形式形变理论

引言

本章建立一种可在 Stacks 项目后续章节中应用的形式形变理论，其论述紧随 Rim [SGA7-I, Exposee VI] 和 Schlessinger [Sch]。我们强烈建议初次接触这一主题的读者先阅读 Schlessinger 的论文；该文的一般性已足以应付大多数应用，而且采用这种形式形变理论的论文事实上大多都会使用 Schlessinger 的结果。

设 \(\Lambda\) 为完备诺特局部环，剩余域为 \(k\)；以 \(\mathcal{C}_\Lambda\) 表示剩余域为 \(k\) 的阿廷局部 \(\Lambda\)-代数所成的范畴。给定函子 \(F : \mathcal{C}_\Lambda \to \textit{Sets}\)，并假设 \(F(k)\) 是单元素集合。Schlessinger 的论文引入了条件 (H1)–(H4)，使得：

\(F\) 有一个“包络”当且仅当 (H1)–(H3) 成立。
\(F\) 是 pro-可表的当且仅当 (H1)–(H4) 成立。

本章的目的是完全按照 Rim 的论文，从以下两方面推广这些结果：

以 \(\mathcal{C}_\Lambda\) 上的群胚余纤维范畴 \(\mathcal{F}\) 取代函子 \(F\)；见第 06GB 节。
我们允许 \(\Lambda\) 为诺特环，并令 \(\Lambda \to k\) 为到一个域的有限环映射。范畴 \(\mathcal{C}_\Lambda\) 的对象是阿廷局部 \(\Lambda\)-代数 \(A\)，并配备一个给定的等同 \(A/\mathfrak m_A = k\)。

条件 \(F(k)\) 为单元素集合的对应物，是 \(\mathcal{F}(k)\) 为平凡群胚。若 \(\mathcal{F}\) 满足此条件，我们称它为一个预形变范畴；但一般而言我们并不作此假设。Rim 的论文 [SGA7-I, Exposee VI] 是本文各项结果的原始来源。我们还要提及很有用的论文 [Talpo-Vistoli]；该文也用群胚讨论形变理论，但一般性不及本文。

范畴 \(\mathcal{C}_\Lambda\) 的“完备化” \(\widehat{\mathcal{C}}_\Lambda\) 起着重要作用。 \(\widehat{\mathcal{C}}_\Lambda\) 的对象是诺特完备局部 \(\Lambda\)-代数 \(R\)，其剩余域配备了与 \(k\) 的等同；见第 06GV 节。一方面，\(\mathcal{C}_\Lambda \subset \widehat{\mathcal{C}}_\Lambda\) 是严格满子范畴；另一方面，\(\widehat{\mathcal{C}}_\Lambda\) 是 \(\mathcal{C}_\Lambda\) 的 pro-对象范畴的满子范畴。若函子 \(\mathcal{C}_\Lambda \to \textit{Sets}\) 同构于可表函子 \(\underline{R} = \Mor_{\widehat{\mathcal{C}}_\Lambda}(R, -)\) 在 \(\mathcal{C}_\Lambda\) 上的限制，其中 \(R \in \Ob(\widehat{\mathcal{C}}_\Lambda)\)，则称该函子为 pro-可表的。

群胚余纤维范畴与群胚纤维范畴对偶；我们将在第 06GA 节引入它们。 \(\mathcal{C}_\Lambda\) 上群胚余纤维范畴之间的一个光滑态射，是指满足对象的无穷小提升判据的态射；见第 06HF 节。这与形式光滑环映射的定义类似；见《代数》定义 00TI，并且恰好与《可表示性判据》第 06CZ 节中的概念对偶。这是一个重要概念，因为我们最终要证明某些群胚余纤维范畴具有光滑的 pro-可表表示，这与《代数叠》第 04T3 和 04TJ 节中对代数叠的刻画十分相似。 \(\mathcal{C}_\Lambda\) 上群胚余纤维范畴 \(\mathcal{F}\) 的一个泛形式对象，是其完备化中的对象 \(\xi \in \widehat{\mathcal{F}}(R)\)，使相伴态射 \(\underline{\xi} : \underline{R}|_{\mathcal{C}_\Lambda} \to \mathcal{F}\) 为光滑态射。

在第 06HV 节中，我们在 \(\mathcal{F}\) 上定义条件 (S1) 和 (S2)，以推广 Schlessinger 的 (H1) 和 (H2)。Schlessinger 的 (H3) 所对应的条件——即 \(\mathcal{F}\) 有有限维切空间——不另命名。发展这套理论的一个关键步骤，是为满足 (S1)、(S2) 和 (H3) 的预形变范畴证明泛形式对象的存在性；见引理 06IW。 Schlessinger 对函子 \(F : \mathcal{C}_\Lambda \to \textit{Sets}\) 所定义的包络，在我们的术语中，是一个泛形式对象 \(\xi \in \widehat{F}(R)\)，且其诱导的切空间映射 \(d\underline{\xi} : T\underline{R}|_{\mathcal{C}_\Lambda} \to TF\) 为同构。文献中常把包络称为“极小泛”对象。我们不采用这一叫法，理由如下。一个函子可能有泛形式对象，却没有包络。此外，我们将在第 06T0 节证明：若预形变范畴有泛形式对象，则它总有一个极小泛形式对象（定义见定义 06T4），并且该对象在同构意义下唯一；见引理 06T5。然而，极小泛形式对象未必在切空间上诱导同构！（见例 06T7 和 06T9。）

在牢记上述差异的前提下，定理 06IX 正是上面 (1) 的直接推广：当 \(\mathcal{F}\) 是函子时，它恢复 Schlessinger 的结果；在条件 (S1) 和 (S2) 成立时，它又通过切空间映射 \(d\underline{\xi} : T\underline{R}|_{\mathcal{C}_\Lambda} \to TF\) 刻画极小泛形式对象。

在第 06J1 节中，我们在 \(\mathcal{F}\) 上定义 Rim 的条件 (RS)，以推广 Schlessinger 的 (H4)。所谓形变范畴，是指满足 (RS) 的预形变范畴。 pro-可表函子的对应物，是 \(\mathcal{C}_\Lambda\) 上那些 可由 \(\mathcal{C}_\Lambda\) 上函子中的光滑 pro-可表群胚表示的群胚余纤维范畴；见定义 06K3、 06KD 和 06KI。这种表示概念把 \(\mathcal{F}\) 各纤维的群胚结构纳入考虑。在定理 06L8 中，我们证明：\(\mathcal{F}\) 可由函子中的光滑 pro-可表群胚表示，当且仅当 \(\mathcal{F}\) 的切空间和无穷小自同构空间均为有限维。这是上面 (2) 的推广；当 \(\mathcal{F}\) 是函子时，它归结为 Schlessinger 的结果。最后还有第 06TD 节，其中讨论如何利用极小泛形式对象构造函子中的光滑 pro-可表群胚的极小表示；这种表示在同构意义下唯一。

我们还得到对 Schlessinger 条件的如下概念性解释。若预形变范畴 \(\mathcal{F}\) 满足 (RS)，则相伴的同构类函子 \(\overline{\mathcal{F}}: \mathcal{C}_\Lambda \to \textit{Sets}\) 满足 (H1) 和 (H2)（见引理 06J7 和 06I0）。反过来，若函子 \(F : \mathcal{C}_\Lambda \to \textit{Sets}\) 自然地产生于一个群胚余纤维范畴 \(\mathcal{F}\) 的同构类函子，那么实践中，用来证明 \(F\) 满足 (H1) 和 (H2) 的论证，似乎也总能证明 \(\mathcal{F}\) 满足 (RS)。相关例子见《形变问题》第 0DVL 节。此外，若 \(\mathcal{F}\) 满足 (RS)，则 \(\overline{\mathcal{F}}\) 的条件 (H4) 可以用 \(\mathcal{F}\) 中对象的自同构能否延拓来作简单解释（引理 06J8）。这些观察表明，应把 (RS) 看作形变理论中基本的黏合条件。

记号与约定

环均指带 \(1\) 的交换环。局部环 \(A\) 的极大理想记为 \(\mathfrak{m}_A\)。正整数集合记为 \(\mathbf{N} = \{1, 2, 3, \ldots\}\)。若 \(U\) 是范畴 \(\mathcal{C}\) 的一个对象，则以 \(\underline{U}\) 表示函子 \(\Mor_\mathcal{C}(U, -): \mathcal{C} \to \textit{Sets}\)；见备注 06GK 的 (06GQ)。注意：这可能与其他章节的记号冲突；在那里我们有时用 \(\underline{U}\) 表示 \(h_U(-) = \Mor_\mathcal{C}(-, U)\)。

本章始终设 \(\Lambda\) 为诺特环，并设 \(\Lambda \to k\) 是从 \(\Lambda\) 到一个域的有限环映射。该映射的核记为 \(\mathfrak m_\Lambda\)，像记为 \(k' \subset k\)。可以证明 \(\mathfrak m_\Lambda\) 是极大理想， \(k' = \Lambda/\mathfrak m_\Lambda\) 是域，且扩张 \(k/k'\) 有限。见公式 (06S2) 附近的讨论。

基范畴

动机。形式形变理论的一个重要应用，是研究由代数空间表示的判据。设给定局部诺特基底 \(S\) 和函子 \(F : (\Sch/S)_{fppf}^{opp} \to \textit{Sets}\)。设 \(k\) 是 \(S\) 上的有限型域，也就是说，给定有限型态射 \(\Spec(k) \to S\)。 Artin 的判据之一要求：对任意元素 \(x \in F(\Spec(k))\)，与三元组 \((S, k, x)\) 相伴的预形变函子应为 pro-可表的。由《态射》引理 01TA， \(k\) 在 \(S\) 上为有限型这一条件意味着存在仿射开集 \(\Spec(\Lambda) \subset S\)，使 \(k\) 是有限 \(\Lambda\)-代数。这说明了为何本章始终采用如下基范畴。

定义

设 \(\Lambda\) 为诺特环，\(\Lambda \to k\) 为有限环映射，其中 \(k\) 是域。定义\(\mathcal{C}_\Lambda\) 为如下范畴：

对象为二元组 \((A, \varphi)\)，其中 \(A\) 是阿廷局部 \(\Lambda\)-代数，而 \(\varphi : A/\mathfrak m_A \to k\) 是 \(\Lambda\)-代数同构；

态射 \(f : (B, \psi) \to (A, \varphi)\) 为局部 \(\Lambda\)-代数同态，且满足 \(\varphi \circ (f \bmod \mathfrak m) = \psi\)。

若 \(\Lambda\) 是诺特完备局部环，而 \(k\) 是其剩余域，则称我们处于经典情形。

注意，若 \(\Lambda \to k\) 满射，且 \(A\) 是阿廷局部 \(\Lambda\)-代数，则等同 \(\varphi\) 一旦存在便是唯一的。而且在这种情形下，任意 \(\Lambda\)-代数映射 \(A \to B\) 都与这些等同相容。因此，此时 \(\mathcal{C}_\Lambda\) 就是剩余域“为”\(k\) 的阿廷局部 \(\Lambda\)-代数所成的范畴。在一般情形下，我们也滥用记号，直接以 \(A\) 表示 \(\mathcal{C}_\Lambda\) 的对象。此外，我们常写 \(A/\mathfrak m = k\)，即假装 \(\mathcal{C}_\Lambda\) 中所有环的剩余域都是 \(k\)（由于 \(\mathcal{C}_\Lambda\) 中所有环映射都与给定等同相容，这不会造成任何问题）。本章余下部分固定基环 \(\Lambda\) 和域 \(k\)。 \(\mathcal{C}_\Lambda\) 将作为下文所考虑余纤维范畴的基范畴。

定义

设 \(f: B \to A\) 是 \(\mathcal{C}_\Lambda\) 中的环映射。若 \(f\) 为满射，并且 \(\Ker(f)\) 是被 \(\mathfrak{m}_B\) 零化的非零主理想，则称 \(f\) 为一个小扩张。

由下面的引理，我们常可把 \(\mathcal{C}_\Lambda\) 中涉及满环映射的论证归约到小扩张的情形。

引理

设 \(f: B \to A\) 是 \(\mathcal{C}_\Lambda\) 中的满环映射。则 \(f\) 可分解为一列小扩张的复合。

证明

设 \(I\) 为 \(f\) 的核。由于 \(B\) 是阿廷环，极大理想 \(\mathfrak{m}_B\) 幂零；设 \(\mathfrak{m}_B^n = 0\)。于是 \(f\) 有分解 \[B = B/I\mathfrak{m}_B^{n-1} \to B/I\mathfrak{m}_B^{n-2} \to \ldots \to B/I \cong A\] 其中每个映射均为满射，且其核被极大理想零化。因此只需证明 \(f\) 本身具有这一性质的情形，也就是说， \(I\) 被 \(\mathfrak{m}_B\) 零化的情形。此时 \(I\) 是有限维 \(k\)-向量空间；见《代数》引理 00JB。取 \(I\) 作为 \(k\)-向量空间的一组基 \(x_1, \ldots, x_n\)，便得到分解 \[B \to B/(x_1) \to \ldots \to B/(x_1, \ldots, x_n) \cong A\] 其中每个映射都是小扩张。

下一个引理说明：剩余域为 \(k\) 的局部 \(\Lambda\)-代数上的模，其长度可由它作为 \(\Lambda\)-模的长度计算。为解释陈述中的记号，设 \(k' \subset k\) 为我们固定的有限环映射 \(\Lambda \to k\) 的像。注意 \(k' \subset k\) 是有限环扩张。因此 \(k'\) 是域，而 \(k/k'\) 是有限域扩张；见《代数》引理 00GR。又因 \(\Lambda \to k'\) 为满射，其核是极大理想 \(\mathfrak m_\Lambda\)。因此 [06S2]\[\begin{equation} [k : k'] = [k : \Lambda/\mathfrak m_\Lambda] < \infty \end{equation}\] 且在经典情形下 \(k = k'\)。本章始终固定记号 \(k' = \Lambda/\mathfrak m_\Lambda\)。

引理

设 \(A\) 是剩余域为 \(k\) 的局部 \(\Lambda\)-代数，\(M\) 是 \(A\)-模。则 \([k : k'] \text{length}_A(M) = \text{length}_\Lambda(M)\)。在经典情形下， \(\text{length}_A(M) = \text{length}_\Lambda(M)\)。

证明

若 \(M\) 是单 \(A\)-模，则 \(M \cong k\)（作为 \(A\)-模）；见《代数》引理 00J2。此时 \(\text{length}_A(M) = 1\)，且 \(\text{length}_\Lambda(M) = [k' : k]\)；见《代数》引理 00IY。若 \(\text{length}_A(M)\) 有限，则取 \(M\) 的一个 \(A\)-子模滤过，使其逐次商均为单模，再由长度的可加性得到结论；见《代数》引理 00IV。若 \(\text{length}_A(M)\) 无限，则结论由显然不等式 \(\text{length}_A(M) \leq \text{length}_\Lambda(M)\) 得出。

引理

设 \(A \to B\) 是 \(\mathcal{C}_\Lambda\) 中的环映射。下列条件等价：

\(f\) 为满射；

\(\mathfrak m_A/\mathfrak m_A^2 \to \mathfrak m_B/\mathfrak m_B^2\) 为满射；

\(\mathfrak m_A/(\mathfrak m_\Lambda A + \mathfrak m_A^2) \to \mathfrak m_B/(\mathfrak m_\Lambda B + \mathfrak m_B^2)\) 为满射。

证明

对 \(\mathcal{C}_\Lambda\) 中任意环映射 \(f : A \to B\)，都有 \(f(\mathfrak m_A) \subset \mathfrak m_B\)；例如，这是因为 \(\mathfrak m_A\) 和 \(\mathfrak m_B\) 分别是 \(A\) 和 \(B\) 中幂零元的集合。设 \(f\) 为满射。取 \(y \in \mathfrak m_B\)，再取 \(x \in A\) 使 \(f(x) = y\)。由于 \(f\) 诱导同构 \(A/\mathfrak m_A \to B/\mathfrak m_B\)，可知 \(x \in \mathfrak m_A\)。故诱导映射 \(\mathfrak m_A/\mathfrak m_A^2 \to \mathfrak m_B/\mathfrak m_B^2\) 为满射。这证明了 (1) 蕴含 (2)。

显然 (2) 蕴含 (3)。映射 \(A \to B\) 给出典范交换图 \[\xymatrix{ \mathfrak m_\Lambda/\mathfrak m_\Lambda^2 \otimes_{k'} k \ar[r] \ar[d] & \mathfrak m_A/\mathfrak m_A^2 \ar[r] \ar[d] & \mathfrak m_A/(\mathfrak m_\Lambda A + \mathfrak m_A^2) \ar[r] \ar[d] & 0 \\ \mathfrak m_\Lambda/\mathfrak m_\Lambda^2 \otimes_{k'} k \ar[r] & \mathfrak m_B/\mathfrak m_B^2 \ar[r] & \mathfrak m_B/(\mathfrak m_\Lambda B + \mathfrak m_B^2) \ar[r] & 0 }\] 其两行正合。因此若 (3) 成立，则 (2) 也成立。

设 (2) 成立。由 Nakayama 引理（《代数》引理 00DV），要证明 \(A \to B\) 为满射，只需证明 \(A/\mathfrak m_A \to B/\mathfrak m_AB\) 为满射。（注意 \(\mathfrak m_A\) 是幂零理想。）由于 \(k = A/\mathfrak m_A = B/\mathfrak m_B\)，只需证明 \(\mathfrak m_AB \to \mathfrak m_B\) 为满射。再次应用 Nakayama 引理，只需证明 \(\mathfrak m_AB/\mathfrak m_A\mathfrak m_B \to \mathfrak m_B/\mathfrak m_B^2\) 为满射，而这正是我们的假设。

若 \(A \to B\) 是 \(\mathcal{C}_\Lambda\) 中的环映射，则映射 \(\mathfrak m_A/(\mathfrak m_\Lambda A + \mathfrak m_A^2) \to \mathfrak m_B/(\mathfrak m_\Lambda B + \mathfrak m_B^2)\) 就是相对余切空间上的映射。正式定义如下。

定义

设 \(R \to S\) 是局部环之间的局部同态。所谓 \(R\) 在 \(S\) 上的 相对余切空间 ¹ 是如下 \(S/\mathfrak m_S\)-向量空间： \(\mathfrak m_S/(\mathfrak m_R S + \mathfrak m_S^2)\)。

若 \(f_1: A_1 \to A\) 和 \(f_2: A_2 \to A\) 是两个环映射，则纤维积 \(A_1 \times_A A_2\) 是 \(A_1 \times A_2\) 的子环，由两个投影到 \(A\) 的像相等的元素组成。本章将反复考虑 \(f_1\) 和 \(f_2\) 属于 \(\mathcal{C}_\Lambda\) 时涉及这种纤维积的条件。但该纤维积未必是 \(\mathcal{C}_\Lambda\) 的对象。

例

设 \(p\) 为素数，\(n \in \mathbf{N}\)。令 \(\Lambda = \mathbf{F}_p(t_1, t_2, \ldots, t_n)\)，并令 \(k = \mathbf{F}_p(x_1, \ldots, x_n)\)；映射 \(\Lambda \to k\) 由 \(t_i \mapsto x_i^p\) 给出。令 \(A = k[\epsilon] = k[x]/(x^2)\)。则 \(A\) 是 \(\mathcal{C}_\Lambda\) 的对象。设 \(D : k \to k\) 是 \(k\) 在 \(\Lambda\) 上的一个导子，例如 \(D = \partial/\partial x_i\)。则映射 \[f_D : k \longrightarrow k[\epsilon], \quad a \mapsto a + D(a)\epsilon\] 是 \(\mathcal{C}_\Lambda\) 中的态射。令 \(A_1 = A_2 = k\)，并令 \(f_1 = f_{\partial/\partial x_1}\)、\(f_2(a) = a\)。于是 \(A_1 \times_A A_2 = \{a \in k \mid \partial/\partial x_1(a) = 0\}\)，它不满射到 \(k\)。因此该纤维积不是 \(\mathcal{C}_\Lambda\) 的对象。

可以证明，这一问题只会在剩余域扩张 \(k/k'\)（见 (06S2)）不可分，并且 \(f_1\)、\(f_2\) 都不是满射时发生。

引理

设 \(f_1 : A_1 \to A\) 和 \(f_2 : A_2 \to A\) 是 \(\mathcal{C}_\Lambda\) 中的环映射。则：

若 \(f_1\) 或 \(f_2\) 为满射，则 \(A_1 \times_A A_2\) 属于 \(\mathcal{C}_\Lambda\)；

若 \(f_2\) 为小扩张，则 \(A_1 \times_A A_2 \to A_1\) 也是小扩张；

若域扩张 \(k/k'\) 可分，则 \(A_1 \times_A A_2\) 属于 \(\mathcal{C}_\Lambda\)。

证明

映射 \(\Lambda \to A_1\) 和 \(\Lambda \to A_2\) 诱导映射 \(\Lambda \to A_1 \times_A A_2\)，从而使环 \(A_1 \times_A A_2\) 成为 \(\Lambda\)-代数。它是局部环，唯一极大理想为 \[\mathfrak m_{A_1} \times_{\mathfrak m_A} \mathfrak m_{A_2} = \Ker(A_1 \times_A A_2 \longrightarrow k)\] 一个环是阿廷环，当且仅当它作为自身的模具有有限长度；见《代数》引理 00JB。由于 \(A_1\) 和 \(A_2\) 是阿廷环，引理 06GG 表明 \(\text{length}_\Lambda(A_1)\) 和 \(\text{length}_\Lambda(A_2)\)，从而也表明 \(\text{length}_\Lambda(A_1 \times A_2)\)，都是有限的。又因 \(A_1 \times_A A_2 \subset A_1 \times A_2\) 是 \(\Lambda\)-子模，便有 \(\text{length}_{A_1 \times_A A_2}(A_1 \times_A A_2) \leq \text{length}_\Lambda(A_1 \times_A A_2)\) 有限。因此 \(A_1 \times_A A_2\) 是阿廷环。故阻碍 \(A_1 \times_A A_2\) 成为 \(\mathcal{C}_\Lambda\) 对象的唯一可能，是它的剩余域经上述映射 \(A_1 \times_A A_2 \to A \to A/\mathfrak m_A = k\) 映到 \(k\) 的一个真子域。

(1) 的证明。若 \(f_2\) 为满射，则投影 \(A_1 \times_A A_2 \to A_1\) 为满射。因此复合 \(A_1 \times_A A_2 \to A_1 \to A_1/\mathfrak m_{A_1} = k\) 为满射，从而 \(A_1 \times_A A_2\) 是 \(\mathcal{C}_\Lambda\) 的对象。

(2) 的证明。若 \(f_2\) 为小扩张，则 \(A_2 \to A\) 与 \(A_1 \times_A A_2 \to A_1\) 都是满射，且二者具有相同的核。因此 \(A_1 \times_A A_2 \to A_1\) 的核是 \(1\)-维 \(k\)-向量空间，故 \(A_1 \times_A A_2 \to A_1\) 为小扩张。

(3) 的证明。选取 \(\overline{x} \in k\)，使 \(k = k'(\overline{x})\)（见《域》引理 030N）。设 \(P'(T) \in k'[T]\) 是 \(\overline{x}\) 在 \(k'\) 上的极小多项式。由于 \(k/k'\) 可分， \(\text{d}P/\text{d}T(\overline{x}) \not = 0\)。在满射 \(\Lambda[T] \to k'[T]\) 下，选取映到 \(P'\) 的首一多项式 \(P \in \Lambda[T]\)。由于 \(A, A_1, A_2\) 都是 Hensel 环；见《代数》引理 06RS，可找到 \(x, x_1, x_2 \in A, A_1, A_2\)，使 \(P(x) = 0, P(x_1) = 0, P(x_2) = 0\)，且 \(x,x_1,x_2\) 在 \(k\) 中的像均为 \(\overline{x}\)。由唯一性，\(x_1,x_2\) 都映到 \(x \in A\)；见《代数》引理 06RR。所以 \((x_1, x_2) \in A_1 \times_A A_2\)。于是 \(A_1 \times_A A_2\) 的剩余域包含 \(k\) 在 \(k'\) 上的一个生成元，结论得证。

下面定义 \(\mathcal{C}_\Lambda\) 中的本质满射。引理 06H0 给出了 \(\mathcal{C}_\Lambda\) 中一个满射为本质满射的充要条件。

定义

设 \(f: B \to A\) 是 \(\mathcal{C}_\Lambda\) 中的环映射。若其具有下列性质，则称 \(f\) 为本质满射：

\(f\) 为满射；

若 \(g: C \to B\) 是 \(\mathcal{C}_\Lambda\) 中的环映射，且 \(f \circ g\) 为满射，则 \(g\) 为满射。

利用引理 06S3，可以如下刻画 \(\mathcal{C}_\Lambda\) 中的本质满射。

引理

设 \(f: B \to A\) 是 \(\mathcal{C}_\Lambda\) 中的环映射。下列条件等价：

\(f\) 是本质满射；

映射 \(B/\mathfrak m_B^2 \to A/\mathfrak m_A^2\) 是本质满射；

映射 \(B/(\mathfrak m_\Lambda B + \mathfrak m_B^2) \to A/(\mathfrak m_\Lambda A + \mathfrak m_A^2)\) 是本质满射。

证明

假设 (3) 成立。设 \(C \to B\) 是 \(\mathcal{C}_\Lambda\) 中的环映射，且 \(C \to A\) 为满射。则 \(C \to A/(\mathfrak m_\Lambda A + \mathfrak m_A^2)\) 也为满射。由假设，\(C \to B/(\mathfrak m_\Lambda B + \mathfrak m_B^2)\) 为满射。两次应用引理 06S3，可知 \(C \to B\) 为满射。

假设 (1) 成立。设 \(C \to B/(\mathfrak m_\Lambda B + \mathfrak m_B^2)\) 是 \(\mathcal{C}_\Lambda\) 中的态射，且 \(C \to A/(\mathfrak m_\Lambda A + \mathfrak m_A^2)\) 为满射。令 \(C' = C \times_{B/(\mathfrak m_\Lambda B + \mathfrak m_B^2)} B\)。由引理 06GH，它是 \(\mathcal{C}_\Lambda\) 的对象。注意 \(C' \to A/(\mathfrak m_\Lambda A + \mathfrak m_A^2)\) 仍为满射，故由引理 06S3，\(C' \to A\) 为满射。于是由假设，\(C' \to B\) 为满射。因而 \(C' \to B/(\mathfrak m_\Lambda B + \mathfrak m_B^2)\) 为满射；由 \(C'\) 的构造，这又蕴含 \(C \to B/(\mathfrak m_\Lambda B + \mathfrak m_B^2)\) 为满射。

第一段证明了 (3) \(\Rightarrow\) (1)，第二段证明了 (1) \(\Rightarrow\) (3)。(2) 与 (3) 的等价，是 (1) 与 (3) 等价的一个特殊情形，故证明完成。

为了进一步分析 \(\mathcal{C}_\Lambda\) 中的本质满射，引入一些记号。设 \(A\) 是 \(\mathcal{C}_\Lambda\) 的对象；更一般地，也可取配备了 \(\Lambda\)-代数满射 \(A \to k\) 的任意 \(\Lambda\)-代数。有典范正合序列 [06S6]\[\begin{equation} \mathfrak m_A/\mathfrak m_A^2 \xrightarrow{\text{d}_A} \Omega_{A/\Lambda} \otimes_A k \to \Omega_{k/\Lambda} \to 0 \end{equation}\] 见《代数》引理 00RU。注意 \(\Omega_{k/\Lambda} = \Omega_{k/k'}\)，其中 \(k'\) 如 (06S2) 所定义。以 \(H_1(L_{k/\Lambda})\) 表示 \(k\) 在 \(\Lambda\) 上的朴素余切复形的第一同调模；见《代数》定义 07BN。于是可以把 (06S6) 延长为正合序列 [06S7]\[\begin{equation} H_1(L_{k/\Lambda}) \to \mathfrak m_A/\mathfrak m_A^2 \xrightarrow{\text{d}_A} \Omega_{A/\Lambda} \otimes_A k \to \Omega_{k/\Lambda} \to 0, \end{equation}\] 见《代数》引理 00S2。若 \(B \to A\) 是 \(\mathcal{C}_\Lambda\) 中的环映射；更一般地，若它是两个均配备到 \(k\) 的 \(\Lambda\)-代数满射的 \(\Lambda\)-代数之间的映射，则得到交换图 [06S8]\[\begin{equation} \vcenter{ \xymatrix{ H_1(L_{k/\Lambda}) \ar[r] \ar@{=}[d] & \mathfrak m_B/\mathfrak m_B^2 \ar[r]_{\text{d}_B} \ar[d] & \Omega_{B/\Lambda} \otimes_B k \ar[r] \ar[d] & \Omega_{k/\Lambda} \ar[r] \ar@{=}[d] & 0 \\ H_1(L_{k/\Lambda}) \ar[r] & \mathfrak m_A/\mathfrak m_A^2 \ar[r]^{\text{d}_A} & \Omega_{A/\Lambda} \otimes_A k \ar[r] & \Omega_{k/\Lambda} \ar[r] & 0 } } \end{equation}\] 其两行均正合。

引理

有典范映射 \[\mathfrak m_\Lambda/\mathfrak m_\Lambda^2 \longrightarrow H_1(L_{k/\Lambda}).\] 若 \(k' \subset k\) 可分（例如 \(k\) 的特征为零），则该映射诱导同构 \(\mathfrak m_\Lambda/\mathfrak m_\Lambda^2 \otimes_{k'} k = H_1(L_{k/\Lambda})\)。若 \(k = k'\)（例如经典情形），则 \(\mathfrak m_\Lambda/\mathfrak m_\Lambda^2 = H_1(L_{k/\Lambda})\)。复合 \[\mathfrak m_\Lambda/\mathfrak m_\Lambda^2 \longrightarrow H_1(L_{k/\Lambda}) \longrightarrow \mathfrak m_A/\mathfrak m_A^2\] 来自典范映射 \(\mathfrak m_\Lambda \to \mathfrak m_A\)。

证明

由于 \(\Lambda \to k'\) 为满射且核为 \(\mathfrak m_\Lambda\)，故 \(H_1(L_{k'/\Lambda}) = \mathfrak m_\Lambda/\mathfrak m_\Lambda^2\)。上述映射来自朴素余切复形的函子性。若 \(k' \subset k\) 可分，则 \(k' \to k\) 是平展环映射；见《代数》引理 00U3。因此它的朴素余切复形具有平凡的同调群；见《代数》定义 00U1。把《代数》引理 00S2 应用于环映射 \(\Lambda \to k' \to k\)，可得 \(\mathfrak m_\Lambda/\mathfrak m_\Lambda^2 \otimes_{k'} k = H_1(L_{k/\Lambda})\)。最后一个断言的证明从略。

引理

设 \(f: B \to A\) 是 \(\mathcal{C}_\Lambda\) 中的环映射，记号沿用 (06S8)。

引理 06S3 中刻画 \(f\) 为满射的等价条件，还等价于下列条件：

\(\Im(\text{d}_B) \to \Im(\text{d}_A)\) 为满射；

映射 \(\Omega_{B/\Lambda} \otimes_B k \to \Omega_{A/\Lambda} \otimes_A k\) 为满射。

下列条件等价：

\(f\) 是本质满射（见引理 06S5）；

映射 \(\Im(\text{d}_B) \to \Im(\text{d}_A)\) 为同构；

映射 \(\Omega_{B/\Lambda} \otimes_B k \to \Omega_{A/\Lambda} \otimes_A k\) 为同构。

若 \(k/k'\) 可分，则 \(f\) 为本质满射，当且仅当映射 \(\mathfrak m_B/(\mathfrak m_\Lambda B + \mathfrak m_B^2) \to \mathfrak m_A/(\mathfrak m_\Lambda A + \mathfrak m_A^2)\) 为同构。

若 \(f\) 为小扩张，则 \(f\) 非本质，当且仅当 \(f\) 在 \(\mathcal{C}_\Lambda\) 中有截面 \(s: A \to B\)，且 \(f \circ s = \text{id}_A\)。

证明

(1) 的证明。由 (06S8)， (1)(a) 与 (1)(b) 等价。此外，若 \(A \to B\) 为满射，则 (1)(a) 与 (1)(b) 成立。设 (1)(a) 成立。由于 \(\text{d}_A\) 的核是 \(H_1(L_{k/\Lambda})\) 的像，而后者也映到 \(\mathfrak m_B/\mathfrak m_B^2\)，可知 \(\mathfrak m_B/\mathfrak m_B^2 \to \mathfrak m_A/\mathfrak m_A^2\) 为满射。因此由引理 06S3，\(B \to A\) 为满射。这就完成了 (1) 的证明。

(2) 的证明。(2)(b) 与 (2)(c) 的等价性直接来自 (06S8)。

设 (2)(b) 成立。令 \(g : C \to B\) 为 \(\mathcal{C}_\Lambda\) 中的环映射，且 \(f \circ g\) 为满射。由引理 06S3， \(\mathfrak m_C/\mathfrak m_C^2 \to \mathfrak m_A/\mathfrak m_A^2\) 为满射。因此 \(\Im(\text{d}_C) \to \Im(\text{d}_A)\) 为满射；再由假设可知 \(\Im(\text{d}_C) \to \Im(\text{d}_B)\) 为满射。由 (1)，\(C \to B\) 为满射。

设 (2)(a) 成立。则 \(f\) 为满射，且 \(\Omega_{B/\Lambda} \otimes_B k \to \Omega_{A/\Lambda} \otimes_A k\) 为满射。令 \(K\) 为其核。由 (06S8)，注意到 \(K = \text{d}_B(\Ker(\mathfrak m_B/\mathfrak m_B^2 \to \mathfrak m_A/\mathfrak m_A^2))\)。选取 \(k\)-向量空间的分裂 \[\Omega_{B/\Lambda} \otimes_B k = \Omega_{A/\Lambda} \otimes_A k \oplus K\] 映射 \(\text{d} : B \to \Omega_{B/\Lambda}\) 经投影到 \(K\) 诱导映射 \(D : B \to K\)。令 \(C = \{b \in B \mid D(b) = 0\}\)。Leibniz 法则表明，这是 \(B\) 的一个 \(\Lambda\)-子代数。取 \(\overline{x} \in k\)，再取映到 \(\overline{x}\) 的 \(x \in B\)。若 \(D(x) \not = 0\)，则可找到 \(y \in \mathfrak m_B\)，使 \(D(y) = D(x)\)。于是 \(x-y \in C\) 映到 \(\overline{x}\)。因此 \(C \to k\) 为满射，且 \(C\) 是 \(\mathcal{C}_\Lambda\) 的对象。类似地，取 \(\omega \in \Im(\text{d}_A)\)。由 (1)，可找到 \(x \in \mathfrak m_B\)，使 \(\text{d}_B(x)\) 映到 \(\omega\)。若 \(D(x) \not = 0\)，则可找到 \(y \in \mathfrak m_B\)，它在 \(\mathfrak m_A/\mathfrak m_A^2\) 中映为零，且 \(D(y) = D(x)\)。于是 \(z=x-y\) 属于 \(\mathfrak m_C\)，而其像 \(\text{d}_C(z) \in \Omega_{C/k} \otimes_C k\) 映到 \(\omega\)。故 \(\Im(\text{d}_C) \to \Im(\text{d}_A)\) 为满射。由 (1)，\(C \to A\) 为满射；再由假设，\(C \to B\) 为满射。所以 \(D=0\)，也就是 \(K=0\)，即 (2)(c) 成立。这完成了 (2) 的证明。

(3) 的证明。若 \(k'/k\) 可分，则由引理 06S9， \(H_1(L_{k/\Lambda}) = \mathfrak m_\Lambda/\mathfrak m_\Lambda^2 \otimes_{k'} k\)。于是 \(\Im(\text{d}_A) = \mathfrak m_A/(\mathfrak m_\Lambda A + \mathfrak m_A^2)\)，对 \(B\) 也同样成立。因此 (3) 由 (2) 得出。

(4) 的证明。\(f\) 的截面 \(s\) 不是满射（按定义，小扩张有非平凡核），故 \(f\) 不是本质满射。反过来，设 \(f\) 是小扩张但不是本质满射。选取 \(\mathcal{C}_\Lambda\) 中的非满环映射 \(C \to B\)，使 \(C \to A\) 为满射。令 \(C' \subset B\) 为 \(C \to B\) 的像。则 \(C' \not = B\)，但 \(C'\) 满射到 \(A\)。由于 \(f : B \to A\) 是小扩张， \(\text{length}_C(B) = \text{length}_C(A) + 1\)。又因 \(C'\) 是 \(B\) 的真子环， \(\text{length}_C(C') \leq \text{length}_C(A)\)。但 \(C' \to A\) 为满射，所以事实上 \(\text{length}_C(C') = \text{length}_C(A)\)，且 \(C' \to A\) 为同构。这便给出所需截面。

例

设 \(\Lambda = k[[x]]\) 是 \(k\) 上 \(1\) 个变量的幂级数环。令 \(A=k\)、\(B=\Lambda/(x^2)\)。则由引理 06H0，\(B \to A\) 是本质满射；这是因为它是小扩张，且映射 \(B \to A\) 在范畴 \(\mathcal{C}_\Lambda\) 中没有右逆。然而映射 \[k \cong \mathfrak m_B/\mathfrak m_B^2 \longrightarrow \mathfrak m_A/\mathfrak m_A^2 = 0\] 不是同构。因此，在引理 06H0 (3) 中，必须考虑相对余切空间之间的映射 \(\mathfrak m_B/(\mathfrak m_\Lambda B + \mathfrak m_B^2) \to \mathfrak m_A/(\mathfrak m_\Lambda A + \mathfrak m_A^2)\)。

完备化的基范畴

下面对范畴 \(\mathcal{C}_\Lambda\) 的“完备化”，将作为 \(\mathcal{C}_\Lambda\) 上群胚余纤维范畴之完备化的基范畴（第 06H2 节）。

定义

设 \(\Lambda\) 是诺特环，且 \(\Lambda \to k\) 是到域 \(k\) 的有限环映射。定义\(\widehat{\mathcal{C}}_\Lambda\) 为如下范畴：

对象为偶 \((R, \varphi)\)，其中 \(R\) 是诺特完备局部 \(\Lambda\)-代数，且 \(\varphi : R/\mathfrak m_R \to k\) 是 \(\Lambda\)-代数同构；

态射 \(f : (S, \psi) \to (R, \varphi)\) 为局部 \(\Lambda\)-代数同态，且满足 \(\varphi \circ (f \bmod \mathfrak m) = \psi\)。

与定义 06GC 之后的讨论一样，我们通常把 \(\widehat{\mathcal{C}}_\Lambda\) 的对象简记为 \(R\)，并约定识别 \(R/\mathfrak m_R = k\)。本节讨论范畴 \(\widehat{\mathcal{C}}_\Lambda\) 的对象与态射的一些基本性质，这些性质与上一节关于范畴 \(\mathcal{C}_\Lambda\) 的讨论相对应。

首先注意，任意对象 \(A \in \mathcal{C}_\Lambda\) 也是 \(\widehat{\mathcal{C}}_\Lambda\) 的对象，因为阿廷局部环总是诺特的，并且关于其极大理想完备（该理想毕竟是幂零理想）。此外，由定义显然可见 \(\mathcal{C}_\Lambda \subset \widehat{\mathcal{C}}_\Lambda\) 是由所有阿廷环构成的严格满子范畴。反过来，事实上 \(\widehat{\mathcal{C}}_\Lambda\) 的每个对象都是 \(\mathcal{C}_\Lambda\) 中对象的极限。

设 \(R\) 是 \(\widehat{\mathcal{C}}_\Lambda\) 的对象。对 \(n \in \mathbf{N}\)，考虑环 \(R_n = R/\mathfrak m_R^n\)。它们是具有唯一幂零素理想的诺特局部环，因而是阿廷环；见《代数》命题 00KJ。环映射 \[\ldots \to R_{n + 1} \to R_n \to \ldots \to R_2 \to R_1 = k\] 全都满射。按定义，\(R\) 的完备性意即 \(R = \lim R_n\)。若 \(f : R \to S\) 是 \(\widehat{\mathcal{C}}_\Lambda\) 中的环映射，则得到一族环映射 \(f_n : R_n \to S_n\)，其极限就是给定映射。

引理

设 \(f: R \to S\) 是 \(\widehat{\mathcal{C}}_\Lambda\) 中的环映射。下列条件等价：

\(f\) 为满射；

映射 \(\mathfrak m_R/\mathfrak m_R^2 \to \mathfrak m_S/\mathfrak m_S^2\) 为满射；

映射 \(\mathfrak m_R/(\mathfrak m_\Lambda R + \mathfrak m_R^2) \to \mathfrak m_S/(\mathfrak m_\Lambda S + \mathfrak m_S^2)\) 为满射。

证明

注意，对 \(n \geq 2\)，相对余切空间之间有等式 \[\mathfrak m_R/(\mathfrak m_\Lambda R + \mathfrak m_R^2) = \mathfrak m_{R_n}/(\mathfrak m_\Lambda R_n + \mathfrak m_{R_n}^2)\] 对 \(S\) 也同样成立。因此由引理 06S3， \(R_n \to S_n\) 对所有 \(n\) 都是满射。令 \(K_n\) 为 \(R_n \to S_n\) 的核。则序列 \[0 \to K_n \to R_n \to S_n \to 0\] 组成逆系统的正合序列。由于每个 \(K_n\) 都是阿廷模，系统 \((K_n)\) 满足 Mittag-Leffler 条件。因此由《代数》引理 0598，取极限保持正合性。所以 \(\lim R_n \to \lim S_n\) 为满射，即 \(f\) 为满射。

