微分分次层 · Stacks

引言

本章继续《微分分次代数》第 09JE 节开始的讨论。一篇综述论文是 [Keller-survey]。

约定

本章继续采用如下约定：环是指有单位元 \(1\) 的交换环。若 \(R\) 是环，则\(R\)-代数 \(A\)是一个 \(R\)-模 \(A\)，连同一个 \(R\)-双线性映射 \(A \times A \to A\)（乘法），使得乘法结合且具有单位元。换言之，这是有单位元的结合 \(R\)-代数，并且结构映射 \(R \to A\) 的像位于 \(A\) 的中心中。

分次代数层

请跳过本节。

定义

设 \((\mathcal{C}, \mathcal{O})\) 是环化位点。\((\mathcal{C},\mathcal O)\) 上的分次 \(\mathcal{O}\)-代数层或分次代数层，由以 \(n \in \mathbf{Z}\) 为指标的一族 \(\mathcal{O}\)-模 \(\mathcal{A}^n\) 以及 \(\mathcal{O}\)-双线性映射 \[\mathcal{A}^n \times \mathcal{A}^m \to \mathcal{A}^{n + m},\quad (a, b) \longmapsto ab\] 给出；这些映射称为乘法映射，并满足下列性质：

乘法是结合的；以及

\(\mathcal{A}^0\) 有一个全局截面 \(1\)，它是乘法的双边单位元。

常把这样的结构记作 \(\mathcal{A}\)。一个分次 \(\mathcal{O}\)-代数同态 \(f : \mathcal{A} \to \mathcal{B}\)，是与乘法映射相容的一族 \(\mathcal{O}\)-模映射 \(f^n : \mathcal{A}^n \to \mathcal{B}^n\) 。

给定一个分次 \(\mathcal{O}\)-代数 \(\mathcal{A}\) 以及一个对象 \(U \in \Ob(\mathcal{C})\)，使用记号 \[\mathcal{A}(U) = \Gamma(U, \mathcal{A}) = \bigoplus\nolimits_{n \in \mathbf{Z}} \mathcal{A}^n(U)\] 这是一个分次 \(\mathcal{O}(U)\)-代数。

注

设 \((f, f^\sharp) : (\Sh(\mathcal{C}), \mathcal{O}_\mathcal{C}) \to (\Sh(\mathcal{D}), \mathcal{O}_\mathcal{D})\) 是环化拓扑斯的态射。则有：

设 \(\mathcal{A}\) 是分次 \(\mathcal{O}_\mathcal{C}\)-代数。 \(\mathcal{A}\) 的乘法映射诱导乘法映射 \(f_*\mathcal{A}^n \times f_*\mathcal{A}^m \to f_*\mathcal{A}^{n + m}\) ，并且经由 \(f^\sharp\)，可把它们看作 \(\mathcal{O}_\mathcal{D}\)-双线性映射。把由此得到的分次 \(\mathcal{O}_\mathcal{D}\)-代数记作 \(f_*\mathcal{A}\)。

设 \(\mathcal{B}\) 是分次 \(\mathcal{O}_\mathcal{D}\)-代数。 \(\mathcal{B}\) 的乘法映射诱导乘法映射 \(f^*\mathcal{B}^n \times f^*\mathcal{B}^m \to f^*\mathcal{B}^{n + m}\) ，并且利用 \(f^\sharp\)，可把它们看作 \(\mathcal{O}_\mathcal{C}\)-双线性映射。把由此得到的分次 \(\mathcal{O}_\mathcal{C}\)-代数记作 \(f^*\mathcal{B}\)。

分次 \(\mathcal{O}_\mathcal{C}\)-代数同态 \(f^*\mathcal{B} \to \mathcal{A}\) 的集合，与分次 \(\mathcal{O}_\mathcal{C}\)-代数同态 \(\mathcal{B} \to f_*\mathcal{A}\) 的集合一一对应。

第 (3) 部分立即由模层上的 \(f^*\) 与 \(f_*\) 之间通常的伴随得到。

分次模层

请跳过本节。

定义

设 \((\mathcal{C}, \mathcal{O})\) 是环化位点，\(\mathcal{A}\) 是 \((\mathcal{C}, \mathcal{O})\) 上的分次代数层。一个（右） 分次 \(\mathcal{A}\)-模，或 \(\mathcal{A}\) 上的（右） 分次模，由以 \(n \in \mathbf{Z}\) 为指标的一族 \(\mathcal{O}\)-模 \(\mathcal{M}^n\) 以及 \(\mathcal{O}\)-双线性映射 \[\mathcal{M}^n \times \mathcal{A}^m \to \mathcal{M}^{n + m},\quad (x, a) \longmapsto xa\] 给出；这些映射称为乘法映射，并满足下列性质：

乘法满足 \((xa)a' = x(aa')\)；

对每个 \(n\)，\(\mathcal{A}^0\) 的单位截面 \(1\) 在 \(\mathcal{M}^n\) 上的作用都是恒等作用。

我们常说“设 \(\mathcal{M}\) 是一个分次 \(\mathcal{A}\)-模”来表示上述情形。一个分次 \(\mathcal{A}\)-模同态 \(f : \mathcal{M} \to \mathcal{N}\)，是与乘法映射相容的一族 \(\mathcal{O}\)-模映射 \(f^n : \mathcal{M}^n \to \mathcal{N}^n\)。（右）分次 \(\mathcal{A}\)-模构成的范畴记作 \(\textit{Mod}(\mathcal{A})\)。

可以完全类似地定义左分次模，但本章默认所说的模都是右模。

给定一个分次 \(\mathcal{A}\)-模 \(\mathcal{M}\) 和一个对象 \(U \in \Ob(\mathcal{C})\)，我们使用记号 \[\mathcal{M}(U) = \Gamma(U, \mathcal{M}) = \bigoplus\nolimits_{n \in \mathbf{Z}} \mathcal{M}^n(U)\] 这是一个（右）分次 \(\mathcal{A}(U)\)-模。

引理

设 \((\mathcal{C}, \mathcal{O})\) 是环化位点，\(\mathcal{A}\) 是分次 \(\mathcal{O}\)-代数。范畴 \(\textit{Mod}(\mathcal{A})\) 是阿贝尔范畴，并具有下列性质：

\(\textit{Mod}(\mathcal{A})\) 有任意直和；

\(\textit{Mod}(\mathcal{A})\) 有任意余极限；

\(\textit{Mod}(\mathcal{A})\) 中的滤过余极限是正合的；

\(\textit{Mod}(\mathcal{A})\) 有任意积；

\(\textit{Mod}(\mathcal{A})\) 有任意极限。

函子 \[\textit{Mod}(\mathcal{A}) \longrightarrow \textit{Mod}(\mathcal{O}),\quad \mathcal{M} \longmapsto \mathcal{M}^n\] 把一个分次 \(\mathcal{A}\)-模映到其第 \(n\) 项；它与所有极限和余极限交换。

该引理说明，我们可以逐项取极限和余极限。它还说明（或者，如果你愿意，蕴含）遗忘函子 \[\textit{Mod}(\mathcal{A}) \longrightarrow \text{分次 }\mathcal{O}\text{-模}\] 与所有极限和余极限交换。

证明

把引理陈述中的函子记作 \(\text{gr}^n : \textit{Mod}(\mathcal{A}) \to \textit{Mod}(\mathcal{O})\) 。考虑分次 \(\mathcal{A}\)-模同态 \(f : \mathcal{M} \to \mathcal{N}\)。把 \(f\) 看成分次 \(\mathcal{O}\)-模映射时，它的核与余核还带有定义 0FQZ 中的乘法映射。因此，它们也是 \(\textit{Mod}(\mathcal{A})\) 中的核与余核。由此 \(\textit{Mod}(\mathcal{A})\) 是阿贝尔范畴，并且取核与余核和 \(\text{gr}^n\) 交换。

为了证明极限和余极限存在，只需证明积和直和存在；参见《范畴》引理 002N 和 002P。同样的引理还表明，只要 \(\text{gr}^n\) 与直和及积交换，就可推出它与极限及余极限交换。

设 \(\mathcal{M}_t\)（\(t \in T\)）是一族分次 \(\mathcal{A}\)-模。可以考虑这样一个分次 \(\mathcal{A}\)-模：其次数 \(n\) 项是 \(\bigoplus_{t \in T} \mathcal{M}_t^n\)（乘法映射是显然的）。读者容易验证，这是 \(\textit{Mod}(\mathcal{A})\) 中的直和。积的情形类似。

注意，对每个 \(n\)，\(\text{gr}^n\) 都是正合函子；而 \(\textit{Mod}(\mathcal{A})\) 中的复形 \(\mathcal{M}_1 \to \mathcal{M}_2 \to \mathcal{M}_3\) 正合，当且仅当 \(\text{gr}^n\mathcal{M}_1 \to \text{gr}^n\mathcal{M}_2 \to \text{gr}^n\mathcal{M}_3\) 对每个 \(n\) 都在 \(\textit{Mod}(\mathcal{O})\) 中正合。因此，由于 \(\textit{Mod}(\mathcal{O})\) 中的滤过余极限是正合的，我们得到 (3)；它是格罗滕迪克阿贝尔范畴，参见《位点上的上同调》第 07A5 节。

分次模层的分次范畴

请跳过本节。本节是《微分分次代数》例 09MN 的类似物。关于分次范畴的约定，请参见《微分分次代数》第 09L1 节。

设 \((\mathcal{C}, \mathcal{O})\) 是环化位点，\(\mathcal{A}\) 是 \((\mathcal{C}, \mathcal{O})\) 上的分次代数层。我们将构造 \(R = \Gamma(\mathcal{C}, \mathcal{O})\) 上的分次范畴 \(\textit{Mod}^{gr}(\mathcal{A})\)，使其对应范畴 \((\textit{Mod}^{gr}(\mathcal{A}))^0\) 是分次 \(\mathcal{A}\)-模范畴。取右分次 \(\mathcal{A}\)-模作为 \(\textit{Mod}^{gr}(\mathcal{A})\) 的对象（见第 0FQY 节）。给定分次 \(\mathcal{A}\)-模 \(\mathcal{L}\) 和 \(\mathcal{M}\)，置 \[\Hom_{\textit{Mod}^{gr}(\mathcal{A})}(\mathcal{L}, \mathcal{M}) = \bigoplus\nolimits_{n \in \mathbf{Z}} \Hom^n(\mathcal{L}, \mathcal{M})\] ，其中 \(\Hom^n(\mathcal{L}, \mathcal{M})\) 是次数 \(n\) 齐次的右 \(\mathcal{A}\)-模映射 \(f : \mathcal{L} \to \mathcal{M}\) 所成的集合。更确切地说，\(f\) 由对 \(i \in \mathbf{Z}\) 给出的一族映射 \(f : \mathcal{L}^i \to \mathcal{M}^{i + n}\) 组成，并与乘法映射相容。用分量表示， \[\Hom^n(\mathcal{L}, \mathcal{M}) \subset \prod\nolimits_{p + q = n} \Hom_\mathcal{O}(\mathcal{L}^{-q}, \mathcal{M}^p)\] （注意指标的反转）是由满足 \[f_{p, q}(m a) = f_{p - i, q + i}(m)a\] 的 \(f = (f_{p, q})\) 组成的子集；这里 \(a\) 是 \(\mathcal{A}^i\) 的局部截面，\(m\) 是 \(\mathcal{L}^{-q-i}\) 的局部截面。对分次 \(\mathcal{A}\)-模 \(\mathcal{K}\)、\(\mathcal{L}\)、 \(\mathcal{M}\)，通过映射 \[\Hom^m(\mathcal{L}, \mathcal{M}) \times \Hom^n(\mathcal{K}, \mathcal{L}) \longrightarrow \Hom^{n + m}(\mathcal{K}, \mathcal{M})\] 定义 \(\textit{Mod}^{gr}(\mathcal{A})\) 中的复合；它就是右 \(\mathcal{A}\)-模映射的通常复合：\((g,f)\mapsto g\circ f\)。

分次模层的张量积

请跳过本节。本节是《微分分次代数》第 09LL 节部分内容的类似物。

设 \((\mathcal{C}, \mathcal{O})\) 是环化位点，\(\mathcal{A}\) 是 \((\mathcal{C},\mathcal{O})\) 上的分次代数层。设 \(\mathcal{M}\) 是右分次 \(\mathcal{A}\)-模，\(\mathcal{N}\) 是左分次 \(\mathcal{A}\)-模。定义张量积 \(\mathcal{M} \otimes_\mathcal{A} \mathcal{N}\) 为这样的分次 \(\mathcal{O}\)-模：它的次数 \(n\) 项是 \[(\mathcal{M} \otimes_\mathcal{A} \mathcal{N})^n = \Coker\left( \bigoplus\nolimits_{r + s + t = n} \mathcal{M}^r \otimes_\mathcal{O} \mathcal{A}^s \otimes_\mathcal{O} \mathcal{N}^t \longrightarrow \bigoplus\nolimits_{p + q = n} \mathcal{M}^p \otimes_\mathcal{O} \mathcal{N}^q \right)\] ，其中该映射把 \(\mathcal{M}^r\otimes_\mathcal{O}\mathcal{A}^s \otimes_\mathcal{O}\mathcal{N}^t\) 的局部截面 \(x\otimes a\otimes y\) 映到 \(xa\otimes y-x\otimes ay\)。按此定义， \((\mathcal{M} \otimes_\mathcal{A} \mathcal{N})^n\) 是预层 \(U \mapsto (\mathcal{M}(U) \otimes_{\mathcal{A}(U)} \mathcal{N}(U))^n\) 的层化；这里分次模的张量积按《微分分次代数》第 09LL 节中的定义。

固定左分次 \(\mathcal{A}\)-模 \(\mathcal{N}\)，便得到函子 \[- \otimes_\mathcal{A} \mathcal{N} : \textit{Mod}(\mathcal{A}) \longrightarrow \text{Gr}(\textit{Mod}(\mathcal{O})) = \text{分次 }\mathcal{O}\text{-模}\] 关于记号 \(\text{Gr}(-)\)，请参见《同调代数》定义 0125。分次 \(\mathcal{O}\)-模的分次范畴记作 \(\text{Gr}^{gr}(\textit{Mod}(\mathcal{O}))\)；见《微分分次代数》例 09MM。上述函子可以提升为分次范畴之间的函子 \[- \otimes_\mathcal{A} \mathcal{N} : \textit{Mod}^{gr}(\mathcal{A}) \longrightarrow \text{Gr}^{gr}(\textit{Mod}(\mathcal{O}))\] ：把从 \(\mathcal{M}\) 到 \(\mathcal{M}'\) 的次数 \(n\) 同态映到从 \(\mathcal{M}\otimes_\mathcal{A}\mathcal{N}\) 到 \(\mathcal{M}'\otimes_\mathcal{A}\mathcal{N}\) 的诱导次数 \(n\) 映射。

分次模层的内 Hom

我们强烈建议读者跳过本节。

我们需要第 0FR1 节中构造的层化版本。设 \((\mathcal{C}, \mathcal{O})\)、\(\mathcal{A}\)、 \(\mathcal{M}\)、\(\mathcal{L}\) 如第 0FR1 节所述。定义 \[\SheafHom^{gr}_\mathcal{A}(\mathcal{M}, \mathcal{L})\] 为这样的分次 \(\mathcal{O}\)-模：其次数 \(n\) 项 \[\SheafHom^n_\mathcal{A}(\mathcal{M}, \mathcal{L}) \subset \prod\nolimits_{p + q = n} \SheafHom_\mathcal{O}(\mathcal{L}^{-q}, \mathcal{M}^p)\] 是由满足 \[f_{p, q}(m a) = f_{p - i, q + i}(m)a\] 的局部截面 \(f=(f_{p,q})\) 组成的子层；这里 \(a\) 是 \(\mathcal{A}^i\) 的局部截面，\(m\) 是 \(\mathcal{L}^{-q-i}\) 的局部截面。如同第 0FR1 节，有复合映射 \[\SheafHom^{gr}_\mathcal{A}(\mathcal{L}, \mathcal{M}) \otimes_\mathcal{O} \SheafHom^{gr}_\mathcal{A}(\mathcal{K}, \mathcal{L}) \longrightarrow \SheafHom^{gr}_\mathcal{A}(\mathcal{K}, \mathcal{M})\] ，其中左端是第 0FR2 节所定义的分次 \(\mathcal{O}\)-模张量积。该映射由复合映射 \[\SheafHom^m_\mathcal{A}(\mathcal{L}, \mathcal{M}) \otimes_\mathcal{O} \SheafHom^n_\mathcal{A}(\mathcal{K}, \mathcal{L}) \longrightarrow \SheafHom^{n + m}_\mathcal{A}(\mathcal{K}, \mathcal{M})\] 给出；后者（局部地）按通常复合定义。

按这些定义，有 \[\Hom_{\textit{Mod}^{gr}(\mathcal{A})}(\mathcal{L}, \mathcal{M}) = \Gamma(\mathcal{C}, \SheafHom^{gr}_\mathcal{A}(\mathcal{L}, \mathcal{M}))\] 作为分次 \(R\)-模的等式，并且它与复合相容。

分次双模层与张量–Hom 伴随

请跳过本节。

定义

设 \((\mathcal{C},\mathcal{O})\) 是环化位点，\(\mathcal{A}\) 和 \(\mathcal{B}\) 是 \((\mathcal{C},\mathcal{O})\) 上的分次代数层。一个分次 \((\mathcal{A},\mathcal{B})\)-双模，由以 \(n\in\mathbf{Z}\) 为指标的一族 \(\mathcal{O}\)-模 \(\mathcal{M}^n\) 以及 \(\mathcal{O}\)-双线性映射 \[\mathcal{M}^n \times \mathcal{B}^m \to \mathcal{M}^{n + m},\quad (x, b) \longmapsto xb\] 和 \[\mathcal{A}^n \times \mathcal{M}^m \to \mathcal{M}^{n + m},\quad (a, x) \longmapsto ax\] 给出；这些映射称为乘法映射，并满足下列性质：

乘法满足 \(a(a'x)=(aa')x\) 和 \((xb)b'=x(bb')\)；

\((ax)b = a(xb)\)；

\(\mathcal{A}^0\) 的单位截面 \(1\) 通过乘法作恒等作用；

\(\mathcal{B}^0\) 的单位截面 \(1\) 通过乘法作恒等作用。

我们常把这样的结构记作 \(\mathcal{M}\)。一个分次 \((\mathcal{A},\mathcal{B})\)-双模同态 \(f:\mathcal{M}\to\mathcal{N}\)，是与乘法映射相容的一族 \(\mathcal{O}\)-模映射 \(f^n:\mathcal{M}^n\to\mathcal{N}^n\)。

给定分次 \((\mathcal{A},\mathcal{B})\)-双模 \(\mathcal{M}\) 和对象 \(U\in\Ob(\mathcal{C})\)，我们使用记号 \[\mathcal{M}(U) = \Gamma(U, \mathcal{M}) = \bigoplus\nolimits_{n \in \mathbf{Z}} \mathcal{M}^n(U)\] 这是分次 \((\mathcal{A}(U),\mathcal{B}(U))\)-双模。

设 \((\mathcal{C},\mathcal{O})\) 是环化位点，\(\mathcal{A}\) 和 \(\mathcal{B}\) 是 \((\mathcal{C},\mathcal{O})\) 上的分次代数层。设 \(\mathcal{M}\) 是右分次 \(\mathcal{A}\)-模，\(\mathcal{N}\) 是分次 \((\mathcal{A},\mathcal{B})\)-双模。在这种情形下，第 0FR2 节定义的分次张量积 \[\mathcal{M} \otimes_\mathcal{A} \mathcal{N}\] 是右分次 \(\mathcal{B}\)-模，其乘法映射是显然的。该构造定义一个函子以及一个分次范畴之间的函子 \[\otimes_\mathcal{A} \mathcal{N} : \textit{Mod}(\mathcal{A}) \longrightarrow \textit{Mod}(\mathcal{B}) \quad\text{且}\quad \otimes_\mathcal{A} \mathcal{N} : \textit{Mod}^{gr}(\mathcal{A}) \longrightarrow \textit{Mod}^{gr}(\mathcal{B})\] ：把从 \(\mathcal{M}\) 到 \(\mathcal{M}'\) 的次数 \(n\) 同态映到从 \(\mathcal{M}\otimes_\mathcal{A}\mathcal{N}\) 到 \(\mathcal{M}'\otimes_\mathcal{A}\mathcal{N}\) 的诱导次数 \(n\) 映射。

设 \((\mathcal{C},\mathcal{O})\) 是环化位点，\(\mathcal{A}\) 和 \(\mathcal{B}\) 是 \((\mathcal{C},\mathcal{O})\) 上的分次代数层。设 \(\mathcal{N}\) 是分次 \((\mathcal{A},\mathcal{B})\)-双模， \(\mathcal{L}\) 是右分次 \(\mathcal{B}\)-模。在这种情形下，第 0FR3 节定义的分次内 Hom \[\SheafHom_\mathcal{B}^{gr}(\mathcal{N}, \mathcal{L})\] 是右分次 \(\mathcal{A}\)-模，其乘法映射为¹ \[\SheafHom^n_\mathcal{B}(\mathcal{N}, \mathcal{L}) \times \mathcal{A}^m \longrightarrow \SheafHom^{n + m}_\mathcal{B}(\mathcal{N}, \mathcal{L})\] ：它把 \(U\) 上 \(\SheafHom^n_\mathcal{B}(\mathcal{N},\mathcal{L})\) 的截面 \(f=(f_{p,q})\) 和 \(U\) 上 \(\mathcal{A}^m\) 的截面 \(a\)，映到 \(U\) 上 \(\SheafHom^{n+m}_\mathcal{B}(\mathcal{N},\mathcal{L})\) 的截面 \(fa\)；后者定义为映射族 \[\mathcal{N}^{-q - m}|_U \xrightarrow{a \cdot -} \mathcal{N}^{-q}|_U \xrightarrow{f_{p, q}} \mathcal{M}^p|_U\] 。略去其良定义性的验证。该构造定义一个函子以及一个分次范畴之间的函子 \[\SheafHom_\mathcal{B}^{gr}(\mathcal{N}, -) : \textit{Mod}(\mathcal{B}) \longrightarrow \textit{Mod}(\mathcal{A}) \quad\text{且}\quad \SheafHom_\mathcal{B}^{gr}(\mathcal{N}, -) : \textit{Mod}^{gr}(\mathcal{B}) \longrightarrow \textit{Mod}^{gr}(\mathcal{A})\] ：把从 \(\mathcal{L}\) 到 \(\mathcal{L}'\) 的次数 \(n\) 同态映到从 \(\SheafHom_\mathcal{B}^{gr}(\mathcal{N},\mathcal{L})\) 到 \(\SheafHom_\mathcal{B}^{gr}(\mathcal{N},\mathcal{L}')\) 的诱导次数 \(n\) 映射。

引理

设 \((\mathcal{C},\mathcal{O})\) 是环化位点，\(\mathcal{A}\) 和 \(\mathcal{B}\) 是 \((\mathcal{C},\mathcal{O})\) 上的分次代数层。设 \(\mathcal{M}\) 是右分次 \(\mathcal{A}\)-模，\(\mathcal{N}\) 是分次 \((\mathcal{A},\mathcal{B})\)-双模，\(\mathcal{L}\) 是右分次 \(\mathcal{B}\)-模。采用上述约定，有 \[\Hom_{\textit{Mod}^{gr}(\mathcal{B})}( \mathcal{M} \otimes_\mathcal{A} \mathcal{N}, \mathcal{L}) = \Hom_{\textit{Mod}^{gr}(\mathcal{A})}( \mathcal{M}, \SheafHom_\mathcal{B}^{gr}(\mathcal{N}, \mathcal{L}))\] 以及 \[\SheafHom_\mathcal{B}^{gr}( \mathcal{M} \otimes_\mathcal{A} \mathcal{N}, \mathcal{L}) = \SheafHom_\mathcal{A}^{gr}( \mathcal{M}, \SheafHom_\mathcal{B}^{gr}(\mathcal{N}, \mathcal{L}))\] ；这些等式关于 \(\mathcal{M}\)、\(\mathcal{N}\)、\(\mathcal{L}\) 都具有函子性。

证明

略。提示：把两端都解释为 \(\mathcal{A}\)-双线性的分次映射 \(\psi : \mathcal{M} \times \mathcal{N} \to \mathcal{L}\) 即可；这些映射在右侧关于 \(\mathcal{B}\) 是线性的。

设 \((\mathcal{C},\mathcal{O})\) 是环化位点，\(\mathcal{A}\) 和 \(\mathcal{B}\) 是 \((\mathcal{C},\mathcal{O})\) 上的分次代数层。作为上述情形的特例，设给定分次 \(\mathcal{O}\)-代数同态 \(\varphi:\mathcal{A}\to\mathcal{B}\)。于是得到一个函子和一个分次范畴之间的函子 \[\otimes_{\mathcal{A}, \varphi} \mathcal{B} : \textit{Mod}(\mathcal{A}) \longrightarrow \textit{Mod}(\mathcal{B}) \quad\text{且}\quad \otimes_{\mathcal{A}, \varphi} \mathcal{B} : \textit{Mod}^{gr}(\mathcal{A}) \longrightarrow \textit{Mod}^{gr}(\mathcal{B})\] 。另一方面，有限制标量函子 \[res_\varphi : \textit{Mod}(\mathcal{B}) \longrightarrow \textit{Mod}(\mathcal{A}) \quad\text{且}\quad res_\varphi : \textit{Mod}^{gr}(\mathcal{B}) \longrightarrow \textit{Mod}^{gr}(\mathcal{A})\] 。由上一引理可以证明这些函子彼此伴随（如限制标量与基变换的通常情形）。具体地，把 \(\mathcal{B}\) 视为分次 \((\mathcal{A},\mathcal{B})\)-双模时记作 \({}_\mathcal{A}\mathcal{B}_\mathcal{B}\)。则对任意右分次 \(\mathcal{B}\)-模 \(\mathcal{L}\)，有 \[\SheafHom_\mathcal{B}^{gr}({}_\mathcal{A}\mathcal{B}_\mathcal{B}, \mathcal{L}) = res_\varphi(\mathcal{L})\] 作为右分次 \(\mathcal{A}\)-模的等式。因此，引理 0FR6 给出函子性同构 \[\Hom_{\textit{Mod}^{gr}(\mathcal{B})}( \mathcal{M} \otimes_{\mathcal{A}, \varphi} \mathcal{B}, \mathcal{L}) = \Hom_{\textit{Mod}^{gr}(\mathcal{A})}( \mathcal{M}, res_\varphi(\mathcal{L}))\] 。若从上下文可知 \(\varphi\)，通常在此公式中省略对它的依赖。以同样方式得到分次 \(\mathcal{O}\)-模的等式 \[\SheafHom^{gr}_\mathcal{B}( \mathcal{M} \otimes_\mathcal{A} \mathcal{B}, \mathcal{L}) = \SheafHom_\mathcal{A}^{gr}(\mathcal{M}, \mathcal{L})\] 。

分次模层的拉回与直像

我们建议读者跳过本节。

设 \((f, f^\sharp) : (\Sh(\mathcal{C}), \mathcal{O}_\mathcal{C}) \to (\Sh(\mathcal{D}), \mathcal{O}_\mathcal{D})\) 是环化拓扑斯的态射。设 \(\mathcal{A}\) 是分次 \(\mathcal{O}_\mathcal{C}\)-代数，\(\mathcal{B}\) 是分次 \(\mathcal{O}_\mathcal{D}\)-代数。设给定分次 \(f^{-1}\mathcal{O}_\mathcal{D}\)-代数同态 \[\varphi : f^{-1}\mathcal{B} \to \mathcal{A}\] 。由限制标量与扩张标量的伴随，这等价于一个分次 \(\mathcal{O}_\mathcal{C}\)-代数同态 \(\varphi:f^*\mathcal{B}\to\mathcal{A}\)；也等价地，可以把 \(\varphi\) 看作分次 \(\mathcal{O}_\mathcal{D}\)-代数同态 \[\varphi : \mathcal{B} \to f_*\mathcal{A}\] 。参见评注 0FQX。

先定义函子 \[f_* : \textit{Mod}(\mathcal{A}) \longrightarrow \textit{Mod}(\mathcal{B})\] 。给定分次 \(\mathcal{A}\)-模 \(\mathcal{M}\)，定义 \(f_*\mathcal{M}\) 为这样的分次 \(\mathcal{B}\)-模：其次数 \(n\) 项是 \(f_*\mathcal{M}^n\)，乘法取为 \[f_*\mathcal{M}^n \times \mathcal{B}^m \xrightarrow{(\text{id}, \varphi^m)} f_*\mathcal{M}^n \times f_*\mathcal{A}^m \xrightarrow{f_*\mu_{n, m}} f_*\mathcal{M}^{n + m}\] ，其中 \(\mu_{n,m}:\mathcal{M}^n\times\mathcal{A}^m \to\mathcal{M}^{n+m}\) 是 \(\mathcal{M}\) 作为 \(\mathcal{A}\)-模的乘法映射。这里使用了 \(f_*\) 与积交换这一事实。该构造关于 \(\mathcal{M}\) 显然具有函子性，因而得到所需函子。

再定义函子 \[f^* : \textit{Mod}(\mathcal{B}) \longrightarrow \textit{Mod}(\mathcal{A})\] 为下列函子的复合： \[\textit{Mod}(\mathcal{B}) \xrightarrow{f^{-1}} \textit{Mod}(f^{-1}\mathcal{B}) \xrightarrow{ - \otimes_{f^{-1}\mathcal{B}} \mathcal{A}} \textit{Mod}(\mathcal{A})\] 首先，给定分次 \(\mathcal{B}\)-模 \(\mathcal{N}\)，定义 \(f^{-1}\mathcal{N}\) 为这样的分次 \(f^{-1}\mathcal{B}\)-模：其次数 \(n\) 项是 \(f^{-1}\mathcal{N}^n\)，乘法取为 \[f^{-1}\nu_{n, m} : f^{-1}\mathcal{N}^n \times f^{-1}\mathcal{B}^m \longrightarrow f^{-1}\mathcal{N}^{n + m}\] ，其中 \(\nu_{n,m}:\mathcal{N}^n\times\mathcal{B}^m \to\mathcal{N}^{n+m}\) 是 \(\mathcal{N}\) 作为 \(\mathcal{B}\)-模的乘法映射。这里使用了 \(f^{-1}\) 与积交换这一事实。该构造关于 \(\mathcal{N}\) 显然具有函子性，从而得到函子 \(f^{-1}\)。然后利用第 0FR4 节关于张量积的讨论，定义函子 \[- \otimes_{f^{-1}\mathcal{B}} \mathcal{A} : \textit{Mod}(f^{-1}\mathcal{B}) \longrightarrow \textit{Mod}(\mathcal{A})\] 。最后，如上所预示，置 \[f^*\mathcal{N} = f^{-1}\mathcal{N} \otimes_{f^{-1}\mathcal{B}, \varphi} \mathcal{A}\] 。

函子 \(f_*\) 和 \(f^*\) 很容易提升为分次范畴之间的函子 \[f_* : \textit{Mod}^{gr}(\mathcal{A}) \longrightarrow \textit{Mod}^{gr}(\mathcal{B}) \quad\text{且}\quad f^* : \textit{Mod}^{gr}(\mathcal{B}) \longrightarrow \textit{Mod}^{gr}(\mathcal{A})\] ；它们在底层对象上的作用不变，而在次数 \(n\) 的齐次态射上由上述构造的函子性定义。

引理

在上述情形下，有 \[\Hom_{\textit{Mod}^{gr}(\mathcal{B})}( \mathcal{N}, f_*\mathcal{M}) = \Hom_{\textit{Mod}^{gr}(\mathcal{A})}( f^*\mathcal{N}, \mathcal{M})\]

证明

略。提示：先利用阿贝尔群层上 \(f^{-1}\) 与 \(f_*\) 的伴随，证明 \(f^{-1}\) 与 \(f_*\) 作为 \(\textit{Mod}(\mathcal{B})\) 和 \(\textit{Mod}(f^{-1}\mathcal{B})\) 之间的函子彼此伴随。再使用第 0FR4 节给出的基变换与限制标量的伴随。

局部化与分次模层

我们建议读者跳过本节。

设 \((\mathcal{C},\mathcal{O})\) 是环化位点，\(U\in\Ob(\mathcal{C})\)。记 \[j : (\Sh(\mathcal{C}/U), \mathcal{O}_U) \longrightarrow (\Sh(\mathcal{C}), \mathcal{O})\] 为相应的局部化态射（《位点上的模》第 03DH 节）。下面将使用如下事实：对 \(\mathcal{O}_U\)-模 \(\mathcal{M}_i\)（\(i=1,2\)）和 \(\mathcal{O}\)-模 \(\mathcal{A}\)，有典范映射 \[j_! : \Hom_{\mathcal{O}_U}( \mathcal{M}_1 \otimes_{\mathcal{O}_U} \mathcal{A}|_U, \mathcal{M}_2) \longrightarrow \Hom_\mathcal{O}( j_!\mathcal{M}_1 \otimes_\mathcal{O} \mathcal{A}, j_!\mathcal{M}_2)\] 。事实上，由《位点上的模》引理 0E8I，有 \(j_!(\mathcal{M}_1 \otimes_{\mathcal{O}_U} \mathcal{A}|_U) = j_!\mathcal{M}_1 \otimes_\mathcal{O} \mathcal{A}\)。

设 \(\mathcal{A}\) 是分次 \(\mathcal{O}\)-代数。用 \(\mathcal{A}_U\) 表示 \(\mathcal{A}\) 在 \(\mathcal{C}/U\) 上的限制；换言之，\(\mathcal{A}_U=j^*\mathcal{A}=j^{-1}\mathcal{A}\)。第 0FR7 节已经构造伴随函子 \[j_* : \textit{Mod}^{gr}(\mathcal{A}_U) \longrightarrow \textit{Mod}^{gr}(\mathcal{A}) \quad\text{且}\quad j^* : \textit{Mod}^{gr}(\mathcal{A}) \longrightarrow \textit{Mod}^{gr}(\mathcal{A}_U)\] ，其中 \(j^*\) 是 \(j_*\) 的左伴随。我们断言，此外还有正合函子 \[j_! : \textit{Mod}^{gr}(\mathcal{A}_U) \longrightarrow \textit{Mod}^{gr}(\mathcal{A})\] ，它是 \(j^*\) 的左伴随。具体地，给定分次 \(\mathcal{A}_U\)-模 \(\mathcal{M}\)，定义 \(j_!\mathcal{M}\) 为这样的分次 \(\mathcal{A}\)-模：其次数 \(n\) 项为 \(j_!\mathcal{M}^n\)，乘法映射取为 \[j_!\mu_{n, m} : j_!\mathcal{M}^n \times \mathcal{A}^m \to j_!\mathcal{M}^{n + m}\] ，其中 \(\mu_{m,n}:\mathcal{M}^n\times\mathcal{A}^m \to\mathcal{M}^{n+m}\) 是给定的乘法映射。给定分次 \(\mathcal{A}_U\)-模之间次数 \(n\) 的齐次映射 \(f:\mathcal{M}\to\mathcal{M}'\)，得到次数 \(n\) 的齐次映射 \(j_!f:j_!\mathcal{M}\to j_!\mathcal{M}'\)。这样便得到所需函子。

