代数叠导论

为什么阅读本章？

我们非正式地介绍代数叠。目标是迅速引入一套简单语言， 使你能够用它思考自己所关心的模问题的局部与整体性质。 做到这一点以后，在假定一般理论已经存在的前提下，你应当能够 对模问题提出适定的问题并开始求解。如果最终得到一个有趣的结果， 便可以回到 Stacks Project 其他部分的一般理论中，按需补齐细节。

这里采用的观点接近 [KatzMazur] 和 [mumford_picard] 所采用的观点。

预备知识

设 \(S\) 为概形。\(S\) 上的一个椭圆曲线是一个三元组 \((E, f, 0)\)，其中 \(E\) 是概形，且 \(f : E \to S\) 和 \(0 : S \to E\) 是概形态射，并满足

1. \(f : E \to S\) 是固有、光滑且相对维数为 \(1\) 的态射，

2. 对每个 \(s \in S\)，纤维 \(E_s\) 是亏格为 \(1\) 的连通曲线， 即 \(H^0(E_s, \mathcal{O})\) 和 \(H^1(E_s, \mathcal{O})\) 都是 \(1\)-维 \(\kappa(s)\)-向量空间，并且

3. \(0\) 是 \(f\) 的一个截面。

给定椭圆曲线 \((E, f, 0)/S\) 和 \((E', f', 0')/S'\)， 一个位于 \(a : S \to S'\) 之上的椭圆曲线态射 是态射 \(\alpha : E \to E'\)，使得图表 \[\xymatrix{ E \ar[rr]_\alpha \ar[d]^f & & E' \ar[d]_{f'} \\ S \ar@/^5ex/[u]^0 \ar[rr]^a & & S' \ar@/_5ex/[u]_{0'} }\] 交换且其中的方形为笛卡儿方形；换言之，态射 \(\alpha\) 诱导一个同构 \(E \to S \times_{S'} E'\)。 我们将定义椭圆曲线叠 \(\mathcal{M}_{1, 1}\)。 在 Stacks Project 的其余部分中，我们完整展开 Deligne 与 Mumford 在论文 [DM] 中引入的方法：把 \(\mathcal{M}_{1, 1}\) 表示为 一个带有函子的范畴 \[p : \mathcal{M}_{1, 1} \longrightarrow \Sch, \quad (E, f, 0)/S \longmapsto S\]

这意味着要使用概形范畴上的纤维化范畴、拓扑、群胚纤维化叠、 覆盖等等。在本章中，我们暂且把这些全部搁置，以稍微不同的方式 思考问题——这种方式或许更接近该理论创立者最初的思路。

椭圆曲线的模叠

我们将做如下事情：

1. 从你所偏好的概形范畴 \(\Sch\) 出发。

2. 加入一个新符号 \(\mathcal{M}_{1, 1}\)。

3. 一个态射 \(S \to \mathcal{M}_{1, 1}\) 就是 \(S\) 上的一条椭圆曲线 \((E, f, 0)\)。

4. 图表 \[\xymatrix{ S \ar[rr]_a \ar[rd]_{(E, f, 0)} & & S' \ar[ld]^{(E', F', 0')} \\ & \mathcal{M}_{1, 1} }\] 交换，当且仅当存在一个位于 \(a : S \to S'\) 之上的椭圆曲线态射 \(\alpha : E \to E'\)。我们称 \(\alpha\) 见证了该图表的交换性。

5. 注意，交换图表按如下方式粘合： \[\xymatrix{ S \ar[rrr]_a \ar[rrrd]_{(E, f, 0)} & & & S' \ar[d]_{(E', F', 0')} \ar[rrr]_{a'} & & & S'' \ar[llld]^{(E'', F'', 0'')} \\ & & & \mathcal{M}_{1, 1} }\] 因为若 \(\alpha\) 和 \(\alpha'\) 分别见证左、右三角形的交换性， 则 \(\alpha' \circ \alpha\) 见证外侧三角形的交换性。

6. 复合 \[S \xrightarrow{a} S' \xrightarrow{(E', f', 0')} \mathcal{M}_{1, 1}\] 由 \((E' \times_{S'} S, f' \times_{S'} S, 0' \times_{S'} S)\) 给出。

