代数几何与形式几何

引言

本章继续研究形式代数几何，尤其研究形式对象是否为某个代数对象的完备化这一问题。一部奠基性参考文献是 [SGA2]。下面列出我们已经在 Stacks 项目中讨论过的结果：

形式函数定理，见概形上同调，02O7 节。
凝聚形式模，见概形上同调，0EHN 节。
Grothendieck 存在性定理，见概形上同调， 087V、0886 和 0CYW.
Grothendieck 代数化定理，见概形上同调，0898 节。
更一般的 Grothendieck 存在性定理，见更多平坦性， 0CTB 和 0DIA.

下面概述本章内容。

设 \(X\) 是一个概形，\(\mathcal{I} \subset \mathcal{O}_X\) 是有限型拟凝聚理想层。本章的许多问题都涉及逆系统 \((\mathcal{F}_n)\)，其各项是拟凝聚 \(\mathcal{O}_X\)-模，并且它满足 \(\mathcal{F}_n = \mathcal{F}_{n + 1}/\mathcal{I}^n\mathcal{F}_{n + 1}\)。一个重要的特殊情形是：\(X\) 是诺特环 \(A\) 上的概形，并且 \(\mathcal{I} = I \mathcal{O}_X\)，其中 \(I \subset A\) 是某个理想。在上同调， 0GYJ、 0H38 和 0H3B 节中，我们给出了一些一般结果。在本章中，0EH3 和 0BLA 节包含概形与拟凝聚模所特有的结果。在 0EI9 节中，我们证明： \(\lim H^p(X, \mathcal{F}_n)\) 上的极限拓扑是 \(I\)-进拓扑，如果 \(\text{cd}(A, I) = 1\)。本章的一个主题是说明：在主理想情形 \(I = (f)\) 下证明的结果，只假设 \(\text{cd}(A, I) = 1\) 时仍然成立。

在 0995 节中，我们讨论环化位点 \((\mathcal{C}, \mathcal{O})\) 上的模关于有限型理想层 \(\mathcal{I}\) 的导出完备化。这一节自然延续更多代数，091N 节中所述的交换代数导出完备化理论。第一个主要结果是导出完备化存在。第二个主要结果是：对环化位点的态射 \(f\)，导出完备化与导出推出可交换： \[(Rf_*K)^\wedge = Rf_*(K^\wedge)\] 前提是上方的理想层局部地由来自下方理想的截面生成；见引理 0A0G。需要强调的是，若所讨论的理想都是全局有限生成的，则这两个主要结果都非常初等；本章中这一理论的所有应用都属于这种情形。上面展示的等式是形式函数定理的“正确”版本，见 0A0H 节中的讨论。

设 \(A\) 是诺特环，\(I, J\) 是 \(A\) 的两个理想。设 \(M\) 是有限 \(A\)-模。本章接下来的主题是映射 \[R\Gamma_J(M) \longrightarrow R\Gamma_J(M)^\wedge\] 它从 \(M\) 的局部上同调映入其导出 \(I\)-进完备化。事实证明，若施加合适的深度条件，这个映射在一定次数范围内的上同调上成为同构。在 0EFF 节中，我们基本上在刚才所述的一般性下工作。在 0EFP 节中，假设 \(A\) 是局部环，且 \(J = \mathfrak m\) 是极大理想。我们建议读者先读这一节，再读本章这一部分的另外两节。最后，在 0EFT 节中，我们从局部情形逐步推导，在一般情形中得到更强的结果。

在本章的下一部分，我们利用局部上同调完备化的结果，给出关于凝聚模完备化之上同调的一组并非穷尽的结果。更准确地说，设 \(A\) 是诺特环，\(I \subset A\) 是理想，\(U \subset \Spec(A)\) 是开子概形。若 \(\mathcal{F}\) 是凝聚 \(\mathcal{O}_U\)-模，则可以考虑映射 \[H^i(U, \mathcal{F}) \longrightarrow \lim H^i(U, \mathcal{F}/I^n\mathcal{F})\] 并问在一定次数范围内是否得到同构。在 0DXH 节中，我们处理一些 \(U\) 是局部环穿孔谱的例子。在 0EG1 节中，我们讨论一般情形。在 0ECQ 节中，我们把所得的一些结果应用于代数几何中的连通性问题。

本章余下各节专门讨论凝聚形式模的代数化。换言之，给定如上的凝聚模逆系统 \((\mathcal{F}_n)\)，它位于 \(U\) 上并满足 \(\mathcal{F}_n = \mathcal{F}_{n + 1}/I^n\mathcal{F}_{n + 1}\) 我们要问：是否存在一个凝聚 \(\mathcal{O}_U\)-模 \(\mathcal{F}\)，使得 \(\mathcal{F}_n = \mathcal{F}/I^n\mathcal{F}\) 对所有 \(n\) 都成立。我们建议读者阅读 0DXS 节，其中给出了这一问题的精确表述、一个有用的一般结果（引理 0EHH）以及一个非平凡的应用（引理 0DXW）。要证明实质上超出这一情形的结果，还需要发展相当多的理论。本章所得此类结果中最强的那些，见 0EJH 节。

形式截面，I

我们建议先阅读《上同调》，第 0GYJ 节。

引理

设 \(X\) 是概形。设 \(\mathcal{I} \subset \mathcal{O}_X\) 是拟凝聚理想层。设 \[\ldots \to \mathcal{F}_3 \to \mathcal{F}_2 \to \mathcal{F}_1\] 是拟凝聚 \(\mathcal{O}_X\)-模的一个逆系统，并且 \(\mathcal{F}_n = \mathcal{F}_{n + 1}/\mathcal{I}^n\mathcal{F}_{n + 1}\). 置 \(\mathcal{F} = \lim \mathcal{F}_n\)。则

\(\mathcal{F} = R\lim \mathcal{F}_n\)，

对任意仿射开集 \(U \subset X\)，有 \(H^p(U, \mathcal{F}) = 0\)，其中 \(p > 0\)，并且

对每个 \(p\) 都有短正合列 \(0 \to R^1\lim H^{p - 1}(X, \mathcal{F}_n) \to H^p(X, \mathcal{F}) \to \lim H^p(X, \mathcal{F}_n) \to 0\)。

此外，若 \(\mathcal{I}\) 是有限型的，则

\(\mathcal{F}_n = \mathcal{F}/\mathcal{I}^n\mathcal{F}\)，并且

\(\mathcal{I}^n \mathcal{F} = \lim_{m \geq n} \mathcal{I}^n\mathcal{F}_m\)。

证明

(1)、(2) 与 (3) 是具有满射过渡映射的拟凝聚模逆系统的一般事实；见《概形的导出范畴》，引理 0A0J 与《上同调》，引理 0D60。其次，设 \(\mathcal{I}\) 是有限型的。设 \(U \subset X\) 是仿射开集。写 \(U = \Spec(A)\)，并设 \(\mathcal{I}|_U\) 对应于 \(I \subset A\)。注意 \(I\) 是有限生成理想。利用拟凝聚 \(\mathcal{O}_U\)-模与 \(A\)-模之间的范畴等价（《概形》，引理 01IB），可知 \(M_n = \mathcal{F}_n(U)\) 是 \(A\)-模的一个逆系统，且 \(M_n = M_{n + 1}/I^nM_{n + 1}\)。因此 \[M = \mathcal{F}(U) = \lim \mathcal{F}_n(U) = \lim M_n\] 是一个 \(I\)-进完备模，并且由《代数》，引理 09B8，有 \(M/I^nM = M_n\)。这证明了 (4)。 (5) 转化为命题 \(\lim_{m \geq n} I^nM/I^mM = I^nM\)。由于 \(I^mM = I^{m - n} \cdot I^nM\)，这正是说 \(I^mM\) 是 \(I\)-进完备的。这由《代数》，引理 05GG 以及 \(M\) 的完备性得出。

形式截面，II

我们建议先阅读《上同调》，第 0H38 节与第 0H3B 节。

引理

设 \(X\) 是概形。设 \(f \in \Gamma(X, \mathcal{O}_X)\)。设 \[\ldots \to \mathcal{F}_3 \to \mathcal{F}_2 \to \mathcal{F}_1\] 是拟凝聚 \(\mathcal{O}_X\)-模的一个逆系统。下列条件等价：

对所有 \(n \geq 1\)，映射 \(f : \mathcal{F}_{n + 1} \to \mathcal{F}_{n + 1}\) 通过 \(\mathcal{F}_{n + 1} \to \mathcal{F}_n\) 分解，并给出短正合列 \(0 \to \mathcal{F}_n \to \mathcal{F}_{n + 1} \to \mathcal{F}_1 \to 0\)；

对所有 \(n \geq 1\)，映射 \(f^n : \mathcal{F}_{n + 1} \to \mathcal{F}_{n + 1}\) 通过 \(\mathcal{F}_{n + 1} \to \mathcal{F}_1\) 分解，并给出短正合列 \(0 \to \mathcal{F}_1 \to \mathcal{F}_{n + 1} \to \mathcal{F}_n \to 0\)；

存在一个 \(\mathcal{O}_X\)-模 \(\mathcal{G}\)，它是 \(f\)-可除的，并且 \(\mathcal{F}_n = \mathcal{G}[f^n]\)；

存在一个 \(\mathcal{O}_X\)-模 \(\mathcal{F}\)，它无 \(f\)-挠，并且 \(\mathcal{F}_n = \mathcal{F}/f^n\mathcal{F}\)。

证明

(1)、(2)、(3) 的等价性以及蕴涵 (4) \(\Rightarrow\) (1)，已在《上同调》，引理 0H39 中证明。设 (1) 成立。置 \(\mathcal{F} = \lim \mathcal{F}_n\)。由引理 0EI8 的 (4)，有 \(\mathcal{F}_n = \mathcal{F}/f^n\mathcal{F}\)。设 \(U \subset X\) 是开集，且 \(s = (s_n) \in \mathcal{F}(U) = \lim \mathcal{F}_n(U)\)。选取 \(n \geq 1\)。若 \(fs = 0\)，则由条件 (1)，\(s_{n + 1}\) 属于 \(\mathcal{F}_{n + 1} \to \mathcal{F}_n\) 的核。故 \(s_n = 0\)。由于 \(n\) 是任意的，可知 \(s = 0\)。因此 \(\mathcal{F}\) 无 \(f\)-挠。

引理

设 \(A\) 是环且 \(f \in A\)。设 \(X\) 是 \(A\) 上的概形。设 \(\mathcal{F}\) 是拟凝聚 \(\mathcal{O}_X\)-模。假设 \(\mathcal{F}[f^n] = \Ker(f^n : \mathcal{F} \to \mathcal{F})\) 稳定。则 \[R\Gamma(X, \lim \mathcal{F}/f^n\mathcal{F}) = R\Gamma(X, \mathcal{F})^\wedge\] 其中右边表示关于理想 \((f) \subset A\) 的导出完备化。因此，对 \(p \in \mathbf{Z}\)，得到交换图 \[\xymatrix{ & 0 & 0 \\ 0 \ar[r] & \widehat{H^p(X, \mathcal{F})} \ar[r] \ar[u] & \lim H^p(X, \mathcal{F}/f^n\mathcal{F}) \ar[r] \ar[u] & T_f(H^{p + 1}(X, \mathcal{F})) \ar[r] & 0 \\ 0 \ar[r] & H^0(H^p(X, \mathcal{F})^\wedge) \ar[r] \ar[u] & H^p(X, \lim \mathcal{F}/f^n\mathcal{F}) \ar[r] \ar[u] & T_f(H^{p + 1}(X, \mathcal{F})) \ar[r] \ar@{=}[u] & 0 \\ & R^1\lim H^p(X, \mathcal{F})[f^n] \ar[u] \ar[r]^\cong & R^1\lim H^{p - 1}(X, \mathcal{F}/f^n\mathcal{F}) \ar[u] \\ & 0 \ar[u] & 0 \ar[u] }\] 其各行各列均正合，其中 \(\widehat{H^p(X, \mathcal{F})} = \lim H^p(X, \mathcal{F})/f^n H^p(X, \mathcal{F})\) 是通常的 \(f\)-进完备化，而 \(T_f(-)\) 表示 \(f\)-进 Tate 模，如《代数进阶》，例 0BKG 中所定义。

证明

由引理 0EI8，有 \(\lim \mathcal{F}/f^n\mathcal{F} = R\lim \mathcal{F}/f^n \mathcal{F}\). 其余结论由《上同调》，例 0H3E 得出。

形式截面，III

本节证明引理 0EH7。在诺特概形与凝聚模的情形下，当不假设理想 \(I\) 是主理想，而是假设 \(\text{cd}(A, I) = 1\) 时，该引理是《上同调》，引理 0EHA 的类似结果。

引理

设 \(I = (f_1, \ldots, f_r)\) 是诺特环 \(A\) 的理想。若 \(\text{cd}(A, I) = 1\)，则存在 \(c \geq 1\) 与映射 \(\varphi_j : I^c \to A\)，使得 \(\sum f_j \varphi_j : I^c \to I\) 是包含映射。

证明

由于 \(\text{cd}(A, I) = 1\)，补集 \(U = \Spec(A) \setminus V(I)\) 是仿射的（《局部上同调》，引理 0DXD）。写 \(U = \Spec(B)\)。于是 \(IB = B\)，并且可以写成 \(1 = \sum_{j = 1, \ldots, r} f_j b_j\)，其中 \(b_j \in B\)。由《概形上同调》，引理 01YB，可将 \(b_j\) 表示为映射 \(\varphi_j : I^c \to A\)，其中 \(c \geq 0\)。再由同一引理，\(\sum f_j \varphi_j : I^c \to I \subset A\) 是典范嵌入；这里必要时把 \(c\) 换成更大的整数。

引理

设 \(I = (f_1, \ldots, f_r)\) 是诺特环 \(A\) 的理想，且 \(\text{cd}(A, I) = 1\)。设 \(c \geq 1\) 以及 \(\varphi_j : I^c \to A\)， \(j = 1, \ldots, r\)，如引理 0EIA 中所述。则存在唯一的分次 \(A\)-代数映射 \[\Phi : \bigoplus\nolimits_{n \geq 0} I^{nc} \to A[T_1, \ldots, T_r]\] 使得 \(\Phi(g) = \sum \varphi_j(g) T_j\)，其中 \(g \in I^c\)。此外，\(\Phi\) 与映射 \(A[T_1, \ldots, T_r] \to \bigoplus_{n \geq 0} I^n\), \(T_j \mapsto f_j\) 的复合是包含映射 \(\bigoplus_{n \geq 0} I^{nc} \to \bigoplus_{n \geq 0} I^n\).

证明

对每个 \(j\) 与 \(m \geq c\)，\(\varphi_j\) 在 \(I^m\) 上的限制是映射 \(\varphi_j : I^m \to I^{m - c}\)。给定 \(j_1, \ldots, j_n \in \{1, \ldots, r\}\)，我们断言复合 \[\varphi_{j_1} \ldots \varphi_{j_n} : I^{nc} \to I^{(n - 1)c} \to \ldots \to I^c \to A\] 与指标 \(j_1, \ldots, j_n\) 的次序无关。事实上，若 \(g = g_1 \ldots g_n\) 且 \(g_i \in I^c\)，则可见 \[(\varphi_{j_1} \ldots \varphi_{j_n})(g) = \varphi_{j_1}(g_1) \ldots \varphi_{j_n}(g_n)\] 与次序无关，因为 \(A\) 中的乘法可交换。因此，可以如下定义 \(\Phi\)：把 \(g \in I^{nc}\) 映到 \[\Phi(g) = \sum\nolimits_{e_1 + \ldots + e_r = n} (\varphi_1^{e_1} \circ \ldots \circ \varphi_r^{e_r})(g) T_1^{e_1} \ldots T_r^{e_r}\] 直接验证可知，这是具有所需性质的分次 \(A\)-代数同态。唯一性与最后一个性质都是立即可见的。这就证明了引理。

引理

设 \(I = (f_1, \ldots, f_r)\) 是诺特环 \(A\) 的理想，且 \(\text{cd}(A, I) = 1\)。设 \(c \geq 1\) 以及 \(\varphi_j : I^c \to A\)， \(j = 1, \ldots, r\)，如引理 0EIA 中所述。设 \(A \to B\) 是环映射，其中 \(B\) 诺特，并设 \(N\) 是有限 \(B\)-模。必要时增大 \(c\) 并相应调整 \(\varphi_j\) 之后，存在唯一的分次 \(B\)-模映射 \[\Phi_N : \bigoplus\nolimits_{n \geq 0} I^{nc}N \to N[T_1, \ldots, T_r]\] 使得 \(\Phi_N(g x) = \Phi(g) x\)，其中 \(g \in I^{nc}\) 且 \(x \in N\)，这里 \(\Phi\) 如引理 0EIB 中所述。\(\Phi_N\) 与映射 \(N[T_1, \ldots, T_r] \to \bigoplus_{n \geq 0} I^nN\), \(T_j \mapsto f_j\) 的复合是包含映射 \(\bigoplus_{n \geq 0} I^{nc}N \to \bigoplus_{n \geq 0} I^nN\).

证明

由该公式以及引理 0EIB 中 \(\Phi\) 的唯一性，唯一性是清楚的。考虑诺特 \(A\)-代数 \(B' = B \oplus N\)，其中 \(N\) 是平方为零的理想。为了证明 \(\Phi_N\) 存在，由引理 0EIA，只需证明 \(\varphi_j\) 可延拓为映射 \(\varphi'_j : I^cB' \to B'\)；这里必要时把 \(c\) 增大到某个 \(c'\)（并把 \(\varphi_j\) 换成包含映射 \(I^{c'} \to I^c\) 与 \(\varphi_j\) 的复合）。回忆，\(\varphi_j\) 对应于截面 \[h_j \in \Gamma(\Spec(A) \setminus V(I), \mathcal{O}_{\Spec(A)})\] ；见《概形上同调》，引理 01YB。（事实上，在引理 0EIA 的证明中，我们正是这样选取 \(\varphi_j\) 的。）利用同一引理，把拉回 \[h'_j \in \Gamma(\Spec(B') \setminus V(IB'), \mathcal{O}_{\Spec(B')})\] （即 \(h_j\) 的拉回）表示为 \(B'\)-线性映射 \(\varphi'_j : I^{c'}B' \to B'\)，其中 \(c' \geq c\)。再次应用该引理可知，它将与 \(\varphi_j\) 相符，只要 \(c'\) 充分大：事实上，只需在 \(I^{c'}\) 的一组有限生成元上检验二者相符。略去这个小细节。

引理

设 \(I = (f_1, \ldots, f_r)\) 是诺特环 \(A\) 的理想，且 \(\text{cd}(A, I) = 1\)。设 \(c \geq 1\) 以及 \(\varphi_j : I^c \to A\)， \(j = 1, \ldots, r\)，如引理 0EIA 中所述。设 \(X\) 是 \(\Spec(A)\) 上的诺特概形。设 \[\ldots \to \mathcal{F}_3 \to \mathcal{F}_2 \to \mathcal{F}_1\] 是凝聚 \(\mathcal{O}_X\)-模的一个逆系统，并且 \(\mathcal{F}_n = \mathcal{F}_{n + 1}/I^n\mathcal{F}_{n + 1}\)。置 \(\mathcal{F} = \lim \mathcal{F}_n\)。必要时增大 \(c\) 并相应调整 \(\varphi_j\) 之后，存在唯一的分次 \(\mathcal{O}_X\)-模映射 \[\Phi_\mathcal{F} : \bigoplus\nolimits_{n \geq 0} I^{nc}\mathcal{F} \longrightarrow \mathcal{F}[T_1, \ldots, T_r]\] 使得 \(\Phi_\mathcal{F}(g s) = \Phi(g) s\)，其中 \(g \in I^{nc}\)， \(s\) 是 \(\mathcal{F}\) 的局部截面，而 \(\Phi\) 如引理 0EIB 中所述。\(\Phi_\mathcal{F}\) 与映射 \(\mathcal{F}[T_1, \ldots, T_r] \to \bigoplus_{n \geq 0} I^n\mathcal{F}\), \(T_j \mapsto f_j\) 的复合是典范包含 \(\bigoplus_{n \geq 0} I^{nc}\mathcal{F} \to \bigoplus_{n \geq 0} I^n\mathcal{F}\).

证明

由 \(\mathcal{O}_X\)-线性以及要求 \(\Phi_\mathcal{F}(g s) = \Phi(g) s\) 对 \(g \in I^{nc}\) 和 \(s\) 是 \(\mathcal{F}\) 的局部截面这一条件成立，唯一性立即可见。因此可设 \(X = \Spec(B)\) 是仿射的。注意 \((\mathcal{F}_n)\) 是范畴 \(\textit{Coh}(X, I\mathcal{O}_X)\) 的对象；该范畴在《概形上同调》，第 0EHN 节中引入。设 \(B' = B^\wedge\) 是相对于 \(I\) 而取的 \(B\) 的完备化。由《概形上同调》，引理 087W，对象 \((\mathcal{F}_n)\) 对应于有限 \(B'\)-模 \(N\)；其含义是， \(\mathcal{F}_n\) 是与有限 \(B\)-模 \(N/I^n N\) 相伴的凝聚模。把引理 0EIC 应用于 \(I \subset A \to B'\) 与 \(N\)，可知必要时增大 \(c\) 并相应调整 \(\varphi_j\) 之后，得到唯一的映射 \[\Phi_N : \bigoplus\nolimits_{n \geq 0} I^{nc}N \to N[T_1, \ldots, T_r]\] 并具有相应性质。注意，在次数 \(n\)，得到映射 \(N/I^mN \to \bigoplus_{e_1 + \ldots + e_r = n} N/I^{m - nc}N \cdot T_1^{e_1} \ldots T_r^{e_r}\) 的逆系统，其中 \(m \geq nc\)。翻译回凝聚层，可知 \(\Phi_N\) 对应于映射系统 \[\Phi^n_m : I^{nc}\mathcal{F}_m \longrightarrow \bigoplus\nolimits_{e_1 + \ldots + e_r = n} \mathcal{F}_{m - nc} \cdot T_1^{e_1} \ldots T_r^{e_r}\] ，其中 \(m \geq nc\) 与 \(n \geq 1\) 变化。对这些映射关于 \(m\) 取逆极限，得到 \(\Phi_\mathcal{F} = \bigoplus_n \lim_m \Phi^n_m\)。注意 \(\lim_m I^t\mathcal{F}_m = I^t \mathcal{F}\)；例如在仿射开集上求值即可看出。不过事实上并不需要这一点，因为显然有映射 \(I^t\mathcal{F} \to \lim_m I^t\mathcal{F}_m\)。

引理

设 \(I\) 是诺特环 \(A\) 的理想。设 \(X\) 是 \(\Spec(A)\) 上的诺特概形。设 \[\ldots \to \mathcal{F}_3 \to \mathcal{F}_2 \to \mathcal{F}_1\] 是凝聚 \(\mathcal{O}_X\)-模的一个逆系统，并且 \(\mathcal{F}_n = \mathcal{F}_{n + 1}/I^n\mathcal{F}_{n + 1}\)。若 \(\text{cd}(A, I) = 1\)，则对所有 \(p \in \mathbf{Z}\)， \(\lim H^p(X, \mathcal{F}_n)\) 上的极限拓扑是 \(I\)-进拓扑。

证明

首先，显然 \(I^t \lim H^p(X, \mathcal{F}_n)\) 在 \(H^p(X, \mathcal{F}_t)\) 中映为零。因此，\(I\)-进拓扑比极限拓扑更细。反过来，置 \(\mathcal{F} = \lim \mathcal{F}_n\)，选取生成元 \(f_1, \ldots, f_r\)，它们生成 \(I\)；选取 \(c \geq 1\)，并选取引理 0EH6 中的 \(\Phi_\mathcal{F}\)。下文将直接使用引理 0EI8 的结果而不再说明。特别地，有短正合列 \[0 \to R^1\lim H^{p - 1}(X, \mathcal{F}_n) \to H^p(X, \mathcal{F}) \to \lim H^p(X, \mathcal{F}_n) \to 0\] 因此，可以把任意元素 \(\xi\)（它属于 \(\lim H^p(X, \mathcal{F}_n)\)）提升为元素 \(\xi' \in H^p(X, \mathcal{F})\)。假设 \(\xi\) 映为 \(H^p(X, \mathcal{F}_{nc})\) 中的零，其中 \(n\) 是某个整数；换言之，假设 \(\xi\) 在极限拓扑中是“小的”。有短正合列 \[0 \to I^{nc}\mathcal{F} \to \mathcal{F} \to \mathcal{F}_{nc} \to 0\] 因而该假设意味着可以把 \(\xi'\) 提升为元素 \(\xi'' \in H^p(X, I^{nc}\mathcal{F})\)。应用 \(\Phi_\mathcal{F}\)，得到 \[\Phi_\mathcal{F}(\xi'') = \sum\nolimits_{e_1 + \ldots + e_r = n} \xi'_{e_1, \ldots, e_r} \cdot T_1^{e_1} \ldots T_r^{e_r}\] ，其中某些 \(\xi'_{e_1, \ldots, e_r} \in H^p(X, \mathcal{F})\)。令 \(\xi_{e_1, \ldots, e_r} \in \lim H^p(X, \mathcal{F}_n)\) 为它们的像，再利用引理 0EH6 的最后一个断言，可得 \[\xi = \sum f_1^{e_1} \ldots f_r^{e_r} \xi_{e_1, \ldots, e_r}\] 属于 \(I^n \lim H^p(X, \mathcal{F}_n)\)，如所需。

例

设 \(k\) 是域。设 \(A = k[x, y][[s, t]]/(xs - yt)\)。设 \(I = (s, t)\) 且 \(\mathfrak a = (x, y, s, t)\)。设 \(X = \Spec(A) - V(\mathfrak a)\) 且 \(\mathcal{F}_n = \mathcal{O}_X/I^n\mathcal{O}_X\)。注意有理函数 \[g = \frac{t}{x} = \frac{s}{y}\] 在一个开邻域 \(V \subset X\) 上正则，该邻域包含 \(V(I\mathcal{O}_X)\)。因此，每个幂 \(g^e\) 都确定一个截面 \(g^e \in M = \lim H^0(X, \mathcal{F}_n)\)。注意，\(g^e \to 0\)，这里 \(e \to \infty\)，且收敛是相对于 \(M\) 上的极限拓扑而言，因为 \(g^e\) 在 \(\mathcal{F}_e\) 中映为零。另一方面，\(g^e \not \in IM\) 对任意 \(e\) 成立；读者可通过计算 \(H^0(U, \mathcal{F}_n)\) 看出这一点，此处略去计算。注意 \(\text{cd}(A, I) = 2\)。因此，引理 0EH7 的结果是最佳的。

Mittag–Leffler 条件

对诺特局部环的极大理想取局部上同调时，我们往往自动得到 Mittag–Leffler 条件。这蕴涵：在穿孔谱上，对具有满射过渡映射的凝聚层逆系统，其高阶上同调群也具有同一性质。

引理

设 \((A, \mathfrak m)\) 是诺特局部环。

设 \(M\) 是有限 \(A\)-模。则 \(A\)-模 \(H^i_\mathfrak m(M)\) 对任意 \(i\) 都满足降链条件。

设 \(U = \Spec(A) \setminus \{\mathfrak m\}\) 是 \(A\) 的穿孔谱。设 \(\mathcal{F}\) 是凝聚 \(\mathcal{O}_U\)-模。则 \(A\)-模 \(H^i(U, \mathcal{F})\) 在 \(i > 0\) 时满足降链条件。

证明

对 \(M\) 的支撑维数作归纳来证明 (1)。当 \(M = 0\) 时命题成立，因而可以并且确实假设 \(M\) 非零。

归纳基。若 \(\dim(\text{Supp}(M)) = 0\)，则 \(M\) 的支撑是 \(\{\mathfrak m\}\)，并且由局部上同调的构造可知 \(H^0_\mathfrak m(M) = M\)，且 \(H^i_\mathfrak m(M) = 0\) 对 \(i > 0\) 成立；见《对偶复形》，第 0952 节。由于 \(M\) 具有有限长度（《代数》，引理 00J0），它满足降链条件。

归纳步骤。假设 \(\dim(\text{Supp}(M)) > 0\)。由归纳基，有限模 \(H^0_\mathfrak m(M) \subset M\) 满足降链条件。由《对偶复形》，引理 0AW0，可以把 \(M\) 换成 \(M/H^0_\mathfrak m(M)\)。于是 \(H^0_\mathfrak m(M) = 0\)，即 \(M\) 的深度 \(\geq 1\)；见《对偶复形》，引理 0AVZ。选取 \(x \in \mathfrak m\)，使得 \(x : M \to M\) 是单射。由《代数》，引理 0B52，有 \(\dim(\text{Supp}(M/xM)) = \dim(\text{Supp}(M)) - 1\)，故可应用归纳假设。选取指标 \(i\) 并考虑正合列 \[H^{i - 1}_\mathfrak m(M/xM) \to H^i_\mathfrak m(M) \xrightarrow{x} H^i_\mathfrak m(M)\] ，它来自短正合列 \(0 \to M \xrightarrow{x} M \to M/xM \to 0\)。由此，\(x\)-挠子模 \(H^i_\mathfrak m(M)[x]\) 是一个满足降链条件的模的商，因而自身也满足降链条件。于是 \(\mathfrak m\)-挠子模 \(H^i_\mathfrak m(M)[\mathfrak m]\) 满足降链条件（因而在 \(A/\mathfrak m\) 上有限维）。所以由《对偶复形》，引理 08Z8. 可知 \(\mathfrak m\)-幂挠模 \(H^i_\mathfrak m(M)\) 满足降链条件。

(2) 由 (1) 与《局部上同调》，引理 0BK0 得出。

引理

设 \((A, \mathfrak m)\) 是诺特局部环。

设 \((M_n)\) 是有限 \(A\)-模的一个逆系统。则逆系统 \(H^i_\mathfrak m(M_n)\) 对任意 \(i\) 都满足 Mittag–Leffler 条件。

设 \(U = \Spec(A) \setminus \{\mathfrak m\}\) 是 \(A\) 的穿孔谱。设 \(\mathcal{F}_n\) 是凝聚 \(\mathcal{O}_U\)-模的一个逆系统。则逆系统 \(H^i(U, \mathcal{F}_n)\) 在 \(i > 0\) 时满足 Mittag–Leffler 条件。

证明

由引理 0DX0 立即得出。

引理

设 \((A, \mathfrak m)\) 是诺特局部环。设 \((M_n)\) 是有限 \(A\)-模的一个逆系统。设 \(M \to \lim M_n\) 是映射，其中 \(M\) 是有限 \(A\)-模，并且对某个 \(i\)，映射 \(H^i_\mathfrak m(M) \to \lim H^i_\mathfrak m(M_n)\) 是同构。则逆系统 \(H^i_\mathfrak m(M_n)\) 本质常值，其值为 \(H^i_\mathfrak m(M)\)。

证明

由引理 0DX1，逆系统 \(H^i_\mathfrak m(M_n)\) 满足 Mittag–Leffler 条件。设 \(E_n \subset H^i_\mathfrak m(M_n)\) 是 \(H^i_\mathfrak m(M_{n'})\) 在 \(n' \gg n\) 时的像。则 \((E_n)\) 是具有满射过渡映射的逆系统，并且 \(H^i_\mathfrak m(M) = \lim E_n\)。由引理 0DX0， \(H^i_\mathfrak m(M)\) 满足降链条件，故满射 \(H^i_\mathfrak m(M) \to E_n\) 中只有有限多个具有非平凡核。因此，\(E_n \to E_{n - 1}\) 对所有 \(n \gg 0\) 都是同构，如所需。

引理

设 \((A, \mathfrak m)\) 是诺特局部环。设 \(I \subset A\) 是理想。设 \(M\) 是有限 \(A\)-模。则 \[H^i(R\Gamma_\mathfrak m(M)^\wedge) = \lim H^i_\mathfrak m(M/I^nM)\] 对所有 \(i\) 成立，其中 \(R\Gamma_\mathfrak m(M)^\wedge\) 表示导出 \(I\)-进完备化。

证明

应用《对偶复形》，引理 0EEW 与引理 0DX1，可知各 \(R^1\lim\) 项消失。

环化位点上的导出完备化

我们强烈建议读者初次阅读时跳过本节。

这些内容的代数版本见《代数进阶》，第 091N 节。设 \(\mathcal{O}\) 是位点 \(\mathcal{C}\) 上的环层。设 \(f\) 是 \(\mathcal{O}\) 的整体截面。用 \(\mathcal{O}_f\) 表示与局部化预层 \(U \mapsto \mathcal{O}(U)_f\) 相伴的层。

引理

设 \((\mathcal{C}, \mathcal{O})\) 是环化位点。设 \(f\) 是 \(\mathcal{O}\) 的整体截面。

对 \(L, N \in D(\mathcal{O}_f)\)，有 \(R\SheafHom_\mathcal{O}(L, N) = R\SheafHom_{\mathcal{O}_f}(L, N)\). 特别地，两个 \(\mathcal{O}_f\)-结构在 \(R\SheafHom_\mathcal{O}(L, N)\) 上相同。

对 \(K \in D(\mathcal{O})\) 与 \(L \in D(\mathcal{O}_f)\)，有 \[R\SheafHom_\mathcal{O}(L, K) = R\SheafHom_{\mathcal{O}_f}(L, R\SheafHom_\mathcal{O}(\mathcal{O}_f, K))\] 特别地， \(R\SheafHom_\mathcal{O}(\mathcal{O}_f, R\SheafHom_\mathcal{O}(\mathcal{O}_f, K)) = R\SheafHom_\mathcal{O}(\mathcal{O}_f, K)\).

若 \(g\) 是 \(\mathcal{O}\) 的另一个整体截面，则 \[R\SheafHom_\mathcal{O}(\mathcal{O}_f, R\SheafHom_\mathcal{O}(\mathcal{O}_g, K)) = R\SheafHom_\mathcal{O}(\mathcal{O}_{gf}, K).\]

证明

(1) 的证明。设 \(\mathcal{J}^\bullet\) 是 \(\mathcal{O}_f\)-模 K-内射复形，并且表示 \(N\)。由《位点上的上同调》，引理 093Y，可知 \(\mathcal{J}^\bullet\) 也是 \(\mathcal{O}\)-模 K-内射复形。设 \(\mathcal{F}^\bullet\) 是 \(\mathcal{O}_f\)-模复形，并且表示 \(L\)。则 \[R\SheafHom_\mathcal{O}(L, N) = R\SheafHom_\mathcal{O}(\mathcal{F}^\bullet, \mathcal{J}^\bullet) = R\SheafHom_{\mathcal{O}_f}(\mathcal{F}^\bullet, \mathcal{J}^\bullet)\] ；这是由《位点上的模》，引理 0930 得出的，因为 \(\mathcal{J}^\bullet\) 既是 \(\mathcal{O}\)-模 K-内射复形，也是 \(\mathcal{O}_f\)-模 K-内射复形。

(2) 的证明。设 \(\mathcal{I}^\bullet\) 是 \(\mathcal{O}\)-模 K-内射复形，并且表示 \(K\)。于是 \(R\SheafHom_\mathcal{O}(\mathcal{O}_f, K)\) 由 \(\SheafHom_\mathcal{O}(\mathcal{O}_f, \mathcal{I}^\bullet)\) 表示；由《位点上的上同调》，引理 093Z 与 093Y，后者既是 \(\mathcal{O}_f\)-模 K-内射复形，也是 \(\mathcal{O}\)-模 K-内射复形。设 \(\mathcal{F}^\bullet\) 是 \(\mathcal{O}_f\)-模复形，并且表示 \(L\)。则 \[R\SheafHom_\mathcal{O}(L, K) = R\SheafHom_\mathcal{O}(\mathcal{F}^\bullet, \mathcal{I}^\bullet) = R\SheafHom_{\mathcal{O}_f}(\mathcal{F}^\bullet, \SheafHom_\mathcal{O}(\mathcal{O}_f, \mathcal{I}^\bullet))\] ；这是由《位点上的模》，引理 0932 以及 \(\SheafHom_\mathcal{O}(\mathcal{O}_f, \mathcal{I}^\bullet)\) 是 \(\mathcal{O}_f\)-模 K-内射复形得出的。

(3) 的证明。这由以下两个事实得出： \(R\SheafHom_\mathcal{O}(\mathcal{O}_g, \mathcal{I}^\bullet)\) 作为 \(\mathcal{O}\)-模复形是 K-内射的；并且 \(\SheafHom_\mathcal{O}(\mathcal{O}_f, \SheafHom_\mathcal{O}(\mathcal{O}_g, \mathcal{H})) = \SheafHom_\mathcal{O}(\mathcal{O}_{gf}, \mathcal{H})\) 对所有 \(\mathcal{O}\)-模层 \(\mathcal{H}\) 成立。

设 \(K \in D(\mathcal{O})\)。用 \(T(K, f)\) 表示逆系统 \[\ldots \to K \xrightarrow{f} K \xrightarrow{f} K\] 在 \(D(\mathcal{O})\) 中的一个导出极限（《导出范畴》，定义 08TC）。

引理

设 \((\mathcal{C}, \mathcal{O})\) 是环化位点。设 \(f\) 是 \(\mathcal{O}\) 的整体截面。设 \(K \in D(\mathcal{O})\)。下列条件等价：

\(R\SheafHom_\mathcal{O}(\mathcal{O}_f, K) = 0\),

\(R\SheafHom_\mathcal{O}(L, K) = 0\) 对所有 \(L\) 成立，其中该对象位于 \(D(\mathcal{O}_f)\) 中，

\(T(K, f) = 0\).

证明

显然 (2) 蕴涵 (1)。蕴涵 (1) \(\Rightarrow\) (2) 由引理 0996 得出。\(\mathcal{O}\)-模 \(\mathcal{O}_f\) 的一个自由解消为 \[0 \to \bigoplus\nolimits_{n \in \mathbf{N}} \mathcal{O} \to \bigoplus\nolimits_{n \in \mathbf{N}} \mathcal{O} \to \mathcal{O}_f \to 0\] ，其中第一个映射把局部截面 \((x_0, x_1, \ldots)\) 映到 \((x_0, x_1 - fx_0, x_2 - fx_1, \ldots)\)，第二个映射把 \((x_0, x_1, \ldots)\) 映到 \(x_0 + x_1/f + x_2/f^2 + \ldots\)。应用 \(\SheafHom_\mathcal{O}(-, \mathcal{I}^\bullet)\)，其中 \(\mathcal{I}^\bullet\) 是 \(\mathcal{O}\)-模 K-内射复形，并且表示 \(K\)，得到复形的短正合列 \[0 \to \SheafHom_\mathcal{O}(\mathcal{O}_f, \mathcal{I}^\bullet) \to \prod \mathcal{I}^\bullet \to \prod \mathcal{I}^\bullet \to 0\] ，因为 \(\mathcal{I}^n\) 是内射 \(\mathcal{O}\)-模。这些积是 \(D(\mathcal{O})\) 中的积；见《内射对象》，引理 07D9。这意味着对象 \(T(K, f)\) 表示 \(R\SheafHom_\mathcal{O}(\mathcal{O}_f, K)\)，并且是在 \(D(\mathcal{O})\) 中表示。因此 (1) 与 (3) 等价。

引理

设 \((\mathcal{C}, \mathcal{O})\) 是环化位点。设 \(K \in D(\mathcal{O})\)。对 \(U\)，令 \(\mathcal{I}(U)\) 为截面 \(f \in \mathcal{O}(U)\) 所成的集合，这些截面满足 \(T(K|_U, f) = 0\)；这一规则给出 \(\mathcal{O}\) 中的理想层。

证明

下文直接使用引理 0997 的结果而不再说明。若 \(f \in \mathcal{I}(U)\) 且 \(g \in \mathcal{O}(U)\)，则 \(\mathcal{O}_{U, gf}\) 是 \(\mathcal{O}_{U, f}\)-模，因而 \(R\SheafHom_\mathcal{O}(\mathcal{O}_{U, gf}, K|_U) = 0\)，故 \(gf \in \mathcal{I}(U)\)。设 \(f, g \in \mathcal{O}(U)\)。则有短正合列 \[0 \to \mathcal{O}_{U, f + g} \to \mathcal{O}_{U, f(f + g)} \oplus \mathcal{O}_{U, g(f + g)} \to \mathcal{O}_{U, gf(f + g)} \to 0\] ，因为 \(f, g\) 在 \(\mathcal{O}(U)_{f + g}\) 中生成单位理想。这由《代数》，引理 00EJ 以及最后一个箭头是满射这一简单事实得出。因为 \(R\SheafHom_\mathcal{O}( - , K|_U)\) 是三角范畴之间的正合函子，下列三个对象的消失： \(R\SheafHom_{\mathcal{O}_U}(\mathcal{O}_{U, f(f + g)}, K|_U)\), \(R\SheafHom_{\mathcal{O}_U}(\mathcal{O}_{U, g(f + g)}, K|_U)\)，以及 \(R\SheafHom_{\mathcal{O}_U}(\mathcal{O}_{U, gf(f + g)}, K|_U)\), 蕴涵 \(R\SheafHom_{\mathcal{O}_U}(\mathcal{O}_{U, f + g}, K|_U)\). 层条件的验证从略。

对任意环化位点，都可以作如下定义。

定义

设 \((\mathcal{C}, \mathcal{O})\) 是环化位点。设 \(\mathcal{I} \subset \mathcal{O}\) 是理想层。设 \(K \in D(\mathcal{O})\)。若 \(K\) 关于 \(\mathcal{I}\) 导出完备，是指对每个对象 \(U\)（属于 \(\mathcal{C}\)）以及 \(f \in \mathcal{I}(U)\)，对象 \(T(K|_U, f)\) 在 \(D(\mathcal{O}_U)\) 中都为零。

显然，由导出完备对象组成的全子范畴 \(D_{comp}(\mathcal{O}) = D_{comp}(\mathcal{O}, \mathcal{I}) \subset D(\mathcal{O})\) 是饱和三角子范畴；见《导出范畴》，定义 05QM 与 05RB。该子范畴在 \(D(\mathcal{O})\) 中对积与同伦极限封闭，但一般不对可数直和封闭。

引理

设 \((\mathcal{C}, \mathcal{O})\) 是环化位点。设 \(\mathcal{I} \subset \mathcal{O}\) 是理想层。若 \(K \in D(\mathcal{O})\) 且 \(L \in D_{comp}(\mathcal{O})\)，则 \(R\SheafHom_\mathcal{O}(K, L) \in D_{comp}(\mathcal{O})\).

证明

设 \(U\) 是 \(\mathcal{C}\) 的对象，并设 \(f \in \mathcal{I}(U)\)。回忆， \[\Hom_{D(\mathcal{O}_U)}(\mathcal{O}_{U, f}, R\SheafHom_\mathcal{O}(K, L)|_U) = \Hom_{D(\mathcal{O}_U)}( K|_U \otimes_{\mathcal{O}_U}^\mathbf{L} \mathcal{O}_{U, f}, L|_U)\] ；这是《位点上的上同调》，引理 08J9。右边由引理 0997 以及内部 Hom 与实际 Hom 之间的关系而为零；见《位点上的上同调》，引理 08JA。对所有 \(U'/U\)，同样的消失成立。因此，对象 \(R\SheafHom_{\mathcal{O}_U}(\mathcal{O}_{U, f}, R\SheafHom_\mathcal{O}(K, L)|_U)\) 作为 \(D(\mathcal{O}_U)\) 的对象，其第 \(0\) 个上同调层消失（由上述引文）。其他上同调层亦然；也就是说， \(R\SheafHom_{\mathcal{O}_U}(\mathcal{O}_{U, f}, R\SheafHom_\mathcal{O}(K, L)|_U)\) 在 \(D(\mathcal{O}_U)\) 中为零。由引理 0997 即得结论。

引理

设 \(\mathcal{C}\) 是位点。设 \(\mathcal{O} \to \mathcal{O}'\) 是环层同态。设 \(\mathcal{I} \subset \mathcal{O}\) 是理想层。 \(D_{comp}(\mathcal{O}, \mathcal{I})\) 在限制函子 \(D(\mathcal{O}') \to D(\mathcal{O})\) 下的原像是 \(D_{comp}(\mathcal{O}', \mathcal{I}\mathcal{O}')\).

证明

利用引理 0998 可知， \(K' \in D(\mathcal{O}')\) 属于 \(D_{comp}(\mathcal{O}', \mathcal{I}\mathcal{O}')\) 当且仅当 \(T(K'|_U, f)\) 对每个局部截面 \(f \in \mathcal{I}(U)\) 都为零。注意，\(T(K'|_U, f)\) 的上同调层是在阿贝尔层范畴中计算的，所以把 \(f\) 看作 \(\mathcal{O}\) 的截面，或者取 \(f\) 在 \(\mathcal{O}'\) 中的像，并无区别。由此及导出完备对象的定义，立即得出引理。

引理

设 \(f : (\Sh(\mathcal{D}), \mathcal{O}') \to (\Sh(\mathcal{C}), \mathcal{O})\) 是环化拓扑斯态射。设 \(\mathcal{I} \subset \mathcal{O}\) 与 \(\mathcal{I}' \subset \mathcal{O}'\) 是理想层，并且 \(f^\sharp\) 把 \(f^{-1}\mathcal{I}\) 映入 \(\mathcal{I}'\)。则 \(Rf_*\) 把 \(D_{comp}(\mathcal{O}', \mathcal{I}')\) 映入 \(D_{comp}(\mathcal{O}, \mathcal{I})\)。

证明

可以假设 \(f\) 由环化位点态射给出，该态射对应于连续函子 \(\mathcal{C} \to \mathcal{D}\)（《位点上的模》，引理 03CR )。设 \(U\) 是 \(\mathcal{C}\) 的对象，并设 \(g\) 是 \(\mathcal{I}\) 在 \(U\) 上的截面。必须证明 \(\Hom_{D(\mathcal{O}_U)}(\mathcal{O}_{U, g}, Rf_*K|_U) = 0\) ，只要 \(K\) 关于 \(\mathcal{I}'\) 导出完备。事实上，由《位点上的上同调》，引理 08JA ，把这一点应用于 \(U\) 上的所有对象及 \(K\) 的所有平移，可推出 \(R\SheafHom_{\mathcal{O}_U}(\mathcal{O}_{U, g}, Rf_*K|_U)\) 为零；这又推出 \(T(Rf_*K|_U, g)\) 为零（引理 0997），而这正是需要证明的（定义 0999）。设 \(V\) 是 \(\mathcal{D}\) 中 \(U\) 的像。则 \[\Hom_{D(\mathcal{O}_U)}(\mathcal{O}_{U, g}, Rf_*K|_U) = \Hom_{D(\mathcal{O}'_V)}(\mathcal{O}'_{V, g'}, K|_V) = 0\] ，其中 \(g' = f^\sharp(g) \in \mathcal{I}'(V)\)。第二个等号成立是因为 \(K\) 导出完备；第一个等号成立是因为 \(\mathcal{O}_{U, g}\) 的导出拉回是 \(\mathcal{O}'_{V, g'}\)，并应用《位点上的上同调》，引理 07A6。

下一个引理是存在导出完备化的最简单情形。

引理

设 \((\mathcal{C}, \mathcal{O})\) 是环化位点。设 \(f_1, \ldots, f_r\) 是 \(\mathcal{O}\) 的整体截面。设 \(\mathcal{I} \subset \mathcal{O}\) 是由 \(f_1, \ldots, f_r\) 生成的理想层。则包含函子 \(D_{comp}(\mathcal{O}) \to D(\mathcal{O})\) 有左伴随；也就是说，给定任意对象 \(K\)（它属于 \(D(\mathcal{O})\)），存在映射 \(K \to K^\wedge\)，其中 \(K^\wedge\) 位于 \(D_{comp}(\mathcal{O})\) 中，使得映射 \[\Hom_{D(\mathcal{O})}(K^\wedge, E) \longrightarrow \Hom_{D(\mathcal{O})}(K, E)\] 在 \(E\) 位于 \(D_{comp}(\mathcal{O})\) 中时是双射。事实上，有 \[K^\wedge = R\SheafHom_\mathcal{O} (\mathcal{O} \to \prod\nolimits_{i_0} \mathcal{O}_{f_{i_0}} \to \prod\nolimits_{i_0 < i_1} \mathcal{O}_{f_{i_0}f_{i_1}} \to \ldots \to \mathcal{O}_{f_1\ldots f_r}, K)\] ，并且关于 \(K\) 具有函子性。

证明

用引理中最后一个展示公式定义 \(K^\wedge\)。有复形映射 \[(\mathcal{O} \to \prod\nolimits_{i_0} \mathcal{O}_{f_{i_0}} \to \prod\nolimits_{i_0 < i_1} \mathcal{O}_{f_{i_0}f_{i_1}} \to \ldots \to \mathcal{O}_{f_1\ldots f_r}) \longrightarrow \mathcal{O}\] ，它诱导映射 \(K \to K^\wedge\)。只需证明 \(K^\wedge\) 导出完备，并且 \(K \to K^\wedge\) 在 \(K\) 导出完备时是同构。

设 \(f\) 是 \(\mathcal{O}\) 的整体截面。由引理 0996，对象 \(R\SheafHom_\mathcal{O}(\mathcal{O}_f, K^\wedge)\) 等于 \[R\SheafHom_\mathcal{O}( (\mathcal{O}_f \to \prod\nolimits_{i_0} \mathcal{O}_{ff_{i_0}} \to \prod\nolimits_{i_0 < i_1} \mathcal{O}_{ff_{i_0}f_{i_1}} \to \ldots \to \mathcal{O}_{ff_1\ldots f_r}), K)\] 若 \(f = f_i\) 对某个 \(i\) 成立，则 \(f_1, \ldots, f_r\) 在 \(\mathcal{O}_f\) 中生成单位理想，因而增广交错 Čech 复形 \[\mathcal{O}_f \to \prod\nolimits_{i_0} \mathcal{O}_{ff_{i_0}} \to \prod\nolimits_{i_0 < i_1} \mathcal{O}_{ff_{i_0}f_{i_1}} \to \ldots \to \mathcal{O}_{ff_1\ldots f_r}\] 为零（甚至同伦于零）。由此可见 \(K^\wedge\) 导出完备。

若 \(K\) 导出完备，则 \(R\SheafHom_\mathcal{O}(\mathcal{O}_f, K)\) 对所有 \(f = f_{i_0} \ldots f_{i_p}\)、\(p \geq 0\) 都为零。因此， \(K \to K^\wedge\) 在 \(D(\mathcal{O})\) 中是同构。

下面说明导出完备化为何确实是一种完备化。

引理

设 \((\mathcal{C}, \mathcal{O})\) 是环化位点。设 \(f_1, \ldots, f_r\) 是 \(\mathcal{O}\) 的整体截面。设 \(\mathcal{I} \subset \mathcal{O}\) 是由 \(f_1, \ldots, f_r\) 生成的理想层。设 \(K \in D(\mathcal{O})\)。引理 099B 的导出完备化 \(K^\wedge\) 由公式 \[K^\wedge = R\lim K \otimes^\mathbf{L}_\mathcal{O} K_n\] 给出，其中 \(K_n = K(\mathcal{O}, f_1^n, \ldots, f_r^n)\) 是关于 \(f_1^n, \ldots, f_r^n\) 的 Koszul 复形，定义在 \(\mathcal{O}\) 上。

证明

在《代数进阶》，引理 0913 中已经看到，增广交错 Čech 复形 \[\mathcal{O} \to \prod\nolimits_{i_0} \mathcal{O}_{f_{i_0}} \to \prod\nolimits_{i_0 < i_1} \mathcal{O}_{f_{i_0}f_{i_1}} \to \ldots \to \mathcal{O}_{f_1\ldots f_r}\] 是 Koszul 复形 \(K^n = K(\mathcal{O}, f_1^n, \ldots, f_r^n)\) 的余极限，这些复形位于次数 \(0, \ldots, r\)。注意，\(K^n\) 是有限自由 \(\mathcal{O}\)-模的有限链复形，其对偶为 \(\SheafHom_\mathcal{O}(K^n, \mathcal{O}) = K_n\)，其中 \(K_n\) 是位于次数 \(-r, \ldots, 0\) 的 Koszul 上链复形（如通常约定）。由引理 099B，函子 \(E \mapsto E^\wedge\) 是从增广交错 Čech 复形取 \(R\SheafHom\) 而得到的，其目标为 \(E\)： \[E^\wedge = R\SheafHom(\colim K^n, E)\] 由《位点上的上同调》，引理 0A0A，这等于 \(R\lim (E \otimes_\mathcal{O}^\mathbf{L} K_n)\)。

引理

存在一种如下的构造方式：

对每个二元组 \((A, I)\)，其中 \(A\) 是环而 \(I \subset A\) 是有限生成理想，构造复形 \(K(A, I)\)，它由 \(A\)-模组成；

构造映射 \(K(A, I) \to A\)，它是 \(A\)-模复形之间的映射；

对每个环映射 \(A \to B\) 与有限生成理想 \(I \subset A\)，构造复形映射 \(K(A, I) \to K(B, IB)\)；

并满足：

对 \(A \to B\) 与有限生成的 \(I \subset A\)，图 \[\xymatrix{ K(A, I) \ar[r] \ar[d] & A \ar[d] \\ K(B, IB) \ar[r] & B }\] 交换；

对 \(A \to B \to C\) 与有限生成的 \(I \subset A\)，映射的复合 \(K(A, I) \to K(B, IB) \to K(C, IC)\) 就是映射 \(K(A, I) \to K(C, IC)\)；

对 \(A \to B\) 与有限生成理想 \(I \subset A\)，诱导映射 \(K(A, I) \otimes_A^\mathbf{L} B \to K(B, IB)\) 在 \(D(B)\) 中是同构；并且

若 \(I = (f_1, \ldots, f_r) \subset A\)，则有交换图 \[\xymatrix{ (A \to \prod\nolimits_{i_0} A_{f_{i_0}} \to \prod\nolimits_{i_0 < i_1} A_{f_{i_0}f_{i_1}} \to \ldots \to A_{f_1\ldots f_r}) \ar[r] \ar[d] & K(A, I) \ar[d] \\ A \ar[r]^1 & A }\] ，它位于 \(D(A)\) 中，且横向箭头都是同构。

证明

设 \(S\) 是形如 \(A_0\) 的环所成的集合，其中 \(A_0 = \mathbf{Z}[x_1, \ldots, x_n]/J\)。每个有限型 \(\mathbf{Z}\)-代数都同构于 \(S\) 的一个元素。设 \(\mathcal{A}_0\) 为如下范畴：其对象是二元组 \((A_0, I_0)\)，其中 \(A_0 \in S\) 且 \(I_0 \subset A_0\) 是理想；从 \((A_0, I_0) \to (B_0, J_0)\) 的态射是环映射 \(\varphi : A_0 \to B_0\)，它满足 \(J_0 = \varphi(I_0)B_0\)。

假设能以函子方式构造 \(K(A_0, I_0) \to A_0\)，这是对 \(\mathcal{A}_0\) 的对象而言，并满足 (a)、(b)、(c)、(d)。此时取 \[K(A, I) = \colim_{\varphi : (A_0, I_0) \to (A, I)} K(A_0, I_0)\] ，其中余极限遍历环映射 \(\varphi : A_0 \to A\)，它们满足 \(\varphi(I_0)A = I\)，且 \((A_0, I_0)\) 位于 \(\mathcal{A}_0\) 中。在 \((A_0, I_0) \to (A, I)\) 与 \((A_0', I_0') \to (A, I)\) 之间的态射，由映射 \((A_0, I_0) \to (A_0', I_0')\) 给出；该映射位于 \(\mathcal{A}_0\) 中，并与到 \(A\) 的映射可交换。这些 \((A_0, I_0) \to (A, I)\) 所成的范畴是滤过的（略去细节）。此外，\(\colim_{\varphi : (A_0, I_0) \to (A, I)} A_0 = A\)，所以 \(K(A, I)\) 是 \(A\)-模复形。最后，给定 \(\varphi : A \to B\) 与 \(I \subset A\)，对余极限中的每个 \((A_0, I_0) \to (A, I)\)，复合 \((A_0, I_0) \to (B, IB)\) 位于 \((B, IB)\) 所对应的余极限中。这样便得到余极限之间的映射。性质 (a)、(b)、(c)、(d) 立即由此及复形 \(K(A_0, I_0)\) 的相应性质得出。

在 \(\mathcal{C}_0 = \mathcal{A}_0^{opp}\) 上赋予混沌拓扑。在 \(\mathcal{C}_0\) 上赋予环层 \(\mathcal{O} : (A, I) \mapsto A\)。各理想 \(I\) 拼合成理想层 \(\mathcal{I} \subset \mathcal{O}\)。选取内射解消 \(\mathcal{O} \to \mathcal{J}^\bullet\)。考虑对象 \[\mathcal{F}^\bullet = \bigcup\nolimits_n \mathcal{J}^\bullet[\mathcal{I}^n]\] 设 \(U = (A, I) \in \Ob(\mathcal{C}_0)\)。由于 \(\mathcal{C}_0\) 上的拓扑是混沌的，\(\mathcal{J}^\bullet(U)\) 是由内射 \(A\)-模组成的 \(A\) 的解消。因此，\(\mathcal{F}^\bullet(U)\) 是 \(D(A)\) 的对象，表示 \(R\Gamma_I(A)\) 在 \(D(A)\) 中的像；见《对偶复形》，第 0952 节。选取 \(\mathcal{O}\)-模复形 \(\mathcal{K}^\bullet\) 以及交换图 \[\xymatrix{ \mathcal{O} \ar[r] & \mathcal{J}^\bullet \\ \mathcal{K}^\bullet \ar[r] \ar[u] & \mathcal{F}^\bullet \ar[u] }\] ，其中横向箭头是拟同构。由导出范畴 \(D(\mathcal{O})\) 的构造，这可以做到。置 \(K(A, I) = \mathcal{K}^\bullet(U)\)，其中 \(U = (A, I)\)。性质 (a)、(b) 是清楚的，性质 (c)、(d) 由《对偶复形》，引理 0956 与 0957.

