代数叠的态射

引言

本章介绍若干类代数叠态射。对于对角态射可表示的拟分离代数叠，可参考 [LM-B]。

我们的目标是把各类代数空间态射的定义推广到代数叠态射。各情形略有不同，因此最好分别处理。

对于可由代数空间表示的代数叠态射，我们已经定义了许多类态射；见《叠的性质》第 04XB 节。本章处理每个相应情形时，都必须确保一般情形下的定义与该处的定义相容。

约定与术语滥用

我们继续采用《叠的性质》第 04XA 节引入的约定与术语滥用。

对角态射的性质

代数叠的对角态射与 \(\mathit{Isom}\)-层密切相关；见《代数叠》引理 045G。由代数叠定义中的第二个性质，这些 \(\mathit{Isom}\)-层总是代数空间。

引理

设 \(\mathcal{X}\) 是代数叠。设 \(T\) 是概形，且 \(x,y\) 是 \(\mathcal{X}\) 在 \(T\) 上的纤维范畴中的对象。则态射 \(\mathit{Isom}_\mathcal{X}(x, y) \to T\) 局部有限型。

证明

由《代数叠》引理 04T5，可设对某个代数空间中的光滑群胚有 \(\mathcal{X} = [U/R]\)。由《空间的下降》引理 041S，只需在 \(T\) 上 fppf 局部地检验该性质。因此可设 \(x,y\) 来自态射 \(x', y' : T \to U\)。由《空间中的群胚》引理 044V，此时 \(\mathit{Isom}_\mathcal{X}(x, y) = T \times_{(y', x'), U \times_S U} R\). 故只需证明 \(R \to U \times_S U\) 局部有限型。这由复合 \(s : R \to U \times_S U \to U\) 光滑而得（因而局部有限型；见《空间的态射》引理 04AJ 和 0464) 以及《空间的态射》引理 0462。

引理

设 \(\mathcal{X}\) 是代数叠。设 \(T\) 是概形，且 \(x,y\) 是 \(\mathcal{X}\) 在 \(T\) 上的纤维范畴中的对象。则

\(\mathit{Isom}_\mathcal{X}(y, y)\) 是 \(T\) 上的群代数空间，并且

\(\mathit{Isom}_\mathcal{X}(x, y)\) 是 \(T\) 上 \(\mathit{Isom}_\mathcal{X}(y, y)\) 的伪挠子。

证明

见《空间中的群胚》定义 043H 和 04TW。该引理由 \(\mathcal{X}\) 是群胚中的叠立即得到。

设 \(f : \mathcal{X} \to \mathcal{Y}\) 是代数叠的态射。 \(f\) 的对角态射是态射 \[\Delta_f : \mathcal{X} \longrightarrow \mathcal{X} \times_\mathcal{Y} \mathcal{X}\] 每个对角态射都具有以下两个性质。

引理

设 \(f : \mathcal{X} \to \mathcal{Y}\) 是代数叠的态射。则

\(\Delta_f\) 可由代数空间表示，并且

\(\Delta_f\) 局部有限型。

证明

设 \(T\) 是概形，且 \(a : T \to \mathcal{X} \times_\mathcal{Y} \mathcal{X}\) 是态射。由纤维积的定义和 \(2\)-Yoneda 引理，态射 \(a\) 由三元组 \(a = (x, x', \alpha)\) 给出，其中 \(x,x'\) 是 \(\mathcal{X}\) 在 \(T\) 上的对象，而 \(\alpha : f(x) \to f(x')\) 是 \(\mathcal{Y}\) 在 \(T\) 上的纤维范畴中的态射。由代数叠的定义，层 \(\mathit{Isom}_\mathcal{X}(x, x')\) 和 \(\mathit{Isom}_\mathcal{Y}(f(x), f(x'))\) 是 \(T\) 上的代数空间。在此表述下，\(\alpha\) 定义态射 \(\mathit{Isom}_\mathcal{Y}(f(x), f(x')) \to T\) 的一个截面。对于 \(T\) 上的概形 \(T' \to T\)， \(\mathcal{X} \times_{\mathcal{X} \times_\mathcal{Y} \mathcal{X}, a} T\) 的一个 \(T'\)-值点等同于一个同构 \(x|_{T'} \to x'|_{T'}\)，其在 \(f\) 下的像为 \(\alpha|_{T'}\)。因此可见 [04XT]\[\begin{equation} \vcenter{ \xymatrix{ \mathcal{X} \times_{\mathcal{X} \times_\mathcal{Y} \mathcal{X}, a} T \ar[d] \ar[r] & \mathit{Isom}_\mathcal{X}(x, x') \ar[d] \\ T\ar[r]^-\alpha & \mathit{Isom}_\mathcal{Y}(f(x), f(x')) } } \end{equation}\] 是 \(T\) 上层的纤维方块。特别地， \(\mathcal{X} \times_{\mathcal{X} \times_\mathcal{Y} \mathcal{X}, a} T\) 是代数空间，这证明了引理的 (1)。

为证明第二个断言，需证明图 (04XT) 的左竖直箭头局部有限型。由引理 04XR，代数空间 \(\mathit{Isom}_\mathcal{X}(x, x')\) 在 \(T\) 上局部有限型。因此图 (04XT) 的右竖直箭头局部有限型；见《空间的态射》引理 0462。再由《空间的态射》引理 03XH 即得结论。

引理

设 \(f : \mathcal{X} \to \mathcal{Y}\) 是可由代数空间表示的代数叠态射。则

\(\Delta_f\) 可表示（由概形表示），

\(\Delta_f\) 局部有限型，

\(\Delta_f\) 是单态射，

\(\Delta_f\) 分离，并且

\(\Delta_f\) 局部拟有限。

证明

引理 04XS 已说明 \(\Delta_f\) 可由代数空间表示。因此断言 (2) – (5) 有意义；见《叠的性质》第 04XB 节。引理 04XS 也保证 (2) 成立。设 \(T \to \mathcal{X} \times_\mathcal{Y} \mathcal{X}\) 是态射，并考察图 (04XT)。由《代数叠》引理 02ZY 可知，右竖直箭头作为层态射是单射，即为代数空间的单态射。因此态射 \(T \times_{\mathcal{X} \times_\mathcal{Y} \mathcal{X}} \mathcal{X} \to T\) 也是单态射，故 (3) 成立。我们已经知道 \(T \times_{\mathcal{X} \times_\mathcal{Y} \mathcal{X}} \mathcal{X} \to T\) 局部有限型。因此《空间的态射》引理 0463 说明 \(T \times_{\mathcal{X} \times_\mathcal{Y} \mathcal{X}} \mathcal{X} \to T\) 局部拟有限且分离。这证明了 (4) 和 (5)。最后，《空间的态射》命题 03XX 说明 \(T \times_{\mathcal{X} \times_\mathcal{Y} \mathcal{X}} \mathcal{X}\) 是概形，从而证明 (1)。

引理

设 \(f : \mathcal{X} \to \mathcal{Y}\) 是可由代数空间表示的代数叠态射。则下列条件等价：

\(f\) 分离；

\(\Delta_f\) 是闭浸入；

\(\Delta_f\) 是真态射；

\(\Delta_f\) 泛闭。

证明

“\(f\) 分离”“\(\Delta_f\) 是闭浸入”“\(\Delta_f\) 泛闭”以及 “\(\Delta_f\) 是真态射”均指《叠的性质》第 04XB 节定义的概念。选取概形 \(V\) 以及满光滑态射 \(V \to \mathcal{Y}\)。令 \(U = \mathcal{X} \times_\mathcal{Y} V\)；由假设它是代数空间，而态射 \(U \to \mathcal{X}\) 满且光滑。由《范畴》引理 04YR 和《叠的性质》引理 04XD 可知，对任意性质 \(P\)（如该引理中），\(\Delta_f\) 具有 \(P\) 当且仅当 \(\Delta_{U/V} : U \to U \times_V U\) 具有 \(P\)。把《空间的态射》引理 04Y0 应用于 \(U \to V\)，即得 (2)、(3)、(4) 等价。此外，若 (1) 成立，则 \(U \to V\) 分离，故 \(\Delta_{U/V}\) 是闭浸入，即 (2) 成立。最后，设 (2) 成立。设 \(T\) 是概形，且 \(a : T \to \mathcal{Y}\) 是态射。令 \(T' = \mathcal{X} \times_\mathcal{Y} T\)。为证明 (1)，需证明代数空间的态射 \(T' \to T\) 分离。再次使用《范畴》引理 04YR，可见 \(\Delta_{T'/T}\) 是 \(\Delta_f\) 的基变换。因此假设 (2) 蕴含 \(\Delta_{T'/T}\) 是闭浸入，从而 \(T' \to T\) 分离，正合所需。

引理

设 \(f : \mathcal{X} \to \mathcal{Y}\) 是可由代数空间表示的代数叠态射。则下列条件等价：

\(f\) 拟分离；

\(\Delta_f\) 拟紧；

\(\Delta_f\) 有限型。

证明

“\(f\) 拟分离”“\(\Delta_f\) 拟紧”以及“\(\Delta_f\) 有限型” 均指《叠的性质》第 04XB 节定义的概念。注意，由引理 04YQ （以及《代数叠》引理 045F）， \(\Delta_f\) 局部有限型，故 (2) 与 (3) 等价。选取概形 \(V\) 以及满光滑态射 \(V \to \mathcal{Y}\)。令 \(U = \mathcal{X} \times_\mathcal{Y} V\)；由假设它是代数空间，而态射 \(U \to \mathcal{X}\) 满且光滑。由《范畴》引理 04YR 和《叠的性质》引理 04XD 可知： \(\Delta_f\) 拟紧当且仅当 \(\Delta_{U/V} : U \to U \times_V U\) 拟紧。若 (1) 成立，则 \(U \to V\) 拟分离，故 \(\Delta_{U/V}\) 拟紧，即 (2) 成立。设 (2) 成立。设 \(T\) 是概形，且 \(a : T \to \mathcal{Y}\) 是态射。令 \(T' = \mathcal{X} \times_\mathcal{Y} T\)。为证明 (1)，需证明代数空间的态射 \(T' \to T\) 拟分离。再次使用《范畴》引理 04YR，可见 \(\Delta_{T'/T}\) 是 \(\Delta_f\) 的基变换。因此假设 (2) 蕴含 \(\Delta_{T'/T}\) 拟紧，从而 \(T' \to T\) 拟分离，正合所需。

引理

设 \(f : \mathcal{X} \to \mathcal{Y}\) 是可由代数空间表示的代数叠态射。则下列条件等价：

\(f\) 局部分离；

\(\Delta_f\) 是浸入。

证明

“\(f\) 局部分离”和“\(\Delta_f\) 是浸入”均指《叠的性质》第 04XB 节定义的概念。证明略。提示：仿照引理 04YS 和 04YT 的证明论证。

分离公理

设 \(\mathcal{X} = [U/R]\) 是代数叠的一个表现。则 \(\mathcal{X}\) 在 \(S\) 上的对角态射所具有的性质，就是态射 \(j : R \to U \times_S U\) 所具有的性质。例如，若 \(\mathcal{X} = [S/G]\)，其中 \(G\) 是 \(S\) 上代数空间中的某个光滑群，则 \(j\) 是结构态射 \(G \to S\)。因此，对角态射本身并不自动分离（这与概形和代数空间的情形不同）。说 \([S/G]\) 在 \(S\) 上拟分离，显然应蕴含 \(G \to S\) 拟紧；但若不同时要求态射 \(G \to S\) 拟分离，我们不愿把 \([S/G]\) 称为在 \(S\) 上拟分离。换言之，仅要求对角态射拟紧并不真正符合我们对“拟分离代数叠”的直觉；还应要求对角态射本身拟分离。

那么“分离代数叠”应如何定义？《空间的态射》引理 04Y0 说明，代数空间分离当且仅当其对角态射为真态射。通常也用这一条件定义分离代数叠。在上述例子 \([S/G] \to S\) 中，这意味着 \(G \to S\) 是真群概形。因此，若 \(E\) 是 \(k\) 上的椭圆曲线，则形如 \([\Spec(k)/E]\) 的代数叠在 \(k\) 上为真（此处以后补充参考文献）。在某些情形下，假设对角态射有限可能更自然。

定义

设 \(f : \mathcal{X} \to \mathcal{Y}\) 是代数叠的态射。

若 \(\Delta_f\) 非分歧，则称 \(f\) 为 DM¹。

若 \(\Delta_f\) 局部拟有限，则称 \(f\) 为 拟 DM ²。

若 \(\Delta_f\) 为真态射，则称 \(f\) 分离。

若 \(\Delta_f\) 拟紧且拟分离，则称 \(f\) 拟分离。

这里用到了 \(\Delta_f\) 可由代数空间表示，并借助《叠的性质》第 04XB 节，使对 \(\Delta_f\) 施加这些条件有意义。注意，当 \(f\) 可由代数空间表示时，这些定义与已有概念并不冲突；见引理 04YT 和 04YS。还可通过考察高阶对角态射来刻画这些条件；见引理 04Z0。

定义

设 \(\mathcal{X}\) 是基概形 \(S\) 上的代数叠。记 \(p : \mathcal{X} \to S\) 为结构态射。

若 \(p : \mathcal{X} \to S\) 为 DM，则称 \(\mathcal{X}\) 在 \(S\) 上为 DM。

若 \(p : \mathcal{X} \to S\) 为拟 DM，则称 \(\mathcal{X}\) 在 \(S\) 上拟 DM。

若 \(p : \mathcal{X} \to S\) 分离，则称 \(\mathcal{X}\) 在 \(S\) 上分离。

若 \(p : \mathcal{X} \to S\) 拟分离，则称 \(\mathcal{X}\) 在 \(S\) 上拟分离。

若 \(\mathcal{X}\) 在 \(\Spec(\mathbf{Z})\) 上为 DM³，则称 \(\mathcal{X}\) 为 DM。

若 \(\mathcal{X}\) 在 \(\Spec(\mathbf{Z})\) 上拟 DM，则称 \(\mathcal{X}\) 拟 DM。

若 \(\mathcal{X}\) 在 \(\Spec(\mathbf{Z})\) 上分离，则称 \(\mathcal{X}\) 分离。

若 \(\mathcal{X}\) 在 \(\Spec(\mathbf{Z})\) 上拟分离，则称 \(\mathcal{X}\) 拟分离。

在最后四个定义中，我们通过《代数叠》定义 04X6，把 \(\mathcal{X}\) 视为 \(\Spec(\mathbf{Z})\) 上的代数叠。

因此，每个情形都有一个绝对概念和一个相对于给定基概形的概念（按照《叠的性质》第 04XA 节引入的术语滥用，我们通常省略对基概形的说明）。引理 050N 将说明 (1) \(\Leftrightarrow\) (5) 且 (2) \(\Leftrightarrow\) (6)。下面花一些篇幅证明这些概念的若干标准结果。

引理

设 \(f : \mathcal{X} \to \mathcal{Y}\) 是代数叠的态射。

若 \(f\) 分离，则 \(f\) 拟分离。

若 \(f\) 为 DM，则 \(f\) 拟 DM。

若 \(f\) 可由代数空间表示，则 \(f\) 为 DM。

证明

为证 (1)，注意代数空间的真态射拟紧且拟分离；见《空间的态射》定义 03ZM。为证 (2)，注意代数空间的非分歧态射局部拟有限；见《空间的态射》引理 05W0。最后，(3) 由引理 04YQ 得到。

引理

定义 04YW 中列出的所有分离公理都在基变换下稳定。

证明

设 \(f : \mathcal{X} \to \mathcal{Y}\) 和 \(\mathcal{Y}' \to \mathcal{Y}\) 是代数叠的态射。设 \(f' : \mathcal{Y}' \times_\mathcal{Y} \mathcal{X} \to \mathcal{Y}'\) 是 \(f\) 沿 \(\mathcal{Y}' \to \mathcal{Y}\) 的基变换。则 \(\Delta_{f'}\) 是 \(\Delta_f\) 沿态射 \(\mathcal{X}' \times_{\mathcal{Y}'} \mathcal{X}' \to \mathcal{X} \times_\mathcal{Y} \mathcal{X}\) 的基变换；见《范畴》引理 04YR。由《叠的性质》第 04XB 节的结果，定义 04YW 中对角态射所用的每个性质都在基变换下稳定。故引理成立。

引理

设 \(f : \mathcal{X} \to \mathcal{Y}\) 是代数叠的态射。设 \(W\) 是代数空间，且 \(W \to \mathcal{Y}\) 满、平坦并局部有限表示。若基变换 \(W \times_\mathcal{Y} \mathcal{X} \to W\) 具有定义 04YW 中的某个分离性质，则 \(f\) 也具有该性质。

证明

记 \(g : W \times_\mathcal{Y} \mathcal{X} \to W\) 为该基变换。则 \(\Delta_g\) 是 \(\Delta_f\) 沿态射 \(q : W \times_\mathcal{Y} (\mathcal{X} \times_\mathcal{Y} \mathcal{X}) \to \mathcal{X} \times_\mathcal{Y} \mathcal{X}\) 的基变换。由于 \(q\) 是 \(W \to \mathcal{Y}\) 的基变换，\(q\) 可由代数空间表示，并且满、平坦且局部有限表示。因此结论由《叠的性质》引理 06TY 得到。

引理

设 \(S\) 是概形。在 \(S\) 上拟 DM、在 \(S\) 上拟分离或在 \(S\) 上分离的性质（见定义 050D）在更换基概形下稳定；见《代数叠》定义 04X7。

证明

由引理 050F 立即得到。

引理

设 \(f : \mathcal{X} \to \mathcal{Z}\)、\(g : \mathcal{Y} \to \mathcal{Z}\) 和 \(\mathcal{Z} \to \mathcal{T}\) 是代数叠的态射。考察诱导态射 \(i : \mathcal{X} \times_\mathcal{Z} \mathcal{Y} \to \mathcal{X} \times_\mathcal{T} \mathcal{Y}\). 则

\(i\) 可由代数空间表示，且局部有限型；

若 \(\Delta_{\mathcal{Z}/\mathcal{T}}\) 拟分离，则 \(i\) 拟分离；

若 \(\Delta_{\mathcal{Z}/\mathcal{T}}\) 分离，则 \(i\) 分离；

若 \(\mathcal{Z} \to \mathcal{T}\) 为 DM，则 \(i\) 非分歧；

若 \(\mathcal{Z} \to \mathcal{T}\) 拟 DM，则 \(i\) 局部拟有限；

若 \(\mathcal{Z} \to \mathcal{T}\) 分离，则 \(i\) 为真态射；

若 \(\mathcal{Z} \to \mathcal{T}\) 拟分离，则 \(i\) 拟紧且拟分离。

证明

下图 \[\xymatrix{ \mathcal{X} \times_\mathcal{Z} \mathcal{Y} \ar[r]_i \ar[d] & \mathcal{X} \times_\mathcal{T} \mathcal{Y} \ar[d] \\ \mathcal{Z} \ar[r]^-{\Delta_{\mathcal{Z}/\mathcal{T}}} \ar[r] & \mathcal{Z} \times_\mathcal{T} \mathcal{Z} }\] 是 \(2\)-纤维积图；见《范畴》引理 04Z1。因此 \(i\) 是对角态射 \(\Delta_{\mathcal{Z}/\mathcal{T}}\) 的基变换。故引理由引理 04XS 以及《叠的性质》第 04XB 节的内容得到。

引理

设 \(\mathcal{T}\) 是代数叠。设 \(g : \mathcal{X} \to \mathcal{Y}\) 是 \(\mathcal{T}\) 上代数叠的态射。考察 \(g\) 的图 \(i : \mathcal{X} \to \mathcal{X} \times_\mathcal{T} \mathcal{Y}\)。则

\(i\) 可由代数空间表示，且局部有限型；

若 \(\mathcal{Y} \to \mathcal{T}\) 为 DM，则 \(i\) 非分歧；

若 \(\mathcal{Y} \to \mathcal{T}\) 拟 DM，则 \(i\) 局部拟有限；

若 \(\mathcal{Y} \to \mathcal{T}\) 分离，则 \(i\) 为真态射；

若 \(\mathcal{Y} \to \mathcal{T}\) 拟分离，则 \(i\) 拟紧且拟分离。

证明

这是把引理 050H 应用于态射 \(\mathcal{X} = \mathcal{X} \times_\mathcal{Y} \mathcal{Y} \to \mathcal{X} \times_\mathcal{T} \mathcal{Y}\) 所得的特殊情形。

引理

设 \(f : \mathcal{X} \to \mathcal{T}\) 是代数叠的态射。设 \(s : \mathcal{T} \to \mathcal{X}\) 是态射，使得 \(f \circ s\) 与 \(\text{id}_\mathcal{T}\) \(2\)-同构。则

\(s\) 可由代数空间表示，且局部有限型；

若 \(f\) 为 DM，则 \(s\) 非分歧；

若 \(f\) 拟 DM，则 \(s\) 局部拟有限；

若 \(f\) 分离，则 \(s\) 为真态射；

若 \(f\) 拟分离，则 \(s\) 拟紧且拟分离。

证明

这是把引理 050I 应用于 \(g = s\) 和 \(\mathcal{Y} = \mathcal{T}\) 所得的特殊情形；此时 \(i : \mathcal{T} \to \mathcal{T} \times_\mathcal{T} \mathcal{X}\) 与 \(s\) \(2\)-同构。

引理

定义 04YW 中列出的所有分离公理都在态射复合下稳定。

证明

设 \(f : \mathcal{X} \to \mathcal{Y}\) 和 \(g : \mathcal{Y} \to \mathcal{Z}\) 是满足所论公理的代数叠态射。对角态射 \(\Delta_{\mathcal{X}/\mathcal{Z}}\) 是复合 \[\mathcal{X} \longrightarrow \mathcal{X} \times_\mathcal{Y} \mathcal{X} \longrightarrow \mathcal{X} \times_\mathcal{Z} \mathcal{X}.\] 所论分离公理通过要求对角态射具有某个性质 \(\mathcal{P}\) 来定义。由上面的引理 050H，第二个箭头也具有该性质。由于具有性质 \(\mathcal{P}\) 且可由代数空间表示的态射之复合仍具有性质 \(\mathcal{P}\)，引理即得；见《叠的性质》第 04XB 节的一般讨论以及《空间的态射》引理 03ZI, 03XK, 04XY, 03HG 和 03KQ.

引理

设 \(f : \mathcal{X} \to \mathcal{Y}\) 是基概形 \(S\) 上代数叠的态射。

若 \(\mathcal{Y}\) 在 \(S\) 上为 DM 且 \(f\) 为 DM，则 \(\mathcal{X}\) 在 \(S\) 上为 DM。

若 \(\mathcal{Y}\) 在 \(S\) 上拟 DM 且 \(f\) 拟 DM，则 \(\mathcal{X}\) 在 \(S\) 上拟 DM。

若 \(\mathcal{Y}\) 在 \(S\) 上分离且 \(f\) 分离，则 \(\mathcal{X}\) 在 \(S\) 上分离。

若 \(\mathcal{Y}\) 在 \(S\) 上拟分离且 \(f\) 拟分离，则 \(\mathcal{X}\) 在 \(S\) 上拟分离。

若 \(\mathcal{Y}\) 为 DM 且 \(f\) 为 DM，则 \(\mathcal{X}\) 为 DM。

若 \(\mathcal{Y}\) 拟 DM 且 \(f\) 拟 DM，则 \(\mathcal{X}\) 拟 DM。

若 \(\mathcal{Y}\) 分离且 \(f\) 分离，则 \(\mathcal{X}\) 分离。

若 \(\mathcal{Y}\) 拟分离且 \(f\) 拟分离，则 \(\mathcal{X}\) 拟分离。

证明

(1)、(2)、(3)、(4) 由引理 050K 和定义 050D 立即得到。对于 (5)、(6)、(7)、(8)，把 \(\mathcal{X}\) 和 \(\mathcal{Y}\) 视为 \(\Spec(\mathbf{Z})\) 上的代数叠，并应用引理 050K。细节略。

下一个引理与代数空间的相应结果略有不同。比较可见《空间的态射》引理 03KR。

引理

设 \(f : \mathcal{X} \to \mathcal{Y}\) 和 \(g : \mathcal{Y} \to \mathcal{Z}\) 是代数叠的态射。

若 \(g \circ f\) 为 DM，则 \(f\) 也为 DM。

若 \(g \circ f\) 拟 DM，则 \(f\) 也拟 DM。

若 \(g \circ f\) 分离且 \(\Delta_g\) 分离，则 \(f\) 分离。

若 \(g \circ f\) 拟分离且 \(\Delta_g\) 拟分离，则 \(f\) 拟分离。

证明

考察 \(g \circ f\) 的对角态射的分解 \[\mathcal{X} \to \mathcal{X} \times_\mathcal{Y} \mathcal{X} \to \mathcal{X} \times_\mathcal{Z} \mathcal{X}\] 两个态射都可由代数空间表示；见引理 04XS 和 050H。因此，对任意概形 \(T\) 和态射 \(T \to \mathcal{X} \times_\mathcal{Y} \mathcal{X}\) 得到代数空间的态射 \[A = \mathcal{X} \times_{(\mathcal{X} \times_\mathcal{Z} \mathcal{X})} T \longrightarrow B = (\mathcal{X} \times_\mathcal{Y} \mathcal{X}) \times_{(\mathcal{X} \times_\mathcal{Z} \mathcal{X})} T \longrightarrow T\] 若 \(g \circ f\) 为 DM（相应地，拟 DM），则复合 \(A \to T\) 非分歧（相应地，局部拟有限）。因此，由《空间的态射》引理 06G6 （相应地，《空间的态射》引理 03XN）， \(A \to B\) 非分歧（相应地，局部拟有限）。现考察图 \[\xymatrix{ A \times_B T \ar[r] \ar[d] & T \ar[d] \\ A \ar[r] \ar[d] & B \ar[r] \ar[d] & T \ar[d] \\ \mathcal{X} \ar[r] & \mathcal{X} \times_\mathcal{Y} \mathcal{X} \ar[r] & \mathcal{X} \times_\mathcal{Z} \mathcal{X} }\] 其中所有方块均为 \(2\)-笛卡儿方块，而箭头 \(T \to B\) 来自一开始的箭头 \(T \to \mathcal{X} \times_\mathcal{Y} \mathcal{X}\)。由《空间的态射》引理 03ZJ （相应地，《空间的态射》引理 03XL），箭头 \(A \times_B T \to T\) 非分歧（相应地，局部拟有限）。注意到 \(A \times_B T\) 等于 \(\mathcal{X} \times_{\mathcal{X} \times_\mathcal{Y} \mathcal{X}} T\) 可知 \(f\) 为 DM（相应地，拟 DM）。这证明了 (1) 和 (2)。

(4) 的证明。设 \(g \circ f\) 拟分离且 \(\Delta_g\) 拟分离。考察 \(g \circ f\) 的对角态射的分解 \[\mathcal{X} \to \mathcal{X} \times_\mathcal{Y} \mathcal{X} \to \mathcal{X} \times_\mathcal{Z} \mathcal{X}\] 两个态射都可由代数空间表示，且第二个态射拟分离；见引理 04XS 和 050H。因此，对任意概形 \(T\) 和态射 \(T \to \mathcal{X} \times_\mathcal{Y} \mathcal{X}\) 得到代数空间的态射 \[A = \mathcal{X} \times_{(\mathcal{X} \times_\mathcal{Z} \mathcal{X})} T \longrightarrow B = (\mathcal{X} \times_\mathcal{Y} \mathcal{X}) \times_{(\mathcal{X} \times_\mathcal{Z} \mathcal{X})} T \longrightarrow T\] 其中 \(B \to T\) 拟分离。由于假设 \(g \circ f\) 拟分离，复合 \(A \to T\) 拟紧且拟分离。因此，由《空间的态射》引理 03KR， \(A \to B\) 拟分离；由《空间的态射》引理 03KS， \(A \to B\) 拟紧。故 \(f\) 拟分离。

(3) 的证明。设 \(g \circ f\) 分离且 \(\Delta_g\) 分离。考察 \(g \circ f\) 的对角态射的分解 \[\mathcal{X} \to \mathcal{X} \times_\mathcal{Y} \mathcal{X} \to \mathcal{X} \times_\mathcal{Z} \mathcal{X}\] 两个态射都可由代数空间表示，且第二个态射分离；见引理 04XS 和 050H。因此，对任意概形 \(T\) 和态射 \(T \to \mathcal{X} \times_\mathcal{Y} \mathcal{X}\) 得到代数空间的态射 \[A = \mathcal{X} \times_{(\mathcal{X} \times_\mathcal{Z} \mathcal{X})} T \longrightarrow B = (\mathcal{X} \times_\mathcal{Y} \mathcal{X}) \times_{(\mathcal{X} \times_\mathcal{Z} \mathcal{X})} T \longrightarrow T\] 其中 \(B \to T\) 分离。由于我们假设 \(g \circ f\) 拟分离，复合 \(A \to T\) 为真态射。因此，由《空间的态射》引理 04NX， \(A \to B\) 为真态射；这意味着 \(f\) 分离。

引理

设 \(\mathcal{X}\) 是基概形 \(S\) 上的代数叠。

\(\mathcal{X}\) 为 DM \(\Leftrightarrow\) \(\mathcal{X}\) 在 \(S\) 上为 DM。

\(\mathcal{X}\) 拟 DM \(\Leftrightarrow\) \(\mathcal{X}\) 在 \(S\) 上拟 DM。

若 \(\mathcal{X}\) 分离，则 \(\mathcal{X}\) 在 \(S\) 上分离。

若 \(\mathcal{X}\) 拟分离，则 \(\mathcal{X}\) 在 \(S\) 上拟分离。

设 \(f : \mathcal{X} \to \mathcal{Y}\) 是基概形 \(S\) 上代数叠的态射。

若 \(\mathcal{X}\) 在 \(S\) 上为 DM，则 \(f\) 为 DM。

若 \(\mathcal{X}\) 在 \(S\) 上拟 DM，则 \(f\) 拟 DM。

若 \(\mathcal{X}\) 在 \(S\) 上分离且 \(\Delta_{\mathcal{Y}/S}\) 分离，则 \(f\) 分离。

若 \(\mathcal{X}\) 在 \(S\) 上拟分离且 \(\Delta_{\mathcal{Y}/S}\) 拟分离，则 \(f\) 拟分离。

证明

(5)、(6)、(7)、(8) 由引理 050M 和《空间》定义 02X5 立即得到。为证明 (3) 和 (4)，把 \(X\) 和 \(Y\) 视为 \(\Spec(\mathbf{Z})\) 上的代数叠，并应用引理 050M。类似地，为证明 (1) 和 (2)，把 \(\mathcal{X}\) 视为 \(\Spec(\mathbf{Z})\) 上的代数叠，并考察态射 \[\mathcal{X} \longrightarrow \mathcal{X} \times_S \mathcal{X} \longrightarrow \mathcal{X} \times_{\Spec(\mathbf{Z})} \mathcal{X}\] 两个箭头都可由代数空间表示。第二个箭头是浸入 \(\Delta_{S/\mathbf{Z}}\) 的基变换，因而非分歧且局部拟有限。所以该复合非分歧（相应地，局部拟有限）当且仅当第一个箭头非分歧（相应地，局部拟有限）；见《空间的态射》引理 03ZI 和 06G6 （相应地，《空间的态射》引理 03XK 和 03XN).

引理

设 \(\mathcal{X}\) 是代数叠。设 \(W\) 是代数空间，且 \(f : W \to \mathcal{X}\) 是满、平坦、局部有限表示的态射。

若 \(f\) 非分歧（即为 étale；也即 \(\mathcal{X}\) 为 Deligne–Mumford），则 \(\mathcal{X}\) 为 DM。

若 \(f\) 局部拟有限，则 \(\mathcal{X}\) 拟 DM。

证明

注意，若 \(f\) 非分歧，则由《空间的态射》引理 06LU，该态射为 étale。这解释了 (1) 中的括注。设 \(f\) 非分歧（相应地，局部拟有限）。需证明 \(\Delta_\mathcal{X} : \mathcal{X} \to \mathcal{X} \times \mathcal{X}\) 非分歧（相应地，局部拟有限）。注意 \(W \times W \to \mathcal{X} \times \mathcal{X}\) 也满、平坦且局部有限表示。因此只需证明 \[W \times_{\mathcal{X} \times \mathcal{X}, \Delta_\mathcal{X}} \mathcal{X} = W \times_\mathcal{X} W \longrightarrow W \times W\] 非分歧（相应地，局部拟有限）；见《叠的性质》引理 04XD。由假设，态射 \(\text{pr}_i : W \times_\mathcal{X} W \to W\) 非分歧（相应地，局部拟有限）。因此，由《空间的态射》引理 06G6 （相应地，《空间的态射》引理 03XN），所显示的箭头非分歧（相应地，局部拟有限）。

引理

代数叠的单态射分离且为 DM。代数叠的浸入亦如此。

证明

若 \(f : \mathcal{X} \to \mathcal{Y}\) 是代数叠的单态射，则 \(\Delta_f\) 是同构；见《叠的性质》引理 04ZZ。代数空间的同构为真且非分歧，故 \(f\) 分离且为 DM。由于浸入是单态射，第二个断言由第一个断言得到；见《叠的性质》引理 0504。

引理

设 \(\mathcal{X}\) 是代数叠，且 \(x \in |\mathcal{X}|\)。假设 \(\mathcal{X}\) 在 \(x\) 处的剩余胚 \(\mathcal{Z}_x\) 存在。若 \(\mathcal{X}\) 为 DM、相应地拟 DM、相应地分离、相应地拟分离，则 \(\mathcal{Z}_x\) 也如此。

证明

这是因为 \(\mathcal{Z}_x \to \mathcal{X}\) 是单态射，故由引理 06MY，它为 DM 且分离。应用引理 050L 即得结论。

惯性叠

群胚中的叠的（相对）惯性叠定义于《叠》第 036X 节。纤维范畴框架下的实际构造及其若干性质见《范畴》第 04Z2 节。

引理

设 \(\mathcal{X}\) 是代数叠。则惯性叠 \(\mathcal{I}_\mathcal{X}\) 也是代数叠。态射 \[\mathcal{I}_\mathcal{X} \longrightarrow \mathcal{X}\] 可由代数空间表示，且局部有限型。更一般地，设 \(f : \mathcal{X} \to \mathcal{Y}\) 是代数叠的态射。则相对惯性叠 \(\mathcal{I}_{\mathcal{X}/\mathcal{Y}}\) 是代数叠，且态射 \[\mathcal{I}_{\mathcal{X}/\mathcal{Y}} \longrightarrow \mathcal{X}\] 可由代数空间表示，且局部有限型。

证明

由《范畴》引理 034H，有等价 \[\mathcal{I}_\mathcal{X} \to \mathcal{X} \times_{\Delta, \mathcal{X} \times_S \mathcal{X}, \Delta} \mathcal{X} \quad\text{且}\quad \mathcal{I}_{\mathcal{X}/\mathcal{Y}} \to \mathcal{X} \times_{\Delta, \mathcal{X} \times_\mathcal{Y} \mathcal{X}, \Delta} \mathcal{X}\] 这说明这些惯性叠是代数叠。设态射 \(T \to \mathcal{X}\) 由 \(\mathcal{X}\) 在 \(T\) 上的纤维范畴中的对象 \(x\) 给出。于是得到 \(2\)-纤维积方块 \[\xymatrix{ \mathit{Isom}_\mathcal{X}(x, x) \ar[d] \ar[r] & \mathcal{I}_\mathcal{X} \ar[d] \\ T \ar[r]^x & \mathcal{X} }\] 这由 \(\mathcal{I}_\mathcal{X}\) 的定义立即得到。由于 \(\mathit{Isom}_\mathcal{X}(x, x)\) 总是 \(T\) 上局部有限型的代数空间（见引理 04XR），可知 \(\mathcal{I}_\mathcal{X} \to \mathcal{X}\) 可由代数空间表示，且局部有限型。最后，对相对惯性叠有 \[\vcenter{ \xymatrix{ \mathit{Isom}_\mathcal{X}(x, x) \ar[d] & K \ar[l] \ar[d] \ar[r] & \mathcal{I}_{\mathcal{X}/\mathcal{Y}} \ar[d] \\ \mathit{Isom}_\mathcal{Y}(f(x), f(x)) & T \ar[l]_-e \ar[r]^x & \mathcal{X} } }\] 其中两个方块都是 \(2\)-纤维积。这由《范畴》引理 04Z6 得到。左竖直箭头是 \(T\) 上局部有限型的代数空间之间的态射，因而局部有限型；见《空间的态射》引理 0462。故 \(K\) 是代数空间，且 \(K \to T\) 局部有限型。这证明了关于相对惯性叠的断言。

注

设 \(f : \mathcal{X} \to \mathcal{Y}\) 是代数叠的态射。《叠的性质》注 04ZQ 已说明，以 \(\mathcal{X}\) 为靶、可由代数空间表示的态射 \(\mathcal{Z} \to \mathcal{X}\) 所成的 \(2\)-范畴构成一个范畴。在此范畴中，\(\mathcal{X}/\mathcal{Y}\) 的惯性叠是一个群对象。回忆 \(\mathcal{I}_{\mathcal{X}/\mathcal{Y}}\) 的对象就是一对 \((x, \alpha)\)，其中 \(x\) 是 \(\mathcal{X}\) 的对象，而 \(\alpha\) 是 \(x\) 所在的 \(\mathcal{X}\) 纤维范畴中 \(x\) 的自同构，并满足 \(f(\alpha) = \text{id}\)。复合 \[c : \mathcal{I}_{\mathcal{X}/\mathcal{Y}} \times_\mathcal{X} \mathcal{I}_{\mathcal{X}/\mathcal{Y}} \longrightarrow \mathcal{I}_{\mathcal{X}/\mathcal{Y}}\] 在对象上由规则 \[((x, \alpha), (x', \alpha'), \beta) \mapsto (x, \alpha \circ \beta^{-1} \circ \alpha' \circ \beta)\] 给出。按照我们的纤维积定义，\(\beta : x \to x'\) 是纤维范畴中的同构，故该规则有意义。中性元 \(e : \mathcal{X} \to \mathcal{I}_{\mathcal{X}/\mathcal{Y}}\) 由函子 \(x \mapsto (x, \text{id}_x)\) 给出。群对象公理成立的证明从略。

设 \(f : \mathcal{X} \to \mathcal{Y}\) 是代数叠的态射，并设 \(\mathcal{I}_{\mathcal{X}/\mathcal{Y}}\) 为其惯性叠。设 \(T\) 是概形，且 \(x\) 是 \(\mathcal{X}\) 在 \(T\) 上的对象。令 \(y = f(x)\)。引理 050Q 的证明已说明：对任意概形 \(T\) 和 \(\mathcal{X}\) 在 \(T\) 上的对象 \(x\)，有群层的正合列 [0CPJ]\[\begin{equation} 0 \to \mathit{Isom}_{\mathcal{X}/\mathcal{Y}}(x, x) \to \mathit{Isom}_\mathcal{X}(x, x) \to \mathit{Isom}_\mathcal{Y}(y, y) \end{equation}\] 第二项和第三项上的群结构由引理 04YP 定义，而该序列赋予第一项意义。此外，有典范笛卡儿方块 \[\xymatrix{ \mathit{Isom}_{\mathcal{X}/\mathcal{Y}}(x, x) \ar[d] \ar[r] & \mathcal{I}_{\mathcal{X}/\mathcal{Y}} \ar[d] \\ T \ar[r]^x & \mathcal{X} }\] 事实上，注 050R 中讨论的 \(\mathcal{I}_{\mathcal{X}/\mathcal{Y}}\) 上的群结构诱导出 \(\mathit{Isom}_{\mathcal{X}/\mathcal{Y}}(x, x)\) 上的群结构。这使我们也能对从代数空间到 \(\mathcal{X}\) 的态射定义层 \(\mathit{Isom}_{\mathcal{X}/\mathcal{Y}}(x, x)\) 。下述定义将其形式化。

定义

设 \(f : \mathcal{X} \to \mathcal{Y}\) 是代数叠的态射。设 \(Z\) 是代数空间。

设 \(x : Z \to \mathcal{X}\) 是态射。令 \[\mathit{Isom}_{\mathcal{X}/\mathcal{Y}}(x, x) = Z \times_{x, \mathcal{X}} \mathcal{I}_{\mathcal{X}/\mathcal{Y}}\] 通过拉回注 050R 中讨论的复合法则，赋予它 \(Z\) 上群代数空间的结构。我们有时把 \(\mathit{Isom}_{\mathcal{X}/\mathcal{Y}}(x, x)\) 称为\(x\) 的相对自同构层。

设 \(x_1, x_2 : Z \to \mathcal{X}\) 是态射。令 \(y_i = f \circ x_i\)。设 \(\alpha : y_1 \to y_2\) 是 \(2\)-态射。则 \(\alpha\) 确定态射 \(\Delta^\alpha : Z \to Z \times_{y_1, \mathcal{Y}, y_2} Z\)，并令 \[\mathit{Isom}_{\mathcal{X}/\mathcal{Y}}^\alpha(x_1, x_2) = (Z \times_{x_1, \mathcal{X}, x_2} Z) \times_{Z \times_{y_1, \mathcal{Y}, y_2} Z, \Delta^\alpha} Z.\] 我们有时把 \(\mathit{Isom}_{\mathcal{X}/\mathcal{Y}}^\alpha(x_1, x_2)\) 称为从 \(x_1\) 到 \(x_2\) 的相对同构层。

若 \(\mathcal{Y} = \Spec(\mathbf{Z})\)，或更一般地，若 \(\mathcal{Y}\) 是代数空间，则使用记号 \(\mathit{Isom}_\mathcal{X}(x, x)\) 和 \(\mathit{Isom}_\mathcal{X}(x_1, x_2)\) ，并使用术语\(x\) 的自同构层和从 \(x_1\) 到 \(x_2\) 的同构层。

引理

设 \(f : \mathcal{X} \to \mathcal{Y}\) 是代数叠的态射。设 \(Z\) 是代数空间，且 \(x_i : Z \to \mathcal{X}\)（\(i = 1, 2\)）是态射。则

\(\mathit{Isom}_{\mathcal{X}/\mathcal{Y}}(x_2, x_2)\) 是 \(Z\) 上的群代数空间；

有群的正合列 \[0 \to \mathit{Isom}_{\mathcal{X}/\mathcal{Y}}(x_2, x_2) \to \mathit{Isom}_\mathcal{X}(x_2, x_2) \to \mathit{Isom}_\mathcal{Y}(f \circ x_2, f \circ x_2)\]

有代数空间的态射 \(\mathit{Isom}_\mathcal{X}(x_1, x_2) \to \mathit{Isom}_\mathcal{Y}(f \circ x_1, f \circ x_2)\) 使得对任意 \(2\)-态射 \(\alpha : f \circ x_1 \to f \circ x_2\)，得到笛卡儿图 \[\xymatrix{ \mathit{Isom}_{\mathcal{X}/\mathcal{Y}}^\alpha(x_1, x_2) \ar[d] \ar[r] & Z \ar[d]^\alpha \\ \mathit{Isom}_\mathcal{X}(x_1, x_2) \ar[r] & \mathit{Isom}_\mathcal{Y}(f \circ x_1, f \circ x_2) }\]

对任意 \(2\)-态射 \(\alpha : f \circ x_1 \to f \circ x_2\)，代数空间 \(\mathit{Isom}_{\mathcal{X}/\mathcal{Y}}^\alpha(x_1, x_2)\) 是 \(Z\) 上 \(\mathit{Isom}_{\mathcal{X}/\mathcal{Y}}(x_2, x_2)\) 的伪挠子。

证明

(1) 由定义 06PP 得到。 (2) 在 \(Z\) 上 étale 局部地由正合列 (0CPJ) 得到。展开定义即可看出 (3)。在 \(Z\) 的 étale 拓扑下局部地，(4) 归结为引理 04YP 的 (2)。

引理

设 \(\pi : \mathcal{X} \to \mathcal{Y}\) 和 \(f : \mathcal{Y}' \to \mathcal{Y}\) 是代数叠的态射。令 \(\mathcal{X}' = \mathcal{X} \times_\mathcal{Y} \mathcal{Y}'\)。则下图中的两个方块 \[\xymatrix{ \mathcal{I}_{\mathcal{X}'/\mathcal{Y}'} \ar[r] \ar[d]_{ \text{《范畴》，公式}\ (\href{categories.html#categories-equation-functorial}{04Z4}) } & \mathcal{X}' \ar[r]_{\pi'} \ar[d] & \mathcal{Y}' \ar[d]^f \\ \mathcal{I}_{\mathcal{X}/\mathcal{Y}} \ar[r] & \mathcal{X} \ar[r]^\pi & \mathcal{Y} }\] 均为纤维积方块。

证明

惯性叠 \(\mathcal{I}_{\mathcal{X}'/\mathcal{Y}'}\) 定义为诸对 \((x', \alpha')\) 所成的范畴，其中 \(x'\) 是 \(\mathcal{X}'\) 的对象，而 \(\alpha'\) 是满足 \(\pi'(\alpha') = \text{id}\) 的 \(x'\) 的自同构；见《范畴》第 04Z2 节。设 \(x'\) 位于概形 \(U\) 上，并映到 \(\mathcal{X}\) 的对象 \(x\)。由《范畴》引理 0040 中 \(2\)-纤维积的构造， \(x' = (U, x, y', \beta)\)，其中 \(y'\) 是 \(\mathcal{Y}'\) 在 \(U\) 上的对象，而 \(\beta\) 是 \(\mathcal{Y}\) 在 \(U\) 上的纤维范畴中的同构 \(\beta : \pi(x) \to f(y')\)。由 \(2\)-纤维积的构造本身，自同构 \(\alpha'\) 是一对 \((\alpha, \gamma)\)，其中 \(\alpha\) 是 \(x\) 在 \(U\) 上的自同构， \(\gamma\) 是 \(y'\) 在 \(U\) 上的自同构，并且 \(\alpha\) 与 \(\gamma\) 通过 \(\beta\) 相容。条件 \(\pi'(\alpha') = \text{id}\) 意味着 \(\gamma = \text{id}\)；此时 \(\alpha,\beta,\gamma\) 相容恰好等价于 \(\pi(\alpha) = \text{id}\)，即恰好意味着 \((x, \alpha)\) 是 \(\mathcal{I}_{\mathcal{X}/\mathcal{Y}}\) 的对象。由此可见左方块是纤维积方块（略去若干细节）。

引理

设 \(f : \mathcal{X} \to \mathcal{Y}\) 是代数叠的单态射。则图 \[\xymatrix{ \mathcal{I}_\mathcal{X} \ar[r] \ar[d] & \mathcal{X} \ar[d] \\ \mathcal{I}_\mathcal{Y} \ar[r] & \mathcal{Y} }\] 是纤维积方块。

证明

这由 \(f\) 全忠实（见《叠的性质》引理 04ZZ）以及《范畴》第 04Z2 节中惯性叠的定义立即得到。具体地，\(\mathcal{I}_\mathcal{X}\) 在概形 \(T\) 上的对象等同于一对 \((x, \alpha)\)，其中 \(x\) 是 \(\mathcal{X}\) 在 \(T\) 上的对象，而 \(\alpha : x \to x\) 是 \(\mathcal{X}\) 在 \(T\) 上的纤维范畴中的态射。由于 \(f\) 全忠实，\(\alpha\) 等同于 \(\mathcal{Y}\) 在 \(T\) 上的纤维范畴中的态射 \(\beta : f(x) \to f(x)\)。因此可把 \(\mathcal{I}_\mathcal{X}\) 在 \(T\) 上的对象视为三元组 \(((y, \beta), x, \gamma)\)，其中 \(y\) 是 \(\mathcal{Y}\) 在 \(T\) 上的对象， \(\beta : y \to y\) 属于 \(\mathcal{Y}_T\)，而 \(\gamma : y \to f(x)\) 是 \(T\) 上的同构；换言之，这是 \(\mathcal{I}_\mathcal{Y} \times_\mathcal{Y} \mathcal{X}\) 在 \(T\) 上的对象。

引理

设 \(\mathcal{X}\) 是代数叠。设 \([U/R] \to \mathcal{X}\) 是一个表现。设 \(G/U\) 是与群胚 \((U, R, s, t, c)\) 相关联的稳定子群代数空间。则 \[\xymatrix{ G \ar[d] \ar[r] & U \ar[d] \\ \mathcal{I}_\mathcal{X} \ar[r] & \mathcal{X} }\] 是纤维积图。

证明

由《空间中的群胚》引理 06PC 立即得到。

高阶对角态射

设 \(f : \mathcal{X} \to \mathcal{Y}\) 是代数叠的态射。在这种情形下，不仅可以考虑对角态射 \[\Delta_f : \mathcal{X} \to \mathcal{X} \times_\mathcal{Y} \mathcal{X}\] 还可以考虑对角态射的对角态射，即态射 \[\Delta_{\Delta_f} : \mathcal{X} \longrightarrow \mathcal{X} \times_{(\mathcal{X} \times_\mathcal{Y} \mathcal{X})} \mathcal{X}\] 因此我们有时采用如下术语：称 \(\Delta_{f, 0} = f\) 为第零对角态射，称 \(\Delta_{f, 1} = \Delta_f\) 为第一对角态射，并称 \(\Delta_{f, 2} = \Delta_{\Delta_f}\) 为第二对角态射。注意，\(\Delta_{f, 1}\) 可由代数空间表示且局部有限型；见引理 04XS。因此 \(\Delta_{f, 2}\) 可表、是单态射、局部有限型、分离且局部拟有限；见引理 04YQ。

