代数簇的导出范畴

引言

本章继续 Derived Categories of Schemes, Section 08CV 中开始的讨论。我们将讨论 Fourier–Mukai 变换；Mukai 在 [Mukai] 中最先研究了这种变换。我们将证明关于导出等价的 Orlov 定理（[Orlov-K3]）。我们还将讨论 Anel 与 Toën 在 [AT] 中证明的导出等价类的可数性。

Daniel Huybrechts 的著作 [Huybrechts] 是本专题的良好入门。其他推动这一专题普及的论文包括：

Bondal 与 Kapranov 的论文，参见 [Bondal-Kapranov]；
Bondal 与 Orlov 的论文，参见 [Bondal-Orlov]；
Bondal 与 Van den Bergh 的论文，参见 [BvdB]；
Beilinson 的论文，参见 [Beilinson] 与 [Beilinson-derived]；
Orlov 的论文，参见 [Orlov-AV]；
Orlov 的论文，参见 [Orlov-motives]；
Rouquier 的论文，参见 [Rouquier-dimensions]；
这里还可以列举许多其他论文。

约定与记号

设 \(k\) 为域。\(k\)-线性三角范畴 \(\mathcal{T}\) 是一个三角范畴（Derived Categories, Section 05QK），其上赋有 \(k\)-线性结构（Differential Graded Algebra, Section 09MI），并且平移函子 \([n] : \mathcal{T} \to \mathcal{T}\) 是 \(k\)-线性的；这对所有 \(n \in \mathbf{Z}\) 都成立。

设 \(k\) 为域。用 \(\text{Vect}_k\) 表示 \(k\)-向量空间范畴。对 \(k\)-向量空间 \(V\)，用 \(V^\vee\) 表示 \(k\)-线性意义下 \(V\) 的对偶，即 \(V^\vee = \Hom_k(V, k)\)。

设 \(X\) 为概形。用 \(D_{perf}(\mathcal{O}_X)\) 表示 \(D(\mathcal{O}_X)\) 中由完美复形组成的全子范畴（Cohomology, Section 08CL）。若 \(X\) 为 Noether 概形，则 \(D_{perf}(\mathcal{O}_X) \subset D^b_{\textit{Coh}}(\mathcal{O}_X)\)；参见 Derived Categories of Schemes, Lemma 0FXU。若 \(X\) 为正则 Noether 概形，则 \(D_{perf}(\mathcal{O}_X) = D^b_{\textit{Coh}}(\mathcal{O}_X)\)；参见 Derived Categories of Schemes, Lemma 0FDC。

设 \(k\) 为域，\(X\) 和 \(Y\) 为 \(k\) 上的概形。在这种情形下，用 \(X \times Y\) 代替 \(X \times_{\Spec(k)} Y\)。

设 \(S\) 为概形，\(X\)、\(Y\) 为 \(S\) 上的概形。设 \(\mathcal{F}\) 为 \(\mathcal{O}_X\)-模， \(\mathcal{G}\) 为 \(\mathcal{O}_Y\)-模。定义 \[\mathcal{F} \boxtimes \mathcal{G} = \text{pr}_1^*\mathcal{F} \otimes_{\mathcal{O}_{X \times_S Y}} \text{pr}_2^*\mathcal{G}\] 作为 \(\mathcal{O}_{X \times_S Y}\)-模。若 \(K \in D(\mathcal{O}_X)\) 且 \(M \in D(\mathcal{O}_Y)\)，则定义 \[K \boxtimes M = L\text{pr}_1^*K \otimes_{\mathcal{O}_{X \times_S Y}}^\mathbf{L} L\text{pr}_2^*M\] 作为 \(D(\mathcal{O}_{X \times_S Y})\) 的对象。因此这一记号可能有歧义，但上下文应能说明所指的是二者中的哪一个。

Serre 函子

本节材料取自 [Bondal-Kapranov]。

引理

设 \(k\) 为域，\(\mathcal{T}\) 为 \(k\)-线性三角范畴，并且满足 \(\dim_k \Hom_\mathcal{T}(X, Y) < \infty\)，其中 \(X, Y \in \Ob(\mathcal{T})\) 任意。下列条件等价：

存在 \(k\)-线性等价 \(S : \mathcal{T} \to \mathcal{T}\) 以及 \(k\)-线性同构 \(c_{X, Y} : \Hom_\mathcal{T}(X, Y) \to \Hom_\mathcal{T}(Y, S(X))^\vee\) ，且该同构关于 \(X, Y \in \Ob(\mathcal{T})\) 具有函子性；

对每个 \(X \in \Ob(\mathcal{T})\)，函子 \(Y \mapsto \Hom_\mathcal{T}(X, Y)^\vee\) 可表，而函子 \(Y \mapsto \Hom_\mathcal{T}(Y, X)^\vee\) 余可表。

证明

条件 (1) 蕴含 (2)，因为给定 \((S, c)\) 和 \(X \in \Ob(\mathcal{T})\) 后，对象 \(S(X)\) 表示函子 \(Y \mapsto \Hom_\mathcal{T}(X, Y)^\vee\)，而对象 \(S^{-1}(X)\) 余表示函子 \(Y \mapsto \Hom_\mathcal{T}(Y, X)^\vee\)。

假设 (2)。下面将反复使用 Yoneda 引理；参见 Categories, Lemma 001P。对每个 \(X\)，以 \(S(X)\) 表示函子 \(Y \mapsto \Hom_\mathcal{T}(X, Y)^\vee\) 的表示对象。给定 \(\varphi : X \to X'\)，得到唯一的箭头 \(S(\varphi) : S(X) \to S(X')\)；它由相应的函子变换 \(\Hom_\mathcal{T}(X, -)^\vee \to \Hom_\mathcal{T}(X', -)^\vee\) 确定。这样，\(S\) 是函子，并且按构造得到同构 \(c_{X, Y}\)。还须证明 \(S\) 是等价。对每个 \(X\)，以 \(S'(X)\) 表示函子 \(Y \mapsto \Hom_\mathcal{T}(Y, X)^\vee\) 的余表示对象。与上面相同的论证表明 \(S'\) 是函子。我们断言 \(S'\) 是 \(S\) 的拟逆。为此，注意 \[\Hom_\mathcal{T}(X, Y) = \Hom_\mathcal{T}(Y, S(X))^\vee = \Hom_\mathcal{T}(S'(S(X)), Y)\] 在双函子意义下成立；即得到 \(S' \circ S \cong \text{id}_\mathcal{T}\)。类似地，有 \[\Hom_\mathcal{T}(Y, X) = \Hom_\mathcal{T}(S'(X), Y)^\vee = \Hom_\mathcal{T}(Y, S(S'(X)))\] 从而得到 \(S \circ S' \cong \text{id}_\mathcal{T}\)。

定义

设 \(k\) 为域，\(\mathcal{T}\) 为 \(k\)-线性三角范畴，并且满足 \(\dim_k \Hom_\mathcal{T}(X, Y) < \infty\)，其中 \(X, Y \in \Ob(\mathcal{T})\) 任意。若引理 0FY4 中的等价条件成立，则称存在 Serre 函子。在这种情形下， Serre 函子是一个 \(k\)-线性等价 \(S : \mathcal{T} \to \mathcal{T}\)，并配备 \(k\)-线性同构 \(c_{X, Y} : \Hom_\mathcal{T}(X, Y) \to \Hom_\mathcal{T}(Y, S(X))^\vee\) ；这些同构关于 \(X, Y \in \Ob(\mathcal{T})\) 具有函子性。

注

设 \(X^0 \to X^1 \to X^2 \to X^0[1]\) 和 \(Y^0 \to Y^1 \to Y^2 \to Y^0[1]\) 是某三角范畴中的可区别三角。对 \(p \in \mathbf{Z}\)，写成 \(p = 3n + i\)，其中 \(i \in \{0, 1, 2\}\)，并定义 \(X^p = X^i[n]\)。对 \(Y^q\) 作类似定义。考虑项为 \[K^{p, q} = \Hom(X^{-p}, Y^q)\] 的双复形。微分 \(d_1 : K^{p, q} \to K^{p + 1, q}\) 由映射 \(X^{-p - 1} \to X^{-p}\) 给出（它等于第一个可区别三角中的相应映射，至多差一个平移）；微分 \(d_2 : K^{p, q} \to K^{p, q + 1}\) 类似地由映射 \(Y^q \to Y^{q + 1}\) 给出。由 Derived Categories, Lemma 0149 可知，这个双复形的各行各列都正合。此外，\(K^{p, q} = K^{p + 3, q - 3}\)，且这些等式与微分相容。最后，公理 TR3 还蕴含一个性质：给定 \(\alpha \in K^{p, q}\) 和 \(\beta \in K^{p - 1, q + 1}\)，若 \(d_2 \alpha = d_1 \beta\)，则存在 \(\gamma \in K^{p - 2, q + 2}\)，使得 \(d_1 \gamma = d_2 \beta\) 在 \(K^{p - 1, q + 2}\) 中成立，并且 \(d_2 \gamma = d_1 \alpha\) 在 \(K^{p - 2, q + 3} = K^{p + 1, q}\) 中成立。（提示：当 \(p = q = 0\) 时，这正是 TR3 的陈述；其他指标的情形由平移证明。）具有这些性质的双复形称为 matress；参见 [Bondal-Kapranov]。

注

设 \(k\) 为域，\(K^{\bullet, \bullet}\) 为有限维 \(k\)-向量空间的双复形，并且它还是注 0H8B 中的 matress。我们断言，对偶双复形 \(L^{p, q} = \Hom_k(K^{-q, -p}, k)\) 也是 matress。各行各列的正合性以及 3-周期性都是直接的。为验证附加条件，考虑线性映射 \[\partial : K^{p, q} \oplus K^{p - 1, q + 1} \oplus K^{p - 2, q + 2} \longrightarrow K^{p, q + 1} \oplus K^{p - 1, q + 2} \oplus K^{p - 2, q + 3}\] 它把 \((\alpha, \beta, \gamma)\) 映到 \((d_2 \alpha - d_1 \beta, d_2 \gamma - d_1 \alpha, d_1 \gamma - d_2 \beta)\) ；这里采用注 0H8B 中的识别。成为 matress 的条件是 \[\Im(\partial) \cap \left( 0 \oplus K^{p - 1, q + 2} \oplus K^{p - 2, q + 3} \right) = \Im(\partial|_{0 \oplus 0 \oplus K^{p - 2, q + 2}})\] 以 \({}^\wedge\) 表示向量空间或映射的对偶。取对偶得到 \[\Ker(\partial^\wedge) + \left(L^{-p, -q - 1} \oplus 0 \oplus 0 \right) = \Ker(\text{pr}_{L^{-p + 2, -q - 2}} \circ \partial^\wedge)\] 其中 \(\text{pr}\) 项表示投影。这蕴含 \(\Im(\partial^\wedge) \cap (L^{-p, -q} \oplus L^{-p + 1, -q - 1} \oplus 0)\) 等于 \(\Im(\partial^\wedge|_{L^{-p, -q - 1} \oplus 0 \oplus 0})\)；这正转化为 \(L^{\bullet, \bullet}\) 的 matress 条件。略去若干细节。

引理

在定义 0FY5 的情形下，若 Serre 函子存在，则它在唯一同构意义下唯一，并且是三角范畴之间的正合函子。

证明

给定 Serre 函子 \(S\)，对象 \(S(X)\) 表示函子 \(Y \mapsto \Hom_\mathcal{T}(X, Y)^\vee\)。因此，由 Yoneda 引理（Categories, Lemma 001P），对象 \(S(X)\) 连同函子性识别 \(\Hom_\mathcal{T}(X, Y)^\vee = \Hom_\mathcal{T}(Y, S(X))\) 在唯一同构意义下确定。此外，对 \(\varphi : X \to X'\)，箭头 \(S(\varphi) : S(X) \to S(X')\) 由相应的函子变换 \(\Hom_\mathcal{T}(X, -)^\vee \to \Hom_\mathcal{T}(X', -)^\vee\) 唯一确定。

对对象 \(X, Y\)（属于 \(\mathcal{T}\)），有 \[\begin{align*} \Hom(Y, S(X)[1])^\vee & = \Hom(Y[-1], S(X))^\vee \\ & = \Hom(X, Y[-1]) \\ & = \Hom(X[1], Y) \\ & = \Hom(Y, S(X[1]))^\vee \end{align*}\] 由 Yoneda 引理，存在唯一同构 \(S(X[1]) \to S(X)[1]\)，它诱导上述从左上到右下的同构。由于上面的每个同构都同时关于 \(X\) 和 \(Y\) 具有函子性，这就定义了函子同构 \(S \circ [1] \to [1] \circ S\)。

设 \((A, B, C, f, g, h)\) 是 \(\mathcal{T}\) 中的可区别三角。须证明三角 \((S(A), S(B), S(C), S(f), S(g), S(h))\) 是可区别的。这里使用上面构造的典范同构 \(S(A[1]) \to S(A)[1]\)，把目标 \(S(A[1])\)（即 \(S(h)\) 的目标）与 \(S(A)[1]\) 识别。先注意，对任意 \(X\)（属于 \(\mathcal{T}\)），三角 \((S(A), S(B), S(C), S(f), S(g), S(h))\) 诱导长正合列 \[\ldots \to \Hom(X, S(A)) \to \Hom(X, S(B)) \to \Hom(X, S(C)) \to \Hom(X, S(A)[1]) \to \ldots\] ，其中各项都是有限维 \(k\)-向量空间。事实上，这个序列是下列序列的 \(k\)-线性对偶： \[\ldots \leftarrow \Hom(A, X) \leftarrow \Hom(B, X) \leftarrow \Hom(C, X) \leftarrow \Hom(A[1], X) \leftarrow \ldots\] 后一个序列由 Derived Categories, Lemma 0149 可知是正合的。接着，选取可区别三角 \((S(A), E, S(C), i, p, S(h))\)；由公理 TR1 和 TR2，这样的选取是可能的。我们要构造虚线箭头，使下图交换： \[\xymatrix{ S(C)[-1] \ar[r]_-{S(h[-1])} & S(A) \ar[r]_{S(f)} & S(B) \ar[r]_{S(g)} & S(C) \ar[r]_{S(h)} & S(A)[1] \\ S(C)[-1] \ar[r]^-{S(h[-1])} \ar@{=}[u] & S(A) \ar[r]^i \ar@{=}[u] & E \ar[r]^p \ar@{..>}[u]^\varphi & S(C) \ar[r]^{S(h)} \ar@{=}[u] & S(A)[1] \ar@{=}[u] }\] 具体地，若已有 \(\varphi\)，则断言对任意 \(X\)，由此得到的映射 \(\Hom(X, E) \to \Hom(X, S(B))\) 是 \(k\)-向量空间同构。事实上，将得到交换图 \[\xymatrix{ \Hom(X, S(C)[-1]) \ar[r] & \Hom(X, S(A)) \ar[r] & \Hom(X, S(B)) \ar[r] & \Hom(X, S(C)) \ar[r] & \Hom(X, S(A)[1]) \\ \Hom(X, S(C)[-1]) \ar[r] \ar@{=}[u] & \Hom(X, S(A)) \ar[r] \ar@{=}[u] & \Hom(X, E) \ar[r] \ar[u]^\varphi & \Hom(X, S(C)) \ar[r] \ar@{=}[u] & \Hom(X, S(A)[1]) \ar@{=}[u] }\] 其两行都正合（见上文）。应用五引理（Homology, Lemma 05QB），可知中间箭头是同构。再由 Yoneda 引理，得到 \(\varphi\) 是同构。

为求得 \(\varphi\)，由可区别三角 \(A \to B \to C \to A[1]\) 和 \(S(A) \to E \to S(C) \to S(A)[1]\) 构造注 0H8B 中的 matress。由注 0H8C，它的 \(k\)-线性对偶也是 matress。利用 \(S\) 是 Serre 函子这一事实，与上面相同可知，这个对偶 matress 正是由三角（其中第二个尚未知道是可区别的） \(S(A) \to E \to S(C) \to S(A)[1]\) 和 \(S(A) \to S(B) \to S(C) \to S(A)[1]\) 构成的双复形。而 matress 条件恰好说明映射 \(S(A) \to S(A)\) 和 \(S(C) \to S(C)\) 可以补成三角之间的态射；即存在使上图交换的 \(\varphi\)。

Serre 函子的例

下述引理给出标准例。

引理

设 \(k\) 为域，\(X\) 为 \(k\) 上的 Gorenstein 固有概形。考虑 Duality for Schemes, Lemmas 0FVV 中的复形 \(\omega_X^\bullet\)。则函子 \[S : D_{perf}(\mathcal{O}_X) \longrightarrow D_{perf}(\mathcal{O}_X),\quad K \longmapsto S(K) = \omega_X^\bullet \otimes_{\mathcal{O}_X}^\mathbf{L} K\] 是 Serre 函子。

证明

该陈述有意义，因为由 Derived Categories of Schemes, Lemma 0D0D，有 \(\dim \Hom_X(K, L) < \infty\)，其中 \(K, L \in D_{perf}(\mathcal{O}_X)\)。由于 \(X\) 是 Gorenstein 的，对偶复形 \(\omega_X^\bullet\) 是 \(D(\mathcal{O}_X)\) 的可逆对象；参见 Duality for Schemes, Lemma 0BFQ。特别地，在 \(X\) 上局部，复形 \(\omega_X^\bullet\) 只有一个非零上同调层，且它是可逆模；参见 Cohomology, Lemma 0FPG。因此 \(S(K)\) 属于 \(D_{perf}(\mathcal{O}_X)\)。另一方面，\(\omega_X^\bullet\) 的可逆性显然蕴含 \(S\) 是 \(D_{perf}(\mathcal{O}_X)\) 的自等价。最后，须找到同构 \[c_{K, L} : \Hom_X(K, L) \longrightarrow \Hom_X(L, \omega_X^\bullet \otimes_{\mathcal{O}_X}^\mathbf{L} K)^\vee\] ，并且它关于 \(K, L\) 具有双函子性。为此，使用典范同构 \[\Hom_X(K, L) = H^0(X, L \otimes_{\mathcal{O}_X}^\mathbf{L} K^\vee)\] 以及 \[\Hom_X(L, \omega_X^\bullet \otimes_{\mathcal{O}_X}^\mathbf{L} K) = H^0(X, \omega_X^\bullet \otimes_{\mathcal{O}_X}^\mathbf{L} K \otimes_{\mathcal{O}_X}^\mathbf{L} L^\vee)\] ；它们由 Cohomology, Lemma 08DQ 给出。由于 \((L \otimes_{\mathcal{O}_X}^\mathbf{L} K^\vee)^\vee = (K^\vee)^\vee \otimes_{\mathcal{O}_X}^\mathbf{L} L^\vee\) ，并且存在典范同构 \(K \to (K^\vee)^\vee\)，由 Duality for Schemes, Lemma 0FVY 可知，这些 \(k\)-向量空间典范对偶。这就给出同构 \(c_{K, L}\)。略去这些同构具有函子性的证明。

相干模的刻画

本节在某种意义上延续了 Derived Categories of Schemes, Section 0CSE 与 More on Morphisms, Section 0CSI 中的讨论。

在陈述结果之前，需要先引入一些记号。设 \(k\) 为域，设 \(n \geq 0\) 为整数。令 \(S = k[X_0, \ldots, X_n]\)。对于整数 \(e\)，以 \(S_e \subset S\) 表示次数为 \(e\) 的齐次多项式所成的子空间。考察（非交换）\(k\)-代数 \[R = \left( \begin{matrix} S_0 & S_1 & S_2 & \ldots & \ldots \\ 0 & S_0 & S_1 & \ldots & \ldots\\ 0 & 0 & S_0 & \ldots & \ldots \\ \ldots & \ldots & \ldots & \ldots & \ldots \\ 0 & \ldots & \ldots & \ldots & S_0 \end{matrix} \right)\] （有 \(n + 1\) 行和列），其乘法与加法按显然方式定义。

引理

沿用上述 \(k\)、\(n\) 和 \(R\)，设 \(K\) 为 \(D(R)\) 的对象。下列条件等价：

\(\sum_{i \in \mathbf{Z}} \dim_k H^i(K) < \infty\)；

\(K\) 是紧对象。

证明

若 \(K\) 是紧对象，则 \(K\) 可由复形 \(M^\bullet\) 表示，并且后者作为分次 \(R\)-模是有限投射的；参见 Differential Graded Algebra, Lemma 09RB。由于 \(\dim_k R < \infty\)，可得 \(\sum \dim_k M^i < \infty\)，从而当然有 \(\sum \dim_k H^i(M^\bullet) < \infty\)。（也可以很容易地由较初等的 Differential Graded Algebra, Proposition 09R3 推出这一蕴含。）

假设 \(K\) 满足 (1)。考虑截断的可区别三角 \(\tau_{\leq m}K \to K \to \tau_{\geq m + 1}K\)；参见 Derived Categories, Remark 08J5。显然， \(\tau_{\leq m}K\) 与 \(\tau_{\geq m + 1} K\) 都满足 (1)。若能证明二者都是紧对象，则 \(K\) 也是紧对象；参见 Derived Categories, Lemma 09QH。因此，对 \(K\) 的非零上同调模的数目作归纳，可以假设 \(H^i(K)\) 仅对一个 \(i\) 非零。作平移后，可以假设 \(K\) 由只含一个有限维 \(R\)-模 \(M\) 的复形给出，该模位于次数 \(0\)。

由于 \(\dim_k(M) < \infty\)，可知 \(M\) 作为 \(R\)-模是 Artin 的。因此，只需证明每个单 \(R\)-模都表示 \(D(R)\) 的紧对象。注意 \[I = \left( \begin{matrix} 0 & S_1 & S_2 & \ldots & \ldots \\ 0 & 0 & S_1 & \ldots & \ldots\\ 0 & 0 & 0 & \ldots & \ldots \\ \ldots & \ldots & \ldots & \ldots & \ldots \\ 0 & \ldots & \ldots & \ldots & 0 \end{matrix} \right)\] 是 \(R\) 的幂零双边理想，而 \(R/I\) 是交换 \(k\)-代数，并且同构于 \(n + 1\) 个 \(k\) 的乘积（各因子沿矩阵对角线放置；换言之，\(R/I\) 可提升为 \(k\)-子代数，并嵌入 \(R\)）。由此，\(R\) 恰有 \(n + 1\) 个单模同构类 \(M_0, \ldots, M_n\)（沿对角线放置）。考虑由行向量组成的右 \(R\)-模 \(P_i\) \[P_i = \left( \begin{matrix} 0 & \ldots & 0 & S_0 & \ldots & S_{i - 1} & S_i \end{matrix} \right)\] ，其乘法 \(P_i \times R \to P_i\) 按显然方式定义。于是 \(R \cong P_0 \oplus \ldots \oplus P_n\)，这是一个右 \(R\)-模同构。显然 \(R\) 是 \(D(R)\) 的紧对象，故每个 \(P_i\) 都是 \(D(R)\) 的紧对象。（当然也可由此推出每个 \(P_i\) 作为 \(R\)-模都是投射的，但这并不是本证明所需的结论。）显然， \(P_0 = M_0\) 是上述单 \(R\)-模中的第一个。对于 \(P_1\)，有短正合序列 \[0 \to P_0^{\oplus n + 1} \to P_1 \to M_1 \to 0\] 这说明 \(M_1\) 属于一个另外两项均为紧对象的可区别三角，因而 \(M_1\) 是 \(D(R)\) 的紧对象。更一般地，存在短正合序列 \[0 \to C_i \to P_i \to M_i \to 0\] ，其中 \(C_i\) 是有限维 \(R\)-模，其单组成因子都同构于 \(M_j\)，这里 \(j < i\)。由归纳假设，先得到 \(C_i\) 确定 \(D(R)\) 的紧对象，继而得到 \(M_i\) 也如此，正如所需。

引理

设 \(k\) 为域，设 \(n \geq 0\)，并设 \(K \in D_\QCoh(\mathcal{O}_{\mathbf{P}^n_k})\)。下列条件等价：

\(K\) 属于 \(D^b_{\textit{Coh}}(\mathcal{O}_{\mathbf{P}^n_k})\)；

\(\sum_{i \in \mathbf{Z}} \dim_k H^i(\mathbf{P}^n_k, E \otimes^\mathbf{L} K) < \infty\) 对于任意完美对象 \(E\) 成立，该对象属于 \(D(\mathcal{O}_{\mathbf{P}^n_k})\)；

\(\sum_{i \in \mathbf{Z}} \dim_k \Ext^i_{\mathbf{P}^n_k}(E, K) < \infty\) 对于任意完美对象 \(E\) 成立，该对象属于 \(D(\mathcal{O}_{\mathbf{P}^n_k})\)；

\(\sum_{i \in \mathbf{Z}} \dim_k H^i(\mathbf{P}^n_k, K \otimes^\mathbf{L} \mathcal{O}_{\mathbf{P}^n_k}(d)) < \infty\) 对于 \(d = 0, 1, \ldots, n\) 成立。

证明

由 Cohomology, Lemma 08DQ， (2) 与 (3) 等价。若 (1) 成立，则对于完美的 \(E\)，导出张量积 \(E \otimes^\mathbf{L} K\) 属于 \(D^b_{\textit{Coh}}(\mathcal{O}_{\mathbf{P}^n_k})\)，再由 Derived Categories of Schemes, Lemma 08E2 可知 (2) 成立。显然 (2) 蕴含 (4)，因为 \(\mathcal{O}_{\mathbf{P}^n_k}(d)\) 可视为 \(\mathbf{P}^n_k\) 的导出范畴中的完美对象。因此，只需证明 (4) 蕴含 (1)。

假设 (4) 成立。令 \(R\) 如 Lemma 0FYA 中所定义，并令 \(P = \bigoplus_{d = 0, \ldots, n} \mathcal{O}_{\mathbf{P}^n_k}(-d)\)。回顾 \(R = \text{End}_{\mathbf{P}^n_k}(P)\)，而 \(P\) 的其余自 Ext 都为零，并且由 Derived Categories of Schemes, Lemma 0BQU，\(P\) 确定等价 \(- \otimes^\mathbf{L} P : D(R) \to D_\QCoh(\mathcal{O}_{\mathbf{P}^n_k})\)。设 \(K\) 所对应的对象为 \(L\)，它属于 \(D(R)\)。于是 \[\begin{align*} H^i(L) & = \Ext^i_{D(R)}(R, L) \\ & = \Ext^i_{\mathbf{P}^n_k}(P, K) \\ & = H^i(\mathbf{P}^n_k, K \otimes P^\vee) \\ & = \bigoplus\nolimits_{d = 0, \ldots, n} H^i(\mathbf{P}^n_k, K \otimes \mathcal{O}(d)) \end{align*}\] ；这里使用了 Differential Graded Algebra, Lemma 0CS6 （以及 \(- \otimes^\mathbf{L} P\) 是等价这一事实）和 Cohomology, Lemma 08DQ。因此，假设 (4) 蕴含 \(L\) 满足 Lemma 0FYA 的条件 (2)，从而是 \(D(R)\) 的紧对象。于是 \(K\) 是 \(D_\QCoh(\mathcal{O}_{\mathbf{P}^n_k})\) 的紧对象。再由 Derived Categories of Schemes, Proposition 09M1，\(K\) 是完美的。由于 \(D_{perf}(\mathcal{O}_{\mathbf{P}^n_k}) = D^b_{\textit{Coh}}(\mathcal{O}_{\mathbf{P}^n_k})\) ，其中用到了 Derived Categories of Schemes, Lemma 0FDC，故 (1) 成立。

引理

设 \(X\) 是域 \(k\) 上的固有概形。设 \(K \in D^b_{\textit{Coh}}(\mathcal{O}_X)\)，并设 \(E\) 属于 \(D(\mathcal{O}_X)\) 且是完美的。则 \(\sum_{i \in \mathbf{Z}} \dim_k \Ext^i_X(E, K) < \infty\).