引理

在上述情形下，有 \[\Hom_{\textit{Mod}^{gr}(\mathcal{A})}( j_!\mathcal{M}, \mathcal{N}) = \Hom_{\textit{Mod}^{gr}(\mathcal{A}_U)}( \mathcal{M}, j^*\mathcal{N})\]

证明

由《位点上的模》第 03DH 节的讨论， \(\mathcal{O}\)-模上的函子 \(j_!\) 与 \(j^*\) 彼此伴随。因此，若只看 \(\mathcal{O}\)-模结构，我们知道 \[\Hom_{\text{Gr}^{gr}(\textit{Mod}(\mathcal{O}))}( j_!\mathcal{M}, \mathcal{N}) = \Hom_{\text{Gr}^{gr}(\textit{Mod}(\mathcal{O}_U))}( \mathcal{M}, j^*\mathcal{N})\] （回忆，\(\text{Gr}^{gr}(\textit{Mod}(\mathcal{O}))\) 表示分次 \(\mathcal{O}\)-模的分次范畴）。还须检验这些等同把左端的 \(\mathcal{A}\)-模映射对应到右端的 \(\mathcal{A}_U\)-模映射。为此，设 \(\mathcal{O}_U\)-线性映射 \(f^n : \mathcal{M}^n \to j^*\mathcal{N}^{n + d}\) 对应于 \(\mathcal{O}\)-线性映射 \(g^n : j_!\mathcal{M}^n \to \mathcal{N}^{n + d}\) 。只需证明下图交换 \[\xymatrix{ \mathcal{M}^n \otimes_{\mathcal{O}_U} \mathcal{A}_U^m \ar[r]_{f^n \otimes 1} \ar[d] & j^*\mathcal{N}^{n + d} \otimes_{\mathcal{O}_U} \mathcal{A}_U^m \ar[d] \\ \mathcal{M}^{n + m} \ar[r]^{f^{n + m}} & j^*\mathcal{N}^{n + m + d} }\] 当且仅当下图交换： \[\xymatrix{ j_!\mathcal{M}^n \otimes_\mathcal{O} \mathcal{A}^m \ar[r]_{g^n \otimes 1} \ar[d] & \mathcal{N}^{n + d} \otimes_\mathcal{O} \mathcal{A}_U^m \ar[d] \\ j_!\mathcal{M}^{n + m} \ar[r]^{g^{n + m}} & \mathcal{N}^{n + m + d} }\] 不过，我们知道 \[\begin{align*} \Hom_{\mathcal{O}_U}(\mathcal{M}^n \otimes_{\mathcal{O}_U} \mathcal{A}_U^m, j^*\mathcal{N}^{n + d + m}) & = \Hom_\mathcal{O}(j_!(\mathcal{M}^n \otimes_{\mathcal{O}_U} \mathcal{A}_U^m), \mathcal{N}^{n + d + m}) \\ & = \Hom_\mathcal{O}(j_!\mathcal{M}^n \otimes_\mathcal{O} \mathcal{A}^m, \mathcal{N}^{n + d + m}) \end{align*}\] ，这由上面已经使用的《位点上的模》引理 0E8I 得到。略去如下验证：第一个群中第一幅图交换的障碍，映到最后一个群中第二幅图交换的障碍。

引理

在上述情形下，设 \(\mathcal{M}\) 是右分次 \(\mathcal{A}_U\)-模， \(\mathcal{N}\) 是左分次 \(\mathcal{A}\)-模。则 \[j_!\mathcal{M} \otimes_\mathcal{A} \mathcal{N} = j_!(\mathcal{M} \otimes_{\mathcal{A}_U} \mathcal{N}|_U)\] 作为分次 \(\mathcal{O}\)-模的等式，并且关于 \(\mathcal{M}\) 和 \(\mathcal{N}\) 具有函子性。

证明

回忆，\(j_!\mathcal{M}\otimes_\mathcal{A}\mathcal{N}\) 的次数 \(n\) 分量是下列典范映射的余核： \[\bigoplus\nolimits_{r + s + t = n} j_!\mathcal{M}^r \otimes_\mathcal{O} \mathcal{A}^s \otimes_\mathcal{O} \mathcal{N}^t \longrightarrow \bigoplus\nolimits_{p + q = n} j_!\mathcal{M}^p \otimes_\mathcal{O} \mathcal{N}^q\] 。参见第 0FR2 节。由《位点上的模》引理 0E8I，这等于下列映射的余核： \[\bigoplus\nolimits_{r + s + t = n} j_!(\mathcal{M}^r \otimes_{\mathcal{O}_U} \mathcal{A}^s|_U \otimes_{\mathcal{O}_U} \mathcal{N}^t|_U) \longrightarrow \bigoplus\nolimits_{p + q = n} j_!(\mathcal{M}^p \otimes_{\mathcal{O}_U} \mathcal{N}^q|_U)\] ，结论即得。另一种证明是重做上述引理证明中的米田论证。

分次模层上的平移函子

我们强烈建议读者跳过本节。分次代数上的分次模层正是《微分分次代数》评注 09P3 所讨论现象的一个例子。

设 \((\mathcal{C},\mathcal{O})\) 是环化位点，\(\mathcal{A}\) 是 \((\mathcal{C},\mathcal{O})\) 上的分次代数层，\(\mathcal{M}\) 是分次 \(\mathcal{A}\)-模，\(k\in\mathbf{Z}\)。定义 \(\mathcal{M}\) 的 第 \(k\) 次平移，记作 \(\mathcal{M}[k]\)，为这样的分次 \(\mathcal{A}\)-模：其第 \(n\) 个分次部分为 \[(\mathcal{M}[k])^n = \mathcal{M}^{n + k}\] ，即 \(\mathcal{M}\) 的第 \(n+k\) 个分次部分。它的乘法映射 \[(\mathcal{M}[k])^n \times \mathcal{A}^m \longrightarrow (\mathcal{M}[k])^{n + m}\] 直接取为 \(\mathcal{M}\) 的乘法映射 \[\mathcal{M}^{n + k} \times \mathcal{A}^m \longrightarrow \mathcal{M}^{n + m + k}\] 。显然，这定义了函子 \([k]\)，并且 \([k+l]=[k]\circ[l]\)，还有 \[\Hom_{\textit{Mod}^{gr}(\mathcal{A})}(\mathcal{L}, \mathcal{M}[k]) = \Hom_{\textit{Mod}^{gr}(\mathcal{A})}(\mathcal{L}, \mathcal{M})[k]\] （不引入符号），并且关于 \(\mathcal{M}\) 和 \(\mathcal{L}\) 具有函子性。因此，正如《微分分次代数》评注 09P3 所讨论的那样，分次 \(\mathcal{A}\)-模的分次范畴确实可以从分次 \(\mathcal{A}\)-模的通常范畴和平移函子恢复出来。

引理

设 \((\mathcal{C},\mathcal{O})\) 是环化位点，\(\mathcal{A}\) 是分次 \(\mathcal{O}\)-代数。范畴 \(\textit{Mod}(\mathcal{A})\) 是格罗滕迪克阿贝尔范畴。

证明

由引理 0FR0 以及格罗滕迪克阿贝尔范畴的定义（《单射对象》定义 079B），只须证明 \(\textit{Mod}(\mathcal{A})\) 有生成元。我们断言 \[\mathcal{G} = \bigoplus\nolimits_{k, U} j_{U!}\mathcal{A}_U[k]\] 是一个生成元，其中直和遍历 \(\mathcal{C}\) 的所有对象 \(U\) 和 \(k\in\mathbf{Z}\)。事实上，给定分次 \(\mathcal{A}\)-模 \(\mathcal{M}\)，若从 \(\mathcal{G}\) 到 \(\mathcal{M}\) 没有非零映射，则对所有 \(k\) 和 \(U\) 都有 \[\Hom_{\textit{Mod}(\mathcal{A})}(j_{U!}\mathcal{A}_U[k], \mathcal{M}) = \Hom_{\textit{Mod}(\mathcal{A}_U)}(\mathcal{A}_U[k], \mathcal{M}|_U) = \Gamma(U, \mathcal{M}^{-k})\] 等于零。因此 \(\mathcal{M}\) 为零。

微分分次代数层

本节是《微分分次代数》第 061U 节的类似物。

定义

设 \((\mathcal{C},\mathcal{O})\) 是环化位点。\((\mathcal{C},\mathcal{O})\) 上的微分分次 \(\mathcal{O}\)-代数层或微分分次代数层，是一个 \(\mathcal{O}\)-模上链复形 \(\mathcal{A}^\bullet\)，并带有 \(\mathcal{O}\)-双线性映射 \[\mathcal{A}^n \times \mathcal{A}^m \to \mathcal{A}^{n + m},\quad (a, b) \longmapsto ab\] ；这些映射称为乘法映射，并满足下列性质：

乘法是结合的；

\(\mathcal{A}^0\) 有一个全局截面 \(1\)，它是乘法的双边单位元；

对 \(U\in\Ob(\mathcal{C})\)、\(a\in\mathcal{A}^n(U)\) 和 \(b\in\mathcal{A}^m(U)\)，有 \[\text{d}^{n + m}(ab) = \text{d}^n(a)b + (-1)^n a\text{d}^m(b)\]

我们常把这样的结构记作 \((\mathcal{A},\text{d})\)。从 \((\mathcal{A},\text{d})\) 到 \((\mathcal{B},\text{d})\) 的 微分分次 \(\mathcal{O}\)-代数同态，是与乘法映射相容的 \(\mathcal{O}\)-模复形映射 \(f:\mathcal{A}^\bullet\to\mathcal{B}^\bullet\)。

给定微分分次 \(\mathcal{O}\)-代数 \((\mathcal{A},\text{d})\) 和对象 \(U\in\Ob(\mathcal{C})\)，我们使用记号 \[\mathcal{A}(U) = \Gamma(U, \mathcal{A}) = \bigoplus\nolimits_{n \in \mathbf{Z}} \mathcal{A}^n(U)\] 这是微分分次 \(\mathcal{O}(U)\)-代数。

我们将尽可能把微分分次 \(\mathcal{O}\)-代数 \((\mathcal{A},\text{d})\) 视为一个分次 \(\mathcal{O}\)-代数 \(\mathcal{A}\)，连同满足定义中莱布尼茨法则的次数 \(1\) 算子 \(\text{d}:\mathcal{A}\to\mathcal{A}\)（这里把 \(\mathcal{A}\) 视为分次 \(\mathcal{O}\)-模）。

注

设 \((f,f^\sharp):(\Sh(\mathcal{C}),\mathcal{O}_\mathcal{C}) \to (\Sh(\mathcal{D}), \mathcal{O}_\mathcal{D})\) 是环化拓扑斯的态射。

设 \((\mathcal{A},\text{d})\) 是微分分次 \(\mathcal{O}_\mathcal{C}\)-代数。其直像是微分分次 \(\mathcal{O}_\mathcal{D}\)-代数 \((f_*\mathcal{A},\text{d})\)，其中 \(f_*\mathcal{A}\) 如评注 0FQX 所述，而映射 \(f_*\mathcal{A}^n\to f_*\mathcal{A}^{n+1}\) 上的 \(\text{d}=f_*\text{d}\)。略去莱布尼茨法则成立的验证。

设 \(\mathcal{B}\) 是微分分次 \(\mathcal{O}_\mathcal{D}\)-代数。其拉回是微分分次 \(\mathcal{O}_\mathcal{C}\)-代数 \((f^*\mathcal{B},\text{d})\)，其中 \(f^*\mathcal{B}\) 如评注 0FQX 所述，而映射 \(f^*\mathcal{B}^n\to f^*\mathcal{B}^{n+1}\) 上的 \(\text{d}=f^*\text{d}\)。略去莱布尼茨法则成立的验证。

微分分次 \(\mathcal{O}_\mathcal{C}\)-代数同态 \(f^*\mathcal{B}\to\mathcal{A}\) 的集合，与微分分次 \(\mathcal{O}_\mathcal{D}\)-代数同态 \(\mathcal{B}\to f_*\mathcal{A}\) 的集合一一对应。

第 (3) 条立即由模层上的 \(f^*\) 与 \(f_*\) 之间通常的伴随得到。

微分分次模层

本节是《微分分次代数》第 09JH 节的类似物。

定义

设 \((\mathcal{C},\mathcal{O})\) 是环化位点， \((\mathcal{A},\text{d})\) 是 \((\mathcal{C},\mathcal{O})\) 上的微分分次代数层。一个（右）微分分次 \(\mathcal{A}\)-模，或 \(\mathcal{A}\) 上的（右）微分分次模，是一个上链复形 \(\mathcal{M}^\bullet\)，并带有 \(\mathcal{O}\)-双线性映射 \[\mathcal{M}^n \times \mathcal{A}^m \to \mathcal{M}^{n + m},\quad (x, a) \longmapsto xa\] ；这些映射称为乘法映射，并满足下列性质：

乘法满足 \((xa)a'=x(aa')\)；

对每个 \(n\)，\(\mathcal{A}^0\) 的单位截面 \(1\) 在 \(\mathcal{M}^n\) 上作恒等作用；

对 \(U\in\Ob(\mathcal{C})\)、\(x\in\mathcal{M}^n(U)\) 和 \(a\in\mathcal{A}^m(U)\)，有 \[\text{d}^{n + m}(xa) = \text{d}^n(x)a + (-1)^n x\text{d}^m(a)\]

我们常说“设 \(\mathcal{M}\) 是微分分次 \(\mathcal{A}\)-模”来表示上述情形。从 \(\mathcal{M}\) 到 \(\mathcal{N}\) 的 微分分次 \(\mathcal{A}\)-模同态，是与乘法映射相容的 \(\mathcal{O}\)-模复形映射 \(f:\mathcal{M}^\bullet\to\mathcal{N}^\bullet\)。（右）微分分次 \(\mathcal{A}\)-模构成的范畴记作 \(\textit{Mod}(\mathcal{A},\text{d})\)。

可以完全类似地定义左微分分次模，但本章默认所说的模都是右模。

给定微分分次 \(\mathcal{A}\)-模 \(\mathcal{M}\) 和对象 \(U\in\Ob(\mathcal{C})\)，我们使用记号 \[\mathcal{M}(U) = \Gamma(U, \mathcal{M}) = \bigoplus\nolimits_{n \in \mathbf{Z}} \mathcal{M}^n(U)\] 这是一个（右）微分分次 \(\mathcal{A}(U)\)-模。

引理

设 \((\mathcal{C},\mathcal{O})\) 是环化位点， \((\mathcal{A},\text{d})\) 是微分分次 \(\mathcal{O}\)-代数。范畴 \(\textit{Mod}(\mathcal{A},\text{d})\) 是阿贝尔范畴，并具有下列性质：

\(\textit{Mod}(\mathcal{A},\text{d})\) 有任意直和；

\(\textit{Mod}(\mathcal{A},\text{d})\) 有任意余极限；

\(\textit{Mod}(\mathcal{A},\text{d})\) 中的滤过余极限是正合的；

\(\textit{Mod}(\mathcal{A},\text{d})\) 有任意积；

\(\textit{Mod}(\mathcal{A},\text{d})\) 有任意极限。

遗忘函子 \[\textit{Mod}(\mathcal{A}, \text{d}) \longrightarrow \textit{Mod}(\mathcal{A})\] 把微分分次 \(\mathcal{A}\)-模映到其底层分次模；它与所有极限和余极限交换。

证明

把引理陈述中的函子记作 \(F : \textit{Mod}(\mathcal{A}, \text{d}) \to \textit{Mod}(\mathcal{A})\) 。注意，范畴 \(\textit{Mod}(\mathcal{A})\) 具有性质 (1)–(5)；见引理 0FR0。

考虑分次 \(\mathcal{A}\)-模同态 \(f:\mathcal{M}\to\mathcal{N}\)。把 \(f\) 看成分次 \(\mathcal{A}\)-模映射时，其核与余核还带有定义 0FRI 中的微分。因此，它们也是 \(\textit{Mod}(\mathcal{A},\text{d})\) 中的核与余核。由此 \(\textit{Mod}(\mathcal{A},\text{d})\) 是阿贝尔范畴，并且取核与余核和 \(F\) 交换。

为了证明极限和余极限存在，只须证明积和直和存在；参见《范畴》引理 002N 和 002P。同样的引理表明，只要 \(F\) 与直和及积交换，就可推出它与极限及余极限交换。

设 \(\mathcal{M}_t\)（\(t\in T\)）是一族微分分次 \(\mathcal{A}\)-模。把直和 \(\bigoplus\mathcal{M}_t\) 看成分次 \(\mathcal{A}\)-模。由于分次模的直和是逐项作出的，显然 \(\bigoplus\mathcal{M}_t\) 带有微分。读者容易验证，这是 \(\textit{Mod}(\mathcal{A},\text{d})\) 中的直和。积的情形类似。

注意 \(F\) 是正合函子，并且 \(\textit{Mod}(\mathcal{A},\text{d})\) 中的复形 \(\mathcal{M}_1\to\mathcal{M}_2\to\mathcal{M}_3\) 正合，当且仅当 \(F(\mathcal{M}_1) \to F(\mathcal{M}_2) \to F(\mathcal{M}_3)\) 在 \(\textit{Mod}(\mathcal{A})\) 中正合。由于 \(\textit{Mod}(\mathcal{A})\) 中的滤过余极限正合，由此得到 (3)。

结合引理 0FRJ 和 0FR0，得到阿贝尔范畴之间的正合忠实函子 \[\textit{Mod}(\mathcal{A}, \text{d}) \longrightarrow \text{Comp}(\mathcal{O})\] 。对微分分次 \(\mathcal{A}\)-模 \(\mathcal{M}\)，定义其上同调 \(\mathcal{O}\)-模 \(H^i(\mathcal{M})\) 为与 \(\mathcal{M}\) 对应的 \(\mathcal{O}\)-模复形的上同调。因此，微分分次 \(\mathcal{A}\)-模的短正合列 \(0 \to \mathcal{K} \to \mathcal{L} \to \mathcal{M} \to 0\) 给出上同调模的长正合列 [0FRK]\[\begin{equation} H^n(\mathcal{K}) \to H^n(\mathcal{L}) \to H^n(\mathcal{M}) \to H^{n + 1}(\mathcal{K}) \end{equation}\] ；见《同调代数》引理 0117。

此外，从现在起沿用模复形的全部术语。例如，若对所有 \(k\in\mathbf{Z}\) 都有 \(H^k(\mathcal{M})=0\)，则称微分分次 \(\mathcal{A}\)-模 \(\mathcal{M}\) 是无环的。若微分分次 \(\mathcal{A}\)-模同态 \(\mathcal{M}\to\mathcal{N}\) 对所有 \(k\in\mathbf{Z}\) 都诱导同构 \(H^k(\mathcal{M})\to H^k(\mathcal{N})\)，则称它为拟同构。其余依此类推。

模的微分分次范畴

本节是《微分分次代数》例 09LC 的类似物。关于微分分次范畴的约定，请参见《微分分次代数》第 09L4 节。

设 \((\mathcal{C},\mathcal{O})\) 是环化位点， \((\mathcal{A},\text{d})\) 是 \((\mathcal{C},\mathcal{O})\) 上的微分分次代数层。我们将构造微分分次范畴 \[\textit{Mod}^{dg}(\mathcal{A}, \text{d})\] ，它在 \(R=\Gamma(\mathcal{C},\mathcal{O})\) 上，且其对应的复形范畴是微分分次 \(\mathcal{A}\)-模范畴： \[\textit{Mod}(\mathcal{A}, \text{d}) = \text{Comp}(\textit{Mod}^{dg}(\mathcal{A}, \text{d}))\] 。取右微分分次 \(\mathcal{A}\)-模作为 \(\textit{Mod}^{dg}(\mathcal{A},\text{d})\) 的对象；见第 0FRH 节。给定微分分次 \(\mathcal{A}\)-模 \(\mathcal{L}\) 和 \(\mathcal{M}\)，置 \[\Hom_{\textit{Mod}^{dg}(\mathcal{A}, \text{d})}(\mathcal{L}, \mathcal{M}) = \Hom_{\textit{Mod}^{gr}(\mathcal{A})}(\mathcal{L}, \mathcal{M}) = \bigoplus\nolimits_{n \in \mathbf{Z}} \Hom^n(\mathcal{L}, \mathcal{M})\] ，把它作为分次 \(R\)-模；见第 0FR1 节。换言之，第 \(n\) 个分次部分 \(\Hom^n(\mathcal{L},\mathcal{M})\) 是次数 \(n\) 齐次的右 \(\mathcal{A}\)-模映射所成的 \(R\)-模。对元素 \(f\in\Hom^n(\mathcal{L},\mathcal{M})\)，置 \[\text{d}(f) = \text{d}_\mathcal{M} \circ f - (-1)^n f \circ \text{d}_\mathcal{L}\] 。为使此式有意义，把 \(\text{d}_\mathcal{M}\) 和 \(\text{d}_\mathcal{L}\) 看成分次 \(\mathcal{O}\)-模映射，并使用分次 \(\mathcal{O}\)-模映射的复合。显然，\(\text{d}(f)\) 作为分次 \(\mathcal{O}\)-模映射是次数 \(n+1\) 齐次的，并且关于 \(\mathcal{A}\) 是线性的，因为对 \(\mathcal{M}\) 和 \(\mathcal{A}\) 的齐次局部截面 \(x\) 和 \(a\)，有 \[\begin{align*} \text{d}(f)(xa) & = \text{d}_\mathcal{M}(f(x) a) - (-1)^n f (\text{d}_\mathcal{L}(xa)) \\ & = \text{d}_\mathcal{M}(f(x)) a + (-1)^{\deg(x) + n} f(x) \text{d}(a) - (-1)^n f(\text{d}_\mathcal{L}(x)) a - (-1)^{n + \deg(x)} f(x) \text{d}(a) \\ & = \text{d}(f)(x) a \end{align*}\] ，如所需（注意，若 \(\Hom\) 上的微分定义中没有该符号，这一计算便不成立）。

对微分分次 \(\mathcal{A}\)-模 \(\mathcal{K}\)、\(\mathcal{L}\)、 \(\mathcal{M}\)，第 0FR1 节已经通过层映射的通常复合定义了复合 \[\Hom^m(\mathcal{L}, \mathcal{M}) \times \Hom^n(\mathcal{K}, \mathcal{L}) \longrightarrow \Hom^{n + m}(\mathcal{K}, \mathcal{M})\] 。这定义微分分次模之间的映射 \[\Hom_{\textit{Mod}^{dg}(\mathcal{A}, \text{d})}(\mathcal{L}, \mathcal{M}) \otimes_R \Hom_{\textit{Mod}^{dg}(\mathcal{A}, \text{d})}(\mathcal{K}, \mathcal{L}) \longrightarrow \Hom_{\textit{Mod}^{dg}(\mathcal{A}, \text{d})}(\mathcal{K}, \mathcal{M})\] ，如《微分分次代数》定义 09L5 所要求，因为 \[\begin{align*} \text{d}(g \circ f) & = \text{d}_\mathcal{M} \circ g \circ f - (-1)^{n + m} g \circ f \circ \text{d}_\mathcal{K} \\ & = \left(\text{d}_\mathcal{M} \circ g - (-1)^m g \circ \text{d}_L\right) \circ f + (-1)^m g \circ \left(\text{d}_\mathcal{L} \circ f - (-1)^n f \circ \text{d}_\mathcal{K}\right) \\ & = \text{d}(g) \circ f + (-1)^m g \circ \text{d}(f) \end{align*}\] ，这里 \(f\) 的次数为 \(n\)，\(g\) 的次数为 \(m\)，正如所需。

微分分次模层的张量积

本节是《微分分次代数》第 09LL 节部分内容的类似物。

设 \((\mathcal{C},\mathcal{O})\) 是环化位点， \((\mathcal{A},\text{d})\) 是 \((\mathcal{C},\mathcal{O})\) 上的微分分次代数层。设 \(\mathcal{M}\) 是右微分分次 \(\mathcal{A}\)-模， \(\mathcal{N}\) 是左微分分次 \(\mathcal{A}\)-模。在这种情形下，如下定义张量积 \(\mathcal{M}\otimes_\mathcal{A}\mathcal{N}\)。作为分次 \(\mathcal{O}\)-模，它由第 0FR2 节的构造给出，并带有微分 \[\text{d}_{\mathcal{M} \otimes_\mathcal{A} \mathcal{N}} : (\mathcal{M} \otimes_\mathcal{A} \mathcal{N})^n \longrightarrow (\mathcal{M} \otimes_\mathcal{A} \mathcal{N})^{n + 1}\] ，其定义规则为 \[\text{d}_{\mathcal{M} \otimes_\mathcal{A} \mathcal{N}}(x \otimes y) = \text{d}_\mathcal{M}(x) \otimes y + (-1)^{\deg(x)}x \otimes \text{d}_\mathcal{N}(y)\] ，其中 \(x\) 和 \(y\) 分别是 \(\mathcal{M}\) 和 \(\mathcal{N}\) 的齐次局部截面。为了看出其良定义性，必须证明 \(\text{d}_{\mathcal{M}\otimes_\mathcal{A}\mathcal{N}}\) 把形如 \(xa\otimes y-x\otimes ay\) 的元素映到零；这里 \(x\)、\(a\)、\(y\) 分别是 \(\mathcal{M}\)、\(\mathcal{A}\)、\(\mathcal{N}\) 的齐次局部截面。计算得 \[\begin{align*} & \text{d}_{\mathcal{M} \otimes_\mathcal{A} \mathcal{N}}( xa \otimes y - x \otimes ay) \\ & = \text{d}_\mathcal{M}(xa) \otimes y + (-1)^{\deg(x) + \deg(a)} xa \otimes \text{d}_\mathcal{N}(y) -\text{d}_\mathcal{M}(x) \otimes ay - (-1)^{\deg(x)} x \otimes \text{d}_\mathcal{N}(ay) \\ & = \text{d}_\mathcal{M}(x)a \otimes y + (-1)^{\deg(x)}x\text{d}(a) \otimes y + (-1)^{\deg(x) + \deg(a)} xa \otimes \text{d}_\mathcal{N}(y) \\ & -\text{d}_\mathcal{M}(x) \otimes ay - (-1)^{\deg(x)} x \otimes \text{d}(a)y - (-1)^{\deg(x) + \deg(a)} x\otimes a\text{d}_\mathcal{N}(y) \end{align*}\] 。注意下列元素 \[\text{d}_\mathcal{M}(x)a \otimes y - \text{d}_\mathcal{M}(x) \otimes ay,\quad x\text{d}(a) \otimes y - x \otimes \text{d}(a)y,\quad \text{且}\quad xa \otimes \text{d}_\mathcal{N}(y) - x\otimes a\text{d}_\mathcal{N}(y)\] 在 \(\mathcal{M}\otimes_\mathcal{A}\mathcal{N}\) 中都映到零，故得结论。略去下式的验证： \(\text{d}_{\mathcal{M} \otimes_\mathcal{A} \mathcal{N}} \circ \text{d}_{\mathcal{M} \otimes_\mathcal{A} \mathcal{N}} = 0\).

固定左微分分次 \(\mathcal{A}\)-模 \(\mathcal{N}\)，便得到函子 \[- \otimes_\mathcal{A} \mathcal{N} : \textit{Mod}(\mathcal{A}, \text{d}) \longrightarrow \text{Comp}(\mathcal{O})\] ，其右端是 \(\mathcal{O}\)-模复形范畴。它可以提升为微分分次范畴之间的函子 \[- \otimes_\mathcal{A} \mathcal{N} : \textit{Mod}^{dg}(\mathcal{A}, \text{d}) \longrightarrow \text{Comp}^{dg}(\mathcal{O})\] 。在底层分次对象上，把次数 \(n\) 的同态 \(f:\mathcal{M}\to\mathcal{M}'\) 映到次数 \(n\) 的映射 \(f \otimes \text{id}_\mathcal{N} : \mathcal{M} \otimes_\mathcal{A} \mathcal{N} \to \mathcal{M}' \otimes_\mathcal{A} \mathcal{N}\)，因为这正是第 0FR2 节中的做法。为证明该构造成立，必须验证映射 \[\Hom_{\textit{Mod}^{dg}(\mathcal{A}, \text{d})}(\mathcal{M}, \mathcal{M}') \longrightarrow \Hom_{\text{Comp}^{dg}(\mathcal{O})}( \mathcal{M} \otimes_\mathcal{A} \mathcal{N}, \mathcal{M}' \otimes_\mathcal{A} \mathcal{N})\] 与微分相容。对上述 \(f\)，须证明 \[(\text{d}_{\mathcal{M}'} \circ f - (-1)^n f \circ \text{d}_\mathcal{M}) \otimes \text{id}_\mathcal{N}\] 等于 \[\text{d}_{\mathcal{M}' \otimes_\mathcal{A} \mathcal{N}} \circ (f \otimes \text{id}_\mathcal{N}) - (-1)^n (f \otimes \text{id}_\mathcal{N}) \circ \text{d}_{\mathcal{M} \otimes_\mathcal{A} \mathcal{N}}\] 。计算这些算子在形如 \(x\otimes y\) 的局部截面上的作用，其中 \(x\) 和 \(y\) 分别是 \(\mathcal{M}\) 和 \(\mathcal{N}\) 的齐次局部截面。第一个算子给出 \[(\text{d}_{\mathcal{M}'}(f(x)) - (-1)^n f(\text{d}_\mathcal{M}(x))) \otimes y\] ，第二个算子给出 \[\begin{align*} &\text{d}_{\mathcal{M}' \otimes_\mathcal{A} \mathcal{N}}(f(x) \otimes y) - (-1)^n (f \otimes \text{id}_\mathcal{N})( \text{d}_{\mathcal{M} \otimes_\mathcal{A} \mathcal{N}}(x \otimes y) \\ & = \text{d}_{\mathcal{M}'}(f(x)) \otimes y + (-1)^{\deg(x) + n}f(x) \otimes \text{d}_\mathcal{N}(y) \\ & -(-1)^n f(\text{d}_\mathcal{M}(x)) \otimes y -(-1)^n (-1)^{\deg(x)}f(x) \otimes \text{d}_\mathcal{N}(y) \end{align*}\] ，这确实是同一个局部截面。

微分分次模层的内 Hom

我们需要第 0FRL 节中构造的层化版本。设 \((\mathcal{C},\mathcal{O})\)、\(\mathcal{A}\)、 \(\mathcal{M}\)、\(\mathcal{L}\) 如第 0FRL 节所述。定义 \[\SheafHom^{dg}_\mathcal{A}(\mathcal{M}, \mathcal{L}) = \SheafHom^{gr}_\mathcal{A}(\mathcal{M}, \mathcal{L}) = \bigoplus\nolimits_{n \in \mathbf{Z}} \SheafHom^n_\mathcal{A}(\mathcal{M}, \mathcal{L})\] 为分次 \(\mathcal{O}\)-模；见第 0FR3 节。换言之，\(U\) 上第 \(n\) 个分次部分 \(\SheafHom^n_\mathcal{A}(\mathcal{L},\mathcal{M})\) 的截面 \(f\)，是次数 \(n\) 齐次的右 \(\mathcal{A}_U\)-模映射 \(\mathcal{L}|_U\to\mathcal{M}|_U\)。对这样的 \(f\)，置 \[\text{d}(f) = \text{d}_\mathcal{M}|_U \circ f - (-1)^n f \circ \text{d}_\mathcal{L}|_U\] 。为使此式有意义，把 \(\text{d}_\mathcal{M}|_U\) 和 \(\text{d}_\mathcal{L}|_U\) 看成分次 \(\mathcal{O}_U\)-模映射，并使用分次 \(\mathcal{O}_U\)-模映射的复合。显然， \(\text{d}(f)\) 作为分次 \(\mathcal{O}_U\)-模映射是次数 \(n+1\) 齐次的。使用与第 0FRL 节完全相同的计算，可见 \(\text{d}(f)\) 关于 \(\mathcal{A}_U\) 是线性的。

如同第 0FRL 节，有复合映射 \[\SheafHom^{dg}_\mathcal{A}(\mathcal{L}, \mathcal{M}) \otimes_\mathcal{O} \SheafHom^{dg}_\mathcal{A}(\mathcal{K}, \mathcal{L}) \longrightarrow \SheafHom^{dg}_\mathcal{A}(\mathcal{K}, \mathcal{M})\] ，其中左端是第 0FRM 节定义的微分分次 \(\mathcal{O}\)-模张量积。该映射由复合映射 \[\SheafHom^m(\mathcal{L}, \mathcal{M}) \otimes_\mathcal{O} \SheafHom^n(\mathcal{K}, \mathcal{L}) \longrightarrow \SheafHom^{n + m}(\mathcal{K}, \mathcal{M})\] 给出；后者（局部地）按通常复合定义。在局部截面上使用与第 0FRL 节完全相同的计算，可见该复合映射是微分分次 \(\mathcal{O}\)-模同态。

按这些定义，有 \[\Hom_{\textit{Mod}^{dg}(\mathcal{A})}(\mathcal{L}, \mathcal{M}) = \Gamma(\mathcal{C}, \SheafHom^{dg}_\mathcal{A}(\mathcal{L}, \mathcal{M}))\] 作为分次 \(R\)-模的等式，并且它与复合相容。

微分分次双模层与张量–Hom 伴随

本节是《微分分次代数》第 09LL 节部分内容的类似物。

定义

设 \((\mathcal{C},\mathcal{O})\) 是环化位点，\(\mathcal{A}\) 和 \(\mathcal{B}\) 是 \((\mathcal{C},\mathcal{O})\) 上的微分分次代数层。一个微分分次 \((\mathcal{A},\mathcal{B})\)-双模，由 \(\mathcal{O}\)-模复形 \(\mathcal{M}^\bullet\) 以及 \(\mathcal{O}\)-双线性映射 \[\mathcal{M}^n \times \mathcal{B}^m \to \mathcal{M}^{n + m},\quad (x, b) \longmapsto xb\] 和 \[\mathcal{A}^n \times \mathcal{M}^m \to \mathcal{M}^{n + m},\quad (a, x) \longmapsto ax\] 给出；这些映射称为乘法映射，并满足下列性质：

乘法满足 \(a(a'x)=(aa')x\) 和 \((xb)b'=x(bb')\)；

\((ax)b=a(xb)\)；

\(\text{d}(ax) = \text{d}(a) x + (-1)^{\deg(a)}a \text{d}(x)\) 和 \(\text{d}(xb) = \text{d}(x) b + (-1)^{\deg(x)}x \text{d}(b)\)；