引理

设 \((\mathcal{C}, \mathcal{O})\) 是环化位点。设 \(\mathcal{I} \subset \mathcal{O}\) 是有限型理想层。存在映射 \(K \to \mathcal{O}\)，它位于 \(D(\mathcal{O})\) 中，使得对每个 \(U \in \Ob(\mathcal{C})\)，若 \(\mathcal{I}|_U\) 由 \(f_1, \ldots, f_r \in \mathcal{I}(U)\) 生成，则有同构 \[(\mathcal{O}_U \to \prod\nolimits_{i_0} \mathcal{O}_{U, f_{i_0}} \to \prod\nolimits_{i_0 < i_1} \mathcal{O}_{U, f_{i_0}f_{i_1}} \to \ldots \to \mathcal{O}_{U, f_1\ldots f_r}) \longrightarrow K|_U\] ，且与到 \(\mathcal{O}_U\) 的映射相容。

证明

设 \(\mathcal{C}' \subset \mathcal{C}\) 是由如下对象 \(U\) 组成的全子范畴： \(\mathcal{I}|_U\) 由有限多个截面生成。则 \(\mathcal{C}' \to \mathcal{C}\) 是特殊余连续函子（《位点》，定义 03CG）。因此，只需在 \(\mathcal{C}'\) 上工作；见《位点》，引理 03A0。换言之，可以假设对每个对象 \(U\)（属于 \(\mathcal{C}\)），存在有限生成理想 \(I \subset \mathcal{I}(U)\)，使得 \(\mathcal{I}|_U = \Im(I \otimes \mathcal{O}_U \to \mathcal{O}_U)\)。我们称 \(I\) 生成 \(\mathcal{I}|_U\)。警告：并不知道 \(\mathcal{I}(U)\) 是 \(\mathcal{O}(U)\) 中的有限生成理想。

设 \(U\) 是对象，并设 \(I \subset \mathcal{O}(U)\) 是生成 \(\mathcal{I}|_U\) 的有限生成理想。在范畴 \(\mathcal{C}/U\) 上考虑预层复形 \[K_{U, I}^\bullet : U'/U \longmapsto K(\mathcal{O}(U'), I\mathcal{O}(U'))\] ，其中 \(K(-, -)\) 如引理 099D 中所述。我们断言其层化与 \(I\) 的选择无关。事实上，若 \(I' \subset \mathcal{O}(U)\) 是另一个也生成 \(\mathcal{I}|_U\) 的有限生成理想，则存在覆盖 \(\{U_j \to U\}\)，使得 \(I\mathcal{O}(U_j) = I'\mathcal{O}(U_j)\)。（提示：这是因为 \(I\) 与 \(I'\) 均有限生成且都生成 \(\mathcal{I}|_U\)。）因此， \(K_{U, I}^\bullet\) 与 \(K_{U, I'}^\bullet\) 在任意对象上相同，只要该对象位于某个 \(U_j\) 之上。关于层化的断言随即得出。用 \(K_U^\bullet\) 表示这一共同值。

对 \(I\) 的选择无关还表明 \(K_U^\bullet|_{\mathcal{C}/U'} = K_{U'}^\bullet\) ，只要给定态射 \(U' \to U\)，从而给定局部化态射 \(\mathcal{C}/U' \to \mathcal{C}/U\)。因此，各复形 \(K_U^\bullet\) 可粘合成一个良定义的复形 \(K^\bullet\)，它由 \(\mathcal{O}\)-模组成。映射 \(K^\bullet \to \mathcal{O}\) 的存在性以及引理中的拟同构，立即由引理 099D 中复形 \(K(-, -)\) 的相应性质得出。

命题

设 \((\mathcal{C}, \mathcal{O})\) 是环化位点。设 \(\mathcal{I} \subset \mathcal{O}\) 是有限型理想层。包含函子 \(D_{comp}(\mathcal{O}) \to D(\mathcal{O})\) 有左伴随。

证明

设 \(K \to \mathcal{O}\) 位于 \(D(\mathcal{O})\) 中，并如引理 099E 中所构造。设 \(E \in D(\mathcal{O})\)。那么，\(E^\wedge = R\SheafHom(K, E)\) 连同映射 \(E \to E^\wedge\) 即可满足要求。事实上，在位点 \(\mathcal{C}\) 上局部地，这恢复了引理 099B 的伴随。由此可知，\(E^\wedge\) 总是导出完备的，并且 \(E \to E^\wedge\) 在 \(E\) 导出完备时是同构。

注

设 \((\mathcal{C}, \mathcal{O})\) 是一个环化位点。设 \(\mathcal{I} \subset \mathcal{O}\) 是一个有限型理想层。设 \(K \mapsto K^\wedge\) 为命题 099F 的导出完备化函子。对任意 \(n \geq 1\)，对象 \(K \otimes_\mathcal{O}^\mathbf{L} \mathcal{O}/\mathcal{I}^n\) 是导出完备的，因为它被 \(\mathcal{I}\) 的局部截面的幂所零化。因此存在典范分解 \[K \to K^\wedge \to K \otimes_\mathcal{O}^\mathbf{L} \mathcal{O}/\mathcal{I}^n\] ，它分解了典范映射 \(K \to K \otimes_\mathcal{O}^\mathbf{L} \mathcal{O}/\mathcal{I}^n\)。当 \(n\) 变化时，这些映射彼此相容，于是得到比较映射 \[K^\wedge \longrightarrow R\lim \left(K \otimes_\mathcal{O}^\mathbf{L} \mathcal{O}/\mathcal{I}^n\right)\] 右端更容易被辨认为某种完备化。一般而言，这个比较映射并不是同构。

注

设 \((\mathcal{C}, \mathcal{O})\) 是一个环化位点。设 \(\mathcal{I} \subset \mathcal{O}\) 是一个有限型理想层。设 \(K \mapsto K^\wedge\) 为命题 099F 的导出完备化函子。由该命题证明中的构造可知，\(K^\wedge|_U\) 是 \(K|_U\) 的导出完备化，其中 \(U \in \Ob(\mathcal{C})\) 任意。也可以如下证明这一点。由导出完备对象的定义可知， \(K^\wedge|_U\) 是导出完备的。因此得到典范映射 \(a : (K|_U)^\wedge \to K^\wedge|_U\)。另一方面，若 \(E\) 是 \(D(\mathcal{O}_U)\) 的导出完备对象，则 \(Rj_*E\) 是 \(D(\mathcal{O})\) 的导出完备对象，这是引理 099J 的结论。这里 \(j\) 是局部化态射（《位点上的模》，03DH 节）。因此还得到典范映射 \(b : K^\wedge \to Rj_*((K|_U)^\wedge)\)。我们略去对 \(b\) 的伴随映射为 \(a\) 的逆映射这一（形式）事实的验证。

注

设 \((\mathcal{C}, \mathcal{O})\) 是一个环化位点，并设 \(\mathcal{I} \subset \mathcal{O}\) 是一个有限型理想层。以 \(K \mapsto K^\wedge\) 表示命题 099F 中的伴随函子。置 \[K \otimes^\wedge_\mathcal{O} L = (K \otimes_\mathcal{O}^\mathbf{L} L)^\wedge\] 这个完备张量积定义了函子 \(D_{comp}(\mathcal{O}) \times D_{comp}(\mathcal{O}) \to D_{comp}(\mathcal{O})\) ，使得 \[\Hom_{D_{comp}(\mathcal{O})}(K, R\SheafHom_\mathcal{O}(L, M)) = \Hom_{D_{comp}(\mathcal{O})}(K \otimes_\mathcal{O}^\wedge L, M)\] 对 \(K, L, M \in D_{comp}(\mathcal{O})\) 成立。注意， \(R\SheafHom_\mathcal{O}(L, M) \in D_{comp}(\mathcal{O})\)；这是引理 099A 的结论。

引理

设 \(\mathcal{C}\) 是一个位点。假设 \(\varphi : \mathcal{O} \to \mathcal{O}'\) 是环层的平坦同态。设 \(f_1, \ldots, f_r\) 是 \(\mathcal{O}\) 的全局截面，并满足 \(\mathcal{O}/(f_1, \ldots, f_r) \cong \mathcal{O}'/(f_1, \ldots, f_r)\mathcal{O}'\)。则增广交错 Čech 复形之间的映射 \[\xymatrix{ \mathcal{O} \to \prod_{i_0} \mathcal{O}_{f_{i_0}} \to \prod_{i_0 < i_1} \mathcal{O}_{f_{i_0}f_{i_1}} \to \ldots \to \mathcal{O}_{f_1\ldots f_r} \ar[d] \\ \mathcal{O}' \to \prod_{i_0} \mathcal{O}'_{f_{i_0}} \to \prod_{i_0 < i_1} \mathcal{O}'_{f_{i_0}f_{i_1}} \to \ldots \to \mathcal{O}'_{f_1\ldots f_r} }\] 是拟同构。

证明

注意，第二个复形是第一个复形与 \(\mathcal{O}'\) 的张量积。第一个增广交错 Čech 复形可以写成 Koszul 复形 \(K_n = K(\mathcal{O}, f_1^n, \ldots, f_r^n)\) 的余极限；见《更多代数》，引理 0913。因此，只需证明 \(K_n \to K_n \otimes_\mathcal{O} \mathcal{O}'\) 是拟同构。由于 \(\mathcal{O} \to \mathcal{O}'\) 平坦，只需证明 \(H^i \to H^i \otimes_\mathcal{O} \mathcal{O}'\) 是同构，其中 \(H^i\) 是第 \(i\) 个上同调层，即 \(H^i = H^i(K_n)\)。这些层被 \(f_1^n, \ldots, f_r^n\) 零化；见《更多代数》，引理 0663。因此这些层被 \((f_1, \ldots, f_r)^m\) 零化，其中某个 \(m \gg 0\)。于是 \(H^i \to H^i \otimes_\mathcal{O} \mathcal{O}'\) 是同构；这是《位点上的模》，引理 0GLY 的结论。

引理

设 \(\mathcal{C}\) 是一个位点。设 \(\mathcal{O} \to \mathcal{O}'\) 是环层的同态，并设 \(\mathcal{I} \subset \mathcal{O}\) 是一个有限型理想层。若 \(\mathcal{O} \to \mathcal{O}'\) 平坦且 \(\mathcal{O}/\mathcal{I} \cong \mathcal{O}'/\mathcal{I}\mathcal{O}'\), 则限制函子 \(D(\mathcal{O}') \to D(\mathcal{O})\) 诱导等价 \(D_{comp}(\mathcal{O}', \mathcal{I}\mathcal{O}') \to D_{comp}(\mathcal{O}, \mathcal{I})\).

证明

由引理 099J，限制函子 \(r : D(\mathcal{O}') \to D(\mathcal{O})\) 把 \(D_{comp}(\mathcal{O}', \mathcal{I}\mathcal{O}')\) 映入 \(D_{comp}(\mathcal{O}, \mathcal{I})\)。我们将构造一个拟逆 \(E \mapsto E'\)。

设 \(K \to \mathcal{O}\) 是 \(D(\mathcal{O})\) 中由引理 099E 构造的态射。置 \(K' = K \otimes_\mathcal{O}^\mathbf{L} \mathcal{O}'\)；这是 \(D(\mathcal{O}')\) 中的对象。则 \(K' \to \mathcal{O}'\) 是 \(D(\mathcal{O}')\) 中的映射；它满足引理 099E 相对于 \(\mathcal{I}' = \mathcal{I}\mathcal{O}'\) 的结论。映射 \(K \to r(K')\) 是拟同构，这是引理 099H 的结论。现在，对 \(E \in D_{comp}(\mathcal{O}, \mathcal{I})\)，置 \[E' = R\SheafHom_\mathcal{O}(r(K'), E)\] 把它视为 \(D(\mathcal{O}')\) 中的对象，其中使用 \(\mathcal{O}'\) 在 \(K'\) 上的模结构。由于 \(E\) 导出完备，我们有 \(E = R\SheafHom_\mathcal{O}(K, E)\)；见命题 099F 的证明。另一方面，由于 \(K \to r(K')\) 是同构，可见 \(E \to r(E')\) 是 \(D(\mathcal{O})\) 中的同构。为了完成证明，还须说明：若 \(E = r(M')\)，其中 \(M'\) 是 \(D_{comp}(\mathcal{O}', \mathcal{I}')\) 的对象，则 \(E' \cong M'\)。为得到一个映射，我们使用 \[M' = R\SheafHom_{\mathcal{O}'}(\mathcal{O}', M') \to R\SheafHom_\mathcal{O}(r(\mathcal{O}'), r(M')) \to R\SheafHom_\mathcal{O}(r(K'), r(M')) = E'\] ，其中第二个箭头使用映射 \(K' \to \mathcal{O}'\)。要看出这是同构，只需说明对该箭头应用 \(r\) 后，所得映射就是上面的同构 \(E \to r(E')\)。细节从略。

引理

设 \(f : (\Sh(\mathcal{D}), \mathcal{O}') \to (\Sh(\mathcal{C}), \mathcal{O})\) 是环化拓扑斯的态射。设 \(\mathcal{I} \subset \mathcal{O}\) 和 \(\mathcal{I}' \subset \mathcal{O}'\) 是有限型理想层，并且 \(f^\sharp\) 把 \(f^{-1}\mathcal{I}\) 映入 \(\mathcal{I}'\)。则 \(Rf_*\) 把 \(D_{comp}(\mathcal{O}', \mathcal{I}')\) 映入 \(D_{comp}(\mathcal{O}, \mathcal{I})\)，并且有左伴随 \(Lf_{comp}^*\)；该左伴随由先应用 \(Lf^*\) 再作导出完备化得到。

证明

第一条陈述已见于引理 099J。第二条陈述是有意义的，因为我们有导出完备化函子 \(D(\mathcal{O}') \to D_{comp}(\mathcal{O}', \mathcal{I}')\)；这是命题 099F 的结论。现在设 \(K \in D_{comp}(\mathcal{O}, \mathcal{I})\) 且 \(M \in D_{comp}(\mathcal{O}', \mathcal{I}')\)。则 \[\Hom(K, Rf_*M) = \Hom(Lf^*K, M) = \Hom(Lf_{comp}^*K, M)\] ，其中等式来自导出完备化的泛性质。

引理

设 \(f : (\Sh(\mathcal{D}), \mathcal{O}') \to (\Sh(\mathcal{C}), \mathcal{O})\) 是环化拓扑斯的态射。设 \(\mathcal{I} \subset \mathcal{O}\) 是一个有限型理想层，并设 \(\mathcal{I}' \subset \mathcal{O}'\) 为由 \(f^\sharp(f^{-1}\mathcal{I})\) 生成的理想。则 \(Rf_*\) 与导出完备化可交换，即 \(Rf_*(K^\wedge) = (Rf_*K)^\wedge\).

证明

由命题 099F，导出完备化函子存在。由引理 099J，对象 \(Rf_*(K^\wedge)\) 是导出完备的，因此由导出完备化的泛性质得到典范映射 \((Rf_*K)^\wedge \to Rf_*(K^\wedge)\)。可以在 \(\mathcal{C}\) 上局部地检验这个映射是同构。由于导出完备化与局部化可交换（备注 0A0F），可以假设 \(\mathcal{I}\) 由全局截面 \(f_1, \ldots, f_r\) 生成。于是 \(\mathcal{I}'\) 由 \(g_i = f^\sharp(f_i)\) 生成。由引理 0A0E，只需证明 \[R\lim \left( Rf_*K \otimes^\mathbf{L}_\mathcal{O} K(\mathcal{O}, f_1^n, \ldots, f_r^n) \right) = Rf_*\left( R\lim K \otimes^\mathbf{L}_{\mathcal{O}'} K(\mathcal{O}', g_1^n, \ldots, g_r^n) \right)\] 由于 \(Rf_*\) 与 \(R\lim\) 可交换（《位点上的上同调》，引理 0A07），只需证明 \[Rf_*K \otimes^\mathbf{L}_\mathcal{O} K(\mathcal{O}, f_1^n, \ldots, f_r^n) = Rf_*\left( K \otimes^\mathbf{L}_{\mathcal{O}'} K(\mathcal{O}', g_1^n, \ldots, g_r^n) \right)\] 这由投影公式（《位点上的上同调》，引理 0944）以及等式 \(Lf^*K(\mathcal{O}, f_1^n, \ldots, f_r^n) = K(\mathcal{O}', g_1^n, \ldots, g_r^n)\) 得出。

引理

设 \(A\) 是一个环，\(I \subset A\) 是有限生成理想。设 \(\mathcal{C}\) 是一个位点，\(\mathcal{O}\) 是 \(A\)-代数层。设 \(\mathcal{F}\) 是一个 \(\mathcal{O}\)-模层。则 \[R\Gamma(\mathcal{C}, \mathcal{F})^\wedge = R\Gamma(\mathcal{C}, \mathcal{F}^\wedge)\] 在 \(D(A)\) 中成立，其中 \(\mathcal{F}^\wedge\) 是 \(\mathcal{F}\) 关于 \(I\mathcal{O}\) 的导出完备化，而左端取关于 \(I\) 的导出完备化。这给出两个谱序列 \[E_2^{i, j} = H^i(H^j(\mathcal{C}, \mathcal{F})^\wedge) \quad\text{且}\quad E_2^{p, q} = H^p(\mathcal{C}, H^q(\mathcal{F}^\wedge))\] ，二者都收敛到 \(H^*(R\Gamma(\mathcal{C}, \mathcal{F})^\wedge) = H^*(\mathcal{C}, \mathcal{F}^\wedge)\)

证明

把引理 0A0G 应用于环化拓扑斯的态射 \((\mathcal{C}, \mathcal{O}) \to (pt, A)\)，再取上同调，即得第一条陈述。第二个谱序列是《导出范畴》，引理 015J 的第二个谱序列。第一个谱序列则是把《更多代数》，例 0BKE 中的谱序列应用于 \(R\Gamma(\mathcal{C}, \mathcal{F})^\wedge\) 所得。

注

设 \((\mathcal{C}, \mathcal{O})\) 是一个环化位点。设 \(\mathcal{I} \subset \mathcal{O}\) 是一个有限型理想层。设 \(K \mapsto K^\wedge\) 为命题 099F 的导出完备化。设 \(U \in \Ob(\mathcal{C})\) 是一个对象，并且作为理想层， \(\mathcal{I}\) 由 \(f_1, \ldots, f_r \in \mathcal{I}(U)\) 生成。置 \(A = \mathcal{O}(U)\) 和 \(I = (f_1, \ldots, f_r) \subset A\)。警告：未必有 \(I = \mathcal{I}(U)\)。于是 \[R\Gamma(U, K^\wedge) = R\Gamma(U, K)^\wedge\] ，其中右端是对象 \(R\Gamma(U, K)\)（它属于 \(D(A)\)）关于 \(I\) 的导出完备化。这是因为导出完备化与局部化可交换（备注 0A0F），并且可应用引理 0BLX。

形式函数定理

我们暂时中断正文的推进，讨论概形上拟凝聚模背景中的导出完备化，并用它给出形式函数定理的一个略有不同的证明。备注 0AKL 中列出了一些文献线索。

引理 0A0G 是形式函数定理的一个（非常形式化的）导出版本（《概形上同调》，定理 02OC）。更明确地说，设 \(f : X \to S\) 是概形的态射， \(\mathcal{I} \subset \mathcal{O}_S\) 是有限型拟凝聚理想层，并且 \(\mathcal{F}\) 是 \(X\) 上的拟凝聚层。则该引理断言 [0A0I]\[\begin{equation} Rf_*(\mathcal{F}^\wedge) = (Rf_*\mathcal{F})^\wedge \end{equation}\] ，其中 \(\mathcal{F}^\wedge\) 是 \(\mathcal{F}\) 关于 \(f^{-1}\mathcal{I} \cdot \mathcal{O}_X\) 的导出完备化，右端则是 \(Rf_*\mathcal{F}\) 关于 \(\mathcal{I}\) 的导出完备化。要看出这确实还原了形式函数定理，还需要做一些工作。

引理

设 \(X\) 是局部诺特概形。设 \(\mathcal{I} \subset \mathcal{O}_X\) 是拟凝聚理想层。设 \(K\) 是 \(D(\mathcal{O}_X)\) 的伪凝聚对象，其导出完备化为 \(K^\wedge\)。则 \[H^p(U, K^\wedge) = \lim H^p(U, K)/I^nH^p(U, K) = H^p(U, K)^\wedge\] 对任意仿射开集 \(U \subset X\) 成立，其中 \(I = \mathcal{I}(U)\)，而右端取关于 \(I\) 的导出完备化。

证明

写成 \(U = \Spec(A)\)。环 \(A\) 是诺特的，因此 \(I \subset A\) 是有限生成理想。于是 \[R\Gamma(U, K^\wedge) = R\Gamma(U, K)^\wedge\] ，这是备注 0CQI 的结论。现在，\(R\Gamma(U, K)\) 是一个伪凝聚的 \(A\)-模复形（《概形的导出范畴》，引理 08E7）。由《更多代数》，引理 0A06，其第 \(p\) 个上同调模（这里的复形是 \(R\Gamma(U, K^\wedge)\)）等于相应模的 \(I\)-进完备化，也就是 \(H^p(U, K)\) 的完备化。这证明了第一个等式。第二个（较不重要的）等式则由再次应用刚才的引理立即得到。

引理

设 \(X\) 是局部诺特概形。设 \(\mathcal{I} \subset \mathcal{O}_X\) 是拟凝聚理想层。设 \(K\) 是 \(D(\mathcal{O}_X)\) 的对象。则

导出完备化 \(K^\wedge\) 等于 \(R\lim (K \otimes_{\mathcal{O}_X}^\mathbf{L} \mathcal{O}_X/\mathcal{I}^n)\).

设 \(K\) 是 \(D(\mathcal{O}_X)\) 的伪凝聚对象。则

上同调层 \(H^q(K^\wedge)\) 等于 \(\lim H^q(K)/\mathcal{I}^nH^q(K)\).

设 \(\mathcal{F}\) 是凝聚 \(\mathcal{O}_X\)-模¹。则

导出完备化 \(\mathcal{F}^\wedge\) 等于 \(\lim \mathcal{F}/\mathcal{I}^n\mathcal{F}\),

\(\lim \mathcal{F}/\mathcal{I}^n \mathcal{F} = R\lim \mathcal{F}/\mathcal{I}^n \mathcal{F}\),

\(H^p(U, \mathcal{F}^\wedge) = 0\) 对每个 \(p \not = 0\) 以及每个仿射开集 \(U \subset X\) 都成立。

证明

(1) 的证明。存在典范映射 \[K \longrightarrow R\lim (K \otimes_{\mathcal{O}_X}^\mathbf{L} \mathcal{O}_X/\mathcal{I}^n),\] ；见备注 0CQH。导出完备化与取开子概形可交换（备注 0A0F）。 \(R\lim\) 的构造也与取开子概形可交换。因此，为检验上述映射是同构，可以局部地工作。于是可假设 \(X = U = \Spec(A)\)。写 \(I = (f_1, \ldots, f_r)\)，并设 \(K_n = K(A, f_1^n, \ldots, f_r^n)\) 为 Koszul 复形。由《更多代数》，引理 0921，前系统 \(\{K_n\}\) 与 \(\{A/I^n\}\) 在 \(D(A)\) 中同构。利用等价 \(D(A) = D_{\QCoh}(\mathcal{O}_X)\) （《概形的导出范畴》，引理 06Z0），可知前系统 \(\{K(\mathcal{O}_X, f_1^n, \ldots, f_r^n)\}\) 与 \(\{\mathcal{O}_X/\mathcal{I}^n\}\) 在 \(D(\mathcal{O}_X)\) 中同构。这证明了下式中的第二个等式： \[K^\wedge = R\lim \left( K \otimes_{\mathcal{O}_X}^\mathbf{L} K(\mathcal{O}_X, f_1^n, \ldots, f_r^n) \right) = R\lim (K \otimes_{\mathcal{O}_X}^\mathbf{L} \mathcal{O}_X/\mathcal{I}^n)\] 第一个等式则是引理 0A0E。

假设 \(K\) 伪凝聚。对仿射开集 \(U \subset X\)，由 \(H^q(U, K^\wedge) = \lim H^q(U, K)/\mathcal{I}^n(U)H^q(U, K)\) 和引理 0A0L 可知该等式成立。由于这对每个 \(U\) 都成立，作为层有 \(H^q(K^\wedge) = \lim H^q(K)/\mathcal{I}^nH^q(K)\)。这证明了 (2)。

(3) 是 (2) 的特殊情形。(4) 与 (5) 由《概形的导出范畴》，引理 0A0J 得出。

引理

设 \(A\) 是诺特环，\(I \subset A\) 是理想。设 \(X\) 是 \(A\) 上的诺特概形，\(\mathcal{F}\) 是凝聚 \(\mathcal{O}_X\)-模。假设 \(H^p(X, \mathcal{F})\) 是有限 \(A\)-模，并且对所有 \(p\) 都如此。则有短正合列 \[0 \to R^1\lim H^{p - 1}(X, \mathcal{F}/I^n\mathcal{F}) \to H^p(X, \mathcal{F})^\wedge \to \lim H^p(X, \mathcal{F}/I^n\mathcal{F}) \to 0\] ，它们是 \(A\)-模的短正合列，其中 \(H^p(X, \mathcal{F})^\wedge\) 是通常的 \(I\)-进完备化。若 \(f\) 是固有的，则 \(R^1\lim\) 项为零。

证明

考察引理 0BLX 的两个谱序列。由《更多代数》，引理 0A06，第一个谱序列退化。得到 \(H^p(X, \mathcal{F})^\wedge\)，它位于次数 \(p\)。这里用到了 \(H^p(X, \mathcal{F})\) 是有限 \(A\)-模这一假设。第二个谱序列退化，因为 \[\mathcal{F}^\wedge = \lim \mathcal{F}/I^n\mathcal{F} = R\lim \mathcal{F}/I^n\mathcal{F}\] 由引理 0A0K 可知这是一个层。得到 \(H^p(X, \lim \mathcal{F}/I^n\mathcal{F})\)，它位于次数 \(p\)。由于 \(R\Gamma(X, -)\) 与导出极限可交换（《内射对象》，引理 08U1），还有 \[R\Gamma(X, \lim \mathcal{F}/I^n\mathcal{F}) = R\Gamma(X, R\lim \mathcal{F}/I^n\mathcal{F}) = R\lim R\Gamma(X, \mathcal{F}/I^n\mathcal{F})\] 由《更多代数》，备注 07KZ，得到正合列 \[0 \to R^1\lim H^{p - 1}(X, \mathcal{F}/I^n\mathcal{F}) \to H^p(X, \lim \mathcal{F}/I^n\mathcal{F}) \to \lim H^p(X, \mathcal{F}/I^n\mathcal{F}) \to 0\] ，它们是 \(A\)-模的正合列。结合以上结果，得到引理的第一条陈述。 \(R^1\lim\) 项的消失由《概形上同调》，引理 02OB 得出。

注

下面列出文献中讨论相关材料的一些参考文献。对于固有映射，“导出形式函数定理”似乎可追溯到 [lurie-thesis, Theorem 6.3.1]。 [dag12] 中也有讨论，尤其是第 4 章对仿射情形的讨论；另见《更多代数》， 091N 节。 [G-R, Section 2.9] 使用（ind）凝聚模讨论了固有基变换与导出完备化。拟凝聚模复形的一个与（0A0I）类似的结果见 [HL-P, Theorem 6.5]。

局部上同调的代数化，I

设 \(A\) 是诺特环，\(I\) 与 \(J\) 是 \(A\) 的两个理想。设 \(M\) 是有限 \(A\)-模。本节研究对象 \[R\Gamma_J(M)^\wedge \quad\text{属于}\quad D(A)\] 的上同调群，其中 \({}^\wedge\) 表示导出 \(I\)-进完备化。注意，在《对偶化复形》，引理 0EEX 中，我们已经证明：若 \(A\) 关于 \(I\) 完备，则存在同构 \[\colim H^0_Z(M) \longrightarrow H^0(R\Gamma_J(M)^\wedge)\] ，其中（有向）余极限遍历闭子集 \(Z = V(J')\)，它们满足 \(J' \subset J\) 和 \(V(J') \cap V(I) = V(J) \cap V(I)\)。这些闭子集的并为 [0EFG]\[\begin{equation} T = \{\mathfrak p \in \Spec(A) : V(\mathfrak p) \cap V(I) \subset V(J) \cap V(I)\} \end{equation}\] 这是 \(\Spec(A)\) 的一个对特殊化稳定的子集。上述结果于是变为： \[H^0_T(M) \longrightarrow H^0(R\Gamma_J(M)^\wedge)\] 若 \(A\) 关于 \(I\) 完备，则这个映射是同构；见《局部上同调》，引理 0EF1 与备注 0EF4。我们把这一同构推广到更高上同调群的方法基于下面的引理。

引理

设 \(I, J\) 是诺特环 \(A\) 的理想。设 \(M\) 是有限 \(A\)-模。设 \(\mathfrak p \subset A\) 是素理想，\(s\) 与 \(d\) 是整数。假设

\(A\) 有对偶化复形，

\(\mathfrak p \not \in V(J) \cap V(I)\),

\(\text{cd}(A, I) \leq d\)，且

对所有素理想 \(\mathfrak p' \subset \mathfrak p\)，都有 \(\text{depth}_{A_{\mathfrak p'}}(M_{\mathfrak p'}) + \dim((A/\mathfrak p')_\mathfrak q) > d + s\) ，其中 \(\mathfrak q \in V(\mathfrak p') \cap V(J) \cap V(I)\) 任意。

则存在 \(f \in A\)，\(f \not \in \mathfrak p\)，它零化 \(H^i(R\Gamma_J(M)^\wedge)\)，其中 \(i \leq s\)；这里 \({}^\wedge\) 表示 \(I\)-进完备化。

证明

我们将使用 \(R\Gamma_J = R\Gamma_{V(J)}\)，并对 \(I + J\) 作同样处理；见《对偶化复形》，引理 0955。注意 \(R\Gamma_J(M)^\wedge = R\Gamma_I(R\Gamma_J(M))^\wedge = R\Gamma_{I + J}(M)^\wedge\)；见《对偶化复形》，引理 0A6W 与 0BJC. 因此可以把 \(J\) 替换为 \(I + J\)，并假设 \(I \subset J\) 以及 \(\mathfrak p \not \in V(J)\)。回忆 \[R\Gamma_J(M)^\wedge = R\Hom_A(R\Gamma_I(A), R\Gamma_J(M))\] ，这是把《更多代数》，引理 091V 中对导出完备化的描述与《对偶化复形》，引理 0956 中对局部上同调的描述结合起来所得。假设 (3) 意味着 \(R\Gamma_I(A)\) 仅在次数 \(\leq d\) 上有非零上同调。利用 \(R\Gamma_I(A)\) 的典范截断，只需证明 \[\text{Ext}^i(N, R\Gamma_J(M))\] 被某个 \(f \in A\)，\(f \not \in \mathfrak p\) 零化，其中 \(i \leq s + d\)，而所述结论对任意 \(A\)-模 \(N\) 都成立。再利用 \(R\Gamma_J(M)\) 的典范截断，只需证明 \(H^i_J(M)\) 被某个 \(f \in A\)，\(f \not \in \mathfrak p\) 零化，其中 \(i \leq s + d\)。这由《局部上同调》，引理 0EFE 得出。

引理

设 \(I, J\) 是某个诺特环的理想。设 \(M\) 是有限 \(A\)-模。设 \(s\) 与 \(d\) 是整数。令 \(T\) 如（0EFG）中所定义，并假设

\(A\) 有对偶化复形，

若 \(\mathfrak p \in V(I)\)，则不加条件，

若 \(\mathfrak p \not \in V(I)\) 且 \(\mathfrak p \in T\)，则 \(\dim((A/\mathfrak p)_\mathfrak q) \leq d\)，其中存在某个 \(\mathfrak q \in V(\mathfrak p) \cap V(J) \cap V(I)\)，

若 \(\mathfrak p \not \in V(I)\) 且 \(\mathfrak p \not \in T\)，则 \[\text{depth}_{A_\mathfrak p}(M_\mathfrak p) \geq s \quad\text{或}\quad \text{depth}_{A_\mathfrak p}(M_\mathfrak p) + \dim((A/\mathfrak p)_\mathfrak q) > d + s\] 对所有 \(\mathfrak q \in V(\mathfrak p) \cap V(J) \cap V(I)\) 成立。

则存在理想 \(J_0 \subset J\)，满足 \(V(J_0) \cap V(I) = V(J) \cap V(I)\)，使得对任意 \(J' \subset J_0\)，若 \(V(J') \cap V(I) = V(J) \cap V(I)\)，则映射 \[R\Gamma_{J'}(M) \longrightarrow R\Gamma_{J_0}(M)\] 在次数 \(\leq s\) 的上同调上诱导同构，并且这些模被 \(J_0I\) 的某个幂零化。

证明

考虑集合 \[B = \{\mathfrak p \not \in V(I),\ \mathfrak p \in T,\text{ 且 } \text{depth}(M_\mathfrak p) \leq s\}\] 选择 \(J_0 \subset J\)，使 \(V(J_0)\) 是 \(B \cup V(J)\) 的闭包。

断言 I：\(V(J_0) \cap V(I) = V(J) \cap V(I)\)。

断言 I 的证明。包含关系 \(\supset\) 由构造成立。设 \(\mathfrak p\) 是 \(V(J_0)\) 的极小素理想。若 \(\mathfrak p \in B \cup V(J)\)，则或者 \(\mathfrak p \in T\)，或者 \(\mathfrak p \in V(J)\)；两种情形下都如所需有 \(V(\mathfrak p) \cap V(I) \subset V(J) \cap V(I)\)。若 \(\mathfrak p \not \in B \cup V(J)\)，则 \(V(\mathfrak p) \cap B\) 稠密，因而无限，可知 \(\text{depth}(M_\mathfrak p) < s\)；见《局部上同调》，引理 0DWY。事实上，设 \(V(\mathfrak p) \cap B = \{\mathfrak p_\lambda\}_{\lambda \in \Lambda}\). 依照 (3)，选择 \(\mathfrak q_\lambda \in V(\mathfrak p_\lambda) \cap V(J) \cap V(I)\)。设 \(\delta : \Spec(A) \to \mathbf{Z}\) 是与对偶化复形 \(\omega_A^\bullet\)（定义在 \(A\) 上）相伴的维数函数。由于 \(\Lambda\) 无限而 \(\delta\) 有界，存在无限子集 \(\Lambda' \subset \Lambda\)，使得 \(\delta(\mathfrak q_\lambda)\) 在其上为常数。对 \(\lambda \in \Lambda'\)，有 \[\text{depth}(M_{\mathfrak p_\lambda}) + \delta(\mathfrak p_\lambda) - \delta(\mathfrak q_\lambda) = \text{depth}(M_{\mathfrak p_\lambda}) + \dim((A/\mathfrak p_\lambda)_{\mathfrak q_\lambda}) \leq d + s\] ，这是 (3) 与 \(B\) 的定义的结论。利用函数 \(\text{depth} + \delta\) 的半连续性（见《概形的对偶性》，引理 0ECM），可得 \[\text{depth}(M_\mathfrak p) + \dim((A/\mathfrak p)_{\mathfrak q_\lambda}) = \text{depth}(M_\mathfrak p) + \delta(\mathfrak p) - \delta(\mathfrak q_\lambda) \leq d + s\] 又因为 \(\mathfrak p \not \in V(I)\)，由 (4) 可知 \(\mathfrak p \in T\)，即 \(V(\mathfrak p) \cap V(I) \subset V(J) \cap V(I)\)。断言 I 得证。

断言 II：映射 \(H^i_{J_0}(M) \to H^i_J(M)\) 是同构，其中 \(i \leq s\)，并且 \(J' \subset J_0\) 满足 \(V(J') \cap V(I) = V(J) \cap V(I)\)。

断言 II 的证明。选择 \(\mathfrak p \in V(J')\)，使其不属于 \(V(J_0)\)。只需证明 \(H^i_{\mathfrak pA_\mathfrak p}(M_\mathfrak p) = 0\) 对 \(i \leq s\) 成立；见《局部上同调》，引理 0DWV。注意 \(\mathfrak p \in T\)。因此，由于 \(\mathfrak p\) 不属于 \(B\)，可知 \(\text{depth}(M_\mathfrak p) > s\)，而这些群由《对偶化复形》，引理 0AVZ 消失。

断言 III：引理的最后一条陈述成立。

由断言 II，对 \(i \leq s\) 有 \[H^i_T(M) = H^i_{J_0}(M) = H^i_{J'}(M)\] ，其中 \(J' \subset J_0\) 是任意满足 \(V(J') \cap V(I) = V(J) \cap V(I)\) 的理想。见《局部上同调》，引理 0EF1。现在检验《局部上同调》，命题 0EFC 对子集 \(T \subset T \cup V(I)\)、模 \(M\) 和整数 \(s\) 的假设。须证明：给定 \(\mathfrak p \subset \mathfrak q\)，若 \(\mathfrak p \not \in T \cup V(I)\) 且 \(\mathfrak q \in T\)，则 \[\text{depth}_{A_\mathfrak p}(M_\mathfrak p) + \dim((A/\mathfrak p)_\mathfrak q) > s\] 若 \(\text{depth}(M_\mathfrak p) \geq s\)，则结论成立，因为 \((A/\mathfrak p)_\mathfrak q\) 的维数至少为 \(1\)。因此可假设 \(\text{depth}(M_\mathfrak p) < s\)。若 \(\mathfrak q \in V(I)\)，则 \(\mathfrak q \in V(J) \cap V(I)\)，不等式由 (4) 成立。若 \(\mathfrak q \not \in V(I)\)，则由 (3) 可以选择 \(\mathfrak q' \in V(\mathfrak q) \cap V(J) \cap V(I)\)，使 \(\dim((A/\mathfrak q)_{\mathfrak q'}) \leq d\)。于是由假设 (4) 得 \[\text{depth}_{A_\mathfrak p}(M_\mathfrak p) + \dim((A/\mathfrak p)_{\mathfrak q'}) > s + d\] 由于 \(A\) 是链环，这蕴含所需不等式。应用《局部上同调》，命题 0EFC，得到 \(J'' \subset A\)，满足 \(V(J'') \subset T \cup V(I)\)，并且 \(J''\) 零化 \(H^i_T(M)\)，其中 \(i \leq s\)。于是可以写成 \(V(J'') \cup V(J_0) \cup V(I) = V(J'I)\)，其中某个 \(J' \subset J_0\) 满足 \(V(J') \cap V(I) = V(J) \cap V(I)\)。把 \(J_0\) 替换为 \(J'\)，证明完成。

引理

在引理 0EFI 中，若把空条件 (2) 替换为假设

若 \(\mathfrak p \in V(I)\) 且 \(\mathfrak p \not \in V(J) \cap V(I)\)，则 \(\text{depth}_{A_\mathfrak p}(M_\mathfrak p) + \dim((A/\mathfrak p)_\mathfrak q) > s\) 对所有 \(\mathfrak q \in V(\mathfrak p) \cap V(J) \cap V(I)\) 成立，

则这些条件还蕴含 \(H^i_{J_0}(M)\) 是有限 \(A\)-模，其中 \(i \leq s\)。

证明

回忆 \(H^i_{J_0}(M) = H^i_T(M)\)；见引理 0EFI 的证明。因此只需检验：若 \(\mathfrak p \not \in T\)、\(\mathfrak q \in T\) 且 \(\mathfrak p \subset \mathfrak q\)，则 \(\text{depth}_{A_\mathfrak p}(M_\mathfrak p) + \dim((A/\mathfrak p)_\mathfrak q) > s\)；见《局部上同调》，命题 0EFD。条件 (2’) 告诉我们，这对 \(\mathfrak p \in V(I)\) 成立。由于 \(H^i_T(M)\) 被 \(IJ_0\) 的某个幂零化，当 \(\mathfrak p \not \in V(IJ_0)\) 时该条件也成立；这是《局部上同调》，命题 0EFC 的结论。这涵盖所有情形，证明完成。

引理

若在引理 0EFI 中还假设

若 \(\mathfrak p \not \in V(I)\) 且 \(\mathfrak p \in T\)，则 \(\text{depth}_{A_\mathfrak p}(M_\mathfrak p) > s\),

则 \(H^i_{J_0}(M) = H^i_J(M) = H^i_{J + I}(M)\) 对 \(i \leq s\) 成立，并且这些模被 \(I\) 的某个幂零化。

证明

选择 \(\mathfrak p \in V(J)\) 或 \(\mathfrak p \in V(J_0)\)，但要求 \(\mathfrak p \not \in V(J + I) = V(J_0 + I)\)。只需证明 \(H^i_{\mathfrak pA_\mathfrak p}(M_\mathfrak p) = 0\) 对 \(i \leq s\) 成立；见《局部上同调》，引理 0DWV。这些群由条件 (6) 和《对偶化复形》，引理 0AVZ 消失。最后一条陈述由《局部上同调》，命题 0EFC 得出。

引理

设 \(I, J\) 是诺特环 \(A\) 的理想。设 \(M\) 是有限 \(A\)-模。设 \(s\) 与 \(d\) 是整数。令 \(T\) 如（0EFG）中所定义，并假设

\(A\) 是 \(I\)-进完备的，并且有对偶化复形，

若 \(\mathfrak p \in V(I)\)，则不加条件，

\(\text{cd}(A, I) \leq d\),

若 \(\mathfrak p \not \in V(I)\) 且 \(\mathfrak p \not \in T\)，则 \[\text{depth}_{A_\mathfrak p}(M_\mathfrak p) \geq s \quad\text{或}\quad \text{depth}_{A_\mathfrak p}(M_\mathfrak p) + \dim((A/\mathfrak p)_\mathfrak q) > d + s\] 对所有 \(\mathfrak q \in V(\mathfrak p) \cap V(J) \cap V(I)\) 成立，

若 \(\mathfrak p \not \in V(I)\)、\(\mathfrak p \not \in T\)、 \(V(\mathfrak p) \cap V(J) \cap V(I) \not = \emptyset\)，并且 \(\text{depth}(M_\mathfrak p) < s\)，则下列条件之一成立 ²：

\(\dim(\text{Supp}(M_\mathfrak p)) < s + 2\)³，或者

\(\delta(\mathfrak p) > d + \delta_{max} - 1\) ，其中 \(\delta\) 是维数函数，而 \(\delta_{max}\) 是 \(\delta\) 在 \(V(J) \cap V(I)\) 上的最大值，或者

\(\text{depth}_{A_\mathfrak p}(M_\mathfrak p) + \dim((A/\mathfrak p)_\mathfrak q) > d + s + \delta_{max} - \delta_{min} - 2\) 对所有 \(\mathfrak q \in V(\mathfrak p) \cap V(J) \cap V(I)\) 成立。

则存在理想 \(J_0 \subset J\)，满足 \(V(J_0) \cap V(I) = V(J) \cap V(I)\) ，使得对任意 \(J' \subset J_0\)，若 \(V(J') \cap V(I) = V(J) \cap V(I)\)，则映射 \[R\Gamma_{J'}(M) \longrightarrow R\Gamma_J(M)^\wedge\] 在次数 \(\leq s\) 的上同调上诱导同构。这里 \({}^\wedge\) 表示导出 \(I\)-进完备化。

我们建议读者先阅读局部情形的证明（引理 0DXP），因为它无需处理所有这些不等式便能解释证明的结构。

证明

对理想 \(\mathfrak a \subset A\)，有 \(R\Gamma_\mathfrak a = R\Gamma_{V(\mathfrak a)}\)；见《对偶化复形》，引理 0955。其次，注意 \[R\Gamma_J(M)^\wedge = R\Gamma_I(R\Gamma_J(M))^\wedge = R\Gamma_{I + J}(M)^\wedge = R\Gamma_{I + J'}(M)^\wedge = R\Gamma_I(R\Gamma_{J'}(M))^\wedge = R\Gamma_{J'}(M)^\wedge\] ，这是《对偶化复形》，引理 0BJC 与 0A6W 的结论。这说明了如何定义引理陈述中的箭头。

我们断言：引理 0EFI 的假设由当前对 \(M\) 的假设蕴含。唯一需要检验的是假设 (3)。因此设 \(\mathfrak p \not \in V(I)\) 且 \(\mathfrak p \in T\)。那么 \(V(\mathfrak p) \cap V(I)\) 非空，因为 \(I\) 包含在 \(A\) 的 Jacobson 根中（《代数》，引理 05GI）。由于 \(\mathfrak p \in T\)，有 \(V(\mathfrak p) \cap V(I) = V(\mathfrak p) \cap V(J) \cap V(I)\)。设 \(\mathfrak q \in V(\mathfrak p) \cap V(I)\) 是某个不可约分支的通用点。有 \(\text{cd}(A_\mathfrak q, I_\mathfrak q) \leq d\)；这是《局部上同调》，引理 0DXB 的结论。又有 \(V(\mathfrak pA_\mathfrak q) \cap V(I_\mathfrak q) = \{\mathfrak qA_\mathfrak q\}\)，这是由 \(\mathfrak q\) 的选择得到的；进而 \(\dim((A/\mathfrak p)_\mathfrak q) \leq d\)，见《局部上同调》，引理 0DXF。

注意，引理对 \(s < 0\) 成立。这并非平凡情形，因为不能先验地看出 \(H^i(R\Gamma_J(M)^\wedge)\) 在 \(i < 0\) 时为零。不过，这一消失已在《对偶化复形》，引理 0EEW 中证明。对于 \(s \geq 0\)，我们将用归纳法证明引理。

\(s = 0\) 时的引理由引理 0EFI 的结论和《对偶化复形》，引理 0EEX 立即得出。

假设 \(s > 0\)，且引理对更小的 \(s\) 已经证明。设 \(M' \subset M\) 是支集包含于 \(V(I) \cup T\) 的极大子模。则 \(M'\) 是有限 \(A\)-模，并且其支集包含于 \(V(J') \cup V(I)\)，其中某个理想 \(J' \subset J\) 满足 \(V(J') \cap V(I) = V(J) \cap V(I)\)。我们断言 \[R\Gamma_{J'}(M') \to R\Gamma_J(M')^\wedge\] 对 \(J'\) 的任意选择都是同构。事实上，可以选择短正合列 \(0 \to M_1 \oplus M_2 \to M' \to N \to 0\) ，其中 \(M_1\) 被 \(J'\) 的某个幂零化，\(M_2\) 被 \(I\) 的某个幂零化，而 \(N\) 被 \(I + J'\) 的某个幂零化。因此，只需对 \(M_1\)、\(M_2\) 与 \(N\) 证明该断言。对 \(M_1\)，有 \(R\Gamma_{J'}(M_1) = M_1\)；又因为 \(M_1\) 是有限 \(A\)-模且 \(I\)-进完备，所以 \(M_1^\wedge = M_1\)。结合证明开头的说明，这就对 \(M_1\) 证明了断言。对 \(M_2\)，有 \(H^i_J(M_2) = H^i_{I + J}(M) = H^i_{I + J'}(M) = H^i_{J'}(M_2)\) 被 \(I\) 的某个幂零化，因而导出完备。所以该情形中的断言也成立。对 \(N\)，可以使用刚才两个论证中的任一个。考察短正合列 \(0 \to M' \to M \to M/M' \to 0\) 可知，只需对 \(M/M'\) 证明引理。因此可假设 \(\text{Ass}(M) \cap (V(I) \cup T) = \emptyset\)。

设 \(\mathfrak p \in \text{Ass}(M)\) 满足 \(V(\mathfrak p) \cap V(J) \cap V(I) = \emptyset\). 由于 \(I\) 包含在 \(A\) 的 Jacobson 根中，这蕴含 \(V(\mathfrak p) \cap V(J') = \emptyset\) 对任意 \(J' \subset J\) 都成立，只要 \(V(J') \cap V(I) = V(J) \cap V(I)\)。置 \(N = H^0_\mathfrak p(M)\)，则 \(R\Gamma_J(N) = R\Gamma_{J'}(N) = 0\) 对所有 \(J' \subset J\) 都成立，只要 \(V(J') \cap V(I) = V(J) \cap V(I)\)。特别地，\(R\Gamma_J(N)^\wedge = 0\)。因此可以把 \(M\) 替换为 \(M/N\)，因为这只在条件 (4) 或 (5) 不起作用的素理想处改变 \(M\) 的结构。重复此过程，可假设 \(V(\mathfrak p) \cap V(J) \cap V(I) \not = \emptyset\) 对所有 \(\mathfrak p \in \text{Ass}(M)\) 成立。

假设 \(\text{Ass}(M) \cap (V(I) \cup T) = \emptyset\)，并且 \(V(\mathfrak p) \cap V(J) \cap V(I) \not = \emptyset\) 对所有 \(\mathfrak p \in \text{Ass}(M)\) 成立。设 \(\mathfrak p \in \text{Ass}(M)\)。我们要说明可以应用引理 0EFH。正是在这一验证中，我们将使用补充条件 (5)。选择 \(\mathfrak p' \subset \mathfrak p\) 以及 \(\mathfrak q' \subset V(\mathfrak p) \cap V(J) \cap V(I)\)。

若 \(M_{\mathfrak p'} = 0\)，则 \(\text{depth}(M_{\mathfrak p'}) = \infty\)，并且 \(\text{depth}(M_{\mathfrak p'}) + \dim((A/\mathfrak p')_{\mathfrak q'}) > d + s\).

若 \(\text{depth}(M_{\mathfrak p'}) < s\)，则 \(\text{depth}(M_{\mathfrak p'}) + \dim((A/\mathfrak p')_{\mathfrak q'}) > d + s\)，这是 (4) 的结论。

在其余情形中，有 \(M_{\mathfrak p'} \not = 0\) 且 \(\text{depth}(M_{\mathfrak p'}) \geq s\)。特别地， \(\mathfrak p'\) 属于 \(M\) 的支集，并且可以选择 \(\mathfrak p'' \subset \mathfrak p'\)，使 \(\mathfrak p'' \in \text{Ass}(M)\)。

注意 \(\dim((A/\mathfrak p'')_{\mathfrak p'}) \geq \text{depth}(M_{\mathfrak p'})\) ，这是《代数》，引理 0BK4 的结论。若等号成立，则 \[\text{depth}(M_{\mathfrak p'}) + \dim((A/\mathfrak p')_{\mathfrak q'}) = \text{depth}(M_{\mathfrak p''}) + \dim((A/\mathfrak p'')_{\mathfrak q'}) > s + d\] ；这是把 (4) 应用于 \(\mathfrak p''\) 所得，故这一情形完成。这意味着，只有当 \(\dim((A/\mathfrak p'')_{\mathfrak p'}) > \text{depth}(M_{\mathfrak p'})\). 时才有困难。这蕴含 \(\dim(M_\mathfrak p) \geq s + 2\)。因此，若 (5)(a) 成立，就不会出现这种情形。

若 (5)(b) 成立，则 \[\text{depth}(M_{\mathfrak p'}) + \dim((A/\mathfrak p')_{\mathfrak q'}) \geq s + \delta(\mathfrak p') - \delta(\mathfrak q') \geq s + 1 + \delta(\mathfrak p) - \delta_{max} > s + d\] ，如所需。

若 (5)(c) 成立，则 \[\begin{align*} \text{depth}(M_{\mathfrak p'}) + \dim((A/\mathfrak p')_{\mathfrak q'}) & \geq s + \delta(\mathfrak p') - \delta(\mathfrak q') \\ & \geq s + 1 + \delta(\mathfrak p) - \delta(\mathfrak q') \\ & = s + 1 + \delta(\mathfrak p) - \delta(\mathfrak q) + \delta(\mathfrak q) - \delta(\mathfrak q') \\ & > s + 1 + (s + d + \delta_{max} - \delta_{min} - 2) + \delta(\mathfrak q) - \delta(\mathfrak q') \\ & \geq 2s + d - 1 \geq s + d \end{align*}\] ，如所需。注意，这一论证成立是因为我们知道存在素理想 \(\mathfrak q \in V(\mathfrak p) \cap V(J) \cap V(I)\)。

现在可以进行归纳步骤。

选择理想 \(J_0\)，如引理 0EFI 中所述，并选择整数 \(t > 0\)，使 \((J_0I)^t\) 零化 \(H^s_J(M)\)。引理 0EFH 的假设对每个 \(\mathfrak p \in \text{Ass}(M)\) 都成立（见上一段）。因此，零化理想 \(\mathfrak a \subset A\)（它零化 \(H^s(R\Gamma_J(M)^\wedge)\)）不包含于 \(\mathfrak p\)，其中 \(\mathfrak p \in \text{Ass}(M)\)。于是可以找到 \(f \in \mathfrak a(J_0I)^t\)，它不属于 \(M\) 的任何相伴素理想，并且同时零化 \(H^s(R\Gamma_J(M)^\wedge)\) 与 \(H^s_J(M)\)。于是 \(f\) 是 \(M\) 上的非零因子，可以考察短正合列 \[0 \to M \xrightarrow{f} M \to M/fM \to 0\] 由 \(f\) 的选择，得到 \[\xymatrix{ H^{s - 1}_{J'}(M) \ar[d] \ar[r] & H^{s - 1}_{J'}(M/fM) \ar[d] \ar[r] & H^s_{J'}(M) \ar[d] \ar[r] & 0 \\ H^{s - 1}(R\Gamma_J(M)^\wedge) \ar[r] & H^{s - 1}(R\Gamma_J(M/fM)^\wedge) \ar[r] & H^s(R\Gamma_J(M)^\wedge) \ar[r] & 0 }\] ，其中 \(J' \subset J_0\) 任意，并满足 \(V(J') \cap V(I) = V(J) \cap V(I)\)。因此，若选择 \(J'\)，使它对 \(M\)、\(M/fM\) 和 \(s - 1\) 都适用（由归纳假设可以做到——见下一段），便可得出引理成立。

为完成证明，须说明模 \(M/fM\) 对 \(s - 1\) 满足假设 (4) 与 (5)。因此，设 \(\mathfrak p\) 是 \(M/fM\) 支集中的素理想，满足 \(\text{depth}((M/fM)_\mathfrak p) < s - 1\)，并且 \(V(\mathfrak p) \cap V(J) \cap V(I)\) 非空。于是 \(\dim(M_\mathfrak p) = \dim((M/fM)_\mathfrak p) + 1\)，并且 \(\text{depth}(M_\mathfrak p) = \text{depth}((M/fM)_\mathfrak p) + 1\)。特别地，我们知道 (4) 与 (5) 对 \(\mathfrak p\) 和 \(M\) 在原来的值 \(s\) 下成立。逐项检验即可得到所需不等式。

例

在引理 0EFL 中，我们不知道逆系统 \(H^i_J(M/I^nM)\) 是否满足 Mittag–Leffler 条件。例如，假设 \(A = \mathbf{Z}_p[[x, y]]\)、\(I = (p)\)、 \(J = (p, x)\) 且 \(M = A/(xy - p)\)。则映射 \(H^0_J(M/p^nM) \to H^0_J(M/pM)\) 的像是由 \(y^n\) 生成的理想；该理想位于 \(M/pM = A/(p, xy)\) 中。

局部上同调的代数化，II

本节重新给出 0EFF 节的论证；此时 \((A, \mathfrak m)\) 是局部环，并取局部上同调 \(R\Gamma_\mathfrak m\)，它关于 \(\mathfrak m\) 定义。与前面一样，主要工具是下面的引理。

引理

设 \((A, \mathfrak m)\) 是诺特局部环。设 \(I \subset A\) 是理想。设 \(M\) 是有限 \(A\)-模，\(\mathfrak p \subset A\) 是素理想。设 \(s\) 与 \(d\) 是整数。假设

\(A\) 有对偶化复形，

\(\text{cd}(A, I) \leq d\)，并且

\(\text{depth}_{A_\mathfrak p}(M_\mathfrak p) + \dim(A/\mathfrak p) > d + s\).

