평탄성 심화

들어가며

이 장에서는 평탄 가군과 스킴의 평탄 사상에 관한 몇 가지 고급 결과와 그 응용을 논한다. 평탄성에 관한 결과 대부분은 Raynaud와 Gruson의 논문 [GruRay]에서 찾을 수 있다.

이 장을 읽기 전에 다음 결과들을 살펴볼 것을 권한다(이 목록은 앞선 결과들에 대한 안내 역할도 한다).

1. 평탄 가군에 관한 일반적인 논의는 Algebra, Section 00H9에 있다.

2. \(\text{Tor}\)-군과 평탄성의 관계는 Algebra, Section 00LY을 보라.

3. 평탄성 판정법은 Algebra, Section 00MD(뇌터 경우), Algebra, Section 051E(아르틴 경우), Algebra, Section 00R3(비뇌터 경우), 마지막으로 More on Morphisms, Section 039A을 보라.

4. 일반 평탄성은 Algebra, Section 051Q와 Morphisms, Section 0529을 보라.

5. 평탄 자취의 열림성은 Algebra, Section 00R8과 More on Morphisms, Section 0398을 보라.

6. 평탄화는 More on Algebra, Sections 0521, 05LJ, 05LK, 05LN, 및 05LV을 보라.

7. 추가 결과는 More on Algebra, Sections 052Y, 0549, 054A, 및 0535에 있다.

평탄성에 관한 내용의 응용으로 다음 주제를 다룬다. Grothendieck 존재 정리의 비뇌터 판본, 블로업과 평탄성, 콤팩트화에 관한 Nagata 정리, h 위상, 블로업 정사각형과 강하, 약한 정규화, 양의 표수에서 벡터 다발의 강하, 그리고 h 위상에서 완전 복합체의 국소 구조이다.

에탈 국소화에 관한 보조정리

이 절에서는 이 장의 뒤에서 유용하게 쓰일 에탈 국소화에 관한 몇 가지 보조정리를 열거한다. 처음 읽을 때에는 이 절을 건너뛰어도 된다.

보조정리

\(i : Z \to X\)를 아핀 스킴들의 닫힌 몰입이라 하자. \(Z' \to Z\)를 \(Z'\)가 아핀인 에탈 사상이라 하자. 그러면 \(X'\)가 아핀이고 \(Z\) 위의 스킴으로서 \(Z' \cong Z \times_X X'\)가 되는 에탈 사상 \(X' \to X\)가 존재한다.

증명

Algebra, Lemma 04D1를 보라.

보조정리

다음이 \[\xymatrix{ X \ar[d] & X' \ar[l] \ar[d] \\ S & S' \ar[l] }\] \(X' \to X\)와 \(S' \to S\)가 에탈인 스킴들의 가환도식이라고 하자. \(s' \in S'\)를 점이라 하자. 그러면 \[X' \times_{S'} \Spec(\mathcal{O}_{S', s'}) \longrightarrow X \times_S \Spec(\mathcal{O}_{S', s'})\] 은 에탈이다.

증명

\(X' \to X_{S'}\)는 \(X\) 위의 에탈 스킴들 사이의 사상으로서 에탈이다. Morphisms, Lemma 02GW를 보라. 또한 에탈 사상의 밑변환은 에탈이다. Morphisms, Lemma 02GO를 보라.

보조정리

\(X \to T \to S\)를 스킴의 사상들이라 하고 \(T \to S\)가 에탈이라고 하자. \(\mathcal{F}\)를 준연접 \(\mathcal{O}_X\)-가군이라 하고 \(x \in X\)를 점이라 하자. 그러면 \[\mathcal{F}\text{는 }S\text{ 위에서 }x\text{에서 평탄하다} \Leftrightarrow \mathcal{F}\text{는 }T\text{ 위에서 }x\text{에서 평탄하다}\] 특히 \(\mathcal{F}\)가 \(S\) 위에서 평탄일 필요충분조건은 \(\mathcal{F}\)가 \(T\) 위에서 평탄인 것이다.

증명

에탈 사상은 평탄 사상이므로(Morphisms, Lemma 02GS 참조), 함의 “\(\Leftarrow\)”는 Algebra, Lemma 00HC에서 따른다. 역으로 \(\mathcal{F}\)가 \(S\) 위에서 \(x\)에서 평탄이라고 가정하자. \(X\)에서 \(x\) 위에 있고 \(T\)에서 \(x\)의 \(T\)에서의 상 위에 있는 점을 \(\tilde x \in X \times_S T\)라 표기하자. 그러면 \(\text{pr}_2 : X \times_S T \to T\)를 통해 \((X \times_S T \to X)^*\mathcal{F}\)는 \(T\) 위에서 \(\tilde x\)에서 평탄이다. Morphisms, Lemma 01U8를 보라. 대각사상 \(\Delta_{T/S} : T \to T \times_S T\)는 열린 몰입이다. Morphisms, Lemmas 02GE와 02GK을 함께 사용하라. 따라서 \(X\)는 \(X \times_S T\)의 열린부분스킴과 동일시된다. 이 열린부분에 대한 \(\text{pr}_2\)의 제한은 주어진 사상 \(X \to T\)이고, 점 \(\tilde x\)는 이 열린부분의 점 \(x\)에 대응하며, \((X \times_S T \to X)^*\mathcal{F}\)를 이 열린부분에 제한하면 \(\mathcal{F}\)가 된다. 그러므로 \(\mathcal{F}\)는 \(T\) 위에서 \(x\)에서 평탄이다.

보조정리

\(T \to S\)를 에탈 사상이라 하자. \(t \in T\)의 상을 \(s \in S\)라 하자. \(M\)을 \(\mathcal{O}_{T, t}\)-가군이라 하자. 그러면 \[M\text{은 }\mathcal{O}_{S, s}\text{ 위에서 평탄하다} \Leftrightarrow M\text{은 }\mathcal{O}_{T, t}\text{ 위에서 평탄하다}.\]

증명

\(S\)를 \(s\)의 아핀 근방으로 대체한 뒤 \(T\)를 \(t\)의 아핀 근방으로 대체해도 된다. \(\mathcal{F} = (\Spec(\mathcal{O}_{T, t}) \to T)_*\widetilde M\)으로 놓자. 이는 \(T\) 위의 준연접층이고(Schemes, Lemma 01LC를 보거나 직접 논증하라), \(t\)에서의 줄기는 \(M\)이다(세부사항은 생략한다). Lemma 05B9을 적용하라.

보조정리

\(S\)를 스킴이라 하고 \(s \in S\)를 점이라 하자. \(\mathcal{O}_{S, s}^h\) (각각 \(\mathcal{O}_{S, s}^{sh}\))로 헨젤화(각각 강한 헨젤화)를 나타내자. Algebra, Definition 04GQ을 보라. \(M^{sh}\)를 \(\mathcal{O}_{S, s}^{sh}\)-가군이라 하자. 다음은 서로 동치이다.

1. \(M^{sh}\)는 \(\mathcal{O}_{S, s}\) 위에서 평탄이다.

2. \(M^{sh}\)는 \(\mathcal{O}_{S, s}^h\) 위에서 평탄이다.

3. \(M^{sh}\)는 \(\mathcal{O}_{S, s}^{sh}\) 위에서 평탄이다.

\(M^{sh} = M^h \otimes_{\mathcal{O}_{S, s}^h} \mathcal{O}_{S, s}^{sh}\)이면 이들은 다음과도 동치이다.

1. \(M^h\)는 \(\mathcal{O}_{S, s}\) 위에서 평탄이다.

2. \(M^h\)는 \(\mathcal{O}_{S, s}^h\) 위에서 평탄이다.

\(M^h = M \otimes_{\mathcal{O}_{S, s}} \mathcal{O}_{S, s}^h\)이면 이들은 다음과도 동치이다.

1. \(M\)은 \(\mathcal{O}_{S, s}\) 위에서 평탄이다.

증명

More on Algebra, Lemma 07QM에 의해 국소환 사상 \(\mathcal{O}_{S, s} \to \mathcal{O}_{S, s}^h \to \mathcal{O}_{S, s}^{sh}\) 은 충실 평탄이다. 따라서 (3) \(\Rightarrow\) (2) \(\Rightarrow\) (1)과 (5) \(\Rightarrow\) (4)는 Algebra, Lemma 00HC에서 따른다. 충실 평탄성에 의해 (6) \(\Leftrightarrow\) (5)와 (5) \(\Leftrightarrow\) (3)은 Algebra, Lemma 00HJ에서 따른다. 그러므로 (1) \(\Rightarrow\) (2) \(\Rightarrow\) (3)과 (4) \(\Rightarrow\) (5)를 보이면 충분하다. 이를 증명할 때 \(S\)가 아핀 스킴이라고 가정해도 된다.

(1)을 가정하자. Lemma 05BA에 의해 임의의 에탈 근방 \((T, t) \to (S, s)\)에 대하여 \(M^{sh}\)는 \(\mathcal{O}_{T, t}\) 위에서 평탄이다. \(\mathcal{O}_{S, s}^h\)와 \(\mathcal{O}_{S, s}^{sh}\)는 \(\mathcal{O}_{T, t}\) 꼴의 국소환들의 유향 극한이므로(Algebra, Lemmas 04GV와 04GW 참조), Algebra, Lemma 05UU에 의해 \(M^{sh}\)는 \(\mathcal{O}_{S, s}^h\)와 \(\mathcal{O}_{S, s}^{sh}\) 위에서 평탄이다. 따라서 (1)은 (2)와 (3)을 함의한다. \(\mathcal{O}_{S, s}\)를 \(\mathcal{O}_{S, s}^h\)로 대체하면 물론 (2) \(\Rightarrow\) (3)도 따른다. 같은 논증으로 (4) \(\Rightarrow\) (5)가 증명된다.

보조정리

\(S\)를 스킴이라 하고 \(s \in S\)를 점이라 하자. \(\mathcal{O}_{S, s}^h\) (각각 \(\mathcal{O}_{S, s}^{sh}\))로 헨젤화(각각 강한 헨젤화)를 나타내자. Algebra, Definition 04GQ을 보라. \(M^{sh}\)를 \(D(\mathcal{O}_{S, s}^{sh})\)의 대상이라 하고 \(a, b \in \mathbf{Z}\)라 하자. 다음은 서로 동치이다.

