出一个示例性引理。

引理

设 \(f : X \to Y\) 为概形态射，\(D \subset Y\) 为有效 Cartier 除子。 在下列每种情形中，\(D\) 沿 \(f\) 的拉回都有定义：

1. \(f(x) \not \in D\) 对每个弱伴随点 \(x\)（属于 \(X\)）都成立；

2. \(X\)、\(Y\) 均为整概形，且 \(f\) 支配；

3. \(X\) 约化，并且 \(f(\xi) \not \in D\) 对任一泛点 \(\xi\) （属于 \(X\) 的任一不可约分支）都成立；

4. \(X\) 局部诺特，并且 \(f(x) \not \in D\) 对任一伴随点 \(x\) （属于 \(X\)）都成立；

5. \(X\) 局部诺特且没有嵌入点，并且 \(f(\xi) \not \in D\) 对任一 泛点 \(\xi\)（属于 \(X\) 的某个不可约分支）都成立；

6. \(f\) 平坦；

7. 可按需在此添加更多情形。

证明

该问题在 \(X\) 上是局部的，因此可约化到如下情形： \(X = \Spec(A)\)，\(Y = \Spec(R)\)，\(f\) 由 \(\varphi : R \to A\) 给出，并且 \(D = \Spec(R/(t))\)，其中 \(t \in R\) 是非零因子。每种情形中的目标都是证明 \(\varphi(t) \in A\) 是非零因子。

情形 (1) 由《代数》引理 05C3 得出。由引理 05AR，情形 (4) 是 (1) 的特例。情形 (5) 由 (4) 和定义得出。由引理 0EME，情形 (3) 是 (1) 的特例。情形 (2) 是 (3) 的特例。若 \(R \to A\) 平坦，则 \(t : R \to R\) 是单射这一事实表明 \(t : A \to A\) 是单射。 这证明了 (6)。

引理

设 \(f : S' \to S\) 为概形态射，\(D_1\)、\(D_2\) 为 \(S\) 上的 有效 Cartier 除子。若 \(D_1\) 与 \(D_2\) 的拉回都有定义，则 \(D = D_1 + D_2\) 的拉回有定义，且 \(f^*D = f^*D_1 + f^*D_2\)。

证明

略。

有效 Cartier 除子与可逆层

由于有效 Cartier 除子具有可逆理想层（定义 01WR），下述定义是有意义的。

定义

设 \(S\) 为概形，\(D \subset S\) 为有效 Cartier 除子，其理想层为 \(\mathcal{I}_D\)。

1. 可逆层 \(\mathcal{O}_S(D)\)（与 \(D\) 伴随）定义为 \[\mathcal{O}_S(D) = \SheafHom_{\mathcal{O}_S}(\mathcal{I}_D, \mathcal{O}_S) = \mathcal{I}_D^{\otimes -1}.\]

2. 典范截面通常记作 \(1\) 或 \(1_D\)；它是 \(\mathcal{O}_S(D)\) 的整体截面，对应于包含映射 \(\mathcal{I}_D \to \mathcal{O}_S\)。

3. 记 \(\mathcal{O}_S(-D) = \mathcal{O}_S(D)^{\otimes -1} = \mathcal{I}_D\)。

4. 给定第二个有效 Cartier 除子 \(D' \subset S\)，定义 \(\mathcal{O}_S(D - D') = \mathcal{O}_S(D) \otimes_{\mathcal{O}_S} \mathcal{O}_S(-D')\)。

作几点说明。下文将看到，赋值 \(D \mapsto \mathcal{O}_S(D)\) 把有效 Cartier 除子的加法（定义 01WT）变为 \(S\) 的 Picard 群 中的加法（引理 02OP）。 然而，上述定义中的表达式 \(D - D'\) 没有任何几何含义。更确切地说， 可以把 \(S\) 上的有效 Cartier 除子之集看作交换幺半群 \(\text{EffCart}(S)\)，其零元为空的有效 Cartier 除子。于是赋值 \((D, D') \mapsto \mathcal{O}_S(D - D')\) 定义群同态 \[\text{EffCart}(S)^{gp} \longrightarrow \Pic(S)\] 其中左端是 \(\text{EffCart}(S)\) 的群完备化。换言之，当写 \(\mathcal{O}_S(D - D')\) 时，可以把 \(D - D'\) 看作 \(\text{EffCart}(S)^{gp}\) 的元素。

引理

设 \(S\) 为概形，\(D \subset S\) 为有效 Cartier 除子。则余法层为 \(\mathcal{C}_{D/S} = \mathcal{I}_D|_D = \mathcal{O}_S(-D)|_D\)，而法层为 \(\mathcal{N}_{D/S} = \mathcal{O}_S(D)|_D\)。

证明

这由《态射》引理 01R3 得出。

引理

设 \(X\) 为概形，\(D, D' \subset X\) 为有效 Cartier 除子，且 \(D \subset D'\)；再设 \(C \subset X\) 为满足 \(D' = D + C\) 的有效 Cartier 除子（其存在性由引理 02ON 保证）。则有短正合列 \[0 \to \mathcal{O}_X(-D)|_C \to \mathcal{O}_{D'} \to \mathcal{O}_D \to 0\] 它由 \(\mathcal{O}_X\)-模组成。

证明

在本引理的陈述和证明中，我们使用《态射》引理 01QY 的等价，把 \(X\) 的闭子概形 上的拟凝聚模视为 \(X\) 上的拟凝聚模。设 \(\mathcal{I}\) 为 \(D\) 在 \(D'\) 中的理想层，并设 \(\mathcal{I}_D = \mathcal{O}_X(-D)\) 为 \(D\) 在 \(X\) 中的理想层。于是有典范满射 \(\mathcal{I}_D \to \mathcal{I}\)。因此，只须证明该映射的核等于 \(\mathcal{I}_C\mathcal{I}_D\)（采用显然的记号）。这可局部检验， 故可假设 \(X = \Spec(A)\)、\(D = \Spec(A/fA)\) 且 \(C = \Spec(A/gA)\)，其中 \(f, g \in A\) 为非零因子 （引理 01WS）。 于是 \(\mathcal{I}_D\) 对应于 \(fA\)，非零因子 \(fg \in A\) 生成 \(D'\) 的理想，而 \(\mathcal{I}\) 对应于 \(I = fA/fgA\)。结论随即清楚。

引理

设 \(S\) 为概形，\(D_1\)、\(D_2\) 为 \(S\) 上的有效 Cartier 除子，并设 \(D = D_1 + D_2\)。则存在唯一同构 \[\mathcal{O}_S(D_1) \otimes_{\mathcal{O}_S} \mathcal{O}_S(D_2) \longrightarrow \mathcal{O}_S(D)\] 它把 \(1_{D_1} \otimes 1_{D_2}\) 映到 \(1_D\)。

证明

略。

引理

设 \(f : S' \to S\) 为概形态射，\(D\) 为 \(S\) 上的有效 Cartier 除子。 若 \(D\) 的拉回有定义，则 \(f^*\mathcal{O}_S(D) = \mathcal{O}_{S'}(f^*D)\)，并且典范截面 \(1_D\) 拉回为典范截面 \(1_{f^*D}\)。

证明

略。

定义

设 \((X, \mathcal{O}_X)\) 为局部赋环空间，\(\mathcal{L}\) 为 \(X\) 上的 可逆层。若整体截面 \(s \in \Gamma(X, \mathcal{L})\) 所给出的映射 \(\mathcal{O}_X \to \mathcal{L}\)（\(f \mapsto fs\)）是单射，则称它为 正则截面。

引理

设 \(X\) 为局部赋环空间，\(f \in \Gamma(X, \mathcal{O}_X)\)。 则下列条件等价：

1. \(f\) 是正则截面；

2. 对任意 \(x \in X\)，像 \(f \in \mathcal{O}_{X, x}\) 是非零因子。

若 \(X\) 是概形，则它们还等价于

1. 对任意仿射开集 \(\Spec(A) = U \subset X\)，像 \(f \in A\) 是非零因子；

2. 存在仿射开覆盖 \(X = \bigcup \Spec(A_i)\)，使得 \(f\) 在 \(A_i\) 中的像对所有 \(i\) 都是非零因子。

证明

略。

注意，整体截面 \(s\) 属于某个可逆 \(\mathcal{O}_X\)-模 \(\mathcal{L}\)；它可以视为 \(\mathcal{O}_X\)-模映射 \(s : \mathcal{O}_X \to \mathcal{L}\)。因此，其对偶是映射 \(s : \mathcal{L}^{\otimes -1} \to \mathcal{O}_X\)。 （对偶可逆层的定义见《模》定义 01CU。）

定义

设 \(X\) 为概形，\(\mathcal{L}\) 为可逆层，并设 \(s \in \Gamma(X, \mathcal{L})\) 为整体截面。\(s\) 的零点概形 是闭子概形 \(Z(s) \subset X\)，它由拟凝聚理想层 \(\mathcal{I} \subset \mathcal{O}_X\) 定义；该理想层是映射 \(s : \mathcal{L}^{\otimes -1} \to \mathcal{O}_X\) 的像。

引理

设 \(X\) 为概形，\(\mathcal{L}\) 为可逆层，并设 \(s \in \Gamma(X, \mathcal{L})\)。

1. 考虑闭浸入 \(i : Z \to X\)，要求 \(i^*s \in \Gamma(Z, i^*\mathcal{L})\) 为零，并按包含关系排序。 零点概形 \(Z(s)\) 是该有序集的极大元。

2. 对任意概形态射 \(f : Y \to X\)，有 \(f^*s = 0\)（在 \(\Gamma(Y, f^*\mathcal{L})\) 中），当且仅当 \(f\) 经由 \(Z(s)\) 分解。

3. 零点概形 \(Z(s)\) 是局部主闭子概形。

4. 零点概形 \(Z(s)\) 是有效 Cartier 除子，当且仅当 \(s\) 是 \(\mathcal{L}\) 的正则截面。

证明

略。

引理

设 \(X\) 为概形。

1. 若 \(D \subset X\) 是有效 Cartier 除子，则典范截面 \(1_D\) （属于 \(\mathcal{O}_X(D)\)）是正则的。

2. 反之，若 \(s\) 是可逆层 \(\mathcal{L}\) 的正则截面，则存在唯一 有效 Cartier 除子 \(D = Z(s) \subset X\) 和唯一同构 \(\mathcal{O}_X(D) \to \mathcal{L}\)，它把 \(1_D\) 映到 \(s\)。

构造 \(D \mapsto (\mathcal{O}_X(D), 1_D)\) 和 \((\mathcal{L}, s) \mapsto Z(s)\) 给出互逆的映射 \[\left\{ \begin{matrix} \text{effective Cartier divisors on }X \end{matrix} \right\} \leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} \text{isomorphism classes of pairs }(\mathcal{L}, s)\\ \text{consisting of an invertible } \mathcal{O}_X\text{-模}\\ \mathcal{L}\text{ and a regular global section }s \end{matrix} \right\}\]

证明

略。

注

设 \(X\) 为概形，\(\mathcal{L}\) 为可逆 \(\mathcal{O}_X\)-模，\(s\) 为 \(\mathcal{L}\) 的正则截面。则零点概形 \(D = Z(s)\) 是 \(X\) 上的 有效 Cartier 除子，并有短正合列 \[0 \to \mathcal{O}_X \to \mathcal{L} \to i_*(\mathcal{L}|_D) \to 0 \quad\text{且}\quad 0 \to \mathcal{L}^{\otimes -1} \to \mathcal{O}_X \to i_*\mathcal{O}_D \to 0.\] 给定有效 Cartier 除子 \(D \subset X\)，使用引理 01X0 和 0B3P，得到 \[0 \to \mathcal{O}_X \to \mathcal{O}_X(D) \to i_*(\mathcal{N}_{D/X}) \to 0 \quad\text{且}\quad 0 \to \mathcal{O}_X(-D) \to \mathcal{O}_X \to i_*(\mathcal{O}_D) \to 0\]

诺特概形上的有效 Cartier 除子

在局部诺特的情形中，关于有效 Cartier 除子和正则截面的许多讨论 都有所简化。

引理

设 \(X\) 为局部诺特概形，\(\mathcal{L}\) 为可逆 \(\mathcal{O}_X\)-模，并设 \(s \in \Gamma(X, \mathcal{L})\)。则 \(s\) 是正则截面，当且仅当 \(s\) 在 \(X\) 的伴随点处不消失。

证明

略。提示：约化到仿射情形，并令 \(\mathcal{L}\) 平凡，然后使用引理 01WZ 和《代数》引理 00LD。

引理

设 \(X\) 为局部诺特概形，\(D \subset X\) 为闭子概形，对应于拟凝聚理想层 \(\mathcal{I} \subset \mathcal{O}_X\)。

1. 若对每个 \(x \in D\)，理想 \(\mathcal{I}_x \subset \mathcal{O}_{X, x}\) 都可以由一个元素生成， 则 \(D\) 是局部主的。

2. 若对每个 \(x \in D\)，理想 \(\mathcal{I}_x \subset \mathcal{O}_{X, x}\) 都可以由一个非零因子生成， 则 \(D\) 是有效 Cartier 除子。

证明

设 \(\Spec(A)\) 为点 \(x \in D\) 的仿射邻域。设 \(\mathfrak p \subset A\) 为对应于 \(x\) 的素理想。设 \(I \subset A\) 为定义 \(D\) 在 \(\Spec(A)\) 上之迹的理想。因为 \(A\) 是诺特的 （由于 \(X\) 局部诺特），理想 \(I\) 可由有限多个元素生成，记为 \(I = (f_1, \ldots, f_r)\)。在 (1) 的假设下，有 \(I_\mathfrak p = (f)\)，其中 \(f \in A_\mathfrak p\)。于是有 \(f_i = g_i f\)，其中 \(g_i \in A_\mathfrak p\)。写 \(g_i = a_i/h_i\) 且 \(f = f'/h\)，其中 \(a_i, h_i, f', h \in A\)，并且 \(h_i, h \not \in \mathfrak p\)。 于是 \(I_{h_1 \ldots h_r h} \subset A_{h_1 \ldots h_r h}\) 是主理想， 因为它由 \(f'\) 生成。这证明了 (1)。对于 (2)，可以假设 \(I = (f)\)。假设意味着 \(f\) 在 \(A_\mathfrak p\) 中的像是非零因子。 由《代数》引理 061L，\(f\) 在 \(x\) 的某个邻域上是非零因子。这证明了 (2)。

引理

设 \(X\) 为局部诺特概形。

1. 设 \(D \subset X\) 为局部主闭子概形，\(\xi \in D\) 为 \(D\) 某个不可约分支的泛点。则 \(\dim(\mathcal{O}_{X, \xi}) \leq 1\)。

2. 设 \(D \subset X\) 为有效 Cartier 除子，\(\xi \in D\) 为 \(D\) 某个不可约分支的泛点。则 \(\dim(\mathcal{O}_{X, \xi}) = 1\)。

证明

证明 (1)。根据假设，可以设 \(X = \Spec(A)\) 且 \(D = \Spec(A/(f))\)，其中 \(A\) 为诺特环，\(f \in A\)。设 \(\xi\) 对应于素理想 \(\mathfrak p \subset A\)。\(\xi\) 是 \(D\) 某个不可约分支 的泛点这一假设，意味着 \(\mathfrak p\) 是包含 \((f)\) 的极小素理想。 于是由《代数》引理 00KV， \(\dim(A_\mathfrak p) \leq 1\)。

证明 (2)。由 (1) 可知 \(\dim(\mathcal{O}_{X, \xi}) \leq 1\)。 另一方面，由引理 01WS，局部方程 \(f\) 在 \(A_\mathfrak p\) 中是非零因子，这说明维数至少为 \(1\) （因为由初等的《代数》引理 00E0，\(A_\mathfrak p\) 中必有一个 不包含 \(f\) 的素理想）。

引理

设 \(X\) 为诺特概形，\(D \subset X\) 为整闭子概形，同时也是有效 Cartier 除子。则 \(X\) 在 \(D\) 的泛点处的局部环是离散赋值环。

证明

由引理 01WS，可以假设 \(X = \Spec(A)\) 且 \(D = \Spec(A/(f))\)，其中 \(A\) 为诺特环， \(f \in A\) 为非零因子。\(D\) 为整概形这一假设意味着 \((f)\) 是素理想。 因此，\(X\) 在泛点处的局部环为 \(A_{(f)}\)；这是诺特局部环，其极大理想 由一个非零因子生成。于是由《代数》引理 00PD，它是离散赋值环。

引理

设 \(X\) 为局部诺特概形，\(D \subset X\) 为有效 Cartier 除子。 若 \(X\) 具有 \((S_k)\) 性质，则 \(D\) 具有 \((S_{k - 1})\) 性质。

证明

设 \(x \in D\)。则 \(\mathcal{O}_{D, x} = \mathcal{O}_{X, x}/(f)\)，其中 \(f \in \mathcal{O}_{X, x}\) 是非零因子。根据假设，有 \(\text{depth}(\mathcal{O}_{X, x}) \geq \min(\dim(\mathcal{O}_{X, x}), k)\)。 由《代数》引理 090R，有 \(\text{depth}(\mathcal{O}_{D, x}) = \text{depth}(\mathcal{O}_{X, x}) - 1\)； 由《代数》引理 00KW，有 \(\dim(\mathcal{O}_{D, x}) = \dim(\mathcal{O}_{X, x}) - 1\)。 因此 \(\text{depth}(\mathcal{O}_{D, x}) \geq \min(\dim(\mathcal{O}_{D, x}), k - 1)\)， 这正是所需结论。

引理

设 \(X\) 为局部诺特正规概形，\(D \subset X\) 为有效 Cartier 除子。 则 \(D\) 具有 \((S_1)\) 性质。

证明

由《性质》引理 0345，可知 \(X\) 具有 \((S_2)\) 性质。因此，由引理 0B3R 得出结论。

引理

设 \(X\) 为局部诺特概形，\(D \subset X\) 为整闭子概形。假设

1. \(D\) 的余维为 \(1\)（余维在 \(X\) 中计算）；

2. \(\mathcal{O}_{X, x}\) 是 UFD，且这对所有 \(x \in D\) 都成立。

则 \(D\) 是有效 Cartier 除子。

证明

设 \(x \in D\)，并令 \(A = \mathcal{O}_{X, x}\)。设 \(\mathfrak p \subset A\) 对应于 \(D\) 的泛点。根据 (1)， \(A_\mathfrak p\) 的维数为 \(1\)。因此 \(\mathfrak p\) 是高为 \(1\) 的素理想。由于 \(A\) 是 UFD，这意味着 \(\mathfrak p = (f)\)，其中 \(f \in A\)。当然，\(f\) 是非零因子， 于是结论由引理 0AG8 得出。

引理

设 \(X\) 为诺特概形，\(Z \subset X\) 为闭子概形。假设存在

1. 一族整有效 Cartier 除子 \(D_i \subset X\)，\(i \in I\)；

2. 闭子集 \(Z' \subset X\)，其所有不可约分支的余维都 \(\geq 2\)（余维在 \(X\) 中计算；《拓扑》定义 02I3）。

并且集合论上有 \(Z \subset Z' \cup \bigcup_{i \in I} D_i\)。 则存在整数 \(a_i \geq 0\)，其中 \(a_i = 0\) 对几乎所有 \(i \in I\) 都成立，使得有效 Cartier 除子 \[D = \sum a_i D_i\] 包含在 \(Z\) 中，并且包含态射 \(D \to Z\) 在余维 \(2\) 之外 是同构（余维在 \(X\) 中计算；其含义是：存在开集 \(U \subset Z\)，使 \(D \cap U \to Z \cap U\) 为同构，并且 \(Z \setminus U\) 的每个 不可约分支的余维都 \(\geq 2\)，余维在 \(X\) 中计算）。当 \(Z\) 在 \(X\) 中无处稠密时，\(D_i\)、\(i \in I\) 和 \(Z'\) 的存在性得到保证，只要 \(\mathcal{O}_{X, x}\) 是 UFD 且这对所有 \(x \in Z\) 都成立，或者 \(X\) 正则。

证明

设 \(\xi_i \in D_i\) 为泛点，并令 \(\mathcal{O}_i = \mathcal{O}_{X, \xi_i}\) 为局部环；由引理 0AG9，它是离散赋值环。 设 \(a_i \geq 0\) 为 \(\mathcal{I}_{Z, \xi_i} \subset \mathcal{O}_i\) 中元素的最小赋值。 当然，\(a_i > 0\) 仅可能在 \(D_i\) 是 \(Z\) 的不可约分支时成立，因此 \(a_i > 0\) 只对有限多个 \(i \in I\) 成立。我们断言有效 Cartier 除子 \(D = \sum a_i D_i\) 符合要求。

具体地，设 \(x \in X\)，并令 \(A = \mathcal{O}_{X, x}\)。设 \(D_1, \ldots, D_n\) 为两两不同的除子 \(D_i\)，满足 \(x \in D_i\) 且 \(a_i > 0\)。对 \(1 \leq i \leq n\)，令 \(f_i \in A\) 为 \(D_i\) 的局部方程。则 \(f_i\) 是 \(A\) 的素元，且 \(\mathcal{O}_i = A_{(f_i)}\)。设 \(I = \mathcal{I}_{Z, x} \subset A\) 为 \(Z\) 的理想层之茎。 根据 \(a_i\) 的选择，有 \(I A_{(f_i)} = f_i^{a_i}A_{(f_i)}\)。我们断言 \(I \subset (\prod_{i = 1, \ldots, n} f_i^{a_i})\)。

证明该断言。局部化映射 \(\varphi : A/(f_i) \to A_{(f_i)}/f_iA_{(f_i)}\) 是单射，因为素理想 \((f_i)\) 是极大理想 \(f_iA_{(f_i)}\) 的逆像。对 \(n\) 归纳可知 \(\varphi_n : A/(f_i^n)\to A_{(f_i)}/f_i^nA_{(f_i)}\) 也为单射。 由于 \(\varphi_{a_i}(I) = 0\)，有 \(I \subset (f_i^{a_i})\)。 因此，对任意 \(x \in I\)，可写成 \(x = f_1^{a_1}x_1\)，其中 \(x_1 \in A\)。由于 \(D_1, \ldots, D_n\) 两两不同，\(f_i\) 在 \(A_{(f_j)}\) 中是单位，只要 \(i \not = j\)。比较 \(x\) 与 \(x_1\) 在 \(A_{(f_i)}\) 中的像，对 \(n \geq i > 1\) 仍有 \(x_1 \in (f_i^{a_i})\)。重复上述过程，归纳地写出 \(x_i = f_{i + 1}^{a_{i + 1}}x_{i + 1}\)，这对任意 \(n > i \geq 1\) 成立。总之，有 \(x \in (\prod_{i = 1, \ldots n} f_i^{a_i})\)，这对任意 \(x \in I\) 成立，证毕。

该断言表明 \(\mathcal{I}_Z \subset \mathcal{I}_D\)，即 \(D \subset Z\)。此外，还可看出 \(D\) 与 \(Z\) 在 \(\xi_i\) 处相同， 这证明 \(D \to Z\) 在余维 \(2\) 之外是同构（余维在 \(X\) 中计算）。

最后几个断言可如下证明。正则局部环是 UFD（《代数进阶》引理 0AG0），故只须处理 UFD 情形。 在该情形中，令 \(D_i\) 为 \(Z\) 的余维为 \(1\) 的不可约分支 （余维在 \(X\) 中计算）。由引理 0AGA，每个 \(D_i\) 都是有效 Cartier 除子。

引理

设 \(Z \subset X\) 为诺特概形的闭子概形。假设

1. \(Z\) 没有嵌入点；

2. \(Z\) 的每个不可约分支的余维均为 \(1\)（余维在 \(X\) 中计算）；

3. 每个局部环 \(\mathcal{O}_{X, x}\)（\(x \in Z\)）都是 UFD，或者 \(X\) 正则。

则 \(Z\) 是有效 Cartier 除子。

证明

设 \(D = \sum a_i D_i\) 如引理 0AGB 中所述， 其中 \(D_i \subset Z\) 是 \(Z\) 的不可约分支。 若 \(D \to Z\) 不是同构，则 \(\mathcal{O}_Z \to \mathcal{O}_D\) 有一个非零核，其支集位于余维 \(\geq 2\) 处。这将意味着 \(Z\) 存在嵌入点，与假设 (1) 矛盾。因此如所需有 \(D \cong Z\)。

引理

设 \(R\) 为诺特 UFD。设 \(I \subset R\) 为一个理想， 使得 \(R/I\) 没有嵌入素理想，且包含 \(I\) 的每个极小素理想的高均为 \(1\)。 则 \(I = (f)\)，其中 \(f \in R\)。

