代数空间中的群胚

引言

本章专论代数空间中群胚的一般理论。我们推荐阅读 Keel 和 Mori 的优美论文 [K-M]。

这里的很多内容重复了群胚概形一章中已经讨论过的内容，见《群胚》第 022M 节。这里关于商栈的讨论则是新的。

约定

我们始终假设所有概形都包含在一个大 fppf 位形 \(\Sch_{fppf}\) 中， 并且所有考虑的环 \(A\) 都具有如下性质：\(\Spec(A)\)（在同构意义下） 是这个大位形的对象。

设 \(S\) 为概形，\(X\) 为 \(S\) 上的代数空间。在本章及下一章中，我们用 \(X \times_S X\) 表示 \(X\) 与自身的积（取在 \(S\) 上代数空间的范畴中）， 而不用 \(X \times X\)。

我们继续沿用从指标 \(0\) 开始标记投影映射的约定，因而有 \(\text{pr}_0 : X \times_S Y \to X\) 和 \(\text{pr}_1 : X \times_S Y \to Y\)。

记号

设 \(S\) 为概形；它将是我们的基概形，所有代数空间都取在 \(S\) 上。 设 \(B\) 为 \(S\) 上的代数空间；它将是我们的基代数空间，其他代数空间以及 概形往往取在 \(B\) 上。若称 \(X\) 是 \(B\) 上的代数空间，意思是 \(X\) 是 \(S\) 上的代数空间，并配备结构态射 \(X \to B\)。此外，我们尽量保留字母 \(T\) 来表示 \(B\) 上的“测试”概形。换言之，\(T\) 是配备结构态射 \(T \to B\) 的概形。在这种情形下，我们用 \(X(T)\) 表示 \(T\)-值点所成的集合； 这些点取值于 \(X\) 且位于 \(B\) 上。用公式写就是 \[X(T) = \Mor_B(T, X).\] 类似地，给定另一个代数空间 \(Y\)（在 \(B\) 上），置 \[X(Y) = \Mor_B(Y, X).\] 假设如上给定代数空间 \(X\)、\(Y\)（在 \(B\) 上），以及态射 \(f : X \to Y\)（在 \(B\) 上）。对任意概形 \(T\)（在 \(B\) 上），得到诱导的集合映射 \[f : X(T) \longrightarrow Y(T)\] 而且它对概形 \(T\)（在 \(B\) 上）具有函子性。由于 \(f\) 是 \((\Sch/S)_{fppf}\) 上、位于层 \(B\) 之上的层映射，显然 \(f\) 决定这个规则， 也由这个规则决定。更一般地，我们对纤维积之间的映射采用相同记号。 例如，若 \(X\)、\(Y\)、\(Z\) 是 \(B\) 上的代数空间，而 \(m : X \times_B Y \to Z \times_B Z\) 是 \(B\) 上代数空间的态射， 那么可把 \(m\) 看作对应于如下 \(T\)-值点之间的一族映射： \[X(T) \times Y(T) \longrightarrow Z(T) \times Z(T).\] 其余情形依此类推。

最后，给定代数空间的两个映射 \(f, g : X \to Y\)（在 \(B\) 上），若诱导映射 \(f, g : X(T) \to Y(T)\) 对每个概形 \(T\)（在 \(B\) 上）都相等，那么 \(f = g\)；因而映射 \(f, g : X(Z) \to Y(Z)\) 对每个第三个代数空间 \(Z\)（在 \(B\) 上）也相等。例如，要检验群代数空间 \(G\)（在 \(B\) 上）的

公理，只须在 \(T\)-值点上检验图表的交换性；这里 \(T\) 是 \(B\) 上的概形，

具体做法如下面的定义 043H 所示。

等价关系

记号参见《群胚》第 022O 节。

定义

设 \(B \to S\) 如第 043A 节所示。设 \(U\) 为代数空间（在 \(B\) 上）。

1. \(U\) 在 \(B\) 上的一个预关系，是任意态射 \(j : R \to U \times_B U\)（它是 \(B\) 上代数空间的态射）。在这种情形下，置 \(t = \text{pr}_0 \circ j\) 和 \(s = \text{pr}_1 \circ j\)，从而 \(j = (t, s)\)。

2. \(U\) 在 \(B\) 上的一个关系，是单态射 \(j : R \to U \times_B U\)（它是 \(B\) 上代数空间的态射）。

3. 一个预等价关系，是预关系 \(j : R \to U \times_B U\)， 它满足：映射 \(j : R(T) \to U(T) \times U(T)\) 的像对所有概形 \(T\)（在 \(B\) 上）都是等价关系。

4. 称态射 \(R \to U \times_B U\)（它是 \(B\) 上代数空间的态射）是 \(U\) 在 \(B\) 上的等价关系，当且仅当对每个 \(T\)（在 \(B\) 上）， 相应的 \(T\)-值点（属于 \(R\)）在相应的 \(T\)-值点集（属于 \(U\)）上定义一个 等价关系。

换言之，等价关系就是满足 \(j\) 为关系的预等价关系。

引理

设 \(B \to S\) 如第 043A 节所示。设 \(U\) 为代数空间（在 \(B\) 上）。设 \(j : R \to U \times_B U\) 为预关系。设 \(g : U' \to U\) 为代数空间的态射（在 \(B\) 上）。最后，置 \[R' = (U' \times_B U')\times_{U \times_B U} R \xrightarrow{j'} U' \times_B U'\] 那么 \(j'\) 是 \(U'\) 在 \(B\) 上的预关系。如果 \(j\) 是关系，那么 \(j'\) 也是关系。 如果 \(j\) 是预等价关系，那么 \(j'\) 也是预等价关系。如果 \(j\) 是等价关系， 那么 \(j'\) 也是等价关系。

证明

略。

定义

设 \(B \to S\) 如第 043A 节所示。设 \(U\) 为代数空间（在 \(B\) 上）。设 \(j : R \to U \times_B U\) 为预关系。设 \(g : U' \to U\) 为代数空间的态射（在 \(B\) 上）。引理 043D 中的预关系 \(j' : R' \to U' \times_B U'\) 称为预关系 \(j\) 到 \(U'\) 的限制或 拉回。在这种情形下，有时写成 \(R' = R|_{U'}\)。

引理

设 \(B \to S\) 如第 043A 节所示。设 \(j : R \to U \times_B U\) 为代数空间的预关系（在 \(B\) 上）。考虑由下述规则 在 \(|U|\) 上定义的关系： \[x \sim y \Leftrightarrow \exists\ r \in |R| : t(r) = x, s(r) = y.\] 如果 \(j\) 是预等价关系，那么这就是等价关系。

证明

假设 \(x \sim y\) 且 \(y \sim z\)。选取 \(r \in |R|\)，使得 \(t(r) = x\)、\(s(r) = y\)；再选取 \(r' \in |R|\)，使得 \(t(r') = y\)、\(s(r') = z\)。可以选取域 \(K\)，使得 \(r\) 和 \(r'\) 可由态射 \(r, r' : \Spec(K) \to R\) 表示，并且 \(s \circ r = t \circ r'\)。 记 \(x = t \circ r\)、\(y = s \circ r = t \circ r'\) 和 \(z = s \circ r'\)，于是 \(x, y, z : \Spec(K) \to U\)。由构造， \((x, y) \in j(R(K))\) 且 \((y, z) \in j(R(K))\)。由于 \(j\) 是预等价关系， 可知 \((x, z) \in j(R(K))\) 也成立。这显然推出 \(x \sim z\)。

略去 \(\sim\) 具有自反性和对称性的证明。

群代数空间

记号参见《群胚》第 022R 节。

定义

设 \(B \to S\) 如第 043A 节所示。

1. 一个\(B\) 上的群代数空间是偶对 \((G, m)\)，其中 \(G\) 是 \(B\) 上的代数空间，而 \(m : G \times_B G \to G\) 是 \(B\) 上代数空间的态射， 并具有如下性质：对每个概形 \(T\)（在 \(B\) 上），偶对 \((G(T), m)\) 是群。

2. 一个态射 \(\psi : (G, m) \to (G', m')\)（它是 \(B\) 上 群代数空间的态射），是态射 \(\psi : G \to G'\)（它是 \(B\) 上代数空间的态射）， 并且对每个 \(T/B\)，诱导映射 \(\psi : G(T) \to G'(T)\) 都是群同态。

设 \((G, m)\) 为代数空间 \(B\) 上的群代数空间。根据《群胚》第 022R 节的讨论，得到 \(B\) 上代数空间的态射 （单位元）\(e : B \to G\) 和（逆元）\(i : G \to G\)，使得对每个 \(T\)， 四元组 \((G(T), m, e, i)\) 满足群公理。

设 \((G, m)\)、\((G', m')\) 为 \(B\) 上的群代数空间。设 \(f : G \to G'\) 为 \(B\) 上代数空间的态射。由定义，\(f\) 是 \(B\) 上群代数空间的 态射，当且仅当下图交换： \[\xymatrix{ G \times_B G \ar[r]_-{f \times f} \ar[d]_m & G' \times_B G' \ar[d]^m \\ G \ar[r]^f & G' }\]

引理

设 \(B \to S\) 如第 043A 节所示。设 \((G, m)\) 为 \(B\) 上的 群代数空间。设 \(B' \to B\) 为代数空间的态射。拉回 \((G_{B'}, m_{B'})\) 是 \(B'\) 上的群代数空间。

证明

略。

群代数空间的性质

本节汇集群代数空间在任意基底上成立的一些简单性质。

引理

设 \(S\) 为概形，\(B\) 为 \(S\) 上的代数空间，\(G\) 为 \(B\) 上的群代数空间。 那么 \(G \to B\) 分离（相应地，拟分离；局部分离），当且仅当单位元态射 \(e : B \to G\) 是闭浸入（相应地，拟紧；浸入）。

证明

回忆《空间的态射》引理 03KP： \(e\) 在 \(G \to B\) 分离（相应地，拟分离；局部分离）时是闭浸入 （相应地，拟紧；浸入）。为证明逆命题，考虑图表 \[\xymatrix{ G \ar[r]_-{\Delta_{G/B}} \ar[d] & G \times_B G \ar[d]^{(g, g') \mapsto m(i(g), g')} \\ B \ar[r]^e & G }\] 运用代数几何中的函子点观点，不难验证这个图表是笛卡尔图表。换言之， \(\Delta_{G/B}\) 是 \(e\) 的基变换。因此，如果 \(e\) 是闭浸入（相应地，拟紧； 浸入），那么 \(\Delta_{G/B}\) 也具有相应性质；参见《空间》引理 02YW（相应地，《空间的态射》引理 03HF；《空间》引理 02YW）。

引理

设 \(S\) 为概形，\(B\) 为 \(S\) 上的代数空间，\(G\) 为 \(B\) 上的群代数空间。 假设 \(G \to B\) 局部有限型。那么 \(G \to B\) 非分歧（相应地，局部拟有限）， 当且仅当 \(G \to B\) 在 \(e(b)\) 处非分歧（相应地，拟有限）；这对所有 \(b \in |B|\) 都成立。

证明

由《空间的态射》引理 05W2 （相应地，《空间的态射》引理 0ABM），存在最大的 开子空间 \(U \subset G\)，使得 \(U \to B\) 非分歧（相应地，局部拟有限）， 且 \(U\) 的构造与基变换交换。因此，可归约到 \(B = \Spec(k)\) 是域的谱这一情形。 设 \(g \in G(K)\) 为取值于扩域 \(K/k\) 的点。为了检验 \(g\) 是否属于 \(U\)， 可以把基底变换到 \(K\)。所以只须证明 \[G \to \Spec(k)\text{ 非分歧于 }e \Leftrightarrow G \to \Spec(k)\text{ 非分歧于 }g\] 其中在 \(k\) 上，\(g\) 是有理点（相应地，在 \(g\) 与 \(e\) 处拟有限的情形也一样）。 由于沿 \(g\) 的平移是 \(G\) 在 \(k\) 上的自同构，这一点很清楚。

引理

设 \(S\) 为概形，\(B\) 为 \(S\) 上的代数空间，\(G\) 为 \(B\) 上的群代数空间。 假设 \(G \to B\) 局部有限型。

1. 存在最大的开子空间 \(U \subset B\)，使得 \(G_U \to U\) 非分歧， 且 \(U\) 的构造与基变换交换。

2. 存在最大的开子空间 \(U \subset B\)，使得 \(G_U \to U\) 局部拟有限， 且 \(U\) 的构造与基变换交换。

证明

由《空间的态射》引理 05W2 （相应地，《空间的态射》引理 0ABM），存在最大的 开子空间 \(W \subset G\)，使得 \(W \to B\) 非分歧（相应地，局部拟有限）。 此外，\(W\) 的构造与基变换交换。由引理 0DSI，可知两种情形下都有 \(U = e^{-1}(W)\)。

群代数空间的例

如果 \(G \to S\) 是基概形 \(S\) 上的群概形，那么由引理 043I，基变换 \(G_B\) 是群代数空间；这里 \(B\) 是 \(S\) 上任意代数空间，而所得群代数空间取在 \(B\) 上。

我们将在下面的例中频繁使用这一点。

例

设 \(B \to S\) 如第 043A 节所示。考虑如下函子：它把任意概形 \(T\)（在 \(B\) 上）映到结构层整体截面中单位元所成的群 \(\Gamma(T, \mathcal{O}_T^*)\)。这个函子由群代数空间 \[\mathbf{G}_{m, B} = B \times_S \mathbf{G}_{m, S}\] 表示；该空间取在 \(B\) 上。这里 \(\mathbf{G}_{m, S}\) 是 \(S\) 上的乘法群概形，见《群胚》例 022U。

例

设 \(B \to S\) 如第 043A 节所示。设 \(n \in \mathbf{N}\)。 考虑如下函子：它把任意概形 \(T\)（在 \(B\) 上）映到 \(\Gamma(T, \mathcal{O}_T^*)\) 中由 \(n\) 次单位根组成的子群。这个函子由 群代数空间 \[\mu_{n, B} = B \times_S \mu_{n, S}\] 表示；该空间取在 \(B\) 上。这里 \(\mu_{n, S}\) 是 \(n\) 次单位根群概形（在 \(S\) 上），见《群胚》例 040M。

例

设 \(B \to S\) 如第 043A 节所示。考虑如下函子：它把任意概形 \(T\)（在 \(B\) 上）映到结构层整体截面所成的群 \(\Gamma(T, \mathcal{O}_T)\)。这个函子由群代数空间 \[\mathbf{G}_{a, B} = B \times_S \mathbf{G}_{a, S}\] 表示；该空间取在 \(B\) 上。这里 \(\mathbf{G}_{a, S}\) 是 \(S\) 上的加法群概形，见《群胚》例 022V。

例

设 \(B \to S\) 如第 043A 节所示。设 \(n \geq 1\)。 考虑如下函子：它把任意概形 \(T\)（在 \(B\) 上）映到群 \[\text{GL}_n(\Gamma(T, \mathcal{O}_T))\] 即结构层整体截面上的可逆 \(n \times n\) 矩阵群。这个函子由群代数空间 \[\text{GL}_{n, B} = B \times_S \text{GL}_{n, S}\] 表示；该空间取在 \(B\) 上。这里

\(\mathbf{G}_{m, S}\) 是 \(S\) 上的一般线性群概形，见《群胚》例 022W。

例

设 \(B \to S\) 如第 043A 节所示。设 \(n \geq 1\)。 行列式定义群代数空间的态射 \[\det : \text{GL}_{n, B} \longrightarrow \mathbf{G}_{m, B}\] 这是 \(B\) 上的态射。它是《群胚》例 022X 中 \(S\) 上行列式态射的基变换。

例

设 \(B \to S\) 如第 043A 节所示。设 \(G\) 为抽象群。 考虑如下函子：它把任意概形 \(T\)（在 \(B\) 上）映到局部常值映射 \(T \to G\) 所成的群（这里 \(T\) 取 Zariski 拓扑，\(G\) 取离散拓扑）。 这个函子由群代数空间 \[G_B = B \times_S G_S\] 表示；该空间取在 \(B\) 上。这里 \(G_S\) 是《群胚》例 03YW 中引入的常值群概形。

群代数空间的作用

记号参见《群胚》第 022Y 节。

定义

设 \(B \to S\) 如第 043A 节所示。设 \((G, m)\) 为 \(B\) 上的 群代数空间。设 \(X\) 为 \(B\) 上的代数空间。

1. \(G\) 在代数空间 \(X/B\) 上的作用，是态射 \(a : G \times_B X \to X\)（在 \(B\) 上），它满足：对每个概形 \(T\)（在 \(B\) 上），映射 \(a : G(T) \times X(T) \to X(T)\) 定义一个 \(G(T)\)-集结构，其底层集合为 \(X(T)\)。

2. 假设 \(X\)、\(Y\) 是 \(B\) 上的代数空间，并且各自配备 \(G\) 的作用。 一个等变态射，更精确地说，一个\(G\)-等变态射 \(\psi : X \to Y\)，是 \(B\) 上代数空间的态射，它满足：对每个 \(T\)（在 \(B\) 上），映射 \(\psi : X(T) \to Y(T)\) 是 \(G(T)\)-集的态射。