可以用相对惯性叠描述第二对角态射。具体而言，由《范畴》引理 034H，纤维积 \(\mathcal{X} \times_{(\mathcal{X} \times_\mathcal{Y} \mathcal{X})} \mathcal{X}\) 等价于相对惯性叠 \(\mathcal{I}_{\mathcal{X}/\mathcal{Y}}\)。此外，在这一等同下，第二对角态射成为相对惯性叠的中性截面 \[\Delta_{f, 2} = e : \mathcal{X} \to \mathcal{I}_{\mathcal{X}/\mathcal{Y}}\] 。类比代数空间中群胚的情形（《空间中的群胚》引理 0455），可得如下等价关系。

引理

设 \(f : \mathcal{X} \to \mathcal{Y}\) 是代数叠的态射。

下列条件等价：

\(\mathcal{I}_{\mathcal{X}/\mathcal{Y}} \to \mathcal{X}\) 分离；

\(\Delta_{f, 1} = \Delta_f : \mathcal{X} \to \mathcal{X} \times_\mathcal{Y} \mathcal{X}\) 分离；以及

\(\Delta_{f, 2} = e : \mathcal{X} \to \mathcal{I}_{\mathcal{X}/\mathcal{Y}}\) 是闭浸入。

下列条件等价：

\(\mathcal{I}_{\mathcal{X}/\mathcal{Y}} \to \mathcal{X}\) 拟分离；

\(\Delta_{f, 1} = \Delta_f : \mathcal{X} \to \mathcal{X} \times_\mathcal{Y} \mathcal{X}\) 拟分离；以及

\(\Delta_{f, 2} = e : \mathcal{X} \to \mathcal{I}_{\mathcal{X}/\mathcal{Y}}\) 拟紧。

下列条件等价：

\(\mathcal{I}_{\mathcal{X}/\mathcal{Y}} \to \mathcal{X}\) 局部分离；

\(\Delta_{f, 1} = \Delta_f : \mathcal{X} \to \mathcal{X} \times_\mathcal{Y} \mathcal{X}\) 局部分离；以及

\(\Delta_{f, 2} = e : \mathcal{X} \to \mathcal{I}_{\mathcal{X}/\mathcal{Y}}\) 是浸入。

下列条件等价：

\(\mathcal{I}_{\mathcal{X}/\mathcal{Y}} \to \mathcal{X}\) 非分歧；

\(f\) 是 DM。

下列条件等价：

\(\mathcal{I}_{\mathcal{X}/\mathcal{Y}} \to \mathcal{X}\) 局部拟有限；

\(f\) 是拟 DM。

证明

先证明 (1)、(2) 和 (3)。取代数空间 \(U\) 以及满光滑态射 \(U \to \mathcal{X}\)。则 \(G = U \times_\mathcal{X} \mathcal{I}_{\mathcal{X}/\mathcal{Y}}\) 是 \(U\) 上的代数空间（引理 050Q）。事实上，由注记 050R 中在相对惯性上构造的群律， \(G\) 是 \(U\) 上的群代数空间。此外，作为 \(U \to \mathcal{X}\) 的基变换， \(G \to \mathcal{I}_{\mathcal{X}/\mathcal{Y}}\) 满且光滑。最后，态射 \(e : \mathcal{X} \to \mathcal{I}_{\mathcal{X}/\mathcal{Y}}\) 沿 \(G \to \mathcal{I}_{\mathcal{X}/\mathcal{Y}}\) 的基变换是 \(G/U\) 的单位截面 \(U \to G\)。因此，(a) 与 (c) 的等价性由《空间中的群胚》引理 06P6 得到。由于 \(\Delta_{f, 2}\) 是 \(\Delta_f\) 的对角态射，根据定义有 (b) \(\Leftrightarrow\) (c)。

再证明 (4) 和 (5)。回顾，(4)(b) 意味着 \(\Delta_f\) 非分歧， (5)(b) 意味着 \(\Delta_f\) 局部拟有限。取概形 \(Z\) 以及态射 \(a : Z \to \mathcal{X} \times_\mathcal{Y} \mathcal{X}\)。于是 \(a = (x_1, x_2, \alpha)\)，其中 \(x_i : Z \to \mathcal{X}\)，而 \(\alpha : f \circ x_1 \to f \circ x_2\) 是 \(2\)-态射。回顾 \[\vcenter{ \xymatrix{ \mathit{Isom}_{\mathcal{X}/\mathcal{Y}}^\alpha(x_1, x_2) \ar[d] \ar[r] & Z \ar[d] \\ \mathcal{X} \ar[r]^{\Delta_f} & \mathcal{X} \times_\mathcal{Y} \mathcal{X} } } \quad\text{且}\quad \vcenter{ \xymatrix{ \mathit{Isom}_{\mathcal{X}/\mathcal{Y}}(x_2, x_2) \ar[d] \ar[r] & Z \ar[d]^{x_2} \\ \mathcal{I}_{\mathcal{X}/\mathcal{Y}} \ar[r] & \mathcal{X} } }\] 是笛卡尔方块。由引理 0CPK，代数空间 \(\mathit{Isom}_{\mathcal{X}/\mathcal{Y}}^\alpha(x_1, x_2)\) 是 \(\mathit{Isom}_{\mathcal{X}/\mathcal{Y}}(x_2, x_2)\) 在 \(Z\) 上的伪挠子。因此，(4) 和 (5) 中的等价性由《空间中的群胚》引理 0DSK 得到。

引理

设 \(f : \mathcal{X} \to \mathcal{Y}\) 是代数叠的态射。下列条件等价：

态射 \(f\) 可由代数空间表示；

\(f\) 的第二对角态射是同构；

群叠 \(\mathcal{I}_{\mathcal{X}/\mathcal{Y}}\) 在 \(\mathcal X\) 上平凡；以及

对概形 \(T\) 和态射 \(x : T \to \mathcal{X}\)， \(\mathit{Isom}_\mathcal{X}(x, x) \to \mathit{Isom}_\mathcal{Y}(f(x), f(x))\) 的核平凡。

证明

先证明 (1) 与 (2) 的等价性。事实上，\(f\) 可由代数空间表示当且仅当 \(f\) 忠实；见《代数叠》引理 04Y5。另一方面，\(f\) 忠实当且仅当对概形 \(T\) 上 \(\mathcal{X}\) 的每个对象 \(x\)，函子 \(f\) 诱导单射 \(\mathit{Isom}_\mathcal{X}(x, x) \to \mathit{Isom}_\mathcal{Y}(f(x), f(x))\)；这又当且仅当其核 \(K\) 平凡，亦即当且仅当对每个 \(x : T \to \mathcal{X}\)，\(e : T \to K\) 是同构。如上所述，\(K = T \times_{x, \mathcal{X}} \mathcal{I}_{\mathcal{X}/\mathcal{Y}}\)，故这证明了 (1) 与 (2) 的等价性。为证明 (2) 与 (3) 的等价性，根据上述讨论，只须注意群叠平凡当且仅当其单位截面是同构。最后，(3) 与 (4) 的等价性由定义得到：在引理 050Q 的证明中，我们已经看到 (4) 中的核对应于 \(T\) 上的纤维积 \(T \times_{x, \mathcal{X}} \mathcal{I}_{\mathcal{X}/\mathcal{Y}}\)。

该引理给出代数叠态射的如下层级关系。

引理

代数叠的态射 \(f : \mathcal{X} \to \mathcal{Y}\) 满足：

该态射是单态射当且仅当 \(\Delta_{f, 1}\) 是同构；并且

该态射可由代数空间表示当且仅当 \(\Delta_{f, 1}\) 是单态射。

此外，第二对角态射 \(\Delta_{f, 2}\) 总是单态射。

证明

回顾《叠的性质》引理 04ZZ：代数叠的态射是单态射，当且仅当其对角态射是叠的同构。因此，引理 04YY 可以改述为：若一个态射的对角态射是单态射，则该态射可由代数空间表示。特别地，这说明引理 04YQ 的条件 (3) 实际上是充要条件；也就是说，代数叠的态射可由代数空间表示，当且仅当其对角态射是单态射。

引理

设 \(f : \mathcal{X} \to \mathcal{Y}\) 是代数叠的态射。则

\(\Delta_{f, 1}\) 分离 \(\Leftrightarrow\) \(\Delta_{f, 2}\) 是闭浸入 \(\Leftrightarrow\) \(\Delta_{f, 2}\) 为真 \(\Leftrightarrow\) \(\Delta_{f, 2}\) 泛闭；

\(\Delta_{f, 1}\) 拟分离 \(\Leftrightarrow\) \(\Delta_{f, 2}\) 有限型 \(\Leftrightarrow\) \(\Delta_{f, 2}\) 拟紧；以及

\(\Delta_{f, 1}\) 局部分离 \(\Leftrightarrow\) \(\Delta_{f, 2}\) 是浸入。

证明

将引理 04YS、 04YT 和 04YU 应用于 \(\Delta_{f, 1}\) 即得。

下面这个引理颇为巧妙，并可能启发我们把这些条件推广到高阶代数叠。

引理

设 \(f : \mathcal{X} \to \mathcal{Y}\) 是代数叠的态射。则

\(f\) 分离当且仅当 \(\Delta_{f, 1}\) 和 \(\Delta_{f, 2}\) 均泛闭；

\(f\) 拟分离当且仅当 \(\Delta_{f, 1}\) 和 \(\Delta_{f, 2}\) 均拟紧；

\(f\) 是拟 DM 当且仅当 \(\Delta_{f, 1}\) 和 \(\Delta_{f, 2}\) 均局部拟有限；

\(f\) 是 DM 当且仅当 \(\Delta_{f, 1}\) 和 \(\Delta_{f, 2}\) 均非分歧。

证明

证明 (1)。假设 \(\Delta_{f, 2}\) 和 \(\Delta_{f, 1}\) 均泛闭。由引理 04YZ， \(\Delta_{f, 1}\) 分离且泛闭。再由《空间的态射》引理 04XW 和《代数叠》引理 045F，可知 \(\Delta_{f, 1}\) 拟紧。因此它拟紧、分离、泛闭且局部有限型（由引理 04XS），故为真。这证明了 (1) 的 “\(\Leftarrow\)”。反方向蕴涵的证明略去。

证明 (2)。这立即由引理 04YZ 得到。

证明 (3)。把引理 04YQ 应用于 \(\Delta_f = \Delta_{f, 1}\) 可知 \(\Delta_{f, 2}\) 总是局部拟有限，结论由此得到。

证明 (4)。把引理 04YQ 应用于 \(\Delta_f = \Delta_{f, 1}\)，可知 \(\Delta_{f, 2}\) 局部有限型且为单态射，因而 \(\Delta_{f, 2}\) 总是非分歧；结论由此得到。见《空间态射进阶》引理 05W6。

引理

设 \(f : \mathcal{X} \to \mathcal{Y}\) 是代数叠的分离（相应地，拟分离、拟 DM、DM）态射。则

给定代数空间 \(T_i\)（\(i = 1, 2\)）以及态射 \(x_i : T_i \to \mathcal{X}\)，令 \(y_i = f \circ x_i\)，则态射 \[T_1 \times_{x_1, \mathcal{X}, x_2} T_2 \longrightarrow T_1 \times_{y_1, \mathcal{Y}, y_2} T_2\] 为真（相应地，拟紧且拟分离、局部拟有限、非分歧）；

给定代数空间 \(T\) 以及态射 \(x_i : T \to \mathcal{X}\)（\(i = 1, 2\)），令 \(y_i = f \circ x_i\)，则态射 \[\mathit{Isom}_\mathcal{X}(x_1, x_2) \longrightarrow \mathit{Isom}_\mathcal{Y}(y_1, y_2)\] 为真（相应地，拟紧且拟分离、局部拟有限、非分歧）。

证明

证明 (1)。注意，图 \[\xymatrix{ T_1 \times_{x_1, \mathcal{X}, x_2} T_2 \ar[d] \ar[r] & T_1 \times_{y_1, \mathcal{Y}, y_2} T_2 \ar[d] \\ \mathcal{X} \ar[r] & \mathcal{X} \times_\mathcal{Y} \mathcal{X} }\] 是笛卡尔图。因此，结论由下述事实得到：\(f\) 分离（相应地，拟分离、拟 DM、DM）当且仅当其对角态射为真（相应地，拟紧且拟分离、局部拟有限、非分歧）。

证明 (2)。这是因为 \[\mathit{Isom}_\mathcal{X}(x_1, x_2) = (T \times_{x_1, \mathcal{X}, x_2} T) \times_{T \times T, \Delta_T} T\] ，故 (2) 中的态射是 (1) 中态射的基变换。

拟紧态射

设 \(f\) 是可由代数空间表示的代数叠态射。我们已在《叠的性质》第 04XB 节定义了 \(f\) 拟紧的含义。下面给出另一种刻画。

引理

设 \(f : \mathcal{X} \to \mathcal{Y}\) 是可由代数空间表示的代数叠态射。下列条件等价：

\(f\) 拟紧（定义见《叠的性质》第 04XB 节）；以及

对每个拟紧代数叠 \(\mathcal{Z}\) 及任意态射 \(\mathcal{Z} \to \mathcal{Y}\)，代数叠 \(\mathcal{Z} \times_\mathcal{Y} \mathcal{X}\) 拟紧。

证明

假设 (1)，并设 \(\mathcal{Z} \to \mathcal{Y}\) 是代数叠的态射，其中 \(\mathcal{Z}\) 拟紧。由《叠的性质》引理 04YC，存在拟紧概形 \(U\) 及满光滑态射 \(U \to \mathcal{Z}\)。由于 \(f\) 可由代数空间表示且拟紧，根据定义，\(U \times_\mathcal{Y} \mathcal{X}\) 是代数空间，并且 \(U \times_\mathcal{Y} \mathcal{X} \to U\) 拟紧。因此 \(U \times_\mathcal{Y} \mathcal{X}\) 是拟紧代数空间。态射 \(U \times_\mathcal{Y} \mathcal{X} \to \mathcal{Z} \times_\mathcal{Y} \mathcal{X}\) 光滑且满（它是光滑满态射 \(U \to \mathcal{Z}\) 的基变换）。再次应用《叠的性质》引理 04YC，可知 \(\mathcal{Z} \times_\mathcal{Y} \mathcal{X}\) 拟紧

假设 (2)。设 \(Z \to \mathcal{Y}\) 是态射，其中 \(Z\) 是概形。我们必须证明代数空间的态射 \(p : Z \times_\mathcal{Y} \mathcal{X} \to Z\) 拟紧。设 \(U \subset Z\) 是仿射开子概形。则 \(p^{-1}(U) = U \times_\mathcal{Y} Z\) ，而代数空间 \(U \times_\mathcal{Y} Z\) 由假设 (2) 拟紧。因此 \(p\) 拟紧；见《空间的态射》引理 03KG。

这引出如下定义。

定义

设 \(f : \mathcal{X} \to \mathcal{Y}\) 是代数叠的态射。若对每个拟紧代数叠 \(\mathcal{Z}\) 及态射 \(\mathcal{Z} \to \mathcal{Y}\)，纤维积 \(\mathcal{Z} \times_\mathcal{Y} \mathcal{X}\) 都拟紧，则称 \(f\) 拟紧。

由上面的引理 050T，对可由代数空间表示的代数叠态射，这与已有概念一致。特别地，这一概念与已经为代数叠和概形之间的态射定义的概念一致。

引理

代数叠的拟紧态射沿任意代数叠态射的基变换仍拟紧。

证明

略。

引理

两个代数叠拟紧态射的复合拟紧。

证明

略。

引理

代数叠的闭浸入拟紧。

证明

这由浸入总是可表以及代数空间闭浸入的相应事实得到。

引理

设 \[\xymatrix{ \mathcal{X} \ar[rr]_f \ar[rd]_p & & \mathcal{Y} \ar[dl]^q \\ & \mathcal{Z} }\] 是代数叠态射的 \(2\)-交换图。若 \(f\) 满且 \(p\) 拟紧，则 \(q\) 拟紧。

证明

设 \(\mathcal{T}\) 是拟紧代数叠，并设 \(\mathcal{T} \to \mathcal{Z}\) 是态射。由《叠的性质》引理 04ZU，态射 \(\mathcal{T} \times_\mathcal{Z} \mathcal{X} \to \mathcal{T} \times_\mathcal{Z} \mathcal{Y}\) 满，而根据假设，\(\mathcal{T} \times_\mathcal{Z} \mathcal{X}\) 拟紧。因此，由《叠的性质》引理 04YC， \(\mathcal{T} \times_\mathcal{Z} \mathcal{Y}\) 拟紧。

引理

设 \(f : \mathcal{X} \to \mathcal{Y}\) 和 \(g : \mathcal{Y} \to \mathcal{Z}\) 是代数叠的态射。若 \(g \circ f\) 拟紧且 \(g\) 拟分离，则 \(f\) 拟紧。

证明

这是因为 \(f\) 等于如下复合： \((1, f) : \mathcal{X} \to \mathcal{X} \times_\mathcal{Z} \mathcal{Y} \to \mathcal{Y}\). 第一个态射是拟分离态射 \(\mathcal{X} \times_\mathcal{Z} \mathcal{Y} \to \mathcal{X}\) 的截面，故由引理 050J 拟紧；该拟分离态射是 \(g\) 的基变换，见引理 050F。第二个态射是 \(f\) 的基变换，故拟紧；见引理 050V。拟紧态射的复合拟紧；见引理 050W。

引理

设 \(f : \mathcal{X} \to \mathcal{Y}\) 是代数叠的态射。

若 \(\mathcal{X}\) 拟紧且 \(\mathcal{Y}\) 拟分离，则 \(f\) 拟紧。

若 \(\mathcal{X}\) 拟紧且拟分离，并且 \(\mathcal{Y}\) 拟分离，则 \(f\) 拟紧且拟分离。

拟紧且拟分离的代数叠的纤维积拟紧且拟分离。

证明

(1) 由引理 050Y 得到。 (2) 由 (1) 和引理 050M 得到。对 (3)，设 \(\mathcal{X} \to \mathcal{Y}\) 和 \(\mathcal{Z} \to \mathcal{Y}\) 是拟紧且拟分离代数叠的态射。利用 (2) 以及引理 050V 和 050F，态射 \(\mathcal{X} \times_\mathcal{Y} \mathcal{Z} \to \mathcal{Z}\) 作为 \(\mathcal{X} \to \mathcal{Y}\) 的基变换拟紧且拟分离。因此， \(\mathcal{X} \times_\mathcal{Y} \mathcal{Z}\) 是 \(\mathcal{Z}\) 上拟紧且拟分离的代数叠，从而拟紧且拟分离；见引理 050L 和 050W。

引理

设 \(f : \mathcal{X} \to \mathcal{Y}\) 是代数叠的拟紧态射。设 \(y \in |\mathcal{Y}|\) 是 \(|f|\) 的像的闭包中的一点。则存在以 \(K\) 为分式域的赋值环 \(A\) 以及交换图 \[\xymatrix{ \Spec(K) \ar[r] \ar[d] & \mathcal{X} \ar[d] \\ \Spec(A) \ar[r] & \mathcal{Y} }\] 使得 \(\Spec(A)\) 的闭点映到 \(y\)。

证明

取仿射概形 \(V\)、点 \(v \in V\) 以及把 \(v\) 映到 \(y\) 的光滑态射 \(V \to \mathcal{Y}\)。考虑基变换图 \[\xymatrix{ V \times_\mathcal{Y} \mathcal{X} \ar[r] \ar[d]_g & \mathcal{X} \ar[d]^f \\ V \ar[r] & \mathcal{Y} }\] 回顾，\(|V \times_\mathcal{Y} \mathcal{X}| \to |V| \times_{|\mathcal{Y}|} |\mathcal{X}|\) 满（《叠的性质》引理 04XH）。由于 \(|V| \to |\mathcal{Y}|\) 是开映射（《叠的性质》引理 04XL），可知 \(v\) 属于 \(|g|\) 的像的闭包。因此，只须对拟紧态射 \(g\) 证明此引理（引理 050V）；下一段完成这一点。

假设 \(\mathcal{Y} = Y\) 是仿射概形。由于 \(f\) 拟紧，\(\mathcal{X}\) 拟紧（定义 050U）。取仿射概形 \(W\) 以及满光滑态射 \(W \to \mathcal{X}\)。于是 \(|f|\) 的像就是 \(W \to Y\) 的像。由《态射》引理 02JQ，可取图 \[\xymatrix{ \Spec(K) \ar[r] \ar[d] & W \ar[d] \ar[r] & \mathcal{X} \ar[d] \\ \Spec(A) \ar[r] & Y \ar[r] & Y }\] 使得 \(\Spec(A)\) 的闭点映到 \(y\)。再与 \(W \to \mathcal{X}\) 复合即得所求。

引理

设 \(f : \mathcal{X} \to \mathcal{Y}\) 是代数叠的态射。设 \(W \to \mathcal{Y}\) 满、平坦且局部有限表示，其中 \(W\) 是代数空间。若基变换 \(W \times_\mathcal{Y} \mathcal{X} \to W\) 拟紧，则 \(f\) 拟紧。

证明

假设 \(W \times_\mathcal{Y} \mathcal{X} \to W\) 拟紧。设 \(\mathcal{Z} \to \mathcal{Y}\) 是态射，其中 \(\mathcal{Z}\) 是拟紧代数叠。取概形 \(U\) 以及满光滑态射 \(U \to W \times_\mathcal{Y} \mathcal{Z}\)。由于 \(U \to \mathcal{Z}\) 平坦、满且局部有限表示，而 \(\mathcal{Z}\) 拟紧，可以找到拟紧开子概形 \(U' \subset U\)，使 \(U' \to \mathcal{Z}\) 满。于是 \(U' \times_\mathcal{Y} \mathcal{X} = U' \times_W (W \times_\mathcal{Y} \mathcal{X})\) 由假设拟紧，并满射到 \(\mathcal{Z} \times_\mathcal{Y} \mathcal{X}\)。因此 \(\mathcal{Z} \times_\mathcal{Y} \mathcal{X}\) 拟紧，正合所需。

诺特代数叠

我们已在《叠的性质》第 04YE 节定义了局部诺特代数叠。

定义

设 \(\mathcal{X}\) 是代数叠。若 \(\mathcal{X}\) 拟紧、拟分离且局部诺特，则称 \(\mathcal{X}\) 诺特。

注意，诺特代数叠 \(\mathcal{X}\) 不仅拟紧且局部诺特，而且还拟分离。用第 04YX 节的语言，若把“绝对”结构态射 \(p : \mathcal{X} \to \Spec(\mathbf{Z})\)（即把 \(\mathcal{X}\) 看作 \(\mathbf{Z}\) 上代数叠时的结构态射），则 \[\mathcal{X}\text{ Noetherian} \Leftrightarrow \mathcal{X}\text{ locally Noetherian and } \Delta_{p, 0}, \Delta_{p, 1}, \Delta_{p, 2} \text{ quasi-compact}.\] 这在后面将意味着：诺特代数叠上的有限型代数叠并不自动是诺特的。

引理

设 \(j : \mathcal{X} \to \mathcal{Y}\) 是代数叠的浸入。

若 \(\mathcal{Y}\) 局部诺特，则 \(\mathcal{X}\) 局部诺特且 \(j\) 拟紧。

若 \(\mathcal{Y}\) 诺特，则 \(\mathcal{X}\) 诺特。

证明

取概形 \(V\) 以及满光滑态射 \(V \to \mathcal{Y}\)。则 \(U = \mathcal{X} \times_\mathcal{Y} V\) 是概形，而 \(V \to U\) 是浸入；见《叠的性质》定义 04YL。回顾，\(\mathcal{Y}\) 局部诺特当且仅当 \(V\) 局部诺特。在这种情形下， \(U\) 也局部诺特（《态射》引理 01T5 和 01T6），且 \(U \to V\) 拟紧（《性质》引理 01OX）。这表明 \(j\) 拟紧（引理 0DTL），并且 \(\mathcal{X}\) 局部诺特。最后，若 \(\mathcal{Y}\) 诺特，则由上述论证可知 \(\mathcal{X}\) 拟紧且局部诺特。为完成证明，注意 \(j\) 分离；又因为 \(\mathcal{Y}\) 拟分离，引理 050L 表明 \(\mathcal{X}\) 拟分离。

引理

设 \(\mathcal{X}\) 是代数叠。

若 \(\mathcal{X}\) 局部诺特，则 \(|\mathcal{X}|\) 是局部诺特拓扑空间。

若 \(\mathcal{X}\) 拟紧且局部诺特，则 \(|\mathcal{X}|\) 是诺特拓扑空间。

证明

假设 \(\mathcal{X}\) 局部诺特。取概形 \(U\) 以及满光滑态射 \(U \to \mathcal{X}\)。由于 \(\mathcal{X}\) 局部诺特，\(U\) 也局部诺特。由《性质》引理 01OZ，这意味着 \(|U|\) 是局部诺特拓扑空间。由于 \(|U| \to |\mathcal{X}|\) 开且满，由《拓扑》引理 04Z8， \(|\mathcal{X}|\) 局部诺特。这证明了 (1)。若 \(\mathcal{X}\) 拟紧且局部诺特，则 \(|\mathcal{X}|\) 拟紧且局部诺特。因此，由《拓扑》引理 04ZB， \(|\mathcal{X}|\) 诺特。

引理

设 \(\mathcal{X}\) 是局部诺特代数叠。则 \(|\mathcal{X}|\) 拟清醒（《拓扑》定义 004X）。

证明

我们必须证明每个不可约闭子集 \(T \subset |\mathcal{X}|\) 都有一般点。取仿射概形 \(U\) 以及光滑态射 \(f : U \to \mathcal{X}\)，使 \(f^{-1}(T) \subset |U|\) 非空。由于 \(U\) 诺特，闭子集 \(f^{-1}(T)\) 只有有限多个不可约分支（《拓扑》引理 0052）。设 \(f^{-1}(T) = Z_1 \cup \ldots \cup Z_n\) 是其不可约分支分解。由于 \(f\) 是开映射，\(f|_{f^{-1}(T)} : f^{-1}(T) \to T\) 的像包含 \(T\) 的一个非空开子集。由于 \(T\) 不可约，这意味着 \(f(f^{-1}(T))\) 稠密。仍由 \(T\) 不可约，存在某个 \(i\) 使 \(f(Z_i)\) 稠密。若 \(\xi_i \in Z_i\) 是一般点，则 \(f(\xi_i)\) 是 \(T\) 的一般点。

仿射态射

代数叠的仿射态射定义如下。

定义

若代数叠的态射可表，并且在《叠的性质》第 04XB 节的意义下仿射，则称它仿射。

对我们而言，把代数叠的仿射态射看作可由代数空间表示，并且在《叠的性质》第 04XB 节的意义下仿射的代数叠态射，会稍方便一些。（回顾，在 Stacks 项目中，“可表”默认意为可由概形表示。）这显然与刚才定义的概念等价，故下文将直接使用这一刻画，不再说明。下面证明关于此概念的几个简单引理。

引理

设 \(\mathcal{X} \to \mathcal{Y}\) 是代数叠的态射， \(\mathcal{Z} \to \mathcal{Y}\) 是代数叠的仿射态射。则 \(\mathcal{Z} \times_\mathcal{Y} \mathcal{X} \to \mathcal{X}\) 是代数叠的仿射态射。

证明

这由《叠的性质》第 04XB 节的讨论得到。

引理

代数叠仿射态射的复合仿射。

证明

这由《叠的性质》第 04XB 节的讨论以及《空间的态射》引理 03WH 得到。

引理

设 \[\xymatrix{ \mathcal{X} \ar[rr]_f \ar[rd]_a & & \mathcal{Y} \ar[dl]^b \\ & \mathcal{Z} }\] 是代数叠态射的交换图。若 \(a\) 仿射且 \(\Delta_b\) 仿射，则 \(f\) 仿射。

证明

态射 \(a\) 的基变换 \(\text{pr}_2 : \mathcal{X} \times_\mathcal{Z} \mathcal{Y} \to \mathcal{Y}\) 由引理 0CHR 仿射。态射 \((1, f) : \mathcal{X} \to \mathcal{X} \times_\mathcal{Z} \mathcal{Y}\) 是 \(\Delta_b : \mathcal{Y} \to \mathcal{Y} \times_\mathcal{Z} \mathcal{Y}\) 沿态射 \(\mathcal{X} \times_\mathcal{Z} \mathcal{Y} \to \mathcal{Y} \times_\mathcal{Z} \mathcal{Y}\) 的基变换（见《范畴》第 003O 节的材料）。因此，由引理 0CHR，它仿射。仿射态射的复合 \(f = \text{pr}_2 \circ (1, f)\) 由引理 0CHS 仿射，证明完成。

整态射与有限态射

代数叠的整态射与有限态射定义如下。

定义

设 \(f : \mathcal{X} \to \mathcal{Y}\) 是代数叠的态射。

若 \(f\) 可表，并且在《叠的性质》第 04XB 节的意义下为整，则称 \(f\) 整。

若 \(f\) 可表，并且在《叠的性质》第 04XB 节的意义下有限，则称 \(f\) 有限。

对我们而言，把代数叠的整态射（相应地，有限态射）看作可由代数空间表示，并且在《叠的性质》第 04XB 节的意义下为整（相应地，有限）的代数叠态射，会稍方便一些。（回顾，在 Stacks 项目中， “可表”默认意为可由概形表示。）这显然与刚才定义的概念等价，故下文将直接使用这一刻画，不再说明。下面证明关于此概念的几个简单引理。

引理

设 \(\mathcal{X} \to \mathcal{Y}\) 是代数叠的态射。设 \(\mathcal{Z} \to \mathcal{Y}\) 是代数叠的整（或有限）态射。则 \(\mathcal{Z} \times_\mathcal{Y} \mathcal{X} \to \mathcal{X}\) 是代数叠的整（或有限）态射。

证明

这由《叠的性质》第 04XB 节的讨论得到。

引理

代数叠整态射（相应地，有限态射）的复合为整（相应地，有限）。

证明

这由《叠的性质》第 04XB 节的讨论以及《空间的态射》引理 03ZR 得到。

开态射

设 \(f\) 是可由代数空间表示的代数叠态射。我们已在《叠的性质》第 04XB 节定义了 \(f\) 泛开的含义。下面给出另一种刻画。

引理

设 \(f : \mathcal{X} \to \mathcal{Y}\) 是可由代数空间表示的代数叠态射。下列条件等价：

\(f\) 泛开（定义见《叠的性质》第 04XB 节）；以及

对代数叠的每个态射 \(\mathcal{Z} \to \mathcal{Y}\)，拓扑空间的态射 \(|\mathcal{Z} \times_\mathcal{Y} \mathcal{X}| \to |\mathcal{Z}|\) 是开映射。

证明

假设 (1)，并设 \(\mathcal{Z} \to \mathcal{Y}\) 如 (2) 所述。取概形 \(V\) 及满光滑态射 \(V \to \mathcal{Z}\)。根据假设，代数空间的态射 \(V \times_\mathcal{Y} \mathcal{X} \to V\) 泛开；特别地，映射 \(|V \times_\mathcal{Y} \mathcal{X}| \to |V|\) 是开映射。由《叠的性质》第 04XE 节，在交换图 \[\xymatrix{ |V \times_\mathcal{Y} \mathcal{X}| \ar[r] \ar[d] & |\mathcal{Z} \times_\mathcal{Y} \mathcal{X}| \ar[d] \\ |V| \ar[r] & |\mathcal{Z}| }\] 中，水平箭头开且满，并且 \[|V \times_\mathcal{Y} \mathcal{X}| \longrightarrow |V| \times_{|\mathcal{Z}|} |\mathcal{Z} \times_\mathcal{Y} \mathcal{X}|\] 满。因此，由于左侧竖直箭头是开映射，右侧竖直箭头也是开映射。这证明了 (2)。蕴涵 (2) \(\Rightarrow\) (1) 由定义得到。

因此可以采用如下自然定义。

定义

设 \(f : \mathcal{X} \to \mathcal{Y}\) 是代数叠的态射。

若拓扑空间的映射 \(|\mathcal{X}| \to |\mathcal{Y}|\) 是开映射，则称 \(f\) 开。

若对代数叠的每个态射 \(\mathcal{Z} \to \mathcal{Y}\)，拓扑空间的态射 \[|\mathcal{Z} \times_\mathcal{Y} \mathcal{X}| \to |\mathcal{Z}|\] 都是开映射，即基变换 \(\mathcal{Z} \times_\mathcal{Y} \mathcal{X} \to \mathcal{Z}\) 开，则称 \(f\) 泛开。

引理

代数叠的泛开态射沿任意代数叠态射的基变换仍泛开。

证明

这立即由定义得到。

引理

两个代数叠（泛）开态射的复合（泛）开。

证明

略。

商映射态射

设 \(f\) 是可由代数空间表示的代数叠态射。我们已在《叠的性质》第 04XB 节定义了 \(f\) 泛商映射的含义。下面给出另一种刻画。

引理

设 \(f : \mathcal{X} \to \mathcal{Y}\) 是可由代数空间表示的代数叠态射。下列条件等价：

\(f\) 泛商映射（定义见《叠的性质》第 04XB 节）；以及

对代数叠的每个态射 \(\mathcal{Z} \to \mathcal{Y}\)，拓扑空间的态射 \(|\mathcal{Z} \times_\mathcal{Y} \mathcal{X}| \to |\mathcal{Z}|\) 是商映射。

证明

假设 (1)，并设 \(\mathcal{Z} \to \mathcal{Y}\) 如 (2) 所述。取概形 \(V\) 及满光滑态射 \(V \to \mathcal{Z}\)。根据假设，代数空间的态射 \(V \times_\mathcal{Y} \mathcal{X} \to V\) 泛商映射；特别地，映射 \(|V \times_\mathcal{Y} \mathcal{X}| \to |V|\) 是商映射。由《叠的性质》第 04XE 节，在交换图 \[\xymatrix{ |V \times_\mathcal{Y} \mathcal{X}| \ar[r] \ar[d] & |\mathcal{Z} \times_\mathcal{Y} \mathcal{X}| \ar[d] \\ |V| \ar[r] & |\mathcal{Z}| }\] 中，水平箭头开且满，并且 \[|V \times_\mathcal{Y} \mathcal{X}| \longrightarrow |V| \times_{|\mathcal{Z}|} |\mathcal{Z} \times_\mathcal{Y} \mathcal{X}|\] 满。因此，由于左侧竖直箭头是商映射，右侧竖直箭头也是商映射。这证明了 (2)。蕴涵 (2) \(\Rightarrow\) (1) 由定义得到。

因此可以采用如下自然定义。

定义

设 \(f : \mathcal{X} \to \mathcal{Y}\) 是代数叠的态射。

若连续映射 \(|\mathcal{X}| \to |\mathcal{Y}|\) 是商映射，则称 \(f\) 是商映射⁴；见《拓扑》定义 0406。

若对代数叠的每个态射 \(\mathcal{Y}' \to \mathcal{Y}\)，基变换 \(\mathcal{Y}' \times_\mathcal{Y} \mathcal{X} \to \mathcal{Y}'\) 都是商映射，则称 \(f\) 泛商映射。

注意，商映射态射特别是满的。

引理

代数叠的泛商映射态射沿任意代数叠态射的基变换仍泛商映射。

证明

这立即由定义得到。

引理

两个代数叠（泛）商映射态射的复合仍（泛）商映射。

证明

略。

泛闭态射

设 \(f\) 是可由代数空间表示的代数叠态射。我们已在《叠的性质》第 04XB 节定义了 \(f\) 泛闭的含义。下面给出另一种刻画。

引理

设 \(f : \mathcal{X} \to \mathcal{Y}\) 是可由代数空间表示的代数叠态射。下列条件等价：

\(f\) 泛闭（定义见《叠的性质》第 04XB 节）；以及

对代数叠的每个态射 \(\mathcal{Z} \to \mathcal{Y}\)，拓扑空间的态射 \(|\mathcal{Z} \times_\mathcal{Y} \mathcal{X}| \to |\mathcal{Z}|\) 是闭映射。

证明

假设 (1)，并设 \(\mathcal{Z} \to \mathcal{Y}\) 如 (2) 所述。取概形 \(V\) 及满光滑态射 \(V \to \mathcal{Z}\)。根据假设，代数空间的态射 \(V \times_\mathcal{Y} \mathcal{X} \to V\) 泛闭；特别地，映射 \(|V \times_\mathcal{Y} \mathcal{X}| \to |V|\) 是闭映射。由《叠的性质》第 04XE 节，在交换图 \[\xymatrix{ |V \times_\mathcal{Y} \mathcal{X}| \ar[r] \ar[d] & |\mathcal{Z} \times_\mathcal{Y} \mathcal{X}| \ar[d] \\ |V| \ar[r] & |\mathcal{Z}| }\] 中，水平箭头开且满，并且 \[|V \times_\mathcal{Y} \mathcal{X}| \longrightarrow |V| \times_{|\mathcal{Z}|} |\mathcal{Z} \times_\mathcal{Y} \mathcal{X}|\] 满。因此，由于左侧竖直箭头是闭映射，右侧竖直箭头也是闭映射。这证明了 (2)。蕴涵 (2) \(\Rightarrow\) (1) 由定义得到。

因此可以采用如下自然定义。

定义

设 \(f : \mathcal{X} \to \mathcal{Y}\) 是代数叠的态射。

若拓扑空间的映射 \(|\mathcal{X}| \to |\mathcal{Y}|\) 是闭映射，则称 \(f\) 闭。

若对代数叠的每个态射 \(\mathcal{Z} \to \mathcal{Y}\)，拓扑空间的态射 \[|\mathcal{Z} \times_\mathcal{Y} \mathcal{X}| \to |\mathcal{Z}|\] 都是闭映射，即基变换 \(\mathcal{Z} \times_\mathcal{Y} \mathcal{X} \to \mathcal{Z}\) 闭，则称 \(f\) 泛闭。

引理

代数叠的泛闭态射沿任意代数叠态射的基变换仍泛闭。

证明

这立即由定义得到。

引理

两个代数叠（泛）闭态射的复合（泛）闭。

证明

略。

引理

设 \(f : \mathcal{X} \to \mathcal{Y}\) 是代数叠的态射。下列条件等价：

\(f\) 泛闭；

对每个概形 \(Z\) 和每个态射 \(Z \to \mathcal{Y}\)，投影 \(|Z \times_\mathcal{Y} \mathcal{X}| \to |Z|\) 是闭映射；

对每个仿射概形 \(Z\) 和每个态射 \(Z \to \mathcal{Y}\)，投影 \(|Z \times_\mathcal{Y} \mathcal{X}| \to |Z|\) 是闭映射；以及

存在代数空间 \(V\) 及满光滑态射 \(V \to \mathcal{Y}\)，使得 \(V \times_\mathcal{Y} \mathcal{X} \to V\) 是代数叠的泛闭态射。

证明

略去 (1) 蕴含 (2) 以及 (2) 蕴含 (3) 的证明。

假设 (3)。取满光滑态射 \(V \to \mathcal{Y}\)。我们将证明 \(V \times_\mathcal{Y} \mathcal{X} \to V\) 是代数叠的泛闭态射。设 \(\mathcal{Z} \to V\) 是从代数叠到 \(V\) 的态射。设 \(W \to \mathcal{Z}\) 是满光滑态射，其中 \(W = \coprod W_i\) 是仿射概形的不交并。于是有交换图 \[\xymatrix{ \coprod_i |W_i \times_\mathcal{Y} \mathcal{X}| \ar@{=}[r] \ar[d] & |W \times_\mathcal{Y} \mathcal{X}| \ar[r] \ar[d] & |\mathcal{Z} \times_\mathcal{Y} \mathcal{X}| \ar[d] \ar@{=}[r] & |\mathcal{Z} \times_V (V \times_\mathcal{Y} \mathcal{X})| \ar[ld] \\ \coprod |W_i| \ar@{=}[r] & |W| \ar[r] & |\mathcal{Z}| }\] 我们必须证明东南方向的箭头是闭映射。中间的水平箭头满且开（《叠的性质》引理 04XL）。由假设 (3) 以及 \(W_i\) 仿射这一事实，左侧竖直箭头都是闭映射，从而右侧竖直箭头也是闭映射。

假设 (4)。我们将证明 \(f\) 泛闭。设 \(\mathcal{Z} \to \mathcal{Y}\) 是代数叠的态射。考虑图 \[\xymatrix{ |(V \times_\mathcal{Y} \mathcal{Z}) \times_V (V \times_\mathcal{Y} \mathcal{X})| \ar@{=}[r] \ar[rd] & |V \times_\mathcal{Y} \mathcal{X}| \ar[r] \ar[d] & |Z \times_\mathcal{Y} \mathcal{X}| \ar[d] \\ & |V \times_\mathcal{Y} \mathcal{Z}| \ar[r] & |\mathcal{Z}| }\] 根据假设，西南方向的箭头是闭映射。水平箭头满且开，因为相应的代数叠态射满且光滑（见上面的文献）。因此，右侧竖直箭头是闭映射。

泛单射态射

设 \(f\) 是可由代数空间表示的代数叠态射。我们已在《叠的性质》第 04XB 节定义了 \(f\) 泛单射的含义。下面给出另一种刻画。

引理

设 \(f : \mathcal{X} \to \mathcal{Y}\) 是可由代数空间表示的代数叠态射。下列条件等价：

\(f\) 泛单射（定义见《叠的性质》第 04XB 节）；以及

对代数叠的每个态射 \(\mathcal{Z} \to \mathcal{Y}\)，映射 \(|\mathcal{Z} \times_\mathcal{Y} \mathcal{X}| \to |\mathcal{Z}|\) 单射。

证明

假设 (1)，并设 \(\mathcal{Z} \to \mathcal{Y}\) 如 (2) 所述。取概形 \(V\) 及满光滑态射 \(V \to \mathcal{Z}\)。根据假设，代数空间的态射 \(V \times_\mathcal{Y} \mathcal{X} \to V\) 泛单射；特别地，映射 \(|V \times_\mathcal{Y} \mathcal{X}| \to |V|\) 单射。由《叠的性质》第 04XE 节，在交换图 \[\xymatrix{ |V \times_\mathcal{Y} \mathcal{X}| \ar[r] \ar[d] & |\mathcal{Z} \times_\mathcal{Y} \mathcal{X}| \ar[d] \\ |V| \ar[r] & |\mathcal{Z}| }\] 中，水平箭头开且满，并且 \[|V \times_\mathcal{Y} \mathcal{X}| \longrightarrow |V| \times_{|\mathcal{Z}|} |\mathcal{Z} \times_\mathcal{Y} \mathcal{X}|\] 满。因此，由于左侧竖直箭头单射，右侧竖直箭头也单射。这证明了 (2)。蕴涵 (2) \(\Rightarrow\) (1) 由定义得到。

因此可以采用如下自然定义。

定义

设 \(f : \mathcal{X} \to \mathcal{Y}\) 是代数叠的态射。若对代数叠的每个态射 \(\mathcal{Z} \to \mathcal{Y}\)，映射 \[|\mathcal{Z} \times_\mathcal{Y} \mathcal{X}| \to |\mathcal{Z}|\] 均单射，则称 \(f\) 泛单射。

引理

代数叠的泛单射态射沿任意代数叠态射的基变换仍泛单射。

证明

这立即由定义得到。

引理

两个代数叠泛单射态射的复合泛单射。

证明

略。

引理

设 \(f : \mathcal{X} \to \mathcal{Y}\) 是代数叠的态射。下列条件等价：

\(f\) 泛单射；

\(\Delta : \mathcal{X} \to \mathcal{X} \times_\mathcal{Y} \mathcal{X}\) 满；以及

对代数闭域、态射 \(x_1, x_2 : \Spec(k) \to \mathcal{X}\) 以及 \(2\)-箭头 \(\beta : f \circ x_1 \to f \circ x_2\)，存在 \(2\)-箭头 \(\alpha : x_1 \to x_2\)，使得 \(\beta = \text{id}_f \star \alpha\)。

证明

(1) \(\Rightarrow\) (2)。若 \(f\) 泛单射，则第一投影 \(|\mathcal{X} \times_\mathcal{Y} \mathcal{X}| \to |\mathcal{X}|\) 单射，这蕴含 \(|\Delta|\) 满。

(2) \(\Rightarrow\) (1)。假设 \(\Delta\) 满。则 \(\Delta\) 的任意基变换都满（见《叠的性质》第 04ZR 节）。由于 \(f\) 的基变换的对角态射是 \(\Delta\) 的基变换，只须证明 \(|\mathcal{X}| \to |\mathcal{Y}|\) 单射。否则，由《叠的性质》引理 04XH，第一投影 \(|\mathcal{X} \times_\mathcal{Y} \mathcal{X}| \to |\mathcal{X}|\) 不单射。这当然意味着 \(|\Delta|\) 不满。

(3) \(\Rightarrow\) (2)。设 \(t \in |\mathcal{X} \times_\mathcal{Y} \mathcal{X}|\)。可以用态射 \(t : \Spec(k) \to \mathcal{X} \times_\mathcal{Y} \mathcal{X}\) 表示 \(t\)，其中 \(k\) 是代数闭域。根据我们对 \(2\)-纤维积的构造，可以用 \((x_1, x_2, \beta)\) 表示 \(t\)，其中 \(x_1, x_2 : \Spec(k) \to \mathcal{X}\)，而 \(\beta : f \circ x_1 \to f \circ x_2\) 是 \(2\)-态射。于是 (3) 蕴含存在映到 \(\beta\) 的 \(2\)-态射 \(\alpha : x_1 \to x_2\)。这恰好意味着 \(\Delta(x_1) = (x_1, x_1, \text{id})\) 与 \(t\) 同构。因此 (2) 成立。

(2) \(\Rightarrow\) (3)。设 \(x_1, x_2 : \Spec(k) \to \mathcal{X}\) 是态射，其中 \(k\) 是代数闭域。设 \(\beta : f \circ x_1 \to f \circ x_2\) 是 \(2\)-态射。如上一段所述，得到态射 \(t = (x_1, x_2, \beta) : \Spec(k) \to \mathcal{X} \times_\mathcal{Y} \mathcal{X}\). 由引理 04XS， \[T = \mathcal{X} \times_{\Delta, \mathcal{X} \times_\mathcal{Y} \mathcal{X}, t} \Spec(k)\] 是 \(\Spec(k)\) 上局部有限型的代数空间。条件 (2) 蕴含 \(T\) 非空。由于 \(k\) 代数闭，\(T\) 中有一个 \(k\)-点。展开定义，这意味着 \(\Mor(\Spec(k), \mathcal{X})\) 中存在态射 \(\alpha : x_1 \to x_2\)，使得 \(\beta = \text{id}_f \star \alpha\)。

引理

设 \(f : \mathcal{X} \to \mathcal{Y}\) 是代数叠的泛单射态射。设 \(y : \Spec(k) \to \mathcal{Y}\) 是态射，其中 \(k\) 是代数闭域。若 \(y\) 属于 \(|\mathcal{X}| \to |\mathcal{Y}|\) 的像，则存在态射 \(x : \Spec(k) \to \mathcal{X}\)，使得 \(y = f \circ x\)。

证明

先指出此引理并非显然，因为 \(y\) 属于 \(|f|\) 的像这一假设只意味着：在可能用扩域替换 \(k\) 之后，可以把 \(y\) 提升为到 \(\mathcal{X}\) 的态射。为证明该引理，可以沿 \(y\) 基变换 \(f\)；因而可以假设有非空代数叠 \(\mathcal{X}\) 和泛单射态射 \(\mathcal{X} \to \Spec(k)\)，并希望找到 \(\mathcal{X}\) 的一个 \(k\)-值点。可以用约化替换 \(\mathcal{X}\)。可以选取域 \(k'\) 以及满、平坦、局部有限型态射 \(\Spec(k') \to \mathcal{X}\)；见《叠的性质》引理 06MN。由于 \(\mathcal{X} \to \Spec(k)\) 泛单射， \[\Spec(k') \times_\mathcal{X} \Spec(k') \to \Spec(k' \otimes_k k')\] 作为满态射 \(\Delta : \mathcal{X} \to \mathcal{X} \times_{\Spec(k)} \mathcal{X}\) 的基变换，它是满的（引理 0CPN）。由于 \(k\) 代数闭，\(k' \otimes_k k'\) 是整环（《代数》引理 09P9）。设 \(\xi \in \Spec(k') \times_\mathcal{X} \Spec(k')\) 是映到 \(\Spec(k' \otimes_k k')\) 一般点的点。令 \(U\) 为 \(\Spec(k') \times_\mathcal{X} \Spec(k')\) 中含有 \(\xi\) 的连通分支上所赋的约化诱导闭子概形结构。于是两个投影 \(U \to \Spec(k')\) 都局部有限型，因为投影 \(\Spec(k') \times_\mathcal{X} \Spec(k') \to \Spec(k')\) 作为态射 \(\Spec(k') \to \mathcal{X}\) 的基变换也具有这一性质。应用《簇》命题 04MK，可知 \(k'\) 在 \(\Gamma(U, \mathcal{O}_U)\) 中的两个像的整闭包相等。在 \(\kappa(\xi)\) 中考察，这意味着每个形如 \(\lambda \otimes 1\) 的元素都在子域 \[1 \otimes k' \subset (\text{fraction field of }k' \otimes_k k') \subset \kappa(\xi).\] 上代数相关。由于 \(k\) 代数闭，这只有在 \(k' = k\) 时才可能，证明完成。