证明

由引理 0BXH， 理想层 \(\tilde I\) 在 \(\Spec(R)\) 上可逆。 由《代数进阶》引理 0BCH， 它由一个元生成。

引理

设 \(X\) 为诺特概形，\(D \subset X\) 为有效 Cartier 除子。 假设存在整有效 Cartier 除子 \(D_i \subset X\)，使得集合论上有 \(D \subset \bigcup D_i\)。则 \(D = \sum a_i D_i\)，其中 \(a_i \geq 0\)。 \(D_i\) 的存在性得到保证，只要 \(\mathcal{O}_{X, x}\) 是 UFD， 且这对所有 \(x \in D\) 都成立，或者 \(X\) 正则。

证明

如引理 0AGB 中选取 \(a_i\)，并令 \(D' = \sum a_i D_i\)。则 \(D' \to D\) 是有效 Cartier 除子的包含， 且在余维 \(2\) 之外是同构（余维在 \(X\) 上计算）。取 \(x \in X\)。 令 \(A = \mathcal{O}_{X, x}\)，并设 \(f, f' \in A\) 分别生成 \(D, D'\) 之理想的非零因子（在 \(A\) 中）。则 \(f = gf'\)， 其中 \(g \in A\)。此外，对每个素理想 \(\mathfrak p\)，若其高 \(\leq 1\)（在 \(A\) 中计算），则 \(g\) 在 \(A_\mathfrak p\) 中的像是单位。这意味着 \(g\) 是单位，因为包含 \((g)\) 的极小素理想的高为 \(1\) （《代数》引理 00KV）。

引理

设 \(X\) 为具有丰富可逆层的诺特概形。 则每个可逆 \(\mathcal{O}_X\)-模都同构于 \[\mathcal{O}_X(D - D') = \mathcal{O}_X(D) \otimes_{\mathcal{O}_X} \mathcal{O}_X(D')^{\otimes -1}\] 其中 \(D, D'\) 是 \(X\) 中的某些有效 Cartier 除子。此外，给定 有限子集 \(E \subset X\)，可以选取 \(D, D'\) 使得 \(E \cap D = \emptyset\) 且 \(E \cap D' = \emptyset\)。若 \(X\) 拟仿射，则可选取 \(D' = \emptyset\)。

证明

设 \(x_1, \ldots, x_n\) 为 \(X\) 的伴随点 （引理 05AF）。

若 \(X\) 拟仿射，而 \(\mathcal{N}\) 是任意可逆 \(\mathcal{O}_X\)-模，则可以选取一个截面 \(t\) 属于 \(\mathcal{N}\)， 使其在 \(E \cup \{x_1, \ldots, x_n\}\) 的任一点处都不消失，见《性质》引理 0F20。 由引理 0AYL，\(t\) 是 \(\mathcal{N}\) 的正则截面。因此 \(\mathcal{N} \cong \mathcal{O}_X(D)\)，其中 \(D = Z(t)\) 是对应于 \(t\) 的有效 Cartier 除子，见引理 01X0。由构造可知 \(E \cap D = \emptyset\)， 因而该情形已证。

回到一般情形，设 \(\mathcal{L}\) 为 \(X\) 上的丰富可逆层。 存在 \(m > 0\) 以及截面 \(s \in \Gamma(X, \mathcal{L}^{\otimes m})\)， 使得 \(X_s\) 为仿射概形，并且 \(E \cup \{x_1, \ldots, x_n\} \subset X_s\) （《性质》引理 09NV）。

设 \(\mathcal{N}\) 为任意可逆 \(\mathcal{O}_X\)-模。 由拟仿射情形，可以找到截面 \(t \in \mathcal{N}(X_s)\)， 它在 \(E \cup \{x_1, \ldots, x_n\}\) 的任一点处均不消失。 由《性质》引理 01PW， 对某个 \(e \geq 0\)，截面 \(s^e|_{X_s} t\) 可以延拓为 一个整体截面 \(\tau\)，它是 \(\mathcal{L}^{\otimes me} \otimes \mathcal{N}\) 的截面。 因此 \(\mathcal{L}^{\otimes me} \otimes \mathcal{N}\) 与 \(\mathcal{L}^{\otimes me}\) 都是可逆层，并且各自有一个整体截面， 该截面在 \(E \cup \{x_1, \ldots, x_n\}\) 的任一点处均不消失。 由引理 0AYL，这些都是正则截面。 故有 \(\mathcal{L}^{\otimes me} \otimes \mathcal{N} \cong \mathcal{O}_X(D)\) 以及 \(\mathcal{L}^{\otimes me} \cong \mathcal{O}_X(D')\)，其中 \(D\) 与 \(D'\) 是某些有效 Cartier 除子，见引理 01X0。由构造可知 \(E \cap D = \emptyset\) 且 \(E \cap D' = \emptyset\)，证毕。

引理

设 \(X\) 为整正则概形，其维数为 \(2\)。 设 \(i : D \to X\) 为一个有效 Cartier 除子的浸入。 设 \(\mathcal{F} \to \mathcal{F}' \to i_*\mathcal{G} \to 0\) 为凝聚 \(\mathcal{O}_X\)-模的正合列。假设

1. \(\mathcal{F}, \mathcal{F}'\) 是秩为 \(r\) 的局部自由模，这在 \(X\) 的一个非空开集上成立；

2. \(D\) 是整概形；

3. \(\mathcal{G}\) 是有限局部自由 \(\mathcal{O}_D\)-模，秩为 \(s\)。

则 \(\mathcal{L} = (\wedge^r\mathcal{F})^{**}\) 与 \(\mathcal{L}' = (\wedge^r \mathcal{F}')^{**}\) 是可逆 \(\mathcal{O}_X\)-模，且 \(\mathcal{L}' \cong \mathcal{L}(k D)\)，其中 \(k \in \{0, \ldots, \min(s, r)\}\)。

证明

第一个断言由引理 0B3N 得出， 因为假设 (1) 意味着 \(\mathcal{L}\) 与 \(\mathcal{L}'\) 的秩都为 \(1\)。 取 \(\wedge^r\) 和取双对偶都是函子，因此得到一个典范映射 \(\sigma : \mathcal{L} \to \mathcal{L}'\)。它在 (1) 中的非空开集上是同构， 因而非零。为了完成证明，只须证明：将 \(\sigma\) 视为 \(\mathcal{L}' \otimes \mathcal{L}^{\otimes -1}\) 的整体截面时， 它在 \(X\) 的任意余维点处都不消失，除了 \(D\) 的泛点；而在该点处，其消失阶至多为 \(\min(s, r)\)。

翻译成代数语言，我们得到如下问题： 设 \((A, \mathfrak m, \kappa)\) 为离散赋值环，分式域为 \(K\)。 设 \(M \to M' \to N \to 0\) 为有限 \(A\)-模的正合列，满足 \(\dim_K(M \otimes K) = \dim_K(M' \otimes K) = r\)，并且 \(N \cong \kappa^{\oplus s}\)。证明诱导映射 \(L = \wedge^r(M)^{**} \to L' = \wedge^r(M')^{**}\) 的消失阶 至多为 \(\min(s, r)\)。我们将使用 \(A\) 上模的结构定理，参见 《代数进阶》引理 0ASP 或 0ASV。 有限 \(A\)-模对其一个挠子模取商，不会改变其双对偶。 因此，可以将 \(M\) 替换为 \(M/M_{tors}\)，并将 \(M'\) 替换为 \(M'/\Im(M_{tors} \to M')\)，从而假设 \(M\) 无挠。 此时 \(M \to M'\) 是单射，且 \(M'_{tors} \to N\) 是单射。 因此，可以将 \(M'\) 替换为 \(M'/M'_{tors}\)，并将 \(N\) 替换为 \(N/M'_{tors}\)。于是问题归约到 \(M\) 和 \(M'\) 都是秩为 \(r\) 的自由模且 \(N \cong \kappa^{\oplus s}\) 的情形。此时 \(\sigma\) 是 \(M \to M'\) 的行列式，并且其消失阶为 \(s\)；例如这可由 《代数》引理 02MI 得出。

仿射开集的补集

本节讨论如下结果：簇中一个仿射开集的补集具有纯余维 \(1\)。

引理

设 \((A, \mathfrak m)\) 为诺特局部环。 记 \(U = \Spec(A) \setminus \{\mathfrak m\}\)；这是 \(A\) 的穿孔谱，并且它是仿射的， 当且仅当 \(\dim(A) \leq 1\)。

证明

若 \(\dim(A) = 0\)，则 \(U\) 为空，因而仿射（它等于 \(0\) 环的谱）。 若 \(\dim(A) = 1\)，则可以选择元素 \(f \in \mathfrak m\)，使其不包含于 \(A\) 的有限多个极小素理想中的任何一个 （《代数》引理 00FR 与 00DS）。于是 \(U = \Spec(A_f)\) 是仿射的。

逆命题更有意思。我们将给出一个稍微非标准的证明，并在下面的评注中讨论 标准论证。假设 \(U = \Spec(B)\) 是仿射的。由于取约化不影响仿射性与维数， 可以用 \(A\) 对其幂零元理想所取的商替换原环，从而假设 \(A\) 约化。 令 \(Q = B/A\)，将其视为 \(A\)-模。\(Q\) 的支集是 \(\{\mathfrak m\}\)，因为有 \(A_\mathfrak p = B_\mathfrak p\)，这对每个非极大素理想 \(\mathfrak p\)（属于 \(A\)）都成立。 可以假设 \(\dim(A) \geq 1\)；于是如上可选取 \(f \in \mathfrak m\)， 使其不包含于 \(A\) 的任何极小理想。由于 \(A\) 约化，这意味着 \(f\) 在 \(A\) 中是非零因子。同一论证表明 \(f : B \to B\) 是单射，因为 \(\Spec(B)\) 是 \(\Spec(A)\) 的开集。注意，由《代数》引理 00KW，有 \(\dim(A/fA) = \dim(A) - 1\)。 对乘以 \(f\) 的映射应用蛇形引理，其中该映射作用于短正合列 \(0 \to A \to B \to Q \to 0\)， 得到 \[0 \to Q[f] \to A/fA \to B/fB \to Q/fQ \to 0\] 其中 \(Q[f] = \Ker(f : Q \to Q)\)。 这说明 \(Q[f]\) 是有限 \(A\)-模。由于 \(Q[f]\) 的支集是 \(\{\mathfrak m\}\)，可知 \(l = \text{length}_A(Q[f]) < \infty\) （《代数》引理 00L5）。 令 \(l_n = \text{length}_A(Q[f^n])\)。正合列 \[0 \to Q[f^n] \to Q[f^{n + 1}] \xrightarrow{f^n} Q[f]\] 归纳地表明 \(l_n < \infty\)，且 \(l_n \leq l_{n + 1}\)。 考察正合列 \[0 \to Q[f] \to Q[f^{n + 1}] \xrightarrow{f} Q[f^n] \to Q/fQ\] 可知 \(Q[f^n]\) 在 \(Q/fQ\) 中之像的长度为 \(l_n - l_{n + 1} + l \leq l\)。由于 \(Q = \bigcup Q[f^n]\)， 可知 \(Q/fQ\) 的长度至多为 \(l\)，即有界。 因此 \(Q/fQ\) 是有限 \(A\)-模。故 \(A/fA \to B/fB\) 是有限环同态， 特别地，它在谱上诱导闭映射 （《代数》引理 00GU 与 00HZ）。 另一方面，\(\Spec(B/fB)\) 是 \(\Spec(A/fA)\) 的穿孔谱。 除非 \(\Spec(B/fB) = \emptyset\)，否则就产生矛盾；而该等式意味着 \(\dim(A/fA) = 0\)，正是所需结论。

注

设 \((A, \mathfrak m)\) 为维数 \(\geq 2\) 的诺特局部正规整环，并设 \(U\) 为 \(A\) 的穿孔谱，则 \(\Gamma(U, \mathcal{O}_U) = A\)。 Hartogs 定理的这一代数版本来自如下事实： \(A = \bigcap_{\text{高度}(\mathfrak p) = 1} A_\mathfrak p\)， 我们已在《代数》引理 031T 中见过它。因此在该情形中，\(U\) 不可能仿射（否则会迫使 \(\mathfrak m\) 成为 \(U\) 的一个点）。这常被用作引理 0BCR 之证明的出发点。 为把一般诺特局部环的情形约化到该情形，首先作完备化 （以得到 Nagata 局部环），然后对某个适当的极小素理想将 \(A\) 替换为 \(A/\mathfrak q\)，再作正规化。这些步骤都不改变维数，并由此得到矛盾。 也可以跳过完备化步骤，但此时正规化一般不是诺特整环。不过，它仍然是 同维数的 Krull 整环（这利用 Krull–Akizuki 定理证明），因而可以应用 同一论证。

注

尚不清楚如何刻画穿孔谱为仿射的非诺特局部环 \((A, \mathfrak m)\)。 这样的环有一个有限生成理想 \(I\)，满足 \(\mathfrak m = \sqrt{I}\)。当然，若可以取 \(I\) 由 \(1\) 个元素生成， 则 \(A\) 的穿孔谱是仿射的；这给出许多非诺特例子。 反过来，由引理 0BCR 之证明中的论证可知， 这样的环不可能有非零因子 \(f \in \mathfrak m\) 满足 \(H^0_I(A/fA) = 0\)（所以 \(A\) 不可能有长度为 \(2\) 的正则列）。 此外，对任何环 \(A'\)，若它是局部环同态 \(A \to A'\) 的目标环，只要 \(\mathfrak m_{A'} = \sqrt{\mathfrak mA'}\)，同一结论也成立。

引理

设 \(X\) 为局部诺特概形。设 \(U \subset X\) 为开子概形，并且包含态射 \(U \to X\) 是仿射的。对每个泛点 \(\xi\)，若它来自 \(X \setminus U\) 的某个不可约分支，则局部环 \(\mathcal{O}_{X, \xi}\) 的维数 \(\leq 1\)。若 \(U\) 稠密，或 \(\xi\) 位于 \(U\) 的闭包中，则 \(\dim(\mathcal{O}_{X, \xi}) = 1\)。

证明

由于 \(\xi\) 是 \(X \setminus U\) 的泛点，可知 \[U_\xi = U \times_X \Spec(\mathcal{O}_{X, \xi}) \subset \Spec(\mathcal{O}_{X, \xi})\] 是 \(\mathcal{O}_{X, \xi}\) 的穿孔谱（提示：使用《概形》引理 01J7）。 因为 \(U \to X\) 是仿射的，故 \(U_\xi \to \Spec(\mathcal{O}_{X, \xi})\) 是仿射的 （《态射》引理 01SD）， 从而 \(U_\xi\) 是仿射的。因此由引理 0BCR，有 \(\dim(\mathcal{O}_{X, \xi}) \leq 1\)。 若 \(\xi \in \overline{U}\)，则存在特化 \(\eta \to \xi\)，其中 \(\eta \in U\)（只需取泛点 \(\eta\)，它属于 \(\overline{U}\) 的一个包含 \(\xi\) 的不可约分支；由于 \(\overline{U}\) 局部诺特，因而局部只有有限多个 不可约分支，可知 \(\eta \in U\)）。于是 \(\eta \in \Spec(\mathcal{O}_{X, \xi})\)，故维数不可能为 \(0\)。

引理

设 \(X\) 为分离的局部诺特概形。设 \(U \subset X\) 为仿射开集。 对每个泛点 \(\xi\)，若它来自 \(X \setminus U\) 的某个不可约分支，则局部环 \(\mathcal{O}_{X, \xi}\) 的维数均 \(\leq 1\)。若 \(U\) 稠密，或 \(\xi\) 位于 \(U\) 的闭包中，则 \(\dim(\mathcal{O}_{X, \xi}) = 1\)。

证明

这由引理 0BCU 得出，因为 由《态射》引理 01SG， 态射 \(U \to X\) 是仿射的。

下面的引理有时可以用来构造有效 Cartier 除子。

引理

设 \(X\) 为诺特分离概形。设 \(U \subset X\) 为稠密仿射开集。 若 \(\mathcal{O}_{X, x}\) 是 UFD，且这对所有 \(x \in X \setminus U\) 都成立， 则存在有效 Cartier 除子 \(D \subset X\)，使得 \(U = X \setminus D\)。

证明

由于 \(X\) 诺特，补集 \(X \setminus U\) 只有有限多个不可约分支 \(D_1, \ldots, D_r\) （将《性质》引理 0BA8 应用于 \(X \setminus U\) 上的既约诱导子概形结构）。 由引理 0BCV （以及《性质》引理 02IZ）， 每个 \(D_i \subset X\) 的余维均为 \(1\)。 于是由引理 0AGA， \(D_i\) 是有效 Cartier 除子。因此可以取 \(D = D_1 + \ldots + D_r\)。

引理

设 \(X\) 为具有仿射对角的诺特概形。设 \(U \subset X\) 为稠密仿射开集。 若 \(\mathcal{O}_{X, x}\) 是 UFD，且这对所有 \(x \in X \setminus U\) 都成立， 则存在有效 Cartier 除子 \(D \subset X\)，使得 \(U = X \setminus D\)。

证明

由于 \(X\) 诺特，补集 \(X \setminus U\) 只有有限多个不可约分支 \(D_1, \ldots, D_r\) （将《性质》引理 0BA8 应用于 \(X \setminus U\) 上的既约诱导子概形结构）。 将 \(D_i\) 视为 \(X\) 的既约闭子概形。 设 \(X = \bigcup_{j \in J} X_j\) 为 \(X\) 的仿射开覆盖。对 所有 \(j\)（其属于 \(J\)），令 \(U_j = U \cap X_j\)。由于 \(X\) 具有仿射对角， 概形 \[U_j = X \times_{(X \times X)} (U \times X_j)\] 是仿射的。因此，由于 \(X_j\) 分离，根据引理 0BCW 及其证明，对所有 \(j \in J\) 与 \(1 \leq i \leq r\)，交 \(D_i \cap X_j\) 或为空，或为 \(X_j\) 中的有效 Cartier 除子。 因此 \(D_i \subset X\) 是有效 Cartier 除子（因为这是局部性质）。 故可以取 \(D = D_1 + \ldots + D_r\)。

引理

设 \(X\) 为具有仿射对角的拟紧正则概形。则 \(X\) 具有一个可逆模的丰富族 （《态射》定义 0FXR）。

证明

注意 \(X\) 是整概形的有限不交并 （《性质》引理 0569 与 033M）。 因此可以进一步假设 \(X\) 是整的、诺特的、正则的，并且具有仿射对角。 设 \(x \in X\)。选择仿射开邻域 \(U \subset X\)，它包含 \(x\)。 由于 \(X\) 是整概形，\(U\) 在 \(X\) 中稠密。 由《代数进阶》引理 0AG0， \(X\) 的局部环都是 UFD。因此由引理 0EGJ， 可以找到有效 Cartier 除子 \(D \subset X\)，其补集为 \(U\)。 于是典范截面 \(s = 1_D\) 属于 \(\mathcal{L} = \mathcal{O}_X(D)\)， 见定义 01WX， 恰在 \(D\) 上消失，故 \(U = X_s\)。 因此《态射》定义 0FXR 中的两个条件都成立，证毕。

范数

设 \(\pi : X \to Y\) 为概形的有限态射，并设 \(d \geq 1\) 为整数。 如果存在一个乘法映射，则称存在次数为 \(d\) 的 \(\pi\) 的范数 ³ \[\text{Norm}_\pi : \pi_*\mathcal{O}_X \to \mathcal{O}_Y\] 它是层的映射，并且满足

1. 复合 \(\mathcal{O}_Y \xrightarrow{\pi^\sharp} \pi_*\mathcal{O}_X \xrightarrow{\text{Norm}_\pi} \mathcal{O}_Y\) 等于 \(g \mapsto g^d\)；

2. 对开集 \(V \subset Y\)，若 \(f \in \mathcal{O}_X(\pi^{-1}V)\) 在 \(x \in \pi^{-1}(V)\) 处为零，则 \(\text{Norm}_\pi(f)\) 在 \(\pi(x)\) 处为零。

注意条件 (1) 迫使 \(\pi\) 满射。由于 \(\text{Norm}_\pi\) 是乘法的， 它把单位映到单位；因此，给定 \(y \in Y\)，若 \(f\) 是 \(X\) 上的正则函数， 它在每个 \(x \in X\) 处有定义但不消失，并且 \(\pi(x) = y\)，则 \(\text{Norm}_\pi(f)\) 有定义且在 \(y\) 处不消失。该结论不需要条件 (2)； 事实上，本节中的构造只需要条件 (1)，只有某些消失性质 （特别是在引理 0BD0 的证明中使用）才需要性质 (2)。

引理

设 \(\pi : X \to Y\) 为概形的有限态射。设 \(\mathcal{L}\) 为可逆 \(\mathcal{O}_X\)-模。设 \(y \in Y\)。则存在开邻域 \(V \subset Y\)，它包含 \(y\)，并使得 \(\mathcal{L}|_{\pi^{-1}(V)}\) 平凡。

证明

显然可以假设 \(Y\) 仿射，因而 \(X\) 也仿射。由于 \(\pi\) 有限， 纤维 \(\pi^{-1}(\{y\})\)（位于 \(y\) 上）是有限的。 因为 \(X\) 仿射，可以选取 \(s \in \Gamma(X, \mathcal{L})\)，使其在 \(\pi^{-1}(\{y\})\) 的任何点处都不消失。这由《性质》引理 0F20 得出，不过我们也给出直接论证。具体地，可以选取闭点的有限集 \(E \subset X\)，使每个 \(x \in \pi^{-1}(\{y\})\) 都特化到 \(E\) 的某个点。对 \(x \in E\)，用 \(i_x : x \to X\) 表示闭浸入。 于是 \(\mathcal{L} \to \bigoplus_{x \in E} i_{x, *}i_x^*\mathcal{L}\) 是拟凝聚 \(\mathcal{O}_X\)-模的满射，故映射 \[\Gamma(X, \mathcal{L}) \to \bigoplus\nolimits_{x \in E} \mathcal{L}_x/\mathfrak m_x\mathcal{L}_x\] 是满射（因为在拟凝聚 \(\mathcal{O}_X\)-模范畴上取整体截面是正合函子， 见《概形》引理 01IB）。 因此，可以找到 \(s \in \Gamma(X, \mathcal{L})\)，使其在特化到 \(E\) 中某点的任何点处都不消失。于是 \(X_s \subset X\) 是 \(\pi^{-1}(\{y\})\) 的开邻域。由于 \(\pi\) 有限，因而是闭态射， 可知存在开邻域 \(V \subset Y\)，它包含 \(y\)，且其逆像包含于 \(X_s\)，正是所需。

引理

设 \(\pi : X \to Y\) 为概形的有限态射。若存在次数为 \(d\) 的 \(\pi\) 的范数， 则存在阿贝尔群同态 \[\text{Norm}_\pi : \Pic(X) \to \Pic(Y)\] 使得 \(\text{Norm}_\pi(\pi^*\mathcal{N}) \cong \mathcal{N}^{\otimes d}\) 对所有可逆 \(\mathcal{O}_Y\)-模 \(\mathcal{N}\) 都成立。

证明

我们将使用可逆 \(\mathcal{O}_X\)-模的同构类与 \(H^1(X, \mathcal{O}_X^*)\) 的元素之间的对应，而不再另作说明； 该对应见《上同调》引理 09NU。 现说明如何对可逆 \(\mathcal{O}_X\)-模 \(\mathcal{L}\) 取范数。 由引理 0BUT，存在开覆盖 \(Y = \bigcup V_j\)，使得 \(\mathcal{L}|_{\pi^{-1}V_j}\) 平凡。 选择一个生成截面 \(s_j \in \mathcal{L}(\pi^{-1}V_j)\)，对每个 \(j\) 都如此。 在交集 \(\pi^{-1}V_j \cap \pi^{-1}V_{j'}\) 上，可以写成 \[s_j = u_{jj'} s_{j'}\] 其中存在唯一的 \(u_{jj'} \in \mathcal{O}^*_X(\pi^{-1}V_j \cap \pi^{-1}V_{j'})\)。 于是可以考察元素 \[v_{jj'} = \text{Norm}_\pi(u_{jj'}) \in \mathcal{O}_Y^*(V_j \cap V_{j'})\] 这些元素满足余循环条件（因为 \(u_{jj'}\) 满足该条件，且 \(\text{Norm}_\pi\) 是乘法的），因此定义了一个可逆 \(\mathcal{O}_Y\)-模。我们略去如下验证：该构造是良定义的，在 Picard 群上 可加，并且满足 \(\text{Norm}_\pi(\pi^*\mathcal{N}) \cong \mathcal{N}^{\otimes d}\)， 这对所有可逆 \(\mathcal{O}_Y\)-模 \(\mathcal{N}\) 都成立。