\(\mathcal{A}^0\) 的单位截面 \(1\) 通过乘法作恒等作用；

\(\mathcal{B}^0\) 的单位截面 \(1\) 通过乘法作恒等作用。

我们常把这样的结构记作 \(\mathcal{M}\)，有时写成 \({}_\mathcal{A}\mathcal{M}_\mathcal{B}\)。一个 微分分次 \((\mathcal{A},\mathcal{B})\)-双模同态 \(f:\mathcal{M}\to\mathcal{N}\)，是与乘法映射相容的 \(\mathcal{O}\)-模复形映射 \(f:\mathcal{M}^\bullet\to\mathcal{N}^\bullet\)。

给定微分分次 \((\mathcal{A},\mathcal{B})\)-双模 \(\mathcal{M}\) 和对象 \(U\in\Ob(\mathcal{C})\)，我们使用记号 \[\mathcal{M}(U) = \Gamma(U, \mathcal{M}) = \bigoplus\nolimits_{n \in \mathbf{Z}} \mathcal{M}^n(U)\] 这是微分分次 \((\mathcal{A}(U),\mathcal{B}(U))\)-双模。

注意，微分分次 \((\mathcal{A},\mathcal{B})\)-双模 \(\mathcal{M}\) 等价于一个右微分分次 \(\mathcal{B}\)-模，同时也是左微分分次 \(\mathcal{A}\)-模，且两者的分次和微分一致，并且 \(\mathcal{A}\)-模结构与 \(\mathcal{B}\)-模结构交换。精确陈述如下。

引理

设 \((\mathcal{C},\mathcal{O})\) 是环化位点，\(\mathcal{A}\) 和 \(\mathcal{B}\) 是 \((\mathcal{C},\mathcal{O})\) 上的微分分次代数层， \(\mathcal{N}\) 是右微分分次 \(\mathcal{B}\)-模。\(\mathcal{N}\) 上与给定微分分次 \(\mathcal{B}\)-模结构相容的 \((\mathcal{A},\mathcal{B})\)-双模结构，与微分分次 \(\mathcal{O}\)-代数同态 \[\mathcal{A} \longrightarrow \SheafHom^{dg}_\mathcal{B}(\mathcal{N}, \mathcal{N})\] 一一对应。

证明

略。

设 \((\mathcal{C},\mathcal{O})\) 是环化位点，\(\mathcal{A}\) 和 \(\mathcal{B}\) 是 \((\mathcal{C},\mathcal{O})\) 上的微分分次代数层。设 \(\mathcal{M}\) 是右微分分次 \(\mathcal{A}\)-模，\(\mathcal{N}\) 是微分分次 \((\mathcal{A},\mathcal{B})\)-双模。在这种情形下，第 0FRM 节定义的微分分次张量积 \[\mathcal{M} \otimes_\mathcal{A} \mathcal{N}\] 是右微分分次 \(\mathcal{B}\)-模，其乘法映射如第 0FR4 节所述。该构造定义一个函子和一个分次范畴之间的函子 \[\otimes_\mathcal{A} \mathcal{N} : \textit{Mod}(\mathcal{A}, \text{d}) \longrightarrow \textit{Mod}(\mathcal{B}, \text{d}) \quad\text{且}\quad \otimes_\mathcal{A} \mathcal{N} : \textit{Mod}^{dg}(\mathcal{A}, \text{d}) \longrightarrow \textit{Mod}^{dg}(\mathcal{B}, \text{d})\] ：把从 \(\mathcal{M}\) 到 \(\mathcal{M}'\) 的次数 \(n\) 同态映到从 \(\mathcal{M}\otimes_\mathcal{A}\mathcal{N}\) 到 \(\mathcal{M}'\otimes_\mathcal{A}\mathcal{N}\) 的诱导次数 \(n\) 映射。

设 \((\mathcal{C},\mathcal{O})\) 是环化位点，\(\mathcal{A}\) 和 \(\mathcal{B}\) 是 \((\mathcal{C},\mathcal{O})\) 上的微分分次代数层。设 \(\mathcal{N}\) 是微分分次 \((\mathcal{A},\mathcal{B})\)-双模， \(\mathcal{L}\) 是右微分分次 \(\mathcal{B}\)-模。在这种情形下，第 0FRN 节定义的微分分次内 Hom \[\SheafHom_\mathcal{B}^{dg}(\mathcal{N}, \mathcal{L})\] 是右微分分次 \(\mathcal{A}\)-模，其中右分次 \(\mathcal{A}\)-模结构按第 0FR4 节定义。也可以用下列复合来定义乘法： \[\SheafHom_\mathcal{B}^{dg}(\mathcal{N}, \mathcal{L}) \otimes_\mathcal{O} \mathcal{A} \to \SheafHom_\mathcal{B}^{dg}(\mathcal{N}, \mathcal{L}) \otimes_\mathcal{O} \SheafHom_\mathcal{B}^{dg}(\mathcal{N}, \mathcal{N}) \to \SheafHom_\mathcal{B}^{dg}(\mathcal{N}, \mathcal{L})\] 其中第一个箭头来自引理 0FRR，第二个箭头是第 0FRN 节的复合。由于这两个箭头都与微分相容，所得对象确为微分分次 \(\mathcal{A}\)-模。该构造定义一个函子和一个微分分次范畴之间的函子 \[\SheafHom_\mathcal{B}^{dg}(\mathcal{N}, -) : \textit{Mod}(\mathcal{B}, \text{d}) \longrightarrow \textit{Mod}(\mathcal{A}) \quad\text{且}\quad \SheafHom_\mathcal{B}^{dg}(\mathcal{N}, -) : \textit{Mod}^{dg}(\mathcal{B}, \text{d}) \longrightarrow \textit{Mod}^{dg}(\mathcal{A}, \text{d})\] ：把从 \(\mathcal{L}\) 到 \(\mathcal{L}'\) 的次数 \(n\) 同态映到从 \(\SheafHom_\mathcal{B}^{dg}(\mathcal{N},\mathcal{L})\) 到 \(\SheafHom_\mathcal{B}^{dg}(\mathcal{N},\mathcal{L}')\) 的诱导次数 \(n\) 映射。

引理

设 \((\mathcal{C},\mathcal{O})\) 是环化位点，\(\mathcal{A}\) 和 \(\mathcal{B}\) 是 \((\mathcal{C},\mathcal{O})\) 上的微分分次代数层。设 \(\mathcal{M}\) 是右微分分次 \(\mathcal{A}\)-模，\(\mathcal{N}\) 是微分分次 \((\mathcal{A},\mathcal{B})\)-双模，\(\mathcal{L}\) 是右微分分次 \(\mathcal{B}\)-模。采用上述约定，有 \[\Hom_{\textit{Mod}^{dg}(\mathcal{B}, \text{d})}( \mathcal{M} \otimes_\mathcal{A} \mathcal{N}, \mathcal{L}) = \Hom_{\textit{Mod}^{dg}(\mathcal{A}, \text{d})}( \mathcal{M}, \SheafHom_\mathcal{B}^{dg}(\mathcal{N}, \mathcal{L}))\] 以及 \[\SheafHom_\mathcal{B}^{dg}( \mathcal{M} \otimes_\mathcal{A} \mathcal{N}, \mathcal{L}) = \SheafHom_\mathcal{A}^{dg}( \mathcal{M}, \SheafHom_\mathcal{B}^{dg}(\mathcal{N}, \mathcal{L}))\] ；这些等式关于 \(\mathcal{M}\)、\(\mathcal{N}\)、\(\mathcal{L}\) 都具有函子性。

证明

略。提示：在分次层面，引理 0FR6 已经证明了这一点。因此只须检验这些同构与微分相容；这可通过局部截面层面的计算完成。

设 \((\mathcal{C},\mathcal{O})\) 是环化位点，\(\mathcal{A}\) 和 \(\mathcal{B}\) 是 \((\mathcal{C},\mathcal{O})\) 上的微分分次代数层。作为上述情形的特例，设给定微分分次 \(\mathcal{O}\)-代数同态 \(\varphi:\mathcal{A}\to\mathcal{B}\)。于是得到一个函子和一个微分分次范畴之间的函子 \[\otimes_{\mathcal{A}, \varphi} \mathcal{B} : \textit{Mod}(\mathcal{A}, \text{d}) \longrightarrow \textit{Mod}(\mathcal{B}, \text{d}) \quad\text{且}\quad \otimes_{\mathcal{A}, \varphi} \mathcal{B} : \textit{Mod}^{dg}(\mathcal{A}, \text{d}) \longrightarrow \textit{Mod}^{dg}(\mathcal{B}, \text{d})\] 。另一方面，有限制标量函子 \[res_\varphi : \textit{Mod}(\mathcal{B}, \text{d}) \longrightarrow \textit{Mod}(\mathcal{A}, \text{d}) \quad\text{且}\quad res_\varphi : \textit{Mod}^{dg}(\mathcal{B}, \text{d}) \longrightarrow \textit{Mod}^{dg}(\mathcal{A}, \text{d})\] 。由上一引理可以证明这些函子彼此伴随（如限制标量与基变换的通常情形）。具体地，把 \(\mathcal{B}\) 视为微分分次 \((\mathcal{A},\mathcal{B})\)-双模时，记作 \({}_\mathcal{A}\mathcal{B}_\mathcal{B}\)。于是对任意右微分分次 \(\mathcal{B}\)-模 \(\mathcal{L}\)，有 \[\SheafHom_\mathcal{B}^{dg}({}_\mathcal{A}\mathcal{B}_\mathcal{B}, \mathcal{L}) = res_\varphi(\mathcal{L})\] 作为右微分分次 \(\mathcal{A}\)-模的等式。因此，引理 0FR6 给出函子性同构 \[\Hom_{\textit{Mod}^{dg}(\mathcal{B}, \text{d})}( \mathcal{M} \otimes_{\mathcal{A}, \varphi} \mathcal{B}, \mathcal{L}) = \Hom_{\textit{Mod}^{dg}(\mathcal{A}, \text{d})}( \mathcal{M}, res_\varphi(\mathcal{L}))\] 。若从上下文可知 \(\varphi\)，通常在此公式中省略对它的依赖。以同样方式得到分次 \(\mathcal{O}\)-模的等式 \[\SheafHom^{dg}_\mathcal{B}( \mathcal{M} \otimes_\mathcal{A} \mathcal{B}, \mathcal{L}) = \SheafHom_\mathcal{A}^{dg}(\mathcal{M}, \mathcal{L})\] 。

微分分次模层的拉回与直像

设 \((f,f^\sharp):(\Sh(\mathcal{C}),\mathcal{O}_\mathcal{C}) \to (\Sh(\mathcal{D}), \mathcal{O}_\mathcal{D})\) 是环化拓扑斯的态射。设 \(\mathcal{A}\) 是微分分次 \(\mathcal{O}_\mathcal{C}\)-代数，\(\mathcal{B}\) 是微分分次 \(\mathcal{O}_\mathcal{D}\)-代数。设给定微分分次 \(f^{-1}\mathcal{O}_\mathcal{D}\)-代数同态 \[\varphi : f^{-1}\mathcal{B} \to \mathcal{A}\] 。由限制标量与扩张标量的伴随，这等价于微分分次 \(\mathcal{O}_\mathcal{C}\)-代数同态 \(\varphi:f^*\mathcal{B}\to\mathcal{A}\)；也等价地，可把 \(\varphi\) 看作微分分次 \(\mathcal{O}_\mathcal{D}\)-代数同态 \[\varphi : \mathcal{B} \to f_*\mathcal{A}\] 。参见评注 0FRG。

先定义函子 \[f_* : \textit{Mod}(\mathcal{A}, \text{d}) \longrightarrow \textit{Mod}(\mathcal{B}, \text{d})\] 。给定微分分次 \(\mathcal{A}\)-模 \(\mathcal{M}\)，定义 \(f_*\mathcal{M}\) 为第 0FR7 节构造的分次 \(\mathcal{B}\)-模，其微分由映射 \(f_*d:f_*\mathcal{M}^n\to f_*\mathcal{M}^{n+1}\) 给出。该构造关于 \(\mathcal{M}\) 显然具有函子性，从而得到所需函子。

再定义函子 \[f^* : \textit{Mod}(\mathcal{B}, \text{d}) \longrightarrow \textit{Mod}(\mathcal{A}, \text{d})\] 。给定微分分次 \(\mathcal{B}\)-模 \(\mathcal{N}\)，定义 \(f^*\mathcal{N}\) 为第 0FR7 节构造的分次 \(\mathcal{A}\)-模。回忆 \[f^*\mathcal{N} = f^{-1}\mathcal{N} \otimes_{f^{-1}\mathcal{B}} \mathcal{A}\] 。由于 \(f^{-1}\mathcal{N}\) 带有微分 \(f^{-1}\text{d}:f^{-1}\mathcal{N}^n\to f^{-1}\mathcal{N}^{n+1}\)，可把该张量积视为第 0FRP 节所讨论张量积的例子，因而得到微分。该构造关于 \(\mathcal{N}\) 显然具有函子性，从而得到函子 \(f^*\)。

函子 \(f_*\) 和 \(f^*\) 很容易提升为微分分次范畴之间的函子 \[f_* : \textit{Mod}^{dg}(\mathcal{A}, \text{d}) \longrightarrow \textit{Mod}^{dg}(\mathcal{B}, \text{d}) \quad\text{且}\quad f^* : \textit{Mod}^{dg}(\mathcal{B}, \text{d}) \longrightarrow \textit{Mod}^{dg}(\mathcal{A}, \text{d})\] ；它们在底层对象上的作用不变，而在次数 \(n\) 的齐次态射上由上述构造的函子性定义。

引理

在上述情形下，有 \[\Hom_{\textit{Mod}^{dg}(\mathcal{B}, \text{d})}( \mathcal{N}, f_*\mathcal{M}) = \Hom_{\textit{Mod}^{dg}(\mathcal{A}, \text{d})}( f^*\mathcal{N}, \mathcal{M})\]

证明

略。提示：由引理 0FR8，该结论对底层分次范畴成立。一次计算表明这些同构与微分相容。

局部化与微分分次模层

设 \(\mathcal{A}\) 是微分分次 \(\mathcal{O}\)-代数。用 \(\mathcal{A}_U\) 表示 \(\mathcal{A}\) 在 \(\mathcal{C}/U\) 上的限制；换言之，\(\mathcal{A}_U=j^*\mathcal{A}=j^{-1}\mathcal{A}\)。第 0FRT 节已经构造伴随函子 \[j_* : \textit{Mod}^{dg}(\mathcal{A}_U, \text{d}) \longrightarrow \textit{Mod}^{dg}(\mathcal{A}, \text{d}) \quad\text{且}\quad j^* : \textit{Mod}^{dg}(\mathcal{A}, \text{d}) \longrightarrow \textit{Mod}^{dg}(\mathcal{A}_U, \text{d})\] ，其中 \(j^*\) 是 \(j_*\) 的左伴随。我们断言，此外还有正合函子 \[j_! : \textit{Mod}^{dg}(\mathcal{A}_U, \text{d}) \longrightarrow \textit{Mod}^{dg}(\mathcal{A}, \text{d})\] ，它是 \(j_*\) 的右伴随。具体地，给定微分分次 \(\mathcal{A}_U\)-模 \(\mathcal{M}\)，定义 \(j_!\mathcal{M}\) 为第 0FR9 节构造的分次 \(\mathcal{A}\)-模，其微分为 \(j_!\text{d} : j_!\mathcal{M}^n \to j_!\mathcal{M}^{n + 1}\). 给定微分分次 \(\mathcal{A}_U\)-模之间次数 \(n\) 的齐次映射 \(f:\mathcal{M}\to\mathcal{M}'\)，得到微分分次 \(\mathcal{A}\)-模之间次数 \(n\) 的齐次映射 \(j_!f:j_!\mathcal{M}\to j_!\mathcal{M}'\)。略去该构造与微分相容的直接验证。这样便得到所需函子。

引理

在上述情形下，有 \[\Hom_{\textit{Mod}^{dg}(\mathcal{A}, \text{d})}( j_!\mathcal{M}, \mathcal{N}) = \Hom_{\textit{Mod}^{dg}(\mathcal{A}_U, \text{d})}( \mathcal{M}, j^*\mathcal{N})\]

证明

略。提示：引理 0FRA 已经说明该结论在分次层面成立。因此只须检验所得同构与微分相容。

引理

在上述情形下，设 \(\mathcal{M}\) 是右微分分次 \(\mathcal{A}_U\)-模， \(\mathcal{N}\) 是左微分分次 \(\mathcal{A}\)-模。则 \[j_!\mathcal{M} \otimes_\mathcal{A} \mathcal{N} = j_!(\mathcal{M} \otimes_{\mathcal{A}_U} \mathcal{N}|_U)\] 作为 \(\mathcal{O}\)-模复形的等式，并且关于 \(\mathcal{M}\) 和 \(\mathcal{N}\) 具有函子性。

证明

作为分次模，该结论由引理 0FRB 得到。略去此同构与微分相容的验证。

微分分次模层上的平移函子

设 \((\mathcal{C},\mathcal{O})\) 是环化位点，\(\mathcal{A}\) 是 \((\mathcal{C},\mathcal{O})\) 上的微分分次代数层，\(\mathcal{M}\) 是微分分次 \(\mathcal{A}\)-模，\(k\in\mathbf{Z}\)。如下定义 \(\mathcal{M}\) 的第 \(k\) 次平移，记作 \(\mathcal{M}[k]\)：

作为分次 \(\mathcal{A}\)-模，\(\mathcal{M}[k]\) 如第 0FRC 节所定义；
微分 \(d_{\mathcal{M}[k]} : (\mathcal{M}[k])^n \to (\mathcal{M}[k])^{n + 1}\) 定义为 \((-1)^k\text{d}_\mathcal{M} : \mathcal{M}^{n + k} \to \mathcal{M}^{n + k + 1}\).

对次数 \(n\) 齐次的 \(\mathcal{A}\)-模同态 \(f:\mathcal{L}\to\mathcal{M}\)，令 \(f[k]:\mathcal{L}[k]\to\mathcal{M}[k]\) 由与 \(f\) 相同的分量映射给出。则 \(f[k]\) 是次数 \(n\) 齐次的 \(\mathcal{A}\)-模映射。这给出映射 \[\Hom_{\textit{Mod}^{dg}(\mathcal{A}, \text{d})}(\mathcal{L}, \mathcal{M}) \longrightarrow \Hom_{\textit{Mod}^{dg}(\mathcal{A}, \text{d})} (\mathcal{L}[k], \mathcal{M}[k])\] ，并与微分相容（这是因为 \(\mathcal{L}\) 与 \(\mathcal{M}\) 的微分符号改变了相同的量）。这些选择与《微分分次代数》定义 09JL 中的选择相容。显然，这定义微分分次范畴之间的函子 \[[k] : \textit{Mod}^{dg}(\mathcal{A}, \text{d}) \longrightarrow \textit{Mod}^{dg}(\mathcal{A}, \text{d})\] ，并且 \([k+l]=[k]\circ[l]\)。

我们断言，在第 0FRC 节对底层分次模定义的同构 \[\Hom_{\textit{Mod}^{dg}(\mathcal{A}, \text{d})}(\mathcal{L}, \mathcal{M}[k]) = \Hom_{\textit{Mod}^{dg}(\mathcal{A}, \text{d})}(\mathcal{L}, \mathcal{M})[k]\] 与微分相容。为说明这一点，设 \(f:\mathcal{L}\to\mathcal{M}[k]\) 是次数 \(n\) 齐次的右 \(\mathcal{A}\)-模映射；它是左端的次数 \(n\) 元素。用 \(f':\mathcal{L}\to\mathcal{M}\) 表示次数 \(n+k\) 齐次且与 \(f\) 具有相同分量映射的 \(\mathcal{A}\)-模映射。按我们的约定，它就是右端对应的次数 \(n\) 元素。按左端微分的定义，得到 \[\text{d}_{LHS}(f) = \text{d}_{\mathcal{M}[k]} \circ f - (-1)^n f \circ \text{d}_\mathcal{L} = (-1)^k\text{d}_\mathcal{M} \circ f - (-1)^n f \circ \text{d}_\mathcal{L}\] ；而对右端微分，得到 \[\text{d}_{RHS}(f') = (-1)^k\left( \text{d}_\mathcal{M} \circ f' - (-1)^{n + k} f' \circ \text{d}_\mathcal{L} \right) = (-1)^k\text{d}_\mathcal{M} \circ f' - (-1)^n f' \circ \text{d}_\mathcal{L}\] 。这些映射具有相同的分量映射，证明完成。

同伦范畴

本节对应《微分分次代数》第 09JM 节。

定义

设 \((\mathcal{C}, \mathcal{O})\) 是环化位点， \(\mathcal{A}\) 是 \((\mathcal{C}, \mathcal{O})\) 上的微分分次代数层。设 \(f, g : \mathcal{M} \to \mathcal{N}\) 是微分分次 \(\mathcal{A}\)-模同态。\(f\) 与 \(g\) 之间的同伦 是次数为 \(-1\) 的齐次分次 \(\mathcal{A}\)-模映射 \(h : \mathcal{M} \to \mathcal{N}\)，且满足 \[f - g = \text{d}_\mathcal{N} \circ h + h \circ \text{d}_\mathcal{M}\] 若存在这样的同伦，则称 \(f\) 与 \(g\) 同伦。

在该定义的情形下，若有映射 \(a : \mathcal{K} \to \mathcal{M}\) 和 \(c : \mathcal{N} \to \mathcal{L}\)，则 \[\begin{matrix} h\text{ 是一个同伦} \\ \text{，介于 }f\text{ 与 }g\text{ 之间} \end{matrix} \quad \Rightarrow \quad \begin{matrix} c \circ h \circ a\text{ 是}\\ c \circ f \circ a\text{ 与 }c\circ g \circ a\text{ 之间的同伦} \end{matrix}\] 因此可以定义 \(\textit{Mod}(\mathcal{A}, \text{d})\) 中态射同伦类的复合。

定义

设 \((\mathcal{C}, \mathcal{O})\) 是环化位点， \(\mathcal{A}\) 是 \((\mathcal{C}, \mathcal{O})\) 上的微分分次代数层。 同伦范畴，记作 \(K(\textit{Mod}(\mathcal{A}, \text{d}))\)，是如下范畴：其对象为 \(\textit{Mod}(\mathcal{A}, \text{d})\) 的对象，其态射为微分分次 \(\mathcal{A}\)-模同态的同伦类。

记号 \(K(\textit{Mod}(\mathcal{A}, \text{d}))\) 并非标准记号，但至少与 Stacks 项目其他地方对 \(K(-)\) 的用法一致。

在《微分分次代数》定义 09L7 中，我们定义了微分分次范畴 \(\mathcal{S}\) 的复形范畴 \(\text{Comp}(\mathcal{S})\) 和同伦范畴 \(K(\mathcal{S})\)。将此定义应用于微分分次范畴 \(\textit{Mod}^{dg}(\mathcal{A}, \text{d})\)，得到 \[\textit{Mod}(\mathcal{A}, \text{d}) = \text{Comp}(\textit{Mod}^{dg}(\mathcal{A}, \text{d}))\] （参见第 0FRL 节的讨论），并得到 \[K(\textit{Mod}(\mathcal{A}, \text{d})) = K(\textit{Mod}^{dg}(\mathcal{A}, \text{d}))\] 要验证后一等式，注意当 \(h\) 如定义 0FS0 中所述时，有等式 \[\text{d}_{\Hom_{\textit{Mod}^{dg}(\mathcal{A}, \text{d})} (\mathcal{M}, \mathcal{N})}(h) = \text{d}_\mathcal{N} \circ h + h \circ \text{d}_\mathcal{M}\] 细节从略。

引理

设 \((\mathcal{C}, \mathcal{O})\) 是环化位点， \(\mathcal{A}\) 是 \((\mathcal{C}, \mathcal{O})\) 上的微分分次代数层。同伦范畴 \(K(\textit{Mod}(\mathcal{A}, \text{d}))\) 有直和与直积。

证明

从略。提示：只需使用引理 0FRJ 中的直和与直积。这是可行的，因为我们已经看到这些函子与到分次 \(\mathcal{A}\)-模范畴的遗忘函子交换，而且在阿贝尔群族的范畴上， \(\prod\) 与 \(\bigoplus\) 都是正合函子。

锥与三角

本节利用《微分分次代数》第 09P5 节的内容，证明微分分次 \(\mathcal{A}\)-模范畴的同伦范畴是三角范畴。

引理

设 \((\mathcal{C}, \mathcal{O})\) 是环化位点， \(\mathcal{A}\) 是 \((\mathcal{C}, \mathcal{O})\) 上的微分分次代数层。微分分次范畴 \(\textit{Mod}^{dg}(\mathcal{A}, \text{d})\) 满足《微分分次代数》第 09P5 节的公理 (A) 与 (B)。

证明

设给定微分分次 \(\mathcal{A}\)-模 \(\mathcal{M}\) 与 \(\mathcal{N}\)。以显然的方式定义微分分次 \(\mathcal{A}\)-模 \(\mathcal{M} \oplus \mathcal{N}\)。此时余投射 \(i : \mathcal{M} \to \mathcal{M} \oplus \mathcal{N}\)、 \(j : \mathcal{N} \to \mathcal{M} \oplus \mathcal{N}\) 以及投射 \(p : \mathcal{M} \oplus \mathcal{N} \to \mathcal{N}\)、 \(q : \mathcal{M} \oplus \mathcal{N} \to \mathcal{M}\) 都是微分分次 \(\mathcal{A}\)-模态射。因此 \(i,j,p,q\) 均为次数 \(0\) 的齐次闭态射，即 \(\text{d}(i)=0\)，等等。故此直和是《微分分次代数》定义 09P4 意义下的微分分次和。这证明了公理 (A)。

公理 (B) 已在第 0FRY 节中证明。

设 \((\mathcal{C}, \mathcal{O})\) 是环化位点， \(\mathcal{A}\) 是 \((\mathcal{C}, \mathcal{O})\) 上的微分分次代数层。回忆，\(\textit{Mod}(\mathcal{A}, \text{d})\) 中的序列 \[0 \to \mathcal{K} \to \mathcal{L} \to \mathcal{N} \to 0\] 若在 \(\textit{Mod}(\mathcal{A})\) 中分裂，换言之，若作为分次 \(\mathcal{A}\)-模序列分裂，则称为容许短正合序列 （《微分分次代数》第 09P5 节）。以 \(s : \mathcal{N} \to \mathcal{L}\) 和 \(\pi : \mathcal{L} \to \mathcal{K}\) 表示分次 \(\mathcal{A}\)-模意义下的分裂映射。结合引理 0FS4 与《微分分次代数》引理 09P6，得到三角 \[\mathcal{K} \to \mathcal{L} \to \mathcal{N} \to \mathcal{K}[1]\] 其中《微分分次代数》引理 09P6 的证明中的箭头 \(\mathcal{N} \to \mathcal{K}[1]\) 构造为 \[\delta = \pi \circ \text{d}_{\Hom_{\textit{Mod}^{dg}(\mathcal{A}, \text{d})} (\mathcal{L}, \mathcal{M})}(s) = \pi \circ \text{d}_\mathcal{L} \circ s - \pi \circ s \circ \text{d}_\mathcal{N} = \pi \circ \text{d}_\mathcal{L} \circ s\] 请原谅这个可怕的记号。无论如何，在我们的情形下，《微分分次代数》引理 09P6 所构造的边界映射 \(\delta\)，在底层 \(\mathcal{O}\)-模复形上与 Stacks 项目各处用于逐项分裂的复形短正合序列的通常边界映射一致；参见《导出范畴》定义 014I。

定义

设 \((\mathcal{C}, \mathcal{O})\) 是环化位点， \(\mathcal{A}\) 是 \((\mathcal{C}, \mathcal{O})\) 上的微分分次代数层。设 \(f : \mathcal{K} \to \mathcal{L}\) 是微分分次 \(\mathcal{A}\)-模同态。\(f\) 的锥是按如下方式定义的微分分次 \(\mathcal{A}\)-模 \(C(f)\)：

其底层 \(\mathcal{O}\)-模复形是相应的 \(\mathcal{A}\)-模复形映射 \(f : \mathcal{K}^\bullet \to \mathcal{L}^\bullet\) 的锥，即 \(C(f)^n = \mathcal{L}^n \oplus \mathcal{K}^{n + 1}\)，微分为 \[d_{C(f)} = \left( \begin{matrix} \text{d}_\mathcal{L} & f \\ 0 & -\text{d}_\mathcal{K} \end{matrix} \right)\]

乘法映射 \[C(f)^n \times \mathcal{A}^m \to C(f)^{n + m}\] 是乘法映射 \(\mathcal{L}^n \times \mathcal{A}^m \to \mathcal{L}^{n + m}\) 与 \(\mathcal{K}^{n + 1} \times \mathcal{A}^m \to \mathcal{K}^{n + 1 + m}\). 的直和。

显然的映射诱导出典范的微分分次 \(\mathcal{A}\)-模同态 \(i : \mathcal{L} \to C(f)\) 与 \(p : C(f) \to \mathcal{K}[1]\)。

注意，在该定义的情形下，序列 \[0 \to \mathcal{L} \to C(f) \to \mathcal{K}[1] \to 0\] 是容许短正合序列。

引理

设 \((\mathcal{C}, \mathcal{O})\) 是环化位点， \(\mathcal{A}\) 是 \((\mathcal{C}, \mathcal{O})\) 上的微分分次代数层。微分分次范畴 \(\textit{Mod}^{dg}(\mathcal{A}, \text{d})\) 满足《微分分次代数》情形 09QJ 中表述的公理 (C)。

证明

设 \(f : \mathcal{K} \to \mathcal{L}\) 是微分分次 \(\mathcal{A}\)-模同态。由上文有容许短正合序列 \[0 \to \mathcal{L} \to C(f) \to \mathcal{K}[1] \to 0\] 为完成证明，只需说明与之相伴的边界映射 \[\delta : \mathcal{K}[1] \to \mathcal{L}[1]\] （参见上文的讨论）等于 \(f[1]\)。对截面 \(s : \mathcal{K}[1] \to C(f)\)，在次数 \(n\) 上取嵌入 \(\mathcal{K}^{n + 1} \to C(f)^n\)。映射 \(\pi\) 在次数 \(n\) 上由投射 \(C(f)^n \to \mathcal{L}^n\) 给出。因此最后需要计算 \[\delta = \pi \circ \text{d}_{C(f)} \circ s\] （参见上文的讨论）。用矩阵记号，此式等于 \[\left( \begin{matrix} 1 & 0 \end{matrix} \right) \left( \begin{matrix} \text{d}_\mathcal{L} & f \\ 0 & -\text{d}_\mathcal{K} \end{matrix} \right) \left( \begin{matrix} 0 \\ 1 \end{matrix} \right) = f,\] 正如所需。

至此可知，《微分分次代数》第 09P5 节中证明的所有引理对微分分次范畴 \(\textit{Mod}^{dg}(\mathcal{A}, \text{d})\) 均成立。特别地，有如下命题。

命题

设 \((\mathcal{C}, \mathcal{O})\) 是环化位点， \(\mathcal{A}\) 是 \((\mathcal{C}, \mathcal{O})\) 上的微分分次代数层。同伦范畴 \(K(\textit{Mod}(\mathcal{A}, \text{d}))\) 是三角范畴，其中

平移函子是第 0FRY 节中构造的函子；

杰出三角是 \(K(\textit{Mod}(\mathcal{A}, \text{d}))\) 中作为三角同构于形如 \[\mathcal{K} \to \mathcal{L} \to \mathcal{N} \xrightarrow{\delta} \mathcal{K}[1],\quad\quad \delta = \pi \circ \text{d}_\mathcal{L} \circ s\] 的三角；该三角由上文 \(\textit{Mod}(\mathcal{A}, \text{d})\) 中的容许短正合序列 \(0 \to \mathcal{K} \to \mathcal{L} \to \mathcal{N} \to 0\) 构造。

证明

回忆 \(K(\textit{Mod}(\mathcal{A}, \text{d})) = K(\textit{Mod}^{dg}(\mathcal{A}, \text{d}))\)，参见第 0FRZ 节。于是命题由引理 0FS4、 0FS6 以及《微分分次代数》命题 09QY 得出。

注

设 \((\mathcal{C}, \mathcal{O})\) 是环化位点， \(\mathcal{A}\) 是 \((\mathcal{C}, \mathcal{O})\) 上的微分分次代数层。把恒等映射 \(\mathcal{A}\to\mathcal{A}\) 视为微分分次 \(\mathcal{A}\)-模映射，并令 \(C=C(\text{id}_\mathcal{A})\) 为其锥。则 \[\Hom_{\textit{Mod}(\mathcal{A}, \text{d})}(C, \mathcal{M}) = \{(x, y) \in \Gamma(\mathcal{C}, \mathcal{M}^0) \times \Gamma(\mathcal{C}, \mathcal{M}^{-1}) \mid x = \text{d}(y)\}\] 其中从左到右的映射把 \(f\) 送到偶对 \((x,y)\)： \(x\) 是 \(C^{-1}=\mathcal{A}^{-1}\oplus\mathcal{A}^0\) 的整体截面 \((0,1)\) 的像，而 \(y\) 是 \(C^0=\mathcal{A}^0\oplus\mathcal{A}^1\) 的整体截面 \((1,0)\) 的像。

引理

设 \((\mathcal{C}, \mathcal{O})\) 是环化位点， \((\mathcal{A}, \text{d})\) 是微分分次 \(\mathcal{O}\)-代数。范畴 \(\textit{Mod}(\mathcal{A}, \text{d})\) 是格罗滕迪克阿贝尔范畴。

证明

由引理 0FRJ 以及格罗滕迪克阿贝尔范畴的定义（《内射对象》定义 079B），只需证明 \(\textit{Mod}(\mathcal{A}, \text{d})\) 有生成元。对 \(\mathcal{C}\) 的每个对象 \(U\)，以 \(C_U\) 表示如评注 0FS8 中恒等映射 \(\mathcal{A}_U\to\mathcal{A}_U\) 的锥。我们断言 \[\mathcal{G} = \bigoplus\nolimits_{k, U} j_{U!}C_U[k]\] 是生成元，其中直和遍历 \(\mathcal{C}\) 的所有对象 \(U\) 与所有 \(k\in\mathbf{Z}\)。事实上，给定微分分次 \(\mathcal{A}\)-模 \(\mathcal{M}\)，若从 \(\mathcal{G}\) 到 \(\mathcal{M}\) 没有非零映射，则对所有 \(k\) 与 \(U\) 有 \[\begin{align*} \Hom_{\textit{Mod}(\mathcal{A})}(j_{U!}C_U[k], \mathcal{M}) \\ & = \Hom_{\textit{Mod}(\mathcal{A}_U)}(C_U[k], \mathcal{M}|_U) \\ & = \{(x, y) \in \mathcal{M}^{-k}(U) \times \mathcal{M}^{-k - 1}(U) \mid x = \text{d}(y)\} \end{align*}\] 等于零。因此 \(\mathcal{M}\) 为零。