1. \(M^{sh}\)는 \(\mathcal{O}_{S, s}\) 위에서 \([a, b]\)의 Tor 진폭을 갖는다.

2. \(M^{sh}\)는 \(\mathcal{O}_{S, s}^h\) 위에서 \([a, b]\)의 Tor 진폭을 갖는다.

3. \(M^{sh}\)는 \(\mathcal{O}_{S, s}^{sh}\) 위에서 \([a, b]\)의 Tor 진폭을 갖는다.

만일 \(M^{sh} = M^h \otimes_{\mathcal{O}_{S, s}^h}^\mathbf{L} \mathcal{O}_{S, s}^{sh}\) 이고 \(M^h \in D(\mathcal{O}_{S, s}^h)\)이면 이들은 다음과도 동치이다.

1. \(M^h\)는 \(\mathcal{O}_{S, s}\) 위에서 \([a, b]\)의 Tor 진폭을 갖는다.

2. \(M^h\)는 \(\mathcal{O}_{S, s}^h\) 위에서 \([a, b]\)의 Tor 진폭을 갖는다.

만일 \(M^h = M \otimes_{\mathcal{O}_{S, s}}^\mathbf{L} \mathcal{O}_{S, s}^h\) 이고 \(M \in D(\mathcal{O}_{S, s})\)이면 이들은 다음과도 동치이다.

1. \(M\)은 \(\mathcal{O}_{S, s}\) 위에서 \([a, b]\)의 Tor 진폭을 갖는다.

증명

More on Algebra, Lemma 07QM에 의해 국소환 사상 \(\mathcal{O}_{S, s} \to \mathcal{O}_{S, s}^h \to \mathcal{O}_{S, s}^{sh}\) 은 충실 평탄이다. 따라서 (3) \(\Rightarrow\) (2) \(\Rightarrow\) (1)과 (5) \(\Rightarrow\) (4)는 More on Algebra, Lemma 066J에서 따른다. 충실 평탄성에 의해 (6) \(\Leftrightarrow\) (5)와 (5) \(\Leftrightarrow\) (3)은 More on Algebra, Lemma 068S에서 따른다. 그러므로 (1) \(\Rightarrow\) (3), (2) \(\Rightarrow\) (3), 그리고 (4) \(\Rightarrow\) (5)를 보이면 충분하다.

(1)을 가정하자. 특히 \(M^{sh}\)의 코호몰로지는 차수 \(< a\)와 \(> b\)에서 소멸한다. 따라서 \(i > b\)이면 \(P^i = 0\)인 자유

\(\mathcal{O}_{X, x}^{sh}\)-가군들의 복합체 \(P^\bullet\)로 \(M^{sh}\)를 표현할 수 있다(예를 들어 매우 일반적인 Derived Categories, Lemma 05T7을 보라). 모든 \(n\)에 대하여 \(P^n\)은 \(\mathcal{O}_{S, s}\) 위에서 평탄이다. \(\Coker(d_P^{a - 1})\)를 생각하자. More on Algebra, Lemma 0653에 의해 이는 평탄 \(\mathcal{O}_{S, s}\)-가군이다. 따라서 Lemma 05VL에 의해 평탄 \(\mathcal{O}_{S, s}^{sh}\)-가군이다. 그러므로 \(\tau_{\geq a}P^\bullet\)는

\(D(\mathcal{O}_{S, s}^{sh}\)에서 \(M^{sh}\)를 표현하는 평탄 \(\mathcal{O}_{S, s}^{sh}\)-가군들의 복합체이고, \(M^{sh}\)가 \([a, b]\)의 Tor 진폭을 가짐을 알 수 있다. More on Algebra, Lemma 0654을 보라. 따라서 (1)은 (3)을 함의한다. \(\mathcal{O}_{S, s}\)를 \(\mathcal{O}_{S, s}^h\)로 대체하면 물론 (2) \(\Rightarrow\) (3)도 따른다. 같은 논증으로 (4) \(\Rightarrow\) (5)가 증명된다.

보조정리

\(g : T \to S\)를 스킴의 유한 평탄 사상이라 하자. \(\mathcal{G}\)를 준연접 \(\mathcal{O}_S\)-가군이라 하자. \(t \in T\)의 상을 \(s \in S\)라 하자. 그러면 \[t \in \text{WeakAss}(g^*\mathcal{G}) \Leftrightarrow s \in \text{WeakAss}(\mathcal{G})\]

증명

함의 “\(\Leftarrow\)”는 Divisors, Lemma 05F0에서 바로 따른다. \(t \in \text{WeakAss}(g^*\mathcal{G})\)라고 가정하자. \(\Spec(A) \subset S\)를 \(s\)의 아핀 열린 근방이라 하자. \(\mathcal{G}\)를 \(A\)-가군 \(M\)에 대응하는 준연접층이라 하고, \(\mathfrak p \subset A\)를 \(s\)에 대응하는 소 아이디얼이라 하자. \(g\)가 유한 평탄이므로 어떤 유한 평탄 \(A\)-대수 \(B\)에 대하여 \(g^{-1}(\Spec(A)) = \Spec(B)\)이다. \(g^*\mathcal{G}\)는 \(B\)-가군 \(M \otimes_A B\)에 대응하는 준연접 \(\mathcal{O}_{\Spec(B)}\)-가군이고, \(g_*g^*\mathcal{G}\)는 \(A\)-가군 \(M \otimes_A B\)에 대응하는 준연접 \(\mathcal{O}_{\Spec(A)}\)-가군이다. Algebra, Lemma 00NZ에 의해 어떤 정수 \(n \geq 0\)에 대하여 \(B_{\mathfrak p} \cong A_{\mathfrak p}^{\oplus n}\)이다. \(s\) 위에 놓이는 \(T\)의 점이 적어도 하나 존재한다고 가정했으므로 \(n \geq 1\)임에 유의하자. 따라서 줄기들을 살펴보면 \[s \in \text{WeakAss}(\mathcal{G}) \Leftrightarrow s \in \text{WeakAss}(g_*g^*\mathcal{G})\] 이제 가정 \(t \in \text{WeakAss}(g^*\mathcal{G})\)는 Divisors, Lemma 05EZ에 의해 \(s \in \text{WeakAss}(g_*g^*\mathcal{G})\)를 함의한다. 따라서 위의 동치에 의해 \(s \in \text{WeakAss}(\mathcal{G})\)이다.

보조정리

\(h : U \to S\)를 스킴의 에탈 사상이라 하자. \(\mathcal{G}\)를 준연접 \(\mathcal{O}_S\)-가군이라 하자. \(u \in U\)의 상을 \(s \in S\)라 하자. 그러면 \[u \in \text{WeakAss}(h^*\mathcal{G}) \Leftrightarrow s \in \text{WeakAss}(\mathcal{G})\]

증명

\(S\)와 \(U\)를 각각 \(s\)와 \(u\)의 아핀 근방으로 대체하면

\(g\)가 아핀 스킴들의 표준 에탈 사상이라고 가정해도 된다. Morphisms, Lemma 02GT를 보라. 따라서 \(S = \Spec(A)\)이고

\(X = \Spec(A[x, 1/g]/(f))\)라고 가정해도 된다. 여기서 \(f\)는 일계수이고 \(f'\)은 \(A[x, 1/g]\)에서 가역이다. \(A[x, 1/g]/(f) = (A[x]/(f))_g\)는 유한 자유 \(A\)-대수 \(A[x]/(f)\)의 국소화이기도 하다. 따라서 \(U\)를 \(S\) 위에서 유한 국소 자유인 스킴 \(T = \Spec(A[x]/(f))\)의 열린부분스킴으로 생각할 수 있다. 이로써 위의 Lemma 05FN로 환원된다.

보조정리

\(S\)를 스킴이라 하고 \(s \in S\)를 점이라 하자. \(\mathcal{O}_{S, s}^h\) (각각 \(\mathcal{O}_{S, s}^{sh}\))로 헨젤화(각각 강한 헨젤화)를 나타내자. Algebra, Definition 04GQ을 보라. \(\mathcal{F}\)를 준연접 \(\mathcal{O}_S\)-가군이라 하자. 다음은 서로 동치이다.

1. \(s\)는 \(\mathcal{F}\)의 약연관점이다.

2. \(\mathfrak m_s\)는 \(\mathcal{F}_s\)의 약연관 소 아이디얼이다.

3. \(\mathfrak m_s^h\)는 \(\mathcal{F}_s \otimes_{\mathcal{O}_{S, s}} \mathcal{O}_{S, s}^h\)의 약연관 소 아이디얼이다.

4. \(\mathfrak m_s^{sh}\)는 \(\mathcal{F}_s \otimes_{\mathcal{O}_{S, s}} \mathcal{O}_{S, s}^{sh}\)의 약연관 소 아이디얼이다.

증명

(1)과 (2)의 동치는 정의이다. Divisors, Definition 056L를 보라.

(2) \(\Rightarrow\) (3) \(\Rightarrow\) (4)는 평탄 사상들(More on Algebra, Lemma 07QM) \[\Spec(\mathcal{O}_{S, s}^{sh}) \to \Spec(\mathcal{O}_{S, s}^h) \to \Spec(\mathcal{O}_{S, s})\] 과 닫힌점들에 Divisors, Lemma 05F0을 적용하여 얻는다. (4) \(\Rightarrow\) (2)를 증명하기 위해 \(S\)를 아핀 근방으로 대체해도 된다. 다음을 만족하는 원소 \(x \in \mathcal{F}_s \otimes_{\mathcal{O}_{S, s}} \mathcal{O}_{S, s}^{sh}\) 를 생각하자. 그 소멸자의 근기는 \(\mathfrak m_s^{sh}\)와 같다고 하자 (Algebra, Lemma 0566 참조).

Algebra, Lemma 04GW에 의해 \(\mathcal{O}_{S, s}^{sh}\)는 에탈 근방 \(f : (U, u) \to (S, s)\)에 걸친 \(\mathcal{O}_{U, u}\)의 극한과 같으므로, \(x\)가 어떤 \(x' \in \mathcal{F}_s \otimes_{\mathcal{O}_{S, s}} \mathcal{O}_{U, u}\) 의 상이라고 가정해도 된다. 국소환 사상 \(\mathcal{O}_{U, u} \to \mathcal{O}_{S, s}^{sh}\)는 강한 헨젤화이므로 충실 평탄이고, 따라서 보편 단사이다(Algebra, Lemma 05CK). 그러므로 \(x'\)의 소멸자는 \(x\)의 소멸자의 역상이다. 따라서 이 소멸자의 근기는 \(\mathfrak m_u\)와 같다. 그러므로 \(u\)는 \(f^*\mathcal{F}\)의 약연관점이다. Lemma 05FP에 의해 \(s\)는 \(\mathcal{F}\)의 약연관점이다.