引理

设 \(\pi : X \to Y\) 为概形的有限态射。假设存在次数为 \(d\) 的 \(\pi\) 的范数。 对任意 \(\mathcal{O}_X\)-线性映射 \(\varphi : \mathcal{L} \to \mathcal{L}'\)，若它连接两个可逆 \(\mathcal{O}_X\)-模，则存在 \(\mathcal{O}_Y\)-线性映射 \[\text{Norm}_\pi(\varphi) : \text{Norm}_\pi(\mathcal{L}) \longrightarrow \text{Norm}_\pi(\mathcal{L}')\] 其中 \(\text{Norm}_\pi(\mathcal{L})\)、\(\text{Norm}_\pi(\mathcal{L}')\) 如引理 0BCY 所述。此外，对 \(y \in Y\)，下列条件等价：

1. \(\varphi\) 在某个点 \(x \in X\) 处为零，且 \(\pi(x) = y\)；

2. \(\text{Norm}_\pi(\varphi)\) 在 \(y\) 处为零。

证明

选择开覆盖 \(Y = \bigcup V_j\)，使 \(\mathcal{L}\) 和 \(\mathcal{L}'\) 在开集 \(\pi^{-1}V_j\) 上平凡。由引理 0BUT，这可以做到。 选择生成截面 \(s_j\) 与 \(s'_j\)；它们分别是 \(\mathcal{L}\) 与 \(\mathcal{L}'\) 在开集 \(\pi^{-1}V_j\) 上的生成截面。于是 \(\varphi(s_j) = f_js'_j\)，其中 \(f_j \in \mathcal{O}_X(\pi^{-1}V_j)\)。 把 \(\text{Norm}_\pi(\varphi)\) 定义为乘以 \(\text{Norm}_\pi(f_j)\)；此定义在 \(V_j\) 上给出。对引理 0BCY 之证明中 用来构造 \(\text{Norm}_\pi(\mathcal{L})\)、\(\text{Norm}_\pi(\mathcal{L}')\) 的余循环作简单计算，即可表明这定义了引理所述映射。 最后的断言来自次数为 \(d\) 的范数映射之定义中的条件 (2)。 略去一些细节。

引理

设 \(\pi : X \to Y\) 为概形的有限态射。假设 \(X\) 具有丰富可逆层， 并且存在次数为 \(d\) 的 \(\pi\) 的范数。则 \(Y\) 具有丰富可逆层。

证明

设 \(\mathcal{L}\) 为假设所给的 \(X\) 上的丰富可逆层。我们将证明 \(\mathcal{N} = \text{Norm}_\pi(\mathcal{L})\) 在 \(Y\) 上丰富。

由于 \(X\) 拟紧（《性质》定义 01PS），而 \(X \to Y\) 满射 （因为 \(\text{Norm}_\pi\) 存在），可知 \(Y\) 拟紧。 取一点 \(y \in Y\)。为完成证明，我们将证明：存在截面 \(t\)，它属于 \(\mathcal{N}\) 的某个正张量幂，在 \(y\) 处不消失，并且 \(Y_t\) 仿射。 为此，选择仿射开邻域 \(V \subset Y\)，它包含 \(y\)。 选择 \(n \gg 0\) 以及截面 \(s \in \Gamma(X, \mathcal{L}^{\otimes n})\)，使得 \[\pi^{-1}(\{y\}) \subset X_s \subset \pi^{-1}V\] 这可由《性质》引理 09NV 做到。 于是 \(t = \text{Norm}_\pi(s)\) 是 \(\mathcal{N}^{\otimes n}\) 的截面， 它在 \(x\) 处不消失，并且 \(Y_t \subset V\)，见引理 0BCZ。再由《性质》引理 01PV，\(Y_t\) 是仿射的。

引理

设 \(\pi : X \to Y\) 为概形的有限态射。假设 \(X\) 拟仿射，并且存在 次数为 \(d\) 的 \(\pi\) 的范数。则 \(Y\) 拟仿射。

证明

由《性质》引理 01QE， \(\mathcal{O}_X\) 是 \(X\) 上的丰富可逆层。 引理 0BD0 的证明表明 \(\text{Norm}_\pi(\mathcal{O}_X) = \mathcal{O}_Y\) 是丰富可逆 \(\mathcal{O}_Y\)-模。因此《性质》引理 01QE 表明 \(Y\) 拟仿射。

引理

设 \(\pi : X \to Y\) 为次数 \(d \geq 1\) 的有限局部自由态射。 则存在次数为 \(d\) 的典范范数，其构造与任意基变换交换。

证明

设 \(V \subset Y\) 为仿射开集，使得 \((\pi_*\mathcal{O}_X)|_V\) 是秩为 \(d\) 的有限自由模。选择一组基，得到同构 \[\mathcal{O}_V^{\oplus d} \cong (\pi_*\mathcal{O}_X)|_V\] 对每个 \(f \in \pi_*\mathcal{O}_X(V) = \mathcal{O}_X(\pi^{-1}(V))\)， 乘以 \(f\) 定义了所示自由向量丛的 \(\mathcal{O}_V\)-线性自同态 \(m_f\)。 因此得到一个 \(d \times d\) 矩阵 \(M_f \in \text{Mat}(d \times d, \mathcal{O}_Y(V))\)，并可定义 \[\text{Norm}_\pi(f) = \det(M_f)\] 由于矩阵的行列式与所选基无关，可知该定义良好；这也意味着该构造可以 粘合成所需的整体映射。构造显然与基变换相容。

性质 (1) 来自如下事实：一个 \(d \times d\) 对角矩阵的对角元为 \(g, g, \ldots, g\) 时，其行列式为 \(g^d\)。 为证明性质 (2)，可以作基变换，并假设 \(Y\) 是域 \(k\) 的谱。 于是 \(X = \Spec(A)\)，其中 \(A\) 为 \(k\)-代数，并且 \(\dim_k(A) = d\)。若存在 \(x \in X\) 使 \(f \in A\) 在 \(x\) 处消失， 则存在到某个域的映射 \(A \to \kappa\)，使 \(f\) 在 \(\kappa\) 中的像为零。 于是 \(f : A \to A\) 不可能满射，因而 \(\det(f : A \to A) = 0\)，正是所需。

引理

设 \(\pi : X \to Y\) 为有限满态射，其中 \(X\) 与 \(Y\) 都是整概形， 且 \(Y\) 正规。则存在次数为 \([R(X) : R(Y)]\) 的 \(\pi\) 的范数。

证明

设 \(\Spec(B) \subset Y\) 为仿射开子集，并设 \(\Spec(A) \subset X\) 为其逆像。则 \(A\) 与 \(B\) 都是整环。 设 \(K\) 为 \(A\) 的分式域，\(L\) 为 \(B\) 的分式域。图示如下： \[\xymatrix{ L \ar[r] & K \\ B \ar[u] \ar[r] & A \ar[u] }\] 由于 \(K/L\) 是有限扩张，存在范数映射 \(\text{Norm}_{K/L} : K^* \to L^*\)，其次数为 \(d = [K : L]\)；如引理 0BD2 的证明所述，它把 \(f \in K\) 映到 \(\det_L(f : K \to K)\)。 注意 \(f : K \to K\) 的特征多项式是 \(f\) 在 \(L\) 上的极小多项式的一个幂； 特别地，\(\text{Norm}_{K/L}(f)\) 是 \(f\) 在 \(L\) 上之极小多项式的常数项的一个幂。 因此，由《代数》引理 00H7， \(\text{Norm}_{K/L}\) 把 \(A\) 映入 \(B\)。 这在仿射开集的截面上确定了一个相容映射系，从而确定整体范数映射 \(\text{Norm}_\pi\)，其次数为 \(d\)。

性质 (1) 由构造立即得出。 为证明性质 (2)，设 \(f \in A\) 包含于素理想 \(\mathfrak p \subset A\)。 设 \(f^m + b_1 f^{m - 1} + \ldots + b_m\) 为 \(f\) 在 \(L\) 上的极小多项式。 由《代数》引理 00H7， 有 \(b_i \in B\)。因此 \(b_0 \in B \cap \mathfrak p\)。 由于 \(\text{Norm}_{K/L}(f) = b_0^{d/m}\)（见上文），可知范数在 \(\mathfrak p\) 的像点处消失。

引理

设 \(X\) 为诺特概形。设 \(p\) 为满足 \(p\mathcal{O}_X = 0\) 的素数。 则对某个 \(e > 0\)，存在次数为 \(p^e\) 的范数，它对应态射 \(X_{red} \to X\)， 其中 \(X_{red}\) 是 \(X\) 的约化。

证明

设 \(A\) 为满足 \(pA = 0\) 的诺特环。设 \(I \subset A\) 为幂零元的理想。 则有 \(I^n = 0\)，其中 \(n\) 为某个整数（《代数》引理 00IM）。 选择 \(e\) 使 \(p^e \geq n\)。于是 \[A/I \longrightarrow A,\quad f \bmod I \longmapsto f^{p^e}\] 是良定义的。这给出次数为 \(p^e\) 的范数，它对应 \(\Spec(A/I) \to \Spec(A)\)。 现在，若 \(X\) 由某些仿射概形 \(\Spec(A_i)\) 粘合而成，则对某个 \(e \gg 0\)，这些映射粘合成 \(X_{red} \to X\) 的范数映射。略去细节。

命题

设 \(\pi : X \to Y\) 为概形的有限满态射。假设 \(X\) 具有丰富可逆 \(\mathcal{O}_X\)-模。若

1. \(\pi\) 有限局部自由；或

2. \(Y\) 为整正规概形；或

3. \(Y\) 诺特，\(p\mathcal{O}_Y = 0\)，并且 \(X = Y_{red}\)，

则 \(Y\) 具有丰富可逆 \(\mathcal{O}_Y\)-模。

证明

情形 (1) 由引理 0BD2 与 0BD0 结合得出。 情形 (3) 由引理 0BDZ 与 0BD0 结合得出。 在情形 (2) 中，首先替换 \(X\)；所取替代者是 \(X\) 的一个支配 \(Y\) 的不可约分支（把它视为 \(X\) 的既约闭子概形）。 然后可以应用引理 0BD3。

引理

设 \(\pi : X \to Y\) 为概形的有限满态射。假设 \(X\) 拟仿射。若下列任一条件成立：

1. \(\pi\) 有限局部自由；或

2. \(Y\) 为整正规概形，

则 \(Y\) 拟仿射。

证明

情形 (1) 由引理 0BD2 与 0BD1 结合得出。 在情形 (2) 中，首先替换 \(X\)；所取替代者是 \(X\) 的一个支配 \(Y\) 的不可约分支（把它视为 \(X\) 的既约闭子概形）。 然后可以应用引理 0BD3。

相对有效 Cartier 除子

下面的引理表明，在基上平坦的有效 Cartier 除子确实是基上的一个 “有效 Cartier 除子族”。例如，它在任意纤维上的限制都是有效 Cartier 除子。

引理

设 \(f : X \to S\) 为概形的态射。设 \(D \subset X\) 为闭子概形。 假设

1. \(D\) 是有效 Cartier 除子；并且

2. \(D \to S\) 是平坦态射。

则对概形的每个态射 \(g : S' \to S\)，拉回 \((g')^{-1}D\) 都是 \(X' = S' \times_S X\) 上的有效 Cartier 除子， 其中 \(g' : X' \to X\) 是投影。

证明

使用引理 01WS， 可把它翻译成如下代数陈述。设 \(A \to B\) 为环同态，且 \(h \in B\)。 假设 \(h\) 是非零因子，并且 \(B/hB\) 在 \(A\) 上平坦。则 \[0 \to B \xrightarrow{h} B \to B/hB \to 0\] 是 \(A\)-模的短正合列，其中 \(B/hB\) 在 \(A\) 上平坦。 由《代数》引理 00HL，该列与任意模在 \(A\) 上张量后仍然正合，特别地，也可以与任意 \(A\)-代数 \(A'\) 张量。

该引理是下述定义的动机。

定义

设 \(f : X \to S\) 为概形的态射。\(X/S\) 上的一个相对有效 Cartier 除子 是有效 Cartier 除子 \(D \subset X\)，使得 \(D \to S\) 是概形的平坦态射。

提醒读者，这可能是非标准记号。特别地，在 [EGA, IV, Section 21.15] 中，只有当 \(X \to S\) 平坦且局部有限表示时， 才讨论相对除子的概念。我们的定义稍微更一般。不过，事实证明，在许多情形 （但并非总是如此）下，若 \(x \in D\)，则 \(X \to S\) 在 \(x\) 处平坦。

引理

设 \(f : X \to S\) 为概形的态射。若 \(D_1, D_2 \subset X\) 是 \(X/S\) 上的相对有效 Cartier 除子，则 \(D_1 + D_2\) 也是 （定义 01WT）。

证明

这翻译成如下代数事实： 设 \(A \to B\) 为环同态，且 \(h_1, h_2 \in B\)。 假设 \(h_i\) 都是非零因子，并且 \(B/h_iB\) 在 \(A\) 上平坦。 则 \(h_1h_2\) 是非零因子，并且 \(B/h_1h_2B\) 在 \(A\) 上平坦。 理由是存在短正合列 \[0 \to B/h_1B \to B/h_1h_2B \to B/h_2B \to 0\] 其中第一个箭头由乘以 \(h_2\) 给出。由于两端的两项在 \(A\) 上平坦， 中间项也平坦，见《代数》引理 00HM。

引理

设 \(f : X \to S\) 为概形的态射。若 \(D_1, D_2 \subset X\) 是 \(X/S\) 上的相对有效 Cartier 除子，且作为闭子概形有 \(D_1 \subset D_2\)， 则有效 Cartier 除子 \(D\)，它满足 \(D_2 = D_1 + D\) （引理 02ON） 是 \(X/S\) 上的相对有效 Cartier 除子。

证明

这翻译成如下代数事实： 设 \(A \to B\) 为环同态，且 \(h_1, h_2 \in B\)。 假设 \(h_i\) 都是非零因子，\(B/h_iB\) 在 \(A\) 上平坦，并且 \((h_2) \subset (h_1)\)。于是可以写成 \(h_2 = h h_1\)， 其中 \(h \in B\) 是非零因子。得到短正合列 \[0 \to B/hB \to B/h_2B \to B/h_1B \to 0\] 其中第一个箭头由乘以 \(h_1\) 给出。由于右边两项在 \(A\) 上平坦， 中间项也平坦，见《代数》引理 00HM。

引理

设 \(f : X \to S\) 为概形的态射。设 \(D \subset X\) 为 \(X/S\) 上的相对有效 Cartier 除子。若 \(x \in D\) 且 \(\mathcal{O}_{X, x}\) 诺特，则 \(f\) 在 \(x\) 处平坦。

证明

令 \(A = \mathcal{O}_{S, f(x)}\) 且 \(B = \mathcal{O}_{X, x}\)。 设 \(h \in B\) 为生成 \(D\) 之理想的元素。则 \(h\) 是 \(B\) 中的非零因子， 并且 \(B/hB\) 是平坦局部 \(A\)-代数。设 \(I \subset A\) 为有限生成理想。 考察交换图 \[\xymatrix{ 0 \ar[r] & B \ar[r]_h & B \ar[r] & B/hB \ar[r] & 0 \\ 0 \ar[r] & B \otimes_A I \ar[r]^h \ar[u] & B \otimes_A I \ar[r] \ar[u] & B/hB \otimes_A I \ar[r] \ar[u] & 0 }\] 由于 \(B/hB\) 在 \(A\) 上平坦，下面一列是短正合列，见《代数》引理 00HL。 由于 \(B/hB\) 在 \(A\) 上平坦，右侧竖直箭头是单射，见《代数》引理 00HD。 因此，乘以 \(h\) 在中间竖直箭头的核 \(K\) 上是满射。 由 Nakayama 引理，见《代数》引理 00DV， 可知 \(K= 0\)。因此 \(B\) 在 \(A\) 上平坦，见《代数》引理 00HD。

下面的引理依赖平坦点集为开的代数版本。其概形论版本见 《态射进阶》第 0398 节。

引理

设 \(f : X \to S\) 为概形的态射。设 \(D \subset X\) 为相对有效 Cartier 除子。若 \(f\) 局部有限表示，则存在开子概形 \(U \subset X\)， 使得 \(D \subset U\) 且 \(f|_U : U \to S\) 平坦。

证明

取 \(x \in D\)。只须找到开邻域 \(U \subset X\)，它包含 \(x\)，并使得 \(f|_U\) 平坦。因此，该引理约化到如下情形： \(X = \Spec(B)\) 与 \(S = \Spec(A)\) 都仿射，并且 \(D\) 由非零因子 \(h \in B\) 给出。根据假设，\(B\) 是有限表示 \(A\)-代数，而 \(B/hB\) 是平坦 \(A\)-代数。我们将使用绝对诺特逼近。

写成 \(B = A[x_1, \ldots, x_n]/(g_1, \ldots, g_m)\)。 假设 \(h\) 是 \(h' \in A[x_1, \ldots, x_n]\) 的像。 选择一个在 \(\mathbf{Z}\) 上有限型的子代数 \(A_0 \subset A\)，使多项式 \(h', g_1, \ldots, g_m\) 的所有系数都属于 \(A_0\)。于是可以令 \(B_0 = A_0[x_1, \ldots, x_n]/(g_1, \ldots, g_m)\)，并令 \(h_0\) 为 \(h'\) 在 \(B_0\) 中的像。此时 \(B = B_0 \otimes_{A_0} A\)，且 \(B/hB = B_0/h_0B_0 \otimes_{A_0} A\)。由《代数》引理 02JO，扩大 \(A_0\) 后， 可以假设 \(B_0/h_0B_0\) 在 \(A_0\) 上平坦。 令 \(K_0 = \Ker(h_0 : B_0 \to B_0)\)。 由于 \(B_0\) 在 \(\mathbf{Z}\) 上有限型，可知 \(K_0\) 是有限生成理想。 设 \(A_1 \subset A\) 为有限型 \(\mathbf{Z}\)-子代数，它包含 \(A_0\)， 并用 \(B_1\)、\(h_1\)、\(K_1\) 表示在 \(A_1\) 上的相应对象。 由《代数进阶》引理 063Q，映射 \(K_0 \otimes_{A_0} A_1 \to K_1\) 是满射。另一方面，根据假设， \(h : B \to B\) 的核为零。因此，\(K_0\) 的每个元素在 \(K_1\) 中的像 都为零，这对充分大的子环 \(A_1 \subset A\) 成立。由于 \(K_0\) 有限生成， 可知 \(K_1 = 0\)，只须适当选择 \(A_1\)。

令 \(f_1 : X_1 \to S_1\) 等于 \(\Spec\)，它取自环同态 \(A_1 \to B_1\)。 令 \(D_1 = \Spec(B_1/h_1B_1)\)。由于 \(B = B_1 \otimes_{A_1} A\)，即 \(X = X_1 \times_{S_1} S\)， 现在只须对 \(X_1 \to S_1\) 与相对有效 Cartier 除子 \(D_1\) 证明该引理，见《态射》引理 01U8。 因此，问题已约化到 \(A\) 为诺特环的情形。在该情形中，由引理 062U，环同态 \(A \to B\) 在每个素理想 \(\mathfrak q\) 处平坦，这些素理想属于 \(V(h)\)。结合此情形下平坦点集为开的事实，见《代数》定理 00RC，即得结论。

还有下面的引理（其思想显然归于 Michael Artin，见 [Nobile]）， 它完全不需要任何有限性假设。

引理

设 \(f : X \to S\) 为概形的态射。设 \(D \subset X\) 为 \(X/S\) 上的相对有效 Cartier 除子。若 \(f\) 在 \(X \setminus D\) 的所有点处平坦，则 \(f\) 平坦。

证明

这翻译成如下代数事实： 设 \(A \to B\) 为环同态，且 \(h \in B\)。 假设 \(h\) 是非零因子，\(B/hB\) 在 \(A\) 上平坦，并且局部化 \(B_h\) 在 \(A\) 上平坦。则 \(B\) 在 \(A\) 上平坦。 理由是存在短正合列 \[0 \to B \to B_h \to \colim_n (1/h^n)B/B \to 0\] 并且第二项与第三项在 \(A\) 上平坦，这意味着 \(B\) 在 \(A\) 上平坦 （见《代数》引理 00HM）。 注意，平坦模的滤过余极限是平坦的 （见《代数》引理 05UT）， 而对 \(n\) 归纳可知，每个 \((1/h^n)B/B \cong B/h^nB\) 都在 \(A\) 上平坦， 因为它嵌入短正合列 \[0 \to B/h^{n - 1}B \xrightarrow{h} B/h^nB \to B/hB \to 0\] 略去一些细节。

例

下面给出一个相对有效 Cartier 除子 \(D\) 的例子，其中环境概形在 \(D\) 的一个邻域上不平坦。具体地，令 \(A = k[t]\)，并令 \[B = k[t, x, y, x^{-1}y, x^{-2}y, \ldots]/(ty, tx^{-1}y, tx^{-2}y, \ldots)\] 则 \(B\) 在 \(A\) 上不平坦，但 \(B/xB \cong A\) 在 \(A\) 上平坦。 此外，\(x\) 是非零因子，因而在 \(\Spec(B)\) 中定义了一个位于 \(\Spec(A)\) 上的相对有效 Cartier 除子。

若环境概形在基上平坦且局部有限表示，则可以用纤维来刻画相对有效 Cartier 除子。关于该引理稍有不同的表述，另见《态射进阶》引理 056Y。

引理

设 \(\varphi : X \to S\) 为局部有限表示的平坦态射。设 \(Z \subset X\) 为闭子概形。设 \(x \in Z\)，其像为 \(s \in S\)。

1. 若 \(Z_s \subset X_s\) 在 \(x\) 的一个邻域中是 Cartier 除子， 则存在开集 \(U \subset X\) 以及相对有效 Cartier 除子 \(D \subset U\)， 使得 \(Z \cap U \subset D\) 且 \(Z_s \cap U = D_s\)。

2. 若 \(Z_s \subset X_s\) 在 \(x\) 的一个邻域中是 Cartier 除子， 态射 \(Z \to X\) 有限表示，并且 \(Z \to S\) 在 \(x\) 处平坦， 则可以选择 \(U\) 与 \(D\) 使得 \(Z \cap U = D\)。

3. 若 \(Z_s \subset X_s\) 在 \(x\) 的一个邻域中是 Cartier 除子， 并且 \(Z\) 是 \(X\) 的局部主闭子概形，这在 \(x\) 的一个邻域中成立， 则可以选择 \(U\) 与 \(D\) 使得 \(Z \cap U = D\)。

特别地，若 \(Z \to S\) 局部有限表示且平坦，并且所有纤维 \(Z_s \subset X_s\) 都是有效 Cartier 除子，则 \(Z\) 是相对有效 Cartier 除子。类似地，若 \(Z\) 是 \(X\) 的局部主闭子概形，且所有纤维 \(Z_s \subset X_s\) 都是有效 Cartier 除子，则 \(Z\) 是相对有效 Cartier 除子。

证明

选择仿射开邻域 \(\Spec(A)\)，它包含 \(s\)；以及仿射开邻域 \(\Spec(B)\)，它包含 \(x\)，并使得 \(\varphi(\Spec(B)) \subset \Spec(A)\)。 设 \(\mathfrak p \subset A\) 为对应于 \(s\) 的素理想。 设 \(\mathfrak q \subset B\) 为对应于 \(x\) 的素理想。 设 \(I \subset B\) 为对应于 \(Z\) 的理想。 由引理的初始假设可知 \(A \to B\) 平坦且有限表示。 (1) 中的假设意味着，缩小 \(\Spec(B)\) 后，可以假设 \(I(B \otimes_A \kappa(\mathfrak p))\) 由一个元素生成，并且该元素在 \(B \otimes_A \kappa(\mathfrak p)\) 中是非零因子。 设 \(f \in I\) 映到这个生成元。我们断言，在可逆某个 \(g \in B\)（其中 \(g \not \in \mathfrak q\)）后，闭子概形 \(D = V(f) \subset \Spec(B_g)\) 是相对有效 Cartier 除子。