引理

设 \(f : \mathcal{X} \to \mathcal{Y}\) 是代数叠的态射。下列条件等价：

\(f\) 泛单射；

对每个仿射概形 \(Z\) 及任意态射 \(Z \to \mathcal{Y}\)，态射 \(Z \times_\mathcal{Y} \mathcal{X} \to Z\) 泛单射；以及

此处添加更多内容。

证明

蕴涵 (1) \(\Rightarrow\) (2) 是立即的。假设 (2) 成立。我们将证明 \(\Delta_f : \mathcal{X} \to \mathcal{X} \times_\mathcal{Y} \mathcal{X}\) 满；由引理 0CPN，这蕴含 (1)。考虑仿射概形 \(V\) 以及光滑态射 \(V \to \mathcal{Y}\)。由于 \(g : V \times_\mathcal{Y} \mathcal{X} \to V\) 由 (2) 泛单射，可知 \(\Delta_g\) 满。然而，\(\Delta_g\) 是 \(\Delta_f\) 沿光滑态射 \(V \to \mathcal{Y}\) 的基变换。由于这些态射 \(V \to \mathcal{Y}\) 合起来满，故 \(\Delta_f\) 满。

引理

设 \(f : \mathcal{X} \to \mathcal{Y}\) 是代数叠的态射。设 \(W \to \mathcal{Y}\) 满、平坦且局部有限表示，其中 \(W\) 是代数空间。若基变换 \(W \times_\mathcal{Y} \mathcal{X} \to W\) 泛单射，则 \(f\) 泛单射。

证明

注意，态射 \(g : W \times_\mathcal{Y} \mathcal{X} \to W\) 的对角态射 \(\Delta_g\) 是 \(\Delta_f\) 沿 \(W \to \mathcal{Y}\) 的基变换。因此，若 \(\Delta_g\) 满，则由《叠的性质》引理 04XD，\(\Delta_f\) 也满。于是该引理由引理 0CPN 中的刻画 (2) 得到。

泛同胚

设 \(f\) 是可由代数空间表示的代数叠态射。我们已在《叠的性质》第 04XB 节定义了 \(f\) 为泛同胚的含义。下面给出另一种刻画。

引理

设 \(f : \mathcal{X} \to \mathcal{Y}\) 是可由代数空间表示的代数叠态射。下列条件等价：

\(f\) 是泛同胚（《叠的性质》第 04XB 节）；以及

对代数叠的每个态射 \(\mathcal{Z} \to \mathcal{Y}\)，拓扑空间的映射 \(|\mathcal{Z} \times_\mathcal{Y} \mathcal{X}| \to |\mathcal{Z}|\) 是同胚。

证明

假设 (1)，并设 \(\mathcal{Z} \to \mathcal{Y}\) 如 (2) 所述。取概形 \(V\) 及满光滑态射 \(V \to \mathcal{Z}\)。根据假设，代数空间的态射 \(V \times_\mathcal{Y} \mathcal{X} \to V\) 是泛同胚；特别地，映射 \(|V \times_\mathcal{Y} \mathcal{X}| \to |V|\) 是同胚。由《叠的性质》第 04XE 节，在交换图 \[\xymatrix{ |V \times_\mathcal{Y} \mathcal{X}| \ar[r] \ar[d] & |\mathcal{Z} \times_\mathcal{Y} \mathcal{X}| \ar[d] \\ |V| \ar[r] & |\mathcal{Z}| }\] 中，水平箭头开且满，并且 \[|V \times_\mathcal{Y} \mathcal{X}| \longrightarrow |V| \times_{|\mathcal{Z}|} |\mathcal{Z} \times_\mathcal{Y} \mathcal{X}|\] 满。因此，由于左侧竖直箭头是同胚，右侧竖直箭头也是同胚。这证明了 (2)。蕴涵 (2) \(\Rightarrow\) (1) 由定义得到。

因此可以采用如下自然定义。

定义

设 \(f : \mathcal{X} \to \mathcal{Y}\) 是代数叠的态射。若对代数叠的每个态射 \(\mathcal{Z} \to \mathcal{Y}\)，拓扑空间的映射 \[|\mathcal{Z} \times_\mathcal{Y} \mathcal{X}| \to |\mathcal{Z}|\] 都是同胚，则称 \(f\) 是泛同胚。

引理

代数叠的泛同胚沿任意代数叠态射的基变换仍是泛同胚。

证明

这立即由定义得到。

引理

两个代数叠泛同胚的复合是泛同胚。

证明

略。

引理

设 \(f : \mathcal{X} \to \mathcal{Y}\) 是代数叠的态射。设 \(W \to \mathcal{Y}\) 满、平坦且局部有限表示，其中 \(W\) 是代数空间。若基变换 \(W \times_\mathcal{Y} \mathcal{X} \to W\) 是泛同胚，则 \(f\) 是泛同胚。

证明

假设 \(g : W \times_\mathcal{Y} \mathcal{X} \to W\) 是泛同胚。则 \(g\) 泛单射，因而由引理 0DTP，\(f\) 泛单射。另一方面，设 \(\mathcal{Z} \to \mathcal{Y}\) 是态射，其中 \(\mathcal{Z}\) 是代数叠。取概形 \(U\) 及满光滑态射 \(U \to W \times_\mathcal{Y} \mathcal{Z}\)。考虑图 \[\xymatrix{ W \times_\mathcal{Y} \mathcal{X} \ar[d]^g & U \times_\mathcal{Y} \mathcal{X} \ar[d] \ar[l] \ar[r] & \mathcal{Z} \times_\mathcal{Y} \mathcal{X} \ar[d] \\ W & U \ar[l] \ar[r] & \mathcal{Z} }\] 根据对 \(g\) 的假设，中间的竖直箭头在拓扑空间上诱导同胚。态射 \(U \to \mathcal{Z}\) 和 \(U \times_\mathcal{Y} \mathcal{X} \to \mathcal{Z} \times_\mathcal{Y} \mathcal{X}\) 满、平坦且局部有限表示，故在拓扑空间上诱导开映射。由此可知 \(|\mathcal{Z} \times_\mathcal{Y} \mathcal{X}| \to |\mathcal{Z}|\) 是开映射。满性容易证明；我们略去其证明。

在源与靶上光滑局部的态射类型

给定代数空间态射的一个在源与靶上光滑局部的性质（见《空间上的下降》定义 06F8），可以用它定义代数叠态射的相应性质，具体做法是要求下面引理中的任一等价条件。

引理

设 \(\mathcal{P}\) 是代数空间态射的一个在源与靶上光滑局部的性质。设 \(f : \mathcal{X} \to \mathcal{Y}\) 是代数叠的态射。考虑交换图 \[\xymatrix{ U \ar[d]_a \ar[r]_h & V \ar[d]^b \\ \mathcal{X} \ar[r]^f & \mathcal{Y} }\] ，其中 \(U\) 和 \(V\) 是代数空间，竖直箭头光滑。下列条件等价：

对任何如上并且 \(U \to \mathcal{X} \times_\mathcal{Y} V\) 也光滑的图，态射 \(h\) 具有性质 \(\mathcal{P}\)；以及

对某个如上的图，若 \(a : U \to \mathcal{X}\) 满，则态射 \(h\) 具有性质 \(\mathcal{P}\)。

若 \(\mathcal{X}\) 和 \(\mathcal{Y}\) 可由代数空间表示，则这些条件还等价于 \(f\)（作为代数空间的态射）具有性质 \(\mathcal{P}\)。若 \(\mathcal{P}\) 还在任意基变换下保持，并且在基上为 fppf 局部的，则对于可由代数空间表示的态射 \(f\)，这些条件还等价于 \(f\) 在《叠的性质》第 04XB 节的意义下具有性质 \(\mathcal{P}\)。

证明

先证明蕴涵 (1) \(\Rightarrow\) (2)。取代数空间 \(V\) 以及满光滑态射 \(V \to \mathcal{Y}\)。取代数空间 \(U\) 以及满光滑态射 \(U \to \mathcal{X} \times_\mathcal{Y} V\)。注意，\(U \to \mathcal{X}\) 作为基变换 \(\mathcal{X} \times_\mathcal{Y} V \to \mathcal{X}\) 与所选态射 \(U \to \mathcal{X} \times_\mathcal{Y} V\) 的复合，也满且光滑。因此得到如 (1) 中的图。于是，若 (1) 成立，则 \(h : U \to V\) 具有性质 \(\mathcal{P}\)；由于 \(U \to \mathcal{X}\) 满，这意味着 (2) 成立。

反之，假设 (2) 成立，并设 \(U, V, a, b, h\) 如 (2) 所述。再设 \(U', V', a', b', h'\) 是 (1) 中的任意图。图示为 \[\xymatrix{ U \ar[d] \ar[r]_h & V \ar[d] \\ \mathcal{X} \ar[r]^f & \mathcal{Y} } \quad\quad \xymatrix{ U' \ar[d] \ar[r]_{h'} & V' \ar[d] \\ \mathcal{X} \ar[r]^f & \mathcal{Y} }\] 为证明 (2) 蕴含 (1)，必须证明 \(h'\) 具有 \(\mathcal{P}\)。为此考虑交换图 \[\xymatrix{ U \ar[dd]^h & U \times_\mathcal{X} U' \ar[d] \ar[l] \ar@/^6ex/[dd]^{(h, h')} \ar[r] & U' \ar[dd]^{h'} \\ & U \times_\mathcal{Y} V' \ar[lu] \ar[d] & \\ V & V \times_\mathcal{Y} V' \ar[l] \ar[r] & V' }\] ，其中各对象都是代数空间。注意，水平箭头分别作为光滑态射 \(V \to \mathcal{Y}\)、\(V' \to \mathcal{Y}\)、\(U \to \mathcal{X}\) 和 \(U' \to \mathcal{X}\) 的基变换而光滑。还要注意，图 \[\xymatrix{ U \times_\mathcal{X} U' \ar[d] \ar[r] & U' \ar[d] \\ U \times_\mathcal{Y} V' \ar[r] & \mathcal{X} \times_\mathcal{Y} V' }\] 是笛卡尔图；由于 \(U', V', a', b', h'\) 如 (1) 所述，故左侧竖直箭头光滑。由《空间上的下降》引理 06F9 的 (2)，性质 \(\mathcal{P}\) 在靶上光滑局部，因此基变换 \(U \times_\mathcal{Y} V' \to V \times_\mathcal{Y} V'\) 具有 \(\mathcal{P}\)。由《空间上的下降》引理 06F9 的 (1)， \(\mathcal{P}\) 在源上光滑局部，所以可前复合光滑态射 \(U \times_\mathcal{X} U' \to U \times_\mathcal{Y} V'\)，并得出 \((h, h')\) 具有 \(\mathcal{P}\)。由于 \(V \times_\mathcal{Y} V' \to V'\) 光滑，由《空间上的下降》引理 06F9 的 (3)，可知 \(U \times_\mathcal{X} U' \to V'\) 具有 \(\mathcal{P}\)。最后，由于 \(U \times_X U' \to U'\) 满且光滑，并且 \(\mathcal{P}\) 在源上光滑局部（同一引理），可知 \(h'\) 具有 \(\mathcal{P}\)。这就完成了 (1) 与 (2) 等价性的证明。

若 \(\mathcal{X}\) 和 \(\mathcal{Y}\) 可表，则应用《空间上的下降》引理 06FA 可知， (1) 和 (2) 等价于 \(f\) 具有 \(\mathcal{P}\)。

最后，假设 \(f\) 可表，\(U, V, a, b, h\) 如引理的 (2) 所述，并且 \(\mathcal{P}\) 在任意基变换下保持。必须证明：对任意概形 \(Z\) 和态射 \(Z \to \mathcal{Y}\)，基变换 \(Z \times_\mathcal{Y} \mathcal{X} \to Z\) 具有性质 \(\mathcal{P}\)。考虑图 \[\xymatrix{ Z \times_\mathcal{Y} U \ar[d] \ar[r] & Z \times_\mathcal{Y} V \ar[d] \\ Z \times_\mathcal{Y} \mathcal{X} \ar[r] & Z }\] 注意，上方水平箭头是 \(h\) 的基变换，因而具有性质 \(\mathcal{P}\)。左侧竖直箭头光滑且满，右侧竖直箭头光滑。因此，应用《空间上的下降》引理 06FA 可知 \(Z \times_\mathcal{Y} \mathcal{X} \to Z\) 具有性质 \(\mathcal{P}\)。

定义

设 \(\mathcal{P}\) 是代数空间态射的一个在源与靶上光滑局部的性质。若引理 06FM 中的等价条件成立，则称代数叠态射 \(f : \mathcal{X} \to \mathcal{Y}\) 具有性质 \(\mathcal{P}\)。

注

设 \(\mathcal{P}\) 是代数空间态射的一个在源与靶上光滑局部且在复合下稳定的性质。则定义 06FN 所定义的代数叠态射性质在复合下稳定。事实上，设 \(f : \mathcal{X} \to \mathcal{Y}\) 和 \(g : \mathcal{Y} \to \mathcal{Z}\) 是具有性质 \(\mathcal{P}\) 的代数叠态射。取代数空间 \(W\) 以及满光滑态射 \(W \to \mathcal{Z}\)。取代数空间 \(V\) 以及满光滑态射 \(V \to \mathcal{Y} \times_\mathcal{Z} W\)。最后，取代数空间 \(U\) 以及满光滑态射 \(U \to \mathcal{X} \times_\mathcal{Y} V\)。根据定义，态射 \(V \to W\) 和 \(U \to V\) 具有性质 \(\mathcal{P}\)。由于假设 \(\mathcal{P}\) 在复合下稳定，故 \(U \to W\) 具有性质 \(\mathcal{P}\)。再次由定义可知，\(g \circ f : \mathcal{X} \to \mathcal{Z}\) 具有性质 \(\mathcal{P}\)。

注

设 \(\mathcal{P}\) 是代数空间态射的一个在源与靶上光滑局部且在基变换下稳定的性质。则定义 06FN 所定义的代数叠态射性质在基变换下稳定。事实上，设 \(f : \mathcal{X} \to \mathcal{Y}\) 和 \(g : \mathcal{Y}' \to \mathcal{Y}\) 是代数叠的态射，并假设 \(f\) 具有性质 \(\mathcal{P}\)。取代数空间 \(V\) 以及满光滑态射 \(V \to \mathcal{Y}\)。取代数空间 \(U\) 以及满光滑态射 \(U \to \mathcal{X} \times_\mathcal{Y} V\)。最后，取代数空间 \(V'\) 以及满光滑态射 \(V' \to \mathcal{Y}' \times_\mathcal{Y} V\)。根据定义，态射 \(U \to V\) 具有性质 \(\mathcal{P}\)。由于假设 \(\mathcal{P}\) 在基变换下稳定，故 \(V' \times_V U \to V'\) 具有性质 \(\mathcal{P}\)。考虑图 \[\xymatrix{ V' \times_V U \ar[r] \ar[d] & \mathcal{Y}' \times_\mathcal{Y} \mathcal{X} \ar[r] \ar[d] & \mathcal{X} \ar[d] \\ V' \ar[r] & \mathcal{Y}' \ar[r] & \mathcal{Y} }\] 可见左上方的水平箭头光滑且满，因此根据定义，投影 \(\mathcal{Y}' \times_\mathcal{Y} \mathcal{X} \to \mathcal{Y}'\) 具有性质 \(\mathcal{P}\)。

注

设 \(\mathcal{P}, \mathcal{P}'\) 是代数空间态射的两个在源与靶上光滑局部的性质。假设对代数空间态射有 \(\mathcal{P} \Rightarrow \mathcal{P}'\)。则对于定义 06FN 中用 \(\mathcal{P}\) 和 \(\mathcal{P}'\) 定义的代数叠态射性质，同样有 \(\mathcal{P} \Rightarrow \mathcal{P}'\)。这由定义显然。

有限型态射

代数空间态射的“局部有限型”性质在源与靶上光滑局部；见《空间上的下降》注记 06FC。它还在基变换下稳定，并且在靶上为 fpqc 局部的；见《空间的态射》引理 03XH 和《空间上的下降》引理 041S。因此，由上面的引理 06FM，可以如下定义代数空间的态射局部有限型的含义；当态射可由代数空间表示时，这与《叠的性质》第 04XB 节定义的已有概念一致。

定义

设 \(f : \mathcal{X} \to \mathcal{Y}\) 是代数叠的态射。

若引理 06FM 中的等价条件对 \(\mathcal{P} = \text{locally of finite type}\) 成立，则称 \(f\) 局部有限型。

若 \(f\) 局部有限型且拟紧，则称它有限型。

引理

有限型态射的复合为有限型。局部有限型也同样成立。

证明

结合注记 06FP 与《空间的态射》引理 03XG。

引理

有限型态射的基变换有限型。局部有限型也同样成立。

证明

结合注记 06FQ 与《空间的态射》引理 03XH。

引理

浸入局部有限型。

证明

结合注记 06PS 与《空间的态射》引理 06ED。

引理

设 \(f : \mathcal{X} \to \mathcal{Y}\) 是代数叠的态射。若 \(f\) 局部有限型且 \(\mathcal{Y}\) 局部诺特，则 \(\mathcal{X}\) 局部诺特。

证明

设 \[\xymatrix{ U \ar[d] \ar[r] & V \ar[d] \\ \mathcal{X} \ar[r] & \mathcal{Y} }\] 是交换图，其中 \(U\)、\(V\) 是概形，\(V \to \mathcal{Y}\) 满且光滑， \(U \to V \times_\mathcal{Y} \mathcal{X}\) 满且光滑。则 \(U \to V\) 局部有限型。若 \(\mathcal{Y}\) 局部诺特，则 \(V\) 局部诺特。由《态射》引理 01T6，\(U\) 局部诺特，这意味着 \(\mathcal{X}\) 局部诺特。

下面两个引理将在后文得到改进（在讨论局部有限表示的代数叠态射之后）。

引理

设 \(f : \mathcal{X} \to \mathcal{Y}\) 是代数叠的态射。设 \(W \to \mathcal{Y}\) 满、平坦且局部有限表示，其中 \(W\) 是代数空间。若基变换 \(W \times_\mathcal{Y} \mathcal{X} \to W\) 局部有限型，则 \(f\) 局部有限型。

证明

取代数空间 \(V\) 以及满光滑态射 \(V \to \mathcal{Y}\)。取代数空间 \(U\) 以及满光滑态射 \(U \to V \times_\mathcal{Y} \mathcal{X}\)。必须证明 \(U \to V\) 局部有限表示。现在把所有对象沿 \(W \to \mathcal{Y}\) 基变换：令 \(U' = W \times_\mathcal{Y} U\), \(V' = W \times_\mathcal{Y} V\), \(\mathcal{X}' = W \times_\mathcal{Y} \mathcal{X}\), 以及 \(\mathcal{Y}' = W \times_\mathcal{Y} \mathcal{Y} = W\)。由基变换，\(U' \to V' \times_{\mathcal{Y}'} \mathcal{X}'\) 仍光滑。因此，根据代数叠局部有限型态射的定义以及 \(\mathcal{X}' \to \mathcal{Y}'\) 局部有限型这一假设， \(U' \to V'\) 局部有限型。又因为 \(V' \to V\) 作为 \(W \to \mathcal{Y}\) 的基变换满、平坦且局部有限表示，由《空间上的下降》引理 041S， \(U \to V\) 局部有限型，证明完成。

引理

设 \(\mathcal{X} \to \mathcal{Y} \to \mathcal{Z}\) 是代数叠的态射。假设 \(\mathcal{X} \to \mathcal{Z}\) 局部有限型，并且 \(\mathcal{X} \to \mathcal{Y}\) 可由代数空间表示、满、平坦且局部有限表示。则 \(\mathcal{Y} \to \mathcal{Z}\) 局部有限型。

证明

取代数空间 \(W\) 以及满光滑态射 \(W \to \mathcal{Z}\)。取代数空间 \(V\) 以及满光滑态射 \(V \to W \times_\mathcal{Z} \mathcal{Y}\)。令 \(U = V \times_\mathcal{Y} \mathcal{X}\)，它是代数空间。已知 \(U \to V\) 满、平坦且局部有限表示，而 \(U \to W\) 局部有限型。因此，该引理归结为代数空间态射的情形，而该情形就是《空间上的下降》引理 06EW。

引理

设 \(f : \mathcal{X} \to \mathcal{Y}\)、 \(g : \mathcal{Y} \to \mathcal{Z}\) 是代数叠的态射。若 \(g \circ f : \mathcal{X} \to \mathcal{Z}\) 局部有限型，则 \(f : \mathcal{X} \to \mathcal{Y}\) 局部有限型。

证明

可以找到图 \[\xymatrix{ U \ar[r] \ar[d] & V \ar[r] \ar[d] & W \ar[d] \\ \mathcal{X} \ar[r] & \mathcal{Y} \ar[r] & \mathcal{Z} }\] ，其中 \(U\)、\(V\)、\(W\) 是概形，竖直箭头 \(W \to \mathcal{Z}\) 满且光滑，箭头 \(V \to \mathcal{Y} \times_\mathcal{Z} W\) 满且光滑，并且箭头 \(U \to \mathcal{X} \times_\mathcal{Y} V\) 满且光滑。于是 \(U \to \mathcal{X} \times_\mathcal{Z} V\) 也满且光滑（它是满光滑态射与此类态射的一个基变换的复合）。根据定义，\(U \to W\) 局部有限型。因此，由《态射》引理 01T8， \(U \to V\) 局部有限型；根据定义，这又意味着 \(\mathcal{X} \to \mathcal{Y}\) 局部有限型。

有限型点

设 \(\mathcal{X}\) 是代数叠。有限型点 \(x \in |\mathcal{X}|\) 是可以由局部有限型态射 \(\Spec(k) \to \mathcal{X}\) 表示的点。对于代数空间和代数叠，有限型点适合作为闭点的替代。例如，它们总是“足够多”。

引理

设 \(\mathcal{X}\) 是代数叠，\(x \in |\mathcal{X}|\)。下列条件等价：

存在表示 \(x\) 的局部有限型态射 \(\Spec(k) \to \mathcal{X}\)。

存在概形 \(U\)、闭点 \(u \in U\) 以及光滑态射 \(\varphi : U \to \mathcal{X}\)，使得 \(\varphi(u) = x\)。

证明

设 \(u \in U\) 和 \(U \to \mathcal{X}\) 如 (2) 所述。则 \(\Spec(\kappa(u)) \to U\) 有限型，而 \(U \to \mathcal{X}\) 可表且局部有限型（由《空间的态射》引理 0468 和 0464）。因此，由引理 06FT，(1) 成立。

反之，假设 \(\Spec(k) \to \mathcal{X}\) 局部有限型并表示 \(x\)。设 \(U \to \mathcal{X}\) 是满光滑态射，其中 \(U\) 是概形。根据假设， \(U \times_\mathcal{X} \Spec(k) \to U\) 是局部有限型的代数空间态射。取 \(U \times_\mathcal{X} \Spec(k)\) 的一个有限型点 \(v\)（至少存在一个；见《空间的态射》引理 06EH）。由《空间的态射》引理 06EI，\(v\) 的像 \(u \in U\) 是 \(U\) 的有限型点。因此，由《态射》引理 02J2，缩小 \(U\) 后可以假设 \(u\) 是 \(U\) 的闭点，即 (2) 成立。

定义

设 \(\mathcal{X}\) 是代数叠。若引理 06FX 中的等价条件成立，则称点 \(x \in |\mathcal{X}|\) 是有限型点⁵。以 \(\mathcal{X}_{\text{ft-pts}}\) 表示 \(\mathcal{X}\) 的有限型点集。

有限型点集可以描述如下。

引理

设 \(\mathcal{X}\) 是代数叠。则 \[\mathcal{X}_{\text{ft-pts}} = \bigcup\nolimits_{\varphi : U \to \mathcal{X}\text{ smooth}} |\varphi|(U_0)\] ，其中 \(U_0\) 是 \(U\) 的闭点集。这里可以让 \(U\) 遍历 \(\mathcal{X}\) 上所有光滑概形，或只遍历 \(\mathcal{X}\) 上所有光滑仿射概形。

证明

立即由引理 06FX 得到。

引理

设 \(f : \mathcal{X} \to \mathcal{Y}\) 是代数叠的态射。若 \(f\) 局部有限型，则 \(f(\mathcal{X}_{\text{ft-pts}}) \subset \mathcal{Y}_{\text{ft-pts}}\).

证明

取 \(x \in \mathcal{X}_{\text{ft-pts}}\)。用局部有限型态射 \(x : \Spec(k) \to \mathcal{X}\) 表示 \(x\)。则由引理 06FT，\(f \circ x\) 局部有限型。因此 \(f(x) \in \mathcal{Y}_{\text{ft-pts}}\)。

引理

设 \(f : \mathcal{X} \to \mathcal{Y}\) 是代数叠的态射。若 \(f\) 局部有限型且满，则 \(f(\mathcal{X}_{\text{ft-pts}}) = \mathcal{Y}_{\text{ft-pts}}\).

证明

由引理 06G0，有 \(f(\mathcal{X}_{\text{ft-pts}}) \subset \mathcal{Y}_{\text{ft-pts}}\)。设 \(y \in |\mathcal{Y}|\) 是有限型点。用局部有限型态射 \(\Spec(k) \to \mathcal{Y}\) 表示 \(y\)。由于 \(f\) 满，代数叠 \(\mathcal{X}_k = \Spec(k) \times_\mathcal{Y} \mathcal{X}\) 非空，故由引理 06FZ，它有有限型点 \(x \in |\mathcal{X}_k|\)。态射 \(\mathcal{X}_k \to \mathcal{X}\) 是 \(\Spec(k) \to \mathcal{Y}\) 的基变换，因而局部有限型（引理 06FU）。所以由引理 06G0，\(x\) 在 \(\mathcal{X}\) 中的像是有限型点，并且根据构造映到 \(y\)。

引理

设 \(\mathcal{X}\) 是代数叠。对任意局部闭子集 \(T \subset |\mathcal{X}|\)，有 \[T \not = \emptyset \Rightarrow T \cap \mathcal{X}_{\text{ft-pts}} \not = \emptyset.\] 特别地，对任意闭子集 \(T \subset |\mathcal{X}|\)， \(T \cap \mathcal{X}_{\text{ft-pts}}\) 在 \(T\) 中稠密。

证明

令 \(i : \mathcal{Z} \to \mathcal{X}\) 为 \(T\) 上的约化诱导子叠结构；见《叠的性质》注记 06FK。浸入局部有限型；见引理 06FV。因此，由引理 06G0，有 \(\mathcal{Z}_{\text{ft-pts}} \subset \mathcal{X}_{\text{ft-pts}} \cap T\). 最后，任何带有到 \(\mathcal{Z}\) 的光滑态射的非空仿射概形 \(U\) 至少有一个闭点，故由引理 06FZ，\(\mathcal{Z}\) 至少有一个有限型点。引理得证。

下面给出代数叠上有限型点的另一种、更具技术性的刻画。特别地，它告诉我们：只要 \(x\) 是有限型点，\(\mathcal{X}\) 在 \(x\) 处的剩余胚就存在！

引理

设 \(\mathcal{X}\) 是代数叠，\(x \in |\mathcal{X}|\)。下列条件等价：

\(x\) 是有限型点；

存在代数叠 \(\mathcal{Z}\)，其底拓扑空间 \(|\mathcal{Z}|\) 是单点集，并且存在局部有限型态射 \(f : \mathcal{Z} \to \mathcal{X}\)，使得 \(\{x\} = |f|(|\mathcal{Z}|)\)；以及

\(\mathcal{X}\) 在 \(x\) 处的剩余胚 \(\mathcal{Z}_x\) 存在，并且包含态射 \(\mathcal{Z}_x \to \mathcal{X}\) 局部有限型。

证明

（本段出现的所有态射都可由代数空间表示，因此《叠的性质》第 04XB 节的约定和结果均适用。）假设 \(x\) 是有限型点。取仿射概形 \(U\)、闭点 \(u \in U\) 以及光滑态射 \(\varphi : U \to \mathcal{X}\)，使得 \(\varphi(u) = x\)；见引理 06FZ。照例令 \(u = \Spec(\kappa(u))\)。令 \(R = u \times_\mathcal{X} u\)，于是得到代数空间中的群胚 \((u, R, s, t, c)\)；见《代数叠》引理 04T4。投影态射 \(R \to u\) 是如下复合： \[R = u \times_\mathcal{X} u \to u \times_\mathcal{X} U \to u \times_\mathcal{X} X = u\] 其中第一个箭头有限型（它是概形闭浸入 \(u \to U\) 的基变换），第二个箭头光滑（它是光滑态射 \(U \to \mathcal{X}\) 的基变换）。因此， \(s, t : R \to u\) 作为复合局部有限型；见《空间的态射》引理 03XG。由于 \(u\) 是域的谱， \(s, t\) 平坦且局部有限表示（由《空间的态射》引理 06G4）。由《可表性判据》定理 06FI， \(\mathcal{Z} = [u/R]\) 是代数叠。由《代数叠》引理 04T4，得到典范态射 \[f : \mathcal{Z} \longrightarrow \mathcal{X}\] ，它全忠实。因此，该态射可由代数空间表示；见《代数叠》引理 04Y5；并且是单态射；见《叠的性质》引理 04ZZ。由此，\(\mathcal{X}\) 在 \(x\) 处的剩余胚 \(\mathcal{Z}_x \subset \mathcal{X}\) 存在，并且 \(f\) 通过一个等价 \(\mathcal{Z} \to \mathcal{Z}_x\) 分解；见《叠的性质》引理 06MX。根据构造，图 \[\xymatrix{ u \ar[d] \ar[r] & U \ar[d] \\ \mathcal{Z} \ar[r]^f & \mathcal{X} }\] 交换。由《可表性判据》引理 06FH，左侧竖直箭头满、平坦且局部有限表示。考虑图 \[\xymatrix{ u \times_\mathcal{X} U \ar[d] \ar[r] & \mathcal{Z} \times_\mathcal{X} U \ar[r] \ar[d] & U \ar[d] \\ u \ar[r] & \mathcal{Z} \ar[r]^f & \mathcal{X} }\] 由于 \(u \to \mathcal{X}\) 局部有限型，其基变换 \(u \times_\mathcal{X} U \to U\) 局部有限型。此外， \(u \times_\mathcal{X} U \to \mathcal{Z} \times_\mathcal{X} U\) 作为 \(u \to \mathcal{Z}\) 的基变换满、平坦且局部有限表示。因此 \(\{u \times_\mathcal{X} U \to \mathcal{Z} \times_\mathcal{X} U\}\) 是代数空间的 fppf 覆盖，故由《空间上的下降》引理 06EV， \(\mathcal{Z} \times_\mathcal{X} U \to U\) 局部有限型。根据定义，这意味着 \(f\) 局部有限型（因为竖直箭头 \(\mathcal{Z} \times_\mathcal{X} U \to \mathcal{Z}\) 作为 \(U \to \mathcal{X}\) 的基变换光滑，并且由于 \(\mathcal{Z}\) 只有一个点而满）。由于 \(\mathcal{Z} = \mathcal{Z}_x\)，(3) 成立。

(3) 蕴含 (2) 是显然的。若 (2) 成立，则由引理 06G0，并用引理 06G2 看出 \(\mathcal{Z}_{\text{ft-pts}}\) 非空，即 \(\mathcal{Z}\) 的唯一点是 \(\mathcal{Z}\) 的有限型点，可知 \(x\) 是 \(\mathcal{X}\) 的有限型点。

自同构群

设 \(\mathcal{X}\) 是代数叠。设 \(x \in |\mathcal{X}|\) 对应于 \(x : \Spec(k) \to \mathcal{X}\)。在这种情形下，我们常说“设 \(G_x/k\) 是 \(x\) 的自同构群代数空间”。这只是指 \[G_x = \mathit{Isom}_\mathcal{X}(x, x) = \Spec(k) \times_\mathcal{X} \mathcal{I}_\mathcal{X}\] 是 \(x\) 的自同构所成的群代数空间。它是 \(\Spec(k)\) 上的群代数空间。若 \(k'/k\) 是域扩张，则所诱导态射 \(x' : \Spec(k') \to \mathcal{X}\) 的自同构群代数空间是 \(G_x\) 到 \(\Spec(k')\) 的基变换。

引理

在上述情形下，若下列条件之一成立，则 \(G_x\) 是概形：

\(\Delta : \mathcal{X} \to \mathcal{X} \times \mathcal{X}\) 拟分离；

\(\Delta : \mathcal{X} \to \mathcal{X} \times \mathcal{X}\) 局部分离；

\(\mathcal{X}\) 是拟 DM；

\(\mathcal{I}_\mathcal{X} \to \mathcal{X}\) 拟分离；

\(\mathcal{I}_\mathcal{X} \to \mathcal{X}\) 局部分离；或

\(\mathcal{I}_\mathcal{X} \to \mathcal{X}\) 局部拟有限。

证明

由引理 0CL0，注意到 (1) \(\Rightarrow\) (4)、 (2) \(\Rightarrow\) (5) 且 (3) \(\Rightarrow\) (6)。在情形 (4) 中，\(G_x\) 是拟分离代数空间；在情形 (5) 中，\(G_x\) 是局部分离代数空间。在两种情形下，\(G_x\) 都是适宜代数空间（《适宜代数空间》第 03I7 节以及引理 088J）。于是，由《空间中群胚进阶》引理 08BH， \(G_x\) 分离；继而由《空间中群胚进阶》命题 0B8G， \(G_x\) 是概形。在情形 (6) 中，\(G_x \to \Spec(k)\) 局部拟有限，故由《域上的空间》引理 06S0，\(G_x\) 是概形。

引理

设 \(\mathcal{X}\) 是代数叠，\(x \in |\mathcal{X}|\) 是一点。设 \(P\) 是域上代数空间的一个在基域扩张下不变的性质；例如 \(P(X/k) = X \to \Spec(k)\text{ is finite}\). 下列条件等价：

对 \(x\) 的类中的某个态射 \(x : \Spec(k) \to \mathcal{X}\)，自同构群代数空间 \(G_x/k\) 具有 \(P\)；以及

对 \(x\) 的类中的任意态射 \(x : \Spec(k) \to \mathcal{X}\)，自同构群代数空间 \(G_x/k\) 具有 \(P\)。

证明

略。

注

设 \(P\) 是域上代数空间的一个在基域扩张下不变的性质。给定代数叠 \(\mathcal{X}\) 和 \(x \in |\mathcal{X}|\)，若引理 0DTT 中的等价条件成立，则称 \(\mathcal{X}\) 在 \(x\) 处的自同构群具有 \(P\)。例如，若每当 \(x : \Spec(k) \to \mathcal{X}\) 是 \(x\) 的代表时， \(G_x \to \Spec(k)\) 都有限，则称\(\mathcal{X}\) 在 \(x\) 处的自同构群有限。光滑、真等性质也同样处理。（这里显然有术语滥用，但我们相信它不会造成混淆或不精确。）

引理

设 \(f : \mathcal{X} \to \mathcal{Y}\) 是代数叠的态射， \(x \in |\mathcal{X}|\) 是一点。下列条件等价：

对 \(x\) 的类中的某个态射 \(x : \Spec(k) \to \mathcal{X}\)，令 \(y = f \circ x\)，则自同构群代数空间的映射 \(G_x \to G_y\) 是同构；以及

对 \(x\) 的类中的任意态射 \(x : \Spec(k) \to \mathcal{X}\)，令 \(y = f \circ x\)，则自同构群代数空间的映射 \(G_x \to G_y\) 是同构。

证明

这归结为同构性在靶上为 fpqc 局部这一事实；见《空间上的下降》引理 041Y。具体地，假设 \(k'/k\) 是域扩张，把相应的复合记作 \(x' : \Spec(k') \to \mathcal{X}\)，并令 \(y' = f \circ x'\)。则态射 \(G_{x'} \to G_{y'}\) 是 \(G_x \to G_y\) 沿 \(\Spec(k') \to \Spec(k)\) 的基变换。因此，\(G_x \to G_y\) 是同构当且仅当 \(G_{x'} \to G_{y'}\) 是同构。由此可见，只要此性质对一个代表成立，它就会传遍整个等价类。

注

设 \(f : \mathcal{X} \to \mathcal{Y}\) 是代数叠的态射， \(x \in |\mathcal{X}|\) 是一点。文献中用“\(f\) 在 \(x\) 处保持稳定子” 或“\(f\) 在 \(x\) 处反映不动点”来表示引理 0DTV 的等价条件对 \(f\) 和 \(x\) 成立。我们更愿意说“\(f\) 在 \(x\) 与 \(f(x)\) 处的自同构群之间诱导同构”。

表现与代数叠的性质

设 \((U, R, s, t, c)\) 是代数空间中的群胚。若 \(s, t : R \to U\) 平坦且局部有限表现，则商叠 \([U/R]\) 是代数叠；参见《可表示性判据》定理 06FI. 本节研究 \((U, R, s, t, c)\) 的哪些性质会蕴含代数叠 \([U/R]\) 的相应性质。

引理

设 \((U, R, s, t, c)\) 是代数空间中的群胚，且 \(s, t : R \to U\) 平坦并局部有限表现。考虑代数叠 \(\mathcal{X} = [U/R]\)（见上文）。

若 \(R \to U \times U\) 分离，则 \(\Delta_\mathcal{X}\) 分离。

若 \(U\)、\(R\) 分离，则 \(\Delta_\mathcal{X}\) 分离。

若 \(R \to U \times U\) 局部拟有限，则 \(\mathcal{X}\) 为拟 DM。

若 \(s, t : R \to U\) 局部拟有限，则 \(\mathcal{X}\) 为拟 DM。

若 \(R \to U \times U\) 为真态射，则 \(\mathcal{X}\) 分离。

若 \(s, t : R \to U\) 为真态射且 \(U\) 分离，则 \(\mathcal{X}\) 分离。

此处添加更多内容。

证明

由《可表示性判据》引理 06FH，态射 \(U \to \mathcal{X}\) 满、平坦且局部有限表现。因此 \(U \times U \to \mathcal{X} \times \mathcal{X}\) 也有这些性质。有笛卡儿图 \[\xymatrix{ R = U \times_\mathcal{X} U \ar[r] \ar[d] & U \times U \ar[d] \\ \mathcal{X} \ar[r] & \mathcal{X} \times \mathcal{X} }\] （参见《空间中的群胚》引理 04M9). 于是，\(\Delta_\mathcal{X}\) 具有《代数叠的性质》一节 04XB 所列性质之一，当且仅当态射 \(R \to U \times U\) 具有该性质；参见《代数叠的性质》引理 04XD。这说明了 (1)、(3) 和 (5)。条件 (2) 蕴含 \(R \to U \times U\) 分离，故 (2) 由 (1) 得出。条件 (4) 蕴含条件 (3)，故 (4) 由 (3) 得出。由《空间的态射》引理 04NX 可知，条件 (6) 蕴含条件 (5)，故 (6) 由 (5) 得出。

引理

设 \((U, R, s, t, c)\) 是代数空间中的群胚，且 \(s, t : R \to U\) 平坦并局部有限表现。考虑代数叠 \(\mathcal{X} = [U/R]\)（见上文）。则 \(|R| \to |U| \times |U|\) 的像是一个等价关系，而 \(|\mathcal{X}|\) 是 \(|U|\) 对此等价关系的商。

证明

诱导态射 \(p : U \to \mathcal{X}\) 满、平坦且局部有限表现；参见《可表示性判据》引理 06FH. 因此，由《代数叠的性质》引理 04XI. 可知 \(|U| \to |\mathcal{X}|\) 满。注意到 \(R = U \times_\mathcal{X} U\)；参见《空间中的群胚》引理 04M9。于是，《代数叠的性质》引理 04XH 蕴含映射 \[|R| \longrightarrow |U| \times_{|\mathcal{X}|} |U|\] 满。因此，\(|R| \to |U| \times |U|\) 的像恰为所有满足如下条件的 \((u_1, u_2) \in |U| \times |U|\) 所成的集合：\(u_1\) 与 \(u_2\) 在 \(|\mathcal{X}|\) 中有相同的像。合并这两个陈述即得引理。

代数叠的特殊表现

本节证明两个重要定理。第一个把拟 DM 叠 \(\mathcal{X}\) 刻画为如下形式的叠： \(\mathcal{X} = [U/R]\)，其中 \(s, t : R \to U\) 局部拟有限（并且平坦且局部有限表现）。第二个定理断言，DM 代数叠是 Deligne–Mumford 叠。

下述引理给出一个判据，用以判断表现的一个“截片”何时在该代数叠上仍然平坦。

引理

设 \(\mathcal{X}\) 是代数叠。考虑笛卡儿图 \[\xymatrix{ U \ar[d] & F \ar[l]^p \ar[d] \\ \mathcal{X} & \Spec(k) \ar[l] }\] 其中 \(U\) 是代数空间，\(k\) 是域，且 \(U \to \mathcal{X}\) 平坦并局部有限表现。设 \(f_1, \ldots, f_r \in \Gamma(U, \mathcal{O}_U)\) 且 \(z \in |F|\)，使 \(f_1, \ldots, f_r\) 在局部环 \(\mathcal{O}_{F, \overline{z}}\) 中的像构成正则序列。则以一个包含 \(p(z)\) 的开子空间替换 \(U\) 后，态射 \[V(f_1, \ldots, f_r) \longrightarrow \mathcal{X}\] 平坦且局部有限表现。

证明

选取概形 \(W\) 以及满光滑态射 \(W \to \mathcal{X}\)。选取域扩张 \(k'/k\) 和态射 \(w : \Spec(k') \to W\)，使 \(\Spec(k') \to W \to \mathcal{X}\) 与 \(\Spec(k') \to \Spec(k) \to \mathcal{X}\) 是 \(2\)-同构的。这是可能的，因为 \(W \to \mathcal{X}\) 满。考虑交换图 \[\xymatrix{ U \ar[d] & U \times_\mathcal{X} W \ar[l]^-{\text{pr}_0} \ar[d] & F' \ar[l]^-{p'} \ar[d] \\ \mathcal{X} & W \ar[l] & \Spec(k') \ar[l] }\] 其中两个方块都是笛卡儿的。由 \(w\) 的选取可知 \(F' = F \times_{\Spec(k)} \Spec(k')\)。因此 \(F' \to F\) 满，故可选取映到 \(z\) 的点 \(z' \in |F'|\)。由于 \(F' \to F\) 平坦， \(\mathcal{O}_{F, \overline{z}} \to \mathcal{O}_{F', \overline{z}'}\) 平坦；参见《空间的态射》引理 04NG。因此，\(f_1, \ldots, f_r\) 在 \(\mathcal{O}_{F', \overline{z}'}\) 中的像构成正则序列；参见《代数》引理 00LM。注意， \(U \times_\mathcal{X} W \to W\) 是平坦且局部有限表现的代数空间态射。因此，由《空间的态射进阶》引理 06LW 可知，存在 \(U \times_\mathcal{X} W\) 的开子空间 \(U'\)，它包含 \(p'(z')\)，并且交 \(U' \cap (V(f_1, \ldots, f_r) \times_\mathcal{X} W)\) 在 \(W\) 上平坦且局部有限表现。注意，\(\text{pr}_0(U')\) 是 \(U\) 中包含 \(p(z)\) 的开子空间，因为 \(\text{pr}_0\) 光滑，因而是开的。现在可知，态射 \(U' \cap (V(f_1, \ldots, f_r) \times_\mathcal{X} W) \to \mathcal{X}\) 作为复合 \[U' \cap (V(f_1, \ldots, f_r) \times_\mathcal{X} W) \to W \to \mathcal{X}.\] 平坦且局部有限表现。因此，《代数叠的性质》引理 06M2 蕴含 \(\text{pr}_0(U') \cap V(f_1, \ldots, f_r) \to \mathcal{X}\) 平坦且局部有限表现，正合所需。

引理

设 \(\mathcal{X}\) 是代数叠。考虑笛卡儿图 \[\xymatrix{ U \ar[d] & F \ar[l]^p \ar[d] \\ \mathcal{X} & \Spec(k) \ar[l] }\] 其中 \(U\) 是代数空间，\(k\) 是域，且 \(U \to \mathcal{X}\) 局部有限型。设 \(z \in |F|\) 且 \(\dim_z(F) = 0\)。则以一个包含 \(p(z)\) 的开子空间替换 \(U\) 后，态射 \[U \longrightarrow \mathcal{X}\] 局部拟有限。

证明

由于 \(f : U \to \mathcal{X}\) 局部有限型，存在极大开集 \(W(f) \subset U\)，使限制 \(f|_{W(f)} : W(f) \to \mathcal{X}\) 局部拟有限；参见《代数叠的性质》评注 06M5 (06M7). 因此，只需证明 \(p(z)\) 是 \(W(f)\) 的点。此外，上述评注还说明， \(W(f)\) 的构造与沿可由代数空间表示的态射所作的任意基变换交换。故只需证明态射 \(F \to \Spec(k)\) 在 \(z\) 处局部拟有限。这立即由《空间的态射》引理 04NV 得出。

拟 DM 叠具有由概形给出的局部拟有限“覆盖”。

定理

设 \(\mathcal{X}\) 是代数叠。下列条件等价：

\(\mathcal{X}\) 是拟 DM 叠；

存在概形 \(W\) 以及满、平坦、局部有限表现且局部拟有限的态射 \(W \to \mathcal{X}\)。

证明

(2) \(\Rightarrow\) (1) 即引理 06MB。假设 (1)。设 \(x \in |\mathcal{X}|\) 是有限型点。我们将构造一个在 \(\mathcal{X}\) 上、并在 \(x\) 的某个邻域内“起作用”的概形。证明末尾取所有这些概形的不交并即可得出结论。

设 \(U\) 是仿射概形，\(U \to \mathcal{X}\) 是光滑态射，而 \(u \in U\) 是映到 \(x\) 的闭点；参见引理 06FX。照例记 \(u = \Spec(\kappa(u))\)。考虑交换图 \[\xymatrix{ u \ar[d] & R \ar[l] \ar[d] \\ U \ar[d] & F \ar[d] \ar[l]^p \\ \mathcal{X} & u \ar[l] }\] 其中两个方块都是纤维积方块；特别地，\(R = u \times_\mathcal{X} u\)。在引理 06G3 的证明中，已经看到 \((u, R, s, t, c)\) 是代数空间中的群胚，且 \(s, t\) 局部有限型。令 \(G \to u\) 为稳定子群代数空间（参见《空间中的群胚》定义 0448). 注意 \[G = R \times_{(u \times u)} u = (u \times_\mathcal{X} u) \times_{(u \times u)} u = \mathcal{X} \times_{\mathcal{X} \times \mathcal{X}} u.\] 由于 \(\mathcal{X}\) 为拟 DM，\(G\) 在 \(u\) 上局部拟有限。由《空间中的群胚进阶》引理 06FF 可得 \(\dim(R) = 0\)。

令 \(e : u \to R\) 为该群胚的单位元。复合 \(u \to R \to u\) 等于 \(u\) 的恒等态射。由于 \(u \subset U\) 是闭子概形，\(R \subset F\) 是闭子空间。因此，也可把 \(e\) 看作 \(F\) 的点，并将其记为 \(z\)。考虑 étale 局部环之间的映射 \[\mathcal{O}_{U, u} \xrightarrow{p^\sharp} \mathcal{O}_{F, \overline{z}} \longrightarrow \mathcal{O}_{R, \overline{e}}\] 由第一段的结果，\(\mathcal{O}_{R, \overline{e}}\) 的维数为 \(0\)。另一方面，由于 \(R\) 在 \(F\) 中由 \(\mathfrak m_u\) 截出，第二个箭头的核为 \(p^\sharp(\mathfrak m_u)\mathcal{O}_{F, \overline{z}}\)。因此 \[\mathfrak m_{\overline{z}} = \sqrt{p^\sharp(\mathfrak m_u)\mathcal{O}_{F, \overline{z}}}\] 另一方面，由于态射 \(U \to \mathcal{X}\) 光滑，\(F \to u\) 是代数空间的光滑态射。这意味着 \(F\) 是正则代数空间（《域上的空间》引理 06M1）。因此 \(\mathcal{O}_{F, \overline{z}}\) 是正则局部环（《空间的性质》引理 06LQ）。注意，正则局部环是 Cohen–Macaulay 环（《代数》引理 00NQ）。令 \(d = \dim(\mathcal{O}_{F, \overline{z}})\)。由《代数》引理 06LC，可找到 \(f_1, \ldots, f_d \in \mathcal{O}_{U, u}\)，使其像 \(\varphi(f_1), \ldots, \varphi(f_d)\) 在 \(\mathcal{O}_{F, \overline{z}}\) 中构成正则序列。由引理 06MD，缩小 \(U\) 后可假设 \(Z = V(f_1, \ldots, f_d) \to \mathcal{X}\) 平坦且局部有限表现。注意，按构造，\(F_Z = Z \times_\mathcal{X} u\) 是 \(F = U \times_\mathcal{X} u\) 的闭子空间，\(z\) 是该闭子空间的点，并且 \[\dim(\mathcal{O}_{F_Z, \overline{z}}) = 0.\] 由于 \(z\) 相对于 \(u\) 的超越次数为零，由《空间的态射》引理 04NQ 可得 \(\dim_z(F_Z) = 0\)。因而由引理 06ME 可知，必要时再次缩小 \(U\) 后，态射 \(Z \to \mathcal{X}\) 局部拟有限。

