引言
代数空间最初由 Michael Artin 引入， 见 [ArtinI]、[ArtinII]、 [Artin-Theorem-Representability], [Artin-Construction-Techniques], [Artin-Algebraic-Spaces], [Artin-Algebraic-Approximation], [Artin-Implicit-Function], 以及 [ArtinVersal]。 其中一些基础材料由他与 Knutson 共同发展， 后者写成了专著 [Kn]。 Artin 将代数空间定义为 étale 拓扑下的层， 并要求它在 étale 拓扑下局部可表示 （见 [Artin-Implicit-Function, Definition 1.3]）。 在 Artin 的大部分工作中，所考虑的概形范畴 由某个固定的优秀 Noether 基概形上的局部有限型概形组成。
我们的定义与 Artin 的原始定义略有不同。 具体而言，我们所称的代数空间是 fppf 拓扑下的层， 其对角态射可表示，并且存在一个由概形给出的 étale “覆盖”。 用 fppf 拓扑代替 étale 拓扑只是技术上的处理， 几乎不产生实质差异；我们将在“自举”第 076L 节证明， 若改用 étale 拓扑，所得代数空间范畴仍然相同。 在同一章中，我们还会证明对角态射的条件在某种意义下可以去掉， 见“自举”第 03XV 节。
定义代数空间之后，我们作若干基础性观察。 本章的主要结果是：按我们的定义，代数空间与 étale 等价关系是同一回事； 见第 0261 节的讨论以及定理 02WW。在 Artin 的框架中，对应结果为 [Artin-Implicit-Function, Theorem 1.5] 或 [Kn, Proposition II.1.7]。换言之，由 étale 等价关系定义的层 具有可表示的对角态射。因此，我们的定义在广义上与 Artin 的原始定义一致。 这还意味着，只需写出一个 étale 等价关系，便可给出代数空间的例子。
在第 02X3 节中，我们介绍文献中出现的 若干代数空间分离公理。最后，在第 02Z0 节中， 我们给出一些怪异以及不那么怪异的代数空间例子。
一般说明
我们在一个合适的大 fppf 位点 \(\Sch_{fppf}\) 上工作， 如“拓扑”定义 021R 所述。 因此，除非另有明确说明，所有概形均指 \(\Sch_{fppf}\) 的对象。 第 03FO 节讨论改变大 fppf 位点后会发生什么。
我们总是相对于包含在 \(\Sch_{fppf}\) 中的基概形 \(S\) 工作， 并使用大 fppf 位点 \((\Sch/S)_{fppf}\)； 见“拓扑”定义 021S。 取 \(S = \Spec(\mathbf{Z})\) 即可恢复绝对情形。
若 \(U,T\) 是 \(S\) 上的概形，则以 \(U(T)\) 表示相对于 \(S\) 的 \(T\)-值点集。用公式表示即为 \(U(T)=\Mor_S(T,U)\)。
注意，任意 fpqc 覆盖都是泛有效满态射；见“下降”引理 023Q。 因此，\(\Sch_{fppf}\) 上的拓扑弱于典范拓扑， 并且所有可表示预层都是层。
预层的可表示态射
设 \(S\) 是包含于 \(\Sch_{fppf}\) 的概形，并设 \(F,G:(\Sch/S)_{fppf}^{opp}\to\textit{Sets}\)。 设 \(a:F\to G\) 是可表示的函子变换；见“范畴”定义 0023。 这意味着，对每个 \(U\in\Ob((\Sch/S)_{fppf})\) 以及任意 \(\xi\in G(U)\)，纤维积 \(h_U\times_{\xi,G}F\) 都可表示。 选取一个表示对象 \(V_\xi\) 和同构 \(h_{V_\xi}\to h_U\times_G F\)。 由 Yoneda 引理（见“范畴”引理 001P）， 投影 \(h_{V_\xi}\to h_U\times_G F\to h_U\) 来自唯一的概形态射 \(a_\xi:V_\xi\to U\)。这一情形可形象地表示为图表 \[\xymatrix{ V_\xi \ar@{~>}[r] \ar[d]_{a_\xi} & h_{V_\xi} \ar[d] \ar[r] & F \ar[d]^a \\ U \ar@{~>}[r] & h_U \ar[r]^\xi & G }\] 其中波形箭头表示 Yoneda 嵌入。下面给出关于这一概念的若干引理， 它们在非常一般的情形下成立。
引理
设 \(S\) 是包含于 \(\Sch_{fppf}\) 的概形，\(X\)、\(Y\) 是 \((\Sch/S)_{fppf}\) 的对象，并设 \(f:X\to Y\) 是概形态射。则 \[h_f : h_X \longrightarrow h_Y\] 是可表示的函子变换。
证明
这是形式的，只用到范畴 \((\Sch/S)_{fppf}\) 具有纤维积这一事实。
引理
设 \(S\) 是包含于 \(\Sch_{fppf}\) 的概形，并设 \(F,G,H:(\Sch/S)_{fppf}^{opp}\to\textit{Sets}\)。 若 \(a:F\to G\) 与 \(b:G\to H\) 是可表示的函子变换，则 \[b \circ a : F \longrightarrow H\] 是可表示的函子变换。
证明
这完全是形式的，并且在任意范畴中成立。
引理
设 \(S\) 是包含于 \(\Sch_{fppf}\) 的概形，并设 \(F,G,H:(\Sch/S)_{fppf}^{opp}\to\textit{Sets}\)。 设 \(a:F\to G\) 是可表示的函子变换， \(b:H\to G\) 是任意函子变换。考虑纤维积图表 \[\xymatrix{ H \times_{b, G, a} F \ar[r]_-{b'} \ar[d]_{a'} & F \ar[d]^a \\ H \ar[r]^b & G }\] 则基变换 \(a'\) 是可表示的函子变换。
证明
这完全是形式的，并且在任意范畴中成立。
引理
设 \(S\) 是包含于 \(\Sch_{fppf}\) 的概形。对 \(i = 1, 2\)，设 \(F_i,G_i:(\Sch/S)_{fppf}^{opp}\to\textit{Sets}\)；再对 \(i = 1, 2\)，设 \(a_i:F_i\to G_i\) 是可表示的函子变换。则 \[a_1 \times a_2 : F_1 \times F_2 \longrightarrow G_1 \times G_2\] 是可表示的函子变换。
证明
将 \(a_1\times a_2\) 写成复合 \(F_1\times F_2\to G_1\times F_2\to G_1\times G_2\)。 第一支箭头是 \(a_1\) 沿映射 \(G_1\times F_2\to G_1\) 的基变换， 第二支箭头是 \(a_2\) 沿映射 \(G_1\times G_2\to G_2\) 的基变换。 因此，本引理是引理 02WA 与 02WB 的形式推论。
引理
设 \(S\) 是包含于 \(\Sch_{fppf}\) 的概形，并设 \(F,G:(\Sch/S)_{fppf}^{opp}\to\textit{Sets}\)。 设 \(a:F\to G\) 是可表示的函子变换。若 \(G\) 是层，则 \(F\) 也是层。
证明
设 \(\{\varphi_i:T_i\to T\}\) 是位点 \((\Sch/S)_{fppf}\) 的一个覆盖， 并设 \(s_i\in F(T_i)\) 满足层条件。则 \(\sigma_i=a(s_i)\in G(T_i)\) 也满足层条件，故存在唯一的 \(\sigma\in G(T)\) 使得 \(\sigma_i=\sigma|_{T_i}\)。由假设， \(F'=h_T\times_{\sigma,G,a}F\) 是可表示预层，因而是层 （见第 025T 节的说明）。又注意到 \((\varphi_i,s_i)\in F'(T_i)\) 也满足层条件，故它们来自唯一的 \((\text{id}_T,s)\in F'(T)\)。显然，\(s\) 正是所需的 \(F\) 的截面。
引理
设 \(S\) 是包含于 \(\Sch_{fppf}\) 的概形，并设 \(F,G:(\Sch/S)_{fppf}^{opp}\to\textit{Sets}\)。 设 \(a:F\to G\) 是可表示的函子变换。则 \(\Delta_{F/G}:F\to F\times_G F\) 可表示。
证明
取 \(U\in\Ob((\Sch/S)_{fppf})\)，并设 \(\xi=(\xi_1,\xi_2)\in(F\times_G F)(U)\)。 令 \(\xi'=a(\xi_1)=a(\xi_2)\in G(U)\)。 由假设，存在概形 \(V\) 和态射 \(V\to U\) 表示纤维积 \(h_U\times_{\xi',G}F\)。特别地，元素 \(\xi_1,\xi_2\) 给出 \(U\) 上的态射 \(f_1,f_2:U\to V\)。由于 \(V\) 表示纤维积 \(h_U\times_{\xi',G}F\)，并且 \(\xi'=a\circ\xi_1=a\circ\xi_2\)，可见对任意态射 \(g:U'\to U\) 有 \[g^*\xi_1 = g^*\xi_2 \Leftrightarrow f_1 \circ g = f_2 \circ g.\] 换言之，\(h_U\times_{\xi,F\times_G F}F\) 由概形 \(V\times_{\Delta,V\times V,(f_1,f_2)}U\) 表示。
概形态射的若干常用性质列表
为便于引用，下面几则评注列出一些态射性质； 它们具有后续结果所需的若干稳定性。
注
下列态射性质或类型在任意基变换下稳定：
闭浸入、开浸入和局部闭浸入，见“概形”引理 01JY；
拟紧，见“概形”引理 01K5；
泛闭，见“概形”定义 01KB；
（拟）分离，见“概形”引理 01KU；
单态射，见“概形”引理 02YC；
满射，见“态射”引理 01S1；
泛单射，见“态射”引理 01S4；
仿射，见“态射”引理 01SD；
拟仿射，见“态射”引理 01SO；
（局部）有限型，见“态射”引理 01T4；
（局部）拟有限，见“态射”引理 01TM；
（局部）有限表示，见“态射”引理 01TS；
相对维数为 \(d\) 的局部有限型，见“态射”引理 02NK；
泛开，见“态射”定义 01U0；
平坦，见“态射”引理 01U9；
syntomic，见“态射”引理 01UI；
平滑，见“态射”引理 01VB；
非分歧（相应地，G-非分歧），见“态射”引理 02GA；
étale，见“态射”引理 02GO；
固有，见“态射”引理 01W4；
H-射影，见“态射”引理 01WF；
（局部）射影，见“态射”引理 02V6；
有限或整，见“态射”引理 01WL；
有限局部自由，见“态射”引理 02KD；
泛商，见“态射”引理 0CES；
泛同胚，见“态射”引理 0CEU。
可按需要补充。
注
在基变换下稳定的态射性质中 （见评注 02WF 的列表）， 下列性质还对复合稳定：
闭浸入、开浸入和局部闭浸入，见“概形”引理 02V0；
拟紧，见“概形”引理 01K6；
泛闭，见“态射”引理 01W3；
（拟）分离，见“概形”引理 01KU；
单态射，见“概形”引理 01L5；
满射，见“态射”引理 01S0；
泛单射，见“态射”引理 02V1；
仿射，见“态射”引理 01SC；
拟仿射，见“态射”引理 01SN；
（局部）有限型，见“态射”引理 01T3；
（局部）拟有限，见“态射”引理 01TL；
（局部）有限表示，见“态射”引理 01TR；
泛开，见“态射”引理 02V2；
平坦，见“态射”引理 01U7；
syntomic，见“态射”引理 01UH；
平滑，见“态射”引理 01VA；
非分歧（相应地，G-非分歧），见“态射”引理 02G9；
étale，见“态射”引理 02GN；
固有，见“态射”引理 01W3；
H-射影，见“态射”引理 01WE；
有限或整，见“态射”引理 01WK；
有限局部自由，见“态射”引理 02KC；
泛商，见“态射”引理 0CET；
泛同胚，见“态射”引理 0CEV。
可按需要补充。
注
在上述基变换下稳定的性质中 （见评注 02WF）， 下列性质还是基上的 fpqc 局部性质 （从而更是基上的 fppf 局部性质）：
对浸入而言，下列情形成立：
拟紧，见“下降”引理 02KQ；
泛闭，见“下降”引理 02KS；
单态射，见“下降”引理 02YK；
满射，见“下降”引理 02KV；
泛单射，见“下降”引理 02KW；
仿射，见“下降”引理 02L5；
拟仿射，见“下降”引理 02L7；
（局部）拟有限，见“下降”引理 02VI；
相对维数为 \(d\) 的局部有限型，见“下降”引理 02VJ；
泛开，见“下降”引理 02KT；
平坦，见“下降”引理 02L2；
syntomic，见“下降”引理 02VK；
平滑，见“下降”引理 02VL；
非分歧（相应地，G-非分歧），见“下降”引理 02VM；
étale，见“下降”引理 02VN；
固有，见“下降”引理 02L1；
有限或整，见“下降”引理 02LA；
有限局部自由，见“下降”引理 02VO；
泛商，见“下降”引理 0CEW；
泛同胚，见“下降”引理 0CEX。
注意，“浸入”这一性质未必是基上的 fpqc 局部性质； 但我们已在“下降”引理 02YM 中证明， 它是基上的 fppf 局部性质。
预层可表示态射的性质
下面的定义使这一方法得以成立。
定义
取如上所述的 \(S\)，并设 \(a : F \to G\) 可表示。 设 \(\mathcal{P}\) 是概形态射的一个性质，满足
此时，若对每个 \(U \in \Ob((\Sch/S)_{fppf})\) 和任意 \(\xi \in G(U)\)，所得概形态射 \(V_\xi \to U\) 都具有性质 \(\mathcal{P}\)，则称 \(a\) 具有性质 \(\mathcal{P}\)。