引理

范畴 \(\widehat{\mathcal{C}}_\Lambda\) 有推出。

证明

设 \(R \to S_1\) 和 \(R \to S_2\) 是 \(\widehat{\mathcal{C}}_\Lambda\) 中的态射。考虑环 \(C = S_1 \otimes_R S_2\)。这个环有有限生成的极大理想 \(\mathfrak m = \mathfrak m_{S_1} \otimes S_2 + S_1 \otimes \mathfrak m_{S_2}\)，其剩余域为 \(k\)。令 \(C^\wedge\) 为 \(C\) 关于 \(\mathfrak m\) 的完备化。则 \(C^\wedge\) 是关于极大理想 \(\mathfrak m^\wedge = \mathfrak mC^\wedge\) 完备的诺特环，其剩余域与 \(k\) 识别；见《代数》引理 05GH。因此 \(C^\wedge\) 是 \(\widehat{\mathcal{C}}_\Lambda\) 的对象。于是 \(S_1 \to C^\wedge\) 和 \(S_2 \to C^\wedge\) 使 \(C^\wedge\) 成为 \(\widehat{\mathcal{C}}_\Lambda\) 中 \(R\) 上的推出（细节从略）。

我们不会用到下面的引理。

引理

范畴 \(\widehat{\mathcal{C}}_\Lambda\) 有对象对的余积。

证明

设 \(R\) 和 \(S\) 是 \(\widehat{\mathcal{C}}_\Lambda\) 的对象。考虑环 \(C = R \otimes_\Lambda S\)。有典范满射 \(C \to R \otimes_\Lambda S \to k \otimes_\Lambda k \to k\)，其中最后一个映射为乘法映射。\(C \to k\) 的核是极大理想 \(\mathfrak m\)。注意，\(\mathfrak m\) 由 \(\mathfrak m_R C\)、 \(\mathfrak m_S C\)，以及 \(C\) 中有限多个映到 \(k \otimes_\Lambda k \to k\) 之核的生成元的元素所生成。因此 \(\mathfrak m\) 是有限生成理想。令 \(C^\wedge\) 为 \(C\) 关于 \(\mathfrak m\) 的完备化。则 \(C^\wedge\) 是关于极大理想 \(\mathfrak m^\wedge = \mathfrak mC^\wedge\) 完备的诺特环，剩余域为 \(k\)；见《代数》引理 05GH。因此 \(C^\wedge\) 是 \(\widehat{\mathcal{C}}_\Lambda\) 的对象。于是 \(R \to C^\wedge\) 和 \(S \to C^\wedge\) 使 \(C^\wedge\) 成为 \(\widehat{\mathcal{C}}_\Lambda\) 中的余积（细节从略）。

范畴中的空余积就是该范畴的始对象。在经典情形下， \(\widehat{\mathcal{C}}_\Lambda\) 有始对象，即 \(\Lambda\) 本身。更一般地，若 \(k' = k\)，则 \(\Lambda\) 关于 \(\mathfrak m_\Lambda\) 的完备化 \(\Lambda^\wedge\) 是始对象。还可以更一般地说，若 \(k' \subset k\) 可分，则 \(\widehat{\mathcal{C}}_\Lambda\) 也有始对象。具体地，选取首一多项式 \(P \in \Lambda[T]\)，使 \(k \cong k'[T]/(P')\)，其中 \(p' \in k'[T]\) 是 \(P\) 的像。则 \(R = \Lambda^\wedge[T]/(P)\) 是始对象；见引理 06GH 的证明。

若 \(R\) 是上述始对象，则有 \(\mathcal{C}_\Lambda = \mathcal{C}_R\) 和 \(\widehat{\mathcal{C}}_\Lambda = \widehat{\mathcal{C}}_R\)，这实际上把本章的全部讨论归结到经典情形。但是，若 \(k' \subset k\) 不可分，则始对象不存在。

引理

设 \(S\) 是 \(\widehat{\mathcal{C}}_\Lambda\) 的对象。则 \(\dim_k \text{Der}_\Lambda(S, k) < \infty\)。

证明

选取 \(x_1, \ldots, x_n \in \mathfrak m_S\)，使其像构成相对余切空间 \(\mathfrak m_S/(\mathfrak m_\Lambda S + \mathfrak m_S^2)\) 的一组 \(k\)-基。选取 \(y_1, \ldots, y_m \in S\)，使其在 \(k\) 中的像在 \(k'\) 上生成 \(k\)。我们断言 \(\dim_k \text{Der}_\Lambda(S, k) \leq n + m\)。为证明这一点，只需证明：若 \(D(x_i) = 0\) 且 \(D(y_j) = 0\)，则 \(D = 0\)。设 \(a \in S\)。可找到多项式 \(P = \sum \lambda_J y^J\)，其中 \(\lambda_J \in \Lambda\)，使其在 \(k\) 中的像与 \(a\) 在 \(k\) 中的像相同。由对所有 \(j\) 都有 \(D(y_j) = 0\) 这一假设可知 \(D(a - P) = D(a) - D(P) = D(a)\)。因而可以假设 \(a \in \mathfrak m_S\)。写成 \(a = \sum a_i x_i\)，其中 \(a_i \in S\)。由 Leibniz 法则， \[D(a) = \sum x_iD(a_i) + \sum a_iD(x_i) = \sum x_iD(a_i)\] 因为我们假设了 \(D(x_i) = 0\)。又因 \(x_i\) 在 \(k\) 上的乘法为零，所以 \(\sum x_iD(a_i) = 0\)。

引理

设 \(f : R \to S\) 是 \(\widehat{\mathcal{C}}_\Lambda\) 的态射。若 \(\text{Der}_\Lambda(S, k) \to \text{Der}_\Lambda(R, k)\) 为单射，则 \(f\) 为满射。

证明

若 \(f\) 不是满射，则由引理 06GZ， \(\mathfrak m_S/(\mathfrak m_R S + \mathfrak m_S^2)\) 非零。因而 \(Q = S/(f(R) + \mathfrak m_R S + \mathfrak m_S^2)\) 也非零。通过 \(f\)，\(Q\) 是 \(k = R/\mathfrak m_R\)-向量空间。再通过 \(S \to k\) 把 \(Q\) 视为 \(S\)-模。商映射 \(D : S \to Q\) 是一个 \(R\)-导子：若 \(a_1, a_2 \in S\)，则可写成 \(a_1 = f(b_1) + a_1'\) 和 \(a_2 = f(b_2) + a_2'\)，其中 \(b_1, b_2 \in R\) 且 \(a_1', a_2' \in \mathfrak m_S\)。此时对 \(i = 1, 2\)， \(b_i\) 和 \(a_i\) 在 \(k\) 中有相同的像，并且在 \(Q\) 中 \[\begin{align*} a_1a_2 & = (f(b_1) + a_1')(f(b_2) + a_2') \\ & = f(b_1)a_2' + f(b_2)a_1' \\ & = f(b_1)(f(b_2) + a_2') + f(b_2)(f(b_1) + a_1') \\ & = f(b_1)a_2 + f(b_2)a_1 \end{align*}\] 这就证明了 Leibniz 法则。因此 \(D : S \to Q\) 是一个 \(\Lambda\)-导子，并且与 \(R \to S\) 复合为零。由于 \(Q \not = 0\)，也存在与 \(R \to S\) 复合为零的导子 \(D : S \to k\)；也就是说， \(\text{Der}_\Lambda(S, k) \to \text{Der}_\Lambda(R, k)\) 不是单射。

引理

设 \(R\) 是 \(\widehat{\mathcal{C}}_\Lambda\) 的对象，\((J_n)\) 是满足 \(\mathfrak m_R^n \subset J_n\) 的理想递减列。令 \(J = \bigcap J_n\)。则序列 \((J_n/J)\) 在 \(R/J\) 上定义 \(\mathfrak m_{R/J}\)-进拓扑。

证明

显然 \(\mathfrak m_{R/J}^n \subset J_n/J\)。因此只需证明：对每个 \(n\)，存在 \(N\)，使 \(J_N/J \subset \mathfrak m_{R/J}^n\)。这等价于 \(J_N \subset \mathfrak m_R^n + J\)。对每个 \(n\)，环 \(R/\mathfrak m_R^n\) 都是阿廷环，故存在 \(N_n\)，使 \[J_{N_n} + \mathfrak m_R^n = J_{N_n + 1} + \mathfrak m_R^n = \ldots\] 令 \(E_n = (J_{N_n} + \mathfrak m_R^n)/\mathfrak m_R^n\)，并令 \(E = \lim E_n \subset \lim R/\mathfrak m_R^n = R\)。注意 \(E \subset J\)：因为对任意 \(f \in E\) 和任意 \(m\)，当所有 \(n \gg 0\) 时均有 \(f \in J_m + \mathfrak m_R^n\)，故由 Krull 交定理 \(f \in J_m\)；见《代数》引理 00IP。由于过渡映射 \(E_n \to E_{n - 1}\) 全都满射， \(J\) 满射到 \(E_n\)。所以取 \(N = N_n\) 即可。

引理

设 \(\ldots \to A_3 \to A_2 \to A_1\) 是 \(\mathcal{C}_\Lambda\) 中的一列满环映射。若 \(\dim_k (\mathfrak m_{A_n}/\mathfrak m_{A_n}^2)\) 有界，则 \(S = \lim A_n\) 是 \(\widehat{\mathcal{C}}_\Lambda\) 的对象，并且理想 \(I_n = \Ker(S \to A_n)\) 在 \(S\) 上定义 \(\mathfrak m_S\)-进拓扑。

证明

下文直接使用映射 \(S \to A_n\) 对所有 \(n\) 均为满射这一事实。注意，映射 \(\mathfrak m_{A_{n + 1}}/\mathfrak m_{A_{n + 1}}^2 \to \mathfrak m_{A_n}/\mathfrak m_{A_n}^2\) 为满射；见引理 06GZ。因此，当 \(n\) 充分大时，维数 \(\dim_k (\mathfrak m_{A_n}/\mathfrak m_{A_n}^2)\) 稳定为某个整数，记为 \(r\)。于是可找到 \(x_1, \ldots, x_r \in \mathfrak m_S\)，使其在 \(A_n\) 中的像生成 \(\mathfrak m_{A_n}\)。此外，选取 \(y_1, \ldots, y_t \in S\)，使其在 \(k\) 中的像在 \(\Lambda\) 上生成 \(k\)。从而得到环映射 \(P = \Lambda[z_1, \ldots, z_{r + t}] \to S\)， \(z_i \mapsto x_i\) 且 \(z_{r + j} \mapsto y_j\)，使复合 \(P \to S \to A_n\) 对所有 \(n\) 都为满射。令 \(\mathfrak m \subset P\) 为 \(P \to k\) 的核。令 \(R = P^\wedge\) 为 \(P\) 的 \(\mathfrak m\)-进完备化；这是 \(\widehat{\mathcal{C}}_\Lambda\) 的对象。仍有相容的满射系 \(R \to A_n\)，故得到映射 \(R \to S\)。令 \(J_n = \Ker(R \to A_n)\)，并令 \(J = \bigcap J_n\)。由引理 06SE， \(R/J = \lim R/J_n = \lim A_n = S\)，而且理想 \(J_n/J = I_n\) 定义 \(\mathfrak m\)-进拓扑。（注意，对每个 \(n\)，都有 \(\mathfrak m_R^{N_n} \subset J_n\)，其中 \(N_n\) 依指标而定，未必有 \(N_n = n\)；所以在应用该引理之前，可能需要重编号理想 \(J_n\)。）

引理

设 \(R', R \in \Ob(\widehat{\mathcal{C}}_\Lambda)\)。假设对 \(R\) 的某个理想 \(I\) 有 \(R = R' \oplus I\)。取 \(x_1, \ldots, x_r \in I\)，使其像构成 \(I/\mathfrak m_R I\) 的一组基。令 \(S = R'[[X_1, \ldots, X_r]]\)，并考虑把 \(X_i\) 映到 \(x_i\) 的 \(R'\)-代数映射 \(S \to R\)。假设对每个 \(n \gg 0\)，映射 \(S/\mathfrak m_S^n \to R/\mathfrak m_R^n\) 在 \(\mathcal{C}_\Lambda\) 中都有左逆。则 \(S \to R\) 为同构。

证明

由 \(R = R' \oplus I\)，有 \[\mathfrak m_R/\mathfrak m_R^2 = \mathfrak m_{R'}/\mathfrak m_{R'}^2 \oplus I/\mathfrak m_RI\] 类似地， \[\mathfrak m_S/\mathfrak m_S^2 = \mathfrak m_{R'}/\mathfrak m_{R'}^2 \oplus \bigoplus kX_i\] 因此，当 \(n > 1\) 时，映射 \(S/\mathfrak m_S^n \to R/\mathfrak m_R^n\) 在余切空间上诱导同构。于是由引理 06GZ，左逆 \(h_n : R/\mathfrak m_R^n \to S/\mathfrak m_S^n\) 为满射。又因 \(h_n\) 作为左逆是单射，它是同构。所以典范满射 \(S/\mathfrak m_S^n \to R/\mathfrak m_R^n\) 全都是同构，结论得证。

群胚余纤维范畴

在发展这套理论时，我们使用群胚余纤维范畴。我们假定群胚纤维范畴的定义和基本性质为已知；见《范畴》第 003S 节。

定义

设 \(\mathcal{C}\) 是范畴。\(\mathcal{C}\) 上的一个 群胚余纤维范畴，是配备函子 \(p: \mathcal{F} \to \mathcal{C}\) 的范畴 \(\mathcal{F}\)，使得经由 \(p^{opp}: \mathcal{F}^{opp} \to \mathcal{C}^{opp}\)， \(\mathcal{F}^{opp}\) 成为 \(\mathcal{C}^{opp}\) 上的群胚纤维范畴。

明确地说，若下列两个条件成立，则 \(p: \mathcal{F} \to \mathcal{C}\) 是群胚余纤维范畴：

对 \(\mathcal{C}\) 中每个态射 \(f: U \to V\) 以及 \(U\) 上的每个对象 \(x\)，存在 \(\mathcal{F}\) 中位于 \(f\) 上方的态射 \(x \to y\)。
对 \(\mathcal{F}\) 中每一对态射 \(a: x \to y\) 和 \(b: x \to z\)，以及满足 \(p(b) = f \circ p(a)\) 的任意态射 \(f: p(y) \to p(z)\)，存在唯一的 \(\mathcal F\) 中态射 \(c: y \to z\)，它位于 \(f\) 上方且满足 \(b = c \circ a\)。

注

关于群胚纤维范畴的一切内容都直接转化到余纤维情形。下面这些说明用于固定记号。设 \(\mathcal{C}\) 是范畴。

我们常从记号中省略函子 \(p: \mathcal{F} \to \mathcal{C}\)。

\(\mathcal{C}\) 中对象 \(U\) 上方的纤维范畴记作 \(\mathcal{F}(U)\)。其对象是 \(\mathcal{F}\) 中位于 \(U\) 上方的对象，其态射是 \(\mathcal{F}\) 中位于 \(\text{id}_U\) 上方的态射。若 \(x, y\) 是 \(\mathcal{F}(U)\) 的对象，有时把 \(\Mor_{\mathcal{F}(U)}(x, y)\) 写作 \(\Mor_U(x, y)\)。

纤维范畴 \(\mathcal{F}(U)\) 是群胚；见《范畴》引理 003V。因此 \(\mathcal{F}(U)\) 中的所有态射都是同构。有时把 \(\Mor_{\mathcal{F}(U)}(x, x)\) 写作 \(\text{Aut}_U(x)\)。

设 \(\mathcal{F}\) 是 \(\mathcal{C}\) 上的群胚余纤维范畴， \(f: U \to V\) 是 \(\mathcal{C}\) 中的态射，且 \(x \in \Ob(\mathcal{F}(U))\)。 \(x\) 沿 \(f\) 的一个推前，是 \(\mathcal{F}\) 中位于 \(f\) 上方的态射 \(x \to y\)。推前在唯一同构意义下唯一（见《范畴》定义 02XK 之后的讨论）。有时把 \(x\) 沿 \(f\) 的“这个”推前写作 \(x \to f_*x\)。

\(\mathcal{F}\) 的一个推前选取，是对上述每一对 \((x, f)\) 选取 \(x\) 沿 \(f\) 的一个推前。由选择公理，可以为 \(\mathcal{F}\) 作出这样的推前选取。

设 \(\mathcal{F}\) 是 \(\mathcal{C}\) 上的群胚余纤维范畴。给定 \(\mathcal{F}\) 的一个推前选取，就有相伴的伪函子 \(\mathcal{C} \to \textit{Groupoids}\)。我们绝不会用到这一构造，故略去细节。

\(\mathcal{C}\) 上群胚余纤维范畴之间的态射，是与到 \(\mathcal{C}\) 的投影交换的函子。若 \(\mathcal{F}\) 和 \(\mathcal{F}'\) 是 \(\mathcal{C}\) 上的群胚余纤维范畴，则从 \(\mathcal{F}\) 到 \(\mathcal{F}'\) 的态射记为 \(\Mor_\mathcal{C}(\mathcal{F}, \mathcal{F}')\)。

群胚余纤维范畴组成一个 \((2, 1)\)-范畴 \(\text{Cof}(\mathcal{C})\)。它的 1-态射是 (06GL) 中所述的态射。若 \(p : \mathcal{F} \to C\) 和 \(p': \mathcal{F}' \to \mathcal{C}\) 是群胚余纤维范畴，而 \(\varphi, \psi : \mathcal{F} \to \mathcal{F}'\) 是 \(1\)-态射，则 2-态射 \(t : \varphi \to \psi\) 是满足下述条件的函子态射：对所有 \(x \in \Ob(\mathcal{F})\)， \(p'(t_x) = \text{id}_{p(x)}\)。

设 \(F : \mathcal{C} \to \textit{Groupoids}\) 是函子。如下可构造与 \(F\) 相伴的群胚余纤维范畴 \(\mathcal{F} \to \mathcal{C}\)。 \(\mathcal{F}\) 的对象是偶 \((U, x)\)，其中 \(U \in \Ob(\mathcal{C})\) 且 \(x \in \Ob(F(U))\)。一个态射 \((U, x) \to (V, y)\) 是偶 \((f, a)\)，其中 \(f \in \Mor_\mathcal{C}(U, V)\) 且 \(a \in \Mor_{F(V)}(F(f)(x), y)\)。函子 \(\mathcal{F} \to \mathcal{C}\) 把 \((U, x)\) 映到 \(U\)。见《范畴》第 0048 节。

设 \(\mathcal{F}\) 是 \(\mathcal{C}\) 上的群胚余纤维范畴。对 \(U \in \Ob(\mathcal{C})\)，令 \(\overline{\mathcal{F}}(U)\) 等于范畴 \(\mathcal{F}(U)\) 的同构类集合。若 \(f : U \to V\) 是 \(\mathcal{C}\) 的态射，则把 \(x\) 的同构类映到 \(x\) 的一个推前 \(f_*x\) 的同构类，便得到集合映射 \(\overline{\mathcal{F}}(U) \to \overline{\mathcal{F}}(V)\)；见 (06SH)。于是 \(\overline{\mathcal{F}} : \mathcal{C} \to \textit{Sets}\) 是函子。类似地，若 \(\varphi : \mathcal{F} \to \mathcal{G}\) 是余纤维范畴之间的态射，则以 \(\overline{\varphi}: \overline{\mathcal{F}} \to \overline{\mathcal{G}}\) 表示相伴的函子态射。

设 \(F: \mathcal{C} \to \textit{Sets}\) 是函子。可以把集合视为离散范畴，即只有恒等态射的群胚。于是构造 (06GN) 给出与 \(F\) 相伴的集合余纤维范畴。这定义了从函子范畴 \(\mathcal{C} \to \textit{Sets}\) 到 \(\mathcal{C}\) 上群胚余纤维范畴之范畴的一个充分忠实嵌入。我们把函子范畴与它在这一嵌入下的像识别。因此，若 \(F : \mathcal{C} \to \textit{Sets}\) 是函子，则仍以 \(F\) 表示相伴的集合余纤维范畴；若 \(\varphi : F \to G\) 是函子态射，则仍以 \(\varphi\) 表示对应的集合余纤维范畴态射，反之亦然。见《范畴》第 0042 节。

设 \(U\) 是 \(\mathcal{C}\) 的对象。以 \(\underline{U}\) 表示函子 \(\Mor_\mathcal{C}(U, -): \mathcal{C} \to \textit{Sets}\)。这定义了从 \(\mathcal C^{opp}\) 到函子范畴 \(\mathcal{C} \to \textit{Sets}\) 的充分忠实嵌入。因此，若 \(f : U \to V\) 是态射，则仍以 \(f\) 表示所诱导的态射 \(\underline{V} \to \underline{U}\)，反之亦然。

群胚余纤维范畴的纤维积：若 \(\mathcal{F} \to \mathcal{H}\) 和 \(\mathcal{G} \to \mathcal{H}\) 是 \(\mathcal{C}_\Lambda\) 上群胚余纤维范畴之间的态射，则可把它们作为 \(\mathcal{C}_\Lambda\) 上范畴的 2-纤维积构造，用作其 2-纤维积；见《范畴》引理 0040 中的描述。

群胚余纤维范畴的积：若 \(\mathcal{F}\) 和 \(\mathcal{G}\) 是 \(\mathcal{C}_\Lambda\) 上的群胚余纤维范畴，则按定义，其积为 \(2\)-纤维积 \(\mathcal{F} \times_{\mathcal{C}_\Lambda} \mathcal{G}\)；见《范畴》引理 0040 中的描述。

限制基范畴：设 \(p : \mathcal{F} \to \mathcal{C}\) 是群胚余纤维范畴，且 \(\mathcal{C}'\) 是 \(\mathcal{C}\) 的满子范畴。限制 \(\mathcal{F}|_{\mathcal{C}'}\) 是 \(\mathcal{F}\) 的满子范畴，其对象是位于 \(\mathcal{C}'\) 对象上方的那些对象。经由函子 \(p|_{\mathcal{C}'}: \mathcal{F}|_{\mathcal{C}'} \to \mathcal{C}'\)，它是群胚余纤维范畴。

pro-可表函子与预形变范畴

我们的基本目标，是理解 \(\mathcal{C}_\Lambda\) 和 \(\widehat{\mathcal{C}}_\Lambda\) 上的群胚余纤维范畴。由于 \(\mathcal{C}_\Lambda\) 是 \(\widehat{\mathcal{C}}_\Lambda\) 的满子范畴，可以把 \(\widehat{\mathcal{C}}_\Lambda\) 上的群胚余纤维范畴限制到 \(\mathcal{C}_\Lambda\)；见说明 06GK (06GR)。尤其可对函子这样做，因而也可对可表函子这样做。由此在 \(\mathcal{C}_\Lambda\) 上所得的函子称为 pro-可表函子。

定义

设 \(F : \mathcal{C}_\Lambda \to \textit{Sets}\) 是函子。若对某个 \(R \in \Ob(\widehat{\mathcal{C}}_\Lambda)\)，存在函子同构 \(F \cong \underline{R}|_{\mathcal{C}_\Lambda}\)，则称 \(F\) 是pro-可表的。

注意，若 \(F : \mathcal{C}_\Lambda \to \textit{Sets}\) 由 \(R \in \Ob(\widehat{\mathcal{C}}_\Lambda)\) pro-表示，则 \[F(k) = \Mor_{\widehat{\mathcal{C}}_\Lambda}(R, k) = \{*\}\] 是单元集。形变理论中出现的 \(\mathcal{C}_\Lambda\) 上群胚余纤维范畴也常满足类似条件。

定义

一个预形变范畴 \(\mathcal{F}\)，是 \(\mathcal{C}_\Lambda\) 上的群胚余纤维范畴，并且 \(\mathcal{F}(k)\) 等价于恰有一个对象和一个态射的范畴；也就是说，\(\mathcal{F}(k)\) 至少含有一个对象，且任意两个对象之间都有唯一态射。预形变范畴之间的一个态射，是 \(\mathcal{C}_\Lambda\) 上群胚余纤维范畴之间的态射。

预形变范畴具有如下特征。设 \(x_0 \in \Ob(\mathcal{F}(k))\)。则 \(\mathcal{F}\) 的每个对象都配备了到 \(x_0\) 的唯一态射。事实上，若 \(x\) 是 \(\mathcal{F}\) 中位于 \(A\) 上方的对象，则可以选取推前 \(x \to q_*x\)，其中 \(q : A \to k\) 为商映射。存在唯一同构 \(q_*x \to x_0\)，而复合 \(x \to q_*x \to x_0\) 就是所需态射。

注

若函子 \(F: \mathcal{C}_\Lambda \to \textit{Sets}\) 的相伴集合余纤维范畴是预形变范畴，即 \(F(k)\) 是单元集，则称其为预形变函子。因此，若 \(\mathcal{F}\) 是预形变范畴，则 \(\overline{\mathcal{F}}\) 是预形变函子。

注

设 \(p : \mathcal{F} \to \mathcal{C}_\Lambda\) 是群胚余纤维范畴，且 \(x \in \Ob(\mathcal{F}(k))\)。以 \(\mathcal{F}_x\) 表示位于 \(x\) 上的对象所成范畴。 \(\mathcal{F}_x\) 的对象是箭头 \(y \to x\)。 \(\mathcal{F}_x\) 中的一个态射 \((y \to x) \to (z \to x)\) 是交换图 \[\xymatrix{ y \ar[rr] \ar[dr] & & z \ar[dl] \\ & x & }\] 有遗忘函子 \(\mathcal{F}_x \to \mathcal{F}\)。把函子 \(p_x : \mathcal{F}_x \to \mathcal{C}_\Lambda\) 定义为复合 \(\mathcal{F}_x \to \mathcal{F} \xrightarrow{p} \mathcal{C}_\Lambda\)。于是 \(p_x : \mathcal{F}_x \to \mathcal{C}_\Lambda\) 是预形变范畴（证明从略）。由此，对 \(\mathcal{C}_\Lambda\) 上的任意群胚余纤维范畴以及任意 \(x \in \Ob(\mathcal{F}(k))\)，都可得到一个预形变范畴。

形式对象与完备化范畴

本节讨论如何在 \(\mathcal{C}_\Lambda\) 上的群胚余纤维范畴与 \(\widehat{\mathcal{C}}_\Lambda\) 上的群胚余纤维范畴之间往返转换。

定义

设 \(\mathcal{F}\) 是 \(\mathcal{C}_\Lambda\) 上的群胚余纤维范畴。 \(\mathcal{F}\) 的形式对象范畴 \(\widehat{\mathcal{F}}\) 是具有如下对象和态射的范畴。

\(\mathcal{F}\) 的一个 形式对象 \(\xi = (R, \xi_n, f_n)\)，由 \(\widehat{\mathcal{C}}_\Lambda\) 的一个对象 \(R\)、一族以 \(n \in \mathbf{N}\) 为指标的对象 \(\xi_n\)，它们属于 \(\mathcal{F}(R/\mathfrak m_R^n)\)，以及位于投影 \(R/\mathfrak m_R^{n + 1} \to R/\mathfrak m_R^n\) 上方的态射 \(f_n : \xi_{n + 1} \to \xi_n\) 所组成。

设 \(\xi = (R, \xi_n, f_n)\) 和 \(\eta = (S, \eta_n, g_n)\) 是 \(\mathcal{F}\) 的形式对象。形式对象的一个态射 \(a : \xi \to \eta\)，由 \(\widehat{\mathcal{C}}_\Lambda\) 中的映射 \(a_0 : R \to S\)，以及一族 \(\mathcal{F}\) 中位于 \(R/\mathfrak m_R^n \to S/\mathfrak m_S^n\) 上方的态射 \(a_n : \xi_n \to \eta_n\) 所组成，并且对每个 \(n\)，图 \[\xymatrix{ \xi_{n + 1} \ar[r]_{f_n} \ar[d]_{a_{n + 1}} & \xi_n \ar[d]^{a_n} \\ \eta_{n + 1} \ar[r]^{g_n} & \eta_n }\] 交换。

形式对象范畴配备函子 \(\widehat{p}: \widehat{\mathcal{F}} \to \widehat{\mathcal{C}}_\Lambda\)；它把对象 \((R, \xi_n, f_n)\) 映到 \(R\)，并把态射 \((R, \xi_n, f_n) \to (S, \eta_n, g_n)\) 映到 \(R \to S\)。

引理

设 \(p : \mathcal{F} \to \mathcal{C}_\Lambda\) 是群胚余纤维范畴。则 \(\widehat{p} : \widehat{\mathcal{F}} \to \widehat{\mathcal{C}}_\Lambda\) 是群胚余纤维范畴。

证明

设 \(R \to S\) 是 \(\widehat{\mathcal{C}}_\Lambda\) 中的环映射，且 \((R, \xi_n, f_n)\) 是 \(\widehat{\mathcal{F}}\) 的对象。对每个 \(n\)，选取 \(\xi_n\) 沿 \(R/\mathfrak m_R^n \to S/\mathfrak m_S^n\) 的一个推前 \(\xi_n \to \eta_n\)。对每个 \(n\)，存在唯一的 \(\mathcal{F}\) 中态射 \(g_n : \eta_{n + 1} \to \eta_n\)，它位于 \(S/\mathfrak m_S^{n + 1} \to S/\mathfrak m_S^n\) 上方，且使图 \[\xymatrix{ \xi_{n + 1} \ar[d] \ar[r]_{f_n} & \xi_n \ar[d] \\ \eta_{n + 1} \ar[r]^{g_n} & \eta_n }\] 交换（由群胚余纤维范畴的第一条公理）。因而得到位于 \(R \to S\) 上方的态射 \((R, \xi_n, f_n) \to (S, \eta_n, g_n)\)；也就是说，群胚余纤维范畴的第一条公理对 \(\widehat{\mathcal{F}}\) 成立。为验证第二条公理，设有 \(\widehat{\mathcal{F}}\) 中的态射 \(a : (R, \xi_n, f_n) \to (S, \eta_n, g_n)\) 和 \(b : (R, \xi_n, f_n) \to (T, \theta_n, h_n)\)，以及 \(\widehat{\mathcal{C}}_\Lambda\) 中满足 \(c_0 \circ a_0 = b_0\) 的态射 \(c_0 : S \to T\)。由 \(\mathcal{F}\) 的群胚余纤维范畴第二条公理，得到位于 \(S/\mathfrak m_S^n \to T/\mathfrak m_T^n\) 上方的唯一映射 \(c_n : \eta_n \to \theta_n\)，使 \(c_n \circ a_n = b_n\)。令 \(c = (c_n)_{n \geq 0}\)，便得到所需的 \(\widehat{\mathcal{F}}\) 中态射 \(c : (S, \eta_n, g_n) \to (T, \theta_n, h_n)\) （验证 \(h_n \circ c_{n + 1} = c_n \circ g_n\) 的步骤从略）。

定义

设 \(p : \mathcal{F} \to \mathcal{C}_\Lambda\) 是群胚余纤维范畴。群胚余纤维范畴 \(\widehat{p} : \widehat{\mathcal F} \to \widehat{\mathcal{C}}_\Lambda\) 称为 \(\mathcal{F}\) 的完备化。

若 \(\mathcal{F}\) 是 \(\mathcal C_\Lambda\) 上的群胚余纤维范畴，我们已经用 \(R\) 的极大理想幂滤过定义了 \(R \in \Ob(\widehat{\mathcal{C}}_\Lambda)\) 时的 \(\widehat{\mathcal{F}}(R)\)。现在设 \(\mathcal{I} = (I_n)\) 是由理想给出的 \(R\) 的滤过，它诱导 \(\mathfrak{m}_R\)-进拓扑。定义 \(\widehat{\mathcal{F}}_\mathcal{I}(R)\) 为具有如下对象和态射的范畴：

对象是一族 \((\xi_n, f_n)_{n \in \mathbf{N}}\)，其中 \(\xi_n\) 是 \(\mathcal{F}(R/I_n)\) 的对象，而 \(f_n : \xi_{n + 1} \to \xi_n\) 是位于投影 \(R/I_{n + 1} \to R/I_n\) 上方的态射。
态射 \(a : (\xi_n, f_n) \to (\eta_n, g_n)\) 由一族 \(\mathcal{F}(R/I_n)\) 中的态射 \(a_n : \xi_n \to \eta_n\) 组成，并且对每个 \(n\)，图 \[\xymatrix{ \xi_{n + 1} \ar[r]^{f_n} \ar[d]_{a_{n + 1}} & \xi_n \ar[d]^{a_n} \\ \eta_{n + 1} \ar[r]^{g_n} & \eta_n }\] 交换。

引理

在上述情形下，\(\widehat{\mathcal{F}}_\mathcal{I}(R)\) 等价于范畴 \(\widehat{\mathcal{F}}(R)\)。

证明

可如下定义一个等价 \(\widehat{\mathcal{F}}_\mathcal{I}(R) \to \widehat{\mathcal{F}}(R)\)。对每个 \(n\)，令 \(m(n)\) 为满足 \(I_m \subset \mathfrak m_R^n\) 的最小 \(m\)。给定 \(\widehat{\mathcal{F}}_\mathcal{I}(R)\) 的对象 \((\xi_n, f_n)\)，令 \(\eta_n\) 为 \(\xi_{m(n)}\) 沿 \(R/I_{m(n)} \to R/\mathfrak m_R^n\) 的推前。令 \(g_n : \eta_{n + 1} \to \eta_n\) 为 \(\mathcal{F}\) 中位于 \(R/\mathfrak m_R^{n + 1} \to R/\mathfrak m_R^n\) 上方的唯一态射，使图 \[\xymatrix{ \xi_{m(n + 1)} \ar[rrr]_{f_{m(n)} \circ \ldots \circ f_{m(n + 1) - 1}} \ar[d] & & & \xi_{m(n)} \ar[d] \\ \eta_{n + 1} \ar[rrr]^{g_n} & & & \eta_n }\] 交换（余纤维范畴的公理保证存在性和唯一性）。函子 \(\widehat{\mathcal{F}}_\mathcal{I}(R) \to \widehat{\mathcal{F}}(R)\) 把 \((\xi_n, f_n)\) 映到 \((R, \eta_n, g_n)\)。验证这确为范畴等价的步骤从略。

注

设 \(p : \mathcal{F} \to \mathcal{C}_\Lambda\) 是群胚余纤维范畴。假设对每个 \(R \in \Ob(\widehat{\mathcal{C}}_\Lambda)\)，都给定了由理想构成的 \(R\) 的滤过 \(\mathcal{I}_R\)。若 \(\mathcal{I}_R\) 对所有 \(R\) 都在 \(R\) 上诱导 \(\mathfrak m_R\)-进拓扑，则可模仿 \(\widehat{\mathcal{F}}\) 的定义来定义范畴 \(\widehat{\mathcal{F}}_\mathcal{I}\)。该范畴配备态射 \(\widehat{p}_\mathcal{I} : \widehat{\mathcal{F}}_\mathcal{I} \to \widehat{\mathcal{C}}_\Lambda\)，从而成为群胚余纤维范畴，并且 \(\widehat{\mathcal{F}}_\mathcal{I}(R)\) 与上面定义的 \(\widehat{\mathcal{F}}_{\mathcal{I}_R}(R)\) 同构。在对象 \(R \in \Ob(\widehat{\mathcal{C}}_\Lambda)\) 上使用引理 06H6 的等价，可知群胚余纤维范畴 \(\widehat{\mathcal{F}}_\mathcal{I}\) 和 \(\widehat{\mathcal{F}}\) 等价。

注

设 \(F: \mathcal{C}_\Lambda \to \textit{Sets}\) 是函子。把函子与集合余纤维范畴识别，则 \(F\) 的完备化是函子 \(\widehat{F} : \widehat{\mathcal{C}}_\Lambda \to \textit{Sets}\)，由 \(\widehat{F}(S) = \lim F(S/\mathfrak{m}_S^{n})\) 给出。这与 Schlessinger 论文 [Sch] 中的定义一致。

注

设 \(\mathcal{F}\) 是 \(\mathcal{C}_\Lambda\) 上的群胚余纤维范畴。我们断言有典范等价 \[can : \widehat{\mathcal{F}}|_{\mathcal{C}_\Lambda} \longrightarrow \mathcal{F}.\] 事实上，设 \(A \in \Ob(\mathcal{C}_\Lambda)\)，且 \((A, \xi_n, f_n)\) 是 \(\widehat{\mathcal{F}}|_{\mathcal{C}_\Lambda}(A)\) 的对象。由于 \(A\) 是阿廷环，存在满足 \(\mathfrak m_A^m = 0\) 的最小 \(m \in \mathbf{N}\)。此时 \(can\) 把 \((A, \xi_n, f_n)\) 映到 \(\xi_m\)。由《范畴》引理 003Z，这个函子是群胚余纤维范畴之间的等价；这是因为由引理 06H6，它在每个纤维范畴上都是等价，而且局部阿廷环 \(A\) 上的 \(\mathfrak m_A\)-进拓扑来自零理想。我们将经常通过函子 \(can\) 的一个拟逆，把 \(\mathcal{F}\) 与 \(\widehat{\mathcal{F}}\) 的一个满子范畴识别。

注

设 \(\varphi : \mathcal{F} \to \mathcal{G}\) 是 \(\mathcal{C}_\Lambda\) 上群胚余纤维范畴之间的态射。则诱导出 \(\widehat{\mathcal{C}}_\Lambda\) 上群胚余纤维范畴之间的态射 \(\widehat{\varphi}: \widehat{\mathcal{F}} \to \widehat{\mathcal{G}}\)。它把 \(\widehat{\mathcal{F}}\) 的对象 \(\xi = (R, \xi_n, f_n)\) 映到 \((R, \varphi(\xi_n), \varphi(f_n))\)，并把 \(\widehat{\mathcal{F}}\) 的对象 \(\xi\) 与 \(\eta\) 之间的态射 \((a_0 : R \to S, a_n : \xi_n \to \eta_n)\) 映到 \((a_0 : R \to S, \varphi(a_n) : \varphi(\xi_n) \to \varphi(\eta_n))\)。最后，若 \(t : \varphi \to \varphi'\) 是群胚余纤维范畴的 \(1\)-态射 \(\varphi, \varphi': \mathcal{F} \to \mathcal{G}\) 之间的 \(2\)-态射，则得到 \(2\)-态射 \(\widehat{t} : \widehat{\varphi} \to \widehat{\varphi}'\)。具体地，对上述 \(\xi = (R, \xi_n, f_n)\)，令 \(\widehat{t}_\xi = (t_{\varphi(\xi_n)})\)。因此，完备化定义了 \(2\)-范畴之间的函子 \[\widehat{~} : \text{Cof}(\mathcal{C}_\Lambda) \longrightarrow \text{Cof}(\widehat{\mathcal{C}}_\Lambda)\] 它从 \(\mathcal{C}_\Lambda\) 上群胚余纤维范畴的 \(2\)-范畴到 \(\widehat{\mathcal{C}}_\Lambda\) 上群胚余纤维范畴的 \(2\)-范畴。

注

我们断言，说明 06H9 的完备化函子与说明 06GK (06GR) 的限制函子 \(|_{\mathcal{C}_\Lambda} : \text{Cof}(\widehat{\mathcal{C}}_\Lambda) \to \text{Cof}(\mathcal{C}_\Lambda)\) 在如下精确意义下“2-伴随”。设 \(\mathcal{F} \in \Ob(\text{Cof}(\mathcal{C}_\Lambda))\) 且 \(\mathcal{G} \in \Ob(\text{Cof}(\widehat{\mathcal{C}}_\Lambda))\)。则有范畴等价 \[\Phi : \Mor_{\mathcal{C}_\Lambda}( \mathcal{G}|_{\mathcal{C}_\Lambda}, \mathcal{F}) \longrightarrow \Mor_{\widehat{\mathcal{C}}_\Lambda}(\mathcal{G}, \widehat{\mathcal{F}})\] 为描述这一等价，我们如下定义典范态射 \(\mathcal{G} \to \widehat{\mathcal{G}|_{\mathcal{C}_\Lambda}}\) 和 \(\widehat{\mathcal{F}}|_{\mathcal{C}_\Lambda} \to \mathcal{F}\)：

设 \(R \in \Ob(\widehat{\mathcal{C}}_\Lambda))\)，并设 \(\xi\) 为纤维范畴 \(\mathcal{G}(R)\) 的对象。对每个 \(n \in \mathbf{N}\)，选取 \(\xi\) 到 \(R/\mathfrak m_R^n\) 的推前 \(\xi \to \xi_n\)，并令 \(f_n : \xi_{n + 1} \to \xi_n\) 为所诱导的态射。于是 \(\mathcal{G} \to \widehat{\mathcal{G}|_{\mathcal{C}_\Lambda}}\) 把 \(\xi\) 映到 \((R, \xi_n, f_n)\)。

这是说明 06SJ 的等价 \(can : \widehat{\mathcal{F}}|_{\mathcal{C}_\Lambda} \to \mathcal{F}\)。