在情形 (1) 中，这意味着图表 [043R]\[\begin{equation} \xymatrix{ G \times_B G \times_B X \ar[r]_-{1_G \times a} \ar[d]_{m \times 1_X} & G \times_B X \ar[d]^a \\ G \times_B X \ar[r]^a & X } \quad \xymatrix{ G \times_B X \ar[r]_-a & X \\ X\ar[u]^{e \times 1_X} \ar[ru]_{1_X} } \end{equation}\] 交换。在情形 (2) 中，这仅意味着图表 \[\xymatrix{ G \times_B X \ar[r]_-{\text{id} \times f} \ar[d]_a & G \times_B Y \ar[d]^a \\ X \ar[r]^f & Y }\] 交换。

定义

设 \(B \to S\)、\(G \to B\) 和 \(X \to B\) 如定义 043Q 所示。设 \(a : G \times_B X \to X\) 为 \(G\) 在 \(X/B\) 上的作用。如果对每个概形 \(T\)（在 \(B\) 上），作用 \(a : G(T) \times X(T) \to X(T)\) 都是群 \(G(T)\) 在集合 \(X(T)\) 上的自由作用，就称该作用自由。

引理

情形如定义 06P8 所示。

作用 \(a\) 自由，当且仅当 \[G \times_B X \to X \times_B X, \quad (g, x) \mapsto (a(g, x), x)\] 是代数空间的单态射。

证明

由定义立即得到。

主齐性空间

本节对应于《群胚》第 0497 节。我们建议先阅读该节。

定义

设 \(S\) 为概形。设 \(B\) 为 \(S\) 上的代数空间。设 \((G, m)\) 为 \(B\) 上的 群代数空间。设 \(X\) 为 \(B\) 上的代数空间，并设 \(a : G \times_B X \to X\) 为 \(G\) 在 \(X\) 上的作用。

1. 称 \(X\) 为一个伪 \(G\)-挠子，或称 \(X\) 在 \(G\) 作用下形式主齐性，如果诱导态射 \(G \times_B X \to X \times_B X\)， \((g, x) \mapsto (a(g, x), x)\) 是同构。

2. 一个伪 \(G\)-挠子 \(X\) 称为平凡的，如果存在

   一个 \(G\)-等变同构 \(G \to X\)（在 \(B\) 上），其中 \(G\) 通过左乘作用在 \(G\) 上。

显然，如果 \(B' \to B\) 是代数空间的态射，那么伪挠子的拉回 \(X_{B'}\)（原挠子为伪 \(G\)-挠子，取在 \(B\) 上）是伪 \(G_{B'}\)-挠子（取在 \(B'\) 上）。

引理

情形如定义 04TW 所示。

1. 代数空间 \(X\) 是伪 \(G\)-挠子，当且仅当对每个概形 \(T\)（在 \(B\) 上），集合 \(X(T)\) 或者为空，或者群 \(G(T)\) 在 \(X(T)\) 上的作用单传递。

2. 伪 \(G\)-挠子 \(X\) 平凡，当且仅当态射 \(X \to B\) 有截面。

证明

略。

定义

设 \(S\) 为概形。设 \(B\) 为 \(S\) 上的代数空间。设 \((G, m)\) 为 \(B\) 上的 群代数空间。设 \(X\) 为伪 \(G\)-挠子（在 \(B\) 上）。

1. 称 \(X\) 为一个主齐性空间，更精确地说，称它为一个 主齐性 \(G\)-空间（在 \(B\) 上），如果存在一个 fpqc 覆盖¹ \(\{B_i \to B\}_{i \in I}\)，使得每个 \(X_{B_i} \to B_i\) 都有截面 （即它是平凡的伪 \(G_{B_i}\)-挠子）。

2. 设 \(\tau \in \{Zariski, \etale, smooth, syntomic, fppf\}\)。 称 \(X\) 为一个\(G\)-挠子（取 \(\tau\) 拓扑），或称为一个 \(\tau\) \(G\)-挠子，或简称为一个\(\tau\)-挠子，如果存在 一个 \(\tau\) 覆盖 \(\{B_i \to B\}_{i \in I}\)，使得每个 \(X_{B_i} \to B_i\) 都有截面。

3. 如果 \(X\) 是主齐性 \(G\)-空间（在 \(B\) 上），并且它是 étale 拓扑中的挠子，就称它拟等平凡。

4. 如果 \(X\) 是主齐性 \(G\)-空间（在 \(B\) 上），并且它是 Zariski 拓扑中的挠子，就称它局部平凡。

我们有时说“设 \(X\) 为 \(G\)-主齐性空间（在 \(B\) 上）”，意思是说 \(X\) 是 \(B\) 上配备了 \(G\) 的一个作用的代数空间，并且这个作用使它成为 \(B\) 上的 主齐性空间。下面我们证明，在两种记号都适用时，它们相互一致。

引理

设 \(S\) 为概形。设 \((G, m)\) 为 \(S\) 上的群代数空间。设 \(X\) 为 \(S\) 上的代数空间，并设 \(a : G \times_S X \to X\) 为 \(G\) 在 \(X\) 上的 作用。那么，按定义 04TY， \(X\) 是 \(G\)-挠子（取 \(fppf\)-拓扑），当且仅当按《位点上的上同调》定义 03AH，\(X\) 是 \(G\)-挠子（在 \((\Sch/S)_{fppf}\) 上）。

证明

略。

引理

设 \(S\) 为概形。设 \(B\) 为 \(S\) 上的代数空间。设 \(G\) 为 \(B\) 上的群 代数空间。设 \(X\) 为伪 \(G\)-挠子（在 \(B\) 上）。假设

\(G\) 和 \(X\) 在 \(B\) 上局部有限型。

1. 如果 \(G \to B\) 非分歧，那么 \(X \to B\) 非分歧。

2. 如果 \(G \to B\) 局部拟有限，那么 \(X \to B\) 局部拟有限。

证明

(1) 的证明。由《空间的态射》引理 05W2，我们约化到 \(B\) 是域的 谱的情形。如果 \(X\) 为空，则结论成立。如果 \(X\) 非空，那么在扩大该域之后， 可以假设 \(X\) 有一个点。于是 \(G \cong X\)，结论成立。

(2) 的证明完全相同，只需使用《空间的态射》引理 0ABM。

等变拟凝聚层

请与《群胚》第 03LE 节比较。

定义

设 \(B \to S\) 如第 043A 节所示。设 \((G, m)\) 为 \(B\) 上的 群代数空间，并设 \(a : G \times_B X \to X\) 为 \(G\) 在代数空间 \(X\) 上的 作用，该空间取在 \(B\) 上。一个\(G\)-等变拟凝聚 \(\mathcal{O}_X\)-模，或简称一个等变拟凝聚 \(\mathcal{O}_X\)-模， 是一个偶 \((\mathcal{F}, \alpha)\)，其中 \(\mathcal{F}\) 是拟凝聚 \(\mathcal{O}_X\)-模，而 \(\alpha\) 是 \(\mathcal{O}_{G \times_B X}\)-模映射 \[\alpha : a^*\mathcal{F} \longrightarrow \text{pr}_1^*\mathcal{F}\] 这里 \(\text{pr}_1 : G \times_B X \to X\) 是投影，并且满足：

1. 图表 \[\xymatrix{ (1_G \times a)^*\text{pr}_2^*\mathcal{F} \ar[r]_-{\text{pr}_{12}^*\alpha} & \text{pr}_2^*\mathcal{F} \\ (1_G \times a)^*a^*\mathcal{F} \ar[u]^{(1_G \times a)^*\alpha} \ar@{=}[r] & (m \times 1_X)^*a^*\mathcal{F} \ar[u]_{(m \times 1_X)^*\alpha} }\]

   在 \(\mathcal{O}_{G \times_B G \times_B X}\)-模范畴中交换；

2. 拉回 \[(e \times 1_X)^*\alpha : \mathcal{F} \longrightarrow \mathcal{F}\] 是恒等映射。

解释可与式 (043R) 的有关图表比较。

注意，第一个图表的交换性保证 \((e \times 1_X)^*\alpha\) 是 \(\mathcal{F}\) 上的幂等算子；因此条件 (2) 恰好是说它为同构。

引理

设 \(B \to S\) 如第 043A 节所示。设 \(G\) 为 \(B\) 上的 群代数空间。设 \(f : X \to Y\) 为一个 \(G\)-等变态射，它连接两个在 \(B\) 上且配备 \(G\)-作用的代数空间。

拉回 \(f^*\) 由 \((\mathcal{F}, \alpha) \mapsto (f^*\mathcal{F}, (1_G \times f)^*\alpha)\) 给出，它定义一个从拟凝聚 \(G\)-等变层（在 \(Y\) 上）的范畴到拟凝聚 \(G\)-等变层（在 \(X\) 上）的范畴的函子。

证明

略。

代数空间中的群胚

记号参见《群胚》第 0230 节。

定义

设 \(B \to S\) 如第 043A 节所示。

1. 一个\(B\) 上代数空间中的群胚，是一个五元组 \((U, R, s, t, c)\)，其中 \(U\) 和 \(R\) 是 \(B\) 上的代数空间，而 \(s, t : R \to U\) 和 \(c : R \times_{s, U, t} R \to R\) 是 \(B\) 上 代数空间的态射，并具有如下性质：对每个概形 \(T\)（在 \(B\) 上），五元组 \[(U(T), R(T), s, t, c)\] 是群胚范畴。

2. 代数空间中的群胚的一个态射 \(f : (U, R, s, t, c) \to (U', R', s', t', c')\) （取在 \(B\) 上），由代数空间的态射 \(f : U \to U'\) 和 \(f : R \to R'\)（在 \(B\) 上）给出，并具有如下性质：对每个概形 \(T\)（在 \(B\) 上），这些映射 \(f\) 定义一个从群胚范畴 \((U(T), R(T), s, t, c)\) 到群胚范畴 \((U'(T), R'(T), s', t', c')\) 的函子。

设 \((U, R, s, t, c)\) 为代数空间中的群胚（在 \(B\) 上）。注意，存在唯一的 代数空间态射 \(e : U \to R\) 和 \(i : R \to R\)（在 \(B\) 上），使得对 每个概形 \(T\)（在 \(B\) 上），诱导映射

\(e : U(T) \to R(T)\) 是恒等，而

\(i : R(T) \to R(T)\) 是该群胚范畴的逆。七元组 \((U, R, s, t, c, e, i)\) 满足若干交换图表，它们分别对应于《群胚》第 0230 节的公理 (1)、(2)(a)、(2)(b)、(3)(a) 和 (3)(b)。反过来，给定具有这些性质的七元组，五元组 \((U, R, s, t, c)\) 就是代数空间中的群胚（在 \(B\) 上）。注意，\(i\) 是 同构，而 \(e\) 同时是 \(s\) 和 \(t\) 的截面。此外，对一个 \(B\) 上代数空间 中的群胚，我们记 \[j = (t, s) : R \longrightarrow U \times_B U\] 这与上面第 043B 节的约定相容。 我们有时说“设 \((U, R, s, t, c, e, i)\) 为代数空间中的群胚（在 \(B\) 上）”，以强调恒等态射和逆态射的存在。

引理

设 \(B \to S\) 如第 043A 节所示。给定代数空间中的 群胚 \((U, R, s, t, c)\)（在 \(B\) 上），态射 \(j : R \to U \times_B U\) 是预等价关系。

证明

略。这是一个很好的定义练习。

引理

设 \(B \to S\) 如第 043A 节所示。给定等价关系 \(j : R \to U \times_B U\)（在 \(B\) 上），存在唯一的方式将它扩充成 代数空间中的群胚 \((U, R, s, t, c)\)（在 \(B\) 上）。

证明

略。这是一个很好的定义练习。

引理

设 \(B \to S\) 如第 043A 节所示。设 \((U, R, s, t, c)\) 为代数空间中的群胚（在 \(B\) 上）。在交换图表 \[\xymatrix{ & U & \\ R \ar[d]_s \ar[ru]^t & R \times_{s, U, t} R \ar[l]^-{\text{pr}_0} \ar[d]^{\text{pr}_1} \ar[r]_-c & R \ar[d]^s \ar[lu]_t \\ U & R \ar[l]_t \ar[r]^s & U }\] 中，下方两个方块都是纤维积方块。此外，上方的三角形（实际上是方块）也是 笛卡尔的。

证明

略。这是一个关于定义以及代数几何中函子点观点的练习。

引理

设 \(B \to S\) 如第 043A 节所示。设 \((U, R, s, t, c, e, i)\) 为代数空间中的群胚（在 \(B\) 上）。图表 [04P3]\[\begin{equation} \xymatrix{ R \times_{t, U, t} R \ar@<1ex>[r]^-{\text{pr}_1} \ar@<-1ex>[r]_-{\text{pr}_0} \ar[d]_{\text{pr}_0 \times c \circ (i, 1)} & R \ar[r]^t \ar[d]^{\text{id}_R} & U \ar[d]^{\text{id}_U} \\ R \times_{s, U, t} R \ar@<1ex>[r]^-c \ar@<-1ex>[r]_-{\text{pr}_0} \ar[d]_{\text{pr}_1} & R \ar[r]^t \ar[d]^s & U \\ R \ar@<1ex>[r]^s \ar@<-1ex>[r]_t & U } \end{equation}\] 交换。上方两行通过给出的竖直映射彼此同构。左下方两个方块是笛卡尔的。

证明

图表的交换性由群胚的公理得到。注意，用群胚的语言说，左上方的竖直箭头把 具有相同目标的一对态射 \((\alpha, \beta)\) 映到一对态射 \((\alpha, \alpha^{-1} \circ \beta)\)。在任意群胚中，这定义了 \[\text{Arrows} \times_{t, \text{Ob}, t} \text{Arrows}\] 与 \[\text{Arrows} \times_{s, \text{Ob}, t} \text{Arrows}\] 之间的双射。因此得到引理的第二个断言。最后一个断言由引理 043Z 得到。

引理

设 \(B \to S\) 如第 043A 节所示。设 \((U, R, s, t, c)\) 为代数空间中的群胚（在 \(B\) 上）。设 \(B' \to B\) 为代数空间的态射。那么基变换 \(U' = B' \times_B U\)、 \(R' = B' \times_B R\)，连同基变换 \(s'\)、\(t'\)、\(c'\)（分别来自态射 \(s, t, c\)），构成代数空间中的群胚 \((U', R', s', t', c')\)（在 \(B'\) 上）； 并且这些投影确定代数空间中的群胚的一个态射 \[(U', R', s', t', c') \to (U, R, s, t, c)\] （取在 \(B\) 上）。

证明

略。提示： \(R' \times_{s', U', t'} R' = B' \times_B (R \times_{s, U, t} R)\)。

群胚上的拟凝聚层

请与《群胚》第 03LH 节比较。

定义

设 \(B \to S\) 如第 043A 节所示。设 \((U, R, s, t, c)\) 为代数空间中的群胚（在 \(B\) 上）。一个 群胚 \((U, R, s, t, c)\) 上的拟凝聚模，是一个偶 \((\mathcal{F}, \alpha)\)，其中 \(\mathcal{F}\) 是拟凝聚 \(\mathcal{O}_U\)-模，而 \(\alpha\) 是 \(\mathcal{O}_R\)-模映射 \[\alpha : t^*\mathcal{F} \longrightarrow s^*\mathcal{F}\] 并且满足：

1. 图表 \[\xymatrix{ & \text{pr}_1^*t^*\mathcal{F} \ar[r]_-{\text{pr}_1^*\alpha} & \text{pr}_1^*s^*\mathcal{F} \ar@{=}[rd] & \\ \text{pr}_0^*s^*\mathcal{F} \ar@{=}[ru] & & & c^*s^*\mathcal{F} \\ & \text{pr}_0^*t^*\mathcal{F} \ar[lu]^{\text{pr}_0^*\alpha} \ar@{=}[r] & c^*t^*\mathcal{F} \ar[ru]_{c^*\alpha} }\]

   在 \(\mathcal{O}_{R \times_{s, U, t} R}\)-模范畴中交换；

2. 拉回 \[e^*\alpha : \mathcal{F} \longrightarrow \mathcal{F}\] 是恒等映射。

请与引理 043Z 的交换图表比较。

第一个图表的交换性迫使算子 \(e^*\alpha\) 为幂等。因此第二个条件可以改述为 \(e^*\alpha\) 是同构。事实上，该条件蕴含 \(\alpha\) 是同构。

引理

设 \(B \to S\) 如第 043A 节所示。设 \((U, R, s, t, c)\) 为代数空间中的群胚（在 \(B\) 上）。如果 \((\mathcal{F}, \alpha)\) 是群胚 \((U, R, s, t, c)\) 上的拟凝聚模， 那么 \(\alpha\) 是同构。

