栈

引言

在这一很短的章中，我们引入栈与群胚栈。见 [DM] 与 [Vis2]。

与纤维化范畴相关的态射预层

令 \(\mathcal{C}\) 为范畴。令 \(p : \mathcal{S} \to \mathcal{C}\) 为纤维化范畴， 见 Categories, Section 02XJ。 设 \(x, y\in \Ob(\mathcal{S}_U)\) 是 \(U\) 上方纤维范畴中的对象。 我们将定义函子 \[\mathit{Mor}(x, y) : (\mathcal{C}/U)^{opp} \longrightarrow \textit{Sets}.\] 换言之，这是 \(\mathcal{C}/U\) 上的预层，见 Sites, Definition 00V3。 依照 Categories, Definition 02XN 选定拉回。对 \(f : V \to U\)，置 \[\mathit{Mor}(x, y)(f : V \to U) = \Mor_{\mathcal{S}_V}(f^\ast x, f^\ast y).\] 令 \(f' : V' \to U\) 为 \(\mathcal{C}/U\) 的第二个对象。 还需定义与 \(\mathcal{C}/U\) 中态射 \(g : V'/U \to V/U\) 对应的限制映射；换言之， \(g : V' \to V\) 且 \(f' = f \circ g\)。该映射为 \[\Mor_{\mathcal{S}_V}(f^\ast x, f^\ast y) \longrightarrow \Mor_{\mathcal{S}_{V'}}({f'}^\ast x, {f'}^\ast y), \quad \phi \longmapsto \phi|_{V'}\] 它基本上就是 \(g^\ast\)，但这会把左边的元素 \(\phi\) 变为 \(\Mor_{\mathcal{S}_{V'}}(g^\ast f^\ast x, g^\ast f^\ast y)\) 中的元素 \(g^\ast \phi\)。此时使用 Categories, Lemma 02XO 中的变换 \(\alpha_{g, f}\)。 用公式表示，该限制映射为 \[\phi|_{V'} = (\alpha_{g, f})_y^{-1} \circ g^\ast \phi \circ (\alpha_{g, f})_x.\] 当然，实际使用时没有人会以这种方式思考该限制映射。 我们只在此处这样做一次，以验证下列引理。

引理

上述构造确实给出一个预层。

证明

令 \(g : V'/U \to V/U\) 如上，并令 \(g' : V''/U \to V'/U\) 同样为 \(\mathcal{C}/U\) 中的态射。 于是 \(f' = f \circ g\)，且 \(f'' = f' \circ g' = f \circ g \circ g'\)。 令 \(\phi \in \Mor_{\mathcal{S}_V}(f^\ast x, f^\ast y)\)。则 \[\begin{eqnarray*} & & (\alpha_{g \circ g', f})_y^{-1} \circ (g \circ g')^\ast \phi \circ (\alpha_{g \circ g', f})_x \\ & = & (\alpha_{g \circ g', f})_y^{-1} \circ (\alpha_{g', g})_{f^*y}^{-1} \circ (g')^*g^\ast \phi \circ (\alpha_{g', g})_{f^*x} \circ (\alpha_{g \circ g', f})_x \\ & = & (\alpha_{g', f'})_y^{-1} \circ (g')^*(\alpha_{g, f})_y^{-1} \circ (g')^* g^\ast \phi \circ (g')^*(\alpha_{g, f})_x \circ (\alpha_{g', f'})_x \\ & = & (\alpha_{g', f'})_y^{-1} \circ (g')^*\Big( (\alpha_{g, f})_y^{-1} \circ g^\ast \phi \circ (\alpha_{g, f})_x \Big) \circ (\alpha_{g', f'})_x \end{eqnarray*}\] 这正是所需的等式 \(\phi|_{V''} = (\phi|_{V'})|_{V''}\)。 第一个等式成立，是因为 \(\alpha_{g', g}\) 是函子之间的变换，因而 \[\xymatrix{ (g \circ g')^*f^*x \ar[rr]_{(g \circ g')^\ast \phi} \ar[d]_{(\alpha_{g', g})_{f^*x}} & & (g \circ g')^*f^*y \ar[d]^{(\alpha_{g', g})_{f^*y}} \\ (g')^*g^*f^*x \ar[rr]^{(g')^*g^\ast \phi} & & (g')^*g^*f^*y }\] 交换。第二个等式由伪函子的性质 (d) 得出，因为 \(f' = f \circ g\)（见 Categories, Definition 003N）。 最后一个等式来自 \((g')^*\) 是函子这一事实。

从现在起，我们常常不再明说变换 \(\alpha_{g, f}\)，而直接等同函子 \(g^* \circ f^*\) 与 \((f \circ g)^*\)。特别地，给定 \(g : V'/U \to V/U\)，预层 \(\mathit{Mor}(x, y)\) 的限制映射 有时记作 \(\phi \mapsto g^*\phi\)。我们用一个定义形式化该构造。

定义

令 \(\mathcal{C}\) 为范畴。令 \(p : \mathcal{S} \to \mathcal{C}\) 为纤维化范畴，见 Categories, Section 02XJ。 给定 \(\mathcal{C}\) 的对象 \(U\) 以及纤维范畴的对象 \(x\)、\(y\)， 所谓从 \(x\) 到 \(y\) 的态射预层，是上面描述的预层 \[(f : V \to U) \longmapsto \Mor_{\mathcal{S}_V}(f^*x, f^*y)\] 记为 \(\mathit{Mor}(x, y)\)。其子预层 \(\mathit{Isom}(x, y)\) 在 \(V\) 上的值是纤维范畴 \(\mathcal{S}_V\) 中所有同构 \(f^*x \to f^*y\) 所成的集合，称为从 \(x\) 到 \(y\) 的同构预层。

若 \(\mathcal{S}\) 以群胚为纤维，则当然有 \(\mathit{Isom}(x, y) = \mathit{Mor}(x, y)\)，并且通常使用 \(\mathit{Isom}\) 这一记号。

引理

令 \(F : \mathcal{S}_1 \to \mathcal{S}_2\) 为范畴 \(\mathcal{C}\) 上纤维化范畴的 \(1\)-态射。令 \(U \in \Ob(\mathcal{C})\) 且 \(x, y\in \Ob((\mathcal{S}_1)_U)\)。则 \(F\) 在 \(\mathcal{C}/U\) 上定义预层的典范态射 \[\mathit{Mor}_{\mathcal{S}_1}(x, y) \longrightarrow \mathit{Mor}_{\mathcal{S}_2}(F(x), F(y))\]

证明

由 Categories, Definition 02XP， 函子 \(F\) 把强笛卡尔态射映为强笛卡尔态射。因此，若 \(f : V \to U\) 是 \(\mathcal{C}\) 中的态射，则存在典范同构 \(\alpha_V : f^*F(x) \to F(f^*x)\) 与 \(\beta_V : f^*F(y) \to F(f^*y)\)，使得 \(f^*F(x) \to F(f^*x) \to F(x)\) 是典范态射 \(f^*F(x) \to F(x)\)；对 \(\beta_V\) 亦然。因此可用 \(\phi \mapsto \beta_V^{-1} \circ F(\phi) \circ \alpha_V\) 定义 \[\xymatrix{ \mathit{Mor}_{\mathcal{S}_1}(x, y)(f : V \to U) \ar@{=}[r] & \Mor_{\mathcal{S}_{1, V}}(f^\ast x, f^\ast y) \ar[d] \\ \mathit{Mor}_{\mathcal{S}_2}(F(x), F(y))(f : V \to U) \ar@{=}[r] & \Mor_{\mathcal{S}_{2, V}}(f^\ast F(x), f^\ast F(y)) }\] 略去其与限制映射相容的验证。

注

设 \(p : \mathcal{S} \to \mathcal{C}\) 以群胚为纤维。 此时可证明 Lemma 026A；所用的是 Categories, Lemma 004A，后者说明， \(\mathcal{S} \to \mathcal{C}\) 等价于反变函子 \(F : \mathcal{C} \to \textit{Groupoids}\) 所对应的范畴。 对与 \(F\) 对应的纤维化范畴，严格地有 \(g^* \circ f^* = (f \circ g)^*\)，无需使用映射 \(\alpha_{g, f}\)。此时该引理（更为）平凡。 当然，这还用到了：换成等价的纤维化范畴时， \(\mathit{Mor}(x, y)\) 预层不变；这由 Lemma 042V 得出。

引理

令 \(\mathcal{C}\) 为范畴。令 \(p : \mathcal{S} \to \mathcal{C}\) 为纤维化范畴，见 Categories, Section 02XJ。 令 \(U \in \Ob(\mathcal{C})\) 且 \(x, y \in \Ob(\mathcal{S}_U)\)。

仍以 \(x, y : \mathcal{C}/U \to \mathcal{S}\) 记相应的 \(1\)-态射， 见 Categories, Lemma 004B。则

1. \(2\)-纤维积 \(\mathcal{S} \times_{\mathcal{S} \times \mathcal{S}, (x, y)} \mathcal{C}/U\) 在 \(\mathcal{C}/U\) 上以集合胚为纤维；并且

2. \(\mathit{Isom}(x, y)\) 是与该集合胚纤维化范畴对应的集合预层， 见 Categories, Lemma 04SC。

证明

略。提示：该 \(2\)-纤维积的对象是 \((a : V \to U, z, (\alpha, \beta))\)，其中 \(\alpha : z \to a^*x\) 与 \(\beta : z \to a^*y\) 是 \(\mathcal{S}_V\) 中的同构。因此，把这样的对象指派给同构 \(\beta \circ \alpha^{-1}\)，便得到它与 \(\mathit{Isom}(x, y)\) 之间的关系。

纤维化范畴中的下降数据

本节在纤维化范畴的抽象框架中定义下降数据的概念。 在此之前先指出，这与拟凝聚层的下降数据 （Descent, Section 023A） 以及概形之上的概形的下降数据 （Descent, Section 023U） 完全类似。

我们采用如下约定：投影映射 \(\text{pr}_i : X \times \ldots \times X \to X\) 的下标从 \(i = 0\) 开始。因此有 \(\text{pr}_0, \text{pr}_1 : X \times X \to X\)、 \(\text{pr}_0, \text{pr}_1, \text{pr}_2 : X \times X \times X \to X\) 等等。

定义

令 \(\mathcal{C}\) 为范畴。令 \(p : \mathcal{S} \to \mathcal{C}\) 为纤维化范畴。 依照 Categories, Definition 02XN 选定拉回。令 \(\mathcal{U} = \{f_i : U_i \to U\}_{i \in I}\) 为 \(\mathcal{C}\) 中的态射族。假设所有纤维积 \(U_i \times_U U_j\) 与 \(U_i \times_U U_j \times_U U_k\) 均存在。

1. 所谓 \(\mathcal{S}\) 中相对于族 \(\{f_i : U_i \to U\}\) 的下降数据 \((X_i, \varphi_{ij})\)，由下列资料给出：对每个 \(i \in I\)， 给定 \(\mathcal{S}_{U_i}\) 的对象 \(X_i\)；对每对 \((i, j) \in I^2\)，给定 \(\mathcal{S}_{U_i \times_U U_j}\) 中的同构 \(\varphi_{ij} : \text{pr}_0^*X_i \to \text{pr}_1^*X_j\)； 并要求对每组三个下标 \((i, j, k) \in I^3\)，图表 \[\xymatrix{ \text{pr}_0^*X_i \ar[rd]_{\text{pr}_{01}^*\varphi_{ij}} \ar[rr]_{\text{pr}_{02}^*\varphi_{ik}} & & \text{pr}_2^*X_k \\ & \text{pr}_1^*X_j \ar[ru]_{\text{pr}_{12}^*\varphi_{jk}} & }\] 在范畴 \(\mathcal{S}_{U_i \times_U U_j \times_U U_k}\) 中交换。 这称为余循环条件。

2. 所谓下降数据的态射 \(\psi : (X_i, \varphi_{ij}) \to (X'_i, \varphi'_{ij})\)，由态射族 \(\psi = (\psi_i)_{i\in I}\) 给出，其中 \(\psi_i : X_i \to X'_i\) 是 \(\mathcal{S}_{U_i}\) 中的态射， 并且所有图表 \[\xymatrix{ \text{pr}_0^*X_i \ar[r]_{\varphi_{ij}} \ar[d]_{\text{pr}_0^*\psi_i} & \text{pr}_1^*X_j \ar[d]^{\text{pr}_1^*\psi_j} \\ \text{pr}_0^*X'_i \ar[r]^{\varphi'_{ij}} & \text{pr}_1^*X'_j \\ }\] 在范畴 \(\mathcal{S}_{U_i \times_U U_j}\) 中交换。

3. 相对于 \(\mathcal{U}\) 的下降数据所成的范畴记作 \(DD(\mathcal{U})\)。

如果每个态射 \(f_i : U_i \to U\) 都是可表的，则纤维积 \(U_i \times_U U_j\) 与 \(U_i \times_U U_j \times_U U_k\) 存在；见 Categories, Definition 001X。 回忆，在位点中，覆盖 \(\{U_i \to U\}\) 的条件之一是每个态射均可表， 见 Sites, Definition 00VH 第 (3) 部分。 事实上，上述定义主要用于 \(\mathcal{C}\) 是位点且 \(\{U_i \to U\}\) 是 \(\mathcal{C}\) 的覆盖的情形。 不过，下降数据只是可以如上定义的抽象构造。这一点很有用： 例如，给定 \(\mathcal{C}\) 上的纤维化范畴，可以考察下降数据对哪些族有效， 并尝试把这些族用作位点的覆盖族。

注

关于 Definition 026B 有两点说明。 令 \(p : \mathcal{S} \to \mathcal{C}\) 为纤维化范畴，并令 \(\{f_i : U_i \to U\}_{i \in I}\) 与 \((X_i, \varphi_{ij})\) 如 Definition 026B 中所述。

1. 存在对角态射 \(\Delta : U_i \to U_i \times_U U_i\)。 沿该态射拉回 \(\varphi_{ii}\)，得到自同构 \(\Delta^\ast \varphi_{ii} \in \text{Aut}_{U_i}(X_i)\)。 把三元组 \((i, i, i)\) 的余循环条件沿 \(\Delta_{123} : U_i \to U_i \times_U U_i \times_U U_i\) 拉回，可推出 \(\Delta^\ast \varphi_{ii} \circ \Delta^\ast \varphi_{ii} = \Delta^\ast \varphi_{ii}\)；因而 \(\Delta^\ast \varphi_{ii} = \text{id}_{X_i}\)。

2. 存在态射 \(\Delta_{13}: U_i \times_U U_j \to U_i \times_U U_j \times_U U_i\)。 把三元组 \((i, j, i)\) 的余循环条件沿该态射拉回，得到恒等式 \((\sigma^\ast \varphi_{ji}) \circ \varphi_{ij} = \text{id}_{\text{pr}_0^\ast X_i}\)，其中 \(\sigma : U_i \times_U U_j \to U_j \times_U U_i\) 是交换态射。

引理

（下降数据的拉回。） 令 \(\mathcal{C}\) 为范畴。令 \(p : \mathcal{S} \to \mathcal{C}\) 为纤维化范畴。

依照 Categories, Definition 02XN 选定拉回。令 \(\mathcal{U} = \{f_i : U_i \to U\}_{i \in I}\) 与 \(\mathcal{V} = \{V_j \to V\}_{j \in J}\) 为 \(\mathcal{C}\) 中具有固定目标的态射族。

假设所有纤维积 \(U_i \times_U U_{i'}\)、 \(U_i \times_U U_{i'} \times_U U_{i''}\)、 \(V_j \times_V V_{j'}\) 与 \(V_j \times_V V_{j'} \times_V V_{j''}\) 均存在。 令 \(\alpha : I \to J\)、\(h : U \to V\) 以及 \(g_i : U_i \to V_{\alpha(i)}\) 给出具有固定目标的映射族之间的态射， 见 Sites, Definition 00VT。

1. 令 \((Y_j, \varphi_{jj'})\) 为相对于族 \(\{V_j \to V\}\) 的下降数据。系统 \[\left( g_i^*Y_{\alpha(i)}, (g_i \times g_{i'})^*\varphi_{\alpha(i)\alpha(i')} \right)\] 是相对于 \(\mathcal{U}\) 的下降数据。

2. 该构造定义从相对于 \(\mathcal{V}\) 的下降数据到相对于 \(\mathcal{U}\) 的下降数据的函子。

3. 再给定 \(\alpha' : I \to J\)、\(h' : U \to V\) 以及 \(g'_i : U_i \to V_{\alpha'(i)}\) 所给出的具有固定目标的映射族之间的态射；

   若 \(h = h'\)，则由两组资料所得的下降数据函子典范同构。

证明

略。

定义

令 \(\mathcal{U} = \{U_i \to U\}_{i \in I}\)、 \(\mathcal{V} = \{V_j \to V\}_{j \in J}\)、 \(\alpha : I \to J\)、\(h : U \to V\) 以及 \(g_i : U_i \to V_{\alpha(i)}\) 如 Lemma 02ZD 中所述。该引理中构造的函子 \[(Y_j, \varphi_{jj'}) \longmapsto (g_i^*Y_{\alpha(i)}, (g_i \times g_{i'})^*\varphi_{\alpha(i)\alpha(i')})\] 称为下降数据上的拉回函子。

给定 \(h : U \to V\)，若存在覆盖 \(h\) 的态射 \(\tilde h : \mathcal{U} \to \mathcal{V}\)，则由 Lemma 02ZD，\(\tilde h^*\) 与 \(\tilde h\) 的选择无关。因此，我们有时直接以 \(h^*\) 表示拉回函子。

定义

令 \(\mathcal{C}\) 为范畴。令 \(p : \mathcal{S} \to \mathcal{C}\) 为纤维化范畴。 依照 Categories, Definition 02XN 选定拉回。令 \(\mathcal{U} = \{f_i : U_i \to U\}_{i \in I}\) 为目标为 \(U\) 的态射族。假设所有纤维积 \(U_i \times_U U_j\) 与 \(U_i \times_U U_j \times_U U_k\) 均存在。

1. 给定 \(\mathcal{S}_U\) 的对象 \(X\)，所谓平凡下降数据， 是相对于族 \(\{\text{id}_U : U \to U\}\) 的下降数据 \((X, \text{id}_X)\)。

2. 给定 \(\mathcal{S}_U\) 的对象 \(X\)，把平凡下降数据 \((X, \text{id}_X)\) 沿显然的映射 \(\{f_i : U_i \to U\} \to \{\text{id}_U : U \to U\}\) 拉回，就在对象族 \(f_i^*X\) 上得到一个典范下降数据。 记该下降数据为 \((f_i^*X, can)\)。

3. 相对于 \(\{f_i : U_i \to U\}\) 的下降数据 \((X_i, \varphi_{ij})\) 称为有效的，如果存在 \(\mathcal{S}_U\) 的对象 \(X\)，使 \((X_i, \varphi_{ij})\) 同构于 \((f_i^*X, can)\)。

注意，把 \(X \in \mathcal{S}_U\) 指派到它相对于 \(\mathcal{U}\) 的典范下降数据，这一规则定义函子 \[\mathcal{S}_U \longrightarrow DD(\mathcal{U}).\] 下降数据有效，当且仅当它属于该函子的本质像。 下面具体写出典范下降数据。

引理

在 Definition 026E 第 (2) 部分的情形下， 映射 \(can_{ij} : \text{pr}_0^*f_i^*X \to \text{pr}_1^*f_j^*X\) 等于 \((\alpha_{\text{pr}_1, f_j})_X \circ (\alpha_{\text{pr}_0, f_i})_X^{-1}\)，其中 \(\alpha_{\cdot, \cdot}\) 如 Categories, Lemma 02XO 中所述，并且我们使用映射 \(U_i \times_U U_j \to U\) 之间的等式 \(f_i \circ \text{pr}_0 = f_j \circ \text{pr}_1\)。

证明

略。

引理

令 \(\mathcal{C}\) 为范畴。令 \(\mathcal{V} = \{V_j \to U\}_{j \in J} \to \mathcal{U} = \{U_i \to U\}_{i \in I}\) 为 \(\mathcal{C}\) 中具有固定目标的映射族之间的态射，它由 \(\text{id} : U \to U\)、 \(\alpha : J \to I\) 以及 \(f_j : V_j \to U_{\alpha(j)}\) 给出。令 \(p : \mathcal{S} \to \mathcal{C}\) 为纤维化范畴。若

1. 对 \(0 \leq p \leq 3\) 与 \(0 \leq q \leq 3\)，当 \(p + q \geq 2\)，并且 \(i_1, \ldots, i_p \in I\)、\(j_1, \ldots, j_q \in J\) 时，纤维积 \(U_{i_1} \times_U \ldots \times_U U_{i_p} \times_U V_{j_1} \times_U \ldots \times_U V_{j_q}\) 存在；

2. 函子 \(\mathcal{S}_U \to DD(\mathcal{V})\) 是等价；

3. 对每个 \(i \in I\)，函子 \(\mathcal{S}_{U_i} \to DD(\mathcal{V}_i)\) 是全忠实的；且

4. 对每个 \(i, i' \in I\)，函子 \(\mathcal{S}_{U_i \times_U U_{i'}} \to DD(\mathcal{V}_{ii'})\) 是忠实的。