需要强调的是，我们只将这个定义用于在基变换下稳定、 且在基上关于 fppf 拓扑为局部的态射性质。 这并不是因为其他情形下该定义没有意义；而是因为对于所考虑的性质， 我们可能希望另给一个更合适的定义。
注
考虑性质 \(\mathcal{P}=\)“满射”。此时，若说 “设 \(F \to G\) 是满映射”，可能会产生歧义。 我们可能指上面定义 025V 给出的概念，也可能指预层的满映射，见“位点”定义 00V6； 若 \(F\) 与 \(G\) 都是层，还可能指层的满映射，见“位点”定义 00WM。 讨论代数空间的态射时，除非另有说明，我们总是取第一种含义。 引理 05VM 给出一个这里的满性蕴含作为层映射的满性的情形。
下面作一个基本检验。
引理
设 \(S\)、\(X\)、\(Y\) 是 \(\Sch_{fppf}\) 的对象， \(f : X \to Y\) 是概形态射，并设 \(\mathcal{P}\) 如定义 025V 所述。 则 \(h_X \longrightarrow h_Y\) 具有性质 \(\mathcal{P}\)， 当且仅当 \(f\) 具有性质 \(\mathcal{P}\)。
证明
由引理 02W9， 本引理的陈述是有意义的。证明从略。
引理
设 \(S\) 是包含于 \(\Sch_{fppf}\) 的概形，并设 \(F, G, H : (\Sch/S)_{fppf}^{opp} \to \textit{Sets}\)。 设 \(\mathcal{P}\) 是定义 025V 所述且对复合稳定的性质。设 \(a : F \to G\)、\(b : G \to H\) 是可表示的函子变换。若 \(a\) 与 \(b\) 具有性质 \(\mathcal{P}\)，则 \(b \circ a : F \longrightarrow H\) 也具有该性质。
证明
由引理 02WA， 本引理的陈述是有意义的。证明从略。
引理
设 \(S\) 是包含于 \(\Sch_{fppf}\) 的概形，并设 \(F, G, H : (\Sch/S)_{fppf}^{opp} \to \textit{Sets}\)。 设 \(\mathcal{P}\) 是定义 025V 所述的性质。设 \(a : F \to G\) 是可表示的函子变换， \(b : H \to G\) 是任意函子变换。考虑纤维积图表 \[\xymatrix{ H \times_{b, G, a} F \ar[r]_-{b'} \ar[d]_{a'} & F \ar[d]^a \\ H \ar[r]^b & G }\] 若 \(a\) 具有性质 \(\mathcal{P}\)，则基变换 \(a'\) 也具有性质 \(\mathcal{P}\)。
证明
由引理 02WB， 本引理的陈述是有意义的。证明从略。
引理
设 \(S\) 是包含于 \(\Sch_{fppf}\) 的概形，并设 \(F, G, H : (\Sch/S)_{fppf}^{opp} \to \textit{Sets}\)。 设 \(\mathcal{P}\) 是定义 025V 所述的性质。设 \(a : F \to G\) 是可表示的函子变换， \(b : H \to G\) 是任意函子变换。考虑纤维积图表 \[\xymatrix{ H \times_{b, G, a} F \ar[r]_-{b'} \ar[d]_{a'} & F \ar[d]^a \\ H \ar[r]^b & G }\] 假设 \(b\) 诱导 fppf 层的满映射 \(H^\# \to G^\#\)。 此时，若 \(a'\) 具有性质 \(\mathcal{P}\)，则 \(a\) 也具有性质 \(\mathcal{P}\)。
证明
首先，由引理 02WB， 变换 \(a'\) 可表示。取 \(U \in \Ob((\Sch/S)_{fppf})\) 以及 \(\xi \in G(U)\)。由假设，存在一个 fppf 覆盖 \(\{U_i \to U\}_{i \in I}\) 和元素 \(\xi_i \in H(U_i)\)， 使其经 \(b\) 映到 \(\xi|_U\)。由一般范畴论可知，对每个 \(i\)， 都有纤维积图表 \[\xymatrix{ U_i \times_{\xi_i, H, a'} (H \times_{b, G, a} F) \ar[r] \ar[d] & U \times_{\xi, G, a} F \ar[d] \\ U_i \ar[r] & U }\] 由假设，左侧竖直箭头是具有性质 \(\mathcal{P}\) 的概形态射。 由于 \(\mathcal{P}\) 关于 fppf 拓扑是局部的，右侧竖直箭头也具有 性质 \(\mathcal{P}\)，这正是所需结论。
引理
设 \(S\) 是包含于 \(\Sch_{fppf}\) 的概形。设 \(F_i, G_i : (\Sch/S)_{fppf}^{opp} \to \textit{Sets}\)， \(i = 1, 2\)。设 \(a_i : F_i \to G_i\)，\(i = 1, 2\)， 是可表示的函子变换。设 \(\mathcal{P}\) 是定义 025V 所述且对复合稳定的性质。 若 \(a_1\) 与 \(a_2\) 具有性质 \(\mathcal{P}\)，则 \(a_1 \times a_2 : F_1 \times F_2 \longrightarrow G_1 \times G_2\) 也具有该性质。
证明
由引理 02WC， 本引理的陈述是有意义的。证明从略。
引理
设 \(S\) 是包含于 \(\Sch_{fppf}\) 的概形，并设 \(F, G : (\Sch/S)_{fppf}^{opp} \to \textit{Sets}\)。 设 \(a : F \to G\) 是可表示的函子变换，\(\mathcal{P}\)、 \(\mathcal{P}'\) 是定义 025V 所述的性质。假设对任意概形态射 \(f : X \to Y\) 都有 \(\mathcal{P}(f) \Rightarrow \mathcal{P}'(f)\)。 若 \(a\) 具有性质 \(\mathcal{P}\)，则 \(a\) 具有性质 \(\mathcal{P}'\)。
证明
形式可得。
引理
设 \(S\) 是概形，\(F, G : (\Sch/S)_{fppf}^{opp} \to \textit{Sets}\) 是层。设 \(a : F \to G\) 可表示、平坦、局部有限表示且为满射。 则 \(a : F \to G\) 作为层的映射是满射。
证明
设 \(T\) 是 \(S\) 上的概形，\(g : T \to G\) 是 \(G\) 的一个 \(T\)-值点。 由假设，\(T' = F \times_G T\)（由）某个概形（表示），且态射 \(T' \to T\) 平坦、局部有限表示并为满射。因此 \(\{T' \to T\}\) 是一个 fppf 覆盖，并且 \(g|_{T'} \in G(T')\) 来自 \(F(T')\) 的元素，即映射 \(T' \to F\)。 这证明该映射作为层的映射是满射；见“位点”定义 00WM。
下面刻画对角态射可表示的那些函子。
引理
设 \(S\) 是包含于 \(\Sch_{fppf}\) 的概形，\(F\) 是 \((\Sch/S)_{fppf}\) 上的集合预层。下列条件等价：
对角态射 \(F \to F \times F\) 可表示；
对 \(U \in \Ob((\Sch/S)_{fppf})\) 及任意 \(a \in F(U)\)， 映射 \(a : h_U \to F\) 可表示；
对每一对 \(U, V \in \Ob((\Sch/S)_{fppf})\) 及任意 \(a \in F(U)\)、\(b \in F(V)\)，纤维积 \(h_U \times_{a, F, b} h_V\) 可表示。
证明
这完全是形式的；见“范畴”引理 0024。 它只依赖于范畴 \((\Sch/S)_{fppf}\) 具有对象对的积与纤维积这一事实； 见“拓扑”引理 021U。
在该引理的情形下，对于其中任意态射 \(\xi : h_U \to F\)， 以及定义 025V 所述的任意性质， 说 \(\xi\) 具有性质 \(\mathcal{P}\) 是有意义的。 特别地，这适用于 \(\mathcal{P}=\)“满射”以及 \(\mathcal{P}=\)“étale”；见上面的评注 02WH。 下面定义代数空间时将使用这一评注。
引理
设 \(S\) 是包含于 \(\Sch_{fppf}\) 的概形，\(F\) 是 \((\Sch/S)_{fppf}\) 上的集合预层，并设 \(\mathcal{P}\) 是定义 025V 所述的性质。 若对每个 \(U, V \in \Ob((\Sch/S)_{fppf})\)、\(a \in F(U)\) 及 \(b \in F(V)\)，都有
\(h_U \times_{a, F, b} h_V\) 可表示，设其由概形 \(W\) 表示；并且
与 \(h_U \times_{a, F, b} h_V \to h_U \times h_V\) 对应的态射 \(W \to U \times_S V\) 具有性质 \(\mathcal{P}\)，
则 \(\Delta : F \to F \times F\) 可表示并具有性质 \(\mathcal{P}\)。
证明
由引理 025W，\(\Delta\) 可表示。 条件 (2) 可表述为变换 \(h_U \times_{a, F, b} h_V \to h_{U \times_S V}\) 具有性质 \(\mathcal{P}\)；见引理 02WJ。 取 \(T \in \Ob((\Sch/S)_{fppf})\) 及 \((a, b) \in (F \times F)(T)\)。 我们有交换图表 \[\xymatrix{ F \times_{\Delta, F \times F, (a, b)} h_T \ar[d] \ar[r] & h_T \ar[d]^{\Delta_{T/S}} \\ h_T \times_{a, F, b} h_T \ar[r] \ar[d] & h_{T \times_S T} \ar[d]^{(a, b)} \\ F \ar[r]^\Delta & F \times F }\] 其中两个方块均为 Cartesian 方块。由此可见，态射 \(F \times_{F \times F} h_T \to h_T\) 是一个具有性质 \(\mathcal{P}\) 的态射沿 \(\Delta_{T/S}\) 的基变换。 由于 \(\mathcal{P}\) 在基变换下保持，证明完成。
代数空间
定义如下。
定义
设 \(S\) 是包含于 \(\Sch_{fppf}\) 的概形。一个\(S\) 上的代数空间 是预层 \[F : (\Sch/S)^{opp}_{fppf} \longrightarrow \textit{Sets}\] 并满足下列性质：
预层 \(F\) 是层。
对角态射 \(F \to F \times F\) 可表示。
存在概形 \(U \in \Ob((\Sch/S)_{fppf})\) 以及满且 étale 的映射 \(h_U \to F\)1。
这与“通常”的定义（例如 Knutson 专著 [Kn] 中的定义） 有两处不同。
第一处是我们要求 \(F\) 为 fppf 拓扑下的层。 这样做的一个理由是，代数空间的许多自然例子都满足 fppf 覆盖 （甚至 fpqc 覆盖）的层条件。此外，代数空间之所以如此有用， 部分原因在于 Michael Artin 关于代数空间的结果； 他的方法内置了一个条件，保证所得对象在 \(S\) 上局部有限表示。 综合来看，fppf 拓扑似乎是自然的工作拓扑。 最终所得代数空间范畴仍然相同；见“自举”第 076L 节。
第二处是我们只要求 \(F\) 的对角映射可表示，而 [Kn] 还要求它拟紧。若对某个 \(S\) 上的概形 \(U\) 有 \(F = h_U\)， 这对应于 \(U\) 拟分离这一条件。我们的观点是：先尝试仅在 \(F\) 的对角态射可表示的假设下证明后续若干结果，只在必要处增加额外假设。 无论如何，这带来一个令人满意的推论：下面的引理成立。
引理
概形是代数空间。更准确地说，给定概形 \(T \in \Ob((\Sch/S)_{fppf})\)，可表示函子 \(h_T\) 是代数空间。
证明
由第 025T 节的说明，函子 \(h_T\) 是层。 由于 \((\Sch/S)_{fppf}\) 具有纤维积，对角态射 \(h_T \to h_T \times h_T = h_{T \times T}\) 可表示。 恒等映射 \(h_T \to h_T\) 满且 étale。
定义
设 \(F\)、\(F'\) 是 \(S\) 上的代数空间。一个\(S\) 上代数空间的态射 \(f : F \to F'\)，是从 \(F\) 到 \(F'\) 的函子变换。
通过 Yoneda 嵌入 \(T/S \mapsto h_T\)，\(S\) 上代数空间的范畴 以 \((\Sch/S)_{fppf}\) 为满子范畴。此后，我们不再区分概形 \(T/S\) 与它所表示的代数空间。因此，当我们说“设 \(f : T \to F\) 是从概形 \(T\) 到代数空间 \(F\) 的态射”时，意思是 \(T \in \Ob((\Sch/S)_{fppf})\)，\(F\) 是 \(S\) 上的代数空间， 而 \(f : h_T \to F\) 是 \(S\) 上代数空间的态射。
代数空间的纤维积
\(S\) 上代数空间的范畴既有积，也有纤维积。
引理
设 \(S\) 是包含于 \(\Sch_{fppf}\) 的概形，\(F,G\) 是 \(S\) 上的代数空间。 则 \(F \times G\) 是代数空间，并且是 \(S\) 上代数空间范畴中的积。
