态射续篇

引言

本章继续研究概形态射的性质。基本参考文献是 [EGA]。

加厚

下列术语未必完全标准，但使用起来很方便。

定义

加厚。

1. 若 \(X\) 是 \(X'\) 的闭子概形，且二者的底层拓扑空间相同， 则称概形 \(X'\) 是概形 \(X\) 的一个加厚。

2. 若 \(X\) 是 \(X'\) 的闭子概形，且定义 \(X\) 的拟凝聚理想层 \(\mathcal{I} \subset \mathcal{O}_{X'}\) 平方为零， 则称概形 \(X'\) 是概形 \(X\) 的一个一阶加厚。

3. 若 \(X\) 是 \(X'\) 的闭子概形，且定义 \(X\) 的拟凝聚理想层 \(\mathcal{I} \subset \mathcal{O}_{X'}\) 幂零，即存在整数 \(n \geq 0\) 使得 \(\mathcal{I}^{n + 1} = 0\)， 则称概形 \(X'\) 是概形 \(X\) 的一个有限阶加厚。

4. 若 \(X\) 是 \(X\) 的闭子概形，且 \(\mathcal{I}^{n + 1} = 0\)，其中 \(\mathcal{I} \subset \mathcal{O}_{X'}\) 是定义 \(X\) 的拟凝聚理想层，则称概形 \(X'\) 是概形 \(X\) 的一个 \(n\) 阶加厚。

5. 给定两个加厚 \(X \subset X'\) 与 \(Y \subset Y'\)， 所谓加厚的态射，是满足 \(f'(X) \subset Y\) 的态射 \(f' : X' \to Y'\)；换言之，\(f'|_X\) 经闭子概形 \(Y\) 分解。在此情形中，置 \(f = f'|_X : X \to Y\)，并称 \((f, f') : (X \subset X') \to (Y \subset Y')\) 为加厚的态射。

6. 设 \(S\) 是概形。类似地定义\(S\) 上的加厚及 \(S\) 上加厚的态射。这意味着上述概形 \(X, X', Y, Y'\) 都是 \(S\)-概形，而且态射 \(X \to X'\)、\(Y \to Y'\) 与 \(f' : X' \to Y'\) 都是 \(S\)-态射。

设 \(i_X : X \to X'\) 是加厚。核 \(\mathcal{I} = \Ker(i_X^\sharp)\) 的任意局部截面都是局部幂零的。 这使我们能在一定程度上控制 \(\mathcal{O}_{X'}\) 的结构， 但从技术上说，有限阶加厚 \(X \subset X'\) 这一类要容易处理得多。 具体地，若 \(X'\) 是 \(n\) 阶加厚，则有滤过

\[0 = \mathcal{I}^{n + 1} \subset \mathcal{I}^n \subset \mathcal{I}^{n - 1} \subset \ldots \subset \mathcal{I} \subset \mathcal{O}_{X'}\] 并且可见 \(X'\) 具有闭子空间滤过 \[X = X_1 \subset X_2 \subset \ldots \subset X_n \subset X_{n + 1} = X'\] ，使每一对 \(X_i \subset X_{i + 1}\) 都是 \(S\) 上的一阶加厚。 利用简单的归纳论证，许多针对一阶加厚证明的结果， 都可改述为关于有限阶加厚的结果。

一阶加厚可描述如下（见模，引理 01UP）。

引理

设 \(X\) 是基概形 \(S\) 上的概形。考虑 \(X\) 上层的短正合列 \[0 \to \mathcal{I} \to \mathcal{A} \to \mathcal{O}_X \to 0\] ，其中 \(\mathcal{A}\) 是 \(f^{-1}\mathcal{O}_S\)-代数层， \(\mathcal{A} \to \mathcal{O}_X\) 是 \(f^{-1}\mathcal{O}_S\)-代数层的满射，而 \(\mathcal{I}\) 是其核。 若

1. \(\mathcal{I}\) 是 \(\mathcal{A}\) 中平方为零的理想；并且

2. \(\mathcal{I}\) 作为 \(\mathcal{O}_X\)-模是拟凝聚的，

则 \(X' = (X, \mathcal{A})\) 是概形，且 \(X \to X'\) 是 \(S\) 上的一阶加厚。此外，\(S\) 上任意一阶加厚都具有这种形式。

证明

显然 \(X'\) 是局部赋环空间。设 \(U = \Spec(B)\) 是 \(X\) 的仿射开集，并置 \(A = \Gamma(U, \mathcal{A})\)。 注意，由于 \(H^1(U, \mathcal{I}) = 0\) （见概形上同调，引理 01XB）， 映射 \(A \to B\) 是满射。按假设，其核 \(I = \mathcal{I}(U)\) 是环 \(A\) 中平方为零的理想。 由概形，引理 01I1， 存在局部赋环空间的典范态射 \[(U, \mathcal{A}|_U) \longrightarrow \Spec(A)\] ，它来自映射 \(B \to \Gamma(U, \mathcal{A})\)。

由于此态射嵌入交换图 \[\xymatrix{ (U, \mathcal{O}_X|_U) \ar[d] \ar[r] & \Spec(B) \ar[d] \\ (U, \mathcal{A}|_U) \ar[r] & \Spec(A) }\] ，可见它在底层拓扑空间上是同胚。因此为证明它是同构， 只需检查它在局部环上诱导同构。 对与素理想 \(\mathfrak p \subset A\) 对应的 \(u \in U\)， 得到短正合列的交换图 \[\xymatrix{ 0 \ar[r] & I_{\mathfrak p} \ar[r] \ar[d] & A_{\mathfrak p} \ar[r] \ar[d] & B_{\mathfrak p} \ar[r] \ar[d] & 0 \\ 0 \ar[r] & \mathcal{I}_u \ar[r] & \mathcal{A}_u \ar[r] & \mathcal{O}_{X, u} \ar[r] & 0. }\] 由于 \(\mathcal{I}\) 与 \(\mathcal{O}_X\) 都是拟凝聚层， 左右两条竖直箭头均为同构，故中间的映射也是同构。 所以 \(X' = (X, \mathcal{A})\) 的每一点都有仿射邻域， 而 \(X'\) 如所需是概形。

引理

仿射概形的任意加厚都是仿射的。

证明

这是极限，命题 05YU 的特殊情形。

证明

设 \(X \subset X'\) 是有限阶加厚，且 \(X\) 仿射。 可以利用 Serre 判别法证明 \(X'\) 仿射。更确切地，将使用概形上同调，引理 01XF。 设 \(\mathcal{F}\) 是拟凝聚 \(\mathcal{O}_{X'}\)-模。 只需证明 \(H^1(X', \mathcal{F}) = 0\)。 以 \(i : X \to X'\) 表示给定的闭浸入，并记 \(\mathcal{I} = \Ker(i^\sharp : \mathcal{O}_{X'} \to i_*\mathcal{O}_X)\). 由定义 04EX 之后关于有限阶加厚的讨论， 存在 \(n \geq 0\) 以及滤过 \[0 = \mathcal{F}_{n + 1} \subset \mathcal{F}_n \subset \mathcal{F}_{n - 1} \subset \ldots \subset \mathcal{F}_0 = \mathcal{F}\] ，其各项为拟凝聚子模，且 \(\mathcal{F}_a/\mathcal{F}_{a + 1}\) 被 \(\mathcal{I}\) 零化。 具体可取 \(\mathcal{F}_a = \mathcal{I}^a\mathcal{F}\)。 于是对某个拟凝聚 \(\mathcal{O}_X\)-模 \(\mathcal{G}_a\)，有 \(\mathcal{F}_a/\mathcal{F}_{a + 1} = i_*\mathcal{G}_a\)， 见态射，引理 01QY。由此得到 \[H^1(X', \mathcal{F}_a/\mathcal{F}_{a + 1}) = H^1(X', i_*\mathcal{G}_a) = H^1(X, \mathcal{G}_a) = 0\] 第二个等号来自概形上同调，引理 089W， 最后一个等号来自概形上同调，引理 01XB。 因此 \(\mathcal{F}\) 有一个有限滤过，其逐次商的第一同调均消失； 简单归纳即可推出 \(H^1(X', \mathcal{F}) = 0\)。

引理

设 \(S \subset S'\) 是概形的加厚，给定态射 \(X' \to S'\)， 并置 \(X = S \times_{S'} X'\)。则 \((X \subset X') \to (S \subset S')\) 是加厚的态射。 若 \(S \subset S'\) 是一阶（分别地，有限阶）加厚， 则 \(X \subset X'\) 也是一阶（分别地，有限阶）加厚。

证明

略。

引理

若 \(S \subset S'\) 与 \(S' \subset S''\) 都是加厚， 则 \(S \subset S''\) 也是加厚。

证明

略。

引理

成为加厚这一性质关于 fpqc 是局部的。 一阶加厚也同样如此。

证明

该陈述的含义如下。设 \(X \to X'\) 是概形态射， \(\{g_i : X'_i \to X'\}\) 是 fpqc 覆盖， 使得对所有 \(i\)，基变换 \(X_i \to X'_i\) 都是加厚。 则 \(X \to X'\) 是加厚。由于诸态射 \(g_i\) 联合满射， 可知 \(X \to X'\) 满射。由下降，引理 02L6， \(X \to X'\) 是闭浸入。因此 \(X \to X'\) 是加厚。 略去一阶加厚情形的证明。

加厚的态射

若 \((f, f') : (X \subset X') \to (Y \subset Y')\) 是概形加厚的态射，则态射 \(f\) 的性质往往由 \(f'\) 继承。 这有若干种变体。

引理

设 \((f, f') : (X \subset X') \to (S \subset S')\) 是加厚的态射。则

1. \(f\) 是仿射态射，当且仅当 \(f'\) 是仿射态射；

2. \(f\) 是满射，当且仅当 \(f'\) 是满射；

3. \(f\) 拟紧，当且仅当 \(f'\) 拟紧；

4. \(f\) 泛闭，当且仅当 \(f'\) 泛闭；

5. \(f\) 整，当且仅当 \(f'\) 整；

6. \(f\)（拟）分离，当且仅当 \(f'\)（拟）分离；

7. \(f\) 泛单射，当且仅当 \(f'\) 泛单射；

8. \(f\) 泛开，当且仅当 \(f'\) 泛开；

9. \(f\) 拟仿射，当且仅当 \(f'\) 拟仿射；以及

10. 此处添加更多内容。

证明

注意，\(S \to S'\) 与 \(X \to X'\) 都是泛同胚 （例如见态射，引理 054M）。 这立即蕴含 (2)、(3)、(4)、(7)、(8)。 (1) 由引理 06AD 得出； 该引理说明 \(S\) 与 \(S'\) 的仿射开集之间，以及 \(X\) 与 \(X'\) 的仿射开集之间，都存在一一对应。 (9) 由极限，引理 0B7L 以及刚才关于 \(S\) 与 \(S'\) 的仿射开集所作评注得出。 由态射，引理 01WM， (5) 由 (1) 与 (4) 得出。最后注意 \[S \times_X S = S \times_{X'} S \to S \times_{X'} S' \to S' \times_{X'} S'\] 是加厚（由引理 09ZU， 两条箭头都是加厚）。

所以把 (3) 与 (4) 应用于态射 \((S \subset S') \to (S \times_X S \to S' \times_{X'} S')\) ，就得到 (6)。

引理

设 \((f, f') : (X \subset X') \to (S \subset S')\) 是加厚的态射。设 \(\mathcal{L}'\) 是 \(X'\) 上的可逆层， 并以 \(\mathcal{L}\) 表示它到 \(X\) 的限制。 则 \(\mathcal{L}'\) 是 \(f'\)-丰沛的，当且仅当 \(\mathcal{L}\) 是 \(f\)-丰沛的。

证明

回忆，相对丰沛性是关于基底中每个仿射开集的条件， 见态射，定义 01VH。 由引理 06AD， \(S\) 与 \(S'\) 的仿射开集之间存在一一对应。 所以可假设 \(S\) 与 \(S'\) 都仿射，并归结为证明： \(\mathcal{L}'\) 丰沛，当且仅当 \(\mathcal{L}\) 丰沛。 这就是极限，引理 09MW。

引理

设 \((f, f') : (X \subset X') \to (S \subset S')\) 是加厚的态射，并且 \(X = S \times_{S'} X'\)。 若 \(S \subset S'\) 是有限阶加厚，则

1. \(f\) 是闭浸入，当且仅当 \(f'\) 是闭浸入；

2. \(f\) 局部有限型，当且仅当 \(f'\) 局部有限型；

3. \(f\) 局部拟有限，当且仅当 \(f'\) 局部拟有限；

4. \(f\) 是相对维数为 \(d\) 的局部有限型态射，当且仅当 \(f'\) 是相对维数为 \(d\) 的局部有限型态射；

5. \(\Omega_{X/S} = 0\)，当且仅当 \(\Omega_{X'/S'} = 0\)；

6. \(f\) 非分歧，当且仅当 \(f'\) 非分歧；

7. \(f\) 固有，当且仅当 \(f'\) 固有；

8. \(f\) 有限，当且仅当 \(f'\) 有限；

9. \(f\) 是单态射，当且仅当 \(f'\) 是单态射；

10. \(f\) 是浸入，当且仅当 \(f'\) 是浸入；以及

11. 此处添加更多内容。

证明

引理所列性质 \(\mathcal{P}\) 在基变换下都稳定， 所以若 \(f'\) 具有性质 \(\mathcal{P}\)，则 \(f\) 也具有。 见概形，诸引理 01JY 与 02YC，以及态射，诸引理 01T4, 01TM, 02NK, 01V0, 02GA, 01W4, 及 01WL.

因此每种情形中有内容的方向，都是从 \(f\) 具有该性质出发， 推出 \(f'\) 也具有。对加厚的阶数作归纳，可假设 \(S \subset S'\) 是一阶加厚，见定义 04EX 之后紧接着的讨论。

大多数证明都要归结到仿射情形。设 \(U' \subset S'\) 是仿射开集， \(V' \subset X'\) 是位于 \(U'\) 上方的仿射开集。 令 \(U' = \Spec(A')\)，并以 \(I \subset A'\) 表示定义闭子概形 \(U' \cap S\) 的理想。设 \(V' = \Spec(B')\)。 于是 \(V' \cap X = \Spec(B'/IB')\)。置 \(A = A'/I\)、\(B = B'/IB'\)，得到交换图 \[\xymatrix{ 0 \ar[r] & IB' \ar[r] & B' \ar[r] & B \ar[r] & 0 \\ 0 \ar[r] & IA' \ar[r] \ar[u] & A' \ar[r] \ar[u] & A \ar[r] \ar[u] & 0 }\] ，其两行正合，且 \(I^2 = 0\)。

把 (1) 译成代数：若 \(A \to B\) 满射，则 \(A' \to B'\) 满射。 这由 Nakayama 引理（代数，引理 00DV）得出。

把 (2) 译成代数：若 \(A \to B\) 是有限型环映射，则 \(A' \to B'\) 也是有限型环映射。这可将 Nakayama 引理 （代数，引理 00DV） 应用于映射 \(A'[x_1, \ldots, x_n] \to B'\) 得出， 其中 \(A[x_1, \ldots, x_n] \to B\) 满射。

(3) 的证明。它由 (2) 以及如下事实得出：局部有限型态射的拟有限性 可在纤维上检验，见态射，引理 01TH。

(4) 的证明。它由 (2) 以及如下事实得出：附加性质“相对维数为 \(d\)”可在纤维上检验（按定义如此，见态射，定义 02NJ。

把 (5) 译成代数：若 \(\Omega_{B/A} = 0\)，则 \(\Omega_{B'/A'} = 0\)。由代数，引理 00RV，有 \(0 = \Omega_{B/A} = \Omega_{B'/A'}/I\Omega_{B'/A'}\)。 因此由 Nakayama 引理（代数，引理 00DV）， \(\Omega_{B'/A'} = 0\)。

把 (6) 译成代数：若 \(A \to B\) 是非分歧映射，则 \(A' \to B'\) 非分歧。由于 \(A \to B\) 有限型， 由上面的 (2)，\(A' \to B'\) 有限型。 又因 \(A \to B\) 非分歧，有 \(\Omega_{B/A} = 0\)； 由 (5)，有 \(\Omega_{B'/A'} = 0\)。所以 \(A' \to B'\) 非分歧。

(7) 的证明。把 (2)、引理 09ZV 的结果， 以及“固有等价于拟紧 \(+\) 分离 \(+\) 局部有限型 \(+\) 泛闭”这一事实结合即可。

(8) 的证明。把 (2) 与引理 09ZV 的结果结合， 并使用“有限等价于整 \(+\) 局部有限型”这一事实即可 （态射，引理 01WJ）。

(9) 的证明。由于 \(f\) 是单态射，有 \(X = X \times_S X\)。 可把迄今证明的结果应用于加厚的态射 \((X \subset X') \to (X \times_S X \subset X' \times_{S'} X')\). 。由 (1)，得到 \(X' \to X' \times_{S'} X'\) 是闭浸入。 事实上它是一阶加厚，因为定义闭浸入 \(X' \to X' \times_{S'} X'\) 的理想，包含在理想 \(\mathcal{I} \subset \mathcal{O}_{S'}\) 的拉回中； 该理想定义 \(S'\) 中的 \(S\)。确实， \(X = X \times_S X = (X' \times_{S'} X') \times_{S'} S\) 包含于 \(X'\)。所以由态射，引理 08S2， 只需证明 \(\Omega_{X'/S'} = 0\)； 这由 (5) 以及 \(X/S\) 的相应陈述得出。

(10) 的证明。若 \(f : X \to S\) 是浸入，则它分解为 \(X \to U \to S\)，其中 \(U \to S\) 是开浸入， \(X \to U\) 是闭浸入。令 \(U' \subset S'\) 为底层拓扑空间 与 \(U\) 相同的开子概形。于是 \(X' \to S'\) 经 \(U'\) 分解， 由 (1)，\(X' \to U'\) 是闭浸入。证明完毕。

下一个引理是前一引理的变体。这里不再假设所涉加厚为有限阶 （该假设使我们能把局部有限型这一性质从 \(f\) 传递给 \(f'\)）， 而是直接假定 \(f\) 与 \(f'\) 都局部有限型。

引理

设 \((f, f') : (X \subset X') \to (Y \to Y')\) 是加厚的态射。

假设 \(f\) 与 \(f'\) 局部有限型，且 \(X = Y \times_{Y'} X'\)。则

1. \(f\) 局部拟有限，当且仅当 \(f'\) 局部拟有限；

2. \(f\) 有限，当且仅当 \(f'\) 有限；

3. \(f\) 是闭浸入，当且仅当 \(f'\) 是闭浸入；

4. \(\Omega_{X/Y} = 0\)，当且仅当 \(\Omega_{X'/Y'} = 0\)；

5. \(f\) 非分歧，当且仅当 \(f'\) 非分歧；

6. \(f\) 是单态射，当且仅当 \(f'\) 是单态射；

7. \(f\) 是浸入，当且仅当 \(f'\) 是浸入；

8. \(f\) 固有，当且仅当 \(f'\) 固有；以及

9. 此处添加更多内容。

证明

引理所列性质 \(\mathcal{P}\) 在基变换下都稳定， 所以若 \(f'\) 具有性质 \(\mathcal{P}\)，则 \(f\) 也具有。 见概形，诸引理 01JY 与 02YC，以及态射，诸引理 01TM, 02NK, 01V0, 02GA, 01W4, 及 01WL. 因此每种情形中只需证明：若 \(f\) 具有所需性质， 则 \(f'\) 也具有。

一个态射局部拟有限，当且仅当它局部有限型且概形论纤维为离散空间， 见态射，引理 06RT。 由于传到加厚不会改变底层拓扑空间，可知若（且仅若） \(f\) 局部拟有限，则 \(f'\) 局部拟有限。这证明了 (1)。

(2) 由引理 09ZV 的 (5) 以及下列事实得出：有限态射恰好是局部有限型的整态射 （态射，引理 01WJ）。

(3)。这立即由态射，引理 0896 得出。

(4) 由下列代数陈述得出：设 \(A\) 是环， \(I \subset A\) 是局部幂零理想，\(B\) 是有限型 \(A\)-代数。 若 \(\Omega_{(B/IB)/(A/I)} = 0\)，则 \(\Omega_{B/A} = 0\)。 具体地，该假设意味着 \(I\Omega_{B/A} = 0\)，见代数，引理 00RV。 另一方面，\(\Omega_{B/A}\) 是有限 \(B\)-模，见代数，引理 00RZ。 所以 \(\Omega_{B/A}\) 的消失性由 Nakayama 引理 （代数，引理 00DV）以及 \(IB\) 包含于 \(B\) 的 Jacobson 根这一事实得出。

(5) 立即由 (4) 与态射，引理 02G5 得出。

(6) 的证明。由于 \(f\) 是单态射，有 \(X = X \times_Y X\)。 可把迄今证明的结果应用于加厚的态射 \((X \subset X') \to (X \times_Y X \subset X' \times_{Y'} X')\). 。由 (3)，得到 \(\Delta_{X'/Y'} : X' \to X' \times_{Y'} X'\) 是闭浸入。 事实上，\(\Delta_{X'/Y'}\) 在底层集合上是双射， 故 \(\Delta_{X'/Y'}\) 是加厚。另一方面，由态射，引理 0818， \(\Delta_{X'/Y'}\) 局部有限表示。换言之， \(\Delta_{X'/Y'}(X')\) 由有限型拟凝聚理想层 \(\mathcal{J} \subset \mathcal{O}_{X' \times_{Y'} X'}\) 截出。 由 (5)，\(\Omega_{X'/Y'} = 0\)；再由态射，引理 08S2， \(X' \to X' \times_{Y'} X'\) 的余法层为零。 换言之，\(\mathcal{J}/\mathcal{J}^2 = 0\)。 例如由代数，引理 00EH， 这蕴含 \(\Delta_{X'/Y'}\) 是同构。

(7) 的证明。若 \(f : X \to Y\) 是浸入，则它分解为 \(X \to V \to Y\)，其中 \(V \to Y\) 是开浸入， \(X \to V\) 是闭浸入。令 \(V' \subset Y'\) 为底层拓扑空间 与 \(V\) 相同的开子概形。于是 \(X' \to V'\) 经 \(V'\) 分解，

并由 (3) 得到 \(X' \to V'\) 是闭浸入。

(8) 由引理 09ZV 以及固有态射的定义得出：它是拟紧、泛闭、分离且局部有限型的态射。

加厚的 Picard 群

这里给出一些关于加厚的 Picard 群的材料。

引理

设 \(X \subset X'\) 是理想层为 \(\mathcal{I}\) 的一阶加厚。则有阿贝尔群的典范正合列 \[\xymatrix{ 0 \ar[r] & H^0(X, \mathcal{I}) \ar[r] & H^0(X', \mathcal{O}_{X'}^*) \ar[r] & H^0(X, \mathcal{O}^*_X) \ar `r[d] `d[l] `l[llld] `d[dll] [dll] \\ & H^1(X, \mathcal{I}) \ar[r] & \Pic(X') \ar[r] & \Pic(X) \ar `r[d] `d[l] `l[llld] `d[dll] [dll] \\ & H^2(X, \mathcal{I}) \ar[r] & \ldots \ar[r] & \ldots }\] 。

证明

这是与阿贝尔群层的短正合列 \[0 \to \mathcal{I} \to \mathcal{O}_{X'}^* \to \mathcal{O}_X^* \to 0\] 相伴的长上同调正合列，其中第一个映射把 \(\mathcal{I}\) 的局部截面 \(f\) 送到 \(\mathcal{O}_{X'}\) 的可逆截面 \(1 + f\)。 这里还使用了环化空间的 Picard 群与其可逆函数层的第一上同调群之间的等同； 见 上同调章引理 09NU。

引理

设 \(X \subset X'\) 是一个加厚，且整数 \(n\) 在 \(\mathcal{O}_X\) 中可逆。 则映射 \(\Pic(X')[n] \to \Pic(X)[n]\) 是双射。

证明

由定义 04EX 后所述的一般原理，问题可归结为一阶加厚的情形。 此时由引理 0C6R，只需证明 \(H^1(X, \mathcal{I})[n]\)、\(H^1(X, \mathcal{I})/n\) 和 \(H^2(X, \mathcal{I})[n]\) 均为零。 这是因为 \(\mathcal{I}\) 作为 \(\mathcal{O}_X\)-模，其上的乘 \(n\) 映射是同构。

证明

设 \(\mathcal{I} \subset \mathcal{O}_{X'}\) 是截出 \(X\) 的拟凝聚理想层。 则有阿贝尔群层的短正合列 \[0 \to (1 + \mathcal{I})^* \to \mathcal{O}_{X'}^* \to \mathcal{O}_X^* \to 0\] 从而得到如引理 0C6R 所述的长上同调正合列， 只是把 \(H^i(X, \mathcal{I})\) 换成 \(H^i(X, (1 + \mathcal{I})^*)\)。 因此只需证明取 \(n\) 次幂给出同构 \((1 + \mathcal{I})^* \to (1 + \mathcal{I})^*\)。 在仿射开集上取截面后，这由 代数章引理 0CAP 得出。

无穷小邻域

有限阶加厚有如下自然构造。设 \(i : Z \to X\) 是概形的浸入。 选择开子概形 \(U \subset X\)，使得 \(i\) 将 \(Z\) 等同于闭子概形 \(Z \subset U\)。设 \(\mathcal{I} \subset \mathcal{O}_U\) 是在 \(U\) 中定义 \(Z\) 的拟凝聚理想层。对 \(n \geq 1\)， 可以考虑由拟凝聚理想层 \(\mathcal{I}^{n + 1}\) 定义的闭子概形 \(Z_n \subset U\)。

定义

设 \(i : Z \to X\) 是概形的浸入。

1. \(Z\) 在 \(X\) 中的一阶无穷小邻域是上述 \(X\) 上的一阶加厚 \(Z \subset Z_1\)。

2. \(Z\) 在 \(X\) 中的\(n\) 阶无穷小邻域是上述 \(X\) 上的 \(n\) 阶加厚 \(Z \subset Z_n\)。

这些加厚具有如下泛性质（它也消除了对上述构造依赖于开集 \(U\) 之选取的疑虑）。

引理

设 \(i : Z \to X\) 是概形的浸入。

1. \(Z\) 在 \(X\) 中的一阶无穷小邻域 \(Z'\) 具有如下泛性质：给定任意交换图 \[\xymatrix{ Z \ar[d]_i & T \ar[l]^a \ar[d] \\ X & T' \ar[l]_b }\] 其中 \(T \subset T'\) 是 \(X\) 上的一阶加厚，则存在唯一的 \(X\) 上加厚的态射 \((a', a) : (T \subset T') \to (Z \subset Z')\)。

2. 对 \(n \geq 1\)，\(Z\) 在 \(X\) 中的 \(n\) 阶无穷小邻域 \(Z_n\) 具有如下泛性质：给定任意交换图 \[\xymatrix{ Z \ar[d]_i & T \ar[l]^a \ar[d] \\ X & T' \ar[l]_b }\] 其中 \(T \subset T'\) 是 \(X\) 上的 \(n\) 阶加厚，则存在唯一的 \(X\) 上加厚的态射 \((a', a) : (T \subset T') \to (Z \subset Z_n)\)。

证明

只证明 (1)。设 \(U \subset X\) 是构造 \(Z'\) 时所用的开集；也就是说， \(Z\) 被等同于 \(U\) 中由拟凝聚理想层 \(\mathcal{I}\) 截出的闭子概形。 由于 \(|T| = |T'|\)，可知 \(b(T') \subset U\)，因而可把 \(b\) 看作到 \(U\) 的态射。 设 \(\mathcal{J} \subset \mathcal{O}_{T'}\) 是截出 \(T\) 的理想。 由上图中的 \(b(T) \subset Z\)，可知 \(b^\sharp(b^{-1}\mathcal{I}) \subset \mathcal{J}\)。 由于 \(T'\) 是 \(T\) 的一阶加厚，有 \(\mathcal{J}^2 = 0\)，故 \(b^\sharp(b^{-1}(\mathcal{I}^2)) = 0\)。由 概形章引理 01HP， 这表明 \(b\) 经由 \(Z'\) 分解。以 \(a' : T' \to Z'\) 表示此分解，结论即明。

引理

设 \(i : Z \to X\) 是概形的浸入，并设 \(Z \subset Z'\) 是 \(Z\) 在 \(X\) 中的一阶无穷小邻域。则图 \[\xymatrix{ Z \ar[r] \ar[d] & Z' \ar[d] \\ Z \ar[r] & X }\] 由 态射章引理 01R4 诱导余法层的映射 \(\mathcal{C}_{Z/X} \to \mathcal{C}_{Z/Z'}\)。 此映射是同构。

证明

这由上述 \(Z'\) 的构造立即可见。

形式非分歧态射

回顾：若对每个实线部分交换的图 \[\xymatrix{ A \ar[r] \ar@{-->}[rd] & B/I \\ R \ar[r] \ar[u] & B \ar[u] }\] （其中 \(I \subset B\) 是平方为零的理想），至多存在一条使该图交换的虚线箭头， 则称环映射 \(R \to A\) 是形式非分歧的；见 代数章定义 00UN。 这引出概形态射的如下类似概念。

定义

设 \(f : X \to S\) 是概形态射。若给定任意实线部分交换的图 \[\xymatrix{ X \ar[d]_f & T \ar[d]^i \ar[l] \\ S & T' \ar[l] \ar@{-->}[lu] }\] 其中 \(T \subset T'\) 是 \(S\) 上仿射概形的一阶加厚时，至多存在一条使该图交换的 虚线箭头，则称 \(f\) 是形式非分歧的。

先证明一些形式性引理，也就是只需画出相应交换图即可证明的引理。

引理

若 \(f : X \to S\) 是形式非分歧态射，则给定任意实线部分交换的图 \[\xymatrix{ X \ar[d]_f & T \ar[d]^i \ar[l] \\ S & T' \ar[l] \ar@{-->}[lu] }\] 其中 \(T \subset T'\) 是 \(S\) 上概形的一阶加厚，至多存在一条使该图交换的虚线箭头。 换言之，在定义 02H8 中可以去掉 \(T\) 为仿射的条件。

证明

这是因为一个态射由它在各仿射开集上的限制所决定。

引理

形式非分歧态射的复合仍是形式非分歧的。

证明

这是形式性的。

引理

形式非分歧态射的基变换仍是形式非分歧的。

证明

这是形式性的。

引理

设 \(f : X \to S\) 是概形态射，并设 \(U \subset X\) 与 \(V \subset S\) 是满足 \(f(U) \subset V\) 的开集。若 \(f\) 形式非分歧，则 \(f|_U : U \to V\) 也形式非分歧。

证明

考虑定义 02H8 中那样的实线部分交换图 \[\xymatrix{ U \ar[d]_{f|_U} & T \ar[d]^i \ar[l]^a \\ V & T' \ar[l] \ar@{-->}[lu] }\] 。

若 \(f\) 形式分歧，则至多存在一个满足 \(a'|_T = a\) 的 \(S\)-态射 \(a' : T' \to X\)。因此显然至多存在一个这样的到 \(U\) 的态射。

引理

设 \(f : X \to S\) 是概形态射，并假设 \(X\) 与 \(S\) 均为仿射。 则 \(f\) 形式非分歧，当且仅当 \(\mathcal{O}_S(S) \to \mathcal{O}_X(X)\) 是形式非分歧环映射。

证明

由环范畴与仿射概形范畴之间的等价，这立即从定义 （定义 02H8 与 代数章定义 00UN）得出；见 概形章引理 01I2。

下面用微分层给出一个刻画。

引理

设 \(f : X \to S\) 是概形态射。则 \(f\) 形式非分歧，当且仅当 \(\Omega_{X/S} = 0\)。

证明

回顾 态射章引理 01UT 证明中的部分论证。取开集 \(W \subset X \times_S X\)，使对角态射 \(\Delta : X \to X \times_S X\) 诱导到 \(W\) 的闭浸入。 设 \(\mathcal{J} \subset \mathcal{O}_W\) 是此闭浸入的理想层，并设 \(X' \subset W\) 是由拟凝聚理想层 \(\mathcal{J}^2\) 定义的闭子概形。 考虑由两个投影 \(X \times_S X \to X\) 诱导的两个态射 \(p_1, p_2 : X' \to X\)。注意，\(p_1\) 与 \(p_2\) 同 \(\Delta : X \to X'\) 复合后相等，而且 \(X \to X'\) 是由平方为零的理想 定义的闭浸入。此外有短正合列 \[0 \to \mathcal{J}/\mathcal{J}^2 \to \mathcal{O}_{X'} \to \mathcal{O}_X \to 0\] 且 \(\Omega_{X/S} = \mathcal{J}/\mathcal{J}^2\)。再者， \(\mathcal{J}/\mathcal{J}^2\) 由局部截面 \(p_1^\sharp(f) - p_2^\sharp(f)\) 生成，其中 \(f\) 遍历 \(\mathcal{O}_X\) 的局部截面。

假设 \(f : X \to S\) 形式非分歧。按假设，这意味着 \(p_1 = p_2\) 限制到任意仿射开集 \(T' \subset X'\) 后相等，故 \(p_1 = p_2\)。 由上可得 \(\Omega_{X/S} = \mathcal{J}/\mathcal{J}^2 = 0\)。

反之，假设 \(\Omega_{X/S} = 0\)，于是 \(X' = X\)。任取定义 02H8 中图的两条虚线箭头 \(f'_1, f'_2 : T' \to X\)。它们给出态射 \((f'_1, f'_2) : T' \to X \times_S X\)。 由于 \(f'_1|_T = f'_2|_T\) 且 \(|T| =|T'|\)，\(T'\) 在 \((f'_1, f'_2)\) 下的像包含于上面选取的开集 \(W\) 中。 又因 \((f'_1, f'_2)(T) \subset \Delta(X)\)，且 \(T\) 在 \(T'\) 中由平方为零的 理想定义，可知 \((f'_1, f'_2)\) 经由 \(X'\) 分解。因 \(X' = X\)， 遂得所需的 \(f_1' = f'_2\)。

引理

设 \(f : X \to Y\) 是概形态射。以下条件等价：

1. \(f\) 形式非分歧；

2. 对每个 \(x \in X\)，存在满足 \(f(U) \subset V\) 的开集 \(x \in U \subset X\) 与 \(f(x) \in V \subset Y\)，使得 \(f|_U : U \to V\) 形式非分歧；

3. 对每一对满足 \(f(U) \subset V\) 的仿射开集 \(U \subset X\) 与 \(V \subset Y\)，环映射 \(\mathcal{O}_Y(V) \to \mathcal{O}_X(U)\) 形式非分歧；

4. 存在仿射开覆盖 \(Y = \bigcup V_j\)，且对每个 \(j\) 存在仿射开覆盖 \(f^{-1}(V_j) = \bigcup U_{ji}\)，使得对所有 \(j\) 与 \(i\)，环映射 \(\mathcal{O}_Y(V) \to \mathcal{O}_X(U)\) 形式非分歧。

证明

结合引理 02HC 与 02HD 可得 (1) \(\Rightarrow\) (3)。 (3) \(\Rightarrow\) (4) 是立即的。由引理 02HD 得 (4) \(\Rightarrow\) (2)。 若 (2) 成立，则由引理 02H9 （这里还使用 态射章引理 01US）， \(\Omega_{X/S}\) 在每一点的某个邻域上消失；于是再由引理 02H9，\(f\) 形式非分歧。

引理

设 \(f : X \to S\) 是概形态射。以下条件等价：

1. 态射 \(f\) 非分歧（分别地，G-非分歧）；

2. 态射 \(f\) 局部有限型（分别地，局部有限表示）且形式非分歧。

证明

使用引理 02H9 与 态射章引理 02G5。

泛一阶加厚

设 \(h : Z \to X\) 是概形态射。\(Z\) 在 \(X\) 上的一个泛一阶加厚 是 \(X\) 上的一阶加厚 \(Z \subset Z'\)，使得给定 \(X\) 上的任意一阶加厚 \(T \subset T'\) 和实线部分交换图 \[\xymatrix{ & Z \ar[ld] & & T \ar[rd] \ar[ll]^a \\ Z' \ar[rrd] & & & & T' \ar@{..>}[llll]_{a'} \ar[lld]^b \\ & & X }\] 时，存在唯一的虚线箭头使该图交换。注意，在这种情形下 \((a, a') : (T \subset T') \to (Z \subset Z')\) 是 \(X\) 上加厚的态射。 因此若泛一阶加厚存在，则它在唯一同构的意义下唯一。 一般而言泛一阶加厚未必存在，但当 \(h\) 形式非分歧时它确实存在。

