引言
本章讨论维数为 \(2\) 的诺特代数空间的奇点解消。 我们在前面的一章中已经依照 Lipman [Lipman] 讨论过概形的曲面解消；见《曲面解消》第 0ADX 节。 本章大多数结果都是概形情形相应结果的直接推论。
除非特别说明，本章中的所有几何对象都是代数空间。因此，若我们说 “设 \(f : X \to Y\) 是一个修改”，则意指 \(f\) 是《域上的空间》定义 0AD8 中的态射。 固有态射等术语也作同样理解。
修改
设 \((A, \mathfrak m, \kappa)\) 为诺特局部环。令 \(S = \Spec(A)\) 且 \(U = S \setminus \{\mathfrak m\}\)。本节考虑范畴 [0AE2]\[\begin{equation} \left\{ f : X \longrightarrow S \quad \middle| \quad \begin{matrix} X\text{ 是代数空间}\\ f\text{ 是固有态射}\\ f^{-1}(U) \to U\text{ 是同构} \end{matrix} \right\}. \end{equation}\] 从 \(X/S\) 到 \(X'/S\) 的态射，是与 \(S\) 上结构态射相容的代数空间态射 \(X \to X'\)。我们在《形式空间的代数化》第 0AS1 节中已经看到，此范畴只依赖于 \(A\) 的完备化，并证明了其中对象的一些初等性质。本节专门研究 \(\dim(A) \leq 2\)，或闭纤维维数至多为 \(1\) 的情形。
引理
设 \((A, \mathfrak m, \kappa)\) 为维数 \(2\) 的诺特局部整环，并且 \(U = \Spec(A) \setminus \{\mathfrak m\}\) 是正规概形。 则任意修改 \(f : X \to \Spec(A)\) 都是 (0AE2) 中的态射。
证明
设 \(f : X \to S\) 为修改。我们须证明 \(f^{-1}(U) \to U\) 是同构。 由于 \(U\) 的每个闭点 \(u\) 都具有余维 \(1\)，结论由《域上的空间》引理 0BBQ 得到。
引理
设 \((A, \mathfrak m, \kappa)\) 为诺特局部环。 设 \(g : X \to Y\) 为范畴 (0AE2) 中的态射。 若特殊纤维上的诱导态射 \(X_\kappa \to Y_\kappa\) 是闭浸入， 则 \(g\) 是闭浸入。
证明
这是《空间态射进阶》引理 05XA 的一个特殊情形。
引理
设 \((A, \mathfrak m, \kappa)\) 为维数 \(\geq 1\) 的诺特局部整环。 设 \(f : X \to \Spec(A)\) 为代数空间态射。假设下列条件中至少一个成立：
\(f\) 是修改（《域上的空间》定义 0AD8）；
\(f\) 是变换（《域上的空间》定义 0ADA）；
\(f\) 局部有限型且拟分离，\(X\) 整，并且 \(|X|\) 中恰有一个点 映到 \(\Spec(A)\) 的泛点；
\(f\) 局部有限型，\(X\) 合宜，并且 \(|X|\) 中映到 \(\Spec(A)\) 泛点的点，正是 \(|X|\) 各不可约分支的泛点；
此处还可增加其他条件。
则 \(\dim(X_\kappa) \leq \dim(A) - 1\)。
证明
情形 (1)、(2)、(3) 都是 (4) 的特殊情形。取仿射概形 \(U = \Spec(B)\) 以及平展态射 \(U \to X\)。环映射 \(A \to B\) 有限型。 我们须证明 \(\dim(U_\kappa) \leq \dim(A) - 1\)。 由于 \(X\) 合宜，\(U\) 各不可约分支的泛点就是位于 \(|X|\) 各不可约分支泛点之上的点；见《合宜空间》引理 0ABV。 因此，\(\Spec(B) \to \Spec(A)\) 在 \((0)\) 上的纤维是 \(B\) 的极小素理想 \(\mathfrak q_1, \ldots, \mathfrak q_r\) 所成的有限集合。 于是对某个非零 \(f \in A\)，\(A_f \to B_f\) 有限 （《代数》引理 02ML）。 由此 \(\kappa(\mathfrak q_i)\) 是 \(A\) 的分式域的有限扩张。 设 \(\mathfrak q \subset B\) 是位于 \(\mathfrak m\) 之上的素理想。则 \[\dim(B_\mathfrak q) = \max \dim((B/\mathfrak q_i)_{\mathfrak q}) \leq \dim(A)\] 其中不等式来自 \(A \subset B/\mathfrak q_i\) 的维数公式；见《代数》引理 02IJ。 然而，\(B_\mathfrak q/\mathfrak m B_\mathfrak q\) 的维数 （这正是 \(U_\kappa\) 在相应点处的局部环的维数）至少少一， 因为极小素理想 \(\mathfrak q_i\) 不属于 \(V(\mathfrak m)\)。 最后应用《性质》引理 04MU。
引理