证明

把定义 0441 中的交换图表沿态射 \((i, 1) : R \to R \times_{s, U, t} R\) 拉回。于是可见 \(i^*\alpha \circ \alpha = s^*e^*\alpha\)。沿态射 \((1, i)\) 拉回， 得到关系 \(\alpha \circ i^*\alpha = t^*e^*\alpha\)。由第二个假设，这些态射 是恒等态射。因此 \(i^*\alpha\) 是 \(\alpha\) 的逆。

引理

设 \(B \to S\) 如第 043A 节所示。考虑一个态射 \(f : (U, R, s, t, c) \to (U', R', s', t', c')\)，

它是代数空间中的群胚的态射（在 \(B\) 上）。

拉回 \(f^*\) 由 \[(\mathcal{F}, \alpha) \mapsto (f^*\mathcal{F}, f^*\alpha)\] 给出，并定义一个从群胚 \((U', R', s', t', c')\) 上的拟凝聚层范畴到群胚 \((U, R, s, t, c)\) 上的拟凝聚层范畴的函子。

证明

略。

引理

设 \(B \to S\) 如第 043A 节所示。考虑代数空间中的群胚的 一个态射 \(f : (U, R, s, t, c) \to (U', R', s', t', c')\)（在 \(B\) 上）。 假设：

1. \(f : U \to U'\) 拟紧且拟分离；

2. 方块 \[\xymatrix{ R \ar[d]_t \ar[r]_f & R' \ar[d]^{t'} \\ U \ar[r]^f & U' }\] 是笛卡尔的；

3. \(s'\) 和 \(t'\) 平坦。

前推 \(f_*\) 由 \[(\mathcal{F}, \alpha) \mapsto (f_*\mathcal{F}, f_*\alpha)\] 给出，并定义一个从群胚 \((U, R, s, t, c)\) 上的拟凝聚层范畴到群胚 \((U', R', s', t', c')\) 上的拟凝聚层范畴的函子；这个函子是引理 0442 所定义拉回的右伴随。

证明

由于 \(U \to U'\) 拟紧且拟分离，可知 \(f_*\) 把拟凝聚层变为拟凝聚层 （《空间的态射》引理 03M9）。 此外，由于方块 \[\vcenter{ \xymatrix{ R \ar[d]_t \ar[r]_f & R' \ar[d]^{t'} \\ U \ar[r]^f & U' } } \quad\text{和}\quad \vcenter{ \xymatrix{ R \ar[d]_s \ar[r]_f & R' \ar[d]^{s'} \\ U \ar[r]^f & U' } }\] 是笛卡尔的，得到 \((t')^*f_*\mathcal{F} = f_*t^*\mathcal{F}\) 和 \((s')^*f_*\mathcal{F} = f_*s^*\mathcal{F}\)，见《空间的上同调》引理 073K。因此，把 \(f_*\alpha\) 看作映射 \((t')^*f_*\mathcal{F} \to (s')^*f_*\mathcal{F}\) 是有意义的。 类似的论证表明 \(f_*\alpha\) 满足余圈条件。这个函子与拉回函子互为伴随， 因为环化空间上模的拉回与前推互为伴随。略去一些细节。

引理

设 \(B \to S\) 如第 043A 节所示。设 \((U, R, s, t, c)\) 为代数空间中的群胚（在 \(B\) 上）。群胚 \((U, R, s, t, c)\) 上的拟凝聚模范畴有余极限。

证明

设 \(i \mapsto (\mathcal{F}_i, \alpha_i)\) 为以范畴 \(\mathcal{I}\) 为 指标的图表。可以形成余极限 \(\mathcal{F} = \colim \mathcal{F}_i\)；它是 \(U\) 上的拟凝聚层，见 《空间的性质》引理 03M1。由于余极限与 拉回交换，可知 \(s^*\mathcal{F} = \colim s^*\mathcal{F}_i\)，类似地 \(t^*\mathcal{F} = \colim t^*\mathcal{F}_i\)。因此可以置 \(\alpha = \colim \alpha_i\)。我们略去如下断言的证明： \((\mathcal{F}, \alpha)\) 是拟凝聚模范畴中该图表的余极限，该范畴取在群胚 \((U, R, s, t, c)\) 上。

引理

设 \(B \to S\) 如第 043A 节所示。设 \((U, R, s, t, c)\) 为代数空间中的群胚（在 \(B\) 上）。如果 \(s\)、\(t\) 平坦，那么群胚 \((U, R, s, t, c)\) 上的拟凝聚模范畴是 Abel 范畴。

证明

设 \(\varphi : (\mathcal{F}, \alpha) \to (\mathcal{G}, \beta)\) 是 群胚 \((U, R, s, t, c)\) 上拟凝聚模的同态。由于 \(s\) 平坦，可知 \[0 \to s^*\Ker(\varphi) \to s^*\mathcal{F} \to s^*\mathcal{G} \to s^*\Coker(\varphi) \to 0\] 正合；沿 \(t\) 拉回时也一样。因此 \(\alpha\) 和 \(\beta\) 诱导同构 \(\kappa : t^*\Ker(\varphi) \to s^*\Ker(\varphi)\) 和 \(\lambda : t^*\Coker(\varphi) \to s^*\Coker(\varphi)\)，它们满足 余圈条件。于是直接验证可知 \((\Ker(\varphi), \kappa)\) 和 \((\Coker(\varphi), \lambda)\) 分别是拟凝聚模范畴中的核和余核，该范畴 取在群胚 \((U, R, s, t, c)\) 上。此外，由于等式 \(\Coim(\varphi) = \Im(\varphi)\) 在 \(U\) 上成立，所以这里也成立。

拟凝聚模的余极限

本节对应于《群胚》第 07TS 节。

引理

设 \(B \to S\) 如第 043A 节所示。设 \((U, R, s, t, c)\) 为代数空间中的群胚（在 \(B\) 上）。假设 \(s, t\) 平坦、 拟紧且拟分离。对任意拟凝聚模 \(\mathcal{G}\)（在 \(U\) 上），存在典范同构 \(\alpha : t^*s_*t^*\mathcal{G} \to s^*s_*t^*\mathcal{G}\)，它使 \((s_*t^*\mathcal{G}, \alpha)\) 成为群胚 \((U, R, s, t, c)\) 上的 拟凝聚模。这个构造定义函子 \[\QCoh(\mathcal{O}_U) \longrightarrow \QCoh(U, R, s, t, c)\] 它是遗忘函子 \((\mathcal{F}, \beta) \mapsto \mathcal{F}\) 的右伴随。

证明

沿拟紧拟分离态射前推拟凝聚模，所得仍为拟凝聚模，见《空间的态射》引理 03M9。因此 \(s_*t^*\mathcal{G}\) 是 拟凝聚的。使用引理 043Z 的记号，有 \[t^*s_*t^*\mathcal{G} = \text{pr}_{1, *}\text{pr}_0^*t^*\mathcal{G} = \text{pr}_{1, *}c^*t^*\mathcal{G} = s^*s_*t^*\mathcal{G}\] 中间的等号来自等式 \(t \circ c = t \circ \text{pr}_0\)，这是态射 \(R \times_{s, U, t} R \to U\) 的等式；第一个和最后一个等号来自这些步骤中 基变换与前推交换，见《空间的上同调》引理 073K。

为了验证定义 0441 中 \(\alpha\) 的余圈条件以及 伴随性质，我们用另一种方式描述构造 \(\mathcal{G} \mapsto (s_*t^*\mathcal{G}, \alpha)\)。考虑

代数空间中的群胚

\((R, R \times_{t, U, t} R, \text{pr}_0, \text{pr}_1, \text{pr}_{02})\)； 它来自等价关系 \(R \times_{t, U, t} R\)（定义在 \(R\) 上），见引理 043Y。存在态射 \[f : (R, R \times_{t, U, t} R, \text{pr}_1, \text{pr}_0, \text{pr}_{02}) \longrightarrow (U, R, s, t, c)\]

这是代数空间中的群胚的态射，由 \(s : R \to U\) 和映射 \(R \times_{t, U, t} R \to R\) 给出，后一个映射为 \((r_0, r_1) \mapsto r_0^{-1} \circ r_1\)；我们略去所需图表交换性的验证。 由于 \(t, s : R \to U\) 拟紧、拟分离且平坦，并且有笛卡尔方块 \[\xymatrix{ R \times_{t, U, t} R \ar[d]_{\text{pr}_0} \ar[rr]_-{(r_0, r_1) \mapsto r_0^{-1} \circ r_1} & & R \ar[d]^t \\ R \ar[rr]^s & & U }\] 由引理 0450 可知，引理 0GPM 适用于 \(f\)。因此，沿 \(f\) 前推和拉回拟凝聚模是互为伴随的函子。为了完成证明， 我们把这些函子与上面描述的函子等同起来。为此注意，函子 \[t^* : \QCoh(\mathcal{O}_U) \longrightarrow \QCoh(R, R \times_{t, U, t} R, \text{pr}_1, \text{pr}_0, \text{pr}_{02})\] 是等价，因为根据拟凝聚层的下降理论， \(\{t : R \to U\}\) 是 fpqc 覆盖；见《空间上的下降》命题 04W8。

沿 \(f\) 前推并预合成等价 \(t^*\)，把 \(\mathcal{G}\) 映到 \((s_*t^*\mathcal{G}, \alpha)\)；我们略去如下验证：以这种方式得到的同构 \(\alpha\) 与上面构造的同构相同。

沿 \(f\) 拉回并后合成等价 \(t^*\) 的逆，把 \((\mathcal{F}, \beta)\) 映到 相对于 \(\{t : R \to U\}\) 的下降；被下降的模为 \(s^*\mathcal{F}\)，配备 下降资料 \(\gamma\)；该资料定义在 \(R \times_{t, U, t} R\) 上，并且是 \(\beta\) 沿映射 \((r_0, r_1) \mapsto r_0^{-1} \circ r_1\) 的拉回。考虑同构 \(\beta : t^*\mathcal{F} \to s^*\mathcal{F}\)。\(t^*\mathcal{F}\) 上相对于 \(\{t : R \to U\}\) 的典范下降资料（《空间上的下降》 定义 04W5） 经由 \(\beta\) 变成映射 \[\text{pr}_0^*s^*\mathcal{F} \xrightarrow{\text{pr}_0^*\beta^{-1}} \text{pr}_0^*t^*\mathcal{F} \xrightarrow{can} \text{pr}_1^*t^*\mathcal{F} \xrightarrow{\text{pr}_1^*\beta} \text{pr}_1^*s^*\mathcal{F}\] 由于 \(\beta\) 满足余圈条件，这等于 \(\beta\) 沿映射 \((r_0, r_1) \mapsto r_0^{-1} \circ r_1\) 的拉回。为说明这一点，取定义 0441 中实际的余圈关系，并沿态射 \((\text{pr}_0, c \circ (i, 1)) : R \times_{t, U, t} R \to R \times_{s, U, t} R\) 将它拉回；该态射也出现在引理 0450 的交换图表中。 由此可知 \((s^*\mathcal{F}, \gamma)\) 同构于 \((t^*\mathcal{F}, can)\)。综上，沿 \(f\) 拉回并后合成等价 \(t^*\) 的逆所得的 函子，同构于遗忘函子 \((\mathcal{F}, \beta) \mapsto \mathcal{F}\)。

注

在引理 0GPP 的情形下，记 \[F : \QCoh(U, R, s, t, c) \to \QCoh(\mathcal{O}_U),\quad (\mathcal{F}, \beta) \mapsto \mathcal{F}\] 为遗忘函子，并记 \[G : \QCoh(\mathcal{O}_U) \to \QCoh(U, R, s, t, c),\quad \mathcal{G} \mapsto (s_*t^*\mathcal{G}, \alpha)\] 为引理中构造的右伴随。那么，该伴随的单位 \(\eta : \text{id} \to G \circ F\) 在 \((\mathcal{F}, \beta)\) 上的取值由 映射 \[\mathcal{F} \to s_*s^*\mathcal{F} \xrightarrow{\beta^{-1}} s_*t^*\mathcal{F}\] 给出。我们略去验证。

引理

设 \(S\) 为概形。设 \(f : Y \to X\) 为 \(S\) 上代数空间的态射。设 \(\mathcal{F}\) 为拟凝聚 \(\mathcal{O}_X\)-模，设 \(\mathcal{G}\) 为拟凝聚 \(\mathcal{O}_Y\)-模，并设 \(\varphi : \mathcal{G} \to f^*\mathcal{F}\) 为模映射。假设：

1. \(\varphi\) 是单射；

2. \(f\) 拟紧、拟分离、平坦且满；

3. \(X\)、\(Y\) 局部 Noether；

4. \(\mathcal{G}\) 是凝聚 \(\mathcal{O}_Y\)-模。

那么 \(\mathcal{F} \cap f_*\mathcal{G}\) 由拉回 \[\xymatrix{ \mathcal{F} \ar[r] & f_*f^*\mathcal{F} \\ \mathcal{F} \cap f_*\mathcal{G} \ar[u] \ar[r] & f_*\mathcal{G} \ar[u] }\] 定义，并且它是凝聚 \(\mathcal{O}_X\)-模。

证明

我们将自由使用《空间的上同调》引理 07UB 对凝聚模的刻画，以及 凝聚模构成 \(\QCoh(\mathcal{O}_X)\) 的 Serre 子范畴这一事实；见 《空间的上同调》引理 07UD。 如果 \(f\) 有截面 \(\sigma\)，那么可见 \(\mathcal{F} \cap f_*\mathcal{G}\) 包含在 \(\sigma^*\mathcal{G} \to \sigma^*f^*\mathcal{F} = \mathcal{F}\) 的像中，因而是凝聚的。一般地，为证明 \(\mathcal{F} \cap f_*\mathcal{G}\) 凝聚，

只需证明 \(f^*(\mathcal{F} \cap f_*\mathcal{G})\) 凝聚（见 《空间上的下降》引理 060U）。 由于 \(f\) 平坦，这等于 \(f^*\mathcal{F} \cap f^*f_*\mathcal{G}\)。由于 \(f\) 平坦、拟紧且拟分离， 可知 \(f^*f_*\mathcal{G} = p_*q^*\mathcal{G}\)，其中 \(p, q : Y \times_X Y \to Y\) 是投影；见《空间的上同调》引理 073K。由于 \(p\) 有截面，结论成立。

设 \(B \to S\) 如第 043A 节所示。设 \((U, R, s, t, c)\) 为代数空间中的群胚（在 \(B\) 上）。假设 \(U\) 局部 Noether。在下面的引理中，如果拟凝聚层 \((\mathcal{F}, \alpha)\)（定义在群胚 \((U, R, s, t, c)\) 上）满足 \(\mathcal{F}\) 是凝聚 \(\mathcal{O}_U\)-模，就称它凝聚。

引理

设 \(B \to S\) 如第 043A 节所示。设 \((U, R, s, t, c)\) 为代数空间中的群胚（在 \(B\) 上）。假设：

1. \(U\)、\(R\) 是 Noether 的；

2. \(s, t\) 平坦、拟紧且拟分离。

那么每个拟凝聚模 \((\mathcal{F}, \alpha)\)（定义在群胚 \((U, R, s, t, c)\) 上）都是凝聚模的滤过余极限。

证明

我们将使用《空间的上同调》引理 07UB 对局部 Noether 代数空间上凝聚模的刻画，而不再提及。可以把 \(\mathcal{F} = \colim \mathcal{H}_i\) 写成凝聚子模 \(\mathcal{H}_i \subset \mathcal{F}\) 的滤过余极限，见《空间的上同调》 引理 07UV。给定拟凝聚层 \(\mathcal{H}\)（在 \(U\) 上），记 \((s_*t^*\mathcal{H}, \alpha)\) 为引理 0GPP 所给出的群胚 \((U, R, s, t, c)\) 上的拟凝聚层。考虑伴随映射 \((\mathcal{F}, \beta) \to (s_*t^*\mathcal{F}, \alpha)\)（在 \(\QCoh(U, R, s, t, c)\) 中），见注 0GPQ。置 \[(\mathcal{F}_i, \beta_i) = (\mathcal{F}, \beta) \times_{(s_*t^*\mathcal{F}, \alpha)} (s_*t^*\mathcal{H}_i, \alpha)\] 于 \(\QCoh(U, R, s, t, c)\) 中。由引理 06VZ 的证明， 限制到 \(U\) 在 \(\QCoh(U, R, s, t, c)\) 上是正合函子，因此得到拉回图表 \[\xymatrix{ \mathcal{F} \ar[r] & s_*t^*\mathcal{F} \\ \mathcal{F}_i \ar[r] \ar[u] & s_*t^*\mathcal{H}_i \ar[u] }\] 换言之，\(\mathcal{F}_i = \mathcal{F} \cap s_*t^*\mathcal{H}_i\)。 根据注 0GPQ 中伴随映射的描述，该图表同构于图表 \[\xymatrix{ \mathcal{F} \ar[r] & s_*s^*\mathcal{F} \\ \mathcal{F}_i \ar[r] \ar[u] & s_*t^*\mathcal{H}_i \ar[u] }\] 其中右侧竖直箭头是把 \(s_*\) 施于映射 \[t^*\mathcal{H}_i \to t^*\mathcal{F} \xrightarrow{\beta} s^*\mathcal{F}\] 所得的结果。该箭头是单射，因为 \(t\) 是平坦态射。由引理 0GPR 可知 \(\mathcal{F}_i\) 凝聚。最后，因为 \(s\) 拟紧且 拟分离，可知 \(s_*\) 与余极限交换（见《概形的上同调》引理 07TB）。因此 \(s_*t^*\mathcal{F} = \colim s_*t^*\mathcal{H}_i\)，从而如期有 \((\mathcal{F}, \beta) = \colim (\mathcal{F}_i, \beta_i)\)。