这里 \(\mathcal{V}_i = \{U_i \times_U V_j \to U_i\}_{j \in J}\)，而 \(\mathcal{V}_{ii'} = \{U_i \times_U U_{i'} \times_U V_j \to U_i \times_U U_{i'}\}_{j \in J}\)。 则 \(\mathcal{S}_U \to DD(\mathcal{U})\) 是等价。

证明

条件 (1) 保证有足够的纤维积可供使用，从而上述陈述有意义。 我们先证明函子 \(\mathcal{S}_U \to DD(\mathcal{U})\) 本质满射。设给定相对于 \(\mathcal{U}\) 的下降数据 \((X_i, \varphi_{ii'})\)。 由引理 02ZD，可将其拉回为相对于 \(\mathcal{V}\) 的下降数据 \((X_j, \varphi_{jj'})\)。 由假设 (2)，该下降数据有效，因而存在 \(\mathcal{S}_U\) 中的对象 \(X\)，使得平凡下降数据 \((X, \text{id}_X)\) 沿态射 \(\mathcal{V} \to \{U \to U\}\) 的拉回同构于 \((X_j, \varphi_{jj'})\)。其次，注意有图式 \[\xymatrix{ \mathcal{V}_i \ar[r] \ar[d] & \mathcal{V} \ar[r] & \mathcal{U} \ar[d] \\ \{U_i \to U_i\} \ar[rr] \ar[rru] & & \{U \to U\} }\] 其箭头是 \(\mathcal{C}\) 中具有固定目标的映射族之间的态射。 这个图式并不交换，但由引理 02ZD， 由此得到的下降数据拉回函子典范同构。因此， \((X, \text{id}_X)\) 与 \((X_i, \text{id}_{X_i})\) 在 \(DD(\mathcal{V}_i)\) 中的拉回是同构对象。 由假设 (3)，遂得到范畴 \(\mathcal{S}_{U_i}\) 中的同构 \((U_i \to U)^*X \to X_i\)。 我们略去验证这些箭头与态射 \(\varphi_{ii'}\) 相容； 提示：使用条件 (4) 中函子的忠实性。 我们也略去验证函子 \(\mathcal{S}_U \to DD(\mathcal{U})\) 全忠实。

栈

下面给出栈的定义。它把纤维化范畴的概念与下降的概念结合起来。

定义

令 \(\mathcal{C}\) 为位点。\(\mathcal{C}\) 上的一个栈 是 \(\mathcal{C}\) 上的范畴 \(p : \mathcal{S} \to \mathcal{C}\)， 并满足下列条件：

1. \(p : \mathcal{S} \to \mathcal{C}\) 是纤维化范畴，见 Categories, Definition 02XM；

2. 对任意 \(U \in \Ob(\mathcal{C})\) 及任意 \(x, y \in \mathcal{S}_U\)，预层 \(\mathit{Mor}(x, y)\)（见 Definition 02ZB）是位点 \(\mathcal{C}/U\) 上的层；且

3. 对位点 \(\mathcal{C}\) 的任意覆盖 \(\mathcal{U} = \{f_i : U_i \to U\}_{i \in I}\)， \(\mathcal{S}\) 中相对于 \(\mathcal{U}\) 的任意下降数据都是有效的。

我们认为，上述表述是理解栈最方便的方式。具体而言，给定 \(\mathcal{C}\) 上的一个范畴，要验证它是栈，就依次检验性质 (1)、(2) 与 (3)。如果该范畴不是纤维化的，性质 (2) 和 (3) 当然没有意义。没有 (2)，就无法证明 (3) 中的下降在唯一同构意义下唯一， 也无法证明其函子性。

下一个引理给出一个等价定义。

引理

令 \(\mathcal{C}\) 为位点。 令 \(p : \mathcal{S} \to \mathcal{C}\) 为 \(\mathcal{C}\) 上的纤维化范畴。下列条件等价：

1. \(\mathcal{S}\) 是 \(\mathcal{C}\) 上的栈；且

2. 对位点 \(\mathcal{C}\) 的任意覆盖 \(\mathcal{U} = \{f_i : U_i \to U\}_{i \in I}\)，将对象送到其 典范下降数据的函子 \[\mathcal{S}_U \longrightarrow DD(\mathcal{U})\] 是等价。

证明

略。

引理

令 \(p : \mathcal{S} \to \mathcal{C}\) 为位点 \(\mathcal{C}\) 上的栈。令 \(\mathcal{S}'\) 为 \(\mathcal{S}\) 的子范畴。假设

1. 若 \(\varphi : y \to x\) 是 \(\mathcal{S}\) 的强笛卡尔态射， 且 \(x\) 是 \(\mathcal{S}'\) 的对象，则 \(y\) 同构于 \(\mathcal{S}'\) 的某个对象；

2. \(\mathcal{S}'\) 是 \(\mathcal{S}\) 的满子范畴；且

3. 若 \(\{f_i : U_i \to U\}\) 是 \(\mathcal{C}\) 的覆盖， \(x\) 是 \(\mathcal{S}\) 中位于 \(U\) 上的对象，并且对每个 \(i\)， \(f_i^*x\) 都同构于 \(\mathcal{S}'\) 的某个对象，则 \(x\) 同构于 \(\mathcal{S}'\) 的某个对象。

那么 \(\mathcal{S}' \to \mathcal{C}\) 是栈。

证明

略。提示： 第一个条件保证 \(\mathcal{S}'\) 是纤维化范畴。

第二个条件保证 \(\mathcal{S}'\) 的 \(\mathit{Isom}\)-预层都是层 （因为它们与 \(\mathcal{S}\) 中相应的预层相同）。 第三个条件保证 \(\mathcal{S}'\) 中满足下降条件：我们可先在 \(\mathcal{S}\) 中下降，再由 (3) 得知所得对象同构于 \(\mathcal{S}'\) 的某个对象。

引理

令 \(\mathcal{C}\) 为位点。 令 \(\mathcal{S}_1\)、\(\mathcal{S}_2\) 为 \(\mathcal{C}\) 上的范畴。假设 \(\mathcal{S}_1\) 与 \(\mathcal{S}_2\) 作为 \(\mathcal{C}\) 上的范畴彼此等价。那么 \(\mathcal{S}_1\) 是 \(\mathcal{C}\) 上的栈，当且仅当 \(\mathcal{S}_2\) 是 \(\mathcal{C}\) 上的栈。

证明

令 \(F : \mathcal{S}_1 \to \mathcal{S}_2\)、 \(G : \mathcal{S}_2 \to \mathcal{S}_1\) 为 \(\mathcal{C}\) 上的函子，并令 \(i : F \circ G \to \text{id}_{\mathcal{S}_2}\)、 \(j : G \circ F \to \text{id}_{\mathcal{S}_1}\) 为 \(\mathcal{C}\) 上函子的同构。由 Categories, Lemma 042G， \(\mathcal{S}_1\) 纤维化，当且仅当 \(\mathcal{S}_2\) 在 \(\mathcal{C}\) 上纤维化。因此可假设 \(\mathcal{S}_1\) 与 \(\mathcal{S}_2\) 均纤维化。 此外，Categories, Lemma 042G 的证明表明， \(F\) 与 \(G\) 把强笛卡尔态射映为强笛卡尔态射；换言之， \(F\) 与 \(G\) 是 \(\mathcal{C}\) 上纤维化范畴的 \(1\)-态射。 这意味着，给定 \(U \in \Ob(\mathcal{C})\) 及 \(x, y \in \mathcal{S}_{1, U}\)，下列预层可相互识别：

\[\mathit{Mor}_{\mathcal{S}_1}(x, y), \mathit{Mor}_{\mathcal{S}_1}(F(x), F(y)) : (\mathcal{C}/U)^{opp} \longrightarrow \textit{Sets}.\] 见引理 042V。因此， 第一个是层，当且仅当第二个是层。 最后还需证明：若 \(\mathcal{S}_1\) 中的每个下降数据都有效， 则 \(\mathcal{S}_2\) 中的每个下降数据也都有效。 为此，令 \((X_i, \varphi_{ii'})\) 为 \(\mathcal{S}_2\) 中 相对于位点 \(\mathcal{C}\) 的覆盖 \(\{U_i \to U\}\) 的下降数据。

那么 \((G(X_i), G(\varphi_{ii'}))\) 是 \(\mathcal{S}_1\) 中 相对于覆盖 \(\{U_i \to U\}\) 的下降数据。 令 \(X\) 为 \(\mathcal{S}_{1, U}\) 的对象，使下降数据 \((f_i^*X, can)\) 同构于 \((G(X_i), G(\varphi_{ii'}))\)。 于是 \(F(X)\) 是 \(\mathcal{S}_{2, U}\) 的对象，使下降数据 \((f_i^*F(X), can)\) 同构于 \((F(G(X_i)), F(G(\varphi_{ii'})))\)；后者又利用 \(i\) 同构于原下降数据 \((X_i, \varphi_{ii'})\)。

\(\mathcal{C}\) 上栈的 \(2\)-范畴定义如下。

定义

令 \(\mathcal{C}\) 为位点。\(\mathcal{C}\) 上栈的 \(2\)-范畴是 \(\mathcal{C}\) 上纤维化范畴的 \(2\)-范畴（见 Categories, Definition 02XP）的如下子 \(2\)-范畴：

1. 其对象为栈 \(p : \mathcal{S} \to \mathcal{C}\)。

2. 其 \(1\)-态射 \((\mathcal{S}, p) \to (\mathcal{S}', p')\) 为函子 \(G : \mathcal{S} \to \mathcal{S}'\)，满足 \(p' \circ G = p\)，且 \(G\) 把强笛卡尔态射映为强笛卡尔态射。

3. 对 \(G, H : (\mathcal{S}, p) \to (\mathcal{S}', p')\)， 其 \(2\)-态射 \(t : G \to H\) 为函子之间的态射，并且对所有 \(x \in \Ob(\mathcal{S})\) 都有 \(p'(t_x) = \text{id}_{p(x)}\)。

引理

令 \(\mathcal{C}\) 为位点。\(\mathcal{C}\) 上栈的 \((2, 1)\)-范畴具有 2-纤维积，其描述与 Categories, Lemma 0040 中相同。

证明

令 \(f : \mathcal{X} \to \mathcal{S}\) 与 \(g : \mathcal{Y} \to \mathcal{S}\) 为上述意义下 \(\mathcal{C}\) 上栈之间的 \(1\)-态射。由 Categories, Lemma 0040 描述的范畴 \(\mathcal{X} \times_\mathcal{S} \mathcal{Y}\)，依 Categories, Lemma 02XQ 是纤维化范畴。 （这里用到了 \(f\) 与 \(g\) 保持强笛卡尔态射。） 还需证明态射预层是层，并且相对于 \(\mathcal{C}\) 的覆盖的下降是有效的。

回忆，\(\mathcal{X} \times_\mathcal{S} \mathcal{Y}\) 的对象 由四元组 \((U, x, y, \phi)\) 给出，它位于 \(\mathcal{C}\) 的对象 \(U\) 上。再令

\((U, x', y', \phi')\) 为位于 \(U\) 上的第二个对象。 回忆，\(\phi : f(x) \to g(y)\) 与 \(\phi' : f(x') \to g(y')\) 是范畴 \(\mathcal{S}_U\) 中的同构。 用这些同构来识别 \(z = f(x) = g(y)\) 与 \(z' = f(x') = g(y')\)。

在这些识别下，显然作为预层有 \[\mathit{Mor}((U, x, y, \phi), (U, x', y', \phi')) = \mathit{Mor}(x, x') \times_{\mathit{Mor}(z, z')} \mathit{Mor}(y, y')\] 然而，预层范畴中的纤维积保持层（Sites, Lemma 00W2），故这是一个层。

令 \(\mathcal{U} = \{f_i : U_i \to U\}_{i \in I}\) 为位点 \(\mathcal{C}\) 的覆盖。令 \((X_i, \chi_{ij})\) 为 \(\mathcal{X} \times_\mathcal{S} \mathcal{Y}\) 中相对于 \(\mathcal{U}\) 的下降数据。按上述方式写 \(X_i = (U_i, x_i, y_i, \phi_i)\)，并依范畴 \(\mathcal{X} \times_\mathcal{S} \mathcal{Y}\) 的定义写 \(\chi_{ij} = (\varphi_{ij}, \psi_{ij})\)（见 Categories, Lemma 0040）。 显然，\((x_i, \varphi_{ij})\) 是 \(\mathcal{X}\) 中的下降数据， 而 \((y_i, \psi_{ij})\) 是 \(\mathcal{Y}\) 中的下降数据。 由于 \(\mathcal{X}\) 与 \(\mathcal{Y}\) 都是栈，这些下降数据有效。 于是得到 \(x \in \Ob(\mathcal{X}_U)\) 与 \(y \in \Ob(\mathcal{Y}_U)\)，它们与下降数据相容，并满足 \(x_i = x|_{U_i}\) 及 \(y_i = y|_{U_i}\)。 令 \(z = f(x)\)、\(z' = g(y)\)；二者都是 \(\mathcal{S}_U\) 的对象。 态射 \(\phi_i\) 是 \(\mathit{Isom}(z, z')(U_i)\) 的元素，并满足 \(\phi_i|_{U_i \times_U U_j} = \phi_j|_{U_i \times_U U_j}\)。 因此，由 \(\mathit{Isom}(z, z')\) 的层性质，得到同构 \(\phi : z = f(x) \to z' = g(y)\)。 我们略去验证，与 \((\mathcal{X} \times_\mathcal{S} \mathcal{Y})_U\) 的对象 \((U, x, y, \phi)\) 相联系的典范下降数据同构于起初给定的下降数据。

引理

令 \(\mathcal{C}\) 为位点。 令 \(\mathcal{S}_1\)、\(\mathcal{S}_2\) 为 \(\mathcal{C}\) 上的栈。令 \(F : \mathcal{S}_1 \to \mathcal{S}_2\) 为 \(1\)-态射。 下列条件等价：

1. \(F\) 全忠实；

2. 对每个 \(U \in \Ob(\mathcal{C})\) 以及每个 \(x, y \in \Ob(\mathcal{S}_{1, U})\)，映射 \[F : \mathit{Mor}_{\mathcal{S}_1}(x, y) \longrightarrow \mathit{Mor}_{\mathcal{S}_2}(F(x), F(y))\] 是位点 \(\mathcal{C}/U\) 上层之间的同构。

证明

假设 (1)。对 (2) 中的 \(U, x, y\)，上述映射 \(F\) 在位于 \(U\) 上的 \(\mathcal{C}\) 的对象 \(V\) 处取值为如下映射： \[\begin{aligned} F : \Mor_{\mathcal{S}_{1, V}}(x|_V, y|_V) &\to \\ & \Mor_{\mathcal{S}_{2, V}}(F(x|_V), F(y|_V)) \end{aligned}\] 由于 \(F\) 全忠实，相应映射 \(\Mor_{\mathcal{S}_1}(x|_V, y|_V) \to \Mor_{\mathcal{S}_2}(F(x|_V), F(y|_V))\) 为双射。纤维范畴 \(\mathcal{S}_{1, V}\) 中的态射，恰为 \(\mathcal{S}_1\) 中 \(x|_V\) 与 \(y|_V\) 之间位于 \(\text{id}_V\) 上的态射。类似地，纤维范畴 \(\mathcal{S}_{2, V}\) 中的态射，恰为 \(\mathcal{S}_2\) 中 \(F(x|_V)\) 与 \(F(y|_V)\) 之间位于 \(\text{id}_V\) 上的态射。 因此，\(F\) 也在这两者之间诱导双射，故 (2) 成立。

假设 (2)。设给定 \(\mathcal{C}\) 的对象 \(U\)、\(V\)， 以及 \(x \in \Ob(\mathcal{S}_{1, U})\) 和 \(y \in \Ob(\mathcal{S}_{1, V})\)。要证明 \(F\) 全忠实， 只需证明它在位于某个固定 \(f : U \to V\) 上的态射之间诱导双射。 在 \(\mathcal{S}_1\) 中选取位于 \(f\) 上的强笛卡尔态射 \(f^*y \to y\)。于是，\(\mathcal{S}_1\) 中位于 \(f\) 上的 态射 \(x \to y\) 的集合与 \(\Mor_{\mathcal{S}_{1, U}}(x, f^*y)\) 之间有双射。 由于 \(F\) 作为 \(\mathcal{C}\) 上栈的 \(2\)-范畴中的 \(1\)-态射保持强笛卡尔态射，\(\mathcal{S}_2\) 中位于 \(f\) 上的态射 \(F(x) \to F(y)\) 的集合与 \(\Mor_{\mathcal{S}_{2, U}}(F(x), F(f^*y))\) 之间也有双射。 又因 \(F\) 诱导双射 \(\Mor_{\mathcal{S}_{1, U}}(x, f^*y) \to \Mor_{\mathcal{S}_{2, U}}(F(x), F(f^*y))\)， 可知 (1) 成立。

引理

令 \(\mathcal{C}\) 为位点。 令 \(\mathcal{S}_1\)、\(\mathcal{S}_2\) 为 \(\mathcal{C}\) 上的栈。令 \(F : \mathcal{S}_1 \to \mathcal{S}_2\) 为全忠实的 \(1\)-态射。下列条件等价：

1. \(F\) 是等价；

2. 对每个 \(U \in \Ob(\mathcal{C})\) 及每个 \(x \in \Ob(\mathcal{S}_{2, U})\)，存在覆盖 \(\{f_i : U_i \to U\}\)，使得 \(f_i^*x\) 属于函子 \(F : \mathcal{S}_{1, U_i} \to \mathcal{S}_{2, U_i}\) 的本质像。

证明

(1) \(\Rightarrow\) (2) 是立即的。 为证明 (2) 蕴含 (1)，需证明 (2) 中的每个 \(x\) 均属于函子 \(F\) 的本质像。 为此，选取 (2) 中的覆盖、对象 \(x_i \in \Ob(\mathcal{S}_{1, U_i})\) 以及同构 \(\varphi_i : F(x_i) \to f_i^*x\)。由下式取箭头 \[\varphi_{ij} : x_i|_{U_i \times_U U_j} \longrightarrow x_j|_{U_i \times_U U_j}\] 使 \(F(\varphi_{ij}) = \varphi_j^{-1} \circ \varphi_i\)， 便得到 \(\mathcal{S}_1\) 中相对于 \(\{f_i : U_i \to U\}\) 的下降数据。 由栈的公理，该下降数据有效，故得到 \(\mathcal{S}_1\) 中位于 \(U\) 上的对象 \(x_1\)。 我们略去验证 \(F(x_1)\) 在 \(U\) 上同构于 \(x\)。

注

（缩减一个“大的”栈以得到栈。） 令 \(\mathcal{C}\) 为位点。假设

\(p : \mathcal{S} \to \mathcal{C}\) 是从一个“大的”范畴到 \(\mathcal{C}\) 的函子，也就是说，假设 \(\mathcal{S}\) 的对象构成真类。最后，假设 \(p : \mathcal{S} \to \mathcal{C}\) 满足 Definition 026F 的条件 (1)、(2)、(3)。 一般而言，无法用一个等价范畴替换

\(p : \mathcal{S} \to \mathcal{C}\) 而得到一个栈。原因是，

纤维范畴 \(\mathcal{S}_U\) 的对象同构类可能构成真类。 另一方面，假设

1. 对每个 \(U \in \Ob(\mathcal{C})\)，存在集合 \(S_U \subset \Ob(\mathcal{S}_U)\)，使得 \(\mathcal{S}_U\) 的每个对象都在 \(\mathcal{S}_U\) 中同构于 \(S_U\) 的某个元素。

在这种情况下，可找到 \(\mathcal{S}\) 的满子范畴 \(\mathcal{S}_{small}\)，并令 \(p_{small} = p|_{\mathcal{S}_{small}}\)，使得

1. 函子 \(p_{small} : \mathcal{S}_{small} \to \mathcal{C}\) 定义一个栈；且

2. 嵌入 \(\mathcal{S}_{small} \to \mathcal{S}\) 全忠实且本质满射。

（提示：对每个 \(U \in \Ob(\mathcal{C})\)，令 \(\alpha(U)\) 表示满足 \(\Ob(\mathcal{S}_U) \cap V_{\alpha(U)}\) 满射到 \(\mathcal{S}_U\) 的对象同构类集合的最小序数，并令 \(\alpha = \sup_{U \in \Ob(\mathcal{C})} \alpha(U)\)。 然后取 \(\Ob(\mathcal{S}_{small}) = \Ob(\mathcal{S}) \cap V_\alpha\)。 所用记号见 Sets, Section 000B。）

群胚中的栈

在各类栈中，纤维化于群胚的栈稍易理解。我们如下重新定义它们。

定义

位点 \(\mathcal{C}\) 上的一个群胚中的栈，是 \(\mathcal{C}\) 上的范畴 \(p : \mathcal{S} \to \mathcal{C}\)， 并满足：

1. \(p : \mathcal{S} \to \mathcal{C}\) 在 \(\mathcal{C}\) 上纤维化于群胚（见 Categories, Definition 003T）；