若 \((A, \mathfrak m, \kappa)\) 为维数 \(2\) 的完备诺特局部整环， 则 \(\Spec(A)\) 的每个修改都在 \(A\) 上射影。
证明
由《空间态射进阶》引理 0AE7， 只须证明 \(\Spec(A)\) 的任意修改 \(X\) 的特殊纤维维数 \(\leq 1\)。 这由引理 0AYJ 得出。
策略
设 \(S\) 为概形，\(X\) 为 \(S\) 上的合宜代数空间。 设 \(x_1, \ldots, x_n \in |X|\) 为两两不同的闭点。 对每个 \(i\)，依照《合宜空间》引理 0BBP， 选取初等平展邻域 \((U_i, u_i) \to (X, x_i)\)。 这意味着 \(U_i\) 是仿射概形，\(U_i \to X\) 平展，\(u_i\) 是 \(U_i\) 中位于 \(x_i\) 之上的唯一点，并且 \(\Spec(\kappa(u_i)) \to X\) 是表示 \(x_i\) 的单态射。 缩小 \(U_i\) 后，我们可以并且确实假设：若 \(j \not = i\)， 则 \(U_i\) 中不存在映到 \(x_j\) 的点。注意 \(u_i \in U_i\) 是闭点。
以 \(\mathcal{C}_{X, \{x_1, \ldots, x_n\}}\) 表示如下代数空间态射 \(f : Y \to X\) 所成的范畴：它们诱导同构 \(f^{-1}(X \setminus \{x_1, \ldots, x_n\}) \to X \setminus \{x_1, \ldots, x_n\}\)。 对每个 \(i\)，以 \(\mathcal{C}_{U_i, u_i}\) 表示如下代数空间态射 \(g_i : Y_i \to U_i\) 所成的范畴：它们诱导同构 \(g_i^{-1}(U_i \setminus \{u_i\}) \to U_i \setminus \{u_i\}\)。 基变换定义了一个函子 [0BHA]\[\begin{equation} F : \mathcal{C}_{X, \{x_1, \ldots, x_n\}} \longrightarrow \mathcal{C}_{U_1, u_1} \times \ldots \times \mathcal{C}_{U_n, u_n}. \end{equation}\] 为了把本章至少一部分问题约化到概形情形，我们有下述引理。
引理
函子 \(F\)（0BHA）是范畴等价。
证明
当 \(n = 1\) 时，这就是《空间的极限》引理 0BGY。 当 \(n > 1\) 时，可以用完全相同的方法证明，也可以从前一情形推出。 例如，假设 \(g_i : Y_i \to U_i\) 是 \(\mathcal{C}_{U_i, u_i}\) 中的对象。由 \(n = 1\) 的情形， 可以找到 \(f'_i : Y'_i \to X\)，它在 \(X \setminus \{x_i\}\) 上为同构， 而其到 \(U_i\) 的基变换为 \(f_i\)。 于是可以令 \[f : Y = Y'_1 \times_X \ldots \times_X Y'_n \to X\] 这是 \(\mathcal{C}_{X, \{x_1, \ldots, x_n\}}\) 中的对象， 沿 \(U_i \to X\) 作基变换后恢复 \(g_i\)。因此该函子本质满。 完全忠实性的证明从略。
引理
设 \(X, x_i, U_i \to X, u_i\) 如 (0BHA) 中所述。 若在 \(F\) 下 \(f : Y \to X\) 对应于 \(g_i : Y_i \to U_i\)，则 \(f\) 拟紧、拟分离、分离、局部有限呈示、有限呈示、局部有限型、有限型、 固有、整或有限，当且仅当对 \(i = 1, \ldots, n\)，\(g_i\) 具有相应性质。
证明
这由《空间的极限》引理 0BGZ 得出。
引理
设 \(X, x_i, U_i \to X, u_i\) 如 (0BHA) 中所述。 若在 \(F\) 下 \(f : Y \to X\) 对应于 \(g_i : Y_i \to U_i\)， 则代数空间 \(Y_{x_i} \cong (Y_i)_{u_i}\)。
证明
这是显然的，因为 \(u_i \to x_i\) 是同构。
由二次变换支配
只有当 \(X\) 合宜时，我们才定义空间在一点处的爆破。
定义
设 \(S\) 为概形，\(X\) 为 \(S\) 上的合宜代数空间， \(x \in |X|\) 为闭点。由《合宜空间》引理 0AHB， 可用闭浸入 \(i : \Spec(k) \to X\) 表示 \(x\)。 所谓 \(X\) 在 \(x\) 处的爆破 \(X' \to X\)， 是指 \(X\) 沿闭子空间 \(Z = i(\Spec(k)) \subset X\) 的爆破。
在这种一般性下，\(X\) 在 \(x\) 处的爆破未必固有。 然而，若 \(X\) 局部诺特，则由《空间上的除子》引理 085Z，该爆破是固有的。 回忆，局部诺特代数空间为诺特的，当且仅当它拟紧且拟分离。 此外，对局部诺特代数空间而言，拟分离等价于合宜 （《合宜空间》引理 0BB6）。
引理