证明

例如，结合 Derived Categories of Schemes, Lemmas 0D0D 与 09M4 即得此结论。另一种证明是结合 Derived Categories of Schemes, Lemmas 0FXU 与 08E2。

引理

设 \(X\) 是域 \(k\) 上的固有概形，并设 \(K \in \Ob(D_\QCoh(\mathcal{O}_X))\)。下列条件等价：

\(K \in D^b_{\textit{Coh}}(\mathcal{O}_X)\)；

\(\sum_{i \in \mathbf{Z}} \dim_k \Ext^i_X(E, K) < \infty\) 对于所有完美 \(E\) 成立，这些对象属于 \(D(\mathcal{O}_X)\)。

证明

蕴含 (1) \(\Rightarrow\) (2) 由 Lemma 0FYC 得到。蕴含 (2) \(\Rightarrow\) (1) 由 More on Morphisms, Lemma 0GET 得到（关于域上的相对完美对象的含义，参见 Derived Categories of Schemes, Example 0DI1 ）；下一段给出射影情形下较容易的证明。

假设 (2) 成立且 \(X\) 在 \(k\) 上射影。选取闭浸入 \(i : X \to \mathbf{P}^n_k\)。只需证明 \(Ri_*K\) 属于 \(D^b_{\textit{Coh}}(\mathbf{P}^n_k)\)，因为拟相干模 \(\mathcal{F}\) 定义在 \(X\) 上时，它是相干的（相应地，为零），当且仅当 \(i_*\mathcal{F}\) 是相干的（相应地，为零）。对于完美对象 \(E\)（它属于 \(D(\mathcal{O}_{\mathbf{P}^n_k})\)），\(Li^*E\) 是 \(D(\mathcal{O}_X)\) 的完美对象，并且 \[\Ext^q_{\mathbf{P}^n_k}(E, Ri_*K) = \Ext^q_X(Li^*E, K)\] 因此，由假设可知 \(\sum_{q \in \mathbf{Z}} \dim_k \Ext^q_{\mathbf{P}^n_k}(E, Ri_*K) < \infty\). 由 Lemma 0FYB 即得结论。

一个可表性定理

本节材料取自 [BvdB]。

设 \(\mathcal{T}\) 为 \(k\)-线性三角范畴。本节考察 \(k\)-线性上同调函子 \(H\)，其定义域为 \(\mathcal{T}\)，值域为 \(k\)-向量空间范畴。这意味着 \(H\) 是函子 \[H : \mathcal{T}^{opp} \longrightarrow \text{Vect}_k\] ，它是 \(k\)-线性的，并且对于任意可区别三角 \(X \to Y \to Z\)（位于 \(\mathcal{T}\) 中），序列 \(H(Z) \to H(Y) \to H(X)\) 是 \(k\)-向量空间的正合序列。参见 Derived Categories, Definition 0147 与 Differential Graded Algebra, Section 09MI。

引理

设 \(\mathcal{D}\) 为三角范畴，设 \(\mathcal{D}' \subset \mathcal{D}\) 为全三角子范畴，并设 \(X \in \Ob(\mathcal{D})\)。以箭头 \(E \to X\) 为对象且 \(E \in \Ob(\mathcal{D}')\) 的范畴是滤过的。

证明

检验 Categories, Definition 002V 中的条件。该范畴非空，因为它包含 \(0 \to X\)。若 \(E_i \to X\)（\(i = 1, 2\)）是对象，则 \(E_1 \oplus E_2 \to X\) 是对象，并且存在态射 \((E_i \to X) \to (E_1 \oplus E_2 \to X)\)。最后，设 \(a, b : (E \to X) \to (E' \to X)\) 是态射。选取可区别三角 \(E \xrightarrow{a - b} E' \to E''\)，它位于 \(\mathcal{D}'\) 中。由公理 TR3，得到三角的态射 \[\xymatrix{ E \ar[r]_{a - b} \ar[d] & E' \ar[d] \ar[r] & E'' \ar[d] \\ 0 \ar[r] & X \ar[r] & X }\] ，而所得箭头 \((E' \to X) \to (E'' \to X)\) 使 \(a\) 与 \(b\) 相等。

引理

设 \(k\) 为域。设 \(\mathcal{D}\) 是具有直和且紧生成的 \(k\)-线性三角范畴。以 \(\mathcal{D}_c\) 表示紧对象所成的全子范畴。设 \(H : \mathcal{D}_c^{opp} \to \text{Vect}_k\) 是 \(k\)-线性上同调函子，并满足 \(\dim_k H(X) < \infty\)，其中 \(X \in \Ob(\mathcal{D}_c)\) 任取。则 \(H\) 同构于函子 \(X \mapsto \Hom(X, Y)\)，其中 \(Y \in \Ob(\mathcal{D})\) 是某个对象。

证明

下文将反复使用 Derived Categories, Lemma 09QH 而不再说明。记 \(G : \mathcal{D}_c \to \text{Vect}_k\) 为 \(k\)-线性同调函子，它把 \(X\) 送到 \(H(X)^\vee\)。对于任意对象 \(Y\)（属于 \(\mathcal{D}\)），置 \[G'(Y) = \colim_{X \to Y, X \in \Ob(\mathcal{D}_c)} G(X)\] 由 Lemma 0FYF，该余极限是滤过的。我们断言 \(G'\) 是 \(k\)-线性同调函子，\(G'\) 在 \(\mathcal{D}_c\) 上的限制是 \(G\)，并且 \(G'\) 把直和送到直和。

具体而言，设 \(Y_1 \to Y_2 \to Y_3\) 是可区别三角。设 \(\xi \in G'(Y_2)\) 在 \(G'(Y_3)\) 中的像为零。由于该余极限是滤过的， \(\xi\) 可由某个 \(X \to Y_2\) 以及 \(X \in \Ob(\mathcal{D}_c)\)、 \(g \in G(X)\) 表示。\(\xi\) 在 \(G'(Y_3)\) 中的像为零，意味着复合 \(X \to Y_2 \to Y_3\) 分解为 \(X \to X' \to Y_3\)，其中 \(X' \in \mathcal{D}_c\)，且 \(g\) 在 \(G(X')\) 中的像为零。选取可区别三角 \(X'' \to X \to X'\)。于是 \(X'' \in \Ob(\mathcal{D}_c)\)。由于 \(G\) 是同调函子，可知 \(g\) 是某个 \(g'' \in G'(X'')\) 的像。由公理 TR3，态射 \(X \to Y_2\) 与 \(X' \to Y_3\) 可嵌入可区别三角的态射 \((X'' \to X \to X') \to (Y_1 \to Y_2 \to Y_3)\)。由此确实可见， \(\xi\) 是 \(G'(Y_1)\) 中由 \(X'' \to Y_1\) 及 \(g'' \in G(X'')\) 表示的元素的像。

若 \(Y \in \Ob(\mathcal{D}_c)\)，则 \(\text{id} : Y \to Y\) 是以 \(X \to Y\) 为对象且 \(X \in \Ob(\mathcal{D}_c)\) 的箭头范畴中的终对象。所以在此情形 \(G'(Y) = G(Y)\)，从而关于限制的断言成立。设 \(Y = \bigoplus_{i \in I} Y_i\) 是一个直和。设 \(a : X \to Y\)，其中 \(X \in \Ob(\mathcal{D}_c)\)，并设 \(g \in G(X)\) 表示元素 \(\xi\)，该元素属于 \(G'(Y)\)。态射 \(a : X \to Y\) 可唯一写成态射 \(a_i : X \to Y_i\) 之和，且几乎所有项为零；这是因为 \(X\) 是 \(\mathcal{D}\) 的紧对象。令 \(I' = \{i \in I \mid a_i \not = 0\}\)。则 \(a\) 可分解为复合 \[X \xrightarrow{(1, \ldots, 1)} \bigoplus\nolimits_{i \in I'} X \xrightarrow{\bigoplus_{i \in I'} a_i} \bigoplus\nolimits_{i \in I} Y_i = Y\] 于是 \(\xi = \sum_{i \in I'} \xi_i\) 是各元素 \(\xi_i \in G'(Y_i)\) 的像之和，其中这些元素对应于 \(a_i : X \to Y_i\) 和 \(g \in G(X)\)。因此 \(\bigoplus G'(Y_i) \to G'(Y)\) 是满射。其为单射的（平凡）验证从略。

由此，函子 \(Y \mapsto G'(Y)^\vee\) 是上同调函子，并把直和送到直积。因此，由 Brown 可表性（参见 Derived Categories, Proposition 0A8G），存在 \(Y \in \Ob(\mathcal{D})\) 以及同构 \(G'(Z)^\vee = \Hom(Z, Y)\)；该同构关于 \(Z\) 是函子性的。对于 \(X \in \Ob(\mathcal{D}_c)\)，有 \(G'(X)^\vee = G(X)^\vee = (H(X)^\vee)^\vee = H(X)\)，因为 \(\dim_k H(X) < \infty\)。证明完成。

定理

设 \(X\) 是域 \(k\) 上的固有概形。设 \(F : D_{perf}(\mathcal{O}_X)^{opp} \to \text{Vect}_k\) 是 \(k\)-线性上同调函子，并满足 \[\sum\nolimits_{n \in \mathbf{Z}} \dim_k F(E[n]) < \infty\] 对所有 \(E \in D_{perf}(\mathcal{O}_X)\) 成立。则 \(F\) 同构于形如 \(E \mapsto \Hom_X(E, K)\) 的函子，其中 \(K \in D^b_{\textit{Coh}}(\mathcal{O}_X)\) 为某个对象。

证明

导出范畴 \(D_\QCoh(\mathcal{O}_X)\) 具有直和且是紧生成的，而 \(D_{perf}(\mathcal{O}_X)\) 是紧对象所成的全子范畴；参见 Derived Categories of Schemes, Lemma 08DT, Theorem 09IS 及 Proposition 09M1. 由 Lemma 0FYG，可以假设 \(F(E) = \Hom_X(E, K)\)，其中 \(K \in \Ob(D_\QCoh(\mathcal{O}_X))\) 为某个对象。于是由 Lemma 0FYD 可知，\(K\) 属于 \(D^b_{\textit{Coh}}(\mathcal{O}_X)\)。

引理

设 \(X\) 是域 \(k\) 上的正则固有概形。设 \(G : D_{perf}(\mathcal{O}_X) \to \text{Vect}_k\) 是 \(k\)-线性同调函子，并满足 \[\sum\nolimits_{n \in \mathbf{Z}} \dim_k G(E[n]) < \infty\] 对所有 \(E \in D_{perf}(\mathcal{O}_X)\) 成立。则 \(G\) 同构于形如 \(E \mapsto \Hom_X(K, E)\) 的函子，其中 \(K \in D_{perf}(\mathcal{O}_X)\) 为某个对象。

证明

考察反变函子 \(E \mapsto E^\vee\)，其定义在 \(D_{perf}(\mathcal{O}_X)\) 上；参见 Cohomology, Lemma 08DQ。该函子是 \(D_{perf}(\mathcal{O}_X)\) 的正合反自等价。因此，可将 Theorem 0FYH 应用于函子 \(F(E) = G(E^\vee)\)，得到 \(K \in D_{perf}(\mathcal{O}_X)\)，使得 \(G(E^\vee) = \Hom_X(E, K)\)。于是 \(G(E) = \Hom_X(E^\vee, K) = \Hom_X(K^\vee, E)\)，故取 \(K^\vee\) 即可。

伴随函子的存在性

作为 Bondal 与 van den Bergh 论文中结果的推论，得到下述伴随函子自动存在性。

引理

设 \(k\) 为域，设 \(X\) 与 \(Y\) 是 \(k\) 上的固有概形。若 \(X\) 正则，则任意 \(k\)-线性正合函子 \(F : D_{perf}(\mathcal{O}_X) \to D_{perf}(\mathcal{O}_Y)\) 都有正合右伴随与正合左伴随。

证明

若伴随函子存在，则由非常一般的 Derived Categories, Lemma 0A8D，它是正合函子。

先证明右伴随的存在性。为此，只需证明对于 \(M \in D_{perf}(\mathcal{O}_Y)\)，反变函子 \(K \mapsto \Hom_Y(F(K), M)\) 可表。该函子是反变、\(k\)-线性且上同调的。因此，由 Theorem 0FYH，只需证明 \[\sum\nolimits_{i \in \mathbf{Z}} \dim_k \Ext^i_Y(F(K), M) < \infty\] 即可。这由 Lemma 0FYC 得到。

对于左伴随的存在性，论证相同，只需使用 Lemma 0H4A 代替 Theorem 0FYH。

Fourier–Mukai 函子

这些函子最早在 [Mukai] 中引入。

定义

设 \(S\) 为概形，设 \(X\) 与 \(Y\) 为 \(S\) 上的概形，并设 \(K \in D(\mathcal{O}_{X \times_S Y})\)。三角范畴之间的正合函子 \[\Phi_K : D(\mathcal{O}_X) \longrightarrow D(\mathcal{O}_Y),\quad M \longmapsto R\text{pr}_{2, *}( L\text{pr}_1^*M \otimes_{\mathcal{O}_{X \times_S Y}}^\mathbf{L} K)\] 称为一个 Fourier–Mukai 函子，而 \(K\) 称为该函子的一个 Fourier–Mukai 核。此外：

若 \(\Phi_K\) 把 \(D_\QCoh(\mathcal{O}_X)\) 送入 \(D_\QCoh(\mathcal{O}_Y)\)，则所得正合函子 \(\Phi_K : D_\QCoh(\mathcal{O}_X) \to D_\QCoh(\mathcal{O}_Y)\) 称为 Fourier–Mukai 函子；

若 \(\Phi_K\) 把 \(D_{perf}(\mathcal{O}_X)\) 送入 \(D_{perf}(\mathcal{O}_Y)\)，则所得正合函子 \(\Phi_K : D_{perf}(\mathcal{O}_X) \to D_{perf}(\mathcal{O}_Y)\) 称为 Fourier–Mukai 函子；

若 \(X\) 与 \(Y\) 都是 Noether 概形，且 \(\Phi_K\) 把 \(D^b_{\textit{Coh}}(\mathcal{O}_X)\) 送入 \(D^b_{\textit{Coh}}(\mathcal{O}_Y)\)，则所得正合函子 \(\Phi_K : D^b_{\textit{Coh}}(\mathcal{O}_X) \to D^b_{\textit{Coh}}(\mathcal{O}_Y)\) 称为 Fourier–Mukai 函子。对于 \(D_{\textit{Coh}}\)、 \(D^+_{\textit{Coh}}\)、\(D^-_{\textit{Coh}}\) 也作类似定义。

引理

设 \(S\) 为概形，设 \(X\) 与 \(Y\) 为 \(S\) 上的概形，并设 \(K \in D(\mathcal{O}_{X \times_S Y})\)。相应的 Fourier–Mukai 函子 \(\Phi_K\) 把 \(D_\QCoh(\mathcal{O}_X)\) 送入 \(D_\QCoh(\mathcal{O}_Y)\)，只要 \(K\) 属于 \(D_\QCoh(\mathcal{O}_{X \times_S Y})\) 且 \(X \to S\) 拟紧、拟分离。

证明

这是因为：导出拉回保持 \(D_\QCoh\)（Derived Categories of Schemes, Lemma 08DW）；导出张量积保持 \(D_\QCoh\) （Derived Categories of Schemes, Lemma 08DX）；投影 \(\text{pr}_2 : X \times_S Y \to Y\) 拟紧且拟分离（Schemes, Lemmas 01K5 与 01KU）；沿拟分离且拟紧态射的总直像保持 \(D_\QCoh\)（Derived Categories of Schemes, Lemma 08D5）。

引理

设 \(S\) 为概形，设 \(X, Y, Z\) 为 \(S\) 上的概形。假设 \(X \to S\)、 \(Y \to S\) 与 \(Z \to S\) 都拟紧且拟分离。设 \(K \in D_\QCoh(\mathcal{O}_{X \times_S Y})\)，并设 \(K' \in D_\QCoh(\mathcal{O}_{Y \times_S Z})\)。考虑 Fourier–Mukai 函子 \(\Phi_K : D_\QCoh(\mathcal{O}_X) \to D_\QCoh(\mathcal{O}_Y)\) 与 \(\Phi_{K'} : D_\QCoh(\mathcal{O}_Y) \to D_\QCoh(\mathcal{O}_Z)\)。若 \(X\) 与 \(Z\) 在 \(S\) 上 Tor 独立，且 \(Y \to S\) 平坦，则 \[\Phi_{K'} \circ \Phi_K = \Phi_{K''} : D_\QCoh(\mathcal{O}_X) \longrightarrow D_\QCoh(\mathcal{O}_Z)\] ，其中 \[K'' = R\text{pr}_{13, *}( L\text{pr}_{12}^*K \otimes_{\mathcal{O}_{X \times_S Y \times_S Z}}^\mathbf{L} L\text{pr}_{23}^*K')\] 属于 \(D_\QCoh(\mathcal{O}_{X \times_S Z})\)。

证明

该陈述由 Lemma 0FYR 可知是有意义的。下文将使用 Derived Categories of Schemes, Lemmas 08DW, 08DX 以及 08D5 以及 Schemes, Lemmas 01K5 与 01KU ，而不再说明。由 Derived Categories of Schemes, Lemma 0FXW 可知 \(X \times_S Y\) 与 \(Y \times_S Z\) 在 \(Y\) 上 Tor 独立。这意味着对于下列笛卡尔图有基变换： \[\xymatrix{ X \times_S Y \times_S Z \ar[d] \ar[r] & Y \times_S Z \ar[d]^{p^{YZ}_Y} \\ X \times_S Y \ar[r]^{p^{XY}_Y} & Y }\] 这里所指的是具有拟相干上同调层的复形；参见 Derived Categories of Schemes, Lemma 08IB。简记 \(p^* = Lp^*\)、 \(p_* = Rp_*\) 及 \(\otimes = \otimes^\mathbf{L}\)，则对于 \(M \in D_\QCoh(\mathcal{O}_X)\) 有等式链 \[\begin{align*} \Phi_{K'}(\Phi_K(M)) & = p^{YZ}_{Z, *}(p^{YZ, *}_Y p^{XY}_{Y, *}(p^{XY, *}_X M \otimes K) \otimes K') \\ & = p^{YZ}_{Z, *}(\text{pr}_{23, *} \text{pr}_{12}^*(p^{XY, *}_X M \otimes K) \otimes K') \\ & = p^{YZ}_{Z, *}(\text{pr}_{23, *}(\text{pr}_1^*M \otimes \text{pr}_{12}^*K) \otimes K') \\ & = p^{YZ}_{Z, *}(\text{pr}_{23, *}(\text{pr}_1^*M \otimes \text{pr}_{12}^*K \otimes \text{pr}_{23}^*K')) \\ & = \text{pr}_{3, *}(\text{pr}_1^*M \otimes \text{pr}_{12}^*K \otimes \text{pr}_{23}^*K') \\ & = p^{XZ}_{Z, *}\text{pr}_{13, *}(\text{pr}_1^*M \otimes \text{pr}_{12}^*K \otimes \text{pr}_{23}^*K') \\ & = p^{XZ}_{Z, *} (p^{XZ, *}_X M \otimes \text{pr}_{13, *}(\text{pr}_{12}^*K \otimes \text{pr}_{23}^*K')) \end{align*}\] ，正如所需。第二个等式使用了上述基变换，而第 \(4\) 个等式与最后一个等式使用了 Derived Categories of Schemes, Lemma 08EU。

引理

设 \(S\) 为概形，设 \(X\) 与 \(Y\) 为 \(S\) 上的概形，并设 \(K \in D(\mathcal{O}_{X \times_S Y})\)。若下列条件中至少一个成立，则相应的 Fourier–Mukai 函子 \(\Phi_K\) 把 \(D_{perf}(\mathcal{O}_X)\) 送入 \(D_{perf}(\mathcal{O}_Y)\)：

\(S\) 是 Noether 概形，\(X \to S\) 与 \(Y \to S\) 是有限型的， \(K \in D^b_{\textit{Coh}}(\mathcal{O}_{X \times_S Y})\)，\(H^i(K)\) 的支撑在 \(Y\) 上固有，其中 \(i\) 任取，并且 \(K\) 作为 \(D(\text{pr}_2^{-1}\mathcal{O}_Y)\) 的对象具有有限 Tor 维数；

\(X \to S\) 是有限表示的，并且 \(K\) 可由有界复形 \(\mathcal{K}^\bullet\) 表示；该复形由有限表示 \(\mathcal{O}_{X \times_S Y}\)-模组成，在 \(Y\) 上平坦且其支撑在 \(Y\) 上固有；

\(X \to S\) 是有限表示的固有平坦态射，且 \(K\) 完美；

\(S\) 是 Noether 概形，\(X \to S\) 平坦且固有，并且 \(K\) 完美；

\(X \to S\) 是有限表示的固有平坦态射，且 \(K\) 是 \(Y\)-完美的；

\(S\) 是 Noether 概形，\(X \to S\) 平坦且固有，并且 \(K\) 是 \(Y\)-完美的。

证明

若 \(M\) 在 \(X\) 上完美，则 \(L\text{pr}_1^*M\) 在 \(X \times_S Y\) 上完美；参见 Cohomology, Lemma 09UA。下文将使用此事实而不再说明。还要使用如下事实：若 \(X \to S\) 是有限型、固有、平坦或有限表示的，则基变换 \(\text{pr}_2 : X \times_S Y \to Y\) 也具有相应性质；参见 Morphisms, Lemmas 01T4, 01W4, 01U9 与 01TS.