综上，对 \(\mathcal{X}\) 的每个有限型点 \(x\)，存在局部拟有限、平坦且局部有限表现的态射 \(f_x : Z_x \to \mathcal{X}\)，使 \(x\) 属于 \(|f_x|\) 的像。令 \(W = \coprod_x Z_x\) 及 \(f = \coprod f_x\)。则 \(f\) 平坦、局部有限表现且局部拟有限。特别地，\(|f|\) 的像是开集；参见《代数叠的性质》引理 04XL。按构造，该像包含 \(\mathcal{X}\) 的所有有限型点，故由引理 06G2（以及《代数叠的性质》引理 04XI）可知 \(f\) 满。

引理

设 \(\mathcal{Z}\) 是 DM、局部诺特且约化的代数叠，并且 \(|\mathcal{Z}|\) 是单点集。则存在域 \(k\) 以及满的 étale 态射 \(\Spec(k) \to \mathcal{Z}\)。

证明

由《代数叠的性质》引理 06MP，存在域 \(k\) 以及满、平坦且局部有限表现的态射 \(\Spec(k) \to \mathcal{Z}\)。令 \(U = \Spec(k)\) 及 \(R = U \times_\mathcal{Z} U\)，于是得到代数空间中的群胚 \((U, R, s, t, c)\)；参见《代数叠》引理 02ZY. 注意，由《代数叠》评注 04WY，有等价 \[f_{can} : [U/R] \longrightarrow \mathcal{Z}\] 投影 \(s, t : R \to U\) 局部有限表现。由于 \(\mathcal{Z}\) 为 DM，稳定子群代数空间 \[G = U \times_{U \times U} R = U \times_{U \times U} (U \times_\mathcal{Z} U) = U \times_{\mathcal{Z} \times \mathcal{Z}, \Delta_\mathcal{Z}} \mathcal{Z}\] 在 \(U\) 上非分歧。特别地，\(\dim(G) = 0\)；由《空间中的群胚进阶》引理 06FF 可得 \(\dim(R) = 0\)。这蕴含 \(R\) 是概形；参见《域上的空间》引理 06LZ。由《簇》引理 06LH 可知，\(R\)（以及 \(G\)）是若干 Artin 局部环之谱的不交并，而这些环经 \(s\) 或 \(t\) 在 \(k\) 上有限。令 \(P = \Spec(A) \subset R\) 为既开又闭的子概形，其底层点是群胚概形 \((U, R, s, t, c)\) 的单位元 \(e\)。由于 \(s \circ e = t \circ e = \text{id}_{\Spec(k)}\)，\(A\) 是 Artin 局部环，其剩余域经 \(s^\sharp : k \to A\) 或 \(t^\sharp : k \to A\) 与 \(k\) 等同。注意，\(s, t : \Spec(A) \to \Spec(k)\) 都是有限态射（由上述引理）。由于 \(G \to \Spec(k)\) 非分歧， \[G \cap P = P \times_{U \times U} U = \Spec(A \otimes_{k \otimes k} k)\] 在 \(k\) 上非分歧。另一方面，\(A \otimes_{k \otimes k} k\) 作为 \(A\) 的商环是局部环，并满射到 \(k\)。于是 \(A \otimes_{k \otimes k} k = k\)。由此，\(P \to U \times U\) 泛单射（因为 \(P\) 只有一个点，且其剩余域为 \(k\)）、非分歧（由上面对唯一像点之上的纤维的计算）且有限型（因为 \(s, t\) 有限型），因而是单态射（参见《Étale 态射》引理 05VH). 因此，\(s|_P, t|_P : P \to U\) 定义有限平坦等价关系。应用《群胚》命题 03BM 可知 \(U/P\) 存在，且为概形 \(\overline{U}\)。此外，\(U \to \overline{U}\) 有限局部自由，并且 \(P = U \times_{\overline{U}} U\)。事实上， \(\overline{U} = \Spec(k_0)\)，其中 \(k_0 \subset k\) 是 \(R\)-不变函数所成的环。由于 \(k\) 是域，由定义《群胚》等式 (03BF) 可知 \(k_0\) 是域。

我们断言 [06N1]\[\begin{equation} \Spec(k_0) = \overline{U} = U/P \to [U/R] = \mathcal{Z} \end{equation}\] 是所需的满 étale 态射。由《代数叠的性质》引理 06MM，该态射满。因此只需证明 (06N1) 为 étale⁶。我们不直接证明 étale 性，而是先应用《自举》引理 04S4，可知存在群胚概形 \((\overline{U}, \overline{R}, \overline{s}, \overline{t}, \overline{c})\) 使 \((U, R, s, t, c)\) 是 \((\overline{U}, \overline{R}, \overline{s}, \overline{t}, \overline{c})\) 经商态射 \(U \to \overline{U}\) 所作的限制。（上面已验证该引理的全部假设，只有 \(j : R \to U \times U\) 分离且局部拟有限这一断言尚未验证；它由 \(R\) 是在 \(k\) 上局部拟有限的分离概形这一事实得出。）由于 \(U \to \overline{U}\) 有限局部自由，\([U/R] \to [\overline{U}/\overline{R}]\) 是等价；参见《空间中的群胚》引理 046T。

注意，\(s, t\) 是态射 \(\overline{s}, \overline{t}\) 沿 \(U \to \overline{U}\) 的基变换。由于 \(\{U \to \overline{U}\}\) 是 fppf 覆盖，可知 \(\overline{s}, \overline{t}\) 平坦、局部有限表现且局部拟有限；参见《下降》引理 02L2、 02KY 及 02VI。考虑交换图 \[\xymatrix{ U \times_{\overline{U}} U \ar@{=}[r] \ar[rd] & P \ar[r] \ar[d] & R \ar[d] \\ & \overline{U} \ar[r]^{\overline{e}} & \overline{R} }\] 关于限制的一般事实说明，外侧四个角构成笛卡儿图。由该等式可知内侧方块也是笛卡儿的。由于 \(P\) 在 \(R\) 中为开集，由《下降》引理 02L3 可知 \(\overline{e}\) 是开浸入。

当然，若 \(\overline{e}\) 是开浸入，且 \(\overline{s}, \overline{t}\) 平坦并局部有限表现，则态射 \(\overline{t}, \overline{s}\) 为 étale。例如，应用《群胚进阶》引理 04R9 可看出这一点：该引理说明 \(\Omega_{\overline{R}/\overline{U}} = 0\) 蕴含 \(\overline{s}, \overline{t} : \overline{R} \to \overline{U}\) 非分歧（参见《态射》引理 02G5），进而蕴含 \(\overline{s}, \overline{t}\) 为 étale（参见《态射》引理 02GV）。因此， \(\mathcal{Z} = [\overline{U}/\overline{R}]\) 是代数叠 \(\mathcal{Z}\) 的一个 étale 表现，并由《代数叠的性质》引理 04XD 可知 \(\overline{U} \to \mathcal{Z}\) 为 étale。

引理

设 \(\mathcal{X}\) 是代数叠。考虑笛卡儿图 \[\xymatrix{ U \ar[d] & F \ar[l]^p \ar[d] \\ \mathcal{X} & \Spec(k) \ar[l] }\] 其中 \(U\) 是代数空间，\(k\) 是域，且 \(U \to \mathcal{X}\) 平坦并局部有限表现。设 \(z \in |F|\)，使 \(F \to \Spec(k)\) 在 \(z\) 处非分歧。则以一个包含 \(p(z)\) 的开子空间替换 \(U\) 后，态射 \[U \longrightarrow \mathcal{X}\] 为 étale。

证明

由于 \(f : U \to \mathcal{X}\) 平坦且局部有限表现，存在极大开集 \(W(f) \subset U\)，使限制 \(f|_{W(f)} : W(f) \to \mathcal{X}\) 为 étale；参见《代数叠的性质》评注 06M5 (06MA). 因此，只需证明 \(p(z)\) 是 \(W(f)\) 的点。此外，上述评注还说明， \(W(f)\) 的构造与沿可由代数空间表示的态射所作的任意基变换交换。故只需证明态射 \(F \to \Spec(k)\) 在 \(z\) 处为 étale。它作为 \(U \to \mathcal{X}\) 的基变换是平坦且局部有限表现的，并且按假设 \(F \to \Spec(k)\) 在 \(z\) 处非分歧，故结论由《空间的态射》引理 06LU 得出。

DM 叠是 Deligne–Mumford 叠。

定理

设 \(\mathcal{X}\) 是代数叠。下列条件等价：

\(\mathcal{X}\) 为 DM；

\(\mathcal{X}\) 为 Deligne–Mumford；

存在概形 \(W\) 以及满 étale 态射 \(W \to \mathcal{X}\)。

证明

回忆，(3) 是 (2) 的定义；参见《代数叠》定义 03YO。(3) \(\Rightarrow\) (1) 即引理 06MB。假设 (1)。设 \(x \in |\mathcal{X}|\) 是有限型点。我们将构造一个在 \(\mathcal{X}\) 上、并在 \(x\) 的某个邻域内“起作用”的概形。证明末尾取所有这些概形的不交并即可得出结论。

由引理 06G3，\(\mathcal{X}\) 在 \(x\) 处的剩余胚 \(\mathcal{Z}_x\) 存在，且 \(\mathcal{Z}_x \to \mathcal{X}\) 局部有限型。由引理 06MZ，代数叠 \(\mathcal{Z}_x\) 为 DM。由引理 06N0，存在域 \(k\) 以及满 étale 态射 \(z : \Spec(k) \to \mathcal{Z}_x\)。特别地，复合 \(x : \Spec(k) \to \mathcal{X}\) 局部有限型（由《空间的态射》引理 03XG 和 06LT）。

选取概形 \(U\) 以及光滑态射 \(U \to \mathcal{X}\)，使 \(x\) 属于 \(|U| \to |\mathcal{X}|\) 的像。考虑纤维积方块 \[\xymatrix{ U \ar[d] & F \ar[l] \ar[d] \\ \mathcal{X} & \Spec(k) \ar[l]_-x }\] 换言之，\(F = U \times_{\mathcal{X}, x} \Spec(k)\)。由《代数叠的性质》引理 04XH 可知 \(F\) 非空。由于 \(\mathcal{Z}_x \to \mathcal{X}\) 是单态射，有 \[\Spec(k) \times_{z, \mathcal{Z}_x, z} \Spec(k) = \Spec(k) \times_{x, \mathcal{X}, x} \Spec(k)\] 按 \(z\) 的构造，等式两端到 \(\Spec(k)\) 的投影为 étale。由于 \[F \times_U F = (\Spec(k) \times_\mathcal{X} \Spec(k)) \times_{\Spec(k)} F\] 可知投影映射 \(F \times_U F \to F\) 也为 étale。因此 \(\Delta_{F/U} : F \to F \times_U F\) 为 étale（参见《空间的态射》引理 05W3）。由《空间的态射》引理 05W5 可知 \(\Delta_{F/U}\) 是开浸入，进而由《空间的态射》引理 05W1 可知 \(F \to U\) 非分歧。

选取非空仿射概形 \(V\) 以及 étale 态射 \(V \to F\)。（也可直接使用 \(F\) 而避免这一步，但这样做似乎更容易说明所发生的情形。）图示如下： \[\xymatrix{ U \ar[d] & F \ar[l] \ar[d] & V \ar[l] \ar[ld] \\ \mathcal{X} & \Spec(k) \ar[l]_-x }\] 于是 \(V \to \Spec(k)\) 是概形的光滑态射，而 \(V \to U\) 是概形的非分歧态射（参见《空间的态射》引理 03ZD 和 03ZI）。选取闭点 \(v \in V\)，使 \(k \subset \kappa(v)\) 有限可分；参见《簇》引理 056U。令 \(u \in U\) 为其像点。局部环 \(\mathcal{O}_{V, v}\) 正则（参见《簇》引理 056S），且来自态射 \(V \to U\) 的局部环同态 \[\varphi : \mathcal{O}_{U, u} \longrightarrow \mathcal{O}_{V, v}\] 满足 \(\varphi(\mathfrak m_u)\mathcal{O}_{V, v} = \mathfrak m_v\)；参见《态射》引理 02GF。因此可找到 \(f_1, \ldots, f_d \in \mathcal{O}_{U, u}\)，使各像 \(\varphi(f_1), \ldots, \varphi(f_d)\) 构成 \(\mathfrak m_v/\mathfrak m_v^2\) 在 \(\kappa(v)\) 上的一组基。由于 \(\mathcal{O}_{V, v}\) 是正则局部环，这蕴含 \(\varphi(f_1), \ldots, \varphi(f_d)\) 在 \(\mathcal{O}_{V, v}\) 中构成正则序列（参见《代数》引理 00NQ）。以 \(u\) 的一个开邻域替换 \(U\) 后，可假设 \(f_1, \ldots, f_d \in \Gamma(U, \mathcal{O}_U)\)。必要时再以 \(u\) 的一个更小开邻域替换 \(U\)，由引理 06MD 可假设 \(V(f_1, \ldots, f_d) \to \mathcal{X}\) 平坦且局部有限表现。按构造， \[V(f_1, \ldots, f_d) \times_\mathcal{X} \Spec(k) \longleftarrow V(f_1, \ldots, f_d) \times_U V\] 为 étale，且 \(V(f_1, \ldots, f_d) \times_U V\) 是由 \(f_1|_V, \ldots, f_d|_V\) 截出的闭子概形 \(T \subset V\)。因此按构造 \(v \in T\)，并且 \[\mathcal{O}_{T, v} = \mathcal{O}_{V, v}/(\varphi(f_1), \ldots, \varphi(f_d)) = \kappa(v)\] 是 \(k\) 的有限可分扩张。由此 \(T \to \Spec(k)\) 在 \(v\) 处非分歧；参见《态射》引理 02GF。根据代数空间的非分歧态射的定义，这意味着 \(V(f_1, \ldots, f_d) \times_\mathcal{X} \Spec(k) \to \Spec(k)\) 在 \(v\) 于 \(V(f_1, \ldots, f_d) \times_\mathcal{X} \Spec(k)\) 中的像处非分歧。应用引理 06N2 可知，再将 \(U\) 缩小为 \(u\) 的另一个开邻域后，态射 \(V(f_1, \ldots, f_d) \to \mathcal{X}\) 为 étale。

综上，对 \(\mathcal{X}\) 的每个有限型点 \(x\)，存在 étale 态射 \(f_x : W_x \to \mathcal{X}\)，使 \(x\) 属于 \(|f_x|\) 的像。令 \(W = \coprod_x W_x\) 及 \(f = \coprod f_x\)。则 \(f\) 为 étale。特别地， \(|f|\) 的像是开集；参见《代数叠的性质》引理 04XL。按构造，该像包含 \(\mathcal{X}\) 的所有有限型点，故由引理 06G2（以及《代数叠的性质》引理 04XI）可知 \(f\) 满。

下面这个有用推论说明，代数叠的 DM 态射的“纤维”是 Deligne–Mumford 的。

引理

设 \(f : \mathcal{X} \to \mathcal{Y}\) 是代数叠的 DM 态射。则

对每个 DM 代数叠 \(\mathcal{Z}\) 和态射 \(\mathcal{Z} \to \mathcal{Y}\)，存在一个概形以及满 étale 态射 \(U \to \mathcal{X} \times_\mathcal{Y} \mathcal{Z}\).

对每个代数空间 \(Z\) 和态射 \(Z \to \mathcal{Y}\)，存在一个概形以及满 étale 态射 \(U \to \mathcal{X} \times_\mathcal{Y} Z\).

证明

(1) 的证明。由于 \(f\) 为 DM，由引理 050F，基变换 \(\mathcal{X} \times_\mathcal{Y} \mathcal{Z} \to \mathcal{Z}\) 为 DM。又因 \(\mathcal{Z}\) 为 DM，引理 050L 蕴含 \(\mathcal{X} \times_\mathcal{Y} \mathcal{Z}\) 为 DM。因此存在概形 \(U\) 以及满 étale 态射 \(U \to \mathcal{X} \times_\mathcal{Y} \mathcal{Z}\)；参见定理 06N3。第 (2) 项是 (1) 的特例，因为代数空间在视为代数叠时由引理 050E 可知是 DM。

Deligne–Mumford 轨迹

每个代数叠都有一个最大的开子叠，并且该子叠是 Deligne–Mumford 叠；这基本显然，但我们仍在下面写出证明。当然，该子叠可能为空，例如当 \(X = [\Spec(\mathbf{Z})/\mathbf{G}_{m, \mathbf{Z}}]\) 时如此。下面将刻画 DM 轨迹中的点。

引理

设 \(\mathcal{X}\) 是代数叠。存在开子叠 \[\mathcal{X}'' \subset \mathcal{X}' \subset \mathcal{X}\] 使 \(\mathcal{X}''\) 为 DM，\(\mathcal{X}'\) 为拟 DM，并且它们分别是具有这些性质的最大开子叠。

证明

这里真正要说的只是：若 \(\mathcal{U} \subset \mathcal{X}\) 和 \(\mathcal{V} \subset \mathcal{X}\) 是 DM 开子叠，则满足 \(|\mathcal{W}| = |\mathcal{U}| \cup |\mathcal{V}|\) 的开子叠 \(\mathcal{W} \subset \mathcal{X}\) 也为 DM。（拟 DM 的情形类似。）尽管这有些取巧，我们用定理 06N3 来证明。由该定理，可选取概形 \(U\)、\(V\) 以及满 étale 态射 \(U \to \mathcal{U}\)、\(V \to \mathcal{V}\)。于是当然 \(U \amalg V \to \mathcal{W}\) 满且为 étale。拟 DM 的情形使用定理 06MF 以完全相同的方法证明。

引理

设 \(\mathcal{X}\) 是代数叠。设 \(x \in |\mathcal{X}|\) 对应于 \(x : \Spec(k) \to \mathcal{X}\)。令 \(G_x/k\) 为 \(x\) 的自同构群代数空间。则

\(x\) 属于 \(\mathcal{X}\) 的 DM 轨迹，当且仅当 \(G_x \to \Spec(k)\) 非分歧；

\(x\) 属于 \(\mathcal{X}\) 的拟 DM 轨迹，当且仅当 \(G_x \to \Spec(k)\) 局部拟有限。

证明

(2) 的证明。选取概形 \(U\) 以及满光滑态射 \(U \to \mathcal{X}\)。考虑纤维积 \[\xymatrix{ G \ar[r] \ar[d] & \mathcal{I}_\mathcal{X} \ar[d] \\ U \ar[r] & \mathcal{X} }\] 回忆，\(G\) 是 \(U \to \mathcal{X}\) 的自同构群代数空间。由《空间中的群胚》引理 0DSJ 可知，存在最大开子概形 \(U' \subset U\)，使 \(G_{U'} \to U'\) 局部拟有限。此外，\(U'\) 的构造与任意基变换交换。特别地，\(U'\) 在 \(R = U \times_\mathcal{X} U\) 中的两个逆像是 \(R\) 的同一个开子空间（毕竟，两个映射 \(R \to \mathcal{X}\) 同构，因而有同构的自同构群空间）。因此，由《代数叠的性质》引理 0507 可知，\(U'\) 是某个开子叠 \(\mathcal{X}' \subset \mathcal{X}\) 的逆像，并且有笛卡儿图 \[\xymatrix{ G_{U'} \ar[r] \ar[d] & \mathcal{I}_{\mathcal{X}'} \ar[d] \\ U' \ar[r] & \mathcal{X}' }\] 因此，态射 \(\mathcal{I}_{\mathcal{X}'} \to \mathcal{X}'\) 局部拟有限，由引理 0CL0 第 (5) 项可知 \(\mathcal{X}'\) 为拟 DM。另一方面，若 \(\mathcal{W} \subset \mathcal{X}\) 是拟 DM 开子叠，则由 \(U'\) 的构造，\(\mathcal{W}\) 的逆像 \(W \subset U\) 必须包含于 \(U'\)，因为 \(\mathcal{I}_\mathcal{W} = \mathcal{W} \times_\mathcal{X} \mathcal{I}_\mathcal{X}\) 在 \(\mathcal{W}\) 上局部拟有限。因此，\(\mathcal{X}'\) 是拟 DM 轨迹。最后，选取域扩张 \(K/k\) 以及 \(2\)-交换图 \[\xymatrix{ \Spec(K) \ar[r] \ar[d] & \Spec(k) \ar[d]^x \\ U \ar[r] & \mathcal{X} }\] 于是得到 \(K\) 上群代数空间的同构 \(G_x \times_{\Spec(k)} \Spec(K) \cong G \times_U \Spec(K)\) 。因此，\(G_x\) 在 \(k\) 上局部拟有限，当且仅当 \(\Spec(K) \to U\) 的像落在 \(U'\) 中（为此使用 \(U'\) 的构造与基变换交换，以及对 \(\Spec(K) \to \Spec(k)\) 和 \(G_x\) 应用《空间中的群胚》引理 0DSJ ）。这就完成了 (2) 的证明。(1) 的证明完全相同。

局部拟有限态射

代数空间态射的“局部拟有限”性质不是在源与靶上光滑局部的，故不能利用第 06FL 节的材料来定义代数叠的局部拟有限态射。对于可由代数空间表示的代数叠态射，我们已经知道局部拟有限的含义；参见《代数叠的性质》一节 04XB. 为了找到适用于一般态射的条件，我们作如下观察。

引理

设 \(f : \mathcal{X} \to \mathcal{Y}\) 是代数叠的态射。假设 \(f\) 可由代数空间表示。下列条件等价：

\(f\) 局部拟有限（其含义见《代数叠的性质》一节 04XB）；

\(f\) 局部有限型，且对每个态射 \(\Spec(k) \to \mathcal{Y}\)，其中 \(k\) 为域，空间 \(|\Spec(k) \times_\mathcal{Y} \mathcal{X}|\) 离散。

证明

假设 (1)。在此情形，代数空间的态射 \(\mathcal{X}_k \to \Spec(k)\) 作为 \(f\) 的基变换局部拟有限。因此由《空间的态射》引理 06RW， \(|\mathcal{X}_k|\) 离散。反之，假设 (2)。选取满光滑态射 \(V \to \mathcal{Y}\)，其中 \(V\) 是概形。只需证明代数空间态射 \(V \times_\mathcal{Y} \mathcal{X} \to V\) 局部拟有限；参见《代数叠的性质》引理 04XD. 按假设，态射 \(V \times_\mathcal{Y} \mathcal{X} \to V\) 局部有限型。对任意态射 \(\Spec(k) \to V\)，其中 \(k\) 为域，有 \[\Spec(k) \times_V (V \times_\mathcal{Y} \mathcal{X}) = \Spec(k) \times_\mathcal{Y} \mathcal{X}\] 按假设，其点空间离散。因此，由《空间的态射》引理 06RW 可知 \(V \times_\mathcal{Y} \mathcal{X} \to V\) 局部拟有限。

可由代数空间表示的代数叠态射为拟 DM；参见引理 050E。结合上述引理可知，在可由代数空间表示的态射这一情形，下述定义与已有概念并不冲突。

定义

设 \(f : \mathcal{X} \to \mathcal{Y}\) 是代数叠的态射。若 \(f\) 为拟 DM、局部有限型，并且对每个态射 \(\Spec(k) \to \mathcal{Y}\)，其中 \(k\) 为域，空间 \(|\mathcal{X}_k|\) 离散，则称 \(f\) 局部拟有限。

要求 \(f\) 为拟 DM 是自然的。例如，设 \(k\) 为域，并考虑态射 \(\pi : [\Spec(k)/\mathbf{G}_m] \to \Spec(k)\) 。它具有单点纤维，并且局部有限型。稍后将看到，该态射光滑且相对维数为 \(-1\)，而我们希望局部拟有限态射的相对维数为 \(0\)。还要注意，截面 \(\Spec(k) \to [\Spec(k)/\mathbf{G}_m]\) 不具有离散纤维，故不局部拟有限；而我们希望局部拟有限态射具有如下恒久性质：若 \(f : \mathcal{X} \to \mathcal{X}'\) 是代数叠的态射，并且在代数叠 \(\mathcal{Y}\) 上局部拟有限，则 \(f\) 局部拟有限（事实上有稍强的结论，参见引理 06UG）。

上述定义的另一个理由是下面的引理 06UF；它用 \(\mathcal{X}\) 和 \(\mathcal{Y}\) 的适当“表现”或“覆盖”的存在性刻画局部拟有限性。

引理

局部拟有限态射的基变换局部拟有限。

证明

对拟 DM 态射，这已见于引理 050F；对局部有限型态射，这已见于引理 06FU。关于纤维的条件显然由基变换继承。

引理

设 \(\mathcal{X} \to \Spec(k)\) 是局部拟有限态射，其中 \(\mathcal{X}\) 为代数叠，\(k\) 为域。设 \(f : V \to \mathcal{X}\) 是局部拟有限态射，其中 \(V\) 为概形。则 \(V \to \Spec(k)\) 局部拟有限。

证明

由引理 06FT 可知 \(V \to \Spec(k)\) 局部有限型。反设 \(V \to \Spec(k)\) 不局部拟有限，以求矛盾。则 \(V\) 的点之间存在非平凡特化 \(v \leadsto v'\)；参见《态射》引理 01TH。特别地， \(\text{trdeg}_k(\kappa(v)) > \text{trdeg}_k(\kappa(v'))\)；参见《态射》引理 06RU。由于 \(|\mathcal{X}|\) 离散，有 \(|f|(v) = |f|(v')\)。考虑 \(R = V \times_\mathcal{X} V\)。则 \(R\) 是代数空间，而投影 \(s, t : R \to V\) 作为 \(V \to \mathcal{X}\) 的基变换局部拟有限（后者可由代数空间表示，故这由《代数叠的性质》一节中的讨论得出 04XB）。由《代数叠的性质》引理 04XH 可知，存在 \(r \in |R|\)，使 \(s(r) = v\) 且 \(t(r) = v'\)。由《空间的态射》引理 06RX 可知，\(v/k\)、\(r/k\) 与 \(v'/k\) 的超越次数相等。此矛盾证明了引理。

引理

局部拟有限态射的复合局部拟有限。

证明

对拟 DM 态射，这已见于引理 050K；对局部有限型态射，这已见于引理 06FT。设 \(\mathcal{X} \to \mathcal{Y}\) 和 \(\mathcal{Y} \to \mathcal{Z}\) 局部拟有限。设 \(k\) 为域，并设 \(\Spec(k) \to \mathcal{Z}\) 为态射。只需证明 \(|\mathcal{X}_k|\) 离散。由引理 06UB，态射 \(\mathcal{X}_k \to \mathcal{Y}_k\) 和 \(\mathcal{Y}_k \to \Spec(k)\) 局部拟有限。特别地，\(\mathcal{Y}_k\) 是拟 DM 代数叠；参见引理 050N。由定理 06MF，可找到概形 \(V\) 以及满、平坦、局部有限表现且局部拟有限的态射 \(V \to \mathcal{Y}_k\)。由引理 06UC 可知，\(V\) 在 \(k\) 上局部拟有限；特别地，\(|V|\) 离散。态射 \(V \times_{\mathcal{Y}_k} \mathcal{X}_k \to \mathcal{X}_k\) 满、平坦且局部有限表现，故 \(|V \times_{\mathcal{Y}_k} \mathcal{X}_k| \to |\mathcal{X}_k|\) 满且开。因此只需证明 \(|V \times_{\mathcal{Y}_k} \mathcal{X}_k|\) 离散。注意，\(V\) 是若干 Artin 局部 \(k\)-代数 \(A_i\) 之谱的不交并，其剩余域为 \(k_i\)；参见《簇》引理 06LH。因此，只需证明每个 \[|\Spec(A_i) \times_{\mathcal{Y}_k} \mathcal{X}_k| = |\Spec(k_i) \times_{\mathcal{Y}_k} \mathcal{X}_k| = |\Spec(k_i) \times_\mathcal{Y} \mathcal{X}|\] 离散；这由 \(\mathcal{X} \to \mathcal{Y}\) 局部拟有限这一假设得出。

在用覆盖刻画局部拟有限态射之前，我们先对拟 DM 态射这样做。

引理

设 \(f : \mathcal{X} \to \mathcal{Y}\) 是代数叠的态射。下列条件等价：

\(f\) 为拟 DM；

对任意态射 \(V \to \mathcal{Y}\)，其中 \(V\) 为代数空间，存在满、平坦、局部有限表现且局部拟有限的态射 \(U \to \mathcal{X} \times_\mathcal{Y} V\)，其中 \(U\) 为代数空间；

存在代数空间 \(U\)、\(V\)，满、平坦且局部有限表现的态射 \(V \to \mathcal{Y}\)，以及满、平坦、局部有限表现且局部拟有限的态射 \(U \to \mathcal{X} \times_\mathcal{Y} V\)。

证明

(2) \(\Rightarrow\) (3) 是显然的。

假设 (1)，并设 \(V \to \mathcal{Y}\) 如 (2) 所述。则 \(\mathcal{X} \times_\mathcal{Y} V \to V\) 为拟 DM；参见引理 050F。由引理 050E，代数空间 \(V\) 为 DM，因而为拟 DM。于是，由引理 050L， \(\mathcal{X} \times_\mathcal{Y} V\) 为拟 DM。因此可以应用定理 06MF 得到 (2) 所述的态射 \(U \to \mathcal{X} \times_\mathcal{Y} V\)。

假设 (3)。设 \(V \to \mathcal{Y}\) 和 \(U \to \mathcal{X} \times_\mathcal{Y} V\) 如 (3) 所述。为证明 \(f\) 为拟 DM，只需证明 \(\mathcal{X} \times_\mathcal{Y} V \to V\) 为拟 DM；参见引理 06TZ。由引理 06MB 可知 \(\mathcal{X} \times_\mathcal{Y} V\) 为拟 DM。于是由引理 050N， \(\mathcal{X} \times_\mathcal{Y} V \to V\) 为拟 DM，故 (1) 成立。这就完成了引理的证明。

引理

设 \(f : \mathcal{X} \to \mathcal{Y}\) 是代数叠的态射。下列条件等价：

\(f\) 局部拟有限；

\(f\) 为拟 DM，并且对任意代数空间 \(V\) 给出的态射 \(V \to \mathcal{Y}\)，以及任意代数空间 \(U\) 给出的局部拟有限态射 \(U \to \mathcal{X} \times_\mathcal{Y} V\)，态射 \(U \to V\) 局部拟有限；

对代数空间 \(V\) 给出的任意态射 \(V \to \mathcal{Y}\)，存在满、平坦、局部有限表现且局部拟有限的态射 \(U \to \mathcal{X} \times_\mathcal{Y} V\)，其中 \(U\) 是代数空间，并且 \(U \to V\) 局部拟有限；

存在代数空间 \(U\)、\(V\)，满、平坦且局部有限表现的态射 \(V \to \mathcal{Y}\)，以及满、平坦、局部有限表现且局部拟有限的态射 \(U \to \mathcal{X} \times_\mathcal{Y} V\)，并且 \(U \to V\) 局部拟有限。

证明

假设 (1)。按假设，\(f\) 为拟 DM。设 \(V \to \mathcal{Y}\) 和 \(U \to \mathcal{X} \times_\mathcal{Y} V\) 如 (2) 所述。由引理 06UD，复合 \(U \to \mathcal{X} \times_\mathcal{Y} V \to V\) 局部拟有限。因此 (1) 蕴含 (2)。

假设 (2)。设 \(V \to \mathcal{Y}\) 如 (3) 所述。由引理 06UE，可找到代数空间 \(U\) 以及满、平坦、局部有限表现且局部拟有限的态射 \(U \to \mathcal{X} \times_\mathcal{Y} V\)。由 (2)，复合 \(U \to V\) 局部拟有限。因此 (2) 蕴含 (3)。

(3) 蕴含 (4) 是显然的。

假设 (4)。我们将证明 (1) 成立，从而完成证明。由引理 06UE 可知 \(f\) 为拟 DM。为证明 \(f\) 局部有限型，只需证明 \(g : \mathcal{X} \times_\mathcal{Y} V \to V\) 局部有限型；参见引理 06U7。进而只需检验 \(g\) 与 \(h : U \to \mathcal{X} \times_\mathcal{Y} V\) 预复合后局部有限型；参见引理 06U8。由于按假设 \(g \circ h : U \to V\) 局部拟有限，这一点成立，故 \(f\) 局部有限型。最后，设 \(k\) 为域，并设 \(\Spec(k) \to \mathcal{Y}\) 为态射。则 \(V \times_\mathcal{Y} \Spec(k)\) 是非空代数空间，且在 \(k\) 上局部有限表现。因此可找到有限扩张 \(k'/k\) 以及态射 \(\Spec(k') \to V\)，使 \[\xymatrix{ \Spec(k') \ar[r] \ar[d] & V \ar[d] \\ \Spec(k) \ar[r] & \mathcal{Y} }\] 交换（细节略）。于是 \(\mathcal{X}_{k'} \to \mathcal{X}_k\) 可由概形表示、满且有限局部自由。特别地， \(|\mathcal{X}_{k'}| \to |\mathcal{X}_k|\) 满且开。因此只需证明 \(|\mathcal{X}_{k'}|\) 离散。由于 \[U \times_V \Spec(k') = U \times_{\mathcal{X} \times_\mathcal{Y} V} \mathcal{X}_{k'}\] 可知 \(U \times_V \Spec(k') \to \mathcal{X}_{k'}\) 满、平坦且局部有限表现（作为 \(U \to \mathcal{X} \times_\mathcal{Y} V\) 的基变换）。因此 \(|U \times_V \Spec(k')| \to |\mathcal{X}_{k'}|\) 满且开。故只需证明 \(|U \times_V \Spec(k')|\) 离散。这由 \(U \to V\) 局部拟有限这一事实得出（或者使用上面的定义，或者由代数空间态射的原定义并借助《空间的态射》引理 06RW 得出）。

引理

设 \(\mathcal{X} \to \mathcal{Y} \to \mathcal{Z}\) 是代数叠的态射。假设 \(\mathcal{X} \to \mathcal{Z}\) 局部拟有限，且 \(\mathcal{Y} \to \mathcal{Z}\) 为拟 DM。则 \(\mathcal{X} \to \mathcal{Y}\) 局部拟有限。

证明

把 \(\mathcal{X} \to \mathcal{Y}\) 写成复合 \[\mathcal{X} \longrightarrow \mathcal{X} \times_\mathcal{Z} \mathcal{Y} \longrightarrow \mathcal{Y}\] 第二个箭头作为 \(\mathcal{X} \to \mathcal{Z}\) 的基变换局部拟有限；参见引理 06UB。由于 \(\mathcal{Y} \to \mathcal{Z}\) 为拟 DM，由引理 050I，第一个箭头局部拟有限。因此由引理 06UD， \(\mathcal{X} \to \mathcal{Y}\) 局部拟有限。

拟有限态射

我们已在第 06PT 节定义了代数叠的“局部拟有限” 态射，并在第 050S 节定义了代数叠的“拟紧”态射。根据定义，代数空间的态射拟有限，当且仅当它既局部拟有限又拟紧（《空间的态射》定义 03XJ), ）。因此，可如下定义代数叠态射拟有限的含义；当该态射可由代数空间表示时，它与《代数叠的性质》一节 04XB 中已经定义的概念一致。

定义

设 \(f : \mathcal{X} \to \mathcal{Y}\) 是代数叠的态射。若 \(f\) 局部拟有限（定义 06PU）且拟紧（定义 050U），则称 \(f\) 拟有限。

引理

拟有限态射的复合拟有限。

证明

合并引理 06UD 和 050W。

引理

拟有限态射的基变换拟有限。

证明

合并引理 06UB 和 050V。

引理

设 \(f : \mathcal{X} \to \mathcal{Y}\) 和 \(g : \mathcal{Y} \to \mathcal{Z}\) 是代数叠的态射。若 \(g \circ f\) 拟有限，且 \(g\) 拟分离并为拟 DM，则 \(f\) 拟有限。

证明

合并引理 06UG 和 050Y。

平坦态射

代数空间态射的“平坦”性质在源与靶上光滑局部；参见《空间上的下降》评注 06FC。它还在基变换下稳定，并且在靶上是 fpqc 局部的；参见《空间的态射》引理 03MO 以及《空间上的下降》引理 041W. 因此，由上述引理 06FM，可如下定义代数空间态射何谓平坦；当该态射可由代数空间表示时，这与《代数叠的性质》一节 04XB 中已有的定义一致。

定义

设 \(f : \mathcal{X} \to \mathcal{Y}\) 是代数叠的态射。若引理 06FM 的等价条件对 \(\mathcal{P} = \text{flat}\) 成立，则称 \(f\) 平坦。

引理

平坦态射的复合平坦。

证明

合并评注 06FP 与《空间的态射》引理 03MN。

引理

平坦态射的基变换平坦。

证明

合并评注 06FQ 与《空间的态射》引理 03MO。

引理

设 \(f : \mathcal{X} \to \mathcal{Y}\) 是代数叠的态射。设 \(\mathcal{Z} \to \mathcal{Y}\) 是代数叠的满平坦态射。若基变换 \(\mathcal{Z} \times_\mathcal{Y} \mathcal{X} \to \mathcal{Z}\) 平坦，则 \(f\) 平坦。

证明

选取代数空间 \(W\) 以及满光滑态射 \(W \to \mathcal{Z}\)。则 \(W \to \mathcal{Z}\) 满且平坦（《空间的态射》引理 04TA），故 \(W \to \mathcal{Y}\) 满且平坦（由《代数叠的性质》引理 04ZT 和引理 06PX）。由于 \(\mathcal{Z} \times_\mathcal{Y} \mathcal{X} \to \mathcal{Z}\) 沿 \(W \to \mathcal{Z}\) 的基变换是平坦态射（引理 06PY），可用 \(W\) 替换 \(\mathcal{Z}\)。

选取代数空间 \(V\) 以及满光滑态射 \(V \to \mathcal{Y}\)。选取代数空间 \(U\) 以及满光滑态射 \(U \to V \times_\mathcal{Y} \mathcal{X}\)。需要证明 \(U \to V\) 平坦。现在沿 \(W \to \mathcal{Y}\) 对所有对象作基变换：令 \(U' = W \times_\mathcal{Y} U\)， \(V' = W \times_\mathcal{Y} V\), \(\mathcal{X}' = W \times_\mathcal{Y} \mathcal{X}\), 以及 \(\mathcal{Y}' = W \times_\mathcal{Y} \mathcal{Y} = W\)。由基变换， \(U' \to V' \times_{\mathcal{Y}'} \mathcal{X}'\) 仍然光滑。因此，由我们对代数叠的平坦态射的定义，以及 \(\mathcal{X}' \to \mathcal{Y}'\) 平坦这一假设，可知 \(U' \to V'\) 平坦。又因 \(V' \to V\) 作为 \(W \to \mathcal{Y}\) 的基变换满，由《空间的态射》引理 05VW (2) 可知 \(U \to V\) 平坦，得证。

引理

设 \(\mathcal{X} \to \mathcal{Y} \to \mathcal{Z}\) 是代数叠的态射。若 \(\mathcal{X} \to \mathcal{Z}\) 平坦，且 \(\mathcal{X} \to \mathcal{Y}\) 满且平坦，则 \(\mathcal{Y} \to \mathcal{Z}\) 平坦。

证明

选取代数空间 \(W\) 以及满光滑态射 \(W \to \mathcal{Z}\)。选取代数空间 \(V\) 以及满光滑态射 \(V \to W \times_\mathcal{Z} \mathcal{Y}\)。选取代数空间 \(U\) 以及满光滑态射 \(U \to V \times_\mathcal{Y} \mathcal{X}\)。我们知道 \(U \to V\) 平坦，且 \(U \to W\) 平坦。此外，由于 \(\mathcal{X} \to \mathcal{Y}\) 满，\(U \to V\) 也满（作为满态射的复合）。因此，引理归结为代数空间态射的情形。该情形即《空间的态射》引理 05VY.

引理

设 \(f : \mathcal{X} \to \mathcal{Y}\) 是代数叠的平坦态射。设 \(\Spec(A) \to \mathcal{Y}\) 为态射，其中 \(A\) 是赋值环。若 \(\Spec(A)\) 的闭点映到 \(|\mathcal{Y}|\) 中属于 \(|\mathcal{X|} \to |\mathcal{Y}|\) 之像的点，则存在交换图 \[\xymatrix{ \Spec(A') \ar[r] \ar[d] & \mathcal{X} \ar[d] \\ \Spec(A) \ar[r] & \mathcal{Y} }\] 其中 \(A \to A'\) 是赋值环扩张（《代数进阶》定义 0ASG).

证明

基变换 \(\mathcal{X}_A \to \Spec(A)\) 平坦（引理 06PY），且 \(\Spec(A)\) 的闭点属于 \(|\mathcal{X}_A| \to |\Spec(A)|\) 的像（《代数叠的性质》引理 04XH）。因此可假设 \(\mathcal{Y} = \Spec(A)\)。设 \(U \to \mathcal{X}\) 为满光滑态射，其中 \(U\) 为概形。于是对态射 \(U \to \Spec(A)\) 应用《空间的态射》引理 089F 即得结论。

在一点处平坦

我们仍需发展一般机制，才能说明代数叠的态射在一点处具有某个给定性质的含义。目前，下述引理已经足够。

引理

设 \(f : \mathcal{X} \to \mathcal{Y}\) 是代数叠的态射。设 \(x \in |\mathcal{X}|\)。考虑交换图 \[\vcenter{ \xymatrix{ U \ar[d]_a \ar[r]_h & V \ar[d]^b \\ \mathcal{X} \ar[r]^f & \mathcal{Y} } } \quad\text{带标记点} \vcenter{ \xymatrix{ u \in |U| \ar[d] \\ x \in |\mathcal{X}| } }\] 其中 \(U\)、\(V\) 是代数空间，\(b\) 平坦，并且 \((a, h) : U \to \mathcal{X} \times_\mathcal{Y} V\) 平坦。下列条件等价：

对某一个上述图，\(h\) 在 \(u\) 处平坦；

对每一个上述图，\(h\) 在 \(u\) 处平坦。

证明

假设给定引理中所述的第二个图 \(U', V', u', a', b', h'\)。于是可以考虑 \[\xymatrix{ U \ar[d] & U \times_\mathcal{X} U' \ar[l] \ar[d] \ar[r] & U' \ar[d] \\ V & V \times_\mathcal{Y} V' \ar[l] \ar[r] & V' }\] 由《代数叠的性质》引理 04XH，存在点 \(u'' \in |U \times_\mathcal{X} U'|\) 映到 \(u\) 和 \(u'\)。若 \(h\) 在 \(u\) 处平坦，则基变换 \(U \times_V (V \times_\mathcal{Y} V') \to V \times_\mathcal{Y} V'\) 在 \(u\) 上方的任一点处平坦；参见《空间的态射》引理 05VW。另一方面，态射 \[U \times_\mathcal{X} U' \to U \times_\mathcal{X} (\mathcal{X} \times_\mathcal{Y} V') = U \times_\mathcal{Y} V' = U \times_V (V \times_\mathcal{Y} V')\] 作为 \((a', h')\) 的基变换平坦；参见引理 06PY。作复合并应用《空间的态射》引理 05VX，可知 \(U \times_\mathcal{X} U' \to V \times_\mathcal{Y} V'\) 在 \(u''\) 处平坦。再与平坦映射 \(V \times_\mathcal{Y} V' \to V'\) 复合，可知 \(U \times_\mathcal{X} U' \to V'\) 在 \(u''\) 处平坦。最后，由于 \(U \times_\mathcal{X} U' \to U'\) 在 \(u''\) 处平坦，且 \(u''\) 映到 \(u'\)，由《空间的态射》引理 05VY 可知 \(U' \to V'\) 在 \(u'\) 处平坦。

定义

设 \(f : \mathcal{X} \to \mathcal{Y}\) 是代数叠的态射。设 \(x \in |\mathcal{X}|\)。若引理 0CIC 的等价条件成立，则称 \(f\) 在 \(x\) 处平坦。

有限表现态射

代数空间态射的“局部有限表现”性质在源与靶上光滑局部；参见《空间上的下降》评注 06FC。它还在基变换下稳定，并且在靶上是 fpqc 局部的；参见《空间的态射》引理 03XR 以及《空间上的下降》引理 041T. 因此，由上述引理 06FM，可如下定义代数叠态射何谓局部有限表现；当该态射可由代数空间表示时，这与《代数叠的性质》一节 04XB 中已有的定义一致。

定义

设 \(f : \mathcal{X} \to \mathcal{Y}\) 是代数叠的态射。

若引理 06FM 的等价条件对 \(\mathcal{P} = \text{locally of finite presentation}\) 成立，则称 \(f\) 局部有限表现。

若该态射局部有限表现、拟紧且拟分离，则称 \(f\) 有限表现。

注意，有限表现态射不只是一个局部有限表现的拟紧态射。

引理

有限表现态射的复合有限表现。对局部有限表现态射也有同样结论。

证明

合并评注 06FP 与《空间的态射》引理 03XQ。

引理

有限表现态射的基变换有限表现。对局部有限表现态射也有同样结论。

证明

合并评注 06FQ 与《空间的态射》引理 03XR。

引理

局部有限表现态射局部有限型。有限表现态射有限型。

证明

合并评注 06PS 与《空间的态射》引理 0464。

引理

设 \(f : \mathcal{X} \to \mathcal{Y}\) 是代数叠的态射。

若 \(\mathcal{Y}\) 局部诺特且 \(f\) 局部有限型，则 \(f\) 局部有限表现。

若 \(\mathcal{Y}\) 局部诺特，且 \(f\) 有限型并拟分离，则 \(f\) 有限表现。

证明

假设 \(f : \mathcal{X} \to \mathcal{Y}\) 局部有限型，且 \(\mathcal{Y}\) 局部诺特。这意味着存在引理 06FM 中所述的图，其中 \(h\) 局部有限型，竖直箭头 \(a\) 满。由《空间的态射》引理 06G4 可知 \(h\) 局部有限表现。因此按定义， \(\mathcal{X} \to \mathcal{Y}\) 局部有限表现。这证明了 (1)。若 \(f\) 有限型且拟分离，则它也拟紧且拟分离，故 (2) 立即得出。

引理

设 \(f : \mathcal{X} \to \mathcal{Y}\) 和 \(g : \mathcal{Y} \to \mathcal{Z}\) 是代数叠的态射。若 \(g \circ f\) 局部有限表现，且 \(g\) 局部有限型，则 \(f\) 局部有限表现。

证明

选取代数空间 \(W\) 以及满光滑态射 \(W \to \mathcal{Z}\)。选取代数空间 \(V\) 以及满光滑态射 \(V \to \mathcal{Y} \times_\mathcal{Z} W\)。选取代数空间 \(U\) 以及满光滑态射 \(U \to \mathcal{X} \times_\mathcal{Y} V\)。对态射 \(U \to V \to W\) 应用《空间的态射》引理 05WT 即得引理。

引理

设 \(f : \mathcal{X} \to \mathcal{Y}\) 是代数叠的态射，其对角态射为 \(\Delta : \mathcal{X} \to \mathcal{X} \times_\mathcal{Y} \mathcal{X}\)。若 \(f\) 局部有限型，则 \(\Delta\) 局部有限表现。若 \(f\) 拟分离且局部有限型，则 \(\Delta\) 有限表现。

证明

注意，\(\Delta\) 是 \(\mathcal{X}\) 上的态射（经第二投影）。若 \(f\) 局部有限型，则 \(\mathcal{X}\) 在 \(\mathcal{X}\) 上有限表现，且由引理 06FU， \(\text{pr}_2 : \mathcal{X} \times_\mathcal{Y} \mathcal{X} \to \mathcal{X}\) 局部有限型。因此，第一个陈述由引理 06Q6 得出。第二个陈述由第一个陈述和定义得出（因为按定义，\(f\) 拟分离意味着 \(\Delta_f\) 拟紧且拟分离）。

引理

开浸入局部有限表现。

证明

由《代数叠的性质》定义 04YL 以及《空间的态射》引理 06CN 即得。

引理

设 \(P\) 是代数空间态射的一个性质，它在靶上为 fppf 局部的，并在任意基变换下保持。设 \(f : \mathcal{X} \to \mathcal{Y}\) 是可由代数空间表示的代数叠态射。设 \(\mathcal{Z} \to \mathcal{Y}\) 是满、平坦且局部有限表现的代数叠态射。令 \(\mathcal{W} = \mathcal{Z} \times_\mathcal{Y} \mathcal{X}\)。则 \[(f\text{ 具有 }P) \Leftrightarrow (\text{the projection }\mathcal{W} \to \mathcal{Z}\text{ 具有 }P).\] 该陈述的含义见《代数叠的性质》一节 04XB.

