代数空间的周群

引言

本章先讨论代数空间的周群。定义这些群之后，我们把向量丛的陈类定义为作用于这些周群的算子。所用策略与概形情形完全相同。因此，我们建议读者先阅读概形相应章节的引言（《Chow 同调》第 02P4 节）。

设定

我们先固定所要使用的代数空间范畴。请在本章始终注意，根据《合宜空间》引理 0BB6， “合宜 \(+\) 局部诺特”等价于“拟分离 \(+\) 局部诺特”。

情形

这里 \(S\) 是概形，\(B\) 是 \(S\) 上的代数空间。假设 \(B\) 拟分离、局部诺特且普遍链状（《合宜空间》定义 0ED7）。此外，假设给定维数函数 \(\delta : |B| \longrightarrow \mathbf{Z}\)。若 \(X\) 是 \(B\) 上的代数空间，且其结构态射 \(f:X\to B\) 拟分离并局部有限型，则称 \(X/B\) 是良好的。在这种情况下，定义 \[\delta = \delta_{X/B} : |X| \longrightarrow \mathbf{Z}\] 为把 \(x\) 映到 \(\delta(f(x))\) 与 \(x/f(x)\) 的超越次数之和的映射（《空间的态射》定义 04NM）。由《空间的态射续篇》引理 0EDN，这是一个维数函数。

一个特殊情形是 \(S=B\) 为概形，且 \((S,\delta)\) 如《Chow 同调》情形 02QL 中所述。因此，\(B\) 可以是一个域的谱（《Chow 同调》例 02QM），也可以是 \(B=\Spec(\mathbf{Z})\) （《Chow 同调》例 02QN）。

许多关于代数空间的引理、命题、定理和定义，在情形 0EDT 的设定下更容易处理，因为我们所用的代数空间拟分离（从而更是合宜的）且局部诺特。本章将穿插如下评注来指出这一点。

注

在情形 0EDT 中，若 \(X/B\) 良好，则 \(|X|\) 是清醒拓扑空间；见《空间的性质》引理 06NJ 或《合宜空间》命题 03K6。下文选取 \(|X|\) 中不可约闭子集的泛点时，将直接使用这一事实而不再说明。

注

在情形 0EDT 中，若 \(X/B\) 良好，则 \(X\) 为整代数空间（《域上的空间》定义 0AD4）当且仅当 \(X\) 既约且 \(|X|\) 不可约。此外，对任意点 \(\xi\in|X|\)，存在唯一的整闭子空间 \(Z\subset X\)，使得 \(\xi\) 是闭子集 \(|Z|\subset|X|\) 的泛点；见《域上的空间》引理 0ENF。

若 \(B\) 是 Jacobson 的，并且 \(\delta\) 把闭点映到零，则 \(\delta\) 正是把每一点映到其闭包之维数的函数。

引理

在情形 0EDT 中，假设 \(B\) 是 Jacobson 的，并且对 \(|B|\) 的每个闭点 \(b\) 都有 \(\delta(b)=0\)。令 \(X/B\) 良好。若 \(Z\subset X\) 是泛点为 \(\xi\in|Z|\) 的整闭子空间，则下列整数相等：

\(\delta(\xi) = \delta_{X/B}(\xi)\),

\(\dim(|Z|)\),

\(\text{codim}(\{z\}, |Z|)\) for \(z \in |Z|\) closed,

对任意闭点 \(z\in|Z|\)，\(Z\) 在 \(z\) 处局部环的维数；以及

\(\dim(\mathcal{O}_{Z, \overline{z}})\) for \(z \in |Z|\) closed.

证明

令 \(X,Z,\xi\) 如引理所述。由于 \(X\) 在 \(B\) 上局部有限型，\(X\) 是 Jacobson 的；见《合宜空间》引理 0BA3。于是，由《合宜空间》引理 0BA5， \(X_{\text{ft-pts}}\subset|X|\) 是闭点集。给定 \(|Z|\) 中不可约闭子集的链 \(T_0\supset\ldots\supset T_e\)，由《空间的态射》引理 06EK， \(T_e\cap X_{\text{ft-pts}}\) 非空。因此，总可以假设这样的链终止于 \(T_e=\{z\}\)，其中 \(z\in|Z|\) 为闭点。于是 \(\dim(Z)=\sup_z\text{codim}(\{z\},|Z|)\)，其中 \(z\) 遍历 \(|Z|\) 的闭点。由《拓扑学》引理 02IA，有 \(\text{codim}(\{z\},Z)=\delta(\xi)-\delta(z)\)。由《空间的态射》引理 06EI， \(z\) 的像是 \(B\) 的有限型点，即 \(|B|\) 的闭点。由《空间的态射》引理 0ECY， \(z/b\) 的超越次数为 \(0\)。结合假设，得到 \(\delta(z)=\delta(b)=0\)。因此有等式 \[\dim(|Z|) = \text{codim}(\{z\}, Z) = \delta(\xi)\] 对每个闭点 \(z\in|Z|\) 都成立。最后，由《合宜空间》引理 0ED1， \(\text{codim}(\{z\},Z)\) 等于 \(Z\) 在 \(z\) 处局部环的维数；再由《空间的性质》引理 04N9，后者等于 \(\dim(\mathcal{O}_{Z,\overline{z}})\)。

在上面引理的情形中，\(\delta\) 在一个不可约闭子集之泛点处的值，就是该不可约闭子集的维数。这引出如下定义。

定义

在情形 0EDT 中，对任意良好的 \(X/B\) 以及任意不可约闭子集 \(T\subset|X|\)，定义 \[\dim_\delta(T) = \delta(\xi)\] 其中 \(\xi\in T\) 是 \(T\) 的泛点。称它为 \(T\) 的\(\delta\)-维数。若 \(T\subset|X|\) 是任意闭子集，则定义 \(\dim_\delta(T)\) 为 \(T\) 的各个不可约分支之 \(\delta\)-维数的上确界。若 \(Z\) 是 \(X\) 的闭子空间，则置 \(\dim_\delta(Z) = \dim_\delta(|Z|)\).

当然，这恰好意味着 \(\dim_\delta(T) = \sup \{\delta(t) \mid t \in T\}\).

代数闭链

本节是《Chow 同调》第 02QQ 节的代数空间版本。

由于并未假设所考虑的空间拟紧，定义闭链时必须稍加小心。例如，一个有理函数可能有无穷多个极点，因此必须允许无穷和。无论如何，若 \(X\) 拟紧，则闭链仍像通常那样是有限和。

定义

在情形 0EDT 中，令 \(X/B\) 良好，并令 \(k\in\mathbf{Z}\)。

\(X\) 上的闭链是形式和 \[\alpha = \sum n_Z [Z]\] 其中求和遍历整闭子空间 \(Z\subset X\)，每个 \(n_Z\in\mathbf{Z}\)，并且 \(\{|Z|;n_Z\not=0\}\) 是 \(|X|\) 的局部有限子集族（《拓扑学》定义 0BDS）。

\(X\) 上的\(k\) 维闭链是形如 \[\alpha = \sum n_Z [Z]\] 的闭链，其中 \(n_Z\not=0\Rightarrow\dim_\delta(Z)=k\)。

\(X\) 上全体 \(k\) 维闭链组成的阿贝尔群记为 \(Z_k(X)\)。

换言之，\(X\) 上的 \(k\) 维闭链，是由 \(\delta\)-维数为 \(k\) 的整闭子空间（评注 0EDV）组成的局部有限形式 \(\mathbf{Z}\)-线性组合。\(k\) 维闭链 \(\alpha=\sum n_Z[Z]\) 与 \(\beta=\sum m_Z[Z]\) 的和定义为 \[\alpha + \beta = \sum (n_Z + m_Z)[Z],\] 即逐项相加系数。

重数

本节给出几个关于长度与重数的简单结果。

引理

设 \(S\) 为概形，\(X\) 为 \(S\) 上的代数空间，\(\mathcal{F}\) 为拟凝聚 \(\mathcal{O}_X\)-模。令 \(x\in|X|\)，并令 \(d\in\{0,1,2,\ldots,\infty\}\)。下列条件等价：

\(\text{length}_{\mathcal{O}_{X, \overline{x}}} \mathcal{F}_{\overline{x}} = d\)

存在平展态射 \(U\to X\)，其中 \(U\) 是概形，并存在映到 \(x\) 的 \(u\in U\)，使得 \(\text{length}_{\mathcal{O}_{U, u}} (\mathcal{F}|_U)_u = d\)

对任意平展态射 \(U\to X\)，其中 \(U\) 是概形，以及任意映到 \(x\) 的 \(u\in U\)，都有 \(\text{length}_{\mathcal{O}_{U, u}} (\mathcal{F}|_U)_u = d\)

证明

令 \(U\to X\) 与 \(u\in U\) 如 (2) 或 (3) 所述。于是 \(\mathcal{O}_{X,\overline{x}}\) 是 \(\mathcal{O}_{U,u}\) 的严格 Hensel 化，并且 \[\mathcal{F}_{\overline{x}} = (\mathcal{F}|_U)_u \otimes_{\mathcal{O}_{U, u}} \mathcal{O}_{X, \overline{x}}\] 见《空间的性质》引理 04KF 和 05VP。由《代数学》引理 02M1、 \(\mathcal{O}_{U,u}\to\mathcal{O}_{X,\overline{x}}\) 的平坦性，以及 \(\mathcal{O}_{X,\overline{x}}/\mathfrak m_u\mathcal{O}_{X,\overline{x}}\) 等于 \(\mathcal{O}_{X,\overline{x}}\) 的剩余域，便得到所需的长度相等。关于严格 Hensel 化的这些事实见《代数续篇》引理 07QM。

定义

设 \(S\) 为概形，\(X\) 为 \(S\) 上的代数空间，\(\mathcal{F}\) 为拟凝聚 \(\mathcal{O}_X\)-模。令 \(x\in|X|\)，并令 \(d\in\{0,1,2,\ldots,\infty\}\)。若引理 0EE1 中的等价条件成立，则称\(\mathcal{F}\) 在 \(x\) 处的长度为 \(d\)。

引理

设 \(S\) 为概形，\(i:Y\to X\) 为 \(S\) 上代数空间的闭浸入， \(\mathcal{G}\) 为拟凝聚 \(\mathcal{O}_Y\)-模。令 \(y\in|Y|\) 的像为 \(x\in|X|\)，并令 \(d\in\{0,1,2,\ldots,\infty\}\)。下列条件等价：

\(\mathcal{G}\) 在 \(y\) 处的长度为 \(d\)；

\(i_*\mathcal{G}\) 在 \(x\) 处的长度为 \(d\)。

证明

选取平展态射 \(f:U\to X\)，其中 \(U\) 为概形，并选取映到 \(x\) 的 \(u\in U\)。置 \(V=Y\times_XU\)，并把投影记为 \(g:V\to Y\) 和 \(j:V\to U\)。那么 \(j:V\to U\) 是闭浸入，并存在唯一的点 \(v\in V\) 同时映到 \(y\in|Y|\) 与 \(u\in U\)（使用《空间的性质》引理 03H4 和《空间》引理 02YW）。作为概形 \(V\) 上的模，有 \(j_*(\mathcal{G}|_V)=(i_*\mathcal{G})|_U\)，而 \(j_*\) 是概形态射 \(j\) 的“通常”模推出；见《空间的上同调》式 (071Z) 附近的讨论。这样便约化到概形情形：若 \(i:Y\to X\) 是概形的闭浸入，则 \[(i_*\mathcal{G})_x = \mathcal{G}_y\] 这是 \(\mathcal{O}_{X,x}\)-模的等式，其中右端的模结构由满射 \(i_y^\sharp:\mathcal{O}_{X,x}\to\mathcal{O}_{Y,y}\) 给出。于是由《代数学》引理 00IX 得到长度相等。

引理

设 \(S\) 为概形，\(X\) 为 \(S\) 上局部诺特的代数空间，\(\mathcal{F}\) 为凝聚 \(\mathcal{O}_X\)-模，并令 \(x\in|X|\)。下列条件等价：

存在平展态射 \(U\to X\)，其中 \(U\) 为概形，并存在映到 \(x\) 的 \(u\in U\)，使得 \(u\) 是 \(\text{Supp}(\mathcal{F}|_U)\) 的某个不可约分支的泛点；

对任意平展态射 \(U\to X\)，其中 \(U\) 为概形，以及任意映到 \(x\) 的 \(u\in U\)，点 \(u\) 都是 \(\text{Supp}(\mathcal{F}|_U)\) 的某个不可约分支的泛点；

\(\mathcal{F}\) 在 \(x\) 处的长度有限且非零。

若 \(X\) 合宜（等价地，拟分离），则这些条件还等价于

\(x\) 是 \(\text{Supp}(\mathcal{F})\) 的某个不可约分支的泛点。

证明

设 \(f:U\to X\) 是平展态射，\(U\) 为概形，并且 \(u\in U\) 映到 \(x\)。那么 \(\mathcal{F}|_U=f^*\mathcal{F}\) 是局部诺特概形 \(U\) 上的凝聚 \(\mathcal{O}_U\)-模，特别地，\((\mathcal{F}|_U)_u\) 是有限 \(\mathcal{O}_{U,u}\)-模；见《空间的上同调》引理 07UB 与《概形的上同调》引理 01XZ。回忆 \(\mathcal{F}|_U\) 的支集是 \(U\) 的闭子集（《态射》引理 056J），而 \((\mathcal{F}|_U)_u\) 的支集是 \(\mathcal{F}|_U\) 的支集沿态射 \(\Spec(\mathcal{O}_{U,u})\to U\) 的拉回。因此，\(u\) 是 \(\text{Supp}(\mathcal{F}|_U)\) 的某个不可约分支的泛点，当且仅当 \((\mathcal{F}|_U)_u\) 的支集等于 \(\mathcal{O}_{U,u}\) 的极大理想。现在，(1)、(2)、(3) 的等价性由《代数学》引理 00L5 得出。

若 \(X\) 合宜，则选取平展态射 \(f:U\to X\) 以及映到 \(x\) 的点 \(u\in U\)。\(\mathcal{F}\) 的支集拉回为 \(\mathcal{F}|_U\) 的支集；见《空间的态射》引理 07TZ。此外，\(|X|\) 中的特化 \(x'\leadsto x\) 可提升为 \(U\) 中的特化 \(u'\leadsto u\)，而 \(U\) 中任意非平凡特化 \(u'\leadsto u\) 都映到 \(|X|\) 中的非平凡特化 \(f(u')\leadsto f(u)\)；见《合宜空间》引理 03IL 和 03K5。利用 \(|X|\) 和 \(U\) 都是清醒拓扑空间这一事实（《合宜空间》命题 03K6 与《概形》引理 01IS），可知 \(x\) 是 \(\mathcal{F}\) 支集的泛点，当且仅当 \(u\) 是 \(\mathcal{F}|_U\) 支集的泛点。因此，(4) 等价于 (1)。

括号中的陈述来自《合宜空间》引理 0BB6.

引理

在情形 0EDT 中，令 \(X/B\) 良好，\(T\subset|X|\) 为闭子集，且 \(t\in T\)。若 \(\dim_\delta(T)\leq k\) 且 \(\delta(t)=k\)，则 \(t\) 是 \(T\) 的某个不可约分支的泛点。

证明

点 \(t\) 包含在某个不可约分支 \(T'\subset T\) 中。令 \(t'\in T'\) 为其泛点。那么 \(k\geq\delta(t')\geq\delta(t)\)。由于 \(\delta\) 是维数函数，必有 \(t=t'\)。

闭子空间的伴随闭链

本节是《Chow 同调》第 02QS 节的代数空间版本。

注

在情形 0EDT 中，令 \(X/B\) 良好，并令 \(Y\subset X\) 为闭子空间。由评注 0EDU 和 0EDV，下列三者之间存在一一对应：

\(|Y|\) 的不可约分支 \(T\)；

\(|Y|\) 的不可约分支的泛点；

整闭子空间 \(Z\subset Y\)，满足 \(|Z|\) 是 \(|Y|\) 的不可约分支。

本章称 (3) 中的 \(Z\) 为 \(Y\) 的不可约分支，并称 \(\xi\in|Z|\) 为该分支的泛点。

定义

在情形 0EDT 中，令 \(X/B\) 良好，并令 \(Y\subset X\) 为闭子空间。

对泛点为 \(\xi\) 的不可约分支 \(Z\subset Y\)，称 \(\mathcal{O}_Y\) 在 \(\xi\) 处的长度（定义 0EE2）为 \(Z\) 在 \(Y\) 中的重数。把引理 0EE4 应用于 \(Y\) 上的 \(\mathcal{O}_Y\)，可知这是正整数。

假设 \(\dim_\delta(Y)\leq k\)。定义\(Y\) 的伴随 \(k\) 维闭链为 \[[Y]_k = \sum m_{Z, Y}[Z]\] 其中求和遍历 \(Y\) 的所有 \(\delta\)-维数为 \(k\) 的不可约分支 \(Z\)，而 \(m_{Z,Y}\) 是 \(Z\) 在 \(Y\) 中的重数。由《域上的空间》引理 0EE5，这是一个 \(k\) 维闭链。

务必注意，只有当 \(Y\) 的 \(\delta\)-维数不超过 \(k\) 时，我们才定义 \([Y]_k\)。换言之，按照约定，一旦写出 \([Y]_k\)，就隐含 \(\dim_\delta(Y)\leq k\)。

凝聚层的伴随闭链

本节是《Chow 同调》第 02QV 节的代数空间版本。

定义

在情形 0EDT 中，令 \(X/B\) 良好，并令 \(\mathcal{F}\) 为凝聚 \(\mathcal{O}_X\)-模。

设整闭子空间 \(Z\subset X\) 的泛点为 \(\xi\)，并且 \(|Z|\) 是 \(\text{Supp}(\mathcal{F})\) 的不可约分支。称 \(\mathcal{F}\) 在 \(\xi\) 处的长度（定义 0EE2）为\(Z\) 在 \(\mathcal{F}\) 中的重数。由引理 0EE4，这是正整数。

假设 \(\dim_\delta(\text{Supp}(\mathcal{F}))\leq k\)。定义 \(\mathcal{F}\) 的伴随 \(k\) 维闭链为 \[[\mathcal{F}]_k = \sum m_{Z, \mathcal{F}}[Z]\] 其中求和遍历整闭子空间 \(Z\subset X\)，它们对应于 \(\text{Supp}(\mathcal{F})\) 中 \(\delta\)-维数为 \(k\) 的不可约分支，而 \(m_{Z,\mathcal{F}}\) 是 \(Z\) 在 \(\mathcal{F}\) 中的重数。由《域上的空间》引理 0EE5，这是一个 \(k\) 维闭链。

务必注意，只有当 \(\mathcal{F}\) 凝聚且 \(\text{Supp}(\mathcal{F})\) 的 \(\delta\)-维数不超过 \(k\) 时，我们才定义 \([\mathcal{F}]_k\)。换言之，按照约定，一旦写出 \([\mathcal{F}]_k\)，就隐含 \(\mathcal{F}\) 是 \(X\) 上的凝聚模，并且 \(\dim_\delta(\text{Supp}(\mathcal{F}))\leq k\)。

引理

在情形 0EDT 中，令 \(X/B\) 良好。设 \(\mathcal{F}\) 为凝聚 \(\mathcal{O}_X\)-模，且 \(\dim_\delta(\text{Supp}(\mathcal{F}))\leq k\)。令 \(Z\) 为 \(X\) 的整闭子空间，满足 \(\dim_\delta(Z)=k\)，并令 \(\xi\in|Z|\) 为其泛点。那么， \([\mathcal{F}]_k\) 中 \(Z\) 的系数等于 \(\mathcal{F}\) 在 \(\xi\) 处的长度。

证明

注意，\(|Z|\) 是 \(\text{Supp}(\mathcal{F})\) 的不可约分支，当且仅当 \(\xi\in\text{Supp}(\mathcal{F})\)；见引理 0EE6。此外，若 \(\xi\not \in\text{Supp}(\mathcal{F})\)，则 \(\mathcal{F}\) 在 \(\xi\) 处的长度为零。结合定义 0EEB 即得结论。

引理

在情形 0EDT 中，令 \(X/B\) 良好，并令 \(Y\subset X\) 为闭子空间。若 \(\dim_\delta(Y)\leq k\)，则 \([Y]_k=[i_*\mathcal{O}_Y]_k\)，其中 \(i:Y\to X\) 为包含态射。

证明

令 \(Z\) 为 \(X\) 的整闭子空间，且 \(\dim_\delta(Z)=k\)。若 \(Z\not\subset Y\)，则 \(Z\) 在 \([Y]_k\) 和 \([i_*\mathcal{O}_Y]_k\) 中的系数都为零。若 \(Z\subset Y\)，则可把 \(Z\) 的泛点视为 \(y\in|Y|\)，其像为 \(x\in|X|\)。于是，\([Y]_k\) 中 \(Z\) 的系数是 \(\mathcal{O}_Y\) 在 \(y\) 处的长度，而 \([i_*\mathcal{O}_Y]_k\) 中 \(Z\) 的系数是 \(i_*\mathcal{O}_Y\) 在 \(x\) 处的长度。系数相等便由引理 0EE3 得出。

引理

在情形 0EDT 中，令 \(X/B\) 良好。设 \(0\to\mathcal{F}\to\mathcal{G}\to\mathcal{H}\to0\) 为凝聚 \(\mathcal{O}_X\)-模的短正合列。假设 \(\mathcal{F},\mathcal{G},\mathcal{H}\) 的支集之 \(\delta\)-维数都不超过 \(k\)。那么 \([\mathcal{G}]_k=[\mathcal{F}]_k+[\mathcal{H}]_k\)。

证明

令 \(Z\) 为 \(X\) 的整闭子空间，且 \(\dim_\delta(Z)=k\)。只需证明 \(Z\) 在 \([\mathcal{G}]_k,[\mathcal{F}]_k,[\mathcal{H}]_k\) 中的系数满足相应的可加性。由引理 0EEC，只需证明 \[\mathcal{G}\text{ 在 }x\text{ 处的长度} = \mathcal{F}\text{ 在 }x\text{ 处的长度} + \mathcal{H}\text{ 在 }x\text{ 处的长度}\] 对任意 \(x\in|X|\) 成立。根据定义 0EE2，这立即来自长度的可加性；见《代数学》引理 00IV。

固有推出的准备

本节是《Chow 同调》第 02R0 节的代数空间版本。

引理

在情形 0EDT 中，令 \(X,Y/B\) 良好，并令 \(f:X\to Y\) 为 \(B\) 上的态射。若 \(Z\subset X\) 为整闭子空间，则存在唯一的整闭子空间 \(Z'\subset Y\)，使得存在交换图表 \[\xymatrix{ Z \ar[r] \ar[d] & X \ar[d]^f \\ Z' \ar[r] & Y }\] 且 \(Z\to Z'\) 支配。若 \(f\) 固有，则 \(Z\to Z'\) 固有且满射。

证明

令 \(\xi\in|Z|\) 为泛点，并令 \(Z'\subset Y\) 为泛点 \(\xi'=f(\xi)\) 的整闭子空间；见评注 0EDV。由《空间的性质》引理 03H4，有 \(\xi\in|f^{-1}(Z')|=|f|^{-1}(|Z'|)\)；又由于 \(Z\) 既约且 \(|Z|=\overline{\{\xi\}}\)，可知 \(Z\subset f^{-1}(Z')\) 是 \(X\) 的闭子空间（见《空间的性质》引理 03JJ）。于是得到态射 \(Z\to Z'\)。该态射支配，因为 \(Z\) 的泛点映到 \(Z'\) 的泛点。\(Z'\) 的唯一性显然。若 \(f\) 固有，则 \(Z\to Y\) 作为固有态射的复合而固有（《空间的态射》引理 04WP 和 04XZ）。再由《空间的态射》引理 04NX， \(Z\to Z'\) 固有。由于固有态射的像是闭集，随即得到满射性。

注

在情形 0EDT 中，令 \(X/B\) 良好。每个 \(x\in|X|\) 都可由一个（唯一的）单态射 \(\Spec(k)\to X\) 表示，其中 \(k\) 为域；见《合宜空间》引理 03K4。此时，\(k\) 称为 \(x\) 的剩余域，记为 \(\kappa(x)\)。回忆 \(X\) 有一个稠密开子概形 \(U\subset X\)（《空间的性质》命题 06NH）。若 \(x\in U\)，则 \(\kappa(x)\) 与把 \(U\) 视为概形时 \(x\) 的剩余域一致。见《合宜空间》第 0EMV 节。

注

在情形 0EDT 中，令 \(X/B\) 良好，并假设 \(X\) 为整空间。在这种情况下，\(X\) 的函数域 \(R(X)\) 有定义，并等于 \(X\) 在其泛点处的剩余域。见《域上的空间》定义 0ENE。结合评注 0EDV 可知，对任意 \(x\in X\)，剩余域 \(\kappa(x)\) 是以 \(x\) 为泛点的唯一整闭子空间 \(Z\subset X\) 的函数域。