完成这一过程后，我们恰好用一个对象扩充了概形范畴 \(\Sch\)……

不过，我们还没有定义从 \(\mathcal{M}_{1, 1}\) 到概形 \(T\) 的态射是什么。 答案是：采用使复合有意义的最弱概念。因此，态射 \(F : \mathcal{M}_{1, 1} \to T\) 是一条规则，它为每条椭圆曲线 \((E, f, 0)/S\) 指定一个态射 \(F(E, f, 0) : S \to T\)，并且对任意交换图表 \[\xymatrix{ S \ar[rr]_a \ar[rd]_{(E, f, 0)} & & S' \ar[ld]^{(E', F', 0')} \\ & \mathcal{M}_{1, 1} }\] 图表 \[\xymatrix{ S \ar[rr]_a \ar[rd]_{F(E, f, 0)} & & S' \ar[ld]^{F(E', F', 0')} \\ & T }\] 也交换。你或许听说过的 \(j\)-不变量 \[j : \mathcal{M}_{1, 1} \longrightarrow \mathbf{A}^1_{\mathbf{Z}}\] 就是一个例子。这样看来，我们已经完成了……

然而还没有！我们仍需定义态射 \(\mathcal{M}_{1, 1} \to \mathcal{M}_{1, 1}\) 的概念。 做法与之前完全相同：态射 \(F : \mathcal{M}_{1, 1} \to \mathcal{M}_{1, 1}\) 是一条规则，它为每条椭圆曲线 \((E, f, 0)/S\) 指定另一条椭圆曲线 \(F(E, f, 0)\)，并保持上述图表的交换性。不过，由于我不知道 这种函子的非平凡例子，眼下就把从 \(\mathcal{M}_{1, 1}\) 到自身的 态射集合定义为只含恒等态射。

希望你已经看出怎样向这个扩充后的范畴加入其他对象。 直观上似乎很清楚：对任意“性态良好”的模问题，都可以执行上述构造， 向我们的范畴加入一个对象。事实上，现代代数几何的很大一部分

正发生在这样一个世界中：\(\Sch\) 被可数多个（明确构造的）模叠所扩充。

你也许会反对说，由此得到的并不是范畴，因为我们必须给出交换性的见证， 所以对于图表何时交换、哪些图表的组合仍然交换，存在某种“含混性”。 然而事实证明，这种为交换性配备见证的想法正是处理 \(2\)-范畴的 一种有效方式！因此我们继续采用它。

纤维积

这里要问的是，下面的纤维积应当是什么： \[\xymatrix{ & ? \ar@{..>}[rd] \ar@{..>}[ld] \\ S \ar[rd]_{(E, f, 0)} & & S' \ar[ld]^{(E', f', 0')} \\ & \mathcal{M}_{1, 1} }\] 答案是：从概形 \(T\) 到 \(?\) 的一个态射应当是三元组 \((a, a', \alpha)\)，其中 \(a : T \to S\)、\(a' : T \to S'\) 是概形态射，而 \(\alpha : E \times_{S, a} T \to E' \times_{S', a'} T\) 是 \(T\) 上椭圆曲线的一个同构。根据前面对复合与交换图表的定义， 这确实有意义。

引理

函子 \(\Sch^{opp} \to \textit{Sets}\)， \(T \mapsto \{(a, a', \alpha)\text{ 如上所述}\}\) 可由一个概形 \(S \times_{\mathcal{M}_{1, 1}} S'\) 表示。

证明

证明思路。把这个函子与 \[\mathit{Isom}_{S \times S'}(E \times S', S \times E')\] 联系起来，并使用 Grothendieck 的 Hilbert 概形理论。

注

我们有公式 \(S \times_{\mathcal{M}_{1, 1}} S' = (S \times S') \times_{\mathcal{M}_{1, 1} \times \mathcal{M}_{1, 1}} \mathcal{M}_{1, 1}\)。 因此，关键事实是 \(\mathcal{M}_{1, 1}\) 的对角态射 \(\Delta_{\mathcal{M}_{1, 1}}\) 的一个性质。

无论如何，关键事实使我们能够作如下定义。

定义

若对每个态射 \(S' \to \mathcal{M}_{1, 1}\)，投影态射 \[S \times_{\mathcal{M}_{1, 1}} S' \longrightarrow S'\] 都是光滑的，则称态射 \(S \to \mathcal{M}_{1, 1}\) 光滑。