证明
显然 \(H = F \times G\) 是层。\(H\) 的对角态射就是 \(F\) 与 \(G\) 的对角态射之积，故由引理 02WC 可表示。 最后，若 \(U \to F\) 与 \(V \to G\) 是满 étale 态射，且 \(U, V \in \Ob((\Sch/S)_{fppf})\)，则由引理 02WM， \(U \times V \to F \times G\) 满且 étale。
引理
设 \(S\) 是包含于 \(\Sch_{fppf}\) 的概形。设 \(H\) 是 \((\Sch/S)_{fppf}\) 上对角态射可表示的层，\(F,G\) 是 \(S\) 上的代数空间， 而 \(F \to H\)、\(G \to H\) 是层的映射。则 \(F \times_H G\) 是代数空间。
证明
我们验证定义 025Y 的三个条件。 层的纤维积是层，故 \(F \times_H G\) 是层。 \(F \times_H G\) 的对角态射是下图中的左侧竖直箭头： \[\xymatrix{ F \times_H G \ar[r] \ar[d]_\Delta & F \times G \ar[d]^{\Delta_F \times \Delta_G} \\ (F \times F) \times_{(H \times H)} (G \times G) \ar[r] & (F \times F) \times (G \times G) }\] 该图为 Cartesian 方块。右侧态射可表示，故其基变换 \(\Delta\) 也可表示；见引理 02WC 以及 02WB。 最后，取 \(U, V \in \Ob((\Sch/S)_{fppf})\)，并设 \(a : U \to F\)、\(b : V \to G\) 满且 étale。 由于 \(\Delta_H\) 可表示，\(U \times_H V\) 是概形。态射 \[U \times_H V \longrightarrow F \times_H G\] 是两个基变换 \(U \times_H V \to U \times_H G\) 与 \(U \times_H G \to F \times_H G\) 的复合；它们分别来自满 étale 态射 \(U \to F\) 与 \(V \to G\)，因而该态射满且 étale。见引理 02WA 以及 02WB。 这证明定义 025Y 的最后一个条件成立， 从而 \(F \times_H G\) 是代数空间。
引理
设 \(S\) 是包含于 \(\Sch_{fppf}\) 的概形，\(F \to H\)、\(G \to H\) 是 \(S\) 上代数空间的态射。则 \(F \times_H G\) 是代数空间， 并且是 \(S\) 上代数空间范畴中的纤维积。
证明
由更强的引理 04T9， \(F \times_H G\) 是代数空间。又因为 \(S\) 上代数空间的范畴是 \((\Sch/S)_{fppf}\) 上集合（预）层范畴的满子范畴，显然 \(F \times_H G\) 是该代数空间范畴中的纤维积。
代数空间的黏合
从本节开始，我们将真正滥用记号，不再区分概形与其表示的空间。
引理
设 \(S \in \Ob(\Sch_{fppf})\)，\(F\) 与 \(G\) 是 \((\Sch/S)_{fppf}^{opp}\) 上的层，并以 \(F \amalg G\) 表示层范畴中的余积。 映射 \(F \to F \amalg G\) 由开浸入兼闭浸入表示。
证明
设 \(U\) 是概形，\(\xi \in (F \amalg G)(U)\)。回忆，层范畴中的余积 是预层余积的层化（“位点”引理 00WI）。 因此，存在 fppf 覆盖 \(\{g_i : U_i \to U\}_{i \in I}\) 和不交并分解 \(I = I' \amalg I''\)，使得 \(U_i \to U \to F \amalg G\) 经过 \(F\) （相应地，\(G\)）分解，当且仅当 \(i \in I'\)（相应地，\(i \in I''\)）。 由于 \(F\) 与 \(G\) 在 \(F \amalg G\) 中的交为空，若 \(i \in I'\) 且 \(j \in I''\)，则 \(U_i \times_U U_j\) 为空。因此 \(U' = \bigcup_{i \in I'} g_i(U_i)\) 与 \(U'' = \bigcup_{i \in I''} g_i(U_i)\) 是 \(U\) 的不交开子概形 （“态射”引理 01UA），并且 \(U = U' \amalg U''\)。我们略去 \(U' = U \times_{F \amalg G} F\) 的验证。
引理
设 \(S \in \Ob(\Sch_{fppf})\)、\(U \in \Ob((\Sch/S)_{fppf})\)。 给定集合 \(I\) 以及 \(\Ob((\Sch/S)_{fppf})\) 上的层 \(F_i\)， 若作为层有 \(U \cong \coprod_{i\in I} F_i\)，则每个 \(F_i\) 均由某个开闭子概形 \(U_i\) 表示，并且作为概形有 \(U \cong \coprod U_i\)。
证明
由引理 0F15，映射 \(F_i \to U\) 由开浸入兼闭浸入表示。因此 \(F_i\) 由 \(U\) 的某个开闭子概形 \(U_i\) 表示。由于作为层有 \(U \cong \coprod F_i\)，而该等式可在点上检验， 故 \(U = \coprod U_i\)。
引理
设 \(S \in \Ob(\Sch_{fppf})\)，\(F\) 是 \(S\) 上的代数空间。 给定集合 \(I\) 以及 \(\Ob((\Sch/S)_{fppf})\) 上的层 \(F_i\)， 若作为层有 \(F \cong \coprod_{i\in I} F_i\)，则每个 \(F_i\) 都是 \(S\) 上的代数空间。
证明
\(F \to F \times F\) 的可表示性蕴含每个对角态射 \(F_i \to F_i \times F_i\) 可表示（由定义以及等式 \(F \times_{(F \times F)} (F_i \times F_i) = F_i\) 立即可得）。 在 \((\Sch/S)_{fppf}\) 中选取概形 \(U\) 以及满 étale 态射 \(U \to F\)（由假设存在）。由引理 02WL， 基变换 \(U \times_F F_i \to F_i\) 满且 étale。另一方面，由引理 0F15，\(U \times_F F_i\) 是概形。 因此，我们已验证定义 025Y 的全部条件， \(F_i\) 是代数空间。
不关心集合论问题的读者可以忽略下面引理中关于 \(I\) 与 \(F_i\) 大小的条件。
引理
设 \(S \in \Ob(\Sch_{fppf})\)。给定集合 \(I\) 和代数空间 \(F_i\)， \(i \in I\)。若 \(I\) 与 \(F_i\) 不太“大”，则 \(F = \coprod_{i \in I} F_i\) 是代数空间。例如，若可选取满 étale 态射 \(U_i \to F_i\)，使 \(\coprod_{i \in I} U_i\) 同构于 \((\Sch/S)_{fppf}\) 的一个对象，则 \(F\) 是代数空间。
证明
由构造，\(F\) 是层。我们略去 \(F\) 的对角态射可表示的验证。 最后，若 \(U\) 是 \((\Sch/S)_{fppf}\) 中与 \(\coprod_{i \in I} U_i\) 同构的对象，则容易验证所得映射 \(U \to \coprod F_i\) 满且 étale。
下面是“概形”引理 01JJ 的对应结果。
引理
设 \(S \in \Ob(\Sch_{fppf})\)，\(F\) 是 \((\Sch/S)_{fppf}\) 上的集合预层。 假设
\(F\) 是层；
存在指标集 \(I\) 以及子函子 \(F_i \subset F\)，使得
则 \(F\) 是代数空间。
证明
设 \(T\) 是 \((\Sch/S)_{fppf}\) 的对象，\(T \to F\) 是态射。 由假设 (2)(b) 与 (2)(c)，纤维积 \(F_i \times_F T\) 由开子概形 \(V_i \subset T\) 表示。因此 \((\coprod F_i) \times_F T\) 由 \(T\) 上的概形 \(\coprod V_i\) 表示。 由假设 (2)(d)，存在 fppf 覆盖 \(\{T_j \to T\}_{j \in J}\)， 使 \(T_j \to T \to F\) 经过 \(F_i\) 分解，其中 \(i = i(j)\)。 故 \(T_j \to T\) 经过开子概形 \(V_{i(j)} \subset T\) 分解。 由于 \(\{T_j \to T\}\) 联合满，\(T = \bigcup V_i\) 是开覆盖。 特别地，函子变换 \(\coprod F_i \to F\) 可表示，并且在定义 025V 的意义下为满射 （相关讨论见评注 02YN）。
其次，设 \(T' \to F\) 是来自 \((\Sch/S)_{fppf}\) 中另一对象的态射。 如上写成 \(T' = \bigcup V'_i\)，其中 \(V'_i = T' \times_F F_i\)。 为证明对角态射 \(F \to F \times F\) 可表示，只需证明 \(G = T \times_F T'\) 可表示；见引理 025W。 考虑子函子 \(G_i = G \times_F F_i\)。注意 \(G_i = V_i \times_{F_i} V'_i\)；由于 \(F_i\) 是代数空间，故其可表示。 由上所述，\(G_i\) 构成 \(G\) 的 Zariski 覆盖。因此，由“概形”引理 01JJ，\(G\) 可表示。
选取概形 \(U \in \Ob((\Sch/S)_{fppf})\) 和满 étale 态射 \(U \to \coprod F_i\)（由假设存在）。可写 \(U = \coprod U_i\)， 其中 \(U_i\) 是 \(F_i\) 的逆像；见引理 02WO。 我们断言 \(U \to F\) 满且 étale。由于 \(\coprod F_i \to F\) 为满射 （见证明的第一段），应用引理 02WK 即得满性。 考虑上述 \(T \to F\) 对应的纤维积 \(U \times_F T\)。 我们必须证明 \(U \times_F T \to T\) 为 étale。 由于 \(U \times_F T = \coprod U_i \times_F T\)，只需证明每个 \(U_i \times_F T \to T\) 为 étale。又因 \(U_i \times_F T = U_i \times_{F_i} V_i\)，这由 \(U_i \to F_i\) 为 étale、\(V_i \to T\) 为开浸入以及“态射”引理 02GP 和 02GN 得出。
代数空间的表示
给定一个代数空间，我们可以找到它的一个“表示”。
引理
设 \(F\) 是 \(S\) 上的代数空间，\(f : U \to F\) 是从概形到 \(F\) 的满 étale 态射。令 \(R = U \times_F U\)。则
\(j : R \to U \times_S U\) 定义 \(U\) 上相对于 \(S\) 的等价关系 （见“群胚”定义 022P）；
态射 \(s, t : R \to U\) 为 étale；并且
图表 \[\xymatrix{ R \ar@<1ex>[r] \ar@<-1ex>[r] & U \ar[r] & F }\] 是 \(\Sh((\Sch/S)_{fppf})\) 中的余等化子图表。
证明
设 \(T/S\) 是 \((\Sch/S)_{fppf}\) 的对象。则 \(R(T) = \{(a, b) \in U(T) \times U(T) \mid f \circ a = f \circ b\}\)， 它在 \(U(T)\) 上定义等价关系。由于态射 \(U \to F\) 为 étale， 态射 \(s, t : R \to U\) 也为 étale。
为证明 (3)，先证明 \(U \to F\) 是层的满射；见“位点”定义 00WM。 对上述 \(T\)，取 \(\xi \in F(T)\)，并令 \(V = T \times_{\xi, F, f}U\)。 由假设，\(V\) 是概形且 \(V \to T\) 满而 étale。因此 \(\{V \to T\}\) 是 fppf 拓扑的覆盖。由构造，\(\xi|_V\) 经过 \(U\) 分解， 故 \(U \to F\) 为满射。由“位点”引理 086K，满性蕴含 \(F\) 是该图表的余等化子。
该引理提示如下定义。
定义
设 \(S\) 是概形，\(U\) 是 \(S\) 上的概形。\(U\) 上相对于 \(S\) 的一个étale 等价关系，是等价关系 \(j : R \to U \times_S U\)，其中 \(s, t : R \to U\) 是概形的 étale 态射。
定义
设 \(F\) 是 \(S\) 上的代数空间。\(F\) 的一个表示由以下数据给出： \(S\) 上的概形 \(U\)、\(U\) 上相对于 \(S\) 的 étale 等价关系 \(R\)， 以及满足 \(R = U \times_F U\) 的满 étale 态射 \(U \to F\)。
等价地，我们可以要求存在同构 \[U/R \cong F\] 其中商 \(U/R\) 按“群胚”第 02VE 节定义。 为构造代数空间，我们将研究逆向问题：对于哪些等价关系，商层 \(U/R\) 是代数空间。最终将证明，只要 \(R\) 是 \(U\) 上相对于 \(S\) 的 étale 等价关系，情形总是如此；见定理 02WW。
代数空间与等价关系