引理

在情形 0EDT 中，令 \(X,Y/B\) 良好，并令 \(f:X\to Y\) 为 \(B\) 上的态射。假设 \(X,Y\) 都是整空间且 \(\dim_\delta(X)=\dim_\delta(Y)\)。那么，或者 \(f\) 通过 \(Y\) 的某个真闭子空间分解，或者 \(f\) 支配且函数域扩张 \(R(X)/R(Y)\) 有限。

证明

由引理 0EEG，存在唯一的整闭子空间 \(Z\subset Y\)，使得 \(f\) 通过支配态射 \(X\to Z\) 分解。此时，\(Z=Y\) 当且仅当 \(\dim_\delta(Z)=\dim_\delta(Y)\)。另一方面，由维数函数的构造（见情形 0EDT），有 \(\dim_\delta(X)=\dim_\delta(Z)+r\)，其中 \(r\) 是扩张 \(R(X)/R(Z)\) 的超越次数。结合《域上的空间》引理 0AD5 即得结论。

引理

在情形 0EDT 中，令 \(X,Y/B\) 良好，并令 \(f:X\to Y\) 为 \(B\) 上的态射。假设 \(f\) 拟紧，且 \(\{T_i\}_{i\in I}\) 是 \(|X|\) 中闭子集的局部有限族。那么，\(\{\overline{|f|(T_i)}\}_{i\in I}\) 是 \(|Y|\) 中闭子集的局部有限族。

证明

令 \(V\subset|Y|\) 为拟紧开子集。由《空间的态射》引理 0EMK， \(|f|^{-1}(V)\subset|X|\) 拟紧。因此，集合 \(\{i \in I : T_i \cap |f|^{-1}(V) \not = \emptyset \}\) 由一个略去的简单拓扑论证可知是有限的。由于它与下列集合相同： \[\{i \in I : |f|(T_i) \cap V \not = \emptyset \} = \{i \in I : \overline{|f|(T_i)} \cap V \not = \emptyset \}\] 引理得证。

固有推出

本节是《Chow 同调》第 02R3 节的代数空间版本。

定义

在情形 0EDT 中，令 \(X,Y/B\) 良好，并令 \(f:X\to Y\) 为 \(B\) 上的态射。假设 \(f\) 固有。

令 \(Z\subset X\) 为整闭子空间，且 \(\dim_\delta(Z)=k\)。令 \(Z'\subset Y\) 为引理 0EEG 意义下 \(Z\) 的像。定义 \[f_*[Z] = \left\{ \begin{matrix} 0 & \text{若} & \dim_\delta(Z')< k, \\ \deg(Z/Z') [Z'] & \text{若} & \dim_\delta(Z') = k. \end{matrix} \right.\] 由引理 0ENY 和《域上的空间》定义 0AD6，若 \(\dim_\delta(Z')=\dim_\delta(Z)\)，则 \(Z\) 在 \(Z'\) 上的次数有定义且有限。

令 \(\alpha=\sum n_Z[Z]\) 为 \(X\) 上的 \(k\) 维闭链。定义 \(\alpha\) 的推出为下列和： \[f_* \alpha = \sum n_Z f_*[Z]\] 其中每个 \(f_*[Z]\) 均如上定义。由引理 0ENZ，该和局部有限。

按照定义，闭链的固有推出 \[f_* : Z_k(X) \longrightarrow Z_k(Y)\] 是阿贝尔群同态。它使 \(X\mapsto Z_k(X)\) 成为如下范畴上的协变函子：对象是 \(B\) 上良好的代数空间，态射是 \(B\) 上的固有态射。

引理

在情形 0EDT 中，令 \(X,Y,Z/B\) 良好，并令 \(f:X\to Y\) 与 \(g:Y\to Z\) 为 \(B\) 上的固有态射。那么，作为映射 \(Z_k(X)\to Z_k(Z)\)，有 \(g_*\circ f_*=(g\circ f)_*\)。

证明

令 \(W\subset X\) 为维数 \(k\) 的整闭子空间。先把引理 0EEG 应用于 \(f\) 与 \(W\)，再应用于 \(g\) 与所得的 \(W'\)，得到整闭子空间 \(W'\subset Y\) 和 \(W''\subset Z\)。那么 \(W\to W'\) 与 \(W'\to W''\) 都是固有满射。需要证明 \(g_*(f_*[W])=(f\circ g)_*[W]\)。若 \(\dim_\delta(W'')<k\)，则两端都为零。若 \(\dim_\delta(W'')=k\)，则 \(W\to W'\) 和 \(W'\to W''\) 都满足引理 0ENY 的假设。因此 \[g_*(f_*[W]) = \deg(W/W')\deg(W'/W'')[W''], \quad (f \circ g)_*[W] = \deg(W/W'')[W''].\] 应用《域上的空间》引理 0ENH 即得结论。

引理

在情形 0EDT 中，令 \(f:X\to Y\) 为 \(B\) 上良好代数空间的固有态射。

令 \(Z\subset X\) 为闭子空间，且 \(\dim_\delta(Z)\leq k\)。那么 \[f_*[Z]_k = [f_*{\mathcal O}_Z]_k.\]

令 \(\mathcal{F}\) 为 \(X\) 上的凝聚层，且 \(\dim_\delta(\text{Supp}(\mathcal{F}))\leq k\)。那么 \[f_*[\mathcal{F}]_k = [f_*{\mathcal F}]_k.\]

注意，该陈述有意义，因为由《空间的上同调》引理 08AR， \(f_*\mathcal{F}\) 和 \(f_*\mathcal{O}_Z\) 都是凝聚 \(\mathcal{O}_Y\)-模。

证明

(1) 由 (2) 与引理 0EED 得出。令 \(\mathcal{F}\) 为 \(X\) 上的凝聚层，并假设 \(\dim_\delta(\text{Supp}(\mathcal{F}))\leq k\)。由《空间的上同调》引理 07UG，存在闭浸入 \(i:Z\to X\) 和凝聚 \(\mathcal{O}_Z\)-模 \(\mathcal{G}\)，使得 \(i_*\mathcal{G}\cong\mathcal{F}\)，且 \(\mathcal{F}\) 的支集为 \(Z\)。令 \(Z'\subset Y\) 为 \(f|_Z:Z\to Y\) 的概形论像；见《空间的态射》定义 082Y。考虑交换图表 \[\xymatrix{ Z \ar[r]_i \ar[d]_{f|_Z} & X \ar[d]^f \\ Z' \ar[r]^{i'} & Y }\] 这是 \(B\) 上代数空间的图表。注意，\(f|_Z\) 满射（由《空间的态射》引理 082Z 及 \(|f|\) 为闭映射得出）且固有（由《空间的态射》引理 04WP、 04XZ 和 04NX 得出）。沿图表的两条路径计算，得到 \(f_*\mathcal{F}=f_*i_*\mathcal{G}=i'_*(f|_Z)_*\mathcal{G}\)。假设已经知道结论对闭浸入以及对 \(f|_Z\) 成立。那么 \[f_*[\mathcal{F}]_k = f_*i_*[\mathcal{G}]_k = (i')_*(f|_Z)_*[\mathcal{G}]_k = (i')_*[(f|_Z)_*\mathcal{G}]_k = [(i')_*(f|_Z)_*\mathcal{G}]_k = [f_*\mathcal{F}]_k\] 正是所需等式。闭浸入情形由引理 0EE3 和各定义得出。因此，问题约化为 \(\dim_\delta(X)\leq k\) 且 \(f:X\to Y\) 为固有满射的情形。

假设 \(\dim_\delta(X)\leq k\)，且 \(f:X\to Y\) 固有满射。对每个泛点为 \(\eta\) 的不可约分支 \(Z\subset Y\)，存在 \(\xi\in X\) 使得 \(f(\xi)=\eta\)。因此 \(\delta(\eta)\leq\delta(\xi)\leq k\)。所以在表达式 \[f_*[\mathcal{F}]_k = \sum n_Z[Z], \quad \text{且} \quad [f_*\mathcal{F}]_k = \sum m_Z[Z].\] 中，只要 \(n_Z\not=0\) 或 \(m_Z\not=0\)，整闭子空间 \(Z\) 实际上就是 \(Y\) 的一个 \(\delta\)-维数为 \(k\) 的不可约分支（见引理 0EE6）。选取这样的整闭子空间 \(Z\subset Y\)，并把其泛点记为 \(\eta\)。注意，对任意满足 \(f(\xi)=\eta\) 的 \(\xi\in X\)，都有 \(\delta(\xi)\geq k\)，从而 \(\xi\) 也是 \(X\) 的某个 \(\delta\)-维数为 \(k\) 的不可约分支的泛点（见引理 0EE6）。由《域上的空间》引理 0AD2，存在开子空间 \(\eta\in V\subset Y\)，使得 \(f^{-1}(V)\to V\) 有限。由于 \(\eta\) 是 \(|Y|\) 某个不可约分支的泛点，可以假设 \(V\) 为仿射概形；见《空间的性质》命题 06NH。以 \(V\) 代替 \(Y\)、以 \(f^{-1}(V)\) 代替 \(X\)，便约化到 \(Y\) 仿射且 \(f\) 有限的情形。特别地，\(X\) 与 \(Y\) 都是概形，于是约化到概形的相应结果；见《Chow 同调》引理 02R6 （取 \(S=Y\)）。

平坦拉回的准备

本节对应于《Chow 同调》第 02R7 节。

回顾：若在源与目标上平展局部地得到一个相对维数为 \(r\) 的概形态射，则称一个代数空间态射具有相对维数 \(r\)。精确定义与此等价，但实际上稍有不同；见《空间的态射》定义 06LR。

引理

在情形 0EDT 中，设 \(X,Y/B\) 是良好的。设 \(f:X\to Y\) 是 \(B\) 上的态射，并假设 \(f\) 平坦且相对维数为 \(r\)。对任意闭子集 \(T\subset |Y|\)，只要 \(|f|^{-1}(T)\) 非空，就有 \[\dim_\delta(|f|^{-1}(T)) = \dim_\delta(T) + r.\] 若 \(Z\subset Y\) 是整闭子概形，且 \(Z'\subset f^{-1}(Z)\) 是一个不可约分支，则 \(Z'\) 支配 \(Z\)，并且 \(\dim_\delta(Z')=\dim_\delta(Z)+r\)。

证明

闭子集的 \(\delta\)-维数是其各不可约分支的 \(\delta\)-维数的上确界，故只需证明最后一个断言。可以用整闭子概形 \(Z\) 代替 \(Y\)，并用 \(f^{-1}(Z)=Z\times_YX\) 代替 \(X\)。因而可以假设 \(Z=Y\) 是整的，且 \(f\) 是相对维数为 \(r\) 的平坦态射。由于 \(Y\) 局部诺特，局部有限型的态射 \(f\) 实际上局部有限呈示。因此《空间的态射》引理 042S 适用，从而 \(f\) 是开的。

设 \(\xi\in X\) 是 \(X\) 的某个不可约分支的泛点。由 \(f\) 的开性可知， \(f(\xi)\) 是 \(Z=Y\) 的泛点 \(\eta\)。因此 \(Z'\) 支配 \(Z=Y\)。最后，由《空间的性质》命题 06NH 可知 \(\xi\) 与 \(\eta\) 分别位于 \(X\) 与 \(Y\) 的概形轨迹中。由于 \(\xi\) 是 \(X\) 的一个泛点， \(\mathcal{O}_{X,\xi}=\mathcal{O}_{X_\eta,\xi}\) 只有一个素理想，故其维数为 \(0\)（由于 \(\xi\) 与 \(\eta\) 位于 \(X\) 与 \(Y\) 的概形轨迹中，这里可以使用通常的局部环）。于是由《空间的态射》引理 04NQ （以及给定相对维数之态射的定义）可知，\(\kappa(\xi)\) 在 \(\kappa(\eta)\) 上的超越次数为 \(r\)。换言之， \(\delta(\xi)=\delta(\eta)+r\)，这正是所需结论。

下面的引理将用来证明：闭子概形的局部有限族在平坦拉回后仍局部有限。

引理

在情形 0EDT 中，设 \(X,Y/B\) 是良好的，且 \(f:X\to Y\) 是 \(B\) 上的态射。假设 \(\{T_i\}_{i\in I}\) 是 \(|Y|\) 的闭子集的一个局部有限族。则 \(\{|f|^{-1}(T_i)\}_{i\in I}\) 是 \(X\) 的闭子集的一个局部有限族。

证明

设 \(U\subset |X|\) 是拟紧开子集。由于像 \(|f|(U)\subset |Y|\) 是拟紧子集，存在拟紧开集 \(V\subset |Y|\)，使得 \(|f|(U)\subset V\)。注意 \[\{i \in I : |f|^{-1}(T_i) \cap U \not = \emptyset \} \subset \{i \in I : T_i \cap V \not = \emptyset \}.\] 依假设，右端集合是有限的，故得证。

平坦拉回

本节对应于《Chow 同调》第 02RA 节。

设 \(S\) 是概形，且 \(f:X\to Y\) 是 \(S\) 上代数空间的态射。设 \(Z\subset Y\) 是闭子空间。本章有时把《空间的态射》定义 083Q 中构造的 \(Z\) 的逆像 \(f^{-1}(Z)\) 称为 概形论逆像。这一概形论逆像是纤维积 \[\xymatrix{ f^{-1}(Z) \ar[r] \ar[d] & X \ar[d] \\ Z \ar[r] & Y }\] 若 \(\mathcal{I}\subset\mathcal{O}_Y\) 是 \(Y\) 中与 \(Z\) 对应的拟凝聚理想层，则 \(f^{-1}(\mathcal{I})\mathcal{O}_X\) 是 \(X\) 中与 \(f^{-1}(Z)\) 对应的拟凝聚理想层。

定义

在情形 0EDT 中，设 \(X,Y/B\) 是良好的，且 \(f:X\to Y\) 是 \(B\) 上的态射。假设 \(f\) 平坦且相对维数为 \(r\)。

设 \(Z\subset Y\) 是 \(\delta\)-维数为 \(k\) 的整闭子空间。把 \(f^*[Z]\) 定义为 \(X\) 上与概形论逆像相伴的 \((k+r)\)-闭链： \[f^*[Z] = [f^{-1}(Z)]_{k+r}.\] 由引理 0EP5， \(\dim_\delta(f^{-1}(Z))=k+r\)，故此定义有意义。

设 \(\alpha=\sum n_i[Z_i]\) 是 \(Y\) 上的 \(k\)-闭链。把和式 \[f^* \alpha = \sum n_i f^*[Z_i]\] 称为 \(\alpha\) 沿 \(f\) 的平坦拉回，其中每个 \(f^*[Z_i]\) 如上定义。由引理 0EP6，这个和式局部有限。

由此得到的阿贝尔群同态记作 \(f^*:Z_k(Y)\to Z_{k+r}(X)\)。

开浸入是平坦的。这是平坦态射的一个虽平凡却重要的特例。若 \(U\subset X\) 是开的，则闭链沿 \(j:U\to X\) 的拉回有时称为该闭链在 \(U\) 上的限制。注意在此情形中，所有映射 \[j^* : Z_k(X) \longrightarrow Z_k(U)\] 都是满射。事实上，给定任意整闭子空间 \(Z'\subset U\)，可以取 \(Z'\) 在 \(X\) 中的闭包 \(Z\)，并把它看作 \(X\) 的既约闭子空间（见《空间的性质》定义 047X）。

显然 \(Z\cap U=Z'\)，换言之 \(j^*[Z]=[Z']\)，从而得到满射性。事实上还有稍强的结论。

引理

在情形 0EDT 中，设 \(X/B\) 是良好的，且 \(U\subset X\) 是开子空间。设 \(Y\) 是满足 \(|Y|=|X|\setminus |U|\) 的 \(X\) 的既约闭子空间，并以 \(i:Y\to X\) 表示包含态射。对每个 \(k\in\mathbf{Z}\)，序列 \[\xymatrix{ Z_k(Y) \ar[r]^{i_*} & Z_k(X) \ar[r]^{j^*} & Z_k(U) \ar[r] & 0 }\] 是阿贝尔群的正合复形。

证明

上面已经证明了 \(j^*\) 的满射性。先假设 \(X\) 拟紧。此时 \(Z_k(X)\) 是自由 \(\mathbf{Z}\)-模，其基由元素 \([Z]\) 给出，其中 \(Z\subset X\) 是 \(\delta\)-维数为 \(k\) 的整闭子空间。这样的基元素或者映到 \(Z_k(U)\) 的基元素 \([Z\cap U]\)，或者在 \(Z\subset Y\) 时映到零。因此在这种情形中引理显然成立。一般情形类似，略去证明。

引理

在情形 0EDT 中，设 \(f:X\to Y\) 是 \(B\) 上良好代数空间之间的平展态射。若 \(Z\subset Y\) 是整闭子空间，则 \(f^*[Z]=\sum[Z']\)，其中求和遍历 \(f^{-1}(Z)\) 的各不可约分支（注 0EE8）。

证明

引理的含义是 \([Z']\) 的系数为 \(1\)。这是因为 \(f^{-1}(Z)\) 在整代数空间 \(Z\) 上平展，因而是既约代数空间。

引理

在情形 0EDT 中，设 \(X,Y,Z/B\) 是良好的。设 \(f:X\to Y\) 与 \(g:Y\to Z\) 是 \(B\) 上相对维数分别为 \(r\) 与 \(s\) 的平坦态射。则 \(g\circ f\) 平坦且相对维数为 \(r+s\)，并且 \[f^* \circ g^* = (g \circ f)^*\] 作为映射 \(Z_k(Z)\to Z_{k+r+s}(X)\) 相等。

证明

由《空间的态射》引理 04NR 与 03MN，复合态射平坦且相对维数为 \(r+s\)。假设

\(A\subset Z\) 是 \(\delta\)-维数为 \(k\) 的整闭子空间；

\(A'\subset Y\) 是 \(\delta\)-维数为 \(k+s\) 的整闭子空间，且 \(A'\subset g^{-1}(A)\)；以及

\(A''\subset Y\) 是 \(\delta\)-维数为 \(k+s+r\) 的整闭子空间，且 \(A''\subset f^{-1}(W')\)。

必须证明 \([A'']\) 在 \((g\circ f)^*[A]\) 中的系数 \(n\) 等于 \([A'']\) 在 \(f^*(g^*[A])\) 中的系数 \(m\)。可以选取交换图 \[\xymatrix{ U \ar[d] \ar[r] & V \ar[d] \ar[r] & W \ar[d] \\ X \ar[r] & Y \ar[r] & Z }\] 其中 \(U,V,W\) 是概形，竖直箭头均平展，并且存在点 \(u\in U\)、\(v\in V\)、\(w\in W\)，使得 \(u\mapsto v\mapsto w\)，且 \(u,v,w\) 分别映到 \(A'',A',A\) 的泛点。（略去细节。）于是有平坦局部环同态

\(\mathcal{O}_{W, w} \to \mathcal{O}_{V, v}\), \(\mathcal{O}_{V, v} \to \mathcal{O}_{U, u}\), 并且反复使用引理 0EE1 得到 \[n = \text{length}_{\mathcal{O}_{U, u}}( \mathcal{O}_{U, u}/\mathfrak m_w\mathcal{O}_{U, u})\] 以及 \[m = \text{length}_{\mathcal{O}_{V, v}}( \mathcal{O}_{V, v}/\mathfrak m_w\mathcal{O}_{V, v}) \text{length}_{\mathcal{O}_{U, u}}( \mathcal{O}_{U, u}/\mathfrak m_v\mathcal{O}_{U, u})\] 因此所需等式由《代数》引理 02M2 得出。

引理

在情形 0EDT 中，设 \(X,Y/B\) 是良好的，并设 \(f:X\to Y\) 是相对维数为 \(r\) 的平坦态射。

设 \(Z\subset Y\) 是满足 \(\dim_\delta(Z)\leq k\) 的闭子空间。则 \(\dim_\delta(f^{-1}(Z))\leq k+r\)，且在 \(Z_{k+r}(X)\) 中有 \([f^{-1}(Z)]_{k+r}=f^*[Z]_k\)。

设 \(\mathcal{F}\) 是 \(Y\) 上满足 \(\dim_\delta(\text{Supp}(\mathcal{F}))\leq k\) 的凝聚层。则 \(\dim_\delta(\text{Supp}(f^*\mathcal{F}))\leq k+r\)，且 \[f^*[{\mathcal F}]_k = [f^*{\mathcal F}]_{k+r}\] 在 \(Z_{k+r}(X)\) 中成立。

证明

由引理 0EED 以及 \(f^*\mathcal{O}_Z=\mathcal{O}_{f^{-1}(Z)}\)，(1) 可由 (2) 推出。

证明 (2)。由于 \(X,Y\) 局部诺特，可以应用《空间的上同调》引理 07UB 得知 \(\mathcal{F}\) 有限型；于是 \(f^*\mathcal{F}\) 有限型（《位点上的模》引理 03DO），从而 \(f^*\mathcal{F}\) 凝聚（再次使用《空间的上同调》引理 07UB）。因此引理中的表达式确有意义。设 \(W\subset Y\) 是 \(\delta\)-维数为 \(k\) 的整闭子空间，并设 \(W'\subset X\) 是维数为 \(k+r\) 且在 \(f\) 下映入 \(W\) 的整闭子空间。必须证明 \([W']\) 在 \(f^*[{\mathcal F}]_k\) 中的系数 \(n\) 等于 \([W']\) 在 \([f^*{\mathcal F}]_{k+r}\) 中的系数 \(m\)。可以选取交换图 \[\xymatrix{ U \ar[d] \ar[r] & V \ar[d] \\ X \ar[r] & Y }\] 其中 \(U,V\) 是概形，竖直箭头均平展，并且存在点 \(u\in U\)、\(v\in V\)，使得 \(u\mapsto v\)，且 \(u,v\) 分别映到 \(W',W\) 的泛点。（略去细节。）把茎 \(M=(\mathcal{F}|_V)_v\) 看作 \(\mathcal{O}_{V,v}\)-模。（注意，由维数假设，\(M\) 的长度有限，但实际上无须验证这一点；见引理 0EE4。）有 \((f^*\mathcal{F}|_U)_u = \mathcal{O}_{U, u} \otimes_{\mathcal{O}_{V, v}} M\). 因此 \[n = \text{length}_{\mathcal{O}_{U, u}} (\mathcal{O}_{U, u} \otimes_{\mathcal{O}_{V, v}} M) \quad \text{且} \quad m = \text{length}_{\mathcal{O}_{V, v}}(M) \text{length}_{\mathcal{O}_{V, v}}( \mathcal{O}_{U, u}/\mathfrak m_v \mathcal{O}_{U, u})\] 故所需等式由《代数》引理 02M1 得出。

推出与拉回

本节对应于《Chow 同调》第 02RF 节。

本节验证：在有意义时，固有推出与平坦拉回相容。由上面的工作，这是上同调与基变换的一个推论。

引理

在情形 0EDT 中，设 \[\xymatrix{ X' \ar[r]_{g'} \ar[d]_{f'} & X \ar[d]^f \\ Y' \ar[r]^g & Y }\] 是 \(B\) 上良好代数空间的纤维积图。假设 \(f:X\to Y\) 固有，且 \(g:Y'\to Y\) 平坦、相对维数为 \(r\)。则 \(f'\) 也固有， \(g'\) 也平坦且相对维数为 \(r\)。对 \(X\) 上任意 \(k\)-闭链 \(\alpha\)，有 \[g^*f_*\alpha = f'_*(g')^*\alpha\] 在 \(Z_{k+r}(Y')\) 中成立。

证明

关于 \(f'\) 固有的断言由《空间的态射》引理 04WP 得出。关于 \(g'\) 平坦且相对维数为 \(r\) 的断言由《空间的态射》引理 04NS 与 03MO 得出。只需在 \(\alpha=[W]\) 时证明闭链的等式，其中 \(W\subset X\) 是 \(\delta\)-维数为 \(k\) 的某个整闭子空间。注意在此情形中 \(\alpha=[\mathcal{O}_W]_k\)；见引理 0EED。因此由引理 0EP3 与 0EPB，只需证明 \(f'_*(g')^*\mathcal{O}_W\) 与 \(g^*f_*\mathcal{O}_W\) 同构。这由上同调与基变换得出；见《空间的上同调》引理 073K。

引理

在情形 0EDT 中，设 \(X,Y/B\) 是良好的。设 \(f:X\to Y\) 是次数为 \(d\) 的有限局部自由态射（见《空间的态射》定义 03ZV）。则 \(f\) 既固有又平坦，且相对维数为 \(0\)；并且对每个 \(\alpha\in Z_k(Y)\) 有 \[f_*f^*\alpha = d\alpha\]