证明

选取代数空间 \(W\) 以及满、平坦且局部有限表现的态射 \(W \to \mathcal{Z}\)。由《代数叠的性质》引理 04ZT 以及引理 06PX 和 06Q3 可知，复合 \(W \to \mathcal{Y}\) 也满、平坦且局部有限表现。记 \(V = W \times_\mathcal{Z} \mathcal{W} = V \times_\mathcal{Y} \mathcal{X}\). 由《代数叠的性质》引理 04XD 可知，\(f\) 具有 \(\mathcal{P}\) 当且仅当 \(V \to W\) 具有该性质，而 \(\mathcal{W} \to \mathcal{Z}\) 具有 \(\mathcal{P}\) 当且仅当 \(V \to W\) 具有该性质。引理得证。

引理

设 \(\mathcal{P}\) 是代数空间态射的一个性质，它在源与靶上光滑局部，并且在靶上为 fppf 局部。设 \(f : \mathcal{X} \to \mathcal{Y}\) 是代数叠的态射。设 \(\mathcal{Z} \to \mathcal{Y}\) 是代数叠的满、平坦且局部有限表现的态射。若基变换 \(\mathcal{Z} \times_\mathcal{Y} \mathcal{X} \to \mathcal{Z}\) 具有 \(\mathcal{P}\)，则 \(f\) 具有 \(\mathcal{P}\)。

证明

假设 \(\mathcal{Z} \times_\mathcal{Y} \mathcal{X} \to \mathcal{Z}\) 具有 \(\mathcal{P}\)。选取代数空间 \(W\) 以及满光滑态射 \(W \to \mathcal{Z}\)。注意 \(W \times_\mathcal{Z} \mathcal{Z} \times_\mathcal{Y} \mathcal{X} = W \times_\mathcal{Y} \mathcal{X}\)。根据 \(\mathcal{Z} \times_\mathcal{Y} \mathcal{X} \to \mathcal{Z}\) 具有 \(\mathcal{P}\) 的定义本身（参见定义 06FN 和引理 06FM），可知 \(W \times_\mathcal{Y} \mathcal{X} \to W\) 具有 \(\mathcal{P}\)。另一方面， \(W \to \mathcal{Z}\) 满、平坦且局部有限表现（《空间的态射》引理 04TA 和 04AJ）），故 \(W \to \mathcal{Y}\) 满、平坦且局部有限表现（由《代数叠的性质》引理 04ZT 以及引理 06PX 和 06Q3）。因此可用 \(W\) 替换 \(\mathcal{Z}\)。

选取代数空间 \(V\) 以及满光滑态射 \(V \to \mathcal{Y}\)。选取代数空间 \(U\) 以及满光滑态射 \(U \to V \times_\mathcal{Y} \mathcal{X}\)。需要证明 \(U \to V\) 具有 \(\mathcal{P}\)。现在沿 \(W \to \mathcal{Y}\) 对所有对象作基变换：令 \(U' = W \times_\mathcal{Y} U\), \(V' = W \times_\mathcal{Y} V\), \(\mathcal{X}' = W \times_\mathcal{Y} \mathcal{X}\), 以及 \(\mathcal{Y}' = W \times_\mathcal{Y} \mathcal{Y} = W\)。由基变换， \(U' \to V' \times_{\mathcal{Y}'} \mathcal{X}'\) 仍然光滑。因此，在定义 \(\mathcal{X}' \to \mathcal{Y}' = W\) 具有 \(\mathcal{P}\) 时应用引理 06FM，可知 \(U' \to V'\) 具有 \(\mathcal{P}\)。又因 \(V' \to V\) 作为 \(W \to \mathcal{Y}\) 的基变换满、平坦且局部有限表现，而 \(\mathcal{P}\) 在靶上对 fppf 拓扑是局部的，故 \(U \to V\) 具有 \(\mathcal{P}\)。

引理

设 \(f : \mathcal{X} \to \mathcal{Y}\) 是代数叠的态射。设 \(\mathcal{Z} \to \mathcal{Y}\) 是代数叠的满、平坦且局部有限表现的态射。若基变换 \(\mathcal{Z} \times_\mathcal{Y} \mathcal{X} \to \mathcal{Z}\) 局部有限表现，则 \(f\) 局部有限表现。

证明

“局部有限表现”性质满足引理 0DN6 的条件。在源与靶上光滑局部这一点已见于本节引言，而在靶上为 fppf 局部这一点即《空间上的下降》引理 041T.

引理

设 \(\mathcal{X} \to \mathcal{Y} \to \mathcal{Z}\) 是代数叠的态射。若 \(\mathcal{X} \to \mathcal{Z}\) 局部有限表现，且 \(\mathcal{X} \to \mathcal{Y}\) 满、平坦且局部有限表现，则 \(\mathcal{Y} \to \mathcal{Z}\) 局部有限表现。

证明

选取代数空间 \(W\) 以及满光滑态射 \(W \to \mathcal{Z}\)。选取代数空间 \(V\) 以及满光滑态射 \(V \to W \times_\mathcal{Z} \mathcal{Y}\)。选取代数空间 \(U\) 以及满光滑态射 \(U \to V \times_\mathcal{Y} \mathcal{X}\)。我们知道 \(U \to V\) 平坦且局部有限表现，而 \(U \to W\) 局部有限表现。此外，由于 \(\mathcal{X} \to \mathcal{Y}\) 满，\(U \to V\) 也满（作为满态射的复合）。因此，引理归结为代数空间态射的情形。该情形即《空间上的下降》引理 06EV.

引理

设 \(f : \mathcal{X} \to \mathcal{Y}\) 是满、平坦且局部有限表现的代数叠态射。则对每个概形 \(U\) 以及 \(\mathcal{Y}\) 在 \(U\) 上的对象 \(y\)，存在 fppf 覆盖 \(\{U_i \to U\}\) 以及 \(\mathcal{X}\) 在 \(U_i\) 上的对象 \(x_i\)，使在 \(\mathcal{Y}_{U_i}\) 中有 \(f(x_i) \cong y|_{U_i}\)。

证明

可把 \(y\) 看作态射 \(U \to \mathcal{Y}\)。由《代数叠的性质》引理 04ZU 以及引理 06Q4 和 06PY 可知 \(\mathcal{X} \times_\mathcal{Y} U \to U\) 满、平坦且局部有限表现。设 \(V\) 为概形，并设 \(V \to \mathcal{X} \times_\mathcal{Y} U\) 光滑且满。则 \(V \to \mathcal{X} \times_\mathcal{Y} U\) 也满、平坦且局部有限表现（参见《空间的态射》引理 04TA 和 04AJ）。因此 \(V \to U\) 也满、平坦且局部有限表现；参见《代数叠的性质》引理 04ZT 以及引理 06Q3 和 06PX. 因此，\(\{V \to U\}\) 是所需的 fppf 覆盖，而 \(x : V \to \mathcal{X}\) 是所需对象。

引理

设 \(f_j : \mathcal{X}_j \to \mathcal{X}\)（\(j \in J\)）是一族代数叠态射，每个都平坦且局部有限表现，并且它们联合为满，即 \(|\mathcal{X}| = \bigcup |f_j|(|\mathcal{X}_j|)\). 则对每个概形 \(U\) 以及 \(\mathcal{X}\) 在 \(U\) 上的对象 \(x\)，存在 fppf 覆盖 \(\{U_i \to U\}_{i \in I}\)、映射 \(a : I \to J\)，以及 \(\mathcal{X}_{a(i)}\) 在 \(U_i\) 上的对象 \(x_i\)，使在 \(\mathcal{X}_{U_i}\) 中有 \(f_{a(i)}(x_i) \cong y|_{U_i}\)。

证明

对态射 \(\coprod_{j \in J} \mathcal{X}_j \to \mathcal{X}\) 应用引理 06QA。（由于我们的设置，这里有一个轻微的集合论问题；我们将其忽略。）最后注意，态射 \(x_i : U_i \to \coprod_{j \in J} \mathcal{X}_j\) 由不交并分解 \(U_i = \coprod U_{i, j}\) 和态射 \(U_{i, j} \to \mathcal{X}_j\) 给出。于是 fppf 覆盖 \(\{U_{i, j} \to U\}\) 以及态射 \(U_{i, j} \to \mathcal{X}_j\) 满足要求。

引理

设 \(f : \mathcal{X} \to \mathcal{Y}\) 平坦且局部有限表现。则 \(|f| : |\mathcal{X}| \to |\mathcal{Y}|\) 是开映射。

证明

选取概形 \(V\) 以及满光滑态射 \(V \to \mathcal{Y}\)。选取概形 \(U\) 以及满光滑态射 \(U \to V \times_\mathcal{Y} \mathcal{X}\)。按假设，概形态射 \(U \to V\) 平坦且局部有限表现。因此，由《态射》引理 01UA，\(U \to V\) 是开映射。根据 \(|\mathcal{Y}|\) 上拓扑的构造，映射 \(|V| \to |\mathcal{Y}|\) 是开的。映射 \(|U| \to |\mathcal{X}|\) 满。由初等拓扑，这些事实蕴含结论。

引理

设 \(f : \mathcal{X} \to \mathcal{Y}\) 是代数叠的态射。设 \(\mathcal{Z} \to \mathcal{Y}\) 是代数叠的满、平坦且局部有限表现的态射。若基变换 \(\mathcal{Z} \times_\mathcal{Y} \mathcal{X} \to \mathcal{Z}\) 拟紧，则 \(f\) 拟紧。

证明

需要证明：对任意态射 \(\mathcal{Y}' \to \mathcal{Y}\)，若 \(\mathcal{Y}'\) 拟紧，则 \(\mathcal{Y}' \times_\mathcal{Y} \mathcal{X}\) 拟紧。记 \(\mathcal{Z}' = \mathcal{Z} \times_\mathcal{Y} \mathcal{Y}'\)。由引理 06R7， \(|\mathcal{Z}'| \to |\mathcal{Y}'|\) 是开映射。因此可找到映满 \(\mathcal{Y}'\) 的拟紧开子叠 \(\mathcal{W} \subset \mathcal{Z}'\)。由于 \(\mathcal{Z} \times_\mathcal{Y} \mathcal{X} \to \mathcal{Z}\) 拟紧，可知 \[\mathcal{W} \times_\mathcal{Z} \mathcal{Z} \times_\mathcal{Y} \mathcal{X} = \mathcal{W} \times_\mathcal{Y} \mathcal{X}\] 拟紧。而映射 \(\mathcal{W} \times_\mathcal{Y} \mathcal{X} \to \mathcal{Y}' \times_\mathcal{Y} \mathcal{X}\) 满，故得证。部分细节略。

引理

设 \(f : \mathcal{X} \to \mathcal{Y}\)、\(g : \mathcal{Y} \to \mathcal{Z}\) 是可复合的代数叠态射，其复合为 \(h = g \circ f : \mathcal{X} \to \mathcal{Z}\)。若 \(f\) 满、平坦、局部有限表现且泛单射，并且 \(h\) 分离，则 \(g\) 分离。

证明

考虑图 \[\xymatrix{ \mathcal{X} \ar[r]_\Delta \ar[rd] & \mathcal{X} \times_\mathcal{Y} \mathcal{X} \ar[r] \ar[d] & \mathcal{X} \times_\mathcal{Z} \mathcal{X} \ar[d] \\ & \mathcal{Y} \ar[r] & \mathcal{Y} \times_\mathcal{Z} \mathcal{Y} }\] 该方块是笛卡儿的。需要证明底部水平箭头为真态射。我们已经知道它可由代数空间表示且局部有限型（引理 04XS）。由于右侧竖直箭头满、平坦且局部有限表现，只需证明右上方水平箭头为真态射（引理 0CPP）。由于 \(h\) 分离，顶部水平箭头的复合为真态射。

由于 \(f\) 泛单射，\(\Delta\) 满（引理 0CPN）。由于 \(\Delta\) 与投影 \(\mathcal{X} \times_\mathcal{Y} \mathcal{X} \to \mathcal{X}\) 的复合为恒等，可知 \(\Delta\) 泛闭。由《空间的态射》引理 05Z2 可知 \(\mathcal{X} \times_\mathcal{Y} \mathcal{X} \to \mathcal{X} \times_\mathcal{Z} \mathcal{X}\) 分离，因为 \(\mathcal{X} \to \mathcal{X} \times_\mathcal{Z} \mathcal{X}\) 分离。这里使用了如下事实：代数空间态射的性质之间的蕴含可转移为可由代数空间表示的代数叠态射的相应性质之间的蕴含；这在《代数叠的性质》一节中讨论 04XB. 最后，使用同一原则，并由《空间的态射》引理 08AJ 可知 \(\mathcal{X} \times_\mathcal{Y} \mathcal{X} \to \mathcal{X} \times_\mathcal{Z} \mathcal{X}\) 为真态射。

胚

一类重要的代数叠是形如 \([B/G]\) 的叠，其中 \(B\) 是代数空间，而 \(G\) 是 \(B\) 上平坦且局部有限表现的群代数空间（在 \(B\) 上平凡作用）；参见《可表示性判据》引理 06PL。事实证明，若一个代数叠在 fppf 拓扑下局部地具有这种形式，则它是一个胚；参见引理 06QH。本节简要讨论这个概念及其相应的相对概念。

定义

设 \(f : \mathcal{X} \to \mathcal{Y}\) 是代数叠的态射。若把源与靶视为 \((\Sch/S)_{fppf}\) 上的群胚叠时， \(\mathcal{X}\) 是 \(\mathcal{Y}\) 上的胚，则称 \(\mathcal{X}\) 是 \(\mathcal{Y}\) 上的胚；参见《叠》定义 06P2。若存在态射 \(\mathcal{X} \to X\)，其中 \(X\) 是代数空间，并且该态射使 \(\mathcal{X}\) 成为 \(X\) 上的胚，则称代数叠 \(\mathcal{X}\) 是一个胚。

\(\mathcal{X}\) 是 \(\mathcal{Y}\) 上的胚这一条件，纯粹用给定代数叠背后的拓扑和范畴论来定义；但稍后将看到，该条件具有几何后果。例如，它蕴含 \(\mathcal{X} \to \mathcal{Y}\) 满、平坦且局部有限表现；参见引理 06QI。绝对概念更难解析，因为起初可能不清楚 \(X\) 是否被良好确定。事实上，它确实被良好确定。

引理

设 \(\mathcal{X}\) 是代数叠。若 \(\mathcal{X}\) 是胚，则预层 \[(\Sch/S)_{fppf}^{opp} \to \textit{Sets}, \quad U \mapsto \Ob(\mathcal{X}_U)/\!\!\cong\] 的层化是代数空间，并且 \(\mathcal{X}\) 是该空间上的胚。

证明

（在这个证明中，第 04XP 节引入的术语滥用确实很有用。）选取态射 \(\pi : \mathcal{X} \to X\)，其中 \(X\) 是代数空间，并且该态射使 \(\mathcal{X}\) 成为 \(X\) 上的胚。只需证明 \(X\) 是引理中所示预层 \(\mathcal{F}\) 的层化。显然有映射 \(c : \mathcal{F} \to X\)。我们将使用《叠》引理 06P1 的性质 (2)(a) 和 (2)(b)，说明映射 \(c^\# : \mathcal{F}^\# \to X\) 既满又单，因而是同构；参见《站点》引理 00WN。

满射性：设 \(T\) 是概形，并设 \(f : T \to X\)。由性质 (2)(a)，存在 fppf 覆盖 \(\{h_i : T_i \to T\}\) 和态射 \(x_i : T_i \to \mathcal{X}\)，使 \(f \circ h_i\) 对应于 \(\pi \circ x_i\)。因此，\(f|_{T_i}\) 属于 \(c\) 的像。

单射性：设 \(T\) 是概形，并设 \(x, y : T \to \mathcal{X}\) 为态射，且 \(c \circ x = c \circ y\)。由 (2)(b)，可找到覆盖 \(\{T_i \to T\}\) 以及纤维范畴 \(\mathcal{X}_{T_i}\) 中的态射 \(x|_{T_i} \to y|_{T_i}\)。因此，限制 \(x|_{T_i}, y|_{T_i}\) 在 \(\mathcal{F}(T_i)\) 中相等。这证明了 \(x, y\) 按所需给出 \(\mathcal{F}^\#\) 在 \(T\) 上的同一截面。

引理

设 \[\xymatrix{ \mathcal{X}' \ar[r] \ar[d] & \mathcal{X} \ar[d] \\ \mathcal{Y}' \ar[r] & \mathcal{Y} }\] 为代数叠的纤维积。若 \(\mathcal{X}\) 是 \(\mathcal{Y}\) 上的胚，则 \(\mathcal{X}'\) 是 \(\mathcal{Y}'\) 上的胚。

证明

立即由定义和《叠》引理 06P3 得出。

引理

设 \(\mathcal{X} \to \mathcal{Y}\) 和 \(\mathcal{Y} \to \mathcal{Z}\) 是代数叠的态射。若 \(\mathcal{X}\) 是 \(\mathcal{Y}\) 上的胚，且 \(\mathcal{Y}\) 是 \(\mathcal{Z}\) 上的胚，则 \(\mathcal{X}\) 是 \(\mathcal{Z}\) 上的胚。

证明

立即由《叠》引理 06R3 得出。

引理

设 \[\xymatrix{ \mathcal{X}' \ar[r] \ar[d] & \mathcal{X} \ar[d] \\ \mathcal{Y}' \ar[r] & \mathcal{Y} }\] 为代数叠的纤维积。若 \(\mathcal{Y}' \to \mathcal{Y}\) 满、平坦且局部有限表现，并且 \(\mathcal{X}'\) 是 \(\mathcal{Y}'\) 上的胚，则 \(\mathcal{X}\) 是 \(\mathcal{Y}\) 上的胚。

证明

立即由引理 06QA 和《叠》引理 06P4 得出。

引理

设 \(\pi : \mathcal{X} \to U\) 是从代数叠到代数空间的态射，并设 \(x : U \to \mathcal{X}\) 是 \(\pi\) 的截面。令 \(G = \mathit{Isom}_\mathcal{X}(x, x)\)；参见定义 06PP。若 \(\mathcal{X}\) 是 \(U\) 上的胚，则

有群胚叠的典范等价 \[x_{can} : [U/G] \longrightarrow \mathcal{X}.\] 其中 \([U/G]\) 是 \(G\) 在 \(U\) 上平凡作用所对应的商叠；

\(G \to U\) 平坦且局部有限表现；

\(U \to \mathcal{X}\) 满、平坦且局部有限表现。

证明

令 \(R = U \times_{x, \mathcal{X}, x} U\)。态射 \(R \to U \times U\) 经过对角态射 \(\Delta_U : U \to U \times U\) 分解，因为它经过 \(U \times_U U = U\) 分解。因此 \(R = G\)，因为 \[\begin{align*} G & = \mathit{Isom}_\mathcal{X}(x, x) \\ & = U \times_{x, \mathcal{X}} \mathcal{I}_\mathcal{X} \\ & = U \times_{x, \mathcal{X}} (\mathcal{X} \times_{\Delta, \mathcal{X} \times_S \mathcal{X}, \Delta} \mathcal{X}) \\ & = (U \times_{x, \mathcal{X}, x} U) \times_{U \times U, \Delta_U} U \\ & = R \times_{U \times U, \Delta_U} U \\ & = R \end{align*}\] 第四个等号使用《范畴》引理 02XF。令 \(t, s : R \to U\) 为投影。《代数叠》引理 04T4 在 \(R\) 上构造的复合法则 \(c : R \times_{s, U, t} R \to R\) 与 \(G\) 上的群法则一致（证明略）。因此，《代数叠》引理 04T4 说明我们得到典范的全忠实 \(1\)-态射 \[x_{can} : [U/G] \longrightarrow \mathcal{X}\] ，它是 \((\Sch/S)_{fppf}\) 上的群胚叠之间的态射。为说明它是等价，只需证明它本质满。为此，只需证明 \(\mathcal{X}\) 在任一概形 \(T\) 上的对象，在 fppf 局部下经某个态射 \(T \to U\) 来自 \(x\)；参见《叠》引理 046N。而这由 \(\pi\) 使 \(\mathcal{X}\) 成为 \(U\) 上的胚这一条件得出；参见《叠》引理 06P1 的性质 (2)(a)。

由《可表示性判据》引理 06PL 可知 \(G \to U\) 平坦且局部有限表现。最后，由《可表示性判据》引理 06FH 可知 \(U \to \mathcal{X}\) 满、平坦且局部有限表现。

引理

设 \(\pi : \mathcal{X} \to \mathcal{Y}\) 是代数叠的态射。下列条件等价：

\(\mathcal{X}\) 是 \(\mathcal{Y}\) 上的胚；

存在代数空间 \(U\)、在 \(U\) 上平坦且局部有限表现的群代数空间 \(G\)，以及满、平坦且局部有限表现的态射 \(U \to \mathcal{Y}\)，使在 \(U\) 上有 \(\mathcal{X} \times_\mathcal{Y} U \cong [U/G]\)。

证明

假设 (2)。由引理 06QF，为证明 (1)，只需说明 \([U/G]\) 是 \(U\) 上的胚。这立即由《空间中的群胚》引理 06PF 得出。

假设 (1)。\(\pi\) 的任意基变换都是胚；参见引理 06QE。第一步，选取概形 \(V\) 以及满光滑态射 \(V \to \mathcal{Y}\)。于是可假设 \(\pi : \mathcal{X} \to V\) 是概形上的胚。这意味着存在 fppf 覆盖 \(\{V_i \to V\}\)，使纤维范畴 \(\mathcal{X}_{V_i}\) 非空；参见《叠》引理 06P1 (2)(a)。注意， \(U = \coprod V_i \to V\) 满、平坦且局部有限表现。因此，可用 \(U\) 替换 \(V\)，并假设 \(\pi : \mathcal{X} \to U\) 是概形 \(U\) 上的胚，且存在 \(\mathcal{X}\) 在 \(U\) 上的对象 \(x\)。由引理 06QG 可知，在 \(U\) 上有 \(\mathcal{X} = [U/G]\)，其中 \(G\) 是 \(U\) 上平坦且局部有限表现的群代数空间。

引理

设 \(\pi : \mathcal{X} \to \mathcal{Y}\) 是代数叠的态射。若 \(\mathcal{X}\) 是 \(\mathcal{Y}\) 上的胚，则 \(\pi\) 满、平坦且局部有限表现。

证明

由《代数叠的性质》引理 06PM 以及引理 06PZ 和 06Q8 可知，只需在用满、平坦且局部有限表现的态射 \(\mathcal{Y}' \to \mathcal{Y}\) 对 \(\pi\) 作基变换后证明引理。由引理 06QH，可假设 \(\mathcal{Y} = U\) 是代数空间，并且在 \(U\) 上有 \(\mathcal{X} = [U/G]\)。此时 \(U \to [U/G]\) 满、平坦且局部有限表现；参见引理 06QG。于是由《代数叠的性质》引理 06PN 以及引理 06Q0 和 06Q9 可知 \(\pi\) 满、平坦且局部有限表现。

命题

设 \(\mathcal{X}\) 是代数叠。下列条件等价：

\(\mathcal{X}\) 是胚；

\(\mathcal{I}_\mathcal{X} \to \mathcal{X}\) 平坦且局部有限表现。

证明

假设 (1)。选取到代数空间 \(X\) 的态射 \(\mathcal{X} \to X\)，使 \(\mathcal{X}\) 成为 \(X\) 上的胚。设 \(X' \to X\) 是满、平坦且局部有限表现的态射，并令 \(\mathcal{X}' = X' \times_X \mathcal{X}\)。注意，由引理 06QE，\(\mathcal{X}'\) 是 \(X'\) 上的胚。下图中的两个方块都是纤维积方块： \[\xymatrix{ \mathcal{I}_{\mathcal{X}'} \ar[r] \ar[d] & \mathcal{X}' \ar[r] \ar[d] & X' \ar[d] \\ \mathcal{I}_\mathcal{X} \ar[r] & \mathcal{X} \ar[r] & X }\] ；参见引理 06PQ。因此，由引理 06PZ 和 06Q8，为证明 \(\mathcal{I}_\mathcal{X} \to \mathcal{X}\) 平坦且局部有限表现，只需在这样的基变换后证明。于是可应用引理 06QH，假设 \(\mathcal{X} = [U/G]\)。由引理 06QG 可知，\(G\) 在 \(U\) 上平坦且局部有限表现，而 \(x : U \to [U/G]\) 满、平坦且局部有限表现。此外， \(\mathcal{I}_\mathcal{X}\) 沿 \(x\) 的拉回为 \(G\)，再次由下降，即由引理 06PZ 和 06Q8，可知 (2) 成立。

反之，假设 (2)。选取光滑表现 \(\mathcal{X} = [U/R]\)；参见《代数叠》一节 04T3。记 \(G \to U\) 为群胚 \((U, R, s, t, c, e, i)\) 的稳定子群代数空间；参见《空间中的群胚》定义 0448. 由引理 06PR 可知，\(G \to U\) 作为 \(\mathcal{I}_\mathcal{X} \to \mathcal{X}\) 的基变换平坦且局部有限表现；参见引理 06PY 和 06Q4. 考虑如下 \(G\) 在 \(R\) 上的作用： \[a : G \times_{U, t} R \to R, \quad (g, r) \mapsto c(g, r)\] 。由于 \(R\) 是群胚，该作用在任意概形 \(T\) 的 \(T\)-值点上自由。因此，由《自举》引理 06PH，\(R' = R/G\) 是代数空间，而商态射 \(\pi : R \to R'\) 满、平坦且局部有限表现。投影 \(s, t : R \to U\) 是 \(G\)-不变的，故得到态射 \(s' , t' : R' \to U\)，使 \(s = s' \circ \pi\) 且 \(t = t' \circ \pi\)。由于 \(s, t : R \to U\) 平坦且局部有限表现，由《空间的态射》引理 05VY 和《空间上的下降》引理 06EV 可知 \(s', t'\) 平坦且局部有限表现。考虑态射 \[j' = (t', s') : R' \longrightarrow U \times U.\] 我们断言它是单态射。事实上，设 \(T\) 是概形，并设 \(a, b : T \to R'\) 是在 \(U \times U\) 中有相同像的态射。根据商 \(R' = R/G\) 的定义，存在 fppf 覆盖 \(\{h_j : T_j \to T\}\)，使对某些态射 \(a_j, b_j : T_j \to R\) 有 \(a \circ h_j = \pi \circ a_j\) 且 \(b \circ h_j = \pi \circ b_j\)。由于 \(a_j, b_j\) 在 \(U \times U\) 中有相同像， \(g_j = c(a_j, i(b_j))\) 是 \(G\) 的一个 \(T_j\)-值点，并且 \(c(g_j, b_j) = a_j\)。换言之，\(a_j\) 和 \(b_j\) 在 \(R'\) 中有相同的像，故断言得证。由于 \(j : R \to U \times U\) 是预等价关系（参见《空间中的群胚》引理 043X），且 \(R \to R'\) 作为层的映射为满，可知 \(j' : R' \to U \times U\) 是等价关系。因此，《自举》定理 04S6 说明 \(X = U/R'\) 是代数空间。最后，我们断言态射 \[\mathcal{X} = [U/R] \longrightarrow X = U/R'\] 使 \(\mathcal{X}\) 成为 \(X\) 上的胚。这由《空间中的群胚》引理 06PE 得出，因为 \(R \to R'\) 满、平坦且局部有限表现（必要时使用《自举》引理 04S1 以看出这蕴含所需假设）。

引理

设 \(f : \mathcal{X} \to \mathcal{Y}\) 是使 \(\mathcal{X}\) 成为 \(\mathcal{Y}\) 上之胚的代数叠态射。则

\(\mathcal{I}_{\mathcal{X}/\mathcal{Y}} \to \mathcal{X}\) 平坦且局部有限表现；

\(\mathcal{X} \to \mathcal{X} \times_\mathcal{Y} \mathcal{X}\) 满、平坦且局部有限表现；

给定代数空间 \(T_i\)（\(i = 1, 2\)）和态射 \(x_i : T_i \to \mathcal{X}\)，令 \(y_i = f \circ x_i\)，则态射 \[T_1 \times_{x_1, \mathcal{X}, x_2} T_2 \longrightarrow T_1 \times_{y_1, \mathcal{Y}, y_2} T_2\] 满、平坦且局部有限表现；

给定代数空间 \(T\) 和态射 \(x_i : T \to \mathcal{X}\)（\(i = 1, 2\)），令 \(y_i = f \circ x_i\)，则态射 \[\mathit{Isom}_\mathcal{X}(x_1, x_2) \longrightarrow \mathit{Isom}_\mathcal{Y}(y_1, y_2)\] 满、平坦且局部有限表现。

证明

(1) 的证明。选取概形 \(Y\) 以及满光滑态射 \(Y \to \mathcal{Y}\)。令 \(\mathcal{X}' = \mathcal{X} \times_\mathcal{Y} Y\)。由引理 06PQ，得到笛卡儿方块 \[\xymatrix{ \mathcal{I}_{\mathcal{X}'} \ar[r] \ar[d] & \mathcal{X}' \ar[r] \ar[d] & Y \ar[d] \\ \mathcal{I}_{\mathcal{X}/\mathcal{Y}} \ar[r] & \mathcal{X} \ar[r] & \mathcal{Y} }\] 由引理 06PZ 和 06Q8 可知，只需证明 \(\mathcal{I}_{\mathcal{X}'} \to \mathcal{X}'\) 平坦且局部有限表现。这由命题 06QJ 得出（因为由引理 06QE，\(\mathcal{X}'\) 是 \(Y\) 上的胚）。

(2) 的证明。沿用上述记号，注意可假设 \(\mathcal{X}' = [Y/G]\)，其中 \(G\) 是 \(Y\) 上平坦且局部有限表现的群代数空间；参见引理 06QH。态射 \(\Delta : \mathcal{X} \to \mathcal{X} \times_\mathcal{Y} \mathcal{X}\) 在 \(\mathcal{Y}\) 上沿态射 \(Y \to \mathcal{Y}\) 的基变换是态射 \(\Delta' : \mathcal{X}' \to \mathcal{X}' \times_Y \mathcal{X}'\). 因此，只需证明 \(\Delta'\) 满、平坦且局部有限表现（参见引理 06PZ 和 06Q8). 换言之，需要证明 \[[Y/G] \longrightarrow [Y/G \times_Y G]\] 满、平坦且局部有限表现。这是因为沿满、平坦且局部有限表现的态射 \(Y \to [Y/G \times_Y G]\) 作基变换后得到态射 \(G \to Y\)。

(3) 的证明。注意图 \[\xymatrix{ T_1 \times_{x_1, \mathcal{X}, x_2} T_2 \ar[d] \ar[r] & T_1 \times_{y_1, \mathcal{Y}, y_2} T_2 \ar[d] \\ \mathcal{X} \ar[r] & \mathcal{X} \times_\mathcal{Y} \mathcal{X} }\] 是笛卡儿的。因此 (3) 由 (2) 得出。

(4) 的证明。由于 \[\mathit{Isom}_\mathcal{X}(x_1, x_2) = (T \times_{x_1, \mathcal{X}, x_2} T) \times_{T \times T, \Delta_T} T\] ，(4) 中的态射是 (3) 中态射的基变换，故结论成立。

命题

设 \(f : \mathcal{X} \to \mathcal{Y}\) 是代数叠的态射。下列条件等价：

\(\mathcal{X}\) 是 \(\mathcal{Y}\) 上的胚；

\(f : \mathcal{X} \to \mathcal{Y}\) 与 \(\Delta : \mathcal{X} \to \mathcal{X} \times_\mathcal{Y} \mathcal{X}\) 均满、平坦且局部有限表现。

证明

(1) \(\Rightarrow\) (2) 由引理 06QI 和 0CPR 得出。

假设 (2)。只需对 \(f\) 沿满、平坦且局部有限表现的态射 \(\mathcal{Y}' \to \mathcal{Y}\) 所作的基变换证明 (1)；参见引理 06QF（注意，\(f\) 的对角态射的基变换就是基变换的对角态射）。因此可假设 \(\mathcal{Y}\) 是概形 \(Y\)。在此情形， \(\mathcal{I}_\mathcal{X} \to \mathcal{X}\) 是 \(\Delta\) 的基变换，故由命题 06QJ 可知 \(\mathcal{X}\) 是胚。还需证明 \(\mathcal{X}\) 是 \(Y\) 上的胚。令 \(\mathcal{X} \to X\) 为引理 06QD 的态射，它使 \(\mathcal{X}\) 成为代数空间 \(X\) 上的胚，而后者分类 \(\mathcal{X}\) 的对象的同构类。显然， \(f : \mathcal{X} \to Y\) 分解为 \(\mathcal{X} \to X \to Y\)。由于 \(f\) 满、平坦且局部有限表现，可知 \(X \to Y\) 作为 fppf 层的映射为满（例如使用引理 06QA）。另一方面，\(X \to Y\) 也单：对任意概形 \(T\) 以及 \(X\) 的任意两个 \(T\)-值点 \(x_1, x_2\)，若它们映到 \(Y\) 的同一点，则首先可在 \(T\) 上 fppf 局部地把 \(x_1, x_2\) 提升为 \(\mathcal{X}\) 在 \(T\) 上的对象 \(\xi_1, \xi_2\)；其次，由 \(\Delta : \mathcal{X} \to \mathcal{X} \times_Y \mathcal{X}\) 满、平坦且局部有限表现这一假设，可推出 \(\xi_1\) 和 \(\xi_2\) 在 fppf 局部同构。于是按 \(X\) 的构造，\(x_1 = x_2\)。因此 \(X = Y\)，证明完成。

至此，我们已经发展出足够的机制，可以证明剩余胚在存在时确实是胚。

引理

设 \(\mathcal{Z}\) 是约化、局部诺特的代数叠，并且 \(|\mathcal{Z}|\) 是单点集。则 \(\mathcal{Z}\) 是某个约化、局部诺特的代数空间 \(Z\) 上的胚，且 \(|Z|\) 是单点集。

证明

由《代数叠的性质》引理 06MP，存在满、平坦且局部有限表现的态射 \(\Spec(k) \to \mathcal{Z}\)，其中 \(k\) 为域。于是 \(\mathcal{I}_Z \times_\mathcal{Z} \Spec(k) \to \Spec(k)\) 可由代数空间表示，并且局部有限型（作为 \(\mathcal{I}_\mathcal{Z} \to \mathcal{Z}\) 的基变换；参见引理 050Q 和 06FU）。因此，它局部有限表现；参见《空间的态射》引理 06G4. 当然，因为 \(k\) 是域，它也平坦。因此可以应用引理 06PZ 和 06Q8 ，可知 \(\mathcal{I}_\mathcal{Z} \to \mathcal{Z}\) 平坦且局部有限表现。由命题 06QJ，\(\mathcal{Z}\) 是胚。设 \(\pi : \mathcal{Z} \to Z\) 为到代数空间的态射，使 \(\mathcal{Z}\) 成为 \(Z\) 上的胚。由引理 06QI，\(\pi\) 满、平坦且局部有限表现。因此，作为复合，\(\Spec(k) \to Z\) 满、平坦且局部有限表现；参见《代数叠的性质》引理 04ZT 以及引理 06PX 和 06Q3. 于是由《代数叠的性质》引理 06MP 可知，\(|Z|\) 是单点集，且 \(Z\) 局部诺特并约化。

引理

设 \(f : \mathcal{X} \to \mathcal{Y}\) 是代数叠的态射。若 \(\mathcal{X}\) 是 \(\mathcal{Y}\) 上的胚，则 \(f\) 是泛同胚。

证明

由引理 06QE，关于 \(f\) 的假设在基变换下保持。因此，只需说明映射 \(|\mathcal{X}| \to |\mathcal{Y}|\) 是拓扑空间的同胚。设 \(k\) 为域，并设 \(y\) 是 \(\mathcal{Y}\) 在 \(\Spec(k)\) 上的对象。由《叠》引理 06P1 的性质 (2)(a)，存在 fppf 覆盖 \(\{T_i \to \Spec(k)\}\) 以及 \(\mathcal{X}\) 在 \(T_i\) 上的对象 \(x_i\)，使 \(f(x_i) \cong y|_{T_i}\)。选取满足 \(T_i \not = \emptyset\) 的 \(i\)。对某个域 \(K\)，选取态射 \(\Spec(K) \to T_i\)。则 \(k \subset K\)，而 \(x_i|_K\) 是位于 \(y|_K\) 上方的 \(\mathcal{X}\) 的对象。因此可知 \(|\mathcal{Y}| \to |\mathcal{X}|\) 满。映射 \(|\mathcal{Y}| \to |\mathcal{X}|\) 也单。事实上，若 \(x, x'\) 是 \(\mathcal{X}\) 在 \(\Spec(k)\) 上的对象，并且它们的像 \(f(x), f(x')\) 在 \(\mathcal{Y}\) 中经扩张后同构，则《叠》引理 06P1 的性质 (2)(b) 保证存在 \(k\) 的一个扩张，使 \(x\) 和 \(x'\) 同构（细节略）。因此 \(|\mathcal{X}| \to |\mathcal{Y}|\) 连续且双射，只需再证明它是开的。这由引理 06QI 和 06R7 得出。

引理

设 \(f : \mathcal{X} \to \mathcal{Y}\) 是代数叠的态射，并且 \(\mathcal{X}\) 是 \(\mathcal{Y}\) 上的胚。若 \(\Delta_\mathcal{X}\) 拟紧，则 \(\Delta_\mathcal{Y}\) 也拟紧。

证明

考虑图 \[\xymatrix{ \mathcal{X} \ar[r] & \mathcal{X} \times_\mathcal{Y} \mathcal{X} \ar[r] \ar[d] & \mathcal{X} \times \mathcal{X} \ar[d] \\ & \mathcal{Y} \ar[r] & \mathcal{Y} \times \mathcal{Y} }\] 由命题 0CPS 可知左上方箭头满。由于顶部水平箭头的复合拟紧，由引理 050X 可知右上方箭头拟紧。该方块是笛卡儿的，而右侧竖直箭头满、平坦且局部有限表现。因此由引理 0DQK 得出结论。

下述引理说明，对任何本身为胚的代数叠，其所有点的剩余胚都存在。

引理

设 \(\mathcal{X}\) 是代数叠。若 \(\mathcal{X}\) 是胚，则对每个 \(x \in |\mathcal{X}|\)，\(\mathcal{X}\) 在 \(x\) 处的剩余胚都存在。

证明

设 \(\pi : \mathcal{X} \to X\) 是从 \(\mathcal{X}\) 到代数空间 \(X\) 的态射，并且它使 \(\mathcal{X}\) 成为 \(X\) 上的胚。设 \(Z_x \to X\) 是 \(X\) 在 \(x\) 处的剩余空间，见《适宜代数空间》定义 06R0。令 \(\mathcal{Z} = \mathcal{X} \times_X Z_x\)。由引理 06QE，代数叠 \(\mathcal{Z}\) 是 \(Z_x\) 上的胚。因此 \(|\mathcal{Z}| = |Z_x|\)（引理 06R9）是单点集。由于 \(\mathcal{Z} \to Z_x\) 是 \(\pi\) 的基变换，故其局部有限表现（见引理 06QI 和 06Q4）。于是 \(\mathcal{Z}\) 局部诺特，见引理 06R6。所以 \(\mathcal{X}\) 在 \(x\) 处的剩余胚 \(\mathcal{Z}_x\) 存在，并且等于 \(\mathcal{Z}_x = \mathcal{Z}_{red}\)，即代数叠 \(\mathcal{Z}\) 的约化。事实上，上文已经说明 \(|\mathcal{Z}_{red}|\) 是映到 \(x \in |\mathcal{X}|\) 的单点集；它按构造是约化的，并且局部诺特（因为局部诺特代数叠的约化仍局部诺特，细节略）。

按胚分层

本节的目标是证明，许多代数叠 \(\mathcal{X}\) 都有由局部闭子叠 \(\mathcal{X}_i \subset \mathcal{X}\) 构成的“分层”，其中每个 \(\mathcal{X}_i\) 都是胚。这说明在某种意义下，胚是构成任意代数叠的基本构件。注意，在本节中，我们所谓的分层仅指 \[|\mathcal{X}| = \bigcup\nolimits_i |\mathcal{X}_i|\] 是与 \(\mathcal{X}\) 关联的拓扑空间的分层，并无其他含义。因此，为研究这种分层，可以无妨地用 \(\mathcal{X}\) 的约化替换它（见《叠的性质》一节 0508）。

下述命题说明，\(\mathcal{X}\) 的约化中（几乎总是）存在一个稠密开子叠。

命题

设 \(\mathcal{X}\) 是约化代数叠，且 \(\mathcal{I}_\mathcal{X} \to \mathcal{X}\) 拟紧。则存在一个稠密开子叠 \(\mathcal{U} \subset \mathcal{X}\)，它是胚。

证明

由命题 06QJ，只需找到一个稠密开子叠 \(\mathcal{U}\)，使得 \(\mathcal{I}_\mathcal{U} \to \mathcal{U}\) 平坦且局部有限表现。注意 \(\mathcal{I}_\mathcal{U} = \mathcal{I}_\mathcal{X} \times_\mathcal{X} \mathcal{U}\)，见引理 06PQ。

选取一个表现 \(\mathcal{X} = [U/R]\)。设 \(G \to U\) 是群胚 \(R\) 的稳定子群代数空间。由引理 06PR，\(G \to U\) 是 \(\mathcal{I}_\mathcal{X} \to \mathcal{X}\) 的基变换，因而按假设拟紧，并由引理 050Q 局部有限型。设 \(W \subset U\) 是最大的开子概形（可能为空），使得限制 \(G_W \to W\) 平坦且局部有限表现（我们略去 \(W\) 存在性的证明；提示：使用这些性质是局部的这一事实）。由《代数空间的态射》命题 06QS， \(W \subset U\) 稠密。注意，由《空间中群胚的进一步内容》引理 06R4， \(W \subset U\) 是 \(R\)-不变的。因此，由《叠的性质》引理 0507，\(W\) 对应于一个开子叠 \(\mathcal{U} \subset \mathcal{X}\)。由于 \(|U| \to |\mathcal{X}|\) 是开映射，且 \(|W| \subset |U|\) 稠密，可知 \(\mathcal{U}\) 在 \(\mathcal{X}\) 中稠密。最后，态射 \(\mathcal{I}_\mathcal{U} \to \mathcal{U}\) 平坦且局部有限表现，因为沿满光滑态射 \(W \to \mathcal{U}\) 的基变换是态射 \(G_W \to W\)，而后者按构造平坦且局部有限表现。见引理 06PZ 和 06Q8。

上述命题立即蕴含：在惯性拟紧的代数叠上，任意点都有剩余胚；我们将在引理 06RD 中证明这一点。另一方面，由胚构成的有限分层并非总是存在。下面给出一个例子。

例

设 \(k\) 是域。取 \(U = \Spec(k[x_0, x_1, x_2, \ldots])\)，并令 \(\mathbf{G}_m\) 按下式作用： \(t(x_0, x_1, x_2, \ldots) = (tx_0, t^p x_1, t^{p^2} x_2, \ldots)\) ，其中 \(p\) 是素数。令 \(\mathcal{X} = [U/\mathbf{G}_m]\)。这是代数叠。 \(\mathcal{X}\) 有如下分层：

\(\mathcal{X}_0\) 是 \(x_0\) 非零的部分；

\(\mathcal{X}_1\) 是 \(x_0\) 为零而 \(x_1\) 非零的部分；

\(\mathcal{X}_2\) 是 \(x_0, x_1\) 为零而 \(x_2\) 非零的部分；

依此类推；并且

\(\mathcal{X}_{\infty}\) 是所有 \(x_i\) 都为零的部分。

每一层都是某个概形上的胚：对 \(\mathcal{X}_i\)，其群为 \(\mu_{p^i}\)；对 \(\mathcal{X}_{\infty}\)，其群为 \(\mathbf{G}_m\)。这些层是约化局部闭子叠。不存在具有相同性质而更粗的分层。

尽管如此，利用超限归纳与命题 06RC，我们可以找到可能无限的胚分层……！

引理

设 \(\mathcal{X}\) 是代数叠，并且 \(\mathcal{I}_\mathcal{X} \to \mathcal{X}\) 拟紧。则存在一个良序指标集 \(I\)，并且对每个 \(i \in I\)，存在一个约化局部闭子叠 \(\mathcal{U}_i \subset \mathcal{X}\)，使得

每个 \(\mathcal{U}_i\) 都是胚；

有 \(|\mathcal{X}| = \bigcup_{i \in I} |\mathcal{U}_i|\)；

\(T_i = |\mathcal{X}| \setminus \bigcup_{i' < i} |\mathcal{U}_{i'}|\) 对所有 \(i \in I\) 都是 \(|\mathcal{X}|\) 中的闭集；并且

\(|\mathcal{U}_i|\) 是 \(T_i\) 中的开集。

此外，还可以作如下安排：或者 (a) \(|\mathcal{U}_i| \subset T_i\) 稠密，或者 (b) \(\mathcal{U}_i\) 拟紧。在情形 (a) 中，若把 \(\mathcal{U}_i\) 取得尽可能大（细节见证明），则该分层是典范的。

证明

设 \(T \subset |\mathcal{X}|\) 是非空闭子集。对每个这样的 \(T\)，我们要找出（分别地，选取）一个约化局部闭子叠 \(\mathcal{U}(T) \subset \mathcal{X}\)，使得 \(|\mathcal{U}(T)| \subset T\) 开且稠密（分别地，非空且拟紧）。事实上，由《叠的性质》引理 0509，存在唯一的约化闭子叠 \(\mathcal{X}' \subset \mathcal{X}\)，使得 \(T = |\mathcal{X}'|\)。注意，由引理 06R5， \(\mathcal{I}_{\mathcal{X}'} = \mathcal{I}_\mathcal{X} \times_\mathcal{X} \mathcal{X}'\)。因此，作为一个基变换，\(\mathcal{I}_{\mathcal{X}'} \to \mathcal{X}'\) 拟紧；见引理 050V。所以命题 06RC 蕴含：存在一个稠密且极大的开子叠 \(\mathcal{U} \subset \mathcal{X}'\)（见该命题的证明），它是胚。在情形 (a) 中令 \(\mathcal{U}(T) = \mathcal{U}\)（这是典范的）；在情形 (b) 中，只需选取一个非空拟紧开子叠 \(\mathcal{U}(T) \subset \mathcal{U}\)，见《叠的性质》引理 04Y9 （借助选择公理，可以对所有 \(T\) 同时这样做）。

利用超限递归，我们对每个序数 \(\alpha\) 构造一个闭子集 \(T_\alpha \subset |\mathcal{X}|\)。对 \(\alpha = 0\)，令 \(T_0 = |\mathcal{X}|\)。给定 \(T_\alpha\) 后，令 \[T_{\alpha + 1} = T_\alpha \setminus |\mathcal{U}(T_\alpha)|.\] 若 \(\beta\) 是极限序数，则令 \[T_\beta = \bigcap\nolimits_{\alpha < \beta} T_\alpha.\] 我们断言，对所有充分大的 \(\alpha\)，都有 \(T_\alpha = \emptyset\)。事实上，假设对所有 \(\alpha\) 都有 \(T_\alpha \not = \emptyset\)。于是可以得到从全体序数这个类到 \(|\mathcal{X}|\) 的子集所成集合的单射，矛盾。

该断言蕴含本引理。事实上，令 \[I = \{\alpha \mid \mathcal{U}_\alpha \not = \emptyset \}.\] 由该断言，这是良序集。对 \(i = \alpha \in I\)，令 \(\mathcal{U}_i = \mathcal{U}_\alpha\)。于是 \(\mathcal{U}_i\) 是约化局部闭子叠且是胚，即 (1) 成立。按构造，若 \(i = \alpha \in I\)，则 \(T_i = T\alpha\)，所以 (3) 成立。由我们对 \(\mathcal{U}(T)\) 的选取，(4) 以及 (a) 或 (b) 也成立。最后，为证明 (2)，取 \(x \in |\mathcal{X}|\)。存在使 \(x \not \in T_\beta\) 的最小序数 \(\beta\)（因为序数是良序的）。由极限序数情形下 \(T_\beta\) 的定义，此时 \(\beta\) 必为后继序数。因此 \(\beta = \alpha + 1\)，且 \(x \in |\mathcal{U}(T_\alpha)|\)，得证。

注

我们可以问，引理 06RF 所构造的 (a) 型分层给出的典范分层具有怎样的序型。一个自然猜想是，良序集 \(I\) 的基数至多为 \(\aleph_0\)。我们不知道这是真是假。若你知道，请发送邮件至 stacks.project@gmail.com.