情形 (1) 由 Derived Categories of Schemes, Lemma 08EV 与 Derived Categories of Schemes, Lemma 0FXU 结合得到。

情形 (2) 由 Derived Categories of Schemes, Lemma 0A1H 得到。

情形 (3) 由 Derived Categories of Schemes, Lemma 0B91 得到。

情形 (4) 由情形 (3) 以及如下事实得到：由 Morphisms, Lemma 01TX，Noether 概形之间的有限型态射是有限表示的。

情形 (5) 由 Derived Categories of Schemes, Lemma 0DJT 与 Derived Categories of Schemes, Lemma 0DI4 结合得到。

情形 (6) 由情形 (5) 得到，其方式与情形 (4) 由情形 (3) 得到的方式相同。

引理

设 \(S\) 为 Noether 概形，设 \(X\) 与 \(Y\) 为 \(S\) 上的有限型概形，并设 \(K \in D^b_{\textit{Coh}}(\mathcal{O}_{X \times_S Y})\)。若下列条件中至少一个成立，则相应的 Fourier–Mukai 函子 \(\Phi_K\) 把 \(D^b_{\textit{Coh}}(\mathcal{O}_X)\) 送入 \(D^b_{\textit{Coh}}(\mathcal{O}_Y)\)：

\(H^i(K)\) 的支撑在 \(Y\) 上固有，其中 \(i\) 任取，并且 \(K\) 作为 \(D(\text{pr}_1^{-1}\mathcal{O}_X)\) 的对象具有有限 Tor 维数；

\(K\) 可由有界复形 \(\mathcal{K}^\bullet\) 表示；该复形由相干 \(\mathcal{O}_{X \times_S Y}\)-模组成，在 \(X\) 上平坦且其支撑在 \(Y\) 上固有；

\(H^i(K)\) 的支撑在 \(Y\) 上固有，其中 \(i\) 任取，并且 \(X\) 是正则概形；

\(K\) 完美，\(H^i(K)\) 的支撑在 \(Y\) 上固有，其中 \(i\) 任取，并且 \(Y \to S\) 平坦。

此外，在每种情形下，若 \(X \to S\) 固有，则支撑条件自动成立。

证明

设 \(M\) 为 \(D^b_{\textit{Coh}}(\mathcal{O}_X)\) 的对象。在每种情形下，都将使用 Derived Categories of Schemes, Lemma 08E2 来证明 \[\Phi_K(M) = R\text{pr}_{2, *}( L\text{pr}_1^*M \otimes_{\mathcal{O}_{X \times_S Y}}^\mathbf{L} K)\] 属于 \(D^b_{\textit{Coh}}(\mathcal{O}_Y)\)。导出张量积 \(L\text{pr}_1^*M \otimes_{\mathcal{O}_{X \times_S Y}}^\mathbf{L} K\) 是 \(D(\mathcal{O}_{X \times_S Y})\) 的伪凝聚对象（由 Cohomology, Lemma 09U7、Derived Categories of Schemes, Lemma 08E8 以及 Cohomology, Lemma 09J3），因而具有相干上同调层（再次由 Derived Categories of Schemes, Lemma 08E8）。在每种情形下，上同调层 \(H^i(L\text{pr}_1^*M \otimes_{\mathcal{O}_{X \times_S Y}}^\mathbf{L} K)\) 的支撑在 \(Y\) 上固有，因为这些支撑包含于各 \(H^i(K)\) 的支撑之并。因此，在每种情形下，只需证明这个张量积下有界。

情形 (1)。由 Cohomology, Lemma 08DE，有 \[L\text{pr}_1^*M \otimes_{\mathcal{O}_{X \times_S Y}}^\mathbf{L} K \cong \text{pr}_1^{-1}M \otimes_{\text{pr}_1^{-1}\mathcal{O}_X}^\mathbf{L} K\] ，其中记号含义显然。因此，Tor 维数的假设与 \(M\) 仅有有限个非零上同调层这一事实给出了所需的界。

情形 (2) 成立，因为这里的假设蕴含 \(K\) 作为 \(D(\text{pr}_1^{-1}\mathcal{O}_X)\) 的对象具有有限 Tor 维数，故可应用上一段的论证。

在情形 (3) 中，\(K\) 作为 \(D(\text{pr}_1^{-1}\mathcal{O}_X)\) 的对象也具有有限 Tor 维数。事实上，选取仿射开集 \(U = \Spec(A)\) 与 \(V = \Spec(B)\)，它们分别属于 \(X\) 与 \(Y\)，并映入仿射开集 \(W = \Spec(R)\)，后者属于 \(S\)。于是 \(K|_{U \times V}\) 由有限 \(A \otimes_R B\)-模组成的有界复形 \(M^\bullet\) 给出。由于 \(A\) 是有限维正则环，可知每个 \(M^i\) 作为 \(A\)-模具有有限投射维数（Algebra, Lemma 00OE），因而作为 \(A\)-模具有有限 Tor 维数。因此 \(M^\bullet\) 作为 \(A\)-模复形具有有限 Tor 维数（More on Algebra, Lemma 066H）。由于 \(X \times Y\) 拟紧，存在 \([a, b]\)，使得对于每个点 \(z \in X \times Y\)，茎 \(K_z\) 的 Tor 振幅落在 \([a, b]\) 中（相对于 \(\mathcal{O}_{X, \text{pr}_1(z)}\)）。这蕴含 \(K\) 作为 \(D(\text{pr}_1^{-1}\mathcal{O}_X)\) 的对象具有有界 Tor 维数；参见 Cohomology, Lemma 09U9。按前两段的方式即可得到结论。

情形 (4)。沿用上述记号，环映射 \(R \to B\) 平坦。因此环映射 \(A \to A \otimes_R B\) 平坦，故任意投射 \(A \otimes_R B\)-模都是 \(A\)-平坦的。于是，任意完美 \(A \otimes_R B\)-模复形作为 \(A\)-模复形都具有有限 Tor 维数，结论同前。

例

设 \(X \to S\) 为概形之间的分离态射。则对角态射 \(\Delta : X \to X \times_S X\) 是闭浸入，因而 \(\mathcal{O}_\Delta = \Delta_*\mathcal{O}_X = R\Delta_*\mathcal{O}_X\) 是有限型拟相干 \(\mathcal{O}_{X \times_S X}\)-模，并且在 \(X\) 上平坦（关于任一投影）。在此情形下，Fourier–Mukai 函子 \(\Phi_{\mathcal{O}_\Delta}\) 等于恒等函子。事实上，对任意 \(M \in D(\mathcal{O}_X)\)，有 \[\begin{align*} L\text{pr}_1^*M \otimes_{\mathcal{O}_{X \times_S X}}^\mathbf{L} \mathcal{O}_\Delta & = L\text{pr}_1^*M \otimes_{\mathcal{O}_{X \times_S X}}^\mathbf{L} R\Delta_*\mathcal{O}_X \\ & = R\Delta_*( L\Delta^*L\text{pr}_1^*M \otimes_{\mathcal{O}_X}^\mathbf{L} \mathcal{O}_X) \\ & = R\Delta_*(M) \end{align*}\] 第一个等式已在上文讨论。第二个等式是 Cohomology, Lemma 0B55. 第三个等式成立是因为 \(\text{pr}_1 \circ \Delta = \text{id}_X\)，并且有 Cohomology, Lemma 0D5S. 若将其推前到 \(X\)，所用函子为 \(R\text{pr}_{2, *}\)，则得到 \(M\)；这是由 Cohomology, Lemma 0D5T 以及 \(\text{pr}_2 \circ \Delta = \text{id}_X\) 这一事实推出的。

引理

设 \(X \to S\) 与 \(Y \to S\) 为拟紧拟分离概形之间的态射。设 \(\Phi : D_\QCoh(\mathcal{O}_X) \to D_\QCoh(\mathcal{O}_Y)\) 为具有伪凝聚核的 Fourier–Mukai 函子，其中 \(K \in D_\QCoh(\mathcal{O}_{X \times_S Y})\)。设 \(a : D_\QCoh(\mathcal{O}_Y) \to D_\QCoh(\mathcal{O}_{X \times_S Y})\) 为 \(R\text{pr}_{2, *}\) 的右伴随；参见 Duality for Schemes, Lemma 0A9E。记 \[K' = (Y \times_S X \to X \times_S Y)^* R\SheafHom_{\mathcal{O}_{X \times_S Y}}(K, a(\mathcal{O}_Y)) \in D_\QCoh(\mathcal{O}_{Y \times_S X})\] 并以 \(\Phi' : D_\QCoh(\mathcal{O}_Y) \to D_\QCoh(\mathcal{O}_X)\) 记相应的 Fourier–Mukai 变换。存在典范映射 \[\Hom_X(M, \Phi'(N)) \longrightarrow \Hom_Y(\Phi(M), N)\] 它关于 \(M\)（作为 \(D_\QCoh(\mathcal{O}_X)\) 的对象）以及 \(N\)（作为 \(D_\QCoh(\mathcal{O}_Y)\) 的对象）都具有函子性，并且在下列任一情形下为同构：

\(N\) 完美；或

\(K\) 完美，且 \(X \to S\) 是有限表示的固有平坦态射。

证明

由 Lemma 0FYR 得到陈述中的函子 \(\Phi\)。注意，由 Duality for Schemes, Lemma 0A9I， \(a(\mathcal{O}_Y)\) 属于 \(D^+_\QCoh(\mathcal{O}_{X \times_S Y})\)。因此，当 \(K\) 伪凝聚时，由 Derived Categories of Schemes, Lemma 0A6H 有 \(K' \in D_\QCoh(\mathcal{O}_{Y \times_S X})\)，从而得到所述的 \(\Phi'\)。

简记 \(\otimes^\mathbf{L} = \otimes_{\mathcal{O}_{X \times_S Y}}^\mathbf{L}\) 以及 \(\SheafHom = R\SheafHom_{\mathcal{O}_{X \times_S Y}}\). 设 \(M\) 属于 \(D_\QCoh(\mathcal{O}_X)\)，并设 \(N\) 属于 \(D_\QCoh(\mathcal{O}_Y)\)。则 \[\begin{align*} \Hom_Y(\Phi(M), N) & = \Hom_Y(R\text{pr}_{2, *}(L\text{pr}_1^*M \otimes^\mathbf{L} K), N) \\ & = \Hom_{X \times_S Y}(L\text{pr}_1^*M \otimes^\mathbf{L} K, a(N)) \\ & = \Hom_{X \times_S Y}(L\text{pr}_1^*M, R\SheafHom(K, a(N))) \\ & = \Hom_X(M, R\text{pr}_{1, *}R\SheafHom(K, a(N))) \end{align*}\] 其中使用了 Cohomology, Lemmas 08DJ 与 079W。存在典范映射 \[L\text{pr}_2^*N \otimes^\mathbf{L} R\SheafHom(K, a(\mathcal{O}_Y)) \xrightarrow{\alpha} R\SheafHom(K, L\text{pr}_2^*N \otimes^\mathbf{L} a(\mathcal{O}_Y)) \xrightarrow{\beta} R\SheafHom(K, a(N))\] 这里 \(\alpha\) 是 Cohomology, Lemma 0BYS 中的映射，而 \(\beta\) 是 Duality for Schemes, Equation (0A9S) 中的映射。合并所有这些箭头，便得到本引理陈述中所显示的函子性箭头。

箭头 \(\alpha\) 由 Derived Categories of Schemes, Lemma 0ATN 可知为同构，只要 \(K\) 或 \(N\) 完美。箭头 \(\beta\) 在 \(N\) 完美时由 Duality for Schemes, Lemma 0A9T 可知为同构；更一般地，若 \(X \to S\) 是有限表示的平坦固有态射，则由 Duality for Schemes, Lemma 0E4K，它也为同构。

引理

设 \(S\) 为 Noether 概形。设 \(Y \to S\) 为平坦固有 Gorenstein 态射，并设 \(X \to S\) 为有限型态射。记 \(\omega^\bullet_{Y/S}\) 为 \(Y\) 在 \(S\) 上的相对对偶化复形。设 \(\Phi : D_\QCoh(\mathcal{O}_X) \to D_\QCoh(\mathcal{O}_Y)\) 为具有完美核的 Fourier–Mukai 函子，其中 \(K \in D_\QCoh(\mathcal{O}_{X \times_S Y})\)。记 \[K' = (Y \times_S X \to X \times_S Y)^*(K^\vee \otimes_{\mathcal{O}_{X \times_S Y}}^\mathbf{L} L\text{pr}_2^*\omega^\bullet_{Y/S}) \in D_\QCoh(\mathcal{O}_{Y \times_S X})\] 并以 \(\Phi' : D_\QCoh(\mathcal{O}_Y) \to D_\QCoh(\mathcal{O}_X)\) 记相应的 Fourier–Mukai 变换。存在典范同构 \[\Hom_Y(N, \Phi(M)) \longrightarrow \Hom_X(\Phi'(N), M)\] 它关于 \(M\)（作为 \(D_\QCoh(\mathcal{O}_X)\) 的对象）以及 \(N\)（作为 \(D_\QCoh(\mathcal{O}_Y)\) 的对象）都具有函子性。

证明

由 Lemma 0FYR 得到陈述中的函子 \(\Phi\)。

注意，在当前设定下，相对对偶化复形的形成与基变换交换；参见 Duality for Schemes, Remark 0B6S。因此 \(L\text{pr}_2^*\omega^\bullet_{Y/S} = \omega^\bullet_{X \times_S Y/X}\)。此外，\(\omega^\bullet_{Y/S}\) 是导出范畴中的可逆对象；参见 Duality for Schemes, Lemma 0C08；因而它尤其完美。

为真正证明本引理，我们采用一个取巧办法。具体地，将 \(X\) 与 \(Y\) 的角色以及 \(K\) 与 \(K'\) 的角色互换后，所得数据符合 Lemma 0FYW 的情形，从而得到结论。显然， \(K'\) 作为完美对象的张量积仍是完美的，故 Lemma 0FYW 中的讨论适用于它。要说明将 Lemma 0FYW 的过程应用于 \(K'\)（在 \(Y \times_S X\) 上）会产生一个同构于 \(K\) 的复形，只需说明下式（略去细节）： \[R\SheafHom(R\SheafHom(K, \omega^\bullet_{X \times_S Y/X}), \omega^\bullet_{X \times_S Y/X}) = K\] 这是显然的，因为 \(K\) 完美而 \(\omega^\bullet_{X \times_S Y/X}\) 可逆；细节从略。因此 Lemma 0FYW 给出映射 \[\Hom_Y(N, \Phi(M)) \longrightarrow \Hom_X(\Phi'(N), M)\] 它关于 \(M\)（作为 \(D_\QCoh(\mathcal{O}_X)\) 的对象）以及 \(N\)（作为 \(D_\QCoh(\mathcal{O}_Y)\) 的对象）都具有函子性；由于 \(K'\) 完美，该映射为同构。证明完毕。

引理

设 \(S\) 为 Noether 概形。

对于 \(X\)、\(Y\)（二者在 \(S\) 上固有且平坦），若 \(K\) 是 \(D_{perf}(\mathcal{O}_{X \times_S Y})\) 的对象，则得到 Fourier–Mukai 函子 \(\Phi_K : D_{perf}(\mathcal{O}_X) \to D_{perf}(\mathcal{O}_Y)\)。

对于 \(X\)、\(Y\)、\(Z\)（三者在 \(S\) 上固有且平坦），以及 \(K \in D_{perf}(\mathcal{O}_{X \times_S Y})\)，\(K' \in D_{perf}(\mathcal{O}_{Y \times_S Z})\)，复合 \(\Phi_{K'} \circ \Phi_K : D_{perf}(\mathcal{O}_X) \to D_{perf}(\mathcal{O}_Z)\) 等于 \(\Phi_{K''}\)，其中 \(K'' \in D_{perf}(\mathcal{O}_{X \times_S Z})\) 按 Lemma 0FYS 中的方式计算；

对于如 (1) 中的 \(X\)、\(Y\)、\(K\)、\(\Phi_K\)，若 \(X \to S\) 是 Gorenstein 态射，则 \(\Phi_{K'} : D_{perf}(\mathcal{O}_Y) \to D_{perf}(\mathcal{O}_X)\) 是 \(\Phi_K\) 的右伴随，其中 \(K' \in D_{perf}(\mathcal{O}_{Y \times_S X})\) 是 \(L\text{pr}_1^*\omega_{X/S}^\bullet \otimes_{\mathcal{O}_{X \times_S Y}}^\mathbf{L} K^\vee\) 沿 \(Y \times_S X \to X \times_S Y\) 的拉回；

对于如 (1) 中的 \(X\)、\(Y\)、\(K\)、\(\Phi_K\)，若 \(Y \to S\) 是 Gorenstein 态射，则 \(\Phi_{K''} : D_{perf}(\mathcal{O}_Y) \to D_{perf}(\mathcal{O}_X)\) 是 \(\Phi_K\) 的左伴随，其中 \(K'' \in D_{perf}(\mathcal{O}_{Y \times_S X})\) 是 \(L\text{pr}_2^*\omega_{Y/S}^\bullet \otimes_{\mathcal{O}_{X \times_S Y}}^\mathbf{L} K^\vee\) 沿 \(Y \times_S X \to X \times_S Y\) 的拉回。

证明

第 (1) 部分立即由 Lemma 0FYT 的第 (4) 部分得到。

第 (2) 部分由 Lemma 0FYS 以及下述事实得到： \(K'' = R\text{pr}_{13, *}( L\text{pr}_{12}^*K \otimes_{\mathcal{O}_{X \times_S Y \times_S Z}}^\mathbf{L} L\text{pr}_{23}^*K')\) 是完美的；例如这可由 Derived Categories of Schemes, Lemma 0B6F.

第 (3) 部分在所有具有拟相干上同调层的复形上的伴随性，由 Lemma 0FYW 得到；其中 \(K'\) 等于 \(R\SheafHom_{\mathcal{O}_{X \times_S Y}}(K, a(\mathcal{O}_Y))\) 沿 \(Y \times_S X \to X \times_S Y\) 的拉回，而 \(a\) 是 \(R\text{pr}_{2, *} : D_\QCoh(\mathcal{O}_{X \times_S Y}) \to D_\QCoh(\mathcal{O}_Y)\) 的右伴随。以 \(f : X \to S\) 记 \(X\) 的结构态射。由于 \(f\) 固有，函子 \(f^! : D_\QCoh^+(\mathcal{O}_S) \to D_\QCoh^+(\mathcal{O}_X)\) 是下述右伴随在 \(D_\QCoh^+(\mathcal{O}_S)\) 上的限制： \(Rf_* : D_\QCoh(\mathcal{O}_X) \to D_\QCoh(\mathcal{O}_S)\)；参见 Duality for Schemes, Section 0A9Y。因此， Duality for Schemes, Remark 0B6S 中定义的相对对偶化复形 \(\omega_{X/S}^\bullet\) 等于 \(\omega_{X/S}^\bullet = f^!\mathcal{O}_S\)。由于相对对偶化复形的形成与基变换交换（参见 Duality for Schemes, Remark 0B6S），可知 \(a(\mathcal{O}_Y) = L\text{pr}_1^*\omega_{X/S}^\bullet\). 因此 \[R\SheafHom_{\mathcal{O}_{X \times_S Y}}(K, a(\mathcal{O}_Y)) \cong L\text{pr}_1^*\omega_{X/S}^\bullet \otimes_{\mathcal{O}_{X \times_S Y}}^\mathbf{L} K^\vee\] ，由 Cohomology, Lemma 08DQ。最后，由于假设 \(X \to S\) 是 Gorenstein 态射，相对对偶化复形可逆；这由 Duality for Schemes, Lemma 0C08. 于是 \(\omega_{X/S}^\bullet\) 完美 (Cohomology, Lemma 0FPG) ，从而 \(K'\) 完美。因此 \(\Phi_{K'}\) 确实把 \(D_{perf}(\mathcal{O}_Y)\) 送入 \(D_{perf}(\mathcal{O}_X)\)，第 (3) 部分得证。

第 (4) 部分的证明与第 (3) 部分相同，只需使用 Lemma 0FYX 代替 Lemma 0FYW。

解消与界

光滑固有概形的对角具有良好的解消。

引理

设 \(R\) 为 Noether 环。设 \(X\)、\(Y\) 为 \(R\) 上具有解消性质的有限型概形。对于任意相干 \(\mathcal{O}_{X \times_R Y}\)-模 \(\mathcal{F}\)，存在满射 \(\mathcal{E} \boxtimes \mathcal{G} \to \mathcal{F}\)，其中 \(\mathcal{E}\) 是有限局部自由 \(\mathcal{O}_X\)-模，而 \(\mathcal{G}\) 是有限局部自由 \(\mathcal{O}_Y\)-模。

证明

设 \(U \subset X\) 与 \(V \subset Y\) 为仿射开子概形。设 \(\mathcal{I} \subset \mathcal{O}_X\) 为 \(X \setminus U\) 上约化诱导闭子概形结构的理想层。类似地，设 \(\mathcal{I}' \subset \mathcal{O}_Y\) 为 \(Y \setminus V\) 上约化诱导闭子概形结构的理想层。则理想层 \[\mathcal{J} = \Im(\text{pr}_1^*\mathcal{I} \otimes_{\mathcal{O}_{X \times_R Y}} \text{pr}_2^*\mathcal{I}' \to \mathcal{O}_{X \times_R Y})\] 满足 \(V(\mathcal{J}) = X \times_R Y \setminus U \times_R V\)。对于任意截面 \(s \in \mathcal{F}(U \times_R V)\)，可找到整数 \(n > 0\) 与映射 \(\mathcal{J}^n \to \mathcal{F}\)，其在 \(U \times_R V\) 上的限制给出 \(s\)；参见 Cohomology of Schemes, Lemma 01YB。由假设，可选取满射 \(\mathcal{E} \to \mathcal{I}\) 与 \(\mathcal{G} \to \mathcal{I}'\)。它们相应地产生满射 \[\mathcal{E} \boxtimes \mathcal{G} \to \mathcal{J} \quad\text{且}\quad \mathcal{E}^{\otimes n} \boxtimes \mathcal{G}^{\otimes n} \to \mathcal{J}^n\] ，从而产生映射 \(\mathcal{E}^{\otimes n} \boxtimes \mathcal{G}^{\otimes n} \to \mathcal{F}\) ，其像包含截面 \(s\)（在 \(U \times_R V\) 上）。由于 \(X \times_R Y\) 可由有限多个形如 \(U \times_R V\) 的仿射开集覆盖，并且 \(\mathcal{F}|_{U \times_R V}\) 由有限多个截面生成（Properties, Lemma 01PB），故存在满射 \[\bigoplus\nolimits_{j = 1, \ldots, N} \mathcal{E}_j^{\otimes n_j} \boxtimes \mathcal{G}_j^{\otimes n_j} \to \mathcal{F}\] 其中 \(\mathcal{E}_j\) 在 \(X\) 上有限局部自由，而 \(\mathcal{G}_j\) 在 \(Y\) 上有限局部自由。令 \(\mathcal{E} = \bigoplus \mathcal{E}_j^{\otimes n_j}\) 且 \(\mathcal{G} = \bigoplus \mathcal{G}_j^{\otimes n_j}\)，便得到本引理。

引理

设 \(R\) 为环。设 \(X\)、\(Y\) 为 \(R\) 上具有解消性质的拟紧拟分离概形。对于任意有限型拟相干 \(\mathcal{O}_{X \times_R Y}\)-模 \(\mathcal{F}\)，存在满射 \(\mathcal{E} \boxtimes \mathcal{G} \to \mathcal{F}\)，其中 \(\mathcal{E}\) 是有限局部自由 \(\mathcal{O}_X\)-模，而 \(\mathcal{G}\) 是有限局部自由 \(\mathcal{O}_Y\)-模。

证明

由极限论证从 Lemma 0FZ0 得到。建议读者略过此证明。由于 \(X \times_R Y\) 是 \(X \times_\mathbf{Z} Y\) 的闭子概形，把 \(R\) 替换为 \(\mathbf{Z}\) 并无妨碍。由 Properties, Lemma 086M，可将 \(\mathcal{F}\) 写成某个有限表示 \(\mathcal{O}_{X \times_R Y}\)-模的商。因此可假设 \(\mathcal{F}\) 是有限表示的。接着可写成 \(X = \lim X_i\)，其中 \(X_i\) 在 \(\mathbf{Z}\) 上有限表示；类似地，\(Y = \lim Y_j\)；参见 Limits, Proposition 01ZA。于是 \(\mathcal{F}\) 可下降为 \(\mathcal{F}_{ij}\)，后者位于某个 \(X_i \times_R Y_j\) 上（Limits, Lemma 01ZR），而具有解消性质这一性质也可下降（Derived Categories of Schemes, Lemma 0F8B）。然后把 Lemma 0FZ0 应用于 \(\mathcal{F}_{ij}\)，再拉回即可。

引理

设 \(R\) 为 Noether 环。设 \(X\) 为 \(R\) 上具有解消性质的分离有限型概形。令 \(\mathcal{O}_\Delta = \Delta_*(\mathcal{O}_X)\)，其中 \(\Delta : X \to X \times_R X\) 是 \(X/k\) 的对角。存在解消 \[\ldots \to \mathcal{E}_2 \boxtimes \mathcal{G}_2 \to \mathcal{E}_1 \boxtimes \mathcal{G}_1 \to \mathcal{E}_0 \boxtimes \mathcal{G}_0 \to \mathcal{O}_\Delta \to 0\] 其中每个 \(\mathcal{E}_i\) 与 \(\mathcal{G}_i\) 都是有限局部自由 \(\mathcal{O}_X\)-模。

证明

由于 \(X\) 分离，对角态射 \(\Delta\) 是闭浸入，因而 \(\mathcal{O}_\Delta\) 是相干 \(\mathcal{O}_{X \times_R X}\)-模（Cohomology of Schemes, Lemma 087T）。故本引理立即由 Lemma 0FZ0 得到。

引理

设 \(X\) 为维数 \(d < \infty\) 的正则 Noether 概形。则

对于 \(\mathcal{F}\)、\(\mathcal{G}\) 这两个相干 \(\mathcal{O}_X\)-模，有 \(\Ext^n_X(\mathcal{F}, \mathcal{G}) = 0\)，只要 \(n > d\)；并且

对于 \(K, L \in D^b_{\textit{Coh}}(\mathcal{O}_X)\) 与 \(a \in \mathbf{Z}\)，若 \(H^i(K) = 0\) 对所有 \(i < a + d\) 成立，且 \(H^i(L) = 0\) 对所有 \(i \geq a\) 成立，则 \(\Hom_X(K, L) = 0\)。

证明

为证明 (1)，使用谱序列 \[H^p(X, \SheafExt^q(\mathcal{F}, \mathcal{G})) \Rightarrow \Ext^{p + q}_X(\mathcal{F}, \mathcal{G})\] ；参见 Cohomology, Section 0BQP。设 \(x \in X\)。有 \[\SheafExt^q(\mathcal{F}, \mathcal{G})_x = \SheafExt^q_{\mathcal{O}_{X, x}}(\mathcal{F}_x, \mathcal{G}_x)\] ；参见 Cohomology, Lemma 0GM8 （这里还使用了 Derived Categories of Schemes, Lemma 08E8 所给出的 \(\mathcal{F}\) 的伪凝聚性）。令 \(d_x = \dim(\mathcal{O}_{X, x})\)。由于 \(\mathcal{O}_{X, x}\) 正则，环 \(\mathcal{O}_{X, x}\) 的整体维数为 \(d_x\)；参见 Algebra, Proposition 00O7。因此 \(\SheafExt^q_{\mathcal{O}_{X, x}}(\mathcal{F}_x, \mathcal{G}_x)\) 在 \(q > d_x\) 时为零。于是模 \(\SheafExt^q(\mathcal{F}, \mathcal{G})\) 的支撑维数至多为 \(d - q\)。故 \(H^p(X, \SheafExt^q(\mathcal{F}, \mathcal{G})) = 0\)，只要 \(p > d - q\) ；这是由 Cohomology, Proposition 02UZ 得到的。第 (1) 部分得证。

证明 (2)。可对 \(K\) 与 \(L\) 的非零上同调层数目作归纳。当这些数目为 \(0, 1\) 时，结论由 (1) 得到。若 \(K\) 的非零上同调层数目为 \(> 1\)，则令 \(i \in \mathbf{Z}\) 为使 \(H^i(K)\) 非零的最小整数。得到特异三角 \[H^i(K)[-i] \to K \to \tau_{\geq i + 1}K\] (Derived Categories, Remark 08J5) ，并且 \(\Hom(K, L)\) 的消失可由 \(\Hom(H^i(K)[-i], L)\) 与 \(\Hom(\tau_{\geq i + 1}K, L)\) 的消失通过 Derived Categories, Lemma 0149 推出。若 \(L\) 有多于一个非零上同调层，论证类似。

引理

设 \(X\) 为维数 \(d < \infty\) 的正则 Noether 概形。设 \(K \in D^b_{\textit{Coh}}(\mathcal{O}_X)\) 且 \(a \in \mathbf{Z}\)。若 \(H^i(K) = 0\) 对所有 \(a < i < a + d\) 成立，则 \(K = \tau_{\leq a}K \oplus \tau_{\geq a + d}K\).