由《代数》引理 02JO， 可以找到诺特环之间的平坦有限型环同态 \(A_0 \to B_0\)、一个元素 \(f_0 \in B_0\)、一个环同态 \(A_0 \to A\) 以及同构 \(A \otimes_{A_0} B_0 \cong B\)。若 \(\mathfrak p_0 = A_0 \cap \mathfrak p\)，则可知 \[B \otimes_A \kappa(\mathfrak p) = \left(B_0 \otimes_{A_0} \kappa(\mathfrak p_0)\right) \otimes_{\kappa(\mathfrak p_0))} \kappa(\mathfrak p)\] 因此，\(f_0\) 在 \(B_0 \otimes_{A_0} \kappa(\mathfrak p_0)\) 中是非零因子。 由《代数》引理 00MF，可知 \(f_0\) 在 \((B_0)_{\mathfrak q_0}\) 中是非零因子，其中 \(\mathfrak q_0 = B_0 \cap \mathfrak q\)，并且 \((B_0/f_0B_0)_{\mathfrak q_0}\) 在 \(A_0\) 上平坦。 因此，由《代数》引理 061L 与《代数》定理 00RC， 存在 \(g_0 \in B_0\)，其中 \(g_0 \not \in \mathfrak q_0\)，使得 \(f_0\) 在 \((B_0)_{g_0}\) 中是非零因子，并且 \((B_0/f_0B_0)_{g_0}\) 在 \(A_0\) 上平坦。因此可知 \(D_0 = V(f_0) \subset \Spec((B_0)_{g_0})\) 是相对有效 Cartier 除子。 由于该性质在基变换下保持，见引理 056Q，可得上面所述的断言，其中 \(g\) 等于 \(g_0\) 在 \(B\) 中的像。

至此已证明 (1)。为证明 (2)，考察闭浸入 \(Z \to D\)。 满环同态 \(u : \mathcal{O}_{D, x} \to \mathcal{O}_{Z, x}\) 是本质有限表示的平坦局部 \(\mathcal{O}_{S, s}\)-代数之间的映射， 并且模掉 \(\mathfrak m_s\) 后成为同构。因此它是同构，见《代数》引理 046Y。 由此可知 \(Z \to D\) 在 \(x\) 的一个邻域中是同构，见《代数》引理 00QR。 为证明 (3)，必要时缩小 \(U\) 后，可以假设 \(D\) 的理想由单个非零因子 \(f\) 生成，而 \(Z\) 的理想由元素 \(g\) 生成。于是 \(f = gh\)。 但是 \(g|_{U_s}\) 与 \(f|_{U_s}\) 在 \(x\) 的一个邻域中截出同一个 有效 Cartier 除子。因此 \(h|_{X_s}\) 是 \(\mathcal{O}_{X_s, x}\) 中的单位， 从而 \(h\) 是 \(\mathcal{O}_{X, x}\) 中的单位，进而 \(h\) 在 \(x\) 的一个开邻域中是单位。也就是说，有 \(Z \cap U = D\)，这是在缩小 \(U\) 后成立。

引理最后的断言立即由 (2)、(3) 以及如下事实得出： \(Z \to S\) 局部有限表示，当且仅当 \(Z \to X\) 有限表示，见《态射》引理 01TR 与 02FV。

浸入的法锥

设 \(i : Z \to X\) 为闭浸入。设 \(\mathcal{I} \subset \mathcal{O}_X\) 为相应的拟凝聚理想层。 考察分次 \(\mathcal{O}_X\)-代数的拟凝聚层 \(\bigoplus_{n \geq 0} \mathcal{I}^n/\mathcal{I}^{n + 1}\)。 由于每个层 \(\mathcal{I}^n/\mathcal{I}^{n + 1}\) 都被 \(\mathcal{I}\) 零化，由《态射》引理 01QY，这个分次代数对应于一个 分次 \(\mathcal{O}_Z\)-代数的拟凝聚层。该拟凝聚分次 \(\mathcal{O}_Z\)-代数称为\(Z\) 在 \(X\) 中的余法代数，并且按照 《态射》第 01QX 节 所述的记号滥用，常简记为 \(\bigoplus_{n \geq 0} \mathcal{I}^n/\mathcal{I}^{n + 1}\)。

设 \(f : Z \to X\) 为浸入。把 \(f\) 的余法代数定义为闭浸入 \(i : Z \to X \setminus \partial Z\) 的余法代数，其中 \(\partial Z = \overline{Z} \setminus Z\)。它常记为 \(\bigoplus_{n \geq 0} \mathcal{I}^n/\mathcal{I}^{n + 1}\)， 其中 \(\mathcal{I}\) 是闭浸入 \(i : Z \to X \setminus \partial Z\) 的理想层。

定义

设 \(f : Z \to X\) 为浸入。所谓余法代数 \(\mathcal{C}_{Z/X, *}\)，即 \(Z\) 在 \(X\) 中的余法代数，或所谓 \(f\) 的余法代数，是上面所述的分次 \(\mathcal{O}_Z\)-代数拟凝聚层 \(\bigoplus_{n \geq 0} \mathcal{I}^n/\mathcal{I}^{n + 1}\)。

因此 \(\mathcal{C}_{Z/X, 1} = \mathcal{C}_{Z/X}\) 是该浸入的余法层。 此外，\(\mathcal{C}_{Z/X, 0} = \mathcal{O}_Z\)，而 \(\mathcal{C}_{Z/X, n}\) 是由下述性质刻画的拟凝聚 \(\mathcal{O}_Z\)-模： [0631]\[\begin{equation} i_*\mathcal{C}_{Z/X, n} = \mathcal{I}^n/\mathcal{I}^{n + 1} \end{equation}\] 其中 \(i : Z \to X \setminus \partial Z\)，且 \(\mathcal{I}\) 如上是 \(i\) 的理想层。最后，注意存在拟凝聚分次 \(\mathcal{O}_Z\)-代数的典范满射 [0632]\[\begin{equation} \text{Sym}^*(\mathcal{C}_{Z/X}) \longrightarrow \mathcal{C}_{Z/X, *} \end{equation}\] 它在次数 \(0\) 与 \(1\) 上是同构。

引理

设 \(i : Z \to X\) 为浸入。\(i\) 的余法代数具有下列性质：

1. 设 \(U \subset X\) 为任意开集，使得 \(i(Z)\) 是 \(U\) 的闭子集。 设 \(\mathcal{I} \subset \mathcal{O}_U\) 为对应于闭子概形 \(i(Z) \subset U\) 的理想层。则 \[\mathcal{C}_{Z/X, *} = i^*\left(\bigoplus\nolimits_{n \geq 0} \mathcal{I}^n\right) = i^{-1}\left( \bigoplus\nolimits_{n \geq 0} \mathcal{I}^n/\mathcal{I}^{n + 1} \right)\]

2. 对任意仿射开集 \(\Spec(R) = U \subset X\)，若 \(Z \cap U = \Spec(R/I)\)，则存在典范同构 \(\Gamma(Z \cap U, \mathcal{C}_{Z/X, *}) = \bigoplus_{n \geq 0} I^n/I^{n + 1}\)。

证明

大多由定义显然可得。注意，给定环 \(R\) 以及一个理想 \(I\)（属于 \(R\)），有 \(I^n/I^{n + 1} = I^n \otimes_R R/I\)。略去细节。

引理

设 \[\xymatrix{ Z \ar[r]_i \ar[d]_f & X \ar[d]^g \\ Z' \ar[r]^{i'} & X' }\] 为概形范畴中的交换图。假设 \(i\)、\(i'\) 都是浸入。存在分次 \(\mathcal{O}_Z\)-代数的典范映射 \[f^*\mathcal{C}_{Z'/X', *} \longrightarrow \mathcal{C}_{Z/X, *}\] 它由下列性质刻画：对每一对仿射开集 \((\Spec(R) = U \subset X, \Spec(R') = U' \subset X')\)，若 \(g(U) \subset U'\)，且 \(Z \cap U = \Spec(R/I)\)、\(Z' \cap U' = \Spec(R'/I')\)， 则诱导映射 \[\Gamma(Z' \cap U', \mathcal{C}_{Z'/X', *}) = \bigoplus\nolimits (I')^n/(I')^{n + 1} \longrightarrow \bigoplus\nolimits_{n \geq 0} I^n/I^{n + 1} = \Gamma(Z \cap U, \mathcal{C}_{Z/X, *})\] 是由环同态 \(f^\sharp : R' \to R\) 诱导的映射，该同态满足 \(f^\sharp(I') \subset I\)。

证明

令 \(\partial Z' = \overline{Z'} \setminus Z'\) 且 \(\partial Z = \overline{Z} \setminus Z\)。它们分别是 \(X'\) 与 \(X\) 的闭子集。替换 \(X'\)，使用 \(X' \setminus \partial Z'\)；并替换 \(X\)， 使用 \(X \setminus \big(g^{-1}(\partial Z') \cup \partial Z\big)\)， 可知可以假设 \(i\) 与 \(i'\) 都是闭浸入。

\(g \circ i\) 经过 \(i'\) 分解这一事实意味着，\(g^*\mathcal{I}'\) 映入 \(\mathcal{I}\)，这是在典范映射 \(g^*\mathcal{I}' \to \mathcal{O}_X\) 下成立，见《概形》引理 01HP 与 01HQ。 因此得到拟凝聚层的诱导映射 \(g^*((\mathcal{I}')^n/(\mathcal{I}')^{n + 1}) \to \mathcal{I}^n/\mathcal{I}^{n + 1}\)。 再由 \(i\) 拉回，得到 \(i^*g^*((\mathcal{I}')^n/(\mathcal{I}')^{n + 1}) \to i^*(\mathcal{I}^n/\mathcal{I}^{n + 1})\)。 注意 \(i^*(\mathcal{I}^n/\mathcal{I}^{n + 1}) = \mathcal{C}_{Z/X, n}\)。 另一方面， \(i^*g^*((\mathcal{I}')^n/(\mathcal{I}')^{n + 1}) = f^*(i')^*((\mathcal{I}')^n/(\mathcal{I}')^{n + 1}) = f^*\mathcal{C}_{Z'/X', n}\)。 这给出所需映射。

检验该映射局部地由给定映射 \((I')^n/(I')^{n + 1} \to I^n/I^{n + 1}\) 描述，只须展开定义， 故略去。另一个观察是：给定任意 \(x \in i(Z)\)，确实存在仿射开邻域 \(U\)、\(U'\)，满足 \(f(U) \subset U'\)，并使 \(Z \cap U\) 以及 \(U' \cap Z'\) 都是闭的，且 \(x \in U\)。略去证明。因此，引理中的要求 确实刻画了该映射（也本可以用来定义它）。

引理

设 \[\xymatrix{ Z \ar[r]_i \ar[d]_f & X \ar[d]^g \\ Z' \ar[r]^{i'} & X' }\]

为概形范畴中的纤维积图，其中 \(i\)、\(i'\) 都是浸入。则引理 0634 的典范映射 \(f^*\mathcal{C}_{Z'/X', *} \to \mathcal{C}_{Z/X, *}\) 是满射。 若 \(g\) 平坦，则它是同构。

证明

设 \(R' \to R\) 为环同态，且 \(I' \subset R'\) 为理想。 令 \(I = I'R\)。则 \((I')^n/(I')^{n + 1} \otimes_{R'} R \to I^n/I^{n + 1}\) 是满射。若 \(R' \to R\) 平坦，则 \(I^n = (I')^n \otimes_{R'} R\)，从而该映射是同构。

定义

设 \(i : Z \to X\) 为概形的浸入。所谓法锥 \(C_ZX\)，即 \(Z\) 在 \(X\) 中的法锥，是 \[C_ZX = \underline{\Spec}_Z(\mathcal{C}_{Z/X, *})\] 见《构造》定义 062Q 与 062R。\(Z\) 在 \(X\) 中的法丛 是向量丛 \[N_ZX = \underline{\Spec}_Z(\text{Sym}(\mathcal{C}_{Z/X}))\] 见《构造》定义 01M2 与 062M。

因此 \(C_ZX \to Z\) 是 \(Z\) 上的锥，\(N_ZX \to Z\) 是 \(Z\) 上的向量丛 （回忆：在我们的术语中，这并不意味着余法层是有限局部自由层）。 此外，分次代数的典范满射 (0632) 定义了 \(Z\) 上锥的典范闭浸入 [0637]\[\begin{equation} C_ZX \longrightarrow N_ZX \end{equation}\]

正则理想层

本节把有效 Cartier 除子的概念推广到更高余维。回忆：元素列 \(f_1, \ldots, f_r\)（属于环 \(R\)）称为正则列，如果对每个 \(i = 1, \ldots, r\)，元素 \(f_i\) 在 \(R/(f_1, \ldots, f_{i - 1})\) 上都是非零因子，并且 \(R/(f_1, \ldots, f_r) \not = 0\)，见《代数》定义 00LF。 还可以施加三个密切相关的较弱条件。第一个条件是假设 \(f_1, \ldots, f_r\) 是Koszul-正则列，即 \(H_i(K_\bullet(f_1, \ldots, f_r)) = 0\) 对所有 \(i > 0\) 成立，见《代数进阶》定义 062E。 称该列为\(H_1\)-正则列，如果 \(H_1(K_\bullet(f_1, \ldots, f_r)) = 0\)。另一个可以施加的条件是：令 \(J = (f_1, \ldots, f_r)\)，映射 \[R/J[T_1, \ldots, T_r] \longrightarrow \bigoplus\nolimits_{n \geq 0} J^n/J^{n + 1}\] 把 \(T_i\) 映到 \(f_i \bmod J^2\)，并且它是同构。在这种情形下，称 \(f_1, \ldots, f_r\) 为拟正则列，见《代数》定义 061P。 给定 \(R\)-模 \(M\)，还有 \(M\)-正则列与 \(M\)-拟正则列的概念。

可以如下把这些概念推广到带环空间。设 \(X\) 为带环空间，并设 \(f_1, \ldots, f_r \in \Gamma(X, \mathcal{O}_X)\)。 称 \(f_1, \ldots, f_r\) 为正则列，如果对每个 \(i = 1, \ldots, r\)，映射 [0639]\[\begin{equation} f_i : \mathcal{O}_X/(f_1, \ldots, f_{i - 1}) \longrightarrow \mathcal{O}_X/(f_1, \ldots, f_{i - 1}) \end{equation}\] 都是层的单射。称 \(f_1, \ldots, f_r\) 为Koszul-正则列，如果 Koszul 复形 [063A]\[\begin{equation} K_\bullet(\mathcal{O}_X, f_\bullet), \end{equation}\] 见《模》定义 062L， 在次数 \(> 0\) 上无环。称 \(f_1, \ldots, f_r\) 为 \(H_1\)-正则列，如果 Koszul 复形 \(K_\bullet(\mathcal{O}_X, f_\bullet)\) 在次数 \(1\) 上正合。 最后，称 \(f_1, \ldots, f_r\) 为拟正则列，如果映射 [063B]\[\begin{equation} \mathcal{O}_X/\mathcal{J}[T_1, \ldots, T_r] \longrightarrow \bigoplus\nolimits_{d \geq 0} \mathcal{J}^d/\mathcal{J}^{d + 1} \end{equation}\] 是层的同构，其中 \(\mathcal{J} \subset \mathcal{O}_X\) 是由 \(f_1, \ldots, f_r\) 生成的理想层。（还有 \(\mathcal{F}\)-正则列与 \(\mathcal{F}\)-拟正则列的概念，其中给定的 \(\mathcal{O}_X\)-模为 \(\mathcal{F}\)；若以后需要，我们将在那里引入。）

引理

设 \(X\) 为带环空间。设 \(f_1, \ldots, f_r \in \Gamma(X, \mathcal{O}_X)\)。 有下列蕴含： \(f_1, \ldots, f_r\) 是正则列 \(\Rightarrow\) \(f_1, \ldots, f_r\) 是 Koszul-正则列 \(\Rightarrow\) \(f_1, \ldots, f_r\) 是 \(H_1\)-正则列 \(\Rightarrow\) \(f_1, \ldots, f_r\) 是拟正则列。

证明

由于正合性可以在茎上检验，列 \(f_1, \ldots, f_r\) 是正则列， 当且仅当映射 \[f_i : \mathcal{O}_{X, x}/(f_1, \ldots, f_{i - 1}) \longrightarrow \mathcal{O}_{X, x}/(f_1, \ldots, f_{i - 1})\] 对所有 \(x \in X\) 都是单射。其他类型的正则性也都可以逐茎检验 （略去细节）。因此，这些蕴含由《代数进阶》引理 062F、 0CEM 与 062I 得出。

定义

设 \(X\) 为带环空间。设 \(\mathcal{J} \subset \mathcal{O}_X\) 为理想层。

1. 称 \(\mathcal{J}\) 正则，如果对每个 \(x \in \text{Supp}(\mathcal{O}_X/\mathcal{J})\)，都存在开邻域 \(x \in U \subset X\) 以及正则列 \(f_1, \ldots, f_r \in \mathcal{O}_X(U)\)，使得 \(\mathcal{J}|_U\) 由 \(f_1, \ldots, f_r\) 生成。

2. 称 \(\mathcal{J}\) Koszul-正则，如果对每个 \(x \in \text{Supp}(\mathcal{O}_X/\mathcal{J})\)，都存在开邻域 \(x \in U \subset X\) 以及 Koszul-正则列 \(f_1, \ldots, f_r \in \mathcal{O}_X(U)\)，使得 \(\mathcal{J}|_U\) 由 \(f_1, \ldots, f_r\) 生成。

3. 称 \(\mathcal{J}\) \(H_1\)-正则，如果对每个 \(x \in \text{Supp}(\mathcal{O}_X/\mathcal{J})\)，都存在开邻域 \(x \in U \subset X\) 以及 \(H_1\)-正则列 \(f_1, \ldots, f_r \in \mathcal{O}_X(U)\)，使得 \(\mathcal{J}|_U\) 由 \(f_1, \ldots, f_r\) 生成。

4. 称 \(\mathcal{J}\) 拟正则，如果对每个 \(x \in \text{Supp}(\mathcal{O}_X/\mathcal{J})\)，都存在开邻域 \(x \in U \subset X\) 以及拟正则列 \(f_1, \ldots, f_r \in \mathcal{O}_X(U)\)，使得 \(\mathcal{J}|_U\) 由 \(f_1, \ldots, f_r\) 生成。

该概念的许多性质立即由环中正则列与拟正则列的相应概念得出。

引理

设 \(X\) 为带环空间。设 \(\mathcal{J}\) 为理想层。则有下列蕴含： \(\mathcal{J}\) 正则 \(\Rightarrow\) \(\mathcal{J}\) Koszul-正则 \(\Rightarrow\) \(\mathcal{J}\) 是 \(H_1\)-正则 \(\Rightarrow\) \(\mathcal{J}\) 拟正则。

证明

该引理立即约化为引理 063C。

引理

设 \(X\) 为局部带环空间。设 \(\mathcal{J} \subset \mathcal{O}_X\) 为理想层。 则 \(\mathcal{J}\) 拟正则，当且仅当下列条件成立：

1. \(\mathcal{J}\) 是有限型 \(\mathcal{O}_X\)-模；

2. \(\mathcal{J}/\mathcal{J}^2\) 是有限局部自由 \(\mathcal{O}_X/\mathcal{J}\)-模；并且

3. 典范映射 \[\text{Sym}^n_{\mathcal{O}_X/\mathcal{J}}(\mathcal{J}/\mathcal{J}^2) \longrightarrow \mathcal{J}^n/\mathcal{J}^{n + 1}\] 对所有 \(n \geq 0\) 都是同构。

证明

显然，若 \(U \subset X\) 是开集，并且 \(\mathcal{J}|_U\) 由拟正则列 \(f_1, \ldots, f_r \in \mathcal{O}_X(U)\) 生成，则 \(\mathcal{J}|_U\) 有限型，\(\mathcal{J}|_U/\mathcal{J}^2|_U\) 自由且具有基 \(f_1, \ldots, f_r\)，而 (3) 中的映射是同构，因为它们是 (063B) 中次数 \(n\) 部分的无坐标表述。 因此显然，拟正则蕴含条件 (1)、(2)、(3)。

反过来，假设 (1)、(2)、(3) 成立。取一点 \(x \in \text{Supp}(\mathcal{O}_X/\mathcal{J})\)。则存在邻域 \(U \subset X\)，它包含 \(x\)，使得 \(\mathcal{J}|_U/\mathcal{J}^2|_U\) 是秩为 \(r\)、底环为 \(\mathcal{O}_U/\mathcal{J}|_U\) 的自由模。 必要时缩小 \(U\) 后，可以假设存在 \(f_1, \ldots, f_r \in \mathcal{J}(U)\)，它们映为 \(\mathcal{J}|_U/\mathcal{J}^2|_U\) 作为 \(\mathcal{O}_U/\mathcal{J}|_U\)-模的一组基。 特别地，可知 \(f_1, \ldots, f_r\) 在 \(\mathcal{J}_x/\mathcal{J}^2_x\) 中的像生成该模。因此，由 Nakayama 引理 （《代数》引理 00DV），可知 \(f_1, \ldots, f_r\) 生成茎 \(\mathcal{J}_x\)。 于是，由于 \(\mathcal{J}\) 有限型，根据《模》引理 01B8，缩小 \(U\) 后， 可以假设 \(f_1, \ldots, f_r\) 生成 \(\mathcal{J}\)。 最后，由 (3) 与同构 \(\mathcal{J}|_U/\mathcal{J}^2|_U = \bigoplus \mathcal{O}_U/\mathcal{J}|_U f_i\)，显然 \(f_1, \ldots, f_r \in \mathcal{O}_X(U)\) 是拟正则列。

引理

设 \((X, \mathcal{O}_X)\) 为局部带环空间。设 \(\mathcal{J} \subset \mathcal{O}_X\) 为理想层。设 \(x \in X\)，并设 \(f_1, \ldots, f_r \in \mathcal{J}_x\) 的像给出 \(\kappa(x)\)-向量空间 \(\mathcal{J}_x/\mathfrak m_x\mathcal{J}_x\) 的一组基。

1. 若 \(\mathcal{J}\) 拟正则，则存在一个开邻域，使得 \(f_1, \ldots, f_r \in \mathcal{O}_X(U)\) 构成生成 \(\mathcal{J}|_U\) 的拟正则列。

2. 若 \(\mathcal{J}\) 是 \(H_1\)-正则，则存在一个开邻域，使得 \(f_1, \ldots, f_r \in \mathcal{O}_X(U)\) 构成 \(H_1\)-正则列并生成 \(\mathcal{J}|_U\)。

3. 若 \(\mathcal{J}\) Koszul-正则，则存在一个开邻域，使得 \(f_1, \ldots, f_r \in \mathcal{O}_X(U)\) 构成生成 \(\mathcal{J}|_U\) 的 Koszul-正则列。

证明

首先假设 \(\mathcal{J}\) 拟正则。可以选择开邻域 \(U \subset X\)（它包含 \(x\)）以及拟正则列 \(g_1, \ldots, g_s \in \mathcal{O}_X(U)\)，后者生成 \(\mathcal{J}|_U\)。 注意，这意味着 \(\mathcal{J}/\mathcal{J}^2\) 是秩为 \(s\)、底环为 \(\mathcal{O}_U/\mathcal{J}|_U\) 的自由模 （见引理 063H 及其证明），因而 \(r = s\)。 可以缩小 \(U\)，并假设 \(f_1, \ldots, f_r \in \mathcal{J}(U)\)。于是可以写成 \[f_i = \sum a_{ij} g_j\] 其中 \(a_{ij} \in \mathcal{O}_X(U)\)。根据假设，矩阵 \(A = (a_{ij})\) 映为 \(\kappa(x)\) 上的可逆矩阵。 因此，再次缩小 \(U\) 后，可以假设 \((a_{ij})\) 可逆。于是可知 \(f_1, \ldots, f_r\) 给出 \((\mathcal{J}/\mathcal{J}^2)|_U\) 的一组基， 这证明 \(f_1, \ldots, f_r\) 是 \(U\) 上的拟正则列。

注意，为证明 (2)、(3)，由于其假设比 (1) 的假设更强，可以直接假设 \(f_1, \ldots, f_r \in \mathcal{J}(U)\) 且 \(f_i = \sum a_{ij}g_j\)，其中 \((a_{ij})\) 如上可逆，而现在 \(g_1, \ldots, g_r\) 是 \(H_1\)-正则列或 Koszul-正则列。 由于 \(f_1, \ldots, f_r\) 上的 Koszul 复形同构于 \(g_1, \ldots, g_r\) 上的 Koszul 复形，此同构由矩阵 \((a_{ij})\) 给出 （见《代数进阶》引理 0625）， 可知 \(f_1, \ldots, f_r\) 按所需是 \(H_1\)-正则或 Koszul-正则的。