代数叠的拓扑空间

本节把前面的结果应用于代数叠所关联的拓扑空间 \(|\mathcal{X}|\)。

引理

设 \(\mathcal{X}\) 是拟紧代数叠，且其对角态射 \(\Delta\) 拟紧。则 \(|\mathcal{X}|\) 是谱拓扑空间。

证明

选取仿射概形 \(U\) 以及满光滑态射 \(U \to \mathcal{X}\)，见《叠的性质》引理 04YC。于是 \(|U| \to |\mathcal{X}|\) 连续、开且满，见《叠的性质》引理 04XL。因此，\(|\mathcal{X}|\) 的拟紧开子集构成其拓扑的一组基。对拟紧开子集 \(W_1, W_2 \subset |\mathcal{X}|\)，可以选取 \(U\) 的拟紧开子集 \(V_1, V_2\)，它们分别映到 \(W_1\) 和 \(W_2\)。由于 \(\Delta\) 拟紧，可知 \[V_1 \times_\mathcal{X} V_2 = (V_1 \times V_2) \times_{\mathcal{X} \times \mathcal{X}, \Delta} \mathcal{X}\] 拟紧。由《叠的性质》引理 04XH， \(|V_1 \times_\mathcal{X} V_2|\) 在 \(|\mathcal{X}|\) 中的像是 \(W_1 \cap W_2\)。所以 \(W_1 \cap W_2\) 拟紧。为完成证明，只需证明 \(|\mathcal{X}|\) 是清醒的，见《拓扑学》定义 08YG。

设 \(T \subset |\mathcal{X}|\) 是不可约闭子集。我们必须证明 \(T\) 有唯一的一般点。设 \(\mathcal{Z} \subset \mathcal{X}\) 是与 \(T\) 对应的约化诱导闭子叠，见《叠的性质》定义 050C。由于 \(\mathcal{Z} \to \mathcal{X}\) 是闭浸入，可知 \(\Delta_\mathcal{Z}\) 拟紧：首先，把 \(\mathcal{Z} \to \mathcal{X} \times \mathcal{X}\) 写成 \(\mathcal{Z} \to \mathcal{X}\) 与 \(\Delta\) 的复合，从而证明它拟紧；再把 \(\mathcal{Z} \to \mathcal{X} \times \mathcal{X}\) 写成 \(\Delta_\mathcal{Z}\) 与 \(\mathcal{Z} \times \mathcal{Z} \to \mathcal{X} \times \mathcal{X}\) 的复合，并使用引理 050Y 以及 \(\mathcal{Z} \times \mathcal{Z} \to \mathcal{X} \times \mathcal{X}\) 分离这一事实。因此，问题归结为下一段讨论的情形。

假设 \(\mathcal{X}\) 拟紧，\(\Delta\) 拟紧，\(\mathcal{X}\) 约化，且 \(|\mathcal{X}|\) 不可约。我们必须证明 \(|\mathcal{X}|\) 有唯一的一般点。由于 \(\mathcal{I}_\mathcal{X} \to \mathcal{X}\) 是 \(\Delta\) 的基变换，可知 \(\mathcal{I}_\mathcal{X} \to \mathcal{X}\) 拟紧（引理 050V）。因此，由命题 06RC，存在一个稠密开子叠 \(\mathcal{U} \subset \mathcal{X}\)，它是胚。换言之， \(|\mathcal{U}| \subset |\mathcal{X}|\) 开且稠密。于是可以假设 \(\mathcal{X}\) 是胚。设 \(\mathcal{X} \to X\) 使 \(\mathcal{X}\) 成为代数空间 \(X\) 上的胚。由引理 06R9， \(|\mathcal{X}| \cong |X|\)。特别地，\(X\) 拟紧。由引理 0DQL，\(X\) 的对角态射拟紧；也就是说， \(X\) 是拟分离代数空间。于是，由《代数空间的性质》引理 0A4G， \(|X|\) 是谱空间，这就给出了所需结论。

引理

设 \(\mathcal{X}\) 是拟紧拟分离代数叠。则 \(|\mathcal{X}|\) 是谱拓扑空间。

证明

这是引理 0DQN 的特殊情形。

引理

设 \(\mathcal{X}\) 是对角态射拟紧的代数叠（例如，若 \(\mathcal{X}\) 拟分离）。则存在开覆盖 \(|\mathcal{X}| = \bigcup U_i\)，其中每个 \(U_i\) 都是谱空间。特别地，\(|\mathcal{X}|\) 是清醒拓扑空间。

证明

这是引理 0DQN 的直接推论。

剩余胚的存在性

代数叠上一点的剩余胚定义见《叠的性质》定义 06MU。我们已经证明，有限型点（引理 06G3）以及胚的任意一点（引理 06RA）都有剩余胚。本节证明，许多代数叠上都存在剩余胚。首先给出前面所承诺的命题 06RC 的应用。

引理

设 \(\mathcal{X}\) 是代数叠，并且 \(\mathcal{I}_\mathcal{X} \to \mathcal{X}\) 拟紧。则对每个 \(x \in |\mathcal{X}|\)，\(\mathcal{X}\) 在 \(x\) 处的剩余胚都存在。

证明

设 \(T = \overline{\{x\}} \subset |\mathcal{X}|\) 是 \(x\) 的闭包。由《叠的性质》引理 0509，存在约化闭子叠 \(\mathcal{X}' \subset \mathcal{X}\)，使得 \(T = |\mathcal{X}'|\)。注意，由引理 06R5， \(\mathcal{I}_{\mathcal{X}'} = \mathcal{I}_\mathcal{X} \times_\mathcal{X} \mathcal{X}'\)。因此，作为一个基变换，\(\mathcal{I}_{\mathcal{X}'} \to \mathcal{X}'\) 拟紧，见引理 050V。所以由命题 06RC，存在稠密开子叠 \(\mathcal{U} \subset \mathcal{X}'\)，它是胚。注意， \(x \in |\mathcal{U}|\)，因为 \(\{x\} \subset T\) 也是稠密子集。于是由引理 06RA，\(\mathcal{U}\) 在 \(x\) 处的剩余胚 \(\mathcal{Z}_x \subset \mathcal{U}\) 存在。由定义立即可知， \(\mathcal{Z}_x \to \mathcal{X}\) 是 \(\mathcal{X}\) 在 \(x\) 处的剩余胚。

若叠是拟 DM 的，则剩余胚也存在。特别地，Deligne–Mumford 叠上总存在剩余胚。

引理

设 \(\mathcal{X}\) 是拟 DM 代数叠。则对每个 \(x \in |\mathcal{X}|\)， \(\mathcal{X}\) 在 \(x\) 处的剩余胚都存在。

证明

选取概形 \(U\) 以及满、平坦、局部有限表现且局部拟有限的态射 \(U \to \mathcal{X}\)，见定理 06MF。令 \(R = U \times_\mathcal{X} U\)。作为态射 \(U \to \mathcal{X}\) 的基变换，投影 \(s, t : R \to U\) 满、平坦、局部有限表现且局部拟有限。存在典范态射 \([U/R] \to \mathcal{X}\)（见《代数叠》引理 04T4）；由于 \(U \to \mathcal{X}\) 满、平坦且局部有限表现，它是等价，见《代数叠》评注 04WY。因此，可以假设 \(\mathcal{X} = [U/R]\)，其中 \((U, R, s, t, c)\) 是代数空间中的群胚，且 \(s, t : R \to U\) 满、平坦、局部有限表现且局部拟有限。令 \[U' = \coprod\nolimits_{u \in U\text{ 位于下列对象之上： }x} \Spec(\kappa(u)).\] 典范态射 \(U' \to U\) 是单态射。令 \[R' = U' \times_\mathcal{X} U' = R \times_{(U \times U)} (U' \times U')\] 由于 \(U' \to U\) 是单态射，可知两个投影 \(s', t' : R' \to U'\) 都分解为一个单态射与一个局部拟有限态射的复合。因此，由于 \(U'\) 是域的谱的不交并，应用《域上的代数空间》引理 06S1，可知态射 \(s', t' : R' \to U'\) 局部拟有限。再次利用 \(U'\) 是域的谱的不交并，态射 \(s', t'\) 也平坦。最后，\(s', t'\) 局部拟有限蕴含 \(s', t'\) 局部有限型，进而 \(s', t'\) 局部有限表现（因为 \(U'\) 是域的谱的不交并，特别地局部诺特，所以可以应用《代数空间的态射》引理 06G4）。于是，由《可表示性判据》定理 06FI， \(\mathcal{Z} = [U'/R']\) 是代数叠。由于 \(R'\) 是 \(R\) 沿 \(U' \to U\) 的限制，由《空间中的群胚》引理 046S 和《叠的性质》引理 04ZZ，可知 \(\mathcal{Z} \to \mathcal{X}\) 是单态射。由于 \(\mathcal{Z} \to \mathcal{X}\) 是单态射，因此 \(|\mathcal{Z}| \to |\mathcal{X}|\) 单，见《叠的性质》引理 0500。由《叠的性质》引理 04XH，可知 \[|U'| = |\mathcal{Z} \times_\mathcal{X} U'| \longrightarrow |\mathcal{Z}| \times_{|\mathcal{X}|} |U'|\] 满；结合我们对 \(U'\) 的选取，这蕴含 \(|\mathcal{Z}| \to |\mathcal{X}|\) 的像为 \(\{x\}\)。所以 \(|\mathcal{Z}|\) 是单点集。最后，按构造，\(U'\) 局部诺特且约化；也就是说， \(\mathcal{Z}\) 约化且局部诺特。这说明 \(\mathcal{Z} \to \mathcal{X}\) 的本质像是 \(\mathcal{X}\) 在 \(x\) 处的剩余胚，见《叠的性质》引理 06MX。

引理

设 \(\mathcal{X}\) 是局部诺特代数叠。则对每个 \(x \in |\mathcal{X}|\)，\(\mathcal{X}\) 在 \(x\) 处的剩余胚都存在。

证明

选取仿射概形 \(U\) 和光滑态射 \(U \to \mathcal{X}\)，使 \(x\) 位于开连续映射 \(|U| \to |\mathcal{X}|\) 的像中。我们可以并且确实用与 \(|U| \to |\mathcal{X}|\) 的像对应的开子叠替换 \(\mathcal{X}\)，见《叠的性质》引理 06FJ。因此，可以假设 \(\mathcal{X} = [U/R]\)，其中 \((U, R, s, t, c)\) 是代数空间中的光滑群胚，且 \(U\) 是诺特仿射概形；见《代数叠》一节 04T3。

设 \(E \subset |U|\) 是 \(\{x\} \subset |\mathcal{X}|\) 的逆像。当然， \(E \not = \emptyset\)。由于 \(|U|\) 是诺特拓扑空间，可以选取 \(u \in E\)，使得 \(\overline{\{u\}} \cap E = \{u\}\)。像往常一样，把 \(u = \Spec(\kappa(u))\) 看作其剩余域的谱。记 \[F = u \times_{U, t} R = u \times_\mathcal{X} U \quad\text{且}\quad R' = (u \times u) \times_{(U \times U), (t, s)} R = u \times_\mathcal{X} u\] 。此外，记 \(Z = \overline{\{u\}} \subset U\)，赋予它约化诱导概形结构。记 \(p : F \to U\) 为第二投影诱导的态射（在 \(F\) 的第一个纤维积描述中，使用 \(s : R \to U\)）。则 \(E\) 是 \(p\) 的集合论像。态射 \(R' \to F\) 是单态射，并且经由 \(Z\) 的逆像 \(p^{-1}(Z)\) 分解。该逆像 \(p^{-1}(Z) \subset F\) 是闭子概形；由于上面对 \(u \in E\) 的谨慎选取，限制 \(p|_{p^{-1}(Z)} : p^{-1}(Z) \to Z\) 的集合论像包含于 \(\{u\} \subset Z\)。由于 \(u = \lim W\)，其中极限遍历不可约约化概形 \(Z\) 的非空仿射开子概形，可知态射 \(p|_{p^{-1}(Z)} : p^{-1}(Z) \to Z\) 经由态射 \(u \to Z\) 分解。这显然蕴含 \(R' = p^{-1}(Z)\)。特别地，态射 \(t' : R' \to u\) 局部有限表现，因为它是局部诺特代数空间的闭浸入 \(p^{-1}(Z) \to F\) 与光滑态射 \(\text{pr}_1 : F \to u\) 的复合；使用《代数空间的态射》诸引理 04ZK、 084Q 和 03XQ。因此， \((U, R, s, t, c)\) 沿 \(u \to U\) 的限制 \((u, R', s', t', c')\) 是代数空间中的群胚，其中 \(s'\) 和 \(t'\) 平坦且局部有限表现。所以由《可表示性判据》定理 06FI， \(\mathcal{Z} = [u/R']\) 是代数叠。由于 \(R'\) 是 \(R\) 沿 \(u \to U\) 的限制，由《空间中的群胚》引理 046S 和《叠的性质》引理 04ZZ，可知 \(\mathcal{Z} \to \mathcal{X}\) 是单态射。再由《叠的性质》一节 06ML 的内容， \(\mathcal{Z}\)（同构于）该剩余胚。

Étale 局部结构

本节开始讨论关于代数叠的 étale 局部结构可以说些什么。

引理

设 \(Y\) 是代数空间。设 \((U, R, s, t, c)\) 是 \(Y\) 上代数空间中的群胚。假设 \(U \to Y\) 平坦且局部有限表现，并且 \(R \to U \times_Y U\) 是开浸入。则 \(X = [U/R] = U/R\) 是代数空间，且 \(X \to Y\) 是 étale 的。

证明

由《可表示性判据》定理 06FI，商叠 \([U/R]\) 是代数叠。另一方面，由于 \(R \to U \times U\) 是单态射，它是代数空间（这里沿用我们的语言滥用，并见《代数叠》命题 04SZ），当然也等于代数空间 \(U/R\)（《引导》定理 04S6）。由于 \(U \to X\) 满、平坦且局部有限表现（《引导》引理 06PG），由《代数空间的态射》引理 05VY 和《代数空间上的下降》引理 0AHC，可知 \(X \to Y\) 平坦且局部有限表现。最后，考虑笛卡儿图 \[\xymatrix{ R \ar[d] \ar[r] & U \times_Y U \ar[d] \\ X \ar[r] & X \times_Y X }\] 由于右侧竖直箭头满、平坦且局部有限表现（略去一个小细节），而顶部水平箭头按假设是开浸入，可知 \(X \to X \times_Y X\) 是开浸入（使用《叠的性质》引理 04XD）。所以由《代数空间的态射》引理 05W1， \(X \to Y\) 非分歧。最后应用《代数空间的态射》引理 06LU 即得结论。

引理

设 \(S\) 是概形。设 \((U, R, s, t, c)\) 是 \(S\) 上代数空间中的群胚。假设 \(s, t\) 平坦且局部有限表现。设 \(P \subset R\) 是开子空间，使得 \((U, P, s|_P, t|_P, c|_{P \times_{s, U, t} P})\) 构成 \(S\) 上代数空间中的群胚。则 \[[U/P] \longrightarrow [U/R]\] 是代数叠的态射，可由代数空间表示、满且 étale。

证明

由于 \(P \subset R\) 是开的，\(s|_P\) 和 \(t|_P\) 平坦且局部有限表现。因此，由《可表示性判据》定理 06FI， \([U/R]\) 和 \([U/P]\) 都是代数叠。为证明该态射可由代数空间表示，只需证明 \([U/P] \to [U/R]\) 在纤维范畴上忠实，见《代数叠》引理 04Y5。这立即由 \(P \to R\) 是单态射以及《空间中的群胚》引理 044X 给出的商叠对象的显式描述得出。至此，由《代数叠》定义 03YK，我们知道 \([U/P] \to [U/R]\) 满和 étale 分别意味着什么。例如，满性由《可表示性判据》引理 06D7 以及域的谱上的商叠对象描述（见上引引理）得出。还需证明该态射是 étale 的。

为此，只需证明 \(U \times_{[U/R]} [U/P] \to U\) 是 étale 的，见《叠的性质》引理 04XD。由《空间中的群胚》引理 04Y4，该纤维积等于 \([R/P \times_{s, U, t} R]\)，而到 \(U\) 的态射由 \(s : R \to U\) 诱导。映射 \(s', t' : P \times_{s, U, t} R \to R\) 分别由 \(s' : (p, r) \mapsto r\) 和 \(t' : (p, r) \mapsto c(p, r)\) 给出。由于 \(P \subset R\) 是开的，可知 \((t', s') : P \times_{s, U, t} R \to R \times_{s, U, s} R\) 是开浸入。因此应用引理 0DU1 即得结论。

引理

设 \(\mathcal{X}\) 是代数叠。假设 \(\mathcal{X}\) 拟 DM 且对角态射分离（等价地，\(\mathcal{I}_\mathcal{X} \to \mathcal{X}\) 局部拟有限且分离）。设 \(x \in |\mathcal{X}|\)。则存在代数叠的态射 \[\mathcal{U} \longrightarrow \mathcal{X}\] ，具有下列性质：

存在映到 \(x\) 的点 \(u \in |\mathcal{U}|\)；

\(\mathcal{U} \to \mathcal{X}\) 可由代数空间表示且 étale；

\(\mathcal{U} = [U/R]\)，其中 \((U, R, s, t, c)\) 是概形群胚， \(U\)、\(R\) 仿射，而 \(s, t\) 有限、平坦且局部有限表现。

证明

（括号中的陈述由引理 0CL0 中的等价条件得出。）选取仿射概形 \(U\) 以及平坦、局部有限表现、局部拟有限的态射 \(U \to \mathcal{X}\)，使得 \(x\) 是某个点 \(u \in U\) 的像。由定理 06MF 以及 \(\mathcal{X}\) 拟 DM 的假设，这可以做到。令 \((U, R, s, t, c)\) 为取 \(R = U \times_\mathcal{X} U\) 所得的代数空间中的群胚，见《代数叠》引理 04T4。设 \(\mathcal{X}' \subset \mathcal{X}\) 是与 \(|U| \to |\mathcal{X}|\) 的开像对应的开子叠（《叠的性质》诸引理 04XL 和 06FJ）。显然，可以用开子叠 \(\mathcal{X}'\) 替换 \(\mathcal{X}\)。于是可以假设 \(U \to \mathcal{X}\) 满，此时《代数叠》评注 04WY 给出 \(\mathcal{X} = [U/R]\)。注意，\(s, t : R \to U\) 平坦、局部有限表现且局部拟有限。由于 \(R = U \times U \times_{(\mathcal{X} \times \mathcal{X})} \mathcal{X}\)，且 \(\mathcal{X}\) 的对角态射分离，可知 \(R\) 分离。因此 \(s, t : R \to U\) 分离。将《代数空间的态射》命题 03XX 应用于 \(s : R \to U\)，可知 \(R\) 是概形。

上文已经验证，\((U, R, s, t, c)\) 与 \(u\) 满足《空间中群胚的进一步内容》引理 04S0 的所有假设。因此，可以找到基本 étale 邻域 \((U', u') \to (U, u)\)，使得 \(R\) 在 \(U'\) 上的限制 \(R'\) 在 \(u\) 上拟分裂。注意，\(R' = U' \times_\mathcal{X} U'\)（略去一个小细节；提示：使用纤维积的传递性）。用 \((U', R', s', t', c')\) 替换 \((U, R, s, t, c)\)，并像上文那样缩小 \(\mathcal{X}\)，可以假设 \((U, R, s, t, c)\) 在 \(u\) 上有一个拟分裂（从《空间中群胚的进一步内容》定义 04RK 的脚注可见，从此以后点 \(u\) 已无关紧要）。设 \(P \subset R\) 是 \(R\) 在 \(u\) 上的一个拟分裂。应用引理 0DU2 可知 \[\mathcal{U} = [U/P] \longrightarrow [U/R] = \mathcal{X}\] 具有所有所需性质。

引理

设 \(\mathcal{X}\) 是代数叠。假设 \(\mathcal{X}\) 拟 DM 且对角态射分离（等价地，\(\mathcal{I}_\mathcal{X} \to \mathcal{X}\) 局部拟有限且分离）。设 \(x \in |\mathcal{X}|\)。假设 \(\mathcal{X}\) 在 \(x\) 处的自同构群有限（评注 0DTU）。则存在代数叠的态射 \[g : \mathcal{U} \longrightarrow \mathcal{X}\] ，具有下列性质：

存在映到 \(x\) 的点 \(u \in |\mathcal{U}|\)，且 \(g\) 诱导 \(u\) 与 \(x\) 处自同构群之间的同构（评注 0DTW）；

\(\mathcal{U} \to \mathcal{X}\) 可由代数空间表示且 étale；

\(\mathcal{U} = [U/R]\)，其中 \((U, R, s, t, c)\) 是概形群胚， \(U\)、\(R\) 仿射，而 \(s, t\) 有限、平坦且局部有限表现。

证明

由引理 0DTS，\(G_x\) 是群概形。证明的第一部分与引理 0DU3 的证明第一部分完全相同。因此，可以假设 \(\mathcal{X} = [U/R]\)，其中 \((U, R, s, t, c)\) 以及映到 \(x\) 的 \(u \in U\) 满足《空间中群胚的进一步内容》引理 04S0 的全部假设。关于 \(G_x\) 的假设蕴含 \(G_u\) 在 \(u\) 上有限。因此，《空间中群胚的进一步内容》引理 0DTE 的全部假设都成立。所以可以找到基本 étale 邻域 \((U', u') \to (U, u)\)，使得 \(R\) 在 \(U'\) 上的限制 \(R'\) 在 \(u\) 上分裂。注意， \(R' = U' \times_\mathcal{X} U'\)（略去一个小细节；提示：使用纤维积的传递性）。用 \((U', R', s', t', c')\) 替换 \((U, R, s, t, c)\)，并像上文那样缩小 \(\mathcal{X}\)，可以假设 \((U, R, s, t, c)\) 在 \(u\) 上有一个分裂。设 \(P \subset R\) 是 \(R\) 在 \(u\) 上的一个分裂。应用引理 0DU2 可知 \[\mathcal{U} = [U/P] \longrightarrow [U/R] = \mathcal{X}\] 可由代数空间表示且 étale。按构造，\(G_u\) 包含于 \(P\)，所以该态射在 \(u\) 处的自同构群上给出所需的同构。

引理

设 \(\mathcal{X}\) 是代数叠。假设 \(\mathcal{X}\) 拟 DM 且对角态射分离（等价地，\(\mathcal{I}_\mathcal{X} \to \mathcal{X}\) 局部拟有限且分离）。设 \(x \in |\mathcal{X}|\)。假设 \(x\) 可以由拟紧态射 \(\Spec(k) \to \mathcal{X}\) 表示。则存在代数叠的态射 \[g : \mathcal{U} \longrightarrow \mathcal{X}\] ，具有下列性质：

存在映到 \(x\) 的点 \(u \in |\mathcal{U}|\)，且 \(g\) 诱导 \(u\) 与 \(x\) 处剩余胚之间的同构；

\(\mathcal{U} \to \mathcal{X}\) 可由代数空间表示且 étale；

\(\mathcal{U} = [U/R]\)，其中 \((U, R, s, t, c)\) 是概形群胚， \(U\)、\(R\) 仿射，而 \(s, t\) 有限、平坦且局部有限表现。

证明

证明的第一部分与引理 0DU3 的证明第一部分完全相同。因此，可以假设 \(\mathcal{X} = [U/R]\)，其中 \((U, R, s, t, c)\) 以及映到 \(x\) 的 \(u \in U\) 满足《空间中群胚的进一步内容》引理 04S0 的全部假设。注意，\(u = \Spec(\kappa(u)) \to \mathcal{X}\) 拟紧，见《叠的性质》引理 0DTK。考虑笛卡儿图 \[\xymatrix{ F \ar[d] \ar[r] & U \ar[d] \\ u \ar[r]^u & \mathcal{X} }\] 由于 \(U\) 是仿射概形且 \(F \to U\) 拟紧，可知 \(F\) 拟紧。由于 \(U \to \mathcal{X}\) 局部拟有限，可知 \(F \to u\) 局部拟有限。因此 \(F \to u\) 拟有限，并且 \(F\) 是仿射概形，其底拓扑空间有限离散（《域上的代数空间》引理 06S0）。注意，我们有单态射 \(u \times_\mathcal{X} u \to F\)。特别地，集合 \(\{r \in R : s(r) = u, t(r) = u\}\) 是 \(|u \times_\mathcal{X} u| \to |R|\) 的像，故为有限集。于是，《空间中群胚的进一步内容》引理 04RZ 的全部假设成立。

所以可以找到基本 étale 邻域 \((U', u') \to (U, u)\)，使得 \(R\) 在 \(U'\) 上的限制 \(R'\) 在 \(u'\) 上强分裂。注意， \(R' = U' \times_\mathcal{X} U'\)（略去一个小细节；提示：使用纤维积的传递性）。用 \((U', R', s', t', c')\) 替换 \((U, R, s, t, c)\)，并像上文那样缩小 \(\mathcal{X}\)，可以假设 \((U, R, s, t, c)\) 在 \(u\) 上有一个强分裂。设 \(P \subset R\) 是 \(R\) 在 \(u\) 上的一个强分裂。应用引理 0DU2 可知 \[\mathcal{U} = [U/P] \longrightarrow [U/R] = \mathcal{X}\] 可由代数空间表示且 étale。由于 \(P \subset R\) 是开的，并且按构造包含 \(\{r \in R : s(r) = u, t(r) = u\}\)，可知 \(u \times_\mathcal{U} u \to u \times_\mathcal{X} u\) 是同构。关于剩余胚的陈述遂由《叠的性质》引理 0DTI 得出（注意，由引理 06UI，所涉及的剩余胚确实存在）。

光滑态射

代数空间态射“为光滑”的性质在源与靶上光滑局部，见《代数空间上的下降》评注 06FC。该性质在基变换下也稳定，并且在靶上 fpqc 局部，见《代数空间的态射》引理 03ZE 和《代数空间上的下降》引理 0429。因此，由上面的引理 06FM，可以如下定义代数空间的态射何时光滑；当该态射可由代数空间表示时，这一定义与《叠的性质》一节 04XB 中已有的概念一致。

定义

设 \(f : \mathcal{X} \to \mathcal{Y}\) 是代数叠的态射。若引理 06FM 的等价条件对 \(\mathcal{P} = \text{smooth}\) 成立，则称 \(f\) 光滑。

引理

光滑态射的复合仍光滑。

证明

结合评注 06FP 与《代数空间的态射》引理 03ZD。

引理

光滑态射的基变换仍光滑。

证明

结合评注 06FQ 与《代数空间的态射》引理 03ZE。

引理

设 \(f : \mathcal{X} \to \mathcal{Y}\) 是代数叠的态射。设 \(\mathcal{Z} \to \mathcal{Y}\) 是代数叠的满、平坦、局部有限表现态射。若基变换 \(\mathcal{Z} \times_\mathcal{Y} \mathcal{X} \to \mathcal{Z}\) 光滑，则 \(f\) 光滑。

证明

“光滑”这一性质满足引理 0DN6 的条件。在源与靶上光滑局部这一点已在本节导言中看到，而在靶上 fppf 局部是《代数空间上的下降》引理 0429。

引理

代数叠的光滑态射局部有限表现。

证明

略。

引理

设 \(f : \mathcal{X} \to \mathcal{Y}\) 是代数叠的态射。存在最大的开子叠 \(\mathcal{U} \subset \mathcal{X}\)，使得 \(f|_\mathcal{U} : \mathcal{U} \to \mathcal{Y}\) 光滑。此外，该开子叠的构造与下列操作交换：

前复合光滑态射；

沿平坦且局部有限表现的态射作基变换；

在 \(f\) 局部有限表现时，沿平坦态射作基变换。

证明

选取交换图 \[\xymatrix{ U \ar[d]_a \ar[r]_h & V \ar[d]^b \\ \mathcal{X} \ar[r]^f & \mathcal{Y} }\] ，其中 \(U\) 和 \(V\) 是代数空间，竖直箭头光滑，而 \(a : U \to \mathcal{X}\) 满。存在最大的开子空间 \(U' \subset U\)，使得 \(h_{U'} : U' \to V\) 光滑，见《代数空间的态射》引理 0DZI。设 \(\mathcal{U} \subset \mathcal{X}\) 是与 \(|U'| \to |\mathcal{X}|\) 的像对应的开子叠（《叠的性质》诸引理 04XL 和 06FJ）。由引理 06FM 中的等价性，可知 \(f|_\mathcal{U} : \mathcal{U} \to \mathcal{Y}\) 光滑，而且 \(\mathcal{U}\) 是具有该性质的最大开子叠。

断言 (1) 由光滑性在源上光滑局部这一事实得出（代数叠的光滑态射正是利用该性质定义的）。断言 (2) 和 (3) 由代数空间的情形得出，见《代数空间的态射》引理 0DZI。

引理

设 \(X \to Y\) 是代数空间的光滑态射。设 \(G\) 是 \(Y\) 上的群代数空间，它在 \(Y\) 上平坦且局部有限表现。设 \(G\) 在 \(Y\) 上作用于 \(X\)。则商叠 \([X/G]\) 在 \(Y\) 上光滑。

即使 \(G\) 在 \(Y\) 上不光滑，这也成立！

证明

由《可表示性判据》定理 06FI，商 \([X/G]\) 是代数叠。\([X/G]\) 在 \(Y\) 上的光滑性由光滑性可沿 fppf 覆盖下降这一事实得出：选取满光滑态射 \(U \to [X/G]\)，其中 \(U\) 是概形。 \([X/G]\) 在 \(Y\) 上光滑，等价于 \(U\) 在 \(Y\) 上光滑。注意， \(U \times_{[X/G]} X\) 在 \(X\) 上光滑，因而也在 \(Y\) 上光滑（因为光滑态射的复合仍光滑）。另一方面， \(U \times_{[X/G]} X \to U\) 局部有限表现、平坦且满（因为它是具有这些性质的 \(X \to [X/G]\) 的基变换；例如见《可表示性判据》引理 06FH）。因此，可以应用《代数空间上的下降》引理 0AHE。

引理

设 \(\pi : \mathcal{X} \to \mathcal{Y}\) 是代数叠的态射。若 \(\mathcal{X}\) 是 \(\mathcal{Y}\) 上的胚，则 \(\pi\) 满且光滑。

证明

满性已经在引理 06QI 中得到。由引理 0DN7，只需沿满、平坦、局部有限表现的态射 \(\mathcal{Y}' \to \mathcal{Y}\) 作基变换，用所得基变换替换 \(\pi\) 后证明本引理。由引理 06QH，可以假设 \(\mathcal{Y} = U\) 是代数空间，而 \(\mathcal{X} = [U/G]\) 是 \(U\) 上的叠，其中 \(G \to U\) 平坦且局部有限表现。此时由引理 0DLS 得证。

在源与靶上 étale–光滑局部的态射类型

给定代数空间态射的一个在源与靶上 étale–光滑局部的性质（见《代数空间上的下降》定义 0CFZ），可以用它定义代数叠的 DM 态射的相应性质，即要求下述引理的任一等价条件成立。

引理

设 \(\mathcal{P}\) 是代数空间态射的一个在源与靶上 étale–光滑局部的性质。设 \(f : \mathcal{X} \to \mathcal{Y}\) 是代数叠的 DM 态射。考虑交换图 \[\xymatrix{ U \ar[d]_a \ar[r]_h & V \ar[d]^b \\ \mathcal{X} \ar[r]^f & \mathcal{Y} }\] ，其中 \(U\) 和 \(V\) 是代数空间，\(V \to \mathcal{Y}\) 光滑，而 \(U \to \mathcal{X} \times_\mathcal{Y} V\) 是 étale 的。下列条件等价：

对任意上述交换图，态射 \(h\) 具有性质 \(\mathcal{P}\)；

对某个满足 \(a : U \to \mathcal{X}\) 为满的上述交换图，态射 \(h\) 具有性质 \(\mathcal{P}\)。

若 \(\mathcal{X}\) 和 \(\mathcal{Y}\) 可由代数空间表示，则这些条件还等价于 \(f\)（作为代数空间的态射）具有性质 \(\mathcal{P}\)。若 \(\mathcal{P}\) 还在任意基变换下保持，并且在基上 fppf 局部，则对可由代数空间表示的态射 \(f\)，这些条件还等价于 \(f\) 在《叠的性质》一节 04XB 的意义下具有性质 \(\mathcal{P}\)。

证明

先证明 (1) \(\Rightarrow\) (2)。选取代数空间 \(V\) 以及满光滑态射 \(V \to \mathcal{Y}\)。由于 \(f\) 是 DM 的，存在概形 \(U\) 以及满 étale 态射 \(U \to V \times_\mathcal{Y} \mathcal{X}\)，见引理 0CIA。于是可见 (2) 成立。注意，\(U \to \mathcal{X}\) 也满且光滑，因为它是基变换 \(\mathcal{X} \times_\mathcal{Y} V \to \mathcal{X}\) 与所选映射 \(U \to \mathcal{X} \times_\mathcal{Y} V\) 的复合。因此得到了 (1) 中所述的交换图。所以若 (1) 成立，则 \(h : U \to V\) 具有性质 \(\mathcal{P}\)；又因 \(U \to \mathcal{X}\) 满，这正说明 (2) 成立。

反之，假设 (2) 成立，并设 \(U, V, a, b, h\) 如 (2) 所述。再任取 (1) 中所述的交换图 \(U', V', a', b', h'\)。图示为 \[\xymatrix{ U \ar[d] \ar[r]_h & V \ar[d] \\ \mathcal{X} \ar[r]^f & \mathcal{Y} } \quad\quad \xymatrix{ U' \ar[d] \ar[r]_{h'} & V' \ar[d] \\ \mathcal{X} \ar[r]^f & \mathcal{Y} }\] 为证明 (2) 蕴含 (1)，必须证明 \(h'\) 具有 \(\mathcal{P}\)。为此，考虑代数空间的交换图 \[\xymatrix{ U \ar[d]^h & U \times_\mathcal{X} U' \ar[l] \ar[d]^{(h, h')} \ar[r] & U' \ar[d]^{h'} \\ V & V \times_\mathcal{Y} V' \ar[l] \ar[r] & V' }\] 。注意，水平箭头都是光滑态射 \(V \to \mathcal{Y}\)、\(V' \to \mathcal{Y}\)、\(U \to \mathcal{X}\) 和 \(U' \to \mathcal{X}\) 的基变换，因而光滑。还要注意，下列方块 \[\xymatrix{ U \ar[d] & U \times_\mathcal{X} U' \ar[l] \ar[d] & U \times_\mathcal{X} U' \ar[d] \ar[r] & U' \ar[d] \\ V \times_\mathcal{Y} \mathcal{X} & V \times_\mathcal{Y} U' \ar[l] & U \times_\mathcal{Y} V' \ar[r] & \mathcal{X} \times_\mathcal{Y} V' }\] 是笛卡儿的，故由对 \(U', V', a', b', h'\) 和 \(U, V, a, b, h\) 的假设，竖直箭头都是 étale 的。由《代数空间上的下降》引理 0CG0 的 (2)， \(\mathcal{P}\) 在靶上光滑局部，因此 \(h\) 的基变换 \(t : U \times_\mathcal{Y} V' \to V \times_\mathcal{Y} V'\) 具有 \(\mathcal{P}\)。由《代数空间上的下降》引理 0CG0 的 (1)， \(\mathcal{P}\) 在源上 étale 局部；又因 \(s : U \times_\mathcal{X} U' \to U \times_\mathcal{Y} V'\) 是 étale 的，可知态射 \((h, h') = t \circ s\) 具有 \(\mathcal{P}\)。考虑交换图 \[\xymatrix{ U \times_\mathcal{X} U' \ar[r]_{(h, h')} \ar[d] & V \times_\mathcal{Y} V' \ar[d] \\ U' \ar[r]^{h'} & V' }\] 左侧竖直箭头满，右侧竖直箭头光滑，而诱导态射 \[U \times_\mathcal{X} U' \longrightarrow U' \times_{V'} (V \times_\mathcal{Y} V') = V \times_\mathcal{Y} U'\] 如上所见是 étale 的。因此，由《代数空间上的下降》定义 0CFZ 的 (3)，可知 \(h'\) 具有 \(\mathcal{P}\)。这就证明了 (1) 与 (2) 的等价性。

若 \(\mathcal{X}\) 和 \(\mathcal{Y}\) 可表，则《代数空间上的下降》引理 0CG1 适用，并说明 (1) 和 (2) 等价于 \(f\) 具有 \(\mathcal{P}\)。

最后，假设 \(f\) 可表，\(U, V, a, b, h\) 如本引理 (2) 所述，并且 \(\mathcal{P}\) 在任意基变换下保持。必须证明，对任意概形 \(Z\) 和态射 \(Z \to \mathcal{X}\)，基变换 \(Z \times_\mathcal{Y} \mathcal{X} \to Z\) 具有性质 \(\mathcal{P}\)。考虑交换图 \[\xymatrix{ Z \times_\mathcal{Y} U \ar[d] \ar[r] & Z \times_\mathcal{Y} V \ar[d] \\ Z \times_\mathcal{Y} \mathcal{X} \ar[r] & Z }\] 注意，顶部水平箭头是 \(h\) 的基变换，因而具有性质 \(\mathcal{P}\)。左侧竖直箭头满，诱导态射 \[Z \times_\mathcal{Y} U \longrightarrow (Z \times_\mathcal{Y} \mathcal{X}) \times_Z (Z \times_\mathcal{Y} V)\] 是 étale 的，而右侧竖直箭头光滑。因此，《代数空间上的下降》引理 0CG1 适用，并说明 \(Z \times_\mathcal{Y} \mathcal{X} \to Z\) 具有性质 \(\mathcal{P}\)。

定义

设 \(\mathcal{P}\) 是代数空间态射的一个在源与靶上 étale–光滑局部的性质。若引理 06FM 的等价条件成立，则称代数叠的 DM 态射 \(f : \mathcal{X} \to \mathcal{Y}\) 具有性质 \(\mathcal{P}\)。

注

设 \(\mathcal{P}\) 是代数空间态射的一个在源与靶上 étale–光滑局部并且在复合下稳定的性质。则定义 0CIG 所定义的代数叠 DM 态射的相应性质在复合下稳定。事实上，设 \(f : \mathcal{X} \to \mathcal{Y}\) 和 \(g : \mathcal{Y} \to \mathcal{Z}\) 是具有性质 \(\mathcal{P}\) 的代数叠 DM 态射。由引理 050K，复合 \(g \circ f\) 是 DM 的。选取代数空间 \(W\) 以及满光滑态射 \(W \to \mathcal{Z}\)。选取代数空间 \(V\) 以及满 étale 态射 \(V \to \mathcal{Y} \times_\mathcal{Z} W\) （引理 0CIA）。再选取代数空间 \(U\) 以及满 étale 态射 \(U \to \mathcal{X} \times_\mathcal{Y} V\)。按定义，态射 \(V \to W\) 和 \(U \to V\) 具有性质 \(\mathcal{P}\)。由于假设 \(\mathcal{P}\) 在复合下稳定，故 \(U \to W\) 具有性质 \(\mathcal{P}\)。再次由定义可知，\(g \circ f : \mathcal{X} \to \mathcal{Z}\) 具有性质 \(\mathcal{P}\)。

注

设 \(\mathcal{P}\) 是代数空间态射的一个在源与靶上 étale–光滑局部并且在基变换下稳定的性质。则定义 0CIG 所定义的代数叠 DM 态射的相应性质在任意基变换下稳定。事实上，设 \(f : \mathcal{X} \to \mathcal{Y}\) 是代数叠的 DM 态射，而 \(g : \mathcal{Y}' \to \mathcal{Y}\) 是代数叠的态射，并假设 \(f\) 具有性质 \(\mathcal{P}\)。则基变换 \(\mathcal{Y}' \times_\mathcal{Y} \mathcal{X} \to \mathcal{Y}'\) 由引理 050F 是 DM 态射。选取代数空间 \(V\) 以及满光滑态射 \(V \to \mathcal{Y}\)。选取代数空间 \(U\) 以及满 étale 态射 \(U \to \mathcal{X} \times_\mathcal{Y} V\)（引理 0CIA）。最后，选取代数空间 \(V'\) 以及满光滑态射 \(V' \to \mathcal{Y}' \times_\mathcal{Y} V\)。按定义，态射 \(U \to V\) 具有性质 \(\mathcal{P}\)。由于假设 \(\mathcal{P}\) 在基变换下稳定， \(V' \times_V U \to V'\) 也具有性质 \(\mathcal{P}\)。考虑交换图 \[\xymatrix{ V' \times_V U \ar[r] \ar[d] & \mathcal{Y}' \times_\mathcal{Y} \mathcal{X} \ar[r] \ar[d] & \mathcal{X} \ar[d] \\ V' \ar[r] & \mathcal{Y}' \ar[r] & \mathcal{Y} }\] 可知左上方水平箭头满，并且 \[V' \times_V U \to V' \times_\mathcal{Y} (\mathcal{Y}' \times_{\mathcal{Y}'} \mathcal{X}) = V' \times_V (\mathcal{X} \times_\mathcal{Y} V)\] 作为 \(U \to \mathcal{X} \times_\mathcal{Y} V\) 的基变换是 étale 的。所以由定义可知，投影 \(\mathcal{Y}' \times_\mathcal{Y} \mathcal{X} \to \mathcal{Y}'\) 具有性质 \(\mathcal{P}\)。

注

设 \(\mathcal{P}, \mathcal{P}'\) 是代数空间态射的两个在源与靶上 étale–光滑局部的性质。假设对代数空间的态射有 \(\mathcal{P} \Rightarrow \mathcal{P}'\)。则对利用 \(\mathcal{P}\) 和 \(\mathcal{P}'\) 在定义 0CIG 中定义的代数叠态射的性质，也有 \(\mathcal{P} \Rightarrow \mathcal{P}'\)。这由定义显然成立。

Étale 态射

不应把代数叠的 étale 态射定义为相对维数 \(0\) 的光滑态射。事实上，态射 \[[\mathbf{A}^1_k/\mathbf{G}_{m, k}] \longrightarrow \Spec(k)\] 对群概形 \(\mathbf{G}_{m, k}\) 在 \(\mathbf{A}^1_k\) 上的任意作用都是相对维数 \(0\) 的光滑态射。这与通常认为 étale 态射应当认同切空间的观念不符。上例不是拟有限的，但态射 \[\mathcal{X} = [\Spec(k)/\mu_{p, k}] \longrightarrow \Spec(k)\] 光滑且拟有限（一节 06PT）。然而，若 \(k\) 的特征为 \(p > 0\)，则可表态射 \(\Spec(k) \to \mathcal{X}\) 不是 étale 的，因为其基变换 \(\mu_{p, k} = \Spec(k) \times_\mathcal{X} \Spec(k) \to \Spec(k)\) 是从非约化概形到域的谱的态射。因此，若把 étale 态射定义为光滑且局部拟有限的态射，则《代数空间的态射》引理 05W3 的类似结论将不成立。

我们的做法则从下列要求出发：“étale 性”应当是在基变换下保持的性质；并且若 \(\mathcal{X} \to X\) 是从代数叠到概形的 étale 态射，则 \(\mathcal{X}\) 应为 Deligne–Mumford 叠。换言之，我们要求 étale 态射为 DM 态射，并用一节 0CIE 的内容定义代数叠的 étale 态射。

在引理 0CJ1 中，我们将把代数叠的 étale 态射刻画为满足下列条件的态射：(a) 局部有限表现，(b) 平坦，且 (c) 对角态射为 étale。

代数空间态射“为 étale”的性质在源与靶上 étale–光滑局部，见《代数空间上的下降》评注 0CG3。该性质在基变换下也稳定，并且在靶上 fpqc 局部，见《代数空间的态射》引理 0466 和《代数空间上的下降》引理 042B。因此，由上面的引理 0CIF，可以如下定义代数空间的态射何时为 étale；当该态射可由代数空间表示时，这一定义与《叠的性质》一节 04XB 中已有的概念一致，因为由引理 050E，这种态射自动是 DM 的。

定义

设 \(f : \mathcal{X} \to \mathcal{Y}\) 是代数叠的态射。若 \(f\) 是 DM 的，并且引理 0CIF 的等价条件对 \(\mathcal{P} = \etale\) 成立，则称 \(f\) 为 étale。

下文将不再特别说明：当 \(f\) 可由代数空间表示，或 \(\mathcal{X}\) 和 \(\mathcal{Y}\) 可由代数空间表示时，这一定义与已有的 étale 态射概念一致。

引理

Étale 态射的复合仍为 étale。

证明

结合评注 0CIH 与《代数空间的态射》引理 0465。

引理

Étale 态射的基变换仍为 étale。

证明

结合评注 0CII 与《代数空间的态射》引理 0466。

引理

开浸入是 étale 的。

证明

设 \(j : \mathcal{U} \to \mathcal{X}\) 是代数叠的开浸入。由于 \(j\) 可表，由引理 050E，它是 DM 的。另一方面，若 \(X \to \mathcal{X}\) 是满光滑态射，其中 \(X\) 是概形，则 \(U = \mathcal{U} \times_\mathcal{X} X\) 是 \(X\) 的开子概形。因此 \(U \to X\) 是 étale 的（《态射》引理 02GP），由定义可知 \(j\) 是 étale 的。

引理

设 \(f : \mathcal{X} \to \mathcal{Y}\) 是代数叠的态射。下列条件等价：

\(f\) 是 étale 的；

\(f\) 是 DM 的，并且对任意态射 \(V \to \mathcal{Y}\)（其中 \(V\) 是代数空间）以及任意 étale 态射 \(U \to V \times_\mathcal{Y} \mathcal{X}\)（其中 \(U\) 是代数空间），态射 \(U \to V\) 都是 étale 的；

存在满、局部有限表现、平坦的态射 \(W \to \mathcal{Y}\)（其中 \(W\) 是代数空间）以及满 étale 态射 \(T \to W \times_\mathcal{Y} \mathcal{X}\)（其中 \(T\) 是代数空间），使得态射 \(T \to W\) 是 étale 的。

证明

假设 (1)。则 \(f\) 是 DM 的；由于 étale 性在基变换下保持，(2) 成立。

假设 (2)。选取概形 \(V\) 以及满 étale 态射 \(V \to \mathcal{Y}\)。选取概形 \(U\) 以及满 étale 态射 \(U \to V \times_\mathcal{Y} \mathcal{X}\)（引理 0CIA）。于是 (3) 成立。

假设 \(W \to \mathcal{Y}\) 和 \(T \to W \times_\mathcal{Y} \mathcal{X}\) 如 (3) 所述。先验证 \(f\) 是 DM 的。只需验证 \(W \times_\mathcal{Y} \mathcal{X} \to W\) 是 DM 的，见引理 06TZ。由引理 050M，只需验证 \(W \times_\mathcal{Y} \mathcal{X}\) 是 DM 叠。这由态射 \(T \to W \times_\mathcal{Y} \mathcal{X}\) 的存在性以及定理 06N3 的容易方向得出。

假设 \(f\) 是 DM 的，且 \(W \to \mathcal{Y}\) 和 \(T \to W \times_\mathcal{Y} \mathcal{X}\) 如 (3) 所述。设 \(V\) 是代数空间，\(V \to \mathcal{Y}\) 满且光滑；设 \(U\) 是代数空间，并令 \(U \to V \times_\mathcal{Y} \mathcal{X}\) 满且 étale （引理 0CIA）。必须验证 \(U \to V\) 是 étale 的。由《代数空间上的下降》引理 042B，只需证明 \(U \times_\mathcal{Y} W \to V \times_\mathcal{Y} W\) 是 étale 的。可以依次用 \(\mathcal{X} \times_\mathcal{Y} W, W, W, T, U \times_\mathcal{Y} W, V \times_\mathcal{Y} W\) 替换 \(\mathcal{X}, \mathcal{Y}, W, T, U, V\)（略去一个小细节）。因此可以假设 \(Y = \mathcal{Y}\) 是代数空间，存在代数空间 \(T\) 以及满 étale 态射 \(T \to \mathcal{X}\)，使得 \(T \to Y\) 是 étale 的，而 \(U\) 和 \(V\) 仍如上所述。在此情形，有 \[U \to V\text{ is \'etale} \Leftrightarrow \mathcal{X} \to Y\text{ is \'etale} \Leftrightarrow T \to Y\text{ is \'etale}\] ，这是引理 0CIF 的性质 (1) 与 (2) 的等价性以及定义 0CIL 所给出的。证明完成。

引理

设 \(\mathcal{X}, \mathcal{Y}\) 是在代数叠 \(\mathcal{Z}\) 上 étale 的代数叠。任意 \(\mathcal{Z}\) 上的态射 \(\mathcal{X} \to \mathcal{Y}\) 都是 étale 的。

证明

由引理 050M，态射 \(\mathcal{X} \to \mathcal{Y}\) 是 DM 的。设 \(W \to \mathcal{Z}\) 是源为代数空间的满光滑态射。设 \(V \to \mathcal{Y} \times_\mathcal{Z} W\) 是源为代数空间的满 étale 态射（引理 0CIA）。设 \(U \to \mathcal{X} \times_\mathcal{Y} V\) 是源为代数空间的满 étale 态射（引理 0CIA）。则 \[U \longrightarrow \mathcal{X} \times_\mathcal{Z} W\] 是满 étale 态射，因为它是 \(U \to \mathcal{X} \times_\mathcal{Y} V\) 与 \(V \to \mathcal{Y} \times_\mathcal{Z} W\) 沿 \(\mathcal{X} \times_\mathcal{Z} W \to \mathcal{Y} \times_\mathcal{Z} W\) 所得基变换的复合。因此，只需证明 \(U \to W\) 是 étale 的。由于 \(\mathcal{X} \to \mathcal{Z}\) 和 \(\mathcal{Y} \to \mathcal{Z}\) 是 étale 的，\(U \to W\) 和 \(V \to W\) 也都是 étale 的；所需结论由代数空间版本的引理，即《代数空间的态射》引理 05W3 得出。