设 \(X, x_i, U_i \to X, u_i\) 如 (0BHA) 中所述， 并假设在 \(F\) 下 \(f : Y \to X\) 对应于 \(g_i : Y_i \to U_i\)。 则 \(f\) 存在分解 \[Y = Z_m \to Z_{m - 1} \to \ldots \to Z_1 \to Z_0 = X\] 其中 \(Z_{j + 1} \to Z_j\) 是 \(Z_j\) 在位于 \(\{x_1, \ldots, x_n\}\) 之上的闭点 \(z_j\) 处的爆破， 当且仅当对每个 \(i\)，\(g_i\) 存在分解 \[Y_i = Z_{i, m_i} \to Z_{i, m_i - 1} \to \ldots \to Z_{i, 1} \to Z_{i, 0} = U_i\] 其中 \(Z_{i, j + 1} \to Z_{i, j}\) 是 \(Z_{i, j}\) 在位于 \(u_i\) 之上的闭点 \(z_{i, j}\) 处的爆破。
证明
爆破是可表态射。因此在任一情形中，归纳可见 \(Z_j \to X\) 或 \(Z_{i, j} \to U_i\) 可表。 于是由《合宜空间》引理 0ABT， 每个 \(Z_j\) 或 \(Z_{i,j}\) 都是合宜代数空间。 这说明上述断言有意义（因为爆破只对合宜空间定义）。
为证明等价性，先从一列爆破 \(Z_m \to Z_{m - 1} \to \ldots \to Z_1 \to Z_0 = X\) 出发。 第一个态射 \(Z_1 \to X\) 是对某个 \(x_i\) 的爆破，不妨设为 \(x_1\)。 把 \(F\) 应用于 \(Z_1 \to X\)，便得到在 \(u_1\) 处的爆破 \(Z_{1, 1} \to U_1\) 是在 \(u_1\) 处的爆破； 而对 \(i > 1\)，\(Z_{i,0}=U_i\)。 下一步，我们或者在 \(Z_1\) 上爆破某个 \(x_i\)（\(i\geq 2\)）， 或者选取 \(Z_1 \to X\) 在 \(x_1\) 上纤维中的闭点 \(z_1\)。 第一种情形中做法显然；第二种情形中，利用 \((Z_1)_{x_1} \cong (Z_{1, 1})_{u_1}\) （引理 0BHD）， 得到与 \(z_1\) 对应的闭点 \(z_{1,1}\in Z_{1,1}\)。 然后令 \(Z_{1,2}\to Z_{1,1}\) 为在 \(z_{1,1}\) 处的爆破。 依此继续，便构造出每个 \(g_i\) 的分解。
反过来，给定各列爆破 \(Z_{i, m_i} \to Z_{i, m_i - 1} \to \ldots \to Z_{i, 1} \to Z_{i, 0} = U_i\)，以完全相同的方式构造 \(X\) 的爆破序列。
引理
设 \(S\) 为概形，\(X\) 为 \(S\) 上的诺特代数空间。 设 \(T \subset |X|\) 为由闭点 \(x\) 组成的有限集合，并且 (1) \(X\) 在 \(x\) 处正则；(2) \(X\) 在 \(x\) 处的局部环维数为 \(2\)。 设 \(\mathcal{I} \subset \mathcal{O}_X\) 为拟凝聚理想层， 使 \(\mathcal{O}_X/\mathcal{I}\) 支撑于 \(T\)。则存在序列 \[X_m \to X_{m - 1} \to \ldots \to X_1 \to X_0 = X\] 其中 \(X_{j + 1} \to X_j\) 是 \(X_j\) 在某个闭点 \(x_j\) 处的爆破， 该点位于 \(T\) 中一点之上，并且 \(\mathcal{I}\mathcal{O}_{X_n}\) 是可逆理想层。
证明
设 \(T = \{x_1, \ldots, x_r\}\)。如第 0BH9 节， 选取初等平展邻域 \((U_i,u_i)\to(X,x_i)\)。 对每个 \(i\)，限制 \(\mathcal{I}_i=\mathcal{I}|_{U_i}\subset\mathcal{O}_{U_i}\) 是支撑于 \(u_i\) 的拟凝聚理想层。 \(U_i\) 在 \(u_i\) 处的局部环正则且维数为 \(2\)。 因此可以应用《曲面解消》引理 0AHH，得到序列 \[X_{i, m_i} \to X_{i, m_i - 1} \to \ldots \to X_1 \to X_{i, 0} = U_i\]
其中各态射是在位于 \(u_i\) 之上的闭点处作爆破，且 \(\mathcal{I}_i \mathcal{O}_{X_{i, m_i}}\) 可逆。 由引理 0BHF，得到一列爆破 \[X_m \to X_{m - 1} \to \ldots \to X_1 \to X_0 = X\] 如引理所述，它到各 \(U_i\) 的基变换给出上述序列。 于是 \(\mathcal{I}\mathcal{O}_{X_n}\) 是可逆理想层。 事实上，在 \(X\setminus\{x_1,\ldots,x_n\}\) 上这是已知的， 而在每个 \(x_i\) 的纤维的一个平展邻域中，这由构造成立。
引理
