晶体上同调

引言

本章以 Johan de Jong 于 2012 年在哥伦比亚大学所作的一系列讲座为基础。 本章旨在快速介绍晶体上同调。参考文献为专著 [Berthelot]。

关于除幂环的较初等纯代数讨论已经移至一个预备章节，因为它在讨论交换代数中的 Tate 分解时也很有用。参见“除幂代数”第 09PE 节。

除幂包络

以下引理中的构造称为除幂包络。它将在后文发挥重要作用。

引理

设 \((A, I, \gamma)\) 为除幂环，\(A \to B\) 为环同态。设 \(J \subset B\) 为满足 \(IB \subset J\) 的理想。则存在除幂环同态 \[(A, I, \gamma) \longrightarrow (D, \bar J, \bar \gamma)\] 使得 \[\Hom_{(A, I, \gamma)}((D, \bar J, \bar \gamma), (C, K, \delta)) = \Hom_{(A, I)}((B, J), (C, K))\] 并且该等式关于 \((A, I, \gamma)\) 上的除幂代数 \((C, K, \delta)\) 具有函子性。这里，左端表示 \((A, I, \gamma)\) 上除幂环的态射， 右端表示 \((A, I)\) 上的（环，理想）对的态射。

证明

以 \(\mathcal{C}\) 表示由除幂环 \((C, K, \delta)\) 组成的范畴。考虑如下定义的函子 \(F : \mathcal{C} \longrightarrow \textit{Sets}\)： \[F(C, K, \delta) = \left\{ (\varphi, \psi) \middle| \begin{matrix} \varphi : (A, I, \gamma) \to (C, K, \delta) \text{ 为除幂环同态} \\ \psi : (B, J) \to (C, K)\text{ 为满足 } \psi(J) \subset K\text{ 的 }A\text{-代数同态} \end{matrix} \right\}\] 我们将证明“除幂代数”引理 07GW 适用于此函子，从而得到本引理。设 \((\varphi, \psi) \in F(C, K, \delta)\)。令 \(C' \subset C\) 为由 \(\varphi(A)\)、\(\psi(B)\) 以及所有 \(f \in J\) 所对应的 \(\delta_n(\psi(f))\) 生成的子环。令 \(K' \subset K \cap C'\) 为 \(C'\) 中由 \(\varphi(I)\) 以及 \(f \in J\) 所对应的 \(\delta_n(\psi(f))\) 生成的理想。于是 \((C', K', \delta|_{K'})\) 是除幂环，并且 \(C'\) 的基数由基数 \(\kappa = |A| \otimes |B|^{\aleph_0}\) 控制。此外，\(\varphi\) 分解为 \(A \to C' \to C\)，而 \(\psi\) 分解为 \(B \to C' \to C\)。 这就证明“除幂代数”引理 07GW 的假设 (1) 成立。假设 (2) 是显然的，因为除幂环范畴中的极限与遗忘函子 \((C, K, \delta) \mapsto (C, K)\) 可交换；参见“除幂代数”引理 07GV 及其证明。

定义

设 \((A, I, \gamma)\) 为除幂环，\(A \to B\) 为环同态，并设 \(J \subset B\) 为满足 \(IB \subset J\) 的理想。引理 07H8 中构造的除幂代数 \((D, \bar J, \bar\gamma)\) 称为\(B\) 中 \(J\) 相对于 \((A, I, \gamma)\) 的除幂包络，记作 \(D_B(J)\) 或 \(D_{B, \gamma}(J)\)。

设 \((A, I, \gamma) \to (C, K, \delta)\) 为除幂环同态。 \(D_{B, \gamma}(J) = (D, \bar J, \bar \gamma)\) 的泛性质为 \[\begin{matrix} \text{把 }J\text{ 映入 }K\text{ 的环同态 }B \to C \end{matrix} \longleftrightarrow \begin{matrix} \text{除幂同态} \\ (D, \bar J, \bar \gamma) \to (C, K, \delta) \end{matrix}\] 该对应由预复合与 \(\text{id}_D\) 对应的映射 \(B \to D\) 给出。 下面列出由泛性质直接推出的 \((D, \bar J, \bar \gamma)\) 的若干性质。 存在 \(A\)-代数同态 [07HA]\[\begin{equation} B \longrightarrow D \longrightarrow B/J \end{equation}\] 第一个箭头把 \(J\) 映入 \(\bar J\)，而 \(\bar J\) 是第二个箭头的核。 当 \(n > 0\) 且 \(x\) 属于 \(J \to D\) 的像时，元素 \(\bar\gamma_n(x)\) 作为 \(D\) 中的理想生成 \(\bar J\)，并作为 \(B\)-代数生成 \(D\)。

引理

设 \((A, I, \gamma)\) 为除幂环。设 \(\varphi : B' \to B\) 为核等于 \(K\) 的 \(A\)-代数满射， \(IB \subset J \subset B\) 为理想，并令 \(J' \subset B'\) 为 \(J\) 的逆像。 记 \(D_{B', \gamma}(J') = (D', \bar J', \bar\gamma)\)。则 \(D_{B, \gamma}(J) = (D'/K', \bar J'/K', \bar\gamma)\)，其中 \(K'\) 是由 \(n \geq 1\)、\(k \in K\) 时的元素 \(\bar\gamma_n(k)\) 生成的理想。

证明

记 \(D_{B, \gamma}(J) = (D, \bar J, \bar \gamma)\)。\(D'\) 的泛性质给出 除幂代数同态 \(D' \to D\)。由于 \(B' \to B\) 和 \(J' \to J\) 均为满射， 可知 \(D' \to D\) 也是满射（见上文的说明）。显然，当 \(n \geq 1\)、 \(k \in K\) 时，\(\bar\gamma_n(k)\) 属于其核；因而得到同态 \(D'/K' \to D\)。反过来，\(\bar J'/K' \subset D'/K'\) 上存在除幂结构； 参见“除幂代数”引理 07H2。于是 \(D\) 的泛性质给出逆映射 \(D \to D'/K'\)，从而得证。

在定义 07H9 的情形中，可以选取满射 \(P \to B\)，其中 \(P\) 是 \(A\) 上的多项式代数，并令 \(J' \subset P\) 为 \(J\) 的逆像。前一引理用 \(D_{P, \gamma}(J')\) 描述了 \(D_{B, \gamma}(J)\)。注意，由“除幂代数”引理 07H1，\(\gamma\) 可延拓为 \(IP\) 上的除幂结构 \(\gamma'\)。因此 \(D_{P, \gamma}(J') = D_{P, \gamma'}(J')\) 是下一引理 所述除幂包络特殊情形的一个例子。

引理

设 \((B, I, \gamma)\) 为除幂代数，\(I \subset J \subset B\) 为理想。 设 \((D, \bar J, \bar \gamma)\) 为 \(J\) 相对于 \(\gamma\) 的除幂包络。 选取元素 \(f_t \in J\)（\(t \in T\)），使得 \(J = I + (f_t)\)。则存在满射 \[\Psi : (B\langle x_t \rangle, IB\langle x_t \rangle + B\langle x_t \rangle_+, \delta) \longrightarrow (D, \bar J, \bar \gamma)\] 它是除幂环同态，并把 \(x_t\) 映为 \(f_t\) 在 \(D\) 中的像。\(\Psi\) 的核由 元素 \(x_t-f_t\) 以及所有如下元素生成： \[\delta_n\left(\sum r_t x_t - r_0\right)\] 其中 \(r_t \in B\)、\(r_0 \in I\)，并且在 \(B\) 中 \(\sum r_t f_t = r_0\)。

证明

在本引理的陈述中，把 \(B\langle x_t \rangle\) 看成以如下理想为指定理想的除幂环： \(J' = IB\langle x_t \rangle + B\langle x_t \rangle_{+}\)；参见“除幂代数”注 07H6。 \(\Psi\) 的存在性来自除幂多项式环的泛性质。其像是 \(D\) 的除幂子环， 故由 \(D\) 的泛性质等于 \(D\)；这就说明 \(\Psi\) 是满射。显然， \(x_t-f_t\) 属于其核。令 \[\mathcal{R} = \{(r_0, r_t) \in I \oplus \bigoplus\nolimits_{t \in T} B \mid \sum r_t f_t = r_0 \text{ 于 }B\text{ 中}\}\] 若 \((r_0,r_t)\in\mathcal R\)，则显然 \(\sum r_t x_t-r_0\) 属于该核。由于 \(\Psi\) 是除幂环同态且 \(\sum r_tx_t-r_0\in J'\)，故 \(\delta_n(\sum r_t x_t-r_0)\) 也属于该核。令 \(K\subset B\langle x_t\rangle\) 为由 \(x_t-f_t\) 以及 \((r_0,r_t)\in\mathcal R\) 时的元素 \(\delta_n(\sum r_t x_t-r_0)\) 生成的理想。 为了证明 \(K=\Ker(\Psi)\)，只需证明 \(\delta\) 可延拓至 \(B\langle x_t\rangle/K\)。事实上，若能如此，\(D\) 的泛性质便给出 \(\Psi\) 的逆映射 \(D\to B\langle x_t\rangle/K\)。因此，需要证明 \(K\cap J'\) 在 \(\delta_n\) 下保持不变；参见“除幂代数”引理 07H2。令 \(K'\subset B\langle x_t\rangle\) 为由下列元素生成的理想：

1. 当 \(m>0\) 且 \((r_0,r_t)\in\mathcal R\) 时的 \(\delta_m(\sum r_t x_t-r_0)\)；

2. 当 \(m>0\) 且 \(t',t\in I\) 时的 \(x_{t'}^{[m]}(x_t-f_t)\)。

我们断言 \(K'=K\cap J'\)。根据“除幂代数”引理 07H2 (2)(c) 的判据，以及对上列元素的 \(\delta_n\) 的计算（留给读者），该断言说明当 \(n>0\) 时 \(K\cap J'\) 在 \(\delta_n\) 下保持不变。为证明该断言，先注意到 \(K'\subset K\cap J'\)。反过来，若 \(h\in K\cap J'\)，则模 \(K'\) 可写成 \[h = \sum r_t (x_t - f_t)\] 其中 \(r_t\in B\)。由于 \(h\in K\cap J'\subset J'\)，可知 \(r_0=\sum r_t f_t\in I\)，从而 \((r_0,r_t)\in\mathcal R\)，并有 \[h = \sum r_t x_t - r_0\] 属于 \(K'\)，正合所需。

引理

设 \((A,I,\gamma)\) 为除幂环，\(B\) 为 \(A\)-代数， \(IB\subset J\subset B\) 为理想，并设 \(x_i\) 为一族变量。则 \[D_{B[x_i], \gamma}(JB[x_i] + (x_i)) = D_{B, \gamma}(J) \langle x_i \rangle\]

证明

一种证明方法是由引理 07HC 推出， 因为 \(B[x_i]\) 中变量 \(x_i\) 之间的任何关系都是平凡的。另一方面， 本引理也可由除幂多项式代数的泛性质与除幂包络的泛性质推出。

若 \(B\to B'\) 在 \(V(IB')\subset\Spec(B')\) 的所有素点处均平坦， 则下一引理的条件 (1) 与 (2) 成立；而这两个条件也与该平坦性条件 密切相关，参见“代数”引理 051C。 特别地，该引理说明取除幂包络与局部化可交换。

引理

设 \((A,I,\gamma)\) 为除幂环，\(B\to B'\) 为 \(A\)-代数同态。假设

1. \(B/IB \to B'/IB'\) 是平坦的；

2. \(\text{Tor}_1^B(B', B/IB) = 0\).

则对任意理想 \(IB\subset J\subset B\)，典范映射 \[D_B(J) \otimes_B B' \longrightarrow D_{B'}(JB')\] 是同构。

证明

令 \(D=D_B(J)\)，并以 \(\bar J\subset D\) 表示其除幂理想， 相应的除幂结构记作 \(\bar\gamma\)。\(D\) 的泛性质给出 \(B\)-代数同态 \(D\to D_{B'}(JB')\)，从而给出引理中的映射。只需证明 \(\bar\gamma\) 可延拓至 \(D\otimes_B B'\)；因为一旦如此， \(D_{B'}(JB')\) 的泛性质便给出引理中映射的逆映射 \(D_{B'}(JB')\to D\otimes_B B'\)。

选取满射 \(P\to B'\)，其中 \(P\) 是 \(B\) 上的多项式代数。特别地， \(B\to P\) 平坦，故由“代数”引理 00HI， \(D\to D\otimes_B P\) 也平坦。于是由“除幂代数”引理 07H1，\(\bar\gamma\) 可延拓至 \(D\otimes_B P\)；仍以 \(\bar\gamma\) 表示该延拓。令 \(\mathfrak a=\Ker(P\to B')\)，于是有短正合列 \[0 \to \mathfrak a \to P \to B' \to 0\] 因此，\(\text{Tor}_1^B(B',B/IB)=0\) 蕴含 \(\mathfrak a\cap IP=I\mathfrak a\)。现有如下交换图： \[\xymatrix{ B/J \otimes_B \mathfrak a \ar[r]_\beta & B/J \otimes_B P \ar[r] & B/J \otimes_B B' \\ D \otimes_B \mathfrak a \ar[r]^\alpha \ar[u] & D \otimes_B P \ar[r] \ar[u] & D \otimes_B B' \ar[u] \\ \bar J \otimes_B \mathfrak a \ar[r] \ar[u] & \bar J \otimes_B P \ar[r] \ar[u] & \bar J \otimes_B B' \ar[u] }\] 即使在上方和右方补上 \(0\)，该图仍然正合。我们须证明理想 \(\bar J \otimes_B P\) 上的除幂保持理想 \(\Im(\alpha) \cap \bar J \otimes_B P\)；参见“除幂代数”引理 07H2。考虑正合列 \[0 \to \mathfrak a/I\mathfrak a \to P/IP \to B'/IB' \to 0\] （这里使用了上面得到的 \(\mathfrak a\cap IP=I\mathfrak a\)）。 由于 \(B'/IB'\) 在 \(B/IB\) 上平坦，对该序列施加 \(B/J\otimes_{B/IB}-\) 后仍为正合；参见“代数”引理 00HL。因此 \[\Ker(B/J \otimes_{B/IB} \mathfrak a/I\mathfrak a \to B/J \otimes_{B/IB} P/IP) = \Ker(\mathfrak a/J\mathfrak a \to P/JP)\] 为零。因此 \(\beta\) 是单射，从而 \(\Im(\alpha) \cap \bar J \otimes_B P\) 是 \(\bar J\otimes\mathfrak a\) 的像。若 \(f\in\bar J\) 且 \(a\in\mathfrak a\)，则 \(\bar\gamma_n(f \otimes a) = \bar\gamma_n(f) \otimes a^n\) 故结论显然成立。

下一引理是 [dJ-crystalline, 命题 2.1.7] 的一个特殊情形， 而后者又推广了 [Berthelot, 命题 2.8.2]。

引理

设 \((B, I, \gamma) \to (B', I', \gamma')\) 为除幂环同态， \(I \subset J \subset B\) 与 \(I' \subset J' \subset B'\) 为理想。假设

1. \(B/I \to B'/I'\) 是平坦的；

2. \(J' = JB' + I'\).

则典范映射 \[D_{B, \gamma}(J) \otimes_B B' \longrightarrow D_{B', \gamma'}(J')\] 是同构。

证明

令 \(D = D_{B, \gamma}(J)\)。选取生成 \(J/I\) 的元素 \(f_t \in J\)。 如引理 07HC 的证明中那样，令 \(\mathcal{R} = \{(r_0, r_t) \in I \oplus \bigoplus\nolimits_{t \in T} B \mid \sum r_t f_t = r_0 \text{ 于 }B\text{ 中}\}\)。该引理说明 \[D = B\langle x_t \rangle/ K\] 其中 \(K\) 由元素 \(x_t - f_t\) 以及 \((r_0, r_t) \in \mathcal{R}\) 时的 \(\delta_n(\sum r_t x_t - r_0)\) 生成。因此 [07HF]\[\begin{equation} D \otimes_B B' = B'\langle x_t \rangle/K' \end{equation}\] 其中 \(K'\) 由上述 \(K\) 的生成元在 \(B'\langle x_t \rangle\) 中的像生成。 令 \(f'_t \in B'\) 为 \(f_t\) 的像。由假设 (1)，元素 \(f'_t \in J'\) 生成 \(J'/I'\)，并且 \(x_t - f'_t \in K'\)。令 \[\mathcal{R}' = \{(r'_0, r'_t) \in I' \oplus \bigoplus\nolimits_{t \in T} B' \mid \sum r'_t f'_t = r'_0 \text{ 于 }B'\text{ 中}\}\] 为完成证明，须对 \((r'_0, r'_t) \in \mathcal{R}'\) 证明 \(\delta'_n(\sum r'_t x_t - r'_0) \in K'\)。因为一旦如此， \(D \otimes_B B'\) 的表示式 (07HF) 就与引理 07HC 由生成元 \(f'_t\) 得到的 \(D_{B', \gamma'}(J')\) 的表示完全相同。设 \((r'_0, r'_t) \in \mathcal{R}'\)。则 \(\sum r'_t f'_t = 0\) 在 \(B'/I'\) 中成立。由假设 (1)， \(B/I \to B'/I'\) 平坦，故可应用平坦性的方程判据（“代数”引理 00HK），得到某个 \(m > 0\)，以及 \(r_{jt} \in B\) 和 \(c_j \in B'\)（\(j = 1, \ldots, m\)），使得 \[r_{j0} = \sum\nolimits_t r_{jt} f_t \in I \text{，其中 } j = 1, \ldots, m\] 以及 \[i'_t = r'_t - \sum\nolimits_j c_j r_{jt} \in I' \text{，对所有 }t\] 注意，这还蕴含 \(r'_0 = \sum_t i'_t f_t + \sum_j c_j r_{j0}\)。于是 \[\begin{align*} \delta'_n(\sum\nolimits_t r'_t x_t - r'_0) & = \delta'_n( \sum\nolimits_t i'_t x_t + \sum\nolimits_{t, j} c_j r_{jt} x_t - \sum\nolimits_t i'_t f_t - \sum\nolimits_j c_j r_{j0}) \\ & = \delta'_n( \sum\nolimits_t i'_t(x_t - f_t) + \sum\nolimits_j c_j (\sum\nolimits_t r_{jt} x_t - r_{j0})) \end{align*}\] 由于 \(\delta_n(a + b) = \sum_{m = 0, \ldots, n} \delta_m(a) \delta_{n - m}(b)\)， 并且当 \(m > 0\) 时，\(\delta_m(\sum i'_t(x_t - f_t))\) 属于由 \(x_t - f_t \in K'\) 生成的理想，只需证明 \(\delta_n(\sum c_j (\sum r_{jt} x_t - r_{j0}))\) 属于 \(K'\)。为此使用 \[\delta_n(\sum\nolimits_j c_j (\sum\nolimits_t r_{jt} x_t - r_{j0})) = \sum c_1^{n_1} \ldots c_m^{n_m} \delta_{n_1}(\sum r_{1t} x_t - r_{10}) \ldots \delta_{n_m}(\sum r_{mt} x_t - r_{m0})\] 其中求和遍及所有满足 \(n_1 + \ldots + n_m = n\) 的指标。这正是所需结论。

若干显式除幂加厚

本节的构造将帮助我们定义晶体位点上模晶体的联络。

引理

设 \((A, I, \gamma)\) 为除幂环，\(M\) 为 \(A\)-模。令 \(B = A \oplus M\) 为 \(A\)-代数，其中 \(M\) 是平方为零的理想；并令 \(J = I \oplus M\)。对 \(x \in I\) 与 \(z \in M\)，令 \[\delta_n(x + z) = \gamma_n(x) + \gamma_{n - 1}(x)z\] 则 \(\delta\) 是除幂结构，并且 \(A \to B\) 是从 \((A, I, \gamma)\) 到 \((B, J, \delta)\) 的除幂环同态。

证明

须检验“除幂代数”定义 07GL 中的条件 (1)–(5)。这里直接证明；下一引理的证明给出了一种避免计算的方法。 条件 (1) 与 (3) 显然。条件 (2) 由下式推出： \[\begin{align*} \delta_n(x + z)\delta_m(x + z) & = (\gamma_n(x) + \gamma_{n - 1}(x)z)(\gamma_m(x) + \gamma_{m - 1}(x)z) \\ & = \gamma_n(x)\gamma_m(x) + \gamma_n(x)\gamma_{m - 1}(x)z + \gamma_{n - 1}(x)\gamma_m(x)z \\ & = \frac{(n + m)!}{n!m!} \gamma_{n + m}(x) + \left(\frac{(n + m - 1)!}{n!(m - 1)!} + \frac{(n + m - 1)!}{(n - 1)!m!}\right) \gamma_{n + m - 1}(x) z \\ & = \frac{(n + m)!}{n!m!}\delta_{n + m}(x + z) \end{align*}\] 条件 (5) 由下式推出： \[\begin{align*} \delta_n(\delta_m(x + z)) & = \delta_n(\gamma_m(x) + \gamma_{m - 1}(x)z) \\ & = \gamma_n(\gamma_m(x)) + \gamma_{n - 1}(\gamma_m(x))\gamma_{m - 1}(x)z \\ & = \frac{(nm)!}{n! (m!)^n} \gamma_{nm}(x) + \frac{((n - 1)m)!}{(n - 1)! (m!)^{n - 1}} \gamma_{(n - 1)m}(x) \gamma_{m - 1}(x) z \\ & = \frac{(nm)!}{n! (m!)^n}(\gamma_{nm}(x) + \gamma_{nm - 1}(x) z) \end{align*}\] 这里使用了初等数论。为证明 (4)，须验证 \[\delta_n(x + x' + z + z') = \gamma_n(x + x') + \gamma_{n - 1}(x + x')(z + z')\] 等于 \[\sum\nolimits_{i = 0}^n (\gamma_i(x) + \gamma_{i - 1}(x)z) (\gamma_{n - i}(x') + \gamma_{n - i - 1}(x')z')\] 分别比较 \(1\)、\(z\) 与 \(z'\) 的系数，再使用 \(\gamma\) 的条件 (4)， 便容易得到该等式。

引理

设 \((A, I, \gamma)\) 为除幂环，\(M,N\) 为 \(A\)-模，并设 \(q : M \times M \to N\) 为 \(A\)-双线性映射。令 \(B = A \oplus M \oplus N\) 为具有如下乘法的 \(A\)-代数： \[(x, z, w)\cdot (x', z', w') = (xx', xz' + x'z, xw' + x'w + q(z, z') + q(z', z))\] 并令 \(J = I \oplus M \oplus N\)。对 \((x, z, w) \in J\)，令 \[\delta_n(x, z, w) = (\gamma_n(x), \gamma_{n - 1}(x)z, \gamma_{n - 1}(x)w + \gamma_{n - 2}(x)q(z, z))\] 则 \(\delta\) 是除幂结构，并且 \(A \to B\) 是从 \((A, I, \gamma)\) 到 \((B, J, \delta)\) 的除幂环同态。

证明

先证明“除幂代数”定义 07GL 中的性质 (4)。在 \(J\) 中选取 \((x,z,w)\) 与 \((x',z',w')\)，并选取映射 \[A_0 = \mathbf{Z}\langle s, s'\rangle \longrightarrow A,\quad s \longmapsto x, s' \longmapsto x'\] 除幂多项式环的泛性质保证可以如此选取。令 \(M_0 = A_0 \oplus A_0\) 以及 \(N_0 = A_0 \oplus A_0 \oplus M_0 \otimes_{A_0} M_0\)，并令 \(q_0 : M_0 \times M_0 \to N_0\) 为自然映射。把 \(M_0 \to M\) 定义为将 \(M_0\) 的两个基向量分别映至 \(z\) 与 \(z'\) 的 \(A_0\)-线性映射。 把 \(N_0 \to N\) 定义为如下 \(A_0\)-线性映射：将 \(N_0\) 的前两个 基向量分别映至 \(w\) 与 \(w'\)，并在最后一个直和项上使用 \(M_0 \otimes_{A_0} M_0 \to M \otimes_A M \xrightarrow{q} N\) 于是，只需对情形 \((A_0,M_0,N_0,q_0)\) 证明恒等式 (4)。 其他恒等式也同理。这就把问题归约到 \(A\) 为无 \(\mathbf{Z}\)-挠环且各模均无 \(A\)-挠的情形。在此情形中，只须证明 \[n! \delta_n(x, z, w) = (x, z, w)^n\] 在环 \(A\) 中成立；参见“除幂代数”引理 07GM。 为此，注意到 \[(x, z, w)^2 = (x^2, 2xz, 2xw + 2q(z, z))\] 并且由归纳法 \[(x, z, w)^n = (x^n, nx^{n - 1}z, nx^{n - 1}w + n(n - 1)x^{n - 2}q(z, z))\] 另一方面， \[n! \delta_n(x, z, w) = (n!\gamma_n(x), n!\gamma_{n - 1}(x)z, n!\gamma_{n - 1}(x)w + n!\gamma_{n - 2}(x) q(z, z))\] 两式相符，证明完成。

兼容性

本节并非必读内容；它说明这里的讨论如何与 [Berthelot] 中的讨论衔接。 考虑以下技术性概念。

定义

设 \((A, I, \gamma)\) 与 \((B, J, \delta)\) 为除幂环， \(A \to B\) 为环同态。若 \(J + IB\) 上存在除幂结构 \(\bar\gamma\)，使得 \[(A, I, \gamma) \to (B, J + IB, \bar \gamma)\quad\text{且}\quad (B, J, \delta) \to (B, J + IB, \bar \gamma)\] 均为除幂环同态，则称\(\delta\) 与 \(\gamma\) 兼容。

设 \(p\) 为素数，\((A,I,\gamma)\) 为除幂环，\(A\to C\) 为环同态， 并且 \(p\) 在 \(C\) 中幂零。假设 \(\gamma\) 可延拓至 \(IC\)（参见“除幂代数” 引理 07H1）。在此情形中，[Berthelot] 所定义的 \(\Spec(C)\) 在 \(\Spec(A)\) 上的（大仿射）晶体位点， 是由以下系统组成的范畴的反范畴： \[(B, J, \delta, A \to B, C \to B/J)\] 其中

1. \((B,J,\delta)\) 是除幂环，且 \(p\) 在 \(B\) 中幂零；

2. \(\delta\) 与 \(\gamma\) 兼容；

3. 下图 \[\xymatrix{ B \ar[r] & B/J \\ A \ar[u] \ar[r] & C \ar[u] }\] 交换。

在 [Berthelot] 中，条件“\(\gamma\) 可延拓至 \(C\) 且 \(\delta\) 与 \(\gamma\) 兼容”用于保证 \(\Spec(C)\) 的晶体上同调与 \(\Spec(C/IC)\) 的晶体上同调相同。我们将只考虑满足 \(IC=0\) 的 \(C\)， 从而避开这一问题¹。在此情形中， 对上述系统 \((B,J,\delta,A\to B,C\to B/J)\)，上图的交换性蕴含 \(IB\subset J\)；而兼容性等价于 \((A,I,\gamma)\to(B,J,\delta)\) 是除幂环同态。

仿射晶体位点

本节讨论晶体位点的代数版本。以下是我们讨论这些内容时采用的基本情形。

情形

这里，\(p\) 是素数，\((A,I,\gamma)\) 是除幂环，\(A\) 是 \(\mathbf{Z}_{(p)}\)-代数；并且 \(A\to C\) 是满足 \(IC=0\) 且 \(p\) 在 \(C\) 中幂零的环同态。

通常，素数 \(p\) 包含在除幂理想 \(I\) 中。

定义

在情形 07MD 中。

1. \(C\) 在 \((A,I,\gamma)\) 上的一个除幂加厚，是一个除幂代数同态 \((A,I,\gamma)\to(B,J,\delta)\)（其中 \(p\) 在 \(B\) 中幂零）， 以及一个使下图交换的环同态 \(C\to B/J\)： \[\xymatrix{ B \ar[r] & B/J \\ & C \ar[u] \\ A \ar[uu] \ar[r] & A/I \ar[u] }\]

2. 一个除幂加厚同态 \[(B, J, \delta, C \to B/J) \longrightarrow (B', J', \delta', C \to B'/J')\] 是除幂 \(A\)-代数同态 \(\varphi:B\to B'\)，使得复合映射 \(C\to B/J\to B'/J'\) 等于给定映射 \(C\to B'/J'\)。

3. 以 \(\text{CRIS}(C/A,I,\gamma)\)，或简记为 \(\text{CRIS}(C/A)\)， 表示 \(C\) 在 \((A,I,\gamma)\) 上的除幂加厚所组成的范畴。

4. 以 \(\text{Cris}(C/A,I,\gamma)\)，或简记为 \(\text{Cris}(C/A)\)， 表示由满足 \(C\to B/J\) 为同构的对象 \((B,J,\delta,C\to B/J)\) 组成的全子范畴。通常将这种对象记作 \((B\to C,\delta)\)，其中约定 \(J=\Ker(B\to C)\)。

注意，对上述除幂加厚 \((B,J,\delta)\)，理想 \(J\) 是局部幂零的； 参见“除幂代数”引理 07GR。有典范函子 [07KF]\[\begin{equation} \text{CRIS}(C/A) \longrightarrow C\text{-代数},\quad (B, J, \delta) \longmapsto B/J \end{equation}\] 一般而言，该范畴没有等化子或纤维积，也没有始对象（即空余极限）。

引理

在情形 07MD 中。

1. \(\text{CRIS}(C/A)\) 有有限积（但不一定有无限积）；

2. \(\text{CRIS}(C/A)\) 有所有有限非空余极限，且 (07KF) 与这些余极限可交换；

3. \(\text{Cris}(C/A)\) 有所有有限非空余极限，且 \(\text{Cris}(C/A) \to \text{CRIS}(C/A)\) 与这些余极限可交换。