拟凝聚层中的晶体

设 \((I, \Phi, j)\) 由集合 \(I\) 和预关系 \(j : \Phi \to I \times I\) 组成。假设对每个 \(i \in I\) 给定概形 \(X_i\)， 并对每个 \(\phi \in \Phi\) 给定概形态射 \(f_\phi : X_{i'} \to X_i\)，其中 \(j(\phi) = (i, i')\)。置 \(X = (\{X_i\}_{i \in I}, \{f_\phi\}_{\phi \in \Phi})\)。 所谓 \(X\) 上拟凝聚模的晶体，是指如下规则：它对每个

\(i \in \Ob(\mathcal{I})\) 指定拟凝聚层 \(\mathcal{F}_i\)（在 \(X_i\) 上）， 并对每个 \(\phi \in \Phi\)（满足 \(j(\phi) = (i, i')\)）指定拟凝聚层同构 \[\alpha_\phi : f_\phi^*\mathcal{F}_i \longrightarrow \mathcal{F}_{i'}\] （定义在 \(X_{i'}\) 上）。 这些拟凝聚模晶体构成加性范畴 \(\textit{CQC}(X)\)²。 这个范畴有余极限（证明与引理 077X 的证明相同）。 如果所有态射 \(f_\phi\) 都平坦，那么 \(\textit{CQC}(X)\) 是 Abel 范畴 （证明与引理 06VZ 的证明相同）。设 \(\kappa\) 为基数。 称拟凝聚模晶体 \(\mathcal{F}\)（在 \(X\) 上）是\(\kappa\)-生成的， 如果它的每个 \(\mathcal{F}_i\) 都是 \(\kappa\)-生成的（见《性质》定义 077L）。

引理

在上述情形中，如果所有态射 \(f_\phi\) 都平坦，那么存在基数 \(\kappa\)， 使得每个对象 \((\{\mathcal{F}_i\}_{i \in I}, \{\alpha_\phi\}_{\phi \in \Phi})\) （属于 \(\textit{CQC}(X)\)） 都是其 \(\kappa\)-生成子模的有向余极限。

证明

在本引理及其证明中， \((\{\mathcal{F}_i\}_{i \in I}, \{\alpha_\phi\}_{\phi \in \Phi})\) 的子模，是指给定拟凝聚子模 \(\mathcal{G}_i \subset \mathcal{F}_i\)（对所有 \(i\)），使得 \(\alpha_\phi(f_\phi^*\mathcal{G}_i) = \mathcal{G}_{i'}\) 作为 \(\mathcal{F}_{i'}\) 的子层，并且这对所有 \(\phi \in \Phi\) 成立。 这个定义有意义，因为 \(f_\phi\) 平坦时， 拉回 \(f^*_\phi\) 是正合的，也就是说它保持子层。

本证明是《性质》引理 077N 的证明的一个变体。 建议读者先阅读该证明。

我们声称，只需在所有概形 \(X_i\) 都仿射的情形下证明本引理。为说明这一点，令 \[J = \coprod\nolimits_{i \in I} \{U \subset X_i\text{ 为仿射开集}\}\] 并令

\[\begin{align*} \Psi = & \coprod\nolimits_{\phi \in \Phi} \{ (U, V) \mid U \subset X_i, V \subset X_{i'}\text{ 为仿射开集且 } f_\phi(U) \subset V \} \\ & \amalg \coprod\nolimits_{i \in I} \{ (U, U') \mid U, U' \subset X_i\text{ 为仿射开集且 } U \subset U' \}. \end{align*}\] 给它配备显然的映射 \(\Psi \to J \times J\)。于是我们的 \((\mathcal{F}, \alpha)\) 诱导拟凝聚层晶体 \((\{\mathcal{H}_j\}_{j \in J}, \{\beta_\psi\}_{\psi \in \Psi})\) （在 \(Y = (J, \Psi)\) 上）：置 \(\mathcal{H}_{(i, U)} = \mathcal{F}_i|_U\)（对 \((i, U) \in J\)），并置 \(\beta_\psi\)（对 \(\psi \in \Psi\)）如下：

它等于 \(\alpha_\phi\) 在 \(U\) 上的限制（若 \(\psi = (\phi, U, V)\)），并等于 \(\text{id} : (\mathcal{F}_i|_{U'})|_U \to \mathcal{F}_i|_U\) （当 \(\psi = (i, U, U')\)）。此外， \((\{\mathcal{H}_j\}_{j \in J}, \{\beta_\psi\}_{\psi \in \Psi})\) 的子模按 \(1\) 对 \(1\) 地对应于 \((\{\mathcal{F}_i\}_{i \in I}, \{\alpha_\phi\}_{\phi \in \Phi})\) 的子模。我们略去证明（提示：使用《层》第 009H 节）。此外，显然，如果 \(\kappa\) 对 \(Y\) 可行， 那么同一个 \(\kappa\) 对 \(X\) 也可行（由 \(\kappa\)-生成模的定义）。

因此，只需对 \(Y\) 上拟凝聚层晶体证明本引理。

假设所有概形 \(X_i\) 都仿射。取无限基数 \(\kappa\)，使其大于 \(I\) 或 \(\Phi\) 的基数。设 \((\{\mathcal{F}_i\}_{i \in I}, \{\alpha_\phi\}_{\phi \in \Phi})\) 为 \(\textit{CQC}(X)\) 的对象。对每个 \(i\) 写成 \(X_i = \Spec(A_i)\) 和 \(M_i = \Gamma(X_i, \mathcal{F}_i)\)。 对每个 \(\phi \in \Phi\)（满足 \(j(\phi) = (i, i')\)），映射 \(\alpha_\phi\) 转化为 \(A_{i'}\)-模同构 \[\alpha_\phi : M_i \otimes_{A_i} A_{i'} \longrightarrow M_{i'}\] 利用选择公理，选取规则

\[(\phi, m) \longmapsto S(\phi, m')\] 其中源是满足如下条件的偶 \((\phi, m')\) 的集合： \(\phi \in \Phi\)、\(j(\phi) = (i, i')\) 且 \(m' \in M_{i'}\)；其输出是 有限子集 \(S(\phi, m') \subset M_i\)，使得 \[m' = \alpha_\phi\left(\sum\nolimits_{m \in S(\phi, m')} m \otimes a'_m\right)\] 对某些 \(a'_m \in A_{i'}\) 成立。

作出这些选择后，我们声称，任意 \(\mathcal{F}_i\) 在任意 \(X_i\) 上的任意 截面都属于某个 \(\kappa\)-生成子模。为说明这一点，假设给定子集族 \(\mathcal{S} = \{S_i\}_{i \in I}\)，其中每个 \(S_i \subset M_i\) 的基数至多为 \(\kappa\)。定义新子集族 \(\mathcal{S}' = \{S'_i\}_{i \in I}\)，其中 \[S'_i = S_i \cup \bigcup\nolimits_{(\phi, m'),\ j(\phi) = (i, i'),\ m' \in S_{i'}} S(\phi, m')\] 注意每个 \(S'_i\) 的基数仍至多为 \(\kappa\)。置 \(\mathcal{S}^{(0)} = \mathcal{S}\)、\(\mathcal{S}^{(1)} = \mathcal{S}'\)， 并递归地置 \(\mathcal{S}^{(n + 1)} = (\mathcal{S}^{(n)})'\)。再置 \(S_i^{(\infty)} = \bigcup_{n \geq 0} S_i^{(n)}\) 和 \(\mathcal{S}^{(\infty)} = \{S_i^{(\infty)}\}_{i \in I}\)。 根据构造，对每个 \(\phi \in \Phi\)（满足 \(j(\phi) = (i, i')\)）及每个 \(m' \in S^{(\infty)}_{i'}\)，都能把 \(m'\) 写成像 \(\alpha_\phi(m \otimes 1)\) 的有限线性组合，其中 \(m \in S_i^{(\infty)}\)。因此，令 \(N_i\) 为 \(A_i\)-子模；它是在 \(M_i\) 中由 \(S_i^{(\infty)}\) 生成的。则相应的拟凝聚子模

\(\widetilde{N_i} \subset \mathcal{F}_i\) 构成一个 \(\kappa\)-生成子模。 这就完成了证明。

引理

设 \(B \to S\) 如第 043A 节所示。设 \((U, R, s, t, c)\) 为代数空间中的群胚（在 \(B\) 上）。如果 \(s\)、\(t\) 平坦，那么存在集合 \(T\) 和一族对象 \((\mathcal{F}_t, \alpha_t)_{t \in T}\)（属于 \(\QCoh(U, R, s, t, c)\)），使得每个对象 \((\mathcal{F}, \alpha)\) 都是其如下子模的有向余极限：这些子模同构于 对象 \((\mathcal{F}_t, \alpha_t)\) 中的某一个。

证明

本引理推广了《群胚》引理 077U； 后者处理概形中的群胚情形。我们不能直接使用同一个论证，因此使用上面发展的 “拟凝聚层晶体”材料。

选取概形 \(W\) 和满 étale 态射 \(W \to U\)。选取概形 \(V\) 和满 étale 态射 \(V \to W \times_{U, s} R\)。选取概形 \(V'\) 和满 étale 态射 \(V' \to R \times_{t, U} W\)。考虑概形族 \[I = \{W, W \times_U W, V, V', V \times_R V'\}\] 以及概形态射集 \[\Phi = \{\text{pr}_i : W \times_U W \to W, V \to W, V' \to W, V \times_R V' \to V, V \times_R V' \to V'\}\] 置 \(X = (I, \Phi)\)。回忆我们已定义了范畴 \(\textit{CQC}(X)\)，即 \(X\) 上拟凝聚层晶体的范畴。存在函子 \[\QCoh(U, R, s, t, c) \longrightarrow \textit{CQC}(X)\] 该函子把 \((\mathcal{F}, \alpha)\) 分别映到：层 \(\mathcal{F}|_W\)（在 \(W\) 上）；层 \(\mathcal{F}|_{W \times_U W}\)（在 \(W \times_U W\) 上）； \(\mathcal{F}\) 经由 \(V \to W \times_{U, s} R \to W \to U\) 的拉回（在 \(V\) 上）；\(\mathcal{F}\) 经由 \(V' \to R \times_{t, U} W \to W \to U\) 的拉回（在 \(V'\) 上）； 最后是 \(\mathcal{F}\) 经由 \(V \times_R V' \to V \to W \times_{U, s} R \to W \to U\) 的拉回（在 \(V \times_R V'\) 上）。比较映射 \(\{\alpha_\phi\}_{\phi \in \Phi}\) 除一个以外都取显然的映射 （来自拉回的结合性）；对映射 \(\phi = \text{pr}_{V'} : V \times_R V' \to V'\)，则使用 \(\alpha : t^*\mathcal{F} \to s^*\mathcal{F}\) 在 \(V \times_R V'\) 上的拉回。下列交换图表说明这个定义有意义： \[\xymatrix{ & V \times_R V' \ar[ld] \ar[rd] \\ V \ar[rd] \ar[dd] & & V' \ar[ld] \ar[dd] \\ & R \ar@<-1ex>[dd]_s \ar@<1ex>[dd]^t \\ W \ar[rd] & & W \ar[ld] \\ & U }\] 上面显示的函子不是范畴等价。不过，因为 \(W \to U\) 是满 étale 态射，它是忠实的³。 由于上图中的所有态射都平坦，可见它是 Abel 范畴间的正合函子。此外，我们声称，

给定 \((\mathcal{F}, \alpha)\)，其像为 \((\{\mathcal{F}_i\}_{i \in I}, \{\alpha_\phi\}_{\phi \in \Phi})\)， 则存在 \(1\) 对 \(1\) 的对应：\((\mathcal{F}, \alpha)\) 的拟凝聚子模与 \((\{\mathcal{F}_i\}_{i \in I}, \{\alpha_\phi\}_{\phi \in \Phi})\) 的子模相对应。具体而言，给定 \((\{\mathcal{F}_i\}_{i \in I}, \{\alpha_\phi\}_{\phi \in \Phi})\) 的子模，它在 \(W\) 上的部分与投影映射 \(W \times_U W \to W\) 相容，这保证该子模来自 \(\mathcal{F}\) 的一个 拟凝聚子模（由《空间的性质》命题 03M3）；它与 \(\alpha_{\text{pr}_{V'}}\) 相容，这保证该子层与 \(\alpha\) 相容 （细节略）。

选取基数 \(\kappa\)，如引理 077Z 对系统 \(X = (I, \Phi)\) 所给。 由《性质》引理 077M 可直接看出， \(\kappa\)-生成的拟凝聚层晶体（在 \(X\) 上）的同构类构成一个集合。因此结论显然。

群胚与群空间

请与《群胚》第 03LK 节比较。

引理

设 \(B \to S\) 如第 043A 节所示。设 \((G, m)\) 为 \(B\) 上的群代数空间，其单位元为 \(e_G\)、逆元为 \(i_G\)。设 \(X\) 为 \(B\) 上的代数空间，并设 \(a : G \times_B X \to X\) 为 \(G\) 在 \(X\) 上的作用（在 \(B\) 上）。那么按如下方式得到代数空间中的群胚 \((U, R, s, t, c, e, i)\)（在 \(B\) 上）：

1. 置 \(U = X\) 和 \(R = G \times_B X\)。

2. 置 \(s : R \to U\) 等于 \((g, x) \mapsto x\)。

3. 置 \(t : R \to U\) 等于 \((g, x) \mapsto a(g, x)\)。

4. 置 \(c : R \times_{s, U, t} R \to R\) 等于 \(((g, x), (g', x')) \mapsto (m(g, g'), x')\)。

5. 置 \(e : U \to R\) 等于 \(x \mapsto (e_G(x), x)\)。

6. 置 \(i : R \to R\) 等于 \((g, x) \mapsto (i_G(g), a(g, x))\)。

证明

略。提示：只需在集合层次证明上述构造可行。为此，使用引理上方的描述： \(g\) 是从 \(v\) 到 \(a(g, v)\) 的箭头。

引理

设 \(B \to S\) 如第 043A 节所示。设 \((G, m)\) 为 \(B\) 上的群代数空间。设 \(X\) 为 \(B\) 上的代数空间，并设 \(a : G \times_B X \to X\) 为 \(G\) 在 \(X\) 上的作用（在 \(B\) 上）。设 \((U, R, s, t, c)\) 为引理 0444 中构造的 代数空间中的群胚。规则 \((\mathcal{F}, \alpha) \mapsto (\mathcal{F}, \alpha)\) 给出如下两个 范畴之间的等价：\(G\)-等变 \(\mathcal{O}_X\)-模的范畴，与群胚 \((U, R, s, t, c)\) 上拟凝聚模的范畴。

证明

该断言有意义，因为 \(t = a\) 且 \(s = \text{pr}_1\)（作为态射 \(R = G \times_B X \to X\)）；见定义 043T 和 0441。利用引理 0444 中的转译，两个定义中的交换性要求 恰好相符。

稳定子群代数空间

请与《群胚》第 03LM 节比较。给定代数空间中的群胚， 可如下得到一个群代数空间。

引理

设 \(B \to S\) 如第 043A 节所示。设 \((U, R, s, t, c)\) 为代数空间中的群胚（在 \(B\) 上）。代数空间 \(G\) 由笛卡儿方块 \[\xymatrix{ G \ar[r] \ar[d] & R \ar[d]^{j = (t, s)} \\ U \ar[r]^-{\Delta} & U \times_B U }\] 定义。它是 \(U\) 上的群代数空间，其复合法则 \(m\) 由复合法则 \(c\) 诱导。

证明

这是因为，在群胚范畴中，任一对象的自映射集构成一个群。

由于 \(\Delta\) 是单态射，可知 \(G = j^{-1}(\Delta_{U/B})\) 是 \(R\) 的子层。 按这种方式看它时，结构态射 \(G = j^{-1}(\Delta_{U/B}) \to U\) 由 \(s\) 或 \(t\) 诱导（两者相同），而 \(m\) 由 \(c\) 诱导。

定义

设 \(B \to S\) 如第 043A 节所示。设 \((U, R, s, t, c)\) 为代数空间中的群胚（在 \(B\) 上）。群代数空间 \(j^{-1}(\Delta_{U/B}) \to U\) 称为emph代数空间中的群胚 \((U, R, s, t, c)\) 的稳定子。