유한형 가군의 국소 구조

이 장의 많은 논증을 작동하게 하는 핵심 기술적 보조정리는 기하학적인 Lemma 057S이다.

보조정리

\(f : X \to S\)를 아핀 스킴들의 유한형 사상이라 하자. \(\mathcal{F}\)를 유한형 준연접 \(\mathcal{O}_X\)-가군이라 하자. \(x \in X\)의 \(S\)에서의 상을 \(s = f(x)\)라 하자. \(\mathcal{F}_s = \mathcal{F}|_{X_s}\)로 두자. 그러면 유한표현인 닫힌 몰입 \(i : Z \to X\)와 유한형 준연접 \(\mathcal{O}_Z\)-가군 \(\mathcal{G}\)가 존재하여 \(i_*\mathcal{G} = \mathcal{F}\)이고 \(Z_s = \text{Supp}(\mathcal{F}_s)\)이다.

증명

\(f : X \to S\)가 환 준동형 \(A \to B\)로 주어지고, \(\mathcal{F}\)가 \(B\)-가군 \(M\)에 대응하는 준연접층이라고 하자. Morphisms, Lemma 01T2에 의해 \(A \to B\)는 유한형 환 준동형이고, Properties, Lemma 01PB에 의해 \(M\)은 유한 \(B\)-가군이다. 특히 \(\mathcal{F}\)의 지지는 \(M\)의 소멸자 \(I = \{x \in B \mid xm = 0\ \forall m \in M\}\)로 잘라낸 \(\Spec(B)\)의 닫힌 부분스킴이다. Algebra, Lemma 00L2를 보라. \(x\)에 대응하는 소 아이디얼을 \(\mathfrak q \subset B\), \(s\)에 대응하는 소 아이디얼을 \(\mathfrak p \subset A\)라 하자. \(X_s = \Spec(B \otimes_A \kappa(\mathfrak p))\)이고 \(\mathcal{F}_s\)는 \(B \otimes_A \kappa(\mathfrak p)\)-가군 \(M \otimes_A \kappa(\mathfrak p)\)에 대응하는 준연접층임에 유의하자. Morphisms, Lemma 056J에 의해 \(\mathcal{F}_s\)의 지지는 \(V(I(B \otimes_A \kappa(\mathfrak p)))\)와 같다. \(B \otimes_A \kappa(\mathfrak p)\)가 \(\kappa(\mathfrak p)\) 위 유한형이므로 다음을 만족하는 유한개의 원소 \(f_1, \ldots, f_m \in I\)가 존재한다.

\[I(B \otimes_A \kappa(\mathfrak p)) = (f_1, \ldots, f_n)(B \otimes_A \kappa(\mathfrak p)).\] \((f_1, \ldots, f_m)\)로 잘라낸 닫힌 부분스킴을 \(i : Z \to X\)라 쓰자. 식으로는 \(Z = \Spec(B/(f_1, \ldots, f_m))\)이다. \(M\)은 \(I\)에 의해 소멸하므로 \(M\)을 \(B/(f_1, \ldots, f_m)\)-가군으로 볼 수 있다. 다시 말해 \(\mathcal{F}\)는 \(Z\) 위 유한형 가군의 직상이다. 구성상 \(Z_s = \text{Supp}(\mathcal{F}_s)\)이므로 보조정리가 증명된다.

보조정리

\(f : X \to S\)를 국소적으로 유한형인 스킴 사상이라 하자. \(\mathcal{F}\)를 유한형 준연접 \(\mathcal{O}_X\)-가군이라 하자. \(x \in X\)의 \(S\)에서의 상을 \(s = f(x)\)라 하자. \(\mathcal{F}_s = \mathcal{F}|_{X_s}\) 및 \(n = \dim_x(\text{Supp}(\mathcal{F}_s))\)로 두자. 그러면 다음을 구성할 수 있다.

1. 기본 에탈 근방들 \(g : (X', x') \to (X, x)\), \(e : (S', s') \to (S, s)\),

2. 가환 그림 \[\xymatrix{ X \ar[dd]_f & X' \ar[dd] \ar[l]^g & Z' \ar[l]^i \ar[d]^\pi \\ & & Y' \ar[d]^h \\ S & S' \ar[l]_e & S' \ar@{=}[l] }\]

3. \(i(z') = x'\), \(y' = \pi(z')\), \(h(y') = s'\)를 만족하는 점 \(z' \in Z'\),

4. 유한형 준연접 \(\mathcal{O}_{Z'}\)-가군 \(\mathcal{G}\).

이들은 다음 성질들을 만족한다.

1. \(X'\), \(Z'\), \(Y'\), \(S'\)는 아핀 스킴이다.

2. \(i\)는 유한표현인 닫힌 몰입이다.

3. \(i_*(\mathcal{G}) \cong g^*\mathcal{F}\),

4. \(\pi\)는 유한이고 \(\pi^{-1}(\{y'\}) = \{z'\}\)이다.

5. 확대 \(\kappa(y')/\kappa(s')\)는 순수 초월이다.

6. \(h\)는 상대차원이 \(n\)인 매끄러운 사상이고 그 올들은 기하적으로 정역이다.

증명

\(V \subset S\)를 \(s\)의 아핀 근방이라 하고, \(U \subset f^{-1}(V)\)를 \(x\)의 아핀 근방이라 하자. 그러면 \(f|_U : U \to V\)와 \(\mathcal{F}|_U\)에 대해 보조정리를 증명하면 충분하다. 따라서 이하의 증명에서는 \(X\)와 \(S\)가 아핀이라고 가정한다.

먼저 \(X_s = \text{Supp}(\mathcal{F}_s)\)라고 가정하자. 특히 \(n = \dim_x(X_s)\)이다. More on Morphisms, Lemmas 057K 및 057L를 적용한다. 그러면 가환 그림 \[\xymatrix{ X \ar[dd] & X' \ar[l]^g \ar[d]^\pi \\ & Y' \ar[d]^h \\ S & S' \ar[l]_e }\] 과 점 \(x' \in X'\)를 얻는다. \(Z' = X'\), \(i = \text{id}\), \(\mathcal{G} = g^*\mathcal{F}\)로 두면 이 경우의 원하는 자료를 얻는다.

일반적인 경우에는 Lemma 057Q와 같이 닫힌 몰입 \(Z \to X\)와 \(Z\) 위의 층 \(\mathcal{G}\)를 택한다. 앞 문단의 결과를 \(Z \to S\)와 \(\mathcal{G}\)에 적용하면 그림 \[\xymatrix{ X \ar[dd]_f & Z \ar[l] \ar[dd]_{f|_Z} & Z' \ar[l]^g \ar[d]^\pi \\ & & Y' \ar[d]^h \\ S & S \ar@{=}[l] & S' \ar[l]_e }\] 과 필요한 모든 성질을 만족하는 점 \(z' \in Z'\)를 얻는다. Lemma 057R를 이용하여 \(Z'\)을 \(X\) 위 에탈인 스킴에 매장할 것이다. \(X'\)가 \(S'\) 위의 스킴이기를 원하므로 이 보조정리를 직접 적용할 수는 없다. 대신 다음 사상들을 생각한다. \[\xymatrix{ Z' \ar[r] & Z \times_S S' \ar[r] & X \times_S S' }\] 첫 번째 사상은 Morphisms, Lemma 02GW에 의해 에탈이다. 두 번째 사상은 닫힌 몰입의 기저변환이므로 닫힌 몰입이다. 마지막으로 \(X\), \(S\), \(S'\), \(Z\), \(Z'\)가 모두 아핀이므로 Lemma 057R를 적용하여 다음을 만족하는 아핀 스킴들의 에탈 사상 \(X' \to X \times_S S'\)를 얻는다. \[Z' = (Z \times_S S') \times_{(X \times_S S')} X' = Z \times_X X'.\] \(Z \to X\)가 유한표현인 닫힌 몰입이므로 \(Z' \to X'\)도 그러하다. \(x' \in X'\)를 \(z' \in Z'\)에 대응하는 점이라 하자. 그러면 완성된 그림 \[\xymatrix{ X \ar[dd] & X' \ar[dd] \ar[l] & Z' \ar[l]^i \ar[d]^\pi \\ & & Y' \ar[d]^h \\ S & S' \ar[l]_e & S' \ar@{=}[l] }\] 은 원래 문제의 해이다.

보조정리

가정과 표기는 Lemma 057S와 같다고 하자. \(f\)가 국소 유한표현이면 \(\pi\)는 유한표현이다. 이 경우 다음은 서로 동치이다.

1. \(\mathcal{F}\)는 \(x\)의 근방에서 유한표현 \(\mathcal{O}_X\)-가군이다.

2. \(\mathcal{G}\)는 \(z'\)의 근방에서 유한표현 \(\mathcal{O}_{Z'}\)-가군이다.

3. \(\pi_*\mathcal{G}\)는 \(y'\)의 근방에서 유한표현 \(\mathcal{O}_{Y'}\)-가군이다.

계속해서 \(f\)가 국소 유한표현이라고 가정하면 다음도 서로 동치이다.

1. \(\mathcal{F}_x\)는 유한표현 \(\mathcal{O}_{X, x}\)-가군이다.

2. \(\mathcal{G}_{z'}\)는 유한표현 \(\mathcal{O}_{Z', z'}\)-가군이다.

3. \((\pi_*\mathcal{G})_{y'}\)는 유한표현 \(\mathcal{O}_{Y', y'}\)-가군이다.

증명

\(f\)가 국소 유한표현이라고 가정하자. 그러면 \(Z' \to S\)는 그러한 사상들의 합성이므로 국소 유한표현이다. Morphisms, Lemma 01TR를 보라. \(Y' \to S\)도 매끄러운 사상과 에탈 사상의 합성이므로 국소 유한표현임에 유의하자. 따라서 Morphisms, Lemma 02FV에 의해 \(\pi\)는 국소 유한표현이다. \(\pi\)는 유한이므로 분리이고 준콤팩트하며, 따라서 \(\pi\)는 실제로 유한표현이다.