则存在 \(f \in A \setminus \mathfrak p\)，它零化 \(H^i(R\Gamma_\mathfrak m(M)^\wedge)\)，其中 \(i \leq s\)；这里 \({}^\wedge\) 表示 \(I\)-进完备化。

证明

根据《局部上同调》，引理 0DWZ，函数 \[\mathfrak p' \longmapsto \text{depth}_{A_{\mathfrak p'}}(M_{\mathfrak p'}) + \dim(A/\mathfrak p')\] 在 \(\Spec(A)\) 上下半连续。因此，该函数在 \(\mathfrak p' \subset \mathfrak p\) 上的值为 \(> s + d\)。所以，本引理是引理 0EFH 的特殊情形，只要 \(\mathfrak p \not = \mathfrak m\)。若 \(\mathfrak p = \mathfrak m\)，则由深度与局部上同调的关系， \(H^i_\mathfrak m(M) = 0\) 对 \(i \leq s + d\) 成立（《对偶化复形》，引理 0AVZ）。因此，引理 0EFH 证明中的论证表明，在这个（退化）情形中 \(H^i(R\Gamma_\mathfrak m(M)^\wedge) = 0\) 对 \(i \leq s\) 成立。

引理

设 \((A, \mathfrak m)\) 是诺特局部环。设 \(I \subset A\) 是理想。设 \(M\) 是有限 \(A\)-模。设 \(s\) 与 \(d\) 是整数。假设

\(A\) 有对偶化复形，

若 \(\mathfrak p \in V(I)\)，则不加条件，

若 \(\mathfrak p \not \in V(I)\) 且 \(V(\mathfrak p) \cap V(I) = \{\mathfrak m\}\)，则 \(\dim(A/\mathfrak p) \leq d\),

若 \(\mathfrak p \not \in V(I)\) 且 \(V(\mathfrak p) \cap V(I) \not = \{\mathfrak m\}\)，则 \[\text{depth}_{A_\mathfrak p}(M_\mathfrak p) \geq s \quad\text{或}\quad \text{depth}_{A_\mathfrak p}(M_\mathfrak p) + \dim(A/\mathfrak p) > d + s\]

则存在理想 \(J_0 \subset A\)，满足 \(V(J_0) \cap V(I) = \{\mathfrak m\}\)，使得对任意 \(J \subset J_0\)，若 \(V(J) \cap V(I) = \{\mathfrak m\}\)，则映射 \[R\Gamma_J(M) \longrightarrow R\Gamma_{J_0}(M)\] 在次数 \(\leq s\) 的上同调上诱导同构，并且这些模被 \(J_0I\) 的某个幂零化。

证明

这是引理 0EFI 的特殊情形。

引理

在引理 0DXM 中，若把空条件 (2) 替换为假设

若 \(\mathfrak p \in V(I)\) 且 \(\mathfrak p \not = \mathfrak m\)，则 \(\text{depth}_{A_\mathfrak p}(M_\mathfrak p) + \dim(A/\mathfrak p) > s\)，

则这些条件还蕴含 \(H^i_{J_0}(M)\) 是有限 \(A\)-模，其中 \(i \leq s\)。

证明

这是引理 0EFJ 的特殊情形。

引理

若在引理 0DXM 中还假设

若 \(\mathfrak p \not \in V(I)\) 且 \(V(\mathfrak p) \cap V(I) = \{\mathfrak m\}\)，则 \(\text{depth}_{A_\mathfrak p}(M_\mathfrak p) > s\),

则 \(H^i_{J_0}(M) = H^i_J(M) = H^i_\mathfrak m(M)\) 对 \(i \leq s\) 成立，并且这些模被 \(I\) 的某个幂零化。

证明

这是引理 0EFK 的特殊情形。

引理

设 \((A, \mathfrak m)\) 是诺特局部环。设 \(I \subset A\) 是理想。设 \(M\) 是有限 \(A\)-模。设 \(s\) 与 \(d\) 是整数。假设

\(A\) 是 \(I\)-进完备的，并且有对偶化复形，

若 \(\mathfrak p \in V(I)\)，则不加条件，

\(\text{cd}(A, I) \leq d\),

若 \(\mathfrak p \not \in V(I)\) 且 \(V(\mathfrak p) \cap V(I) \not = \{\mathfrak m\}\)，则 \[\text{depth}_{A_\mathfrak p}(M_\mathfrak p) \geq s \quad\text{或}\quad \text{depth}_{A_\mathfrak p}(M_\mathfrak p) + \dim(A/\mathfrak p) > d + s\]

则存在理想 \(J_0 \subset A\)，满足 \(V(J_0) \cap V(I) = \{\mathfrak m\}\)，使得对任意 \(J \subset J_0\)，若 \(V(J) \cap V(I) = \{\mathfrak m\}\)，则映射 \[R\Gamma_J(M) \longrightarrow R\Gamma_J(M)^\wedge = R\Gamma_\mathfrak m(M)^\wedge\] 在次数 \(\leq s\) 的上同调上诱导同构。这里 \({}^\wedge\) 表示导出 \(I\)-进完备化。

证明

本引理是引理 0EFL 的特殊情形，因为在 \(\delta_{max} = \delta_{min} = \delta(\mathfrak m)\) 时，条件 (4) 蕴含条件 (5)(c)。我们仍将给出这个重要特殊情形的证明，因为它略为简单（需要检验的事项更少）。

在当前情形中，\(R\Gamma_\mathfrak a\) 与 \(R\Gamma_{V(\mathfrak a)}\) 没有区别；见《对偶化复形》，引理 0955。其次，注意 \[R\Gamma_\mathfrak m(M)^\wedge = R\Gamma_I(R\Gamma_J(M))^\wedge = R\Gamma_J(M)^\wedge\] ，这是《对偶化复形》，引理 0BJC 与 0A6W 的结论，也解释了引理陈述中的等号。

注意，引理对 \(s < 0\) 成立。这并非平凡情形，因为不能先验地看出 \(H^s(R\Gamma_\mathfrak m(M)^\wedge)\) 在负的 \(s\) 上为零。不过，这一消失已在引理 0DXJ 中证明。对于 \(s \geq 0\)，我们将用归纳法证明引理。

引理 0DXM 的假设由《局部上同调》，引理 0DXF 保证。 \(s = 0\) 时的引理由引理 0DXM 和《对偶化复形》，引理 0EEX 得出。

假设 \(s > 0\)，且引理对更小的 \(s\) 成立。设 \(M' \subset M\) 是由下述元素组成的子模：其支集包含于 \(V(I) \cup V(J)\)，其中某个理想 \(J\) 满足 \(V(J) \cap V(I) = \{\mathfrak m\}\)。则 \(M'\) 是有限 \(A\)-模。我们断言 \[R\Gamma_J(M') \to R\Gamma_\mathfrak m(M')^\wedge\] 对 \(J\) 的任意选择都是同构。事实上，对任意这样的模，都有短正合列 \(0 \to M_1 \oplus M_2 \to M' \to N \to 0\)，其中 \(M_1\) 被 \(J\) 的某个幂零化，\(M_2\) 被 \(I\) 的某个幂零化，而 \(N\) 被 \(\mathfrak m\) 的某个幂零化。对 \(M_1\)，有 \(R\Gamma_J(M_1) = M_1\)；又因为 \(M_1\) 是有限 \(A\)-模且 \(I\)-进完备，所以 \(M_1^\wedge = M_1\)。因此断言对 \(M_1\) 成立。对 \(M_2\)，\(H^i_J(M_2)\) 被 \(I\) 的某个幂零化，因而导出完备；所以断言对 \(M_2\) 也成立。对 \(N\) 可用相同论证，故断言成立。考察短正合列 \(0 \to M' \to M \to M/M' \to 0\)，可知只需对 \(M/M'\) 证明引理。因此可假设 \(\mathfrak p \in \text{Ass}(M)\) 蕴含 \(V(\mathfrak p) \cap V(I) \not = \{\mathfrak m\}\)，即 \(\mathfrak p\) 是 (4) 中所述的素理想。

选择理想 \(J_0\)，如引理 0DXM 中所述；再选择整数 \(t > 0\)，使 \((J_0I)^t\) 零化 \(H^s_J(M)\)。这里 \(J\) 表示任意理想 \(J \subset J_0\)，并满足 \(V(J) \cap V(I) = \{\mathfrak m\}\)。引理 0DXK 的假设对每个 \(\mathfrak p \in \text{Ass}(M)\) 都成立（见上一段）。因此，零化理想 \(\mathfrak a \subset A\)（它零化 \(H^s(R\Gamma_\mathfrak m(M)^\wedge)\)）不包含于 \(\mathfrak p\)，其中 \(\mathfrak p \in \text{Ass}(M)\)。于是可以找到 \(f \in \mathfrak a(J_0I)^t\)，它不属于 \(M\) 的任何相伴素理想，并且同时零化 \(H^s(R\Gamma_\mathfrak m(M)^\wedge)\) 与 \(H^s_J(M)\)。于是 \(f\) 是 \(M\) 上的非零因子，可以考察短正合列 \[0 \to M \xrightarrow{f} M \to M/fM \to 0\] 由 \(f\) 的选择，得到 \[\xymatrix{ H^{s - 1}_J(M) \ar[d] \ar[r] & H^{s - 1}_J(M/fM) \ar[d] \ar[r] & H^s_J(M) \ar[d] \ar[r] & 0 \\ H^{s - 1}(R\Gamma_\mathfrak m(M)^\wedge) \ar[r] & H^{s - 1}(R\Gamma_\mathfrak m(M/fM)^\wedge) \ar[r] & H^s(R\Gamma_\mathfrak m(M)^\wedge) \ar[r] & 0 }\] ，其中 \(J \subset J_0\) 任意，并满足 \(V(J) \cap V(I) = \{\mathfrak m\}\)。因此，若选择 \(J\)，使它对 \(M\)、\(M/fM\) 与 \(s - 1\) 都适用（由归纳假设可以做到），便可得出引理成立。

局部上同调的代数化，III

本节利用第 0EFF 节和第 0EFP 节中的材料作进一步提升，在如下情形中得到一个更强的结果。

情形

这里 \(A\) 是诺特环。给定理想 \(I \subset A\)、有限 \(A\)-模 \(M\)，以及对特殊化稳定的子集 \(T \subset V(I)\)。另给定整数 \(s\) 和 \(d\)。我们假设

\(A\) 有对偶化复形，

\(\text{cd}(A, I) \leq d\),

对任意素理想 \(\mathfrak p \subset \mathfrak r \subset \mathfrak q\)，若 \(\mathfrak p \not \in V(I)\)、 \(\mathfrak r \in V(I) \setminus T\) 且 \(\mathfrak q \in T\)，则 \[\text{depth}_{A_\mathfrak p}(M_\mathfrak p) \geq s \quad\text{或}\quad \text{depth}_{A_\mathfrak p}(M_\mathfrak p) + \dim((A/\mathfrak p)_\mathfrak q) > d + s\]

对任意 \(\mathfrak q \in T\)，以 \(A', \mathfrak m', I', M'\) 分别表示关于 \(I\) 的通常的进完备化，它们来自 \(A_\mathfrak q, \mathfrak qA_\mathfrak q, I_\mathfrak q, M_\mathfrak q\)，则 \[\text{depth}(M'_{\mathfrak p'}) > s\] 对所有 \(\mathfrak p' \in \Spec(A') \setminus V(I')\) 中满足 \(V(\mathfrak p') \cap V(I') = \{\mathfrak m'\}\) 者成立。

下面的引理说明，在情形 0EFU 中，在 (4) 中考察素理想三元组 \(\mathfrak p \subset \mathfrak r \subset \mathfrak q\) 已经足够，尽管实际的假设只涉及 \(\mathfrak p\) 和 \(\mathfrak q\)。

引理

在情形 0EFU 中，设 \(\mathfrak p \subset \mathfrak q\) 是 \(A\) 的素理想，且 \(\mathfrak p \not \in V(I)\)、 \(\mathfrak q \in T\)。若不存在满足 \(\mathfrak r \in V(I) \setminus T\) 且 \(\mathfrak p \subset \mathfrak r \subset \mathfrak q\) 的素理想，则 \(\text{depth}(M_\mathfrak p) > s\)。

证明

选取 \(\mathfrak q' \in T\)，使得 \(\mathfrak p \subset \mathfrak q' \subset \mathfrak q\)，并且 \(T\) 中不存在严格位于 \(\mathfrak p\) 与 \(\mathfrak q'\) 之间的素理想。为证明该引理，我们可以并且确实把 \(\mathfrak q\) 替换为 \(\mathfrak q'\)。接着，令 \(\mathfrak p' \subset A_\mathfrak q\) 为与 \(\mathfrak p\) 对应的素理想。由于不存在引理中所述的素理想，这样便得到 \(V(\mathfrak p') \cap V(IA_\mathfrak q) = \{\mathfrak q A_\mathfrak q\}\)；这里所用的正是这样的 \(\mathfrak r\) 不存在这一事实。令 \(A', I', \mathfrak m', M'\) 为关于 \(I\) 的进完备化，它们分别来自 \(A_\mathfrak q, I_\mathfrak q, \mathfrak qA_\mathfrak q, M_\mathfrak q\)。由于 \(A_\mathfrak q \to A'\) 忠实平坦（代数，引理 00MC），我们可以选取 \(\mathfrak p'' \subset A'\)，它位于 \(\mathfrak p'\) 之上，并使得 \(\dim(A'_{\mathfrak p''}/\mathfrak p' A'_{\mathfrak p''}) = 0\)。于是可见 \[\text{depth}(M'_{\mathfrak p''}) = \text{depth}((M_\mathfrak q \otimes_{A_\mathfrak q} A')_{\mathfrak p''}) = \text{depth}(M_\mathfrak p \otimes_{A_\mathfrak p} A'_{\mathfrak p''}) = \text{depth}(M_\mathfrak p)\] 这是由 \(A \to A'\) 的平坦性以及对 \(\mathfrak p''\) 的选取所得；参见代数，引理 0338。由于 \(\mathfrak p''\) 位于 \(\mathfrak p'\) 之上，我们有 \(V(\mathfrak p'') \cap V(I') = \{\mathfrak m'\}\)。因此，情形 0EFU 中的条件 (6) 蕴含 \(\text{depth}(M'_{\mathfrak p''}) > s\)，证明完毕。

下面这个冗长的引理说明可能施加的各组条件之间的关系。

引理

在情形 0EFU 中，有

若 \(T' \subset T\) 是更小的、对特殊化稳定的子集，则 \(A, I, T', M\) 满足情形 0EFU 的假设；

若 \(S \subset A\) 是乘法子集，则 \(S^{-1}A, S^{-1}I, T', S^{-1}M\) 满足情形 0EFU 的假设，其中 \(T' \subset V(S^{-1}I)\) 是 \(T\) 的逆像；

四元组 \(A', I', T', M'\) 满足情形 0EFU 的假设，其中 \(A', I', M'\) 是通常的 \(I\)-进完备化，它们分别来自 \(A, I, M\)，而 \(T' \subset V(I')\) 是 \(T\) 的逆像。

设 \(I \subset \mathfrak a \subset A\) 是满足 \(V(\mathfrak a) \subset T\) 的理想。则

若 \(I\) 包含于 \(A\) 的 Jacobson 根，则对于 \(A, I, \mathfrak a, M\)，引理 0EFI 和 0EFK 的全部假设均成立；

若 \(A\) 关于 \(I\) 完备，则对于 \(A, I, \mathfrak a, M\)，引理 0EFL 除可能的 (5) 外全部假设均成立；

若 \(A\) 是以 \(\mathfrak m = \mathfrak a\) 为极大理想的局部环，则对于 \(A, \mathfrak m, I, M\)，引理 0DXM 和 0EFQ 的全部假设均成立；

若 \(A\) 是以 \(\mathfrak m = \mathfrak a\) 为极大理想的局部环，且 \(I\)-进完备，则对于 \(A, \mathfrak m, I, M\)，引理 0DXP 的全部假设均成立。

证明

证明 (E)。我们须证明情形 0EFU 的假设 (1)、(3)、(4)、(6) 对 \(A, I, T, M\) 成立。把 \(T\) 缩小为 \(T'\) 会减弱假设 (6) 而加强假设 (4)。不过，若有假设 (4) 中所述的 \(\mathfrak p \subset \mathfrak r \subset \mathfrak q\)，其中 \(\mathfrak p \not \in V(I)\)、\(\mathfrak r \in V(I) \setminus T'\)、 \(\mathfrak q \in T'\)，这正是 \(A, I, T', M\) 的假设 (4)；那么要么可以选取 \(\mathfrak r \in V(I) \setminus T\)，此时可用 \(A, I, T, M\) 的条件 (4)；要么找不到这样的 \(\mathfrak r\)，此时由引理 0EID 得到 \(\text{depth}(M_\mathfrak p) > s\)。这便按要求证明了 (4) 对 \(A, I, T', M\) 成立。

证明 (F)。这是直接的，细节从略。

证明 (G)。我们须证明情形 0EFU 的假设 (1)、(3)、(4)、(6) 对 \(I\)-进完备化 \(A', I', T', M'\) 成立。请注意， \(\Spec(A') \to \Spec(A)\) 诱导同构 \(V(I') \to V(I)\)。

假设 (1)：环 \(A'\) 有对偶化复形；参见对偶化复形，引理 0BFR。

假设 (3)：由于 \(I' = IA'\)，这可由局部上同调，引理 0DXA 得出。

假设 (4)：若有素理想 \(\mathfrak p' \subset \mathfrak r' \subset \mathfrak q'\) 属于 \(A'\)，并满足 \(\mathfrak p' \not \in V(I')\)、 \(\mathfrak r' \in V(I') \setminus T'\)、 \(\mathfrak q' \in T'\)，则它们的像 \(\mathfrak p \subset \mathfrak r \subset \mathfrak q\) 位于 \(A\) 的谱中，并满足 \(\mathfrak p \not \in V(I)\)、\(\mathfrak r \in V(I) \setminus T\)、 \(\mathfrak q \in T\)。于是 \[\text{depth}_{A_\mathfrak p}(M_\mathfrak p) \geq s \quad\text{或}\quad \text{depth}_{A_\mathfrak p}(M_\mathfrak p) + \dim((A/\mathfrak p)_\mathfrak q) > d + s\] 这是由 \(A, I, T, M\) 的假设 (4) 得到的。又有 \(\text{depth}(M'_{\mathfrak p'}) \geq \text{depth}(M_\mathfrak p)\)，且 \(\text{depth}(M'_{\mathfrak p'}) + \dim((A'/\mathfrak p')_{\mathfrak q'}) = \text{depth}(M_\mathfrak p) + \dim((A/\mathfrak p)_\mathfrak q)\) 由局部上同调，引理 0EHW 可得。因此假设 (4) 对 \(A', I', T', M'\) 成立。

假设 (6)：令 \(\mathfrak q' \in T'\) 位于素理想 \(\mathfrak q \in T\) 之上。则 \(A'_{\mathfrak q'}\) 与 \(A_\mathfrak q\) 有同构的 \(I\)-进完备化， \(M_\mathfrak q\) 与 \(M'_{\mathfrak q'}\) 也同样如此。因此，\(A', I', T', M'\) 的假设 (6) 等价于 \(A, I, T, M\) 的假设 (6)。

证明 (A)。我们须对 \((A, I, \mathfrak a, M)\) 检验引理 0EFI 和 0EFK 的条件 (1)、(2)、(3)、(4)、(6)。注意：这些引理陈述中的集合 \(T\) 与上面的集合 \(T\) 不同。

条件 (1)：成立，因为我们在情形 0EFU 中假设了 \(A\) 有对偶化复形。

条件 (2)：此条件无内容。

条件 (3)：设 \(\mathfrak p \subset A\) 满足 \(V(\mathfrak p) \cap V(I) \subset V(\mathfrak a)\)。由于 \(I\) 包含于 \(A\) 的 Jacobson 根，可见 \(V(\mathfrak p) \cap V(I) \not = \emptyset\)。令 \(\mathfrak q \in V(\mathfrak p) \cap V(I)\) 为一个一般点。由于 \(\text{cd}(A_\mathfrak q, I_\mathfrak q) \leq d\) （局部上同调，引理 0DXB），并且 \(V(\mathfrak p A_\mathfrak q) \cap V(I_\mathfrak q) = \{\mathfrak q A_\mathfrak q\}\)，由局部上同调，引理 0DXF 得到 \(\dim((A/\mathfrak p)_\mathfrak q) \leq d\)，从而证明 (3)。

条件 (4)：设 \(\mathfrak p \not \in V(I)\) 且 \(\mathfrak q \in V(\mathfrak p) \cap V(\mathfrak a)\)。只须证明 \[\text{depth}_{A_\mathfrak p}(M_\mathfrak p) \geq s \quad\text{或}\quad \text{depth}_{A_\mathfrak p}(M_\mathfrak p) + \dim((A/\mathfrak p)_\mathfrak q) > d + s\] 若存在素理想 \(\mathfrak p \subset \mathfrak r \subset \mathfrak q\)，其中 \(\mathfrak r \in V(I) \setminus T\)，则这立即由情形 0EFU 中的假设 (4) 得出。若不存在，则由引理 0EID 有 \(\text{depth}(M_\mathfrak p) > s\)。

条件 (6)：设 \(\mathfrak p \not \in V(I)\) 满足 \(V(\mathfrak p) \cap V(I) \subset V(\mathfrak a)\)。由于 \(I\) 包含于 \(A\) 的 Jacobson 根，可见 \(V(\mathfrak p) \cap V(I) \not = \emptyset\)。选取 \(\mathfrak q \in V(\mathfrak p) \cap V(I) \subset V(\mathfrak a)\)。显然不存在素理想 \(\mathfrak p \subset \mathfrak r \subset \mathfrak q\)，使得 \(\mathfrak r \in V(I) \setminus T\)。由引理 0EID 有 \(\text{depth}(M_\mathfrak p) > s\)，这证明了 (6)。

证明 (B)。我们须检验引理 0EFL 的条件 (1)、(2)、(3)、(4)。注意：该引理陈述中的集合 \(T\) 与上面的集合 \(T\) 不同。

条件 (1)：成立，因为 \(A\) 完备且有对偶化复形。

条件 (2)：此条件无内容。

条件 (3)：这与情形 0EFU 中的假设 (3) 相同。

条件 (4)：这与引理 0EFI 中的假设 (4) 相同，而我们已在 (A) 中证明了后者。

证明 (C)。这是因为引理 0DXM 和 0EFQ 中的假设，与引理 0EFI 和 0EFK 在局部情形下的假设相同，而我们已在 (A) 中证明了这些假设成立。

证明 (D)。这是因为引理 0DXP 中的假设，与引理 0EFL 中的假设 (1)、(2)、(3)、(4) 相同，而我们已在 (B) 中证明了这些假设成立。

引理

在情形 0EFU 中，假设 \(A\) 是以 \(\mathfrak m\) 为极大理想的局部环，并且 \(T = \{\mathfrak m\}\)。则 \(H^i_\mathfrak m(M) \to \lim H^i_\mathfrak m(M/I^nM)\) 在 \(i \leq s\) 时为同构，并且这些模都被 \(I\) 的某个幂零化。

证明

令 \(A', I', \mathfrak m', M'\) 为通常的 \(I\)-进完备化，分别来自 \(A, I, \mathfrak m, M\)。回忆我们有 \(H^i_\mathfrak m(M) \otimes_A A' = H^i_{\mathfrak m'}(M')\) 这是由 \(A \to A'\) 的平坦性以及对偶化复形，引理 0ALZ 得到的。由于 \(H^i_\mathfrak m(M)\) 是 \(\mathfrak m\)-幂挠模，故有 \(H^i_\mathfrak m(M) = H^i_\mathfrak m(M) \otimes_A A'\)；参见代数进阶，引理 05EC。由此得到 \(H^i_\mathfrak m(M) = H^i_{\mathfrak m'}(M')\)。完全相同的论证表明 \(H^i_\mathfrak m(M/I^nM) = H^i_{\mathfrak m'}(M'/(I')^nM')\) 对所有 \(n\) 和 \(i\) 成立。

由引理 0DXP、 0DXM 和 0EFQ 以及引理 0EFV 的 (C)、(D) 部分，上述引理适用于 \(A', \mathfrak m', I', M'\)。因此得到同构 \[H^i_{\mathfrak m'}(M') \longrightarrow H^i(R\Gamma_{\mathfrak m'}(M')^\wedge)\] 其中 \(i \leq s\)，而 \({}^\wedge\) 表示导出 \(I'\)-进完备化；这些模都被 \(I'\) 的某个幂零化。由引理 0DXJ 得到同构 \[H^i_{\mathfrak m'}(M') \longrightarrow \lim H^i_{\mathfrak m'}(M'/(I')^nM'))\] 其中 \(i \leq s\)。结合已经建立的与 \(A\) 上局部上同调的比较，便得出该引理。

引理

设 \(I \subset \mathfrak a\) 是诺特环 \(A\) 的理想。设 \(M\) 是有限 \(A\)-模，并设 \(s\) 和 \(d\) 为整数。若假设

\(A\) 有对偶化复形；

\(\text{cd}(A, I) \leq d\),

若 \(\mathfrak p \not \in V(I)\) 且 \(\mathfrak q \in V(\mathfrak p) \cap V(\mathfrak a)\)，则 \(\text{depth}_{A_\mathfrak p}(M_\mathfrak p) > s\)，或 \(\text{depth}_{A_\mathfrak p}(M_\mathfrak p) + \dim((A/\mathfrak p)_\mathfrak q) > d + s\).

则 \(A, I, V(\mathfrak a), M, s, d\) 满足情形 0EFU 的条件。

证明

我们须证明情形 0EFU 的假设 (1)、(3)、(4)、(6) 成立。显然 (a) \(\Rightarrow\) (1)、 (b) \(\Rightarrow\) (3)，且 (c) \(\Rightarrow\) (4)。为完成证明，下一段证明 (6) 成立。

设 \(\mathfrak q \in V(\mathfrak a)\)。用 \(A', I', \mathfrak m', M'\) 表示关于 \(I\) 的进完备化，它们分别来自 \(A_\mathfrak q, I_\mathfrak q, \mathfrak qA_\mathfrak q, M_\mathfrak q\)。设 \(\mathfrak p' \subset A'\) 是满足 \(V(\mathfrak p') \cap V(I') = \{\mathfrak m'\}\) 的非极大素理想。由局部上同调，引理 0DXF，注意到这蕴含 \(\dim(A'/\mathfrak p') \leq d\)。记 \(\mathfrak p \subset A\) 为 \(\mathfrak p'\) 的像。我们有 \(\text{depth}(M'_{\mathfrak p'}) \geq \text{depth}(M_\mathfrak p)\)，且 \(\text{depth}(M'_{\mathfrak p'}) + \dim(A'/\mathfrak p') = \text{depth}(M_\mathfrak p) + \dim((A/\mathfrak p)_\mathfrak q)\) 这是由局部上同调，引理 0EHW 得到的。由假设 (c)，要么有 \(\text{depth}(M'_{\mathfrak p'}) \geq \text{depth}(M_\mathfrak p) > s\) 而结论已经得到；要么有 \(\text{depth}(M'_{\mathfrak p'}) + \dim(A'/\mathfrak p') > s + d\)，结合已经证明的不等式，便蕴含 \(\text{depth}(M'_{\mathfrak p'}) > s\)，因为 \(\dim(A'/\mathfrak p') \leq d\)。两种情形都得到所需结论。

引理

在情形 0EFU 中，逆系统 \(\{H^i_T(I^nM)\}_{n \geq 0}\) 在 \(i \leq s\) 时为 pro-零。此外，存在整数 \(m_0\)，使得对所有 \(m \geq m_0\)，都存在整数 \(m'(m) \geq m\)，满足：当 \(k \geq m'(m)\) 时，映射 \(H^{s + 1}_T(I^kM) \to H^{s + 1}_T(I^mM)\) 的像单射映入 \(H^{s + 1}_T(I^{m_0}M)\)。

证明

固定 \(m\)。设 \(\mathfrak q \in T\)。由引理 0EFV 和 0EFR 可知 \[H^i_\mathfrak q(M_\mathfrak q) \longrightarrow \lim H^i_\mathfrak q(M_\mathfrak q/I^nM_\mathfrak q)\] 在 \(i \leq s\) 时为同构。逆系统 \(\{H^i_\mathfrak q(I^nM_\mathfrak q)\}_{n \geq 0}\) 和 \(\{H^i_\mathfrak q(M/I^nM)\}_{n \geq 0}\) 对所有 \(i\) 都满足 Mittag-Leffler 条件；参见引理 0DX1。因此，考察如下长正合序列组成的逆系统： \[0 \to H^0_\mathfrak q(I^nM_\mathfrak q) \to H^0_\mathfrak q(M_\mathfrak q) \to H^0_\mathfrak q(M_\mathfrak q/I^nM_\mathfrak q) \to H^1_\mathfrak q(I^nM_\mathfrak q) \to H^1_\mathfrak q(M_\mathfrak q) \to \ldots\] 可得（略去一些细节）：存在整数 \(m'(m, \mathfrak q) \geq m\)，使得对所有 \(k \geq m'(m, \mathfrak q)\)，映射 \(H^i_\mathfrak q(I^kM_\mathfrak q) \to H^i_\mathfrak q(I^mM_\mathfrak q)\) 在 \(i \leq s\) 时为零，并且映射 \(H^{s + 1}_\mathfrak q(I^kM_\mathfrak q) \to H^{s + 1}_\mathfrak q(I^mM_\mathfrak q)\) 的像与 \(k \geq m'(m, \mathfrak q)\) 的选取无关，并单射映入 \(H^{s + 1}_\mathfrak q(M_\mathfrak q)\)。

假设能够证明 \(m'(m, \mathfrak q)\) 的选取与 \(\mathfrak q \in T\) 无关。那么该引理立即由局部上同调，引理 0EF9 和 0EFA.

设 \(\omega_A^\bullet\) 为对偶化复形。令 \(\delta : \Spec(A) \to \mathbf{Z}\) 为相应的维数函数。回忆 \(\delta\) 只取有限多个值；参见对偶化复形，引理 0A80。断言：对每个 \(d \in \mathbf{Z}\)，整数 \(m'(m, \mathfrak q)\) 可以选得与满足 \(\mathfrak q \in T\) 且 \(\delta(\mathfrak q) = d\) 的素理想无关。由上面的论述，该断言显然蕴含引理。

选取 \(\mathfrak q \in T\)，使得 \(\delta(\mathfrak q) = d\)。考察 Ext 模 \[E(n, j) = \text{Ext}^j_A(I^nM, \omega_A^\bullet)\] 我们将用到的一个关键性质是：这些都是有限 \(A\)-模。由与对偶化复形相伴的维数函数之定义，回忆 \((\omega_A^\bullet)_\mathfrak q[-d]\) 是 \(A_\mathfrak q\) 的规范化对偶化复形；参见对偶化复形，第 0A7W 节。局部对偶定理（对偶化复形，引理 0AAK）告诉我们， \(\mathfrak qA_\mathfrak q\)-进完备化后的 \(E(n, -d - i)_\mathfrak q\) 与 \(H^i_\mathfrak q(I^nM_\mathfrak q)\) Matlis 对偶。因此，第一段中对 \(m'(m, \mathfrak q)\) 的选取（其中 \(i \leq s\)）说明：当 \(k \geq m'(m, \mathfrak q)\) 且 \(j \geq -d - s\) 时，映射 \[E(m, j)_\mathfrak q \to E(k, j)_\mathfrak q\] 为零。由于这些模是有限的，并且只对有限多个可能的 \(j\) 非零（略去一个小细节），我们可以找到开邻域 \(W \subset \Spec(A)\)，它包含 \(\mathfrak q\)，并使得 \[E(m, j)_{\mathfrak q'} \to E(m'(m, \mathfrak q), j)_{\mathfrak q'}\] 在 \(j \geq -d - s\) 时，对所有 \(\mathfrak q' \in W\) 均为零。于是当然，映射 \(E(m, j)_{\mathfrak q'} \to E(k, j)_{\mathfrak q'}\) 对 \(k \geq m'(m, \mathfrak q)\) 也为零。

对于 \(i = s + 1\)，它对应于 \(j = - d - s - 1\)，由局部对偶和第一段的结果可得 \[K_{k, \mathfrak q} = \Ker(E(m, -d - s - 1)_\mathfrak q \to E(k, -d - s - 1)_\mathfrak q)\] 与 \(k \geq m'(m, \mathfrak q)\) 无关，并且 \[E(0, -d - s - 1)_\mathfrak q \to E(m, -d - s - 1)_\mathfrak q/K_{m'(m, \mathfrak q), \mathfrak q}\] 为满射。对 \(k \geq m'(m, \mathfrak q)\)，令 \[K_k = \Ker(E(m, -d - s - 1) \to E(k, -d - s - 1))\] 由于 \(K_k\) 是有限模 \(E(m, -d - s - 1)\) 的递增子模序列，可见在稍微增大 \(m'(m, \mathfrak q)\) 后，我们可以假设 \(K_{m'(m, \mathfrak q)} = K_k\) 对 \(k \geq m'(m, \mathfrak q)\) 成立。必要时进一步缩小 \(W\)，还可假设 \[E(0, -d - s - 1)_{\mathfrak q'} \to E(m, -d - s - 1)_{\mathfrak q'}/K_{m'(m, \mathfrak q), \mathfrak q'}\] 对所有 \(\mathfrak q' \in W\) 都为满射（与前面一样，使用这些模的有限性，以及该映射在 \(\mathfrak q\) 处局部化后为满射）。

任意子集，特别是 \(T_d = \{\mathfrak q \in T \text{ 其中 }\delta(\mathfrak q) = d\}\), 作为赋予子空间拓扑的诺特拓扑空间 \(\Spec(A)\) 的子集，仍是诺特的，因而是拟紧的。上面已经看到，对每个 \(\mathfrak q \in T_d\)，都存在开邻域 \(W\)，使得 \(m'(m, \mathfrak q)\) 对所有 \(\mathfrak q' \in T_d \cap W\) 都适用。由此可知，可以找到整数 \(m'(m, d)\)，使得对所有 \(\mathfrak q \in T_d\) 都有 \[E(m, j)_\mathfrak q \to E(m'(m, d), j)_\mathfrak q\] 在 \(j \geq -d - s\) 时为零；并且令 \(K_{m'(m, d)} = \Ker(E(m, -d - s - 1) \to E(m'(m, d), -d - s - 1))\) 后，有 \[K_{m'(m, d), \mathfrak q} = \Ker(E(m, -d - s - 1)_{\mathfrak q} \to E(k, -d - s - 1)_{\mathfrak q})\] 对所有 \(k \geq m'(m, d)\) 成立，并且映射 \[E(0, -d - s - 1)_\mathfrak q \to E(m, -d - s - 1)_\mathfrak q/K_{m'(m, d), \mathfrak q}\] 为满射。再次反向使用局部对偶定理，可得该断言成立。证明完毕。

引理

在情形 0EFU 中，存在整数 \(m_0 \geq 0\)，使得

\(H^i_T(M) \to H^i_T(M/I^nM)\) 对所有 \(i \leq s\) 及 \(n \geq m_0\) 都是单射；

\(\{H^i_T(M/I^nM)\}_{n \geq 0}\) 在 \(i < s\) 时满足 Mittag-Leffler 条件；

\(\{H^i_T(I^{m_0}M/I^nM)\}_{n \geq m_0}\) 在 \(i \leq s\) 时满足 Mittag-Leffler 条件；

\(H^i_T(M) \to \lim H^i_T(M/I^nM)\) 在 \(i < s\) 时为同构；

\(H^s_T(I^{m_0}M) \to \lim H^s_T(I^{m_0}M/I^nM)\) 在 \(i \leq s\) 时为同构；

\(H^s_T(M) \to \lim H^s_T(M/I^nM)\) 为单射，且其余核被 \(I^{m_0}\) 零化；

\(R^1\lim H^s_T(M/I^nM)\) 被 \(I^{m_0}\) 零化。

证明

为证明 (1)，设 \(0 \leq i \leq s\)，并选取整数 \(m > n > 0\)，使得 \(H^i_T(I^mM) \to H^i_T(I^nM)\) 为零；由引理 0EFX 可以这样选取。考察各行正合的交换图 \[\xymatrix{ H^i_T(I^nM) \ar[r] & H^i_T(M) \ar[r] & H^i_T(M/I^nM) \\ H^i_T(I^mM) \ar[r] \ar[u]^0 & H^i_T(M) \ar[r] \ar[u]^1 & H^i_T(M/I^mM) \ar[u] \\ }\] 该图表明映射 \(H^i_T(M) \to H^i_T(M/I^mM)\) 为单射。因此，对任意充分大的 \(m_0\)，(1) 成立。

考察长正合序列 \[0 \to H^0_T(I^nM) \to H^0_T(M) \to H^0_T(M/I^nM) \to H^1_T(I^nM) \to H^1_T(M) \to \ldots\] 由此及引理 0EFX 得到 (2) 和 (4)。

令 \(m_0\) 和 \(m'(-)\) 如引理 0EFX 中所述。对 \(m \geq m_0\)，考察长正合序列 \[H^s_T(I^mM) \to H^s_T(I^{m_0}M) \to H^s_T(I^{m_0}M/I^mM) \to H^{s + 1}_T(I^mM) \to H^1_T(I^{m_0}M)\] 于是，对 \(k \geq m'(m)\)，映射 \(H^{s + 1}_T(I^kM) \to H^{s + 1}_T(I^mM)\) 的像单射映入 \(H^{s + 1}_T(I^{m_0}M)\)。因此，映射 \(H^s_T(I^{m_0}M/I^kM) \to H^s_T(I^{m_0}M/I^mM)\) 的像映为 \(H^{s + 1}_T(I^mM)\) 中的零；这对所有 \(k \geq m'(m)\) 成立。由此得到 (3) 和 (5)。

考察短正合序列 \(0 \to I^{m_0}M \to M \to M/I^{m_0} M \to 0\) 和 \(0 \to I^{m_0}M/I^nM \to M/I^nM \to M/I^{m_0} M \to 0\). 由此得到图表 \[\xymatrix{ H^{s - 1}_T(M/I^{m_0}M) \ar[r] & \lim H^s_T(I^{m_0}M/I^nM) \ar[r] & \lim H^s_T(M/I^nM) \ar[r] & H^s_T(M/I^{m_0}M) \\ H^{s - 1}_T(M/I^{m_0}M) \ar[r] \ar@{=}[u] & H^s_T(I^{m_0}M) \ar[r] \ar[u]_{\cong} & H^s_T(M) \ar[r] \ar[u] & H^s_T(M/I^{m_0}M) \ar@{=}[u] }\] 其下行正合。由同调，引理 070B，上行在中间两处也正合。由此得到 (6)。

记 \(B_n = H^s_T(M/I^nM)\)。令 \(A_n \subset B_n\) 为映射 \(H^s_T(I^{m_0}M/I^nM) \to H^s_T(M/I^nM)\) 的像。由 (3) 和同调，引理 02N1， \((A_n)\) 满足 Mittag-Leffler 条件。又有 \(C_n = B_n/A_n\) 被 \(I^{m_0}\) 零化。因此 \(R^1\lim B_n \cong R^1\lim C_n\) 被 \(I^{m_0}\) 零化，从而得到 (7)。

定理

在情形 0EFU 中，对 \(i \leq s\)，逆系统 \(\{H^i_T(M/I^nM)\}_{n \geq 0}\) 本质上常值，其值为 \(H^i_T(M)\)。特别地，\(\{H^i_T(M/I^nM)\}_{n \geq 0}\) 满足 Mittag-Leffler 条件， \(H^i_T(M)\) 被 \(I\) 的某个幂零化，并且 \(H^i_T(M) = \lim H^i_T(M/I^nM)\).

证明

设 \(0 \leq i \leq s\)。若能证明 \(\{H^i_T(M/I^nM)\}_{n \geq 0}\) 满足 Mittag-Leffler 条件并且 \(H^i_T(M) = \lim H^i_T(M/I^nM)\)，那么引理 0EFY 中证明的映射 \(H^i_T(M) \to H^i_T(M/I^nM)\) 在 \(n \gg 0\) 时的单射性将蕴含： \(\{H^i_T(M/I^nM)\}_{n \geq 0}\) 本质上常值，其值为 \(H^i_T(M)\)。略去一个小细节。

由引理 0EFY，我们已经知道 \(\{H^i_T(M/I^nM)\}_{n \geq 0}\) 满足 Mittag-Leffler 条件，并且 \(H^i_T(M) = \lim H^i_T(M/I^nM)\) 对 \(i < s\) 成立。我们还知道，对 \(i = s\) 以及模 \(I^{m_0}M\)，这些陈述成立，其中某个 \(m_0 > 0\)。为完成证明，我们将说明事实上这些关于 \(i = s\) 的断言对 \(M\) 也成立。

令 \(M' = H^0_I(M)\) 且 \(M'' = M/M'\)，从而有短正合序列 \[0 \to M' \to M \to M'' \to 0\] 并且由对偶化复形，引理 0AW0， \(M''\) 满足 \(H^0_I(M') = 0\)。由 Artin–Rees（代数，引理 00IN），得到短正合序列 \[0 \to M' \to M/I^n M \to M''/I^n M'' \to 0\] 对充分大的 \(n\) 成立。考察长正合序列 \[H^s_T(M') \to H^s_T(M/I^nM) \to H^s_T(M''/I^nM'') \to H^{s + 1}_T(M')\] 现在容易看出，若逆系统 \(\{H^s_T(M''/I^nM'')\}_{n \geq 0}\) 满足 Mittag-Leffler 条件，则逆系统 \(\{H^s_T(M/I^nM)\}_{n \geq 0}\) 也满足 Mittag-Leffler 条件。（注意，群的逆系统 \(G_n\) 是否满足 ML 条件，只取决于该逆系统在充分大的 \(n\) 处的值。）此外，序列 \[H^s_T(M') \to \lim H^s_T(M/I^nM) \to \lim H^s_T(M''/I^nM'') \to H^{s + 1}_T(M')\] 是正合的，因为在所需位置满足 ML 条件；参见同调，引理 070B。因此，若 \(H^s_T(M'') \to \lim H^s_T(M''/I^nM'')\) 为同构，则 \(H^s_T(M) \to \lim H^s_T(M/I^nM)\) 由五引理也为同构（同调，引理 05QB）。于是归结为下一段讨论的情形。

假设 \(H^0_I(M) = 0\)。选取生成元 \(f_1, \ldots, f_r\) 来生成 \(I^{m_0}\)，其中 \(m_0\) 是引理 0EFY 中为 \(M\) 找到的整数。考察正合序列 \[0 \to M \xrightarrow{f_1, \ldots, f_r} (I^{m_0}M)^{\oplus r} \to Q \to 0\] 并以此定义 \(Q\)。作几点观察：第一个映射为单射，恰恰是因为 \(H^0_I(M) = 0\)。该单射的余核 \(Q\) 是有限 \(A\)-模，并且对每个 \(1 \leq j \leq r\) 都有 \(Q_{f_j} \cong (M_{f_j})^{\oplus r - 1}\)。特别地，对素理想 \(\mathfrak p \subset A\)，若 \(\mathfrak p \not \in V(I)\)，则有 \(Q_\mathfrak p \cong (M_\mathfrak p)^{\oplus r - 1}\)。类似地，给定 \(\mathfrak q \in T\) 和 \(\mathfrak p' \subset A' = (A_\mathfrak q)^\wedge\)，其不包含于 \(V(IA')\)，则有 \(Q'_{\mathfrak p'} \cong (M'_{\mathfrak p'})^{\oplus r - 1}\)，其中 \(Q' = (Q_\mathfrak q)^\wedge\) 且 \(M' = (M_\mathfrak q)^\wedge\)。因此，情形 0EFU 中的条件对 \(A, I, T, Q\) 成立。（注意，\(Q\) 可能有非零的 \(H^0_I(Q)\)，但这无关紧要。）

对任意 \(n \geq 0\)，令 \(F^nM = M \cap I^n(I^{m_0}M)^{\oplus r}\)，从而得到短正合序列 \[0 \to F^nM \to I^n(I^{m_0}M)^{\oplus r} \to I^nQ \to 0\] 由 Artin–Rees（代数，引理 00IN），存在 \(c \geq 0\)，使得 \(I^n M \subset F^nM \subset I^{n - c}M\) 对所有 \(n \geq c\) 成立。令 \(m_0\) 为整数，并令 \(m'(m)\) 为对 \(m \geq m_0\) 定义的函数；它们来自将引理 0EFX 应用于 \(M\) 的结果。注意，整数 \(m_0\) 与我们上面选取的整数 \(m_0\) 相同（无须核验这一点：也可以直接取两个整数的最大值）。最后，将引理 0EFX 应用于 \(Q\) 可知，对每个整数 \(m\)，都存在整数 \(m''(m) \geq m\)，使得 \(H^s_T(I^kQ) \to H^s_T(I^mQ)\) 对所有 \(k \geq m''(m)\) 都为零。

固定 \(m \geq m_0\)。选取 \(k \geq m'(m''(m + c))\)。选取 \(\xi \in H^{s + 1}_T(I^kM)\)，使其在 \(H^{s + 1}_T(M)\) 中的像为零。我们要证明 \(\xi\) 在 \(H^{s + 1}_T(I^mM)\) 中的像为零。这将完全如引理 0EFY 的证明那样说明 \(\{H^s_T(M/I^nM)\}_{n \geq 0}\) 满足 Mittag-Leffler 条件。下面的图有助于直观理解该论证： \[\xymatrix{ & H^{s + 1}_T(I^kM) \ar[r] \ar[d] & H^{s + 1}_T(I^k(I^{m_0}M)^{\oplus r}) \ar[d] & \\ H^s_T(I^{m''(m + c)}Q) \ar[r]_-\delta \ar[d] & H^{s + 1}_T(F^{m''(m + c)}M) \ar[r] \ar[d] & H^{s + 1}_T(I^{m''(m + c)}(I^{m_0}M)^{\oplus r}) \\ H^s_T(I^{m + c}Q) \ar[r] & H^{s + 1}_T(F^{m + c}M) \ar[d] & \\ & H^{s + 1}_T(I^mM) }\] \(\xi\) 在 \(H^{s + 1}_T(I^k(I^{m_0}M)^{\oplus r})\) 中的像映为 \(H^{s + 1}_T((I^{m_0}M)^{\oplus r})\) 中的零，因而它也映为 \(H^{s + 1}_T(I^{m''(m + c)}(I^{m_0}M)^{\oplus r})\) 中的零，这是由 \(m'(-)\) 的选取得到的。因此，像 \(\xi' \in H^{s + 1}_T(F^{m''(m + c)}M)\) 映为 \(H^{s + 1}_T(I^{m''(m + c)}(I^{m_0}M)^{\oplus r})\) 中的零，从而有 \(\xi' = \delta(\eta)\)，其中某个 \(\eta \in H^s_T(I^{m''(m + c)}Q)\)。由对 \(m''(-)\) 的选取可知，\(\eta\) 在 \(H^s_T(I^{m + c}Q)\) 中的像为零。这又意味着 \(\xi'\) 在 \(H^{s + 1}_T(F^{m + c}M)\) 中的像为零。由于 \(F^{m + c}M \subset I^mM\)，结论成立。

最后证明关于极限的陈述。考察短正合序列 \[0 \to M/F^nM \to (I^{m_0}M)^{\oplus r}/I^n (I^{m_0}M)^{\oplus r} \to Q/I^nQ \to 0\] 由于这些逆系统 pro-同构，我们有 \(\lim H^s_T(M/I^nM) = \lim H^s_T(M/F^nM)\)。得到交换图 \[\xymatrix{ H^{s - 1}_T(Q) \ar[r] \ar[d] & \lim H^{s - 1}_T(Q/I^nQ) \ar[d] \\ H^s_T(M) \ar[r] \ar[d] & \lim H^s_T(M/I^nM) \ar[d] \\ H^s_T((I^{m_0}M)^{\oplus r}) \ar[r] \ar[d] & \lim H^s_T((I^{m_0}M)^{\oplus r}/I^n(I^{m_0}M)^{\oplus r}) \ar[d] \\ H^s_T(Q) \ar[r] & \lim H^s_T(Q/I^nQ) }\] 右列正合，因为在所需位置满足 ML 条件；参见同调，引理 070B。由引理 0EFY 的 (6)，最下面的水平箭头为单射（！）。由引理 0EFY 的 (5)，其上方的水平箭头为双射。上同调次数 \(\leq s - 1\) 中的箭头均为同构。因此，由五引理（同调，引理 05QB），可知 \(H^s_T(M) \to \lim H^s_T(M/I^nM)\) 为同构。定理得证。

引理

设 \(I \subset \mathfrak a \subset A\) 是诺特环 \(A\) 的理想，并设 \(M\) 是有限 \(A\)-模。设 \(s\) 和 \(d\) 为整数。假设

\(A, I, V(\mathfrak a), M\) 对 \(s\) 和 \(d\) 满足情形 0EFU 的假设；并且

\(A, I, \mathfrak a, M\) 对 \(s + 1\) 和 \(d\) 满足引理 0EFL 的条件，其中 \(J = \mathfrak a\)。

则存在理想 \(J_0 \subset \mathfrak a\)，满足 \(V(J_0) \cap V(I) = V(\mathfrak a)\)，使得：对任意 \(J \subset J_0\)，若 \(V(J) \cap V(I) = V(\mathfrak a)\)，映射 \[H^{s + 1}_J(M) \longrightarrow \lim H^{s + 1}_\mathfrak a(M/I^nM)\] 为同构。

证明

具体而言，由引理 0EFL，存在 \(J_0\)，并且有同构 \(H^{s + 1}_J(M) = H^{s + 1}(R\Gamma_\mathfrak a(M)^\wedge)\) ；由对偶化复形，引理 0EEW，有短正合序列 \[0 \to R^1\lim H^s_\mathfrak a(M/I^nM) \to H^{s + 1}(R\Gamma_\mathfrak a(M)^\wedge) \to \lim H^{s + 1}_\mathfrak a(M/I^nM) \to 0\] 而模 \(R^1\lim H^s_\mathfrak a(M/I^nM)\) 为零，因为由定理 0EIE， \(\{H^s_\mathfrak a(M/I^nM)\}_{n \geq 0}\) 满足 Mittag-Leffler 条件。

形式截面的代数化，I

本节研究局部情形下形式截面的代数化问题。设 \((A, \mathfrak m)\) 为诺特局部环。设 \(I \subset A\) 为理想。令 \[X = \Spec(A) \supset U = \Spec(A) \setminus \{\mathfrak m\}\] 并用 \(Y = V(I)\) 表示与 \(I\) 对应的闭子概形。设 \(\mathcal{F}\) 为凝聚 \(\mathcal{O}_U\)-模。本节考察极限 \[\lim_n H^i(U, \mathcal{F}/I^n\mathcal{F})\] 这与把 \(\mathcal{F}\) 拉回到 \(U\) 沿 \(Y\) 的形式完备化所得之上同调密切相关；不过，由于我们尚未引入形式概形，此处不能使用这种术语。

引理

设 \(U\) 为诺特局部环 \(A\) 的穿孔谱。设 \(\mathcal{F}\) 为凝聚 \(\mathcal{O}_U\)-模。设 \(I \subset A\) 为理想。则 \[H^i(R\Gamma(U, \mathcal{F})^\wedge) = \lim H^i(U, \mathcal{F}/I^n\mathcal{F})\] 对所有 \(i\) 成立，其中 \(R\Gamma(U, \mathcal{F})^\wedge\) 表示导出 \(I\)-进完备化。

证明

由引理 0BLX 和 0A0K，有 \[R\Gamma(U, \mathcal{F})^\wedge = R\Gamma(U, \mathcal{F}^\wedge) = R\Gamma(U, R\lim \mathcal{F}/I^n\mathcal{F})\] 因此得到短正合序列 \[0 \to R^1\lim H^{i - 1}(U, \mathcal{F}/I^n\mathcal{F}) \to H^i(R\Gamma(U, \mathcal{F})^\wedge) \to \lim H^i(U, \mathcal{F}/I^n\mathcal{F}) \to 0\] 这是由上同调，引理 0D60 得到的。 \(R^1\lim\) 项为零，因为由引理 0DX1，群的逆系统 \(H^i(U, \mathcal{F}/I^n\mathcal{F})\) 满足 Mittag-Leffler 条件。

定理

设 \((A, \mathfrak m)\) 为有对偶化复形且关于理想 \(I\) 完备的诺特局部环。令 \(X = \Spec(A)\)、\(Y = V(I)\)，且 \(U = X \setminus \{\mathfrak m\}\)。设 \(\mathcal{F}\) 为 \(U\) 上的凝聚层。假设

\(\text{cd}(A, I) \leq d\), i.e., \(H^i(X \setminus Y, \mathcal{G}) = 0\) 对 \(i \geq d\) 以及拟凝聚 \(\mathcal{G}\)（在 \(X\) 上）成立；

对任意 \(x \in X \setminus Y\)，若其闭包 \(\overline{\{x\}}\)（在 \(X\) 中）与 \(U \cap Y\) 相交，则有 \[\text{depth}_{\mathcal{O}_{X, x}}(\mathcal{F}_x) \geq s \quad\text{或}\quad \text{depth}_{\mathcal{O}_{X, x}}(\mathcal{F}_x) + \dim(\overline{\{x\}}) > d + s\]

则存在开集 \(V_0 \subset U\)，它包含 \(U \cap Y\)，使得对任意开集 \(V \subset V_0\)，若它包含 \(U \cap Y\)，则映射 \[H^i(V, \mathcal{F}) \to \lim H^i(U, \mathcal{F}/I^n\mathcal{F})\] 在 \(i < s\) 时为同构。若此外 \(\text{depth}_{\mathcal{O}_{X, x}}(\mathcal{F}_x) + \dim(\overline{\{x\}}) > s\) 对所有 \(x \in U \cap Y\) 成立，则这些上同调群是有限 \(A\)-模。

