可表示性判据

引言

本章的目的是寻找一些判据，用以保证赋予 fppf 拓扑的概形范畴上的 群胚叠是代数叠。历史上，这往往涉及证明某些函子可表示；参见 Grothendieck 的讲义 [Gr-I], [Gr-II], [Gr-III], [Gr-IV], [Gr-V]，以及 [Gr-VI]. 本章的标题由此而来。本章素材的另一个重要来源是 Artin 的工作；参见 [ArtinI], [ArtinII], [Artin-Theorem-Representability], [Artin-Construction-Techniques], [Artin-Algebraic-Spaces], [Artin-Algebraic-Approximation], [Artin-Implicit-Function]，以及 [ArtinVersal].

本章中的某些记号、约定和术语颇为别扭，经验更丰富的读者甚至可能觉得 它们前后颠倒。这是有意为之。解释见《Quot 空间与 Hilbert 空间》第 05X6 节。

约定

本章采用的约定与《代数叠》一章中的约定相同；参见《代数叠》第 026M 节。

已有结果

代数空间情形下与本章对应的是题为《自举》的一章；参见《自举》第 046B 节。该章已经包含一些可表示性结果。 此外，其中处理的一部分预备材料，我们已经在《代数叠》一章中建立。 具体如下：

1. 我们在《自举》第 02YP 节讨论可由代数空间 表示的预层态射。在《代数叠》第 04SX 节，我们讨论群胚纤维化范畴的 \(1\)-态射可由代数空间表示这一概念。

2. 我们在《自举》第 046E 节讨论可由代数空间 表示的预层态射的性质。在《代数叠》第 03YJ 节，我们讨论可由代数空间表示的群胚纤维化范畴的 \(1\)-态射的性质。

3. 我们已经证明：若 \(F\) 是一个层，其对角线可由代数空间表示， 并且它有一个来自代数空间的 étale 覆盖，则 \(F\) 是代数空间；参见 《自举》，定理 03Y3。 （这是下一项结果的一个较弱版本。）

4. 我们已经证明：若 \(F\) 是一个层，并且存在代数空间 \(U\) 以及态射 \(U \to F\)，此态射可由代数空间表示、满、平坦且局部有限表示， 则 \(F\) 是代数空间；参见《自举》，定理 04S6。

5. 我们还证明了 (05XI) 对代数叠的“光滑”类似物：

   若 \(\mathcal{X}\) 是 \((\Sch/S)_{fppf}\) 上的群胚叠，并且存在 \((\Sch/S)_{fppf}\) 上可由代数空间表示的群胚叠 \(\mathcal{U}\)，以及 \(1\)-态射 \(u : \mathcal{U} \to \mathcal{X}\)，此态射可由代数空间表示、 满且光滑，则 \(\mathcal{X}\) 是代数叠；参见《代数叠》，引理 05UL.

我们现在的第一项任务，是证明 (05XI) 对一般代数叠的 类似物，即定理 06DC。

群胚叠的态射

本节为预备内容，初读时可略过。

引理

设 \(\mathcal{X} \to \mathcal{Y} \to \mathcal{Z}\) 是 \((\Sch/S)_{fppf}\) 上群胚纤维化范畴的 \(1\)-态射。 若 \(\mathcal{X} \to \mathcal{Z}\) 与 \(\mathcal{Y} \to \mathcal{Z}\) 可由代数空间表示且为 étale，则 \(\mathcal{X} \to \mathcal{Y}\) 也具有这些性质。

证明

设 \(\mathcal{U}\) 是 \(S\) 上可表示的群胚纤维化范畴，并设 \(f : \mathcal{U} \to \mathcal{Y}\) 是 \(1\)-态射。我们必须证明 \(\mathcal{X} \times_\mathcal{Y} \mathcal{U}\) 可由代数空间表示， 且在 \(\mathcal{U}\) 上为 étale。考虑复合 \(h : \mathcal{U} \to \mathcal{Z}\)。则 \[\mathcal{X} \times_\mathcal{Z} \mathcal{U} \longrightarrow \mathcal{Y} \times_\mathcal{Z} \mathcal{U}\]

是两个群胚纤维化范畴之间的 \(1\)-态射；这两个范畴都可由代数空间表示， 且在 \(\mathcal{U}\) 上均为 étale。因此，由空间的性质，引理 03FV，该态射由代数空间的 étale 态射表示。最后，态射 \(f\) 诱导态射 \(\mathcal{U} \to \mathcal{Y} \times_\mathcal{Z} \mathcal{U}\)，而且有 \[\mathcal{X} \times_\mathcal{Y} \mathcal{U} = (\mathcal{X} \times_\mathcal{Z} \mathcal{U}) \times_{(\mathcal{Y} \times_\mathcal{Z} \mathcal{U})} \mathcal{U}.\]

引理

设 \(\mathcal{X}, \mathcal{Y}, \mathcal{Z}\) 是 \((\Sch/S)_{fppf}\) 上的群胚叠，并设 \(\mathcal{X} \to \mathcal{Y}\) 与 \(\mathcal{Z} \to \mathcal{Y}\) 是 \(1\)-态射。若

1. \(\mathcal{Y}\)、\(\mathcal{Z}\) 分别可由 \(S\) 上的代数空间 \(Y\)、\(Z\) 表示；

2. 相联系的代数空间态射 \(Y \to Z\) 满、平坦且局部有限表示；

3. \(\mathcal{Y} \times_\mathcal{Z} \mathcal{X}\) 是集合胚叠；

则 \(\mathcal{X}\) 是集合胚叠。

证明

这是《叠》引理 05W9 的特例。

下一个引理是《代数叠》引理 05UL 的类似物，并将被更强的定理 06DC 所取代。

引理

设 \(S\) 是概形，且 \(u : \mathcal{U} \to \mathcal{X}\) 是 \((\Sch/S)_{fppf}\) 上群胚叠的 \(1\)-态射。若

1. \(\mathcal{U}\) 可由代数空间表示；

2. \(u\) 可由代数空间表示、满、平坦且局部有限表示；

则

\(\Delta : \mathcal{X} \to \mathcal{X} \times \mathcal{X}\) 可由代数空间表示。

证明

给定 \(S\) 上的两个概形 \(T_1\)、\(T_2\)，

把相联系的可表示纤维范畴记为 \(\mathcal{T}_i = (\Sch/T_i)_{fppf}\)。设给定 \(1\)-态射 \(f_i : \mathcal{T}_i \to \mathcal{X}\)。由《代数叠》引理 045G，只需证明 \(2\)-纤维积 \(\mathcal{T}_1 \times_\mathcal{X} \mathcal{T}_2\) 可由代数空间表示。由《叠》引理 05UJ ，它无论如何都是集合胚叠。因此， \(\mathcal{T}_1 \times_\mathcal{X} \mathcal{T}_2\) 对应于 \((\Sch/S)_{fppf}\) 上的某个层 \(F\)；参见《叠》引理 0432。 设 \(U\) 是表示 \(\mathcal{U}\) 的代数空间。由假设， \[\mathcal{T}_i' = \mathcal{U} \times_{u, \mathcal{X}, f_i} \mathcal{T}_i\] 可由 \(S\) 上的代数空间 \(T'_i\) 表示。因此， \(\mathcal{T}_1' \times_\mathcal{U} \mathcal{T}_2'\) 可由代数空间 \(T'_1 \times_U T'_2\) 表示。考虑交换图 \[\xymatrix{ & \mathcal{T}_1 \times_{\mathcal X} \mathcal{T}_2 \ar[rr]\ar'[d][dd] & & \mathcal{T}_1 \ar[dd] \\ \mathcal{T}_1' \times_\mathcal{U} \mathcal{T}_2' \ar[ur]\ar[rr]\ar[dd] & & \mathcal{T}_1' \ar[ur]\ar[dd] \\ & \mathcal{T}_2 \ar'[r][rr] & & \mathcal X \\ \mathcal{T}_2' \ar[rr]\ar[ur] & & \mathcal{U} \ar[ur] }\] 在此图中，下方、右侧、后侧和前侧的方形都是 \(2\)-纤维积。于是形式论证表明， \(\mathcal{T}_1' \times_\mathcal{U} \mathcal{T}_2' \to \mathcal{T}_1 \times_{\mathcal X} \mathcal{T}_2\) 是 \(\mathcal{U} \to \mathcal{X}\) 的“基变换”；更确切地，图 \[\xymatrix{ \mathcal{T}_1' \times_\mathcal{U} \mathcal{T}_2' \ar[d] \ar[r] & \mathcal{U} \ar[d] \\ \mathcal{T}_1 \times_{\mathcal X} \mathcal{T}_2 \ar[r] & \mathcal{X} }\] 是一个 \(2\)-纤维积方形。因此，\(T'_1 \times_U T'_2 \to F\) 可由代数空间表示、平坦、局部有限表示且为满；参见《代数叠》引理 04SY, 0302, 04TC 和 045C. 所以，由《自举》定理 04S6， \(F\) 是代数空间，结论得证。

引理

设 \(\mathcal{X}\) 是 \((\Sch/S)_{fppf}\) 上的群胚纤维化范畴。 下列条件等价：

1. \(\Delta_\Delta : \mathcal{X} \to \mathcal{X} \times_{\mathcal{X} \times \mathcal{X}} \mathcal{X}\) 可由代数空间表示；

2. 对每个 \(1\)-态射 \(\mathcal{V} \to \mathcal{X} \times \mathcal{X}\)， 若 \(\mathcal{V}\)（由概形）可表示，则纤维积 \(\mathcal{Y} = \mathcal{X} \times_{\Delta, \mathcal{X} \times \mathcal{X}} \mathcal{V}\) 的对角态射可由代数空间表示。

证明

尽管这略费思量，但完全是形式的。回顾 \(\mathcal{X} \times_{\mathcal{X} \times \mathcal{X}} \mathcal{X} = \mathcal{I}_\mathcal{X}\) 是 \(\mathcal{X}\) 的惯性，并且 \(\Delta_\Delta\) 是 \(\mathcal{I}_\mathcal{X}\) 的恒等截面；参见 《范畴》第 04Z2 节。因此，条件 (1) 的含义如下： 给定概形 \(V\)、\(\mathcal{X}\) 在 \(V\) 上的对象 \(x\) 以及 \(\mathcal{X}_V\) 的态射 \(\alpha : x \to x\)，条件 “\(\alpha = \text{id}_x\)”在 \(V\) 上定义一个代数空间。 （换言之，存在代数空间的单态射 \(W \to V\)，使概形态射 \(f : T \to V\) 通过 \(W\) 分解，当且仅当 \(f^*\alpha = \text{id}_{f^*x}\)。）

另一方面，设 \(V\) 是概形，\(x,y\) 是 \(\mathcal{X}\) 在 \(V\) 上的对象。 于是 \((x,y)\) 定义态射 \(\mathcal{V} = (\Sch/V)_{fppf} \to \mathcal{X} \times \mathcal{X}\). 再设 \(h : V' \to V\) 是概形态射，并设 \(\alpha : h^*x \to h^*y\) 和 \(\beta : h^*x \to h^*y\) 是 \(\mathcal{X}_{V'}\) 的态射。于是 \((\alpha, \beta)\) 定义态射

\(\mathcal{V}' = (\Sch/V)_{fppf} \to \mathcal{Y} \times \mathcal{Y}\). 条件 (2) 现在断言（对上述任意选择），条件“\(\alpha = \beta\)” 在 \(V\) 上定义一个代数空间。

为证明等价性，给定 (2) 中的 \((\alpha,\beta)\)，由 (1) 可知条件 “\(\alpha^{-1} \circ \beta = \text{id}_{h^*x}\)”定义一个代数空间。 取 \(h = \text{id}_V\) 且 \(\beta = \text{id}_x\)，即得 (2) \(\Rightarrow\) (1)。

在对象上保极限

设 \(S\) 是概形，\(p : \mathcal{X} \to \mathcal{Y}\) 是 \((\Sch/S)_{fppf}\) 上群胚纤维化范畴的 \(1\)-态射。如果下列条件成立， 则称 \(p\) 在对象上保极限：给定由下列各项组成的任意数据

1. 仿射概形 \(U = \lim_{i \in I} U_i\)，它写成 \(S\) 上仿射概形 \(U_i\) 的有向极限；

2. 对某个 \(i\)，\(\mathcal{Y}\) 在 \(U_i\) 上的对象 \(y_i\)；

3. \(\mathcal{X}\) 在 \(U\) 上的对象 \(x\)；以及

4. 同构 \(\gamma : p(x) \to y_i|_U\)，

则存在 \(i' \geq i\)、\(\mathcal{X}\) 在 \(U_{i'}\) 上的对象 \(x_{i'}\)、同构 \(\beta : x_{i'}|_U \to x\) 以及同构 \(\gamma_{i'} : p(x_{i'}) \to y_i|_{U_{i'}}\)，使得 [06CU]\[\begin{equation} \vcenter{ \xymatrix{ p(x_{i'}|_U) \ar[d]_{p(\beta)} \ar[rr]_{\gamma_{i'}|_U} & & (y_i|_{U_{i'}})|_U \ar@{=}[d] \\ p(x) \ar[rr]^\gamma & & y_i|_U } } \end{equation}\] 交换。在这种情形下，我们称“\((i',x_{i'},\beta,\gamma_{i'})\) 是由数据 (1)、(2)、(3)、(4) 所提出问题的一个解”。 这一定义的动机来自《空间的极限》引理 06BC。

引理

设 \(p : \mathcal{X} \to \mathcal{Y}\) 和 \(q : \mathcal{Z} \to \mathcal{Y}\) 是 \((\Sch/S)_{fppf}\) 上 群胚纤维化范畴的 \(1\)-态射。如果 \(p : \mathcal{X} \to \mathcal{Y}\) 在对象上保极限，则 \(p\) 沿 \(q\) 的基变换 \(p' : \mathcal{X} \times_\mathcal{Y} \mathcal{Z} \to \mathcal{Z}\) 也在对象上保极限。

证明

这是形式的。设 \(U = \lim_{i \in I} U_i\) 是 \(S\) 上仿射概形 \(U_i\) 的有向极限；对某个 \(i\)，设 \(z_i\) 是 \(\mathcal{Z}\) 在 \(U_i\) 上的对象，\(w\) 是 \(\mathcal{X} \times_\mathcal{Y} \mathcal{Z}\) 在 \(U\) 上的对象，而 \(\delta : p'(w) \to z_i|_U\) 是同构。可以写成 \(w = (U, x, z, \alpha)\)，其中 \(x\) 是 \(\mathcal{X}\) 在 \(U\) 上的某个对象， \(z\) 是 \(\mathcal{Z}\) 在 \(U\) 上的对象，而 \(\alpha : p(x) \to q(z)\) 是同构。注意 \(p'(w)=z\)，故 \(\delta : z \to z_i|_U\)。令 \(y_i=q(z_i)\) 且 \(\gamma = q(\delta) \circ \alpha : p(x) \to y_i|_U\)。 由于 \(p\) 在对象上保极限，存在 \(i'\geq i\) 和 \(\mathcal{X}\) 在 \(U_{i'}\) 上的对象 \(x_{i'}\)，以及同构 \(\beta : x_{i'}|_U \to x\) 和 \(\gamma_{i'} : p(x_{i'}) \to y_i|_{U_{i'}}\)，使 (06CU) 交换。于是考虑 \(\mathcal{X} \times_\mathcal{Y} \mathcal{Z}\) 在 \(U_{i'}\) 上的对象 \(w_{i'} = (U_{i'}, x_{i'}, z_i|_{U_{i'}}, \gamma_{i'})\)，并定义同构 \[w_{i'}|_U = (U, x_{i'}|_U, z_i|_U, \gamma_{i'}|_U) \xrightarrow{(\beta, \delta^{-1})} (U, x, z, \alpha) = w\] 以及 \[p'(w_{i'}) = z_i|_{U_{i'}} \xrightarrow{\text{id}} z_i|_{U_{i'}}.\] 二者合在一起给出该问题的一个解。

引理

设 \(p : \mathcal{X} \to \mathcal{Y}\) 和 \(q : \mathcal{Y} \to \mathcal{Z}\) 是 \((\Sch/S)_{fppf}\) 上 群胚纤维化范畴的 \(1\)-态射。如果 \(p\) 和 \(q\) 均在对象上保极限， 则复合 \(q \circ p\) 也在对象上保极限。

证明

这是形式的。设 \(U = \lim_{i \in I} U_i\) 是 \(S\) 上仿射概形 \(U_i\) 的有向极限；对某个 \(i\)，设 \(z_i\) 是 \(\mathcal{Z}\) 在 \(U_i\) 上的对象，\(x\) 是 \(\mathcal{X}\) 在 \(U\) 上的对象，而 \(\gamma : q(p(x)) \to z_i|_U\) 是同构。由于 \(q\) 在对象上保极限， 存在 \(i' \geq i\)、\(\mathcal{Y}\) 在 \(U_{i'}\) 上的对象 \(y_{i'}\)、同构 \(\beta : y_{i'}|_U \to p(x)\) 以及同构 \(\gamma_{i'} : q(y_{i'}) \to z_i|_{U_{i'}}\)，使 (06CU) 交换。由于 \(p\) 在对象上保极限， 存在 \(i'' \geq i'\)、\(\mathcal{X}\) 在 \(U_{i''}\) 上的对象 \(x_{i''}\)、同构 \(\beta' : x_{i''}|_U \to x\) 以及同构 \(\gamma'_{i''} : p(x_{i''}) \to y_{i'}|_{U_{i''}}\)，使 (06CU) 交换。所求解取为 \(U_{i''}\) 上的 \(x_{i''}\)，并配以同构 \[q(p(x_{i''})) \xrightarrow{q(\gamma'_{i''})} q(y_{i'})|_{U_{i''}} \xrightarrow{\gamma_{i'}|_{U_{i''}}} z_i|_{U_{i''}}\] 和同构 \(\beta' : x_{i''}|_U \to x\)。我们略去 (06CU) 交换性的验证。