(1), (2), (3)의 동치를 증명하기 위해 다음 조건도 생각하자. (4) \(g^*\mathcal{F}\)는 \(x'\)의 근방에서 유한표현 \(\mathcal{O}_{X'}\)-가군이다. 유한표현 가군의 당김은 유한표현이다. Modules, Lemma 01BQ를 보라. 따라서 (1) \(\Rightarrow\) (4)이다. 에탈 사상 \(g\)는 열린 사상이다. Morphisms, Lemma 03WT을 보라. 따라서 \(x'\)의 임의의 열린 근방 \(U' \subset X'\)에 대해 상 \(g(U')\)는 \(x\)의 열린 근방이고, 사상족 \(\{U' \to g(U')\}\)은 에탈 덮개이다. 그러므로 Descent, Lemma 05B0에 의해 (4) \(\Rightarrow\) (1)이다. Descent, Lemma 05B4와 몇 가지 쉬운 위상적 논증(More on Morphisms, Lemma 05B8 참조)을 사용하면 (4) \(\Leftrightarrow\) (2) \(\Leftrightarrow\) (3)임을 알 수 있다.

(a), (b), (c)의 동치를 증명하기 위해 환 준동형들을 생각하자. \[\mathcal{O}_{X, x} \to \mathcal{O}_{X', x'} \to \mathcal{O}_{Z', z'} \leftarrow \mathcal{O}_{Y', y'}\] 첫 번째 환 준동형은 충실히 평탄하다. 따라서 \(\mathcal{F}_x\)가 \(\mathcal{O}_{X, x}\) 위 유한표현인 것과

\(g^*\mathcal{F}_{x'}\)가 \(\mathcal{O}_{X', x'}\) 위 유한표현인 것은 동치이다. Algebra, Lemma 03C4를 보라. 두 번째 환 준동형은 전사(따라서 유한)이고 가정에 의해 유한표현이므로, \(g^*\mathcal{F}_{x'}\)가 \(\mathcal{O}_{X', x'}\) 위 유한표현인 것과 \(\mathcal{G}_{z'}\)가 \(\mathcal{O}_{Z', z'}\) 위 유한표현인 것은 동치이다. Algebra, Lemma 0564을 보라.

\(\pi\)는 유한이고 유한표현이며 \(\pi^{-1}(\{y'\}) = \{x'\}\)이므로, 환 준동형 \(\mathcal{O}_{Y', y'} \leftarrow \mathcal{O}_{Z', z'}\)는 유한이고 유한표현이다. More on Morphisms, Lemma 05B8를 보라. 따라서 \(\mathcal{G}_{z'}\)가 \(\mathcal{O}_{Z', z'}\) 위 유한표현인 것과

\(\pi_*\mathcal{G}_{y'}\)가 \(\mathcal{O}_{Y', y'}\) 위 유한표현인 것은 동치이다. Algebra, Lemma 0564을 보라.

보조정리

가정과 표기는 Lemma 057S와 같다고 하자. 다음은 서로 동치이다.

1. \(\mathcal{F}\)는 \(x\)의 근방에서 \(S\) 위 평탄하다.

2. \(\mathcal{G}\)는 \(z'\)의 근방에서 \(S'\) 위 평탄하다.

3. \(\pi_*\mathcal{G}\)는 \(y'\)의 근방에서 \(S'\) 위 평탄하다.

다음도 서로 동치이다.

1. \(\mathcal{F}_x\)는 \(\mathcal{O}_{S, s}\) 위 평탄하다.

2. \(\mathcal{G}_{z'}\)는 \(\mathcal{O}_{S', s'}\) 위 평탄하다.

3. \((\pi_*\mathcal{G})_{y'}\)는 \(\mathcal{O}_{S', s'}\) 위 평탄하다.

증명

(1), (2), (3)의 동치를 증명하기 위해 다음 조건도 생각하자. (4) \(g^*\mathcal{F}\)는 \(x'\)의 근방에서 \(S\) 위 평탄하다. 이하에서는 따로 말하지 않고 Lemma 05B9을 사용하여 \(S\) 위의 평탄성과 \(S'\) 위의 평탄성을 동일시하겠다. 에탈 사상 \(g\)는 평탄하고 열린 사상이다. Morphisms, Lemma 03WT을 보라. 따라서 \(x'\)의 임의의 열린 근방 \(U' \subset X'\)에 대해 상 \(g(U')\)는 \(x\)의 열린 근방이고 사상 \(U' \to g(U')\)은 전사이고 평탄하다. 그러므로 Morphisms, Lemma 02JZ에 의해 (4) \(\Leftrightarrow\) (1)이다. 다음에 유의하자. \[\Gamma(X', g^*\mathcal{F}) = \Gamma(Z', \mathcal{G}) = \Gamma(Y', \pi_*\mathcal{G})\] 따라서 \(S'\) 위에서 \(g^*\mathcal{F}\), \(\mathcal{G}\), \(\pi_*\mathcal{G}\)가 평탄하다는 조건들은 모두 동치이다 (\(X'\), \(Z'\), \(Y'\), \(S'\)가 모두 아핀이라는 사실을 사용한다). 아핀 근방에 관한 생략된 몇 가지 위상적 논증(More on Morphisms, Lemma 05B8와 비교하라)을 적용하면 (4) \(\Leftrightarrow\) (2) \(\Leftrightarrow\) (3)임을 알 수 있다.

(a), (b), (c)의 동치를 증명하기 위해 국소환 준동형들의 가환 그림을 생각하자. \[\xymatrix{ \mathcal{O}_{X', x'} \ar[r]_\iota & \mathcal{O}_{Z', z'} & \mathcal{O}_{Y', y'} \ar[l]^\alpha & \mathcal{O}_{S', s'} \ar[l]^\beta \\ \mathcal{O}_{X, x} \ar[u]^\gamma & & & \mathcal{O}_{S, s} \ar[lll]_\varphi \ar[u]_\epsilon }\] 이하에서는 따로 말하지 않고 Lemma 05BA을 사용하여 \(\mathcal{O}_{S, s}\) 위의 평탄성과 \(\mathcal{O}_{S', s'}\) 위의 평탄성을 동일시하겠다. 사상 \(\gamma\)는 충실히 평탄하다. 따라서 \(\mathcal{F}_x\)가 \(\mathcal{O}_{S, s}\) 위 평탄인 것과

\(g^*\mathcal{F}_{x'}\)가 \(\mathcal{O}_{S', s'}\) 위 평탄인 것은 동치이다. Algebra, Lemma 0584을 보라. \(\mathcal{O}_{S', s'}\)-가군으로서 가군들 \(g^*\mathcal{F}_{x'}\), \(\mathcal{G}_{z'}\), 그리고

\(\pi_*\mathcal{G}_{y'}\)는 모두 동형이다. More on Morphisms, Lemma 05B8를 보라. 이로써 증명이 끝난다.

1단계 데비사주

이 절에서는 가군의 1단계 데비사주가 무엇인지 설명한다.

1단계 데비사주는 밑과 표적 위에서 에탈 국소적으로 존재한다. 또한 1단계 데비사주의 기저변환, Zariski 축소, 에탈 국소화를 논한다.

정의

\(S\)를 스킴이라 하자. \(X\)가 \(S\) 위에서 국소적으로 유한형이라고 하자. \(\mathcal{F}\)를 유한형 준연접 \(\mathcal{O}_X\)-가군이라 하자. \(s \in S\)를 점이라 하자. \(s\) 위에서 \(\mathcal{F}/X/S\)의 1단계 데비사주란 \(S\) 위 스킴들의 사상 \[\xymatrix{ X & Z \ar[l]_i \ar[r]^\pi & Y }\] 과 유한형 준연접 \(\mathcal{O}_Z\)-가군 \(\mathcal{G}\)로 주어지며, 다음을 만족하는 자료를 말한다.

1. \(X\), \(S\), \(Z\), \(Y\)는 아핀이다.

2. \(i\)는 유한표현인 닫힌 몰입이다.

3. \(\mathcal{F} \cong i_*\mathcal{G}\),

4. \(\pi\)는 유한이다.

5. 구조 사상 \(Y \to S\)는 매끄럽고 그 올들은 기하적으로 기약이며 차원이 \(\dim(\text{Supp}(\mathcal{F}_s))\)이다.

이때 \((Z, Y, i, \pi, \mathcal{G})\)를 \(s\) 위에서 \(\mathcal{F}/X/S\)의 1단계 데비사주라고 한다.

그러한 1단계 데비사주는 \(X\)와 \(S\)가 아핀일 때에만 존재할 수 있음에 유의하자. 위 정의에서는 \(X\)가 \(S\) 위에서 (국소적으로) 유한형일 것만을 요구하며, 아래에서도 이 설정으로 작업한다. [GruRay]의 저자들은

\(X \to S\)가 국소 유한표현이고 \(\mathcal{F}\)가 유한형 준연접 \(\mathcal{O}_X\)-가군인 설정을 일관되게 사용한다. 이 선택의 장점은 \(\mathcal{F}\)가 \(\mathcal{O}_X\)-가군으로서 유한표현인지 묻는 것이 “의미가 있는” 반면, 우리의 설정에서는 “의미가 없다”는 점이다. 이에 관한 논의는 More on Morphisms, Section 05GX을 보라. 거기의 관찰에 따르면 우리의 설정에서는 \(\mathcal{F}\)가 “\(S\)에 대해 상대적으로 국소 유한표현”이라는 조건을 생각할 수 있고, 이 개념으로 일관되게 작업할 수도 있다. 그러나 우리는 그 대신 이 문제가 나타날 때마다 Lemma 057T의 결과와 Remark 05HY의 관찰을 사용하여 임시방편적으로 처리할 것이다.

정의

\(S\)를 스킴이라 하자. \(X\)가 \(S\) 위에서 국소적으로 유한형이라고 하자. \(\mathcal{F}\)를 유한형 준연접 \(\mathcal{O}_X\)-가군이라 하자. \(x \in X\)의 \(S\)에서의 상을 \(s\)라 하자. \(x\)에서 \(\mathcal{F}/X/S\)의 1단계 데비사주란 계 \((Z, Y, i, \pi, \mathcal{G}, z, y)\)를 말한다. 여기서 \((Z, Y, i, \pi, \mathcal{G})\)는 \(s\) 위에서 \(\mathcal{F}/X/S\)의 1단계 데비사주이고, 다음을 만족한다.