证明

空积，即 \(C\) 在 \((A,I,\gamma)\) 上的除幂加厚范畴中的终对象， 是如下零环：将其视为 \(A\)-代数，赋予零理想以及零理想上唯一的除幂， 再赋予从 \(C\) 到零环的唯一同态。若 \((B_t,J_t,\delta_t)_{t\in T}\) 是 \(\text{CRIS}(C/A)\) 中的一族对象， 则可按“除幂代数”引理 07GV 构造其积 \((\prod_t B_t,\prod_t J_t,\prod_t\delta_t)\)。映射 \(C\to\prod B_t/\prod J_t=\prod B_t/J_t\) 是显然的。然而，只有当 \(T\) 有限时，才能保证 \(p\) 在 \(\prod_tB_t\) 中幂零。

给定 \(\text{CRIS}(C/A)\) 中的两个对象 \((B,J,\gamma)\) 与 \((B',J',\gamma')\)，可以在除幂环范畴中构造余笛卡尔图 \[\xymatrix{ (B, J, \delta) \ar[r] & (B'', J'', \delta'') \\ (A, I, \gamma) \ar[r] \ar[u] & (B', J', \delta') \ar[u] }\] 于是有 \[B''/J'' = B/J \otimes_{A/I} B'/J' \longleftarrow C \otimes_{A/I} C\] 参见“除幂代数”注 0H86。以 \(J''\subset K\subset B''\) 表示使下图为推出的理想： \[\xymatrix{ B''/J'' \ar[r] & B''/K \\ C \otimes_{A/I} C \ar[r] \ar[u] & C \ar[u] }\] 也就是说，\(B''/K\cong B/J\otimes_C B'/J'\)。令 \(D_{B''}(K)=(D,\bar K,\bar\delta)\) 为 \(B''\) 中 \(K\) 相对于 \((B'',J'',\delta'')\) 的除幂包络。容易验证， \((D,\bar K,\bar\delta)\) 是 \((B,J,\delta)\) 与 \((B',J',\delta')\) 在 \(\text{CRIS}(C/A)\) 中的余积。

下面讨论余等化子。设 \(\alpha,\beta:(B,J,\delta)\to(B',J',\delta')\) 为 \(\text{CRIS}(C/A)\) 中的态射。考虑 \(B''=B'/(\alpha(b)-\beta(b))\)，并令 \(J''\subset B''\) 为 \(J'\) 的像。 令 \(D_{B''}(J'')=(D,\bar J,\bar\delta)\) 为 \(B''\) 中 \(J''\) 相对于 \((B',J',\delta')\) 的除幂包络。容易验证， \((D,\bar J,\bar\delta)\) 是 \((B,J,\delta)\) 与 \((B',J',\delta')\) 在 \(\text{CRIS}(C/A)\) 中的余等化子。

由“范畴”引理 04AW， \(\text{CRIS}(C/A)\) 有所有有限非空余极限。上述构造表明 (07KF) 与它们可交换。由于 \(\text{Cris}(C/A)\) 是 (07KF) 在 \(C\) 上的纤维范畴， 这形式地蕴含 (3)。

注

在情形 07MD 中，以 \(\text{Cris}^\wedge(C/A)\) 表示如下范畴：其对象是满足下列条件的对 \((B\to C,\delta)\)：

1. \(B\) 是 \(p\)-进完备的 \(A\)-代数；

2. \(B \to C\) 是 \(A\)-代数满射；

3. \(\delta\) 是 \(\Ker(B \to C)\) 上的除幂结构；

4. \(A \to B\) 是除幂环同态。

态射按定义 07HM 定义。于是 \(\text{Cris}(C/A)\subset\text{Cris}^\wedge(C/A)\) 是由满足 \(p\) 在 \(B\) 中幂零的对象组成的全子范畴。反过来， \(\text{Cris}^\wedge(C/A)\) 的任意对象 \((B\to C,\delta)\) 等于极限 \[(B \to C, \delta) = \lim_e (B/p^eB \to C, \delta)\] 其中当 \(e\gg0\) 时，对象 \((B/p^eB\to C,\delta)\) 属于 \(\text{Cris}(C/A)\)；参见“除幂代数”引理 07KD。特别地， \(\text{Cris}^\wedge(C/A)\) 是 \(\text{Cris}(C/A)\) 的 pro-对象范畴的 全子范畴；参见“范畴”注 05PX。

引理

在情形 07MD 中，设 \(P\to C\) 为核等于 \(J\) 的 \(A\)-代数满射，并记 \(D_{P,\gamma}(J)=(D,\bar J,\bar\gamma)\)。 令 \((D^\wedge,J^\wedge,\bar\gamma^\wedge)\) 为 \(D\) 的 \(p\)-进完备化； 参见“除幂代数”引理 07KD。 对每个 \(e\geq1\)，令 \(P_e=P/p^eP\)，令 \(J_e\subset P_e\) 为 \(J\) 的像， 并记 \(D_{P_e,\gamma}(J_e)=(D_e,\bar J_e,\bar\gamma)\)。 则对所有充分大的 \(e\)，有：

1. \(p^eD\subset\bar J\) 与 \(p^eD^\wedge\subset\bar J^\wedge\) 均在除幂下保持不变；

2. 作为除幂环，\(D^\wedge/p^eD^\wedge=D/p^eD=D_e\)；

3. \((D_e,\bar J_e,\bar\gamma)\) 是 \(\text{Cris}(C/A)\) 的对象；

4. \((D^\wedge,\bar J^\wedge,\bar\gamma^\wedge)\) 等于 \(\lim_e(D_e,\bar J_e,\bar\gamma)\)；

5. \((D^\wedge,\bar J^\wedge,\bar\gamma^\wedge)\) 是 \(\text{Cris}^\wedge(C/A)\) 的对象。

证明

(1) 来自“除幂代数”引理 07KD。 \(p\)-进完备化的一般性质给出 \(D/p^eD=D^\wedge/p^eD^\wedge\)。由于 \(D/p^eD\) 是除幂环，且 \(P\to D/p^eD\) 经过 \(P_e\) 分解，\(D_e\) 的泛性质给出映射 \(D_e\to D/p^eD\)。反过来，\(D\) 的泛性质给出映射 \(D\to D_e\)， 它经过 \(D/p^eD\) 分解。略去验证这两个映射互逆的步骤，从而得到 (2)。 当 \(e\) 充分大时，\(p^eC=0\)，故 (3) 成立。(4) 来自“除幂代数”引理 07KD，而 (5) 由定义显然成立。

引理

在情形 07MD 中，设 \(P\) 为 \(A\) 上的多项式代数， \(P\to C\) 为核等于 \(J\) 的 \(A\)-代数满射。取引理 07KG 中的 \((D_e,\bar J_e,\bar\gamma)\)。 对 \(\text{CRIS}(C/A)\) 的每个对象 \((B,J_B,\delta)\)，存在某个 \(e\) 以及 \(\text{CRIS}(C/A)\) 中的态射 \(D_e\to B\)。

证明

可以找到提升映射 \(C\to B/J_B\) 的 \(A\)-代数同态 \(P\to B\)。 由 \(\text{CRIS}(C/A)\) 的定义，对某个 \(e\) 有 \(p^eB=0\)，故 \(P\to B\) 分解为 \(P\to P_e\to B\)。由除幂包络的泛性质， \(P_e\to B\) 经过 \(D_e\) 分解。

引理

在情形 07MD 中，设 \(P\) 为 \(A\) 上的多项式代数， \(P\to C\) 为核等于 \(J\) 的 \(A\)-代数满射。令 \((D,\bar J,\bar\gamma)\) 为 \(D_{P,\gamma}(J)\) 的 \(p\)-进完备化。 对 \(\text{Cris}^\wedge(C/A)\) 的每个对象 \((B\to C,\delta)\)， 存在 \(\text{Cris}^\wedge(C/A)\) 中的态射 \(D\to B\)。

证明

可以找到与到 \(C\) 的映射兼容的 \(A\)-代数同态 \(P\to B\)。 由 \(\text{Cris}^\wedge(C/A)\) 的定义，\(P\to B\) 分解为 \(P\to D_{P,\gamma}(J)\to B\)。由于 \(B\) 是 \(p\)-进完备的， 该映射可进一步经过 \(D\) 分解。

微分模

本节建立除幂环的微分模理论。

定义

设 \(A\) 为环，\((B,J,\delta)\) 为除幂环，\(A\to B\) 为环同态， \(M\) 为 \(B\)-模。取值于 \(M\) 的一个除幂 \(A\)-导子，是满足如下条件的 映射 \(\theta:B\to M\)：它可加，在 \(A\) 的元素上为零，满足莱布尼茨法则 \(\theta(bb')=b\theta(b')+b'\theta(b)\)，并且 \[\theta(\delta_n(x)) = \delta_{n - 1}(x)\theta(x)\] 对所有 \(n\geq1\) 与 \(x\in J\) 成立。

在该定义的情形中，与通常的导子一样，存在泛除幂 \(A\)-导子 \[\text{d}_{B/A, \delta} : B \to \Omega_{B/A, \delta}\] 使得任意除幂 \(A\)-导子 \(\theta:B\to M\) 都可唯一地写成 \(\theta=\xi\circ d_{B/A,\delta}\)，其中 \(\xi:\Omega_{B/A,\delta}\to M\) 为 \(B\)-线性映射。若 \((A,I,\gamma)\to(B,J,\delta)\) 是除幂环同态，则可忘掉 \(A\) 上的除幂， 并考虑 \(B\) 在 \(A\) 上的除幂导子。下面给出（除幂）微分泛模的若干基本性质。

引理

设 \(A\) 为环，\((B,J,\delta)\) 为除幂环，\(A\to B\) 为环同态。

1. 考虑带有除幂理想 \((JB[x],\delta')\) 的 \(B[x]\)，其中 \(\delta'\) 是 \(\delta\) 到 \(B[x]\) 的延拓。则 \[\Omega_{B[x]/A, \delta'} = \Omega_{B/A, \delta} \otimes_B B[x] \oplus B[x]\text{d}x.\]

2. 考虑带有除幂理想 \((JB\langle x \rangle+B\langle x \rangle_{+},\delta')\) 的 \(B\langle x \rangle\)。则 \[\Omega_{B\langle x\rangle/A, \delta'} = \Omega_{B/A, \delta} \otimes_B B\langle x \rangle \oplus B\langle x\rangle \text{d}x.\]

3. 设 \(K\subset J\) 为对所有 \(n>0\) 均在 \(\delta_n\) 下保持不变的理想。 令 \(B'=B/K\)，并以 \(\delta'\) 表示 \(J/K\) 上诱导的除幂。则 \(\Omega_{B'/A,\delta'}\) 是 \(\Omega_{B/A,\delta}\otimes_BB'\) 对如下 \(B'\)-子模的商：该子模由 \(k\in K\) 时的 \(\text{d}k\) 生成。

证明

这些结论直接来自 \(\Omega_{B/A,\delta}\) 的构造：它是由元素 \(\text{d}b\) 生成的自由 \(B\)-模对下列关系的商：

1. \(\text{d}(b + b') = \text{d}b + \text{d}b'\), \(b, b' \in B\),

2. \(\text{d}a = 0\), \(a \in A\),

3. \(\text{d}(bb') = b \text{d}b' + b' \text{d}b\), \(b, b' \in B\),

4. \(\text{d}\delta_n(f) = \delta_{n - 1}(f)\text{d}f\), \(f \in J\), \(n > 1\).

注意，最后一个关系解释了为何除幂多项式代数与通常的多项式代数给出 “相同”的答案：在前一种情形中，\(x\) 是除幂理想的元素，因此 \(\text{d}x^{[n]}=x^{[n-1]}\text{d}x\)。

设 \((A,I,\gamma)\) 为除幂环。在这一背景下，\(I\) 的幂应由如下除幂给出： \[I^{[n]} = \text{由下列元素生成的理想：} \gamma_{e_1}(x_1) \ldots \gamma_{e_t}(x_t) \text{ 其中 }\sum e_j \geq n\text{ 且 }x_j \in I.\] 当然，\(I^n\subset I^{[n]}\)。注意 \(I^{[1]}=I\)；有时也令 \(I^{[0]}=A\)。

引理

设 \((A,I,\gamma)\to(B,J,\delta)\) 为除幂环同态。令 \((B(1),J(1),\delta(1))\) 为 \((B,J,\delta)\) 与自身在 \((A,I,\gamma)\) 上的余积，即使得下图 \[\xymatrix{ (B, J, \delta) \ar[r] & (B(1), J(1), \delta(1)) \\ (A, I, \gamma) \ar[r] \ar[u] & (B, J, \delta) \ar[u] }\] 为余笛卡尔图。记 \(K=\Ker(B(1)\to B)\)。则 \(K\cap J(1)\subset J(1)\) 在除幂结构下保持不变，并且典范地有 \[\Omega_{B/A, \delta} = K/ \left(K^2 + (K \cap J(1))^{[2]}\right)\]

证明

\(K\cap J(1)\subset J(1)\) 在除幂结构下保持不变，是因为 \(B(1)\to B\) 是除幂环同态。

回忆 \(K/K^2\) 具有典范的 \(B\)-模结构。以 \(s_0,s_1:B\to B(1)\) 表示两个余投影，并考虑由 \(b\mapsto s_1(b)-s_0(b)\) 给出的映射 \(\text{d}:B\to K/(K^2+(K\cap J(1))^{[2]})\)。显然，\(\text{d}\) 可加， 在 \(A\) 上为零，并满足莱布尼茨法则。我们断言 \(\text{d}\) 是除幂 \(A\)-导子。取 \(x\in J\)，令 \(y=s_1(x)\)、\(z=s_0(x)\)。下文以 \(\delta\) 代替 \(\delta(1)\) 表示 \(J(1)\) 上的除幂结构。须证明对 \(n\geq1\)，模 \(K^2+(K\cap J(1))^{[2]}\) 有 \(\delta_n(y)-\delta_n(z)=\delta_{n-1}(y)(y-z)\)。当 \(n=1\) 时等式成立。 设 \(n>1\)。注意，当 \(i>1\) 时，\(\delta_i(y-z)\) 属于 \((K\cap J(1))^{[2]}\)。模 \(K^2+(K\cap J(1))^{[2]}\) 计算，得到 \[\delta_n(z) = \delta_n(z - y + y) = \sum\nolimits_{i = 0}^n \delta_i(z - y)\delta_{n - i}(y) = \delta_{n - 1}(y) \delta_1(z - y) + \delta_n(y)\] 这就证明了所需等式。

设 \(M\) 为 \(B\)-模，\(\theta:B\to M\) 为除幂 \(A\)-导子。令 \(D=B\oplus M\)，其中 \(M\) 是平方为零的理想。对 \(n>1\)，令 \(\delta_n(x+m)=\delta_n(x)+\delta_{n-1}(x)m\)，从而在 \(J\oplus M\subset D\) 上定义除幂结构；参见引理 07HH。有两个除幂代数同态 \(B\to D\)：第一个是包含映射，第二个由 \(b\mapsto b+\theta(b)\) 给出。 因此，得到 \((A,I,\gamma)\) 上除幂代数的典范同态 \(B(1)\to D\)。 它诱导映射 \(K\to M\)；该映射在 \(K^2\) 上为零（因为 \(M\) 是平方为零的理想）， 并且在 \((K\cap J(1))^{[2]}\) 上也为零，因为 \(M^{[2]}=0\)。 由构造，复合映射 \(B\to K/K^2+(K\cap J(1))^{[2]}\to M\) 等于 \(\theta\)。因此 \(\text{d}\) 是泛除幂 \(A\)-导子，从而得证。

注

设 \(A\to B\) 为环同态，\((J,\delta)\) 为 \(B\) 上的除幂结构。 泛模 \(\Omega_{B/A,\delta}\) 还带有一点额外结构：即由 \(\text{d}_{B/A,\delta}(J)\) 生成的 \(B\)-子模 \(N\subset\Omega_{B/A,\delta}\)。在引理 07HT 给出的同构下，它对应于 \(K\cap J(1)\) 在 \(\Omega_{B/A,\delta}\) 中的像。考虑 \(A\)-代数 \(D=B\oplus\Omega^1_{B/A,\delta}\)，其理想为 \(\bar J=J\oplus N\)， 除幂 \(\bar\delta\) 如该引理证明中所定义。则 \((D,\bar J,\bar\delta)\) 是除幂环，并且由 \(b\mapsto b\) 与 \(b\mapsto b+\text{d}_{B/A,\delta}(b)\) 给出的两个映射 \(B\to D\) 都是 \(A\) 上的除幂环同态。此外，\(N\) 是使这一结论成立的 \(\Omega_{B/A,\delta}\) 的最小子模。

引理

在情形 07MD 中，设 \((B,J,\delta)\) 为 \(\text{CRIS}(C/A)\) 的对象。令 \((B(1),J(1),\delta(1))\) 为 \((B,J,\delta)\) 与自身在 \(\text{CRIS}(C/A)\) 中的余积，并记 \(K=\Ker(B(1)\to B)\)。则 \(K\cap J(1)\subset J(1)\) 在除幂结构下 保持不变，并且典范地有 \[\Omega_{B/A, \delta} = K/ \left(K^2 + (K \cap J(1))^{[2]}\right)\]

证明

逐字照搬引理 07HT 的证明即可。 唯一需要检验的是，除幂环 \(D=B\oplus M\) 是 \(\text{CRIS}(C/A)\) 的对象，且两个映射 \(B\to D\) 是 \(\text{CRIS}(C/A)\) 中的态射。由于 \(D/(J\oplus M)=B/J\)， 可以利用 \(C\to B/J\) 将 \(D\) 视为 \(\text{CRIS}(C/A)\) 的对象； 关于态射的断言由构造显然成立。

引理

设 \((A,I,\gamma)\) 为除幂环，\(A\to B\) 为环同态， \(IB\subset J\subset B\) 为理想。令 \(D_{B,\gamma}(J)=(D,\bar J,\bar\gamma)\) 为除幂包络。则 \[\Omega_{D/A, \bar\gamma} = \Omega_{B/A} \otimes_B D\]

证明

设 \(M\) 为 \(D\)-模。我们断言，\(A\)-导子 \(\vartheta:B\to M\) 与除幂 \(A\)-导子 \(\theta:D\to M\) 是同一回事。由米田引理， 该断言蕴含结论。

考虑 \(D\) 的平方零加厚 \(D\oplus M\)。若令 \(M\) 上的高阶除幂运算为零， 则 \(\bar J\oplus M\) 上有除幂结构 \(\delta\)。换言之，对任意 \(x\in\bar J\) 与 \(m\in M\)，令 \(\delta_n(x+m)=\bar\gamma_n(x)+\bar\gamma_{n-1}(x)m\)；参见引理 07HH。考虑 \(A\)-代数映射 \(B\to D\oplus M\)，其第一分量由 \(B\to D\) 给出，第二分量为 \(\vartheta\)。由泛性质，得到对应的除幂代数同态 \(D\to D\oplus M\)；其第二分量正是与 \(\vartheta\) 对应的除幂 \(A\)-导子 \(\theta\)。

证明

先设 \(B\) 在 \(A\) 上平坦。此时 \(\gamma\) 可延拓为 \(IB\) 上的除幂结构 \(\gamma'\)；参见“除幂代数”引理 07H1。 因此 \(D=D_{B,\gamma'}(J)\) 等于除幂环 \((D',J',\delta)\) 对元素 \(x_t-f_t\) 与 \(\delta_n(\sum r_t x_t-r_0)\) 所生成理想的商，其中 \(D'=B\langle x_t\rangle\) 且 \(J'=IB\langle x_t\rangle+B\langle x_t\rangle_+\)；记号与说明参见引理 07HC。以 \(\text{d}:D'\to\Omega_{D'/A,\delta}\) 表示泛导子。注意 \[\Omega_{D'/A, \delta} = \Omega_{B/A} \otimes_B D' \oplus \bigoplus D' \text{d}x_t,\] 参见引理 07HS。由此可知，\(\Omega_{D/A,\bar\gamma}\) 是 \(\Omega_{D'/A,\delta}\otimes_{D'}D\) 对如下子模的商：该子模由 \(\text{d}\) 作用于上列 \(D'\to D\) 的核的生成元所得元素生成； 参见引理 07HS。由于 \(\text{d}(x_t-f_t)=-\text{d}f_t+\text{d}x_t\)，在该商中有 \(\text{d}x_t=\text{d}f_t\)。特别地，映射 \(\Omega_{B/A}\otimes_BD\to\Omega_{D/A,\gamma}\) 是满射；其核由 \(\text{d}\) 作用于元素 \(\delta_n(\sum r_t x_t-r_0)\) 所得的像给出。 然而，给定 \(B\) 中的关系 \(\sum r_tf_t-r_0=0\)，其中 \(r_t\in B\) 且 \(r_0\in IB\)，可知 \[\begin{align*} \text{d}\delta_n(\sum r_t x_t - r_0) & = \delta_{n - 1}(\sum r_t x_t - r_0)\text{d}(\sum r_t x_t - r_0) \\ & = \delta_{n - 1}(\sum r_t x_t - r_0) \left( \sum r_t\text{d}(x_t - f_t) + \sum (x_t - f_t)\text{d}r_t \right) \end{align*}\] 因为 \(\sum r_tf_t-r_0=0\) 在 \(B\) 中成立。因此，它在 \(\Omega_{B/A}\otimes_A D\) 中已经为零，从而当 \(B\) 在 \(A\) 上平坦时得证。

在一般情形中，把 \(B\) 写成多项式环的商 \(P\to B\)，并令 \(J'\subset P\) 为 \(J\) 的逆像。采用引理 07HB 的记号，有 \(D=D'/K'\)。 由证明第一段处理的情形， \(\Omega_{D'/A,\bar\gamma'}=\Omega_{P/A}\otimes_PD'\)。于是 \(\Omega_{D/A,\bar\gamma}\) 是 \(\Omega_{P/A}\otimes_PD\) 对如下子模的商： 该子模由 \(k\in\Ker(P\to B)\) 时的 \(\text{d}\bar\gamma_n'(k)\) 生成； 参见引理 07HS 以及引理 07HB 对 \(K'\) 的描述。由于 \(\text{d}\bar\gamma_n'(k)=\bar\gamma'_{n-1}(k)\text{d}k\)，仍只需再对 \(k\in\Ker(P\to B)\) 时的 \(\text{d}k\) 所生成的子模取商。又因为 \(\Omega_{B/A}\) 正是 \(\Omega_{P/A}\otimes_AB\) 对这些元素所生成子模的商 （“代数”引理 00RU），故得证。

注

设 \(A\to B\) 为环同态，\((J,\delta)\) 为 \(B\) 上的除幂结构。令 \(\Omega_{B/A,\delta}^i=\wedge_B^i\Omega_{B/A,\delta}\)，其中 \(\Omega_{B/A,\delta}\) 是泛除幂 \(A\)-导子 \(\text{d}=\text{d}_{B/A}:B\to\Omega_{B/A,\delta}\) 的值域。注意， \(\Omega_{B/A,\delta}\) 是 \(\Omega_{B/A}\) 对如下 \(B\)-子模的商： 该子模由 \(x\in J\) 时的元素 \(\text{d}\delta_n(x)-\delta_{n-1}(x)\text{d}x\) 生成。我们断言“代数” 引理 07HY 适用。为此，只需验证 \(\Omega_B\) 的元素 \(\text{d}\delta_n(x)-\delta_{n-1}(x)\text{d}x\) 在 \(\Omega^2_{B/A,\delta}\) 中的像为零。事实上， \[\text{d}(\delta_{n - 1}(x)) \wedge \text{d}x = \delta_{n - 2}(x) \text{d}x \wedge \text{d}x = 0\] 在 \(\Omega^2_{B/A,\delta}\) 中成立，正合所需。因此得到除幂德拉姆复形 \[\Omega^0_{B/A, \delta} \to \Omega^1_{B/A, \delta} \to \Omega^2_{B/A, \delta} \to \ldots\] 它将在后文发挥重要作用。

注

设 \(A\to B\) 为环同态，\(\Omega_{B/A}\to\Omega\) 为满足“代数”引理 07HY 之假设的商。设 \(M\) 为 \(B\)-模。 一个联络是可加映射 \[\nabla : M \longrightarrow M \otimes_B \Omega\] 使得对 \(b\in B\) 与 \(m\in M\) 有 \(\nabla(bm)=b\nabla(m)+m\otimes\text{d}b\)。在此情形中，可按规则 \[\nabla : M \otimes_B \Omega^i \longrightarrow M \otimes_B \Omega^{i + 1}\] 定义这些映射： \(\nabla(m\otimes\omega)=\nabla(m)\wedge\omega+m\otimes\text{d}\omega\)。 这是良定义的，因为若 \(b\in B\)，则 \[\begin{align*} \nabla(bm \otimes \omega) - \nabla(m \otimes b\omega) & = \nabla(bm) \wedge \omega + bm \otimes \text{d}\omega - \nabla(m) \wedge b\omega - m \otimes \text{d}(b\omega) \\ & = b\nabla(m) \wedge \omega + m \otimes \text{d}b \wedge \omega + bm \otimes \text{d}\omega \\ & \ \ \ \ \ \ - b\nabla(m) \wedge \omega - bm \otimes \text{d}(\omega) - m \otimes \text{d}b \wedge \omega = 0 \end{align*}\] 依照惯例，当且仅当复合映射 \[M \xrightarrow{\nabla} M \otimes_B \Omega^1 \xrightarrow{\nabla} M \otimes_B \Omega^2\] 为零时，称该联络可积。在这种情形下，得到复形 \[M \xrightarrow{\nabla} M \otimes_B \Omega^1 \xrightarrow{\nabla} M \otimes_B \Omega^2 \xrightarrow{\nabla} M \otimes_B \Omega^3 \xrightarrow{\nabla} M \otimes_B \Omega^4 \to \ldots\] 称为该联络的德拉姆复形。

注

考虑如下环的交换图： \[\xymatrix{ B \ar[r]_\varphi & B' \\ A \ar[u] \ar[r] & A' \ar[u] }\] 设 \(\Omega_{B/A}\to\Omega\) 与 \(\Omega_{B'/A'}\to\Omega'\) 为满足 “代数”引理 07HY 之假设的商。 假设存在映射 \(\varphi:\Omega\to\Omega'\)，使下图交换： \[\xymatrix{ \Omega_{B/A} \ar[r] \ar[d] & \Omega_{B'/A'} \ar[d] \\ \Omega \ar[r]^{\varphi} & \Omega' }\] 其中上方水平箭头是由 \(\varphi:B\to B'\) 诱导的典范映射 \(\Omega_{B/A}\to\Omega_{B'/A'}\)。在此情形中，给定任意一对 \((M,\nabla)\)，其中 \(M\) 为 \(B\)-模且 \(\nabla:M\to M\otimes_B\Omega\) 为联络，可得到其基变换 \((M\otimes_BB',\nabla')\)，其中 \[\nabla' : M \otimes_B B' \longrightarrow (M \otimes_B B') \otimes_{B'} \Omega' = M \otimes_B \Omega'\] 按下式定义： \[\nabla'(m \otimes b') = \sum m_i \otimes b'\text{d}\varphi(b_i) + m \otimes \text{d}b'\] 这里 \(\nabla(m)=\sum m_i\otimes\text{d}b_i\)。若 \(\nabla\) 可积， 则 \(\nabla'\) 也可积；此时有德拉姆复形之间的典范映射（注 07I0） [07PY]\[\begin{equation} M \otimes_B \Omega^\bullet \longrightarrow (M \otimes_B B') \otimes_{B'} (\Omega')^\bullet = M \otimes_B (\Omega')^\bullet \end{equation}\] 它把 \(m\otimes\eta\) 映为 \(m\otimes\varphi(\eta)\)。

引理

设 \(A\to B\) 为环同态，\((J,\delta)\) 为 \(B\) 上的除幂结构，\(p\) 为素数。 假设 \(A\) 是 \(\mathbf{Z}_{(p)}\)-代数，且 \(p\) 在 \(B/J\) 中幂零。则 \[\lim_e \Omega_{B_e/A, \bar\delta} = \lim_e \Omega_{B/A, \delta}/p^e\Omega_{B/A, \delta} = \lim_e \Omega_{B^\wedge/A, \delta^\wedge}/p^e \Omega_{B^\wedge/A, \delta^\wedge}\] 记号与说明参见证明。

证明

由“除幂代数”引理 07KD，对所有充分大的 \(e\)，\(\delta\) 可延拓至 \(B_e=B/p^eB\)，故第一个极限有意义。 该引理还在完备化 \(B^\wedge=\lim_eB_e\) 上给出除幂结构 \(\delta^\wedge\)，故最后一个极限也有意义。由引理 07HS 以及恒有 \(\text{d}p^e=0\)，满射 \(\Omega_{B/A,\delta}\to\Omega_{B_e/A,\bar\delta}\) 的核为 \(p^e\Omega_{B/A,\delta}\)。映射 \(\Omega_{B^\wedge/A,\delta^\wedge}\to\Omega_{B_e/A,\bar\delta}\) 的核也同理。因此结论显然。

除幂概形

下面说明如何将前述概念整体化。

定义

设 \(\mathcal C\) 为位点，\(\mathcal O\) 为 \(\mathcal C\) 上的环层， \(\mathcal I\subset\mathcal O\) 为理想层。\(\mathcal I\) 上的一个 除幂结构 \(\gamma\)，是映射序列 \(\gamma_n:\mathcal I\to\mathcal I\)（\(n\geq1\)），使得对 \(\mathcal C\) 的任意对象 \(U\)，三元组 \[(\mathcal{O}(U), \mathcal{I}(U), \gamma)\] 为除幂环。