2. 对所有 \(U \in \Ob(\mathcal{C})\) 及所有 \(x, y\in \Ob(\mathcal{S}_U)\)，预层 \(\mathit{Isom}(x, y)\) 是位点 \(\mathcal{C}/U\) 上的层；且

3. 对 \(\mathcal{C}\) 中的所有覆盖 \(\mathcal{U} = \{U_i \to U\}\)，相对于 \(\mathcal{U}\) 的所有下降数据 \((x_i, \phi_{ij})\) 都有效。

通常最难检验的是第三个条件。下面的引理将此定义与栈的概念作比较。

引理

令 \(\mathcal{C}\) 为位点。 令 \(p : \mathcal{S} \to \mathcal{C}\) 为 \(\mathcal{C}\) 上的范畴。下列条件等价：

1. \(\mathcal{S}\) 是 \(\mathcal{C}\) 上的群胚中的栈；

2. \(\mathcal{S}\) 是 \(\mathcal{C}\) 上的栈，且所有纤维范畴均为群胚；且

3. \(\mathcal{S}\) 在 \(\mathcal{C}\) 上纤维化于群胚， 并且是 \(\mathcal{C}\) 上的栈。

证明

略；不过可参见 Categories, Lemma 003V。

引理

令 \(\mathcal{C}\) 为位点。 令 \(p : \mathcal{S} \to \mathcal{C}\) 为栈。 令 \(p' : \mathcal{S}' \to \mathcal{C}\) 为与 \(\mathcal{S}\) 相联系、由 Categories, Lemma 03WQ 构造的纤维化于群胚的范畴。那么 \(p' : \mathcal{S}' \to \mathcal{C}\) 是群胚中的栈。

证明

回忆，\(\mathcal{S}'\) 中的态射恰为 \(\mathcal{S}\) 的强笛卡尔态射， 而 \(\mathcal{S}\) 的任何同构都是这样的态射。因此， \(\mathcal{S}'\) 中的下降数据与 \(\mathcal{S}\) 中的下降数据 完全相同。现在应用引理 02ZF。 若干细节从略。

引理

令 \(\mathcal{C}\) 为位点。 令 \(\mathcal{S}_1\)、\(\mathcal{S}_2\) 为 \(\mathcal{C}\) 上的范畴。假设 \(\mathcal{S}_1\) 与 \(\mathcal{S}_2\) 作为 \(\mathcal{C}\) 上的范畴彼此等价。 那么 \(\mathcal{S}_1\) 是 \(\mathcal{C}\) 上的群胚中的栈， 当且仅当 \(\mathcal{S}_2\) 是 \(\mathcal{C}\) 上的群胚中的栈。

证明

由引理 02ZJ 与 042W 合并即得。

\(\mathcal{C}\) 上群胚中的栈的 \(2\)-范畴定义如下。

定义

令 \(\mathcal{C}\) 为位点。 \(\mathcal{C}\) 上群胚中的栈的 \(2\)-范畴 是 \(\mathcal{C}\) 上栈的 \(2\)-范畴（见 Definition 02ZG）的如下子 \(2\)-范畴：

1. 其对象为群胚中的栈 \(p : \mathcal{S} \to \mathcal{C}\)。

2. 其 \(1\)-态射 \((\mathcal{S}, p) \to (\mathcal{S}', p')\) 为满足 \(p' \circ G = p\) 的函子 \(G : \mathcal{S} \to \mathcal{S}'\)。 （由于每个态射都是强笛卡尔的，每个函子都保持它们。）

3. 对 \(G, H : (\mathcal{S}, p) \to (\mathcal{S}', p')\)， 其 \(2\)-态射 \(t : G \to H\) 为函子之间的态射，并且对所有 \(x \in \Ob(\mathcal{S})\) 都有 \(p'(t_x) = \text{id}_{p(x)}\)。

注意，任意 \(2\)-态射自动为同构，因而 \(\mathcal{C}\) 上群胚中的栈的 \(2\)-范畴实际上是一个 （严格）\((2, 1)\)-范畴。

引理

令 \(\mathcal{C}\) 为范畴。 \(\mathcal{C}\) 上群胚中的栈的 \(2\)-范畴具有 2-纤维积， 其描述与 Categories, Lemma 0040 中相同。

证明

由 Categories, Lemma 0041 以及引理 02ZJ、 026G 立即可得。

类集合中的栈

本节仅简要说明：集合中的栈与集合层是同一回事。 记号请参见 Categories, Section 04S9。

定义

令 \(\mathcal{C}\) 为位点。

1. \(\mathcal{C}\) 上的一个类集合（setoid）中的栈， 是 \(\mathcal{C}\) 上所有纤维范畴均为类集合的栈。

2. 一个集合中的栈，或离散范畴中的栈， 是 \(\mathcal{C}\) 上所有纤维范畴均为离散范畴的栈。

由 Section 02ZH 中的讨论， 这等同于纤维范畴为类集合（相应地，为离散范畴）的群胚中的栈。 此外，它也等同于一个纤维化于类集合（相应地，集合）且本身为栈的范畴。

引理

令 \(\mathcal{C}\) 为位点。在 \[\left\{ \begin{matrix} \text{预层范畴}\\ \text{集合范畴，位于 }\mathcal{C} \end{matrix} \right\} \leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} \text{范畴的范畴}\\ \text{在下列对象之上以集合为纤维： }\mathcal{C} \end{matrix} \right\}\] 这一 Categories, Lemma 02Y2 的等价之下， 集合中的栈恰好对应于层。

证明

略。提示：证明下降的有效性恰好对应于层条件。

引理

令 \(\mathcal{C}\) 为位点。 令 \(\mathcal{S}\) 为 \(\mathcal{C}\) 上纤维化于类集合的范畴。 那么 \(\mathcal{S}\) 是类集合中的栈，当且仅当唯一的、 纤维化于集合的等价范畴 \(\mathcal{S}'\)（见 Categories, Lemma 0045） 是集合中的栈。换言之，当且仅当预层 \[U \longmapsto \Ob(\mathcal{S}_U)/\!\!\cong\] 是层。

证明

略。

引理

令 \(\mathcal{C}\) 为位点。 令 \(\mathcal{S}_1\)、\(\mathcal{S}_2\) 为 \(\mathcal{C}\) 上的范畴。假设 \(\mathcal{S}_1\) 与 \(\mathcal{S}_2\) 作为 \(\mathcal{C}\) 上的范畴彼此等价。 那么 \(\mathcal{S}_1\) 是 \(\mathcal{C}\) 上的类集合中的栈， 当且仅当 \(\mathcal{S}_2\) 是 \(\mathcal{C}\) 上的类集合中的栈。

证明

由 Categories, Lemma 0045 可知， \(\mathcal{C}\) 上的范畴 \(\mathcal{S}\) 在 \(\mathcal{C}\) 上纤维化于类集合，当且仅当它在 \(\mathcal{C}\) 上等价于某个纤维化于集合的范畴。 因此，\(\mathcal{S}_1\) 在 \(\mathcal{C}\) 上纤维化于类集合， 当且仅当 \(\mathcal{S}_2\) 在 \(\mathcal{C}\) 上纤维化于类集合。 现在由引理 0432 即得结论。

\(\mathcal{C}\) 上类集合中的栈的 \(2\)-范畴定义如下。

定义

令 \(\mathcal{C}\) 为位点。 \(\mathcal{C}\) 上类集合中的栈的 \(2\)-范畴 是 \(\mathcal{C}\) 上栈的 \(2\)-范畴（见 Definition 02ZG）的如下子 \(2\)-范畴：

1. 其对象为类集合中的栈 \(p : \mathcal{S} \to \mathcal{C}\)。

2. 其 \(1\)-态射 \((\mathcal{S}, p) \to (\mathcal{S}', p')\) 为满足 \(p' \circ G = p\) 的函子 \(G : \mathcal{S} \to \mathcal{S}'\)。 （由于每个态射都是强笛卡尔的，每个函子都保持它们。）

3. 对 \(G, H : (\mathcal{S}, p) \to (\mathcal{S}', p')\)， 其 \(2\)-态射 \(t : G \to H\) 为函子之间的态射，并且对所有 \(x \in \Ob(\mathcal{S})\) 都有 \(p'(t_x) = \text{id}_{p(x)}\)。

注意，任意 \(2\)-态射自动为同构，因而 \(\mathcal{C}\) 上类集合中的栈的 \(2\)-范畴实际上是一个 （严格）\((2, 1)\)-范畴。

引理

令 \(\mathcal{C}\) 为位点。 \(\mathcal{C}\) 上类集合中的栈的 \(2\)-范畴具有 2-纤维积， 其描述与 Categories, Lemma 0040 中相同。

证明

由 Categories, Lemmas 0041 与 04SB 以及引理 02ZJ 与 026G 立即可得。

引理

令 \(\mathcal{C}\) 为位点。 令 \(\mathcal{S}, \mathcal{T}\) 为 \(\mathcal{C}\) 上 群胚中的栈，并令 \(\mathcal{R}\) 为 \(\mathcal{C}\) 上 类集合中的栈。令 \(f : \mathcal{T} \to \mathcal{S}\) 与 \(g : \mathcal{R} \to \mathcal{S}\) 为 \(1\)-态射。 若 \(f\) 忠实，则 \(2\)-纤维积 \[\mathcal{T} \times_{f, \mathcal{S}, g} \mathcal{R}\] 是 \(\mathcal{C}\) 上类集合中的栈。

证明

由 Categories, Lemma 0040 中对 \(2\)-纤维积的显式描述立即可得。

引理

令 \(\mathcal{C}\) 为位点。 令 \(\mathcal{S}\) 为 \(\mathcal{C}\) 上群胚中的栈，并令 \(\mathcal{S}_i\)，\(i = 1, 2\) 为 \(\mathcal{C}\) 上 类集合中的栈。令 \(f_i : \mathcal{S}_i \to \mathcal{S}\) 为 \(1\)-态射。那么 \(2\)-纤维积 \[\mathcal{S}_1 \times_{f_1, \mathcal{S}, f_2} \mathcal{S}_2\] 是 \(\mathcal{C}\) 上类集合中的栈。

证明

这是引理 05UI 在 \(f_2\) 忠实时的特殊情形。

引理

令 \(\mathcal{C}\) 为位点。令 \[\xymatrix{ \mathcal{T}_2 \ar[r] \ar[d]_{G'} & \mathcal{T}_1 \ar[d]^G \\ \mathcal{S}_2 \ar[r]^F & \mathcal{S}_1 }\] 为 \(\mathcal{C}\) 上群胚中的栈所组成的 \(2\)-笛卡尔图式。假设

1. 对每个 \(U \in \Ob(\mathcal{C})\) 和 \(x \in \Ob((\mathcal{S}_1)_U)\)，存在覆盖 \(\{U_i \to U\}\)，使得 \(x|_{U_i}\) 属于 \(F : (\mathcal{S}_2)_{U_i} \to (\mathcal{S}_1)_{U_i}\) 的本质像；且

2. \(G'\) 忠实。

那么 \(G\) 忠实。

证明

可假设 \(\mathcal{T}_2\) 就是由 Categories, Lemma 0040 描述的范畴 \(\mathcal{S}_2 \times_{\mathcal{S}_1} \mathcal{T}_1\)。 由 Categories, Lemma 003Z， \(G, G'\) 的忠实性可在纤维范畴上检验。 设 \(y, y'\) 为 \(\mathcal{T}_1\) 中位于 \(\mathcal{C}\) 的对象 \(U\) 上的对象。令 \(\alpha, \beta : y \to y'\) 为 \((\mathcal{T}_1)_U\) 中满足 \(G(\alpha) = G(\beta)\) 的态射。我们的目标是证明 \(\alpha = \beta\)。转而考虑 \(\gamma = \alpha^{-1} \circ \beta\)，可知 \(G(\gamma) = \text{id}_{G(y)}\)，而我们必须证明 \(\gamma = \text{id}_y\)。由假设，可找到覆盖 \(\{U_i \to U\}\)，使 \(G(y)|_{U_i}\) 属于 \(F :(\mathcal{S}_2)_{U_i} \to (\mathcal{S}_1)_{U_i}\) 的本质像。因为只需对每个 \(i\) 证明 \(\gamma|_{U_i} = \text{id}\)，故可假设对 \(\mathcal{S}_2\) 中位于 \(U\) 上的某个对象 \(x\)，有

\(f : F(x) \to G(y)\)，且 \(f\) 是 \((\mathcal{S}_1)_U\) 中的同构。在这种情况下，得到纤维范畴 \(\mathcal{S}_2 \times_{\mathcal{S}_1} \mathcal{T}_1\) 中位于 \(U\) 上的态射 \[(1, \gamma) : (U, x, y, f) \longrightarrow (U, x, y, f)\] 它在 \(G'\) 下于 \(\mathcal{S}_1\) 中的像是 \(\text{id}_x\)。由于 \(G'\) 忠实，遂有 \(\gamma = \text{id}_y\)，结论得证。

引理

令 \(\mathcal{C}\) 为位点。令 \[\xymatrix{ \mathcal{T}_2 \ar[r] \ar[d] & \mathcal{T}_1 \ar[d]^G \\ \mathcal{S}_2 \ar[r]^F & \mathcal{S}_1 }\] 为 \(\mathcal{C}\) 上群胚中的栈所组成的 \(2\)-笛卡尔图式。若

1. \(F : \mathcal{S}_2 \to \mathcal{S}_1\) 全忠实；

2. 对每个 \(U \in \Ob(\mathcal{C})\) 和 \(x \in \Ob((\mathcal{S}_1)_U)\)，存在覆盖 \(\{U_i \to U\}\)，使得 \(x|_{U_i}\) 属于 \(F : (\mathcal{S}_2)_{U_i} \to (\mathcal{S}_1)_{U_i}\) 的本质像；且

3. \(\mathcal{T}_2\) 是类集合中的栈，

那么 \(\mathcal{T}_1\) 是类集合中的栈。

证明

可假设 \(\mathcal{T}_2\) 就是由 Categories, Lemma 0040 描述的范畴 \(\mathcal{S}_2 \times_{\mathcal{S}_1} \mathcal{T}_1\)。 选取 \(U \in \Ob(\mathcal{C})\) 与 \(y \in \Ob((\mathcal{T}_1)_U)\)。 我们必须证明 \(\mathcal{C}/U\) 上的层 \(\mathit{Aut}(y)\) 是平凡的。

为此可以用 \(U\) 的一个覆盖的各成员替换 \(U\)。 因此，由假设 (2)，可假设存在对象 \(x \in \Ob((\mathcal{S}_2)_U)\) 与同构 \(f : F(x) \to G(y)\)。 于是 \(y' = (U, x, y, f)\) 是 \(\mathcal{T}_2\) 中位于 \(U\) 上的对象，它在投影 \(\mathcal{T}_2 \to \mathcal{T}_1\) 下映到 \(y\)。 由 (1) 中 \(F\) 全忠实，映射 \(\mathit{Aut}(y') \to \mathit{Aut}(y)\) 是满射； 这里使用 Categories, Lemma 0040 中对 \(\mathcal{T}_2\) 的态射的显式描述。 由 (3)，层 \(\mathit{Aut}(y')\) 是平凡的，故得引理结论。

引理

令 \(\mathcal{C}\) 为位点。令 \(F : \mathcal{S} \to \mathcal{T}\) 为 \(\mathcal{C}\) 上纤维化于群胚的范畴之间的 \(1\)-态射。假设：

1. \(\mathcal{T}\) 是 \(\mathcal{C}\) 上群胚中的栈；

2. 对每个 \(U \in \Ob(\mathcal{C})\)，纤维范畴之间的函子 \(\mathcal{S}_U \to \mathcal{T}_U\) 忠实；

3. 对每个 \(U\) 与每个 \(y \in \Ob(\mathcal{T}_U)\)，预层 \[(h : V \to U) \longmapsto \{(x, f) \mid x \in \Ob(\mathcal{S}_V), f : F(x) \to f^*y\text{ 相对于 }V\}/\cong\] 是 \(\mathcal{C}/U\) 上的层。

那么 \(\mathcal{S}\) 是 \(\mathcal{C}\) 上群胚中的栈。

证明

我们必须证明态射的下降与对象的下降。

态射的下降。令 \(\{U_i \to U\}\) 为 \(\mathcal{C}\) 的覆盖。 令 \(x, x'\) 为 \(\mathcal{S}\) 中位于 \(U\) 上的对象。 对每个 \(i\)，令 \(\alpha_i : x|_{U_i} \to x'|_{U_i}\) 为位于 \(U_i\) 上的态射， 使得 \(\alpha_i\) 与 \(\alpha_j\) 限制为同一个态射 \(x|_{U_i \times_U U_j} \to x'|_{U_i \times_U U_j}\)。 由于 \(\mathcal{T}\) 是群胚中的栈，存在位于 \(U\) 上的态射 \(\beta : F(x) \to F(x')\)，其在 \(U_i\) 上的限制为 \(F(\alpha_i)\)。于是可把 \(\xi = (x, \beta)\) 与 \(\xi' = (x', \text{id}_{F(x')})\) 视为假设 (3) 中与 \(y = F(x')\) 相联系的预层在 \(U\) 上的截面。另一方面，\(\xi\) 与 \(\xi'\) 在 \(U_i\) 上的限制分别为 \((x|_{U_i}, F(\alpha_i))\) 与 \((x'|_{U_i}, \text{id}_{F(x'|_{U_i})})\)。 态射 \(\alpha_i\) 给出这两者之间的同构。 因此，由假设 (3)，\(\xi\) 与 \(\xi'\) 同构。 这意味着存在位于 \(U\) 上的态射 \(\alpha : x \to x'\)，使 \(F(\alpha) = \beta\)。 由于 \(F\) 在纤维范畴上忠实，得到 \(\alpha|_{U_i} = \alpha_i\)。

对象的下降。令 \(\{U_i \to U\}\) 为 \(\mathcal{C}\) 的覆盖。 令 \((x_i, \varphi_{ij})\) 为 \(\mathcal{S}\) 中相对于该覆盖的 下降数据。由于 \(\mathcal{T}\) 是群胚中的栈，存在 \(\mathcal{T}_U\) 中的对象 \(y\) 以及同构 \(\beta_i : F(x_i) \to y|_{U_i}\)，使得 \(F(\varphi_{ij}) = \beta_j|_{U_i \times_U U_j} \circ (\beta_i|_{U_i \times_U U_j})^{-1}\)。 于是 \((x_i, \beta_i)\) 是假设 (3) 中定义的、与 \(y\) 相联系的预层在 \(U\) 上的截面。 此外，\(\varphi_{ij}\) 定义从 \((x_i, \beta_i)|_{U_i \times_U U_j}\) 到 \((x_j, \beta_j)|_{U_i \times_U U_j}\) 的同构。 因此，由假设 (3)，存在 \(U\) 上的偶对 \((x, \beta)\)， 其在 \(U_i\) 上的限制同构于 \((x_i, \beta_i)\)。 这意味着存在态射 \(\alpha_i : x_i \to x|_{U_i}\)，满足 \(\beta_i = \beta|_{U_i} \circ F(\alpha_i)\)。 由于 \(F\) 在纤维范畴上忠实，计算表明 \(\varphi_{ij} = \alpha_j|_{U_i \times_U U_j} \circ (\alpha_i|_{U_i \times_U U_j})^{-1}\)。证明完毕。

惯性栈

令 \(p : \mathcal{S} \to \mathcal{C}\) 与 \(p' : \mathcal{S}' \to \mathcal{C}\) 为范畴 \(\mathcal{C}\) 上的纤维化范畴。 令 \(F : \mathcal{S} \to \mathcal{S}'\) 为 \(\mathcal{C}\) 上纤维化范畴之间的 \(1\)-态射。 回忆，我们在 Categories, Definition 034I 中定义了一个 相对惯性纤维化范畴 \(\mathcal{I}_{\mathcal{S}/\mathcal{S}'} \to \mathcal{C}\)： 其对象为偶对 \((x , \alpha)\)，其中 \(x \in \Ob(\mathcal{S})\) 且 \(\alpha : x \to x\) 满足 \(F(\alpha) = \text{id}_{F(x)}\)。还有一个绝对版本，即 \(\mathcal{S}\) 的惯性 \(\mathcal{I}_\mathcal{S}\)。 若 \(\mathcal{S}\) 与 \(\mathcal{S}'\) 都是栈，则这些惯性范畴 实际上是 \(\mathcal{C}\) 上的栈。

引理

令 \(\mathcal{C}\) 为位点。令 \(p : \mathcal{S} \to \mathcal{C}\) 与 \(p' : \mathcal{S}' \to \mathcal{C}\) 为位点 \(\mathcal{C}\) 上的栈。令 \(F : \mathcal{S} \to \mathcal{S}'\) 为 \(\mathcal{C}\) 上栈之间的 \(1\)-态射。

1. 惯性 \(\mathcal{I}_{\mathcal{S}/\mathcal{S}'}\) 与 \(\mathcal{I}_\mathcal{S}\) 是 \(\mathcal{C}\) 上的栈。

2. 若 \(\mathcal{S}, \mathcal{S}'\) 是 \(\mathcal{C}\) 上群胚中的栈，则 \(\mathcal{I}_{\mathcal{S}/\mathcal{S}'}\) 与 \(\mathcal{I}_\mathcal{S}\) 亦然。