引理

设 \(p : \mathcal{X} \to \mathcal{Y}\) 是 \((\Sch/S)_{fppf}\) 上 群胚纤维化范畴的 \(1\)-态射。如果 \(p\) 可由代数空间表示， 则下列条件等价：

1. \(p\) 在对象上保极限；

2. \(p\) 局部有限表示（参见《代数叠》定义 03YK）。

证明

假设 (2)。设 \(U = \lim_{i \in I} U_i\) 是 \(S\) 上仿射概形 \(U_i\) 的有向极限；对某个 \(i\)，设 \(y_i\) 是 \(\mathcal{Y}\) 在 \(U_i\) 上的对象，\(x\) 是 \(\mathcal{X}\) 在 \(U\) 上的对象，而 \(\gamma : p(x) \to y_i|_U\) 是同构。记 \(X_{y_i}\) 为表示 \(2\)-纤维积 \[(\Sch/U_i)_{fppf} \times_{y_i, \mathcal{Y}, p} \mathcal{X}.\] 的 \(U_i\) 上的代数空间。注意， \(\xi = (U, U \to U_i, x, \gamma^{-1})\) 定义此 \(2\)-纤维积在 \(U\) 上的一个对象。由 \(2\)-Yoneda 引理，\(\xi\) 对应于 \(U_i\) 上的态射 \(f_\xi : U \to X_{y_i}\)。由《空间的极限》命题 04AK ，存在 \(i'\geq i\) 和态射 \(f_{i'} : U_{i'} \to X_{y_i}\)，使 \(f_\xi\) 是 \(f_{i'}\) 与投影态射 \(U \to U_{i'}\) 的复合。 \(2\)-Yoneda 引理还告诉我们，\(f_{i'}\) 对应于上述 \(2\)-纤维积在 \(U_{i'}\) 上的一个对象 \(\xi_{i'} = (U_{i'}, U_{i'} \to U_i, x_{i'}, \alpha)\)，其到 \(U\) 的限制 恢复 \(\xi\)。特别地，我们得到同构

\(\gamma : x_{i'}|U \to x\)。注意，\(\alpha : y_i|_{U_{i'}} \to p(x_{i'})\)。 因此，取 \(x_{i'}\)、同构 \(\gamma : x_{i'}|U \to x\) 以及同构 \(\beta = \alpha^{-1} : p(x_{i'}) \to y_i|_{U_{i'}}\)，即为该问题的一个解。

假设 (1)。选取概形 \(T\) 和 \(1\)-态射 \(y : (\Sch/T)_{fppf} \to \mathcal{Y}\)。设 \(X_y\) 是表示 \(2\)-纤维积 \((\Sch/T)_{fppf} \times_{y, \mathcal{Y}, p} \mathcal{X}\). 的 \(T\) 上的代数空间。我们必须证明 \(X_y \to T\) 局部有限表示。 为此，将使用《空间的极限》评注 05N0 中的判据。考虑仿射概形 \(U = \lim_{i \in I} U_i\)，它写成 \(T\) 上仿射概形的有向极限。 任取 \(i \in I\) 并令 \(y_i = y|_{U_i}\)。另以 \(i'\) 表示 \(I\) 中 大于或等于 \(i\) 的元素。由 \(2\)-Yoneda 引理，\(T\) 上的态射 \(U \to X_y\) 与二元组 \((x,\alpha)\) 的同构类一一对应，其中 \(x\) 是 \(\mathcal{X}\) 在 \(U\) 上的对象，而 \(\alpha : y|_U \to p(x)\) 是同构。当然，在取逆的意义下，给出 \(\alpha\) 等同于给出同构 \(\gamma : p(x) \to y_i|_U\)。 \(T\) 上的态射 \(U_{i'} \to X_y\) 情形类似。因此，(1) 保证典范映射 \[\colim_{i' \geq i} X_y(U_{i'}) \longrightarrow X_y(U)\] 在此情形下为满。由《空间的极限》引理 0CM6，\(X_y \to T\) 局部有限表示。

引理

设 \(p : \mathcal{X} \to \mathcal{Y}\) 是 \((\Sch/S)_{fppf}\) 上 群胚纤维化范畴的 \(1\)-态射。假设 \(p\) 可由代数空间表示，且为开浸入。 则 \(p\) 在对象上保极限。

证明

这由引理 06CX，并经由 《代数叠》引理 045F 中的一般原理，再结合下述事实推出：代数空间的开浸入局部有限表示； 参见《空间的态射》引理 06CN。

设 \(S\) 是概形。在下一个引理中，我们需要 \(S\) 上代数空间 \(X\) 的 大小这一概念。确切地，给定基数 \(\kappa\)，我们称 \(X\) 满足 \(\text{size}(X) \leq \kappa\)，当且仅当存在概形 \(U\)，使 \(\text{size}(U) \leq \kappa\)（参见《集合》第 000H 节），并且存在满的平展态射 \(U \to X\)。

引理

设 \(S\) 是概形。对某个 \(T \in \Ob((\Sch/S)_{fppf})\)，令 \(\kappa = \text{size}(T)\)。设 \(f : \mathcal{X} \to \mathcal{Y}\) 是 \((\Sch/S)_{fppf}\) 上 群胚纤维化范畴的 \(1\)-态射，并满足

1. \(\mathcal{Y} \to (\Sch/S)_{fppf}\) 在对象上保极限；

2. 对 \(S\) 上局部有限表示的仿射概形 \(V\) 和 \(y \in \Ob(\mathcal{Y}_V)\)，纤维积 \((\Sch/V)_{fppf} \times_{y, \mathcal{Y}} \mathcal{X}\) 可由大小 \(\leq \kappa\) 的代数空间表示¹；

3. \(\mathcal{X}\) 和 \(\mathcal{Y}\) 都是 Zariski 拓扑的叠。

则 \(f\) 可由代数空间表示。

证明

设 \(V\) 是 \(S\) 上的概形且 \(y \in \mathcal{Y}_V\)。我们必须证明 \((\Sch/V)_{fppf} \times_{y, \mathcal{Y}} \mathcal{X}\) 可由代数空间表示。

情形 I：\(V\) 为仿射概形，并映入仿射开集 \(\Spec(\Lambda) \subset S\)。于是可写 \(V = \lim V_i\)，其中每个 \(V_i\) 都是 \(\Spec(\Lambda)\) 上有限表示的仿射概形；参见《代数》引理 00QN。由假设 (1)，对某个 \(i\)，\(y\) 来自 \(V_i\) 上的对象 \(y_i\)。由假设 (3)，纤维积 \((\Sch/V_i)_{fppf} \times_{y_i, \mathcal{Y}} \mathcal{X}\) 可由代数空间 \(Z_i\) 表示。于是 \((\Sch/V)_{fppf} \times_{y, \mathcal{Y}} \mathcal{X}\) 可由

\(Z \times_{V_i} V\) 表示。

情形 II：\(V\) 为一般概形。选取仿射开覆盖 \(V = \bigcup_{i \in I} V_i\)，使每个 \(V_i\) 都映入 \(S\) 的一个仿射开集。 先断言 \(\mathcal{Z} = (\Sch/V)_{fppf} \times_{y, \mathcal{Y}} \mathcal{X}\) 是 Zariski 拓扑的集合胚叠。事实上，由《叠》引理 02ZL，它是 Zariski 拓扑的 群胚叠。再设 \(z\) 是 \(\mathcal{Z}\) 在概形 \(T\) 上的对象。 记 \(g : T \to V\) 为与 \(z\) 到 \((\Sch/V)_{fppf}\) 的投影相对应的态射。 考虑 Zariski 层 \(\mathit{I} = \mathit{Isom}_{\mathcal{Z}}(z, z)\)。由情形 I， \(\mathit{I}|_{g^{-1}(V_i)} = *\)（单点层）。故

\(\mathcal{I} = *\)。所以 \(\mathcal{Z}\) 纤维化于集合胚。为完成证明， 须证明 Zariski 层 \(Z : T \mapsto \Ob(\mathcal{Z}_T)/\cong\) 是代数空间； 参见《代数叠》引理 02ZX。 存在映射 \(p : Z \to V\)（函子之间的变换），而由情形 I， \(Z_i = p^{-1}(V_i)\) 是代数空间。态射 \(Z_i \to Z\) 可由开浸入表示， 且 \(\coprod Z_i \to Z\) 在 Zariski 拓扑下为满。因此，由《自举》引理 07WE，\(Z\) 是 fppf 拓扑的层。 于是可应用《空间》引理 02WR， 从而 \(Z\) 是代数空间²。

引理

设 \(S\) 是概形，\(f : \mathcal{X} \to \mathcal{Y}\) 是 \((\Sch/S)_{fppf}\) 上群胚纤维化范畴的 \(1\)-态射。设 \(\mathcal{P}\) 是 《代数叠》定义 03YK 中所述的代数空间态射的性质。如果

1. \(f\) 可由代数空间表示；

2. \(\mathcal{Y} \to (\Sch/S)_{fppf}\) 在对象上保极限；

3. 对 \(S\) 上局部有限表示的仿射概形 \(V\) 和 \(y \in \mathcal{Y}_V\)，所得代数空间态射 \(f_y : F_y \to V\) 具有性质 \(\mathcal{P}\)；参见《代数叠》公式 (0402)。

则 \(f\) 具有性质 \(\mathcal{P}\)。

证明

设 \(V\) 是 \(S\) 上的概形且 \(y \in \mathcal{Y}_V\)。我们必须证明 \(F_y \to V\) 具有性质 \(\mathcal{P}\)。由于 \(\mathcal{P}\) 在基底上为 fppf 局部的，可以假设 \(V\) 是映入仿射开集 \(\Spec(\Lambda) \subset S\) 的仿射概形。于是可写 \(V = \lim V_i\)，其中每个 \(V_i\) 都是 \(\Spec(\Lambda)\) 上有限表示的 仿射概形；参见《代数》引理 00QN。 由假设 (2)，对某个 \(i\)，\(y\) 来自 \(V_i\) 上的对象 \(y_i\)。 由假设 (3)，态射 \(F_{y_i} \to V_i\) 具有性质 \(\mathcal{P}\)。 由于 \(\mathcal{P}\) 在任意基变换下稳定，并且 \(F_y = F_{y_i} \times_{V_i} V\)，故 \(F_y \to V\) 如愿具有性质 \(\mathcal{P}\)。

在对象上形式光滑

设 \(S\) 是概形，\(p : \mathcal{X} \to \mathcal{Y}\) 是 \((\Sch/S)_{fppf}\) 上群胚纤维化范畴的 \(1\)-态射。如果下列条件成立， 则称 \(p\) 在对象上形式光滑：给定由下列各项组成的任意数据

1. \(S\) 上仿射概形的一阶加厚 \(U \subset U'\)；

2. \(\mathcal{Y}\) 在 \(U'\) 上的对象 \(y'\)；

3. \(\mathcal{X}\) 在 \(U\) 上的对象 \(x\)；以及

4. 同构 \(\gamma : p(x) \to y'|_U\)，

则存在 \(\mathcal{X}\) 在 \(U'\) 上的对象 \(x'\)，并有同构 \(\beta : x'|_U \to x\) 和同构 \(\gamma' : p(x') \to y'\)，使得 [06D0]\[\begin{equation} \vcenter{ \xymatrix{ p(x'|_U) \ar[d]_{p(\beta)} \ar[rr]_{\gamma'|_U} & & y'|_U \ar@{=}[d] \\ p(x) \ar[rr]^\gamma & & y'|_U } } \end{equation}\] 交换。在这种情形下，我们称“\((x',\beta,\gamma')\) 是由数据 (1)、(2)、(3)、(4) 所提出问题的一个解”。

引理

设 \(p : \mathcal{X} \to \mathcal{Y}\) 和 \(q : \mathcal{Z} \to \mathcal{Y}\) 是 \((\Sch/S)_{fppf}\) 上 群胚纤维化范畴的 \(1\)-态射。如果 \(p : \mathcal{X} \to \mathcal{Y}\) 在对象上形式光滑，则 \(p\) 沿 \(q\) 的基变换 \(p' : \mathcal{X} \times_\mathcal{Y} \mathcal{Z} \to \mathcal{Z}\) 也在对象上形式光滑。

证明

这是形式的。设 \(U \subset U'\) 是 \(S\) 上仿射概形的一阶加厚， \(z'\) 是 \(\mathcal{Z}\) 在 \(U'\) 上的对象，\(w\) 是 \(\mathcal{X} \times_\mathcal{Y} \mathcal{Z}\) 在 \(U\) 上的对象，而 \(\delta : p'(w) \to z'|_U\) 是同构。可以写 \(w = (U, x, z, \alpha)\)，其中 \(x\) 是 \(\mathcal{X}\) 在 \(U\) 上的某个对象， \(z\) 是 \(\mathcal{Z}\) 在 \(U\) 上的对象，而 \(\alpha : p(x) \to q(z)\) 是同构。注意 \(p'(w)=z\)，故

\(\delta : z \to z|_U\)。令 \(y'=q(z')\) 且 \(\gamma = q(\delta) \circ \alpha : p(x) \to y'|_U\)。 由于 \(p\) 在对象上形式光滑，存在 \(\mathcal{X}\) 在 \(U'\) 上的对象 \(x'\)， 以及同构 \(\beta : x'|_U \to x\) 和 \(\gamma' : p(x') \to y'\)，使 (06D0) 交换。于是考虑

\(\mathcal{X} \times_\mathcal{Y} \mathcal{Z}\) 在 \(U'\) 上的对象 \(w = (U', x', z', \gamma')\)，并定义同构 \[w'|_U = (U, x'|_U, z'|_U, \gamma'|_U) \xrightarrow{(\beta, \delta^{-1})} (U, x, z, \alpha) = w\] 以及 \[p'(w') = z' \xrightarrow{\text{id}} z'.\] 二者合在一起给出该问题的一个解。

引理

设 \(p : \mathcal{X} \to \mathcal{Y}\) 和 \(q : \mathcal{Y} \to \mathcal{Z}\) 是 \((\Sch/S)_{fppf}\) 上 群胚纤维化范畴的 \(1\)-态射。如果 \(p\) 和 \(q\) 均在对象上形式光滑， 则复合 \(q \circ p\) 也在对象上形式光滑。

证明

这是形式的。设 \(U \subset U'\) 是 \(S\) 上仿射概形的一阶加厚， \(z'\) 是 \(\mathcal{Z}\) 在 \(U'\) 上的对象，\(x\) 是 \(\mathcal{X}\) 在 \(U\) 上的对象，而 \(\gamma : q(p(x)) \to z'|_U\) 是同构。 由于 \(q\) 在对象上形式光滑，存在 \(\mathcal{Y}\) 在 \(U'\) 上的对象 \(y'\)、同构 \(\beta : y'|_U \to p(x)\) 以及同构 \(\gamma' : q(y') \to z'\)，使 (06D0) 交换。 由于 \(p\) 在对象上形式光滑，存在 \(\mathcal{X}\) 在 \(U'\) 上的对象 \(x'\)、同构 \(\beta' : x'|_U \to x\) 以及同构 \(\gamma'' : p(x') \to y'\)，使 (06D0) 交换。 所求解取为 \(U'\) 上的 \(x'\)，并配以同构 \[q(p(x')) \xrightarrow{q(\gamma'')} q(y') \xrightarrow{\gamma'} z'\] 和同构 \(\beta' : x'|_U \to x\)。我们略去 (06D0) 交换性的验证。

注意，代数空间的形式光滑态射类在任意基变换下稳定，并且在目标上相对于 fpqc 拓扑是局部的；参见《空间态射进阶》引理 061F 和 06CS。 因此，下一个引理中的条件 (2) 是有意义的。

引理

设 \(p : \mathcal{X} \to \mathcal{Y}\) 是 \((\Sch/S)_{fppf}\) 上 群胚纤维化范畴的 \(1\)-态射。如果 \(p\) 可由代数空间表示， 则下列条件等价：

1. \(p\) 在对象上形式光滑；

2. \(p\) 形式光滑（参见《代数叠》定义 03YK）。

证明

假设 (2)。设 \(U \subset U'\) 是 \(S\) 上仿射概形的一阶加厚， \(y'\) 是 \(\mathcal{Y}\) 在 \(U'\) 上的对象，\(x\) 是 \(\mathcal{X}\) 在 \(U\) 上的对象，而 \(\gamma : p(x) \to y'|_U\) 是同构。 记 \(X_{y'}\) 为表示 \(2\)-纤维积 \[(\Sch/U')_{fppf} \times_{y', \mathcal{Y}, p} \mathcal{X}.\] 的 \(U'\) 上的代数空间。注意， \(\xi = (U, U \to U', x, \gamma^{-1})\) 定义此 \(2\)-纤维积在 \(U\) 上的 一个对象。由 \(2\)-Yoneda 引理，\(\xi\) 对应于 \(U'\) 上的态射 \(f_\xi : U \to X_{y'}\)。按假设，\(X_{y'} \to U'\) 形式光滑，故存在态射 \(f' : U' \to X_{y'}\)，使 \(f_\xi\) 是 \(f'\) 与态射 \(U \to U'\) 的复合。 \(2\)-Yoneda 引理还告诉我们，\(f'\) 对应于上述 \(2\)-纤维积在 \(U'\) 上的对象 \(\xi' = (U', U' \to U', x', \alpha)\)，其到 \(U\) 的限制恢复 \(\xi\)。 特别地，我们得到同构