证明

由假设的上同调层消失，有 \(\tau_{\leq a}K = \tau_{\leq a + d - 1}K\)。由 Derived Categories, Remark 08J5，有特异三角 \[\tau_{\leq a}K \to K \to \tau_{\geq a + d}K \xrightarrow{\delta} (\tau_{\leq a}K)[1]\] 由 Derived Categories, Lemma 05QT，只需证明态射 \(\delta\) 为零。这由 Lemma 0FZ3 得到。

引理

设 \(k\) 为域。设 \(X\) 为 \(k\) 上拟紧、分离且光滑的概形。存在有限局部自由 \(\mathcal{O}_X\)-模 \(\mathcal{E}\) 与 \(\mathcal{G}\)，使得 \[\mathcal{O}_\Delta \in \langle \mathcal{E} \boxtimes \mathcal{G} \rangle\] 在 \(D(\mathcal{O}_{X \times X})\) 中成立；记号同 Derived Categories, Section 09SI。

证明

由 Varieties, Lemma 056S，回忆 \(X\) 正则。因此由 Derived Categories of Schemes, Lemma 0F8A，\(X\) 具有解消性质。故可选取 Lemma 0FZ2 中的解消。记 \(\dim(X) = d\)。由于 \(X \times X\) 在 \(k\) 上光滑，它是正则的。因此 \(X \times X\) 是正则 Noether 概形，且 \(\dim(X \times X) = 2d\)。对象 \[K = (\mathcal{E}_{2d} \boxtimes \mathcal{G}_{2d} \to \ldots \to \mathcal{E}_0 \boxtimes \mathcal{G}_0)\] 属于 \(D_{perf}(\mathcal{O}_{X \times X})\)；其上同调层为 \(\mathcal{O}_\Delta\)（次数 \(0\)）以及 \(\Ker(\mathcal{E}_{2d} \boxtimes \mathcal{G}_{2d} \to \mathcal{E}_{2d-1} \boxtimes \mathcal{G}_{2d-1})\)（次数 \(-2d\)），其余次数均为零。因此由 Lemma 0FZ4 可知，\(\mathcal{O}_\Delta\) 是 \(K\) 在 \(D_{perf}(\mathcal{O}_{X \times X})\) 中的直和项。显然，对象 \(K\) 属于 \[\left\langle \bigoplus\nolimits_{i = 0, \ldots, 2d} \mathcal{E}_i \boxtimes \mathcal{G}_i \right\rangle \subset \left\langle \left(\bigoplus\nolimits_{i = 0, \ldots, 2d} \mathcal{E}_i\right) \boxtimes \left(\bigoplus\nolimits_{i = 0, \ldots, 2d} \mathcal{G}_i\right) \right\rangle\] ，证明完毕。（读者可参见 Derived Categories, Lemmas 0FX9 与 0FX7，以确认我们的对象属于此范畴。）

引理

设 \(k\) 为域。设 \(X\) 为 \(k\) 上固有且光滑的概形。则 \(D_{perf}(\mathcal{O}_X)\) 具有强生成元。

证明

使用 Lemma 0FZ5，选取有限局部自由 \(\mathcal{O}_X\)-模 \(\mathcal{E}\) 与 \(\mathcal{G}\)，使得 \(\mathcal{O}_\Delta \in \langle \mathcal{E} \boxtimes \mathcal{G} \rangle\) 在 \(D(\mathcal{O}_{X \times X})\) 中成立。断言 \(\mathcal{G}\) 是 \(D_{perf}(\mathcal{O}_X)\) 的强生成元。沿用 Derived Categories, Section 0FX0 中的记号，选取 \(m, n \geq 1\)，使得 \[\mathcal{O}_\Delta \in smd(add(\mathcal{E} \boxtimes \mathcal{G}[-m, m])^{\star n})\] 这可由 Derived Categories, Lemma 0ATG 做到。设 \(K\) 为 \(D_{perf}(\mathcal{O}_X)\) 的对象。由于 \(L\text{pr}_1^*K \otimes_{\mathcal{O}_{X \times X}}^\mathbf{L} -\) 是正合函子，并且 \[L\text{pr}_1^*K \otimes_{\mathcal{O}_{X \times X}}^\mathbf{L} (\mathcal{E} \boxtimes \mathcal{G}) = (K \otimes_{\mathcal{O}_X}^\mathbf{L} \mathcal{E}) \boxtimes \mathcal{G}\] ，由 Derived Categories, Remark 0FX5 可知 \[L\text{pr}_1^*K \otimes_{\mathcal{O}_{X \times X}}^\mathbf{L} \mathcal{O}_\Delta \in smd(add( (K \otimes_{\mathcal{O}_X}^\mathbf{L} \mathcal{E}) \boxtimes \mathcal{G}[-m, m])^{\star n})\] 应用正合函子 \(R\text{pr}_{2, *}\)，并注意到 \[R\text{pr}_{2, *} \left((K \otimes_{\mathcal{O}_X}^\mathbf{L} \mathcal{E}) \boxtimes \mathcal{G}\right) = R\Gamma(X, K \otimes_{\mathcal{O}_X}^\mathbf{L} \mathcal{E}) \otimes_k \mathcal{G}\] ；由 Derived Categories of Schemes, Lemma 08EU，得到 \[K = R\text{pr}_{2, *}(L\text{pr}_1^*K \otimes_{\mathcal{O}_{X \times X}}^\mathbf{L} \mathcal{O}_\Delta) \in smd(add(R\Gamma(X, K \otimes_{\mathcal{O}_X}^\mathbf{L} \mathcal{E}) \otimes_k \mathcal{G}[-m, m])^{\star n})\] 等号由 Example 0FYV 中的讨论得到。由于 \(K\) 完美，存在 \(a \leq b\)，使得 \(H^i(X, K)\) 仅在 \(i \in [a, b]\) 时非零。由于 \(X\) 固有，每个 \(H^i(X, K)\) 都是有限维的。因此右端包含于 \(smd(add(\mathcal{G}[-m + a, m + b])^{\star n})\)，而后者又由上述某个引用包含于 \(\langle \mathcal{G} \rangle_n\)。证明完毕。

引理

设 \(k\) 为域。设 \(X\) 为 \(k\) 上固有光滑的概形。存在整数 \(m, n \geq 1\) 与有限局部自由 \(\mathcal{O}_X\)-模 \(\mathcal{G}\)，使每个相干 \(\mathcal{O}_X\)-模都包含于 \(smd(add(\mathcal{G}[-m, m])^{\star n})\)；记号同 Derived Categories, Section 0FX0。

证明

在 Lemma 0FZ6 的证明中，已经说明存在 \(m', n \geq 1\)，使得对任意相干 \(\mathcal{O}_X\)-模 \(\mathcal{F}\)，有 \[\mathcal{F} \in smd(add(\mathcal{G}[-m' + a, m' + b])^{\star n})\] ；这里 \(a \leq b\) 可任取，只要 \(H^i(X, \mathcal{F})\) 仅在 \(i \in [a, b]\) 时非零。因此可取 \(a = 0\) 与 \(b = \dim(X)\)。再取 \(m = \max(m', m' + b)\)，证明完毕。

下一个引理就是本节标题所指的有界性结果。

引理

设 \(k\) 为域。设 \(X\) 为 \(k\) 上光滑固有的概形。设 \(\mathcal{A}\) 为阿贝尔范畴。设 \(H : D_{perf}(\mathcal{O}_X) \to \mathcal{A}\) 为同调函子（Derived Categories, Definition 0147），并且对所有 \(K\)（作为 \(D_{perf}(\mathcal{O}_X)\) 的对象），对象 \(H^i(K)\) 仅对有限多个 \(i \in \mathbf{Z}\) 非零。则存在整数 \(m \geq 1\)，使得 \(H^i(\mathcal{F}) = 0\) 对任意相干 \(\mathcal{O}_X\)-模 \(\mathcal{F}\) 以及 \(i \not \in [-m, m]\) 成立。上同调函子的情形类似。

证明

结合 Lemma 0FZ7 与 Derived Categories, Lemma 0FX8 即得。

引理

设 \(k\) 为域。设 \(X\)、\(Y\) 为 \(k\) 上的有限型概形。设 \(K_0 \to K_1 \to K_2 \to \ldots\) 为 \(D_{perf}(\mathcal{O}_{X \times Y})\) 中的对象系统，并设整数 \(m \geq 0\)，使得

\(H^q(K_i)\) 仅在 \(q \leq m\) 时非零；

对于每个相干 \(\mathcal{O}_X\)-模 \(\mathcal{F}\)，若 \(\dim(\text{Supp}(\mathcal{F})) = 0\)，则对象 \[R\text{pr}_{2, *}( \text{pr}_1^*\mathcal{F} \otimes_{\mathcal{O}_{X \times Y}}^\mathbf{L} K_n)\] 在 \([-m, m] \cup [-m - n, m - n]\) 以外的次数上具有零上同调层，并且当 \(n > 2m\) 时，转移映射在 \([-m, m]\) 中各次数的上同调层上诱导同构。

则 \(K_n\) 在 \([-m, m] \cup [-m - n, m - n]\) 以外的次数上具有零上同调层，并且当 \(n > 2m\) 时，转移映射在 \([-m, m]\) 中各次数的上同调层上诱导同构。此外，若 \(X\) 与 \(Y\) 在 \(k\) 上光滑，则对充分大的 \(n\)，有 \(K_n = K \oplus C_n\)，该等式在 \(D_{perf}(\mathcal{O}_{X \times Y})\) 中成立；其中 \(K\) 的上同调仅位于次数 \([-m, m]\)，而 \(C_n\) 的上同调仅位于次数 \([-m - n, m - n]\)，转移映射在各个 \(K\) 的副本之间给出同构。

证明

设 \(Z\) 为 (2) 中某个 \(\mathcal{F}\) 的概形论支撑。则 \(Z \to \Spec(k)\) 有限，因而 \(Z \times Y \to Y\) 有限。因此，对于对象 \(M\)（属于 \(D_\QCoh(\mathcal{O}_{X \times Y})\)），若其上同调层支撑于 \(Z \times Y\)，则有 \(H^i(R\text{pr}_{2, *}(M)) = \text{pr}_{2, *}H^i(M)\)，并且函子 \(\text{pr}_{2, *}\) 在支撑于 \(Z \times Y\) 的拟相干模上忠实；细节从略。故对象 \[\text{pr}_1^*\mathcal{F} \otimes_{\mathcal{O}_{X \times Y}}^\mathbf{L} K_n\] 在 \(D_{perf}(\mathcal{O}_{X \times Y})\) 中的上同调层在 \([-m, m] \cup [-m - n, m - n]\) 之外为零，并且当 \(n > 2m\) 时，转移映射在 \([-m, m]\) 中各次数的上同调层上诱导同构。设 \(z \in X \times Y\) 为映到闭点 \(x \in X\) 的闭点。则 \[K_{n, z} \otimes_{\mathcal{O}_{X \times Y, z}}^\mathbf{L} \mathcal{O}_{X \times Y, z}/\mathfrak m_x^t\mathcal{O}_{X \times Y, z}\] 仅在区间 \([-m, m] \cup [-m - n, m - n]\) 中具有非零上同调。由 More on Algebra, Lemma 0EGV 可知，\(K_{n, z}\) 仅在次数 \([-m, m] \cup [-m - n, m - n]\) 中具有非零上同调。由于这对 \(X \times Y\) 的所有闭点都成立，可知 \(K_n\) 仅在次数 \([-m, m] \cup [-m - n, m - n]\) 中具有非零上同调层。完全相同的论证表明，映射 \(K_n \to K_{n + 1}\) 在 \([-m, m]\) 中各次数的上同调层上是同构，只要 \(n > 2m\)。

若 \(X\) 与 \(Y\) 在 \(k\) 上光滑，则 \(X \times Y\) 在 \(k\) 上光滑，因而由 Varieties, Lemma 056S 它是正则的。因此，由 Lemma 0FZ4，便得到 \(K_n\) 的直和分解，只要 \(n > 2m + \dim(X \times Y)\)。最后一个陈述由此显然。

同胞函子

本节围绕下述概念证明若干范畴论结果。

定义

设 \(\mathcal{A}\) 为阿贝尔范畴，设 \(\mathcal{D}\) 为三角范畴。称三角范畴之间的两个正合函子 \[F, F' : D^b(\mathcal{A}) \longrightarrow \mathcal{D}\] 为同胞函子，或者称 \(F'\) 是 \(F\) 的一个同胞，如果下列两个条件成立：

函子 \(F \circ i\) 与 \(F' \circ i\) 同构，其中 \(i : \mathcal{A} \to D^b(\mathcal{A})\) 为包含函子；并且

有 \(F(K) \cong F'(K)\)，对任意 \(K\)（属于 \(D^b(\mathcal{A})\)）。

有时第二个条件可由第一个条件推出。

引理

设 \(\mathcal{A}\) 为阿贝尔范畴，设 \(\mathcal{D}\) 为三角范畴。设 \(F, F' : D^b(\mathcal{A}) \longrightarrow \mathcal{D}\) 为三角范畴之间的正合函子。假设

函子 \(F \circ i\) 与 \(F' \circ i\) 同构，其中 \(i : \mathcal{A} \to D^b(\mathcal{A})\) 为包含函子；并且

对所有 \(X, Y \in \Ob(\mathcal{A})\)，有 \(\Ext^q_\mathcal{D}(F(X), F(Y)) = 0\)，只要 \(q < 0\)（例如当 \(F\) 全忠实时）。

则 \(F\) 与 \(F'\) 是同胞函子。

证明

设 \(K \in D^b(\mathcal{A})\)。将证明 \(F(K)\) 同构于 \(F'(K)\)。可将 \(K\) 表示为有界复形 \(A^\bullet\)，其项是 \(\mathcal{A}\) 中的对象。将 \(K\) 替换为某个平移后，可假设 \(A^i = 0\) 对所有 \(i > 0\) 成立。选取 \(n \geq 0\)，使得 \(A^{-i} = 0\) 对所有 \(i > n\) 成立。对象 \[M_i = (A^{-i} \to \ldots \to A^0)[-i],\quad i = 0, \ldots, n\] 在 \(D^b(\mathcal{A})\) 中组成复形 \(A^\bullet = A^{-n} \to \ldots \to A^0\) 的一个 Postnikov 系统，而该复形也属于 \(D^b(\mathcal{A})\)；参见 Derived Categories, Example 0D8Z。由于 \(F\) 与 \(F'\) 都是三角范畴之间的正合函子， \[F(M_i) \quad\text{且}\quad F'(M_i)\] 在 \(\mathcal{D}\) 中都组成下述复形的 Postnikov 系统： \[F(A^{-n}) \to \ldots \to F(A^0) = F'(A^{-n}) \to \ldots \to F'(A^0)\] 由假设，这些对象之间的所有负次数 \(\Ext\) 都消失，故由 Postnikov 系统的唯一性（Derived Categories, Lemma 0D83）得到 \(F(K) = F(M_n[n]) \cong F'(M_n[n]) = F'(K)\)。

引理

设 \(F\) 与 \(F'\) 为 Definition 0FZT 中的同胞函子。则

若 \(F\) 本质满，则 \(F'\) 本质满；

若 \(F\) 全忠实，则 \(F'\) 全忠实。

证明

第 (1) 部分立即由同胞函子的性质 (2) 得到。

假设 \(F\) 全忠实。以 \(\mathcal{D}' \subset \mathcal{D}\) 记 \(F\) 的本质像，于是 \(F : D^b(\mathcal{A}) \to \mathcal{D}'\) 是等价。由同胞函子的性质 (2)，函子 \(F'\) 通过 \(\mathcal{D}'\) 分解，故可考虑函子 \(H = F^{-1} \circ F' : D^b(\mathcal{A}) \to D^b(\mathcal{A})\)。注意 \(H\) 是恒等函子的同胞。只需证明 \(H\) 全忠实，因而问题化归为下一段所讨论的情形。

令 \(\mathcal{D} = D^b(\mathcal{A})\)。须证明恒等函子的同胞 \(F : \mathcal{D} \to \mathcal{D}\) 全忠实。以 \(a_X : X \to F(X)\) 记 Definition 0FZT 对 \(X \in \Ob(\mathcal{A})\) 给出的函子性同构。对于任意 \(K\)（属于 \(\mathcal{D}\)）以及特异三角 \(K_1 \to K_2 \to K_3\)（属于 \(\mathcal{D}\)），若映射 \[F : \Hom(K, K_i[n]) \to \Hom(F(K), F(K_i[n]))\] 对所有 \(n \in \mathbf{Z}\) 以及 \(i = 1, 3\) 都是同构，则对 \(i = 2\) 以及所有 \(n \in \mathbf{Z}\) 也成立。这里使用 \(5\)-引理 Homology, Lemma 05QB 与 Derived Categories, Lemma 0149；细节从略。类似地，若映射 \[F : \Hom(K_i[n], K) \to \Hom(F(K_i[n]), F(K))\] 对所有 \(n \in \mathbf{Z}\) 以及 \(i = 1, 3\) 都是同构，则对 \(i = 2\) 以及所有 \(n \in \mathbf{Z}\) 也成立。使用典范截断并对非零上同调对象的数目作归纳，可知只需证明 \[F : \Ext^q(X, Y) \to \Ext^q(F(X), F(Y))\] 对所有 \(X, Y \in \Ob(\mathcal{A})\) 以及所有 \(q \in \mathbf{Z}\) 都是双射。由于 \(F\) 是 \(\text{id}\) 的同胞，有 \(F(X) \cong X\) 与 \(F(Y) \cong Y\)，故右端在 \(q < 0\) 时为零。情形 \(q = 0\) 由 \(F\) 是恒等函子的同胞这一假设成立。还需证明 \(q > 0\) 的情形。

情形 \(q = 1\)：单射性。元素 \(\xi\)（属于 \(\Ext^1(X, Y)\)）给出特异三角 \[Y \to E \to X \xrightarrow{\xi} Y[1]\] 注意 \(E \in \Ob(\mathcal{A})\)。由于 \(F\) 是恒等函子的同胞，得到交换图 \[\xymatrix{ E \ar[d] \ar[r] & X \ar[d] \\ F(E) \ar[r] & F(X) }\] ，其中竖直箭头是同构 \(a_E\) 与 \(a_X\)。由 TR3，起初与 \(\xi\) 相伴的特异三角同构于特异三角 \[F(Y) \to F(E) \to F(X) \xrightarrow{F(\xi)} F(Y[1]) = F(Y)[1]\] 因此 \(\xi = 0\) 当且仅当 \(F(\xi)\) 为零，亦即 \(F : \Ext^1(X, Y) \to \Ext^1(F(X), F(Y))\) 是单射。

情形 \(q = 1\)：满射性。设 \(\theta\) 为 \(\Ext^1(F(X), F(Y))\) 的元素。它定义了 \(F(X)\) 被 \(F(Y)\) 的一个扩张（位于 \(\mathcal{A}\) 中）；可将其中项写为 \(F(E)\)，因为 \(F\) 是恒等函子的同胞。于是得到特异三角 \[F(Y) \xrightarrow{F(\alpha)} F(E) \xrightarrow{F(\beta)} F(X) \xrightarrow{\theta} F(Y[1]) = F(Y)[1]\] ，其中有态射 \(\alpha : Y \to E\) 与 \(\beta : E \to X\)。由于 \(F\) 是恒等函子的同胞，序列 \(0 \to Y \to E \to X \to 0\) 是 \(\mathcal{A}\) 中的短正合列。因此得到特异三角 \[Y \xrightarrow{\alpha} E \xrightarrow{\beta} X \xrightarrow{\delta} Y[1]\] ，其中有态射 \(\delta : X \to Y[1]\)。应用正合函子 \(F\)，得到特异三角 \[F(Y) \xrightarrow{F(\alpha)} F(E) \xrightarrow{F(\beta)} F(X) \xrightarrow{F(\delta)} F(Y)[1]\] 按上述方式论证，可知这两个三角同构。因此存在交换图 \[\xymatrix{ F(X) \ar[d]^\gamma \ar[r]_{F(\delta)} & F(Y[1]) \ar[d]_\epsilon \\ F(X) \ar[r]^\theta & F(Y[1]) }\] ，其中 \(\gamma\)、\(\epsilon\) 是某些同构（还可说得更多，但这里不需要）。可写成 \(\gamma = F(\gamma')\) 与 \(\epsilon = F(\epsilon')\)。于是 \(\theta = F(\epsilon' \circ \delta \circ (\gamma')^{-1})\) ，从而得到满射性。

情形 \(q > 1\)：满射性。使用 Yoneda 扩张（参见 Derived Categories, Section 06XP），对于任意元素 \(\xi\)（属于 \(\Ext^q(F(X), F(Y))\)），可找到 \(F(X) = B_0, B_1, \ldots, B_{q - 1}, B_q = F(Y) \in \Ob(\mathcal{A})\) 以及元素 \[\xi_i \in \Ext^1(B_{i - 1}, B_i)\] ，使得 \(\xi\) 是复合 \(\xi_q \circ \ldots \circ \xi_1\)。写成 \(B_i = F(A_i)\)（当然有 \(A_i = B_i\)，但不需要使用这一点），于是 \[\xi_i = F(\eta_i) \in \Ext^1(F(A_{i - 1}), F(A_i)) \quad\text{其中}\quad \eta_i \in \Ext^1(A_{i - 1}, A_i)\] ；这是由 \(q = 1\) 时的满射性得到的。于是 \(\eta = \eta_q \circ \ldots \circ \eta_1\) 是 \(\Ext^q(X, Y)\) 的元素，且 \(F(\eta) = \xi\)。

情形 \(q > 1\)：单射性。元素 \(\xi\)（属于 \(\Ext^q(X, Y)\)）给出特异三角 \[Y[q - 1] \to E \to X \xrightarrow{\xi} Y[q]\] 应用 \(F\)，得到特异三角 \[F(Y)[q - 1] \to F(E) \to F(X) \xrightarrow{F(\xi)} F(Y)[q]\] 若 \(F(\xi) = 0\)，则 \(F(E) \cong F(Y)[q - 1] \oplus F(X)\) 在 \(\mathcal{D}\) 中成立；参见 Derived Categories, Lemma 05QT。由于 \(F\) 是恒等函子的同胞，有 \(E \cong F(E)\)，因而 \[E \cong F(E) \cong F(Y)[q - 1] \oplus F(X) \cong Y[q - 1] \oplus X\] 换言之，\(E\) 同构于其上同调对象的直和。这蕴含最初的特异三角分裂，亦即 \(\xi = 0\)。

作如下非标准定义。设 \(\mathcal{A}\) 为阿贝尔范畴。称 \(\mathcal{A}\) 有足够多的负对象，如果对任意给定的 \(X \in \Ob(\mathcal{A})\)，存在对象 \(N\)，使得

存在满射 \(N \to X\)；并且
\(\Hom(X, N) = 0\).