3. 若 \(\mathcal{S}, \mathcal{S}'\) 是 \(\mathcal{C}\) 上类集合中的栈，则 \(\mathcal{I}_{\mathcal{S}/\mathcal{S}'}\) 与 \(\mathcal{I}_\mathcal{S}\) 亦然。

证明

前三个断言由引理 026G、 02ZL、 0434 以及 Categories, Lemma 034H (1) 中的等价得出。

引理

令 \(\mathcal{C}\) 为位点。 若 \(\mathcal{S}\) 是群胚中的栈，则典范 \(1\)-态射 \(\mathcal{I}_\mathcal{S} \to \mathcal{S}\) 是等价， 当且仅当 \(\mathcal{S}\) 是类集合中的栈。

证明

直接由 Categories, Lemma 042J 得出。

纤维化范畴的栈化

下一个引理中过程的结果称为位点上纤维化范畴的栈化。

引理

令 \(\mathcal{C}\) 为位点。 令 \(p : \mathcal{S} \to \mathcal{C}\) 为 \(\mathcal{C}\) 上的纤维化范畴。存在栈 \(p' : \mathcal{S}' \to \mathcal{C}\) 以及 \(\mathcal{C}\) 上纤维化范畴之间的 \(1\)-态射 \(G : \mathcal{S} \to \mathcal{S}'\)（见 Categories, Definition 02XP），满足：

1. 对每个 \(U \in \Ob(\mathcal{C})\) 以及任意 \(x, y \in \Ob(\mathcal{S}_U)\)，由 \(G\) 诱导的映射 \[\mathit{Mor}(x, y) \longrightarrow \mathit{Mor}(G(x), G(y))\] 把右端识别为左端的层化；且

2. 对每个 \(U \in \Ob(\mathcal{C})\) 及任意 \(x' \in \Ob(\mathcal{S}'_U)\)，存在覆盖 \(\{U_i \to U\}_{i \in I}\)，使得对每个 \(i \in I\)，对象 \(x'|_{U_i}\) 属于函子 \(G : \mathcal{S}_{U_i} \to \mathcal{S}'_{U_i}\) 的本质像。

此外，这些条件在唯一 \(2\)-同构意义下确定栈 \(\mathcal{S}'\)。

证明

在这种证明方法中，我们分阶段进行。

首先，给定 \(U\) 上的 \(x\) 与 \(\mathcal{S}\) 的任意对象 \(y\)，若 \(\mathcal{S}\) 的两个态射 \(a, b : x \to y\) 位于 \(\mathcal{C}\) 的同一个箭头上， 并且存在 \(\mathcal{C}\) 的覆盖 \(\{f_i : U_i \to U\}\)，使得复合 \[f_i^*x \to x \xrightarrow{a} y, \quad f_i^*x \to x \xrightarrow{b} y\] 相等，则称它们局部相等。这在 \(\mathcal{S}\) 的箭头上 给出等价关系 \(\sim\)。若 \(b \sim b'\)，则 \(a \circ b \circ c \sim a \circ b' \circ c\)（验证从略）。 因此可对该等价关系取商，得到 \(\mathcal{C}\) 上的新范畴 \(\mathcal{S}^1\)，以及态射 \(G^1 : \mathcal{S} \to \mathcal{S}^1\)。

可验证 \(G^1\) 保持强笛卡尔态射，并且 \(\mathcal{S}^1\) 是 \(\mathcal{C}\) 上的纤维化范畴。 验证从略。于是问题归约到局部相等的态射彼此相等的情形。

其次，我们如下加入态射。给定 \(U\) 上的 \(x\) 与

位于 \(V\) 上的任意对象 \(y\)，一个从 \(x\) 到 \(y\) 的局部定义态射由下列资料给出：

1. 态射 \(f : U \to V\)；

2. \(U\) 的覆盖 \(\{f_i : U_i \to U\}\)；以及

3. 满足 \(p(a_i) = f \circ f_i\) 的态射 \(a_i : f_i^*x \to y\)，

并要求复合 \[(f_i \times f_j)^*x \to f_i^*x \xrightarrow{a_i} y, \quad (f_i \times f_j)^*x \to f_j^*x \xrightarrow{a_j} y\] 相等。注意，通常的态射 \(a : x \to y\) 给出局部定义态射 \((p(a) : U \to V, \{\text{id}_U\}, a)\)。 称两个局部定义态射 \((f, \{f_i : U_i \to U\}, a_i)\) 与 \((g, \{g_j : U'_j \to U\}, b_j)\) 相等，如果 \(f = g\)，且复合 \[(f_i \times g_j)^*x \to f_i^*x \xrightarrow{a_i} y, \quad (f_i \times g_j)^*x \to g_j^*x \xrightarrow{b_j} y\] 相等（这是正确的条件，因为我们处在局部相等态射彼此相等的情形）。 要复合从 \(x\) 到 \(y\) 的局部定义态射 \((f, \{f_i : U_i \to U\}, a_i)\) 与从 \(y\) 到位于 \(W\) 上的 \(z\) 的局部定义态射 \((g, \{g_j : V_j \to V\}, b_j)\)，只需取 \(g \circ f : U \to W\)、覆盖 \(\{U_i \times_V V_j \to U\}\)，并以复合 \[x|_{U_i \times_V V_j} \xrightarrow{\text{pr}_0^*a_i} y|_{V_j} \xrightarrow{b_j} z\] 为映射。我们略去验证这是局部定义态射。

可验证，以与 \(\mathcal{S}\) 相同的对象为对象、以局部定义态射为态射的 \(\mathcal{S}^2\) 是 \(\mathcal{C}\) 上的范畴，存在 \(\mathcal{C}\) 上的函子 \(G^2 : \mathcal{S} \to \mathcal{S}^2\)，

该函子保持强笛卡尔对象，并且 \(\mathcal{S}^2\) 是 \(\mathcal{C}\) 上的纤维化范畴。验证从略。 通过检验使用局部定义态射的效果是对（分离的）态射预层取层化， 问题便归约到 \(\mathcal{S}\) 的态射预层全为层的情形。

最后，在态射预层全为层的情形，为保证最终结果中下降条件有效， 必须加入对象。最简单的做法是考虑范畴 \(\mathcal{S}'\)， 其对象为偶对 \((\mathcal{U}, \xi)\)，其中 \(\mathcal{U} = \{U_i \to U\}\) 是 \(\mathcal{C}\) 的覆盖，而

\(\xi = (X_i, \varphi_{ii'})\) 是相对于 \(\mathcal{U}\) 的下降数据。 设给定两组这样的资料 \((\mathcal{U}, \xi) = (\{f_i : U_i \to U\}, x_i, \varphi_{ii'})\) 与 \((\mathcal{V}, \eta) = (\{g_j : V_j \to V\}, y_j, \psi_{jj'})\)。 我们把 \[\Mor_{\mathcal{S}'}((\mathcal{U}, \xi), (\mathcal{V}, \eta))\] 定义为所有 \((f, a_{ij})\) 组成的集合，其中 \(f : U \to V\)，且 \[a_{ij} : x_i|_{U_i \times_V V_j} \longrightarrow y_j\] 是 \(\mathcal{S}\) 中位于 \(U_i \times_V V_j \to V_j\) 上的态射。它们须满足下列条件：对任意 \(i, i' \in I\) 与 \(j, j' \in J\)，令 \(W = (U_i \times_U U_{i'}) \times_V (V_j \times_V V_{j'})\)。 则图式 \[\xymatrix{ x_i|_W \ar[r]_{a_{ij}|_W} \ar[d]_{\varphi_{ii'}|_W} & y_j|_W \ar[d]^{\psi_{jj'}|_W} \\ x_{i'}|_W \ar[r]^{a_{i'j'}|_W} & y_{j'}|_W }\] 交换。此时必须验证：

1. 上述态射有定义良好的复合；

2. 这使 \(\mathcal{S}'\) 成为 \(\mathcal{C}\) 上的范畴；

3. 存在 \(\mathcal{C}\) 上的函子 \(G : \mathcal{S} \to \mathcal{S}'\)；

4. 对 \(\mathcal{S}\) 的对象 \(x, y\)，有 \(\Mor_\mathcal{S}(x, y) = \Mor_{\mathcal{S}'}(G(x), G(y))\)；

5. \(\mathcal{S}'\) 的任意对象局部地来自 \(\mathcal{S}\) 的对象，即引理的 (2) 成立；

6. \(G\) 保持强笛卡尔态射；

7. \(\mathcal{S}'\) 是 \(\mathcal{C}\) 上的纤维化范畴；且

8. \(\mathcal{S}'\) 是 \(\mathcal{C}\) 上的栈。

这些都不困难，只是事项很多。细节从略。

证明

下面给出一个较不朴素的证明。 由 Categories, Lemma 004A，存在纤维化范畴之间的等价 \(\mathcal{S} \to \mathcal{S}'\)，其中 \(\mathcal{S}'\) 是分裂纤维化范畴，即其拉回函子严格地复合。 显然，对 \(\mathcal{S}'\) 成立的引理蕴含对 \(\mathcal{S}\) 成立的引理。因此，可把 \(\mathcal{S}\) 看作取值于范畴的预层。

暂时忘掉 \(2\)-态射，把 \(2\)-范畴 \(\textit{Cat}\) 看成一个范畴。按照 Categories, Section 0013，把范畴看成五元组 \((\text{Ob}, \text{Arrows}, s, t, \circ)\)。 考虑遗忘函子 \[forget : \textit{Cat} \to \textit{Sets} \times \textit{Sets}, \quad (\text{Ob}, \text{Arrows}, s, t, \circ) \mapsto (\text{Ob}, \text{Arrows}).\] 那么 \(forget\) 忠实，\(\textit{Cat}\) 有极限且 \(forget\) 与极限交换，\(\textit{Cat}\) 有有向余极限且 \(forget\) 与之交换，并且 \(forget\) 反映同构。 可以对取值于 \(\textit{Cat}\) 的预层作层化；通过与 Sites, Section 00YR 第一部分中类似的论证，所得构造与 \(forget\) 交换。 将此应用于 \(\mathcal{S}\)，得到层化 \(\mathcal{S}^\#\)；它有对象层与态射层，二者分别为 \(\mathcal{S}\) 相应预层的层化。在这种情况下，很容易看出映射 \(\mathcal{S} \to \mathcal{S}^\#\) 具有引理中的性质 (1) 与 (2)。

然而，范畴 \(\mathcal{S}^\#\) 可能还不是栈，因为尽管对象预层是层， 下降条件仍可能不成立。为补救这一点，必须加入更多对象。 不过，上述论证确实把问题归约到 \(\mathcal{S} = \mathcal{S}_F\) 的情形，其中 \(F : \mathcal{C}^{opp} \to \textit{Cat}\) 是取值于范畴的某个层（！）。 在此情形，考虑如下定义的函子 \(F' : \mathcal{C}^{opp} \to \textit{Cat}\)：

1. 集合 \(\Ob(F'(U))\) 是所有偶对 \((\mathcal{U}, \xi)\) 组成的集合，其中 \(\mathcal{U} = \{U_i \to U\}\) 是 \(U\) 的覆盖，而 \(\xi = (x_i, \varphi_{ii'})\) 是相对于 \(\mathcal{U}\) 的下降数据。

2. \(F'(U)\) 中从 \((\mathcal{U}, \xi)\) 到 \((\mathcal{V}, \eta)\) 的态射，是 \[\colim \Mor_{DD(\mathcal{W})}(a^*\xi, b^*\eta)\] 的一个元素；这里余极限遍历所有共同加细 \(a : \mathcal{W} \to \mathcal{U}\)、 \(b : \mathcal{W} \to \mathcal{V}\)。 该余极限是滤过的（验证从略）。

   因此，\(F(U)\) 中态射的复合可通过寻找共同加细并在 \(DD(\mathcal{W})\) 中复合来定义。

3. 给定 \(h : V \to U\) 以及 \(F'(U)\) 的对象 \((\mathcal{U}, \xi)\)，令 \(F'(h)(\mathcal{U}, \xi)\) 等于 \((V \times_U \mathcal{U}, \text{pr}_1^*\xi)\)。 更确切地，若 \(\mathcal{U} = \{U_i \to U\}\) 且 \(\xi = (x_i, \varphi_{ii'})\)，则 \(V \times_U \mathcal{U} = \{V \times_U U_i \to V\}\)； 它带有典范态射 \(\text{pr}_1 : V \times_U \mathcal{U} \to \mathcal{U}\)，而 \(\text{pr}_1^*\xi\) 是 \(\xi\) 沿该态射的拉回 （见 Definition 02ZE）。

4. 给定 \(h : V \to U\)、对象 \((\mathcal{U}, \xi)\) 与 \((\mathcal{V}, \eta)\)， 以及它们之间由 \(a : \mathcal{W} \to \mathcal{U}\)、 \(b : \mathcal{W} \to \mathcal{V}\) 和 \(\alpha : a^*\xi \to b^*\eta\) 表示的态射，则 \(F'(h)(\alpha)\) 由 \(a' : V \times_U\mathcal{W} \to V \times_U\mathcal{U}\)、 \(b' : V \times_U\mathcal{W} \to V \times_U\mathcal{V}\)， 以及态射 \(\alpha\) 沿映射 \(V \times_U \mathcal{W} \to \mathcal{W}\) 的拉回 \(\alpha'\) 表示。由于 \(\mathcal{S}_F\) 中的拉回严格交换， 这一构造成立。

存在映射 \(F \to F'\)，它把 \(F(U)\) 的对象 \(x\) 送到 \(F'(U)\) 的对象 \((\{U \to U\}, (x, triv))\)。 此时必须检验相应函子 \(\mathcal{S}_F \to \mathcal{S}_{F'}\) 具有引理中的性质 (1)、(2)，并最终检验 \(\mathcal{S}_{F'}\) 是栈。细节从略。

引理

令 \(\mathcal{C}\) 为位点。 令 \(p : \mathcal{S} \to \mathcal{C}\) 为 \(\mathcal{C}\) 上的纤维化范畴。令

\(p' : \mathcal{S}' \to \mathcal{C}\) 与 \(G : \mathcal{S} \to \mathcal{S}'\) 为引理 02ZN 中构造的栈与 \(1\)-态射。 该构造具有如下泛性质：给定栈 \(q : \mathcal{X} \to \mathcal{C}\) 以及 \(\mathcal{C}\) 上纤维化范畴之间的 \(1\)-态射 \(F : \mathcal{S} \to \mathcal{X}\)，存在 \(1\)-态射 \(H : \mathcal{S}' \to \mathcal{X}\)，使图式 \[\xymatrix{ \mathcal{S} \ar[rr]_F \ar[rd]_G & & \mathcal{X} \\ & \mathcal{S}' \ar[ru]_H }\] 为 \(2\)-交换的。

证明

略。提示：假设 \(x' \in \Ob(\mathcal{S}'_U)\)。 由引理 02ZN 的结论，存在覆盖 \(\{U_i \to U\}_{i \in I}\)，使得对某些 \(x_i \in \Ob(\mathcal{S}_{U_i})\) 有 \(x'|_{U_i} = G(x_i)\)。此外，存在覆盖 \(\{U_{ijk} \to U_i \times_U U_j\}\) 与同构 \(\alpha_{ijk} : x_i|_{U_{ijk}} \to x_j|_{U_{ijk}}\)， 满足 \(G(\alpha_{ijk}) = \text{id}_{x'|_{U_{ijk}}}\)。 令 \(y_i = F(x_i)\)。可以检验 \[F(\alpha_{ijk}) : y_i|_{U_{ijk}} \to y_j|_{U_{ijk}}\] 在交叠处一致，因而（由于 \(\mathcal{X}\) 是栈）定义态射 \(\beta_{ij} : y_i|_{U_i \times_U U_j} \to y_j|_{U_i \times_U U_j}\)。 其次，检验 \(\beta_{ij}\) 定义下降数据。 由于 \(\mathcal{X}\) 是栈，这些下降数据有效，因而找到

\(\mathcal{X}_U\) 的对象 \(y\)，它在 \(U_i\) 上与 \(G(x_i)\) 一致。提示是令 \(H(x') = y\)。

引理

记号与假设同引理 0435。 由上述引理证明中的构造，得到范畴之间的典范等价 \[\Mor_{\textit{Fib}/\mathcal{C}}(\mathcal{S}, \mathcal{X}) = \Mor_{\textit{Stacks}/\mathcal{C}}(\mathcal{S}', \mathcal{X})\]

证明

略。

引理

令 \(\mathcal{C}\) 为位点。 令 \(f : \mathcal{X} \to \mathcal{Y}\) 与 \(g : \mathcal{Z} \to \mathcal{Y}\) 为 \(\mathcal{C}\) 上纤维化范畴之间的态射。 在这种情况下，\(2\)-纤维积的栈化是各栈化的 \(2\)-纤维积。

证明

以 \(\mathcal{X}', \mathcal{Y}', \mathcal{Z}'\) 表示相应栈化，并以 \(\mathcal{W}\) 表示 \(\mathcal{X} \times_\mathcal{Y} \mathcal{Z}\) 的栈化。 由 \(2\)-纤维积的构造，存在典范 \(1\)-态射 \(\mathcal{X} \times_\mathcal{Y} \mathcal{Z} \to \mathcal{X}' \times_{\mathcal{Y}'} \mathcal{Z}'\)。 由于第二个 \(2\)-纤维积是栈（见引理 026G），由栈化的泛性质 （见引理 0435）， 这个 \(1\)-态射诱导 \(1\)-态射 \(h : \mathcal{W} \to \mathcal{X}' \times_{\mathcal{Y}'} \mathcal{Z}'\)。 现在 \(h\) 是栈之间的态射；应用引理 04WQ 与 046N， 可检验它是等价。

因此，先证明 \(h\) 在 \(\mathit{Mor}\)-层上诱导同构。 令 \(\xi, \xi'\) 为 \(\mathcal{W}\) 中位于 \(U \in \Ob(\mathcal{C})\) 上的对象。我们要证明 \[h : \mathit{Mor}(\xi, \xi') \longrightarrow \mathit{Mor}(h(\xi), h(\xi'))\] 是同构。为此，可在 \(U\) 上局部地工作（见 Sites, Section 04TP）。 因此，由 \(\mathcal{W}\) 的构造（见引理 02ZN），可假设 \(\xi, \xi'\) 确实来自 \(\mathcal{X} \times_\mathcal{Y} \mathcal{Z}\) 中位于 \(U\) 上的对象 \((x, z, \alpha)\) 与 \((x', z', \alpha')\)。 再次由同一引理可知，在此情形， \(\mathit{Mor}(\xi, \xi')\) 是下列预层的层化： \[V/U \longmapsto \Mor_{\mathcal{X}_V}(x|_V, x'|_V) \times_{\Mor_{\mathcal{Y}_V}(f(x)|_V, f(x')|_V)} \Mor_{\mathcal{Z}_V}(z|_V, z'|_V)\] 而 \(\mathit{Mor}(h(\xi), h(\xi'))\) 等于纤维积

\[\mathit{Mor}(i(x), i(x')) \times_{\mathit{Mor}(j(f(x)), j(f(x'))} \mathit{Mor}(k(z), k(z'))\] 其中 \(i : \mathcal{X} \to \mathcal{X}'\)、 \(j : \mathcal{Y} \to \mathcal{Y}'\) 与 \(k : \mathcal{Z} \to \mathcal{Z}'\) 是典范函子。 因此，本段第一个显示映射是同构，因为层化是正合的 （从而预层的纤维积的层化，就是各层化的纤维积）。

最后，必须检验 \(\mathcal{X}' \times_{\mathcal{Y}'} \mathcal{Z}'\) 中位于 \(U\) 上的任意对象，在 \(U\) 上局部地属于 \(h\) 的本质像。把这样的对象写成三元组 \((x', z', \alpha)\)。那么 \(x'\) 局部地来自 \(\mathcal{X}\) 的对象，\(z'\) 局部地来自 \(\mathcal{Z}\) 的对象；在对 \(x'\)、\(z'\) 作适当替换后， \(\mathcal{Y}'_U\) 的态射 \(\alpha\) 局部地来自 \(\mathcal{Y}\) 的态射。换言之，我们已经证明， \(\mathcal{X}' \times_{\mathcal{Y}'} \mathcal{Z}'\) 中位于 \(U\) 上的任意对象，在 \(U\) 上局部地属于 \(\mathcal{X} \times_\mathcal{Y} \mathcal{Z} \to \mathcal{X}' \times_{\mathcal{Y}'} \mathcal{Z}'\) 的本质像，因此更属于 \(h\) 的局部本质像。

引理

令 \(\mathcal{C}\) 为位点。 令 \(\mathcal{X}\) 为 \(\mathcal{C}\) 上的纤维化范畴。 惯性纤维化范畴 \(\mathcal{I}_\mathcal{X}\) 的栈化，

是 \(\mathcal{X}\) 的栈化的惯性。

证明

这是因为，由引理 04Y1， 栈化与 \(2\)-纤维积相容；并且范畴在 \(\mathcal{C}\) 上的惯性可用 \(2\)-纤维积表示，见 Categories, Lemma 034H。