设 \(S\) 为概形，\(X\) 为 \(S\) 上的诺特代数空间。 设 \(T\subset|X|\) 为由闭点 \(x\) 组成的有限集合，并且 (1) \(X\) 在 \(x\) 处正则；(2) \(X\) 在 \(x\) 处的局部环维数为 \(2\)。 设 \(f:Y\to X\) 为代数空间的固有态射，并且在 \(U=X\setminus T\) 上为同构。则存在序列 \[X_n \to X_{n - 1} \to \ldots \to X_1 \to X_0 = X\] 其中 \(X_{i+1}\to X_i\) 是 \(X_i\) 在闭点 \(x_i\) 处的爆破， 该点位于 \(T\) 中一点之上，并且复合态射存在分解 \(X_n\to Y\to X\)。
证明
由《空间态射进阶》引理 087G， 存在支配 \(Y\to X\) 的 \(U\)-容许爆破 \(X'\to X\)。 因此可以假设存在理想层 \(\mathcal{I}\subset\mathcal{O}_X\)， 使 \(\mathcal{O}_X/\mathcal{I}\) 支撑于 \(T\)，并且 \(Y\) 是 \(X\) 沿 \(\mathcal{I}\) 的爆破。 由引理 0BHG，存在序列 \[X_n \to X_{n - 1} \to \ldots \to X_1 \to X_0 = X\] 其中 \(X_{i+1}\to X_i\) 是 \(X_i\) 在位于 \(T\) 中一点之上的闭点 \(x_i\) 处的爆破，并且 \(\mathcal{I}\mathcal{O}_{X_n}\) 是可逆理想层。 由爆破的泛性质（《空间上的除子》引理 085U）， 得到所需分解。
由正规化爆破支配
本节证明，曲面的一个修改可由一列在点处的正规化爆破支配。
定义
设 \(S\) 为概形，\(X\) 为 \(S\) 上的合宜代数空间，并满足 《空间的态射》引理 0BB1 中的等价条件。 设 \(x\in|X|\) 为闭点。所谓 \(X\) 在 \(x\) 处的 正规化爆破，是复合 \(X''\to X'\to X\)，其中 \(X'\to X\) 是 \(X\) 在 \(x\) 处的爆破 （定义 0BHE）， 而 \(X''\to X'\) 是 \(X'\) 的正规化。
这里，正规化 \(X''\to X'\) 作为代数空间有定义， 因为 \(X'\) 满足《空间的态射》引理 0BB1 中的等价条件； 这由《空间上的除子》引理 0BH1 得到。 正规化的定义见《空间的态射》定义 0BB2。
一般而言，即使 \(X\) 诺特，正规化爆破也未必固有。 回忆，若一个代数空间有由 Nagata 环的谱所成的仿射平展覆盖， 则称它为 Nagata；见《空间的性质》定义 03E6、 备注 03E7 以及《性质》定义 033S。
引理
在定义 0BHJ 中，若 \(X\) 为 Nagata， 则 \(X\) 在 \(x\) 处的正规化爆破是 \(X\) 上固有的正规 Nagata 代数空间。
证明
爆破态射 \(X'\to X\) 固有（由于 \(X\) 局部诺特，可以应用 《空间上的除子》引理 085Z）。 因此 \(X'\) 为 Nagata（《空间的态射》引理 0BAU）。 故正规化 \(X''\to X'\) 有限（《空间的态射》引理 0BB5）， 从而 \(X''\to X\) 也固有（《空间的态射》引理 04NZ 和 04XY）。 由此，正规化爆破是正规（《空间的态射》引理 0BB4）Nagata 代数空间。
下面是引理 0BHF 对正规化爆破的类似结论。
引理
设 \(X,x_i,U_i\to X,u_i\) 如 (0BHA) 中所述， 并假设在 \(F\) 下 \(f:Y\to X\) 对应于 \(g_i:Y_i\to U_i\)。 假设 \(X\) 满足《空间的态射》引理 0BB1 中的等价条件。 则 \(f\) 存在分解 \[Y = Z_m \to Z_{m - 1} \to \ldots \to Z_1 \to Z_0 = X\] 其中 \(Z_{j+1}\to Z_j\) 是 \(Z_j\) 在位于 \(\{x_1,\ldots,x_n\}\) 之上的闭点 \(z_j\) 处的正规化爆破， 当且仅当对每个 \(i\)，\(g_i\) 存在分解 \[Y_i = Z_{i,m_i} \to Z_{i,m_i-1} \to \ldots \to Z_{i,1} \to Z_{i,0}=U_i\] 其中 \(Z_{i,j+1}\to Z_{i,j}\) 是 \(Z_{i,j}\) 在位于 \(u_i\) 之上的闭点 \(z_{i,j}\) 处的正规化爆破。
证明
这由证明引理 0BHF 时完全相同的论证得出。
Nagata 代数空间局部诺特。
引理
设 \(S\) 为概形，\(X\) 为 \(S\) 上维数 \(\dim(X)=2\) 的诺特 Nagata 代数空间，\(f:Y\to X\) 为固有双有理态射。 则存在交换图 \[\xymatrix{ X_n \ar[r] \ar[d] & X_{n - 1} \ar[r] & \ldots \ar[r] & X_1 \ar[r] & X_0 \ar[d] \\ Y \ar[rrrr] & & & & X }\] 其中 \(X_0\to X\) 是正规化，而 \(X_{i+1}\to X_i\) 是 \(X_i\) 在某个闭点处的正规化爆破。
证明