下面证明关于这一概念的两个引理，以便用于 Proposition 0FZW 的证明。

引理

设 \(\mathcal{A}\) 为有足够多负对象的阿贝尔范畴。设 \(X \in D^b(\mathcal{A})\)。设 \(b \in \mathbf{Z}\) 满足 \(H^i(X) = 0\) 对 \(i > b\) 成立。则存在映射 \(N[-b] \to X\)，使诱导映射 \(N \to H^b(X)\) 为满射，且 \(\Hom(H^b(X), N) = 0\)。

证明

利用截断函子，可将 \(X\) 表示为复形 \(A^a \to A^{a + 1} \to \ldots \to A^b\)，其各项是 \(\mathcal{A}\) 中的对象。选取 \(N\)（属于 \(\mathcal{A}\)），使得存在满射 \(t : N \to A^b\)，并且 \(\Hom(A^b, N) = 0\)。于是满射 \(t\) 定义所需的映射 \(N[-b] \to X\)。

引理

设 \(\mathcal{A}\) 为有足够多负对象的阿贝尔范畴。设 \(f : X \to X'\) 为 \(D^b(\mathcal{A})\) 的态射。设 \(b \in \mathbf{Z}\)，使得 \(H^i(X) = 0\) 对 \(i > b\) 成立，而 \(H^i(X') = 0\) 对 \(i \geq b\) 成立。则存在映射 \(N[-b] \to X\)，使诱导映射 \(N \to H^b(X)\) 为满射，使得 \(\Hom(H^b(X), N) = 0\)，并且使复合 \(N[-b] \to X \to X'\) 为零。

证明

可将 \(f\) 表示为有界复形之间的映射 \(f^\bullet : A^\bullet \to B^\bullet\)，其中复形的各项是 \(\mathcal{A}\) 中的对象；例如参见 Derived Categories, Lemma 05RW。考虑对象 \[C = \Ker(A^b \to A^{b + 1}) \times_{\Ker(B^b \to B^{b + 1})} B^{b - 1}\] （属于 \(\mathcal{A}\)）。由于 \(H^b(B^\bullet) = 0\)，可知 \(C \to H^b(A^\bullet)\) 为满射。另一方面，映射 \(C \to A^b \to B^b\) 与映射 \(C \to B^{b - 1} \to B^b\) 相同，因而复合 \(C[-b] \to X \to X'\) 为零。由于 \(\mathcal{A}\) 有足够多负对象，可找到对象 \(N\)，它带有满射 \(N \to C \oplus H^b(X)\)，并且 \(\Hom(C \oplus H^b(X), N) = 0\)。于是 \(N\) 连同映射 \(N[-b] \to X\) 给出引理所要求的解。

我们建议读者阅读原始的 [Orlov-K3, Proposition 2.16]，以领会下述命题证明中所蕴含的精彩思想。

命题

设 \(F\) 与 \(F'\) 为 Definition 0FZT 所述的同胞函子。假设 \(F\) 全忠实，并且 \(\mathcal{A}\) 有足够多负对象（见上）。则 \(F\) 与 \(F'\) 是同构函子。

证明

由 Definition 0FZT 的第 (2) 部分，函子 \(F'\) 的像包含在函子 \(F\) 的本质像中。因此函子 \(H = F^{-1} \circ F'\) 是恒等函子的同胞。这将问题化归为下一段所述的情形。

令 \(\mathcal{D} = D^b(\mathcal{A})\)。须证明恒等函子的同胞 \(F : \mathcal{D} \to \mathcal{D}\) 与恒等函子同构。给定对象 \(X\)（属于 \(\mathcal{D}\)），若 \(X\) 的宽度为 \(w = w(X)\)，其含义是 \(w \geq 0\) 为满足下述条件的最小整数：存在整数 \(a \in \mathbf{Z}\)，使得 \(H^i(X) = 0\) 对 \(i \not \in [a, a + w - 1]\) 成立。由于 \(F\) 是恒等函子的同胞，并且 \(F \circ [n] = [n] \circ F\)，我们已经有同构 \[c_X : X \to F(X)\] ，它们对 \(w(X) \leq 1\) 定义并与平移相容。此外，若 \(X = A[-a]\) 且 \(X' = A'[-a]\)，其中 \(A, A' \in \Ob(\mathcal{A})\)，则对任意态射 \(f : X \to X'\)，图 [0FZX]\[\begin{equation} \vcenter{ \xymatrix{ X \ar[d]_{c_X} \ar[r]_f & X' \ar[d]^{c_{X'}} \\ F(X) \ar[r]^{F(f)} & F(X') } } \end{equation}\] 交换。

下面证明：对任意态射 \(f : X \to X'\)，若 \(w(X), w(X') \leq 1\)，则图 (0FZX) 交换。若 \(X\) 或 \(X'\) 为零，这一点显然。否则可唯一地写成 \(X = A[-a]\) 与 \(X' = A'[-a']\)，其中 \(A, A'\) 属于 \(\mathcal{A}\)，并且 \(a, a' \in \mathbf{Z}\)。情形 \(a = a'\) 已在上面讨论。若 \(a' > a\)，则 \(f = 0\)（Derived Categories, Lemma 06XS），结论显然。若 \(a' < a\)，则 \(f\) 对应于元素 \(\xi \in \Ext^q(A, A')\)，其中 \(q = a - a'\)。使用 Yoneda 扩张（参见 Derived Categories, Section 06XP），可找到 \(A = A_0, A_1, \ldots, A_{q - 1}, A_q = A' \in \Ob(\mathcal{A})\) 以及元素 \[\xi_i \in \Ext^1(A_{i - 1}, A_i)\] ，使得 \(\xi\) 是复合 \(\xi_q \circ \ldots \circ \xi_1\)。换言之，令 \(X_i = A_i[-a + i]\)，便得到态射 \[X = X_0 \xrightarrow{f_1} X_1 \to \ldots \to X_{q - 1} \xrightarrow{f_q} X_q = X'\] ，其复合为 \(f\)。由于图 (0FZX) 对 \(f_1, \ldots, f_q\) 的交换性蕴含它对 \(f\) 的交换性，故可化归到 \(q = 1\) 的情形。在此情形中，作平移后可假设有特异三角 \[A' \to E \to A \xrightarrow{f} A'[1]\] 。注意 \(E\) 是 \(\mathcal{A}\) 的对象。考虑下图 \[\xymatrix{ E \ar[d]_{c_E} \ar[r] & A \ar[d]_{c_A} \ar[r]_f & A'[1] \ar[d]^{c_{A'}[1]} \ar@{..>}@<-1ex>[d]_\gamma \ar@{..>}[ld]^\epsilon \ar[r] & E[1] \ar[d]^{c_E[1]} \\ F(E) \ar[r] & F(A) \ar[r]^{F(f)} & F(A')[1] \ar[r] & F(E)[1] }\] ，其两行都是特异三角。右侧方块已经交换，但尚不知道中间方块是否交换。由三角范畴的公理，可找到态射 \(\gamma\) 使整个图交换。于是 \(\gamma - c_{A'}[1]\) 与 \(F(A')[1] \to F(E)[1]\) 的复合为零，故可找到 \(\epsilon : A'[1] \to F(A)\)，使得 \(\gamma - c_{A'}[1] = F(f) \circ \epsilon\)。然而，任何箭头 \(A'[1] \to F(A)\) 都为零，因为它是 \(\mathcal{A}\) 中对象之间的负次数 Ext 类。因此 \(\gamma = c_{A'}[1]\)，从而中间方块也交换，这正是所要证明的。

为完成证明，我们对 \(w\) 归纳，以证明存在同构 \(c_X : X \to F(X)\)，对所有 \(X\)（满足 \(w(X) \leq w\)）定义，并与这些对象之间的所有态射相容。基础情形 \(w = 1\) 已在上面证明。假设对某个 \(w \geq 1\) 已知结论。

设 \(X\) 为满足 \(w(X) = w + 1\) 的对象。选取 \(a \in \mathbf{Z}\)，使得 \(H^i(X) = 0\) 对 \(i \not \in [a, a + w]\) 成立。令 \(b = a + w\)，于是 \(H^b(X)\) 非零。依照 Lemma 0GWF 选取 \(N[-b] \to X\)。选取特异三角 \[N[-b] \to X \to Y \to N[-b + 1]\] 。计算上同调长正合列，得到 \(w(Y) \leq w\)。因此由归纳假设，得到下图中的实线箭头 \[\xymatrix{ N[-b] \ar[r] \ar[d]_{c_N[-b]} & X \ar[r] \ar@{..>}[d]_{c_{N[-b] \to X}} & Y \ar[r] \ar[d]^{c_Y} & N[-b + 1] \ar[d]^{c_N[-b + 1]} \\ F(N)[-b] \ar[r] & F(X) \ar[r] & F(Y) \ar[r] & F(N)[-b + 1] }\] 。由此得到虚线箭头 \(c_{N[-b] \to X}\)。根据 Derived Categories, Lemma 0FWZ，该虚线箭头是唯一的，因为 \(\Hom(X, F(N)[-b]) \cong \Hom(X, N[-b]) = 0\)；这里使用了我们对 \(N\) 的选取。事实上， \(c_{N[-b] \to X}\) 是使顶点为 \(X, Y, F(X), F(Y)\) 的方块交换的唯一虚线箭头。

设 \(N'[-b] \to X\) 是 Lemma 0GWF 所述的另一映射；我们证明 \(c_{N[-b] \to X} = c_{N'[-b] \to X}\)。注意映射 \((N \oplus N')[-b] \to X\) 也满足 Lemma 0GWF 的条件。因此可假设 \(N'[-b] \to X\) 通过 \(N'[-b] \to N[-b] \to X\) 分解，其中有某个态射 \(N' \to N\)。选取特异三角 \(N[-b] \to X \to Y \to N[-b + 1]\) 与 \(N'[-b] \to X \to Y' \to N'[-b + 1]\)。由公理 TR3，可找到态射 \(g : Y' \to Y\)，它与 \(\text{id}_X\) 及 \(N' \to N\) 一起构成三角之间的态射。由于图 (0FZX) 对 \(g\) 交换，故有 \[(F(X) \to F(Y)) \circ c_{N'[-b] \to X} = (F(X) \to F(Y)) \circ c_{N[-b] \to X}\] 。由上述构造中指出的 \(c_{N[-b] \to X}\) 的唯一性，现在得到 \(c_{N'[-b] \to X} = c_{N[-b] \to X}\)。

因此现在可对 \(X\)（宽度为 \(w + 1\)）定义同构 \(c_X : X \to F(X)\)，将它取为所有映射 \(c_{N[-b] \to X}\) 的共同值，其中 \(N[-b] \to X\) 如 Lemma 0GWF 所述。为完成证明，须说明：对满足上述条件的对象之间的所有态射 \(f : X \to X'\)，若 \(w(X) \leq w + 1\) 且 \(w(X') \leq w + 1\)，图 (0FZX) 都交换。选取 \(a \leq b \leq a + w\)，使得 \(H^i(X) = 0\) 对 \(i \not \in [a, b]\) 成立；并选取 \(a' \leq b' \leq a' + w\)，使得 \(H^i(X') = 0\) 对 \(i \not \in [a', b']\) 成立。我们对 \((b' - a') + (b - a)\) 归纳以证明断言。（基础情形是该数为零；由于 \(w \geq 1\)，这没有问题。）分两种情形。

情形 I：\(b' < b\)。在此情形中，由 Lemma 0GWG，可依 Lemma 0GWF 选取 \(N[-b] \to X\)，使得复合 \(N[-b] \to X \to X'\) 为零。选取特异三角 \(N[-b] \to X \to Y \to N[-b + 1]\)。由于 \(N[-b] \to X'\) 为零，可知 \(f\) 通过 \(X \to Y \to X'\) 分解。由于 \(H^i(Y)\) 只可能对 \(i \in [a, b - 1]\) 非零，由归纳可知图 (0FZX) 对 \(Y \to X'\) 交换。图 (0FZX) 对 \(X \to Y\) 的交换性：若 \(w(X) = w + 1\)，则来自构造；若 \(w(X) \leq w\)，则来自第一个归纳假设。故图 (0FZX) 对 \(f\) 交换。

情形 II：\(b' \geq b\)。在此情形中，依 Lemma 0GWF 选取 \(N'[-b'] \to X'\)。还可假设 \(\Hom(H^{b'}(X), N') = 0\)（这只在 \(b' = b\) 时相关）；例如，可将 \(N'\) 替换为一个对象 \(N''\)，使后者满射到 \(N' \oplus H^{b'}(X)\)，并且 \(\Hom(N' \oplus H^{b'}(X), N'') = 0\)。选取特异三角 \(N'[-b'] \to X' \to Y' \to N'[-b' + 1]\)。 \(\Hom(X, X') \to \Hom(X, Y')\) 由我们对 \(N'\) 的选取而为单射（细节从略）；于是 \(\Hom(X, F(X')) \to \Hom(X, F(Y'))\) 也为单射。因此在此情形中，只需验证图 (0FZX) 对复合 \(X \to Y'\) 交换；该复合由态射 \(X \to X' \to Y'\) 构成。由于 \(H^i(Y')\) 只可能对 \(i \in [a', b' - 1]\) 非零，结论由归纳假设得到。

推出全忠实性

判定一个函子何时全忠实将很有用；为此给出 [Orlov-K3, Lemma 2.15] 的如下变体。

引理

设 \(F : \mathcal{D} \to \mathcal{D}'\) 为三角范畴之间的正合函子。设 \(S \subset \Ob(\mathcal{D})\) 为对象的集合。假设

\(F\) 同时有右伴随和左伴随；

对 \(K \in \mathcal{D}\)，若 \(\Hom(E, K[i]) = 0\) 对所有 \(E \in S\) 及 \(i \in \mathbf{Z}\) 成立，则 \(K = 0\)；

对 \(K \in \mathcal{D}\)，若 \(\Hom(K, E[i]) = 0\) 对所有 \(E \in S\) 及 \(i \in \mathbf{Z}\) 成立，则 \(K = 0\)；

映射 \(\Hom(E, E'[i]) \to \Hom(F(E), F(E')[i])\)（由 \(F\) 诱导）对所有 \(E, E' \in S\) 及 \(i \in \mathbf{Z}\) 都是双射。

则 \(F\) 全忠实。

证明

分别以 \(F_r\) 与 \(F_l\) 表示 \(F\) 的右伴随和左伴随。对 \(E \in S\)，选取特异三角 \[E \to F_r(F(E)) \to C \to E[1]\] ，其中第一支箭头是伴随的单位。对 \(E' \in S\)，有 \[\Hom(E', F_r(F(E))[i]) = \Hom(F(E'), F(E)[i]) = \Hom(E', E[i])\] 。最后一个等号由假设 (4) 成立。因此把同调函子 \(\Hom(E', -)\) （Derived Categories, Lemma 0149）应用于上述特异三角，可知 \(\Hom(E', C[i]) = 0\) 对所有 \(i \in \mathbf{Z}\) 与 \(E' \in S\) 成立。由假设 (2)，得到 \(C = 0\) 与 \(E = F_r(F(E))\)。

对 \(K \in \Ob(\mathcal{D})\)，选取特异三角 \[F_l(F(K)) \to K \to C \to F_l(F(K))[1]\] ，其中第一支箭头是伴随的余单位。对 \(E \in S\)，有 \[\Hom(F_l(F(K)), E[i]) = \Hom(F(K), F(E)[i]) = \Hom(K, F_r(F(E))[i]) = \Hom(K, E[i])\] ，其中最后一个等号由第一段的结论成立。于是与前面一样得到 \(\Hom(C, E[i]) = 0\) 对所有 \(E \in S\) 及 \(i \in \mathbf{Z}\) 成立。故由假设 (3)，\(C = 0\)。再由 Categories, Lemma 07RB，\(F\) 全忠实。

引理

设 \(k\) 为域。设 \(X\) 为有限型 \(k\)-概形，并且是正则的。设 \(x \in X\) 为闭点。给定凝聚 \(\mathcal{O}_X\)-模 \(\mathcal{F}\)，其支撑在 \(x\) 上；选取凝聚 \(\mathcal{O}_X\)-模 \(\mathcal{F}'\)，其支撑也在 \(x\) 上，使得 \(\mathcal{F}_x\) 与 \(\mathcal{F}'_x\) 互为 Matlis 对偶。则存在同构 \[\Hom_X(\mathcal{F}, M) = H^0(X, M \otimes_{\mathcal{O}_X}^\mathbf{L} \mathcal{F}'[-d_x])\] ，其中 \(d_x = \dim(\mathcal{O}_{X, x})\)；该同构对 \(M\) （属于 \(D_{perf}(\mathcal{O}_X)\)）具有函子性。

证明

由于 \(\mathcal{F}\) 支撑在 \(x\) 上，有 \[\Hom_X(\mathcal{F}, M) = \Hom_{\mathcal{O}_{X, x}}(\mathcal{F}_x, M_x)\] ；类似地，有 \[H^0(X, M \otimes_{\mathcal{O}_X}^\mathbf{L} \mathcal{F}'[-d_x]) = \text{Tor}^{\mathcal{O}_{X, x}}_{d_x}(M_x, \mathcal{F}'_x)\] 。因此只需证明：给定 Noether 正则局部环 \(A\)（维数为 \(d\)）与有限长度 \(A\)-模 \(N\)，若 \(N'\) 是 \(N\) 的 Matlis 对偶，则存在函子性同构 \[\Hom_A(N, K) = \text{Tor}^A_d(K, N')\] ，对 \(K\)（属于 \(D_{perf}(A)\)）成立。左端可写成 \(H^0(R\Hom_A(N, A) \otimes_A^\mathbf{L} K)\)；这是由 More on Algebra, Lemma 07VI 以及 \(N\) 确定 \(D(A)\) 的完美对象这一事实得到的。公式成立是因为 \[R\Hom_A(N, A) = R\Hom_A(N, A[d])[-d] = N'[-d]\] ；这里使用 Dualizing Complexes, Lemma 0A7Q，以及 \(A[d]\) 是 \(A\) 上的正规化对偶化复形这一事实（由 Dualizing Complexes, Lemma 0AWX，\(A\) 是 Gorenstein 环）。

引理

设 \(k\) 为域。设 \(X\) 为有限型 \(k\)-概形，并且是正则的。设 \(x \in X\) 为闭点，以 \(\mathcal{O}_x\) 表示在 \(x\) 处取值为 \(\kappa(x)\) 的摩天层。设 \(K\) 属于 \(D_{perf}(\mathcal{O}_X)\)。

若 \(\Ext^i_X(\mathcal{O}_x, K) = 0\)，则存在开邻域 \(U\)（它是 \(x\) 的邻域），使得 \(H^{i - d_x}(K)|_U = 0\)，其中 \(d_x = \dim(\mathcal{O}_{X, x})\)。

若 \(\Hom_X(\mathcal{O}_x, K[i]) = 0\) 对所有 \(i \in \mathbf{Z}\) 成立，则 \(K\) 在 \(x\) 的某个开邻域上为零。

若 \(\Ext^i_X(K, \mathcal{O}_x) = 0\)，则存在开邻域 \(U\)（它是 \(x\) 的邻域），使得 \(H^i(K^\vee)|_U = 0\)。

若 \(\Hom_X(K, \mathcal{O}_x[i]) = 0\) 对所有 \(i \in \mathbf{Z}\) 成立，则 \(K\) 在 \(x\) 的某个开邻域上为零。

若 \(H^i(X, K \otimes_{\mathcal{O}_X}^\mathbf{L} \mathcal{O}_x) = 0\)，则存在开邻域 \(U\)（它是 \(x\) 的邻域），使得 \(H^i(K)|_U = 0\)。

若 \(H^i(X, K \otimes_{\mathcal{O}_X}^\mathbf{L} \mathcal{O}_x) = 0\) 对 \(i \in \mathbf{Z}\) 成立，则 \(K\) 在 \(x\) 的某个开邻域上为零。

证明

注意 \(H^i(X, K \otimes_{\mathcal{O}_X}^\mathbf{L} \mathcal{O}_x)\) 等于 \(K_x \otimes_{\mathcal{O}_{X, x}}^\mathbf{L} \kappa(x)\)。因此第 (5) 部分由 More on Algebra, Lemma 068U 得到。第 (6) 部分由第 (5) 部分得到。第 (1) 部分由第 (5) 部分、Lemma 0G02，以及 \(\kappa(x)\) 的 Matlis 对偶是 \(\kappa(x)\) 这一事实得到。第 (2) 部分由第 (1) 部分得到。第 (3) 部分由第 (5) 部分以及下述事实得到： \(\Ext^i(K, \mathcal{O}_x) = H^i(X, K^\vee \otimes_{\mathcal{O}_X}^\mathbf{L} \mathcal{O}_x)\) 由 Cohomology, Lemma 08DQ 成立。第 (4) 部分由第 (3) 部分以及刚引用的引理给出的 \(K \cong (K^\vee)^\vee\) 得到。

引理

设 \(X\) 为 Noether 概形。设 \(x \in X\) 为闭点，以 \(\mathcal{O}_x\) 表示在 \(x\) 处取值为 \(\kappa(x)\) 的摩天层。设 \(K\) 属于 \(D^b_{\textit{Coh}}(\mathcal{O}_X)\)。设 \(b \in \mathbf{Z}\)。下列条件等价：

\(H^i(K)_x = 0\) 对所有 \(i > b\) 成立；

\(\Hom_X(K, \mathcal{O}_x[-i]) = 0\) 对所有 \(i > b\) 成立。

证明

考虑复形 \(K_x\)（属于 \(D^b_{\textit{Coh}}(\mathcal{O}_{X, x})\)）。存在整数 \(b_x \in \mathbf{Z}\)，使得 \(K_x\) 可由下列上有界复形表示： \[\ldots \to \mathcal{O}_{X, x}^{\oplus n_{b_x - 2}} \to \mathcal{O}_{X, x}^{\oplus n_{b_x - 1}} \to \mathcal{O}_{X, x}^{\oplus n_{b_x}} \to 0 \to \ldots\] ，其中 \(\mathcal{O}_{X, x}^{\oplus n_i}\) 位于次数 \(i\)，而所有转移映射都由系数属于 \(\mathfrak m_x\) 的矩阵给出。参见 More on Algebra, Lemma 0BCC。结论由此容易得到（并且这些等价条件成立当且仅当 \(b \geq b_x\)）。

引理

设 \(k\) 为域。设 \(X\) 与 \(Y\) 为 \(k\) 上的固有概形。假设 \(X\) 正则。则 \(k\)-线性正合函子 \(F : D_{perf}(\mathcal{O}_X) \to D_{perf}(\mathcal{O}_Y)\) 全忠实，当且仅当对任意闭点 \(x, x' \in X\)，映射 \[F : \Ext^i_X(\mathcal{O}_x, \mathcal{O}_{x'}) \longrightarrow \Ext^i_Y(F(\mathcal{O}_x), F(\mathcal{O}_{x'}))\] 对所有 \(i \in \mathbf{Z}\) 都是同构。这里 \(\mathcal{O}_x\) 是在 \(x\) 处取值为 \(\kappa(x)\) 的摩天层。

证明

由 Lemma 0FYN，函子 \(F\) 同时有左伴随与右伴随。因此可应用 Lemma 0G24 的判据，因为该引理的假设 (2) 与 (3) 由 Lemma 0G03 得到。

引理

设 \(k\) 为域。设 \(X\) 为正则的固有 \(k\)-概形。设 \(F : D_{perf}(\mathcal{O}_X) \to D_{perf}(\mathcal{O}_X)\) 为 \(k\)-线性正合函子。假设对每个凝聚 \(\mathcal{O}_X\)-模 \(\mathcal{F}\)，若 \(\dim(\text{Supp}(\mathcal{F})) = 0\)，则都有同构 \(\mathcal{F} \cong F(\mathcal{F})\)。则 \(F\) 全忠实。

证明

由 Lemma 0G25，只需证明映射 \[F : \Ext^i_X(\mathcal{O}_x, \mathcal{O}_{x'}) \longrightarrow \Ext^i_X(F(\mathcal{O}_x), F(\mathcal{O}_{x'}))\] 对所有 \(i \in \mathbf{Z}\) 以及所有闭点 \(x, x' \in X\) 都是同构。由假设，源与目标同构。若 \(x \not = x'\)，则两端都为零，结论成立。若 \(x = x'\)，只需证明该映射是单射或满射之一。对 \(i < 0\)，两端都为零，结论成立。对 \(i = 0\)，任意非零映射 \(\alpha : \mathcal{O}_x \to \mathcal{O}_x\) （作为 \(\mathcal{O}_X\)-模态射）都是同构。因此 \(F(\alpha)\) 也是同构，故 \(F(\alpha)\) 非零。这就证明了 \(i = 0\) 的情形。对 \(i = 1\)，非零元素 \(\xi\)（属于 \(\Ext^1(\mathcal{O}_x, \mathcal{O}_x)\)）对应于非分裂短正合列 \[0 \to \mathcal{O}_x \to \mathcal{F} \to \mathcal{O}_x \to 0\] 。由于 \(F(\mathcal{F}) \cong \mathcal{F}\)，可知 \(F(\mathcal{F})\) 也是 \(\mathcal{O}_x\) 被 \(\mathcal{O}_x\) 的非分裂扩张。由于 \(\mathcal{O}_x \cong F(\mathcal{O}_x)\) 是简单 \(\mathcal{O}_X\)-模，并且 \(\mathcal{F} \cong F(\mathcal{F})\) 的长度为 \(2\)，可知在特异三角 \[F(\mathcal{O}_x) \to F(\mathcal{F}) \to F(\mathcal{O}_x) \xrightarrow{F(\xi)} F(\mathcal{O}_x)[1]\] 中，前两支箭头必组成短正合列；该短正合列必与上述短正合列同构，因而非分裂。由此 \(F(\xi)\) 非零，得到 \(i = 1\) 的结论。对 \(i > 1\)，Ext 类的复合定义满射 \[\Ext^1(F(\mathcal{O}_x), F(\mathcal{O}_x)) \otimes \ldots \otimes \Ext^1(F(\mathcal{O}_x), F(\mathcal{O}_x)) \longrightarrow \Ext^i(F(\mathcal{O}_x), F(\mathcal{O}_x))\] 。参见 Duality for Schemes, Lemma 0BQY。因此次数 \(1\) 的满射性蕴含对 \(i > 0\) 的满射性。证明完毕。

特殊函子

本节证明关于一类特殊函子的若干结果，它们将在本章后面使用。

定义

设 \(k\) 为域。设 \(X\)、\(Y\) 为有限型 \(k\)-概形。回忆 \(D^b_{\textit{Coh}}(\mathcal{O}_X) = D^b(\textit{Coh}(\mathcal{O}_X))\) ；这是 Derived Categories of Schemes, Proposition 0FDB 的结论。称两个 \(k\)-线性正合函子 \[F, F' : D^b_{\textit{Coh}}(\mathcal{O}_X) = D^b(\textit{Coh}(\mathcal{O}_X)) \longrightarrow D^b_{\textit{Coh}}(\mathcal{O}_Y)\] 为同胞函子，或者称 \(F'\) 是 \(F\) 的一个同胞，如果 \(F\) 与 \(F'\) 在 Definition 0FZT 的意义下为同胞函子，其中阿贝尔范畴取为 \(\textit{Coh}(\mathcal{O}_X)\)。若 \(X\) 正则，则 \(D_{perf}(\mathcal{O}_X) = D^b_{\textit{Coh}}(\mathcal{O}_X)\)，这是 Derived Categories of Schemes, Lemma 0FXU；并且对 \(k\)-线性正合函子 \(F, F' : D_{perf}(\mathcal{O}_X) \to D_{perf}(\mathcal{O}_Y)\). 也使用相同术语。

引理

设 \(k\) 为域。设 \(X\)、\(Y\) 为有限型 \(k\)-概形，并且 \(X\) 分离。设 \(F : D^b_{\textit{Coh}}(\mathcal{O}_X) \to D^b_{\textit{Coh}}(\mathcal{O}_Y)\) 为 \(k\)-线性正合函子，它把 \(\textit{Coh}(\mathcal{O}_X) \subset D^b_{\textit{Coh}}(\mathcal{O}_X)\) 映入 \(\textit{Coh}(\mathcal{O}_Y) \subset D^b_{\textit{Coh}}(\mathcal{O}_Y)\). 。则存在 Fourier–Mukai 函子 \(F' : D^b_{\textit{Coh}}(\mathcal{O}_X) \to D^b_{\textit{Coh}}(\mathcal{O}_Y)\) ，其核是凝聚 \(\mathcal{O}_{X \times Y}\)-模 \(\mathcal{K}\)；它在 \(X\) 上平坦，其支撑在 \(Y\) 上有限，并且该函子是 \(F\) 的同胞。

证明

以 \(H : \textit{Coh}(\mathcal{O}_X) \to \textit{Coh}(\mathcal{O}_Y)\) 表示 \(F\) 的限制。由于 \(F\) 是三角范畴之间的正合函子，可知 \(H\) 是阿贝尔范畴之间的正合函子。当然，\(H\) 是 \(k\)-线性的，因为 \(F\) 也是。由 Functors and Morphisms, Lemma 0FZN ，得到凝聚 \(\mathcal{O}_{X \times Y}\)-模 \(\mathcal{K}\)，它在 \(X\) 上平坦，且支撑在 \(Y\) 上有限。令 \(F'\) 为以 \(\mathcal{K}\) 定义的 Fourier–Mukai 函子，使得 \(F'\) 限制为 \(H\)（当限制到 \(\textit{Coh}(\mathcal{O}_X)\) 时）。由 Lemma 0FYU，函子 \(F'\) 把 \(D^b_{\textit{Coh}}(\mathcal{O}_X)\) 映入 \(D^b_{\textit{Coh}}(\mathcal{O}_Y)\)。注意 \(F\) 与 \(F'\) 满足 Lemma 0FZU 的第一、第二个条件，故它们是同胞函子。

注

若 \(F, F' : D^b_{\textit{Coh}}(\mathcal{O}_X) \to \mathcal{D}\) 是同胞函子，\(F\) 全忠实，并且 \(X\) 是约化的射影 \(k\)-概形，则 \(F \cong F'\)；这可由 Proposition 0FZW 配合 Theorem 0G0C 证明中的论证得到。然而一般而言，我们不知道同胞函子是否同构。即便在 Lemma 0G00 的情形中，证明同胞函子 \(F\) 与 \(F'\) 同构似乎也很困难。若 \(X\) 是光滑的固有 \(k\)-概形，并且 \(F\) 全忠实，则由 [Noah] 可知 \(F \cong F'\)。若你在更一般的情形中有证明或反例，请发送电子邮件至 stacks.project@gmail.com.