引理

概形上的任何正则、Koszul-正则、\(H_1\)-正则或拟正则理想层， 都是有限型拟凝聚理想层。

证明

这是因为这样的理想层局部地由有限多个截面生成。概形上任何局部地由 截面生成的理想层都是拟凝聚的，见《概形》引理 01IN。

引理

设 \(X\) 为概形。设 \(\mathcal{J}\) 为理想层。则 \(\mathcal{J}\) 正则 （相应地，Koszul-正则、\(H_1\)-正则、拟正则），当且仅当对每个 \(x \in \text{Supp}(\mathcal{O}_X/\mathcal{J})\)，都存在仿射开邻域 \(x \in U \subset X\)，\(U = \Spec(A)\)，使得 \(\mathcal{J}|_U = \widetilde{I}\)，并且 \(I\) 由正则列 （相应地，Koszul-正则列、\(H_1\)-正则列、拟正则列） \(f_1, \ldots, f_r \in A\) 生成。

证明

根据假设，可以找到开邻域 \(U\)（它包含 \(x\)），使得 \(\mathcal{J}\) 在其上由正则列 （相应地，Koszul-正则列、\(H_1\)-正则列、拟正则列） \(f_1, \ldots, f_r \in \mathcal{O}_X(U)\) 生成。缩小 \(U\) 后， 可以假设 \(U\) 仿射，记为 \(U = \Spec(A)\)。 由于由引理 063F， \(\mathcal{J}\) 拟凝聚，可知有 \(\mathcal{J}|_U = \widetilde{I}\)，其中 \(I \subset A\) 为某个理想。现在可以使用如下事实： \[\widetilde{\ } : \text{Mod}_A \longrightarrow \QCoh(\mathcal{O}_U)\] 是保持正合性的范畴等价。例如，函数 \(f_i\) 生成 \(\mathcal{J}\) 这一事实，意味着把 \(f_i\) 视为 \(A\) 的元素时，它们生成 \(I\)。 映射 (0639) 为单射 （相应地，(063A) 正合，(063A) 在次数 \(1\) 上正合，(063B) 为同构） 这一事实，蕴含映射 \(A/(f_1, \ldots, f_{i - 1}) \to A/(f_1, \ldots, f_{i - 1})\) （相应地，复形 \(K_\bullet(A, f_1, \ldots, f_r)\)，映射 \(A/I[T_1, \ldots, T_r] \to \bigoplus I^n/I^{n + 1}\)） 具有相应性质。因此，\(f_1, \ldots, f_r \in A\) 是正则列 （相应地，Koszul-正则列、\(H_1\)-正则列、拟正则列），所在的环为 \(A\)。

引理

设 \(X\) 为局部诺特概形。设 \(\mathcal{J} \subset \mathcal{O}_X\) 为拟凝聚理想层。设 \(x\) 为 \(\mathcal{O}_X/\mathcal{J}\) 之支集中的点。 下列条件等价：

1. \(\mathcal{J}_x\) 在 \(\mathcal{O}_{X, x}\) 中由正则列生成；

2. \(\mathcal{J}_x\) 在 \(\mathcal{O}_{X, x}\) 中由 Koszul-正则列生成；

3. \(\mathcal{J}_x\) 由 \(H_1\)-正则列生成，该列位于 \(\mathcal{O}_{X, x}\) 中；

4. \(\mathcal{J}_x\) 在 \(\mathcal{O}_{X, x}\) 中由拟正则列生成；

5. 存在仿射邻域 \(U = \Spec(A)\)，它包含 \(x\)，使得 \(\mathcal{J}|_U = \widetilde{I}\)，并且 \(I\) 在 \(A\) 中由正则列生成；

6. 存在仿射邻域 \(U = \Spec(A)\)，它包含 \(x\)，使得 \(\mathcal{J}|_U = \widetilde{I}\)，并且 \(I\) 在 \(A\) 中由 Koszul-正则列生成；

7. 存在仿射邻域 \(U = \Spec(A)\)，它包含 \(x\)，使得 \(\mathcal{J}|_U = \widetilde{I}\)，并且 \(I\) 由 \(H_1\)-正则列生成， 该列位于 \(A\) 中；

8. 存在仿射邻域 \(U = \Spec(A)\)，它包含 \(x\)，使得 \(\mathcal{J}|_U = \widetilde{I}\)，并且 \(I\) 在 \(A\) 中由拟正则列生成；

9. 存在邻域 \(U\)（它包含 \(x\)），使得 \(\mathcal{J}|_U\) 正则；

10. 存在邻域 \(U\)（它包含 \(x\)），使得 \(\mathcal{J}|_U\) Koszul-正则；

11. 存在邻域 \(U\)（它包含 \(x\)），使得 \(\mathcal{J}|_U\) 是 \(H_1\)-正则；

12. 存在邻域 \(U\)（它包含 \(x\)），使得 \(\mathcal{J}|_U\) 拟正则。

特别地，在局部诺特概形上，正则、Koszul-正则、\(H_1\)-正则与拟正则 理想层的概念全都一致。

证明

由引理 063G 可知 (5) \(\Leftrightarrow\) (9)、(6) \(\Leftrightarrow\) (10)、 (7) \(\Leftrightarrow\) (11)，以及 (8) \(\Leftrightarrow\) (12)。 显然，(5) \(\Rightarrow\) (1)、(6) \(\Rightarrow\) (2)、 (7) \(\Rightarrow\) (3)，以及 (8) \(\Rightarrow\) (4)。 由《代数》引理 061L， 有 (1) \(\Rightarrow\) (5)。 由引理 063E，有 (9) \(\Rightarrow\) (10) \(\Rightarrow\) (11) \(\Rightarrow\) (12)。 最后，由《代数》引理 061S， 有 (4) \(\Rightarrow\) (1)。现在全部 12 个陈述都等价。

正则浸入

设 \(i : Z \to X\) 为概形的浸入。按定义，这意味着存在开子概形 \(U \subset X\)，使得 \(Z\) 可与 \(U\) 的一个闭子概形等同。令 \(\mathcal{I} \subset \mathcal{O}_U\) 为相应的拟凝聚理想层。假设 \(U' \subset X\) 是另一个这样的开子概形，并记 \(\mathcal{I}' \subset \mathcal{O}_{U'}\) 为相应的拟凝聚理想层。则 \(\mathcal{I}|_{U \cap U'} = \mathcal{I}'|_{U \cap U'}\)。 此外，\(\mathcal{O}_U/\mathcal{I}\) 的支集是 \(Z\)；它包含于 \(U \cap U'\)，并且也是 \(\mathcal{O}_{U'}/\mathcal{I}'\) 的支集。 因此，由定义 063D 可知， \(\mathcal{I}\) 是正则理想，当且仅当 \(\mathcal{I}'\) 是正则理想。 对 Koszul-正则、\(H_1\)-正则或拟正则也同样成立。

定义

设 \(i : Z \to X\) 为概形的浸入。选择开子概形 \(U \subset X\)，使得 \(i\) 把 \(Z\) 与 \(U\) 的一个闭子概形等同，并记 \(\mathcal{I} \subset \mathcal{O}_U\) 为相应的拟凝聚理想层。

1. 称 \(i\) 为正则浸入，如果 \(\mathcal{I}\) 正则。

2. 称 \(i\) 为Koszul-正则浸入，如果 \(\mathcal{I}\) Koszul-正则。

3. 称 \(i\) 为\(H_1\)-正则浸入，如果 \(\mathcal{I}\) 是 \(H_1\)-正则。

4. 称 \(i\) 为拟正则浸入，如果 \(\mathcal{I}\) 拟正则。

上面的讨论表明，这一定义不依赖于 \(U\) 的选择。这些条件按强弱递减的 顺序列出，见引理 063K。 Koszul-正则闭浸入经平滑局部化后是正则浸入，见引理 0692。 在局部 Noether 情形，四种概念全都一致，见引理 063I。

引理

设 \(i : Z \to X\) 为概形的浸入。则有下列蕴含： \(i\) 正则 \(\Rightarrow\) \(i\) Koszul-正则 \(\Rightarrow\) \(i\) 是 \(H_1\)-正则 \(\Rightarrow\) \(i\) 拟正则。

证明

该引理立即约化为引理 063E。

引理

设 \(i : Z \to X\) 为概形的浸入。假设 \(X\) 局部 Noether。则 \(i\) 正则 \(\Leftrightarrow\) \(i\) Koszul-正则 \(\Leftrightarrow\) \(i\) 是 \(H_1\)-正则 \(\Leftrightarrow\) \(i\) 拟正则。

证明

这立即由引理 063K 与引理 063I 得出。

引理

设 \(i : Z \to X\) 为正则浸入（相应地，Koszul-正则、 \(H_1\)-正则、拟正则浸入）。设 \(X' \to X\) 为平坦态射。则基变换 \(i' : Z \times_X X' \to X'\) 是正则浸入（相应地，Koszul-正则、 \(H_1\)-正则、拟正则浸入）。

证明

借助引理 063G， 这转化为《代数》引理 00LM 与 065L 以及《代数进阶》引理 062H 中的代数陈述。

引理

设 \(i : Z \to X\) 为概形的浸入。则 \(i\) 是拟正则浸入，当且仅当 下列条件成立：

1. \(i\) 局部有限表示；

2. 余法层 \(\mathcal{C}_{Z/X}\) 有限局部自由；并且

3. 映射 (0632) 是同构。

证明

开浸入局部有限表示。因此，可以把 \(X\) 替换为开子概形 \(U \subset X\)，使得 \(i\) 把 \(Z\) 与 \(U\) 的一个闭子概形等同；换言之，可以假设 \(i\) 是闭浸入。令 \(\mathcal{I} \subset \mathcal{O}_X\) 为相应的 拟凝聚理想层。回忆《态射》引理 01TV： \(\mathcal{I}\) 有限型，当且仅当 \(i\) 局部有限表示。因此，所述等价性 由引理 063H 和展开定义得出。

引理

设 \(Z \to Y \to X\) 为概形的浸入。假设 \(Z \to Y\) 是 \(H_1\)-正则的。则《态射》引理 062S 的典范序列 \[0 \to i^*\mathcal{C}_{Y/X} \to \mathcal{C}_{Z/X} \to \mathcal{C}_{Z/Y} \to 0\] 正合且局部分裂。

证明

由于 \(\mathcal{C}_{Z/Y}\) 有限局部自由（见引理 063M 与引理 063E）， 只需证明该序列正合。由《态射》引理 062S 中已经证明的结论， 只需说明第一个映射是单射。仿射局部地工作，可把问题约化如下： 假设有环 \(A\) 及理想 \(I \subset J \subset A\)。假设 \(J/I \subset A/I\) 由一个 \(H_1\)-正则列生成。这是否蕴含 \(I/I^2 \otimes_A A/J \to J/J^2\) 为单射？ 注意 \(I/I^2 \otimes_A A/J = I/IJ\)。因此，需要证明 \(I \cap J^2 = IJ\)。这正是《代数进阶》引理 0666 的结论。

拟正则浸入的复合未必拟正则，见《代数》评注 065M。 其他类型的正则浸入在复合下保持。

引理

设 \(i : Z \to Y\) 与 \(j : Y \to X\) 为概形的浸入。

1. 若 \(i\) 与 \(j\) 都是正则浸入，则 \(j \circ i\) 也是。

2. 若 \(i\) 与 \(j\) 都是 Koszul-正则浸入，则 \(j \circ i\) 也是。

3. 若 \(i\) 与 \(j\) 都是 \(H_1\)-正则浸入，则 \(j \circ i\) 也是。

4. 若 \(i\) 是 \(H_1\)-正则浸入而 \(j\) 是拟正则浸入，则 \(j \circ i\) 是拟正则浸入。

证明

(1) 的代数版本是《代数》引理 065K。 (2) 的代数版本是《代数进阶》引理 0669。 (3) 的代数版本是《代数进阶》引理 0668。 (4) 的代数版本是《代数进阶》引理 0667。

引理

设 \(i : Z \to Y\) 与 \(j : Y \to X\) 为概形的浸入。假设 \(j\) 局部有限表示，并且《态射》引理 062S 的序列 \[0 \to i^*\mathcal{C}_{Y/X} \to \mathcal{C}_{Z/X} \to \mathcal{C}_{Z/Y} \to 0\] 正合且局部分裂。

1. 若 \(j \circ i\) 是拟正则浸入，则 \(i\) 也是。

2. 若 \(j \circ i\) 是 \(H_1\)-正则浸入，则 \(i\) 也是。

3. 若 \(j\) 与 \(j \circ i\) 都是 Koszul-正则浸入，则 \(i\) 也是。

证明

缩小 \(Y\) 与 \(X\) 后，可以假设 \(i\) 与 \(j\) 都是闭浸入。记 \(\mathcal{I} \subset \mathcal{O}_X\) 为 \(Y\) 的理想层，并记 \(\mathcal{J} \subset \mathcal{O}_X\) 为 \(Z\) 的理想层。 余法序列是 \(0 \to \mathcal{I}/\mathcal{I}\mathcal{J} \to \mathcal{J}/\mathcal{J}^2 \to \mathcal{J}/(\mathcal{I} + \mathcal{J}^2) \to 0\)。 设 \(z \in Z\)，并置 \(y = i(z)\)、\(x = j(y) = j(i(z))\)。 选择 \(f_1, \ldots, f_n \in \mathcal{I}_x\)，其像构成 \(\mathcal{I}_x/\mathfrak m_z\mathcal{I}_x\) 的一组基。把它扩充为 \(f_1, \ldots, f_n, g_1, \ldots, g_m \in \mathcal{J}_x\)，使其像构成 \(\mathcal{J}_x/\mathfrak m_z\mathcal{J}_x\) 的一组基。这是可能的， 因为已经假设余法层的序列在 \(z\) 的某个邻域中分裂，从而 \(\mathcal{I}_x/\mathfrak m_x\mathcal{I}_x \to \mathcal{J}_x/\mathfrak m_x\mathcal{J}_x\) 为单射。

(1) 的证明。由引理 067N，可以找到仿射开邻域 \(U\)（它包含 \(x\)），使得 \(f_1, \ldots, f_n, g_1, \ldots, g_m\) 构成生成 \(\mathcal{J}\) 的拟正则列。由于 \(i\) 局部有限表示，还可以假设 \(\mathcal{I}\) 由 \(f_1, \ldots, f_n\) 生成（使用《态射》引理 01TV、 Nakayama 引理以及《模》引理 01B8）。 因此，由《代数》引理 061R 可知， \(g_1, \ldots, g_m\) 在 \(Y \cap U\) 上诱导一个切出 \(Z\) 的拟正则列。

(2) 的证明。与 (1) 的证明完全相同，只需改用《代数进阶》引理 068L。

(3) 的证明。将引理 067N 应用两次，可找到仿射开邻域 \(U\)（它包含 \(x\)），使得 \(f_1, \ldots, f_n\) 构成生成 \(\mathcal{I}\) 的 Koszul-正则列，并且 \(f_1, \ldots, f_n, g_1, \ldots, g_m\) 构成生成 \(\mathcal{J}\) 的 Koszul-正则列。因此，由《代数进阶》引理 068M 可知， \(g_1, \ldots, g_m\) 在 \(Y \cap U\) 上诱导一个切出 \(Z\) 的 Koszul-正则列。

引理

设 \(i : Z \to Y\) 与 \(j : Y \to X\) 为概形的浸入。取 \(z \in Z\)， 并记 \(y \in Y\)、\(x \in X\) 为相应的点。假设 \(X\) 局部 Noether。 下列条件等价：

1. \(i\) 在 \(z\) 的一个邻域中是正则浸入，并且 \(j\) 在 \(y\) 的一个邻域中是正则浸入；

2. \(i\) 与 \(j \circ i\) 在 \(z\) 的一个邻域中都是正则浸入；

3. \(j \circ i\) 在 \(z\) 的一个邻域中是正则浸入，并且余法序列 \[0 \to i^*\mathcal{C}_{Y/X} \to \mathcal{C}_{Z/X} \to \mathcal{C}_{Z/Y} \to 0\] 在 \(z\) 的一个邻域中分裂正合。

证明

由于 \(X\)（因而 \(Y\)）局部 Noether，四种正则浸入的概念全都一致； 此外，可以在局部环层面检验一个态射是否为正则浸入，见引理 063I。 蕴含 (1) \(\Rightarrow\) (2) 是引理 067Q。 蕴含 (2) \(\Rightarrow\) (3) 是引理 063N。 因此，只需证明 (3) 蕴含 (1)。

假设 (3)。置 \(A = \mathcal{O}_{X, x}\)。记 \(I \subset A\) 为满射 \(\mathcal{O}_{X, x} \to \mathcal{O}_{Y, y}\) 的核，并记 \(J \subset A\) 为满射 \(\mathcal{O}_{X, x} \to \mathcal{O}_{Z, z}\) 的核。 注意，生成 \(J\) 的任意极小元素列（位于 \(A\) 中）都是拟正则列，因而是正则列， 见引理 067N。由假设，余法序列 \[0 \to I/IJ \to J/J^2 \to J/(I + J^2) \to 0\] 作为 \(A/J\)-模的序列分裂正合。因此，可以选择极小生成系 \(f_1, \ldots, f_n, g_1, \ldots, g_m\)，它生成 \(J\)，并使得 \(f_1, \ldots, f_n \in I\) 是 \(I\) 的一个极小生成系。如上所述， \(f_1, \ldots, f_n, g_1, \ldots, g_m\) 是 \(A\) 中的正则列。 由正则列的定义直接可知，\(f_1, \ldots, f_n\) 是 \(A\) 中的正则列， 而 \(\overline{g}_1, \ldots, \overline{g}_m\) 是 \(A/I\) 中的正则列。 因此，\(j\) 在 \(y\) 处是正则浸入，而 \(i\) 在 \(z\) 处是正则浸入。

注

在引理 0690 的情形中，(1)、(2)、(3) 与下述条件不等价： “\(j \circ i\) 与 \(j\) 分别在 \(z\) 与 \(y\) 处为正则浸入”。 一个例子是 \(X = \mathbf{A}^1_k = \Spec(k[x])\)、 \(Y = \Spec(k[x]/(x^2))\) 与 \(Z = \Spec(k[x]/(x))\)。

引理

设 \(i : Z \to X\) 为 Koszul 正则闭浸入。则存在满的平滑态射 \(X' \to X\)，使得基变换 \(i' : Z \times_X X' \to X'\)（它来自 \(i\)）是正则浸入。

证明

可以假设 \(X\) 仿射，并且 \(Z\) 的理想由 Koszul-正则列生成：为此， 用某个适当仿射开覆盖的成员替换 \(X\)（仿射开集取引理 063G 中的那些）。仿射情形是 《代数进阶》引理 068Q。

引理

设 \(i : Z \to X\) 为浸入。若 \(Z\) 与 \(X\) 都是正则概形，则 \(i\) 是 正则浸入。

证明

设 \(z \in Z\)。由引理 063I， 只需证明映射 \(\mathcal{O}_{X, z} \to \mathcal{O}_{Z, z}\) 的核由正则列生成。这由《代数》引理 00NR 与 00NQ 得出。

相对正则浸入

本节考察正则浸入的基变换性质。下述引理对正则浸入或 Koszul 浸入 并不成立，见《例》引理 0641。

引理

设 \(f : X \to S\) 为概形的态射。设 \(i : Z \subset X\) 为浸入。假设

1. \(i\) 是 \(H_1\)-正则浸入（相应地，拟正则浸入）；并且

2. \(Z \to S\) 是平坦态射。

则对概形的每个态射 \(g : S' \to S\)，基变换 \(Z' = S' \times_S Z \to X' = S' \times_S X\) 是 \(H_1\)-正则浸入（相应地，拟正则浸入）。

证明

展开定义并使用引理 063G， 可把它转化为《代数进阶》引理 0CEP。

这个引理引出了下面的定义。

定义

设 \(f : X \to S\) 为概形的态射。设 \(i : Z \to X\) 为浸入。

1. 称 \(i\) 为相对拟正则浸入，如果 \(Z \to S\) 平坦且 \(i\) 是拟正则浸入。

2. 称 \(i\) 为相对 \(H_1\)-正则浸入，如果 \(Z \to S\) 平坦且 \(i\) 是 \(H_1\)-正则浸入。

提醒读者，这可能不是标准记号。引理 063R 保证相对拟正则浸入（相应地，\(H_1\)-正则浸入）在任意基变换下保持。 相对 \(H_1\)-正则浸入是相对拟正则浸入，见引理 063K。请参见引理 063V （或引理 063U）： 它表明，若 \(Z \to X\) 是相对 \(H_1\)-正则浸入（或拟正则浸入）， 且环境概形在 \(S\) 上（平坦并）局部有限表示，则 \(Z \to X\) 实际上是正则浸入，并且在任意基变换后仍然如此。

引理

设 \(f : X \to S\) 为概形的态射。设 \(Z \to X\) 为相对拟正则浸入。 若 \(x \in Z\) 且 \(\mathcal{O}_{X, x}\) 是 Noether 环，则 \(f\) 在 \(x\) 处平坦。

证明

设 \(f_1, \ldots, f_r \in \mathcal{O}_{X, x}\) 为切出 \(Z\) 在 \(x\) 处之理想的拟正则列。由《代数》引理 061S 可知 \(f_1, \ldots, f_r\) 是正则列。因此，\(f_r\) 在 \(\mathcal{O}_{X, x}/(f_1, \ldots, f_{r - 1})\) 上是非零因子， 并且其商是平坦 \(\mathcal{O}_{S, f(x)}\)-模。由引理 062U 可知 \(\mathcal{O}_{X, x}/(f_1, \ldots, f_{r - 1})\) 是平坦 \(\mathcal{O}_{S, f(x)}\)-模。继续归纳，可得 \(\mathcal{O}_{X, x}\) 是平坦 \(\mathcal{O}_{S, s}\)-模。

引理

设 \(X \to S\) 为概形的态射。设 \(Z \to X\) 为浸入。假设

1. \(X \to S\) 平坦且局部有限表示；

2. \(Z \to X\) 是相对拟正则浸入。

则 \(Z \to X\) 是正则浸入，并且在任意基变换后仍然如此。

证明

取 \(x \in Z\)，其像为 \(s \in S\)。为证明此结论，只需找到 \(x\) 的 一个包含于 \(U\) 的仿射邻域，使结论在该仿射开集上成立。因此，可以 假设 \(X\) 仿射，并且存在拟正则列 \(f_1, \ldots, f_r \in \Gamma(X, \mathcal{O}_X)\)，使得 \(Z = V(f_1, \ldots, f_r)\)。由《代数进阶》引理 0CEP， 列 \(f_1|_{X_s}, \ldots, f_r|_{X_s}\) 是 \(\Gamma(X_s, \mathcal{O}_{X_s})\) 中的拟正则列。由于 \(X_s\) Noether，这蕴含在必要时稍微缩小 \(X\) 后， \(f_1|_{X_s}, \ldots, f_r|_{X_s}\) 是正则列；见《代数》引理 061S 与 061L。 由引理 062Y 可知， \(Z_1 = V(f_1) \subset X\) 是相对有效 Cartier 除子；这里必要时再次 稍微缩小 \(X\)。再次应用同一引理， 这次应用于 \(Z_2 = V(f_1, f_2) \subset Z_1\)，可知 \(Z_2 \subset Z_1\) 是相对有效 Cartier 除子。依此类推，直到到达 \(Z = Z_n = V(f_1, \ldots, f_n)\)。由于相对有效 Cartier 除子的性质 在任意基变换下保持，见引理 056Q，引理的最后一个陈述也随之成立。

注

相对拟正则浸入的余维若为常数，则在基变换后不变。事实上，若有环映射 \(A \to B\) 以及拟正则列 \(f_1, \ldots, f_r \in B\)，使得 \(B/(f_1, \ldots, f_r)\) 在 \(A\) 上平坦，则对任意环映射 \(A \to A'\)，由《代数进阶》引理 0CEP， \(f_1 \otimes 1, \ldots, f_r \otimes 1\) 在 \(B' = B \otimes_A A'\) 中是拟正则列 （该引理也用于上面引理 063R 的证明）。 现在，引理 063U 的证明表明，若 \(A \to B\) 平坦且局部有限表示，则对每个素理想 \(\mathfrak q' \subset B'\)，列 \(f_1 \otimes 1, \ldots, f_r \otimes 1\) 甚至是局部环 \(B'_{\mathfrak q'}\) 中的正则列。

引理

设 \(X \to S\) 为概形的态射。设 \(Z \to X\) 为相对 \(H_1\)-正则浸入。 假设 \(X \to S\) 局部有限表示。则

1. 存在开子概形 \(U \subset X\)，使得 \(Z \subset U\) 且 \(U \to S\) 平坦；并且

2. \(Z \to X\) 是正则浸入，并且在任意基变换后仍然如此。

证明

取 \(x \in Z\)。为证明 (1)，只需找到开邻域 \(U \subset X\)，它包含 \(x\)，使得 \(U \to S\) 平坦。因此，引理约化到如下情形： \(X = \Spec(B)\) 与 \(S = \Spec(A)\) 仿射，并且 \(Z\) 由 \(H_1\)-正则列 \(f_1, \ldots, f_r \in B\) 给出。由假设， \(B\) 是有限表示 \(A\)-代数，并且 \(B/(f_1, \ldots, f_r)B\) 是平坦 \(A\)-代数。下面使用绝对 Noether 逼近。