引理

设 \(h : Z \to X\) 是形式非分歧的概形态射。则存在 \(Z\) 在 \(X\) 上的 泛一阶加厚 \(Z \subset Z'\)。

证明

在本证明中，若 \(Z \subset Z'\) 满足引理中的条件，就称它为 \(Z\) 在 \(X\) 上的泛一阶加厚。我们将通过粘合构造泛一阶加厚 \(Z \subset Z'\)，先从仿射情形开始；该情形即 代数章引理 04EB。 首先作一些一般性说明。

若 \(Z\) 在 \(X\) 上的泛一阶加厚存在，则它在唯一同构的意义下唯一。 再设 \(V \subset Z\) 与 \(U \subset X\) 是满足 \(h(V) \subset U\) 的开子概形， 并设 \(Z \subset Z'\) 是 \(Z\) 在 \(X\) 上的泛一阶加厚。令 \(V' \subset Z'\) 为满足 \(V = Z \cap V'\) 的开子概形。我们断言 \(V \subset V'\) 是 \(V\) 在 \(U\) 上的泛一阶加厚。事实上，设给定任意图 \[\xymatrix{ V \ar[d]_h & T \ar[l]^a \ar[d] \\ U & T' \ar[l]_b }\] 其中 \(T \subset T'\) 是 \(U\) 上的一阶加厚。由 \(Z'\) 的泛性质，得到 \((a, a') : (T \subset T') \to (Z \subset Z')\)。 但由于底拓扑空间相等 \(|T| = |T'|\)，可知 \(a'(T') \subset V'\)。 因此可把 \((a, a')\) 看作 \(U\) 上加厚的态射 \((a, a') : (T \subset T') \to (V \subset V')\)，唯一性也很清楚。 完全类似地可证：若 \(h(Z) \subset U\)，且 \(Z \subset Z'\) 是 \(U\) 上的 泛一阶加厚，则 \(Z \subset Z'\) 也是 \(X\) 上的泛一阶加厚。

在粘合各仿射片之前，先证明 \(Z\) 与 \(X\) 均为仿射时引理成立。 写 \(X = \Spec(R)\)、\(Z = \Spec(S)\)。由 代数章引理 04EB， 存在 \(X\) 上的一阶加厚 \(Z \subset Z'\)，它对如下图具有引理中的泛性质： \[\xymatrix{ Z \ar[d]_h & T \ar[l]^a \ar[d] \\ X & T' \ar[l]_b }\] 其中 \(T, T'\) 为仿射。对一般的图，可选择仿射开覆盖 \(T' = \bigcup T'_i\)，并得到 \(X\) 上的态射 \(a'_i : T'_i \to Z'\)， 满足 \(a'_i|_{T_i} = a|_{T_i}\)。由唯一性，\(a'_i\) 与 \(a'_j\) 在 \(T'_i \cap T'_j\) 的任意仿射开集上相等。因此诸态射 \(a'_i\) 粘合成所需的 \(X\) 上整体态射 \(a' : T' \to Z'\)。 故当 \(X\) 与 \(Z\) 均为仿射时引理成立。

选择仿射开覆盖 \(Z = \bigcup Z_i\)，使每个 \(Z_i\) 都映入 \(X\) 的某个仿射开集 \(U_i\)。由引理 02HC，态射 \(Z_i \to U_i\) 形式非分歧。因此由仿射情形，得到 \(U_i\) 上的泛一阶加厚 \(Z_i \subset Z_i'\)。由上述一般性说明，\(Z_i \subset Z_i'\) 也是 \(Z_i\) 在 \(X\) 上的泛一阶加厚。令 \(Z'_{i, j} \subset Z'_i\) 为满足 \(Z_i \cap Z_j = Z'_{i, j} \cap Z_i\) 的开子概形。由一般性说明， \(Z'_{i, j}\) 与 \(Z'_{j, i}\) 都是 \(Z_i \cap Z_j\) 在 \(X\) 上的泛一阶加厚。 于是由第一条一般性说明，存在典范同构 \(\varphi_{ij} : Z'_{i, j} \to Z'_{j, i}\)，它在 \(Z_i \cap Z_j\) 上诱导恒等映射。 我们断言这些态射满足 概形章第 01JA 节 的上闭链条件。 （验证从略。提示：使用 \(Z'_{i, j} \cap Z'_{i, k}\) 是 \(Z_i \cap Z_j \cap Z_k\) 在 \(X\) 上的泛一阶加厚，并由上文知它在唯一同构的 意义下被确定。）因此可以使用 概形章第 01JA 节 的结果， 得到 \(X\) 上的一阶加厚 \(Z \subset Z'\)，使满足 \(Z_i = Z'_i \cap Z\) 的开子概形 \(Z'_i \subset Z'\) 是 \(Z_i\) 在 \(X\) 上的泛一阶加厚。

由此可形式地推出 \(Z'\) 是 \(Z\) 在 \(X\) 上的泛一阶加厚。事实上， 对于任意如下图，我们已经有泛性质： \[\xymatrix{ Z \ar[d]_h & T \ar[l]^a \ar[d] \\ X & T' \ar[l]_b }\] 其中 \(a(T)\) 包含于某个 \(Z_i\)。给定一般的图，可选择开覆盖 \(T' = \bigcup T'_i\)，使 \(a(T_i) \subset Z_i\)。于是得到 \(X\) 上的态射 \(a'_i : T'_i \to Z'\)，满足 \(a'_i|_{T_i} = a|_{T_i}\)。 \(a'_i\) 与 \(a'_j\) 在 \(T'_i \cap T'_j\) 上必然相等，因为 \(a'_i|_{T'_i \cap T'_j}\) 与 \(a'_j|_{T'_i \cap T'_j}\) 都解出了映入 \(Z_i \cap Z_j\) 在 \(X\) 上的泛一阶加厚 \(Z'_i \cap Z'_j\) 的问题。 因此诸态射 \(a'_i\) 粘合成所需的 \(X\) 上整体态射 \(a' : T' \to Z'\)。证明完毕。

定义

设 \(h : Z \to X\) 是形式非分歧的概形态射。

1. \(Z\) 在 \(X\) 上的泛一阶加厚是引理 04F3 中构造的加厚 \(Z \subset Z'\)。

2. \(Z\) 在 \(X\) 上的余法层是 \(Z\) 在其 \(X\) 上泛一阶加厚 \(Z'\) 中的余法层。

在这种情形下，我们常将该余法层记为 \(\mathcal{C}_{Z/X}\)。

因此在 \(Z\) 上有层的短正合列 \[0 \to \mathcal{C}_{Z/X} \to \mathcal{O}_{Z'} \to \mathcal{O}_Z \to 0\] 。下面的引理证明，此定义与 \(Z \to X\) 为浸入时的定义并不冲突。

引理

设 \(i : Z \to X\) 是概形的浸入。则

1. \(i\) 形式非分歧；

2. \(Z\) 在 \(X\) 上的泛一阶加厚就是定义 04EY 中 \(Z\) 在 \(X\) 中的一阶无穷小邻域；

3. 态射章定义 01R2 意义下 \(i\) 的余法层与定义 04F4 意义下 \(i\) 的余法层一致。

证明

由 态射章引理 02GB 与 02GC，浸入是非分歧的， 故由引理 02HE 它形式非分歧。 其余断言由引理 04EZ、 04F0 与诸定义合并得出。

引理

设 \(Z \to X\) 是形式非分歧的概形态射。则泛一阶加厚 \(Z'\) 在 \(X\) 上形式非分歧。

证明

有两个证明。第一个是在仿射局部运算并应用 代数章引理 04EF 来证明 \(\Omega_{Z'/X} = 0\)；此后引理 02H9 即给出所需结论。 第二个是如下直接论证。

设 \(T \subset T'\) 是一阶加厚，并设 \[\xymatrix{ Z' \ar[d] & T \ar[l]^c \ar[d] \\ X & T' \ar[l] \ar[lu]^{a, b} }\] 为交换图。考虑图中的两个态射 \(a, b : T' \to Z'\)。令 \(T_0 = c^{-1}(Z) \subset T\)，并令 \(T'_a = a^{-1}(Z)\)（均取概形论意义）。 由于 \(Z'\) 是 \(Z\) 的一阶加厚，\(T'\) 是 \(T'_a\) 的一阶加厚。 又因 \(c = a|_T\)，有 \(T_0 = T \cap T'_a\)（概形论意义）。 由于 \(T'\) 是 \(T\) 的一阶加厚，遂知 \(T'_a\) 是 \(T_0\) 的一阶加厚。 现在 \(a|_{T'_a}\) 与 \(b|_{T'_a}\) 是 \(X\) 上从 \(T'_a\) 到 \(Z'\) 的态射， 且它们限制到 \(T_0\) 后作为到 \(Z\) 的态射相等。因此由 \(Z'\) 的泛性质， \(a|_{T'_a} = b|_{T'_a}\)。于是 \(a\) 与 \(b\) 是从 \(T'_a\) 的一阶加厚 \(T'\) 出发的态射，它们在 \(T'_a\) 上的限制作为到 \(Z\) 的态射相等。 再次使用 \(Z'\) 的泛性质，得到 \(a = b\)。换言之，形式非分歧态射的定义性质 对 \(Z' \to X\) 成立，正是所求。

引理

考虑概形的交换图 \[\xymatrix{ Z \ar[r]_h \ar[d]_f & X \ar[d]^g \\ W \ar[r]^{h'} & Y }\] 其中 \(h\) 与 \(h'\) 形式非分歧。设 \(Z \subset Z'\) 是 \(Z\) 在 \(X\) 上的泛一阶加厚， \(W \subset W'\) 是 \(W\) 在 \(Y\) 上的泛一阶加厚。存在 \(Y\) 上加厚的典范态射 \((f, f') : (Z, Z') \to (W, W')\)，它嵌入如下交换图： \[\xymatrix{ & & & Z' \ar[ld] \ar[d]^{f'} \\ Z \ar[rr] \ar[d]_f \ar[rrru] & & X \ar[d] & W' \ar[ld] \\ W \ar[rrru]|!{[rr];[rruu]}\hole \ar[rr] & & Y }\] 特别地，加厚的态射 \((f, f')\) 诱导余法层的态射 \(f^*\mathcal{C}_{W/Y} \to \mathcal{C}_{Z/X}\)。

证明

第一个断言由 \(W'\) 的泛性质立即可见。余法层上的诱导映射，是将 态射章引理 01R4 应用于 \((Z \subset Z') \to (W \subset W')\) 所得的映射。

引理

设 \[\xymatrix{ Z \ar[r]_h \ar[d]_f & X \ar[d]^g \\ W \ar[r]^{h'} & Y }\] 是概形范畴中的纤维积图，并设 \(h'\) 形式非分歧。则 \(h\) 形式非分歧； 若 \(W \subset W'\) 是 \(W\) 在 \(Y\) 上的泛一阶加厚，则 \(Z = X \times_Y W \subset X \times_Y W'\) 是 \(Z\) 在 \(X\) 上的泛一阶加厚。 特别地，引理 04F7 的典范映射 \(f^*\mathcal{C}_{W/Y} \to \mathcal{C}_{Z/X}\) 是满射。

证明

由引理 02HB，态射 \(h\) 形式非分歧。 显然 \(X \times_Y W'\) 是一阶加厚。因为 \(W'\) 具有泛性质， 由纤维积的映射性质容易检验它也具有泛性质。 关于这为何推出余法层之间的映射为满射，见 态射章引理 0473。

引理

设 \[\xymatrix{ Z \ar[r]_h \ar[d]_f & X \ar[d]^g \\ W \ar[r]^{h'} & Y }\] 是概形范畴中的纤维积图，其中 \(h'\) 形式非分歧且 \(g\) 平坦。 在这种情形下，相应的泛一阶加厚之间的映射 \(Z' \to W'\) 平坦，并且 \(f^*\mathcal{C}_{W/Y} \to \mathcal{C}_{Z/X}\) 是同构。

证明

平坦性在基变换下保持；见 态射章引理 01U9。 因此第一个断言由引理 04F8 中对 \(W'\) 的描述得出。显然 \(X \times_Y W'\) 是一阶加厚。 因为 \(W'\) 具有泛性质，由纤维积的映射性质容易检验 它也具有泛性质。关于这为何推出余法层之间的映射是同构，见 态射章引理 0473。

引理

取泛一阶加厚与取开集可交换。更精确地，设 \(h : Z \to X\) 是形式非分歧的概形态射，\(V \subset Z\)、\(U \subset X\) 是满足 \(h(V) \subset U\) 的开集，并设 \(Z'\) 是 \(Z\) 在 \(X\) 上的泛一阶加厚。 则 \(h|_V : V \to U\) 形式非分歧，而且 \(V\) 在 \(U\) 上的泛一阶加厚 是满足 \(V = Z \cap V'\) 的开子概形 \(V' \subset Z'\)。特别地， \(\mathcal{C}_{Z/X}|_V = \mathcal{C}_{V/U}\)。

证明

第一个断言即引理 02HC。 泛加厚的相容性可以从引理 04F3 的证明、 代数章引理 04EE， 或引理 04F9 推出。

引理

设 \(h : Z \to X\) 是 \(S\) 上形式非分歧的概形态射。设 \(Z \subset Z'\) 是 \(Z\) 在 \(X\) 上的泛一阶加厚，其结构态射为 \(h' : Z' \to X\)。典范映射 \[c_{h'} : (h')^*\Omega_{X/S} \longrightarrow \Omega_{Z'/S}\] 诱导同构 \(h^*\Omega_{X/S} \to \Omega_{Z'/S} \otimes \mathcal{O}_Z\)。

证明

映射 \(c_{h'}\) 是 态射章引理 01UV 中定义的映射。 若 \(i : Z \to Z'\) 是给定的闭浸入，则 \(i^*c_{h'}\) 是映射 \(h^*\Omega_{X/S} \to \Omega_{Z'/S} \otimes \mathcal{O}_Z\)。 通过局部化，检验它是同构可归结为仿射情形；见引理 04FA 与 态射章引理 01US。 在仿射情形下，结论即 代数章引理 04EF。

引理

设 \(h : Z \to X\) 是 \(S\) 上形式非分歧的概形态射。则有典范正合列 \[\mathcal{C}_{Z/X} \to h^*\Omega_{X/S} \to \Omega_{Z/S} \to 0.\] 第一条箭头由 \(\text{d}_{Z'/S}\) 诱导，其中

\(Z'\) 是 \(Z\) 在 \(X\) 上的泛一阶邻域。

证明

我们知道有典范正合列 \[\mathcal{C}_{Z/Z'} \to \Omega_{Z'/S} \otimes \mathcal{O}_Z \to \Omega_{Z/S} \to 0.\] ；见 态射章引理 01UZ。 因此应用引理 04FB 即得结论。

引理

设 \[\xymatrix{ Z \ar[r]_i \ar[rd]_j & X \ar[d] \\ & Y }\] 是概形的交换图，其中 \(i\) 与 \(j\) 形式非分歧。则有典范正合列 \[\mathcal{C}_{Z/Y} \to \mathcal{C}_{Z/X} \to i^*\Omega_{X/Y} \to 0\] 其中第一条箭头来自引理 04F7， 第二条来自引理 04FC。

证明

以 \(Z \to Z'\) 表示 \(Z\) 在 \(X\) 上的泛一阶加厚，以 \(Z \to Z''\) 表示 \(Z\) 在 \(Y\) 上的泛一阶加厚。

由引理 04FC， 有典范态射 \(Z' \to Z''\)，从而有交换图 \[\xymatrix{ Z \ar[r]_{i'} \ar[rd]_{j'} & Z' \ar[r] \ar[d] & X \ar[d] \\ & Z'' \ar[r] & Y }\] 将 态射章引理 067L 应用于左边的三角形，得到正合列 \[\mathcal{C}_{Z/Z''} \to \mathcal{C}_{Z/Z'} \to (i')^*\Omega_{Z'/Z''} \to 0\] 由于 \(Z''\) 在 \(Y\) 上形式非分歧（见引理 04F6），有

\(\Omega_{Z'/Z''} = \Omega_{Z/Y}\)（结合引理 02H9 与 态射章引理 01UX）。 再由引理 04FB，有 \((i')^*\Omega_{Z'/Y} = i^*\Omega_{X/Y}\)。

引理

设 \(Z \to Y \to X\) 是形式非分歧的概形态射。

1. 若 \(Z \subset Z'\) 是 \(Z\) 在 \(X\) 上的泛一阶加厚，且 \(Y \subset Y'\) 是 \(Y\) 在 \(X\) 上的泛一阶加厚，则存在态射 \(Z' \to Y'\)，并且 \(Y \times_{Y'} Z'\) 是 \(Z\) 在 \(Y\) 上的泛一阶加厚。

2. 有典范正合列 \[i^*\mathcal{C}_{Y/X} \to \mathcal{C}_{Z/X} \to \mathcal{C}_{Z/Y} \to 0\] 其中各映射来自引理 04F7， 且 \(i : Z \to Y\) 是第一个态射。

证明

(1) 中的映射 \(h : Z' \to Y'\) 来自引理 04F7。由 \(Z'\) 与 \(Y'\) 的泛性质， \(Y \times_{Y'} Z'\) 是 \(Z\) 在 \(Y\) 上的泛一阶加厚这一断言立即可见。 由 态射章引理 062S，有正合列 \[(i')^*\mathcal{C}_{Y \times_{Y'} Z'/Z'} \to \mathcal{C}_{Z/Z'} \to \mathcal{C}_{Z/Y \times_{Y'} Z'} \to 0\] 其中 \(i' : Z \to Y \times_{Y'} Z'\) 是给定态射。由 态射章引理 0473， 存在满射 \(h^*\mathcal{C}_{Y/Y'} \to \mathcal{C}_{Y \times_{Y'} Z'/Z'}\)。 再结合等式 \(\mathcal{C}_{Y/Y'} = \mathcal{C}_{Y/X}\)、 \(\mathcal{C}_{Z/Z'} = \mathcal{C}_{Z/X}\) 与 \(\mathcal{C}_{Z/Y \times_{Y'} Z'} = \mathcal{C}_{Z/Y}\)，即证引理。

形式平展态射

回顾：若对每个实线部分交换的图 \[\xymatrix{ A \ar[r] \ar@{-->}[rd] & B/I \\ R \ar[r] \ar[u] & B \ar[u] }\] （其中 \(I \subset B\) 是平方为零的理想），恰好存在一条使该图交换的虚线箭头， 则称环映射 \(R \to A\) 是形式平展的；见 代数章定义 00UQ。 这引出概形态射的如下类似概念。

定义

设 \(f : X \to S\) 是概形态射。若给定任意实线部分交换的图 \[\xymatrix{ X \ar[d]_f & T \ar[d]^i \ar[l] \\ S & T' \ar[l] \ar@{-->}[lu] }\] 其中 \(T \subset T'\) 是 \(S\) 上仿射概形的一阶加厚时，恰好存在一条使该图交换的 虚线箭头，则称 \(f\) 是形式平展的。

显然，形式平展态射是形式非分歧的。因此若 \(f : X \to S\) 形式平展， 则 \(\Omega_{X/S}\) 为零；见引理 02H9。

引理

若 \(f : X \to S\) 是形式平展态射，则给定任意实线部分交换的图 \[\xymatrix{ X \ar[d]_f & T \ar[d]^i \ar[l] \\ S & T' \ar[l] \ar@{-->}[lu] }\] 其中 \(T \subset T'\) 是 \(S\) 上概形的一阶加厚，恰好存在一条使该图交换的虚线箭头。 换言之，在定义 02HG 中可以去掉 \(T\) 为仿射的条件。

证明

设 \(T' = \bigcup T'_i\) 是仿射开覆盖，并令 \(T_i = T \cap T'_i\)。 于是得到嵌入图中的态射 \(a'_i : T'_i \to X\)。由唯一性， \(a'_i\) 与 \(a'_j\) 在 \(T'_i \cap T'_j\) 的任意仿射开子概形上相等， 故 \(a'_i\) 与 \(a'_j\) 在 \(T'_i \cap T'_j\) 上相等。因此诸态射 \(a'_i\) 粘合成整体态射 \(a' : T' \to X\)。\(a'\) 的唯一性已见于引理 04F1。

引理

形式平展态射的复合仍是形式平展的。

证明

这是形式性的。

引理

形式平展态射的基变换仍是形式平展的。

证明

这是形式性的。

引理

设 \(f : X \to S\) 是概形态射，并设 \(U \subset X\) 与 \(V \subset S\) 是满足 \(f(U) \subset V\) 的开子概形。若 \(f\) 形式平展， 则 \(f|_U : U \to V\) 也形式平展。

证明

考虑定义 02HG 中那样的实线部分交换图 \[\xymatrix{ U \ar[d]_{f|_U} & T \ar[d]^i \ar[l]^a \\ V & T' \ar[l] \ar@{-->}[lu] }\] 。

若 \(f\) 形式分歧，则恰好存在一个满足 \(a'|_T = a\) 的 \(S\)-态射 \(a' : T' \to X\)。由于 \(|T'| = |T|\)，可知 \(a'(T') \subset U\)， 这就给出从 \(T'\) 到 \(U\) 的唯一态射。

引理

设 \(f : X \to S\) 是概形态射。以下条件等价：

1. \(f\) 形式平展；

2. \(f\) 形式非分歧，且 \(X\) 在 \(S\) 上的泛一阶加厚等于 \(X\)；

3. \(f\) 形式非分歧，且 \(\mathcal{C}_{X/S} = 0\)；

4. \(\Omega_{X/S} = 0\) 且 \(\mathcal{C}_{X/S} = 0\)。

证明

事实上，最后一个断言之所以有意义，是因为 \(\Omega_{X/S} = 0\) 意味着可由引理 02H9 与 定义 04F4 定义 \(\mathcal{C}_{X/S}\)。 这也说明 (3) 与 (4) 等价。

假设 (1)、(2)、(3) 中任一个，都推出 \(f\) 形式非分歧。因此可以假设 \(f\) 形式非分歧。(1)、(2)、(3) 的等价性来自 \(X\) 在 \(S\) 上的泛一阶加厚 \(X'\) 的泛性质以及如下事实： \(X = X' \Leftrightarrow \mathcal{C}_{X/S} = 0\)；毕竟按定义， \(\mathcal{C}_{X/S} = \mathcal{C}_{X/X'}\) 是 \(X\) 在 \(X'\) 中的理想层。

引理

非分歧平坦态射是形式平展的。

证明

设 \(X \to S\) 非分歧且平坦。则 \(\Delta : X \to X \times_S X\) 是开浸入；见 态射章引理 02GE。 我们须证明 \(\mathcal{C}_{X/S}\) 为零。考虑两个投影 \(p, q : X \times_S X \to X\)。由于 \(f\) 形式非分歧（见引理 02HE），\(q\) 形式非分歧（见引理 02HB）。由于 \(f\) 平坦，\(p\) 平坦； 见 态射章引理 01U9。 因此由引理 04F9， \(p^*\mathcal{C}_{X/S} = \mathcal{C}_q\)，其中 \(\mathcal{C}_q\) 表示形式非分歧态射 \(q : X \times_S X \to X\) 的余法层。 但 \(\Delta(X) \subset X \times_S X\) 是经 \(q\) 同构地映到 \(X\) 的开子概形。 故由引理 04FA， \(\mathcal{C}_q|_{\Delta(X)} = \mathcal{C}_{X/X} = 0\)。 换言之，\(\mathcal{C}_{X/S}\) 经恒等态射拉回到 \(X\) 上为零，即 \(\mathcal{C}_{X/S} = 0\)。

引理

设 \(f : X \to S\) 是概形态射，并假设 \(X\) 与 \(S\) 均为仿射。 则 \(f\) 形式平展，当且仅当 \(\mathcal{O}_S(S) \to \mathcal{O}_X(X)\) 是形式平展环映射。

证明

由环范畴与仿射概形范畴之间的等价，这立即从定义 （定义 02HG 与 代数章定义 00UQ）得出；见 概形章引理 01I2。

引理

设 \(f : X \to Y\) 是概形态射。以下条件等价：

1. \(f\) 形式平展；

2. 对每个 \(x \in X\)，存在满足 \(f(U) \subset V\) 的开集 \(x \in U \subset X\) 与 \(f(x) \in V \subset Y\)，使得 \(f|_U : U \to V\) 形式平展；

3. 对每一对满足 \(f(U) \subset V\) 的仿射开集 \(U \subset X\) 与 \(V \subset Y\)，环映射 \(\mathcal{O}_Y(V) \to \mathcal{O}_X(U)\) 形式平展；

4. 存在仿射开覆盖 \(Y = \bigcup V_j\)，且对每个 \(j\) 存在仿射开覆盖 \(f^{-1}(V_j) = \bigcup U_{ji}\)，使得对所有 \(j\) 与 \(i\)，环映射 \(\mathcal{O}_Y(V) \to \mathcal{O}_X(U)\) 形式平展。

证明

结合引理 02HK 与 02HL 得 (1) \(\Rightarrow\) (3)。 (3) \(\Rightarrow\) (4) 是立即的。由引理 02HL 得 (4) \(\Rightarrow\) (2)。若 (2) 成立，则由引理 04FE（这里还使用 态射章引理 01US 与 引理 04FA）， \(\Omega_{X/S}\) 与 \(\mathcal{C}_{X/S}\) 在每一点的某个邻域上消失；于是由引理 04FE，

\(f\) 形式非分歧。

引理

设 \(f : X \to S\) 是概形态射。以下条件等价：

1. 态射 \(f\) 平展；

2. 态射 \(f\) 局部有限表示且形式平展。

证明

假设 \(f\) 平展。平展态射局部有限表示、平坦且非分歧；见 态射章第 02GH 节。 故 \(f\) 局部有限表示且形式平展；见引理 04FF。

反之，假设 \(f\) 局部有限表示且形式平展。平展性在 \(X\) 与 \(S\) 的 Zariski 拓扑上是局部的；见 态射章引理 02GJ。由引理 02HK，可用映入仿射开集 \(V\) 的仿射开集 \(U\) 覆盖 \(X\)，使 \(U \to V\) 形式平展（且有限表示；见 Morphisms, 引理 01TQ）。 由引理 02HL，环映射 \(\mathcal{O}(V) \to \mathcal{O}(U)\) 形式平展（且有限表示）。 于是由 代数章引理 00UR 得证。 （讨论形式光滑态射时，我们还将给出这一蕴含的另一个证明。）

映射的无穷小形变

本节说明如何用导子使映射作无穷小移动。贯穿本节，我们使用如下事实： \(X\) 的加厚 \(X'\) 上的层可以视为 \(X\) 上的层。

引理

设 \(S\) 是概形，\(X \subset X'\) 与 \(Y \subset Y'\) 是 \(S\) 上的两个一阶加厚， 且 \((a, a'), (b, b') : (X \subset X') \to (Y \subset Y')\) 是 \(S\) 上加厚的两个态射。假设

1. \(a = b\)；

2. 两个映射 \(a^*\mathcal{C}_{Y/Y'} \to \mathcal{C}_{X/X'}\) （态射章引理 01R4）相等。

则映射 \((a')^\sharp - (b')^\sharp\) 分解为 \[\mathcal{O}_{Y'} \to \mathcal{O}_Y \xrightarrow{D} a_*\mathcal{C}_{X/X'} \to a_*\mathcal{O}_{X'}\] 其中 \(D\) 是 \(\mathcal{O}_S\)-导子。

证明

不在 \(Y\) 上而在 \(X\) 上运算；其优点是拉回函子 \(a^{-1}\) 正合。 由 (1) 与 (2)，得到行正合的交换图 \[\xymatrix{ 0 \ar[r] & \mathcal{C}_{X/X'} \ar[r] & \mathcal{O}_{X'} \ar[r] & \mathcal{O}_X \ar[r] & 0 \\ 0 \ar[r] & a^{-1}\mathcal{C}_{Y/Y'} \ar[r] \ar[u] & a^{-1}\mathcal{O}_{Y'} \ar[r] \ar@<1ex>[u]^{(a')^\sharp} \ar@<-1ex>[u]_{(b')^\sharp} & a^{-1}\mathcal{O}_Y \ar[r] \ar[u] & 0 }\] 一般而言，在这种情形下，\(\mathcal{O}_S\)-代数映射 \((a')^\sharp\) 与 \((b')^\sharp\) 之差是从 \(a^{-1}\mathcal{O}_Y\) 到 \(\mathcal{C}_{X/X'}\) 的 \(\mathcal{O}_S\)-导子。由函子 \(a^{-1}\) 与 \(a_*\) 的伴随性，这等价于从 \(\mathcal{O}_Y\) 到 \(a_*\mathcal{C}_{X/X'}\) 的 \(\mathcal{O}_S\)-导子。略去一些细节。

注意，在上述引理的情形下，可以把 \(D\) 写成 [04BV]\[\begin{equation} D = \text{d}_{Y/S} \circ \theta \end{equation}\] 其中 \(\theta\) 是 \(\mathcal{O}_Y\)-线性映射 \(\theta : \Omega_{Y/S} \to a_*\mathcal{C}_{X/X'}\)。 当然，再次由伴随性，也可把 \(\theta\) 看作 \(\mathcal{O}_X\)-线性映射 \(\theta : a^*\Omega_{Y/S} \to \mathcal{C}_{X/X'}\)。

引理

设 \(S\) 是概形，且 \((a, a') : (X \subset X') \to (Y \subset Y')\) 是 \(S\) 上一阶加厚的态射。设 \[\theta : a^*\Omega_{Y/S} \to \mathcal{C}_{X/X'}\] 是 \(\mathcal{O}_X\)-线性映射。则存在唯一的对的态射 \((b, b') : (X \subset X') \to (Y \subset Y')\)，使引理 04FG 的 (1)、(2) 成立，并且导子 \(D\) 与 \(\theta\) 由等式 (04BV) 联系。

证明

只需令 \(b = a\)，并将 \((b')^\sharp\) 定义为映射 \[(a')^\sharp + D : a^{-1}\mathcal{O}_{Y'} \to \mathcal{O}_{X'}\] 其中 \(D\) 如等式 (04BV) 所示。略去如下验证： \((b')^\sharp\) 是 \(\mathcal{O}_S\)-代数层的映射，且引理 04FG 的 (1)、(2) 成立。 等式 (04BV) 由构造成立。

注

假设与记号同引理 02H5。 局部截面 \(\theta\) 在 \(a'\) 上的作用有时记为 \(\theta \cdot a'\)。 注意，这无非表示 \((a')^\sharp\) 与 \((\theta \cdot a')^\sharp\) 之差为导子 \(D\)，它与 \(\theta\) 由等式 (04BV) 联系。

引理

设 \(S\) 是概形，\(X \subset X'\) 与 \(Y \subset Y'\) 是 \(S\) 上的一阶加厚。 假设给定态射 \(a : X \to Y\) 以及 \(\mathcal{O}_X\)-模的映射 \(A : a^*\mathcal{C}_{Y/Y'} \to \mathcal{C}_{X/X'}\)。 对开子概形 \(U' \subset X'\)，考虑满足下列条件的态射 \(a' : U' \to Y'\)：

1. \(a'\) 是 \(S\) 上的态射；

2. \(a'|_U = a|_U\)；

3. 诱导映射 \(a^*\mathcal{C}_{Y/Y'}|_U \to \mathcal{C}_{X/X'}|_U\) 是 \(A\) 在 \(U\) 上的限制。

这里 \(U = X \cap U'\)。则规则 [04FI]\[\begin{equation} U' \mapsto \{a' : U' \to Y'\text{ such that (1), (2), (3) hold.}\} \end{equation}\] 定义了 \(X'\) 上的集合层。

证明

用 \(\mathcal{F}\) 表示引理中的规则。对 \(V' \subset U' \subset X'\)，\(\mathcal{F}\) 的限制映射 \(\mathcal{F}(U') \to \mathcal{F}(V')\) 就是限制映射 \(a' \mapsto a'|_{V'}\)。在此定义下，由于态射是局部定义的， \(\mathcal{F}\) 显然是层。

在下一个引理中，我们将 \(X\) 上的层同 \(X\) 的任意加厚上的层等同起来。

引理

记号与假设同引理 04FH。层 \[\SheafHom_{\mathcal{O}_X}(a^*\Omega_{Y/S}, \mathcal{C}_{X/X'})\] 作用在层 (04FI) 上。此外，对层 (04FI) 在其上有截面的任意开集 \(U' \subset X'\)， 该作用是单传递的。

证明

这是引理 04FG、 02H5 与 04FH 的合并。

注

引理 04FG、 02H5、04FH 与 04FJ 的一个特殊情形是 \(Y = Y'\)。 此时映射 \(A\) 总为零，引理 04FH 的层就是由规则 \[U' \mapsto \{a' : U' \to Y\text{ 相对于 }S\text{ 其中 } a'|_U = a|_U\}\] 给出的层，而层 \(\SheafHom_{\mathcal{O}_X}(a^*\Omega_{Y/S}, \mathcal{C}_{X/X'})\) 作用在其上。

注

引理 04FG、 02H5、04FH 与 04FJ 的另一个特殊情形是：\(S\) 本身为加厚 \(Z \subset Z' = S\)，且 \(Y = Z \times_{Z'} Y'\)。图示为 \[\xymatrix{ (X \subset X') \ar@{..>}[rr]_{(a, ?)} \ar[rd]_{(g, g')} & & (Y \subset Y') \ar[ld]^{(h, h')} \\ & (Z \subset Z') }\] 此时映射 \(A : a^*\mathcal{C}_{Y/Y'} \to \mathcal{C}_{X/X'}\) 由 \(a\) 决定：映射 \(h^*\mathcal{C}_{Z/Z'} \to \mathcal{C}_{Y/Y'}\) 是满射（因为假设了 \(Y = Z \times_{Z'} Y'\)），所以拉回 \(g^*\mathcal{C}_{Z/Z'} = a^*h^*\mathcal{C}_{Z/Z'} \to a^*\mathcal{C}_{Y/Y'}\) 是满射；而复合 \(g^*\mathcal{C}_{Z/Z'} \to a^*\mathcal{C}_{Y/Y'} \to \mathcal{C}_{X/X'}\) 必须是由 \(g'\) 诱导的典范映射。因此引理 04FH 的层 就是由规则 \[U' \mapsto \{a' : U' \to Y'\text{ 相对于 }Z'\text{ 其中 } a'|_U = a|_U\}\] 给出的层，而层 \(\SheafHom_{\mathcal{O}_X}(a^*\Omega_{Y/Z}, \mathcal{C}_{X/X'})\) 作用在其上。

引理

设 \(S\) 是概形，\(X \subset X'\) 是 \(S\) 上的一阶加厚，\(Y\) 是 \(S\) 上的概形。 设 \(a', b' : X' \to Y\) 是 \(S\) 上满足 \(a = a'|_X = b'|_X\) 的两个态射。由此得到交换图 \[\xymatrix{ X \ar[r] \ar[d]_a & X' \ar[d]^{(b', a')} \\ Y \ar[r]^-{\Delta_{Y/S}} & Y \times_S Y }\] 由于水平箭头都是浸入，其余法层分别为 \(\mathcal{C}_{X/X'}\) 与 \(\Omega_{Y/S}\)，由 态射章引理 01R4， 得到映射 \(\theta : a^*\Omega_{Y/S} \to \mathcal{C}_{X/X'}\)。 于是此 \(\theta\) 与引理 04FG 的导子 \(D\) 由等式 (04BV) 联系。

证明

从略。提示：可在仿射开集上检验该等式，此时它来自如下计算。 若 \(f\) 是 \(\mathcal{O}_Y\) 的局部截面，则 \(1 \otimes f - f \otimes 1\) 是 \(\mathcal{C}_{Y/(Y \times_S Y)}\) 中对应于 \(\text{d}_{Y/S}(f)\) 的局部截面。它被映到 \(\mathcal{C}_{X/X'}\) 的局部截面 \((a')^\sharp(f) - (b')^\sharp(f) = D(f)\)。换言之， \(\theta(\text{d}_{Y/S}(f)) = D(f)\)。