当然，这尤其适用于拓扑空间上的环层。不过，稍作一般化是有益的， 因为晶体位点的结构层正是定义在一个……位点上的！本章有时把上述定义中的 三元组 \((\mathcal C,\mathcal I,\gamma)\) 称为除幂拓扑斯。 给定另一个 \((\mathcal C',\mathcal I',\gamma')\)，以及环化拓扑斯的态射 \((f, f^\sharp) : (\Sh(\mathcal{C}), \mathcal{O}) \to (\Sh(\mathcal{C}'), \mathcal{O}')\) 若 \(f^\sharp(f^{-1}\mathcal I')\subset\mathcal I\)，且对所有 \(n\geq1\) 下图均交换，便称 \((f,f^\sharp)\) 诱导一个除幂拓扑斯态射： \[\xymatrix{ f^{-1}\mathcal{I}' \ar[d]_{f^{-1}\gamma'_n} \ar[r]_{f^\sharp} & \mathcal{I} \ar[d]^{\gamma_n} \\ f^{-1}\mathcal{I}' \ar[r]^{f^\sharp} & \mathcal{I} }\] 若 \(f\) 来自由函子 \(u:\mathcal C'\to\mathcal C\) 诱导的位点态射， 这恰好意味着对所有 \(U'\in\Ob(\mathcal C')\)， \[(\mathcal{O}'(U'), \mathcal{I}'(U'), \gamma') \longrightarrow (\mathcal{O}(u(U')), \mathcal{I}(u(U')), \gamma)\] 均为除幂环同态。

在概形的情形中，还要求除幂理想为拟凝聚的。除此以外， 定义与拓扑斯情形完全相同。具体如下。

定义

一个除幂概形是三元组 \((S,\mathcal I,\gamma)\)，其中 \(S\) 是概形， \(\mathcal I\) 是拟凝聚理想层，而 \(\gamma\) 是 \(\mathcal I\) 上的除幂结构。 一个除幂概形态射 \((S, \mathcal{I}, \gamma) \to (S', \mathcal{I}', \gamma')\)， 是满足 \(f^{-1}\mathcal I'\mathcal O_S\subset\mathcal I\) 的概形态射 \(f:S\to S'\)，并且 \[(\mathcal{O}_{S'}(U'), \mathcal{I}'(U'), \gamma') \longrightarrow (\mathcal{O}_S(f^{-1}U'), \mathcal{I}(f^{-1}U'), \gamma)\] 对每个开集 \(U'\subset S'\) 都是除幂环同态。

回忆拟凝聚理想层与闭浸入之间存在一一对应，见 “态射”第 01QN 节。 因此，给定除幂概形 \((T,\mathcal J,\gamma)\)，由 \(\mathcal J\) 定义出 一个典范闭浸入 \(U\to T\)。反过来，给定闭浸入 \(U\to T\)，以及与 \(U\to T\) 相伴的理想层 \(\mathcal J\) 上的除幂结构 \(\gamma\)，便得到 除幂概形 \((T,\mathcal J,\gamma)\)。在许多情形中，我们只想考虑 \(U\to T\) 为加厚时的这类三元组 \((U,T,\gamma)\)；见 “态射进阶”定义 04EX。

定义

若 \(U\to T\) 是加厚，则称上述三元组 \((U,T,\gamma)\) 为一个 除幂加厚。

当三个除幂概形中有一个是除幂加厚时，其纤维积存在。正式陈述如下。

引理

设 \(f:(T,\mathcal J,\delta)\to(S,\mathcal I,\gamma)\) 与 \(f':(T',\mathcal J',\delta')\to(S,\mathcal I,\gamma)\) 是除幂概形态射。 则存在一个除幂概形 \((T'',\mathcal J'',\delta'')\) 以及笛卡尔图 \[\xymatrix{ T \ar[d]_f & T'' \ar[d] \ar[l] \\ S & T' \ar[l]_{f'} }\] 于除幂概形范畴中成立。态射 \(T''\to T\times_S T'\) 是闭浸入， 而态射 \(T''_0\to T_0\times_{S_0}T'_0\) 是同构。

证明

证明梗概。注意，借助 \(\Spec(-)\)，最后两个断言与 “除幂代数”注 0H86 中关于除幂代数推出的结论相容。因此我们如下把 \(T''\) 构造成 \(T\times_S T'\) 的闭子概形：对任意仿射开集 \(U\subset S\)、\(V\subset T\)、 \(V'\subset T'\)，若 \(f(V),f'(V')\subset U\)，便考虑由 “除幂代数”注 0H86 中的构造所确定的 \(V\times_U V'\) 的闭子概形。由于各 \(V\times_U V'\) 构成 \(T\times_S T'\) 的一个开覆盖，可以依次进行： (1) 证明这些闭子概形能够粘合；(2) 证明所得除幂结构能够粘合； (3) 证明粘合所得对象是除幂概形范畴中的纤维积。 断言 (1) 等价于证明除幂环范畴中的推出构造与局部化交换 （适当表述后）；这由“除幂代数”引理 07H1 得出，因为该结果说明除幂可由平坦性 延拓到局部化上。

我们作如下观察。设 \((U,T,\gamma)\) 是除幂概形，\(T\) 是 \(\mathbf Z_{(p)}\) 上的概形，并且 \(p\) 在 \(U\) 上局部幂零。则

1. \(p\) 在 \(T\) 上局部幂零 \(\Leftrightarrow U\to T\) 是加厚 （见“除幂代数”引理 07GR）；以及

2. 当 \(e\gg0\) 时，\(p^e\mathcal O_T\) 在 \(T\) 上局部地被 \(\gamma\) 保持 （见“除幂代数”引理 07KD）。

这表明，在以下假设下可以得到关于除幂加厚的良好结果。

情形

这里 \(p\) 是素数，\((S,\mathcal I,\gamma)\) 是 \(\mathbf Z_{(p)}\) 上的 除幂概形。置 \(S_0=V(\mathcal I)\subset S\)。最后，\(X\to S_0\) 是概形态射，并且 \(p\) 在 \(X\) 上局部幂零。

我们将在此情形下定义大、小晶体位点。

大晶体位点

我们先定义大位点。给定除幂概形 \((S,\mathcal I,\gamma)\)，若 \(T\) 配备 一个除幂概形态射 \(T\to S\)，便称 \((T,\mathcal J,\delta)\) 是 \((S,\mathcal I,\gamma)\) 上的除幂概形。类似地，若 \(T\) 配备一个 除幂概形态射 \(T\to S\)，便称除幂加厚 \((U,T,\delta)\) 是 \((S,\mathcal I,\gamma)\) 上的除幂加厚。

定义

在 情形 07MF 中：

1. 一个\(X\) 相对于 \((S,\mathcal I,\gamma)\) 的除幂加厚， 由 \((S,\mathcal I,\gamma)\) 上的除幂加厚 \((U,T,\delta)\) 与一个 \(S\)-态射 \(U\to X\) 给出。

2. \(X\) 相对于 \((S,\mathcal I,\gamma)\) 的除幂加厚态射 按显然方式定义。

\(X\) 相对于 \((S,\mathcal I,\gamma)\) 的除幂加厚所成的范畴记为 \(\text{CRIS}(X/S,\mathcal I,\gamma)\)，或简记为 \(\text{CRIS}(X/S)\)。

对 \(\text{CRIS}(X/S)\) 中任意 \((U,T,\delta)\)，\(p\) 在 \(T\) 上局部幂零； 见情形 07MF 之前的讨论。与 \((U,T,\delta)\) 相伴的全部数据可由下列交换图清楚表示： \[\xymatrix{ T \ar[dd] & U \ar[l] \ar[d] \\ & X \ar[d] \\ S & S_0 \ar[l] }\] 其中 \(S_0=V(\mathcal I)\subset S\)。\(\text{CRIS}(X/S)\) 的态射也可类似地 表示成较大的交换图。特别地，有典范遗忘函子 [07I7]\[\begin{equation} \text{CRIS}(X/S) \longrightarrow \Sch/X,\quad (U, T, \delta) \longmapsto U \end{equation}\] 以及它的单侧逆（同时也是左伴随） [07I8]\[\begin{equation} \Sch/X \longrightarrow \text{CRIS}(X/S),\quad U \longmapsto (U, U, \emptyset) \end{equation}\] 后者有时很有用。

引理

在情形 07MF 中，范畴 \(\text{CRIS}(X/S)\) 具有一切非空有限极限，特别是二元积与纤维积。 函子 (07I7) 与这些极限交换。

证明

略。提示：仿射情形见引理 07HN； 另见“除幂代数”注 0H86。

引理

在情形 07MF 中，设 \[\xymatrix{ (U_3, T_3, \delta_3) \ar[d] \ar[r] & (U_2, T_2, \delta_2) \ar[d] \\ (U_1, T_1, \delta_1) \ar[r] & (U, T, \delta) }\] 是 \(X\) 相对于 \((S,\mathcal I,\gamma)\) 的除幂加厚范畴中的纤维方块。 若 \(T_2\to T\) 平坦且 \(U_2=T_2\times_TU\)，则作为概形有 \(T_3=T_1\times_TT_2\)。

证明

这是因为除幂结构沿平坦环同态可唯一延拓。见 “除幂代数”引理 07H1。

上述引理表明，除幂加厚的平坦态射经过基变换后仍是平坦态射， 并且事实上就是该态射的“通常”基变换。因此下述定义是合理的。

定义

在 情形 07MF 中：

1. \(X/S\) 的除幂加厚态射族 \(\{(U_i,T_i,\delta_i)\to(U,T,\delta)\}\) 称为一个 Zariski、étale、光滑、syntomic 或 fppf 覆盖，当且仅当

   1. 对所有 \(i\) 都有 \(U_i=U\times_TT_i\)；并且

   2. \(\{T_i\to T\}\) 是 Zariski、étale、光滑、syntomic 或 fppf 覆盖。

2. \(X\) 在 \((S,\mathcal I,\gamma)\) 上的大晶体位点， 是赋予 Zariski 拓扑的范畴 \(\text{CRIS}(X/S)\)。

3. \(\text{CRIS}(X/S)\) 上的层拓扑斯记为 \((X/S)_{\text{CRIS}}\)，有时也记为 \((X/S, \mathcal{I}, \gamma)_{\text{CRIS}}\)²。

这些拓扑斯具有一些显然的函子性。

注

设 \(p\) 是素数，并设 \((S,\mathcal I,\gamma)\to(S',\mathcal I',\gamma')\) 是 \(\mathbf Z_{(p)}\) 上的除幂概形态射。置 \(S_0=V(\mathcal I)\) 与 \(S'_0=V(\mathcal I')\)。设 \[\xymatrix{ X \ar[r]_f \ar[d] & Y \ar[d] \\ S_0 \ar[r] & S'_0 }\] 是概形态射的交换图，并假设 \(p\) 在 \(X\) 与 \(Y\) 上局部幂零。 则得到连续且余连续的函子 \[\text{CRIS}(X/S) \longrightarrow \text{CRIS}(Y/S')\] 它把 \((U,T,\delta)\) 对应到同一个 \((U,T,\delta)\)，并以 \(U\to X\to Y\) 作为从 \(U\) 到 \(Y\) 的 \(S'\)-态射。因此得到拓扑斯态射 \[f_{\text{CRIS}} : (X/S)_{\text{CRIS}} \longrightarrow (Y/S')_{\text{CRIS}}\] 见“位点论”第 00XN 节。

注

在 情形 07MF 中，函子 (07I7) 是余连续的（细节略），并且与积和纤维积交换 （引理 07I9）。 因此得到拓扑斯态射 \[U_{X/S} : (X/S)_{\text{CRIS}} \longrightarrow \Sh((\Sch/X)_{Zar})\] 从 \(X/S\) 的大晶体拓扑斯指向 \(X\) 的大 Zariski 拓扑斯。 见“位点论”第 00XN 节。

注

在 情形 07MF 中，考虑闭子概形 \(S_0=V(\mathcal I)\subset S\)。若假设 \(p\) 在 \(S_0\) 上局部幂零 （实际中总是如此），则以 \(S_0\) 代替 \(X\)，便得到 定义 07I6 中的情形，从而得到位点 \(\text{CRIS}(S_0/S)\)。若 \(f:X\to S_0\) 是 \(X\) 在 \(S\) 上的结构态射， 则得到环化拓扑斯态射的交换图 \[\xymatrix{ (X/S)_{\text{CRIS}} \ar[r]_{f_{\text{CRIS}}} \ar[d]_{U_{X/S}} & (S_0/S)_{\text{CRIS}} \ar[d]^{U_{S_0/S}} \\ \Sh((\Sch/X)_{Zar}) \ar[r]^{f_{big}} & \Sh((\Sch/S_0)_{Zar}) \ar[rd] \\ & & \Sh((\Sch/S)_{Zar}) }\] 这来自 注 07IC。我们把复合 \((X/S)_{\text{CRIS}}\to\Sh((\Sch/S)_{Zar})\) 看作大晶体位点的结构态射。 即使 \(p\) 在 \(S_0\) 上并非局部幂零，结构态射 \[(X/S)_{\text{CRIS}} \longrightarrow \Sh((\Sch/S)_{Zar})\] 仍有定义，因为可以沿上图的下方路径得到它。因此，它是与下述余连续函子 \(\text{CRIS}(X/S)\to(\Sch/S)_{Zar}\) 对应的拓扑斯态射： \((U,T,\delta)/S\mapsto U/S\)；见 “位点论”第 00XN 节。

注

上述态射满足许多相容性。例如，在 注 07IC 的情形中，得到环化拓扑斯的交换图 \[\xymatrix{ (X/S)_{\text{CRIS}} \ar[d] \ar[r] & (Y/S')_{\text{CRIS}} \ar[d] \\ \Sh((\Sch/S)_{Zar}) \ar[r] & \Sh((\Sch/S')_{Zar}) }\] 其中竖直箭头为结构态射。

晶体位点

由于 (07I7) 与积和纤维积交换，考察满足 \(U\to X\) 为开浸入的那些 \((U,T,\delta)\)，便定义出一个在纤维积（更一般地， 非空有限极限）下保持的全子范畴。因此下述定义是合理的。

定义

在 情形 07MF 中：

1. \(X\) 在 \((S,\mathcal I,\gamma)\) 上的（小）晶体位点， 记为 \(\text{Cris}(X/S,\mathcal I,\gamma)\)，或简记为 \(\text{Cris}(X/S)\)，是 \(\text{CRIS}(X/S)\) 中由所有满足 \(U\to X\) 为开浸入的 \((U,T,\delta)\) 所成的全子范畴，并赋予 Zariski 拓扑。

2. \(\text{Cris}(X/S)\) 上的层拓扑斯记为 \((X/S)_{\text{cris}}\)， 有时也记为 \((X/S,\mathcal I,\gamma)_{\text{cris}}\)³。

对 \(\text{Cris}(X/S)\) 中任意 \((U,T,\delta)\)，态射 \(U\to X\) 定义了 \(X\) 的小 Zariski 位点 \(X_{Zar}\) 的一个对象。因此有典范遗忘函子 [07IH]\[\begin{equation} \text{Cris}(X/S) \longrightarrow X_{Zar},\quad (U, T, \delta) \longmapsto U \end{equation}\] 以及左伴随 [07II]\[\begin{equation} X_{Zar} \longrightarrow \text{Cris}(X/S),\quad U \longmapsto (U, U, \emptyset) \end{equation}\] 后者有时很有用。

正如可以比较一个概形的小、大 Zariski 位点一样，我们也可以比较 小、大晶体位点；见 “拓扑” 引理 020Z。

引理

假设同定义 07I6。包含函子 \[\text{Cris}(X/S) \to \text{CRIS}(X/S)\] 与非空有限极限交换，并且是全忠实、连续且余连续的。存在拓扑斯态射 \[(X/S)_{\text{cris}} \xrightarrow{i} (X/S)_{\text{CRIS}} \xrightarrow{\pi} (X/S)_{\text{cris}}\] 其复合为恒等态射，其中第一个由包含函子诱导。此外，\(\pi_*=i^{-1}\)。

证明

第一个断言见引理 07I9。 由此得到拓扑斯态射 \(i:(X/S)_{\text{cris}}\to(X/S)_{\text{CRIS}}\)，以及左伴随 \(i_!\)， 满足 \(i^{-1}i_!=i^{-1}i_*=\text{id}\)；见 “位点论” 引理 00XR、00XS 及 00XT。 我们断言 \(i_!\) 是正合的。若此断言成立，便可由 \(\pi^{-1}=i_!\) 与 \(\pi_*=i^{-1}\) 定义 \(\pi\)，其余皆明。 为证明该断言，注意我们已知 \(i_!\) 右正合且保持纤维积（见上述引文）。 因此只需证明 \(i_!*=*\)，其中 \(*\) 表示集合层范畴的终对象。 为此，只需给出 \(\text{Cris}(X/S)\) 的一族对象 \((U_i,T_i,\delta_i)\)，\(i\in I\)，使得 \[\coprod\nolimits_{i \in I} h_{(U_i, T_i, \delta_i)} \to *\] 在 \((X/S)_{\text{CRIS}}\) 中满射（细节略；提示：利用 \(\text{Cris}(X/S)\) 具有积，且函子 \(\text{Cris}(X/S)\to\text{CRIS}(X/S)\) 与积交换）。 在仿射情形，这由引理 07HP 得出。 一般情形的证明从略。

注

设 \(p\) 是素数，并设 \((S,\mathcal I,\gamma)\to(S',\mathcal I',\gamma')\) 是 \(\mathbf Z_{(p)}\) 上的除幂概形态射。设 \[\xymatrix{ X \ar[r]_f \ar[d] & Y \ar[d] \\ S_0 \ar[r] & S'_0 }\] 是概形态射的交换图，并假设 \(p\) 在 \(X\) 与 \(Y\) 上局部幂零。 仿照 “拓扑” 引理 0211，定义 \[f_{\text{cris}} : (X/S)_{\text{cris}} \longrightarrow (Y/S')_{\text{cris}}\] 公式为 \(f_{\text{cris}}=\pi_Y\circ f_{\text{CRIS}}\circ i_X\)； 其中 \(i_X\) 与 \(\pi_Y\) 分别是 引理 07IJ 中关于 \(X\) 与 \(Y\) 的态射，而 \(f_{\text{CRIS}}\) 如 注 07IC 所定义。

注

在 情形 07MF 中，函子 (07IH) 连续、余连续，并且与积和纤维积交换。 因此得到拓扑斯态射 \[u_{X/S} : (X/S)_{\text{cris}} \longrightarrow \Sh(X_{Zar})\] 它联系 \(X/S\) 的小晶体拓扑斯与 \(X\) 的小 Zariski 拓扑斯。 见“位点论”第 00XN 节。

引理

在 情形 07MF 中，设 \(X'\subset X\) 与 \(S'\subset S\) 是开子概形，并且 \(X'\) 映入 \(S'\)。则存在全忠实函子 \(\text{Cris}(X'/S')\to\text{Cris}(X/S)\)，它诱导一个拓扑斯态射， 使下图交换： \[\xymatrix{ (X'/S')_{\text{cris}} \ar[r] \ar[d]_{u_{X'/S'}} & (X/S)_{\text{cris}} \ar[d]^{u_{X/S}} \\ \Sh(X'_{Zar}) \ar[r] & \Sh(X_{Zar}) }\] 此外，此图是 “位点论” 引理 04H1 所述拓扑斯态射局部化的一个例子。

证明

把 \(\text{Cris}(X'/S')\) 的对象看作 \(X\) 的除幂加厚 \((U,T,\delta)\)，其中 \(U\to X\) 通过 \(X'\subset X\) 分解，便得到上述 全忠实函子（此时 \(T\to S\) 自动通过 \(S'\) 分解）。该函子显然余连续， 因而得到所示拓扑斯态射。把 \(X'\) 看成 \(X_{Zar}\) 的对象，并记其相伴的 可表层为 \(h_{X'}\in\Sh(X_{Zar})\)。显然 \(\Sh(X'_{Zar})\) 是局部化 \(\Sh(X_{Zar})/h_{X'}\)。另一方面，借助上述函子，范畴 \(\text{Cris}(X/S)/u_{X/S}^{-1}h_{X'}\) （见 “位点论” 引理 0791） 与 \(\text{Cris}(X'/S')\) 典范等同。证毕。

注

在 情形 07MF 中，考虑闭子概形 \(S_0=V(\mathcal I)\subset S\)。若假设 \(p\) 在 \(S_0\) 上局部幂零 （实际中总是如此），则以 \(S_0\) 代替 \(X\)，便得到 定义 07I6 中的情形，从而得到位点 \(\text{Cris}(S_0/S)\)。若 \(f:X\to S_0\) 是 \(X\) 在 \(S\) 上的结构态射， 则得到拓扑斯的交换图 \[\xymatrix{ (X/S)_{\text{cris}} \ar[r]_{f_{\text{cris}}} \ar[d]_{u_{X/S}} & (S_0/S)_{\text{cris}} \ar[d]^{u_{S_0/S}} \\ \Sh(X_{Zar}) \ar[r]^{f_{small}} & \Sh(S_{0, Zar}) \ar[rd] \\ & & \Sh(S_{Zar}) }\] 见注 07IK。我们把复合 \((X/S)_{\text{cris}}\to\Sh(S_{Zar})\) 看作晶体位点的结构态射。 即使 \(p\) 在 \(S_0\) 上并非局部幂零，结构态射 \[\tau_{X/S} : (X/S)_{\text{cris}} \longrightarrow \Sh(S_{Zar})\] 仍有定义，因为可以沿上图的下方路径得到它。

注

上述态射满足许多相容性。例如，在 注 07IK 的情形中，得到环化拓扑斯的交换图 \[\xymatrix{ (X/S)_{\text{cris}} \ar[d] \ar[r] & (Y/S')_{\text{cris}} \ar[d] \\ \Sh((\Sch/S)_{Zar}) \ar[r] & \Sh((\Sch/S')_{Zar}) }\] 其中竖直箭头为结构态射。

晶体位点上的层

记号与假设同情形 07MF。为了在本节同时讨论 \(X/S\) 的小、大晶体位点，令 \[\mathcal{C} = \text{CRIS}(X/S) \quad\text{或}\quad \mathcal{C} = \text{Cris}(X/S).\] \(\mathcal C\) 上的层 \(\mathcal F\) 对 \(\mathcal C\) 的每个对象 \((U,T,\delta)\) 给出一个限制 \(\mathcal F_T\)。具体地， \(\mathcal F_T\) 是概形 \(T\) 上由下式定义的 Zariski 层： \[\mathcal{F}_T(W) = \mathcal{F}(U \cap W, W, \delta|_W)\] 其中 \(W\subset T\) 为开集。此外，若 \(f:T\to T'\) 是 \(\mathcal C\) 的对象 \((U,T,\delta)\) 与 \((U',T',\delta')\) 之间的态射，则有典范 比较映射 [07IP]\[\begin{equation} c_f : f^{-1}\mathcal{F}_{T'} \longrightarrow \mathcal{F}_T. \end{equation}\] 事实上，若 \(W'\subset T'\) 为开集，则 \(f\) 诱导 \(\mathcal C\) 中的态射 \[f|_{f^{-1}W'} : (U \cap f^{-1}(W'), f^{-1}W', \delta|_{f^{-1}W'}) \longrightarrow (U' \cap W', W', \delta|_{W'})\] 因而可用 \(\mathcal F\) 的限制映射 \((f|_{f^{-1}W'})^*\) 定义映射 \(\mathcal F_{T'}(W')\to\mathcal F_T(f^{-1}W')\)。这些映射显然与进一步 限制相容，故定义了从 \(\mathcal F_{T'}\) 到 \(\mathcal F_T\) 的一个 \(f\)-映射（见“层”第 008C 节， 尤其是 “层” 定义 008J）， 从而得到 (07IP) 中的映射 \(c_f\)。 注意，若 \(f\) 是开浸入，则 \(c_f\) 是同构，因为此时 \(\mathcal F_T\) 正是 \(\mathcal F_{T'}\) 在 \(T\) 上的限制。

反过来，若对 \(\mathcal C\) 的每个对象 \((U,T,\delta)\) 给定 Zariski 层 \(\mathcal F_T\)，并给定上述比较映射 \(c_f\)，且它们 (a) 对开浸入为同构， (b) 满足适当的上闭链条件，则得到 \(\mathcal C\) 上的一个层。其证明与 “拓扑” 引理 0213 完全相同。

\(\mathcal C\) 上的结构层是由下式定义的层 \(\mathcal O_{X/S}\)： \[\mathcal{O}_{X/S} : (U, T, \delta) \longmapsto \Gamma(T, \mathcal{O}_T)\] 由 \(\mathcal C\) 中覆盖的定义可知这是一个层。设 \(\mathcal F\) 是 \(\mathcal O_{X/S}\)-模层。此时比较映射 (07IP) 定义一个 \(\mathcal O_T\)-模的比较映射 [07IQ]\[\begin{equation} c_f : f^*\mathcal{F}_{T'} \longrightarrow \mathcal{F}_T \end{equation}\]

另一类例子从 \((\Sch/X)_{Zar}\) 或 \(X_{Zar}\) 上的层 \(\mathcal G\) 出发 （取决于 \(\mathcal C=\text{CRIS}(X/S)\) 还是 \(\mathcal C=\text{Cris}(X/S)\)）。则由下式定义的 \(\underline{\mathcal G}\) 是 \(\mathcal C\) 上的层： \[\underline{\mathcal{G}} : (U, T, \delta) \longmapsto \mathcal{G}(U)\] 特别地，取 \(\mathcal G=\mathbf G_a=\mathcal O_X\)，得到 \[\underline{\mathbf{G}_a} : (U, T, \delta) \longmapsto \Gamma(U, \mathcal{O}_U)\] 对每个对象 \((U,T,\delta)\)，典范映射 \(\Gamma(T,\mathcal O_T)\to\Gamma(U,\mathcal O_U)\) 定义层的满射 \(\mathcal O_{X/S}\to\underline{\mathbf G_a}\)。记其核为 \(\mathcal J_{X/S}\)，从而得到短正合列 \[0 \to \mathcal{J}_{X/S} \to \mathcal{O}_{X/S} \to \underline{\mathbf{G}_a} \to 0\] 注意，\(\mathcal J_{X/S}\) 配备典范除幂结构。事实上，对每个对象 \((U,T,\delta)\)，第三个分量 \(\delta\) 本来就是 \(\mathcal O_T\to\mathcal O_U\) 之核上的除幂结构。因此（大）晶体拓扑斯 是除幂拓扑斯。

模中的晶体

晶体原来是一种非常一般的对象。不过其定义可能稍难理解，因此我们先在 晶体位点上的模这一情形中给出定义。

定义

在情形 07MF 中，令 \(\mathcal C=\text{CRIS}(X/S)\) 或 \(\mathcal C=\text{Cris}(X/S)\)， 并令 \(\mathcal F\) 是 \(\mathcal C\) 上的 \(\mathcal O_{X/S}\)-模层。

1. 若对 \(\mathcal C\) 的每个对象 \((U,T,\delta)\)，限制 \(\mathcal F_T\) 都是拟凝聚 \(\mathcal O_T\)-模，则称 \(\mathcal F\) 局部拟凝聚。

2. 若 \(\mathcal F\) 在“位点上的模”定义 03DL 的意义下拟凝聚，则称 \(\mathcal F\) 拟凝聚。

3. 若所有比较映射 (07IQ) 都是同构， 则称 \(\mathcal F\) 是一个\(\mathcal O_{X/S}\)-模中的晶体。

这些概念之间有如下关系。

引理

采用 定义 07IS 中的记号 \(X/S,\mathcal I,\gamma,\mathcal C,\mathcal F\)。以下条件等价：

1. \(\mathcal F\) 拟凝聚；

2. \(\mathcal F\) 局部拟凝聚，并且是 \(\mathcal O_{X/S}\)-模中的晶体。

证明

假设 (1)。设 \(f:(U',T',\delta')\to(U,T,\delta)\) 是 \(\mathcal C\) 中的态射。 我们要证明：(a) \(\mathcal F_T\) 是拟凝聚 \(\mathcal O_T\)-模； (b) \(c_f:f^*\mathcal F_T\to\mathcal F_{T'}\) 是同构。该假设意味着可以 找到一个覆盖 \(\{(T_i,U_i,\delta_i)\to(T,U,\delta)\}\)，使得对每个 \(i\)， \(\mathcal F\) 在 \(\mathcal C/(T_i,U_i,\delta_i)\) 上的限制具有全局表现。 由于只需在 Zariski 局部证明 (a) 与 (b)，可以把 \(f:(T',U',\delta')\to(T,U,\delta)\) 换成到 \((T_i,U_i,\delta_i)\) 的基变换， 并假设 \(\mathcal F\) 在 \(\mathcal C/(T,U,\delta)\) 上的限制具有全局表现 \[\bigoplus\nolimits_{j \in J} \mathcal{O}_{X/S}|_{\mathcal{C}/(U, T, \delta)} \longrightarrow \bigoplus\nolimits_{i \in I} \mathcal{O}_{X/S}|_{\mathcal{C}/(U, T, \delta)} \longrightarrow \mathcal{F}|_{\mathcal{C}/(U, T, \delta)} \longrightarrow 0\] 显然，这给出表现 \[\bigoplus\nolimits_{j \in J} \mathcal{O}_T \longrightarrow \bigoplus\nolimits_{i \in I} \mathcal{O}_T \longrightarrow \mathcal{F}_T \longrightarrow 0\] 故 (a) 成立。此外，该表现限制到 \(T'\) 后给出 \(\mathcal F_{T'}\) 的同类表现，故 (b) 成立。

假设 (2)。设 \((U,T,\delta)\) 是 \(\mathcal C\) 的对象。我们要找 \((U,T,\delta)\) 的一个覆盖，使 \(\mathcal F\) 限制到 \(\mathcal C\) 在覆盖各成员处的局部化后具有全局表现。因此可以假设 \(T\) 仿射。 此时可选取表现 \[\bigoplus\nolimits_{j \in J} \mathcal{O}_T \longrightarrow \bigoplus\nolimits_{i \in I} \mathcal{O}_T \longrightarrow \mathcal{F}_T \longrightarrow 0\] 因为已假设 \(\mathcal F_T\) 是拟凝聚 \(\mathcal O_T\)-模。由 \(\mathcal F\) 的晶体性质，对 \(\mathcal C\) 的任意态射 \(f:(U',T',\delta')\to(U,T,\delta)\)，此表现拉回为 \(\mathcal F_{T'}\) 的表现。于是得到 \(\mathcal F|_{\mathcal C/(U,T,\delta)}\) 所需的表现。

定义

若 \(\mathcal F\) 满足 引理 07IT 中的等价条件，则称 \(\mathcal F\) 是一个拟凝聚模中的晶体。 若此外 \(\mathcal F\) 还是有限局部自由的，则称它是一个 有限局部自由模中的晶体。

当然，引理 07IT 表明这种说法略显 累赘，因为拟凝聚模总是晶体。不过这是文献中的标准术语。

注

为表述晶体的一般概念，我们采用栈与强笛卡尔态射的语言；见 “栈” 定义 026F 及 “范畴” 定义 02XK。 在 情形 07MF 中，设 \(p:\mathcal C\to\text{Cris}(X/S)\) 是一个栈。一个 \(X\) 上相对于 \(S\) 的、取值于 \(\mathcal C\) 对象的晶体， 是一个笛卡尔截面 \(\sigma:\text{Cris}(X/S)\to\mathcal C\)； 亦即函子 \(\sigma\) 满足 \(p\circ\sigma=\text{id}\)，且对 \(\text{Cris}(X/S)\) 的每个态射 \(f\)，\(\sigma(f)\) 都是强笛卡尔的。 大晶体位点的情形类似。

微分层

本节只使用（小）晶体位点，因为这似乎更自然。我们如下整体化 定义 07HR。

定义

在 情形 07MF 中，设 \(\mathcal F\) 是 \(\text{Cris}(X/S)\) 上的 \(\mathcal O_{X/S}\)-模层。一个 \(S\)-导子 \(D:\mathcal O_{X/S}\to\mathcal F\) 是层的映射， 使得对 \(\text{Cris}(X/S)\) 的每个对象 \((U,T,\delta)\)，映射 \[D : \Gamma(T, \mathcal{O}_T) \longrightarrow \Gamma(T, \mathcal{F})\] 是除幂 \(\Gamma(V,\mathcal O_V)\)-导子，其中 \(V\subset S\) 是任意开集， 使得 \(T\to S\) 通过 \(V\) 分解。

这意味着 \(D\) 可加，满足 Leibniz 法则，消去来自 \(S\) 的函数，并且对 除幂理想 \(\mathcal J_{X/S}\) 的局部截面 \(f\) 满足 \(D(f^{[n]})=f^{[n-1]}D(f)\)。这是下面将描述的一个非常一般概念的特例。

请把以下讨论与“位点上的模”第 04BJ 节比较。设 \(\mathcal C\) 是位点， \(\mathcal A\to\mathcal B\) 是 \(\mathcal C\) 上环层的映射， \(\mathcal J\subset\mathcal B\) 是理想层，\(\delta\) 是 \(\mathcal J\) 上的除幂结构，而 \(\mathcal F\) 是 \(\mathcal B\)-模层。此时可以定义 除幂 \(\mathcal A\)-导子 \(D:\mathcal B\to\mathcal F\)：这意味着 \(D\) 是 \(\mathcal A\)-线性的，满足 Leibniz 法则，并且对 \(\mathcal J\) 的局部截面 \(x\) 满足 \(D(\delta_n(x))=\delta_{n-1}(x)D(x)\)。 在这种情形中，存在一个泛除幂 \(\mathcal A\)-导子 \[\text{d}_{\mathcal{B}/\mathcal{A}, \delta} : \mathcal{B} \longrightarrow \Omega_{\mathcal{B}/\mathcal{A}, \delta}\] 此外，\(\text{d}_{\mathcal B/\mathcal A,\delta}\) 是复合 \[\mathcal{B} \longrightarrow \Omega_{\mathcal{B}/\mathcal{A}} \longrightarrow \Omega_{\mathcal{B}/\mathcal{A}, \delta}\] 其中第一个映射是在“位点上的模”引理 04BL 的证明中构造的泛导子， 第二个箭头则是对由下列局部截面生成的子模取商： \(\text{d}_{\mathcal{B}/\mathcal{A}}(\delta_n(x)) - \delta_{n - 1}(x)\text{d}_{\mathcal{B}/\mathcal{A}}(x)\).