非分歧态射

关于我们为何选择这个非分歧态射的定义，请读者参阅 étale 态射一节 0CIK 中的讨论。

在引理 0CJ0 中，我们将把代数叠的非分歧态射刻画为局部有限型且对角态射为 étale 的态射。

代数空间态射“为非分歧”的性质在源与靶上 étale–光滑局部，见《代数空间上的下降》评注 0CG3。该性质在基变换下也稳定，并且在靶上 fpqc 局部，见《代数空间的态射》引理 03ZJ 和《代数空间上的下降》引理 042A。因此，由上面的引理 0CIF，可以如下定义代数空间的态射何时非分歧；当该态射可由代数空间表示时，这一定义与《叠的性质》一节 04XB 中已有的概念一致，因为由引理 050E，这种态射自动是 DM 的。

定义

设 \(f : \mathcal{X} \to \mathcal{Y}\) 是代数叠的态射。若 \(f\) 是 DM 的，并且引理 0CIF 的等价条件对 \(\mathcal{P} =\)“非分歧”成立，则称 \(f\) 非分歧。

下文将不再特别说明：当 \(f\) 可由代数空间表示，或 \(\mathcal{X}\) 和 \(\mathcal{Y}\) 可由代数空间表示时，这一定义与已有的非分歧态射概念一致。

引理

非分歧态射的复合仍非分歧。

证明

结合评注 0CIH 与《代数空间的态射》引理 03ZI。

引理

非分歧态射的基变换仍非分歧。

证明

结合评注 0CII 与《代数空间的态射》引理 03ZJ。

引理

Étale 态射是非分歧的。

证明

由评注 0CIJ 和《代数空间的态射》引理 06CR 得出。

引理

浸入是非分歧的。

证明

设 \(j : \mathcal{Z} \to \mathcal{X}\) 是代数叠的浸入。由于 \(j\) 可表，由引理 050E，它是 DM 的。另一方面，若 \(X \to \mathcal{X}\) 是满光滑态射，其中 \(X\) 是概形，则 \(Z = \mathcal{Z} \times_\mathcal{X} X\) 是 \(X\) 的局部闭子概形。因此 \(Z \to X\) 非分歧（《态射》诸引理 02GB 和 02GC），由定义可知 \(j\) 非分歧。

引理

设 \(f : \mathcal{X} \to \mathcal{Y}\) 是代数叠的态射。下列条件等价：

\(f\) 非分歧；

\(f\) 是 DM 的，并且对任意态射 \(V \to \mathcal{Y}\)（其中 \(V\) 是代数空间）以及任意 étale 态射 \(U \to V \times_\mathcal{Y} \mathcal{X}\)（其中 \(U\) 是代数空间），态射 \(U \to V\) 都非分歧；

存在满、局部有限表现、平坦的态射 \(W \to \mathcal{Y}\)（其中 \(W\) 是代数空间）以及满 étale 态射 \(T \to W \times_\mathcal{Y} \mathcal{X}\)（其中 \(T\) 是代数空间），使得态射 \(T \to W\) 非分歧。

证明

假设 (1)。则 \(f\) 是 DM 的；由于非分歧性在基变换下保持，(2) 成立。

假设 (2)。选取概形 \(V\) 以及满 étale 态射 \(V \to \mathcal{Y}\)。选取概形 \(U\) 以及满 étale 态射 \(U \to V \times_\mathcal{Y} \mathcal{X}\)（引理 0CIA）。于是 (3) 成立。

假设 \(W \to \mathcal{Y}\) 和 \(T \to W \times_\mathcal{Y} \mathcal{X}\) 如 (3) 所述。先验证 \(f\) 是 DM 的。只需验证 \(W \times_\mathcal{Y} \mathcal{X} \to W\) 是 DM 的，见引理 06TZ。由引理 050M，只需验证 \(W \times_\mathcal{Y} \mathcal{X}\) 是 DM 叠。这由态射 \(T \to W \times_\mathcal{Y} \mathcal{X}\) 的存在性以及定理 06N3 的容易方向得出。

假设 \(f\) 是 DM 的，且 \(W \to \mathcal{Y}\) 和 \(T \to W \times_\mathcal{Y} \mathcal{X}\) 如 (3) 所述。设 \(V\) 是代数空间，\(V \to \mathcal{Y}\) 满且光滑；设 \(U\) 是代数空间，并令 \(U \to V \times_\mathcal{Y} \mathcal{X}\) 满且 étale （引理 0CIA）。必须验证 \(U \to V\) 非分歧。由《代数空间上的下降》引理 042A，只需证明 \(U \times_\mathcal{Y} W \to V \times_\mathcal{Y} W\) 非分歧。可以依次用 \(\mathcal{X} \times_\mathcal{Y} W, W, W, T, U \times_\mathcal{Y} W, V \times_\mathcal{Y} W\) 替换 \(\mathcal{X}, \mathcal{Y}, W, T, U, V\)（略去一个小细节）。因此可以假设 \(Y = \mathcal{Y}\) 是代数空间，存在代数空间 \(T\) 以及满 étale 态射 \(T \to \mathcal{X}\)，使得 \(T \to Y\) 非分歧，而 \(U\) 和 \(V\) 仍如上所述。在此情形，有 \[U \to V\text{ is unramified} \Leftrightarrow \mathcal{X} \to Y\text{ is unramified} \Leftrightarrow T \to Y\text{ is unramified}\] ，这是引理 0CIF 的性质 (1) 与 (2) 的等价性以及定义 0CIT 所给出的。证明完成。

引理

代数叠的非分歧态射局部拟有限。

证明

这由引理 0CIY（非分歧态射的刻画）、引理 06UF（局部拟有限态射的刻画），以及《代数空间的态射》引理 05W0（代数空间的相应结果）得出。

引理

设 \(\mathcal{X} \to \mathcal{Y} \to \mathcal{Z}\) 是代数叠的态射。若 \(\mathcal{X} \to \mathcal{Z}\) 非分歧，且 \(\mathcal{Y} \to \mathcal{Z}\) 是 DM 的，则 \(\mathcal{X} \to \mathcal{Y}\) 非分歧。

证明

假设 \(\mathcal{X} \to \mathcal{Z}\) 非分歧。由引理 050M，态射 \(\mathcal{X} \to \mathcal{Y}\) 是 DM 的。选取交换图 \[\xymatrix{ U \ar[d] \ar[r] & V \ar[d] \ar[r] & W \ar[d] \\ \mathcal{X} \ar[r] & \mathcal{Y} \ar[r] & \mathcal{Z} }\] ，其中 \(U, V, W\) 是代数空间，\(W \to \mathcal{Z}\) 满且光滑， \(V \to \mathcal{Y} \times_\mathcal{Z} W\) 满且 étale，而 \(U \to \mathcal{X} \times_\mathcal{Y} V\) 满且 étale （见引理 0CIA）。于是 \(U \to \mathcal{X} \times_\mathcal{Z} W\) 也满且 étale。因此已知 \(U \to W\) 非分歧，而必须证明 \(U \to V\) 非分歧。这由《代数空间的态射》引理 06G6 得出。

引理

设 \(f : \mathcal{X} \to \mathcal{Y}\) 是代数叠的态射。下列条件等价：

\(f\) 非分歧；

\(f\) 局部有限型，且其对角态射为 étale。

证明

假设 \(f\) 非分歧。则 \(f\) 是 DM 的，因而可以选取代数空间 \(U\)、\(V\)，满光滑态射 \(V \to \mathcal{Y}\)，以及满 étale 态射 \(U \to \mathcal{X} \times_\mathcal{Y} V\)（引理 0CIA）。由于 \(f\) 非分歧，诱导态射 \(U \to V\) 非分歧。因此 \(U \to V\) 局部有限型（《代数空间的态射》引理 05VZ），从而 \(f\) 局部有限型。对角态射 \(\Delta : \mathcal{X} \to \mathcal{X} \times_\mathcal{Y} \mathcal{X}\) 是 \(\mathcal{Y}\) 上代数叠的态射。\(\Delta\) 沿满光滑态射 \(V \to \mathcal{Y}\) 的基变换，是 \(f\) 的基变换，即 \(\mathcal{X}_V = \mathcal{X} \times_\mathcal{Y} V \to V\) 的对角态射。换言之，图 \[\xymatrix{ \mathcal{X}_V \ar[r] \ar[d] & \mathcal{X}_V \times_V \mathcal{X}_V \ar[d] \\ \mathcal{X} \ar[r] & \mathcal{X} \times_\mathcal{Y} \mathcal{X} }\] 是笛卡儿的。由于右侧竖直箭头满且光滑，由《叠的性质》引理 06TY，只需证明顶部水平箭头为 étale。考虑交换图 \[\xymatrix{ U \ar[d] \ar[r] & U \times_V U \ar[d] \\ \mathcal{X}_V \ar[r] & \mathcal{X}_V \times_V \mathcal{X}_V }\] 其中所有箭头都可由代数空间表示，竖直箭头为 étale，左侧竖直箭头满，而由《代数空间的态射》引理 05W1，顶部水平箭头是开浸入。这蕴含所需结论：首先，作为 étale 态射的复合， \(U \to \mathcal{X}_V \times_V \mathcal{X}_V\) 是 étale 的；然后应用《叠的性质》引理 06M2 可知 \(\mathcal{X}_V \to \mathcal{X}_V \times_V \mathcal{X}_V\) 是 étale 的，因为对代数空间的态射而言，étale 性在源上对 étale 拓扑局部（《代数空间上的下降》引理 06F4）。

假设 \(f\) 局部有限型且其对角态射为 étale。由于代数空间的 étale 态射非分歧，按定义 \(f\) 是 DM 的。因此，像上文一样，可以选取代数空间 \(U\)、\(V\)，满光滑态射 \(V \to \mathcal{Y}\)，以及满 étale 态射 \(U \to \mathcal{X} \times_\mathcal{Y} V\)（引理 0CIA）。为完成证明，必须证明 \(U \to V\) 非分歧。已经知道 \(U \to V\) 局部有限型。像上文一样，得到交换图 \[\xymatrix{ U \ar[d] \ar[r] & U \times_V U \ar[d] \\ \mathcal{X}_V \ar[r] & \mathcal{X}_V \times_V \mathcal{X}_V }\] ，其中所有箭头都可由代数空间表示，竖直箭头为 étale，而底部水平箭头作为 \(\Delta\) 的基变换也是 étale 的。例如由引理 0CIR ⁷，可知 \(U \to U \times_V U\) 是 étale 的。因此， \(U \to U \times_V U\) 是 étale 单态射，故为开浸入（《代数空间的态射》引理 05W5）。于是由《代数空间的态射》引理 05W1， \(U \to V\) 非分歧。

引理

设 \(f : \mathcal{X} \to \mathcal{Y}\) 是代数叠的态射。下列条件等价：

\(f\) 是 étale 的；

\(f\) 局部有限表现、平坦且非分歧；

\(f\) 局部有限表现、平坦，且其对角态射为 étale。

证明

(2) 与 (3) 的等价性立即由引理 0CJ0 得出。所以在每种情形下，态射 \(f\) 都是 DM 的。于是可以选取代数空间 \(U\)、\(V\)，满光滑态射 \(V \to \mathcal{Y}\)，以及满 étale 态射 \(U \to \mathcal{X} \times_\mathcal{Y} V\)（引理 0CIA）。为完成证明，必须证明 \(U \to V\) 是 étale 的，当且仅当它局部有限表现、平坦且非分歧。这由《代数空间的态射》引理 06LU 得出（以及更为平凡的《代数空间的态射》诸引理 06CR、 0468 和 0467）。

固有态射

固有态射的概念在代数几何中起着重要作用。下面定义代数叠的固有态射。

定义

设 \(f : \mathcal{X} \to \mathcal{Y}\) 是代数叠的态射。若 \(f\) 分离、有限型且泛闭，则称 \(f\) 固有。

这与已有的代数空间固有态射概念并不冲突：代数空间的态射固有，当且仅当它分离、有限型且泛闭（《代数空间的态射》定义 03ZM）；而我们已经在引理 04YS、一节 06FR 和引理 0512 中验证了这些概念的相容性。类似地，若 \(f : \mathcal{X} \to \mathcal{Y}\) 是可由代数空间表示的代数叠态射，则《叠的性质》一节 04XB 已定义 \(f\) 何时固有。然而，该节的讨论说明，这等价于要求 \(f\) 分离、有限型且泛闭，而上引同一批结果给出了相容性。

引理

固有态射的基变换仍固有。

证明

见引理 050F、 06FU 和 0514。

引理

固有态射的复合仍固有。

证明

见引理 050K、 06FT 和 0515。

引理

代数叠的闭浸入是代数叠的固有态射。

证明

按定义，闭浸入可表（《叠的性质》定义 04YL）。因此，结论由《叠的性质》一节 04XB 的讨论以及代数空间态射的相应结果得出，见《代数空间的态射》引理 04XZ。

引理

考虑代数叠的交换图 \[\xymatrix{ \mathcal{X} \ar[rr] \ar[rd] & & \mathcal{Y} \ar[ld] \\ & \mathcal{Z} & }\]

若 \(\mathcal{X} \to \mathcal{Z}\) 泛闭，而 \(\mathcal{Y} \to \mathcal{Z}\) 分离，则态射 \(\mathcal{X} \to \mathcal{Y}\) 泛闭。特别地，\(|\mathcal{X}|\) 在 \(|\mathcal{Y}|\) 中的像是闭的。

若 \(\mathcal{X} \to \mathcal{Z}\) 固有，而 \(\mathcal{Y} \to \mathcal{Z}\) 分离，则态射 \(\mathcal{X} \to \mathcal{Y}\) 固有。

证明

假设 \(\mathcal{X} \to \mathcal{Z}\) 泛闭，且 \(\mathcal{Y} \to \mathcal{Z}\) 分离。把该态射分解为 \(\mathcal{X} \to \mathcal{X} \times_\mathcal{Z} \mathcal{Y} \to \mathcal{Y}\). 第一个态射固有（引理 050I），因而泛闭。投影 \(\mathcal{X} \times_\mathcal{Z} \mathcal{Y} \to \mathcal{Y}\) 是泛闭态射的基变换，故泛闭，见引理 0514。所以，作为泛闭态射的复合， \(\mathcal{X} \to \mathcal{Y}\) 泛闭，见引理 0515。这证明了 (1)。为推出 (2)，把 (1) 与引理 050M、 050Y 和 06U9 结合即可。

引理

设 \(\mathcal{Z}\) 是代数叠。设 \(f : \mathcal{X} \to \mathcal{Y}\) 是 \(\mathcal{Z}\) 上代数叠的态射。若 \(\mathcal{X}\) 在 \(\mathcal{Z}\) 上泛闭，且 \(f\) 满，则 \(\mathcal{Y}\) 在 \(\mathcal{Z}\) 上泛闭。特别地，若 \(\mathcal{Y}\) 还在 \(\mathcal{Z}\) 上分离且有限型，则 \(\mathcal{Y}\) 在 \(\mathcal{Z}\) 上固有。

证明

假设 \(\mathcal{X}\) 泛闭且 \(f\) 满。记结构态射为 \(p : \mathcal{X} \to \mathcal{Z}\) 和 \(q : \mathcal{Y} \to \mathcal{Z}\)。设 \(\mathcal{Z}' \to \mathcal{Z}\) 是代数叠的态射。\(f\) 沿 \(\mathcal{Z}' \to \mathcal{Z}\) 的基变换 \(f' : \mathcal{X}' \to \mathcal{Y}'\) 满（《叠的性质》引理 04ZU），而 \(p\) 的基变换 \(p' : \mathcal{X}' \to \mathcal{Z}'\) 是闭映射。若 \(T \subset |\mathcal{Y}'|\) 闭，则 \((f')^{-1}(T) \subset |\mathcal{X}'|\) 闭，因而 \(p'((f')^{-1}(T)) = q'(T)\) 闭。所以 \(q'\) 是闭映射。

概形论像

定义如下。

定义

设 \(f : \mathcal{X} \to \mathcal{Y}\) 是代数叠的态射。\(f\) 的 概形论像是使 \(f\) 经由其分解的最小闭子叠 \(\mathcal{Z} \subset \mathcal{Y}\)⁸。

我们常也用 \(f : \mathcal{X} \to \mathcal{Z}\) 表示 \(f\) 的这一分解。若态射 \(f\) 不拟紧，则概形论像的构造通常不与到 \(\mathcal{Y}\) 的开子叠的限制交换。然而，若 \(f\) 拟紧，则概形论像与平坦基变换交换（引理 0CMK）。

引理

设 \(f : \mathcal{X} \to \mathcal{Y}\) 是代数叠的态射。设 \(g : \mathcal{W} \to \mathcal{X}\) 是代数叠的满、平坦、局部有限表现态射。则 \(f\) 的概形论像存在，当且仅当 \(f \circ g\) 的概形论像存在；若存在，二者相同。

证明

假设 \(\mathcal{Z} \subset \mathcal{Y}\) 是闭子叠，且 \(f \circ g\) 经由 \(\mathcal{Z}\) 分解。为证明本引理，只需证明 \(f\) 经由 \(\mathcal{Z}\) 分解。考虑概形 \(T\) 以及态射 \(T \to \mathcal{X}\)，它由 \(\mathcal{X}\) 在 \(T\) 上的纤维范畴中的对象 \(x\) 给出。我们要证明， \(f(x)\) 事实上属于 \(\mathcal{Z}\) 在 \(T\) 上的纤维范畴。投影 \(T \times_\mathcal{X} \mathcal{W} \to T\) 满、平坦且局部有限表现。因此存在 fppf 覆盖 \(\{T_i \to T\}\)，使得对所有 \(i\)，\(T_i \to T\) 都经由 \(T \times_\mathcal{X} \mathcal{W} \to T\) 分解。于是 \(T_i \to \mathcal{X}\) 经由 \(\mathcal{W}\) 分解，进而 \(T_i \to \mathcal{Y}\) 经由 \(\mathcal{Z}\) 分解。所以 \(f(x)|_{T_i}\) 是 \(\mathcal{Z}\) 的对象。由于 \(\mathcal{Z}\) 是严格满子叠，可知 \(f(x)\) 是 \(\mathcal{Z}\) 的对象，正合所需。

引理

设 \(f : \mathcal{Y} \to \mathcal{X}\) 是代数叠的态射。则 \(f\) 的概形论像存在。

证明

选取概形 \(V\) 以及满光滑态射 \(V \to \mathcal{Y}\)。由引理 0CMJ，可以用 \(V\) 替换 \(\mathcal{Y}\)。因此，只需证明：若 \(X \to \mathcal{X}\) 是从概形到代数叠的态射，则其概形论像存在。选取概形 \(U\) 以及满光滑态射 \(U \to \mathcal{X}\)。令 \(R = U \times_\mathcal{X} U\)。由《代数叠》引理 04T5，有 \(\mathcal{X} = [U/R]\)。由《叠的性质》引理 0507，\(\mathcal{X}\) 的闭子叠 \(\mathcal{Z}\) 与 \(R\)-不变闭子概形 \(Z \subset U\) 形成 \(1\) 对 \(1\) 的对应。设 \(Z_1 \subset U\) 是 \(X \times_\mathcal{X} U \to U\) 的概形论像。注意，\(X \to \mathcal{X}\) 经由 \(\mathcal{Z}\) 分解，当且仅当 \(X \times_\mathcal{X} U \to U\) 经由相应的 \(R\)-不变闭子概形 \(Z\) 分解（细节略；提示：这是因为 \(X \times_\mathcal{X} U \to X\) 满且光滑）。因此，必须证明存在包含 \(Z_1\) 的最小 \(R\)-不变闭子概形 \(Z \subset U\)。

设 \(\mathcal{I}_1 \subset \mathcal{O}_U\) 是与闭子概形 \(Z_1 \subset U\) 对应的拟凝聚理想层。设 \(Z_\alpha\)（\(\alpha \in A\)）为 \(U\) 的所有包含 \(Z_1\) 的 \(R\)-不变闭子概形所成的集合。对 \(\alpha \in A\)，设 \(\mathcal{I}_\alpha \subset \mathcal{O}_U\) 是与闭子概形 \(Z_\alpha \subset U\) 对应的拟凝聚理想层。包含关系 \(Z_1 \subset Z_\alpha\) 意味着 \(\mathcal{I}_\alpha \subset \mathcal{I}_1\)。\(Z_\alpha\) 的 \(R\)-不变性意味着 \[s^{-1}\mathcal{I}_\alpha \cdot \mathcal{O}_R = t^{-1}\mathcal{I}_\alpha \cdot \mathcal{O}_R\] 作为（代数空间）\(R\) 上的（拟凝聚）理想层相等。考虑像 \[\mathcal{I} = \Im\left( \bigoplus\nolimits_{\alpha \in A} \mathcal{I}_\alpha \to \mathcal{I}_1 \right) = \Im\left( \bigoplus\nolimits_{\alpha \in A} \mathcal{I}_\alpha \to \mathcal{O}_X \right)\] 由于拟凝聚层的直和仍拟凝聚，拟凝聚层之间映射的像也拟凝聚，可知 \(\mathcal{I}\) 拟凝聚。由于拉回是正合的且与直和交换，可知 \[s^{-1}\mathcal{I} \cdot \mathcal{O}_R = t^{-1}\mathcal{I} \cdot \mathcal{O}_R\] 因此，\(\mathcal{I}\) 定义一个 \(R\)-不变闭子概形 \(Z \subset U\)，它包含于每个 \(Z_\alpha\) 且包含 \(Z_1\)，正合所需。

引理

设 \[\xymatrix{ \mathcal{X}_1 \ar[d] \ar[r]_{f_1} & \mathcal{Y}_1 \ar[d] \\ \mathcal{X}_2 \ar[r]^{f_2} & \mathcal{Y}_2 }\] 是代数叠的交换图。设 \(\mathcal{Z}_i \subset \mathcal{Y}_i\)（\(i = 1, 2\)）是 \(f_i\) 的概形论像。则态射 \(\mathcal{Y}_1 \to \mathcal{Y}_2\) 诱导态射 \(\mathcal{Z}_1 \to \mathcal{Z}_2\) 以及交换图 \[\xymatrix{ \mathcal{X}_1 \ar[r] \ar[d] & \mathcal{Z}_1 \ar[d] \ar[r] & \mathcal{Y}_1 \ar[d] \\ \mathcal{X}_2 \ar[r] & \mathcal{Z}_2 \ar[r] & \mathcal{Y}_2 }\]

证明

\(\mathcal{Z}_2\) 在 \(\mathcal{Y}_1\) 中的概形论逆像是 \(\mathcal{Y}_1\) 的闭子叠，\(f_1\) 经由它分解。因此 \(\mathcal{Z}_1\) 包含于其中。本引理得证。

引理

设 \(f : \mathcal{X} \to \mathcal{Y}\) 是代数叠的拟紧态射。则概形论像的构造与平坦基变换交换。

证明

设 \(\mathcal{Y}' \to \mathcal{Y}\) 是代数叠的平坦态射。选取概形 \(V\) 以及满光滑态射 \(V \to \mathcal{Y}\)。选取概形 \(V'\) 以及满光滑态射 \(V' \to \mathcal{Y}' \times_\mathcal{Y} V\)。可以并且确实假设 \(V = \coprod_{i \in I} V_i\) 是仿射概形的不交并，并且 \(V' = \coprod_{i \in I} \coprod_{j \in J_i} V_{i, j}\) 是仿射概形的不交并，其中每个 \(V_{i, j}\) 都映入 \(V_i\)。设

\(\mathcal{Z} \subset \mathcal{Y}\) 是 \(f\) 的概形论像；

\(\mathcal{Z}' \subset \mathcal{Y}'\) 是 \(f\) 沿 \(\mathcal{Y}' \to \mathcal{Y}\) 所得基变换的概形论像；

\(Z \subset V\) 是 \(f\) 沿 \(V \to \mathcal{Y}\) 所得基变换的概形论像；

\(Z' \subset V'\) 是 \(f\) 沿 \(V' \to \mathcal{Y}\) 所得基变换的概形论像。

若能证明 (a) \(Z = V \times_\mathcal{Y} \mathcal{Z}\), (b) \(Z' = V' \times_{\mathcal{Y}'} \mathcal{Z}'\)，以及 (c) \(Z' = V' \times_V Z\) ，则本引理成立：包含态射 \(\mathcal{Z}' \to \mathcal{Z} \times_\mathcal{Y} \mathcal{Y}'\) （引理 0CPV）必为同构，因为沿满光滑态射 \(V' \to \mathcal{Y}'\) 作基变换后它是同构。

证明 (a)。令 \(R = V \times_\mathcal{Y} V\)。由《叠的性质》引理 0507，规则 \(\mathcal{Z} \mapsto \mathcal{Z} \times_\mathcal{Y} V\) 给出 \(\mathcal{Y}\) 的闭子叠与 \(V\) 的 \(R\)-不变闭子空间之间的 \(1\) 对 \(1\) 对应。此外，\(f : \mathcal{X} \to \mathcal{Y}\) 经由 \(\mathcal{Z}\) 分解，当且仅当其基变换 \(g : \mathcal{X} \times_\mathcal{Y} V \to V\) 经由 \(\mathcal{Z} \times_\mathcal{Y} V\) 分解。我们断言：\(g\) 的概形论像 \(Z \subset V\) 是 \(R\)-不变的。由刚才所述，该断言蕴含 (a)。

对每个 \(i\)，态射 \(\mathcal{X} \times_\mathcal{Y} V_i \to V_i\) 拟紧，因而 \(\mathcal{X} \times_\mathcal{Y} V_i\) 拟紧。所以可以选取仿射概形 \(W_i\) 以及满光滑态射 \(W_i \to \mathcal{X} \times_\mathcal{Y} V_i\)。注意， \(W = \coprod W_i\) 是概形，带有满光滑态射 \(W \to \mathcal{X} \times_\mathcal{Y} V\)，并且与 \(g\) 复合所得 \(W \to V\) 拟紧。设 \(Z \to V\) 是 \(W \to V\) 的概形论像，见《态射》一节 01R5 和《代数空间的态射》一节 082W。由引理 0CMJ，\(Z \subset V\) 是 \(g\) 的概形论像。为证明 \(Z\) 是 \(R\)-不变的，我们断言二者 \[\text{pr}_0^{-1}(Z), \text{pr}_1^{-1}(Z) \subset R = V \times_\mathcal{Y} V\] 都是 \(\mathcal{X} \times_\mathcal{Y} R \to R\) 的概形论像。事实上，先用《代数空间的态射》引理 089E 可知，\(\text{pr}_0^{-1}(Z)\) 是复合 \[W \times_{V, \text{pr}_0} R = W \times_\mathcal{Y} V \to \mathcal{X} \times_\mathcal{Y} R \to R\] 的概形论像。由于这里第一个箭头满且光滑，可知 \(\text{pr}_0^{-1}(Z)\) 是 \(\mathcal{X} \times_\mathcal{Y} R \to R\) 的概形论像。同一论证适用于 \(\text{pr}_1^{-1}(Z)\)。所以 \(Z\) 是 \(R\)-不变的。

陈述 (b) 的证明与 (a) 完全相同。

证明 (c)。设 \(Z_i \subset V_i\) 是 \(\mathcal{X} \times_\mathcal{Y} V_i \to V_i\) 的概形论像，并设 \(Z_{i, j} \subset V_{i, j}\) 是 \(\mathcal{X} \times_\mathcal{Y} V_{i, j} \to V_{i, j}\) 的概形论像。显然，只需证明 \(Z_i\) 在 \(V_{i, j}\) 中的逆像是 \(Z_{i, j}\)。上文已经看到， \(Z_i\) 是 \(W_i \to V_i\) 的概形论像；同理，\(Z_{i, j}\) 是 \(W_i \times_{V_i} V_{i, j} \to V_{i, j}\) 的概形论像。因此，该等式由概形的情形（《态射》引理 081I）以及 \(V_{i, j} \to V_i\) 平坦这一事实得出。

引理

设 \(f : \mathcal{X} \to \mathcal{Y}\) 是代数叠的拟紧态射。设 \(\mathcal{Z} \subset \mathcal{Y}\) 是 \(f\) 的概形论像。则 \(|\mathcal{Z}|\) 是 \(|f|\) 的像的闭包。

证明

设 \(z \in |\mathcal{Z}|\) 是一点。选取仿射概形 \(V\)、点 \(v \in V\) 以及把 \(v\) 映到 \(z\) 的光滑态射 \(V \to \mathcal{Y}\)。则 \(\mathcal{X} \times_\mathcal{Y} V\) 是拟紧代数叠。因此，可以找到仿射概形 \(W\) 以及满光滑态射 \(W \to \mathcal{X} \times_\mathcal{Y} V\)。由引理 0CMK， \(\mathcal{X} \times_\mathcal{Y} V \to V\) 的概形论像为 \(Z = \mathcal{Z} \times_\mathcal{Y} V\)。所以由《叠的性质》引理 04XH，\(|\mathcal{Z}|\) 在 \(|V|\) 中的逆像是 \(|Z|\)。由引理 0CMJ， \(Z\) 是 \(W \to V\) 的概形论像。由《代数空间的态射》引理 082Z， \(|W| \to |Z|\) 的像稠密。因此， \(|\mathcal{X} \times_\mathcal{Y} V| \to |Z|\) 的像稠密。注意 \(v \in Z\)。由于 \(|V| \to |\mathcal{Y}|\) 是开映射，一个拓扑论证说明 \(z\) 位于 \(|f|\) 的像的闭包中，正合所需。

引理

设 \(f : \mathcal{X} \to \mathcal{Y}\) 是可由代数空间表示且分离的代数叠态射。设 \(\mathcal{V} \subset \mathcal{Y}\) 是开子叠，且 \(\mathcal{V} \to \mathcal{Y}\) 拟紧。设 \(s : \mathcal{V} \to \mathcal{X}\) 是态射，满足 \(f \circ s = \text{id}_\mathcal{V}\)。设 \(\mathcal{Y}'\) 是 \(s\) 的概形论像。则 \(\mathcal{Y}' \to \mathcal{Y}\) 在 \(\mathcal{V}\) 上是同构。

证明

由引理 050Y，态射 \(s : \mathcal{V} \to \mathcal{Y}\) 拟紧。因此，由引理 0CMK，\(s\) 的概形论像 \(\mathcal{Y}'\) 的构造与平坦基变换交换。为证明本引理，可以假设 \(\mathcal{Y}\) 可由代数空间表示，从而归结到代数空间的情形，即《代数空间的态射》引理 0CP3。

赋值判据

陈述赋值判据时必须谨慎。确切地说，陈述中需要谈论交换图，但我们是在 \(2\)-范畴中工作，还必须确保 \(2\)-态射也按正确方式复合！

定义

设 \(f : \mathcal{X} \to \mathcal{Y}\) 是代数叠的态射。考虑实线部分 \(2\)-交换的图 [0CLB]\[\begin{equation} \vcenter{ \xymatrix{ \Spec(K) \ar[r]_-x \ar[d]_j & \mathcal{X} \ar[d]^f \\ \Spec(A) \ar[r]^-y \ar@{..>}[ru] & \mathcal{Y} } } \end{equation}\] ，其中 \(A\) 是分式域为 \(K\) 的赋值环。设 \[\gamma : y \circ j \longrightarrow f \circ x\] 是见证该图 \(2\)-交换的 \(2\)-态射（记号同《范畴》诸节 003D 和 003G）。给定 (0CLB) 与 \(\gamma\)，一个虚线箭头是三元组 \((a, \alpha, \beta)\)，由态射 \(a : \Spec(A) \to \mathcal{X}\) 及 \(2\)-箭头 \(\alpha : a \circ j \to x\)、\(\beta : y \to f \circ a\) 组成，并且满足 \(\gamma = (\text{id}_f \star \alpha) \circ (\beta \star \text{id}_j)\)；换言之，下图交换： \[\xymatrix{ & f \circ a \circ j \ar[rd]^{\text{id}_f \star \alpha} \\ y \circ j \ar[ru]^{\beta \star \text{id}_j} \ar[rr]^\gamma & & f \circ x }\] 。一个虚线箭头的态射 \((a, \alpha, \beta) \to (a', \alpha', \beta')\) 是满足 \(\alpha = \alpha' \circ (\theta \star \text{id}_j)\) 以及 \(\beta' = (\text{id}_f \star \theta) \circ \beta\) 的 \(2\)-箭头 \(\theta : a \to a'\)。

上述定义是《范畴》定义 0H18 的特殊情形。一般而言，虚线箭头的范畴依赖于 \(\gamma\)。若 \(\mathcal{Y}\) 可由代数空间表示（或者域上对象的自同构群平凡），则当然至多有一个 \(\gamma\)，无需检查三角形的交换性。更一般地，有引理 0CLD。三角形的交换性在证明与基变换的相容性时很重要，见引理 0CLE 的证明。

引理

在定义 0CLA 的情形下，虚线箭头的范畴是群胚。若 \(\Delta_f\) 分离，则它是集合胚。

证明

由于 \(2\)-箭头可逆，虚线箭头的范畴显然是群胚。给定虚线箭头 \((a, \alpha, \beta)\)，虚线箭头 \((a, \alpha, \beta)\) 的一个自同构是满足两个条件的 \(2\)-态射 \(\theta : a \to a\)。第一个条件 \(\beta = (\text{id}_f \star \theta) \circ \beta\) 表明 \(\theta\) 定义态射 \((a, \theta) : \Spec(A) \to \mathcal{I}_{\mathcal{X}/\mathcal{Y}}\). 第二个条件 \(\alpha = \alpha \circ (\theta \star \text{id}_j)\) 蕴含 \((a, \theta)\) 到 \(\Spec(K)\) 的限制为恒等态射。图示为 \[\xymatrix{ \mathcal{I}_{\mathcal{X}/\mathcal{Y}} \ar[d] & & \Spec(K) \ar[d]^j \ar[ll]_{(a \circ j, \text{id})} \\ \mathcal{X} & & \Spec(A) \ar[ll]_a \ar[llu]_{(a, \theta)} }\] 换言之，若 \(G \to \Spec(A)\) 是沿 \(a\) 拉回相对惯性所得的群代数空间，则 \(\theta\) 定义点 \(\theta \in G(A)\)，其在 \(G(K)\) 中的像平凡。当然，若单位元 \(e : \Spec(A) \to G\) 是闭浸入，则这只有在 \(\theta\) 为恒等态射时才可能发生。查看引理 0CL0 即得所需结论。

引理

在定义 0CLA 中，假设 \(\mathcal{I}_\mathcal{Y} \to \mathcal{Y}\) 固有（例如，若 \(\mathcal{Y}\) 分离，或 \(\mathcal{Y}\) 在某个代数空间上分离）。则虚线箭头的范畴不依赖于 \(\gamma\) 的选取（精确到非典范等价）；而虚线箭头对某个 \(\gamma\) 存在（从而等价地对所有选择存在），当且仅当存在图 \[\xymatrix{ \Spec(K) \ar[r]_-x \ar[d]_j & \mathcal{X} \ar[d]^f \\ \Spec(A) \ar[r]^-y \ar[ru]_a & \mathcal{Y} }\] ，其两个三角形都 \(2\)-交换（无需检查 \(2\)-态射是否正确复合）。

证明

设 \(\gamma, \gamma' : y \circ j \longrightarrow f \circ x\) 是两个 \(2\)-态射。则 \(\gamma^{-1} \circ \gamma'\) 是 \(y\) 在 \(\Spec(K)\) 上的自同构。因此，若 \(\mathit{Isom}_\mathcal{Y}(y, y) \to \Spec(A)\) 固有，则由固有性的赋值判据（《代数空间的态射》引理 0A40），可以找到 \(\delta : y \to y\)，其到 \(\Spec(K)\) 的限制为 \(\gamma^{-1} \circ \gamma'\)。于是可以用 \(\delta\) 定义 \(\gamma\) 的虚线箭头范畴与 \(\gamma'\) 的虚线箭头范畴之间的等价：把 \((a, \alpha, \beta)\) 送到 \((a, \alpha, \beta \circ \delta)\)。最后一个陈述显然。

引理

假设给定 \(2\)-交换图 \[\xymatrix{ \Spec(K) \ar[r]_-{x'} \ar[d]_j & \mathcal{X}' \ar[d]^p \ar[r]_q & \mathcal{X} \ar[d]^f \\ \Spec(A) \ar[r]^-{y'} & \mathcal{Y}' \ar[r]^g & \mathcal{Y} }\] ，其中右侧方块为 \(2\)-笛卡儿的。选取 \(2\)-箭头 \(\gamma' : y' \circ j \to p \circ x'\)。令 \(x = q \circ x'\)、\(y = g \circ y'\)，并令 \(\gamma : y \circ j \to f \circ x\) 为 \(\gamma'\) 与右侧方块 \(2\)-交换性中隐含的 \(2\)-箭头的复合。则左侧方块及 \(\gamma'\) 的虚线箭头范畴，等价于外部矩形及 \(\gamma\) 的虚线箭头范畴。

证明

（若不用虚线箭头的范畴，而考察如引理 0CLD 中产生两个 \(2\)-交换三角形的态射的同构类集合，我们不知道如何证明本引理的类似结论；事实上，该类似结论很可能是错的。）第一种证明：本引理是《范畴》引理 0H1A 的特殊情形。第二种证明：按《范畴》引理 0040 所述，可以用 \(2\)-纤维积 \(\mathcal{Y}' \times_\mathcal{Y} \mathcal{X}\) 替换 \(\mathcal{X}'\)。此时对象 \(x'\) 变成三元组 \((y' \circ j, x, \gamma)\)。然后，可以把外部矩形的虚线箭头 \((a, \alpha, \beta)\) 送到左侧方块的虚线箭头 \((a', \alpha', \beta')\)，其中取 \(a' = (y', a, \beta)\)、 \(\alpha' = (\text{id}_{y' \circ j}, \alpha)\) 以及 \(\beta' = \text{id}_{y'}\)。细节略。

引理

假设给定 \(2\)-交换图 \[\xymatrix{ \Spec(K) \ar[r]_-x \ar[dd]_j & \mathcal{X} \ar[d]^f \\ & \mathcal{Y} \ar[d]^g \\ \Spec(A) \ar[r]^-z & \mathcal{Z} }\] 选取 \(2\)-箭头 \(\gamma : z \circ j \to g \circ f \circ x\)。设 \(\mathcal{C}\) 是外部矩形及 \(\gamma\) 的虚线箭头范畴。设 \(\mathcal{C}'\) 是下列方块 \[\xymatrix{ \Spec(K) \ar[r]_-{f \circ x} \ar[d]_j & \mathcal{Y} \ar[d]^g \\ \Spec(A) \ar[r]^-z & \mathcal{Z} }\] 及 \(\gamma\) 的虚线箭头范畴。则 \(\mathcal{C}\) 等价于一个范畴 \(\mathcal{C}''\)，它具有下述性质：存在函子 \(\mathcal{C}'' \to \mathcal{C}'\)，使 \(\mathcal{C}''\) 成为 \(\mathcal{C}'\) 上纤维化于群胚的范畴，并且其纤维范畴是某些如下形式方块 \[\xymatrix{ \Spec(K) \ar[r]_-x \ar[d]_j & \mathcal{X} \ar[d]^f \\ \Spec(A) \ar[r]^-y & \mathcal{Y} }\] 及某些 \(y \circ j \to f \circ x\) 的选取所对应的虚线箭头范畴。

证明

本引理是《范畴》引理 0H1B 的特殊情形。

定义

设 \(f : \mathcal{X} \to \mathcal{Y}\) 是代数叠的态射。若对每个图 (0CLB) 及定义 0CLA 中的 \(\gamma\)，虚线箭头的范畴或者为空，或者是恰有一个同构类的集合胚，则称 \(f\) 满足赋值判据的唯一性部分。

引理

满足赋值判据唯一性部分的代数叠态射，沿任意代数叠态射作基变换后，仍是满足赋值判据唯一性部分的代数叠态射。

证明

由引理 0CLE 和定义得出。

引理

满足赋值判据唯一性部分的代数叠态射的复合，仍是满足赋值判据唯一性部分的代数叠态射。

证明

由引理 0CLF 和定义得出。

引理

设 \(f : \mathcal{X} \to \mathcal{Y}\) 是可由代数空间表示的代数叠态射。下列条件等价：

\(f\) 满足赋值判据的唯一性部分；

对每个概形 \(T\) 和态射 \(T \to \mathcal{Y}\)，态射 \(\mathcal{X} \times_\mathcal{Y} T \to T\) 作为代数空间的态射，满足赋值判据的唯一性部分。

证明

由引理 0CLE 和定义得出。

定义

设 \(f : \mathcal{X} \to \mathcal{Y}\) 是代数叠的态射。若对每个图 (0CLB) 及定义 0CLA 中的 \(\gamma\)，都存在域扩张 \(K'/K\) 以及支配 \(A\) 的赋值环 \(A' \subset K'\)，使得下图外部矩形 \[\xymatrix{ \Spec(K') \ar[r] \ar@/^2em/[rr]_{x'} \ar[d]_{j'} & \Spec(K) \ar[d]_j \ar[r]_-x & \mathcal{X} \ar[d]^f \\ \Spec(A') \ar[r] \ar@/_2em/[rr]^{y'} & \Spec(A) \ar[r]^-y & \mathcal{Y} }\] 连同诱导的 \(2\)-箭头 \(\gamma' : y' \circ j' \to f \circ x'\) 所对应的虚线箭头范畴非空，则称 \(f\) 满足赋值判据的存在性部分。

我们已经在代数空间态射的情形中看到，为得到正确的赋值判据概念，必须允许分式域的扩张。见《代数空间的态射》例 03KI。不过，对分离代数空间之间的态射，不需要这种扩张（《代数空间的态射》引理 0A3W）。然而，对代数叠之间的态射，即使 \(\mathcal{X}\) 和 \(\mathcal{Y}\) 都分离，也可能需要扩张。例如，考虑代数叠态射 \[[\Spec(\mathbf{C})/G] \to \Spec(\mathbf{C})\] ，它在基概形 \(\Spec(\mathbf{C})\) 上，其中 \(G\) 是阶为 \(2\) 的群。源和靶都是分离代数叠，而且该态射固有。因此，它满足赋值判据的唯一性部分和存在性部分（见引理 0CLZ）。但另一方面，存在图 \[\xymatrix{ \Spec(K) \ar[r] \ar[d] & [\Spec(\mathbf{C})/G] \ar[d] \\ \Spec(A) \ar[r] & \Spec(\mathbf{C}) }\] ，当 \(A = \mathbf{C}[[t]]\) 且 \(K = \mathbf{C}((t))\) 时不存在虚线箭头。事实上，顶部水平箭头由 \(K = \mathbf{C}((t))\) 的谱上的一个 \(G\)-挠子给出。由于严格 Hensel 局部环 \(A = \mathbf{C}[[t]]\) 上的任意 \(G\)-挠子都平凡，可见若虚线箭头总存在，则 \(K\) 上的每个 \(G\)-挠子都平凡。这并不成立，因为 \(G = \{+1, -1\}\)，且由 Kummer 理论，\(K\) 上的 \(G\)-挠子由非平凡群 \(K^*/(K^*)^2\) 分类。

引理

满足赋值判据存在性部分的代数叠态射，沿任意代数叠态射作基变换后，仍是满足赋值判据存在性部分的代数叠态射。

证明

由引理 0CLE 和定义得出。

引理

满足赋值判据存在性部分的代数叠态射的复合，仍是满足赋值判据存在性部分的代数叠态射。

证明

由引理 0CLF 和定义得出。

引理

设 \(f : \mathcal{X} \to \mathcal{Y}\) 是可由代数空间表示的代数叠态射。下列条件等价：

\(f\) 满足赋值判据的存在性部分；

对每个概形 \(T\) 和态射 \(T \to \mathcal{Y}\)，态射 \(\mathcal{X} \times_\mathcal{Y} T \to T\) 作为代数空间的态射，满足赋值判据的存在性部分。

证明

由引理 0CLE 和定义得出。

引理

代数叠的闭浸入同时满足赋值判据的存在性部分和唯一性部分。

证明

略。提示：利用引理 0CLJ 和 0CLN，归结到概形的闭浸入情形。

第二对角态射的赋值判据

逆向陈述已经在引理 0CLC 中证明。判据本身如下。

引理

设 \(f : \mathcal{X} \to \mathcal{Y}\) 是代数叠的态射。若 \(\Delta_f\) 拟分离，并且对每个图 (0CLB) 及定义 0CLA 中 \(\gamma\) 的选取，虚线箭头范畴都是集合胚，则 \(\Delta_f\) 分离。

证明

我们将写出详细证明，但强烈建议读者在阅读引理 0CLC 证明中的论证后，受其启发自行找出证明。

假设 \(\Delta_f\) 拟分离，并且对每个图 (0CLB) 及定义 0CLA 中 \(\gamma\) 的选取，虚线箭头范畴都是集合胚。由引理 0CL0，只需证明 \(e : \mathcal{X} \to \mathcal{I}_{\mathcal{X}/\mathcal{Y}}\) 是闭浸入。由引理 04YZ，事实上只需证明 \(e = \Delta_{f, 2}\) 泛闭。任一上述引理都说明，由 \(\Delta_f\) 拟分离的假设，\(e = \Delta_{f, 2}\) 拟紧。

本段证明 \(e\) 满足赋值判据的存在性部分。考虑实线部分 \(2\)-交换的图 \[\xymatrix{ \Spec(K) \ar[r]_x \ar[d]_j & \mathcal{X} \ar[d]^e \\ \Spec(A) \ar[r]^{(a, \theta)} & \mathcal{I}_{\mathcal{X}/\mathcal{Y}} }\] ，并任取见证该图 \(2\)-交换的 \(2\)-态射 \(\alpha : (a, \theta) \circ j \to e \circ x\) （这里用 \(\alpha\) 代替定义 0CLA 中使用的字母 \(\gamma\)）。注意，\(f \circ \theta = \text{id}\)；下文将用到这一点。又有 \(e \circ x = (x, \text{id}_x)\) 以及 \((a, \theta) \circ j = (a \circ j, \theta \star \text{id}_j)\)。因此，\(\alpha\) 是与 \(\theta \star \text{id}_j\) 和 \(\text{id}_x\) 相容的 \(2\)-箭头 \(\alpha : a \circ j \to x\)。令 \(y = f \circ x\) 且 \(\beta = \text{id}_{f \circ a}\)。反向阅读引理 0CLC 证明中的论证，可知 \(\theta\) 是虚线箭头 \((a, \alpha, \beta)\) 的自同构，其中 \[\gamma : y \circ j \to f \circ x \quad\text{equal to}\quad \text{id}_f \star \alpha : f \circ a \circ j \to f \circ x\] 。另一方面，\(\text{id}_a\) 也是自同构，所以由关于 \(f\) 的假设可知 \(\theta = \text{id}_a\)。于是可以取态射 \(a : \Spec(A) \to \mathcal{X}\) 作为上面所示图的虚线箭头，其中 \(2\)-态射 \((a, \text{id}_a) \circ j \to (x, \text{id}_x)\) 由 \(\alpha\) 给出，而 \((a, \theta) \to e \circ a\) 由 \(\text{id}_a\) 给出。

由引理 0CLL，\(e\) 的任意基变换都满足赋值判据的存在性部分。由于 \(e\) 可由代数空间表示，只需证明沿满光滑态射 \(I \to \mathcal{I}_{\mathcal{X}/\mathcal{Y}}\) 作基变换后 \(e\) 泛闭，其中 \(I\) 是代数空间（见《叠的性质》一节 04XB）。该基变换 \(e' : X' \to I'\) 是代数空间的拟紧态射，并满足赋值判据的存在性部分，所以由《代数空间的态射》引理 03KA 泛闭。

对角态射的赋值判据

所需结果是引理 0CLT。先陈述并证明一个形式辅助引理。

引理

设 \(f : \mathcal{X} \to \mathcal{Y}\) 是代数叠的态射。考虑实线部分 \(2\)-交换的图 \[\xymatrix{ \Spec(K) \ar[rr]_-x \ar[d]_j & & \mathcal{X} \ar[d]^{\Delta_f} \\ \Spec(A) \ar[rr]^{(a_1, a_2, \varphi)} \ar@{..>}[rru] & & \mathcal{X} \times_\mathcal{Y} \mathcal{X} }\] ，其中 \(A\) 是分式域为 \(K\) 的赋值环。设 \(\gamma : (a_1, a_2, \varphi) \circ j \longrightarrow \Delta_f \circ x\) 是见证该图 \(2\)-交换的 \(2\)-态射。则

把 \(\gamma = (\alpha_1, \alpha_2)\) 写成 \(\alpha_i : a_i \circ j \to x\) 的形式，则在图 \[\xymatrix{ \Spec(K) \ar[r]_-x \ar[d]_j & \mathcal{X} \ar[d]^f \\ \Spec(A) \ar[r]^-{f \circ a_1} \ar@{..>}[ru] & \mathcal{Y} }\] 中得到两个虚线箭头 \((a_1, \alpha_1, \text{id})\) 和 \((a_2, \alpha_2, \varphi)\)。