说明这些之后，等价 \(\Phi : \Mor_{\mathcal{C}_\Lambda}( \mathcal{G}|_{\mathcal{C}_\Lambda}, \mathcal{F}) \to \Mor_{\widehat{\mathcal{C}}_\Lambda}(\mathcal{G}, \widehat{\mathcal{F}})\) 把态射 \(\varphi : \mathcal{G}|_{\mathcal{C}_\Lambda} \to \mathcal{F}\) 映到 \[\mathcal{G} \to \widehat{\mathcal{G}|_{\mathcal{C}_\Lambda}} \xrightarrow{\widehat{\varphi}} \widehat{\mathcal{F}}\] \(\Phi\) 有拟逆 \(\Psi : \Mor_{\widehat{\mathcal{C}}_\Lambda}( \mathcal{G}, \widehat{\mathcal{F}}) \to \Mor_{\mathcal{C}_\Lambda}( \mathcal{G}|_{\mathcal{C}_\Lambda}, \mathcal{F})\)，它把 \(\psi : \mathcal{G} \to \widehat{\mathcal{F}}\) 映到 \[\mathcal{G}|_{\mathcal{C}_\Lambda} \xrightarrow{\psi|_{\mathcal{C}_\Lambda}} \widehat{\mathcal{F}}|_{\mathcal{C}_\Lambda} \to \mathcal{F}.\] 验证 \(\Phi\) 与 \(\Psi\) 互为拟逆的步骤从略。我们也不讨论 \(\Phi\) 的函子性（因为这会进入我们无论如何都想避免的 3-范畴领域）。

注

对范畴 \(\mathcal{C}\)，以 \(\text{CofSet}(\mathcal{C})\) 表示 \(\mathcal{C}\) 上集合余纤维范畴所成的范畴。这是一个 \(1\)-范畴，与函子范畴 \(\mathcal{C} \to \textit{Sets}\) 同构。见说明 06GK (06GP)。完备化函子和限制函子分别限制为函子 \(\widehat{~} : \text{CofSet}(\mathcal{C}_\Lambda) \to \text{CofSet}(\widehat{\mathcal{C}}_\Lambda)\) 和 \(|_{\mathcal{C}_\Lambda} : \text{CofSet}(\widehat{\mathcal{C}}_\Lambda) \to \text{CofSet}(\mathcal{C}_\Lambda)\)，仍以相同符号表示。作为集合余纤维范畴之范畴上的函子，完备化与限制在通常的 1-范畴意义下伴随：说明 06HA 中的同一构造，对 \(F \in \Ob(\text{CofSet}(\mathcal{C}_\Lambda))\) 和 \(G \in \Ob(\text{CofSet}(\widehat{\mathcal{C}}_\Lambda))\) 定义函子性双射 \[\Mor_{\mathcal{C}_\Lambda}(G|_{\mathcal{C}_\Lambda}, F) \longrightarrow \Mor_{\widehat{\mathcal{C}}_\Lambda}(G, \widehat{F})\] 同样，映射 \(\widehat{F}|_{\mathcal{C}_\Lambda} \to F\) 是同构。

注

设 \(G : \widehat{\mathcal{C}}_\Lambda \to \textit{Sets}\) 是与极限交换的函子。则说明 06HA 中所述的映射 \(G \to \widehat{G|_{\mathcal{C}_\Lambda}}\) 是同构。事实上，若 \(S\) 是 \(\widehat{\mathcal{C}}_\Lambda\) 的对象，则有典范双射 \[\widehat{G|_{\mathcal{C}_\Lambda}}(S) = \lim_n G(S/\mathfrak{m}_S^n) = G(\lim_n S/\mathfrak{m}_S^n) = G(S).\] 特别地，若 \(R\) 是 \(\widehat{\mathcal{C}}_\Lambda\) 的对象，则 \(\underline{R} = \widehat{\underline{R}|_{\mathcal{C}_\Lambda}}\)，因为根据极限的定义，可表函子 \(\underline{R}\) 与极限交换。

注

设 \(R\) 是 \(\widehat{\mathcal{C}}_\Lambda\) 的对象。它按说明 06GK (06GQ) 定义函子 \(\underline{R}: \widehat{\mathcal{C}}_\Lambda \to \textit{Sets}\)。一如往常，我们把这个函子与相伴的集合余纤维范畴识别。若 \(\mathcal{F}\) 是 \(\mathcal{C}_\Lambda\) 上的余纤维范畴，则有范畴等价 [06SK]\[\begin{equation} \Mor_{\mathcal{C}_\Lambda}( \underline{R}|_{\mathcal{C}_\Lambda}, \mathcal{F}) \longrightarrow \widehat{\mathcal{F}}(R). \end{equation}\] 它由复合 \[\Mor_{\mathcal{C}_\Lambda}( \underline{R}|_{\mathcal{C}_\Lambda}, \mathcal{F}) \xrightarrow{\Phi} \Mor_{\widehat{\mathcal{C}}_\Lambda}( \underline{R}, \widehat{\mathcal{F}}) \xrightarrow{\sim} \widehat{\mathcal{F}}(R)\] 给出，其中 \(\Phi\) 如说明 06HA 所述，而第二个等价来自 2-Yoneda 引理（即《范畴》引理 004B 的余纤维版本）。明确地说，这个等价把态射 \(\varphi : \underline{R}|_{\mathcal{C}_\Lambda} \to \mathcal{F}\) 映到 \(\widehat{\mathcal{F}}(R)\) 中的形式对象 \((R, \varphi(R \to R/\mathfrak{m}_R^n), \varphi(f_n))\)，其中 \(f_n : R/\mathfrak m_R^{n + 1} \to R/\mathfrak m_R^n\) 是投影。

假设已经为 \(\mathcal{F}\) 选取了推前。给定任意 \(\xi \in \Ob(\widehat{\mathcal{F}}(R))\)，我们构造一个明确的态射 \(\underline{\xi} : \underline{R}|_{\mathcal{C}_\Lambda} \to \mathcal{F}\)，它在 (06SK) 下映到 \(\xi\)。具体地，设 \(\xi = (R, \xi_n, f_n)\)。 \(\underline{R}|_{\mathcal{C}_\Lambda}\) 的对象 \(\alpha\) 等同于 \(\widehat{\mathcal{C}}_\Lambda\) 中以阿廷环 \(A\) 为靶的态射 \(\alpha : R \to A\)。令 \(m \in \mathbf{N}\) 为满足 \(\mathfrak m_A^m = 0\) 的最小整数。于是 \(\alpha\) 唯一地经由 \(\alpha_m : R/\mathfrak m_R^m \to A\) 分解，并可令 \(\underline{\xi}(\alpha) = \alpha_{m, *}\xi_m\)。我们略去 \(\underline{\xi}\) 在态射上的描述，也略去证明 \(\underline{\xi}\) 经由 (06SK) 映到 \(\xi\) 的步骤。

假设已经为 \(\widehat{\mathcal{F}}\) 选取了推前。在这种情况下，《范畴》引理 004B 的证明给出 2-Yoneda 等价的一个明确拟逆 \[\iota : \widehat{\mathcal{F}}(R) \longrightarrow \Mor_{\widehat{\mathcal{C}}_\Lambda}( \underline{R}, \widehat{\mathcal{F}})\] 它把 \(\xi\) 映到态射 \(\iota(\xi) : \underline{R} \to \widehat{\mathcal{F}}\)；该态射把 \(f \in \underline{R}(S) = \Mor_{\mathcal{C}_\Lambda}(R, S)\) 映到 \(f_*\xi\)。于是 (06SK) 的一个拟逆为 \[\widehat{\mathcal{F}}(R) \xrightarrow{\iota} \Mor_{\widehat{\mathcal{C}}_\Lambda}( \underline{R}, \widehat{\mathcal{F}}) \xrightarrow{\Psi} \Mor_{\mathcal{C}_\Lambda}( \underline{R}|_{\mathcal{C}_\Lambda}, \mathcal{F})\] 其中 \(\Psi\) 如说明 06HA 所述。给定 \(\xi \in \Ob(\widehat{\mathcal{F}}(R))\)，有 \(\Psi(\iota(\xi)) \cong \underline{\xi}\)，其中 \(\underline{\xi}\) 如上一段所述；这是因为在范畴等价 (06SK) 下，两者都映到 \(\xi\)。使用 \(\underline{R} = \widehat{\underline{R}|_{\mathcal{C}_\Lambda}}\) （见说明 06HE），并展开 \(\Phi\) 和 \(\Psi\) 的定义，可得 \(\iota(\xi)\) 与 \(\underline{\xi}\) 的完备化同构。

注

设 \(\mathcal{F}\) 是 \(\mathcal{C}_\Lambda\) 上的群胚余纤维范畴。设 \(\xi = (R, \xi_n, f_n)\) 和 \(\eta = (S, \eta_n, g_n)\) 是 \(\mathcal{F}\) 的形式对象。令 \(a = (a_n) : \xi \to \eta\) 为形式对象之间的态射，即 \(\widehat{\mathcal{F}}\) 的态射。令 \(f = \widehat{p}(a) = a_0 : R \to S\) 为 \(a\) 在 \(\widehat{\mathcal{C}}_\Lambda\) 中的投影。于是得到 \(2\)-交换图 \[\xymatrix{ \underline{R}|_{\mathcal{C}_\Lambda} \ar[rd]_{\underline{\xi}} & & \underline{S}|_{\mathcal{C}_\Lambda} \ar[ll]^f \ar[ld]^{\underline{\eta}} \\ & \mathcal{F} }\] 其中 \(\underline{\xi}\) 和 \(\underline{\eta}\) 是说明 06HC 中构造的态射。为说明这一点，设 \(\alpha : S \to A\) 是 \(\underline{S}|_{\mathcal{C}_\Lambda}\) 的对象（见上引文献）。令 \(m \in \mathbf{N}\) 为满足 \(\mathfrak m_A^m = 0\) 的最小整数。得到交换图 \[\xymatrix{ R \ar[d]^f \ar[r] & R/\mathfrak m_R^m \ar[d]_{f_m} \ar[rd]^{\beta_m} \\ S \ar[r] & S/\mathfrak m_S^m \ar[r]^{\alpha_m} & A }\] 其底行箭头的复合为 \(\alpha\)。此时 \(\underline{\eta}(\alpha) = \alpha_{m, *}\eta_m\) 且 \(\underline{\xi}(\alpha \circ f) = \beta_{m, *}\xi_m\)。态射 \(a_m : \xi_m \to \eta_m\) 位于 \(f_m\) 上方，故得到位于 \(\text{id}_A\) 上方的典范态射 \[\underline{\xi}(\alpha \circ f) = \beta_{m, *}\xi_m \longrightarrow \underline{\eta}(\alpha) = \alpha_{m, *}\eta_m\] 使图 \[\xymatrix{ \xi_m \ar[r] \ar[d]^{a_m} & \beta_{m, *}\xi_m \ar[d] \\ \eta_m \ar[r] & \alpha_{m, *}\eta_m }\] 由群胚余纤维范畴的公理而交换。这定义了函子变换 \(\underline{\xi} \circ f \to \underline{\eta}\)，它见证了本说明第一个图的 2-交换性。

注

按照说明 06HC，给出 \(\mathcal{F}\) 的形式对象 \(\xi\)，等价于给出一个 pro-可表函子 \(U : \mathcal{C}_\Lambda \to \textit{Sets}\) 以及一个态射 \(U \to \mathcal{F}\)。

光滑态射

本节讨论 \(\mathcal{C}_\Lambda\) 上群胚余纤维范畴之间的光滑态射。

定义

设 \(\varphi : \mathcal{F} \to \mathcal{G}\) 是 \(\mathcal{C}_\Lambda\) 上群胚余纤维范畴之间的态射。若 \(\varphi\) 满足下列条件，则称它光滑：设 \(B \to A\) 是 \(\mathcal{C}_\Lambda\) 中的满环映射， \(y \in \Ob(\mathcal{G}(B)), x \in \Ob(\mathcal{F}(A))\)，且 \(y \to \varphi(x)\) 是位于 \(B \to A\) 上方的态射。则存在 \(x' \in \Ob(\mathcal{F}(B))\)、位于 \(B \to A\) 上方的态射 \(x' \to x\)，以及位于 \(\text{id}: B \to B\) 上方的态射 \(\varphi(x') \to y\)，使图 \[\xymatrix{ \varphi(x') \ar[r] \ar[dr] & y \ar[d] \\ & \varphi(x) }\] 交换。

引理

设 \(\varphi : \mathcal{F} \to \mathcal{G}\) 是 \(\mathcal{C}_\Lambda\) 上群胚余纤维范畴之间的态射。若只对小扩张 \(B \to A\) 假设定义 06HG 中的条件成立，则 \(\varphi\) 光滑。

证明

设 \(B \to A\) 是 \(\mathcal{C}_\Lambda\) 中的满环映射。设 \(y \in \Ob(\mathcal{G}(B))\)、 \(x \in \Ob(\mathcal{F}(A))\)，且 \(y \to \varphi(x)\) 是位于 \(B \to A\) 上方的态射。由引理 06GE，可把 \(B \to A\) 分解为小扩张 \(B = B_n \to B_{n-1} \to \ldots \to B_0 = A\)。对 \(n\) 作归纳。若 \(n = 1\)，结论由假设成立。若 \(n > 1\)，记 \(f : B = B_n \to B_{n - 1}\) 及 \(g : B_{n - 1} \to B_0 = A\)。选取 \(y\) 沿 \(f\) 的推前 \(y \to f_* y\)，使态射 \(y \to \varphi(x)\) 分解为 \(y \to f_* y \to \varphi(x)\)。由归纳假设，可以找到位于 \(g : B_{n - 1} \to A\) 上方的 \(x_{n - 1} \to x\)，以及位于 \(\text{id} : B_{n - 1} \to B_{n - 1}\) 上方的 \(a : \varphi(x_{n - 1}) \to f_*y\)，使图 \[\xymatrix{ \varphi(x_{n - 1}) \ar[r]_-a \ar[dr] & f_*y \ar[d] \\ & \varphi(x) }\] 交换。把假设应用于 \(y \to f_*y\) 与 \(a^{-1} : f_*y \to \varphi(x_{n - 1})\) 的复合 \(y \to \varphi(x_{n - 1})\)，可得位于 \(B_n \to B_{n - 1}\) 上方的 \(x_n \to x_{n - 1}\)，以及位于 \(\text{id} : B_n \to B_n\) 上方的 \(\varphi(x_n) \to y\)，使图 \[\xymatrix{ \varphi(x_n) \ar[r] \ar[d] & y \ar[d] \\ \varphi(x_{n - 1}) \ar[r]^-a \ar[dr] & f_*y \ar[d] \\ & \varphi(x) }\] 交换。于是复合 \(x_n \to x_{n - 1} \to x\) 与 \(\varphi(x_n) \to y\) 就是光滑性定义所需的态射。

注

设 \(\varphi : \mathcal{F} \to \mathcal{G}\) 是 \(\mathcal{C}_\Lambda\) 上群胚余纤维范畴之间的态射，且 \(B \to A\) 是 \(\mathcal{C}_\Lambda\) 中的环映射。为纤维范畴 \(\mathcal{F}(B)\) 和 \(\mathcal{G}(B)\) 中的对象选取沿 \(B \to A\) 的推前，就确定了函子 \(\mathcal{F}(B) \to \mathcal{F}(A)\) 和 \(\mathcal{G}(B) \to \mathcal{G}(A)\)，它们组成 \(2\)-交换图 \[\xymatrix{ \mathcal{F}(B) \ar[r]^{\varphi} \ar[d] & \mathcal{G}(B) \ar[d] \\ \mathcal{F}(A) \ar[r]^{\varphi} & \mathcal{G}(A) . }\] 因此诱导出函子 \(\mathcal{F}(B) \to \mathcal{F}(A) \times_{\mathcal{G}(A)} \mathcal{G}(B)\)。展开定义可知，\(\varphi : \mathcal{F} \to \mathcal{G}\) 光滑，当且仅当每当 \(B \to A\) 为满射时，这个诱导函子本质满（或者等价地，由引理 06HH，每当 \(B \to A\) 为小扩张时它本质满）。

注

说明 06HI 中对光滑态射的刻画，类似于 Schlessinger 的函子光滑态射概念；比较 [Sch, Definition 2.2.]。事实上，当 \(\mathcal{F}\) 和 \(\mathcal{G}\) 是集合余纤维范畴时，我们的概念与 Schlessinger 的概念等价。具体地，在这种情况下，设 \(F, G : \mathcal{C}_\Lambda \to \textit{Sets}\) 为对应函子；见说明 06GK (06GP)。则 \(F \to G\) 光滑，当且仅当对 \(\mathcal{C}_\Lambda\) 中的每个满环映射 \(B \to A\)，映射 \(F(B) \to F(A) \times_{G(A)} G(B)\) 都满射。

注

设 \(\mathcal{F}\) 是 \(\mathcal{C}_\Lambda\) 上的群胚余纤维范畴。则态射 \(\mathcal{F} \to \overline{\mathcal{F}}\) 光滑。事实上，设 \(f : B \to A\) 是 \(\mathcal{C}_\Lambda\) 中的环映射。设 \(x \in \Ob(\mathcal{F}(A))\)，并设 \(\overline{y} \in \overline{\mathcal{F}}(B)\) 是某个 \(y \in \Ob(\mathcal{F}(B))\) 的同构类，且满足 \(\overline{f_*y} = \overline{x}\)。那么只需取 \(x' = y\)、隐含的位于 \(B \to A\) 上方的态射 \(x' = y \to x\)，以及等式 \(\overline{x'} = \overline{y}\)，就解出了定义 06HG 中的问题。

若 \(R \to S\) 是环映射 \(\widehat{\mathcal{C}}_\Lambda\)，则在函子 \(\underline{S}, \underline{R}: \widehat{\mathcal{C}}_\Lambda \to \textit{Sets}\) 之间诱导出态射 \(\underline{S} \to \underline{R}\)。在这种情况下，限制 \(\underline{S}|_{\mathcal{C}_\Lambda} \to \underline{R}|_{\mathcal{C}_\Lambda}\) 的光滑性是熟悉的概念：

引理

设 \(R \to S\) 是 \(\widehat{\mathcal{C}}_\Lambda\) 中的环映射。则诱导态射 \(\underline{S}|_{\mathcal{C}_\Lambda} \to \underline{R}|_{\mathcal{C}_\Lambda}\) 光滑，当且仅当 \(S\) 是 \(R\) 上的幂级数环。

证明

先设 \(S\) 是 \(R\) 上的幂级数环，记 \(S = R[[x_1, \ldots, x_n]]\)。 \(\underline{S}|_{\mathcal{C}_\Lambda} \to \underline{R}|_{\mathcal{C}_\Lambda}\) 的光滑性意指如下性质（见说明 06HJ）：给定 \(\mathcal{C}_\Lambda\) 中的满环映射 \(B \to A\)、环映射 \(R \to B\)，以及使实线图 \[\xymatrix{ S \ar[r] \ar@{..>}[rd] & A \\ R \ar[u] \ar[r] & B \ar[u] }\] 交换的环映射 \(S \to A\)，存在使该图交换的虚线箭头。（注意这与《代数》定义 00TI 的相似性。）为构造虚线箭头，选取元素 \(b_i \in B\)，使其在 \(A\) 中的像等于 \(x_i\) 在 \(A\) 中的像。注意 \(b_i \in \mathfrak m_B\)，因为 \(x_i\) 映到 \(\mathfrak m_A\) 的元素。因此存在唯一的 \(R\)-代数映射 \(R[[x_1, \ldots, x_n]] \to B\)，它把 \(x_i\) 映到 \(b_i\)，并可作为所需虚线箭头。

反过来，假设 \(\underline{S}|_{\mathcal{C}_\Lambda} \to \underline{R}|_{\mathcal{C}_\Lambda}\) 光滑。选取 \(x_1, \ldots, x_n \in S\)，使其像构成 \(S\) 在 \(R\) 上的相对余切空间 \(\mathfrak m_S/(\mathfrak m_R S + \mathfrak m_S^2)\) 的一组基。令 \(T = R[[X_1, \ldots, X_n]]\)。注意 \[S/(\mathfrak m_R S + \mathfrak m_S^2) \cong R/\mathfrak m_R[x_1, \ldots, x_n]/(x_ix_j)\] 以及 \[T/(\mathfrak m_R T + \mathfrak m_T^2) \cong R/\mathfrak m_R[X_1, \ldots, X_n]/(X_iX_j).\] 令 \(S/(\mathfrak m_R S + \mathfrak m_S^2) \to T/(\mathfrak m_R T + \mathfrak m_T^2)\) 为把 \(x_i\) 的类映到 \(X_i\) 的类所定义的局部 \(R\)-代数同构。令 \(f_1 : S \to T/(\mathfrak m_R T + \mathfrak m_T^2)\) 为复合 \(S \to S/(\mathfrak m_R S + \mathfrak m_S^2) \to T/(\mathfrak m_R T + \mathfrak m_T^2)\)。假设 \(\underline{S}|_{\mathcal{C}_\Lambda} \to \underline{R}|_{\mathcal{C}_\Lambda}\) 光滑，意即可以把 \(f_1\) 提升为映射 \(f_2 : S \to T/\mathfrak{m}_T^2\)，再提升为 \(f_3 : S \to T/\mathfrak{m}_T^3\)，并如此继续，对所有 \(n \geq 1\) 都成立。于是得到局部 \(R\)-代数的诱导映射 \(f : S \to T = \lim T/\mathfrak m_T^n\)。由 \(f_1\) 的选取，映射 \(f\) 在相对余切空间上诱导同构 \(\mathfrak m_S/(\mathfrak m_R S + \mathfrak m_S^2) \to \mathfrak m_T/(\mathfrak m_R T + \mathfrak m_T^2)\)。因此由引理 06GZ， \(f\) 为满射（此处把 \(f\) 视为 \(\widehat{\mathcal{C}}_R\) 中的映射）。选取 \(X_i \in T\) 在 \(f\) 下的原像 \(y_i \in S\)。由于 \(T\) 是 \(R\) 上的幂级数环，存在局部 \(R\)-代数同态 \(s : T \to S\)，把 \(X_i\) 映到 \(y_i\)。由构造 \(f \circ s = \text{id}\)，故 \(s\) 是单射。但由于 \(f\) 在相对余切空间上诱导同构，\(s\) 也如此；再次由引理 06GZ，它还是满射。因此 \(s\) 和 \(f\) 都是同构。

光滑态射具有如下函子性质。

引理

设 \(\varphi : \mathcal{F} \to \mathcal{G}\) 和 \(\psi : \mathcal{G} \to \mathcal{H}\) 是 \(\mathcal{C}_\Lambda\) 上群胚余纤维范畴之间的态射。

若 \(\varphi\) 和 \(\psi\) 光滑，则 \(\psi \circ \varphi\) 光滑。

若 \(\varphi\) 本质满且 \(\psi \circ \varphi\) 光滑，则 \(\psi\) 光滑。

若 \(\mathcal{G}' \to \mathcal{G}\) 是群胚余纤维范畴之间的态射，且 \(\varphi\) 光滑，则 \(\mathcal{F} \times_\mathcal{G} \mathcal{G}' \to \mathcal{G}'\) 光滑。

证明

(1) 和 (2) 直接由定义得出。(3) 的证明从略。提示：使用说明 06HI 给出的光滑性表述，并使用 \(\mathcal{F} \times_\mathcal{G} \mathcal{G}'\) 是 \(2\)-纤维积这一事实；见说明 06GK (06SI)。

引理

设 \(\varphi : \mathcal{F} \to \mathcal{G}\) 是 \(\mathcal{C}_\Lambda\) 上群胚余纤维范畴之间的光滑态射。假设 \(\varphi : \mathcal{F}(k) \to \mathcal{G}(k)\) 本质满。则 \(\varphi : \mathcal{F} \to \mathcal{G}\) 和 \(\widehat{\varphi} : \widehat{\mathcal{F}} \to \widehat{\mathcal{G}}\) 都本质满。

证明

设 \(y\) 是 \(\mathcal{G}\) 中位于 \(A \in \Ob(\mathcal{C}_\Lambda)\) 上方的对象。设 \(y \to y_0\) 是 \(y\) 沿 \(A \to k\) 的一个推前。由 \(\varphi : \mathcal{F}(k) \to \mathcal{G}(k)\) 本质满这一假设，存在 \(\mathcal{F}\) 中位于 \(k\) 上方的对象 \(x_0\) 以及同构 \(y_0 \to \varphi(x_0)\)。 \(\varphi\) 的光滑性蕴含：存在 \(\mathcal{F}\) 中位于 \(A\) 上方的对象 \(x\)，使其像 \(\varphi(x)\) 与 \(y\) 同构。因此 \(\varphi : \mathcal{F} \to \mathcal{G}\) 本质满。

设 \(\eta = (R, \eta_n, g_n)\) 是 \(\widehat{\mathcal{G}}\) 的对象。我们构造 \(\widehat{\mathcal{F}}\) 的对象 \(\xi\) 以及同构 \(\eta \to \varphi(\xi)\)。由 \(\varphi : \mathcal{F}(k) \to \mathcal{G}(k)\) 本质满这一假设，对某个 \(\xi_1 \in \Ob(\mathcal{F}(k))\)，存在 \(\mathcal{G}(k)\) 中的态射 \(\eta_1 \to \varphi(\xi_1)\)。态射 \(\eta_2 \xrightarrow{g_1} \eta_1 \to \varphi(\xi_1)\) 位于满环映射 \(R/\mathfrak m_R^2 \to k\) 上方，故由 \(\varphi\) 的光滑性，存在 \(\xi_2 \in \Ob(\mathcal{F}(R/\mathfrak m_R^2))\)、位于 \(R/\mathfrak m_R^2 \to k\) 上方的态射 \(f_1: \xi_2 \to \xi_1\)，以及态射 \(\eta_2 \to \varphi(\xi_2)\)，使图 \[\xymatrix{ \varphi(\xi_2) \ar[r]^{\varphi(f_1)} & \varphi(\xi_{1}) \\ \eta_2 \ar[u] \ar[r]^{g_1} & \eta_1 \ar[u] \\ }\] 交换。继续这一过程，就构造出 \(\widehat{\mathcal{F}}\) 的对象 \(\xi = (R, \xi_n, f_n)\)，以及 \(\widehat{\mathcal{G}}(R)\) 中的态射 \(\eta \to \varphi(\xi) = (R, \varphi(\xi_n), \varphi(f_n))\)。

稍后我们要从 pro-可表函子构造到预形变范畴 \(\mathcal{F}\) 的光滑态射。由说明 06HC 中的讨论，这些态射对应于 \(\mathcal{F}\) 的某些形式对象。更确切地说，它们就是所谓 \(\mathcal{F}\) 的泛形式对象。

定义

设 \(\mathcal{F}\) 是群胚余纤维范畴，\(\xi\) 是 \(\mathcal{F}\) 的形式对象，位于 \(R \in \Ob(\widehat{\mathcal{C}}_\Lambda)\) 上方。若说明 06HC 中的对应态射 \(\underline{\xi}: \underline{R}|_{\mathcal{C}_\Lambda} \to \mathcal{F}\) 光滑，则称 \(\xi\) 是泛的。

注

设 \(\mathcal{F}\) 是 \(\mathcal C_\Lambda\) 上的群胚余纤维范畴，且 \(\xi\) 是 \(\mathcal{F}\) 的形式对象。由光滑性的定义，\(\xi\) 的泛性等价于如下条件：若 \[\xymatrix{ & y \ar[d] \\ \xi \ar[r] & x }\] 是 \(\widehat{\mathcal{F}}\) 中的图，且 \(y \to x\) 位于阿廷环之间的满射 \(B \to A\) 上方（可以假设它是小扩张），则存在态射 \(\xi \to y\)，使 \[\xymatrix{ & y \ar[d] \\ \xi \ar[r] \ar[ur] & x }\] 交换。特别地，\(\xi\) 为泛的这一条件不依赖于说明 06HC 中构造 \(\underline{\xi} : \underline{R}|_{\mathcal{C}_\Lambda} \to \mathcal{F}\) 时所作的推前选取。

引理

设 \(\mathcal{F}\) 是预形变范畴，且 \(\xi\) 是 \(\mathcal{F}\) 的泛形式对象。对 \(\widehat{\mathcal{F}}\) 的任意形式对象 \(\eta\)，都存在态射 \(\xi \to \eta\)。

证明

按假设，态射 \(\underline{\xi} : \underline{R}|_{\mathcal{C}_\Lambda} \to \mathcal{F}\) 光滑。于是 \(\iota(\xi) : \underline{R} \to \widehat{\mathcal{F}}\) 是 \(\underline{\xi}\) 的完备化；见说明 06HC。由引理 06HN，存在 \(\underline{R}\) 的对象 \(f\)，使 \(\iota(\xi)(f) = \eta\)。此时 \(f\) 是 \(\widehat{\mathcal{C}}_\Lambda\) 中的环映射 \(f : R \to S\)。而 \(\iota(\xi)(f) = \eta\) 意即 \(f_*\xi \cong \eta\)，这正是说存在位于 \(f\) 上方的态射 \(\xi \to \eta\)。

光滑范畴或无阻碍范畴

设 \(p : \mathcal{F} \to \mathcal{C}_\Lambda\) 是群胚余纤维范畴。利用恒等函子，可以把 \(\mathcal{C}_\Lambda\) 视为 \(\mathcal{C}_\Lambda\) 上的群胚余纤维范畴。这样， \(p : \mathcal{F} \longrightarrow \mathcal{C}_\Lambda\) 就成为 \(\mathcal{C}_\Lambda\) 上群胚余纤维范畴之间的态射。

定义

设 \(p : \mathcal{F} \to \mathcal{C}_\Lambda\) 是群胚余纤维范畴。若其结构态射 \(p\) 在定义 06HG 的意义下光滑，则称 \(\mathcal{F}\) 是光滑的或 无阻碍的。

这是 \(\mathcal{C}_\Lambda\) 上群胚余纤维范畴光滑性的“绝对”概念，尽管更准确的说法是 \(\mathcal{F}\) 在 \(\Lambda\) 上光滑。使用“\(\mathcal{F}\) 无阻碍”这一说法时必须谨慎：可能出现这种情况：\(\mathcal{F}\) 有一个阻碍理论，且该理论的阻碍空间非零，尽管 \(\mathcal{F}\) 光滑。

注

假设 \(\mathcal{F}\) 是预形变范畴，并且有来自预形变范畴 \(\mathcal{U}\) 的光滑态射 \(\varphi : \mathcal U \to \mathcal{F}\)。则由引理 06HN， \(\varphi\) 本质满；所以由引理 06HM， \(p: \mathcal{F} \to \mathcal{C}_\Lambda\) 光滑，当且仅当复合 \(\mathcal U \xrightarrow{\varphi} \mathcal{F} \xrightarrow{p} \mathcal{C}_\Lambda\) 光滑；也就是说，\(\mathcal{F}\) 光滑，当且仅当 \(\mathcal{U}\) 光滑。

引理

设 \(R \in \Ob(\widehat{\mathcal{C}}_\Lambda)\)。下列条件等价：

\(\underline{R}|_{\mathcal{C}_\Lambda}\) 光滑；

\(\Lambda \to R\) 关于 \(\mathfrak m_R\)-进拓扑形式光滑；

\(\Lambda \to R\) 平坦，并且 \(R \otimes_\Lambda k'\) 在 \(k'\) 上几何正则；

\(\Lambda \to R\) 平坦，并且 \(k' \to R \otimes_\Lambda k'\) 关于 \(\mathfrak m_R\)-进拓扑形式光滑。

在经典情形下，这些条件还等价于

对某个 \(n\)，\(R\) 同构于 \(\Lambda[[x_1, \ldots, x_n]]\)。

证明

态射 \(p : \underline{R}|_{\mathcal{C}_\Lambda} \to \mathcal{C}_\Lambda\) 光滑，意即给定 \(\mathcal{C}_\Lambda\) 中的满射 \(B \to A\) 和映射 \(R \to A\)，可以在图 \[\xymatrix{ R \ar[r] \ar@{-->}[rd] & A \\ \Lambda \ar[r] \ar[u] & B \ar[u] }\] 中找到虚线箭头。若 \(\Lambda \to R\) 关于 \(\mathfrak m_R\)-进拓扑形式光滑，这当然成立；见《代数进阶》定义 07NI 和 07EB。反过来，若上述性质成立，则由《代数进阶》引理 0DYG， \(\Lambda \to R\) 关于 \(\mathfrak m_R\)-进拓扑形式光滑。所以 (1) 与 (2) 等价。

(2)、(3) 与 (4) 的等价性是《代数进阶》命题 07NQ。与 (5) 的等价性，例如可由引理 06HL 以及经典情形下 \(\mathcal{C}_\Lambda\) 与 \(\underline{\Lambda}|_{\mathcal{C}_\Lambda}\) 相同这一事实得出。

引理

设 \(\mathcal{F}\) 是预形变范畴，\(\xi\) 是 \(\mathcal{F}\) 的泛形式对象，位于 \(R \in \Ob(\widehat{\mathcal{C}}_\Lambda)\) 上方。下列条件等价：

\(\mathcal{F}\) 无阻碍；

\(\Lambda \to R\) 关于 \(\mathfrak m_R\)-进拓扑形式光滑。

在经典情形下，这些条件还等价于

对某个 \(n\)，有 \(R \cong \Lambda[[x_1, \ldots, x_n]]\)。

证明

若 (1) 成立，即 \(\mathcal{F}\) 无阻碍，则复合 \[\underline{R}|_{\mathcal{C}_\Lambda} \xrightarrow{\underline{\xi}} \mathcal{F} \to \mathcal{C}_\Lambda\] 光滑；见引理 06HM。所以由引理 0DYL，(2) 成立。反过来，若 (2) 成立，则上述复合光滑，而且由引理 06HT，第一个箭头本质满。因此由引理 06HM，第二个箭头光滑；按定义，这意即 \(\mathcal{F}\) 无阻碍。经典情形下与 (3) 的等价性由引理 0DYL 得出。

引理

存在 \(R \in \Ob(\widehat{\mathcal{C}}_\Lambda)\)，使引理 0DYL 的等价条件成立，并且还有 \(H_1(L_{k/\Lambda}) = \mathfrak m_R/\mathfrak m_R^2\) 及 \(\Omega_{R/\Lambda} \otimes_R k = \Omega_{k/\Lambda}\)。

证明

在经典情形下取 \(R = \Lambda\)。更一般地，若剩余域扩张 \(k/k'\) 可分，则存在 \(\Lambda\) 的完备化 \(\Lambda^\wedge\) 的唯一有限平展扩张 \(\Lambda^\wedge \to R\) （《代数》引理 04GM 和 04GK），它在剩余域上诱导扩张 \(k/k'\)。

一般情形下作如下处理。选取光滑 \(\Lambda\)-代数 \(P\) 和 \(\Lambda\)-代数满射 \(P \to k\)。（例如，可令 \(P\) 为多项式代数。）以 \(\mathfrak m_P\) 表示 \(P \to k\) 的核。 Jacobi–Zariski 序列——见 (06S7) 和《代数》引理 00S2——是正合序列 \[0 \to H_1(\NL_{k/\Lambda}) \to \mathfrak m_P/\mathfrak m_P^2 \to \Omega_{P/\Lambda} \otimes_P k \to \Omega_{k/\Lambda} \to 0\] 左端有 \(0\)，是因为 \(P/k\) 光滑；所以 \(\NL_{P/\Lambda}\) 拟同构于置于次数 \(0\) 的有限投射模，进而 \(H_1(\NL_{P/\Lambda} \otimes_P k) = 0\)。假设 \(f \in \mathfrak m_P\) 映到 \(\Omega_{P/\Lambda} \otimes_P k\) 中的非零元素。令 \(P' = P/(f)\)，便有 \(\Lambda\)-代数满射 \(P' \to k\)。注意 \(P'\) 在 \(\mathfrak m_{P'}\) 处光滑：这由《态射进阶》引理 057C 得出。因此，用 \(P'\) 的一个主局部化替换 \(P\) 后， \(\dim(\mathfrak m_P/\mathfrak m_P^2)\) 减小。有限次重复这一过程后，可以假设映射 \(\mathfrak m_P/\mathfrak m_P^2 \to \Omega_{P/\Lambda} \otimes_P k\) 为零，于是该正合序列分解为同构 \(H_1(L_{k/\Lambda}) = \mathfrak m_P/\mathfrak m_P^2\) 和 \(\Omega_{P/\Lambda} \otimes_P k = \Omega_{k/\Lambda}\)。

令 \(R\) 为 \(P\) 的 \(\mathfrak m_P\)-进完备化。则 \(R\) 是 \(\widehat{\mathcal{C}}_\Lambda\) 的对象。事实上，它是完备局部诺特环（见《代数》引理 0316），且其剩余域与 \(k\) 识别。我们断言这个 \(R\) 满足要求。

首先注意，映射 \(P \to R\) 诱导同构 \(\mathfrak m_P/\mathfrak m_P^2 = \mathfrak m_R/\mathfrak m_R^2\) 和 \(\Omega_{P/\Lambda} \otimes_P k = \Omega_{R/\Lambda} \otimes_R k\)。这是因为 \(\mathfrak m_P/\mathfrak m_P^2\) 与 \(\Omega_{P/\Lambda} \otimes_P k\) 都只依赖于 \(\Lambda\)-代数 \(P/\mathfrak m_P^2\)；见《代数》引理 02HQ。对 \(R\) 也同样如此，而且 \(P/\mathfrak m_P^2 = R/\mathfrak m_R^2\)。利用 Jacobi–Zariski 序列 (06S8) 的函子性，并利用同样结论对 \(P\) 成立，可得 \(H_1(L_{k/\Lambda}) = \mathfrak m_R/\mathfrak m_R^2\) 和 \(\Omega_{R/\Lambda} \otimes_R k = \Omega_{k/\Lambda}\)。

最后，由于 \(\Lambda \to P\) 光滑，故由《代数》命题 00TN， \(\Lambda \to P\) 形式光滑。于是由《代数进阶》引理 07EC， \(\Lambda \to P\) 关于 \(\mathfrak m_P\)-进拓扑形式光滑。由《代数进阶》引理 07ED，这一性质传递到完备化 \(R\)，证明完成。事实上，只要 \(\underline{R}|_{\mathcal{C}_\Lambda}\) 光滑， \(R\) 就同构于 \(\Lambda\) 上某个光滑代数的完备化，但我们不会用到这一点。

例

下面给出引理 06SM 中 \(R\) 的一个更明确的例子。设 \(p\) 为素数，且 \(n \in \mathbf{N}\)。令 \(\Lambda = \mathbf{F}_p(t_1, t_2, \ldots, t_n)\)， \(k = \mathbf{F}_p(x_1, \ldots, x_n)\)，并令映射 \(\Lambda \to k\) 由 \(t_i \mapsto x_i^p\) 给出。此时可取 \[R = \Lambda[x_1, \ldots, x_n]^\wedge_{(x_1^p - t_1, \ldots, x_n^p - t_n)}\] 在这个例子中无法做得“更好”；也就是说，不能用 \(\widehat{\mathcal{C}}_\Lambda\) 中更小的光滑对象来逼近 \(\mathcal{C}_\Lambda\)（可以论证 \(R\) 的维数至少为 \(n\)，因为映射 \(\Omega_{R/\Lambda} \otimes_R k \to \Omega_{k/\Lambda}\) 为满射）。稍后将更详细地讨论这一现象。

Schlessinger 条件

下文经常考虑范畴 \(\mathcal{C}_\Lambda\) 中环的纤维积 \(A_1 \times_A A_2\)。例 06S4 已经表明，这样的纤维积未必总是 \(\mathcal{C}_\Lambda\) 的对象。不过，在下文几乎所有情形中，两个映射 \(A_i \to A\) 之一都是满射；由引理 06GH， \(A_1 \times_A A_2\) 将是 \(\mathcal{C}_\Lambda\) 的对象。我们将不再说明而直接使用这一结果。

以 \(k[\epsilon]\) 表示 \(k\) 上的对偶数环。更一般地，对 \(k\)-向量空间 \(V\)，以 \(k[V]\) 表示如下 \(k\)-代数：其底层向量空间为 \(k \oplus V\)，乘法由 \((a, v) \cdot (a', v') = (aa', av' + a'v)\) 给出。当 \(V = k\) 时，\(k[V]\) 就是 \(k\) 上的对偶数环。对任意有限维 \(k\)-向量空间 \(V\)，环 \(k[V]\) 都属于 \(\mathcal{C}_\Lambda\)。

定义

设 \(\mathcal{F}\) 是 \(\mathcal C_\Lambda\) 上的群胚余纤维范畴。如下定义 \(\mathcal{F}\) 上的条件 (S1) 和 (S2)：

\(\mathcal{F}\) 中每个图 \[\vcenter{ \xymatrix{ & x_2 \ar[d] \\ x_1 \ar[r] & x } } \quad\text{位于下图上方}\quad \vcenter{ \xymatrix{ & A_2 \ar[d] \\ A_1 \ar[r] & A } }\] 若其底图属于 \(\mathcal{C}_\Lambda\) 且 \(A_2 \to A\) 满射，则可补成交换图 \[\vcenter{ \xymatrix{ y \ar[r] \ar[d] & x_2 \ar[d] \\ x_1 \ar[r] & x } } \quad\text{位于下图上方}\quad \vcenter{ \xymatrix{ A_1 \times_A A_2 \ar[r] \ar[d] & A_2 \ar[d] \\ A_1 \ar[r] & A. } }\]