我们把它转化为如下相对概念。设 \((f,f^\sharp):(\Sh(\mathcal C),\mathcal O)\to (\Sh(\mathcal C'),\mathcal O')\) 是环化拓扑斯态射， \(\mathcal J\subset\mathcal O\) 是理想层，\(\delta\) 是 \(\mathcal J\) 上的除幂结构，而 \(\mathcal F\) 是 \(\mathcal O\)-模层。若 \(D\) 是上述意义下 的除幂 \(f^{-1}\mathcal O'\)-导子，便称 \(D:\mathcal O\to\mathcal F\) 为除幂 \(\mathcal O'\)-导子。此外，记 \[\Omega_{\mathcal{O}/\mathcal{O}', \delta} = \Omega_{\mathcal{O}/f^{-1}\mathcal{O}', \delta}\] 它是泛除幂 \(\mathcal O'\)-导子的取值模。

把这应用于结构态射 \[(X/S)_{\text{Cris}} \longrightarrow \Sh(S_{Zar})\] （见注 07IM），便恢复上述 定义 07IX 的概念。特别地，存在泛除幂导子 \[d_{X/S} : \mathcal{O}_{X/S} \to \Omega_{X/S}\] 注意，我们在记号中省略了表示微分模与除幂相容的修饰符（似乎不太可能 有人会考虑晶体位点结构层的通常微分模）。

引理

设 \((T,\mathcal J,\delta)\) 是除幂概形，并设 \(T\to S\) 是概形态射。 上述商 \(\Omega_{T/S}\to\Omega_{T/S,\delta}\) 是拟凝聚 \(\mathcal O_T\)-模。对映入仿射开集 \(V\subset S\) 的仿射开集 \(W\subset T\)，有 \[\Gamma(W, \Omega_{T/S, \delta}) = \Omega_{\Gamma(W, \mathcal{O}_W)/\Gamma(V, \mathcal{O}_V), \delta}\] 其中右端如第 07HQ 节中所构造。

证明

略。

引理

在 情形 07MF 中，对 \(\text{Cris}(X/S)\) 中的 \((U,T,\delta)\)，\(\Omega_{X/S}\) 在 \(T\) 上的限制 \((\Omega_{X/S})_T\) 等于 \(\Omega_{T/S,\delta}\)，而限制 \(\text{d}_{X/S}|_T\) 等于 \(\text{d}_{T/S,\delta}\)。

证明

略。

引理

在 情形 07MF 中，对 \(\text{Cris}(X/S)\) 中映入仿射开集 \(V\subset S\) 的任意仿射对象 \((U,T,\delta)\)，有 \[\Gamma((U, T, \delta), \Omega_{X/S}) = \Omega_{\Gamma(T, \mathcal{O}_T)/\Gamma(V, \mathcal{O}_V), \delta}\] 其中右端如第 07HQ 节中所构造。

证明

合用 引理 07IY 与 07IZ。

引理

在 情形 07MF 中，设 \((U,T,\delta)\) 是 \(\text{Cris}(X/S)\) 的对象。令 \[(U(1), T(1), \delta(1)) = (U, T, \delta) \times (U, T, \delta)\] 为 \(\text{Cris}(X/S)\) 中的积。令 \(\mathcal K\subset\mathcal O_{T(1)}\) 是与闭浸入 \(\Delta:T\to T(1)\) 对应的拟凝聚理想层。则 \(\mathcal K\subset\mathcal J_{T(1)}\) 被 \(\mathcal J_{T(1)}\) 上的除幂结构保持，并且 \[(\Omega_{X/S})_T = \mathcal{K}/\mathcal{K}^{[2]}\]

证明

由于 \(U\to X\) 是开浸入，且 (07IH) 与积交换， 故 \(U=U(1)\)，从而 \(\mathcal K\subset\mathcal J_{T(1)}\)。有了这一事实， 在 \(T\) 上仿射局部地工作，并使用 引理 07J0 与 07HV，即得结论。

\(\Omega_{X/S}\) 并不是拟凝聚 \(\mathcal O_{X/S}\)-模中的晶体， 但它满足两个紧密相关的性质（与 引理 07IT 比较）。

引理

在 情形 07MF 中，微分层 \(\Omega_{X/S}\) 具有以下两个性质：

1. \(\Omega_{X/S}\) 局部拟凝聚；

2. 对 \(\text{Cris}(X/S)\) 中任意态射 \((U,T,\delta)\to(U',T',\delta')\)，若 \(f:T\to T'\) 是闭浸入， 则映射 \(c_f:f^*(\Omega_{X/S})_{T'}\to(\Omega_{X/S})_T\) 满射。

证明

(1) 由引理 07IY 与 07IZ 合用得出。 (2) 由以下事实得出：\((\Omega_{X/S})_T=\Omega_{T/S,\delta}\) 是 \(\Omega_{T/S}\) 的商，且 \(f^*\Omega_{T'/S}\to\Omega_{T/S}\) 满射。

两个泛加厚

本节的构造将帮助我们在晶体位点上的模晶体上定义联络。在某种意义下， 这里的构造是在第 07HG 节中给出的 “层化、泛化”版本。

注

在 情形 07MF 中，设 \((U,T,\delta)\) 是 \(\text{Cris}(X/S)\) 的对象。记 \(\Omega_{T/S,\delta}=(\Omega_{X/S})_T\)；见 引理 07IZ。我们显式描述 \(T\) 的一个一阶加厚 \(T'\)。具体地，置 \[\mathcal{O}_{T'} = \mathcal{O}_T \oplus \Omega_{T/S, \delta}\] 并赋予代数结构，使 \(\Omega_{T/S,\delta}\) 是平方为零的理想。 令 \(\mathcal J\subset\mathcal O_T\) 是闭浸入 \(U\to T\) 的理想层，置 \(\mathcal J'=\mathcal J\oplus\Omega_{T/S,\delta}\)。由下式在 \(\mathcal J'\) 上定义除幂结构： \[\delta_n'(f, \omega) = (\delta_n(f), \delta_{n - 1}(f)\omega),\] 见引理 07HH。有两个环映射 \[p_0, p_1 : \mathcal{O}_T \to \mathcal{O}_{T'}\] 第一个由 \(f\mapsto(f,0)\) 给出，第二个由 \(f\mapsto(f,\text{d}_{T/S,\delta}f)\) 给出。注意二者都与 \(\mathcal J\) 和 \(\mathcal J'\) 上的除幂结构相容，商映射 \(\mathcal O_{T'}\to\mathcal O_T\) 亦然。因此得到 \(\text{Cris}(X/S)\) 的对象 \((U,T',\delta')\) 及交换图 \[\xymatrix{ & T \ar[ld]_{\text{id}} \ar[d]^i \ar[rd]^{\text{id}} \\ T & T' \ar[l]_{p_0} \ar[r]^{p_1} & T }\] 于 \(\text{Cris}(X/S)\) 中成立；其中 \(i\) 是一阶加厚，其理想层与 \(\Omega_{T/S,\delta}\) 等同，并且 \(p_1-p_0:\mathcal O_T\to\mathcal O_{T'}\) 与泛导子 \(\text{d}_{T/S,\delta}\) 复合包含 \(\Omega_{T/S,\delta}\to\mathcal O_{T'}\) 后的映射等同。

注

在 情形 07MF 中，设 \((U,T,\delta)\) 是 \(\text{Cris}(X/S)\) 的对象。记 \(\Omega_{T/S,\delta}=(\Omega_{X/S})_T\)；见 引理 07IZ。并以 \(\Omega^2_{T/S,\delta}\) 表示其二次外幂。我们显式描述 \(T\) 的一个二阶加厚 \(T''\)。具体地，置 \[\mathcal{O}_{T''} = \mathcal{O}_T \oplus \Omega_{T/S, \delta} \oplus \Omega_{T/S, \delta} \oplus \Omega^2_{T/S, \delta}\] 其代数结构定义如下： \[(f, \omega_1, \omega_2, \eta) \cdot (f', \omega_1', \omega_2', \eta') = (ff', f\omega_1' + f'\omega_1, f\omega_2' + f'\omega_2, f\eta' + f'\eta + \omega_1 \wedge \omega_2' + \omega_1' \wedge \omega_2).\] 令 \(\mathcal J\subset\mathcal O_T\) 是闭浸入 \(U\to T\) 的理想层， 并令 \(\mathcal J''\) 是 \(\mathcal J\) 在投影 \(\mathcal O_{T''}\to\mathcal O_T\) 下的逆像。由下式在 \(\mathcal J''\) 上定义除幂结构： \[\delta_n''(f, \omega_1, \omega_2, \eta) = (\delta_n(f), \delta_{n - 1}(f)\omega_1, \delta_{n - 1}(f)\omega_2, \delta_{n - 1}(f)\eta + \delta_{n - 2}(f)\omega_1 \wedge \omega_2)\] 见引理 07HI。有三个环映射 \(q_0,q_1,q_2:\mathcal O_T\to\mathcal O_{T''}\)，定义为 \[\begin{align*} q_0(f) & = (f, 0, 0, 0), \\ q_1(f) & = (f, \text{d}f, 0, 0), \\ q_2(f) & = (f, \text{d}f, \text{d}f, 0) \end{align*}\] 其中 \(\text d=\text d_{T/S,\delta}\)。注意三者都与 \(\mathcal J\) 及 \(\mathcal J''\) 上的除幂结构相容。另有三个环映射 \(q_{01},q_{12},q_{02}:\mathcal O_{T'}\to\mathcal O_{T''}\)， 其中 \(\mathcal O_{T'}\) 如 注 07J2 所定义。具体地，置 \[\begin{align*} q_{01}(f, \omega) & = (f, \omega, 0, 0), \\ q_{12}(f, \omega) & = (f, \text{d}f, \omega, \text{d}\omega), \\ q_{02}(f, \omega) & = (f, \omega, \omega, 0) \end{align*}\] 这些映射也与给定的除幂结构相容。我们验证 \(q_{12}\)：注意 \(q_{12}\) 是环同态，因为 \[\begin{align*} q_{12}(f, \omega)q_{12}(g, \eta) & = (f, \text{d}f, \omega, \text{d}\omega)(g, \text{d}g, \eta, \text{d}\eta) \\ & = (fg, f\text{d}g + g \text{d}f, f\eta + g\omega, f\text{d}\eta + g\text{d}\omega + \text{d}f \wedge \eta + \text{d}g \wedge \omega) \\ & = q_{12}(fg, f\eta + g\omega) = q_{12}((f, \omega)(g, \eta)) \end{align*}\] 并且 \(q_{12}\) 与除幂相容，因为 \[\begin{align*} \delta_n''(q_{12}(f, \omega)) & = \delta_n''((f, \text{d}f, \omega, \text{d}\omega)) \\ & = (\delta_n(f), \delta_{n - 1}(f)\text{d}f, \delta_{n - 1}(f)\omega, \delta_{n - 1}(f)\text{d}\omega + \delta_{n - 2}(f)\text{d}(f) \wedge \omega) \\ & = q_{12}((\delta_n(f), \delta_{n - 1}(f)\omega)) = q_{12}(\delta'_n(f, \omega)) \end{align*}\] 对 \(q_{01}\) 与 \(q_{02}\) 的验证更为容易。注意 \(q_0=q_{01}\circ p_0\)、\(q_1=q_{01}\circ p_1\)、 \(q_1=q_{12}\circ p_0\)、\(q_2=q_{12}\circ p_1\)、 \(q_0=q_{02}\circ p_0\)，以及 \(q_2=q_{02}\circ p_1\)。 因此 \((U,T'',\delta'')\) 是 \(\text{Cris}(X/S)\) 的对象，并得到态射 \[\xymatrix{ T'' \ar@<2ex>[r] \ar@<0ex>[r] \ar@<-2ex>[r] & T' \ar@<1ex>[r] \ar@<-1ex>[r] & T }\] 于 \(\text{Cris}(X/S)\) 中满足上述关系。在应用中，我们用 \(q_i:T''\to T\) 与 \(q_{ij}:T''\to T'\) 表示与上述环映射相伴的态射。

德拉姆复形

在 情形 07MF 中，我们在（小）晶体位点上工作， 对 \(i\geq0\) 定义 \(\Omega^i_{X/S}=\wedge^i_{\mathcal O_{X/S}}\Omega_{X/S}\)。 泛 \(S\)-导子 \(\text d_{X/S}\) 给出 \(\text{Cris}(X/S)\) 上的 德拉姆复形 \[\mathcal{O}_{X/S} \to \Omega^1_{X/S} \to \Omega^2_{X/S} \to \ldots\] 见引理 07J0 与 注 07HZ。

联络

在 情形 07MF 中，给定 \(\text{Cris}(X/S)\) 上的 \(\mathcal O_{X/S}\)-模 \(\mathcal F\)，一个联络是交换群层的映射 \[\nabla : \mathcal{F} \longrightarrow \mathcal{F} \otimes_{\mathcal{O}_{X/S}} \Omega_{X/S}\] 使得对 \(\mathcal F\) 与 \(\mathcal O_{X/S}\) 的局部截面 \(s,f\)，有 \(\nabla(fs)=f\nabla(s)+s\otimes\text df\)。给定联络，存在典范映射 \(\nabla : \mathcal{F} \otimes_{\mathcal{O}_{X/S}} \Omega^i_{X/S} \longrightarrow \mathcal{F} \otimes_{\mathcal{O}_{X/S}} \Omega^{i + 1}_{X/S}\) 其定义为 \(\nabla(s\otimes\omega)=\nabla(s)\wedge\omega+ s\otimes\text d\omega\)，同注 07I0。 若 \(\nabla\circ\nabla=0\)，则称该联络可积。若 \(\nabla\) 可积， 便得到 \(\text{Cris}(X/S)\) 上的德拉姆复形 \[\mathcal{F} \to \mathcal{F} \otimes_{\mathcal{O}_{X/S}} \Omega^1_{X/S} \to \mathcal{F} \otimes_{\mathcal{O}_{X/S}} \Omega^2_{X/S} \to \ldots\] 任意 \(\mathcal O_{X/S}\)-模中的晶体都典范地配备一个可积联络。

引理

在 情形 07MF 中，设 \(\mathcal F\) 是 \(\text{Cris}(X/S)\) 上的 \(\mathcal O_{X/S}\)-模中的晶体。 则 \(\mathcal F\) 典范地配备一个可积联络。

证明

设 \((U,T,\delta)\) 是 \(\text{Cris}(X/S)\) 的对象。令 \((U,T',\delta')\) 是 注 07J2 中用 \((\Omega_{X/S})_T=\Omega_{T/S,\delta}\) 构造的 \(T\) 的无穷小加厚。 它配备投影 \(p_0,p_1:T'\to T\) 与对角映射 \(i:T\to T'\)。 由假设得到 \(\mathcal O_{T'}\)-模的同构 \[p_0^*\mathcal{F}_T \xrightarrow{c_0} \mathcal{F}_{T'} \xleftarrow{c_1} p_1^*\mathcal{F}_T\] 把 \(c=c_1^{-1}\circ c_0\) 沿 \(i\) 拉回到 \(T\)，得到 \(\mathcal F_T\) 的恒等映射。因此，若 \(s\in\Gamma(T,\mathcal F_T)\)，则 \(\nabla(s)=p_1^*s-c(p_0^*s)\) 是 \(p_1^*\mathcal F_T\) 的截面，沿 \(i\) 拉回后为零。所以 \(\nabla(s)\) 是下列模的截面： \[\mathcal{F}_T \otimes_{\mathcal{O}_T} \Omega_{T/S, \delta}\] 因为按构造 \(\mathcal O_{T'}=\mathcal O_T\oplus\Omega_{T/S,\delta}\)， 这正是 \(p_1^*\mathcal F_T\to\mathcal F_T\) 的核。利用注 07J2 中对 \(\text d\) 的描述，容易验证 \(\nabla(fs)=f\nabla(s)+s\otimes\text d(f)\)。

由此得到的映射族 \[\nabla : \Gamma(T, \mathcal{F}_T) \to \Gamma(T, \mathcal{F}_T \otimes_{\mathcal{O}_T} \Omega_{T/S, \delta})\] 关于 \(T\) 具有函子性，因为 \(T'\) 的构造关于 \(T\) 具有函子性。 因此得到一个联络。

为证明该联络可积，考虑 注 07J3 中构造的对象 \((U,T'',\delta'')\)。由于 \(\mathcal F\) 是层，可知 \[\xymatrix{ q_0^*\mathcal{F}_T \ar[rr]_{q_{01}^*c} \ar[rd]_{q_{02}^*c} & & q_1^*\mathcal{F}_T \ar[ld]^{q_{12}^*c} \\ & q_2^*\mathcal{F}_T }\] 是 \(\mathcal O_{T''}\)-模的交换图。对 \(s\in\Gamma(T,\mathcal F_T)\)，有 \(c(p_0^*s)=p_1^*s-\nabla(s)\)。写成 \(\nabla(s)=\sum p_1^*s_i\cdot\omega_i\)，其中 \(s_i\) 是 \(\mathcal F_T\) 的局部截面，\(\omega_i\) 是 \(\Omega_{T/S,\delta}\) 的局部截面。把 \(\omega_i\) 看作 \(\mathcal O_{T'}\) 的结构层的局部截面， 所以这里写乘积而非张量积。一方面 \[\begin{align*} q_{12}^*c \circ q_{01}^*c(q_0^*s) & = q_{12}^*c(q_1^*s - \sum q_1^*s_i \cdot q_{01}^*\omega_i) \\ & = q_2^*s - \sum q_2^*s_i \cdot q_{12}^*\omega_i - \sum q_2^*s_i \cdot q_{01}^*\omega_i + \sum q_{12}^*\nabla(s_i) \cdot q_{01}^*\omega_i \end{align*}\] 另一方面 \[q_{02}^*c(q_0^*s) = q_2^*s - \sum q_2^*s_i \cdot q_{02}^*\omega_i.\] 由注 07J3 中的公式可知 \(q_{01}^*\omega_i + q_{12}^*\omega_i - q_{02}^*\omega_i = \text{d}\omega_i\). 因此上述两个表达式之差为 \[\sum q_2^*s_i \cdot \text{d}\omega_i - \sum q_{12}^*\nabla(s_i) \cdot q_{01}^*\omega_i\] 由 \(\mathcal O_{T''}\) 上乘法的定义，注意 \(q_{12}^*\omega\cdot q_{01}^*\omega'=\omega'\wedge\omega =-\omega\wedge\omega'\)。因此，上式正是 \(\nabla^2(s)\)，看作 \(q_2^*\mathcal F\) 的子层 \(\mathcal F_T\otimes\Omega^2_{T/S,\delta}\) 的截面。 交换性遂给出可积条件。

余单纯代数

本节应移至别处。一个余单纯环是环范畴中的余单纯对象。 给定环 \(R\)，一个余单纯 \(R\)-代数是 \(R\)-代数范畴中的余单纯对象。 余单纯环 \(A_*\) 中的一个余单纯理想，是对每个 \(n\) 给定理想 \(I_n\subset A_n\)，使得对 \(\Delta\) 中所有 \(f:[n]\to[m]\)，都有 \(A(f)(I_n)\subset I_m\)。

设 \(A_*\) 是余单纯环。令 \(\mathcal C\) 为如下偶对 \((A,M)\) 所成的范畴： \(A\) 是环，\(M\) 是 \(A\)-模。态射 \((A,M)\to(A',M')\) 由环映射 \(A\to A'\) 与 \(A\)-模映射 \(M\to M'\) 组成；这里借助 \(A\to A'\) 及 \(M'\) 的 \(A'\)-模结构，把 \(M'\) 看作 \(A\)-模。于是可以把 \(A_*\) 上的余单纯模 \(M_*\) 定义为 \(\mathcal C\) 的余单纯对象 \((A_*,M_*)\)，其第一分量等于 \(A_*\)。\(A_*\) 上余单纯模的一个同态 \(\varphi_*:M_*\to N_*\)，是 \(\mathcal C\) 中余单纯对象的态射 \((A_*,M_*)\to(A_*,N_*)\)，其第一分量为 \(1_{A_*}\)。

在 \(A_*\) 上余单纯模同态 \(\varphi_*,\psi_*:M_*\to N_*\) 之间的 一个同伦，是相伴映射 \((A_*,M_*)\to(A_*,N_*)\) 之间的同伦， 其第一分量为平凡同伦（与 “单纯方法” 例 07KA 对偶）。具体而言，这样的同伦是 \[h : M_* \longrightarrow \Hom(\Delta[1], N_*)\] 作为余单纯交换群同态的 \(\varphi_*\) 与 \(\psi_*\) 之间的同伦， 并且对每个 \(n\)，映射 \(h_n:M_n\to\prod_{\alpha\in\Delta[1]_n}N_n\) 是 \(A_n\)-线性的。 下述引理是 “单纯方法” 引理 019Y 对余单纯模的版本。

引理

设 \(A_*\) 是余单纯环，并设 \(\varphi_*,\psi_*:K_*\to M_*\) 是余单纯 \(A_*\)-模的同态。

1. 若 \(\varphi_*\) 与 \(\psi_*\) 同伦，则对任意余单纯 \(A_*\)-模 \(L_*\)， \[\varphi_* \otimes 1, \psi_* \otimes 1 : K_* \otimes_{A_*} L_* \longrightarrow M_* \otimes_{A_*} L_*\] 同伦。

2. 若 \(\varphi_*\) 与 \(\psi_*\) 同伦，则 \[\wedge^i(\varphi_*), \wedge^i(\psi_*) : \wedge^i(K_*) \longrightarrow \wedge^i(M_*)\] 同伦。

3. 若 \(\varphi_*\) 与 \(\psi_*\) 同伦，且 \(A_*\to B_*\) 是余单纯环同态，则 \[\varphi_* \otimes 1, \psi_* \otimes 1 : K_* \otimes_{A_*} B_* \longrightarrow M_* \otimes_{A_*} B_*\] 作为余单纯 \(B_*\)-模同态是同伦的。

4. 若 \(I_*\subset A_*\) 是余单纯理想，则完备化之间的诱导映射 \[\varphi^\wedge_*, \psi^\wedge_* : K_*^\wedge \longrightarrow M_*^\wedge\] 同伦。

5. 可按需在此添加更多情形，例如对称幂。

证明

设 \(h:M_*\longrightarrow\Hom(\Delta[1],N_*)\) 是给定同伦。在次数 \(n\)，有 \[h_n = (h_{n, \alpha}) : K_n \longrightarrow \prod\nolimits_{\alpha \in \Delta[1]_n} K_n\] 见“单纯方法”第 019U 节。 一族 \(h_{n,\alpha}\) 构成同伦的充要条件是：对每个 \(f:[n]\to[m]\)，都有 \[h_{m, \alpha} \circ M_*(f) = N_*(f) \circ h_{n, \alpha \circ f}\] 见 “单纯方法” Equation (07KB)。 此外还应有 \(\psi_n=h_{n,0:[n]\to[1]}\) 与 \(\varphi_n=h_{n,1:[n]\to[1]}\)。

在引理的各情形中，我们都可给出相应映射。 情形 (07KR)：使用同伦 \(h\otimes1\)，其次数 \(n\) 分量定义为 \[(h \otimes 1)_{n, \alpha} = h_{n, \alpha} \otimes 1_{L_n} : K_n \otimes_{A_n} L_n \longrightarrow M_n \otimes_{A_n} L_n.\] 情形 (07KS)：使用同伦 \(\wedge^ih\)，其次数 \(n\) 分量定义为 \[\wedge^i(h)_{n, \alpha} = \wedge^i(h_{n, \alpha}) : \wedge_{A_n}(K_n) \longrightarrow \wedge^i_{A_n}(M_n).\] 情形 (07KT)：使用同伦 \(h\otimes1\)，其次数 \(n\) 分量定义为 \[(h \otimes 1)_{n, \alpha} = h_{n, \alpha} \otimes 1 : K_n \otimes_{A_n} B_n \longrightarrow M_n \otimes_{A_n} B_n.\] 情形 (07KU)：使用同伦 \(h^\wedge\)，其次数 \(n\) 分量定义为 \[(h^\wedge)_{n, \alpha} = h_{n, \alpha}^\wedge : K_n^\wedge \longrightarrow M_n^\wedge.\] 这是成立的，因为每个 \(h_{n,\alpha}\) 都是 \(A_n\)-线性的。

拟凝聚模中的晶体

在 情形 07MD 中，置 \(X=\Spec(C)\) 与 \(S=\Spec(A)\)。我们将分类 \(\text{Cris}(X/S)\) 上拟凝聚模中的晶体。 在此之前先固定一些记号。

选取 \(A\) 上多项式环 \(P=A[x_i]\) 及 \(A\)-代数满射 \(P\to C\)，其核为 \(J=\Ker(P\to C)\)。置 [07J8]\[\begin{equation} D = \lim_e D_{P, \gamma}(J) / p^eD_{P, \gamma}(J) \end{equation}\] 这是 \(p\)-进完备化的除幂包络。该环配备除幂理想 \(\bar J\) 与除幂结构 \(\bar\gamma\)；见引理 07KG。置 \(D_e=D/p^eD\)，并以 \(\bar J_e\) 表示 \(\bar J\) 在 \(D_e\) 中的像。 我们用简记 [07J9]\[\begin{equation} \Omega_D = \lim_e \Omega_{D_e/A, \bar\gamma} = \lim_e \Omega_{D/A, \bar\gamma}/p^e\Omega_{D/A, \bar\gamma} \end{equation}\] 表示除幂微分模的 \(p\)-进完备化；见引理 07KK。它也是 \(\Omega_{D_{P,\gamma}(J)/A,\bar\gamma}\) 的 \(p\)-进完备化， 而后者以 \(\text d x_i\) 为自由基；见引理 07HW。 因此，\(\Omega_D\) 的任意元素可唯一写成和 \(\sum f_i\text d x_i\)，并且对每个 \(e\)，只有有限多个 \(f_i\) 不属于 \(p^eD\)。此外，各映射 \(\text d_{D_e/A,\bar\gamma}:D_e\to\Omega_{D_e/A,\bar\gamma}\) 拼合成 \(p\)-进完备化上的一个除幂 \(A\)-导子 [07JA]\[\begin{equation} \text{d} : D \longrightarrow \Omega_D \end{equation}\]