引理

设 \(k\) 为域。设 \(X\)、\(Y\) 为 \(k\) 上的固有概形。假设 \(X\) 正则。设 \(F, G : D_{perf}(\mathcal{O}_X) \to D_{perf}(\mathcal{O}_Y)\) 为 \(k\)-线性正合函子，且满足

\(F(\mathcal{F}) \cong G(\mathcal{F})\) 对任意凝聚 \(\mathcal{O}_X\)-模 \(\mathcal{F}\)（满足 \(\dim(\text{Supp}(\mathcal{F})) = 0\)）成立；

\(F\) 全忠实。

则 \(G\) 的本质像包含于 \(F\) 的本质像。

证明

回忆 \(F\) 与 \(G\) 都有左右伴随；参见 Lemma 0FYN。特别地，本质像 \(\mathcal{A} \subset D_{perf}(\mathcal{O}_Y)\)（即 \(F\) 的本质像）满足 Derived Categories, Lemma 0CQS 的等价条件。我们断言 \(G\) 通过 \(\mathcal{A}\) 分解。由 Derived Categories, Lemma 0CQS，\(\mathcal{A} = {}^\perp(\mathcal{A}^\perp)\)，故只需证明 \(\Hom_Y(G(M), N) = 0\) 对所有 \(M\)（属于 \(D_{perf}(\mathcal{O}_X)\)）以及 \(N \in \mathcal{A}^\perp\) 成立。我们有 \[\Hom_Y(G(M), N) = \Hom_X(M, G_r(N))\] ，其中 \(G_r\) 是 \(G\) 的右伴随。因此只需证明 \(G_r(N) = 0\)。有 \(G(\mathcal{F}) \cong F(\mathcal{F})\)，对 (1) 中所述的 \(\mathcal{F}\) 成立，故 \[\Hom_X(\mathcal{F}, G_r(N)) = \Hom_Y(G(\mathcal{F}), N) = \Hom_Y(F(\mathcal{F}), N) = 0\] ，因为 \(N\) 属于本质像 \(\mathcal{A}\)（即 \(F\) 的本质像）的右正交。当然， \(\Hom_X(\mathcal{F}, G_r(N)[i])\) 对任意 \(i \in \mathbf{Z}\) 也同样消失。因此由 Lemma 0G03，\(G_r(N) = 0\)，证毕。

引理

设 \(k\) 为域。设 \(X\) 为正则的固有 \(k\)-概形。设 \(F : D_{perf}(\mathcal{O}_X) \to D_{perf}(\mathcal{O}_X)\) 为 \(k\)-线性正合函子。假设对每个凝聚 \(\mathcal{O}_X\)-模 \(\mathcal{F}\)，若 \(\dim(\text{Supp}(\mathcal{F})) = 0\)，则存在同构 \(\mathcal{F} \cong F(\mathcal{F})\)。那么存在自同构 \(f : X \to X\)（定义在 \(k\) 上），它在底拓扑空间上诱导恒等映射¹，以及可逆 \(\mathcal{O}_X\)-模 \(\mathcal{L}\)，使得 \(F\) 与 \(F'(M) = f^*M \otimes_{\mathcal{O}_X}^\mathbf{L} \mathcal{L}\) 是同胞函子。

证明

由 Lemma 0G26，函子 \(F\) 全忠实。由 Lemma 0GX0，恒等函子的本质像包含于 \(F\) 的本质像；亦即 \(F\) 本质满。因此 \(F\) 是等价。注意拟逆 \(F^{-1}\) 满足与 \(F\) 相同的假设。

设 \(M \in D_{perf}(\mathcal{O}_X)\)，并设 \(H^i(M) = 0\) 对 \(i > b\) 成立。由于 \(F\) 全忠实，有 \[\Hom_X(M, \mathcal{O}_x[-i]) = \Hom_X(F(M), F(\mathcal{O}_x)[-i]) \cong \Hom_X(F(M), \mathcal{O}_x[-i])\] ，对任意 \(i \in \mathbf{Z}\) 以及任意闭点 \(x\)（属于 \(X\)）成立。因此由 Lemma 0GWZ，可知 \(F(M)\) 的上同调层在次数 \(> b\) 中消失。

设 \(\mathcal{F}\) 为凝聚 \(\mathcal{O}_X\)-模。由上可知 \(F(\mathcal{F})\) 的上同调层只可能在次数 \(\leq 0\) 非零。令 \(\mathcal{G} = H^0(F(\mathcal{F}))\)。选取特异三角 \[K \to F(\mathcal{F}) \to \mathcal{G} \to K[1]\] 。则 \(K\) 的上同调层只可能在次数 \(\leq -1\) 非零。应用 \(F^{-1}\)，得到特异三角 \[F^{-1}(K) \to \mathcal{F} \to F^{-1}(\mathcal{G}) \to F^{-1}(K')[1]\] 。由于 \(F^{-1}(K)\) 的上同调层只可能在次数 \(\leq -1\) 非零（把上一段应用于 \(F^{-1}\)），箭头 \(F^{-1}(K) \to \mathcal{F}\) 为零（Derived Categories, Lemma 06XS）。因此 \(K \to F(\mathcal{F})\) 为零；由第一个特异三角的选取，这蕴含 \(F(\mathcal{F}) = \mathcal{G}\)。

由上一段，\(F\) 保持 \(\textit{Coh}(\mathcal{O}_X)\)，并且确实定义等价 \(H : \textit{Coh}(\mathcal{O}_X) \to \textit{Coh}(\mathcal{O}_X)\)。由 Functors and Morphisms, Lemma 0FZR ，得到自同构 \(f : X \to X\)（在 \(k\) 上）以及可逆 \(\mathcal{O}_X\)-模 \(\mathcal{L}\)，使得 \(H(\mathcal{F}) = f^*\mathcal{F} \otimes \mathcal{L}\)。令 \(F'(M) = f^*M \otimes_{\mathcal{O}_X}^\mathbf{L} \mathcal{L}\)。使用 Lemma 0FZU，可知 \(F\) 与 \(F'\) 是同胞函子。为说明 \(f\) 在 \(X\) 的底拓扑空间上为恒等映射，使用 \(F(\mathcal{O}_x) \cong \mathcal{O}_x\) 以及 \(\mathcal{O}_x\) 的支撑为 \(\{x\}\) 这一事实。证明完毕。

引理

设 \(k\) 为域。设 \(X\)、\(Y\) 为 \(k\) 上的固有概形。假设 \(X\) 正则。设 \(F, G : D_{perf}(\mathcal{O}_X) \to D_{perf}(\mathcal{O}_Y)\) 为 \(k\)-线性正合函子，且满足

\(F(\mathcal{F}) \cong G(\mathcal{F})\) 对任意凝聚 \(\mathcal{O}_X\)-模 \(\mathcal{F}\)（满足 \(\dim(\text{Supp}(\mathcal{F})) = 0\)）成立；

\(F\) 全忠实；

\(G\) 是 Fourier–Mukai 函子，其核属于 \(D_{perf}(\mathcal{O}_{X \times Y})\)。

则存在 Fourier–Mukai 函子 \(F' : D_{perf}(\mathcal{O}_X) \to D_{perf}(\mathcal{O}_Y)\) ，其核属于 \(D_{perf}(\mathcal{O}_{X \times Y})\)，并且 \(F\) 与 \(F'\) 是同胞函子。

证明

由 Lemma 0GX0，\(G\) 的本质像包含于 \(F\) 的本质像。考虑函子 \(H = F^{-1} \circ G\)；由于 \(F\) 全忠实，该函子有意义。由 Lemma 0G27，得到自同构 \(f : X \to X\) 与可逆 \(\mathcal{O}_X\)-模 \(\mathcal{L}\)，使得函子 \(H' : K \mapsto f^*K \otimes \mathcal{L}\) 是 \(H\) 的同胞。特别地，由 Lemma 0FZV，\(H\) 是自等价；并且 \(H\) 诱导 \(\textit{Coh}(\mathcal{O}_X)\) 的自等价（因为其同胞函子 \(H'\) 具有这一性质）。因此拟逆 \(H^{-1}\) 与 \((H')^{-1}\) 存在且互为同胞（略去一个小细节），并且 \((H')^{-1}\) 把 \(M\) 映为 \((f^{-1})^*(M \otimes_{\mathcal{O}_X}^\mathbf{L} \mathcal{L}^{\otimes -1})\) ；这是 Fourier–Mukai 函子（细节从略）。于是当然，\(F = G \circ H^{-1}\) 是 \(G \circ (H')^{-1}\) 的同胞。由 Lemma 0FYS， Fourier–Mukai 函子的复合仍为 Fourier–Mukai 函子，结论得证。

全忠实函子

依照 [Orlov-K3] 与 [Ballard]，我们的目标是证明导出范畴之间的全忠实函子是 Fourier–Mukai 函子的同胞。

情形

这里 \(k\) 为域。设 \(X\) 与 \(Y\) 为 \(k\) 上的光滑固有概形。给定 \(k\)-线性、正合且全忠实的函子 \(F : D_{perf}(\mathcal{O}_X) \to D_{perf}(\mathcal{O}_Y)\)。

继续阅读之前，最好至少阅读 Derived Categories, Section 0D7Y 的一部分。

回忆 \(X\) 正则，因而具有解消性质（Varieties, Lemma 056S 与 Derived Categories of Schemes, Lemma 0F8A）。因此可在 \(X \times X\) 上选取解消 \[\ldots \to \mathcal{E}_2 \boxtimes \mathcal{G}_2 \to \mathcal{E}_1 \boxtimes \mathcal{G}_1 \to \mathcal{E}_0 \boxtimes \mathcal{G}_0 \to \mathcal{O}_\Delta \to 0\] ，其中每个 \(\mathcal{E}_i\) 与 \(\mathcal{G}_i\) 都是有限局部自由 \(\mathcal{O}_X\)-模；参见 Lemma 0FZ2。使用复形 [0G09]\[\begin{equation} \ldots \to \mathcal{E}_2 \boxtimes \mathcal{G}_2 \to \mathcal{E}_1 \boxtimes \mathcal{G}_1 \to \mathcal{E}_0 \boxtimes \mathcal{G}_0 \end{equation}\] （属于 \(D_{perf}(\mathcal{O}_{X \times X})\)），如 Derived Categories, Example 0D8Z 所述；若对每个 \(n\) 记 \[M_n = (\mathcal{E}_n \boxtimes \mathcal{G}_n \to \ldots \to \mathcal{E}_0 \boxtimes \mathcal{G}_0)[-n]\] ，便得到复形 (0G09) 的无穷 Postnikov 系统。这意味着态射 \(M_0 \to M_1[1] \to M_2[2] \to \ldots\)、 \(M_n \to \mathcal{E}_n \boxtimes \mathcal{G}_n\) 以及 \(\mathcal{E}_n \boxtimes \mathcal{G}_n \to M_{n - 1}\) 满足 Derived Categories, Definition 0D7Z 中记载的若干条件。令 \[\mathcal{F}_n = \Ker(\mathcal{E}_n \boxtimes \mathcal{G}_n \to \mathcal{E}_{n - 1} \boxtimes \mathcal{G}_{n - 1})\] 。注意，由于 \(\mathcal{O}_\Delta\) 在 \(X\) 上平坦（通过 \(\text{pr}_1\)）， \(\mathcal{F}_n\) 对所有 \(n\) 也具有同一性质（这是方便但非必要的观察）。有 \[H^q(M_n[n]) = \left\{ \begin{matrix} \mathcal{O}_\Delta & \text{若} & q = 0 \\ \mathcal{F}_n & \text{若} & q = -n \\ 0 & \text{若} & q \not = 0, -n \end{matrix} \right.\] 因此对 \(n \geq \dim(X \times X)\)，有 \[M_n[n] \cong \mathcal{O}_\Delta \oplus \mathcal{F}_n[n]\] ；该同构在 \(D_{perf}(\mathcal{O}_{X \times X})\) 中成立，见 Lemma 0FZ4。

我们关心复形 [0G0A]\[\begin{equation} \ldots \to \mathcal{E}_2 \boxtimes F(\mathcal{G}_2) \to \mathcal{E}_1 \boxtimes F(\mathcal{G}_1) \to \mathcal{E}_0 \boxtimes F(\mathcal{G}_0) \end{equation}\] （属于 \(D_{perf}(\mathcal{O}_{X \times Y})\)），因为该复形的“总体化”应当给出我们试图构造的 Fourier–Mukai 函子的核。对所有 \(i, j \geq 0\)，有 \[\begin{align*} \Ext^q_{X \times Y}(\mathcal{E}_i \boxtimes F(\mathcal{G}_i), \mathcal{E}_j \boxtimes F(\mathcal{G}_j)) & = \bigoplus\nolimits_p \Ext^{q + p}_X(\mathcal{E}_i, \mathcal{E}_j) \otimes_k \Ext^{-p}_Y(F(\mathcal{G}_i), F(\mathcal{G}_j)) \\ & = \bigoplus\nolimits_p \Ext^{q + p}_X(\mathcal{E}_i, \mathcal{E}_j) \otimes_k \Ext^{-p}_X(\mathcal{G}_i, \mathcal{G}_j) \end{align*}\] 。第二个等号成立是因为 \(F\) 全忠实，第一个等号则由 Derived Categories of Schemes, Lemma 0FXZ 得到。可知这些 \(\Ext^q\) 对 \(q < 0\) 为零。因此由 Derived Categories, Lemma 0D83，可为复形 (0G0A) 构造无穷 Postnikov 系统 \(K_0, K_1, K_2, \ldots\)（位于 \(D_{perf}(\mathcal{O}_{X \times Y})\) 中）。与 \(M_0, M_1, M_2, \ldots\) 的情形平行，这意味着得到态射 \(K_0 \to K_1[1] \to K_2[2] \to \ldots\)、 \(K_n \to \mathcal{E}_n \boxtimes F(\mathcal{G}_n)\) 以及 \(\mathcal{E}_n \boxtimes F(\mathcal{G}_n) \to K_{n - 1}\)；它们属于 \(D_{perf}(\mathcal{O}_{X \times Y})\)，并满足 Derived Categories, Definition 0D7Z 中记载的若干条件。

设 \(\mathcal{F}\) 为凝聚 \(\mathcal{O}_X\)-模，其支撑只含有限多个点；亦即 \(\dim(\text{Supp}(\mathcal{F})) = 0\)。考虑三角范畴之间的正合函子 \[D_{perf}(\mathcal{O}_{X \times Y}) \longrightarrow D_{perf}(\mathcal{O}_Y),\quad N \longmapsto R\text{pr}_{2, *}(\text{pr}_1^*\mathcal{F} \otimes^\mathbf{L}_{\mathcal{O}_{X \times Y}} N)\] 于是对象 \(R\text{pr}_{2, *}(\text{pr}_1^*\mathcal{F} \otimes^\mathbf{L}_{\mathcal{O}_{X \times Y}} K_i)\) 构成一个 Postnikov 系统，对应于 \(D_{perf}(\mathcal{O}_Y)\) 中以如下对象为项的复形： \[R\text{pr}_{2, *}( (\mathcal{F} \otimes \mathcal{E}_i) \boxtimes F(\mathcal{G}_i)) = \Gamma(X, \mathcal{F} \otimes \mathcal{E}_i) \otimes_k F(\mathcal{G}_i) = F(\Gamma(X, \mathcal{F} \otimes \mathcal{E}_i) \otimes_k \mathcal{G}_i)\] 。这里使用了 \(\mathcal{F} \otimes \mathcal{E}_i\) 的高次上同调消失，因为其支撑维数为 \(0\)。另一方面，应用正合函子 \[D_{perf}(\mathcal{O}_{X \times X}) \longrightarrow D_{perf}(\mathcal{O}_Y),\quad N \longmapsto F(R\text{pr}_{2, *}(\text{pr}_1^*\mathcal{F} \otimes^\mathbf{L}_{\mathcal{O}_{X \times X}} N))\] ，可知对象 \(F(R\text{pr}_{2, *}(\text{pr}_1^*\mathcal{F} \otimes^\mathbf{L}_{\mathcal{O}_{X \times X}} M_n))\) 构成第二个无穷 Postnikov 系统，对应于 \(D_{perf}(\mathcal{O}_Y)\) 中以如下对象为项的复形： \[F(R\text{pr}_{2, *}( (\mathcal{F} \otimes \mathcal{E}_i) \boxtimes \mathcal{G}_i)) = F(\Gamma(X, \mathcal{F} \otimes \mathcal{E}_i) \otimes_k \mathcal{G}_i)\] 。这与前面相同！Postnikov 系统的唯一性（Derived Categories, Lemma 0D83）可以应用，因为 \[\Ext^q_Y( F(\Gamma(X, \mathcal{F} \otimes \mathcal{E}_i) \otimes_k \mathcal{G}_i), F(\Gamma(X, \mathcal{F} \otimes \mathcal{E}_j) \otimes_k \mathcal{G}_j)) = 0, \quad q < 0\] ；这里使用 \(F\) 全忠实。因此得到一族同构 \[F(R\text{pr}_{2, *}(\text{pr}_1^*\mathcal{F} \otimes^\mathbf{L}_{\mathcal{O}_{X \times X}} M_n[n])) \cong R\text{pr}_{2, *}(\text{pr}_1^*\mathcal{F} \otimes^\mathbf{L}_{\mathcal{O}_{X \times Y}} K_n[n])\] （位于 \(D_{perf}(\mathcal{O}_Y)\) 中），它们与 \(D_{perf}(\mathcal{O}_Y)\) 中由下列态射诱导的态射相容： \[M_{n - 1}[n - 1] \to M_n[n] \quad\text{且}\quad K_{n - 1}[n - 1] \to K_n[n]\] \[M_n \to \mathcal{E}_n \boxtimes \mathcal{G}_n \quad\text{且}\quad K_n \to \mathcal{E}_n \boxtimes F(\mathcal{G}_n)\] \[\mathcal{E}_n \boxtimes \mathcal{G}_n \to M_{n - 1} \quad\text{且}\quad \mathcal{E}_n \boxtimes F(\mathcal{G}_n) \to K_{n - 1}\] ；这些态射是 Postnikov 系统结构的一部分。对充分大的 \(n\)，得到直和分解 \[F(R\text{pr}_{2, *}(\text{pr}_1^*\mathcal{F} \otimes^\mathbf{L}_{\mathcal{O}_{X \times X}} M_n[n])) = F(\mathcal{F}) \oplus F(R\text{pr}_{2, *}( \text{pr}_1^*\mathcal{F} \otimes_{\mathcal{O}_{X \times Y}} \mathcal{F}_n ))[n]\] ，它对应于上面构造的 \(M_n\) 的直和分解（这里使用 \(\mathcal{F}_n\) 在 \(X\) 上的平坦性，即通过 \(\text{pr}_1\) 的平坦性，以便在上述公式中写普通张量积；但这对论证并非必要）。由 Lemma 0FZ8，可知存在整数 \(m \geq 0\)，使该直和分解的第一个直和项只在区间 \([-m, m]\) 中可能有非零上同调层，而第二个直和项只在区间 \([-m - n, m + \dim(X) - n]\) 中可能有非零上同调层。因此系统 \(K_0 \to K_1[1] \to K_2[2] \to \ldots\)（位于 \(D_{perf}(\mathcal{O}_{X \times Y})\) 中）满足 Lemma 0FZ9 的假设，必要时可把 \(m\) 换成更大的整数。于是可写成 \[K_n[n] = K \oplus C_n\] ，对 \(n \gg 0\) 成立，并与转移映射相容；且 \(C_n\) 只在范围 \([-m - n, m - n]\) 中可能有非零上同调层。以 \(G\) 表示对应于 \(K\) 的 Fourier–Mukai 函子。综合以上结果，得到 \[\begin{matrix} G(\mathcal{F}) \oplus R\text{pr}_{2, *}( \text{pr}_1^*\mathcal{F} \otimes_{\mathcal{O}_{X \times Y}}^\mathbf{L} C_n) \cong \\ R\text{pr}_{2, *}(\text{pr}_1^*\mathcal{F} \otimes^\mathbf{L}_{\mathcal{O}_{X \times Y}} K_n[n]) \cong \\ F(R\text{pr}_{2, *}(\text{pr}_1^*\mathcal{F} \otimes^\mathbf{L}_{\mathcal{O}_{X \times X}} M_n[n])) \cong \\ F(\mathcal{F}) \oplus F(R\text{pr}_{2, *}( \text{pr}_1^*\mathcal{F} \otimes_{\mathcal{O}_{X \times Y}} \mathcal{F}_n ))[n] \end{matrix}\] 观察这些对象所处的次数，可知当 \(n \gg m\) 时得到同构 \[F(\mathcal{F}) \cong G(\mathcal{F})\] 。此外，回忆这对每个凝聚 \(\mathcal{F}\)（定义在 \(X\) 上且支撑维数为 \(0\)）都成立。

引理

设 \(k\) 为域。设 \(X\) 与 \(Y\) 为 \(k\) 上的光滑固有概形。给定 \(k\)-线性、正合且全忠实的函子 \(F : D_{perf}(\mathcal{O}_X) \to D_{perf}(\mathcal{O}_Y)\) ，存在 Fourier–Mukai 函子 \(F' : D_{perf}(\mathcal{O}_X) \to D_{perf}(\mathcal{O}_Y)\)，其核属于 \(D_{perf}(\mathcal{O}_{X \times Y})\)，并且它是 \(F\) 的同胞。

证明

把 Lemma 0G06 应用于 \(F\) 与上面构造的函子 \(G\)。

下述定理在不假设 \(X\) 射影时也成立；参见 [Noah]。

定理

设 \(k\) 为域。设 \(X\) 与 \(Y\) 为光滑固有 \(k\)-概形，并且 \(X\) 在 \(k\) 上射影。任意 \(k\)-线性、全忠实的正合函子 \(F : D_{perf}(\mathcal{O}_X) \to D_{perf}(\mathcal{O}_Y)\) 是 Fourier–Mukai 函子，其某个核属于 \(D_{perf}(\mathcal{O}_{X \times Y})\)。

证明

依 Lemma 0G0B，令 \(F'\) 为 \(F\) 的同胞 Fourier–Mukai 函子。要由 Proposition 0FZW 得到 \(F \cong F'\)，只需证明 \(\textit{Coh}(\mathcal{O}_X)\) 有足够多负对象。然而，例如当 \(X = \Spec(k)\) 时，这并不成立。因此先把 \(X = \coprod X_i\) 分解为其连通（亦即不可约）分支，并论证只需对每个（全忠实的）复合函子证明结论： \[F_i : D_{perf}(\mathcal{O}_{X_i}) \to D_{perf}(\mathcal{O}_X) \to D_{perf}(\mathcal{O}_Y)\] 。细节从略。因此可假设 \(X\) 不可约。

情形 \(\dim(X) = 0\)。此时 \(X\) 是有限（可分）扩张 \(k'/k\) 的谱，因而 \(D_{perf}(\mathcal{O}_X)\) 等价于分次 \(k'\)-向量空间的范畴；在此等价下， \(\mathcal{O}_X\) 对应于平凡的 \(1\)-维向量空间，位于次数 \(0\)。容易看出任意两个同胞函子 \(F, F' : D_{perf}(\mathcal{O}_X) \to D_{perf}(\mathcal{O}_Y)\) 都同构。事实上，我们有同构 \(F(\mathcal{O}_X) \cong F'(\mathcal{O}_X)\)，它与 \(k\)-代数 \(k' = \text{End}_{D_{perf}(\mathcal{O}_X)}(\mathcal{O}_X)\) 的作用相容；该同构典范地延拓到任意分次 \(k'\)-向量空间上的同构。

情形 \(\dim(X) > 0\)。此时 \(X\) 是维数 \(> 1\) 的光滑射影簇。设 \(\mathcal{F}\) 为凝聚 \(\mathcal{O}_X\)-模。须证明存在凝聚模 \(\mathcal{N}\)，使得

存在满射 \(\mathcal{N} \to \mathcal{F}\)；并且

\(\Hom(\mathcal{F}, \mathcal{N}) = 0\).