1. \(\dim_x(\text{Supp}(\mathcal{F}_s)) = \dim(\text{Supp}(\mathcal{F}_s))\),

2. \(z \in Z\)는 \(i(z) = x\) 및 \(\pi(z) = y\)를 만족하는 점이다.

3. \(\pi^{-1}(\{y\}) = \{z\}\)이다.

4. 확대 \(\kappa(y)/\kappa(s)\)는 순수 초월이다.

\(x\)에서 \(\mathcal{F}/X/S\)의 1단계 데비사주는 \(X\)와 \(S\)가 아핀일 때에만 존재할 수 있다. 조건 (1)과 Definition 05H4의 조건 (5)에 의해 \(Y \to S\)의 상대차원은 \(\dim_x(\text{Supp}(\mathcal{F}_s))\)와 같다.

보조정리

\(f : X \to S\)를 국소적으로 유한형인 스킴 사상이라 하자. \(\mathcal{F}\)를 유한형 준연접 \(\mathcal{O}_X\)-가군이라 하자. \(x \in X\)의 \(S\)에서의 상을 \(s = f(x)\)라 하자. 그러면 점을 갖춘 스킴들의 가환 그림 \[\xymatrix{ (X, x) \ar[d]_f & (X', x') \ar[l]^g \ar[d] \\ (S, s) & (S', s') \ar[l] \\ }\] 이 존재하여 \((S', s') \to (S, s)\)와 \((X', x') \to (X, x)\)는 기본 에탈 근방이고, \(g^*\mathcal{F}/X'/S'\)는 \(x'\)에서 1단계 데비사주를 갖는다.

증명

Definition 05H5와 Lemma 057S에서 바로 따른다.

보조정리

\(S\), \(X\), \(\mathcal{F}\), \(s\)가 Definition 05H4에서와 같다고 하자. \((Z, Y, i, \pi, \mathcal{G})\)를 \(s\) 위에서 \(\mathcal{F}/X/S\)의 1단계 데비사주라 하자. \((S', s') \to (S, s)\)를 점을 갖춘 스킴들의 임의의 사상이라 하자. \(X', Z', Y', i', \pi'\)를 각각 \(S' \to S\)를 통한 \(X, Z, Y, i, \pi\)의 기저변환이라 하자. \(\mathcal{F}'\)를 \(\mathcal{F}\)의 \(X'\)로의 당김, \(\mathcal{G}'\)를 \(\mathcal{G}\)의 \(Z'\)로의 당김이라 하자. \(S'\)가 아핀이면 \((Z', Y', i', \pi', \mathcal{G}')\)는 \(s'\) 위에서 \(\mathcal{F}'/X'/S'\)의 1단계 데비사주이다.

증명

아핀 스킴들의 섬유곱은 아핀이다. Schemes, Lemma 01JQ를 보라. 기저변환은 닫힌 몰입, 유한표현 사상, 유한 사상, 매끄러운 사상, 기하적으로 기약인 올을 갖는 사상, 상대차원이 \(n\)인 사상을 보존한다. Morphisms, Lemmas 01QR, 01TS, 01WL, 01VB, 02NK, 및 More on Morphisms, Lemma 0555를 보라. 유한 사상 \(i\)를 따른 직상은 기저변환과 가환하므로 \(i'_*\mathcal{G}' \cong \mathcal{F}'\)이다. Cohomology of Schemes, Lemma 02KG를 보라. 또한 \(\dim(\text{Supp}(\mathcal{F}_s)) = \dim(\text{Supp}(\mathcal{F}'_{s'}))\) 이다. 실제로 Morphisms, Lemma 02FY에 의해 \[\text{Supp}(\mathcal{F}_s) \times_s s' = \text{Supp}(\mathcal{F}'_{s'}).\] 이로써 보조정리가 증명된다.

보조정리

\(S\), \(X\), \(\mathcal{F}\), \(x\), \(s\)가 Definition 05H5에서와 같다고 하자. \((Z, Y, i, \pi, \mathcal{G}, z, y)\)를 \(x\)에서 \(\mathcal{F}/X/S\)의 1단계 데비사주라 하자. \((S', s') \to (S, s)\)를 동형 \(\kappa(s) = \kappa(s')\)을 유도하는 점을 갖춘 스킴들의 사상이라 하자. \((Z', Y', i', \pi', \mathcal{G}')\)를 Lemma 05H7에서 구성한 것이라 하고, \(x' \in X'\) (각각 \(z' \in Z'\), \(y' \in Y'\))를 \(x \in X\) (각각 \(z \in Z\), \(y \in Y\))와 \(s' \in S'\) 모두로 가는 유일한 점이라 하자. \(S'\)가 아핀이면 \((Z', Y', i', \pi', \mathcal{G}', z', y')\)는 \(x'\)에서 \(\mathcal{F}'/X'/S'\)의 1단계 데비사주이다.

증명

Lemma 05H7에 의해 \((Z', Y', i', \pi', \mathcal{G}')\)는 \(s'\) 위에서 \(\mathcal{F}'/X'/S'\)의 1단계 데비사주이다. 가정 \(\kappa(s) = \kappa(s')\)에 의해 올들 \(X'_{s'}\), \(Z'_{s'}\), \(Y'_{s'}\)가 각각 \(X_s\), \(Z_s\), \(Y_s\)와 동형이므로, \((Z', Y', i', \pi', \mathcal{G}', z', y')\)는 Definition 05H5의 성질 (1)–(4)를 만족한다.

정의

\(S\), \(X\), \(\mathcal{F}\), \(x\), \(s\)가 Definition 05H5에서와 같다고 하자. \((Z, Y, i, \pi, \mathcal{G}, z, y)\)를 \(x\)에서 \(\mathcal{F}/X/S\)의 1단계 데비사주라 하자. 이 상황의 표준 축소란 표준 열린집합들 \(S' \subset S\), \(X' \subset X\), \(Z' \subset Z\), \(Y' \subset Y\)로 주어지고, \(s \in S'\), \(x \in X'\), \(z \in Z'\), \(y \in Y'\)이며, \[(Z', Y', i|_{Z'}, \pi|_{Z'}, \mathcal{G}|_{Z'}, z, y)\] 가 \(x\)에서 \(\mathcal{F}|_{X'}/X'/S'\)의 1단계 데비사주인 것을 말한다.

보조정리

가정과 표기는 Definition 05H9에서와 같다고 하자. 다음이 성립한다.

1. \(S' \subset S\)가 \(s\)의 표준 열린 근방이면, \(X' = X_{S'}\), \(Z' = Z_{S'}\), \(Y' = Y_{S'}\)로 두어 표준 축소를 얻는다.

2. \(W \subset Y\)를 \(y\)의 표준 열린 근방이라 하자. 그러면 \(Y' = W \times_S S'\)인 표준 축소가 존재한다.

3. \(U \subset X\)를 \(x\)의 열린 근방이라 하자. 그러면 \(X' \subset U\)인 표준 축소가 존재한다.

증명

(1)은 Lemma 05H8와, 아핀 스킴들의 사상에 의한 표준 열린집합의 역상이 표준 열린집합이라는 사실에서 바로 따른다. Algebra, Lemma 00E2을 보라.

(2)에서와 같이 \(W \subset Y\)라 하자. \(Y \to S\)는 매끄러우므로 열린 사상이다. Morphisms, Lemma 056G을 보라. 따라서 \(W\)의 상에 포함되는 \(s\)의 표준 열린 근방 \(S'\)를 찾을 수 있다. 그러면 \(W_{S'} \to S'\)의 올들은 \(S'\) 위에서 \(Y \to S\)의 올들의 공집합이 아닌 열린 부분스킴이므로 역시 기하적으로 기약이다. \(Y' = W_{S'}\) 및 \(Z' = \pi^{-1}(Y')\)로 두면 \(Z' \subset Z\)는 \(z\)의 표준 열린 근방이다. \(Z' = D(\overline{h})\)가 되게 하는 함수 \(\overline{h} \in \Gamma(Z, \mathcal{O}_Z)\)를 택하자. \(i : Z \to X\)가 닫힌 몰입이므로 \(i^\sharp(h) = \overline{h}\)인 함수 \(h \in \Gamma(X, \mathcal{O}_X)\)를 찾을 수 있다. \(X' = D(h) \subset X\)로 둔다. 이렇게 하여 (2)의 표준 축소를 얻는다.

(3)에서와 같이 \(U \subset X\)라 하자. \(U\)를 축소하여 \(U\)가 표준 열린집합이라고 가정해도 된다. More on Morphisms, Lemma 05B8에 의해 \(\pi^{-1}(W) \subset i^{-1}(U)\)를 만족하는 \(y\)의 표준 열린 근방 \(W \subset Y\)가 존재한다. (2)를 적용하여 \(Y' = W_{S'}\)인 표준 축소 \(X', S', Z', Y'\)를 얻는다. \(Z' \subset \pi^{-1}(W) \subset i^{-1}(U)\)이므로, 표준 축소를 정의하는 어느 조건도 깨뜨리지 않고 \(X'\)를 \(X' \cap U\)로 바꿀 수 있다 (\(U\)도 표준 열린집합이므로 이는 여전히 표준 열린집합이다). 따라서 원하는 결론을 얻는다.

보조정리

\(S\), \(X\), \(\mathcal{F}\), \(x\), \(s\)가 Definition 05H5에서와 같다고 하자. \((Z, Y, i, \pi, \mathcal{G}, z, y)\)를 \(x\)에서 \(\mathcal{F}/X/S\)의 1단계 데비사주라 하자. 점을 갖춘 스킴들의 가환 그림 \[\xymatrix{ (Y, y) \ar[d] & (Y', y') \ar[l] \ar[d] \\ (S, s) & (S', s') \ar[l] }\] 이 주어지고 수평 화살표들이 기본 에탈 근방이라고 하자. 그러면 다음 성질들을 갖는 점을 갖춘 스킴들의 가환 그림 \[\xymatrix{ & & (X'', x'') \ar[lld] \ar[d] & (Z'', z'') \ar[l] \ar[lld] \ar[d] \\ (X, x) \ar[d] & (Z, z) \ar[l] \ar[d] & (S'', s'') \ar[lld] & (Y'', y'') \ar[lld] \ar[l] \\ (S, s) & (Y, y) \ar[l] }\] 이 존재한다.