设给定 \(S\) 上的概形 \(U\)，以及 \(U\) 上相对于 \(S\) 的 étale 等价关系 \(R\)。我们希望证明这定义了一个代数空间。 下面将给出一系列引理，证明商层 \(U/R\) （见“群胚”定义 02VG） 具备定义 025Y 所要求的全部性质。
引理
设 \(S\) 是概形，\(U\) 是 \(S\) 上的概形，并设 \(j = (s, t) : R \to U \times_S U\) 是 \(U\) 上相对于 \(S\) 的 étale 等价关系。设 \(U' \to U\) 为 étale 态射，\(R'\) 为 \(R\) 在 \(U'\) 上的限制；见“群胚”定义 02V9。 则 \(j' : R' \to U' \times_S U'\) 也是 étale 等价关系。
证明
由“群胚”引理 02VB 中对 \(s',t'\) 的描述可见，\(s' , t' : R' \to U'\) 是 étale 态射， 因为它们是 étale 态射的基变换之复合 （见“态射”引理 02GO 以及 02GN）。
我们将经常使用下面的引理寻找代数空间的开子空间。 该引理的一个略微加强版（假设更一般）是“自举”引理 046M。
引理
设 \(S\) 是概形，\(U\) 是 \(S\) 上的概形， \(j = (s, t) : R \to U \times_S U\) 是预关系， \(g : U' \to U\) 是态射。假设
\(j\) 是等价关系；
\(s, t : R \to U\) 满、平坦且局部有限表示；
\(g\) 平坦且局部有限表示。
令 \(R' = R|_{U'}\) 为 \(R\) 在 \(U'\) 上的限制。则 \(U'/R' \to U/R\) 可表示，并且是开浸入。
证明
由“群胚”引理 02V8，态射 \(j' = (s', t') : R' \to U' \times_S U'\) 定义等价关系。 由于 \(g\) 平坦且局部有限表示，\(g\) 还是泛开的 （“态射”引理 01UA）。同理，\(s,t\) 也泛开。令 \(W^1 = g(U') \subset U\)，并令 \(W = t(s^{-1}(W^1))\)。则 \(W^1\) 与 \(W\) 是 \(U\) 中的开集。 此外，由于 \(j\) 是等价关系，有 \(t(s^{-1}(W)) = W\) （例如见“群胚”引理 03LO）。
由“群胚”引理 045Z， 层映射 \(F' = U'/R' \to F = U/R\) 是单射。 设 \(a : T \to F\) 是从概形到 \(U/R\) 的态射。 我们必须证明 \(T \times_F F'\) 由 \(T\) 的某个开子概形表示。
态射 \(a\) 由以下数据给出：\(T\) 的 fppf 覆盖 \(\{\varphi_j : T_j \to T\}_{j \in J}\) 以及态射 \(a_j : T_j \to U\)，使映射 \[a_j \times a_{j'} : T_j \times_T T_{j'} \longrightarrow U \times_S U\] 经某些（唯一的）映射 \(r_{jj'} : T_j \times_T T_{j'} \to R\) 通过 \(j : R \to U \times_S U\) 分解。系统 \((a_j)\) 在下述意义下对应于 \(a\)：图表 \[\xymatrix{ T_j \ar[r]_{a_j} \ar[d] & U \ar[d] \\ T \ar[r]^a & F }\] 交换。
考虑开子集 \(W_j = a_j^{-1}(W) \subset T_j\)。 由于 \(t(s^{-1}(W)) = W\)，可见 \[W_j \times_T T_{j'} = r_{jj'}^{-1}(t^{-1}(W)) = r_{jj'}^{-1}(s^{-1}(W)) = T_j \times_T W_{j'}.\] 由“下降”引理 03N0， 这意味着存在开集 \(W_T \subset T\)，使对所有 \(j \in J\) 都有 \(\varphi_j^{-1}(W_T) = W_j\)。我们断言 \(W_T \to T\) 表示 \(T \times_F F' \to T\)。
首先证明 \(W_T \to T \to F\) 是 \(F'(W_T)\) 的元素。 由于 \(\{W_j \to W_T\}_{j \in J}\) 是 \(W_T\) 的 fppf 覆盖， 只需证明每个 \(W_j \to U \to F\) 都是 \(F'(W_j)\) 的元素 （因为 \(F'\) 是 fppf 拓扑下的层）。考虑交换图表 \[\xymatrix{ W'_j \ar[rr] \ar[dd] \ar[rd] & & U' \ar[d]^g \\ & s^{-1}(W^1) \ar[r]_s \ar[d]^t & W^1 \ar[d] \\ W_j \ar[r]^{a_j|_{W_j}} & W \ar[r] & F }\] 其中 \(W'_j = W_j \times_W s^{-1}(W^1) \times_{W^1} U'\)。 由于 \(t\) 与 \(g\) 满、平坦且局部有限表示，\(W'_j \to W_j\) 也具有这些性质。因此，元素 \(W_j \to U \to F\) 在 \(W'_j\) 上的限制 是 \(F'\) 的元素，正如所需。
设 \(f : T' \to T\) 是满足 \(a|_{T'} \in F'(T')\) 的概形态射。 我们必须证明 \(f\) 经过开集 \(W_T\) 分解。由于 \(\{T' \times_T T_j \to T'\}\) 是 \(T'\) 的 fppf 覆盖， 只需证明每个 \(T' \times_T T_j \to T\) 都经过 \(W_T\) 分解。 因此可假设对某个 \(j\)，\(f\) 分解为 \(\varphi_j \circ f_j : T' \to T_j \to T\)。此时，条件 \(a|_{T'} \in F'(T')\) 意味着存在某个 fppf 覆盖 \(\{\psi_i : T'_i \to T'\}_{i \in I}\) 以及某些态射 \(b_i : T'_i \to U'\)，使得 \[\xymatrix{ T'_i \ar[r]_{b_i} \ar[d]_{f_j \circ \psi_i} & U' \ar[r]_g & U \ar[d] \\ T_j \ar[r]^{a_j} & U \ar[r] & F }\] 交换。该交换性意味着存在态射 \(r'_i : T'_i \to R\)，使得 \(t \circ r'_i = a_j \circ f_j \circ \psi_i\) 且 \(s \circ r'_i = g \circ b_i\)。这蕴含 \(\Im(f_j \circ \psi_i) \subset W_j\)，证明完成。
下面的引理看起来理应平凡，但其实并非完全平凡。
引理
设 \(S\) 是概形，\(U\) 是 \(S\) 上的概形，并设 \(j = (s, t) : R \to U \times_S U\) 是 \(U\) 上相对于 \(S\) 的 étale 等价关系。若商 \(U/R\) 是代数空间，则 \(U \to U/R\) 为 étale 满射。因此 \((U, R, U \to U/R)\) 是代数空间 \(U/R\) 的一个表示。
证明
以 \(c : U \to U/R\) 表示所论态射。设 \(T\) 是概形， \(a : T \to U/R\) 是态射。我们必须证明概形态射 \(\pi : T \times_{a, U/R, c} U \to T\) 为 étale 满射。 态射 \(a\) 对应于一个 fppf 覆盖 \(\{\varphi_i : T_i \to T\}\) 以及态射 \(a_i : T_i \to U\)，使 \(a_i \times a_{i'} : T_i \times_T T_{i'} \to U \times_S U\) 经过 \(R\) 分解，并且 \(c \circ a_i = a \circ \varphi_i\)。因此 \[T_i \times_{\varphi_i, T} T \times_{a, U/R, c} U = T_i \times_{c \circ a_i, U/R, c} U = T_i \times_{a_i, U} U \times_{c, U/R, c} U = T_i \times_{a_i, U, t} R.\] 由于 \(t\) 为 étale 满射，\(\pi\) 到 \(T_i\) 的基变换也满而 étale。 满且 étale 这一性质关于基上的 fpqc 拓扑是局部的 （见评注 02WH），故结论成立。
引理
设 \(S\) 是概形，\(U\) 是 \(S\) 上的概形，并设 \(j = (s, t) : R \to U \times_S U\) 是 \(U\) 上相对于 \(S\) 的 étale 等价关系。假设 \(U\) 仿射。则商 \(F = U/R\) 是代数空间， 且 \(U \to F\) 为 étale 满射。
证明
由于 \(j : R \to U \times_S U\) 是单态射，\(j\) 分离 （见“概形”引理 01L4）。 由于 \(U\) 仿射，\(U \times_S U\)（它带有到仿射概形 \(U \times U\) 的单态射）是分离的。因此 \(R\) 分离；特别地，态射 \(s,t\) 既分离又 étale。
由于复合 \(R \to U \times_S U \to U\) 局部有限型， \(j\) 局部有限型（见“态射”引理 01T8）。又因 \(j\) 是单态射， 其纤维有限；由“态射”引理 02NG， \(j\) 局部拟有限。综上，\(j\) 分离且局部拟有限。
第一步证明商映射 \(c : U \to F\) 可表示。 取概形 \(T\) 和态射 \(a : T \to F\)。我们必须证明层 \(G = T \times_{a, F, c} U\) 可表示。正如引理 02WU 与 02WV 的证明中所见，存在 fppf 覆盖 \(\{\varphi_i : T_i \to T\}_{i \in I}\) 和态射 \(a_i : T_i \to U\)， 使 \(a_i \times a_{i'} : T_i \times_T T_{i'} \to U \times_S U\) 经过 \(R\) 分解，并且 \(c \circ a_i = a \circ \varphi_i\)。 与引理 02WV 的证明相同，有 \[\begin{eqnarray*} T_i \times_{\varphi_i, T} G & = & T_i \times_{\varphi_i, T} T \times_{a, U/R, c} U \\ & = & T_i \times_{c \circ a_i, U/R, c} U \\ & = & T_i \times_{a_i, U} U \times_{c, U/R, c} U \\ & = & T_i \times_{a_i, U, t} R \end{eqnarray*}\] 由于 \(t\) 分离且 étale，特别地，它分离且局部拟有限 （由“态射”引理 02V5 以及 02GV），\(G\) 在每个 \(T_i\) 上的限制都由一个分离且局部拟有限的概形态射 \(X_i \to T_i\) 表示。由“下降”引理 02W5，我们得到相对于 fppf 覆盖 \(\{T_i \to T\}\) 的下降数据 \((X_i, \varphi_{ii'})\)。 由于每个 \(X_i \to T_i\) 分离且局部拟有限，由“态射续论”引理 02W8， 该下降数据有效。因此，由“下降”引理 02W5 (2)，\(G\) 如所需可表示。
证明的第二步是说明 \(U \to F\) 满且 étale。这由上文立即可得： 第一步中已见 \(G = T \times_{a, F, c} U\) 是 \(T\) 上的概形， 其基变换是满 étale 的概形态射 \(X_i \to T_i\)。因此 \(G \to T\) 满且 étale（见评注 02WH）。 或者，也可在当前情形下重读引理 02WV 的证明。
第三步也是最后一步，是证明对角映射 \(F \to F \times F\) 可表示。 首先注意图表 \[\xymatrix{ R \ar[r] \ar[d]_j & F \ar[d]^\Delta \\ U \times_S U \ar[r] & F \times F }\] 是纤维积方块。由引理 02WC，态射 \(U \times_S U \to F \times F\) 可表示（注意 \(h_U \times h_U = h_{U \times_S U}\)）。此外，由引理 02WM，态射 \(U \times_S U \to F \times F\) 满且 étale（还要注意，étale 与满射 都出现在评注 02WH 以及 02WG 的列表中）。 由引理 02WB 与上图， 或者将 \(R \to F\) 写成 \(R \to U \to F\) 并应用引理 02W9 和 02WA，可知 \(R \to F\) 也可表示。设 \(T\) 是概形，\(a : T \to F \times F\) 是态射。我们必须证明 \(G = T \times_{a, F \times F, \Delta} F\) 可表示。由上文，概形态射 \[T' = (U \times_S U) \times_{F \times F, a} T \longrightarrow T\] 满且 étale。因此 \(\{T' \to T\}\) 是 \(T\) 的 étale 覆盖。 还要注意 \[T' \times_T G = T' \times_{U \times_S U, j} R\] 这可由考察下列立方图看出： \[\xymatrix{ & R \ar[rr] \ar[dd] & & F \ar[dd] \\ T' \times_T G \ar[rr] \ar[dd] \ar[ru] & & G \ar[dd] \ar[ru] & \\ & U \times_S U \ar'[r][rr] & & F \times F \\ T' \ar[rr] \ar[ru] & & T \ar[ru] }\] 因此，\(G\) 在 \(T'\) 上的限制由某个概形 \(X\) 表示；而且态射 \(X \to T'\) 是态射 \(j\) 的基变换。故 \(X \to T'\) 分离且局部拟有限 （见证明的第二段）。由“下降”引理 02W5，得到相对于 fppf 覆盖 \(\{T' \to T\}\) 的下降数据 \((X, \varphi)\)。由于 \(X \to T'\) 分离且局部拟有限，由“态射续论”引理 02W8， 该下降数据有效。因此，由“下降”引理 02W5 (2)，\(G\) 如所需可表示。