证明

选取有限 \(A\)-模 \(M\)，使得 \(\mathcal{F}\) 是在 \(U\) 上限制所得的凝聚 \(\mathcal{O}_X\)-模，该模与 \(M\) 相伴；参见局部上同调，引理 0BK0。于是引理 0DXP 的假设成立。按该引理选取 \(J_0\)，并令 \(V_0 = X \setminus V(J_0)\)。于是，开集 \(V \subset V_0\) 若包含 \(U \cap Y\)，便与理想以 \(1\)-对-\(1\) 的方式对应；这里 \(J \subset J_0\) 且 \(V(J) \cap V(I) = \{\mathfrak m\}\)。此外，对这样的选取，有优三角 \[R\Gamma_J(M) \to M \to R\Gamma(V, \mathcal{F}) \to R\Gamma_J(M)[1]\] 类似地，有优三角 \[R\Gamma_\mathfrak m(M)^\wedge \to M \to R\Gamma(U, \mathcal{F})^\wedge \to R\Gamma_\mathfrak m(M)^\wedge[1]\] 其中涉及导出 \(I\)-进完备化。由引理 0DXI， \(R\Gamma(U, \mathcal{F})^\wedge\) 的上同调群等于定理陈述中的极限。这两个三角之间的典范映射和一些容易的论证表明，本定理可由主要引理 0DXP 得出（注意，此处为 \(i < s\)，而引理中为 \(i \leq s\)；这是由移位造成的）。在附加假设下，上同调群的有限性由引理 0DXN 得出。

引理

设 \((A, \mathfrak m)\) 为有对偶化复形且关于理想 \(I\) 完备的诺特局部环。令 \(X = \Spec(A)\)、\(Y = V(I)\)，且 \(U = X \setminus \{\mathfrak m\}\)。设 \(\mathcal{F}\) 为 \(U\) 上的凝聚层。假设对任意相伴点 \(x \in U\)（相对于 \(\mathcal{F}\)）都有 \(\dim(\overline{\{x\}}) > \text{cd}(A, I) + 1\)，其中 \(\overline{\{x\}}\) 是其在 \(X\) 中的闭包。则映射 \[\colim H^0(V, \mathcal{F}) \longrightarrow \lim H^0(U, \mathcal{F}/I^n\mathcal{F})\] 是有限 \(A\)-模之间的同构，其中余极限遍历开集 \(V \subset U\)，这些开集包含 \(U \cap Y\)。

证明

在 \(s = 1\) 时应用定理 0DXQ （同时也得到有限性）。

形式截面的代数化，II

要简洁陈述第 0EFF 节和第 0EFT 节中的结果对于拟仿射概形上凝聚层的上同调及其关于理想的完备化所能给出的全部推论，有些困难。本节给出关于 \(H^0\) 的一份不穷尽的应用清单。下一节讨论对高阶上同调的应用。

引理

设 \(I \subset \mathfrak a\) 是诺特环 \(A\) 的理想。设 \(0 \to \mathcal{F}' \to \mathcal{F} \to \mathcal{F}'' \to 0\) 为 \(U = \Spec(A) \setminus V(\mathfrak a)\) 上凝聚模的短正合序列。令 \(\mathcal{V}\) 为开子概形 \(V \subset U\) 的集合，其中各开子概形都包含 \(U \cap V(I)\)，并按反包含排序。考察交换图 \[\xymatrix{ \colim_\mathcal{V} H^0(V, \mathcal{F}') \ar[d] \ar[r] & \colim_\mathcal{V} H^0(V, \mathcal{F}) \ar[d] \ar[r] & \colim_\mathcal{V} H^0(V, \mathcal{F}'') \ar[d] \\ \lim H^0(U, \mathcal{F}'/I^n\mathcal{F}') \ar[r] & \lim H^0(U, \mathcal{F}'/I^n\mathcal{F}) \ar[r] & \lim H^0(U, \mathcal{F}'/I^n\mathcal{F}'') }\] 若左边和右边的竖直箭头都是同构，则中间的也是同构。若中间和左边的竖直箭头都是同构，则左边的也是同构。

证明

图中的序列在中间正合，且第一个箭头为单射。因此最后一个陈述由简单的追图得到。在证明的其余部分，假设左边和右边的竖直箭头均为同构。追图表明中间的竖直箭头为单射。只须再证明它是满射。

可以选取有限 \(A\)-模 \(M\) 和 \(M'\)，使得 \(\mathcal{F}\) 和 \(\mathcal{F}'\) 分别是 \(\widetilde{M}\) 和 \(\widetilde{M}'\) 在 \(U\) 上的限制；参见局部上同调，引理 0BK0。把 \(M'\) 替换为 \(\mathfrak a^n M'\)（其中某个 \(n \geq 0\)）后，可以假设 \(\mathcal{F}' \to \mathcal{F}\) 对应于模映射 \(M' \to M\)；参见概形上同调，引理 01YB。把 \(M'\) 替换为 \(M' \to M\) 的像，并令 \(M'' = M/M'\) 后，可见原短正合序列对应于与短正合序列 \(0 \to M' \to M \to M'' \to 0\) 相伴之凝聚模短正合序列的限制；这里所述的是 \(A\)-模。

令 \(\hat s \in \lim H^0(U, \mathcal{F}/I^n\mathcal{F})\)，其像为 \(\hat s'' \in \lim H^0(U, \mathcal{F}''/I^n\mathcal{F}'')\)。由假设，找到 \(V \in \mathcal{V}\) 以及截面 \(s'' \in \mathcal{F}''(V)\)，后者映为 \(\hat s''\)。令 \(J \subset A\) 为满足 \(V(J) = \Spec(A) \setminus V\) 的理想。由概形上同调，引理 01YB，用 \(J\) 的某个幂替换它之后，可以假设存在一个 \(A\)-线性映射 \(\varphi : J \to M''\)；它对应于 \(s''\)。固定这个 \(J\) 的选择；在证明的其余部分，将用 \(V\) 的一个更小的 \(V\) 来替换它，该开集属于 \(\mathcal{V}\)，即将有 \(V \cap V(J) = \emptyset\)。

选取一个表现 \(A^{\oplus m} \to A^{\oplus n} \to J \to 0\)。用 \(g_1, \ldots, g_n \in J\) 表示 \(A^{\oplus n}\) 的基向量的像，从而 \(J = (g_1, \ldots, g_n)\)。设 \(A^{\oplus m} \to A^{\oplus n}\) 由矩阵 \((a_{ji})\) 给出，于是 \(\sum a_{ji} g_i = 0\)，其中 \(j = 1, \ldots, m\)。由于 \(M \to M''\) 为满射，对每个 \(i\) 都可选取 \(m_i \in M\)，使其映为 \(\varphi(g_i) \in M''\)。于是元素 \(g_i \hat s - m_i\) 属于 \(\lim H^0(U, \mathcal{F}/I^n\mathcal{F})\)，并落在子模 \(\lim H^0(U, \mathcal{F}'/I^n\mathcal{F}')\) 中。由假设，缩小 \(V\) 后可假设存在 \(s'_i \in \mathcal{F}'(V)\)，\(i = 1, \ldots, n\)，且 \(s'_i\) 映为 \(g_i \hat s - m_i\)。令 \(s_i = s'_i + m_i\)，这是在 \(\mathcal{F}(V)\) 中。注意，\(\sum a_{ji} s_i\) 映为 \(\sum a_{ji}g_i\hat s = 0\)；所用映射为 \[\colim_\mathcal{V} \mathcal{F}(V') \longrightarrow \lim H^0(U, \mathcal{F}/I^n\mathcal{F})\] 由于该映射为单射（见上文），缩小 \(V\) 后可以假设 \(\sum a_{ji}s_i = 0\) 在 \(\mathcal{F}(V)\) 中对所有 \(j = 1, \ldots, m\) 成立。于是得到 \(A\)-模映射 \(J \to \mathcal{F}(V)\)，它把 \(g_i\) 映为 \(s_i\)。由 \(\widetilde{J}\) 的泛性质，该 \(A\)-模映射对应于 \(\mathcal{O}_V\)-模映射 \(\widetilde{J}|_V \to \mathcal{F}\)。不过，由于 \(V(J) \cap V = \emptyset\)，有 \(\widetilde{J}|_V = \mathcal{O}_V\)。因此构造出了截面 \(s \in \mathcal{F}(V)\)。略去验证 \(s\) 经上面所示映射映为 \(\hat s\) 的计算。

下面的引理将被命题 0EG2 取代。

引理

设 \(I \subset \mathfrak a\) 是诺特环 \(A\) 的理想。设 \(\mathcal{F}\) 为 \(U = \Spec(A) \setminus V(\mathfrak a)\) 上的凝聚模。假设

\(A\) 是 \(I\)-进完备的，并且有对偶化复形；

若 \(x \in \text{Ass}(\mathcal{F})\)、\(x \not \in V(I)\)、 \(\overline{\{x\}} \cap V(I) \not \subset V(\mathfrak a)\), 且 \(z \in \overline{\{x\}} \cap V(\mathfrak a)\)，则 \(\dim(\mathcal{O}_{\overline{\{x\}}, z}) > \text{cd}(A, I) + 1\)；

下列条件之一成立：

\(\mathcal{F}\) 在 \(U \setminus V(I)\) 上的限制满足 \((S_1)\)；

\(V(\mathfrak a)\) 的维数至多为 \(2\)⁴。

则得到同构 \[\colim H^0(V, \mathcal{F}) \longrightarrow \lim H^0(U, \mathcal{F}/I^n\mathcal{F})\] 其中余极限遍历开集 \(V \subset U\)，这些开集包含 \(U \cap V(I)\)。

证明

选取有限 \(A\)-模 \(M\)，使得 \(\mathcal{F}\) 是在 \(U\) 上的限制，所限制的凝聚模与 \(M\) 相伴；参见局部上同调，引理 0BK0。令 \(d = \text{cd}(A, I)\)。设 \(\mathfrak p\) 为 \(A\) 的素理想，且不包含于 \(V(I)\)，并设 \(\mathfrak q \in V(\mathfrak p) \cap V(\mathfrak a)\)。那么要么 \(\mathfrak p\) 不是 \(M\) 的相伴素理想，因而 \(\text{depth}(M_\mathfrak p) \geq 1\)；要么由 (2) 有 \(\dim((A/\mathfrak p)_\mathfrak q) > d + 1\)。因此，引理 0EFL 的假设对 \(s = 1\) 和 \(d\) 成立；这里使用了条件 (3)。由此存在理想 \(J_0 \subset \mathfrak a\)，满足 \(V(J_0) \cap V(I) = V(\mathfrak a)\)，使得对任意 \(J \subset J_0\)，若 \(V(J) \cap V(I) = V(\mathfrak a)\)，则映射 \[H^i_J(M) \longrightarrow H^i(R\Gamma_\mathfrak a(M)^\wedge)\] 在 \(i = 0, 1\) 时为同构。考察正合三角之间的态射 \[\xymatrix{ R\Gamma_J(M) \ar[d] \ar[r] & M \ar[r] \ar[d] & R\Gamma(V, \mathcal{F}) \ar[d] \ar[r] & R\Gamma_J(M)[1] \ar[d] \\ R\Gamma_J(M)^\wedge \ar[r] & M \ar[r] & R\Gamma(V, \mathcal{F})^\wedge \ar[r] & R\Gamma_J(M)^\wedge[1] \\ R\Gamma_\mathfrak a(M)^\wedge \ar[r] \ar[u] & M \ar[r] \ar[u] & R\Gamma(U, \mathcal{F})^\wedge \ar[r] \ar[u] & R\Gamma_\mathfrak a(M)^\wedge[1] \ar[u] }\] 其中 \(V = \Spec(A) \setminus V(J)\)。回忆 \(R\Gamma_\mathfrak a(M)^\wedge \to R\Gamma_J(M)^\wedge\) 为同构（因为 \(\mathfrak a\)、\(\mathfrak a + I\) 和 \(J + I\) 截出同一个闭子概形；例如参见引理 0EFL 的证明）。因此 \(R\Gamma(U, \mathcal{F})^\wedge = R\Gamma(V, \mathcal{F})^\wedge\). 由此得到交换图 \[\xymatrix{ 0 \ar[r] & H^0_J(M) \ar[r] \ar[d] & M \ar[r] \ar[d] \ar[r] & \Gamma(V, \mathcal{F}) \ar[d] \ar[r] & H^1_J(M) \ar[d] \ar[r] & 0 \\ 0 \ar[r] & H^0(R\Gamma_J(M)^\wedge) \ar[r] & M \ar[r] & H^0(R\Gamma(V, \mathcal{F})^\wedge) \ar[r] & H^1(R\Gamma_J(M)^\wedge) \ar[r] & 0 \\ 0 \ar[r] & H^0(R\Gamma_\mathfrak a(M)^\wedge) \ar[r] \ar[u] & M \ar[r] \ar[u] & H^0(R\Gamma(U, \mathcal{F})^\wedge) \ar[r] \ar[u] & H^1(R\Gamma_\mathfrak a(M)^\wedge) \ar[r] \ar[u] & 0 }\] 其各行正合，且下方的竖直箭头均为同构。因此得到同构 \(\Gamma(V, \mathcal{F}) \to H^0(R\Gamma(U, \mathcal{F})^\wedge)\). 由引理 0BLX 和 0A0K，有 \[R\Gamma(U, \mathcal{F})^\wedge = R\Gamma(U, \mathcal{F}^\wedge) = R\Gamma(U, R\lim \mathcal{F}/I^n\mathcal{F})\] 并且由上同调，引理 0D60，得到 \(H^0(R\Gamma(U, \mathcal{F})^\wedge) = \lim H^0(U, \mathcal{F}/I^n\mathcal{F})\)。

现在提升前一引理，以去掉条件 (3)。

命题

设 \(I \subset \mathfrak a\) 是诺特环 \(A\) 的理想。设 \(\mathcal{F}\) 为 \(U = \Spec(A) \setminus V(\mathfrak a)\) 上的凝聚模。假设

\(A\) 是 \(I\)-进完备的，并且有对偶化复形；

若 \(x \in \text{Ass}(\mathcal{F})\)、\(x \not \in V(I)\)、 \(\overline{\{x\}} \cap V(I) \not \subset V(\mathfrak a)\), 且 \(z \in \overline{\{x\}} \cap V(\mathfrak a)\)，则 \(\dim(\mathcal{O}_{\overline{\{x\}}, z}) > \text{cd}(A, I) + 1\).

则得到同构 \[\colim H^0(V, \mathcal{F}) \longrightarrow \lim H^0(U, \mathcal{F}/I^n\mathcal{F})\] 其中余极限遍历开集 \(V \subset U\)，这些开集包含 \(U \cap V(I)\)。

证明

令 \(T \subset U\) 为点 \(x\) 所成的集合，这些点满足 \(\overline{\{x\}} \cap V(I) \subset V(\mathfrak a)\)。令 \(\mathcal{F} \to \mathcal{F}'\) 为局部上同调，引理 0DX3 中在 \(U\) 上构造的凝聚模满射。由于 \(\mathcal{F} \to \mathcal{F}'\) 在开集 \(V \subset U\) 上为同构，而该开集包含 \(U \cap V(I)\)，只须证明把 \(\mathcal{F}\) 替换为 \(\mathcal{F}'\) 后的引理。因此可以并且确实假设：对 \(x \in U\)，若 \(\overline{\{x\}} \cap V(I) \subset V(\mathfrak a)\)，有 \(\text{depth}(\mathcal{F}_x) \geq 1\)。

令 \(\mathcal{V}\) 为开子概形 \(V \subset U\) 所成的集合，其中各开子概形包含 \(U \cap V(I)\)，并按反包含排序。这是一个有向集。我们先断言 \[\mathcal{F}(V) \longrightarrow \lim H^0(U, \mathcal{F}/I^n\mathcal{F})\] 对任意 \(V \in \mathcal{F}\) 都为单射（特别地，引理中的映射为单射）。事实上，由上一段，相伴点 \(x\)（属于 \(\mathcal{F}\)）必须满足 \(\overline{\{x\}} \cap U \cap Y \not = \emptyset\)。若 \(y \in \overline{\{x\}} \cap U \cap Y\)，则 \(\mathcal{F}_x\) 是 \(\mathcal{F}_y\) 的局部化，并且由 Krull 交定理（代数，引理 00IP），有 \(\mathcal{F}_y \subset \lim \mathcal{F}_y/I^n \mathcal{F}_y\)。这证明了断言，因为核中的截面 \(s \in \mathcal{F}(V)\) 必有空支集，因而必为零。

选取有限 \(A\)-模 \(M\)，使得 \(\mathcal{F}\) 是 \(\widetilde{M}\) 在 \(U\) 上的限制；参见局部上同调，引理 0BK0。可以并且确实假设 \(H^0_\mathfrak a(M) = 0\)。令 \(\text{Ass}(M) \setminus V(I) = \{\mathfrak p_1, \ldots, \mathfrak p_n\}\)。对 \(n\) 作归纳来证明该引理。重新排序后，可以假设 \(\mathfrak p_n\) 是集合 \(\{\mathfrak p_1, \ldots, \mathfrak p_n\}\) 关于包含关系的极小元，即 \(\mathfrak p_n\) 是 \(M\) 的支集的一般点。令 \[M' = H^0_{\mathfrak p_1 \ldots \mathfrak p_{n - 1} I}(M)\] 并令 \(M'' = M/M'\)。设 \(\mathcal{F}'\) 和 \(\mathcal{F}''\) 为凝聚 \(\mathcal{O}_U\)-模，它们分别对应于 \(M'\) 和 \(M''\)。对偶化复形，引理 0AW0 蕴含 \(M''\) 只有一个相伴素理想，即 \(\mathfrak p_n\)。因此 \(\mathcal{F}''\) 只有一个相伴点，并且可见引理 0EIF 的条件 (3)(a) 成立；从而映射 \(\colim H^0(V, \mathcal{F}'') \to \lim H^0(U, \mathcal{F}''/I^n\mathcal{F}'')\) 为同构。另一方面，由于 \(\mathfrak p_n \not \in V(\mathfrak p_1 \ldots \mathfrak p_{n - 1} I)\) 可知 \(\mathfrak p_n\) 不是 \(M'\) 的相伴素理想。因此归纳假设适用于 \(M'\)；注意，由于 \(\mathcal{F}' \subset \mathcal{F}\)，条件 \(\text{depth}(\mathcal{F}'_x) \geq 1\) 对点 \(x\) 成立，其中 \(\overline{\{x\}} \cap V(I) \subset V(\mathfrak a)\)；参见代数，引理 00LX。因此映射 \(\colim H^0(V, \mathcal{F}') \to \lim H^0(U, \mathcal{F}'/I^n\mathcal{F}')\) 也为同构。由引理 0H48 得出结论。

引理

设 \(I \subset \mathfrak a\) 是诺特环 \(A\) 的理想。设 \(\mathcal{F}\) 为 \(U = \Spec(A) \setminus V(\mathfrak a)\) 上的凝聚模。假设

\(A\) 是 \(I\)-进完备的，并且有对偶化复形；

若 \(x \in \text{Ass}(\mathcal{F})\)、\(x \not \in V(I)\)、 \(\overline{\{x\}} \cap V(I) \not \subset V(\mathfrak a)\)，且 \(z \in V(\mathfrak a) \cap \overline{\{x\}}\)，则 \(\dim(\mathcal{O}_{\overline{\{x\}}, z}) > \text{cd}(A, I) + 1\)；

对 \(x \in U\)，若 \(\overline{\{x\}} \cap V(I) \subset V(\mathfrak a)\)，则 \(\text{depth}(\mathcal{F}_x) \geq 2\)。

则得到同构 \[H^0(U, \mathcal{F}) \longrightarrow \lim H^0(U, \mathcal{F}/I^n\mathcal{F})\]

证明

令 \(\hat s \in \lim H^0(U, \mathcal{F}/I^n\mathcal{F})\)。由命题 0EG2，可知 \(\hat s\) 是某个元素 \(s \in \mathcal{F}(V)\) 的像，其中 \(V \subset U\) 是包含 \(U \cap V(I)\) 的开集。不过，条件 (3) 表明 \(\text{depth}(\mathcal{F}_x) \geq 2\) 对所有 \(x \in U \setminus V\) 成立，因而由除子，引理 0E9I 得到 \(\mathcal{F}(V) = \mathcal{F}(U)\)，证明完毕。

引理

设 \(A\) 为诺特环。设 \(f \in \mathfrak a \subset A\) 为 \(A\) 的一个理想中的元素。设 \(M\) 为有限 \(A\)-模。假设

\(A\) 是 \(f\)-进完备的；

\(f\) 在 \(M\) 上是非零因子；

\(H^1_\mathfrak a(M/fM)\) 是有限 \(A\)-模。

则令 \(U = \Spec(A) \setminus V(\mathfrak a)\)，映射 \[\colim_V \Gamma(V, \widetilde{M}) \longrightarrow \lim \Gamma(U, \widetilde{M/f^nM})\] 为同构，其中余极限遍历开集 \(V \subset U\)，这些开集包含 \(U \cap V(f)\)。

证明

令 \(\mathcal{F} = \widetilde{M}|_U\)。 \(H^1_\mathfrak a(M/fM)\) 的有限性蕴含 \(H^0(U, \mathcal{F}/f\mathcal{F})\) 有限；参见局部上同调，引理 0BK0。由上同调，引理 0BLB （该引理适用，因为 \(f\) 在 \(\mathcal{F}\) 上是非零因子），可知 \(N = \lim H^0(U, \mathcal{F}/f^n\mathcal{F})\) 是有限 \(A\)-模、无 \(f\)-挠，并且 \(N/fN \subset H^0(U, \mathcal{F}/f\mathcal{F})\)。另一方面，有映射 \(M \to N\) 以及相容映射 \[M/fM \longrightarrow H^0(U, \mathcal{F}/f\mathcal{F})\] 对 \(g \in \mathfrak a\)，可见 \((M/fM)_g\) 同构地映至 \(H^0(U \cap D(f), \mathcal{F}/f\mathcal{F})\)，因为 \(\mathcal{F}/f\mathcal{F}\) 是 \(\widetilde{M/fM}\) 在 \(U\) 上的限制。由此可知 \(M_g \to N_g\) 诱导同构 \[M_g/fM_g = (M/fM)_g \to (N/fN)_g = N_g/fN_g\] 由于 \(f\) 在 \(N\) 和 \(M\) 上都是非零因子，可知 \(M_g \to N_g\) 在 \(f\)-进完备化上诱导同构，进而蕴含 \(M_g \to N_g\) 在 \(V(f) \cap D(g)\) 的某个开邻域上为同构。由于 \(g \in \mathfrak a\) 是任意的，可知 \(M\) 和 \(N\) 在引理陈述中所述的某个开集 \(V\) 上确定同构的凝聚模。证明完毕。

命题

设 \(A\) 为诺特环。设 \(f \in \mathfrak a \subset A\) 为 \(A\) 的一个理想中的元素。设 \(\mathcal{F}\) 为 \(U = \Spec(A) \setminus V(\mathfrak a)\) 上的凝聚模。假设

\(A\) 是 \(f\)-进完备的，并且有对偶化复形；

若 \(x \in \text{Ass}(\mathcal{F})\)、\(x \not \in V(f)\)、 \(\overline{\{x\}} \cap V(f) \not \subset V(\mathfrak a)\), 且 \(z \in \overline{\{x\}} \cap V(\mathfrak a)\)，则 \(\dim(\mathcal{O}_{\overline{\{x\}}, z}) > 2\).

则映射 \[\colim_V \Gamma(V, \mathcal{F}) \longrightarrow \lim \Gamma(U, \mathcal{F}/f^n\mathcal{F})\] 为同构，其中余极限遍历开集 \(V \subset U\)，这些开集包含 \(U \cap V(f)\)。

证明

回忆 \(A\) 是泛链状的，并且有 Gorenstein 形式纤维；参见对偶化复形，引理 0AWY 和 0A80。因此可以考察映射 \(\mathcal{F} \to \mathcal{F}'\)，它由局部上同调，引理 0DX5 针对闭子集 \(V(f) \cap U\)（属于 \(U\)）构造。注意

\(\mathcal{F} \to \mathcal{F}'\) 的核和余核支撑在 \(V(f) \cap U\) 上。

模 \(\mathcal{F}'\) 无 \(f\)-挠，因为其茎的深度 \(\geq 1\)，这对 \(V(f) \cap U\) 的所有点成立；换言之，\(\mathcal{F}'\) 在 \(V(f) \cap U\) 中没有相伴点。

若 \(y \in V(f) \cap U\) 是 \(\mathcal{F}'/f\mathcal{F}'\) 的相伴点，则 \(\text{depth}(\mathcal{F}'_y) = 1\) 并且由 \(\mathcal{F}'\) 的构造，存在立即特殊化 \(x \leadsto y\)，其中 \(x \not \in V(f)\) 是 \(\mathcal{F}\) 的相伴点。由假设 (2) 可知，\(y\) 不可能在 \(\Spec(A)\) 中立即特殊化到点 \(z \in V(\mathfrak a)\)。

由 (3) 可知 \(H^0(U, \mathcal{F}'/f\mathcal{F}')\) 是有限 \(A\)-模；参见局部上同调，引理 0BJY。

这些观察将使我们能够完成证明。

首先，断言该引理对 \(\mathcal{F}'\) 成立。具体而言，选取有限 \(A\)-模 \(M'\)，使得 \(\mathcal{F}'\) 是在 \(U\) 上的限制，所限制的凝聚模与 \(M'\) 相伴；参见局部上同调，引理 0BK0。由于 \(\mathcal{F}'\) 无 \(f\)-挠，可以假设 \(M'\) 也无 \(f\)-挠。上面的观察 (4) 表明 \(H^1_\mathfrak a(M')\) 是有限 \(A\)-模；参见局部上同调，引理 0BK0。因此该断言由引理 0EIH 得到。

其次，注意该引理对任意凝聚 \(\mathcal{O}_U\)-模都显然成立，只要它支撑在 \(V(f) \cap U\) 上。令 \(\mathcal{K}\)、\(\mathcal{G}\)、\(\mathcal{Q}\) 分别为映射 \(\mathcal{F} \to \mathcal{F}'\) 的核、像、余核。短正合序列 \(0 \to \mathcal{G} \to \mathcal{F}' \to \mathcal{Q} \to 0\) 和引理 0H48 表明结论对 \(\mathcal{G}\) 成立。然后对短正合序列再次作同样处理： \(0 \to \mathcal{K} \to \mathcal{F} \to \mathcal{G} \to 0\) 从而完成证明。

证明

该命题是命题 0EG2 的特殊情形。

引理

设 \(A\) 为诺特环。设 \(f \in \mathfrak a \subset A\) 为 \(A\) 的一个理想中的元素。设 \(M\) 为有限 \(A\)-模。假设

\(A\) 是 \(f\)-进完备的；

\(H^1_\mathfrak a(M)\) 和 \(H^2_\mathfrak a(M)\) 被 \(f\) 的某个幂零化。

则令 \(U = \Spec(A) \setminus V(\mathfrak a)\)，映射 \[\Gamma(U, \widetilde{M}) \longrightarrow \lim \Gamma(U, \widetilde{M/f^nM})\] 为同构。

证明

可以把引理 0BLD 应用于 \(U\) 以及 \(\mathcal{F} = \widetilde{M}|_U\)，因为 \(\mathcal{F}\) 是凝聚 \(\mathcal{O}_U\)-模范畴中的诺特对象。由于 \(H^1(U, \mathcal{F}) = H^2_\mathfrak a(M)\) （局部上同调，引理 0BK0）被 \(f\) 的某个幂零化，可知其 \(f\)-进 Tate 模为零。因此该引理表明 \(\lim H^0(U, \mathcal{F}/f^n \mathcal{F})\) 等于通常的 \(f\)-进完备化，所完备化的是 \(H^0(U, \mathcal{F})\)。考察短正合序列 \[0 \to M/H^0_\mathfrak a(M) \to H^0(U, \mathcal{F}) \to H^1_\mathfrak a(M) \to 0\] 它来自局部上同调，引理 0BK0。由于 \(M/H^0_\mathfrak a(M)\) 是有限 \(A\)-模，它是完备的；参见代数，引理 00MA。由于 \(H^1_\mathfrak a(M)\) 被 \(f\) 的某个幂零化，由代数，引理 0BNG 可知 \(H^0(U, \mathcal{F})\) 也完备。证明完毕。

形式截面的代数化，III

下一节给出了一个非穷尽的应用列表：将局部上同调完备化方面的材料应用于拟仿射概形上凝聚模的高阶上同调，以及这些上同调关于某个理想的完备化。

命题

设 \(I \subset \mathfrak a\) 为诺特环 \(A\) 的理想。设 \(\mathcal{F}\) 是 \(U = \Spec(A) \setminus V(\mathfrak a)\) 上的凝聚模。设 \(s \geq 0\)。假设

\(A\) 是 \(I\)-进完备的，并且有对偶化复形；

若 \(x \in U \setminus V(I)\)，则 \(\text{depth}(\mathcal{F}_x) > s\)，或者 \[\text{depth}(\mathcal{F}_x) + \dim(\mathcal{O}_{\overline{\{x\}}, z}) > \text{cd}(A, I) + s + 1\] 对所有 \(z \in V(\mathfrak a) \cap \overline{\{x\}}\) 成立；

下列条件之一成立：

\(\mathcal{F}\) 在 \(U \setminus V(I)\) 上的限制满足 \((S_{s + 1})\)；或者

\(V(\mathfrak a)\) 的维数至多为 \(2\)⁵。

则映射 \[H^i(U, \mathcal{F}) \longrightarrow \lim H^i(U, \mathcal{F}/I^n\mathcal{F})\] 在 \(i < s\) 时为同构。此外，还有同构 \[\colim H^s(V, \mathcal{F}) \longrightarrow \lim H^s(U, \mathcal{F}/I^n\mathcal{F})\] 其中余极限取遍开子概形 \(V \subset U\)，这些开子概形包含 \(U \cap V(I)\)。

证明

可以假设 \(s > 0\)，因为 \(s = 0\) 的情形已在命题 0EG2 中处理。

取一个有限 \(A\)-模 \(M\)，使得 \(\mathcal{F}\) 是某个凝聚模在 \(U\) 上的限制，而该凝聚模与 \(M\) 相伴；参见局部上同调，引理 0BK0。令 \(d = \text{cd}(A, I)\)。设 \(\mathfrak p\) 是 \(A\) 的一个不包含在 \(V(I)\) 中的素理想，并设 \(\mathfrak q \in V(\mathfrak p) \cap V(\mathfrak a)\)。于是或者 \(\text{depth}(M_\mathfrak p) \geq s + 1 > s\)，或者由 (2) 有 \(\dim((A/\mathfrak p)_\mathfrak q) > d + s + 1\)。由引理 0EFW 可知，对于 \(A, I, V(\mathfrak a), M, s, d\)，情形 0EFU 的假设均成立。另一方面，引理 0EFL 对于 \(s + 1\) 和 \(d\) 的假设也成立；条件 (3) 正是在这里使用的。

应用引理 0EFL，可得存在理想 \(J_0 \subset \mathfrak a\)，满足 \(V(J_0) \cap V(I) = V(\mathfrak a)\)，使得对于任何 \(J \subset J_0\)，若 \(V(J) \cap V(I) = V(\mathfrak a)\)，映射 \[H^i_J(M) \longrightarrow H^i(R\Gamma_\mathfrak a(M)^\wedge)\] 在 \(i \leq s + 1\) 时为同构。

当 \(i \leq s\) 时，由引理 0EFV 和 0EFK，映射 \(H^i_\mathfrak a(M) \to H^i_J(M)\) 为同构。利用上同调与局部上同调之间的比较（局部上同调，引理 0DWR），可推出映射 \(H^i(U, \mathcal{F}) \to H^i(V,\mathcal{F})\) 在 \(V = \Spec(A) \setminus V(J)\) 且 \(i < s\) 时为同构。

由定理 0EIE，等式 \(H^i_\mathfrak a(M) = \lim H^i_\mathfrak a(M/I^nM)\) 对 \(i \leq s\) 成立。由引理 0EG0，有 \(H^{s + 1}_\mathfrak a(M) = \lim H^{s + 1}_\mathfrak a(M/I^nM)\)。

由以上结论和命题 0EG2，得到同构 \(H^0(U, \mathcal{F}) = H^0(V, \mathcal{F}) = \lim H^0(U, \mathcal{F}/I^n\mathcal{F})\)。当 \(0 < i < s\) 时，利用局部上同调与上同调之间的关系，以相同方式得到所需同构 \(H^i(U, \mathcal{F}) = H^i(V, \mathcal{F}) = \lim H^i(U, \mathcal{F}/I^n\mathcal{F})\)；这比 \(i = 0\) 的情形更容易，因为当 \(i > 0\) 时有 \[H^i(U, \mathcal{F}) = H^{i + 1}_\mathfrak a(M), \quad H^i(V, \mathcal{F}) = H^{i + 1}_J(M), \quad H^i(R\Gamma(U, \mathcal{F})^\wedge) = H^{i + 1}(R\Gamma_\mathfrak a(M)^\wedge)\] 最后一个断言的证明也类似。

引理

设 \(A\) 为诺特环。设 \(f \in \mathfrak a \subset A\) 是 \(A\) 的一个理想中的元素。设 \(M\) 为有限 \(A\)-模。设 \(s \geq 0\)。假设

\(A\) 是 \(f\)-进完备的；

\(H^i_\mathfrak a(M)\) 被 \(f\) 的某个幂零化，其中 \(i \leq s + 1\)。

则令 \(U = \Spec(A) \setminus V(\mathfrak a)\)，映射 \[H^i(U, \widetilde{M}) \longrightarrow \lim H^i(U, \widetilde{M/f^nM})\] 在 \(i < s\) 时为同构。

证明

对 \(s\) 作归纳。若 \(s = 0\)，则断言为空。若 \(s = 1\)，则结论即为引理 0EII。假设 \(s > 1\)。由归纳法，只需对 \(i = s - 1 \geq 1\) 证明结论。可以把引理 0BLD 应用于 \(U\) 和 \(\mathcal{F} = \widetilde{M}|_U\)，因为 \(\mathcal{F}\) 是凝聚 \(\mathcal{O}_U\)-模范畴中的诺特对象。由局部上同调，引理 0BK0，有 \(H^j(U, \mathcal{F}) = H^{j + 1}_\mathfrak a(M)\)，其中 \(j\) 任意。因此，当 \(j = s = (s - 1) + 1\) 时，按假设该模被 \(f\) 的某个幂零化。于是由引理 0BLD， \(\lim H^{s - 1}(U, \mathcal{F}/f^n\mathcal{F})\) 是关于 \(f\) 的通常进完备化，所完备化的模为 \(H^{s - 1}(U, \mathcal{F})\)。再次利用该模被 \(f\) 的某个幂零化，可见此完备化恰好等于 \(H^{s - 1}(U, \mathcal{F})\)，这正是所需结论。

连通性的应用

本节讨论 Grothendieck 连通性定理及其变体；原始版本见 [SGA2, Exposee XIII, Theorem 2.1]。文献中有一个称为 Faltings 连通性定理的版本；我们猜测这指的是 [Faltings-some, Theorem 6]。下面陈述并证明 [Varbaro, Theorem 1.6] 中关于完备局部环的最优版本。

引理

设 \((A, \mathfrak m)\) 为诺特完备局部环。设 \(I\) 为 \(A\) 的真理想。令 \(X = \Spec(A)\) 且 \(Y = V(I)\)。记

\(d\) 为 \(X\) 的不可约分支的维数最小值；

\(c\) 为闭子集 \(Z \subset X\) 的维数最小值，其中 \(X \setminus Z\) 不连通。

则对于闭子集 \(Z \subset Y\)，\(Y \setminus Z\) 在 \(\dim(Z) < \min(c, d - 1) - \text{cd}(A, I)\) 时连通。特别地，\(A/I\) 的穿孔谱在 \(\text{cd}(A, I) < \min(c, d - 1)\) 时连通。

证明

先证明最后一个断言。首先，若 \(A/I\) 的穿孔谱为空，则由局部上同调，引理 0DXF， \(X\) 的每个不可约分支的维数均 \(\leq \text{cd}(A, I)\)，从而 \(\min(c, d - 1) - \text{cd}(A, I) < 0\)；这说明该引理在此情形下成立。因此可以假设 \(U \cap Y\) 非空，其中 \(U = X \setminus \{\mathfrak m\}\) 是 \(A\) 的穿孔谱。可以将 \(A\) 替换为其既约化。注意 \(A\) 有对偶化复形（对偶化复形，引理 0BFR），并且 \(A\) 关于 \(I\) 完备（代数，引理 090T）。若假设 \(d - 1 > \text{cd}(A, I)\)，则应用引理 0DXR 可得 \[\colim H^0(V, \mathcal{O}_V) \longrightarrow \lim H^0(U, \mathcal{O}_U/I^n\mathcal{O}_U)\] 为同构，其中余极限取遍开子概形 \(V \subset U\)，且这些开子概形包含 \(U \cap Y\)。若 \(U \cap Y\) 不连通，则它的第 \(n\) 个无穷小邻域在 \(U\) 中对所有 \(n\) 都不连通，因而右端有一个非平凡幂等元（这里使用了 \(U \cap Y\) 非空这一点）。因此可以找到不连通的 \(V\)。令 \(Z = X \setminus V\)。由局部上同调，引理 0DXF，可知 \(Z\) 的每个不可约分支的维数均 \(\leq \text{cd}(A, I)\)。因此 \(c \leq \text{cd}(A, I)\)，这确实证明了最后一个断言。

现在可以从刚刚证明的结论推出引理的断言。设 \(Z \subset Y\) 为闭子集， \(Y \setminus Z\) 不连通，且 \(\dim(Z) = e\)。回忆按照约定，连通空间非空。因此，或者 (a) \(Y = Z\)，或者 (b) \(Y \setminus Z = W_1 \amalg W_2\)，其中 \(W_i\) 在 \(Y \setminus Z\) 中非空且既开又闭。在情形 (b) 中，可以选取 \(w_i \in W_i\)，使其在 \(U\) 中为闭点；参见态射，引理 02J6。于是可以找到 \(f_1, \ldots, f_e \in \mathfrak m\)，使得 \(V(f_1, \ldots, f_e) \cap Z = \{\mathfrak m\}\)，并且在情形 (b) 中可以假设 \(w_i \in V(f_1, \ldots, f_e)\)。具体而言，利用素理想回避，可以归纳地选取 \(f_i\)，使得 \(\dim V(f_1, \ldots, f_i) \cap Z = e - i\)，并使得在情形 (b) 中有 \(w_1, w_2 \in V(f_i)\)。由此可知 \(A/I + (f_1, \ldots, f_e)\) 的穿孔谱不连通（略去一个小细节）。由于由局部上同调，引理 0ECP 和 0DX9 有 \(\text{cd}(A, I + (f_1, \ldots, f_e)) \leq \text{cd}(A, I) + e\)，故 \[\text{cd}(A, I) + e \geq \min(c, d - 1)\] 由证明的第一部分可得此式。这推出 \(e \geq \min(c, d - 1) - \text{cd}(A, I)\)，这正是所需结论。

引理

设 \(I \subset \mathfrak a\) 为诺特环 \(A\) 的理想。假设

\(A\) 是 \(I\)-进完备的，并且有对偶化复形；

若 \(\mathfrak p \subset A\) 是一个不包含在 \(V(I)\) 中的极小素理想，并且 \(\mathfrak q \in V(\mathfrak p) \cap V(\mathfrak a)\)，则 \(\dim((A/\mathfrak p)_\mathfrak q) > \text{cd}(A, I) + 1\)；

任何非空开子集 \(V \subset \Spec(A)\)，只要其包含 \(V(I) \setminus V(\mathfrak a)\)，就是连通的⁶。

则 \(V(I) \setminus V(\mathfrak a)\) 或为空，或为连通的。

证明

可以将 \(A\) 替换为其既约化。于是对于 \(A\) 的所有相伴素理想， (2) 中的不等式均成立。由命题 0EG2 可知 \[\colim H^0(V, \mathcal{O}_V) = \lim H^0(T_n, \mathcal{O}_{T_n})\] 其中余极限取遍 (3) 中的开子集 \(V\)，而 \(T_n\) 表示第 \(n\) 个无穷小邻域；这是 \(T = V(I) \setminus V(\mathfrak a)\) 在 \(U = \Spec(A) \setminus V(\mathfrak a)\) 中的无穷小邻域。因此 \(T\) 或为空，或为连通的；否则右端将有非平凡幂等元，而我们已假设左端没有。略去若干细节。

引理

设 \(A\) 为有对偶化复形的诺特整环，并且关于某个非零元 \(f \in A\) 完备。设 \(f \in \mathfrak a \subset A\)，并把这里的中间项取为理想。假设 \(Z = V(\mathfrak a)\) 的每个不可约分支的余维均 \(> 2\)，这里是在 \(X = \Spec(A)\) 中计算；也就是说，假设 \(Z\) 的每个不可约分支的余维均 \(> 1\)，这里是在 \(Y = V(f)\) 中计算。则 \(Y \setminus Z\) 连通。

证明

这是引理 0EG5 的特殊情形（该引理的证明依赖命题 0EG2）。下面用较容易的命题 0H49 来证明它。

令 \(U = X \setminus Z\)。由命题 0H49，有同构 \[\colim \Gamma(V, \mathcal{O}_V) \to \lim_n \Gamma(U, \mathcal{O}_U/f^n \mathcal{O}_U)\] 其中余极限取遍开子集 \(V \subset U\)，这些开子集包含 \(U \cap Y\)。因此，若 \(U \cap Y\) 不连通，则对于某个 \(V\)， \(\Gamma(V, \mathcal{O}_V)\) 中存在非平凡幂等元。这不可能，因为 \(V\) 是整概形，而 \(X\) 是整环的谱。

完备化函子

设 \(X\) 为诺特概形。设 \(Y \subset X\) 为闭子概形，其拟凝聚理想层为 \(\mathcal{I} \subset \mathcal{O}_X\)。本节考虑凝聚 \(\mathcal{O}_X\)-模 \((\mathcal{F}_n)\) 的逆系统，其中 \(\mathcal{F}_n\) 被 \(I^n\) 零化，并且转移映射诱导同构 \(\mathcal{F}_{n + 1}/I^n\mathcal{F}_{n + 1} \to \mathcal{F}_n\)。这些逆系统所成的范畴在概形上同调，第 0EHN 节中记为 \[\textit{Coh}(X, \mathcal{I})\] 。这个范畴等价于 \(X\) 沿 \(Y\) 的形式完备化上的凝聚模范畴；但是，我们还没有引入形式概形或其上的凝聚模，所以这里不能使用这一术语。我们特别关注完备化函子 \[\textit{Coh}(\mathcal{O}_X) \longrightarrow \textit{Coh}(X, \mathcal{I}),\quad \mathcal{F} \longmapsto \mathcal{F}^\wedge\] ；参见概形上同调，等式 (0880)。

引理

设 \(X\) 为诺特概形，\(Y \subset X\) 为闭子概形。设 \(Y_n \subset X\) 为第 \(n\) 个无穷小邻域；这是 \(Y\) 在 \(X\) 中的邻域。考虑下列条件：

\(X\) 是拟仿射的，并且 \(\Gamma(X, \mathcal{O}_X) \to \lim \Gamma(Y_n, \mathcal{O}_{Y_n})\) 为同构；

\(X\) 有充足可逆模 \(\mathcal{L}\)，并且 \(\Gamma(X, \mathcal{L}^{\otimes m}) \to \lim \Gamma(Y_n, \mathcal{L}^{\otimes m}|_{Y_n})\) 对所有 \(m \gg 0\) 都是同构；

对每个有限局部自由 \(\mathcal{O}_X\)-模 \(\mathcal{E}\)，映射 \(\Gamma(X, \mathcal{E}) \to \lim \Gamma(Y_n, \mathcal{E}|_{Y_n})\) 为同构；

完备化函子 \(\textit{Coh}(\mathcal{O}_X) \to \textit{Coh}(X, \mathcal{I})\) 在有限局部自由对象所成的全子范畴上是全忠实的。

则 (1) \(\Rightarrow\) (2) \(\Rightarrow\) (3) \(\Rightarrow\) (4)，并且 (4) \(\Rightarrow\) (3)。

证明

证明 (3) \(\Rightarrow\) (4)。若 \(\mathcal{F}\) 和 \(\mathcal{G}\) 在 \(X\) 上有限局部自由，则考虑 \(\mathcal{H} = \SheafHom_{\mathcal{O}_X}(\mathcal{G}, \mathcal{F})\)，并使用概形上同调，引理 0882，可知 (3) 推出 (4)。

证明 (2) \(\rightarrow\) (3)。设 \(\mathcal{L}\) 在 \(X\) 上充足，并设 \(\mathcal{E}\) 为有限局部自由 \(\mathcal{O}_X\)-模。我们断言可以找到泛正合序列 \[0 \to \mathcal{E} \to (\mathcal{L}^{\otimes p})^{\oplus r} \to (\mathcal{L}^{\otimes q})^{\oplus s}\] ，其中某些 \(r, s \geq 0\) 且 \(0 \ll p \ll q\)。若此断言成立，则使用正合序列 \[0 \to \lim \Gamma(\mathcal{E}|_{Y_n}) \to \lim \Gamma((\mathcal{L}^{\otimes p})^{\oplus r}|_{Y_n}) \to \lim \Gamma((\mathcal{L}^{\otimes q})^{\oplus s}|_{Y_n})\] 以及 (2) 中的同构，就得到 (3) 中的同构。为证明该断言，考虑对偶局部自由模 \(\SheafHom_{\mathcal{O}_X}(\mathcal{E}, \mathcal{O}_X)\) ，并应用性质，命题 01Q3，得到满射 \[(\mathcal{L}^{\otimes -p})^{\oplus r} \longrightarrow \SheafHom_{\mathcal{O}_X}(\mathcal{E}, \mathcal{O}_X)\] 取对偶便得到正合序列中的第一个映射（它是泛单射，因为满射性是泛的）。对余核重复这一过程便得到第二个映射。略去若干细节。

证明 (1) \(\Rightarrow\) (2)。这是因为若 \(X\) 是拟仿射的，则 \(\mathcal{O}_X\) 是充足可逆模；参见性质，引理 01QE。

略去 (4) \(\Rightarrow\) (3) 的证明。

给定诺特概形和拟凝聚理想层 \(\mathcal{I} \subset \mathcal{O}_X\)，若对象 \((\mathcal{F}_n)\) 属于 \(\textit{Coh}(X, \mathcal{I})\)，且每个 \(\mathcal{F}_n\) 都是有限局部自由 \(\mathcal{O}_X/\mathcal{I}^n\)-模，则称该对象为有限局部自由的。

引理

设 \(X\) 为诺特概形，\(Y \subset X\) 为闭子概形，其理想层为 \(\mathcal{I} \subset \mathcal{O}_X\)。设 \(Y_n \subset X\) 为第 \(n\) 个无穷小邻域；这是 \(Y\) 在 \(X\) 中的邻域。设 \(\mathcal{V}\) 为开子概形 \(V \subset X\) 所成的集合，这些开子概形包含 \(Y\)；该集合按反包含排序。

\(X\) 是拟仿射的，并且 \[\colim_\mathcal{V} \Gamma(V, \mathcal{O}_V) \longrightarrow \lim \Gamma(Y_n, \mathcal{O}_{Y_n})\] 为同构；

\(X\) 有充足可逆模 \(\mathcal{L}\)，并且 \[\colim_\mathcal{V} \Gamma(V, \mathcal{L}^{\otimes m}) \longrightarrow \lim \Gamma(Y_n, \mathcal{L}^{\otimes m}|_{Y_n})\] 对所有 \(m \gg 0\) 都是同构；

对每个 \(V \in \mathcal{V}\) 和每个有限局部自由 \(\mathcal{O}_V\)-模 \(\mathcal{E}\)，映射 \[\colim_{V' \geq V} \Gamma(V', \mathcal{E}|_{V'}) \longrightarrow \lim \Gamma(Y_n, \mathcal{E}|_{Y_n})\] 为同构；

完备化函子 \[\colim_\mathcal{V} \textit{Coh}(\mathcal{O}_V) \longrightarrow \textit{Coh}(X, \mathcal{I}), \quad \mathcal{F} \longmapsto \mathcal{F}^\wedge\] 在有限局部自由对象所成的全子范畴上是全忠实的（参见上面的说明）。

则 (1) \(\Rightarrow\) (2) \(\Rightarrow\) (3) \(\Rightarrow\) (4)，并且 (4) \(\Rightarrow\) (3)。

证明

注意 \(\mathcal{V}\) 是有向集，所以这些余极限就是范畴，第 04AX 节中的余极限。其余论证几乎与引理 0EKP 的证明中的论证完全相同；我们建议读者跳过它。

证明 (3) \(\Rightarrow\) (4)。若 \(\mathcal{F}\) 和 \(\mathcal{G}\) 在 \(V \in \mathcal{V}\) 上有限局部自由，则考虑 \(\mathcal{H} = \SheafHom_{\mathcal{O}_V}(\mathcal{G}, \mathcal{F})\)，并使用概形上同调，引理 0882，可知 (3) 推出 (4)。

证明 (2) \(\Rightarrow\) (3)。设 \(\mathcal{L}\) 在 \(X\) 上充足，并设 \(\mathcal{E}\) 是有限局部自由 \(\mathcal{O}_V\)-模，其中某个 \(V \in \mathcal{V}\)。我们断言可以找到泛正合序列 \[0 \to \mathcal{E} \to (\mathcal{L}^{\otimes p})^{\oplus r}|_{V} \to (\mathcal{L}^{\otimes q})^{\oplus s}|_{V}\] ，其中某些 \(r, s \geq 0\) 且 \(0 \ll p \ll q\)。若此断言成立，则 (2) 中的同构将推出 (3) 中的同构。为证明该断言，回忆 \(\mathcal{L}|_V\) 是充足的；参见性质，引理 0B3E。考虑对偶局部自由模 \(\SheafHom_{\mathcal{O}_V}(\mathcal{E}, \mathcal{O}_V)\) ，并应用性质，命题 01Q3，得到满射 \[(\mathcal{L}^{\otimes -p})^{\oplus r}|_V \longrightarrow \SheafHom_{\mathcal{O}_V}(\mathcal{E}, \mathcal{O}_V)\] （它是泛单射，因为满射性是泛的）。取对偶便得到正合序列中的第一个映射。对余核重复这一过程便得到第二个映射。略去若干细节。

证明 (1) \(\Rightarrow\) (2)。这是因为若 \(X\) 是拟仿射的，则 \(\mathcal{O}_X\) 是充足可逆模；参见性质，引理 01QE。

略去 (4) \(\Rightarrow\) (3) 的证明。

引理

设 \(X\) 为诺特概形。设 \(\mathcal{I} \subset \mathcal{O}_X\) 为拟凝聚理想层。函子 \[\textit{Coh}(X, \mathcal{I}) \longrightarrow \text{Pro-}\QCoh(\mathcal{O}_X)\] 是全忠实的；参见范畴，注记 05PX。

证明

设 \((\mathcal{F}_n)\) 和 \((\mathcal{G}_n)\) 为 \(\textit{Coh}(X, \mathcal{I})\) 的对象。pro-对象态射 \(\alpha\) 从 \((\mathcal{F}_n)\) 到 \((\mathcal{G}_n)\)，它由一族与转移映射相容的映射 \(\alpha_n : \mathcal{F}_{m(n)} \to \mathcal{G}_n\) 给出，其中 \(\mathbf{N} \to \mathbf{N}\)，\(n \mapsto m(n)\) 是递增函数（特别地，\(m(n) \geq n\)）。由于 \(\mathcal{F}_n = \mathcal{F}_{m(n)}/\mathcal{I}^n\mathcal{F}_{m(n)}\)，并且 \(\mathcal{G}_n\) 被 \(\mathcal{I}^n\) 零化，可知 \(\alpha_n\) 诱导映射 \(\mathcal{F}_n \to \mathcal{G}_n\)。

下面给出若干例子，说明利用本章前面完成的工作能够证明何种全忠实性结果。

引理

设 \(I \subset \mathfrak a\) 为诺特环 \(A\) 的理想。令 \(U = \Spec(A) \setminus V(\mathfrak a)\)。假设

\(A\) 是 \(I\)-进完备的，并且有对偶化复形；

对任意满足下列条件的相伴素理想 \(\mathfrak p \subset A\)： \(\mathfrak p \not \in V(I)\)、 \(V(\mathfrak p) \cap V(I) \not \subset V(\mathfrak a)\)，且 \(\mathfrak q \in V(\mathfrak p) \cap V(\mathfrak a)\)，都有 \(\dim((A/\mathfrak p)_\mathfrak q) > \text{cd}(A, I) + 1\)；

对 \(\mathfrak p \subset A\)，若 \(\mathfrak p \not \in V(I)\) 且 \(V(\mathfrak p) \cap V(I) \subset V(\mathfrak a)\)，有 \(\text{depth}(A_\mathfrak p) \geq 2\)。

则完备化函子 \[\textit{Coh}(\mathcal{O}_U) \longrightarrow \textit{Coh}(U, I\mathcal{O}_U), \quad \mathcal{F} \longmapsto \mathcal{F}^\wedge\] 在有限局部自由对象所成的全子范畴上是全忠实的。

证明

由引理 0EKP，只需证明 \[\Gamma(U, \mathcal{O}_U) = \lim \Gamma(U, \mathcal{O}_U/I^n\mathcal{O}_U)\] 。这立即由引理 0EIG 得到。

引理

设 \(A\) 为诺特环。设 \(f \in \mathfrak a \subset A\) 为 \(A\) 的一个理想中的元素。令 \(U = \Spec(A) \setminus V(\mathfrak a)\)。假设

\(A\) 是 \(f\)-进完备的；

\(H^1_\mathfrak a(A)\) 和 \(H^2_\mathfrak a(A)\) 被 \(f\) 的某个幂零化。

则完备化函子 \[\textit{Coh}(\mathcal{O}_U) \longrightarrow \textit{Coh}(U, I\mathcal{O}_U), \quad \mathcal{F} \longmapsto \mathcal{F}^\wedge\] 在有限局部自由对象所成的全子范畴上是全忠实的。

证明

由引理 0EKP，只需证明 \[\Gamma(U, \mathcal{O}_U) = \lim \Gamma(U, \mathcal{O}_U/I^n\mathcal{O}_U)\] 。这立即由引理 0EII 得到。

引理

设 \(A\) 为诺特环。设 \(f \in \mathfrak a\) 为 \(A\) 的一个理想中的元素。令 \(U = \Spec(A) \setminus V(\mathfrak a)\)。假设

\(A\) 有对偶化复形，并且关于 \(f\) 完备；

对每个素理想 \(\mathfrak p \subset A\)，若 \(f \not \in \mathfrak p\)，且 \(\mathfrak q \in V(\mathfrak p) \cap V(\mathfrak a)\)，则 \(\text{depth}(A_\mathfrak p) + \dim((A/\mathfrak p)_\mathfrak q) > 2\)。

则完备化函子 \[\textit{Coh}(\mathcal{O}_U) \longrightarrow \textit{Coh}(U, I\mathcal{O}_U), \quad \mathcal{F} \longmapsto \mathcal{F}^\wedge\] 在有限局部自由对象所成的全子范畴上是全忠实的。

证明

结论由引理 0EKS 和局部上同调，命题 0EFC 得到。

引理

设 \(I \subset \mathfrak a \subset A\) 为诺特环 \(A\) 的理想。令 \(U = \Spec(A) \setminus V(\mathfrak a)\)。设 \(\mathcal{V}\) 为 \(U\) 的开子概形所成的集合，这些开子概形包含 \(U \cap V(I)\)，并按反包含排序。假设