为后续用途，需要一个粗略地说如下的结果：引理 02H5 的构造与平展局部化相容。

引理

设 \[\xymatrix{ X_1 \ar[d] & X_2 \ar[l]^f \ar[d] \\ S_1 & S_2 \ar[l] }\] 是概形的交换图，其中 \(X_2 \to X_1\) 与 \(S_2 \to S_1\) 平展。则 态射章引理 01UV 的映射 \(c_f : f^*\Omega_{X_1/S_1} \to \Omega_{X_2/S_2}\) 是同构。

证明

回顾，平展态射 \(U \to V\) 是满足 \(\Omega_{U/V} = 0\) 的光滑态射。 由此可见，态射章引理 01UX 推出 \(\Omega_{X_2/S_2} = \Omega_{X_2/S_1}\)，而 态射章引理 02K4 推出映射 \(f^*\Omega_{X_1/S_1} \to \Omega_{X_2/S_1}\)（将态射 \(f\) 看作 \(S_1\) 上的态射）是同构。故引理成立。

引理

考虑一阶加厚的交换图 \[\vcenter{ \xymatrix{ (T_2 \subset T_2') \ar[d]_{(h, h')} \ar[rr]_{(a_2, a_2')} & & (X_2 \subset X_2') \ar[d]^{(f, f')} \\ (T_1 \subset T_1') \ar[rr]^{(a_1, a_1')} & & (X_1 \subset X_1') } } \quad \begin{matrix} \text{and a commutative} \\ \text{diagram of schemes} \end{matrix} \quad \vcenter{ \xymatrix{ X_2' \ar[r] \ar[d] & S_2 \ar[d] \\ X_1' \ar[r] & S_1 } }\] 其中 \(X_2 \to X_1\) 与 \(S_2 \to S_1\) 平展。对任意 \(\mathcal{O}_{T_1}\)-线性映射 \(\theta_1 : a_1^*\Omega_{X_1/S_1} \to \mathcal{C}_{T_1/T'_1}\)， 令 \(\theta_2\) 为复合 \[\xymatrix{ a_2^*\Omega_{X_2/S_2} \ar@{=}[r] & h^*a_1^*\Omega_{X_1/S_1} \ar[r]^-{h^*\theta_1} & h^*\mathcal{C}_{T_1/T'_1} \ar[r] & \mathcal{C}_{T_2/T'_2} }\] （等号将在证明中说明）。则图 \[\xymatrix{ T_2' \ar[rr]_{\theta_2 \cdot a_2'} \ar[d] & & X'_2 \ar[d] \\ T_1' \ar[rr]^{\theta_1 \cdot a_1'} & & X'_1 }\] 交换，其中作用 \(\theta_2 \cdot a_2'\) 与 \(\theta_1 \cdot a_1'\) 如注记 0CK1 所述。

证明

该等号来自引理 04BX 的等同 \(f^*\Omega_{X_1/S_1} = \Omega_{X_2/S_2}\)。事实上，由此以及 \(f \circ a_2 = a_1 \circ h\)，有 \(a_2^*\Omega_{X_2/S_2} = a_2^*f^*\Omega_{X_1/S_1} = h^*a_1^*\Omega_{X_1/S_1}\)。说明这一点后，可以在仿射开集上检验该图的 交换性。因此可假设最初大图中的概形都是仿射的。于是得到交换图 \[\vcenter{ \xymatrix{ (B'_2, I_2) & & (A'_2, J_2) \ar[ll]^{a_2'} \\ (B'_1, I_1) \ar[u]^{h'} & & (A'_1, J_1) \ar[ll]_{a_1'} \ar[u]_{f'} } } \quad\text{且}\quad \vcenter{ \xymatrix{ A'_2 & & R_2 \ar[ll] \\ A'_1 \ar[u] & & R_1 \ar[ll] \ar[u] } }\] 该记号表示 \(I_1, I_2, J_1, J_2\) 是平方为零的理想，而对之间的映射是把理想 送入理想的环映射。令 \(A_1 = A'_1/J_1\)、\(A_2 = A'_2/J_2\)、 \(B_1 = B'_1/I_1\) 且 \(B_2 = B'_2/I_2\)。已知 \[A_2 \otimes_{A_1} \Omega_{A_1/R_1} \longrightarrow \Omega_{A_2/R_2}\] 是同构。映射 \(\theta_1 : B_1 \otimes_{A_1} \Omega_{A_1/R_1} \to I_1\) 是 \(B_1\)-线性的，因而给出 \(R_1\)-导子 \(D_1 = \theta_1 \circ \text{d}_{A_1/R_1} : A_1 \to I_1\)。 类似地，映射 \(\theta_2 : B_2 \otimes_{A_2} \Omega_{A_2/R_2} \to I_2\) 给出 \(R_2\)-导子 \(D_2 = \theta_2 \circ \text{d}_{A_2/R_2} : A_2 \to I_2\)。 \(\theta_2\) 的构造蕴含 \(\theta_1\) 与 \(\theta_2\) 的如下相容性： 对每个 \(x \in A_1\)，有 \[h'(D_1(x)) = D_2(f'(x))\] ，作为 \(I_2\) 的元素。通过 \(A'_1 \to A_1 \xrightarrow{D_1} I_1 \to B_1\)，可把 \(D_1\) 看作映射 \(A'_1 \to B'_1\)；类似地，可把 \(D_2\) 看作映射 \(A'_2 \to B'_2\)。于是上述等式对 \(x \in A'_1\) 成立。 由引理 02H5 与注记 0CK1 中作用的构造， \(\theta_1 \cdot a_1'\) 对应于环映射 \(a_1' + D_1 : A'_1 \to B'_1\)， 而 \(\theta_2 \cdot a_2'\) 对应于环映射 \(a_2' + D_2 : A'_2 \to B'_2\)。由上述等式得到 \(h' \circ (a_1' + D_1) = (a_2' + D_2) \circ f'\) ，正是所需结论。

注

引理 04BY 可作如下改进。假设有引理 04BY 中的交换图，但不假设 \(X_2 \to X_1\) 与 \(S_2 \to S_1\) 平展。再假设有 \(\theta_1 : a_1^*\Omega_{X_1/S_1} \to \mathcal{C}_{T_1/T'_1}\) 及 \(\theta_2 : a_2^*\Omega_{X_2/S_2} \to \mathcal{C}_{T_2/T'_2}\) 使得 \[\xymatrix{ f_*\mathcal{O}_{X_2} \ar[rr]_{f_*D_2} & & f_*a_{2, *}\mathcal{C}_{T_2/T_2'} \\ \mathcal{O}_{X_1} \ar[rr]^{D_1} \ar[u]^{f^\sharp} & & a_{1, *}\mathcal{C}_{T_1/T_1'} \ar[u]_{\text{由下列对象诱导： }(h')^\sharp} }\] 交换，其中 \(D_i\) 如等式 (04BV) 那样对应于 \(\theta_i\)。 则引理 04BY 的结论成立。 \(X_2 \to X_1\) 与 \(S_2 \to S_1\) 均平展这一条件的重要性在于， 它使我们能够从 \(\theta_1\) 构造 \(\theta_2\)。

概形的无穷小形变

下面的简单引理常是检验映射的无穷小形变是否平坦的便利工具。

引理

设 \((f, f') : (X \subset X') \to (S \subset S')\) 是一阶加厚的态射， 并假设 \(f\) 平坦。则以下条件等价：

1. \(f'\) 平坦，且 \(X = S \times_{S'} X'\)；

2. 典范映射 \(f^*\mathcal{C}_{S/S'} \to \mathcal{C}_{X/X'}\) 是同构。

证明

由于问题在 \(X'\) 上是局部的，可假设 \(X, X', S, S'\) 都是仿射概形。 写 \(S' = \Spec(A')\)、\(X' = \Spec(B')\)、\(S = \Spec(A)\)、 \(X = \Spec(B)\)，其中对某些平方为零的理想有 \(A = A'/I\) 且 \(B = B'/J\)。于是得到交换图 \[\xymatrix{ 0 \ar[r] & J \ar[r] & B' \ar[r] & B \ar[r] & 0 \\ 0 \ar[r] & I \ar[r] \ar[u] & A' \ar[r] \ar[u] & A \ar[r] \ar[u] & 0 }\] ，其行正合。引理中的典范映射是 \[I \otimes_A B = I \otimes_{A'} B' \longrightarrow J.\] \(f\) 平坦这一假设表示 \(A \to B\) 平坦。

假设 (1)。则 \(A' \to B'\) 平坦且 \(J = IB'\)。平坦性推出 \(\text{Tor}_1^{A'}(B', A) = 0\)（见 代数章引理 00M5）。 这表示 \(I \otimes_{A'} B' \to B'\) 为单射（见 代数章说明 00M6）。 故 \(I \otimes_A B \to J\) 是同构。

假设 (2)。由此 \(J = IB'\)，故 \(X = S \times_{S'} X'\)。 此外，反向使用上一段的诸蕴含，得到 \(\text{Tor}_1^{A'}(B', A'/I) = 0\)。因此由 代数章引理 051C， \(B'\) 在 \(A'\) 上平坦。

下面的引理是“逐纤维平坦性判据”（“critère de platitude par fibres”） 的“幂零”版本；见节 039A。

引理

考虑交换图 \[\xymatrix{ (X \subset X') \ar[rr]_{(f, f')} \ar[rd] & & (Y \subset Y') \ar[ld] \\ & (S \subset S') }\] ，其中各对象为加厚。假设

1. \(X'\) 在 \(S'\) 上平坦；

2. \(f\) 平坦；

3. \(S \subset S'\) 是有限阶加厚；

4. \(X = S \times_{S'} X'\) 且 \(Y = S \times_{S'} Y'\)。

则 \(f'\) 平坦，并且 \(Y'\) 在 \(f'\) 的像中的每一点处都在 \(S'\) 上平坦。

证明

这是 代数章引理 06A5 的直接推论。

概形态射的许多性质在平坦形变下保持。

引理

考虑交换图 \[\xymatrix{ (X \subset X') \ar[rr]_{(f, f')} \ar[rd] & & (Y \subset Y') \ar[ld] \\ & (S \subset S') }\] ，其中各对象为加厚。假设 \(S \subset S'\) 是有限阶加厚，\(X'\) 在 \(S'\) 上平坦， \(X = S \times_{S'} X'\)，且 \(Y = S \times_{S'} Y'\)。则

1. \(f\) 平坦，当且仅当 \(f'\) 平坦； [06AH]

2. \(f\) 是同构，当且仅当 \(f'\) 是同构； [06AI]

3. \(f\) 是开浸入，当且仅当 \(f'\) 是开浸入； [06AJ]

4. \(f\) 拟紧，当且仅当 \(f'\) 拟紧； [06AK]

5. \(f\) 泛闭，当且仅当 \(f'\) 泛闭； [06AL]

6. \(f\)（拟）分离，当且仅当 \(f'\)（拟）分离； [06AM]

7. \(f\) 是单态射，当且仅当 \(f'\) 是单态射； [06AN]

8. \(f\) 是满射，当且仅当 \(f'\) 是满射； [06AP]

9. \(f\) 泛单射，当且仅当 \(f'\) 泛单射； [06AQ]

10. \(f\) 是仿射态射，当且仅当 \(f'\) 是仿射态射； [06AR]

11. \(f\) 局部有限型，当且仅当 \(f'\) 局部有限型；

12. \(f\) 局部拟有限，当且仅当 \(f'\) 局部拟有限； [06AT]

13. \(f\) 局部有限表示，当且仅当 \(f'\) 局部有限表示；

14. \(f\) 局部有限型且相对维数为 \(d\)，当且仅当 \(f'\) 局部有限型且相对维数为 \(d\)；

15. \(f\) 泛开，当且仅当 \(f'\) 泛开； [06AW]

16. \(f\) 是 syntomic 态射，当且仅当 \(f'\) 是 syntomic 态射； [06AX]

17. \(f\) 光滑，当且仅当 \(f'\) 光滑； [06AY]

18. \(f\) 非分歧，当且仅当 \(f'\) 非分歧； [06AZ]

19. \(f\) 平展，当且仅当 \(f'\) 平展； [06B0]

20. \(f\) 固有，当且仅当 \(f'\) 固有； [06B1]

21. \(f\) 是整态射，当且仅当 \(f'\) 是整态射； [06B2]

22. \(f\) 是有限态射，当且仅当 \(f'\) 是有限态射； [06B3]

23. \(f\) 是有限局部自由态射（秩为 \(d\)），当且仅当 \(f'\) 是有限局部自由态射 （秩为 \(d\)）；

24. 此处还应添加更多性质。

证明

关于 \(X\) 与 \(Y\) 的假设意味着，\(f\) 是 \(f'\) 经 \(X \to X'\) 的基变换。 上述 (1)–(23) 中列出的性质 \(\mathcal{P}\) 在基变换下都保持， 因此若 \(f'\) 具有性质 \(\mathcal{P}\)，则 \(f\) 也具有。见 概形章引理 01JY, 01K5, 01KU, 及 02YC 及 态射章引理 01S1, 0472, 01SD, 01T4, 01TM, 01TS, 02NK, 01UI, 01VB, 02GA, 02GO, 01W4, 01WL, 及 02KD.

因此每种情形中有趣的方向都是：假设 \(f\) 具有该性质，并推出 \(f'\) 也具有。 对加厚的阶数作归纳，可假设 \(S \subset S'\) 是一阶加厚；见紧接定义 04EX 之后的讨论。先作几条一般性说明， 以下论证中将不再逐次提及。 (I) 设 \(W' \subset S'\) 是仿射开集，并设 \(U' \subset X'\) 与 \(V' \subset Y'\) 是位于 \(W'\) 上方、满足 \(f'(U') \subset V'\) 的仿射开集。 令 \(W' = \Spec(R')\)，并以 \(I \subset R'\) 表示定义闭子概形 \(W' \cap S\) 的理想。写 \(U' = \Spec(B')\) 且 \(V' = \Spec(A')\)。 于是得到交换图 \[\xymatrix{ 0 \ar[r] & IB' \ar[r] & B' \ar[r] & B \ar[r] & 0 \\ 0 \ar[r] & IA' \ar[r] \ar[u] & A' \ar[r] \ar[u] & A \ar[r] \ar[u] & 0 }\] ，其行正合。此外 \(IB' \cong I \otimes_R B\)；见引理 063Y 的证明。 (II) 态射 \(X \to X'\) 与 \(Y \to Y'\) 是泛同胚。因此映射 \(f\) 与 \(f'\) （在任意基变换后）的拓扑相同。 (III) 若 \(f\) 平坦，则 \(f'\) 平坦，且 \(Y' \to S'\) 在 \(f'\) 的像中的每一点处 都平坦；见引理 06AF。

关于 (06AH)。这就是一般性说明 (III)。

关于 (06AI)。假设 \(f\) 是同构。由 (III)， \(Y' \to S'\) 平坦。选择仿射开集 \(V' \subset Y'\)，并令 \(U' = (f')^{-1}(V')\)。于是 \(V = Y \cap V'\) 是仿射的，从而 \(V \cong f^{-1}(V) = U = Y \times_{Y'} U'\) 是仿射的。由引理 06AD，\(U'\) 是仿射的。 因此有一般性说明 (I) 中那样的图；又因 \(R' \to A'\) 平坦， \(IA \cong I \otimes_R A\)。于是 \(IB' \cong I \otimes_R B \cong I \otimes_R A \cong IA'\)， 且 \(A \cong B\)。由上图各行的正合性，\(A' \cong B'\)，即 \(U' \cong V'\)。故 \(f'\) 是同构。

关于 (06AJ)。假设 \(f\) 是开浸入。 则 \(f\) 给出 \(X\) 与开子概形 \(V \subset Y\) 之间的同构。 令 \(V' \subset Y'\) 为底拓扑空间等于 \(V\) 的开子概形。于是 \(f'\) 是从 \(X'\) 到 \(V'\) 的映射，由 (06AI) 它是同构。 故 \(f'\) 是开浸入。

关于 (06AK)。由说明 (II) 立即可得。更一般的陈述亦见 引理 09ZV。

关于 (06AL)。由说明 (II) 立即可得。更一般的陈述亦见 引理 09ZV。

关于 (06AM)。注意 \(X \times_Y X = Y \times_{Y'} (X' \times_{Y'} X')\)，故 \(X' \times_{Y'} X'\) 是 \(X \times_Y X\) 的一个加厚。 映射 \(\Delta_{X/Y}\) 与 \(\Delta_{X'/Y'}\) 的拓扑相符，故得证。更一般的陈述亦见引理 09ZV。

关于 (06AN)。假设 \(f\) 是单态射。考虑对角态射 \(\Delta_{X'/Y'} : X' \to X' \times_{Y'} X'\)。 \(\Delta_{X'/Y'}\) 经 \(S \to S'\) 的基变换为 \(\Delta_{X/Y}\)， 后者按假设是同构。由 (06AI)， \(\Delta_{X'/Y'}\) 是同构。

关于 (06AP)。这是显然的。更一般的陈述亦见引理 09ZV。

关于 (06AQ)。由说明 (II) 立即可得。 更一般的陈述亦见引理 09ZV。

关于 (06AR)。假设 \(f\) 是仿射态射。选择仿射开集 \(V' \subset Y'\) 并令 \(U' = (f')^{-1}(V')\)。于是 \(V = Y \cap V'\) 是仿射的，从而 \(U = Y \times_{Y'} U'\) 是仿射的。 由引理 06AD，\(U'\) 是仿射的。 故 \(f'\) 是仿射态射。更一般的陈述亦见引理 09ZV。

关于 (06AS)。由说明 (I)，问题化为证明：若 \(A \to B\) 有限型，则 \(A' \to B'\) 有限型。设 \(x_1, \ldots, x_n \in B'\) 在 \(B\) 中的像作为 \(A\)-代数生成 \(B\)。

则 \(A'[x_1, \ldots, x_n] \to B\) 是满射，因为 \(A'[x_1, \ldots, x_n] \to B\) 与 \(I \otimes_R A[x_1, \ldots, x_n] \to I \otimes_R B\) 都是满射。 更一般的陈述亦见引理 09ZW。

关于 (06AT)。由 (06AS) 以及有限型态射的 拟有限性可在纤维上检验这一事实得出；见 态射章引理 01TH。 更一般的陈述亦见引理 09ZW。

关于 (06AU)。由说明 (I)，问题化为证明：若 \(A \to B\) 有限表示，则 \(A' \to B'\) 有限表示。由 (06AS)，可假设对某个理想 \(K'\) 有 \(B' = A'[x_1, \ldots, x_n]/K'\)。得到短正合列 \[0 \to K' \to A'[x_1, \ldots, x_n] \to B' \to 0\] 由于 \(B'\) 在 \(R'\) 上平坦，\(K' \otimes_{R'} R\) 是满射 \(A[x_1, \ldots, x_n] \to B\) 的核。由关于 \(A \to B\) 的假设， 存在有限多个 \(f'_1, \ldots, f'_m \in K'\)，其在 \(A[x_1, \ldots, x_n]\) 中的像生成此核。由于 \(I\) 幂零， 由 Nakayama 引理可知 \(f'_1, \ldots, f'_m\) 生成 \(K'\)；见 代数章引理 00DV。

关于 (06AV)。由 (06AS) 与一般性说明 (II) 得出。更一般的陈述亦见引理 09ZW。

关于 (06AW)。由一般性说明 (II) 立即可得。 更一般的陈述亦见引理 09ZV。

关于 (06AX)。假设 \(f\) 是 syntomic 态射。由 (06AU)，\(f'\) 局部有限表示；由一般性说明 (III)， \(f'\) 平坦，且 \(f'\) 的纤维就是 \(f\) 的纤维。因此由 态射章引理 01UF， \(f'\) 是 syntomic 态射。

关于 (06AY)。假设 \(f\) 光滑。由 (06AU)，\(f'\) 局部有限表示；由一般性说明 (III)， \(f'\) 平坦，且 \(f'\) 的纤维就是 \(f\) 的纤维。因此由 态射章引理 01V8， \(f'\) 光滑。

关于 (06AZ)。假设 \(f\) 非分歧。由 (06AS)，\(f'\) 局部有限型，且 \(f'\) 的纤维就是 \(f\) 的纤维。 因此由 态射章引理 02G8，\(f'\) 非分歧。 更一般的陈述亦见引理 09ZW。

关于 (06B0)。假设 \(f\) 平展。由 (06AU)，\(f'\) 局部有限表示；由一般性说明 (III)， \(f'\) 平坦，且 \(f'\) 的纤维就是 \(f\) 的纤维。因此由 态射章引理 02GM， \(f'\) 平展。

关于 (06B1)。合并 (06AM)、 (06AS)、(06AK) 与 (06AL) 即得。更一般的陈述亦见引理 09ZW。

关于 (06B2)。将 (06AL)、 (06AR) 与 态射章引理 01WM 合并。更一般的陈述亦见引理 09ZV。

关于 (06B3)。将 (06B2)、 (06AS) 与 态射章引理 01WJ 合并。更一般的陈述亦见引理 09ZW。

关于 (06B4)。假设 \(f\) 有限局部自由。 由 (06B3)，\(f'\) 有限；由一般性说明 (III)，\(f'\) 平坦； 由 (06AU)，\(f'\) 局部有限表示。因此由 态射章引理 02KB， \(f'\) 有限局部自由。

下面的引理是“逐纤维平坦性判据”（“critère de platitude par fibres”） 的“局部幂零”版本；见节 039A。

引理

考虑交换图 \[\xymatrix{ (X \subset X') \ar[rr]_{(f, f')} \ar[rd] & & (Y \subset Y') \ar[ld] \\ & (S \subset S') }\] ，其中各对象为加厚。假设

1. \(Y' \to S'\) 局部有限型；

2. \(X' \to S'\) 平坦且局部有限表示；

3. \(f\) 平坦；

4. \(X = S \times_{S'} X'\) 且 \(Y = S \times_{S'} Y'\)。

则 \(f'\) 平坦，并且对 \(f'\) 的像中的每个 \(y' \in Y'\)，局部环 \(\mathcal{O}_{Y', y'}\) 在 \(\mathcal{O}_{S', s'}\) 上平坦且本质有限表示。

证明

这是 代数章引理 0CEL 的直接推论。

概形态射的许多性质在上述引理那样的平坦形变下保持。

引理

考虑交换图 \[\xymatrix{ (X \subset X') \ar[rr]_{(f, f')} \ar[rd] & & (Y \subset Y') \ar[ld] \\ & (S \subset S') }\] ，其中各对象为加厚。假设 \(Y' \to S'\) 局部有限型， \(X' \to S'\) 平坦且局部有限表示，\(X = S \times_{S'} X'\)， 且 \(Y = S \times_{S'} Y'\)。则

1. \(f\) 平坦，当且仅当 \(f'\) 平坦； [0CF5]

2. \(f\) 是同构，当且仅当 \(f'\) 是同构； [0CF6]

3. \(f\) 是开浸入，当且仅当 \(f'\) 是开浸入； [0CF7]

4. \(f\) 拟紧，当且仅当 \(f'\) 拟紧； [0CF8]

5. \(f\) 泛闭，当且仅当 \(f'\) 泛闭； [0CF9]

6. \(f\)（拟）分离，当且仅当 \(f'\)（拟）分离； [0CFA]

7. \(f\) 是单态射，当且仅当 \(f'\) 是单态射； [0CFB]

8. \(f\) 是满射，当且仅当 \(f'\) 是满射； [0CFC]

9. \(f\) 泛单射，当且仅当 \(f'\) 泛单射； [0CFD]

10. \(f\) 是仿射态射，当且仅当 \(f'\) 是仿射态射； [0CFE]

11. \(f\) 局部拟有限，当且仅当 \(f'\) 局部拟有限； [0CFF]

12. \(f\) 局部有限型且相对维数为 \(d\)，当且仅当 \(f'\) 局部有限型且相对维数为 \(d\)；

13. \(f\) 泛开，当且仅当 \(f'\) 泛开； [0CFH]

14. \(f\) 是 syntomic 态射，当且仅当 \(f'\) 是 syntomic 态射； [0CFI]

15. \(f\) 光滑，当且仅当 \(f'\) 光滑； [0CFJ]

16. \(f\) 非分歧，当且仅当 \(f'\) 非分歧； [0CFK]

17. \(f\) 平展，当且仅当 \(f'\) 平展； [0CFL]

18. \(f\) 固有，当且仅当 \(f'\) 固有； [0CFM]

19. \(f\) 是有限态射，当且仅当 \(f'\) 是有限态射； [0CFN]

20. \(f\) 是有限局部自由态射（秩为 \(d\)），当且仅当 \(f'\) 是有限局部自由态射 （秩为 \(d\)）；

21. 此处还应添加更多性质。

证明

关于 \(X\) 与 \(Y\) 的假设意味着，\(f\) 是 \(f'\) 经 \(X \to X'\) 的基变换。 上述 (1)–(20) 中列出的性质 \(\mathcal{P}\) 在基变换下都保持， 因此若 \(f'\) 具有性质 \(\mathcal{P}\)，则 \(f\) 也具有。见 概形章引理 01JY, 01K5, 01KU, 及 02YC 及 态射章引理 01S1, 0472, 01SD, 01TM, 02NK, 01UI, 01VB, 02GA, 02GO, 01W4, 01WL, 及 02KD.

因此每种情形中有趣的方向都是：假设 \(f\) 具有该性质，并推出 \(f'\) 也具有。 先作几条一般性说明，以下论证中将不再逐次提及。 (I) 设 \(W' \subset S'\) 是仿射开集，并设 \(U' \subset X'\) 与 \(V' \subset Y'\) 是位于 \(W'\) 上方、满足 \(f'(U') \subset V'\) 的仿射开集。 令 \(W' = \Spec(R')\)，并以 \(I \subset R'\) 表示定义闭子概形 \(W' \cap S\) 的理想。写 \(U' = \Spec(B')\) 且 \(V' = \Spec(A')\)。 于是得到交换图 \[\xymatrix{ 0 \ar[r] & IB' \ar[r] & B' \ar[r] & B \ar[r] & 0 \\ 0 \ar[r] & IA' \ar[r] \ar[u] & A' \ar[r] \ar[u] & A \ar[r] \ar[u] & 0 }\] ，其行正合。 (II) 态射 \(X \to X'\) 与 \(Y \to Y'\) 是泛同胚。因此映射 \(f\) 与 \(f'\) （在任意基变换后）的拓扑相同。 (III) 若 \(f\) 平坦，则 \(f'\) 平坦，且 \(Y' \to S'\) 在 \(f'\) 的像中的每一点处 都平坦；见引理 06AF。

关于 (0CF5)。这就是一般性说明 (III)。

关于 (0CF6)。假设 \(f\) 是同构。 选择仿射开集 \(V' \subset Y'\)，并令 \(U' = (f')^{-1}(V')\)。 于是 \(V = Y \cap V'\) 是仿射的，从而 \(V \cong f^{-1}(V) = U = Y \times_{Y'} U'\) 是仿射的。由引理 06AD，\(U'\) 是仿射的。 因此有一般性说明 (I) 中那样的图。由 代数章引理 07RE， \(A' \to B'\) 是同构，即 \(U' \cong V'\)。故 \(f'\) 是同构。

关于 (0CF7)。假设 \(f\) 是开浸入。 则 \(f\) 给出 \(X\) 与开子概形 \(V \subset Y\) 之间的同构。 令 \(V' \subset Y'\) 为底拓扑空间等于 \(V\) 的开子概形。于是 \(f'\) 是从 \(X'\) 到 \(V'\) 的映射，由 (0CF6) 它是同构。故 \(f'\) 是开浸入。

关于 (0CF8)。由说明 (II) 立即可得。 更一般的陈述亦见引理 09ZV。

关于 (0CF9)。由说明 (II) 立即可得。 更一般的陈述亦见引理 09ZV。

关于 (0CFA)。注意 \(X \times_Y X = Y \times_{Y'} (X' \times_{Y'} X')\)，故 \(X' \times_{Y'} X'\) 是 \(X \times_Y X\) 的一个加厚。 映射 \(\Delta_{X/Y}\) 与 \(\Delta_{X'/Y'}\) 的拓扑相符，故得证。更一般的陈述亦见引理 09ZV。

关于 (0CFB)。假设 \(f\) 是单态射。 考虑对角态射 \(\Delta_{X'/Y'} : X' \to X' \times_{Y'} X'\)。 注意 \(X' \times_{Y'} X' \to S'\) 局部有限型。 \(\Delta_{X'/Y'}\) 经 \(S \to S'\) 的基变换为 \(\Delta_{X/Y}\)， 后者按假设是同构。由 (0CF6)， \(\Delta_{X'/Y'}\) 是同构。

关于 (0CFC)。这是显然的。更一般的陈述亦见引理 09ZV。

关于 (0CFD)。由说明 (II) 立即可得。 更一般的陈述亦见引理 09ZV。

关于 (0CFE)。假设 \(f\) 是仿射态射。 选择仿射开集 \(V' \subset Y'\)，并令 \(U' = (f')^{-1}(V')\)。 于是 \(V = Y \cap V'\) 是仿射的，从而 \(U = Y \times_{Y'} U'\) 是仿射的。 由引理 06AD，\(U'\) 是仿射的。 故 \(f'\) 是仿射态射。更一般的陈述亦见引理 09ZV。

关于 (0CFF)。这是因为 \(f'\) 局部有限型 （由 态射章引理 01T8）， 而有限型态射的拟有限性可在纤维上检验；见 态射章引理 01TH。

关于 (0CFG)。由一般性说明 (II) 以及 \(f'\) 局部有限型这一事实得出（态射章引理 01T8）。

关于 (0CFH)。由一般性说明 (II) 立即可得。 更一般的陈述亦见引理 09ZV。

关于 (0CFI)。假设 \(f\) 是 syntomic 态射。 由 态射章引理 02FV， \(f'\) 局部有限表示。由一般性说明 (III)，\(f'\) 平坦。 \(f'\) 的纤维就是 \(f\) 的纤维。因此由 态射章引理 01UF，\(f'\) 是 syntomic 态射。

关于 (0CFJ)。假设 \(f\) 光滑。由 态射章引理 02FV， \(f'\) 局部有限表示。由一般性说明 (III)，\(f'\) 平坦。 \(f'\) 的纤维就是 \(f\) 的纤维。因此由 态射章引理 01V8，\(f'\) 光滑。

关于 (0CFK)。假设 \(f\) 非分歧。由 态射章引理 01T8， \(f'\) 局部有限型。\(f'\) 的纤维就是 \(f\) 的纤维。因此由 态射章引理 02G8， \(f'\) 非分歧。

关于 (0CFL)。假设 \(f\) 平展。由 态射章引理 02FV， \(f'\) 局部有限表示。由一般性说明 (III)，\(f'\) 平坦。 \(f'\) 的纤维就是 \(f\) 的纤维。因此由 态射章引理 02GM，\(f'\) 平展。

关于 (0CFM)。合并 (0CFA)、\(f\) 局部有限型这一事实 （态射章引理 01T8）、 (0CF8) 与 (0CF9) 即得。

关于 (0CFN)。合并 (0CF9)、 (0CFE)、态射章引理 01WM、\(f\) 局部有限型这一事实 （态射章引理 01T8）以及 态射章引理 01WJ。

关于 (0CFP)。 假设 \(f\) 有限局部自由。由 (0CFN)，\(f'\) 有限。 由一般性说明 (III)，\(f'\) 平坦。由 态射章引理 02FV，\(f'\) 局部有限表示。 因此由 态射章引理 02KB， \(f'\) 有限局部自由。

引理

设 \(f : X \to S\) 是固有、平坦且有限表示的概形态射， \(\mathcal{L}\) 是 \(f\)-丰沛的，并假设 \(S\) 拟紧。则存在 \(d_0 \geq 0\)， 使得对每个笛卡尔图 \[\vcenter{ \xymatrix{ X \ar[r]_{i'} \ar[d]_f & X' \ar[d]^{f'} \\ S \ar[r]^i & S' } } \quad\text{且}\quad \begin{matrix} \text{invertible }\mathcal{O}_{X'}\text{-模}\\ \mathcal{L}'\text{ 其中 }\mathcal{L} \cong (i')^*\mathcal{L}' \end{matrix}\] ，其中 \(S \subset S'\) 是加厚且 \(f'\) 固有、平坦、有限表示，都有

1. \(R^p(f')_*(\mathcal{L}')^{\otimes d} = 0\) 对所有 \(p > 0\) 与 \(d \geq d_0\) 成立；

2. \(\mathcal{A}'_d = (f')_*(\mathcal{L}')^{\otimes d}\) 在 \(d \geq d_0\) 时有限局部自由；

3. \(\mathcal{A}' = \mathcal{O}_{S'} \oplus \bigoplus_{d \geq d_0} \mathcal{A}'_d\) 是有限表示的拟凝聚 \(\mathcal{O}_{S'}\)-代数；

4. 存在典范同构 \(r' : X' \to \underline{\text{Proj}}_{S'}(\mathcal{A}')\)；

5. 存在典范同构 \(\theta' : (r')^*\mathcal{O}_{\underline{\text{Proj}}_{S'}(\mathcal{A}')}(1) \to \mathcal{L}'\).