虽然可以直接为代数空间证明本引理， 我们仍沿用上面的做法，将它约化到概形情形。
我们将用到：诺特代数空间拟分离，因此其点有良定义的剩余域 （例如由《合宜空间》引理 0BBP）。 我们还将不再另行说明地使用《空间的态射》第 0BAT、 0BAW 和 07U3 节的结果。 可用 \(Y\) 的正规化替换 \(Y\)。令 \(X_0\to X\) 为正规化。 态射 \(Y\to X\) 分解经过 \(X_0\)，故可以假设 \(X\) 与 \(Y\) 都正规。
假设 \(X\) 与 \(Y\) 正规。态射 \(f:Y\to X\) 在一个开集上为同构， 该开集包含 \(Y\) 中每个余维 \(0\) 或 \(1\) 的点，以及纤维为有限的每个点； 见《域上的空间》引理 0BBQ。 由此存在闭点的有限集合 \(T\subset|X|\)，使 \(f\) 在 \(X\setminus T\) 上为同构。 由《空间态射进阶》引理 087G， 存在支配 \(Y\) 的 \(X\setminus T\)-容许爆破 \(Y'\to X\)。 用 \(Y'\) 的正规化替换 \(Y\) 后，可以假设 \(Y\to X\) 可表。
设 \(T=\{x_1,\ldots,x_r\}\)。如第 0BH9 节， 选取初等平展邻域 \((U_i,u_i)\to(X,x_i)\)。 对每个 \(i\)，态射 \(Y_i=Y\times_XU_i\to U_i\) 是固有双有理态射， 并且在 \(U_i\setminus\{u_i\}\) 上为同构。 因此可以应用《曲面解消》引理 0BBT，得到序列 \[X_{i,m_i}\to X_{i,m_i-1}\to\ldots\to X_1\to X_{i,0}=U_i\]
其中各态射是在位于 \(u_i\) 之上的闭点处作正规化爆破， 且 \(X_{i,m_i}\) 支配 \(Y_i\)。 由引理 0BHL， 得到一列正规化爆破 \[X_m\to X_{m-1}\to\ldots\to X_1\to X_0=X\] 如引理所述，其到各 \(U_i\) 的基变换给出上述序列。 由引理 0BHB 的范畴等价，\(X_m\) 支配 \(Y\)。
到完备化的基变换
下面这个简单引理将在后文中成为有用的工具。
引理
设 \((A,\mathfrak m,\kappa)\) 为局部环，极大理想 \(\mathfrak m\) 有限生成。设 \(X\) 为 \(A\) 上的合宜代数空间，并令 \(Y=X\times_{\Spec(A)}\Spec(A^\wedge)\)，其中 \(A^\wedge\) 为 \(A\) 的 \(\mathfrak m\)-进完备化。 设 \(q\in|Y|\) 的像 \(p\in|X|\) 位于 \(\Spec(A)\) 的闭点之上， 则 Hensel 局部环的映射 \(\mathcal{O}_{X,p}^h\to\mathcal{O}_{Y,q}^h\) 在完备化上诱导同构。
证明
选取《合宜空间》引理 0BBP 中的初等平展邻域 \((U,u)\to(X,p)\)，并令 \(V=U\times_XY=U\times_{\Spec(A)}\Spec(A^\wedge)\)、\(v=(u,q)\)， 便立刻从概形情形得到结论。概形情形见《曲面解消》引理 0BG5。
引理
设 \((A,\mathfrak m,\kappa)\) 为诺特局部环。 设 \(X\to\Spec(A)\) 为局部有限型态射，且 \(X\) 是合宜代数空间。 令 \(Y=X\times_{\Spec(A)}\Spec(A^\wedge)\)。 设 \(y\in|Y|\) 的像为 \(x\in|X|\)。则：
若 \(\mathcal{O}_{Y,y}^h\) 正则，则 \(\mathcal{O}_{X,x}^h\) 正则；
若 \(y\) 在闭纤维中，则 \(\mathcal{O}_{Y,y}^h\) 正则 \(\Leftrightarrow\mathcal{O}_{X,x}^h\) 正则；
若 \(X\) 在 \(A\) 上固有，则 \(X\) 正则当且仅当 \(Y\) 正则。
证明
经过平展局部化，前两个断言立即归结为相应的概形结论；见《曲面解消》引理 0BG6。 对 (3)，由于 \(Y\to X\) 满（因为 \(A\to A^\wedge\) 忠实平坦）， 由 (1) 可知 \(Y\) 正则蕴含 \(X\) 正则。 反之，若 \(X\) 正则，则 \(Y\) 在特殊纤维所有点处的 Hensel 局部环都正则。 任取 \(y\in|Y|\)。在固有情形中， \(|Y|\to|\Spec(A^\wedge)|\) 是闭映射，故可找到特化 \(y\leadsto y_0\)，其中 \(y_0\) 在闭纤维中。 依照《合宜空间》引理 0BBP， 选取初等平展邻域 \((V,v_0)\to(Y,y_0)\)。 由于 \(Y\) 合宜，可以把 \(y\leadsto y_0\) 提升为 \(V\) 中的特化 \(v\leadsto v_0\)（《合宜空间》引理 03IL）。 于是 \(\mathcal{O}_{V,v}\) 是 \(\mathcal{O}_{V,v_0}\) 的局部化，故正则， 证明完成。
引理
设 \((A,\mathfrak m)\) 为局部诺特环，\(X\) 为 \(A\) 上的代数空间。 假设：