文献中常用 \(S\) 表示稳定子群代数空间（推测是因为 stabilizer 一词以 “s” 开头）；我们不能这样做，因为已经用 \(S\) 表示基概形。

引理

设 \(B \to S\) 如第 043A 节所示。设 \((U, R, s, t, c)\) 为代数空间中的群胚（在 \(B\) 上），并设 \(G/U\) 为其稳定子。 用 \(R_t/U\) 表示代数空间 \(R\)；它被看作 \(U\) 上的代数空间，其结构态射为 \(t : R \to U\)。存在典范左作用 \[a : G \times_U R_t \longrightarrow R_t\] 它由复合法则 \(c\) 诱导。

证明

用 \(T/B\) 上的点表示时，定义 \(a(g, r) = c(g, r)\)。

限制群胚

记号请参见《群胚》第 02VA 节。

引理

设 \(B \to S\) 如第 043A 节所示。设 \((U, R, s, t, c)\) 为代数空间中的群胚（在 \(B\) 上）。设 \(g : U' \to U\) 为代数空间的态射。考虑图表 \[\xymatrix{ R' \ar[d] \ar[r] \ar@/_3pc/[dd]_{t'} \ar@/^1pc/[rr]^{s'}& R \times_{s, U} U' \ar[r] \ar[d] & U' \ar[d]^g \\ U' \times_{U, t} R \ar[d] \ar[r] & R \ar[r]^s \ar[d]_t & U \\ U' \ar[r]^g & U }\] 其中所有方块都是纤维积方块。那么存在典范复合法则 \(c' : R' \times_{s', U', t'} R' \to R'\)，使得 \((U', R', s', t', c')\) 是代数空间中的群胚（在 \(B\) 上），并且 \(U' \to U\)、\(R' \to R\) 定义代数空间中的群胚的态射 \((U', R', s', t', c') \to (U, R, s, t, c)\)（在 \(B\) 上）。此外，对 任意概形 \(T\)（在 \(B\) 上），群胚函子 \[(U'(T), R'(T), s', t', c') \to (U(T), R(T), s, t, c)\] 是 \((U(T), R(T), s, t, c)\) 经映射 \(U'(T) \to U(T)\) 所作的限制 （见《群胚》第 02VA 节）。

证明

略。

定义

设 \(B \to S\) 如第 043A 节所示。设 \((U, R, s, t, c)\) 为代数空间中的群胚（在 \(B\) 上）。设 \(g : U' \to U\) 为 \(B\) 上代数空间的态射。引理 044B 中构造的代数空间中的群胚的态射 \((U', R', s', t', c') \to (U, R, s, t, c)\) 称为 \((U, R, s, t, c)\) 到 \(U'\) 的限制。

在这种情形下，有时使用记号 \(R' = R|_{U'}\)。

引理

定义 044C 和 043E 中所定义的限制群胚与限制（预）等价关系的概念， 通过引理 043X 和 043Y 的构造相符。

证明

这里所说的是，引理 044B 中的 \(R'\) 也等于 \[R' = (U' \times_B U')\times_{U \times_B U} R \longrightarrow U' \times_B U'\] 事实上，这也许是陈述该引理的一种更清楚的方式。

不变子空间

本节简要讨论不变子空间的概念。

定义

设 \(B \to S\) 如第 043A 节所示。设 \((U, R, s, t, c)\) 为代数空间中的群胚（在基底 \(B\) 上）。

1. 称开子空间 \(W \subset U\) 是\(R\)-不变的，如果 \(t(s^{-1}(W)) \subset W\)。

2. 若局部闭子空间 \(Z \subset U\) 作为 \(R\) 的局部闭子空间满足 \(t^{-1}(Z) = s^{-1}(Z)\)，则称它是\(R\)-不变的。

3. 若代数空间的单态射 \(T \to U\) 作为 \(R\) 上的代数空间满足 \(T \times_{U, t} R = R \times_{s, U} T\)，则称它是\(R\)-不变的。

对于开子空间 \(W \subset U\)，\(R\)-不变性也等价于要求 \(s^{-1}(W) = t^{-1}(W)\)。如果 \(W \subset U\) 是 \(R\)-不变的，那么 \(R\) 到 \(W\) 的限制就是 \(R_W = s^{-1}(W) = t^{-1}(W)\)。类似地，如果 \(Z \subset U\) 是 \(R\)-不变局部闭子空间，那么 \(R\) 到 \(Z\) 的限制就是 \(R_Z = s^{-1}(Z) = t^{-1}(Z)\)。

引理

设 \(B \to S\) 如第 043A 节所示。设 \((U, R, s, t, c)\) 为代数空间中的群胚（在 \(B\) 上）。

1. 如果 \(s\) 和 \(t\) 都是开态射，那么对每个开集 \(W \subset U\)，开集 \(s(t^{-1}(W))\) 是 \(R\)-不变的。

2. 如果 \(s\) 和 \(t\) 都开且拟紧，那么 \(U\) 有一个开覆盖，其成员都是 \(R\)-不变拟紧开子空间。

证明

假设 \(s\) 和 \(t\) 都开，且 \(W \subset U\) 开。由于 \(s\) 开，可知 \(W' = s(t^{-1}(W))\) 是 \(U\) 的开子空间。

从函子观点很容易看出这是 \(R\)-不变开子集（在 \(U\) 中）；不过，我们认为直接使用一些 图表来论证颇有启发性。注意 \(t^{-1}(W')\) 是态射 \[A := t^{-1}(W) \times_{s|_{t^{-1}(W)}, U, t} R \xrightarrow{\text{pr}_1} R\] 的像，而 \(s^{-1}(W')\) 是态射 \[B := R \times_{s, U, s|_{t^{-1}(W)}} t^{-1}(W) \xrightarrow{\text{pr}_0} R.\] 上述箭头左侧的代数空间 \(A\)、\(B\) 分别是 \(R \times_{s, U, t} R\) 和 \(R \times_{s, U, s} R\) 的开子空间。由引理 043Z，图表 \[\xymatrix{ R \times_{s, U, t} R \ar[rd]_{\text{pr}_1} \ar[rr]_{(\text{pr}_1, c)} & & R \times_{s, U, s} R \ar[ld]^{\text{pr}_0} \\ & R & }\] 交换，且水平箭头是同构。此外，显然 \((\text{pr}_1, c)(A) = B\)。因此得到 \(s^{-1}(W') = t^{-1}(W')\)，并且 \(W'\) 是 \(R\)-不变的。这证明了 (1)。

现在假设 \(s\)、\(t\) 都开且拟紧。那么，如果 \(W \subset U\) 是拟紧开集， \(W' = s(t^{-1}(W))\) 也是拟紧开集，并且由上面的讨论可知它不变。让 \(W\) 遍历所有 étale 于 \(U\) 的仿射概形的像，便得到 (2)。

商层

设 \(S\) 为概形，\(B\) 为 \(S\) 上的代数空间。设 \(j : R \to U \times_B U\) 为 \(B\) 上的预关系。对每个概形 \(S'\)（在 \(S\) 上）， 可以取等价关系 \(\sim_{S'}\)，它由 \(j(S') : R(S') \to U(S') \times U(S')\) 的像生成。于是得到预层 [044I]\[\begin{equation} \begin{matrix} (\Sch/S)^{opp}_{fppf} & \longrightarrow & \textit{Sets}, \\ S' & \longmapsto & U(S')/\sim_{S'} \end{matrix} \end{equation}\] 注意，因为 \(j\) 是 \(B\) 上代数空间的态射，且取值于 \(U \times_B U\)， 所以存在从预层（044I）到 \(B\) 的预层的典范变换。

定义

设 \(B \to S\) 以及预关系 \(j : R \to U \times_B U\) 如上。在此情形下， 商层 \(U/R\)（与 \(j\) 相伴）是预层 （044I）在 \((\Sch/S)_{fppf}\) 上的层化。如果 \(j : R \to U \times_B U\) 来自群代数空间 \(G\)（在 \(B\) 上）对 \(U\) 的作用， 如引理 0444 所述，那么把商层记为 \(U/G\)。

这恰好意味着图表 \[\xymatrix{ R \ar@<1ex>[r] \ar@<-1ex>[r] & U \ar[r] & U/R }\] 是 \((\Sch/S)_{fppf}\) 上集合层范畴中的余等化子图表。仍然存在层的典范映射 \(U/R \to B\)，因为 \(j\) 是 \(B\) 上代数空间的态射，且取值于 \(U \times_B U\)。

注

上述构造的一种变体是对函子 \[\begin{matrix} (\textit{Spaces}/B)^{opp}_{fppf} & \longrightarrow & \textit{Sets}, \\ X & \longmapsto & U(X)/\sim_X \end{matrix}\] 作层化；这里 \(\sim_X \subset U(X) \times U(X)\) 是由 \(j : R(X) \to U(X) \times U(X)\) 的像生成的等价关系。当然， \(U(X) = \Mor_B(X, U)\) 且 \(R(X) = \Mor_B(X, R)\)。事实上，通过如下恒等， 所得结果相同：

（在此插入《空间的拓扑》中的未来引用）。

定义

在定义 044J 的情形下，称预关系 \(j\) 有一个 可由代数空间表示的商，如果层 \(U/R\) 是代数空间。称预关系 \(j\) 有一个可表示商，如果层 \(U/R\) 可由概形表示。如果群胚 \((U, R, s, t, c)\) 是代数空间中的群胚（在 \(B\) 上），并且取 商 \(U/R\)（其中 \(j = (t, s)\)）可表示（相应地，是代数空间），则称它有一个 可表示商（相应地，可由代数空间表示的商）。

如果商 \(U/R\) 可由 \(M\) 表示（表示对象或为概形，或为 \(S\) 上的代数空间）， 那么如上所见，它带有典范结构态射 \(M \to B\)。

下一个引理刻画表示该商的 \(M\)。例如，当 \(U \to M\) 平坦、有限表现且满， 并且 \(R \cong U \times_M U\) 时，可以应用该引理。

引理

在定义 044J 的情形下，假设存在代数空间 \(M\)（在 \(S\) 上）和态射 \(U \to M\)，使得

1. 态射 \(U \to M\) 等化 \(s,t\)，

2. 映射 \(U \to M\) 是层的满射，并且

3. 诱导映射 \((t, s) : R \to U \times_M U\) 是层的满射。

在这种情形下，\(M\) 表示商层 \(U/R\)。

证明

条件 (1) 说明 \(U \to M\) 分解经过 \(U/R\)。条件 (2) 说明 \(U/R \to M\) 作为层的映射是满射。条件 (3) 说明 \(U/R \to M\) 作为层的映射是单射。因此引理成立。

如果不要求 \(j\) 为预等价关系（例如，只要求它为预关系），下一个引理就是错的。

引理

设 \(S\) 为概形。设 \(B\) 为 \(S\) 上的代数空间。设 \(j : R \to U \times_B U\) 为 \(B\) 上的预等价关系。对概形 \(S'\)（在 \(S\) 上） 和 \(a, b \in U(S')\)，下列条件等价：

1. \(a\) 和 \(b\) 映到 \((U/R)(S')\) 的同一个元素，并且

2. 存在 fppf 覆盖 \(\{f_i : S_i \to S'\}\)（覆盖 \(S'\)）和态射 \(r_i : S_i \to R\)，使得 \(a \circ f_i = s \circ r_i\) 且 \(b \circ f_i = t \circ r_i\)。

换言之，在此情形下，层的映射 \[R \longrightarrow U \times_{U/R} U\] 是满射。

证明

略。提示：这个结论成立的原因是，在此情形下预层 （044I）实际上由 \(T \mapsto U(T)/j(R(T))\) 给出，因为 \(j(R(T)) \subset U(T) \times U(T)\) 是等价关系；见定义 043C。

引理

设 \(S\) 为概形。设 \(B\) 为 \(S\) 上的代数空间。设 \(j : R \to U \times_B U\) 为 \(B\) 上的预等价关系，并设 \(g : U' \to U\) 为 \(B\) 上代数空间的态射。设 \(j' : R' \to U' \times_B U'\) 为 \(j\) 到 \(U'\) 的限制。商层的映射 \[U'/R' \longrightarrow U/R\] 是单射。如果 \(U' \to U\) 作为层的映射是满射，例如，如果 \(\{g : U' \to U\}\) 是 fppf 覆盖（见《空间上的拓扑》定义 03Y8），那么 \(U'/R' \to U/R\) 是层的同构。

证明

假设截面 \(\xi, \xi' \in (U'/R')(S')\) 映到 \(U/R\) 的同一个截面。那么可以找到 fppf 覆盖 \(\mathcal{S} = \{S_i \to S'\}\)（覆盖 \(S'\)），使得 \(\xi|_{S_i}, \xi'|_{S_i}\) 由 \(a_i, a_i' \in U'(S_i)\) 给出。由引理 046O 和位点公理，在作加细后可以假设

\(\mathcal{T}\) 存在态射 \(r_i : S_i \to R\)，使得 \(g \circ a_i = s \circ r_i\)、\(g \circ a_i' = t \circ r_i\)。由于根据构造 \(R' = R \times_{U \times_S U} (U' \times_S U')\)，可知 \((r_i, (a_i, a_i')) \in R'(S_i)\)；这说明 \(a_i\) 和 \(a_i'\) 定义 \(U'/R'\) 的同一个截面（在 \(S_i\) 上）。由层条件，这推出 \(\xi = \xi'\)。

如果 \(U' \to U\) 是层的满射，那么 \(U'/R' \to U/R\) 也是满射。最后，如果 \(\{g : U' \to U\}\) 是 fppf 覆盖，那么层的映射 \(U' \to U\) 是满射；见 《空间上的拓扑》引理 0469。

引理

设 \(S\) 为概形。设 \(B\) 为 \(S\) 上的代数空间。设 \((U, R, s, t, c)\) 为代数空间中的群胚（在 \(B\) 上）。

设 \(g : U' \to U\) 为 \(B\) 上代数空间的态射。设 \((U', R', s', t', c')\) 为 \((U, R, s, t, c)\) 到 \(U'\) 的限制。商层的映射 \[U'/R' \longrightarrow U/R\] 是单射。如果复合 \[\xymatrix{ U' \times_{g, U, t} R \ar[r]_-{\text{pr}_1} \ar@/^3ex/[rr]^h & R \ar[r]_s & U }\] 是 fppf 层的满射，那么该映射是双射。例如，当 \(\{h : U' \times_{g, U, t} R \to U\}\) 是 \(fppf\)-覆盖，或 \(U' \to U\) 是层的满射，或 \(\{g : U' \to U\}\) 是 fppf 拓扑中的覆盖时， 这个条件成立。

证明

单射性由引理 043X 和 046P 合并得到。为说明满射性 （层的满射映射的刻画见《位点》第 00WL 节）， 按如下方式论证。假设 \(T\) 为概形且 \(\sigma \in U/R(T)\)。存在覆盖 \(\{T_i \to T\}\)，使得 \(\sigma|_{T_i}\) 是某个元素 \(f_i \in U(T_i)\) 的像。

因此，可以假设 \(\sigma\) 是 \(f \in U(T)\) 的像。由 \(h\) 是层的满射这一假设， 可以找到 fppf 覆盖 \(\{\varphi_i : T_i \to T\}\) 和态射 \(f_i : T_i \to U' \times_{g, U, t} R\)，使得 \(f \circ \varphi_i = h \circ f_i\)。记 \(f'_i = \text{pr}_0 \circ f_i : T_i \to U'\)。于是可见， \(f'_i \in U'(T_i)\) 映到 \(g \circ f'_i \in U(T_i)\)，并且

\(g \circ f'_i \sim_{T_i} h \circ f_i = f \circ \varphi_i\)；记号如 （044I）所示。给出该关系的 \(R(T_i)\) 中元素是 \(\text{pr}_1 \circ f_i\)。这意味着，\(\sigma\) 到 \(T_i\) 的限制属于映射

\(U'/R'(T_i) \to U/R(T_i)\) 的像，正如所需。

如果 \(\{h\}\) 是 fppf 覆盖，那么它诱导层的满射；见《空间上的拓扑》引理 0469。如果 \(U' \to U\) 满， 那么 \(h\) 也满，因为 \(s\) 有一个截面

（即群胚概形的中性元 \(e\)）。

商叠

本节和随后的几节描述上面第 044H 节及《群胚》第 02VE 节的一种推广。区别如下：我们将取商叠， 而不是商层。

假设有概形 \(S\)、代数空间 \(B\)（在 \(S\) 上），以及代数空间中的群胚 \((U, R, s, t, c)\)（在 \(B\) 上）。给定这些数据，考虑函子 [044P]\[\begin{equation} \begin{matrix} (\Sch/S)_{fppf}^{opp} & \longrightarrow & \textit{Groupoids} \\ S' & \longmapsto & (U(S'), R(S'), s, t, c) \end{matrix} \end{equation}\] 由《范畴》例 0049，这个“群胚预层”对应于 \((\Sch/S)_{fppf}\) 上的群胚纤维化范畴。在本章中把它记为 \[[U/_{\!p}R] \to (\Sch/S)_{fppf}\] 其中下标 \({}_p\) 用来与商叠相区别。