我们还需要“\(\Spec(D)\) 的积 \(\Spec(D(n))\)”；解释见命题 07JN 及其证明。其形式定义如下。 对 \(n\geq0\)，令 \(J(n)=\Ker(P\otimes_A\ldots\otimes_AP\to C)\)，其中张量积有 \(n+1\) 个因子。置 [07JF]\[\begin{equation} D(n) = \lim_e D_{P \otimes_A \ldots \otimes_A P, \gamma}(J(n))/ p^eD_{P \otimes_A \ldots \otimes_A P, \gamma}(J(n)) \end{equation}\] 即除幂包络的 \(p\)-进完备化。以 \(\bar J(n)\) 表示其除幂理想， 以 \(\bar\gamma(n)\) 表示其除幂。另引入 \(D(n)_e=D(n)/p^eD(n)\)、\(p\)-进完备化的微分模 [07L0]\[\begin{equation} \Omega_{D(n)} = \lim_e \Omega_{D(n)_e/A, \bar\gamma} = \lim_e \Omega_{D(n)/A, \bar\gamma}/p^e\Omega_{D(n)/A, \bar\gamma} \end{equation}\] 以及导子 [07L1]\[\begin{equation} \text{d} : D(n) \longrightarrow \Omega_{D(n)} \end{equation}\] 当然 \(D=D(0)\)。注意，各环 \(D(0),D(1),D(2),\ldots\) 构成除幂环范畴中的一个余单纯对象。

引理

设 \(D\) 与 \(D(n)\) 如 (07J8) 和 (07JF)。 余积典范映射 \(P\to P\otimes_A\ldots\otimes_AP\)， \(f\mapsto f\otimes1\otimes\ldots\otimes1\)，诱导 \(D\)-代数同构 [07L3]\[\begin{equation} D(n) = \lim_e D\langle \xi_i(j) \rangle/p^eD\langle \xi_i(j) \rangle \end{equation}\] 其中 \[\xi_i(j) = x_i \otimes 1 \otimes \ldots \otimes 1 - 1 \otimes \ldots \otimes 1 \otimes x_i \otimes 1 \otimes \ldots \otimes 1\] 对 \(j=1,\ldots,n\)，第二个 \(x_i\) 位于第 \(j+1\) 个位置；回忆 \(D(n)\) 从 \(P\) 在 \(A\) 上的 \(n+1\) 重张量积出发构造。

证明

我们有 \[P \otimes_A \ldots \otimes_A P = P[\xi_i(j)]\] 而 \(J(n)\) 由 \(J\) 与各元素 \(\xi_i(j)\) 生成。因此引理由 引理 07KE 得出。

引理

设 \(D\) 与 \(D(n)\) 如 (07J8) 和 (07JF)。 则 \((D,\bar J,\bar\gamma)\) 与 \((D(n),\bar J(n),\bar\gamma(n))\) 是 \(\text{Cris}^\wedge(C/A)\) 的对象（见注 07KH），并且 \[D(n) = \coprod\nolimits_{j = 0, \ldots, n} D\] 为 \(\text{Cris}^\wedge(C/A)\) 中的余积。

证明

第一个断言显然。对于第二个断言，若 \((B\to C,\delta)\) 是 \(\text{Cris}^\wedge(C/A)\) 的对象，则 \[\Mor_{\text{Cris}^\wedge(C/A)}(D, B) = \Hom_A((P, J), (B, \Ker(B \to C)))\] 对 \(D(n)\) 也有类似等式，其中以 \((P\otimes_A\ldots\otimes_AP,J(n))\) 代替 \((P,J)\)。 由于 \(P\otimes_A\ldots\otimes_AP\) 是余积，所述余积性质随即得出。

在下述引理中，我们考虑满足以下条件的偶对 \((M,\nabla)\)：

1. \(M\) 是 \(p\)-进完备的 \(D\)-模；

2. \(\nabla:M\to M\otimes^\wedge_D\Omega_D\) 是联络，亦即 \(\nabla(fm)=m\otimes\text df+f\nabla(m)\)；

3. \(\nabla\) 可积（见注 07I0）；

4. \(\nabla\) 拓扑拟幂零：若对某些算子 \(\theta_i:M\to M\) 写成 \(\nabla(m)=\sum\theta_i(m)\text d x_i\)，则对任意 \(m\in M\)， 只有有限多个偶对 \((i,k)\) 满足 \(\theta_i^k(m)\notin pM\)。

文献中有时把算子 \(\theta_i\) 记为 \(\nabla_{\partial/\partial x_i}\)。 下述引理构造从 \(\text{Cris}(X/S)\) 上拟凝聚模中的晶体到这类偶对所成 范畴的函子。我们将在 命题 07JH 中证明此函子是等价。

引理

在上述情形中，存在函子 \[\begin{matrix} \text{Cris}(X/S)\text{ 上拟凝聚} \\ \mathcal{O}_{X/S}\text{-模中的晶体} \end{matrix} \longrightarrow \begin{matrix} \text{满足 (\href{crystalline.html#crystalline-item-complete}{07JB})、(\href{crystalline.html#crystalline-item-connection}{07JC})、} \\ \text{(\href{crystalline.html#crystalline-item-integrable}{07JD}) 及 (\href{crystalline.html#crystalline-item-topologically-quasi-nilpotent}{07JE}) 的偶对 }(M,\nabla) \end{matrix}\]

证明

设 \(\mathcal F\) 是 \(X/S\) 上拟凝聚模中的晶体。置 \(T_e=\Spec(D_e)\)，则当 \(e\gg0\) 时，\((X,T_e,\bar\gamma)\) 是 \(\text{Cris}(X/S)\) 的对象。我们有闭浸入 \[(X, T_e, \bar\gamma) \to (X, T_{e + 1}, \bar\gamma) \to \ldots\] 置 \[M = \lim_e \Gamma((X, T_e, \bar\gamma), \mathcal{F}) = \lim_e \Gamma(T_e, \mathcal{F}_{T_e}) = \lim_e M_e\] 由于 \(\mathcal F\) 局部拟凝聚，有 \(\mathcal F_{T_e}=\widetilde{M_e}\)。由于 \(\mathcal F\) 是晶体，有 \(M_e=M_{e+1}/p^eM_{e+1}\)。故 \(M_e=M/p^eM\)，且 \(M\) 是 \(p\)-进完备的； 见 “代数” 引理 09B8。

由引理 07J6，\(\mathcal F\) 配备典范可积联络 \(\nabla:\mathcal F\to\mathcal F\otimes\Omega_{X/S}\)。 在上述对象 \(T_e\) 上取此联络，得到典范可积联络 \[\nabla : M \longrightarrow M \otimes^\wedge_D \Omega_D\] 为看出它拓扑幂零，我们具体解释此条件。

现在对各环 \(D(n)\) 作同样处理，得到 \(p\)-进完备的 \(D(n)\)-模 \(M(n)\)。 再次利用 \(\mathcal F\) 的晶体性质，得到同构 \[M \otimes^\wedge_{D, p_0} D(1) \rightarrow M(1) \leftarrow M \otimes^\wedge_{D, p_1} D(1)\] 与 引理 07J6 的证明比较。以 \(c\) 表示从左到右的复合。取 \(m\in M\)，并记 \(\xi_i=x_i\otimes1-1\otimes x_i\)。利用 (07L3)，可唯一写成 \[c(m \otimes 1) = \sum\nolimits_K \theta_K(m) \otimes \prod \xi_i^{[k_i]}\] 其中 \(\theta_K(m)\in M\)，求和遍历满足 \(k_i\geq0\) 且 \(\sum k_i<\infty\) 的多重指标 \(K=(k_i)\)。当 \(K\) 在第 \(i\) 个位置为 \(1\)、 其余位置为零时，置 \(\theta_i=\theta_K\)。我们有 \[\nabla(m) = \sum \theta_i(m) \text{d}x_i.\] 这可由与 \(\nabla\) 的定义比较看出。具体地，在 引理 07J6 中定义等式为 \(p_1^*m=\nabla(m)-c(p_0^*m)\)；而符号仍相符，因为 Stacks Project 始终在模去对角理想平方后采用 \(\text df=p_1(f)-p_0(f)\)，所以 \(\xi_i=x_i\otimes1-1\otimes x_i\) 模去对角理想平方后映到 \(-\text d x_i\)。

以 \(q_i:D\to D(2)\) 与 \(q_{ij}:D(1)\to D(2)\) 表示对应于指标 \(i,j\) 的余积典范映射。与 引理 07J6 证明的最后一段相同，可知 \[q_{02}^*c = q_{12}^*c \circ q_{01}^*c.\] 这意味着 \[\sum\nolimits_{K''} \theta_{K''}(m) \otimes \prod {\zeta''_i}^{[k''_i]} = \sum\nolimits_{K', K} \theta_{K'}(\theta_K(m)) \otimes \prod {\zeta'_i}^{[k'_i]} \prod \zeta_i^{[k_i]}\] 在 \(M\otimes^\wedge_{D,q_2}D(2)\) 中成立，其中 \[\begin{align*} \zeta_i & = x_i \otimes 1 \otimes 1 - 1 \otimes x_i \otimes 1,\\ \zeta'_i & = 1 \otimes x_i \otimes 1 - 1 \otimes 1 \otimes x_i,\\ \zeta''_i & = x_i \otimes 1 \otimes 1 - 1 \otimes 1 \otimes x_i. \end{align*}\] 特别地，\(\zeta''_i=\zeta_i+\zeta'_i\)，并且由引理 07L2，\(D(2)\) 是 \(q_2(D)\) 上以 \(\zeta_i,\zeta'_i\) 为变量的除幂多项式环的 \(p\)-进完备化。 比较上式系数，立即得到 \(\theta_i\circ\theta_j=\theta_j\circ\theta_i\) （这也给出 \(\nabla\) 可积性的另一证明），以及 \[\theta_K(m) = (\prod \theta_i^{k_i})(m).\] 特别地，由于上述表示 \(c(m\otimes1)\) 的和必须 \(p\)-进收敛， 可知对每个 \(i\) 与每个 \(m\in M\)，只有有限多个 \(\theta_i^k(m)\) 模 \(p\) 非零。

命题

函子 \[\begin{matrix} \text{Cris}(X/S)\text{ 上拟凝聚} \\ \mathcal{O}_{X/S}\text{-模中的晶体} \end{matrix} \longrightarrow \begin{matrix} \text{满足 (\href{crystalline.html#crystalline-item-complete}{07JB})、(\href{crystalline.html#crystalline-item-connection}{07JC})、} \\ \text{(\href{crystalline.html#crystalline-item-integrable}{07JD}) 及 (\href{crystalline.html#crystalline-item-topologically-quasi-nilpotent}{07JE}) 的偶对 }(M,\nabla) \end{matrix}\] 是 引理 07JG 中的范畴等价。

证明

给定 \((M,\nabla)\)。我们将构造拟凝聚模中的晶体 \(\mathcal F\)。 写成 \(\nabla(m)=\sum\theta_i(m)\text d x_i\)。则 \(\theta_i\circ\theta_j=\theta_j\circ\theta_i\)；对任意满足 \(k_i\geq0\) 且 \(\sum k_i<\infty\) 的多重指标 \(K=(k_i)\)，可置 \(\theta_K(m)=(\prod\theta_i^{k_i})(m)\)。

设 \((U,T,\delta)\) 是 \(\text{Cris}(X/S)\) 中 \(T\) 仿射的任意对象。 写 \(T=\Spec(B)\)，并设 \(U\to T\) 的理想为 \(J_B\subset B\)。 由引理 07HP，存在整数 \(e\) 及态射 \[f : (U, T, \delta) \longrightarrow (X, T_e, \bar\gamma)\] 其中 \(T_e=\Spec(D_e)\)，同引理 07JG 的证明。 选取这样的 \(e\) 与 \(f\)；相应的除幂 \(A\)-代数映射也记为 \(f:D\to B\)。 我们把 \(\mathcal F_T\) 定义为与下列 \(B\)-模相伴的拟凝聚 \(\mathcal O_T\)-模层： \[M \otimes_{D, f} B.\] 但必须证明它与 \(f\) 的选取无关。设 \(g:D\to B\) 是另一个这样的态射。 由于 \(f\) 与 \(g\) 是 \(\text{Cris}(X/S)\) 中的态射，映射 \(f-g:D\to B\) 的像包含在除幂理想 \(J_B\) 中。记 \(\xi_i=f(x_i)-g(x_i)\in J_B\)。仿照引理 07JG 的证明，由下式定义同构 \[c_{f, g} : M \otimes_{D, f} B \longrightarrow M \otimes_{D, g} B\] \[m \otimes 1 \longmapsto \sum\nolimits_K \theta_K(m) \otimes \prod \xi_i^{[k_i]}\] 由上述讨论及 \(\nabla\) 拓扑拟幂零（故该和有限！），此定义有意义。 计算表明 \[c_{g, h} \circ c_{f, g} = c_{f, h}\] 对任意第三个态射 \(h:(U,T,\delta)\longrightarrow(X,T_e,\bar\gamma)\) 成立。 并且 \(c_{f,f}=1\)。因此这些映射都是同构，从而模 \(\mathcal F_T\) 与 \(f\) 的选取无关。

若 \(a:(U',T',\delta')\to(U,T,\delta)\) 是 \(\text{Cris}(X/S)\) 中仿射对象之间的态射，则取 \(f'=f\circ a\)，显然存在典范同构 \(a^*\mathcal F_T\to\mathcal F_{T'}\)。略去此映射与 \(f\) 的选取无关的验证。 以这些映射为限制映射，显然得到 \(\text{Cris}(X/S)\) 中仿射对象所成 全子范畴上的一个拟凝聚模晶体。略去它延拓为整个 \(\text{Cris}(X/S)\) 上晶体的证明。我们也略去以下证明：此过程为函子， 并且与 引理 07JG 中构造的函子互为拟逆。

引理

在 情形 07MD 中，设 \(A\to P'\to C\) 是环映射， \(A\to P'\) 光滑，而 \(P'\to C\) 满射且核为 \(J'\)。令 \(D'\) 为 \(D_{P',\gamma}(J')\) 的 \(p\)-进完备化。则存在如上的数据 \(A\to P\to C\) 的一种选取，以及除幂 \(A\)-代数同态 \[a : D \longrightarrow D',\quad b : D' \longrightarrow D\] 它们与映射 \(D\to C\) 及 \(D'\to C\) 相容，并且 \(a\circ b=\text{id}_{D'}\)。这些映射诱导以下两类偶对所成范畴之间的等价： 在 \(D\) 上满足 (07JB)、(07JC)、 (07JD) 与 (07JE) 的偶对 \((M,\nabla)\)，以及在 \(D'\) 上满足 (07JB)、(07JC)、 (07JD) 与 (07JE)⁴ 的偶对 \((M',\nabla')\)。 特别地，命题 07JH 的范畴等价 对取值于 \(D'\) 上偶对的相应函子也成立。

证明

选取 \(A\) 上多项式代数 \(P=A[y_1,\ldots,y_m]\) 及满射 \(P\to P'\)， 并以复合 \(P\to P'\to C\) 定义 \(P\to C\)。由除幂包络与完备化的函子性， 得到满射 \(a:D\to D'\)。取足够大的 \(e\)，使 \(D_e\) 是 \(C\) 在 \(A\) 上的除幂加厚。于是 \(D_e\to C\) 是核局部幂零的满射；见 “除幂代数”引理 07GR。置 \(D'_e=D'/p^eD'\)，则 \(D_e\to D'_e\) 的核局部幂零。因此由 “代数” 引理 07K4，可找到映射 \(P'\to D'_e\) 的提升 \(\beta_e:P'\to D_e\)。注意，对任意 \(i\geq0\)， \(D_{e+i+1}\to D_{e+i}\times_{D'_{e+i}}D'_{e+i+1}\) 是核平方为零的满射，因为 \(p^{e+i}D\to p^{e+i}D'\) 满射。 依次把通常的提升性质（“代数” 命题 00TN）应用于各图 \[\xymatrix{ P' \ar[r] & D_{e + i} \times_{D'_{e + i}} D'_{e + i + 1} \\ A \ar[u] \ar[r] & D_{e + i + 1} \ar[u] }\] 可知存在 \(A\)-代数映射 \(\beta:P'\to D\)，它与 \(a\) 的复合为给定映射 \(P'\to D'\)。由除幂包络的泛性质得到映射 \(D_{P',\gamma}(J')\to D\)。由于 \(D\) 是 \(p\)-进完备的，得到 \(b:D'\to D\)，满足 \(a\circ b=\text{id}_{D'}\)。

考虑基变换函子 \[F : (M, \nabla) \longmapsto (M \otimes^\wedge_{D, a} D', \nabla') \quad\text{且}\quad G : (M', \nabla') \longmapsto (M' \otimes^\wedge_{D', b} D, \nabla)\] 它们作用于满足 (07JB)、(07JC) 与 (07JD) 的带联络模；见注 07KJ。由于 \(a\circ b=\text{id}_{D'}\)，\(F\circ G\) 是恒等函子。若 \(G(M',\nabla')\) 满足性质 (07JE)，我们便称 \((M',\nabla')\) 也满足该性质。形式论证表明，为完成证明，只需在 \((M,\nabla)\) 满足四个条件 (07JB)、 (07JC)、(07JD) 与 (07JE) 时，证明 \(G(F(M,\nabla))\) 同构于 \((M,\nabla)\)。为此使用 命题 07JH 证明中的函子性同构 \[c_{\text{id}_D, b \circ a} : M \otimes_{D, \text{id}_D} D \longrightarrow M \otimes_{D, b \circ a} D\] （它要求 \(\nabla\) 拓扑拟幂零，而这已在假设中）。 最后还需证明此映射是水平的，即与联络相容；此验证从略。

证明中的最后一个断言随即得出。

注

命题 07JH 的等价在下述情形仍成立： 从满射 \(P\to C\) 出发，其中 \(P/A\) 满足 “代数” 引理 07K4 的强提升性质。其证明可仿照 引理 07L5 的证明。 （若以后需要，将在此补充细节。）此结果大概也有直接证明；不过采用 多项式环的优点在于，各环 \(D(n)\) 是除幂多项式环的 \(p\)-进完备化， 从而简化代数运算。

上同调的一般评注

本节作一些准备，把仿射概形晶体位点上模的上同调转化为代数问题。

引理

在 情形 07MF 中，设 \(\mathcal F\) 是 \(\text{Cris}(X/S)\) 上局部拟凝聚的 \(\mathcal O_{X/S}\)-模。则 \[H^p((U, T, \delta), \mathcal{F}) = 0\] 对所有 \(p>0\) 以及所有 \(T\) 或 \(U\) 仿射的 \((U,T,\delta)\) 成立。

证明

由于 \(U\to T\) 是加厚，\(U\) 仿射当且仅当 \(T\) 仿射；见“极限” 引理 01ZT。把“位点上同调”引理 03F9 应用于仿射对象 \((U,T,\delta)\) 所成的族 \(\mathcal B\)，以及仿射开覆盖 \(\mathcal U=\{(U_i,T_i,\delta_i)\to(U,T,\delta)\}\) 所成的族 \(\text{Cov}\)。这种覆盖的 Čech 复形 \({\check C}^*(\mathcal U,\mathcal F)\)，恰是拟凝聚 \(\mathcal O_T\)-模 \(\mathcal F_T\) 关于仿射概形 \(T\) 的仿射开覆盖 \(\{T_i\to T\}\) 的 Čech 复形（这里使用了 \(\mathcal F\) 局部拟凝聚的假设）。因此，由“概形上同调”引理 01XD 与 01XB， 其 Čech 上同调为零。于是“位点上同调”引理 03F9 的假设均成立，结论得证。

引理

在情形 07MF 中，进一步假设 \(X\) 与 \(S\) 都是仿射概形。考虑 \(\text{Cris}(X/S)\) 中由除幂加厚 \((X,T,\delta)\) 所成的全子范畴 \(\mathcal C\)，并赋予混沌拓扑 （见 “位点论” 例 07GE）。对任意局部拟凝聚的 \(\mathcal O_{X/S}\)-模 \(\mathcal F\)，有 \[R\Gamma(\mathcal{C}, \mathcal{F}|_\mathcal{C}) = R\Gamma(\text{Cris}(X/S), \mathcal{F})\]

证明

以 \(\text{AffineCris}(X/S)\) 表示 \(\text{Cris}(X/S)\) 中由 \(U\) 与 \(T\) 均仿射的对象 \((U,T,\delta)\) 所成的全子范畴。规定 \(\text{AffineCris}(X/S)\) 的态射族 \(\{(U_i,T_i,\delta_i)\to(U,T,\delta)\}_{i\in I}\) 是覆盖，当且仅当它在 \(\text{Cris}(X/S)\) 中是覆盖，由此把该范畴变成位点。在此定义下，包含函子 \[\text{AffineCris}(X/S) \longrightarrow \text{Cris}(X/S)\] 是 “位点论” 定义 03CG 意义下的特殊余连续函子。证明与 “拓扑” 引理 020W 的证明完全相同。 因此，沿上述包含函子限制后，\(\text{Cris}(X/S)\) 上的层拓扑斯与 \(\text{AffineCris}(X/S)\) 上的层拓扑斯相同。于是只需对包含 \(\mathcal C\subset\text{AffineCris}(X/S)\) 证明相应断言。

下文不再说明地使用 \(\mathcal C\) 与 \(\text{AffineCris}(X/S)\) 具有积和纤维积这一事实（细节略；见引理 07I9）。包含函子 \(u:\mathcal C\to\text{AffineCris}(X/S)\) 全忠实、连续，并与积和纤维积交换。 我们断言它定义环化位点态射 \[f : (\text{AffineCris}(X/S), \mathcal{O}_{X/S}) \longrightarrow (\Sh(\mathcal{C}), \mathcal{O}_{X/S}|_\mathcal{C})\] 为此使用 “位点论” 引理 00X5。由于 \(\mathcal C\) 具有纤维积且 \(u\) 与之交换，各范畴 \(\mathcal I^u_{(U,T,\delta)}\) 是有向范畴的不交并（由 “位点论” 引理 00X4 与 “范畴” 引理 002X）。因此只需证明 \(\mathcal I^u_{(U,T,\delta)}\) 连通。非空性由引理 07HP 得出：由于 \(U\) 与 \(T\) 仿射，该引理说明 \(\mathcal C\) 中至少有一个对象 \((X,T',\delta')\) 及一个除幂加厚态射 \((U,T,\delta)\to(X,T',\delta')\)。连通性由 \(\mathcal C\) 具有积且 \(u\) 与积交换得出（与 “位点论” 引理 00X3 的证明比较）。

注意 \(f_*\mathcal F=\mathcal F|_\mathcal C\)。因此，若对 \(p>0\) 有 \(R^pf_*\mathcal F=0\)，引理即得证；见“位点上同调”引理 0733。由“位点上同调”引理 072W，只需对所有 \((X,T,\delta)\) 证明 \(H^p(\text{AffineCris}(X/S)/(X,T,\delta),\mathcal F)=0\)。 这由引理 07JJ 得出，因为位点 \(\text{AffineCris}(X/S)/(X,T,\delta)\) 的拓扑斯等价于该引理中使用的 位点 \(\text{Cris}(X/S)/(X,T,\delta)\) 的拓扑斯。

引理

在 情形 07MD 中，置 \(\mathcal C=(\text{Cris}(C/A))^{opp}\) 与 \(\mathcal C^\wedge=(\text{Cris}^\wedge(C/A))^{opp}\)，并赋予混沌拓扑； 记号见注 07KH。存在拓扑斯态射 \[g : \Sh(\mathcal{C}) \longrightarrow \Sh(\mathcal{C}^\wedge)\] 使得若 \(\mathcal F\) 是 \(\mathcal C\) 上的交换群层，则 \[R^pg_*\mathcal{F}(B \to C, \delta) = \left\{ \begin{matrix} \lim_e \mathcal{F}(B_e \to C, \delta) & \text{若 }p = 0 \\ R^1\lim_e \mathcal{F}(B_e \to C, \delta) & \text{若 }p = 1 \\ 0 & \text{其他情形} \end{matrix} \right.\] 其中当 \(e\gg0\) 时，\(B_e=B/p^eB\)。

证明

范畴之间的任意函子都在同方向定义混沌拓扑斯之间的态射；例如，可把这种 函子看作位点之间的余连续函子，见 “位点论” 节 00XN。略去对 \(g_*\mathcal F\) 之描述的证明。注意，命题中只有当 \(e\) 足够大时， \((B_e\to C,\delta)\) 才是 \(\text{Cris}(C/A)\) 的对象。 设 \(\mathcal I\) 是 \(\mathcal C\) 上的内射交换群层。则转移映射 \[\mathcal{I}(B_e \to C, \delta) \leftarrow \mathcal{I}(B_{e + 1} \to C, \delta)\] 满射，因为态射 \[(B_e \to C, \delta) \longrightarrow (B_{e + 1} \to C, \delta)\] 在范畴 \(\mathcal C\) 中是单态。因此，对内射交换群层，引理所示公式两边 相同。取 \(\mathcal F\) 的一个内射消解即可得到结论（层是预层，故正合性 在各对象上截面群的层面检验）。

引理

设 \(\mathcal C\) 是赋予混沌拓扑的范畴。设 \(X\) 是 \(\mathcal C\) 的对象， 并且 \(\mathcal C\) 的每个对象都有一个指向 \(X\) 的态射。假设 \(\mathcal C\) 具有二元积。则对 \(\mathcal C\) 上每个交换群层 \(\mathcal F\)，总上同调 \(R\Gamma(\mathcal C,\mathcal F)\) 由复形 \[\mathcal{F}(X) \to \mathcal{F}(X \times X) \to \mathcal{F}(X \times X \times X) \to \ldots\] 表示；该复形与余单纯交换群 \([n]\mapsto\mathcal F(X^n)\) 相伴。

证明

由于任意预层在 \(\mathcal C\) 上都是层，对所有 \(q>0\) 有 \(H^q(X^p,\mathcal F)=0\)。关于 \(X\) 的假设是 \(h_X\to*\) 满射。 利用 \(H^q(X,\mathcal F)=H^q(h_X,\mathcal F)\) 与 \(H^q(\mathcal C,\mathcal F)=H^q(*,\mathcal F)\)，可见该断言是 “位点上同调”引理 079Z 的特例。

余单纯准备

本节比较晶体上同调与德拉姆上同调。我们遵循 [Bhatt]。

例

设 \(A_*\) 是任意余单纯环。考虑由下式定义的余单纯模 \(M_*\)： \[M_n = \bigoplus\nolimits_{i = 0, ..., n} A_n e_i\] 对映射 \(f:[n]\to[m]\)，把 \(M_*(f):M_n\to M_m\) 定义为将 \(e_i\) 映到 \(e_{f(i)}\) 的唯一 \(A_*(f)\)-线性映射。我们断言 \(M_*\) 上的恒等映射同伦于 \(0\)。事实上，一个同伦由余单纯模映射 \[h : M_* \longrightarrow \Hom(\Delta[1], M_*)\] 给出；见第 07KP 节。对 \(j\in\{0,\ldots,n+1\}\)，令 \(\alpha^n_j:[n]\to[1]\) 为由 \(\alpha^n_j(i)=0\Leftrightarrow i<j\) 定义的映射。于是 \(\Delta[1]_n=\{\alpha^n_0,\ldots,\alpha^n_{n+1}\}\)，相应地 \(\Hom(\Delta[1],M_*)_n=\prod_{j=0,\ldots,n+1}M_n\)；见“单纯方法”第 019J 节与第 019U 节。我们不用这个积表示， 而把 \(\Hom(\Delta[1],M_*)_n\) 的元素看作函数 \(\Delta[1]_n\to M_n\)。用此记号，把 \(h\) 的次数 \(n\) 分量定义为 \[h_n(e_i)(\alpha^n_j) = \left\{ \begin{matrix} e_{i} & \text{若} & i < j \\ 0 & \text{其他情形} \end{matrix} \right.\] 先验证 \(h\) 是余单纯模态射。即对 \(f:[n]\to[m]\)，证明 [07L8]\[\begin{equation} h_m \circ M_*(f) = \Hom(\Delta[1], M_*)(f) \circ h_n \end{equation}\] (07L8) 左端先在 \(e_i\) 处取值， 再在 \(\alpha^m_j\) 处取值，所得为 \[h_m(e_{f(i)})(\alpha^m_j) = \left\{ \begin{matrix} e_{f(i)} & \text{若} & f(i) < j \\ 0 & \text{其他情形} \end{matrix} \right.\] 注意 \(\alpha^m_j\circ f=\alpha^n_{j'}\)，其中 \(0\leq j'\leq n+1\) 是使 \(f(i)<j\) 当且仅当 \(i<j'\) 的唯一指标。 因此，(07L8) 右端先在 \(e_i\) 处取值， 再在 \(\alpha^m_j\) 处取值，所得为 \[M_*(f)(h_n(e_i)(\alpha^m_j \circ f) = M_*(f)(h_n(e_i)(\alpha^n_{j'})) = \left\{ \begin{matrix} e_{f(i)} & \text{若} & i < j' \\ 0 & \text{其他情形} \end{matrix} \right.\] 由对 \(j'\) 的描述可知两结果相等。因此 \(h\) 是余单纯模映射。 令 \(0:\Delta[0]\to\Delta[1]\) 与 \(1:\Delta[0]\to\Delta[1]\) 为显然映射，并以 \(ev_0,ev_1:\Hom(\Delta[1],M_*)\to M_*\) 表示相应取值映射。 读者容易验证，复合 \[ev_0 \circ h, ev_1 \circ h : M_* \longrightarrow M_*\] 分别为 \(1\) 与 \(0\)，故 \(h\) 是所需的 \(1\) 与 \(0\) 之间的同伦。

引理

采用 (07L0) 中的记号，复形 \[\Omega_{D(0)} \to \Omega_{D(1)} \to \Omega_{D(2)} \to \ldots\] 作为余单纯 \(D(*)\)-模同伦于零。