平坦消解

本节对应《微分分次代数》第 09KK 节。

设 \((\mathcal{C}, \mathcal{O})\) 是环化位点， \(\mathcal{A}\) 是 \((\mathcal{C}, \mathcal{O})\) 上的微分分次代数层。若右微分分次 \(\mathcal{A}\)-模 \(\mathcal{P}\) 满足

函子 \(\mathcal{N} \mapsto \mathcal{P} \otimes_\mathcal{A} \mathcal{N}\) 在分次左 \(\mathcal{A}\)-模范畴上正合；
若 \(\mathcal{N}\) 是无环微分分次左 \(\mathcal{A}\)-模，则 \(\mathcal{P} \otimes_\mathcal{A} \mathcal{N}\) 无环；
对任意环化拓扑斯态射 \((f, f^\sharp) : (\Sh(\mathcal{C}'), \mathcal{O}') \to (\Sh(\mathcal{C}), \mathcal{O})\)、任意微分分次 \(\mathcal{O}'\)-代数 \(\mathcal{A}'\)，以及任意微分分次 \(f^{-1}\mathcal{O}_\mathcal{D}\)-代数映射 \(\varphi : f^{-1}\mathcal{A} \to \mathcal{A}'\)，则把拉回 \(f^*\mathcal{P}\)（第 0FRT 节）视为微分分次 \(\mathcal{A}'\)-模时，它满足性质 (1) 与 (2)。

则称 \(\mathcal{P}\) 良好。第一个条件表示 \(\mathcal{P}\) 作为右分次 \(\mathcal{A}\)-模是平坦的；第二个条件表示 \(\mathcal{P}\) 在 Spaltenstein 的意义下是 K-平坦的（参见《位点上的上同调》第 06YL 节）；第三个条件表示任意基变换后这些性质仍成立。

也许令人意外的是，良好模有很多。

引理

设 \((\mathcal{C}, \mathcal{O})\) 是环化位点， \(\mathcal{A}\) 是 \((\mathcal{C}, \mathcal{O})\) 上的微分分次代数层， \(U \in \Ob(\mathcal{C})\)。则 \(j_!\mathcal{A}_U\) 是良好微分分次 \(\mathcal{A}\)-模。

证明

设 \(\mathcal{N}\) 是分次左 \(\mathcal{A}\)-模。由引理 0FRB，作为分次模有 \[j_!\mathcal{A}_U \otimes_\mathcal{A} \mathcal{N} = j_!(\mathcal{A}_U \otimes_{\mathcal{A}_U} \mathcal{N}|_U) = j_!(\mathcal{N}_U)\] 由于限制到 \(U\) 与 \(j_!\) 都正合，这证明了条件 (1)。利用引理 0FRX，同一论证也证明条件 (2)。

考虑环化拓扑斯态射 \((f, f^\sharp) : (\Sh(\mathcal{C}'), \mathcal{O}') \to (\Sh(\mathcal{C}), \mathcal{O})\)、微分分次 \(\mathcal{O}'\)-代数 \(\mathcal{A}'\)，以及微分分次 \(f^{-1}\mathcal{O}\)-代数映射 \(\varphi : f^{-1}\mathcal{A} \to \mathcal{A}'\)。需要证明 \[f^*j_!\mathcal{A}_U = f^{-1}j_!\mathcal{A}_U \otimes_{f^{-1}\mathcal{A}} \mathcal{A}'\] 对带有微分分次 \(\mathcal{O}'\)-代数层 \(\mathcal{A}'\) 的环化拓扑斯 \((\Sh(\mathcal{C}'), \mathcal{O}')\) 满足 (1) 与 (2)。为证明这一点，可以把 \((\Sh(\mathcal{C}), \mathcal{O})\) 和 \((\Sh(\mathcal{C}'), \mathcal{O}')\) 替换为等价的环化拓扑斯。因此由《位点上的模》引理 03CR 可设 \(f\) 来自连续函子 \(u:\mathcal{C}\to\mathcal{C}'\) 给出的位点态射 \(f:\mathcal{C}\to\mathcal{C}'\)。此时置 \(U'=u(U)\)，并以 \(j' : \Sh(\mathcal{C}'/U') \to \Sh(\mathcal{C}')\) 表示相应的局部化态射。得到环化拓扑斯态射的交换方块 \[\xymatrix{ (\Sh(\mathcal{C}'/U'), \mathcal{O}'_{U'}) \ar[rr]_{(j', (j')^\sharp)} \ar[d]_{(f', (f')^\sharp)} & & (\Sh(\mathcal{C}'), \mathcal{O}') \ar[d]^{(f, f^\sharp)} \\ (\Sh(\mathcal{C}/U), \mathcal{O}_U) \ar[rr]^{(j, j^\sharp)} & & (\Sh(\mathcal{C}), \mathcal{O}). }\] 且有 \(f'_*(j')^{-1}=j^{-1}f_*\)。参见《位点上的模》引理 04J0。由伴随的唯一性得到 \(f^{-1}j_!=j'_!(f')^{-1}\)。因此 \[\begin{align*} f^*j_!\mathcal{A}_U & = f^{-1}j_!\mathcal{A}_U \otimes_{f^{-1}\mathcal{A}} \mathcal{A}' \\ & = j'_!(f')^{-1}\mathcal{A}_U \otimes_{f^{-1}\mathcal{A}} \mathcal{A}' \\ & = j'_!\left( (f')^{-1}\mathcal{A}_U \otimes_{f^{-1}\mathcal{A}|_{U'}} \mathcal{A}'|_{U'}\right) \\ & = j'_!\mathcal{A}'_{U'} \end{align*}\] 第一个等式是 \(j_!\mathcal{A}_U\) 拉回为 \(\mathcal{A}'\) 上微分分次模的定义。第二个等式来自 \(f^{-1}j_!=j'_!(f')^{-1}\)。第三个等式来自把引理 0FRX 应用于环化位点 \((\mathcal{C}',f^{-1}\mathcal{O})\)：其微分分次代数层为 \(f^{-1}\mathcal{A}\)，所用微分分次模分别是 \(\mathcal{C}'/U'\) 上的 \((f')^{-1}\mathcal{A}_U\) 与 \(\mathcal{C}'\) 上的 \(\mathcal{A}'\)。第四个等式成立是因为当然有 \((f')^{-1}\mathcal{A}_U=f^{-1}\mathcal{A}|_{U'}\)。由此可见，拉回仍是同类的模，而我们已在上文为它证明条件 (1) 与 (2)。

引理

设 \((\mathcal{C}, \mathcal{O})\) 是环化位点， \(\mathcal{A}\) 是 \((\mathcal{C}, \mathcal{O})\) 上的微分分次代数层。设 \(0 \to \mathcal{P} \to \mathcal{P}' \to \mathcal{P}'' \to 0\) 是微分分次 \(\mathcal{A}\)-模的容许短正合序列。若这三个模中任意两个良好，则第三个也良好。

证明

对条件 (1)，结论是立即的，因为该序列在分次层面是直和。对条件 (2)，注意对任意微分分次左 \(\mathcal{A}\)-模，序列 \[0 \to \mathcal{P} \otimes_\mathcal{A} \mathcal{N} \to \mathcal{P}' \otimes_\mathcal{A} \mathcal{N} \to \mathcal{P}'' \otimes_\mathcal{A} \mathcal{N} \to 0\] 是微分分次 \(\mathcal{O}\)-模的容许短正合序列（遗忘微分后，张量积正是在分次模范畴中取得的）。因此，若三者中任意两个作为 \(\mathcal{O}\)-模复形正合，则第三个也正合。最后，同一论证表明，给定环化拓扑斯态射 \((f, f^\sharp) : (\Sh(\mathcal{C}'), \mathcal{O}') \to (\Sh(\mathcal{C}), \mathcal{O})\)、微分分次 \(\mathcal{O}'\)-代数 \(\mathcal{A}'\)，以及微分分次 \(f^{-1}\mathcal{O}\)-代数映射 \(\varphi:f^{-1}\mathcal{A}\to\mathcal{A}'\)，序列 \[0 \to f^*\mathcal{P} \to f^*\mathcal{P}' \to f^*\mathcal{P}'' \to 0\] 是微分分次 \(\mathcal{A}'\)-模的容许短正合序列，而上述论证在这里同样适用。

引理

设 \((\mathcal{C}, \mathcal{O})\) 是环化位点， \(\mathcal{A}\) 是 \((\mathcal{C}, \mathcal{O})\) 上的微分分次代数层。良好微分分次 \(\mathcal{A}\)-模的任意直和是良好的。良好微分分次 \(\mathcal{A}\)-模的滤过余极限也是良好的。

证明

从略。提示：直和与滤过余极限均同张量积及拉回交换。

引理

设 \((\mathcal{C}, \mathcal{O})\) 是环化位点， \(\mathcal{A}\) 是 \((\mathcal{C}, \mathcal{O})\) 上的微分分次代数层， \(\mathcal{M}\) 是微分分次 \(\mathcal{A}\)-模。存在微分分次 \(\mathcal{A}\)-模同态 \(\mathcal{P}\to\mathcal{M}\)，满足

\(\mathcal{P} \to \mathcal{M}\) 是满射；

\(\Ker(\text{d}_\mathcal{P}) \to \Ker(\text{d}_\mathcal{M})\) 是满射；

\(\mathcal{P}\) 良好。

证明

考虑三元组 \((U,k,x)\)，其中 \(U\) 是 \(\mathcal{C}\) 的对象， \(k\in\mathbf{Z}\)，而 \(x\) 是 \(U\) 上满足 \(\text{d}_\mathcal{M}(x)=0\) 的 \(\mathcal{M}^k\) 截面。于是得到唯一的微分分次 \(\mathcal{A}_U\)-模态射 \(\varphi_x : \mathcal{A}_U[-k] \to \mathcal{M}|_U\) 把 \(1\) 映到 \(x\)。它伴随于态射 \(\psi_x : j_{U!}\mathcal{A}_U[-k] \to \mathcal{M}\). 注意，\(1\in\mathcal{A}_U(U)\) 对应于次数为 \(k\) 的截面 \(1\in j_{U!}\mathcal{A}_U[-k](U)\)；其微分为零，且 \(\psi_x\) 把它映到 \(x\)。因此考虑映射 \[\bigoplus\nolimits_{(U, k, x)} j_{U!}\mathcal{A}_U[-k] \longrightarrow \mathcal{M}\] 便得到条件 (2) 与 (3)。事实上，对象 \(j_{U!}\mathcal{A}_U[-k]\) 是良好的（引理 0FSB），而良好对象的任意直和仍良好（引理 0FSD）。

接着考虑三元组 \((U,k,x)\)，其中 \(U\) 是 \(\mathcal{C}\) 的对象， \(k\in\mathbf{Z}\)，而 \(x\) 是 \(\mathcal{M}^k\) 的截面（不必被微分消去）。此时可以如评注 0FS8 中那样考虑恒等映射 \(\mathcal{A}_U\to\mathcal{A}_U\) 的锥 \(C_U\)。元素 \(x\) 决定映射 \(\varphi_x:C_U[-k-1]\to\mathcal{A}_U\)，参见评注 0FS8。由于有容许短正合序列 \[0 \to \mathcal{A}_U \to C_U \to \mathcal{A}_U[1] \to 0\] 由引理 0FSC 和已经用过的引理 0FSB，可知 \(j_{U!}C_U\) 是良好模。同上，对伴随于 \(\varphi_x\) 的映射 \(\psi_x:j_{U!}C_U\to\mathcal{M}\) 取直和所得的映射 \[\bigoplus\nolimits_{(U, k, x)} j_{U!}C_U \longrightarrow \mathcal{M}\] 是满射。再与第一段构造的映射取直和，即得结论。

注

设 \((\mathcal{C},\mathcal{O})\) 是环化位点。 \(\mathcal{C}\) 上的分次集合层是配有集合层映射 \(\deg:\mathcal{S}\to\underline{\mathbf{Z}}\) 的集合层 \(\mathcal{S}\)。以 \(\mathcal{O}[\mathcal{S}]\) 表示分次 \(\mathcal{O}\)-模，即由分次集合层 \(\mathcal{S}\) 生成的自由 \(\mathcal{O}\)-模。更确切地， \(\mathcal{O}[\mathcal{S}]\) 的第 \(n\) 个分次部分是规则 \[U \longmapsto \bigoplus\nolimits_{s \in \mathcal{S}(U),\ \deg(s) = n} s \cdot \mathcal{O}(U)\] 的层化。赋予零微分后，也可以把它看作微分分次 \(\mathcal{O}\)-模。设 \(\mathcal{A}\) 是分次 \(\mathcal{O}\)-代数层。类似地定义 \(\mathcal{A}[\mathcal{S}]\) 为分次 \(\mathcal{A}\)-模，其第 \(n\) 个分次部分是规则 \[U \longmapsto \bigoplus\nolimits_{s \in \mathcal{S}(U)} s \cdot \mathcal{A}^{n - \deg(s)}(U)\] 的层化。若 \(\mathcal{A}\) 是微分分次 \(\mathcal{O}\)-代数，则对所有 \(s\in\mathcal{S}(U)\) 置 \(\text{d}(s)=0\) 并层化，从而把它变成微分分次 \(\mathcal{O}\)-模。

引理

设 \((\mathcal{C},\mathcal{O})\) 是环化位点， \(\mathcal{A}\) 是微分分次 \(\mathcal{A}\)-代数， \(\mathcal{S}\) 是 \(\mathcal{C}\) 上的分次集合层。则由 \(\mathcal{S}\) 生成的自由分次模 \(\mathcal{A}[\mathcal{S}]\)，赋予评注 0FSF 中的微分后，是良好微分分次 \(\mathcal{A}\)-模。

证明

设 \(\mathcal{N}\) 是分次左 \(\mathcal{A}\)-模。则有 \[\mathcal{A}[\mathcal{S}] \otimes_\mathcal{A} \mathcal{N} = \mathcal{O}[\mathcal{S}] \otimes_\mathcal{O} \mathcal{N} = \mathcal{N}[\mathcal{S}]\] 其中 \(\mathcal{N}[\mathcal{S}\) 是分次 \(\mathcal{O}\)-模，其次数 \(n\) 部分是与预层 \[U \longmapsto \bigoplus\nolimits_{s \in \mathcal{S}(U)} s \cdot \mathcal{N}^{n - \deg(s)}(U)\] 相伴的层。显然，\(\mathcal{N}\to\mathcal{N}[\mathcal{S}]\) 是正合函子，因此 \(\mathcal{A}[\mathcal{S}\) 作为分次 \(\mathcal{A}\)-模是平坦的。接着，设 \(\mathcal{N}\) 是微分分次左 \(\mathcal{A}\)-模。则作为分次 \(\mathcal{O}\)-模有 \[H^*(\mathcal{A}[\mathcal{S}] \otimes_\mathcal{A} \mathcal{N}) = H^*(\mathcal{O}[\mathcal{S}] \otimes_\mathcal{O} \mathcal{N})\] 由其在 \(\mathcal{O}\) 上的平坦性，这等于 \[H^*(\mathcal{N})[\mathcal{S}]\] 。因此，若 \(\mathcal{N}\) 无环，则 \(\mathcal{A}[\mathcal{S}]\otimes_\mathcal{A}\mathcal{N}\) 无环。

最后，考虑环化拓扑斯态射 \((f, f^\sharp) : (\Sh(\mathcal{C}'), \mathcal{O}') \to (\Sh(\mathcal{C}), \mathcal{O})\) 、微分分次 \(\mathcal{O}'\)-代数 \(\mathcal{A}'\)，以及微分分次 \(f^{-1}\mathcal{O}\)-代数映射 \(\varphi:f^{-1}\mathcal{A}\to\mathcal{A}'\)。不难看出 \[f^*\mathcal{A}[\mathcal{S}] = \mathcal{A}'[f^{-1}\mathcal{S}]\] 这就完成了该模良好的证明。

引理

设 \((\mathcal{C},\mathcal{O})\) 是环化位点， \(\mathcal{A}\) 是 \((\mathcal{C},\mathcal{O})\) 上的微分分次代数层， \(\mathcal{M}\) 是微分分次 \(\mathcal{A}\)-模。存在微分分次 \(\mathcal{A}\)-模同态 \(\mathcal{P}\to\mathcal{M}\)，满足

\(\mathcal{P}\to\mathcal{M}\) 是拟同构；

\(\mathcal{P}\) 良好。

证明

令 \(\mathcal{S}_0\) 为分次集合层（评注 0FSF），其次数 \(n\) 部分为 \(\Ker(\text{d}_\mathcal{M}^n)\)。考虑微分分次模同态 \[\mathcal{P}_0 = \mathcal{A}[\mathcal{S}_0] \longrightarrow \mathcal{M}\] 其中左端如评注 0FSF 所述，而该映射把 \(\mathcal{S}_0\) 的局部截面 \(s\) 映到 \(\mathcal{M}^{\deg(s)}\) 的相应局部截面（它属于微分的核，故这确实是微分分次模映射）。按构造，诱导的上同调层映射 \(H^n(\mathcal{P}_0)\to H^n(\mathcal{M})\) 是满射。我们将归纳构造映射 \[\mathcal{P}_0 \to \mathcal{P}_1 \to \mathcal{P}_2 \to \ldots \to \mathcal{M}\] 显然，对所有 \(i\)，\(H^*(\mathcal{P}_i)\to H^*(\mathcal{M})\) 都将是满射。给定 \(\mathcal{P}_i\to\mathcal{M}\)，以 \(\mathcal{S}_{i+1}\) 表示如下分次集合层：其次数 \(n\) 部分为 \[\Ker(\text{d}_{\mathcal{P}_i}^{n + 1}) \times_{\mathcal{M}^{n + 1}, \text{d}} \mathcal{M}^n\] 置 \[\mathcal{P}_{i + 1} = \mathcal{P}_i \oplus \mathcal{A}[\mathcal{S}_{i + 1}]\] 作为分次 \(\mathcal{A}\)-模，其微分及到 \(\mathcal{M}\) 的映射定义如下：

对 \(\mathcal{P}_i\) 的局部截面，使用 \(\mathcal{P}_i\) 上的微分以及给定的到 \(\mathcal{M}\) 的映射；

对 \(\mathcal{S}_{i+1}\) 的局部截面 \(s=(p,m)\)，置 \(\text{d}(s)\) 等于 \(p\)（视为 \(\mathcal{P}_i\) 的次数 \(\deg(s)+1\) 截面），并把 \(s\) 映到 \(\mathcal{M}\) 中的 \(m\)；

唯一延拓微分，使其满足莱布尼茨法则。

这是有意义的，因为 \(\text{d}(m)\) 是 \(p\) 的像，且 \(\text{d}(p)=0\)。最后置 \(\mathcal{P}=\colim\mathcal{P}_i\)，并赋予诱导的到 \(\mathcal{M}\) 的映射。

映射 \(\mathcal{P}\to\mathcal{M}\) 是拟同构： \(H^n(\mathcal{P})=\colim H^n(\mathcal{P}_i)\)，而对每个 \(i\)，映射 \(H^n(\mathcal{P}_i)\to H^n(\mathcal{M})\) 是满射；按构造，其核被映射 \(H^n(\mathcal{P}_i)\to H^n(\mathcal{P}_{i+1})\) 消去。每个 \(\mathcal{P}_i\) 都良好，因为由引理 0FSG，\(\mathcal{P}_0\) 良好，而每个 \(\mathcal{P}_{i+1}\) 都是容许短正合序列 \(0 \to \mathcal{P}_i \to \mathcal{P}_{i + 1} \to \mathcal{A}[\mathcal{S}_{i + 1}] \to 0\) 的中间项；其两端由归纳假设均良好。因此由引理 0FSC，\(\mathcal{P}_{i+1}\) 良好。最后，由引理 0FSD 得到 \(\mathcal{P}\) 良好。

证明

我们强烈建议读者在阅读本证明前，先阅读《微分分次代数》引理 09KP 的证明。置 \(\mathcal{M}=\mathcal{M}_0\)。归纳选取短正合序列 \[0 \to \mathcal{M}_{i + 1} \to \mathcal{P}_i \to \mathcal{M}_i \to 0\] 其中映射 \(\mathcal{P}_i\to\mathcal{M}_i\) 按引理 0FSE 选取。这给出一个“消解” \[\ldots \to \mathcal{P}_2 \xrightarrow{f_2} \mathcal{P}_1 \xrightarrow{f_1} \mathcal{P}_0 \to \mathcal{M} \to 0\] 然后令 \(\mathcal{P}\) 为如下定义的微分分次 \(\mathcal{A}\)-模：

作为分次 \(\mathcal{A}\)-模，置 \(\mathcal{P}=\bigoplus_{a\leq 0}\mathcal{P}_{-a}[-a]\)，即其次数 \(n\) 部分为 \(\mathcal{P}^n=\bigoplus\nolimits_{a+b=n}\mathcal{P}_{-a}^b\)；

\(\mathcal{P}\) 上的微分按与双复形相伴的全复形的构造给出： \[\text{d}_\mathcal{P}(x) = f_{-a}(x) + (-1)^a \text{d}_{\mathcal{P}_{-a}}(x)\] 其中 \(x\) 是 \(\mathcal{P}_{-a}^b\) 的局部截面。

在这些约定下，\(\mathcal{P}\) 确为微分分次 \(\mathcal{A}\)-模；细节从略。有微分分次 \(\mathcal{A}\)-模映射 \(\mathcal{P}\to\mathcal{M}\)：当 \(a<0\) 时，它在直和项 \(\mathcal{P}_{-a}[-a]\) 上为零；当 \(a=0\) 时，它是给定映射 \(\mathcal{P}_0\to\mathcal{M}\)。注意 \[\mathcal{P} = \colim_i F_i\mathcal{P}\] 其中 \(F_i\mathcal{P}\subset\mathcal{P}\) 是微分分次 \(\mathcal{A}\)-子模，其底层分次 \(\mathcal{A}\)-模为 \[F_i\mathcal{P} = \bigoplus\nolimits_{i \geq -a \geq 0} \mathcal{P}_{-a}[-a]\] 立即可见，映射 \[0 \to F_1\mathcal{P} \to F_2\mathcal{P} \to F_3\mathcal{P} \to \ldots \to \mathcal{P}\] 都是容许单态射，且有容许短正合序列 \[0 \to F_i\mathcal{P} \to F_{i + 1}\mathcal{P} \to \mathcal{P}_{i + 1}[i + 1] \to 0\] 由归纳法及引理 0FSC， \(F_i\mathcal{P}\) 是良好微分分次 \(\mathcal{A}\)-模。由于 \(\mathcal{P}=\colim F_i\mathcal{P}\)，由引理 0FSD 可知 \(\mathcal{P}\) 良好。

最后还需证明 \(\mathcal{P}\to\mathcal{M}\) 是拟同构。若 \(\mathcal{C}\) 有足够多的点，则逐茎检验后，该结论由《同调》引理 09IZ 这一初等结果得出。一般情形可如下论证（这个证明实在太长了；也可以像初等证明那样使用局部截面，但那种论证也相当长）。由于滤过余极限在阿贝尔群层范畴上正合，有 \[H^d(\mathcal{P}) = \colim H^d(F_i\mathcal{P})\] 我们断言，对每个 \(i\geq0\) 和 \(d\in\mathbf{Z}\)： (a) 有短正合序列 \[0 \to H^d(\mathcal{M}_{i + 1}[i]) \to H^d(F_i\mathcal{P}) \to H^d(\mathcal{M}) \to 0\] 其中第二个箭头来自 \(F_i\mathcal{P}\to\mathcal{P}\to\mathcal{M}\)；且 (b) 复合 \[H^d(\mathcal{M}_{i + 1}[i]) \to H^d(F_i\mathcal{P}) \to H^d(F_{i + 1}\mathcal{P})\] 为零。显然，该断言足以完成证明。

证明该断言。对任意 \(i\geq0\)，有映射 \(\mathcal{M}_{i+1}[i]\to F_i\mathcal{P}\)，它来自 \(\mathcal{M}_{i+1}\) 作为 \(f_i\) 的核到 \(\mathcal{P}_i\) 的包含。考虑定义 \(C_i\) 的 \(\mathcal{O}\)-模复形短正合序列 \[0 \to \mathcal{M}_{i + 1}[i] \to F_i\mathcal{P} \to C_i \to 0\] 注意 \(C_0=\mathcal{M}_0=\mathcal{M}\)。还要注意， \(C_i\) 是与双复形 \(C_i^{\bullet,\bullet}\) 相伴的全复形；该双复形的各列为 \[\mathcal{M}_i = \mathcal{P}_i/\mathcal{M}_{i + 1}, \mathcal{P}_{i - 1}, \ldots, \mathcal{P}_0\] 并分别处于次数 \(-i,-i+1,\ldots,0\)。有双复形映射 \(C_i^{\bullet,\bullet}\to C_{i-1}^{\bullet,\bullet}\)：在次数 \(-i\) 的列上为 \(0\)，在次数 \(-i+1\) 上为满射 \(\mathcal{P}_{i-1}\to\mathcal{M}_{i-1}\)，在其余各列上为恒等映射。因此有复形映射 \[C_i \longrightarrow C_{i - 1}\] 这些映射是满拟同构，因为其核是如下双复形的全复形：次数 \(-i,-i+1\) 的两列都是 \(\mathcal{M}_i\)，而这两列之间是恒等映射。利用由此得到的等同 \(H^d(C_i) = H^d(C_{i - 1} = \ldots = H^d(\mathcal{M})\) ，已经可知由上述复形短正合序列得到长正合序列 \[H^d(\mathcal{M}_{i + 1}[i]) \to H^d(F_i\mathcal{P}) \to H^d(\mathcal{M}) \to H^{d + 1}(\mathcal{M}_{i + 1}[i])\] 。另一方面，还有交换图 \[\xymatrix{ \mathcal{M}_{i + 2}[i + 1] \ar[r]_a & T_{i + 1} \ar[r] & F_{i + 1}\mathcal{P} \ar[r] & C_{i + 1} \ar[d] \\ & \mathcal{M}_{i + 1}[i] \ar[r] \ar[u]^b & F_i\mathcal{P} \ar[u] \ar[r] & C_i }\] 其中 \(T_{i+1}\) 是如下双复形的全复形：各列 \(\mathcal{P}_{i+1},\mathcal{M}_{i+1}\) 分别置于次数 \(-i-1,-i\)。换言之，\(T_{i+1}\) 是映射 \(\mathcal{P}_{i+1}\to\mathcal{M}_{i+1}\) 的锥的一个平移。于是 \(a\) 是拟同构，而映射 \(a^{-1}\circ b\) 是 \(D(\mathcal{O})\) 中与短正合序列 \[0 \to \mathcal{M}_{i + 2} \to \mathcal{P}_{i + 1} \to \mathcal{M}_{i + 1} \to 0\] 相伴的杰出三角的第三个映射的一个平移。映射 \(H^d(\mathcal{P}_{i+1})\to H^d(\mathcal{M}_{i+1})\) 是满射，因为选取映射时要求 \(\Ker(\text{d}_{\mathcal{P}_{i + 1}}) \to \Ker(\text{d}_{\mathcal{M}_{i+1}})\) 为满射。因此 \(a^{-1}\circ b\) 在上同调层上为零。这证明了断言的 (b)。由于 \(T_{i+1}\) 是复形满射 \(F_{i+1}\mathcal{P}\to C_i\) 的核，得到上同调长正合序列的映射 \[\xymatrix{ H^d(T_{i + 1}) \ar[r] & H^d(F_{i + 1}\mathcal{P}) \ar[r] & H^d(\mathcal{M}) \ar[r] & H^{d + 1}(T_{i + 1}) \\ H^d(\mathcal{M}_{i + 1}[i]) \ar[r] \ar[u] & H^d(F_i\mathcal{P}) \ar[r] \ar[u] & H^d(\mathcal{M}) \ar[r] \ar[u] & H^{d + 1}(\mathcal{M}_{i + 1}[i]) \ar[u] }\] 由上述讨论，外侧两个竖直映射为零。因此映射 \(H^d(F_{i+1}\mathcal{P})\to H^d(\mathcal{M})\) 是满射，断言的 (a) 随之成立。更确切地说，由此得到 \(i>0\) 时的断言；\(i=0\) 的情形留给读者（事实上，为得到本引理，只需对所有 \(i\gg0\) 证明该断言）。

引理

设 \((\mathcal{C},\mathcal{O})\) 是环化位点， \(\mathcal{A}\) 是 \((\mathcal{C},\mathcal{O})\) 上的微分分次代数层。设 \(\mathcal{P}\) 是良好的无环右微分分次 \(\mathcal{A}\)-模。

对任意微分分次左 \(\mathcal{A}\)-模 \(\mathcal{N}\)，张量积 \(\mathcal{P}\otimes_\mathcal{A}\mathcal{N}\) 无环；

对任意环化拓扑斯态射 \((f, f^\sharp) : (\Sh(\mathcal{C}'), \mathcal{O}') \to (\Sh(\mathcal{C}), \mathcal{O})\)、任意微分分次 \(\mathcal{O}'\)-代数 \(\mathcal{A}'\)，以及任意微分分次 \(f^{-1}\mathcal{O}\)-代数映射 \(\varphi:f^{-1}\mathcal{A}\to\mathcal{A}'\)，拉回 \(f^*\mathcal{P}\) 无环且良好。

证明

证明 (1)。由引理 0FSH，可以选取良好左微分分次 \(\mathcal{Q}\) 以及拟同构 \(\mathcal{Q}\to\mathcal{N}\)。于是 \(\mathcal{P} \otimes_\mathcal{A} \mathcal{Q}\) 无环，因为 \(\mathcal{Q}\) 良好。令 \(\mathcal{N}'\) 为映射 \(\mathcal{Q}\to\mathcal{N}\) 的锥。则 \(\mathcal{P}\otimes_\mathcal{A}\mathcal{N}'\) 无环，因为 \(\mathcal{P}\) 良好，而 \(\mathcal{N}'\) 作为拟同构的锥是无环的。按我们的三角结构构造，在 \(K(\textit{Mod}(\mathcal{A},\text{d}))\) 中有杰出三角 \[\mathcal{Q} \to \mathcal{N} \to \mathcal{N}' \to \mathcal{Q}[1]\] 。由于 \(\mathcal{P}\otimes_\mathcal{A}-\) 把杰出三角映到杰出三角，在 \(K(\textit{Mod}(\mathcal{O}))\) 中得到杰出三角 \[\mathcal{P} \otimes_\mathcal{A} \mathcal{Q} \to \mathcal{P} \otimes_\mathcal{A} \mathcal{N} \to \mathcal{P} \otimes_\mathcal{A} \mathcal{N}' \to \mathcal{P} \otimes_\mathcal{A} \mathcal{Q}[1]\] 从而得出结论。

证明 (2)。由良好模的定义，\(f^*\mathcal{P}\) 良好。回忆 \(f^*\mathcal{P} = f^{-1}\mathcal{P} \otimes_{f^{-1}\mathcal{A}} \mathcal{A}'\). 此时 \(f^{-1}\mathcal{P}\) 是良好的无环微分分次 \(f^{-1}\mathcal{A}\)-模（因为 \(f^{-1}\) 正合）。因此由 (1) 可知 \(f^*\mathcal{P}\) 无环。

分次模的微分分次包

分次模 \(\mathcal{N}\) 的微分分次包，是应用下列引理中的函子 \(G\) 所得的对象。

引理

设 \((\mathcal{C},\mathcal{O})\) 是环化位点， \(\mathcal{A}\) 是 \((\mathcal{C},\mathcal{O})\) 上的微分分次代数层。遗忘函子 \(F : \textit{Mod}(\mathcal{A}, \text{d}) \to \textit{Mod}(\mathcal{A})\) 有左伴随 \(G : \textit{Mod}(\mathcal{A})\to\textit{Mod}(\mathcal{A},\text{d})\)。

证明

为证明 \(G\) 存在，可以使用伴随函子定理；参见《范畴》定理 0AHQ （注意我们交换了 \(F\) 与 \(G\) 的角色）。由引理 0FRJ，\(F\) 满足正合性条件。集合论条件可如下验证：设给定分次 \(\mathcal{A}\)-模 \(\mathcal{N}\)。对任意映射 \[\varphi : \mathcal{N} \longrightarrow F(\mathcal{M})\] 可以考虑满足 \(\Im(\varphi)\subset F(\mathcal{M}')\) 的最小微分分次 \(\mathcal{A}\)-子模 \(\mathcal{M}'\subset\mathcal{M}\)。显然，\(\mathcal{M}'\) 是分次 \(\mathcal{A}\)-模映射 \[\mathcal{N} \oplus \mathcal{N}[-1] \otimes_\mathcal{O} \mathcal{A} \longrightarrow \mathcal{M}\] 的像，该映射定义为 \[(n, \sum n_i \otimes a_i) \longmapsto \varphi(n) + \sum \text{d}(\varphi(n_i)) a_i\] ，因为容易看出此映射的像是 \(\mathcal{M}\) 的微分分次子模。因此，这些 \(\mathcal{M}'\) 的可能同构类数目有界，结论得证。

设 \((\mathcal{C},\mathcal{O})\) 是环化位点， \(\mathcal{A}\) 是 \((\mathcal{C},\mathcal{O})\) 上的微分分次代数层， \(\mathcal{M}\) 是微分分次 \(\mathcal{A}\)-模，并设在 \(\textit{Mod}(\mathcal{A})\) 中有短正合序列 \[0 \to \mathcal{N} \to F(\mathcal{M}) \to \mathcal{N}' \to 0\] 。于是得到典范的分次 \(\mathcal{A}\)-模同态 \[\overline{\text{d}} : \mathcal{N} \to \mathcal{N}'[1]\] ，定义如下：给定 \(\mathcal{N}\) 的局部截面 \(x\)，把 \(x\) 视为 \(\mathcal{M}\) 的局部截面，并以 \(\overline{\text{d}}(x)\) 表示 \(\text{d}_\mathcal{M}(x)\) 在 \(\mathcal{N}'\) 中的像。

引理

引理 0FSK 中的函子 \(F,G\) 具有如下性质。给定分次 \(\mathcal{A}\)-模 \(\mathcal{N}\)，有

余单位 \(\mathcal{N}\to F(G(\mathcal{N}))\) 是单射；

映射 \(\overline{\text{d}}:\mathcal{N}\to \Coker(\mathcal{N}\to F(G(\mathcal{N})))[1]\) 是同构；

\(G(\mathcal{N})\) 是无环微分分次 \(\mathcal{A}\)-模。

证明

注意性质 (3) 是性质 (1) 与 (2) 的推论。事实上，若 \(s\) 是 \(F(G(\mathcal{N}))\) 的非零局部截面且 \(\text{d}(s)=0\)，则 \(s\) 不可能属于 \(\mathcal{N}\to F(G(\mathcal{N}))\) 的像。因此，\(s\) 在余核中的像 \(\overline{s}\) 可写为 \(\overline{\text{d}}(s')\)，其中 \(s'\) 是 \(\mathcal{N}\) 的某个局部截面。于是 \(s=\text{d}(s')\)，因为差 \(s-\text{d}(s')\) 仍属于 \(\text{d}\) 的核，并且包含在余单位的像中。

暂时以 \(\mathcal{A}_{gr}\)、\(\mathcal{A}_{dg}\) 分别表示把层 \(\mathcal{A}\) 视为其自身上的（右）分次模与（右）微分分次模。本引理最重要的情形是理解 \(G(\mathcal{A}_{gr})\)。当然，\(G(\mathcal{A}_{gr})\) 是 \(\textit{Mod}(\mathcal{A},\text{d})\) 中表示函子 \[\mathcal{M} \longmapsto \Hom_{\textit{Mod}(\mathcal{A})}(\mathcal{A}_{gr}, F(\mathcal{M})) = \Gamma(\mathcal{C}, \mathcal{M})\] 的对象。由评注 0FS8 可知，此函子由 \(C[-1]\) 表示，其中 \(C\) 是 \(\mathcal{A}_{dg}\) 恒等映射的锥。在 \(\textit{Mod}(\mathcal{A},\text{d})\) 中有短正合序列 \[0 \to \mathcal{A}_{dg}[-1] \to C[-1] \to \mathcal{A}_{dg} \to 0\] ，它在 \(\textit{Mod}(\mathcal{A})\) 中由余单位 \(\mathcal{A}_{gr}\to F(C[-1])\) 分裂。因此 \(G(\mathcal{A}_{gr})\) 满足性质 (1) 与 (2)。

设 \(U\) 是 \(\mathcal{C}\) 的对象。以 \(j_U:\mathcal{C}/U\to\mathcal{C}\) 表示局部化态射，以 \(\mathcal{A}_U\) 表示 \(\mathcal{A}\) 到 \(U\) 的限制。用记号 \(\mathcal{A}_{U,gr}\) 表示把 \(\mathcal{A}_U\) 视为分次 \(\mathcal{A}_U\)-模。以 \(F_U:\textit{Mod}(\mathcal{A}_U,\text{d})\to \textit{Mod}(\mathcal{A}_U)\) 表示遗忘函子，以 \(G_U\) 表示其伴随。此时有交换图 \[\vcenter{ \xymatrix{ \textit{Mod}(\mathcal{A}, \text{d}) \ar[d]_{j_U^*} \ar[r]_F & \textit{Mod}(\mathcal{A}) \ar[d]^{j_U^*} \\ \textit{Mod}(\mathcal{A}_U, \text{d}) \ar[r]^{F_U} & \textit{Mod}(\mathcal{A}_U) } } \quad\text{且}\quad \vcenter{ \xymatrix{ \textit{Mod}(\mathcal{A}_U, \text{d}) \ar[r]_{F_U} \ar[d]_{j_{U!}} & \textit{Mod}(\mathcal{A}_U) \ar[d]^{j_{U!}} \\ \textit{Mod}(\mathcal{A}, \text{d}) \ar[r]^F & \textit{Mod}(\mathcal{A}) } }\] ，这来自第 0FR7、 0FRT、0FR9 及 0FRV 节中对 \(j_U^*\) 与 \(j_{U!}\) 的构造。由伴随的唯一性得到 \(j_{U!}\circ G_U=G\circ j_{U!}\)。由于 \(j_{U!}\) 是正合函子，证明前一部分已经得到余单位 \(\mathcal{A}_{U,gr}\to F_U(G_U(\mathcal{A}_{U,gr}))\) 的性质 (1) 与 (2)，故这些性质也适用于余单位 \(j_{U!}\mathcal{A}_{U, gr} \to F(G(j_{U!}\mathcal{A}_{U, gr})) = j_{U!}F_U(G_U(\mathcal{A}_{U, gr}))\).