纤维化于群胚的范畴的栈化

结论如下。

引理

令 \(\mathcal{C}\) 为位点。 令 \(p : \mathcal{S} \to \mathcal{C}\) 为 \(\mathcal{C}\) 上纤维化于群胚的范畴。 存在群胚中的栈 \(p' : \mathcal{S}' \to \mathcal{C}\)，以及 \(\mathcal{C}\) 上纤维化于群胚的范畴之间的 \(1\)-态射 \(G : \mathcal{S} \to \mathcal{S}'\)（见 Categories, Definition 02XS），满足：

1. 对每个 \(U \in \Ob(\mathcal{C})\) 以及任意 \(x, y \in \Ob(\mathcal{S}_U)\)，由 \(G\) 诱导的映射 \[\mathit{Mor}(x, y) \longrightarrow \mathit{Mor}(G(x), G(y))\] 把右端识别为左端的层化；且

2. 对每个 \(U \in \Ob(\mathcal{C})\) 及任意 \(x' \in \Ob(\mathcal{S}'_U)\)，存在覆盖 \(\{U_i \to U\}_{i \in I}\)，使得对每个 \(i \in I\)，对象 \(x'|_{U_i}\) 属于函子 \(G : \mathcal{S}_{U_i} \to \mathcal{S}'_{U_i}\) 的本质像。

此外，这些条件在唯一 \(2\)-同构意义下确定群胚中的栈 \(\mathcal{S}'\)。

证明

应用引理 02ZN。再应用引理 02ZJ，所得结果是群胚中的栈。

引理

令 \(\mathcal{C}\) 为位点。 令 \(p : \mathcal{S} \to \mathcal{C}\) 为 \(\mathcal{C}\) 上纤维化于群胚的范畴。令

\(p' : \mathcal{S}' \to \mathcal{C}\) 与 \(G : \mathcal{S} \to \mathcal{S}'\) 为引理 02ZP 中构造的群胚中的栈与 \(1\)-态射。 该构造具有如下泛性质：给定群胚中的栈 \(q : \mathcal{X} \to \mathcal{C}\)，以及 \(\mathcal{C}\) 上范畴之间的 \(1\)-态射 \(F : \mathcal{S} \to \mathcal{X}\)，存在 \(1\)-态射 \(H : \mathcal{S}' \to \mathcal{X}\)，使图式 \[\xymatrix{ \mathcal{S} \ar[rr]_F \ar[rd]_G & & \mathcal{X} \\ & \mathcal{S}' \ar[ru]_H }\] 为 \(2\)-交换的。

证明

这是引理 0435 的特殊情形。

引理

令 \(\mathcal{C}\) 为位点。 令 \(f : \mathcal{X} \to \mathcal{Y}\) 与 \(g : \mathcal{Z} \to \mathcal{Y}\) 为 \(\mathcal{C}\) 上纤维化于群胚的范畴之间的态射。 在这种情况下，\(2\)-纤维积的栈化是各栈化的 \(2\)-纤维积。

证明

这是引理 04Y1 的特殊情形。

继承拓扑

事实证明，位点上的纤维化范畴从底位点继承一个典范拓扑。

引理

令 \(\mathcal{C}\) 为位点。令 \(p : \mathcal{S} \to \mathcal{C}\) 为纤维化范畴。 令 \(\text{Cov}(\mathcal{S})\) 为 \(\mathcal{S}\) 中具有固定目标的 态射族 \(\{x_i \to x\}_{i \in I}\) 的集合，并要求： (a) 每个 \(x_i \to x\) 都是强笛卡尔的；且 (b) \(\{p(x_i) \to p(x)\}_{i \in I}\) 是 \(\mathcal{C}\) 的覆盖。那么 \((\mathcal{S}, \text{Cov}(\mathcal{S}))\) 是位点。

证明

需检验 Sites, Definition 00VH 的三个条件。

1. 若 \(x \to y\) 是 \(\mathcal{S}\) 的同构，则由 Categories, Lemma 02XL， 它是强笛卡尔的，而 \(p(x) \to p(y)\) 是 \(\mathcal{C}\) 的同构。因此 \(\{p(x) \to p(y)\}\) 是 \(\mathcal{C}\) 的覆盖，从而 \(\{x \to y\} \in \text{Cov}(\mathcal{S})\)。

2. 若 \(\{x_i \to x\}_{i\in I} \in \text{Cov}(\mathcal{S})\)， 并且对每个 \(i\) 都有 \(\{y_{ij} \to x_i\}_{j\in J_i} \in \text{Cov}(\mathcal{S})\)， 则由 Categories, Lemma 02XL， 每个复合 \(y_{ij} \to x\) 都是强笛卡尔的，而且 \(\{p(y_{ij}) \to p(x)\}_{i \in I, j\in J_i} \in \text{Cov}(\mathcal{C})\)。故也有 \(\{y_{ij} \to x\}_{i \in I, j\in J_i} \in \text{Cov}(\mathcal{S})\)。

3. 假设 \(\{x_i \to x\}_{i\in I}\in \text{Cov}(\mathcal{S})\)， 且 \(y \to x\) 是 \(\mathcal{S}\) 的态射。 由于 \(\{p(x_i) \to p(x)\}\) 是 \(\mathcal{C}\) 的覆盖， \(p(x_i) \times_{p(x)} p(y)\) 存在。因此 Categories, Lemma 06N5 蕴含 \(x_i \times_x y\) 存在、 \(p(x_i \times_x y) = p(x_i) \times_{p(x)} p(y)\)， 且 \(x_i \times_x y \to y\) 是强笛卡尔的。 又因为 \(\{p(x_i) \times_{p(x)} p(y) \to p(y) \}_{i\in I} \in \text{Cov}(\mathcal{C})\)，所以 \(\{x_i \times_x y \to y \}_{i\in I} \in \text{Cov}(\mathcal{S})\)。

证明完毕。

注意，若 \(p : \mathcal{S} \to \mathcal{C}\) 纤维化于群胚， 则引理 06NU 中位点 \(\mathcal{S}\) 的覆盖可刻画为 \[\{x_i \to x\} \in \text{Cov}(\mathcal{S}) \Leftrightarrow \{p(x_i) \to p(x)\} \in \text{Cov}(\mathcal{C})\] 因为 \(\mathcal{S}\) 的每个态射都是强笛卡尔的。

定义

令 \(\mathcal{C}\) 为位点。令 \(p : \mathcal{S} \to \mathcal{C}\) 为纤维化范畴。

称引理 06NU 中的 \((\mathcal{S}, \text{Cov}(\mathcal{S}))\) 为 \(\mathcal{S}\) 上从 \(\mathcal{C}\) 继承的位点结构。 有时也把这表述为：\(\mathcal{S}\) 配备从 \(\mathcal{C}\) 继承的拓扑。

特别地，在这种情形得到层托扑斯 \(\Sh(\mathcal{S})\)。 事实证明，这个托扑斯关于纤维化范畴的 \(1\)-态射具有函子性。

引理

令 \(\mathcal{C}\) 为位点。令 \(F : \mathcal{X} \to \mathcal{Y}\) 为 \(\mathcal{C}\) 上纤维化范畴之间的 \(1\)-态射。 那么，在从 \(\mathcal{C}\) 继承的位点结构之间， \(F\) 是连续且余连续的函子。因此，\(F\) 诱导托扑斯之间的态射 \(f : \Sh(\mathcal{X}) \to \Sh(\mathcal{Y})\)，满足 \(f_* = {}_sF = {}_pF\) 与 \(f^{-1} = F^s = F^p\)。 特别地，对 \(\mathcal{Y}\) 上的层 \(\mathcal{G}\) 与 \(\mathcal{X}\) 的对象 \(x\)，有 \(f^{-1}(\mathcal{G})(x) = \mathcal{G}(F(x))\)。

证明

先证明 \(F\) 连续。令 \(\{x_i \to x\}_{i \in I}\) 为 \(\mathcal{X}\) 的覆盖。 由 Categories, Definition 02XP， 函子 \(F\) 把强笛卡尔态射映为强笛卡尔态射，故 \(\{F(x_i) \to F(x)\}_{i \in I}\) 是 \(\mathcal{Y}\) 的覆盖。 这证明了 Sites, Definition 00WV 的 (1)。 此外，令 \(x' \to x\) 为 \(\mathcal{X}\) 的态射。 由 Categories, Lemma 06N5， 纤维积 \(x_i \times_x x'\) 存在，且 \(x_i \times_x x' \to x'\) 是强笛卡尔的。 因此 \(F(x_i \times_x x') \to F(x')\) 是强笛卡尔的。 对 \(\mathcal{Y}\) 应用 Categories, Lemma 06N5， 这意味着 \(F(x_i \times_x x') = F(x_i) \times_{F(x)} F(x')\)。 这证明了 Sites, Definition 00WV 的 (2)，故 \(F\) 连续。

其次证明 \(F\) 余连续。令 \(x \in \Ob(\mathcal{X})\)，并令 \(\{y_i \to F(x)\}_{i \in I}\) 为 \(\mathcal{Y}\) 中的覆盖。 以 \(\{U_i \to U\}_{i \in I}\) 表示 \(\mathcal{C}\) 中相应的覆盖。对每个 \(i\)，选取 \(\mathcal{X}\) 中位于 \(U_i \to U\) 上的强笛卡尔态射 \(x_i \to x\)。

那么 \(F(x_i) \to F(x)\) 与 \(y_i \to F(x)\) 都是 \(\mathcal{Y}\) 中位于 \(U_i \to U\) 上的强笛卡尔态射。 因此，在 \(\mathcal{Y}_{U_i}\) 中存在唯一的同构 \(F(x_i) \to y_i\)，并与到 \(F(x)\) 的映射相容。 所以 \(\{x_i \to x\}_{i \in I}\) 是 \(\mathcal{X}\) 的覆盖， 而 \(\{F(x_i) \to F(x)\}_{i \in I}\) 同构于 \(\{y_i \to F(x)\}_{i \in I}\)。故 \(F\) 余连续，见 Sites, Definition 00XJ。

最后一个断言由前两个断言得出，见 Sites, Lemmas 00XO、 00XK 与 00XR。

引理

令 \(\mathcal{C}\) 为位点。令 \(p : \mathcal{X} \to \mathcal{C}\) 为纤维化于群胚的范畴。 令 \(x \in \Ob(\mathcal{X})\) 位于 \(U = p(x)\) 上。函子 \(p\) 诱导位点之间的等价 \(\mathcal{X}/x \to \mathcal{C}/U\)，其中 \(\mathcal{X}\) 配备从 \(\mathcal{C}\) 继承的拓扑。

证明

这里，\(\mathcal{C}/U\) 是位点 \(\mathcal{C}\) 在对象 \(U\) 处的局部化，\(\mathcal{X}/x\) 亦然。 由 Categories, Definition 003T 可知，规则 \(x'/x \mapsto p(x')/p(x)\) 定义范畴之间的等价 \(\mathcal{X}/x \to \mathcal{C}/U\)。于是，由 Definition 06NV， \(\mathcal{X}/x\) 中 \(x'\) 的覆盖与 \(\mathcal{C}/U\) 中 \(p(x')\) 的覆盖一一对应。

引理

令 \(\mathcal{C}\) 为位点。令 \(p : \mathcal{X} \to \mathcal{C}\) 与 \(q : \mathcal{Y} \to \mathcal{C}\) 为群胚中的栈。 令 \(F : \mathcal{X} \to \mathcal{Y}\) 为 \(\mathcal{C}\) 上范畴之间的 \(1\)-态射。 若 \(F\) 使 \(\mathcal{X}\) 成为 \(\mathcal{Y}\) 上纤维化于群胚的范畴，则 \(\mathcal{X}\) 是 \(\mathcal{Y}\) 上群胚中的栈 （配备从 \(\mathcal{C}\) 继承的拓扑）。

证明

来证明对象的下降。令 \(\{y_i \to y\}\) 为 \(\mathcal{Y}\) 的覆盖。令 \((x_i, \varphi_{ij})\) 为 \(\mathcal{X}\) 中相对于该覆盖的下降数据。 那么 \((x_i, \varphi_{ij})\) 也是相对于 \(\mathcal{C}\) 的覆盖 \(\{q(y_i) \to q(y)\}\) 的下降数据。 由于 \(\mathcal{X}\) 是群胚中的栈，得到位于 \(q(y)\) 上的对象 \(x\) 以及位于 \(q(y_i)\) 上、与 \(\varphi_{ij}\) 相容的同构 \(\psi_i : x|_{q(y_i)} \to x_i\)；也就是说， \[\varphi_{ij} = \psi_j|_{q(y_i) \times_{q(y)} q(y_j)} \circ \psi_i^{-1}|_{q(y_i) \times_{q(y)} q(y_j)}.\] 考虑 \(\mathcal{C}/p(x)\) 上的层 \(\mathit{I} = \mathit{Isom}_\mathcal{Y}(F(x), y)\)。

注意，\(s_i = F(\psi_i) \in \mathit{I}(q(x_i))\)， 因为 \(F(x_i) = y_i\)。由于 \(F(\varphi_{ij}) = \text{id}\)（因为我们从 \(\{y_i \to y\}\) 上的下降数据出发），上述公式表明 \(s_i|_{q(y_i) \times_{q(y)} q(y_j)} = s_j|_{q(y_i) \times_{q(y)} q(y_j)}\)。 因此局部截面 \(s_i\) 黏合为 \(s : F(x) \to y\)。 由于 \(F\) 纤维化于群胚，\(x\) 同构于某个满足 \(F(x') = y\) 的对象 \(x'\)。 我们略去验证，\(\mathcal{X}\) 在 \(y\) 上的纤维范畴中的 \(x'\) 是由下降数据 \((x_i, \varphi_{ij})\) 提出的下降问题的解。 还略去证明 \(\mathcal{X}/\mathcal{Y}\) 的 \(\mathit{Isom}\)-预层具有层性质。

引理

令 \(\mathcal{C}\) 为位点。令 \(p : \mathcal{X} \to \mathcal{C}\) 为栈。 为 \(\mathcal{X}\) 配备从 \(\mathcal{C}\) 继承的拓扑， 并令 \(q : \mathcal{Y} \to \mathcal{X}\) 为栈。 那么 \(\mathcal{Y}\) 是 \(\mathcal{C}\) 上的栈。 若 \(p\) 与 \(q\) 定义群胚中的栈，则 \(\mathcal{Y}\) 是 \(\mathcal{C}\) 上群胚中的栈。

证明

检验 Definition 026F 的三个条件，以证明 \(\mathcal{Y}\) 是 \(\mathcal{C}\) 上的栈。 由 Categories, Lemma 09WV 可知， \(\mathcal{Y}\) 是 \(\mathcal{C}\) 上的纤维化范畴。 所以条件 (1) 成立。

令 \(U\) 为 \(\mathcal{C}\) 的对象，并令 \(y_1, y_2\) 为 \(\mathcal{Y}\) 中位于 \(U\) 上的对象。 在 \(\mathcal{X}\) 中记 \(x_i = q(y_i)\)。 考虑 \(\mathcal{C}/U\) 上的预层映射 \[q : \mathit{Mor}_{\mathcal{Y}/\mathcal{C}}(y_1, y_2) \longrightarrow \mathit{Mor}_{\mathcal{X}/\mathcal{C}}(x_1, x_2)\] 见引理 042V。 令 \(\{U_i \to U\}\) 为覆盖，并令 \(\varphi_i\) 为左侧预层在 \(U_i\) 上的截面，使 \(\varphi_i\) 与 \(\varphi_j\) 在 \(U_i \times_U U_j\) 上限制为同一截面。 需找到限制为 \(\varphi_i\) 的态射 \(\varphi : y_1 \to y_2\)。 注意，由于第二个预层是层（根据假设），对某个 位于 \(U\) 上的态射 \(\psi : x_1 \to x_2\)，有 \(q(\varphi_i) = \psi|_{U_i}\)。 令 \(y_{12} \to y_2\) 为 \(\mathcal{Y}\) 中位于 \(\psi\) 上的强 \(\mathcal{X}\)-笛卡尔态射。 那么 \(\varphi_i\) 对应于位于 \(x_1|_{U_i}\) 上的态射 \(\varphi'_i : y_1|_{U_i} \to y_{12}|_{U_i}\)。 换言之，\(\varphi'_i\) 现在定义预层 \[\mathit{Mor}_{\mathcal{Y}/\mathcal{X}}(y_1, y_{12})\] 在覆盖 \(\{x_1|_{U_i} \to x_1\}\) 各成员上的局部截面。 由假设，它们黏合为唯一的态射 \(y_1 \to y_{12}\)；将其与给定态射 \(y_{12} \to y_2\) 复合，便得到所需态射 \(y_1 \to y_2\)。

最后，证明下降数据有效。令 \(\{f_i : U_i \to U\}\) 为 \(\mathcal{C}\) 的覆盖，并令 \((y_i, \varphi_{ij})\) 为相对于该覆盖的下降数据 （Definition 026B）。 令 \(x_i = q(y_i)\)、\(\psi_{ij} = q(\varphi_{ij})\)， 便得到 \(\mathcal{X}\) 中相对于该覆盖的下降数据 \((x_i, \psi_{ij})\)。由对 \(\mathcal{X}\) 的假设， 可假设 \(x_i = x|_{U_i}\)，而 \(\psi_{ij}\) 等于典范下降数据 （Definition 026E）。 在此情形，\(\{x|_{U_i} \to x\}\) 是覆盖，并可把 \((y_i, \varphi_{ij})\) 看作相对于该覆盖的下降数据。

由 \(\mathcal{Y}\) 是 \(\mathcal{C}\) 上栈这一假设， 可知该下降数据有效，从而完成条件 (3) 的证明。

最后一个断言成立，是因为 \(\mathcal{Y}\) 是 \(\mathcal{C}\) 上的栈，并由 Categories, Lemma 09WW 纤维化于群胚。

Gerbe（胚）

Gerbe（胚）是群胚中的栈的一种特殊类型。

定义

位点 \(\mathcal{C}\) 上的一个Gerbe（胚），是 \(\mathcal{C}\) 上的范畴 \(p : \mathcal{S} \to \mathcal{C}\)，满足：

1. \(p : \mathcal{S} \to \mathcal{C}\) 是 \(\mathcal{C}\) 上群胚中的栈（见 Definition 02ZI）；

2. 对 \(U \in \Ob(\mathcal{C})\)，存在 \(\mathcal{C}\) 中的覆盖 \(\{U_i \to U\}\)，使 \(\mathcal{S}_{U_i}\) 非空；且

3. 对 \(U \in \Ob(\mathcal{C})\) 与 \(x, y \in \Ob(\mathcal{S}_U)\)，存在 \(\mathcal{C}\) 中的覆盖 \(\{U_i \to U\}\)，使得在 \(\mathcal{S}_{U_i}\) 中有 \(x|_{U_i} \cong y|_{U_i}\)。

换言之，胚是这样的群胚中的栈：任意两个对象局部同构， 并且对象局部存在。

引理

令 \(\mathcal{C}\) 为位点。 令 \(\mathcal{S}_1\)、\(\mathcal{S}_2\) 为 \(\mathcal{C}\) 上的范畴。假设 \(\mathcal{S}_1\) 与 \(\mathcal{S}_2\) 作为 \(\mathcal{C}\) 上的范畴彼此等价。 那么 \(\mathcal{S}_1\) 是 \(\mathcal{C}\) 上的胚， 当且仅当 \(\mathcal{S}_2\) 是 \(\mathcal{C}\) 上的胚。

证明

假设 \(\mathcal{S}_1\) 是 \(\mathcal{C}\) 上的胚。 由引理 042X 可知， \(\mathcal{S}_2\) 是 \(\mathcal{C}\) 上群胚中的栈。 令 \(F : \mathcal{S}_1 \to \mathcal{S}_2\)、 \(G : \mathcal{S}_2 \to \mathcal{S}_1\) 为 \(\mathcal{C}\) 上范畴之间的等价。 给定 \(U \in \Ob(\mathcal{C})\)，存在覆盖 \(\{U_i \to U\}\)，使 \((\mathcal{S}_1)_{U_i}\) 非空。 应用 \(F\) 可知 \((\mathcal{S}_2)_{U_i}\) 非空。 给定 \(U \in \Ob(\mathcal{C})\) 与 \(x, y \in \Ob((\mathcal{S}_2)_U)\)，存在 \(\mathcal{C}\) 中的覆盖 \(\{U_i \to U\}\)，使得在 \((\mathcal{S}_1)_{U_i}\) 中有 \(G(x)|_{U_i} \cong G(y)|_{U_i}\)。 由 Categories, Lemma 003Z， 这蕴含在 \((\mathcal{S}_2)_{U_i}\) 中有 \(x|_{U_i} \cong y|_{U_i}\)。

我们希望稍微推广胚的定义。具体地，令 \(F : \mathcal{X} \to \mathcal{Y}\) 为位点 \(\mathcal{C}\) 上群胚中的栈之间的 \(1\)-态射。 我们想说明 \(\mathcal{X}\) 是 \(\mathcal{Y}\) 上的胚 意味着什么。由 Section 06NT， 范畴 \(\mathcal{Y}\) 从 \(\mathcal{C}\) 继承位点结构。 一个朴素的猜测是：只要求 \(\mathcal{X} \to \mathcal{Y}\) 是上述意义下的胚。 可是，如此得到的概念在用 \(\mathcal{C}\) 上群胚中的等价栈替换 \(\mathcal{X}\) 时并不保持不变；即使只是 \(\mathcal{Y}\) 上纤维化于群胚这一性质，也会如此。 不过，事实证明，可以用一个在 \(\mathcal{Y}\) 上纤维化于群胚的、 \(\mathcal{C}\) 上群胚中的等价栈替换 \(\mathcal{X}\)； 此时，在 \(\mathcal{Y}\) 上为胚这一性质与替换的选择无关。 精确表述如下。