1. \((S'', s'') \to (S', s')\)는 기본 에탈 근방이고, 사상 \(S'' \to S\)는 합성 \(S'' \to S' \to S\)이다.

2. \(Y''\)은 \(Y' \times_{S'} S''\)의 열린 부분스킴이다.

3. \(Z'' = Z \times_Y Y''\)이다.

4. \((X'', x'') \to (X, x)\)는 기본 에탈 근방이다.

5. \((Z'', Y'', i'', \pi'', \mathcal{G}'', z'', y'')\)는 층 \(\mathcal{F}''\)의 \(x''\)에서의 1단계 데비사주이다.

여기서 \(\mathcal{F}''\) (각각 \(\mathcal{G}''\))는 사상 \(X'' \to X\) (각각 \(Z'' \to Z\))에 의한 \(\mathcal{F}\) (각각 \(\mathcal{G}\))의 당김이고, \(i'' : Z'' \to X''\)와 \(\pi'' : Z'' \to Y''\)는 그림에서와 같다.

증명

\((S'', s'') \to (S', s')\)를 \(S''\)이 아핀인 임의의 기본 에탈 근방이라 하자. \(Y'' \subset Y' \times_{S'} S''\)을 점 \(y'' = (y', s'')\)을 포함하는 임의의 아핀 열린 근방이라 하자. 그러면 (3)에 의해 아핀인 \((Z'', z'')\)을 얻는다. 또한 \(Z_{S''} \to X_{S''}\)은 닫힌 몰입이고 \(Z'' \to Z_{S''}\)은 에탈 사상이다. 따라서 Lemma 057R를 적용할 수 있고,

\(Z'' \cong X'' \times_{X_{S'}} Z_{S'}\)을 만족하는 아핀 스킴들의 에탈 사상 \(X'' \to X_{S'}\)을 찾을 수 있다. 대응하는 닫힌 몰입을 \(i'' : Z'' \to X''\)라 쓰자. \(x'' = i''(z'')\)로 두면 보조정리의 가환 그림을 얻는다. 성질 (1), (2), (3), (4)는 구성상 성립한다. 따라서 \((S'', s'') \to (S', s')\)와 \(Y''\)을 알맞게 택했을 때 (5)가 성립함을 보이면 충분하다.

먼저 첫 문단과 같은 \((S'', s'') \to (S', s')\)와 \(Y''\)의 임의의 선택에 대해 성립하는 성질들을 열거하자. 구성상 \(Z'' = X'' \times_X Z\)이므로 \(i''_*\mathcal{G}'' = \mathcal{F}''\)이다 (표기는 보조정리의 명제에서와 같다). Cohomology of Schemes, Lemma 02KG를 보라. \(n = \dim(\text{Supp}(\mathcal{F}_s)) = \dim_x(\text{Supp}(\mathcal{F}_s))\)로 두자. 사상 \(Y'' \to S''\)은 상대차원이 \(n\)인 매끄러운 사상이다. (실제로 \(Y' \to S'\)는 상대차원이 \(n\)인 에탈 사상과 매끄러운 사상의 합성 \(Y' \to Y_{S'} \to S'\)로서 상대차원이 \(n\)인 매끄러운 사상이고, 기저변환은 상대차원이 \(n\)인 매끄러운 사상을 보존한다.) \(\kappa(y'') = \kappa(y)\)이고 \(\kappa(s) = \kappa(s'')\)이므로 \(\kappa(y'')\)는 \(\kappa(s'')\)의 순수 초월 확대이다. 올의 사상 \(X''_{s''} \to X_s\)는 \(\kappa(s) = \kappa(s'')\) 위 아핀 스킴들의 에탈 사상으로서 점 \(x''\)을 점 \(x\)로 보내고 \(\mathcal{F}_s\)를 \(\mathcal{F}''_{s''}\)로 당긴다. 따라서 \[\dim(\text{Supp}(\mathcal{F}''_{s''})) = \dim(\text{Supp}(\mathcal{F}_s)) = n = \dim_x(\text{Supp}(\mathcal{F}_s)) = \dim_{x''}(\text{Supp}(\mathcal{F}''_{s''}))\] 이다. 차원은 에탈 국소화 아래 불변이기 때문이다. Descent, Lemma 04N4을 보라. \(\pi'' : Z'' \to Y''\)은 \(\pi\)의 기저변환이므로 \(\pi''\)은 유한이고, \(\kappa(y) = \kappa(y'')\)이므로

\(\pi^{-1}(\{y''\}) = \{z''\}\)이다.

이 시점에서 Definition 05H4의 조건 중 \(Y'' \to S''\)의 올들이 기하적으로 기약이라는 것만 아직 확인하지 않았다. 물론 일반적으로 이는 참이 아니며, 바로 여기서 \(\kappa(s) \subset \kappa(y)\)가 순수 초월이라는 사실을 사용한다. \(T \subset Y'_{s'}\)를 \(y' = (y, s')\)을 포함하는 \(Y'_{s'}\)의 기약 성분이라 하자. \(Y'_{s'}\)은 \(\kappa(s')\) 위의 매끄러운 스킴이므로 \(T\)는 그 열린 부분스킴임에 유의하자. Varieties, Lemma 04KV에 의해 \(\kappa(s') = \kappa(s)\)가 \(\kappa(y') = \kappa(y)\)에서 대수적으로 닫혀 있으므로 \(T\)는 기하적으로 연결이다. \(T\)가 매끄러우므로 \(T\)는 기하적으로 기약이다. 따라서 More on Morphisms, Lemma 057J를 적용하여, \(Y'' \to S''\)의 모든 올이 기하적으로 기약이고 \(T = Y''_{s''}\)인 기본 에탈 사상 \((S'', s'') \to (S', s')\)와 아핀 열린집합 \(Y'' \subset Y'_{S''}\)을 찾을 수 있다. (먼저 \(Y''\)을, 그다음 \(S''\)을) 축소하여 \(Y''\)와 \(S''\)가 모두 아핀이라고 가정해도 된다. 이로써 보조정리의 증명이 끝난다.

보조정리

\(S\), \(X\), \(\mathcal{F}\), \(s\)가 Definition 05H4에서와 같다고 하자. \((Z, Y, i, \pi, \mathcal{G})\)를 \(s\) 위에서 \(\mathcal{F}/X/S\)의 1단계 데비사주라 하자. \(\xi \in Y_s\)를 (유일한) 일반점이라 하자. 그러면 정수 \(r > 0\)과 \(\mathcal{O}_Y\)-가군 사상 \[\alpha : \mathcal{O}_Y^{\oplus r} \longrightarrow \pi_*\mathcal{G}\] 이 존재하여 \[\alpha : \kappa(\xi)^{\oplus r} \longrightarrow (\pi_*\mathcal{G})_\xi \otimes_{\mathcal{O}_{Y, \xi}} \kappa(\xi)\] 는 동형이다. 더욱이 이 경우 \[\dim(\text{Supp}(\Coker(\alpha)_s)) < \dim(\text{Supp}(\mathcal{F}_s)).\] 이다.

증명

가정에 의해 스킴 \(S\)와 \(Y\)는 아핀이다. \(S = \Spec(A)\), \(Y = \Spec(B)\)로 쓰자. \(\pi\)가 유한이므로 \(\mathcal{O}_Y\)-가군 \(\pi_*\mathcal{G}\)는 유한형 준연접 \(\mathcal{O}_Y\)-가군이다. 따라서 어떤 유한 \(B\)-가군 \(N\)에 대해 \(\pi_*\mathcal{G} = \widetilde{N}\)이다. \(\mathfrak p \subset B\)를 \(\xi\)에 대응하는 소 아이디얼이라 하자. \(\alpha\)를 얻기 위해 \(r = \dim_{\kappa(\mathfrak p)} N \otimes_B \kappa(\mathfrak p)\)로 두고, \(N \otimes_B \kappa(\mathfrak p)\)의 기저를 이루는 \(x_1, \ldots, x_r \in N\)을 택한다. \(\alpha : B^{\oplus r} \to N\)을 식 \(\alpha(b_1, \ldots, b_r) = \sum b_ix_i\)로 주어지는 사상으로 택하자. 그러면 \(\alpha : \kappa(\mathfrak p)^{\oplus r} \to N \otimes_B \kappa(\mathfrak p)\)가 원하는 대로 동형임은 명백하다. 마지막으로 \(\alpha\)가 이 성질을 갖는 임의의 사상이라고 하자. 그러면 \(N' = \Coker(\alpha)\)는 \(N' \otimes \kappa(\mathfrak p) = 0\)인 유한 \(B\)-가군이다. Nakayama 보조정리(Algebra, Lemma 00DV)에 의해 \(N'_{\mathfrak p} = 0\)이다. 올 \(Y_s\)는 일반점 \(\xi\)를 갖는,

차원이 \(n\)인 기하적으로 기약인 스킴이고, 방금 \(\xi\)가 \(\Coker(\alpha)\)의 지지에 속하지 않음을 보였으므로 보조정리의 마지막 주장이 성립한다.

완전 데비사주

이 절에서는 가군의 완전 데비사주가 무엇인지 설명하고 그러한 데비사주가 존재함을 증명한다. 이 절의 내용은 주로 자료를 정리하는 일이다.

정의

\(S\)를 스킴이라 하자. \(X\)가 \(S\) 위에서 국소 유한형이라고 하자. \(\mathcal{F}\)를 유한형 준연접 \(\mathcal{O}_X\)-가군이라 하자. \(s \in S\)를 점이라 하자. \(s\) 위에서 \(\mathcal{F}/X/S\)의 완전 데비사주란 다음 그림을 이루는 \(S\) 위의 스킴들 \[\xymatrix{ X & Z_1 \ar[l]^{i_1} \ar[d]^{\pi_1} \\ & Y_1 & Z_2 \ar[l]^{i_2} \ar[d]^{\pi_2} \\ & & Y_2 & Z_3 \ar[l] \ar[d] \\ & & & ... & ... \ar[l] \ar[d] \\ & & & & Y_n }\] 과 유한형 준연접 \(\mathcal{O}_{Z_k}\)-가군 \(\mathcal{G}_k\), 그리고 \(\mathcal{O}_{Y_k}\)-가군 사상 \[\alpha_k : \mathcal{O}_{Y_k}^{\oplus r_k} \longrightarrow \pi_{k, *}\mathcal{G}_k, \quad k = 1, \ldots, n\] 으로 주어지며 다음 성질들을 만족하는 것을 말한다.