在引理 0FRD 的证明中，我们已经看到 \(\textit{Mod}(\mathcal{A})\) 的任意对象都是若干 \(j_{U!}\mathcal{A}_{U,gr}\) 副本之直和的商。由于 \(G\) 是左伴随，它与直和交换。因此，只要性质 (1) 与 (2) 对一族对象成立，就对它们的直和成立。由此， \(\textit{Mod}(\mathcal{A})\) 的每个对象 \(\mathcal{N}\) 都可置于正合序列 \[\mathcal{N}_1 \to \mathcal{N}_0 \to \mathcal{N} \to 0\] 中，使得 (1) 与 (2) 对 \(\mathcal{N}_1\) 和 \(\mathcal{N}_0\) 成立。利用 \(G\) 的右正合性，从中推出 \(\mathcal{N}\) 的 (1) 与 (2)，留给读者。

K-内射微分分次模

本节是在微分分次代数层上的微分分次模层这一背景下，与《内射对象》第 079I 节对应的内容。

引理

设 \((\mathcal{C},\mathcal{O})\) 是环化位点，\(\mathcal{A}\) 是 \((\mathcal{C},\mathcal{O})\) 上的分次代数层。存在集合 \(T\)，并且对每个 \(t\in T\) 存在分次 \(\mathcal{A}\)-模的单射 \(\mathcal{N}_t\to\mathcal{N}'_t\)，使得 \(\textit{Mod}(\mathcal{A})\) 的对象 \(\mathcal{I}\) 是内射对象，当且仅当对每个实线图 \[\xymatrix{ \mathcal{N}_t \ar[r] \ar[d] & \mathcal{I} \\ \mathcal{N}'_t \ar@{..>}[ru] }\] 在 \(\textit{Mod}(\mathcal{A})\) 中存在使图交换的虚线箭头。

证明

这在任意格罗滕迪克阿贝尔范畴中成立，参见《内射对象》引理 079G。由引理 0FRD，范畴 \(\textit{Mod}(\mathcal{A})\) 是格罗滕迪克阿贝尔范畴。

定义

设 \((\mathcal{C},\mathcal{O})\) 是环化位点， \((\mathcal{A},\text{d})\) 是 \((\mathcal{C},\mathcal{O})\) 上的微分分次代数层。若把 \(\mathcal{M}\) 视为分次 \(\mathcal{A}\)-模时，它是分次 \(\mathcal{A}\)-模范畴 \(\textit{Mod}(\mathcal{A})\) 的内射对象，则称微分分次 \(\mathcal{A}\)-模 \(\mathcal{I}\) 分次内射 ²。

注

设 \((\mathcal{C},\mathcal{O})\) 是环化位点， \((\mathcal{A},\text{d})\) 是 \((\mathcal{C},\mathcal{O})\) 上的微分分次代数层。设 \(\mathcal{I}\) 是分次内射微分分次 \(\mathcal{A}\)-模，并设 \[0 \to \mathcal{M}_1 \to \mathcal{M}_2 \to \mathcal{M}_3 \to 0\] 是微分分次 \(\mathcal{A}\)-模的短正合序列。由于 \(\mathcal{I}\) 分次内射，得到 \(\Gamma(\mathcal{C},\mathcal{O})\)-模复形的短正合序列 \[0 \to \Hom_{\textit{Mod}^{dg}(\mathcal{A}, \text{d})}(\mathcal{M}_3, \mathcal{I}) \to \Hom_{\textit{Mod}^{dg}(\mathcal{A}, \text{d})}(\mathcal{M}_2, \mathcal{I}) \to \Hom_{\textit{Mod}^{dg}(\mathcal{A}, \text{d})}(\mathcal{M}_1, \mathcal{I}) \to 0\] 。取上同调得到同伦范畴中同态群的长正合序列 \[\xymatrix{ \Hom_{K(\textit{Mod}(\mathcal{A}, \text{d}))}(\mathcal{M}_3, \mathcal{I}) \ar[d] & \Hom_{K(\textit{Mod}(\mathcal{A}, \text{d}))}(\mathcal{M}_3, \mathcal{I})[1] \ar[d] \\ \Hom_{K(\textit{Mod}(\mathcal{A}, \text{d}))}(\mathcal{M}_2, \mathcal{I}) \ar[d] & \Hom_{K(\textit{Mod}(\mathcal{A}, \text{d}))}(\mathcal{M}_2, \mathcal{I})[1] \ar[d] \\ \Hom_{K(\textit{Mod}(\mathcal{A}, \text{d}))}(\mathcal{M}_1, \mathcal{I}) \ar[ruu] & \Hom_{K(\textit{Mod}(\mathcal{A}, \text{d}))}(\mathcal{M}_1, \mathcal{I})[1] }\] 。关键在于，即使没有假设原短正合序列容许，我们仍得到这一序列（所以一般而言，该短正合序列并不在同伦范畴中定义杰出三角）。

引理

设 \((\mathcal{C},\mathcal{O})\) 是环化位点， \((\mathcal{A},\text{d})\) 是 \((\mathcal{C},\mathcal{O})\) 上的微分分次代数层。设 \(T\) 是集合，并且对每个 \(t\in T\)， \(\mathcal{I}_t\) 是分次内射微分分次 \(\mathcal{A}\)-模。则 \(\prod\mathcal{I}_t\) 是分次内射微分分次 \(\mathcal{A}\)-模。

证明

这是因为内射对象的直积仍内射，参见《同调》引理 0137；还因为通过遗忘函子， \(\textit{Mod}(\mathcal{A},\text{d})\) 中的直积与 \(\textit{Mod}(\mathcal{A})\) 中的直积相容。

引理

设 \((\mathcal{C},\mathcal{O})\) 是环化位点， \((\mathcal{A},\text{d})\) 是 \((\mathcal{C},\mathcal{O})\) 上的微分分次代数层。存在集合 \(T\)，并且对每个 \(t\in T\) 存在无环微分分次 \(\mathcal{A}\)-模的单射 \(\mathcal{M}_t\to\mathcal{M}'_t\)，使得对 \(\textit{Mod}(\mathcal{A},\text{d})\) 的对象 \(\mathcal{I}\)，下列条件等价：

\(\mathcal{I}\) 分次内射；

对每个实线图 \[\xymatrix{ \mathcal{M}_t \ar[r] \ar[d] & \mathcal{I} \\ \mathcal{M}'_t \ar@{..>}[ru] }\] 在 \(\textit{Mod}(\mathcal{A},\text{d})\) 中存在使图交换的虚线箭头。

证明

取引理 0FSN 中的 \(T\) 与 \(\mathcal{N}_t\to\mathcal{N}'_t\)。以 \(F:\textit{Mod}(\mathcal{A},\text{d})\to \textit{Mod}(\mathcal{A})\) 表示遗忘函子，以 \(G\) 表示引理 0FSK 中 \(F\) 的左伴随函子。置 \[\mathcal{M}_t = G(\mathcal{N}_t) \to G(\mathcal{N}'_t) = \mathcal{M}'_t\] 由引理 0FSL，这是无环微分分次 \(\mathcal{A}\)-模的单射。由于 \(G\) 是 \(F\) 的左伴随，下图中存在虚线箭头 \[\xymatrix{ \mathcal{M}_t \ar[r] \ar[d] & \mathcal{I} \\ \mathcal{M}'_t \ar@{..>}[ru] }\] 当且仅当下图中存在虚线箭头： \[\xymatrix{ \mathcal{N}_t \ar[r] \ar[d] & F(\mathcal{I}) \\ \mathcal{N}'_t \ar@{..>}[ru] }\] 因此，结论由箭头族 \(\mathcal{N}_t\to\mathcal{N}_t'\) 的选取方式得出。

引理

设 \((\mathcal{C},\mathcal{O})\) 是环化位点， \((\mathcal{A},\text{d})\) 是 \((\mathcal{C},\mathcal{O})\) 上的微分分次代数层。存在集合 \(S\)，并且对每个 \(s\) 存在无环微分分次 \(\mathcal{A}\)-模 \(\mathcal{M}_s\)，使得对每个非零无环微分分次 \(\mathcal{A}\)-模 \(\mathcal{M}\)，存在 \(s\in S\) 以及 \(\textit{Mod}(\mathcal{A},\text{d})\) 中的单射 \(\mathcal{M}_s\to\mathcal{M}\)。

证明

开始之前回忆，我们的约定保证位点 \(\mathcal{C}\) 的对象和态射构成集合，并有一个覆盖集合 \(\text{Cov}(\mathcal{C})\)。若 \(\mathcal{F}\) 是微分分次 \(\mathcal{A}\)-模，定义 \(|\mathcal{F}|\) 为 \[\coprod\nolimits_{(U, n)} \mathcal{F}^n(U)\] 的基数之和，其中 \(U\) 遍历 \(\mathcal{C}\) 的对象， \(n\in\mathbf{Z}\)。选取无限基数 \(\kappa\)，使其大于 \(|\Ob(\mathcal{C})|\)、\(|\text{Arrows}(\mathcal{C})|\)、 \(|\text{Cov}(\mathcal{C})|\)、所有 \(\{U_i\to U\}_{i\in I}\in\text{Cov}(\mathcal{C})\) 所对应的 \(\sup|I|\)，以及 \(|\mathcal{A}|\)。

设 \(\mathcal{F}\subset\mathcal{M}\) 是微分分次 \(\mathcal{A}\)-模的包含。设给定集合 \(K\)，并且对每个 \(k\in K\) 给定三元组 \((U_k,n_k,x_k)\)，其中 \(U_k\) 是 \(\mathcal{C}\) 的对象，\(n_k\) 是整数，而 \(x_k\in\mathcal{M}^{n_k}(U_k)\) 是截面。可以考虑包含 \(\mathcal{F}\) 以及所有 \(k\in K\) 对应截面 \(x_k\) 的最小微分分次 \(\mathcal{A}\)-子模 \(\mathcal{F}'\subset\mathcal{M}\)。可以把 \[(\mathcal{F}')^n(U) \subset \mathcal{M}^n(U)\] 描述为由满足如下条件的元素 \(x\in\mathcal{M}^n(U)\) 组成的集合：存在 \(\{f_i:U_i\to U\}_{i\in I}\in\text{Cov}(\mathcal{C})\)，使得对每个 \(i\in I\)，存在有限集 \(T_i\) 及态射 \(g_t:U_i\to U_{k_t}\)，且 \[f_i^*x = y_i + \sum\nolimits_{t \in T_i} a_{it}g_t^*x_{k_t} + b_{it}g_t^*\text{d}(x_{k_t})\] ，其中 \(y_i\in\mathcal{F}^n(U)\)，并且 \(a_{it}\in\mathcal{A}^{n-n_{k_t}}(U_i)\)、 \(b_{it}\in\mathcal{A}^{n-n_{k_t}-1}(U_i)\)。（细节从略；提示：这些截面显然属于 \(\mathcal{F}'\)，反过来则证明这条规则定义微分分次 \(\mathcal{A}\)-子模。）由此描述可知 \(|\mathcal{F}'| \leq \max(|\mathcal{F}|, |K|, \kappa)\).

设 \(\mathcal{M}\) 是非零无环微分分次 \(\mathcal{A}\)-模。则可找到整数 \(n\) 以及 \(\mathcal{M}^n\) 在 \(\mathcal{C}\) 某个对象 \(U\) 上的非零截面 \(x\)。令 \[\mathcal{F}_0 \subset \mathcal{M}\] 为包含 \(x\) 的最小微分分次 \(\mathcal{A}\)-子模。由上一段，\(|\mathcal{F}_0|\leq\kappa\)。归纳地，给定 \(\mathcal{F}_0,\ldots,\mathcal{F}_n\) 后，如下定义 \(\mathcal{F}_{n+1}\)。考虑三元组集合 \[L = \{(U, n, x)\} \{U_i \to U\}_{i \in I}, (x_i)_{i \in I})\}\] ，其中 \(U\) 是 \(\mathcal{C}\) 的对象，\(n\in\mathbf{Z}\)， \(x\in\mathcal{F}_n(U)\) 且 \(\text{d}(x)=0\)。由于 \(\mathcal{M}\) 无环，对每个三元组 \(l=(U_l,n_l,x_l)\in L\)，可以选取 \(\{(U_{l, i} \to U_l\}_{i \in I_l} \in \text{Cov}(\mathcal{C})\)，以及 \(x_{l, i} \in \mathcal{M}^{n_l - 1}(U_{l, i})\)，使得 \(\text{d}(x_{l, i}) = x|_{U_{l, i}}\)。然后置 \[K = \{(U_{l, i}, n_l - 1, x_{l, i}) \mid l \in L, i \in I_l\}\] 并令 \(\mathcal{F}_{n+1}\) 为 \(\mathcal{M}\) 中包含 \(\mathcal{F}_n\) 及所有截面 \(x_{l,i}\) 的最小微分分次 \(\mathcal{A}\)-子模。由于 \(|K|\leq\max(\kappa,|\mathcal{F}_n|)\)，归纳可得 \(|\mathcal{F}_{n+1}|\leq\kappa\)。

按构造，包含 \(\mathcal{F}_n\to\mathcal{F}_{n+1}\) 在上同调层上诱导零映射。因此 \(\mathcal{F}=\bigcup\mathcal{F}_n\) 是非零无环子模，且 \(|\mathcal{F}|\leq\kappa\)。由于满足 \(|\mathcal{F}|\) 有界的微分分次 \(\mathcal{A}\)-模 \(\mathcal{F}\) 的同构类只构成一个集合，结论得证。

定义

设 \((\mathcal{C},\mathcal{O})\) 是环化位点， \((\mathcal{A},\text{d})\) 是 \((\mathcal{C},\mathcal{O})\) 上的微分分次代数层。若对每个无环微分分次 \(\mathcal{M}\) 都有 \[\Hom_{K(\textit{Mod}(\mathcal{A}, \text{d}))}(\mathcal{M}, \mathcal{I}) = 0\] ，则称微分分次 \(\mathcal{A}\)-模 \(\mathcal{I}\) K-内射。

请注意这与《导出范畴》定义 070H 的相似之处。

引理

设 \((\mathcal{C},\mathcal{O})\) 是环化位点， \((\mathcal{A},\text{d})\) 是 \((\mathcal{C},\mathcal{O})\) 上的微分分次代数层。设 \(T\) 是集合，并且对每个 \(t\in T\)， \(\mathcal{I}_t\) 是 K-内射微分分次 \(\mathcal{A}\)-模。则 \(\prod\mathcal{I}_t\) 是 K-内射微分分次 \(\mathcal{A}\)-模。

证明

设 \(\mathcal{K}\) 是无环微分分次 \(\mathcal{A}\)-模。则有 \[\Hom_{\textit{Mod}^{dg}(\mathcal{A}, \text{d})}(\mathcal{K}, \prod\nolimits_{t \in T} \mathcal{I}_t) = \prod\nolimits_{t \in T} \Hom_{\textit{Mod}^{dg}(\mathcal{A}, \text{d})}(\mathcal{K}, \mathcal{I}_t)\] ，因为在 \(\textit{Mod}(\mathcal{A},\text{d})\) 中取直积，与到分次 \(\mathcal{A}\)-模范畴的遗忘函子交换。由于取直积在阿贝尔群范畴上是正合函子，结论得证。

引理

设 \((\mathcal{C},\mathcal{O})\) 是环化位点， \((\mathcal{A},\text{d})\) 是 \((\mathcal{C},\mathcal{O})\) 上的微分分次代数层。设 \(\mathcal{I}\) 是 \(\textit{Mod}(\mathcal{A},\text{d})\) 中既 K-内射又分次内射的对象。对 \(\textit{Mod}(\mathcal{A},\text{d})\) 中任意实线图 \[\xymatrix{ \mathcal{M} \ar[r]_a \ar[d]_b & \mathcal{I} \\ \mathcal{M}' \ar@{..>}[ru] }\] ，若 \(b\) 是单射且 \(\mathcal{M}\) 无环，则存在使图交换的虚线箭头。

证明

由于 \(\mathcal{M}\) 无环且 \(\mathcal{I}\) K-内射，存在次数为 \(-1\) 的分次 \(\mathcal{A}\)-模映射 \(h:\mathcal{M}\to\mathcal{I}\)，使得 \(a=\text{d}(h)\)。由于 \(\mathcal{I}\) 分次内射且 \(b\) 是单射，存在次数为 \(-1\) 的分次 \(\mathcal{A}\)-模映射 \(h':\mathcal{M}'\to\mathcal{I}\)，使得 \(h=h'\circ b\)。于是可取 \(a'=\text{d}(h')\) 为虚线箭头。

引理

设 \((\mathcal{C},\mathcal{O})\) 是环化位点， \((\mathcal{A},\text{d})\) 是 \((\mathcal{C},\mathcal{O})\) 上的微分分次代数层。设 \(\mathcal{I}\) 是 \(\textit{Mod}(\mathcal{A},\text{d})\) 中既 K-内射又分次内射的对象。对 \(\textit{Mod}(\mathcal{A},\text{d})\) 中任意实线图 \[\xymatrix{ \mathcal{M} \ar[r]_a \ar[d]_b & \mathcal{I} \\ \mathcal{M}' \ar@{..>}[ru] }\] ，若 \(b\) 是拟同构，则存在使图在同伦意义下交换的虚线箭头。

证明

把 \(\mathcal{M}'\) 替换为 \(\mathcal{M}'\) 与 \(\mathcal{M}\) 恒等映射之锥（后者无环）的直和后，可设 \(b\) 也是单射。此时 \(b\) 的余核 \(\mathcal{Q}\) 无环。因此 \[\Hom_{K(\textit{Mod}(\mathcal{A}, \text{d}))}(\mathcal{Q}, \mathcal{I}) = \Hom_{K(\textit{Mod}(\mathcal{A}, \text{d}))}(\mathcal{Q}, \mathcal{I})[1] = 0\] ，因为 \(\mathcal{I}\) K-内射。又因 \(\mathcal{I}\) 分次内射，由评注 0FSQ 可知 \[\Hom_{K(\textit{Mod}(\mathcal{A}, \text{d}))}(\mathcal{M}', \mathcal{I}) \longrightarrow \Hom_{K(\textit{Mod}(\mathcal{A}, \text{d}))}(\mathcal{M}, \mathcal{I})\] 是双射，证明完成。

引理

设 \((\mathcal{C},\mathcal{O})\) 是环化位点， \((\mathcal{A},\text{d})\) 是 \((\mathcal{C},\mathcal{O})\) 上的微分分次代数层。存在集合 \(R\)，并且对每个 \(r\in R\) 存在无环微分分次 \(\mathcal{A}\)-模的单射 \(\mathcal{M}_r\to\mathcal{M}'_r\)，使得对 \(\textit{Mod}(\mathcal{A},\text{d})\) 的对象 \(\mathcal{I}\)，下列条件等价：

\(\mathcal{I}\) 既 K-内射又分次内射；

对每个实线图 \[\xymatrix{ \mathcal{M}_r \ar[r] \ar[d] & \mathcal{I} \\ \mathcal{M}'_r \ar@{..>}[ru] }\] 在 \(\textit{Mod}(\mathcal{A},\text{d})\) 中存在使图交换的虚线箭头。

证明

取引理 0FSS 中的 \(T\) 与 \(\mathcal{M}_t\to\mathcal{M}'_t\)，并取引理 0FST 中的 \(S\) 与 \(\mathcal{M}_s\)。选取无环微分分次 \(\mathcal{A}\)-模的单射 \(\mathcal{M}_s\to\mathcal{M}'_s\)，使其零同伦。这是可能的，因为可取 \(\mathcal{M}'_s\) 为恒等映射的锥；在此情形下，甚至 \(\mathcal{M}'_s\) 上的恒等映射也零同伦，参见《微分分次代数》引理 09QK；由第 0FS3 节的讨论，该引理适用。我们断言，\(R=T\coprod S\) 连同给定映射满足要求。

蕴含 (1) \(\Rightarrow\) (2) 由引理 0FSW 得出。

假设 (2)。首先，由引理 0FSS 可知 \(\mathcal{I}\) 分次内射。其次，设 \(\mathcal{M}\) 是无环微分分次 \(\mathcal{A}\)-模。需要证明 \[\Hom_{K(\textit{Mod}(\mathcal{A}, \text{d}))}(\mathcal{M}, \mathcal{I}) = 0\] 其证明与《内射对象》引理 079L 的证明完全相同。

我们将按序数 \(\alpha\) 归纳构造无环微分分次子模 \(\mathcal{K}_\alpha\subset\mathcal{M}\)。当 \(\alpha=0\) 时，置 \(\mathcal{K}_0=0\)。当 \(\alpha>0\) 时，按如下方式进行：

若 \(\alpha=\beta+1\) 且 \(\mathcal{K}_\beta=\mathcal{M}\)，则取 \(\mathcal{K}_\alpha=\mathcal{K}_\beta\)。

若 \(\alpha=\beta+1\) 且 \(\mathcal{K}_\beta\ne\mathcal{M}\)，则 \(\mathcal{M}/\mathcal{K}_\beta\) 是非零无环微分分次 \(\mathcal{A}\)-模。选取微分分次 \(\mathcal{A}\)-子模 \(\mathcal{N}_\alpha\subset\mathcal{M}/\mathcal{K}_\beta\)，使其同构于某个 \(s\in S\) 所对应的 \(\mathcal{M}_s\)；参见引理 0FST。最后令 \(\mathcal{K}_\alpha\subset\mathcal{M}\) 为 \(\mathcal{N}_\alpha\) 的逆像。

若 \(\alpha\) 是极限序数，则置 \(\mathcal{K}_\beta = \colim \mathcal{K}_\alpha\).

显然，对某个充分大的序数 \(\alpha\)，有 \(\mathcal{M}=\mathcal{K}_\alpha\)。我们将对 \(\alpha\) 作超限归纳，证明 \[\Hom_{K(\textit{Mod}(\mathcal{A}, \text{d}))}(\mathcal{K}_\alpha, \mathcal{I})\] 为零。当 \(\alpha=0\) 时成立，因为 \(\mathcal{K}_0=0\)。假设对 \(\beta\) 成立，且 \(\alpha=\beta+1\)。在上述 (1) 情形中结论显然。在 (2) 情形中有短正合序列 \[0 \to \mathcal{K}_\beta \to \mathcal{K}_\alpha \to \mathcal{N}_\alpha \to 0\] 。由评注 0FSQ 以及已经证明的 \(\mathcal{I}\) 分次内射性，得到正合序列 \[\Hom_{K(\textit{Mod}(\mathcal{A}, \text{d}))}(\mathcal{K}_\beta, \mathcal{I}) \to \Hom_{K(\textit{Mod}(\mathcal{A}, \text{d}))}(\mathcal{K}_\alpha, \mathcal{I}) \to \Hom_{K(\textit{Mod}(\mathcal{A}, \text{d}))}(\mathcal{N}_\alpha, \mathcal{I})\] 。左项由归纳假设为零。右项由假设 (2) 为零：任意映射 \(\mathcal{M}_s\to\mathcal{I}\) 都经 \(\mathcal{M}'_s\) 分解，因而零同伦。所以中间群也为零。最后，设 \(\alpha\) 是极限序数。由于作为分次 \(\mathcal{A}\)-模还有 \(\mathcal{K}_\alpha = \colim \mathcal{K}_\alpha\) ，可见 \[\Hom_{\textit{Mod}^{dg}(\mathcal{A}, \text{d})} (\mathcal{K}_\alpha, \mathcal{I}) = \lim_{\beta < \alpha} \Hom_{\textit{Mod}^{dg}(\mathcal{A}, \text{d})} (\mathcal{K}_\beta, \mathcal{I})\] 是阿贝尔群复形的等式。这些复形的上同调群计算 \(K(\textit{Mod}(\mathcal{A},\text{d}))\) 中各平移之间的态射。由于 \(\mathcal{I}\) 分次内射，由评注 0FSQ，此复形系统中的转移映射为满射。此外，对极限序数 \(\beta\leq\alpha\)，极限与该处的值相等。故可应用《同调》引理 0AAT 得出结论。

引理

设 \((\mathcal{C},\mathcal{O})\) 是环化位点， \((\mathcal{A},\text{d})\) 是 \((\mathcal{C},\mathcal{O})\) 上的微分分次代数层。设 \(R\) 是集合，并且对每个 \(r\in R\) 给定无环微分分次 \(\mathcal{A}\)-模的单射 \(\mathcal{M}_r\to\mathcal{M}'_r\)。存在函子 \(M:\textit{Mod}(\mathcal{A},\text{d})\to \textit{Mod}(\mathcal{A},\text{d})\) 与自然变换 \(j:\text{id}\to M\)，使得

\(j_\mathcal{M}:\mathcal{M}\to M(\mathcal{M})\) 是单射且为拟同构；

对每个实线图 \[\xymatrix{ \mathcal{M}_r \ar[r] \ar[d] & \mathcal{M} \ar[d]^{j_\mathcal{M}} \\ \mathcal{M}'_r \ar@{..>}[r] & M(\mathcal{M}) }\] 在 \(\textit{Mod}(\mathcal{A},\text{d})\) 中存在使图交换的虚线箭头。

证明

把 \(M(\mathcal{M})\) 定义为下图中的推出： \[\xymatrix{ \bigoplus_{(r, \varphi)} \mathcal{M}_r \ar[r] \ar[d] & \mathcal{M} \ar[d] \\ \bigoplus_{(r, \varphi)} \mathcal{M}'_r \ar[r] & M(\mathcal{M}) }\] 其中直和遍历满足 \(r\in R\) 以及 \(\varphi\in \Hom_{\textit{Mod}(\mathcal{A}, \text{d})}(\mathcal{M}_r, \mathcal{M})\). 的所有偶对 \((r,\varphi)\)。由于单射的推出仍为单射， \(\mathcal{M}\to M(\mathcal{M})\) 是单射。由于左侧竖直箭头的余核无环，\(\mathcal{M}\to M(\mathcal{M})\) 与之同构的余核也无环，所以该映射是拟同构。性质 (2) 由构造成立。此过程确实可构成函子的验证从略。

定理

设 \((\mathcal{C},\mathcal{O})\) 是环化位点， \((\mathcal{A},\text{d})\) 是 \((\mathcal{C},\mathcal{O})\) 上的微分分次代数层。对每个微分分次 \(\mathcal{A}\)-模 \(\mathcal{M}\)，存在拟同构 \(\mathcal{M}\to\mathcal{I}\)，其中 \(\mathcal{I}\) 是既分次内射又 K-内射的微分分次 \(\mathcal{A}\)-模。此外，该构造关于 \(\mathcal{M}\) 具有函子性。

证明

取引理 0FSY 中找到的集合 \(R\) 以及 \(\textit{Mod}(\mathcal{A},\text{d})\) 的态射 \(\mathcal{M}_r\to\mathcal{M}'_r\)。取引理 0FSZ 利用这些数据构造的 \(M\) 与自然变换 \(\text{id}\to M\)。使用超限递归，如下定义函子序列 \(M_\alpha\) 以及当 \(\alpha<\beta\) 时的自然变换 \(M_\beta\to M_\alpha\)：

\(M_0=\text{id}\)；

\(M_{\alpha+1}=M\circ M_\alpha\)；当 \(\beta<\alpha+1\) 时，自然变换 \(M_\beta\to M_{\alpha+1}\) 来自已经构造的 \(M_\beta\to M_\alpha\)，以及由 \(\text{id}\to M\) 所得的映射 \(M_\alpha\to M\circ M_\alpha\)；

若 \(\alpha\) 是极限序数，则 \(M_\alpha=\colim_{\beta<\alpha}M_\beta\)，并以余投射作为当 \(\alpha<\beta\) 时的变换 \(M_\beta\to M_\alpha\)。

注意，对每个微分分次 \(\mathcal{A}\)-模，映射 \(\mathcal{M} \to M_\beta(\mathcal{M}) \to M_\alpha(\mathcal{M})\) 都是单的拟同构（因为滤过余极限正合）。

回忆 \(\textit{Mod}(\mathcal{A},\text{d})\) 是格罗滕迪克阿贝尔范畴。因此，由《内射对象》命题 079F （应用于所有 \(r\in R\) 对应的 \(\mathcal{M}_r\) 的直和），存在极限序数 \(\alpha\)，使每个 \(r\in R\) 对应的 \(\mathcal{M}_r\) 关于单射都是 \(\alpha\)-小的。我们断言 \(\mathcal{M}\to M_\alpha(\mathcal{M})\) 正是所需的函子性嵌入，它把 \(\mathcal{M}\) 嵌入一个分次内射且 K-内射的模中。

事实上，任意映射 \(\mathcal{M}_r\to M_\alpha(\mathcal{M})\) 都经某个 \(\beta<\alpha\) 对应的 \(M_\beta(\mathcal{M})\) 分解。而由 \(M\) 的构造，这意味着映射 \(\mathcal{M}_r\to M_{\beta+1}(\mathcal{M}) =M(M_\beta(\mathcal{M}))\) 经 \(\mathcal{M}'_r\) 分解。由于 \(M_\beta(\mathcal{M})\subset M_{\beta+1}(\mathcal{M}) \subset M_\alpha(\mathcal{M})\)，便得到所需的到 \(M_\alpha(\mathcal{M})\) 的分解。最后由引理 0FSY 中对 \(R\) 及 \(\mathcal{M}_r\to\mathcal{M}'_r\) 的选取得出结论。

导出范畴

本节对应《微分分次代数》第 09KV 节。

设 \((\mathcal{C},\mathcal{O})\) 是环化位点， \((\mathcal{A},\text{d})\) 是 \((\mathcal{C},\mathcal{O})\) 上的微分分次代数层。我们将通过逆转 \(K(\textit{Mod}(\mathcal{A},\text{d}))\) 中的拟同构来构造导出范畴 \(D(\mathcal{A},\text{d})\)。

引理

设 \((\mathcal{C},\mathcal{O})\) 是环化位点， \((\mathcal{A},\text{d})\) 是 \((\mathcal{C},\mathcal{O})\) 上的微分分次代数层。第 0FRH 节的函子 \(H^0 : \textit{Mod}(\mathcal{A}, \text{d}) \to \textit{Mod}(\mathcal{O})\) 经函子 \[H^0 : K(\textit{Mod}(\mathcal{A}, \text{d})) \to \textit{Mod}(\mathcal{O})\] 分解；后一函子在《导出范畴》定义 0147 的意义下是同调函子。

证明

由定义立即得到交换图 \[\xymatrix{ \textit{Mod}(\mathcal{A}, \text{d}) \ar[r] \ar[d] & K(\textit{Mod}(\mathcal{A}, \text{d})) \ar[d] \\ \text{Comp}(\mathcal{O}) \ar[r] & K(\textit{Mod}(\mathcal{O})) }\] 由于 \(H^0(\mathcal{M})\) 定义为 \(\mathcal{M}\) 的底层 \(\mathcal{O}\)-模复形的第零上同调层，本引理由 \(\mathcal{O}\)-模复形的情形得出；后者是《导出范畴》引理 05RS 的特例。