定义

商叠。设 \(B \to S\) 如上。

1. 设 \((U, R, s, t, c)\) 为代数空间中的群胚（在 \(B\) 上）。 商叠 \[p : [U/R] \longrightarrow (\Sch/S)_{fppf}\] 属于 \((U, R, s, t, c)\)；它是群胚纤维化范畴 \([U/_{\!p}R]\)（在 \((\Sch/S)_{fppf}\) 上）的叠化（见《叠》引理 02ZP），该范畴与 （044P）相伴。

2. 设 \((G, m)\) 为 \(B\) 上的群代数空间。设

   \(a : G \times_B X \to X\) 为 \(G\) 在 \(B\) 上某个代数空间上的作用。 商叠 \[p : [X/G] \longrightarrow (\Sch/S)_{fppf}\] 是与引理 0444 中代数空间中的群胚 \((X, G \times_B X, s, t, c)\)（在 \(B\) 上）相伴的商叠。

因此 \([U/R]\) 和 \([X/G]\) 是 \((\Sch/S)_{fppf}\) 上的群胚叠。这些叠以后非常重要， 因而值得详细描述。回忆：给定代数空间 \(X\)（在 \(S\) 上），我们用记号 \(\mathcal{S}_X \to (\Sch/S)_{fppf}\) 表示与层 \(X\) 相伴的集合叠；见《范畴》引理 02Y2 和《叠》引理 0430。

引理

假设 \(B \to S\) 和 \((U, R, s, t, c)\) 如定义 044Q (1) 所示。存在典范 \(1\)-态射 \(\pi : \mathcal{S}_U \to [U/R]\) 和 \([U/R] \to \mathcal{S}_B\)，它们是 \((\Sch/S)_{fppf}\) 上群胚叠的态射。复合 \(\mathcal{S}_U \to \mathcal{S}_B\) 是 \(1\)-态射，即与结构态射 \(U \to B\) 相伴者。

证明

在本证明中，用 \([U/_{\!p}R]\) 表示与群胚预层 （044P）相伴的群胚纤维化范畴。由叠化的构造，存在 \(1\)-态射 \([U/_{\!p}R] \to [U/R]\)。\(1\)-态射 \(\mathcal{S}_U \to [U/R]\) 就是复合 \(\mathcal{S}_U \to [U/_{\!p}R] \to [U/R]\)；其中第一个箭头把概形 \(S'/S\) 以及态射 \(x : S' \to U\)（在 \(S\) 上）映到对象 \(x \in U(S')\)，它属于 \([U/_{\!p}R]\) 在 \(S'\) 上的纤维范畴。

为构造 \(1\)-态射 \([U/R] \to \mathcal{S}_B\)，只需构造 \(1\)-态射 \([U/_{\!p}R] \to \mathcal{S}_B\)；见《叠》引理 0436。在 \(S'/S\) 上的对象处， 只使用映射 \[U(S') \longrightarrow B(S')\] 它来自结构态射 \(U \to B\)。显然，如果 \(a \in R(S')\) 是一个“箭头”，其源为 \(s(a) \in U(S')\)、靶为 \(t(a) \in U(S')\)，那么因为 \(s\) 和 \(t\) 都是 \(B\) 上的态射，两者都映到同一个元素 \(\overline{a}\)（属于 \(B(S')\)）。 因此可将箭头 \(a \in R(S')\) 映到 \(\overline{a}\) 的恒等态射。（这是合适的， 因为纤维范畴 \((\mathcal{S}_B)_{S'}\) 只包含恒等态射。）我们略去验证这条规则与 这些分裂纤维化范畴上的拉回相容，因而如所需定义了 \(1\)-态射 \([U/_{\!p}R] \to \mathcal{S}_B\)。

略去最后一个断言的验证。

引理

假设与记号如引理 044R 所示。存在典范 \(2\)-态射 \(\alpha : \pi \circ s \to \pi \circ t\)，它使图表 \[\xymatrix{ \mathcal{S}_R \ar[r]_s \ar[d]_t & \mathcal{S}_U \ar[d]^\pi \\ \mathcal{S}_U \ar[r]^-\pi & [U/R] }\] \(2\)-交换。

证明

设 \(S'\) 为 \(S\) 上的概形。设 \(r : S' \to R\) 为 \(S\) 上的态射。那么 \(r \in R(S')\) 是对象 \(s \circ r, t \circ r \in U(S')\) 之间的同构。此外， 这个构造与拉回相容。这给出典范 \(2\)-态射 \(\alpha_p : \pi_p \circ s \to \pi_p \circ t\)，其中 \(\pi_p : \mathcal{S}_U \to [U/_{\!p}R]\) 如引理 044R 的证明所示。因此，甚至图表 \[\xymatrix{ \mathcal{S}_R \ar[r]_s \ar[d]^t & \mathcal{S}_U \ar[d]^{\pi_p} \\ \mathcal{S}_U \ar[r]^-{\pi_p} & [U/_{\!p}R] }\] 也是 \(2\)-交换的。因此更不必说，引理中的图表是 \(2\)-交换的。

注

在以后的各章中，我们将使用一种有歧义的记号：与其用 \(\mathcal{S}_X\) 表示与 \(X\) 相伴的集合叠，不如直接写成 \(X\)。使用这个记号， 引理 044S 的图表变成大家熟悉的图表 \[\xymatrix{ R \ar[r]_s \ar[d]_t & U \ar[d]^\pi \\ U \ar[r]^-\pi & [U/R] }\] 在随后各节中，我们将证明这个图表有许多良好性质。特别地，将证明它是 \(2\)-纤维积（第 04M8 节），并且它几乎是 \(2\)-余等化子（对 \(s\) 和 \(t\) 而言；见第 04MA 节）。

商叠的函子性

代数空间中的群胚的态射给出相伴的商叠态射。

引理

设 \(S\) 为概形。设 \(B\) 为 \(S\) 上的代数空间。设 \(f : (U, R, s, t, c) \to (U', R', s', t', c')\) 为代数空间中的群胚的态射 （在 \(B\) 上）。那么 \(f\) 诱导商叠的典范 \(1\)-态射 \[[f] : [U/R] \longrightarrow [U'/R'].\]

证明

用 \([U/_{\!p}R]\) 和 \([U'/_{\!p}R']\) 表示与函子 （044P）相伴的群胚纤维化范畴；它们取在基位点 \((\Sch/S)_{fppf}\) 上。显然，\(f\) 定义 \(1\)-态射 \([U/_{\!p}R] \to [U'/_{\!p}R']\)；把它与 \([U'/R']\) 的叠化函子复合，得到 \([U/_{\!p}R] \to [U'/R']\)。

再由叠化函子 \([U/_{\!p}R] \to [U/R]\) 的泛性质（见《叠》引理 0436），得到 \([U/R] \to [U'/R']\)。

设 \(B \to S\) 和 \(f : (U, R, s, t, c) \to (U', R', s', t', c')\) 如引理 046Q 所示。在此情形下，如下定义第三个代数空间中的 群胚（在 \(B\) 上）；我们使用 \(T\)-值点的语言，其中 \(T\) 是 \(B\) 上变动的概形：

1. \(U'' = U \times_{f, U', t'} R'\)，所以一个 \(T\)-值点是偶 \((u, r')\)，满足 \(f(u) = t'(r')\)；

2. \(R'' = R \times_{f \circ s, U', t'} R'\)，所以一个 \(T\)-值点是偶 \((r, r')\)，满足 \(f(s(r)) = t'(r')\)；

3. \(s'' : R'' \to U''\) 由 \(s''(r, r') = (s(r), r')\) 给出；

4. \(t'' : R'' \to U''\) 由 \(t''(r, r') = (t(r), c'(f(r), r'))\) 给出；

5. \(c'' : R'' \times_{s'', U'', t''} R'' \to R''\) 由 \(c''((r_1, r'_1), (r_2, r'_2)) = (c(r_1, r_2), r'_2)\) 给出。

\(c''\) 的公式有意义，因为 \(s''(r_1, r'_1) = t''(r_2, r'_2)\)。显然 \(c''\) 满足结合律。恒等元 \(e''\) 由

\(e''(u, r) = (e(u), r)\) 给出。\((r, r')\) 的逆元由 \((i(r), c'(f(r), r'))\) 给出。因此，确实得到代数空间中的群胚（在 \(B\) 上）。

显然，映射 \(U'' \to U\) 和 \(R'' \to R\) 定义代数空间中的群胚的态射 \(g : (U'', R'', s'', t'', c'') \to (U, R, s, t, c)\)（在 \(B\) 上）。此外， 映射 \(U'' \to U'\)、\((u, r') \mapsto s'(r')\) 以及 \(R'' \to U'\)、\((r, r') \mapsto s'(r')\) 表明，事实上 \((U'', R'', s'', t'', c'')\) 是代数空间中的群胚（在 \(U'\) 上）。

引理

记号与假设如引理 046Q 所示。设 \((U'', R'', s'', t'', c'')\) 为上面构造的代数空间中的群胚（在 \(B\) 上）。 存在 \(2\)-交换方块 \[\xymatrix{ [U''/R''] \ar[d] \ar[r]_{[g]} & [U/R] \ar[d]^{[f]} \\ \mathcal{S}_{U'} \ar[r] & [U'/R'] }\] 它把 \([U''/R'']\) 识别为该 \(2\)-纤维积。

证明

映射 \([f]\) 和 \([g]\) 来自应用引理 046Q，另两个映射来自引理 044R（以及 \((U'', R'', s'', t'', c'')\) 取在 \(U'\) 上这一事实）。为证明 \(2\)-纤维积性质， 只需对群胚纤维化范畴的图表 \[\xymatrix{ [U''/_{\!p}R''] \ar[d] \ar[r]_{[g]} & [U/_{\!p}R] \ar[d]^{[f]} \\ \mathcal{S}_{U'} \ar[r] & [U'/_{\!p}R'] }\] 证明引理；见《叠》引理 04Y2。 换言之，只需证明 \(2\)-纤维积的一个对象

\(\mathcal{S}_U \times_{[U'/_{\!p}R']} [U/_{\!p}R]\)（在 \(T\) 上）对应于 一个 \(T\)-值点（属于 \(U''\)），并对态射作类似证明。当然，这恰好是我们一开始构造 \(U''\) 和 \(R''\) 的方式。

具体地，\(\mathcal{S}_U \times_{[U'/_{\!p}R']} [U/_{\!p}R]\) 在 \(T\) 上的 一个对象是三元组 \((u', u, r')\)，其中 \(u'\) 是 \(T\)-值点（属于 \(U'\)），\(u\) 是 \(T\)-值点（属于 \(U\)），而 \(r'\) 是从 \(u'\) 到 \(f(u)\) 的态射

（在 \([U'/R']_T\) 中）；即

\(r'\) 是一个 \(T\)-值点（属于 \(R\)），满足 \(s'(r') = u'\) 且 \(t'(r') = f(u)\)。显然，可以忘掉 \(u'\) 而不丢失信息，并且可见这些对象与

\(T\)-值点（属于 \(R''\)）一一对应。

态射的情形类似：设 \((u'_1, u_1, r'_1)\) 和 \((u'_2, u_2, r'_2)\) 是该纤维积 在 \(T\) 上的两个对象。那么，从 \((u'_2, u_2, r'_2)\) 到 \((u'_1, u_1, r'_1)\) 的态射由 \((1, r)\) 给出，其中 \(1 : u'_1 \to u'_2\) 仅仅意味着 \(u'_1 = u'_2\)（这是因为 \(\mathcal{S}_U\) 纤维化于集合），而 \(r\) 是 \(T\)-值点（属于 \(R\)），满足 \(s(r) = u_2\)、\(t(r) = u_1\)，并且还有 \(c'(f(r), r'_2) = r'_1\)。因此箭头 \[(1, r) : (u'_2, u_2, r'_2) \to (u'_1, u_1, r'_1)\] 完全由偶 \((r, r'_2)\) 决定。于是箭头函子由 \(R''\) 表示，而且态射 \(s''\)、\(t''\)、\(c''\) 显然分别对应于 \(2\)-纤维积 \(\mathcal{S}_U \times_{[U'/_{\!p}R']} [U/_{\!p}R]\) 中的源、靶与复合。

商叠的 2-笛卡儿方块

本节计算商叠的 \(\mathit{Isom}\)-层，并由此推出商叠的定义图表是 \(2\)-纤维积。

引理

假设 \(B \to S\)、\((U, R, s, t, c)\) 和 \(\pi : \mathcal{S}_U \to [U/R]\) 如引理 044R 所示。设 \(S'\) 为 \(S\) 上的概形。设 \(x, y \in \Ob([U/R]_{S'})\) 为商叠在 \(S'\) 上的对象。如果 \(x = \pi(x')\) 且 \(y = \pi(y')\)，其中 \(x', y' : S' \to U\) 是某些态射，那么 \[\mathit{Isom}(x, y) = S' \times_{(y', x'), U \times_S U} R\] 作为 \(S'\) 上的层。

证明

设 \([U/_{\!p}R]\) 为与群胚预层（044P）相伴的 群胚纤维化范畴，如引理 044R 的证明所述。由构造， 层 \(\mathit{Isom}(x, y)\) 是与预层 \(\mathit{Isom}(x', y')\) 相伴的层。另一方面， 由 \([U/_{\!p}R]\) 中态射的定义，有 \[\mathit{Isom}(x', y') = S' \times_{(y', x'), U \times_S U} R\] 而右侧是代数空间，因而是层。

引理

假设 \(B \to S\)、\((U, R, s, t, c)\) 和 \(\pi : \mathcal{S}_U \to [U/R]\) 如引理 044R 所示。引理 044S 的 \(2\)-交换方块 \[\xymatrix{ \mathcal{S}_R \ar[r]_s \ar[d]_t & \mathcal{S}_U \ar[d]^\pi \\ \mathcal{S}_U \ar[r]^-\pi & [U/R] }\] 是一个 \(2\)-纤维积（在 \((\Sch/S)_{fppf}\) 的群胚叠中）。

证明

由《叠》引理 02ZL，该引理的断言 有意义。它还说明，我们必须证明函子 \[\mathcal{S}_R \longrightarrow \mathcal{S}_U \times_{[U/R]} \mathcal{S}_U\] 是等价；该函子把 \(r : T \to R\) 映到 \((T, t(r), s(r), \alpha(r))\)，其中右侧是《范畴》引理 0040 中所述的 \(2\)-纤维积。 把定义展开以后，这恰好是引理 044V 的内容。（另一种证明：

在此情形下展开引理 04Y4 的含义， 也会得到该结论。）

引理

假设 \(B \to S\) 和 \((U, R, s, t, c)\) 如定义 044Q (1) 所示。对任意概形 \(T\)（在 \(S\) 上）以及 对象 \(x,y\)（属于 \([U/R]\)，在 \(T\) 上），层 \(\mathit{Isom}(x, y)\)（在 \((\Sch/T)_{fppf}\) 上）具有如下性质：存在 fppf 覆盖 \(\{T_i \to T\}_{i \in I}\)，使得 \(\mathit{Isom}(x, y)|_{(\Sch/T_i)_{fppf}}\) 可由代数空间表示。

证明

这直接由引理 044V 以及如下事实得到：根据商叠的 构造，\(x\) 和 \(y\) 在 fppf 拓扑下局部地都来自 \(\mathcal{S}_U\) 的对象。

商叠的 2-余等化子性质

在群胚上有复合，它为上一个引理中的典范 \(2\)-态射导出上闭链条件。为了给出精确 表述，我们使用《范畴》第 003D 节和第 003G 节中引入的记号。

引理

假设与记号如引理 044R 和 044S 所示。下图中两个 2-态射的竖直复合 \[\xymatrix@C=15pc{ \mathcal{S}_{R \times_{s, U, t} R} \ruppertwocell^{\pi \circ s \circ \text{pr}_1 = \pi \circ s \circ c}{\ \ \ \ \ \ \alpha \star \text{id}_{\text{pr}_1}} \ar[r]_(.3){\pi \circ t \circ \text{pr}_1 = \pi \circ s \circ \text{pr}_0} \rlowertwocell_{\pi \circ t \circ \text{pr}_0 = \pi \circ t \circ c}{\ \ \ \ \ \ \alpha \star \text{id}_{\text{pr}_0}} & [U/R] }\] 是 \(2\)-态射 \(\alpha \star \text{id}_c\)。用公式表示， \(\alpha \star \text{id}_c = (\alpha \star \text{id}_{\text{pr}_0}) \circ (\alpha \star \text{id}_{\text{pr}_1})\)。