1. \((Z_1, Y_1, i_1, \pi_1, \mathcal{G}_1)\)은 \(s\) 위에서 \(\mathcal{F}/X/S\)의 1단계 데비사주이다.

2. 사상 \(\alpha_k\)는 동형 \[\kappa(\xi_k)^{\oplus r_k} \longrightarrow (\pi_{k, *}\mathcal{G}_k)_{\xi_k} \otimes_{\mathcal{O}_{Y_k, \xi_k}} \kappa(\xi_k)\] 을 유도한다. 여기서 \(\xi_k \in (Y_k)_s\)는 유일한 일반점이다.

3. \(k = 2, \ldots, n\)에 대하여 계 \((Z_k, Y_k, i_k, \pi_k, \mathcal{G}_k)\)는 \(s\) 위에서 \(\Coker(\alpha_{k - 1})/Y_{k - 1}/S\)의 1단계 데비사주이다.

4. \(\Coker(\alpha_n) = 0\).

이때 \((Z_k, Y_k, i_k, \pi_k, \mathcal{G}_k, \alpha_k)_{k = 1, \ldots, n}\) 을 \(s\) 위에서 \(\mathcal{F}/X/S\)의 완전 데비사주라고 한다.

정의

\(S\)를 스킴이라 하자. \(X\)가 \(S\) 위에서 국소 유한형이라고 하자. \(\mathcal{F}\)를 유한형 준연접 \(\mathcal{O}_X\)-가군이라 하자. \(x \in X\)를 그 상이 \(s \in S\)인 점이라 하자. \(x\)에서 \(\mathcal{F}/X/S\)의 완전 데비사주란 계 \[(Z_k, Y_k, i_k, \pi_k, \mathcal{G}_k, \alpha_k, z_k, y_k)_{k = 1, \ldots, n}\] 으로서 \((Z_k, Y_k, i_k, \pi_k, \mathcal{G}_k, \alpha_k)\)가 \(s\) 위에서 \(\mathcal{F}/X/S\)의 완전 데비사주이고 다음을 만족하는 것을 말한다.

1. \((Z_1, Y_1, i_1, \pi_1, \mathcal{G}_1, z_1, y_1)\)은 \(x\)에서 \(\mathcal{F}/X/S\)의 1단계 데비사주이다.

2. \(k = 2, \ldots, n\)에 대하여 계 \((Z_k, Y_k, i_k, \pi_k, \mathcal{G}_k, z_k, y_k)\)는 \(y_{k - 1}\)에서 \(\Coker(\alpha_{k - 1})/Y_{k - 1}/S\)의 1단계 데비사주이다.

다시 말해, 완전 데비사주가 존재할 수 있는 것은 \(X\)와 \(S\)가 아핀인 경우뿐임에 유의하자.

보조정리

\(S\), \(X\), \(\mathcal{F}\), \(s\)가 Definition 05HH에서와 같다고 하자. \((S', s') \to (S, s)\)를 점을 갖춘 스킴들의 임의의 사상이라 하자. \((Z_k, Y_k, i_k, \pi_k, \mathcal{G}_k, \alpha_k)_{k = 1, \ldots, n}\) 을 \(s\) 위에서 \(\mathcal{F}/X/S\)의 완전 데비사주라 하자. 이 데이터에 대하여 \(X', Z'_k, Y'_k, i'_k, \pi'_k\)를 각각 \(S' \to S\)에 의한 \(X, Z_k, Y_k, i_k, \pi_k\)의 기저변환이라 하자. \(\mathcal{F}'\)를 \(\mathcal{F}\)의 \(X'\)로의 당김이라 하고 \(\mathcal{G}'_k\)를 \(\mathcal{G}_k\)의 \(Z'_k\)로의 당김이라 하자. \(\alpha'_k\)를 \(\alpha_k\)의 \(Y'_k\)로의 당김이라 하자. \(S'\)가 아핀이면 \((Z'_k, Y'_k, i'_k, \pi'_k, \mathcal{G}'_k, \alpha'_k)_{k = 1, \ldots, n}\) 은 \(s'\) 위에서 \(\mathcal{F}'/X'/S'\)의 완전 데비사주이다.

증명

Lemma 05H7에 의해 1단계 데비사주의 기저변환은 1단계 데비사주이다. 따라서 \(\Coker(\alpha_k)\)의 형성이 기저변환과 가환하고 Definition 05HH의 조건 (2)가 기저변환으로 보존됨을 보이면 충분하다. 첫 번째 주장은 \(\pi'_{k, *}\mathcal{G}'_k\)가 \(\pi_{k, *}\mathcal{G}_k\)의 당김이고(Cohomology of Schemes, Lemma 02KG) \(\otimes\)가 우완전이므로 성립한다. 두 번째 주장도 같은 이유로 \[(\pi_{k, *}\mathcal{G}_k)_{\xi_k} \otimes_{\mathcal{O}_{Y_k, \xi_k}} \kappa(\xi_k) \otimes_{\kappa(\xi_k)} \kappa(\xi'_k) \cong (\pi'_{k, *}\mathcal{G}'_k)_{\xi'_k} \otimes_{\mathcal{O}_{Y'_k, \xi'_k}} \kappa(\xi'_k)\] 가 성립하기 때문이다. 기호의 뜻은 명백하다.

보조정리

\(S\), \(X\), \(\mathcal{F}\), \(x\), \(s\)가 Definition 05HI에서와 같다고 하자. \((S', s') \to (S, s)\)를 동형 \(\kappa(s) = \kappa(s')\)를 유도하는 점을 갖춘 스킴들의 사상이라 하자. \((Z_k, Y_k, i_k, \pi_k, \mathcal{G}_k, \alpha_k, z_k, y_k)_{k = 1, \ldots, n}\) 을 \(x\)에서 \(\mathcal{F}/X/S\)의 완전 데비사주라 하자. \((Z'_k, Y'_k, i'_k, \pi'_k, \mathcal{G}'_k, \alpha'_k)_{k = 1, \ldots, n}\) 을 Lemma 05HJ에서 구성한 것이라 하고,

\(x' \in X'\) (각각 \(z'_k \in Z'\), \(y'_k \in Y'\))를 \(x \in X\) (각각 \(z_k \in Z_k\), \(y_k \in Y_k\))와 \(s' \in S'\) 양쪽으로 가는 유일한 점이라 하자. \(S'\)가 아핀이면 \((Z'_k, Y'_k, i'_k, \pi'_k, \mathcal{G}'_k, \alpha'_k, z'_k, y'_k)_{k = 1, \ldots, n}\) 은 \(x'\)에서 \(\mathcal{F}'/X'/S'\)의 완전 데비사주이다.

증명

Lemma 05HJ와 Lemma 05H8를 함께 적용하면 된다.

정의

\(S\), \(X\), \(\mathcal{F}\), \(x\), \(s\)가 Definition 05HI에서와 같다고 하자. \(x\)에서 \(\mathcal{F}/X/S\)의 완전 데비사주 \((Z_k, Y_k, i_k, \pi_k, \mathcal{G}_k, \alpha_k, z_k, y_k)_{k = 1, \ldots, n}\) 을 생각하자. 이 상황의 표준 축소란 다음과 같은 것을 말한다.

표준 열린집합 \(S' \subset S\), \(X' \subset X\), \(Z'_k \subset Z_k\), \(Y'_k \subset Y_k\)가 주어져 \(s_k \in S'\), \(x_k \in X'\), \(z_k \in Z'\), \(y_k \in Y'\)이고, \[(Z'_k, Y'_k, i'_k, \pi'_k, \mathcal{G}'_k, \alpha'_k, z_k, y_k)_{k = 1, \ldots, n}\]

가 \(x\)에서 \(\mathcal{F}'/X'/S'\)의 1단계 데비사주인 것을 말한다. 여기서 \(\mathcal{G}'_k = \mathcal{G}_k|_{Z'_k}\)이고 \(\mathcal{F}' = \mathcal{F}|_{X'}\)이다.

보조정리

Definition 05HL의 가정과 기호 아래에서 다음이 성립한다.

1. \(S' \subset S\)가 \(s\)의 표준 열린 근방이면 \(X' = X_{S'}\), \(Z'_k = Z_{S'}\), \(Y'_k = Y_{S'}\)로 두어 표준 축소를 얻는다.

2. \(W \subset Y_n\)을 \(y\)의 표준 열린 근방이라 하자. 그러면 \(Y'_n = W \times_S S'\)인 표준 축소가 존재한다.

3. \(U \subset X\)를 \(x\)의 열린 근방이라 하자. 그러면 \(X' \subset U\)인 표준 축소가 존재한다.

증명

(1)은 Lemma 05HK와 Lemma 05HA에서 바로 따른다.

(2)의 증명. 편의를 위해 \(X = Y_0\)로 쓰자. Lemma 05HA (05HC)를 적용하여 \(y_{n - 1}\)에서 \(\Coker(\alpha_{n - 1})/Y_{n - 1}/S\)의 1단계 데비사주의 표준 축소 \(S', Y'_{n - 1}, Z'_n, Y'_n\) 으로서 \(Y'_n = W \times_S S'\)인 것을 찾는다. 이 절차를 반복하여 \(y_{n - 2}\)에서 \(\Coker(\alpha_{n - 2})/Y_{n - 2}/S\)의 1단계 데비사주의 표준 축소 \(S'', Y''_{n - 2}, Z''_{n - 1}, Y''_{n - 1}\) 으로서 \(Y''_{n - 1} = Y'_{n - 1} \times_S S''\)인 것을 찾을 수 있다. 이와 같이 계속하여 \(S^{(n)}, Y^{(n)}_0, Z^{(n)}_1, Y^{(n)}_1\)을 얻는다. 이때 \(S^{(n)}\), \(X^{(n)}\), \(Z_k^{(n - k)} \times_S S^{(n)}\), \(Y_k^{(n - k)} \times_S S^{(n)}\)을 취하면 원하는 성질을 갖는 표준 축소를 얻음이 명백하다.