选取丰沛可逆 \(\mathcal{O}_X\)-模 \(\mathcal{L}\)。我们断言 \(\mathcal{N} = (\mathcal{L}^{\otimes n})^{\oplus r}\) 在 \(n \ll 0\) 且 \(r\) 足够大时满足要求。条件 (1) 由 Properties, Proposition 01Q3 得到。最后，有 \[\Hom(\mathcal{F}, \mathcal{L}^{\otimes n}) = H^0(X, \SheafHom(\mathcal{F}, \mathcal{L}^{\otimes n})) = H^0(X, \SheafHom(\mathcal{F}, \mathcal{O}_X) \otimes \mathcal{L}^{\otimes n})\] 。由于对偶 \(\SheafHom(\mathcal{F}, \mathcal{O}_X)\) 无挠，由 Varieties, Lemma 0FD7，它对 \(n \ll 0\) 消失。证明完毕。

命题

设 \(k\) 为域。设 \(X\) 与 \(Y\) 为 \(k\) 上的光滑固有概形。若 \(F : D_{perf}(\mathcal{O}_X) \to D_{perf}(\mathcal{O}_Y)\) 是三角范畴之间的 \(k\)-线性正合等价，则存在 Fourier–Mukai 函子 \(F' : D_{perf}(\mathcal{O}_X) \to D_{perf}(\mathcal{O}_Y)\)，其核属于 \(D_{perf}(\mathcal{O}_{X \times Y})\)，且该函子既是等价又是 \(F\) 的同胞。

证明

Lemma 0G0B 的函子 \(F'\) 由 Lemma 0FZV 可知是等价。

引理

设 \(k\) 为域。设 \(X\) 为 \(k\) 上的光滑固有概形。设 \(K \in D_{perf}(\mathcal{O}_{X \times X})\)。若 Fourier–Mukai 函子 \(\Phi_K : D_{perf}(\mathcal{O}_X) \to D_{perf}(\mathcal{O}_X)\) 与恒等函子同构，则 \(K \cong \Delta_*\mathcal{O}_X\) 在 \(_{perf}(\mathcal{O}_{X \times X})\) 中成立。

证明

令 \(i\) 为使上同调层 \(H^i(K)\) 非零的最小整数。设 \(\mathcal{E}\) 与 \(\mathcal{G}\) 为有限局部自由 \(\mathcal{O}_X\)-模。则 \[\begin{align*} H^i(X \times X, K \otimes_{\mathcal{O}_{X \times X}}^\mathbf{L} (\mathcal{E} \boxtimes \mathcal{G})) & = H^i(X, R\text{pr}_{2, *}(K \otimes_{\mathcal{O}_{X \times X}}^\mathbf{L} (\mathcal{E} \boxtimes \mathcal{G}))) \\ & = H^i(X, \Phi_K(\mathcal{E}) \otimes_{\mathcal{O}_X}^\mathbf{L} \mathcal{G}) \\ & \cong H^i(X, \mathcal{E} \otimes \mathcal{G}) \end{align*}\] ；当 \(i < 0\) 时它为零。另一方面，可选取 \(\mathcal{E}\) 与 \(\mathcal{G}\)，使得存在满射 \(\mathcal{E}^\vee \boxtimes \mathcal{G}^\vee \to H^i(K)\) ；这由 Lemma 0FZ0 得到。在此情形中，上述等式的左端非零。因此得到 \(H^i(K) = 0\) 对 \(i < 0\) 成立。

令 \(i\) 为使 \(H^i(K)\) 非零的最大整数。同一论证令 \(\mathcal{E}\) 与 \(\mathcal{G}\) 的支撑维数为 \(0\)，得到 \(i \leq 0\)。因此可知 \(K\) 由单个凝聚 \(\mathcal{O}_{X \times X}\)-模 \(\mathcal{K}\) 给出，它位于次数 \(0\)。

由于 \(R\text{pr}_{2, *}(\text{pr}_1^*\mathcal{F} \otimes \mathcal{K})\) 就是 \(\mathcal{F}\)，取支撑在闭点上的 \(\mathcal{F}\)，可知 \(\mathcal{K}\) 的支撑在 \(X\) 上经 \(\text{pr}_2\) 有限。由于 \(R\text{pr}_{2, *}(\mathcal{K}) \cong \mathcal{O}_X\)，由 Functors and Morphisms, Lemma 0FZP 得到 \(\mathcal{K} = s_*\mathcal{O}_X\)，其中 \(s : X \to X \times X\) 是第二投影的某个截面。于是 \(\Phi_K(M) = f^*M\)，其中 \(f = \text{pr}_1 \circ s\)；这只有在 \(s\) 是对角态射时才可能发生，正是所求。

Fourier–Mukai 核的范畴

设 \(S\) 为概形。我们断言存在如下范畴：

对象为 \(S\) 上的光滑固有概形。
从 \(X\) 到 \(Y\) 的态射为 \(D_{perf}(\mathcal{O}_{X \times_S Y})\) 中对象的同构类。
\(K \in D_{perf}(\mathcal{O}_{X \times_S Y})\) 的同构类与 \(K'\) 在 \(D_{perf}(\mathcal{O}_{Y \times_S Z})\) 中的同构类之复合，是下列对象的同构类： \[R\text{pr}_{13, *}( L\text{pr}_{12}^*K \otimes_{\mathcal{O}_{X \times_S Y \times_S Z}}^\mathbf{L} L\text{pr}_{23}^*K')\] 由 Derived Categories of Schemes, Lemma 0B91，它属于 \(D_{perf}(\mathcal{O}_{X \times_S Z})\)。
从 \(X\) 到 \(X\) 的恒等态射是 \(\Delta_{X/S, *}\mathcal{O}_X\) 的同构类。由 More on Morphisms, Lemma 0G2E 以及下述事实，它属于 \(D_{perf}(\mathcal{O}_{X \times_S X})\)：由 Divisors, Lemma 067U 与 More on Morphisms, Lemma 068C， \(\Delta_{X/S}\) 是完美态射。

下面验证态射复合的结合律；略去恒等态射确为恒等元的验证。为此，设有 \(X, Y, Z, W\)，以及 \(c \in D_{perf}(\mathcal{O}_{X \times_S Y})\), \(c' \in D_{perf}(\mathcal{O}_{Y \times_S Z})\) 和 \(c'' \in D_{perf}(\mathcal{O}_{Z \times_S W})\)。则 \[\begin{align*} c'' \circ (c' \circ c) & \cong \text{pr}^{134}_{14, *}( \text{pr}^{134, *}_{13} \text{pr}^{123}_{13, *}(\text{pr}^{123, *}_{12}c \otimes \text{pr}^{123, *}_{23}c') \otimes \text{pr}^{134, *}_{34}c'') \\ & \cong \text{pr}^{134}_{14, *}( \text{pr}^{1234}_{134, *} \text{pr}^{1234, *}_{123}(\text{pr}^{123, *}_{12}c \otimes \text{pr}^{123, *}_{23}c') \otimes \text{pr}^{134, *}_{34}c'') \\ & \cong \text{pr}^{134}_{14, *}( \text{pr}^{1234}_{134, *} (\text{pr}^{1234, *}_{12}c \otimes \text{pr}^{1234, *}_{23}c') \otimes \text{pr}^{134, *}_{34}c'') \\ & \cong \text{pr}^{134}_{14, *} \text{pr}^{1234}_{134, *} ((\text{pr}^{1234, *}_{12}c \otimes \text{pr}^{1234, *}_{23}c') \otimes \text{pr}^{1234, *}_{34}c'') \\ & \cong \text{pr}^{1234}_{14, *}( (\text{pr}^{1234, *}_{12}c \otimes \text{pr}^{1234, *}_{23}c') \otimes \text{pr}^{1234, *}_{34}c'') \end{align*}\] 这里采用记号 \[p^{1234}_{134} : X \times_S Y \times_S Z \times_S W \to X \times_S Z \times_S W \quad\text{且}\quad p^{134}_{14} : X \times_S Z \times_S W \to X \times_S W\] 表示这些投影；其他指标也采用类似记号。我们还用 \(\text{pr}_*\) 代替 \(R\text{pr}_*\)，用 \(\text{pr}^*\) 代替 \(L\text{pr}^*\)，并省略 \(\otimes\) 的所有上标与下标。第一个等式就是复合的定义。第二个等式成立，是因为 \(\text{pr}^{134, *}_{13} \text{pr}^{123}_{13, *} = \text{pr}^{1234}_{134, *} \text{pr}^{1234, *}_{123}\) 由基变换成立（Derived Categories of Schemes, Lemma 08IB）。第三个等式成立，是因为拉回能正确复合并与张量积相容；见 Cohomology, Lemmas 0D5S 与 079U。第四个等式由 \(p^{1234}_{134}\) 的“投影公式”得到；见 Derived Categories of Schemes, Lemma 08EU。第五个等式说明固有推前与复合相容；见 Cohomology, Lemma 0D5T。再由张量积的结合律，即证得复合的结合律。

引理

设 \(S' \to S\) 为概形态射。下述规则

把光滑固有概形 \(X\)（定义在 \(S\) 上）映为 \(X' = S' \times_S X\)；并且

把对象 \(K\)（属于 \(D_{perf}(\mathcal{O}_{X \times_S Y})\)）的同构类映为 \(L(X' \times_{S'} Y' \to X \times_S Y)^*K\) 在 \(D_{perf}(\mathcal{O}_{X' \times_{S'} Y'})\) 中的同构类，

给出从为 \(S\) 定义的范畴到为 \(S'\) 定义的范畴的函子。

证明

为验证此点，设有 \(X, Y, Z\)，以及 \(K \in D_{perf}(\mathcal{O}_{X \times_S Y})\) 和 \(M \in D_{perf}(\mathcal{O}_{Y \times_S Z})\)。记 \(K' \in D_{perf}(\mathcal{O}_{X' \times_{S'} Y'})\) 和 \(M' \in D_{perf}(\mathcal{O}_{Y' \times_{S'} Z'})\) 为该引理陈述中的相应拉回。图表 \[\xymatrix{ X' \times_{S'} Y' \times_{S'} Z' \ar[r] \ar[d]_{\text{pr}'_{13}} & X \times_S Y \times_S Z \ar[d]^{\text{pr}_{13}} \\ X' \times_{S'} Z' \ar[r] & X \times_S Z }\] 是笛卡儿的，并且 \(\text{pr}_{13}\) 光滑且固有。由 Derived Categories of Schemes, Lemma 0B91 可知，下方水平箭头对下列复合的导出拉回 \[R\text{pr}_{13, *}( L\text{pr}_{12}^*K \otimes_{\mathcal{O}_{X \times_S Y \times_S Z}}^\mathbf{L} L\text{pr}_{23}^*M)\] 确实（典范地）同构于 \[R\text{pr}'_{13, *}( L(\text{pr}'_{12})^*K' \otimes_{\mathcal{O}_{X' \times_{S'} Y' \times_{S'} Z'}}^\mathbf{L} L(\text{pr}'_{23})^*M')\] ，正如所需。略去若干细节。

相对等价

本节证明关于下述概念的若干引理。

定义

设 \(S\) 为概形，并设 \(X \to S\) 与 \(Y \to S\) 为光滑固有态射。称对象 \(K \in D_{perf}(\mathcal{O}_{X \times_S Y})\) 为从 \(X\) 到 \(Y\)、定义在 \(S\) 上的相对等价的 Fourier–Mukai 核，如果存在对象 \(K' \in D_{perf}(\mathcal{O}_{X \times_S Y})\)，使得 \[\Delta_{X/S, *}\mathcal{O}_X \cong R\text{pr}_{13, *}(L\text{pr}_{12}^*K \otimes_{\mathcal{O}_{X \times_S Y \times_S X}}^\mathbf{L} L\text{pr}_{23}^*K')\] 在 \(D(\mathcal{O}_{X \times_S X})\) 中成立，并且 \[\Delta_{Y/S, *}\mathcal{O}_Y \cong R\text{pr}_{13, *}(L\text{pr}_{12}^*K' \otimes_{\mathcal{O}_{Y \times_S X \times_S Y}}^\mathbf{L} L\text{pr}_{23}^*K)\] 在 \(D(\mathcal{O}_{Y \times_S Y})\) 中成立。换言之，\(K\) 的同构类在 Section 0G0F 所定义的范畴中给出可逆箭头。

这里刻意采用了较为繁复的说法。

引理

沿用 Definition 0G0I 的记号，设 \(K\) 为从 \(X\) 到 \(Y\)、定义在 \(S\) 上的相对等价的 Fourier–Mukai 核。则相应的 Fourier–Mukai 函子 \(\Phi_K : D_\QCoh(\mathcal{O}_X) \to D_\QCoh(\mathcal{O}_Y)\) （Lemma 0FYR）以及 \(\Phi_K : D_{perf}(\mathcal{O}_X) \to D_{perf}(\mathcal{O}_Y)\) （Lemma 0FYT）都是等价。

证明

由 Lemma 0FYS 与 Example 0FYV 立即得到。

引理

沿用 Definition 0G0I 的记号，设 \(K\) 为从 \(X\) 到 \(Y\)、定义在 \(S\) 上的相对等价的 Fourier–Mukai 核。设 \(S_1 \to S\) 为概形态射，并令 \(X_1 = S_1 \times_S X\) 与 \(Y_1 = S_1 \times_S Y\)。则拉回 \(K_1 = L(X_1 \times_{S_1} Y_1 \to X \times_S Y)^*K\) 是从 \(X_1\) 到 \(Y_1\)、定义在 \(S_1\) 上的相对等价的 Fourier–Mukai 核。

证明

设 \(K' \in D_{perf}(\mathcal{O}_{Y \times_S X})\) 为 Definition 0G0I 中假定存在的对象。记 \(K'_1\) 为 \(K'\) 沿 \(Y_1 \times_{S_1} X_1 \to Y \times_S X\) 的拉回。只需证明 \[\Delta_{X_1/S_1, *}\mathcal{O}_X \cong R\text{pr}_{13, *}(L\text{pr}_{12}^*K_1 \otimes_{\mathcal{O}_{X_1 \times_{S_1} Y_1 \times_{S_1} X_1}}^\mathbf{L} L\text{pr}_{23}^*K_1')\] 在 \(D(\mathcal{O}_{X_1 \times_{S_1} X_1})\) 中成立；另一个条件同理。由于 \[\xymatrix{ X_1 \times_{S_1} Y_1 \times_{S_1} X_1 \ar[r] \ar[d]_{\text{pr}_{13}} & X \times_S Y \times_S X \ar[d]^{\text{pr}_{13}} \\ X_1 \times_{S_1} X_1 \ar[r] & X \times_S X }\] 是笛卡儿图，由 Derived Categories of Schemes, Lemma 0B91 可知，只需证明 \[\Delta_{X_1/S_1, *}\mathcal{O}_{X_1} \cong L(X_1 \times_{S_1} X_1 \to X \times_S X)^*\Delta_{X/S, *}\mathcal{O}_X\] 而只要 \(X\) 与 \(X_1 \times_{S_1} X_1\) 在 \(X \times_S X\) 上 Tor 无关，此式便成立；见 Derived Categories of Schemes, Lemma 08IB。这种 Tor 无关性可直接看出，也可由更一般的 More on Morphisms, Lemma 0CTA 得到：把它应用于四个顶点为 \(X, X, X, S\) 的方块及其沿 \(S_1 \to S\) 的基变换即可。

引理

设 \(S = \lim_{i \in I} S_i\) 是概形的有向系统的极限，其转移态射 \(g_{i'i} : S_{i'} \to S_i\) 都是仿射的。假设 \(S_i\) 对每个 \(i \in I\) 都拟紧且拟分离。取 \(0 \in I\)。设 \(X_0 \to S_0\) 与 \(Y_0 \to S_0\) 为光滑固有态射。令 \(X_i = S_i \times_{S_0} X_0\)（\(i \geq 0\)），并令 \(X = S \times_{S_0} X_0\)；对 \(Y_0\) 也作类似定义。若 \(K\) 是从 \(X\) 到 \(Y\)、定义在 \(S\) 上的相对等价的 Fourier–Mukai 核，则对某个 \(i \geq 0\)，存在从 \(X_i\) 到 \(Y_i\)、定义在 \(S_i\) 上的相对等价的 Fourier–Mukai 核。

证明

设 \(K' \in D_{perf}(\mathcal{O}_{Y \times_S X})\) 为 Definition 0G0I 中假定存在的对象。由于 \(X \times_S Y = \lim X_i \times_{S_i} Y_i\)，存在指标 \(i\) 以及对象 \(K_i\) 与 \(K'_i\)，它们属于 \(D_{perf}(\mathcal{O}_{Y_i \times_{S_i} X_i})\)，使其拉回到 \(Y \times_S X\) 后分别给出 \(K\) 与 \(K'\)；见 Derived Categories of Schemes, Lemma 09RF。由 Derived Categories of Schemes, Lemma 0B91 ，对象 \[R\text{pr}_{13, *}(L\text{pr}_{12}^*K_i \otimes_{\mathcal{O}_{X_i \times_{S_i} Y_i \times_{S_i} X_i}}^\mathbf{L} L\text{pr}_{23}^*K_i')\] 是完美的，且其到 \(X \times_S X\) 的拉回等于 \[R\text{pr}_{13, *}(L\text{pr}_{12}^*K \otimes_{\mathcal{O}_{X \times_S Y \times_S X}}^\mathbf{L} L\text{pr}_{23}^*K') \cong \Delta_{X/S, *}\mathcal{O}_X\] ；参见 Lemma 0G0K 的证明。另一方面，由于 \(X_i \to S\) 光滑且分离，对象 \[\Delta_{i, *}\mathcal{O}_{X_i}\] （属于 \(D(\mathcal{O}_{X_i \times_{S_i} X_i})\)）也是完美的（由 More on Morphisms, Lemmas 0FDP 与 0B6G），且其到 \(X \times_S X\) 的拉回等于 \[\Delta_{X/S, *}\mathcal{O}_X\] ；参见 Lemma 0G0K 的证明。因此由 Derived Categories of Schemes, Lemma 09RF，增大 \(i\) 后可假设 \[\Delta_{i, *}\mathcal{O}_{X_i} \cong R\text{pr}_{13, *}(L\text{pr}_{12}^*K_i \otimes_{\mathcal{O}_{X_i \times_{S_i} Y_i \times_{S_i} X_i}}^\mathbf{L} L\text{pr}_{23}^*K_i')\] ，正如所需。交换 \(K\) 与 \(K'\) 的角色可作同样论证。

无形变

本节标题所指的是 Lemma 0G0R。

引理

设 \((R, \mathfrak m, \kappa) \to (A, \mathfrak n, \lambda)\) 为本质有限表示的局部环平坦局部同态。设 \(\overline{f}_1, \ldots, \overline{f}_r \in \mathfrak n/\mathfrak m A \subset A/\mathfrak m A\) 为正则序列，并设 \(K \in D(A)\)。假设

\(K\) 是完美的；

\(K \otimes_A^\mathbf{L} A/\mathfrak m A\) 在 \(D(A/\mathfrak m A)\) 中同构于 \(\overline{f}_1, \ldots, \overline{f}_r\) 上的 Koszul 复形。

则 \(K\) 在 \(D(A)\) 中同构于某个正则序列 \(f_1, \ldots, f_r \in A\) 上的 Koszul 复形，该序列提升给定元素 \(\overline{f}_1, \ldots, \overline{f}_r\)。此外， \(A/(f_1, \ldots, f_r)\) 在 \(R\) 上平坦。

证明

本引理的证明采用链复形。Koszul 复形 \(K_\bullet(\overline{f}_1, \ldots, \overline{f}_r)\) 定义于 More on Algebra, Definition 0623。由 More on Algebra, Lemma 0BCB，可用下列复形表示 \(K\)： \[K_\bullet : A \to A^{\oplus r} \to \ldots \to A^{\oplus r} \to A\] \(A/\mathfrak mA\) 与它的张量积恰好等于（！） \(K_\bullet(\overline{f}_1, \ldots, \overline{f}_r)\)。记 \(f_1, \ldots, f_r \in A\) 为箭头 \(A^{\oplus r} \to A\) 的各分量。这些 \(f_i\) 是 \(\overline{f}_i\) 的提升。由 Algebra, Lemma 0470 ，\(f_1, \ldots, f_r\) 在 \(A\) 中构成正则序列，并且 \(A/(f_1, \ldots, f_r)\) 在 \(R\) 上平坦。令 \(J = (f_1, \ldots, f_r) \subset A\)。考虑图表 \[\xymatrix{ K_\bullet \ar[rd] \ar@{..>}[rr]_{\varphi_\bullet} & & K_\bullet(f_1, \ldots, f_r) \ar[ld] \\ & A/J }\] 由于 \(f_1, \ldots, f_r\) 是正则序列，西南方向的箭头为拟同构（见 More on Algebra, Lemma 062F）。因此，例如由 Algebra, Lemma 00LS，可找到使图表交换的虚线箭头。模去 \(\mathfrak m\)，得到交换图表 \[\xymatrix{ K_\bullet(\overline{f}_1, \ldots, \overline{f}_r) \ar[rd] \ar[rr]_{\overline{\varphi}_\bullet} & & K_\bullet(\overline{f}_1, \ldots, \overline{f}_r) \ar[ld] \\ & (A/\mathfrak m A)/(\overline{f}_1, \ldots, \overline{f}_r) }\] ；这是由 \(K_\bullet\) 的选取所得。因此 \(\overline{\varphi}\) 在导出范畴 \(D(A/\mathfrak m A)\) 中为同构，从而 \(\overline{\varphi} \otimes_{A/\mathfrak m A}^\mathbf{L} \lambda\) 为同构。由于 \(\overline{f}_i \in \mathfrak n / \mathfrak m A\)，可知 \[\text{Tor}_i^{A/\mathfrak m A}( K_\bullet(\overline{f}_1, \ldots, \overline{f}_r), \lambda) = K_i(\overline{f}_1, \ldots, \overline{f}_r) \otimes_{A/\mathfrak m A} \lambda\] 所以 \(\varphi_i \bmod \mathfrak n\) 可逆。由于 \(A\) 是局部环，这说明 \(\varphi_i\) 是同构，证明完毕。

引理

设 \(R \to S\) 为 Noether 环之间的有限型平坦环同态。设 \(\mathfrak q \subset S\) 为位于 \(\mathfrak p \subset R\) 上方的素理想，并设 \(K \in D(S)\) 为完美对象。设 \(f_1, \ldots, f_r \in \mathfrak q S_\mathfrak q\) 为正则序列，使得 \(S_\mathfrak q/(f_1, \ldots, f_r)\) 在 \(R\) 上平坦，并且 \(K \otimes_S^\mathbf{L} S_\mathfrak q\) 同构于 \(f_1, \ldots, f_r\) 上的 Koszul 复形。则存在 \(g \in S\)，\(g \not \in \mathfrak q\)，使得

\(f_1, \ldots, f_r\) 是 \(f'_1, \ldots, f'_r \in S_g\) 的像；

\(f'_1, \ldots, f'_r\) 在 \(S_g\) 中构成正则序列；

\(S_g/(f'_1, \ldots, f'_r)\) 在 \(R\) 上平坦；

\(K \otimes_S^\mathbf{L} S_g\) 同构于 \(f_1, \ldots, f_r\) 上的 Koszul 复形。

证明

由局部化的定义，可找到满足 (1) 的 \(g \in S\)，\(g \not \in \mathfrak q\)。把 \(g\) 替换为 \(gg'\)，其中 \(g' \in S\) 且 \(g' \not \in \mathfrak q\)，便可假设 (2) 成立；见 Algebra, Lemma 061L。由 Algebra, Theorem 00RC，\(S_g/(f'_1, \ldots, f'_r)\) 在 \(R\) 上的平坦性在 \(\mathfrak q\) 的某个开邻域中成立。因此再次把 \(g\) 替换为 \(gg'\)，其中 \(g' \in S\) 且 \(g' \not \in \mathfrak q\)，便可同时假设 (3) 成立。最后，由 More on Algebra, Lemma 0BC7，再作一次替换即可得到 (4)。

下述引理的推广见 More on Morphisms of Spaces, Lemma 05XD.