\(A\) 是 \(I\)-进完备的，并且有对偶化复形；

对任意满足下列条件的相伴素理想 \(\mathfrak p \subset A\)： \(I \not \subset \mathfrak p\)， \(V(\mathfrak p) \cap V(I) \not \subset V(\mathfrak a)\)，且 \(\mathfrak q \in V(\mathfrak p) \cap V(\mathfrak a)\)，都有 \(\dim((A/\mathfrak p)_\mathfrak q) > \text{cd}(A, I) + 1\)。

则完备化函子 \[\colim_\mathcal{V} \textit{Coh}(\mathcal{O}_V) \longrightarrow \textit{Coh}(U, I\mathcal{O}_U), \quad \mathcal{F} \longmapsto \mathcal{F}^\wedge\] 在有限局部自由对象所成的全子范畴上是全忠实的。

证明

由引理 0EK2，只需证明 \[\colim_\mathcal{V} \Gamma(V, \mathcal{O}_V) = \lim \Gamma(U, \mathcal{O}_U/I^n\mathcal{O}_U)\] 。这立即由命题 0EG2 得到。

引理

设 \(A\) 为诺特环。设 \(f \in \mathfrak a \subset A\) 为 \(A\) 的一个理想中的元素。令 \(U = \Spec(A) \setminus V(\mathfrak a)\)。设 \(\mathcal{V}\) 为 \(U\) 的开子概形所成的集合，这些开子概形包含 \(U \cap V(f)\)，并按反包含排序。假设

\(A\) 是 \(f\)-进完备的；

\(f\) 是非零因子；

\(H^1_\mathfrak a(A/fA)\) 是有限 \(A\)-模。

则完备化函子 \[\colim_\mathcal{V} \textit{Coh}(\mathcal{O}_V) \longrightarrow \textit{Coh}(U, f\mathcal{O}_U), \quad \mathcal{F} \longmapsto \mathcal{F}^\wedge\] 在有限局部自由对象所成的全子范畴上是全忠实的。

证明

由引理 0EK2，只需证明 \[\colim_\mathcal{V} \Gamma(V, \mathcal{O}_V) = \lim \Gamma(U, \mathcal{O}_U/I^n\mathcal{O}_U)\] 。这立即由引理 0EIH 得到。

引理

设 \(I \subset \mathfrak a \subset A\) 为诺特环 \(A\) 的理想。令 \(U = \Spec(A) \setminus V(\mathfrak a)\)。设 \(\mathcal{V}\) 为 \(U\) 的开子概形所成的集合，这些开子概形包含 \(U \cap V(I)\)，并按反包含排序。设 \(\mathcal{F}\) 和 \(\mathcal{G}\) 是凝聚 \(\mathcal{O}_V\)-模，其中某个 \(V \in \mathcal{V}\)。映射 \[\colim_{V' \geq V} \Hom_V(\mathcal{G}|_{V'}, \mathcal{F}|_{V'}) \longrightarrow \Hom_{\textit{Coh}(U, I\mathcal{O}_U)}(\mathcal{G}^\wedge, \mathcal{F}^\wedge)\] 在下列假设成立时是双射：

\(A\) 是 \(I\)-进完备的，并且有对偶化复形；

若 \(x \in \text{Ass}(\mathcal{F})\)，\(x \not \in V(I)\)， \(\overline{\{x\}} \cap V(I) \not \subset V(\mathfrak a)\)，且 \(z \in \overline{\{x\}} \cap V(\mathfrak a)\)，则 \(\dim(\mathcal{O}_{\overline{\{x\}}, z}) > \text{cd}(A, I) + 1\)。

证明

可以选取凝聚 \(\mathcal{O}_U\)-模 \(\mathcal{F}'\) 和 \(\mathcal{G}'\)，它们在 \(V\) 上的限制分别为 \(\mathcal{F}\) 和 \(\mathcal{G}\)；参见性质，引理 0G41。可以修改对 \(\mathcal{F}'\) 的选择，以保证 \(\text{Ass}(\mathcal{F}') \subset V\)；例如参见局部上同调，引理 0DX3。因此可以而且确实把 \(V\) 换成 \(U\)，并把 \(\mathcal{F}\) 和 \(\mathcal{G}\) 换成 \(\mathcal{F}'\) 和 \(\mathcal{G}'\)。令 \(\mathcal{H} = \SheafHom_{\mathcal{O}_U}(\mathcal{G}, \mathcal{F})\)。这是凝聚 \(\mathcal{O}_U\)-模。我们有 \[\Hom_V(\mathcal{G}|_V, \mathcal{F}|_V) = H^0(V, \mathcal{H}) \quad\text{且}\quad \lim H^0(U, \mathcal{H}/\mathcal{I}^n\mathcal{H}) = \Mor_{\textit{Coh}(U, I\mathcal{O}_U)} (\mathcal{G}^\wedge, \mathcal{F}^\wedge)\] ；参见概形上同调，引理 0882。因此，如果能够证明命题 0EG2 的假设对 \(\mathcal{H}\) 成立，那么证明就完成了。这是因为 \(\text{Ass}(\mathcal{H}) \subset \text{Ass}(\mathcal{F})\)；参见概形上同调，引理 0EBC。

凝聚形式模的代数化，I

完备化函子的本质满性（见下文）在 [SGA2]、[MRaynaud-book] 和 [MRaynaud-paper] 中得到了系统研究。我们在下列仿射情形中工作。

情形

这里 \(A\) 是诺特环，\(I \subset \mathfrak a \subset A\) 是理想。令 \(X = \Spec(A)\)，\(Y = V(I) = \Spec(A/I)\)，并令 \(Z = V(\mathfrak a) = \Spec(A/\mathfrak a)\)。此外，\(U = X \setminus Z\)。

本节试图寻找条件，以保证 \(\textit{Coh}(U, I\mathcal{O}_U)\) 中的对象位于完备化函子 \(\textit{Coh}(\mathcal{O}_U) \to \textit{Coh}(U, I\mathcal{O}_U)\) 的像中。参见概形上同调，第 0EHN 节和第 0EKN 节。

引理

在情形 0EHC 中，考虑满足下列条件的逆系统 \((M_n)\)，它由 \(A\)-模组成：

\(M_n\) 是有限 \(A\)-模；

\(M_n\) 被 \(I^n\) 零化；

\(M_{n + 1}/I^nM_{n + 1} \to M_n\) 的核与余核都是 \(\mathfrak a\)-幂挠的。

则 \((\widetilde{M}_n|_U)\) 属于 \(\textit{Coh}(U, I\mathcal{O}_U)\)。反之，\(\textit{Coh}(U, I\mathcal{O}_U)\) 的每个对象都以这种方式得到。

证明

略去对 \((\widetilde{M}_n|_U)\) 属于 \(\textit{Coh}(U, I\mathcal{O}_U)\) 的验证。设 \((\mathcal{F}_n)\) 为 \(\textit{Coh}(U, I\mathcal{O}_U)\) 的对象。由局部上同调，引理 0BK0 可知 \(\mathcal{F}_n = \widetilde{M_n}\)，其中 \(A/I^n\)-模 \(M_n\) 有限。将 \(M_n\) 除以 \(H^0_\mathfrak a(M_n)\) 后，可以假设 \(M_n \subset H^0(U, \mathcal{F}_n)\)；参见对偶化复形，引理 0AW0 以及已经引用的引理。归纳地把 \(M_{n + 1}\) 替换为 \(M_n\) 在映射 \(M_{n + 1} \to H^0(U, \mathcal{F}_{n + 1}) \to H^0(U, \mathcal{F}_n)\) 下的逆像之后，可以假设 \(M_{n + 1}\) 映入 \(M_n\)。这给出满足 (1) 和 (2) 的逆系统 \((M_n)\)，使得 \(\mathcal{F}_n = \widetilde{M_n}\)。为说明 (3) 成立，使用如下事实： \(M_{n + 1}/I^nM_{n + 1} \to M_n\) 是有限 \(A\)-模之间的映射，在应用 \(\widetilde{\ }\) 并限制到 \(U\) 后诱导同构（这里再次使用第一个所引引理）。

在情形 0EHC 中，可以研究概形上同调，等式 (0880) 的完备化函子 [0EIK]\[\begin{equation} \textit{Coh}(\mathcal{O}_U) \longrightarrow \textit{Coh}(U, I\mathcal{O}_U),\quad \mathcal{F} \longmapsto \mathcal{F}^\wedge \end{equation}\] 若 \(A\) 是 \(I\)-进完备的，则由前面对形式截面代数化的研究，这个函子在适当的子范畴上全忠实；一些示例性结论见第 0EKN 节和引理 0EJ7。接着，设 \((\mathcal{F}_n)\) 为 \(\textit{Coh}(U, I\mathcal{O}_U)\) 的对象。仍假设 \(A\) 是 \(I\)-进完备的，可以问：\((\mathcal{F}_n)\) 何时位于上面所示完备化函子的本质像中？

引理

在情形 0EHC 中，设 \((\mathcal{F}_n)\) 为 \(\textit{Coh}(U, I\mathcal{O}_U)\) 的对象。考虑下列条件：

\((\mathcal{F}_n)\) 位于函子 (0EIK) 的本质像中；

\((\mathcal{F}_n)\) 是某个凝聚 \(\mathcal{O}_U\)-模的完备化；

\((\mathcal{F}_n)\) 是某个凝聚 \(\mathcal{O}_V\)-模的完备化，其中 \(U \cap Y \subset V \subset U\) 为开子概形；

\((\mathcal{F}_n)\) 是某个模在 \(U\) 上的限制的完备化，而该模是凝聚 \(\mathcal{O}_X\)-模；

\((\mathcal{F}_n)\) 是某个完备化在 \(U\) 上的限制，而被完备化者是凝聚 \(\mathcal{O}_X\)-模；

存在对象 \((\mathcal{G}_n)\)，它属于 \(\textit{Coh}(X, I\mathcal{O}_X)\)，其在 \(U\) 上的限制为 \((\mathcal{F}_n)\)。

则条件 (1)、(2)、(3)、(4) 和 (5) 等价，并且蕴含 (6)。若 \(A\) 是 \(I\)-进完备的，则条件 (6) 蕴含其余条件。

证明

条件 (1) 和 (2) 等价，因为凝聚 \(\mathcal{O}_U\)-模 \(\mathcal{F}\) 的完备化，按定义就是 \(\mathcal{F}\) 在函子 (0EIK) 下的像。若 \(V \subset U\) 是包含 \(U \cap Y\) 的开子概形，则有 \[\textit{Coh}(V, I\mathcal{O}_V) = \textit{Coh}(U, I\mathcal{O}_U)\] ，因为凝聚 \(\mathcal{O}_V\)-模的范畴（这些模支撑在 \(V \cap Y\) 上），与凝聚 \(\mathcal{O}_U\)-模的范畴（这些模支撑在 \(U \cap Y\) 上）相同。因此，凝聚 \(\mathcal{O}_V\)-模的完备化是 \(\textit{Coh}(U, I\mathcal{O}_U)\) 的对象。由此，(2)、(3)、(4) 和 (5) 等价，因为函子 \(\textit{Coh}(\mathcal{O}_X) \to \textit{Coh}(\mathcal{O}_U) \to \textit{Coh}(\mathcal{O}_V)\) 是本质满的。参见性质，引理 0G41。

(5) 总是蕴含 (6)。假设 \(A\) 是 \(I\)-进完备的。于是由概形上同调，引理 087W， \(\textit{Coh}(X, I\mathcal{O}_X)\) 的任意对象都对应一个有限 \(A\)-模。所以在此情形下，(6) 蕴含 (5)。

例

设 \(k\) 为域。令 \(A = k[x, y][[t]]\)，其中 \(I = (t)\) 且 \(\mathfrak a = (x, y, t)\)。使用情形 0EHC 中的记号。注意 \(U \cap Y = (D(x) \cap Y) \cup (D(y) \cap Y)\) 是仿射开覆盖。对 \(n \geq 1\)，考虑可逆模 \(\mathcal{L}_n\)；它是 \(\mathcal{O}_U/t^n\mathcal{O}_U\)-模，由 \(A_x/t^nA_x\) 与 \(A_y/t^nA_y\) 粘合而成，粘合使用 \(A_{xy}/t^nA_{xy}\) 中的可逆元，该元是任意如下形式幂级数的像： \[u = 1 + \frac{t}{xy} + \sum_{n \geq 2} a_n \frac{t^n}{(xy)^{\varphi(n)}}\] 其中 \(a_n \in k[x, y]\) 且 \(\varphi(n) \in \mathbf{N}\)。于是 \((\mathcal{L}_n)\) 是 \(\textit{Coh}(U, I\mathcal{O}_U)\) 的可逆对象，但它不是某个凝聚 \(\mathcal{O}_U\)-模 \(\mathcal{L}\) 的完备化。这里只概述论证，并略去大部分细节。设 \(y \in U \cap Y\)。那么茎 \(\mathcal{L}_y\) 的完备化将是可逆模，因而 \(\mathcal{L}_y\) 可逆。于是将存在开子概形 \(V \subset U\)，它包含 \(U \cap Y\)，并且 \(\mathcal{L}|_V\) 可逆。由除子，引理 0BD9，可得一个可逆 \(A\)-模 \(M\)，满足 \(\widetilde{M}|_V \cong \mathcal{L}|_V\)。然而环 \(A\) 是唯一分解整环，所以 \(M \cong A\)，这将推出 \(\mathcal{L}_n \cong \mathcal{O}_U/I^n\mathcal{O}_U\)。但由构造有 \(\mathcal{L}_2 \not \cong \mathcal{O}_U/I^2\mathcal{O}_U\)，于是得到所需矛盾。

注意，若取 \(a_n = 0\)，其中 \(n \geq 2\)，则可见 \(\lim H^0(U, \mathcal{L}_n)\) 非零：在这种情形下，函数 \(x\) （在 \(D(x)\) 上）与函数 \(x + t/y\)（在 \(D(y)\) 上）可以粘合。另一方面，若取 \(a_n = 1\) 且 \(\varphi(n) = 2^n\)，甚至取 \(\varphi(n) = n^2\)，则读者可以证明 \(\lim H^0(U, \mathcal{L}_n)\) 为零；这给出了在此情形下 \((\mathcal{L}_n)\) 不可代数化的另一证明。

若在情形 0EHC 中环 \(A\) 不是 \(I\)-进完备的，则引理 0EIL 表明，正确的问题是 \((\mathcal{F}_n)\) 是否位于限制函子的本质像中： \[\textit{Coh}(X, I\mathcal{O}_X) \longrightarrow \textit{Coh}(U, I\mathcal{O}_U)\] 然而，这时不能再说这意味着 \((\mathcal{F}_n)\) 可代数化。因此引入下列术语。

定义

在情形 0EHC 中，设 \((\mathcal{F}_n)\) 为 \(\textit{Coh}(U, I\mathcal{O}_U)\) 的对象。称 \((\mathcal{F}_n)\) 可延拓到 \(X\)，如果存在对象 \((\mathcal{G}_n)\) 属于 \(\textit{Coh}(X, I\mathcal{O}_X)\)，且其在 \(U\) 上的限制同构于 \((\mathcal{F}_n)\)。

这个概念等价于在完备化上可代数化。

引理

在情形 0EHC 中，设 \((\mathcal{F}_n)\) 为 \(\textit{Coh}(U, I\mathcal{O}_U)\) 的对象。设 \(A', I', \mathfrak a'\) 为 \(I\)-进完备化，所完备化的对象分别是 \(A, I, \mathfrak a\)。令 \(X' = \Spec(A')\)，且令 \(U' = X' \setminus V(\mathfrak a')\)。下列条件等价：

\((\mathcal{F}_n)\) 可延拓到 \(X\)；

\((\mathcal{F}_n)\) 到 \(U'\) 的拉回是某个凝聚 \(\mathcal{O}_{U'}\)-模的完备化。

证明

回忆 \(A \to A'\) 是平坦环映射，并诱导同构 \(A/I \to A'/I'\)。参见代数，引理 00MB 和 031C。因此 \(X' \to X\) 是平坦态射，并诱导同构 \(Y' \to Y\)。从而 \(U' \to U\) 是平坦态射，并诱导同构 \(U' \cap Y' \to U \cap Y\)。这说明在交换图 \[\xymatrix{ \textit{Coh}(X', I\mathcal{O}_{X'}) \ar[r] & \textit{Coh}(U', I\mathcal{O}_{U'}) \\ \textit{Coh}(X, I\mathcal{O}_X) \ar[u] \ar[r] & \textit{Coh}(U, I\mathcal{O}_U) \ar[u] }\] 中，竖直函子是等价。参见概形上同调，引理 0EHQ。该引理由此以及引理 0EIL 的结论形式地推出。

在情形 0EHC 中，设 \((\mathcal{F}_n)\) 为 \(\textit{Coh}(U, I\mathcal{O}_U)\) 的对象。为了判断 \((\mathcal{F}_n)\) 是否可延拓到 \(X\)，考察下列 \(A\)-模是自然的： [0EHD]\[\begin{equation} M = \lim H^0(U, \mathcal{F}_n) \end{equation}\] 注意 \(M\) 有极限拓扑；它（先验地）比 \(I\)-进拓扑更粗，因为 \(M \to H^0(U, \mathcal{F}_n)\) 零化 \(I^nM\)。有典范映射 \[\widetilde{M}|_U \to \widetilde{M/I^nM}|_U \to \widetilde{H^0(U, \mathcal{F}_n)}|_U \to \mathcal{F}_n\] 可以希望 \(\widetilde{M}\) 在 \(U\) 上限制为凝聚模，且 \((\mathcal{F}_n)\) 是该模的完备化。如果 \(A\) 不完备，这几乎不可能成立，因此这种想法过于天真。但即使 \(A\) 是 \(I\)-进完备的，这个概念也很难使用。一种不那么天真的做法是考虑下列要求。

定义

在情形 0EHC 中，设 \((\mathcal{F}_n)\) 为 \(\textit{Coh}(U, I\mathcal{O}_U)\) 的对象。称 \((\mathcal{F}_n)\) 可典范地延拓到 \(X\)，如果逆系统 \[\{\widetilde{H^0(U, \mathcal{F}_n)}\}_{n \geq 1}\] 在 \(\QCoh(\mathcal{O}_X)\) 中 pro-同构于某个对象 \((\mathcal{G}_n)\)，而该对象属于 \(\textit{Coh}(X, I\mathcal{O}_X)\)。

引理 0EIR 将说明，定义 0EIP 中的条件强于定义 0EIM 中的条件。

引理

在情形 0EHC 中，设 \((\mathcal{F}_n)\) 为 \(\textit{Coh}(U, I\mathcal{O}_U)\) 的对象。若 \((\mathcal{F}_n)\) 可典范地延拓到 \(X\)，则

\((\widetilde{H^0(U, \mathcal{F}_n)})\) pro-同构于一个对象 \((\mathcal{G}_n)\)，该对象属于 \(\textit{Coh}(X, I \mathcal{O}_X)\)，该对象在唯一同构意义下唯一；

\((\mathcal{G}_n)\) 在 \(U\) 上的限制同构于 \((\mathcal{F}_n)\)；也就是说，\((\mathcal{F}_n)\) 可延拓到 \(X\)；

逆系统 \(\{H^0(U, \mathcal{F}_n)\}\) 满足 Mittag–Leffler 条件；

(0EHD) 中的模 \(M\) 在 \(I\)-进完备化上有限，这里所完备化的环是 \(A\)，且 \(M\) 上的极限拓扑是 \(I\)-进拓扑。

证明

由定义 0EIP，(1) 中的 \((\mathcal{G}_n)\) 存在。由引理 0EIQ，(1) 中的 \((\mathcal{G}_n)\) 唯一。写成 \(\mathcal{G}_n = \widetilde{M_n}\)。则 \(\{M_n\}\) 是有限 \(A\)-模的逆系统，且 \(M_n = M_{n + 1}/I^n M_{n + 1}\)。由定义 0EIP，逆系统 \(\{H^0(U, \mathcal{F}_n)\}\) pro-同构于 \(\{M_n\}\)。因此，逆系统 \(\{H^0(U, \mathcal{F}_n)\}\) 满足 Mittag–Leffler 条件，且 \(M = \lim M_n\)（作为拓扑模）。所以，(4) 中 \(M\) 的性质由代数，引理 09B8、 031D、 05GG 得到。由于 \(U\) 是拟仿射的，典范映射 \[\widetilde{H^0(U, \mathcal{F}_n)}|_U \to \mathcal{F}_n\] 是同构（性质，引理 0EHM）。由此可知 \((\mathcal{G}_n|_U)\) 和 \((\mathcal{F}_n)\) pro-同构，因而由引理 0EIQ 可知它们同构。

引理

在情形 0EHC 中，设 \((\mathcal{F}_n)\) 为 \(\textit{Coh}(U, I\mathcal{O}_U)\) 的对象。设 \(A \to A'\) 为平坦环映射。令 \(X' = \Spec(A')\)，设 \(U' \subset X'\) 为 \(U\) 的逆像，并记诱导态射为 \(g : U' \to U\)。令 \((\mathcal{F}'_n) = (g^*\mathcal{F}_n)\)；参见概形上同调，引理 0887。若 \((\mathcal{F}_n)\) 可典范地延拓到 \(X\)，则 \((\mathcal{F}'_n)\) 可典范地延拓到 \(X'\)。此外，引理 0EIR 为 \((\mathcal{F}_n)\) 给出的延拓拉回为 \((\mathcal{F}'_n)\) 的延拓。

证明

设 \(f : X' \to X\) 为诱导态射。由平坦基变换，有 \(H^0(U', \mathcal{F}'_n) = H^0(U, \mathcal{F}_n) \otimes_A A'\)；参见概形上同调，引理 02KH。因此，若 \((\mathcal{G}_n)\) 属于 \(\textit{Coh}(X, I\mathcal{O}_X)\)，并且 pro-同构于 \((\widetilde{H^0(U, \mathcal{F}_n)})\)，则 \((f^*\mathcal{G}_n)\) pro-同构于 \[(f^*\widetilde{H^0(U, \mathcal{F}_n)}) = (\widetilde{H^0(U, \mathcal{F}_n) \otimes_A A'}) = (\widetilde{H^0(U', \mathcal{F}'_n)})\] 。证明完成。

引理

在情形 0EHC 中，设 \((\mathcal{F}_n)\) 为 \(\textit{Coh}(U, I\mathcal{O}_U)\) 的对象。设 \(M\) 如 (0EHD)。假设

逆系统 \(H^0(U, \mathcal{F}_n)\) 具有 Mittag–Leffler 性质；

\(M\) 上的极限拓扑与 \(I\)-进拓扑一致；

\(M \to H^0(U, \mathcal{F}_n)\) 的像是有限 \(A\)-模，对所有 \(n\) 均如此。

则 \((\mathcal{F}_n)\) 可典范地延拓到 \(X\)。特别地，若 \(A\) 是 \(I\)-进完备的，则 \((\mathcal{F}_n)\) 是某个凝聚 \(\mathcal{O}_U\)-模的完备化。

证明

由于 \(H^0(U, \mathcal{F}_n)\) 具有 Mittag–Leffler 性质，且 \(M\) 上的极限拓扑是 \(I\)-进拓扑，可知 \(\{M/I^nM\}\) 与 \(\{H^0(U, \mathcal{F}_n)\}\) 是 pro-同构的 \(A\)-模逆系统。因此，若令 \[\mathcal{G}_n = \widetilde{M/I^n M}\] 则为了验证定义 0EIP 中的条件，只需证明 \(M\) 在 \(I\)-进完备化上为有限模，其中被完备化的环是 \(A\)。这由上述结论、条件 (c) 给出的 \(M/I^n M\) 的有限性，以及代数，引理 031D 得到。

下述结论在某种意义上是上面引理 0EHH 最直接的可能应用。

引理

在情形 0EHC 中，设 \((\mathcal{F}_n)\) 为 \(\textit{Coh}(U, I\mathcal{O}_U)\) 的对象。假设

\(I = (f)\) 是由非零因子 \(f \in \mathfrak a\) 生成的主理想；

\(\mathcal{F}_n\) 是有限局部自由 \(\mathcal{O}_U/f^n\mathcal{O}_U\)-模；

\(H^1_\mathfrak a(A/fA)\) 和 \(H^2_\mathfrak a(A/fA)\) 是有限 \(A\)-模。

则 \((\mathcal{F}_n)\) 可典范地延拓到 \(X\)。特别地，若 \(A\) 完备，则 \((\mathcal{F}_n)\) 是某个凝聚 \(\mathcal{O}_U\)-模的完备化。

证明

我们将通过验证引理 0EHH 的假设 (a)、(b) 和 (c) 来证明此结论。

由于 \(\mathcal{F}_n\) 在 \(\mathcal{O}_U/f^n\mathcal{O}_U\) 上局部自由，所以有短正合序列 \(0 \to \mathcal{F}_n \to \mathcal{F}_{n + 1} \to \mathcal{F}_1 \to 0\) ，对所有 \(n\) 均如此。因此，由上同调，引理 0EHA，条件 (b) 成立。

由于 \(f\) 是非零因子，得到短正合序列 \[0 \to A/f^nA \xrightarrow{f} A/f^{n + 1}A \to A/fA \to 0\] 以及相应的短正合序列 \(0 \to \mathcal{F}_n \to \mathcal{F}_{n + 1} \to \mathcal{F}_1 \to 0\). 下文将不再另行说明地使用局部上同调，引理 0BK0 。我们的假设蕴含 \(H^0(U, \mathcal{O}_U/f\mathcal{O}_U)\) 和 \(H^1(U, \mathcal{O}_U/f\mathcal{O}_U)\) 都是有限 \(A\)-模。因此，对 \(\mathcal{F}_1\) 也有相同结论；参见局部上同调，引理 0BLT。利用归纳法和这些短正合序列，可知 \(H^0(U, \mathcal{F}_n)\) 是有限 \(A\)-模，对所有 \(n\) 均如此。由此可见假设 (c) 成立。

最后，由于 \(H^1(U, \mathcal{F}_1)\) 是有限 \(A\)-模，可以应用上同调，引理 0BLC，从而看出假设 (a) 成立。

注

在引理 0DXW 中，若 \(A\) 是具有 Cohen–Macaulay 形式纤维的泛链状环（例如，若 \(A\) 有对偶化复形），则条件 \(H^1_\mathfrak a(A/fA)\) 和 \(H^2_\mathfrak a(A/fA)\) 是有限 \(A\)-模，等价于 \[\text{depth}((A/f)_\mathfrak p) + \dim((A/\mathfrak p)_\mathfrak q) > 2\] 对所有 \(\mathfrak p \in V(f) \setminus V(\mathfrak a)\) 和 \(\mathfrak q \in V(\mathfrak p) \cap V(\mathfrak a)\) 成立；这是局部上同调，定理 0BJV 的结论。

例如，若 \(A/fA\) 满足 \((S_2)\)，且 \(Z = V(\mathfrak a)\) 的每个不可约分支的余维均 \(\geq 3\)（余维在 \(Y = \Spec(A/fA)\) 中取），则可得 \(H^1_\mathfrak a(A/fA)\) 和 \(H^2_\mathfrak a(A/fA)\) 的有限性。应将此与引理 0DXU 中稍弱的条件作比较（另见注记 0DXV）。

凝聚形式模的代数化，II

我们继续第 0DXS 节中开始的讨论。初次阅读时可以跳过本节。

引理

在情形 0EHC 中，设 \((\mathcal{F}_n) \to (\mathcal{F}'_n)\) 是 \(\textit{Coh}(U, I\mathcal{O}_U)\) 中的一个态射，其核与余核均被 \(I\) 的某个幂零化。则

\((\mathcal{F}_n)\) 可延拓到 \(X\)，当且仅当 \((\mathcal{F}'_n)\) 可延拓到 \(X\)；

\((\mathcal{F}_n)\) 是某个凝聚 \(\mathcal{O}_U\)-模的完备化，当且仅当 \((\mathcal{F}'_n)\) 也是如此。

证明

第 (2) 项直接由概形上同调，引理 0889 推出。为证明第 (1) 项，先用引理 0EIN 约化到 \(A\) 为 \(I\)-进完备的情形。但在这种情形下，引理 0EIL 把第 (1) 项约化为第 (2) 项。

下面两个引理原本用于引理 0EHH 的证明。我们将其保留在这里，供有兴趣了解可得到哪些中间结果的读者参考。

引理

在情形 0EHC 中，设 \((\mathcal{F}_n)\) 是 \(\textit{Coh}(U, I\mathcal{O}_U)\) 的一个对象。若逆系统 \(H^0(U, \mathcal{F}_n)\) 满足 Mittag–Leffler 条件，则典范映射 \[\widetilde{M/I^nM}|_U \to \mathcal{F}_n\] 对所有 \(n\) 均为满射，其中 \(M\) 如 (0EHD) 所示。

证明

满性可在某点 \(y \in Y \setminus Z\) 的茎上检验。若 \(y\) 对应于素理想 \(\mathfrak q \subset A\)，则可以选取 \(f \in \mathfrak a\)，使得 \(f \not \in \mathfrak q\)。于是只需证明 \[M_f \longrightarrow H^0(U, \mathcal{F}_n)_f = H^0(D(f), \mathcal{F}_n)\] 为满射，因为 \(D(f)\) 是仿射的（等号由性质，引理 01P7 成立）。由于满足 Mittag–Leffler 条件，可知 \[\Im(M \to H^0(U, \mathcal{F}_n)) = \Im(H^0(U, \mathcal{F}_m) \to H^0(U, \mathcal{F}_n))\] 对某个 \(m \geq n\) 成立。利用上同调长正合序列可见 \[\Coker(H^0(U, \mathcal{F}_m) \to H^0(U, \mathcal{F}_n)) \subset H^1(U, \Ker(\mathcal{F}_m \to \mathcal{F}_n))\] 由于 \(U = X \setminus V(\mathfrak a)\)，此 \(H^1\) 是 \(\mathfrak a\)-幂挠的。因此将 \(f\) 可逆化后，余核变为零。

引理

在情形 0EHC 中，设 \((\mathcal{F}_n)\) 是 \(\textit{Coh}(U, I\mathcal{O}_U)\) 的一个对象，并设 \(M\) 如 (0EHD) 所示。令 \[\mathcal{G}_n = \widetilde{M/I^nM}.\] 若 \(M\) 上的极限拓扑与 \(I\)-进拓扑一致，则 \(\mathcal{G}_n|_U\) 是凝聚 \(\mathcal{O}_U\)-模，并且逆系统的映射 \[(\mathcal{G}_n|_U) \longrightarrow (\mathcal{F}_n)\] 在阿贝尔范畴 \(\textit{Coh}(U, I\mathcal{O}_U)\) 中是单射。

证明

注意，\(\mathcal{G}_n\) 是拟凝聚 \(\mathcal{O}_X\)-模，并且被 \(I^n\) 零化，且 \(\mathcal{G}_{n + 1}/I^n\mathcal{G}_{n + 1} = \mathcal{G}_n\). 考虑 \[M_n = \Im(M \longrightarrow H^0(U, \mathcal{F}_n))\] 该假设说明逆系统 \((M_n)\) 与 \((M/I^nM)\) 作为 \(\text{Mod}_A\) 的 pro-对象同构。选取 \(f \in \mathfrak a\)，使得 \(D(f) \subset U\) 是仿射开集。于是有 \[(M_n)_f \subset H^0(U, \mathcal{F}_n)_f = H^0(D(f), \mathcal{F}_n)\] 由性质，引理 01P7，这里等号成立。因此 \(\widetilde{M_n}|_U \to \mathcal{F}_n\) 是单射。由此推出 \(\widetilde{M_n}|_U\) 是凝聚模（概形上同调，引理 01Y1）。由于 \(M \to M/I^nM\) 是满射，并且它分解为 \(M_{n'} \to M/I^nM\)，其中某个 \(n' \geq n\)，所以 \(\mathcal{G}_n|_U\) 作为凝聚模的商是凝聚的。结合证明开头的观察，可知 \((\mathcal{G}_n|_U)\) 确实构成 \(\textit{Coh}(U, I\mathcal{O}_U)\) 的一个对象。最后，为证明该映射的单性，只需证明 \[\lim (M/I^nM)_f = \lim H^0(D(f), \mathcal{G}_n) \to \lim H^0(D(f), \mathcal{F}_n)\] 为单射；参见概形上同调，引理 087X 和 087W。 \(\lim (M_n)_f \to \lim H^0(D(f), \mathcal{F}_n)\) 的单性是清楚的（见上文），而由我们关于 pro-系统的说明，有 \(\lim (M_n)_f = \lim (M/I^nM)_f\)。证明完成。

距离函数

设 \(Y\) 是诺特概形，\(Z \subset Y\) 是闭子集。我们定义函数 [0EIX]\[\begin{equation} \delta^Y_Z = \delta_Z : Y \longrightarrow \mathbf{Z}_{\geq 0} \cup \{\infty\} \end{equation}\] 来度量 \(Y\) 的一点到 \(Z\) 的“距离”。非正式讨论见注记 0EJ0。设 \(y \in Y\)。规定 \(\delta_Z(y) = \infty\)，如果 \(y\) 位于 \(Y\) 的一个与 \(Z\) 不相交的连通分支中。若 \(y\) 位于 \(Y\) 的一个与 \(Z\) 相交的连通分支中，则可找到 \(k \geq 0\) 以及系统 \[V_0 \subset W_0 \supset V_1 \subset W_1 \supset \ldots \supset V_k \subset W_k\] ，其中各项都是 \(Y\) 的整的闭子概形，\(V_0 \subset Z\)，且 \(y \in W_k\) 是泛点。令 \(c_i = \text{codim}(V_i, W_i)\)，其中 \(i = 0, \ldots, k\)；并令 \(b_i = \text{codim}(V_{i + 1}, W_i)\)，其中 \(i = 0, \ldots, k - 1\)。对这样的系统，令 \[\delta(V_0, W_0, V_1, \ldots, W_k) = k + \max_{i = 0, 1, \ldots, k} (c_i + c_{i + 1} + \ldots + c_k - b_i - b_{i + 1} - \ldots - b_{k - 1})\] 这个数 \(\geq k\)，因为可以取 \(i = k\)，且 \(c_k \geq 0\)。最后令 \[\delta_Z(y) = \min \delta(V_0, W_0, V_1, \ldots, W_k)\] ，其中最小值遍历上述所有由 \(Y\) 的整的闭子概形组成的系统。

引理

设 \(Y\) 是诺特概形，\(Z \subset Y\) 是闭子集。

对 \(y \in Y\)，有 \(\delta_Z(y) = 0 \Leftrightarrow y \in Z\)。

子集 \(\{y \in Y \mid \delta_Z(y) \leq k\}\) 对特化稳定。

对 \(y \in Y\) 和 \(z \in \overline{\{y\}} \cap Z\)，有 \(\dim(\mathcal{O}_{\overline{\{y\}}, z}) \geq \delta_Z(y)\)。

若 \(\delta\) 是 \(Y\) 上的维数函数，则 \(\delta_Z(y) \geq \delta(y) - \delta_{max}\)，其中 \(\delta_{max}\) 是 \(\delta\) 在 \(Z\) 上的最大值。

若 \(Y = \Spec(A)\) 是链状诺特局部环的谱，其极大理想为 \(\mathfrak m\)，且 \(Z = \{\mathfrak m\}\)，则 \(\delta_Z(y) = \dim(\overline{\{y\}})\)。

若 \(Y' \subset Y\) 是开子概形，则 \(\delta^{Y'}_{Y' \cap Z}(y') \geq \delta^Y_Z(y')\) 对 \(y' \in Y'\) 成立。

假设 \(Y\) 是链状的。则

设 \(y' \leadsto y\) 是 \(Y\) 中点的直接特化。若 \(Y\) 是链状的，则 \(\delta_Z(y') \leq \delta_Z(y) + 1\)。

给定如下特化图式 \[\xymatrix{ & y'_0 \ar@{~>}[ld] \ar@{~>}[rd] & & y'_1 \ar@{~>}[ld] & \ldots & y'_{k - 1} \ar@{~>}[rd] & \\ y_0 & & y_1 & & \ldots & & y_k = y }\] ，其中各点都在 \(Y\) 中，\(y_0 \in Z\)，并且 \(y_i' \leadsto y_i\) 是直接特化，则 \(\delta_Z(y_k) \leq k\)。

证明

第 (1) 项的证明。若 \(y \in Z\)，则可取 \(k = 0\) 以及 \(V_0 = W_0 = \overline{\{y\}}\)，从而得到 \(\delta(V_0, W_0) = 0\)，故 \(\delta_Z(y) = 0\)。若 \(y \not \in Z\)，则对每个系统 \(V_0 \subset W_0 \supset V_1 \subset W_1 \supset \ldots \subset W_k\) ，只要它是 \(y\) 的系统，就或者有 \(k = 0\) 且 \(V_0 \not = W_0\)，或者有 \(k > 0\)。在两种情形下都有 \(\delta(V_0, W_0, \ldots, W_k) > 0\)。因此 \(\delta_Z(y) > 0\)。

第 (2) 项的证明。设 \(y \leadsto y'\) 是非平凡特化，并设 \(V_0 \subset W_0 \supset V_1 \subset W_1 \supset \ldots \subset W_k\) 是 \(y\) 的一个系统。分两种情形。情形 I：\(V_k = W_k\)，即 \(c_k = 0\)。在此情形下可令 \(V'_k = W'_k = \overline{\{y'\}}\)。直接计算表明 \(\delta(V_0, W_0, \ldots, V'_k, W'_k) \leq \delta(V_0, W_0, \ldots, V_k, W_k)\) ，因为只有 \(b_{k - 1}\) 被换成了一个更大的整数。情形 II：\(V_k \not = W_k\)，即 \(c_k > 0\)。在此情形下，令 \(V_{k + 1} = W_{k + 1} = \overline{\{y'\}}\)，可见 \(V_0 \subset W_0 \supset \ldots \subset W_k \supset V_{k + 1} \subset W_{k + 1}\) 是 \(y'\) 的一个系统。此时 \(c_{k + 1} = 0\)，且 \(b_k > 0\)，所以得到 \[\begin{align*} & \delta(V_0, \ldots, W_{k + 1}) \\ & = k + 1 + \max_{i = 0, 1, \ldots, k + 1} (c_i + c_{i + 1} + \ldots + c_k + c_{k + 1} - b_i - b_{i + 1} - \ldots - b_{k - 1} - b_k) \\ & = k + 1 + \max_{i = 0, 1, \ldots, k + 1} (c_i + c_{i + 1} + \ldots + c_k - b_i - b_{i + 1} - \ldots - b_{k - 1} - b_k) \\ & \leq k + \max_{i = 0, 1, \ldots, k} (c_i + c_{i + 1} + \ldots + c_k - b_i - b_{i + 1} - \ldots - b_{k - 1}) \\ & = \delta(V_0, \ldots, W_k) \end{align*}\] 该不等式成立，是因为 \(c_k > 0\) 且 \(b_k > 0\)；这尤其蕴含 \(\delta(V_0, \ldots, W_k) \geq k + c_k \geq k + 1\)。

第 (3) 项的证明。给定 \(y \in Y\) 和 \(z \in \overline{\{y\}} \cap Z\)，得到系统 \[V_0 = \overline{\{z\}} \subset W_0 = \overline{\{y\}}\] ，并且由性质，引理 02IZ，有 \(c_0 = \text{codim}(V_0, W_0) = \dim(\mathcal{O}_{\overline{\{y\}}, z})\)。因此 \(\delta(V_0, W_0) = 0 + c_0 = c_0\)，这就证明了所需结论。

第 (4) 项的证明。设 \(\delta\) 是 \(Y\) 上的维数函数。设 \(V_0 \subset W_0 \supset V_1 \subset W_1 \supset \ldots \subset W_k\) 是 \(y\) 的一个系统。令 \(y'_i \in W_i\) 和 \(y_i \in V_i\) 为相应泛点，于是 \(y_0 \in Z\) 且 \(y_k = y\)。这时 \[\delta(y_i) - \delta(y_{i - 1}) = \delta(y'_{i - 1}) - \delta(y_{i - 1}) - \delta(y'_{i - 1}) + \delta(y_i) = c_{i - 1} - b_{i - 1}\] 最后有 \(\delta(y'_k) - \delta(y_{k - 1}) = c_k\)。因此 \[\delta(y) - \delta(y_0) = c_0 + \ldots + c_k - b_0 - \ldots - b_{k - 1}\] 由此得出 \(\delta(V_0, W_0, \ldots, W_k) \geq k + \delta(y) - \delta(y_0)\) ，这就证明了所需结论。

第 (5) 项的证明。函数 \(\delta(y) = \dim(\overline{\{y\}})\) 是维数函数。因此由第 (4) 项有 \(\delta(y) \leq \delta_Z(y)\)。由第 (3) 项有 \(\delta_Z(y) \leq \delta(y)\)，证明完成。

第 (6) 项的证明。这是清楚的，因为计算 \(\delta^{Y'}_{Y' \cap Z}\) 时需要考虑的系统更少。

第 (7) 项的证明。设 \(V_0 \subset W_0 \supset V_1 \subset W_1 \supset \ldots \subset W_k\) 是 \(y\) 的一个系统。令 \(W'_k = \overline{\{y'\}}\)。由于 \(Y\) 是链状的，可知 \(\text{codim}(V_k, W'_k) = \text{codim}(V_k, W_k) + 1\). 容易推出 \(\delta(V_0, \ldots, V_k, W'_k) \leq \delta(V_0, \ldots, V_k, W_k) + 1\)，这就证明了所需结论。

第 (8) 项的证明：结合第 (7) 项与第 (2) 项即可。

引理

设 \(Y\) 是泛链状诺特概形，\(Z \subset Y\) 是闭子概形。设 \(f : Y' \to Y\) 是有限型态射，其所有纤维的维数均 \(\leq e\)。令 \(Z' = f^{-1}(Z)\)。则 \[\delta_Z(y) \leq \delta_{Z'}(y') + e - \text{trdeg}_{\kappa(y)}(\kappa(y'))\] 对 \(y' \in Y'\) 成立，其中其像为 \(y \in Y\)。

证明

若 \(\delta_{Z'}(y') = \infty\)，则无须证明。若 \(\delta_{Z'}(y') < \infty\)，则选取整的闭子概形系统 \[V'_0 \subset W'_0 \supset V'_1 \subset W'_1 \supset \ldots \subset W'_k\] ，其中各项在 \(Y'\) 中，\(V'_0 \subset Z'\)，且 \(y'\) 是 \(W'_k\) 的泛点，并使得 \(\delta_{Z'}(y') = \delta(V'_0, W'_0, \ldots, W'_k)\)。记 \[V_0 \subset W_0 \supset V_1 \subset W_1 \supset \ldots \subset W_k\] 为上述概形在 \(Y\) 中的概形论像。注意，\(y\) 是 \(W_k\) 的泛点，并且 \(V_0 \subset Z\)。对每个 \(i\)，考察图表 \[\xymatrix{ V'_i \ar[r] \ar[d] & W'_i \ar[d] & V'_{i + 1} \ar[l] \ar[d] \\ V_i \ar[r] & W_i & V_{i + 1} \ar[l] }\] 记 \(n_i\) 为 \(V'_i/V_i\) 的相对维数，记 \(m_i\) 为 \(W'_i/W_i\) 的相对维数；更确切地说，它们是相应函数域扩张的超越次数。令 \(c_i = \text{codim}(V_i, W_i)\), \(c'_i = \text{codim}(V'_i, W'_i)\), \(b_i = \text{codim}(V_{i + 1}, W_i)\)，以及 \(b'_i = \text{codim}(V'_{i + 1}, W'_i)\)。由维数公式有 \[c_i = c'_i + n_i - m_i \quad\text{且}\quad b_i = b'_i + n_{i + 1} - m_i\] 参见态射，引理 02JU。因此 \(c_i - b_i = c'_i - b'_i + n_i - n_{i + 1}\)。于是 \[\begin{align*} & c_i + c_{i + 1} + \ldots + c_k - b_i - b_{i + 1} - \ldots - b_{k - 1} \\ & = c'_i + c'_{i + 1} + \ldots + c'_k - b'_i - b'_{i + 1} - \ldots - b'_{k - 1} + n_i - n_k + c_k - c'_k \\ & = c'_i + c'_{i + 1} + \ldots + c'_k - b'_i - b'_{i + 1} - \ldots - b'_{k - 1} + n_i - m_k \end{align*}\] 由此可见 \[\begin{align*} \max_{i = 0, \ldots, k} & (c_i + c_{i + 1} + \ldots + c_k - b_i - b_{i + 1} - \ldots - b_{k - 1}) \\ & = \max_{i = 0, \ldots, k} (c'_i + c'_{i + 1} + \ldots + c'_k - b'_i - b'_{i + 1} - \ldots - b'_{k - 1} + n_i - m_k) \\ & = \max_{i = 0, \ldots, k} (c'_i + c'_{i + 1} + \ldots + c'_k - b'_i - b'_{i + 1} - \ldots - b'_{k - 1} + n_i) - m_k \\ & \leq \max_{i = 0, \ldots, k} (c'_i + c'_{i + 1} + \ldots + c'_k - b'_i - b'_{i + 1} - \ldots - b'_{k - 1}) + e - m_k \end{align*}\] 由于 \(m_k = \text{trdeg}_{\kappa(y)}(\kappa(y'))\)，可得 \[\delta(V_0, W_0, \ldots, W_k) \leq \delta(V'_0, W'_0, \ldots, W'_k) + e - \text{trdeg}_{\kappa(y)}(\kappa(y'))\] ，即为所需结论。

注

设 \(Y\) 是链状诺特概形，\(Z \subset Y\) 是闭子集。由引理 0EIY 有 \[\delta_Z(y) \leq \min \left\{ k \middle| \begin{matrix} \text{ there exist specializations in }Y \\ y_0 \leftarrow y'_0 \rightarrow y_1 \leftarrow y'_1 \rightarrow \ldots \leftarrow y'_{k - 1} \rightarrow y_k = y \\ \text{ 其中 }y_0 \in Z\text{ 且 }y_i' \leadsto y_i \text{ immediate} \end{matrix} \right\}\] 我们断言，若 \(Y\) 在某个域上是有限型的，则等号成立。如果以后需要这一结果，我们会在这里给出精确表述并加以证明。然而，一般而言，若用该不等式的右端定义 \(\delta_Z\)，则我们不知道引理 0EIZ 是否仍然成立。

例

设 \(k\) 是域，且 \(Y = \mathbf{A}^n_k\)。记 \(\delta : Y \to \mathbf{Z}_{\geq 0}\) 为通常的维数函数。

若 \(Z = \{z\}\)，其中 \(z\) 是某个闭点，则

\(\delta_Z(y) = \delta(y)\) 在 \(y \leadsto z\) 时成立；

\(\delta_Z(y) = \delta(y) + 1\) 在 \(y \not \leadsto z\) 时成立。

若 \(Z\) 是闭子簇，且 \(W = \overline{\{y\}}\)，则

\(\delta_Z(y) = 0\) 在 \(W \subset Z\) 时成立；

\(\delta_Z(y) = \dim(W) - \dim(Z)\) 在 \(Z\) 包含于 \(W\) 时成立；

\(\delta_Z(y) = 1\) 在 \(\dim(W) \leq \dim(Z)\) 且 \(W \not \subset Z\) 时成立；

\(\delta_Z(y) = \dim(W) - \dim(Z) + 1\) 在 \(\dim(W) > \dim(Z)\) 且 \(Z \not \subset W\) 时成立。

情形 (1) 的推广如下：设 \(Y\) 在某个域上是有限型的，且 \(Z = \{z\}\) 是闭点。则 \(\delta_Z(y) = \delta(y) + t\)，其中 \(t\) 是连接 \(z\) 与 \(\overline{\{y\}}\) 的某个闭点的曲线链的最小长度。

凝聚形式模的代数化，III

我们继续第 0DXS 节和第 0EIT 节中开始的讨论。我们将使用第 0EIW 节的距离函数，表述情形 0EHC 中凝聚形式模所满足的一些自然条件。

在情形 0EHC 中，给定一点 \(y \in U \cap Y\)，可以考虑 \(I\)-进完备化 \[\mathcal{O}_{X, y}^\wedge = \lim \mathcal{O}_{X, y}/I^n\mathcal{O}_{X, y}\] 。这是关于 \(I\mathcal{O}_{X, y}^\wedge\) 完备的诺特局部环，其极大理想为 \(\mathfrak m_y^\wedge\)；参见代数，第 0BNH 节。设 \((\mathcal{F}_n)\) 是 \(\textit{Coh}(U, I\mathcal{O}_U)\) 的一个对象。将 \((\mathcal{F}_n)\) 在 \(y\) 处的“茎”定义为 \[\mathcal{F}_y^\wedge = \lim \mathcal{F}_{n, y}\] 。这是 \(\mathcal{O}_{X, y}^\wedge\) 上的有限模。参见代数，引理 09B8 和 031D。

定义

在情形 0EHC 中，设 \((\mathcal{F}_n)\) 是 \(\textit{Coh}(U, I\mathcal{O}_U)\) 的一个对象。设 \(a, b\) 是整数，并设 \(\delta^Y_Z\) 如 (0EIX) 所示。称 \((\mathcal{F}_n)\) 满足 \((a, b)\)-不等式组，如果对 \(y \in U \cap Y\) 以及素理想 \(\mathfrak p \subset \mathcal{O}_{X, y}^\wedge\)，只要 \(\mathfrak p \not \in V(I\mathcal{O}_{X, y}^\wedge)\)，就有

若 \(V(\mathfrak p) \cap V(I\mathcal{O}_{X, y}^\wedge) \not = \{\mathfrak m_y^\wedge\}\)，则 \[\text{depth}((\mathcal{F}^\wedge_y)_\mathfrak p) + \delta^Y_Z(y) \geq a \quad\text{或}\quad \text{depth}((\mathcal{F}^\wedge_y)_\mathfrak p) + \dim(\mathcal{O}_{X, y}^\wedge/\mathfrak p) + \delta^Y_Z(y) > b\]

若 \(V(\mathfrak p) \cap V(I\mathcal{O}_{X, y}^\wedge) = \{\mathfrak m_y^\wedge\}\)，则 \[\text{depth}((\mathcal{F}^\wedge_y)_\mathfrak p) + \delta^Y_Z(y) > a\]

称 \((\mathcal{F}_n)\) 满足严格 \((a, b)\)-不等式组，如果对 \(y \in U \cap Y\) 以及素理想 \(\mathfrak p \subset \mathcal{O}_{X, y}^\wedge\)，只要 \(\mathfrak p \not \in V(I\mathcal{O}_{X, y}^\wedge)\)，就有 \[\text{depth}((\mathcal{F}^\wedge_y)_\mathfrak p) + \delta^Y_Z(y) > a \quad\text{或}\quad \text{depth}((\mathcal{F}^\wedge_y)_\mathfrak p) + \dim(\mathcal{O}_{X, y}^\wedge/\mathfrak p) + \delta^Y_Z(y) > b\]

下面是一些初等观察。

引理

在情形 0EHC 中，设 \((\mathcal{F}_n)\) 是 \(\textit{Coh}(U, I\mathcal{O}_U)\) 的一个对象，并设 \(a, b\) 是整数。

若 \((\mathcal{F}_n)\) 被 \(I\) 的某个幂零化，则 \((\mathcal{F}_n)\) 满足 \((a, b)\)-不等式组，对任意 \(a, b\) 都如此。

若 \((\mathcal{F}_n)\) 满足 \((a + 1, b)\)-不等式组，则 \((\mathcal{F}_n)\) 满足严格 \((a, b)\)-不等式组。

若 \(\text{cd}(A, I) \leq d\)，且 \(A\) 有对偶化复形，则

\((\mathcal{F}_n)\) 满足 \((s, s + d)\)-不等式组，当且仅当对所有 \(y \in U \cap Y\)，元组 \(\mathcal{O}_{X, y}^\wedge, I\mathcal{O}_{X, y}^\wedge, \{\mathfrak m_y^\wedge\}, \mathcal{F}_y^\wedge, s - \delta^Y_Z(y), d\) 如情形 0EFU 所示。

若 \((\mathcal{F}_n)\) 满足严格 \((s, s + d)\)-不等式组，则 \((\mathcal{F}_n)\) 满足 \((s, s + d)\)-不等式组。

证明

除第 (4) 项外均为立即的；第 (4) 项由引理 0EFW 以及第 (3) 项中的对应关系推出。

引理

在情形 0EHC 中，设 \((\mathcal{F}_n)\) 是 \(\textit{Coh}(U, I\mathcal{O}_U)\) 的一个对象。若 \(\text{cd}(A, I) = 1\)，则 \(\mathcal{F}\) 满足 \((2, 3)\)-不等式组，当且仅当 \[\text{depth}((\mathcal{F}^\wedge_y)_\mathfrak p) + \dim(\mathcal{O}_{X, y}^\wedge/\mathfrak p) + \delta^Y_Z(y) > 3\] 对所有 \(y \in U \cap Y\) 和 \(\mathfrak p \subset \mathcal{O}_{X, y}^\wedge\)，只要 \(\mathfrak p \not \in V(I\mathcal{O}_{X, y}^\wedge)\) 就成立。

证明

注意，对素理想 \(\mathfrak p \subset \mathcal{O}_{X, y}^\wedge\)，若 \(\mathfrak p \not \in V(I\mathcal{O}_{X, y}^\wedge)\)，则有 \(V(\mathfrak p) \cap V(I\mathcal{O}_{X, y}^\wedge) = \{\mathfrak m_y^\wedge\} \Leftrightarrow \dim(\mathcal{O}_{X, y}^\wedge/\mathfrak p) = 1\) ，因为 \(\text{cd}(A, I) = 1\)。参见局部上同调，引理 0DXA 和 0DXF。现在考虑三个数 \(\alpha = \text{depth}((\mathcal{F}^\wedge_y)_\mathfrak p) \geq 0\)、 \(\beta = \dim(\mathcal{O}_{X, y}^\wedge/\mathfrak p) \geq 1\) 和 \(\gamma = \delta^Y_Z(y) \geq 1\)。由定义 0EJ3，所需条件为

若 \(\beta > 1\)，则 \(\alpha + \gamma \geq 2\) 或 \(\alpha + \beta + \gamma > 3\)；

若 \(\beta = 1\)，则 \(\alpha + \gamma > 2\)。

显然，这等价于 \(\alpha + \beta + \gamma > 3\)。

在本节余下部分中（建议读者初次阅读时跳过），我们将证明：当 \(A\) 是 \(I\)-进完备的时，由 \((\mathcal{F}_n)\) 构成如下范畴：它们属于 \(\textit{Coh}(U, I\mathcal{O}_U)\)、可延拓到 \(X\)，并满足严格 \((1, 1 + \text{cd}(A, I))\)-不等式组。该范畴等价于凝聚 \(\mathcal{O}_U\)-模范畴的一个满子范畴。

引理

在情形 0EHC 中，设 \(\mathcal{F}\) 是凝聚 \(\mathcal{O}_U\)-模，且 \(d \geq 1\)。假设

\(A\) 是 \(I\)-进完备的，有对偶化复形，并且 \(\text{cd}(A, I) \leq d\)；

完备化 \(\mathcal{F}^\wedge\)（它来自 \(\mathcal{F}\)）满足严格 \((1, 1 + d)\)-不等式组。

设 \(x \in X\) 是一点，并令 \(W = \overline{\{x\}}\)。若 \(W \cap Y\) 有一个包含于 \(Z\) 的不可约分支，并且还有一个不包含于其中的不可约分支，则 \(\text{depth}(\mathcal{F}_x) \geq 1\)。