引理

令 \(\mathcal{C}\) 为位点。令 \(p : \mathcal{X} \to \mathcal{C}\) 与 \(q : \mathcal{Y} \to \mathcal{C}\) 为群胚中的栈。 令 \(F : \mathcal{X} \to \mathcal{Y}\) 为 \(\mathcal{C}\) 上范畴之间的 \(1\)-态射。下列条件等价：

1. 对某个（等价地，任意）分解 \(F = F' \circ a\)，其中 \(a : \mathcal{X} \to \mathcal{X}'\) 是 \(\mathcal{C}\) 上范畴之间的等价，而 \(F'\) 纤维化于群胚， 映射 \(F' : \mathcal{X}' \to \mathcal{Y}\) 是胚 （\(\mathcal{Y}\) 配备从 \(\mathcal{C}\) 继承的拓扑）。

2. 满足下列两个条件：

   1. 对位于 \(U \in \Ob(\mathcal{C})\) 上的 \(y \in \Ob(\mathcal{Y})\)，存在 \(\mathcal{C}\) 中的覆盖 \(\{U_i \to U\}\) 以及 \(\mathcal{X}\) 中位于 \(U_i\) 上的对象 \(x_i\)， 使得在 \(\mathcal{Y}_{U_i}\) 中有 \(F(x_i) \cong y|_{U_i}\)；且

   2. 对 \(U \in \Ob(\mathcal{C})\)、 \(x, x' \in \Ob(\mathcal{X}_U)\) 以及 \(\mathcal{Y}_U\) 中的 \(b : F(x) \to F(x')\)， 存在 \(\mathcal{C}\) 中的覆盖 \(\{U_i \to U\}\) 以及 \(\mathcal{X}_{U_i}\) 中的态射 \(a_i : x|_{U_i} \to x'|_{U_i}\)，满足 \(F(a_i) = b|_{U_i}\)。

证明

由 Categories, Lemma 06N7， 存在分解 \(F = F' \circ a\)，其中 \(a : \mathcal{X} \to \mathcal{X}'\) 是 \(\mathcal{C}\) 上范畴之间的等价，而 \(F'\) 纤维化于群胚。 由 Categories, Lemma 06N8， 给定任意两个这样的分解 \(F = F' \circ a = F'' \circ b\)， \(\mathcal{X}'\) 与 \(\mathcal{X}''\) 作为 \(\mathcal{Y}\) 上的范畴彼此等价。 因此，引理 06P0 保证条件 (1) 与分解的选择无关。此外，这意味着可以假设 \(\mathcal{X}' = \mathcal{X} \times_{F, \mathcal{Y}, \text{id}} \mathcal{Y}\)， 如 Categories, Lemma 06N7 的证明中所述。

来证明 (a)、(b) 蕴含 \(\mathcal{X}' \to \mathcal{Y}\) 是胚。 首先，由引理 06NX 可知， \(\mathcal{X}' \to \mathcal{Y}\) 是群胚中的栈。 其次，令 \(y\) 为 \(\mathcal{Y}\) 中位于 \(U \in \Ob(\mathcal{C})\) 上的对象。 由 (a)，可找到 \(\mathcal{C}\) 中的覆盖 \(\{U_i \to U\}\)、\(\mathcal{X}\) 中位于 \(U_i\) 上的对象 \(x_i\)，以及 \(\mathcal{Y}_{U_i}\) 中的同构 \(f_i : F(x_i) \to y|_{U_i}\)。 那么 \((U_i, x_i, y|_{U_i}, f_i)\) 是 \(\mathcal{X}'_{U_i}\) 的对象；即 Definition 06NZ 的第二个条件成立。 最后，令 \((U, x, y, f)\) 与 \((U, x', y, f')\) 为 \(\mathcal{X}'\) 中位于同一对象 \(y \in \Ob(\mathcal{Y})\) 上的对象。 令 \(b = (f')^{-1} \circ f\)。 由条件 (b)，可找到覆盖 \(\{U_i \to U\}\) 以及 \(\mathcal{X}_{U_i}\) 中满足 \(F(a_i) = b|_{U_i}\) 的同构 \(a_i : x|_{U_i} \to x'|_{U_i}\)。 那么 \[(a_i, \text{id}) : (U, x, y, f)|_{U_i} \to (U, x', y, f')|_{U_i}\] 是 \(\mathcal{X}'_{U_i}\) 中所需的态射。 这证明 (2) 蕴含 (1)。

为证明 (1) 蕴含 (2)，反向阅读上一段的论证即可。细节从略。

定义

令 \(\mathcal{C}\) 为位点。令 \(\mathcal{X}\) 与 \(\mathcal{Y}\) 为 \(\mathcal{C}\) 上群胚中的栈。 令 \(F : \mathcal{X} \to \mathcal{Y}\) 为 \(\mathcal{C}\) 上范畴之间的 \(1\)-态射。 若满足引理 06P1 中的等价条件， 则称 \(\mathcal{X}\) 是 \(\mathcal{Y}\) 上的胚。

当 \(\mathcal{Y} = \mathcal{C}\) 时，这一定义与 Definition 06NZ 不冲突，因为在 Lemma 06P1 的 (1) 中可取 \(\mathcal{X}' = \mathcal{X}\)。 注意，Lemma 06P1 的条件 (2)(a)、(2)(b) 在精神上非常接近 Definition 06NZ 的 条件 (2)、(3)。具体而言，(2)(a) 说对象同构类的预层之间的映射 在层化后成为满射。此外，(2)(b) 说 \[\mathit{Isom}_\mathcal{X}(x, x') \longrightarrow \mathit{Isom}_\mathcal{Y}(F(x), F(x'))\] 对任意 \(U\) 与 \(x, x' \in \Ob(\mathcal{X}_U)\)， 都是 \(\mathcal{C}/U\) 上层之间的满射。

引理

令 \(\mathcal{C}\) 为位点。令 \[\xymatrix{ \mathcal{X}' \ar[r]_{G'} \ar[d]_{F'} & \mathcal{X} \ar[d]^F \\ \mathcal{Y}' \ar[r]^G & \mathcal{Y} }\] 为 \(\mathcal{C}\) 上群胚中的栈所组成的 \(2\)-纤维积。 若 \(\mathcal{X}\) 是 \(\mathcal{Y}\) 上的胚，则 \(\mathcal{X}'\) 是 \(\mathcal{Y}'\) 上的胚。

证明

由 \(2\)-纤维积的唯一性性质，可假设 \(\mathcal{X}' = \mathcal{Y}' \times_\mathcal{Y} \mathcal{X}\)， 如 Categories, Lemma 0040 中所述。 来证明引理 06P1 的性质 (2)(a)、(2)(b) 对 \(\mathcal{Y}' \times_\mathcal{Y} \mathcal{X} \to \mathcal{Y}'\) 成立。

令 \(y'\) 为 \(\mathcal{Y}'\) 中位于 \(\mathcal{C}\) 的对象 \(U\) 上的对象。 由假设，存在 \(U\) 的覆盖 \(\{U_i \to U\}\) 以及对象 \(x_i \in \mathcal{X}_{U_i}\)，并有同构 \(\alpha_i : G(y')|_{U_i} \to F(x_i)\)。 那么 \((U_i, y'|_{U_i}, x_i, \alpha_i)\) 是 \(\mathcal{Y}' \times_\mathcal{Y} \mathcal{X}\) 中位于 \(U_i\) 上的对象，其在 \(\mathcal{Y}'\) 中的像为 \(y'|_{U_i}\)。因此 (2)(a) 成立。

令 \(U \in \Ob(\mathcal{C})\)，令 \(x'_1, x'_2\) 为 \(\mathcal{Y}' \times_\mathcal{Y} \mathcal{X}\) 中位于 \(U\) 上的对象，并令 \(b' : F'(x'_1) \to F'(x'_2)\) 为 \(\mathcal{Y}'_U\) 中的态射。写 \(x'_i = (U, y'_i, x_i, \alpha_i)\)。

注意，\(F'(x'_i) = x_i\) 且 \(G'(x'_i) = y'_i\)。 由假设，存在 \(\mathcal{C}\) 中的覆盖 \(\{U_i \to U\}\)，以及 \(\mathcal{X}_{U_i}\) 中满足 \(F(a_i) = G(b')|_{U_i}\) 的态射 \(a_i : x_1|_{U_i} \to x_2|_{U_i}\)。 那么 \((b'|_{U_i}, a_i)\) 是 (2)(b) 所要求的态射 \(x'_1|_{U_i} \to x'_2|_{U_i}\)。

引理

令 \(\mathcal{C}\) 为位点。令 \(F : \mathcal{X} \to \mathcal{Y}\) 与 \(G : \mathcal{Y} \to \mathcal{Z}\) 为 \(\mathcal{C}\) 上群胚中的栈之间的 \(1\)-态射。 若 \(\mathcal{X}\) 是 \(\mathcal{Y}\) 上的胚，且 \(\mathcal{Y}\) 是 \(\mathcal{Z}\) 上的胚，则 \(\mathcal{X}\) 是 \(\mathcal{Z}\) 上的胚。

证明

来证明引理 06P1 的性质 (2)(a)、(2)(b) 对 \(\mathcal{X} \to \mathcal{Z}\) 成立。

令 \(z\) 为 \(\mathcal{Z}\) 中位于 \(\mathcal{C}\) 的对象 \(U\) 上的对象。 由对 \(G\) 的假设，存在 \(U\) 的覆盖 \(\{U_i \to U\}\) 与对象 \(y_i \in \mathcal{Y}_{U_i}\)，使 \(G(y_i) \cong z|_{U_i}\)。 由对 \(F\) 的假设，存在覆盖 \(\{U_{ij} \to U_i\}\) 与对象 \(x_{ij} \in \mathcal{X}_{U_{ij}}\)，使 \(F(x_{ij}) \cong y_i|_{U_{ij}}\)。 那么 \(\{U_{ij} \to U\}\) 是 \(\mathcal{C}\) 的覆盖，且 \((G \circ F)(x_{ij}) \cong z|_{U_{ij}}\)。 因此 (2)(a) 成立。

令 \(U \in \Ob(\mathcal{C})\)，令 \(x_1, x_2\) 为 \(\mathcal{X}\) 中位于 \(U\) 上的对象，并令 \(c : (G \circ F)(x_1) \to (G \circ F)(x_2)\) 为 \(\mathcal{Z}_U\) 中的态射。由对 \(G\) 的假设， 存在 \(U\) 的覆盖 \(\{U_i \to U\}\) 以及 \(\mathcal{Y}_{U_i}\) 中满足 \(G(b_i) = c|_{U_i}\) 的态射 \(b_i : F(x_1)|_{U_i} \to F(x_2)|_{U_i}\)。 由对 \(F\) 的假设，存在覆盖 \(\{U_{ij} \to U_i\}\) 以及 \(\mathcal{X}_{U_{ij}}\) 中满足 \(F(a_{ij}) = b_i|_{U_{ij}}\) 的态射 \(a_{ij} : x_1|_{U_{ij}} \to x_2|_{U_{ij}}\)。 那么 \(\{U_{ij} \to U\}\) 是 \(\mathcal{C}\) 的覆盖，且 \((G \circ F)(a_{ij}) = c|_{U_{ij}}\)，正如 (2)(b) 所要求。

引理

令 \(\mathcal{C}\) 为位点。令 \[\xymatrix{ \mathcal{X}' \ar[r]_{G'} \ar[d]_{F'} & \mathcal{X} \ar[d]^F \\ \mathcal{Y}' \ar[r]^G & \mathcal{Y} }\] 为 \(\mathcal{C}\) 上群胚中的栈所组成的 \(2\)-笛卡尔图式。 若对每个 \(U \in \Ob(\mathcal{C})\) 与 \(x \in \Ob(\mathcal{Y}_U)\)，都存在覆盖 \(\{U_i \to U\}\)，使得 \(x|_{U_i}\) 属于 \(G : \mathcal{Y}'_{U_i} \to \mathcal{Y}_{U_i}\) 的本质像，并且 \(\mathcal{X}'\) 是 \(\mathcal{Y}'\) 上的胚，则 \(\mathcal{X}\) 是 \(\mathcal{Y}\) 上的胚。

证明

由 \(2\)-纤维积的唯一性性质，可假设 \(\mathcal{X}' = \mathcal{Y}' \times_\mathcal{Y} \mathcal{X}\)， 如 Categories, Lemma 0040 中所述。 来证明引理 06P1 的性质 (2)(a)、(2)(b) 对 \(\mathcal{X} \to \mathcal{Y}\) 成立。

令 \(y\) 为 \(\mathcal{Y}\) 中位于 \(\mathcal{C}\) 的对象 \(U\) 上的对象。 由假设，存在 \(U\) 的覆盖 \(\{U_i \to U\}\) 与对象 \(y'_i \in \mathcal{Y}'_{U_i}\)，使 \(G(y'_i) \cong y|_{U_i}\)。 由 \(\mathcal{X}' \to \mathcal{Y}'\) 的 (2)(a)， 存在覆盖 \(\{U_{ij} \to U_i\}\) 以及 \(\mathcal{X}'\) 中位于 \(U_{ij}\) 上的对象 \(x'_{ij}\)，

使 \(F'(x'_{ij})\) 同构于 \(y'_i\) 在 \(U_{ij}\) 上的限制。那么 \(\{U_{ij} \to U\}\) 是 \(\mathcal{C}\) 的覆盖， 而 \(G'(x'_{ij})\) 是 \(\mathcal{X}\) 中位于 \(U_{ij}\) 上的对象，其在 \(\mathcal{Y}\) 中的像同构于 \(y|_{U_{ij}}\)。这证明了 \(\mathcal{X} \to \mathcal{Y}\) 的 (2)(a)。

令 \(U \in \Ob(\mathcal{C})\)，令 \(x_1, x_2\) 为 \(\mathcal{X}\) 中位于 \(U\) 上的对象，并令 \(b : F(x_1) \to F(x_2)\) 为 \(\mathcal{Y}_U\) 中的态射。 由假设，可选取覆盖 \(\{U_i \to U\}\) 以及 \(\mathcal{Y}'\) 中位于 \(U_i\) 上的对象 \(y'_i\)， 使存在同构 \(\alpha_i : G(y'_i) \to F(x_1)|_{U_i}\)。 于是得到 \(\mathcal{X}'\) 中位于 \(U_i\) 上的对象 \[x'_{1i} = (U_i, y'_i, x_1|_{U_i}, \alpha_i) \quad\text{且}\quad x'_{2i} = (U_i, y'_i, x_2|_{U_i}, b|_{U_i} \circ \alpha_i)\] \(y'_i\) 上的恒等态射是态射 \(F'(x'_{1i}) \to F'(x'_{2i})\)。 由 \(\mathcal{X}' \to \mathcal{Y}'\) 的 (2)(b)， 存在覆盖 \(\{U_{ij} \to U_i\}\) 与满足 \(F'(a'_{ij}) = \text{id}_{y'_i}|_{U_{ij}}\) 的态射 \(a'_{ij} : x'_{1i}|_{U_{ij}} \to x'_{2i}|_{U_{ij}}\)。 展开 \(\mathcal{Y}' \times_\mathcal{Y} \mathcal{X}\) 中态射的定义，可知 \(G'(a'_{ij}) : x_1|_{U_{ij}} \to x_2|_{U_{ij}}\) 正是所求态射；即 \(\mathcal{X} \to \mathcal{Y}\) 的 (2)(b) 成立。

所有自同构层均为阿贝尔层的胚在代数几何中发挥重要作用。

引理

令 \(p : \mathcal{S} \to \mathcal{C}\) 为位点 \(\mathcal{C}\) 上的胚。假设对所有 \(U \in \Ob(\mathcal{C})\) 与 \(x \in \Ob(\mathcal{S}_U)\)，\(\mathcal{C}/U\) 上的群层 \(\mathit{Aut}(x) = \mathit{Isom}(x, x)\) 都是阿贝尔的。 那么存在

1. \(\mathcal{C}\) 上的阿贝尔群层 \(\mathcal{G}\)；

2. 对每个 \(U \in \Ob(\mathcal{C})\) 与每个 \(x \in \Ob(\mathcal{S}_U)\)，一个同构 \(\mathcal{G}|_U \to \mathit{Aut}(x)\)，

使得对每个 \(U\) 以及 \(\mathcal{S}_U\) 中的每个态射 \(\varphi : x \to y\)，图式 \[\xymatrix{ \mathcal{G}|_U \ar[d] \ar@{=}[rr] & & \mathcal{G}|_U \ar[d] \\ \mathit{Aut}(x) \ar[rr]^{\alpha \mapsto \varphi \circ \alpha \circ \varphi^{-1}} & & \mathit{Aut}(y) }\] 交换。

证明

令 \(x, y\) 为 \(\mathcal{S}\) 的两个对象，且 \(U = p(x) = p(y)\)。

若存在位于 \(U\) 上的态射 \(\varphi : x \to y\)， 则它是同构，因而确实得到同构 \(\mathit{Aut}(x) \to \mathit{Aut}(y)\)，它把 \(\alpha\) 送到 \(\varphi \circ \alpha \circ \varphi^{-1}\)。 此外，因为假设 \(\mathit{Aut}(x)\) 可交换， 一个简单计算表明该同构与 \(\varphi\) 的选择无关： 若 \(\psi\) 是第二个这样的映射，则 \[\varphi \circ \alpha \circ \varphi^{-1} = \psi \circ \psi^{-1} \circ \varphi \circ \alpha \circ \varphi^{-1} = \psi \circ \alpha \circ \psi^{-1} \circ \varphi \circ \varphi^{-1} = \psi \circ \alpha \circ \psi^{-1}\] 其结果是层之间的典范同构 \(\mathit{Aut}(x) \to \mathit{Aut}(y)\)。 再者，若有第三个对象 \(z\) 以及态射 \(y \to z\) （因而也有态射 \(x \to z\)），则典范同构 \(\mathit{Aut}(x) \to \mathit{Aut}(y)\)、 \(\mathit{Aut}(y) \to \mathit{Aut}(z)\) 与 \(\mathit{Aut}(x) \to \mathit{Aut}(z)\) 相容，其意义是图式 \[\xymatrix{ \mathit{Aut}(x) \ar[rd] \ar[rr] & & \mathit{Aut}(z) \\ & \mathit{Aut}(y) \ar[ru] }\] 交换。

若不存在位于 \(U\) 上从 \(x\) 到 \(y\) 的态射， 则可选取覆盖 \(\{U_i \to U\}\)，使得存在态射 \(x|_{U_i} \to y|_{U_i}\)。这给出典范同构 \[\mathit{Aut}(x)|_{U_i} \longrightarrow \mathit{Aut}(y)|_{U_i}\] 它们在 \(U_i \times_U U_j\) 上一致（由典范性）。 由层的黏合（Sites, Lemma 04TQ）， 得到唯一同构 \(\mathit{Aut}(x) \to \mathit{Aut}(y)\)，其在任意 \(U_i\) 上的限制均为上一段的典范同构。 与上面类似，若有位于 \(U\) 上的第三个对象， 这些典范同构满足相容性。

如果 \(\mathcal{S}\) 在 \(U\) 上的纤维范畴为空，怎么办？ 在这种情况下，可以找到覆盖 \(\{U_i \to U\}\) 以及 \(\mathcal{S}\) 中位于 \(U_i\) 上的对象 \(x_i\)。 令 \(\mathcal{G}_i = \mathit{Aut}(x_i)\)。 由上述论证，得到典范同构 \[\varphi_{ij} : \mathcal{G}_i|_{U_i \times_U U_j} \longrightarrow \mathcal{G}_j|_{U_i \times_U U_j}\] 它们在 \(U_i \times_U U_j \times_U U_k\) 上的限制满足 Sites, Section 04TP 中说明的余圈条件。 由 Sites, Lemma 04TR， 得到 \(U\) 上的层 \(\mathcal{G}\)；它在 \(U_i\) 上的限制 以与黏合映射 \(\varphi_{ij}\) 相容的方式给出 \(\mathcal{G}_i\)。

若 \(\mathcal{C}\) 有终对象 \(U\)，证明便告完成， 因为可以取 \(\mathcal{G}\) 为刚才构造的层。 在一般情形，还需验证在不同 \(U\) 上构造的层 \(\mathcal{G}\) 以典范方式相容。此验证从略。

栈的函子性

本节研究改变栈的基位点时会发生什么。初次阅读时可以跳过本节。

令 \(u : \mathcal{C} \to \mathcal{D}\) 为范畴之间的函子。 令 \(p : \mathcal{S} \to \mathcal{D}\) 为 \(\mathcal{D}\) 上的范畴。在这种情况下，以 \(u^p\mathcal{S}\) 表示如下定义的 \(\mathcal{C}\) 上的范畴：