\(\gamma : x'|U \to x\)。注意，\(\alpha : y' \to p(x')\)。 因此，取 \(x'\)、同构 \(\gamma : x'|U \to x\) 以及同构 \(\beta = \alpha^{-1} : p(x') \to y'\)，即为该问题的一个解。

假设 (1)。选取概形 \(T\) 和 \(1\)-态射 \(y : (\Sch/T)_{fppf} \to \mathcal{Y}\)。设 \(X_y\) 是表示 \(2\)-纤维积 \((\Sch/T)_{fppf} \times_{y, \mathcal{Y}, p} \mathcal{X}\). 的 \(T\) 上的代数空间。我们必须证明 \(X_y \to T\) 形式光滑。 因而只需证明：给定 \(T\) 上仿射概形的一阶加厚 \(U \subset U'\)，则

\(X_y(U') \to X_y(U')\) 为满（这里的态射取自 \(T\) 上代数空间的范畴）。 令 \(y'=y|_{U'}\)。由 \(2\)-Yoneda 引理，\(T\) 上的态射 \(U \to X_y\) 与二元组 \((x,\alpha)\) 的同构类一一对应，其中 \(x\) 是 \(\mathcal{X}\) 在 \(U\) 上的对象，而 \(\alpha : y|_U \to p(x)\) 是同构。 当然，在取逆的意义下，给出 \(\alpha\) 等同于给出同构 \(\gamma : p(x) \to y'|_U\)。\(T\) 上的态射 \(U' \to X_y\) 情形类似。 因此，(1) 保证 \(X_y(U') \to X_y(U')\) 在此情形下为满，结论得证。

在对象上为满

设 \(S\) 是概形，\(p : \mathcal{X} \to \mathcal{Y}\) 是 \((\Sch/S)_{fppf}\) 上群胚纤维化范畴的 \(1\)-态射。如果下列条件成立， 则称 \(p\) 在对象上为满：给定由下列各项组成的任意数据

1. \(S\) 上的域 \(k\)；以及

2. \(\mathcal{Y}\) 在 \(\Spec(k)\) 上的对象 \(y\)，

则存在 \(S\) 上的域扩张 \(K/k\) 以及 \(\mathcal{X}\) 在 \(\Spec(K)\) 上的对象 \(x\)，使 \(p(x) \cong y|_{\Spec(K)}\)。

引理

设 \(p : \mathcal{X} \to \mathcal{Y}\) 和 \(q : \mathcal{Z} \to \mathcal{Y}\) 是 \((\Sch/S)_{fppf}\) 上 群胚纤维化范畴的 \(1\)-态射。如果 \(p : \mathcal{X} \to \mathcal{Y}\) 在对象上为满，则 \(p\) 沿 \(q\) 的基变换 \(p' : \mathcal{X} \times_\mathcal{Y} \mathcal{Z} \to \mathcal{Z}\) 也在对象上为满。

证明

这是形式的。设 \(z\) 是 \(\mathcal{Z}\) 在域 \(k\) 上的对象。 由于 \(p\) 在对象上为满，存在扩张 \(K/k\)、\(\mathcal{X}\) 在 \(K\) 上的对象 \(x\) 以及同构 \(\alpha : p(x) \to q(z)|_{\Spec(K)}\)。于是 \(w = (\Spec(K), x, z|_{\Spec(K)}, \alpha)\) 是 \(\mathcal{X} \times_\mathcal{Y} \mathcal{Z}\) 在 \(K\) 上的对象，且 \(p'(w) = z|_{\Spec(K)}\)。

引理

设 \(p : \mathcal{X} \to \mathcal{Y}\) 和 \(q : \mathcal{Y} \to \mathcal{Z}\) 是 \((\Sch/S)_{fppf}\) 上 群胚纤维化范畴的 \(1\)-态射。如果 \(p\) 和 \(q\) 均在对象上为满， 则复合 \(q \circ p\) 也在对象上为满。

证明

这是形式的。设 \(z\) 是 \(\mathcal{Z}\) 在域 \(k\) 上的对象。 由于 \(q\) 在对象上为满，存在域扩张 \(K/k\) 和 \(\mathcal{Y}\) 在 \(K\) 上的对象 \(y\)，使

\(q(y) \cong x|_{\Spec(K)}\)。由于 \(p\) 在对象上为满，存在域扩张 \(L/K\) 和 \(\mathcal{X}\) 在 \(L\) 上的对象 \(x\)，使 \(p(x) \cong y|_{\Spec(L)}\)。于是域扩张 \(L/k\) 和 \(\mathcal{X}\) 在 \(L\) 上的对象 \(x\) 如愿满足 \(q(p(x)) \cong z|_{\Spec(L)}\)。

引理

设 \(p : \mathcal{X} \to \mathcal{Y}\) 是 \((\Sch/S)_{fppf}\) 上 群胚纤维化范畴的 \(1\)-态射。如果 \(p\) 可由代数空间表示， 则下列条件等价：

1. \(p\) 在对象上为满；

2. \(p\) 为满（参见《代数叠》定义 03YK）。

证明

假设 (2)。设 \(k\) 是域，\(y\) 是 \(\mathcal{Y}\) 在 \(k\) 上的对象。 记 \(X_y\) 为表示 \(2\)-纤维积 \[(\Sch/\Spec(k))_{fppf} \times_{y, \mathcal{Y}, p} \mathcal{X}.\] 的 \(k\) 上的代数空间。由于已假设 \(p\) 为满，可知 \(X_y\) 非空。 因此可找到域扩张 \(K/k\) 和 \(X_y\) 的一个 \(K\)-值点 \(x\)。 由 \(2\)-Yoneda 引理，它对应于 \(\mathcal{X}\) 在 \(K\) 上的对象 \(x\) 以及同构 \(p(x) \cong y|_{\Spec(K)}\)，故 (1) 成立。

假设 (1)。选取概形 \(T\) 和 \(1\)-态射 \(y : (\Sch/T)_{fppf} \to \mathcal{Y}\)。设 \(X_y\) 是表示 \(2\)-纤维积 \((\Sch/T)_{fppf} \times_{y, \mathcal{Y}, p} \mathcal{X}\). 的 \(T\) 上的代数空间。我们必须证明 \(X_y \to T\) 为满。 由《空间的态射》定义 03ME， 必须证明 \(|X_y| \to |T|\) 为满。这恰好意味着：给定 \(T\) 上的域 \(k\) 和态射 \(t : \Spec(k) \to T\)，存在域扩张 \(K/k\) 和态射 \(x : \Spec(K) \to X_y\)，使得 \[\xymatrix{ \Spec(K) \ar[d] \ar[r]_x & X_y \ar[d] \\ \Spec(k) \ar[r]^t & T }\] 交换。由 \(2\)-Yoneda 引理，这恰好意味着必须找到 \(k \subset K\) 和 \(\mathcal{X}\) 在 \(K\) 上的对象 \(x\)，使 \(p(x) \cong t^*y|_{\Spec(K)}\)。因此 (1) 保证了所需结论。

代数态射

下列概念有时很有用。

定义

设 \(S\) 是概形，\(F : \mathcal{X} \to \mathcal{Y}\) 是 \((\Sch/S)_{fppf}\) 上群胚叠的 \(1\)-态射。如果对每个概形 \(T\) 及 \(\mathcal{Y}\) 在 \(T\) 上的每个对象 \(\xi\)，\(2\)-纤维积 \[(\Sch/T)_{fppf} \times_{\xi, \mathcal{Y}} \mathcal{X}\] 都是 \(S\) 上的代数叠，则称 \(F\) 是代数的。

采用这一术语后，得到下列推广《代数叠》引理 05UM 的结果。

引理

设 \(S\) 是概形。设 \(F : \mathcal{X} \to \mathcal{Y}\) 是 \((\Sch/S)_{fppf}\) 上群胚叠的 \(1\)-态射。如果

1. \(\mathcal{Y}\) 是代数叠；

2. \(F\) 是代数的（见上文），

则 \(\mathcal{X}\) 是代数叠。

证明

由假设 (1)，存在概形 \(T\) 和 \(\mathcal{Y}\) 在 \(T\) 上的对象 \(\xi\)， 使相应的 \(1\)-态射 \(\xi : (\Sch/T)_{fppf} \to \mathcal{Y}\)

光滑且为满。于是 \(\mathcal{U} = (\Sch/T)_{fppf} \times_{\xi, \mathcal{Y}} \mathcal{X}\) 由假设 (2) 是代数叠。选取概形 \(U\) 和满光滑的 \(1\)-态射 \((\Sch/U)_{fppf} \to \mathcal{U}\)。投影 \(\mathcal{U} \longrightarrow \mathcal{X}\) 是态射 \(\xi : (\Sch/T)_{fppf} \to \mathcal{Y}\) 的基变换，因而满且光滑； 参见《代数叠》引理 045C。 于是复合 \((\Sch/U)_{fppf} \to \mathcal{U} \to \mathcal{X}\) 作为满光滑态射的复合，仍然满且光滑；参见《代数叠》引理 045B。 因此，由《代数叠》引理 05UL， \(\mathcal{X}\) 是代数叠。

引理

设 \(S\) 是概形，\(F : \mathcal{X} \to \mathcal{Y}\) 是 \((\Sch/S)_{fppf}\) 上群胚叠的 \(1\)-态射。如果 \(\mathcal{X}\) 是代数叠， 且 \(\Delta : \mathcal{Y} \to \mathcal{Y} \times \mathcal{Y}\) 可由代数空间表示，则 \(F\) 是代数的。

证明

选取可表示群胚叠 \(\mathcal{U}\) 和满光滑的 \(1\)-态射 \(\mathcal{U} \to \mathcal{X}\)。设 \(T\) 是概形，\(\xi\) 是 \(\mathcal{Y}\) 在 \(T\) 上的对象。\(2\)-纤维积之间的态射 \[(\Sch/T)_{fppf} \times_{\xi, \mathcal{Y}} \mathcal{U} \longrightarrow (\Sch/T)_{fppf} \times_{\xi, \mathcal{Y}} \mathcal{X}\] 是 \(\mathcal{U} \to \mathcal{X}\) 的基变换，故可由代数空间表示、为满且光滑； 参见《代数叠》引理 0302 和 045C。 由关于 \(\mathcal{Y}\) 的对角态射的条件，此态射的源可由代数空间表示； 参见《代数叠》引理 045G。 因此，由《代数叠》引理 05UL， 其目标是代数叠。

引理

设 \(S\) 是概形，\(F : \mathcal{X} \to \mathcal{Y}\) 是 \((\Sch/S)_{fppf}\) 上群胚叠的 \(1\)-态射。如果 \(F\) 是代数的，且 \(\Delta : \mathcal{Y} \to \mathcal{Y} \times \mathcal{Y}\) 可由代数空间表示，则 \(\Delta : \mathcal{X} \to \mathcal{X} \times \mathcal{X}\) 可由代数空间表示。

证明

假设 \(F\) 是代数的，且 \(\Delta : \mathcal{Y} \to \mathcal{Y} \times \mathcal{Y}\) 可由代数空间表示。取 \(S\) 上的概形 \(U\) 以及 \(\mathcal{X}\) 在 \(U\) 上的 两个对象 \(x_1,x_2\)。须证明 \(\mathit{Isom}(x_1, x_2)\) 是 \(U\) 上的代数空间； 参见《代数叠》引理 045G。 令 \(y_i=F(x_i)\)。存在集合层的态射 \[f : \mathit{Isom}(x_1, x_2) \to \mathit{Isom}(y_1, y_2)\] ，而按假设，其目标是代数空间。因此只需证明 \(f\) 可由代数空间表示； 参见《自举》引理 02YS。 所以可以选取 \(U\) 上的概形 \(V\) 和同构 \(\beta : y_{1, V} \to y_{2, V}\)，并且须证明函子 \[(\Sch/V)_{fppf} \to \textit{Sets},\quad T/V \mapsto \{\alpha : x_{1, T} \to x_{2, T} \text{ 于 }\mathcal{X}_T \mid F(\alpha) = \beta|_T\}\] 是代数空间。考虑 \[\mathcal{Z} = (\Sch/V)_{fppf} \times_{y_{1, V}, \mathcal{Y}} \mathcal{X}\] 的对象 \(z_1 = (V, x_{1, V}, \text{id})\) 和 \(z_2 = (V, x_{2, V}, \beta)\)。直接验证可知，上述函子在 \((\Sch/V)_{fppf}\) 上等于 \(\mathit{Isom}(z_1,z_2)\)。 因此，由 \(F\) 是代数的这一假设（以及代数叠的定义），它是代数空间。

截面空间

给定态射 \(W \to Z \to U\)，可以考虑如下函子：它把 \(U\) 上的概形 \(U'\) 映为态射 \(W \to Z\) 的基变换 \(W_{U'} \to Z_{U'}\) 的截面 \(\sigma : Z_{U'} \to W_{U'}\) 所成的集合。本节证明关于此函子的若干预备引理。

引理

设 \(Z \to U\) 是概形的有限态射，\(W\) 是代数空间，而 \(W \to Z\) 是满平展态射。则存在满平展态射 \(U' \to U\) 和截面 \[\sigma : Z_{U'} \to W_{U'}\] ，它是态射 \(W_{U'} \to Z_{U'}\) 的截面。

证明

可以选取分离概形 \(W'\) 和满平展态射 \(W' \to W\)。因此，以 \(W'\) 替换 \(W\) 后，可以假设 \(W\) 是分离概形。记 \(f : W \to Z\) 且 \(\pi : Z \to U\)。由于 \(W\) 分离，

\(f \circ \pi : W \to U\) 分离（参见《概形》引理 01KV）。设 \(u \in U\) 是一点。 显然，只需找到 \((U,u)\) 的平展邻域 \((U',u')\)，使 \(U'\) 上存在截面 \(\sigma\)。设 \(z_1,\ldots,z_r\) 是 \(Z\) 中位于 \(u\) 上方的点。 对每个 \(i\)，选取映到 \(z_i\) 的点 \(w_i\in W\)。可以选取平展邻域 \((U', u') \to (U, u)\)，使《态射进阶》引理 02LO 的结论同时适用于 \(Z \to U\) 与诸点 \(z_1,\ldots,z_r\)，以及 \(W \to U\) 与诸点 \(w_1,\ldots,w_r\)。因此，以 \((U',u')\) 替换 \((U,u)\) 并重新编号后，可以假设所有域扩张 \(\kappa(z_i)/\kappa(u)\) 和 \(\kappa(w_i)/\kappa(u)\) 都是纯不可分的， 而且存在由开闭子概形给出的不交并分解 \[Z = V_1 \amalg \ldots \amalg V_r \amalg A, \quad W = W_1 \amalg \ldots \amalg W_r \amalg B\] ，其中 \(z_i\in V_i\)、\(w_i\in W_i\)，且 \(V_i\to U\)、\(W_i\to U\) 有限。 以 \(U \setminus \pi(A)\) 替换 \(U\) 后，可以假设 \(A=\emptyset\)，即 \(Z = V_1 \amalg \ldots \amalg V_r\)。再以 \(W_i \cap f^{-1}(V_i)\) 替换 \(W_i\)，并以 \(B \cup \bigcup W_i \cap f^{-1}(Z \setminus V_i)\) 替换 \(B\)， 可以假设 \(f\) 把 \(W_i\) 映入 \(V_i\)。此时 \(f_i = f|_{W_i} : W_i \to V_i\) 是 \(U\) 上有限的概形态射，因而有限 （参见《态射》引理 035D）。 它还按假设为平展，满足 \(f_i^{-1}(\{z_i\})=w_i\)，并诱导剩余域同构 \(\kappa(z_i) = \kappa(w_i)\)（因为二者都是 \(\kappa(u)\) 的纯不可分扩张， 而 \(f\) 平展，所以 \(\kappa(w_i)/\kappa(z_i)\) 可分）。因此，由 《平展态射》引理 04DH，\(f_i\) 在 \(z_i\) 的某个邻域 \(V_i'\) 上是同构。由于 \(\pi : Z \to U\) 是闭映射， 缩小 \(U\) 后，可以假设 \(W_i \to V_i\) 是同构。这就证明了引理。

引理

设 \(Z \to U\) 是概形的有限局部自由态射，\(W\) 是代数空间，而 \(W \to Z\) 是平展态射。则函子 \[F : (\Sch/U)_{fppf}^{opp} \longrightarrow \textit{Sets},\] 由规则 \[U' \longmapsto F(U') = \{\sigma : Z_{U'} \to W_{U'}\text{ 下列对象的截面： }W_{U'} \to Z_{U'}\}\] 定义；它是代数空间，且态射 \(F \to U\) 平展。

证明

先假设 \(W \to Z\) 还分离。设 \(U'\) 是 \(U\) 上的概形且 \(\sigma \in F(U')\)。由《空间的态射》引理 03KP，态射 \(\sigma\) 是闭浸入。 此外，由《空间的性质》引理 03FV，\(\sigma\) 平展。 故 \(\sigma\) 也是开浸入；参见《空间的态射》引理 05W5。 换言之，\(Z_\sigma = \sigma(Z_{U'}) \subset W_{U'}\) 是开子空间， 使态射 \(Z_\sigma \to Z_{U'}\) 为同构。特别地，态射 \(Z_\sigma \to U'\) 有限。因此得到函子之间的变换 \[F \longrightarrow (W/U)_{fin}, \quad \sigma \longmapsto (U' \to U, Z_\sigma)\] ，其中 \((W/U)_{fin}\) 是《空间群胚进阶》第 04PB 节所引入的态射 \(W \to U\) 的有限部分。显然，此函子变换为单（因为可从 \(Z_\sigma\) 恢复 \(\sigma\)，即取同构 \(Z_\sigma \to Z_{U'}\) 的逆）。由《空间群胚进阶》命题 04QH ，\((W/U)_{fin}\) 是 \(U\) 上平展的代数空间。因此，为完成此情形的证明， 只需证明 \(F \to (W/U)_{fin}\) 可表示且为开浸入。为此，假设给定概形态射 \(U' \to U\) 和开子空间 \(Z' \subset W_{U'}\)，且 \(Z' \to U'\) 有限。 只需证明存在开子概形 \(U'' \subset U'\)，使态射 \(T \to U'\) 通过 \(U''\) 分解，当且仅当 \(Z' \times_{U'} T\) 同构地映到 \(Z \times_{U'} T\)。这由《空间态射进阶》引理 05XD 推出（这里用到