证明

我们将使用 “单纯方法” 引理 019Y 的原则，更具体地说， 使用 引理 07KQ：任意函子都把（余）单纯对象之间 的同伦映射变为同伦映射。引理中的复形等于余单纯模 \[M_* = \left( \Omega_{P/A} \to \Omega_{P \otimes_A P/A} \to \Omega_{P \otimes_A P \otimes_A P/A} \to \ldots \right)\] 沿余单纯环映射 \(P\otimes_A\ldots\otimes_AP\to D(n)\) 基变换后再作 \(p\)-进完备化；这由引理 07HW 得出， 见 (07J9) 后的评注。因此，只需证明余单纯模 \(M_*\) 同伦于零（这里使用基变换与 \(p\)-进完备化）。利用 \(\mathbf Z\to A\) 的基变换，甚至可假设 \(A=\mathbf Z\) 且 \(P=\mathbf Z[\{x_i\}_{i\in I}]\)。此时 \(P^{\otimes n+1}\) 是以各元素 \[x_i(e) = 1 \otimes \ldots \otimes x_i \otimes \ldots \otimes 1\] 为变量的多项式代数，其中 \(x_i\) 位于第 \(e\) 个位置。复形的各模以 \(\text d x_i(e)\) 为自由生成元。注意，若 \(f:[n]\to[m]\)，则 \[M_*(f)(\text{d}x_i(e)) = \text{d}x_i(f(e))\] 因此，\(M_*\) 是按 \(I\) 求和的、例 07L7 中所研究模的副本之直和，结论得证。

引理

采用 (07JF) 与 (07L0) 中的记号， 给定任意余单纯 \(D(*)\)-模 \(M_*\) 及 \(i>0\)，余单纯模 \[M_0 \otimes^\wedge_{D(0)} \Omega^i_{D(0)} \to M_1 \otimes^\wedge_{D(1)} \Omega^i_{D(1)} \to M_2 \otimes^\wedge_{D(2)} \Omega^i_{D(2)} \to \ldots\] 同伦于零，其中 \(\Omega^i_{D(n)}\) 是 \(\Omega_{D(n)}\) 的第 \(i\) 个外幂的 \(p\)-进完备化。

证明

由引理 07L9，\(\Omega_{D(*)}\) 的自同态 \(0\) 与 \(1\) 同伦。应用函子 \(\wedge^i\)，可知余单纯模 \(\wedge^i\Omega_{D(*)}\) 也如此；见引理 07KQ。再次应用同一引理，得到其 \(p\)-进完备化 \(\Omega^i_{D(*)}\) 同伦等价于零。与 \(M_*\) 作张量积，得到 \(M_*\otimes_{D(*)}\Omega^i_{D(*)}\) 同伦于零；再次见引理 07KQ。最后应用 \(p\)-进完备化函子即完成证明。

除幂 Poincaré 引理

这里只给出最简单的版本。

引理

设 \(A\) 是环，\(P=A\langle x_i\rangle\) 是 \(A\) 上的除幂多项式环。 对任意 \(A\)-模 \(M\)，复形 \[0 \to M \to M \otimes_A P \to M \otimes_A \Omega^1_{P/A, \delta} \to M \otimes_A \Omega^2_{P/A, \delta} \to \ldots\] 正合。令 \(D\) 为 \(P\) 的 \(p\)-进完备化，并令 \(\Omega^i_D\) 为 \(\Omega_{D/A,\delta}\) 第 \(i\) 个外幂的 \(p\)-进完备化。对任意 \(p\)-进完备的 \(A\)-模 \(M\)，复形 \[0 \to M \to M \otimes^\wedge_A D \to M \otimes^\wedge_A \Omega^1_D \to M \otimes^\wedge_A \Omega^2_D \to \ldots\] 正合。

证明

只需证明 \(A\)-模复形 \[E : (0 \to A \to P \to \Omega^1_{P/A, \delta} \to \Omega^2_{P/A, \delta} \to \ldots)\] 同伦等价于零。对每个多重指标 \(K=(k_i)\)，考虑子复形 \(E(K)\)， 其次数 \(j\) 分量为 \[\bigoplus\nolimits_{I = \{i_1, \ldots, i_j\} \subset \text{Supp}(K)} A \prod\nolimits_{i \not \in I} x_i^{[k_i]} \prod\nolimits_{i \in I} x_i^{[k_i - 1]} \text{d}x_{i_1} \wedge \ldots \wedge \text{d}x_{i_j}\] 由于 \(E=\bigoplus E(K)\)，只需证明每个复形 \(E(K)\) 同伦于零。 若 \(K=0\)，则 \(E(K):(A\to A)\) 同伦于零。若 \(K\) 的支集 \(S\) 非空且有限，则复形 \(E(K)\) 同构于 \[0 \to A \to \bigoplus\nolimits_{s \in S} A \to \wedge^2(\bigoplus\nolimits_{s \in S} A) \to \ldots \to \wedge^{\# S}(\bigoplus\nolimits_{s \in S} A) \to 0\] 后者同伦于零，例如由“代数进阶”引理 0626 可知。

例 07Q8 解释了下述引理的另一种（更直接的）方法。

引理

设 \(A\) 是环，\((B,I,\delta)\) 是除幂环，其中 \(B\) 是 \(A\)-代数。 令 \(P=B\langle x_i\rangle\) 为 \(B\) 上除幂多项式环，照例配备除幂理想 \(J=IP+B\langle x_i\rangle_+\)。设 \(M\) 是配备可积联络 \(\nabla:M\to M\otimes_B\Omega^1_{B/A,\delta}\) 的 \(B\)-模。 则德拉姆复形的映射 \[M \otimes_B \Omega^*_{B/A, \delta} \longrightarrow M \otimes_P \Omega^*_{P/A, \delta}\] 是拟同构。令 \(D\)、相应地 \(D'\) 分别为 \(B\)、相应地 \(P\) 的 \(p\)-进完备化，并令 \(\Omega^i_D\)、相应地 \(\Omega^i_{D'}\) 分别为 \(\Omega^i_{B/A,\delta}\)、相应地 \(\Omega^i_{P/A,\delta}\) 的 \(p\)-进完备化。设 \(M\) 是配备整联络 \(\nabla:M\to M\otimes^\wedge_D\Omega^1_D\) 的 \(p\)-进完备 \(D\)-模。 则德拉姆复形的映射 \[M \otimes^\wedge_D \Omega^*_D \longrightarrow M \otimes^\wedge_D \Omega^*_{D'}\] 是拟同构。

证明

考虑 \(\Omega^*_{B/A,\delta}\) 上由子复形 \(F^i(\Omega^*_{B/A,\delta})=\sigma_{\geq i}\Omega^*_{B/A,\delta}\) 给出的递减滤过 \(F^*\)；见 “同调” 节 0118。由下式，它在 \(\Omega^*_{P/A,\delta}\) 上诱导递减滤过 \(F^*\)： \[F^i(\Omega^*_{P/A, \delta}) = F^i(\Omega^*_{B/A, \delta}) \wedge \Omega^*_{P/A, \delta}.\] 我们有可分裂短正合列 \[0 \to \Omega^1_{B/A, \delta} \otimes_B P \to \Omega^1_{P/A, \delta} \to \Omega^1_{P/B, \delta} \to 0\] 其中最后一个模以 \(\text d x_i\) 为自由基。由此可知 \(F^i(\Omega^*_{P/A,\delta})\to\Omega^*_{P/A,\delta}\) 逐项为可分裂单射，并且 \[\text{gr}^i_F(\Omega^*_{P/A, \delta}) = \Omega^i_{B/A, \delta} \otimes_B \Omega^*_{P/B, \delta}\] 为复形的等式。因此可由下式在 \(M\otimes_B\Omega^*_{B/A,\delta}\) 上定义滤过 \(F^*\)： \[F^i(M \otimes_B \Omega^*_{P/A, \delta}) = M \otimes_B F^i(\Omega^*_{P/A, \delta})\] 并且复形满足 \[\text{gr}^i_F(M \otimes_B \Omega^*_{P/A, \delta}) = M \otimes_B \Omega^i_{B/A, \delta} \otimes_B \Omega^*_{P/B, \delta}\] 由引理 07LC，这些复形中的每一个都拟同构于置于次数 \(0\) 的 \(M\otimes_B\Omega^i_{B/A,\delta}\)。因此，引理中第一个所示映射 是滤过复形的态射，并在分次片上诱导拟同构。这蕴含它自身是拟同构； 例如可使用与滤过复形相伴的谱序列，见 “同调” 节 012K。

第二个拟同构的证明完全相同。

仿射情形的上同调

回到第 07J7 节中研究的情形。 从 \((A,I,\gamma)\) 与 \(A/I\to C\) 出发，置 \(X=\Spec(C)\) 与 \(S=\Spec(A)\)。然后选取 \(A\) 上多项式环 \(P\) 及核为 \(J\) 的满射 \(P\to C\)。由 (07J8) 与 (07JF) 得到 \(D\) 和 \(D(n)\)。置 \(T(n)_e=\Spec(D(n)/p^eD(n))\)，使 \((X,T(n)_e,\delta(n))\) 是 \(\text{Cris}(X/S)\) 的对象。 设 \(\mathcal F\) 是 \(\mathcal O_{X/S}\)-模层，并对 \(n=0,1,2,3,\ldots\) 置 \[M(n) = \lim_e \Gamma((X, T(n)_e, \delta(n)), \mathcal{F})\] 这构成余单纯环 \(D(0),D(1),D(2),\ldots\) 上的余单纯模。

命题

采用上述记号，假设：

1. \(\mathcal F\) 局部拟凝聚；

2. 对 \(\text{Cris}(X/S)\) 中任意态射 \((U,T,\delta)\to(U',T',\delta')\)，若 \(f:T\to T'\) 是闭浸入， 则映射 \(c_f:f^*\mathcal F_{T'}\to\mathcal F_T\) 满射。

则复形 \[M(0) \to M(1) \to M(2) \to \ldots\] 计算 \(R\Gamma(\text{Cris}(X/S),\mathcal F)\)。

证明

利用假设 (1) 与 引理 07JK，可知 \(R\Gamma(\text{Cris}(X/S),\mathcal F)\) 同构于 \(R\Gamma(\mathcal C,\mathcal F)\)。注意，引理 07JK 与 07JL 中使用的范畴 \(\mathcal C\) 相同。 设 \(f:T\to T'\) 是 (2) 中的闭浸入。映射 \(c_f:f^*\mathcal F_{T'}\to\mathcal F_T\) 满射，当且仅当 \(\mathcal F_{T'}\to f_*\mathcal F_T\) 满射。因此，若 \(\mathcal F\) 满足 (1) 与 (2)，便得到 \(T'\) 上拟凝聚 \(\mathcal O_{T'}\)-模的短正合列 \[0 \to \mathcal{K} \to \mathcal{F}_{T'} \to f_*\mathcal{F}_T \to 0\] 见“概形”第 01LA 节，尤其是 引理 01LC。因此，若 \(T'\) 仿射， 则由 \(H^1(T',\mathcal K)\) 消失可知限制映射 \(\mathcal F(U',T',\delta')\to\mathcal F(U,T,\delta)\) 满射；见 “概形上同调”引理 01XB。 于是 引理 07JL 中各逆系统的转移映射满射。 由此得到对所有 \(p\geq1\)， \(R^pg_*(\mathcal F|_\mathcal C)=0\)，其中 \(g\) 如 引理 07JL。范畴 \(\mathcal C^\wedge\) 的对象 \(D\) 满足 引理 07JM 的假设。这由引理 07KI 及下式可知： \[D \times \ldots \times D = D(n)\] 在 \(\mathcal C\) 中成立，因为 \(D(n)\) 是 \(\text{Cris}^\wedge(C/A)\) 中 \(D\) 的 \(n+1\) 重余积；见 引理 07L4。结论得证。

引理

假设与记号同命题 07JN。则 \[H^j(\text{Cris}(X/S), \mathcal{F} \otimes_{\mathcal{O}_{X/S}} \Omega^i_{X/S}) = 0\] 对所有 \(i>0\) 与所有 \(j\geq0\) 成立。

证明

由引理 07KM， \(\mathcal H=\mathcal F\otimes_{\mathcal O_{X/S}}\Omega^i_{X/S}\) 也满足命题 07JN 的假设 (1) 与 (2)。记 \[M(n)_e=\Gamma((X,T(n)_e,\delta(n)),\mathcal F)\] 于是 \(M(n)=\lim_eM(n)_e\)。则 \[\begin{align*} \lim_e \Gamma((X, T(n)_e, \delta(n)), \mathcal{H}) & = \lim_e M(n)_e \otimes_{D(n)_e} \Omega_{D(n)}/p^e\Omega_{D(n)} \\ & = \lim_e M(n)_e \otimes_{D(n)} \Omega_{D(n)} \end{align*}\] 由引理 07LA，余单纯模 \[M(0)_e \otimes_{D(0)} \Omega^i_{D(0)} \to M(1)_e \otimes_{D(1)} \Omega^i_{D(1)} \to M(2)_e \otimes_{D(2)} \Omega^i_{D(2)} \to \ldots\] 同伦于零。由于转移映射 \(M(n)_{e+1}\to M(n)_e\) 满射， 相伴复形的逆极限非周期⁵。 于是由命题 07JN， \(\mathcal H\) 的上同调消失。

命题

假设同命题 07JN，但现在假设 \(\mathcal F\) 是拟凝聚模中的晶体。令 \((M,\nabla)\) 为相应的 \(D\) 上带联络模；见命题 07JH。 则复形 \[M \otimes^\wedge_D \Omega^*_D\] 计算 \(R\Gamma(\text{Cris}(X/S),\mathcal F)\)。

证明

我们使用与双复形 \(K^{*,*}\) 相伴的两个谱序列来证明，其中 \[K^{a, b} = M \otimes_D^\wedge \Omega^a_{D(b)}\] 已有结果如下。引理 07LA 表明每一列 \(K^{a,*}\)（\(a>0\)）非周期。命题 07JN 表明第一列 \(K^{0,*}\) 拟同构于 \(R\Gamma(\text{Cris}(X/S),\mathcal F)\)。因此，与双复形相伴的第一个 谱序列表明，\(R\Gamma(\text{Cris}(X/S),\mathcal F)\) 与 \(\text{Tot}(K^{*,*})\) 之间存在典范拟同构。

接着考虑各行 \(K^{*,b}\)。由引理 07L2， \(b+1\) 个映射 \(D\to D(b)\) 中每一个都把 \(D(b)\) 表示为 \(D\) 上某个除幂多项式代数的 \(p\)-进完备化。因此引理 07LD 表明映射 \[M \otimes^\wedge_D\Omega^*_D \longrightarrow M \otimes^\wedge_{D(b)} \Omega^*_{D(b)} = K^{*, b}\] 是拟同构。注意，这些映射在上同调上定义同一个映射（甚至在导出范畴 中定义同一个映射），因为其逆由余对角映射 \(D(b)\to D\) 给出， 它对应于乘法映射 \(P\otimes_A\ldots\otimes_AP\to P\)。 因此，第二个谱序列的 \(E_1\) 页为 \[E_1^{a, b} = H^a(M \otimes^\wedge_D\Omega^*_D)\] 其微分为 \[E_1^{a, 0} \xrightarrow{0} E_1^{a, 1} \xrightarrow{1} E_1^{a, 2} \xrightarrow{0} E_1^{a, 3} \xrightarrow{1} \ldots\] 因为每个微分都是给定等同 \(H^a(M\otimes^\wedge_D\Omega^*_D)=E_1^{a,0}=E_1^{a,1}=\ldots\) 的交错和。因此，\(E_2\) 页在第一行等于 \(H^a(M\otimes^\wedge_D\Omega^*_D)\)，在其他各处为零。 由此，\(M\otimes^\wedge_D\Omega^*_D\) 与第一行的等同诱导它与 \(\text{Tot}(K^{*,*})\) 之间的拟同构。

引理

假设同命题 07LG。 设 \(A \to P' \to C\) 为环映射，其中 \(A \to P'\) 光滑，而 \(P' \to C\) 为核等于 \(J'\) 的满射。令 \(D'\) 为 \(D_{P', \gamma}(J')\) 的 \(p\)-进完备化。 设 \((M', \nabla')\) 为与 \(\mathcal{F}\) 对应的 \(D'\) 上偶对，见 引理 07L5。则复形 \[M' \otimes^\wedge_{D'} \Omega^*_{D'}\] 计算 \(R\Gamma(\text{Cris}(X/S), \mathcal{F})\)。

证明

依引理 07L5 选取 \(a : D \to D'\) 与 \(b : D' \to D\)。 注意，基变换 \(M = M' \otimes_{D', b} D\) 连同其联络 \(\nabla\) 对应于 \(\mathcal{F}\)。因此由 命题 07LG， \(M \otimes^\wedge_D \Omega_D^*\) 计算 \(\mathcal{F}\) 的晶体上同调。 故只需证明由 \(a\) 与 \(b\) 诱导的基变换映射 \[M' \otimes^\wedge_{D'} \Omega^*_{D'} \longrightarrow M \otimes^\wedge_D \Omega^*_D \quad\text{且}\quad M \otimes^\wedge_D \Omega^*_D \longrightarrow M' \otimes^\wedge_{D'} \Omega^*_{D'}\] 均为拟同构。由于 \(a \circ b = \text{id}_{D'}\)，其中一个方向的复合 是复形 \(M' \otimes^\wedge_{D'} \Omega^*_{D'}\) 上的恒等映射。 因此只需证明映射 \[M \otimes^\wedge_D \Omega^*_D \longrightarrow M \otimes^\wedge_D \Omega^*_D\] 由 \(b \circ a : D \to D\) 诱导时为拟同构。（注意，两端确为同一复形， 因为 \(M = M' \otimes^\wedge_{D', b} D\)，从而 \(M \otimes^\wedge_{D, b \circ a} D = M' \otimes^\wedge_{D', b \circ a \circ b} D = M' \otimes^\wedge_{D', b} D = M\)。）事实上我们断言：对任意与到 \(C\) 的增广相容的除幂 \(A\)-代数同态 \(\rho : D \to D\)，其诱导映射 \(M \otimes^\wedge_D \Omega^*_D \to M \otimes^\wedge_{D, \rho} \Omega^*_D\) 均为拟同构。

写成 \(\rho(x_i) = x_i + z_i\)。由于 \(\rho\) 与到 \(C\) 的增广相容， 各元素 \(z_i\) 均属于 \(D\) 的除幂理想。因此可把映射 \(\rho\) 分解为复合 \[D \xrightarrow{\sigma} D\langle \xi_i \rangle^\wedge \xrightarrow{\tau} D\] 其中第一条映射由 \(x_i \mapsto x_i + \xi_i\) 给出，第二条映射是把 \(\xi_i\) 映到 \(z_i\) 的除幂 \(D\)-代数映射。（这里用到了多项式代数、 除幂多项式代数、除幂包络以及 \(p\)-进完备化的泛性质。）注意， \(D\langle \xi_i \rangle^\wedge\) 存在一个自同构 \(\alpha\)，满足 \(\alpha(x_i) = x_i - \xi_i\) 且 \(\alpha(\xi_i) = \xi_i\)。 把 引理 07LD 应用于 \(\alpha \circ \sigma\) （它把 \(x_i\) 映到 \(x_i\)），并利用 \(\alpha\) 为同构，可知 \(\sigma\) 诱导 \(M \otimes^\wedge_D \Omega^*_D\) 与下述复形之间的拟同构： \(M \otimes^\wedge_{D, \sigma} \Omega^*_{D\langle x_i \rangle^\wedge}\). 另一方面，映射 \(\tau\) 以 \(D \to D\langle x_i \rangle^\wedge\)、 \(x_i \mapsto x_i\) 为左逆。再次使用 引理 07LD， 可知 \(\tau\) 诱导下述两复形之间的拟同构： \(M \otimes^\wedge_{D, \sigma} \Omega^*_{D\langle x_i \rangle^\wedge}\) 与 \(M \otimes^\wedge_{D, \tau \circ \sigma} \Omega^*_D\)。复合这两个 拟同构，即得 \(\rho\) 所诱导的拟同构 \(M \otimes^\wedge_D \Omega^*_D \to M \otimes^\wedge_{D, \rho} \Omega^*_D\)， 如所要求。

两个反例

在讨论晶体上同调的一些成功应用之前，先给出两个例子，以说明当所论 概形在基上不固有或为奇异概形时，晶体上同调为何表现不佳。第一个例子 见 [BO]。

例

令 \(A = \mathbf{Z}_p\)，并在除幂理想 \((p)\) 上赋予其唯一的除幂结构 \(\gamma\)。令 \(C = \mathbf{F}_p[x, y]/(x^2, xy, y^2)\)。选取表示 \[C = P/J = \mathbf{Z}_p[x, y]/(x^2, xy, y^2, p)\] 令 \(D = D_{P, \gamma}(J)^\wedge\)，其除幂理想 \((\bar J, \bar \gamma)\) 如第 07J7 节。 仍以 \(x,y\) 表示它们在 \(D\) 中的像。考虑元素 \[\tau = \bar\gamma_p(x^2)\bar\gamma_p(y^2) - \bar\gamma_p(xy)^2 \in D\] 注意 \(p\tau=0\)，因为在 \(D\) 中 \[p! \bar\gamma_p(x^2) \bar\gamma_p(y^2) = x^{2p} \bar\gamma_p(y^2) = \bar\gamma_p(x^2y^2) = x^py^p \bar\gamma_p(xy) = p! \bar\gamma_p(xy)^2\] 。又注意到 \(\Omega_D\) 中 \(\text{d}\tau=0\)，因为 \[\begin{align*} \text{d}(\bar\gamma_p(x^2) \bar\gamma_p(y^2)) & = \bar\gamma_{p - 1}(x^2)\bar\gamma_p(y^2)\text{d}x^2 + \bar\gamma_p(x^2)\bar\gamma_{p - 1}(y^2)\text{d}y^2 \\ & = 2 x \bar\gamma_{p - 1}(x^2)\bar\gamma_p(y^2)\text{d}x + 2 y \bar\gamma_p(x^2)\bar\gamma_{p - 1}(y^2)\text{d}y \\ & = 2/(p - 1)!( x^{2p - 1} \bar\gamma_p(y^2)\text{d}x + y^{2p - 1} \bar\gamma_p(x^2)\text{d}y ) \\ & = 2/(p - 1)! (x^{p - 1} \bar\gamma_p(xy^2)\text{d}x + y^{p - 1} \bar\gamma_p(x^2y)\text{d}y) \\ & = 2/(p - 1)! (x^{p - 1}y^p \bar\gamma_p(xy)\text{d}x + x^py^{p - 1} \bar\gamma_p(xy)\text{d}y) \\ & = 2 \bar\gamma_{p - 1}(xy) \bar\gamma_p(xy)(y\text{d}x + x \text{d}y) \\ & = \text{d}(\bar\gamma_p(xy)^2) \end{align*}\] 最后断言 \(D\) 中 \(\tau\neq0\)。为此，只需构造 \(\text{Cris}(C/S)\) 的一个 对象 \((B \to \mathbf{F}_p[x, y]/(x^2, xy, y^2), \delta)\)，使得 \(\tau\) 在 \(B\) 中的像非零。取 \[B = \mathbf{F}_p[x, y, u, v]/(x^3, x^2y, xy^2, y^3, xu, yu, xv, yv, u^2, v^2)\] 并取其到 \(C\) 的显然满射。令 \(K=\Ker(B\to C)\)，考虑映射 \[\delta_p : K \longrightarrow K,\quad ax^2 + bxy + cy^2 + du + ev + fuv \longmapsto a^pu + c^pv\] 可检验它满足“除幂代数”引理 07GS 的假设 (1)、(2)、(3)，故定义一个除幂结构。 此外，\(\tau\) 映到 \(uv\)，而后者在 \(B\) 中非零。置 \(X=\Spec(C)\) 与 \(S=\Spec(A)\)。由此得到以下结论：

1. \(H^0(\text{Cris}(X/S), \mathcal{O}_{X/S})\) 含有 \(p\)-挠；

2. Frobenius 拉回 \(F^* : H^0(\text{Cris}(X/S), \mathcal{O}_{X/S}) \to H^0(\text{Cris}(X/S), \mathcal{O}_{X/S})\) 不是单射。

具体地，由命题 07LG， \(\tau\) 定义 \(H^0(\text{Cris}(X/S), \mathcal{O}_{X/S})\) 的一个非零挠元。 同样，\(F^*(\tau)=\sigma(\tau)\)，其中 \(\sigma:D\to D\) 由 \(P\) 上任一 Frobenius 提升诱导。若取 \(\sigma(x)=x^p\) 与 \(\sigma(y)=y^p\)，则直接 计算可得 \(F^*(\tau)=0\)。

下一个例子表明，即使对仿射 \(n\)-空间，晶体上同调也不给出所期望的结果。

例

令 \(A=\mathbf Z_p\)，并在除幂理想 \((p)\) 上赋予其唯一的除幂结构 \(\gamma\)。令 \(C=\mathbf F_p[x_1,\ldots,x_r]\)。选取表示 \[C = P/J = P/pP\quad\text{其中}\quad P = \mathbf{Z}_p[x_1, \ldots, x_r]\] 由 “除幂代数” 引理 07H1， \(pP\) 带有除幂。故置 \(D=P^\wedge\) 并取除幂理想 \((p)\)，便得到 第 07J7 节中的情形。于是 \(R\Gamma(\text{Cris}(X/S), \mathcal{O}_{X/S})\) 由复形 \[D \to \Omega^1_D \to \Omega^2_D \to \ldots \to \Omega^r_D\] 表示，见命题 07LG。 假设 \(r>0\)，可得：

1. \(X=\mathbf A^r_{\mathbf F_p}\) 在 \(S=\Spec(\mathbf Z_p)\) 上的晶体 结构层之晶体上同调仅在次数 \(0,\ldots,r\) 可能非零。

2. \(H^0(\text{Cris}(X/S), \mathcal{O}_{X/S})=\mathbf Z_p\)。

3. 上同调群 \(H^r(\text{Cris}(X/S), \mathcal{O}_{X/S})\) 是无限群， 且不是挠阿贝尔群。

4. 上同调群 \(H^r(\text{Cris}(X/S), \mathcal{O}_{X/S})\) 对 \(p\)-进拓扑不分离。

前两条尚属合理，第 (3)、(4) 条却令人不安！只要具体写出上面展示的 复形，便立即可见这些断言。这里仅考察 \(r=1\)。此时所考察的是下述 \(p\)-进完备模的两项复形： \[\text{d} : D = \left( \bigoplus\nolimits_{n \geq 0} \mathbf{Z}_p x^n \right)^\wedge \longrightarrow \Omega^1_D = \left( \bigoplus\nolimits_{n \geq 1} \mathbf{Z}_p x^{n - 1}\text{d}x \right)^\wedge\] 除右端缺少第一个直和项外，该映射由 \(\text{diag}(0,1,2,3,4,\ldots)\) 给出。显然， \(\bigoplus_{n>0}\mathbf Z_p/n\mathbf Z_p\) 是余核的一个子群，故余核 为无限群。事实上，元素 \[\omega = \sum\nolimits_{e > 0} p^e x^{p^{2e} - 1}\text{d}x\] 显然不是余核中的挠元。然而情况还更糟。考虑元素 \[\eta = \sum\nolimits_{e > 0} p^e x^{p^e - 1}\text{d}x\] 对每个 \(t>0\)，元素 \(\eta\) 模 \(\text d\) 的像同余于 \(\sum_{e>t}p^ex^{p^e-1}\text d x\)，而后者可被 \(p^t\) 整除。因此 \(\eta\) 在 \(H^1(\text{Cris}(X/S),\mathcal O_{X/S})\) 中的上同调类属于 \(\bigcap p^tH^1(\text{Cris}(X/S),\mathcal O_{X/S})\)。但 \(\eta\) 不在 \(\text d\) 的像中，因为否则它必须是某个 \(a+\sum_{e>0}x^{p^e}\)（其中 \(a\in\mathbf Z_p\)）的像，而这个元素不属于 左端。因此 \(\eta\) 的上同调类非零，第 (4) 条得证。（事实上，\(\eta\) 的上同调类不是挠元。）好的一面是，作为一个 \(p\)-进完备模复形的 上同调，各群 \(H^i(\text{Cris}(X/S),\mathcal O_{X/S})\) 都是导出完备的 \(\mathbf Z_p\)-模；见“代数进阶”第 091N 节。

应用

本节汇集前述各节内容的一些应用。

命题

处于 情形 07MF。设 \(\mathcal F\) 为 \(\text{Cris}(X/S)\) 上拟凝聚模中的晶体。复形的截断映射 \[(\mathcal{F} \to \mathcal{F} \otimes_{\mathcal{O}_{X/S}} \Omega^1_{X/S} \to \mathcal{F} \otimes_{\mathcal{O}_{X/S}} \Omega^2_{X/S} \to \ldots) \longrightarrow \mathcal{F}[0],\] 虽非拟同构，但施加 \(Ru_{X/S,*}\) 后成为拟同构。事实上，对任意 \(i>0\)， 有 \[Ru_{X/S, *}(\mathcal{F} \otimes_{\mathcal{O}_{X/S}} \Omega^i_{X/S}) = 0.\]

证明

由引理 07J6 得到命题中所示的德拉姆复形。 简记 \(\mathcal H=\mathcal F\otimes\Omega^i_{X/S}\)。设 \(X'\subset X\) 为仿射开子概形，且映入某个仿射开子概形 \(S'\subset S\)。则 \[(Ru_{X/S, *}\mathcal{H})|_{X'_{Zar}} = Ru_{X'/S', *}(\mathcal{H}|_{\text{Cris}(X'/S')}),\] 见引理 07KL。因此引理 07LF 表明，\(Ru_{X/S,*}\mathcal H\) 是 \(X_{Zar}\) 上的层复形，且其在任意仿射 开集上的上同调均为零。由于 \(X\) 的拓扑有一个由仿射开集组成的基， 这说明 \(Ru_{X/S,*}\mathcal H\) 拟同构于零。