\(\mathcal{A}'\)、\(r'\)、\(\theta'\) 的构造关于数据 \((X', S', i, i', f', \mathcal{L}')\) 是函子性的。

证明

先描述映射 \(r'\) 与 \(\theta'\)。注意 \(\mathcal{L}'\) 是 \(f'\)-丰沛的； 见引理 0D2R。 有拟凝聚分次 \(\mathcal{O}_{S'}\)-代数的典范映射 \(\mathcal{A}' \to \bigoplus_{d \geq 0} (f')_*(\mathcal{L}')^{\otimes d}\) 它在次数 \(\geq d_0\) 上为同构。因此，它在相对 Proj 上诱导同构， 并与结构层的 Serre 扭曲相容；见 构造章引理 07ZJ。 故由 态射章引理 01VJ 得到态射 \(r'\) （该引理又援用了 构造章引理 01O9 的构造）， 而由 态射章引理 0C6J， 它是同构。映射 \(\theta'\) 来自 构造章引理 01O9。 由 性质章引理 01QI， \(\theta'\) 是同构（这里还使用了如下事实：在 \(S'\) 的各仿射开集上， 态射 \(r'\) 与 性质章引理 01PZ 中的态射相同；这已在 态射章引理 0C6J 的证明中说明）。

假设 (1)、(2) 中所述的消失与局部自由性成立，则该构造的函子性可如下看出。 设 \(h : T \to S'\) 是概形态射，以 \(f_T : X'_T \to T\) 表示 \(f'\) 的基变换， 并以 \(\mathcal{L}_T\) 表示 \(\mathcal{L}\) 到 \(X'_T\) 的拉回。

由上同调与基变换（例如 概形的导出范畴章引理 08IB 的表述），在 \(T\) 上有相应的消失，并且 \(h^*\mathcal{A}'_d = f_{T, *}\mathcal{L}_T^{\otimes d}\) （因而也有推出层的局部自由性以及相应分次 \(\mathcal{O}_T\)-代数 \(\mathcal{A}_T\) 的有限生成性）。因此态射 \(r_T : X_T \to \underline{\text{Proj}}_T(\bigoplus f_{T, *}\mathcal{L}_T^{\otimes d})\)

就是 \(r'\) 到 \(T\) 的基变换，而 \(\theta'\) 的拉回就是映射 \(\theta_T\)。

综上，只需证明 (1)、(2)、(3)。选择 \(d_0\)，使对所有 \(d \geq d_0\) 与 \(p > 0\) 都有 \(R^pf_*\mathcal{L}^{\otimes d} = 0\)；见 概形上同调章引理 0B5T。我们断言此 \(d_0\) 可用。

由上同调与基变换（概形的导出范畴章引理 0B91）， \(E'_d = Rf'_*(\mathcal{L}')^{\otimes d}\) 是 \(D(\mathcal{O}_{S'})\) 的完美对象，且其构造与任意基变换可交换。 特别地，\(E_d = Li^*E'_d = Rf_*\mathcal{L}^{\otimes d}\)。 由 概形的导出范畴章引理 0D4E，当 \(d \geq d_0\) 时， 复形 \(E_d\) 同构于置于上同调次数 \(0\) 的有限局部自由 \(\mathcal{O}_S\)-模 \(f_*\mathcal{L}^{\otimes d}\)。再由 概形的导出范畴章引理 0BDK， \(E'_d\) 同构于置于上同调次数 \(0\) 的有限局部自由模。 这当然表示 \(E'_d = \mathcal{A}'_d[0]\)，对 \(p > 0\) 有 \(R^pf'_*(\mathcal{L}')^{\otimes d} = 0\)，且 \(\mathcal{A}'_d\) 有限局部自由。这证明了 (1) 与 (2)。

最后还须证明，\(\mathcal{A}'\) 作为 \(\mathcal{O}_{S'}\)-代数层有限表示 （此概念在 Properties, Section 01PD 中引入）。 设 \(U' = \Spec(R') \subset S'\) 是仿射开集。则 \(A' = \mathcal{A}'(U')\) 是分次 \(R'\)-代数，其各分次部分都是有限投射 \(R'\)-模。须证明 \(A'\) 是有限表示的 \(R'\)-代数。 我们将把它归结到 Noether 情形。具体而言，可以找到有限型 \(\mathbf{Z}\)-子代数 \(R'_0 \subset R'\) 以及 \(R'_0\) 上的一对 ¹ \((X'_0, \mathcal{L}'_0)\)，其基变换为 \((X'_{U'}, \mathcal{L}'|_{X'_{U'}})\)；见 极限章引理 01ZR, 0B8W, 081F, 04AI, 及 09MT. 概形上同调章引理 0B5T 推出 \(A'_0 = \bigoplus_{d \geq 0} H^0(X'_0, (\mathcal{L}'_0)^{\otimes d})\) 是有限生成的分次 \(R'_0\)-代数，并推出存在 \(d'_0\)，使得 \(H^p(X'_0, (\mathcal{L}'_0)^{\otimes d}) = 0\), \(p > 0\) for \(d \geq d'_0\). 。将上述论证应用于 \(X'_0 \to \Spec(R'_0)\) 与 \(\mathcal{L}'_0\)， 可知 \((A'_0)_d\) 是有限投射 \(R'_0\)-模，并且 \[A'_d = \mathcal{A}'_d(U') = H^0(X'_{U'}, (\mathcal{L}')^{\otimes d}|_{X'_{U'}}) = H^0(X'_0, (\mathcal{L}'_0)^{\otimes d}) \otimes_{R'_0} R' = (A'_0)_d \otimes_{R'_0} R'\] 对 \(d \geq d'_0\) 成立。论证中的一个小转折是：我们不知道能否选择 \(d'_0\) 等于 \(d_0\)²。 为绕开这一点，用以下一系列论证完成证明：

1. 代数 \(B = R'_0 \oplus \bigoplus_{d \geq \max(d_0, d'_0)} (A'_0)_d\) 是有限型 \(R'_0\)-代数：对 \(B \subset A'_0\) 应用 Artin–Tate 引理；见 代数章引理 00IS。

2. 由于 \(R'_0\) 是 Noether 环，\(B\) 是有限表示的 \(R'_0\)-代数。

3. 由张量积的右正合性，\(B \otimes_{R'_0} R'\) 是有限表示的 \(R'\)-代数。

4. 由上述等式，这恰好表示 \(C = R' \oplus \bigoplus_{d \geq \max(d_0, d'_0)} A'_d\) 是有限表示的 \(R'\)-代数。

5. 商 \(A'/C\) 是有限投射 \(R'\)-模 \(A'_d\)（其中

   \(d_0 \leq d \leq \max(d_0, d'_0)\)）的直和，故作为 \(R'\)-模有限表示。

6. 由 代数章引理 0561，商 \(A'/C\) 作为 \(C\)-模有限表示。

7. 因此由 代数章引理 0519， \(A'\) 作为 \(C\)-模有限表示。

8. 由 代数章引理 0D46， 这推出 \(A'\) 作为 \(C\)-代数有限表示。

9. 最后，将 代数章引理 00F4 应用于 \(R' \to C \to A'\)， 这推出 \(A'\) 作为 \(R'\)-代数有限表示。

证明完毕。

形式光滑态射

Michael Artin 对光滑性的微分判据（例如 态射章引理 01V9）的看法是，它们（在实践中）基本无用。 本节引入形式光滑态射 \(X \to S\) 的概念。这种态射由如下性质刻画： 只要 \(T\) 仿射，\(X\) 的 \(T\)-值点就能提升到 \(T\) 的无穷小加厚上。 主要结果是：形式光滑且局部有限表示的态射是光滑的；见引理 02H6。事实证明，这一判据往往比上述微分判据 更容易使用。

回顾：若对每个实线部分交换的图 \[\xymatrix{ A \ar[r] \ar@{-->}[rd] & B/I \\ R \ar[r] \ar[u] & B \ar[u] }\] （其中 \(I \subset B\) 是平方为零的理想），存在一条使该图交换的虚线箭头， 则称环映射 \(R \to A\) 是形式光滑的；见 代数章定义 00TI。 这引出概形态射的如下类似概念。

定义

设 \(f : X \to S\) 是概形态射。若给定任意实线部分交换的图 \[\xymatrix{ X \ar[d]_f & T \ar[d]^i \ar[l] \\ S & T' \ar[l] \ar@{-->}[lu] }\] 其中 \(T \subset T'\) 是 \(S\) 上仿射概形的一阶加厚时，存在一条使该图交换的 虚线箭头，则称 \(f\) 是形式光滑的。

对形式非分歧与形式平展态射，可以去掉 \(T'\) 为仿射的条件；见引理 04F1 与 04FD。对形式光滑态射则不再如此。 事实上，一个稍微更自然的条件是：应能在 \(T'\) 上 Zariski 局部地补出虚线箭头。 分析引理 0D0F 的证明可知，这与现有定义等价。 特别地，形式光滑性在源上是 Zariski 局部的（事实上它在源上是光滑局部的，

此处插入将来的参考文献）。

引理

形式光滑态射的复合仍是形式光滑的。

证明

从略。

引理

形式光滑态射的基变换仍是形式光滑的。

证明

从略；其代数版本见 代数章引理 00TJ。

引理

设 \(f : X \to S\) 是概形态射。则 \(f\) 形式平展，当且仅当 \(f\) 形式光滑且形式非分歧。

证明

从略。

引理

设 \(f : X \to S\) 是概形态射，并设 \(U \subset X\) 与 \(V \subset S\) 是满足 \(f(U) \subset V\) 的开子概形。若 \(f\) 形式光滑， 则 \(f|_U : U \to V\) 也形式光滑。

证明

考虑定义 02H0 中那样的实线部分交换图 \[\xymatrix{ U \ar[d]_{f|_U} & T \ar[d]^i \ar[l]^a \\ V & T' \ar[l] \ar@{-->}[lu] }\] 。若 \(f\) 形式光滑，则存在满足 \(a'|_T = a\) 的 \(S\)-态射 \(a' : T' \to X\)。由于 \(T\) 与 \(T'\) 的底集合相同，\(a'\) 是到 \(U\) 的态射 （见 概形章第 01HD 节）， 而且它显然也是 \(V\)-态射。因此得到所需的上述虚线箭头。

引理

设 \(f : X \to S\) 是概形态射，并假设 \(X\) 与 \(S\) 均为仿射。 则 \(f\) 形式光滑，当且仅当 \(\mathcal{O}_S(S) \to \mathcal{O}_X(X)\) 是形式光滑环映射。

证明

由环范畴与仿射概形范畴之间的等价，这立即从定义 （定义 02H0 与 代数章定义 00TI）得出；见 概形章引理 01I2。

下面的引理是本节的主要结果。它是函子观点的一次胜利：与 Limits, 命题 01ZC 合并后，它表明可用函子 \(h_X : \Sch/S \to \textit{Sets}\) 的“简单”性质 来识别态射 \(f : X \to S\) 是否光滑。

引理

设 \(f : X \to S\) 是概形态射。以下条件等价：

1. 态射 \(f\) 光滑；

2. 态射 \(f\) 局部有限表示且形式光滑。

证明

假设 \(f : X \to S\) 局部有限表示且形式光滑。考虑满足 \(f(U) \subset V\) 的一对仿射开集 \(\Spec(A) = U \subset X\) 与 \(\Spec(R) = V \subset S\)。由引理 02H3， \(U \to V\) 形式光滑。由引理 02H4， \(R \to A\) 形式光滑。由 态射章引理 01TQ， \(R \to A\) 有限表示。由 代数章命题 00TN，\(R \to A\) 光滑。 故由光滑态射的定义，\(X \to S\) 光滑。

反之，假设 \(f : X \to S\) 光滑。考虑实线部分交换图 \[\xymatrix{ X \ar[d]_f & T \ar[d]^i \ar[l]^a \\ S & T' \ar[l] \ar@{-->}[lu] }\] ，如定义 02H0 所述。我们将证明虚线箭头存在， 从而证明 \(f\) 形式光滑。

令 \(\mathcal{F}\) 为引理 04FH 在注记 04FK 所讨论的特殊情形下给出的 \(T'\) 上集合层。令 \[\mathcal{H} = \SheafHom_{\mathcal{O}_T}(a^*\Omega_{X/S}, \mathcal{C}_{T/T'})\] 为 \(\mathcal{O}_T\)-模层，其上有引理 04FJ 中的作用 \(\mathcal{H} \times \mathcal{F} \to \mathcal{F}\)。 我们的目标就是证明 \(\mathcal{F}(T) \not = \emptyset\)。换言之， 要证明 \(\mathcal{F}\) 是 \(T\) 上平凡的 \(\mathcal{H}\)-挠子（见 Cohomology, 第 02FN 节）。分两步： (I) 为证明 \(\mathcal{F}\) 是挠子，须对所有 \(t \in T\) 证明 \(\mathcal{F}_t \not = \emptyset\)（见 上同调章定义 02FO）。 (II) 为证明 \(\mathcal{F}\) 是平凡挠子，只需证明 \(H^1(T, \mathcal{H}) = 0\)（见 上同调章引理 02FQ——可把 \(\mathcal{H}\) 看作阿贝尔层或 \(\mathcal{O}_T\)-模来计算其上同调；见 上同调章引理 01F1）。

先证明 (I)。对每个 \(t \in T\)，可选择 \(t\) 的仿射开邻域 \(U \subset T\)，使 \(a(U)\) 包含于仿射开集 \(\Spec(A) = W \subset X\)， 而后者映到仿射开集 \(\Spec(R) = V \subset S\)。 由 态射章引理 01V6， 环映射 \(R \to A\) 光滑。因此由 代数章命题 00TN，环映射 \(R \to A\) 形式光滑。进而由引理 02H4， \(W \to V\) 形式光滑。故可将 \(a|_U : U \to W\) 提升为 \(V\)-态射 \(a' : U' \to W \subset X\)，这表明 \(\mathcal{F}(U) \not = \emptyset\)。

最后证明 (II)。由 态射章引理 01V3， \(\Omega_{X/S}\) 有限表示（由 态射章引理 02G1， 它甚至有限局部自由）。因此 \(a^*\Omega_{X/S}\) 有限表示（见 模章引理 01BQ）。故层 \(\mathcal{H} = \SheafHom_{\mathcal{O}_T}(a^*\Omega_{X/S}, \mathcal{C}_{T/T'})\) 由 概形章第 01LA 节 中的讨论是拟凝聚的。 因此由 概形上同调章引理 01XB， 有所需的 \(H^1(T, \mathcal{H}) = 0\)。

局部投射拟凝聚模定义于 Properties, Section 05JN。

引理

设 \(f : X \to Y\) 是形式光滑的概形态射。则 \(\Omega_{X/Y}\) 在 \(X\) 上局部投射。

证明

选择满足 \(f(U) \subset V\) 的仿射开集 \(U \subset X\) 与 \(V \subset Y\)。 由引理 02H3， \(f|_U : U \to V\) 形式光滑。因此由引理 02H4，环映射 \(\Gamma(V, \mathcal{O}_V) \to \Gamma(U, \mathcal{O}_U)\) 形式光滑。 故由 代数章引理 031I， \(\Gamma(U, \mathcal{O}_U)\)-模 \(\Omega_{\Gamma(U, \mathcal{O}_U)/\Gamma(V, \mathcal{O}_V)}\) 是投射的。因此 \(\Omega_{U/V}\) 局部投射；见 Properties, Section 05JN。

引理

设 \(T\) 是仿射概形，\(\mathcal{F}\)、\(\mathcal{G}\) 是拟凝聚 \(\mathcal{O}_T\)-模。考虑 \(\mathcal{H} = \SheafHom_{\mathcal{O}_T}(\mathcal{F}, \mathcal{G})\)。 若 \(\mathcal{F}\) 局部投射，则 \(H^1(T, \mathcal{H}) = 0\)。

证明

由概形上局部投射层的定义（见 性质章定义 05JP），\(\mathcal{F}\) 是自由 \(\mathcal{O}_T\)-模的直和项。因此可假设 \(\mathcal{F} = \bigoplus_{i \in I} \mathcal{O}_T\) 是自由模。 此时 \(\mathcal{H} = \prod_{i \in I} \mathcal{G}\) 是拟凝聚模的积。 由 上同调章引理 0D0A， \(H^1 = 0\)，因为仿射概形上拟凝聚层的上同调为零；见 概形上同调章引理 01XB。

引理

设 \(f : X \to Y\) 是概形态射。以下条件等价：

1. \(f\) 形式光滑；

2. 对每个 \(x \in X\)，存在满足 \(f(U) \subset V\) 的开集 \(x \in U \subset X\) 与 \(f(x) \in V \subset Y\)，使得 \(f|_U : U \to V\) 形式光滑；

3. 对每一对满足 \(f(U) \subset V\) 的仿射开集 \(U \subset X\) 与 \(V \subset Y\)，环映射 \(\mathcal{O}_Y(V) \to \mathcal{O}_X(U)\) 形式光滑；

4. 存在仿射开覆盖 \(Y = \bigcup V_j\)，且对每个 \(j\) 存在仿射开覆盖 \(f^{-1}(V_j) = \bigcup U_{ji}\)，使得对所有 \(j\) 与 \(i\)，

   环映射 \(\mathcal{O}_Y(V) \to \mathcal{O}_X(U)\) 形式光滑。

证明

蕴含 (1) \(\Rightarrow\) (2)、(1) \(\Rightarrow\) (3) 与 (2) \(\Rightarrow\) (4) 来自引理 02H3。 蕴含 (3) \(\Rightarrow\) (4) 是立即的。

假设 (4)。证明 \(f\) 形式光滑的论证同引理 02H6 证明的第二部分。考虑实线部分交换图 \[\xymatrix{ X \ar[d]_f & T \ar[d]^i \ar[l]^a \\ Y & T' \ar[l] \ar@{-->}[lu] }\] ，如定义 02H0 所述。我们将证明虚线箭头存在， 从而证明 \(f\) 形式光滑。令 \(\mathcal{F}\) 为引理 04FH 在注记 04FK 所讨论的特殊情形下给出的 \(T'\) 上集合层。令 \[\mathcal{H} = \SheafHom_{\mathcal{O}_T}(a^*\Omega_{X/Y}, \mathcal{C}_{T/T'})\] 为 \(T\) 上的 \(\mathcal{O}_T\)-模层，其上有引理 04FJ 中的作用 \(\mathcal{H} \times \mathcal{F} \to \mathcal{F}\)。 此作用 \(\mathcal{H} \times \mathcal{F} \to \mathcal{F}\) 使 \(\mathcal{F}\) 成为伪 \(\mathcal{H}\)-挠子；见 Cohomology, 定义 02FO。目标是证明 \(\mathcal{F}\) 是平凡的 \(\mathcal{H}\)-挠子。分两步： (I) 为证明 \(\mathcal{F}\) 是挠子，须证明 \(\mathcal{F}\) 局部有截面。 (II) 为证明 \(\mathcal{F}\) 是平凡挠子，只需证明 \(H^1(T, \mathcal{H}) = 0\)；见 上同调章引理 02FQ。

先证明 (I)。对每个 \(t \in T\)，可选择 \(t\) 的仿射开邻域 \(W \subset T\)，使对某些 \(i, j\) 有 \(a(W)\) 包含于 \(U_{ji}\)。 令 \(W' \subset T'\) 为相应的开子概形。由假设 (4)，可将 \(a|_W : W \to U_{ji}\) 提升为 \(V_j\)-态射 \(a' : W' \to U_{ji}\)，这表明 \(\mathcal{F}(W')\) 非空。

最后证明 (II)。由引理 06B5， \(\Omega_{U_{ji}/V_j}\) 局部投射。因此 \(\Omega_{X/Y}\) 局部投射；见 性质章引理 05JQ。 故 \(a^*\Omega_{X/Y}\) 局部投射；见 性质章引理 060M。因此 \[H^1(T, \mathcal{H}) = H^1(T, \SheafHom_{\mathcal{O}_T}(a^*\Omega_{X/Y}, \mathcal{C}_{T/T'})) = 0\] ，由引理 0D0E 得到所需结论。

引理

设 \(f : X \to Y\)、\(g : Y \to S\) 是概形态射，并假设 \(f\) 形式光滑。则 \[0 \to f^*\Omega_{Y/S} \to \Omega_{X/S} \to \Omega_{X/Y} \to 0\] （见 态射章引理 01UX）是短正合列。

证明

此引理的代数版本如下：给定环映射 \(A \to B \to C\)，其中 \(B \to C\) 形式光滑，则 \[0 \to C \otimes_B \Omega_{B/A} \to \Omega_{C/A} \to \Omega_{C/B} \to 0\] 这一 代数章引理 00RS 中的序列正合。这就是 代数章引理 031K。

引理

设 \(h : Z \to X\) 是 \(S\) 上形式非分歧的概形态射，并假设 \(Z\) 在 \(S\) 上形式光滑。则典范正合列 \[0 \to \mathcal{C}_{Z/X} \to h^*\Omega_{X/S} \to \Omega_{Z/S} \to 0\] （见引理 04FC） 是短正合列。

证明

设 \(Z \to Z'\) 是 \(Z\) 在 \(X\) 上的泛一阶加厚。由引理 04FC 的证明， 我们的序列与序列 \[\mathcal{C}_{Z/Z'} \to \Omega_{Z'/S} \otimes \mathcal{O}_Z \to \Omega_{Z/S} \to 0.\] 等同。由于 \(Z \to S\) 形式光滑，可在 \(Z'\) 上局部地找到包含映射 \(Z \to Z'\) 的一个 \(S\) 上左逆 \(Z' \to Z\)。因此该序列局部分裂；见 态射章引理 0474。

引理

设 \[\xymatrix{ Z \ar[r]_i \ar[rd]_j & X \ar[d]^f \\ & Y }\] 是概形的交换图，其中 \(i\) 与 \(j\) 形式非分歧，且 \(f\) 形式光滑。 则典范正合列 \[0 \to \mathcal{C}_{Z/Y} \to \mathcal{C}_{Z/X} \to i^*\Omega_{X/Y} \to 0\] （见引理 067V）正合且局部分裂。

证明

以 \(Z \to Z'\) 表示 \(Z\) 在 \(X\) 上的泛一阶加厚，以 \(Z \to Z''\) 表示 \(Z\) 在 \(Y\) 上的泛一阶加厚。

由引理 04FC， 有典范态射 \(Z' \to Z''\)，从而有交换图 \[\xymatrix{ Z \ar[r]_{i'} \ar[rd]_{j'} & Z' \ar[r]_a \ar[d]^k & X \ar[d]^f \\ & Z'' \ar[r]^b & Y }\] 在引理 067V 的证明中， 我们已将上述序列与序列 \[\mathcal{C}_{Z/Z''} \to \mathcal{C}_{Z/Z'} \to (i')^*\Omega_{Z'/Z''} \to 0\] 等同。设 \(U'' \subset Z''\) 是仿射开集，以 \(U \subset Z\) 与 \(U' \subset Z'\) 表示相应的仿射开子概形。由于 \(f\) 形式光滑，存在态射 \(h : U'' \to X\)，它在 \(U\) 上与 \(i\) 相同，且 \(f \circ h\) 等于 \(b|_{U''}\)。由于 \(Z'\) 是泛一阶加厚，得到唯一的态射

\(g : U'' \to Z'\)，满足 \(g = a \circ h\)。\(Z''\) 的泛性质推出 \(k \circ g\) 是包含映射 \(U'' \to Z''\)。故 \(g\) 是 \(k\) 的左逆。图示为 \[\xymatrix{ U \ar[d] \ar[r] & Z' \ar[d]^k \\ U'' \ar[r] \ar[ru]^g & Z'' }\] 因此 \(g\) 诱导映射 \(\mathcal{C}_{Z/Z'}|_U \to \mathcal{C}_{Z/Z''}|_U\)， 它是 \(U\) 上映射 \(\mathcal{C}_{Z/Z''} \to \mathcal{C}_{Z/Z'}\) 的左逆。

Noether 基底上的光滑性

事实证明，若基底是 Noether 的，则在形式光滑性的表述中可以少要求一些。 在某种意义上，下面这些引理是形变理论的开端。

引理

设 \(f : X \to S\) 是概形态射，\(x \in X\)。假设 \(S\) 局部 Noether， 且 \(f\) 局部有限型。以下条件等价：

1. \(f\) 在 \(x\) 处光滑；

2. 对每个实线部分交换的图 \[\xymatrix{ X \ar[d]_f & \Spec(B) \ar[d]^i \ar[l]^-\alpha \\ S & \Spec(B') \ar[l]_-{\beta} \ar@{-->}[lu] }\] ，其中 \(B' \to B\) 是局部环的满射，\(\Ker(B' \to B)\) 平方为零， 且 \(\alpha\) 把 \(\Spec(B)\) 的闭点映到 \(x\)，存在一条使该图交换的虚线箭头；

3. 与 (2) 相同，但 \(B' \to B\) 遍历小扩张（见 代数章定义 02HS）；

4. 与 (2) 相同，但 \(B' \to B\) 遍历如下小扩张：\(\alpha\) 诱导同构 \(\kappa(x) \to \kappa(\mathfrak m)\)，其中 \(\mathfrak m \subset B\) 是极大理想。

证明

选择 \(f(x)\) 的仿射邻域 \(V \subset S\)，并选择 \(x\) 的仿射邻域 \(U \subset X\)，使得 \(f(U) \subset V\)。对 (2) 中任意“测试”图， 态射 \(\alpha\) 都把 \(\Spec(B)\) 映入 \(U\)，而态射 \(\beta\) 把 \(\Spec(B')\) 映入 \(V\)（见 Schemes, Section 01J5）。故引理归结为仿射概形之间的态射 \(f|_U : U \to V\)。（事实上，\(V\) 是 Noether 的，且 \(f|_U\) 有限型；见 性质章引理 01OW 与 态射章引理 01T2。） 在此仿射情形下，引理与 代数章引理 02HT 完全相同。

有时知道如下事实很有用：只需对以有限型点为“中心”的小扩张检验提升判据 （见 态射章第 01T9 节）。

引理

设 \(f : X \to S\) 是概形态射。假设 \(S\) 局部 Noether，且 \(f\) 局部有限型。 以下条件等价：

1. \(f\) 光滑；

2. 对每个实线部分交换的图 \[\xymatrix{ X \ar[d]_f & \Spec(B) \ar[d]^i \ar[l]^-\alpha \\ S & \Spec(B') \ar[l]_-{\beta} \ar@{-->}[lu] }\] ，其中 \(B' \to B\) 是 Artin 局部环的小扩张，且 \(\beta\) 有限型（！）， 存在一条使该图交换的虚线箭头。

证明

若 \(f\) 光滑，则无穷小提升判据（引理 02H6）表明 \(f\) 形式光滑，故 (2) 成立。

假设 (2)。\(f\) 不光滑的点 \(x \in X\) 构成 \(X\) 的闭子集 \(T\)。 由 态射章第 01T9 节 中的讨论， 若 \(T \not = \emptyset\)，则存在点 \(x \in T \subset X\)，使态射 \[\Spec(\kappa(x)) \to X \to S\] 有限型（具体地，在 \(T\) 中任取一个在 \(X\) 的某个仿射开集内为闭点的点 \(x\)）。 由 态射章引理 02HV， 给定剩余域为 \(\kappa(x)\) 的任意 Artin 局部环 \(B'\)，任意态射 \(\beta : \Spec(B') \to S\) 都有限型。因此，引理 02HX (4) 中使用的所有图都对应于 本引理 (2) 中的图。故 \(X \to S\) 在 \(x\) 处光滑，矛盾。

下面是一个有用的应用。

引理

设 \(f : X \to S\) 是局部 Noether 概形之间的有限型态射。 设 \(Z \subset S\) 是闭子概形，其 \(n\) 阶无穷小邻域为 \(Z_n \subset S\)。令 \(X_n = Z_n \times_S X\)。

1. 若对所有 \(n\)，\(X_n \to Z_n\) 都光滑，则 \(f\) 在 \(f^{-1}(Z)\) 的每一点处光滑。

2. 若对所有 \(n\)，\(X_n \to Z_n\) 都平展，则 \(f\) 在 \(f^{-1}(Z)\) 的每一点处平展。

证明

假设对所有 \(n\)，\(X_n \to Z_n\) 都光滑。设 \(x \in X\) 位于 \(Z\) 的某一点上方。 给定引理 02HX (3) 中那样的小扩张 \(B' \to B\) 与态射 \(\alpha\)、\(\beta\)，\(B'\) 的极大理想幂零（因为 \(B'\) 是 Artin 的），故对适当的 \(n\)，态射 \(\beta\) 经由 \(Z_n\) 分解，而 \(\alpha\) 经由 \(X_n\) 分解。于是应用 \(X_n \to Z_n\) 的提升性质，得到图中 所需的虚线箭头。这证明了 (1)。(2) 由 (1) 以及如下事实得出：一个态射平展， 当且仅当它光滑且相对维数为 \(0\)。

引理

设 \(f : X \to S\) 是局部 Noether 概形之间的态射。设 \(Z \subset S\) 是闭子概形，其 \(n\) 阶无穷小邻域为 \(Z_n \subset S\)。令 \(X_n = Z_n \times_S X\)。若对所有 \(n\)，\(X_n \to Z_n\) 都平坦， 则 \(f\) 在 \(f^{-1}(Z)\) 的每一点处平坦。

证明

这就是将 代数章引理 0523 翻译成概形的语言。

朴素余切复形

本节延续 模章第 08TG 节， 而后者又延续 代数章第 00S0 节 中的讨论。

定义

设 \(f : X \to Y\) 是概形态射。\(f\) 的朴素余切复形是 Modules, 定义 08TN 中定义的复形。记作 \(\NL_f\) 或 \(\NL_{X/Y}\)。

引理

设 \(f : X \to Y\) 是概形态射。设 \(\Spec(A) = U \subset X\) 与 \(\Spec(R) = V \subset S\) 是满足 \(f(U) \subset V\) 的仿射开集。 存在复形的典范映射 \[\widetilde{\NL_{A/R}} \longrightarrow \NL_{X/Y}|_U\] ，它在 \(D(\mathcal{O}_U)\) 中是同构。

证明

由 模章第 08TG 节 中 \(\NL_{X/Y}\) 的构造，有 \(A = \mathcal{O}_X(U)\)-模复形的典范映射\(\NL_{\mathcal{O}_X(U)/f^{-1}\mathcal{O}_Y(U)} \to \NL_{X/Y}(U)\)， 并且它与进一步的限制相容。使用典范映射 \(R \to f^{-1}\mathcal{O}_Y(U)\)，得到 \(A\)-模复形的典范映射 \(\NL_{A/R} \to \NL_{\mathcal{O}_X(U)/f^{-1}\mathcal{O}_Y(U)}\)。 使用 \(\widetilde{\ }\) 函子的泛性质（见 概形章引理 01I7），得到引理所述的映射。 要检验此映射在上同调层上为同构，只需检验它在茎上诱导同构。 这由 代数章引理 07BS、 00S7 与 模章引理 0D09 得出（这里还使用了如下描述：在点 \(\mathfrak p \in \Spec(A)\) 处，\(\mathcal{O}_X\) 与 \(f^{-1}\mathcal{O}_Y\) 的茎分别是 \(A_\mathfrak p\) 与 \(R_\mathfrak q\)， 其中 \(\mathfrak q = R \cap \mathfrak p\)；所用参考为 概形章引理 01HV 与 层章引理 008H）。

引理

设 \(f : X \to Y\) 是概形态射。复形 \(\NL_{X/Y}\) 的上同调层拟凝聚， 在次数 \(-1\)、\(0\) 之外为零，并且在次数 \(0\) 等于 \(\Omega_{X/Y}\)。

证明

由 模章第 08TG 节 中朴素余切复形的构造， \(\NL_{X/Y}\) 位于次数 \(-1\)、\(0\)，且其次数 \(0\) 上同调为 \(\Omega_{X/Y}\)。 微分层拟凝聚（由 态射章引理 08S2）。因此只需证明 \(H^{-1}(\NL_{X/Y})\) 拟凝聚。使用引理 0D0I 在各仿射开集上检验即可。

引理

设 \(f : X \to Y\) 是概形态射。若 \(f\) 局部有限表示，则在 \(X\) 上局部地， \(\NL_{X/Y}\) 拟同构于复形 \[\ldots \to 0 \to \mathcal{F}^{-1} \to \mathcal{F}^0 \to 0 \to \ldots\] ，其中各项为拟凝聚 \(\mathcal{O}_X\)-模，\(\mathcal{F}^0\) 有限表示， 而 \(\mathcal{F}^{-1}\) 有限型。

证明

由引理 0D0I，只需证明当 \(R \to A\) 是有限表示环映射时， \(\NL_{A/R}\) 具有这种形状。写 \(A = R[x_1, \ldots, x_n]/I\)，其中 \(I\) 有限生成。则 \(I/I^2\) 是有限 \(A\)-模，且 \(\NL_{A/R}\) 拟同构于 \[\ldots \to 0 \to I/I^2 \to \bigoplus\nolimits_{i = 1, \ldots, n} A\text{d}x_i \to 0 \to \ldots\] ；这由 代数章第 00S0 节， 特别是 代数章引理 00S1 得出。

引理

设 \(f : X \to Y\) 是概形态射。以下条件等价：

1. \(f\) 形式光滑；

2. \(H^{-1}(\NL_{X/Y}) = 0\) 及 \(H^0(\NL_{X/Y}) = \Omega_{X/Y}\) 局部投射。

证明

这由 代数章命题 031J 与引理 0D0F 得出。

引理

设 \(f : X \to Y\) 是概形态射。以下条件等价：

1. \(f\) 形式平展；

2. \(H^{-1}(\NL_{X/Y}) = H^0(\NL_{X/Y}) = 0\).

证明

形式平展态射形式光滑，故由引理 0D0L， \(H^{-1}(\NL_{X/Y}) = 0\)。另一方面，由引理 04FE，\(\Omega_{X/Y} = 0\)。 反之，若 (2) 成立，则由引理 0D0L， \(f\) 形式光滑；由引理 02H9 又知其形式非分歧；从而由引理 02HH，它形式平展。

引理

设 \(f : X \to Y\) 是概形态射。以下条件等价：

1. \(f\) 光滑；

2. \(f\) 局部有限表示， \(H^{-1}(\NL_{X/Y}) = 0\), 及 \(H^0(\NL_{X/Y}) = \Omega_{X/Y}\) 有限局部自由。

证明

这由光滑环同态的定义（代数章定义 00T2）、引理 0D0I 以及光滑概形态射的定义（态射章定义 01V5）得出。这里还使用了如下事实： 对环上的模而言，有限局部自由等价于有限投射（代数章引理 00NX）。

引理

设 \(f : X \to Y\) 是概形态射。以下条件等价：

1. \(f\) 平展；

2. \(f\) 局部有限表示，且 \(H^{-1}(\NL_{X/Y}) = H^0(\NL_{X/Y}) = 0\).