定理
设 \(S\) 是概形，\(U\) 是 \(S\) 上的概形，并设 \(j = (s, t) : R \to U \times_S U\) 是 \(U\) 上相对于 \(S\) 的 étale 等价关系。则商 \(U/R\) 是代数空间，且 \(U \to U/R\) 为 étale 满射；换言之，\((U, R, U \to U/R)\) 是 \(U/R\) 的一个表示。
证明
由引理 02WV，只需证明 \(U/R\) 是代数空间。设 \(U' \to U\) 为满 étale 态射，则 \(\{U' \to U\}\) 特别是 fppf 覆盖。令 \(R'\) 为 \(R\) 在 \(U'\) 上的限制； 见“群胚”定义 02V9。 由“群胚”引理 02VH， \(U/R \cong U'/R'\)。由引理 02WT，\(R'\) 是 \(U'\) 上的 étale 等价关系。因此，可用 \(U'\) 代替 \(U\)。
将前述说明应用于 \(U' = \coprod U_i\)，其中 \(U = \bigcup U_i\) 是 \(U\) 的仿射开覆盖。因此，不妨假设 \(U = \coprod U_i\)，其中每个 \(U_i\) 都是仿射概形。
考虑 \(R\) 在 \(U_i\) 上的限制 \(R_i\)。由引理 02WT，这是 étale 等价关系。 令 \(F_i = U_i/R_i\) 且 \(F = U/R\)。显然 \(\coprod F_i \to F\) 为满射。 由引理 02WU，每个 \(F_i \to F\) 都可表示且为开浸入。 将引理 0265 应用于 \((U_i, R_i)\)， 可见 \(F_i\) 是代数空间。再由引理 02WV，\(U_i \to F_i\) 为 étale 满射。 由引理 02WQ，\(\coprod F_i\) 是代数空间。 最后，我们已验证引理 02WR 的全部假设， 故 \(F = U/R\) 是代数空间。
代数空间：补充整理
我们开始建立处理代数空间的引理库。第一个结果说明， 定义 025Y 中关于对角态射的条件可作如下弱化。
引理
设 \(S\) 是包含于 \(\Sch_{fppf}\) 的概形。设 \(F\) 是 \((\Sch/S)_{fppf}\) 上的层，并且存在 \(U \in \Ob((\Sch/S)_{fppf})\) 以及可表示、满且 étale 的映射 \(U \to F\)。则 \(F\) 是代数空间。
证明
令 \(R = U \times_F U\)。由于假设 \(U \to F\) 可表示，所得对象是概形； 由于假设 \(U \to F\) 为 étale，投影 \(s, t : R \to U\) 为 étale。 因 \(R = U \times_F U\)，映射 \(j = (t, s) : R \to U \times_S U\) 是单态射并定义等价关系。由定理 02WW， 商层 \(F' = U/R\) 是代数空间，且 \(U \to F'\) 为 étale 满射。 仍因 \(R = U \times_F U\)，得到典范分解 \(U \to F' \to F\)， 并且 \(F' \to F\) 是层的单射。另一方面，由引理 05VM，\(U \to F\) 作为层的映射是满射。因此 \(F' \to F\) 也满，故 \(F' = F\) 是代数空间。
引理
设 \(S\) 是包含于 \(\Sch_{fppf}\) 的概形，\(G\) 是 \(S\) 上的代数空间， \(F\) 是 \((\Sch/S)_{fppf}\) 上的层，并设 \(G \to F\) 是可表示、满且 étale 的函子变换。则 \(F\) 是代数空间。
证明
选取概形 \(U\) 和满 étale 态射 \(U \to G\)。 由于 \(G\) 是代数空间，\(U \to G\) 可表示。因此复合 \(U \to G \to F\) 可表示、满且 étale；见引理 02WA 和 02WK。 故由引理 0BGQ， \(F\) 是代数空间。
引理
设 \(S\) 是包含于 \(\Sch_{fppf}\) 的概形，\(F\) 是 \(S\) 上的代数空间， \(G \to F\) 是可表示的函子变换。则 \(G\) 是代数空间。
证明
由引理 02WD，\(G\) 是层。 图表 \[\xymatrix{ G \times_F G \ar[r] \ar[d] & F \ar[d]^{\Delta_F} \\ G \times G \ar[r] & F \times F }\] 是 Cartesian 方块。因此，由引理 02WB， \(G \times_F G \to G \times G\) 可表示。由引理 05L9， \(G \to G \times_F G\) 可表示。因此，作为可表示变换的复合， \(\Delta_G : G \to G \times G\) 可表示；见引理 02WA。 最后，设 \(U\) 是 \((\Sch/S)_{fppf}\) 的对象，且 \(U \to F\) 满而 étale。由假设，\(U \times_F G\) 由概形 \(U'\) 表示。由引理 02WL， 态射 \(U' \to G\) 满且 étale。这验证了定义 025Y 的最后一个条件，证明完成。
引理
设 \(S\) 是包含于 \(\Sch_{fppf}\) 的概形，\(F\)、\(G\) 是 \(S\) 上的代数空间， 而 \(G \to F\) 是可表示态射。设 \(U \in \Ob((\Sch/S)_{fppf})\)， \(q : U \to F\) 满且 étale，并令 \(V = G \times_F U\)。 最后，设 \(\mathcal{P}\) 是定义 025V 所述的概形态射性质。 则 \(G \to F\) 具有性质 \(\mathcal{P}\)，当且仅当 \(V \to U\) 具有性质 \(\mathcal{P}\)。
证明
（本引理可由引理 02WL 与 03KD 推出， 但这里也给出直接证明。）由定义显然可见，若 \(G \to F\) 具有性质 \(\mathcal{P}\)，则 \(V \to U\) 具有性质 \(\mathcal{P}\)。 反之，假设 \(V \to U\) 具有性质 \(\mathcal{P}\)。 设 \(T \to F\) 是从概形到 \(F\) 的态射。令 \(T' = T \times_F G\)；由于 \(G \to F\) 可表示，该纤维积是概形。 我们必须证明 \(T' \to T\) 具有性质 \(\mathcal{P}\)。考虑概形的交换图表 \[\xymatrix{ V \ar[d] & T \times_F V \ar[d] \ar[l] \ar[r] & T \times_F G \ar[d] \ar@{=}[r] & T' \\ U & T \times_F U \ar[l] \ar[r] & T }\] 其中两个方块均为纤维积方块。因此，中间的箭头作为 \(V \to U\) 的基变换，具有性质 \(\mathcal{P}\)。最后， \(\{T \times_F U \to T\}\) 是 fppf 覆盖，因为它满且 étale； 而该性质关于基上的 fppf 拓扑是局部的，故 \(T' \to T\) 具有性质 \(\mathcal{P}\)。
引理
设 \(S\) 是包含于 \(\Sch_{fppf}\) 的概形，\(G \to F\) 是 \((\Sch/S)_{fppf}\) 上预层的变换，\(\mathcal{P}\) 是概形态射的性质。 假设
\(\mathcal{P}\) 在任意基变换下保持，是基上的 fppf 局部性质， 并且 \(\mathcal{P}\) 型态射关于 fppf 覆盖满足下降；见“下降”定义 02W2；
\(G\) 是层；
\(F\) 是代数空间；
存在 \(U \in \Ob((\Sch/S)_{fppf})\) 以及满 étale 态射 \(U \to F\)，使 \(V = G \times_F U\) 可表示；并且
\(V \to U\) 具有 \(\mathcal{P}\)。
则 \(G\) 是代数空间，\(G \to F\) 可表示并具有性质 \(\mathcal{P}\)。
证明
设 \(T\) 是概形，\(T \to F\) 是态射。则 \(U \times_F T \to T\) 为 étale 满射，故 \(\{U \times_F T \to T\}\) 是 étale 拓扑的覆盖。 考虑 \[W = G \times_F (U \times_F T) = V \times_F T = V \times_U (U \times_F T).\] 由于 \(F\) 是代数空间，它是概形。态射 \(W \to U \times_F T\) 作为 \(V \to U\) 的基变换，具有性质 \(\mathcal{P}\)。存在同构 \[\begin{align*} W \times_T (U \times_F T) & = (G \times_F (U \times_F T)) \times_T (U \times_F T) \\ & = (U \times_F T) \times_T (G \times_F (U \times_F T)) \\ & = (U \times_F T) \times_T W \end{align*}\] 它位于 \((U \times_F T) \times_T (U \times_F T)\) 上。 中间的等式将 \(((g, (u_1, t)), (u_2, t))\) 映到 \(((u_1, t), (g, (u_2, t)))\)。这定义了 \(W/U \times_F T/T\) 的下降数据；见“下降”定义 023V。这也可由“下降”引理 02W5 看出。事实上，我们有层 \(G \times_F T\)，它到 \(U \times_F T\) 的基变换由 \(W\) 表示， 而上面的同构正是“下降”引理 02W5 的证明中出现的同构。 由关于 \(\mathcal{P}\) 的假设，上述下降数据可表示。 因此，由“下降”引理 02W5 的最后一个陈述，\(G \times_F T\) 可表示。这证明 \(G \to F\) 是可表示的函子变换。
由于 \(G \to F\) 可表示，由引理 02WY， \(G\) 是代数空间。再由引理 02WZ， \(G \to F\) 具有性质 \(\mathcal{P}\)。
引理
设 \(S\) 是包含于 \(\Sch_{fppf}\) 的概形，\(F,G\) 是 \(S\) 上的代数空间， \(a : F \to G\) 是态射。给定任意 \(V \in \Ob((\Sch/S)_{fppf})\) 以及满 étale 态射 \(q : V \to G\)，存在 \(U \in \Ob((\Sch/S)_{fppf})\) 以及交换图表 \[\xymatrix{ U \ar[d]_p \ar[r]_\alpha & V \ar[d]^q \\ F \ar[r]^a & G }\] 其中 \(p\) 满且 étale。
证明
首先选取 \(W \in \Ob((\Sch/S)_{fppf})\) 以及满 étale 态射 \(W \to F\)。然后令 \(U = W \times_G V\)。由于 \(G\) 是代数空间， \(U\) 同构于 \((\Sch/S)_{fppf}\) 的一个对象。由于 \(q\) 为 étale 满射， \(U \to W\) 也为 étale 满射（见引理 02WL）。 因此，作为 étale 满射的复合，\(U \to F\) 为 étale 满射 （见引理 02WK）。
代数空间的浸入与 Zariski 覆盖
此处出现一个有趣现象。我们已经定义了代数空间开浸入的概念 （通过定义 025V）， 却尚未定义点的概念2。 因此，代数空间的Zariski 拓扑已经定义，但空间本身尚未出现！
或许有些多余，我们仍正式引入如下浸入概念。
定义
设 \(S \in \Ob(\Sch_{fppf})\) 是概形，\(F\) 是 \(S\) 上的代数空间。
若 \(S\) 上代数空间的态射可表示，并且在定义 025V 的意义下是开浸入， 则称其为开浸入。
\(F\) 的一个开子空间是子函子 \(F' \subset F\)， 其中 \(F'\) 是代数空间且 \(F' \to F\) 是开浸入。
若 \(S\) 上代数空间的态射可表示，并且在定义 025V 的意义下是闭浸入， 则称其为闭浸入。
\(F\) 的一个闭子空间是子函子 \(F' \subset F\)， 其中 \(F'\) 是代数空间且 \(F' \to F\) 是闭浸入。
若 \(S\) 上代数空间的态射可表示，并且在定义 025V 的意义下是浸入， 则称其为浸入。
\(F\) 的一个局部闭子空间是子函子 \(F' \subset F\)， 其中 \(F'\) 是代数空间且 \(F' \to F\) 是浸入。