注

命题 07LM 的证明表明，结论 \[Ru_{X/S, *}(\mathcal{F} \otimes_{\mathcal{O}_{X/S}} \Omega^i_{X/S}) = 0\] 对任意满足 命题 07JN 中条件 (1)、(2) 的 \(\mathcal O_{X/S}\)-模 \(\mathcal F\)，在 \(i>0\) 时均成立。这适用于以下 非晶体：所有 \(\Omega^i_{X/S}\)，以及任意形如 \(\underline{\mathcal F}\) 的层，其中 \(\mathcal F\) 是拟凝聚 \(\mathcal O_X\)-模。特别地，它适用于层 \(\underline{\mathcal O_X}=\underline{\mathbf G_a}\)。但要构造德拉姆复形， 需要类似 引理 07J6 的结果，而这要求 \(\mathcal F\) 为晶体。因此，（目前）满足 命题 07LM 完整断言的模层，恰组成拟凝聚模中 晶体的范畴。

处于 情形 07MF。设 \(\mathcal F\) 为 \(\text{Cris}(X/S)\) 上拟凝聚模中的晶体，并设 \((U,T,\delta)\) 为 \(\text{Cris}(X/S)\) 的对象。命题 07LM 使我们能够构造典范映射 [07LP]\[\begin{equation} R\Gamma(\text{Cris}(X/S), \mathcal{F}) \longrightarrow R\Gamma(T, \mathcal{F}_T \otimes_{\mathcal{O}_T} \Omega^*_{T/S, \delta}) \end{equation}\] 确切地说，有 \(R\Gamma(\text{Cris}(X/S),\mathcal F)= R\Gamma(\text{Cris}(X/S),\mathcal F\otimes\Omega^*_{X/S})\)；可把整体 上同调类限制到 \(T\)，且由引理 07IZ， \(\Omega_{X/S}\) 限制为 \(\Omega_{T/S,\delta}\)。

若干进一步结果

本节列出一些尚缺证明的结果。我们先把它们表述为一系列备注；只有在补入 详细证明后，才会将其改写为正式的引理和命题。

注

设 \(p\) 为素数，并设 \((S,\mathcal I,\gamma)\to(S',\mathcal I',\gamma')\) 为 \(\mathbf Z_{(p)}\) 上除幂概形的态射。设 \[\xymatrix{ X \ar[r]_f \ar[d] & X' \ar[d] \\ S_0 \ar[r] & S'_0 }\] 为概形态射的交换图，并假设 \(p\) 在 \(X\) 与 \(X'\) 上局部幂零。设 \(\mathcal F\) 为 \(\text{Cris}(X/S)\) 上的 \(\mathcal O_{X/S}\)-模。则 \(Rf_{\text{cris},*}\mathcal F\) 可如下计算。

给定 \(\text{Cris}(X'/S')\) 的对象 \((U',T',\delta')\)，置 \(U=X\times_{X'}U'=f^{-1}(U')\)（它是 \(X\) 的开子概形）。以 \((T_0,T,\delta)\) 表示 \(S\) 上的除幂概形，使得 \[\xymatrix{ T \ar[r] \ar[d] & T' \ar[d] \\ S \ar[r] & S' }\] 在除幂概形范畴中为笛卡尔图，见引理 07ME。 存在诱导态射 \(U\to T_0\)，从而得到态射 \((U/T)_{\text{cris}}\to(X/S)_{\text{cris}}\)，见注 07IK。令 \(\mathcal F_U\) 为 \(\mathcal F\) 的拉回， 并令 \(\tau_{U/T}:(U/T)_{\text{cris}}\to T_{Zar}\) 为结构态射。则有 [07MK]\[\begin{equation} \left(Rf_{\text{cris}, *}\mathcal{F}\right)_{T'} = R(T \to T')_*\left(R\tau_{U/T, *} \mathcal{F}_U \right) \end{equation}\] 其中左端是限制（见第 07IN 节）。

提示：首先证明 \(\text{Cris}(U/T)\) 是 \(\text{Cris}(X/S)\) 在集合层 \(f_{\text{cris}}^{-1}h_{(U',T',\delta')}\) 处的局部化（取 “位点论” 引理 0791 的意义）。其次，利用内射 \(\mathcal O_{X/S}\)-模的拉回是 \(\text{Cris}(U/T)\) 上的内射 \(\mathcal O_{U/T}\)-模，把断言化归到 \(\mathcal F\) 为内射模以及模的正像 这一情形。最后检验结果对普通正像成立。

注

在 注 07MJ 的情形中，设有开覆盖 \(X=X'\cup X''\)，并记 \(X'''=X'\cap X''\)。令 \(f'\)、\(f''\) 与 \(f''\) 分别为 \(f\) 在 \(X'\)、\(X''\) 与 \(X'''\) 上的限制。再令 \(\mathcal F'\)、\(\mathcal F''\) 与 \(\mathcal F'''\) 分别为 \(\mathcal F\) 在 \(X'\)、\(X''\) 与 \(X'''\) 的晶体位点上的限制。则存在可区别三角 \[Rf_{\text{cris}, *}\mathcal{F} \longrightarrow Rf'_{\text{cris}, *}\mathcal{F}' \oplus Rf''_{\text{cris}, *}\mathcal{F}'' \longrightarrow Rf'''_{\text{cris}, *}\mathcal{F}''' \longrightarrow Rf_{\text{cris}, *}\mathcal{F}[1]\] 于 \(D(\mathcal O_{X'/S'})\) 中。

提示：这是下述事实的形式推论：子范畴 \(\text{Cris}(X'/S)\)、 \(\text{Cris}(X''/S)\)、\(\text{Cris}(X'''/S)\) 对应于 \(\text{Cris}(X/S)\) 的终层之开子对象，且第三个是前两个的交。

注

设 \(p\) 为素数，并设 \((A,I,\gamma)\) 为除幂环，其中 \(A\) 是 \(\mathbf Z_{(p)}\)-代数。置 \(S=\Spec(A)\) 与 \(S_0=\Spec(A/I)\)。设 \(X\) 为 \(S_0\) 上的分离概形⁶，且 \(p\) 在 \(X\) 上局部幂零。设 \(\mathcal F\) 为拟凝聚 \(\mathcal O_{X/S}\)-模中的晶体。

选取 \(X\) 的仿射开覆盖 \(X=\bigcup_{\lambda\in\Lambda}U_\lambda\)。写成 \(U_\lambda=\Spec(C_\lambda)\)。选取 \(A\) 上的多项式代数 \(P_\lambda\) 及满射 \(P_\lambda\to C_\lambda\)。固定这些选择后，可构造一个计算 \(R\Gamma(\text{Cris}(X/S),\mathcal F)\) 的 Čech 复形。

给定 \(n\geq0\) 及 \(\lambda_0,\ldots,\lambda_n\in\Lambda\)，记 \(U_{\lambda_0\ldots\lambda_n}=U_{\lambda_0}\cap\ldots\cap U_{\lambda_n}\)。 由假设它是仿射概形。写成 \(U_{\lambda_0\ldots\lambda_n}=\Spec(C_{\lambda_0\ldots\lambda_n})\)，并置 \[P_{\lambda_0 \ldots \lambda_n} = P_{\lambda_0} \otimes_A \ldots \otimes_A P_{\lambda_n}\] 它带有到 \(C_{\lambda_0\ldots\lambda_n}\) 的典范满射。以 \(J_{\lambda_0\ldots\lambda_n}\) 表示其核，并令 \(D_{\lambda_0\ldots\lambda_n}\) 为 \(P_{\lambda_0\ldots\lambda_n}\) 中 \(J_{\lambda_0\ldots\lambda_n}\) 相对于 \(\gamma\) 的除幂包络之 \(p\)-进完备化。令 \(M_{\lambda_0\ldots\lambda_n}\) 为通过 命题 07JH 与 \(\mathcal F\) 在 \(\text{Cris}(U_{\lambda_0\ldots\lambda_n}/S)\) 上的限制相对应的 \(P_{\lambda_0\ldots\lambda_n}\)-模。由构造得到余单纯除幂环 \(D(*)\)， 其次数 \(n\) 部分为环 \[D(n) = \prod\nolimits_{\lambda_0 \ldots \lambda_n} D_{\lambda_0 \ldots \lambda_n}\] （这里使用除幂包络的函子性，以及在以类似方式定义的环 \(P(*)\) 上的 平凡余单纯结构）。由于 \(M_{\lambda_0\ldots\lambda_n}\) 是 \(\mathcal F\) 在对象 \(\Spec(D_{\lambda_0\ldots\lambda_n})\) 上的“值”，故由规则 \[M(n) = \prod\nolimits_{\lambda_0 \ldots \lambda_n} M_{\lambda_0 \ldots \lambda_n}\] 定义的 \(M(*)\) 构成余单纯 \(D(*)\)-模。现断言 \[R\Gamma(\text{Cris}(X/S), \mathcal{F}) = s(M(*))\] 其中 \(s(-)\) 表示与余单纯模相伴的上链复形（见 “单纯方法” 节 019H）。

提示：其证明类似于 命题 07JN 的 证明（特别地，该结果对满足该命题假设的任意模成立）。

注

设 \(p\) 为素数，并设 \((A,I,\gamma)\) 为除幂环，其中 \(A\) 是 \(\mathbf Z_{(p)}\)-代数。置 \(S=\Spec(A)\) 与 \(S_0=\Spec(A/I)\)。设 \(X\) 为 \(S_0\) 上的分离拟紧概形，且 \(p\) 在 \(X\) 上局部幂零。设 \(\mathcal F\) 为拟凝聚 \(\mathcal O_{X/S}\)-模中的晶体。

选取 \(X\) 的有限仿射开覆盖 \(X=\bigcup_{\lambda\in\Lambda}U_\lambda\)，并在 \(\Lambda\) 上选取一个全序。 写成 \(U_\lambda=\Spec(C_\lambda)\)。选取 \(A\) 上的多项式代数 \(P_\lambda\) 及满射 \(P_\lambda\to C_\lambda\)。固定这些选择后，可构造 一个计算 \(R\Gamma(\text{Cris}(X/S),\mathcal F)\) 的交错 Čech 复形。

采用 注 07MM 中引入的记号。以 \(\Omega_{\lambda_0\ldots\lambda_n}\) 表示 \(D_{\lambda_0\ldots\lambda_n}\) 在 \(A\) 上与除幂结构相容的微分模之 \(p\)-进完备化。令 \(\nabla\) 为 命题 07JH 所给出的 \(M_{\lambda_0\ldots\lambda_n}\) 上可积联络。考虑双复形 \(M^{\bullet,\bullet}\)，其各项为 \[M^{n, m} = \bigoplus\nolimits_{\lambda_0 < \ldots < \lambda_n} M_{\lambda_0 \ldots \lambda_n} \otimes^\wedge_{D_{\lambda_0 \ldots \lambda_n}} \Omega^m_{D_{\lambda_0 \ldots \lambda_n}}.\] 微分 \(d_1\)（使 \(n\) 增加）取通常的 Čech 微分，而微分 \(d_2\) 取联络，即德拉姆复形的微分。我们断言 \[R\Gamma(\text{Cris}(X/S), \mathcal{F}) = \text{Tot}(M^{\bullet, \bullet})\] 其中 \(\text{Tot}(-)\) 表示与双复形相伴的全复形，见 “同调” 定义 012Z。

提示：由命题 07LM 有 \[R\Gamma(\text{Cris}(X/S), \mathcal{F}) = R\Gamma(\text{Cris}(X/S), \mathcal{F} \otimes_{\mathcal{O}_{X/S}} \Omega_{X/S}^\bullet)\] 。公式右端正是覆盖 \(X=\bigcup_{\lambda\in\Lambda}U_\lambda\) （它诱导 \(\text{Cris}(X/S)\) 的终层之一个开覆盖）与复形 \(\mathcal F\otimes_{\mathcal O_{X/S}}\Omega_{X/S}^\bullet\) 的交错 Čech 复形；见命题 07LG。结论现由位点上同调的一个 一般结果推出：若交错 Čech 复形在每个部分上给出正确答案，它就 计算上同调（以后在此插入引用）。

注

在 注 07MJ 的情形中，假设 \(S\to S'\) 与 \(X\to S_0\) 都拟紧且拟分离。则对拟凝聚 \(\mathcal O_{X/S}\)-模中的 晶体 \(\mathcal F\)，各层 \(R^if_{\text{cris},*}\mathcal F\) 均局部拟凝聚。

提示：须证明其在 \(T'\) 上的限制是拟凝聚 \(\mathcal O_{T'}\)-模，其中 \((U',T',\delta')\) 为 \(\text{Cris}(X'/S')\) 的任意对象。只需在 \(T'\) 仿射时证明。利用公式 (07MK)、\(T\to T'\) 拟紧且拟分离这一事实（因为 \(T\) 在 \(T'\) 沿 \(S\to S'\) 的基变换上 仿射），以及“概形上同调”引理 01XJ，可知只需证明 各层 \(R^i\tau_{U/T,*}\mathcal F_U\) 拟凝聚。注意 \(U\to T_0\) 也拟紧且 拟分离；见“概形”引理 03GI 与 03GI。

这把问题化为：当 \(p\) 在 \(S\) 上局部幂零时，证明 \(R^i\tau_{X/S,*}\mathcal F\) 在 \(S\) 上拟凝聚。这里 \(\tau_{X/S}\) 是结构 态射，见注 07IM。可以在 \(S\) 上局部地 工作，故可假设 \(S\) 仿射（见引理 07KL）。对覆盖 \(X\) 的仿射开集数目作归纳，并使用 Mayer–Vietoris（注 07ML），可把问题化归到 \(X\) 也仿射的情形 （如“概形上同调”引理 01XJ 的证明）。设 \(X=\Spec(C)\)、\(S=\Spec(A)\)，使得 \((A,I,\gamma)\) 与 \(A\to C\) 如 情形 07MD。依第 07J7 节选取 \(A\) 上多项式代数 \(P\) 及满射 \(P\to C\)。令 \((M,\nabla)\) 为与 \(\mathcal F\) 对应的模，见命题 07JH。应用命题 07LG，可知 \(R\Gamma(\text{Cris}(X/S),\mathcal F)\) 由 \(M\otimes_D\Omega_D^*\) 表示。 注意，由于 \(p\) 在 \(A\) 中幂零，无需完备化！须证明这与在 \(S=\Spec(A)\) 中取主开集相容。设 \(g\in A\)。类似地， \(R\Gamma(\text{Cris}(X_g/S_g),\mathcal F)\) 由 \(M_g\otimes_{D_g}\Omega_{D_g}^*\) 计算（这里再次使用无需 \(p\)-进完备化）。 由于局部化是 \(A\)-模上的正合函子，结论随即成立。

注

在 注 07MJ 的情形中，假设 \(S\to S'\) 拟紧且拟分离，而 \(X\to S_0\) 为有限型且拟分离。则存在整数 \(i_0\)， 使得对拟凝聚 \(\mathcal O_{X/S}\)-模中的任意晶体 \(\mathcal F\)，当 \(i>i_0\) 时均有 \(R^if_{\text{cris},*}\mathcal F=0\)。

提示：仿照注 07MP 的论证（使用“概形上同调”引理 01XJ），问题化为在 命题 07LG 的情形中，当 \(C\) 是 \(A\) 上有限型代数时，证明 \(i\gg0\) 有 \(H^i(\text{Cris}(X/S),\mathcal F)=0\)。这是显然的，因为可以选取有限 多项式代数，而 \(i\gg0\) 时 \(\Omega_D^i=0\)。

注

在 情形 07MF 中，设 \(\mathcal F\) 为拟凝聚 \(\mathcal O_{X/S}\)-模中的晶体。假设 \(S_0\) 仅有一个点，且 \(X\to S_0\) 为有限表示。

1. 若 \(\dim X=d\) 且 \(X/S_0\) 的嵌入维数为 \(e\)，则 \(i>d+e\) 时 \(H^i(\text{Cris}(X/S),\mathcal F)=0\)。

2. 若 \(X\) 分离且可由 \(q\) 个仿射开集覆盖，并且 \(X/S_0\) 的嵌入维数 为 \(e\)，则 \(i>q+e\) 时 \(H^i(\text{Cris}(X/S),\mathcal F)=0\)。

提示：在情形 (1) 中可使用 \[H^i(\text{Cris}(X/S), \mathcal{F}) = H^i(X_{Zar}, Ru_{X/S, *}\mathcal{F})\] 以及如下事实：\(Ru_{X/S,*}\mathcal F\) 局部地由一个德拉姆复形计算， 该复形利用 \(X\) 到 \(S\) 上维数为 \(e\) 的光滑概形中的嵌入构造 （见引理 07LH）。这些德拉姆 复形在所有次数 \(>e\) 处为零。因此 (1) 由 “上同调” 命题 02UZ 推出。在情形 (2) 中， 使用交错 Čech 复形（见注 07MN）化归到 \(X\) 仿射的情形。仿射 情形下，利用与 \(X\) 到 \(S\) 上维数为 \(e\) 的光滑概形中某个嵌入相伴的 德拉姆复形证明结果（构造这样的嵌入需要一些工作）。

注

在 注 07MJ 的情形中，假设 \(S=\Spec(A)\) 与 \(S'=\Spec(A')\) 仿射。设 \(\mathcal F'\) 为 \(\mathcal O_{X'/S'}\)-模，并设 \(\mathcal F\) 为 \(\mathcal F'\) 的拉回。 则存在典范基变换映射 \[L(S' \to S)^*R\tau_{X'/S', *}\mathcal{F}' \longrightarrow R\tau_{X/S, *}\mathcal{F}\] 其中 \(\tau_{X/S}\) 与 \(\tau_{X'/S'}\) 是结构态射，见注 07IM。在整体截面上，这给出基变换映射 [07MT]\[\begin{equation} R\Gamma(\text{Cris}(X'/S'), \mathcal{F}') \otimes^\mathbf{L}_{A'} A \longrightarrow R\Gamma(\text{Cris}(X/S), \mathcal{F}) \end{equation}\] 于 \(D(A)\) 中。

提示：把“位点上同调”注 07A7 的极一般基变换映射与典范映射 \(Lf_{\text{cris}}^*\mathcal{F}' \to f_{\text{cris}}^*\mathcal{F}' = \mathcal{F}\).

注

若以下条件全部满足，则映射 (07MT) 为同构：

1. \(p\) 在 \(A'\) 中幂零；

2. \(\mathcal F'\) 是拟凝聚 \(\mathcal O_{X'/S'}\)-模中的晶体；

3. \(X'\to S'_0\) 为拟紧拟分离态射；

4. \(X = X' \times_{S'_0} S_0\),

5. \(\mathcal F'\) 是平坦 \(\mathcal O_{X'/S'}\)-模；

6. \(X'\to S'_0\) 为局部完全交态射（见“态射进阶” 定义 069F；例如，当 \(X'\to S'_0\) 为 syntomic 或光滑态射时成立）；

7. \(X'\) 与 \(S_0\) 在 \(S'_0\) 上 Tor 独立（见“代数进阶” 定义 0660；例如，当 \(S_0\to S'_0\) 或 \(X'\to S'_0\) 中任一个平坦时成立）。

提示：条件 (1) 意味着在以下论证中，\(p\)-进完备化不起作用，因而可以忽略。 利用条件 (3) 与 Mayer–Vietoris（见注 07ML），问题化归到 \(X'\) 仿射的情形。事实上， 由条件 (6)，进一步缩小后可假设 \(X'=\Spec(C')\)，并给定表示 \(C'=A'/I'[x_1,\ldots,x_n]/(\bar f'_1,\ldots,\bar f'_c)\)，其中 \(\bar f'_1,\ldots,\bar f'_c\) 是 \(A'/I'\) 中的 Koszul-正则列。（这意味着 光滑局部地，\(\bar f'_1,\ldots,\bar f'_c\) 构成正则列；见“代数进阶”引理 068Q。）选取 \(\bar f'_i\) 到元素 \(f'_i\in A'[x_1,\ldots,x_n]\) 的提升。由 (4)， \(X=\Spec(C)\)，其中 \(C=A/I[x_1,\ldots,x_n]/(\bar f_1,\ldots,\bar f_c)\)，而 \(f_i\in A[x_1,\ldots,x_n]\) 是 \(f'_i\) 的像。由性质 (7)， \(\bar f_1,\ldots,\bar f_c\) 是 \(A/I[x_1,\ldots,x_n]\) 中的 Koszul-正则列。\(A'[x_1,\ldots,x_n]\) 中理想 \(I'A'[x_1,\ldots,x_n]+(f'_1,\ldots,f'_c)\) 相对于 \(\gamma'\) 的除幂包络为 \[D' = A'[x_1, \ldots, x_n]\langle \xi_1, \ldots, \xi_c \rangle/(\xi_i - f'_i)\] ，见引理 07HC。然后可检验 \(\xi_1-f'_1,\ldots,\xi_n-f'_n\) 是环 \(A'[x_1,\ldots,x_n]\langle\xi_1,\ldots,\xi_c\rangle\) 中的 Koszul-正则列。类似地，\(A[x_1,\ldots,x_n]\) 中理想 \(IA[x_1,\ldots,x_n]+(f_1,\ldots,f_c)\) 相对于 \(\gamma\) 的除幂包络为 \[D = A[x_1, \ldots, x_n]\langle \xi_1, \ldots, \xi_c\rangle/(\xi_i - f_i)\] ，且 \(\xi_1-f_1,\ldots,\xi_n-f_n\) 是环 \(A[x_1,\ldots,x_n]\langle\xi_1,\ldots,\xi_c\rangle\) 中的 Koszul-正则列。于是 \(D'\otimes_{A'}^\mathbf L A=D\)。条件 (2) 蕴含 \(\mathcal F'\) 对应于一个由带联络 \(D'\)-模组成的偶对 \((M',\nabla)\)， 见命题 07JH。则 \(M=M'\otimes_{D'}D\) 对应于拉回 \(\mathcal F\)。由假设 (5)，\(M'\) 是平坦 \(D'\)-模，故 \[M = M' \otimes_{D'} D = M' \otimes_{D'} D' \otimes_{A'}^\mathbf{L} A = M' \otimes_{A'}^\mathbf{L} A\] 由于微分模 \(\Omega_{D'}\) 与 \(\Omega_D\)（定义见节 07J7）是由相同生成元生成的自由 \(D'\)-模，可得 \[M \otimes_D \Omega^\bullet_D = M' \otimes_{D'} \Omega^\bullet_{D'} \otimes_{D'} D = M' \otimes_{D'} \Omega^\bullet_{D'} \otimes_{A'}^\mathbf{L} A\] ，再由命题 07LG 即得所需。

注

设 \(p\) 为素数，并设 \((A,I,\gamma)\) 为除幂环，其中 \(A\) 是 \(\mathbf Z_{(p)}\)-代数，且 \(p\) 在 \(A/I\) 中幂零。置 \(S=\Spec(A)\) 与 \(S_0=\Spec(A/I)\)。设 \(X\) 为 \(S_0\) 上概形，且 \(p\) 在 \(X\) 上局部幂零。 设 \(\mathcal F\) 为任意 \(\mathcal O_{X/S}\)-模。当 \(e\gg0\) 时， \((p^e)\subset I\) 被 \(\gamma\) 保持，见“除幂代数”引理 07KD。对 \(e\gg0\) 置 \(S_e=\Spec(A/p^eA)\)。则 \(\text{Cris}(X/S_e)\) 是 \(\text{Cris}(X/S)\) 的全子范畴，并以 \(\mathcal F_e\) 表示 \(\mathcal F\) 在 \(\text{Cris}(X/S_e)\) 上的限制。于是 \[R\Gamma(\text{Cris}(X/S), \mathcal{F}) = R\lim_e R\Gamma(\text{Cris}(X/S_e), \mathcal{F}_e)\]

提示：只需对内射的 \(\mathcal F\) 证明。此时各层 \(\mathcal F_e\) 也都是 内射模，转移映射 \(\Gamma(\mathcal F_{e+1})\to\Gamma(\mathcal F_e)\) 满射，并且 \(\Gamma(\mathcal F)=\lim_e\Gamma(\mathcal F_e)\)；这是因为按 \(\text{Cris}(X/S)\) 的定义，其任意对象局部地都是某个范畴 \(\text{Cris}(X/S_e)\) 的对象。

注

设 \(p\) 为素数，并设 \((A,I,\gamma)\) 为除幂环，其中 \(p\) 在 \(A\) 中幂零。 置 \(S=\Spec(A)\) 与 \(S_0=\Spec(A/I)\)。设 \(Y\) 为 \(S\) 上光滑概形，并置 \(X=Y\times_SS_0\)。设 \(\mathcal F\) 为拟凝聚 \(\mathcal O_{X/S}\)-模中的 晶体。则

1. \(\gamma\) 延拓为 \(X\) 在 \(Y\) 中的理想上的除幂结构，使 \((X,Y,\gamma)\) 成为 \(\text{Cris}(X/S)\) 的对象；

2. 限制 \(\mathcal F_Y\)（见第 07IN 节）带有典范 可积联络 \(\nabla : \mathcal{F}_Y \to \mathcal{F}_Y \otimes_{\mathcal{O}_Y} \Omega_{Y/S}\)；

3. 有 \[R\Gamma(\text{Cris}(X/S), \mathcal{F}) = R\Gamma(Y, \mathcal{F}_Y \otimes_{\mathcal{O}_Y} \Omega^\bullet_{Y/S})\] 于 \(D(A)\) 中。

提示：(1) 见“除幂代数”引理 07H1；(2) 见引理 07J6。对 (3)，注意存在映射 (07LP)。当 \(X\) 仿射时，此映射为同构，见引理 07LH。这说明在 \(Y_{Zar}=X_{Zar}\) 上，复形 \(Ru_{X/S,*}\mathcal F\) 与 \(\mathcal F_Y\otimes\Omega^\bullet_{Y/S}\) 拟同构。由于 \(R\Gamma(\text{Cris}(X/S),\mathcal F)= R\Gamma(X_{Zar},Ru_{X/S,*}\mathcal F)\)，结论成立。

注

设 \(p\) 为素数，并设 \((A,I,\gamma)\) 为除幂环，其中 \(p\) 在 \(A\) 中幂零。 置 \(S=\Spec(A)\) 与 \(S_0=\Spec(A/I)\)。设 \(X\) 为 \(S_0\) 上固有光滑概形。 设 \(\mathcal F\) 为有限局部自由拟凝聚 \(\mathcal O_{X/S}\)-模中的晶体。 则 \(R\Gamma(\text{Cris}(X/S),\mathcal F)\) 是 \(D(A)\) 中的完美对象。

提示：由注 07MU 有 \[R\Gamma(\text{Cris}(X/S), \mathcal{F}) \otimes_A^\mathbf{L} A/I \cong R\Gamma(\text{Cris}(X/S_0), \mathcal{F}|_{\text{Cris}(X/S_0)})\] 由注 07MW 有 \[R\Gamma(\text{Cris}(X/S_0), \mathcal{F}|_{\text{Cris}(X/S_0)}) = R\Gamma(X, \mathcal{F}_X \otimes \Omega^\bullet_{X/S_0})\] 在德拉姆复形上使用朴素滤过，可知只要各复形 \[R\Gamma(X, \mathcal{F}_X \otimes \Omega^q_{X/S_0})\] 在 \(D(A/I)\) 中完美，前一展示复形就在 \(D(A/I)\) 中完美；见“代数进阶” 引理 066R。利用 \(\mathcal F_X\otimes\Omega^q_{X/S_0}\) 是有限局部自由层以及 \(X\to S_0\) 固有且平坦，凝聚上同调中的标准论证可知此条件成立 （以后在此插入引用）。应用“代数进阶”引理 07LU，可知 \[R\Gamma(\text{Cris}(X/S), \mathcal{F}) \otimes_A^\mathbf{L} A/I^n\] 对所有 \(n\) 都是 \(D(A/I^n)\) 中的完美对象。除非 \(A\) 为 Noether 环， 这还不够。确切地说，尽管由 \(p\) 幂零的假设，\(I\) 局部幂零，见 “除幂代数”引理 07GR，仍不能推出存在 \(n\) 使 \(I^n=0\)。反例为 \(\mathbf F_p\langle x\rangle\)。当 \(\mathcal F=\mathcal O_{X/S}\) 时，一般情形可用 https://math.columbia.edu/~dejong/wordpress/?p=2227 中的论证证明。当系数 \(\mathcal F\) 非平凡时，[Faltings-very] 的 论证似乎如下。由“代数进阶”引理 07LU，化归到 \(pA=0\) 的情形。此时 Frobenius 映射 \(A\to A\)、\(a\mapsto a^p\) 分解为 \(A\to A/I\xrightarrow{\varphi}A\)（因为 \(x\in I\) 时 \(x^p=0\)）。置 \(X^{(1)}=X\otimes_{A/I,\varphi}A\)。\(X\) 的绝对 Frobenius 态射经过态射 \(F_X:X\to X^{(1)}\) 分解（某种相对 Frobenius）。仿射局部地，若 \(X=\Spec(C)\)，则 \(X^{(1)}=\Spec(C\otimes_{A/I,\varphi}A)\)，而 \(F_X\) 对应于 \(C\otimes_{A/I,\varphi}A\to C\)、\(c\otimes a\mapsto c^pa\)。 这定义环化拓扑斯的态射 \[(X/S)_{\text{cris}} \xrightarrow{(F_X)_{\text{cris}}} (X^{(1)}/S)_{\text{cris}} \xrightarrow{u_{X^{(1)}/S}} \Sh(X^{(1)}_{Zar})\] ，其复合记为 \(\text{Frob}_X\)。然后通过局部计算证明 \(R\text{Frob}_{X,*}\mathcal F\) 可由 \(\mathcal O_{X^{(1)}}\)-模的一个 完美复形表示（！）。

注

设 \(p\) 为素数，并设 \((A,I,\gamma)\) 为除幂环，其中 \(A\) 是 \(p\)-进完备环， 且 \(p\) 在 \(A/I\) 中幂零。置 \(S=\Spec(A)\) 与 \(S_0=\Spec(A/I)\)。设 \(X\) 为 \(S_0\) 上固有光滑概形，并设 \(\mathcal F\) 为有限局部自由拟凝聚 \(\mathcal O_{X/S}\)-模中的晶体。则 \(R\Gamma(\text{Cris}(X/S),\mathcal F)\) 是 \(D(A)\) 中的完美对象。