1. \(u^p\mathcal{S}\) 的对象是偶对 \((U, y)\)，其中 \(U\) 是 \(\mathcal{C}\) 的对象，而 \(y\) 是 \(\mathcal{S}_{u(U)}\) 的对象。

2. 态射 \((a, \beta) : (U, y) \to (U', y')\) 由 \(\mathcal{C}\) 的态射 \(a : U \to U'\) 与 \(\mathcal{S}\) 的态射 \(\beta : y \to y'\) 给出，并满足 \(p(\beta) = u(a)\)。

注意，按这些定义，\(u^p\mathcal{S}\) 在 \(U\) 上的纤维范畴 等于 \(\mathcal{S}\) 在 \(u(U)\) 上的纤维范畴。

引理

在上述情形中，若 \(\mathcal{S}\) 是 \(\mathcal{D}\) 上的纤维化范畴， 则 \(u^p\mathcal{S}\) 是 \(\mathcal{C}\) 上的纤维化范畴。

证明

在阅读此证明前，请先参阅 Categories, Definitions 02XK 与 02XM 周围的讨论。 令 \((a, \beta) : (U, y) \to (U', y')\) 为 \(u^p\mathcal{S}\) 的态射。我们断言， \((a, \beta)\) 是强笛卡尔的，当且仅当 \(\beta\) 是强笛卡尔的。 先假设 \(\beta\) 强笛卡尔。考虑 \(u^p\mathcal{S}\) 的任意第二个态射 \((a_1, \beta_1) : (U_1, y_1) \to (U', y')\)。 那么 \[\begin{align*} & \Mor_{u^p\mathcal{S}}((U_1, y_1), (U, y)) \\ & = \Mor_\mathcal{C}(U_1, U) \times_{\Mor_\mathcal{D}(u(U_1), u(U))} \Mor_\mathcal{S}(y_1, y) \\ & = \Mor_\mathcal{C}(U_1, U) \times_{\Mor_\mathcal{D}(u(U_1), u(U))} \Mor_\mathcal{S}(y_1, y') \times_{\Mor_\mathcal{D}(u(U_1), u(U'))} \Mor_\mathcal{D}(u(U_1), u(U)) \\ & = \Mor_\mathcal{S}(y_1, y') \times_{\Mor_\mathcal{D}(u(U_1), u(U'))} \Mor_\mathcal{C}(U_1, U) \\ & = \Mor_{u^p\mathcal{S}}((U_1, y_1), (U', y')) \times_{\Mor_\mathcal{C}(U_1, U')} \Mor_\mathcal{C}(U_1, U) \end{align*}\] 其中第二个等号来自 \(\beta\) 强笛卡尔。因此，确实可知 \((a, \beta)\) 强笛卡尔。反之，假设 \((a, \beta)\) 强笛卡尔。 在 \(\mathcal{S}\) 中选取满足 \(p(\beta') = u(a)\) 的强笛卡尔态射 \(\beta' : y'' \to y'\)。

那么 \((a, \beta) : (U, y) \to (U, y')\) 与 \((a, \beta') : (U, y'') \to (U, y)\) 均为强笛卡尔态射， 并提升 \(a\)。因此，由强笛卡尔态射的唯一性（见 Categories, Section 02XJ 中的讨论），存在 \(\mathcal{S}_{u(U)}\) 中的同构 \(\iota : y \to y''\)，满足 \(\beta = \beta' \circ \iota\)；由 Categories, Lemma 02XL，这蕴含 \(\beta\) 在 \(\mathcal{S}\) 中强笛卡尔。

最后还须证明：给定 \((U', y')\) 与 \(U \to U'\)， 可以在 \(u^p\mathcal{S}\) 中找到提升态射 \(U \to U'\) 的强笛卡尔态射 \((U, y) \to (U', y')\)。由上述结论及假设，这可由选取提升 \(u(U) \to u(U')\) 的强笛卡尔态射 \(y \to y'\) 得到。

引理

令 \(u : \mathcal{C} \to \mathcal{D}\) 为位点之间的连续函子。 令 \(p : \mathcal{S} \to \mathcal{D}\) 为 \(\mathcal{D}\) 上的栈。那么 \(u^p\mathcal{S}\) 是 \(\mathcal{C}\) 上的栈。

证明

引理 04WB 已说明 \(u^p\mathcal{S}\) 是 \(\mathcal{C}\) 上的纤维化范畴。 此外，该引理的证明说明： \(u^p\mathcal{S}\) 的态射 \((a, \beta)\) 强笛卡尔， 当且仅当 \(\beta\) 在 \(\mathcal{S}\) 中强笛卡尔。 因此，给定 \(\mathcal{C}\) 的态射 \(a : U \to U'\)， 我们不仅有等式

\((u^p\mathcal{S})_U = \mathcal{S}_U\) 与 \((u^p\mathcal{S})_{U'} = \mathcal{S}_{U'}\)， 而且在这些等式之下拉回函子一致；写成公式即 \(a^*(U', y') = (U, u(a)^*y')\)。

说明这些后，令 \(\mathcal{U} = \{U_i \to U\}\) 为 \(\mathcal{C}\) 的覆盖。 由于 \(u\) 连续， \(\mathcal{V} = \{u(U_i) \to u(U)\}\) 是 \(\mathcal{D}\) 的覆盖，并且 \(u(U_i \times_U U_j) = u(U_i) \times_{u(U)} u(U_j)\)； 三重纤维积 \(U_i \times_U U_j \times_U U_k\) 也同样。 由于我们有纤维范畴与拉回的这些识别，可知

相对于 \(\mathcal{U}\) 的下降数据与相对于 \(\mathcal{V}\) 的下降数据完全相同。 根据假设，\(\mathcal{S}\) 中下降有效，故 \(u^p\mathcal{S}\) 中也如此。

引理

令 \(u : \mathcal{C} \to \mathcal{D}\) 为位点之间的连续函子。 令 \(p : \mathcal{S} \to \mathcal{D}\) 为 \(\mathcal{D}\) 上群胚中的栈。那么 \(u^p\mathcal{S}\) 是 \(\mathcal{C}\) 上群胚中的栈。

证明

这立即由引理 04WC 以及所有纤维范畴均为群胚这一事实得出。

定义

令 \(f : \mathcal{D} \to \mathcal{C}\) 为由连续函子 \(u : \mathcal{C} \to \mathcal{D}\) 给出的位点态射。 令 \(\mathcal{S}\) 为 \(\mathcal{D}\) 上的纤维化范畴。 在这种情况下，以\(f_*\mathcal{S}\) 表示上面定义的 纤维化范畴 \(u^p\mathcal{S}\)。称 \(f_*\mathcal{S}\) 为 \(\mathcal{S}\) 沿 \(f\) 的推前。

由上述结论可知，若 \(\mathcal{S}\) 是栈（群胚中的栈），则 \(f_*\mathcal{S}\) 是栈（群胚中的栈）。 栈的拉回较难定义（我们的这个特定构造还需要额外假设—— 欢迎写出并提交更一般的构造）。我们分几步完成。

令 \(u : \mathcal{C} \to \mathcal{D}\) 为范畴之间的函子。 令 \(p : \mathcal{S} \to \mathcal{C}\) 为 \(\mathcal{C}\) 上的范畴。在这种情况下，定义范畴 \(u_{pp}\mathcal{S}\) 如下：

1. \(u_{pp}\mathcal{S}\) 的对象是三元组 \((U, \phi : V \to u(U), x)\)，其中 \(U \in \Ob(\mathcal{C})\)，映射 \(\phi : V \to u(U)\) 是 \(\mathcal{D}\) 的态射，而 \(x \in \Ob(\mathcal{S}_U)\)。

2. \(u_{pp}\mathcal{S}\) 的态射 \[(U_1, \phi_1 : V_1 \to u(U_1), x_1) \longrightarrow (U_2, \phi_2 : V_2 \to u(U_2), x_2)\] 由 \((a, b, \alpha)\) 给出，其中 \(a : U_1 \to U_2\) 是 \(\mathcal{C}\) 的态射， \(b : V_1 \to V_2\) 是 \(\mathcal{D}\) 的态射，而

   \(\alpha : x_1 \to x_2\) 是 \(\mathcal{S}\) 的态射， 满足 \(p(\alpha) = a\)，并且图式 \[\xymatrix{ V_1 \ar[d]_{\phi_1} \ar[r]_b & V_2 \ar[d]^{\phi_2} \\ u(U_1) \ar[r]^{u(a)} & u(U_2) }\] 在 \(\mathcal{D}\) 中交换。

通过 \[p_{pp} : u_{pp}\mathcal{S} \longrightarrow \mathcal{D}, \quad (U, \phi : V \to u(U), x) \longmapsto V.\] 把 \(u_{pp}\mathcal{S}\) 看作 \(\mathcal{D}\) 上的范畴。 \(u_{pp}\mathcal{S}\) 在 \(\mathcal{D}\) 的对象 \(V\) 上的纤维范畴没有简单描述。

引理

在上述情形中，假设：

1. \(p : \mathcal{S} \to \mathcal{C}\) 是纤维化范畴；

2. \(\mathcal{C}\) 有非空有限极限；且

3. \(u : \mathcal{C} \to \mathcal{D}\) 与非空有限极限交换。

考虑由形如 \[(a, \text{id}_V, \alpha) : (U', \phi' : V \to u(U'), x') \longrightarrow (U, \phi : V \to u(U), x)\] 且 \(\alpha\) 强笛卡尔的态射组成的集合 \(R \subset \text{Arrows}(u_{pp}\mathcal{S})\)。 那么 \(R\) 是右乘法系。

证明

按照 Categories, Definition 04VC， 需检验 RMS1、RMS2、RMS3。 条件 RMS1 成立，因为强笛卡尔态射的复合仍为强笛卡尔态射， 见 Categories, Lemma 02XL。

为检验 RMS2，假设有 \(u_{pp}\mathcal{S}\) 的态射 \[(a, b, \alpha) : (U_1, \phi_1 : V_1 \to u(U_1), x_1) \longrightarrow (U, \phi : V \to u(U), x)\] 以及 \(R\) 中的态射 \[(c, \text{id}_V, \gamma) : (U', \phi' : V \to u(U'), x') \longrightarrow (U, \phi : V \to u(U), x)\] 其中 \(\gamma\) 强笛卡尔。在这种情况下，令 \(U'_1 = U_1 \times_U U'\)，并以 \(a' : U'_1 \to U'\) 与 \(c' : U'_1 \to U_1\) 表示投影。 因为 \(u(U'_1) = u(U_1) \times_{u(U)} u(U')\)， \(\phi'_1 = (\phi_1, \phi') : V_1 \to u(U'_1)\) 是 \(\mathcal{D}\) 中的态射。 令 \(\gamma_1 : x_1' \to x_1\) 为 \(\mathcal{S}\) 中满足

\(p(\gamma_1) = \phi'_1\) 的强笛卡尔态射 （它存在，因为 \(\mathcal{S}\) 是 \(\mathcal{C}\) 上的纤维化范畴）。 由于 \(\gamma : x' \to x\) 强笛卡尔，存在唯一态射 \(\alpha' : x'_1 \to x'\)，满足 \(p(\alpha') = a'\)。 此时可知

\[(a', b, \alpha') : (U_1, \phi_1 : V_1 \to u(U'_1), x'_1) \longrightarrow (U, \phi : V \to u(U'), x')\] 是态射，并且

\[(c', \text{id}_{V_1}, \gamma_1) : (U'_1, \phi'_1 : V_1 \to u(U'_1), x'_1) \longrightarrow (U_1, \phi : V_1 \to u(U_1), x_1)\] 是 \(R\) 的元素；它

构成 RMS2 所提出存在性问题的一个解。

最后，假设 \[(a, b, \alpha), (a', b', \alpha') : (U_1, \phi_1 : V_1 \to u(U_1), x_1) \longrightarrow (U, \phi : V \to u(U), x)\] 是 \(u_{pp}\mathcal{S}\) 的两个态射，并假设 \[(c, \text{id}_V, \gamma) : (U, \phi : V \to u(U), x) \longrightarrow (U', \phi : V \to u(U'), x')\] 是 \(R\) 中使态射 \((a, b, \alpha)\) 与 \((a', b', \alpha')\) 相等的元素。 特别地，这蕴含 \(b = b'\)。令 \(d : U_2 \to U_1\) 为 \(a, a'\) 的等化子；它存在（见 Categories, Lemma 04AU）。 此外，\(u(d) : u(U_2) \to u(U_1)\) 是 \(u(a), u(a')\) 的等化子；故（因为 \(b = b'\)） 存在态射 \(\phi_2 : V_1 \to u(U_2)\)，使得

\(\phi_1 = u(d) \circ \phi_1\)。 令 \(\delta : x_2 \to x_1\) 为 \(\mathcal{S}\) 中满足

\(p(\delta) = u(d)\) 的强笛卡尔态射。 现在断言 \(\alpha \circ \delta = \alpha' \circ \delta\)。 这是因为 \(\gamma\) 强笛卡尔、 \(\gamma \circ \alpha \circ \delta = \gamma \circ \alpha' \circ \delta\)，且 \(p(\alpha \circ \delta) = p(\alpha' \circ \delta)\)。 因此箭头 \[(d, \text{id}_{V_1}, \delta) : (U_2, \phi_2 : V_1 \to u(U_2), x_2) \longrightarrow (U_1, \phi_1 : V_1 \to u(U_1), x_1)\] 是 \(R\) 的元素，并使 \((a, b, \alpha)\) 与 \((a', b', \alpha')\) 相等。 所以 \(R\) 也满足 RMS3。

引理

记号与假设同引理 04WF。 令 \(u_p\mathcal{S} = R^{-1}u_{pp}\mathcal{S}\)，见 Categories, Section 04VB。 那么 \(u_p\mathcal{S}\) 是 \(\mathcal{D}\) 上的纤维化范畴。

证明

使用 Categories, Lemma 04VH 正上方给出的 \(u_p\mathcal{S}\) 的描述。注意，函子 \(p_{pp} : u_{pp}\mathcal{S} \to \mathcal{D}\) 把 \(R\) 的每个元素都映为恒等态射。 因此，由 Categories, Lemma 04VK， 得到延拓给定函子的典范函子 \(p_p : u_p\mathcal{S} \to \mathcal{D}\)。 我们就是这样把 \(u_p\mathcal{S}\) 看作 \(\mathcal{D}\) 上的范畴。

首先刻画 \(u_p\mathcal{S}\) 中的 \(\mathcal{D}\)-强笛卡尔态射。 \(u_p\mathcal{S}\) 的态射 \(f : X \to Y\) 是偶对 \((f' : X' \to Y, r : X' \to X)\) 的等价类，其中 \(r \in R\)。事实上，在 \(u_p\mathcal{S}\) 中，采用显然的记号， 有 \(f = (f', 1) \circ (r, 1)^{-1}\)。 注意，同构总是强笛卡尔的，强笛卡尔态射的复合也如此，见 Categories, Lemma 02XL。 故 \(f\) 强笛卡尔，当且仅当 \((f', 1)\) 强笛卡尔。 因此，下面的断言完全刻画强笛卡尔态射。断言： \(u_{pp}\mathcal{S}\) 的态射 \[(a, b, \alpha) : X_1 = (U_1, \phi_1 : V_1 \to u(U_1), x_1) \longrightarrow (U_2, \phi_2 : V_2 \to u(U_2), x_2) = X_2\] 的像 \(f = ((a, b, \alpha), 1)\) 在 \(u_p\mathcal{S}\) 中强笛卡尔，当且仅当 \(\alpha\) 是 \(\mathcal{S}\) 的强笛卡尔态射。

假设 \(\alpha\) 强笛卡尔。 令 \(X = (U, \phi : V \to u(U), x)\) 为另一个对象，并令 \(f_2 : X \to X_2\) 为 \(u_p\mathcal{S}\) 的态射，满足

\(p_p(f_2) = b \circ b_1\)，其中 \(b_1 : U \to U_1\)。 要证明 \(f\) 强笛卡尔，需证明在 \(u_p\mathcal{S}\) 中存在唯一态射 \(f_1 : X \to X_1\)，使得 \(p_p(f_1) = b_1\)，并且在 \(u_p\mathcal{S}\) 中有 \(f_2 = f \circ f_1\)。 写 \(f_2 = (f'_2 : X' \to X_2, r : X' \to X)\)。 仍可在 \(u_p\mathcal{S}\) 中写成 \(f_2 = (f'_2, 1) \circ (r, 1)^{-1}\)。 由于 \((r, 1)\) 是在 \(\mathcal{D}\) 中的像为恒等态射的同构， 寻找具有所需性质的态射 \(f_1 : X \to X_1\)， 等同于寻找 \(u_p\mathcal{S}\) 中的态射 \(f'_1 : X' \to X_1\)，满足

\(p(f'_1) = b_1\) 与 \(f'_2 = f \circ f'_1\)。 因此，可假设 \(f_2\) 形如 \(f_2 = ((a_2, b_2, \alpha_2), 1)\)，其中 \(b_2 = b \circ b_1\)。图示如下： \[\xymatrix{ & & (U_1, V_1 \to u(U_1), x_1) \ar[d]^{(a, b, \alpha)} \\ (U, V \to u(U), x) \ar[rr]^{(a_2, b_2, \alpha_2)} & & (U_2, V_2 \to u(U_2), x_2) }\] 现在容易构造态射 \(f_1\)。 具体地，令 \(U' = U \times_{U_2} U_1\)，投影为 \(c : U' \to U\) 与 \(a_1 : U' \to U_1\)。 选取提升态射 \(c\) 的强笛卡尔态射 \(\gamma : x' \to x\)。由于 \(b_2 = b \circ b_1\)，并且 \(u(U') = u(U) \times_{u(U_2)} u(U_1)\)，可知 \(\phi' = (\phi, \phi_1 \circ b_1) : V \to u(U')\)。 由于 \(\alpha\) 强笛卡尔，且 \(a \circ a_1 = a_2 \circ c = p(\alpha_2 \circ \gamma)\)， 存在提升 \(a_1\) 的态射 \(\alpha_1 : x' \to x_1\)，满足 \(\alpha \circ \alpha_1 = \alpha_2 \circ \gamma\)。 令 \(X' = (U', \phi' : V \to u(U'), x')\)。 于是可知 \[f_1 = ((a_1, b_1, \alpha_1) : X' \to X_1, (c, \text{id}_V, \gamma) : X' \to X) : X \longrightarrow X_1\] 可行；事实上，图式 \[\xymatrix{ (U', \phi' : V \to u(U'), x') \ar[d]_{(c, \text{id}_V, \gamma)} \ar[rr]_{(a_1, b_1, \alpha_1)} & & (U_1, V_1 \to u(U_1), x_1) \ar[d]^{(a, b, \alpha)} \\ (U, V \to u(U), x) \ar[rr]^{(a_2, b_2, \alpha_2)} & & (U_2, V_2 \to u(U_2), x_2) }\] 由构造交换。这证明了存在性。

接下来证明唯一性；仍处于 \(f = ((a, b, \alpha), 1)\) 与 \(f_2 = ((a_2, b_2, \alpha_2), 1)\) 的特殊情形。 我们强烈建议读者跳过这一部分。 假设 \(g_1, g'_1 : X \to X_1\) 是 \(u_p\mathcal{S}\) 的两个态射，满足 \(p_p(g_1) = p_p(g'_1) = b_1\) 与 \(f_2 = f \circ g_1 = f \circ g'_1\)。 目标是证明 \(g_1 = g'_1\)。由 Categories, Lemma 04VI， 可把 \(g_1\) 与 \(g'_1\) 分别表示为 \((f_1 : X' \to X_1, r : X' \to X)\) 与 \((f'_1 : X' \to X_1, r : X' \to X)\) 的等价类， 其中 \(r \in R\)。由 Categories, Lemma 04VJ， \(f_2 = f \circ g_1 = f \circ g'_1\) 意味着存在 \(u_{pp}\mathcal{S}\) 中的态射 \(r' : X'' \to X'\)， 使 \(r' \circ r \in R\)，并且 \[(a, b, \alpha) \circ f_1 \circ r' = (a, b, \alpha) \circ f'_1 \circ r' = (a_2, b_2, \alpha_2) \circ r'\] 在 \(u_{pp}\mathcal{S}\) 中成立。 注意，此时 \(g_1\) 由 \((f_1 \circ r', r \circ r')\) 表示， \(g'_1\) 也类似。因此，可假设 \[(a, b, \alpha) \circ f_1 = (a, b, \alpha) \circ f'_1 = (a_2, b_2, \alpha_2).\] 写 \(r = (c, \text{id}_V, \gamma) : (U', \phi' : V \to u(U'), x')\)、 \(f_1 = (a_1, b_1, \alpha_1)\) 与 \(f'_1 = (a'_1, b_1, \alpha'_1)\)。 这里使用了条件 \(p_p(g_1) = p_p(g'_1)\)。 上述等式现在等价于 \(a \circ a_1 = a \circ a'_1 = a_2 \circ c\) 与 \(\alpha \circ \alpha_1 = \alpha \circ \alpha'_1 = \alpha_2 \circ \gamma\)。 在这种情形，未必有 \(a_1 = a'_1\)。 所以还须再与一个来自 \(R\) 的态射预复合。 具体地，令 \(U'' = \text{Eq}(a_1, a'_1)\) 为 \(a_1\) 与 \(a'_1\) 的等化子；它是 \(U'\) 的子对象。 以 \(c' : U'' \to U'\) 表示典范单态射。 由上述态射之间的关系可知，\(V \to u(U')\) 分解经过 \(u(U'') = u(\text{Eq}(a_1, a'_1)) = \text{Eq}(u(a_1), u(a'_1))\)。 因而得到新对象 \((U'', \phi'' : V \to u(U''), x'')\)，其中