证明

这由平展环同态的定义（代数章定义 00U1）、引理 0D0I 以及平展概形态射的定义（态射章定义 02GI）得出。

引理

设 \(i : Z \to X\) 是概形的浸入。则在 \(D(\mathcal{O}_Z)\) 中， \(\NL_{Z/X}\) 同构于 \(\mathcal{C}_{Z/X}[1]\)，其中 \(\mathcal{C}_{Z/X}\) 是 \(Z\) 在 \(X\) 中的余法层。

证明

这由 代数章引理 07BP、 态射章引理 01R3 与引理 0D0I 得出。

引理

设 \(f : X \to Y\) 与 \(g : Y \to Z\) 是概形态射。则有上同调层的典范六项正合列 \[H^{-1}(f^*\NL_{Y/Z}) \to H^{-1}(\NL_{X/Z}) \to H^{-1}(\NL_{X/Y}) \to f^*\Omega_{Y/Z} \to \Omega_{X/Z} \to \Omega_{X/Y} \to 0\] 。

证明

这是 模章引理 0E1Z 的特殊情形。

引理

设 \(f : X \to Y\) 与 \(Y \to Z\) 是概形态射。假设 \(X \to Y\) 是完全交态射。则在 \(D(\mathcal{O}_X)\) 中有典范可区别三角 \[f^*\NL_{Y/Z} \to \NL_{X/Z} \to \NL_{X/Y} \to f^*\NL_{Y/Z}[1]\] ，它恢复引理 0E44 的 \(6\) 项正合列。

证明

只需证明 模章引理 0E1Z 的典范映射 \[f^*\NL_{Y/Z} \to \text{Cone}(\NL_{X/Z} \to \NL_{X/Y})[-1]\] 在 \(D(\mathcal{O}_X)\) 中是同构。为此，只需证明该 \(6\) 项序列左端为零， 即 \(H^{-1}(f^*\NL_{Y/Z}) \to H^{-1}(\NL_{X/Z})\) 是单射。 在仿射局部，这由 代数进阶章引理 07D4 中相应的代数结果得出。 使用引理 0D0I 将其翻译成代数即可。

引理

设 \(X \to Y \to Z\) 是概形态射。假设 \(X \to Z\) 光滑， 且 \(Y \to Z\) 平展。则 \(X \to Y\) 光滑。

证明

由 态射章引理 02FV，态射 \(X \to Y\) 局部有限表示。由引理 0D0N， \(H^{-1}(\NL_{X/Z}) = 0\)，且模 \(\Omega_{X/Z}\) 有限局部自由。 由引理 0G7Z， \(H^{-1}(\NL_{Y/Z}) = H^0(\NL_{Y/Z}) = 0\)。 由引理 0E44，得到 \(H^{-1}(\NL_{X/Y}) = 0\)，且 \(\Omega_{X/Y} \cong \Omega_{X/Z}\) 有限局部自由。 由引理 0D0N，态射 \(X \to Y\) 光滑。

引理

设概形态射 \(f : X \to Y\) 分解为 \(f = g \circ i\)，其中 \(i\) 是浸入， 而 \(g : P \to Y\) 形式光滑（例如光滑）。则在 \(D(\mathcal{O}_X)\) 中有典范同构 \[\NL_{X/Y} \cong \left(\mathcal{C}_{X/P} \to i^*\Omega_{P/Y}\right)\] ，其中余法层 \(\mathcal{C}_{X/P}\) 置于次数 \(-1\)。

证明

（括号中的断言见引理 02H6。） 由引理 0FV2 与 0D0L，有 \(\NL_{X/P} = \mathcal{C}_{X/P}[1]\) 与 \(\NL_{P/Y} = \Omega_{P/Y}\)， 其中 \(\Omega_{P/Y}\) 局部投射。这还推出 \(i^*\NL_{P/Y} \to i^*\Omega_{P/Y}\) 是拟同构（略去一个小细节； 理由是 \(i^*\NL_{P/Y}\) 与 \(\tau_{\geq -1}Li^*\NL_{P/Y}\) 相同；见 代数进阶章引理 0FUY）。 因此 模章引理 0E1Z 的典范映射 \[i^*\NL_{P/Y} \to \text{Cone}(\NL_{X/Y} \to \NL_{X/P})[-1]\] 在 \(D(\mathcal{O}_X)\) 中是同构，因为由上可知上同调群 \(H^{-1}(i^*\NL_{P/Y})\) 为零。换言之，有可区别三角 \[i^*\NL_{P/Y} \to \NL_{X/Y} \to \NL_{X/P} \to i^*\NL_{P/Y}[1]\] 显然，这表示 \(\NL_{X/Y}\) 是映射 \(\NL_{X/P}[-1] \to i^*\NL_{P/Y}\) 的锥。根据上面对这些导出范畴对象的 上同调层的计算，这等价于引理的断言。

引理

考虑概形的笛卡尔图 \[\xymatrix{ X' \ar[r]_{g'} \ar[d] & X \ar[d] \\ Y' \ar[r] & Y }\] 典范映射 \((g')^*\NL_{X/Y} \to \NL_{X'/Y'}\) 在 \(H^0\) 上诱导同构， 在 \(H^{-1}\) 上诱导满射。

证明

翻译成代数后，这就是 代数进阶章引理 0FUZ。用引理 0D0I 完成翻译。

引理

考虑概形的笛卡尔图 \[\xymatrix{ X' \ar[d] \ar[r]_{g'} & X \ar[d] \\ Y' \ar[r] & Y }\] 若 \(Y' \to Y\) 平坦，则典范映射 \((g')^*\NL_{X/Y} \to \NL_{X'/Y'}\) 是拟同构。

证明

由引理 0D0I，这从 代数章引理 00S4 得出。

引理

考虑概形的笛卡尔图 \[\xymatrix{ X' \ar[r]_{g'} \ar[d] & X \ar[d] \\ Y' \ar[r] & Y }\] 若 \(X \to Y\) 平坦，则典范映射 \((g')^*\NL_{X/Y} \to \NL_{X'/Y'}\) 是拟同构。 若此外 \(\NL_{X/Y}\) 的 Tor 振幅包含于 \([-1, 0]\)，则 \(L(g')^*\NL_{X/Y} \to \NL_{X'/Y'}\) 也是拟同构。

证明

翻译成代数后，这就是 代数进阶章引理 0FJU。使用引理 0D0I 与 概形的导出范畴章引理 06Z0、 08E9 完成翻译。

概形范畴中的推出，I

本节构造 \(Y \leftarrow X \rightarrow X'\) 的推出，其中 \(X \to Y\) 仿射， 而 \(X \to X'\) 是加厚。事实上，这对我们是一个重要情形，值得详细讨论。 在节 0ECH 中将讨论一个更有趣也更困难的情形。 关于任意范畴中推出的一般讨论，见 Categories, Section 0025。

引理

设 \(A' \to A\) 是环的满射，\(B \to A\) 是环映射，并设 \(B' = B \times_A A'\) 为环的纤维积。令 \(S = \Spec(A)\)、\(S' = \Spec(A')\)、\(T = \Spec(B)\) 且 \(T' = \Spec(B')\)。则 \[\vcenter{ \xymatrix{ S \ar[r]_i \ar[d]_f & S' \ar[d]^{f'} \\ T \ar[r]^{i'} & T' } } \quad\text{corresponding to}\quad \vcenter{ \xymatrix{ A & A' \ar[l] \\ B \ar[u] & B' \ar[l] \ar[u] } }\] 是概形的推出。

证明

由 代数进阶章引理 0B7J，作为拓扑空间有 \(T' = T \amalg_S S'\)；也就是说，该图在拓扑空间范畴中是推出。 接着考虑映射 \[((i')^\sharp, (f')^\sharp) : \mathcal{O}_{T'} \longrightarrow i'_*\mathcal{O}_T \times_{g_*\mathcal{O}_S} f'_*\mathcal{O}_{S'}\] ，其中 \(g = i' \circ f = f' \circ i\)。我们断言此映射是环层的同构。 事实上，可把两边都看成拟凝聚 \(\mathcal{O}_{T'}\)-模（右边使用 概形章引理 01LC）， 且该映射为 \(\mathcal{O}_{T'}\)-线性的。因此只需证明它在整体截面层面上 是同构（概形章引理 01IB）。在整体截面上， 恢复引理陈述中的等同 \(B' \to B \times_A A'\)（这正是选取 \(B'\) 的方式）。

设 \(X\) 是概形，并假设给定满足 \(m' \circ i = n \circ f\) 的概形态射 \(m' : S' \to X\) 与 \(n : T \to X\)（将此复合记为 \(m\)）。由于 \(T' = T \amalg_S S'\)（见上文），得到与 \(m'\)、\(n\) 相容的唯一拓扑空间映射 \(n' : T' \to X\)。由上一段对 \(\mathcal{O}_{T'}\) 的描述， 得到环层的唯一同态 \[(n')^\sharp : \mathcal{O}_X \longrightarrow (n')_*\mathcal{O}_{T'} = m'_*\mathcal{O}_T \times_{m_*\mathcal{O}_T} n_*\mathcal{O}_S\] ，它由 \((m')^\sharp\) 与 \(n^\sharp\) 给出。因此 \((n', (n')^\sharp)\) 是与 \(m'\)、\(n\) 相容的唯一环化空间态射 \(T' \to X\)。为完成证明，只需证明 \(n'\) 是概形态射， 即局部环化空间的态射。

设 \(t' \in T'\) 的像为 \(x \in X\)。须证明 \(\mathcal{O}_{X, x} \to \mathcal{O}_{T', t'}\) 是局部同态。 若 \(t' \not \in T\)，则 \(t'\) 是唯一一点 \(s' \in S'\) 的像，且 \(\mathcal{O}_{T', t'} = \mathcal{O}_{S', s'}\)。事实上， \(S' \setminus S \to T' \setminus T\) 是概形的同构，因为 \(B' \to A'\) 诱导同构 \(\Ker(B' \to B) = \Ker(A' \to A)\)。若 \(t'\) 是 \(t \in T\) 的像， 则已知复合 \(\mathcal{O}_{X, x} \to \mathcal{O}_{T', t'} \to \mathcal{O}_{T, t}\) 是局部同态，故同样得到结论。

引理

设 \(\mathcal{I} \to (\Sch/S)_{fppf}\)、\(i \mapsto X_i\) 是概形的图， 而 \((W, X_i \to W)\) 是该图在概形范畴中的余锥（范畴章说明 0G2U）。若存在概形的 fpqc 覆盖 \(\{W_a \to W\}_{a \in A}\)，使得

1. 对所有 \(a \in A\)，在概形范畴中有 \(W_a = \colim X_i \times_W W_a\) ；

2. 对所有 \(a, b \in A\)，在概形范畴中有 \(W_a \times_W W_b = \colim X_i \times_W W_a \times_W W_b\) ；

则在概形范畴中 \(W = \colim X_i\)。

证明

事实上，对概形 \(T\)，一个态射 \(W \to T\) 等价于一族态射 \(W_a \to T\)、\(a \in A\)，它们在交叠 \(W_a \times_W W_b\) 上相等；见 下降章引理 023Q。

引理

设 \(X \to X'\) 是概形的加厚，而 \(X \to Y\) 是仿射概形态射。 则在概形范畴中存在推出 \[\xymatrix{ X \ar[r] \ar[d]_f & X' \ar[d]^{f'} \\ Y \ar[r] & Y' }\] 。此外，\(Y \subset Y'\) 是加厚，\(X = Y \times_{Y'} X'\)，并且在 \(|Y| = |Y'|\) 上有层的等式 \[\mathcal{O}_{Y'} = \mathcal{O}_Y \times_{f_*\mathcal{O}_X} f'_*\mathcal{O}_{X'}\] 。

证明

先将 \(Y'\) 构造为环化空间。具体地，作为拓扑空间取 \(Y' = Y\)。 以 \(f' : X' \to Y'\) 表示等于 \(f\) 的拓扑空间映射。取引理等式的右边作为 结构层 \(\mathcal{O}_{Y'}\)。为证明 \(Y'\) 是概形，须证明每一点都有仿射邻域。 由于层的纤维积构造与限制到开集可交换，可假设 \(Y\) 仿射。 于是 \(X\) 仿射（因为 \(f\) 仿射），且 \(X'\) 也仿射（见引理 06AD）。设 \(Y \leftarrow X \rightarrow X'\) 对应于 \(B \rightarrow A \leftarrow A'\)。 令 \(B' = B \times_A A'\)；这就是 \(\mathcal{O}_{Y'}\) 的整体截面。 由于 \(A' \to A\) 是核局部幂零的满射，\(B' \to B\) 也是核局部幂零的满射。 故作为拓扑空间，\(\Spec(B') = \Spec(B)\)。我们断言 \(Y' = \Spec(B')\)。为此，将证明：对 \(g' \in B'\) 及其像 \(g \in B\)，有 \(\mathcal{O}_{Y'}(D(g)) = B'_{g'}\)。事实上，由 代数进阶章引理 01Z8 有 \[(B')_{g'} = B_g \times_{A_h} A'_{h'}\] ，其中 \(h \in A\)、\(h' \in A'\) 是 \(g'\) 的像。由于 \(B_g\)、分别地 \(A_h\)、分别地 \(A'_{h'}\) 等于 \(\mathcal{O}_Y(D(g))\)、分别地 \(f_*\mathcal{O}_X(D(g))\)、分别地 \(f'_*\mathcal{O}_{X'}(D(g))\)， 断言得证。

还须证明 \(Y'\) 是推出。上述讨论表明，概形 \(Y'\) 有仿射开覆盖 \(Y' = \bigcup W'_i\)，使相应的开集 \(U'_i \subset X'\)、\(W_i \subset Y\) 与 \(U_i \subset X\) 都仿射。此外，若 \(A'_i\)、\(B_i\)、\(A_i\) 分别是对应于 \(U'_i\)、\(W_i\)、\(U_i\) 的环，则 \(W'_i\) 对应于 \(B_i \times_{A_i} A'_i\)。因此可应用引理 0ET0 与 0BMP， 得出我们的构造在概形范畴中是推出。

在下面的引理中，使用 范畴章例 003R 中定义的范畴纤维积。

引理

设 \(X \to X'\) 是概形的加厚，\(X \to Y\) 是仿射概形态射，并设 \(Y' = Y \amalg_X X'\) 为推出（见引理 07RT）。基变换给出函子 \[F : (\Sch/Y') \longrightarrow (\Sch/Y) \times_{(\Sch/X)} (\Sch/X')\] ，它由 \(V' \longmapsto (V' \times_{Y'} Y, V' \times_{Y'} X', 1)\) 给出， 并有左伴随函子 \[G : (\Sch/Y) \times_{(\Sch/X)} (\Sch/X') \longrightarrow (\Sch/Y')\] ，它把三元组 \((V, U', \varphi)\) 送到推出 \(V \amalg_{(V \times_Y X)} U'\)。最后，\(F \circ G\) 同构于恒等函子。

证明

设 \((V, U', \varphi)\) 是纤维积范畴的对象。令 \(U = U' \times_{X'} X\)。注意 \(U \to U'\) 是加厚。由于 \(\varphi : V \times_Y X \to U' \times_{X'} X = U\) 是同构， 有位于 \(X \to Y\) 上方的态射 \(U \to V\)，它将 \(U\) 等同于纤维积 \(X \times_Y V\)。特别地，\(U \to V\) 仿射；见 态射章引理 01SD。因此可应用引理 07RT 得到推出 \(V' = V \amalg_U U'\)。 由于 \(V'\) 是推出，而且给定了在 \(U\) 上作为到 \(Y'\) 的态射相等的态射 \(V \to Y\) 与 \(U' \to X'\)，遂得到态射 \(V' \to Y'\)。 令 \(G(V, U', \varphi) = V'\)，便得到函子 \(G\)。

下面证明 \(G\) 是 \(F\) 的左伴随。设 \(Z\) 是 \(Y'\) 上的概形。须证明 \[\Mor(V', Z) = \Mor((V, U', \varphi), F(Z))\] ，其中态射集取自各自的范畴。设 \(g' : V' \to Z\) 是态射。 以 \(\tilde g\)、分别地 \(\tilde f'\) 表示 \(g'\) 与态射 \(V \to V'\)、 分别地 \(U' \to V'\) 的复合。分别经 \(Y \to Y'\)、\(X' \to Y'\) 对 \(\tilde g\)、\(\tilde f'\) 作基变换，得到态射 \(g : V \to Z \times_{Y'} Y\)、分别地 \(f' : U' \to Z \times_{Y'} X'\)。于是 \((g, f')\) 是上述等式右边的元素 （略去细节）。反之，设 \((g, f') : (V, U', \varphi) \to F(Z)\) 是右边的元素。 可考虑 \(g\)、分别地 \(f\) 与 \(Z \times_{Y'} X' \to Z\)、分别地 \(Z \times_{Y'} Y \to Z\) 的复合 \(\tilde g : V \to Z\)、分别地 \(\tilde f' : U' \to Z\)。则 \(\tilde g\) 与 \(\tilde f'\) 作为从 \(U\) 到 \(Z\) 的态射相等。由推出的泛性质，得到态射 \(g' : V' \to Z\)， 即等式左边的元素。略去这些构造互为逆的验证。

为证明 \(F \circ G\) 同构于恒等函子，须证明伴随映射 \((V, U', \varphi) \to F(G(V, U', \varphi))\) 是同构。 为此可在仿射局部运算。写 \(X = \Spec(A)\)、\(X' = \Spec(A')\)、 \(Y = \Spec(B)\)。则 \(A' \to A\) 与 \(B \to A\) 是 More on Algebra, 引理 07RU 中那样的环映射， 且 \(Y' = \Spec(B')\)，其中 \(B' = B \times_A A'\)。再设 \(V = \Spec(D)\)、\(U' = \Spec(C')\)，而 \(\varphi\) 由 \(A\)-代数同构 \(D \otimes_B A \to C' \otimes_{A'} A = C'/IC'\) 给出。 令 \(D' = D \times_{C'/IC'} C'\)。在这种情形下，须证明 \(D' \otimes_{B'} B \cong D\) 且 \(D' \otimes_{B'} A' \cong C'\)。 这是 代数进阶章引理 07RU 的特殊情形。

引理

设 \(X \to X'\) 是概形的加厚，\(X \to Y\) 是仿射概形态射，并设 \(Y' = Y \amalg_X X'\) 为推出（见引理 07RT）。设 \(V' \to Y'\) 是概形态射。令 \(V = Y \times_{Y'} V'\)、\(U' = X' \times_{Y'} V'\) 且 \(U = X \times_{Y'} V'\)。以下两者的范畴等价：

1. 在 \(Y'\) 上平坦的拟凝聚 \(\mathcal{O}_{V'}\)-模；

2. 三元组 \((\mathcal{G}, \mathcal{F}', \varphi)\) 的范畴，其中

   1. \(\mathcal{G}\) 是在 \(Y\) 上平坦的拟凝聚 \(\mathcal{O}_V\)-模；

   2. \(\mathcal{F}'\) 是在 \(X'\) 上平坦的拟凝聚 \(\mathcal{O}_{U'}\)-模；

   3. \(\varphi : (U \to V)^*\mathcal{G} \to (U \to U')^*\mathcal{F}'\) 是 \(\mathcal{O}_U\)-模的同构。

该等价把 \(\mathcal{G}'\) 映到 \(((V \to V')^*\mathcal{G}', (U' \to V')^*\mathcal{G}', can)\)。 假设 \(\mathcal{G}'\) 对应于三元组 \((\mathcal{G}, \mathcal{F}', \varphi)\)。则

1. \(\mathcal{G}'\) 是有限型 \(\mathcal{O}_{V'}\)-模，当且仅当 \(\mathcal{G}\) 与 \(\mathcal{F}'\) 分别是有限型 \(\mathcal{O}_Y\)-模与 \(\mathcal{O}_{U'}\)-模。

2. 若 \(V' \to Y'\) 局部有限表示，则 \(\mathcal{G}'\) 是有限表示的 \(\mathcal{O}_{V'}\)-模，当且仅当 \(\mathcal{G}\) 与 \(\mathcal{F}'\) 分别是有限表示的 \(\mathcal{O}_Y\)-模与 \(\mathcal{O}_{U'}\)-模。

证明

一个拟逆函子把三元组 \((\mathcal{G}, \mathcal{F}', \varphi)\) 映到纤维积 \[(V \to V')_*\mathcal{G} \times_{(U \to V')_*\mathcal{F}} (U' \to V')_*\mathcal{F}'\] ，其中 \(\mathcal{F} = (U \to U')^*\mathcal{F}'\)。这是可行的，因为在仿射情形下， 恢复 代数进阶章引理 07RW 的等价。 略去一些细节。

(a)、(b) 由 代数进阶章引理 08IH 与 08KP 得出。

引理

在引理 07RV 的情形下， 若对某个三元组 \((V, U', \varphi)\) 有 \(V' = G(V, U', \varphi)\)，则

1. \(V' \to Y'\) 局部有限型，当且仅当 \(V \to Y\) 与 \(U' \to X'\) 局部有限型；

2. \(V' \to Y'\) 平坦，当且仅当 \(V \to Y\) 与 \(U' \to X'\) 平坦；

3. \(V' \to Y'\) 平坦且局部有限表示，当且仅当 \(V \to Y\) 与 \(U' \to X'\) 平坦且局部有限表示；

4. \(V' \to Y'\) 光滑，当且仅当 \(V \to Y\) 与 \(U' \to X'\) 光滑；

5. \(V' \to Y'\) 平展，当且仅当 \(V \to Y\) 与 \(U' \to X'\) 平展；

6. 视需要在此添加更多性质。

若 \(W'\) 在 \(Y'\) 上平坦，则伴随映射 \(G(F(W')) \to W'\) 是同构。 因此 \(F\) 与 \(G\) 在以下两个范畴之间定义互为拟逆的函子：在 \(Y'\) 上平坦的 概形范畴，以及满足 \(V \to Y\) 与 \(U' \to X'\) 平坦的三元组 \((V, U', \varphi)\) 的范畴。

证明

逐个考察仿射片后，本引理的断言等价于 代数进阶章引理 08KQ 中的相应断言。

平坦轨迹的开性

这个结果的证明需要一些工作，并且（或许）值得单列一节。结果如下。

定理

设 \(S\) 是概形。设 \(f : X \to S\) 是局部有限表示的态射。 设 \(\mathcal{F}\) 是局部有限表示的拟凝聚 \(\mathcal{O}_X\)-模。则 \[U = \{x \in X \mid \mathcal{F}\text{ is flat over }S\text{ 在 }x\}\] 是 \(X\) 的开子集。

证明

开性可以在 \(X\) 上局部检验，故可以假设 \(f\) 是仿射概形之间的态射。 此时本定理恰为 代数章定理 00RC。

引理

设 \(S\) 是概形。设 \[\xymatrix{ X' \ar[r]_{g'} \ar[d]_{f'} & X \ar[d]^f \\ S' \ar[r]^g & S }\] 是概形的笛卡尔图。设 \(\mathcal{F}\) 是拟凝聚 \(\mathcal{O}_X\)-模。 设 \(x' \in X'\) 的像为 \(x = g'(x')\) 与 \(s' = f'(x')\)。

1. 若 \(\mathcal{F}\) 在 \(x\) 处于 \(S\) 上平坦，则 \((g')^*\mathcal{F}\) 在 \(x'\) 处于 \(S'\) 上平坦。

2. 若 \(g\) 在 \(s'\) 处平坦，且 \((g')^*\mathcal{F}\) 在 \(x'\) 处于 \(S'\) 上平坦，则 \(\mathcal{F}\) 在 \(x\) 处于 \(S\) 上平坦。

特别地，若 \(g\) 平坦、\(f\) 局部有限表示，且 \(\mathcal{F}\) 局部有限表示， 则定理 0399 中开子集的形成与基变换交换。

证明

考虑局部环的交换图 \[\xymatrix{ \mathcal{O}_{X', x'} & \mathcal{O}_{X, x} \ar[l] \\ \mathcal{O}_{S', s'} \ar[u] & \mathcal{O}_{S, s} \ar[l] \ar[u] }\] 注意到 \(\mathcal{O}_{X', x'}\) 是 \(\mathcal{O}_{X, x} \otimes_{\mathcal{O}_{S, s}} \mathcal{O}_{S', s'}\) 的一个局部化，并且 \(((g')^*\mathcal{F})_{x'}\) 等于 \(\mathcal{F}_x \otimes_{\mathcal{O}_{X, x}} \mathcal{O}_{X', x'}\)。 故本引理由 代数章引理 00MQ 得出。

按纤维判别平坦性

考虑概形的交换图（左图） \[\xymatrix{ X \ar[rr]_f \ar[dr] & & Y \ar[dl] \\ & S } \quad \xymatrix{ X_s \ar[rr]_{f_s} \ar[rd] & & Y_s \ar[dl] \\ & \Spec(\kappa(s)) }\] 以及拟凝聚 \(\mathcal{O}_X\)-模 \(\mathcal{F}\)。 给定落在 \(s \in S\) 上方的点 \(x \in X\)，其像为 \(y = f(x)\)， 我们考虑如下问题：\(\mathcal{F}\) 在 \(x\) 处是否于 \(Y\) 上平坦？ 若 \(\mathcal{F}\) 在 \(x\) 处于 \(S\) 上平坦，则定理表明，这一问题与 \(\mathcal{F}\) 在纤维上的限制 \[\mathcal{F}_s = (X_s \to X)^*\mathcal{F}\] 在 \(x\) 处是否于 \(Y_s\) 上平坦密切相关。下面将给出一个“诺特”版本和 一个“有限表示”版本；此前我们还处理过一个“幂零”版本，见引理 06AF。

定理

设 \(S\) 是概形。设 \(f : X \to Y\) 是 \(S\) 上的概形态射。 设 \(\mathcal{F}\) 是拟凝聚 \(\mathcal{O}_X\)-模。设 \(x \in X\)，令 \(y = f(x)\)，并令 \(s \in S\) 为 \(x\) 在 \(S\) 中的像。 假设 \(S\)、\(X\)、\(Y\) 局部诺特，\(\mathcal{F}\) 凝聚，且 \(\mathcal{F}_x \not = 0\)。则以下条件等价：

1. \(\mathcal{F}\) 在 \(x\) 处于 \(S\) 上平坦，且 \(\mathcal{F}_s\) 在 \(x\) 处于 \(Y_s\) 上平坦；

2. \(Y\) 在 \(y\) 处于 \(S\) 上平坦，且 \(\mathcal{F}\) 在 \(x\) 处于 \(Y\) 上平坦。

证明

考虑环映射 \[\mathcal{O}_{S, s} \longrightarrow \mathcal{O}_{Y, y} \longrightarrow \mathcal{O}_{X, x}\] 以及模 \(\mathcal{F}_x\)。\(\mathcal{F}_s\) 在 \(x\) 处的茎为模 \(\mathcal{F}_x/\mathfrak m_s \mathcal{F}_x\)，而 \(Y_s\) 在 \(y\) 处的局部环为 \(\mathcal{O}_{Y, y}/\mathfrak m_s \mathcal{O}_{Y, y}\)。 因此蕴含 (1) \(\Rightarrow\) (2) 即 代数章引理 00MP。 若 (2) 成立，则第一个环映射忠实平坦，且 \(\mathcal{F}_x\) 在 \(\mathcal{O}_{Y, y}\) 上平坦，故由 代数章引理 00HC，\(\mathcal{F}_x\) 在 \(\mathcal{O}_{S, s}\) 上平坦。此外， \(\mathcal{F}_x/\mathfrak m_s \mathcal{F}_x\) 是平坦模 \(\mathcal{F}_x\) 沿 \(\mathcal{O}_{Y, y} \to \mathcal{O}_{Y, y}/\mathfrak m_s \mathcal{O}_{Y, y}\) 的基变换，故由 代数章引理 00HI，它也是平坦的。

下面是非诺特版本。

定理

设 \(S\) 是概形。设 \(f : X \to Y\) 是 \(S\) 上的概形态射。 设 \(\mathcal{F}\) 是拟凝聚 \(\mathcal{O}_X\)-模。假设

1. \(X\) 在 \(S\) 上局部有限表示；

2. \(\mathcal{F}\) 是有限表示的 \(\mathcal{O}_X\)-模；

3. \(Y\) 在 \(S\) 上局部有限型。

设 \(x \in X\)，令 \(y = f(x)\)，并令 \(s \in S\) 为 \(x\) 在 \(S\) 中的像。 若 \(\mathcal{F}_x \not = 0\)，则以下条件等价：

1. \(\mathcal{F}\) 在 \(x\) 处于 \(S\) 上平坦，且 \(\mathcal{F}_s\) 在 \(x\) 处于 \(Y_s\) 上平坦；

2. \(Y\) 在 \(y\) 处于 \(S\) 上平坦，且 \(\mathcal{F}\) 在 \(x\) 处于 \(Y\) 上平坦。

此外，使 (1) 与 (2) 成立的点 \(x\) 所成的集合在 \(\text{Supp}(\mathcal{F})\) 中是开的。

证明

考虑环映射 \[\mathcal{O}_{S, s} \longrightarrow \mathcal{O}_{Y, y} \longrightarrow \mathcal{O}_{X, x}\] 以及模 \(\mathcal{F}_x\)。\(\mathcal{F}_s\) 在 \(x\) 处的茎为模 \(\mathcal{F}_x/\mathfrak m_s \mathcal{F}_x\)，而 \(Y_s\) 在 \(y\) 处的局部环为 \(\mathcal{O}_{Y, y}/\mathfrak m_s \mathcal{O}_{Y, y}\)。 因此蕴含 (1) \(\Rightarrow\) (2) 即 代数章引理 05UV。 若 (2) 成立，则第一个环映射忠实平坦，且 \(\mathcal{F}_x\) 在 \(\mathcal{O}_{Y, y}\) 上平坦，故由 代数章引理 00HC，\(\mathcal{F}_x\) 在 \(\mathcal{O}_{S, s}\) 上平坦。此外， \(\mathcal{F}_x/\mathfrak m_s \mathcal{F}_x\) 是平坦模 \(\mathcal{F}_x\) 沿 \(\mathcal{O}_{Y, y} \to \mathcal{O}_{Y, y}/\mathfrak m_s \mathcal{O}_{Y, y}\) 的基变换，故由 代数章引理 00HI，它也是平坦的。

由 态射章引理 02FV，态射 \(f\) 局部有限表示。考虑集合 [05VI]\[\begin{equation} U = \{x \in X \mid \mathcal{F} \text{ flat at }x \text{ over both }Y\text{ 且 }S\}. \end{equation}\] 由定理 0399，此集合在 \(X\) 中是开的。 注意，若 \(x \in U\)，则 \(\mathcal{F}_s\) 是平坦模沿态射 \(Y_s \to Y\) 的基变换，因而在 \(x\) 处于 \(Y_s\) 上平坦；见 态射章引理 01U8。 故 \(U \cap \text{Supp}(\mathcal{F})\) 的每一点都满足条件 (1)。 另一方面，显然若 \(x \in \text{Supp}(\mathcal{F})\) 满足 (1) 与 (2)， 则 \(x \in U\)。因此所求开集为 \(U \cap \text{Supp}(\mathcal{F})\)。

这些定理常以如下简化形式使用。这里只给出整体陈述——当然也有逐点版本。

引理

设 \(S\) 是概形。设 \(f : X \to Y\) 是 \(S\) 上的概形态射。假设

1. \(S\)、\(X\)、\(Y\) 局部诺特；

2. \(X\) 在 \(S\) 上平坦；

3. 对每个 \(s \in S\)，态射 \(f_s : X_s \to Y_s\) 平坦。

则 \(f\) 平坦。若 \(f\) 还满射，则 \(Y\) 在 \(S\) 上平坦。

证明

这是定理 039B 的特殊情形。

引理

设 \(S\) 是概形。设 \(f : X \to Y\) 是 \(S\) 上的概形态射。假设

1. \(X\) 在 \(S\) 上局部有限表示；

2. \(X\) 在 \(S\) 上平坦；

3. 对每个 \(s \in S\)，态射 \(f_s : X_s \to Y_s\) 平坦；

4. \(Y\) 在 \(S\) 上局部有限型。

则 \(f\) 平坦。若 \(f\) 还满射，则 \(Y\) 在 \(S\) 上平坦。

证明

这是定理 039C 的特殊情形。

引理

设 \(S\) 是概形。设 \(f : X \to Y\) 是 \(S\) 上的概形态射。 设 \(\mathcal{F}\) 是拟凝聚 \(\mathcal{O}_X\)-模。假设

1. \(X\) 在 \(S\) 上局部有限表示；

2. \(\mathcal{F}\) 是有限表示的 \(\mathcal{O}_X\)-模；

3. \(\mathcal{F}\) 在 \(S\) 上平坦；

4. \(Y\) 在 \(S\) 上局部有限型。

则集合 \[U = \{x \in X \mid \mathcal{F} \text{ flat at }x \text{ 相对于 }Y\}.\] 在 \(X\) 中是开的，且其形成与任意基变换交换：若 \(S' \to S\) 是概形态射， 而 \(U'\) 是 \(X' = X \times_S S'\) 中使 \(\mathcal{F}' = \mathcal{F} \times_S S'\) 在 \(Y' = Y \times_S S'\) 上平坦 的点集，则 \(U' = U \times_S S'\)。

证明

由 态射章引理 02FV，态射 \(f\) 局部有限表示。故由定理 0399，\(U\) 是开的。 由于已假设 \(\mathcal{F}\) 在 \(S\) 上平坦，定理 039C 给出 \[U = \{x \in X \mid \mathcal{F}_s \text{ flat at }x \text{ 相对于 }Y_s\}.\] 其中 \(s\) 始终表示 \(x\) 在 \(S\) 中的像。（当 \(\mathcal{F}_x = 0\) 时， 这一描述也平凡成立。）此外，本引理的假设对态射 \(f' : X' \to Y'\) 与层 \(\mathcal{F}'\) 仍然成立，故 \(U'\) 有类似的描述。换言之，只需证明： 给定映到 \(s \in S\) 的 \(s' \in S'\)，集合 \[\{x' \in X'_{s'} \mid \mathcal{F}'_{s'} \text{ flat at }x' \text{ 相对于 }Y'_{s'}\}\] 是 \(X_s\) 中相应轨迹的逆像。由引理 047C，这确实成立，因为在笛卡尔图 \[\xymatrix{ X'_{s'} \ar[d] \ar[r] & X_s \ar[d] \\ Y'_{s'} \ar[r] & Y_s }\] 中，水平态射是平坦态射 \(\Spec(\kappa(s')) \to \Spec(\kappa(s))\) 的基变换，因而平坦。

引理

设 \(S\) 是概形。设 \(f : X \to Y\) 是 \(S\) 上的概形态射。假设

1. \(X\) 在 \(S\) 上局部有限表示；

2. \(X\) 在 \(S\) 上平坦；

3. \(Y\) 在 \(S\) 上局部有限型。

则集合 \[U = \{x \in X \mid X\text{ flat at }x \text{ 相对于 }Y\}.\] 在 \(X\) 中是开的，且其形成与任意基变换交换。

证明

这是引理 05VJ 的特殊情形。

下一个引理是 代数章引理 00MH 的一个变体。注意，假设 \((\mathcal{F}_s)_x\) 是平坦 \(\mathcal{O}_{X_s, x}\)-模，意味着 \((\mathcal{F}_s)_x\) 是自由 \(\mathcal{O}_{X_s, x}\)-模。若 \(x \in X_s\) 是 \(X_s\) 某个不可约分支的泛点且 \(X_s\) 约化，则这一点总是成立 （此时 \(\mathcal{O}_{X_s, x}\) 是域；见 代数章引理 00EU）。

引理

设 \(f : X \to S\) 是有限表示的概形态射，\(\mathcal{F}\) 是有限表示的 \(\mathcal{O}_X\)-模。设 \(x \in X\) 的像为 \(s \in S\)。若 \(\mathcal{F}\) 在 \(x\) 处于 \(S\) 上平坦，且 \((\mathcal{F}_s)_x\) 是平坦 \(\mathcal{O}_{X_s, x}\)-模，则 \(\mathcal{F}\) 在 \(x\) 的某个邻域上有限自由。

证明

若 \(\mathcal{F}_x \otimes \kappa(x)\) 为零，则由 Nakayama 引理 （代数章引理 00DV），\(\mathcal{F}_x = 0\)， 因而 \(\mathcal{F}\) 在 \(x\) 的某个邻域上为零（模章引理 01B9），此时结论成立。因此可假设 \(\mathcal{F}_x \otimes \kappa(x)\) 非零，并将定理 039C 应用于 \(f = \text{id} : X \to X\)。 由此得出 \(\mathcal{F}_x\) 在 \(\mathcal{O}_{X, x}\) 上平坦，故 \(\mathcal{F}_x\) 自由；例如见 代数章引理 00NZ。选择开邻域 \(x \in U \subset X\) 以及截面 \(s_1, \ldots, s_r \in \mathcal{F}(U)\)，使它们在 \(\mathcal{F}_x\) 中的像构成一组基。缩小 \(U\) 后，相应映射 \(\psi : \mathcal{O}_U^{\oplus r} \to \mathcal{F}|_U\) 是满射 （模章引理 01B9）。于是 \(\Ker(\psi)\) 有限型（见 模章引理 01BP）， 且 \(\Ker(\psi)_x = 0\)。再次缩小 \(U\) 后，\(\psi\) 即为同构。

引理

设 \(f : X \to S\) 是局部有限表示的概形态射。设 \(\mathcal{F}\) 是 在 \(S\) 上平坦的有限表示 \(\mathcal{O}_X\)-模。则集合 \[\{x \in X : \mathcal{F}\text{ free in a neighbourhood of }x\}\] 在 \(X\) 中是开的，且其形成与任意基变换 \(S' \to S\) 交换。

证明

开性是平凡的。设 \(x \in X\) 映到 \(s \in S\)。由引理 080Q，\(x\) 属于上述集合，当且仅当 \(\mathcal{F}|_{X_s}\) 在 \(x\) 处于 \(X_s\) 上平坦。显然这又等价于 \(\mathcal{F}\) 在 \(x\) 处于 \(X\) 上平坦（因为 \(\mathcal{F}_x\) 的自由性 蕴含这一陈述，而这一陈述又蕴含 \(\mathcal{F}|_{X_s}\) 在 \(x\) 处于 \(X_s\) 上平坦）。因此，将引理 05VJ 应用于 \(S\) 上的 \(\text{id} : X \to X\)，即得基变换陈述。

光滑概形之间的闭浸入

这里收录一些不太适合放在其他地方的结果。

引理

设 \(S\) 是概形。设 \(Y \to X\) 是在 \(S\) 上光滑的概形之间的闭浸入。 对每个 \(y \in Y\)，存在整数 \(0 \leq m, n\) 以及交换图 \[\xymatrix{ Y \ar[d] & V \ar[l] \ar[d] \ar[r] & \mathbf{A}^m_S \ar[d]^{(a_1, \ldots, a_m) \mapsto (a_1, \ldots, a_m, 0 \ldots, 0)} \\ X & U \ar[l] \ar[r]^-\pi & \mathbf{A}^{m + n}_S }\] 其中 \(U \subset X\) 是开集，\(V = Y \cap U\)，\(\pi\) 平展， \(V = \pi^{-1}(\mathbf{A}^m_S)\)，且 \(y \in V\)。