原图及 \(\gamma\) 的虚线箭头范畴是集合胚，其对象的同构类集合等于虚线箭头范畴中的态射集 \((a_1, \alpha_1, \text{id}) \to (a_2, \alpha_2, \varphi)\)。

证明

由于 \(\Delta_f\) 可由代数空间表示（因而 \(\Delta_f\) 的对角态射分离），由引理 0CLC，本引理第一个交换图的虚线箭头范畴是集合胚。本引理的其余陈述都由 \(2\)-图式计算得出，略去这些计算。

引理

设 \(f : \mathcal{X} \to \mathcal{Y}\) 是代数叠的态射。假设 \(f\) 拟分离。若 \(f\) 满足赋值判据的唯一性部分，则 \(f\) 分离。

证明

关于 \(f\) 的假设意味着 \(\Delta_f\) 拟紧且拟分离（定义 04YW）。必须证明 \(\Delta_f\) 固有。引理 0CLR 说明 \(\Delta_f\) 分离。由引理 04XS，\(\Delta_f\) 局部有限型。为完成证明，还需证明 \(\Delta_f\) 泛闭。一个形式论证（见引理 0E8L）说明，赋值判据的唯一性部分蕴含：任意如下实线图中都有虚线箭头： \[\xymatrix{ \Spec(K) \ar[d] \ar[r] & \mathcal{X} \ar[d]^{\Delta_f} \\ \Spec(A) \ar[r] \ar@{..>}[ru] & \mathcal{X} \times_\mathcal{Y} \mathcal{X} }\] 利用该性质在任意基变换下保持这一点，可知 \(\Delta_f\) 沿任意映入 \(\mathcal{X} \times_\mathcal{Y} \mathcal{X}\) 的代数空间所作的基变换都满足赋值判据的存在性部分；再由代数空间态射的赋值判据，可知它泛闭，见《代数空间的态射》引理 03KA。

下面是逆命题。

引理

设 \(f : \mathcal{X} \to \mathcal{Y}\) 是代数叠的态射。若 \(f\) 分离，则 \(f\) 满足赋值判据的唯一性部分。

证明

由于 \(f\) 分离，由引理 0CLC，所有虚线箭头范畴都是集合胚。考虑图 \[\xymatrix{ \Spec(K) \ar[r]_-x \ar[d]_j & \mathcal{X} \ar[d]^f \\ \Spec(A) \ar[r]^-y \ar@{..>}[ru] & \mathcal{Y} }\] 以及定义 0CLA 中的 \(2\)-态射 \(\gamma : y \circ j \to f \circ x\)。考虑虚线箭头范畴的两个对象 \((a, \alpha, \beta)\) 和 \((a', \beta', \alpha')\)。为完成证明，必须证明这两个对象同构。同构 \[f \circ a \xrightarrow{\beta^{-1}} y \xrightarrow{\beta'} f \circ a'\] 意味着 \((a, a', \beta' \circ \beta^{-1})\) 是态射 \(\Spec(A) \to \mathcal{X} \times_\mathcal{Y} \mathcal{X}\)。另一方面，\(\alpha\) 和 \(\alpha'\) 定义 \(2\)-箭头 \[(a, a', \beta' \circ \beta^{-1}) \circ j = (a \circ j, a' \circ j, (\beta' \star \text{id}_j) \circ (\beta \star \text{id}_j)^{-1}) \xrightarrow{(\alpha, \alpha')} (x, x, \text{id}) = \Delta_f \circ x\] 这里使用了 \((a, \alpha, \beta)\) 和 \((a', \alpha', \beta')\) 都是关于 \(\gamma\) 的虚线箭头这一事实。由此得到交换图 \[\xymatrix{ \Spec(K) \ar[d]_j \ar[rr]_x & & \mathcal{X} \ar[d]^{\Delta_f} \\ \Spec(A) \ar[rr]^{(a, a', \beta' \circ \beta^{-1})} & & \mathcal{X} \times_\mathcal{Y} \mathcal{X} }\] ，其 \(2\)-交换性由 \((\alpha, \alpha')\) 见证。现在，\(\Delta_f\) 可由代数空间表示（引理 04XS），并且因为 \(f\) 分离而固有。因此，由引理 0CLN 和代数空间固有性的赋值判据（《代数空间的态射》引理 0A40），可知存在虚线箭头。展开该构造可见，这意味着 \((a, \alpha, \beta)\) 与 \((a', \alpha', \beta')\) 在虚线箭头范畴中同构，正合所需。

泛闭性的赋值判据

先给出一个陈述。

引理

设 \(f : \mathcal{X} \to \mathcal{Y}\) 是代数叠的态射。假设

\(f\) 拟紧；

\(f\) 满足赋值判据的存在性部分。

则 \(f\) 泛闭。

证明

由引理 050V 和 0CLL，性质 (1) 和 (2) 在任意基变换下保持。由引理 0CL3，只需证明：每当 \(T\) 是映入 \(\mathcal{Y}\) 的仿射概形时， \(|T \times_\mathcal{Y} \mathcal{X}| \to |T|\) 是闭映射。因此，只需证明：若 \(f : \mathcal{X} \to Y\) 是从代数叠到仿射概形的拟紧态射，并满足赋值判据的存在性部分，则 \(|f|\) 是闭映射。设 \(T \subset |\mathcal{X}|\) 是闭子集。为完成证明，必须证明 \(f(T)\) 闭。

设 \(\mathcal{Z} \subset \mathcal{X}\) 是 \(T\) 上的约化诱导代数叠结构（《叠的性质》定义 050C）。则 \(i : \mathcal{Z} \to \mathcal{X}\) 是闭浸入，而必须证明 \(|\mathcal{Z}| \to |Y|\) 的像闭。闭浸入拟紧（引理 0CL1）且满足赋值判据的存在性部分（引理 0CLP）；拟紧态射的复合拟紧（引理 050W）；复合还保持满足赋值判据存在性部分这一性质（引理 0CLM）。所以只需证明：若 \(f : \mathcal{X} \to Y\) 是从代数叠到仿射概形的拟紧态射，并满足赋值判据的存在性部分，则 \(|f|(|\mathcal{X}|)\) 闭。

由于 \(\mathcal{X}\) 拟紧（它在仿射概形 \(Y\) 上拟紧），可以选取仿射概形 \(U\) 以及满光滑态射 \(U \to \mathcal{X}\) （《叠的性质》引理 04YC）。假设 \(y \in Y\) 位于 \(U \to Y\) 的像的闭包中（换言之，位于 \(|f|\) 的像的闭包中）。由《态射》引理 02JQ，可以找到分式域为 \(K\) 的赋值环 \(A\) 以及交换图 \[\xymatrix{ \Spec(K) \ar[r] \ar[d] & U \ar[d] \\ \Spec(A) \ar[r] & Y }\] ，使得 \(\Spec(A)\) 的闭点映到 \(y\)。由假设，得到扩张 \(K'/K\)、支配 \(A\) 的赋值环 \(A' \subset K'\)，以及下图中的虚线箭头： \[\xymatrix{ \Spec(K') \ar[r] \ar[d] & \Spec(K) \ar[r] \ar[d] & U \ar[d] \ar[r] & \mathcal{X} \ar[d]^f \\ \Spec(A') \ar[r] \ar@{..>}[rrru] & \Spec(A) \ar[r] & Y \ar@{=}[r] & Y }\] 因此 \(y\) 位于 \(|f|\) 的像中，得证。

下面是逆命题。

引理

设 \(f : \mathcal{X} \to \mathcal{Y}\) 是代数叠的态射。假设

\(f\) 拟分离；

\(f\) 泛闭。

则 \(f\) 满足赋值判据的存在性部分。

证明

考虑实线图 \[\xymatrix{ \Spec(K) \ar[r]_-x \ar[d]_j & \mathcal{X} \ar[d]^f \\ \Spec(A) \ar[r]^-y \ar@{..>}[ru] & \mathcal{Y} }\] ，其中 \(A\) 是分式域为 \(K\) 的赋值环，并且 \(\gamma : y \circ j \longrightarrow f \circ x\) 如定义 0CLA 所述。由引理 0CLE，为找到虚线箭头（可能先把 \(K\) 换成一个扩张，并把 \(A\) 换成支配它的赋值环），可以用 \(\Spec(A)\) 替换 \(\mathcal{Y}\)，并用 \(\Spec(A) \times_\mathcal{Y} \mathcal{X}\) 替换 \(\mathcal{X}\)。这里当然用到了拟分离和泛闭在基变换下保持。因此归结到下一段所述的情形。

考虑实线图 \[\xymatrix{ \Spec(K) \ar[r]_-x \ar[d]_j & \mathcal{X} \ar[d]^f \\ \Spec(A) \ar@{=}[r] \ar@{..>}[ru] & \Spec(A) }\] ，其中 \(A\) 是分式域为 \(K\) 的赋值环，如定义 0CLA 所述。由引理 050Y 以及 \(f\) 拟分离这一事实，态射 \(x\) 拟紧。由于 \(f\) 泛闭，特别地， \(|f|(\overline{\{x\}})\) 是 \(\Spec(A)\) 中的闭集。这个像包含 \(\Spec(A)\) 的一般点，所以存在位于 \(x\) 的闭包中的点 \(x' \in |\mathcal{X}|\)，它映到 \(\Spec(A)\) 的闭点。由引理 0CL2，可以找到交换图 \[\xymatrix{ \Spec(K') \ar[r] \ar[d] & \Spec(K) \ar[d] \\ \Spec(A') \ar[r] & \mathcal{X} }\] ，使得 \(\Spec(A')\) 的闭点映到 \(x' \in |\mathcal{X}|\)。于是 \(\Spec(A') \to \Spec(A)\) 把闭点映到闭点，即 \(A'\) 支配 \(A\)，证明完成。

固有性的赋值判据

陈述如下。

引理

设 \(f : \mathcal{X} \to \mathcal{Y}\) 是代数叠的态射。假设 \(f\) 有限型且拟分离。则下列条件等价：

\(f\) 固有；

\(f\) 同时满足赋值判据的唯一性部分和存在性部分。

证明

固有态射就是分离、有限型且泛闭的态射。因此，本引理由引理 0CLT, 0CLU, 0CLW 以及 0CLX 得出。

局部完全交态射

代数空间态射“为局部完全交态射”的性质在源与靶上光滑局部；见《代数空间上的下降》引理 06FB 以及《空间态射进阶》引理 0CHM 和 0CHN。由上面的引理 06FM，可以如下定义一个代数空间的态射为局部完全交态射的含义；当源和靶都是代数空间时，它与《空间态射进阶》第 06C3 节中已经定义的概念一致。

定义

设 \(f : \mathcal{X} \to \mathcal{Y}\) 是代数叠的态射。若引理 06FM 中的等价条件在 \(\mathcal{P} = \text{local complete intersection}\) 时成立，则称 \(f\) 是局部完全交态射或 Koszul 的。

引理

局部完全交态射的复合仍是局部完全交态射。

证明

结合评注 06FP 与《空间态射进阶》引理 06C8。

引理

局部完全交态射的平坦基变换仍是局部完全交态射。

证明

略。提示：完全按照评注 06FQ 论证（但只考虑平坦的 \(\mathcal{Y}' \to \mathcal{Y}\)），并使用《空间态射进阶》引理 06C7。

引理

设 \[\xymatrix{ \mathcal{X} \ar[rr]_f \ar[rd] & & \mathcal{Y} \ar[ld] \\ & \mathcal{Z} }\] 是代数叠态射的交换图。假设 \(\mathcal{Y} \to \mathcal{Z}\) 光滑，且 \(\mathcal{X} \to \mathcal{Z}\) 是局部完全交态射。则 \(f : \mathcal{X} \to \mathcal{Y}\) 是局部完全交态射。

证明

选择概形 \(W\) 和满光滑态射 \(W \to \mathcal{Z}\)。选择概形 \(V\) 和满光滑态射 \(V \to W \times_\mathcal{Z} \mathcal{Y}\)。再选择概形 \(U\) 和满光滑态射 \(U \to V \times_\mathcal{Y} \mathcal{X}\)。于是 \(U \to W\) 是概形的局部完全交态射，而 \(V \to W\) 是概形的光滑态射。由概形情形的结论（《态射进阶》引理 069M），可知 \(U \to V\) 是局部完全交态射。按定义，这意味着 \(f\) 是局部完全交态射。

稳定子保持态射

文献中，若代数叠的态射 \(f : \mathcal{X} \to \mathcal{Y}\) 所诱导的态射 \(\mathcal{I}_\mathcal{X} \to \mathcal{X} \times_\mathcal{Y} \mathcal{I}_\mathcal{Y}\) 是同构，则称这个态射是稳定子保持的或不动点反映的。这种态射在 \(\mathcal{X}\) 的每一点处都诱导自同构群之间的同构（评注 0DTW）。本节证明关于这一概念的一些简单引理。

引理

设 \(f : \mathcal{X} \to \mathcal{Y}\) 是代数叠的态射。若 \(\mathcal{I}_\mathcal{X} \to \mathcal{X} \times_\mathcal{Y} \mathcal{I}_\mathcal{Y}\) 是同构，则 \(f\) 可由代数空间表示。

证明

由引理 04YY 立即得到。

注

设 \(f : \mathcal{X} \to \mathcal{Y}\) 是代数叠的态射，并设 \(U \to \mathcal{X}\) 是以代数空间为源的态射。令 \(G \to H\) 为态射 \(\mathcal{I}_\mathcal{X} \to \mathcal{X} \times_\mathcal{Y} \mathcal{I}_\mathcal{Y}\) 到 \(U\) 上的拉回。若 \(\Delta_f\) 非分歧、étale 等，则 \(G \to H\) 也具有相应性质。这是因为 \[\xymatrix{ U \times_\mathcal{X} U \ar[r] \ar[d] & \mathcal{X} \ar[d]^{\Delta_f} \\ U \times_\mathcal{Y} U \ar[r] & \mathcal{X} \times_\mathcal{Y} \mathcal{X} }\] 是笛卡儿图，并且态射 \(G \to H\) 是左侧竖直箭头沿对角态射 \(U \to U \times U\) 的基变换。比较引理 0CPL 的证明。

引理

设 \(f : \mathcal{X} \to \mathcal{Y}\) 是代数叠的非分歧态射。下列条件等价：

\(\mathcal{I}_\mathcal{X} \to \mathcal{X} \times_\mathcal{Y} \mathcal{I}_\mathcal{Y}\) 是同构；

对所有 \(x \in |\mathcal{X}|\)，\(f\) 都诱导 \(x\) 和 \(f(x)\) 处的自同构群之间的同构（评注 0DTW）。

证明

选择概形 \(U\) 和满光滑态射 \(U \to \mathcal{X}\)。记 \(G \to H\) 为态射 \(\mathcal{I}_\mathcal{X} \to \mathcal{X} \times_\mathcal{Y} \mathcal{I}_\mathcal{Y}\) 到 \(U\) 上的拉回。由评注 0DU8 和引理 0CJ0，态射 \(G \to H\) 是 étale 的。条件 (1) 等价于 \(G \to H\) 是同构（例如应用《叠的性质》引理 04XD 即得）。条件 (2) 等价于：对每个 \(u \in U\)，纤维的态射 \(G_u \to H_u\) 都是同构。因此 (1) \(\Rightarrow\) (2) 是显然的。若 (2) 成立，则 \(G \to H\) 是代数空间的满、泛单且 étale 的态射。由《代数空间的态射》引理 05W5，这种态射是同构。

引理

设 \(f : \mathcal{X} \to \mathcal{Y}\) 是代数叠的态射。假设

\(f\) 可由代数空间表示且非分歧；

\(\mathcal{I}_\mathcal{Y} \to \mathcal{Y}\) 固有。

则使 \(f\) 诱导 \(x\) 和 \(f(x)\) 处自同构群之间同构的那些 \(x \in |\mathcal{X}|\) 所成的集合是开的（评注 0DTW）。令 \(\mathcal{U} \subset \mathcal{X}\) 为相应的开子叠，则态射 \(\mathcal{I}_\mathcal{U} \to \mathcal{U} \times_\mathcal{Y} \mathcal{I}_\mathcal{Y}\) 是同构。

证明

选择概形 \(U\) 和满光滑态射 \(U \to \mathcal{X}\)。记 \(G \to H\) 为态射 \(\mathcal{I}_\mathcal{X} \to \mathcal{X} \times_\mathcal{Y} \mathcal{I}_\mathcal{Y}\) 到 \(U\) 上的拉回。由评注 0DU8 和引理 0CJ0，态射 \(G \to H\) 是 étale 的。由于 \(f\) 可由代数空间表示，\(G \to H\) 是单态射。因此 \(G \to H\) 是开浸入；见《代数空间的态射》引理 05W5。依假设，\(H \to U\) 固有。

完成这些准备后，可如下证明本引理。引理中 \(|\mathcal{X}|\) 的子集的逆像，显然就是使 \(G_u \to H_u\) 为同构的那些 \(u \in U\) 所成的集合（毕竟 \(G_u\) 是 \(H_u\) 的开子群代数空间）。这是开子集，因为其补集是闭子集 \(|H| \setminus |G|\) 的像，而 \(|H| \to |U|\) 是闭映射。由《叠的性质》引理 06FJ，可以考虑 \(\mathcal{X}\) 的相应开子叠 \(\mathcal{U}\)。把引理 0DU9 应用于 \(\mathcal{U} \to \mathcal{Y}\)，即得引理的最后一个陈述。

引理

设 \[\xymatrix{ \mathcal{X}' \ar[r] \ar[d]_{f'} & \mathcal{X} \ar[d]^f \\ \mathcal{Y}' \ar[r] & \mathcal{Y} }\] 是代数叠的笛卡儿图。

设 \(x' \in |\mathcal{X}'|\) 的像为 \(x \in |\mathcal{X}|\)。若 \(f\) 诱导 \(x\) 和 \(f(x)\) 处自同构群之间的同构（评注 0DTW），则 \(f'\) 诱导 \(x'\) 和 \(f(x')\) 处自同构群之间的同构。

若 \(\mathcal{I}_\mathcal{X} \to \mathcal{X} \times_\mathcal{Y} \mathcal{I}_\mathcal{Y}\) 是同构，则 \(\mathcal{I}_{\mathcal{X}'} \to \mathcal{X}' \times_{\mathcal{Y}'} \mathcal{I}_{\mathcal{Y}'}\) 是同构。

证明

略。

引理

设 \[\xymatrix{ \mathcal{X}' \ar[r] \ar[d]_{f'} & \mathcal{X} \ar[d]^f \\ \mathcal{Y}' \ar[r]^g & \mathcal{Y} }\] 是代数叠的笛卡儿图。若 \(f\) 在各点处诱导自同构群之间的同构（评注 0DTW），则 \[\Mor(\Spec(k), \mathcal{X}') \longrightarrow \Mor(\Spec(k), \mathcal{Y}') \times \Mor(\Spec(k), \mathcal{X})\] 对任意域 \(k\) 都在同构类上为单射。

证明

必须证明：给定 \((y', x)\)，至多有一个映到它的 \(x'\)。按照我们对 \(2\)-纤维积的构造，态射 \(x'\) 由三元组 \((x, y', \alpha)\) 给出，其中 \(\alpha : g \circ y' \to f \circ x\) 是 \(2\)-态射。现在假设还有第二个这样的三元组 \((x, y', \beta)\)。则 \(\alpha\) 和 \(\beta\) 相差自同构群代数空间 \(G_{f(x)}\) 的一个 \(k\)-值点 \(\epsilon\)。依假设，\(f\) 诱导同构 \(G_x \to G_{f(x)}\)，所以可以把 \(\epsilon\) 提升为 \(G_x\) 的 \(k\)-值点 \(\gamma\)。于是 \((\gamma, \text{id}) : (x, y', \alpha) \to (x, y', \beta)\) 是所需的同构。

引理

设 \(f : \mathcal{X} \to \mathcal{Y}\) 是代数叠的态射。假设 \(f\) 是 étale 的，\(f\) 在各点处诱导自同构群之间的同构（评注 0DTW），并且对每个代数闭域 \(k\)，函子 \[f : \Mor(\Spec(k), \mathcal{X}) \longrightarrow \Mor(\Spec(k), \mathcal{Y})\] 都是等价。则 \(f\) 是同构。

证明

由引理 0CPN，\(f\) 泛单。结合引理 0DU7 和 0DU9 可知 \(f\) 可由代数空间表示。因此，由《代数空间的态射》引理 05W5， \(f\) 是开浸入。最后注意，本引理的条件还保证 \(f\) 满。

正规化

本节是《代数空间的态射》第 07U3 节的类比版本。

引理

设 \(\mathcal{X}\) 是代数叠。下列条件等价：

存在满光滑态射 \(U \to \mathcal{X}\)，其中 \(U\) 是概形，且 \(U\) 的每个拟紧开子集都有有限多个不可约分支；

对每个概形 \(U\) 和每个光滑态射 \(U \to \mathcal{X}\)， \(U\) 的每个拟紧开子集都有有限多个不可约分支；

对每个代数空间 \(Y\) 和光滑态射 \(Y \to \mathcal{X}\)，空间 \(Y\) 满足《代数空间的态射》引理 0BB1 中的等价条件；

对每个在 \(\mathcal{X}\) 上光滑的拟紧代数叠 \(\mathcal{Y}\)，空间 \(|\mathcal{Y}|\) 有有限多个不可约分支。

证明

(1)、(2) 与 (3) 的等价性由《下降》引理 0BAL、《叠的性质》引理 04YF 以及《代数空间的态射》引理 0BB1 得出。由这些引用也显然可知条件 (4) 蕴含条件 (1)。反过来，假设等价条件 (1)、(2) 与 (3) 成立，并设 \(\mathcal{Y} \to \mathcal{X}\) 是代数叠的光滑态射，且 \(\mathcal{Y}\) 拟紧。由《叠的性质》引理 04YC，可以选择仿射概形 \(V\) 和满光滑态射 \(V \to \mathcal{Y}\)。由 (2)，\(V\) 有有限多个不可约分支；又因 \(|V| \to |\mathcal{Y}|\) 满且连续，故由《拓扑》引理 0GM2， \(|\mathcal{Y}|\) 有有限多个不可约分支。

引理

设 \(\mathcal{X}\) 是满足引理 0GMI 中等价条件的代数叠。则存在代数叠的整态射 \[\mathcal{X}^\nu \longrightarrow \mathcal{X}\] ，使得对每个概形 \(U\) 和光滑态射 \(U \to \mathcal{X}\)，纤维积 \(\mathcal{X}^\nu \times_\mathcal{X} U\) 是 \(U\) 的正规化。

证明

设 \(U \to \mathcal{X}\) 是满光滑态射，其中 \(U\) 是概形。令 \(R = U \times_\mathcal{X} U\)。回顾一下，我们得到代数空间中的光滑群胚 \((U, R, s, t, c)\) 和 \(\mathcal{X}\) 的表示 \(\mathcal{X} = [U/R]\)；见《代数叠》引理 04T4 和 04T5 以及定义 04TI。关于 \(\mathcal{X}\) 的假设意味着 \(U\) 的正规化 \(U^\nu\) 有定义；见《态射》定义 035N。由《代数空间的态射》引理 07U4 ，取正规化与代数空间的光滑态射可交换。因此，\(R\) 的正规化 \(R^\nu\) 同时同构于 \(R \times_{s, U} U^\nu\) 和 \(U^\nu \times_{U, t} R\)。于是得到代数空间的两个光滑态射 \(s^\nu : R^\nu \to U^\nu\) 和 \(t^\nu : R^\nu \to U^\nu\) 。对纤维积作形式计算可知， \(R^\nu \times_{s^\nu, U^\nu, t^\nu} R^\nu\) 是 \(R \times_{s, U, t} R\) 的正规化。因此，光滑态射 \(c : R \times_{s, U, t} R \to R\) 也延拓为 \(c^\nu\)。类似地，逆元 \(i : R \to R\)（一个同构）诱导同构 \(i^\nu : R^\nu \to R^\nu\)。最后，单位元 \(e : U \to R\) 提升为 \(e^\nu : U^\nu \to R^\nu\)；例如，这是因为 \(e\) 是 \(s\) 的截面且 \(R^\nu = R \times_{U, s} U^\nu\)。我们断言 \((U^\nu, R^\nu, s^\nu, t^\nu, c^\nu)\) 是代数空间中的光滑群胚。为此，需要对 \((U^\nu, R^\nu, s^\nu, t^\nu, c^\nu, e^\nu, i^\nu)\) 验证《群胚》第 0230 节中的公理 (1)、(2)(a)、(2)(b)、(3)(a) 和 (3)(b)。例如，对 (1)，必须证明两个态射 \(a, b : R^\nu \times_{s^\nu, U^\nu, t^\nu} R^\nu \times_{s^\nu, U^\nu, t^\nu} R^\nu \to R^\nu\) 相同。相同。这是因为已知相应的一对态射 \(R \times_{s, U, t} R \times_{s, U, t} R \to R\) 相同，而态射 \(a\) 和 \(b\) 都是这个态射到正规化上的唯一延拓。其他公理同理。

考虑代数叠 \(\mathcal{X}^\nu = [U^\nu/R^\nu]\)（《代数叠》定理 04TK). 由于有代数空间中群胚的态射 \((U^\nu, R^\nu, s^\nu, t^\nu, c^\nu) \to (U, R, s, t, c)\) ，得到代数叠的态射 \(\nu : \mathcal{X}^\nu \to \mathcal{X}\)。由于 \(R^\nu = R \times_{s, U} U^\nu\)，由《空间中的群胚》引理 04ZN. 可知 \(U^\nu = \mathcal{X}^\nu \times_\mathcal{X} U\)。特别地，由于 \(U^\nu \to U\) 是整态射，\(\nu\) 也是整态射。略去如下验证：对每个从概形到 \(\mathcal{X}\) 的光滑态射，本引理中陈述的基变换性质都成立。

由此得到下面的定义。

定义

设 \(\mathcal{X}\) 是满足引理 0GMI 中等价条件的代数叠。把态射 \[\nu : \mathcal{X}^\nu \longrightarrow \mathcal{X}\] （由引理 0GMJ 构造）定义为 \(\mathcal{X}\) 的 正规化。

点与特化

本节是《适宜代数空间》第 03K1 节的类比版本。

引理

设 \(\mathcal{X}\) 是代数叠。设 \(f : U \to \mathcal{X}\) 是光滑态射，其中 \(U\) 是代数空间。设 \(x' \leadsto x\) 是 \(|\mathcal{X}|\) 中点的一个特化。设 \(u \in |U|\) 且 \(f(u) = x\)。若 \((\mathcal{X}, x')\) 满足《叠的性质》引理 0DTK 中的等价条件，则在 \(|U|\) 中存在特化 \(u' \leadsto u\)，且 \(f(u') = x'\)。

证明

选择 étale 态射 \((U_1, u_1) \to (U, u)\)，其中 \(U_1\) 是仿射概形。于是可以并且确实用 \(U_1\) 替换 \(U\)。因此可假设 \(U\) 是仿射概形。考虑代数空间 \(R = U \times_\mathcal{X} U\) 及其光滑投影 \(t, s : R \to U\)。选择映到 \(x'\) 的点 \(w \in U\)；这是可能的，因为 \(f : |U| \to |\mathcal{X}|\) 是开映射。由关于 \(x'\) 的假设， \(t : R \to U\) 在 \(w\) 上的纤维 \(F' = t^{-1}(w) = R \times_{t, U} w\) 是拟紧代数空间。选择仿射概形 \(T\) 和满 étale 态射 \(T \to F'\)。 \(x' \leadsto x\) 这一事实意味着 \(u\) 位于态射 \[T \to F' \to R \xrightarrow{s} U\] 的像的闭包中。事实上，这个像是 \(|U| \to |\mathcal{X}'|\) 在 \(x'\) 上的纤维；若某个开子集 \(u \in V \subset |U|\) 与该纤维不交，则 \(f(V)\) 是 \(x\) 的一个不含 \(x'\) 的开邻域，矛盾。因此，由《态射》引理 02JQ ，在 \(|U| \to |\mathcal{X}|\) 位于 \(x'\) 上的纤维中存在 \(u' \in |U|\)，并且它特化到 \(u\)。

适宜代数叠

本节是《适宜代数空间》第 03I7 节的类比版本。特别地，下面的定义与该处定义的适宜代数空间概念相容。

定义

设 \(\mathcal{X}\) 是代数叠。若对每个 \(x \in |\mathcal{X}|\)，《叠的性质》引理 0DTK 中的等价条件都成立，则称 \(\mathcal{X}\) 是适宜的。

有人会把这个定义改述为：\(\mathcal{X}\) 的每个点都是拟紧的。稍强一些的条件是，要求 \(x\) 的等价类中的任意态射 \(\Spec(k) \to \mathcal{X}\) 既拟分离又拟紧。

引理

拟分离代数叠 \(\mathcal{X}\) 是适宜的。更一般地，若 \(\Delta : \mathcal{X} \to \mathcal{X} \times \mathcal{X}\) 拟紧，则 \(\mathcal{X}\) 是适宜的。

证明

具体地，若 \(\mathcal{X}\) 拟分离，则任意源为拟紧概形 \(T\) 的态射 \(f : T \to \mathcal{X}\) 都拟紧；见引理 050Y。若只知道 \(\Delta\) 拟紧，则使用描述 \[T \times_{f, \mathcal{X}, f'} T' = (T \times T') \times_{(f, f'), \mathcal{X} \times \mathcal{X}, \Delta} \mathcal{X}\] 来证明这一点。细节略。

引理

设 \(f : \mathcal{X} \to \mathcal{Y}\) 是代数叠的态射。假设 \(Y\) 是适宜的，并且 \(f\) 可表（由概形表示），或者 \(f\) 可由代数空间表示且拟分离。则 \(\mathcal{X}\) 是适宜的。

证明

设 \(x \in |\mathcal{X}|\) 的像为 \(y \in |\mathcal{Y}|\)。在定义 \(y\) 的等价类中选择态射 \(y : \Spec(k) \to \mathcal{Y}\)。令 \(\mathcal{X}_y = \Spec(k) \times_{y, \mathcal{Y}} \mathcal{X}\)。选择映到 \(x\) 的点 \(x' \in |\mathcal{X}_y|\)；见《叠的性质》引理 04XH。在 \(x'\) 的等价类中选择态射 \(x' : \Spec(k') \to \mathcal{X}_y\)。有图 \[\xymatrix{ \Spec(k') \ar[r]_{x'} & \mathcal{X}_y \ar[r] \ar[d] & \mathcal{X} \ar[d] \\ & \Spec(k) \ar[r]^y & \mathcal{Y} }\] 若 \(\mathcal{Y}\) 适宜，则态射 \(y\) 拟紧。因此，作为基变换， \(\mathcal{X}_y \to \mathcal{X}\) 拟紧（引理 050V）。所以为得到结论，只需证明 \(x'\) 拟紧（引理 050W）。若 \(f\) 可表，则 \(\mathcal{X}_y\) 是概形，且 \(x'\) 拟紧。若 \(f\) 可由代数空间表示且拟分离，则 \(\mathcal{X}_y\) 是拟分离代数空间，因而适宜（《适宜代数空间》引理 03M5）。

引理

设 \(f : \mathcal{X} \to \mathcal{Y}\) 是代数叠的态射。若 \(f\) 拟紧且满，并且 \(\mathcal{X}\) 适宜，则 \(\mathcal{Y}\) 适宜。

证明

设 \(x : \Spec(k) \to \mathcal{X}\) 是态射，其中 \(k\) 是域，并记 \(y = f \circ x\)。由于 \(f\) 满，\(|\mathcal{Y}|\) 的每个点都以这种方式得到；见《叠的性质》引理 04XI。考虑仿射概形 \(T\) 和态射 \(T \to \mathcal{Y}\)。只需证明 \(T \times_{\mathcal{Y}, y} \Spec(k)\) 拟紧；见引理 0DTL。我们有 \[(T \times_{\mathcal{Y}} \mathcal{X}) \times_{\mathcal{X}, x} \Spec(k) = T \times_{\mathcal{Y}, y} \Spec(k)\] 态射 \(T \times_{\mathcal{Y}} \mathcal{X} \to T\) 拟紧，因而 \(T \times_\mathcal{Y} \mathcal{X}\) 拟紧。又因 \(\mathcal{X}\) 适宜， \(x\) 是拟紧态射，所以所示纤维积拟紧。

引理

设 \(f : \mathcal{X} \to \mathcal{Y}\) 是代数叠的态射。若 \(\mathcal{X}\) 是 \(\mathcal{Y}\) 上的胚，且 \(\mathcal{X}\) 适宜，则 \(\mathcal{Y}\) 适宜。

证明

假设 \(\mathcal{X}\) 是 \(\mathcal{Y}\) 上的胚，且 \(\mathcal{X}\) 适宜。注意，由引理 06R9，\(f\) 是泛同胚。因此本引理由引理 0GW4 得出。

适宜叠上的点

本节是《适宜代数空间》第 03IG 节的类比版本。我们不知道适宜代数叠所关联的拓扑空间是否总是清醒的；稍弱的结果见命题 0GW9。

引理

设 \(\mathcal{X}\) 是适宜代数叠。则 \(|\mathcal{X}|\) 是柯尔莫哥洛夫空间（见《拓扑学》定义 004X）。

证明

设 \(x_1, x_2 \in |\mathcal{X}|\)，并且 \(x_1 \leadsto x_2\)、 \(x_2 \leadsto x_1\)。必须证明 \(x_1 = x_2\)。令 \(\mathcal{Z} \subset \mathcal{X}\) 为约化闭子叠，其 \(|\mathcal{Z}|\) 等于 \(\overline{\{x_1\}} = \overline{\{x_2\}}\)。由引理 0GW3， \(\mathcal{Z}\) 适宜。用 \(\mathcal{Z}\) 替换 \(\mathcal{X}\) 后，归结到下一段所述的情形。

假设 \(|\mathcal{X}|\) 不可约，并且有一般点 \(x_1\) 和 \(x_2\)。选取仿射概形 \(U\)、点 \(u_1, u_2 \in U\) 以及光滑态射 \(f : U \to \mathcal{X}\)，使得 \(f(u_i) = x_i\)。于是可以找到第三个点 \(u_3 \in U\)，它是 \(U\) 的某个不可约分支的一般点，而其像 \(x_3 \in |\mathcal{X}|\) 也是 \(|\mathcal{X}|\) 的一般点。具体地，只需把 \(u_3\) 取为经过 \(u_1\)（或任选 \(u_2\)）的某个不可约分支的任意一般点。下一段将证明 \(x_1 = x_3\) 且 \(x_2 = x_3\)，从而得到所需结论。

由对称性，只需证明 \(x_1 = x_3\)。由于 \(x_1\) 是 \(|\mathcal{X}|\) 的一般点，有特化 \(x_1 \leadsto x_3\)。由引理 0GVZ，可以在 \(U\) 中找到映到 \(x_1 \leadsto x_3\) 的特化 \(u'_1 \leadsto u_3\)（！）。然而， \(u_3\) 是某个不可约分支的一般点，所以如所需，\(u'_1 = u_3\)。

引理

设 \(\mathcal{X}\) 是适宜的局部诺特代数叠。则 \(|\mathcal{X}|\) 是清醒的局部诺特拓扑空间。

证明

由引理 0DQI，拓扑空间 \(|\mathcal{X}|\) 局部诺特。由引理 0GW7，拓扑空间 \(|\mathcal{X}|\) 是柯尔莫哥洛夫空间。由引理 0GVX，拓扑空间 \(|\mathcal{X}|\) 拟清醒。证明完成；见《拓扑学》定义 004X。

命题

设 \(\mathcal{X}\) 是适宜代数叠，并且 \(\mathcal{I}_\mathcal{X} \to \mathcal{X}\) 拟紧。则 \(|\mathcal{X}|\) 清醒。

证明

由引理 0GW7，\(|\mathcal{X}|\) 是柯尔莫哥洛夫空间（实际上下面会重新证明这一点）。设 \(T \subset |\mathcal{X}|\) 是不可约闭子集。必须证明 \(T\) 有一般点。令 \(\mathcal{Z} \subset \mathcal{X}\) 为对应于 \(T\) 的约化诱导闭子叠；见《叠的性质》定义 050C。由于 \(\mathcal{Z} \to \mathcal{X}\) 是闭浸入，由引理 0GW3，\(\mathcal{Z}\) 是适宜代数叠。此外，态射 \(\mathcal{I}_\mathcal{Z} \to \mathcal{Z}\) 是 \(\mathcal{I}_\mathcal{X} \to \mathcal{X}\) 的基变换（引理 06R5）。因此 \(\mathcal{I}_\mathcal{Z} \to \mathcal{Z}\) 拟紧（引理 050V）。由此归结到下一段所述的情形。

假设 \(\mathcal{X}\) 适宜，\(\mathcal{I}_\mathcal{X} \to \mathcal{X}\) 拟紧，\(\mathcal{X}\) 约化，并且 \(|\mathcal{X}|\) 不可约。必须证明 \(|\mathcal{X}|\) 有一般点。由命题 06RC，存在作为胚的稠密开子叠 \(\mathcal{U} \subset \mathcal{X}\)。换言之，\(|\mathcal{U}| \subset |\mathcal{X}|\) 开且稠密。因此，除其他所有性质外，还可假设 \(\mathcal{X}\) 是胚。设 \(\mathcal{X} \to X\) 使 \(\mathcal{X}\) 成为代数空间 \(X\) 上的胚。由引理 06R9， \(|\mathcal{X}| \cong |X|\)。特别地，\(X\) 拟紧且 \(|X|\) 不可约。又由引理 0GW5，\(X\) 是适宜代数空间。于是，由《适宜代数空间》命题 03K6， \(|\mathcal{X}| = |X|\) 清醒，因而有一个（唯一的）一般点。

整代数叠

本节是《域上的空间》第 0AD3 节的类比版本。受该节中的考察以及命题 0GW9 的结果启发，如下定义整代数叠（它与已有的整概形和整代数空间定义并不冲突）。

定义

若代数叠 \(\mathcal{X}\) 约化、适宜， \(\mathcal{I}_\mathcal{X} \to \mathcal{X}\) 拟紧，并且 \(|\mathcal{X}|\) 不可约，则称它是整的。

注意，若 \(\mathcal{X}\) 拟分离，则要使它为整的，只需 \(\mathcal{X}\) 约化且 \(|\mathcal{X}|\) 不可约；见引理 0GWD。

引理

设 \(\mathcal{X}\) 是整代数叠。则

\(|\mathcal{X}|\) 清醒、不可约，并且有唯一的一般点；

存在开子叠 \(\mathcal{U} \subset \mathcal{X}\)，它是整概形 \(U\) 上的胚。

证明

命题 0GW9 告诉我们 \(|\mathcal{X}|\) 清醒。它当然也不可约，因而有唯一的一般点 \(x\)（由清醒性的定义）。命题 06RC 给出稠密开子叠 \(\mathcal{U} \subset \mathcal{X}\)，它是某个代数空间 \(U\) 上的胚。由引理 0GW5，\(U\) 是适宜代数空间（而 \(\mathcal{U}\) 由引理 0GW3 适宜）。由于 \(|U| = |\mathcal{U}|\)，\(|U|\) 不可约。最后，因为 \(\mathcal{U}\) 约化，态射 \(\mathcal{U} \to U\) 分解经过 \(U_{red}\)；见《叠的性质》引理 050B。现在，由于 \(\mathcal{U} \to U\) 平坦、局部有限表现且满（引理 06QI），这蕴含 \(U = U_{red}\)，即 \(U\) 约化（略去一个小细节）。于是 \(U\) 是整代数空间；见《域上的空间》定义 0AD4。最后，可以用开子空间替换 \(U\)（并相应替换 \(\mathcal{U}\)），并假设 \(U\) 是整概形；见《域上的空间》第 0AD3 节中的讨论。

引理

设 \(\mathcal{X}\) 是约化且拟分离的代数叠，并且其关联拓扑空间 \(|\mathcal{X}|\) 不可约。则 \(\mathcal{X}\) 是整的。

证明

若 \(\mathcal{X}\) 拟分离，则由引理 0GW2，\(\mathcal{X}\) 适宜。若 \(\mathcal{X}\) 拟分离，则 \(\Delta : \mathcal{X} \to \mathcal{X} \times \mathcal{X}\) 拟紧；因此，作为 \(\Delta\) 沿 \(\Delta\) 的基变换， \(\mathcal{I}_\mathcal{X} \to \mathcal{X}\) 拟紧；见引理 050V。由此可见，定义 0GWB 的所有假设都成立（同时也看出，可以把“拟分离”替换为“\(\Delta_\mathcal{X}\) 拟紧”）。

引理

设 \(\mathcal{X}\) 是适宜代数叠，并且 \(\mathcal{I}_\mathcal{X} \to \mathcal{X}\) 拟紧。下列集合之间存在典范双射：

\(\mathcal{X}\) 的点集，即 \(|\mathcal{X}|\)；

\(|\mathcal{X}|\) 的不可约闭子集所成的集合；

\(\mathcal{X}\) 的整闭子叠所成的集合。

从 (1) 到 (2) 的双射把 \(x\) 映到 \(\overline{\{x\}}\)。从 (3) 到 (2) 的双射把 \(\mathcal{Z}\) 映到 \(|\mathcal{Z}|\)。

证明

由命题 0GW9，\(|\mathcal{X}|\) 清醒，所以我们的映射定义了 (1) 与 (2) 之间的双射。给定闭且不可约的 \(T \subset |\mathcal{X}|\)，存在唯一的约化闭子叠 \(\mathcal{Z} \subset \mathcal{X}\)，使得 \(|\mathcal{Z}| = T\)；即 \(\mathcal{Z}\) 是 \(T\) 上的约化诱导子空间结构；见《叠的性质》定义 050C。于是 \(\mathcal{Z}\) 是整代数叠，因为它适宜（引理 0GW3），态射 \(\mathcal{I}_\mathcal{Z} \to \mathcal{Z}\) 拟紧（它是 \(\mathcal{I}_\mathcal{X} \to \mathcal{X}\) 的基变换；见引理 06R5）， \(\mathcal{Z}\) 约化，并且 \(|\mathcal{Z}|\) 不可约。

剩余胚

本节是《叠的性质》第 06ML 节的继续。

引理

设 \(\pi : \mathcal{X} \to \mathcal{Y}\) 是代数叠的态射。设 \(x \in |\mathcal{X}|\) 的像为 \(y \in |\mathcal{Y}|\)。假设 \(\mathcal{Y}\) 在 \(y\) 处的剩余胚 \(\mathcal{Z}_y \subset \mathcal{Y}\) 存在，并且 \(\mathcal{X}\) 是 \(\mathcal{Y}\) 上的胚。则 \(\mathcal{Z}_x = \mathcal{Z}_y \times_\mathcal{Y} \mathcal{X}\) 是 \(\mathcal{X}\) 在 \(x\) 处的剩余胚。

证明

态射 \(\mathcal{Z}_x \to \mathcal{X}\) 是单态射，因为它是单态射 \(\mathcal{Z}_y \to \mathcal{Y}\) 的基变换。由引理 06R9，态射 \(\pi\) 是泛同胚，因而 \(|\mathcal{Z}_x| = \{x\}\)。最后，态射 \(\mathcal{Z}_x \to \mathcal{Z}_y\) 是光滑态射 \(\pi\) 的基变换，所以它光滑；见引理 0DN8。因此，由于 \(\mathcal{Z}_y\) 约化且局部诺特，\(\mathcal{Z}_x\) 也如此（细节略）。于是，由《叠的性质》定义 06MU，\(\mathcal{Z}_x\) 是 \(\mathcal{X}\) 在 \(x\) 处的剩余胚。

引理

设 \(f : \mathcal{Y} \to \mathcal{X}\) 是代数叠的态射。设 \(x \in |\mathcal{X}|\) 是一点。假设

\(\mathcal{X}\) 适宜或局部诺特（或两者皆是）；

\(\mathcal{I}_\mathcal{X} \to \mathcal{X}\) 拟紧；

\(|f|(|\mathcal{Y}|)\) 包含在 \(\{x\} \subset |\mathcal{X}|\) 中；

\(\mathcal{Y}\) 约化。

则 \(f\) 分解经过 \(\mathcal{X}\) 在 \(x\) 处的剩余胚 \(\mathcal{Z}_x\) （其存在性由引理 06RD 或 0H22). 保证）。

证明

令 \(T = \overline{\{x\}} \subset |\mathcal{X}|\) 为 \(x\) 的闭包。由《叠的性质》引理 0509 ，存在约化闭子叠 \(\mathcal{X}' \subset \mathcal{X}\)，使得 \(T = |\mathcal{X}'|\)。由《叠的性质》引理 050B，态射 \(f\) 分解经过 \(\mathcal{X}'\)。若 \(\mathcal{X}\) 适宜，则由引理 0GW3，叠 \(\mathcal{X}'\) 适宜。若 \(\mathcal{X}\) 局部诺特，则 \(\mathcal{X}'\) 局部诺特（细节略）。注意，\(\mathcal{I}_{\mathcal{X}'} \to \mathcal{X}'\) 是 \(\mathcal{I}_\mathcal{X} \to \mathcal{X}\) 的基变换；由引理 06R5 和 050V， \(\mathcal{I}_{\mathcal{X}'} \to \mathcal{X}'\) 拟紧。由此归结到下一段所述的情形。

假设 \(\mathcal{X}\) 约化且 \(x \in |\mathcal{X}|\) 是一般点。由命题 06RC，存在作为胚的稠密开子叠 \(\mathcal{U} \subset \mathcal{X}'\)。注意 \(x \in |\mathcal{U}|\)。重复上述论证，归结到下一段所述的情形。

假设 \(\mathcal{X} \to X\) 是代数空间 \(X\) 上的胚。若 \(\mathcal{X}\) 适宜，则由引理 06R9 和 0GW4，空间 \(X\) 适宜。若 \(\mathcal{X}\) 局部诺特，则由 fppf 下降，\(X\) 局部诺特（细节略）。因此相应结论对 \(X\) 成立；见《适宜代数空间》引理 0H1T 或 0H1S （略去一个小细节）。应用引理 0H24，可知结论对 \(\mathcal{X}\) 也成立。

注

我们不知道仅假设 \(\mathcal{X}\) 局部诺特时，引理 0H25 是否仍成立；换言之，这里去掉关于惯性态射拟紧的假设。在这种情形下，若 \(x\) 是闭点，则下面这个简单得多的引理表明结论当然成立。

引理

设 \(\mathcal{X}\) 是局部诺特代数叠。设 \(x \in |\mathcal{X}|\) 的剩余胚为 \(\mathcal{Z}_x \subset \mathcal{X}\) （引理 0H22）。则 \(x\) 是 \(|\mathcal{X}|\) 的闭点，当且仅当态射 \(\mathcal{Z}_x \to \mathcal{X}\) 是闭浸入。

证明

若 \(\mathcal{Z}_x \to \mathcal{X}\) 是闭浸入，则 \(x\) 是 \(|\mathcal{X}|\) 的闭点；例如见引理 0CL8。反过来，假设 \(x\) 是 \(|\mathcal{X}|\) 的闭点。令 \(\mathcal{Z} \subset \mathcal{X}\) 为满足 \(|Z| = \{x\}\) 的约化闭子叠（《叠的性质》引理 0509）。由引理 06FV 和 06R6，\(\mathcal{Z}\) 是局部诺特代数叠。又因 \(\mathcal{Z}\) 约化且 \(|\mathcal{Z}| = \{x\}\)，按定义，\(\mathcal{Z} = \mathcal{Z}_x\) 是剩余胚。

字母 DM 代表 Deligne–Mumford。若 \(f\) 为 DM，则对任意概形 \(T\) 和任意态射 \(T \to \mathcal{Y}\)，纤维积 \(\mathcal{X}_T = \mathcal{X} \times_\mathcal{Y} T\) 是 \(T\) 上对角态射非分歧的代数叠，即 \(\mathcal{X}_T\) 为 DM。这蕴含 \(\mathcal{X}_T\) 是 Deligne–Mumford 叠；见定理 06N3。换言之，DM 态射的“纤维”是 Deligne–Mumford 叠。这至少为该术语提供了一些动机。↩︎
若 \(f\) 为拟 DM，则 \(\mathcal{X} \to \mathcal{Y}\) 的“纤维” \(\mathcal{X}_T\) 为拟 DM。代数叠 \(\mathcal{X}\) 为拟 DM，当且仅当存在概形 \(U\) 以及有限表示、满、平坦且局部拟有限的态射 \(U \to \mathcal{X}\)；见定理 06MF。注意，这与 Deligne–Mumford 性质相似；后者以存在概形给出的 étale 覆盖来定义。↩︎
定理 06N3 说明，这等价于 \(\mathcal{X}\) 是 Deligne–Mumford 叠。↩︎
这与微分流形的浸没概念截然不同。↩︎
这略微滥用了术语，因为称为“局部有限型点”或许更准确。↩︎
我们诚请读者自行给出这一事实的证明。事实上，该论证与《自举》定理 04S6 的证明末尾的论证有很多共同之处，因而或许应当在某处将其单独提炼为一个引理。↩︎
也很容易直接从《代数空间的态射》引理 05W3 推出这一点。↩︎
我们将在引理 0CPU 中看到，概形论像总是存在。↩︎