这与概形之间光滑态射的概念相容，因为光滑态射的基变换仍然光滑。 此外，很清楚怎样把这个定义推广到以 \(\mathcal{M}_{1, 1}\) （或你所偏好的模叠）为靶的态射的其他性质。特别地，下面还会将它 用于满射。

定义

我们把它表述为定义而不是结论，因为希望读者尝试其他情形 （不只是叠 \(\mathcal{M}_{1, 1}\)，也不只是全体概形的范畴 \(\Sch\)）。

定义

称 \(\mathcal{M}_{1, 1}\) 为一个代数叠，当且仅当

1. 对 \(\Sch\) 上的 étale 拓扑，对象满足下降；

2. 关键事实成立；

3. 存在满且光滑的态射 \(S \to \mathcal{M}_{1, 1}\)。

第一个条件是一种“层性质”。这里把它详细写出，因为有一个技术点 需要说明。设给定概形 \(S\)、一个 étale 覆盖 \(\{S_i \to S\}\)， 以及态射 \(e_i : S_i \to \mathcal{M}_{1, 1}\)，使图表 \[\xymatrix{ S_i \times_S S_j \ar[rd]_{e_i \circ \text{pr}_1} \ar[rr]_{\text{id}} & & S_i \times_S S_j \ar[ld]^{e_j \circ \text{pr}_2} \\ & \mathcal{M}_{1, 1} }\] 交换。在这种情形下，层条件并不保证存在态射 \(e : S \to \mathcal{M}_{1, 1}\)。事实上，我们还需为上述图表选取见证 \(\alpha_{ij}\)，并要求在 \(S_i \times_S S_j \times_S S_k\) 上，作为见证有 \[\text{pr}_{02}^*\alpha_{ik} = \text{pr}_{12}^*\alpha_{jk} \circ \text{pr}_{01}^*\alpha_{ij}\] 我想这是什么意思应当很清楚……若仍不清楚，恐怕就得阅读一些 关于群胚纤维化范畴等内容。无论如何，上式通常称为余圈条件。 “层性质”的更精确表述是：给定 \(\{S_i \to S\}\)、 \(e_i : S_i \to \mathcal{M}_{1, 1}\) 以及满足余圈条件的见证 \(\alpha_{ij}\)，存在一个在唯一同构意义下唯一的 \(e : S \to \mathcal{M}_{1, 1}\)，使得 \(e_i \cong e|_{S_i}\)， 并可恢复各 \(\alpha_{ij}\)。

可以看到，即使精确表述这个命题也要花些工夫。 这种“层性质”的证明依赖于代数几何的一项基本技术，即下降理论。 我的建议是先直接接受“层性质”成立，再观察它在实际中蕴含什么。 事实上，要把“层性质”提炼成一个可以写在餐巾纸上的可操作命题， 需要相当的思维灵活性。也许最简单且已经颇有意思的变体如下： 设 \(L/K\) 是域的有限伽罗瓦扩张，伽罗瓦群为 \(G = \text{Gal}(L/K)\)。令 \(T = \Spec(L)\)、\(S = \Spec(K)\)。 则 \(\{T \to S\}\) 是一个 étale 覆盖。 令 \((E, f, 0)\) 为 \(L\) 上的一条椭圆曲线。（是的，这只意味着 \(E \subset \mathbf{P}^2_L\) 由一个 Weierstrass 方程给出， 而 \(0\) 是通常的无穷远点。）记 \(E_\sigma = E \times_{T, \Spec(\sigma)} T\) 为该基变换。 （是的，这对应于把 \(\sigma\) 作用到 Weierstrass 方程的系数上， 还是应当用 \(\sigma^{-1}\)？）进一步设对每个 \(\sigma \in G\)， 给定 \(T\) 上的同构 \[\alpha_\sigma : E \longrightarrow E_\sigma\] 此时，上述余圈条件意味着 \[(\alpha_\tau)^\sigma \circ \alpha_\sigma = \alpha_{\tau\sigma}\] 对所有 \(\sigma, \tau \in G\) 成立。如果你学过群上同调， 这应当十分熟悉。无论如何，\(\mathcal{M}_{1, 1}\) 上的“粘合”条件说， 若这一方程组有解，则存在 \(S\) 上的一条椭圆曲线 \(E'\)，使得 \(E \cong E' \times_S T\)（实际上还说得更多，因为它也告诉你 怎样恢复各 \(\alpha_\sigma\)）。