\(A\) 解析无分歧 （《代数》定义 032X）；
\(X\) 在 \(A\) 上局部有限型；
\(X\to\Spec(A)\) 在 \(X\) 中每个余维 \(0\) 的点处平展。
则 \(X\) 的正规化在 \(X\) 上有限。
证明
选取概形 \(U\) 及满平展态射 \(U\to X\)。 于是 \(U\to\Spec(A)\) 满足《曲面解消》引理 0BG8 的假设，因而也满足其结论。
推得的性质
本节证明：对诺特整代数空间，正则变换的存在会带来相当多的后果。 对“病态”诺特代数空间不感兴趣的读者可以跳过本节。
引理
设 \(S\) 为概形，\(Y\) 为 \(S\) 上的诺特整代数空间。 假设存在变换 \(f:X\to Y\)，且 \(X\) 正则。 则正规化 \(Y^\nu\to Y\) 有限，并且 \(Y\) 有一个正则的稠密开子空间。
证明
通过平展局部化，只须在 \(Y=\Spec(A)\) 时证明，其中 \(A\) 是诺特整环。 设 \(B\) 为 \(A\) 在其分式域中的整闭包，并令 \(C=\Gamma(X,\mathcal{O}_X)\)。由《空间的上同调》引理 08AR， \(C\) 是有限 \(A\)-模。 由于 \(X\) 正规（《空间的性质》引理 0BGT）， \(C\) 是正规整环（《域上的空间》引理 0BH3）。 因此 \(B\subset C\)；又因 \(A\) 诺特，得出 \(B\) 在 \(A\) 上有限。
存在非空开集 \(V\subset Y\)，使 \(f^{-1}V\to V\) 有限； 见《域上的空间》定义 0ADA。 缩小 \(V\) 后，可以假设 \(f^{-1}V\to V\) 平坦 （《空间的态射》命题 06QS）。 因此 \(f^{-1}V\to V\) 忠实平坦。 由《代数》引理 07NG，\(V\) 正则。
引理
设 \((A,\mathfrak m,\kappa)\) 为局部诺特整环。 假设存在变换 \(f:X\to\Spec(A)\)，且 \(X\) 正则。则：
存在非零 \(f\in A\)，使 \(A_f\) 正则；
\(A\) 在其分式域中的整闭包 \(B\) 在 \(A\) 上有限；
\(B\) 的 \(\mathfrak m\)-进完备化是正规环；换言之， \(B\) 在各极大理想处的完备化都是正规整环；
\(A\) 的泛形式纤维正则。
证明
(1) 与 (2) 由引理 0BHT 得出。 为给 (3) 的证明建立记号，需要重做该引理证明的一部分。 令 \(C=\Gamma(X,\mathcal{O}_X)\)。由《空间的上同调》引理 08AR， \(C\) 是有限 \(A\)-模。 由于 \(X\) 正规（《空间的性质》引理 0BGT）， \(C\) 是正规整环（《域上的空间》引理 0BH3）。 因此 \(B\subset C\)；又因 \(A\) 诺特，\(B\) 在 \(A\) 上有限。 由《曲面解消》引理 0BGH， 为证明 (3)，只须证明 \(C\) 的 \(\mathfrak m\)-进完备化 \(C^\wedge\) 正规。
由《代数》引理 07N9， 完备化 \(C^\wedge\) 是 \(C\) 在位于 \(\mathfrak m\) 之上的各素理想处 完备化的乘积。这些素理想为有限多个，且就是 \(C\) 的极大理想 \(\mathfrak m_1,\ldots,\mathfrak m_r\)。 （对 \(B\) 的相应结果解释了引理中的最后一个说明。） 因此，用 \(C_{\mathfrak m_i}\) 替换 \(A\)，并用 \(X_i=X\times_{\Spec(C)}\Spec(C_{\mathfrak m_i})\) 替换 \(X\)， 便约化到下一段讨论的情形。 （注意，由《空间的上同调》引理 073K， \(\Gamma(X_i,\mathcal{O})=C_{\mathfrak m_i}\)。）
现在 \(A\) 是诺特局部正规整环，\(f:X\to\Spec(A)\) 是正则变换，并且 \(\Gamma(X,\mathcal{O}_X)=A\)。 我们须证明 \(A\) 的完备化 \(A^\wedge\) 是正规整环。 由引理 0BHQ， \(Y=X\times_{\Spec(A)}\Spec(A^\wedge)\) 正则。 由《空间的上同调》引理 073K， \(\Gamma(Y,\mathcal{O}_Y)=A^\wedge\)。 与前面相同，可推出 \(A^\wedge\) 正规。 具体而言，由《空间的性质》引理 0BGT，\(Y\) 正规。 它连通，因为 \(\Gamma(Y,\mathcal{O}_Y)=A^\wedge\) 是局部环。 所以 \(Y\) 正规且整（对分离代数空间，连通且正规蕴含整）。 于是由《域上的空间》引理 0BH3， \(\Gamma(Y,\mathcal{O}_Y)=A^\wedge\) 是正规整环。这证明了 (3)。