证明

作两点说明：

1. 公式 \(\alpha \star \text{id}_c = (\alpha \star \text{id}_{\text{pr}_0}) \circ (\alpha \star \text{id}_{\text{pr}_1})\) 仅在实现下列等式后才有意义： \(\pi \circ s \circ \text{pr}_1 = \pi \circ s \circ c\)、 \(\pi \circ t \circ \text{pr}_1 = \pi \circ s \circ \text{pr}_0\) 和 \(\pi \circ t \circ \text{pr}_0 = \pi \circ t \circ c\)。确切地说，第二个等式 保证竖直复合 \(\circ\) 有意义，另两个等式则保证公式两侧都是有相同源与靶的 \(2\)-态射。

2. 引理成立的原因是，与群胚预层（044P）相伴的 群胚纤维化范畴 \([U/_{\!p}R]\) 中的复合来自复合法则 \(c : R \times_{s, U, t} R \to R\)。

略去引理的证明。

注意，在引理的情形下，实际上已有等式 \(s \circ \text{pr}_1 = s \circ c\)、 \(t \circ \text{pr}_1 = s \circ \text{pr}_0\) 和 \(t \circ \text{pr}_0 = t \circ c\)；这些等式是在与 \(\pi\) 复合之前成立的。因此，下一个引理中的公式与上一个引理中的 公式以完全相同的方式有意义。

引理

假设与记号如引理 044R 和 044S 所示。引理 044S 的 \(2\)-交换图表在如下意义下是 \(2\)-余等化子：给定

1. 群胚叠 \(\mathcal{X}\)（在 \((\Sch/S)_{fppf}\) 上）；

2. \(1\)-态射 \(f : \mathcal{S}_U \to \mathcal{X}\)；以及

3. \(2\)-箭头 \(\beta : f \circ s \to f \circ t\)，

使得 \[\beta \star \text{id}_c = (\beta \star \text{id}_{\text{pr}_0}) \circ (\beta \star \text{id}_{\text{pr}_1})\] 那么存在 \(1\)-态射 \([U/R] \to \mathcal{X}\)，它使图表 \[\xymatrix{ \mathcal{S}_R \ar[r]_s \ar[d]^t & \mathcal{S}_U \ar[d] \ar[ddr]^f \\ \mathcal{S}_U \ar[r] \ar[rrd]_f & [U/R] \ar[rd] \\ & & \mathcal{X} }\] \(2\)-交换。

证明

假设给定引理中的 \(\mathcal{X}\)、\(f\) 和 \(\beta\)。由《叠》引理 0436，只需构造 \(1\)-态射 \(g : [U/_{\!p}R] \to \mathcal{X}\)。首先注意，\(1\)-态射 \(\mathcal{S}_U \to [U/_{\!p}R]\) 在对象上是双射。因此在对象上可以置 \(g(x) = f(x)\)，其中 \(x \in \Ob(\mathcal{S}_U) = \Ob([U/_{\!p}R])\)。态射 \(\varphi : x \to y\)（属于 \([U/_{\!p}R]\)）来自交换图表 \[\xymatrix{ S_2 \ar[dd]_h \ar[r]_x \ar[dr]_\varphi & U \\ & R \ar[u]_s \ar[d]^t \\ S_1 \ar[r]^y & U. }\] 于是可以把 \(g(\varphi)\) 置为复合 \[\xymatrix{ f(x) \ar@{=}[r] \ar[rrrrrd] & f(s \circ \varphi) \ar@{=}[r] & (f \circ s)(\varphi) \ar[r]^\beta & (f \circ t)(\varphi) \ar@{=}[r] & f(t \circ \varphi) \ar@{=}[r] & f(y \circ h) \ar[d] \\ & & & & & f(y). }\] 竖直箭头是把函子 \(f\) 应用于典范态射 \(y \circ h \to y\)（在 \(\mathcal{S}_U\) 中）所得的结果（即提升 \(h\) 且以 \(y\) 为靶的强笛卡儿态射）。

我们验证如此定义的 \(f\) 与复合相容，至少在纤维范畴上如此。设 \(S'\) 为 \(S\) 上的 概形，并设 \(a : S' \to R \times_{s, U, t} R\) 为态射。在此情形下，置 \(x = s \circ \text{pr}_1 \circ a = s \circ c \circ a\)、 \(y = t \circ \text{pr}_1 \circ a = s \circ \text{pr}_0 \circ a\)，以及

\(z = t \circ \text{pr}_0 \circ a = t \circ \text{pr}_0 \circ c\)，从而得到交换图表 \[\xymatrix{ x \ar[rr]_{c \circ a} \ar[rd]_{\text{pr}_1 \circ a} & & z \\ & y \ar[ru]_{\text{pr}_0 \circ a} }\] 它位于纤维范畴 \([U/_{\!p}R]_{S'}\) 中。 此外，该纤维范畴中的每个交换三角形都具有这种形式。于是由上面的定义可知， \(f\) 把它映到交换图表，当且仅当图表 \[\xymatrix{ & (f \circ s)(c \circ a) \ar[r]_-{\beta} & (f \circ t)(c \circ a) \ar@{=}[rd] & \\ (f \circ s)(\text{pr}_1 \circ a) \ar[rd]^\beta \ar@{=}[ru] & & & (f \circ t)(\text{pr}_0 \circ a) \\ & (f \circ t)(\text{pr}_1 \circ a) \ar@{=}[r] & (f \circ s)(\text{pr}_0 \circ a) \ar[ru]^\beta }\] 交换；这恰好是引理中公式所表达的条件。略去验证 \(f\) 把恒等态射映到恒等态射， 并且与任意态射的复合相容。

商叠的显式描述

为陈述结果，我们需要引入一些记号。假设 \(B \to S\) 以及 \((U, R, s, t, c)\) 如定义 044Q (1) 中所述。 设 \(T\) 为 \(S\) 上的概形。设 \(\mathcal{T} = \{T_i \to T\}_{i \in I}\) 为一个 fppf 覆盖。一个 \([U/R]\)-下降资料（相对于 \(\mathcal{T}\)）由系统 \((u_i, r_{ij})\) 给出，其中

1. 对每个 \(i\)，有一个态射 \(u_i : T_i \to U\)，并且

2. 对每个 \(i, j\)，有一个态射 \(r_{ij} : T_i \times_T T_j \to R\)，

使得

1. 作为态射 \(T_i \times_T T_j \to U\)，有 \[s \circ r_{ij} = u_i \circ \text{pr}_0 \quad\text{和}\quad t \circ r_{ij} = u_j \circ \text{pr}_1,\]

2. 作为态射 \(T_i \times_T T_j \times_T T_k \to R\)，有 \[c \circ (r_{jk} \circ \text{pr}_{12}, r_{ij} \circ \text{pr}_{01}) = r_{ik} \circ \text{pr}_{02}.\]

态射 \((u_i, r_{ij}) \to (u'_i, r'_{ij})\) 是两个 \([U/R]\)-下降资料在同一个覆盖 \(\mathcal{T}\) 上的态射，指一个族 \((r_i : T_i \to R)\)，使得

1. \((\alpha)\) 作为态射 \(T_i \to U\)，有 \[u_i = s \circ r_i \quad\text{和}\quad u'_i = t \circ r_i\]

2. \((\beta)\) 作为态射 \(T_i \times_T T_j \to R\)，有 \[c \circ (r'_{ij}, r_i \circ \text{pr}_0) = c \circ (r_j \circ \text{pr}_1, r_{ij}).\]

相对于一个固定覆盖的下降资料态射上有自然的复合法则，由此得到下降资料范畴。 这个范畴是一个群胚。最后，若 \(\mathcal{T}' = \{T'_j \to T\}_{j \in J}\) 是加细 \(\mathcal{T}\) 的第二个 fppf 覆盖，则下降资料存在拉回的概念。在这种情形下， 它尤其容易显式描述。确切地说，若 \(\alpha : J \to I\) 且

\(\varphi_j : T'_j \to T_{\alpha(i)}\) 是覆盖的态射，则下降资料 \((u_i, r_{ii'})\) 的拉回就是 \[(u_{\alpha(i)} \circ \varphi_j, r_{\alpha(j)\alpha(j')} \circ \varphi_j \times \varphi_{j'}).\]

以这种方式定义的拉回给出一个从 \(\mathcal{T}\) 上的下降资料范畴到 \(\mathcal{T}'\) 上的下降资料范畴的函子。

引理

假设 \(B \to S\) 以及 \((U, R, s, t, c)\) 如 定义 044Q (1) 中所述。 设 \(\pi : \mathcal{S}_U \to [U/R]\) 如 引理 044R 中所述。 设 \(T\) 为 \(S\) 上的概形。

1. 对每个对象 \(x\)，若它属于纤维范畴 \([U/R]_T\)，则存在一个 fppf 覆盖 \(\{f_i : T_i \to T\}_{i \in I}\)，使得 \(f_i^*x \cong \pi(u_i)\)，其中 \(u_i \in U(T_i)\)；

2. 下列同构的复合 \[\pi(u_i \circ \text{pr}_0) = \text{pr}_0^*\pi(u_i) \cong \text{pr}_0^*f_i^*x \cong \text{pr}_1^*f_j^*x \cong \text{pr}_1^*\pi(u_j) = \pi(u_j \circ \text{pr}_1)\] 具有 \(\pi(r_{ij})\) 的形式，其中 \(r_{ij} : T_i \times_T T_j \to R\) 是某些态射；

3. 系统 \((u_i, r_{ij})\) 构成如上定义的一个 \([U/R]\)-下降资料；

4. 任意 \([U/R]\)-下降资料 \((u_i, r_{ij})\) 都以这种方式产生；

5. 若 \(x\) 如上对应于 \((u_i, r_{ij})\)，而 \(y \in \Ob([U/R]_T)\) 对应于 \((u'_i, r'_{ij})\)，则有典范双射 \[\Mor_{[U/R]_T}(x, y) \longleftrightarrow \left\{ \begin{matrix} \text{态射 }(u_i, r_{ij}) \to (u'_i, r'_{ij})\\ \text{作为 }[U/R]\text{-下降资料} \end{matrix} \right\}\]

6. 这个对应与 fppf 覆盖的加细相容。

证明

断言 (1) 是叠化构造的一部分。 第 (2) 部分由引理 044V 得出。 略去对 (3) 的验证。第 (4) 部分是叠中所有下降资料均有效这一事实的改述。 略去对 (5) 和 (6) 的验证。

限制与商叠

本节研究取限制时商叠会发生什么。

引理

记号与假设如引理 046Q 中所述。 商叠的态射 \[[f] : [U/R] \longrightarrow [U'/R']\] 全忠实，当且仅当 \(R\) 是 \(R'\) 通过态射 \(f : U \to U'\) 得到的限制。

证明

设 \(x, y\) 是 \([U/R]\) 在概形 \(T/S\) 上的对象。设 \(x', y'\) 是 \(x, y\) 在范畴 \([U'/R']_T\) 中的像。函子 \([f]\) 全忠实，当且仅当层的态射 \[\mathit{Isom}(x, y) \longrightarrow \mathit{Isom}(x', y')\] 对每个 \(T, x, y\) 都是同构。可以在 \(T\) 上局部地（就 fppf 拓扑而言）检验这一点。 因此，由引理 044X，可以假设 \(x, y\) 来自 \(a, b \in U(T)\)。在这种情形下，可见 \(x', y'\) 对应于 \(f \circ a, f \circ b\)。由引理 044V， 在这种情形下，上面显示的层态射成为 \[T \times_{(a, b), U \times_B U} R \longrightarrow T \times_{f \circ a, f \circ b, U' \times_B U'} R'.\] 若 \(R\) 是该限制，这就是同构，因为在这种情形下 \(R = (U \times_B U) \times_{U' \times_B U'} R'\)；参见 引理 044D 及其证明。反过来，若最后显示的态射 对所有 \(T, a, b\) 都是同构，则可推出 \(R = (U \times_B U) \times_{U' \times_B U'} R'\)，即 \(R\) 是 \(R'\) 的限制。

引理

记号与假设如引理 046Q 中所述。 商叠的态射 \[[f] : [U/R] \longrightarrow [U'/R']\] 是等价，当且仅当

1. \((U, R, s, t, c)\) 是 \((U', R', s', t', c')\) 通过 \(f : U \to U'\) 得到的限制，并且

2. 映射 \[\xymatrix{ U \times_{f, U', t'} R' \ar[r]_-{\text{pr}_1} \ar@/^3ex/[rr]^h & R' \ar[r]_{s'} & U' }\] 是层的满射。

例如，若 \(\{h : U \times_{f, U', t'} R' \to U'\}\) 是 fppf 覆盖， 或 \(f : U \to U'\) 是层的满射，或 \(\{f : U \to U'\}\) 是 fppf 覆盖， 则第 (2) 部分成立。

证明

由引理 046S，我们已经知道第 (1) 部分等价于 全忠实性。因此可以假设 (1) 成立且 \([f]\) 全忠实。我们的目标是在这些假设下证明： \([f]\) 是等价，当且仅当 (2) 成立。可以使用刻画等价的 Stacks，引理 046N。

假设 (2)。我们将使用 Stacks，引理 046N 来证明 \([f]\) 是等价。设 \(T\) 是概形且 \(x' \in \Ob([U'/R']_T)\)。存在一个覆盖 \(\{g_i : T_i \to T\}\)， 使得 \(g_i^*x'\) 是某个元素 \(a'_i \in U'(T_i)\) 的像；参见 引理 044X。因此可以假设 \(x'\) 是 \(a' \in U'(T)\) 的像。由 \(h\) 是层的满射这一假设，可以找到一个 fppf 覆盖 \(\{\varphi_i : T_i \to T\}\) 和态射

\(b_i : T_i \to U \times_{g, U', t'} R'\)，使得 \(a' \circ \varphi_i = h \circ b_i\)。记 \(a_i = \text{pr}_0 \circ b_i : T_i \to U\)。于是可见 \(a_i \in U(T_i)\) 映到 \(f \circ a_i \in U'(T_i)\)，并且 \(f \circ a_i \cong_{T_i} h \circ b_i = a' \circ \varphi_i\)， 其中 \(\cong_{T_i}\) 表示纤维范畴 \([U'/R']_{T_i}\) 中的同构。确切地说， 给出该同构的 \(R'(T_i)\) 中元素是 \(\text{pr}_1 \circ b_i\)。

这意味着 \(x\) 到 \(T_i\) 的限制位于函子 \([U/R]_{T_i} \to [U'/R']_{T_i}\) 的本质像中，正如所需。

假设 \([f]\) 是等价。令 \(\xi' \in [U'/R']_{U'}\) 表示对应于 \(U'\) 的恒等态射的对象。应用 Stacks，引理 046N， 可见存在一个 fppf 覆盖 \(\mathcal{U}' = \{g'_i : U'_i \to U'\}\)，使得 \((g'_i)^*\xi' \cong [f](\xi_i)\)，其中某个 \(\xi_i\) 位于 \([U/R]_{U'_i}\) 中。加细覆盖 \(\mathcal{U}'\) 之后（使用 引理 044X），可以假设 \(\xi_i\) 来自态射 \(a_i : U'_i \to U\)。事实 \([f](\xi_i) \cong (g'_i)^*\xi'\) 意味着，在必要时再次加细覆盖 \(\mathcal{U}'\) 后，存在态射 \(r'_i : U'_i \to R'\)，满足 \(t' \circ r'_i = f \circ a_i\) 且 \(s' \circ r'_i = \text{id}_{U'} \circ g'_i\)。图示如下： \[\xymatrix{ U \ar[d]^f & & U'_i \ar[ll]^{a_i} \ar[ld]_{r'_i} \ar[d]^{g'_i} \\ U' & R' \ar[l]_{t'} \ar[r]^{s'} & U' }\] 因此 \((a_i, r'_i) : U'_i \to U \times_{g, U', t'} R'\) 是态射， 满足 \(h \circ (a_i, r'_i) = g'_i\)；由此可知 \(\{h : U \times_{g, U', t'} R' \to U'\}\) 可由 fppf 覆盖 \(\mathcal{U}'\) 加细，这意味着 \(h\) 诱导层的满射；参见 代数空间上的拓扑，引理 0469。

若 \(\{h\}\) 是 fppf 覆盖，则它诱导层的满射；参见 代数空间上的拓扑，引理 0469。

若 \(U' \to U\) 是满射，则 \(h\) 也是满射，因为 \(s\) 有一个截面 （即代数空间群胚的中性元 \(e\)）。

引理

记号与假设如引理 046Q 中所述。 假设 \[\xymatrix{ R \ar[d]_s \ar[r]_f & R' \ar[d]^{s'} \\ U \ar[r]^f & U' }\] 是笛卡儿的。则 \[\xymatrix{ \mathcal{S}_U \ar[d] \ar[r] & [U/R] \ar[d]^{[f]} \\ \mathcal{S}_{U'} \ar[r] & [U'/R'] }\] 是一个 \(2\)-纤维积方块。