证明

由《空间的态射》引理 0416，有限局部自由态射平坦且有限；又由《空间的态射》引理 04NZ，有限态射固有。略去有限态射相对维数为 \(0\) 的证明。因此公式有意义。为证明该公式，设 \(Z\subset Y\) 是 \(\delta\)-维数为 \(k\) 的整闭子概形。只需对 \(\alpha=[Z]\) 证明公式。由于有限局部自由态射的基变换仍有限局部自由（《空间的态射》引理 03ZY）， \(f_*f^*\mathcal{O}_Z\) 是 \(Z\) 上秩为 \(d\) 的有限局部自由层。故 \(f_*f^*\mathcal{O}_Z\) 在 \(Z\) 的泛点处显然具有长度 \(d\)。因此 \[f_*f^*[Z] = f_*f^*[\mathcal{O}_Z]_k = [f_*f^*\mathcal{O}_Z]_k = d[Z]\] 其中使用了引理 0EPB 与 0EP3。

主因子的准备

本节对应于《Chow 同调》第 02RI 节。本节的一些材料与《域上的空间》第 0ENI 节中的讨论部分重叠。

引理

在情形 0EDT 中，设 \(X/B\) 是良好的，并假设 \(X\) 整。

若 \(Z\subset X\) 是整闭子空间，则下列条件等价：

\(Z\) 是素因子；

\(|Z|\) 在 \(|X|\) 中的余维为 \(1\)；

\(\dim_\delta(Z)=\dim_\delta(X)-1\)。

若 \(Z\) 是 \(X\) 上某个有效 Cartier 因子的不可约分支，则 \(\dim_\delta(Z)=\dim_\delta(X)-1\)。

证明

(1) 由素因子的定义（《域上的空间》定义 0ENJ）、《合宜空间》引理 0ED1 以及维数函数的定义（《拓扑学》定义 02I9）得出。

设 \(D\subset X\) 是有效 Cartier 因子，\(Z\subset D\) 是一个不可约分支，且 \(\xi\in|Z|\) 是泛点。选取平展邻域 \((U,u)\to(X,\xi)\)，其中 \(U=\Spec(A)\)，且 \(D\times_XU\) 由非零因子 \(f\in A\) 截出；见《空间上的因子》引理 083C。由《合宜空间》引理 0ABV， \(u\) 是 \(V(f)\) 的泛点。因此由 Krull 主理想定理（《代数》引理 00KV），\(\mathcal{O}_{U,u}\) 的维数为 \(1\)。所以 \(\xi\) 是 \(X\) 上余维为 \(1\) 的点，\(Z\) 是素因子，正合所需。

主因子

本节对应于《Chow 同调》第 02RN 节。下面的定义是在当前设定下与《域上的空间》定义 0ENP 对应的版本。

定义

在情形 0EDT 中，设 \(X/B\) 是良好的，并假设 \(X\) 整且 \(\dim_\delta(X)=n\)。设 \(f\in R(X)^*\)。与 \(f\) 相伴的主因子 是 \((n-1)\)-闭链 \[\text{div}(f) = \text{div}_X(f) = \sum \text{ord}_Z(f) [Z]\] （定义见《域上的空间》定义 0ENP）。由引理 0EPZ，素因子的 \(\delta\)-维数为 \(n-1\)，故此定义有意义。

在上述定义的情形中，对 \(f,g\in R(X)^*\) 有 \[\text{div}_X(fg) = \text{div}_X(f) + \text{div}_X(g)\] 在 \(Z_{n-1}(X)\) 中成立；见《域上的空间》引理 0ENQ。下面的引理使我们能把关于主因子的陈述约化到概形情形。

引理

在情形 0EDT 中，设 \(f:X\to Y\) 是 \(B\) 上良好代数空间之间的平展态射，并假设 \(Y\) 整。设 \(g\in R(Y)^*\)。作为 \(X\) 上的闭链，有 \[f^*(\text{div}_Y(g)) = \sum\nolimits_{X'} (X' \to X)_*\text{div}_{X'}(g \circ f|_{X'})\] 其中求和遍历 \(X\) 的各不可约分支（注 0EE8）。

证明

映射 \(|X|\to|Y|\) 是开的。\(|X|\) 的不可约分支族在 \(|X|\) 中局部有限。因此对每个不可约分支 \(X'\subset X\)，\(f|_{X'}:X'\to Y\) 都是支配的。于是 \(g\circ f|_{X'}\) 有定义（《空间的态射》第 0EML 节），从而 \(\text{div}_{X'}(g\circ f|_{X'})\) 有定义。此外，该和式局部有限，所以右端确实是 \(X\) 上的闭链。左端由定义 0EP8 以及平展态射平坦且相对维数为 \(0\) 这一事实定义。

由于 \(f\) 平展，对所有 \(x\in|X|\) 有 \(\delta_X(x)=\delta_y(f(x))\)。因此若 \(\dim_\delta(Y)=n\)，则 \(X\) 的每个不可约分支 \(X'\) 都满足 \(\dim_\delta(X')=n\)（因为 \(X\) 的各泛点映到 \(Y\) 的泛点，见上）。所以等式两端都是 \((n-1)\)-闭链。

设 \(Z\subset X\) 是满足 \(\dim_\delta(Z)=n-1\) 的整闭子空间。为证明等式，需要证明 \(Z\) 的系数相同。设 \(Z'\subset Y\) 是引理 0EEG 中构造的整闭子空间。此时也有 \(\dim_\delta(Z')=n-1\)。设 \(\xi\in|Z|\) 是泛点，则 \(\xi'=f(\xi)\in|Z'|\) 是泛点。考虑交换图 \[\xymatrix{ \Spec(\mathcal{O}_{X, \xi}^h) \ar[r] \ar[d] & X \ar[d] \\ \Spec(\mathcal{O}_{Y, \xi'}^h) \ar[r] & Y }\] （见《合宜空间》注 0EPL）。需要稍加小心，因为既约诺特局部环 \(\mathcal{O}_{X,\xi}^h\) 与 \(\mathcal{O}_{Y,\xi'}^h\) 未必是整环。因此我们使用全分式环 \(Q(-)\) 而不是分式域。依定义，为得到 \(Z'\) 在 \(\text{div}_Y(g)\) 中的系数，把 \(g\) 在 \(Q(\mathcal{O}_{Y,\xi'}^h)\) 中的像写成 \(a/b\)，其中 \(a,b\in\mathcal{O}_{Y,\xi'}^h\) 是非零因子，并取 \[\text{ord}_{Z'}(g) = \text{length}_{\mathcal{O}_{Y, \xi'}^h} (\mathcal{O}_{Y, \xi'}^h/a \mathcal{O}_{Y, \xi'}^h) - \text{length}_{\mathcal{O}_{Y, \xi'}^h} (\mathcal{O}_{Y, \xi'}^h/b \mathcal{O}_{Y, \xi'}^h)\] 注意，\(Z\) 在 \(f^*\text{div}_Y(G)\) 中的系数是同一个整数；见引理 0EPY。

假设 \(\xi\in X'\)。于是可以考虑映射 \[\mathcal{O}_{Y, \xi'}^h \to \mathcal{O}_{X, \xi}^h \to \mathcal{O}_{X', \xi}^h\] 第一个箭头平坦，第二个箭头是维数为 \(1\) 的既约诺特局部环之间的满射。因此这两个映射都把非零因子映到非零因子，从而 \(Z'\) 在 \(\text{div}_{X'}(g\circ f|_{X'})\) 中的系数为

\[\text{ord}_Z(g \circ f|_{X'}) = \text{length}_{\mathcal{O}_{X', \xi}^h} (\mathcal{O}_{X', \xi}^h/a \mathcal{O}_{X', \xi}^h) - \text{length}_{\mathcal{O}_{Y, \xi'}^h} (\mathcal{O}_{X', \xi}^h/b \mathcal{O}_{X', \xi}^h)\] 其定义方式与上面相同。

因此只需证明 \[\text{length}_{\mathcal{O}_{Y, \xi'}^h} (\mathcal{O}_{Y, \xi'}^h/a \mathcal{O}_{Y, \xi'}^h) = \sum\nolimits_{\xi \in |X'|} \text{length}_{\mathcal{O}_{X', \xi}^h} (\mathcal{O}_{X', \xi}^h/a \mathcal{O}_{X', \xi}^h)\]

首先，由于环同态 \(\mathcal{O}_{Y,\xi'}^h\to \mathcal{O}_{X,\xi}^h\) 平坦且非分歧，故 \[\text{length}_{\mathcal{O}_{Y, \xi'}^h} (\mathcal{O}_{Y, \xi'}^h/a \mathcal{O}_{Y, \xi'}^h) = \text{length}_{\mathcal{O}_{X, \xi}^h} (\mathcal{O}_{X, \xi}^h/a \mathcal{O}_{X, \xi}^h)\] （由《代数》引理 02M1）。设 \(\mathfrak q_1,\ldots,\mathfrak q_t\) 是 \(\mathcal{O}_{X,\xi}^h\) 的非极大素理想，并令 \(R_j=\mathcal{O}_{X,\xi}^h/\mathfrak q_j\)。对上述 \(X'\)，以 \(J(X')\subset\{1,\ldots,t\}\) 表示满足下列条件的指标集： \(\mathfrak q_j\) 对应于 \(X'\) 的一个点；亦即在满射 \(\mathcal{O}_{X,\xi}^h\to\mathcal{O}_{X',\xi}\) 下，素理想 \(\mathfrak q_j\) 对应于 \(\mathcal{O}_{X',\xi}\) 的一个素理想。

由《Chow 同调》引理 02QG 得到 \[\text{length}_{\mathcal{O}_{X, \xi}^h} (\mathcal{O}_{X, \xi}^h/a \mathcal{O}_{X, \xi}^h) = \sum\nolimits_j \text{length}_{R_j}(R_j/a R_j)\] and \[\text{length}_{\mathcal{O}_{X', \xi}^h} (\mathcal{O}_{X', \xi}^h/a \mathcal{O}_{X', \xi}^h) = \sum\nolimits_{j \in J(X')} \text{length}_{R_j}(R_j/a R_j)\] 故引理的结论成立，因为 \(\{1,\ldots,t\}\) 是各集合 \(J(X')\) 的不交并： \(X\) 上每个余维为 \(0\) 的点都位于唯一的 \(X'\) 上。

主因子与推出

本节对应于《Chow 同调》第 02RS 节。

引理

在情形 0EDT 中，设 \(X,Y/B\) 是良好的。假设 \(X,Y\) 整，且 \(n=\dim_\delta(X)=\dim_\delta(Y)\)。设 \(p:X\to Y\) 是支配固有态射，并设 \(f\in R(X)^*\)。令 \[g = \text{Nm}_{R(X)/R(Y)}(f).\] 则 \(p_*\text{div}(f)=\text{div}(g)\)。

证明

我们将通过平展局部化，从概形情形推出此结论。设 \(Z\subset Y\) 是 \(\delta\)-维数为 \(n-1\) 的整闭子空间。要证明 \([Z]\) 在 \(p_*\text{div}(f)\) 与 \(\text{div}(g)\) 中的系数相等。把《域上的空间》引理 0AD2 应用于态射 \(p:X\to Y\) 及泛点 \(\xi\in|Z|\)。由此可以用包含 \(\xi\) 的开子空间代替 \(Y\)，并假设 \(p:X\to Y\) 有限。选取平展邻域 \((V,v)\to(Y,\xi)\)，其中 \(V\) 是仿射概形。由引理 0EPY，只需在拉回到 \(V\) 后证明闭链相等。令 \(U=V\times_YX\)，并考虑交换图 \[\xymatrix{ U \ar[r]_a \ar[d]_{p'} & X \ar[d]^p \\ V \ar[r]^b & Y }\] 设 \(V_j\subset V\)（\(j=1,\ldots,m\)）是 \(V\) 的不可约分支。对每个 \(i\)，设 \(U_{j,i}\)（\(i=1,\ldots,n_j\)）是 \(U\) 中支配 \(V_j\) 的各不可约分支。

以 \(p'_{j,i}:U_{j,i}\to V_j\) 表示 \(p':U\to V\) 的限制。由概形情形（《Chow 同调》引理 02RT）可知 \[p'_{j, i, *}\text{div}_{U_{j, i}}(f_{j, i}) = \text{div}_{V_j}(g_{j, i})\] 其中 \(f_{j,i}\) 是 \(f\) 在 \(U_{j,i}\) 上的限制，而 \(g_{j,i}\) 是 \(f_{j,i}\) 沿有限扩张 \(R(U_{j,i})/R(V_j)\) 的范数。有 \[\begin{align*} b^* p_*\text{div}_X(f) & = p'_* a^* \text{div}_X(f) \\ & = p'_*\left(\sum\nolimits_{j, i} (U_{j, i} \to U)_*\text{div}_{U_{j, i}}(f_{j, i})\right) \\ & = \sum\nolimits_{j, i} (V_j \to V)_*p'_{j, i, *}\text{div}_{U_{j, i}}(f_{j, i}) \\ & = \sum\nolimits_j (V_j \to V)_*\left(\sum\nolimits_i \text{div}_{V_j}(g_{j, i})\right) \\ & = \sum\nolimits_j (V_j \to V)_*\text{div}_{V_j}(\prod\nolimits_i g_{j, i}) \end{align*}\] 这里使用了引理 0EPD, 0EQ2 以及 0EP2。为完成证明，再次使用引理 0EQ2，只需证明 \[g \circ b|_{V_j} = \prod\nolimits_i g_{j, i}\] 作为 \(V_j\) 的函数域中的元素相等。用域来表述，这就是下列命题：设 \(L/K\) 是有限扩张，\(M/K\) 是有限可分扩张，并写成 \(M\otimes_KL=\prod M_i\)。若 \(t\in L\) 在各 \(M_i\) 中的像为 \(t_i\)，则 \(\text{Norm}_{L/K}(t)\) 在 \(M\) 中的像为 \(\prod\text{Norm}_{M_i/M}(t_i)\)。略去证明。

有理等价

本节对应于《Chow 同调》第 02RV 节。本节定义 \(k\)-闭链上的有理等价。我们允许主因子在闭浸入下之像的局部有限和。这会导致一些颇为奇特的现象（见概形一章中的例子）。然而，若不允许这些和式，我们便不知道如何证明与线丛的陈类作帽积可通过有理等价分解。

定义

在情形 0EDT 中，设 \(X/B\) 是良好的，并设 \(k\in\mathbf{Z}\)。

给定任意局部有限族 \(\{W_j\subset X\}\)，其中各 \(W_j\) 是满足 \(\dim_\delta(W_j)=k+1\) 的整闭子空间，并给定任意 \(f_j\in R(W_j)^*\)，可以考虑 \[\sum (i_j)_*\text{div}(f_j) \in Z_k(X)\] 其中 \(i_j:W_j\to X\) 是包含态射。由于态射 \(\coprod i_j:\coprod W_j\to X\) 固有，这一定义有意义。

若 \(\alpha\in Z_k(X)\) 是上述形式的闭链，则称 \(\alpha\) 有理等价于零。

若 \(\alpha-\beta\) 有理等价于零，则称 \(\alpha,\beta\in Z_k(X)\) 有理等价，并记作 \(\alpha\sim_{rat}\beta\)。

定义 \[\CH_k(X) = Z_k(X) / \sim_{rat}\] 为\(X\) 上 \(k\)-闭链的周群。它有时也称为 \(X\) 上模有理等价的 \(k\)-闭链周群。

还有许多其他有趣的等价关系。有理等价是其中最粗的。下面是一个十分简单但很重要的引理。

引理

在情形 0EDT 中，设 \(X/B\) 是良好的。设 \(U\subset X\) 是开子空间，\(Y\) 是满足 \(|Y|=|X|\setminus|U|\) 的 \(X\) 的既约闭子空间，并以 \(i:Y\to X\) 表示包含态射。设 \(k\in\mathbf{Z}\)，并假设 \(\alpha,\beta\in Z_k(X)\)。若 \(\alpha|_U\sim_{rat}\beta|_U\)，则存在闭链 \(\gamma\in Z_k(Y)\)，使得 \[\alpha \sim_{rat} \beta + i_*\gamma.\] 换言之，序列 \[\xymatrix{ \CH_k(Y) \ar[r]^{i_*} & \CH_k(X) \ar[r]^{j^*} & \CH_k(U) \ar[r] & 0 }\] 是阿贝尔群的正合复形。

证明

设 \(\{W_j\}_{j\in J}\) 是 \(U\) 中 \(\delta\)-维数为 \(k+1\) 的整闭子空间的局部有限族，并设 \(f_j\in R(W_j)^*\) 满足定义中的等式 \((\alpha-\beta)|_U=\sum(i_j)_*\text{div}(f_j)\)。设 \(W_j'\subset X\) 是相应的整闭子空间，即它与 \(W_j\) 有同一个泛点。假设 \(V\subset X\) 是拟紧开集。由于 \(V\) 诺特，\(V\cap U\) 也是 \(U\) 中的拟紧开集。于是，由 \(\{W_j\}\) 的局部有限性，集合 \(\{j\in J\mid W_j\cap V\not=\emptyset\} =\{j\in J\mid W'_j\cap V\not=\emptyset\}\) 有限。换言之，\(\{W'_j\}\) 也局部有限。由于 \(R(W_j)=R(W'_j)\)，可知 \[\alpha - \beta - \sum (i'_j)_*\text{div}(f_j)\] 是 \(X\) 上的闭链，且其在 \(U\) 上的限制为零。应用引理 0EP9 即得结论。

注

在情形 0EDT 中，设 \(X/B\) 是良好的。假设有 \(X\) 上 \(k\)-闭链的无限族 \(\alpha_i,\beta_i\in Z_k(X)\)（\(i\in I\)）。假设 \(\alpha_i\) 与 \(\beta_i\) 的支撑分别构成 \(X\) 的闭子集的局部有限族，从而 \(\sum\alpha_i\) 与 \(\sum\beta_i\) 都定义为闭链。再假设对每个 \(i\) 都有 \(\alpha_i\sim_{rat}\beta_i\)。这时并不显然有 \(\sum\alpha_i\sim_{rat}\sum\beta_i\)。问题在于，这些有理等价可能由局部有限族 \(\{W_{i,j},f_{i,j}\in R(W_{i,j})^*\}_{j\in J_i}\) 给出，但其并族 \(\{W_{i,j}\}_{i\in I,j\in J_i}\) 未必局部有限。

实践中经常有 \(|X|\) 的闭子集的局部有限族 \(\{T_i\}_{i\in I}\)，使得 \(\alpha_i,\beta_i\) 支撑在 \(T_i\) 上，并在 \(T_i\) “上”满足 \(\alpha_i\sim_{rat}\beta_i\)。更精确地说，各族 \(\{W_{i,j},f_{i,j}\in R(W_{i,j})^*\}_{j\in J_i}\) 由满足 \(|W_{i,j}|\subset T_i\) 的整闭子空间 \(W_{i,j}\) 构成。在这种情形中，\(X\) 上确实有 \(\sum\alpha_i\sim_{rat}\sum\beta_i\)，因为族 \(\{W_{i,j}\}_{i\in I,j\in J_i}\) 此时自动局部有限。

有理等价与推出、拉回

本节对应于《Chow 同调》第 02S0 节。本节证明平坦拉回与固有推出同有理等价相容。

引理

在情形 0EDT 中，设 \(X,Y/B\) 是良好的。假设 \(Y\) 整且 \(\dim_\delta(Y)=k\)。设 \(f:X\to Y\) 是相对维数为 \(r\) 的平坦态射。则对 \(g\in R(Y)^*\) 有 \[f^*\text{div}_Y(g) = \sum m_{X', X} (X' \to X)_*\text{div}_{X'}(g \circ f|_{X'})\] 作为 \(X\) 上的 \((k+r-1)\)-闭链相等，其中求和遍历 \(X\) 的各不可约分支 \(X'\)，而 \(m_{X',X}\) 是 \(X'\) 在 \(X\) 中的重数。

证明

注意，\(X\) 的任意不可约分支都支配 \(Y\) （引理 0EP5），因而复合 \(g\circ f|_{X'}\) 有定义（《空间的态射》第 0EML 节）。我们把问题约化到概形情形。选取概形 \(V\) 和满平展态射 \(V\to Y\)，再选取概形 \(U\) 和满平展态射 \(U\to V\times_YX\)。图示为 \[\xymatrix{ U \ar[r]_a \ar[d]_h & X \ar[d]^f \\ V \ar[r]^b & Y }\] 由于 \(a\) 满且平展，由引理 0EPY，只需在沿 \(a\) 拉回后证明闭链相等。由引理 0EQ2，可以写成 \[b^*\text{div}_Y(g) = \sum (V' \to V)_*\text{div}_{V'}(g \circ b|_{V'})\] 其中求和遍历 \(V\) 的各不可约分支 \(V'\)。使用引理 0EPD 得 \[h^*b^*\text{div}_Y(g) = \sum (V' \times_V U \to U)_*(h')^*\text{div}_{V'}(g \circ b|_{V'})\] 其中 \(h':V'\times_VU\to V'\) 是投影。把概形情形中的引理（《Chow 同调》引理 0EPH）应用于态射 \(h':V'\times_VU\to V'\)，得到 \[(h')^*\text{div}_{V'}(g \circ b|_{V'}) = \sum m_{U', V' \times_V U} (U' \to V' \times_V U)_*\text{div}_{U'}(g \circ b|_{V'} \circ h'|_{U'})\] 其中求和遍历 \(V'\times_VU\) 的各不可约分支 \(U'\)。此和式中出现的每个 \(U'\) 都是 \(U\) 的不可约分支；反过来，\(U\) 的每个不可约分支 \(U'\) 都是某个唯一不可约分支 \(V'\subset V\) 所对应的 \(V'\times_VU\) 的不可约分支。给定不可约分支 \(U'\subset U\)，以 \(\overline{a(U')}\subset X\) 表示其在 \(X\) 中的“像”（引理 0EEG）；例如由引理 0EP5，它是 \(X\) 的不可约分支。重数 \(m_{U',V'\times_VU}\) 等于重数 \(m_{\overline{a(U')},X}\)。

这由等式 \(h^*a^*[Y]=b^*f^*[Y]\)（引理 0EPA）、定义以及引理 0EPY 得出。综合以上结论，得到 \[a^*f^*\text{div}_Y(g) = h^*b^*\text{div}_Y(g) = \sum m_{\overline{a(U')}, X} (U' \to U)_*\text{div}_{U'}(g \circ (f \circ a)|_{U'})\] 接下来分析引理陈述中公式右端沿 \(a\) 拉回后的情形。首先使用引理 0EPD 得到 \[a^*\sum m_{X', X} (X' \to X)_*\text{div}_{X'}(g \circ f|_{X'}) = \sum m_{X', X} (X' \times_X U \to U)_*(a')^*\text{div}_{X'}(g \circ f|_{X'})\] 其中 \(a':X'\times_XU\to X'\) 是投影。由引理 0EQ2 得 \[(a')^*\text{div}_{X'}(g \circ f|_{X'}) = \sum (U' \to X' \times_X U)_*\text{div}_{U'}(g \circ (f \circ a)|_{U'})\] 其中求和遍历 \(X'\times_XU\) 的各不可约分支 \(U'\)。这些 \(U'\) 是 \(U\) 的不可约分支，并且恰好是满足 \(\overline{a(U')}=X'\) 的那些 \(U\) 的不可约分支。与上面所得公式比较即得结论。

引理

在情形 0EDT 中，设 \(X,Y/B\) 是良好的。设 \(f:X\to Y\) 是相对维数为 \(r\) 的平坦态射，并设 \(\alpha\sim_{rat}\beta\) 是 \(Y\) 上有理等价的 \(k\)-闭链。则作为 \(X\) 上的 \((k+r)\)-闭链，有 \(f^*\alpha\sim_{rat}f^*\beta\)。

证明

需要证明什么？假设给定一族闭浸入 \[i_j : W_j \longrightarrow Y\] 其中每个 \(W_j\) 整且 \(\delta\)-维数为 \(k+1\)，并给定有理函数 \(g_j\in R(W_j)^*\)。再假设族 \(\{|i_j|(|W_j|)\}_{j\in J}\) 在 \(|Y|\) 中局部有限。那么需要证明 \[f^*(\sum i_{j, *}\text{div}(g_j)) = \sum f^*i_{j, *}\text{div}(g_j)\] 在 \(X\) 上有理等价于零。由引理 0EP6，右端的和有意义。

考虑纤维积 \[i'_j : W'_j = W_j \times_Y X \longrightarrow X.\] 并以 \(f_j:W'_j\to W_j\) 表示第一投影。由引理 0EPD，上述和式可写成 \[\sum i'_{j, *}(f_j^*\text{div}(g_j))\] 由引理 0EQA，每个 \(f_j^*\text{div}(g_j)\) 都在 \(W'_j\) 上有理等价于零。因此每个 \(i'_{j,*}(f_j^*\text{div}(g_j))\) 都有理等价于零。再由注 0EQ8 中的讨论，所显示的和式也有理等价于零。

引理

在情形 0EDT 中，设 \(X,Y/B\) 是良好的。设 \(p:X\to Y\) 是固有态射。假设 \(\alpha,\beta\in Z_k(X)\) 有理等价。则 \(p_*\alpha\) 与 \(p_*\beta\) 有理等价。