写成 \(B = A[x_1, \ldots, x_n]/(g_1, \ldots, g_m)\)。假设 \(f_i\) 是 \(f_i' \in A[x_1, \ldots, x_n]\) 的像。选择有限型 \(\mathbf{Z}\)-子代数 \(A_0 \subset A\)，使得多项式 \(f_1', \ldots, f_r', g_1, \ldots, g_m\) 的所有系数都属于 \(A_0\)。 置 \(B_0 = A_0[x_1, \ldots, x_n]/(g_1, \ldots, g_m)\)，并记 \(f_{i, 0}\) 为 \(f_i'\) 在 \(B_0\) 中的像。则 \(B = B_0 \otimes_{A_0} A\)，并且 \[B/(f_1, \ldots, f_r) = B_0/(f_{0, 1}, \ldots, f_{0, r}) \otimes_{A_0} A.\] 由《代数》引理 02JO，扩大 \(A_0\) 后， 可以假设 \(B_0/(f_{0, 1}, \ldots, f_{0, r})\) 在 \(A_0\) 上平坦。 此时 Koszul 同调群 \(H_1(K_\bullet(B_0, f_{0, 1}, \ldots, f_{0, r}))\) 未必为零。 另一方面，由于 \(B_0\) Noether，它是有限生成 \(B_0\)-模。令 \(\xi_1, \ldots, \xi_n \in H_1(K_\bullet(B_0, f_{0, 1}, \ldots, f_{0, r}))\) 为生成元。设 \(A_0 \subset A_1 \subset A\) 为一个更大的有限型 \(\mathbf{Z}\)-子代数，它包含在 \(A\) 中。记 \(f_{1, i}\) 为 \(f_{0, i}\) 在 \(B_1 = B_0 \otimes_{A_0} A_1\) 中的像。由《代数进阶》引理 063Q，映射 \[H_1(K_\bullet(B_0, f_{0, 1}, \ldots, f_{0, r})) \otimes_{A_0} A_1 \longrightarrow H_1(K_\bullet(B_1, f_{1, 1}, \ldots, f_{1, r}))\] 是满射。此外，显然，对上述所有 \(A_1\) 取法，复形 \(K_\bullet(B_1, f_{1, 1}, \ldots, f_{1, r})\) 的余极限是复形 \(K_\bullet(B, f_1, \ldots, f_r)\)，后者在次数 \(1\) 上无环。因此，由 《代数》引理 00DB， \[\colim_{A_0 \subset A_1 \subset A} H_1(K_\bullet(B_1, f_{1, 1}, \ldots, f_{1, r})) = 0\] 于是可选择 \(A_1\)，使得 \(\xi_1, \ldots, \xi_n\) 全部映到 \(H_1(K_\bullet(B_1, f_{1, 1}, \ldots, f_{1, r}))\) 中的零。 换言之，Koszul 同调群 \(H_1(K_\bullet(B_1, f_{1, 1}, \ldots, f_{1, r}))\) 为零。

考察仿射概形的态射 \(X_1 \to S_1\)，它等于 \(\Spec\)，取自环映射 \(A_1 \to B_1\)，并令 \(Z_1 = \Spec(B_1/(f_{1, 1}, \ldots, f_{1, r}))\)。 由于 \(B = B_1 \otimes_{A_1} A\)，即 \(X = X_1 \times_{S_1} S\)， 并且类似地 \(Z = Z_1 \times_S S_1\)，现在只需对 \(X_1 \to S_1\) 与相对 \(H_1\)-正则浸入 \(Z_1 \to X_1\) 证明 (1)， 见《态射》引理 01U8。 于是已约化到 \(X \to S\) 为 Noether 概形之间的有限型态射的情形。 在此情形，由引理 063T，\(X \to S\) 在 \(Z\) 的每个点处平坦。结合此时平坦点集为开集这一事实，见《代数》定理 00RC，可知 (1) 成立。然后 (2) 由应用引理 063U 得出。

如果环境概形在基上平坦且局部有限表示，则可以用纤维刻画相对拟正则浸入。

引理

设 \(\varphi : X \to S\) 为局部有限表示的平坦态射。设 \(T \subset X\) 为闭子概形。设 \(x \in T\)，其像为 \(s \in S\)。

1. 若 \(T_s \subset X_s\) 在 \(x\) 的一个邻域中是拟正则浸入， 则存在开集 \(U \subset X\) 以及相对拟正则浸入 \(Z \subset U\)， 使得 \(Z_s = T_s \cap U_s\) 且 \(T \cap U \subset Z\)。

2. 若 \(T_s \subset X_s\) 在 \(x\) 的一个邻域中是拟正则浸入， 态射 \(T \to X\) 有限表示，并且 \(T \to S\) 在 \(x\) 处平坦，则可以选择 (1) 中的 \(U\) 与 \(Z\)，使得 \(T \cap U = Z\)。

3. 若 \(T_s \subset X_s\) 在 \(x\) 的一个邻域中是拟正则浸入， 并且 \(T\) 由 \(c\) 个方程在 \(x\) 的一个邻域中切出，其中 \(c = \dim_x(X_s) - \dim_x(T_s)\)，则可以选择 (1) 中的 \(U\) 与 \(Z\)， 使得 \(T \cap U = Z\)。

每种情形中，由引理 063U， \(Z \to U\) 都是正则浸入。特别地，若 \(T \to S\) 局部有限表示且平坦， 并且所有纤维 \(T_s \subset X_s\) 都是拟正则浸入，则 \(T \to X\) 是相对拟正则浸入。

证明

选择仿射开邻域 \(\Spec(A)\)（它包含 \(s\)）与仿射开邻域 \(\Spec(B)\)（它包含 \(x\)），使得 \(\varphi(\Spec(B)) \subset \Spec(A)\)。令 \(\mathfrak p \subset A\) 为对应于 \(s\) 的素理想，令 \(\mathfrak q \subset B\) 为对应于 \(x\) 的素理想，并令 \(I \subset B\) 为对应于 \(T\) 的理想。由引理的初始假设可知 \(A \to B\) 平坦且有限表示。(1) 中的假设意味着，在缩小 \(\Spec(B)\) 后，可以假设 \(I(B \otimes_A \kappa(\mathfrak p))\) 由一个元素拟正则列生成。必要时把 \(B\) 在某个 \(g \in B\)（且 \(g \not \in \mathfrak q\)）处局部化后，可以假设存在 \(f_1, \ldots, f_r \in I\)，它们在 \(B \otimes_A \kappa(\mathfrak p)\) 中的像构成一个拟正则列，并生成 \(I(B \otimes_A \kappa(\mathfrak p))\)。由《代数》引理 061S 与 061L，再次局部化后， 可以假设 \(f_1, \ldots, f_r \in I\) 在 \(B \otimes_A \kappa(\mathfrak p)\) 中构成正则列。由引理 062Y， \(Z_1 = V(f_1) \subset \Spec(B)\) 是相对有效 Cartier 除子；这里必要时 再次局部化 \(B\)。 再次应用同一引理，这次应用于 \(Z_2 = V(f_1, f_2) \subset Z_1\)，可知 \(Z_2 \subset Z_1\) 是相对有效 Cartier 除子。依此类推，直到到达 \(Z = Z_n = V(f_1, \ldots, f_n)\)。于是 \(Z \to \Spec(B)\) 是正则浸入，并且 \(Z\) 在 \(S\) 上平坦；特别地， \(Z \to \Spec(B)\) 在 \(\Spec(A)\) 上是相对拟正则浸入。 这证明了 (1)。

为证明 (2)，考察闭浸入 \(Z \to D\)。满环映射 \(u : \mathcal{O}_{D, x} \to \mathcal{O}_{Z, x}\) 是本质有限表示的平坦局部 \(\mathcal{O}_{S, s}\)-代数之间的映射， 并且模掉 \(\mathfrak m_s\) 后成为同构。因此，由《代数》引理 046Y，它是同构。 由此，\(Z \to D\) 在 \(x\) 的一个邻域中是同构，见《代数》引理 00QR。

为证明 (3)，必要时缩小 \(U\) 后，可以假设 \(Z\) 的理想由正则列 \(f_1, \ldots, f_r\) 生成（见上面对 \(Z\) 的构造），并且 \(T\) 的理想由 \(g_1, \ldots, g_c\) 生成。断言 \(c = r\)。事实上， \[\begin{align*} \dim_x(X_s) & = \dim(\mathcal{O}_{X_s, x}) + \text{trdeg}_{\kappa(s)}(\kappa(x)), \\ \dim_x(T_s) & = \dim(\mathcal{O}_{T_s, x}) + \text{trdeg}_{\kappa(s)}(\kappa(x)), \\ \dim(\mathcal{O}_{X_s, x}) & = \dim(\mathcal{O}_{T_s, x}) + r \end{align*}\] 前两个等式来自《代数》引理 00P1，第二个等式 来自将《代数》引理 00KW 应用 \(r\) 次。由于 \(T \subset Z\)，可知 \(f_i = \sum b_{ij} g_j\)。但是，\(Z\) 与 \(T\) 的理想切出 \(X_s\) 的同一个拟正则闭子概形，而这一点在 \(x\) 的一个邻域中成立。因此，矩阵 \((b_{ij}) \bmod \mathfrak m_x\) 可逆（略去一些细节）。于是 \((b_{ij})\) 在 \(x\) 的一个开邻域中可逆。换言之， \(T \cap U = Z\)，这是在缩小 \(U\) 后成立。

引理的最后几个陈述立即由 (2) 得出，并结合如下事实： \(Z \to S\) 局部有限表示，当且仅当 \(Z \to X\) 有限表示；见《态射》引理 01TR 与 02FV。

下述引理加强了《态射》引理 05D9。

引理

设 \(f : X \to S\) 为概形的平滑态射。设 \(\sigma : S \to X\) 为 \(f\) 的截面。则 \(\sigma\) 是正则浸入。

证明

由《概形》引理 01KS，态射 \(\sigma\) 是浸入。 用 \(X\) 的一个开子概形替换它，该开子概形是 \(\sigma(S)\) 的邻域； 于是可以假设 \(\sigma\) 是闭浸入。 令 \(T = \sigma(S)\) 为 \(X\) 的相应闭子概形。由于 \(T \to S\) 是同构， 它平坦且有限表示。平滑态射也平坦且局部有限表示，见《态射》引理 01VF 与 01VE。 因此，根据引理 063W，只需证明 \(T_s \subset X_s\) 是拟正则闭子概形。这立即由《态射》引理 05D9 得出，但也可以如下直接说明。 设 \(k\) 为域，并设 \(A\) 为平滑 \(k\)-代数。设 \(\mathfrak m \subset A\) 为剩余域等于 \(k\) 的极大理想。则 \(\mathfrak m\) 由拟正则列生成；这里必要时先将 \(A\) 替换为某个 \(A_g\)，其中 \(g \in A\)、\(g \not \in \mathfrak m\)。在《代数》引理 00TT 中已证明 \(A_{\mathfrak m}\) 是正则局部环，故 \(\mathfrak mA_{\mathfrak m}\) 由正则列生成。这的确蕴含 \(\mathfrak m\) 由正则列生成（在必要时将 \(A\) 替换为某个 \(A_g\)，其中 \(g \in A\)、\(g \not \in \mathfrak m\)），见《代数》引理 061L。

下述引理有某种逆，见引理 0693。

引理

设 \[\xymatrix{ Y \ar[rd]_j \ar[rr]_i & & X \ar[ld] \\ & S }\] 为概形态射的交换图。假设 \(X \to S\) 平滑，并且 \(i\)、\(j\) 是浸入。 若 \(j\) 是正则浸入（相应地，Koszul-正则、\(H_1\)-正则、拟正则浸入）， 则 \(i\) 也是。

证明

可以把 \(i\) 写成复合 \[Y \to Y \times_S X \to X\] 由引理 067R，第一个箭头是正则浸入。 第二个箭头是 \(Y \to S\) 的平坦基变换，因而是正则浸入（相应地， Koszul-正则、\(H_1\)-正则、拟正则浸入），见引理 067P。 应用引理 067Q 即得结论。

引理

设 \[\xymatrix{ Y \ar[rd] \ar[rr]_i & & X \ar[ld] \\ & S }\] 为概形态射的交换图。假设 \(Y \to S\) 是 syntomic 态射， \(X \to S\) 平滑，并且 \(i\) 是浸入。则 \(i\) 是正则浸入。

证明

用 \(X\) 的一个开子概形替换它，该开子概形是 \(i(Y)\) 的邻域； 于是可以假设 \(i\) 是闭浸入。 令 \(T = i(Y)\) 为 \(X\) 的相应闭子概形。由于 \(T \cong Y\)，态射 \(T \to S\) 平坦且有限表示（《态射》引理 01UK 与 01UL）。 平滑态射也平坦且局部有限表示（《态射》引理 01VF 与 01VE）。 因此，根据引理 063W，只需证明 \(T_s \subset X_s\) 是拟正则闭子概形。由于 \(X_s\) 在域上局部有限型， 它是 Noether 概形（《态射》引理 01T6）。因此，可以逐点检验 \(T_s \subset X_s\) 是拟正则浸入，见引理 063I。取 \(t \in T_s\)。 由《态射》引理 01UG，局部环 \(\mathcal{O}_{T_s, t}\) 是 \(\kappa(s)\) 上的局部完全交。局部环 \(\mathcal{O}_{X_s, t}\) 正则，见《代数》引理 00TT。由《代数》引理 00SF 可知，满射 \(\mathcal{O}_{X_s, t} \to \mathcal{O}_{T_s, t}\) 的核由正则列生成，这正是所需结论。

引理

设 \[\xymatrix{ Y \ar[rd] \ar[rr]_i & & X \ar[ld] \\ & S }\] 为概形态射的交换图。假设 \(Y \to S\) 平滑、\(X \to S\) 平滑，并且 \(i\) 是浸入。则 \(i\) 是正则浸入。

证明

这是引理 067T 的特例，因为平滑态射是 syntomic 态射，见《态射》引理 01VD。

引理

设 \[\xymatrix{ Y \ar[rd]_j \ar[rr]_i & & X \ar[ld] \\ & S }\] 为概形态射的交换图。假设 \(X \to S\) 平滑，并且 \(i\) 与 \(j\) 是浸入。 若 \(i\) 是 Koszul-正则浸入（相应地，\(H_1\)-正则、拟正则浸入）， 则 \(j\) 也是。

证明

以下不再另行说明地使用引理 063K。 任取 \(y \in Y\)。置 \(x = i(y)\)，并置 \(s = j(y)\)。 只需在用 \(X\) 与 \(S\) 的开邻域 \(U\) 与 \(V\)（分别包含 \(x\) 与 \(s\)） 替换它们，并用 \(Y\) 中 \(y\) 的一个开邻域（包含于 \(i^{-1}(U) \cap j^{-1}(V)\)）替换它后证明结论。

先对 \(X = \mathbf{A}^n_S\) 证明结论。用 \(S\) 的仿射开子集 \(V\) 替换它，并用 \(Y\) 的开子集 \(j^{-1}(V)\) 替换它后，可以假设 \(j\) 是闭浸入且 \(S\) 仿射。 写成 \(S = \Spec(A)\)。于是 \(j : Y \to S\) 把 \(Y\) 同构到闭子概形 \(\Spec(A/I)\)，其中 \(I \subset A\) 为某个理想。映射 \(i : Y = \Spec(A/I) \to \mathbf{A}^n_S = \Spec(A[x_1, \ldots, x_n])\) 对应于 \(A\)-代数同态 \(i^\sharp : A[x_1, \ldots, x_n] \to A/I\)。 选择 \(a_i \in A\)，使其像为 \(i^\sharp(x_i)\)，此像位于 \(A/I\) 中。 注意，闭浸入 \(i\) 的理想是 \[J = (x_1 - a_1, \ldots, x_n - a_n) + IA[x_1, \ldots, x_n].\] 置 \(K = (x_1 - a_1, \ldots, x_n - a_n)\)。断言序列 \[0 \to K/KJ \to J/J^2 \to J/(K + J^2) \to 0\] 分裂正合。为说明这一点，注意 \(K/K^2\) 以 \(x_i - a_i\) 为基， 并且在环 \(A[x_1, \ldots, x_n]/K \cong A\) 上自由。 因此，\(K/KJ\) 在环 \(A[x_1, \ldots, x_n]/J \cong A/I\) 上自由， 基仍相同。另一方面，取微分给出映射 \[\text{d}_{A[x_1, \ldots, x_n]/A} : J/J^2 \longrightarrow \Omega_{A[x_1, \ldots, x_n]/A} \otimes_{A[x_1, \ldots, x_n]} A[x_1, \ldots, x_n]/J\] 它把生成元 \(x_i - a_i\) 映到右边自由模的基元素 \(\text{d}x_i\)。 断言随之成立。此外，注意 \(x_1 - a_1, \ldots, x_n - a_n\) 是 \(A[x_1, \ldots, x_n]\) 中的正则列，其商环为 \(A[x_1, \ldots, x_n]/(x_1 - a_1, \ldots, x_n - a_n) \cong A\)。 于是，闭浸入 \(i\) 有分解 \[Y \to V(x_1 - a_1, \ldots, x_n - a_n) \to \mathbf{A}^n_S\] 其中复合是 Koszul-正则浸入（相应地，\(H_1\)-正则、拟正则浸入）， 第二个箭头是正则浸入，并且相应的余法序列分裂。现在由引理 068Z 得出结论。

接着，在 \(i\) 是 \(H_1\)-正则的情形证明结论。也就是说，按证明第一段 那样缩小后，可以假设 \(Y\)、\(X\) 与 \(S\) 都仿射。此时，可以选择闭浸入 \(h : X \to \mathbf{A}^n_S\)，它在 \(S\) 上，其中 \(n\) 为某个整数。由引理 067U， \(h\) 是正则浸入。因此，\(h \circ i\) 是 \(H_1\)-正则浸入，见引理 067Q（注意，这一步在 “拟正则情形”中不成立）。于是约化到上面已经证明的 \(X = \mathbf{A}^n_S\) 且 \(S\) 仿射的情形。

最后，假设 \(i\) 拟正则。按证明第一段那样缩小后，可以使用《态射》引理 054L，把 \(f\) 分解为 \(X \to \mathbf{A}^n_S \to S\)，其中第一个态射 \(X \to \mathbf{A}^n_S\) 是 étale 的。这把问题约化到两个情形： (a) \(X = \mathbf{A}^n_S\)，以及 (b) \(f\) 是 étale 的。 情形 (a) 已在证明第二段处理。情形 (b) 由下一段处理。

假设 \(f\) 是 étale 的。缩小后，可以假设 \(X\)、\(Y\) 与 \(S\) 仿射， \(i\) 与 \(j\) 是闭浸入（略去一个小细节）。记 \(S = \Spec(A)\)、\(X = \Spec(B)\) 且 \(Y = \Spec(B/J) = \Spec(A/I)\)。进一步缩小后，可以假设 \(J\) 由拟正则列生成。环映射 \(A \to B\) 是 étale 的，因而形式 étale （《代数》引理 00UR）。 因此，由《代数》引理 0H1D， \(\bigoplus I^n/I^{n + 1} \cong \bigoplus J^n/J^{n + 1}\)。 由于 \(J\) 由拟正则列生成，\(I\) 也如此。这就完成了证明。

亚纯函数与亚纯截面

本节只包含一般定义和一些初等结果。若要了解可能遇到的陷阱，见 [misconceptions]⁴。

设 \((X, \mathcal{O}_X)\) 为局部带环空间。对任意开集 \(U \subset X\)，已经定义了集合 \(\mathcal{S}(U) \subset \mathcal{O}_X(U)\)，即 \(\mathcal{O}_X\) 在 \(U\) 上的 正则截面集合，见定义 01WY。正则截面限制到更小开集后仍然正则。 因此，\(\mathcal{S} : U \mapsto \mathcal{S}(U)\) 是 \(\mathcal{O}_X\) 的子层（集合层）。有时记 \(\mathcal{S} = \mathcal{S}_X\)，以表明其对 \(X\) 的依赖。此外， \(\mathcal{S}(U)\) 是环 \(\mathcal{O}_X(U)\) 的乘法子集；这对每个 \(U\) 都成立。因此，可以考察环的预层 \[U \longmapsto \mathcal{S}(U)^{-1} \mathcal{O}_X(U),\] 见《模》引理 01D0。

定义

设 \((X, \mathcal{O}_X)\) 为局部带环空间。\(X\) 上的亚纯函数层 是与上面所示预层相伴的层\(\mathcal{K}_X\)。\(X\) 上的 亚纯函数是 \(\mathcal{K}_X\) 的整体截面。

由于每个 \(\mathcal{S}(U)\) 的每个元素都是 \(\mathcal{O}_X(U)\) 上的非零因子，可知环层的自然映射 \(\mathcal{O}_X \to \mathcal{K}_X\) 是单射。

例

设 \(A = \mathbf{C}[x, \{y_\alpha\}_{\alpha \in \mathbf{C}}]/ ((x - \alpha)y_\alpha, y_\alpha y_\beta)\)。\(A\) 的每个元素都可唯一写成 \(f(x) + \sum \lambda_\alpha y_\alpha\)，其中 \(f(x) \in \mathbf{C}[x]\) 且 \(\lambda_\alpha \in \mathbf{C}\)。 令 \(X = \Spec(A)\)。在此情形，\(\mathcal{O}_X = \mathcal{K}_X\)， 因为在任意仿射开集 \(D(f)\) 上，环 \(A_f\) 中的每个非零因子都是单位 （略去证明）。

设 \((X, \mathcal{O}_X)\) 为局部带环空间。设 \(\mathcal{F}\) 为 \(\mathcal{O}_X\)-模层。考察预层 \(U \mapsto \mathcal{S}(U)^{-1}\mathcal{F}(U)\)。它的层化是层 \(\mathcal{F} \otimes_{\mathcal{O}_X} \mathcal{K}_X\)，见《模》引理 01D1。

定义

设 \(X\) 为局部带环空间。设 \(\mathcal{F}\) 为 \(\mathcal{O}_X\)-模层。

1. 记 \(\mathcal{K}_X(\mathcal{F})\) 为如下 \(\mathcal{K}_X\)-模层：它是预层 \(U \mapsto \mathcal{S}(U)^{-1}\mathcal{F}(U)\) 的层化。等价地， \(\mathcal{K}_X(\mathcal{F}) = \mathcal{F} \otimes_{\mathcal{O}_X} \mathcal{K}_X\)（见上文）。

2. \(\mathcal{F}\) 的亚纯截面是 \(\mathcal{K}_X(\mathcal{F})\) 的整体截面。

特别地，对任意点 \(x \in X\)，有 \[\mathcal{K}_X(\mathcal{F})_x = \mathcal{F}_x \otimes_{\mathcal{O}_{X, x}} \mathcal{K}_{X, x} = \mathcal{S}_x^{-1}\mathcal{F}_x\] 不过必须谨慎，因为 \(\mathcal{S}_x\) 未必等于局部环 \(\mathcal{O}_{X, x}\) 中的非零因子集合。具体地，总有到全商环的单射 \[\mathcal{K}_{X, x} \longrightarrow Q(\mathcal{O}_{X, x})\] 它为满射，当且仅当 \(\mathcal{S}_x\) 是 \(\mathcal{O}_{X, x}\) 中的非零因子集合。亚纯截面层一般不是拟凝聚模， 但它们与拟凝聚模有一些共同性质。

定义

设 \(f : (X, \mathcal{O}_X) \to (Y, \mathcal{O}_Y)\) 为局部带环空间的态射。 称亚纯函数对 \(f\) 的拉回有定义，如果对每一对开集 \(U \subset X\)、\(V \subset Y\)，只要 \(f(U) \subset V\)，并对任意截面 \(s \in \Gamma(V, \mathcal{S}_Y)\)， 拉回 \(f^\sharp(s) \in \Gamma(U, \mathcal{O}_X)\) 都属于 \(\Gamma(U, \mathcal{S}_X)\)。

在这种情形，存在诱导映射 \(f^\sharp : f^{-1}\mathcal{K}_Y \to \mathcal{K}_X\)；换言之，得到 带环空间态射的交换图 \[\xymatrix{ (X, \mathcal{K}_X) \ar[r] \ar[d]^f & (X, \mathcal{O}_X) \ar[d]^f \\ (Y, \mathcal{K}_Y) \ar[r] & (Y, \mathcal{O}_Y) }\] 有时记 \(f^*(s) = f^\sharp(s)\)，其中 \(s \in \Gamma(Y, \mathcal{K}_Y)\)。