证明

把逆同构 \(i : R \to R\) 和 \(i' : R' \to R'\) 应用于引理断言中的 （第一个）笛卡儿图表，可见 \[\xymatrix{ R \ar[d]_t \ar[r]_f & R' \ar[d]^{t'} \\ U \ar[r]^f & U' }\] 也是笛卡儿的。由引理 04Y4，有一个 \(2\)-纤维积方块 \[\xymatrix{ [U''/R''] \ar[d] \ar[r] & [U/R] \ar[d] \\ \mathcal{S}_{U'} \ar[r] & [U'/R'] }\] 其中 \(U'' = U \times_{f, U', t'} R'\) 且 \(R'' = R \times_{f \circ s, U', t'} R'\)。由上可见 \((t, f) : R \to U''\) 是同构，并且

\[R'' = R \times_{f \circ s, U', t'} R' = R \times_{s, U} U \times_{f, U', t'} R' = R \times_{s, U, t} \times R.\] 显式地说，同构 \(R \times_{s, U, t} R \to R''\) 由法则 \((r_0, r_1) \mapsto (r_0, f(r_1))\) 给出。此外，\(s'', t'', c''\) 转化为映射 \[R \times_{s, U, t} R \to R, \quad s''(r_0, r_1) = r_1, \quad t''(r_0, r_1) = c(r_0, r_1)\] 以及 \[\begin{matrix} c'' : & (R \times_{s, U, t} R) \times_{s'', R, t''} (R \times_{s, U, t} R) & \longrightarrow & R \times_{s, U, t} R, \\ & ((r_0, r_1), (r_2, r_3)) & \longmapsto & (c(r_0, r_2), r_3). \end{matrix}\] 预复合以同构 \[R \times_{s, U, s} R \longrightarrow R \times_{s, U, t} R, \quad (r_0, r_1) \longmapsto (c(r_0, i(r_1)), r_1)\] 后，可见 \(t''\) 和 \(s''\) 转化为 \(\text{pr}_0\) 和 \(\text{pr}_1\)， 而 \(c''\) 转化为 \(\text{pr}_{02} : R \times_{s, U, s} R \times_{s, U, s} R \to R \times_{s, U, s} R\)。 因此可见有同构 \([U''/R''] \cong [R/R \times_{s, U, s} R]\)，其中，作为代数空间中的群胚， \((R, R \times_{s, U, s} R, s'', t'', c'')\) 是平凡群胚 \((U, U, \text{id}, \text{id}, \text{id})\) 通过 \(s : R \to U\) 得到的限制。 由于 \(s : R \to U\) 是 fppf 层的满射（因为它有右逆），态射 \[[U''/R''] \cong [R/R \times_{s, U, s} R] \longrightarrow [U/U] = \mathcal{S}_U\] 由引理 046T 是等价。这就证明了引理。

惯性与商叠

群胚叠的（相对）惯性叠定义于 Stacks，第 036X 节。

在纤维化范畴的设定中，实际构造及其若干性质见 范畴，第 04Z2 节。

引理

假设 \(B \to S\) 以及 \((U, R, s, t, c)\) 如 定义 044Q (1) 中所述。设 \(G/U\) 为群胚 \((U, R, s, t, c, e, i)\) 的稳定子群代数空间；参见 定义 0448。置 \(R' = R \times_{s, U} G\)，并置

1. \(s' : R' \to G\)，\((r, g) \mapsto g\)；

2. \(t' : R' \to G\)，\((r, g) \mapsto c(r, c(g, i(r)))\)；

3. \(c' : R' \times_{s', G, t'} R' \to R'\)， \(((r_1, g_1), (r_2, g_2) \mapsto (c(r_1, r_2), g_1)\)。

则 \((G, R', s', t', c')\) 是 \(B\) 上代数空间中的群胚，并且 \[\mathcal{I}_{[U/R]} = [G/ R'].\] 即，相伴商叠是 \([U/R]\) 的惯性叠。

证明

由 Stacks，引理 06NS，只需证明 \(\mathcal{I}_{[U/_{\!p}R]} = [G/_{\!p} R']\)。设 \(T\) 为 \(S\) 上的概形。 回顾，\([U/_{\!p}R]\) 在 \(T\) 上的惯性纤维化范畴的一个对象由一对 \((x, g)\) 给出，其中 \(x\) 是 \([U/_{\!\!p}R]\) 在 \(T\) 上的一个对象，而 \(g\) 是 \(x\) 在 \(T\) 上其纤维范畴中的一个自同构。换言之， \(x : T \to U\) 且 \(g : T \to R\)，满足 \(x = s \circ g = t \circ g\)。这恰好意味着 \(g : T \to G\)。 惯性纤维化范畴中从 \((x, g) \to (y, h)\) 的一个态射（在 \(T\) 上）由 \(r : T \to R\) 给出，满足 \(s(r) = x\)、\(t(r) = y\) 且 \(c(r, g) = c(h, r)\)；参见范畴，引理 034H 中的交换图表。写成公式为 \[h = c(r, c(g, i(r))) = c(c(r, g), i(r)).\]

记号 \(s(r)\) 等是 \(s \circ r\) 等的简写。

\(r_1 : (x_2, g_2) \to (x_1, g_1)\) 与 \(r_2 : (x_1, g_1) \to (x_2, g_2)\) 的复合是 \(c(r_1, r_2) : (x_1, g_1) \to (x_3, g_3)\)。

注意，在上面，可以用 \(g\) 而不用 \((x, g)\) 表示 \(\mathcal{I}_{[U/_{\!p}R]}\) 在 \(T\) 上的一个对象，因为 \(x\) 是 \(g\) 在结构态射 \(G \to U\) 下的像。于是，态射 \(g \to h\) 若视为 \(\mathcal{I}_{[U/_{\!p}R]}\) 在 \(T\) 上的态射，则恰好对应于态射 \(r' : T \to R'\)，满足 \(s'(r') = g\) 且 \(t'(r') = h\)。此外，复合对应于 (3) 中所述的法则。 引理得证。

引理

假设 \(B \to S\) 以及 \((U, R, s, t, c)\) 如 定义 044Q (1) 中所述。设 \(G/U\) 为群胚 \((U, R, s, t, c, e, i)\) 的稳定子群代数空间；参见 定义 0448。有一个典范 \(2\)-笛卡儿图表 \[\xymatrix{ \mathcal{S}_G \ar[r] \ar[d] & \mathcal{S}_U \ar[d] \\ \mathcal{I}_{[U/R]} \ar[r] & [U/R] }\] 它由 \((\Sch/S)_{fppf}\) 上的群胚叠组成。

证明

由引理 04ZN，只需证明

引理 06PB 的态射 \(s' : R' \to G\) 同构于 \(s\) 沿结构态射 \(G \to U\) 的基变换。这个基变换性质由 \(s'\) 的构造显然可见。

Gerbe 与商叠

本节把商叠与 Stacks，第 06NY 节中的讨论联系起来， 特别是与 Stacks，定义 06P2 中定义的 gerbe 联系起来。 一般而言，本节出现的群胚叠并不是代数叠！

引理

记号与假设同引理 046Q。商叠的态射 \[[f] : [U/R] \longrightarrow [U'/R']\] \([U/R]\) 成为 \([U'/R']\) 上 gerbe 的充分条件是 \(f : U \to U'\) 与 \(R \to R'|_U\) 均为 fppf 层的满射。这里 \(R'|_U\) 表示 \(R'\) 到 \(U\) 的限制，它是经 \(f : U \to U'\) 得到的。

证明

我们将验证 Stacks，引理 06P1 的性质 (2) (a) 与 (2) (b) 成立。性质 (2)(a) 成立，因为 \(U \to U'\) 是层的满射 （利用引理 044X 可知，\([U'/R']\) 中的对象局部来自 \(U'\)）。为证明 (2)(b)，令 \(x, y\) 为 \([U/R]\) 的对象，它们位于概形 \(T/S\) 上。

令 \(x', y'\) 为 \(x, y\) 在范畴 \([U'/'R]_T\) 中的像。条件 (2)(b) 要求我们检验层的映射 \[\mathit{Isom}(x, y) \longrightarrow \mathit{Isom}(x', y')\] 在 \((\Sch/T)_{fppf}\) 上是满射。为此，可以在 \(T\) 上 fppf 局部地工作，

并假设它们来自 \(a, b \in U(T)\)。在这种情形下，\(x', y'\) 分别对应于 \(f \circ a, f \circ b\)。由引理 044V， 在这种情形下，上述层的映射变为 \[T \times_{(a, b), U \times_B U} R \longrightarrow T \times_{f \circ a, f \circ b, U' \times_B U'} R' = T \times_{(a, b), U \times_B U} R'|_U.\] 因此，\(R \to R'|_U\) 是 \((\Sch/S)_{fppf}\) 上 fppf 层的满射这一假设 蕴含所需的满射性。

引理

设 \(S\) 为概形，\(B\) 为 \(S\) 上的代数空间，\(G\) 为 \(B\) 上的群代数空间。 赋予 \(B\) 以 \(G\) 的平凡作用。态射 \[[B/G] \longrightarrow \mathcal{S}_B\] （引理 044R）使 \([B/G]\) 成为 \(B\) 上的 gerbe。

证明

由引理 06PE 立即可得，因为态射 \(B \to B\) 与 \(B \times_B G \to B\) 作为层的态射都是满射。

商叠与大位点的变换

我们建议初次阅读时跳过本节。叠的拉回定义于 Stacks，第 04WA 节。

引理

设给定大位点 \(\Sch_{fppf}\) 与 \(\Sch'_{fppf}\)。假设 \(\Sch_{fppf}\) 包含于 \(\Sch'_{fppf}\) 中；参见拓扑，第 022I 节。设 \(S \in \Ob(\Sch_{fppf})\)。设 \(B, U, R \in \Sh((\Sch/S)_{fppf})\) 为代数空间，并设 \((U, R, s, t, c)\) 为 \(B\) 上代数空间中的群胚。

设 \(f : (\Sch'/S)_{fppf} \to (\Sch/S)_{fppf}\) 为与包含函子 \(u : \Sch_{fppf} \to \Sch'_{fppf}\) 对应的位点态射。则有典范等价 \[[f^{-1}U/f^{-1}R] \longrightarrow f^{-1}[U/R]\] 它由 \((\Sch'/S)_{fppf}\) 上的群胚叠组成。

证明

注意，\(f^{-1}B, f^{-1}U, f^{-1}R \in \Sh((\Sch'/S)_{fppf})\) 由空间，引理 03FP 是代数空间，因而 \((f^{-1}U, f^{-1}R, f^{-1}s, f^{-1}t, f^{-1}c)\) 是 \(f^{-1}B\) 上代数空间中的群胚。因此该陈述有意义。

范畴 \(u_p[U/_{\!p}R]\) 是范畴 \(u_{pp}[U/_{\!p}R]\) 关于态射的 右乘法系 \(I\) 的局部化。\(u_{pp}[U/_{\!p}R]\) 的一个对象是三元组 \[(T', \phi : T' \to T, x)\] 其中 \(T' \in \Ob((\Sch'/S)_{fppf})\)， \(T \in \Ob((\Sch/S)_{fppf})\)，\(\phi\) 是 \(S\) 上概形的态射， 而 \(x : T \to U\) 是 \((\Sch/S)_{fppf}\) 上的层态射。注意，概形态射 \(\phi : T' \to T\) 等同于态射 \(\phi : T' \to u(T)\)；又由于 \(u(T)\) 表示 \(f^{-1}T\)，这也等同于态射 \(T' \to f^{-1}T\)。 此外，由于 \(f^{-1}\) 在代数空间上全忠实（参见空间，引理 04W1），我们也可以把 \(x\) 视为态射 \(x : f^{-1}T \to f^{-1}U\)。下文将不再说明地作这些等同。态射 \[(a, a', \alpha) : (T'_1, \phi_1 : T'_1 \to T_1, x_1) \longrightarrow (T'_2, \phi_2 : T'_2 \to T_2, x_2)\] 若是 \(u_{pp}[U/_{\!p}R]\) 的态射，就是一个交换图表 \[\xymatrix{ & & U \\ T'_1 \ar[d]_{a'} \ar[r]_{\phi_1} & T_1 \ar[d]_a \ar[ru]^{x_1} \ar[r]_\alpha & R \ar[d]^t \ar[u]_s \\ T'_2 \ar[r]^{\phi_2} & T_2 \ar[r]^{x_2} & U }\] 而且这样的态射属于 \(I\) 当且仅当 \(T'_1 = T'_2\) 且 \(a' = \text{id}\)。我们按如下法则定义函子 \[u_{pp}[U/_{\!p}R] \longrightarrow [f^{-1}U/_{\!p}f^{-1}R]\] 它在对象上的法则为 \[(T', \phi : T' \to T, x) \longmapsto (x \circ \phi : T' \to f^{-1}U)\] 在上述态射上的法则为 \[(a, a', \alpha) \longmapsto (\alpha \circ \phi_1 : T'_1 \to f^{-1}R)\] 显然，\(I\) 的元素被变换为同构，因为 \((f^{-1}U, f^{-1}R, f^{-1}s, f^{-1}t, f^{-1}c)\) 是 \(f^{-1}B\) 上代数空间中的群胚。因此，这个函子典范地通过函子 \[u_p[U/_{\!p}R] \longrightarrow [f^{-1}U/_{\!p}f^{-1}R]\] 分解。应用叠化，可得叠函子 \[f^{-1}[U/R] \longrightarrow [f^{-1}U/f^{-1}R]\] 它在 \((\Sch'/S)_{fppf}\) 上；这是因为由 Stacks，引理 04WR， 叠 \(f^{-1}[U/R]\) 是 \(u_p[U/_{\!p}R]\) 的叠化。

至此我们已有叠的态射。要验证它是等价，只需证明它全忠实且对象局部地 位于本质像中；参见 Stacks，引理 04WQ 与 046N。

关于对象的陈述成立，因为 \(f^{-1}R\) 有满平展态射 \(f^{-1}W \to f^{-1}R\)，其中 \(W\) 是 \((\Sch/S)_{fppf}\) 的某个对象。 要证明函子“满”，只需证明态射局部地位于该函子的像中；这成立是因为 \(f^{-1}U\) 有满平展态射 \(f^{-1}W \to f^{-1}U\)，其中 \(W\) 是 \((\Sch/S)_{fppf}\) 的某个对象。略去函子忠实性的证明。

分离性条件

这实际上意指态射 \(j : R \to U \times_B U\) 所满足的条件；这里给定一个 代数空间中的群胚 \((U, R, s, t, c)\)，它在 \(B\) 上。与上一节一样， 我们先写出相应的图表。

引理

设 \(B \to S\) 如第 043A 节所示。设 \((U, R, s, t, c)\) 为 \(B\) 上代数空间中的群胚。设 \(G \to U\) 为稳定子群代数空间。交换图表 \[\xymatrix{ R \ar[d]^{\Delta_{R/U \times_B U}} \ar[rrr]_{f \mapsto (f, s(f))} & & & R \times_{s, U} U \ar[d] \ar[r] & U \ar[d] \\ R \times_{(U \times_B U)} R \ar[rrr]^{(f, g) \mapsto (f, f^{-1} \circ g)} & & & R \times_{s, U} G \ar[r] & G }\]

中的左边两条水平箭头是同构，而右方块是纤维积方块。

证明

略。这是关于定义以及代数几何中函子观点的练习。

引理

设 \(B \to S\) 如第 043A 节所示。设 \((U, R, s, t, c)\) 为 \(B\) 上代数空间中的群胚。设 \(G \to U\) 为稳定子群代数空间。

1. 下列条件等价：

   1. \(j : R \to U \times_B U\) 是分离的；

   2. \(G \to U\) 是分离的；以及

   3. \(e : U \to G\) 是闭浸入。

2. 下列条件等价：

   1. \(j : R \to U \times_B U\) 是局部分离的；

   2. \(G \to U\) 是局部分离的；以及

   3. \(e : U \to G\) 是浸入。

3. 下列条件等价：

   1. \(j : R \to U \times_B U\) 是拟分离的；

   2. \(G \to U\) 是拟分离的；以及

   3. \(e : U \to G\) 是拟紧的。

证明

群代数空间 \(G \to U\) 是 \(R \to U \times_B U\) 沿对角态射 \(U \to U \times_B U\) 的基变换；参见引理 0447。因此，如果 \(j\) 是分离的（相应地， 局部分离的、拟分离的），那么 \(G \to U\) 是分离的（相应地， 局部分离的、拟分离的）。参见空间的态射，引理 03KL。因此在 (1)、(2) 与 (3) 中，(a) \(\Rightarrow\) (b)。

反之，如果 \(G \to U\) 是分离的（相应地，局部分离的、拟分离的）， 那么态射 \(e : U \to G\) 作为结构态射 \(G \to U\) 的截面，是闭浸入 （相应地，浸入、拟紧的）；参见空间的态射，引理 03KP。因此在 (1)、(2) 与 (3) 中，(b) \(\Rightarrow\) (c)。

如果 \(e\) 是闭浸入（相应地，浸入、拟紧的），那么由引理 0454 的结论（以及空间，引理 02YW 和空间的态射，引理 03HF），可知 \(\Delta_{R/U \times_B U}\) 是闭浸入（相应地，浸入、拟紧的）。 因此在 (1)、(2) 与 (3) 中，(c) \(\Rightarrow\) (a)。