证明

设 \(W \cap Y = W_1 \cup \ldots \cup W_n\) 是不可约分支分解。由假设，重新编号后可找到 \(0 < m < n\)，使得 \(W_1, \ldots, W_m \subset Z\) 且 \(W_{m + 1}, \ldots, W_n \not \subset Z\)。于是 \[W \cap Y \setminus \left((W_1 \cup \ldots \cup W_m) \cap (W_{m + 1} \cup \ldots \cup W_n)\right)\] 不连通。由引理 0EG5，可找到 \(1 \leq i \leq m < j \leq n\) 以及 \(z \in W_i \cap W_j\)，使得 \(\dim(\mathcal{O}_{W, z}) \leq d + 1\)。选取直接特化 \(y \leadsto z\)，其中 \(y \in W_j\) 且 \(y \not \in Z\)；\(y\) 的存在性由性质，引理 02IM 得到。注意，\(\delta^Y_Z(y) = 1\) 且 \(\dim(\mathcal{O}_{W, y}) \leq d\)。设 \(\mathfrak p \subset \mathcal{O}_{X, y}\) 是对应于 \(x\) 的素理想。设 \(\mathfrak p' \subset \mathcal{O}_{X, y}^\wedge\) 是 \(\mathfrak p\mathcal{O}_{X, y}^\wedge\) 上方的一个极小素理想。则 \[\text{depth}(\mathcal{F}_x) = \text{depth}((\mathcal{F}^\wedge_y)_{\mathfrak p'}) \quad\text{且}\quad \dim(\mathcal{O}_{W, y}) = \dim(\mathcal{O}_{X, y}^\wedge/\mathfrak p')\] 参见代数，引理 0338，以及局部上同调，引理 0EHW。现在直接从所给不等式组读出结论。

引理

在情形 0EHC 中，设 \(\mathcal{F}\) 是凝聚 \(\mathcal{O}_U\)-模，且 \(d \geq 1\)。假设

\(A\) 是 \(I\)-进完备的，有对偶化复形，并且 \(\text{cd}(A, I) \leq d\)；

完备化 \(\mathcal{F}^\wedge\)（它来自 \(\mathcal{F}\)）满足严格 \((1, 1+ d)\)-不等式组；

对 \(x \in U\)，若 \(\overline{\{x\}} \cap Y \subset Z\)，则有 \(\text{depth}(\mathcal{F}_x) \geq 2\)。

则 \(H^0(U, \mathcal{F}) \to \lim H^0(U, \mathcal{F}/I^n\mathcal{F})\) 是同构。

证明

我们将通过证明引理 0EIG 可以应用来得到结论。为此，取 \(x \in \text{Ass}(\mathcal{F})\)，其中 \(x \not \in Y\)，并令 \(W = \overline{\{x\}}\)。由条件 (3)，有 \(W \cap Y \not \subset Z\)。由引理 0EJ5，\(W \cap Y\) 的任何不可约分支都不包含于 \(Z\)。因此，若 \(z \in W \cap Z\)，则存在直接特化 \(y \leadsto z\)，其中 \(y \in W \cap Y\) 且 \(y \not \in Z\)。 \(y\) 的存在性使用性质，引理 02IM。这时 \(\delta^Y_Z(y) = 1\)，且假设蕴含 \(\dim(\mathcal{O}_{W, y}) > d\)。因此 \(\dim(\mathcal{O}_{W, z}) > 1 + d\)，结论得证。

引理

在情形 0EHC 中，设 \(\mathcal{F}\) 是凝聚 \(\mathcal{O}_U\)-模，且 \(d \geq 1\)。假设

\(A\) 是 \(I\)-进完备的，有对偶化复形，并且 \(\text{cd}(A, I) \leq d\)；

完备化 \(\mathcal{F}^\wedge\)（它来自 \(\mathcal{F}\)）满足严格 \((1, 1 + d)\)-不等式组；

对 \(x \in U\)，若 \(\overline{\{x\}} \cap Y \subset Z\)，则有 \(\text{depth}(\mathcal{F}_x) \geq 2\)。

则映射 \[\Hom_U(\mathcal{G}, \mathcal{F}) \longrightarrow \Hom_{\textit{Coh}(U, I\mathcal{O}_U)}(\mathcal{G}^\wedge, \mathcal{F}^\wedge)\] 对每个凝聚 \(\mathcal{O}_U\)-模 \(\mathcal{G}\) 都是双射。

证明

令 \(\mathcal{H} = \SheafHom_{\mathcal{O}_U}(\mathcal{G}, \mathcal{F})\)。利用概形上同调，引理 0EBC，或更多代数，引理 0AV5，可知 \(\mathcal{H}\) 的完备化满足严格 \((1, 1 + d)\)-不等式组，并且对 \(x \in U\)，若 \(\overline{\{x\}} \cap Y \subset Z\)，则有 \(\text{depth}(\mathcal{H}_x) \geq 2\)。细节从略。因此由引理 0EJ6，有 \[\Hom_U(\mathcal{G}, \mathcal{F}) = H^0(U, \mathcal{H}) = \lim H^0(U, \mathcal{H}/\mathcal{I}^n\mathcal{H}) = \Mor_{\textit{Coh}(U, I\mathcal{O}_U)} (\mathcal{G}^\wedge, \mathcal{F}^\wedge)\] 最后一个等号见概形上同调，引理 0882。

引理

在情形 0EHC 中，设 \((\mathcal{F}_n)\) 是 \(\textit{Coh}(U, I\mathcal{O}_U)\) 的一个对象，且 \(d \geq 1\)。假设

\(A\) 是 \(I\)-进完备的，有对偶化复形，并且 \(\text{cd}(A, I) \leq d\)；

\((\mathcal{F}_n)\) 是某个凝聚 \(\mathcal{O}_U\)-模的完备化；

\((\mathcal{F}_n)\) 满足严格 \((1, 1 + d)\)-不等式组。

则存在唯一的凝聚 \(\mathcal{O}_U\)-模 \(\mathcal{F}\)，其完备化是 \((\mathcal{F}_n)\)，并且对 \(x \in U\)，若 \(\overline{\{x\}} \cap Y \subset Z\)，则有 \(\text{depth}(\mathcal{F}_x) \geq 2\)。

证明

选取一个凝聚 \(\mathcal{O}_U\)-模 \(\mathcal{F}\)，其完备化为 \((\mathcal{F}_n)\)。令 \(T = \{x \in U \mid \overline{\{x\}} \cap Y \subset Z\}\). 我们将构造 \(\mathcal{F}\)：把局部上同调，引理 0EI3 应用于 \(\mathcal{F}\) 和 \(T\)。唯一性则由引理 0EJ7 的映射性质推出。

由于 \(T\) 在 \(U\) 中对特化稳定，只需检验下述条件。若 \(x' \leadsto x\) 是 \(U\) 中点的直接特化，且 \(x \in T\)、\(x' \not \in T\)，则 \(\text{depth}(\mathcal{F}_{x'}) \geq 1\)。令 \(W = \overline{\{x\}}\)，并令 \(W' = \overline{\{x'\}}\)。由于 \(x' \not \in T\)，可知 \(W' \cap Y\) 不包含于 \(Z\)。若 \(W' \cap Y\) 含有一个包含于 \(Z\) 的不可约分支，则由引理 0EJ5 得证。否则，选取一个不可约分支 \(W_1\)（它属于 \(W \cap Y\)），以及一个不可约分支 \(W'_1\)（它属于 \(W' \cap Y\)），使得 \(W_1 \subset W'_1\)。设 \(z \in W_1\) 是泛点。设 \(y \leadsto z\)、\(y \in W'_1\) 构成直接特化，且 \(y \not \in Z\)；\(y\) 的存在性由 \(W'_1 \not \subset Z\)（见上文）以及性质，引理 02IM 推出。于是有 \(z \in Z\)、\(x \leadsto z\)、 \(x' \leadsto y \leadsto z\)、\(y \in Y \setminus Z\)，以及 \(\delta^Y_Z(y) = 1\)。由局部上同调，引理 0DXF 以及 \(z\) 是 \(W \cap Y\) 的泛点这一事实，有 \(\dim(\mathcal{O}_{W, z}) \leq d\)。由于 \(x' \leadsto x\) 是直接特化，有 \(\dim(\mathcal{O}_{W', z}) \leq d + 1\)。由于 \(y \not = z\)，可得 \(\dim(\mathcal{O}_{W', y}) \leq d\)。若 \(\text{depth}(\mathcal{F}_{x'}) = 0\)，则与假设 (3) 矛盾；从 \(\mathcal{O}_{X, y}\) 过渡到其完备化的细节从略。证明完成。

凝聚形式模的代数化，IV

在本节中，我们证明引理 0DXW 在局部情形下的两个更强版本，即引理 0DXU 和 0EJ9。虽然更一般的命题 0EJJ 将使这些引理不再需要，但它们的证明要容易得多。

引理

在情形 0EHC 中，设 \((\mathcal{F}_n)\) 是 \(\textit{Coh}(U, I\mathcal{O}_U)\) 的一个对象。假设

\(A\) 是局部环，且 \(\mathfrak a = \mathfrak m\) 是极大理想；

\(A\) 有对偶化复形；

\(I = (f)\) 是由非零因子 \(f \in \mathfrak m\) 生成的主理想；

\(\mathcal{F}_n\) 是有限局部自由 \(\mathcal{O}_U/f^n\mathcal{O}_U\)-模；

若 \(\mathfrak p \in V(f) \setminus \{\mathfrak m\}\)，则 \(\text{depth}((A/f)_\mathfrak p) + \dim(A/\mathfrak p) > 1\)；

若 \(\mathfrak p \not \in V(f)\) 且 \(V(\mathfrak p) \cap V(f) \not = \{\mathfrak m\}\)，则 \(\text{depth}(A_\mathfrak p) + \dim(A/\mathfrak p) > 3\)。

则 \((\mathcal{F}_n)\) 可典范地延拓到 \(X\)。特别地，若 \(A\) 完备，则 \((\mathcal{F}_n)\) 是某个凝聚 \(\mathcal{O}_U\)-模的完备化。

证明

我们将通过验证引理 0EHH 的假设 (a)、(b) 和 (c) 来证明该结论。

由于 \(\mathcal{F}_n\) 在 \(\mathcal{O}_U/f^n\mathcal{O}_U\) 上局部自由，所以有短正合序列 \(0 \to \mathcal{F}_n \to \mathcal{F}_{n + 1} \to \mathcal{F}_1 \to 0\) ，对所有 \(n\) 均成立。因此由上同调，引理 0EHA，条件 (b) 成立。

对 \(n\) 归纳，并使用短正合序列 \(0 \to A/f^n \to A/f^{n + 1} \to A/f \to 0\)，可知 \(A/f^nA\) 的相伴素理想与 \(A/fA\) 的相伴素理想相同。由于假设 (3)，\(\mathcal{F}_n\) 的相伴点对应于 \(A/f^nA\) 的不等于 \(\mathfrak m\) 的相伴素理想。因此由 (5) 以及局部上同调，命题 0BK3，可知 \(M_n = H^0(U, \mathcal{F}_n)\) 是有限 \(A\)-模。故假设 (c) 成立。

为完成证明，只需证明存在 \(n > 1\)，使映射 \[H^1(U, \mathcal{F}_n) \longrightarrow H^1(U, \mathcal{F}_1)\] 的像作为 \(A\)-模具有有限长度。事实上，由上同调，引理 0DXG，这将蕴含假设 (a)。由引理 0DX1，当 \(n\) 充分大时，该像与 \(n\) 无关。设 \(\omega_A^\bullet\) 是 \(A\) 的归一化对偶化复形。由局部对偶定理和 Matlis 对偶（对偶化复形，引理 0AAK 以及命题 08Z9），我们的断言等价于：映射 \[\text{Ext}^{-2}_A(M_1, \omega_A^\bullet) \to \text{Ext}^{-2}_A(M_n, \omega_A^\bullet)\] 的像对 \(n \gg 1\) 具有有限长度。所涉及的模是有限 \(A\)-模，其支集位于 \(V(f)\)。因此，只需证明在素理想 \(\mathfrak q\) 处局部化后该映射为零，其中它包含 \(f\) 且不等于 \(\mathfrak m\)。设 \(\omega_{A_\mathfrak q}^\bullet\) 是 \(A_\mathfrak q\) 上的归一化对偶化复形，并回忆 \(\omega_{A_\mathfrak q}^\bullet = (\omega_A^\bullet)_\mathfrak q[\dim(A/\mathfrak q)]\)；这是由对偶化复形，引理 0A7Z 得到的。利用 (4) 中给出的 \(\mathcal{F}_n\) 的局部结构，只需证明 \[\text{Ext}^{-2 + \dim(A/\mathfrak q)}_{A_\mathfrak q}( A_\mathfrak q/f, \omega_{A_\mathfrak q}^\bullet) \to \text{Ext}^{-2 + \dim(A/\mathfrak q)}_{A_\mathfrak q}( A_\mathfrak q/f^n, \omega_{A_\mathfrak q}^\bullet)\] 在 \(n\) 充分大时为零。若 \(\dim(A/\mathfrak q) > 3\)，则由局部上同调，引理 0DWZ 立即得到。在其他情形下，使用长正合序列 \[\ldots \xrightarrow{f^n} H^{-1}(\omega_{A_\mathfrak q}^\bullet) \to \text{Ext}^{-1}_{A_\mathfrak q}( A_\mathfrak q/f^n, \omega_{A_\mathfrak q}^\bullet) \to H^0(\omega_{A_\mathfrak q}^\bullet) \xrightarrow{f^n} H^0(\omega_{A_\mathfrak q}^\bullet) \to \text{Ext}^0_{A_\mathfrak q}( A_\mathfrak q/f^n, \omega_{A_\mathfrak q}^\bullet) \to 0\] 若 \(\dim(A/\mathfrak q) = 2\)，则 \(H^0(\omega_{A_\mathfrak q}^\bullet) = 0\) ，因为 \(\text{depth}(A_\mathfrak q) \geq 1\)，这是由于 \(f\) 是非零因子。因此长正合序列表明，所需条件是映射 \[f^{n - 1} : H^{-1}(\omega_{A_\mathfrak q}^\bullet)/f \to H^{-1}(\omega_{A_\mathfrak q}^\bullet)/f^n\] 为零。现在 \(H^{-1}(\omega^\bullet_\mathfrak q)\) 是有限模，其支集包含在满足下式的素理想 \(\mathfrak p \subset A_\mathfrak q\) 中： \(\text{depth}(A_\mathfrak p) + \dim((A/\mathfrak p)_\mathfrak q) \leq 1\). 由于 \(\dim((A/\mathfrak p)_\mathfrak q) = \dim(A/\mathfrak p) - 2\)，条件 (6) 表明这些素理想包含于 \(V(f)\)。因此，当 \(n\) 充分大时，得到所需的零化。最后，若 \(\dim(A/\mathfrak q) = 1\)，则条件 (5) 与 \(f\) 为非零因子共同保证 \(A_\mathfrak q\) 的深度至少为 \(2\)。因此 \(H^0(\omega_{A_\mathfrak q}^\bullet) = H^{-1}(\omega_{A_\mathfrak q}^\bullet) = 0\) ，且长正合序列表明，该断言等价于下述映射为零： \[f^{n - 1} : H^{-2}(\omega_{A_\mathfrak q}^\bullet)/f \to H^{-2}(\omega_{A_\mathfrak q}^\bullet)/f^n\] 现在 \(H^{-2}(\omega^\bullet_\mathfrak q)\) 是有限模，其支集包含在满足 \(\mathfrak p \subset A_\mathfrak q\) 以及 \(\text{depth}(A_\mathfrak p) + \dim((A/\mathfrak p)_\mathfrak q) \leq 2\) 的素理想中。由条件 (6)，所有这些素理想都包含于 \(V(f)\)。因此，当 \(n\) 充分大时，得到所需的零化。

注

设 \((A, \mathfrak m)\) 是维数 \(\geq 4\) 的完备诺特正规局部整环，并设 \(f \in \mathfrak m\) 非零。此时引理 0DXU 的假设 (1)、(2)、(3)、(5) 和 (6) 都成立。因此，\(U\) 沿 \(U \cap V(f)\) 的形式完备化上的向量丛可以代数化。在引理 0EJ9 中，我们会将此推广到更一般的凝聚形式模；另请比较注记 0EJC。

引理

在情形 0EHC 中，设 \((M_n)\) 是如引理 0DXT 所示的 \(A\)-模逆系统，并设 \((\mathcal{F}_n)\) 是 \(\textit{Coh}(U, I\mathcal{O}_U)\) 中相应的对象。设 \(d \geq \text{cd}(A, I)\) 和 \(s \geq 0\) 为整数。沿用上述记号，假设

\(A\) 是局部环，其极大理想为 \(\mathfrak m = \mathfrak a\)；

\(A\) 有对偶化复形；

\((\mathcal{F}_n)\) 满足 \((s, s + d)\)-不等式组（定义 0EJ3）。

设 \(E\) 是 \(A\) 的剩余域的内射包。则对 \(i \leq s\)，存在有限 \(A\)-模 \(N\)，它被 \(I\) 的某个幂零化，并且对 \(n \gg 0\) 存在相容映射 \[H^i_\mathfrak m(M_n) \to \Hom_A(N, E)\] ，其余核是有限长度 \(A\)-模，其核 \(K_n\) 构成逆系统，并且 \(\Im(K_{n''} \to K_{n'})\) 对 \(n'' \gg n' \gg 0\) 具有有限长度。

证明

设 \(\omega_A^\bullet\) 是归一化对偶化复形。则 \(\delta^Y_Z = \delta\) 是与该对偶化复形相伴的维数函数。注意，\(\Ext^{-i}_A(M_n, \omega_A^\bullet)\) 是有限 \(A\)-模，并被 \(I^n\) 零化。固定 \(0 \leq i \leq s\)。下面将找到 \(n_1 > n_0 > 0\)，使得若令 \[N = \Im(\Ext^{-i}_A(M_{n_0}, \omega_A^\bullet) \to \Ext^{-i}_A(M_{n_1}, \omega_A^\bullet))\] ，则映射 \[N \to \Ext^{-i}_A(M_n, \omega_A^\bullet),\quad n \geq n_1\] 的核是有限长度 \(A\)-模，而余核 \(Q_n\) 构成一个系统，使得 \(\Im(Q_{n'} \to Q_{n''})\) 对 \(n'' \gg n' \gg n_1\) 具有有限长度。这等价于系统 \(\{\Ext^{-i}_A(M_n, \omega_A^\bullet)\}_{n \geq 1}\) 在有限 \(A\)-模范畴模去有限长度 \(A\)-模的 Serre 子范畴所得的商中本质上为常值。由局部对偶定理（对偶化复形，引理 0AAK）以及 Matlis 对偶（对偶化复形，命题 08Z9），可知存在映射 \[H^i_\mathfrak m(M_n) \to \Hom_A(N, E),\quad n \geq n_1\] ，具有引理陈述中的性质。

选取 \(f \in \mathfrak m\)。令 \(B = A_f^\wedge\) 为 \(I\)-进完备化，它取自局部化 \(A_f\)。回忆 \(\omega_{A_f}^\bullet = \omega_A^\bullet \otimes_A A_f\) 和 \(\omega_B^\bullet = \omega_A^\bullet \otimes_A B\) 都是对偶化复形（对偶化复形，引理 0A7G 和 0DWD）。令 \(M\) 为有限 \(B\)-模 \(\lim M_{n, f}\)（比较概形上同调，引理 087W 中的讨论）。则 \[\Ext^{-i}_A(M_n, \omega_A^\bullet)_f = \Ext^{-i}_{A_f}(M_{n, f}, \omega_{A_f}^\bullet) = \Ext^{-i}_B(M/I^n M, \omega_B^\bullet)\] 由于 \(\mathfrak m\) 可以由有限多个 \(f \in \mathfrak m\) 生成，只需证明对每个 \(f\)，系统 \[\{\Ext^{-i}_B(M/I^n M, \omega_B^\bullet)\}_{n \geq 1}\] 本质上为常值。若干细节从略。

设 \(\mathfrak q \subset IB\) 是素理想。则 \(\mathfrak q\) 对应于一点 \(y \in U \cap Y\)。注意， \(\delta(\mathfrak q) = \dim(\overline{\{y\}})\) 也是与 \(\omega_B^\bullet\) 相伴的维数函数之值（细节从略；使用 \(\omega_B^\bullet\) 是由 \(\omega_A^\bullet\) 与 \(B\) 作张量积得到的这一事实）。假设 (3) 通过引理 0EJ4 保证引理 0EFR 可应用于 \(B_\mathfrak q, IB_\mathfrak q, \mathfrak qB_\mathfrak q, M_\mathfrak q\) ，其中将 \(s\) 换为 \(s - \delta(y)\)。于是得到 \[H^{i - \delta(\mathfrak q)}_{\mathfrak qB_\mathfrak q}(M_\mathfrak q) = \lim H^{i - \delta(\mathfrak q)}_{\mathfrak qB_\mathfrak q}( (M/I^nM)_\mathfrak q)\] ，且该模被 \(I\) 的某个幂零化。由引理 0EHB，逆系统 \(H^{i - \delta(\mathfrak q)}_{\mathfrak qB_\mathfrak q}((M/I^nM)_\mathfrak q)\) 本质上为常值，其值为 \(H^{i - \delta(\mathfrak q)}_{\mathfrak qB_\mathfrak q}(M_\mathfrak q)\). 由于 \((\omega_B^\bullet)_\mathfrak q[-\delta(\mathfrak q)]\) 是 \(B_\mathfrak q\) 上的归一化对偶化复形，局部对偶定理表明系统 \[\Ext^{-i}_B(M/I^n M, \omega_B^\bullet)_\mathfrak q\] 本质上为常值，其值为 \(\Ext^{-i}_B(M, \omega_B^\bullet)_\mathfrak q\).

为完成证明，我们像引理 0EFX 的证明那样作整体化；这里的论证更容易，因为已经知道该系统的值。具体而言，考虑映射 \[\alpha_n : \Ext^{-i}_B(M/I^n M, \omega_B^\bullet) \longrightarrow \Ext^{-i}_B(M, \omega_B^\bullet)\] ，其中 \(n\) 变化。由上文，对每个 \(\mathfrak q\)，可找到一个 \(n\)，使得 \(\alpha_n\) 在 \(\mathfrak q\) 处局部化后为满射。由于 \(B\) 是诺特的，且 \(\Ext^{-i}_B(M, \omega_B^\bullet)\) 是有限模，可找到一个 \(n\)，使得 \(\alpha_n\) 为满射。对任意 \(n\)，若 \(\alpha_n\) 为满射，则给定素理想 \(\mathfrak q \in V(IB)\)，可找到 \(n' > n\)，使得 \(\Ker(\alpha_n)\) 到 \(\Ext^{-i}(M/I^{n'}M, \omega_B^\bullet)\) 的映射为零，至少在 \(\mathfrak q\) 处局部化后如此。由于 \(\Ker(\alpha_n)\) 是有限 \(A\)-模，且截面的支集是拟紧的，可找到一个 \(n'\)，使得 \(\Ker(\alpha_n)\) 到 \(\Ext^{-i}(M/I^{n'}M, \omega_B^\bullet)\) 的映射为零。由此可见，\(\Ext^{-i}(M/I^n M, \omega_B^\bullet)\) 本质上为常值，其值为 \(\Ext^{-i}(M, \omega_B^\bullet)\)。证明完成。

下面是引理 0DXU 的一个更一般版本。

引理

在情形 0EHC 中，设 \((\mathcal{F}_n)\) 是 \(\textit{Coh}(U, I\mathcal{O}_U)\) 的一个对象。假设

\(A\) 是局部环，且 \(\mathfrak a = \mathfrak m\) 是极大理想；

\(A\) 有对偶化复形；

\(I = (f)\) 是主理想；

\((\mathcal{F}_n)\) 满足 \((2, 3)\)-不等式组。

则 \((\mathcal{F}_n)\) 可延拓到 \(X\)。特别地，若 \(A\) 是 \(I\)-进完备的，则 \((\mathcal{F}_n)\) 是某个凝聚 \(\mathcal{O}_U\)-模的完备化。

证明

回忆 \(\textit{Coh}(U, I\mathcal{O}_U)\) 是阿贝尔范畴；参见概形上同调，引理 087X。在 \(U\) 的仿射开集上，对象 \((\mathcal{F}_n)\) 对应于诺特环上的有限模（概形上同调，引理 087W）。因此，映射 \(f^N : (\mathcal{F}_n) \to (\mathcal{F}_n)\) 的核在 \(N\) 充分大时稳定。由引理 0EIU 和 0EIL，为证明本引理，可以用这样一个映射的像替换 \((\mathcal{F}_n)\)。因此可假设 \(f\) 在 \((\mathcal{F}_n)\) 上是单射。替换后，引理 0EH9 的等价条件对逆系统 \((\mathcal{F}_n)\) 在 \(U\) 上成立。证明余下部分将不再另行说明地使用这一点。

我们将检验引理 0EHH 的假设 (a)、(b) 和 (c)。由上同调，引理 0EHA，假设 (b) 成立。

选取如引理 0DXT 所示的模逆系统 \(\{M_n\}\)。可以假设 \(H^0_\mathfrak m(M_n) = 0\)：必要时把 \(M_n\) 替换为 \(M_n/H^0_\mathfrak m(M_n)\) 即可。于是得到短正合序列 \[0 \to M_n \to H^0(U, \mathcal{F}_n) \to H^1_\mathfrak m(M_n) \to 0\] ，对所有 \(n\) 均成立。设 \(E\) 是 \(A\) 的剩余域的内射包。由引理 0EHK 和当前假设 (4)，可以选取一个整数 \(m \geq 0\)、有限 \(A\)-模 \(N_1\) 和 \(N_2\)；后二者被 \(f^c\) 零化，其中某个 \(c \geq 0\)，并且存在相容映射系统 \[H^i_\mathfrak m(M_n) \to \Hom_A(N_i, E), \quad i = 1, 2\] ，对 \(n \geq m\) 成立，并具有引理中陈述的性质。

已知 \(M = \lim H^0(U, \mathcal{F}_n)\) 是 \(A\)-模，其极限拓扑为 \(f\)-进拓扑。因此，给定 \(n\)，模 \(M/f^nM\) 是 \(H^0(U, \mathcal{F}_N)\) 的子商，其中 \(N \gg n\)。由上面得到的信息可知，\(f^cM/f^nM\) 是有限 \(A\)-模。由于 \(f\) 在 \(M\) 上是非零因子，可知 \(M/f^{n - c}M\) 是有限 \(A\)-模。由此可见，引理 0EHH 的假设 (c) 成立。

接下来研究模 \[Ob = \lim H^1(U, \mathcal{F}_n) = \lim H^2_\mathfrak m(M_n)\] 对 \(n \geq m\)，令 \(K_n\) 为映射 \(H^2_\mathfrak m(M_n) \to \Hom_A(N_2, E)\). 的核。令 \(K = \lim K_n\)。得到正合序列 \[0 \to K \to Ob \to \Hom_A(N_2, E)\] 由上文，\(Ob = \lim H^2_\mathfrak m(M_n)\) 上的极限拓扑是 \(f\)-进拓扑。由于 \(N_2\) 被 \(f^c\) 零化，可知 \(K = \lim K_n\) 上的极限拓扑也同样如此。因此 \(K/fK\) 是 \(K_n\) 的子商，其中 \(n \gg 1\)。然而，由于 \(\{K_n\}\) 与有限长度 \(A\)-模的某个逆系统 pro-同构（由引理 0EHK 的结论），可知 \(K/fK\) 是某个有限长度 \(A\)-模的子商。因此 \(K\) 是有限 \(A\)-模；参见代数，引理 031D。（事实上，甚至可见 \(\dim(\text{Supp}(K)) = 1\)，但这里不需要这一点。）

给定 \(n \geq 1\)，考虑边缘映射 \[\delta_n : H^0(U, \mathcal{F}_n) \longrightarrow \lim_N H^1(U, f^n\mathcal{F}_N) \xrightarrow{f^{-n}} Ob\] （第二个映射是同构），它来自短正合序列 \[0 \to f^n\mathcal{F}_N \to \mathcal{F}_N \to \mathcal{F}_n \to 0\] 对每个 \(n\)，令 \[P_n = \Im(H^0(U, \mathcal{F}_{n + m}) \to H^0(U, \mathcal{F}_n))\] ，其中 \(m\) 如上。注意，\(\{P_n\}\) 是逆系统，并且映射 \(f : \mathcal{F}_n \to \mathcal{F}_{n + 1}\) 在整体截面上把 \(P_n\) 映入 \(P_{n + 1}\)。若 \(p \in P_n\)，则 \(\delta_n(p) \in K \subset Ob\)，因为 \(\delta_n(p)\) 在 \(H^1(U, f^n\mathcal{F}_{n + m}) = H^2_\mathfrak m(M_m)\) 中的像为零，并且 \(\delta_n\) 与 \(Ob \to \Hom_A(N_2, E)\) 的复合通过 \(H^2_\mathfrak m(M_m)\) 分解；这是由 \(m\) 的选取保证的。因此 \[\bigoplus\nolimits_{n \geq 0} \Im(P_n \to Ob)\] 是有限生成分次 \(A[T]\)-模，其中 \(T\) 通过乘以 \(f\) 起作用。事实上，它是 \(K[T]\) 的分次子模，而 \(K\) 在 \(A\) 上有限。仿照上同调，引理 0GYK 的证明进行论证 ⁷ 可知逆系统 \(\{P_n\}\) 满足 ML。由于 \(\{P_n\}\) 与 \(\{H^0(U, \mathcal{F}_n)\}\) pro-同构，可知 \(\{H^0(U, \mathcal{F}_n)\}\) 满足 ML。因此，引理 0EHH 的假设 (a) 成立，证明完成。

引理 0EJ9 的条件可以具体展开如下。

引理

在情形 0EHC 中，设 \((\mathcal{F}_n)\) 为 \(\textit{Coh}(U, I\mathcal{O}_U)\) 的一个对象。假设

\(A\) 是局部环，其极大理想为 \(\mathfrak a = \mathfrak m\)；

\(\text{cd}(A, I) = 1\).

则 \((\mathcal{F}_n)\) 满足 \((2, 3)\)-不等式，当且仅当对每个 \(y \in U \cap Y\)，若 \(\dim(\{y\}) = 1\)，以及对每个素理想 \(\mathfrak p \subset \mathcal{O}_{X, y}^\wedge\)，若 \(\mathfrak p \not \in V(I\mathcal{O}_{X, y}^\wedge)\)，便有 \[\text{depth}((\mathcal{F}_y^\wedge)_\mathfrak p) + \dim(\mathcal{O}_{X, y}^\wedge/\mathfrak p) > 2\]

证明

以下将不再另行说明地使用引理 0EKW。它立即表明该条件是必要的。反过来，假设该条件成立。由引理 0EIY，有 \(\delta^Y_Z(y) = \dim(\overline{\{y\}})\)；把这个函数简记为 \(\delta\)。设 \(y \in U \cap Y\)。若 \(\delta(y) > 2\)，则引理 0EKW 的不等式成立。最后假设 \(\delta(y) = 2\)。我们必须证明 \[\text{depth}((\mathcal{F}_y^\wedge)_\mathfrak p) + \dim(\mathcal{O}_{X, y}^\wedge/\mathfrak p) > 1\] 选取一个特化 \(y \leadsto y'\)，使得 \(\delta(y') = 1\)。此时存在环映射 \(\mathcal{O}_{X, y'}^\wedge \to \mathcal{O}_{X, y}^\wedge\)，它把靶环识别为 \(\mathcal{O}_{X, y'}^\wedge\) 在某个素理想 \(\mathfrak q\) 处局部化之后的完备化，并且 \(\dim(\mathcal{O}_{X, y'}^\wedge/\mathfrak q) = 1\)。此外有 \[\mathcal{F}_y^\wedge = \mathcal{F}_{y'}^\wedge \otimes_{\mathcal{O}_{X, y'}^\wedge} \mathcal{O}_{X, y}^\wedge\] 令 \(\mathfrak p' \subset \mathcal{O}_{X, y'}^\wedge\) 为 \(\mathfrak p\) 的像。由《局部上同调》，引理 0EHW，有 \[\begin{align*} \text{depth}((\mathcal{F}_y^\wedge)_\mathfrak p) + \dim(\mathcal{O}_{X, y}^\wedge/\mathfrak p) & = \text{depth}((\mathcal{F}_{y'}^\wedge)_{\mathfrak p'}) + \dim((\mathcal{O}_{X, y}^\wedge/\mathfrak p)_{\mathfrak p'}) \\ & = \text{depth}((\mathcal{F}_{y'}^\wedge)_{\mathfrak p'}) + \dim(\mathcal{O}_{X, y}^\wedge/\mathfrak p') - 1 \end{align*}\] 最后一个等号成立，是因为这个特化是直接特化。现在对 \(y', \mathfrak p'\) 使用所假设的不等式，便证明了本引理。

引理

在情形 0EHC 中，设 \((\mathcal{F}_n)\) 为 \(\textit{Coh}(U, I\mathcal{O}_U)\) 的一个对象。假设

\(A\) 是局部环，其极大理想为 \(\mathfrak a = \mathfrak m\)；

\(A\) 有对偶化复形；

\(\text{cd}(A, I) = 1\),

对 \(y \in U \cap Y\)，模 \(\mathcal{F}_y^\wedge\) 在 \(V(I\mathcal{O}_{X, y}^\wedge)\) 外有限局部自由；例如，若 \(\mathcal{F}_n\) 是有限局部自由 \(\mathcal{O}_U/I^n\mathcal{O}_U\)-模，则此条件成立；并且

下列条件之一成立：

\(A_f\) 满足 \((S_2)\)，且 \(X\) 的每个不包含在 \(Y\) 中的不可约分支之维数都 \(\geq 4\)；或者

若 \(\mathfrak p \not \in V(f)\) 且 \(V(\mathfrak p) \cap V(f) \not = \{\mathfrak m\}\)，则 \(\text{depth}(A_\mathfrak p) + \dim(A/\mathfrak p) > 3\)。

则 \((\mathcal{F}_n)\) 满足 \((2, 3)\)-不等式。

证明

我们使用引理 0EJA 的判据。取 \(y \in U \cap Y\)，它满足 \(\dim(\overline{\{y\}} = 1\)；并取素理想 \(\mathfrak p\)，它满足 \(\mathfrak p \subset \mathcal{O}_{X, y}^\wedge\) 且 \(\mathfrak p \not \in V(I\mathcal{O}_{X, y}^\wedge)\)。条件 (4) 表明 \(\text{depth}((\mathcal{F}_y^\wedge)_\mathfrak p) = \text{depth}((\mathcal{O}_{X, y}^\wedge)_\mathfrak p)\). 因此只需证明 \[\text{depth}((\mathcal{O}_{X, y}^\wedge)_\mathfrak p) + \dim(\mathcal{O}_{X, y}^\wedge/\mathfrak p) > 2\] 令 \(\mathfrak p_0 \subset A\) 为 \(\mathfrak p\) 的像。令 \(\mathfrak q \subset A\) 为与 \(y\) 对应的素理想。由《局部上同调》，引理 0EHW，有 \[\begin{align*} \text{depth}((\mathcal{O}_{X, y}^\wedge)_\mathfrak p) + \dim(\mathcal{O}_{X, y}^\wedge/\mathfrak p) & = \text{depth}(A_{\mathfrak p_0}) + \dim((A/\mathfrak p_0)_\mathfrak q) \\ & = \text{depth}(A_{\mathfrak p_0}) + \dim(A/\mathfrak p_0) - 1 \end{align*}\] 若 (5)(a) 成立，则这个量 \[\geq \min(2, \dim(A_{\mathfrak p_0})) + \dim(A/\mathfrak p_0) - 1\] 注意，无论如何都有 \(\dim(A/\mathfrak p_0) \geq 2\)。因此，若该最小值为 \(2\)，结论已经成立。否则，我们得到 \[\dim(A_{\mathfrak p_0}) + \dim(A/\mathfrak p_0) - 1 \geq 4 - 1\] ，因为 \(\Spec(A)\) 的每个经过 \(\mathfrak p_0\) 的分支之维数都 \(\geq 4\)。若 (5)(b) 成立，则立即得到结论。

注

设 \((A, \mathfrak m)\) 为诺特局部环，它有对偶化复形，并且关于 \(f \in \mathfrak m\) 完备。设 \((\mathcal{F}_n)\) 为 \(\textit{Coh}(U, f\mathcal{O}_U)\) 的一个对象，其中 \(U\) 是 \(A\) 的穿孔谱。置 \(Y = V(f) \subset X = \Spec(A)\)。对 \(y \in U \cap V(f)\)，若它在 \(U\) 中闭，也就是满足 \(\dim(\overline{\{y\}}) = 1\) 的点，假设 \(\mathcal{O}_{X, y}^\wedge\)-模 \(\mathcal{F}_y^\wedge\) 满足下列两个条件：

\(\mathcal{F}_y^\wedge[1/f]\) 满足 \((S_2)\)；这里把它视为 \(\mathcal{O}_{X, y}^\wedge[1/f]\)-模；并且

对 \(\mathfrak p \in \text{Ass}(\mathcal{F}_y^\wedge[1/f])\)，有 \(\dim(\mathcal{O}_{X, y}^\wedge/\mathfrak p) \geq 3\)。

则 \((\mathcal{F}_n)\) 是 \(U\) 上某个凝聚模的完备化。这由引理 0EJ9 和 0EJA 得出。

改进凝聚形式模

设 \(X\) 为诺特概形。设 \(Y \subset X\) 为闭子概形，其拟凝聚理想层为 \(\mathcal{I} \subset \mathcal{O}_X\)。设 \((\mathcal{F}_n)\) 为 \(\textit{Coh}(X, \mathcal{I})\) 的一个对象。本节构造映射 \((\mathcal{F}_n) \to (\mathcal{F}'_n)\) ，它们类似于《局部上同调》，第 0DX2 节中为凝聚模构造的映射。对一点 \(y \in Y\)，置 \[\mathcal{O}_{X, y}^\wedge = \lim \mathcal{O}_{X, y}/\mathcal{I}^n_y, \quad \mathcal{I}_y^\wedge = \lim \mathcal{I}_y/\mathcal{I}^n_y \quad\text{且}\quad \mathfrak m_y^\wedge = \lim \mathfrak m_y/\mathcal{I}_y^n\] 则 \(\mathcal{O}_{X, y}^\wedge\) 是诺特局部环，其极大理想为 \(\mathfrak m_y^\wedge\)，并且关于 \(\mathcal{I}_y^\wedge = \mathcal{I}_y\mathcal{O}_{X, y}^\wedge\) 完备。还置 \[\mathcal{F}_y^\wedge = \lim \mathcal{F}_{n, y}\] 则 \(\mathcal{F}_y^\wedge\) 是 \(\mathcal{O}_{X, y}^\wedge\) 上的有限模，并且 \(\mathcal{F}_y^\wedge/(\mathcal{I}_y^\wedge)^n\mathcal{F}_y^\wedge = \mathcal{F}_{n, y}\) 对所有 \(n\) 成立；参见《代数》，引理 09B8 和 031D.

引理

在上述情形中，假设 \(X\) 局部有对偶化复形。设 \(T \subset Y\) 为对特化稳定的子集。假设对 \(y \in T\) 以及满足 \(\mathfrak p \subset \mathcal{O}_{X, y}^\wedge\) 的非极大素理想，若 \(V(\mathfrak p) \cap V(\mathcal{I}^\wedge_y) = \{\mathfrak m_y^\wedge\}\)，则 \[\text{depth}_{(\mathcal{O}_{X, y})_\mathfrak p} ((\mathcal{F}^\wedge_y)_\mathfrak p) > 0\] 于是存在典范映射 \((\mathcal{F}_n) \to (\mathcal{F}_n')\) ，它是凝聚 \(\mathcal{O}_X\)-模逆系统之间的映射，并满足下列性质：

对 \(y \in T\)，有 \(\text{depth}(\mathcal{F}'_{n, y}) \geq 1\)；

\((\mathcal{F}'_n)\) 作为 pro-系统同构于一个对象 \((\mathcal{G}_n)\)，后者属于 \(\textit{Coh}(X, \mathcal{I})\)；

所诱导的态射 \((\mathcal{F}_n) \to (\mathcal{G}_n)\) 在 \(\textit{Coh}(X, \mathcal{I})\) 中是满射，其核被 \(\mathcal{I}\) 的某个幂零化。

证明

对每个 \(n\)，令 \(\mathcal{F}_n \to \mathcal{F}'_n\) 为《局部上同调》，引理 0DX3 中构造的满射。这是 \(\mathcal{F}_n\) 对支撑于 \(T\) 的截面子层取商所得，故得到典范映射 \(\mathcal{F}'_{n + 1} \to \mathcal{F}'_n\)，从而得到映射 \((\mathcal{F}_n) \to (\mathcal{F}_n')\)；它是凝聚 \(\mathcal{O}_X\)-模逆系统之间的映射。性质 (1) 由构造成立。

为证明性质 (2) 和 (3)，可以假设 \(X = \Spec(A_0)\) 是仿射的，且 \(A_0\) 有对偶化复形。令 \(I_0 \subset A_0\) 为与 \(Y\) 对应的理想。令 \(A, I\) 为关于 \(I_0\) 的进完备化，分别对应 \(A_0, I_0\)。供后文使用，注意 \(A\) 有对偶化复形（《对偶化复形》，引理 0BFR）。令 \(M\) 为有限 \(A\)-模，它对应于 \((\mathcal{F}_n)\)；参见《概形上同调》，引理 087W。于是 \(\mathcal{F}_n\) 对应于 \(M_n = M/I^nM\)。回忆 \(\mathcal{F}'_n\) 对应于商模 \(M'_n = M_n / H^0_T(M_n)\)；参见《局部上同调》，引理 0DX3 及其证明。

置 \(s = 0\) 和 \(d = \text{cd}(A, I)\)。我们断言 \(A, I, T, M, s, d\) 满足情形 0EFU 的假设 (1)、(3)、(4)、(6)。事实上，(1) 和 (3) 由上文立即成立；由于 \(s = 0\)，(4) 是空条件；而 (6) 正是本引理陈述中的假设。

由定理 0EIE 可知，\(\{H^0_T(M_n)\}\) 本质常值，其值为 \(H^0_T(M)\)。因此，短正合序列 \(0 \to H^0_T(M_n) \to M_n \to M'_n \to 0\) 的极限是短正合序列 \[0 \to H^0_T(M) \to M \to \lim M'_n \to 0\] 置 \(M' = \lim M'_n = M/H^0_T(M)\)。这是有限 \(A\)-模。令 \((\mathcal{G}_n)\) 为 \(\textit{Coh}(X, \mathcal{I})\) 中与 \(M'\) 对应的对象。为完成证明，必须证明典范映射 \(\{M'/I^nM'\} \to \{M'_n\}\) 是 pro-同构。这等价于断言 \(\{H^0_T(M) + I^nM\} \to \{\Ker(M \to M'_n)\}\) 是 pro-同构。除以 \(I^nM\) 后，只需证明 \(\{H^0_T(M)/H^0_T(M) \cap I^nM\} \to \{H^0_T(M_n)\}\) 是 pro-同构。由于 \(H^0_T(M)\) 被 \(I\) 的某个幂零化，由 Artin–Rees 引理可知，\(H^0_T(M) \cap I^nM = 0\)，对所有 \(n \gg 0\) 均成立。而上面已经看到 \(\{H^0_T(M_n)\}\) 本质常值，其值为 \(H^0_T(M)\)；故得到所需的 pro-同构。

引理

在上述情形中，假设 \(X\) 局部有对偶化复形。设 \(T' \subset T \subset Y\) 为对特化稳定的子集。设 \(d \geq 0\) 为整数。假设

在仿射局部有 \(X = \Spec(A_0)\) 和 \(Y = V(I_0)\)，并且 \(\text{cd}(A_0, I_0) \leq d\)；

对 \(y \in T\) 以及满足 \(\mathfrak p \subset \mathcal{O}_{X, y}^\wedge\) 的非极大素理想，若 \(V(\mathfrak p) \cap V(\mathcal{I}_y^\wedge) = \{\mathfrak m_y^\wedge\}\)，则 \[\text{depth}_{(\mathcal{O}_{X, y})_\mathfrak p} ((\mathcal{F}^\wedge_y)_\mathfrak p) > 0\]

对 \(y \in T'\) 以及满足 \(\mathfrak p \subset \mathcal{O}_{X, y}^\wedge\) 的素理想，若 \(\mathfrak p \not \in V(\mathcal{I}_y^\wedge)\) 且 \(V(\mathfrak p) \cap V(\mathcal{I}_y^\wedge) \not = \{\mathfrak m_y^\wedge\}\)，则 \[\text{depth}_{(\mathcal{O}_{X, y})_\mathfrak p} ((\mathcal{F}^\wedge_y)_\mathfrak p) \geq 1 \quad\text{或}\quad \text{depth}_{(\mathcal{O}_{X, y})_\mathfrak p} ((\mathcal{F}^\wedge_y)_\mathfrak p) + \dim(\mathcal{O}_{X, y}^\wedge/\mathfrak p) > 1 + d\]

对 \(y \in T'\) 以及满足 \(\mathfrak p \subset \mathcal{O}_{X, y}^\wedge\) 的非极大素理想，若 \(V(\mathfrak p) \cap V(\mathcal{I}_y^\wedge) = \{\mathfrak m_y^\wedge\}\)，则 \[\text{depth}_{(\mathcal{O}_{X, y})_\mathfrak p} ((\mathcal{F}^\wedge_y)_\mathfrak p) > 1\]

若 \(y \leadsto y'\) 是直接特化且 \(y' \in T'\)，则 \(y \in T\)。

于是存在典范映射 \((\mathcal{F}_n) \to (\mathcal{F}_n'')\)，它是凝聚 \(\mathcal{O}_X\)-模逆系统之间的映射，并满足下列性质：

对 \(y \in T\)，有 \(\text{depth}(\mathcal{F}''_{n, y}) \geq 1\)；

对 \(y' \in T'\)，有 \(\text{depth}(\mathcal{F}''_{n, y'}) \geq 2\)；

\((\mathcal{F}''_n)\) 作为 pro-系统同构于一个对象 \((\mathcal{H}_n)\)，它属于 \(\textit{Coh}(X, \mathcal{I})\)；

所诱导的态射 \((\mathcal{F}_n) \to (\mathcal{H}_n)\) 在 \(\textit{Coh}(X, \mathcal{I})\) 中的核与余核被 \(\mathcal{I}\) 的某个幂零化。

证明

仿照引理 0EJE 及其证明，对每个 \(n\)，令 \(\mathcal{F}_n \to \mathcal{F}'_n\) 为《局部上同调》，引理 0DX3 中利用 \(T\) 构造的满射。接着，令 \(\mathcal{F}'_n \to \mathcal{F}''_n\) 为《局部上同调》，引理 0EI4 及其证明中构造的单射。这些构造表明，得到典范映射 \(\mathcal{F}''_{n + 1} \to \mathcal{F}''_n\)，从而得到映射 \[(\mathcal{F}_n) \longrightarrow (\mathcal{F}_n') \longrightarrow (\mathcal{F}''_n)\] ，它们是凝聚 \(\mathcal{O}_X\)-模逆系统之间的映射。性质 (1) 和 (2) 由构造成立。

为证明性质 (3) 和 (4)，可以假设 \(X = \Spec(A_0)\) 是仿射的，且 \(A_0\) 有对偶化复形。令 \(I_0 \subset A_0\) 为与 \(Y\) 对应的理想。令 \(A, I\) 为关于 \(I_0\) 的进完备化，分别对应 \(A_0, I_0\)。供后文使用，注意 \(A\) 有对偶化复形（《对偶化复形》，引理 0BFR）。令 \(M\) 为有限 \(A\)-模，它对应于 \((\mathcal{F}_n)\)；参见《概形上同调》，引理 087W。于是 \(\mathcal{F}_n\) 对应于 \(M_n = M/I^nM\)。回忆 \(\mathcal{F}'_n\) 对应于商模 \(M'_n = M_n / H^0_T(M_n)\)。还回忆，\(M' = \lim M'_n\) 是 \(M\) 对 \(H^0_T(M)\) 取的商， \(H^0_T(M)\) 是 \(I\)-幂挠模，并且 \(\{M'_n\}\) 与 \(\{M'/I^nM'\}\) 作为 pro-系统同构。最后，\(\mathcal{F}''_n\) 对应于扩张 \[0 \to M'_n \to M''_n \to H^1_{T'}(M'_n) \to 0\] ；参见《局部上同调》，引理 0EI4 的证明。

置 \(s = 1\)。我们断言 \(A, I, T', M', s, d\) 满足情形 0EFU 的假设 (1)、(3)、(4)、(6)。事实上， (1) 和 (3) 立即成立，(c) 蕴含 (4)，而 (d) 蕴含 (6)。我们省略 (c) \(\Rightarrow\) (4) 和 (d) \(\Rightarrow\) (6) 的证明。

由定理 0EIE 可知，\(\{H^1_{T'}(M'/I^nM')\}\) 本质常值，其值为 \(H^1_{T'}(M')\)。由此推出 \(\{H^1_{T'}(M'_n)\}\) 本质常值，其值为 \(H^1_{T'}(M')\)。因此，上面所显示的短正合序列之极限是短正合序列 \[0 \to M' \to \lim M''_n \to H^1_{T'}(M') \to 0\] 置 \(M'' = \lim M''_n\)。由《局部上同调》，命题 0EFD 可知， \(H^1_{T'}(M')\) 以及因而 \(M''\) 都是有限 \(A\)-模（验证条件时，使用 \(M'\) 的深度至少为 \(1\)，这是对 \(T - T'\) 中各素理想而言）。令 \((\mathcal{H}_n)\) 为 \(\textit{Coh}(X, \mathcal{I})\) 中与有限 \(A\)-模 \(M''\) 对应的对象。为完成证明，必须证明典范映射 \(\{M''/I^nM''\} \to \{M''_n\}\) 是 pro-同构。已知 \(\{M'/I^nM'\}\) 与 \(\{M'_n\}\) pro-同构；读者可验证（此处省略），这等价于要求 \(\{H^1_{T'}(M')/I^nH^1_{T'}(M')\} \to \{H^1_{T'}(M'_n)\}\) 是 pro-同构。由于 \(H^1_{T'}(M')/I^nH^1_{T'}(M') = H^1_{T'}(M')\) 在 \(n\) 充分大时成立，而上面已经看到 \(\{H^1_{T'}(M'_n)\}\) 本质常值，其值为 \(H^1_{T'}(M')\)，故结论成立。

引理

在情形 0EHC 中，假设 \(A\) 有对偶化复形。设 \(d \geq \text{cd}(A, I)\)。设 \((\mathcal{F}_n)\) 为 \(\textit{Coh}(U, I\mathcal{O}_U)\) 的一个对象。假设 \((\mathcal{F}_n)\) 满足 \((2, 2 + d)\)-不等式；参见定义 0EJ3。于是存在典范映射 \((\mathcal{F}_n) \to (\mathcal{F}_n'')\)，它是凝聚 \(\mathcal{O}_U\)-模逆系统之间的映射，并满足下列性质：

\(\text{depth}(\mathcal{F}''_{n, y}) + \delta^Y_Z(y) \geq 3\) 对所有 \(y \in U \cap Y\) 成立；

\((\mathcal{F}''_n)\) 作为 pro-系统同构于一个对象 \((\mathcal{H}_n)\)，后者属于 \(\textit{Coh}(U, I\mathcal{O}_U)\)；

所诱导的态射 \((\mathcal{F}_n) \to (\mathcal{H}_n)\) 在 \(\textit{Coh}(U, I\mathcal{O}_U)\) 中的核与余核被 \(I\) 的某个幂零化；

模 \(H^0(U, \mathcal{F}''_n)\) 和 \(H^1(U, \mathcal{F}''_n)\) 都是有限 \(A\)-模，对所有 \(n\) 均成立。

证明

存在性以及性质 (1)、(2)、(3) 由引理 0EJF 得出：把该引理应用于 \(U\)、\(U \cap Y\)、 \(T = \{y \in U \cap Y : \delta^Y_Z(y) \leq 2\}\)、 \(T' = \{y \in U \cap Y : \delta^Y_Z(y) \leq 1\}\) 和 \((\mathcal{F}_n)\) 即可。模 \(H^0(U, \mathcal{F}''_n)\) 和 \(H^1(U, \mathcal{F}''_n)\) 的有限性由《局部上同调》，引理 0BJY，以及函数 \(\delta^Y_Z(-)\) 在引理 0EIY 中证明的初等性质得出。

凝聚形式模的代数化，V

本节证明关于凝聚形式模代数化的最一般结果。先在理想的上同调维数为 \(1\) 时证明，再把所得结果应用于一次吹起，以证明更一般的结论。

引理

在情形 0EHC 中，设 \((\mathcal{F}_n)\) 为 \(\textit{Coh}(U, I\mathcal{O}_U)\) 的一个对象。假设

\(A\) 有对偶化复形，且 \(\text{cd}(A, I) = 1\)；

\((\mathcal{F}_n)\) pro-同构于逆系统 \((\mathcal{F}_n'')\)，后者由凝聚 \(\mathcal{O}_U\)-模组成，并且 \(\text{depth}(\mathcal{F}''_{n, y}) + \delta^Y_Z(y) \geq 3\) 对所有 \(y \in U \cap Y\) 成立。

则 \((\mathcal{F}_n)\) 典范地延拓到 \(X\)；参见定义 0EIP。

证明

我们检验引理 0EHH 的假设 (a)、(b) 和 (c)。开始之前，先指出模 \(H^0(U, \mathcal{F}''_n)\) 和 \(H^1(U, \mathcal{F}''_n)\) 都是有限 \(A\)-模，对所有 \(n\) 均如此；这是由《局部上同调》，引理 0BJY 得出的。

注意，对每个 \(p \geq 0\)，由引理 0EH7， \(\lim H^p(U, \mathcal{F}_n)\) 上的极限拓扑是 \(I\)-进拓扑。特别地，假设 (b) 成立。

已知 \(M = \lim H^0(U, \mathcal{F}_n)\) 是 \(A\)-模，其极限拓扑为 \(I\)-进拓扑。因此，给定 \(n\)，模 \(M/I^nM\) 是 \(H^0(U, \mathcal{F}_N)\) 的子商，其中 \(N \gg n\)。逆系统 \(\{H^0(U, \mathcal{F}_N)\}\) pro-同构于有限 \(A\)-模的逆系统，即 \(\{H^0(U, \mathcal{F}''_N)\}\)，故 \(M/I^nM\) 有限。由此 \(M\) 有限；参见《代数》，引理 031D。特别地，假设 (c) 成立。

对每个 \(n \geq 0\)，记 \(Ob_n = \lim_N H^1(U, I^n\mathcal{F}_N)\)。一个特例是 \(Ob = Ob_0 = \lim_N H^1(U, \mathcal{F}_N)\)。与上一段完全相同的论证表明，\(Ob\) 是有限 \(A\)-模。（事实上，还知道 \(Ob/I Ob\) 被 \(\mathfrak a\) 的某个幂零化，但这似乎不太容易使用。）