证明

需要证明什么？假设给定一族闭浸入 \[i_j : W_j \longrightarrow X\] 其中每个 \(W_j\) 整且 \(\delta\)-维数为 \(k+1\)，并给定有理函数 \(f_j\in R(W_j)^*\)。再假设族 \(\{i_j(W_j)\}_{j\in J}\) 在 \(X\) 上局部有限。那么需要证明 \[p_*\left(\sum i_{j, *}\text{div}(f_j)\right)\] 在 \(X\) 上有理等价于零。

注意该和式等于 \[\sum p_*i_{j, *}\text{div}(f_j).\] 设 \(W'_j\subset Y\) 是 \(p\circ i_j\) 的像这一整闭子空间；见引理 0EEG。由引理 0ENZ，族 \(\{W'_j\}\) 在 \(Y\) 中局部有限。因此，只需对给定的 \(j\) 证明： \(p_*i_{j,*}\text{div}(f_j)=0\)，或者它等于某个 \(g_j\in R(W'_j)^*\) 所对应的 \(i'_{j,*}\text{div}(g_j)\)。

因此上述论证把我们约化到单个 \(\delta\)-维数为 \(k+1\) 的整闭子空间 \(W\subset X\) 的情形。

设 \(f\in R(W)^*\)，并令 \(W'=p(W)\) 如上。得到态射的交换图 \[\xymatrix{ W \ar[r]_i \ar[d]_{p'} & X \ar[d]^p \\ W' \ar[r]^{i'} & Y }\] 由引理 0EP2，注意 \(p_*i_*\text{div}(f)=i'_*(p')_*\text{div}(f)\)。如上所述，必须证明 \((p')_*\text{div}(f)\) 是 \(W'\) 上某个有理函数的因子，或者为零。分三种情形。

情形 \(\dim_\delta(W')<k\)。此时自动有 \((p')_*\text{div}(f)=0\)，无需证明。

情形 \(\dim_\delta(W')=k\)。我们证明此时 \((p')_*\text{div}(f)=0\)。由于 \((p')_*\text{div}(f)\) 是 \(k\)-闭链，存在 \(n\in\mathbf{Z}\) 使得 \((p')_*\text{div}(f)=n[W']\)。为证明 \(n=0\)，可以用非空开子空间代替 \(W'\)。特别地，可以并且确实假设 \(W'\) 是概形。设 \(\eta\in W'\) 是泛点，并令函数域 \(K=\kappa(\eta)=R(W')\)。考虑基变换图 \[\xymatrix{ W_\eta \ar[r] \ar[d]_c & W \ar[d]^{p'} \\ \Spec(K) \ar[r]^\eta & W' }\] 注意 \(c\) 固有，而且 \(|W_\eta|\) 的维数为 \(1\)：使用《合宜空间》引理 0AC8，把 \(|W_\eta|\) 识别为 \(|W|\) 中映到 \(\eta\) 的点所成的子空间；又由于 \(\dim_\delta(W)=k+1\) 且 \(\delta(\eta)=k\)，\(W_\eta\) 中的点的 \(\delta\)-值只能是 \(k\) 或 \(k+1\)。于是由《合宜空间》引理 0ED1，各局部环的维数 \(\leq1\)。由《域上的空间》引理 0ADD， \(W_\eta\) 是概形。由于 \(\Spec(K)\) 是 \(W'\) 的各非空仿射开子概形的极限，由《空间的极限》引理 07SR，可以假设 \(W\) 是概形。最后，由概形情形（《Chow 同调》引理 02S2）得 \(n=0\)。

情形 \(\dim_\delta(W')=k+1\)。此时引理 0EQ4 适用，因而确有某个 \(g\in R(W')^*\) 使得 \(p'_*\text{div}(f)=\text{div}(g)\)，正合所需。

与可逆层相伴的因子

本节对应于《Chow 同调》第 02SI 节。下面的定义是在当前设定下与《域上的空间》定义 0EPU 对应的版本。

定义

在情形 0EDT 中，设 \(X/B\) 是良好的。假设 \(X\) 整且 \(n=\dim_\delta(X)\)。设 \(\mathcal{L}\) 是可逆 \(\mathcal{O}_X\)-模。

对 \(\mathcal{L}\) 的任意非零亚纯截面 \(s\)，定义 与 \(s\) 相伴的 Weil 因子为 \((n-1)\)-闭链

\[\text{div}_\mathcal{L}(s) = \sum \text{ord}_{Z, \mathcal{L}}(s) [Z]\] （定义见《域上的空间》定义 0EPU）。由引理 0EPZ，Weil 因子的 \(\delta\)-维数为 \(n-1\)，故此定义有意义。

定义与 \(\mathcal{L}\) 相伴的 Weil 因子为 \[c_1(\mathcal{L}) \cap [X] = \text{div}_\mathcal{L}(s)\text{ 的类} \in \CH_{n - 1}(X)\] 其中 \(s\) 是 \(\mathcal{L}\) 在 \(X\) 上的任意非零亚纯截面。由《域上的空间》引理 0EPT，这一定义良好。

非零截面的零概形是有效 Cartier 因子，其 Weil 因子类给出与该可逆模相伴的 Weil 因子。

引理

在情形 0EDT 中，设 \(X/B\) 是良好的。假设 \(X\) 整且 \(n=\dim_\delta(X)\)。设 \(\mathcal{L}\) 是可逆 \(\mathcal{O}_X\)-模，并设 \(s\in\Gamma(X,\mathcal{L})\) 是非零整体截面。则 \[\text{div}_\mathcal{L}(s) = [Z(s)]_{n - 1}\] 在 \(Z_{n-1}(X)\) 中成立，并且 \[c_1(\mathcal{L}) \cap [X] = [Z(s)]_{n - 1}\] 在 \(\CH_{n-1}(X)\) 中成立。

证明

设 \(Z\subset X\) 是 \(\delta\)-维数为 \(n-1\) 的整闭子空间，并设 \(\xi\in|Z|\) 是其泛点。为证明第一个等式，比较两端 \(Z\) 的系数。选取初等平展邻域 \((U,u)\to(X,\xi)\)；见《合宜空间》第 0EMV 节。回顾在此情形中 \(\mathcal{O}_{X,\xi}^h=\mathcal{O}_{U,u}^h\)。用 \(u\) 的一个开邻域代替 \(U\) 后，可以假设 \(\mathcal{L}|_U\) 有平凡化截面 \(s_U\)。对某个 \(f\in\Gamma(U,\mathcal{O}_U)\) 写成 \(s|_U=fs_U\)。则作为 \(U\) 的闭子概形，\(Z\times_XU\) 等于 \(V(f)\)；见《空间上的因子》定义 0845。如《域上的空间》第 0ENV 节，以 \(\mathcal{L}_\xi\) 表示 \(\mathcal{L}\) 沿典范态射 \(c_\xi:\Spec(\mathcal{O}_{X,\xi}^h)\to X\) 的拉回。以 \(s_\xi\) 表示 \(s_U\) 的拉回；它是 \(\mathcal{L}_\xi\) 的一个平凡化。于是 \(c_\xi^*(s)=fs_\xi\)。依定义，\(Z\) 在 \([Z(s)]_{n-1}\) 中的系数为 \[\text{length}_{\mathcal{O}_{U, u}}(\mathcal{O}_{U, u}/f\mathcal{O}_{U, u})\] 由于 \(\mathcal{O}_{U,u}\to\mathcal{O}_{X,\xi}^h\) 平坦且诱导剩余域同构，这等于 \[\text{length}_{\mathcal{O}_{X, \xi}^h} (\mathcal{O}_{X, \xi}^h/f\mathcal{O}_{X, \xi}^h)\] （由《代数》引理 02M1）。由《域上的空间》定义 0EPR，最后这个量等于 \(\text{ord}_{Z,\mathcal{L}}(s)\)，亦即 \(Z\) 在 \(\text{div}_\mathcal{L}(s)\) 中的系数，正合所需。

引理

在情形 0EDT 中，设 \(X/B\) 是良好的，且 \(\mathcal{L}\) 是可逆 \(\mathcal{O}_X\)-模。态射 \[q : T = \underline{\Spec}\left( \bigoplus\nolimits_{n \in \mathbf{Z}} \mathcal{L}^{\otimes n}\right) \longrightarrow X\] 具有下列性质：

\(q\) 满、光滑、仿射，且相对维数为 \(1\)；

存在同构 \(\alpha:q^*\mathcal{L}\cong\mathcal{O}_T\)；

\((q:T\to X,\alpha)\) 的构造与基变换相容；

\(q^*:Z_k(X)\to Z_{k+1}(T)\) 是单射；

若 \(Z\subset X\) 是整闭子空间，则 \(q^{-1}(Z)\subset T\) 是整闭子空间；

若 \(Z\subset X\) 是 \(\delta\)-维数 \(\leq k\) 的闭子空间，则 \(q^{-1}(Z)\) 是 \(T\) 中 \(\delta\)-维数 \(\leq k+1\) 的闭子空间，且 \(q^*[Z]_k=[q^{-1}(Z)]_{k+1}\)；

若 \(\xi'\in|T|\) 是 \(|T|\to|X|\) 在 \(\xi\) 上的纤维的泛点，则环同态 \(\mathcal{O}_{X,\xi}^h\to\mathcal{O}_{T,\xi'}^h\) 平坦，有 \(\mathfrak m_{\xi'}^h=\mathfrak m_\xi^h\mathcal{O}_{T,\xi'}^h\)，且剩余域扩张是超越次数为 \(1\) 的纯超越扩张；以及

按需在此增补。

证明

设 \(U\to X\) 是使 \(\mathcal{L}|_U\) 平凡的平展态射。则 \(T\times_XU\to U\) 同构于投影态射 \(\mathbf{G}_m\times U\to U\)，其中 \(\mathbf{G}_m\) 是乘法群概形；见《群胚》例 022U。

因此 (1) 显然。

为证明 (2)，注意 \(q_*q^*\mathcal{L} = \bigoplus_{n \in \mathbf{Z}} \mathcal{L}^{\otimes n + 1}\). 因此存在显然的 \(q_*\mathcal{O}_T\)-模同构 \(q_*q^*\mathcal{L}\to q_*\mathcal{O}_T\)。由《空间的态射》引理 08AI，它确定一个同构 \(q^*\mathcal{L}\to\mathcal{O}_T\)。

(3) 成立，因为相对谱的构造与任意基变换相容，而同构 \(\alpha\) 显然也有同样的性质。

(4) 立即由 (1) 与定义得出。

(5) 由下述事实得出：若 \(Z\) 是整代数空间，则 \(\mathbf{G}_m\times Z\) 是整代数空间。

(6) 由长度保持这一事实得出：若 \((A,\mathfrak m)\) 是局部环， \(B=A[x]_{\mathfrak m A[x]}\)，且 \(M\) 是 \(A\)-模，则 \(\text{length}_A(M) = \text{length}_B(M \otimes_A B)\). 这蕴含：若 \(\mathcal{F}\) 是凝聚 \(\mathcal{O}_X\)-模， \(\xi\in|X|\)，且 \(\xi'\in|T|\) 是 \(\xi\) 上纤维的泛点，则 \(\mathcal{F}\) 在 \(\xi\) 处的长度等于 \(q^*\mathcal{F}\) 在 \(\xi'\) 处的长度。追溯各定义即可得到 (6)，以及更多结论。

(7) 中的映射来自《合宜空间》注 0EPL。不过在本情形中有 \[\Spec(\mathcal{O}_{X, \xi}^h) \times_X T = \mathbf{G}_m \times \Spec(\mathcal{O}_{X, \xi}^h) = \Spec(\mathcal{O}_{X, \xi}^h[t, t^{-1}])\] 且 \(\xi'\) 对应于它在 \(\Spec(\mathcal{O}_{X,\xi}^h)\) 上特殊纤维的泛点。因此 \(\mathcal{O}_{T,\xi'}^h\) 是 \(\mathcal{O}_{X,\xi}^h[t,t^{-1}]\) 在相应素理想处的局部化之 Hensel 化。 (7) 由此及一些交换代数结论得出；略去细节。

引理

在情形 0EDT 中，设 \(X/B\) 是良好的，且 \(\mathcal{L}\) 是可逆 \(\mathcal{O}_X\)-模。假设 \(X\) 整，并设 \(s\) 是 \(\mathcal{L}\) 的非零亚纯截面。设 \(q:T\to X\) 是引理 0EQG 中的态射。则 \[q^*\text{div}_\mathcal{L}(s) = \text{div}_T(q^*(s))\] 其中利用同构 \(q^*\mathcal{L}\to\mathcal{O}_T\)，把拉回 \(q^*(s)\) 视为 \(T\) 上的非零亚纯函数。

证明

由《域上的空间》第 0ENI 节与 0ENV 节中各构造的相容性，注意 \(\text{div}_T(q^*(s))=\text{div}_{\mathcal{O}_T}(q^*(s))\)。本证明将说明它与 \(\text{div}_{\mathcal{O}_T}(q^*(s))\) 一致。下文将直接使用引理 0EQG 中所述的 \(q:T\to X\) 的全部性质，不再另行说明。设 \(Z\subset T\) 是素因子。那么或者 \(Z\to X\) 支配，或者对某个素因子 \(Z'\subset X\) 有 \(Z=q^{-1}(Z')\)。若 \(Z\to X\) 支配，则 \(Z\) 在引理等式两端的系数均为零。因此可以假设 \(Z=q^{-1}(Z')\)，其中 \(Z'\subset X\) 是素因子。设 \(\xi'\in|Z'|\) 与 \(\xi\in|Z|\) 分别是泛点。于是得到交换图 \[\xymatrix{ \Spec(\mathcal{O}_{T, \xi}^h) \ar[r]_-{c_\xi} \ar[d]_h & T \ar[d]^q \\ \Spec(\mathcal{O}_{X, \xi'}^h) \ar[r]^-{c_{\xi'}} & X }\] ；见《合宜空间》注 0EPL。选取 \(\mathcal{L}_{\xi'}=c_{\xi'}^*\mathcal{L}\) 的平凡化 \(s_{\xi'}\)。于是可以用 \(s_{\xi'}\) 沿 \(h\) 的拉回 \(s_\xi\) 作为 \(\mathcal{L}_\xi=c_\xi^*q^*\mathcal{L}\) 的平凡化。对非零因子 \(a,b\in\mathcal{O}_{X,\xi'}\)，写成 \(s/s_{\xi'}=a/b\)。依定义，\(Z'\) 在 \(\text{div}_\mathcal{L}(s)\) 中的系数为 \[\text{length}_{\mathcal{O}_{X, \xi'}^h}( \mathcal{O}_{X, \xi'}^h/a \mathcal{O}_{X, \xi'}^h) - \text{length}_{\mathcal{O}_{X, \xi'}^h}( \mathcal{O}_{X, \xi'}^h/b \mathcal{O}_{X, \xi'}^h)\] 由于 \(Z=q^{-1}(Z')\)，这也是 \(Z\) 在 \(q^*\text{div}_\mathcal{L}(s)\) 中的系数。由于 \(\mathcal{O}_{X,\xi'}^h\to\mathcal{O}_{T,\xi}^h\) 平坦，元素 \(a,b\) 在 \(\mathcal{O}_{T,\xi}^h\) 中的像是非零因子。因此在 \(\mathcal{O}_{T,\xi}^h\) 的全商环中有 \(q^*(s)/s_\xi=a/b\)。依定义，\(Z\) 在 \(\text{div}_T(q^*(s))\) 中的系数为 \[\text{length}_{\mathcal{O}_{T, \xi}^h}( \mathcal{O}_{T, \xi}^h/a \mathcal{O}_{T, \xi}^h) - \text{length}_{\mathcal{O}_{T, \xi}^h}( \mathcal{O}_{T, \xi}^h/b \mathcal{O}_{T, \xi}^h)\] 由《代数》引理 02M1 以及引理 0EQG 中证明的 \(\mathfrak m_\xi^h=\mathfrak m_{\xi'}^h\mathcal{O}_{T,\xi}^h\)，这些长度与前面相同，证明完成。

与可逆层相交

本节对应于《Chow 同调》第 02SN 节。本节研究下列构造。

定义

在情形 0EDT 中，设 \(X/B\) 是良好的，且 \(\mathcal{L}\) 是可逆 \(\mathcal{O}_X\)-模。对每个整数 \(k\)，定义运算 \[c_1(\mathcal{L}) \cap - : Z_{k + 1}(X) \to \CH_k(X)\] 称为与 \(\mathcal{L}\) 的第一陈类相交。

给定满足 \(\dim_\delta(W)=k+1\) 的整闭子空间 \(i:W\to X\)，定义 \[c_1(\mathcal{L}) \cap [W] = i_*(c_1({i^*\mathcal{L}}) \cap [W])\] 其中右端定义见定义 0EQE。

对一般的 \((k+1)\)-闭链 \(\alpha=\sum n_i[W_i]\)，令 \[c_1(\mathcal{L}) \cap \alpha = \sum n_i c_1(\mathcal{L}) \cap [W_i]\]

把每个 \(c_1(\mathcal{L})\cap W_i=\sum_jn_{i,j}[Z_{i,j}]\) 写出，其中 \(\{Z_{i,j}\}_j\) 是 \(W_i\) 的整闭子空间的局部有限和。

由于 \(\{W_i\}\) 是 \(X\) 上整闭子空间的局部有限族，容易看出 \(\{Z_{i,j}\}_{i,j}\) 是 \(X\) 的闭子空间的局部有限族。因此 \(c_1(\mathcal{L})\cap\alpha=\sum n_in_{i,j}[Z_{i,j}]\) 是闭链。

另一种通常更方便的理解方式是注意态射 \(\coprod W_i\to X\) 固有。所以 \(c_1(\mathcal{L})\cap\alpha\) 可以看作 \(\CH_k(\coprod W_i)=\prod\CH_k(W_i)\) 中某个类的推出。这也解释了为什么所得结果在 \(X\) 上模有理等价是良定义的。

接下来几节的主要目标是证明，与 \(c_1(\mathcal{L})\) 相交可通过有理等价分解。这并不是显然的。

引理

在情形 0EDT 中，设 \(X/B\) 是良好的。设 \(\mathcal{L},\mathcal{N}\) 是 \(X\) 上的可逆层。则

\[c_1(\mathcal{L}) \cap \alpha + c_1(\mathcal{N}) \cap \alpha = c_1(\mathcal{L} \otimes_{\mathcal{O}_X} \mathcal{N}) \cap \alpha\] 对每个 \(\alpha\in Z_{k-1}(X)\) 在 \(\CH_k(X)\) 中成立。此外，对所有 \(\alpha\) 都有 \(c_1(\mathcal{O}_X)\cap\alpha=0\)。

证明

可加性直接由《域上的空间》引理 0EPV 与各定义得出。为证明 \(c_1(\mathcal{O}_X)\cap\alpha=0\)，考虑截面 \(1\in\Gamma(X,\mathcal{O}_X)\)。它在任意整闭子空间 \(W\subset X\) 上的限制处处非零。因此 \(c_1(\mathcal{O}_X)\cap[W]=0\)，正合所需。

回顾：\(Z(s)\subset X\) 表示代数空间 \(X\) 上可逆层的整体截面 \(s\) 的零概形；见《空间上的因子》定义 0845。

引理

在情形 0EDT 中，设 \(Y/B\) 是良好的，且 \(\mathcal{L}\) 是可逆 \(\mathcal{O}_Y\)-模。设 \(s\in\Gamma(Y,\mathcal{L})\) 是正则截面，并假设 \(\dim_\delta(Y)\leq k+1\)。写成 \([Y]_{k+1}=\sum n_i[Y_i]\)，其中 \(Y_i\subset Y\) 是 \(Y\) 中 \(\delta\)-维数为 \(k+1\) 的各不可约分支。令 \(s_i=s|_{Y_i}\in\Gamma(Y_i,\mathcal{L}|_{Y_i})\)。则 [0EQM]\[\begin{equation} [Z(s)]_k = \sum n_i[Z(s_i)]_k \end{equation}\] 作为 \(Y\) 上的 \(k\)-闭链相等。

证明

设 \(\varphi:V\to Y\) 是满平展态射，其中 \(V\) 是概形。只需在沿 \(\varphi\) 拉回后证明等式；见引理 0EPY。同一引理还给出 \(\varphi^*[Y_i]=[\varphi^{-1}(Y_i)]=\sum[V_{i,j}]\)，其中 \(V_{i,j}\) 是 \(V\) 中位于 \(Y_i\) 上方的各不可约分支。因此，先把概形情形（《Chow 同调》引理 0EPI）应用于 \(Y_i\times_YV\) 上的 \(\varphi^*s_i\)，得到 \(\varphi^*[Z(s_i)]_k=[Z(\varphi^*s_i)]=\sum[Z(s_{i,j})]_k\)，其中 \(s_{i,j}\) 是 \(s\) 在 \(V_{i,j}\) 上的拉回。再把概形情形应用于 \(\varphi^*s\)，得到 \[\varphi^*[Z(s)]_k = [Z(\varphi^*s)]_k = \sum n_i[Z(s_{i, j})]_k\] （使用了上面关于重数的说明）。综合以上各式即完成证明。

下面的引理是计算可逆层的 \(c_1\) 与闭子概形所伴闭链之交积的一个有用结果。回顾：\(Z(s)\subset X\) 表示概形 \(X\) 上可逆层的整体截面 \(s\) 的零概形；见《因子》定义 02OQ。

引理

在情形 0EDT 中，设 \(X/B\) 是良好的，且 \(\mathcal{L}\) 是可逆 \(\mathcal{O}_X\)-模。设 \(Y\subset X\) 是满足 \(\dim_\delta(Y)\leq k+1\) 的闭子概形，并设 \(s\in\Gamma(Y,\mathcal{L}|_Y)\) 是正则截面。则 \[c_1(\mathcal{L}) \cap [Y]_{k + 1} = [Z(s)]_k\] 在 \(\CH_k(X)\) 中成立。

证明

写成 \[[Y]_{k + 1} = \sum n_i[Y_i]\] 其中 \(Y_i\subset Y\) 是 \(Y\) 中 \(\delta\)-维数为 \(k+1\) 的各不可约分支，且 \(n_i>0\)。依假设，限制 \(s_i=s|_{Y_i}\in\Gamma(Y_i,\mathcal{L}|_{Y_i})\) 非零，因而是正则截面。由引理 0EQF，\([Z(s_i)]_k\) 表示 \(c_1(\mathcal{L}|_{Y_i})\)。所以依定义 \[c_1(\mathcal{L}) \cap [Y]_{k + 1} = \sum n_i[Z(s_i)]_k\] 结论遂由引理 0EQL 得出。

与可逆层相交及推出、拉回

本节对应于《Chow 同调》第 0AYA 节。本节证明运算 \(c_1(\mathcal{L})\cap-\) 与平坦拉回及固有推出相容。

引理

在情形 0EDT 中，设 \(X,Y/B\) 是良好的。设 \(f:X\to Y\) 是相对维数为 \(r\) 的平坦态射，且 \(\mathcal{L}\) 是 \(Y\) 上的可逆层。假设 \(Y\) 整且 \(n=\dim_\delta(Y)\)。设 \(s\) 是 \(\mathcal{L}\) 的非零亚纯截面。则 \[f^*\text{div}_\mathcal{L}(s) = \sum n_i\text{div}_{f^*\mathcal{L}|_{X_i}}(s_i)\] 在 \(Z_{n+r-1}(X)\) 中成立。这里求和遍历 \(X\) 中 \(\delta\)-维数为 \(n+r\) 的各不可约分支 \(X_i\subset X\)；截面 \(s_i=f|_{X_i}^*(s)\) 是 \(s\) 的拉回；而 \(n_i=m_{X_i,X}\) 是 \(X_i\) 在 \(X\) 中的重数。

证明

我们用一个技巧从引理 0EQA 推出结论。（另一种做法是在可逆模的亚纯截面的设定下重做该引理的证明。）具体地，设 \(q:T\to Y\) 是用 \(Y\) 上的 \(\mathcal{L}\) 按引理 0EQG 构造的态射。我们将使用该引理中所述的 \(T\) 的全部性质。考虑纤维积图 \[\xymatrix{ T' \ar[r]_{q'} \ar[d]_h & X \ar[d]^f \\ T \ar[r]^q & Y }\] 则 \(q':T'\to X\) 是用 \(X\) 上的 \(f^*\mathcal{L}\) 构造的态射。只需证明 \[(q')^*f^*\text{div}_\mathcal{L}(s) = \sum n_i (q')^*\text{div}_{f^*\mathcal{L}|_{X_i}}(s_i)\] 注意 \(T'_i=q^{-1}(X_i)\) 是 \(T'\) 的各不可约分支，且 \(n_i\) 是 \(T'_i\) 在 \(T'\) 中的重数。

左端等于 \[h^*q^*\text{div}_\mathcal{L}(s) = h^*\text{div}_T(q^*(s))\] （由引理 0EQH 以及引理 0EPA）。另一方面，以 \(q'_i:T'_i\to X_i\) 表示 \(q'\) 的限制，则引理 0EQH 还说明右端等于 \[\sum n_i \text{div}_{T_i}((q'_i)^*(s_i))\]