引理

设 \((\mathcal{C},\mathcal{O})\) 是环化位点， \((\mathcal{A},\text{d})\) 是 \((\mathcal{C},\mathcal{O})\) 上的微分分次代数层。同伦范畴 \(K(\textit{Mod}(\mathcal{A},\text{d}))\) 中由无环模组成的全子范畴 \(\text{Ac}\)，是 \(K(\textit{Mod}(\mathcal{A},\text{d}))\) 的严格全饱和三角子范畴。

证明

当然，\(K(\textit{Mod}(\mathcal{A},\text{d}))\) 的对象 \(\mathcal{M}\) 属于 \(\text{Ac}\)，当且仅当对所有 \(i\)， \(H^i(\mathcal{M})=H^0(\mathcal{M}[i])\) 均为零。本引理由此、引理 0FT2 及《导出范畴》引理 05RD 得出。另见《导出范畴》定义 05RB、 05QM 及引理 05QX。

引理

设 \((\mathcal{C},\mathcal{O})\) 是环化位点， \((\mathcal{A},\text{d})\) 是 \((\mathcal{C},\mathcal{O})\) 上的微分分次代数层。考虑由拟同构组成的子类 \(\text{Qis} \subset \text{Arrows}(K(\textit{Mod}(\mathcal{A}, \text{d})))\) 。这是一个饱和乘法系，并与 \(K(\textit{Mod}(\mathcal{A},\text{d}))\) 上的三角结构相容。

证明

注意，若 \(f,g:\mathcal{M}\to\mathcal{N}\) 是 \(\textit{Mod}(\mathcal{A},\text{d})\) 中彼此同伦的态射，则 \(f\) 是拟同构当且仅当 \(g\) 是拟同构。事实上，由引理 0FT2，映射 \(H^i(f)=H^0(f[i])\) 与 \(H^i(g)=H^0(g[i])\) 相同。因此，说同伦范畴 \(K(\textit{Mod}(\mathcal{A},\text{d}))\) 的某个态射是拟同构并无歧义。关于“乘法系”、“饱和” 及“与三角结构相容”的定义，参见《导出范畴》定义 05R2，以及《范畴》定义 04VC、 05Q8。

为实际证明本引理，考虑三角范畴间正合函子的复合 \[K(\textit{Mod}(\mathcal{A}, \text{d})) \longrightarrow K(\textit{Mod}(\mathcal{O})) \longrightarrow D(\mathcal{O})\] 。注意，\(K(\textit{Mod}(\mathcal{A},\text{d}))\) 的态射 \(f:\mathcal{M}\to\mathcal{N}\) 属于 \(\text{Qis}\)，当且仅当它在 \(D(\mathcal{O})\) 中映为同构。故本引理由《导出范畴》引理 05R4 得出。

在引理 0FT4 的情形下，可以应用《导出范畴》命题 05R6，得到三角范畴间的正合函子 \[Q : K(\textit{Mod}(\mathcal{A}, \text{d})) \longrightarrow \text{Qis}^{-1}K(\textit{Mod}(\mathcal{A}, \text{d}))\] 。然而，由于 \(\textit{Mod}(\mathcal{A},\text{d})\) 是“大” 范畴，即其对象构成真类，给定 \(\mathcal{M}\) 与 \(\mathcal{N}\) 后， \(\text{Qis}^{-1}K(\textit{Mod}(\mathcal{A},\text{d}))\) 的构造是否产生态射的一个集合 \[\Mor_{\text{Qis}^{-1}K(\textit{Mod}(\mathcal{A}, \text{d}))} (\mathcal{M}, \mathcal{N})\] ，并非立即清楚。不过，借助我们对 K-内射复形的构造，答案是肯定的。事实上，由定理 0FT0，可选取拟同构 \(s_0:\mathcal{N}\to\mathcal{I}\)，其中 \(\mathcal{I}\) 是既分次内射又 K-内射的微分分次 \(\mathcal{A}\)-模。回忆，上述集合的元素是偶对 \((f : \mathcal{M} \to \mathcal{N}', s : \mathcal{N} \to \mathcal{N}')\) 的等价类，其中 \(f\) 是 \(K(\textit{Mod}(\mathcal{A},\text{d}))\) 的任意态射， \(s\) 是拟同构；参见《范畴》第 04VB 节对左分式演算的描述。由引理 0FSX，可选取下图中的虚线箭头 \[\xymatrix{ \mathcal{M} \ar[rd]^f & & \mathcal{N} \ar[ld]_s \ar[rd]^{s_0} \\ & \mathcal{N}' \ar@{..>}[rr]^{s'} & & \mathcal{I} }\] 使图在同伦范畴中交换。因此，偶对 \((f,s)\) 等价于 \((s'\circ f,s_0)\)，从而这些等价类构成集合。

定义

设 \((\mathcal{C},\mathcal{O})\) 是环化位点， \((\mathcal{A},\text{d})\) 是 \((\mathcal{C},\mathcal{O})\) 上的微分分次代数层。令 \(\text{Qis}\) 如引理 0FT4 中所述。\((\mathcal{A},\text{d})\) 的导出范畴 是上文详细讨论的三角范畴 \[D(\mathcal{A}, \text{d}) = \text{Qis}^{-1}K(\textit{Mod}(\mathcal{A}, \text{d}))\]

下面证明关于这一构造的一些事实。

引理

在定义 0FT5 中，局部化函子 \(Q : K(\textit{Mod}(\mathcal{A}, \text{d})) \to D(\mathcal{A}, \text{d})\) 的核是引理 0FT3 中的范畴 \(\text{Ac}\)。

证明

这立即来自《导出范畴》引理 05R8，以及如下事实： \(0\to\mathcal{M}\) 是拟同构，当且仅当 \(\mathcal{M}\) 无环。

引理

在定义 0FT5 中，函子 \(H^0 : K(\textit{Mod}(\mathcal{A}, \text{d})) \to \textit{Mod}(\mathcal{O})\) 经同调函子 \(H^0 : D(\mathcal{A}, \text{d}) \to \textit{Mod}(\mathcal{O})\). 分解。

证明

立即来自《导出范畴》引理 05R7。

下面给出此前承诺的计算导出范畴中态射集的引理。

引理

设 \((\mathcal{C},\mathcal{O})\) 是环化位点， \((\mathcal{A},\text{d})\) 是 \((\mathcal{C},\mathcal{O})\) 上的微分分次代数层。设 \(\mathcal{M}\) 与 \(\mathcal{N}\) 是微分分次 \(\mathcal{A}\)-模，并设 \(\mathcal{N}\to\mathcal{I}\) 是拟同构，其中 \(\mathcal{I}\) 是既分次内射又 K-内射的微分分次 \(\mathcal{A}\)-模。则 \[\Hom_{D(\mathcal{A}, \text{d})}(\mathcal{M}, \mathcal{N}) = \Hom_{K(\textit{Mod}(\mathcal{A}, \text{d}))}(\mathcal{M}, \mathcal{I})\]

证明

由于 \(\mathcal{N}\to\mathcal{I}\) 是拟同构，有 \[\Hom_{D(\mathcal{A}, \text{d})}(\mathcal{M}, \mathcal{N}) = \Hom_{D(\mathcal{A}, \text{d})}(\mathcal{M}, \mathcal{I})\] 。在定义 0FT5 之前的讨论中，利用引理 0FSX 已经得到： \(D(\mathcal{A},\text{d})\) 中任意态射 \(\mathcal{M}\to\mathcal{I}\) 都可由 \(K(\textit{Mod}(\mathcal{A},\text{d}))\) 中的态射 \(f:\mathcal{M}\to\mathcal{I}\) 表示。现在，若 \(f,f':\mathcal{M}\to\mathcal{I}\) 是 \(K(\textit{Mod}(\mathcal{A},\text{d}))\) 中的两个态射，则它们在 \(D(\mathcal{A},\text{d})\) 中定义同一态射，当且仅当存在 \(K(\textit{Mod}(\mathcal{A},\text{d}))\) 中的拟同构 \(g:\mathcal{I}\to\mathcal{K}\)，使 \(g\circ f=g\circ f'\)；参见《范畴》引理 04VF。然而，由引理 0FSX，存在映射 \(h:\mathcal{K}\to\mathcal{I}\)，使得在 \(K(\textit{Mod}(\mathcal{A},\text{d}))\) 中 \(h\circ g=\text{id}_\mathcal{I}\)。故 \(g\circ f=g\circ f'\) 蕴含 \(f=f'\)，证明完成。

引理

设 \((\mathcal{C},\mathcal{O})\) 是环化位点， \((\mathcal{A},\text{d})\) 是 \((\mathcal{C},\mathcal{O})\) 上的微分分次代数层。则

\(D(\mathcal{A},\text{d})\) 既有直和也有直积；

直和通过取微分分次 \(\mathcal{A}\)-模的直和得到；

直积通过取 K-内射微分分次模的直积得到。

证明

我们将使用如下事实： \(\textit{Mod}(\mathcal{A},\text{d})\) 是具有任意直和与直积的阿贝尔范畴，而且这些运算在 \(K(\textit{Mod}(\mathcal{A},\text{d}))\) 中给出直和与直积。参见引理 0FRJ 与 0FS2。

设 \(\mathcal{M}_j\) 是一族微分分次 \(\mathcal{A}\)-模。把直和 \(\mathcal{M}=\bigoplus\mathcal{M}_j\) 视为微分分次 \(\mathcal{A}\)-模。对微分分次 \(\mathcal{A}\)-模 \(\mathcal{N}\)，选取拟同构 \(\mathcal{N}\to\mathcal{I}\)，其中 \(\mathcal{I}\) 作为微分分次 \(\mathcal{A}\)-模既分次内射又 K-内射；参见定理 0FT0。利用引理 0FT8，有 \[\begin{align*} \Hom_{D(\mathcal{A}, \text{d})}(\mathcal{M}, \mathcal{N}) & = \Hom_{K(\mathcal{A}, \text{d})}(\mathcal{M}, \mathcal{I}) \\ & = \prod \Hom_{K(\mathcal{A}, \text{d})}(\mathcal{M}_j, \mathcal{I}) \\ & = \prod \Hom_{D(\mathcal{A}, \text{d})}(\mathcal{M}_j, \mathcal{I}) \end{align*}\] 由此得到 \(D(A,\text{d})\) 中按本引理 (2) 所述的直和。

设 \(\mathcal{M}_j\) 是一族微分分次 \(\mathcal{A}\)-模。对每个 \(j\)，选取拟同构 \(\mathcal{M}\to\mathcal{I}_j\)，其中 \(\mathcal{I}_j\) 作为微分分次 \(\mathcal{A}\)-模既分次内射又 K-内射。考虑微分分次 \(\mathcal{A}\)-模的直积 \(\mathcal{I}=\prod\mathcal{I}_j\)。由引理 0FSV 与 0FSR，\(\mathcal{I}\) 作为微分分次 \(\mathcal{A}\)-模既分次内射又 K-内射。对微分分次 \(\mathcal{A}\)-模 \(\mathcal{N}\)，利用引理 0FT8 有 \[\begin{align*} \Hom_{D(\mathcal{A}, \text{d})}(\mathcal{N}, \mathcal{I}) & = \Hom_{K(\mathcal{A}, \text{d})}(\mathcal{N}, \mathcal{I}) \\ & = \prod \Hom_{K(\mathcal{A}, \text{d})}(\mathcal{N}, \mathcal{I}_j) \\ & = \prod \Hom_{D(\mathcal{A}, \text{d})}(\mathcal{N}, \mathcal{M}_j) \end{align*}\] 由此得到 \(D(\mathcal{A},\text{d})\) 中按本引理 (3) 所述的直积。

典范 \(\delta\)-函子

设 \((\mathcal{C},\mathcal{O})\) 是环化位点， \((\mathcal{A},\text{d})\) 是 \((\mathcal{C},\mathcal{O})\) 上的微分分次代数层。考虑函子 \(\textit{Mod}(\mathcal{A}, \text{d}) \to K(\textit{Mod}(\mathcal{A}, \text{d}))\). 一般而言，该函子不是 \(\delta\)-函子。然而，函子 \(\textit{Mod}(\mathcal{A},\text{d})\to D(A,\text{d})\) 却是 \(\delta\)-函子。为说明这一点，必须定义与阿贝尔范畴 \(\textit{Mod}(\mathcal{A},\text{d})\) 中短正合序列 \[0 \to \mathcal{K} \xrightarrow{a} \mathcal{L} \xrightarrow{b} \mathcal{M} \to 0\] 相伴的态射 \(\delta\)。考虑态射 \(a\) 的锥 \(C(a)\)，连同其典范态射 \(i:\mathcal{L}\to C(a)\) 与 \(p:C(a)\to\mathcal{K}[1]\)；参见定义 0FS5。存在微分分次 \(\mathcal{A}\)-模同态 \[q : C(a) \longrightarrow \mathcal{M}\] ，它由《微分分次代数》引理 09P7 应用于图 \[\xymatrix{ \mathcal{K} \ar[r]_a \ar[d] & \mathcal{L} \ar[d]^b \\ 0 \ar[r] & \mathcal{M} }\] 得到（由第 0FS3 节的讨论，我们可以使用该引理）。映射 \(q\) 是拟同构；例如，这是因为在 \(\mathcal{O}\)-模复形的态射范畴中该结论成立，参见《导出范畴》第 014Z 节的讨论。根据《微分分次代数》引理 09QU （由第 0FS3 节的讨论，我们可以使用该引理），三角 \[(\mathcal{K}, \mathcal{L}, C(a), a, i, -p)\] 是 \(K(\textit{Mod}(\mathcal{A},\text{d}))\) 中的杰出三角。由于局部化函子 \(K(\textit{Mod}(\mathcal{A},\text{d}))\to D(\mathcal{A},\text{d})\) 正合， \((\mathcal{K},\mathcal{L},C(a),a,i,-p)\) 也是 \(D(\mathcal{A},\text{d})\) 中的杰出三角。由于 \(q\) 是拟同构，它在 \(D(\mathcal{A},\text{d})\) 中是同构。因此推出 \[(\mathcal{K}, \mathcal{L}, \mathcal{M}, a, b, -p \circ q^{-1})\] 是 \(D(\mathcal{A},\text{d})\) 中的杰出三角。这提示了下列引理。

引理

设 \((\mathcal{C},\mathcal{O})\) 是环化位点， \((\mathcal{A},\text{d})\) 是 \((\mathcal{C},\mathcal{O})\) 上的微分分次代数层。局部化函子 \(\textit{Mod}(\mathcal{A}, \text{d}) \to D(\mathcal{A}, \text{d})\) 具有 \(\delta\)-函子的自然结构，其中 \[\delta_{\mathcal{K} \to \mathcal{L} \to \mathcal{M}} = - p \circ q^{-1}\] ，\(p\) 与 \(q\) 如上所述。

证明

我们已经看到，对任意复形短正合序列，这一选择给出杰出三角。还需证明此构造的函子性；参见《导出范畴》定义 0150。稍作推演，这可由《微分分次代数》引理 09P7 得出（由第 0FS3 节的讨论，我们可以使用该引理）。可比较《导出范畴》引理 0152。

引理

设 \((\mathcal{C},\mathcal{O})\) 是环化位点， \((\mathcal{A},\text{d})\) 是 \((\mathcal{C},\mathcal{O})\) 上的微分分次代数层。设 \(\mathcal{M}_n\) 是微分分次 \(\mathcal{A}\)-模系统。则 \(D(\mathcal{A},\text{d})\) 中的导出余极限 \(\text{hocolim}\mathcal{M}_n\) 由微分分次模 \(\colim\mathcal{M}_n\) 表示。

证明

置 \(\mathcal{M}=\colim\mathcal{M}_n\)。由《导出范畴》引理 093W （应用于底层 \(\mathcal{O}\)-模复形），有微分分次 \(\mathcal{A}\)-模的正合序列 \[0 \to \bigoplus \mathcal{M}_n \to \bigoplus \mathcal{M}_n \to \mathcal{M} \to 0\] 。由引理 0FT9，这些直和也是 \(D(\mathcal{A},\text{d})\) 中的直和。因此，结论来自《导出范畴》定义 090Z 中的导出余极限定义，以及复形短正合序列给出杰出三角这一事实（引理 0FTB）。

导出拉回

设 \((f, f^\sharp) : (\Sh(\mathcal{C}), \mathcal{O}_\mathcal{C}) \to (\Sh(\mathcal{D}), \mathcal{O}_\mathcal{D})\) 是环化拓扑斯态射。设 \(\mathcal{A}\) 是微分分次 \(\mathcal{O}_\mathcal{C}\)-代数，\(\mathcal{B}\) 是微分分次 \(\mathcal{O}_\mathcal{D}\)-代数。设给定微分分次 \(f^{-1}\mathcal{O}_\mathcal{D}\)-代数映射 \[\varphi : f^{-1}\mathcal{B} \to \mathcal{A}\] 。由标量限制与标量扩张的伴随性，这等价于微分分次 \(\mathcal{O}_\mathcal{C}\)-代数映射 \(\varphi:f^*\mathcal{B}\to\mathcal{A}\)；等价地， \(\varphi\) 可视为微分分次 \(\mathcal{O}_\mathcal{D}\)-代数映射 \[\varphi : \mathcal{B} \to f_*\mathcal{A}\] 。参见评注 0FRG。

除上述数据外，再设 \(\mathcal{A}'\) 是另一个微分分次 \(\mathcal{O}_\mathcal{C}\)-代数，\(\mathcal{N}\) 是微分分次 \((\mathcal{A},\mathcal{A}')\)-双模。在此情形下可考虑函子 \[\textit{Mod}(\mathcal{B}, \text{d}) \longrightarrow \textit{Mod}(\mathcal{A}', \text{d}),\quad \mathcal{M} \longmapsto f^*\mathcal{M} \otimes_{\mathcal{A}} \mathcal{N}\] 注意，由第 0FRT 与 0FRP 节的讨论，它延拓为微分分次范畴间的函子 \[\textit{Mod}^{dg}(\mathcal{B}, \text{d}) \longrightarrow \textit{Mod}^{dg}(\mathcal{A}', \text{d}),\quad \mathcal{M} \longmapsto f^*\mathcal{M} \otimes_{\mathcal{A}} \mathcal{N}\] 。形式地随之得到三角范畴间的正合函子 [0FTE]\[\begin{equation} K(\textit{Mod}(\mathcal{B}, \text{d})) \longrightarrow K(\textit{Mod}(\mathcal{A}', \text{d})),\quad \mathcal{M} \longmapsto f^*\mathcal{M} \otimes_{\mathcal{A}} \mathcal{N} \end{equation}\] 。

引理

在上述情形下，函子 (0FTE) 与局部化函子 \(K(\textit{Mod}(\mathcal{A}', \text{d})) \to D(\mathcal{A}', \text{d})\) 的复合有左导出延拓 \(D(\mathcal{B},\text{d})\to D(\mathcal{A}',\text{d})\)；它在良好右微分分次 \(\mathcal{B}\)-模 \(\mathcal{P}\) 上的值为 \(f^*\mathcal{P}\otimes_\mathcal{A}\mathcal{N}\)。

证明

回忆，对任意（右）微分分次 \(\mathcal{B}\)-模 \(\mathcal{M}\)，存在拟同构 \(\mathcal{P}\to\mathcal{M}\)，其中 \(\mathcal{P}\) 是良好微分分次 \(\mathcal{B}\)-模；参见引理 0FSH。因此，由《导出范畴》引理 06XN，只需证明：给定良好微分分次 \(\mathcal{B}\)-模间的拟同构 \(\mathcal{P}\to\mathcal{P}'\)，诱导映射 \[f^*\mathcal{P} \otimes_\mathcal{A} \mathcal{N} \longrightarrow f^*\mathcal{P}' \otimes_\mathcal{A} \mathcal{N}\] 是拟同构。由引理 0FSC， \(\mathcal{P}\to\mathcal{P}'\) 的锥 \(\mathcal{P}''\) 是良好微分分次 \(\mathcal{A}\)-模。由于在 \(K(\textit{Mod}(\mathcal{B},\text{d}))\) 中有杰出三角 \[\mathcal{P} \to \mathcal{P}' \to \mathcal{P}'' \to \mathcal{P}[1]\] ，在 \(K(\textit{Mod}(\mathcal{A}',\text{d}))\) 中得到杰出三角 \[f^*\mathcal{P} \otimes_\mathcal{A} \mathcal{N} \to f^*\mathcal{P}' \otimes_\mathcal{A} \mathcal{N} \to f^*\mathcal{P}'' \otimes_\mathcal{A} \mathcal{N} \to f^*\mathcal{P}[1] \otimes_\mathcal{A} \mathcal{N}\] 。由引理 0FSI，微分分次模 \(f^*\mathcal{P}'' \otimes_\mathcal{A} \mathcal{N}\) 无环，证明完成。

定义

导出张量积与导出拉回。

设 \((\mathcal{C},\mathcal{O})\) 是环化位点， \(\mathcal{A},\mathcal{B}\) 是微分分次 \(\mathcal{O}\)-代数， \(\mathcal{N}\) 是微分分次 \((\mathcal{A},\mathcal{B})\)-双模。引理 0FTF 中构造的函子 \(D(\mathcal{A},\text{d})\to D(\mathcal{B},\text{d})\) 称为导出张量积，记作 \(-\otimes_\mathcal{A}^\mathbf{L}\mathcal{N}\)。

设 \((f, f^\sharp) : (\Sh(\mathcal{C}), \mathcal{O}_\mathcal{C}) \to (\Sh(\mathcal{D}), \mathcal{O}_\mathcal{D})\) 是环化拓扑斯态射，\(\mathcal{A}\) 是微分分次 \(\mathcal{O}_\mathcal{C}\)-代数，\(\mathcal{B}\) 是微分分次 \(\mathcal{O}_\mathcal{D}\)-代数，并设 \(\varphi:\mathcal{B}\to f_*\mathcal{A}\) 是微分分次 \(\mathcal{O}_\mathcal{D}\)-代数同态。引理 0FTF 中构造的函子 \(D(\mathcal{B},\text{d})\to D(\mathcal{A},\text{d})\) 称为导出拉回，记作 \(Lf^*\)。

有了这些术语，可以表述一些显然的相容性。

引理

引理 0FTF 中的函子 \(D(\mathcal{B},\text{d})\to D(\mathcal{A}',\text{d})\) 等于 \(\mathcal{M} \mapsto Lf^*\mathcal{M} \otimes_\mathcal{A}^\mathbf{L} \mathcal{N}\).

证明

这是立即的，因为可用良好微分分次模表示对象来计算这些函子，并且当 \(\mathcal{P}\) 是良好微分分次 \(\mathcal{B}\)-模时， \(f^*\mathcal{P}\) 是良好微分分次 \(\mathcal{A}\)-模。

引理

设 \((f, f^\sharp) : (\Sh(\mathcal{C}), \mathcal{O}) \to (\Sh(\mathcal{C}'), \mathcal{O}')\) 与 \((g, g^\sharp) : (\Sh(\mathcal{C}'), \mathcal{O}') \to (\Sh(\mathcal{C}''), \mathcal{O}'')\) 是环化拓扑斯态射。设 \(\mathcal{A},\mathcal{A}',\mathcal{A}''\) 分别是微分分次 \(\mathcal{O}\)-代数、 \(\mathcal{O}'\)-代数、\(\mathcal{O}''\)-代数。设 \(\varphi : \mathcal{A}' \to f_*\mathcal{A}\) 与 \(\varphi' : \mathcal{A}'' \to g_*\mathcal{A}'\) 分别是微分分次 \(\mathcal{O}'\)-代数同态与 \(\mathcal{O}''\)-代数同态。则 \(L(g \circ f)^* = Lf^* \circ Lg^* : D(\mathcal{A}'', \text{d}) \to D(\mathcal{A}, \text{d})\).

证明

这是立即的，因为可用良好微分分次模表示对象来计算这些函子，并且当 \(\mathcal{P}\) 是良好微分分次 \(\mathcal{A}\)-模时， \(f^*\mathcal{P}\) 是良好微分分次 \(\mathcal{A}'\)-模。

设 \((\mathcal{C},\mathcal{O})\) 是环化位点， \(\mathcal{A},\mathcal{B}\) 是微分分次 \(\mathcal{O}\)-代数。设 \(\mathcal{N}\to\mathcal{N}'\) 是微分分次 \((\mathcal{A},\mathcal{B})\)-双模同态。于是得到典范映射 \[t : \mathcal{M} \otimes_\mathcal{A}^\mathbf{L} \mathcal{N} \longrightarrow \mathcal{M} \otimes_\mathcal{A}^\mathbf{L} \mathcal{N}'\] ，它关于 \(D(\mathcal{A},\text{d})\) 中的 \(\mathcal{M}\) 具有函子性，并定义三角范畴间正合函子 \(D(\mathcal{A},\text{d})\to D(\mathcal{B},\text{d})\) 之间的自然变换。\(t\) 在良好微分分次 \(\mathcal{A}\)-模 \(\mathcal{P}\) 上的值是显然的映射 \[\mathcal{P} \otimes_\mathcal{A}^\mathbf{L} \mathcal{N} = \mathcal{P} \otimes_\mathcal{A} \mathcal{N} \longrightarrow \mathcal{P} \otimes_\mathcal{A} \mathcal{N}' = \mathcal{P} \otimes_\mathcal{A}^\mathbf{L} \mathcal{N}'\]

引理

在上述情形下，若 \(\mathcal{N}\to\mathcal{N}'\) 在上同调层上是同构，则 \(t\) 是函子之间的同构 \((- \otimes_\mathcal{A}^\mathbf{L} \mathcal{N}) \to (- \otimes_\mathcal{A}^\mathbf{L} \mathcal{N}')\).

证明

只需证明，对任意良好微分分次 \(\mathcal{A}\)-模 \(\mathcal{P}\)，映射 \(\mathcal{P} \otimes_\mathcal{A} \mathcal{N} \to \mathcal{P} \otimes_\mathcal{A} \mathcal{N}'\) 在上同调层上是同构。为此，令 \(\mathcal{N}''\) 为把 \(\mathcal{N}\to\mathcal{N}'\) 视为微分分次左 \(\mathcal{A}\)-模映射时的锥；参见定义 0FS5。（当然，\(\mathcal{N}''\) 也是双模，但我们不需要这一点。）由张量积构造的函子性（它是微分分次范畴间的函子）， \(\mathcal{P}\otimes_\mathcal{A}\mathcal{N}''\) 作为 \(\mathcal{O}\)-模复形，是映射 \(\mathcal{P} \otimes_\mathcal{A} \mathcal{N} \to \mathcal{P} \otimes_\mathcal{A} \mathcal{N}'\). 的锥。因此只需证明 \(\mathcal{P} \otimes_\mathcal{A} \mathcal{N}''\) 无环。这是因为 \(\mathcal{P}\) 良好，而 \(\mathcal{N}''\) 作为拟同构的锥是无环的。

引理

设 \((\mathcal{C},\mathcal{O})\) 是环化位点， \(\mathcal{A},\mathcal{B}\) 是微分分次 \(\mathcal{O}\)-代数， \(\mathcal{N}\) 是微分分次 \((\mathcal{A},\mathcal{B})\)-双模。若 \(\mathcal{N}\) 作为微分分次左 \(\mathcal{A}\)-模良好，则对所有微分分次 \(\mathcal{A}\)-模 \(\mathcal{M}\)，有 \(\mathcal{M}\otimes_\mathcal{A}^\mathbf{L}\mathcal{N} =\mathcal{M}\otimes_\mathcal{A}\mathcal{N}\)。

证明

设 \(\mathcal{P}\to\mathcal{M}\) 是拟同构，其中 \(\mathcal{P}\) 是良好（右）微分分次 \(\mathcal{A}\)-模。为证明本引理，需要说明 \(\mathcal{P} \otimes_\mathcal{A} \mathcal{N} \to \mathcal{M} \otimes_\mathcal{A} \mathcal{N}\) 是拟同构。映射 \(\mathcal{P}\to\mathcal{M}\) 的锥 \(C\) 是无环右微分分次 \(\mathcal{A}\)-模。由于假设 \(\mathcal{N}\) 作为微分分次左 \(\mathcal{A}\)-模良好， \(C\otimes_\mathcal{A}\mathcal{N}\) 无环。而作为 \(\mathcal{O}\)-模复形，\(C\otimes_\mathcal{A}\mathcal{N}\) 是映射 \(\mathcal{P}\otimes_\mathcal{A}\mathcal{N}\to \mathcal{M}\otimes_\mathcal{A}\mathcal{N}\) 的锥，故结论成立。

引理

设 \((\mathcal{C},\mathcal{O})\) 是环化位点， \(\mathcal{A},\mathcal{A}',\mathcal{A}''\) 是微分分次 \(\mathcal{O}\)-代数。设 \(\mathcal{N}\) 与 \(\mathcal{N}'\) 分别是微分分次 \((\mathcal{A},\mathcal{A}')\)-双模和 \((\mathcal{A}',\mathcal{A}'')\)-双模。假设典范映射 \[\mathcal{N} \otimes_{\mathcal{A}'}^\mathbf{L} \mathcal{N}' \longrightarrow \mathcal{N} \otimes_{\mathcal{A}'} \mathcal{N}'\] 在 \(D(\mathcal{A}'',\text{d})\) 中是拟同构。则 \[(\mathcal{M} \otimes_\mathcal{A}^\mathbf{L} \mathcal{N}) \otimes_{\mathcal{A}'}^\mathbf{L} \mathcal{N}' = \mathcal{M} \otimes_\mathcal{A}^\mathbf{L} (\mathcal{N} \otimes_{\mathcal{A}'} \mathcal{N}')\] 是函子 \(D(\mathcal{A},\text{d})\to D(\mathcal{A}'',\text{d})\) 的等式。

证明

选取良好微分分次 \(\mathcal{A}\)-模 \(\mathcal{P}\) 以及拟同构 \(\mathcal{P}\to\mathcal{M}\)；参见引理 0FSH。则 \[\mathcal{M} \otimes_\mathcal{A}^\mathbf{L} (\mathcal{N} \otimes_{\mathcal{A}'} \mathcal{N}') = \mathcal{P} \otimes_\mathcal{A} \mathcal{N} \otimes_{\mathcal{A}'} \mathcal{N}'\] 并且 \[(\mathcal{M} \otimes_\mathcal{A}^\mathbf{L} \mathcal{N}) \otimes_{\mathcal{A}'}^\mathbf{L} \mathcal{N}' = (\mathcal{P} \otimes_\mathcal{A} \mathcal{N}) \otimes_{\mathcal{A}'}^\mathbf{L} \mathcal{N}'\] 因此需要证明典范映射 \[(\mathcal{P} \otimes_\mathcal{A} \mathcal{N}) \otimes_{\mathcal{A}'}^\mathbf{L} \mathcal{N}' \longrightarrow \mathcal{P} \otimes_\mathcal{A} \mathcal{N} \otimes_{\mathcal{A}'} \mathcal{N}'\] 是拟同构。选取拟同构 \(\mathcal{Q}\to\mathcal{N}'\)，其中 \(\mathcal{Q}\) 是良好左微分分次 \(\mathcal{A}'\)-模（引理 0FSH）。由引理 0FTK，上面的映射作为 \(\mathcal{O}\)-模导出范畴中的映射是 \[\mathcal{P} \otimes_\mathcal{A} \mathcal{N} \otimes_{\mathcal{A}'} \mathcal{Q} \longrightarrow \mathcal{P} \otimes_\mathcal{A} \mathcal{N} \otimes_{\mathcal{A}'} \mathcal{N}'\] 。依假设， \(\mathcal{N}\otimes_{\mathcal{A}'}\mathcal{Q}\to \mathcal{N}\otimes_{\mathcal{A}'}\mathcal{N}'\) 是拟同构；又因 \(\mathcal{P}\) 是良好微分分次 \(\mathcal{A}\)-模，由引理 0FTJ，此映射是拟同构（左端与右端分别计算 \(\mathcal{P}\otimes_\mathcal{A}^\mathbf{L} (\mathcal{N}\otimes_{\mathcal{A}'}\mathcal{Q})\) 和 \(\mathcal{P}\otimes_\mathcal{A}^\mathbf{L} (\mathcal{N}\otimes_{\mathcal{A}'}\mathcal{N}')\)；也可以直接重复该引理证明中的论证）。

导出直像

足够多 K-内射对象的存在性保证：可以对同伦范畴上的任意正合函子取右导出函子。

引理

设 \((\mathcal{C},\mathcal{O})\) 是环化位点， \((\mathcal{A},\text{d})\) 是 \((\mathcal{C},\mathcal{O})\) 上的微分分次代数层。则三角范畴间的任意正合函子 \[T : K(\textit{Mod}(\mathcal{A}, \text{d})) \longrightarrow \mathcal{D}\] 都有右导出延拓 \(RT:D(\mathcal{A},\text{d})\to\mathcal{D}\)；它在既分次内射又 K-内射的微分分次 \(\mathcal{A}\)-模 \(\mathcal{I}\) 上的值为 \(T(\mathcal{I})\)。

证明

由定理 0FT0，对任意（右）微分分次 \(\mathcal{A}\)-模 \(\mathcal{M}\)，存在拟同构 \(\mathcal{M}\to\mathcal{I}\)，其中 \(\mathcal{I}\) 是既分次内射又 K-内射的微分分次 \(\mathcal{A}\)-模。因此，由《导出范畴》引理 06XN，只需证明：若 \(\mathcal{I}\to\mathcal{I}'\) 是两个既分次内射又 K-内射的微分分次 \(\mathcal{A}\)-模之间的拟同构，则 \(T(\mathcal{I})\to T(\mathcal{I}')\) 是同构。这确实成立，因为由引理 0FT8 可知 \(\mathcal{I}\to\mathcal{I}'\) 在 \(K(\textit{Mod}(\mathcal{A},\text{d}))\) 中是同构（也可由引理 0FSX 推出）。

我们已经见过若干可应用此结果的函子。下面给出两个例子。

定义

导出内 Hom 与导出直像。

设 \((\mathcal{C},\mathcal{O})\) 是环化位点， \(\mathcal{A},\mathcal{B}\) 是微分分次 \(\mathcal{O}\)-代数， \(\mathcal{N}\) 是微分分次 \((\mathcal{A},\mathcal{B})\)-双模。内 Hom 函子 \(\SheafHom_\mathcal{B}^{dg}(\mathcal{N},-)\) 的右导出延拓 \[R\SheafHom_\mathcal{B}(\mathcal{N}, -) : D(\mathcal{B}, \text{d}) \longrightarrow D(\mathcal{A}, \text{d})\] 称为导出内 Hom。