提示：已知 \(K=R\Gamma(\text{Cris}(X/S),\mathcal F)\) 是 \(A/p^eA\) 上 各上同调的导出极限 \(K=R\lim K_e\)，见注 07MV。 由注 07MX，每个 \(K_e\) 都是 \(D(A/p^eA)\) 中的完美 复形。由于 \(A\) 是 \(p\)-进完备的，结论由“代数进阶”引理 09AW 推出。

注

设 \(p\) 为素数，并设 \((A,I,\gamma)\) 为除幂环，其中 \(A\) 为 Noether \(p\)-进完备环，且 \(p\) 在 \(A/I\) 中幂零。置 \(S=\Spec(A)\) 与 \(S_0=\Spec(A/I)\)。设 \(Y\) 为 \(S\) 上固有光滑概形，并置 \(X=Y\times_SS_0\)。设 \(\mathcal F\) 为拟凝聚 \(\mathcal O_{X/S}\)-模中的 有限型晶体。则

1. 存在带可积联络的凝聚 \(\mathcal O_Y\)-模 \(\mathcal F_Y\) \[\nabla : \mathcal{F}_Y \longrightarrow \mathcal{F}_Y \otimes_{\mathcal{O}_Y} \Omega_{Y/S}\] ，使得 \(\mathcal F_Y/p^e\mathcal F_Y\) 是 注 07MW 中所得的 \(A/p^eA\) 上带联络模；

2. 有 \[R\Gamma(\text{Cris}(X/S), \mathcal{F}) = R\Gamma(Y, \mathcal{F}_Y \otimes_{\mathcal{O}_Y} \Omega^\bullet_{Y/S})\] 于 \(D(A)\) 中。

提示：\(\mathcal F_Y\) 的存在性即 Grothendieck 存在定理（以后在此插入 引用）。两端都由模 \(p^e\) 版本的 \(R\lim\) 计算，故得到上同调的同构 （左端见注 07MV；右端使用形式函数定理，见“概形上同调” 定理 02OC）。由注 07MW，各模 \(p^e\) 版本彼此同构。

沿纯不可分映射拉回

所谓 \(\alpha_p\)-覆盖，是指形如 \[X' = \Spec(C[z]/(z^p - c)) \longrightarrow \Spec(C) = X\] 的态射，其中 \(C\) 为 \(\mathbf F_p\)-代数且 \(c\in C\)。等价地，\(X'\) 是 \(X\) 上的 \(\alpha_p\)-挠子。所谓迭代 \(\alpha_p\)-覆盖 ⁷，是指特征 \(p\) 的概形态射，它在目标上 局部地是有限多个 \(\alpha_p\)-覆盖的复合。本节证明，沿这类态射的拉回 在逆转素数 \(p\) 后诱导晶体上同调的拟同构。事实上，我们将证明该结果 的一个精确版本。先给出一个需要若干记号才能表述的预备引理。

假设给定环映射 \(B\to B'\) 及满足 注 07KJ 假设的商 \(\Omega_B\to\Omega\) 与 \(\Omega_{B'}\to\Omega'\)。于是 (07PY) 给出复形的典范映射 \[c_M^\bullet : M \otimes_B \Omega^\bullet \longrightarrow M \otimes_B (\Omega')^\bullet\] ，其中 \(M\) 为任意带可积联络 \(\nabla:M\to M\otimes_B\Omega_B\) 的 \(B\)-模。

再假设给定 \(a\in B\)、\(z\in B'\) 及映射 \(\theta:B'\to B'\)，满足：

1. \(\text{d}(a) = 0\),

2. \(\Omega'=B'\otimes_B\Omega\oplus B'\text d z\)；对所有 \(f\in B'\) 写成 \(\text{d}(f) = \text{d}_1(f) + \partial_z(f) \text{d}z\) ，其中 \(\text d_1(f)\in B'\otimes\Omega\) 且 \(\partial_z(f)\in B'\)；

3. \(\theta:B'\to B'\) 为 \(B\)-线性；

4. \(\partial_z \circ \theta = a\),

5. \(B\to B'\) 泛单射（因而 \(\Omega\to\Omega'\) 单射）；

6. 对所有 \(f\in B'\)，\(af-\theta(\partial_z(f))\in B\)；

7. \((\theta \otimes 1)(\text{d}_1(f)) - \text{d}_1(\theta(f)) \in \Omega\) 对所有 \(f\in B'\)，其中 \(\theta \otimes 1 : B' \otimes \Omega \to B' \otimes \Omega\)

这些条件在逻辑上并非彼此独立。例如，假设 (07Q3) 蕴含 \(\partial_z(af-\theta(\partial_z(f)))=0\)。因此，若 \(B\to B'\) 的像恰为 被 \(\partial_z\) 消去的元素全体，则 (07Q5) 随即成立。 对条件 (07Q6) 可作类似论证。

引理

在上述情形中，存在复形映射 \[e_M^\bullet : M \otimes_B (\Omega')^\bullet \longrightarrow M \otimes_B \Omega^\bullet\] ，使 \(c_M^\bullet\circ e_M^\bullet\) 与 \(e_M^\bullet\circ c_M^\bullet\) 都同伦于乘以 \(a\) 的映射。

证明

本证明中的一切张量积均取于 \(B\) 上。假设 (07Q1) 蕴含 \[M \otimes (\Omega')^i = (B' \otimes M \otimes \Omega^i) \oplus (B' \text{d}z \otimes M \otimes \Omega^{i - 1})\] 对所有 \(i\geq0\) 成立。\(M\otimes(\Omega')^i\) 的一组加法生成元由形如 \(f\omega\) 与 \(f\text d z\wedge\eta\) 的元素组成，其中 \(f\in B'\)、 \(\omega\in M\otimes\Omega^i\) 且 \(\eta\in M\otimes\Omega^{i-1}\)。

对 \(f\in B'\)，记 \[\epsilon(f) = af - \theta(\partial_z(f)) \quad\text{且}\quad \epsilon'(f) = (\theta \otimes 1)(\text{d}_1(f)) - \text{d}_1(\theta(f))\] 由假设 (07Q5) 与 (07Q6)，有 \(\epsilon(f)\in B\) 且 \(\epsilon'(f)\in\Omega\)。按规则 \(e^i_M(f\omega)=\epsilon(f)\omega\) 与 \(e^i_M(f\text d z\wedge\eta)=\epsilon'(f)\wedge\eta\) 定义 \(e_M^\bullet\)。下面将看到，映射族 \(e_M^i\) 构成复形映射。

定义 \[h^i : M \otimes_B (\Omega')^i \longrightarrow M \otimes_B (\Omega')^{i - 1}\] ，对上述元素规定 \(h^i(f\omega)=0\) 以及 \(h^i(f\text d z\wedge\eta)=\theta(f)\eta\)。我们断言 \[\text{d} \circ h + h \circ \text{d} = a - c_M^\bullet \circ e_M^\bullet\] 由 (07Q0)，乘以 \(a\) 是复形映射。又由假设 (07Q4)，\(c_M^\bullet\) 是单射复形映射，故可知 \(e_M^\bullet\) 是复形映射。为证明断言，计算 \[\begin{align*} (\text{d} \circ h + h \circ \text{d})(f \omega) & = h\left(\text{d}(f) \wedge \omega + f \nabla(\omega)\right) \\ & = \theta(\partial_z(f)) \omega \\ & = a f\omega - \epsilon(f)\omega \\ & = a f \omega - c^i_M(e^i_M(f\omega)) \end{align*}\] 第二个等号成立是因为 \(\nabla(\omega)\) 中不出现 \(\text d z\)，第三个 等号则由假设 (6) 得到。类似地， \[\begin{align*} (\text{d} \circ h + h \circ \text{d})(f \text{d}z \wedge \eta) & = \text{d}(\theta(f) \eta) + h\left(\text{d}(f) \wedge \text{d}z \wedge \eta - f \text{d}z \wedge \nabla(\eta)\right) \\ & = \text{d}(\theta(f)) \wedge \eta + \theta(f) \nabla(\eta) - (\theta \otimes 1)(\text{d}_1(f)) \wedge \eta - \theta(f) \nabla(\eta) \\ & = \text{d}_1(\theta(f)) \wedge \eta + \partial_z(\theta(f)) \text{d}z \wedge \eta - (\theta \otimes 1)(\text{d}_1(f)) \wedge \eta \\ & = a f \text{d}z \wedge \eta - \epsilon'(f) \wedge \eta \\ & = a f \text{d}z \wedge \eta - c^i_M(e^i_M(f \text{d}z \wedge \eta)) \end{align*}\] 第二个等号成立是因为 \(\text{d}(f) \wedge \text{d}z \wedge \eta = - \text{d}z \wedge \text{d}_1(f) \wedge \eta\). 第四个等号由假设 (07Q3) 得到。另一方面，由定义立即有 \(e^i_M(c^i_M(\omega))=\epsilon(1)\omega=a\omega\)。引理得证。

例

上述情形的一个标准例子如下：\(B'=B\langle z\rangle\) 是除幂环 \((B,J,\delta)\) 上的除幂多项式环，而 \(J'=B'_++JB'\subset B'\) 带除幂 \(\delta'\)。具体地，取 \(\Omega=\Omega_{B,\delta}\) 与 \(\Omega'=\Omega_{B',\delta'}\)。 此时可取 \(a=1\) 以及 \[\theta( \sum b_m z^{[m]} ) = \sum b_m z^{[m + 1]}\] 注意 \[f - \theta(\partial_z(f)) = f(0)\] 等于常数项。因此在此情形下，引理 07Q7 恢复晶体 Poincaré 引理（引理 07LD）。

引理

处于 情形 07MD。假设 \(D\) 与 \(\Omega_D\) 如 (07J8) 和 (07J9)。设 \(\lambda\in D\)，并令 \(D'\) 为下列环的 \(p\)-进完备化： \[D[z]\langle \xi \rangle/(\xi - (z^p - \lambda))\] ；并令 \(\Omega_{D'}\) 为 \(D'\) 在 \(A\) 上的除幂微分模之 \(p\)-进完备化。 对任意满足 (07JB)、(07JC)、 (07JD) 与 (07JE) 的 \(D\) 上偶对 \((M,\nabla)\)，复形的典范映射 (07PY) \[c_M^\bullet : M \otimes_D^\wedge \Omega^\bullet_D \longrightarrow M \otimes_D^\wedge \Omega^\bullet_{D'}\] 具有如下性质：存在反向映射 \(e_M^\bullet\)，使 \(c_M^\bullet\circ e_M^\bullet\) 与 \(e_M^\bullet\circ c_M^\bullet\) 都同伦于乘以 \(p\) 的映射。

证明

取 \(a=p\)，使用 引理 07Q7 来证明。故须找出 \(\theta:D'\to D'\) 并证明 (07Q0), (07Q1), (07Q2), (07Q3), (07Q4), (07Q5), (07Q6)。先汇集关于环 \(D,D'\) 与模 \(\Omega_D,\Omega_{D'}\) 的若干信息。

写成 \[D[z]\langle \xi \rangle/(\xi - (z^p - \lambda)) = D\langle \xi \rangle[z]/(z^p - \xi - \lambda)\] 可见 \(D'\) 是下列自由 \(D\)-模的 \(p\)-进完备化： \[\bigoplus\nolimits_{i = 0, \ldots, p - 1} \bigoplus\nolimits_{n \geq 0} z^i \xi^{[n]} D\] ，其中 \(\xi^{[0]}=1\)。因此 \(D\to D'\) 有连续的 \(D\)-线性截面；特别地， \(D\to D'\) 泛单射，即 (07Q4) 成立。把 \(D'\) 看作 \(A\) 上 具有除幂理想 \(\overline J'=\overline JD'+(\xi)\) 的除幂代数。于是 \(D'\) 也是 \(D\) 中由 \(z^p-\lambda\) 生成的理想之除幂包络的 \(p\)-进完备化， 见引理 07HC。故 \[\Omega_{D'} = \Omega_D \otimes_D^\wedge D' \oplus D'\text{d}z\] ，由引理 07HW 得到。 这证明了 (07Q1)。注意 (07Q0) 显然成立。

现在构造 \(\theta\)。（我们编写了一个 PARI/gp 脚本 theta.gp 来检验本证明 中的若干公式；该脚本位于 Stacks project 的 scripts 子目录中。）在此 之前先计算元素 \(z^i\xi^{[n]}\) 的导数。有 \(\text d z^i=iz^{i-1}\text d z\)。当 \(n\geq1\) 时， \[\text{d}\xi^{[n]} = \xi^{[n - 1]} \text{d}\xi = - \xi^{[n - 1]}\text{d}\lambda + p z^{p - 1} \xi^{[n - 1]}\text{d}z\] ，因为 \(\xi=z^p-\lambda\)。当 \(0<i<p\) 且 \(n\geq1\) 时，有 \[\begin{align*} \text{d}(z^i\xi^{[n]}) & = iz^{i - 1}\xi^{[n]}\text{d}z + z^i\xi^{[n - 1]}\text{d}\xi \\ & = iz^{i - 1}\xi^{[n]}\text{d}z + z^i\xi^{[n - 1]}\text{d}(z^p - \lambda) \\ & = - z^i\xi^{[n - 1]}\text{d}\lambda + (iz^{i - 1}\xi^{[n]} + pz^{i + p - 1}\xi^{[n - 1]})\text{d}z \\ & = - z^i\xi^{[n - 1]}\text{d}\lambda + (iz^{i - 1}\xi^{[n]} + pz^{i - 1}(\xi + \lambda)\xi^{[n - 1]})\text{d}z \\ & = - z^i\xi^{[n - 1]}\text{d}\lambda + ((i + pn)z^{i - 1}\xi^{[n]} + p\lambda z^{i - 1}\xi^{[n - 1]})\text{d}z \end{align*}\] 最后一个等号来自 \(\xi\xi^{[n-1]}=n\xi^{[n]}\)。因此 \[\begin{align*} \partial_z(z^i) & = i z^{i - 1} \\ \partial_z(\xi^{[n]}) & = p z^{p - 1} \xi^{[n - 1]} \\ \partial_z(z^i\xi^{[n]}) & = (i + pn) z^{i - 1} \xi^{[n]} + p \lambda z^{i - 1}\xi^{[n - 1]} \end{align*}\] 受这些公式启发，按以下规则定义 \(\theta\)： \[\begin{matrix} \theta(z^j) & = & p\frac{z^{j + 1}}{j + 1} & j = 0, \ldots p - 1, \\ \theta(z^{p - 1}\xi^{[m]}) & = & \xi^{[m + 1]} & m \geq 1, \\ \theta(z^j \xi^{[m]}) & = & \frac{p z^{j + 1} \xi^{[m]} - \theta(p\lambda z^j \xi^{[m - 1]})}{(j + 1 + pm)} & 0 \leq j < p - 1, m \geq 1 \end{matrix}\] 在最后一行中，对 \(m\) 作归纳来定义所选的 \(\theta\)。展开可得（当 \(0\leq j<p-1\) 且 \(1\leq m\) 时） \[\theta(z^j \xi^{[m]}) = \textstyle{\frac{p z^{j + 1} \xi^{[m]}}{(j + 1 + pm)} - \frac{p^2 \lambda z^{j + 1} \xi^{[m - 1]}}{(j + 1 + pm)(j + 1 + p(m - 1))} + \ldots + \frac{(-1)^m p^{m + 1} \lambda^m z^{j + 1}} {(j + 1 + pm) \ldots (j + 1)}}\] ，不过下文不会使用此表达式。显然，\(\theta\) 唯一延拓为 \(D'\) 上 \(p\)-进连续的 \(D\)-线性映射。由构造，(07Q2) 与 (07Q3) 成立。尚须证明 (07Q5) 与 (07Q6)。

证明 (07Q5) 与 (07Q6)。由于 \(\theta\) 是 \(D\)-线性且连续的，只需证明 \(p - \theta \circ \partial_z\) 与 \((\theta \otimes 1) \circ \text{d}_1 - \text{d}_1 \circ \theta\) 分别作用于元素 \(z^i\xi^{[n]}\) 时，所得分别属于 \(D\) 与 \(\Omega_D\)⁸。 置 \(D_0=\mathbf Z_{(p)}[\lambda]\) 与 \(D_0'=\mathbf Z_{(p)}[z,\lambda]\langle\xi\rangle/(\xi-z^p+\lambda)\)。 注意上述每个表达式都是 \(D_0'\) 或 \(\Omega_{D_0'}\) 的元素。因此只需在 \(D_0\to D_0'\) 的情形证明。注意 \(D_0,D_0'\) 都是无挠环，且 \(D_0\otimes\mathbf Q=\mathbf Q[\lambda]\)、 \(D'_0\otimes\mathbf Q=\mathbf Q[z,\lambda]\)。故 \(D_0\subset D'_0\) 是由 \(\partial_z\) 消去的元素组成的子环，而 (07Q5) 由 (07Q3) 推出；见紧邻 引理 07Q7 之前的讨论。类似地， \(\text{d}_1(f) = \partial_\lambda(f)\text{d}\lambda\)，故 \[\left((\theta \otimes 1) \circ \text{d}_1 - \text{d}_1 \circ \theta\right)(f) = \left(\theta(\partial_\lambda(f)) - \partial_\lambda(\theta(f))\right) \text{d}\lambda\] 对系数施加 \(\partial_z\)，得到 \[\begin{align*} \partial_z\left( \theta(\partial_\lambda(f)) - \partial_\lambda(\theta(f)) \right) & = p \partial_\lambda(f) - \partial_z(\partial_\lambda(\theta(f))) \\ & = p \partial_\lambda(f) - \partial_\lambda(\partial_z(\theta(f))) \\ & = p \partial_\lambda(f) - \partial_\lambda(p f) = 0 \end{align*}\] 故系数如所要求不依赖于 \(z\)。引理证毕。

注意，迭代 \(\alpha_p\)-覆盖 \(X'\to X\)（定义见本节引言）是有限局部自由的。 因此若 \(X\) 连通，则 \(X'\to X\) 的次数恒定且为 \(p\) 的幂。

引理

设 \(p\) 为素数，并设 \((S,\mathcal I,\gamma)\) 为 \(\mathbf Z_{(p)}\) 上满足 \(p\in\mathcal I\) 的除幂概形。置 \(S_0=V(\mathcal I)\subset S\)。设 \(f:X'\to X\) 为 \(S_0\) 上概形之间次数恒为 \(q\) 的迭代 \(\alpha_p\)-覆盖。设 \(\mathcal F\) 为 \(X\) 上拟凝聚层中的任意晶体，并置 \(\mathcal F'=f_{\text{cris}}^*\mathcal F\)。在可区别三角 \[Ru_{X/S, *}\mathcal{F} \longrightarrow f_*Ru_{X'/S, *}\mathcal{F}' \longrightarrow E \longrightarrow Ru_{X/S, *}\mathcal{F}[1]\] 中，对象 \(E\) 的各上同调层均被 \(q\) 消去。

证明

注意 \(X'\to X\) 是同胚，故可等同 \(X\) 与 \(X'\) 的底拓扑空间。问题显然 在 \(X\) 上是局部的，因此可假设 \(X,X',S\) 均仿射，且 \(X'\to X\) 写成复合 \[X' = X_n \to X_{n - 1} \to X_{n - 2} \to \ldots \to X_0 = X\] ，其中每个态射 \(X_{i+1}\to X_i\) 都是 \(\alpha_p\)-覆盖。以 \(\mathcal F_i\) 表示 \(\mathcal F\) 到 \(X_i\) 的拉回。只需证明每个映射 \[R\Gamma(\text{Cris}(X_i/S), \mathcal{F}_i) \longrightarrow R\Gamma(\text{Cris}(X_{i + 1}/S), \mathcal{F}_{i + 1})\] 都嵌入一个三角，其第三项的各上同调群被 \(p\) 消去。（这里使用三角范畴 \(D(X)\) 的公理 TR4；略去细节。）

因此可假设 \(S=\Spec(A)\)、\(X=\Spec(C)\)、\(X'=\Spec(C')\)，且对某个 \(c\in C\) 有 \(C'=C[z]/(z^p-c)\)。选取 \(A\) 上多项式代数 \(P\) 及满射 \(P\to C\)。令 \(D\) 为 \(P\) 中 \(\Ker(P\to C)\) 的除幂包络之 \(p\)-进完备化， 如 (07J8)。置 \(P'=P[z]\)，并取把 \(z\) 映到 \(C'\) 中 \(z\) 的类 的满射 \(P'\to C'\)。选取 \(c\in C\) 的提升 \(\lambda\in D\)。于是，\(P'\) 中 \(\Ker(P'\to C')\) 的除幂包络之 \(p\)-进完备化 \(D'\) 同构于下列环的 \(p\)-进完备化： \(D[z]\langle \xi \rangle/(\xi - (z^p - \lambda))\), see ，见引理 07N1 及其证明。因此，利用命题 07LG 中拟凝聚模中晶体的上同调 计算，本引理立即推出结论。

下述引理中的界大概并非最优。

引理

采用 引理 07Q9 的记号与假设，则映射 \[f^* : H^i(\text{Cris}(X/S), \mathcal{F}) \longrightarrow H^i(\text{Cris}(X'/S), \mathcal{F}')\] 的核与余核均被 \(q^{i+1}\) 消去。

证明

对象 \(E\) 仅在次数 \(-1\) 及以上可能有非零上同调层，故谱序列 \(H^a(\mathcal H^b(E))\Rightarrow H^{a+b}(E)\) 收敛。把这一事实与可区别 三角所伴的上同调长正合列结合，即得所述界。

在 情形 07MF 中，假设 \(p\in\mathcal I\)。置 \[X^{(1)} = X \times_{S_0, F_{S_0}} S_0.\] 以 \(F_{X/S_0}:X\to X^{(1)}\) 表示相对 Frobenius 态射。

引理

在上述情形中，假设 \(X\to S_0\) 光滑且相对维数为 \(d\)。则 \(F_{X/S_0}\) 是次数 \(p^d\) 的迭代 \(\alpha_p\)-覆盖。因此引理 07Q9 与 07QA 适用于此情形。 特别地，对 \(\text{Cris}(X^{(1)}/S)\) 上拟凝聚模中的任意晶体 \(\mathcal G\)，映射 \[F_{X/S_0}^* : H^i(\text{Cris}(X^{(1)}/S), \mathcal{G}) \longrightarrow H^i(\text{Cris}(X/S), F_{X/S_0, \text{cris}}^*\mathcal{G})\] 的核与余核均被 \(p^{d(i+1)}\) 消去。

证明

只需证明第一条断言。为此可假设 \(X\) 在 \(\mathbf A^d_{S_0}\) 上为 étale，见 “态射” 引理 054L。以 \(\varphi:X\to\mathbf A^d_{S_0}\) 表示这一 étale 态射。此时 \(X/S_0\) 的相对 Frobenius 嵌入交换图 \[\xymatrix{ X \ar[d] \ar[r] & X^{(1)} \ar[d] \\ \mathbf{A}^d_{S_0} \ar[r] & \mathbf{A}^d_{S_0} }\] ，其中下方横箭头是 \(\mathbf A^d_{S_0}\) 在 \(S_0\) 上的相对 Frobenius 态射。它把所有坐标提升到第 \(p\) 次幂，故为迭代 \(\alpha_p\)-覆盖。 最后注意该图为纤维方块；见 Étale “态射” 引理 0EBS。

Frobenius 在晶体上同调上的作用

本节证明，在逆转素数 \(p\) 后，Frobenius 拉回在晶体上同调上诱导拟同构。 但即使只是表述此结论，也需要处于一个特殊情形。

情形

在 情形 07MF 中，假设：

1. 对某个满足 \(p\in I\) 的除幂环 \((A,I,\gamma)\)，有 \(S=\Spec(A)\)；

2. 给定除幂环同态 \(\sigma:A\to A\)，使得对所有 \(x\in A\)， \(\sigma(x)=x^p\bmod pA\)。

在 情形 07N2 中，态射 \(\Spec(\sigma):S\to S\) 是绝对 Frobenius \(F_{S_0}:S_0\to S_0\) 的提升， 并且图 \[\xymatrix{ X \ar[d] \ar[r]_{F_X} & X \ar[d] \\ S_0 \ar[r]^{F_{S_0}} & S_0 }\] 交换，其中 \(F_X:X\to X\) 是 \(X\) 的绝对 Frobenius 态射。因此得到晶体 拓扑斯的态射 \[(F_X)_{\text{cris}} : (X/S)_{\text{cris}} \longrightarrow (X/S)_{\text{cris}}\] ，见注 07IK。下面依照 Saavedra 的记号 给出关于 \(F\)-晶体的术语，见 [Saavedra]。

定义

在 情形 07N2 中，所谓\(X/S\) 上（相对于 \(\sigma\)）的 \(F\)-晶体，是指偶对 \((\mathcal E,F_\mathcal E)\)，它由有限 局部自由 \(\mathcal O_{X/S}\)-模中的晶体 \(\mathcal E\) 与映射 \[F_\mathcal{E} : (F_X)_{\text{cris}}^*\mathcal{E} \longrightarrow \mathcal{E}\] 组成。若存在整数 \(i\geq0\) 及映射 \(V:\mathcal E\to(F_X)_{\text{cris}}^*\mathcal E\)，使 \(V\circ F_\mathcal E=p^i\text{id}\)，则称该 \(F\)-晶体非退化。

注

设 \((\mathcal E,F)\) 为 定义 07N3 中的 \(F\)-晶体。文献中常把非退化条件纳入 \(F\)-晶体的定义，并且还常假设 \(F\circ V=p^n\text{id}\)。下述结果所需的是：存在整数 \(j\geq0\)，使 \(\Ker(F)\) 与 \(\Coker(F)\) 均被 \(p^j\) 消去。若 \(\mathcal E\) 的秩有界 （例如当 \(X\) 拟紧时），则这两个条件都由定义中所表述的非退化条件 推出。确切地说，设 \(R\) 为环，\(r\geq1\) 为整数，并设 \(K,L\in\text{Mat}(r\times r,R)\) 满足 \(KL=p^i1_{r\times r}\)。则 \(\det(K)\det(L)=p^{ri}\)。令 \(L'\) 为 \(L\) 的伴随矩阵，即 \(L'L=LL'=\det(L)\)。置 \(K'=p^{ri}K\) 与 \(j=ri+i\)。由于 \(KL=p^i\)，有 \(K'L=p^j1_{r\times r}\)，并且 \[L K' = L K \det(L) \det(M) = L K L L' \det(M) = L p^i L' \det(M) = p^j 1_{r \times r}\] 因此，若 \(V\) 如 定义 07N3，则取 \(V'=p^NV\)，其中 \(N>i\cdot\text{rank}(\mathcal E)\)，便有 \(V'\circ F=p^{N+i}\) 及 \(F\circ V'=p^{N+i}\)。

定理

在 情形 07N2 中，设 \((\mathcal E,F_\mathcal E)\) 为非退化 \(F\)-晶体。假设 \(A\) 为 \(p\)-进完备 Noether 环，且 \(X\to S_0\) 固有光滑。则典范映射 \[F_\mathcal{E} \circ (F_X)_{\text{cris}}^* : R\Gamma(\text{Cris}(X/S), \mathcal{E}) \otimes^\mathbf{L}_{A, \sigma} A \longrightarrow R\Gamma(\text{Cris}(X/S), \mathcal{E})\] 在逆转 \(p\) 后成为同构。

证明

先把该箭头写成三个箭头的复合。置 \[X^{(1)} = X \times_{S_0, F_{S_0}} S_0\] 并以 \(F_{X/S_0}:X\to X^{(1)}\) 表示相对 Frobenius 态射。以 \(\mathcal E^{(1)}\) 表示 \(\mathcal E\) 沿 \(\Spec(\sigma)\) 的基变换；换言之， 它是经由与交换图 \[\xymatrix{ X^{(1)} \ar[r] \ar[d] & X \ar[d] \\ S \ar[r]^{\Spec(\sigma)} & S }\] 相伴的晶体拓扑斯态射，把 \(\mathcal E\) 拉回到 \(\text{Cris}(X^{(1)}/S)\) 所得的晶体。于是有基变换映射 [07QC]\[\begin{equation} R\Gamma(\text{Cris}(X/S), \mathcal{E}) \otimes^\mathbf{L}_{A, \sigma} A \longrightarrow R\Gamma(\text{Cris}(X^{(1)}/S), \mathcal{E}^{(1)}) \end{equation}\] ，见注 07MS。注意 \(F_{X/S_0}:X\to X^{(1)}\) 与投影 \(X^{(1)}\to X\) 的复合是绝对 Frobenius 态射 \(F_X\)。故 \(F_{X/S_0}^*\mathcal E^{(1)}=(F_X)_{\text{cris}}^*\mathcal E\)。因此沿 \(F_{X/S_0}\) 的拉回给出映射 [07N6]\[\begin{equation} F_{X/S_0}^* : R\Gamma(\text{Cris}(X^{(1)}/S), \mathcal{E}^{(1)}) \longrightarrow R\Gamma(\text{Cris}(X/S), (F_X)^*_{\text{cris}}\mathcal{E}) \end{equation}\] 最后可用 \(F_\mathcal E\) 得到映射 [07QD]\[\begin{equation} R\Gamma(\text{Cris}(X/S), (F_X)^*_{\text{cris}}\mathcal{E}) \longrightarrow R\Gamma(\text{Cris}(X/S), \mathcal{E}) \end{equation}\] 定理中的映射是上述三个映射 (07QC)、 (07N6) 与 (07QD) 的复合。由注 07MU，第一个映射模 \(p\) 的任意幂都是 拟同构。由于所涉复形在 \(D(A)\) 中完美，它本身即为拟同构，见注 07MY。第三个映射在逆转 \(p\) 后为拟同构，因为 \(F_\mathcal E\) 有一个相差 \(p\) 的某次幂的逆，见注 07N4。最后，由引理 07QB，第二个映射在逆转 \(p\) 后为同构。