证明

这个问题在 \(X\) 上是局部的，故可以用 \(y\) 的一个开邻域替换 \(X\)。 由 除子章引理 067U， \(Y \to X\) 是正则浸入，因而可以假设 \(X = \Spec(A)\) 仿射，并存在正则序列 \(f_1, \ldots, f_n \in A\)，使得 \(Y = V(f_1, \ldots, f_n)\)。 进一步缩小 \(X\)（从而也缩小 \(Y\)）后，可以假设存在平展态射 \(Y \to \mathbf{A}^m_S\)；见 态射章引理 054L。设 \(\mathcal{O}_Y(Y)\) 中的 \(\overline{g}_1, \ldots, \overline{g}_m\) 是此平展态射的坐标函数。选取这些函数的提升 \(g_1, \ldots, g_m \in A\)，并考虑态射 \[(g_1, \ldots, g_m, f_1, \ldots, f_n) : X \longrightarrow \mathbf{A}^{m + n}_S\] 于 \(S\) 上。两边概形均在 \(S\) 上局部有限表示，故此态射局部有限表示 （态射章引理 02FV）。按构造，此态射在 \(\mathbf{A}^m_S \subset \mathbf{A}^{m + n}_S\) 上的限制平展。因此，为证明 \(X \to \mathbf{A}^{m + n}_S\) 在 \(y\) 处平展，只需证明 \(X \to \mathbf{A}^{m + n}_S\) 在 \(y\) 处平坦；见 态射章引理 02GU。设 \(s \in S\) 为 \(y\) 的像。由定理 039C，只需检验 \(X_s \to \mathbf{A}^{m + n}_s\) 在 \(y\) 处平坦。设 \(z \in \mathbf{A}^{m + n}_s\) 为 \(y\) 的像。局部环映射 \[\mathcal{O}_{\mathbf{A}^{m + n}_s, z} \longrightarrow \mathcal{O}_{X_s, y}\] 由 代数章引理 00R4 是平坦的。 事实上，域上的光滑概形是正则的，而正则环是 Cohen–Macaulay 环；见 簇章引理 056S 与 代数章引理 00NQ。因此源与靶都是正则局部环 （从而都是 CM 环）。源与靶的维数相同：由 代数进阶章引理 07QP，有 \(\dim(\mathcal{O}_{Y_s, y}) = \dim(\mathcal{O}_{\mathbf{A}^m_s, z})\) ；又有 \(\dim(\mathcal{O}_{\mathbf{A}^{m + n}_s, z}) = n + \dim(\mathcal{O}_{\mathbf{A}^m_s, z})\)，并且 \(\dim(\mathcal{O}_{X_s, y}) = n + \dim(\mathcal{O}_{Y_s, y})\) ，因为 \(\mathcal{O}_{Y_s, y}\) 是 \(\mathcal{O}_{X_s, y}\) 对长度为 \(n\) 的正则序列 \(f_1, \ldots, f_n\) 的商（见 除子章说明 0FUD）。最后，由于 \(Y_s \to \mathbf{A}^m_s\) 在 \(y\) 处平展，上述箭头的纤维环在 \(\kappa(z)\) 上有限。证明完毕。

注

固定一个环 \(R\)，并令 \(S = \Spec(R)\)。固定整数 \(0 \leq m\) 与 \(1 \leq n\)。考虑闭浸入 \[Z = \mathbf{A}^m_S \longrightarrow \mathbf{A}^{m + n}_S = X,\quad (a_1, \ldots, a_m) \mapsto (a_1, \ldots, a_m, 0, \ldots 0).\] 我们考察 \(X\) 沿闭子概形 \(Z\) 的吹起 \(X'\)。写成 \[X = \Spec(A) \quad\text{其中}\quad A = R[x_1, \ldots, x_m, y_1, \ldots, y_n]\] 则 \(X'\) 是 \(A\) 关于理想 \((y_1, \ldots, y_n)\) 的 Rees 代数的 Proj。 此 Rees 代数等于 \(B = A[T_1, \ldots, T_n]/(y_iT_j - y_jT_i)\)；略去细节。 因此 \(X' = \text{Proj}(B)\) 在 \(S\) 上光滑，因为它由仿射开集 \[\begin{align*} D_+(T_i) & = \Spec(B_{(T_i)}) \\ & = \Spec(A[t_1, \ldots, \hat t_i, \ldots t_n]/(y_j - y_i t_j)) \\ & = \Spec(R[x_1, \ldots, x_m, y_i, t_1, \ldots, \hat t_i, \ldots, t_n]) \end{align*}\] 覆盖，而这些开集同构于 \(\mathbf{A}^{n + m}_S\)。在此坐标图中， 例外除子由令 \(y_i = 0\) 截出，故例外除子也在 \(S\) 上光滑。

引理

设 \(S\) 是概形。设 \(Z \to X\) 是在 \(S\) 上光滑的概形之间的闭浸入。 设 \(b : X' \to X\) 是沿 \(Z\) 的吹起，例外除子为 \(E \subset X'\)。 则 \(X'\) 与 \(E\) 在 \(S\) 上光滑。态射 \(p : E \to Z\) 典范同构于射影空间丛 \[\mathbf{P}(\mathcal{I}/\mathcal{I}^2) \longrightarrow Z\] ，其中 \(\mathcal{I} \subset \mathcal{O}_X\) 是 \(Z\) 的理想层。 来自射影空间丛结构的相对 \(\mathcal{O}_E(1)\) 同构于 \(\mathcal{O}_{X'}(-E)\) 在 \(E\) 上的限制。

证明

由 除子章引理 067U， 浸入 \(Z \to X\) 是正则浸入，故理想层 \(\mathcal{I}\) 有限型，从而 \(b\) 是射影态射，并带有相对丰沛可逆层 \(\mathcal{O}_{X'}(1) = \mathcal{O}_{X'}(-E)\)；见 除子章引理 02OS 及 02NS. 典范映射 \(\mathcal{I} \to b_*\mathcal{O}_{X'}(1)\) 按照吹起的构造给出闭浸入 \[X' \longrightarrow \mathbf{P}\left(\bigoplus\nolimits_{n \geq 0} \text{Sym}^n_{\mathcal{O}_X}(\mathcal{I})\right)\] 。此态射在 \(E\) 上的限制给出 \(Z\) 上的典范映射 \[E \longrightarrow \mathbf{P}\left(\bigoplus\nolimits_{n \geq 0} \text{Sym}^n_{\mathcal{O}_Z}(\mathcal{I}/\mathcal{I}^2)\right)\] 。由于 \(\mathcal{I}/\mathcal{I}^2\) 有限局部自由，若此典范映射是同构， 则引理的最后一部分成立。说完这些之后，问题现在在 \(X\) 上是平展局部的。 事实上，由 除子章引理 0805，吹起与平坦基变换交换； 而且在预合成一个满平展态射之后可以检验光滑性。因此，利用引理 0FUE 所给出的 \(S\) 上概形闭浸入的平展局部结构， 问题归结为评注 0H1H 中讨论的情形。

平坦模与相对伴随点

本节将证明：在几何情形下，平坦模的支集在基底上（在某种意义下） 是等维的。诺特情形可参见 [EGA, IV Proposition 12.1.1.5]。 首先证明两个辅助引理。

引理

设 \(A\) 是赋值环。设 \(A \to B\) 是局部环之间的局部同态，且本质有限型。 设 \(u : N \to M\) 是有限 \(B\)-模之间的映射。假设 \(M\) 在 \(A\) 上平坦，且 \(\overline{u} : N/\mathfrak m_A N \to M/\mathfrak m_A M\) 是单射。 则 \(u\) 是单射，且 \(M/u(N)\) 在 \(A\) 上平坦。

证明

我们将从 代数章引理 046Y 推出本引理（请注意，我们交换了 \(M\) 与 \(N\) 的角色）。为完成化约， 将使用 代数进阶章引理 0GSE 把问题化到有限表示情形。

由假设，可以把 \(B\) 写成多项式代数 \(P = A[x_1, \ldots, x_n]\) 在素理想 \(\mathfrak q\) 处的局部化的一个商。于是可以把 \(u : N \to M\) 看成有限 \(P_\mathfrak q\)-模之间的映射。因此不妨并且确实 假设 \(B\) 在 \(A\) 上本质有限表示。

其次，\(B\)-模 \(N\) 有限，但未必有限表示。将 \(N = \colim N_\lambda\) 写成有限表示 \(B\)-模的滤过余极限，其转移映射均为满射。例如，选择表示 \(0 \to K \to B^{\oplus r} \to N \to 0\)，把 \(K\) 写成其有限子模 \(K_\lambda\) 的并，并令 \(N_\lambda = \Coker(K_\lambda \to B^{\oplus r})\)。 模 \(N/\mathfrak m_A N\) 在诺特环 \(B/\mathfrak m_A B\) 上有限表示。 故对充分大的 \(\lambda\)，有 \(N_\lambda/\mathfrak m_A N_\lambda = N/\mathfrak m_A N\)。 现在，若能对复合映射 \(u_\lambda : N_\lambda \to M\) 证明本引理， 则可推出 \(N_\lambda = N\)，并且结论对 \(u\) 成立。因此不妨并且确实假设 \(N\) 在 \(B\) 上有限表示。

由 代数进阶章引理 0GSE，模 \(M\) 在 \(B\) 上有限表示。因此 代数章引理 046Y 的所有假设都成立，结论随之得出。

引理

设 \(f : X \to S\) 是概形态射。设点 \(y \in X\) 的像为 \(t \in S\)。 以 \(Y \subset X\) 表示 \(\{y\}\) 的闭包，并赋予它 \(X\) 的整闭子概形结构。 设 \(s \in S\)，并设 \(x \in Y_s\) 是 \(Y_s\) 某个不可约分支的泛点。 存在笛卡尔图 \[\xymatrix{ X' \ar[r]_{g'} \ar[d]_{f'} & X \ar[d]^f \\ S' \ar[r]^g & S }\] 满足以下性质：

1. \(S'\) 是某个赋值环的谱，其泛点为 \(t'\)、闭点为 \(s'\)；

2. \(g(t') = t\) 且 \(g(s') = s\)；

3. 存在点 \(y' \in X'_{t'}\)，它是 \((S' \times_S Y)_{t'} = Y_t \times_t t'\) 某个不可约分支的泛点， 并满足 \(g'(y') = y\)；

4. 以 \(Y' \subset X'\) 表示 \(\{y'\}\) 的闭包，并赋予它 \(X'\) 的整闭子概形结构；则存在点 \(x' \in Y'_{s'}\)，它是 \(Y'_{s'}\) 某个不可约分支的泛点，并满足 \(g'(x') = x\)。

证明

选择赋值环 \(R\)，令 \(S' = \Spec(R)\)，其泛点为 \(t'\)、闭点为 \(s'\)； 再选择满足 \(h(t') = y\) 与 \(h(s') = x\) 的态射 \(h : S' \to X\)。 见 概形章引理 01J8。令 \(g = f \circ h\)，于是 \(g(t') = t\) 且 \(g(s') = s\)。考虑基变换 \[\xymatrix{ X' \ar[r]_{g'} \ar[d] & X \ar[d] \\ S' \ar@/^1em/[u]^\sigma \ar[r]^-g & S }\] 得到此基变换的一个截面 \(\sigma\)，满足 \(h = g' \circ \sigma\)。

由于 \(h\) 经由 \(Y\) 分解，\(\sigma\) 当然经由 \(Y\) 的基变换 \(S' \times_S Y\) 分解。设 \(y' \in X'_{t'} \subset X'\) 是纤维 \[(S' \times_S Y)_{t'} = Y_t \times_t t'\] 的某个不可约分支的泛点，该分支包含点 \(\sigma(t')\)；也就是说， \(y' \leadsto \sigma(t')\)。

由于 \(g'(y') \in Y_t\) 且 \(g(y') \leadsto g(\sigma(t')) = y\)，而 \(y\) 是纤维 \(Y_t\) 的泛点，故 \(g'(y') = y\)。以 \(Y' \subset X'\) 表示 \(\{y'\}\) 在 \(X'\) 中的闭包，并赋予它整闭子概形结构。由于 \(\sigma(t') \in Y'\)，\(\sigma\) 经由 \(Y'\) 分解。选择 \(Y'_{s'}\) 某个包含 \(\sigma(s')\) 的不可约分支的泛点 \(x' \in Y'_{s'}\)；也就是说， \(x' \leadsto \sigma(s')\)，从而 \(g'(x') \leadsto g'(\sigma(s')) = x\)。 再次利用假设中 \(x\) 是 \(Y_s\) 某个不可约分支的泛点，以及 \(g'(Y') \subset Y\)，得出 \(g'(x') = x\)。

引理

设 \(f : X \to S\) 是局部有限型的概形态射，\(\mathcal{F}\) 是有限型拟凝聚 \(\mathcal{O}_X\)-模。设 \(y \in \text{Ass}_{X/S}(\mathcal{F})\) 的像为 \(t \in S\)。以 \(Y \subset X\) 表示 \(\{y\}\) 在 \(X\) 中的闭包，并赋予它 整闭子概形结构。设 \(s \in S\)，并设 \(x \in Y_s\) 是 \(Y_s\) 某个不可约分支的泛点。若 \(\mathcal{F}\) 在 \(x\) 处于 \(S\) 上平坦，则 \(x \in \text{Ass}_{X/S}(\mathcal{F})\)，且 \(\dim_x(Y_s) = \dim(Y_t)\)。

证明

选择引理 0GSH 中的图，并令 \(\mathcal{F}' = (g')^*\mathcal{F}\)。除子章引理 05DC 推出 \(y' \in \text{Ass}_{X'/S'}(\mathcal{F}')\)。由 \(y'\) 的选取还可得 \(\dim(Y'_{t'}) = \dim(Y_t)\)；例如见 代数章引理 0CWE。由 代数章引理 00QK， \(Y'_{s'}\) 等维，且其维数等于 \(\dim(Y_t)\)。由于 \(\mathcal{F}\) 在 \(x\) 处于 \(S\) 上平坦，\(\mathcal{F}'\) 在 \(x'\) 处于 \(S'\) 上平坦；见 态射章引理 01U8。

假设能够证明 \(x' \in \text{Ass}_{X'/S}(\mathcal{F}')\)。则 除子章引理 05DC 推出 \(x \in \text{Ass}_{X/S}(\mathcal{F})\)，并且 \(Y'_{s'}\) 中包含 \(x'\) 的不可约分支 \(C'\) 是 \(C \times_s s'\) 的一个不可约分支，其中 \(C \subset Y_s\) 是包含 \(x\) 的不可约分支。因此 \(\dim(C) = \dim(C') = \dim(Y_t)\)（见上文），证明完成。 这把问题化到下一段讨论的情形。

假设 \(S = \Spec(A)\)，其中 \(A\) 是赋值环，而 \(t\) 与 \(s\) 分别是 \(S\) 的泛点与闭点。为导出矛盾，假设 \(x \not \in \text{Ass}_{X/S}(\mathcal{F})\)。换言之，假设 \(x \not \in \text{Ass}_{X_s}(\mathcal{F}_s)\)，其中 \(\mathcal{F}_s\) 是 \(\mathcal{F}\) 在 \(X_s\) 上的拉回。考虑环映射 \[A \longrightarrow \mathcal{O}_{X, x} = B\] 以及 \(B = \mathcal{O}_{X, x}\) 上的模 \(N = \mathcal{F}_x\)。于是 \(B/\mathfrak m_A B = \mathcal{O}_{X_s, x}\)，而 \(N/\mathfrak m_A N\) 是 \(\mathcal{F}_s\) 在点 \(x\) 处的茎。以 \(\mathfrak q \subset B\) 表示点 \(y\) 对应的素理想；见 概形章引理 01J7。由于 \(x\) 是 \(Y_s\) 的泛点， \(\mathfrak q + \mathfrak m_A B\) 的根为 \(\mathfrak m_B\)。集合 \(\text{Ass}_{B/\mathfrak m_A B}(N/\mathfrak m_A N)\) 是有限素理想集 （代数章引理 00LC），并且由于 \(x \not \in \text{Ass}_{X/S}(\mathcal{F})\)，它不含 \(B/\mathfrak m_A B\) 的极大理想。

因此 \(\mathfrak q\) 在 \(B/\mathfrak m_A B\) 中的像不包含于这些素理想中的 任何一个。由素理想回避（代数章引理 00DS）， 可以找到元素 \(g \in \mathfrak q\)，使其在 \(B/\mathfrak m_A B\) 中的像是 \(N/\mathfrak m_A N\) 上的非零因子（这里使用 代数章引理 00LD 对零因子的描述）。由于 \(N = \mathcal{F}_x\) 在 \(A\) 上平坦，引理 0GSG 表明 \[g : N \longrightarrow N\] 是单射。特别地，若 \(K = \text{Frac}(A)\) 是 \(A\) 的分式域，则 \[g : N \otimes_A K \longrightarrow N \otimes_A K\] 是单射。注意，\(\mathfrak q\) 对应于 \(B \otimes_A K\) 的一个素理想。 以 \(\mathcal{F}_t\) 表示 \(\mathcal{F}\) 在泛纤维 \(X_t\) 上的限制。我们有 \((B \otimes_A K)_{\mathfrak q} = \mathcal{O}_{X_t, y}\)，且 \((N \otimes_A K)_\mathfrak q\) 是 \(\mathcal{F}_t\) 在 \(y\) 处的茎。 因此 \(g \in \mathfrak m_y \subset \mathcal{O}_{X_t, y}\) 是茎 \((\mathcal{F}_t)_y\) 上的非零因子，这与假设 \(y \in \text{Ass}_{X/S}(\mathcal{F})\) 矛盾。

引理

设 \(f : X \to S\) 是局部有限型的概形态射。设 \(\mathcal{F}\) 是在 \(S\) 上平坦的有限型拟凝聚 \(\mathcal{O}_X\)-模。假设 \(S\) 不可约，泛点为 \(\eta\)。若 \(\dim(\text{Supp}(\mathcal{F}_\eta)) \leq r\)，则对所有 \(s \in S\) 都有 \(\dim(\text{Supp}(\mathcal{F}_s)) \leq r\)。

证明

设 \(x \in \text{Supp}(\mathcal{F}_s)\) 是 \(\text{Supp}(\mathcal{F}_s)\) 某个不可约分支的泛点。由 代数章引理 080T，可以在 \(\text{Supp}(\mathcal{F})\) 中找到特化 \(y \leadsto x\)，满足 \(f(y) = \eta\)。当然可以假设 \(y\) 是 \(\text{Supp}(\mathcal{F}_\eta)\) 某个不可约分支的泛点。由引理 0GSI，\(\overline{\{x\}}\) 的维数至多为 \(r\)。

引理

设 \(f : X \to S\) 是局部有限型的概形态射，\(\mathcal{F}\) 是有限型拟凝聚 \(\mathcal{O}_X\)-模。设 \(y \in \text{Ass}_{X/S}(\mathcal{F})\)。 以 \(Y \subset X\) 表示 \(\{y\}\) 在 \(X\) 中的闭包，并赋予它整闭子概形结构； 以 \(T \subset S\) 表示 \(\{f(y)\}\) 的闭包，并赋予它整闭子概形结构。 得到交换图 \[\xymatrix{ Y \ar[r] \ar[d] & X \ar[d] \\ T \ar[r] & S }\] ，其中 \(Y \to T\) 是支配态射。假设在 \(Y \to T\) 的各纤维的所有不可约 分支的泛点处，\(\mathcal{F}\) 都在 \(S\) 上平坦（例如，若 \(\mathcal{F}\) 在 \(S\) 上平坦）。则

1. 若 \(s \in S\)，且 \(x \in Y_s\) 是 \(Y_s\) 某个不可约分支的泛点， 则 \(x \in \text{Ass}_{X/S}(\mathcal{F})\)；

2. 存在整数 \(d \geq 0\)，使得 \(Y \to T\) 的相对维数为 \(d\)；见 态射章定义 02NJ。

证明

这立即由逐点版本引理 0GSI 得出。 注意，为计算局部代数概形 \(Y_s\) 的维数，只需考察泛点附近；见 簇章第 06LF 节。

注

下面列出一些情形，在这些情形中，上述材料，尤其是引理 0GSJ，可以用来断定概形态射 \(f : X \to S\) 具有 态射章定义 02NJ 所定义的相对维数 \(d\)。 例如，以下条件足够：

1. \(X\) 是整概形，泛点为 \(\xi\)；

2. \(\kappa(\xi)\) 在 \(\kappa(f(\xi))\) 上的超越次数为 \(d\)；

3. \(f\) 局部有限型；

4. 存在有限型拟凝聚 \(\mathcal{O}_X\)-模 \(\mathcal{F}\)，它在 \(S\) 上平坦，且 \(\text{Supp}(\mathcal{F}) = X\)。

另一组足够的假设如下：

1. \(S\) 不可约，泛点为 \(\eta\)；

2. \(X_\eta\) 在 \(X\) 中稠密；

3. \(X_\eta\) 的每个不可约分支都具有维数 \(d\)；

4. \(f\) 局部有限型；

5. 存在有限型拟凝聚 \(\mathcal{O}_X\)-模 \(\mathcal{F}\)，它在 \(S\) 上平坦，且 \(\text{Supp}(\mathcal{F}) = X\)。

当然，可以放宽 \(\mathcal{F}\) 的平坦性条件，只要求 \(\mathcal{F}\) 在 \(S\) 上余维 \(0\) 处平坦；也就是说，\(\mathcal{F}\) 在每个纤维的每个泛点处都于 \(S\) 上平坦。若以后需要这些结果，我们会在此仔细陈述并证明它们。

再论正规化

正规化与光滑基变换交换。

引理

设 \(f : Y \to X\) 是概形的光滑态射，\(\mathcal{A}\) 是拟凝聚 \(\mathcal{O}_X\)-代数层。\(\mathcal{O}_Y\) 在 \(f^*\mathcal{A}\) 中的整闭包 等于 \(f^*\mathcal{A}'\)，其中 \(\mathcal{A}' \subset \mathcal{A}\) 是 \(\mathcal{O}_X\) 在 \(\mathcal{A}\) 中的整闭包。

证明

这是用概形语言对 代数章引理 03GG 的重述。略去细节。

引理

设 \[\xymatrix{ Y_2 \ar[r] \ar[d]_{f_2} & Y_1 \ar[d]^{f_1} \\ X_2 \ar[r]^\varphi & X_1 }\] 是概形范畴中的纤维方块。假设 \(f_1\) 拟紧且拟分离，并且 \(\varphi\) 光滑。 设 \(Y_i \to X_i' \to X_i\) 是 \(X_i\) 在 \(Y_i\) 中的正规化。则 \(X_2' \cong X_2 \times_{X_1} X_1'\)。

证明

将分解 \(Y_1 \to X_1' \to X_1\) 基变换到 \(X_2\)，得到分解 \(Y_2 \to X_2 \times_{X_1} X_1' \to X_2\)，并且 \(X_2 \times_{X_1} X_1' \to X_2\) 是整态射（态射章引理 01WL）。因此，由 态射章引理 035I 的泛性质，得到态射 \(h : X_2' \to X_2 \times_{X_1} X_1'\)。注意，\(X_2'\) 是 \(\mathcal{O}_{X_2}\) 在 \(f_{2, *}\mathcal{O}_{Y_2}\) 中的整闭包的相对谱。 若 \(\mathcal{A}' \subset f_{1, *}\mathcal{O}_{Y_1}\) 表示 \(\mathcal{O}_{X_1}\) 的整闭包，则 \(X_2 \times_{X_1} X_1'\) 是 \(\varphi^*\mathcal{A}'\) 的相对谱；见 构造章引理 01LX。由 概形上同调章引理 02KH，有 \(f_{2, *}\mathcal{O}_{Y_2} = \varphi^*f_{1, *}\mathcal{O}_{Y_1}\)。 故结论由引理 081K 得出。

引理

设 \(X \to Y\) 是概形的光滑态射。假设 \(Y\) 的每个拟紧开集都只有有限多个 不可约分支。则 \(X\) 也具有此性质，并且在 \(X\) 上存在唯一同构 \(X^\nu = X \times_Y Y^\nu\)，其中 \(X^\nu\)、\(Y^\nu\) 分别是 \(X\)、\(Y\) 的正规化。

证明

由 下降章引理 0BAL，\(X\) 的每个拟紧开集 都只有有限多个不可约分支。注意 \(X_{red} = X \times_Y Y_{red}\)，因为 约化概形上的光滑概形是约化的；见 下降章引理 034E。故可假设 \(X\) 与 \(Y\) 都约化 （按定义，一个概形的正规化等于其约化的正规化）。其次，由 Descent, 引理 034F， \(X' = X \times_Y Y^\nu\) 是正规概形。态射 \(X' \to Y^\nu\) 光滑 （从而平坦），因此 \(X'\) 各不可约分支的泛点位于 \(Y^\nu\) 各不可约 分支的泛点上方。由于 \(Y^\nu \to Y\) 是双有理态射，可知 \(X' \to X\) 也是双有理态射（因为 \(X' \to Y^\nu\) 在 \(Y\) 的泛点上方的 纤维上诱导同构）。于是存在分解 \(X^\nu \to X' \to X\)；见 Morphisms, 引理 035Q。由于 \(X'\) 正规且在 \(X\) 上整，此分解是同构。

引理

设 \(X\) 是局部诺特概形，\(\nu : X^\nu \to X\) 是正规化态射。则对任意点 \(x \in X\)，基变换 \[X^\nu \times_X \Spec(\mathcal{O}_{X, x}^h) \to \Spec(\mathcal{O}_{X, x}^h), \quad\text{分别}\quad X^\nu \times_X \Spec(\mathcal{O}_{X, x}^{sh}) \to \Spec(\mathcal{O}_{X, x}^{sh})\] 分别是 \(\Spec(\mathcal{O}_{X, x}^h)\) 与 \(\Spec(\mathcal{O}_{X, x}^{sh})\) 的正规化。

证明

设 \(\eta_1, \ldots, \eta_r\) 是 \(X\) 中经过 \(x\) 的不可约分支的泛点。 将正规化基变换到 \(\Spec(\mathcal{O}_{X, x})\)，得到 \(\mathcal{O}_{X, x}\) 在 \(\prod \kappa(\eta_i)\) 中的整闭包的谱。 这由 态射章定义 035N 中 \(X\) 的正规化构造以及 态射章引理 035F 得出；也可使用 态射章引理 035P 对正规化的描述。 因此问题化为如下代数问题。设 \(A\) 是诺特局部环；回忆这蕴含其 Hensel 化 \(A^h\) 与严格 Hensel 化 \(A^{sh}\) 也都是诺特的（代数进阶章引理 06LJ）。设 \(\mathfrak p_1, \ldots, \mathfrak p_r\) 是其极小素理想，并设 \(A'\) 是 \(A\) 在 \(\prod \kappa(\mathfrak p_i)\) 中的整闭包。问题是证明： \(A' \otimes_A A^h\) 以及相应的 \(A' \otimes_A A^{sh}\)，分别可由诺特局部环 \(A^h\) 与 \(A^{sh}\) 以同样方式构造。

由于 \(A^h\) 以及相应的 \(A^{sh}\) 都是平展 \(A\)-代数的余极限， \(A\) 与 \(A^{sh}\) 的极小素理想恰好分别是 \(A^h\) 与 \(A^{sh}\) 中位于 \(A\) 的极小素理想上方的素理想（由下降性质；见 代数章引理 00HS 与 0CAN）。因此 More on Algebra, 引理 07QQ 告诉我们， \(A^h \otimes_A \prod \kappa(\mathfrak p_i)\), 分别 \(A^{sh} \otimes_A \prod \kappa(\mathfrak p_i)\) 分别是 \(A^h\) 与 \(A^{sh}\) 的极小素理想处的剩余域之积。已知在一个上环中 取整闭包与平展基变换交换；见 代数章引理 03GE。把 \(A^h\) 与 \(A^{sh}\) 写成平展 \(A\)-代数的极限，可知对到 \(A^h\) 与 \(A^{sh}\) 的基变换也有同样 结论（也可使用更一般的 代数章引理 0CBF）。

正规态射

Deligne 与 Mumford 的文章 [DM] 提到了正规态射的概念。这只是可以用 类似方式定义的一系列态射类型之一³随着需要，我们会逐步用 各自的章节加入这些类型。

定义

设 \(f : X \to Y\) 是概形态射。假设所有纤维 \(X_y\) 都是局部诺特概形。

1. 设 \(x \in X\) 且 \(y = f(x)\)。若 \(f\) 在 \(x\) 处平坦，并且概形 \(X_y\) 在 \(x\) 处于 \(\kappa(y)\) 上几何正规（见 簇章定义 038M），则称 \(f\) 在 \(x\) 处正规。

2. 若 \(f\) 在 \(X\) 的每一点处都正规，则称 \(f\) 是正规态射。

因此，态射 \(X \to Y\) 正规这一条件，比仅仅要求所有纤维都是正规局部诺特 概形更强。

引理

设 \(f : X \to Y\) 是概形态射。假设 \(f\) 的所有纤维都局部诺特。 以下条件等价：

1. \(f\) 正规；

2. \(f\) 平坦，且其纤维都是几何正规概形。

证明

这直接由定义得出。

引理

光滑态射是正规的。

证明

设 \(f : X \to Y\) 是光滑态射。由 态射章引理 01VE，\(f\) 局部有限表示， 故纤维 \(X_y\) 在某个域上局部有限型，从而局部诺特。此外，\(f\) 平坦；见 态射章引理 01VF。最后，纤维 \(X_y\) 在域上光滑（由 态射章引理 01VB），故由 簇章引理 056T 几何正规。因此由引理 0391，\(f\) 正规。

我们要证明，对光滑拓扑而言，这一概念在源与靶上都是局部的。先处理纤维 局部诺特这一性质。

引理

性质 \(\mathcal{P}(f)=\)“\(f\) 的纤维局部诺特”在源与靶的 fppf 拓扑下都是 局部的。

证明

设 \(f : X \to Y\) 是概形态射。设 \(\{\varphi_i : Y_i \to Y\}_{i \in I}\) 是 \(Y\) 的 fppf 覆盖，并以 \(f_i : X_i \to Y_i\) 表示 \(f\) 沿 \(\varphi_i\) 的基变换。设 \(i \in I\)， 且 \(y_i \in Y_i\) 是一点。令 \(y = \varphi_i(y_i)\)。注意 \[X_{i, y_i} = \Spec(\kappa(y_i)) \times_{\Spec(\kappa(y))} X_y.\] 此外，由于 \(\varphi_i\) 有限表示，域扩张 \(\kappa(y_i)/\kappa(y)\) 有限生成。 因此在此情形中，\(X_y\) 局部诺特，当且仅当 \(X_{i, y_i}\) 局部诺特；见 簇章引理 038R。 这就推出在靶上的局部性。

设 \(\{X_i \to X\}\) 是 \(X\) 的 fppf 覆盖，并设 \(y \in Y\)。此时 \(\{X_{i, y} \to X_y\}\) 是该纤维的 fppf 覆盖。因此源上的局部性由 下降章引理 034C 得出。

引理

性质 \(\mathcal{P}(f)=\)“\(f\) 的纤维局部诺特且 \(f\) 正规”在靶的 fppf 拓扑下是局部的，并在源的光滑拓扑下是局部的。

证明

我们有 \(\mathcal{P}(f) = \mathcal{P}_1(f) \wedge \mathcal{P}_2(f) \wedge \mathcal{P}_3(f)\) ，其中 \(\mathcal{P}_1(f)=\)“\(f\) 的纤维局部诺特”， \(\mathcal{P}_2(f)=\)“\(f\) 平坦”，而 \(\mathcal{P}_3(f)=\)“\(f\) 的纤维几何正规”。我们已经知道 \(\mathcal{P}_1\) 与 \(\mathcal{P}_2\) 在源与靶的 fppf 拓扑下都是局部的；见 引理 0392 以及 下降章引理 02L2 与 036K。故只需处理 \(\mathcal{P}_3\)。

设 \(f : X \to Y\) 是概形态射。设 \(\{\varphi_i : Y_i \to Y\}_{i \in I}\) 是 \(Y\) 的 fpqc 覆盖，并以 \(f_i : X_i \to Y_i\) 表示 \(f\) 沿 \(\varphi_i\) 的基变换。设 \(i \in I\)， 且 \(y_i \in Y_i\) 是一点。令 \(y = \varphi_i(y_i)\)。注意 \[X_{i, y_i} = \Spec(\kappa(y_i)) \times_{\Spec(\kappa(y))} X_y.\] 因此在此情形中，\(X_y\) 几何正规，当且仅当 \(X_{i, y_i}\) 几何正规；见 簇章引理 038P。 这表明 \(\mathcal{P}_3\) 在靶的 fpqc 拓扑下是局部的。

设 \(\{X_i \to X\}\) 是 \(X\) 的光滑覆盖，并设 \(y \in Y\)。此时 \(\{X_{i, y} \to X_y\}\) 是该纤维的光滑覆盖。因此 \(\mathcal{P}_3\) 在源的光滑拓扑下的局部性由 下降章引理 034F 得出。综合以上结果即得本引理。

正则态射

与第 038Z 节比较。这一概念的代数版本见 More on Algebra, 第 07BY 节。

定义

设 \(f : X \to Y\) 是概形态射。假设所有纤维 \(X_y\) 都是局部诺特概形。

1. 设 \(x \in X\) 且 \(y = f(x)\)。若 \(f\) 在 \(x\) 处平坦，并且概形 \(X_y\) 在 \(x\) 处于 \(\kappa(y)\) 上几何正则（见 簇章定义 038T），则称 \(f\) 在 \(x\) 处正则。

2. 若 \(f\) 在 \(X\) 的每一点处都正则，则称 \(f\) 是正则态射。

态射 \(X \to Y\) 正则这一条件，比仅仅要求所有纤维都是正则局部诺特概形 更强。

引理

设 \(f : X \to Y\) 是概形态射。假设 \(f\) 的所有纤维都局部诺特。 以下条件等价：

1. \(f\) 正则；

2. \(f\) 平坦，且其纤维都是几何正则概形；

3. 对每一对满足 \(f(U) \subset V\) 的仿射开集 \(U \subset X\)、 \(V \subset Y\)，环映射 \(\mathcal{O}_Y(V) \to \mathcal{O}_X(U)\) 正则；

4. 存在开覆盖 \(Y = \bigcup_{j \in J} V_j\) 以及开覆盖 \(f^{-1}(V_j) = \bigcup_{i \in I_j} U_i\)，使每个态射 \(U_i \to V_j\) 都正则；

5. 存在仿射开覆盖 \(Y = \bigcup_{j \in J} V_j\) 以及仿射开覆盖 \(f^{-1}(V_j) = \bigcup_{i \in I_j} U_i\)，使环映射 \(\mathcal{O}_Y(V_j) \to \mathcal{O}_X(U_i)\) 都正则。

证明

由定义立即得到 (1) 与 (2) 等价。设 \(x \in X\) 且 \(y = f(x)\)。 按定义，\(f\) 在 \(x\) 处平坦，当且仅当 \(\mathcal{O}_{Y, y} \to \mathcal{O}_{X, x}\) 是平坦环映射；而 \(X_y\) 在 \(x\) 处于 \(\kappa(y)\) 上几何正则，当且仅当 \(\mathcal{O}_{X_y, x} = \mathcal{O}_{X, x}/\mathfrak m_y\mathcal{O}_{X, x}\) 是 \(\kappa(y)\) 上的几何正则代数。因此，

\(f\) 在 \(x\) 处是否正则，仅取决于局部环之间的局部同态 \(\mathcal{O}_{Y, y} \to \mathcal{O}_{X, x}\)。故 (1) 与 (4) 显然等价。

回忆 代数进阶章定义 07BZ： 环映射 \(A \to B\) 正则，当且仅当它平坦，并且对所有素理想 \(\mathfrak p \subset A\)，纤维环 \(B \otimes_A \kappa(\mathfrak p)\) 都是诺特且几何正则的。由 簇章引理 038V，这等价于 \(\Spec(B \otimes_A \kappa(\mathfrak p))\) 是 \(\kappa(\mathfrak p)\) 上的 几何正则概形。因此 (2) 推出 (3)，而 (3) 显然推出 (5)。最后假设 (5)。 这推出 \(f\) 平坦（见 态射章引理 01U5）。此外，若 \(y \in Y\)，则对某个 \(j\) 有 \(y \in V_j\)，并且 \(X_y = \bigcup_{i \in I_j} U_{i, y}\)；由 簇章引理 038V，每个 \(U_{i, y}\) 都在 \(\kappa(y)\) 上几何正则。再次应用 簇章引理 038V，可知 \(X_y\) 几何正则。 故 (2) 成立，本引理得证。

引理

光滑态射是正则的。

证明

设 \(f : X \to Y\) 是光滑态射。由 态射章引理 01VE，\(f\) 局部有限表示， 故纤维 \(X_y\) 在某个域上局部有限型，从而局部诺特。此外，\(f\) 平坦；见 态射章引理 01VF。最后，纤维 \(X_y\) 在域上光滑（由 态射章引理 01VB），并因此由

簇章引理 056T 几何正则。于是由引理 07R8，\(f\) 正则。

引理

性质 \(\mathcal{P}(f)=\)“\(f\) 的纤维局部诺特且 \(f\) 正则”在靶的 fppf 拓扑下是局部的，并在源的光滑拓扑下是局部的。

证明

我们有 \(\mathcal{P}(f) = \mathcal{P}_1(f) \wedge \mathcal{P}_2(f) \wedge \mathcal{P}_3(f)\) ，其中 \(\mathcal{P}_1(f)=\)“\(f\) 的纤维局部诺特”， \(\mathcal{P}_2(f)=\)“\(f\) 平坦”，而 \(\mathcal{P}_3(f)=\)“\(f\) 的纤维几何正则”。我们已经知道 \(\mathcal{P}_1\) 与 \(\mathcal{P}_2\) 在源与靶的 fppf 拓扑下都是局部的；见 引理 0392 以及 下降章引理 02L2 与 036K。故只需处理 \(\mathcal{P}_3\)。