在这两个公式中，表达式 \(q^*(s)\) 与 \((q'_i)^*(s_i)\) 分别表示：通过同构 \(\alpha:q^*\mathcal{L}\to\mathcal{O}_T\) 及其到 \(T\) 上方各空间的拉回，与 \(q^*\mathcal{L}\) 和 \((q'_i)^*f^*\mathcal{L}|_{X_i}\) 的拉回亚纯截面相对应的有理函数。按此约定，\((q'_i)^*(s_i)\) 显然是 \(T\) 上的有理函数 \(q^*(s)\) 与态射 \(h|_{T'_i}:T'_i\to T\) 的复合。因此引理 0EQA 恰好说明 \[h^*\text{div}_T(q^*(s)) = \sum n_i \text{div}_{T_i}((q'_i)^*(s_i))\] 正合所需。

引理

在情形 0EDT 中，设 \(X,Y/B\) 是良好的。设 \(f:X\to Y\) 是相对维数为 \(r\) 的平坦态射，\(\mathcal{L}\) 是 \(Y\) 上的可逆层，且 \(\alpha\) 是 \(Y\) 上的 \(k\)-闭链。则 \[f^*(c_1(\mathcal{L}) \cap \alpha) = c_1(f^*\mathcal{L}) \cap f^*\alpha\] 在 \(\CH_{k+r-1}(X)\) 中成立。

证明

写成 \(\alpha=\sum n_i[W_i]\)。我们将通过在 \(X\) 的闭子空间 \(f^{-1}(W_i)\) 上构造有理等价，证明 \[f^*(c_1(\mathcal{L}) \cap [W_i]) = c_1(f^*\mathcal{L}) \cap f^*[W_i]\] 在 \(\CH_{k+r-1}(X)\) 中成立。由注 0EQ8 中的讨论，这便能证明引理中的等式。

设 \(W\subset Y\) 是 \(\delta\)-维数为 \(k\) 的整闭子空间。考虑闭子空间 \(W'=f^{-1}(W)=W\times_YX\)，于是有纤维积图 \[\xymatrix{ W' \ar[r] \ar[d]_h & X \ar[d]^f \\ W \ar[r] & Y }\] 必须证明 \(f^*(c_1(\mathcal{L})\cap[W]) =c_1(f^*\mathcal{L})\cap f^*[W]\)。选取 \(\mathcal{L}|_W\) 的非零亚纯截面 \(s\)。设 \(W'_i\subset W'\) 是 \(\delta\)-维数为 \(k+r\) 的各不可约分支。写成 \([W']_{k+r}=\sum n_i[W'_i]\)，其中依定义 \(n_i\) 是 \(W'_i\) 在 \(W'\) 中的重数。因此在 \(Z_{k+r}(X)\) 中 \(f^*[W]=\sum n_i[W'_i]\)。由于每个 \(W'_i\to W\) 都支配，对每个 \(i\)，\(s_i=s|_{W'_i}\) 都是非零亚纯截面。由引理 0EQQ，有闭链等式 \[h^*\text{div}_{\mathcal{L}|_W}(s) = \sum n_i\text{div}_{f^*\mathcal{L}|_{W'_i}}(s_i)\] 在 \(Z_{k+r-1}(W')\) 中成立。左端是 \(W'\) 上的闭链，其推出在 \(\CH_{k+r-1}(X)\) 中为 \(f^*(c_1(\mathcal{L})\cap[W])\)；右端是 \(W'\) 上的闭链，其推出在 \(\CH_{k+r-1}(X)\) 中为 \(c_1(f^*\mathcal{L})\cap f^*[W]\)。故证明完成。

引理

在情形 0EDT 中，设 \(X,Y/B\) 是良好的。设 \(f:X\to Y\) 是固有态射，且 \(\mathcal{L}\) 是 \(Y\) 上的可逆层。假设 \(X,Y\) 整、\(f\) 支配且 \(\dim_\delta(X)=\dim_\delta(Y)\)。设 \(s\) 是 \(\mathcal{L}\) 在 \(Y\) 上的非零亚纯截面。则 \[f_*\left(\text{div}_{f^*\mathcal{L}}(f^*s)\right) = [R(X) : R(Y)]\text{div}_\mathcal{L}(s).\] 作为 \(Y\) 上的闭链相等。特别地， \[f_*(c_1(f^*\mathcal{L}) \cap [X]) = c_1(\mathcal{L}) \cap f_*[Y].\]

证明

依定义 \(f_*[X]=[R(X):R(Y)][Y]\)，故最后一个等式由第一个等式得出。现在证明第一个等式。

设 \(q:T\to Y\) 是用 \(Y\) 上的 \(\mathcal{L}\) 按引理 0EQG 构造的态射。我们将使用该引理中所述的 \(T\) 的全部性质。考虑纤维积图 \[\xymatrix{ T' \ar[r]_{q'} \ar[d]_h & X \ar[d]^f \\ T \ar[r]^q & Y }\] 则 \(q':T'\to X\) 是用 \(X\) 上的 \(f^*\mathcal{L}\) 构造的态射。只需在拉回到 \(T'\) 后证明等式。

左端拉回为 \[\begin{align*} q^*f_*\left(\text{div}_{f^*\mathcal{L}}(f^*s)\right) & = h_*(q')^*\text{div}_{f^*\mathcal{L}}(f^*s) \\ & = h_*\text{div}_{(q')^*f^*\mathcal{L}}((q')^*f^*s) \\ & = h_*\text{div}_{h^*q^*\mathcal{L}}(h^*q^*s) \end{align*}\] 第一个等式由引理 0EPD 得出。第二个等式使用 \(T'\) 整这一事实及引理 0EQQ。第三个等式来自所示图的交换性。右端拉回为 \[[R(X) : R(Y)]q^*\text{div}_\mathcal{L}(s) = [R(T') : R(T)]\text{div}_{q^*\mathcal{L}}(q^*s)\] 这由引理 0EQQ、\(T\) 整这一事实，以及等式 \([R(T'):R(T)]=[R(X):R(Y)]\) 得出；略去后一等式的证明（它可由引理 0EPD 得出，但那将是一种很笨拙的证明方式）。因此只需对 \(h:T'\to T\)、可逆模 \(q^\mathcal{L}\) 及截面 \(q^*s\) 证明引理。

由于 \(q^*\mathcal{L}=\mathcal{O}_T\)，问题约化到下一段讨论的 \(\mathcal{L}\cong\mathcal{O}\) 情形。

假设 \(\mathcal{L}=\mathcal{O}_Y\)。此时 \(s\) 对应于有理函数 \(g\in R(Y)\)。利用嵌入 \(R(Y)\subset R(X)\)，可以把 \(g\) 看作 \(X\) 上的有理函数，而我们只需证明 \[f_*\left(\text{div}_X(g)\right) = [R(X) : R(Y)]\text{div}_Y(g).\] 与引理 0EQ4 的结论比较可知，这确实成立，因为对 \(g\in R(Y)^*\) 有 \(\text{Nm}_{R(X)/R(Y)}(g)=g^{[R(X):R(Y)]}\)。

引理

在情形 0EDT 中，设 \(X,Y/B\) 是良好的。设 \(p:X\to Y\) 是固有态射，\(\alpha\in Z_{k+1}(X)\)，且 \(\mathcal{L}\) 是 \(Y\) 上的可逆层。则 \[p_*(c_1(p^*\mathcal{L}) \cap \alpha) = c_1(\mathcal{L}) \cap p_*\alpha\] 在 \(\CH_k(Y)\) 中成立。

证明

先假设 \(p\) 具有下列性质：对每个整闭子空间 \(W\subset X\)，映射 \(p|_W:W\to Y\) 都是闭浸入。此时由与 \(c_1(\mathcal{L})\) 作帽积的定义，引理成立。

我们用这个说明约化到一个特殊情形。写成 \(\alpha=\sum n_i[W_i]\)，其中 \(n_i\not=0\)，且各 \(W_i\) 两两不同。设 \(W'_i\subset Y\) 是引理 0EEG 意义下 \(W_i\) 的“像”。考虑图 \[\xymatrix{ X' = \coprod W_i \ar[r]_-q \ar[d]_{p'} & X \ar[d]^p \\ Y' = \coprod W'_i \ar[r]^-{q'} & Y. }\] 由于 \(\{W_i\}\) 在 \(X\) 上局部有限且 \(p\) 固有，可知 \(\{W'_i\}\) 在 \(Y\) 上局部有限，并且 \(q,q',p'\) 也都是固有态射。还可以把 \(\sum n_i[W_i]\) 看作 \(k\)-闭链 \(\alpha'\in Z_k(X')\)。显然 \(q_*\alpha'=\alpha\)。

我们有 \(q_*(c_1(q^*p^*\mathcal{L}) \cap \alpha') = c_1(p^*\mathcal{L}) \cap q_*\alpha'\) 以及 \((q')_*(c_1((q')^*\mathcal{L}) \cap p'_*\alpha') = c_1(\mathcal{L}) \cap q'_*p'_*\alpha'\)，这是由证明开头的说明得出的。因此，只需对态射 \(p'\) 与闭链 \(\sum n_i[W_i]\) 证明引理。显然，这意味着可以假设 \(X,Y\) 整、 \(f:X\to Y\) 支配且 \(\alpha=[X]\)。

此时结论由引理 0EQS 得出。

关键公式

本节对应于《Chow 同调》第 0AYB 节。我们强烈建议读者先阅读该处的证明。

在情形 0EDT 中，设 \(X/B\) 是良好的。假设 \(X\) 整且 \(\dim_\delta(X)=n\)。设 \(\mathcal{L}\) 与 \(\mathcal{N}\) 是可逆 \(\mathcal{O}_X\)-模，\(s\) 是 \(\mathcal{L}\) 的非零亚纯截面，而 \(t\) 是 \(\mathcal{N}\) 的非零亚纯截面。设 \(Z\subset X\) 是素因子，其泛点为 \(\xi\in|Z|\)。考虑《域上的空间》第 0ENV 节中使用的态射 \[c_\xi : \Spec(\mathcal{O}_{X, \xi}^h) \longrightarrow X\] 。以 \(\mathcal{L}_\xi\) 与 \(\mathcal{N}_\xi\) 分别表示 \(\mathcal{L}\) 与 \(\mathcal{N}\) 沿 \(c_\xi\) 的拉回；我们常把 \(\mathcal{L}_\xi\) 与 \(\mathcal{N}_\xi\) 看作由此得到的秩 \(1\) 自由 \(\mathcal{O}_{X,\xi}^h\)-模。注意 \(s\)（相应地 \(t\)）的拉回是 \(\mathcal{L}_\xi\)（相应地 \(\mathcal{N}_\xi\)）的正则亚纯截面。

设 \(Z_i\subset X\)（\(i\in I\)）是满足下列性质的素因子的局部有限集：若 \(Z\not \in\{Z_i\}\)，则 \(s\) 是 \(\mathcal{L}_\xi\) 的生成元，且 \(t\) 是 \(\mathcal{N}_\xi\) 的生成元。由《域上的空间》引理 0EPS，这样的集合存在。于是 \[\text{div}_\mathcal{L}(s) = \sum \text{ord}_{Z_i, \mathcal{L}}(s) [Z_i]\] ，类似地 \[\text{div}_\mathcal{N}(t) = \sum \text{ord}_{Z_i, \mathcal{N}}(t) [Z_i]\] 进一步展开定义，对每个 \(i\) 选取生成元 \(s_i\in\mathcal{L}_{\xi_i}\) 与 \(t_i\in\mathcal{N}_{\xi_i}\)，其中 \(\xi_i\) 是 \(Z_i\) 的泛点。于是可以写成 \[s = f_i s_i \quad\text{且}\quad t = g_i t_i\] 其中 \(f_i,g_i\) 是全分式环 \(Q(\mathcal{O}_{X,\xi_i}^h)\) 中的可逆元素。简记 \(B_i=\mathcal{O}_{X,\xi_i}^h\)。记 \[\text{ord}_{B_i} : Q(B_i)^* \longrightarrow \mathbf{Z},\quad a/b \longmapsto \text{length}_{B_i}(B_i/aB_i) - \text{length}_{B_i}(B_i/bB_i)\] 。换言之，暂把《代数》定义 02MD 推广到这些维数为 \(1\) 的既约诺特局部环。于是依定义 \[\text{ord}_{Z_i, \mathcal{L}}(s) = \text{ord}_{B_i}(f_i) \quad\text{且}\quad \text{ord}_{Z_i, \mathcal{N}}(t) = \text{ord}_{B_i}(g_i)\] 。由于 \(\xi_i\) 是 \(Z_i\) 的泛点，剩余域 \(\kappa(\xi_i)\) 是 \(Z_i\) 的函数域。此外，\(\kappa(\xi_i)\) 是 \(B_i\) 的剩余域；见《合宜空间》引理 0EN0。由于 \(t_i\) 是 \(\mathcal{N}_{\xi_i}\) 的生成元，它在纤维 \(\mathcal{N}_{\xi_i}\otimes_{B_i}\kappa(\xi_i)\) 中的像是 \(\mathcal{N}|_{Z_i}\) 的非零亚纯截面。把这个像记作 \(t_i|_{Z_i}\)。由定义可得 \[c_1(\mathcal{N}) \cap \text{div}_\mathcal{L}(s) = \sum \text{ord}_{B_i}(f_i) (Z_i \to X)_*\text{div}_{\mathcal{N}|_{Z_i}}(t_i|_{Z_i})\] 以及类似的等式 \[c_1(\mathcal{L}) \cap \text{div}_\mathcal{N}(t) = \sum \text{ord}_{B_i}(g_i) (Z_i \to X)_*\text{div}_{\mathcal{L}|_{Z_i}}(s_i|_{Z_i})\] ，它们位于 \(\CH_{n-2}(X)\) 中。我们将找出这两个闭链之间的有理等价。为此考虑驯顺符号 \[\partial_{B_i}(f_i, g_i) \in \kappa(\xi_i)^* = R(Z_i)^*\] ；见《Chow 同调》第 0EAH 节。

引理

在上述情形中，闭链 \[\sum (Z_i \to X)_*\left( \text{ord}_{B_i}(f_i) \text{div}_{\mathcal{N}|_{Z_i}}(t_i|_{Z_i}) - \text{ord}_{B_i}(g_i) \text{div}_{\mathcal{L}|_{Z_i}}(s_i|_{Z_i}) \right)\] 等于闭链 \[\sum (Z_i \to X)_*\text{div}(\partial_{B_i}(f_i, g_i))\]

证明

证明策略如下：先约化到 \(\mathcal{L}\) 与 \(\mathcal{N}\) 都是平凡可逆模的情形；再改变局部平凡化的选取；最后用平展局部化约化到概形情形 ¹。

第一步。设 \(q:T\to X\) 是引理 0EQG 中构造的态射。下文将直接使用该引理所述的全部性质，不再另行说明。特别地，只需证明闭链沿 \(q\) 拉回后相等。以 \(s'\) 与 \(t'\) 分别表示 \(s\) 与 \(t\) 拉回得到的 \(q^*\mathcal{L}\) 与 \(q^*\mathcal{N}\) 的亚纯截面。记 \(Z'_i=q^{-1}(Z_i)\)；以 \(\xi'_i\in|Z'_i|\) 表示泛点；记 \(B'_i=\mathcal{O}_{T,\xi'_i}^h\)；并以 \(\mathcal{L}_{\xi'_i}\) 与 \(\mathcal{N}_{\xi'_i}\) 表示 \(\mathcal{L}\) 与 \(\mathcal{N}\) 到 \(\Spec(B'_i)\) 的拉回。回顾有交换图 \[\xymatrix{ \Spec(B'_i) \ar[r]_-{c_{\xi'_i}} \ar[d] & T \ar[d]^q \\ \Spec(B_i) \ar[r]^-{c_{\xi_i}} & X }\] ；见《合宜空间》注 0EPL。以 \(s'_i\) 与 \(t'_i\) 表示 \(s_i\) 与 \(t_i\) 的拉回；它们分别是 \(\mathcal{L}_{\xi'_i}\) 与 \(\mathcal{N}_{\xi'_i}\) 的生成元。于是 \[s' = f'_i s'_i \quad\text{且}\quad t' = g'_i t'_i\] 其中 \(f'_i\) 与 \(g'_i\) 是 \(f_i,g_i\) 在 \(B_i\to B'_i\) 所诱导的映射 \(Q(B_i)\to Q(B'_i)\) 下的像。由《代数》引理 02M1 有 \[\text{ord}_{B_i}(f_i) = \text{ord}_{B'_i}(f'_i) \quad\text{且}\quad \text{ord}_{B_i}(g_i) = \text{ord}_{B'_i}(g'_i)\] 把引理 0EQQ 应用于 \(q:Z'_i\to Z_i\)，得到 \[q^*\text{div}_{\mathcal{N}|_{Z_i}}(t_i|_{Z_i}) = \text{div}_{q^*\mathcal{N}|_{Z'_i}}(t'_i|_{Z'_i}) \quad\text{且}\quad q^*\text{div}_{\mathcal{L}|_{Z_i}}(s_i|_{Z_i}) = \text{div}_{q^*\mathcal{L}|_{Z'_i}}(s'_i|_{Z'_i})\] 这已经说明，引理陈述中的第一个闭链拉回为与 \(s',t',Z'_i,s'_i,t'_i\) 相对应的闭链。为说明第二个闭链也如此，注意由《Chow 同调》引理 0EPG 有 \[\partial_{B_i}(f_i, g_i) \mapsto \partial_{B'_i}(f'_i, g'_i) \quad\text{经由}\quad \kappa(\xi_i) \to \kappa(\xi'_i)\] 因此与前面相同的引理说明 \[q^*\text{div}(\partial_{B_i}(f_i, g_i)) = \text{div}(\partial_{B'_i}(f'_i, g'_i))\] 由于 \(q^*\mathcal{L}\cong\mathcal{O}_T\)，只需在 \(\mathcal{L}\) 平凡时证明等式。交换 \(\mathcal{L}\) 与 \(\mathcal{N}\) 的角色，同理还可假设 \(\mathcal{N}\) 平凡。第一步完成。

第二步。假设 \(\mathcal{L}=\mathcal{O}_X\) 且 \(\mathcal{N}=\mathcal{O}_X\)。以 \(1\) 表示 \(\mathcal{L}\) 的平凡化截面。则对某个单位 \(u\in B_i\) 有 \(s_i=u\cdot1\)。考察用 \(1\) 代替 \(s_i\) 后的情形。此时 \(f_i\) 被 \(uf_i\) 代替。因此，引理第一个表达式的第一部分不变，而在第二部分中增加 \[\text{ord}_{B_i}(g_i)\text{div}(u|_{Z_i})\] ，其中由《域上的空间》引理 0EPT， \(u|_{Z_i}\) 是 \(u\) 在剩余域中的像；而在第二个表达式中增加 \[\text{div}(\partial_{B_i}(u, g_i))\] ，这是由驯顺符号的双线性得到的。这两项由《Chow 同调》公式 (0EAN) 中给出的驯顺符号性质而相等。

设 \(Y\subset X\) 是满足 \(\dim_\delta(Y)=n-2\) 的整闭子空间。为说明 \(Y\) 在引理两个闭链中的系数相同，可以像上一段一样用 \(1\) 代替 \(s_i\)。完全相同的论证说明也可以用 \(1\) 代替 \(t_i\)。

由于只有有限多个 \(Z_i\) 满足 \(Y\subset Z_i\)，可以对所有这些 \(Z_i\) 假设 \(s_i=1\) 且 \(t_i=1\)。

第三步。设 \(Y\) 是满足 \(\dim_\delta(Y)=n-2\) 的整闭子空间，并且 \(\mathcal{L}=\mathcal{O}_X\)、\(\mathcal{N}=\mathcal{O}_X\)，而对所有满足 \(Y\subset Z_i\) 的 \(Z_i\) 都有 \(s_i=1\)、\(t_i=1\)。我们证明 \(Y\) 在引理两个闭链中的系数相等。用更小的开子空间代替 \(X\) 后，事实上可以假设对所有 \(i\)，\(s_i\) 与 \(t_i\) 都等于 \(1\)。此时第一个闭链为零。我们的任务是证明 \(Y\) 在第二个闭链中的系数也为零。

首先，由于 \(\mathcal{L}=\mathcal{O}_X\) 且 \(\mathcal{N}=\mathcal{O}_X\)，可以并且确实把 \(s,t\) 看作 \(X\) 上的有理函数 \(f,g\)。由于 \(s_i,t_i\) 都等于 \(1\)，对所有 \(i\)， \(f_i\)（相应地 \(g_i\)）就是 \(f\)（相应地 \(g\)）在 \(Q(B_i)\) 中的像。设 \(\zeta\in|Y|\) 是泛点。选取平展邻域 \[(U, u) \longrightarrow (X, \zeta)\] 并记 \(Y'=\overline{\{u\}}\subset U\)。由于平展态射平坦，可以把 \(f,g\) 拉回为 \(U\) 上的正则亚纯函数，仍分别记作 \(f,g\)。对每个素因子 \(Y\subset Z\subset X\)，概形 \(Z\times_XU\) 是 \(U\) 的若干素因子的并。反过来，给定素因子 \(Y'\subset Z'\subset U\)，存在素因子 \(Y\subset Z\subset X\)，使得 \(Z'\) 是 \(Z\times_XU\) 的一个分支。对这样的偶 \((Z,Z')\)，环同态 \[\mathcal{O}_{X, \xi}^h \to \mathcal{O}_{U, \xi'}^h\] 平展（事实上有限平展）。因此由《Chow 同调》引理 0EPG 得 \[\partial_{\mathcal{O}_{X, \xi}^h}(f, g) \mapsto \partial_{\mathcal{O}_{U, \xi'}^h}(f, g) \quad\text{经由}\quad \kappa(\xi) \to \kappa(\xi')\] 于是引理 0EQ2 适用，并给出 \[(Z \times_X U \to Z)^*\text{div}_Z(\partial_{\mathcal{O}_{X, \xi}^h}(f, g)) = \sum\nolimits_{Z' \subset Z \times_X U} \text{div}_{Z'}(\partial_{\mathcal{O}_{U, \xi'}^h}(f, g))\] 由于平坦拉回与沿闭浸入的推出相容（引理 0EPD），只需证明 \(Y'\) 在 \[\sum\nolimits_{Z' \subset U} (Z' \to U)_*\text{div}_{Z'}(\partial_{\mathcal{O}_{U, \xi'}^h}(f, g))\] 中的系数为零。

令 \(A=\mathcal{O}_{U,u}\)。则 \(f,g\in Q(A)^*\)。因而可写成 \(f=a/b\)、\(g=c/d\)，其中 \(a,b,c,d\in A\) 都是非零因子。上述表达式中 \(Y'\) 的系数为 \[\sum\nolimits_{\mathfrak q \subset A\text{ 高度 }1} \text{ord}_{A/\mathfrak q}(\partial_{A_\mathfrak q}(f, g))\]

由 \(\partial_A\) 的双线性，只需证明 \[\sum\nolimits_{\mathfrak q \subset A\text{ 高度 }1} \text{ord}_{A/\mathfrak q}(\partial_{A_\mathfrak q}(a, c))\] 为零；对其他各偶 \((a,d)\)、\((b,c)\) 与 \((b,d)\) 也同样如此。这由《Chow 同调》引理 0EAW 得出。

与可逆层相交及有理等价

本节对应于《Chow 同调》第 02TG 节。应用关键引理，我们得到与可逆层相交的基本性质。特别地，将会看到 \(c_1(\mathcal{L})\cap-\) 可通过有理等价分解，并且不同可逆层所对应的这些运算彼此交换。

引理

在情形 0EDT 中，设 \(X/B\) 是良好的。假设 \(X\) 整且 \(\dim_\delta(X)=n\)。设 \(\mathcal{L},\mathcal{N}\) 是 \(X\) 上的可逆层。选取 \(\mathcal{L}\) 的非零亚纯截面 \(s\) 与 \(\mathcal{N}\) 的非零亚纯截面 \(t\)。令 \(\alpha=\text{div}_\mathcal{L}(s)\)， \(\beta=\text{div}_\mathcal{N}(t)\)。则 \[c_1(\mathcal{N}) \cap \alpha = c_1(\mathcal{L}) \cap \beta\] 在 \(\CH_{n-2}(X)\) 中成立。

证明

立即由关键引理 0EQV 及其前面的讨论得出。

引理

在情形 0EDT 中，设 \(X/B\) 是良好的，且 \(\mathcal{L}\) 是 \(X\) 上的可逆层。运算 \(\alpha\mapsto c_1(\mathcal{L})\cap\alpha\) 可通过有理等价分解，从而给出运算 \[c_1(\mathcal{L}) \cap - : \CH_{k + 1}(X) \to \CH_k(X)\]