\(Z \to B\) 平坦、局部有限表示且有限）。由此已证明 \(W \to Z\) 既分离又平展的情形。

在一般情形下，选取分离概形 \(W'\) 和满平展态射 \(W' \to W\)。 注意，由于其源分离，态射 \(W' \to W\) 和

\(W \to Z\) 都分离。记 \(F'\) 为引理中与 \(W' \to Z \to U\) 相伴的函子。 在证明的第一段中，我们已证明 \(F'\) 可由 \(U\) 上平展的代数空间表示。 由引理 05XQ，函子映射 \(F' \to F\) 对 \(\Sch/U\) 上的平展拓扑为满。此外，如果 \(U'\) 和 \(\sigma : Z_{U'} \to W_{U'}\) 定义一点 \(\xi \in F(U')\)，则纤维积 \[F'' = F' \times_{F, \xi} U'\] 是 \(\Sch/U'\) 上与态射 \[W'_{U'} \times_{W_{U'}, \sigma} Z_{U'} \to Z_{U'} \to U'.\] 相伴的函子。由于第一个态射是分离态射的基变换，因而分离；由第一段的 结果，\(F''\) 是 \(U'\) 上平展的代数空间。于是 \(F' \to F\) 是满平展的 函子变换，并可由代数空间表示。因此，由《自举》定理 04S6，\(F\) 是代数空间。 由于 \(F' \to F\) 是代数空间的满平展态射，而 \(F' \to U\) 平展， 所以 \(F \to U\) 平展。

相对态射

继续《态射进阶》第 0BL0 节 开始的讨论。

设 \(S\) 是概形，\(Z \to B\) 和 \(X \to B\) 是 \(S\) 上代数空间的态射。 给定概形 \(T\)，可以考虑二元组 \((a,b)\)，其中 \(a : T \to B\) 是态射， 而 \(b : T \times_{a, B} Z \to T \times_{a, B} X\) 是 \(T\) 上的态射。 图示为 [05Y1]\[\begin{equation} \vcenter{ \xymatrix{ T \times_{a, B} Z \ar[rd] \ar[rr]_b & & T \times_{a, B} X \ar[ld] & Z \ar[rd] & & X \ar[ld] \\ & T \ar[rrr]^a & & & B } } \end{equation}\] 当然，也可以把 \(b\) 看作满足下图交换的态射 \(b : T \times_{a, B} Z \to X\)： \[\xymatrix{ T \times_{a, B} Z \ar[r] \ar[d] \ar@/^1pc/[rrr]_-b & Z \ar[rd] & & X \ar[ld] \\ T \ar[rr]^a & & B }\] 在这种情形下，可以定义函子 [05Y2]\[\begin{equation} \mathit{Mor}_B(Z, X) : (\Sch/S)^{opp} \longrightarrow \textit{Sets}, \quad T \longmapsto \{(a, b)\text{ 如上}\} \end{equation}\] 有时把它视为定义在 \(B\) 上概形范畴上的函子，此时从记号中省去 \(a\)。

引理

设 \(S\) 是概形，\(Z \to B\) 和 \(X \to B\) 是 \(S\) 上代数空间的态射。则

1. \(\mathit{Mor}_B(Z, X)\) 是 \((\Sch/S)_{fppf}\) 上的层。

2. 如果 \(T\) 是 \(S\) 上的代数空间，则存在典范双射 \[\Mor_{\Sh((\Sch/S)_{fppf})}(T, \mathit{Mor}_B(Z, X)) = \{(a, b)\text{ 如 }(\href{criteria.html#criteria-equation-hom}{05Y1})\}\]

证明

设 \(T\) 是 \(S\) 上的代数空间，\(\{T_i \to T\}\) 是 \(T\) 的一个 fppf 覆盖 （如《空间上的拓扑》第 03Y7 节）。 假设 \((a_i, b_i) \in \mathit{Mor}_B(Z, X)(T_i)\)，且对所有 \(i,j\)， \((a_i, b_i)|_{T_i \times_T T_j} = (a_j, b_j)|_{T_i \times_T T_j}\)。 由《空间上的下降》引理 04P2， 存在唯一态射 \(a : T \to B\)，使 \(a_i\) 是 \(T_i \to T\) 与 \(a\) 的复合。 于是 \(\{T_i \times_{a_i, B} Z \to T \times_{a, B} Z\}\) 也是 fppf 覆盖； 同一引理表明存在唯一态射 \(b : T \times_{a, B} Z \to T \times_{a, B} X\)，使 \(b_i\) 是 \(T_i \times_{a_i, B} Z \to T \times_{a, B} Z\) 与 \(b\) 的复合。 因此，\((a, b) \in \mathit{Mor}_B(Z, X)(T)\) 在 \(T_i\) 上限制为 \((a_i,b_i)\)，对所有 \(i\) 均如此。

注意，上一段的结果特别蕴含 (1)。

设 \(T\) 是 \(S\) 上的代数空间。为证明 (2)，将在所示集合之间构造互逆映射。 下文所说的“二元组”均指符合 (05Y1) 的二元组 \((a,b)\)。

设 \(v : T \to \mathit{Mor}_B(Z, X)\) 是自然变换。选取概形 \(U\) 和满平展态射 \(p : U \to T\)。则 \(v(p) \in \mathit{Mor}_B(Z, X)(U)\) 对应于 \(U\) 上的 二元组 \((a_U,b_U)\)。令 \(R = U \times_T U\)，投影为 \(t,s:R\to U\)。 由于 \(v\) 是函子变换，\((a_U,b_U)\) 沿 \(s\) 和 \(t\) 的拉回相同。因此， 由于 \(\{U \to T\}\) 是 fppf 覆盖，可以应用第一段的结果，

从而推得 \(T\) 上存在唯一的二元组 \((a,b)\)。

反过来，设 \((a,b)\) 是 \(T\) 上的二元组。令 \(U \to T\)、 \(R = U \times_T U\) 和 \(t,s:R\to U\) 如上。由 Yoneda 引理 （《范畴》引理 001P），限制 \((a,b)|_U\) 给出函子变换 \(v : h_U \to \mathit{Mor}_B(Z, X)\)。由于两个拉回 \(s^*(a, b)|_U\) 和 \(t^*(a, b)|_U\) 相等，可知 \(v\) 使两个映射 \(h_t, h_s : h_R \to h_U\) 余等。由《空间》引理 0262，\(T=U/R\) 是 fppf 商层；又由 (1)， \(\mathit{Mor}_B(Z, X)\) 是 fppf 层，故 \(v\) 通过映射 \(T \to \mathit{Mor}_B(Z, X)\) 分解。

我们略去上述两个构造互逆的验证。

引理

设 \(S\) 是概形，\(Z \to B\)、\(X \to B\) 和 \(B' \to B\) 是 \(S\) 上 代数空间的态射。令 \(Z' = B' \times_B Z\) 且 \(X' = B' \times_B X\)。则 \[\mathit{Mor}_{B'}(Z', X') = B' \times_B \mathit{Mor}_B(Z, X)\] 在 \(\Sh((\Sch/S)_{fppf})\) 中成立。

证明

函子层面的等式立即由定义得到。由引理 05Y3，等式两边都是层；又因为层的纤维积 等于相应预层（即函子）的纤维积，故层层面的等式也随之成立。

引理

设 \(S\) 是概形，\(Z \to B\) 和 \(X' \to X \to B\) 是 \(S\) 上代数空间的态射。 假设

1. \(X' \to X\) 平展；

2. \(Z \to B\) 有限局部自由。

则 \(\mathit{Mor}_B(Z, X') \to \mathit{Mor}_B(Z, X)\) 可由代数空间表示且平展。 如果 \(X' \to X\) 还为满，则 \(\mathit{Mor}_B(Z, X') \to \mathit{Mor}_B(Z, X)\) 为满。

证明

设 \(U\) 是概形，且 \(\xi=(a,b)\) 是 \(\mathit{Mor}_B(Z,X)(U)\) 的元素。 须证明函子 \[h_U \times_{\xi, \mathit{Mor}_B(Z, X)} \mathit{Mor}_B(Z, X')\] 可由 \(U\) 上平展的代数空间表示。令 \(Z_U = U \times_{a, B} Z\) 且 \(W = Z_U \times_{b, X} X'\)。 则 \(W \to Z_U \to U\) 如引理 05XR 中所述， 而该处定义的层 \(F\) 与上述纤维积等同。这证明引理的第一个断言。 第二个断言由此以及引理 05XQ 推出； 后者保证上述情形中的 \(F \to U\) 为满。

命题

设 \(S\) 是概形，\(Z \to B\) 和 \(X \to B\) 是 \(S\) 上代数空间的态射。 如果 \(Z \to B\) 有限局部自由，则 \(\mathit{Mor}_B(Z, X)\) 是代数空间。

证明

选取概形 \(B'=\coprod B'_i\)，它是仿射概形 \(B'_i\) 的不交并，并选取 满平展态射 \(B'\to B\)。还可以假设 \(B'_i\times_B Z\) 是某个环的谱， 该环作为 \(\Gamma(B'_i, \mathcal{O}_{B'_i})\)-模有限自由。由引理 05Y4 和《空间》引理 02WL ，态射 \(\mathit{Mor}_{B'}(Z', X') \to \mathit{Mor}_B(Z, X)\) 满且平展。 因此，由《自举》定理 04S6，只需证明 \(B=B'\) 是仿射概形 \(B'_i\) 的不交并、且每个 \(B'_i\times_B Z\) 在 \(B'_i\) 上有限自由的情形。事实上，此时只需对每个 \(B'_i\) 上的限制证明 该结果。因此，可以假设 \(B\) 仿射，且 \(\Gamma(Z, \mathcal{O}_Z)\) 是有限自由 \(\Gamma(B, \mathcal{O}_B)\)-模。

选取由仿射概形不交并而成的概形 \(X'\) 以及满平展态射 \(X'\to X\)。 由引理 05Y5，态射 \(\mathit{Mor}_B(Z, X') \to \mathit{Mor}_B(Z, X)\) 可由代数空间表示、平展且为满。 因此，由《自举》定理 04S6，只需证明 \(X\) 是仿射概形不交并的情形。这把问题归结为下一段讨论的情形。

假设 \(X=\coprod_{i\in I}X_i\) 是仿射概形的不交并，\(B\) 仿射，且 \(\Gamma(Z, \mathcal{O}_Z)\) 是有限自由 \(\Gamma(B, \mathcal{O}_B)\)-模。 对任意有限子集 \(E\subset I\)，令 \[F_E = \mathit{Mor}_B(Z, \coprod\nolimits_{i \in E} X_i).\] 由《态射进阶》引理 05Y6，\(F_E\) 是代数空间。 考虑态射 \[\coprod\nolimits_{E \subset I\text{ 有限}} F_E \longrightarrow \mathit{Mor}_B(Z, X)\] 每个态射 \(F_E\to\mathit{Mor}_B(Z,X)\) 都是开浸入，因为它恰好是参数化 二元组 \((a,b)\) 的轨迹，其中 \(b\) 映入 \(X\) 的开子概形 \(\coprod\nolimits_{i\in E}X_i\)。此外，如果 \(T\) 拟紧，则对任意二元组 \((a,b)\)，\(b\) 的像包含于某个有限 \(E\subset I\) 所对应的 \(\coprod\nolimits_{i\in E}X_i\) 中。因此，所示箭头实际上是开覆盖， 由此结论成立³；这里应用了《空间》引理 02WR。

标量限制

假设 \(X \to Z \to B\) 是 \(S\) 上代数空间的态射。给定概形 \(T\)， 可以考虑二元组 \((a,b)\)，其中 \(a:T\to B\) 是态射，而 \(b:T\times_{a,B}Z\to X\) 是 \(Z\) 上的态射。图示为 [05Y9]\[\begin{equation} \vcenter{ \xymatrix{ & X \ar[d] \\ T \times_{a, B} Z \ar[d] \ar[ru]^b \ar[r] & Z \ar[d] \\ T \ar[r]^a & B } } \end{equation}\] 在这种情形下，可以定义函子 [05YA]\[\begin{equation} \text{Res}_{Z/B}(X) : (\Sch/S)^{opp} \longrightarrow \textit{Sets}, \quad T \longmapsto \{(a, b)\text{ 如上}\} \end{equation}\] 有时把它视为定义在 \(B\) 上概形范畴上的函子，此时从记号中省去 \(a\)。

引理

设 \(S\) 是概形，\(X \to Z \to B\) 是 \(S\) 上代数空间的态射。则

1. \(\text{Res}_{Z/B}(X)\) 是 \((\Sch/S)_{fppf}\) 上的层。

2. 如果 \(T\) 是 \(S\) 上的代数空间，则存在典范双射 \[\Mor_{\Sh((\Sch/S)_{fppf})}(T, \text{Res}_{Z/B}(X)) = \{(a, b)\text{ 如 }(\href{criteria.html#criteria-equation-pairs}{05Y9})\}\]

证明

设 \(T\) 是 \(S\) 上的代数空间，\(\{T_i \to T\}\) 是 \(T\) 的一个 fppf 覆盖 （如《空间上的拓扑》第 03Y7 节）。 假设 \((a_i,b_i)\in\text{Res}_{Z/B}(X)(T_i)\)，且对所有 \(i,j\)， \((a_i, b_i)|_{T_i \times_T T_j} = (a_j, b_j)|_{T_i \times_T T_j}\)。 由《空间上的下降》引理 04P2， 存在唯一态射 \(a:T\to B\)，使 \(a_i\) 是 \(T_i\to T\) 与 \(a\) 的复合。 于是 \(\{T_i \times_{a_i, B} Z \to T \times_{a, B} Z\}\) 也是 fppf 覆盖； 同一引理表明存在唯一态射 \(b:T\times_{a,B}Z\to X\)，使 \(b_i\) 是 \(T_i \times_{a_i, B} Z \to T \times_{a, B} Z\) 与 \(b\) 的复合。 因此，\((a,b)\in\text{Res}_{Z/B}(X)(T)\) 在 \(T_i\) 上限制为 \((a_i,b_i)\)，对所有 \(i\) 均如此。

注意，上一段的结果特别蕴含 (1)。

设 \(T\) 是 \(S\) 上的代数空间。为证明 (2)，将在所示集合之间构造互逆映射。 下文所说的“二元组”均指符合 (05Y9) 的二元组 \((a,b)\)。

设 \(v:T\to\text{Res}_{Z/B}(X)\) 是自然变换。选取概形 \(U\) 和满平展态射 \(p:U\to T\)。则 \(v(p)\in\text{Res}_{Z/B}(X)(U)\) 对应于 \(U\) 上的二元组 \((a_U,b_U)\)。令 \(R=U\times_TU\)，投影为 \(t,s:R\to U\)。 由于 \(v\) 是函子变换，\((a_U,b_U)\) 沿 \(s\) 和 \(t\) 的拉回相同。因此， 由于 \(\{U\to T\}\) 是 fppf 覆盖，可以应用第一段的结果，

从而推得 \(T\) 上存在唯一的二元组 \((a,b)\)。

反过来，设 \((a,b)\) 是 \(T\) 上的二元组。令 \(U\to T\)、 \(R=U\times_TU\) 和 \(t,s:R\to U\) 如上。由 Yoneda 引理 （《范畴》引理 001P），限制 \((a,b)|_U\) 给出函子变换 \(v:h_U\to\text{Res}_{Z/B}(X)\)。由于两个拉回 \(s^*(a, b)|_U\) 和 \(t^*(a, b)|_U\) 相等，可知 \(v\) 使两个映射 \(h_t,h_s:h_R\to h_U\) 余等。由《空间》引理 0262，\(T=U/R\) 是 fppf 商层；又由 (1)， \(\text{Res}_{Z/B}(X)\) 是 fppf 层，故 \(v\) 通过映射 \(T\to\text{Res}_{Z/B}(X)\) 分解。

我们略去上述两个构造互逆的验证。

当然，层 \(\text{Res}_{Z/B}(X)\) 自带函子的自然变换 \(\text{Res}_{Z/B}(X)\to B\)。下文将不加说明地使用它。

引理

设 \(S\) 是概形，\(X\to Z\to B\) 和 \(B'\to B\) 是 \(S\) 上代数空间的态射。 令 \(Z'=B'\times_BZ\) 且 \(X'=B'\times_BX\)。则 \[\text{Res}_{Z'/B'}(X') = B' \times_B \text{Res}_{Z/B}(X)\] 在 \(\Sh((\Sch/S)_{fppf})\) 中成立。