对 \(\mathcal{F}\) 中位于 \(\mathcal{C}_\Lambda\) 中如下形式图上方的图， (S1) 条件成立： \[\xymatrix{ & k[\epsilon] \ar[d] \\ A \ar[r] & k. }\] 此外，若 \(\mathcal{F}\) 中有两个交换图 \[\vcenter{ \xymatrix{ y \ar[r]_c \ar[d]_a & x_\epsilon \ar[d]^e \\ x \ar[r]^d & x_0 } } \quad\text{和}\quad \vcenter{ \xymatrix{ y' \ar[r]_{c'} \ar[d]_{a'} & x_\epsilon \ar[d]^e \\ x \ar[r]^d & x_0 } } \quad\text{位于下图上方}\quad \vcenter{ \xymatrix{ A \times_k k[\epsilon] \ar[r] \ar[d] & k[\epsilon] \ar[d] \\ A \ar[r] & k } }\] 则存在 \(\mathcal{F}(A \times_k k[\epsilon])\) 中的态射 \(b : y \to y'\)，使 \(a = a' \circ b\)。

可以用纤维范畴部分地解释条件 (S1) 与 (S2) 的含义。设 \(f_1 : A_1 \to A\) 和 \(f_2 : A_2 \to A\) 是 \(\mathcal{C}_\Lambda\) 中的环映射，且 \(f_2\) 满射。以 \(p_i : A_1 \times_A A_2 \to A_i\) 表示投影映射。假设已经为 \(\mathcal{F}\) 作了推前选取。于是环的交换图转化为纤维范畴的 \(2\)-交换图 \[\xymatrix{ \mathcal{F}(A_1 \times_A A_2) \ar[r]_-{p_{2, *}} \ar[d]_{p_{1, *}} & \mathcal{F}(A_2) \ar[d]^{f_{2, *}} \\ \mathcal{F}(A_1) \ar[r]^{f_{1, *}} & \mathcal{F}(A) }\] 从而得到到范畴 \(2\)-纤维积的函子 [06SP]\[\begin{equation} \mathcal{F}(A_1 \times_A A_2) \to \mathcal{F}(A_1) \times_{\mathcal{F}(A)} \mathcal{F}(A_2) \end{equation}\] 条件 (S1) 要求这个函子本质满。条件 (S2) 的第一部分要求：若 \(f_2\) 等于映射 \(k[\epsilon] \to k\)，这个函子是本质满的。此外，在这种情况下，(S2) 的第二部分蕴含：在靶中变为同构的两个对象在源中同构（但它与这一陈述并不等价）。按照定义中的方式陈述这些条件的优点，是无需作任何选取。

引理

设 \(\mathcal{F}\) 是 \(\mathcal C_\Lambda\) 上的群胚余纤维范畴。若只在 \(A_2 \to A\) 为小扩张时假设 (S1) 的条件成立，则 \(\mathcal{F}\) 满足 (S1)。

证明

证明从略。提示：应用引理 06GE，并作类似于引理 06HH 证明中的归纳。

注

当 \(\mathcal{F}\) 是集合余纤维范畴时，条件 (S1) 与 (S2) 正是 Schlessinger 论文 [Sch] 中的条件 (H1) 与 (H2)。具体地，对函子 \(F: \mathcal{C}_\Lambda \to \textit{Sets}\)，条件 (S1) 与 (S2) 表述为：

若 \(A_1 \to A\) 和 \(A_2 \to A\) 是 \(\mathcal{C}_\Lambda\) 中的映射，且 \(A_2 \to A\) 满射，则诱导映射 \(F(A_1 \times_A A_2) \to F(A_1) \times_{F(A)} F(A_2)\) 为满射。

若 \(A \to k\) 是 \(\mathcal{C}_\Lambda\) 中的映射，则诱导映射 \(F(A \times_k k[\epsilon]) \to F(A) \times_{F(k)} F(k[\epsilon])\) 为双射。

映射 \(F(A \times_k k[\epsilon]) \to F(A) \times_{F(k)} F(k[\epsilon])\) 的单射性来自条件 (S2) 的第二部分以及所有态射都是恒等态射这一事实。

引理

设 \(\mathcal{F}\) 是 \(\mathcal{C}_\Lambda\) 上的群胚余纤维范畴。若 \(\mathcal{F}\) 满足 (S2)，则对任意有限维 \(k\)-向量空间 \(V\)，把 \(k[\epsilon]\) 换成 \(k[V]\) 后， (S2) 的条件仍成立。

证明

若 \(\mathcal{F}\) 是集合余纤维范畴，即对应于函子 \(F : \mathcal{C}_\Lambda \to \textit{Sets}\)，则结论来自说明 06HY 中对 \(F\) 的 (S2) 的描述，以及同构 \(k[V] \cong k[\epsilon] \times_k \ldots \times_k k[\epsilon]\)；右边有 \(\dim_k V\) 个因子。本章余下部分只会用到函子情形。

一般情形下，对 \(\dim(V)\) 作归纳。若 \(\dim(V) = 1\)，则 \(k[V] \cong k[\epsilon]\)，结论由假设成立。若 \(\dim(V) > 1\)，写成 \(V = V' \oplus k\epsilon\)。选取图 \[\vcenter{ \xymatrix{ & x_V \ar[d] \\ x \ar[r] & x_0 } } \quad\text{位于下图上方}\quad \vcenter{ \xymatrix{ & k[V] \ar[d] \\ A \ar[r] & k } }\] 选取位于 \(k[V] \to k[V']\) 上方的态射 \(x_V \to x_{V'}\)，以及位于 \(k[V] \to k[\epsilon]\) 上方的态射 \(x_V \to x_\epsilon\)。注意，态射 \(x_V \to x_0\) 分别分解为 \(x_V \to x_{V'} \to x_0\) 和 \(x_V \to x_\epsilon \to x_0\)。由归纳假设，可以找到图 \[\vcenter{ \xymatrix{ y' \ar[d] \ar[r] & x_{V'} \ar[d] \\ x \ar[r] & x_0 } } \quad\text{位于下图上方}\quad \vcenter{ \xymatrix{ A \times_k k[V'] \ar[d] \ar[r] & k[V'] \ar[d] \\ A \ar[r] & k } }\] 这给出交换图 \[\vcenter{ \xymatrix{ & x_\epsilon \ar[d] \\ y' \ar[r] & x_0 } } \quad\text{位于下图上方}\quad \vcenter{ \xymatrix{ & k[\epsilon] \ar[d] \\ A \times_k k[V'] \ar[r] & k } }\] 因此，由 (S2) 得到交换图 \[\vcenter{ \xymatrix{ y \ar[d] \ar[r] & x_\epsilon \ar[d] \\ y' \ar[r] & x_0 } } \quad\text{位于下图上方}\quad \vcenter{ \xymatrix{ (A \times_k k[V']) \times_k k[\epsilon] \ar[d] \ar[r] & k[\epsilon] \ar[d] \\ A \times_k k[V'] \ar[r] & k } }\] 注意 \((A \times_k k[V']) \times_k k[\epsilon] = A \times_k k[V' \oplus k\epsilon] = A \times_k k[V]\)。我们断言 \(y\) 可置于正确的交换图中。为说明这一点，取位于 \(A \times_k k[V] \to k[V]\) 上方的态射 \(y \to y_V\)。可以把态射 \(y \to y' \to x_{V'}\) 和 \(y \to x_\epsilon\) 经由态射 \(y \to y_V\) 分解（由群胚余纤维范畴的公理）。因此，\(y_V\) 与 \(x_V\) 都可置于交换图 \[\vcenter{ \xymatrix{ y_V \ar[r] \ar[d] & x_\epsilon \ar[d] \\ x_{V'} \ar[r] & x_0 } } \quad\text{和}\quad \vcenter{ \xymatrix{ x_V \ar[r] \ar[d] & x_\epsilon \ar[d] \\ x_{V'} \ar[r] & x_0 } }\] 中。因此，由 (S2) 的第二部分，存在同构 \(y_V \to x_V\)，它与 \(y_V \to x_{V'}\) 和 \(x_V \to x_{V'}\) 相容，特别地也与到 \(x_0\) 的映射相容。于是复合 \(y \to y_V \to x_V\) 可置于所需交换图 \[\vcenter{ \xymatrix{ y \ar[r] \ar[d] & x_V \ar[d] \\ x \ar[r] & x_0 } } \quad\text{位于下图上方}\quad \vcenter{ \xymatrix{ A \times_k k[V] \ar[d] \ar[r] & k[V] \ar[d] \\ A \ar[r] & k } }\] 中。由此可见，把 \(k[\epsilon]\) 换成 \(k[V]\) 后， \((S2)\) 的第一部分成立。

为证明第二部分，设给定两个交换图 \[\vcenter{ \xymatrix{ y \ar[r] \ar[d] & x_V \ar[d] \\ x \ar[r] & x_0 } } \quad\text{和}\quad \vcenter{ \xymatrix{ y' \ar[r] \ar[d] & x_V \ar[d] \\ x \ar[r] & x_0 } } \quad\text{位于下图上方}\quad \vcenter{ \xymatrix{ A \times_k k[V] \ar[d] \ar[r] & k[V] \ar[d] \\ A \ar[r] & k } }\] 我们将使用本证明第一段所引入的态射 \(x_V \to x_{V'} \to x_0\) 和 \(x_V \to x_\epsilon \to x_0\)。选取位于 \(A \times_k k[V] \to A \times_k k[V']\) 上方的态射 \(y \to y_{V'}\) 和 \(y' \to y'_{V'}\)。余纤维范畴的公理蕴含可以找到交换图 \[\vcenter{ \xymatrix{ y_{V'} \ar[r] \ar[d] & x_{V'} \ar[d] \\ x \ar[r] & x_0 } } \quad\text{和}\quad \vcenter{ \xymatrix{ y'_{V'} \ar[r] \ar[d] & x_{V'} \ar[d] \\ x \ar[r] & x_0 } } \quad\text{位于下图上方}\quad \vcenter{ \xymatrix{ A \times_k k[V'] \ar[d] \ar[r] & k[V'] \ar[d] \\ A \ar[r] & k } }\] 由归纳假设，得到同构 \(b : y_{V'} \to y'_{V'}\)，它与态射 \(y_{V'} \to x\) 和 \(y'_{V'} \to x\) 相容，特别地与到 \(x_0\) 的态射相容。于是有交换图 \[\vcenter{ \xymatrix{ y \ar[r] \ar[d] & x_\epsilon \ar[d] \\ y'_{V'} \ar[r] & x_0 } } \quad\text{和}\quad \vcenter{ \xymatrix{ y' \ar[r] \ar[d] & x_\epsilon \ar[d] \\ y'_{V'} \ar[r] & x_0 } } \quad\text{位于下图上方}\quad \vcenter{ \xymatrix{ A \times_k k[\epsilon] \ar[d] \ar[r] & k[\epsilon] \ar[d] \\ A \ar[r] & k } }\] 其中态射 \(y \to y'_{V'}\) 是复合 \(y \to y_{V'} \xrightarrow{b} y'_{V'}\)，而态射 \(y \to x_\epsilon\) 和 \(y' \to x_\epsilon\) 分别是映射 \(y \to x_V\) 和 \(y' \to x_V\) 与态射 \(x_V \to x_\epsilon\) 的复合。于是 (S2) 的第二部分保证存在同构 \(y \to y'\)，它与到 \(y'_{V'}\) 的映射相容，特别地与到 \(x\) 的映射相容（因为 \(b\) 与到 \(x\) 的映射相容）。

引理

设 \(\mathcal{F}\) 是 \(\mathcal{C}_\Lambda\) 上的群胚余纤维范畴。

若 \(\mathcal{F}\) 满足 (S1)，则 \(\overline{\mathcal{F}}\) 也满足 (S1)。

若 \(\mathcal{F}\) 满足 (S2)，并且下列条件至少有一个成立，则 \(\overline{\mathcal{F}}\) 也满足 (S2)：

\(\mathcal{F}\) 是预形变范畴；

范畴 \(\mathcal{F}(k)\) 是集合或集合型群胚；

对 \(\mathcal{F}\) 中位于 \(k[\epsilon] \to k\) 上方的任意态射 \(x_\epsilon \to x_0\)，推前映射 \(\text{Aut}_{k[\epsilon]}(x_\epsilon) \to \text{Aut}_k(x_0)\) 为满射。

证明

假设 \(\mathcal{F}\) 满足 (S1)。设 \(f_i : A_i \to A\) 是 \(\mathcal{C}_\Lambda\) 中的环映射，且 \(f_2\) 满射。设 \(x_i \in \mathcal{F}(A_i)\)，并且推前 \(f_{1, *}(x_1)\) 与 \(f_{2, *}(x_2)\) 同构。于是可以用 \(x\) 表示 \(\mathcal{F}\) 中位于 \(A\) 上方、且与这两个推前都同构的对象，并得到 (S1) 中的图。因此，找到 \(\mathcal{F}\) 中位于 \(A_1 \times_A A_2\) 上方的对象 \(y\)，其到 \(A_1\)、相应地到 \(A_2\) 的推前分别与 \(x_1\)、相应地与 \(x_2\) 同构。由此可见，(S1) 对 \(\overline{\mathcal{F}}\) 成立。

假设 \(\mathcal{F}\) 满足 (S2)。 \(\overline{\mathcal{F}}\) 的 (S2) 第一部分由与上述相同的论证得出。 \(\overline{\mathcal{F}}\) 的 (S2) 第二部分意指：对 \(\mathcal{C}_\Lambda\) 中的任意环 \(A\)，映射 \[\overline{\mathcal{F}}(A \times_k k[\epsilon]) \to \overline{\mathcal{F}}(A) \times_{\overline{\mathcal{F}}(k)} \overline{\mathcal{F}}(k[\epsilon])\] 为单射。设 \(y, y' \in \mathcal{F}(A \times_k k[\epsilon])\)。利用余纤维范畴的公理，可以选取交换图 \[\vcenter{ \xymatrix{ y \ar[r]_c \ar[d]_a & x_\epsilon \ar[d]^e \\ x \ar[r]^d & x_0 } } \quad\text{和}\quad \vcenter{ \xymatrix{ y' \ar[r]_{c'} \ar[d]_{a'} & x'_\epsilon \ar[d]^{e'} \\ x' \ar[r]^{d'} & x'_0 } } \quad\text{位于下图上方}\quad \vcenter{ \xymatrix{ A \times_k k[\epsilon] \ar[d] \ar[r] & k[\epsilon] \ar[d] \\ A \ar[r] & k } }\] 假设存在 \(\mathcal{F}(A)\) 中的同构 \(\alpha : x \to x'\)，以及 \(\mathcal{F}(k[\epsilon])\) 中的同构 \(\beta : x_\epsilon \to x'_\epsilon\)。这也意味着存在与 \(\alpha\) 相容的同构 \(\gamma : x_0 \to x'_0\)。为证明 \(\overline{\mathcal{F}}\) 的 (S2)，必须证明 \(\mathcal{F}(A \times_k k[\epsilon])\) 中存在同构 \(y \to y'\)。由 \(\mathcal{F}\) 的 (S2)，如果能选取同构 \(\alpha\)、\(\beta\) 和 \(\gamma\)，使 \[\xymatrix{ x \ar[d]^\alpha \ar[r] & x_0 \ar[d]^\gamma & x_\epsilon \ar[d]^\beta \ar[l]^e \\ x' \ar[r] & x'_0 & x'_\epsilon \ar[l]_{e'} }\] 交换，这样的态射就存在（因为这时可在前一个显示图中用 \(x'\) 替换 \(x\)，并用 \(x'_\epsilon\) 替换 \(x_\epsilon\)）。左侧方块由 \(\gamma\) 的选取而交换。可把 \(e' \circ \beta\) 分解成 \(\gamma' \circ e\)，其中 \(\gamma' : x_0 \to x'_0\) 是另一个映射。现在的问题是能否安排 \(\gamma = \gamma'\)？若 \(\mathcal{F}(k)\) 是集合或集合型群胚，这显然成立。此外，若 \(\text{Aut}_{k[\epsilon]}(x_\epsilon) \to \text{Aut}_k(x_0)\) 为满射，则可在 \(\beta\) 前复合一个 \(x_\epsilon\) 的自同构，其像为 \(\gamma^{-1} \circ \gamma'\)，从而使要求成立。

引理

设 \(\mathcal{F}\) 是 \(\mathcal{C}_\Lambda\) 上的群胚余纤维范畴，且 \(x_0 \in \Ob(\mathcal{F}(k))\)。设 \(\mathcal{F}_{x_0}\) 是说明 06GU 中构造的 \(\mathcal{C}_\Lambda\) 上群胚余纤维范畴。

若 \(\mathcal{F}\) 满足 (S1)，则 \(\mathcal{F}_{x_0}\) 也满足 (S1)。

若 \(\mathcal{F}\) 满足 (S2)，则 \(\mathcal{F}_{x_0}\) 也满足 (S2)。

证明

\(\mathcal{F}_{x_0}\) 中每个如定义 06HW 所述的图，都产生 \(\mathcal{F}\) 中的图；而条件 (S1) 或 (S2) 对 \(\mathcal{F}\) 中该图给出的输出，也可视为对 \(\mathcal{F}_{x_0}\) 的输出。

引理

设 \(p: \mathcal{F} \to \mathcal{C}_\Lambda\) 是群胚余纤维范畴。考虑 \(\mathcal{F}\) 中的图 \[\vcenter{ \xymatrix{ y \ar[r] \ar[d]_a & x_\epsilon \ar[d]_e \\ x \ar[r]^d & x_0 } } \quad\text{位于下图上方}\quad \vcenter{ \xymatrix{ A \times_k k[\epsilon] \ar[r] \ar[d] & k[\epsilon] \ar[d] \\ A \ar[r] & k. } }\] 其中底图属于 \(\mathcal{C}_\Lambda\)。假设 \(\mathcal{F}\) 满足 (S2)。则存在满足 \(a \circ s = \text{id}_x\) 的态射 \(s : x \to y\)，当且仅当存在满足 \(e \circ s_\epsilon = d\) 的态射 \(s_\epsilon : x \to x_\epsilon\)。

证明

“仅当”方向显然。反过来，假设存在态射 \(s_\epsilon : x \to x_\epsilon\)，使 \(e \circ s_\epsilon = d\)。注意，\(p(s_\epsilon) : A \to k[\epsilon]\) 是与映射 \(A \to k\) 相容的环映射。因此得到 \[\sigma = (\text{id}_A, p(s_\epsilon)) : A \to A \times_k k[\epsilon].\] 选取推前 \(x \to \sigma_*x\)。由构造，可把 \(s_\epsilon\) 分解为 \(x \to \sigma_*x \to x_\epsilon\)。此外，由于 \(\sigma\) 是 \(A \times_k k[\epsilon] \to A\) 的截面，得到态射 \(\sigma_*x \to x\)，使 \(x \to \sigma_*x \to x\) 为 \(\text{id}_x\)。因为 \(e \circ s_\epsilon = d\)，图 \[\xymatrix{ \sigma_*x \ar[r] \ar[d] & x_\epsilon \ar[d]_e \\ x \ar[r]^d & x_0 }\] 交换。因此，由 (S2) 得到态射 \(\sigma_*x \to y\)，使复合 \(\sigma_*x \to y \to x\) 等于给定映射 \(\sigma_*x \to x\)。现在问题的解是取 \(a : x \to y\) 为复合 \(x \to \sigma_*x \to y\)。

引理

考虑预形变范畴 \(\mathcal{F}\) 中的交换图 \[\vcenter{ \xymatrix{ y \ar[r] \ar[d] & x_2 \ar[d]^{a_2} \\ x_1 \ar[r]^{a_1} & x } } \quad\text{位于下图上方} \vcenter{ \xymatrix{ A_1 \times_A A_2 \ar[r] \ar[d] & A_2 \ar[d]^{f_2} \\ A_1 \ar[r]^{f_1} & A } }\] 上方，其中底图属于 \(\mathcal{C}_\Lambda\)，且 \(f_2 : A_2 \to A\) 是小扩张。假设存在映射 \(h : A_1 \to A_2\)，使 \(f_2 = f_1 \circ h\)。令 \(I = \Ker(f_2)\)。考虑环映射 \[g : A_1 \times_A A_2 \longrightarrow k[I] = k \oplus I, \quad (u, v) \longmapsto \overline{u} \oplus (v - h(u))\] 选取推前 \(y \to g_*y\)。假设 \(\mathcal{F}\) 满足 (S2)。若存在态射 \(x_1 \to g_*y\)，则存在态射 \(b: x_1 \to x_2\)，使 \(a_1 = a_2 \circ b\)。

证明

注意， \(\text{id}_{A_1} \times g : A_1 \times_A A_2 \to A_1 \times_k k[I]\) 是同构，且 \(k[I] \cong k[\epsilon]\)。因此有图 \[\vcenter{ \xymatrix{ y \ar[r] \ar[d] & g_*y \ar[d] \\ x_1 \ar[r] & x_0 } } \quad\text{位于下图上方}\quad \vcenter{ \xymatrix{ A_1 \times_k k[\epsilon] \ar[r] \ar[d] & k[\epsilon] \ar[d] \\ A_1 \ar[r] & k. } }\] 其中 \(x_0\) 是 \(\mathcal{F}\) 中位于 \(k\) 上方的对象（\(\mathcal{F}\) 的每个对象都有到 \(x_0\) 的唯一态射；见定义 06GS 之后的讨论）。若有态射 \(x_1 \to g_*y\)，则引理 06IS 给出映射 \(y \to x_1\) 的截面 \(s : x_1 \to y\)。将它与映射 \(y \to x_2\) 复合，得到 \(b : x_1 \to x_2\)；它满足 \(a_1 = a_2 \circ b\)，因为引理中的图交换且 \(s\) 是截面。

函子的切空间

设 \(R\) 是环。用 \(\text{Mod}_R\) 表示 \(R\)-模范畴，用 \(\text{Mod}^{fg}_R\) 表示有限生成 \(R\)-模范畴。

定义

设 \(L: \text{Mod}^{fg}_R \to \text{Mod}_R\)，相应地，设 \(L: \text{Mod}_R \to \text{Mod}_R\) 是函子。若对 \(\text{Mod}^{fg}_R\)、相应地 \(\text{Mod}_R\) 中的每一对对象 \(M,N\)，映射 \[L : \Hom_R(M, N) \longrightarrow \Hom_R(L(M), L(N))\] 都是 \(R\)-模映射，则称 \(L\) 是 \(R\)-线性的。

注

对任意两个在 \(\text{Mod}_R\) 上富集的范畴之间的函子，都可以定义 \(R\)-线性的概念。这里专门对函子 \(L: \text{Mod}^{fg}_R \to \text{Mod}_R\) 和 \(L: \text{Mod}_R \to \text{Mod}_R\) 作出定义，是因为迄今所需的正是这两种情形。

注

若 \(L: \text{Mod}^{fg}_R \to \text{Mod}_R\) 是 \(R\)-线性函子，则 \(L\) 保持有限积，并把零模送到零模；见《同调》引理 0105。另一方面，若函子 \(\text{Mod}^{fg}_R \to \textit{Sets}\) 保持有限积，并把零模送到单元素集合，则它可唯一地提升为 \(R\)-线性函子；见引理 06I6。

引理

设 \(L: \text{Mod}^{fg}_R \to \textit{Sets}\)，相应地，设 \(L: \text{Mod}_R \to \textit{Sets}\) 是函子。假设 \(L(0)\) 是单元素集合，并且 \(L\) 保持有限积。则存在唯一的 \(R\)-线性函子 \(\widetilde{L} : \text{Mod}^{fg}_R \to \text{Mod}_R\)，相应地，存在唯一的 \(\widetilde{L} : \text{Mod}_R \to \text{Mod}_R\)，使图 \[\vcenter{ \xymatrix{ & \text{Mod}_R \ar[dr]^{\text{遗忘}} & \\ \text{Mod}^{fg}_R \ar[ur]^{\widetilde{L}} \ar[rr]^{L} & & \textit{Sets} } } \quad\text{相应地}\quad \vcenter{ \xymatrix{ & \text{Mod}_R \ar[dr]^{\text{遗忘}} & \\ \text{Mod}_R \ar[ur]^{\widetilde{L}} \ar[rr]^{L} & & \textit{Sets} } }\] 交换。

证明

这里只证明 \(L: \text{Mod}^{fg}_R \to \textit{Sets}\) 的情形。设 \(M\) 是有限生成 \(R\)-模。我们把 \(\widetilde{L}(M)\) 定义为集合 \(L(M)\) 配备以下 \(R\)-模结构。

乘法：若 \(r \in R\)，则 \(L(M)\) 上的乘以 \(r\) 定义为由乘法映射 \(r \cdot : M \to M\) 诱导的映射 \(L(M) \to L(M)\)。

加法：求和映射 \(M \times M \to M: (m_1, m_2) \mapsto m_1 + m_2\) 诱导映射 \(L(M \times M) \to L(M)\)。由假设，\(L(M \times M)\) 典范同构于 \(L(M) \times L(M)\)。于是 \(L(M)\) 上的加法定义为映射 \(L(M) \times L(M) \cong L(M \times M) \to L(M)\)。

零元：存在唯一映射 \(0 \to M\)。\(L(M)\) 的零元是映射 \(L(0) \to L(M)\) 的像。

我们略去验证：这定义了 \(R\)-模 \(\widetilde{L}(M)\)，并且这是唯一使其关于 \(M\) 具有 \(R\)-线性函子性的结构。

引理

设 \(L_1, L_2: \text{Mod}^{fg}_R \to \textit{Sets}\) 是把 \(0\) 送到单元素集合并保持有限积的函子。设 \(t : L_1 \to L_2\) 是函子态射。则 \(t\) 在引理 06I6 所保证的函子之间诱导态射 \(\widetilde{t} : \widetilde{L}_1 \to \widetilde{L}_2\)；对每个 \(M \in \Ob(\text{Mod}^{fg}_R)\)，它就是 \(\widetilde{t}_M = t_M: \widetilde{L}_1(M) \to \widetilde{L}_2(M)\)。换言之，\(t_M: \widetilde{L}_1(M) \to \widetilde{L}_2(M)\) 是 \(R\)-模映射。

证明

证明从略。

当 \(R = K\) 是域时，\(K\)-线性函子 \(L : \text{Mod}^{fg}_K \to \text{Mod}_K\) 由它的值 \(L(K)\) 决定。

引理

设 \(K\) 是域，并设 \(L: \text{Mod}^{fg}_K \to \text{Mod}_K\) 是 \(K\)-线性函子。则 \(L\) 同构于函子 \(L(K) \otimes_K - : \text{Mod}^{fg}_K \to \text{Mod}_K\)。

证明

对 \(V \in \Ob(\text{Mod}^{fg}_K)\)，同构 \(L(K) \otimes_K V \to L(V)\) 在单纯张量上由 \(x \otimes v \mapsto L(f_v)(x)\) 给出，其中 \(f_v: K \to V\) 是把 \(1 \mapsto v\) 的 \(K\)-线性映射。当 \(V = K\) 时，这是由 \(K\) 上的乘法给出的同构 \(L(K) \otimes_K K \to L(K)\)。对一般的 \(V\)，由 \(V=K\) 的情形以及 \(L\) 与有限积交换这一事实（说明 06I5），它是同构。

对环 \(R\) 和 \(R\)-模 \(M\)，令 \(R[M]\) 表示这样的 \(R\)-代数：其底层 \(R\)-模是 \(R \oplus M\)，乘法由 \((r, m) \cdot (r', m') = (rr', rm' + r'm)\) 给出。当 \(M = R\) 时，这是 \(R\) 上的对偶数环，记作 \(R[\epsilon]\)。

现在设 \(S\) 是环，并假设 \(R\) 是 \(S\)-代数。赋值 \(M \mapsto R[M]\) 决定函子 \(\text{Mod}_R \to S\text{-Alg}/R\)，其中 \(S\text{-Alg}/R\) 表示以 \(R\) 为靶的 \(S\)-代数范畴。注意， \(S\text{-Alg}/R\) 有有限积：若 \(A_1 \to R\) 和 \(A_2 \to R\) 是两个对象，则 \(A_1 \times_R A_2\) 是它们的积。

引理

设 \(R\) 是 \(S\)-代数。则上述函子 \(\text{Mod}_R \to S\text{-Alg}/R\) 保持有限积。

证明

这不过是说：若 \(M\)、\(N\) 是 \(R\)-模，则映射 \(R[M \times N] \to R[M] \times_R R[N]\) 是 \(S\text{-Alg}/R\) 中的同构。

引理

设 \(R\) 是 \(S\)-代数，并设 \(\mathcal{C}\) 是 \(S\text{-Alg}/R\) 的严格满子范畴，它包含所有 \(M \in \Ob(\text{Mod}^{fg}_R)\) 所对应的 \(R[M]\)。设 \(F: \mathcal{C} \to \textit{Sets}\) 是函子。假设 \(F(R)\) 是单元素集合，并且对任意 \(M, N \in \Ob(\text{Mod}^{fg}_R)\)，诱导映射 \[F(R[M] \times_R R[N]) \to F(R[M]) \times F(R[N])\] 都是双射。则对任意 \(M \in \Ob(\text{Mod}^{fg}_R)\)， \(F(R[M])\) 都有自然的 \(R\)-模结构。

证明

注意，\(R \cong R[0]\) 且 \(R[M] \times_R R[N] \cong R[M \times N]\)，所以由对 \(\mathcal{C}\) 的假设，\(R\) 与 \(R[M] \times_R R[N]\) 都是 \(\mathcal{C}\) 的对象。因此，对 \(F\) 的条件是有意义的。引理 06I9 中的函子 \(\text{Mod}_R \to S\text{-Alg}/R\)，由对 \(\mathcal{C}\) 的假设，限制为函子 \(\text{Mod}^{fg}_R \to \mathcal{C}\)。令 \(L\) 为复合 \(\text{Mod}^{fg}_R \to \mathcal{C} \to \textit{Sets}\)，即 \(L(M) = F(R[M])\)。由引理 06I9 及对 \(F\) 的假设， \(L\) 保持有限积。因此，引理 06I6 表明：对任意 \(M \in \Ob(\text{Mod}^{fg}_R)\)， \(L(M) = F(R[M])\) 都有自然的 \(R\)-模结构。

定义

设 \(\mathcal{C}\) 是引理 06IA 中那样的范畴。设 \(F : \mathcal{C} \to \textit{Sets}\) 是函子，且 \(F(R)\) 是单元素集合。\(F\) 的切空间 \(TF\) 定义为 \(F(R[\epsilon])\)。

当 \(F : \mathcal{C} \to \textit{Sets}\) 满足引理 06IA 的假设时，切空间 \(TF\) 具有自然的 \(R\)-模结构。

例

因为 \(\mathcal{C}_\Lambda\) 包含有限维向量空间 \(V\) 对应的所有 \(k[V]\)，所以定义 06IB 可应用于 \(S = \Lambda\)、\(R = k\)、\(\mathcal{C} = \mathcal{C}_\Lambda\)，以及预形变函子 \(F : \mathcal{C}_\Lambda \to \textit{Sets}\)。切空间为 \(TF = F(k[\epsilon])\)。

例

在例 06SR 中，设 \(F : \mathcal{C}_\Lambda \to \textit{Sets}\) 是 pro-可表函子；更具体地，对某个 \(S \in \Ob(\widehat{\mathcal{C}}_\Lambda)\)，设 \(F = \underline{S}|_{\mathcal{C}_\Lambda}\)。则 \(F\) 与任意极限交换，因而满足引理 06IA 的假设。计算得 \[TF = F(k[\epsilon]) = \Mor_{\mathcal{C}_\Lambda}(S, k[\epsilon]) = \text{Der}_\Lambda(S, k)\] 更一般地，对有限维 \(k\)-向量空间 \(V\)，有 \[F(k[V]) = \Mor_{\mathcal{C}_\Lambda}(S, k[V]) = \text{Der}_\Lambda(S, V).\]

具体地，与增广 \(q : S \to k\) 和 \(k[V] \to k\) 相容的 \(\Lambda\)-代数映射 \(f : S \to k[V]\)，对应于由 \(s \mapsto f(s) - q(s)\) 定义的导子 \(D\)。反过来，\(\Lambda\)-导子 \(D : S \to V\) 对应于 \(\mathcal{C}_\Lambda\) 中按公式 \(f(s) = q(s) + D(s)\) 定义的 \(f : S \to k[V]\)。由于这些识别具有函子性， \(TF\) 与 \(\text{Der}_\Lambda(S, k)\) 上的 \(k\)-向量空间结构彼此对应（见引理 06I7）。由引理 06SC，可知 \(\dim_k TF\) 有限。

例

在经典情形下，例 06IC 的计算可以简化。确切地说，此时函子 \(F = \underline{S}|_{\mathcal{C}_\Lambda}\) 的切空间就是 \(S\) 在 \(\Lambda\) 上的相对余切空间，即 \(TF = T_{S/\Lambda}\)。事实上，当域扩张 \(k/k'\) 可分时，这一结论仍然成立。参见《习题》中的习题 029E。

引理

设 \(F, G: \mathcal{C} \to \textit{Sets}\) 是满足引理 06IA 假设的函子。设 \(t : F \to G\) 是函子态射。对任意 \(M \in \Ob(\text{Mod}^{fg}_R)\)，映射 \(t_{R[M]}: F(R[M]) \to G(R[M])\) 是 \(R\)-模映射，其中 \(F(R[M])\) 与 \(G(R[M])\) 配备引理 06IA 给出的 \(R\)-模结构。特别地，\(t_{R[\epsilon]} : TF \to TG\) 是 \(R\)-模映射。

证明

这由引理 06I7 得出。

例

假设 \(f : R \to S\) 是 \(\widehat{\mathcal{C}}_\Lambda\) 中的环映射。令 \(F = \underline{R}|_{\mathcal{C}_\Lambda}\)， \(G = \underline{S}|_{\mathcal{C}_\Lambda}\)。环映射 \(f\) 诱导函子变换 \(G \to F\)。由引理 06ID，得到 \(k\)-线性映射 \(TG \to TF\)。这就是映射 \[TG = \text{Der}_\Lambda(S, k) \longrightarrow \text{Der}_\Lambda(R, k) = TF\] 这一点来自例 06IC 中的典范识别 \(F(k[V]) = \text{Der}_\Lambda(R, V)\) 和 \(G(k[V]) = \text{Der}_\Lambda(S, V)\)，以及切空间上映射的计算规则。

引理

设 \(F: \mathcal{C} \to \textit{Sets}\) 是满足引理 06IA 假设的函子。假设 \(R = K\) 是域。则对任意有限维 \(K\)-向量空间 \(V\)，有 \(F(K[V]) \cong TF \otimes_K V\)。

证明

这由引理 06I8 得出。

预形变范畴的切空间

我们将用一般的定义 06IB 定义预形变函子的切空间。例 06SR 已经具体说明了这一点。考察同构类的关联函子，即可把该定义应用于预形变范畴。

定义

设 \(\mathcal{F}\) 是预形变范畴。 \(\mathcal{F}\) 的切空间 \(T \mathcal{F}\) 是纤维范畴 \(\mathcal F(k[\epsilon])\) 中对象的同构类集合 \(\overline{\mathcal{F}}(k[\epsilon])\)。

因此，\(T \mathcal{F}\) 就是关联函子 \(\overline{\mathcal{F}}: \mathcal{C}_\Lambda \to \textit{Sets}\) 的切空间。当 \(\mathcal{F}\) 满足 (S2) 时，它具有自然的向量空间结构；事实上，只要 \(\overline{\mathcal{F}}\) 满足 (S2) 即可。

引理

设 \(\mathcal{F}\) 是预形变范畴，且 \(\overline{\mathcal{F}}\) 满足 (S2)²。则 \(T \mathcal{F}\) 具有自然的 \(k\)-向量空间结构。对任意有限维向量空间 \(V\)，都有 \(\overline{\mathcal{F}}(k[V]) = T\mathcal{F} \otimes_k V\)，且这一等式关于 \(V\) 具有函子性。

证明

记 \(F = \overline{\mathcal{F}} : \mathcal{C}_\Lambda \to \textit{Sets}\)。这是预形变函子，并且 \(F\) 满足 (S2)。由引理 06HZ （以及说明 06HY 对集合值函子的对应表述）可知，对每个有限维向量空间 \(V\) 和每个 \(A \in \Ob(\mathcal{C}_\Lambda)\)，映射 \[F(A \times_k k[V]) \longrightarrow F(A) \times F(k[V])\] 都是双射。特别地，取 \(A = k[W]\)，可得 \(F(k[W] \times_k k[V]) = F(k[W]) \times F(k[V])\)。换言之，引理 06IA 的假设成立，从而 \(TF = T \mathcal{F}\) 具有自然的 \(k\)-向量空间结构。最后一个断言由引理 06IE 得出。

预形变范畴的态射在切空间上诱导映射。

定义

设 \(\varphi : \mathcal{F} \to \mathcal{G}\) 是预形变范畴的态射。 \(\varphi\) 的微分 \(d \varphi : T \mathcal{F} \to T \mathcal{G}\) 是把函子态射 \(\overline{\varphi}: \overline{\mathcal{F}} \to \overline{\mathcal{G}}\) 在 \(A = k[\epsilon]\) 处取值所得的映射。

引理

设 \(\varphi : \mathcal{F} \to \mathcal{G}\) 是预形变范畴的态射。假设 \(\overline{\mathcal{F}}\) 和 \(\overline{\mathcal{G}}\) 都满足 (S2)。则 \(d \varphi : T \mathcal{F} \to T \mathcal{G}\) 是 \(k\)-线性的。

证明

在引理 06IH 的证明中，已经看到 \(\overline{\mathcal{F}}\) 和 \(\overline{\mathcal{G}}\) 满足引理 06IA 的假设。因此，本引理由引理 06ID 得出。

注

可以把切空间和微分的概念如下全局化到任意群胚余纤维范畴。设 \(\mathcal{F}\) 是 \(\mathcal{C}_\Lambda\) 上的群胚余纤维范畴，且 \(x \in \Ob(\mathcal{F}(k))\)。如说明 06GU，得到预形变范畴 \(\mathcal{F}_x\)。定义 \[T_x\mathcal{F} = T\mathcal{F}_x\] 为 \(\mathcal{F}\) 在 \(x\) 处的切空间。若 \(\varphi : \mathcal{F} \to \mathcal{G}\) 是 \(\mathcal{C}_\Lambda\) 上群胚余纤维范畴的态射，且 \(x \in \Ob(\mathcal{F}(k))\)，则有诱导态射 \(\varphi_x: \mathcal{F}_x \to \mathcal{G}_{\varphi(x)}\)。把 \(\varphi\) 在 \(x\) 处的微分 \(d_x \varphi : T_x \mathcal{F} \to T_{\varphi(x)} \mathcal{G}\) 定义为映射 \(d \varphi_x: T \mathcal{F}_x \to T \mathcal{G}_{\varphi(x)}\)。若 \(\mathcal{F}\) 和 \(\mathcal{G}\) 都满足 (S2)，则所有这些切空间都具有自然的 \(k\)-向量空间结构，而所有微分 \(d_x \varphi : T_x \mathcal{F} \to T_{\varphi(x)} \mathcal{G}\) 都是 \(k\)-线性的（使用引理 06SQ 和 06IJ）。

在经典情形下，或当 \(k/k'\) 是可分域扩张时，以下观察没有实质内容，因为这时 \(\text{Der}_\Lambda(k, k)\) 和 \(\text{Der}_\Lambda(k, V)\) 都为零。有典范识别 \[\Mor_{\mathcal{C}_\Lambda}(k, k[\epsilon]) = \text{Der}_\Lambda(k, k).\] 确切地，对 \(D \in \text{Der}_\Lambda(k, k)\)，令 \(f_D : k \to k[\epsilon]\) 为映射 \(a \mapsto a + D(a)\epsilon\)。更一般地，给定 \(k\) 上的有限维向量空间 \(V\)，有 \[\Mor_{\mathcal{C}_\Lambda}(k, k[V]) = \text{Der}_\Lambda(k, V)\] 并且仍用 \(f_D\) 表示与导子 \(D\) 相伴的映射。还有 \[\Mor_{\mathcal{C}_\Lambda}(k[W], k[V]) = \Hom_k(V, W) \oplus \text{Der}_\Lambda(k, V)\]

其中 \((\varphi, D)\) 对应于映射 \(f_{\varphi, D} : a + w \mapsto a + \varphi(w) + D(a)\)。有时把由导子 \(D : k \to V\) 决定的 \(k[V]\) 自同构写成 \(f_{1, D} : a + v \to a + v + D(a)\)。注意，\(f_{1, D} \circ f_{1, D'} = f_{1, D + D'}\)。

设 \(\mathcal{F}\) 是 \(\mathcal{C}_\Lambda\) 上的预形变范畴，并设 \(x_0 \in \Ob(\mathcal{F}(k))\)。由上可得典范映射 \[\gamma_V : \text{Der}_\Lambda(k, V) \longrightarrow \overline{\mathcal{F}}(k[V])\] 定义为 \(D \mapsto f_{D, *}(x_0)\)。此外，还有作用 \[a_V : \text{Der}_\Lambda(k, V) \times \overline{\mathcal{F}}(k[V]) \longrightarrow \overline{\mathcal{F}}(k[V])\] 定义为 \((D, x) \mapsto f_{1, D, *}(x)\)。这两个映射相容；也就是说，由这些映射复合的直接计算可得 \(f_{1, D, *}f_{D', *}x_0 = f_{D + D', *}x_0\)。注意，\(\gamma_V\) 与 \(a_V\) 不依赖于 \(x_0\) 的选取，因为 \(x_0\) 在同构意义下唯一。