\(\gamma' : x'' \to x'\) 是提升 \(\gamma\) 的强笛卡尔态射。 于是，可用 \(R\) 的元素 \((c', \text{id}_V, \gamma')\) 与 \(f_1\)、\(f'_1\) 预复合。 这样做后，即用 \((U'', \phi'' : V \to u(U''), x'')\) 替换 \((U', \phi' : V \to u(U'), x')\) 后，回到先前的情形， 并且现在还有 \(a_1 = a'_1\)。 此时，由 \(\alpha\) 强笛卡尔这一事实（！）形式地推出 \(\alpha_1 = \alpha'_1\)。因此，正如所需， \(g_1 = g'_1\)。

我们略去证明如下事实：对 \(u_p\mathcal{S}\) 中形如 \(((a, b, \alpha), 1)\) 的任意强笛卡尔态射，态射 \(\alpha\) 在 \(\mathcal{S}\) 中强笛卡尔。 （在证明的其余部分不需要强笛卡尔态射的这一刻画， 尽管本节后面会使用它。）

令 \((U, \phi : V \to u(U), x)\) 为 \(u_p\mathcal{S}\) 的对象。令 \(b : V' \to V\) 为 \(\mathcal{D}\) 的态射。那么态射 \[(\text{id}_U, b, \text{id}_x) : (U, \phi \circ b : V' \to u(U), x) \longrightarrow (U, \phi : V \to u(U), x)\] 由前面各段的结论强笛卡尔，证明完成。

引理

记号与假设同引理 04WG。 若 \(\mathcal{S}\) 纤维化于群胚，则 \(u_p\mathcal{S}\) 纤维化于群胚。

证明

由引理 04WG 可知， \(u_p\mathcal{S}\) 是纤维化范畴。 令 \(f : X \to Y\) 为 \(u_p\mathcal{S}\) 的态射，并满足 \(p_p(f) = \text{id}_V\)。若能证明 \(f\) 可逆，便告完成；见 Categories, Lemma 003V。 把 \(f\) 写成偶对 \(((a, b, \alpha), r)\) 的等价类， 其中 \(r \in R\)。那么 \(p_p(r) = \text{id}_V\)， 故 \(p_{pp}((a, b, \alpha)) = \text{id}_V\)，从而 \(b = \text{id}_V\)。但 \(\mathcal{S}\) 的任意态射均为强笛卡尔态射， 见 Categories, Lemma 003V；因此 \((a, b, \alpha) \in R\) 在 \(u_p\mathcal{S}\) 中可逆，正如所需。

引理

令 \(u : \mathcal{C} \to \mathcal{D}\) 为函子。 令 \(p : \mathcal{S} \to \mathcal{C}\) 与 \(q : \mathcal{T} \to \mathcal{D}\) 分别为 \(\mathcal{C}\) 与 \(\mathcal{D}\) 上的范畴。假设：

1. \(p : \mathcal{S} \to \mathcal{C}\) 是纤维化范畴；

2. \(q : \mathcal{T} \to \mathcal{D}\) 是纤维化范畴；

3. \(\mathcal{C}\) 有非空有限极限；且

4. \(u : \mathcal{C} \to \mathcal{D}\) 与非空有限极限交换。

那么，态射范畴之间有典范等价 \[\Mor_{\textit{Fib}/\mathcal{C}}(\mathcal{S}, u^p\mathcal{T}) = \Mor_{\textit{Fib}/\mathcal{D}}(u_p\mathcal{S}, \mathcal{T})\]

证明

在此证明中，以记号 \(x/U\) 表示 \(\mathcal{S}\) 中位于 \(\mathcal{C}\) 的 \(U\) 上的对象 \(x\)。 类似地，\(y/V\) 表示 \(\mathcal{T}\) 中位于 \(\mathcal{D}\) 的 \(V\) 上的对象 \(y\)。 同理，\(\alpha/a : x/U \to x'/U'\) 表示态射 \(\alpha : x \to x'\)，它在 \(\mathcal{C}\) 中的像为 \(a : U \to U'\)。

令 \(G : u_p\mathcal{S} \to \mathcal{T}\) 为 \(\mathcal{D}\) 上纤维化范畴之间的 \(1\)-态射。

以 \(G' : u_{pp}\mathcal{S} \to \mathcal{T}\) 表示 \(G\) 与典范（局部化）函子 \(u_{pp}\mathcal{S} \to u_p\mathcal{S}\) 的复合。 考虑由如下规则给出的函子 \(H : \mathcal{S} \to u^p\mathcal{T}\)： 在对象上， \[H(x/U) = (U, G'(U, \text{id}_{u(U)} : u(U) \to u(U), x))\] 而在态射上，

\[H((\alpha, a) : x/U \to x'/U') = G'(a, u(a), \alpha)\] 由于 \(G\) 把强笛卡尔态射变为强笛卡尔态射，可知若 \(\alpha\) 强笛卡尔，则 \(H(\alpha)\) 强笛卡尔。 事实上，引理 04WG 的证明已说明， 在这种情况下，映射 \((a, u(a), \alpha)\) 在 \(u_p\mathcal{S}\) 中成为强笛卡尔态射。 显然，该构造关于 \(G\) 具有函子性，于是得到函子 \[A : \Mor_{\textit{Fib}/\mathcal{D}}(u_p\mathcal{S}, \mathcal{T}) \longrightarrow \Mor_{\textit{Fib}/\mathcal{C}}(\mathcal{S}, u^p\mathcal{T})\]

反之，令 \(H : \mathcal{S} \to u^p\mathcal{T}\) 为纤维化范畴之间的 \(1\)-态射。 回忆，\(u^p\mathcal{T}\) 的对象是偶对 \((U, y)\)，其中 \(y \in \Ob(\mathcal{T}_{u(U)})\)。

以 \(\text{pr} : u^p\mathcal{T} \to \mathcal{T}\) 表示函子 \((U, y) \mapsto y\)。 在这种情况下，按如下规则定义函子 \(G' : u_{pp}\mathcal{S} \to \mathcal{T}\)。 在对象上， \[G'(U, \phi : V \to u(U), x) = \phi^*\text{pr}(H(x))\] 而令 \[G'((a, b, \alpha) : (U, \phi : V \to u(U), x) \to (U', \phi' : V' \to u(U'), x')) = \beta\] 为满足 \(q(\beta) = b\) 且使图式 \[\xymatrix{ \phi^*\text{pr}(H(x)) \ar[d] \ar[r]_-{\beta} & (\phi')^*\text{pr}(H(x')) \ar[d] \\ \text{pr}(H(x)) \ar[r]^{\text{pr}(H(a, \alpha))} & \text{pr}(H(x')) }\] 交换的唯一态射 \(\beta : \phi^*\text{pr}(H(x)) \to (\phi')^*\text{pr}(H(x'))\)。 这样的态射存在且唯一，因为 \(\mathcal{T}\) 是纤维化范畴。

检验若 \(r \in R\)，则 \(G'(r)\) 是同构。 具体地，若 \[(a, \text{id}_V, \alpha) : (U', \phi' : V \to u(U'), x') \longrightarrow (U, \phi : V \to u(U), x)\] 是引理 04WF 的右乘法系 \(R\) 中的元素，且 \(\alpha\) 强笛卡尔，则 \(H(\alpha)\) 强笛卡尔，而 \(\text{pr}(H(\alpha))\) 强笛卡尔；见引理 04WB 的证明。 因此，此时态射 \(\beta\) 满足 \(q(\beta) = \text{id}_V\) 且强笛卡尔。 所以，由 Categories, Lemma 02XL， \(\beta\) 是同构。于是，由 Categories, Lemma 04VK， 得到典范延拓 \(G : u_p\mathcal{S} \to \mathcal{T}\)。

接下来证明 \(G\) 把强笛卡尔态射变为强笛卡尔态射。

假设 \(f : X \to Y\) 是强笛卡尔态射。 由 \(u_p\mathcal{S}\) 中强笛卡尔态射的刻画，可把 \(f\) 写成

\(((a, b, \alpha) : X' \to Y, r : X' \to Y)\)， 其中 \(r \in R\)，且 \(\alpha\) 在 \(\mathcal{S}\) 中强笛卡尔。 由上述结论，只需证明

\(G'(a, b \alpha)\) 强笛卡尔。 和之前一样，\(\alpha\) 强笛卡尔这一条件蕴含 \(\text{pr}(H(a, \alpha)) : \text{pr}(H(x)) \to \text{pr}(H(x'))\) 在 \(\mathcal{T}\) 中强笛卡尔。

由于上面的交换方块中除 \(\beta\) 外的所有箭头现在都强笛卡尔， \(\beta\) 也强笛卡尔，正如所需。 显然，构造 \(H \mapsto G\) 关于 \(H\) 具有函子性， 于是得到函子 \[B : \Mor_{\textit{Fib}/\mathcal{C}}(\mathcal{S}, u^p\mathcal{T}) \longrightarrow \Mor_{\textit{Fib}/\mathcal{D}}(u_p\mathcal{S}, \mathcal{T})\] 为完成引理证明，还须证明函子 \(A\) 与 \(B\) 互为拟逆。 验证从略。

定义

令 \(f : \mathcal{D} \to \mathcal{C}\) 为由连续函子 \(u : \mathcal{C} \to \mathcal{D}\) 给出的位点态射， 并假设它满足 Sites, Proposition 00X6 的假设与结论。 令 \(\mathcal{S}\) 为 \(\mathcal{C}\) 上的栈。 在这种情况下，以\(f^{-1}\mathcal{S}\) 表示 上面构造的 \(\mathcal{D}\) 上纤维化范畴 \(u_p\mathcal{S}\) 的栈化。称 \(f^{-1}\mathcal{S}\) 为 \(\mathcal{S}\) 沿 \(f\) 的拉回。

当然，若 \(\mathcal{S}\) 是群胚中的栈，则由引理 02ZP 与 04WH， \(f^{-1}\mathcal{S}\) 是群胚中的栈。

引理

令 \(f : \mathcal{D} \to \mathcal{C}\) 为由连续函子 \(u : \mathcal{C} \to \mathcal{D}\) 给出的位点态射， 并假设它满足 Sites, Proposition 00X6 的假设与结论。 令 \(p : \mathcal{S} \to \mathcal{C}\) 与 \(q : \mathcal{T} \to \mathcal{D}\) 为栈。 那么，态射范畴之间有典范等价 \[\Mor_{\textit{Stacks}/\mathcal{C}}(\mathcal{S}, f_*\mathcal{T}) = \Mor_{\textit{Stacks}/\mathcal{D}}(f^{-1}\mathcal{S}, \mathcal{T})\]

证明

对 \(i = 1, 2\)，栈的 \(i\)-态射与纤维化范畴的 \(i\)-态射相同；见 Definition 02ZG。 由引理 04WI 已有 \[\Mor_{\textit{Fib}/\mathcal{C}}(\mathcal{S}, u^p\mathcal{T}) = \Mor_{\textit{Fib}/\mathcal{D}}(u_p\mathcal{S}, \mathcal{T})\] 又因 \(u^p\mathcal{T} = f_*\mathcal{T}\)，而 \(f^{-1}\mathcal{S}\) 是 \(u_p\mathcal{S}\) 的栈化， 结论由引理 04W9 得出。

引理

令 \(f : \mathcal{D} \to \mathcal{C}\) 为由连续函子 \(u : \mathcal{C} \to \mathcal{D}\) 给出的位点态射， 并假设它满足 Sites, Proposition 00X6 的假设与结论。 令 \(\mathcal{S} \to \mathcal{C}\) 为纤维化范畴，并令 \(\mathcal{S} \to \mathcal{S}'\) 为 \(\mathcal{S}\) 的栈化。 那么 \(f^{-1}\mathcal{S}'\) 是 \(u_p\mathcal{S}\) 的栈化。

证明

略。提示：这是 Sites, Lemma 00WY 的类似结论。

下面的引理告诉我们：只要 \(\Sch'_{fppf}\) 包含 \(\Sch_{fppf}\)（见 Topologies, Section 022I）， \(\Sch_{fppf}\) 上栈的 \(2\)-范畴就是 \(\Sch'_{fppf}\) 上栈的 \(2\)-范畴的一个“满 2-子范畴”。

引理

令 \(\mathcal{C}\) 与 \(\mathcal{D}\) 为位点。 令 \(u : \mathcal{C} \to \mathcal{D}\) 为满足 Sites, Lemma 00XU 的假设的函子。 令 \(f : \mathcal{D} \to \mathcal{C}\) 为相应的位点态射。 那么：

1. 对每个栈 \(p : \mathcal{S} \to \mathcal{C}\)，典范函子 \(\mathcal{S} \to f_*f^{-1}\mathcal{S}\) 是栈之间的等价；

2. 给定 \(\mathcal{C}\) 上的栈 \(\mathcal{S}, \mathcal{S}'\)，构造 \(f^{-1}\) 诱导态射范畴之间的等价 \[\Mor_{\textit{Stacks}/\mathcal{C}}(\mathcal{S}, \mathcal{S}') \longrightarrow \Mor_{\textit{Stacks}/\mathcal{D}}(f^{-1}\mathcal{S}, f^{-1}\mathcal{S}')\]

证明

注意，由引理 04WK， 有范畴之间的等价 \[\Mor_{\textit{Stacks}/\mathcal{D}}(f^{-1}\mathcal{S}, f^{-1}\mathcal{S}') = \Mor_{\textit{Stacks}/\mathcal{C}}(\mathcal{S}, f_*f^{-1}\mathcal{S}')\] 所以 (2) 由 (1) 得出。

为证明 (1)，将使用引理 046N。 该引理说明，必须证明 \(can : \mathcal{S} \to f_*f^{-1}\mathcal{S}\) 全忠实，并且 \(f_*f^{-1}\mathcal{S}\) 的所有对象 局部地属于本质像。

我们快速描述函子 \(can\)；见引理 04WI 的证明。 为此，引入函子 \(c'' : \mathcal{S} \to u_{pp}\mathcal{S}\)，定义为 \(c''(x/U) = (U, \text{id} : u(U) \to u(U), x)\) 与 \(c''(\alpha/a) = (a, u(a), \alpha)\)。 令 \(c' : \mathcal{S} \to u_p\mathcal{S}\) 为 \(c''\) 与典范函子 \(u_{pp}\mathcal{S} \to u_p\mathcal{S}\) 的复合。 令 \(c : \mathcal{S} \to f^{-1}\mathcal{S}\) 为 \(c'\) 与典范函子 \(u_p\mathcal{S} \to f^{-1}\mathcal{S}\) 的复合。 那么 \(can : \mathcal{S} \to f_*f^{-1}\mathcal{S}\) 是这样的函子：它把 \(x/U\) 送到偶对 \((U, c(x))\)，把 \(\alpha/a\) 送到态射 \((a, c(\alpha))\)。

全忠实性。为证明这一点，将使用引理 04WQ。 令 \(U \in \Ob(\mathcal{C})\)。 令 \(x, y \in \mathcal{S}_U\)。 首先，由于 \(u\) 全忠实，直接从 \(f_*\) 的定义得到 \[\Mor_{(f_*f^{-1}\mathcal{S})_U}(can(x), can(y)) = \Mor_{(f^{-1}\mathcal{S})_{u(U)}}(c(x), c(y))\]

拉回到任意 \(U'/U\) 后，类似结论也成立。 由于 \(f^{-1}\mathcal{S}\) 是 \(u_p\mathcal{S}\) 的栈化， 且 \(u\) 连续并余连续，预层 \[U'/U \longmapsto \Mor_{(f^{-1}\mathcal{S})_{u(U')}}(c(x|_{U'}), c(y|_{U'}))\] 是预层 \[U'/U \longmapsto \Mor_{(u_p\mathcal{S})_{u(U')}}(c'(x|_{U'}), c'(y|_{U'}))\] 的层化。因此，为完成全忠实性的证明，只需证明对任意 \(U\) 与 \(x, y\)，映射

\[\Mor_{\mathcal{S}_U}(x, y) \longrightarrow \Mor_{(u_p\mathcal{S})_U}(c'(x), c'(y))\] 是双射。\(u_p\mathcal{S}\) 中位于 \(u(U)\) 上的态射 \(f : x \to y\) 由如下图式的一个等价类给出： \[\xymatrix{ (U', \phi : u(U) \to u(U'), x') \ar[d]_{(c, \text{id}_{u(U)}, \gamma)} \ar[r]_{(a, b, \alpha)} & (U, \text{id} : u(U) \to u(U), y) \\ (U, \text{id} : u(U) \to u(U), x) }\] 其中 \(\gamma\) 强笛卡尔，且 \(b = \text{id}_{u(U)}\)。 由于 \(u\) 全忠实，可对某个态射 \(c' : U \to U'\) 写成 \(\phi = u(c')\)； 此时可知 \(a \circ c' = \text{id}_U\)，且

\(c \circ c' = \text{id}_{U'}\)。 由于 \(\gamma\) 强笛卡尔，可以找到提升 \(c'\) 的态射 \(\gamma' : x \to x'\)，满足 \(\gamma \circ \gamma' = \text{id}_x\)。 由 \(u_p\mathcal{S}\) 中态射等价类的定义可知， \(u_{pp}\mathcal{S}\) 的态射 \[\xymatrix{ (U, \text{id} : u(U) \to u(U), x) \ar[rr]_{(\text{id}, \text{id}, \alpha \circ \gamma')} & & (U, \text{id} : u(U) \to u(U), y) }\] 在 \(u_p\mathcal{S}\) 中诱导态射 \(f\)。 这证明该映射满射。单射性的证明从略。

最后，必须证明 \(f_*f^{-1}\mathcal{S}\) 的任意对象 局部地来自 \(\mathcal{S}\) 的对象。这由各构造显然成立 （细节从略）。

栈与局部化

令 \(\mathcal{C}\) 为位点。 令 \(U\) 为 \(\mathcal{C}\) 的对象。 我们想把 \(\mathcal{C}/U\) 上的栈理解为 \(\mathcal{C}\) 上的栈连同一个到 \(U\) 的态射。 下一个引理说明，当预层 \(h_U\) 是层时，为何这更容易做到。

引理

令 \(\mathcal{C}\) 为位点。令 \(U \in \Ob(\mathcal{C})\)。 那么 \(j_U : \mathcal{C}/U \to \mathcal{C}\) 是 \(\mathcal{C}\) 上的栈，当且仅当 \(h_U\) 是层。

证明

结合引理 0432 与 Categories, Example 0044。

假设 \(\mathcal{C}\) 为位点，\(U\) 是 \(\mathcal{C}\) 的对象， 且与其相联系的可表预层是层。以 \(j : \mathcal{C}/U \to \mathcal{C}\) 表示局部化函子。

构造 A。 令 \(p : \mathcal{S} \to \mathcal{C}/U\) 为位点 \(\mathcal{C}/U\) 上的栈。如下定义栈 \(j_!p : j_!\mathcal{S} \to \mathcal{C}\)：

1. 作为范畴，\(j_!\mathcal{S} = \mathcal{S}\)；且

2. 函子 \(j_!p : j_!\mathcal{S} \to \mathcal{C}\) 就是复合 \(j \circ p\)。

我们略去验证这是栈（提示：使用 \(h_U\) 是层来黏合到 \(U\) 的态射）。存在典范函子 \[j_!\mathcal{S} \longrightarrow \mathcal{C}/U\] 即函子 \(p\)；它是 \(\mathcal{C}\) 上栈之间的 \(1\)-态射。

构造 B。 令 \(q : \mathcal{T} \to \mathcal{C}\) 为 \(\mathcal{C}\) 上的栈，并配备 \(\mathcal{C}\) 上栈之间的态射 \(p : \mathcal{T} \to \mathcal{C}/U\)。 在这种情况下，\(p : \mathcal{T} \to \mathcal{C}/U\) 自动为 \(\mathcal{C}/U\) 上的栈。

引理

假设 \(\mathcal{C}\) 为位点，\(U\) 是 \(\mathcal{C}\) 的对象， 且与其相联系的可表预层是层。上述构造 A、B 定义 \(2\)-范畴之间互逆（！）的函子 \[\left\{ \begin{matrix} 2\text{-范畴，其对象为}\\ \text{下列对象上的叠： }\mathcal{C}/U \end{matrix} \right\} \leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} 2\text{-二元组范畴 }(\mathcal{T}, p) \text{ 由下列对象组成：} \\ \text{叠 }\mathcal{T}\text{ 相对于 }\mathcal{C}\text{ 以及一个态射} \\ p : \mathcal{T} \to \mathcal{C}/U\text{ 叠范畴，位于 }\mathcal{C} \end{matrix} \right\}\]

证明

这是显然的。