证明

函子层面的等式立即由定义得到。由引理 05YB，等式两边都是层；又因为层的 纤维积等于相应预层（即函子）的纤维积，故层层面的等式也随之成立。

引理

设 \(S\) 是概形，\(X'\to X\to Z\to B\) 是 \(S\) 上代数空间的态射。假设

1. \(X'\to X\) 平展；

2. \(Z\to B\) 有限局部自由。

则 \(\text{Res}_{Z/B}(X')\to\text{Res}_{Z/B}(X)\) 可由代数空间表示且平展。 如果 \(X'\to X\) 还为满，则 \(\text{Res}_{Z/B}(X')\to\text{Res}_{Z/B}(X)\) 为满。

证明

设 \(U\) 是概形，且 \(\xi=(a,b)\) 是 \(\text{Res}_{Z/B}(X)(U)\) 的元素。 须证明函子 \[h_U \times_{\xi, \text{Res}_{Z/B}(X)} \text{Res}_{Z/B}(X')\] 可由 \(U\) 上平展的代数空间表示。令 \(Z_U=U\times_{a,B}Z\) 且 \(W=Z_U\times_{b,X}X'\)。 则 \(W\to Z_U\to U\) 如引理 05XR 中所述， 而该处定义的层 \(F\) 与上述纤维积等同。这证明引理的第一个断言。 第二个断言由此以及引理 05XQ 推出； 后者保证上述情形中的 \(F\to U\) 为满。

此时，可以利用上述引理证明：只要 \(Z\to B\) 有限局部自由， \(\text{Res}_{Z/B}(X)\) 就是代数空间；其证明几乎完全类似于 \(\mathit{Mor}_B(Z,X)\) 是代数空间的证明，参见命题 05Y7。不过，我们将从下一个引理 以及 \(\mathit{Mor}_B(Z,X)\) 是代数空间这一事实直接推出该结果。

引理

设 \(S\) 是概形，\(X\to Z\to B\) 是 \(S\) 上代数空间的态射。下图 \[\xymatrix{ \mathit{Mor}_B(Z, X) \ar[r] & \mathit{Mor}_B(Z, Z) \\ \text{Res}_{Z/B}(X) \ar[r] \ar[u] & B \ar[u]_{\text{id}_Z} }\] 是 \((\Sch/S)_{fppf}\) 上层的笛卡尔图。

证明

略。提示：这是代数几何函子观点的一道练习。

命题

设 \(S\) 是概形，\(X\to Z\to B\) 是 \(S\) 上代数空间的态射。 如果 \(Z\to B\) 有限局部自由，则 \(\text{Res}_{Z/B}(X)\) 是代数空间。

证明

由命题 05Y7，函子 \(\mathit{Mor}_B(Z,X)\) 和 \(\mathit{Mor}_B(Z,Z)\) 都是代数空间。 因此，结论由引理 05YE 的笛卡尔图以及下述事实推出： 代数空间的纤维积存在，并由其底层集合层范畴中的纤维积给出 （参见《空间》引理 04T9）。

有限 Hilbert 叠

本节证明若干关于《叠的例子》第 05WA 节所引入的有限 Hilbert 叠 \(\mathcal{H}_d(\mathcal{X}/\mathcal{Y})\) 的结果。

引理

考虑 \(2\)-交换图 \[\xymatrix{ \mathcal{X}' \ar[r]_G \ar[d]_{F'} & \mathcal{X} \ar[d]^F \\ \mathcal{Y}' \ar[r]^H & \mathcal{Y} }\] ，其中各项为 \((\Sch/S)_{fppf}\) 上的群胚叠，并给定 \(2\)-同构 \(\gamma : H \circ F' \to F \circ G\)。在这种情形下，得到典范 \(1\)-态射 \(\mathcal{H}_d(\mathcal{X}'/\mathcal{Y}') \to \mathcal{H}_d(\mathcal{X}/\mathcal{Y})\). 此态射与《叠的例子》公式 (05WD) 中的遗忘 \(1\)-态射相容。

证明

把对象 \((U, Z, y', x', \alpha')\) 映为对象 \((U, Z, H(y'), G(x'), \gamma \star \text{id}_H \star \alpha')\) ，其中 \(\star\) 表示 \(2\)-态射的水平复合；参见《范畴》定义 003E。对态射 \((f, g, b, a) : (U_1, Z_1, y_1', x_1', \alpha_1') \to (U_2, Z_2, y_2', x_2', \alpha_2')\) ，赋予态射 \((f, g, H(b), G(a))\). 略去它定义 \((\Sch/S)_{fppf}\) 上范畴之间函子的验证。

引理

在引理 05XN 的情形下，假设给定方形是 \(2\)-笛卡尔的。 则图 \[\xymatrix{ \mathcal{H}_d(\mathcal{X}'/\mathcal{Y}') \ar[r] \ar[d] & \mathcal{H}_d(\mathcal{X}/\mathcal{Y}) \ar[d] \\ \mathcal{Y}' \ar[r] & \mathcal{Y} }\] 是 \(2\)-笛卡尔的。

证明

由引理 05XN 得到 \(2\)-交换图，因而得到 \(1\)-态射 （即函子） \[\mathcal{H}_d(\mathcal{X}'/\mathcal{Y}') \longrightarrow \mathcal{Y}' \times_\mathcal{Y} \mathcal{H}_d(\mathcal{X}/\mathcal{Y})\] 说明此函子为何本质满。右侧范畴的对象由下列数据给出：\(S\) 上的概形 \(U\)、\(\mathcal{Y}'_U\) 的对象 \(y'\)、 \(\mathcal{H}_d(\mathcal{X}/\mathcal{Y})\) 在 \(U\) 上的对象 \((U,Z,y,x,\alpha)\)，以及 \(\mathcal{Y}_U\) 中的同构 \(H(y')\to y\)。 假设恰好意味着存在 \(\mathcal{X}'_Z\) 的对象 \(x'\)，并存在与 \(\alpha\) 相容的同构 \(G(x')\cong x\) 和 \(\alpha':y'|_Z\to F'(x')\)。 于是 \((U,Z,y',x',\alpha')\) 是 \(\mathcal{H}_d(\mathcal{X}'/\mathcal{Y}')\) 在 \(U\) 上的对象。略去细节。

引理

在引理 05XN 的情形下，假设

1. \(\mathcal{Y}' = \mathcal{Y}\) 且 \(H = \text{id}_\mathcal{Y}\)；

2. \(G\) 可由代数空间表示且平展。

则 \(\mathcal{H}_d(\mathcal{X}'/\mathcal{Y}) \to \mathcal{H}_d(\mathcal{X}/\mathcal{Y})\) 可由代数空间表示且平展。 如果 \(G\) 还为满，则 \(\mathcal{H}_d(\mathcal{X}'/\mathcal{Y}) \to \mathcal{H}_d(\mathcal{X}/\mathcal{Y})\) 为满。

证明

设 \(U\) 是概形，而 \(\xi=(U,Z,y,x,\alpha)\) 是 \(\mathcal{H}_d(\mathcal{X}/\mathcal{Y})\) 在 \(U\) 上的对象。 须证明 \(2\)-纤维积 [05XT]\[\begin{equation} (\Sch/U)_{fppf} \times_{\xi, \mathcal{H}_d(\mathcal{X}/\mathcal{Y})} \mathcal{H}_d(\mathcal{X}'/\mathcal{Y}) \end{equation}\] 可由 \(U\) 上平展的代数空间表示。它在 \(U'\) 上的对象对应于 \(\mathcal{X}'\) 在 \(Z_{U'}\) 上的纤维范畴中的对象 \(x'\)，并满足 \(G(x')\cong x|_{Z_{U'}}\)。按假设，\(2\)-纤维积 \[(\Sch/Z)_{fppf} \times_{x, \mathcal{X}} \mathcal{X}'\] 可由代数空间 \(W\) 表示，且投影 \(W\to Z\) 平展。于是 (05XT) 可由引理 05XR 中引入的 代数空间 \(F\) 表示；该空间参数化 \(U\) 上 \(W\to Z\) 的截面。 由于 \(F\to U\) 平展，可知 \(\mathcal{H}_d(\mathcal{X}'/\mathcal{Y}) \to \mathcal{H}_d(\mathcal{X}/\mathcal{Y})\) 可由代数空间表示且平展。 最后，如果 \(\mathcal{X}'\to\mathcal{X}\) 还为满，则 \(W\to Z\) 为满， 因而由引理 05XQ，\(F\to U\) 为满。 所以在此情形下 \(\mathcal{H}_d(\mathcal{X}'/\mathcal{Y}) \to \mathcal{H}_d(\mathcal{X}/\mathcal{Y})\) 也为满。

引理

在引理 05XN 的情形下，假设 \(G\)、\(H\) 均可由代数空间 表示且平展。则 \(\mathcal{H}_d(\mathcal{X}'/\mathcal{Y}') \to \mathcal{H}_d(\mathcal{X}/\mathcal{Y})\) 可由代数空间表示且平展。 如果 \(H\) 还为满，且诱导函子 \(\mathcal{X}' \to \mathcal{Y}' \times_\mathcal{Y} \mathcal{X}\) 为满，则 \(\mathcal{H}_d(\mathcal{X}'/\mathcal{Y}') \to \mathcal{H}_d(\mathcal{X}/\mathcal{Y})\) 为满。

证明

令 \(\mathcal{X}'' = \mathcal{Y}' \times_\mathcal{Y} \mathcal{X}\)。 由引理 05XK，\(1\)-态射 \(\mathcal{X}' \to \mathcal{X}''\) 可由代数空间表示且平展（特别地， 引理第二个断言中要求 \(\mathcal{X}'\to\mathcal{X}''\) 为满的条件是有意义的）。 得到 \(2\)-交换图 \[\xymatrix{ \mathcal{X}' \ar[r] \ar[d] & \mathcal{X}'' \ar[r] \ar[d] & \mathcal{X} \ar[d] \\ \mathcal{Y}' \ar[r] & \mathcal{Y}' \ar[r] & \mathcal{Y} }\] 由引理 05XP， \(\mathcal{H}_d(\mathcal{X}''/\mathcal{Y}')\) 是 \(\mathcal{H}_d(\mathcal{X}/\mathcal{Y})\) 沿 \(\mathcal{Y}'\to\mathcal{Y}\) 的基变换。特别地， \(\mathcal{H}_d(\mathcal{X}''/\mathcal{Y}') \to \mathcal{H}_d(\mathcal{X}/\mathcal{Y})\) 可由代数空间表示且平展；参见 《代数叠》引理 045C. 此外，如果 \(H\) 为满，它也为满。因此，只要证明该结果对图中的左方形成立， 证明即告完成。这样便归结到 \(\mathcal{Y}'=\mathcal{Y}\) 的情形， 而这正是引理 05YG 的内容。

引理

设 \(F : \mathcal{X} \to \mathcal{Y}\) 是 \((\Sch/S)_{fppf}\) 上群胚叠的 \(1\)-态射。假设 \(\Delta : \mathcal{Y} \to \mathcal{Y} \times \mathcal{Y}\) 可由代数空间表示。则态射 \[\mathcal{H}_d(\mathcal{X}/\mathcal{Y}) \longrightarrow \mathcal{H}_d(\mathcal{X}) \times \mathcal{Y}\] （见《叠的例子》公式 (05WD)）可由代数空间表示。

证明

设 \(U\) 是概形，而 \(\xi=(U,Z,p,x,1)\) 是 \(\mathcal{H}_d(\mathcal{X})=\mathcal{H}_d(\mathcal{X}/S)\) 在 \(U\) 上的对象。 这里 \(p\) 只是 \(U\) 的结构态射。由于一切都在 \(S\) 上，第五个分量 \(1\) 存在且唯一。另设 \(y\) 是 \(\mathcal{Y}\) 在 \(U\) 上的对象。须证明 \(2\)-纤维积 [05YI]\[\begin{equation} (\Sch/U)_{fppf} \times_{\xi \times y, \mathcal{H}_d(\mathcal{X}) \times \mathcal{Y}} \mathcal{H}_d(\mathcal{X}/\mathcal{Y}) \end{equation}\] 可由代数空间表示。为说明这一点，引入 \[I = \mathit{Isom}_\mathcal{Y}(y|_Z, F(x))\] 。按假设，它是 \(Z\) 上的代数空间。设 \(a:U'\to U\) 是 \(U\) 上的概形。 给出 (05YI) 的纤维范畴在 \(U'\) 上的对象意味着什么？ 这意味着给出 \(\mathcal{H}_d(\mathcal{X}/\mathcal{Y})\) 在 \(U'\) 上的对象 \(\xi'=(U',Z',y',x',\alpha')\)，以及同构 \((U', Z', p', x', 1) \cong (U, Z, p, x, 1)|_{U'}\) 和 \(y' \cong y|_{U'}\)。因此，\(\xi'\) 同构于 \((U', U' \times_{a, U} Z, a^*y, x|_{U' \times_{a, U} Z}, \alpha)\) ，其中有某个态射 \[\alpha : a^*y|_{U' \times_{a, U} Z} \longrightarrow F(x|_{U' \times_{a, U} Z})\] ，它位于 \(\mathcal{Y}\) 在 \(U'\times_{a,U}Z\) 上的纤维范畴中。 因此，可以把 \(\alpha\) 看作态射 \(b:U'\times_{a,U}Z\to I\)。 由此可知，(05YI) 可由 \(\text{Res}_{Z/U}(I)\) 表示； 由命题 05YF，后者是代数空间。

下一个引理是引理 05YG 的一个（部分）推广。

引理

设 \(F : \mathcal{X} \to \mathcal{Y}\) 和 \(G : \mathcal{X}' \to \mathcal{X}\) 是 \((\Sch/S)_{fppf}\) 上群胚叠的 \(1\)-态射。如果 \(G\) 可由代数空间表示，则 \(1\)-态射 \[\mathcal{H}_d(\mathcal{X}'/\mathcal{Y}) \longrightarrow \mathcal{H}_d(\mathcal{X}/\mathcal{Y})\] 可由代数空间表示。

证明

设 \(U\) 是概形，而 \(\xi=(U,Z,y,x,\alpha)\) 是 \(\mathcal{H}_d(\mathcal{X}/\mathcal{Y})\) 在 \(U\) 上的对象。 须证明 \(2\)-纤维积 [05YK]\[\begin{equation} (\Sch/U)_{fppf} \times_{\xi, \mathcal{H}_d(\mathcal{X}/\mathcal{Y})} \mathcal{H}_d(\mathcal{X}'/\mathcal{Y}) \end{equation}\] 可由 \(U\) 上的代数空间表示。它在 \(a:U'\to U\) 上的对象对应于 \(\mathcal{X}'\) 在 \(U'\times_{a,U}Z\) 上的对象 \(x'\)，并满足 \(G(x')\cong x|_{U'\times_{a,U}Z}\)。按假设，\(2\)-纤维积 \[(\Sch/Z)_{fppf} \times_{x, \mathcal{X}} \mathcal{X}'\] 可由 \(Z\) 上的代数空间 \(W\) 表示。因此，(05YK) 可由 \(\text{Res}_{Z/U}(W)\) 表示；由命题 05YF，后者是代数空间。

引理

设 \(F : \mathcal{X} \to \mathcal{Y}\) 是 \((\Sch/S)_{fppf}\) 上群胚叠的 \(1\)-态射。假设 \(F\) 可由代数空间表示且局部有限表示。则 \[p : \mathcal{H}_d(\mathcal{X}/\mathcal{Y}) \to \mathcal{Y}\] 在对象上保极限。

证明

这意味着必须证明如下命题：给定

1. 仿射概形 \(U = \lim_i U_i\)，它写成 \(S\) 上仿射概形 \(U_i\) 的有向极限；

2. 对某个 \(i\)，\(\mathcal{Y}\) 在 \(U_i\) 上的对象 \(y_i\)；以及

3. \(\mathcal{H}_d(\mathcal{X}/\mathcal{Y})\) 在 \(U\) 上的对象 \(\Xi = (U, Z, y, x, \alpha)\)，满足 \(y = y_i|_U\)，

则存在 \(i' \geq i\) 和 \(\Xi_{i'} = (U_{i'}, Z_{i'}, y_{i'}, x_{i'}, \alpha_{i'})\)，它是 \(\mathcal{H}_d(\mathcal{X}/\mathcal{Y})\) 在 \(U_{i'}\) 上的对象，并满足 \(\Xi_{i'}|_U = \Xi\) 和 \(y_{i'} = y_i|_{U_{i'}}\)。最后这两个等式恰好保证 (06CU) 交换。

设 \(X_{y_i} \to U_i\) 是表示 \(2\)-纤维积 \[(\Sch/U_i)_{fppf} \times_{y_i, \mathcal{Y}, F} \mathcal{X}.\] 的代数空间。由关于 \(F\) 的假设，\(X_{y_i} \to U_i\) 局部有限表示。

写下 \(\Xi\)。显然，\(\xi = (Z, Z \to U_i, x, \alpha)\) 是上述 \(2\)-纤维积的对象，故 \(\xi\) 给出 \(U_i\) 上代数空间的态射 \(f_\xi : Z \to X_{y_i}\)（因为 \(X_{y_i}\) 是

\((\Sch/U_i)_{fppf} \times_{y, \mathcal{Y}, F} \mathcal{X}\) 的对象同构类函子；参见《代数叠》引理 02ZX）。

由《极限》引理 01ZM 和 06AC ，存在 \(i' \geq i\) 和次数为 \(d\) 的有限局部自由态射 \(Z_{i'} \to U_{i'}\)，其到 \(U\) 的基变换为 \(Z\)。由《空间的极限》命题 04AK ，以更大的指标替换 \(i'\) 后，可以假设存在态射 \(f_{i'} : Z_{i'} \to X_{y_i}\)，使下图交换： \[\xymatrix{ Z \ar[d] \ar[r] \ar@/^3ex/[rr]^{f_\xi} & Z_{i'} \ar[d] \ar[r]_{f_{i'}} & X_{y_i} \ar[d] \\ U \ar[r] & U_{i'} \ar[r] & U_i }\] 令 \(\Xi_{i'} = (U_{i'}, Z_{i'}, y_{i'}, x_{i'}, \alpha_{i'})\)，其中