引理

设 \(S\) 为 Noether 概形，\(s \in S\)。设 \(p : X \to Y\) 为 \(S\) 上的概形态射。假设

\(Y \to S\) 与 \(X \to S\) 都是固有态射；

\(X\) 在 \(S\) 上平坦；

\(X_s \to Y_s\) 是同构。

则存在开子集 \(U \subset S\)，它是 \(s\) 的邻域，并且基变换 \(X_U \to Y_U\) 是同构。

证明

由 Morphisms, Lemma 01W5，态射 \(p\) 是固有的。由 Cohomology of Schemes, Lemma 02OH ，存在开子集 \(Y_s \subset V \subset Y\)，使得 \(p|_{p^{-1}(V)} : p^{-1}(V) \to V\) 是有限态射。由 More on Morphisms, Theorem 039B ，存在开子集 \(X_s \subset U \subset X\)，使得 \(p|_U : U \to Y\) 平坦。去掉 \(X \setminus U\) 与 \(Y \setminus V\) 的像（它们是不含 \(s\) 的闭子集）后，可假设 \(p\) 平坦且有限。于是 \(p\) 是开映射（Morphisms, Lemma 01UA），并且 \(Y_s \subset p(X) \subset Y\)；故缩小 \(S\) 后，可假设 \(p\) 满射。由于 \(p_s : X_s \to Y_s\) 是同构，态射 \[p^\sharp : \mathcal{O}_Y \longrightarrow p_*\mathcal{O}_X\] 是凝聚 \(\mathcal{O}_Y\)-模之间的态射（\(p\) 有限）；沿 \(i : Y_s \to Y\) 拉回后，它成为同构（例如由 Cohomology of Schemes, Lemma 02KG）。Nakayama 引理于是说明 \(\mathcal{O}_{Y, y} \to (p_*\mathcal{O}_X)_y\) 对所有 \(y \in Y_s\) 都是满射。因此存在开子集 \(Y_s \subset V \subset Y\)，使得 \(p^\sharp|_V\) 满射（Modules, Lemma 01B8）。故再次缩小 \(S\) 后，可假设 \(p^\sharp\) 满射；这说明 \(p\) 是闭浸入（因为 \(p\) 已经有限）。于是 \(p\) 是 Noether 概形之间满射、平坦的闭浸入，因而是同构；见 Morphisms, Section 04PV。

引理

设 \(k\) 为域。设 \(S\) 为 \(k\) 上具有 \(k\)-有理点 \(s\) 的有限型概形。设 \(Y \to S\) 为光滑固有态射。设 \(X = Y_s \times S \to S\) 为纤维等于 \(Y_s\) 的常值族。设 \(K\) 为从 \(X\) 到 \(Y\)、定义在 \(S\) 上的相对等价的 Fourier–Mukai 核。假设限制 \[L(Y_s \times_S Y_s \to X \times_S Y)^*K \cong \Delta_{Y_s/k, *} \mathcal{O}_{Y_s}\] 在 \(D(\mathcal{O}_{Y_s \times Y_s})\) 中成立。则存在开邻域 \(s \in U \subset S\)，使得 \(Y|_U\) 同构于 \(Y_s \times U\)，且该同构定义在 \(U\) 上。

证明

记 \(i : Y_s \times Y_s = X_s \times Y_s \to X \times_S Y\) 为自然闭浸入。（从现在起，我们把 \(Y_s\) 而非 \(X_s\) 用作 \(X\) 在 \(s\) 上纤维的记号。）设 \(z \in Y_s \times Y_s = (X \times_S Y)_s \subset X \times_S Y\) 为闭点。如上所示，我们既把 \(z\) 看作 \(Y_s \times Y_s\) 的闭点，也把它看作 \(X \times_S Y\) 的闭点。

情形 I：\(z \not \in \Delta_{Y_s/k}(Y_s)\)。记 \(\mathcal{O}_z\) 为凝聚 \(\mathcal{O}_{Y_s \times Y_s}\)-模，其支撑在 \(z\) 上，值为 \(\kappa(z)\)。则 \(i_*\mathcal{O}_z\) 是凝聚 \(\mathcal{O}_{X \times_S Y}\)-模，其支撑在 \(z\) 上，值为 \(\kappa(z)\)。我们的假设意味着 \[K \otimes_{\mathcal{O}_{X \times_S Y}}^\mathbf{L} i_*\mathcal{O}_z = Li^*K \otimes_{\mathcal{O}_{Y_s \times Y_s}}^\mathbf{L} \mathcal{O}_z = 0\] 因此由 Lemma 0G03，存在开集 \(U(z) \subset X \times_S Y\)，它是 \(z\) 的邻域，并使得 \(K|_{U(z)} = 0\)。在此情形，令 \(Z(z) = \emptyset\)，把它视为 \(U(z)\) 的闭子概形。

情形 II：\(z \in \Delta_{Y_s/k}(Y_s)\)。由于 \(Y_s\) 在 \(k\) 上光滑， \(\Delta_{Y_s/k} : Y_s \to Y_s \times Y_s\) 是正则浸入；见 More on Morphisms, Lemma 0FDP。选取正则序列 \(\overline{f}_1, \ldots, \overline{f}_r \in \mathcal{O}_{Y_s \times Y_s, z}\)，使它生成 \(\Delta_{Y_s/k}(Y_s)\) 的理想层。由于正则序列是 Koszul-正则的（More on Algebra, Lemma 062F），我们的假设意味着 \[K_z \otimes_{\mathcal{O}_{X \times_S Y, z}}^\mathbf{L} \mathcal{O}_{Y_s \times Y_s, z} \in D(\mathcal{O}_{Y_s \times Y_s, z})\] 由 \(\overline{f}_1, \ldots, \overline{f}_r\) 在 \(\mathcal{O}_{Y_s \times Y_s, z}\) 上的 Koszul 复形表示。把 Lemma 0G0N 应用于 \(\mathcal{O}_{S, s} \to \mathcal{O}_{X \times_S Y, z}\)，可知 \(K_z \in D(\mathcal{O}_{X \times_S Y, z})\) 由某个正则序列 \(f_1, \ldots, f_r \in \mathcal{O}_{X \times_S Y, z}\) 的 Koszul 复形表示；该序列提升正则序列 \(\overline{f}_1, \ldots, \overline{f}_r\)，而且 \(\mathcal{O}_{X \times_S Y}/(f_1, \ldots, f_r)\) 在 \(\mathcal{O}_{S, s}\) 上平坦。由若干极限论证（Lemma 0G0P），存在仿射开集 \(U(z) \subset X \times_S Y\)，它是 \(z\) 的邻域；并存在闭子概形 \(Z(z) \subset U(z)\)，使得

\(Z(z) \to U(z)\) 是正则闭浸入；

\(K|_{U(z)}\) 拟同构于 \(\mathcal{O}_{Z(z)}\)；

\(Z(z) \to S\) 平坦；

\(Z(z)_s = \Delta_{Y_s/k}(Y_s) \cap U(z)_s\) 作为 \(U(z)_s\) 的闭子概形成立。

由性质 (2)，对 \(z, z' \in Y_s \times Y_s\)，有 \(Z(z) \cap U(z') = Z(z') \cap U(z)\)，等式在闭子概形意义下成立。因此得到开邻域 \[U = \bigcup\nolimits_{z \in Y_s \times Y_s\text{ 闭}} U(z)\] ，它是 \(Y_s \times Y_s\) 在 \(X \times_S Y\) 中的开邻域；并得到闭子概形 \(Z \subset U\)，使得 (1) \(Z \to U\) 是正则闭浸入，(2) \(Z \to S\) 平坦，并且 (3) \(Z_s = \Delta_{Y_s/k}(Y_s)\)。由于 \(X \times_S Y \to S\) 固有，把 \(S\) 替换为 \(s\) 的某个开邻域后，可假设 \(U = X \times_S Y\)。由于投影 \(Z_s \to Y_s\) 与 \(Z_s \to X_s\) 都是同构，缩小 \(S\) 后可假设 \(Z \to Y\) 与 \(Z \to X\) 都是同构；见 Lemma 0G0Q。证明完毕。

引理

设 \(k\) 为代数闭域，并设 \(X\) 为 \(k\) 上的光滑固有概形。设 \(f : Y \to S\) 为光滑固有态射，其中 \(S\) 在 \(k\) 上有限型。设 \(K\) 为从 \(X \times S\) 到 \(Y\)、定义在 \(S\) 上的相对等价的 Fourier–Mukai 核。则 \(S\) 可由开子概形 \(U\) 覆盖，使得存在 \(U\)-同构 \(f^{-1}(U) \cong Y_0 \times U\)，其中某个 \(Y_0\) 在 \(k\) 上固有且光滑。

证明

选取闭点 \(s \in S\)。由于 \(k\) 代数闭，这是一个 \(k\)-有理点。令 \(Y_0 = Y_s\)。记 \(K_0\) 为 \(K\) 到 \(X \times Y_0\) 的限制。由 Lemma 0G0K，它是从 \(X\) 到 \(Y_0\)、定义在 \(\Spec(k)\) 上的相对等价的 Fourier–Mukai 核。设 \(K'_0\) 为 \(D_{perf}(\mathcal{O}_{Y_0 \times X})\) 中由 Definition 0G0I 假定存在的对象。则由 Definition 0G0I 所固有的对称性，\(K'_0\) 是从 \(Y_0\) 到 \(X\)、定义在 \(\Spec(k)\) 上的相对等价的 Fourier–Mukai 核。因此由 Lemma 0G0K，拉回 \[M = (Y_0 \times X \times S \to Y_0 \times X)^*K'_0\] （定义在 \((Y_0 \times S) \times_S (X \times S) = Y_0 \times X \times S\) 上）是从 \(Y_0 \times S\) 到 \(X \times S\)、定义在 \(S\) 上的相对等价的 Fourier–Mukai 核。现在考虑核 \[K_{new} = R\text{pr}_{13, *}(L\text{pr}_{12}^*M \otimes_{\mathcal{O}_{(Y_0 \times S) \times_S (X \times S) \times_S Y}}^\mathbf{L} L\text{pr}_{23}^*K)\] ，它定义在 \((Y_0 \times S) \times_S Y\) 上。这是从 \(Y_0 \times S\) 到 \(Y\)、定义在 \(S\) 上的相对等价的 Fourier–Mukai 核，因为它是 Section 0G0F 所构造范畴中两个可逆箭头的复合。此外，该复合与基变换相容（Lemma 0G0G）。因此可知， \(K_{new}\) 到 \(((Y_0 \times S) \times_S Y)_s = Y_0 \times Y_0\) 的拉回等于 \(K_0\) 与 \(K'_0\) 的复合，因而等于此范畴中的恒等元。换言之， \[L(Y_0 \times Y_0 \to (Y_0 \times S) \times_S Y)^*K_{new} \cong \Delta_{Y_0/k, *}\mathcal{O}_{Y_0}\] 因此由 Lemma 0G0R，\(Y \to S\) 同构于 \(Y_0 \times S\)，该同构在 \(s\) 的某个开邻域上成立。证明完毕。

可数性

本节证明关于某些集合之可数性的若干初等引理。设 \(\mathcal{C}\) 为范畴。本节称 \(\mathcal{C}\) 为可数的，如果

对任意 \(X, Y \in \Ob(\mathcal{C})\)，集合 \(\Mor_\mathcal{C}(X, Y)\) 可数；并且
\(\mathcal{C}\) 的对象同构类之集合可数。

引理

设 \(R\) 为可数 Noether 环。则 \(R\) 上有限型概形的范畴可数。

证明

略。

引理

设 \(\mathcal{A}\) 为可数阿贝尔范畴。则 \(D^b(\mathcal{A})\) 可数。

证明

只需对 \(D(\mathcal{A})\) 证明该陈述，因为其他范畴都是它的全子范畴。由于 \(D(\mathcal{A})\) 中每个对象都是由 \(\mathcal{A}\) 的对象组成的复形，立即可知 \(D^b(\mathcal{A})\) 的对象同构类之集合可数。此外，对有界复形 \(A^\bullet\) 与 \(B^\bullet\)（它们由 \(\mathcal{A}\) 的对象组成），显然 \(\Hom_{K^b(\mathcal{A})}(A^\bullet, B^\bullet)\) 可数。有 \[\Hom_{D^b(\mathcal{A})}(A^\bullet, B^\bullet) = \colim_{s : (A')^\bullet \to A^\bullet \text{ qis and }(A')^\bullet\text{ bounded}} \Hom_{K^b(\mathcal{A})}((A')^\bullet, B^\bullet)\] ，这是 Derived Categories, Lemma 05RW。因此它是可数集，因为它是可数个可数集的余极限。

引理

设 \(X\) 为某个可数 Noether 环上的有限型概形。则范畴 \(D_{perf}(\mathcal{O}_X)\) 与 \(D^b_{\textit{Coh}}(\mathcal{O}_X)\) 都可数。

证明

由 Morphisms, Lemma 01T6，\(X\) 是 Noether 概形。因而由 Derived Categories of Schemes, Lemma 0FXU，\(D_{perf}(\mathcal{O}_X)\) 是 \(D^b_{\textit{Coh}}(\mathcal{O}_X)\) 的全子范畴。所以只需对 \(D^b_{\textit{Coh}}(\mathcal{O}_X)\) 证明结论。回忆 \(D^b_{\textit{Coh}}(\mathcal{O}_X) = D^b(\textit{Coh}(\mathcal{O}_X))\) ，这是 Derived Categories of Schemes, Proposition 0FDB。故由 Lemma 0G0V，只需证明 \(\textit{Coh}(\mathcal{O}_X)\) 可数。略去此证明。

引理

设 \(K\) 为代数闭域，\(S\) 为 \(K\) 上的有限型概形，并设 \(X \to S\) 与 \(Y \to S\) 为有限型态射。存在可数集 \(I\)，并且对 \(i \in I\) 存在一对 \((S_i \to S, h_i)\)，满足下列性质：

\(S_i \to S\) 是有限型态射；令 \(X_i = X \times_S S_i\) 与 \(Y_i = Y \times_S S_i\)；

\(h_i : X_i \to Y_i\) 是 \(S_i\) 上的同构；

对任意闭点 \(s \in S(K)\)，若 \(X_s \cong Y_s\) 在 \(K = \kappa(s)\) 上成立，则 \(s\) 属于 \(S_i \to S\) 的像，其中 \(i\) 为某个指标。

证明

域 \(K\) 是其可数子域的滤过并。对偶地，\(\Spec(K)\) 是 \(K\) 的这些可数子域之谱的余滤过极限。因此 Limits, Lemma 01ZM 保证存在可数子域 \(k\)，以及态射 \(X_0 \to S_0\) 与 \(Y_0 \to S_0\)；这些态射位于 \(k\) 上的有限型概形之间，并使得 \(X \to S\) 与 \(Y \to S\) 是它们的基变换。

由 Lemma 0G0U，存在可数集 \(I\) 与若干对 \((S_{0, i} \to S_0, h_{0, i})\)，满足

\(S_{0, i} \to S_0\) 是有限型态射；令 \(X_{0, i} = X_0 \times_{S_0} S_{0, i}\) 与 \(Y_{0, i} = Y_0 \times_{S_0} S_{0, i}\)；

\(h_{0, i} : X_{0, i} \to Y_{0, i}\) 是 \(S_{0, i}\) 上的同构。

而且每一对 \((T \to S_0, h_T)\)，其中 \(T \to S_0\) 有限型且 \(h_T : X_0 \times_{S_0} T \to Y_0 \times_{S_0} T\) 为同构，都同构于上述某一对。记 \((S_i \to S, h_i)\) 为 \((S_{0, i} \to S_0, h_{0, i})\) 沿 \(\Spec(K) \to \Spec(k)\) 的基变换。我们断言这组数据满足要求。

设 \(s \in S(K)\)，并设 \(h_s : X_s \to Y_s\) 为 \(K = \kappa(s)\) 上的同构。可把 \(K\) 写成其有限生成 \(k\)-子代数的滤过并。因此由 Limits, Proposition 01ZC 与 Lemma 01ZM，可找到这样的有限生成 \(k\)-子代数 \(K \supset A \supset k\)，使得

存在交换图表 \[\xymatrix{ \Spec(K) \ar[d]_s \ar[r] & \Spec(A) \ar[d]^{s'} \\ S \ar[r] & S_0}\] 其中 \(s' : \Spec(A) \to S_0\) 是 \(k\) 上的某个态射；

\(h_s\) 是下列同构的基变换： \(h_{s'} : X_0 \times_{S_0, s'} \Spec(A) \to X_0 \times_{S_0, s'} \Spec(A)\)，该同构定义在 \(A\) 上。

于是 \((s' : \Spec(A) \to S_0, h_{s'})\) 当然同构于 \((S_{0, i} \to S_0, h_{0, i})\)，其中 \(i \in I\)。这便完成证明，因为 (1) 中的交换图表说明， \(s\) 属于 \(s'\) 到 \(\Spec(K)\) 的基变换之像。

引理

设 \(K\) 为代数闭域。存在可数集 \(I\)，并且对 \(i \in I\) 存在一组 \((S_i/K, X_i \to S_i, Y_i \to S_i, M_i)\)，满足下列性质：

\(S_i\) 是 \(K\) 上的有限型概形；

\(X_i \to S_i\) 与 \(Y_i \to S_i\) 都是光滑固有概形态射；

\(M_i \in D_{perf}(\mathcal{O}_{X_i \times_{S_i} Y_i})\) 是从 \(X_i\) 到 \(Y_i\)、定义在 \(S_i\) 上的相对等价的 Fourier–Mukai 核；

对任意光滑固有概形 \(X\) 与 \(Y\)（它们定义在 \(K\) 上），若存在 \(K\)-线性正合等价 \(D_{perf}(\mathcal{O}_X) \to D_{perf}(\mathcal{O}_Y)\) ，则存在 \(i \in I\) 与 \(s \in S_i(K)\)，使得 \(X \cong (X_i)_s\) 且 \(Y \cong (Y_i)_s\)。

证明

选取可数子域 \(k \subset K\)，例如素域。由 Lemmas 0G0U 与 0G0W，满足本引理 (1)、(2)、(3) 的 \(k\) 上系统只有可数多个同构类。因此可选取可数集 \(I\)，并对每个 \(i \in I\) 选取一个这样的系统 \[(S_{0, i}/k, X_{0, i} \to S_{0, i}, Y_{0, i} \to S_{0, i}, M_{0, i})\] ，它定义在 \(k\) 上，并使每个同构类至少出现一次。记 \((S_i/K, X_i \to S_i, Y_i \to S_i, M_i)\) 为上述系统到 \(K\) 的基变换。由 Lemma 0G0K，该系统具有性质 (1)、(2)、(3)。下面证明性质 (4)。

考虑光滑固有概形 \(X\) 与 \(Y\)（它们定义在 \(K\) 上），并设有 \(K\)-线性正合等价 \(F : D_{perf}(\mathcal{O}_X) \to D_{perf}(\mathcal{O}_Y)\)。由 Proposition 0G0D，可假设存在对象 \(M \in D_{perf}(\mathcal{O}_{X \times Y})\)，使得 \(F = \Phi_M\) 是相应的 Fourier–Mukai 函子。由 Lemma 0FYY，存在 \(M'\)，它属于 \(D_{perf}(\mathcal{O}_{Y \times X})\)，使得 \(\Phi_{M'}\) 是 \(\Phi_M\) 的右伴随。由于 \(\Phi_M\) 是等价，这说明 \(\Phi_{M'}\) 是 \(\Phi_M\) 的拟逆。由 Lemma 0FYY，下列对象所定义的 Fourier–Mukai 函子 \[A = R\text{pr}_{13, *}( L\text{pr}_{12}^*M \otimes_{\mathcal{O}_{X \times Y \times X}}^\mathbf{L} L\text{pr}_{23}^*M')\] （该对象属于 \(D_{perf}(\mathcal{O}_{X \times X})\)）以及 \[B = R\text{pr}_{13, *}( L\text{pr}_{12}^*M' \otimes_{\mathcal{O}_{Y \times X \times Y}}^\mathbf{L} L\text{pr}_{23}^*M)\] （该对象属于 \(D_{perf}(\mathcal{O}_{Y \times Y})\)）分别同构于 \(\text{id} : D_{perf}(\mathcal{O}_X) \to D_{perf}(\mathcal{O}_X)\) 与 \(\text{id} : D_{perf}(\mathcal{O}_Y) \to D_{perf}(\mathcal{O}_Y)\) 。因此 \(A \cong \Delta_{X/K, *}\mathcal{O}_X\) 且 \(B \cong \Delta_{Y/K, *}\mathcal{O}_Y\)，这是 Lemma 0G0E。故由定义，\(M\) 是从 \(X\) 到 \(Y\)、定义在 \(K\) 上的相对等价的 Fourier–Mukai 核。

可把 \(K\) 写成其有限型 \(k\)-子代数 \(A \subset K\) 的滤过余极限。由 Limits, Lemma 01ZM，可找到 \(X_0, Y_0\)，它们在 \(A\) 上有限型，它们到 \(K\) 的基变换分别产生 \(X\) 与 \(Y\)。由 Limits, Lemmas 081F 与 0C0C，增大 \(A\) 后，可假设 \(X_0\) 与 \(Y_0\) 在 \(A\) 上光滑且固有。由 Lemma 0G0L，再次增大 \(A\) 后，可假设 \(M\) 是某个 \(M_0 \in D_{perf}(\mathcal{O}_{X_0 \times_{\Spec(A)} Y_0})\) 的拉回；该对象是从 \(X_0\) 到 \(Y_0\)、定义在 \(\Spec(A)\) 上的相对等价的 Fourier–Mukai 核。因此 \((S_0/k, X_0 \to S_0, Y_0 \to S_0, M_0)\) 同构于 \((S_{0, i}/k, X_{0, i} \to S_{0, i}, Y_{0, i} \to S_{0, i}, M_{0, i})\) ，其中 \(i \in I\)。由于 \(S_i = S_{0, i} \times_{\Spec(k)} \Spec(K)\)，性质 (4) 对 \(s : \Spec(K) \to S_i\) 成立；该态射由 \(\Spec(K) \to \Spec(A) \cong S_{0, i}\) 诱导，而后者来自 \(A \subset K\)。

导出等价簇的可数性

本节证明 Anel 和 Toën 的一个结果，见 [AT]。

定义

设 \(k\) 为域，\(X\) 和 \(Y\) 为 \(k\) 上的光滑射影概形。称 \(X\) 和 \(Y\) 是导出等价的，是指存在一个 \(k\)-线性的正合等价 \(D_{perf}(\mathcal{O}_X) \to D_{perf}(\mathcal{O}_Y)\).

结果如下。

定理

设 \(K\) 为代数闭域。设 \(\mathbf{X}\) 为 \(K\) 上的光滑固有概形。光滑固有概形 \(\mathbf{Y}\)（定义在 \(K\) 上且与 \(\mathbf{X}\) 导出等价）的同构类至多可数。

证明

取一个可数集 \(I\)，并对每个 \(i \in I\) 取满足引理 0G0Y 的性质 (1)、(2)、(3) 和 (4) 的系统 \((S_i/K, X_i \to S_i, Y_i \to S_i, M_i)\)。固定 \(i \in I\)，并置 \(S = S_i\)、\(X = X_i\)、\(Y = Y_i\) 以及 \(M = M_i\)。显然，只需证明：纤维 \(Y_s\) 的同构类所成之集是可数的，其中 \(s \in S(K)\) 且 \(X_s \cong \mathbf{X}\)。我们在下一段证明这一点。

设 \(S\) 为 \(K\) 上的有限型概形，\(X \to S\) 和 \(Y \to S\) 为固有光滑态射，并设 \(M \in D_{perf}(\mathcal{O}_{X \times_S Y})\) 为一个从 \(X\) 到 \(Y\)、定义在 \(S\) 上的相对等价的 Fourier–Mukai 核。我们将证明：纤维 \(Y_s\) 的同构类所成之集是可数的，其中 \(s \in S(K)\) 且 \(X_s \cong \mathbf{X}\)。对族 \(\mathbf{X} \times S \to S\) 和 \(X \to S\) 应用引理 0G0X，可得一个可数集 \(I\)，并对每个 \(i \in I\) 得到一对 \((S_i \to S, h_i)\)，满足下列性质：

\(S_i \to S\) 是有限型态射，并置 \(X_i = X \times_S S_i\)；

\(h_i : \mathbf{X} \times S_i \to X_i\) 是 \(S_i\) 上的同构；

对任意闭点 \(s \in S(K)\)，如果同构 \(\mathbf{X} \cong X_s\) 是定义在 \(K = \kappa(s)\) 上的，则点 \(s\) 位于态射 \(S_i \to S\)（对某个 \(i\)）的像中。

置 \(Y_i = Y \times_S S_i\)，并用 \(M_i \in D_{perf}(\mathcal{O}_{X_i \times_{S_i} Y_i})\) 表示 \(M\) 的拉回。由引理 0G0K，\(M_i\) 是一个从 \(X_i\) 到 \(Y_i\)、定义在 \(S_i\) 上的相对等价的 Fourier–Mukai 核。由于 \(I\) 可数，由性质 (3)，只需证明纤维 \(Y_{i, s}\) 的同构类所成之集是可数的，其中 \(s \in S_i(K)\)。事实上，由引理 0G0S，这个数是有限的，证明完毕。

这常常迫使 \(f\) 本身为恒等映射；参见 Varieties, Lemma 0G05.↩︎