证明 (4)。令 \(\eta\in\Spec(A)\) 表示泛点，并以指标 \(\eta\) 表示到 \(\eta\) 的基变换。由于 \(f\) 是变换，概形 \(X_\eta\) 在 \(\eta\) 上有限且忠实平坦。由引理 0BHQ， \(Y=X\times_{\Spec(A)}\Spec(A^\wedge)\) 正则， 故 \(Y_\eta\) 正则（它是 \(Y\) 中开集的极限）。 于是 \(Y_\eta\to\Spec(A^\wedge\otimes_A\kappa(\eta))\) 有限且忠实平坦地映到泛形式纤维。 结论由《代数》引理 07NG 得出。
解消
先给出一个定义。
定义
设 \(S\) 为概形，\(Y\) 为 \(S\) 上的诺特整代数空间。 所谓 \(X\) 的一个奇点解消， 是修改 \(f:X\to Y\)，其中 \(X\) 正则。
对曲面，我们有时还需要多一点信息。
定义
设 \(S\) 为概形，\(Y\) 为 \(S\) 上维数为 \(2\) 的诺特整代数空间。 若存在序列 \[Y_n \to X_{n - 1} \to \ldots \to Y_1 \to Y_0 \to Y\]
满足
对 \(i=0,\ldots,n\)，\(Y_i\) 在 \(Y\) 上固有；
\(Y_0\to Y\) 是正规化；
对 \(i=1,\ldots,n\)，\(Y_i\to Y_{i-1}\) 是正规化爆破；
\(Y_n\) 正则，
则称 \(Y\) 有一个由正规化爆破给出的奇点解消。
注意，条件 (1) 蕴含 \(Y\) 的正规化 \(Y_0\) 在 \(Y\) 上有限， 并且正规化爆破中所用的各正规化也都是有限的。 现在终于来到本章的主定理。
定理
设 \(S\) 为概形，\(Y\) 为 \(S\) 上的二维整诺特代数空间。 下列条件等价：
存在变换 \(X\to Y\)，其中 \(X\) 正则；
\(Y\) 存在奇点解消；
\(Y\) 有由正规化爆破给出的奇点解消；
正规化 \(Y^\nu\to Y\) 有限，\(Y^\nu\) 有有限多个奇点 \(y_1,\ldots,y_m\in|Y|\)， 并且对每个 \(i\)，Hensel 局部环 \(\mathcal{O}_{Y^\nu,y_i}^h\) 的完备化正规。
证明
蕴含关系 (3) \(\Rightarrow\) (2) \(\Rightarrow\) (1) 是立即的。
设 \(X\to Y\) 为变换且 \(X\) 正则。 由引理 0BHT，\(Y^\nu\to Y\) 有限。 考虑《空间的态射》引理 0BB4 给出的分解 \(f:X\to Y^\nu\)。 由《域上的空间》引理 0AD2， \(f\) 在开集 \(V\subset Y^\nu\) 上有限，而该开集包含 \(Y^\nu\) 中每个余维 \(\leq1\) 的点。 由《代数》引理 00R4， 以及维数 \(\leq 2\) 的正规局部环由 Serre 判别准则成为 Cohen–Macaulay 环这一事实 （《代数》引理 031S）， \(f\) 在 \(V\) 上平坦。 再由《代数》引理 07NG，\(V\) 正则。 由于 \(Y^\nu\) 诺特，得出 \(Y^\nu\setminus V=\{y_1,\ldots,y_m\}\) 有限。 对每个 \(i\)，令 \(\mathcal{O}_{Y^\nu,y_i}^h\) 为 Hensel 局部环。 则 \(X\times_Y\Spec(\mathcal{O}_{Y^\nu,y_i}^h)\) 是 \(\Spec(\mathcal{O}_{Y^\nu,y_i}^h)\) 的正则变换 （省略一些细节）。由引理 0BHU， \(\mathcal{O}_{Y^\nu,y_i}^h\) 的完备化正规。 这就证明了 (1) \(\Rightarrow\) (4)。
假设 (4)，须证明 (3)。可以立刻用其正规化替换 \(Y\)。 设 \(y_1,\ldots,y_m\in|Y|\) 为奇点。 如第 0BH9 节，选取一族初等平展邻域 \((V_i,v_i)\to(Y,y_i)\)。 对每个 \(i\)，Hensel 局部环 \(\mathcal{O}_{Y^\nu,y_i}^h\) 是 \(\mathcal{O}_{V_i,v_i}\) 的 Hensel 化，故这些环的完备化同构。 于是由概形情形的结果（《曲面解消》定理 0BGP），存在有限列正规化爆破 \[X_{i,n_i}\to X_{i,n_i-1}\to\ldots\to V_i\] 其中只爆破位于 \(v_i\) 之上的点，并且 \(X_{i,n_i}\) 正则。 由引理 0BHL， 存在一列正规化爆破 \[X_n\to X_{n-1}\to\ldots\to X_1\to Y\] 当然 \(X_n\) 也正则（考察局部环即可）。证明完成。
例子
下面给出一些与本章前述结果有关的例子。
例
设 \(k\) 为域。若 \(r,s,t\) 两两互素，则环 \(A=k[x,y,z]/(x^r+y^s+z^t)\) 是唯一分解整环（UFD）。 事实上，由于 \(x^r+y^s+z^t\) 不可约，\(A\) 是整环。 元素 \(z\) 是素元，即它在 \(A\) 中生成素理想。 另一方面，若对某个 \(e\) 有 \(t=1+ers\)，则 \[A[1/z]\cong k[x',y',1/z]\] 其中 \(x'=x/z^{es}\)、\(y'=y/z^{er}\)，并且 \(z=(x')^r+(y')^s\)。 因此 \(A[1/z]\) 是多项式环的一个局部化，故为 UFD。 由 Nagata 的一个论证，\(A\) 也是 UFD；见《代数》引理 0AFU。 当 \(t\) 模 \(rs\) 不同余于 \(1\) 时，也可以给出类似论证。