引理

设 \(\mathcal{F}\) 是 \(\mathcal{C}_\Lambda\) 上的预形变范畴。若 \(\overline{\mathcal{F}}\) 满足 (S2)，则映射 \(\gamma_V\) 是 \(k\)-线性的，并且 \(a_V(D, x) = x + \gamma_V(D)\)。

证明

在引理 06IH 的证明中，已经看到函子 \(V \mapsto \overline{\mathcal{F}}(k[V])\) 把 \(0\) 送到单元素集合，并把积送到积。函子 \(V \mapsto \text{Der}_\Lambda(k, V)\) 也如此。因此，由引理 06I7， \(\gamma_V\) 是线性的。设 \(D : k \to V\) 是 \(\Lambda\)-导子。令 \(D_1 : k \to V^{\oplus 2}\) 等于 \(a \mapsto (D(a), 0)\)。则图 \[\xymatrix{ k[V \times V] \ar[r]_{+} \ar[d]^{f_{1, D_1}} & k[V] \ar[d]^{f_{1, D}} \\ k[V \times V] \ar[r]^{+} & k[V] }\] 交换。展开定义，并利用 \(\overline{F}(V \times V) = \overline{F}(V) \times \overline{F}(V)\)，这意味着对所有 \(x_1, x_2 \in \overline{F}(V)\)，有 \(a_D(x_1) + x_2 = a_D(x_1 + x_2)\)。因此，只需证明 \(a_V(D, 0) = 0 + \gamma_V(D)\)，其中 \(0 \in \overline{F}(V)\) 是零向量。按定义，这是元素 \(f_{0, *}(x_0)\)。由于 \(f_D = f_{1, D} \circ f_0\)，所需结论随即得出。

上述构造的一个特殊情形是映射 [06SV]\[\begin{equation} \gamma : \text{Der}_\Lambda(k, k) \longrightarrow T\mathcal{F} \end{equation}\] 以及作用 [06SW]\[\begin{equation} a : \text{Der}_\Lambda(k, k) \times T\mathcal{F} \longrightarrow T\mathcal{F} \end{equation}\] 它们对任意预形变范畴 \(\mathcal{F}\) 都有定义。注意，若 \(\varphi : \mathcal{F} \to \mathcal{G}\) 是预形变范畴的态射，则得到交换图 \[\vcenter{ \xymatrix{ \text{Der}_\Lambda(k, k) \ar[r]_-\gamma \ar[rd]_\gamma & T\mathcal{F} \ar[d]_{d\varphi} \\ & T\mathcal{G} } } \quad\text{和}\quad \vcenter{ \xymatrix{ \text{Der}_\Lambda(k, k) \times T\mathcal{F} \ar[r]_-a \ar[d]_{1 \times d\varphi} & T\mathcal{F} \ar[d]^{d\varphi} \\ \text{Der}_\Lambda(k, k) \times T\mathcal{G} \ar[r]^-a & T\mathcal{G} } }\]

万有形式对象

万有形式对象的存在迫使 \(\mathcal{F}\) 具有性质 (S1)。

引理

设 \(\mathcal{F}\) 是预形变范畴。假设 \(\mathcal{F}\) 有万有形式对象。则 \(\mathcal{F}\) 满足 (S1)。

证明

设 \(\xi\) 是 \(\mathcal{F}\) 的万有形式对象。设 \[\xymatrix{ & x_2 \ar[d] \\ x_1 \ar[r] & x }\] 是 \(\mathcal{F}\) 中的图，并且 \(x_2 \to x\) 位于一个满环映射上方。由于自然态射 \(\widehat{\mathcal{F}}|_{\mathcal{C}_\Lambda} \xrightarrow{\sim} \mathcal{F}\) 是等价（见说明 06SJ），也可以把这个图视为 \(\widehat{\mathcal{F}}\) 中的图。由引理 06HT，存在态射 \(\xi \to x_1\)；所以由说明 06HS，还得到态射 \(\xi \to x_2\)，使图 \[\xymatrix{ \xi \ar[r] \ar[d] & x_2 \ar[d] \\ x_1 \ar[r] & x }\] 交换。若 \(x_1 \to x\) 与 \(x_2 \to x\) 分别位于环映射 \(A_1 \to A\) 与 \(A_2 \to A\) 上方，则把 \(\xi\) 推前到 \(A_1 \times_A A_2\)，便得到 (S1) 所要求的对象 \(y\)。

当余纤维范畴满足 (S1) 和 (S2) 时，可以如下刻画万有形式对象。

引理

设 \(\mathcal{F}\) 是满足 (S1) 和 (S2) 的预形变范畴。设 \(\xi\) 是 \(\mathcal{F}\) 的形式对象，对应于 \(\underline{\xi} : \underline{R}|_{\mathcal{C}_\Lambda} \to \mathcal{F}\)；见说明 06HC。则 \(\xi\) 是万有的，当且仅当以下两个条件成立：

切空间上的映射 \(d\underline{\xi} : T\underline{R}|_{\mathcal{C}_\Lambda} \to T\mathcal{F}\) 是满射；并且

给定 \(\widehat{\mathcal{F}}\) 中的图 \[\vcenter{ \xymatrix{ & y \ar[d] \\ \xi \ar[r] & x } } \quad\text{位于下图上方}\quad \vcenter{ \xymatrix{ & B \ar[d]^{f} \\ R \ar[r] & A } }\] 其中底图属于 \(\widehat{\mathcal{C}}_\Lambda\)，且 \(B \to A\) 是阿廷环的小扩张，则存在环映射 \(R \to B\)，使图 \[\xymatrix{ & B \ar[d]^{f} \\ R \ar[ur] \ar[r] & A }\] 交换。

证明

若 \(\xi\) 是万有的，则 (1) 由引理 06HN 成立， (2) 由说明 06HS 成立。反过来，假设 (1) 和 (2) 成立。由说明 06HS，必须证明：给定 (2) 中那样的 \(\widehat{\mathcal{F}}\) 中的图，存在 \(\xi \to y\)，使图 \[\xymatrix{ & y \ar[d] \\ \xi \ar[ur] \ar[r] & x }\] 交换。设 \(b : R \to B\) 是 (2) 所保证的映射。记 \(y' = b_*\xi\)，并选取给定态射 \(\xi \to x\) 在 \(R \to B \to A\) 上方的分解 \(\xi \to y' \to x\)。由 (S1)，得到交换图 \[\vcenter{ \xymatrix{ z \ar[r] \ar[d] & y \ar[d] \\ y' \ar[r] & x } } \quad\text{位于下图上方}\quad \vcenter{ \xymatrix{ B \times_A B \ar[d] \ar[r] & B \ar[d]^{f} \\ B \ar[r]^{f} & A . } }\] 令 \(I = \Ker(f)\)。令 \(\overline{g} : B \times_A B \to k[I]\) 为环映射 \((u, v) \mapsto \overline{u} \oplus (v - u)\)；参见引理 06IT。由 (1)，存在位于某个环映射 \(i : R \to k[\epsilon]\) 上方的态射 \(\xi \to \overline{g}_*z\)。选取阿廷商 \(b_1 : R \to B_1\)，使 \(b : R \to B\) 和 \(i : R \to k[\epsilon]\) 都经 \(R \to B_1\) 分解；也就是说，得到 \(h : B_1 \to B\) 和 \(i' : B_1 \to k[\epsilon]\)。选取推前 \(y_1 = b_{1, *}\xi\)，选取 \(\xi \to y'\) 在 \(R \to B_1 \to B\) 上方的分解 \(\xi \to y_1 \to y'\)，并选取 \(\xi \to \overline{g}_*z\) 在 \(R \to B_1 \to k[\epsilon]\) 上方的分解 \(\xi \to y_1 \to \overline{g}_*z\)。再次应用 (S1)，得到 \[\vcenter{ \xymatrix{ z_1 \ar[r] \ar[d] & z \ar[r] \ar[d] & y \ar[d] \\ y_1 \ar[r] & y' \ar[r] & x } } \quad\text{位于下图上方}\quad \vcenter{ \xymatrix{ B_1 \times_A B \ar[d] \ar[r] & B \times_A B \ar[r] \ar[d] & B \ar[d]^{f} \\ B_1 \ar[r] & B \ar[r] & A . } }\] 注意，引理 06IT 中（用 \(h\) 定义的）映射 \(g : B_1 \times_A B \to k[I]\)，是 \(B_1 \times_A B \to B \times_A B\) 与上述映射 \(\overline{g}\) 的复合。由构造，存在态射 \(y_1 \to g_*z_1 \cong \overline{g}_*z\)！因此，引理 06IT 可应用于上述图中的外侧矩形，给出态射 \(y_1 \to y\)；再前复合 \(\xi \to y_1\)，便得到所需态射 \(\xi \to y\)。

若 \(\mathcal{F}\) 具有性质 (S1)，则“存在提升的最大商”存在。精确表述如下。

引理

设 \(\mathcal{F}\) 是 \(\mathcal{C}_\Lambda\) 上满足 (S1) 的群胚余纤维范畴。设 \(B \to A\) 是 \(\mathcal{C}_\Lambda\) 中的满射，其核 \(I\) 被 \(\mathfrak m_B\) 零化。设 \(x \in \mathcal{F}(A)\)。理想集合 \[\mathcal{J} = \{ J \subset I \mid \text{存在位于 }B/J \to A\text{ 上方的 }y \to x\}\] 有最小元。

证明

注意，\(\mathcal{J}\) 非空，因为 \(I \in \mathcal{J}\)。此外，若 \(J \in \mathcal{J}\) 且 \(J \subset J' \subset I\)，则 \(J' \in \mathcal{J}\)，因为可以把对象 \(y\) 推前为 \(B/J'\) 上方的对象 \(y'\)。设 \(J\) 和 \(K\) 是上述集合的元素。我们断言 \(J \cap K \in \mathcal{J}\)，这将证明引理。因为 \(I\) 是 \(k\)-向量空间，可以找到理想 \(J \subset J' \subset I\)，使 \(J \cap K = J' \cap K\) 且 \(J' + K = I\)。由上可用 \(J'\) 代替 \(J\)，并假设 \(J + K = I\)。此时 \[A/(J \cap K) = A/J \times_{A/I} A/K.\]

因此，由 (S1) 以及假设存在于 \(A/J\) 和 \(A/K\) 上方的元素，可知存在映到 \(x\) 的元素 \(z \in \mathcal{F}(A/(J \cap K))\)。

稍后将改进下述结果。

引理

设 \(\mathcal{F}\) 是 \(\mathcal{C}_\Lambda\) 上的群胚余纤维范畴。假设以下条件成立：

\(\mathcal{F}\) 是预形变范畴。

\(\mathcal{F}\) 满足 (S1)。

\(\mathcal{F}\) 满足 (S2)。

\(\dim_k T\mathcal{F}\) 有限。

则 \(\mathcal{F}\) 有万有形式对象。

证明

假设 (1)、(2)、(3) 和 (4) 成立。选取对象 \(R \in \Ob(\widehat{\mathcal{C}}_\Lambda)\)，使 \(\underline{R}|_{\mathcal{C}_\Lambda}\) 光滑；见引理 06SM。令 \(r = \dim_k T\mathcal{F}\)，并置 \(S = R[[X_1, \ldots, X_r]]\)。

我们将对 \(n \geq 2\) 归纳构造二元组 \((J_n, f_{n - 1} : \xi_n \to \xi_{n - 1})\)，其中 \(J_n \subset S\) 构成递减理想序列，而 \(f_{n - 1} : \xi_n \to \xi_{n - 1}\) 是 \(\mathcal{F}\) 中位于投影 \(S/J_n \to S/J_{n - 1}\) 上方的态射。

第 1 步。令 \(J_1 = \mathfrak m_S\)。令 \(\xi_1\) 为 \(k = S/J_1 = S/\mathfrak m_S\) 上方的 \(\mathcal{F}\) 的对象；它在唯一同构意义下唯一。

第 2 步。令 \(J_2 = \mathfrak m_S^2 + \mathfrak{m}_R S\)。则 \(S/J_2 = k[V]\)，其中 \(V = kX_1 \oplus \ldots \oplus kX_r\)。由 \(\overline{\mathcal{F}}\) 的 (S2)，得到双射 \[\overline{\mathcal{F}}(S/J_2) \longrightarrow T\mathcal{F} \otimes_k V,\] 见引理 06I0 和 06IH。选取 \(T\mathcal{F}\) 的一组基 \(\theta_1, \ldots, \theta_r\)，并置 \(\xi_2 = \sum \theta_i \otimes X_i \in \Ob(\mathcal{F}(S/J_2))\)。这样选取的要点在于 \[d\xi_2 : \Mor_{\mathcal{C}_\Lambda}(S/J_2, k[\epsilon]) \longrightarrow T\mathcal{F}\] 是满射。令 \(f_1 : \xi_2 \to \xi_1\) 为唯一态射。

归纳步骤。假设对某个 \(n \geq 2\)，已经构造了 \((J_n, f_{n - 1} : \xi_n \to \xi_{n - 1})\)。满足以下条件的理想 \(J \subset S\) 的集合有最小元 \(J_{n + 1}\)： (a) \(\mathfrak m_S J_n \subset J \subset J_n\)；并且 (b) 存在位于 \(S/J \to S/J_n\) 上方的态射 \(\xi_{n + 1} \to \xi_n\)；见引理 06SZ。令 \(f_n : \xi_{n + 1} \to \xi_n\) 为 \(\mathcal{F}\) 中位于 \(S/J_{n + 1} \to S/J_n\) 上方的任意态射。

令 \(J = \bigcap J_n\)，\(\overline{S} = S/J\)，并令 \(\overline{J}_n = J_n/J\)。由引理 06SE，理想序列 \((\overline{J}_n)\) 在 \(\overline{S}\) 上诱导 \(\mathfrak m_{\overline{S}}\)-进拓扑。由于 \((\xi_n, f_n)\) 是 \(\widehat{\mathcal{F}}_\mathcal{I}(\overline{S})\) 的对象，其中 \(\mathcal{I}\) 是 \(\overline{S}\) 的滤过 \((\overline{J}_n)\)，可见 \((\xi_n, f_n)\) 诱导 \(\widehat{\mathcal{F}}(\overline{S})\) 的对象 \(\xi\)；见引理 06H6。

我们证明 \(\xi\) 是万有的。为证明万有性，只需核验引理 06IU 的条件 (1) 与 (2)。条件 (1) 来自上述第 2 步中对 \(\xi_2\) 的选取。假设给定 \(\widehat{\mathcal{F}}\) 中的图 \[\vcenter{ \xymatrix{ & y \ar[d] \\ \xi \ar[r] & x } } \quad\text{位于下图上方}\quad \vcenter{ \xymatrix{ & B \ar[d]^{f} \\ \overline{S} \ar[r] & A } }\] 其中底图属于 \(\widehat{\mathcal{C}}_\Lambda\)，且 \(f: B \to A\) 是阿廷环的小扩张。必须证明存在使右图补全的映射 \(\overline{S} \to B\)。选取 \(n\)，使 \(\overline{S} \to A\) 经 \(\overline{S} \to S/J_n\) 分解。这是可能的，因为如上所见，序列 \((\overline{J}_n)\) 诱导 \(\mathfrak m_{\overline{S}}\)-进拓扑。 \(\xi\) 沿 \(\overline{S} \to S/J_n\) 的推前为 \(\xi_n\)。可以把 \(\xi \to x\) 分解为 \(\xi \to \xi_n \to x\)，从而得到 \(\mathcal{F}\) 中的图 \[\vcenter{ \xymatrix{ & y \ar[d] \\ \xi_n \ar[r] & x } } \quad\text{位于下图上方}\quad \vcenter{ \xymatrix{ & B \ar[d]^{f} \\ S/J_n \ar[r] & A . } }\] 为核验引理 06IU 的条件 (2)，只需补全图 \[\xymatrix{ S/J_{n + 1} \ar[d] \ar@{-->}[r] & B \ar[d]^{f} \\ S/J_n \ar[r] & A }\] 或者等价地，补全图 \[\xymatrix{ & S/J_n \times_A B \ar[d]^{p_1} \\ S/J_{n + 1} \ar@{-->}[ur] \ar[r] & S/J_n. }\] 若 \(p_1\) 有截面，则已经完成。否则，由引理 06GH (2)， \(p_1\) 是小扩张；所以由引理 06H0 (4)， \(p_1\) 是本质满射。回忆 \(S = R[[X_1, \ldots, X_r]]\)，且选取 \(R\) 时使 \(\underline{R}|_{\mathcal{C}_\Lambda}\) 光滑。因此，存在映射 \(h : R \to B\)，提升映射 \(R \to S \to S/J_n \to A\)。由幂级数环的泛性质，存在 \(R\)-代数映射 \(h : S = R[[X_1, \ldots, X_r]] \to B\)，提升给定映射 \(S \to S/J_n \to A\)。这诱导映射 \(g: S \to S/J_n \times_A B\)，使图中的实线方块 \[\xymatrix{ S \ar[d] \ar[r]_-g & S/J_n \times_A B \ar[d]^{p_1} \\ S/J_{n + 1} \ar@{-->}[ur] \ar[r] & S/J_n }\] 交换。因为 \(p_1\) 是本质满射，所以 \(g\) 是满射。我们断言 \(S\) 的理想 \(K = \Ker(g)\) 满足上述归纳步骤构造 \(J_{n + 1}\) 时的条件 (a) 与 (b)。确实，\(K \subset J_n\) 显然，而因为 \(p_1\) 是小扩张， \(\mathfrak m_SJ_n \subset K\)；这证明了 (a)。把 (S1) 应用于 \[\xymatrix{ & y \ar[d] \\ \xi_n \ar[r] & x, }\] 可得 \(\xi_n\) 到 \(S/K \cong S/J_n \times_A B\) 的提升，所以 (b) 成立。由于 \(J_{n + 1}\) 是具有性质 (a) 与 (b) 的最小理想，这蕴含 \(J_{n + 1} \subset K\)。因此，所需映射 \(S/J_{n+1} \to S/K \cong S/J_n \times_A B\) 存在。

注

设 \(F : \mathcal{C}_\Lambda \to \textit{Sets}\) 是满足 (S1) 和 (S2) 的预形变函子。条件 \(\dim_k TF < \infty\) 正是 Schlessinger 论文中的条件 (H3)。回忆，(S1) 与 (S2) 分别对应于条件 (H1) 与 (H2)；见说明 06HY。因此，引理 06IW 告诉我们： \[(H1) + (H2) + (H3) \Rightarrow \text{存在万有形式对象}\] 对预形变函子成立。我们将在说明 06IY 中说明它与包络的联系。

极小的万有形式对象

我们稍作准备，以理解万有形式对象的（非）唯一性。结果表明，若预形变范畴有万有形式对象，则它有极小的万有形式对象，并且任意两个这样的对象都同构。此外，在用幂级数扩张替换基环的意义下，所有万有形式对象都“差不多”相同。

设 \(\mathcal{F}\) 是 \(\mathcal{C}_\Lambda\) 上的群胚余纤维范畴。对 \(\mathcal{F}\) 中位于 \(A \in \Ob(\mathcal{C}_\Lambda)\) 上方的每个对象 \(x\)，考虑范畴 \(\mathcal{S}_x\)，其对象为 \[\Ob(\mathcal{S}_x) = \{x' \to x \mid x' \to x\text{ 所在的子环为 }A' \subset A\}\] 而态射是 \(x\) 上方的态射。对 \(\mathcal{F}\) 中位于 \(\mathcal{C}_\Lambda\) 的 \(f : B \to A\) 上方的每个 \(y \to x\)，有如下定义的函子 \(f_* : \mathcal{S}_y \to \mathcal{S}_x\)：给定 \(B' \subset B\) 上方的 \(y' \to y\)，令 \(A' = f(B')\)，并令位于 \(B' \to f(B')\) 上方的 \(y' \to x'\) 是 \(y'\) 的推前。由群胚余纤维范畴的公理，得到位于 \(f(B') \to A\) 上方的唯一态射 \(x' \to x\)，使图 \[\xymatrix{ y' \ar[d] \ar[r] & x' \ar[d] \\ y \ar[r] & x }\] 交换。于是 \(x' \to x\) 是 \(\mathcal{S}_x\) 的对象。若 \(\mathcal{S}_x\) 中的任意态射 \((x'_1 \to x) \to (x' \to x)\) 都是同构，即 \(x'\) 与 \(x'_1\) 定义在 \(A\) 的同一子环上，则称 \(\mathcal{S}_x\) 的对象 \(x' \to x\) 是极小的。因为 \(A\) 作为 \(\Lambda\)-模具有有限长度，所以极小对象总是存在。

引理

设 \(\mathcal{F}\) 是 \(\mathcal{C}_\Lambda\) 上满足 (S1) 的群胚余纤维范畴。

对 \(\mathcal{F}\) 中的 \(y \to x\)， \(\mathcal{S}_y\) 的极小对象映到 \(\mathcal{S}_x\) 的极小对象。

对 \(\mathcal{F}\) 中位于 \(\mathcal{C}_\Lambda\) 的满射 \(f : B \to A\) 上方的 \(y \to x\)，\(\mathcal{S}_x\) 的每个极小对象都是 \(\mathcal{S}_y\) 的某个极小对象的像。

证明

(1) 的证明。设 \(y \to x\) 位于 \(f : B \to A\) 上方。设位于 \(B' \subset B\) 上方的 \(y' \to y\) 是 \(\mathcal{S}_y\) 的极小对象。令 \[\vcenter{ \xymatrix{ y' \ar[d] \ar[r] & x' \ar[d] \\ y \ar[r] & x } } \quad\text{位于下图上方}\quad \vcenter{ \xymatrix{ B' \ar[d] \ar[r] & f(B') \ar[d] \\ B \ar[r] & A } }\] 如上述 \(f_*\) 的构造所给。假设 \((x'' \to x) \to (x' \to x)\) 是 \(\mathcal{S}_x\) 的态射，且 \(x'' \to x'\) 位于 \(A'' \subset f(B')\) 上方。由 (S1)，存在位于 \(B' \times_{f(B')} A'' \to B'\) 上方的 \(y'' \to y'\)。由于 \(y' \to y\) 极小，可知 \(B' \times_{f(B')} A'' \to B'\) 是同构，这蕴含 \(A'' = f(B')\)；即 \(x' \to x\) 极小。

(2) 的证明。假设 \(f : B \to A\) 满射，且 \(y \to x\) 位于 \(f\) 上方。设 \(x' \to x\) 是 \(\mathcal{S}_x\) 中位于 \(A' \subset A\) 上方的极小对象。由 (S1)，存在位于 \(B' = f^{-1}(A') = B \times_A A' \to B\) 上方的 \(y' \to y\)，它在 \(\mathcal{S}_x\) 中的像是 \(x' \to x\)。所以 \(f_*(y' \to y) = x' \to x\)。选取 \(\mathcal{S}_y\) 中的态射 \((y'' \to y) \to (y' \to y)\)，其中 \(y'' \to y\) 是极小对象（由引理之前关于长度的说明，这是可能的）。于是 \(f_*(y'' \to y)\) 是 \(\mathcal{S}_x\) 中映到 \(x' \to x\) 的对象（由 \(f_*\) 的函子性）；由于 \(x' \to x\) 极小，它与 \(x' \to x\) 同构。

引理

设 \(\mathcal{F}\) 是 \(\mathcal{C}_\Lambda\) 上满足 (S1) 的群胚余纤维范畴。设 \(\xi\) 是位于 \(R\) 上方的 \(\mathcal{F}\) 的万有形式对象。存在位于 \(R' \subset R\) 上方的态射 \(\xi' \to \xi\)，具有以下极小性性质：

对每个 \(f : R \to A\)，其中 \(A \in \Ob(\mathcal{C}_\Lambda)\)，推前图 \[\vcenter{ \xymatrix{ \xi' \ar[d] \ar[r] & x' \ar[d] \\ \xi \ar[r] & x } } \quad\text{位于下图上方}\quad \vcenter{ \xymatrix{ R' \ar[d] \ar[r] & f(R') \ar[d] \\ R \ar[r] & A } }\] 产生 \(\mathcal{S}_x\) 的极小对象 \(x' \to x\)；并且

对任意形式对象态射 \(\xi'' \to \xi'\)，相应环映射 \(R'' \to R'\) 都是满射。

证明

写成 \(\xi = (R, \xi_n, f_n)\)。令 \(R'_1 = k\) 且 \(\xi'_1 = \xi_1\)。假设对 \(m \leq n\)，已经构造了 \(\mathcal{S}_{\xi_m}\) 中位于 \(R'_m \subset R/\mathfrak m_R^m\) 上方的极小对象 \(\xi'_m \to \xi_m\)；并且对 \(m \leq n - 1\)，已经构造了与 \(f_m\) 相容的态射 \(f'_m : \xi'_{m + 1} \to \xi'_m\)。由引理 06T1 (2)，存在位于 \(R'_{n + 1} \subset R/\mathfrak m_R^{n + 1}\) 上方的极小对象 \(\xi'_{n + 1} \to \xi_{n + 1}\)，其像是位于 \(R'_n \subset R/\mathfrak m_R^n\) 上方的 \(\xi'_n \to \xi_n\)。这按构造给出交换图 \[\xymatrix{ \xi'_{n + 1} \ar[r]_{f'_n} \ar[d] & \xi'_n \ar[d] \\ \xi_{n + 1} \ar[r]^{f_n} & \xi_n }\] 此外，环映射 \(R'_{n + 1} \to R'_n\) 是满射。令 \(R' = \lim_n R'_n\)。则 \(R' \to R\) 是单射。

不过，先验上并不清楚 \(R'\) 是否诺特。为证明这一点，利用 \(\xi\) 的万有性。确切地，万有性蕴含 \(\widehat{\mathcal{F}}\) 中存在态射 \(\xi \to \xi'_n\)；见引理 06HT。相应映射 \(R \to R'_n\) 必为满射（因为 \(\xi'_n \to \xi_n\) 在 \(\mathcal{S}_{\xi_n}\) 中极小）。因此余切空间的维数有界，而引理 06SF 蕴含 \(R'\) 诺特，即它是 \(\widehat{\mathcal{C}}_\Lambda\) 的对象。由引理 06H6 （再加上引理 06SF 关于滤过的结果），元素序列 \(\xi'_n\) 定义 \(R'\) 上方的形式对象 \(\xi'\)，并且有映射 \(\xi' \to \xi\)。

按构造，对每个 \(n\)，(1) 对 \(R \to R/\mathfrak m_R^n\) 成立。因为 (1) 中的每个 \(R \to A\) 都经 \(R \to R/\mathfrak m_R^n \to A\) 分解，所以由引理 06T1 (1)， \(\xi'_n \to \xi_n\) 在 \(R'_n \to R/\mathfrak m_R^n\) 上方的极小性蕴含： (1) 对位于 \(f(R) \subset A\) 上方的 \(x' \to x\) 成立。

若 (2) 中的 \(R'' \to R'\) 不是满射，则对某个 \(n\)，\(R'' \to R' \to R'_n\) 不是满射，于是 \(\xi'_n \to \xi_n\) 不会是极小的，矛盾。这个矛盾证明了 (2)。

引理

设 \(\mathcal{F}\) 是 \(\mathcal{C}_\Lambda\) 上满足 (S1) 的群胚余纤维范畴。设 \(\xi\) 是位于 \(R\) 上方的 \(\mathcal{F}\) 的万有形式对象。设 \(\xi' \to \xi\) 是引理 06T2 所构造的、位于 \(R' \subset R\) 上方的形式对象态射。则 \[R \cong R'[[x_1, \ldots, x_r]]\] 是 \(R'\) 上的幂级数环。此外，\(\xi'\) 也是万有形式对象。

证明

由引理 06HT，存在态射 \(\xi \to \xi'\)。由引理 06T2，相应映射 \(f : R \to R'\) 诱导满射 \(f|_{R'} : R' \to R'\)。由《代数》引理 06RN，这是同构。因此 \(I = \Ker(f)\) 是 \(R\) 的理想，并且 \(R = R' \oplus I\)。选取 \(x_1, \ldots, x_n \in I\)，使其构成 \(I/\mathfrak m_RI\) 的一组基。考虑把 \(X_i\) 映到 \(x_i\) 的映射 \(S = R'[[X_1, \ldots, X_r]] \to R\)。对每个 \(n \geq 1\)，得到阿廷 \(R'\)-代数的满射 \(B = S/\mathfrak m_S^n \to R/\mathfrak m_R^n = A\)。用 \(y \in \Ob(\mathcal{F}(B)\)、相应地 \(x \in \Ob(\mathcal{F}(A))\) 表示 \(\xi'\) 分别沿 \(R' \to S \to B\)、相应地沿 \(R' \to S \to A\) 的推前。注意，\(x\) 也是 \(\xi\) 沿 \(R \to A\) 的推前，因为 \(\xi\) 是 \(\xi'\) 沿 \(R' \to R\) 的推前。因此有实线图 \[\vcenter{ \xymatrix{ & y \ar[d] \\ \xi \ar[r] \ar@{..>}[ru] & x } } \quad\text{位于下图上方}\quad \vcenter{ \xymatrix{ & S/\mathfrak m_S^n \ar[d] \\ R \ar[r] \ar@{..>}[ru] & R/\mathfrak m_R^n } }\] 因为 \(\xi\) 万有，使用说明 06HS，得到补全这些图的虚线箭头。特别地，映射 \(S/\mathfrak m_S^n \to R/\mathfrak m_R^n\) 有截面 \(h_n : R/\mathfrak m_R^n \to S/\mathfrak m_S^n\)。由引理 06SG，\(S \to R\) 是同构。

由于 \(\xi\) 是 \(\xi'\) 沿 \(R' \to R\) 的推前，说明 06SL 给出交换图 \[\xymatrix{ \underline{R}|_{\mathcal{C}_\Lambda} \ar[rr] \ar[rd]_{\underline{\xi}} & & \underline{R'}|_{\mathcal{C}_\Lambda} \ar[ld]^{\underline{\xi'}} \\ & \mathcal{F} }\] 因为 \(R' \to R\) 有左逆（即 \(R \to R/I = R'\)），可知 \(\underline{R}|_{\mathcal{C}_\Lambda} \to \underline{R'}|_{\mathcal{C}_\Lambda}\) 本质满。因此，由引理 06HM， \(\underline{\xi'}\) 光滑；即 \(\xi'\) 是万有形式对象。

受前述引理启发，作如下定义。

定义

设 \(\mathcal{F}\) 是预形变范畴。若对任意形式对象态射 \(\xi' \to \xi\)，底层环映射都是满射，则称 \(\mathcal{F}\) 的万有形式对象 \(\xi\) 是极小的³。有时把极小的万有形式对象称为极小万有的。

本节的工作说明这个定义是合理的。首先，万有形式对象的存在蕴含 \(\mathcal{F}\) 具有 (S1)。其次，前述引理表明极小的万有形式对象存在。最后，任意两个极小的万有形式对象都同构。下面汇总这些结果（并给出详细证明）。

引理

设 \(\mathcal{F}\) 是具有万有形式对象的预形变范畴。则

\(\mathcal{F}\) 有极小的万有形式对象；

极小的万有形式对象在同构意义下唯一；并且

任意万有形式对象都是某个极小的万有形式对象沿幂级数环扩张的推前。

证明

假设 \(\mathcal{F}\) 有位于 \(R\) 上方的万有形式对象 \(\xi\)。则它满足 (S1)；见引理 06SY。设位于 \(R' \subset R\) 上方的 \(\xi' \to \xi\) 是引理 06T2 所构造的任一态射。由引理 06T3，\(\xi'\) 是万有的；因此按构造，它是极小的万有形式对象。这证明了 (1)。此外，\(R \cong R'[[x_1, \ldots, x_n]]\)，这证明了 (3)。

假设 \(\xi_i/R_i\) 是两个极小的万有形式对象。由引理 06HT，存在态射 \(\xi_1 \to \xi_2\) 和 \(\xi_2 \to \xi_1\)。由极小性，相应环映射 \(f : R_1 \to R_2\) 和 \(g : R_2 \to R_1\) 都是满射。因此，由《代数》引理 06RN，复合 \(g \circ f : R_1 \to R_1\) 和 \(f \circ g : R_2 \to R_2\) 都是同构。从而 \(f\) 与 \(g\) 是同构，于是映射 \(\xi_1 \to \xi_2\) 和 \(\xi_2 \to \xi_1\) 也是同构（因为由引理 06H4， \(\widehat{\mathcal{F}}\) 余纤维于群胚）。这证明了 (2)，并完成引理的证明。

极小万有形式对象与切空间

定义 06T4 所引入的一般极小性概念，有时可以从切空间上的表现推导出来。设 \(\xi\) 是预形变范畴 \(\mathcal{F}\) 的形式对象，并设 \(\underline{\xi} : \underline{R}|_{\mathcal{C}_\Lambda} \to \mathcal{F}\) 为相应态射。于是可以考虑条件 [06IM]\[\begin{equation} d\underline{\xi} : \text{Der}_\Lambda(R, k) \to T\mathcal{F} \text{ 是双射} \end{equation}\] 以及条件 [06T6]\[\begin{equation} d\underline{\xi} : \text{Der}_\Lambda(R, k) \to T\mathcal{F} \text{ 在 }\text{Der}_\Lambda(k, k)\text{-轨道上是双射。} \end{equation}\] 这里使用了例 06IC 中的识别 \(T\underline{R}|_{\mathcal{C}_\Lambda} = \text{Der}_\Lambda(R, k)\)，以及导子在切空间上的作用（06SW）。若 \(k' \subset k\) 可分，则 \(\text{Der}_\Lambda(k, k) = 0\)，两个条件等价。事实表明，在条件 (S2) 成立时，万有形式对象极小，当且仅当 \(\underline{\xi}\) 满足（06T6）。此外，若 \(\underline{\xi}\) 满足（06IM），则 \(\mathcal{F}\) 满足 (S2)。

引理

设 \(\mathcal{F}\) 是预形变范畴。设 \(\xi\) 是 \(\mathcal{F}\) 的万有形式对象，且满足（06T6）。则 \(\xi\) 是极小的万有形式对象。特别地，这样的 \(\xi\) 在同构意义下唯一。

证明

若 \(\xi\) 不极小，则存在位于 \(R' \to R\) 上方的态射 \(\xi' \to \xi\)，使得 \(R = R'[[x_1, \ldots, x_n]]\) 且 \(n > 0\)；见引理 06T5。因此 \(d\underline{\xi}\) 分解为 \[\text{Der}_\Lambda(R, k) \to \text{Der}_\Lambda(R', k) \to T\mathcal{F}\] 而（06T6）不可能成立，因为 \(D : f \mapsto \partial/\partial x_1(f) \bmod \mathfrak m_R\) 属于第一个箭头的核，却不在 \(\text{Der}_\Lambda(k, k) \to \text{Der}_\Lambda(R, k)\) 的像中。

引理

设 \(\mathcal{F}\) 是预形变范畴。设 \(\xi\) 是 \(\mathcal{F}\) 的万有形式对象，且满足（06IM）。则

\(\mathcal{F}\) 满足 (S1)。

\(\mathcal{F}\) 满足 (S2)。

\(\dim_k T\mathcal{F}\) 有限。

证明

由引理 06SY，条件 (S1) 成立。由于 (S1) 成立，(S2) 的第一部分成立。设 \[\vcenter{ \xymatrix{ y \ar[r]_c \ar[d]_a & x_\epsilon \ar[d]^e \\ x \ar[r]^d & x_0 } } \quad\text{和}\quad \vcenter{ \xymatrix{ y' \ar[r]_{c'} \ar[d]_{a'} & x_\epsilon \ar[d]^e \\ x \ar[r]^d & x_0 } } \quad\text{位于下图上方}\quad \vcenter{ \xymatrix{ A \times_k k[\epsilon] \ar[r] \ar[d] & k[\epsilon] \ar[d] \\ A \ar[r] & k } }\] 为 (S2) 第二部分中的图。如上，可以找到态射 \(b : \xi \to y\) 和 \(b' : \xi \to y'\)，使图 \[\xymatrix{ \xi \ar[r]^{b'} \ar[d]_b & y' \ar[d]^{a'} \\ y \ar[r]^{a} & x }\] 交换。用 \(p : \mathcal{F} \to \mathcal{C}_\Lambda\) 表示结构态射。设 \(\widehat{p}(\xi) = R\)，即 \(\xi\) 位于 \(R \in \Ob(\widehat{\mathcal{C}}_\Lambda)\) 上方。可见，\(\xi\) 经 \(p(c) \circ p(b)\) 的推前是 \(x_\epsilon\)，而 \(\xi\) 经 \(p(c') \circ p(b')\) 的推前也是 \(x_\epsilon\)。由于 \(\xi\) 满足（06IM），可知 \(p(c) \circ p(b) = p(c') \circ p(b')\) 作为 \(R \to k[\epsilon]\) 的映射相等。因此 \(p(b) = p(b')\) 作为 \(R \to A \times_k k[\epsilon]\) 的映射相等。于是 \(y\) 与 \(y'\) 都同构于 \(\xi\) 沿此映射的推前，从而如所需，得到与 \(b\)、\(b'\) 相容的、位于 \(A \times_k k[\epsilon]\) 上方的唯一态射 \(y \to y'\)。

最后，由例 06IC，可知 \(\dim_k T\mathcal{F} = \dim_k T\underline{R}|_{\mathcal{C}_\Lambda}\) 有限。

例

存在这样的预形变范畴：它们有满足（06T6）的万有形式对象，但不满足 (S2)。一个简单例子是取 \(F = \underline{k[\epsilon]}/G\)，其中 \(G \subset \text{Aut}_{\mathcal{C}_\Lambda}(k[\epsilon])\) 是有限非平凡子群。确切地，映射 \(\underline{k[\epsilon]} \to F\) 光滑，但 \(F\) 的切空间没有自然的 \(k\)-向量空间结构（因为它是 \(k\)-向量空间关于有限群的商）。

引理

设 \(\mathcal{F}\) 是满足 (S2) 且具有万有形式对象的预形变范畴。则它的极小万有形式对象满足（06T6）。

证明

设 \(\xi\) 是 \(\mathcal{F}\) 的极小万有形式对象；见引理 06T5。设 \(\xi\) 位于 \(R \in \Ob(\widehat{\mathcal{C}}_\Lambda)\) 上方。为解释（06T6），指出如下事实： \(T\mathcal{F}\) 具有自然的 \(k\)-向量空间结构（见引理 06IH）； \(d\underline{\xi} : \text{Der}_\Lambda(R, k) \to T\mathcal{F}\) 是线性的（见引理 06IJ）；而 \(\text{Der}_\Lambda(k, k)\) 的作用由加法给出（见引理 06SU）。考虑图 \[\xymatrix{ & \Hom_k(\mathfrak m_R/\mathfrak m_R^2, k) \\ K \ar[r] & \text{Der}_\Lambda(R, k) \ar[r]^{d\underline{\xi}} \ar[u] & T\mathcal{F} \\ & \text{Der}_\Lambda(k, k) \ar[u] \ar[ru] }\] 向量空间 \(K\) 是 \(d\underline{\xi}\) 的核。注意，中间一列在中项正合，因为它对偶于序列（06S6）。若（06T6）不成立，则可以找到非零元素 \(D \in K\)，它在 \(\Hom_k(\mathfrak m_R/\mathfrak m_R^2, k)\) 中的像不为零。这意味着存在 \(t \in \mathfrak m_R\)，使 \(D(t) = 1\)。令 \(R' = \{a \in R \mid D(a) = 0\}\)。因为 \(D\) 是导子，这是 \(R\) 的子环。由于 \(D(t) = 1\)，可知 \(R' \to k\) 是满射（比较引理 06H0 的证明）。注意，\(\mathfrak m_{R'} = \Ker(D : \mathfrak m_R \to k)\) 是 \(R\) 的理想，并且 \(\mathfrak m_R^2 \subset \mathfrak m_{R'}\)。因此 \[\mathfrak m_R/\mathfrak m_R^2 = \mathfrak m_{R'}/\mathfrak m_R^2 + k\overline{t}\] 这蕴含把 \(\epsilon\) 映到 \(\overline{t}\) 的映射 \[R'/\mathfrak m_R^2 \times_k k[\epsilon] \to R/\mathfrak m_R^2\] 是同构。特别地，存在映射 \(R/\mathfrak m_R^2 \to R'/\mathfrak m_R^2\)。

设 \(\xi \to y\) 是位于 \(R \to R/\mathfrak m_R^2\) 上方的态射。设 \(y \to x\) 是位于 \(R/\mathfrak m_R^2 \to R'/\mathfrak m_R^2\) 上方的态射。设 \(y \to x_\epsilon\) 是位于 \(R/\mathfrak m_R^2 \to k[\epsilon]\) 上方的态射。设 \(x_0\) 为 \(\mathcal{F}\) 中位于 \(k\) 上方的、在唯一同构意义下唯一的对象。由群胚余纤维范畴的公理，得到交换图 \[\vcenter{ \xymatrix{ y \ar[r] \ar[d] & x_\epsilon \ar[d] \\ x \ar[r] & x_0 } } \quad\text{位于下图上方}\quad \vcenter{ \xymatrix{ R'/\mathfrak m_R^2 \times_k k[\epsilon] \ar[r] \ar[d] & k[\epsilon] \ar[d] \\ R'/\mathfrak m_R^2 \ar[r] & k. } }\] 因为 \(D \in K\)，可知 \(x_\epsilon\) 同构于 \(0 \in \mathcal{F}(k[\epsilon])\)；即 \(x_\epsilon\) 是 \(x_0\) 经 \(k \to k[\epsilon], a \mapsto a\) 的推前。因此，由引理 06IS，存在态射 \(x \to y\)。由于 \(\text{length}_\Lambda(R'/\mathfrak m_R^2) < \text{length}_\Lambda(R/\mathfrak m_R^2)\)，相应环映射 \(R'/\mathfrak m_R^2 \to R/\mathfrak m_R^2\) 不是满射。这与 \(\xi/R\) 的极小性矛盾；见引理 06T2 的 (1)。此矛盾表明这样的 \(D\) 不存在，结论得证。