引理

设 \(f : X \to Y\) 为概形的态射。在下列每种情形中，亚纯函数拉回有定义：

1. \(X\) 的每个弱伴随点都映到 \(Y\) 的某个不可约分支的泛点；

2. \(X\)、\(Y\) 整，且 \(f\) 支配；

3. \(X\) 整，且 \(X\) 的泛点映到 \(Y\) 的某个不可约分支的泛点；

4. \(X\) 约化，且 \(X\) 的每个不可约分支的每个泛点都映到 \(Y\) 的某个不可约分支的泛点；

5. \(X\) 局部 Noether，且 \(X\) 的任意伴随点都映到 \(Y\) 的某个不可约分支的泛点；

6. \(X\) 局部 Noether、没有嵌入点，并且 \(X\) 的每个不可约分支的 泛点都映到 \(Y\) 的某个不可约分支的泛点；以及

7. \(f\) 平坦。

证明

问题在 \(X\) 与 \(Y\) 上都是局部的。因此，约化到 \(X = \Spec(A)\)、\(Y = \Spec(R)\)，并且 \(f\) 由环映射 \(\varphi : R \to A\) 给出的情形。由引理 01WZ 中对结构层正则截面的刻画，只需证明 \(R \to A\) 把非零因子映到 非零因子。设 \(t \in R\) 为非零因子。

若 \(R \to A\) 平坦，则 \(t : R \to R\) 为单射这一事实表明 \(t : A \to A\) 为单射。这证明了 (7)。

在其他情形中，注意 \(t\) 不属于 \(R\) 的任何极小素理想 （因为环的极小素理想中的每个元素都是零因子）。 因此，在情形 (1)，\(\varphi(t)\) 不属于 \(A\) 的任何弱伴随素理想。 此情形遂由《代数》引理 05C3 得出。由引理 05AR，情形 (5) 是 (1) 的特例。 情形 (6) 由 (5) 和定义得出。由引理 0EME，情形 (4) 是 (1) 的特例。 情形 (2)、(3) 是 (4) 的特例。

引理

设 \(X\) 为满足下列条件的概形：

1. \(X\) 的每个弱伴随点都是 \(X\) 的某个不可约分支的泛点；并且

2. 每个拟紧开集只有有限多个不可约分支。

令 \(X^0\) 为 \(X\) 的不可约分支的泛点集合。则有 \[\mathcal{K}_X = \bigoplus\nolimits_{\eta \in X^0} j_{\eta, *}\mathcal{O}_{X, \eta} = \prod\nolimits_{\eta \in X^0} j_{\eta, *}\mathcal{O}_{X, \eta}\] 其中 \(j_\eta : \Spec(\mathcal{O}_{X, \eta}) \to X\) 是《概形》第 01J5 节的典范映射。此外：

1. \(\mathcal{K}_X\) 是拟凝聚 \(\mathcal{O}_X\)-代数层；

2. 对每个拟凝聚 \(\mathcal{O}_X\)-模 \(\mathcal{F}\)，\(\mathcal{F}\) 的亚纯截面层 \[\mathcal{K}_X(\mathcal{F}) = \bigoplus\nolimits_{\eta \in X^0} j_{\eta, *}\mathcal{F}_\eta = \prod\nolimits_{\eta \in X^0} j_{\eta, *}\mathcal{F}_\eta\] 是拟凝聚的；

3. \(\mathcal{S}_x \subset \mathcal{O}_{X, x}\) 是非零因子集合， 对任意 \(x \in X\)；

4. \(\mathcal{K}_{X, x}\) 是 \(\mathcal{O}_{X, x}\) 的全商环， 对任意 \(x \in X\)；

5. \(\mathcal{K}_X(U)\) 等于 \(\mathcal{O}_X(U)\) 的全商环， 对任意仿射开集 \(U \subset X\)；

6. \(X\) 的有理函数环（《态射》定义 01RT）就是 \(X\) 的亚纯函数环； 写成公式即 \(R(X) = \Gamma(X, \mathcal{K}_X)\)。

证明

注意，局部有限的模层直和等于其直积；例如，这可以在茎上检验。又因 \(\mathcal{K}_X(\mathcal{F}) = \mathcal{F} \otimes_{\mathcal{O}_X} \mathcal{K}_X\)， 可知 (2) 由其他陈述推出。还要注意，当 \(X^0\) 有限时，(6) 由引理的 初始陈述与《态射》引理 01RV 得出；一般情形的 (6) 再由此粘合而得（略去论证）。

令 \(j : Y = \coprod\nolimits_{\eta \in X^0} \Spec(\mathcal{O}_{X, \eta}) \to X\) 为态射 \(j_\eta\) 的余积。需要证明 \(\mathcal{K}_X = j_*\mathcal{O}_Y\)。首先注意， \(\mathcal{K}_Y = \mathcal{O}_Y\)，因为 \(Y\) 是 \(0\) 维局部环之谱的不交并： 在零维局部环中，每个非零因子都是单位。其次注意，由引理 02OU，\(j\) 的亚纯函数拉回 有定义。这给出映射 \[\mathcal{K}_X \longrightarrow j_*\mathcal{O}_Y.\] 设 \(\Spec(A) = U \subset X\) 为仿射开集。则 \(A\) 是只有有限多个 极小素理想 \(\mathfrak q_1, \ldots, \mathfrak q_t\) 的环，并且 \(A\) 的每个弱伴随素理想都是某个 \(\mathfrak q_i\)。由《代数》引理 02LX 与 05C3，得到 \(Q(A) = \prod A_{\mathfrak q_i}\)。换言之，预层的取值 \(U \mapsto \mathcal{S}(U)^{-1}\mathcal{O}_X(U)\) 就与 \(j_*\mathcal{O}_Y(U)\) 在仿射开集 \(U\) 上一致。因此，上示映射是同构， 从而证明引理陈述中 第一个上示等式。

最后，证明 (1)、(3)、(4)、(5)。在证明 \(\mathcal{K}_X = j_*\mathcal{O}_Y\) 的过程中，已经看到了 (5)。 态射 \(j\) 因我们关于 \(X\) 的不可约分支集合局部有限这一假设而拟紧。 因此，\(j\) 拟紧且拟分离（因为 \(Y\) 分离）。由《概形》引理 01LC， \(j_*\mathcal{O}_Y\) 拟凝聚。这证明了 (1)。设 \(x \in X\)。 可以选择仿射开邻域 \(U = \Spec(A)\) 作为 \(x\) 的邻域，使其所有 不可约分支都经过 \(x\)。于是 \(A \subset A_\mathfrak p\)，因为 \(A\) 的每个弱伴随素理想 都包含于 \(\mathfrak p\)，故由《代数》引理 05C3， \(A \setminus \mathfrak p\) 中的元素都是非零因子。 容易推出，\(A_\mathfrak p\) 的任意非零因子都是 \(x\) 的某个 （可能更小的）仿射开邻域上的非零因子的像。这证明了 (3)。 (4) 由 (3) 通过计算茎得出。

定义

设 \(X\) 为局部带环空间。设 \(\mathcal{L}\) 为可逆 \(\mathcal{O}_X\)-模。设 \(s\) 是 \(\mathcal{L}\) 的一个亚纯截面。若其所诱导的映射 \(\mathcal{K}_X \to \mathcal{K}_X(\mathcal{L})\) 为单射，则称其 正则。换言之，\(s\) 是可逆 \(\mathcal{K}_X\)-模 \(\mathcal{K}_X(\mathcal{L})\) 的正则截面，见定义 01WY。

下面明确说明何时可以拉回（正则）亚纯截面。

引理

设 \(f : X \to Y\) 为局部带环空间的态射。假设 \(f\) 的亚纯函数拉回有定义 （见定义 02OT）。

1. 设 \(\mathcal{F}\) 为 \(\mathcal{O}_Y\)-模层。存在典范拉回映射 \(f^* : \Gamma(Y, \mathcal{K}_Y(\mathcal{F})) \to \Gamma(X, \mathcal{K}_X(f^*\mathcal{F}))\)，用于 \(\mathcal{F}\) 的亚纯截面。

2. 设 \(\mathcal{L}\) 为可逆 \(\mathcal{O}_Y\)-模。 设 \(s\) 是 \(\mathcal{L}\) 的正则亚纯截面。则 \(f^*s\) 是 \(f^*\mathcal{L}\) 的正则亚纯截面。

证明

略。

引理

设 \(X\) 为概形。设 \(\mathcal{L}\) 为可逆 \(\mathcal{O}_X\)-模。 设 \(s\) 为 \(\mathcal{L}\) 的正则亚纯截面。记 \(\mathcal{I} \subset \mathcal{O}_X\) 为由下述规则定义的理想层： \[\mathcal{I}(V) = \{f \in \mathcal{O}_X(V) \mid fs \in \mathcal{L}(V)\}.\] 由于 \(\mathcal{L}(V) \subset \mathcal{K}_X(\mathcal{L})(V)\)， 该公式有意义。则 \(\mathcal{I}\) 是拟凝聚理想层，并且有单射 \[1 : \mathcal{I} \longrightarrow \mathcal{O}_X, \quad s : \mathcal{I} \longrightarrow \mathcal{L}\] 二者的余核都支撑在 \(X\) 的闭无处稠密子集上。

证明

问题在 \(X\) 上是局部的。因此，可以假设 \(X = \Spec(A)\) 且 \(\mathcal{L} = \mathcal{O}_X\)。进一步缩小后，可以假设 \(s = a/b\)，其中 \(a, b \in A\) 在 \(A\) 中都是非零因子。 置 \(I = \{x \in A \mid x(a/b) \in A\}\)。

为证明 \(\mathcal{I}\) 拟凝聚，需要证明 \(I_f = \{x \in A_f \mid x(a/b) \in A_f\}\)，对每个 \(f \in A\)。若 \(c/f^n \in A_f\) 且 \((c/f^n)(a/b) \in A_f\)，则 \(f^mc(a/b) \in A\) 对某个 \(m\) 成立，故 \(c/f^n \in I_f\)。反过来，容易看出 \(I_f\) 包含于 \(\{x \in A_f \mid x(a/b) \in A_f\}\)。 这证明了拟凝聚性。

下面证明最后一个陈述。显然 \((b) \subset I\)。因此 \(V(I) \subset V(b)\) 是无处稠密子集，因为 \(b\) 是非零因子。 所以 \(1\) 的余核支撑在某个闭无处稠密集合中。对 \(s\) 的余核， 同样的论证成立，因为 \(s(b) = (a) \subset sI \subset A\)。

定义

设 \(X\) 为概形。设 \(\mathcal{L}\) 为可逆 \(\mathcal{O}_X\)-模。 设 \(s\) 为 \(\mathcal{L}\) 的正则亚纯截面。引理 02P0 中构造的理想层 \(\mathcal{I}\) 称为 \(s\) 的分母理想层。

亚纯函数与亚纯截面：Noether 情形

对于局部 Noether 概形，可以证明亚纯函数层的一些结果。然而， [misconceptions] 中有一个例子表明，\(\mathcal{K}_X\) 对 Noether 概形 \(X\) 也未必拟凝聚。

引理

设 \(X\) 为拟紧概形。设 \(h \in \Gamma(X, \mathcal{O}_X)\) 且 \(f \in \Gamma(X, \mathcal{K}_X)\)，并假设 \(f\) 在 \(X_h\) 上的限制为零。 则 \(h^n f = 0\) 对某个 \(n \gg 0\) 成立。

证明

可找到 \(X\) 的一个由仿射开集 \(U\) 构成的覆盖，使得 \(f|_U = s^{-1}a\)，其中 \(a \in \mathcal{O}_X(U)\) 且 \(s \in \mathcal{S}(U)\)。由于 \(X\) 拟紧，可以取这种形式的有限仿射开覆盖。 因此，只需在 \(X = \Spec(A)\) 且 \(f = s^{-1}a\) 时证明引理。 注意，\(s \in A\) 是非零因子，故只需证明 \(f = a\) 的情形。条件 \(f|_{X_h} = 0\) 蕴含 \(a\) 在 \(A_h = \mathcal{O}_X(X_h)\) 中的像为零，因为 \(\mathcal{O}_X \subset \mathcal{K}_X\)。因此，\(h^na = 0\) 对某个 \(n > 0\) 成立，这正是所需结论。

引理

设 \(X\) 为局部 Noether 概形。

1. 对任意 \(x \in X\)，\(\mathcal{S}_x \subset \mathcal{O}_{X, x}\) 是非零因子集合，因而 \(\mathcal{K}_{X, x}\) 是 \(\mathcal{O}_{X, x}\) 的全商环。

2. 对任意仿射开集 \(U \subset X\)，环 \(\mathcal{K}_X(U)\) 等于 \(\mathcal{O}_X(U)\) 的全商环。

证明

为证明本引理，可以假设 \(X\) 是某个 Noether 环 \(A\) 的谱。设 \(x \in X\) 对应于 \(\mathfrak p \subset A\)。

证明 (1)。显然，\(\mathcal{S}_x\) 包含于 \(\mathcal{O}_{X, x} = A_\mathfrak p\) 的非零因子集合。反过来，设 \(f, g \in A\)、\(g \not \in \mathfrak p\)，并假设 \(f/g\) 是 \(A_{\mathfrak p}\) 中的非零因子。令 \(I = \{a \in A \mid af = 0\}\)。由局部化的正合性可知 \(I_{\mathfrak p} = 0\)。由于 \(A\) Noether，\(I\) 有限生成，故 \(g'I = 0\)，其中存在元素 \(g' \in A\)，且 \(g' \not \in \mathfrak p\)。 因此，\(f\) 在 \(A_{g'}\) 中是非零因子，也就是在 \(\mathfrak p\) 的某个 Zariski 开邻域中是非零因子。于是 \(f/g\) 是 \(\mathcal{S}_x\) 的元素。

证明 (2)。设 \(f \in \Gamma(X, \mathcal{K}_X)\) 为亚纯函数。令 \(I = \{a \in A \mid af \in A\}\)。固定素理想 \(\mathfrak p \subset A\)，它对应于点 \(x \in X\)。由 (1)，可以把 \(f\) 在 \(\mathfrak p\) 处茎中的像写为 \(a/b\)，其中 \(a, b \in A_{\mathfrak p}\)，且 \(b \in A_{\mathfrak p}\) 不是零因子。 写 \(b = c/d\)，其中 \(c, d \in A\)、\(d \not \in \mathfrak p\)。 则 \(ad - cf\) 是 \(\mathcal{K}_X\) 的一个截面，并在 \(x\) 的某个 开邻域上消失。设它在 \(D(e)\) 上消失，其中 \(e \in A\)、\(e \not \in \mathfrak p\)。由引理 08I7，有 \(e^n(ad - cf) = 0\)，其中 \(n \gg 0\) 是某个整数。因此 \(e^nc \in I\)，且 \(e^nc\) 在 \(A_{\mathfrak p}\) 中的像是非零因子。令 \(\text{Ass}(A) = \{\mathfrak q_1, \ldots, \mathfrak q_t\}\) 为 \(A\) 的伴随素理想。考察 \(IA_{\mathfrak q_i}\) 并使用《代数》引理 0310，上述论证表明， \(I \not \subset \mathfrak q_i\) 对每个 \(i\) 成立。由《代数》引理 00DS，存在元素 \(z \in I\)，使得 \(z \not \in \bigcup \mathfrak q_i\)。由《代数》引理 00LD，可知 \(z\) 不是 \(A\) 上的零因子。 因此，\(f = (zf)/z\) 是 \(A\) 的全商环的元素。这证明了 (2)。

引理

设 \(X\) 为没有嵌入点的局部 Noether 概形。令 \(X^0\) 为 \(X\) 的 不可约分支的泛点集合。则有 \[\mathcal{K}_X = \bigoplus\nolimits_{\eta \in X^0} j_{\eta, *}\mathcal{O}_{X, \eta} = \prod\nolimits_{\eta \in X^0} j_{\eta, *}\mathcal{O}_{X, \eta}\] 其中 \(j_\eta : \Spec(\mathcal{O}_{X, \eta}) \to X\) 是《概形》第 01J5 节的典范映射。此外：

1. \(\mathcal{K}_X\) 是拟凝聚 \(\mathcal{O}_X\)-代数层；

2. 对每个拟凝聚 \(\mathcal{O}_X\)-模 \(\mathcal{F}\)，层 \[\mathcal{K}_X(\mathcal{F}) = \bigoplus\nolimits_{\eta \in X^0} j_{\eta, *}\mathcal{F}_\eta = \prod\nolimits_{\eta \in X^0} j_{\eta, *}\mathcal{F}_\eta\] 即 \(\mathcal{F}\) 的亚纯截面层，是拟凝聚的；并且

3. \(X\) 的有理函数环就是 \(X\) 的亚纯函数环；写成公式即 \(R(X) = \Gamma(X, \mathcal{K}_X)\)。

证明

本引理是引理 0EMF 的特例，因为在 局部 Noether 情形，由引理 05AR 可知， 弱伴随点与伴随点相同。

引理

设 \(X\) 为没有嵌入点的局部 Noether 概形。设 \(\mathcal{L}\) 为可逆 \(\mathcal{O}_X\)-模。则 \(\mathcal{L}\) 有一个正则亚纯截面。

证明

对每个泛点 \(\eta\)（作为 \(X\) 的泛点），选取生成元 \(s_\eta\)；它生成秩为 \(1\) 的自由模 \(\mathcal{L}_\eta\)，后者是 Artin 局部环 \(\mathcal{O}_{X, \eta}\) 上的模。由引理 0EMH 中对 \(\mathcal{K}_X\) 与 \(\mathcal{K}_X(\mathcal{L})\) 的描述，立即可知 \(s = \prod s_\eta\) 是 \(\mathcal{L}\) 的一个正则亚纯截面。

引理

假设给定：

1. 局部 Noether 概形 \(X\)；

2. 可逆模 \(\mathcal{L}\)（作为 \(\mathcal{O}_X\)-模）；

3. 正则亚纯截面 \(s\)（取值于 \(\mathcal{L}\)）；以及

4. 凝聚层 \(\mathcal{F}\)（定义在 \(X\) 上），它没有嵌入伴随点且 \(\text{Supp}(\mathcal{F}) = X\)。

设 \(\mathcal{I} \subset \mathcal{O}_X\) 为 \(s\) 的分母理想层。 令 \(T \subset X\) 为 \(\mathcal{O}_X/\mathcal{I}\) 与 \(\mathcal{L}/s(\mathcal{I})\) 的支集之并；根据引理 02P0，它是无处稠密闭子集 \(T \subset X\)。则存在典范单射 \[1 : \mathcal{I}\mathcal{F} \to \mathcal{F}, \quad s : \mathcal{I}\mathcal{F} \to \mathcal{F} \otimes_{\mathcal{O}_X}\mathcal{L}\] 二者的余核都支撑在 \(T\) 上。

证明

约化到仿射情形，其中 \(\mathcal{L} \cong \mathcal{O}_X\)，且 \(s = a/b\)，这里 \(a, b \in A\) 都是非零因子。略去约化步骤的证明。 写 \(\mathcal{F} = \widetilde{M}\)。令 \(I = \{x \in A \mid x(a/b) \in A\}\)，于是 \(\mathcal{I} = \widetilde{I}\)（见引理 02P0 的证明）。 注意，\(T = V(I) \cup V((a/b)I)\)。对任意 \(A\)-模 \(M\)，考察映射 \(1 : IM \to M\)；它给出引理中的映射 \(1\)。另一方面，考察映射 \(\sigma : IM \to M_b, x \mapsto ax/b\)。由于 \(b\) 不是 \(A\) 中的零因子， 而且 \(M\) 的支集是 \(\Spec(A)\) 且没有嵌入素理想，可知 \(b\) 也是 \(M\) 上的非零因子。因此，\(M \subset M_b\)。 由 \(I\) 的定义，有 \(\sigma(IM) \subset M\)；这里把两者看作 \(M_b\) 的子模。 因此，得到 \(A\)-模映射 \(s : IM \to M\)（即满足 \(s(z)/1 = \sigma(z)\) 在 \(M_b\) 中对所有 \(z \in IM\) 成立的唯一映射）。 它是单射，因为 \(a\) 也是非零因子（在 \(A\) 与 \(M\) 上都是）。 显然，\(M/IM\) 被 \(I\) 零化，而 \(M/s(IM)\) 被 \((a/b)I\) 零化。 引理得证。

亚纯函数与亚纯截面：约化情形

对于约化且局部只有有限多个不可约分支的概形，亚纯函数层是拟凝聚的。

引理

设 \(X\) 为约化概形，并且每个拟紧开集都只有有限多个不可约分支。 令 \(X^0\) 为 \(X\) 的不可约分支的泛点集合。则有 \[\mathcal{K}_X = \bigoplus\nolimits_{\eta \in X^0} j_{\eta, *}\kappa(\eta) = \prod\nolimits_{\eta \in X^0} j_{\eta, *}\kappa(\eta)\] 其中 \(j_\eta : \Spec(\kappa(\eta)) \to X\) 是《概形》第 01J5 节的典范映射。此外：

1. \(\mathcal{K}_X\) 是拟凝聚 \(\mathcal{O}_X\)-代数层；

2. 对每个拟凝聚 \(\mathcal{O}_X\)-模 \(\mathcal{F}\)，层 \[\mathcal{K}_X(\mathcal{F}) = \bigoplus\nolimits_{\eta \in X^0} j_{\eta, *}\mathcal{F}_\eta = \prod\nolimits_{\eta \in X^0} j_{\eta, *}\mathcal{F}_\eta\] 即 \(\mathcal{F}\) 的亚纯截面层，是拟凝聚的；

3. \(\mathcal{S}_x \subset \mathcal{O}_{X, x}\) 是非零因子集合， 对任意 \(x \in X\)；

4. \(\mathcal{K}_{X, x}\) 是 \(\mathcal{O}_{X, x}\) 的全商环， 对任意 \(x \in X\)；

5. \(\mathcal{K}_X(U)\) 等于 \(\mathcal{O}_X(U)\) 的全商环， 对任意仿射开集 \(U \subset X\)；

6. \(X\) 的有理函数环就是 \(X\) 的亚纯函数环；写成公式即 \(R(X) = \Gamma(X, \mathcal{K}_X)\)。

证明

本引理是引理 0EMF 的特例，因为由引理 0EME，约化概形的弱伴随点就是各不可约分支的泛点。

引理

设 \(X\) 为概形。假设 \(X\) 约化，并且每个拟紧开集 \(U \subset X\) 都只有有限多个不可约分支。则正规化态射 \(\nu : X^\nu \to X\) 是态射 \[\underline{\Spec}_X(\mathcal{O}') \longrightarrow X\] 其中 \(\mathcal{O}' \subset \mathcal{K}_X\) 是 \(\mathcal{O}_X\) 在亚纯函数层中的整闭包。

证明

将正规化态射 \(\nu : X^\nu \to X\) 的定义（见《态射》定义 035N）与上面引理 02OW 中对 \(\mathcal{K}_X\) 的描述比较即可。

引理

设 \(X\) 为整概形，泛点为 \(\eta\)。则：

1. 亚纯函数层同构于取值为 \(X\) 的函数域（见《态射》定义 01RW）的常值层。

2. 对任意拟凝聚层 \(\mathcal{F}\)（定义在 \(X\) 上），层 \(\mathcal{K}_X(\mathcal{F})\) 同构于取值为 \(\mathcal{F}_\eta\) 的常值层。

证明

略。

在某些情形，可以证明正则亚纯截面存在。

引理

设 \(X\) 为概形。设 \(\mathcal{L}\) 为可逆 \(\mathcal{O}_X\)-模。 在下列每种情形，\(\mathcal{L}\) 都有一个正则亚纯截面：

1. \(X\) 整；

2. \(X\) 约化，且每个拟紧开集都只有有限多个不可约分支；

3. \(X\) 局部 Noether 且没有嵌入点。

证明

在情形 (1)，令 \(\eta \in X\) 为泛点。由引理 01X5 已知， \(\mathcal{K}_X\) 与 \(\mathcal{K}_X(\mathcal{L})\) 分别是取值为 \(\kappa(\eta)\) 与 \(\mathcal{L}_\eta\) 的常值层。由于 \(\dim_{\kappa(\eta)} \mathcal{L}_\eta = 1\)，可以选取非零元 \(s \in \mathcal{L}_\eta\)。显然，\(s\) 是 \(\mathcal{L}\) 的正则亚纯截面。 在情形 (2)，选取非零元 \(s_\eta \in \mathcal{L}_\eta\)；这里 \(\eta\) 遍历 \(X\) 的所有泛点。这是可能的，因为 \(\mathcal{L}_\eta\) 是 \(1\) 维 \(\kappa(\eta)\)-向量空间。由引理 02OW 中对 \(\mathcal{K}_X\) 与 \(\mathcal{K}_X(\mathcal{L})\) 的描述，立即可知 \(s = \prod s_\eta\) 是 \(\mathcal{L}\) 的正则亚纯截面。情形 (3) 是引理 0EMI。