1. \(y_{i'}\) 是 \(\mathcal{Y}\) 在 \(U_{i'}\) 上的对象，即 \(y_i\) 到 \(U_{i'}\) 的拉回；

2. \(x_{i'}\) 是 \(\mathcal{X}\) 在 \(Z_{i'}\) 上的对象，它经由 \(2\)-Yoneda 引理对应于 \(1\)-态射 \[(\Sch/Z_{i'})_{fppf} \to \mathcal{S}_{X_{y_i}} \to (\Sch/U_i)_{fppf} \times_{y_i, \mathcal{Y}, F} \mathcal{X} \to \mathcal{X}\] ，其中中间箭头是定义 \(X_{y_i}\) 的等价（记号如《代数叠》第 02ZV 节和第 04SU 节）。

3. \(\alpha_{i'} : y_{i'}|_{Z_{i'}} \to F(x_{i'})\) 是由下图的 \(2\)-交换性得到的同构： \[\xymatrix{ (\Sch/Z_{i'})_{fppf} \ar[r] \ar[rd] & (\Sch/U_i)_{fppf} \times_{y_i, \mathcal{Y}, F} \mathcal{X} \ar[r] \ar[d] & \mathcal{X} \ar[d]^F \\ & (\Sch/U_{i'})_{fppf} \ar[r] & \mathcal{Y} }\]

回顾 \(f_\xi : Z \to X_{y_i}\) 是与对象 \(\xi = (Z, Z \to U_i, x, \alpha)\) 相对应的态射；该对象是 \((\Sch/U_i)_{fppf} \times_{y_i, \mathcal{Y}, F} \mathcal{X}\) 在 \(Z\) 上的对象。按构造，\(f_{i'}\) 是与对象 \(\xi_{i'} = (Z_{i'}, Z_{i'} \to U_i, x_{i'}, \alpha_{i'})\) 相对应的态射。 由于 \(f_\xi = f_{i'} \circ (Z \to Z_{i'})\)，可知对象 \(\xi_{i'} = (Z_{i'}, Z_{i'} \to U_i, x_{i'}, \alpha_{i'})\) 到 \(Z\) 的拉回为 \(\xi\)。因此，\(x_{i'}\) 拉回为 \(x\)，而 \(\alpha_{i'}\) 拉回为 \(\alpha\)。 这意味着 \(\Xi_{i'}\) 到 \(U\) 的拉回为 \(\Xi\)，结论得证。

一点的有限 Hilbert 叠

设 \(d\geq1\) 是整数。在《叠的例子》定义 05WC 中，我们定义了群胚叠 \(\mathcal{H}_d\)。本节证明 \(\mathcal{H}_d\) 是代数叠。全文假设 \(S=\Spec(\mathbf{Z})\)；一般情形由基变换随之得到。回顾 \(\mathcal{H}_d\) 在概形 \(T\) 上的纤维范畴，是次数为 \(d\) 的有限局部自由态射 \(\pi:Z\to T\) 所成的范畴。我们不直接分类这些态射，而先研究拟凝聚代数层 \(\pi_*\mathcal{O}_Z\)。

设 \(R\) 是环。暂作如下定义：一个\(R\) 上的自由 \(d\) 维代数 由 \(R^{\oplus d}\) 上的交换 \(R\)-代数结构 \(m\) 给出，并要求 \(e_1=(1,0,\ldots,0)\) 为单位元⁴。把 \(m\) 看作 \(R\)-线性映射 \[m : R^{\oplus d} \otimes_R R^{\oplus d} \longrightarrow R^{\oplus d}\] ，它满足 \(m(e_1,x)=m(x,e_1)=x\)，并且 \(m\) 定义交换结合的环结构。 若写 \(m(e_i,e_j)=\sum a_{ij}^ke_k\)，则这归结为条件 \[\left\{ \begin{matrix} \sum_l a_{ij}^la_{lk}^m = \sum_l a_{il}^ma_{jk}^l & \forall i, j, k, m \\ a_{ij}^k = a_{ji}^k & \forall i, j, k \\ a_{i1}^j = \delta_{ij} & \forall i, j \end{matrix} \right.\] ，其中 \(\delta_{ij}\) 是 Kronecker \(\delta\)-函数。于是定义 \[R_{univ} = \mathbf{Z}[a_{ij}^k]/J\] ，其中理想 \(J\) 由上述关系生成。记 \[m_{univ} : R_{univ}^{\oplus d} \otimes_{R_{univ}} R_{univ}^{\oplus d} \longrightarrow R_{univ}^{\oplus d}\]

为 \(R_{univ}\) 上的自由 \(d\) 维代数 \(m\)，其结构常数为 \(a_{ij}^k\) 模 \(J\) 的类。显然，给定环 \(R\) 上任意自由 \(d\) 维代数 \(m\)，存在唯一的 \(\mathbf{Z}\)-代数同态 \(\psi:R_{univ}\to R\)，使 \(\psi_*m_{univ}=m\)（这意味着 \(m\) 由基变换函子 \(-\otimes_{R_{univ}}R\) 作用于 \(m_{univ}\) 得到）。换言之，令 \(X=\Spec(R_{univ})\)，得到典范等同 \[X(T) = \{\text{自由 }d\text{-维代数 }m\text{ 相对于 }R\}\] ，其中 \(T=\Spec(R)\) 变化。通过 Zariski 局部化，得到下列看似更一般的等同 [05YM]\[\begin{equation} X(T) = \{\text{自由 }d\text{-维代数 } m\text{ 相对于 }\Gamma(T, \mathcal{O}_T)\} \end{equation}\] ，对任意概形 \(T\) 成立。

接下来略述自由 \(d\) 维 \(R\)-代数的同构。设 \(m\)、\(m'\) 是环 \(R\) 上的两个自由 \(d\) 维代数。一个从 \(m\) 到 \(m'\) 的同构由可逆 \(R\)-线性映射 \[\varphi : R^{\oplus d} \longrightarrow R^{\oplus d}\] 给出，并满足 \(\varphi(e_1)=e_1\) 以及 \[m \circ \varphi \otimes \varphi = \varphi \circ m'.\] 注意，可以复合这些同构，从而使 \(R\) 上自由 \(d\) 维代数的全体成为范畴。 由此得到函子 [05YN]\[\begin{equation} FA_d : \Sch_{fppf}^{opp} \longrightarrow \textit{Groupoids} \end{equation}\] ，它从概形范畴取值于群胚：对概形 \(T\)，赋予 \(\Gamma(T,\mathcal{O}_T)\) 上自由 \(d\) 维代数的集合，并用刚才定义的 同构概念赋予其范畴结构。

上述讨论提示我们考虑群值函子 \(G\)，它把任意概形 \(T\) 映为群 \[G(T) = \{g \in \text{GL}_d(\Gamma(T, \mathcal{O}_T)) \mid g(e_1) = e_1\}\] 显然，\(G\subset\text{GL}_d\)（参见《群胚》例 022W）是由方程 \(x_{11}=1\) 和 \(x_{i1}=0\)（\(i>1\)）截出的闭子群概形。因此，\(G\) 是 \(\Spec(\mathbf{Z})\) 上的光滑仿射群概形。考虑作用 \[a : G \times_{\Spec(\mathbf{Z})} X \longrightarrow X\] ，它把左侧的 \(T\)-值点 \((g,m)\)（其中 \(T=\Spec(R)\)）映为如下给出的 \(R\) 上自由 \(d\) 维代数： \[a(g, m) = g^{-1} \circ m \circ g \otimes g.\] 注意，这意味着 \(g\) 定义自由 \(d\) 维 \(R\)-代数的同构 \(m\to a(g,m)\)。略去 \(a\) 确实定义群概形 \(G\) 在概形 \(X\) 上作用的验证。

引理

在 (05YN) 中定义的群胚值函子 \(FA_d\) 同构（！）于如下 群胚值函子：它把概形 \(T\) 映为具有下列数据的范畴

1. 对象集为 \(X(T)\)；

2. 态射集为 \(G(T) \times X(T)\)；

3. \(s : G(T) \times X(T) \to X(T)\) 是投影映射；

4. \(t : G(T) \times X(T) \to X(T)\) 是 \(a(T)\)；

5. 复合
   \(G(T) \times X(T) \times_{s, X(T), t} G(T) \times X(T) \to G(T) \times X(T)\) 由 \(((g, m), (g', m')) \mapsto (gg', m')\) 给出。

证明

在 (05YM) 中已经看到对象上的规则。上文还看到， 对任意自由 \(d\) 维代数 \(m\)，\(g\in G(T)\) 可视为从 \(m\) 到 \(a(g,m)\) 的态射。反过来，任意态射 \(m\to m'\) 由可逆线性映射 \(\varphi\) 给出； 它对应于元素 \(g\in G(T)\)，并满足 \(m'=a(g,m)\)。

事实上，上一个引理所述的群胚 \((X,G\times X,s,t,c)\) 正是《群胚》引理 0234 中与作用 \(a:G\times X\to X\) 相伴的群胚。由于 \(G\) 在 \(\Spec(\mathbf{Z})\) 上光滑， 可知两个态射 \(s,t:G\times X\to X\) 都光滑：由对称性，只需证明其中一个， 而 \(s\) 是 \(G\to\Spec(\mathbf{Z})\) 的基变换。因此 \((G\times X,X,s,t,c)\) 是光滑群胚概形，并且由《代数叠》定理 04TK，商叠 \([X/G]\) 是代数叠。

命题

叠 \(\mathcal{H}_d\) 等价于上述商叠 \([X/G]\)。特别地，\(\mathcal{H}_d\) 是代数叠。

证明

注意，由《空间中的群胚》定义 044Q，商叠 \([X/G]\) 是与下述 “群胚预层”相伴的群胚纤维化范畴的叠化；该预层把概形 \(T\) 映为群胚 \[(X(T), G(T) \times X(T), s, t, c).\] 由引理 05YP，此“群胚预层”同构于 \(FA_d\)。 因此，只需证明

\(\mathcal{H}_d\) 是（与“群胚预层”相伴的群胚纤维化范畴）\(FA_d\) 的叠化。 为此，先定义函子 \[\Spec : FA_d \longrightarrow \mathcal{H}_d\] 回顾 \(\mathcal{H}_d\) 在概形 \(T\) 上的纤维范畴，是次数为 \(d\) 的有限局部自由 态射 \(Z\to T\) 所成的范畴。因此，给定概形 \(T\) 和自由 \(d\) 维 \(\Gamma(T,\mathcal{O}_T)\)-代数 \(m\)，可以赋予它对象 \[Z = \underline{\Spec}_T(\mathcal{A})\] ，它属于 \(\mathcal{H}_{d,T}\)；其中 \(\mathcal{A}=\mathcal{O}_T^{\oplus d}\) 经由 \(m\) 赋有 \(\mathcal{O}_T\)-代数结构。此外，若 \(m'\) 是另一个这样的自由 \(d\) 维 \(\Gamma(T,\mathcal{O}_T)\)-代数，而 \(\varphi:m\to m'\) 是二者的同构， 则诱导的 \(\mathcal{O}_T\)-线性映射 \(\varphi : \mathcal{O}_T^{\oplus d} \to \mathcal{O}_T^{\oplus d}\) 诱导拟凝聚 \(\mathcal{O}_T\)-代数的同构 \[\varphi : \mathcal{A}' \longrightarrow \mathcal{A}\] 。因此 \[\underline{\Spec}_T(\varphi) : \underline{\Spec}_T(\mathcal{A}) \longrightarrow \underline{\Spec}_T(\mathcal{A}')\] 是纤维范畴 \(\mathcal{H}_{d,T}\) 中的态射。略去此构造与基变换相容的验证， 于是确实得到上述函子 \(\Spec:FA_d\to\mathcal{H}_d\)。

为证明 \(\Spec:FA_d\to\mathcal{H}_d\) 在 \(FA_d\) 的叠化与 \(\mathcal{H}_d\) 之间诱导等价，只需验证

1. \(\mathit{Isom}(m, m') = \mathit{Isom}(\Spec(m), \Spec(m'))\) ，对任意 \(m,m'\in FA_d(T)\)；

2. 对任意概形 \(T\) 和 \(\mathcal{H}_{d,T}\) 的任意对象 \(Z\to T\)， 存在覆盖 \(\{T_i\to T\}\)，使对某个 \(m\in FA_d(T_i)\)，\(Z|_{T_i}\) 同构于 \(\Spec(m)\)；

参见《叠》引理 02ZP。第一个断言由下述观察推出： 任意同构 \[\underline{\Spec}_T(\mathcal{A}) \longrightarrow \underline{\Spec}_T(\mathcal{A}')\] 在 \(\mathcal{A}=\mathcal{A}'=\mathcal{O}_T^{\oplus d}\) 作为模时，必由 整体可逆矩阵 \(g\) 给出。为证明第二个断言，设 \(\pi:Z\to T\) 是次数为 \(d\) 的有限局部自由态射。于是，

\(\mathcal{A}\) 是秩为 \(d\) 的局部自由 \(\mathcal{O}_T\)-模层。考虑元素 \(1\in\Gamma(T,\mathcal{A})\)。对每个 \(t\in T\)，此元素在 \(\mathcal{A}\otimes_{\mathcal{O}_{T,t}}\kappa(t)\) 中非零，因为概形 \(Z_t = \Spec(\mathcal{A} \otimes_{\mathcal{O}_{T, t}} \kappa(t))\) 在 \(\kappa(t)\) 上次数为 \(d>0\)，故非空。因此， \(1:\mathcal{O}_T\to\mathcal{A}\) 可局部用作第一个基元素（例如可用 《代数》引理 00O0 的 (1)、(2) 看出这一点）。 所以在 \(T\) 上局部化后，可以假设存在同构 \(\varphi : \mathcal{A} \to \mathcal{O}_T^{\oplus d}\) ，使 \(1\in\Gamma(\mathcal{A})\) 对应于第一个基元素。在这种情形下， 乘法映射 \(\mathcal{A} \otimes_{\mathcal{O}_T} \mathcal{A} \to \mathcal{A}\) 经由 \(\varphi\) 转化为 \(\Gamma(T,\mathcal{O}_T)\) 上的自由 \(d\) 维代数 \(m\)。证明完成。

空间的有限 Hilbert 叠

代数空间的有限 Hilbert 叠是代数叠。

引理

设 \(S\) 是概形，\(X\) 是 \(S\) 上的代数空间。则 \(\mathcal{H}_d(X)\) 是代数叠。

证明

\(1\)-态射 \[\mathcal{H}_d(X) \longrightarrow \mathcal{H}_d\] 由引理 05YJ 可由代数空间表示。 由命题 05YQ，叠 \(\mathcal{H}_d\) 是代数叠。 因此，由《代数叠》引理 05UM， \(\mathcal{H}_d(X)\) 是代数叠。

此引理使我们能够进行自举。

引理

设 \(S\) 是概形，\(F:\mathcal{X}\to\mathcal{Y}\) 是 \((\Sch/S)_{fppf}\) 上群胚叠的 \(1\)-态射，并满足

1. \(\mathcal{X}\) 可由代数空间表示；

2. \(F\) 可由代数空间表示、为满、平坦且局部有限表示。

则 \(\mathcal{H}_d(\mathcal{X}/\mathcal{Y})\) 是代数叠。

证明

选取 \(S\) 上的可表示群胚叠 \(\mathcal{U}\) 和 \(1\)-态射 \(f:\mathcal{U}\to\mathcal{H}_d(\mathcal{X})\)，它可由代数空间表示、 光滑且为满。由于引理 05YS 表明 \(\mathcal{H}_d(\mathcal{X})\) 是代数叠，这种选择是可能的。考虑 \(2\)-纤维积 \[\mathcal{W} = \mathcal{H}_d(\mathcal{X}/\mathcal{Y}) \times_{\mathcal{H}_d(\mathcal{X}), f} \mathcal{U}.\] 由于 \(\mathcal{U}\) 可表示（特别地，它是集合胚叠），由《叠的例子》引理 05XV 和《叠》引理 05UI， \(\mathcal{W}\) 是集合胚叠。\(1\)-态射 \(\mathcal{W}\to\mathcal{H}_d(\mathcal{X}/\mathcal{Y})\) 是态射 \(f\) 的基变换， 故可由代数空间表示、光滑且为满（参见《代数叠》引理 0302 和 045C）。 因此，如果能证明 \(\mathcal{W}\) 可由代数空间表示，则由《代数叠》引理 05UL， 引理即得证。

由引理 05XW， \(\mathcal{Y}\) 的对角态射可由代数空间表示。应用引理 05YH 可知 \(1\)-态射 \[\mathcal{H}_d(\mathcal{X}/\mathcal{Y}) \longrightarrow \mathcal{H}_d(\mathcal{X}) \times \mathcal{Y}\] 可由代数空间表示。考虑 \(2\)-纤维积 \[\mathcal{V} = \mathcal{H}_d(\mathcal{X}/\mathcal{Y}) \times_{(\mathcal{H}_d(\mathcal{X}) \times \mathcal{Y}), f \times F} (\mathcal{U} \times \mathcal{X}).\] 投影态射 \(\mathcal{V}\to\mathcal{U}\times\mathcal{X}\) 是上一个所示态射的 基变换，故可由代数空间表示。因此 \(\mathcal{V}\) 是代数空间（参见《自举》引理 02YS，或《代数叠》引理 0300）。