置 \(\mathcal{F} = \lim \mathcal{F}_n\)，选取生成元 \(f_1, \ldots, f_r\)，它们生成 \(I\)；再选取 \(c \geq 1\)，并像引理 0EH6 中那样选取 \(\Phi_\mathcal{F}\)。以下将不再另行说明地使用引理 0EI8 的结论。特别地，对每个 \(n \geq 1\) 都有映射 \[\delta_n : H^0(U, \mathcal{F}_n) \longrightarrow H^1(U, I^n\mathcal{F}) \longrightarrow Ob_n\] 第一个映射来自短正合序列 \(0 \to I^n\mathcal{F} \to \mathcal{F} \to \mathcal{F}_n \to 0\) ，第二个映射来自 \(I^n\mathcal{F} = \lim I^n\mathcal{F}_N\)。稍后将使用如下事实：若 \(\delta_n(s) = 0\)，其中 \(s \in H^0(U, \mathcal{F}_n)\)，则对每个 \(n' \geq n\)，都可找到 \(s' \in H^0(U, \mathcal{F}_{n'})\) 映到 \(s\)。注意有交换图 \[\xymatrix{ H^0(U, \mathcal{F}_{nc}) \ar[r] \ar[dd] & H^1(U, I^{nc}\mathcal{F}) \ar[dd] \ar[rd]^{\Phi_\mathcal{F}} \\ & & \bigoplus_{e_1 + \ldots + e_r = n} H^1(U, \mathcal{F}) \cdot T_1^{e_1} \ldots T_r^{e_r} \ar[ld] \\ H^0(U, \mathcal{F}_n) \ar[r] & H^1(U, I^n\mathcal{F}) }\] 由此可知，障碍映射 \(H^0(U, \mathcal{F}_n) \to Ob_n\) 把映射 \(H^0(U, \mathcal{F}_{nc}) \to H^0(U, \mathcal{F}_n)\) 的像送入子模 \[Ob'_n = \Im\left( \bigoplus\nolimits_{e_1 + \ldots + e_r = n} Ob \cdot T_1^{e_1} \ldots T_r^{e_r} \to Ob_n \right)\] ；在直和项 \(Ob \cdot T_1^{e_1} \ldots T_r^{e_r}\) 上，这里使用的上同调映射来自对 \(I\) 的各次幂取模后的约化，所约化的乘法映射为 \(f_1^{e_1} \ldots f_r^{e_r} : \mathcal{F} \to I^n\mathcal{F}\)。由构造， \[\bigoplus\nolimits_{n \geq 0} Ob'_n\] 是 Rees 代数 \(\bigoplus_{n \geq 0} I^n\) 上的有限分次模。对每个 \(n\)，置 \[M_n = \{s \in H^0(U, \mathcal{F}_n) \mid \delta_n(s) \in Ob'_n\}\] 注意，\(\{M_n\}\) 是逆系统，并且 \(f_j : \mathcal{F}_n \to \mathcal{F}_{n + 1}\) 在整体截面上把 \(M_n\) 映入 \(M_{n + 1}\)。仿照《上同调》，引理 0GYK 的证明作完全相同的论证，可知 \(\{M_n\}\) 满足 ML。具体而言，由于 Rees 代数是诺特的，可以为分次子模选取有限多个形如 \(\delta_{n_j}(z_j)\) 的齐次生成元，其中 \(z_j \in M_{n_j}\)；该分次子模为 \(\bigoplus_{n \geq 0} \Im(M_n \to Ob'_n)\). 若 \(k = \max(n_j)\)，则对 \(n \geq k\) 和任意 \(z \in M_n\)，可找到 \(a_j \in I^{n - n_j}\)，使得 \(z - \sum a_j z_j\) 位于 \(\delta_n\) 的核中，因而位于 \(M_{n'}\) 的像中，对所有 \(n' \geq n\) 均成立（因为 \(\delta_n\) 的消失意味着，可以把 \(z - \sum a_j z_j\) 提升为元素 \(z' \in H^0(U, \mathcal{F}_{n'c})\)，对所有 \(n' \ge n\) 均可如此；而后 \(z'\) 在 \(H^0(U, \mathcal{F}_{n'})\) 中的像由上文可知属于 \(M_{n'}\)）。因此 \(\Im(M_n \to M_{n - k}) = \Im(M_{n'} \to M_{n - k})\) 对所有 \(n' \geq n\) 均成立。

选取 \(n\)。由刚刚证明的 \(\{M_n\}\) 的 Mittag–Leffler 性质，可以找到 \(n' \geq n\)，使得 \(M_{n'} \to M_n\) 的像等于 \(M' \to M_n\) 的像。由上文可知， \(M' \to M_n\) 的像包含 \(H^0(U, \mathcal{F}_{n'c}) \to H^0(U, \mathcal{F}_n)\). 的像。因此，\(\{M_n\}\) 与 \(\{H^0(U, \mathcal{F}_n)\}\) pro-同构。于是 \(\{H^0(U, \mathcal{F}_n)\}\) 满足 ML，最终得到假设 (a) 成立。证明完成。

命题

在情形 0EHC 中，设 \((\mathcal{F}_n)\) 为 \(\textit{Coh}(U, I\mathcal{O}_U)\) 的一个对象。假设

\(A\) 有对偶化复形，且 \(\text{cd}(A, I) = 1\)；

\((\mathcal{F}_n)\) 满足 \((2, 3)\)-不等式；参见定义 0EJ3。

则 \((\mathcal{F}_n)\) 延拓到 \(X\)。特别地，若 \(A\) 是 \(I\)-进完备的，则 \((\mathcal{F}_n)\) 是某个凝聚 \(\mathcal{O}_U\)-模的完备化。

证明

由引理 0EIU，可以把 \((\mathcal{F}_n)\) 替换为对象 \((\mathcal{H}_n)\)，它属于 \(\textit{Coh}(U, I\mathcal{O}_U)\)，并且是在引理 0EJG 中找到的。因此，可以假设 \((\mathcal{F}_n)\) pro-同构于逆系统 \((\mathcal{F}_n'')\)，后者具有引理 0EJG 中所述的性质。引理 0EJI 已经证明 \((\mathcal{F}_n)\) 典范地延拓到 \(X\)。最后一句由引理 0EIR 得出。

引理

在情形 0EHC 中，设 \((\mathcal{F}_n)\) 为 \(\textit{Coh}(U, I\mathcal{O}_U)\) 的一个对象。假设

\(A\) 有对偶化复形；

吹起 \(b : X' \to X\)（沿着 \(I\)）的所有纤维之维数都 \(\leq d - 1\)；

下列条件之一成立：

\((\mathcal{F}_n)\) 满足 \((d + 1, d + 2)\)-不等式（定义 0EJ3）；或者

对 \(y \in U \cap Y\) 以及素理想 \(\mathfrak p \subset \mathcal{O}_{X, y}^\wedge\)，若 \(\mathfrak p \not \in V(I\mathcal{O}_{X, y}^\wedge)\) ，则 \[\text{depth}((\mathcal{F}^\wedge_y)_\mathfrak p) + \dim(\mathcal{O}_{X, y}^\wedge/\mathfrak p) + \delta^Y_Z(y) > d + 2\]

则 \((\mathcal{F}_n)\) 延拓到 \(X\)。

证明

令 \(Y' \subset X'\) 为例外除子。令 \(Z' \subset Y'\) 为 \(Z \subset Y\) 的逆像。则 \(U' = X' \setminus Z'\) 是 \(U\) 的逆像。使用 (0EIX) 中的 \(\delta^{Y'}_{Z'}\)，置 \[T' = \{y' \in Y' \mid \delta^{Y'}_{Z'}(y') = 1\} \subset T = \{y' \in Y' \mid \delta^{Y'}_{Z'}(y') = 1\text{ 或 }2\}\] 由引理 0EIY 的 (1) 和 (2)，它们是 \(U' \cap Y' = Y' \setminus Z'\) 中对特化稳定的子集。考虑对象 \((b|_{U'}^*\mathcal{F}_n)\)；它属于 \(\textit{Coh}(U', I\mathcal{O}_{U'})\)。参见《概形上同调》，引理 0887。对 \(y' \in U' \cap Y'\)，记 \[\mathcal{F}_{y'}^\wedge = \lim (b|_{U'}^*\mathcal{F}_n)_{y'}\] 为该拉回在 \(y'\) 处的“茎”。我们断言，引理 0EJF 的条件 (a)、(b)、(c)、(d)、(e) 对对象 \((b|_{U'}^*\mathcal{F}_n)\) 成立；该对象定义在 \(U'\) 上，其中把 \(d\) 换成 \(1\)，并取子集 \(T' \subset T \subset U' \cap Y'\)。条件 (a) 成立，因为 \(Y'\) 是有效 Cartier 除子，故局部由 \(1\) 个方程截出。条件 (e) 由引理 0EIY 的 (7) 成立。为证明 (b)、(c)、(d)，需要作一些准备。

设 \(y' \in U' \cap Y'\)，并设 \(\mathfrak p' \subset \mathcal{O}_{X', y'}^\wedge\) 为不包含在 \(V(I\mathcal{O}_{X', y'}^\wedge)\) 中的素理想。记 \(y = b(y') \in U \cap Y\)。选取 \(f \in I\)，使得 \(y'\) 包含在仿射吹起代数 \(A[\frac{I}{f}]\) 的谱中；参见《除子》，引理 0804。对任意 \(A\)-代数 \(B\)，记 \(B' = B[\frac{IB}{f}]\) 为相应的仿射吹起代数。把 \(I\)-进完备化记作 \({\ }^\wedge\)。由 \(f\) 的选取，得到环映射 \((\mathcal{O}_{X, y}^\wedge)' \to \mathcal{O}_{X', y'}^\wedge\). 若令 \(\mathfrak q' \subset (\mathcal{O}_{X, y}^\wedge)'\) 为 \(\mathfrak m_{y'}^\wedge\) 的逆像，则 \(((\mathcal{O}_{X, y}^\wedge)'_{\mathfrak q'})^\wedge = \mathcal{O}_{X', y'}^\wedge\). 令 \(\mathfrak p \subset \mathcal{O}_{X, y}^\wedge\) 为相应的素理想。此时有交换图 \[\xymatrix{ \mathcal{O}_{X, y}^\wedge \ar[d] \ar[r] & (\mathcal{O}_{X, y}^\wedge)' \ar[d]_\alpha \ar[r] & (\mathcal{O}_{X, y}^\wedge)'_{\mathfrak q'} \ar[d] \ar[r]_\beta & \mathcal{O}_{X', y'}^\wedge \ar[d] \\ \mathcal{O}_{X, y}^\wedge/\mathfrak p \ar[r] & (\mathcal{O}_{X, y}^\wedge/\mathfrak p)' \ar[r] & (\mathcal{O}_{X, y}^\wedge/\mathfrak p)'_{\mathfrak q'} \ar[r]^\gamma & ((\mathcal{O}_{X, y}^\wedge/\mathfrak p)'_{\mathfrak q'})^\wedge \ar[d] \\ & & & \mathcal{O}_{X', y'}^\wedge/\mathfrak p' }\] ，其中竖直箭头都是满射。由《代数续篇》，引理 07NV 和维数公式（《代数》，引理 02IJ），有 \[\dim(((\mathcal{O}_{X, y}^\wedge/\mathfrak p)'_{\mathfrak q'})^\wedge) = \dim((\mathcal{O}_{X, y}^\wedge/\mathfrak p)'_{\mathfrak q'}) = \dim(\mathcal{O}_{X, y}^\wedge/\mathfrak p) - \text{trdeg}(\kappa(y')/\kappa(y))\] 沿着拉回、茎、局部化和完备化的定义逐一追踪，可得 \[(\mathcal{F}_y^\wedge)_{\mathfrak p} \otimes_{(\mathcal{O}_{X, y}^\wedge)_\mathfrak p} (\mathcal{O}_{X', y'}^\wedge)_{\mathfrak p'} = (\mathcal{F}_{y'}^\wedge)_{\mathfrak p'}\] 细节从略。图中的环映射 \(\beta\) 和 \(\gamma\) 都是平坦的，其纤维为 Gorenstein（从而 Cohen–Macaulay）环，因为这些映射是对具有对偶化复形的环取完备化所得。参见《对偶化复形》，引理 0BJN 和 0AWY，以及《代数续篇》，第 0BIR 节中的讨论。注意 \((\mathcal{O}_{X, y}^\wedge)_\mathfrak p = (\mathcal{O}_{X, y}^\wedge)'_{\tilde{\mathfrak p}}\) ，其中 \(\tilde{\mathfrak p}\) 是图中 \(\alpha\) 的核。另一方面， \((\mathcal{O}_{X, y}^\wedge)'_{\tilde{\mathfrak p}} \to (\mathcal{O}_{X', y'}^\wedge)_{\mathfrak p'}\) 由上文可知是纤维为 CM 环的平坦映射。因此 \((\mathcal{O}_{X, y}^\wedge)_\mathfrak p \to (\mathcal{O}_{X', y'}^\wedge)_{\mathfrak p'}\) 也是纤维为 CM 环的平坦映射。使用《代数》，引理 0338，可得 \[\text{depth}((\mathcal{F}_{y'}^\wedge)_{\mathfrak p'}) = \text{depth}((\mathcal{F}_y^\wedge)_{\mathfrak p}) + \dim(F_\mathfrak r)\] ，其中 \(F\) 是 \((\mathcal{O}_{X, y}^\wedge/\mathfrak p)'_{\mathfrak q'}\) 的泛形式纤维，而 \(\mathfrak r\) 是与 \(\mathfrak p'\) 对应的素理想。由于 \((\mathcal{O}_{X, y}^\wedge/\mathfrak p)'_{\mathfrak q'}\) 是泛链状局部整环，由 Ratliff 定理，其 \(I\)-进完备化是等维且（泛）链状的（《代数续篇》，命题 0AW6）。从而 \[\dim(((\mathcal{O}_{X, y}^\wedge/\mathfrak p)'_{\mathfrak q'})^\wedge) = \dim(F_\mathfrak r) + \dim(\mathcal{O}_{X', y'}^\wedge/\mathfrak p')\] 结合引理 0EIZ，得到 [0EJL]\[\begin{equation} \begin{aligned} & \text{depth}((\mathcal{F}_{y'}^\wedge)_{\mathfrak p'}) + \delta^{Y'}_{Z'}(y') \\ & = \text{depth}((\mathcal{F}_y^\wedge)_{\mathfrak p}) + \dim(F_\mathfrak r) + \delta^{Y'}_{Z'}(y') \\ & \geq \text{depth}((\mathcal{F}_y^\wedge)_{\mathfrak p}) + \delta^Y_Z(y) + \dim(F_\mathfrak r) + \text{trdeg}(\kappa(y')/\kappa(y)) - (d - 1) \\ & = \text{depth}((\mathcal{F}_y^\wedge)_{\mathfrak p}) + \delta^Y_Z(y) - (d - 1) + \dim(\mathcal{O}_{X, y}^\wedge/\mathfrak p) - \dim(\mathcal{O}_{X', y'}^\wedge/\mathfrak p') \end{aligned} \end{equation}\] 请注意 \(\dim(\mathcal{O}_{X, y}^\wedge/\mathfrak p) \geq \dim(\mathcal{O}_{X', y'}^\wedge/\mathfrak p')\)。将其改写，得到 [0EJM]\[\begin{equation} \begin{aligned} & \text{depth}((\mathcal{F}_{y'}^\wedge)_{\mathfrak p'}) + \dim(\mathcal{O}_{X', y'}^\wedge/\mathfrak p') + \delta^{Y'}_{Z'}(y') \\ & \geq \text{depth}((\mathcal{F}_y^\wedge)_{\mathfrak p}) + \dim(\mathcal{O}_{X, y}^\wedge/\mathfrak p) + \delta^Y_Z(y) - (d - 1) \end{aligned} \end{equation}\] 这个不等式将使我们能够检验余下条件。

检验引理 0EJF 的条件 (b) 和 (d)。假设 \(V(\mathfrak p') \cap V(I\mathcal{O}_{X', y'}^\wedge) = \{\mathfrak m_{y'}^\wedge\}\). 这蕴含 \(\dim(\mathcal{O}_{X', y'}^\wedge/\mathfrak p') = 1\)，因为 \(Z'\) 是有效 Cartier 除子。 (b) 与 (d) 合起来等价于 \[\text{depth}((\mathcal{F}_{y'}^\wedge)_{\mathfrak p'}) + \delta^{Y'}_{Z'}(y') > 2\] 若 \((\mathcal{F}_n)\) 满足 (3)(b) 中的不等式，应用 (0EJM) 便立即得到这个结论。若 \((\mathcal{F}_n)\) 满足 (3)(a)，即 \((d + 1, d + 2)\)-不等式，则无论如何都有 \[\text{depth}((\mathcal{F}_y^\wedge)_{\mathfrak p}) + \delta^Y_Z(y) \geq d + 1 \quad\text{或}\quad \text{depth}((\mathcal{F}_y^\wedge)_{\mathfrak p}) + \dim(\mathcal{O}_{X, y}^\wedge/\mathfrak p) + \delta^Y_Z(y) > d + 2\] 考察上面的 (0EJL) 和 (0EJM)，便得到所需结论，唯一可能的例外是 \(\dim(\mathcal{O}_{X, y}^\wedge/\mathfrak p) = 1\). 然而，若 \(\dim(\mathcal{O}_{X, y}^\wedge/\mathfrak p) = 1\)，则 \(V(\mathfrak p) \cap V(I\mathcal{O}_{X, y}^\wedge) = \{\mathfrak m_y^\wedge\}\) ，而且事实上 \[\text{depth}((\mathcal{F}_y^\wedge)_{\mathfrak p}) + \delta^Y_Z(y) > d + 1\] ，因为 \((\mathcal{F}_n)\) 满足 \((d + 1, d + 2)\)-不等式；故仍得到结论。

检验引理 0EJF 的条件 (c)。假设 \(V(\mathfrak p') \cap V(I\mathcal{O}_{X', y'}^\wedge) \not = \{\mathfrak m_{y'}^\wedge\}\)。则条件 (c) 等价于 \[\text{depth}((\mathcal{F}_{y'}^\wedge)_{\mathfrak p'}) + \delta^{Y'}_{Z'}(y') \geq 2 \quad\text{或}\quad \text{depth}((\mathcal{F}_{y'}^\wedge)_{\mathfrak p'}) + \dim(\mathcal{O}_{X', y'}^\wedge/\mathfrak p') + \delta^{Y'}_{Z'}(y') > 3\] 若 \((\mathcal{F}_n)\) 满足 (3)(b) 中的不等式，应用 (0EJM) 可知所显示的两个不等式中的第二个成立。若 \((\mathcal{F}_n)\) 满足 (3)(a)，即 \((d + 1, d + 2)\)-不等式，则由 (0EJL) 和 (0EJM) 立即得到结论。这就证明了我们的断言。

\((b|_{U'}^*\mathcal{F}_n) \to (\mathcal{F}_n'')\) 以及 \((\mathcal{H}_n)\)，后者在 \(\textit{Coh}(U', I\mathcal{O}_{U'})\) 中；像引理 0EJF 中那样选取它们。对任意仿射开集 \(W \subset X'\)，注意到 \(\delta^{W \cap Y'}_{W \cap Z'}(y') \geq \delta^{Y'}_{Z'}(y')\)；这是由引理 0EIY 的 (6) 得出的。因此， \((\mathcal{H}_n|_W)\) 满足引理 0EJI 的假设。故 \((\mathcal{H}_n|_W)\) 典范地延拓到 \(W\)。令 \((\mathcal{G}_{W, n})\) 为 \(\textit{Coh}(W, I\mathcal{O}_W)\) 中如引理 0EIR 所述的典范延拓。由引理 0EIS，可知对 \(W' \subset W\) 存在唯一同构 \[(\mathcal{G}_{W, n}|_{W'}) \longrightarrow (\mathcal{G}_{W', n})\] ，它与给定同构 \((\mathcal{G}_{W, n}|_{W \cap U}) \cong (\mathcal{H}_n|_{W \cap U})\). 相容。由此得到一个对象 \((\mathcal{G}_n)\)，它属于 \(\textit{Coh}(X', I\mathcal{O}_{X'})\)，其在 \(U\) 上的限制同构于 \((\mathcal{H}_n)\)。

若 \(A\) 是 \(I\)-进完备的，则可如下完成证明。由 Grothendieck 存在性定理（《概形上同调》，引理 0885），可知 \((\mathcal{G}_n)\) 是某个凝聚 \(\mathcal{O}_{X'}\)-模的完备化。再由《概形上同调》，引理 0889，可知 \((b|_{U'}^*\mathcal{F}_n)\) 是某个凝聚 \(\mathcal{O}_{U'}\)-模 \(\mathcal{F}'\) 的完备化。由《概形上同调》，引理 088B，存在映射 \[(\mathcal{F}_n) \longrightarrow ((b|_{U'})_*\mathcal{F}')^\wedge\] ，其核与余核被 \(I\) 的某个幂零化。最后应用引理 0EIU 即得结论。

若 \(A\) 不完备，则在开始证明之前可以把 \(A\) 换成其完备化；参见引理 0EIN。完备化后各假设仍成立：条件 (3) 是立即的；条件 (1) 由《对偶化复形》，引理 0BFR 得出；条件 (2) 由《除子》，引理 0805 得出。因此，完备情形蕴含一般情形。

命题

在情形 0EHC 中，设 \((\mathcal{F}_n)\) 为 \(\textit{Coh}(U, I\mathcal{O}_U)\) 的一个对象。假设

\(A\) 有对偶化复形；

\(V(I) = V(f_1, \ldots, f_d)\)，其中某个 \(d \geq 1\)，并且 \(f_1, \ldots, f_d \in A\)；

下列条件之一成立：

\((\mathcal{F}_n)\) 满足 \((d + 1, d + 2)\)-不等式（定义 0EJ3）；或者

对 \(y \in U \cap Y\) 以及素理想 \(\mathfrak p \subset \mathcal{O}_{X, y}^\wedge\)，若 \(\mathfrak p \not \in V(I\mathcal{O}_{X, y}^\wedge)\) ，则 \[\text{depth}((\mathcal{F}^\wedge_y)_\mathfrak p) + \dim(\mathcal{O}_{X, y}^\wedge/\mathfrak p) + \delta^Y_Z(y) > d + 2\]

则 \((\mathcal{F}_n)\) 延拓到 \(X\)。特别地，若 \(A\) 是 \(I\)-进完备的，则 \((\mathcal{F}_n)\) 是某个凝聚 \(\mathcal{O}_U\)-模的完备化。

证明

可以假设 \(I = (f_1, \ldots, f_d)\)；参见《概形上同调》，引理 0EHR。于是，\(X\) 沿 \(I\) 的吹起之所有纤维的维数至多为 \(d - 1\)。故由引理 0EJK 得到延拓。最后一句由引理 0EIL 得出。

请把下一个引理与注 0EHI、 0DXV, 0EJC 和 0EJT 比较。

引理

在情形 0EHC 中，设 \((\mathcal{F}_n)\) 为 \(\textit{Coh}(U, I\mathcal{O}_U)\) 的一个对象。假设

\(A\) 是有对偶化复形的局部环；

\(X\) 的所有不可约分支具有相同维数；

概形 \(X \setminus Y\) 是 Cohen–Macaulay 的；

\(I\) 由 \(d\) 个元素生成；

\(\dim(X) - \dim(Z) > d + 2\)；并且

对 \(y \in U \cap Y\)，模 \(\mathcal{F}_y^\wedge\) 在 \(V(I\mathcal{O}_{X, y}^\wedge)\) 外有限局部自由；例如，若 \(\mathcal{F}_n\) 是有限局部自由 \(\mathcal{O}_U/I^n\mathcal{O}_U\)-模，则此条件成立。

则 \((\mathcal{F}_n)\) 延拓到 \(X\)。特别地，若 \(A\) 是 \(I\)-进完备的，则 \((\mathcal{F}_n)\) 是某个凝聚 \(\mathcal{O}_U\)-模的完备化。

证明

我们证明命题 0EJN 的假设 (1)、(2)、(3)(b) 均成立。其中 (1) 和 (2) 是显然的。

设 \(y \in U \cap Y\)，并设 \(\mathfrak p\) 为素理想 \(\mathfrak p \subset \mathcal{O}_{X, y}^\wedge\)，且 \(\mathfrak p \not \in V(I\mathcal{O}_{X, y}^\wedge)\). 最后一个条件表明 \(\text{depth}((\mathcal{F}_y^\wedge)_\mathfrak p) = \text{depth}((\mathcal{O}_{X, y}^\wedge)_\mathfrak p)\). 由于 \(X \setminus Y\) 是 Cohen–Macaulay 的，可知 \((\mathcal{O}_{X, y}^\wedge)_\mathfrak p\) 是 Cohen–Macaulay 的。因此 \[\begin{align*} & \text{depth}((\mathcal{F}^\wedge_y)_\mathfrak p) + \dim(\mathcal{O}_{X, y}^\wedge/\mathfrak p) + \delta^Y_Z(y) \\ & = \dim((\mathcal{O}_{X, y}^\wedge)_\mathfrak p) + \dim(\mathcal{O}_{X, y}^\wedge/\mathfrak p) + \delta^Y_Z(y) \\ & = \dim(\mathcal{O}_{X, y}^\wedge) + \delta^Y_Z(y) \end{align*}\] 最后一个等号成立，是因为第二个条件表明 \(\mathcal{O}_{X, y}\) 等维。令 \(\delta(y) = \dim(\overline{\{y\}})\)。由于 \(A\) 是链状局部环，这是维数函数。由引理 0EIY，有 \(\delta^Y_Z(y) \geq \delta(y) - \dim(Z)\)。由于 \(X\) 等维，得到 \[\dim(\mathcal{O}_{X, y}^\wedge) + \delta^Y_Z(y) \geq \dim(\mathcal{O}_{X, y}^\wedge) + \delta(y) - \dim(Z) = \dim(X) - \dim(Z)\] 这就得到所需不等式，从而结论成立。

注

我们无法证明或否证命题 0EJN 的如下类似命题：把 \(I\) 有 \(d\) 个生成元这一假设替换为 \(\text{cd}(A, I) \leq d\)。如果您知道证明或有反例，请发送电子邮件至 stacks.project@gmail.com. 另一个显然的问题是，命题 0EJN 中的条件在何种程度上是必要的。

凝聚形式模的代数化，VI

本节再给出几个较易证明的情形。

命题

在情形 0EHC 中，令 \((\mathcal{F}_n)\) 为 \(\textit{Coh}(U, I\mathcal{O}_U)\) 的一个对象。假设

存在 \(f_1, \ldots, f_d \in I\)，使得对 \(y \in U \cap Y\)，理想 \(I\mathcal{O}_{X, y}\) 由 \(f_1, \ldots, f_d\) 生成，并且 \(f_1, \ldots, f_d\) 构成一个 \(\mathcal{F}_y^\wedge\)-正则序列；

\(H^0(U, \mathcal{F}_1)\) 和 \(H^1(U, \mathcal{F}_1)\) 是有限 \(A\)-模。

那么 \((\mathcal{F}_n)\) 可典范地延拓到 \(X\)。特别地，若 \(A\) 完备，则 \((\mathcal{F}_n)\) 是某个凝聚 \(\mathcal{O}_U\)-模的完备化。

证明

我们通过验证引理 0EHH 的假设 (a)、(b) 和 (c) 来证明这一点。对每个 \(n\)，都有短正合列 \[0 \to I^n\mathcal{F}_{n + 1} \to \mathcal{F}_{n + 1} \to \mathcal{F}_n \to 0\] 由于 \(f_1, \ldots, f_d\) 在每个“茎” \(\mathcal{F}_y^\wedge\) 上构成正则序列（因而是拟正则序列，见代数，引理 00LN），并且我们有 \(I\mathcal{F}_n = (f_1, \ldots, f_d)\mathcal{F}_n\) 对所有 \(n\) 成立，逐茎检验便得到 \[I^n\mathcal{F}_{n + 1} = \bigoplus\nolimits_{e_1 + \ldots + e_d = n} \mathcal{F}_1 \cdot f_1^{e_1} \ldots f_d^{e_d}\] 利用 \(H^0(U, \mathcal{F}_1)\) 的有限性假设并作归纳，我们先得出 \(M_n = H^0(U, \mathcal{F}_n)\) 是有限 \(A\)-模，且这对所有 \(n\) 成立。由此可见引理 0EHH 的条件 (c) 成立。我们还看到 \[\bigoplus\nolimits_{n \geq 0} H^1(U, I^n\mathcal{F}_{n + 1})\] 是有限分次 \(R = \bigoplus I^n/I^{n +1}\)-模。由上同调，引理 0GYK，可知引理 0EHH 的条件 (a) 成立。最后，引理 0EHH 的条件 (b) 也成立，因为 \(\bigoplus H^0(U, I^n\mathcal{F}_{n + 1})\) 是有限分次 \(R\)-模，而且可以应用上同调，引理 0GYM。

注

在命题 0EJS 的情形中，若假设 \(A\) 有对偶化复形，则 \(H^0(U, \mathcal{F}_1)\) 和 \(H^1(U, \mathcal{F}_1)\) 有限这一条件等价于 \[\text{depth}(\mathcal{F}_{1, y}) + \dim(\mathcal{O}_{\overline{\{y\}}, z}) > 2\] 对所有 \(y \in U \cap Y\) 以及 \(z \in Z \cap \overline{\{y\}}\) 均成立。见局部上同调，引理 0BJY。例如，若 \(\mathcal{F}_1\) 是有限局部自由 \(\mathcal{O}_{U \cap Y}\)-模，\(Y\) 满足 \((S_2)\)，并且 \(\text{codim}(Z', Y') \geq 3\) 对如下每一对不可约分支都成立： \(Y'\) 是 \(Y\) 的不可约分支，\(Z'\) 是 \(Z\) 的不可约分支，且 \(Z' \subset Y'\)，则上述条件成立。

命题

在情形 0EHC 中，令 \((\mathcal{F}_n)\) 为 \(\textit{Coh}(U, I\mathcal{O}_U)\) 的一个对象。假设存在一个 Noether 局部环 \((R, \mathfrak m)\) 以及环同态 \(R \to A\)，使得

\(I = \mathfrak m A\),

对 \(y \in U \cap Y\)，茎 \(\mathcal{F}_y^\wedge\) 是 \(R\)-平坦的；

\(H^0(U, \mathcal{F}_1)\) 和 \(H^1(U, \mathcal{F}_1)\) 是有限 \(A\)-模。

那么 \((\mathcal{F}_n)\) 可典范地延拓到 \(X\)。特别地，若 \(A\) 完备，则 \((\mathcal{F}_n)\) 是某个凝聚 \(\mathcal{O}_U\)-模的完备化。

证明

证明与命题 0EJS 的证明完全相同。具体而言，若 \(\kappa = R/\mathfrak m\)，则对 \(n \geq 0\) 有同构 \[I^n \mathcal{F}_{n + 1} \cong \mathcal{F}_1 \otimes_\kappa \mathfrak m^n/\mathfrak m^{n + 1}\] 而右端是 \(\mathcal{F}_1\) 的有限个副本的直和。这一点可以逐茎检验。其余部分完全相同。

注

命题 0EJU 是 [Baranovsky, Theorem 2.10 (i)] 的一个局部版本。从局部结果推出整体结果很直接；下面简述论证。设 \((R, \mathfrak m)\) 是完备 Noether 局部环，且 \(X \to \Spec(R)\) 是固有态射。对 \(n \geq 1\)，令 \(X_n = X \times_{\Spec(R)} \Spec(R/\mathfrak m^n)\)。令 \(Z \subset X_1\) 为特殊纤维的一个闭子集。置 \(U = X \setminus Z\)，并以 \(j : U \to X\) 表示嵌入态射。给定一个对象 \[(\mathcal{F}_n) \text{ 属于 } \textit{Coh}(U, \mathfrak m\mathcal{O}_U)\] 它在 \(R\) 上平坦，其含义是 \(\mathcal{F}_n\) 在 \(R/\mathfrak m^n\) 上平坦，且这对所有 \(n\) 成立。假设 \(j_*\mathcal{F}_1\) 和 \(R^1j_*\mathcal{F}_1\) 是凝聚模。那么，由命题 0EJU，仿射局部地在 \(X\) 上可得到 \((\mathcal{F}_n)\) 的典范延拓；而该延拓的构造与局部化可交换（由引理 0DXW）。于是得到一个典范的整体对象 \((\mathcal{G}_n)\)，它属于 \(\textit{Coh}(X, \mathfrak m\mathcal{O}_X)\) 且其在 \(U\) 上的限制是 \((\mathcal{F}_n)\)。由 Grothendieck 存在性定理（概形上同调，命题 088C），可知存在凝聚 \(\mathcal{O}_X\)-模 \(\mathcal{G}\)，其完备化为 \((\mathcal{G}_n)\)。由此可见 \((\mathcal{F}_n)\) 可代数化，也就是说，它是某个凝聚 \(\mathcal{O}_U\)-模的完备化。

再补充一点：\(j_*\mathcal{F}_1\) 和 \(R^1j_*\mathcal{F}_1\) 的凝聚性是特殊纤维上的条件。具体而言，若以 \(j_1 : U_1 \to X_1\) 表示 \(j : U \to X\) 的特殊纤维，则可以把 \(\mathcal{F}_1\) 视为 \(U_1\) 上的凝聚层，并且有 \(j_*\mathcal{F}_1 = j_{1, *}\mathcal{F}_1\)，且 \(R^1j_*\mathcal{F}_1 = R^1j_{1, *}\mathcal{F}_1\)。因此，例如，若 \(X_1\) 满足 \((S_2)\) 且不可约，并且 \(\dim(X_1) - \dim(Z) \geq 3\)，而 \(\mathcal{F}_1\) 是局部自由 \(\mathcal{O}_{U_1}\)-模，则 \(j_{1, *}\mathcal{F}_1\) 和 \(R^1j_{1, *}\mathcal{F}_1\) 都是凝聚模。

完备化函子的应用

本节只是把若干已得结果组合起来，以便引用。这里还可以陈述许多（更强的）结果。

引理

在情形 0EHC 中，假设

\(A\) 有对偶化复形，并且是 \(I\)-进完备的；

\(I = (f)\) 由一个元素生成；

\(A\) 是局部环，其极大理想为 \(\mathfrak a = \mathfrak m\)；

下列条件之一成立：

\(A_f\) 满足 \((S_2)\)，并且对满足 \(\mathfrak p \subset A\)、 \(f \not \in \mathfrak p\) 的极小素理想，有 \(\dim(A/\mathfrak p) \geq 4\)；或者

若 \(\mathfrak p \not \in V(f)\) 且 \(V(\mathfrak p) \cap V(f) \not = \{\mathfrak m\}\)，则 \(\text{depth}(A_\mathfrak p) + \dim(A/\mathfrak p) > 3\)。

那么，置 \(U_0 = U \cap V(f)\)，完备化函子 \[\colim_{U_0 \subset U' \subset U\text{ 开}} \textit{Coh}(\mathcal{O}_{U'}) \longrightarrow \textit{Coh}(U, f\mathcal{O}_U)\] 在有限局部自由对象所成的满子范畴上是等价。

证明

由引理 0EKU 可知该函子充分忠实（略去细节）。下面证明本质满。令 \((\mathcal{F}_n)\) 为 \(\textit{Coh}(U, f\mathcal{O}_U)\) 中的有限局部自由对象。由引理 0EJ9 或命题 0EJJ，存在凝聚 \(\mathcal{O}_U\)-模 \(\mathcal{F}\)，使得 \((\mathcal{F}_n)\) 是 \(\mathcal{F}\) 的完备化。事实上，要应用任一结果，唯一需要检验的是 \((\mathcal{F}_n)\) 满足 \((2, 3)\)-不等式。这由引理 0EJB 给出。若 \(y \in U_0\)，则 \(f\)-进完备化后的茎 \(\mathcal{F}_y\) 同构于某个有限自由模，该模定义在 \(f\)-进完备化后的 \(\mathcal{O}_{U, y}\) 上。因此 \(\mathcal{F}\) 在某个开邻域 \(U'\) 上有限局部自由，而该邻域包含 \(U_0\)。证毕。

引理

在情形 0EHC 中，假设

\(I = (f)\) 是主理想；

\(A\) 是 \(f\)-进完备的；

\(f\) 是非零因子；

\(H^1_\mathfrak a(A/fA)\) 和 \(H^2_\mathfrak a(A/fA)\) 是有限 \(A\)-模。

那么，置 \(U_0 = U \cap V(f)\)，完备化函子 \[\colim_{U_0 \subset U' \subset U\text{ 开}} \textit{Coh}(\mathcal{O}_{U'}) \longrightarrow \textit{Coh}(U, f\mathcal{O}_U)\] 在有限局部自由对象所成的满子范畴上是等价。

证明

由引理 0EKV，该函子充分忠实。本质满性由引理 0DXW 得到。

凝聚三元组

令 \((A, \mathfrak m)\) 为 Noether 局部环，令 \(f \in \mathfrak m\) 为非零因子。置 \(X = \Spec(A)\)、\(X_0 = \Spec(A/fA)\)、\(U = X \setminus V(\mathfrak m)\)，以及 \(U_0 = U \cap X_0\)。若满足下列条件，就称 \((\mathcal{F}, \mathcal{F}_0, \alpha)\) 为一个凝聚三元组：

\(\mathcal{F}\) 是凝聚 \(\mathcal{O}_U\)-模，且 \(f : \mathcal{F} \to \mathcal{F}\) 是单射；
\(\mathcal{F}_0\) 是凝聚 \(\mathcal{O}_{X_0}\)-模；
\(\alpha : \mathcal{F}/f\mathcal{F} \to \mathcal{F}_0|_{U_0}\) 是同构。

凝聚三元组之间有显然的态射概念，它使所有凝聚三元组组成一个范畴。

凝聚三元组范畴是加性范畴，但不是 Abel 范畴。不过，凝聚三元组的短正合列应当是什么意思是清楚的。

给定两个凝聚三元组 \((\mathcal{F}, \mathcal{F}_0, \alpha)\) 和 \((\mathcal{G}, \mathcal{G}_0, \beta)\)，则 \((\mathcal{F} \otimes_{\mathcal{O}_U} \mathcal{G}, \mathcal{F}_0 \otimes_{\mathcal{O}_{X_0}} \mathcal{G}_0, \alpha \otimes \beta)\) 未必是凝聚三元组⁸。不过，若茎 \(\mathcal{G}_x\) 对所有 \(x \in U_0\) 都自由，则它确实是。

称凝聚三元组 \((\mathcal{G}, \mathcal{G}_0, \beta)\) 为 局部自由的（相应地，可逆的），如果 \(\mathcal{G}\) 和 \(\mathcal{G}_0\) 分别是局部自由模（相应地，可逆模）。在这种情形下，与 \((\mathcal{G}, \mathcal{G}_0, \beta)\) 作张量积是有意义的（见上文），并且它把凝聚三元组的短正合列变为凝聚三元组的短正合列。

引理

对任意凝聚三元组 \((\mathcal{F}, \mathcal{F}_0, \alpha)\)，存在凝聚 \(\mathcal{O}_X\)-模 \(\mathcal{F}'\)，使得 \(f : \mathcal{F}' \to \mathcal{F}'\) 是单射；还存在同构 \(\alpha' : \mathcal{F}'|_U \to \mathcal{F}\) 以及映射 \(\alpha'_0 : \mathcal{F}'/f\mathcal{F}' \to \mathcal{F}_0\) 使得 \(\alpha \circ (\alpha' \bmod f) = \alpha'_0|_{U_0}\)。

证明

选取有限 \(A\)-模 \(M\)。要求 \(\mathcal{F}\) 是某个层在 \(U\) 上的限制；这个层是凝聚 \(\mathcal{O}_X\)-模，即由 \(M\) 给出的相伴层，见局部上同调，引理 0BK0。由于 \(\mathcal{F}\) 无 \(f\)-挠，可以用 \(M\) 对其 \(f\)-幂挠子模的商来代替它。另一方面，令 \(M_0 = \Gamma(X_0, \mathcal{F}_0)\)，于是 \(\mathcal{F}_0\) 是凝聚 \(\mathcal{O}_{X_0}\)-模，并且它与有限 \(A/fA\)-模 \(M_0\) 相伴。由概形上同调，引理 01YB，存在 \(n\)，使同构 \(\alpha_0\) 对应于一个 \(A/fA\)-模同态 \(\mathfrak m^n M/fM \to M_0\)（其核与余核均被 \(\mathfrak m\) 的某个幂零化，但这里不需要这一点）。因此，若取 \(M' = \mathfrak m^n M\)，并令 \(\mathcal{F}'\) 为凝聚 \(\mathcal{O}_X\)-模，即与 \(M'\) 相伴的模，则引理显然成立。

令 \((\mathcal{F}, \mathcal{F}_0, \alpha)\) 为凝聚三元组。按照引理 0F23 选取 \(\mathcal{F}', \alpha', \alpha'_0\)。置 [0F24]\[\begin{equation} \chi(\mathcal{F}, \mathcal{F}_0, \alpha) = \text{length}_A(\Coker(\alpha'_0)) - \text{length}_A(\Ker(\alpha'_0)) \end{equation}\] 右端表达式有意义，因为 \(\alpha'_0\) 在 \(U_0\) 上是同构，故其核与余核都是支撑在 \(\{\mathfrak m\}\) 上的凝聚模，从而具有有限长度（代数，引理 00L5）。

引理

式 (0F24) 中的量 \(\chi(\mathcal{F}, \mathcal{F}_0, \alpha)\) 与按照引理 0F23 对 \(\mathcal{F}', \alpha', \alpha'_0\) 的选择无关。

证明

令 \(\mathcal{F}', \alpha', \alpha'_0\) 和 \(\mathcal{F}'', \alpha'', \alpha''_0\) 为两组这样的选择。对 \(n > 0\)，置 \(\mathcal{F}'_n = \mathfrak m^n \mathcal{F}'\)。由概形上同调，引理 01YB，存在某个 \(n\) 以及 \(\mathcal{O}_X\)-模映射 \(\mathcal{F}'_n \to \mathcal{F}''\)，它与等同 \(\mathcal{F}''|_U = \mathcal{F}'|_U\) 相符；这个等同由 \(\alpha'\) 和 \(\alpha''\) 确定。于是图 \[\xymatrix{ \mathcal{F}'_n/f\mathcal{F}'_n \ar[r] \ar[d] & \mathcal{F}'/f\mathcal{F}' \ar[d]^{\alpha_0'} \\ \mathcal{F}''/f\mathcal{F}'' \ar[r]^{\alpha_0''} & \mathcal{F}_0 }\] 限制到 \(U_0\) 后交换。因此，由概形上同调，引理 01YB，该图限制到 \(\mathfrak m^l(\mathcal{F}'_n/f\mathcal{F}'_n)\) 后交换，其中 \(l > 0\) 是某个整数。由于 \(\mathcal{F}'_{n + l}/f\mathcal{F}'_{n + l} \to \mathcal{F}'_n/f\mathcal{F}'_n\) 通过 \(\mathfrak m^l(\mathcal{F}'_n/f\mathcal{F}'_n)\) 分解，可知把 \(n\) 替换为 \(n + l\) 后该图交换。换言之，我们找到了第三组选择 \(\mathcal{F}''', \alpha''', \alpha'''_0\) 以及映射 \(\mathcal{F}''' \to \mathcal{F}''\) 和 \(\mathcal{F}''' \to \mathcal{F}'\)；它们定义在 \(X\) 上，并与 \(U\) 和 \(X_0\) 上的映射相容。于是问题化归为下一段讨论的情形。

假设有映射 \(\mathcal{F}'' \to \mathcal{F}'\)，它定义在 \(X\) 上，并分别与 \(\alpha', \alpha''\) 在 \(U\) 上以及与 \(\alpha'_0, \alpha''_0\) 在 \(X_0\) 上相容。注意 \(\mathcal{F}'' \to \mathcal{F}'\) 是单射，因为它在 \(U\) 上是同构，而且 \(f : \mathcal{F}'' \to \mathcal{F}''\) 是单射。显然 \(\mathcal{F}'/\mathcal{F}''\) 支撑在 \(\{\mathfrak m\}\) 上，因而长度有限。我们有如下凝聚 \(\mathcal{O}_{X_0}\)-模的映射： \[\mathcal{F}''/f\mathcal{F}'' \to \mathcal{F}'/f\mathcal{F}' \xrightarrow{\alpha'_0} \mathcal{F}_0\] 其复合为 \(\alpha''_0\)，并且这些映射在 \(U_0\) 上都是同构。初等同调代数给出 \(6\)-项正合列 \[\begin{matrix} 0 \to \Ker(\mathcal{F}''/f\mathcal{F}'' \to \mathcal{F}'/f\mathcal{F}') \to \Ker(\alpha''_0) \to \Ker(\alpha'_0) \to \\ \Coker(\mathcal{F}''/f\mathcal{F}'' \to \mathcal{F}'/f\mathcal{F}') \to \Coker(\alpha''_0) \to \Coker(\alpha'_0) \to 0 \end{matrix}\] 由长度的可加性（代数，引理 00IV），只需证明 \[\text{length}_A( \Coker(\mathcal{F}''/f\mathcal{F}'' \to \mathcal{F}'/f\mathcal{F}')) - \text{length}_A( \Ker(\mathcal{F}''/f\mathcal{F}'' \to \mathcal{F}'/f\mathcal{F}')) = 0\] 对下图应用蛇形引理即可得到这一点： \[\xymatrix{ 0 \ar[r] & \mathcal{F}'' \ar[r]_f \ar[d] & \mathcal{F}'' \ar[r] \ar[d] & \mathcal{F}''/f\mathcal{F}'' \ar[r] \ar[d] & 0 \\ 0 \ar[r] & \mathcal{F}' \ar[r]^f & \mathcal{F}' \ar[r] & \mathcal{F}'/f\mathcal{F}' \ar[r] & 0 }\] 这里还使用了 \(\mathcal{F}'/\mathcal{F}''\) 长度有限这一事实。

引理

下式成立： \(\chi(\mathcal{G}, \mathcal{G}_0, \beta) = \chi(\mathcal{F}, \mathcal{F}_0, \alpha) + \chi(\mathcal{H}, \mathcal{H}_0, \gamma)\)，其条件是 \[0 \to (\mathcal{F}, \mathcal{F}_0, \alpha) \to (\mathcal{G}, \mathcal{G}_0, \beta) \to (\mathcal{H}, \mathcal{H}_0, \gamma) \to 0\] 是凝聚三元组的短正合列。

证明

选取 \(\mathcal{G}', \beta', \beta'_0\)，如引理 0F23 所述；这是针对三元组 \((\mathcal{G}, \mathcal{G}_0, \beta)\) 的选择。以 \(j : U \to X\) 表示嵌入态射。令 \(\mathcal{F}' \subset \mathcal{G}'\) 为如下复合的核： \[\mathcal{G}' \xrightarrow{\beta'} j_*\mathcal{G} \to j_*\mathcal{H}\] 注意 \(\mathcal{H}' = \mathcal{G}'/\mathcal{F}'\) 是 \(j_*\mathcal{H}\) 的凝聚子层，因而 \(f : \mathcal{H}' \to \mathcal{H}'\) 是单射。因此，由蛇形引理得到短正合列 \[0 \to \mathcal{F}'/f\mathcal{F}' \to \mathcal{G}'/f\mathcal{G}' \to \mathcal{H}'/f\mathcal{H}' \to 0\] 由构造可得同构 \(\alpha' : \mathcal{F}'|_U \to \mathcal{F}\), \(\beta' : \mathcal{G}'|_U \to \mathcal{G}\)，以及 \(\gamma' : \mathcal{H}'|_U \to \mathcal{H}\)。为完成证明，需要构造映射 \(\alpha'_0 : \mathcal{F}'/f\mathcal{F}' \to \mathcal{F}_0\) 和 \(\gamma'_0 : \mathcal{H}'/f\mathcal{H}' \to \mathcal{H}_0\)，使其如引理 0F23 所述，并嵌入下列交换图： \[\xymatrix{ 0 \ar[r] & \mathcal{F}'/f\mathcal{F}' \ar[r] \ar@{..>}[d]^{\alpha'_0} & \mathcal{G}'/f\mathcal{G}' \ar[r] \ar[d]^{\beta'_0} & \mathcal{H}'/f\mathcal{H}' \ar[r] \ar@{..>}[d]^{\gamma'_0} & 0 \\ 0 \ar[r] & \mathcal{F}_0 \ar[r] & \mathcal{G}_0 \ar[r] & \mathcal{H}_0 \ar[r] & 0 }\] 不过，对 \(\mathcal{G}'\) 的初始选择，未必能做到这一点。从上图可见，障碍恰好是复合 \[\delta : \mathcal{F}'/f\mathcal{F}' \to \mathcal{G}'/f\mathcal{G}' \xrightarrow{\beta'_0} \mathcal{G}_0 \to \mathcal{H}_0\] 注意，\(\delta\) 限制到 \(U_0\) 后为零，这是由我们对 \(\mathcal{F}'\) 和 \(\mathcal{H}'\) 的选择所致。因此，由概形上同调，引理 01YB，存在 \(k > 0\)，使得 \(\delta\) 在 \(\mathfrak m^k \cdot (\mathcal{F}'/f\mathcal{F}')\) 上为零。对 \(n > k\)，置 \(\mathcal{G}'_n = \mathfrak m^n \mathcal{G}'\)、 \(\mathcal{F}'_n = \mathcal{G}'_n \cap \mathcal{F}'\)，以及 \(\mathcal{H}'_n = \mathcal{G}'_n/\mathcal{F}'_n\)。注意，\(\beta'_0\) 可与 \(\mathcal{G}'_n/f\mathcal{G}'_n \to \mathcal{G}'/f\mathcal{G}'\) 复合，从而给出映射 \(\beta'_{n, 0} : \mathcal{G}'_n/f\mathcal{G}'_n \to \mathcal{G}_0\) ，如引理 0F23 所述。由 Artin–Rees （代数，引理 00IN），可以选取 \(n\)，使得 \(\mathcal{F}'_n \subset \mathfrak m^k \mathcal{F}'\)。如上，映射 \(f : \mathcal{F}'_n \to \mathcal{F}'_n\), \(f : \mathcal{G}'_n \to \mathcal{G}'_n\)，以及 \(f : \mathcal{H}'_n \to \mathcal{H}'_n\) 都是单射；再次使用蛇形引理，得到短正合列 \[0 \to \mathcal{F}'_n/f\mathcal{F}'_n \to \mathcal{G}'_n/f\mathcal{G}'_n \to \mathcal{H}'_n/f\mathcal{H}'_n \to 0\] 如上，有同构 \(\alpha'_n : \mathcal{F}'_n|_U \to \mathcal{F}\), \(\beta'_n : \mathcal{G}'_n|_U \to \mathcal{G}\)，以及 \(\gamma'_n : \mathcal{H}'_n|_U \to \mathcal{H}\)。与前面一样，考虑障碍 \[\delta_n : \mathcal{F}'_n/f\mathcal{F}'_n \to \mathcal{G}'_n/f\mathcal{G}'_n \xrightarrow{\beta'_{n, 0}} \mathcal{G}_0 \to \mathcal{H}_0\] 不过，交换图 \[\xymatrix{ \mathcal{F}'_n/f\mathcal{F}'_n \ar[r] \ar[d] & \mathcal{G}'_n/f\mathcal{G}'_n \ar[r]_{\beta'_{n, 0}} \ar[d] & \mathcal{G}_0 \ar[r] \ar[d] & \mathcal{H}_0 \ar[d] \\ \mathcal{F}'/f\mathcal{F}' \ar[r] & \mathcal{G}'/f\mathcal{G}' \ar[r]^{\beta'_0} & \mathcal{G}_0 \ar[r] & \mathcal{H}_0 }\] 结合对 \(n\) 的选择和关于 \(\delta\) 的观察，表明 \(\delta_n = 0\)。这就产生了所需映射 \(\alpha'_{n, 0} : \mathcal{F}'_n/f\mathcal{F}'_n \to \mathcal{F}_0\) 和 \(\gamma'_{n, 0} : \mathcal{H}'_n/f\mathcal{H}'_n \to \mathcal{H}_0\). 因此，可以使用 \(\mathcal{F}'_n, \alpha'_n, \alpha'_{n, 0}\), \(\mathcal{G}'_n, \beta'_n, \beta'_{n, 0}\)，以及 \(\mathcal{H}'_n, \gamma'_n, \gamma'_{n, 0}\) 来计算 \(\chi(\mathcal{F}, \mathcal{F}_0, \alpha)\), \(\chi(\mathcal{G}, \mathcal{G}_0, \beta)\)，以及 \(\chi(\mathcal{H}, \mathcal{H}_0, \gamma)\)。最后，对下图应用蛇形引理 \[\xymatrix{ 0 \ar[r] & \mathcal{F}'_n/f\mathcal{F}'_n \ar[r] \ar[d] & \mathcal{G}'_n/f\mathcal{G}'_n \ar[r] \ar[d] & \mathcal{H}'_n/f\mathcal{H}'_n \ar[r] \ar[d] & 0 \\ 0 \ar[r] & \mathcal{F}_0 \ar[r] & \mathcal{G}_0 \ar[r] & \mathcal{H}_0 \ar[r] & 0 }\] 并使用长度的可加性（代数，引理 00IV），即可得到本引理。

命题

令 \((\mathcal{F}, \mathcal{F}_0, \alpha)\) 为凝聚三元组，并令 \((\mathcal{L}, \mathcal{L}_0, \lambda)\) 为可逆凝聚三元组。那么函数 \[\mathbf{Z} \longrightarrow \mathbf{Z},\quad n \longmapsto \chi((\mathcal{F}, \mathcal{F}_0, \alpha) \otimes (\mathcal{L}, \mathcal{L}_0, \lambda)^{\otimes n})\] 是次数 \(\leq \dim(\text{Supp}(\mathcal{F}))\) 的多项式。

更确切地说，若 \(\mathcal{F} = 0\)，则该函数为常数。若 \(\mathcal{F}\) 在 \(U\) 中的支撑有限，则该函数为常数。若 \(\mathcal{F}\) 在 \(U\) 中的支撑维数为 \(1\)，即 \(\mathcal{F}\) 的支撑在 \(X\) 中的闭包维数为 \(2\)，则该函数为线性函数，依此类推。

证明

我们对 \(\mathcal{F}\) 的支撑维数作归纳来证明。

基本情形是 \(\mathcal{F} = 0\)。此时 \(\mathcal{F}_0\) 或者为零，或者其支撑为 \(\{\mathfrak m\}\)。在这种情形下，有 \[(\mathcal{F}, \mathcal{F}_0, \alpha) \otimes (\mathcal{L}, \mathcal{L}_0, \lambda)^{\otimes n} = (0, \mathcal{F}_0 \otimes \mathcal{L}_0^{\otimes n}, 0) \cong (0, \mathcal{F}_0, 0)\] 因此命题中的函数为常数，其值等于 \(\mathcal{F}_0\) 的长度。

归纳步骤。假设 \(\mathcal{F}\) 的支撑非空。以 \(\mathcal{G}_0 \subset \mathcal{F}_0\) 表示由支撑在 \(\{\mathfrak m\}\) 上的截面组成的子模。于是得到短正合列 \[0 \to (0, \mathcal{G}_0, 0) \to (\mathcal{F}, \mathcal{F}_0, \alpha) \to (\mathcal{F}, \mathcal{F}_0/\mathcal{G}_0, \alpha) \to 0\] 与可逆凝聚三元组 \((\mathcal{L}, \mathcal{L}_0, \lambda)\) 作张量积后，此列仍然正合，见上文讨论。因此，由 \(\chi\) 的可加性（引理 0F26）以及上述基本情形，只需对 \((\mathcal{F}, \mathcal{F}_0/\mathcal{G}_0, \alpha)\) 证明归纳步骤。由此可假设 \(\mathfrak m\) 不是 \(\mathcal{F}_0\) 的相伴点。