定理

设 \(\mathcal{F}\) 是预形变范畴。考虑以下条件：

\(\mathcal{F}\) 有满足（06IM）的极小万有形式对象；

\(\mathcal{F}\) 有满足（06T6）的极小万有形式对象；

以下条件成立：

\(\mathcal{F}\) 满足 (S1)。

\(\mathcal{F}\) 满足 (S2)。

\(\dim_k T\mathcal{F}\) 有限。

总有 \[(1) \Rightarrow (3) \Rightarrow (2).\] 若 \(k' \subset k\) 可分，则三个条件等价。

证明

引理 06IV 表明 (1) \(\Rightarrow\) (3)。引理 06IW 和 06T8 表明 (3) \(\Rightarrow\) (2)。若 \(k' \subset k\) 可分，则 \(\text{Der}_\Lambda(k, k) = 0\)，从而（06IM）\(=\) （06T6）；即 (1) 与 (2) 相同。

在经典情形下，(3) \(\Rightarrow\) (1) 的另一种证明是：在引理 06IW 的证明中补充几句话，即可看出此时可直接构造满足（06IM）的万有对象。这在经典情形下避免了使用引理 06IW。细节从略。

注

设 \(F : \mathcal{C}_\Lambda \to \textit{Sets}\) 是满足 (S1)、(S2) 及 \(\dim_k TF < \infty\) 的预形变函子。回忆，这些条件分别对应于 Schlessinger 论文中的 (H1)、(H2) 与 (H3)；见说明 0D3G。现在，在经典情形下（或当 \(k' \subset k\) 可分时），依照 Schlessinger 引入包络的概念：所谓包络，是满足如下条件的万有形式对象 \(\xi \in \widehat{F}(R)\)： \(d\underline{\xi} : T\underline{R}|_{\mathcal{C}_\Lambda} \to TF\) 为同构；即（06IM）成立。因此，定理 06IX 表明，在经典情形下 \[(H1) + (H2) + (H3) \Rightarrow \text{存在包络}\] 成立。换言之，我们的定理恢复了 Schlessinger 关于包络存在性的定理。

注

设 \(\mathcal{F}\) 是预形变范畴。回忆，\(\mathcal{F} \to \overline{\mathcal{F}}\) 光滑；见说明 06HK。因此，若 \(\xi \in \widehat{\mathcal{F}}(R)\) 是万有形式对象，则复合 \[\underline{R}|_{\mathcal{C}_\Lambda} \longrightarrow \mathcal{F} \longrightarrow \overline{\mathcal{F}}\] 光滑（引理 06HM），从而 \(\xi\) 在 \(\overline{\mathcal{F}}\) 中的像 \(\overline{\xi}\) 是万有形式对象。若（06IM）成立，则 \(\overline{\xi}\) 诱导同构 \(T\underline{R}|_{\mathcal{C}_\Lambda} \to T\overline{\mathcal{F}}\)，因为 \(\mathcal{F} \to \overline{\mathcal{F}}\) 识别切空间。所以在这种情形下，\(\overline{\xi}\) 是 \(\overline{\mathcal{F}}\) 的包络；见说明 06IY。由定理 06IX，若 \(k' \subset k\) 可分，且 \(\mathcal{F}\) 是满足 (S1)、(S2) 与 \(\dim_k T\mathcal{F} < \infty\) 的预形变范畴，则总能找到这样的 \(\xi\)。

例

在引理 06SM 中，我们构造了对象 \(R \in \widehat{\mathcal{C}}_\Lambda\)，使 \(\underline{R}|_{\mathcal{C}_\Lambda}\) 光滑，并且 \[H_1(L_{k/\Lambda}) = \mathfrak m_R/\mathfrak m_R^2 \quad\text{和}\quad \Omega_{R/\Lambda} \otimes_R k = \Omega_{k/\Lambda}\] 下面用上述定理重新解释这一点。确切地，把 \(\mathcal{F} = \mathcal{C}_\Lambda\) 视为其自身上方的群胚余纤维范畴（使用恒等函子）。则 \(\mathcal{F}\) 是预形变范畴，满足 (S1) 与 (S2)，并且 \(T\mathcal{F} = 0\)。因此，\(\mathcal{F}\) 满足定理 06IX 的条件 (3)。该定理蕴含 (2) 成立；即可以找到某个 \(S \in \widehat{\mathcal{C}}_\Lambda\) 上方、满足（06T6）的极小万有形式对象 \(\xi \in \widehat{\mathcal{F}}(S)\)。引理 0DYL 表明， \(\Lambda \to S\) 在 \(\mathfrak m_S\)-进拓扑中形式光滑（因为 \(\underline{\xi} : \underline{R}|_{\mathcal{C}_\Lambda} \to \mathcal{F} = \mathcal{C}_\Lambda\) 光滑）。现在，条件（06T6）表明 \(\text{Der}_\Lambda(S, k) \to 0\) 在 \(\text{Der}_\Lambda(k, k)\)-轨道上是双射。这意味着单射 \(\text{Der}_\Lambda(k, k) \to \text{Der}_\Lambda(S, k)\) 也是满射。换言之， \(\Omega_{S/\Lambda} \otimes_S k = \Omega_{k/\Lambda}\)。由于 \(\Lambda \to S\) 在 \(\mathfrak m_S\)-进拓扑中形式光滑，可以应用《更多代数》引理 0DYH，得出正合序列（06S7）变成一对识别 \[H_1(L_{k/\Lambda}) = \mathfrak m_S/\mathfrak m_S^2 \quad\text{和}\quad \Omega_{S/\Lambda} \otimes_S k = \Omega_{k/\Lambda}\] 逆向阅读该论证，可知引理 06SM 中构造的 \(R\) 承载一个极小万有对象。由极小万有对象的唯一性（引理 06T5），还可得 \(R \cong S\)；即两个构造给出相同答案。

Rim–Schlessinger 条件与形变范畴

\(\mathcal{C}_\Lambda\) 上的群胚余纤维范畴有一个非常自然的性质；它在实践中容易核验，并且蕴含此前引入的 Schlessinger 性质 (S1) 与 (S2)。

定义

设 \(\mathcal{F}\) 是 \(\mathcal C_\Lambda\) 上的群胚余纤维范畴。若对 \(\mathcal{F}\) 中的每个图 \[\vcenter{ \xymatrix{ & x_2 \ar[d] \\ x_1 \ar[r] & x } } \quad\text{位于下图上方}\quad \vcenter{ \xymatrix{ & A_2 \ar[d] \\ A_1 \ar[r] & A } }\] 其中底图属于 \(\mathcal{C}_\Lambda\)，且 \(A_2 \to A\) 满射，都存在 \(\mathcal{F}\) 中的纤维积 \(x_1 \times_x x_2\)，使图 \[\vcenter{ \xymatrix{ x_1 \times_x x_2 \ar[r] \ar[d] & x_2 \ar[d] \\ x_1 \ar[r] & x } } \quad\text{位于下图上方}\quad \vcenter{ \xymatrix{ A_1 \times_A A_2 \ar[r] \ar[d] & A_2 \ar[d] \\ A_1 \ar[r] & A. } }\] 则称 \(\mathcal{F}\) 满足条件 (RS)。

引理

设 \(\mathcal{F}\) 是 \(\mathcal{C}_\Lambda\) 上满足 (RS) 的群胚余纤维范畴。给定 \(\mathcal{F}\) 中的交换图 \[\vcenter{ \xymatrix{ y \ar[r] \ar[d] & x_2 \ar[d] \\ x_1 \ar[r] & x } } \quad\text{位于下图上方}\quad \vcenter{ \xymatrix{ A_1 \times_A A_2 \ar[r] \ar[d] & A_2 \ar[d] \\ A_1 \ar[r] & A. } }\] 若 \(A_2 \to A\) 满射，则该图是纤维积方块。

证明

因为 \(\mathcal{F}\) 满足 (RS)，存在纤维积图 \[\vcenter{ \xymatrix{ x_1 \times_x x_2 \ar[r] \ar[d] & x_2 \ar[d] \\ x_1 \ar[r] & x } } \quad\text{位于下图上方}\quad \vcenter{ \xymatrix{ A_1 \times_A A_2 \ar[r] \ar[d] & A_2 \ar[d] \\ A_1 \ar[r] & A. } }\] 诱导映射 \(y \to x_1 \times_x x_2\) 位于 \(\text{id} : A_1 \times_A A_1 \to A_1 \times_A A_1\) 上方，因而是同构。

引理

设 \(\mathcal{F}\) 是 \(\mathcal C_\Lambda\) 上的群胚余纤维范畴。若只在 \(A_2 \to A\) 是小扩张时假设定义 06J2 中的条件成立，则 \(\mathcal{F}\) 满足 (RS)。

证明

应用引理 06GE。证明类似于引理 06HH 的证明。

引理

设 \(\mathcal{F}\) 是 \(\mathcal{C}_\Lambda\) 上的群胚余纤维范畴。以下条件等价：

\(\mathcal{F}\) 满足 (RS)；

函子 \(\mathcal{F}(A_1 \times_A A_2) \to \mathcal{F}(A_1) \times_{\mathcal{F}(A)} \mathcal{F}(A_2)\) （见（06SP））在 \(A_2 \to A\) 满射时都是范畴等价；

在 \(A_2 \to A\) 是小扩张时，(2) 中的同一陈述成立。

证明

假设 (1)。由引理 06J3，可知 \(\mathcal{F}(A_1 \times_A A_2)\) 的每个对象都形如 \(x_1 \times_x x_2\)。此外， \[\Mor_{A_1 \times_A A_2}(x_1 \times_x x_2, y_1 \times_y y_2) = \Mor_{A_1}(x_1, y_1) \times_{\Mor_A(x, y)} \Mor_{A_2}(x_2, y_2).\] 因此，由《范畴》说明 06RL，可知 \(\mathcal{F}(A_1 \times_A A_2)\) 是 \(\mathcal{F}(A_1)\) 与 \(\mathcal{F}(A_2)\) 在 \(\mathcal{F}(A)\) 上的 \(2\)-纤维积。换言之，(2) 成立。

蕴含 (2) \(\Rightarrow\) (3) 是立即的。

假设 (3)。给定 \(q_1 : A_1 \to A\) 与 \(q_2 : A_2 \to A\)，其中 \(q_2\) 是小扩张。将使用《范畴》说明 06RL 中对 \(2\)-纤维积 \(\mathcal{F}(A_1) \times_{\mathcal{F}(A)} \mathcal{F}(A_2)\) 的描述。因此，设 \(y \in \mathcal{F}(A_1 \times_A A_2)\) 对应于 \((x_1, x_2, x, a_1 : x_1 \to x, a_2 : x_2 \to x)\)。设 \(z\) 是 \(\mathcal{F}\) 中位于 \(C\) 上方的对象。则 \[\begin{align*} \Mor_\mathcal{F}(z, y) & = \{(f, \alpha) \mid f : C \to A_1 \times_A A_2, \alpha : f_*z \to y\} \\ & = \{(f_1, f_2, \alpha_1, \alpha_2) \mid f_i : C \to A_i, \ \alpha_i : f_{i, *}z \to x_i, \\ & \quad\quad\quad\quad q_1 \circ f_1 = q_2 \circ f_2, \ q_{1, *} \alpha_1 = q_{2, *}\alpha_2\} \\ & = \Mor_\mathcal{F}(z, x_1) \times_{\Mor_\mathcal{F}(z, x)} \Mor_\mathcal{F}(z, x_2) \end{align*}\] 所以 \(y\) 是 \(x_1\) 与 \(x_2\) 在 \(x\) 上的纤维积。由此可见，当 \(A_2 \to A\) 是小扩张时， \(\mathcal{F}\) 满足 (RS)。于是由引理 06J4，(RS) 成立。

注

当 \(\mathcal{F}\) 余纤维于集合时，条件 (RS) 正是 Schlessinger 论文 [Sch, Theorem 2.11] 中的条件 (H4)。确切地，对函子 \(F: \mathcal{C}_\Lambda \to \textit{Sets}\)，条件 (RS) 表述为：若 \(A_1 \to A\) 与 \(A_2 \to A\) 是 \(\mathcal{C}_\Lambda\) 中的映射，且 \(A_2 \to A\) 满射，则诱导映射 \(F(A_1 \times_A A_2) \to F(A_1) \times_{F(A)} F(A_2)\) 是双射。

引理

设 \(\mathcal{F}\) 是 \(\mathcal{C}_\Lambda\) 上的群胚余纤维范畴。 \(\mathcal{F}\) 的条件 (RS) 蕴含 \(\mathcal{F}\) 的 (S1) 与 (S2)。

证明

使用引理 06J5 的重新表述，以及定义 06HW 后对 (S1) 的解释，立即可知 (RS) 蕴含 (S1)。这证明了 (S2) 的第一部分。 (S2) 的第二部分成立，是因为引理 06J3 告诉我们：若 \(y,y'\) 如定义 06HW 中 (S2) 的第二部分所述，则 \(y = x_1 \times_{d, x_0, e} x_2 = y'\)。（事实上，态射 \(y \to y'\) 同时与 \(a,a'\) 及 \(c,c'\) 相容！）

下述引理类似于引理 06I0。回忆，若 \(\mathcal{F}\) 是 \(\mathcal{C}_\Lambda\) 上的群胚余纤维范畴，且 \(x\) 是 \(\mathcal{F}\) 中位于 \(A\) 上方的对象，则记 \(\text{Aut}_A(x) = \Mor_A(x, x) = \Mor_{\mathcal{F}(A)}(x, x)\)。若 \(x' \to x\) 是 \(\mathcal{F}\) 中位于 \(A' \to A\) 上方的态射，则有良定义的群映射 \(\text{Aut}_{A'}(x') \to \text{Aut}_A(x)\)。

引理

设 \(\mathcal{F}\) 是 \(\mathcal{C}_\Lambda\) 上满足 (RS) 的群胚余纤维范畴。以下条件等价：

\(\overline{\mathcal{F}}\) 满足 (RS)。

设 \(f_1: A_1 \to A\) 和 \(f_2: A_2 \to A\) 是 \(\mathcal{C}_\Lambda\) 中的环映射，且 \(f_2\) 满射。同构类集合的诱导映射 \[\overline{\mathcal{F}(A_1) \times_{\mathcal{F}(A)} \mathcal{F}(A_2)} \to \overline{\mathcal{F}}(A_1) \times_{\overline{\mathcal{F}}(A)} \overline{\mathcal{F}}(A_2)\] 是单射。

对 \(\mathcal{F}\) 中位于满环映射 \(A' \to A\) 上方的每个态射 \(x' \to x\)，映射 \(\text{Aut}_{A'}(x') \to \text{Aut}_A(x)\) 是满射。

对 \(\mathcal{F}\) 中位于小扩张 \(A' \to A\) 上方的每个态射 \(x' \to x\)，映射 \(\text{Aut}_{A'}(x') \to \text{Aut}_A(x)\) 是满射。

证明

我们证明 (1) 等价于 (2)，而 (2) 等价于 (3)。 (3) 与 (4) 的等价性由引理 06GE 得出。

设 \(f_1: A_1 \to A\) 和 \(f_2: A_2 \to A\) 是 \(\mathcal{C}_\Lambda\) 中的环映射，且 \(f_2\) 满射。由说明 06J6， \(\overline{\mathcal{F}}\) 满足 (RS)，当且仅当对任意这样的 \(f_1,f_2\)，映射 \[\overline{\mathcal{F}}(A_1 \times_A A_2) \to \overline{\mathcal F}(A_1) \times_{\overline{\mathcal{F}}(A)} \overline{\mathcal{F}}(A_2)\] 都是双射。此映射至少是满射，因为这正是 (S1) 的条件，而由引理 06J7 和 06I0， \(\overline{\mathcal{F}}\) 满足 (S1)。此外，该映射分解为 \[\overline{\mathcal{F}}(A_1 \times_A A_2) \longrightarrow \overline{\mathcal{F}(A_1) \times_{\mathcal{F}(A)} \mathcal{F}(A_2)} \longrightarrow \overline{\mathcal{F}}(A_1) \times_{\overline{\mathcal{F}}(A)} \overline{\mathcal{F}}(A_2),\] 其中第一个映射是双射，因为 \[\mathcal{F}(A_1 \times_A A_2) \longrightarrow \mathcal{F}(A_1) \times_{\mathcal{F}(A)} \mathcal{F}(A_2)\] 由 \(\mathcal{F}\) 的 (RS) 是等价。因此 (1) 等价于 (2)。

假设 (2) 成立。设 \(x' \to x\) 是 \(\mathcal{F}\) 中位于满环映射 \(f: A' \to A\) 上方的态射。设 \(a \in \text{Aut}_A(x)\)。对象 \[(x', x', a : x \to x), \ (x', x', \text{id} : x \to x)\] 属于 \(\mathcal{F}(A') \times_{\mathcal{F}(A)} \mathcal{F}(A')\)，并在 \(\overline{\mathcal{F}}(A') \times_{\overline{\mathcal{F}}(A)} \overline{\mathcal{F}}(A')\) 中有相同的像。由 (2)，存在映射 \(b_1,b_2 : x' \to x'\)，使图 \[\xymatrix{ x \ar[r]_a \ar[d]_{f_*b_1} & x \ar[d]^{f_*b_2} \\ x \ar[r]^{\text{id}} & x }\] 交换。因此， \(b_2^{-1} \circ b_1 \in \text{Aut}_{A'}(x')\) 的像是 \(a \in \text{Aut}_A(x)\)。所以 (3) 成立。

假设 (3) 成立。设 \[(x_1, x_2, a : (f_1)_*x_1 \to (f_2)_*x_2), \ (x'_1, x'_2, a' : (f_1)_*x'_1 \to (f_2)_*x'_2)\] 是 \(\mathcal{F}(A_1) \times_{\mathcal{F}(A)} \mathcal{F}(A_2)\) 中在 \(\overline{\mathcal{F}}(A_1) \times_{\overline{\mathcal{F}}(A)} \overline{\mathcal{F}}(A_2)\) 中具有相同像的对象。则存在 \(\mathcal{F}(A_1)\) 中的态射 \(b_1: x_1 \to x'_1\)，以及 \(\mathcal F(A_2)\) 中的态射 \(b_2: x_2 \to x'_2\)。由 (3)，可以用 \(x_2\) 在 \(A_2\) 上的自同构修改 \(b_2\)，使图 \[\xymatrix{ (f_1)_*x_1 \ar[r]_a \ar[d]_{(f_1)_*b_1} & (f_2)_*x_2 \ar[d]^{(f_2)_*b_2} \\ (f_1)_*x'_1 \ar[r]^{a'} & (f_2)_*x'_2. }\] 交换。这证明 \((x_1, x_2, a) \cong (x'_1, x'_2, a')\) 在 \(\overline{\mathcal{F}(A_1) \times_{\mathcal{F}(A)} \mathcal{F}(A_2)}\) 中成立。所以 (2) 成立。

最后，我们定义形变范畴的概念。

定义

满足 (RS) 的前形变范畴 \(\mathcal{F}\) 称为一个形变范畴。形变范畴之间的态射，是它们作为 \(\mathcal{C}_\Lambda\) 上范畴的态射。

注

若函子 \(F: \mathcal{C}_\Lambda \to \textit{Sets}\) 所对应的余纤维集合是形变范畴，即 \(F(k)\) 是单元素集合且 \(F\) 满足 (RS)，则称这样的函子为一个形变函子。若 \(\mathcal{F}\) 是形变范畴，则 \(\overline{\mathcal{F}}\) 是前形变函子，但未必是形变函子，正如引理 06J8 所示。

例

pro-可表函子 \(F\) 是形变函子。事实上，设 \(R \in \Ob(\widehat{\mathcal{C}}_\Lambda)\) 且 \(F(A) = \Mor_{\widehat{\mathcal{C}}_\Lambda}(R, A)\)。态射 \(R \to k\) 唯一，所以 \(F(k)\) 是单元素集合。由于 \[\Hom_\Lambda(R, A_1 \times_A A_2) = \Hom_\Lambda(R, A_1) \times_{\Hom_\Lambda(R, A)} \Hom_\Lambda(R, A_2),\] 对 \(\widehat{\mathcal{C}}_\Lambda\) 中的映射也有同样的结论，因而 \(F\) 满足 (RS)。

下面是我们关于以下过程的典型说明之一：从一个群胚余纤维范畴转到其在 \(k\) 上某一点处的前形变范畴。它说明该过程保持 (RS)。

引理

设 \(\mathcal{F}\) 是 \(\mathcal{C}_\Lambda\) 上的群胚余纤维范畴，且 \(x_0 \in \Ob(\mathcal{F}(k))\)。设 \(\mathcal{F}_{x_0}\) 是说明 06GU 所构造的 \(\mathcal{C}_\Lambda\) 上的群胚余纤维范畴。若 \(\mathcal{F}\) 满足 (RS)，则 \(\mathcal{F}_{x_0}\) 也满足 (RS)。特别地，\(\mathcal{F}_{x_0}\) 是形变范畴。

证明

\(\mathcal{F}_{x_0}\) 中任何如定义 06J2 所述的图表都会给出 \(\mathcal{F}\) 中的一个图表；在 \(\mathcal{F}\) 中对后一个图表应用 (RS) 所得的对象，也可视为对 \(\mathcal{F}_{x_0}\) 中原图表应用 (RS) 所得的对象。

下述引理类似于代数栈的 \(2\)-纤维积仍为代数栈这一事实。

引理

设 \[\xymatrix{ \mathcal{H} \times_\mathcal{F} \mathcal{G} \ar[r] \ar[d] & \mathcal{G} \ar[d]^g \\ \mathcal{H} \ar[r]^f & \mathcal{F} }\] 是 \(\mathcal{C}_\Lambda\) 上群胚余纤维范畴的 \(2\)-纤维积。若 \(\mathcal{F}, \mathcal{G}, \mathcal{H}\) 都满足 (RS)，则 \(\mathcal{H} \times_\mathcal{F} \mathcal{G}\) 满足 (RS)。

证明

若 \(A\) 是 \(\mathcal{C}_\Lambda\) 的对象，则 \(\mathcal{H} \times_\mathcal{F} \mathcal{G}\) 在 \(A\) 上的纤维范畴中的对象是三元组 \((u, v, a)\)，其中 \(u \in \mathcal{H}(A)\)、 \(v \in \mathcal{G}(A)\)，且 \(a : f(u) \to g(v)\) 是 \(\mathcal{F}(A)\) 中的态射。考虑 \(\mathcal{H} \times_\mathcal{F} \mathcal{G}\) 中的图表 \[\vcenter{ \xymatrix{ & (u_2, v_2, a_2) \ar[d] \\ (u_1, v_1, a_1) \ar[r] & (u, v, a) } } \quad\text{位于}\quad \vcenter{ \xymatrix{ & A_2 \ar[d] \\ A_1 \ar[r] & A } }\] 之上，其中后一个图表在 \(\mathcal{C}_\Lambda\) 中且 \(A_2 \to A\) 满射。由于 \(\mathcal{H}\) 和 \(\mathcal{G}\) 满足 (RS)，存在位于 \(A_1 \times_A A_2\) 上的纤维积 \(u_1 \times_u u_2\) 与 \(v_1 \times_v v_2\)。由于 \(\mathcal{F}\) 满足 (RS)，引理 06J3 表明 \[\vcenter{ \xymatrix{ f(u_1 \times_u u_2) \ar[r] \ar[d] & f(u_2) \ar[d] \\ f(u_1) \ar[r] & f(u) } } \quad\text{与}\quad \vcenter{ \xymatrix{ g(v_1 \times_v v_2) \ar[r] \ar[d] & g(v_2) \ar[d] \\ g(v_1) \ar[r] & g(v) } }\] 在 \(\mathcal{F}\) 中都是纤维积方块。因此可将 \(a_1 \times_a a_2\) 视为从 \(f(u_1 \times_u u_2)\) 到 \(g(v_1 \times_v v_2)\) 的、位于 \(A_1 \times_A A_2\) 上的态射。由此可知 \[\xymatrix{ (u_1 \times_u u_2, v_1 \times_v v_2, a_{1} \times_a a_2) \ar[d] \ar[r] & (u_2, v_2, a_2) \ar[d] \\ (u_1, v_1, a_1) \ar[r] & (u, v, a) }\] 是 \(\mathcal{H} \times_\mathcal{F} \mathcal{G}\) 中的纤维积方块，这正是所需结论。

对象的提升

本节的内容是：在形变范畴的情形，切空间在沿小扩张的提升集合上有一个单传递作用。

定义

设 \(\mathcal{F}\) 是 \(\mathcal{C}_\Lambda\) 上的群胚余纤维范畴。设 \(f: A' \to A\) 是 \(\mathcal{C}_\Lambda\) 中的映射，并设 \(x \in \mathcal{F}(A)\)。\(x\) 沿 \(f\) 的提升范畴 \(\textit{Lift}(x, f)\) 具有如下对象与态射。

对象：\(x\) 沿 \(f\) 的一个提升，是位于 \(f\) 上的态射 \(x' \to x\)。

态射：从提升 \(a_1 : x'_1 \to x\) 到提升 \(a_2 : x'_2 \to x\) 的一个提升态射，是 \(\mathcal{F}(A')\) 中满足 \(a_2 = a_1 \circ b\) 的态射 \(b : x'_1 \to x'_2\)。

\(x\) 沿 \(f\) 的提升集合 \(\text{Lift}(x, f)\)，是 \(\textit{Lift}(x, f)\) 的同构类集合。

注

当映射 \(f: A' \to A\) 由语境可知时，可以分别用 \(\textit{Lift}(x, A')\) 和 \(\text{Lift}(x, A')\) 代替 \(\textit{Lift}(x, f)\) 和 \(\text{Lift}(x, f)\)。

注

设 \(\mathcal{F}\) 是 \(\mathcal{C}_\Lambda\) 上的群胚余纤维范畴，且 \(x_0 \in \Ob(\mathcal{F}(k))\)。设 \(V\) 是有限维向量空间。则 \(\text{Lift}(x_0, k[V])\) 是 \(\mathcal{F}_{x_0}(k[V])\) 的同构类集合，其中 \(\mathcal{F}_{x_0}\) 是 \(\mathcal{F}\) 中位于 \(x_0\) 上的对象所成的前形变范畴；见说明 06GU。因此，若 \(\mathcal{F}\) 满足 (S2)，则 \(\mathcal{F}_{x_0}\) 也满足 (S2)（见引理 06SQ），并且由引理 06IH 可知 \[\text{Lift}(x_0, k[V]) = T\mathcal{F}_{x_0} \otimes_k V\] 是 \(k\)-向量空间之间的等式。

注

设 \(\mathcal{F}\) 是 \(\mathcal C_\Lambda\) 上满足 (RS) 的群胚余纤维范畴。设 \[\xymatrix{ A_1 \times_A A_2 \ar[r] \ar[d] & A_2 \ar[d] \\ A_1 \ar[r] & A }\] 是 \(\mathcal{C}_\Lambda\) 中的纤维积方块，并且 \(A_1 \to A\) 或 \(A_2 \to A\) 至少有一个满射。设 \(x \in \Ob(\mathcal{F}(A))\)。给定 \(x\) 到 \(A_1\) 和 \(A_2\) 的提升 \(x_1 \to x\) 与 \(x_2 \to x\)，由 (RS) 得到 \(x\) 到 \(A_1 \times_A A_2\) 的提升 \(x_1 \times_x x_2 \to x\)。反过来，由引理 06J3，\(x\) 到 \(A_1 \times_A A_2\) 的每个提升都具有这种形式。从而得到双射 \[\text{Lift}(x, A_1) \times \text{Lift}(x, A_2) \longrightarrow \text{Lift}(x, A_1 \times_A A_2).\] 类似地，若 \(x_1 \to x\) 是 \(x\) 到 \(A_1\) 的一个固定提升，则有双射 \[\text{Lift}(x_1, A_1 \times_A A_2) \longrightarrow \text{Lift}(x, A_2).\] 现设 \[\xymatrix{ A_1' \times_A A_2 \ar[r] \ar[d] & A_1 \times_A A_2 \ar[r] \ar[d] & A_2 \ar[d] \\ A_1' \ar[r] & A_1 \ar[r] & A }\] 是 \(\mathcal{C}_\Lambda\) 中两个纤维积方块的复合，且 \(A'_1 \to A_1\) 与 \(A_1 \to A\) 都满射。设 \(x_1 \to x\) 是位于 \(A_1 \to A\) 上的态射。由上可得双射 \[\begin{align*} \text{Lift}(x_1, A_1' \times_A A_2) & = \text{Lift}(x_1, A_1') \times \text{Lift}(x_1, A_1 \times_A A_2) \\ & = \text{Lift}(x_1, A_1') \times \text{Lift}(x, A_2). \end{align*}\]

引理

设 \(\mathcal{F}\) 是形变范畴。设 \(A' \to A\) 是 \(\mathcal{C}_\Lambda\) 中的满环映射，其核 \(I\) 被 \(\mathfrak m_{A'}\) 零化。设 \(x \in \Ob(\mathcal{F}(A))\)。若 \(\text{Lift}(x, A')\) 非空，则 \(T\mathcal{F} \otimes_k I\) 在 \(\text{Lift}(x, A')\) 上有一个自由且传递的作用。

证明

考虑环映射 \(g : A' \times_A A' \to k[I]\)，其定义规则为 \(g(a_1, a_2) = \overline{a_1} \oplus a_2 - a_1\)（与引理 06IT 比较）。存在同构 \[A' \times_A A' \xrightarrow{\sim} A' \times_k k[I]\] 由 \((a_1, a_2) \mapsto (a_1, g(a_1, a_2))\) 给出。此同构与到第一因子 \(A'\) 的投影相容，因而也与 \(A' \times_A A'\) 和 \(A' \times_k k[I]\) 到 \(A\) 的投影相容。所以有双射 [06TA]\[\begin{equation} \text{Lift}(x, A' \times_A A') \longrightarrow \text{Lift}(x, A' \times_k k[I]) \end{equation}\] 由说明 06JH，有双射 [06TB]\[\begin{equation} \text{Lift}(x, A') \times \text{Lift}(x, A') \longrightarrow \text{Lift}(x, A' \times_A A') \end{equation}\] 有交换图 \[\xymatrix{ A' \times_k k[I] \ar[r] \ar[d] & A \times_k k[I] \ar[r] \ar[d] & k[I] \ar[d] \\ A' \ar[r] & A \ar[r] & k. }\] 因此，若选定 \(x\) 沿 \(A \to k\) 的一个推前 \(x \to x_0\)，则由说明 06JH 的最后部分得到双射 [06TC]\[\begin{equation} \text{Lift}(x, A' \times_k k[I]) \longrightarrow \text{Lift}(x, A') \times \text{Lift}(x_0, k[I]) \end{equation}\] 依次复合（06TB）、（06TA）和（06TC），得到双射 \[\Phi : \text{Lift}(x, A') \times \text{Lift}(x, A') \longrightarrow \text{Lift}(x, A') \times \text{Lift}(x_0, k[I]).\] 此双射与到第一因子的投影相容。由说明 06JG 可知 \(\text{Lift}(x_0, k[I]) = T\mathcal{F} \otimes_k I\)。若 \(\text{pr}_2\) 是 \(\text{Lift}(x, A') \times \text{Lift}(x, A')\) 的第二投影，则得到映射 \[a = \text{pr}_2 \circ \Phi^{-1} : \text{Lift}(x, A') \times (T\mathcal{F} \otimes_k I) \longrightarrow \text{Lift}(x, A').\] 展开上述所有构造可知，\(a(x' \to x, \theta)\) 是唯一的提升 \(x'' \to x\)，使得 \(g_*(x', x'') = \theta\) 在 \(\text{Lift}(x_0, k[I]) = T\mathcal{F} \otimes_k I\) 中成立。为证明这是 \(T\mathcal{F} \otimes_k I\) 在 \(\text{Lift}(x, A')\) 上的作用，必须证明如下结论：若 \(x', x'', x'''\) 是 \(x\) 的提升，并且 \(g_*(x', x'') = \theta\)、\(g_*(x'', x''') = \theta'\)，则 \(g_*(x', x''') = \theta + \theta'\)。这由交换图 \[\xymatrix{ A' \times_A A' \times_A A' \ar[rrrrr]_-{(a_1, a_2, a_3) \mapsto (g(a_1, a_2), g(a_2, a_3))} \ar[rrrrrd]_{(a_1, a_2, a_3) \mapsto g(a_1, a_3)} & & & & & k[I] \times_k k[I] = k[I \times I] \ar[d]^{+} \\ & & & & & k[I] }\] 得出。由于 \(\Phi\) 是双射，此作用自由且传递。

注

引理 06JI 的作用具有函子性。设 \(\varphi : \mathcal{F} \to \mathcal{G}\) 是形变范畴的态射。设 \(A' \to A\) 是满环映射，其核 \(I\) 被 \(\mathfrak m_{A'}\) 零化。设 \(x \in \Ob(\mathcal{F}(A))\)。在此情形，\(\varphi\) 诱导下列交换图中的竖直箭头： \[\xymatrix{ \text{Lift}(x, A') \times (T\mathcal{F} \otimes_k I) \ar[d]_{(\varphi, d\varphi \otimes \text{id}_I)} \ar[r] & \text{Lift}(x, A') \ar[d]^\varphi \\ \text{Lift}(\varphi(x), A') \times (T\mathcal{G} \otimes_k I) \ar[r] & \text{Lift}(\varphi(x), A') }\] 该图交换，是因为映射（06TB）、（06TA）和（06TC）中的每一个（见引理 06JI 的证明）都给出一个类似的交换图。

Schlessinger 关于 pro-可表函子的定理

下面推出 Schlessinger 刻画 \(\mathcal{C}_\Lambda\) 上 pro-可表函子的定理。

引理

设 \(F, G: \mathcal{C}_\Lambda \to \textit{Sets}\) 是形变函子。设 \(\varphi : F \to G\) 是光滑态射，并且诱导切空间的同构 \(d\varphi : TF \to TG\)。则 \(\varphi\) 是同构。

证明

对 \(\text{length}_A(A)\) 作归纳，证明对所有 \(A \in \Ob(\mathcal{C}_\Lambda)\)，映射 \(F(A) \to G(A)\) 都是双射。当 \(A = k\) 时，该陈述由 \(F\) 和 \(G\) 是形变函子的假设得出。假设该陈述对长度小于 \(n\) 的环成立，并设 \(A'\) 是长度为 \(n\) 的环。选取小扩张 \(f : A' \to A\)。有交换图 \[\xymatrix{ F(A') \ar[r] \ar[d]_{F(f)} & G(A') \ar[d]^{G(f)} \\ F(A) \ar[r]^{\sim} & G(A) }\] 其中映射 \(F(A) \to G(A)\) 是双射。由 \(F \to G\) 的光滑性，\(F(A') \to G(A')\) 是满射（引理 06HN）。因此，只需对满足 \(F(f)^{-1}(x)\) 非空的 \(x \in F(A)\)，在纤维 \(F(f)^{-1}(x) \to G(f)^{-1}(\varphi(x))\) 上检验双射性。这些纤维恰为 \(\text{Lift}(x, A')\) 和 \(\text{Lift}(\varphi(x), A')\)，并且由假设有同构 \(d\varphi \otimes \text{id} : TF \otimes_k \Ker(f) \to TG \otimes_k \Ker(f)\)。所以，由引理 06JI 和说明 06JJ，对满足 \(F(f)^{-1}(x)\) 非空的 \(x \in F(A)\)，映射 \(F(f)^{-1}(x) \to G(f)^{-1}(\varphi(x))\) 与 \(TF \otimes_k \Ker(f)\) 的自由传递作用相容。因此它是双射。

注意，当 \(k' \subset k\) 可分时，下述定理中的条件 (c) 是空条件。

定理

设 \(F: \mathcal{C}_\Lambda \to \textit{Sets}\) 是函子。则 \(F\) pro-可表，当且仅当：(a) \(F\) 是形变函子； (b) \(\dim_k TF\) 有限；以及 (c) \(\gamma : \text{Der}_\Lambda(k, k) \to TF\) 是单射。

证明

假设 \(F\) 由 \(R \in \widehat{\mathcal{C}}_\Lambda\) pro-表示。由例 06JB 可知 \(F\) 是形变函子。由例 06IC 可知 \(\dim_k TF\) 有限。最后，由例 06ST， \(\text{Der}_\Lambda(k, k) \to TF\) 等同于 \(\text{Der}_\Lambda(k, k) \to \text{Der}_\Lambda(R, k)\)；后者是单射，因为 \(R \to k\) 满射。

反过来，假设 (a)、(b)、(c) 成立。由引理 06J7 可知 (S1) 与 (S2) 成立。所以由定理 06IX，存在 \(F\) 的极小万有形式对象 \(\xi\)，使得（06T6）成立。设 \(\xi\) 位于 \(R\) 上。映射 \[d\underline{\xi} : \text{Der}_\Lambda(R, k) \to T\mathcal{F}\] 在 \(\text{Der}_\Lambda(k, k)\)-轨道上为双射。由 (c) 和引理 06SU， \(\text{Der}_\Lambda(k, k)\) 在左端的作用是自由的，故该映射是双射。因此，由引理 06JL， \(\underline{\xi}\) 是同构。

无穷小自同构

设 \(\mathcal{F}\) 是 \(\mathcal{C}_\Lambda\) 上的群胚余纤维范畴。给定 \(\mathcal{F}\) 中位于 \(A' \to A\) 上的态射 \(x' \to x\)，会诱导同态 \[\text{Aut}_{A'}(x') \to \text{Aut}_A(x).\] 引理 06J8 表明，此同态的余核决定 \(\mathcal{F}\) 的条件 (RS) 是否能传递给 \(\overline{\mathcal{F}}\)。本节研究此同态的核。我们将看到，它也衡量 \(\mathcal{F}\) 与 \(\overline{\mathcal{F}}\) 之间的差距。

定义

设 \(\mathcal{F}\) 是 \(\mathcal C_\Lambda\) 上的群胚余纤维范畴。设 \(x' \to x\) 是 \(\mathcal{F}\) 中位于 \(A' \to A\) 上的态射。核 \[\text{Inf}(x'/x) = \Ker(\text{Aut}_{A'}(x') \to \text{Aut}_A(x))\] 称为 \(x'\) 在 \(x\) 上的无穷小自同构群。

定义

设 \(\mathcal{F}\) 是 \(\mathcal C_\Lambda\) 上的群胚余纤维范畴。设 \(x_0 \in \Ob(\mathcal{F}(k))\)。假定已经选定 \(x_0\) 沿映射 \(k \to k[\epsilon], a \mapsto a\) 的一个推前 \(x_0 \to x_0'\)。则存在唯一映射 \(x'_0 \to x_0\)，使得 \(x_0 \to x_0' \to x_0\) 是 \(x_0\) 上的恒等映射。于是 \[\text{Inf}_{x_0}(\mathcal F) = \text{Inf}(x'_0/x_0)\] 称为 \(x_0\) 的无穷小自同构群。

注

在典范同构的意义下，\(\text{Inf}_{x_0}(\mathcal{F})\) 与推前 \(x_0 \to x_0'\) 的选择无关，因为任意两个推前典范同构。此外，若 \(y_0 \in \mathcal{F}(k)\) 且 \(x_0 \cong y_0\) 在 \(\mathcal{F}(k)\) 中成立，则 \(\text{Inf}_{x_0}(\mathcal{F}) \cong \text{Inf}_{y_0}(\mathcal{F})\)；该同构（仅）依赖于同构 \(x_0 \to y_0\) 的选择。特别地，\(\text{Aut}_k(x_0)\) 作用在 \(\text{Inf}_{x_0}(\mathcal{F})\) 上。

注

假设 \(\mathcal{F}\) 是前形变范畴。则

对 \(x_0 \in \Ob(\mathcal{F}(k))\)，自同构群 \(\text{Aut}_k(x_0)\) 平凡，因而 \(\text{Inf}_{x_0}(\mathcal{F}) = \text{Aut}_{k[\epsilon]}(x'_0)\)；并且

对 \(x_0, y_0 \in \Ob(\mathcal{F}(k))\)，存在唯一同构 \(x_0 \to y_0\)，因而有典范识别 \(\text{Inf}_{x_0}(\mathcal{F}) = \text{Inf}_{y_0}(\mathcal{F})\)。

由于 \(\mathcal{F}(k)\) 非空，选取 \(x_0 \in \Ob(\mathcal{F}(k))\) 并置 \[\text{Inf}(\mathcal{F}) = \text{Inf}_{x_0}(\mathcal{F}),\] 便得到良定义的 \(\mathcal{F}\) 的无穷小自同构群。用此记号，有 \(\text{Inf}(\mathcal{F}_{x_0}) = \text{Inf}_{x_0}(\mathcal{F})\)。请与说明 06IK 中的等式 \(T\mathcal{F}_{x_0} = T_{x_0}\mathcal{F}\) 比较。