\(1\)-态射 \(\mathcal{V}\to\mathcal{U}\) 嵌入下列 \(2\)-笛卡尔图 \[\xymatrix{ \mathcal{V} \ar[d] \ar[r] & \mathcal{X} \ar[d]^F \\ \mathcal{W} \ar[r] & \mathcal{Y} }\] ，这是因为 \[\mathcal{H}_d(\mathcal{X}/\mathcal{Y}) \times_{(\mathcal{H}_d(\mathcal{X}) \times \mathcal{Y}), f \times F} (\mathcal{U} \times \mathcal{X}) = (\mathcal{H}_d(\mathcal{X}/\mathcal{Y}) \times_{\mathcal{H}_d(\mathcal{X}), f} \mathcal{U}) \times_{\mathcal{Y}, F} \mathcal{X}.\] 因此，\(\mathcal{V}\to\mathcal{W}\) 作为 \(F\) 的基变换，可由代数空间表示、 为满、平坦且局部有限表示。于是，与 \(\mathcal{V}\) 和 \(\mathcal{W}\) 相伴的相应集合层也具有相同性质；参见《代数叠》引理 04TC。故由《自举》定理 04S6，与 \(\mathcal{W}\) 相伴的层 是代数空间。

Hilbert 叠中的 LCI 轨迹

记号参见《叠的例子》第 05WA 节。 固定 \((\Sch/S)_{fppf}\) 上群胚叠的 \(1\)-态射 \(F:\mathcal{X}\longrightarrow\mathcal{Y}\)。假设 \(F\) 可由代数空间表示。 固定 \(d\geq1\)。考虑 \(\mathcal{H}_d(\mathcal{X}/\mathcal{Y})\) 的对象 \((U,Z,y,x,\alpha)\)。存在诱导的 \(1\)-态射 \[(\Sch/Z)_{fppf} \longrightarrow (\Sch/U)_{fppf} \times_{y, \mathcal{Y}, F} \mathcal{X}\] （由 \(2\)-纤维积的泛性质），它可由 \(U\) 上代数空间的态射表示。 确切地，由于 \(F\) 可由代数空间表示，可以选取 \(U\) 上的代数空间 \(X_y\)， 它表示 \(2\)-纤维积 \((\Sch/U)_{fppf} \times_{y, \mathcal{Y}, F} \mathcal{X}\). 由于 \(\alpha:y|_Z\to F(x)\) 是同构，可知 \(\xi=(Z,Z\to U,x,\alpha)\) 是 \(2\)-纤维积 \((\Sch/U)_{fppf}\times_{y,\mathcal{Y},F}\mathcal{X}\) 在 \(Z\) 上的对象。 因此，\(\xi\) 给出 \(U\) 上代数空间的态射 \(x_\alpha:Z\to X_y\)，因为

\(X_y\) 是 \((\Sch/U)_{fppf} \times_{y, \mathcal{Y}, F} \mathcal{X}\) 的对象同构类函子；参见《代数叠》引理 02ZX。图示为 [06CK]\[\begin{equation} \vcenter{ \xymatrix{ Z \ar[r]_{x_\alpha} \ar[rd] & X_y \ar[d] \\ & U } } \quad\quad \vcenter{ \xymatrix{ (\Sch/Z)_{fppf} \ar[rd] \ar[r]_-{x, \alpha} & (\Sch/U)_{fppf} \times_{y, \mathcal{Y}, F} \mathcal{X} \ar[r] \ar[d] & \mathcal{X} \ar[d]^F \\ & (\Sch/U)_{fppf} \ar[r]^y & \mathcal{Y} } } \end{equation}\] 注意，如果 \((f, g, b, a) : (U, Z, y, x, \alpha) \to (U', Z', y', x', \alpha')\) 是 \(\mathcal{H}_d\) 的对象之间的态射，则态射 \(x'_{\alpha'}:Z'\to X'_{y'}\) 是态射 \(x_\alpha\) 沿 \(g:U'\to U\) 的基变换（略去细节）。

现在进一步假设 \(F\) 平坦且局部有限表示。在这种情形下，定义全子范畴 \[\mathcal{H}_{d, lci}(\mathcal{X}/\mathcal{Y}) \subset \mathcal{H}_d(\mathcal{X}/\mathcal{Y})\] ，它由 \(\mathcal{H}_d(\mathcal{X}/\mathcal{Y})\) 中满足下列条件的对象 \((U,Z,y,x,\alpha)\) 组成：相应态射 \(x_\alpha:Z\to X_y\) 非分歧， 且为局部完全交态射（定义参见《空间的态射》定义 03ZH 和《空间态射进阶》定义 06C4）。

引理

设 \(S\) 是概形。固定 \((\Sch/S)_{fppf}\) 上群胚叠的 \(1\)-态射 \(F:\mathcal{X}\longrightarrow\mathcal{Y}\)。假设 \(F\) 可由代数空间表示、 平坦且局部有限表示。则 \(\mathcal{H}_{d,lci}(\mathcal{X}/\mathcal{Y})\) 是群胚叠，且嵌入函子 \[\mathcal{H}_{d, lci}(\mathcal{X}/\mathcal{Y}) \longrightarrow \mathcal{H}_d(\mathcal{X}/\mathcal{Y})\] 可表示且为开浸入。

证明

设 \(\Xi=(U,Z,y,x,\alpha)\) 是 \(\mathcal{H}_d\) 的对象。由 (06CK) 后的评注，\(\Xi\) 沿 \(U'\to U\) 的拉回属于 \(\mathcal{H}_{d,lci}(\mathcal{X}/\mathcal{Y})\)，当且仅当 \(x_\alpha\) 的基变换非分歧且为局部完全交态射。注意，\(Z\to U\) 有限局部自由 （因而平坦、局部有限表示且万有闭），而由关于 \(F\) 的假设，\(X_y\to U\) 平坦且局部有限表示。于是《空间态射进阶》引理 05X8 和 06CE

表明存在开子概形 \(W\subset U\)，使态射 \(U'\to U\) 通过 \(W\) 分解， 当且仅当 \(x_\alpha\) 沿 \(U'\to U\) 的基变换非分歧且为局部完全交态射。 这意味着 \[(\Sch/U)_{fppf} \times_{\Xi, \mathcal{H}_d(\mathcal{X}/\mathcal{Y})} \mathcal{H}_{d, lci}(\mathcal{X}/\mathcal{Y})\] 可由 \(W\) 表示。因此，引理的最后一个断言成立。第一个断言（即 \(\mathcal{H}_{d,lci}(\mathcal{X}/\mathcal{Y})\) 是群胚叠）由此和 《代数叠》引理 05UN 推出。

局部完全交态射“局部无阻碍”。这一点在远比本章所需特殊情形更一般的 范围内成立。

引理

设 \(U\subset U'\) 是仿射概形的一阶加厚，\(X'\) 是 \(U'\) 上平坦的代数空间。 令 \(X=U\times_{U'}X'\)。设 \(Z\to U\) 是次数为 \(d\) 的有限局部自由态射。 最后，设 \(f:Z\to X\) 非分歧且为局部完全交态射。则存在交换图 \[\xymatrix{ (Z \subset Z') \ar[rd] \ar[rr]_{(f, f')} & & (X \subset X') \ar[ld] \\ & (U \subset U') }\] ，其中各项为 \(U'\) 上的代数空间，且 \(Z'\to U'\) 是次数为 \(d\) 的有限局部自由 态射，并满足 \(Z=U\times_{U'}Z'\)。

证明

由《空间态射进阶》引理 06CB， 非分歧态射 \(Z\to X\) 的余法层 \(\mathcal{C}_{Z/X}\) 是有限局部自由 \(\mathcal{O}_Z\)-模；又由《空间态射进阶》引理 06CC，有余法层的正合列 \[0 \to i^*\mathcal{C}_{X/X'} \to \mathcal{C}_{Z/X'} \to \mathcal{C}_{Z/X} \to 0\] 。由于 \(Z\) 仿射，此列分裂。选取分裂 \[\mathcal{C}_{Z/X'} = i^*\mathcal{C}_{X/X'} \oplus \mathcal{C}_{Z/X}\] 设 \(Z\subset Z''\) 是 \(Z\) 在 \(X'\) 上的万有一阶加厚（参见《空间态射进阶》第 0601 节）。

记 \(\mathcal{I}\subset\mathcal{O}_{Z''}\) 为与 \(Z\subset Z''\) 相应的拟凝聚理想层。

按定义，把 \(\mathcal{I}\) 视为 \(Z\) 上的层时，它就是 \(\mathcal{C}_{Z/X'}\)。 因此，上述分裂确定分裂 \[\mathcal{I} = i^*\mathcal{C}_{X/X'} \oplus \mathcal{C}_{Z/X}\] 把 \(\mathcal{C}_{Z/X}\subset\mathcal{I}\) 视为 \(Z''\) 上的拟凝聚理想层， 令 \(Z'\subset Z''\) 为它截出的闭子概形。显然，\(Z'\) 是 \(Z\) 的一阶加厚， 并得到引理陈述中的一阶加厚交换图。

由于 \(X'\to U'\) 平坦且 \(X=U\times_{U'}X'\)，可知 \(\mathcal{C}_{X/X'}\) 是 \(\mathcal{C}_{U/U'}\) 到 \(X\) 的拉回；参见 《空间态射进阶》引理 06BH。 注意，按构造，\(\mathcal{C}_{Z/Z'}=i^*\mathcal{C}_{X/X'}\)，故 \(\mathcal{C}_{Z/Z'}\) 同构于 \(\mathcal{C}_{U/U'}\) 到 \(Z\) 的拉回。 再次应用《空间态射进阶》引理 06BH （或其概形版本，参见《态射进阶》引理 063Y）， 可知 \(Z'\to U'\) 平坦且 \(Z=U\times_{U'}Z'\)。最后，《态射进阶》引理 06AG 表明 \(Z'\to U'\) 是次数为 \(d\) 的有限局部自由态射。

引理

设 \(F:\mathcal{X}\to\mathcal{Y}\) 是 \((\Sch/S)_{fppf}\) 上群胚叠的 \(1\)-态射。假设 \(F\) 可由代数空间表示、平坦且局部有限表示。则 \[p : \mathcal{H}_{d, lci}(\mathcal{X}/\mathcal{Y}) \to \mathcal{Y}\] 在对象上形式光滑。

证明

须证明如下命题：给定

1. \(\mathcal{H}_{d,lci}(\mathcal{X}/\mathcal{Y})\) 在仿射概形 \(U\) 上的对象 \((U,Z,y,x,\alpha)\)；

2. 一阶加厚 \(U\subset U'\)；以及

3. \(\mathcal{Y}\) 在 \(U'\) 上的对象 \(y'\)，满足 \(y'|_U=y\)，

则存在 \(\mathcal{H}_{d,lci}(\mathcal{X}/\mathcal{Y})\) 在 \(U'\) 上的对象 \((U',Z',y',x',\alpha')\)，满足 \(Z=U\times_{U'}Z'\)、\(x=x'|_Z\) 以及 \(\alpha=\alpha'|_U\)。最后两个等式恰好保证 (06D0) 交换。

考虑公式 (06CK) 中构造的态射 \(x_\alpha:Z\to X_y\)。类似地，

记 \(X'_{y'}\) 为 \(U'\) 上表示 \(2\)-纤维积 \((\Sch/U')_{fppf} \times_{y', \mathcal{Y}, F} \mathcal{X}\). 按假设，态射 \(X'_{y'}\to U'\) 平坦（且局部有限表示）。由于 \(y'|_U=y\)，可知 \(X_y=U\times_{U'}X'_{y'}\)。因此，可以应用引理 06D8，找到次数为 \(d\) 的有限局部自由态射 \(Z'\to U'\)，满足 \(Z=U\times_{U'}Z'\)，并使 \(Z'\to X'_{y'}\) 延拓 \(x_\alpha\)。按构造，态射 \(Z'\to X'_{y'}\) 对应于二元组 \((x',\alpha')\)。 显然，\((U',Z',y',x',\alpha')\) 是 \(\mathcal{H}_d(\mathcal{X}/\mathcal{Y})\) 在 \(U'\) 上的对象，并满足 \(Z=U\times_{U'}Z'\)、\(x=x'|_Z\) 和 \(\alpha=\alpha'|_U\)。 由引理 06CL 已知 \(\mathcal{H}_{d,lci}(\mathcal{X}/\mathcal{Y})\subset \mathcal{H}_d(\mathcal{X}/\mathcal{Y})\) 是“开子叠”，故 \((U',Z',y',x',\alpha')\) 如愿是 \(\mathcal{H}_{d,lci}(\mathcal{X}/\mathcal{Y})\) 的对象。

引理

设 \(F:\mathcal{X}\to\mathcal{Y}\) 是 \((\Sch/S)_{fppf}\) 上群胚叠的 \(1\)-态射。假设 \(F\) 可由代数空间表示、平坦、为满且局部有限表示。则 \[\coprod\nolimits_{d \geq 1} \mathcal{H}_{d, lci}(\mathcal{X}/\mathcal{Y}) \longrightarrow \mathcal{Y}\] 在对象上为满。

证明

只需证明如下命题：对任意域 \(k\) 和 \(\mathcal{Y}\) 在 \(\Spec(k)\) 上的对象 \(y\)，存在整数 \(d\geq1\) 和 \(\mathcal{H}_{d,lci}(\mathcal{X}/\mathcal{Y})\) 的对象 \((U,Z,y,x,\alpha)\)，其中 \(U=\Spec(k)\)。此时，\(p\) 以无需域扩张的 强意义在对象上为满。

记 \(X_y\) 为 \(U=\Spec(k)\) 上表示 \(2\)-纤维积

\((\Sch/U')_{fppf} \times_{y', \mathcal{Y}, F} \mathcal{X}\). 的代数空间。按假设，态射 \(X_y\to\Spec(k)\) 为满且局部有限表示 （并且平坦）。特别地，\(X_y\) 非空。选取非空仿射概形 \(V\) 和平展态射 \(V\to X_y\)。注意，\(V\to\Spec(k)\)（平坦）、为满且局部有限表示 （由《空间的态射》定义 03XP）。 选取闭点 \(v\in V\)，使 \(V\to\Spec(k)\) 在该点为 Cohen–Macaulay （即 \(V\) 在 \(v\) 处为 Cohen–Macaulay）；参见《态射进阶》引理 045U。应用 《态射进阶》引理 0570，得到正则浸入 \(Z\to V\)，其中 \(Z=\{v\}\)。这蕴含 \(Z\to V\) 是闭浸入。此外， \(Z\to\Spec(k)\) 有限（例如由《代数》引理 00PJ）。故 \(Z\to\Spec(k)\) 是某个次数 \(d\) 的有限局部自由态射。现在，\(Z\to X_y\) 是闭浸入后接平展态射的复合， 因而非分歧（参见《空间的态射》引理 03ZI, 06CR 和 06CQ）。 最后，\(Z \to X_y\) 是局部完全交态射，因为它是概形的正则浸入与 代数空间的平展态射的复合（参见《态射进阶》引理 069L， 《空间的态射》引理 04XX 和 06CP，以及 《空间的态射进阶》引理 06C9 和 06C8）。 态射 \(Z \to X_y\) 对应于 \(\mathcal{X}\) 在 \(Z\) 上的一个对象 \(x\)， 以及同构 \(\alpha : y|_Z \to F(x)\)。我们由此得到 \(\mathcal{H}_d(\mathcal{X}/\mathcal{Y})\) 的一个对象 \((U, Z, y, x, \alpha)\)。由上面对态射 \(Z \to X_y\) 的论述可知， 它实际上是子范畴 \(\mathcal{H}_{d, lci}(\mathcal{X}/\mathcal{Y})\) 的对象，结论得证。

代数叠的自举

下述定理是本章的主要结果之一。

定理

设 \(S\) 是概形，\(F : \mathcal{X} \to \mathcal{Y}\) 是 \((\Sch/S)_{fppf}\) 上群胚叠的一个 \(1\)-态射。若

1. \(\mathcal{X}\) 可由代数空间表示，并且

2. \(F\) 可由代数空间表示、为满、平坦且局部有限表示，

则 \(\mathcal{Y}\) 是代数叠。

证明

由引理 05XW， \(\mathcal{Y}\) 的对角可由代数空间表示。因此，我们只需验证存在 \((\Sch/S)_{fppf}\) 上群胚叠的一个 \(1\)-态射 \(f : \mathcal{V} \to \mathcal{Y}\)，使得 \(\mathcal{V}\) 可表示， 而 \(f\) 为满且光滑。由引理 06CI， 我们知道 \[\coprod\nolimits_{d \geq 1} \mathcal{H}_d(\mathcal{X}/\mathcal{Y})\] 是代数叠。由引理 06CL 和 《代数叠》引理 05UN， 可知 \[\coprod\nolimits_{d \geq 1} \mathcal{H}_{d, lci}(\mathcal{X}/\mathcal{Y})\] 也是代数叠。选取 \((\Sch/S)_{fppf}\) 上一个可表示的群胚叠 \(\mathcal{V}\)，以及一个满且光滑的 \(1\)-态射 \[\mathcal{V} \longrightarrow \coprod\nolimits_{d \geq 1} \mathcal{H}_{d, lci}(\mathcal{X}/\mathcal{Y}).\] 我们断言复合态射 \[\mathcal{V} \longrightarrow \coprod\nolimits_{d \geq 1} \mathcal{H}_{d, lci}(\mathcal{X}/\mathcal{Y}) \longrightarrow \mathcal{Y}\] 光滑且为满，这就完成定理的证明。事实上，光滑性将由引理 06CH 和 06D9 推出，而满性将由引理 06DA 推出。 我们在下一段详述其细节。