证明

设 \(\alpha\in Z_{k+1}(X)\) 且 \(\alpha\sim_{rat}0\)。必须证明定义 0EQJ 中所定义的 \(c_1(\mathcal{L})\cap\alpha\) 为零。由定义 0EQ6，存在满足 \(\dim_\delta(W_j)=k+2\) 的整闭子空间的局部有限族 \(\{W_j\}\) 及有理函数 \(f_j\in R(W_j)^*\)，使得 \[\alpha = \sum (i_j)_*\text{div}_{W_j}(f_j)\] 注意 \(p:\coprod W_j\to X\) 是固有态射，故 \(\alpha=p_*\alpha'\)，其中 \(\alpha'\in Z_{k+1}(\coprod W_j)\) 是各主因子 \(\text{div}_{W_j}(f_j)\) 的和。由引理 0EQT， \(c_1(\mathcal{L})\cap\alpha =p_*(c_1(p^*\mathcal{L})\cap\alpha')\)。所以只需证明每个 \(c_1(\mathcal{L}|_{W_j})\cap\text{div}_{W_j}(f_j)\) 都为零。换言之，可以假设 \(X\) 整且 \(\alpha=\text{div}_X(f)\)，其中 \(f\in R(X)^*\)。

假设 \(X\) 整，且对某个 \(f\in R(X)^*\) 有 \(\alpha=\text{div}_X(f)\)。可以把 \(f\) 看作可逆层 \(\mathcal{N}=\mathcal{O}_X\) 的正则亚纯截面。选取 \(\mathcal{L}\) 的一个亚纯截面 \(s\)，并记 \(\beta=\text{div}_\mathcal{L}(s)\)。

由引理 0EQX 得 \[c_1(\mathcal{L}) \cap \alpha = c_1(\mathcal{O}_X) \cap \beta.\] 但由引理 0EQK，右端在 \(\CH_k(X)\) 中为零，正合所需。

在情形 0EDT 中，设 \(X/B\) 是良好的，且 \(\mathcal{L}\) 是 \(X\) 上的可逆层。记 \[c_1(\mathcal{L})^s \cap - : \CH_{k + s}(X) \to \CH_k(X)\] 为运算 \(c_1(\mathcal{L})\cap-\)。由引理 0EQY，这有意义。对所有 \(s\geq0\)，以 \(c_1(\mathcal{L}^s\cap-\) 表示该运算的 \(s\) 次迭代。

引理

在情形 0EDT 中，设 \(X/B\) 是良好的。设 \(\mathcal{L},\mathcal{N}\) 是 \(X\) 上的可逆层。对任意 \(\alpha\in\CH_{k+2}(X)\)，有 \[c_1(\mathcal{L}) \cap c_1(\mathcal{N}) \cap \alpha = c_1(\mathcal{N}) \cap c_1(\mathcal{L}) \cap \alpha\] 作为 \(\CH_k(X)\) 的元素相等。

证明

对某个满足 \(\dim_\delta(Z_j)=k+2\) 的整闭子空间 \(Z_j\subset X\) 的局部有限族，写成 \(\alpha=\sum m_j[Z_j]\)。考虑固有态射 \(p:\coprod Z_j\to X\)。把 \(\alpha'=\sum m_j[Z_j]\) 看作 \(\coprod Z_j\) 上的 \((k+2)\)-闭链。多次应用引理 0EQT，可知 \(c_1(\mathcal{L}) \cap c_1(\mathcal{N}) \cap \alpha = p_*(c_1(p^*\mathcal{L}) \cap c_1(p^*\mathcal{N}) \cap \alpha')\) 以及 \(c_1(\mathcal{N}) \cap c_1(\mathcal{L}) \cap \alpha = p_*(c_1(p^*\mathcal{N}) \cap c_1(p^*\mathcal{L}) \cap \alpha')\). 因此只需在 \(X\) 整且 \(\alpha=[X]\) 时证明公式。此时结论由引理 0EQX 与各定义得出。

与有效 Cartier 因子相交

本节对应于《Chow 同调》第 02T7 节。请阅读该节的导言以了解动机。

回顾，有效 Cartier 因子与二元组 \((\mathcal{L},s)\) 的同构类一一对应，其中 \(\mathcal{L}\) 是可逆层，\(s\) 是整体截面；见《空间上的因子》引理 0847。若 \(D\) 对应于 \((\mathcal{L},s)\)，则 \(\mathcal{L}=\mathcal{O}_X(D)\)。阅读本节时请始终记住这一点。

定义

在情形 0EDT 中，设 \(X/B\) 是良好的。设 \((\mathcal{L},s)\) 是由可逆层与整体截面 \(s\in\Gamma(X,\mathcal{L})\) 组成的二元组。令 \(D=Z(s)\) 为 \(s\) 的零化轨迹，并以 \(i:D\to X\) 表示闭浸入。对每个整数 \(k\)，定义一个（精细）Gysin 同态 \[i^* : Z_{k + 1}(X) \to \CH_k(D).\] 规则如下：

给定整闭子空间 \(W\subset X\)，其中 \(\dim_\delta(W)=k+1\)，定义

若 \(W\not\subset D\)，则令 \(i^*[W]=[D\cap W]_k\)，视为 \(D\) 上的 \(k\)-闭链；

若 \(W\subset D\)，则令 \(i^*[W] = i'_*(c_1(\mathcal{L}|_W) \cap [W])\), 其中 \(i':W\to D\) 是诱导的闭浸入。

对一般的 \((k+1)\)-闭链 \(\alpha=\sum n_j[W_j]\)，令 \[i^*\alpha = \sum n_j i^*[W_j]\]

若 \(D\) 是有效 Cartier 因子，则以 \(D\cdot\alpha=i_*i^*\alpha\) 表示把该类推出为 \(X\) 上的类。

事实上，后文将看到，这个 Gysin 同态 \(i^*\) 可视为非平坦拉回的一例。因此，我们有时会非正式地把类 \(i^*\alpha\) 称为类 \(\alpha\) 的拉回。

注

设 \(S\)、\(B\)、\(X\)、\(\mathcal{L}\)、\(s\)、\(i:D\to X\) 如定义 0ER1，并假设 \(\mathcal{L}|_D\cong\mathcal{O}_D\)。此时可以在闭链上定义典范映射 \(i^*:Z_{k+1}(X)\to Z_k(D)\)，方法是要求每当 \(W\subset D\) 时都有 \(i^*[W]=0\)。以后会用到这种做法。

注

在情形 0EDT 中，设 \(f:X'\to X\) 是 \(B\) 上良好代数空间之间的态射。设 \((\mathcal{L},s,i:D\to X)\) 是定义 0ER1 中的三元组。令 \(\mathcal{L}'=f^*\mathcal{L}\)、\(s'=f^*s\) 以及 \(D'=X'\times_XD=Z(s')\)，便得到交换图 \[\xymatrix{ D' \ar[d]_g \ar[r]_{i'} & X' \ar[d]^f \\ D \ar[r]^i & X }\] 于是可以讨论 \(i^*\) 与 \((i')^*\) 之间的各种相容性。

引理

在情形 0EDT 中，设 \(X/B\) 是良好的。设 \((\mathcal{L},s,i:D\to X)\) 如定义 0ER1，并设 \(\alpha\) 是 \(X\) 上的 \((k+1)\)-闭链。则在 \(\CH_k(X)\) 中有 \(i_*i^*\alpha=c_1(\mathcal{L})\cap\alpha\)。特别地，若 \(D\) 是有效 Cartier 因子，则 \(D\cdot\alpha=c_1(\mathcal{O}_X(D))\cap\alpha\)。

证明

写成 \(\alpha=\sum n_j[W_j]\)，其中 \(i_j:W_j\to X\) 是 \(\dim_\delta(W_j)=k\) 的整闭子空间。由于 \(D\) 是 \(s\) 的零化轨迹，\(D\cap W_j\) 是限制 \(s|_{W_j}\) 的零化轨迹。因此，对每个满足 \(W_j\not\subset D\) 的 \(j\)，由引理 0EQN 有 \(c_1(\mathcal{L})\cap[W_j]=[D\cap W_j]_k\)。从而

\[c_1(\mathcal{L}) \cap \alpha = \sum\nolimits_{W_j \not \subset D} n_j[D \cap W_j]_k + \sum\nolimits_{W_j \subset D} n_j i_{j, *}(c_1(\mathcal{L})|_{W_j}) \cap [W_j])\] 在 \(\CH_k(X)\) 中成立，这是由定义 0EQJ 得到的。右端逐项等于定义 0ER1 中 \(D\) 上的类 \(i^*\alpha\) 的推出。因此结论成立。

引理

在情形 0EDT 中，设 \(f:X'\to X\) 是 \(B\) 上良好代数空间之间的固有态射。设 \((\mathcal{L},s,i:D\to X)\) 如定义 0ER1。作图 \[\xymatrix{ D' \ar[d]_g \ar[r]_{i'} & X' \ar[d]^f \\ D \ar[r]^i & X }\] 如注 0ER3。对 \(X'\) 上任意 \((k+1)\)-闭链 \(\alpha'\)，在 \(\CH_k(D)\) 中有 \(i^*f_*\alpha'=g_*(i')^*\alpha'\)（这是有意义的，因为 \(f_*\) 在闭链层次上已有定义）。

证明

设 \(\alpha=[W']\)，其中 \(W'\subset X'\) 是某个整闭子空间。令 \(W\subset X\) 为引理 0EEG 意义下 \(W'\) 的“像”。若 \(W'\not\subset D'\)，则 \(W\not\subset D\)，并且 \[[W' \cap D']_k = \text{div}_{\mathcal{L}'|_{W'}}({s'|_{W'}}) \quad\text{且}\quad [W \cap D]_k = \text{div}_{\mathcal{L}|_W}(s|_W)\] 故由引理 0EQS，第一个闭链在 \(f_*\) 下的像等于第二个闭链。因此等式在闭链层次成立。若 \(W'\subset D'\)，则 \(W\subset D\)，并且由引理 0EQS 的第二个断言， \(f_*(c_1(\mathcal{L}|_{W'})\cap[W'])\) 在 \(\CH_k(W)\) 中等于 \(c_1(\mathcal{L}|_W)\cap[W]\)。由注 0EQ8，结论对一般的 \(\alpha'\) 也成立。

引理

在情形 0EDT 中，设 \(f:X'\to X\) 是 \(B\) 上良好代数空间之间相对维数为 \(r\) 的平坦态射。设 \((\mathcal{L},s,i:D\to X)\) 如定义 0ER1。作图 \[\xymatrix{ D' \ar[d]_g \ar[r]_{i'} & X' \ar[d]^f \\ D \ar[r]^i & X }\] 如注 0ER3。对 \(X\) 上任意 \((k+1)\)-闭链 \(\alpha\)，有

在 \(\CH_{k + r}(D)\) 中有 \((i')^*f^*\alpha = g^*i^*\alpha'\) （这是有意义的，因为 \(f^*\) 在闭链层次上已有定义）。

证明

设 \(\alpha=[W]\)，其中 \(W\subset X\) 是某个整闭子空间。令 \(W'=f^{-1}(W)\subset X'\)。若 \(W\not\subset D\)，则 \(W'\not\subset D'\)，并且 \[W' \cap D' = g^{-1}(W \cap D)\] 作为 \(D'\) 的闭子空间相等。因此由引理 0EPB，等式在闭链层次成立。若 \(W\subset D\)，则 \(W'\subset D'\) 且 \(W'=g^{-1}(W)\)，并有 \([W']_{k+1+r}=g^*[W]\)；由引理 0EQR，等式在 \(\CH_{k+r}(D')\) 中成立。由注 0EQ8，结论对一般的 \(\alpha'\) 也成立。

引理

在情形 0EDT 中，设 \(X/B\) 是良好的。设 \((\mathcal{L},s,i:D\to X)\) 如定义 0ER1。设 \(Z\subset X\) 是闭子概形，满足 \(\dim_\delta(Z)\leq k+1\)，且 \(D\cap Z\) 是 \(Z\) 上的有效 Cartier 因子。则 \(i^*([Z]_{k+1})=[D\cap Z]_k\)。

证明

该假设意味着 \(s|_Z\) 是 \(\mathcal{L}|_Z\) 的正则截面。因此 \(D\cap Z=Z(s)\)，并有 \[[D \cap Z]_k = \sum n_i [Z(s_i)]_k\] 作为闭链相等；这里 \(s_i=s|_{Z_i}\)，\(Z_i\) 是 \(\delta\)-维数为 \(k+1\) 的不可约分支，并且 \([Z]_{k+1}=\sum n_i[Z_i]\)。见引理 0EQL。又有 \(D\cap Z_i=Z(s_i)\)。与 Gysin 映射的定义比较即得结论。

Gysin 同态

本节对应于《Chow 同调》第 02TK 节。本节利用关键公式证明 Gysin 同态可通过有理等价因子化。

引理

在情形 0EDT 中，设 \(X/B\) 是良好的。假设 \(X\) 整且 \(n=\dim_\delta(X)\)。设 \(i:D\to X\) 是有效 Cartier 因子。设 \(\mathcal{N}\) 是可逆 \(\mathcal{O}_X\)-模， \(t\) 是 \(\mathcal{N}\) 的非零亚纯截面。则在 \(\CH_{n-2}(D)\) 中有 \(i^*\text{div}_\mathcal{N}(t)=c_1(\mathcal{N})\cap[D]_{n-1}\)。

证明

写成 \(\text{div}_\mathcal{N}(t)=\sum\text{ord}_{Z_i,\mathcal{N}}(t)[Z_i]\)，其中 \(Z_i\subset X\) 是一些 \(\delta\)-维数为 \(n-1\) 的整闭子空间。不妨假设族 \(\{Z_i\}\) 局部有限，\(t\in\Gamma(U,\mathcal{N}|_U)\) 是生成元，其中 \(U=X\setminus\bigcup Z_i\)，并且 \(D\) 的每个不可约分支都是某个 \(Z_i\)；见《域上的空间》引理 0EE5、 0ENN 以及 0EPS。

令 \(\mathcal{L}=\mathcal{O}_X(D)\)，并以 \(s\in\Gamma(X,\mathcal{O}_X(D))=\Gamma(X,\mathcal{L})\) 表示典范截面。我们把第 0EQU 节的讨论用于当前情形。对每个 \(i\)，令 \(\xi_i\in|Z_i|\) 为其一般点，并令 \(B_i=\mathcal{O}_{X,\xi_i}^h\)。对每个 \(i\)，选取 \(\mathcal{L}_{\xi_i}\) 的生成元 \(s_i\) 和 \(\mathcal{N}_{\xi_i}\) 的生成元 \(t_i\)；二者均作为 \(B_i\)-模的生成元，但当 \(Z_i\not\subset D\) 时，要求选取 \(s_i=s\)。写成 \(s=f_is_i\)、\(t=g_it_i\)，其中 \(f_i,g_i\in B_i\)。于是 \(\text{ord}_{Z_i,\mathcal{N}}(t)=\text{ord}_{B_i}(g_i)\)。另一方面，\(f_i\in B_i\)，并且 \[[D]_{n - 1} = \sum \text{ord}_{B_i}(f_i)[Z_i]\] 这是由 \(s_i\) 的选取方式得到的。我们断言 \[i^*\text{div}_\mathcal{N}(t) = \sum \text{ord}_{B_i}(g_i) \text{div}_{\mathcal{L}|_{Z_i}}(s_i|_{Z_i})\] 在闭链层次成立。更确切地说，右端是代表左端的一个闭链。这由 \(\text{div}_\mathcal{N}(t)\) 的公式以及以下事实立即得到：当 \(Z_i\not\subset D\) 时， \(\text{div}_{\mathcal{L}|_{Z_i}}(s_i|_{Z_i}) = [Z(s_i|_{Z_i})]_{n - 2} = [Z_i \cap D]_{n - 2}\)，因为此时 \(s_i|_{Z_i}=s|_{Z_i}\) 是正则截面；见引理 0EQF。类似地， \[c_1(\mathcal{N}) \cap [D]_{n - 1} = \sum \text{ord}_{B_i}(f_i) \text{div}_{\mathcal{N}|_{Z_i}}(t_i|_{Z_i})\] 关键公式（引理 0EQV）给出闭链等式 \[\sum \left( \text{ord}_{B_i}(f_i) \text{div}_{\mathcal{N}|_{Z_i}}(t_i|_{Z_i}) - \text{ord}_{B_i}(g_i) \text{div}_{\mathcal{L}|_{Z_i}}(s_i|_{Z_i}) \right) = \sum \text{div}_{Z_i}(\partial_{B_i}(f_i, g_i))\] 若 \(Z_i\not\subset D\)，则 \(f_i=1\)，从而 \(\text{div}_{Z_i}(\partial_{B_i}(f_i,g_i))=0\)。因此，在 \(D\) 上，代表 \(i^*\text{div}_\mathcal{N}(t)\) 与 \(c_1(\mathcal{N})\cap[D]_{n-1}\) 的上述具体闭链彼此有理等价。证明完毕。

引理

在情形 0EDT 中，设 \(X/B\) 是良好的。设 \((\mathcal{L},s,i:D\to X)\) 如定义 0ER1。Gysin 同态通过有理等价因子化，从而给出映射 \(i^*:\CH_{k+1}(X)\to\CH_k(D)\)。

证明

设 \(\alpha\in Z_{k+1}(X)\)，并假设 \(\alpha\sim_{rat}0\)。这意味着存在一族局部有限的、\(\delta\)-维数为 \(k+2\) 的整闭子空间 \(W_j\subset X\)，以及 \(f_j\in R(W_j)^*\)，使得 \(\alpha=\sum i_{j,*}\text{div}_{W_j}(f_j)\)。令 \(X'=\coprod W_i\)，并考虑图 \[\xymatrix{ D' \ar[d]_q \ar[r]_{i'} & X' \ar[d]^p \\ D \ar[r]^i & X }\] 它来自注 0ER3。由于 \(X'\to X\) 固有，由引理 0ER5 有 \(i^*p_*=q_*(i')^*\)。又已知 \(q_*\) 通过有理等价因子化（引理 0EQC），故只需对 \(X'\) 上 \(\alpha'=\sum\text{div}_{W_j}(f_j)\) 证明结论。显然，这把我们约化到 \(X\) 整且 \(\alpha=\text{div}(f)\) 的情形，其中 \(f\in R(X)^*\)。

假设 \(X\) 整，且对某个 \(f\in R(X)^*\) 有 \(\alpha=\text{div}(f)\)。若 \(X=D\)，则 \(i^*\alpha\) 等于 \(c_1(\mathcal{L})\cap\alpha\)；由引理 0EQY，它有理等价于零。若 \(D\not = X\)，则由引理 0ER9， \(i^*\text{div}_X(f)\) 在 \(\CH_k(D)\) 中等于 \(c_1(\mathcal{O}_D)\cap[D]_{n-1}\)。当然，与 \(c_1(\mathcal{O}_D)\) 相交是零映射。

引理

在情形 0EDT 中，设 \(X/B\) 是良好的。设 \((\mathcal{L},s,i:D\to X)\) 是定义 0ER1 中的三元组。设 \(\mathcal{N}\) 是可逆 \(\mathcal{O}_X\)-模。则对所有 \(\alpha\in\CH_k(Z)\)，在 \(\CH_{k-2}(D)\) 中有 \(i^*(c_1(\mathcal{N})\cap\alpha)=c_1(i^*\mathcal{N})\cap i^*\alpha\)。

证明

采用与引理 0ERA 完全相同的证明，由引理 0EQT、 0EQZ 以及 0ER9 即得结论。

引理

在情形 0EDT 中，设 \(X/B\) 是良好的。设 \((\mathcal{L},s,i:D\to X)\) 和 \((\mathcal{L}',s',i':D'\to X)\) 是定义 0ER1 中的两个三元组。则图 \[\xymatrix{ \CH_k(X) \ar[r]_{i^*} \ar[d]_{(i')^*} & \CH_{k - 1}(D) \ar[d] \\ \CH_{k - 1}(D') \ar[r] & \CH_{k - 2}(D \cap D') }\] 交换，其中每个映射都是 Gysin 映射。

证明

以 \(j:D\cap D'\to D\) 和 \(j':D\cap D'\to D'\) 表示分别对应于 \((\mathcal{L}|_{D'},s|_{D'}\) 与 \((\mathcal{L}'_D,s|_D)\) 的闭浸入。需要证明，对所有 \(\alpha\in\CH_k(X)\) 都有 \((j')^*i^*\alpha=j^*(i')^*\alpha\)。设 \(W\subset X\) 是维数为 \(k\) 的整闭子概形。我们先对 \(\alpha=[W]\) 证明该等式。一般情形随后由注 0EQ8 中的观察（以及下文构造的有理等价的具体形式）得出。我们将从关键公式推出 \(\alpha=[W]\) 时的等式。

令 \(\sigma\) 是 \(\mathcal{L}|_W\) 的非零亚纯截面；当 \(W\not\subset D\) 时，要求它等于 \(s|_W\)。令 \(\sigma'\) 是 \(\mathcal{L}'|_W\) 的非零亚纯截面；当 \(W\not\subset D'\) 时，要求它等于 \(s'|_W\)。写成 \[\text{div}_{\mathcal{L}|_W}(\sigma) = \sum \text{ord}_{Z_i, \mathcal{L}|_W}(\sigma)[Z_i] = \sum n_i[Z_i]\] 以及类似的 \[\text{div}_{\mathcal{L}'|_W}(\sigma') = \sum \text{ord}_{Z_i, \mathcal{L}'|_W}(\sigma')[Z_i] = \sum n'_i[Z_i]\] 如第 0EQU 节的讨论。于是，当 \(n_i\not =0\) 时有 \(Z_i\subset D\)；当 \(n'_i\not =0\) 时有 \(Z'_i\subset D'\)。对每个 \(i\)，令 \(\xi_i\in|Z_i|\) 为一般点。如第 0EQU 节那样，对每个 \(i\) 选取元素 \(\sigma_i\in\mathcal{L}_{\xi_i}\) 和 \(\sigma'_i\in\mathcal{L}'_{\xi_i}\)，它们分别生成 \(B_i=\mathcal{O}_{W,\xi_i}^h\) 上的相应模；并且当 \(Z_i\not\subset D\) 时，前者等于 \(s\) 的像，而当 \(Z_i\not\subset D'\) 时，后者等于 \(s'\) 的像。写成 \(\sigma=f_i\sigma_i\)、\(\sigma'=f'_i\sigma'_i\)，于是 \(n_i=\text{ord}_{B_i}(f_i)\) 且 \(n'_i=\text{ord}_{B_i}(f'_i)\)。由定义可得闭链等式 \[(j')^*i^*[W] = \sum \text{ord}_{B_i}(f_i) \text{div}_{\mathcal{L}'|_{Z_i}}(\sigma'_i|_{Z_i})\] 以及 \[j^*(i')^*[W] = \sum \text{ord}_{B_i}(f'_i) \text{div}_{\mathcal{L}|_{Z_i}}(\sigma_i|_{Z_i})\] 关键公式（引理 0EQV）现在给出闭链等式 \[\sum \left( \text{ord}_{B_i}(f_i) \text{div}_{\mathcal{L}'|_{Z_i}}(\sigma'_i|_{Z_i}) - \text{ord}_{B_i}(f'_i) \text{div}_{\mathcal{L}|_{Z_i}}(\sigma_i|_{Z_i}) \right) = \sum \text{div}_{Z_i}(\partial_{B_i}(f_i, f'_i))\] 注意，若 \(Z_i\not\subset D\cap D'\)，则 \(\text{div}_{Z_i}(\partial_{B_i}(f_i,f'_i))=0\)，因为此时 \(f_i=1\) 或 \(f'_i=1\)。因此，在 \(D\cap D'\cap W\) 上，代表 \((j')^*i^*[W]\) 与 \(j^*(i')^*[W]\) 的上述具体闭链彼此有理等价。

相对有效 Cartier 因子

本节对应于《Chow 同调》第 02TP 节。相对有效 Cartier 因子定义于《空间上的因子》第 0EPM 节。为了建立向量丛陈类的基本结果，我们只需要环境概形与有效 Cartier 因子都在基上平坦的情形。

引理

在情形 0EDT 中，设 \(X,Y/B\) 是良好的。设 \(p:X\to Y\) 是相对维数为 \(r\) 的平坦态射。设 \(i:D\to X\) 是相对有效 Cartier 因子（《空间上的因子》定义 0EPP）。令 \(\mathcal{L}=\mathcal{O}_X(D)\)。对任意 \(\alpha\in\CH_{k+1}(Y)\)，在 \(\CH_{k+r}(D)\) 中有 \[i^*p^*\alpha = (p|_D)^*\alpha\] 并且在 \(\CH_{k+r}(X)\) 中有 \[c_1(\mathcal{L}) \cap p^*\alpha = i_* ((p|_D)^*\alpha)\]