我们将看到，当 \(\mathcal{F}\) 满足 (RS) 时， \(\text{Inf}_{x_0}(\mathcal{F})\) 具有自然的 \(k\)-向量空间结构。同时还将看到，若 \(\mathcal{F}\) 满足 (RS)，则位于小扩张上方的态射 \(x' \to x\) 的无穷小自同构 \(\text{Inf}(x'/x)\) 由 \(\text{Inf}_{x_0}(\mathcal{F})\) 控制，其中 \(x_0\) 是 \(x\) 到 \(\mathcal{F}(k)\) 的一个推前。为此，对任意对象 \(x \in \Ob(\mathcal{F})\) 引入如下自同构函子。

定义

设 \(p : \mathcal{F} \to \mathcal{C}\) 是任意基范畴 \(\mathcal{C}\) 上的群胚余纤维范畴，并假定已经选定推前。设 \(x \in \Ob(\mathcal{F})\)，并令 \(U = p(x)\)。以 \(U/\mathcal{C}\) 表示 \(U\) 下的对象范畴。 \(x\) 的自同构函子是函子 \(\mathit{Aut}(x) : U/\mathcal{C} \to \textit{Sets}\)，它把对象 \(f : U \to V\) 送到 \(\text{Aut}_V(f_*x)\)，并把态射 \[\xymatrix{ V' \ar[rr] & & V\\ & U \ar[ul]^{f'} \ar[ur]_f & }\] 送到同态 \(\text{Aut}_{V'}(f'_*x) \to \text{Aut}_V(f_*x)\)；该同态来自唯一的态射 \(f'_*x \to f_*x\)，它位于 \(V' \to V\) 上，并与 \(x \to f'_*x\) 及 \(x \to f_*x\) 相容。

我们将研究 \(\mathcal{C}_\Lambda\) 上群胚余纤维范畴 \(\mathcal{F}\) 中对象的自同构函子。若 \(A \in \Ob(\mathcal{C}_\Lambda)\)，则范畴 \(A/\mathcal{C}_\Lambda\) 正是范畴 \(\mathcal{C}_A\)，即第 06GB 节所定义的范畴，其中取 \(\Lambda = A\) 且 \(k = A/\mathfrak m_A\)。因此，对象 \(x \in \Ob(\mathcal{F}(A))\) 的自同构函子是函子 \(\mathit{Aut}(x) : \mathcal{C}_A \to \textit{Sets}\)。

下述引理也可从引理 06L4 推出：只需考虑群胚余纤维范畴的“惯性”；例如见《栈》第 036X 节和《范畴》第 04Z2 节。不过，直接证明更容易。

引理

设 \(\mathcal{F}\) 是 \(\mathcal{C}_\Lambda\) 上满足 (RS) 的群胚余纤维范畴，并设 \(x \in \Ob(\mathcal{F}(A))\)。则 \(\mathit{Aut}(x): \mathcal{C}_A \to \textit{Sets}\) 满足 (RS)。

证明

由引理 06J5 中函子 \(\mathcal{F}(A_1 \times_A A_2) \to \mathcal{F}(A_1) \times_{\mathcal{F}(A)} \mathcal{F}(A_2)\) 的全忠实性可知，\(\mathit{Aut}(x)\) 满足 (RS)。

引理

设 \(\mathcal{F}\) 是 \(\mathcal{C}_\Lambda\) 上满足 (RS) 的群胚余纤维范畴。设 \(x \in \Ob(\mathcal{F}(A))\)，并设 \(x_0\) 是 \(x\) 到 \(\mathcal{F}(k)\) 的一个推前。

\(T_{\text{id}_{x_0}} \mathit{Aut}(x)\) 具有自然的 \(k\)-向量空间结构，使得加法与 \(T_{\text{id}_{x_0}} \mathit{Aut}(x)\) 中的复合一致。特别地，\(T_{\text{id}_{x_0}} \mathit{Aut}(x)\) 中的复合可交换。

有 \(k\)-向量空间的典范同构 \(T_{\text{id}_{x_0}} \mathit{Aut}(x) \to T_{\text{id}_{x_0}} \mathit{Aut}(x_0)\)。

证明

对函子 \(\mathit{Aut}(x) : \mathcal{C}_A \to \textit{Sets}\) 及元素 \(\text{id}_{x_0} \in \mathit{Aut}(x)(k)\) 应用说明 06GU，得到前形变函子 \(F = \mathit{Aut}(x)_{\text{id}_{x_0}}\)。由引理 06JU 和 06JC， \(F\) 是形变函子。根据定义， \(T_{\text{id}_{x_0}} \mathit{Aut}(x) = TF = F(k[\epsilon])\)，它具有引理 06IA 所给出的自然 \(k\)-向量空间结构。

加法定义为复合 \[F(k[\epsilon]) \times F(k[\epsilon]) \longrightarrow F(k[\epsilon] \times_k k[\epsilon]) \longrightarrow F(k[\epsilon]),\] 其中第一个映射是由 (RS) 保证的双射的逆，而第二个映射由 \(k\)-代数映射 \(k[\epsilon] \times_k k[\epsilon] \to k[\epsilon]\) 诱导；该映射把 \((\epsilon, 0)\) 与 \((0, \epsilon)\) 都映到 \(\epsilon\)。若 \(A \to B\) 是 \(\mathcal{C}_\Lambda\) 中的环映射，则 \(F(A) \to F(B)\) 是同态，其中 \(F(A) = \mathit{Aut}(x)_{\text{id}_{x_0}}(A)\) 与 \(F(B) = \mathit{Aut}(x)_{\text{id}_{x_0}}(B)\) 都在复合运算下成为群。因此， \(+ : F(k[\epsilon]) \times F(k[\epsilon])\to F(k[\epsilon])\) 是同态，其中把 \(F(k[\epsilon])\) 看作复合运算下的群。以 \(\text{id} \in F(k[\epsilon])\) 表示单位元。对任意 \(v \in F(k[\epsilon])\)，有 \(+(v, \text{id}) = +(\text{id}, v) = v\)，因为 \((\text{id}, v)\) 是 \(v\) 沿环映射 \(k[\epsilon] \to k[\epsilon] \times_k k[\epsilon]\) 的推前，该映射满足 \(\epsilon \mapsto (\epsilon, 0)\)。一般地，给定乘法为 \(\circ\) 的群 \(G\)，若同态 \(+ : G \times G \to G\) 满足 \(+(g, 1) = +(1, g) = g\)，其中 \(1\) 是 \(G\) 的单位元，则 \(+ = \circ\)。这说明 \(F(k[\epsilon])\) 的 \(k\)-向量空间结构中的加法与复合一致。

最后，(2) 只需展开定义。具体地， \(T_{\text{id}_{x_0}} \mathit{Aut}(x)\) 是如下自同构 \(\alpha\) 所成的集合：它们是 \(x\) 沿 \(A \to k \to k[\epsilon]\) 的推前的自同构，并且模 \(\epsilon\) 为恒等。另一方面， \(T_{\text{id}_{x_0}} \mathit{Aut}(x_0)\) 是 \(x_0\) 沿 \(k \to k[\epsilon]\) 的推前的、模 \(\epsilon\) 为恒等的自同构集合。由于 \(x_0\) 是 \(x\) 沿 \(A \to k\) 的推前，结论显然。

注

下面指出无穷小自同构群、提升以及自同构函子切空间之间的一些基本关系。设 \(\mathcal{F}\) 是 \(\mathcal{C}_\Lambda\) 上的群胚余纤维范畴。设 \(x' \to x\) 是位于环映射 \(A' \to A\) 上的态射。由定义有等式 \[\text{Inf}(x'/x) = \text{Lift}(\text{id}_x, A'),\] 其中右端是把 \(\text{id}_x\) 视为 \(\mathit{Aut}(x')\) 的对象时所得的提升。若 \(x_0 \in \Ob(\mathcal{F}(k))\)，且 \(x'_0\) 是到 \(\mathcal{F}(k[\epsilon])\) 的推前，则对 \(x'_0 \to x_0\) 应用上述等式，得到 \[\text{Inf}_{x_0}(\mathcal{F}) = \text{Lift}(\text{id}_{x_0}, k[\epsilon]) = T_{\text{id}_{x_0}} \mathit{Aut}(x_0),\] 最后一个等式直接由定义得出。

引理

设 \(\mathcal{F}\) 是 \(\mathcal{C}_\Lambda\) 上满足 (RS) 的群胚余纤维范畴，并设 \(x_0 \in \Ob(\mathcal{F}(k))\)。则作为集合，\(\text{Inf}_{x_0}(\mathcal{F})\) 等于 \(T_{\text{id}_{x_0}} \mathit{Aut}(x_0)\)，因而具有自然的 \(k\)-向量空间结构，使得加法与自同构的复合一致。

证明

集合的等式如说明 06JW 末尾所述，而关于向量空间结构的陈述由引理 06JV 得出。

引理

设 \(\varphi : \mathcal{F} \to \mathcal{G}\) 是 \(\mathcal{C}_\Lambda\) 上满足 (RS) 的群胚余纤维范畴之间的态射。设 \(x_0 \in \Ob(\mathcal{F}(k))\)。则 \(\varphi\) 诱导 \(k\)-线性映射 \(\text{Inf}_{x_0}(\mathcal{F}) \to \text{Inf}_{\varphi(x_0)}(\mathcal{G})\)。

证明

显然，\(\varphi\) 诱导把恒等映到恒等的态射 \(\mathit{Aut}(x_0) \to \mathit{Aut}(\varphi(x_0))\)。因此该结论由切空间的相应结论得出；见引理 06IJ。

引理

设 \(\mathcal{F}\) 是 \(\mathcal{C}_\Lambda\) 上满足 (RS) 的群胚余纤维范畴。设 \(x' \to x\) 是位于满环映射 \(A' \to A\) 上的态射，该映射的核 \(I\) 被 \(\mathfrak m_{A'}\) 零化。设 \(x_0\) 是 \(x\) 到 \(\mathcal{F}(k)\) 的一个推前。则 \(T_{\text{id}_{x_0}} \mathit{Aut}(x') \otimes_k I = \text{Inf}_{x_0}(\mathcal{F}) \otimes_k I\) 在 \(\text{Inf}(x'/x)\) 上有一个自由且传递的作用。

证明

这就是引理 06JI 在自同构层情形的类似结论。确切地，对函子 \(\mathit{Aut}(x') : \mathcal{C}_{A'} \to \textit{Sets}\) 和元素 \(\text{id}_{x_0} \in \mathit{Aut}(x)(k)\) 应用说明 06GU，得到前形变函子 \(F = \mathit{Aut}(x')_{\text{id}_{x_0}}\)。由引理 06JU 和 06JC， \(F\) 是形变函子。因此，引理 06JI 给出 \(TF \otimes_k I\) 在 \(\text{Lift}(\text{id}_x, A')\) 上的自由且传递作用；由于 \(\text{Lift}(\text{id}_x, A')\) 是群，它总是非空。注意，由引理 06JV，有向量空间的等式 \[TF = T_{\text{id}_{x_0}} \mathit{Aut}(x') \otimes_k I = \text{Inf}_{x_0}(\mathcal{F}) \otimes_k I.\] 最后，说明 06JW 中的等式 \(\text{Inf}(x'/x) = \text{Lift}(\text{id}_x, A')\) 完成证明。

引理

设 \(\mathcal{F}\) 是 \(\mathcal{C}_\Lambda\) 上满足 (RS) 的群胚余纤维范畴。设 \(x' \to x\) 是 \(\mathcal{F}\) 中位于一个满环映射上的态射。设 \(x_0\) 是 \(x\) 到 \(\mathcal{F}(k)\) 的一个推前。若 \(\text{Inf}_{x_0}(\mathcal{F}) = 0\)，则 \(\text{Inf}(x'/x) = 0\)。

证明

由引理 06GE 和 06JY 得出。

引理

设 \(\mathcal{F}\) 是 \(\mathcal{C}_\Lambda\) 上满足 (RS) 的群胚余纤维范畴，并设 \(x_0 \in \Ob(\mathcal{F}(k))\)。则 \(\text{Inf}_{x_0}(\mathcal{F}) = 0\)，当且仅当群胚余纤维范畴的自然态射 \(\mathcal{F}_{x_0} \to \overline{\mathcal{F}_{x_0}}\) 是等价。

证明

态射 \(\mathcal{F}_{x_0} \to \overline{\mathcal{F}_{x_0}}\) 是等价，当且仅当 \(\mathcal{F}_{x_0}\) 纤维化于集合胚；参见《范畴》第 04S9 节（根据定义，集合胚是每个对象的自同构都只有恒等映射的群胚）。我们证明 \(\text{Inf}_{x_0}(\mathcal{F}) = 0\) 当且仅当 \(\mathcal{F}_{x_0}\) 满足此条件。显然，若 \(\mathcal{F}_{x_0}\) 纤维化于集合胚，则 \(\text{Inf}_{x_0}(\mathcal{F}) = 0\)。反过来，假设 \(\text{Inf}_{x_0}(\mathcal{F}) = 0\)。设 \(A\) 是 \(\mathcal{C}_\Lambda\) 的对象。由引理 06JZ，对 \(\mathcal{F}_{x_0}(A)\) 中的任意对象 \(x \to x_0\)，都有 \(\text{Inf}(x/x_0) = 0\)。根据定义，\(\text{Inf}(x/x_0)\) 等于 \(\mathcal{F}_{x_0}(A)\) 中 \(x \to x_0\) 的自同构群，所以 \(\mathcal{F}_{x_0}(A)\) 是集合胚。

应用

这里汇集一些稍后将用到的形变范畴结果。

引理

设 \(f : \mathcal{H} \to \mathcal{F}\) 和 \(g : \mathcal{G} \to \mathcal{F}\) 是形变范畴的 \(1\)-态射。则

\(\mathcal{W} = \mathcal{H} \times_\mathcal{F} \mathcal{G}\) 是形变范畴；并且

有向量空间的 \(6\) 项正合序列 \[0 \to \text{Inf}(\mathcal{W}) \to \text{Inf}(\mathcal{H}) \oplus \text{Inf}(\mathcal{G}) \to \text{Inf}(\mathcal{F}) \to T\mathcal{W} \to T\mathcal{H} \oplus T\mathcal{G} \to T\mathcal{F}.\]

证明

(1) 由引理 06L4 以及下述事实得出： \(\mathcal{W}(k)\) 是两个具有唯一同构类的集合胚在另一个具有唯一同构类的集合胚上的纤维积。

证明 (2)。设 \(w_0 \in \Ob(\mathcal{W}(k))\)，并设 \(x_0, y_0, z_0\) 是 \(w_0\) 在 \(\mathcal{F}, \mathcal{H}, \mathcal{G}\) 中的像。则 \(\text{Inf}(\mathcal{W}) = \text{Inf}_{w_0}(\mathcal{W})\)，对 \(\mathcal{H}\)、\(\mathcal{G}\) 和 \(\mathcal{F}\) 也类似；见说明 06JS。应用引理 06IJ 和 07W6，得到除“边界映射” \(\delta : \text{Inf}_{x_0}(\mathcal{F}) \to T\mathcal{W}\) 之外的所有线性映射。稍后再插入适当的符号。

构造 \(\delta\)。选取沿 \(k \to k[\epsilon]\) 的一个推前 \(w_0 \to w'_0\)。以 \(x'_0,y'_0,z'_0\) 表示 \(w'_0\) 在 \(\mathcal{F},\mathcal{H},\mathcal{G}\) 中的像。特别地，得到同构 \(b' : f(y'_0) \to x'_0\) 和 \(c' : x'_0 \to g(z'_0)\)。以 \(b : f(y_0) \to x_0\) 和 \(c : x_0 \to g(z_0)\) 表示它们沿 \(k[\epsilon] \to k\) 的推前。注意，按照范畴纤维积的显式形式，这意味着 \(w'_0 = (k[\epsilon], y'_0, z'_0, c' \circ b')\) 且 \(w_0 = (k, y_0, z_0, c \circ b)\)；见说明 06GK（06SI）。给定 \(\alpha : x'_0 \to x'_0\)，置 \(\delta(\alpha) = (k[\epsilon], y'_0, z'_0, c' \circ \alpha \circ b')\)。这确实是 \(\mathcal{W}\) 中位于 \(k[\epsilon]\) 上的对象，并且带有位于 \(k[\epsilon] \to k\) 上的态射 \((k[\epsilon], y'_0, z'_0, c' \circ \alpha \circ b') \to w_0\)，因为 \(\alpha\) 推前到 \(k\) 上成为恒等。更一般地，对任意 \(k\)-向量空间 \(V\)，可以用完全相同的公式定义映射 \[\text{Lift}(\text{id}_{x_0}, k[V]) \longrightarrow \text{Lift}(w_0, k[V]).\] 此构造关于向量空间 \(V\) 具有函子性（略去细节）。因此，应用引理 06I7 可知 \(\delta\) 是 \(k\)-线性的。

构造这些映射后，容易证明序列正合。第一个映射的单射性来自 \(f \times g : \mathcal{W} \to \mathcal{H} \times \mathcal{G}\) 是忠实的这一事实。若 \((\beta, \gamma) \in \text{Inf}_{y_0}(\mathcal{H}) \oplus \text{Inf}_{z_0}(\mathcal{G})\) 映到 \(\text{Inf}_{x_0}(\mathcal{F})\) 中的同一元素，则 \((\beta, \gamma)\) 定义 \(w'_0 = (k[\epsilon], y'_0, z'_0, c' \circ b')\) 的自同构，从而得到第二处的正合性。若上述 \(\alpha\) 给出 \(w_0\) 的平凡形变 \((k[\epsilon], y'_0, z'_0, c' \circ \alpha \circ b')\)，则同构 \(w'_0 = (k[\epsilon], y'_0, z'_0, c' \circ b') \to (k[\epsilon], y'_0, z'_0, c' \circ \alpha \circ b')\) 产生一个作为 \(\alpha\) 原像的对 \((\beta, \gamma)\)。若 \(w = (k[\epsilon], y, z, \phi)\) 是 \(w_0\) 的形变，且 \(y'_0 \cong y\) 与 \(z \cong z'_0\)，则映射 \[f(y'_0) \to f(y) \xrightarrow{\phi} g(z) \to g(z'_0)\] 是一个在 \(\delta\) 下映到 \(w\) 的 \(\alpha\)。最后，若 \(y\) 与 \(z\) 分别是 \(y_0\) 与 \(z_0\) 的形变，并且存在 \(f(y_0)=x_0=g(z_0)\) 的形变之间的同构 \(\phi : f(y) \to g(z)\)，则得到 \(T\mathcal{W}\) 中 \((x, y)\) 的原像 \(w = (k[\epsilon], y, z, \phi)\)。证明完毕。

引理

设 \(\mathcal{H}_1 \to \mathcal{G}\)、 \(\mathcal{H}_2 \to \mathcal{G}\) 和 \(\mathcal{G} \to \mathcal{F}\) 是 \(\mathcal{C}_\Lambda\) 上群胚余纤维范畴之间的映射。假设

\(\mathcal{F}\) 和 \(\mathcal{G}\) 是形变范畴；

\(T\mathcal{G} \to T\mathcal{F}\) 是单射；并且

\(\text{Inf}(\mathcal{G}) \to \text{Inf}(\mathcal{F})\) 是满射。

则 \(\mathcal{H}_1 \times_\mathcal{G} \mathcal{H}_2 \to \mathcal{H}_1 \times_\mathcal{F} \mathcal{H}_2\) 是光滑的。

证明

以 \(p_i : \mathcal{H}_i \to \mathcal{G}\) 和 \(q : \mathcal{G} \to \mathcal{F}\) 表示给定的映射。设 \(A' \to A\) 是 \(\mathcal{C}_\Lambda\) 中的小扩张。 \(\mathcal{H}_1 \times_\mathcal{F} \mathcal{H}_2\) 中位于 \(A'\) 上的对象，是三元组 \((x'_1, x'_2, a')\)，其中 \(x'_i\) 是 \(\mathcal{H}_i\) 中位于 \(A'\) 上的对象，而 \(a' : q(p_1(x'_1)) \to q(p_2(x'_2))\) 是 \(\mathcal{F}\) 在 \(A'\) 上的纤维范畴中的态射。沿 \(A' \to A\) 推前，得到 \((x_1,x_2,a)\)。将它提升为 \(\mathcal{H}_1 \times_\mathcal{G} \mathcal{H}_2\) 中位于 \(A\) 上的对象，意指找到位于 \(A\) 上且满足 \(q(b)=a\) 的态射 \(b : p_1(x_1) \to p_2(x_2)\)。因此必须证明，可以把 \(b\) 提升为态射 \(b' : p_1(x'_1) \to p_2(x'_2)\)，且其在 \(q\) 下的像是 \(a'\)。

注意，可以把 \[p_1(x'_1) \to p_1(x_1) \xrightarrow{b} p_2(x_2) \quad\text{和}\quad p_2(x'_2) \to p_2(x_2)\] 视为 \(\textit{Lift}(p_2(x_2), A' \to A)\) 的两个对象。函子 \(q\) 把它们送到 \[q(p_1(x'_1)) \to q(p_1(x_1)) \xrightarrow{b} q(p_2(x_2)) \quad\text{和}\quad q(p_2(x'_2)) \to q(p_2(x_2))\] 这两个 \(\textit{Lift}(q(p_2(x_2)), A' \to A)\) 的对象；利用映射 \(a' : q(p_1(x'_1)) \to q(p_2(x'_2))\)，它们彼此同构。另一方面，函子 \[q : \textit{Lift}(p_2(x_2), A' \to A) \to \textit{Lift}(q(p_2(x_2)), A' \to A)\] 由引理 06JI 和关于切空间的假设，在同构类上诱导单射。因此存在态射 \(b' : p_1(x_1') \to p_2(x'_2)\)，其到 \(A\) 的推前是 \(b\)。不过，可能还需要调整 \(b'\) 的选择，才能使 \(q(b')=a'\)。为此，只需证明 \(q : \text{Inf}(p_2(x'_2)/p_2(x_2)) \to \text{Inf}(q(p_2(x'_2))/q(p_2(x_2)))\) 是满射。这由关于无穷小自同构的假设和引理 06JY 得出。

引理

设 \(f : \mathcal{F} \to \mathcal{G}\) 是形变范畴之间的映射。设 \(x_0 \in \Ob(\mathcal{F}(k))\)，其像为 \(y_0 \in \Ob(\mathcal{G}(k))\)。若

映射 \(T\mathcal{F} \to T\mathcal{G}\) 是满射；并且

对 \(\mathcal{C}_\Lambda\) 中的每个小扩张 \(A' \to A\)，以及像为 \(y \in \mathcal{G}(A)\) 的每个 \(x \in \mathcal{F}(A)\)，若 \(y\) 可以提升到 \(A'\)，则 \(x\) 也可以提升到 \(A'\)，

则 \(\mathcal{F} \to \mathcal{G}\) 光滑（反之亦然）。

证明

设 \(A' \to A\) 是小扩张，且 \(x \in \mathcal{F}(A)\)。设 \(y' \to f(x)\) 是 \(\mathcal{G}\) 中位于 \(A' \to A\) 上的态射。考虑 \(f\) 所诱导的函子 \(\text{Lift}(A', x) \to \text{Lift}(A', f(x))\)。必须证明存在 \(\text{Lift}(A', x)\) 的对象 \(x' \to x\)，其像为 \(y' \to f(x)\)；见引理 06HH。由条件 (2)， \(\text{Lift}(A', x)\) 不是空范畴。由条件 (2) 和引理 06JI，可知同构类上的映射是满射，正如所需。

引理

设 \(\mathcal{F} \to \mathcal{G} \to \mathcal{H}\) 是 \(\mathcal{C}_\Lambda\) 上群胚余纤维范畴之间的映射。若

\(\mathcal{F}\)、\(\mathcal{G}\) 是形变范畴；

映射 \(T\mathcal{F} \to T\mathcal{G}\) 是满射；并且

\(\mathcal{F} \to \mathcal{H}\) 光滑，

则 \(\mathcal{F} \to \mathcal{G}\) 光滑。

证明

设 \(A' \to A\) 是 \(\mathcal{C}_\Lambda\) 中的小扩张，并设 \(x \in \mathcal{F}(A)\)，其像为 \(y \in \mathcal{G}(A)\)。假设存在提升 \(y' \in \mathcal{G}(A')\)。根据引理 0DYP，只需检验 \(x\) 也有提升。取 \(y'\) 的像 \(z' \in \mathcal{H}(A')\)。由于 \(\mathcal{F} \to \mathcal{H}\) 光滑，存在 \(x' \in \mathcal{F}(A')\)，它同时映到 \(x \in \mathcal{F}(A)\) 和 \(z' \in \mathcal{H}(A')\)；见定义 06HG。证明完毕。

任意范畴上的函子中的群胚

首先讨论任意范畴上的函子中的群胚的一般性质。下一节再转到范畴 \(\mathcal{C}_\Lambda\)。为清楚起见，有时把通常的群胚，即所有态射都是同构的范畴，称为群胚范畴。

定义

设 \(\mathcal{C}\) 是范畴。\(\mathcal{C}\) 上的函子中的群胚范畴 具有如下对象和态射。

对象：\(\mathcal{C}\) 上的一个函子中的群胚是五元组 \((U, R, s, t, c)\)，其中 \(U, R : \mathcal{C} \to \textit{Sets}\) 是函子，而 \(s, t : R \to U\) 和 \(c : R \times_{s, U, t} R \to R\) 是具有如下性质的态射：对 \(\mathcal{C}\) 的任意对象 \(T\)，五元组 \[(U(T), R(T), s, t, c)\] 是群胚范畴。

态射：\(\mathcal{C}\) 上函子中的群胚之间的一个 态射 \((U, R, s, t, c) \to (U', R', s', t', c')\) 由态射 \(U \to U'\) 和 \(R \to R'\) 组成，并具有如下性质：对 \(\mathcal{C}\) 的任意对象 \(T\)，诱导映射 \(U(T) \to U'(T)\) 与 \(R(T) \to R'(T)\) 定义群胚范畴之间的函子 \[(U(T), R(T), s, t, c) \to (U'(T), R'(T), s', t', c').\]

注

\(\mathcal{C}\) 上函子中的群胚等价于函子 \(\mathcal{C} \to \textit{Groupoids}\) 的数据，而 \(\mathcal{C}\) 上函子中的群胚态射等价于相应函子 \(\mathcal{C} \to \textit{Groupoids}\) 之间的态射（这里把 \(\textit{Groupoids}\) 看作 1-范畴）。不过，为了我们的目的，使用函子中的群胚这一术语更方便。事实上，把函子中的群胚想成相应的函子 \(\mathcal{C} \to \textit{Groupoids}\)，或等价地想成与该函子关联的群胚余纤维范畴，可能导致混淆（说明 06KJ）。

注

设 \((U, R, s, t, c)\) 是范畴 \(\mathcal{C}\) 上函子中的群胚。存在唯一的态射 \(e : U \to R\) 和 \(i : R \to R\)，使得对 \(\mathcal{C}\) 的每个对象 \(T\)，\(e: U(T) \to R(T)\) 把 \(x \in U(T)\) 送到 \(x\) 上的恒等态射，而 \(i: R(T) \to R(T)\) 把 \(a \in U(T)\) 送到 \(a\) 在群胚范畴 \((U(T), R(T), s, t, c)\) 中的逆。有时分别把 \(s\)、\(t\)、\(c\)、\(e\)、\(i\) 称为“源”、“靶”、 “复合”、“恒等”、“逆”。

定义

设 \(\mathcal{C}\) 是范畴。若 \(\mathcal{C}\) 上函子中的群胚同构于形如 \((\underline{U}, \underline{R}, s, t, c)\) 的群胚，其中 \(U\) 和 \(R\) 是 \(\mathcal{C}\) 的对象，且推出 \(R \amalg_{s, U, t} R\) 存在，则称它可表。

注

因此，\(\mathcal{C}\) 上函子中的可表群胚由 \(\mathcal{C}\) 的对象 \(U\)、\(R\) 以及态射 \(s,t:U\to R\)、 \(c:R\to R\amalg_{s,U,t}R\) 给出，并且 \((\underline{U}, \underline{R}, s, t, c)\) 满足定义 06K3 的条件。要求推出 \(R \amalg_{s, U, t} R\) 存在，是为了使复合态射 \(c\) 能在 \(\mathcal{C}\) 的态射层面定义。下文考虑 \(\widehat{\mathcal{C}}_\Lambda\) 上函子中的可表群胚时，此要求总会满足，因为由引理 06SB，范畴 \(\widehat{\mathcal{C}}_\Lambda\) 具有推出。

注

我们会用“设 \((\underline{U}, \underline{R}, s, t, c)\) 是 \(\mathcal{C}\) 上函子中的群胚”来表示所给的是函子中的可表群胚。因此，这意味着 \(U\)、\(R\) 是 \(\mathcal{C}\) 的对象，存在态射 \(s,t:U\to R\)，推出 \(R\amalg_{s,U,t}R\) 存在，存在态射 \(c:R\to R\amalg_{s,U,t}R\)，并且 \((\underline{U}, \underline{R}, s, t, c)\) 是 \(\mathcal{C}\) 上函子中的群胚。

下面引入函子中群胚的限制记号。稍后把 \(\widehat{\mathcal C}_\Lambda\) 限制到 \(\mathcal{C}_\Lambda\) 时将用到它。

定义

设 \((U, R, s, t, c)\) 是范畴 \(\mathcal{C}\) 上函子中的群胚，并设 \(\mathcal{C}'\) 是 \(\mathcal{C}\) 的子范畴。 \((U, R, s, t, c)\) 到 \(\mathcal{C}'\) 的限制 \((U, R, s, t, c)|_{\mathcal{C}'}\)，是 \(\mathcal{C}'\) 上函子中的群胚 \((U|_{\mathcal{C}'}, R|_{\mathcal C'}, s|_{\mathcal{C}'}, t|_{\mathcal{C}'}, c|_{\mathcal{C}'})\)。

注

在定义 06K9 的情形，常把 \(s|_{\mathcal{C}'}, t|_{\mathcal{C}'}, c|_{\mathcal{C}'}\) 简记为 \(s,t,c\)。

定义

设 \((U, R, s, t, c)\) 是范畴 \(\mathcal{C}\) 上函子中的群胚。

对应 \(T \mapsto (U(T), R(T), s, t, c)\) 确定函子 \(\mathcal{C} \to \textit{Groupoids}\)。商群胚余纤维范畴 \([U/R] \to \mathcal{C}\)，是与该函子关联的 \(\mathcal{C}\) 上群胚余纤维范畴（如说明 06GK（06GN）所述）。

商态射 \(U \to [U/R]\) 是由如下规则定义的 \(\mathcal{C}\) 上群胚余纤维范畴之间的态射：

\(x \in U(T)\) 映到对象 \((T, x) \in \Ob([U/R](T))\)；并且

\(x \in U(T)\) 和 \(f : T \to T'\) 给出位于 \(f : T \to T'\) 上的态射 \((f, \text{id}_{U(f)(x)}): (T, x) \to (T, U(f)(x))\)。

基范畴上的函子中的群胚

本节讨论 \(\mathcal{C}_\Lambda\) 上的函子中的群胚。最终目标是说明，\(\mathcal{C}_\Lambda\) 上函子中的 pro-可表群胚，对性质良好的形变范畴起“呈现”作用，正如代数空间中的光滑群胚对代数栈起呈现作用一样；参见《代数栈》第 04T3 节。

定义

若 \(\mathcal{C}_\Lambda\) 上函子中的群胚同构于 \((\underline{R_0}, \underline{R_1}, s, t, c)|_{\mathcal{C}_\Lambda}\)，且 \((\underline{R_0}, \underline{R_1}, s, t, c)\) 是范畴 \(\widehat{\mathcal{C}}_\Lambda\) 上函子中的某个可表群胚，则称原群胚pro-可表。

设 \((U, R, s, t, c)\) 是 \(\mathcal{C}_\Lambda\) 上的函子中的群胚。取完备化，得到五元组 \((\widehat{U}, \widehat{R}, \widehat{s}, \widehat{t}, \widehat{c})\)。由说明 06HB， \(\text{CofSet}(\mathcal{C}_\Lambda)\) 上的完备化函子是右伴随，所以与极限可交换。特别地，有典范同构 \[\widehat{R \times_{s, U, t} R} \longrightarrow \widehat{R} \times_{\widehat{s}, \widehat{U}, \widehat{t}} \widehat{R},\] 故可把 \(\widehat{c}\) 看作函子 \(\widehat{R} \times_{\widehat{s}, \widehat{U}, \widehat{t}} \widehat{R} \to \widehat{R}\)。于是 \((\widehat{U}, \widehat{R}, \widehat{s}, \widehat{t}, \widehat{c})\) 是 \(\widehat{\mathcal{C}}_\Lambda\) 上函子中的群胚，其恒等态射和逆态射分别是 \((U,R,s,t,c)\) 相应态射的完备化。

定义

设 \((U, R, s, t, c)\) 是 \(\mathcal{C}_\Lambda\) 上的函子中的群胚。\((U,R,s,t,c)\) 的完备化 \((U, R, s, t, c)^{\wedge}\)，是上面所述的 \(\widehat{\mathcal{C}}_\Lambda\) 上函子中的群胚 \((\widehat{U}, \widehat{R}, \widehat{s}, \widehat{t}, \widehat{c})\)。

注

设 \((U, R, s, t, c)\) 是 \(\mathcal{C}_\Lambda\) 上的函子中的群胚。则有典范同构 \((U, R, s, t, c)^{\wedge}|_{\mathcal{C}_\Lambda} \cong (U, R, s, t, c)\)；见说明 06SJ。另一方面，设 \((U, R, s, t, c)\) 是 \(\widehat{\mathcal{C}}_\Lambda\) 上的函子中的群胚，并且 \(U, R : \widehat{\mathcal{C}}_\Lambda \to \textit{Sets}\) 都与极限可交换，例如 \(U,R\) 可表。则有典范同构 \(((U, R, s, t, c)|_{\mathcal{C}_\Lambda})^{\wedge} \cong (U, R, s, t, c)\)。这由说明 06HE 得出。

引理

设 \((U, R, s, t, c)\) 是 \(\mathcal{C}_\Lambda\) 上的函子中的群胚。

\((U,R,s,t,c)\) pro-可表，当且仅当其完备化作为 \(\widehat{\mathcal{C}}_\Lambda\) 上函子中的群胚可表。

\((U,R,s,t,c)\) pro-可表，当且仅当 \(U\) 和 \(R\) pro-可表。

证明

(1) 由说明 06KF 得出。对 (2)，“仅当”方向由函子中 pro-可表群胚的定义立即得出。反过来，假设 \(U\)、\(R\) pro-可表，即对 \(\widehat{\mathcal{C}}_\Lambda\) 的对象 \(R_0\)、\(R_1\)，有 \(U \cong \underline{R_0}|_{\mathcal{C}_\Lambda}\) 且 \(R \cong \underline{R_1}|_{\mathcal{C}_\Lambda}\)。由说明 06HE，有 \(\underline{R_0} \cong \widehat{\underline{R_0}|_{\mathcal{C}_\Lambda}}\) 和 \(\underline{R_1} \cong \widehat{\underline{R_1}|_{\mathcal{C}_\Lambda}}\)，所以完备化 \((U,R,s,t,c)^\wedge\) 是形如 \((\underline{R_0}, \underline{R_1}, \widehat{s}, \widehat{t}, \widehat{c})\) 的函子中的群胚。由引理 06SB，推出 \(\underline{R_1} \times_{\widehat{s}, \underline{R_1}, \widehat{t}} \underline{R_1}\) 存在。所以 \((\underline{R_0}, \underline{R_1}, \widehat{s}, \widehat{t}, \widehat{c})\) 是 \(\widehat{\mathcal{C}}_\Lambda\) 上函子中的可表群胚。最后，由说明 06KF，限制 \((\underline{R_0}, \underline{R_1}, s, t, c)|_{\mathcal{C}_\Lambda}\) 恢复 \((U,R,s,t,c)\)，故根据定义 \((U,R,s,t,c)\) pro-可表。

基范畴上的函子中的光滑群胚

\(\mathcal{C}_\Lambda\) 上函子中群胚的光滑性概念定义如下。

定义

设 \((U, R, s, t, c)\) 是 \(\mathcal{C}_\Lambda\) 上的函子中的群胚。若 \(s,t:R\to U\) 光滑，则称 \((U,R,s,t,c)\) 光滑。

注

注意，此术语可能引起混淆：若 \((U,R,s,t,c)\) 是函子中的光滑群胚，则商 \([U/R]\) 未必是定义 06HP 所指的光滑群胚余纤维范畴。不过，\((U,R,s,t,c)\) 的光滑性确实蕴含商态射 \(U\to[U/R]\) 光滑（事实上二者等价），正如引理 06KL 将要说明的那样。

注

设 \((\underline{R_0}, \underline{R_1}, s, t, c)|_{\mathcal{C}_\Lambda}\) 是 \(\mathcal{C}_\Lambda\) 上函子中的 pro-可表群胚。则 \((\underline{R_0}, \underline{R_1}, s, t, c)|_{\mathcal{C}_\Lambda}\) 光滑，当且仅当经 \(s\) 和 \(t\)，\(R_1\) 都是 \(R_0\) 上的幂级数环。这由引理 06HL 得出。

引理

设 \((U,R,s,t,c)\) 是 \(\mathcal{C}_\Lambda\) 上函子中的群胚。以下条件等价：

函子中的群胚 \((U,R,s,t,c)\) 光滑。

态射 \(s:R\to U\) 光滑。

态射 \(t:R\to U\) 光滑。

商态射 \(U\to[U/R]\) 光滑。

证明

(2) 等价于 (3)，因为 \((U,R,s,t,c)\) 的逆 \(i:R\to R\) 是同构，且 \(t=s\circ i\)。根据定义，(1) 等价于 (2) 与 (3) 同时成立，因而等价于其中任意一个单独成立。

最后证明 (2) 等价于 (4)。展开定义：

\(s:R\to U\) 光滑等价于下述条件：若 \(f:B\to A\) 是 \(\mathcal{C}_\Lambda\) 中的满环映射， \(a\in R(A)\)、\(y\in U(B)\) 且 \(s(a)=U(f)(y)\)，则存在 \(a'\in R(B)\)，使 \(R(f)(a')=a\) 且 \(s(a')=y\)。

\(U\to[U/R]\) 光滑等价于下述条件：若 \(f:B\to A\) 是 \(\mathcal{C}_\Lambda\) 中的满环映射，且 \((f,a):(B,y)\to(A,x)\) 是 \([U/R]\) 的态射，则存在 \(x'\in U(B)\) 和 \(b\in R(B)\)，使 \(s(b)=x'\)、\(t(b)=y\)，且 \(c(a,R(f)(b))=e(x)\)。这里 \(e:U\to R\) 表示恒等，而记号 \((f,a)\) 如说明 06GK（06GN）所述；特别地，\(a\in R(A)\)，且 \(s(a)=U(f)(y)\)、\(t(a)=x\)。

若 (4) 成立，并给定 (2) 中那样的 \(f,a,y\)，令 \(x=t(a)\)，于是有态射 \((f,a):(B,y)\to(A,x)\)。(4) 给出 \(x'\) 和 \(b\)，而 \(a'=i(b)\) 满足 (2) 的要求。反过来，假设 (2) 成立，并给定 (4) 中那样的 \((f,a):(B,y)\to(A,x)\)。则 (2) 给出 \(a'\in R(B)\)，而 \(x'=t(a')\) 和 \(b=i(a')\) 满足 (4) 的要求。

作为函子中群胚之商的形变范畴

我们讨论 \(\mathcal{C}_\Lambda\) 上函子中的群胚应满足哪些条件，才能保证其商是形变范畴，并计算这种商的切空间和无穷小自同构空间。

引理

设 \((U,R,s,t,c)\) 是 \(\mathcal{C}_\Lambda\) 上函子中的光滑群胚。假设 \(U\) 和 \(R\) 满足 (RS)。则 \([U/R]\) 满足 (RS)。

证明

设 \[\xymatrix{ & (A_2, x_2) \ar[d]^{(f_2, a_2)} \\ (A_1, x_1) \ar[r]^{(f_1, a_1)} & (A, x) }\] 是 \([U/R]\) 中的图表，其中 \(f_2:A_2\to A\) 为满射。记号如说明 06GK （06GN）所述。因此 \(f_1:A_1\to A, f_2:A_2\to A\) 是 \(\mathcal{C}_\Lambda\) 中的映射， \(x\in U(A)\)、\(x_1\in U(A_1)\)、\(x_2\in U(A_2)\)，并且 \(a_1,a_2\in R(A)\)，其中 \(s(a_1)=U(f_1)(x_1)\)、\(t(a_1)=x\)，且 \(s(a_2)=U(f_2)(x_2)\)、\(t(a_2)=x\)。我们如下构造该 \([U/R]\) 中图表的一个纤维积，它位于 \(A_1\times_A A_2\) 上方。