令 \(T = \text{Ass}(\mathcal{F}) \cup \text{Ass}(\mathcal{F}/f\mathcal{F})\)。由于 \(U\) 拟仿射，可以找到 \(s \in \Gamma(U, \mathcal{L})\)，它在每个 \(u \in T\) 处均不消失，见性质，引理 0F20。将 \(s\) 乘以 \(\mathfrak m\) 的适当元素后，可以假设 \(\lambda(s \bmod f) = s_0|_{U_0}\)，其中 \(s_0 \in \Gamma(X_0, \mathcal{L}_0)\)；略去细节。于是得到态射 \[(s, s_0) : (\mathcal{O}_U, \mathcal{O}_{X_0}, 1) \longrightarrow (\mathcal{L}, \mathcal{L}_0, \lambda)\] 它属于凝聚三元组范畴。令 \(\mathcal{G} = \Coker(s : \mathcal{F} \to \mathcal{F} \otimes \mathcal{L})\) 并令 \(\mathcal{G}_0 = \Coker(s_0 : \mathcal{F}_0 \to \mathcal{F}_0 \otimes \mathcal{L}_0)\)。注意， \(s_0 : \mathcal{F}_0 \to \mathcal{F}_0 \otimes \mathcal{L}_0\) 是单射：它在 \(U_0\) 上单射，这是由 \(s\) 的选择得到的；而且 \(\mathfrak m\) 不是 \(\mathcal{F}_0\) 的相伴点。因此存在同构 \(\beta : \mathcal{G}/f\mathcal{G} \to \mathcal{G}_0|_{U_0}\)，使得得到短正合列 \[0 \to (\mathcal{F}, \mathcal{F}_0, \alpha) \to (\mathcal{F}, \mathcal{F}_0, \alpha) \otimes (\mathcal{L}, \mathcal{L}_0, \lambda) \to (\mathcal{G}, \mathcal{G}_0, \beta) \to 0\] 由支撑维数的归纳假设，命题对凝聚三元组 \((\mathcal{G}, \mathcal{G}_0, \beta)\) 成立。利用引理 0F26 的可加性，可知 \[n \longmapsto \chi((\mathcal{F}, \mathcal{F}_0, \alpha) \otimes (\mathcal{L}, \mathcal{L}_0, \lambda)^{\otimes n + 1}) - \chi((\mathcal{F}, \mathcal{F}_0, \alpha) \otimes (\mathcal{L}, \mathcal{L}_0, \lambda)^{\otimes n})\] 是多项式。对定义在全体整数上的函数应用代数，引理 00JZ 的一个变体，即得结论（略去细节）。

引理

假设 \(\text{depth}(A) \geq 3\)，等价地， \(\text{depth}(A/fA) \geq 2\)。令 \((\mathcal{L}, \mathcal{L}_0, \lambda)\) 为可逆凝聚三元组。那么 \[\chi(\mathcal{L}, \mathcal{L}_0, \lambda) = \text{length}_A \Coker(\Gamma(U, \mathcal{L}) \to \Gamma(U_0, \mathcal{L}_0))\] 特别地，该数 \(\geq 0\)。此外， \(\chi(\mathcal{L}, \mathcal{L}_0, \lambda) = 0\) 当且仅当 \(\mathcal{L} \cong \mathcal{O}_U\)。

证明

深度条件的等价性由代数，引理 090R 得到。由深度条件可知 \(\Gamma(U, \mathcal{O}_U) = A\) 且 \(\Gamma(U_0, \mathcal{O}_{U_0}) = A/fA\)，见对偶化复形，引理 0AVZ 以及局部上同调，引理 0BK0。利用局部上同调，引理 0BLT，可知 \(M = \Gamma(U, \mathcal{L})\) 是有限 \(A\)-模。进而有 \(\text{depth}(M) \geq 2\)；例如，可用局部上同调，引理 0BK0 的第 (4) 部分，或除子，引理 0EY0。此外， \(\mathcal{L}_0 \cong \mathcal{O}_{X_0}\)，因为 \(X_0\) 是局部概形。因此还有 \(M_0 = \Gamma(X_0, \mathcal{L}_0) = \Gamma(U_0, \mathcal{L}_0|_{U_0})\) ，且该模同构于 \(A/fA\)。

由上可知，\(\mathcal{F}' = \widetilde{M}\) 是凝聚 \(\mathcal{O}_X\)-模，其在 \(U\) 上的限制同构于 \(\mathcal{L}\)。同构 \(\lambda : \mathcal{L}/f\mathcal{L} \to \mathcal{L}_0|_{U_0}\) 在整体截面上确定映射 \(M/fM \to M_0\)，该映射在 \(U_0\) 上是同构。由于 \(\text{depth}(M) \geq 2\)，可知 \(H^0_\mathfrak m(M/fM) = 0\)，从而 \(M/fM \to M_0\) 是单射。因此，由定义 \[\chi(\mathcal{L}, \mathcal{L}_0, \lambda) = \text{length}_A \Coker(M/fM \to M_0)\] 这就给出引理的第一个断言。

最后，若此长度为 \(0\)，则 \(M \to M_0\) 是满射。因此可以找到 \(s \in M = \Gamma(U, \mathcal{L})\)，它映到 \(\mathcal{L}_0\) 的一个平凡化截面。考虑由下列正合列定义的有限 \(A\)-模 \(K\)、\(Q\)： \[0 \to K \to A \xrightarrow{s} M \to Q \to 0\] \(K\) 和 \(Q\) 的支撑均不与 \(U_0\) 相交，因为 \(s\) 在 \(U_0\) 的各点都非零。利用代数，引理 00LX，可知 \(\text{depth}(K) \geq 2\)（注意，\(As \subset M\) 有 \(\text{depth} \geq 1\)，因为它是 \(M\) 的子模）。因此，由代数，引理 00LK，\(K\) 的支撑若非空，则其维数 \(\geq 2\)。这与 \(\text{Supp}(M) \cap V(f) \subset \{\mathfrak m\}\) 矛盾，除非 \(K = 0\)。当 \(K = 0\) 时，可知 \(\text{depth}(Q) \geq 2\)，并且如前得出 \(Q = 0\)。因此 \(A \cong M\)，且 \(\mathcal{L}\) 平凡。

穿孔谱上的可逆模，I

本节证明关于 Picard 群的若干局部 Lefschetz 定理。其中一些思路取自 [Kollar-pic]、[Bhatt-local] 和 [Kollar-map-pic]。

引理

令 \((A, \mathfrak m)\) 为 Noether 局部环。令 \(f \in \mathfrak m\) 为非零因子，并假设 \(\text{depth}(A/fA) \geq 2\)，等价地， \(\text{depth}(A) \geq 3\)。令 \(U\)、相应地 \(U_0\) 分别为 \(A\)、相应地 \(A/fA\) 的穿孔谱。映射 \[\Pic(U) \to \Pic(U_0)\] 在挠部分上是单射。

证明

令 \(\mathcal{L}\) 为可逆 \(\mathcal{O}_U\)-模。注意，\(\mathcal{L}\) 映到 \(0\)（在 \(\Pic(U_0)\) 中），当且仅当能把 \(\mathcal{L}\) 延拓为可逆凝聚三元组 \((\mathcal{L}, \mathcal{L}_0, \lambda)\)，如第 0F22 节所述。由命题 0F27，函数 \[n \longmapsto \chi((\mathcal{L}, \mathcal{L}_0, \lambda)^{\otimes n})\] 是多项式。由引理 0F28，该多项式的值为零当且仅当 \(\mathcal{L}^{\otimes n}\) 平凡。因此，若 \(\mathcal{L}\) 为挠元，则该多项式有无穷多个零点，从而恒为零，于是 \(\mathcal{L}\) 平凡。

命题

令 \((A, \mathfrak m)\) 为 Noether 局部环，并令 \(f \in \mathfrak m\)。假设

\(A\) 有对偶化复形；

\(f\) 是非零因子；

\(\text{depth}(A/fA) \geq 2\)，等价地， \(\text{depth}(A) \geq 3\)；

若 \(f \in \mathfrak p \subset A\) 是素理想且 \(\dim(A/\mathfrak p) = 2\)，则 \(\text{depth}(A_\mathfrak p) \geq 2\)。

令 \(U\)、相应地 \(U_0\) 分别为 \(A\)、相应地 \(A/fA\) 的穿孔谱。映射 \[\Pic(U) \to \Pic(U_0)\] 是单射。最后，若 (1)、(2)、(3) 成立，\(A\) 满足 \((S_2)\)，且 \(\dim(A) \geq 4\)，则 (4) 成立。

证明

令 \(\mathcal{L}\) 为可逆 \(\mathcal{O}_U\)-模。注意，\(\mathcal{L}\) 映到 \(0\)（在 \(\Pic(U_0)\) 中），当且仅当能把 \(\mathcal{L}\) 延拓为可逆凝聚三元组 \((\mathcal{L}, \mathcal{L}_0, \lambda)\)，如第 0F22 节所述。由命题 0F27，函数 \[n \longmapsto \chi((\mathcal{L}, \mathcal{L}_0, \lambda)^{\otimes n})\] 是多项式 \(P\)。由引理 0F28，不等式 \(P(n) \geq 0\) 对所有 \(n \in \mathbf{Z}\) 都成立，且等号成立当且仅当 \(\mathcal{L}^{\otimes n}\) 平凡。特别地，\(P(0) = 0\)，而 \(P\) 或者恒为零，此时结论成立；或者 \(P\) 的次数为偶数且 \(\geq 2\)。

置 \(M = \Gamma(U, \mathcal{L})\) 以及 \(M_0 = \Gamma(X_0, \mathcal{L}_0) = \Gamma(U_0, \mathcal{L}_0)\)。于是 \(M\) 是有限 \(A\)-模，其深度 \(\geq 2\)，并且 \(M_0 \cong A/fA\)，见引理 0F28 的证明。注意，\(H^2_\mathfrak m(M)\) 是有限 \(A\)-模；这是由局部上同调，引理 0BPY 以及下述事实得到的：\(H^i_\mathfrak m(A) = 0\) 对 \(i = 0, 1, 2\) 成立，因为 \(\text{depth}(A) \geq 3\)。考虑短正合列 \[0 \to M/fM \to M_0 \to Q \to 0\] 引理 0F28 告诉我们，\(Q\) 具有有限长度，且该长度等于 \(\chi(\mathcal{L}, \mathcal{L}_0, \lambda)\)。由上式的局部上同调长正合列，得到 \(Q = H^1_\mathfrak m(M/fM)\) 以及 \(H^i_\mathfrak m(M/fM) = H^i_\mathfrak m(M_0) \cong H^i_\mathfrak m(A/fA)\) 对 \(i > 1\) 成立。再考虑与序列 \(0 \to M \to M \to M/fM \to 0\) 相伴的局部上同调长正合列，其开头为 \[0 \to Q \to H^2_\mathfrak m(M) \to H^2_\mathfrak m(M) \to H^2_\mathfrak m(A/fA)\] 利用长度的可加性，可知 \(\chi(\mathcal{L}, \mathcal{L}_0, \lambda)\) 等于映射 \(H^2_\mathfrak m(M) \to H^2_\mathfrak m(A/fA)\) 的像的长度。

先在一个特殊情形中证明命题，以阐明余下证明。暂且假设 \(H^2_\mathfrak m(A/fA)\) 是有限长度模。此时有 \(P(1) \leq \text{length}_A H^2_\mathfrak m(A/fA)\)。把完全相同的论证应用于 \(\mathcal{L}^{\otimes n}\)，可知 \(P(n) \leq \text{length}_A H^2_\mathfrak m(A/fA)\) 对所有 \(n\) 成立。因此 \(P\) 不可能有正次数，结论成立。在余下证明中，我们将修改该论证，给出 \(P(n)\) 的线性上界，这已足够。

研究映射 \(H^2_\mathfrak m(M) \to H^2_\mathfrak m(M_0) \cong H^2_\mathfrak m(A/fA)\). 以 \(\omega_A^\bullet\) 表示为 \(A\) 选取的正规化对偶化复形。由局部对偶（对偶化复形，引理 0AAK），此映射是下列映射的 Matlis 对偶： \[\text{Ext}^{-2}_A(M, \omega_A^\bullet) \longleftarrow \text{Ext}^{-2}_A(M_0, \omega_A^\bullet)\] 因而其像具有相同的有限长度。有限 \(A\)-模 \(\text{Ext}^{-2}_A(M_0, \omega_A^\bullet)\) 的支撑若非空，则由 \(\mathfrak m\) 以及有限多个素理想 \(\mathfrak p_1, \ldots, \mathfrak p_r\) 组成；这些素理想包含 \(f\)，并且 \(\dim(A/\mathfrak p_i) = 1\)。事实上，由局部上同调，引理 0DWZ，该支撑包含于满足 \(\mathfrak p \subset A\) 以及 \(\text{depth}_{A_\mathfrak p}(M_{0, \mathfrak p}) + \dim(A/\mathfrak p) \leq 2\). 的素理想之集。因此，只需证明不存在素理想 \(\mathfrak p\)，它包含 \(f\)，使得 \(\dim(A/\mathfrak p) = 2\) 且 \(\text{depth}_{A_\mathfrak p}(M_{0, \mathfrak p}) = 0\)。然而，由 \(M_{0, \mathfrak p} \cong (A/fA)_\mathfrak p\)，这会推出 \(\text{depth}(A_\mathfrak p) = 1\)，与假设 (4) 矛盾。选择截面 \(t \in \Gamma(U, \mathcal{L}^{\otimes -1})\)，使其在各点 \(\mathfrak p_1, \ldots, \mathfrak p_r\) 均不消失，见性质，引理 0F20。整体截面上乘以 \(t\) 确定映射 \(t : M \to A\)；它给出同构 \(M_{\mathfrak p_i} \to A_{\mathfrak p_i}\)，这对 \(i = 1, \ldots, r\) 成立。以 \(t_0 = t|_{U_0}\) 表示对应截面 \(\Gamma(U_0, \mathcal{L}_0^{\otimes -1})\)；它同样确定映射 \(t_0 : M_0 \to A/fA\)，且与 \(t\) 相容。于是有交换图 \[\xymatrix{ \text{Ext}^{-2}_A(M, \omega_A^\bullet) & \text{Ext}^{-2}_A(M_0, \omega_A^\bullet) \ar[l] \\ \text{Ext}^{-2}_A(A, \omega_A^\bullet) \ar[u]^t & \text{Ext}^{-2}_A(A/fA, \omega_A^\bullet) \ar[l] \ar[u]_{t_0} }\] 由此可知，顶部水平映射之像的长度至多等于 \(\text{Ext}^{-2}_A(A/fA, \omega_A^\bullet)\) 的长度加上 \(t_0\) 的余核长度。

不过，若把 \(\mathcal{L}\) 替换为 \(\mathcal{L}^n\)，其中 \(n > 1\)，则可以使用 \[t^n : M_n = \Gamma(U, \mathcal{L}^{\otimes n}) \longrightarrow \Gamma(U, \mathcal{O}_U) = A\] 来代替 \(t\)。这会把 \(t_0\) 替换为它的 \(n\) 次幂。因此，映射 \(\text{Ext}^{-2}_A(M_n, \omega_A^\bullet) \leftarrow \text{Ext}^{-2}_A(M_{n, 0}, \omega_A^\bullet)\) 的像的长度至多等于 \(\text{Ext}^{-2}_A(A/fA, \omega_A^\bullet)\) 的长度加上下列映射的余核长度： \[t_0^n : \text{Ext}^{-2}_A(A/fA, \omega_A^\bullet) \longrightarrow \text{Ext}^{-2}_A(M_{n, 0}, \omega_A^\bullet)\] 经由同构 \(M_0 \cong A/fA\)，映射 \(t_0\) 变为 \(g : A/fA \to A/fA\)，其中 \(g \in A/fA\)；经由相应同构 \(M_{n, 0} \cong A/fA\)，映射 \(t_0^n\) 变为 \(g^n : A/fA \to A/fA\)。因此，上述余核的长度就是 \(\text{Ext}^{-2}_A(A/fA, \omega_A^\bullet)\) 对 \(g^n\) 的商的长度。由于 \(\text{Ext}^{-2}_A(A/fA, \omega_A^\bullet)\) 是有限 \(A\)-模，其支撑 \(T\) 的维数为 \(1\)，并且 \(V(g) \cap T\) 只含闭点，这是由对 \(t\) 的选择得到的。所以由代数，引理 00L8，该长度关于 \(n\) 线性增长。

最后证明末尾断言。假设 \(f \in \mathfrak m \subset A\) 满足 (1)、(2)、(3)，\(A\) 满足 \((S_2)\)，并且 \(\dim(A) \geq 4\)。条件 (1) 蕴含 \(A\) 是链状环，见对偶化复形，引理 0A80。于是 \(\Spec(A)\) 等维，见局部上同调，引理 0FIW。因此 \(\dim(A_\mathfrak p) + \dim(A/\mathfrak p) \geq 4\) 对每个素理想 \(\mathfrak p\) 都成立，而它是 \(A\) 的素理想。于是 \(\text{depth}(A_\mathfrak p) \geq \min(2, \dim(A_\mathfrak p)) \geq \min(2, 4 - \dim(A/\mathfrak p))\)，从而 (4) 成立。

注

在 SGA2 中可找到下列结果。令 \((A, \mathfrak m)\) 为 Noether 局部环，并令 \(f \in \mathfrak m\)。假设 \(A\) 是正则环的商，元素 \(f\) 是非零因子，并且

若 \(\mathfrak p \subset A\) 是素理想且 \(\dim(A/\mathfrak p) = 1\)，则 \(\text{depth}(A_\mathfrak p) \geq 2\)；

\(\text{depth}(A/fA) \geq 3\)，等价地， \(\text{depth}(A) \geq 4\)。

令 \(U\)、相应地 \(U_0\) 分别为 \(A\)、相应地 \(A/fA\) 的穿孔谱。那么映射 \[\Pic(U) \to \Pic(U_0)\] 是单射。这就是 [SGA2, Exposee XI, Lemma 3.16]⁹。SGA2 的这一结果由命题 0F2B 推出，因为

正则环的商有对偶化复形（见对偶化复形，引理 0AWX 和命题 0A7K）；

若 \(\text{depth}(A) \geq 4\)，则 \(\text{depth}(A_\mathfrak p) \geq 2\) 对所有素理想 \(\mathfrak p\) 都成立，只要 \(\dim(A/\mathfrak p) = 2\)，见代数，引理 0FCC。

穿孔谱上的可逆模，II

下面转向 Picard 群局部 Lefschetz 定理中的满性。首先，为了把 \(U_0\) 上的可逆模延拓到一个开邻域，有如下简单判据。

引理

令 \((A, \mathfrak m)\) 为 Noether 局部环，且 \(f \in \mathfrak m\)。假设

\(A\) 是 \(f\)-进完备的；

\(f\) 是非零因子；

\(H^1_\mathfrak m(A/fA)\) 和 \(H^2_\mathfrak m(A/fA)\) 是有限 \(A\)-模；

\(H^3_\mathfrak m(A/fA) = 0\)¹⁰。

令 \(U\)、相应地 \(U_0\) 分别为 \(A\)、相应地 \(A/fA\) 的穿孔谱。那么 \[\colim_{U_0 \subset U' \subset U\text{ 开}} \Pic(U') \longrightarrow \Pic(U_0)\] 是满射。

证明

令 \(U_0 \subset U_n \subset U\) 为第 \(n\) 个无穷小邻域，即 \(U_0\) 的无穷小邻域。注意， \(U_n\) 在 \(U_{n + 1}\) 中的理想层同构于 \(\mathcal{O}_{U_0}\)，因为 \(U_0 \subset U\) 是由非零因子 \(f\) 截出的主闭子概形。因此有 Abel 群正合列 \[\Pic(U_{n + 1}) \to \Pic(U_n) \to H^2(U_0, \mathcal{O}_{U_0}) = H^3_\mathfrak m(A/fA) = 0\] 见态射进阶，引理 0C6R。因此，每个可逆 \(\mathcal{O}_{U_0}\)-模都是某个可逆凝聚形式模的限制，也就是说，它是 \(\textit{Coh}(U, f\mathcal{O}_U)\) 的可逆对象。应用引理 0EKZ 即得结论。

注

令 \((A, \mathfrak m)\) 为 Noether 局部环，且 \(f \in \mathfrak m\)。若假设下列条件，则引理 0F2D 的结论成立：

\(A\) 有对偶化复形；

\(A\) 是 \(f\)-进完备的；

\(f\) 是非零因子；

下列条件之一成立：

\(A_f\) 满足 \((S_2)\)，并且对满足 \(\mathfrak p \subset A\)、 \(f \not \in \mathfrak p\) 的极小素理想，有 \(\dim(A/\mathfrak p) \geq 4\)；或者

若 \(\mathfrak p \not \in V(f)\) 且 \(V(\mathfrak p) \cap V(f) \not = \{\mathfrak m\}\)，则 \(\text{depth}(A_\mathfrak p) + \dim(A/\mathfrak p) > 3\)。

\(H^3_{\mathfrak m}(A/fA) = 0\).

证明与引理 0F2D 的证明完全相同，只是用引理 0EKY 代替引理 0EKZ。这里需要说明两点：(a) 似乎很难找到能够知道 \(H^3_{\mathfrak m}(A/fA) = 0\) 的例子，而又不假设 \(\text{depth}(A/fA) \geq 4\)；(b) 引理 0EKY 的证明比引理 0EKZ 的证明难得多。

引理

令 \((A, \mathfrak m)\) 为 Noether 局部环，且 \(f \in \mathfrak m\)。假设

引理 0F2D 的条件成立；

对每个极大理想 \(\mathfrak p \subset A_f\)，局部环 \((A_f)_\mathfrak p\) 的穿孔谱具有平凡 Picard 群。

令 \(U\)、相应地 \(U_0\) 分别为 \(A\)、相应地 \(A/fA\) 的穿孔谱。那么 \[\Pic(U) \longrightarrow \Pic(U_0)\] 是满射。

证明

令 \(\mathcal{L}_0 \in \Pic(U_0)\)。由引理 0F2D，存在开集 \(U_0 \subset U' \subset U\) 以及 \(\mathcal{L}' \in \Pic(U')\)，其在 \(U_0\) 上的限制为 \(\mathcal{L}_0\)。由于 \(U' \supset U_0\)，可知 \(U \setminus U'\) 由与 (2) 中素理想 \(\mathfrak p_1, \ldots, \mathfrak p_n\) 对应的点组成。由假设，可以找到可逆模 \(\mathcal{L}'_i\)，它定义在 \(\Spec(A_{\mathfrak p_i})\) 上，并与 \(\mathcal{L}'\) 在穿孔谱 \(U' \times_U \Spec(A_{\mathfrak p_i})\) 上相符，因为平凡可逆模总能延拓。把极限，引理 0F21 应用 \(n\) 次，可知 \(\mathcal{L}'\) 延拓为 \(U\) 上的可逆模。

引理

令 \((A, \mathfrak m)\) 为深度 \(\geq 2\) 的 Noether 局部环，并令 \(A^\wedge\) 为其完备化。令 \(U\)、相应地 \(U^\wedge\) 分别为 \(A\)、相应地 \(A^\wedge\) 的穿孔谱。那么 \(\Pic(U) \to \Pic(U^\wedge)\) 是单射。

证明

令 \(\mathcal{L}\) 为可逆 \(\mathcal{O}_U\)-模，其拉回为 \(\mathcal{L}^\wedge\)，定义在 \(U^\wedge\) 上。由深度假设、对偶化复形，引理 0AVZ 以及局部上同调，引理 0BK0，有 \(H^0(U, \mathcal{O}_U) = A\)。因此，\(\mathcal{L}\) 平凡当且仅当 \(M = H^0(U, \mathcal{L})\) 作为 \(A\)-模同构于 \(A\)（略去细节）。由于 \(A \to A^\wedge\) 平坦，由平坦基变换有 \(M \otimes_A A^\wedge = \Gamma(U^\wedge, \mathcal{L}^\wedge)\)，见概形上同调，引理 02KH。最后，容易看出 \(M \cong A\) 当且仅当 \(M \otimes_A A^\wedge \cong A^\wedge\)。

引理

令 \((A, \mathfrak m)\) 为正则局部环。那么 \(A\) 的穿孔谱的 Picard 群平凡。

证明

结合除子，引理 0BD9 与代数进阶，引理 0AG0。

现在可以自举前述结果，证明维数 \(\geq 4\) 的完全交的穿孔谱具有平凡 Picard 群。回忆，若一个 Noether 局部环的完备化是某个正则局部环关于一个由正则序列生成的理想的商，则称该环为完全交。见除幂代数，第 09PY 节的讨论。

命题

令 \((A, \mathfrak m)\) 为 Noether 局部环。若 \(A\) 是维数 \(\geq 4\) 的完全交，则 \(A\) 的穿孔谱的 Picard 群平凡。

证明

由引理 0F2G，可以假设 \(A\) 是完备局部环。由假设可写成 \(A = B/(f_1, \ldots, f_r)\)，其中 \(B\) 是完备正则局部环，而 \(f_1, \ldots, f_r\) 是正则序列。我们对 \(r\) 作归纳以完成证明。基本情形 \(r = 0\) 由引理 0F2H 得到。

假设 \(A = B/(f_1, \ldots, f_r)\)，且命题对 \(r - 1\) 成立。置 \(A' = B/(f_1, \ldots, f_{r - 1})\)，并把引理 0F2F 应用于 \(f_r \in A'\)。这是允许的：

引理 0F2D 的条件 (1) 成立，因为所用局部环均完备；

引理 0F2D 的条件 (2) 成立，因为 \(f_1, \ldots, f_r\) 是正则序列；

引理 0F2D 的条件 (3) 和 (4) 成立，因为 \(A = A'/f_r A'\) 是维数 \(\dim(A) \geq 4\) 的 Cohen–Macaulay 环；

引理 0F2F 的条件 (2) 由归纳假设成立，因为 \(\dim((A'_{f_r})_\mathfrak p) \geq 4\) 对极大素理想 \(\mathfrak p\) 成立，而该素理想属于 \(A'_{f_r}\)；并且 \((A'_{f_r})_\mathfrak p = B_\mathfrak q/(f_1, \ldots, f_{r - 1})\) 对某个素理想 \(\mathfrak q \subset B\) 成立，且 \(B_\mathfrak q\) 正则。

证毕。

例

命题 0F2I 中的维数界是尖锐的。例如，\(A = k[[x, y, z, w]]/(xy - zw)\) 的穿孔谱的 Picard 群非平凡。事实上，理想 \(I = (x, z)\) 在穿孔谱上截出一个有效 Cartier 除子 \(D\)；该穿孔谱记为 \(U\)，它是 \(A\) 的穿孔谱。容易看出 \(I_x, I_y, I_z, I_w\) 分别是 \(A_x, A_y, A_z, A_w\) 中的可逆理想。另一方面，\(A/I\) 的深度 \(\geq 1\)（事实上为 \(2\)），故 \(I\) 的深度 \(\geq 2\)（事实上为 \(3\)），从而 \(I = \Gamma(U, \mathcal{O}_U(-D))\)。因此，若 \(\mathcal{O}_U(-D)\) 平凡，则会有 \(I \cong \Gamma(U, \mathcal{O}_U) = A\)，但这是不成立的，因为 \(I\) 不是由 \(1\) 个元素生成的。

例

命题 0F2I 不能推广到如下商： \[A = B/(f_1, \ldots, f_r)\] 其中 \(B\) 正则，且 \(\dim(B) - r \geq 4\)。换言之， \(f_1, \ldots, f_r\) 构成正则序列这一条件，一般是 \(A\) 的穿孔谱的 Picard 群消失所必需的。具体而言，令 \(k\) 为域，并置 \[A = k[[a, b, x, y, z, u, v, w]]/(a^3, b^3, xa^2 + yab + zb^2, w^2)\] 注意 \(A = A_0[w]/(w^2)\)，其中 \(A_0 = k[[a, b, x, y, z, u, v]]/(a^3, b^3, xa^2 + yab + zb^2)\)。下面将证明 \(A_0\) 的深度为 \(2\)。以 \(U\) 表示 \(A\) 的穿孔谱，以 \(U_0\) 表示 \(A_0\) 的穿孔谱。注意有短正合列 \(0 \to A_0 \to A \to A_0 \to 0\)，其中第一个箭头由乘以 \(w\) 给出。由态射进阶，引理 0C6R，得到正合列 \[H^0(U, \mathcal{O}_U^*) \to H^0(U_0, \mathcal{O}_{U_0}^*) \to H^1(U_0, \mathcal{O}_{U_0}) \to \Pic(U)\] 由于 \(A_0\) 的深度、从而 \(A\) 的深度为 \(2\)，可知 \(H^0(U_0, \mathcal{O}_{U_0}) = A_0\) 且 \(H^0(U, \mathcal{O}_U) = A\)，并且 \(H^1(U_0, \mathcal{O}_{U_0})\) 非零，见对偶化复形，引理 0AVZ 以及局部上同调，引理 0DWR。因此，上述最后一个箭头非零，从而 \(\Pic(U)\) 非零。

要证明 \(A_0\) 的深度为 \(2\)，只需证明 \(A_1 = k[[a, b, x, y, z]]/(a^3, b^3, xa^2 + yab + zb^2)\) 的深度为 \(0\)。这是因为 \(a^2b^2\) 映到 \(A_1\) 中的一个非零元素，且该元素被每个变量 \(a, b, x, y, z\) 零化。例如 \(ya^2b^2 = (yab)(ab) = - (xa^2 + zb^2)(ab) = -xa^3b - yab^3 = 0\) 在 \(A_1\) 中。其他情形类似。

Lefschetz 定理的应用

本节讨论投射概形 \(P\) 上的凝聚层与沿丰沛除子 \(Q\) 的形式完备化上的凝聚模之间的关系。

设 \(k\) 为域，\(P\) 为 \(k\) 上的固有概形。设 \(\mathcal{L}\) 为丰沛的可逆 \(\mathcal{O}_P\)-模。取截面 \(s \in \Gamma(P, \mathcal{L})\)¹¹，并令 \(Q = Z(s)\) 为其零点概形，见《除子》，定义 02OQ。对所有 \(n \geq 1\)，记 \(Q_n = Z(s^n)\) 为第 \(n\) 个无穷小邻域，其中心为 \(Q\)。若 \(\mathcal{F}\) 是凝聚 \(\mathcal{O}_P\)-模，则记 \(\mathcal{F}_n = \mathcal{F}|_{Q_n}\) 为其限制；换言之，它是 \(\mathcal{F}\) 沿闭浸入 \(Q_n \to P\) 的拉回。

命题

在上述情形中，假设存在整数 \(\sigma\)，使得对每一点 \(p \in P \setminus Q\) 都有 \[\text{depth}(\mathcal{F}_p) + \dim(\overline{\{p\}}) > \sigma\] 则映射 \[H^i(P, \mathcal{F}) \longrightarrow \lim H^i(Q_n, \mathcal{F}_n)\] 对 \(0 \leq i < \sigma\) 为同构。

证明

我们将使用《态射进阶》，引理 0EKI，并在不再另行说明的情况下使用《态射进阶》，第 0EKF 节中的记号和结果；若至少不了解该引理的陈述，本证明便无法理解。注意，在我们的情形中 \(A = \bigoplus_{m \geq 0} \Gamma(P, \mathcal{L}^{\otimes m})\) 是有限型 \(k\)-代数，且它的每个分次部分都是有限维 \(k\)-向量空间，见《概形上同调》，引理 0B5T。

我们可以并且确实把 \(s\) 看成元素 \(f \in A_1 \subset A\)，即次数为 \(1\) 的一个 \(A\)-齐次元素。记 \(Y = V(f) \subset X\) 为由 \(f\) 定义的闭子概形。于是从概形论意义看，\(U \cap Y = (\pi|_U)^{-1}(Q)\)。回顾记号 \(\mathcal{F}_U = \pi^*\mathcal{F}|_U = (\pi|_U)^*\mathcal{F}\). 这是凝聚 \(\mathcal{O}_U\)-模。选取有限 \(A\)-模 \(M\)，使得 \(\mathcal{F}_U = \widetilde{M}|_U\) （其存在性见《局部上同调》，引理 0BK0）。我们断言：\(H^i_Z(M)\) 被 \(f\) 的某个幂零化，只要 \(i \leq \sigma + 1\)。

为证明该断言，我们应用《局部上同调》，命题 0EFC。将条件译成几何语言可知，只须证明：对 \(u \in U\)、\(u \not \in Y\) 以及 \(z \in \overline{\{u\}} \cap Z\)，有 \[\text{depth}(\mathcal{F}_{U, u}) + \dim(\mathcal{O}_{\overline{\{u\}}, z}) > \sigma + 1\] 这只需稍加思考。

注意，\(Z = \Spec(A_0)\) 是 \(X\) 的有限个闭点所成的集合，因为 \(A_0\) 是有限维 \(k\)-代数。（若读者希望 \(Z\) 只有一个点，可以把有限 \(k\)-代数 \(A_0\) 换成 \(k\)；这不会影响证明的其余部分。）

态射 \(\pi : L \to P\) 及其限制 \(\pi|_U : U \to P\) 都是相对维数为 \(1\) 的光滑态射。取 \(u \in U\)、\(u \not \in Y\) 以及 \(z \in \overline{\{u\}} \cap Z\)，并令 \(p = \pi(u) \in P \setminus Q\) 为其像。于是 \(u\) 或为 \(\pi\) 在 \(p\) 上纤维的泛点，或为该纤维的闭点。若 \(u\) 是纤维的泛点，则 \(\text{depth}(\mathcal{F}_{U, u}) = \text{depth}(\mathcal{F}_p)\) 且 \(\dim(\overline{\{u\}}) = \dim(\overline{\{p\}}) + 1\). 若 \(u\) 是纤维的闭点，则 \(\text{depth}(\mathcal{F}_{U, u}) = \text{depth}(\mathcal{F}_p) + 1\) 且 \(\dim(\overline{\{u\}}) = \dim(\overline{\{p\}})\). 在这两种情形下都有 \(\dim(\overline{\{u\}}) = \dim(\mathcal{O}_{\overline{\{u\}}, z})\) ，因为 \(Z\) 的每一点都是闭点。因此所需不等式由命题陈述中的假设推出。

令 \(A'\) 为由 \(f\) 所定义的 \(A\) 的进完备化。由《代数》，引理 00MB，\(A \to A'\) 是平坦的。记 \(U' \subset X' = \Spec(A')\) 为 \(U\) 的逆像，并类似地定义 \(Y'\) 与 \(Z'\)。令 \(\mathcal{F}'\) 为 \(U'\) 上由 \(\mathcal{F}_U\) 拉回所得的模，并令 \(M' = M \otimes_A A'\). 由局部上同调的平坦基变换（《局部上同调》，引理 0EF5），有 \[H^i_{Z'}(M') = H^i_Z(M) \otimes_A A'\] ，故对 \(i \leq \sigma + 1\)，这些模均被 \(f\) 的某个幂零化。考虑交换图 \[\xymatrix{ & H^i(U, \mathcal{F}_U) \ar[ld] \ar[d] \ar[r] & \lim H^i(U, \mathcal{F}_U/f^n\mathcal{F}_U) \ar@{=}[d] \\ H^i(U, \mathcal{F}_U) \otimes_A A' \ar@{=}[r] & H^i(U', \mathcal{F}') \ar[r] & \lim H^i(U', \mathcal{F}'/f^n\mathcal{F}') }\] 由引理 0EKM 以及刚证明的挠性，当 \(i < \sigma\) 时，下方水平箭头为同构。水平等号来自平坦基变换（《概形上同调》，引理 02KH）；竖直等号则是因为 \(U \cap Y\) 与 \(U' \cap Y'\)，连同它们的第 \(n\) 个无穷小邻域，都彼此同构地映射（这是因为我们关于 \(f\) 作完备化）。

应用《态射进阶》，等式 (0EKH) ，得到相容的直和分解 \[\lim H^i(U, \mathcal{F}_U/f^n\mathcal{F}_U) = \lim \left( \bigoplus\nolimits_{m \in \mathbf{Z}} H^i(Q_n, \mathcal{F}_n \otimes \mathcal{L}^{\otimes m}) \right)\] 以及 \[H^i(U, \mathcal{F}_U) = \bigoplus\nolimits_{m \in \mathbf{Z}} H^i(P, \mathcal{F} \otimes \mathcal{L}^{\otimes m})\] 因此结论由《代数》，引理 0EKD 得出。

引理

设 \(k\) 为域，\(X\) 为 \(k\) 上的固有概形。设 \(\mathcal{L}\) 为丰沛的可逆 \(\mathcal{O}_X\)-模， \(s \in \Gamma(X, \mathcal{L})\)。令 \(Y = Z(s)\) 为 \(s\) 的零点概形，其第 \(n\) 个无穷小邻域为 \(Y_n = Z(s^n)\)。设 \(\mathcal{F}\) 为凝聚 \(\mathcal{O}_X\)-模。假设对所有 \(x \in X \setminus Y\) 都有 \[\text{depth}(\mathcal{F}_x) + \dim(\overline{\{x\}}) > 1\] 则映射 \(\Gamma(V, \mathcal{F}) \to \lim \Gamma(Y_n, \mathcal{F}|_{Y_n})\) 对任意开子概形 \(V \subset X\)，只要它包含 \(Y\)，都是同构。

证明

由命题 0EL1，当 \(V = X\) 时结论成立。因此只须证明映射 \(\Gamma(V, \mathcal{F}) \to \lim \Gamma(Y_n, \mathcal{F}|_{Y_n})\) 是单射。若 \(\sigma \in \Gamma(V, \mathcal{F})\) 映为零，则其支撑与 \(Y\) 不交（略去细节；提示：使用 Krull 交定理）。于是，令 \(T \subset X\) 为 \(\text{Supp}(\sigma)\) 的闭包；它与 \(Y\) 不交。因此 \(T\) 在 \(k\) 上固有（因为它在 \(X\) 中闭），又是仿射的（因为它在仿射概形 \(X \setminus Y\) 中闭，见《态射》，引理 0EKE），从而在 \(k\) 上有限（《态射》，引理 01WN）。故 \(T\) 是 \(X\) 的有限个闭点所成的集合。由假设，\(\text{depth}(\mathcal{F}_x) \geq 2\)，因而深度至少为 \(1\)；这里 \(x \in T\)。于是 \(\Gamma(V, \mathcal{F}) \to \Gamma(V \setminus T, \mathcal{F})\) 为单射，故如所需 \(\sigma = 0\)。

例

设 \(k\) 为域，\(X\) 为 \(k\) 上的固有簇。设 \(Y \subset X\) 为有效 Cartier 除子，且 \(\mathcal{O}_X(Y)\) 丰沛；记 \(Y_n\) 为它的第 \(n\) 个无穷小邻域。设 \(\mathcal{E}\) 为有限局部自由 \(\mathcal{O}_X\)-模。下面列出命题 0EL1 的若干特殊情形。

若 \(X\) 是曲线，则得不到任何新结论。

若 \(X\) 是 Cohen-Macaulay 曲面（例如正规曲面），则 \[H^0(X, \mathcal{E}) \to \lim H^0(Y_n, \mathcal{E}|_{Y_n})\] 为同构。

若 \(X\) 是 Cohen-Macaulay 三维簇，则 \[H^0(X, \mathcal{E}) \to \lim H^0(Y_n, \mathcal{E}|_{Y_n}) \quad\text{且}\quad H^1(X, \mathcal{E}) \to \lim H^1(Y_n, \mathcal{E}|_{Y_n})\] 均为同构。

其规律应当已经清楚。若 \(X\) 是正规三维簇，则可以对 \(H^0\) 得出结论，但不能对 \(H^1\) 得出结论。

在证明下一个主要结果之前，我们需要一个引理。

引理

在情形 0EHC 中，设 \((\mathcal{F}_n)\) 是 \(\textit{Coh}(U, I\mathcal{O}_U)\) 的一个对象。假设

\(A\) 是分次环，\(\mathfrak a = A_+\)，且 \(I\) 是齐次理想；

\((\mathcal{F}_n) = (\widetilde{M_n}|_U)\)，其中 \((M_n)\) 是分次 \(A\)-模的逆系统；以及

\((\mathcal{F}_n)\) 可典范延拓到 \(X\)。

则存在有限分次 \(A\)-模 \(N\)，使得

逆系统 \((N/I^nN)\) 与 \((M_n)\) 在分次 \(A\)-模模去 \(A_+\)-幂挠模所得的范畴中为 pro-同构；并且

\((\mathcal{F}_n)\) 是与 \(N\) 相伴的凝聚模的完备化。

证明

令 \((\mathcal{G}_n)\) 为引理 0EIR 中的典范延拓。 \(A\) 与 \(M_n\) 上的分次决定如下作用 \[a : \mathbf{G}_m \times X \longrightarrow X\] ；这是群概形 \(\mathbf{G}_m\) 在 \(X\) 上的作用，使 \((\widetilde{M_n})\) 成为 \(\mathbf{G}_m\)-等变拟凝聚 \(\mathcal{O}_X\)-模的逆系统，见《群胚》，例 0EKJ。由于 \(\mathfrak a\) 与 \(I\) 是齐次理想，闭子概形 \(Z\)、\(Y\) 以及开子概形 \(U\) 都是 \(\mathbf{G}_m\)-不变的。 \((\mathcal{F}_n)\) 是 \((\widetilde{M_n})\) 的限制，并且是 \(\mathbf{G}_m\)-等变凝聚 \(\mathcal{O}_U\)-模的逆系统。换言之，\((\mathcal{F}_n)\) 是 \(\mathbf{G}_m\)-等变凝聚形式模；这意味着存在同构 \[\alpha : (a^*\mathcal{F}_n) \longrightarrow (p^*\mathcal{F}_n)\] ，它定义在 \(\mathbf{G}_m \times U\) 上，并满足适当的余循环条件。由于 \(a\) 与 \(p\) 是仿射概形之间的平坦态射，由引理 0EIS 可知，存在唯一同构 \[\beta : (a^*\mathcal{G}_n) \longrightarrow (p^*\mathcal{G}_n)\] ，它定义在 \(\mathbf{G}_m \times X\) 上，并将 \(\alpha\) 作为在 \(\mathbf{G}_m \times U\) 上的限制。唯一性保证 \(\beta\) 满足相应的余循环条件。由此，每个 \(\mathcal{G}_n\) 都以与转移映射相容的方式成为 \(\mathbf{G}_m\)-等变凝聚 \(\mathcal{O}_X\)-模。

由《群胚》，引理 0EKL， \(\mathcal{G}_n\) 连同其 \(\mathbf{G}_m\)-等变结构对应于分次 \(A\)-模 \(N_n\)。转移映射 \(N_{n + 1} \to N_n\) 是分次模同态。注意，\(N_n\) 是有限 \(A\)-模，并且 \(N_n = N_{n + 1}/I^n N_{n + 1}\)，因为 \((\mathcal{G}_n)\) 是 \(\textit{Coh}(X, I\mathcal{O}_X)\) 的对象。令 \(N\) 为《代数》，引理 0EKC 中得到的有限分次 \(A\)-模。于是 \(N_n = N/I^nN\)，故 \((\mathcal{G}_n)\) 是与 \(N\) 相伴的凝聚模的完备化，尤其 (b) 成立。

为证明 (a)，还需更细致地展开上述情形。首先，注意映射 \(M_n \to H^0(U, \mathcal{F}_n)\) 的核与余核都是 \(A_+\)-幂挠的（《局部上同调》，引理 0BK0）。注意，\(H^0(U, \mathcal{F}_n)\) 带有自然分次，使这些映射及系统的转移映射都是分次 \(A\)-模同态；例如，可以利用 \((U \to X)_*\mathcal{F}_n\) 是 \(\mathbf{G}_m\)-等变模，并且定义在 \(X\) 上，再应用《群胚》，引理 0EKL。其次，回顾定义 0EIP 和引理 0EIR： \((N_n)\) 与 \((H^0(U, \mathcal{F}_n))\) 为 pro-同构。我们略去验证定义此 pro-同构的映射均为分次模同态。因此，\((N_n)\) 与 \((M_n)\) 在分次 \(A\)-模模去 \(A_+\)-幂挠模所得的范畴中为 pro-同构。

设 \(k\) 为域，\(P\) 为 \(k\) 上的固有概形。设 \(\mathcal{L}\) 为丰沛的可逆 \(\mathcal{O}_P\)-模。取截面 \(s \in \Gamma(P, \mathcal{L})\)，并令 \(Q = Z(s)\) 为其零点概形，见《除子》，定义 02OQ。令 \(\mathcal{I} \subset \mathcal{O}_P\) 为 \(Q\) 的理想层。我们用 \(\textit{Coh}(P, \mathcal{I})\) 表示《概形上同调》，第 0EHN 节中引入的凝聚形式模范畴。

命题

在上述情形中，设 \((\mathcal{F}_n)\) 是 \(\textit{Coh}(P, \mathcal{I})\) 的一个对象。假设对所有 \(q \in Q\) 以及所有素理想 \(\mathfrak p \in \mathcal{O}_{P, q}^\wedge\)，若 \(\mathfrak p \not \in V(\mathcal{I}_q^\wedge)\)，都有 \[\text{depth}((\mathcal{F}_q^\wedge)_\mathfrak p) + \dim(\mathcal{O}_{P, q}^\wedge/\mathfrak p) + \dim(\overline{\{q\}}) > 2\] 则 \((\mathcal{F}_n)\) 是某个凝聚 \(\mathcal{O}_P\)-模的完备化。

证明

由《概形上同调》，引理 0889，为证明本命题，可以把 \((\mathcal{F}_n)\) 换成一个与它仅相差 \(\mathcal{I}\)-挠的对象（更精确的说明见下文）。令 \(T' = \{q \in Q \mid \dim(\overline{\{q\}}) = 0\}\)，并令 \(T = \{q \in Q \mid \dim(\overline{\{q\}}) \leq 1\}\)。命题中的假设恰好说明 \(Q \subset P\)、\((\mathcal{F}_n)\) 以及 \(T' \subset T \subset Q\) 在 \(d = 1\) 时满足引理 0EJF 的条件；除了直接整理不等式外，还要用到 \(V(\mathfrak p) \cap V(\mathcal{I}^\wedge_y) = \{\mathfrak m^\wedge_y\} \Leftrightarrow \dim(\mathcal{O}_{P, q}^\wedge/\mathfrak p) = 1\) ，因为 \(\mathcal{I}_y^\wedge\) 由 \(1\) 个元素生成。结合这两点，可以把 \((\mathcal{F}_n)\) 换成对象 \((\mathcal{H}_n)\)；它属于 \(\textit{Coh}(P, \mathcal{I})\)，并由引理 0EJF 给出。因此可以并且确实假设 \((\mathcal{F}_n)\) 与逆系统 \((\mathcal{F}_n'')\) 为 pro-同构；后者由凝聚 \(\mathcal{O}_P\)-模组成，并且满足 \(\text{depth}(\mathcal{F}''_{n, q}) + \dim(\overline{\{q\}}) \geq 2\)，对所有 \(q \in Q\) 都如此。

我们将使用《态射进阶》，引理 0EKI，并在不再另行说明的情况下使用《态射进阶》，第 0EKF 节中的记号和结果；若至少不了解该引理的陈述，本证明便无法理解。注意，在我们的情形中 \(A = \bigoplus_{m \geq 0} \Gamma(P, \mathcal{L}^{\otimes m})\) 是有限型 \(k\)-代数，且它的每个分次部分都是有限维 \(k\)-向量空间，见《概形上同调》，引理 0B5T。

由《概形上同调》，引理 0887，沿 \(\pi|_U : U \to P\) 的拉回 \((\pi|_U^*\mathcal{F}_n)\) 是 \(\textit{Coh}(U, f\mathcal{O}_U)\) 的对象，并且它与逆系统 \((\pi|_U^*\mathcal{F}_n'')\) 为 pro-同构；后者由凝聚 \(\mathcal{O}_U\)-模组成。我们断言 \[\text{depth}(\pi|_U^*\mathcal{F}''_{n, y}) + \delta_Z^Y(y) \geq 3\] ，对所有 \(y \in U \cap Y\) 都成立。由于 \(Z\) 的所有点都是闭点，由引理 0EIY 可知， \(\delta_Z^Y(y) \geq \dim(\overline{\{y\}})\) 对所有 \(y \in U \cap Y\) 都成立。令 \(q \in Q\) 为 \(y\) 的像。因为态射 \(\pi : U \to P\) 是相对维数为 \(1\) 的光滑态射，所以 \(y\) 或是 \(\pi\) 某条纤维的闭点，或是其泛点。因此 \[\text{depth}(\pi^*\mathcal{F}''_{n, y}) + \delta_Z^Y(y) \geq \text{depth}(\pi^*\mathcal{F}''_{n, y}) + \dim(\overline{\{y\}}) = \text{depth}(\mathcal{F}''_{n, q}) + \dim(\overline{\{q\}}) + 1\] ，因为深度或维数二者之一增加 \(1\)。这就证明了断言。

由引理 0EJI 可知， \((\pi|_U^*\mathcal{F}_n)\) 可典范延拓到 \(X\)。注意 \[M_n = \Gamma(U, \pi|_U^*\mathcal{F}_n) = \bigoplus\nolimits_{m \in \mathbf{Z}} \Gamma(P, \mathcal{F}_n \otimes_{\mathcal{O}_P} \mathcal{L}^{\otimes m})\] 典范地成为分次 \(A\)-模，见《态射进阶》，等式 (0EKH)。由《性质》，引理 0EHM，有 \(\pi|_U^*\mathcal{F}_n = \widetilde{M_n}|_U\)。因此可以应用引理 0EL4，得到有限分次 \(A\)-模 \(N\)，使 \((M_n)\) 与 \((N/I^nN)\) 在分次 \(A\)-模模去 \(A_+\)-挠模所得的范畴中为 pro-同构。令 \(\mathcal{F}\) 为凝聚 \(\mathcal{O}_P\)-模，并要求它与 \(N\) 相伴，见《概形上同调》，命题 0BXF。同一命题还说明 \((\mathcal{F}/\mathcal{I}^n\mathcal{F})\) 与 \((\mathcal{F}_n)\) 为 pro-同构。由于二者都是 \(\textit{Coh}(P, \mathcal{I})\) 的对象，结论由引理 0EIQ 得出。

例

设 \(k\) 为域，\(X\) 为 \(k\) 上的固有簇。设 \(Y \subset X\) 为有效 Cartier 除子，且 \(\mathcal{O}_X(Y)\) 丰沛；记 \(\mathcal{I} \subset \mathcal{O}_X\) 为相应的理想层。设 \((\mathcal{E}_n)\) 是 \(\textit{Coh}(X, \mathcal{I})\) 的一个对象，且 \(\mathcal{E}_n\) 有限局部自由。下面列出命题 0EL5 的若干特殊情形。

若 \(X\) 是曲线或曲面，则得不到任何新结论。

若 \(X\) 是 Cohen-Macaulay 三维簇，则 \((\mathcal{E}_n)\) 是某个凝聚 \(\mathcal{O}_X\)-模 \(\mathcal{E}\) 的完备化。

更一般地，若 \(\dim(X) \geq 3\) 且 \(X\) 满足 \((S_3)\)，则 \((\mathcal{E}_n)\) 是某个凝聚 \(\mathcal{O}_X\)-模 \(\mathcal{E}\) 的完备化。

当然，若 \(\mathcal{E}\) 存在，则 \(\mathcal{E}\) 在 \(Y\) 的某个开邻域上有限局部自由。

命题

设 \(k\) 为域，\(X\) 为 \(k\) 上的固有概形。设 \(\mathcal{L}\) 为丰沛的可逆 \(\mathcal{O}_X\)-模，并取 \(s \in \Gamma(X, \mathcal{L})\)。令 \(Y = Z(s)\) 为 \(s\) 的零点概形，记 \(\mathcal{I} \subset \mathcal{O}_X\) 为相应的理想层。令 \(\mathcal{V}\) 为 \(X\) 中所有包含 \(Y\) 的开子概形所成的集合，并按反包含关系排序。假设对所有 \(x \in X \setminus Y\) 都有 \[\text{depth}(\mathcal{O}_{X, x}) + \dim(\overline{\{x\}}) > 2\] 则完备化函子 \[\colim_\mathcal{V} \textit{Coh}(\mathcal{O}_V) \longrightarrow \textit{Coh}(X, \mathcal{I})\] 在有限局部自由对象所成的满子范畴之间给出等价。

证明

为证明充分忠实，只须证明映射 \[\colim_\mathcal{V} \Gamma(V, \mathcal{L}^{\otimes m}) \longrightarrow \lim \Gamma(Y_n, \mathcal{L}^{\otimes m}|_{Y_n})\] 对所有 \(m\) 为同构，见引理 0EK2。这由引理 0EL2 推出。

本质满性。设 \((\mathcal{F}_n)\) 是 \(\textit{Coh}(X, \mathcal{I})\) 的有限局部自由对象。则对 \(y \in Y\)，有 \(\mathcal{F}_y^\wedge = \lim \mathcal{F}_{n, y}\)，且它是有限自由 \(\mathcal{O}_{X, y}^\wedge\)-模。设 \(\mathfrak p \subset \mathcal{O}_{X, y}^\wedge\) 为满足 \(\mathfrak p \not \in V(\mathcal{I}_y^\wedge)\) 的素理想。那么 \(\mathfrak p\) 位于某个素理想 \(\mathfrak p_0 \subset \mathcal{O}_{X, y}\) 之上，而后者对应于特化 \(x \leadsto y\)，其中 \(x \not \in Y\)。由《局部上同调》，引理 0EHW 以及一些维数理论（见《簇》，第 06LF 节），有 \[\text{depth}((\mathcal{O}_{X, y}^\wedge)_\mathfrak p) + \dim(\mathcal{O}_{X, y}^\wedge/\mathfrak p) = \text{depth}(\mathcal{O}_{X, x}) + \dim(\overline{\{x\}}) - \dim(\overline{\{y\}})\] 因此，我们的假设蕴含命题 0EL5 的假设均成立，从而 \((\mathcal{F}_n)\) 是某个凝聚 \(\mathcal{O}_X\)-模 \(\mathcal{F}\) 的完备化。于是 \(\mathcal{F}_y\) 对所有 \(y \in Y\) 都是有限自由的；因此 \(\mathcal{F}\) 在某个开邻域 \(V\) 上有限局部自由，且该邻域包含 \(Y\)。证明完毕。

例如可取 \(H^q(K)\)，其中 \(K\) 是所讨论局部诺特概形 \(X\) 上的伪凝聚对象。↩︎
我们的方法迫使我们加入这个额外条件。稍后将回到这一点（插入未来的引用）。↩︎
例如，若 \(M\) 满足 Serre 条件 \((S_s)\)，并且这一条件是在 \(V(I) \cup T\) 的补集上要求的，则如此。↩︎
这里的含义是：在 \(V(\mathfrak a)\) 上，来自 \(\Spec(A)\) 上一个维数函数的最大值与最小值之差至多为 \(2\)。↩︎
这里的含义是：该函数在 \(V(\mathfrak a)\) 上所取最大值与最小值之差（这里该维数函数定义在 \(\Spec(A)\) 上）至多为 \(2\)。↩︎
例如，当 \(A\) 为整环时。↩︎
为所显示的模选取形如 \(\delta_{n_j}(p_j)\) 的齐次生成元。若 \(k = \max(n_j)\)，则对 \(n \geq k\) 和任意 \(p \in P_n\)，可找到 \(a_j \in A\)，使得 \(p - \sum a_j f^{n - n_j} p_j\) 位于 \(\delta_n\) 的核中，从而位于 \(P_{n'}\) 的像中；这对所有 \(n' \geq n\) 成立。因此有 \(\Im(P_n \to P_{n - k}) = \Im(P_{n'} \to P_{n - k})\)，对所有 \(n' \geq n\) 均成立。↩︎
也就是说，\(f\) 在 \(\mathcal{F} \otimes_{\mathcal{O}_U} \mathcal{G}\) 上未必是单射。↩︎
条件 (a) 由条件 (b) 推出，见代数，引理 0FCC。↩︎
注意，若 \(\text{depth}(A/fA) \geq 4\)，等价地 \(\text{depth}(A) \geq 5\)，则 (3) 和 (4) 成立。↩︎
我们不要求 \(s\) 是正则截面。因此，\(Q\) 仅为 \(P\) 的局部主闭子概形，而未必为有效 Cartier 除子。↩︎