证明

设 \(W\subset Y\) 是 \(\delta\)-维数为 \(k+1\) 的整闭子空间。由《空间上的因子》引理 0EPN， \(D\cap p^{-1}W\) 是 \(p^{-1}W\) 上的有效 Cartier 因子。由引理 0ER7，下式的第一个等号成立： \[i^*[p^{-1}W]_{k + r + 1} = [D \cap p^{-1}W]_{k + r} = [(p|_D)^{-1}(W)]_{k + r}.\] 第二个等号成立，是因为作为代数空间有 \(D\cap p^{-1}(W)=(p|_D)^{-1}(W)\)。由定义， \(p^*[W]=[p^{-1}W]_{k+r+1}\)，故在闭链层次有 \(i^*p^*[W]=(p|_D)^*[W]\)。若 \(\alpha=\sum m_j[W_j]\) 是一般的 \((k+1)\)-闭链，则在闭链层次有 \(i^*\alpha=\sum m_j i^*p^*[W_j]=\sum m_j(p|_D)^*[W_j]\)。这证明了第一个等式。对第一个等式应用引理 0ER4，即可推出第二个等式。

仿射丛

本节对应于《Chow 同调》第 02TS 节。对仿射丛而言，周群上的拉回映射是满射。

引理

在情形 0EDT 中，设 \(X,Y/B\) 是良好的。设 \(f:X\to Y\) 是 \(B\) 上相对维数为 \(r\) 的拟紧平坦态射。假设对每个 \(y\in Y\) 都有 \(X_y\cong\mathbf{A}^r_{\kappa(y)}\)。则对所有 \(k\in\mathbf{Z}\)， \(f^*:\CH_k(Y)\to\CH_{k+r}(X)\) 都是满射。

证明

设 \(\alpha\in\CH_{k+r}(X)\)。写成 \(\alpha=\sum m_j[W_j]\)，其中 \(m_j\not =0\)，且 \(W_j\) 是两两不同的、\(\delta\)-维数为 \(k+r\) 的整闭子空间。于是族 \(\{W_j\}\) 在 \(X\) 中局部有限。如引理 0EEG，令 \(Z_j\subset Y\) 为使我们得到支配态射 \(W_j\to Z_j\) 的整闭子空间。对 \(Y\) 中任意拟紧开集 \(V\subset Y\)，只有有限多个 \(j\) 使 \(f^{-1}(V)\cap W_j\) 非空。因此，作为这些像之闭包的 \(Z_j\) 构成 \(Y\) 中一族局部有限的整闭子空间。

考虑纤维积图 \[\xymatrix{ f^{-1}(Z_j) \ar[r] \ar[d]_{f_j} & X \ar[d]^f \\ Z_j \ar[r] & Y }\] 假设对某个 \(k\)-闭链 \(\beta_j\in\CH_k(Z_j)\)， \([W_j]\in Z_{k+r}(f^{-1}(Z_j))\) 有理等价于 \(f_j^*\beta_j\)。那么 \(\beta=\sum m_j\beta_j\) 是 \(Y\) 上的 \(k\)-闭链，且 \(f^*\beta=\sum m_jf_j^*\beta_j\) 与 \(\alpha\) 有理等价（见注 0EQ8）。这把我们约化到 \(Y\) 整，且 \(\alpha=[W]\) 的情形，其中 \(W\) 是 \(X\) 中支配 \(Y\) 的某个整闭子概形。特别地，不妨假设 \(d=\dim_\delta(Y)<\infty\)。

因此可以对 \(d=\dim_\delta(Y)\) 作归纳。若 \(d<k\)，则 \(\CH_{k+r}(X)=0\)，引理成立；这是归纳的起始情形。取非空开集 \(V\subset Y\)。假设可以证明，对某个 \(\beta\in Z_k(V)\) 有 \(\alpha|_{f^{-1}(V)}=f^*\beta\)。由引理 0EP9，存在 \(\beta'\in Z_k(Y)\) 使得 \(\beta=\beta'|_V\)。由引理 0EQ7 的正合列 \(\CH_k(f^{-1}(Y\setminus V))\to\CH_k(X)\to\CH_k(f^{-1}(V))\)， \(\alpha-f^*\beta'\) 来自某个闭链 \(\alpha'\in\CH_{k+r}(f^{-1}(Y\setminus V))\)。由于 \(\dim_\delta(Y\setminus V)<d\)，对 \(d\) 使用归纳假设即得结论。

特别地，以适当开子空间替换 \(Y\) 后，可以假设 \(Y\) 是一般点为 \(\eta\) 的概形。同构 \(Y_\eta\cong\mathbf{A}^r_\eta\) 可延拓为 \(Y\) 中某个非空开集 \(V\) 上的同构；见《空间的极限》引理 07SK。这把我们约化到概形情形，即《Chow 同调》引理 02TT。

引理

在情形 0EDT 中，设 \(X/B\) 是良好的。设 \(\mathcal{L}\) 是可逆 \(\mathcal{O}_X\)-模。令 \[p : L = \underline{\Spec}(\text{Sym}^*(\mathcal{L})) \longrightarrow X\] 为 \(X\) 上的相伴向量丛。则对所有 \(k\)， \(p^*:\CH_k(X)\to\CH_{k+1}(L)\) 都是同构。

证明

满射性见引理 0ERG。令 \(o:X\to L\) 为 \(L\to X\) 的零截面，即对应于满射 \(\text{Sym}^*(\mathcal{L})\to\mathcal{O}_X\) 的态射；该满射把所有 \(n>0\) 的 \(\mathcal{L}^{\otimes n}\) 都映为零。于是 \(p\circ o=\text{id}_X\)，且 \(o(X)\) 是 \(L\) 上的有效 Cartier 因子。因此由引理 0ERE， \(o^*\circ p^*=\text{id}\)，从而 \(p^*\) 也是单射。

双变相交理论

本节对应于《Chow 同调》第 0B75 节。为了恰当地讨论向量丛的高阶陈类，我们依照 [FM] 引入下述概念。由 [F, Theorem 17.1] 可知，除去我们所处背景不同这一点外，这里的定义与 [F] 中的定义一致。

定义

在情形 0EDT 中，设 \(f:X\to Y\) 是 \(B\) 上良好代数空间之间的态射，并设 \(p\in\mathbf{Z}\)。一个关于 \(f\) 的 \(p\) 次双变类 \(c\)，是这样一条规则：对 \(B\) 上良好代数空间的每个态射 \(Y'\to Y\) 及每个 \(k\)，指定一个映射 \[c \cap - : \CH_k(Y') \longrightarrow \CH_{k - p}(X')\] 其中 \(X'=Y'\times_YX\)，并满足下列条件：

若 \(Y''\to Y'\) 是固有态射，则 \(c \cap (Y'' \to Y')_*\alpha'' = (X'' \to X')_*(c \cap \alpha'')\) 对 \(Y''\) 上所有 \(\alpha''\) 都成立；

若 \(Y''\to Y'\) 是 \(B\) 上良好代数空间之间相对维数为 \(r\) 的平坦态射，则 \(c \cap (Y'' \to Y')^*\alpha' = (X'' \to X')^*(c \cap \alpha')\) 对 \(Y'\) 上所有 \(\alpha'\) 都成立；

若 \((\mathcal{L}',s',i':D'\to Y')\) 如定义 0ER1，而其到 \(X'\) 的拉回为 \((\mathcal{N}',t',j':E'\to X')\)，则 \(c\cap(i')^*\alpha'=(j')^*(c\cap\alpha')\) 对 \(Y'\) 上所有 \(\alpha'\) 都成立。

关于 \(f\) 的所有 \(p\) 次双变类的集合记作 \(A^p(X\to Y)\)。

在情形 0EDT 中，设 \(X\to Y\) 和 \(Y\to Z\) 是 \(B\) 上良好代数空间之间的态射，并设 \(p\in\mathbf{Z}\)。显然， \(A^p(X\to Y)\) 是阿贝尔群。此外，显然存在双线性复合 \[A^p(X \to Y) \times A^q(Y \to Z) \to A^{p + q}(X \to Z)\] 且它满足结合律。我们最关注 \(A^p(X)=A^p(X\to X)\)；它始终表示关于 \(\text{id}_X\) 的双变上同调类。陈类正是位于这里。

定义

在情形 0EDT 中，设 \(X/B\) 是良好的。\(X\) 的 Chow 上同调是分次 \(\mathbf{Z}\)-代数 \(A^*(X)\)，其 \(p\) 次分量为 \(A^p(X\to X)\)。

警告：尚不清楚 \(A^*(X)\) 的 \(\mathbf{Z}\)-代数结构是否交换，但我们将看到陈类位于它的中心。

注

在情形 0EDT 中，设 \(f:X\to Y\) 是 \(B\) 上良好代数空间之间的态射。则存在典范的 \(\mathbf{Z}\)-代数映射 \(A^*(Y)\to A^*(X)\)。具体地，给定 \(c\in A^p(Y)\) 与 \(X'\to X\)，把 \(X'\) 视为 \(Y\) 上的代数空间，由映射 \(c\cap-:\CH_k(X')\to\CH_{k-p}(X')\) 定义 \(f^*c\)。

引理

在情形 0EDT 中，设 \(X/B\) 是良好的。设 \(\mathcal{L}\) 是可逆 \(\mathcal{O}_X\)-模。对 \(f:X'\to X\) 指定 \(c_1(f^*\mathcal{L})\cap-:\CH_k(X')\to\CH_{k-1}(X')\) 的规则是 \(1\) 次双变类。

证明

这由引理 0EQY、 0EQT、 0EQR 以及 0ERB 得到。

引理

在情形 0EDT 中，设 \(f:X\to Y\) 是 \(B\) 上良好代数空间之间相对维数为 \(r\) 的平坦态射。对 \(Y'\to Y\) 指定 \((f')^*:\CH_k(Y')\to\CH_{k+r}(X')\) 的规则是 \(-r\) 次双变类，其中 \(X'=X\times_YY'\)。

证明

这由引理 0EQB、 0EPA、 0EPD 以及 0ER6 得到。

引理

在情形 0EDT 中，设 \(X/B\) 是良好的。设 \((\mathcal{L},s,i:D\to X)\) 是定义 0ER1 中的三元组。对 \(f:X'\to X\) 指定 \((i')^*:\CH_k(X')\to\CH_{k-1}(D')\) 的规则是 \(1\) 次双变类，其中 \(D'=D\times_XX'\)。

证明

这由引理 0ERA、 0ER5、 0ER6 以及 0ERC 得到。

引理

在情形 0EDT 中，设 \(f:X\to Y\) 和 \(g:Y\to Z\) 是 \(B\) 上良好代数空间之间的态射。设 \(c\in A^p(X\to Z)\)，并假设 \(f\) 固有。对 \(X'\to X\) 指定 \(\alpha\longmapsto f_*(c\cap\alpha)\) 的规则是 \(p\) 次双变类。

证明

这由引理 0EP2、 0EPD 以及 0ER5 得到。

下面说明 \(c_1(\mathcal{L})\) 位于 \(A^*(X)\) 的中心。

引理

在情形 0EDT 中，设 \(X/B\) 是良好的。设 \(\mathcal{L}\) 是可逆 \(\mathcal{O}_X\)-模。则 \(c_1(\mathcal{L})\in A^1(X)\) 与每个元素 \(c\in A^p(X)\) 交换。

证明

令 \(p:L\to X\) 如引理 0ERH，并令 \(o:X\to L\) 为零截面。注意，\(p^*\mathcal{L}^{\otimes-1}\) 有一个典范截面，其零化轨迹恰为有效 Cartier 因子 \(o(X)\)。设 \(\alpha\in\CH_k(X)\)。则 \[p^*(c_1(\mathcal{L}^{\otimes -1}) \cap \alpha) = c_1(p^*\mathcal{L}^{\otimes -1}) \cap p^*\alpha = o_* o^* p^*\alpha\] 这是由引理 0EQR 和 0ERE 得到的。由于 \(c\) 是双变类，故 \[\begin{align*} p^*(c \cap c_1(\mathcal{L}^{\otimes -1}) \cap \alpha) & = c \cap p^*(c_1(\mathcal{L}^{\otimes -1}) \cap \alpha) \\ & = c \cap o_* o^* p^*\alpha \\ & = o_* o^* p^*(c \cap \alpha) \\ & = p^*(c_1(\mathcal{L}^{\otimes -1}) \cap c \cap \alpha) \end{align*}\] （最后一个等号来自把上式用于 \(c\cap\alpha\)）。由上文所引引理，\(p^*\) 是单射，故 \(c_1(\mathcal{L}^{\otimes-1})\) 位于 \(A^*(X)\) 的中心。引理得证。

下面给出双变类为零的一个判据。

引理

在情形 0EDT 中，设 \(X/B\) 是良好的，并设 \(c\in A^p(X)\)。则 \(c=0\)，当且仅当对每个在 \(X\) 上局部有限型的整代数空间 \(Y\)，都有 \(c\cap[Y]=0\) 于 \(\CH_*(Y)\) 中。

证明

一个方向是显然的。反之，假设对每个在 \(X\) 上局部有限型的整代数空间 \(Y\)，都有 \(c\cap[Y]=0\) 于 \(\CH_*(Y)\) 中。设 \(X'\to X\) 局部有限型，并设 \(\alpha\in\CH_k(X')\)。写成 \(\alpha=\sum n_i[Y_i]\)，其中 \(Y_i\subset X'\) 是一族局部有限的、 \(\delta\)-维数为 \(k\) 的整闭子概形。于是，\(\alpha\) 是 \(X''=\coprod Y_i\) 上闭链 \(\alpha'=\sum n_i[Y_i]\) 沿固有态射 \(X''\to X'\) 的推出。由双变类的性质，只需证明 \(c\cap\alpha'=0\) 于 \(\CH_{k-p}(X'')\) 中。由定义立即有 \(\CH_{k-p}(X'')=\prod\CH_{k-p}(Y_i)\)。投影映射 \(\CH_{k-p}(X'')\to\CH_{k-p}(Y_i)\) 由平坦拉回给出。由于与 \(c\) 相交同平坦拉回交换，只需证明 \(c\cap[Y_i]\) 在 \(\CH_{k-p}(Y_i)\) 中为零，而这正是我们的假设。

射影空间丛公式

在情形 0EDT 中，设 \(X/B\) 是良好的。取秩为 \(r\) 的有限局部自由 \(\mathcal{O}_X\)-模 \(\mathcal{E}\)。我们的约定是，与 \(\mathcal{E}\) 相伴的射影丛指态射 \[\xymatrix{ \mathbf{P}(\mathcal{E}) = \underline{\text{Proj}}_X(\text{Sym}^*(\mathcal{E})) \ar[r]^-\pi & X }\] 并把 \(\mathcal{O}_{\mathbf{P}(\mathcal{E})}(1)\) 规范化为满足 \(\pi_*(\mathcal{O}_{\mathbf{P}(\mathcal{E})}(1))=\mathcal{E}\)。特别地，存在满射 \(\pi^*\mathcal{E}\to\mathcal{O}_{\mathbf{P}(\mathcal{E})}(1)\)。我们将非正式地用“设 \((\pi:P\to X,\mathcal{O}_P(1))\) 是与 \(\mathcal{E}\) 相伴的射影丛”表示如下情形： \(P=\mathbf{P}(\mathcal{E})\) 且 \(\mathcal{O}_P(1)=\mathcal{O}_{\mathbf{P}(\mathcal{E})}(1)\)。

引理

在情形 0EDT 中，设 \(X/B\) 是良好的。设 \(\mathcal{E}\) 是秩为 \(r\) 的有限局部自由 \(\mathcal{O}_X\)-模 \(\mathcal{E}\)。设 \((\pi:P\to X,\mathcal{O}_P(1))\) 是与 \(\mathcal{E}\) 相伴的射影丛。对任意 \(\alpha\in\CH_k(X)\)，元素 \[\pi_*\left( c_1(\mathcal{O}_P(1))^s \cap \pi^*\alpha \right) \in \CH_{k + r - 1 - s}(X)\] 在 \(s<r-1\) 时为 \(0\)，在 \(s=r-1\) 时等于 \(\alpha\)。

证明

设 \(Z\subset X\) 是 \(\delta\)-维数为 \(k\) 的整闭子空间。我们对 \(\alpha=[Z]\) 证明引理。省略由这一特殊情形推出一般情形的论证；提示：仿照注 0EQ8 论证。

令 \(P_Z=P\times_XZ\) 为基变换。显然， \(\pi_Z:P_Z\to Z\) 是与 \(\mathcal{E}|_Z\) 相伴的射影丛，而 \(\mathcal{O}_P(1)\) 拉回为 \(P_Z\) 上相应的可逆模。由引理 0ERM 和 0ERN， \(c_1(\mathcal{O}_P(1)\cap-\) 与 \(\pi^*\) 都是双变类，故 \[\pi_*\left( c_1(\mathcal{O}_P(1))^s \cap \pi^*[Z] \right) = (Z \to X)_*\pi_{Z, *}\left( c_1(\mathcal{O}_{P_Z}(1))^s \cap \pi_Z^*[Z] \right)\] 因此只需在 \(X\) 整且 \(\alpha=[X]\) 时证明引理。

假设 \(X\) 整、\(\dim_\delta(X)=k\) 且 \(\alpha=[X]\)。注意，\(\pi^*[X]=[P]\)，因为 \(P\) 整且 \(\delta\)-维数为 \(r-1\)。若 \(s<r-1\)，则依构造， \(c_1(\mathcal{O}_P(1))^s\cap[P]\) 一个 \((k+r-1-s)\)-闭链。因此，由维数原因，该闭链的推出为零。

令 \(s=r-1\)。由上述论证，对某个 \(n\in\mathbf{Z}\) 有 \(\pi_*(c_1(\mathcal{O}_P(1))^s\cap[P])=n[X]\)。我们要证明 \(n=1\)。由与上面相同的维数理由，只需在以某个稠密开子空间替换 \(X\) 后证明。因此可以假设 \(X\) 是概形，此时结论由《Chow 同调》引理 02TW 得到。

引理

设 \((S,\delta)\) 如情形 0EDT，并设 \(X\) 在 \(S\) 上局部有限型。设 \(\mathcal{E}\) 是秩为 \(r\) 的有限局部自由 \(\mathcal{O}_X\)-模 \(\mathcal{E}\)。设 \((\pi:P\to X,\mathcal{O}_P(1))\) 是与 \(\mathcal{E}\) 相伴的射影丛。映射 \[\bigoplus\nolimits_{i = 0}^{r - 1} \CH_{k + i}(X) \longrightarrow \CH_{k + r - 1}(P),\] \[(\alpha_0, \ldots, \alpha_{r-1}) \longmapsto \pi^*\alpha_0 + c_1(\mathcal{O}_P(1)) \cap \pi^*\alpha_1 + \ldots + c_1(\mathcal{O}_P(1))^{r - 1} \cap \pi^*\alpha_{r-1}\] 是同构。

证明

固定 \(k\in\mathbf{Z}\)。先证明该映射是单射。假设左端的元素 \((\alpha_0,\ldots,\alpha_{r-1})\) 映为零。由引理 0ERU， \[0 = \pi_*(\pi^*\alpha_0 + c_1(\mathcal{O}_P(1)) \cap \pi^*\alpha_1 + \ldots + c_1(\mathcal{O}_P(1))^{r - 1} \cap \pi^*\alpha_{r-1}) = \alpha_{r - 1}\] 其次， \[0 = \pi_*(c_1(\mathcal{O}_P(1)) \cap (\pi^*\alpha_0 + c_1(\mathcal{O}_P(1)) \cap \pi^*\alpha_1 + \ldots + c_1(\mathcal{O}_P(1))^{r - 2} \cap \pi^*\alpha_{r - 2})) = \alpha_{r - 2}\] 依此类推。因此该映射是单射。

为证明该映射是满射，我们将完全仿照引理 0ERG 的证明，约化到概形情形。我们建议读者跳过这个证明。

设 \(\beta\in\CH_{k+r-1}(P)\)。写成 \(\beta=\sum m_j[W_j]\)，其中 \(m_j\not =0\)，且 \(W_j\) 是两两不同的、\(\delta\)-维数为 \(k+r\) 的整闭子空间。于是族 \(\{W_j\}\) 在 \(P\) 中局部有限。令 \(Z_j\subset X\) 为引理 0EEG 意义下 \(W_j\) 的“像”。对任意拟紧开集 \(U\subset X\)，只有有限多个 \(j\) 使 \(\pi^{-1}(U)\cap W_j\) 非空。因此，像 \(Z_j\) 构成 \(X\) 中一族局部有限的整闭子空间。

考虑纤维积图 \[\xymatrix{ P_j \ar[r] \ar[d]_{\pi_j} & P \ar[d]^\pi \\ Z_j \ar[r] & X }\] 假设 \([W_j]\in Z_{k+r-1}(P_j)\) 有理等价于 \[\pi_j^*\alpha_{j, 0} + c_1(\mathcal{O}(1)) \cap \pi_j^*\alpha_{j, 1} + \ldots + c_1(\mathcal{O}(1))^{r - 1} \cap \pi_j^*\alpha_{j, r - 1}\] 其中 \(\alpha_{j,i}\in\CH_{k+i}(Z_j)\) 是某个 \((k+i)\)-闭链。那么 \(\alpha_i=\sum m_j\beta_{j,i}\) 是 \(X\) 上的 \((k+i)\)-闭链，并且 \[\pi^*\alpha_0 + c_1(\mathcal{O}(1)) \cap \pi^*\alpha_1 + \ldots + c_1(\mathcal{O}(1))^{r - 1} \cap \pi^*\alpha_{r - 1}\] 与 \(\beta\) 有理等价（见注 0EQ8）。这把我们约化到 \(X\) 整且 \(\alpha=[W]\) 的情形，其中 \(W\) 是 \(P\) 中支配 \(X\) 的某个整闭子概形。特别地，不妨假设 \(d=\dim_\delta(X)<\infty\)。

因此可以对 \(d=\dim_\delta(X)\) 作归纳。若 \(d<k\)，则 \(\CH_{k+r-1}(X)=0\)，引理成立；这是归纳的起始情形。取非空开集 \(U\subset X\)。假设可以证明 \[\beta|_{\pi^{-1}(U)} = \pi^*\alpha_0 + c_1(\mathcal{O}(1)) \cap \pi^*\alpha_1 + \ldots + c_1(\mathcal{O}(1))^{r - 1} \cap \pi^*\alpha_{r - 1}\] 其中 \(\alpha_i\in Z_{k+i}(U)\)。由引理 0EP9，存在 \(\alpha'_i\in Z_{k+i}(X)\) 使得 \(\alpha_i=\alpha'_i|_U\)。由引理 0EQ7 的正合列

\(\CH_{k + i}(\pi^{-1}(X \setminus U)) \to \CH_{k + i}(P) \to \CH_{k + i}(\pi^{-1}(U))\) 可知 \[\beta - \left(\pi^*\alpha'_0 + c_1(\mathcal{O}(1)) \cap \pi^*\alpha'_1 + \ldots + c_1(\mathcal{O}(1))^{r - 1} \cap \pi^*\alpha'_{r - 1}\right)\] 来自某个闭链 \(\beta'\in\CH_{k+r}(\pi^{-1}(X\setminus U))\)。由于 \(\dim_\delta(X\setminus U)<d\)，对 \(d\) 使用归纳假设即得结论。

特别地，以适当开子空间替换 \(X\) 后，可以假设 \(X\) 是概形，从而已把问题约化到《Chow 同调》引理 02TX。

引理

在情形 0EDT 中，设 \(X/B\) 是良好的。设 \(\mathcal{E}\) 是 \(X\) 上秩为 \(r\) 的有限局部自由层。令 \[p : E = \underline{\Spec}(\text{Sym}^*(\mathcal{E})) \longrightarrow X\] 为 \(X\) 上的相伴向量丛。则对所有 \(k\)， \(p^*:\CH_k(X)\to\CH_{k+r}(E)\) 都是同构。

证明

（线丛情形见引理 0ERH。）满射性见引理 0ERG。设 \((\pi:P\to X,\mathcal{O}_P(1))\) 是与有限局部自由层 \(\mathcal{E}\oplus\mathcal{O}_X\) 相伴的射影空间丛。设 \(s\in\Gamma(P,\mathcal{O}_P(1))\) 对应于整体截面 \((0,1)\in\Gamma(X,\mathcal{E}\oplus\mathcal{O}_X)\)。令 \(D=Z(s)\subset P\)。注意， \((\pi|_D : D \to X , \mathcal{O}_P(1)|_D)\) 是与 \(\mathcal{E}\) 相伴的射影空间丛。记 \(\pi_D=\pi|_D\) 以及 \(\mathcal{O}_D(1)=\mathcal{O}_P(1)|_D\)。此外，\(D\) 是 \(P\) 上的有效 Cartier 因子。因此 \(\mathcal{O}_P(D)=\mathcal{O}_P(1)\)（见《空间上的因子》引理 0847）。还有同构 \(E\cong P\setminus D\)。以 \(j:E\to P\) 表示相应的开浸入。为证明单射性，我们使用如下事实：映射 \[j^* : \CH_{k + r}(P) \longrightarrow \CH_{k + r}(E)\] 的核是支集于有效 Cartier 因子 \(D\) 的闭链；见引理 0EQ7。所以若 \(p^*\alpha=0\)，则对某个 \(\beta\in\CH_{k+r}(D)\) 有 \(\pi^*\alpha=i_*\beta\)。由引理 0ERV，可写成 \[\beta = \pi_D^*\beta_0 + \ldots + c_1(\mathcal{O}_D(1))^{r - 1} \cap \pi_D^* \beta_{r - 1}.\] 其中 \(\beta_i\in\CH_{k+i}(X)\)。由引理 0ERE 和 0EQT，这推出 \[\pi^*\alpha = i_*\beta = c_1(\mathcal{O}_P(1)) \cap \pi^*\beta_0 + \ldots + c_1(\mathcal{O}_D(1))^r \cap \pi^*\beta_{r - 1}.\]