由构造，\(\mathcal{V} \to \coprod\nolimits_{d \geq 1} \mathcal{H}_{d, lci}(\mathcal{X}/\mathcal{Y})\) 可由代数空间表示、为满且光滑（因而由一般原理 《代数叠》引理 045F 和《空间的态射进阶》引理 04AM， 它也局部有限表示且形式光滑）。应用引理 06CX、 06D3 和 06D7 可知 \(\mathcal{V} \to \coprod\nolimits_{d \geq 1} \mathcal{H}_{d, lci}(\mathcal{X}/\mathcal{Y})\) 在对象上保极限、在对象上形式光滑且在对象上为满。\(1\)-态射 \(\coprod\nolimits_{d \geq 1} \mathcal{H}_{d, lci}(\mathcal{X}/\mathcal{Y}) \to \mathcal{Y}\) 满足：

1. 在对象上保极限：对 \(\mathcal{H}_d(\mathcal{X}/\mathcal{Y}) \to \mathcal{Y}\) 而言， 这是引理 06CH；将其与引理 06CL、 06CY 和 06CW 结合，便得到 \(\mathcal{H}_{d, lci}(\mathcal{X}/\mathcal{Y}) \to \mathcal{Y}\) 的相应结论；

2. 由引理 06D9，在对象上形式光滑；并且

3. 由引理 06DA，在对象上为满。

应用引理 06CW、 06D2 和 06D6 可知复合态射 \(\mathcal{V} \to \mathcal{Y}\) 在对象上保极限、 在对象上形式光滑且在对象上为满。再应用引理 06CX、 06D3 和 06D7 可知 \(\mathcal{V} \to \mathcal{Y}\) 局部有限表示、形式光滑且为满。 最后，通过一般原理《代数叠》引理 045F 应用无穷小提升判据（《空间的态射进阶》引理 04AM），可知 \(\mathcal{V} \to \mathcal{Y}\) 光滑，结论得证。

应用

我们的首要任务是证明，与“平坦且局部有限表示的群胚”相伴的商叠 \([U/R]\) 是代数叠。商叠的定义见《空间中的群胚》定义 044Q。下述预备引理是 《代数叠》引理 04X0 的对应版本。

引理

设 \(S\) 是 \(\Sch_{fppf}\) 中的概形， \((U, R, s, t, c)\) 是 \(S\) 上代数空间中的群胚。 假设 \(s, t\) 平坦且局部有限表示。则态射 \(\mathcal{S}_U \to [U/R]\) 平坦、局部有限表示且为满。

证明

设 \(T\) 是概形，\(x : (\Sch/T)_{fppf} \to [U/R]\) 是一个 \(1\)-态射。我们必须证明投影 \[\mathcal{S}_U \times_{[U/R]} (\Sch/T)_{fppf} \longrightarrow (\Sch/T)_{fppf}\] 为满、平坦且局部有限表示。我们已经知道左边可由一个代数空间 \(F\) 表示，参见《代数叠》引理 04WZ 和 045G。因此，我们必须证明相应的 代数空间态射 \(F \to T\) 为满、局部有限表示且平坦。由于此处所考察的 代数空间态射性质关于 fppf 拓扑在靶上是局部的，我们可以在 \(T\) 上 fppf 局部地检验这些性质。由构造，存在 \(T\) 的一个 fppf 覆盖 \(\{T_i \to T\}\)，使得 \(x|_{(\Sch/T_i)_{fppf}}\) 来自某个态射 \(x_i : T_i \to U\)。（注意，\(F \times_T T_i\) 表示 \(2\)-纤维积 \(\mathcal{S}_U \times_{[U/R]} (\Sch/T_i)_{fppf}\)，故一切都与经由 \(T_i \to T\) 的基变换相容。）因此，可假设 \(x\) 来自 \(x : T \to U\)。在这种情形下，我们看到 \[\mathcal{S}_U \times_{[U/R]} (\Sch/T)_{fppf} = (\mathcal{S}_U \times_{[U/R]} \mathcal{S}_U) \times_{\mathcal{S}_U} (\Sch/T)_{fppf} = \mathcal{S}_R \times_{\mathcal{S}_U} (\Sch/T)_{fppf}\] 其中第一个等号由《范畴》引理 02XD 给出，第二个等号由 《空间中的群胚》引理 04M9 给出。显然， 最后一个 \(2\)-纤维积由代数空间 \(F = R \times_{s, U, x} T\) 表示； 投影 \(R \times_{s, U, x} T \to T\) 是平坦且局部有限表示的代数空间态射 \(s : R \to U\) 的基变换，因而平坦且局部有限表示。它也为满，因为 \(s\) 有截面（即群胚的恒等态射 \(e : U \to R\)）。引理得证。

下面是本节的第一个主要结果。

定理

设 \(S\) 是 \(\Sch_{fppf}\) 中的概形， \((U, R, s, t, c)\) 是 \(S\) 上代数空间中的群胚。 假设 \(s, t\) 平坦且局部有限表示。则商叠 \([U/R]\) 是 \(S\) 上的代数叠。

证明

对态射 \[(\Sch/U)_{fppf} \longrightarrow [U/R].\] 我们检验定理 06DC 的两个条件。第一个条件是显然的 （因为 \(U\) 是代数空间）。第二个条件即引理 06FH。

商叠何时是代数的？

在《空间中的群胚》第 044O 节中， 我们定义了与代数空间中的群胚 \((U, R, s, t, c)\) 相伴的商叠 \([U/R]\)。 注意，\([U/R]\) 是一个群胚叠，其对角可由代数空间表示（参见 《自举》引理 04TB 和 《代数叠》引理 045G），并且存在 代数空间 \(U\) 和一个 \(1\)-态射 \((\Sch/U)_{fppf} \to [U/R]\)，它是如下 意义下的“fppf 满射”：它在对象同构类的预层上诱导的映射经层化后为满。 然而，一般而言 \([U/R]\) 并不一定是代数叠。这与定理 06DC 并不矛盾，因为 \(1\)-态射 \((\Sch/U)_{fppf} \to [U/R]\) 未必平坦且局部有限表示。

构造非代数商叠例子的最简方法，是考察形如 \([S/G]\) 的商，其中 \(S\) 是概形，而 \(G\) 是 \(S\) 上平凡作用于 \(S\) 的群概形。确切地说，下面将看到 （引理 06PL），若 \([S/G]\) 是代数的，则 \(G \to S\) 必须平坦且局部有限表示。一个显式例子见《例子》第 04AG 节。

引理

设 \(S\) 是概形，\(B\) 是 \(S\) 上的代数空间， \((U, R, s, t, c)\) 是 \(B\) 上代数空间中的群胚。商叠 \([U/R]\) 是代数叠，当且仅当存在代数空间态射 \(g : U' \to U\)，使得

1. 复合态射 \(U' \times_{g, U, t} R \to R \xrightarrow{s} U\) 是层的满射；并且

2. 态射 \(s', t' : R' \to U'\) 平坦且局部有限表示，其中 \((U', R', s', t', c')\) 是 \((U, R, s, t, c)\) 沿 \(g\) 的限制。

证明

首先，假设 \(g : U' \to U\) 满足 (1) 和 (2)。性质 (1) 蕴含 \([U'/R'] \to [U/R]\) 是等价，参见《空间中的群胚》引理 046T。 由定理 06FI，商叠 \([U'/R']\) 是代数叠。因此 \([U/R]\) 也是代数叠，参见《代数叠》引理 03YQ。

反过来，假设 \([U/R]\) 是代数叠。我们可以选取概形 \(W\) 和一个满光滑 \(1\)-态射 \[f : (\Sch/W)_{fppf} \longrightarrow [U/R].\] 由 \(2\)-Yoneda 引理（《代数叠》第 04SS 节）， 这对应于 \([U/R]\) 在 \(W\) 上的一个对象 \(\xi\)。由《空间中的群胚》引理 044X 对 \([U/R]\) 的描述， 我们可以找到概形的一个满、平坦且局部有限表示的态射 \(b : U' \to W\)，使得 \(\xi' = b^*\xi\) 对应于某个态射 \(g : U' \to U\)。注意，与 \(\xi'\) 对应的 \(1\)-态射 \[f' : (\Sch/U')_{fppf} \longrightarrow [U/R].\] 为满、平坦且局部有限表示，参见《代数叠》引理 045B。 因此， \((\Sch/U')_{fppf} \times_{[U/R]} (\Sch/U')_{fppf}\) 由代数空间 \[\mathit{Isom}_{[U/R]}(\text{pr}_0^*\xi', \text{pr}_1^*\xi') = (U' \times_S U') \times_{(g \circ \text{pr}_0, g \circ \text{pr}_1), U \times_S U} R = R'\] 表示（第一个等号见《空间中的群胚》引理 044V；第二个等号是限制的 定义），并且经由 \(s'\) 和 \(t'\) 在 \(U'\) 上都平坦且局部有限表示 （由基变换，参见《代数叠》引理 045C）。 由这一对 \(R'\) 的描述以及《代数叠》引理 04T4，我们得到一个典范的全忠实 \(1\)-态射 \([U'/R'] \to [U/R]\)。因为 \(f'\) 平坦、局部有限表示且为满， 这个 \(1\)-态射本质满（参见《叠》引理 046N）；另一种证明 方法是应用《代数叠》注记 04WY。最后，应用《空间中的群胚》引理 046T，可知复合态射 \(U' \times_{g, U, t} R \to R \xrightarrow{s} U\) 是层的满射。

引理

设 \(S\) 是概形，\(B\) 是 \(S\) 上的代数空间，\(G\) 是 \(B\) 上的群代数空间。 设 \(X\) 是 \(B\) 上的代数空间，而 \(a : G \times_B X \to X\) 是 \(G\) 在 \(B\) 上对 \(X\) 的一个作用。商叠 \([X/G]\) 是代数叠，当且仅当存在 代数空间态射 \(\varphi : X' \to X\)，使得

1. \(G \times_B X' \to X\)，\((g, x') \mapsto a(g, \varphi(x'))\)， 是层的满射；并且

2. 由规则 \[T \longmapsto \{(x'_1, g, x'_2) \in (X' \times_B G \times_B X')(T) \mid \varphi(x'_1) = a(g, \varphi(x'_2))\}\] 给出的代数空间 \(X''\) 的两个投影 \(X'' \to X'\) 都平坦且局部有限表示。

证明

本引理是引理 06PJ 的一个特例。确切地说， 由《空间中的群胚》定义 044Q，商叠 \([X/G]\) 等于 代数空间中的群胚 \((X, G \times_B X, s, t, c)\) 的商叠 \([X/G \times_B X]\)；该群胚与《空间中的群胚》引理 0444 中的群作用相伴。 要得到条件 (1)，还需作一个小观察。态射 \(s : G \times_B X \to X\) 是第二投影，而态射 \(t : G \times_B X \to X\) 是作用态射 \(a\)。 因此，引理 06PJ 中的态射 \(h : U' \times_{g, U, t} R \to R \xrightarrow{s} U\) 对应于当前设置中的态射 \[X' \times_{\varphi, X, a} (G \times_B X) \xrightarrow{\text{pr}_1} X\] 不过，由 \(G\) 的取逆所给出的对称性，此态射同构于引理陈述中的态射 \[(G \times_B X) \times_{\text{pr}_1, X, \varphi} X' \xrightarrow{a} X\] 。细节从略。

引理

设 \(S\) 是概形，\(B\) 是 \(S\) 上的代数空间，\(G\) 是 \(B\) 上的群代数空间。 赋予 \(B\) 以 \(G\) 的平凡作用。则商叠 \([B/G]\) 是代数叠，当且仅当 \(G\) 在 \(B\) 上平坦且局部有限表示。

证明

若 \(G\) 在 \(B\) 上平坦且局部有限表示，则由定理 06FI，\([B/G]\) 是代数叠。

反过来，假设 \([B/G]\) 是代数叠。由引理 06PK 以及作用的平凡性，可知存在代数空间 \(B'\) 和态射 \(B' \to B\)，使得 (1) \(B' \to B\) 是层的满射，并且 (2) 投影 \[B' \times_B G \times_B B' \to B'\] 平坦且局部有限表示。注意，\(B' \to B\) 的基变换 \(B' \times_B G \times_B B' \to G \times_B B'\) 也是层的满射。因此， 由《空间上的下降》引理 06NR，投影 \(G \times_B B' \to B'\) 平坦且局部有限表示。由 (1)，可以找到一个 fppf 覆盖 \(\{B_i \to B\}\)，使得 \(B_i \to B\) 经 \(B' \to B\) 分解。 于是，由基变换，\(G \times_B B_i \to B_i\) 平坦且局部有限表示。由 《空间上的下降》引理 041W 和 041T， 可知 \(G \to B\) 平坦且局部有限表示。

稍后将看到，光滑 \(S\)-空间关于群代数空间 \(G\) 的商叠是光滑的， 即使 \(G\) 并不光滑亦然（《叠的态射》引理 0DLS）。

étale 拓扑中的代数叠

设 \(S\) 是概形。我们可以研究大 fppf 位点 \((\Sch/S)_{fppf}\) 上的群胚叠， 也可以改为研究大 étale 位点 \((\Sch/S)_\etale\) 上的群胚叠。 《代数叠》第 02ZQ, 04SS, 04ST, 04SU, 02ZV, 04SX, 03YJ 和 0304 节的全部内容，对 \((\Sch/S)_\etale\) 上群胚纤维化范畴同样有意义。因此， 在 étale 拓扑中工作会给出代数叠的第二种概念。这个概念先验地弱于 《代数叠》定义 026O 引入的概念， 因为 fppf 拓扑中的叠当然也是 étale 拓扑中的叠。不过，下述引理表明 这两个概念等价。

引理

用 \(\Sch_\alpha\) 表示 \(\Sch_{fppf}\) 与 \(\Sch_\etale\) 共同的底层范畴 （参见《叠上的层》第 06TN 节和 《拓扑》注记 03FF）。设 \(S\) 是 \(\Sch_\alpha\) 的对象，并设 \[p : \mathcal{X} \to \Sch_\alpha/S\] 是满足下列性质的群胚纤维化范畴：

1. \(\mathcal{X}\) 是 \((\Sch/S)_\etale\) 上的群胚叠；

2. 对角 \(\Delta : \mathcal{X} \to \mathcal{X} \times \mathcal{X}\) 可由代数空间表示⁵；并且

3. 存在 \(U \in \Ob(\Sch_\alpha/S)\) 和一个满光滑 \(1\)-态射 \((\Sch/U)_\etale \to \mathcal{X}\)。

则 \(\mathcal{X}\) 是《代数叠》定义 026O 意义下的代数叠。

证明

注意，本引理的性质 (2)、(3) 以及《代数叠》定义 026O 中相应的性质 (2)、(3) 与拓扑无关。这是因为这些性质只涉及群胚纤维化范畴的 \(2\)-纤维积概念、 群胚纤维化范畴的 \(1\)-态射和 \(2\)-态射、可由代数空间表示的群胚纤维化 范畴 \(1\)-态射这一概念，以及这种 \(1\)-态射为满且光滑的含义。因此， 我们只需证明，满足性质 (2)、(3) 的 étale 群胚叠 \(\mathcal{X}\) 也是 fppf 群胚叠。

应用 (2)，令 \(R\) 为表示下式的代数空间： \[(\Sch_\alpha/U) \times_\mathcal{X} (\Sch_\alpha/U)\] 由 (3)，投影 \(s, t : R \to U\) 光滑。完全仿照《代数叠》引理 04T4 的证明，存在空间中的群胚 \((U, R, s, t, c)\) 和典范全忠实 \(1\)-态射 \([U/R]_\etale \to \mathcal{X}\)，其中 \([U/R]_\etale\) 是群胚预层 \[T \longmapsto (U(T), R(T), s(T), t(T), c(T))\] 的 étale 叠化。断言：若 \(V \to T\) 是从代数空间 \(V\) 到概形 \(T\) 的满光滑态射，则存在一个加细覆盖 \(\{V \to T\}\) 的 étale 覆盖 \(\{T_i \to T\}\)。这由《态射进阶》引理 055V 或更一般的《叠上的层》 引理 06XH 推出。应用此断言，并完全仿照《代数叠》引理 04T5 的论证，可知 \([U/R]_\etale \to \mathcal{X}\) 是等价。

接着，用 \([U/R]\) 表示 fppf 拓扑中的商叠；由《代数叠》定理 04TK，它是代数叠。 于是有 \(1\)-态射 \[U \to [U/R]_\etale \to [U/R].\] \(U \to [U/R]_\etale \cong \mathcal{X}\) 与 \(U \to [U/R]\) 都满且光滑 （前者由假设，后者由该定理），而且在这两种情形下，纤维积 \(U \times_\mathcal{X} U\) 和 \(U \times_{[U/R]} U\) 都由 \(R\) 表示。因此， \(1\)-态射 \([U/R]_\etale \to [U/R]\) 全忠实（因为商叠中的态射由到 \(R\) 的态射给出，参见《空间中的群胚》第 04MB 节）。

最后，对任意概形 \(T\) 和态射 \(t : T \to [U/R]\)，纤维积 \(V = T \times_{U/R} U\) 是在 \(T\) 上满且光滑的代数空间。由上述断言， 存在一个 étale 覆盖 \(\{T_i \to T\}_{i \in I}\) 以及 \(T\) 上的态射 \(T_i \to V\)。这证明 \([U/R]\) 在 \(T\) 上的对象 \(t\) 在 étale 局部来自 \(U\)。由《叠》引理 046N，可知 \([U/R]_\etale \to [U/R]\) 是 \((\Sch/S)_\etale\) 上群胚叠的等价。 证明完毕。