挑战：你能否完全只用 Weierstrass 方程所定义的椭圆曲线来证明这一点？

一个光滑覆盖

最后要做的是找出 \(\mathcal{M}_{1, 1}\) 的一个光滑覆盖。 事实上，在某种意义下，光滑覆盖的存在蕴含 ¹关键事实！ 对椭圆曲线，我们用 Weierstrass 方程来构造一个。

令 \[W = \Spec(\mathbf{Z}[a_1, a_2, a_3, a_4, a_6, 1/\Delta])\] 其中 \(\Delta \in \mathbf{Z}[a_1, a_2, a_3, a_4, a_6]\) 是某个多项式（见下文）。令 \[\mathbf{P}_W^2 \supset E_W : zy^2 + a_1 xyz + a_3 yz^2 = x^3 + a_2x^2z + a_4xz^2 + a_6z^3.\] 以 \(f_W : E_W \to W\) 记投影。最后，以 \(0_W : W \to E_W\) 记由 \((0 : 1 : 0)\) 给出的 \(f_W\) 的截面。事实证明，在赋权 \(\deg(a_i) = i\) 下，存在一个关于 \(a_i\) 的加权次数为 \(12\) 的齐次多项式 \(\Delta\)， 使 \(E_W \to W\) 光滑。可以通过计算 Weierstrass 方程的偏导数 显式求出它——当然也可以直接查表。还可以让 pari/gp 替你计算。 它就是 \[\begin{align*} \Delta & = -a_6a_1^6 + a_4a_3a_1^5 + ((-a_3^2 - 12a_6)a_2 + a_4^2)a_1^4 + \\ & (8a_4a_3a_2 + (a_3^3 + 36a_6a_3))a_1^3 + \\ & ((-8a_3^2 - 48a_6)a_2^2 + 8a_4^2a_2 + (-30a_4a_3^2 + 72a_6a_4))a_1^2 + \\ & (16a_4a_3a_2^2 + (36a_3^3 + 144a_6a_3)a_2 - 96a_4^2a_3)a_1 + \\ & (-16a_3^2 - 64a_6)a_2^3 + 16a_4^2a_2^2 + (72a_4a_3^2 + 288a_6a_4)a_2 + \\ & -27a_3^4 - 216a_6a_3^2 -64a_4^3 - 432a_6^2 \end{align*}\] 你或许认得最后两项：在 \(y^2 = x^3 + Ax + B\) 的情形，判别式为 \(-64A^3 - 432B^2 = -16(4A^3 + 27B^2)\)。

引理

态射 \(W \xrightarrow{(E_W, f_W, 0_W)} \mathcal{M}_{1, 1}\) 光滑且满。

证明

满性来自每条域上的椭圆曲线都有 Weierstrass 方程这一事实。

下面粗略说明一种证明光滑性的方法。考虑子群概形 \[H = \left\{ \left( \begin{matrix} u^2 & s & 0 \\ 0 & u^3 & 0 \\ r & t & 1 \end{matrix} \right) \middle| \begin{matrix} u\text{ 为可逆元} \\ s, r, t\text{ 任意} \end{matrix} \right\} \subset \text{GL}_{3, \mathbf{Z}}\] \(H\) 在 Weierstrass 概形 \(W\) 上有作用 \(H \times W \to W\)。 为求出这一作用的方程，只需写出由 \(H\) 中矩阵给出的坐标变换 如何作用于一般 Weierstrass 方程。随后可证明下列命题成立：

1. 任意椭圆曲线 \((E, f, 0)/S\) 在 \(S\) 上 Zariski 局部地 都有一个 Weierstrass 方程；

2. \((E, f, 0)\) 的任意两个 Weierstrass 方程在 Zariski 局部 相差 \(H\) 的一个元素。

考察纤维积 \(S \times_{\mathcal{M}_{1, 1}} W = \mathit{Isom}_{S \times W}(E \times W, S \times E_W)\)， 由此得出：这意味着态射 \(W \to \mathcal{M}_{1, 1}\) 是一个 \(H\)-挠子（即主齐性空间）。由于 \(H \to \Spec(\mathbf{Z})\) 光滑， 而光滑群概形上的挠子也是光滑的，结论即得。

注

上面概述的论证实际上表明 \(\mathcal{M}_{1, 1} = [W/H]\) 是一个全局商叠。 证明一个模叠为代数叠的论证，约有 50% 的时候还会表明 它是一个全局商叠。