这些定义是有意义的，因为浸入特别是单态射（见“概形”引理 01L7 以及引理 02YO）， 所以代数空间浸入 \(G \to F\) 的像是子函子 \(F' \subset F\)， 且与 \(G\)（典范）同构。因此，“概形”第 01IM 节的部分讨论可移用于代数空间。
引理
设 \(S \in \Ob(\Sch_{fppf})\) 是概形。\(S\) 上代数空间的 （闭，相应地开）浸入之复合，仍是 \(S\) 上代数空间的 （闭，相应地开）浸入。
证明
引理
设 \(S \in \Ob(\Sch_{fppf})\) 是概形。\(S\) 上代数空间的 （闭，相应地开）浸入的基变换，仍是 \(S\) 上代数空间的 （闭，相应地开）浸入。
证明
引理
设 \(S \in \Ob(\Sch_{fppf})\) 是概形，\(F\) 是 \(S\) 上的代数空间。 设 \(F_1\)、\(F_2\) 是 \(F\) 的局部闭子空间。若作为 \(F\) 的子函子有 \(F_1 \subset F_2\)，则 \(F_1\) 是 \(F_2\) 的局部闭子空间。 闭子空间和开子空间的情形同理。
证明
设 \(T \to F_2\) 是态射，其中 \(T\) 是概形。由于 \(F_2 \to F\) 是单态射，有 \(T \times_{F_2} F_1 = T \times_F F_1\)。 本引理由此形式地推出。
下面正式定义代数空间的 Zariski 开覆盖。注意，在引理 02WR 中，我们已经将这种开覆盖 作为构造代数空间的方法。
定义
设 \(S \in \Ob(\Sch_{fppf})\) 是概形，\(F\) 是 \(S\) 上的代数空间。 \(F\) 的一个Zariski 覆盖 \(\{F_i \subset F\}_{i \in I}\)， 由集合 \(I\) 以及一族开子空间 \(F_i \subset F\) 给出，并要求 \(\coprod F_i \to F\) 是层的满映射。
注意，若 \(T\) 是概形且 \(a : T \to F\) 是态射，则每个纤维积 \(T \times_F F_i\) 都等同于某个开子概形 \(T_i \subset T\)。 定义的最后一个条件恰好表示 \(T = \bigcup_{i \in I} T_i\)。
显然，\(F\) 的开子空间之集 \(F_{Zar}\) 是集合 （因为 \((\Sch/S)_{fppf}\) 是位点，因而是集合）。 此外，以子函子的包含为态射，可将 \(F_{Zar}\) 组成范畴； 由引理 02YX，这些包含自动为开浸入。 最后，定义 02YY 给出范畴 \(F_{Zar}\) 中 Zariski 覆盖 \(\{F_i \to F'\}_{i \in I}\) 的概念。 因此，正如拓扑空间的情形（见“位点”例 00VJ），通过适当选取一组覆盖， 可得到代数空间 \(F\) 的一个 Zariski 位点。
定义
设 \(S \in \Ob(\Sch_{fppf})\) 是概形，\(F\) 是 \(S\) 上的代数空间。 代数空间 \(F\) 的一个小 Zariski 位点 \(F_{Zar}\)， 是上述位点之一。
这给出了某个陈述在代数空间上 Zariski 局部成立的含义， 我们将如此使用该概念。一般而言，Zariski 拓扑对我们的目的不够细。 例如，可以考虑代数空间上的 Zariski 层范畴；事实将表明， 即使对拟凝聚层，这也不是正确的对象。只有使用 \(F\) 的 étale 或 fppf 位点定义拟凝聚层，才会得到所需结果。
代数空间的分离条件
代数空间 \(F\) 的分离条件，是对角态射 \(F \to F \times F\) 的条件。 先列出对角态射自动具有的性质。由于按定义对角态射可表示， 下面的引理（通过定义 025V） 是有意义的。
引理
设 \(S\) 是包含于 \(\Sch_{fppf}\) 的概形，\(F\) 是 \(S\) 上的代数空间， \(\Delta : F \to F \times F\) 是对角态射。则
\(\Delta\) 局部有限型；
\(\Delta\) 是单态射；
\(\Delta\) 分离；并且
\(\Delta\) 局部拟有限。
证明
设 \(F = U/R\) 是 \(F\) 的一个表示。与引理 0265 的证明相同，图表 \[\xymatrix{ R \ar[r] \ar[d]_j & F \ar[d]^\Delta \\ U \times_S U \ar[r] & F \times F }\] 是 Cartesian 方块。因此，由引理 02WZ，只需证明 \(j\) 具有本引理所列性质。（注意，性质 (1)–(4) 都出现在评注 02WF 与 02WH 的列表中。） 由于 \(j\) 是等价关系，它是单态射，故由“概形”引理 01L4 分离。 由于 \(R\) 是 étale 等价关系，\(s, t : R \to U\) 为 étale， 因而 \(s, t\) 局部有限型。于是由“态射”引理 01T8，\(j\) 局部有限型。 最后，因其为单态射，纤维有限；由“态射”引理 02NG，它局部拟有限。
下面给出相对于基概形 \(S\) 的若干常见分离条件。 这些条件也有绝对版本，我们将在“空间的性质”第 03BR 节讨论。此外， “空间的态射”第 03HJ 节 将讨论代数空间态射的分离条件。
定义
设 \(S\) 是包含于 \(\Sch_{fppf}\) 的概形，\(F\) 是 \(S\) 上的代数空间， \(\Delta : F \to F \times F\) 是对角态射。
注意，若对角态射拟紧（即 \(F\) 分离或拟分离时），则对角态射实际上 拟有限且分离，因而拟仿射（由“态射续论”引理 02LR）。
代数空间的例子
本节构造若干代数空间的例子，其中一些由 B. Conrad 建议。 由于我们尚无太多可用理论，部分讨论略显笨拙。
例
设 \(k\) 是特征 \(\not = 2\) 的域，\(U = \mathbf{A}^1_k\)。令 \[j : R = \Delta \amalg \Gamma \longrightarrow U \times_k U\] 其中 \(\Delta = \{(x, x) \mid x \in \mathbf{A}^1_k\}\)，而 \(\Gamma = \{(x, -x) \mid x \in \mathbf{A}^1_k, x \not = 0\}\)。 显然 \(s, t : R \to U\) 为 étale，故 \(j\) 是 étale 等价关系。 由定理 02WW，商 \(X = U/R\) 是代数空间。 由于 \(R\) 拟紧，\(X\) 拟分离。另一方面，由于态射 \(j\) 不是浸入， \(X\) 不局部分离。
例
设 \(k\) 是域，\(k'/k\) 是 \(2\) 次 Galois 扩张，且 \(\text{Gal}(k'/k) = \{1, \sigma\}\)。令 \(S = \Spec(k[x])\) 且 \(U = \Spec(k'[x])\)。注意 \[U \times_S U = \Spec((k' \otimes_k k')[x]) = \Delta(U) \amalg \Delta'(U)\] 其中 \(\Delta' = (1, \sigma) : U \to U \times_S U\)。取 \[R = \Delta(U) \amalg \Delta'(U \setminus \{0_U\})\] 其中 \(0_U \in U\) 表示 \(x\)-坐标为零的 \(k'\)-有理点。 容易看出，\(R\) 是 \(U\) 上相对于 \(S\) 的 étale 等价关系， 故由定理 02WW，\(X = U/R\) 是代数空间。 \(X\) 具有下列性质（其中一些要到后文才有意义）：
\(X \to S\) 在 \(S \setminus \{0_S\}\) 上是同构；
态射 \(X \to S\) 为 étale（见“空间的性质”定义 03FR）；
\(X \to S\) 在 \(0_S\) 上的纤维 \(0_X\) 同构于 \(\Spec(k') = 0_U\)；
\(X\) 不是概形，因为若它是概形，则 \(\mathcal{O}_{X, 0_X}\) 将是一个局部整环 \((\mathcal{O}, \mathfrak m, \kappa)\)，其分式域为 \(k(x)\)，满足 \(x \in \mathfrak m\) 且剩余域 \(\kappa = k'\)，这是不可能的；
\(X\) 不分离，但局部分离且拟分离；
存在满、有限、étale 的态射 \(S' \to S\)，使基变换 \(X' = S' \times_S X\) 为概形（具体而言，基变换到 \(S' = \Spec(k'[x])\) 后，\(U\) 分裂成 \(S'\) 的两个副本，而 \(X'\) 同构于 \(0\) 加倍的仿射直线；见“概形”例 01JD）；并且
若把 \(X\) 看作 \(\Spec(k)\) 上的有限型代数空间，则类似地， 基变换 \(X_{k'}\) 是概形，但 \(X\) 不是概形。
特别地，这给出了一个相对于覆盖 \(\{\Spec(k') \to \Spec(k)\}\) 而无效的概形下降数据的例子。
另见“例子”引理 08KF； 它说明，即使对概形的射影态射，下降数据也未必有效。 该例给出 \({\mathbf C}\) 上一个不是概形的三维平滑分离代数空间。
下面的引理提供一种方便的方法：将代数空间构造成概形对自由群作用的商。
引理
设 \(U \to S\) 是 \(\Sch_{fppf}\) 中的态射，\(G\) 是抽象群， \(G \to \text{Aut}_S(U)\) 是群同态。假设
若 \(u \in U\) 是点，且对某个非恒等元素 \(g \in G\) 有 \(g(u) = u\)，则 \(g\) 诱导 \(\kappa(u)\) 的非平凡自同构。
则 \[j : R = \coprod\nolimits_{g \in G} U \longrightarrow U \times_S U, \quad (g, x) \longmapsto (g(x), x)\] 是 étale 等价关系，因而 \[F = U/R\] 由定理 02WW 是代数空间。
证明
在引理陈述中，\(\text{Aut}_S(U)\) 表示 \(U\) 在 \(S\) 上的自同构群。 假设 \((*)\) 成立。下面证明 \[j : R = \coprod\nolimits_{g \in G} U \longrightarrow U \times_S U, \quad (g, x) \longmapsto (g(x), x)\] 是单态射。这意味着：若 \(T\) 是非空概形，\(h : T \to U\) 是满足 \(g \circ h = g' \circ h\) 的 \(T\)-值点，则 \(g = g'\)。 设 \(T \not = \emptyset\)，\(h : T \to U\) 且 \(g \circ h = g' \circ h\)。取 \(t \in T\)，考虑复合 \(\Spec(\kappa(t)) \to \Spec(\kappa(h(t))) \to U\)。 于是 \(g^{-1} \circ g'\) 固定 \(u = h(t)\)，并在其剩余域上恒等。 由 \((*)\)，\(g = g'\)。
因此，若 \((*)\) 成立，则 \(j\) 是关系（见“群胚”定义 022P）。它还是等价关系， 因为对连通概形 \(T\) 的 \(T\)-值点，有 \(R(T) = G \times U(T) \to U(T) \times U(T)\) （回忆我们始终在 \(S\) 上工作）。此外，由于 \(R\) 是 \(U\) 的若干副本的 不交积，态射 \(s, t : R \to U\) 为 étale。这证明 \(j : R \to U \times_S U\) 是 étale 等价关系。
给定概形 \(U\) 以及群 \(G\) 在 \(U\) 上的作用，若引理 02Z2 的条件 \((*)\) 成立，则称 \(G\) 在 \(U\) 上的作用 为自由的。这等价于“群胚”定义 07S1 中常群概形 \(G_S\) 在 \(U\) 上的 自由作用概念。该引理可解释为：概形对群的自由作用之商在代数空间范畴中存在。
定义
记号 \(U \to S\)、\(G\)、\(R\) 如引理 02Z2。 若 \(G\) 在 \(U\) 上的作用满足 \((*)\)，则称 \(G\) 自由作用于 概形 \(U\)。此时，代数空间 \(U/R\) 记作 \(U/G\)，称为 \(U\) 对 \(G\) 的商。
该记号与“群胚”定义 02VG 中引入的 \(U/G\) 一致。后文我们将在不对作用作任何假设的情况下， 把该商理解为代数栈；届时使用记号 \([U/G]\)。 在讨论例子之前，再证明几个便于讨论的引理。下面的引理讨论 \(G\) 有限时该商的各种分离条件。
引理
记号与假设如引理 02Z2。假设 \(G\) 有限。则
若 \(U \to S\) 拟分离，则 \(U/G\) 在 \(S\) 上拟分离；并且
若 \(U \to S\) 分离，则 \(U/G\) 在 \(S\) 上分离。
证明
在引理 02X4 的证明中已见，只需对态射 \(j : R \to U \times_S U\) 证明相应性质。若 \(U \to S\) 拟分离， 则对每个映入 \(S\) 中某个仿射开集的仿射开集 \(V \subset U\)， 开集 \(g(V) \cap V\) 拟紧。因此 \(j\) 拟紧。 若 \(U \to S\) 分离，则对角态射 \(\Delta_{U/S}\) 是闭浸入。 故 \(j : R \to U \times_S U\) 是像彼此不交的有限个闭浸入的余积， 从而 \(j\) 是闭浸入。
引理
记号与假设如引理 02Z2。若 \(\Spec(k) \to U/G\) 是态射，则存在
有限 Galois 扩张 \(k'/k\)；
有限子群 \(H \subset G\)；
同构 \(H \to \text{Gal}(k'/k)\)；并且