例
若 \(1<r<s<t\) 是两两互素且不等于 \(2,3,5\) 的整数，则环 \(A=\mathbf{C}[[x,y,z]]/(x^r+y^s+z^t)\) 不是 UFD。 例如考虑特殊情形 \(A=\mathbf{C}[[x,y,z]]/(x^2+y^5+z^7)\)。 考虑映射 \[\psi_\zeta:\mathbf{C}[[x,y,z]]/(x^2+y^5+z^7)\to\mathbf{C}[[t]]\] 其定义为 \[x\mapsto t^7,\quad y\mapsto t^3,\quad z\mapsto-\zeta t^2(1+t)^{1/7}\] 其中 \(\zeta\) 是 \(7\) 次单位根。 \(\psi_\zeta\) 的核 \(\mathfrak p_\zeta\) 是高度一素理想； 因而若 \(A\) 是 UFD，它就是主理想，不妨设由 \(f_\zeta\in\mathbf{C}[[x,y,z]]\) 生成。 注意 \(V(x^3-y^7)=\bigcup V(\mathfrak p_\zeta)\)，并且 \(A/(x^3-y^7)\) 在闭点以外是既约的。 因此，仍假设 \(A\) 为 UFD，就会有 \[\prod\nolimits_\zeta f_\zeta =u(x^3-y^7)+a(x^2+y^5+z^7) \quad\text{于}\quad \mathbf{C}[[x,y,z]]\] 其中 \(u\in\mathbf{C}[[x,y,z]]\) 是单位， \(a\in\mathbf{C}[[x,y,z]]\)。 乘以一个常数后，可以假设 \(u(0,0,0)=1\)。 注意左端的消失阶为 \(7\)，故 \(a=-x\bmod\mathfrak m^2\)。 但这样一来，右端出现项 \(xy^5\)，而左端没有该项，矛盾。
例
存在一个优秀的维数为 \(2\) 的诺特局部环，以及一个不是概形的修改 \(X\to S=\Spec(A)\)。我们概述一种构造。 设 \(X\) 为 \(\mathbf{C}\) 上的正规曲面，只有一个奇点 \(x\in X\)。 假设存在解消 \(\pi:X'\to X\)，使例外纤维 \(C=\pi^{-1}(x)_{red}\) 是光滑射影曲线。 再假设存在 \(c\in C\)，使得只要 \(\mathcal{O}_C(nc)\) 在 \(\Pic(X')\to\Pic(C)\) 的像中，就有 \(n=0\)。 令 \(X''\to X'\) 为在非奇异点 \(c\) 处的爆破。 设 \(C'\subset X''\) 为 \(C\) 的严格变换，\(E\subset X''\) 为例外纤维。 由 Artin 的结果（[ArtinII]；例如用 [Mumford-topology] 可见 \(C'\) 的法丛为负），可以在 \(X''\) 中收缩曲线 \(C'\)， 得到代数空间 \(X'''\)。图示为 \[\xymatrix{ & X'' \ar[ld] \ar[rd] \\ X' \ar[rd] & & X''' \ar[ld] \\ & X }\] 我们断言 \(X'''\) 不是概形。这给出了所需例子， 因为 \(X'''\) 是概形，当且仅当 \(X'''\) 到 \(A=\mathcal{O}_{X,x}\) 的基变换是概形（省略细节）。 如果 \(X'''\) 是概形， 则 \(C'\) 在 \(X'''\) 中的像会有一个仿射邻域。 该邻域的补集会是 \(X'''\) 上的有效 Cartier 除子 （因为 \(X'''\) 除 \(1\) 个点外非奇异）。 这个有效 Cartier 除子对应于 \(X''\) 上一个与 \(E\) 相交且避开 \(C'\) 的有效 Cartier 除子。取其在 \(X'\) 中的像，就得到一个有效 Cartier 除子，它在集合论意义下与 \(C\) 交于 \(c\)。 这不可能，因为按假设，\(c\) 的任何倍数都不是某个 Cartier 除子的限制。
最后还须找到这样的奇异曲面 \(X\)。可以直接取 \(X\) 为 \(\mathbf{A}^3_\mathbf{C}=\Spec(\mathbf{C}[x,y,z])\) 中由 \[x^3+y^3+z^3+x^4+y^4+z^4=0\] 给出的仿射曲面，奇点为 \((0,0,0)\)。 此时 \((0,0,0)\) 是唯一奇点。 沿对应于 \((0,0,0)\) 的极大理想爆破 \(X\)，得到三个图册， 每个都同构于光滑仿射曲面 \[1+s^3+t^3+x(1+s^4+t^4)=0\] 它非奇异，例外除子 \(C\) 由 \(x=0\) 给出。 读者会认出 \(C\) 是椭圆曲线。 此外，从 \((0,0,0)\) 作投影可见曲面 \(X\) 是有理的； 也可在爆破方程中解出 \(x\) 得到同一结论。 最后，非奇异有理曲面的 Picard 群可数， 而复数域上椭圆曲线的 Picard 群不可数。 故可以找到所要求的闭点 \(c\)。