代数叠的性质

好，现在我们知道 \(\mathcal{M}_{1, 1}\) 是代数叠了。 这能用来做什么？这里真正有帮助的，与其说是它为代数叠这一事实， 不如说是这样一种观点：\(\mathcal{M}_{1, 1}\) 的性质应编码在态射 \(S \to \mathcal{M}_{1, 1}\) 的性质中，也就是编码在椭圆曲线族中。 下面列出若干例子。

局部性质： \[\mathcal{M}_{1, 1} \to \Spec(\mathbf{Z})\text{ 是光滑的} \Leftrightarrow W \to \Spec(\mathbf{Z})\text{ 是光滑的}\] 思路。代数叠的局部性质编码在其光滑覆盖的局部性质中。

整体性质： \[\begin{matrix} \mathcal{M}_{1, 1}\text{ 是拟紧的} \Leftarrow W\text{ 是拟紧的} \\ \mathcal{M}_{1, 1}\text{ 是不可约的} \Leftarrow W\text{ 是不可约的} \end{matrix}\] 思路。代数叠的某些整体性质可以从其一个合适的

²光滑覆盖的相应性质读出。

拟凝聚层： \[\QCoh(\mathcal{O}_{\mathcal{M}_{1, 1}}) = H\text{-等变拟凝聚模，定义于 }W\] 思路。一方面，\(\mathcal{M}_{1, 1}\) 上的一个拟凝聚模 应当对应于：对每个态射 \(e : S \to \mathcal{M}_{1, 1}\)， 在 \(S\) 上给定一个拟凝聚层 \(\mathcal{F}_{S, e}\)。 特别地，可取态射 \((E_W, f_W, 0_W) : W \to \mathcal{M}_{1, 1}\)。 由于这个态射是 \(H\)-等变的，所得拟凝聚模 \(\mathcal{F}_W\) 也是 \(H\)-等变的。反过来，给定一个 \(H\)-等变模，从 \(S \times_{e, \mathcal{M}_{1, 1}} W\) 是 \(H\)-挠子这一观察出发，

可以通过下降理论恢复各层 \(\mathcal{F}_{S, e}\)。

Picard 群： \[\Pic(\mathcal{M}_{1, 1}) = \Pic_H(W) = \mathbf{Z}/12\mathbf{Z}\] 思路。第一个等式已在上面看到。注意 \(\Pic(W) = 0\)， 因为环 \(\mathbf{Z}[a_1, a_2, a_3, a_4, a_6, 1/\Delta]\) 的类群平凡。存在正合序列 \[\mathbf{Z}\Delta \to \Pic_H(\mathbf{A}^5_{\mathbf{Z}}) \to \Pic_H(W) \to 0\] 中间的群等于 \(\Hom(H, \mathbf{G}_m) = \mathbf{Z}\)。

\(\Delta\) 的像为 \(12\)，因为 \(\Delta\) 的次数是 \(12\)。 这个论证大致正确，见 [PicM11]。

Étale 上同调：设 \(\Lambda\) 为环。

存在一个第一象限谱序列，收敛到 \(H^{p + q}_\etale(\mathcal{M}_{1, 1}, \Lambda)\)，其 \(E_2\)-页为 \[E_2^{p, q} = H_\etale^q(W \times H \times \ldots \times H, \Lambda) \quad(p\text{ 个因子，每个均为 }H)\] 思路。注意 \[W \times_{\mathcal{M}_{1, 1}} W \times_{\mathcal{M}_{1, 1}} \ldots \times_{\mathcal{M}_{1, 1}} W = W \times H \times \ldots \times H\] 因为 \(W \to \mathcal{M}_{1, 1}\) 是一个 \(H\)-挠子。 这个谱序列是光滑覆盖 \(\{W \to \mathcal{M}_{1, 1}\}\) 的 Čech-上同调谱序列。例如，由于 \(W\) 连通，我们看到 \(H^0_\etale(\mathcal{M}_{1, 1}, \Lambda) = \Lambda\)； 又因为 \(H^1_\etale(W, \Lambda) = 0\)，所以 \(H^1_\etale(\mathcal{M}_{1, 1}, \Lambda) = 0\) （当然，这需要证明）。当然，光滑覆盖 \(W \to \mathcal{M}_{1, 1}\) 对计算 étale 上同调而言未必“最优”。