由于 \(\mathcal{E}\oplus\mathcal{O}_X\) 的秩为 \(r+1\)，除非所有 \(\alpha\) 和所有 \(\beta_i\) 都为零，否则这与引理 0EQT 矛盾。

向量丛的陈类

本节对应于《Chow 同调》第 02TZ 节和第 02U4 节。不过，与那里的做法不同，我们直接把向量丛的陈类定义为双变类。这样可以省去大量工作。

引理

在情形 0EDT 中，设 \(X/B\) 是良好的。设 \(\mathcal{E}\) 是 \(X\) 上秩为 \(r\) 的有限局部自由层，并设 \((\pi:P\to X,\mathcal{O}_P(1))\) 是与 \(\mathcal{E}\) 相伴的射影空间丛。对 \(B\) 上良好代数空间的每个态射 \(X'\to X\)，存在唯一的映射 \[c_i(\mathcal{E}) \cap - : \CH_k(X') \longrightarrow \CH_{k - i}(X'),\quad i = 0, \ldots, r\] 使得对 \(\alpha\in\CH_k(X')\) 有 \(c_0(\mathcal{E})\cap\alpha=\alpha\)，并且

\[\sum\nolimits_{i = 0, \ldots, r} (-1)^i c_1(\mathcal{O}_{P'}(1))^i \cap (\pi')^*\left(c_{r - i}(\mathcal{E}) \cap \alpha\right) = 0\] 其中 \(\pi':P'\to X'\) 是 \(\pi\) 的基变换。此外，这些映射定义了 \(X\) 上的 \(i\) 次双变类 \(c_i(\mathcal{E})\)。

证明

映射 \(c_i(\mathcal{E})\cap-\) 的唯一性与存在性，立即由引理 0ERV 以及给定的 \(c_0(\mathcal{E})\) 描述得到。对每个 \(i\in\mathbf{Z}\)，给 \(B\) 上良好代数空间的每个态射 \(X'\to X\) 指定映射

\[t_i(\mathcal{E}) \cap - : \CH_k(X') \longrightarrow \CH_{k - i}(X'),\quad \alpha \longmapsto \pi'_*(c_1(\mathcal{O}_{P'}(1))^{r - 1 + i} \cap (\pi')^*\alpha)\] 的规则是双变类²；这是由引理 0ERM、 0ERN 以及 0ERQ 得到的。由引理 0ERU，当 \(i<0\) 时有 \(t_i(\mathcal{E})=0\)，且 \(t_0(\mathcal{E})=1\)。对引理陈述中的等式施行推出，再由引理 0ERU 得到 \[(-1)^r t_1(\mathcal{E}) + (-1)^{r - 1}c_1(\mathcal{E}) = 0\] 特别地，\(c_1(\mathcal{E})\) 是双变类。若把引理陈述中的等式乘以 \(c_1(\mathcal{O}_{P'}(1))\)，再把结果推出到 \(X'\)，便得到 \[(-1)^r t_2(\mathcal{E}) + (-1)^{r - 1} t_1(\mathcal{E}) \cap c_1(\mathcal{E}) + (-1)^{r - 2} c_2(\mathcal{E}) = 0\] 与前面一样，由此可知 \(c_2(\mathcal{E})\) 是双变类。依此类推。

定义

在情形 0EDT 中，设 \(X/B\) 是良好的。设 \(\mathcal{E}\) 是 \(X\) 上秩为 \(r\) 的有限局部自由层。对 \(i=0,\ldots,r\)，\(\mathcal{E}\) 的第 \(i\) 陈类是引理 0ERY 中构造的 \(i\) 次双变类 \(c_i(\mathcal{E})\in A^i(X)\)。\(\mathcal{E}\) 的总陈类是形式和 \[c(\mathcal{E}) = c_0(\mathcal{E}) + c_1(\mathcal{E}) + \ldots + c_r(\mathcal{E})\] 并把它视为 \(X\) 上的非齐次双变类。

为方便起见，当 \(i>r\) 或 \(i<0\) 时，我们常令 \(c_i(\mathcal{E})=0\)。依定义， \(c_0(\mathcal{E})=1\in A^0(X)\)。下面作一个相容性检验。

引理

在情形 0EDT 中，设 \(X/B\) 是良好的。设 \(\mathcal{L}\) 是可逆 \(\mathcal{O}_X\)-模。定义 0ERZ 中 \(\mathcal{L}\) 在 \(X\) 上的第一陈类，等于引理 0ERM 中的双变类。

证明

事实上，在此情形下，由我们对射影丛所作的规范化， \(P=\mathbf{P}(\mathcal{L})=X\) 且 \(\mathcal{O}_P(1)=\mathcal{L}\)；见第 0ERT 节。因此，引理 0ERY 中的等式变为 \[(-1)^0 c_1(\mathcal{L})^0 \cap c^{new}_1(\mathcal{L}) \cap \alpha + (-1)^1 c_1(\mathcal{L})^1 \cap c^{new}_0(\mathcal{L}) \cap \alpha = 0\] 其中 \(c_i^{new}(\mathcal{L})\) 如定义 0ERZ。由于 \(c_0^{new}(\mathcal{L})=1\) 且 \(c_1(\mathcal{L})^0=1\)，结论成立。

下面说明陈类位于双变 Chow 上同调环 \(A^*(X)\) 的中心。

引理

在情形 0EDT 中，设 \(X/B\) 是良好的。设 \(\mathcal{E}\) 是秩为 \(r\) 的局部自由 \(\mathcal{O}_X\)-模。则 \(c_j(\mathcal{L})\in A^j(X)\) 与每个元素 \(c\in A^p(X)\) 交换。特别地，若 \(\mathcal{F}\) 是 \(X\) 上另一个秩为 \(s\) 的局部自由 \(\mathcal{O}_X\)-模，则对所有 \(\alpha\in\CH_k(X)\)， \[c_i(\mathcal{E}) \cap c_j(\mathcal{F}) \cap \alpha = c_j(\mathcal{F}) \cap c_i(\mathcal{E}) \cap \alpha\] 在 \(\CH_{k-i-j}(X)\) 中成立。

证明

设 \(X'\to X\) 是 \(B\) 上良好代数空间之间的态射，并设 \(\alpha\in\CH_k(X')\)。写成 \(\alpha_j=c_j(\mathcal{E})\cap\alpha\)，于是 \(\alpha_0=\alpha\)。由引理 0ERY， \[\sum\nolimits_{i = 0}^r (-1)^i c_1(\mathcal{O}_{P'}(1))^i \cap (\pi')^*(\alpha_{r - i}) = 0\] 在与 \((X'\to X)^*\mathcal{E}\) 相伴的射影丛 \((\pi':P'\to X',\mathcal{O}_{P'}(1))\) 的周群中成立。施行 \(c\cap-\)，再利用引理 0ERR 与双变类的性质，得到

\[\sum\nolimits_{i = 0}^r (-1)^i c_1(\mathcal{O}_{P'}(1))^i \cap \pi^*(c \cap \alpha_{r - i}) = 0\] 在 \(P'\) 的周群中成立。因此，由引理 0ERY 中的唯一性，\(c\cap\alpha_j\) 等于 \(c_j(\mathcal{E})\cap(c\cap\alpha)\)。引理得证。

注

在情形 0EDT 中，设 \(X/B\) 是良好的。设 \(\mathcal{E}\) 是有限局部自由 \(\mathcal{O}_X\)-模。若 \(\mathcal{E}\) 的秩不是常数，仍可定义 \(\mathcal{E}\) 的陈类。具体地，此时可以写成 \[X = X_0 \amalg X_1 \amalg X_2 \amalg \ldots\] 其中 \(X_r\subset X\) 是 \(\mathcal{E}\) 的秩为 \(r\) 的开闭子空间。若 \(X'\to X\) 是 \(B\) 上良好代数空间之间的态射，则拉回给出 \(X'\) 的相应分解，并且由我们的定义有 \[\CH_*(X') = \prod\nolimits_{r \geq 0} \CH_*(X'_r)\] 于是把 \(c_i(\mathcal{E})\) 定义为保持这些直积分解的双变类，并使它在各因子上的作用为已经定义的运算 \(c_i(\mathcal{E}|_{X_r})\cap-\)。注意，在这一背景下，可能有无穷多个 \(i\) 使 \(c_i(\mathcal{E})\) 非零。

陈类之间的多项式关系

在情形 0EDT 中，设 \(X/B\) 是良好的。设 \(\mathcal{E}_i\) 是有限多个有限局部自由 \(\mathcal{O}_X\)-模。由引理 0ES1，陈类 \[c_j(\mathcal{E}_i) \in A^*(X)\] 生成 Chow 上同调 \(A^*(X)\) 的一个交换（甚至是中心的） \(\mathbf{Z}\)-子代数。因此，可以谈论这些陈类的一个多项式为零，或两个多项式相等的含义。例如，等式 \(c_1(\mathcal{E}_1)^5 + c_2(\mathcal{E}_2)c_3(\mathcal{E}_3) = 0\) 表示对 \(B\) 上良好代数空间的所有态射 \(f:Y\to X\)，运算 \[\CH_k(Y) \longrightarrow \CH_{k - 5}(Y), \quad \alpha \longmapsto c_1(\mathcal{E}_1)^5 \cap \alpha + c_2(\mathcal{E}_2) \cap c_3(\mathcal{E}_3) \cap \alpha\] 均为零。由引理 0ERS，这等价于要求：给定任意态射 \(f:Y\to X\)，其中 \(Y\) 是在 \(X\) 上局部有限型的整代数空间，闭链 \[c_1(\mathcal{E}_1)^5 \cap [Y] + c_2(\mathcal{E}_2) \cap c_3(\mathcal{E}_3) \cap [Y]\] 在 \(\CH_{\dim(Y)-5}(Y)\) 中为零。

一个具体例子是关系 \[c_1(\mathcal{L} \otimes_{\mathcal{O}_X} \mathcal{N}) = c_1(\mathcal{L}) + c_1(\mathcal{N})\] 它已在引理 0EQK 中得到证明。更一般地，任意局部自由层与一个可逆层作张量积时有如下结果。

引理

在情形 0EDT 中，设 \(X/B\) 是良好的。设 \(\mathcal{E}\) 是 \(X\) 上秩为 \(r\) 的有限局部自由层， \(\mathcal{L}\) 是 \(X\) 上的可逆层。则在 \(A^*(X)\) 中有 [0ES5]\[\begin{equation} c_i({\mathcal E} \otimes {\mathcal L}) = \sum\nolimits_{j = 0}^i \binom{r - i + j}{j} c_{i - j}({\mathcal E}) c_1({\mathcal L})^j \end{equation}\]

证明

证明与《Chow 同调》引理 02UD 的证明相同，只需把其中使用的引理换成引理 0ERS 和 0ERY。

陈类的可加性

本节对应于《Chow 同调》第 02UF 节。

引理

在情形 0EDT 中，设 \(X/B\) 是良好的。设 \(\mathcal{E}\)、\(\mathcal{F}\) 分别是 \(X\) 上秩为 \(r\)、\(r-1\) 的有限局部自由层，并且它们嵌入短正合列 \[0 \to \mathcal{O}_X \to \mathcal{E} \to \mathcal{F} \to 0\] 则在 \(A^*(X)\) 中有 \[c_r(\mathcal{E}) = 0, \quad c_j(\mathcal{E}) = c_j(\mathcal{F}), \quad j = 0, \ldots, r - 1\]

证明

证明与《Chow 同调》引理 02UG 的证明相同，只需把其中使用的引理换成引理 0ERS、 0ERE、 0EQT 以及 0ERY。

引理

在情形 0EDT 中，设 \(X/B\) 是良好的。设 \(\mathcal{E}\)、\(\mathcal{F}\) 分别是 \(X\) 上秩为 \(r\)、\(r-1\) 的有限局部自由层，并且它们嵌入短正合列 \[0 \to \mathcal{L} \to \mathcal{E} \to \mathcal{F} \to 0\] 其中 \(\mathcal{L}\) 是可逆层。则在 \(A^*(X)\) 中有 \[c(\mathcal{E}) = c(\mathcal{L}) c(\mathcal{F})\]

证明

证明与《Chow 同调》引理 02UH 的证明相同，只需把其中使用的引理换成引理 0ES7 和 0ES4。

引理

在情形 0EDT 中，设 \(X/B\) 是良好的。假设 \(\mathcal{E}\) 位于有限局部自由层的正合列 \[0 \to \mathcal{E}_1 \to \mathcal{E} \to \mathcal{E}_2 \to 0\] 中，其中 \(\mathcal{E}_i\) 的秩为 \(r_i\)。则总陈类在 \(A^*(X)\) 中满足 \[c(\mathcal{E}) = c(\mathcal{E}_1) c(\mathcal{E}_2)\]

证明

证明与《Chow 同调》引理 02UI 的证明相同，只需把其中使用的引理换成引理 0ERS、 0ES8 以及 0ERY。

引理

在情形 0EDT 中，设 \(X/B\) 是良好的。设 \({\mathcal L}_i\)（\(i=1,\ldots,r\)）是可逆 \(\mathcal{O}_X\)-模。设 \(\mathcal{E}\) 是一个局部自由秩 \(\mathcal{O}_X\)-模，并带有滤过 \[0 = \mathcal{E}_0 \subset \mathcal{E}_1 \subset \mathcal{E}_2 \subset \ldots \subset \mathcal{E}_r = \mathcal{E}\] 使得 \(\mathcal{E}_i/\mathcal{E}_{i-1}\cong\mathcal{L}_i\)。令 \(c_1({\mathcal L}_i)=x_i\)。则在 \(A^*(X)\) 中有 \[c(\mathcal{E}) = \prod\nolimits_{i = 1}^r (1 + x_i)\]

证明

应用引理 0ES8 并作归纳。

分裂原理

本节对应于《Chow 同调》第 02UF 节。

引理

在情形 0EDT 中，设 \(X/B\) 是良好的。设 \(\mathcal{E}_i\) 是有限多个秩为 \(r_i\) 的局部自由 \(\mathcal{O}_X\)-模。存在相对维数为 \(d\) 的射影平坦态射 \(\pi:P\to X\)，使得

对 \(B\) 上良好代数空间的任意态射 \(f:Y\to X\)，映射 \(\pi_Y^*:\CH_*(Y)\to\CH_{*+d}(Y\times_XP)\) 是单射；

每个 \(\pi^*\mathcal{E}_i\) 都有一个滤过，其逐次商 \(\mathcal{L}_{i,1},\ldots,\mathcal{L}_{i,r_i}\) 是可逆 \({\mathcal O}_P\)-模。

证明

对整数 \(r=\sum r_i\) 作归纳。若 \(r=0\)，可取 \(\pi=\text{id}_X\)。若所有 \(i\) 都有 \(r_i=1\)，也可取 \(\pi=\text{id}_X\)。假设对某个 \(i_0\) 有 \(r_{i_0}>1\)。设 \((\pi:P\to X,\mathcal{O}_P(1))\) 是与 \(\mathcal{E}_{i_0}\) 相伴的射影丛。典范映射 \(\pi^*\mathcal{E}_{i_0}\to\mathcal{O}_P(1)\) 是满射，故其核 \(\mathcal{E}'_{i_0}\) 是秩为 \(r_{i_0}-1\) 的有限局部自由层。注意，对 \(B\) 上良好代数空间的任意态射 \(f:Y\to X\)， \(\pi_Y^*\) 都是单射；见引理 0ERV。因此，只需对 \(P\) 以及局部自由层 \(\pi^*\mathcal{E}_i\) 证明引理。不过，由于存在具有可逆商的子丛 \(\mathcal{E}_{i_0}\subset\pi^*\mathcal{E}_{i_0}\)，现在只需对族 \(\{\mathcal{E}_i\}_{i\not = i_0}\cup\{\mathcal{E}'_{i_0}\}\) 证明引理。这样使 \(r\) 减少 \(1\)，归纳假设给出结论。

与其解释分裂原理的含义，不如直接在若干引理的证明中使用它。

引理

在情形 0EDT 中，设 \(X/B\) 是良好的。设 \(\mathcal{E}\) 是有限局部自由 \(\mathcal{O}_X\)-模，其对偶为 \(\mathcal{E}^\vee\)。则在 \(A^i(X)\) 中有 \[c_i(\mathcal{E}^\vee) = (-1)^i c_i(\mathcal{E})\]

证明

选取引理 0ESC 中的态射 \(\pi:P\to X\)。由于 \(\pi^*\)（在任意基变换后）是单射，只需在拉回到 \(P\) 后证明 \(\mathcal{E}\) 与 \(\mathcal{E}^\vee\) 的陈类之间的关系。因此，可以假设存在可逆 \(\mathcal{O}_X\)-模 \({\mathcal L}_i\)（\(i=1,\ldots,r\)）以及滤过 \[0 = \mathcal{E}_0 \subset \mathcal{E}_1 \subset \mathcal{E}_2 \subset \ldots \subset \mathcal{E}_r = \mathcal{E}\] 使得 \(\mathcal{E}_i/\mathcal{E}_{i-1}\cong\mathcal{L}_i\)。于是得到对偶滤过

\[0 = \mathcal{E}_r^\perp \subset \mathcal{E}_1^\perp \subset \mathcal{E}_2^\perp \subset \ldots \subset \mathcal{E}_0^\perp = \mathcal{E}^\vee\] 满足 \(\mathcal{E}_{i-1}^\perp/\mathcal{E}_i^\perp\cong \mathcal{L}_i^{\otimes-1}\)。令 \(x_i=c_1(\mathcal{L}_i)\)。由引理 0EQK， \(c_1(\mathcal{L}_i^{\otimes-1})=-x_i\)。由引理 0ESA，在 \(A^*(X)\) 中有 \[c(\mathcal{E}) = \prod\nolimits_{i = 1}^r (1 + x_i) \quad\text{且}\quad c(\mathcal{E}^\vee) = \prod\nolimits_{i = 1}^r (1 - x_i)\] 结论由一个形式计算得出，略去该计算。

引理

在情形 0EDT 中，设 \(X/B\) 是良好的。设 \(\mathcal{E}\) 和 \(\mathcal{F}\) 是秩分别为 \(r\) 和 \(s\) 的一个有限局部自由 \(\mathcal{O}_X\)-模。则有 \[c_1(\mathcal{E} \otimes \mathcal{F}) = r c_1(\mathcal{F}) + s c_1(\mathcal{E})\] \[c_2(\mathcal{E} \otimes \mathcal{F}) = r^2 c_2(\mathcal{F}) + rs c_1(\mathcal{F})c_1(\mathcal{E}) + s^2 c_2(\mathcal{E})\] 等等（见证明）。

证明

完全仿照引理 0ESD 的证明，可以假设有可逆 \(\mathcal{O}_X\)-模 \({\mathcal L}_i\)（\(i=1,\ldots,r\)）、 \({\mathcal N}_i\)（\(i=1,\ldots,s\)）以及滤过 \[0 = \mathcal{E}_0 \subset \mathcal{E}_1 \subset \mathcal{E}_2 \subset \ldots \subset \mathcal{E}_r = \mathcal{E} \quad\text{且}\quad 0 = \mathcal{F}_0 \subset \mathcal{F}_1 \subset \mathcal{F}_2 \subset \ldots \subset \mathcal{F}_s = \mathcal{F}\] 使得 \(\mathcal{E}_i/\mathcal{E}_{i-1}\cong\mathcal{L}_i\)，且 \(\mathcal{F}_j/\mathcal{F}_{j-1}\cong\mathcal{N}_j\)。按字典序排列二元组 \((i,j)\)，得到滤过 \[0 \subset \ldots \subset \mathcal{E}_i \otimes \mathcal{F}_j + \mathcal{E}_{i - 1} \otimes \mathcal{F} \subset \ldots \subset \mathcal{E} \otimes \mathcal{F}\] 其逐次商为 \[\mathcal{L}_1 \otimes \mathcal{N}_1, \mathcal{L}_1 \otimes \mathcal{N}_2, \ldots, \mathcal{L}_1 \otimes \mathcal{N}_s, \mathcal{L}_2 \otimes \mathcal{N}_1, \ldots, \mathcal{L}_r \otimes \mathcal{N}_s\] 由引理 0ESA，在 \(A^*(X)\) 中有

\[c(\mathcal{E}) = \prod (1 + x_i), \quad c(\mathcal{F}) = \prod (1 + y_j), \quad\text{且}\quad c(\mathcal{F}) = \prod (1 + x_i + y_j),\] 结论由一个形式计算得出，略去该计算。

零维闭链的次数

本节对应于《Chow 同调》第 0AZ0 节。先定义域上固有代数空间中零维闭链的次数。

定义

设 \(k\) 是域，\(p:X\to\Spec(k)\) 是代数空间的固有态射。 \(X\) 上零维闭链的次数由固有推出 \[p_* : \CH_0(X) \longrightarrow \CH_0(\Spec(k)) \longrightarrow \mathbf{Z}\] （引理 0EQC）与典范同构 \(\CH_0(\Spec(k))\to\mathbf{Z}\) 的复合给出；该同构把 \([\Spec(k)]\) 映为 \(1\)。记作 \(\deg(\alpha)\)。

下面把定义写得更明确。

引理

设 \(k\) 是域，\(X\) 是 \(k\) 上的固有代数空间。设 \(\alpha=\sum n_i[Z_i]\in Z_0(X)\)。则 \[\deg(\alpha) = \sum n_i\deg(Z_i)\] 其中 \(\deg(Z_i)\) 是 \(Z_i\to\Spec(k)\) 的次数，即 \(\deg(Z_i)=\dim_k\Gamma(Z_i,\mathcal{O}_{Z_i})\)。

证明

这正是固有推出的定义（定义 0EP1）。

引理

设 \(k\) 是域，\(X\) 是 \(k\) 上的固有代数空间。设 \(Z\subset X\) 是维数为 \(d\) 的闭子空间，并设 \(\mathcal{L}_1,\ldots,\mathcal{L}_d\) 是可逆 \(\mathcal{O}_X\)-模。则

\[(\mathcal{L}_1 \cdots \mathcal{L}_d \cdot Z) = \deg( c_1(\mathcal{L}_1) \cap \ldots \cap c_1(\mathcal{L}_1) \cap [Z]_d)\] 其中左端定义于《域上的空间》定义 0EDF。

证明

设 \(Z_i\subset Z\)（\(i=1,\ldots,t\)）是维数为 \(d\) 的不可约分支， \(m_i\) 是 \(Z_i\) 在 \(Z\) 中的重数。则 \([Z]_d=\sum m_i[Z_i]\)，并且 \(c_1(\mathcal{L}_1) \cap \ldots \cap c_1(\mathcal{L}_d) \cap [Z]_d\) 是闭链 \(m_i c_1(\mathcal{L}_1) \cap \ldots \cap c_1(\mathcal{L}_d) \cap [Z_i]\). 之和。由《域上的空间》引理 0EDE， \((\mathcal{L}_1\cdots\mathcal{L}_d\cdot Z)\) 也有类似分解，故只需在 \(Z=X\) 是 \(k\) 上固有整代数空间时证明引理。

由 Chow 引理，存在固有态射 \(f:X'\to X\)，它在某个稠密开子空间 \(U\subset X\) 上是同构，且 \(X'\) 是概形。见《空间态射进阶》引理 088U。于是 \(X'\) 是 \(k\) 上的固有概形。以 \(f^{-1}(U)\) 的概形论闭包替换 \(X'\) 后，可以假设 \(X'\) 整。此时 \[(f^*\mathcal{L}_1 \cdots f^*\mathcal{L}_d \cdot X') = (\mathcal{L}_1 \cdots \mathcal{L}_d \cdot X)\] 这是由《域上的空间》引理 0EDJ 得到的，并且

\[f_*(c_1(f^*\mathcal{L}_1) \cap \ldots \cap c_1(f^*\mathcal{L}_d) \cap [Y]) = c_1(\mathcal{L}_1) \cap \ldots \cap c_1(\mathcal{L}_d) \cap [X]\] 这是由引理 0EQT 得到的。因此可以用 \(X'\) 替换 \(X\)，并假设 \(X\) 是 \(k\) 上的固有概形。此情形已在《Chow 同调》引理 0BFI 中得到证明。

也许可以通过立即应用平展局部化给出更短的证明。↩︎
不计符号时，它们就是 \(\mathcal{E}\) 的 Segre 类。↩︎