设 \(f : X \to Y\) 是概形态射。设 \(\{\varphi_i : Y_i \to Y\}_{i \in I}\) 是 \(Y\) 的 fpqc 覆盖，并以 \(f_i : X_i \to Y_i\) 表示 \(f\) 沿 \(\varphi_i\) 的基变换。设 \(i \in I\)， 且 \(y_i \in Y_i\) 是一点。令 \(y = \varphi_i(y_i)\)。注意 \[X_{i, y_i} = \Spec(\kappa(y_i)) \times_{\Spec(\kappa(y))} X_y.\] 因此在此情形中，\(X_y\) 几何正则，当且仅当 \(X_{i, y_i}\) 几何正则；见 簇章引理 038W。 这表明 \(\mathcal{P}_3\) 在靶的 fpqc 拓扑下是局部的。

设 \(\{X_i \to X\}\) 是 \(X\) 的光滑覆盖，并设 \(y \in Y\)。此时 \(\{X_{i, y} \to X_y\}\) 是该纤维的光滑覆盖。因此 \(\mathcal{P}_3\) 在源的光滑拓扑下的局部性由 下降章引理 036D 得出。综合以上结果即得本引理。

Cohen–Macaulay 态射

与第 038Z 节比较。注意，正如 Algebra, Section 045L 与 Varieties, Section 045O 所指出的，“几何 Cohen–Macaulay”等同于通常的 Cohen–Macaulay。

定义

设 \(f : X \to Y\) 是概形态射。假设所有纤维 \(X_y\) 都是局部诺特概形。

1. 设 \(x \in X\) 且 \(y = f(x)\)。若 \(f\) 在 \(x\) 处平坦，并且概形 \(X_y\) 在 \(x\) 处的局部环是 Cohen–Macaulay 的，则称 \(f\) 在 \(x\) 处Cohen–Macaulay。

2. 若 \(f\) 在 \(X\) 的每一点处都 Cohen–Macaulay，则称 \(f\) 是 Cohen–Macaulay 态射。

下面给出一种等价表述。

引理

设 \(f : X \to Y\) 是概形态射。假设 \(f\) 的所有纤维都局部诺特。 以下条件等价：

1. \(f\) 是 Cohen–Macaulay 态射；

2. \(f\) 平坦，且其纤维都是 Cohen–Macaulay 概形。

证明

这直接由定义得出。

引理

设 \(f : X \to Y\) 是局部诺特概形之间的局部有限型 Cohen–Macaulay 态射。对 \(X\) 中每个在 \(Y\) 中的像为 \(y\) 的点 \(x\)，有 \[\dim_x(X) = \dim_y(Y) + \dim_x(X_y),\] ，其中 \(X_y\) 表示 \(y\) 上方的纤维。

证明

用 \(x\) 的一个开邻域替换 \(X\) 后，存在自然数 \(d\)，使 \(X \to Y\) 的所有纤维在每一点处的维数均为 \(d\)；见 态射章引理 02NM。 于是 \(f\) 平坦、局部有限型，且相对维数为 \(d\)。故结论由 Morphisms, 引理 0AFE 得出。

引理

设 \(f : X \to Y\) 与 \(g : Y \to Z\) 是概形态射。假设 \(f\)、\(g\) 与 \(g \circ f\) 的纤维都局部诺特。设 \(x \in X\) 的像分别为 \(y \in Y\) 与 \(z \in Z\)。

1. 若 \(f\) 在 \(x\) 处 Cohen–Macaulay，且 \(g\) 在 \(f(x)\) 处 Cohen–Macaulay，则 \(g \circ f\) 在 \(x\) 处 Cohen–Macaulay。

2. 若 \(f\) 与 \(g\) 都是 Cohen–Macaulay 态射，则 \(g \circ f\) 也是 Cohen–Macaulay 态射。

3. 若 \(g \circ f\) 在 \(x\) 处 Cohen–Macaulay，且 \(f\) 在 \(x\) 处平坦，则 \(f\) 在 \(x\) 处 Cohen–Macaulay，且 \(g\) 在 \(f(x)\) 处 Cohen–Macaulay。

4. 若 \(g \circ f\) 是 Cohen–Macaulay 态射且 \(f\) 平坦，则 \(f\) 是 Cohen–Macaulay 态射，并且 \(g\) 在 \(f\) 的像中每一点处都 Cohen–Macaulay。

证明

考虑诺特局部环的映射 \[\mathcal{O}_{Y_z, y} \to \mathcal{O}_{X_z, x}\] 并注意到其纤维为 \[\mathcal{O}_{X_z, x}/\mathfrak m_{Y_z, y}\mathcal{O}_{X_z, x} = \mathcal{O}_{X_y, x}\]

因此本引理由 代数章引理 045J 得出。

引理

设 \(f : X \to Y\) 是局部诺特概形之间的平坦态射。若 \(X\) 是 Cohen–Macaulay 概形，则 \(f\) 是 Cohen–Macaulay 态射，并且对所有 \(x \in X\)，\(\mathcal{O}_{Y, f(x)}\) 都是 Cohen–Macaulay 环。

证明

化为代数陈述后，结论由 代数章引理 045J 得出。

引理

设 \(f : X \to Y\) 是概形态射，并假设所有纤维 \(X_y\) 都是局部诺特概形。 设 \(Y' \to Y\) 局部有限型，并设 \(f' : X' \to Y'\) 是 \(f\) 的基变换。 设点 \(x' \in X'\) 的像为 \(x \in X\)。

1. 若 \(f\) 在 \(x\) 处 Cohen–Macaulay，则 \(f' : X' \to Y'\) 在 \(x'\) 处 Cohen–Macaulay。

2. 若 \(f\) 在 \(x\) 处平坦，且 \(f'\) 在 \(x'\) 处 Cohen–Macaulay， 则 \(f\) 在 \(x\) 处 Cohen–Macaulay。

3. 若 \(Y' \to Y\) 在 \(f'(x')\) 处平坦，且 \(f'\) 在 \(x'\) 处 Cohen–Macaulay，则 \(f\) 在 \(x\) 处 Cohen–Macaulay。

证明

注意，关于 \(Y' \to Y\) 的假设蕴含：对映到 \(y \in Y\) 的 \(y' \in Y'\)，域扩张 \(\kappa(y')/\kappa(y)\) 有限生成。因此所有纤维 \(X'_{y'} = (X_y)_{\kappa(y')}\) 也局部诺特；见 簇章引理 038R。故本引理的陈述有意义。 令 \(y' = f'(x')\) 且 \(y = f(x)\)，得到局部环的交换图 \[\xymatrix{ \mathcal{O}_{X', x'} & \mathcal{O}_{X, x} \ar[l] \\ \mathcal{O}_{Y', y'} \ar[u] & \mathcal{O}_{Y, y} \ar[l] \ar[u] }\] ，其中左上角是右上角与左下角在右下角上的张量积的一个局部化。

假设 \(f\) 在 \(x\) 处 Cohen–Macaulay。映射 \(\mathcal{O}_{Y, y} \to \mathcal{O}_{X, x}\) 的平坦性蕴含 \(\mathcal{O}_{Y', y'} \to \mathcal{O}_{X', x'}\) 的平坦性；见 Algebra, 引理 00MQ。环 \(\mathcal{O}_{X, x}/\mathfrak m_y\mathcal{O}_{X, x}\) 是 Cohen–Macaulay 的，蕴含 \(\mathcal{O}_{X', x'}/\mathfrak m_{y'}\mathcal{O}_{X', x'}\) 是 Cohen–Macaulay 的；见 簇章引理 045P。故 \(f'\) 在 \(x'\) 处 Cohen–Macaulay。

假设 \(f\) 在 \(x\) 处平坦，且 \(f'\) 在 \(x'\) 处 Cohen–Macaulay。 \(\mathcal{O}_{X', x'}/\mathfrak m_{y'}\mathcal{O}_{X', x'}\) 是 Cohen–Macaulay 的，蕴含 \(\mathcal{O}_{X, x}/\mathfrak m_y\mathcal{O}_{X, x}\) 是 Cohen–Macaulay 的；见 簇章引理 045P。故 \(f\) 在 \(x\) 处 Cohen–Macaulay。

假设 \(Y' \to Y\) 在 \(y'\) 处平坦，且 \(f'\) 在 \(x'\) 处 Cohen–Macaulay。映射 \(\mathcal{O}_{Y', y'} \to \mathcal{O}_{X', x'}\) 与 \(\mathcal{O}_{Y, y} \to \mathcal{O}_{Y', y'}\) 的平坦性蕴含 \(\mathcal{O}_{Y, y} \to \mathcal{O}_{X, x}\) 的平坦性；见 Algebra, 引理 00MQ。环 \(\mathcal{O}_{X', x'}/\mathfrak m_{y'}\mathcal{O}_{X', x'}\) 是 Cohen–Macaulay 的，蕴含 \(\mathcal{O}_{X, x}/\mathfrak m_y\mathcal{O}_{X, x}\) 是 Cohen–Macaulay 的；见 簇章引理 045P。故 \(f\) 在 \(x\) 处 Cohen–Macaulay。

引理

设 \(f : X \to S\) 是平坦且局部有限表示的概形态射。令 \[W = \{x \in X \mid f\text{ is Cohen-Macaulay at }x\}\] 则

1. \(W = \{x \in X \mid \mathcal{O}_{X_{f(x)}, x}\text{ 为 Cohen--Macaulay}\}\)；

2. \(W\) 在 \(X\) 中是开的；

3. \(W\) 在 \(X \to S\) 的每个纤维中稠密；

4. \(W\) 的形成与 \(f\) 的任意基变换交换：对任意态射 \(g : S' \to S\)，考虑 \(f\) 的基变换 \(f' : X' \to S'\) 以及投影 \(g' : X' \to X\)。则态射 \(f'\) 对应的集合 \(W'\) 等于 \(W' = (g')^{-1}(W)\)。

证明

由于 \(f\) 平坦且具有局部诺特纤维，(1) 中的等式由定义成立。(2) 与 (3) 由 代数章引理 00RI 得出。(4) 可由 代数章引理 00RK 或 簇章引理 045P 得出。

引理

设 \(f : X \to S\) 是平坦且局部有限表示的概形态射。设 \(x \in X\) 的像为 \(s \in S\)，并令 \(d = \dim_x(X_s)\)。以下条件等价：

1. \(f\) 在 \(x\) 处 Cohen–Macaulay；

2. 存在 \(x\) 的开邻域 \(U \subset X\) 以及 \(S\) 上的局部拟有限态射 \(U \to \mathbf{A}^d_S\)，它在 \(x\) 处平坦；

3. 存在 \(x\) 的开邻域 \(U \subset X\) 以及 \(S\) 上的局部拟有限平坦态射 \(U \to \mathbf{A}^d_S\)；

4. 对 \(x\) 的任意开邻域 \(U \subset X\) 及任意 \(S\)-态射 \(g : U \to \mathbf{A}^d_S\)，都有：\(g\) 在 \(x\) 处拟有限 \(\Rightarrow\) \(g\) 在 \(x\) 处平坦。

证明

平坦性的开性说明 (2) 与 (3) 等价；见定理 0399。

选择满足 \(x \in U\) 的仿射开集 \(U = \Spec(A) \subset X\)，以及满足 \(f(U) \subset V\) 的仿射开集 \(V = \Spec(R) \subset S\)。则 \(R \to A\) 是有限表示平坦环映射。设 \(\mathfrak p \subset A\) 是 \(x\) 对应的素理想。 用一个主局部化替换 \(A\) 后，可以假设存在拟有限映射 \(R[x_1, \ldots, x_d] \to A\)；见 代数章引理 00QE。因此至少存在一对 \((U, g)\)，由 \(x\) 的开邻域 \(U \subset X\) 与局部⁴拟有限态射 \(g : U \to \mathbf{A}^d_S\) 组成。

断言：给定有限表示平坦映射 \(R \to A\)、素理想 \(\mathfrak p \subset A\) 以及在 \(\mathfrak p\) 处拟有限的 \(\varphi : R[x_1, \ldots, x_d] \to A\)，则 \(\Spec(\varphi)\) 在 \(\mathfrak p\) 处平坦，当且仅当 \(\Spec(A) \to \Spec(R)\) 在 \(\mathfrak p\) 处 Cohen–Macaulay。事实上，由定理 039C，平坦性可以在纤维上检验。 Cohen–Macaulay 性也如此（因为已经假设 \(A\) 在 \(R\) 上平坦）。 故该断言由 代数章引理 00RE 得出。

该断言说明 (1) 与 (4) 等价；再结合第二段中已经构造出合适的 \((U, g)\) 这一事实，该断言还说明 (1) 与 (2) 等价。

引理

设 \(f : X \to S\) 是平坦且局部有限表示的概形态射。对 \(d \geq 0\)， 存在开集 \(U_d \subset X\)，满足以下性质：

1. \(W = \bigcup_{d \geq 0} U_d\) 在 \(f\) 的每个纤维中稠密；

2. \(U_d \to S\) 的相对维数为 \(d\)（见 态射章定义 02NJ）。

证明

这由引理 045U 与 态射章引理 02NM 结合得出。

引理

设 \(f : X \to S\) 是平坦且局部有限表示的概形态射。假设 \(x' \leadsto x\) 是 \(X\) 中点的特化，其在 \(S\) 中的像为 \(s' \leadsto s\)。若 \(x\) 是 \(X_s\) 某个不可约分支的泛点，则 \(\dim_{x'}(X_{s'}) = \dim_x(X_s)\)。

证明

对某个 \(d\)，点 \(x\) 包含在 \(U_d\) 中，其中 \(U_d\) 如引理 054T 所述。

引理

性质 \(\mathcal{P}(f)=\)“\(f\) 的纤维局部诺特且 \(f\) 是 Cohen–Macaulay 态射”在靶的 fppf 拓扑下是局部的，并在源的 syntomic 拓扑下是局部的。

证明

我们有 \(\mathcal{P}(f) = \mathcal{P}_1(f) \wedge \mathcal{P}_2(f)\) ，其中 \(\mathcal{P}_1(f)=\)“\(f\) 平坦”，而 \(\mathcal{P}_2(f)=\)“\(f\) 的纤维局部诺特且 Cohen–Macaulay”。已知 \(\mathcal{P}_1\) 在源与靶的 fppf 拓扑下都是局部的；见 下降章引理 02L2 与 036K。故只需处理 \(\mathcal{P}_2\)。

设 \(f : X \to Y\) 是概形态射。设 \(\{\varphi_i : Y_i \to Y\}_{i \in I}\) 是 \(Y\) 的 fppf 覆盖，并以 \(f_i : X_i \to Y_i\) 表示 \(f\) 沿 \(\varphi_i\) 的基变换。设 \(i \in I\)， 且 \(y_i \in Y_i\) 是一点。令 \(y = \varphi_i(y_i)\)。注意 \[X_{i, y_i} = \Spec(\kappa(y_i)) \times_{\Spec(\kappa(y))} X_y.\] ，并且 \(\kappa(y_i)/\kappa(y)\) 是有限生成域扩张。因此若 \(X_y\) 局部诺特，则 \(X_{i, y_i}\) 局部诺特；见 簇章引理 038R。若此外 \(X_y\) 是 Cohen–Macaulay 概形，则 \(X_{i, y_i}\) 也是 Cohen–Macaulay 概形； 见 簇章引理 045P。因此 \(\mathcal{P}_2\) 在靶的 fppf 拓扑下是局部的。

设 \(\{X_i \to X\}\) 是 \(X\) 的 syntomic 覆盖，并设 \(y \in Y\)。此时 \(\{X_{i, y} \to X_y\}\) 是该纤维的 syntomic 覆盖。因此 \(\mathcal{P}_2\) 在源的 syntomic 拓扑下的局部性由 下降章引理 036B 得出。综合以上结果即得本引理。

切割 Cohen–Macaulay 态射

本节的结果最终导向如下断言：fppf 拓扑与“有限表示、平坦、拟有限”拓扑 相同。下一个引理与 除子章引理 062Y 密切相关。

引理

设 \(f : X \to S\) 是概形态射。设点 \(x \in X\) 的像为 \(s \in S\)，并设 \(h \in \mathfrak m_x \subset \mathcal{O}_{X, x}\)。假设

1. \(f\) 局部有限表示；

2. \(f\) 在 \(x\) 处平坦；

3. \(h\) 在 \(\mathcal{O}_{X_s, x} = \mathcal{O}_{X, x}/\mathfrak m_s\mathcal{O}_{X, x}\) 中的像 \(\overline{h}\) 是非零因子。

则存在 \(x\) 的仿射开邻域 \(U \subset X\)，使 \(h\) 来自 \(h \in \Gamma(U, \mathcal{O}_U)\)，并且 \(D = V(h)\) 是 \(U\) 中包含 \(x \in D\) 的有效 Cartier 除子，且 \(D \to S\) 平坦并局部有限表示。

证明

我们把问题化到诺特情形来证明。由平坦性的开性（见定理 0399），用 \(x\) 的一个开邻域替换 \(X\) 后， 可以假设 \(X \to S\) 平坦。还可假设 \(X\) 与 \(S\) 仿射。稍微缩小 \(X\) 后， 可以假设存在 \(h \in \Gamma(X, \mathcal{O}_X)\)，它映到给定的 \(h\)。

可写 \(S = \Spec(A)\)，并把 \(A = \colim_i A_i\) 写成有限型 \(\mathbf{Z}\)-代数的定向余极限。于是，由 代数章引理 02JO，或 极限章引理 01ZM、 01ZN 以及

01ZM，可以找到笛卡尔图 \[\xymatrix{ X \ar[r] \ar[d]_f & X_0 \ar[d]^{f_0} \\ S \ar[r] & S_0 }\] 其中 \(f_0\) 平坦且有限表示，\(X_0\) 仿射，而 \(S_0\) 仿射且诺特。令 \(x_0 \in X_0\) 与相应的 \(s_0 \in S_0\) 分别为 \(x\) 与相应的 \(s\) 的像。 还可假设存在元素 \(h_0 \in \Gamma(X_0, \mathcal{O}_{X_0})\)，其在 \(X\) 上的限制为 \(h\)。（若使用上面的代数参考，这是显然的；若使用极限一章 的参考，则把 \(h\) 看作态射 \(X \to \mathbf{A}^1_S\)，结论由 Limits, 引理 01ZM 得出。）注意， \(\mathcal{O}_{X_s, x}\) 是 \(\mathcal{O}_{(X_0)_{s_0}, x_0} \otimes_{\kappa(s_0)} \kappa(s)\) 的一个局部化，故 \(\mathcal{O}_{(X_0)_{s_0}, x_0} \to \mathcal{O}_{X_s, x}\) 是平坦局部 环映射，特别是忠实平坦的。因此像 \(\overline{h}_0 \in \mathcal{O}_{(X_0)_{s_0}, x_0}\) 属于 \(\mathfrak m_{(X_0)_{s_0}, x_0}\)，且是非零因子。我们断言：用 \(x_0\) 的一个主开邻域替换 \(X_0\) 后，元素 \(h_0\) 是 \(B_0 = \Gamma(X_0, \mathcal{O}_{X_0})\) 中的非零因子，并且 \(B_0/h_0B_0\) 在 \(A_0 = \Gamma(S_0, \mathcal{O}_{S_0})\) 上平坦。 若断言成立，则 \[0 \to B_0 \xrightarrow{h_0} B_0 \to B_0/h_0B_0 \to 0\] 是平坦 \(A_0\)-模的短正合列。故与 \(A\) 作张量后仍正合（由 Algebra, 引理 00HL），从而本引理得证。

只剩证明上述断言。相应的代数陈述如下（这里略去下标 \({}_0\)）：设 \(A \to B\) 是诺特环之间的有限型平坦环映射。设素理想 \(\mathfrak q \subset B\) 位于 \(\mathfrak p \subset A\) 上方。假设 \(h \in \mathfrak q\) 在 \(B_{\mathfrak q}/\mathfrak p B_{\mathfrak q}\) 中的像是非零因子。目标是证明：

对某个 \(g \in B\)、\(g \not \in \mathfrak q\)，以 \(B_g\) 替换 \(B\) 后， 元素 \(h\) 成为非零因子，而 \(B/hB\) 在 \(A\) 上平坦。由 代数章引理 00MF，\(h\) 是 \(B_{\mathfrak q}\) 中的非零因子， 且 \(B_{\mathfrak q}/hB_{\mathfrak q}\) 在 \(A\) 上平坦。由平坦性的开性， 见 代数章定理 00RC 或定理 0399，对某个 \(g \in B\)、 \(g \not \in \mathfrak q\)，以 \(B_g\) 替换 \(B\) 后，\(B/hB\) 在 \(A\) 上平坦。 最后，令 \(I = \{b \in B \mid hb = 0\}\) 为 \(h\) 的零化子。由于 \(h\) 是 \(B_{\mathfrak q}\) 中的非零因子，\(IB_{\mathfrak q} = 0\)。又由于 \(B\) 诺特，\(I\) 有限生成。因此存在 \(g \in B\)、\(g \not \in \mathfrak q\)， 使 \(IB_g = 0\)。以 \(B_g\) 替换 \(B\) 后，\(h\) 是非零因子。

引理

设 \(f : X \to S\) 是概形态射。设点 \(x \in X\) 的像为 \(s \in S\)，并设 \(h_1, \ldots, h_r \in \mathcal{O}_{X, x}\)。假设

1. \(f\) 局部有限表示；

2. \(f\) 在 \(x\) 处平坦；

3. \(h_1, \ldots, h_r\) 在 \(\mathcal{O}_{X_s, x} = \mathcal{O}_{X, x}/\mathfrak m_s\mathcal{O}_{X, x}\) 中的像构成正则序列。

则存在 \(x\) 的仿射开邻域 \(U \subset X\)，使 \(h_1, \ldots, h_r\) 来自 \(h_1, \ldots, h_r \in \Gamma(U, \mathcal{O}_U)\)，并且 \(Z = V(h_1, \ldots, h_r) \to U\) 是满足 \(x \in Z\) 的正则浸入，而 \(Z \to S\) 平坦且局部有限表示。此外，对 \(S\) 上的任意概形 \(S'\)， 基变换 \(Z_{S'} \to U_{S'}\) 都是正则浸入。

证明

（我们关于正则序列的约定蕴含：对每个 \(i\)，\(h_i \in \mathfrak m_x\)。） 当 \(r = 1\) 时，结论由引理 056Y 与 Divisors, 引理 056Q 结合得出；后一个引理说明 \(V(h_1)\) 在基变换后仍是有效 Cartier 除子。当 \(r > 1\) 时，对 \(r\) 作直接归纳即可（恰好应用 \(r\) 次 \(r = 1\) 的结果；略去细节）。

另一种证明方法使用 Divisors, Section 063P 的材料。首先，由平坦性的 开性（见定理 0399），用 \(x\) 的一个开邻域替换 \(X\) 后，可以假设 \(X \to S\) 平坦。还可假设 \(X\) 与 \(S\) 仿射。稍微缩小 \(X\) 后，可以假设 \(h_1, \ldots, h_r \in \Gamma(X, \mathcal{O}_X)\)。 令 \(Z = V(h_1, \ldots, h_r)\)。注意，\(X_s\) 是诺特概形（因为它是代数 \(\kappa(s)\)-概形；见 Varieties, Section 06LF），且 \(X_s\) 上的拓扑由 \(X\) 上的拓扑诱导（见 概形章引理 01K1）。故进一步缩小 \(X\) 后，可以假设 \(Z_s \subset X_s\) 是由 \(r\) 个元素 \(h_i|_{X_s}\) 截出的正则浸入；见 除子章引理 063I 及其证明。还显然有 \(r = \dim_x(X_s) - \dim_x(Z_s)\)，因为 \[\begin{align*} \dim_x(X_s) & = \dim(\mathcal{O}_{X_s, x}) + \text{trdeg}_{\kappa(s)}(\kappa(x)), \\ \dim_x(Z_s) & = \dim(\mathcal{O}_{Z_s, x}) + \text{trdeg}_{\kappa(s)}(\kappa(x)), \\ \dim(\mathcal{O}_{X_s, x}) & = \dim(\mathcal{O}_{Z_s, x}) + r \end{align*}\] 前两个等式由 代数章引理 00P1 得出，

而第二个等式由把 代数章引理 00KW 应用 \(r\) 次得出。因此 除子章引理 063W 的 (3) 表明（在 Zariski 意义下 缩小 \(X\) 后）态射 \(Z \to X\) 是正则浸入，可以对它应用 除子章引理 063U （该引理给出平坦性与基变换陈述）。

引理

设 \(f : X \to S\) 是概形态射。设点 \(x \in X\) 的像为 \(s \in S\)。假设

1. \(f\) 局部有限表示；

2. \(f\) 在 \(x\) 处平坦；

3. \(\mathcal{O}_{X_s, x}\) 具有 \(\text{depth} \geq 1\)。

则存在 \(x\) 的仿射开邻域 \(U \subset X\)，以及包含 \(x\) 的有效 Cartier 除子 \(D \subset U\)，使 \(D \to S\) 平坦且有限表示。

证明

选取任意 \(h \in \mathfrak m_x \subset \mathcal{O}_{X, x}\)，使它在 \(\mathcal{O}_{X_s, x}\) 中的像是非零因子，然后应用引理 056Y。

引理

设 \(f : X \to S\) 是概形态射。设点 \(x \in X\) 的像为 \(s \in S\)。假设

1. \(f\) 局部有限表示；

2. \(f\) 在 \(x\) 处 Cohen–Macaulay；

3. \(x\) 是 \(X_s\) 的闭点。

则存在包含 \(x\) 的正则浸入 \(Z \to X\)，使得

1. \(Z \to S\) 平坦且局部有限表示；

2. \(Z \to S\) 局部拟有限；

3. 集合论意义下 \(Z_s = \{x\}\)。

证明

不妨并且确实用 \(s\) 的一个仿射开邻域替换 \(S\)。对仿射 \(S\)，我们将对 \(d = \dim_x(X_s)\) 作归纳来证明本引理。

情形 \(d = 0\)。此时证明可以取 \(Z\) 为 \(x\) 的一个开邻域。（注意，开浸入 是正则浸入。）事实上，若 \(d = 0\)，则 \(X \to S\) 在 \(x\) 处拟有限；见 态射章引理 0397。因此存在仿射开邻域 \(U \subset X\)，使 \(U \to S\) 拟有限；见 态射章引理 01TI。用 \(U\) 替换 \(X\) 后，纤维 \(X_s\) 是有限离散集。

于是进一步用 \(X\) 的一个仿射开邻域替换 \(X\) 后，有 \(f^{-1}(\{s\}) = \{x\}\)（因为 \(X_s\) 上的拓扑由 \(X\) 上的拓扑诱导； 见 概形章引理 01K1）。 这证明了该情形。

下面假设 \(d > 0\)。注意，由于 \(x\) 是其纤维的闭点，扩张 \(\kappa(x)/\kappa(s)\) 有限（由 Hilbert 零点定理；见 态射章引理 01TF）。因此 \[\text{depth}(\mathcal{O}_{X_s, x}) = \dim(\mathcal{O}_{X_s, x}) = d > 0\] ，第一个等式因为 \(\mathcal{O}_{X_s, x}\) 是 Cohen–Macaulay 环而成立， 第二个等式由 态射章引理 02FX 得出。因此可应用引理 056Z 找到图 \[\xymatrix{ D \ar[r] \ar[rrd] & U \ar[r] \ar[rd] & X \ar[d] \\ & & S }\] ，其中 \(x \in D\)。注意，对某个非零因子 \(\overline{h}\)，有 \(\mathcal{O}_{D_s, x} = \mathcal{O}_{X_s, x}/(\overline{h})\)；见 除子章引理 056Q。因此 \(\mathcal{O}_{D_s, x}\) 是 Cohen–Macaulay 环，其维数比 \(\mathcal{O}_{X_s, x}\) 的维数小一；例如见 代数章引理 02JN。于是态射 \(D \to S\) 平坦、局部有限表示， 并在 \(x\) 处 Cohen–Macaulay，且 \(\dim_x(D_s) = \dim_x(X_s) - 1 = d - 1\)。由归纳假设，可以找到具有 (a)、(b)、(c) 性质的正则浸入 \(Z \to D\)。由于 \(Z \to D \to U\) 都是正则浸入，由 除子章引理 067Q，\(Z \to U\) 也是 正则浸入。证明完毕。

引理

设 \(f : X \to S\) 是平坦且局部有限表示的概形态射。设 \(s \in S\) 是 \(f\) 的像中的一点。则存在交换图 \[\xymatrix{ S' \ar[rr] \ar[rd]_g & & X \ar[ld]^f \\ & S }\] ，其中 \(g : S' \to S\) 平坦、局部有限表示、局部拟有限，且 \(s \in g(S')\)。

证明

由假设，纤维 \(X_s\) 非空。因此存在闭点 \(x \in X_s\)，使 \(f\) 在该点处 Cohen–Macaulay；见引理 045U。 应用引理 0570，并令 \(S' = Z\)。

下一个引理说明，fppf 拓扑的层与“拟有限、平坦、有限表示”拓扑的层是 同一回事。

引理

设 \(S\) 是概形。设 \(\mathcal{U} = \{S_i \to S\}_{i \in I}\) 是 \(S\) 的 fppf 覆盖；见 拓扑章定义 021M。则存在加细 \(\mathcal{U}\) （见 位点章定义 00VT）的 fppf 覆盖 \(\mathcal{V} = \{T_j \to S\}_{j \in J}\)，使每个 \(T_j \to S\) 都局部拟有限。

证明

对每个 \(s \in S\)，存在 \(i \in I\)，使 \(s\) 属于 \(S_i \to S\) 的像。 由引理 0571，可以找到态射 \(g_s : T_s \to S\)，使 \(s \in g_s(T_s)\)；该态射平坦、局部有限表示、 局部拟有限，并且 \(g_s\) 经由 \(S_i \to S\) 分解。因此 \(\{T_s \to S\}\) 即为所求加细 \(\mathcal{U}\) 的 \(S\) 的覆盖。

泛纤维

这里给出若干关于泛纤维与邻近纤维之间关系的结果。

引理

设 \(f : X \to Y\) 是有限型概形态射。假设 \(Y\) 不可约，泛点为 \(\eta\)。 若 \(X_\eta = \emptyset\)，则存在非空开集 \(V \subset Y\)，使 \(X_V = V \times_Y X = \emptyset\)。

证明

这立即由更一般的 态射章引理 02NE 得出。

引理

设 \(f : X \to Y\) 是有限型概形态射。假设 \(Y\) 不可约，泛点为 \(\eta\)。 若 \(X_\eta \not = \emptyset\)，则存在非空开集 \(V \subset Y\)，使 \(X_V = V \times_Y X \to V\) 满射。

证明

取仿射开集后，这由 代数章引理 00FH 得出。（当然，这也可由 泛平坦性得出。）

引理

设 \(f : X \to Y\) 是有限型概形态射。假设 \(Y\) 不可约，泛点为 \(\eta\)。 若 \(Z \subset X\) 是闭子集，且 \(Z_\eta\) 在 \(X_\eta\) 中处处不稠密， 则存在非空开集 \(V \subset Y\)，使对所有 \(y \in V\)，\(Z_y\) 在 \(X_y\) 中处处不稠密。

证明

设 \(Y' \subset Y\) 是 \(Y\) 的约化，并令 \(X' = Y' \times_Y X\)、 \(Z' = Y' \times_Y Z\)。由 态射章引理 054M，\(Y' \to Y\) 是泛同胚，故只需对 \(Z' \subset X' \to Y'\) 证明本引理。因此可假设 \(Y\) 是整概形；见 性质章引理 01ON。由 态射章命题 052A，存在非空仿射开集 \(V \subset Y\)，使 \(X_V \to V\) 与 \(Z_V \to V\) 都平坦且有限表示。 我们断言这个 \(V\) 可用。取 \(y \in V\)。若 \(Z_y\) 有非空内部，则 \(Z_y\) 包含 \(X_y\) 某个不可约分支的泛点 \(\xi\)。注意 \(\eta \leadsto f(\xi)\)。由于 \(Z_V \to V\) 平坦，可以选择特化 \(\xi' \leadsto \xi\)，其中 \(\xi' \in Z\) 且 \(f(\xi') = \eta\)；见 态射章引理 03HV。由引理 054U，有 \[\dim_{\xi'}(Z_\eta) = \dim_{\xi}(Z_y) = \dim_{\xi}(X_y) = \dim_{\xi'}(X_\eta).\] 因此，\(Z_\eta\) 中某个经过 \(\xi'\) 的不可约分支具有维数 \(\dim_{\xi'}(X_\eta)\)，这与 \(Z_\eta\) 在 \(X_\eta\) 中处处不稠密的假设 矛盾，结论得证。

引理

设 \(f : X \to Y\) 是有限型概形态射。假设 \(Y\) 不可约，泛点为 \(\eta\)。 设 \(U \subset X\) 是开子概形，且 \(U_\eta\) 在 \(X_\eta\) 中概形论稠密。 则存在非空开集 \(V \subset Y\)，使对所有 \(y \in V\)，\(U_y\) 在 \(X_y\) 中概形论稠密。

证明

设 \(Y' \subset Y\) 是 \(Y\) 的约化，并令 \(X' = Y' \times_Y X\)、 \(U' = Y' \times_Y U\)。由于 \(Y' \to Y\) 在点上诱导双射，而 \(U' \to U\) 与 \(X' \to X\) 在概形论纤维上诱导同构，可以用 \(Y'\) 替换 \(Y\)、用 \(X'\) 替换 \(X\)。因此可假设 \(Y\) 是整概形；见 性质章引理 01ON。还可以用非空仿射开集替换 \(Y\)。换言之，可假设 \(Y = \Spec(A)\)，其中 \(A\) 是分式域为 \(K\) 的整环。

由于 \(f\) 有限型，\(X\) 拟紧。对某些仿射开集 \(X_i\)，写成 \(X = X_1 \cup \ldots \cup X_n\)。由 态射章定义 01RB， \(U_i = X_i \cap U\) 是 \(X_i\) 的开子概形，且 \(U_{i, \eta}\) 在 \(X_{i, \eta}\) 中概形论稠密。因此只需对各对 \((X_i, U_i)\) 证明结论； 换言之，可假设 \(X\) 仿射。

写 \(X = \Spec(B)\)。注意，\(B_K\) 是有限型 \(K\)-代数，故是诺特的。 因此 \(U_\eta\) 拟紧。于是可找到有限多个 \(g_1, \ldots, g_m \in B\)， 使 \(D(g_j) \subset U\)，且 \(U_\eta = D(g_1)_\eta \cup \ldots \cup D(g_m)_\eta\)。\(U_\eta\) 在 \(X_\eta\) 中概形论稠密，意味着 \(B_K \to \bigoplus_j (B_K)_{g_j}\) 是单射；见 态射章例 056C。由 代数章引理 0565，这等价于 \(B_K \to \bigoplus\nolimits_{j = 1, \ldots, m} B_K\)， \(b \mapsto (g_1b, \ldots, g_mb)\) 是单射。令 \(M\) 为此映射在 \(A\) 上的余核；也就是说，有正合列 \[0 \to I \to B \xrightarrow{(g_1, \ldots, g_m)} \bigoplus\nolimits_{j = 1, \ldots, m} B \to M \to 0\] 对某个非零 \(h\)，用 \(A_h\) 替换 \(A\) 后，可以假设 \(B\) 是平坦有限表示 \(A\)-代数，且 \(M\) 在 \(A\) 上平坦；见 代数章引理 051T。\(B\) 在 \(A\) 上平坦，蕴含 \(B\) 作为 \(A\)-模无挠；见 代数进阶章引理 0538。故 \(B \subset B_K\)。 由假设 \(I_K = 0\)，这蕴含 \(I = 0\)（因为 \(I \subset B \subset B_K\) 是 \(I_K\) 的子集）。于是现在有短正合列 \[0 \to B \xrightarrow{(g_1, \ldots, g_m)} \bigoplus\nolimits_{j = 1, \ldots, m} B \to M \to 0\] ，其中 \(M\) 在 \(A\) 上平坦。因此，对每个到域 \(\kappa\) 的同态 \(A \to \kappa\)，得到短正合列 \[0 \to B \otimes_A \kappa \xrightarrow{(g_1 \otimes 1, \ldots, g_m \otimes 1)} \bigoplus\nolimits_{j = 1, \ldots, m} B \otimes_A \kappa \to M \otimes_A \kappa \to 0\] ；见 代数章引理 00HL。反向应用上述论证， 这意味着 \(\bigcup D(g_j \otimes 1)\) 在 \(\Spec(B \otimes_A \kappa)\) 中概形论稠密。由于 \(\bigcup D(g_j \otimes 1) = \bigcup D(g_j)_\kappa \subset U_\kappa\)， 可知 \(U_\kappa\) 在 \(X_\kappa\) 中概形论稠密，这正是所要证明的。

设有概形态射 \(f : X \to Y\) 与点 \(y \in Y\)。回忆纤维 \(X_y\) 同胚于 \(X\) 的子集 \(f^{-1}(\{y\})\)，后者赋予诱导拓扑；见 概形章引理 01K1。设有闭子集 \(T(y) \subset X_y\)。 令 \(T\) 为 \(T(y)\) 在 \(X\) 中的闭包，并赋予 \(T\) 诱导的约化概形结构。 则 \(T\) 是 \(X\) 的闭子概形，并且集合论意义下 \(T_y = T(y)\)。事实上， \(T\) 是具有此性质的 \(X\) 的最小闭子概形。因此，若愿意，把 \(X_y\) 的闭子集记作 \(T_y\) 是“无害的”。在下一个引理中，我们把这一点应用于 \(f\) 的泛纤维。

引理

设 \(f : X \to Y\) 是有限型概形态射。假设 \(Y\) 不可约，泛点为 \(\eta\)。 设 \(X_\eta = Z_{1, \eta} \cup \ldots \cup Z_{n, \eta}\) 是泛纤维的覆盖， 其中各项都是 \(X_\eta\) 的闭子集。令 \(Z_i\) 为 \(Z_{i, \eta}\) 在 \(X\) 中的闭包（见上面的讨论）。则存在非空开集 \(V \subset Y\)，使对所有 \(y \in V\)，都有 \(X_y = Z_{1, y} \cup \ldots \cup Z_{n, y}\)。

证明

若 \(Y\) 诺特，则 \(U = X \setminus (Z_1 \cup \ldots \cup Z_n)\) 在 \(Y\) 上有限型，可以直接应用引理 054W，得到对某个 非空开集 \(V \subset Y\) 有 \(U_V = \emptyset\)。一般情形下论证如下。 由于问题是拓扑性的，可以用其约化替换 \(Y\)。于是 \(Y\) 是整概形； 见 性质章引理 01ON。缩小 \(Y\) 后，可以假设 \(X \to Y\) 平坦；见 态射章命题 052A。此时，由 态射章引理 03HV，\(X_y\) 中每个点 \(x\) 都是某个点 \(x' \in X_\eta\) 的特化。由于各 \(Z_i\) 在 \(X\) 中闭，并覆盖 泛纤维，这蕴含对 \(y \in Y\) 有 \(X_y = \bigcup Z_{i, y}\)，正合所求。

下一个引理说明，源约化的态射具有约化泛纤维。

引理

设 \(f : X \to Y\) 是概形态射。设 \(\eta \in Y\) 是 \(Y\) 某个不可约分支 的泛点。则 \((X_\eta)_{red} = (X_{red})_\eta\).