设 \((f, f^\sharp) : (\Sh(\mathcal{C}), \mathcal{O}_\mathcal{C}) \to (\Sh(\mathcal{D}), \mathcal{O}_\mathcal{D})\) 是环化拓扑斯态射，\(\mathcal{A}\) 是微分分次 \(\mathcal{O}_\mathcal{C}\)-代数，\(\mathcal{B}\) 是微分分次 \(\mathcal{O}_\mathcal{D}\)-代数，并设 \(\varphi:\mathcal{B}\to f_*\mathcal{A}\) 是微分分次 \(\mathcal{O}_\mathcal{D}\)-代数同态。直像 \(f_*\) 的右导出延拓 \[Rf_* : D(\mathcal{A}, \text{d}) \longrightarrow D(\mathcal{B}, \text{d})\] 称为导出直像。

事实证明， \(Rf_* : D(\mathcal{A}, \text{d}) \to D(\mathcal{B}, \text{d})\) 与底层 \(\mathcal{O}\)-模复形上的导出直像一致；参见引理 0FTW。

这些函子分别是导出拉回与导出张量积的伴随。

引理

设 \((\mathcal{C},\mathcal{O})\) 是环化位点， \(\mathcal{A},\mathcal{B}\) 是微分分次 \(\mathcal{O}\)-代数， \(\mathcal{N}\) 是微分分次 \((\mathcal{A},\mathcal{B})\)-双模。则 \[R\SheafHom_\mathcal{B}(\mathcal{N}, -) : D(\mathcal{B}, \text{d}) \longrightarrow D(\mathcal{A}, \text{d})\] 是 \[- \otimes_\mathcal{A}^\mathbf{L} \mathcal{N} : D(\mathcal{A}, \text{d}) \longrightarrow D(\mathcal{B}, \text{d})\] 的右伴随。

证明

这由《导出范畴》引理 0FND 和引理 0FRS 得出。

引理

设 \((f, f^\sharp) : (\Sh(\mathcal{C}), \mathcal{O}_\mathcal{C}) \to (\Sh(\mathcal{D}), \mathcal{O}_\mathcal{D})\) 是环化拓扑斯态射，\(\mathcal{A}\) 是微分分次 \(\mathcal{O}_\mathcal{C}\)-代数，\(\mathcal{B}\) 是微分分次 \(\mathcal{O}_\mathcal{D}\)-代数，并设 \(\varphi:\mathcal{B}\to f_*\mathcal{A}\) 是微分分次 \(\mathcal{O}_\mathcal{D}\)-代数同态。则 \[Rf_* : D(\mathcal{A}, \text{d}) \longrightarrow D(\mathcal{B}, \text{d})\] 是 \[Lf^* : D(\mathcal{B}, \text{d}) \longrightarrow D(\mathcal{A}, \text{d})\] 的右伴随。

证明

这由《导出范畴》引理 0FND 和引理 0FRU 得出。

下面讨论第 0FTD 节所考虑的情形。

除上述数据外，再设 \(\mathcal{A}'\) 是另一个微分分次 \(\mathcal{O}_\mathcal{C}\)-代数，\(\mathcal{N}\) 是微分分次 \((\mathcal{A},\mathcal{A}')\)-双模。在此情形下可考虑函子 \[\textit{Mod}(\mathcal{A}', \text{d}) \longrightarrow \textit{Mod}(\mathcal{B}, \text{d}),\quad \mathcal{M} \longmapsto f_*\SheafHom^{dg}_{\mathcal{A}'}(\mathcal{N}, \mathcal{M})\] 注意，由第 0FRT 与 0FRP 节的讨论，它延拓为微分分次范畴间的函子 \[\textit{Mod}^{dg}(\mathcal{A}', \text{d}) \longrightarrow \textit{Mod}^{dg}(\mathcal{B}, \text{d}),\quad \mathcal{M} \longmapsto f_*\SheafHom^{dg}_{\mathcal{A}'}(\mathcal{N}, \mathcal{M})\] 。形式地随之得到三角范畴间的正合函子 [0FTS]\[\begin{equation} K(\textit{Mod}(\mathcal{A}', \text{d})) \longrightarrow K(\textit{Mod}(\mathcal{B}, \text{d})),\quad \mathcal{M} \longmapsto f_*\SheafHom^{dg}_{\mathcal{A}'}(\mathcal{N}, \mathcal{M}) \end{equation}\] 。

引理

在上述情形下，以 \(RT:D(\mathcal{A}',\text{d})\to D(\mathcal{B},\text{d})\) 表示 (0FTS) 的右导出延拓。则 \[RT(\mathcal{M}) = Rf_* R\SheafHom(\mathcal{N}, \mathcal{M})\] 关于 \(\mathcal{M}\) 函子性地成立。

证明

由引理 0FRS 与 0FRU，函子 (0FTS) 是函子 (0FTE) 的右伴随。由《导出范畴》引理 0FND，函子 \(RT\) 是引理 0FTF 中函子的右伴随；由引理 0FTH，后者等于 \(Lf^*(-)\otimes_\mathcal{A}^\mathbf{L}\mathcal{N}\)。由引理 0FTQ 与 0FTR，函子 \(Lf^*(-)\otimes_\mathcal{A}^\mathbf{L}\mathcal{N}\) 的右伴随为 \(Rf_* R\SheafHom(\mathcal{N}, -)\) 。故由伴随的唯一性得出结论。

引理

设 \((f, f^\sharp) : (\Sh(\mathcal{C}), \mathcal{O}) \to (\Sh(\mathcal{C}'), \mathcal{O}')\) 与 \((g, g^\sharp) : (\Sh(\mathcal{C}'), \mathcal{O}') \to (\Sh(\mathcal{C}''), \mathcal{O}'')\) 是环化拓扑斯态射。设 \(\mathcal{A},\mathcal{A}',\mathcal{A}''\) 分别是微分分次 \(\mathcal{O}\)-代数、 \(\mathcal{O}'\)-代数、\(\mathcal{O}''\)-代数，并设 \(\varphi : \mathcal{A}' \to f_*\mathcal{A}\) 与 \(\varphi' : \mathcal{A}'' \to g_*\mathcal{A}'\) 分别是微分分次 \(\mathcal{O}'\)-代数同态与 \(\mathcal{O}''\)-代数同态。则 \(R(g \circ f)_* = Rg_* \circ Rf_* : D(\mathcal{A}, \text{d}) \to D(\mathcal{A}'', \text{d})\).

证明

由引理 0FTI、 0FTR 及伴随的唯一性得出。

引理

设 \((\mathcal{C},\mathcal{O})\) 是环化位点， \(\mathcal{A},\mathcal{A}',\mathcal{A}''\) 是微分分次 \(\mathcal{O}\)-代数。设 \(\mathcal{N}\) 与 \(\mathcal{N}'\) 分别是微分分次 \((\mathcal{A},\mathcal{A}')\)-双模和 \((\mathcal{A}',\mathcal{A}'')\)-双模。假设典范映射 \[\mathcal{N} \otimes_{\mathcal{A}'}^\mathbf{L} \mathcal{N}' \longrightarrow \mathcal{N} \otimes_{\mathcal{A}'} \mathcal{N}'\] 在 \(D(\mathcal{A}'',\text{d})\) 中是拟同构。则 \[R\SheafHom_{\mathcal{A}''} (\mathcal{N} \otimes_{\mathcal{A}'} \mathcal{N}', -) = R\SheafHom_{\mathcal{A}'}(\mathcal{N}, R\SheafHom_{\mathcal{A}''}(\mathcal{N}', -))\] 是函子 \(D(\mathcal{A}'',\text{d})\to D(\mathcal{A},\text{d})\) 的等式。

证明

由引理 0FTL、 0FTQ 及伴随的唯一性得出。

引理

设 \((f, f^\sharp) : (\Sh(\mathcal{C}), \mathcal{O}_\mathcal{C}) \to (\Sh(\mathcal{D}), \mathcal{O}_\mathcal{D})\) 是环化拓扑斯态射。设 \(\mathcal{A}\) 是微分分次 \(\mathcal{O}_\mathcal{C}\)-代数，\(\mathcal{B}\) 是微分分次 \(\mathcal{O}_\mathcal{D}\)-代数，并设 \(\varphi:\mathcal{B}\to f_*\mathcal{A}\) 是微分分次 \(\mathcal{O}_\mathcal{D}\)-代数同态。下图交换： \[\xymatrix{ D(\mathcal{A}, \text{d}) \ar[d]_{Rf_*} \ar[rr]_{forget} & & D(\mathcal{O}_\mathcal{C}) \ar[d]^{Rf_*} \\ D(\mathcal{B}, \text{d}) \ar[rr]^{forget} & & D(\mathcal{O}_\mathcal{D}) }\]

证明

除去若干范畴的等同，本引理由引理 0FTU 立即得出。

把 \(\mathcal{O}_\mathcal{C}\) 置于次数 \(0\) 并赋予零微分，便可将 \((\mathcal{O}_\mathcal{C},0)\) 视为微分分次 \(\mathcal{O}_\mathcal{C}\)-代数。显然有 \[\textit{Mod}(\mathcal{O}_\mathcal{C}, 0) = \text{Comp}(\mathcal{O}_\mathcal{C}) \quad\text{且}\quad D(\mathcal{O}_\mathcal{C}, 0) = D(\mathcal{O}_\mathcal{C})\] 在此等同下，遗忘函子 \(\textit{Mod}(\mathcal{A}, \text{d}) \to \text{Comp}(\mathcal{O}_\mathcal{C})\) 是第 0FRT 节定义的“直像” \(\text{id}_{\mathcal{C},*}\)；它对应于环化拓扑斯的恒等态射 \(\text{id}_\mathcal{C} : (\mathcal{C}, \mathcal{O}_\mathcal{C}) \to (\mathcal{C}, \mathcal{O}_\mathcal{C})\)，以及微分分次 \(\mathcal{O}_\mathcal{C}\)-代数映射 \((\mathcal{O}_\mathcal{C},0)\to(\mathcal{A},\text{d})\)。由于 \(\text{id}_{\mathcal{C},*}\) 正合，立即可知 \[R\text{id}_{\mathcal{C}, *} = forget : D(\mathcal{A}, \text{d}) \longrightarrow D(\mathcal{O}_\mathcal{C}, 0) = D(\mathcal{O}_\mathcal{C})\] 完全相同的论证表明 \[R\text{id}_{\mathcal{D}, *} = forget : D(\mathcal{B}, \text{d}) \longrightarrow D(\mathcal{O}_\mathcal{D}, 0) = D(\mathcal{O}_\mathcal{D})\] 此外，《位点上的上同调》第 07A5 节中 \(Rf_* : D(\mathcal{O}_\mathcal{C}) \to D(\mathcal{O}_\mathcal{D})\) 的构造，与定义 0FTP 中 \(Rf_* : D(\mathcal{O}_\mathcal{C}, 0) \to D(\mathcal{O}_\mathcal{D}, 0)\) 的构造一致，因为两个函子都定义为底层模复形之直像的右导出延拓。由引理 0FTU， \(Rf_*\circ R\text{id}_{\mathcal{C},*}\) 与 \(R\text{id}_{\mathcal{D},*}\circ Rf_*\) 都是 \(f_*\circ forget=forget\circ f_*\) 的导出函子，故由伴随的唯一性二者相等。

引理

设 \((\mathcal{C},\mathcal{O})\) 是环化位点， \(\mathcal{A}\) 是微分分次 \(\mathcal{O}\)-代数， \(\mathcal{M}\) 是微分分次 \(\mathcal{A}\)-模，且 \(n\in\mathbf{Z}\)。则 \[H^n(\mathcal{C}, \mathcal{M}) = \Hom_{D(\mathcal{A}, \text{d})}(\mathcal{A}, \mathcal{M}[n])\] ，其中左端是把 \(\mathcal{M}\) 视为 \(\mathcal{O}\)-模复形所得的上同调。

证明

为证明该公式，注意 \[R\Gamma(\mathcal{C}, \mathcal{M}) = \Gamma(\mathcal{C}, \mathcal{I})\] ，其中 \(\mathcal{M}\to\mathcal{I}\) 是到既分次内射又 K-内射的微分分次 \(\mathcal{A}\)-模 \(\mathcal{I}\) 的拟同构（合用引理 0FTN 与 0FTW）。由引理 0FT8，有 \[\Hom_{D(\mathcal{A}, \text{d})}(\mathcal{A}, \mathcal{M}[n]) = \Hom_{K(\textit{Mod}(\mathcal{A}, \text{d}))}(\mathcal{M}, \mathcal{I}[n]) = H^0(\Gamma(\mathcal{C}, \mathcal{I}[n])) = H^n(\Gamma(\mathcal{C}, \mathcal{I}))\] 合并这两个结果即得所需等式。

导出范畴的等价

本节是《微分分次代数》第 09S5 节的类似物。

引理

设 \((\mathcal{C},\mathcal{O})\) 是环化位点。若 \(\varphi:\mathcal{A}\to\mathcal{B}\) 是微分分次 \(\mathcal{O}\)-代数的同态，并在上同调层上诱导同构，则 \[D(\mathcal{A}, \text{d}) \longrightarrow D(\mathcal{B}, \text{d}), \quad \mathcal{M} \longmapsto \mathcal{M} \otimes_\mathcal{A}^\mathbf{L} \mathcal{B}\] 是范畴等价。

证明

回忆限制函子 \[\textit{Mod}^{dg}(\mathcal{B}, \text{d}) \to \textit{Mod}^{dg}(\mathcal{A}, \text{d}),\quad \mathcal{N} \mapsto res_\varphi \mathcal{N}\] 是函子 \[\textit{Mod}^{dg}(\mathcal{A}, \text{d}) \to \textit{Mod}^{dg}(\mathcal{B}, \text{d}),\quad \mathcal{M} \mapsto \mathcal{M} \otimes_\mathcal{A} \mathcal{B}\] 的右伴随；见第 0FRP 节。由于限制把拟同构映为拟同构，故它显然有左导出延拓（仍由限制给出）。由《导出范畴》引理 0FND，此函子是 \(- \otimes_\mathcal{A}^\mathbf{L} \mathcal{B}\) 的右伴随。伴随态射 \[\mathcal{M} \to res_\varphi(\mathcal{M} \otimes_\mathcal{A}^\mathbf{L} \mathcal{B})\] 在 \(D(\mathcal{A}, \text{d})\) 中是同构，因为按照假设， \(\mathcal{A}\to\mathcal{B}\) 是（左）微分分次 \(\mathcal{A}\)-模的拟同构。特别地，本引理中的函子全忠实；见《范畴》引理 07RB。显然，限制函子 \(D(\mathcal{B}, \text{d}) \to D(\mathcal{A}, \text{d})\) 的核为零。于是结论由《导出范畴》引理 09J1 得出。

微分分次代数的分辨

本节是《微分分次代数》第 0BZ6 节的类似物。

设 \((\mathcal{C},\mathcal{O})\) 是环化位点。与评注 0FSF 一样，考虑 \(\mathcal{C}\) 上的分次集合层 \(\mathcal{S}\)。把 \(r\) 重自积 \(\mathcal{S} \times \ldots \times \mathcal{S}\) 看作按如下规则分次的集合层： \(\deg(s_1 \cdot \ldots \cdot s_r) = \sum \deg(s_i)\)。这里，给定局部截面 \(s_i\in\mathcal{S}(U)\)，\(i=1,\ldots,r\)，用 \(s_1\cdot\ldots\cdot s_r\) 表示 \(\mathcal{S} \times \ldots \times \mathcal{S}\) 在 \(U\) 上的相应截面。记 \(\mathcal{O}\langle\mathcal{S}\rangle\) 为 \(\mathcal{S}\) 上的自由分次 \(\mathcal{O}\)-代数。更准确地，置 \[\mathcal{O}\langle \mathcal{S} \rangle = \mathcal{O} \oplus \bigoplus\nolimits_{r \geq 1} \mathcal{O}[\mathcal{S} \times \ldots \times \mathcal{S}]\] ，记号同评注 0FSF。按串接定义乘法： \[(s_1 \cdot \ldots \cdot s_r) (s'_1 \cdot \ldots \cdot s'_{r'}) = s_1 \cdot \ldots s_r \cdot s'_1 \cdot \ldots \cdot s'_{r'}\] ，便使其成为分次 \(\mathcal{O}\)-代数层。可以令 \(\mathcal{S}\) 的所有局部截面 \(s\) 满足 \(\text{d}(s)=0\)，再依 Leibniz 法则唯一延拓，从而在 \(\mathcal{O}\langle\mathcal{S}\rangle\) 上赋予微分；不过考虑其他微分同样重要。

事实上，设给定如下系统：

对 \(i=0,1,2,\ldots\)，给定分次集合层 \(\mathcal{S}_i\)；
对 \(i=0,1,2,\ldots\)，给定态射 \[\delta_{i + 1} : \mathcal{S}_{i + 1} \longrightarrow \mathcal{A}_i = \mathcal{O}\langle \mathcal{S}_0 \amalg \ldots \amalg \mathcal{S}_i\rangle\] ，它是次数为 \(1\) 的分次集合层态射，且其像包含于靶上归纳定义的微分之核中。

更准确地，先置 \(\mathcal{A}_0 = \mathcal{O}\langle \mathcal{S}_0 \rangle\) ，并在其上赋予满足 Leibniz 法则且使 \(\mathcal{S}\) 的任意局部截面 \(s\) 满足 \(\text{d}(s)=0\) 的唯一微分。归纳地，设 \(\mathcal{A}_i\) 上已给定微分 \(\text{d}\)。将它延拓为 \(\mathcal{A}_{i+1}\) 上满足 Leibniz 法则并使 \[\text{d}(s) = \delta(s)\] 的唯一微分，其中若 \(s\) 属于 \(\mathcal{S}_0\amalg\ldots\amalg\mathcal{S}_{i+1}\) 的直和项 \(\mathcal{S}_j\)，则 \(\delta(s)=\delta_j(s)\)。此定义恰因 \(\delta(s)\) 属于归纳定义的微分之核而有意义。

引理

在上述情形中，微分分次 \(\mathcal{O}\)-代数 \[\mathcal{A} = \colim \mathcal{A}_i\] 具有如下性质：对环化拓扑斯的任意态射 \((f, f^\sharp) : (\Sh(\mathcal{C}'), \mathcal{O}') \to (\Sh(\mathcal{C}), \mathcal{O})\) ，拉回 \(f^*\mathcal{A}\) 作为分次 \(\mathcal{O}'\)-模是平坦的，并且作为 \(\mathcal{O}'\)-模复形是 K-平坦的。

证明

注意 \(f^*\mathcal{A}=\colim f^*\mathcal{A}_i\)，且 \[f^*\mathcal{A}_i = \mathcal{O}'\langle f^{-1}\mathcal{S}_0 \amalg \ldots \amalg f^{-1}\mathcal{S}_i\rangle\] ，其微分由上述归纳过程以 \(f^{-1}\delta_{i+1}\) 给出。因此，只需证明 \(\mathcal{A}\) 作为分次 \(\mathcal{O}\)-模平坦，并且作为 \(\mathcal{O}\)-模复形 K-平坦。为此，只需证明每个 \(\mathcal{A}_i\) 作为分次 \(\mathcal{O}\)-模平坦，并且作为 \(\mathcal{O}\)-模复形 K-平坦；可比较引理 0FSD。

对 \(i\geq1\)，记 \(\mathcal{S}=\mathcal{S}_0\amalg\ldots\amalg\mathcal{S}_i\)，于是作为分次 \(\mathcal{O}\)-代数，有 \(\mathcal{A}_i=\mathcal{O}\langle\mathcal{S}\rangle\)。我们要用微分分次 \(\mathcal{O}\)-子模构造该代数的一个滤过。

置 \(W=\mathbf{Z}_{\geq0}^{i+1}\)，并赋予字典序。也就是说，对 \(W\) 中的 \(w=(w_0,\ldots w_i)\) 与 \(w'=(w'_0,\ldots,w'_i)\)，规定 \[w > w' \Leftrightarrow \exists j,\ 0 \leq j \leq i : w_i = w'_i,\ w_{i - 1} = w'_{i - 1},\ \ldots , \ w_{j + 1} = w'_{j + 1},\ w_j > w'_j\] ，依此类推。设给定 \(s = s_1 \cdot \ldots \cdot s_r\)，它是 \(\mathcal{S}\times\ldots\times\mathcal{S}\) 在 \(U\) 上的截面。若对每个 \(a\)，存在唯一的 \(0\leq j_a\leq i\) 使 \(s_a\in\mathcal{S}_{j_a}(U)\)，便称\(s\) 的权已定义。此时定义其权为 \[w(s) = (w_0(s), \ldots, w_i(s)) \in W,\quad w_j(s) = |\{a \mid j_a = j\}|\] \(\mathcal{S}\times\ldots\times\mathcal{S}\) 的任意截面之权在局部均有定义。读者容易验证，我们得到不交并分解 \[\mathcal{S} \times \ldots \times \mathcal{S} = \coprod\nolimits_{w \in W} \left( \mathcal{S} \times \ldots \times \mathcal{S}\right)_w\] ，其中各子层由给定权的截面组成。当然，对给定的 \(r\)，只会出现满足 \(\sum_{0\leq j\leq i}w_j=r\) 的 \(w\in W\)。相应地得到分解 \[\mathcal{A}_i = \mathcal{O} \oplus \bigoplus\nolimits_{r \geq 1} \bigoplus\nolimits_{w \in W} \mathcal{O}[\left(\mathcal{S} \times \ldots \times \mathcal{S}\right)_w]\] 证明的其余部分依赖如下显然观察：给定 \(r\)、\(w\) 以及 \(\left(\mathcal{S}\times\ldots\times\mathcal{S}\right)_w\) 的局部截面 \(s=s_1\cdot\ldots\cdot s_r\)，有 \[\text{d}(s) \text{ 是如下对象的局部截面：} \mathcal{O} \oplus \bigoplus\nolimits_{r' \geq 1} \bigoplus\nolimits_{w' \in W,\ w' < w} \mathcal{O}[\left(\mathcal{S} \times \ldots \times \mathcal{S}\right)_{w'}]\] 这是因为在下列各表达式中 \[(-1)^{\deg(s_1) + \ldots + \deg(s_{a - 1})} s_1 \cdot \ldots s_{a - 1} \cdot \delta(s_a) \cdot s_{a + 1} \cdot \ldots \cdot s_r\] （它们之和给出 \(\text{d}(s)\)），元素 \(\delta(s_a)\) 在局部是诸元素 \(s'_1\cdot\ldots\cdot s'_{r'}\) 的 \(\mathcal{O}\)-线性组合，其中 \(s'_{a'}\) 属于 \(\mathcal{S}_{j'_a}\)，对某个 \(0\leq j'_{a'}<j_a\)；这里 \(j_a\) 由 \(s_a\) 是 \(\mathcal{S}_{j_a}\) 的截面所确定。

这意味着如下事实。对 \(w\in W\)，置 \[F_w \mathcal{A}_i = \mathcal{O} \oplus \bigoplus\nolimits_{r \geq 1} \bigoplus\nolimits_{w' \in W,\ w' \leq w} \mathcal{O}[\left(\mathcal{S} \times \ldots \times \mathcal{S}\right)_{w'}]\] 由上述观察，这是一个微分分次 \(\mathcal{O}\)-子模。得到微分分次 \(\mathcal{A}\)-模的容许短正合列 \[0 \to \colim_{w' < w} F_{w'}\mathcal{A}_i \to F_w\mathcal{A}_i \to \bigoplus\nolimits_{r \geq 1} \mathcal{O}[\left(\mathcal{S} \times \ldots \times \mathcal{S}\right)_w] \to 0\] ，其中右端的微分为零。

现在对有序集 \(W\) 作超限归纳以完成证明。微分分次复形 \(F_0\mathcal{A}_0\) 是直和项 \(\mathcal{O}\)，因而 K-平坦且分次平坦。对 \(w\in W\)，若结论对所有 \(w'<w\) 的 \(F_{w'}\mathcal{A}_i\) 成立，则由引理 0FSD、0FSC 与 0FSG，结论对 \(w\) 也成立。最后， \(\mathcal{A}_i=\colim_{w\in W}F_w\mathcal{A}_i\)，故得结论。

引理

设 \((\mathcal{C},\mathcal{O})\) 是环化位点， \((\mathcal{B},\text{d})\) 是微分分次 \(\mathcal{O}\)-代数。存在微分分次 \(\mathcal{O}\)-代数的拟同构 \((\mathcal{A}, \text{d}) \to (\mathcal{B}, \text{d})\)，使得 \(\mathcal{A}\) 分次平坦，并且作为 \(\mathcal{O}\)-模复形 K-平坦；而且经环化拓扑斯的任意态射拉回后，同样的结论仍成立。

证明

证明与引理 0FSH 的第一个证明完全相同，只是现在使用自由分次代数而非自由分次模。

我们像引理 0FU1 那样，通过构造 \[\mathcal{A}_0 \to \mathcal{A}_1 \to \mathcal{A}_2 \to \ldots \to \mathcal{B}\] 来构造 \(\mathcal{A}=\colim\mathcal{A}_i\)。令 \(\mathcal{S}_0\) 为次数 \(n\) 部分是 \(\Ker(\text{d}_\mathcal{B}^n)\) 的分次集合层（评注 0FSF）。考虑微分分次模的同态 \[\mathcal{A}_0 = \mathcal{O}\langle \mathcal{S}_0 \rangle \longrightarrow \mathcal{B}\] ，该映射把 \(\mathcal{S}_0\) 的局部截面 \(s\) 映到 \(\mathcal{A}^{\deg(s)}\) 中相应的局部截面（它属于微分之核，故我们的映射确实是微分分次代数的映射）。按构造，所诱导的上同调层映射 \(H^n(\mathcal{A}_0)\to H^n(\mathcal{B})\) 是满射，因而对所有 \(i\) 仍有同样结论。

构造的归纳步骤如下。给定 \(\mathcal{A}_i\to\mathcal{B}\)，记 \(\mathcal{S}_{i+1}\) 为次数 \(n\) 部分是 \[\Ker(\text{d}_{\mathcal{A}_i}^{n + 1}) \times_{\mathcal{B}^{n + 1}, \text{d}} \mathcal{B}^n\] 的分次集合层。它带有典范映射 \[\delta_{i + 1} : \mathcal{S}_{i + 1} \longrightarrow \mathcal{A}_i\] ，按构造其像包含于 \(\text{d}_{\mathcal{A}_i}\) 之核。因此 \(\mathcal{A}_{i + 1}=\mathcal{O}\langle \mathcal{S}_0\amalg\ldots\mathcal{S}_{i + 1}\rangle\) 带有延拓 \(\mathcal{A}_i\) 上微分的微分；见本节开头的讨论。从 \(\mathcal{A}_{i+1}\) 到 \(\mathcal{B}\) 的映射是唯一的分次代数映射，它在 \(\mathcal{A}_i\) 上限制为给定映射，并把 \(\mathcal{S}_{i+1}\) 的局部截面 \(s=(a,b)\) 映到 \(\mathcal{B}\) 中的 \(b\)。这与微分相容，恰因为 \(\text{d}(b)\) 是 \(a\) 在 \(\mathcal{B}\) 中的像。

映射 \(\mathcal{A}\to\mathcal{B}\) 是拟同构：有 \(H^n(\mathcal{A})=\colim H^n(\mathcal{A}_i)\)，并且对每个 \(i\)，映射 \(H^n(\mathcal{A}_i)\to H^n(\mathcal{B})\) 是满射，而按构造其核被映射 \(H^n(\mathcal{A}_i)\to H^n(\mathcal{A}_{i+1})\) 零化。最后， \(\mathcal{A}\) 的平坦性条件已在引理 0FU1 中证明。

杂项

设 \((f,f^\sharp):(\Sh(\mathcal{C}),\mathcal{O}) \to(\Sh(\mathcal{C}'),\mathcal{O}')\) 是环化拓扑斯的态射，且 \(\mathcal{A}\) 是微分分次 \(\mathcal{O}\)-代数层。利用复合³ \[\mathcal{A} \otimes_\mathcal{O}^\mathbf{L} \mathcal{A} \longrightarrow \mathcal{A} \otimes_\mathcal{O} \mathcal{A} \longrightarrow \mathcal{A}\] 以及相对杯积（见《站点上的上同调》评注 0B6C 与第 0FPJ 节），得到乘法⁴ \[\mu : Rf_*\mathcal{A} \otimes_{\mathcal{O}'}^\mathbf{L} Rf_*\mathcal{A} \longrightarrow Rf_*\mathcal{A}\] ，它位于 \(D(\mathcal{O}')\) 中。此乘法具有结合性，即图 \[\xymatrix{ Rf_*\mathcal{A} \otimes_{\mathcal{O}'}^\mathbf{L} Rf_*\mathcal{A} \otimes_{\mathcal{O}'}^\mathbf{L} Rf_*\mathcal{A} \ar[rr]_-{\mu \otimes 1} \ar[d]_{1 \otimes \mu} & & Rf_*\mathcal{A} \otimes_{\mathcal{O}'}^\mathbf{L} Rf_*\mathcal{A} \ar[d]^\mu \\ Rf_*\mathcal{A} \otimes_{\mathcal{O}'}^\mathbf{L} Rf_*\mathcal{A} \ar[rr]^-\mu & & Rf_*\mathcal{A} }\] 在 \(D(\mathcal{O}')\) 中交换；这由《站点上的上同调》引理 0FPL 得出。完全类似地，给定右微分分次 \(\mathcal{A}\)-模 \(\mathcal{M}\)，得到乘法 \[\mu_\mathcal{M} : Rf_*\mathcal{M} \otimes_{\mathcal{O}'}^\mathbf{L} Rf_*\mathcal{A} \longrightarrow Rf_*\mathcal{M}\] ，它位于 \(D(\mathcal{O}')\) 中。此乘法与上述 \(\mu\) 相容，即图 \[\xymatrix{ Rf_*\mathcal{M} \otimes_{\mathcal{O}'}^\mathbf{L} Rf_*\mathcal{A} \otimes_{\mathcal{O}'}^\mathbf{L} Rf_*\mathcal{A} \ar[rr]_-{\mu_\mathcal{M} \otimes 1} \ar[d]_{1 \otimes \mu} & & Rf_*\mathcal{M} \otimes_{\mathcal{O}'}^\mathbf{L} Rf_*\mathcal{A} \ar[d]^{\mu_\mathcal{M}} \\ Rf_*\mathcal{M} \otimes_{\mathcal{O}'}^\mathbf{L} Rf_*\mathcal{A} \ar[rr]^-{\mu_\mathcal{M}} & & Rf_*\mathcal{M} }\] 在 \(D(\mathcal{O}')\) 中交换；这仍由《站点上的上同调》引理 0FPL 得出。

上述构造的一个特殊例子是取 \(f\) 为到单点拓扑斯 \(\Sh(pt)\) 的态射。此时 \(\mu\) 正是杯积映射 \[R\Gamma(\mathcal{C}, \mathcal{A}) \otimes_{\Gamma(\mathcal{C}, \mathcal{O})}^\mathbf{L} R\Gamma(\mathcal{C}, \mathcal{A}) \longrightarrow R\Gamma(\mathcal{C}, \mathcal{A}), \quad \eta \otimes \theta \mapsto \eta \cup \theta\] ，而类似地，\(\mu_\mathcal{M}\) 是杯积映射 \[R\Gamma(\mathcal{C}, \mathcal{M}) \otimes_{\Gamma(\mathcal{C}, \mathcal{O})}^\mathbf{L} R\Gamma(\mathcal{C}, \mathcal{A}) \longrightarrow R\Gamma(\mathcal{C}, \mathcal{M}), \quad \eta \otimes \theta \mapsto \eta \cup \theta\] 一般地，借助《站点上的上同调》评注 08J6 中的同一 \[R\Gamma(\mathcal{C}, \mathcal{A}) = R\Gamma(\mathcal{C}', Rf_*\mathcal{A}) \quad\text{且}\quad R\Gamma(\mathcal{C}, \mathcal{M}) = R\Gamma(\mathcal{C}', Rf_*\mathcal{M})\] ，映射 \(\mu_\mathcal{M}\) 在上同调上诱导杯积。为此，应用《站点上的上同调》引理 0FPN，其中拓扑斯的第二个态射取为上述从 \(\Sh(\mathcal{C}')\) 到单点拓扑斯的态射。

若 \(\mathcal{M}_1\to\mathcal{M}_2\) 是右微分分次 \(\mathcal{A}\)-模的同态，则图 \[\xymatrix{ Rf_*\mathcal{M}_1 \otimes_{\mathcal{O}'}^\mathbf{L} Rf_*\mathcal{A} \ar[rr]_-{\mu_{\mathcal{M}_1}} \ar[d] & & Rf_*\mathcal{M}_1 \ar[d] \\ Rf_*\mathcal{M}_2 \otimes_{\mathcal{O}'}^\mathbf{L} Rf_*\mathcal{A} \ar[rr]^-{\mu_{\mathcal{M}_2}} & & Rf_*\mathcal{M}_2 }\] 在 \(D(\mathcal{O}')\) 中交换；这源于相对杯积的函子性。设有右微分分次 \(\mathcal{A}\)-模的短正合列 \[0 \to \mathcal{M}_1 \xrightarrow{a} \mathcal{M}_2 \to \mathcal{M}_3 \to 0\] 。我们断言图 \[\xymatrix{ Rf_*\mathcal{M}_3 \otimes_{\mathcal{O}'}^\mathbf{L} Rf_*\mathcal{A} \ar[rr]_-{\mu_{\mathcal{M}_3}} \ar[d]_{Rf_*\delta \otimes \text{id}} & & Rf_*\mathcal{M}_3 \ar[d]^{Rf_*\delta} \\ Rf_*\mathcal{M}_1[1] \otimes_{\mathcal{O}'}^\mathbf{L} Rf_*\mathcal{A} \ar[rr]^-{\mu_{\mathcal{M}_1[1]}} & & Rf_*\mathcal{M}_1[1] }\] 在 \(D(\mathcal{O}')\) 中交换，其中 \(\delta:\mathcal{M}_3\to\mathcal{M}_1[1]\) 是给定短正合列所给出的 \(D(\mathcal{O})\) 中的态射（见《导出范畴》第 014Z 节）。若我们的序列作为分次右 \(\mathcal{A}\)-模列分裂，则这一点很清楚，因为此时 \(\delta\) 可由右 \(\mathcal{A}\)-模映射表示，从而可应用上述讨论。一般情形下，使用 \(a\) 的锥和图 \[\xymatrix{ \mathcal{M}_1 \ar[r]_a \ar[d] & \mathcal{M}_2 \ar[r]_i \ar[d] & C(a) \ar[r]_{-p} \ar[d]^q & \mathcal{M}_1[1] \ar[d] \\ \mathcal{M}_1 \ar[r] & \mathcal{M}_2 \ar[r] & \mathcal{M}_3 \ar[r]^\delta & \mathcal{M}_1[1] }\] 。由《导出范畴》引理 0152 中 \(\delta\) 的定义，右边的方块在 \(D(\mathcal{O})\) 中交换。现在，锥 \(C(a)\) 具有右微分分次 \(\mathcal{A}\)-模结构，使得 \(i\)、\(p\)、\(q\) 是右微分分次 \(\mathcal{A}\)-模的同态；见定义 0FS5。因此由上可知，对应图对态射 \(q\) 与 \(-p\) 交换。由于 \(q\) 在 \(D(\mathcal{O})\) 中是同构，遂如所需得出对 \(\delta\) 也有同样结论。