\(H\)-等变态射 \(\Spec(k') \to U\)。
反之，这样的数据确定一个态射 \(\Spec(k) \to U/G\)。
证明
考虑纤维积 \(V = \Spec(k) \times_{U/G} U\)。有图表 \[\xymatrix{ V \ar[r] \ar[d] & U \ar[d] \\ \Spec(k) \ar[r] & U/G }\] 于是 \(V\) 是 \(\Spec(k)\) 上的非空 étale 概形，因而是不交并 \(V = \coprod_{i \in I} \Spec(k_i)\)，其中各 \(k_i\) 是 \(k\) 的有限可分扩张 （“态射”引理 02GL）。有 \[\begin{align*} V \times_{\Spec(k)} V & = (\Spec(k) \times_{U/G} U) \times_{\Spec(k)}(\Spec(k) \times_{U/G} U) \\ & = \Spec(k) \times_{U/G} U \times_{U/G} U \\ & = \Spec(k) \times_{U/G} U \times G \\ & = V \times G \end{align*}\] \(G\) 在 \(U\) 上的作用诱导作用 \(a : G \times V \to V\)。 上述等式意味着映射 \(G \times V \to V \times_{\Spec(k)} V\)， \((g, v) \mapsto (a(g, v), v)\) 是同构。特别地，对每个 \(i\) 都有同构 \(H_i \times \Spec(k_i) \to \Spec(k_i \otimes_k k_i)\)， 其中 \(H_i \subset G\) 是固定 \(i \in I\) 的元素组成的子群。 因此 \(H_i\) 有限，并且是 \(k_i/k\) 的 Galois 群。 逆向构造从略。
例如，由该引理可知，若 \(k'/k\) 是有限 Galois 扩张，则 \(\Spec(k')/\text{Gal}(k'/k) \cong \Spec(k)\)。 若扩张无限会怎样？下面给出一个例子。
例
令 \(S = \Spec(\mathbf{Q})\)、\(U = \Spec(\overline{\mathbf{Q}})\)， 并令 \(G = \text{Gal}(\overline{\mathbf{Q}}/\mathbf{Q})\) 以显然方式作用于 \(U\)。由构造，引理 02Z2 的性质 \((*)\) 成立， 从而得到代数空间 \[X = \Spec(\overline{\mathbf{Q}})/G \longrightarrow S = \Spec(\mathbf{Q}).\] 当然，作为对 \(S\) 的近似，这完全荒谬！事实上，由 Artin–Schreier 定理 （见 [JacobsonIII, Theorem 17, page 316]）， \(\text{Gal}(\overline{\mathbf{Q}}/\mathbf{Q})\) 的有限子群只有 \(\{1\}\)， 以及二阶群 \(\text{Gal}(\overline{\mathbf{Q}}/\overline{\mathbf{Q}} \cap \mathbf{R})\) 的共轭。因此，若 \(\Spec(k) \to X\) 是态射，且 \(k\) 在 \(\mathbf{Q}\) 上代数，则由引理 02Z5 与上述定理，\(k\) 或为 \(\overline{\mathbf{Q}}\)，或同构于 \(\overline{\mathbf{Q}} \cap \mathbf{R}\)。
上述例子的问题在于，Galois 群自带一个拓扑；构造 \(\Spec(\overline{\mathbf{Q}})\) 的任何商时，都应以某种方式纳入该拓扑。 在我看来，下面的例子合理得多，而且可能确实会在“自然界”中出现。
例
设 \(k\) 是特征零的域，\(U = \mathbf{A}^1_k\) 且 \(G = \mathbf{Z}\)。 取作用 \(n(x) = x + n\)，即 \(\mathbf{Z}\) 通过平移作用于仿射直线。 唯一的不动点是泛点，并且显然 \(\mathbf{Z}\) 嵌入域 \(k(x)\) 的自同构群。 （这里用到了特征零假设。）考虑仿射直线的泛点到商的态射 \[\gamma : \Spec(k(x)) \longrightarrow X = \mathbf{A}^1_k/\mathbf{Z}\] 我们断言，该态射不经过任何从域的谱到 \(X\) 的单态射 \(\Spec(L) \to X\) 分解。（这与概形的情形相反；见“概形”第 01J5 节。）事实上，由于 \(\mathbf{Z}\) 没有非平凡有限子群，由引理 02Z5 可知， 任何这样的分解都满足 \(k(x) = L\)。最后，\(\gamma\) 不是单态射，因为 \[\Spec(k(x)) \times_{\gamma, X, \gamma} \Spec(k(x)) \cong \Spec(k(x)) \times \mathbf{Z}.\]
该例表明，为定义代数空间 \(X\) 的点，我们应考虑从域的谱到 \(X\) 的态射之等价类，而不是从域的谱出发的单态射之集。
最后给出一个着实糟糕的例子。
例
设 \(k\) 是域，令 \(A = \prod_{n \in \mathbf{N}} k\) 为无限乘积。 令 \(U = \Spec(A)\)，视为 \(S = \Spec(k)\) 上的概形。 注意，投影映射 \(\text{pr}_n : A \to k\) 定义开浸入兼闭浸入 \(f_n : S \to U\)。令 \[R = U \amalg \coprod\nolimits_{(n, m) \in \mathbf{N}^2, \ n \not = m} S\] 其中态射 \(j\) 在分支 \(U\) 上等于 \(\Delta_{U/S}\)， 在与 \((n,m)\) 对应的分支 \(S\) 上等于 \(j = (f_n, f_m)\)。 由上面的评注，显然 \(s,t\) 为 étale；也显然 \(j\) 是等价关系。 因此得到代数空间 \[X = U/R.\] 为理解其含义，专门考虑域 \(k\) 为含 \(q\) 个元素的有限域的情形。 先简要讨论与概形 \(U\) 关联的拓扑空间 \(|U|\)。 \(A\) 的所有元素都满足 \(x^q = x\)。因此 \(A\) 的每个剩余域都同构于 \(k\)，且 \(U\) 的所有点都是闭点。但 \(U\) 上的拓扑不是离散拓扑。 设 \(u_n \in |U|\) 是与 \(f_n\) 对应的点。如上所述，点 \(u_n\) 都是开点（因而是孤立点）。但必定还存在其他点，因为 \(U\) 拟紧， 见“代数”引理 00E8， 所以它不可能等于一个无限离散集。另一种看法是，真理想 \[I = \{x = (x_n) \in A \mid \text{除有限多个外的 }x_n\text{ 均为零}\}\] 包含于某个极大理想。还要注意，\(A\) 的每个元素 \(x\) 都形如 \(x = ue\)，其中 \(u\) 是单位，\(e\) 是幂等元。因此 \(A\) 的拓扑有一个 由开闭子集组成的基（见“代数”引理 00EC）。所以 \(|U|\) 上的拓扑完全不连通， 但并非平凡。最后，注意 \(\{u_n\}\) 在 \(|U|\) 中稠密。
后文将定义与 \(X\) 关联的拓扑空间 \(|X|\)；见“空间的性质”第 03BT 节。关于 \(|X|\) 能说什么？ 事实上，映射 \(|U| \to |X|\) 满且连续。所有点 \(u_n\) 都映到 \(|X|\) 中的同一点 \(x_0\)，而其他点都不被等同。由于 \(\{u_n\}\) 在 \(|U|\) 中稠密，\(x_0\) 在 \(|X|\) 中的闭包就是 \(|X|\)。换言之，\(|X|\) 不可约， 且 \(x_0\) 是 \(|X|\) 的泛点。这似乎颇为怪异，因为 \(x_0\) 还是结构态射 \(X \to S\) 的一个截面 \(S \to X\) 的像（而在概形情形下，这将蕴含它是闭点； 见“态射”引理 01TE）。
无论你认为该例中实际发生了什么，它都清楚表明： 定义代数空间的不可约分支、连通性等概念时必须谨慎。
大站点的变更
本节简要讨论变更大站点时会发生什么。结论是，我们总可以任意扩大 大站点；因此，可以假定我们所要考虑的任意一组概形，都包含在我们 考察代数空间时所用的大 fppf 站点中。下面给出这一结论的精确表述。
引理
设给定大站点 \(\Sch_{fppf}\) 和 \(\Sch'_{fppf}\)。 假定 \(\Sch_{fppf}\) 包含于 \(\Sch'_{fppf}\)，参见 拓扑，章节 022I。 设 \(S\) 是 \(\Sch_{fppf}\) 的一个对象，并令 \[\begin{align*} g : \Sh((\Sch/S)_{fppf}) \longrightarrow \Sh((\Sch'/S)_{fppf}), \\ f : \Sh((\Sch'/S)_{fppf}) \longrightarrow \Sh((\Sch/S)_{fppf}) \end{align*}\] 为拓扑，引理 022K 中的拓扑斯态射。设 \(F\) 是 \((\Sch/S)_{fppf}\) 上的集合层。则
若 \(F\) 可由 \(S\) 上的概形 \(X \in \Ob((\Sch/S)_{fppf})\) 表示，则 \(f^{-1}F\) 也可表示； 事实上，它由同一个概形 \(X\) 表示，只是现在将该概形视为 \((\Sch'/S)_{fppf}\) 的对象；并且
若 \(F\) 是 \(S\) 上的代数空间，则 \(f^{-1}F\) 也是 \(S\) 上的代数空间。
证明
设 \(X \in \Ob((\Sch/S)_{fppf})\)。以 \(h_X\) 表示 \((\Sch/S)_{fppf}\) 上与 \(X\) 相伴的可表示层，以 \(h'_X\) 表示 \((\Sch'/S)_{fppf}\) 上与 \(X\) 相伴的可表示层。根据 拓扑，章节 022I 中对 \(f^{-1}\) 的描述可知 \(f^{-1}h_X = h'_X\)。这证明了 (1)。
再假定 \(F\) 是 \(S\) 上的代数空间。由引理 0262，这意味着对 \((\Sch/S)_{fppf}\) 中的某个 étale 等价关系 \(R \to U \times_S U\)，有 \(F = h_U/h_R\)。由于 \(f^{-1}\) 是正合函子，遂有 \(f^{-1}F = h'_U/h'_R\)。因此，由定理 02WW，\(f^{-1}F\) 是 \(S\) 上的代数空间。
注意，此引理纯属集合论，几乎没有实质内容。此外，一般而言，大站点上 代数空间的限制并不一定是小站点上的代数空间（原因仅在于基数）。 因此，这类简单引理只能用来扩大基范畴，而不能用来缩小它。
引理
假定 \(\Sch_{fppf}\) 包含于 \(\Sch'_{fppf}\)。设 \(S\) 是 \(\Sch_{fppf}\) 的一个对象。以 \(\textit{Spaces}/S\) 表示使用 \(\Sch_{fppf}\) 定义的 \(S\) 上代数空间范畴；类似地，以 \(\textit{Spaces}'/S\) 表示使用 \(\Sch'_{fppf}\) 定义的 \(S\) 上代数空间范畴。引理 03FP 的构造定义了全忠实函子 \[\textit{Spaces}/S \longrightarrow \textit{Spaces}'/S\] 其本质像由如下的 \(X' \in \Ob(\textit{Spaces}'/S)\) 组成：存在 \(U, R \in \Ob((\Sch/S)_{fppf})\)5，以及态射 \[U \longrightarrow X' \quad\text{且}\quad R \longrightarrow U \times_{X'} U\] 它们位于 \(\Sh((\Sch'/S)_{fppf})\) 中，并且作为层的映射是满射 （例如，若所示态射为满 étale 态射）。
证明
由站点，引理 00XU，函子 \(f^{-1} : \Sh((\Sch/S)_{fppf}) \to \Sh((\Sch'/S)_{fppf})\) 是全忠实的（参见拓扑，章节 022I 中的讨论）。 因此，本引理所示的函子也是全忠实的。
设 \(X' \in \Ob(\textit{Spaces}'/S)\)，并且存在 \(U \in \Ob((\Sch/S)_{fppf})\) 以及 \(\Sh((\Sch'/S)_{fppf})\) 中的映射 \(U \to X'\)，后者作为层的映射 是满射。取满 étale 态射 \(U' \to X'\)，其中 \(U' \in \Ob((\Sch'/S)_{fppf})\)。令 \(\kappa = \text{size}(U)\)，参见集合，章节 000H。 则 \(U\) 有仿射开覆盖 \(U = \bigcup_{i \in I} U_i\)，其中 \(|I| \leq \kappa\)。注意，\(U' \times_{X'} U \to U\) 是满 étale 态射。对每个 \(i\)，可取拟紧开子集 \(U'_i \subset U'\)，使得 \(U'_i \times_{X'} U_i \to U_i\) 为满射（这是因为概形 \(U' \times_{X'} U_i\) 是 Zariski 开集 \(W \times_{X'} U_i\) 的并，其中 \(W \subset U'\) 为仿射开集； 又因为 \(U' \times_{X'} U_i \to U_i\) 是 étale 态射，因而是开映射）。 于是 \(\coprod_{i \in I} U'_i \to X\) 是满 étale 态射， 因为我们假定 \(U \to X\) 是层的满射，从而 \(\coprod U_i \to X\) 也是层的满射（细节略）。 由于 \(U'_i \times_{X'} U \to U'_i\) 是层的满射，且 \(U'_i\) 拟紧，可找到拟紧开子集 \(W_i \subset U'_i \times_{X'} U\)，使得 \(W_i \to U'_i\) 作为层的映射是满射（细节略）。于是 \(W_i \to U\) 是 étale 态射，故由集合，引理 04T7， \(\text{size}(W_i) \leq \text{size}(U)\)。再由集合，引理 0AHK，可得 \(\text{size}(U'_i) \leq \text{size}(U)\)。因此，由集合，引理 000Q，\(\coprod_{i \in I} U'_i\) 同构于 \((\Sch/S)_{fppf}\) 的一个对象。