令 \(a=c(i(a_1),a_2)\)，其中 \(i:R\to R\) 是逆态射。则 \(a\in R(A)\)、\(x_2\in U(A_2)\)，且 \(s(a)=U(f_2)(x_2)\)。因而有元素 \((a,x_2)\in R(A)\times_{s,U(A),U(f_2)}U(A_2)\)。由于 \(s:R\to U\) 光滑，存在元素 \(\widetilde{a}\in R(A_2)\)，使 \(R(f_2)(\widetilde{a})=a\) 且 \(s(\widetilde{a})=x_2\)。特别地， \(U(f_2)(t(\widetilde{a}))=t(a)=U(f_1)(x_1)\)。所以 \(x_1\) 和 \(t(\widetilde{a})\) 确定元素 \[(x_1, t(\widetilde{a})) \in U(A_1) \times_{U(A)} U(A_2).\] 由 \(U\) 满足 (RS) 的假设，有等同 \(U(A_1)\times_{U(A)}U(A_2)=U(A_1\times_A A_2)\)。我们用 \(x_1\times t(\widetilde{a})\in U(A_1\times_A A_2)\) 表示与 \((x_1,t(\widetilde{a}))\in U(A_1)\times_{U(A)}U(A_2)\) 对应的元素。令 \(p_1,p_2\) 为 \(A_1\times_A A_2\) 的投影。我们断言 \[\xymatrix{ (A_1 \times_A A_2, x_1 \times t(\widetilde{a})) \ar[d]_{(p_1, e(x_1))} \ar[rr]_-{(p_2, i(\widetilde{a}))} & & (A_2, x_2) \ar[d]^{(f_2, a_2)} \\ (A_1, x_1) \ar[rr]^{(f_1, a_1)} & & (A, x) }\] 是 \([U/R]\) 中的纤维方块。（注意，\(e:U\to R\) 表示恒等。）

该图表可交换，因为 \(c(a_2,R(f_2)(i(\widetilde{a})))=c(a_2,i(a))=a_1\)。为了验证它是纤维方块，设 \[\xymatrix{ (B, z) \ar[d]_{(g_1, b_1)} \ar[rr]_{(g_2, b_2)} & & (A_2, x_2) \ar[d]^{(f_2, a_2)} \\ (A_1, x_1) \ar[rr]^{(f_1, a_1)} & & (A, x) }\] 是 \([U/R]\) 中的可交换图表。我们将证明存在唯一态射 \((g,b):(B,z)\to(A_1\times_A A_2,x_1\times t(\widetilde{a}))\)，与到 \((A_1,x_1)\) 和 \((A_2,x_2)\) 的态射相容。必有 \(g=(g_1,g_2):B\to A_1\times_A A_2\)。由于根据假设 \(R\) 满足 (RS)，有等同 \(R(A_1\times_A A_2)=R(A_1)\times_{R(A)}R(A_2)\)。因此可写成 \(b=(b'_1,b'_2)\)，其中 \(b'_1\in R(A_1)\)、\(b'_2\in R(A_2)\)，且二者在 \(R(A)\) 中相等。于是 \(((g_1,g_2),(b'_1,b'_2)):(B,z)\to (A_1\times_A A_2,x_1\times t(\widetilde{a}))\) 与投影可交换，当且仅当 \(b'_1=b_1\) 且 \(b'_2=c(\widetilde{a},b_2)\)；这就证明了唯一性和存在性。

引理

设 \((U,R,s,t,c)\) 是 \(\mathcal{C}_\Lambda\) 上函子中的光滑群胚。假设 \(U\) 和 \(R\) 是形变函子。则：

商 \([U/R]\) 是形变范畴。

\([U/R]\) 的切空间为 \[T[U/R] = \Coker(ds-dt: TR \to TU).\]

\([U/R]\) 的无穷小自同构空间为 \[\text{Inf}([U/R]) = \Ker(ds \oplus dt : TR \to TU \oplus TU).\]

证明

由于 \(U\) 和 \(R\) 是形变函子，\([U/R]\) 是预形变范畴。根据定义，形变函子满足 (RS)，而由引理 06KT 可见 [U/R] 满足 (RS)。所以 \([U/R]\) 是形变范畴。 (2) 和 (3) 直接由定义得出。

群胚余纤维范畴的呈现

呈现定义如下。

定义

设 \(\mathcal{F}\) 是范畴 \(\mathcal{C}\) 上的群胚余纤维范畴。设 \((U,R,s,t,c)\) 是 \(\mathcal{C}\) 上函子中的群胚。所谓由 \((U,R,s,t,c)\) 给出的 \(\mathcal{F}\) 的呈现，是指 \(\mathcal{C}\) 上群胚余纤维范畴的一个等价 \(\varphi:[U/R]\to\mathcal{F}\)。

下面两个一般性引理将用于得到呈现。

引理

设 \(\mathcal{F}\) 是范畴 \(\mathcal{C}\) 上的群胚余纤维范畴。设 \(U:\mathcal{C}\to\textit{Sets}\) 是函子。设 \(f:U\to\mathcal{F}\) 是 \(\mathcal{C}\) 上群胚余纤维范畴的态射。如下定义 \(R,s,t,c\)：

\(R:\mathcal{C}\to\textit{Sets}\) 是函子 \(U\times_{f,\mathcal{F},f}U\)。

\(t,s:R\to U\) 分别为第一投影和第二投影。

\(c:R\times_{s,U,t}R\to R\) 是如下态射：在典范同构 \(R\times_{s,U,t}R\to U\times_{f,\mathcal{F},f}U\times_{f,\mathcal{F},f}U\) 下，它由 \(U\times_{f,\mathcal{F},f}U\times_{f,\mathcal{F},f}U\) 到第一因子和最后一个因子的投影给出。

则 \((U,R,s,t,c)\) 是 \(\mathcal{C}\) 上函子中的群胚。

证明

略。

引理

设 \(\mathcal{F}\) 是范畴 \(\mathcal{C}\) 上的群胚余纤维范畴。设 \(U:\mathcal{C}\to\textit{Sets}\) 是函子。设 \(f:U\to\mathcal{F}\) 是 \(\mathcal{C}\) 上群胚余纤维范畴的态射。设 \((U,R,s,t,c)\) 是引理 06KY 中由 \(f:U\to\mathcal{F}\) 构造的 \(\mathcal{C}\) 上函子中的群胚。则存在自然态射 \([f]:[U/R]\to\mathcal{F}\)，满足：

\([f]:[U/R]\to\mathcal{F}\) 全忠实。

\([f]:[U/R]\to\mathcal{F}\) 是等价，当且仅当 \(f:U\to\mathcal{F}\) 本质满。

证明

略。

形变范畴的呈现

根据下一个引理，从预形变函子到预形变范畴 \(\mathcal{F}\) 的光滑态射，会给出一个由函子中光滑群胚构成的 \(\mathcal{F}\) 的呈现。

引理

设 \(\mathcal{F}\) 是 \(\mathcal{C}_\Lambda\) 上的群胚余纤维范畴。设 \(U:\mathcal{C}_\Lambda\to\textit{Sets}\) 是函子。设 \(f:U\to\mathcal{F}\) 是群胚余纤维范畴的光滑态射。则：

若 \((U,R,s,t,c)\) 是引理 06KY 中由 \(f:U\to\mathcal{F}\) 构造的 \(\mathcal{C}_\Lambda\) 上函子中的群胚，则 \((U,R,s,t,c)\) 光滑。

若 \(f:U(k)\to\mathcal{F}(k)\) 本质满，则引理 06KZ 中的态射 \([f]:[U/R]\to\mathcal{F}\) 是等价。

证明

根据引理 06KY 的构造，有可交换图表 \[\xymatrix{ R = U \times_{f, \mathcal{F}, f} U \ar[r]_-s \ar[d]_t & U \ar[d]^f \\ U \ar[r]^f & \mathcal{F} }\] 其中 \(t,s\) 分别为第一投影和第二投影。于是由引理 06HM，\(t,s\) 光滑。因此 (1) 成立。

若 (2) 的假设成立，则由引理 06HN，态射 \(f:U\to\mathcal{F}\) 本质满。因此由引理 06KZ，态射 \([f]:[U/R]\to\mathcal{F}\) 是等价。

引理

设 \(\mathcal{F}\) 是形变范畴。设 \(U:\mathcal{C}_\Lambda\to\textit{Sets}\) 是形变函子。设 \(f:U\to\mathcal{F}\) 是群胚余纤维范畴的态射。则 \(U\times_{f,\mathcal{F},f}U\) 是形变函子，其切空间嵌入如下 \(k\)-向量空间正合序列： \[0 \to \text{Inf}(\mathcal{F}) \to T(U \times_{f, \mathcal{F}, f} U) \to TU \oplus TU\]

证明

这由引理 06L5 以及 \(\text{Inf}(U)=(0)\) 得出。

引理

设 \(\mathcal{F}\) 是形变范畴。设 \(U:\mathcal{C}_\Lambda\to\textit{Sets}\) 是 pro-可表函子。设 \(f:U\to\mathcal{F}\) 是群胚余纤维范畴的态射。设 \((U,R,s,t,c)\) 是引理 06KY 中由 \(f:U\to\mathcal{F}\) 构造的 \(\mathcal{C}_\Lambda\) 上函子中的群胚。若 \(\dim_k\text{Inf}(\mathcal{F})<\infty\)，则 \((U,R,s,t,c)\) pro-可表。

证明

注意，由例 06JB， \(U\) 是形变函子。由引理 06L6 可见， \(R=U\times_{f,\mathcal{F},f}U\) 是形变函子，其切空间 \(TR=T(U\times_{f,\mathcal{F},f}U)\) 位于正合序列 \(0\to\text{Inf}(\mathcal{F})\to TR\to TU\oplus TU\) 中。由于我们已假设第一个空间维数有限，并且由例 06IC， \(TU\) 的维数有限，所以 \(\dim TR<\infty\)。映射 \(\gamma:\text{Der}_\Lambda(k,k)\to TR\)，见（06SV），是单射；这是因为它与 \(TR\to TU\) 的复合，由关于 pro-可表函子 \(U\) 的定理 06JM 可知是单射。于是由定理 06JM， \(R\) pro-可表。再由引理 06KG， \((U,R,s,t,c)\) pro-可表。

定理

设 \(\mathcal{F}\) 是 \(\mathcal{C}_\Lambda\) 上的群胚余纤维范畴。则 \(\mathcal{F}\) 存在一个由 \(\mathcal{C}_\Lambda\) 上函子中的光滑 pro-可表群胚给出的呈现，当且仅当以下条件成立：

\(\mathcal{F}\) 是形变范畴。

\(\dim_kT\mathcal{F}\) 有限。

\(\dim_k\text{Inf}(\mathcal{F})\) 有限。

证明

回顾例 06JB： pro-可表函子是形变函子。因此，若 \(\mathcal{F}\) 等价于函子中的一个光滑 pro-可表群胚，则条件 (1)、(2)、(3) 分别由引理 06KU 的 (1)、(2)、(3) 得出。

反过来，假设条件 (1)、(2)、(3) 成立。由条件 (1) 可知 (S1) 和 (S2) 成立；见引理 06J7。由引理 06IW，存在万有形式对象 \(\xi\)。令 \(U=\underline{R}|_{\mathcal{C}_\Lambda}\)，则相应映射 \(\underline{\xi}:U\to\mathcal{F}\) 光滑（这正是万有形式对象的定义）。设 \((U,R,s,t,c)\) 是引理 06KY 中由映射 \(\underline{\xi}\) 构造的函子中的群胚。由引理 06L1 可见， \((U,R,s,t,c)\) 是函子中的光滑群胚，且 \([U/R]\to\mathcal{F}\) 是等价。由引理 06L7 可见， \((U,R,s,t,c)\) pro-可表。因此 \([U/R]\to\mathcal{F}\) 是所求的 \(\mathcal{F}\) 的呈现。

关于极小性的说明

本章的主要定理是上面的定理 06L8。它完全刻画了 \(\mathcal{C}_\Lambda\) 上那些存在函子中光滑 pro-可表群胚呈现的群胚余纤维范畴。本节简要讨论如何利用第 06T0 节和第 06IL 节所讨论的极小性，得到一个“极小”光滑 pro-可表呈现。

定义

设 \((U,R,s,t,c)\) 是 \(\mathcal{C}_\Lambda\) 上函子中的光滑 pro-可表群胚。

若群胚 \((U(k[\epsilon]),R(k[\epsilon]),s,t,c)\) 全不连通，即任意两个不同对象之间都没有态射，则称 \((U,R,s,t,c)\) 规范化。

若 \(U\to[U/R]\) 由 \([U/R]\) 的一个极小万有形式对象给出，则称 \((U,R,s,t,c)\) 极小。

这两个概念的差别与条件（06IM）和（06T6）之间的差别有关，并在 \(k'\subset k\) 可分时消失。此外，函子中的规范化光滑 pro-可表群胚是极小的，正如下一个引理所示。准确陈述如下。

引理

设 \((U,R,s,t,c)\) 是 \(\mathcal{C}_\Lambda\) 上函子中的光滑 pro-可表群胚。

\((U,R,s,t,c)\) 规范化，当且仅当态射 \(U\to[U/R]\) 在切空间上诱导同构；

\((U,R,s,t,c)\) 极小，当且仅当 \(TU\to T[U/R]\) 的核包含在 \(\text{Der}_\Lambda(k,k)\to TU\) 的像中。

证明

(1) 直接由定义得出。为证明 (2)，令 \(\mathcal{F}=[U/R]\)。由于 \(\mathcal{F}\) 有一个呈现，它是形变范畴；见定理 06L8。特别地，它满足 (RS)、(S1)、(S2)；见引理 06J7。回顾引理 06T5：极小万有形式对象在同构意义下唯一。由定理 06IX，一个极小万有对象诱导满足（06T6）的映射 \(\underline{\xi}:\underline{R}|_{\mathcal{C}_\Lambda} \to\mathcal{F}\)。由于在 \(\mathcal{F}\) 上有 \(U\cong\underline{R}|_{\mathcal{C}_\Lambda}\)，可见 \(TU\to T\mathcal{F}=T[U/R]\) 满足引理所述的性质。

\(\mathcal C_\Lambda\) 上函子中的极小 pro-可表群胚之商，不存在不是自同构的自等价。为证明这一点，先注意下列引理。

引理

设 \(U:\mathcal{C}_\Lambda\to\textit{Sets}\) 是 pro-可表函子。设 \(\varphi:U\to U\) 是态射，并且 \(d\varphi:TU\to TU\) 是同构。则 \(\varphi\) 是同构。

证明

若对某个 \(R\in\Ob(\widehat{\mathcal{C}}_\Lambda)\)， \(U\cong\underline{R}|_{\mathcal{C}_\Lambda}\)，则完备化 \(\varphi\) 得到态射 \(\underline{R}\to\underline{R}\)。若 \(f:R\to R\) 是 \(\widehat{\mathcal{C}}_\Lambda\) 中相应的态射，则 \(f\) 诱导同构 \(\text{Der}_\Lambda(R,k)\to\text{Der}_\Lambda(R,k)\)；见例 06ST。特别地，由引理 06SD，\(f\) 是满射。诺特环的满自同态是同构（见《代数》引理 06RN），所以 \(f\) 是同构，从而 \(\underline{R}\to\underline{R}\) 是同构，进而 \(\varphi:U\to U\) 是同构。

引理

设 \((U,R,s,t,c)\) 是 \(\mathcal{C}_\Lambda\) 上函子中的极小光滑 pro-可表群胚。若 \(\varphi:[U/R]\to[U/R]\) 是群胚余纤维范畴的等价，则 \(\varphi\) 是同构。

证明

态射 \(\varphi:[U/R]\to[U/R]\) 与 \(\mathcal{C}_\Lambda\) 上函子中群胚的态射 \(\varphi:(U,R,s,t,c)\to(U,R,s,t,c)\) 是同一回事，这里后者如定义 06K3 所定义。把相应态射记为 \(\phi:U\to U\) 和 \(\psi:R\to R\)。由于图表 \[\xymatrix{ & \text{Der}_\Lambda(k, k) \ar[dr]_\gamma \ar[dl]^\gamma \\ TU \ar[rr]_{d\phi} \ar[d] & & TU \ar[d] \\ T[U/R] \ar[rr]^{d\varphi} & & T[U/R] }\] 可交换，\(d\varphi\) 双射，并且有引理 06KN 中的极小性刻画，所以 \(d\phi\) 是单射（因维数理由，它也是双射）。因此由引理 06KP， \(\phi:U\to U\) 是同构。利用引理 06L6 的正合序列 \[0 \to \text{Inf}([U/R]) \to TR \to TU \oplus TU\] 作类似论证，可证明 \(\psi:R\to R\) 是同构。但这也可由 \(R=U\times_{[U/R]}U\) 以及 \(\varphi\) 和 \(\phi\) 都是同构直接得出。

引理

设 \((U,R,s,t,c)\) 和 \((U',R',s',t',c')\) 是 \(\mathcal{C}_\Lambda\) 上函子中的极小光滑 pro-可表群胚。若 \(\varphi:[U/R]\to[U'/R']\) 是群胚余纤维范畴的等价，则 \(\varphi\) 是同构。

证明

设 \(\psi:[U'/R']\to[U/R]\) 是 \(\varphi\) 的拟逆。由引理 06KQ， \(\psi\circ\varphi\) 和 \(\varphi\circ\psi\) 都是同构，因此 \(\varphi\) 和 \(\psi\) 都是同构。

下一个引理概括了本章前面得到的一些结果。

引理

设 \(\mathcal{F}\) 是形变范畴，并且 \(\dim_kT\mathcal{F}<\infty\) 且 \(\dim_k\text{Inf}(\mathcal{F})<\infty\)。则 \(\mathcal{F}\) 存在一个极小万有形式对象 \(\xi\)。设 \(\xi\) 位于 \(R\in\Ob(\widehat{\mathcal{C}}_\Lambda)\) 上方。令 \(U=\underline{R}|_{\mathcal{C}_\Lambda}\)。令 \(f=\underline{\xi}:U\to\mathcal{F}\) 为相应态射。设 \((U,R,s,t,c)\) 是引理 06KY 中由 \(f:U\to\mathcal{F}\) 构造的 \(\mathcal{C}_\Lambda\) 上函子中的群胚。则 \((U,R,s,t,c)\) 是 \(\mathcal{C}_\Lambda\) 上函子中的极小光滑 pro-可表群胚，并且存在等价 \([U/R]\to\mathcal{F}\)。

证明

由于 \(\mathcal{F}\) 是形变范畴，它满足 (S1) 和 (S2)；见引理 06J7。由引理 06IW，存在万有形式对象。由引理 06T5，存在引理陈述中那样的极小万有形式对象 \(\xi/R\)。令 \(U=\underline{R}|_{\mathcal{C}_\Lambda}\)，则相应映射 \(\underline{\xi}:U\to\mathcal{F}\) 光滑（这正是万有形式对象的定义）。设 \((U,R,s,t,c)\) 是引理 06KY 中由映射 \(\underline{\xi}\) 构造的函子中的群胚。由引理 06L1 可见， \((U,R,s,t,c)\) 是函子中的光滑群胚，并且 \([U/R]\to\mathcal{F}\) 是等价。由引理 06L7 可见， \((U,R,s,t,c)\) pro-可表。最后，\((U,R,s,t,c)\) 极小，因为 \(U\to[U/R]=\mathcal{F}\) 对应于极小万有形式对象 \(\xi\)。

由函子中的极小 pro-可表群胚给出的呈现满足下列唯一性。

引理

设 \(\mathcal{F}\) 是 \(\mathcal{C}_\Lambda\) 上的群胚余纤维范畴。假设 \(\mathcal{F}\) 存在分别由函子中的极小光滑 pro-可表群胚 \((U,R,s,t,c)\) 和 \((U',R',s',t',c')\) 给出的呈现。则 \((U,R,s,t,c)\) 与 \((U',R',s',t',c')\) 同构。

证明

这由引理 06KR 以及下述观察得出：态射 \([U/R]\to[U'/R']\) 与函子中群胚的态射是同一回事；这是因为定义 06KB 明确构造了 \([U/R]\)。

综上，我们证明了下列定理。

定理

设 \(\mathcal{F}\) 是 \(\mathcal{C}_\Lambda\) 上的群胚余纤维范畴。考虑下列条件：

\(\mathcal{F}\) 存在一个由 \(\mathcal{C}_\Lambda\) 上函子中的规范化光滑 pro-可表群胚给出的呈现；

\(\mathcal{F}\) 存在一个由 \(\mathcal{C}_\Lambda\) 上函子中的光滑 pro-可表群胚给出的呈现；

\(\mathcal{F}\) 存在一个由 \(\mathcal{C}_\Lambda\) 上函子中的极小光滑 pro-可表群胚给出的呈现；并且

\(\mathcal{F}\) 满足以下条件：

\(\mathcal{F}\) 是形变范畴。

\(\dim_kT\mathcal{F}\) 有限。

\(\dim_k\text{Inf}(\mathcal{F})\) 有限。

则 (2)、(3)、(4) 等价，并且都由 (1) 蕴含。若 \(k'\subset k\) 可分，则 (1)、(2)、(3)、(4) 全部等价。此外，为 \(\mathcal{F}\) 提供呈现的函子中极小光滑 pro-可表群胚在同构意义下唯一。

证明

由引理 06KN， (1) 蕴含 (3)，并且在 \(k'\subset k\) 可分时 (1) 等价于 (3)。显然 (3) 蕴含 (2)。由定理 06L8， (2) 蕴含 (4)。由引理 06L2， (4) 蕴含 (3)。这就证明了所有蕴含关系。最后的唯一性陈述由引理 06L3 得出。

万有环的唯一性

给定 \(\widehat{\mathcal{C}}_\Lambda\) 中的 \(R,S\)，若存在 \(r\geq0\) 以及 \(\widehat{\mathcal{C}}_\Lambda\) 中的映射 \(h:R\to R[[t_1,\ldots,t_r]]\) 和 \(k:R[[t_1,\ldots,t_r]]\to S\)，使得对所有 \(a\in R\)，

\(h(a)\bmod(t_1,\ldots,t_r)=a\)；
\(f(a)=k(a)\)；
\(g(a)=k(h(a))\)，

则称映射 \(f,g:R\to S\) 形式同伦。我们称 \((r,h,k)\) 是 \(f\) 与 \(g\) 之间的一个形式同伦。

引理

形式同伦在 \(\widehat{\mathcal{C}}_\Lambda\) 中的态射集合上构成等价关系。

证明

假设任取 \(r\geq1\)，并有两个映射 \(h_1,h_2:R\to R[[t_1,\ldots,t_r]]\)，使得对所有 \(a\in R\)， \(h_1(a)\bmod(t_1,\ldots,t_r) =h_2(a)\bmod(t_1,\ldots,t_r)=a\)，以及映射 \(k:R[[t_1,\ldots,t_r]]\to S\)。我们断言 \(k\circ h_1\) 与 \(k\circ h_2\) 形式同伦。该断言内在的对称性将说明形式同伦概念是对称的。事实上，映射 \[\Psi : R[[t_1, \ldots, t_r]] \longrightarrow R[[t_1, \ldots, t_r]],\quad \sum a_I t^I \longmapsto \sum h_1(a_I)t^I\] 是同构。对 \(a\in R\)，令 \(h(a)=\Psi^{-1}(h_2(a))\)，并令 \(k'=k\circ\Psi\)，则可见 \((r,h,k')\) 是 \(k\circ h_1\) 与 \(k\circ h_2\) 之间的形式同伦，从而证明了该断言。

设有如上三个映射 \(f_1,f_2,f_3:R\to S\)，以及 \(f_1\) 与 \(f_2\) 之间的形式同伦 \((r_1,h_1,k_1)\)，和 \(f_3\) 与 \(f_2\) 之间的形式同伦 \((r_2,h_2,k_2)\)（！）。重新标记坐标后，可假设 \(h_2:R\to R[[t_{r_1+1},\ldots,t_{r_1+r_2}]]\)，且 \(k_2:R[[t_{r_1+1},\ldots,t_{r_1+r_2}]]\to S\)。选择一个适当的同构 \[R[[t_1, \ldots, t_{r_1 + r_2}]] \longrightarrow R[[t_{r_1 + 1}, \ldots, t_{r_1 + r_2}]] \widehat{\otimes}_{h_2, R, h_1} R[[t_1, \ldots, t_{r_1}]]\] 后，可把这些映射置入可交换图表 \[\xymatrix{ R \ar[r]_{h_1} \ar[d]^{h_2} & R[[t_1, \ldots, t_{r_1}]] \ar[d]^{h_2'} \\ R[[t_{r_1 + 1}, \ldots, t_{r_1 + r_2}]] \ar[r]^{h_1'} & R[[t_1, \ldots, t_{r_1 + r_2}]] }\] 中，其中当 \(1\leq i\leq r_1\) 时 \(h_2'(t_i)=t_i\)，当 \(r_1+1\leq i\leq r_2\) 时 \(h_1'(t_i)=t_i\)。略去若干细节。由于该图表是范畴 \(\widehat{\mathcal{C}}_\Lambda\) 中的推出（见引理 06SB 的证明），并且 \(k_1\circ h_1=f_2=k_2\circ h_2\)，可知存在映射 \[k : R[[t_1, \ldots, t_{r_1 + r_2}]] \to S\] 使 \(k_1=k\circ h_2'\) 且 \(k_2=k\circ h_1'\)。记 \(h=h_1'\circ h_2=h_2'\circ h_1\)。于是

\(k(h_1'(a))=k_2(a)=f_3(a)\)；且

\(k(h_2'(a))=k_1(a)=f_1(a)\)。

由证明第一段中的断言，这说明 \(f_1\) 与 \(f_3\) 形式同伦。

引理

在范畴 \(\widehat{\mathcal{C}}_\Lambda\) 中，若 \(f_1,f_2:R\to S\) 形式同伦，且 \(g:S\to S'\) 是态射，则 \(g\circ f_1\) 与 \(g\circ f_2\) 形式同伦。

证明

事实上，若 \((r,h,k)\) 是 \(f_1\) 与 \(f_2\) 之间的形式同伦，则 \((r,h,g\circ k)\) 是 \(g\circ f_1\) 与 \(g\circ f_2\) 之间的形式同伦。

引理

设 \(\mathcal{F}\) 是 \(\mathcal{C}_\Lambda\) 上的形变范畴，并且 \(\dim_kT\mathcal{F}<\infty\)、 \(\dim_k\text{Inf}(\mathcal{F})<\infty\)。设 \(\xi\) 是位于 \(R\) 上方的万有形式对象。设 \(\eta\) 是位于 \(S\) 上方的形式对象。则任意两个满足 \[f, g : R \to S\] 且 \(f_*\xi\cong\eta\cong g_*\xi\) 的映射都形式同伦。

证明

根据定理 06L8 及其证明，\(\mathcal{F}\) 有一个由函子中的光滑 pro-可表群胚 \[(\underline{R}, \underline{R_1}, s, t, c, e, i)|_{\mathcal{C}_\Lambda}\] 给出的呈现；该群胚位于 \(\mathcal{C}_\lambda\) 上，并且 \(\mathcal{F}\)。于是映射 \(s:R\to R_1\) 和 \(t:R\to R_1\) 是形式光滑环映射，且 \(e:R_1\to R\) 是一个截面。特别地，可对某个 \(r\geq0\) 选择同构 \(R_1=R[[t_1,\ldots,t_r]]\)，使 \(s\) 是嵌入 \(R\subset R[[t_1,\ldots,t_r]]\)，而 \(t\) 对应于映射 \(h:R\to R[[t_1,\ldots,t_r]]\)，且对所有 \(a\in R\)， \(h(a)\bmod(t_1,\ldots,t_r)=a\)。同构 \(\alpha:f_*\xi\to g_*\xi\) 的存在，恰好意味着存在映射 \(k:R_1\to S\)，使 \(f=k\circ s\) 且 \(g=k\circ t\)。这恰好说明 \((r,h,k)\) 是 \(f\) 与 \(g\) 之间的形式同伦。

引理

在范畴 \(\widehat{\mathcal{C}}_\Lambda\) 中，若 \(f_1,f_2:R\to S\) 形式同伦，且 \(\mathfrak p\subset R\) 是极小素理想，则作为理想有 \(f_1(\mathfrak p)S=f_2(\mathfrak p)S\)。

证明

设 \((r,h,k)\) 是 \(f_1\) 与 \(f_2\) 之间的形式同伦。我们断言 \(\mathfrak pR[[t_1,\ldots,t_r]] =h(\mathfrak p)R[[t_1,\ldots,t_r]]\)。再与 \(k\) 复合，该断言即蕴含本引理。为证明断言，注意映射 \(\mathfrak p\mapsto\mathfrak pR[[t_1,\ldots,t_r]]\) 是 \(R\) 的极小素理想与 \(R[[t_1,\ldots,t_r]]\) 的极小素理想之间的双射。最后，因为 \(h\) 平坦， \(h(\mathfrak p)R[[t_1,\ldots,t_r]]\) 是极小素理想，所以根据刚才所述，它形如 \(\mathfrak qR[[t_1,\ldots,t_r]]\)，其中 \(\mathfrak q\subset R\) 是某个极小素理想。但根据形式同伦的定义， \(h\bmod(t_1,\ldots,t_r)=\text{id}_R\)，故 \(\mathfrak q=\mathfrak p\)，这正是所求。

更换剩余域

本节简要讨论用有限扩张替换剩余域 \(k\) 后会发生什么。设 \(\Lambda\) 是诺特环，并设 \(\Lambda\to k\) 是有限环映射，其中 \(k\) 是域。在本章中，我们一直用 \(\mathcal{C}_\Lambda\) 表示剩余域与 \(k\) 等同的阿廷局部 \(\Lambda\)-代数范畴；见定义 06GC。不过，本节将讨论更换 \(k\) 后会发生什么，所以改用记号 \(\mathcal{C}_{\Lambda,k}\) 来指明对 \(k\) 的依赖。

情形

设 \(\Lambda\) 是诺特环，并设 \(\Lambda\to k\to l\) 是有限环映射，其中 \(k\)、\(l\) 都是域。因此 \(l/k\) 是有限域扩张。 \(\mathcal{C}_{\Lambda,l}\) 的典型对象记为 \(B\)， \(\mathcal{C}_{\Lambda,k}\) 的典型对象记为 \(A\)。定义 [07W9]\[\begin{equation} \mathcal{C}_{\Lambda, l} \longrightarrow \mathcal{C}_{\Lambda, k}, \quad B \longmapsto B \times_l k \end{equation}\] 给定群胚余纤维范畴 \(p:\mathcal{F}\to\mathcal{C}_{\Lambda,k}\)，令 \(\mathcal{F}_{l/k}(B)=\mathcal{F}(B\times_l k)\)，便得到相应的群胚余纤维范畴 \[p_{l/k} : \mathcal{F}_{l/k} \longrightarrow \mathcal{C}_{\Lambda, l}.\]

函子（07W9）确有意义：由于 \(B\times_l k\subset B\)，有 \[\begin{align*} [k : k']\ \text{length}_{B \times_l k}(B \times_l k) & = \text{length}_\Lambda(B \times_l k) \\ & \leq \text{length}_\Lambda(B) \\ & = [l : k']\ \text{length}_B(B) < \infty \end{align*}\] （见引理 06GG），所以 \(B\times_l k\) 是阿廷环（见《代数》引理 00JB）。因此 \(B\times_l k\) 是剩余域为 \(k\) 的阿廷局部环。注意，（07W9）与纤维积可交换： \[(B_1 \times_B B_2) \times_l k = (B_1 \times_l k) \times_{(B \times_l k)} (B_2 \times_l k),\] 并且把满环映射变为满环映射。我们使用较为“昂贵”的记号 \(\mathcal{F}_{l/k}\)，以免与说明 06GU 中的构造混淆。下面给出一些初等观察。

引理

采用情形 07W8 中的记号和假设。

有 \(\overline{\mathcal{F}_{l/k}}=(\overline{\mathcal{F}})_{l/k}\)。

若 \(\mathcal{F}\) 是预形变范畴，则 \(\mathcal{F}_{l/k}\) 是预形变范畴。

若 \(\mathcal{F}\) 满足 (S1)，则 \(\mathcal{F}_{l/k}\) 满足 (S1)。

若 \(\mathcal{F}\) 满足 (S2)，则 \(\mathcal{F}_{l/k}\) 满足 (S2)。

若 \(\mathcal{F}\) 满足 (RS)，则 \(\mathcal{F}_{l/k}\) 满足 (RS)。

证明

(1) 直接由定义得出。

由于 \(\mathcal{F}_{l/k}(l)=\mathcal{F}(k)\)， (2) 由定义得出；见定义 06GS。

因为函子（07W9）与纤维积可交换，且把满射变为满射，(3) 得出；见定义 06HW。

证明 (4)。考虑 \(\mathcal{C}_{\Lambda,l}\) 中如定义 06HW 所述的图表 \[\xymatrix{ & l[\epsilon] \ar[d] \\ B \ar[r] & l }.\] 应用函子（07W9），得到 \[\xymatrix{ & k[l\epsilon] \ar[d] \\ B \times_l k \ar[r] & k },\] 其中 \(l\epsilon\) 表示有限维 \(k\)-向量空间 \(l\epsilon\subset l[\epsilon]\)。根据引理 06HZ，\(\mathcal{F}\) 的 (S2) 条件也对该图表成立。因此 (S2) 对 \(\mathcal{F}_{l/k}\) 成立。

(5) 由引理 06J5 的 (2) 对 (RS) 的刻画，以及（07W9）与纤维积可交换这一事实得出。

下列引理尤其适用于 \(\mathcal{F}\) 满足 (S2) 且为预形变范畴的情形；见引理 06I0。

引理

采用情形 07W8 中的记号和假设。假设 \(\mathcal{F}\) 是预形变范畴，且 \(\overline{\mathcal{F}}\) 满足 (S2)。则切空间之间存在典范 \(l\)-向量空间同构 \[T\mathcal{F} \otimes_k l \longrightarrow T\mathcal{F}_{l/k}.\]

证明

由引理 07WA，可用 \(\overline{\mathcal{F}}\) 替换 \(\mathcal{F}\)。此外，由引理 06IH， \(T\mathcal{F}\)、\(T\mathcal{F}_{l/k}\) 分别具有典范 \(k\)-向量空间结构、\(l\)-向量空间结构。于是 \[T\mathcal{F}_{l/k} = \mathcal{F}_{l/k}(l[\epsilon]) = \mathcal{F}(k[l\epsilon]) = T\mathcal{F} \otimes_k l,\] 最后一个等号由引理 06IH 得出。更一般地，给定有限维 \(l\)-向量空间 \(V\)，有 \[\mathcal{F}_{l/k}(l[V]) = \mathcal{F}(k[V_k]) = T\mathcal{F} \otimes_k V_k,\] 其中 \(V_k\) 表示把 \(V\) 看作 \(k\)-向量空间。因此，作为取值于集合范畴的函子，函子 \(V\mapsto\mathcal{F}_{l/k}(l[V])\) 和 \(V\mapsto T\mathcal{F}\otimes_k V_k\) 典范等同。由引理 06I6，可见至多有一种方法使任一函子成为 \(l\)-线性函子。因此这些同构与 \(l\)-向量空间结构相容，结论得证。

引理

采用情形 07W8 中的记号和假设。假设 \(\mathcal{F}\) 是形变范畴。则无穷小自同构空间之间存在典范 \(l\)-向量空间同构 \[\text{Inf}(\mathcal{F}) \otimes_k l \longrightarrow \text{Inf}(\mathcal{F}_{l/k}).\]

证明

设 \(x_0\in\Ob(\mathcal{F}(k))\)，并用 \(x_{l,0}\) 表示 \(\mathcal{F}_{l/k}\) 在 \(l\) 上方的相应对象。回顾 \(\text{Inf}(\mathcal{F})=\text{Inf}_{x_0}(\mathcal{F})\) 且 \(\text{Inf}(\mathcal{F}_{l/k}) =\text{Inf}_{x_{l,0}}(\mathcal{F}_{l/k})\)；见说明 06JS。回顾 \(\text{Inf}_{x_0}(\mathcal{F})\) 的向量空间结构来自将其等同为函子 \(\mathit{Aut}(x_0)\) 的切空间；该函子定义在剩余域为 \(k\) 的阿廷局部 \(k\)-代数范畴 \(\mathcal{C}_{k,k}\) 上。类似地， \(\text{Inf}_{x_{l,0}}(\mathcal{F}_{l/k})\) 是 \(\mathit{Aut}(x_{l,0})\) 的切空间；后者定义在剩余域为 \(l\) 的阿廷局部 \(l\)-代数范畴 \(\mathcal{C}_{l,l}\) 上。展开定义可见， \(\mathit{Aut}(x_{l,0})\) 是 \(\mathit{Aut}(x_0)_{l/k}\)（它定义在 \(\mathcal{C}_{k,l}\) 上）到 \(\mathcal{C}_{l,l}\) 的限制。把 \(\mathit{Aut}(x_0)_{l/k}\) 看作 \(\mathcal{C}_{k,l}\) 或 \(\mathcal{C}_{l,l}\) 上的函子，其切空间没有差别。因此本引理由引理 07WB 以及下述事实得出：由引理 06JU， \(\mathit{Aut}(x_0)\) 满足 (RS) （因而由引理 06J7 满足 (S2)）。

引理

采用情形 07W8 中的记号和假设。若 \(\mathcal{F}\to\mathcal{G}\) 是 \(\mathcal{C}_{\Lambda,k}\) 上群胚余纤维范畴的光滑态射，则 \(\mathcal{F}_{l/k}\to\mathcal{G}_{l/k}\) 是 \(\mathcal{C}_{\Lambda,l}\) 上群胚余纤维范畴的光滑态射。

证明

这直接由定义以及（07W9）保持满射这一事实得出。

关于 \(\mathcal{F}\) 与 \(\mathcal{F}_{l/k}\) 的关系，还有更多可以说明的内容（特别是关于万有形变之间的关系）；我们会在需要时把这些内容添加到这里。

引理

采用情形 07W8 中的记号和假设。设 \(\xi\) 是 \(\mathcal{F}\) 的万有形式对象，位于 \(R\in\Ob(\widehat{\mathcal{C}}_{\Lambda,k})\) 上方。则存在：

一个 \(S\in\Ob(\widehat{\mathcal{C}}_{\Lambda,l})\) 以及局部 \(\Lambda\)-代数同态 \(R\to S\)；该同态在 \(\mathfrak m_S\)-进拓扑下形式光滑，并在剩余域上诱导给定的域扩张 \(l/k\)；以及

\(\mathcal{F}_{l/k}\) 的一个位于 \(S\) 上方的万有形式对象。

证明

构造 \(S\)。选择 \(R\)-代数的满射 \(R[x_1,\ldots,x_n]\to l\)。其核为极大理想 \(\mathfrak m\)。令 \(S\) 为诺特环 \(R[x_1,\ldots,x_n]\) 的 \(\mathfrak m\)-进完备化。于是由《代数》引理 0316， \(S\) 属于 \(\widehat{\mathcal{C}}_{\Lambda,l}\)。由《代数进阶》引理 07EC 和 07ED，以及 \(R\to R[x_1,\ldots,x_n]\) 形式光滑这一事实，映射 \(R\to S\) 在 \(\mathfrak m_S\)-进拓扑下形式光滑。（比较引理 06SM 的证明。）

由于 \(\xi\) 万有，变换 \(\underline{\xi}:\underline{R}|_{\mathcal{C}_{\Lambda,k}} \to\mathcal{F}\) 光滑。由引理 07WD，诱导映射 \[(\underline{R}|_{\mathcal{C}_{\Lambda, k}})_{l/k} \longrightarrow \mathcal{F}_{l/k}\] 光滑。因此只需构造光滑态射 \(\underline{S}|_{\mathcal{C}_{\Lambda,l}}\to (\underline{R}|_{\mathcal{C}_{\Lambda,k}})_{l/k}\)。给出这样的映射，意即对 \(\mathcal{C}_{\Lambda,l}\) 的每个对象 \(B\)，给出关于 \(B\) 函子性的集合映射 \[\Mor_{\widehat{\mathcal{C}}_{\Lambda, l}}(S, B) \longrightarrow \Mor_{\widehat{\mathcal{C}}_{\Lambda, k}}(R, B \times_l k).\] 给定左侧元素 \(\varphi:S\to B\)，把它映到复合 \(R\to S\to B\)；该复合的像包含在子 \(\Lambda\)-代数 \(B\times_l k\) 中。该映射的光滑性意味着：给定满射 \(B'\to B\) 和可交换图表 \[\xymatrix{ S \ar[r] & B \ar@{=}[r] & B \\ R \ar[u] \ar[r] & B' \times_l k \ar[u] \ar[r] & B' \ar[u] },\] 必须找到环映射 \(S\to B'\)，使其嵌入外侧矩形。由于我们选择的 \(R\to S\) 在 \(\mathfrak m_S\)-进拓扑下形式光滑，这一映射的存在性由《代数进阶》引理 07NJ 保证。

注意：我们稍后将看到，在本章的一般设定下， \(\Lambda\) 上对象 \(A \in \mathcal{C}_\Lambda\) 的切空间，不应简单地定义为相对余切空间的 \(k\)-线性对偶。事实上，相对余切空间的正确定义是 \(\Omega_{S/R} \otimes_S S/\mathfrak m_S\)。↩︎
例如，若 \(\mathcal{F}\) 满足 (S2)，则此条件成立；见引理 06I0。↩︎
这可能不是标准术语。许多作者把这一概念与切空间的性质联系起来。我们将在第 06IL 节说明这种联系。↩︎