在上述情形中，给定右微分分次 \(\mathcal{A}\)-模 \(\mathcal{M}\)，取 \[\xi \in H^n(\mathcal{C}, \mathcal{M})\] 。换言之，把 \(\mathcal{M}\) 视为 \(\mathcal{O}\)-模复形时，\(\xi\) 是其次数 \(n\) 上同调类。由引理 0FTX，可以构造右微分分次 \(\mathcal{A}\)-模的映射 \[x : \mathcal{A} \rightarrow \mathcal{M}'[n] \quad\text{且}\quad s : \mathcal{M} \to \mathcal{M}'\] ，其中 \(s\) 是拟同构，并且 \(\xi\) 是 \(1\in H^0(\mathcal{C},\mathcal{A})\) 在导出范畴 \(D(\mathcal{A},\text{d})\) 中经态射 \(s[n]^{-1}\circ x\) 的像，因而在导出范畴 \(D(\mathcal{O})\) 中亦然。因此，\(D(\mathcal{O})\) 中的相应映射 \[\xi' = (s[n])^{-1} \circ x : \mathcal{A} \longrightarrow \mathcal{M}[n]\] 由以下两个性质唯一刻画：

\(\xi'\) 可提升为 \(D(\mathcal{A},\text{d})\) 中的态射；
在 \(H^0(\mathcal{C}, \mathcal{M}[n]) = H^n(\mathcal{C}, \mathcal{M})\) 中有 \(\xi=\xi'(1)\)。

由上面讨论的 \(x\) 与 \(s\) 同相对杯积的相容性可知，对环化拓扑斯的每个态射⁵ \((f, f^\sharp) : (\Sh(\mathcal{C}), \mathcal{O}) \to (\Sh(\mathcal{C}'), \mathcal{O}')\)，\(\xi'\) 的导出直像 \[Rf_*\xi' : Rf_*\mathcal{A} \longrightarrow Rf_*\mathcal{M}[n]\] 与上述构造的映射 \(\mu\) 和 \(\mu_{\mathcal{M}[n]}\) 相容，即图 \[\xymatrix{ Rf_*\mathcal{A} \otimes_{\mathcal{O}'}^\mathbf{L} Rf_*\mathcal{A} \ar[rr]_-\mu \ar[d]_{Rf_*\xi' \otimes \text{id}} & & Rf_*\mathcal{A} \ar[d]^{Rf_*\xi'} \\ Rf_*\mathcal{M}[n] \otimes_{\mathcal{O}'}^\mathbf{L} Rf_*\mathcal{A} \ar[rr]^-{\mu_{\mathcal{M}[n]}} & & Rf_*\mathcal{M}[n] }\] 在 \(D(\mathcal{O}')\) 中交换。把此相容性用于到单点拓扑斯的映射，特别得到图 \[\xymatrix{ R\Gamma(\mathcal{C}, \mathcal{A}) \otimes_{\Gamma(\mathcal{C}, \mathcal{O})}^\mathbf{L} R\Gamma(\mathcal{C}, \mathcal{A}) \ar[d]_{\xi' \otimes \text{id}} \ar[r] & R\Gamma(\mathcal{C}, \mathcal{A}) \ar[d]^{\xi'} \\ R\Gamma(\mathcal{C}, \mathcal{M}[n]) \otimes_{\Gamma(\mathcal{C}, \mathcal{O})}^\mathbf{L} R\Gamma(\mathcal{C}, \mathcal{A}) \ar[r] & R\Gamma(\mathcal{C}, \mathcal{M}[n]) }\] 交换。结合 \(\xi'(1)=\xi\)，这说明所诱导的上同调映射 \[\xi' : R\Gamma(\mathcal{C}, \mathcal{A}) \to R\Gamma(\mathcal{C}, \mathcal{M}[n]), \quad \eta \mapsto \xi \cup \eta\] 如所示由以 \(\xi\) 作左杯乘给出。

范畴上的微分分次模

本节续接《站点上的上同调》第 0GYU 节。

设 \(\mathcal{C}\) 是范畴。把 \(\mathcal{C}\) 视为带混沌拓扑的位点。设 \(\mathcal{O}\) 是 \(\mathcal{C}\) 上的环层， \((\mathcal{A},\text{d})\) 是微分分次 \(\mathcal{O}\)-代数层。换言之， \(\mathcal{O}\) 是范畴 \(\mathcal{C}\) 上的环预层，而 \((\mathcal{A},\text{d})\) 是 \(\mathcal{C}\) 上的微分分次 \(\mathcal{O}\)-代数预层；见《范畴》定义 02X6。

定义

在上述情形中，以 \(\mathit{QC}(\mathcal{A}, \text{d})\) 表示 \(D(\mathcal{A},\text{d})\) 的全子范畴，其对象为满足如下条件的 \(M\)：对 \(\mathcal{C}\) 中所有 \(U\to V\)，典范映射 \[R\Gamma(V, M) \otimes_{\mathcal{A}(V)}^\mathbf{L} \mathcal{A}(U) \longrightarrow R\Gamma(U, M)\] 在 \(D(\mathcal{A}(U),\text{d})\) 中是同构。

引理

在上述情形中，子范畴 \(\mathit{QC}(\mathcal{A},\text{d})\) 是 \(D(\mathcal{A},\text{d})\) 的严格满的饱和三角子范畴，并在任意直和下保持。

证明

设 \(U\) 是 \(\mathcal{C}\) 的对象。由于 \(\mathcal{C}\) 上的拓扑是混沌的，函子 \(\mathcal{F}\mapsto\mathcal{F}(U)\) 正合且与直和交换。因此，正合函子 \(M\mapsto R\Gamma(U,M)\) 可如下计算：以任意微分分次 \(\mathcal{A}\)-模 \(\mathcal{M}\) 表示 \(K\)，再取 \(\mathcal{M}(U)\)。故 \(R\Gamma(U,-)\) 与直和交换；见引理 0FT9。类似地，给定 \(\mathcal{C}\) 的态射 \(U\to V\)，导出张量积函子 \(- \otimes_{\mathcal{O}(A)}^\mathbf{L} \mathcal{A}(U) : D(\mathcal{A}(V)) \to D(\mathcal{A}(U))\) 正合且与直和交换。本引理由这些观察直接得出；略去细节。

注

仍按上述记号，设 \(\mathcal{C}\) 是视为带混沌拓扑位点的范畴， \(\mathcal{O}\) 是 \(\mathcal{C}\) 上的环层，而 \((\mathcal{A},\text{d})\) 是微分分次 \(\mathcal{O}\)-代数层。则《站点上的上同调》命题 0GZ0 的类似结论对 \(\mathit{QC}(\mathcal{A},\text{d})\) 成立，证明几乎完全相同：

任何把直和变为积的反变上同调函子 \(H : \mathit{QC}(\mathcal{A}, \text{d}) \to \textit{Ab}\) 都是可表的；

三角范畴之间任何把直和变为直和的正合函子 \(F : \mathit{QC}(\mathcal{A}, \text{d}) \to \mathcal{D}\) 都有正合右伴随；

含入函子 \(\mathit{QC}(\mathcal{A}, \text{d}) \to D(\mathcal{A}, \text{d})\) 有正合右伴随。

若今后需要此结论，我们将在这里精确表述并证明它。

设 \(u:\mathcal{C}'\to\mathcal{C}\) 是范畴之间的函子。若把 \(\mathcal{C}\) 与 \(\mathcal{C}'\) 视为带混沌拓扑的位点，则 \(u\) 是连续且余连续的函子。因此得到拓扑斯的态射 \(g:\Sh(\mathcal{C}')\to\Sh(\mathcal{C})\)；见《位点》引理 00XO。再设给定 \(\mathcal{C}\) 上的环层 \(\mathcal{O}\)、\(\mathcal{C}'\) 上的环层 \(\mathcal{O}'\)，以及映射 \(g^\sharp : g^{-1}\mathcal{O} \to \mathcal{O}'\). 把相应的环化拓扑斯态射简记为 \(g : (\Sh(\mathcal{C}'), \mathcal{O}') \to (\Sh(\mathcal{C}), \mathcal{O})\), ；见《位点上的模》第 01D2 节。最后，设 \((\mathcal{A},\text{d})\) 是微分分次 \(\mathcal{O}\)-代数层， \((\mathcal{A}',\text{d})\) 是微分分次 \(\mathcal{O}'\)-代数层，并且给定微分分次 \(\mathcal{O}'\)-代数的映射 \(\varphi:g^*\mathcal{A}\to\mathcal{A}'\)（见第 0FRT 节）。

引理

设 \(g:(\Sh(\mathcal{C}'),\mathcal{O}') \to(\Sh(\mathcal{C}),\mathcal{O})\) 与 \(\varphi:g^*\mathcal{A}\to\mathcal{A}'\) 如上。则函子 \(Lg^* : D(\mathcal{A}, \text{d}) \to D(\mathcal{A}', \text{d})\) 把 \(\mathit{QC}(\mathcal{A},\text{d})\) 映入 \(\mathit{QC}(\mathcal{A}',\text{d})\)。

证明

取 \(U'\in\Ob(\mathcal{C}')\)，其在 \(\mathcal{C}\) 中的像记为 \(U=u(U')\)。以 \(pt\) 表示仅有一个对象和一个态射的范畴。把所示环化拓扑斯 \((\Sh(pt),\mathcal{O}'(U'))\) 与 \((\Sh(pt),\mathcal{O}(U))\) 分别赋予微分分次代数 \(\mathcal{A}'(U)\) 与 \(\mathcal{A}(U)\)。当然，把其上的微分分次模导出范畴分别等同于 \(D(\mathcal{A}'(U'),\text{d})\) 与 \(D(\mathcal{A}(U),\text{d})\)。于是有环化拓扑斯的交换图 \[\xymatrix{ (\Sh(pt), \mathcal{O}'(U')) \ar[rr]_{U'} \ar[d] & & (\Sh(\mathcal{C}'), \mathcal{O}') \ar[d]^g \\ (\Sh(pt), \mathcal{O}(U)) \ar[rr]^U & & (\Sh(\mathcal{C}), \mathcal{O}) }\] ，各顶点均赋有相应的微分分次代数。沿下方水平态射拉回，把 \(D(\mathcal{A},\text{d})\) 中的 \(M\) 映为视作 \(D(\mathcal{A}(U),\text{d})\) 中对象的 \(R\Gamma(U,K)\)。沿左边竖直箭头拉回，把 \(M\) 映为 \(M \otimes_{\mathcal{A}(U)}^\mathbf{L} \mathcal{A}'(U')\). 沿此图任一方向复合都给出相同结果（引理 0FTI），故得到 \[R\Gamma(U', Lg^*K) = R\Gamma(U, K) \otimes_{\mathcal{A}(U)}^\mathbf{L} \mathcal{A}'(U')\] 最后，设 \(f':U'\to V'\) 是 \(\mathcal{C}'\) 中的态射，并把它在 \(\mathcal{C}\) 中的像记为 \(f=u(f'):U=u(U')\to V=u(V')\)。若 \(K\in\mathit{QC}(\mathcal{A},\text{d})\)，则 \[\begin{align*} R\Gamma(V', Lg^*K) \otimes_{\mathcal{A}'(V')}^\mathbf{L} \mathcal{A}'(U') & = R\Gamma(V, K) \otimes_{\mathcal{A}(V)}^\mathbf{L} \mathcal{A}'(V') \otimes_{\mathcal{A}'(V')}^\mathbf{L} \mathcal{A}'(U') \\ & = R\Gamma(V, K) \otimes_{\mathcal{A}(V)}^\mathbf{L} \mathcal{A}'(U') \\ & = R\Gamma(V, K) \otimes_{\mathcal{A}(V)}^\mathbf{L} \mathcal{A}(U) \otimes_{\mathcal{A}(U)}^\mathbf{L} \mathcal{A}'(U') \\ & = R\Gamma(U, K) \otimes_{\mathcal{A}(U)}^\mathbf{L} \mathcal{A}'(U') \\ & = R\Gamma(U', Lg^*K) \end{align*}\] ，正如所需。这里对 \(U'\) 与 \(V'\) 都使用了上述观察。

范畴上的微分分次模（续）

我们进一步给出第 0GZ8 节所引入的拟凝聚模概念的若干结果。

引理

设 \(\mathcal{C}\)、\(\mathcal{O}\)、\(\mathcal{A}\) 如第 0GZ8 节。设 \(\mathcal{C}'\subset\mathcal{C}\) 是具有如下性质的全子范畴：对每个 \(U\in\Ob(\mathcal{C})\)，由箭头 \(U\to U'\) 构成的范畴 \(U/\mathcal{C}'\) 是余滤过的。以 \(\mathcal{O}'\)、\(\mathcal{A}'\) 表示 \(\mathcal{O}\)、\(\mathcal{A}\) 到 \(\mathcal{C}'\) 的限制。则限制诱导等价 \(\mathit{QC}(\mathcal{A}, \text{d}) \to \mathit{QC}(\mathcal{A}', \text{d})\).

证明

我们构造该函子的拟逆。设 \(M'\) 是 \(\mathit{QC}(\mathcal{A}',\text{d})\) 的对象。可以用良好微分分次模 \(\mathcal{M}'\) 表示 \(M'\)；见引理 0FSH。于是对每个 \(U'\in\Ob(\mathcal{C}')\)，微分分次 \(\mathcal{A}'(U')\)-模 \(\mathcal{M}'(U)\) 是 K-平坦且分次平坦的；对 \(\mathcal{C}'\) 的每个态射 \(U'_1\to U'_2\)，映射 \[\mathcal{M}'(U'_2) \otimes_{\mathcal{A}'(U'_2)} \mathcal{A}'(U'_1) \longrightarrow \mathcal{M}'(U'_1)\] 是拟同构（因为源表示导出张量积）。考虑按如下规则定义的微分分次 \(\mathcal{A}\)-模 \(\mathcal{M}\)： \[\mathcal{M}(U) = \colim_{U \to U' \in U/\mathcal{C}'} \mathcal{M}'(U') \otimes_{\mathcal{A}'(U')} \mathcal{A}(U)\] 。由本引理中的假设，这是复形的滤过余极限。由于 \(M'\in\mathit{QC}(\mathcal{A}',\text{d})\)，该系统中的所有转移映射都是拟同构。又因滤过余极限正合，可知对任意态射 \(U\to U'\)，其中 \(U'\in\Ob(\mathcal{C}')\)，\(D(\mathcal{A}(U),\text{d})\) 中的 \(\mathcal{M}(U)\) 同构于 \(\mathcal{M}'(U')\otimes_{\mathcal{A}'(U')}\mathcal{A}(U)\)。

我们断言 \(\mathcal{M}\in\mathit{QC}(\mathcal{A},\text{d})\)：事实上，给定 \(\mathcal{C}\) 中的 \(U\to V\)，选择映射 \(V\to V'\)，其中 \(V'\in\Ob(\mathcal{C}')\)。由上可知，映射 \(\mathcal{M}(V)\to\mathcal{M}(U)\) 等同于映射 \[\mathcal{M}'(V') \otimes_{\mathcal{A}'(V')} \mathcal{A}(V) \longrightarrow \mathcal{M}'(V') \otimes_{\mathcal{A}'(V')} \mathcal{A}(U)\] 。由于 \(\mathcal{M'}(V')\) 作为微分分次 \(\mathcal{A}'(V')\)-模是 K-平坦的，断言得证。

自然映射 \(\mathcal{M}|_{\mathcal{C}'}\to\mathcal{M}'\) 在 \(D(\mathcal{A}',d)\) 中是同构，这立即由上得出。

反之，若有 \(\mathit{QC}(\mathcal{A},\text{d})\) 的对象 \(E\)，则以良好微分分次模 \(\mathcal{E}\) 表示它。置 \(\mathcal{M}'=\mathcal{E}|_{\mathcal{C}'}\)（这仍是良好微分分次模），可知存在映射 \[\mathcal{E} \to \mathcal{M}\] ，它在 \(\mathcal{C}\) 的 \(U\) 上由映射 \[\mathcal{E}(U) \longrightarrow \colim_{U \to U' \in U/\mathcal{C}'} \mathcal{E}(U') \otimes_{\mathcal{A}'(U')} \mathcal{A}(U)\] 给出；同理这是拟同构。因此限制与上述构造是互为拟逆的函子，正如所需。

引理

设 \(\mathcal{C}\)、\(\mathcal{O}\) 如第 0GZ8 节。设 \(\varphi:\mathcal{A}\to\mathcal{B}\) 是微分分次 \(\mathcal{O}\)-代数的同态，并在上同调层上诱导同构，则引理 0FTZ 的等价 \(D(\mathcal{A}, \text{d}) \to D(\mathcal{B}, \text{d})\) 诱导等价 \(\mathit{QC}(\mathcal{A}, \text{d}) \to \mathit{QC}(\mathcal{B}, \text{d})\).

证明

只需证明如下事实：给定 \(\mathcal{C}\) 的态射 \(U\to V\) 与 \(D(\mathcal{A},\text{d})\) 中的 \(M\)，下列条件等价：

\(R\Gamma(V, M) \otimes_{\mathcal{A}(V)}^\mathbf{L} \mathcal{A}(U) \to \Gamma(U, M)\) 在 \(D(\mathcal{A}(U),\text{d})\) 中是同构；

\(R\Gamma(V, M \otimes_\mathcal{A}^\mathbf{L} \mathcal{B}) \otimes_{\mathcal{B}(V)}^\mathbf{L} \mathcal{B}(U) \to \Gamma(U, M \otimes_\mathcal{A}^\mathbf{L} \mathcal{B})\) 在 \(D(\mathcal{B}(U),\text{d})\) 中是同构。

由于 \(\mathcal{C}\) 上的拓扑是混沌的，这只归结为 \(\mathcal{A}(U)\to\mathcal{B}(U)\) 与 \(\mathcal{A}(V)\to\mathcal{B}(V)\) 是拟同构这一事实。略去细节。

微分分次代数的逆系统

本节考虑第 0GZ8 节所讨论情形的如下特殊情况：

\(\mathcal{C}\) 是范畴 \(\mathbf{N}\)，当且仅当 \(i\leq j\) 时，存在唯一态射 \(i\to j\)；
\(\mathcal{O}\) 是取值为给定环 \(R\) 的常值环（预）层。

在此设定下，微分分次 \(\mathcal{O}\)-代数层 \(\mathcal{A}\) 等同于微分分次 \(R\)-代数的逆系统 \((A_n)\)。微分分次 \(\mathcal{A}\)-模层 \(\mathcal{M}\) 等同于逆系统 \((M_n)\)，其中 \(M_n\) 是微分分次 \(A_n\)-模，而转移映射 \(M_{n+1}\to M_n\) 是 \(A_{n+1}\)-模映射。本节在记号中省略微分，并以 \(\mathit{QC}(\mathcal{A})\) 表示定义 0GZ9 中记为 \(\mathit{QC}(\mathcal{A},\text{d})\) 的范畴。

设 \(\mathcal{B}=(B_n)\) 是微分分次 \(R\)-代数的另一个逆系统。给定 pro-对象的态射 \(\varphi:(A_n)\to(B_n)\)，我们将构造从 \(\mathit{QC}(\mathcal{A})\) 到 \(\mathit{QC}(\mathcal{B})\) 的正合函子。具体地，按照《范畴》例 0G2W，态射 \(\varphi\) 由整数序列 \(\ldots\geq m(3)\geq m(2)\geq m(1)\) 及交换图 \[\xymatrix{ \ldots \ar[r] & A_{m(3)} \ar[d]^{\varphi_3} \ar[r] & A_{m(2)} \ar[d]^{\varphi_2} \ar[r] & A_{m(1)} \ar[d]^{\varphi_1} \\ \ldots \ar[r] & B_3 \ar[r] & B_2 \ar[r] & B_1 }\] 给出，其中各项是微分分次 \(R\)-代数。于是，给定表示 \(\mathit{QC}(\mathcal{A})\) 中对象的良好微分分次 \(\mathcal{A}\)-模层 \(\mathcal{M}=(M_n)\)，可以置 \[N_n = M_{m(n)} \otimes_{A_{m(n)}} B_n\] 。此逆系统确定 \(\mathit{QC}(\mathcal{B})\) 的对象，因为 \(A_{m(n)}\)-模 \(M_{m(n)}\) 是 K-平坦的；略去细节。所得函子不依赖其构造中所作选择这一事实也留给读者证明。

引理

在上述情形中，设 \(\mathcal{A}=(A_n)\) 和 \(\mathcal{B}=(B_n)\) 是微分分次 \(R\)-代数的逆系统。若 \(\varphi:(A_n)\to(B_n)\) 是 pro-对象的同构，则上面构造的函子 \(\mathit{QC}(\mathcal{A})\to\mathit{QC}(\mathcal{B})\) 是等价。

证明

令 \(\psi:(B_n)\to(A_n)\) 为与 \(\varphi\) 互逆的 pro-对象态射。根据《范畴》，例 0G2W 中的讨论，可设 \(\varphi\) 由如上的一族映射给出，而 \(\psi\) 由 \(n(1)<n(2)<\ldots\) 以及如下交换图给出： \[\xymatrix{ \ldots \ar[r] & B_{n(3)} \ar[d]^{\psi_3} \ar[r] & B_{n(2)} \ar[d]^{\psi_2} \ar[r] & B_{n(1)} \ar[d]^{\psi_1} \\ \ldots \ar[r] & A_3 \ar[r] & A_2 \ar[r] & A_1 }\] 其中各项是微分分次 \(R\)-代数。由于 \(\varphi\circ\psi=\text{id}\)，在可能增大函数 \(n(\cdot)\) 和 \(m(\cdot)\) 的取值后，可以假设 \(B_{n(m(i))}\to A_{m(i)}\to B_i\) 是转移映射。因此，函子的复合 \[\mathit{QC}(\mathcal{B}) \to \mathit{QC}(\mathcal{A}) \to \mathit{QC}(\mathcal{B})\] 把良好微分分次 \(\mathcal{B}\)-模层 \(\mathcal{N}=(N_n)\) 送到取值为 \[N'_i = N_{n(m(i))} \otimes_{B_{n(m(i))}} B_i\] 的逆系统 \(\mathcal{N}'=(N'_i)\)；它与 \(\mathcal{N}\) 典范拟同构，恰是因为 \(\mathcal{N}\) 是 \(\mathit{QC}(\mathcal{B})\) 的对象，且对所有 \(j\)，\(N_j\) 都是 K-平坦微分分次模。反向复合也有同样结论，故证毕。

令 \(\mathcal{C}=\mathbf{N}\)，令 \(\mathcal{O}\) 为取值于环 \(R\) 的常值层，并令 \(\mathcal{A}\) 由微分分次 \(R\)-代数的逆系统 \((A_n)\) 给出。设有两个左微分分次 \(\mathcal{A}\)-模 \(\mathcal{N}\) 和 \(\mathcal{N}'\)，它们分别由逆系统 \((N_n)\) 和 \((N'_n)\) 给出。因此每个 \(N_n\) 和 \(N'_n\) 都是左微分分次 \(A_n\)-模。暂称 \((N_n)\) 和 \((N'_n)\) 在导出范畴中 pro-同构，如果存在整数序列 \[1 = n_0 < n_1 < n_2 < n_3 < \ldots\] 以及映射 \[N_{n_{2i}} \to N'_{n_{2i - 1}} \quad\text{于}\quad D(A_{n_{2i}}^{opp}, \text{d})\] 和 \[N'_{n_{2i + 1}} \to N'_{n_{2i}} \quad\text{于}\quad D(A_{n_{2i + 1}}^{opp}, \text{d})\] 使得复合 \(N_{n_{2i}}\to N_{n_{2i-2}}\) 和 \(N'_{n_{2i+1}}\to N'_{2i-1}\) 分别由相应系统的转移映射给出。

引理

若 \((N_n)\) 和 \((N'_n)\) 按上述定义在导出范畴中 pro-同构，则对 \(D(\mathbf{N},\mathcal{A})\) 的每个对象 \((M_n)\)，有 \[R\lim (M_n \otimes_{A_n}^\mathbf{L} N_n) = R\lim (M_n \otimes_{A_n}^\mathbf{L} N'_n)\] 于 \(D(R)\) 中。

证明

该假设蕴涵 \(D(R)\) 中的逆系统 \((M_n\otimes_{A_n}^\mathbf{L}N_n)\) 与逆系统 \((M_n\otimes_{A_n}^\mathbf{L}N'_n)\) pro-同构（通常意义下）。因此结论由《代数详论》，引理 0H9L 得出。

引理

设 \(R\) 为环，\(f_1,\ldots,f_r\in R\)。令 \(K_n\) 为 \(f_1^n,\ldots,f_r^n\) 上的 Koszul 复形，并将其视为微分分次 \(R\)-代数。设 \((M_n)\) 是 \(D(\mathbf{N},(K_n))\) 的对象。则对任意 \(t\geq1\)，有 \[R\lim (M_n \otimes_R^\mathbf{L} K_t) = R\lim (M_n \otimes_{K_n}^\mathbf{L} K_t)\] 于 \(D(R)\) 中。

证明

固定 \(t\geq1\)。对 \(n\geq t\)，用 \({}_nK_t\) 表示微分分次 \(R\)-代数 \(K_t\)，将其视为左微分分次 \(K_n\)-模。注意 \[M_n \otimes_R^\mathbf{L} K_t = M_n \otimes_{K_n}^\mathbf{L} (K_n \otimes_R^\mathbf{L} K_t) = M_n \otimes_{K_n}^\mathbf{L} (K_n \otimes_R K_t)\] 。因此由引理 0GZI，只需证明 \(({}_nK_t)\) 和 \((K_n\otimes_RK_t)\) 在导出范畴中 pro-同构。乘法映射 \[K_n \otimes_R K_t \longrightarrow {}_nK_t\] 是左微分分次 \(K_n\)-模的映射。因此，为完成证明，只需证明对所有 \(n\geq1\)，存在 \(N>n\) 以及映射 \[{}_NK_t \longrightarrow {}_NK_n \otimes_R K_t\] 于 \(D(K_N^{opp},\text{d})\) 中，使它与乘法映射的复合（沿任一方向）是转移映射。这已在《除幂代数》，引理 0GZ7 中通过一个显式构造完成。

命题

设 \(R\) 为诺特环，\(I\subset R\) 为理想。以下三个范畴典范等价：

令 \(\mathcal{A}\) 为 \(\mathbf{N}\) 上与 \(R\)-代数逆系统 \(A_n=R/I^n\) 对应的 \(R\)-代数层。范畴 \(\mathit{QC}(\mathcal{A})\)。

选取 \(I\) 的生成元 \(f_1,\ldots,f_r\)。令 \(\mathcal{B}\) 为 \(\mathbf{N}\) 上与 \(f_1^n,\ldots,f_r^n\) 上的 Koszul 代数逆系统对应的微分分次 \(R\)-代数层。范畴 \(\mathit{QC}(\mathcal{B})\)。

导出完备对象所成的全子范畴 \(D_{comp}(R,I)\subset D(R)\)；见《代数详论》，定义 091S 及其后的文字。

证明

考虑环化拓扑斯的显然态射 \(f : (\Sh(\mathbf{N}), \mathcal{A}) \to (\Sh(pt), R)\) ，并考虑伴随函子 \(Lf^*\) 和 \(Rf_*\)。前者限制为函子 \[F : D_{comp}(R, I) \longrightarrow \mathit{QC}(\mathcal{A})\] ，它把由 K-平坦复形 \(K^\bullet\) 表示的 \(D_{comp}(R,I)\) 中对象 \(K\) 送到 \(\mathit{QC}(\mathcal{A})\) 的对象 \((K^\bullet\otimes_RR/I^n)\)。后者限制为函子 \[G : \mathit{QC}(\mathcal{A}) \longrightarrow D_{comp}(R, I)\] ，它把 \(\mathit{QC}(\mathcal{A})\) 的对象 \((M_n^\bullet)\) 送到 \(R\lim M_n^\bullet\)。例如，由《代数详论》，引理 091W，所得对象是导出完备的。此外，由《代数详论》，命题 0922，有 \(G\circ F=\text{id}\)。因此，为看出 \(F\) 和 \(G\) 是互为拟逆的等价，只需看出 \(G\) 的核为零（见《导出范畴》，引理 09J1）。然而，直接证明这一点似乎并不容易！

本段将证明 \(\mathit{QC}(\mathcal{A})\) 和 \(\mathit{QC}(\mathcal{B})\) 等价。写 \(\mathcal{B}=(B_n)\)，其中 \(B_n\) 是 Koszul 复形，并将它视为集中在次数 \(-r,-r+1,\ldots,0\) 的上链复形。由《除幂代数》，注 0GZ5（但把链复形改成上链复形），可以找到 \(1<n_1<n_2<\ldots\) 以及微分分次 \(R\)-代数的映射 \(B_{n_i} \to E_i \to R/(f_1^{n_i}, \ldots, f_r^{n_i})\) 和 \(E_i\to B_{n_{i-1}}\)，使得 \[\xymatrix{ B_{n_1} \ar[d] & B_{n_2} \ar[d] \ar[l] & B_{n_3} \ar[d] \ar[l] & \ldots \ar[l] \\ E_1 \ar[d] & E_2 \ar[l] \ar[d] & E_3 \ar[l] \ar[d] & \ldots \ar[l] \\ B_1 & B_{n_1} \ar[l] & B_{n_2} \ar[l] & \ldots \ar[l] }\] 是微分分次 \(R\)-代数的交换图，且 \(E_i\to R/(f_1^{n_i},\ldots,f_r^{n_i})\) 是拟同构。由此得到：

\(\mathit{QC}(\mathcal{B})\) 与 \(\mathit{QC}((E_i))\) 之间有一个等价；

\(\mathit{QC}((E_i))\) 与 \(\mathit{QC}((R/(f_1^{n_i},\ldots,f_r^{n_i})))\) 之间有一个等价；

\(\mathit{QC}((R/(f_1^{n_i},\ldots,f_r^{n_i})))\) 与 \(\mathit{QC}(\mathcal{A})\) 之间有一个等价。

事实上，对 (1)，可把引理 0GZH 应用于上图；该图表明 \((E_i)\) 与 \((B_n)\) pro-同构。对 (2)，可把引理 0GZF 应用于拟同构的逆系统 \(E_i\to R/(f_1^{n_i},\ldots,f_r^{n_i})\)。对 (3)，可应用引理 0GZH 以及逆系统 \((R/I^n)\) 与 \((R/(f_1^{n_i},\ldots,f_r^{n_i})\) pro-同构这一初等事实。

与证明的第一段完全一样，可以定义伴随函子⁶ \[F' : D_{comp}(R, I) \longrightarrow \mathit{QC}(\mathcal{B}) \quad\text{及}\quad G' : \mathit{QC}(\mathcal{B}) \longrightarrow D_{comp}(R, I).\] 前者把由 K-平坦复形 \(K^\bullet\) 表示的 \(D_{comp}(R,I)\) 中对象 \(K\) 送到 \(\mathit{QC}(\mathcal{B})\) 的对象 \((K^\bullet\otimes_RB_n)\)。后者把 \(\mathit{QC}(\mathcal{B})\) 的对象 \((M_n)\) 送到 \(R\lim M_n\)。与上面一样论证，只需证明 \(G'\) 的核为零。因此，令 \(\mathcal{M}=(M_n)\) 为 \(\mathcal{B}\) 上的良好微分分次模层，它表示 \(\mathit{QC}(\mathcal{B})\) 中属于 \(G'\) 之核的一个对象。则 \[0 = R\lim M_n \Rightarrow 0 = (R\lim M_n) \otimes_R^\mathbf{L} B_t = R\lim (M_n \otimes_R^\mathbf{L} B_t)\] 。由引理 0GZJ，有 \(R\lim (M_n \otimes_R^\mathbf{L} B_t) = R\lim (M_n \otimes_{B_n}^\mathbf{L} B_t)\). 由于 \((M_n)\) 是 \(\mathit{QC}(\mathcal{B})\) 的对象，可见逆系统 \(M_n\otimes_{B_n}^\mathbf{L}B_t\) 最终为常值 \(M_t\)。所以如所需，\(M_t=0\)。

注

设 \(R\) 为环，\(f_1,\ldots,f_r\in R\) 为生成理想 \(I\) 的元素序列。令 \(K_n\) 为 \(f_1^n,\ldots,f_r^n\) 上的 Koszul 复形，并将它视为微分分次 \(R\)-代数。若对所有 \(n\)，都存在 \(m>n\)，使得 \(K_m\to K_n\) 在除次数 \(0\) 以外的上同调上诱导零映射，则称 \(f_1,\ldots,f_r\) 为弱 pro-正则序列。若是如此，则即使 \(R\) 不是诺特环，命题 0GZK 证明中的论证仍然成立。特别地可见，只要 \(I\) 可由弱 pro-正则序列生成， \(\mathit{QC}(\{R/I^n\})\) 作为 \(R\)-线性三角范畴就与导出完备对象所成的范畴 \(D_{comp}(R,I)\) 等价。如有需要，我们将在此精确陈述并证明之。

我们在这里约定，此式不涉及任何符号。↩︎
这可能不是标准术语。↩︎
更准确地，应写成 \(F(\mathcal{A}) \otimes_\mathcal{O}^\mathbf{L} F(\mathcal{A}) \to F(\mathcal{A} \otimes_\mathcal{O} \mathcal{A}) \to F(\mathcal{A})\) ，其中 \(F\) 表示到 \(\mathcal{O}\)-模复形的遗忘函子。还要注意， \(\mathcal{A}\otimes_\mathcal{O}\mathcal{A}\) 表示第 0FRM 节的张量积，故 \(F(\mathcal{A} \otimes_\mathcal{O} \mathcal{A}) = \text{Tot}(F(\mathcal{A}) \otimes_\mathcal{O} F(\mathcal{A}))\). 该序列的第一个箭头是从两个 \(\mathcal{O}\)-模复形的导出张量积到 \(\mathcal{O}\)-模复形通常张量积的典范映射。↩︎
这里及下文， \(Rf_*:D(\mathcal{O})\to D(\mathcal{O}')\) 是《站点上的上同调》第 07A5 节及以后研究的导出函子。↩︎
例如恒等态射。↩︎
可以证明，通过上述等价，这些函子与先前定义的 \(F\) 和 \(G\) 相容。↩︎