Weil 除子

下面对局部 Noether 整概形引入 Weil 除子以及 Weil 除子的有理等价。 由于不假设概形拟紧，在定义 Weil 除子时必须稍加谨慎。必须允许 素除子的无穷和，例如，有理函数可能有无穷多个极点。对于拟紧概形， 这里的 Weil 除子仍像通常一样是有限和。下面这个基本引理常用于证明 闭子概形族局部有限。

引理

设 \(X\) 为局部 Noether 概形。设 \(Z \subset X\) 为闭子概形。 \(Z\) 的不可约分支族在 \(X\) 中局部有限。

证明

设 \(U \subset X\) 为拟紧开子概形。则 \(U\) 是 Noether 概形，因而其 底拓扑空间 Noether（《性质》引理 01OZ）。因此，每个子空间都 Noether，并且只有有限多个不可约分支（见《拓扑》引理 0052）。

回忆，若 \(Z\) 是概形 \(X\) 的不可约闭子集，则 \(Z\) 在 \(X\) 中的余维 等于局部环 \(\mathcal{O}_{X, \xi}\) 的维数，其中 \(\xi \in Z\) 是泛点。 见《性质》引理 02IZ。

定义

设 \(X\) 为局部 Noether 整概形。

1. 素除子是整闭子概形 \(Z \subset X\)，其余维为 \(1\)。

2. Weil 除子是形式和 \(D = \sum n_Z Z\)，其中求和遍历 \(X\) 的素除子，并且族 \(\{Z \mid n_Z \not = 0\}\) 局部有限 （《拓扑》定义 0BDS）。

\(X\) 上所有 Weil 除子组成的群记作 \(\text{Div}(X)\)。

下一步是定义与有理函数相伴的 Weil 除子。为此，使用有理函数沿 素除子的消失阶，其定义如下。

定义

设 \(X\) 为局部 Noether 整概形。设 \(f \in R(X)^*\)。 对每个素除子 \(Z \subset X\)，把\(f\) 沿 \(Z\) 的消失阶定义为整数 \[\text{ord}_Z(f) = \text{ord}_{\mathcal{O}_{X, \xi}}(f)\] 其中右端是《代数》定义 02MD 中的概念， 而 \(\xi\) 是 \(Z\) 的泛点。

注意，对 \(f, g \in R(X)^*\)，有 \[\text{ord}_Z(fg) = \text{ord}_Z(f) + \text{ord}_Z(g).\] 当然可能出现 \(\text{ord}_Z(f) < 0\)。在这种情形，称 \(f\) 沿 \(Z\) 有一个极点，并称 \(-\text{ord}_Z(f) > 0\) 为 \(f\) 沿 \(Z\) 的极点阶。务必注意，条件 \(\text{ord}_Z(f) \geq 0\) 与条件 \(f \in \mathcal{O}_{X, \xi}\) 并不等价，除非局部环 \(\mathcal{O}_{X, \xi}\) 是离散赋值环。

引理

设 \(X\) 为局部 Noether 整概形。设 \(f \in R(X)^*\)。则族 \[\{Z \subset X \mid Z\text{ a prime divisor with generic point }\xi \text{ 且 }f\text{ not in }\mathcal{O}_{X, \xi}\}\] 与族 \[\{Z \subset X \mid Z \text{ a prime divisor and }\text{ord}_Z(f) \not = 0\}\] 在 \(X\) 中局部有限。

证明

存在非空开子概形 \(U \subset X\)，使得 \(f\) 对应于 \(\Gamma(U, \mathcal{O}_X^*)\) 的一个截面。因此，引理中两个集合里 可能出现的素除子全都是 \(X \setminus U\) 的不可约分支。 于是引理 0BE1 给出所需结论。

该引理使下述定义有意义。

定义

设 \(X\) 为局部 Noether 整概形。设 \(f \in R(X)^*\)。 与 \(f\) 相伴的主 Weil 除子是 Weil 除子 \[\text{div}(f) = \text{div}_X(f) = \sum \text{ord}_Z(f) [Z]\] 其中求和遍历素除子，\(\text{ord}_Z(f)\) 如定义 02RJ 所述。由引理 02RL，这是有意义的。

引理

设 \(X\) 为局部 Noether 整概形。设 \(f, g \in R(X)^*\)。则 \[\text{div}_X(fg) = \text{div}_X(f) + \text{div}_X(g)\] 作为 \(X\) 上的 Weil 除子成立。

证明

这由 \(\text{ord}\) 函数的可加性立即得出。

由上引理可知，主 Weil 除子族构成全体 Weil 除子群的一个子群。 这引出下述定义。

定义

设 \(X\) 为局部 Noether 整概形。\(X\) 的Weil 除子类群是 Weil 除子群对主 Weil 除子子群的商。记作 \(\text{Cl}(X)\)。

由构造得到正合复形 [0BE5]\[\begin{equation} R(X)^* \xrightarrow{\text{div}} \text{Div}(X) \to \text{Cl}(X) \to 0 \end{equation}\] 可以把它看作 \(\text{Cl}(X)\) 的一个呈示。下一步将把 Weil 除子类群 与 Picard 群联系起来。

与可逆模相伴的 Weil 除子类

本节将完全沿用第 0BE0 节的步骤，为局部 Noether 整概形定义典范映射 \(\Pic(X) \to \text{Cl}(X)\)。

设 \(X\) 为概形。设 \(\mathcal{L}\) 为可逆 \(\mathcal{O}_X\)-模。 设 \(\xi \in X\) 为一点。若 \(s_\xi, s'_\xi \in \mathcal{L}_\xi\) 生成 \(\mathcal{L}_\xi\)（这里把它视为 \(\mathcal{O}_{X, \xi}\)-模），则存在单位 \(u \in \mathcal{O}_{X, \xi}^*\)，使得 \(s_\xi = u s'_\xi\)。亚纯截面层 \(\mathcal{K}_X(\mathcal{L})\) （即 \(\mathcal{L}\) 的亚纯截面层）在 \(x\) 处的茎等于 \(\mathcal{K}_{X, x} \otimes_{\mathcal{O}_{X, x}} \mathcal{L}_x\)。 因此，任意亚纯截面 \(s\)（取值于 \(\mathcal{L}\)）在 \(x\) 处茎中的像都可写成 \(s = fs_\xi\)，其中 \(f \in \mathcal{K}_{X, x}\)。下文将把这简写为 \(f = s/s_\xi\)。此外，若 \(X\) 整，则 \(\mathcal{K}_{X, x} = R(X)\) 等于 \(X\) 的函数域，所以 \(s/s_\xi \in R(X)\)。若 \(s\) 是正则亚纯截面，则事实上 \(s/s_\xi \in R(X)^*\)。在整概形上，正则亚纯截面恰好就是非零亚纯截面。 最后可知，\(s/s_\xi\) 不依赖于 \(s_\xi\) 的选择，至多相差局部环 \(\mathcal{O}_{X, x}\) 中一个单位的倍数。综合以上内容，下述定义有意义。

定义

设 \(X\) 为局部 Noether 整概形。设 \(\mathcal{L}\) 为可逆 \(\mathcal{O}_X\)-模。设 \(s \in \Gamma(X, \mathcal{K}_X(\mathcal{L}))\) 为 \(\mathcal{L}\) 的 正则亚纯截面。对每个素除子 \(Z \subset X\)，把 \(s\) 沿 \(Z\) 的消失阶定义为整数 \[\text{ord}_{Z, \mathcal{L}}(s) = \text{ord}_{\mathcal{O}_{X, \xi}}(s/s_\xi)\] 其中右端是《代数》定义 02MD 中的概念， \(\xi \in Z\) 是泛点，而 \(s_\xi \in \mathcal{L}_\xi\) 是一个生成元。

与主除子的情形一样，有下述引理。

引理

设 \(X\) 为局部 Noether 整概形。设 \(\mathcal{L}\) 为可逆 \(\mathcal{O}_X\)-模。设 \(s \in \mathcal{K}_X(\mathcal{L})\) 为 \(\mathcal{L}\) 的正则（即非零）亚纯截面。则集合 \[\{Z \subset X \mid Z \text{ a prime divisor with generic point }\xi \text{ 且 }s\text{ not in }\mathcal{L}_\xi\}\] 与集合 \[\{Z \subset X \mid Z \text{ is a prime divisor and } \text{ord}_{Z, \mathcal{L}}(s) \not = 0\}\] 在 \(X\) 中局部有限。

证明

存在非空开子概形 \(U \subset X\)，使得 \(s\) 对应于 \(\Gamma(U, \mathcal{L})\) 的一个截面，并且该截面生成 \(\mathcal{L}\) 在 \(U\) 上的限制。因此，引理中的集合里可能出现的素除子全都是 \(X \setminus U\) 的不可约分支。于是引理 0BE1 给出所需结论。

引理

设 \(X\) 为局部 Noether 整概形。设 \(\mathcal{L}\) 为可逆 \(\mathcal{O}_X\)-模。设 \(s, s' \in \mathcal{K}_X(\mathcal{L})\) 为 \(\mathcal{L}\) 的非零亚纯截面。则 \(f = s/s'\) 是 \(R(X)^*\) 的元素，并且 \[\sum \text{ord}_{Z, \mathcal{L}}(s)[Z] = \sum \text{ord}_{Z, \mathcal{L}}(s')[Z] + \text{div}(f)\] 作为 Weil 除子成立。

证明

这由定义立即得出。注意，引理 02SG 保证这些和确实是 Weil 除子。

定义

设 \(X\) 为局部 Noether 整概形。设 \(\mathcal{L}\) 为可逆 \(\mathcal{O}_X\)-模。

1. 对任意非零亚纯截面 \(s\)（取值于 \(\mathcal{L}\)），把 与 \(s\) 相伴的 Weil 除子定义为 \[\text{div}_\mathcal{L}(s) = \sum \text{ord}_{Z, \mathcal{L}}(s) [Z] \in \text{Div}(X)\] 其中求和遍历素除子。

2. 把与 \(\mathcal{L}\) 相伴的 Weil 除子类定义为 \(\text{div}_\mathcal{L}(s)\) 在 \(\text{Cl}(X)\) 中的像，其中 \(s\) 是 \(\mathcal{L}\) 在 \(X\) 上的任意非零亚纯截面。由引理 02SH，这是良定义的。

正如所料，该构造对可逆模可加。

引理

设 \(X\) 为局部 Noether 整概形。设 \(\mathcal{L}\)、\(\mathcal{N}\) 为可逆 \(\mathcal{O}_X\)-模。设 \(s\) 与 \(t\) 分别为 \(\mathcal{L}\) 与 \(\mathcal{N}\) 的非零亚纯截面。则 \(st\) 是 \(\mathcal{L} \otimes \mathcal{N}\) 的非零亚纯截面，并且 \[\text{div}_{\mathcal{L} \otimes \mathcal{N}}(st) = \text{div}_\mathcal{L}(s) + \text{div}_\mathcal{N}(t)\] 在 \(\text{Div}(X)\) 中成立。特别地， \(\mathcal{L} \otimes_{\mathcal{O}_X} \mathcal{N}\) 的 Weil 除子类等于 \(\mathcal{L}\) 与 \(\mathcal{N}\) 的 Weil 除子类之和。

证明

设 \(s\) 与 \(t\) 分别为 \(\mathcal{L}\) 与 \(\mathcal{N}\) 的非零亚纯截面。 则 \(st\) 是 \(\mathcal{L} \otimes \mathcal{N}\) 的非零亚纯截面。 设 \(Z \subset X\) 为素除子。设 \(\xi \in Z\) 为其泛点。选取生成元 \(s_\xi \in \mathcal{L}_\xi\) 与 \(t_\xi \in \mathcal{N}_\xi\)。则 \(s_\xi t_\xi\) 是 \((\mathcal{L} \otimes \mathcal{N})_\xi\) 的一个生成元。 所以 \(st/(s_\xi t_\xi) = (s/s_\xi)(t/t_\xi)\)。因而 \[\text{ord}_{Z, \mathcal{L} \otimes \mathcal{N}}(st) = \text{ord}_{Z, \mathcal{L}}(s) + \text{ord}_{Z, \mathcal{N}}(t)\] 这由 \(\text{ord}_Z\) 函数的可加性得出。

这样得到交换群的同态 [0BE7]\[\begin{equation} \Pic(X) \longrightarrow \text{Cl}(X) \end{equation}\] 它把可逆模映到其 Weil 除子类。

引理

设 \(X\) 为局部 Noether 整概形。若 \(X\) 正规，则映射 (0BE7) \(\Pic(X) \to \text{Cl}(X)\) 是单射。

证明

设 \(\mathcal{L}\) 为可逆 \(\mathcal{O}_X\)-模，并且其相伴的 Weil 除子类 平凡。设 \(s\) 为 \(\mathcal{L}\) 的正则亚纯截面。该假设意味着 \(\text{div}_\mathcal{L}(s) = \text{div}(f)\)，其中 \(f \in R(X)^*\)。于是 \(t = f^{-1}s\) 是 \(\mathcal{L}\) 的正则亚纯截面，且 \(\text{div}_\mathcal{L}(t) = 0\)，见引理 02SH。下面证明 \(t\) 给出 \(\mathcal{L}\) 的平凡化，从而完成引理的证明。 为此，可以在 \(X\) 上局部工作。因此，可以假设 \(X = \Spec(A)\) 仿射且 \(\mathcal{L}\) 平凡。于是 \(A\) 是 Noether 正规整环，而 \(t\) 是其分式域中的元素，并且满足 \(\text{ord}_{A_\mathfrak p}(t) = 0\)；所取素理想的高度为 \(1\)，记作 \(\mathfrak p\)，且它是 \(A\) 的素理想。目标是证明 \(t\) 是 \(A\) 的单位。 由于 \(A_\mathfrak p\) 对 \(A\) 的高度一素理想而言是离散赋值环 （《代数》引理 031S），所以该条件表示 \(t \in A_\mathfrak p^*\) 对所有素理想 \(\mathfrak p\)（高度为 \(1\)）均成立。 由《代数》引理 031T， 这蕴含 \(t \in A\) 且 \(t^{-1} \in A\)。证明完成。

引理

设 \(X\) 为局部 Noether 整概形。考察映射 (0BE7) \(\Pic(X) \to \text{Cl}(X)\)。下列条件等价：

1. \(X\) 的局部环都是 UFD；并且

2. \(X\) 正规，且 \(\Pic(X) \to \text{Cl}(X)\) 为满射。

在这种情形，\(\Pic(X) \to \text{Cl}(X)\) 是同构。

证明

若 (1) 成立，则由《代数》引理 0AFV， \(X\) 正规。因此，映射 (0BE7) 由引理 0BE8 可知为单射。此外，每个素除子 \(D \subset X\) 都由引理 0AGA 成为有效 Cartier 除子。在此情形， 典范截面 \(1_D\)（它是 \(\mathcal{O}_X(D)\) 的截面） （定义 01WX） 恰好沿 \(D\) 消失，可知 \(D\) 的类是 \(\mathcal{O}_X(D)\) 在映射 (0BE7) 下的像。因此，该映射也为满射。

假设 (2) 成立。选取素除子 \(D \subset X\)。由于 (0BE7) 为满射，存在可逆层 \(\mathcal{L}\)、正则亚纯截面 \(s\) 以及 \(f \in R(X)^*\)，使得 \(\text{div}_\mathcal{L}(s) + \text{div}(f) = [D]\)。换言之， \(\text{div}_\mathcal{L}(fs) = [D]\)。设 \(x \in X\)，并令 \(A = \mathcal{O}_{X, x}\)。则 \(A\) 是 Noether 局部正规整环，分式域为 \(K = R(X)\)。每个高度为 \(1\) 的素理想（在 \(A\) 中）都对应于 \(X\) 上的素除子， 而每个可逆 \(\mathcal{O}_X\)-模限制到 \(\Spec(A)\) 后都是平凡可逆模。 由此，对每个高度为 \(1\) 的素理想 \(\mathfrak p \subset A\)，存在元素 \(f \in K\)，使得 \(\text{ord}_{A_\mathfrak p}(f) = 1\)，且 \(\text{ord}_{A_{\mathfrak p'}}(f) = 0\) 对每个其他高度一素理想 \(\mathfrak p'\) 成立。于是由《代数》引理 031T， \(f \in A\)。同理可知，每个元素 \(g \in \mathfrak p\) 都可写成 \(g = af\)，其中 \(a \in A\)。因此，\(A\) 的每个高度一素理想都是主理想， 由《代数》引理 0AFT，\(A\) 是 UFD。

关于可逆模的进一步结果

本节讨论可逆模的一些性质。

引理

设 \(\varphi : X \to Y\) 为概形态射。设 \(\mathcal{L}\) 为可逆 \(\mathcal{O}_X\)-模。假设：

1. \(X\) 局部 Noether；

2. \(Y\) 局部 Noether、整且正规；

3. \(\varphi\) 平坦，且其纤维整（因而非空）；

4. \(\varphi\) 或拟紧，或局部有限型；

5. \(\mathcal{L}\) 限制到 \(\varphi\) 的泛纤维后平凡。

则 \(\mathcal{L} \cong \varphi^*\mathcal{N}\)，其中右端由某个可逆 \(\mathcal{O}_Y\)-模 \(\mathcal{N}\) 给出。

证明

设 \(\xi \in Y\) 为泛点。设 \(X_\xi\) 为 \(\varphi\) 在 \(\xi\) 上的概形论纤维。 用 \(\mathcal{L}_\xi\) 表示 \(\mathcal{L}\) 到 \(X_\xi\) 的拉回。假设 (5) 意味着 \(\mathcal{L}_\xi\) 平凡。选取平凡化截面 \(s \in \Gamma(X_\xi, \mathcal{L}_\xi)\)。由引理 0BCM，\(X\) 是整概形。因此可以把 \(s\) 看作 \(\mathcal{L}\) 的正则亚纯截面。由引理 02OU，亚纯函数沿 \(\varphi\) 的拉回有定义。令 \(\mathcal{N} \subset \mathcal{K}_Y\) 为如下 \(\mathcal{O}_Y\)-模：其在开集 \(V \subset Y\) 上的截面，是那些亚纯函数 \(g \in \mathcal{K}_Y(V)\)，它们满足 \(\varphi^*(g)s \in \mathcal{L}(\varphi^{-1}V)\)。先验地，\(\varphi^*(g)s\) 是 \(\mathcal{K}_X(\mathcal{L})\) 在 \(\varphi^{-1}V\) 上的截面。我们断言 \(\mathcal{N}\) 是可逆 \(\mathcal{O}_Y\)-模，并且映射 \[\varphi^*\mathcal{N} \longrightarrow \mathcal{L},\quad g \longmapsto gs\] 是同构。

先在下述情形证明该断言：\(X\) 与 \(Y\) 均仿射，且 \(\mathcal{L}\) 平凡。 记 \(Y = \Spec(R)\)、\(X = \Spec(A)\)，而 \(s\) 由元素 \(s \in A \otimes_R K\) 给出，其中 \(K\) 是 \(R\) 的分式域。可写 \(s = a/r\)，其中 \(r \in R\) 非零且 \(a \in A\)。由于 \(s\) 在泛纤维上生成 \(\mathcal{L}\)，存在 \(s' \in A \otimes_R K\)，使得 \(ss' = 1\)。所以 \(s = r'/a'\)，其中 \(r' \in R\) 非零且 \(a' \in A\)。设 \(\mathfrak p_1, \ldots, \mathfrak p_n \subset R\) 为包含 \(rr'\) 的极小素理想。 每个 \(R_{\mathfrak p_i}\) 都是离散赋值环（《代数》引理 00KV 与 031S）。由假设， \(\mathfrak q_i = \mathfrak p_i A\) 是素理想。因此 \(\mathfrak q_i A_{\mathfrak q_i}\) 由单个元素生成，进而 \(A_{\mathfrak q_i}\) 也是离散赋值环（《代数》引理 00PD）。当然， \(R_{\mathfrak p_i} \to A_{\mathfrak q_i}\) 的分歧指数为 \(1\)。设 \(e_i, e'_i \geq 0\) 分别为 \(a, a'\) 在 \(A_{\mathfrak q_i}\) 中的赋值。 则 \(e_i + e'_i\) 是 \(rr'\) 在 \(R_{\mathfrak p_i}\) 中的赋值。注意，由 《代数》引理 031T，在 \(R\) 中有 \[\mathfrak p_1^{(e_1 + e'_1)} \cap \ldots \cap \mathfrak p_i^{(e_n + e'_n)} = (rr')\] 令 \[I = \mathfrak p_1^{(e_1)} \cap \ldots \cap \mathfrak p_i^{(e_n)} \quad\text{且}\quad I' = \mathfrak p_1^{(e'_1)} \cap \ldots \cap \mathfrak p_i^{(e'_n)}\] 于是 \(II' \subset (rr')\)。注意，由《代数》引理 0BC0 与 0BBY，有 \[IA = (\mathfrak p_1^{(e_1)} \cap \ldots \cap \mathfrak p_i^{(e_n)})A = (\mathfrak p_1A)^{(e_1)} \cap \ldots \cap (\mathfrak p_i A)^{(e_n)}\] \(I'A\) 也同样如此。因此 \(a \in IA\) 且 \(a' \in I'A\)。由此， \(IA \otimes_A I'A \to rr'A\) 为满射。利用 \(R \to A\) 的忠实平坦性， \(I \otimes_R I' \to (rr')\) 也为满射。于是 \(II' = (rr')\)，并且 \(I\) 与 \(I'\) 都是秩为 \(1\) 的有限局部自由模，见《代数》引理 09ME。因此在 \(R\) 上 Zariski 局部地， 可写成 \(I = (g)\) 与 \(I' = (g')\)，其中 \(gg' = rr'\)。于是 \(a = ug\) 且 \(a' = u'g'\)，其中 \(u, u' \in A\)。由此可知 \(u, u'\) 都是单位。 所以在 \(R\) 上 Zariski 局部地，有 \(s = ug/r\)，该情形的断言得证。

设 \(y \in Y\) 为一点。选取 \(x \in X\)，使它映到 \(y\)。可以把上一段的结果 应用于 \(\Spec(\mathcal{O}_{X, x}) \to \Spec(\mathcal{O}_{Y, y})\)。 由此存在元素 \(g \in R(Y)^*\)；它在相差 \(\mathcal{O}_{Y, y}^*\) 中元素之乘法的意义下是良定义的，并且 \(\varphi^*(g)s\) 生成 \(\mathcal{L}_x\)。因而 \(\varphi^*(g)s\) 生成 \(\mathcal{L}\)；这在某个邻域 \(U\) 上成立，且 \(x\) 属于该邻域。设 \(x'\) 是位于 \(y\) 上方的另一个点，并设 \(g' \in R(Y)^*\) 使得 \(\varphi^*(g')s\) 生成 \(\mathcal{L}\)；这在某个开邻域 \(U'\) 上成立，且 \(x'\) 属于该邻域。由于纤维不可约，可以选取一点 \(x''\)，它位于 \(U \cap U' \cap \varphi^{-1}(\{y\})\) 中。由环映射 \(\mathcal{O}_{Y, y} \to \mathcal{O}_{X, x''}\) 所对应的唯一性，可知 \(g\) 与 \(g'\) 相差 \(\mathcal{O}_{Y, y}^*\) 中元素的乘法。因此可知 \(\varphi^*(g)s\) 生成 \(\mathcal{L}\)；这在 \(\varphi^{-1}(y)\) 的某个开邻域上成立。 令 \(Z \subset X\) 为如下点的集合：这些点 \(z \in X\) 满足 \(\varphi^*(g)s\) 不生成 \(\mathcal{L}_z\)。以上论证表明 \(Z\) 是闭集，且有 \(Z = \varphi^{-1}(T)\)，其中 \(T \subset Y\) 是某个子集，并且 \(y \not \in T\)。若能证明 \(T\) 为闭集，则 \(g\) 将生成 \(\mathcal{N}\)（作为 \(\mathcal{O}_Y\)-模）；这在开邻域 \(Y \setminus T\) 上成立，而该邻域包含 \(y\)，从而完成证明 （略去一些细节）。

若 \(\varphi\) 拟紧，则由《态射》引理 02JY，\(T\) 为闭集。若 \(\varphi\) 局部有限型，则由《态射》引理 01UA，\(\varphi\) 是开映射。于是 \(Y \setminus T\) 作为开集 \(X \setminus Z\) 的像是开集。