现在令 \(X'\)、\(U \to X'\) 和 \(R \to U \times_{X'} U\) 如引理 所述。上一段表明，可以找到 \(U' \in \Ob((\Sch/S)_{fppf})\) 以及 \(\Sh((\Sch'/S)_{fppf})\) 中的满 étale 态射 \(U' \to X'\)。于是 \(U' \times_{X'} U \to U'\) 是层的满射； 换言之，可以找到 fppf 覆盖 \(\{U'_i \to U'\}\)，使 \(U'_i \to U'\) 经由 \(U' \times_{X'} U \to U'\) 分解。 由集合，引理 0AHL，可以找到满、 平坦且局部有限表示的态射 \(\tilde U \to U'\)，满足 \(\text{size}(\tilde U) \leq \text{size}(U')\)，并且 \(\tilde U \to U'\) 经由 \(U' \times_{X'} U \to U'\) 分解。 于是考察 \[\xymatrix{ U' \times_{X'} U' \ar[d] & \tilde U \times_{X'} \tilde U \ar[l] \ar[d] \ar[r] & U \times_{X'} U \ar[d] \\ U' \times_S U' & \tilde U \times_S \tilde U \ar[l] \ar[r] & U \times_S U }\] 其中两个方块均为笛卡尔方块。我们知道，底行的对象可由 \((\Sch/S)_{fppf}\) 的对象表示。由上一段的论证， \(U \times_{X'} U\) 也具有这一性质（因为按假定，我们有层的满射 \(R \to U \times_{X'} U\)）。由于 \((\Sch/S)_{fppf}\) 按构造对纤维积封闭，可知 \(\tilde U \times_{X'} \tilde U\) 可由 \((\Sch/S)_{fppf}\) 的一个对象表示。最后，因为 \(\tilde U \to U'\) 是 fppf 层的满射，所以 \(\tilde U \times_{X'} \tilde U \to U' \times_{X'} U'\) 也是 fppf 层的满射。因此再次应用上一段的结论，可得 \(R' = U' \times_{X'} U'\) 可由 \((\Sch/S)_{fppf}\) 的一个对象表示。 此时，引理 0262 和定理 02WW 表明， \(X = h_{U'}/h_{R'}\) 是 \(\textit{Spaces}/S\) 的一个对象，并满足 \(f^{-1}X \cong X'\)，正如所需。
基概形的变更
本节简要讨论变更基概形时会发生什么。结论是，给定基概形的态射 \(S \to S'\)，任何 \(S\) 上的代数空间都可视为 \(S'\) 上的代数空间。 反之，给定 \(S'\) 上的代数空间 \(F'\)，存在它的基变换 \(F'_S\)， 这是 \(S\) 上的代数空间。 这里只说明 \(S \to S'\) 是所考察的大 fppf 站点中的态射这一情形。 若只有 \(S\) 或 \(S'\) 包含在大站点中，则先按章节 03FO 扩大该大站点。
引理
设给定大站点 \(\Sch_{fppf}\)。令 \(g : S \to S'\) 为 \(\Sch_{fppf}\) 的态射，并令 \(j : (\Sch/S)_{fppf} \to (\Sch/S')_{fppf}\) 为相应的局部化函子。设 \(F\) 是 \((\Sch/S)_{fppf}\) 上的集合层。则
对 \(S'\) 上的概形 \(T'\)，有 \(j_!F(T'/S') = \coprod\nolimits_{\varphi : T' \to S} F(T' \xrightarrow{\varphi} S),\)
若 \(F\) 可由概形 \(X \in \Ob((\Sch/S)_{fppf})\) 表示， 则 \(j_!F\) 可由 \(j(X)\) 表示，而后者就是把 \(X\) 视作 \(S'\) 上的概形；并且
若 \(F\) 是 \(S\) 上的代数空间，则 \(j_!F\) 是 \(S'\) 上的代数空间；若 \(F = U/R\) 是一个表示，则 \(j_!F = j(U)/j(R)\) 也是一个表示。
设 \(F'\) 是 \((\Sch/S')_{fppf}\) 上的集合层。则
对 \(S\) 上的概形 \(T\)，有 \(j^{-1}F'(T/S) = F'(T/S')\)；
若 \(F'\) 可由概形 \(X' \in \Ob((\Sch/S')_{fppf})\) 表示，则 \(j^{-1}F'\) 可表示， 具体由 \(X'_S = S \times_{S'} X'\) 表示；并且
若 \(F'\) 是代数空间，则 \(j^{-1}F'\) 是代数空间； 若 \(F' = U'/R'\) 是一个表示，则 \(j^{-1}F' = U'_S/R'_S\) 是一个表示。
证明
函子 \(j_!\)、\(j_*\) 和 \(j^{-1}\) 定义于站点，引理 03EH；那里还证明了 \(j = j_{S/S'}\) 是 \((\Sch/S')_{fppf}\) 在对象 \(S/S'\) 处的局部化。因此，关于局部化函子的全部结果都适用于 \(j\)。 (1) 中的公式即站点，引理 03HT。 按定义，\(j_!\) 是限制函子 \(j^{-1}\) 的左伴随，故 \(j_!\) 右正合。 由站点，引理 04BB， 它还与纤维积和等化子交换。由站点，引理 03HU 可知 \(j_!h_X = h_{j(X)}\)，故 (2) 成立。 若 \(F\) 是 \(S\) 上的代数空间，则可写成 \(F = U/R\) （引理 0262），并且有 \[j_!F = j(U)/j(R)\] 这是因为 \(j_!\) 右正合，因而与余等化子交换；此外，由于 \(j_!\) 与纤维积交换，有 \(j(R) = j(U) \times_{j_!F} j(U)\)。态射 \(j(s), j(t) : j(R) \to j(U)\) 就是态射 \(s, t : R \to U\) （只是视作 \(S'\) 上概形的态射），所以仍为 étale 态射。 因此 \((j(U), j(R), s, t)\) 是一个 étale 等价关系。 由定理 02WW 可知 \(j_!F\) 是代数空间。
证明 (4)、(5) 和 (6)。站点，章节 00XZ 给出了 \(j^{-1}\) 的描述。由站点，引理 03CE，与 \(X'/S'\) 相伴的 可表示层的限制，是与 \(X'_S = S \times_{S'} Y'\) 相伴的可表示层。 限制函子 \(j^{-1}\) 正合，故 \(j^{-1}F' = U'_S/R'_S\)。 再次由正合性，层 \(R'_S\) 仍是 \(U'_S\) 上的等价关系。 最后，两个映射 \(R'_S \to U'_S\) 是 étale 态射，因为它们是 étale 态射 \(R' \to U'\) 的基变换。因此，由定理 02WW，\(j^{-1}F' = U'_S/R'_S\) 是代数空间，即得所证。
注意，表示 \(j_!F = j(U)/j(R)\) 正是 \(F\) 的表示，只不过将其 视作由 \(S'\) 上概形给出的表示。因此，下面的定义是合理的。
定义
设 \(\Sch_{fppf}\) 为大 fppf 站点，并设 \(S \to S'\) 为该站点的态射。
代数空间 \(j_!F\) 带有 \(S'\) 上代数空间的典范态射 \(j_!F \to S\)。这是因为层 \(j_!F\) 映到 \(h_S\)（例如参见引理 03I4 中的显式描述）。 事实上，站点，引理 00Y1 已经表明，\((\Sch/S)_{fppf}\) 上的层范畴等价于如下二元组 \((\mathcal{F}', \mathcal{F}' \to h_S)\) 的范畴：其中的层是 \((\Sch/S')_{fppf}\) 上的层，而 \(\mathcal{F}' \to h_S\) 是层的映射。此等价把层 \(\mathcal{F}\) 送到二元组 \((j_!\mathcal{F}, j_!\mathcal{F} \to h_S)\)。 结合上面的结果，得到下述关于代数空间范畴的结论。
引理
设 \(\Sch_{fppf}\) 为大 fppf 站点，并设 \(S \to S'\) 为该站点的态射。 上述构造给出范畴的等价 \[\left\{ \begin{matrix} \text{代数空间范畴}\\ \text{基概形为 }S \end{matrix} \right\} \leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} \text{二元组范畴 }(F', F' \to S)\text{，其中}\\ \text{含有代数空间 }F'\text{，基概形为 }S'\text{，以及}\\ \text{代数空间态射 }F' \to S\text{，基概形为 }S' \end{matrix} \right\}\]
证明
设 \(F\) 是 \(S\) 上的代数空间。从左向右的函子把 \(F\) 送到二元组 \((j_!F, j_!F \to S)\)；由引理 03I4， 这是右侧范畴的对象。根据站点，引理 00Y1，该构造给出层范畴的等价， 所以为完成证明，只需说明：若 \(F\) 是层且 \(j_!F\) 是代数空间，则 \(F\) 是代数空间。为此，按引理 0262 写成 \(j_!F = U'/R'\)，其中 \(U', R' \in \Ob((\Sch/S')_{fppf})\)。 于是复合 \(U' \to j_!F \to S\) 和 \(R' \to j_!F \to S\) 是 \(S'\) 上概形的态射。以 \(U, R\) 表示 \((\Sch/S)_{fppf}\) 中的相应对象。两个态射 \(R' \to U'\) 都是 \(S\) 上的态射，因而对应于 态射 \(R \to U\)。由于这些只是相同的态射（但视作 \(S\) 上的态射）， 我们得到 \(S\) 上的一个 étale 等价关系。由于 \(j_!\) 给出层范畴的 等价（见上述参考），可知 \(F = U/R\)；再由定理 02WW，可知 \(F\) 是代数空间。
下面的引理是对上述结论的略微改述。
引理
设 \(\Sch_{fppf}\) 为大 fppf 站点，设 \(S \to S'\) 为该站点的态射， 并设 \(F'\) 是 \((\Sch/S')_{fppf}\) 上的层。下列条件等价：
限制 \(F'|_{(\Sch/S)_{fppf}}\) 是 \(S\) 上的代数空间；并且
层 \(h_S \times F'\) 是 \(S'\) 上的代数空间。
证明
最后用一个关于相容性的引理结束本节。
引理
设 \(\Sch_{fppf}\) 为大 fppf 站点，设 \(S \to S'\) 为该站点的态射， 并设 \(F\) 是 \(S\) 上的代数空间。设 \(T\) 是 \(S\) 上的概形， 且 \(f : T \to F\) 是 \(S\) 上的态射。 对 \(f\) 应用引理 04SG 所述的范畴等价，得到 \(S'\) 上的态射 \(f' : T' \to F'\)。 对定义 025V 中的任意性质 \(\mathcal{P}\)，都有 \(\mathcal{P}(f') \Leftrightarrow \mathcal{P}(f)\)。
证明
设 \(U\) 是 \(S\) 上的概形，且 \(U \to F\) 是满 étale 态射。 以 \(U'\) 表示把概形 \(U\) 视作 \(S'\) 上概形所得的对象。引理 03I4 已表明 \(U' \to F'\) 是满 étale 态射。由于 \[j(T \times_{f, F} U) = T' \times_{f', F'} U'\] 概形态射 \(T \times_{f, F} U \to U\) 与概形态射 \(T' \times_{f', F'} U' \to U'\) 相识别。它们是同一个态射， 只是视作位于不同的基概形上。因此，本引理由引理 02WZ 得出。
文献中，这通常指拟分离且局部分离的代数空间。↩︎
该定义由 B. Conrad 建议。↩︎
必须要求 \(R\) 存在， 这是因为我们在集合，方程 (046U) 中选择了函数 \(Bound\)。就 \(U\) 的大小而言，纤维积 \(U \times_{X'} U\) 的大小可能 增长得比 \(Bound\) 更快。令 \(S = \Spec(A)\)、 \(U = \Spec(A[x_i, i \in I])\) 以及 \(R = \coprod_{(\lambda_i) \in A^I} \Spec(A[x_i, y_i]/(x_i - \lambda_i y_i))\) 即可说明这一点。在此情形中，\(R\) 的大小按 \(\kappa^\kappa\) 增长， 其中 \(\kappa\) 是 \(U\) 的大小。↩︎