证明

选择 \(\eta\) 的仿射邻域 \(\Spec(A) \subset Y\)，并选择经态射 \(f\) 映入 \(\Spec(A)\) 的仿射开集 \(\Spec(B) \subset X\)。设 \(\mathfrak p \subset A\) 是 \(\eta\) 对应的极小素理想。设 \(B_{red}\) 为 \(B\) 对幂零根 \(\sqrt{(0)}\) 的商。本引理的代数内容是 \(C = B_{red} \otimes_A \kappa(\mathfrak p)\) 约化。以 \(I \subset A\) 表示幂零根，故 \(A_{red} = A/I\)。令 \(\mathfrak p_{red} = \mathfrak p/I\)；这是 \(A_{red}\) 的极小素理想，且 \(\kappa(\mathfrak p) = \kappa(\mathfrak p_{red})\)。由于 \(A \to B_{red}\) 与 \(A \to \kappa(\mathfrak p)\) 都经由 \(A \to A_{red}\) 分解，有 \(C = B_{red} \otimes_{A_{red}} \kappa(\mathfrak p_{red})\)。由 Algebra, 引理 00EU， \(\kappa(\mathfrak p_{red}) = (A_{red})_{\mathfrak p_{red}}\) 是一个局部化。 故 \(C\) 是 \(B_{red}\) 的一个局部化（代数章引理 00DK），从而约化。

引理

设 \(f : X \to Y\) 是概形态射。假设 \(Y\) 不可约且 \(f\) 有限型。 存在图 \[\xymatrix{ X' \ar[d]_{f'} \ar[r]_{g'} & X_V \ar[r] \ar[d] & X \ar[d]^f \\ Y' \ar[r]^g & V \ar[r] & Y }\] ，其中

1. \(V\) 是 \(Y\) 的非空开集；

2. \(X_V = V \times_Y X\)；

3. \(g : Y' \to V\) 是有限泛同胚；

4. \(X' = (Y' \times_Y X)_{red} = (Y' \times_V X_V)_{red}\)；

5. \(g'\) 是有限泛同胚；

6. \(Y'\) 是整仿射概形；

7. \(f'\) 平坦且有限表示；

8. \(f'\) 的泛纤维几何约化。

证明

设 \(V = \Spec(A)\) 是 \(Y\) 的非空仿射开集。由假设，\(A\) 的幂零根 \(\mathfrak p = \sqrt{(0)}\) 是素理想。令 \(K = \kappa(\mathfrak p)\)。 令 \(p\) 在 \(K\) 的特征为正时等于其特征，在特征为零时等于 \(1\)。 由 簇章引理 04KT，存在有限纯不可分 域扩张 \(K'/K\)，使 \((X_{K'})_{red}\) 在 \(K'\) 上几何约化。选择元素 \(x_1, \ldots, x_n \in K'\)，使它们在 \(K\) 上生成 \(K'\)，并且每个 \(x_i\) 的某个 \(p\) 次幂属于 \(A/\mathfrak p\)。令 \(A' \subset K'\) 为由 \(x_1, \ldots, x_n\) 生成的 \(K'\) 的有限 \(A\)-子代数。注意，\(A'\) 是分式域为 \(K'\) 的整环。由 代数章引理 0BRA， \(A \to A'\) 在谱上诱导泛同胚。令 \(Y' = \Spec(A')\)，并令 \(X' = (Y' \times_Y X)_{red}\)。由引理 054Z，\(X' \to Y'\) 的泛纤维为 \((X_{K'})_{red}\)，按构造它几何约化。注意，\(X' \to X_V\) 是有限泛同胚， 因为它是约化态射 \(X' \to Y' \times_Y X\)（见 态射章引理 054M）与 \(g\) 的基变换的 复合。此时除可能的 (7) 外，本引理所有性质都成立。缩小 \(Y'\)，从而缩小 \(V\)，即可得到 (7)；见 态射章命题 052A。

引理

设 \(f : X \to Y\) 是概形态射。假设 \(Y\) 不可约且 \(f\) 有限型。 存在图 \[\xymatrix{ X' \ar[d]_{f'} \ar[r]_{g'} & X_V \ar[r] \ar[d] & X \ar[d]^f \\ Y' \ar[r]^g & V \ar[r] & Y }\] ，其中

1. \(V\) 是 \(Y\) 的非空开集；

2. \(X_V = V \times_Y X\)；

3. \(g : Y' \to V\) 是满有限平展态射；

4. \(X' = Y' \times_Y X = Y' \times_V X_V\)；

5. \(g'\) 是满有限平展态射；

6. \(Y'\) 是不可约仿射概形；

7. \(f'\) 的泛纤维的所有不可约分支都几何不可约。

证明

设 \(V = \Spec(A)\) 是 \(Y\) 的非空仿射开集。由假设，\(A\) 的幂零根 \(\mathfrak p = \sqrt{(0)}\) 是素理想。令 \(K = \kappa(\mathfrak p)\)。 由 簇章引理 054R， 存在有限可分域扩张 \(K'/K\)，使 \(X_{K'}\) 的所有不可约分支都在 \(K'\) 上几何不可约。选择在 \(K\) 上生成 \(K'\) 的元素 \(\alpha \in K'\)；见 域章引理 030N。设 \(P(T) \in K[T]\) 是 \(\alpha\) 在 \(K\) 上的极小多项式。对某个 \(f \in A\)、\(f \not \in \mathfrak p\)，用 \(f \alpha\) 替换 \(\alpha\) 后， 可以假设存在首一多项式 \(T^d + a_1T^{d - 1} + \ldots + a_d \in A[T]\)，它在映射 \(A[T] \to K[T]\) 下映到 \(P(T) \in K[T]\)。

令 \(A' = A[T]/(P)\)。则 \(A \to A'\) 是有限自由环映射，并存在唯一的 位于 \(\mathfrak p\) 上方的素理想 \(\mathfrak q\)，使 \(K = \kappa(\mathfrak p) \subset \kappa(\mathfrak q) = K'\) 有限可分， 且 \(\mathfrak pA'_{\mathfrak q}\) 是 \(A'_{\mathfrak q}\) 的极大理想。 因此 \(g : Y' = \Spec(A') \to V = \Spec(A)\) 在 \(\mathfrak q\) 处平展； 见 代数章引理 00U6。这意味着存在开集 \(W \subset \Spec(A')\)，使 \(g|_W : W \to \Spec(A)\) 平展。由于 \(g\) 有限， 且 \(\mathfrak q\) 是位于 \(\mathfrak p\) 上方的唯一点， \(Z = g(Y' \setminus W)\) 是 \(V\) 的不含 \(\mathfrak p\) 的闭子集。 因此，用不与 \(Z\) 相交的 \(V\) 的一个主仿射开集替换 \(V\) 后，\(g\) 成为有限平展态射。

相对伴随点

引理

设 \(f : X \to S\) 是概形态射，\(\mathcal{F}\) 是拟凝聚 \(\mathcal{O}_X\)-模。设 \(\xi \in \text{Ass}_{X/S}(\mathcal{F})\)，并令 \(Z = \overline{\{\xi\}} \subset X\)。若 \(f\) 局部有限型，且 \(\mathcal{F}\) 是有限型 \(\mathcal{O}_X\)-模，则存在非空开集 \(V \subset Z\)，使对每个 \(s \in f(V)\)，\(V_s\) 的泛点都属于 \(\text{Ass}_{X/S}(\mathcal{F})\)。

证明

可以用 \(f(\xi)\) 的一个仿射开邻域替换 \(S\)，并用 \(\xi\) 的一个仿射开 邻域替换 \(X\)。故可假设 \(S = \Spec(A)\)、\(X = \Spec(B)\)，而 \(f\) 由 有限型环映射 \(A \to B\) 给出；见 态射章引理 01T2。此外，对某个有限 \(B\)-模 \(M\)，可写 \(\mathcal{F} = \widetilde{M}\)；见 性质章引理 01PB。设 \(\mathfrak q \subset B\) 是 \(\xi\) 对应的素理想，并设 \(\mathfrak p \subset A\) 是 \(A\) 中相应的 素理想。由假设， \(\mathfrak q \in \text{Ass}_B(M \otimes_A \kappa(\mathfrak p))\)；见 代数章说明 05E0 与 除子章引理 02OK。在此记号下， \(Z = V(\mathfrak q) \subset \Spec(B)\)。特别地， \(f(Z) \subset V(\mathfrak p)\)。因此，显然只需在分别用 \(A/\mathfrak pA\)、\(B/\mathfrak pB\) 与 \(M/\mathfrak pM\) 替换 \(A\)、\(B\) 与 \(M\) 后证明本引理。换言之，可假设 \(A\) 是分式域为 \(K\) 的整环，且 \(\mathfrak q \subset B\) 是 \(M \otimes_A K\) 的伴随素理想。

此时可以使用泛平坦性。确切地说，由 代数章引理 051T，存在非零 \(g \in A\)，使 \(M_g\) 作为 \(A_g\)-模平坦。用 \(A_g\) 替换 \(A\) 后，可以假设 \(M\) 作为 \(A\)-模 平坦。

此时，由 代数章引理 05C1， \(\mathfrak q\) 也是 \(M\) 的伴随素理想。因此得到单射 \(B\)-模映射 \(B/\mathfrak q \to M\)。令 \(Q\) 为其余核，得到有限 \(B\)-模的短正合列 \[0 \to B/\mathfrak q \to M \to Q \to 0\] 。再次应用泛平坦性 代数章引理 051T，这次应用于 \(B\)-模 \(Q\)，可以假设 \(Q\) 是平坦 \(A\)-模。特别地，可以假设上述短正合列泛单射；见 Algebra, 引理 00HL。在此情形下，对 \(A\) 的任意素理想 \(\mathfrak p'\)，有 \((B/\mathfrak q) \otimes_A \kappa(\mathfrak p') \subset M \otimes_A \kappa(\mathfrak p')\) 。本引理随即得出，因为由 除子章引理 05AH， \((B/\mathfrak q) \otimes_A \kappa(\mathfrak p')\) 的支集的极小素理想 \(\mathfrak q'\) 是 \((B/\mathfrak q) \otimes_A \kappa(\mathfrak p')\) 的伴随素理想。

引理

设 \(f : X \to Y\) 是概形态射，\(\mathcal{F}\) 是拟凝聚 \(\mathcal{O}_X\)-模，\(U \subset X\) 是开子概形。假设

1. \(f\) 有限型；

2. \(\mathcal{F}\) 有限型；

3. \(Y\) 不可约，泛点为 \(\eta\)；

4. \(\text{Ass}_{X_\eta}(\mathcal{F}_\eta)\) 不包含于 \(U_\eta\)。

则存在非空开子概形 \(V \subset Y\)，使对所有 \(y \in V\)，集合 \(\text{Ass}_{X_y}(\mathcal{F}_y)\) 不包含于 \(U_y\)。

证明

设 \(Z \subset X\) 是 \(\mathcal{F}\) 的概形论支集；见 态射章定义 05JV。则 \(Z_\eta\) 是 \(\mathcal{F}_\eta\) 的概形论支集（态射章引理 07T9）。因此，由 除子章引理 05AH，\(Z_\eta\) 各不可约分支的泛点 包含于 \(\text{Ass}_{X_\eta}(\mathcal{F}_\eta)\)。

由此可见 \(Z_\eta \cap U_\eta = \emptyset\)。因此 \(T = Z \setminus U\) 是 \(Z\) 的闭子集，且 \(T_\eta = \emptyset\)。若赋予 \(T\) 诱导的约化概形结构，则 \(T \to Y\) 是有限型态射。由引理 054W，存在非空开集 \(V \subset Y\)，使 \(T_V = \emptyset\)。这个 \(V\) 即为所求。

引理

设 \(f : X \to Y\) 是概形态射，\(\mathcal{F}\) 是拟凝聚 \(\mathcal{O}_X\)-模，\(U \subset X\) 是开子概形。假设

1. \(f\) 有限型；

2. \(\mathcal{F}\) 有限型；

3. \(Y\) 不可约，泛点为 \(\eta\)；

4. \(\text{Ass}_{X_\eta}(\mathcal{F}_\eta) \subset U_\eta\)。

则存在非空开子概形 \(V \subset Y\)，使对所有 \(y \in V\)，都有 \(\text{Ass}_{X_y}(\mathcal{F}_y) \subset U_y\)。

证明

（这个证明与引理 0573 的证明相同。我们建议读者先阅读那个证明。）由于陈述只涉及纤维，显然 可以用其约化替换 \(Y\)。因此可假设 \(Y\) 是整概形；见 Properties, 引理 01ON。还可假设 \(Y = \Spec(A)\) 仿射。于是 \(A\) 是分式域为 \(K\) 的整环。

由于 \(f\) 有限型，\(X\) 拟紧。对某些仿射开集 \(X_i\)，写成 \(X = X_1 \cup \ldots \cup X_n\)，并令 \(\mathcal{F}_i = \mathcal{F}|_{X_i}\)。由假设， \(U_i = X_i \cap U\) 的泛纤维包含 \(\text{Ass}_{X_{i, \eta}}(\mathcal{F}_{i, \eta})\)。因此只需对各三元组 \((X_i, \mathcal{F}_i, U_i)\) 证明结果；换言之，可假设 \(X\) 仿射。

写 \(X = \Spec(B)\)。设 \(N\) 是满足 \(\mathcal{F} = \widetilde{N}\) 的有限 \(B\)-模。注意，\(B_K\) 是有限型 \(K\)-代数，故诺特。因此 \(U_\eta\) 拟紧。 于是可找到有限多个 \(g_1, \ldots, g_m \in B\)，使 \(D(g_j) \subset U\)， 且 \(U_\eta = D(g_1)_\eta \cup \ldots \cup D(g_m)_\eta\)。由于 \(\text{Ass}_{X_\eta}(\mathcal{F}_\eta) \subset U_\eta\)，映射 \(N_K \to \bigoplus_j (N_K)_{g_j}\) 是单射。由 代数章引理 0565，这等价于 \(N_K \to \bigoplus\nolimits_{j = 1, \ldots, m} N_K\)， \(n \mapsto (g_1n, \ldots, g_mn)\) 是单射。令 \(I\) 与 \(M\) 分别为此映射 在 \(A\) 上的核与余核；也就是说，有正合列 \[0 \to I \to N \xrightarrow{(g_1, \ldots, g_m)} \bigoplus\nolimits_{j = 1, \ldots, m} N \to M \to 0\] 对某个非零 \(h\)，用 \(A_h\) 替换 \(A\) 后，可以假设 \(B\) 是平坦有限表示 \(A\)-代数，并且 \(M\) 与 \(N\) 都在 \(A\) 上平坦；见 代数章引理 051T。\(N\) 在 \(A\) 上平坦，蕴含 \(N\) 作为 \(A\)-模无挠；见 代数进阶章引理 0538。故 \(N \subset N_K\)。 按构造 \(I_K = 0\)，这蕴含 \(I = 0\)（因为 \(I \subset N \subset N_K\) 是 \(I_K\) 的子集）。于是现在有短正合列 \[0 \to N \xrightarrow{(g_1, \ldots, g_m)} \bigoplus\nolimits_{j = 1, \ldots, m} N \to M \to 0\] ，其中 \(M\) 在 \(A\) 上平坦。因此，对每个到域 \(\kappa\) 的同态 \(A \to \kappa\)，得到短正合列 \[0 \to N \otimes_A \kappa \xrightarrow{(g_1 \otimes 1, \ldots, g_m \otimes 1)} \bigoplus\nolimits_{j = 1, \ldots, m} N \otimes_A \kappa \to M \otimes_A \kappa \to 0\] ；见 代数章引理 00HL。反向应用上述论证， 这意味着 \(\bigcup D(g_j \otimes 1)\) 包含 \(\text{Ass}_{B \otimes_A \kappa}(N \otimes_A \kappa)\)。由于 \(\bigcup D(g_j \otimes 1) = \bigcup D(g_j)_\kappa \subset U_\kappa\)， 可知 \(U_\kappa\) 包含 \(\text{Ass}_{X \otimes \kappa}(\mathcal{F} \otimes \kappa)\)， 这正是所要证明的。

引理

设 \(f : X \to S\) 是局部有限型态射，\(\mathcal{F}\) 是有限型拟凝聚 \(\mathcal{O}_X\)-模，而 \(U \subset X\) 是开子概形。设 \(g : S' \to S\) 是概形态射，设 \(f' : X' = X_{S'} \to S'\) 是 \(f\) 的基变换，设 \(g' : X' \to X\) 是投影，并令 \(\mathcal{F}' = (g')^*\mathcal{F}\)、 \(U' = (g')^{-1}(U)\)。最后，设 \(s' \in S'\) 的像为 \(s = g(s')\)。 此时 \[\text{Ass}_{X_s}(\mathcal{F}_s) \subset U_s \Leftrightarrow \text{Ass}_{X'_{s'}}(\mathcal{F}'_{s'}) \subset U'_{s'}.\]

证明

这立即由 除子章引理 05DC 得出。另见 Divisors, 说明 05KL。

引理

设 \(f : X \to Y\) 是有限表示态射，\(\mathcal{F}\) 是有限表示拟凝聚 \(\mathcal{O}_X\)-模。设 \(U \subset X\) 是开子概形，且 \(U \to Y\) 拟紧。 则集合 \[E = \{y \in Y \mid \text{Ass}_{X_y}(\mathcal{F}_y) \subset U_y\}\] 在 \(Y\) 中局部可构造。

证明

设 \(y \in Y\)。须证明存在 \(y\) 在 \(Y\) 中的开邻域 \(V\)，使 \(E \cap V\) 在 \(V\) 中可构造。因此可假设 \(Y\) 仿射。写 \(Y = \Spec(A)\)，并把 \(A = \colim A_i\) 写成有限型 \(\mathbf{Z}\)-代数的定向极限。由 极限章引理 01ZM，可以找到 \(i\) 以及有限表示态射 \(f_i : X_i \to \Spec(A_i)\)，其到 \(Y\) 的基变换恢复 \(f\)。必要时增大 \(i\)， 可以假设存在有限表示拟凝聚 \(\mathcal{O}_{X_i}\)-模 \(\mathcal{F}_i\)， 其到 \(X\) 的拉回同构于 \(\mathcal{F}\)；见 极限章引理 01ZR。必要时再增大一次 \(i\)， 可以假设存在开子概形 \(U_i \subset X_i\)，其在 \(X\) 中的逆像为 \(U\)； 见 极限章引理 01Z4。由引理 05KQ，只需对 \(f_i\) 证明本引理。因此问题 化到 \(Y\) 是诺特环的谱的情形。

在 \(Y\) 为诺特概形时，我们用 拓扑章引理 053Z 的判别法证明 \(E\) 可构造。为此，设 \(Z \subset Y\) 是不可约闭子概形。须证明 \(E \cap Z\) 要么包含非空开子集，要么在 \(Z\) 中不稠密。把引理 05KN 与 05KP 应用于 \(Z\) 上的基变换 \((X, \mathcal{F}, U) \times_Y Z\)，即得结论。

约化纤维

引理

设 \(f : X \to Y\) 是概形态射。假设 \(Y\) 不可约，泛点为 \(\eta\)，且 \(f\) 有限型。若 \(X_\eta\) 非约化，则存在非空开集 \(V \subset Y\)， 使对所有 \(y \in V\)，纤维 \(X_y\) 都非约化。

证明

设 \(Y' \subset Y\) 是 \(Y\) 的约化，并设 \(X' \to Y'\) 是 \(f\) 的基变换。 注意，\(Y' \to Y\) 在点上诱导双射，而 \(X' \to X\) 识别各纤维。

故可假设 \(Y'\) 约化，也就是整；见 性质章引理 01ON。还可用仿射开集替换 \(Y\)， 故可假设 \(Y = \Spec(A)\)，其中 \(A\) 是整环。以 \(K\) 表示 \(A\) 的分式域。 选择仿射开集 \(\Spec(B) = U \subset X\) 以及非零幂零截面 \(h_\eta \in \Gamma(U_\eta, \mathcal{O}_{U_\eta}) = B_K\)。缩小 \(Y\) 后， 可以假设 \(h\) 来自 \(h \in \Gamma(U, \mathcal{O}_U) = B\)。再稍微缩小 \(Y\) 后，可以假设 \(h\) 幂零。令 \(I = \{b \in B \mid hb = 0\}\) 为 \(h\) 的零化子。则 \(C = B/I\) 是有限型 \(A\)-代数，其泛纤维 \((B/I)_K\) 非零（因为 \(h_\eta \not = 0\)）。 把泛平坦性应用于 \(A \to C\) 与 \(A \to B/hB\)；见 代数章引理 051T。得到 \(g \in A\)、\(g \not = 0\)，使 \(C_g\) 作为 \(A_g\)-模自由，而 \((B/hB)_g\) 作为 \(A_g\)-模平坦。用 \(D(g) \subset Y\) 替换 \(Y\)。现在有短正合列 \[0 \to C \to B \to B/hB \to 0.\] ，其中 \(B/hB\) 在 \(A\) 上平坦，而 \(C\) 是非零自由 \(A\)-模。由此可知， 对到域的任意同态 \(A \to \kappa\)，环 \(C \otimes_A \kappa\) 非零，且序列 \[0 \to C \otimes_A \kappa \to B \otimes_A \kappa \to B/hB \otimes_A \kappa \to 0\] 正合；见 代数章引理 00HL。注意，由张量积的 右正合性， \(B/hB \otimes_A \kappa = (B \otimes_A \kappa) / h(B \otimes_A \kappa)\)。 因此乘以 \(h\) 在 \(B \otimes_A \kappa\) 上不是零映射。这显然意味着， 对任意点 \(y \in Y\)，元素 \(h\) 在 \(U_y\) 上限制为非零元素，故 \(X_y\) 非约化。

引理

设 \(f : X \to Y\) 是概形态射。设 \(g : Y' \to Y\) 是任意态射，并以 \(f' : X' \to Y'\) 表示 \(f\) 的基变换。则 \[\begin{align*} \{y' \in Y' \mid X'_{y'}\text{ is geometrically reduced}\} \\ = g^{-1}(\{y \in Y \mid X_y\text{ is geometrically reduced}\}). \end{align*}\]

证明

这归结为如下陈述：若 \(y' \in Y'\) 的像为 \(y \in Y\)，则纤维 \(X'_{y'} = X_y \times_y y'\) 在 \(\kappa(y')\) 上几何约化，当且仅当 \(X_y\) 在 \(\kappa(y)\) 上几何约化。这由 簇章引理 0384 得出。

引理

设 \(f : X \to Y\) 是概形态射。假设 \(Y\) 不可约，泛点为 \(\eta\)，且 \(f\) 有限型。若 \(X_\eta\) 非几何约化，则存在非空开集 \(V \subset Y\)， 使对所有 \(y \in V\)，纤维 \(X_y\) 都非几何约化。

证明

应用引理 0550，得到 \[\xymatrix{ X' \ar[d]_{f'} \ar[r]_{g'} & X_V \ar[r] \ar[d] & X \ar[d]^f \\ Y' \ar[r]^g & V \ar[r] & Y }\] 并具有该引理中列出的全部性质。设 \(\eta'\) 是 \(Y'\) 的泛点。考虑态射 \(X' \to X_{Y'}\)（即约化态射）以及由此得到的泛纤维态射 \(X'_{\eta'} \to X_{\eta'}\)。由于 \(X'_{\eta'}\) 几何约化，而 \(X_\eta\) 不是几何约化，此态射不可能是同构；见 簇章引理 0384。故 \(X_{\eta'}\) 非约化。 因此由引理 0575，对某个非空开集 \(V' \subset Y'\) 的所有点 \(y' \in V'\)，\(X_{Y'} \to Y'\) 的纤维都非约化。 由于 \(g : Y' \to V\) 是同胚，引理 0576 说明 \(g(V')\) 就是所求开集。

引理

设 \(f : X \to Y\) 是概形态射。假设

1. \(Y\) 不可约，泛点为 \(\eta\)；

2. \(X_\eta\) 几何约化；

3. \(f\) 有限型。

则存在非空开子概形 \(V \subset Y\)，使 \(X_V \to V\) 具有几何约化纤维。

证明

设 \(Y' \subset Y\) 是 \(Y\) 的约化，并设 \(X' \to Y'\) 是 \(f\) 的基变换。 注意，\(Y' \to Y\) 在点上诱导双射，而 \(X' \to X\) 识别各纤维。

故可假设 \(Y'\) 约化，也就是整；见 性质章引理 01ON。还可用仿射开集替换 \(Y\)， 故可假设 \(Y = \Spec(A)\)，其中 \(A\) 是整环。以 \(K\) 表示 \(A\) 的分式域。 稍微缩小 \(Y\) 后，还可假设 \(X \to Y\) 平坦且有限表示；见 Morphisms, 命题 052A。

由于 \(X_\eta\) 几何约化，存在开稠密子集 \(V \subset X_\eta\)，使 \(V \to \Spec(K)\) 光滑；见 簇章引理 056V。令 \(U \subset X\) 为 \(f\) 光滑的点所成的集合。由 态射章引理 02V4，有 \(V \subset U_\eta\)。因此 \(U\) 的泛纤维在 \(X\) 的泛纤维中稠密。由于 \(X_\eta\) 约化，\(U_\eta\) 在 \(X_\eta\) 中概形论稠密；见 Morphisms, 引理 056D。注意，由于 \(U \to Y\) 光滑，\(U \to Y\) 的所有纤维都几何约化。因此只需证明：缩小 \(Y\) 后，对所有 \(y \in Y\)，概形 \(U_y\) 在 \(X_y\) 中概形论稠密；见 态射章引理 056E。 这由引理 0573 得出。

引理

设 \(f : X \to Y\) 是拟紧且局部有限表示的态射。则集合 \[E = \{y \in Y \mid X_y\text{ is geometrically reduced}\}\] 在 \(Y\) 中局部可构造。

证明

设 \(y \in Y\)。须证明存在 \(y\) 在 \(Y\) 中的开邻域 \(V\)，使 \(E \cap V\) 在 \(V\) 中可构造。因此可假设 \(Y\) 仿射。于是 \(X\) 拟紧。 选择有限仿射开覆盖 \(X = U_1 \cup \ldots \cup U_n\)。各 \(U_i \to Y\) 在 \(y\) 处的纤维构成 \(X \to Y\) 在 \(y\) 处纤维的仿射开覆盖。因此还可 假设 \(X\) 仿射。写 \(Y = \Spec(A)\)，并把 \(A = \colim A_i\) 写成有限型 \(\mathbf{Z}\)-代数的定向极限。由 极限章引理 01ZM，可以找到 \(i\) 与有限表示态射 \(f_i : X_i \to \Spec(A_i)\)，其到 \(Y\) 的基变换恢复 \(f\)。由引理 0576，只需对 \(f_i\) 证明本引理。因此问题化到 \(Y\) 是诺特环的谱的情形。

在 \(Y\) 为诺特概形时，我们用 拓扑章引理 053Z 的判别法证明 \(E\) 可构造。为此，设 \(Z \subset Y\) 是泛点为 \(\xi\) 的不可约闭子概形。 须证明 \(E \cap Z\) 要么包含非空开子集，要么在 \(Z\) 中不稠密。 若 \(X_\xi\) 几何约化，则把引理 0578 应用于态射 \(X_Z \to Z\)，可知对某个非空开集 \(V \subset Z\)，所有纤维 \(X_y\) 都几何约化。若 \(X_\xi\) 非几何约化，则把引理 0577 应用于态射 \(X_Z \to Z\)，可知对某个非空开集 \(V \subset Z\)，所有纤维 \(X_y\) 都非几何约化。结论得证。

引理

设 \(f : X \to \Spec(R)\) 是固有态射，其中 \(R\) 是离散赋值环。假设 \(X\) 的每个不可约分支都支配 \(\Spec(R)\)（例如，当 \(f\) 平坦时）， 并假设特殊纤维约化。则 \(X\) 与泛纤维 \(X_\eta\) 都约化。

证明

（平坦态射满足关于不可约分支的假设，例如可由 除子章引理 05DB 或平坦环映射的下降性质得出。）假设特殊纤维 \(X_s\) 约化。设 \(x \in X\) 是任意点。我们证明 \(\mathcal{O}_{X, x}\) 约化；这将证明 \(X\) 与 \(X_\eta\) 约化。选择特化 \(x \leadsto x'\)，其中 \(x'\) 位于特殊纤维中；由于固有态射是闭的，这样的特化存在。考虑局部环 \(A = \mathcal{O}_{X, x'}\)。由于 \(\mathcal{O}_{X, x}\) 是 \(A\) 的局部化， 只需证明 \(A\) 约化。设 \(\pi \in R\) 是一个素元。若 \(a \in A\) 非零， 则存在 \(n \geq 0\) 与元素 \(a' \in A\)，使 \(a = \pi^n a'\) 且 \(a' \not \in \pi A\)。这由 Krull 交定理（代数章引理 00IP）得出。

若 \(a\) 幂零，则 \(a\) 属于 \(A\) 的所有极小素理想；而 \(a'\) 也如此， 因为由关于 \(X\) 的不可约分支的假设，\(\pi\) 不属于 \(A\) 的任何极小素理想。 故 \(a'\) 幂零。但 \(a'\) 在约化环 \(A/\pi A = \mathcal{O}_{X_s, x'}\) 中的像非零。这产生矛盾，除非 \(A\) 约化，而这正是所要证明的。

引理

设 \(f : X \to Y\) 是有限表示平坦固有态射。则集合\(\{y \in Y \mid X_y\text{ is geometrically reduced}\}\) 在 \(Y\) 中是开的。

证明

可假设 \(Y\) 仿射。于是 \(Y\) 是有限型仿射 \(\mathbf{Z}\)-概形的余滤过极限。 故可假设 \(X \to Y\) 是 \(X_0 \to Y_0\) 的基变换，其中 \(Y_0\) 是有限型 \(\mathbf{Z}\)-代数的谱，而 \(X_0 \to Y_0\) 平坦且固有。见 极限章引理 01ZM、 04AI 与 081F。由于纤维几何约化的点集的形成与 基变换交换（引理 0576）， 可以假设基底诺特。

假设 \(Y\) 诺特。由引理 0579，该集合可构造。因此只需 证明它在一般化下稳定（拓扑章引理 0542）。由 性质章引理 054F，问题化到如下 情形：\(Y = \Spec(R)\)，\(R\) 是离散赋值环，且闭纤维 \(X_y\) 几何约化。 须证泛纤维 \(X_\eta\) 几何约化。

若不然，则存在 \(R\) 的分式域的有限扩张 \(L\)，使 \(X_L\) 非约化；见 簇章引理 035X。存在支配 \(R\) 的离散赋值环 \(R' \subset L\)，其分式域为 \(L\)；见 代数章引理 09IG。用 \(R'\) 替换 \(R\) 后， 问题归结为引理 0C0D。

纤维的不可约分支

引理

设 \(f : X \to Y\) 是概形态射。假设 \(Y\) 不可约，泛点为 \(\eta\)，且 \(f\) 有限型。若 \(X_\eta\) 有 \(n\) 个不可约分支，则存在非空开集 \(V \subset Y\)，使对所有 \(y \in V\)，纤维 \(X_y\) 至少有 \(n\) 个不可约 分支。

证明

由于问题纯粹是拓扑性的，可以用 \(X\) 与 \(Y\) 的约化分别替换它们。 特别地，这蕴含 \(Y\) 是整概形；见 性质章引理 01ON。设 \(X_\eta = X_{1, \eta} \cup \ldots \cup X_{n, \eta}\) 是 \(X_\eta\) 的不可约分支分解。设 \(X_i \subset X\) 是泛纤维为 \(X_{i, \eta}\) 的约化闭子概形。注意，\(Z_{i, j} = X_i \cap X_j\) 是 \(X_i\) 的闭子集， 其泛纤维 \(Z_{i, j, \eta}\) 在 \(X_{i, \eta}\) 中处处不稠密。因此缩小 \(Y\) 后，可以假设对每个 \(y \in Y\)，\(Z_{i, j, y}\) 在 \(X_{i, y}\) 中 处处不稠密；见引理 054X。进一步缩小 \(Y\) 后，可以假设对 \(y \in Y\) 有 \(X_y = \bigcup X_{i, y}\)；见引理 054Y。此外，缩小 \(Y\) 后，可以 假设每个 \(X_i \to Y\) 都平坦且有限表示；见 态射章命题 052A。态射 \(X_i \to Y\) 是开的；见 态射章引理 01UA。因此存在 \(\eta\) 的开邻域 \(V\)，对每个 \(i\) 该邻域都包含于 \(f(X_i)\)。对每个 \(y \in V\)，概形 \(X_{i, y}\) 是 \(X_y\) 的非空闭子集，有 \(X_y = \bigcup X_{i, y}\)，且交 \(Z_{i, j, y} = X_{i, y} \cap X_{j, y}\) 在 \(X_{i, y}\) 中不稠密。 这显然蕴含 \(X_y\) 至少有 \(n\) 个不可约分支。