(3)의 증명. 완전 데비사주의 길이에 대해 귀납법을 쓴다. 먼저 Lemma 05HA (05HD)를 적용하여 \(x\)에서 \(\mathcal{F}/X/S\)의 1단계 데비사주의 표준 축소 \(S', X', Z'_1, Y'_1\)으로서 \(X' \subset U\)인 것을 찾는다. \(n = 1\)이면 끝난다. \(n > 1\)이면 귀납가정에 의해

\(x\)에서 \(\Coker(\alpha_1)/Y_1/S\)의 완전 데비사주 \((Z_k, Y_k, i_k, \pi_k, \mathcal{G}_k, \alpha_k, z_k, y_k)_{k = 2, \ldots, n}\) 의 표준 축소 \(S''\), \(Y''_1\), \(Z''_k\), \(Y''_k\)로서 \(Y''_1 \subset Y'_1\)인 것을 찾을 수 있다. Lemma 05HA (05HC)를 쓰면 \(S''' \subset S'\), \(X''' \subset X'\), \(Z'''_1\)과 \(Y'''_1 = Y''_1 \times_S S'''\)으로 이루어진 표준 축소를 찾을 수 있다. 우리 문제의 해는 \[S''', X''', Z'''_1, Y'''_1, Z''_2 \times_S S''', Y''_2 \times_S S''', \ldots, Z''_n \times_S S''', Y''_n \times_S S'''\] 을 취하면 된다. 이로써 보조정리의 증명이 끝난다.

명제

\(S\)를 스킴이라 하자. \(X\)가 \(S\) 위에서 국소 유한형이라고 하자. \(x \in X\)를 그 상이 \(s \in S\)인 점이라 하자.

다음과 같은 점을 갖춘 스킴들의 가환 그림 \[\xymatrix{ (X, x) \ar[d] & (X', x') \ar[l]^g \ar[d] \\ (S, s) & (S', s') \ar[l] }\] 으로서 수평 화살표들이 기본 에탈 근방이고

\(g^*\mathcal{F}/X'/S'\)가 \(x\)에서 완전 데비사주를 갖는 것이 존재한다.

증명

정수 \(d = \dim_x(\text{Supp}(\mathcal{F}_s))\)에 대해 귀납법으로 증명한다. Lemma 05H6에 의해 다음과 같은 점을 갖춘 스킴들의 그림 \[\xymatrix{ (X, x) \ar[d] & (X', x') \ar[l]^g \ar[d] \\ (S, s) & (S', s') \ar[l] }\] 으로서 수평 화살표들이 기본 에탈 근방이고 \(g^*\mathcal{F}/X'/S'\)가 \(x'\)에서 1단계 데비사주를 갖는 것이 존재한다. 문제의 국소적 성질에 의해 \((X, x) \to (S, s)\)를 \((X', x') \to (S', s')\)로 바꾸어도 된다. 따라서 그렇게 한 뒤에는 \(x\)에서 \(\mathcal{F}/X/S\)의 1단계 데비사주 \((Z_1, Y_1, i_1, \pi_1, \mathcal{G}_1)\)이 존재한다고 가정해도 된다.

Lemma 05HF를 적용하여 \[\alpha_1 : \mathcal{O}_{Y_1}^{\oplus r_1} \longrightarrow \pi_{1, *}\mathcal{G}_1\] 인 사상을 찾는다. 이 사상은 \(\kappa(\xi_1)\) 위의 벡터 공간들의 동형을 유도한다. 여기서 \(\xi_1 \in Y_1\)은 \(s\) 위의 \(Y_1\)의 올의 유일한 일반점이다. 더욱이 \(\dim_{y_1}(\text{Supp}(\Coker(\alpha_1)_s)) < d\)이다. \(\Coker(\alpha_1)_s\)의 \(y_1\)에서의 줄기가 영일 수 있다. 이 경우 Lemma 05HA (05HC)에 의해 \(Y_1\)을 축소하여 \(\Coker(\alpha_1) = 0\)이라고 가정할 수 있으므로

길이가 0인 완전 데비사주를 얻는다.

이제 \(\Coker(\alpha_1)_s\)의 \(y_1\)에서의 줄기가 영이 아니라고 하자. 이 경우 귀납가정에 의해 다음과 같은 가환 그림 [05HS]\[\begin{equation} \vcenter{ \xymatrix{ (Y_1, y_1) \ar[d] & (Y'_1, y'_1) \ar[l]^h \ar[d] \\ (S, s) & (S', s') \ar[l] } } \end{equation}\] 으로서 수평 화살표들이 기본 에탈 근방이고 \(h^*\Coker(\alpha_1)/Y'_1/S'\)가 \(y'_1\)에서 완전 데비사주 \[(Z_k, Y_k, i_k, \pi_k, \mathcal{G}_k, \alpha_k, z_k, y_k)_{k = 2, \ldots, n}\] 를 갖는 것이 존재한다. (특히

\(i_2 : Z_2 \to Y'_1\)은 \(Y'_2\)로의 닫힌 몰입이다.) 이제 Lemma 05HE를 \(S, X, \mathcal{F}, x, s\), 계 \((Z_1, Y_1, i_1, \pi_1, \mathcal{G}_1)\) 및 그림 (05HS)에 적용한다. 그러면 다음 그림 \[\xymatrix{ & & (X'', x'') \ar[lld] \ar[d] & (Z''_1, z''_1) \ar[l] \ar[lld] \ar[d] \\ (X, x) \ar[d] & (Z_1, z_1) \ar[l] \ar[d] & (S'', s'') \ar[lld] & (Y''_1, y''_1) \ar[lld] \ar[l] \\ (S, s) & (Y_1, y_1) \ar[l] }\] 으로서 인용한 보조정리에 열거된 모든 성질을 갖는 것을 얻는다. 특히 \(Y''_1 \subset Y'_1 \times_{S'} S''\)이다. \(X_1 = Y'_1 \times_{S'} S''\)로 두고 \(\mathcal{F}_1\)을 \(\Coker(\alpha_1)\)의 당김이라 하자. Lemma 05HK에 의해 계 [05HT]\[\begin{equation} (Z_k \times_{S'} S'', Y_k \times_{S'} S'', i''_k, \pi''_k, \mathcal{G}''_k, \alpha''_k, z''_k, y''_k)_{k = 2, \ldots, n} \end{equation}\]

은 \(\mathcal{F}_1\)에서 \(X_1\)로의 완전 데비사주이다. 다시 문제의 성질에 의해 \((X, x) \to (S, s)\)를 \((X'', x'') \to (S'', s'')\)로 바꾸어도 된다. 이로부터 다음을 가정해도 됨을 알 수 있다.

1. \(x\)에서 \(\mathcal{F}/X/S\)의 1단계 데비사주 \((Z_1, Y_1, i_1, \pi_1, \mathcal{G}_1)\)이 존재한다.

2. \(\alpha_1 : \mathcal{O}_{Y_1}^{\oplus r_1} \to \pi_{1, *}\mathcal{G}_1\)로서

   \(\alpha \otimes \kappa(\xi_1)\)가 동형인 것이 존재한다.

3. \(Y_1 \subset X_1\)은 열린집합이고 \(y_1 = x_1\)이며 \(\mathcal{F}_1|_{Y_1} \cong \Coker(\alpha_1)\)이다.

4. \(x_1\)에서 \(\mathcal{F}_1/X_1/S\)의 완전 데비사주 \((Z_k, Y_k, i_k, \pi_k, \mathcal{G}_k, \alpha_k, z_k, y_k)_{k = 2, \ldots, n}\) 가 존재한다.

증명을 끝내려면 1단계 데비사주와 완전 데비사주를 축소하여 이들이 하나의 완전 데비사주로 이어지게 하면 된다. (이어지는 증명을 읽는 대신 Lemma 05HA와 Lemma 05HM를 사용하여 독자가 직접 해 보기를 권한다.) \(Y_1 \subset X_1\)은 \(x_1\)의 열린 근방이므로 Lemma 05HM (05HQ)를 적용하여 데이터 (d)의 표준 축소 \(S', X'_1, Z'_2, Y'_2, \ldots, Y'_n\)으로서 \(X'_1 \subset Y_1\)인 것을 찾는다. \(X'_1\)은 아핀 스킴 \(Y_1\)의 표준 열린집합이기도 함에 유의하자. 다음으로 데이터 (a)를 다음과 같이 축소한다. 먼저 Lemma 05HA (05HB)에 의해 밑 \(S\)를 \(S'\)로 축소하고, 이어서 Lemma 05HA (05HC)를 사용하여 그 결과를 \(S''\), \(X''\), \(Z''_1\), \(Y''_1\)로 축소하되, 마침내 \(Y''_1 = X'_1 \times_S S''\)이고 \(S'' \subset S'\)이 되게 한다. 그러면 \[Z''_1, Y''_1, Z'_2 \times_{S'} S'', Y'_2 \times_{S'} S'', \ldots, Y'_n \times_{S'} S''\] 이 우리가 찾던 완전 데비사주를 줌을 알 수 있다.

자료를 조금 더 정리하면 다음 결과를 얻는다.

보조정리

\(X \to S\)를 스킴의 유한형 사상이라 하자. \(\mathcal{F}\)를 유한형 준연접 \(\mathcal{O}_X\)-가군이라 하자. \(s \in S\)를 점이라 하자. 기본 에탈 근방 \((S', s') \to (S, s)\)와 에탈 사상들 \(h_i : Y_i \to X_{S'}\), \(i = 1, \ldots, n\)이 존재하여, 각 \(i\)에 대하여 \(s'\) 위에서 \(\mathcal{F}_i/Y_i/S'\)의 완전 데비사주가 존재한다. 여기서 \(\mathcal{F}_i\)는 \(\mathcal{F}\)의 \(Y_i\)로의 당김이며, 또한 \(X_s = (X_{S'})_{s'} \subset \bigcup h_i(Y_i)\)이다.

증명

모든 점 \(x \in X_s\)에 대하여 다음과 같은 그림 \[\xymatrix{ (X, x) \ar[d] & (X', x') \ar[l]^g \ar[d] \\ (S, s) & (S', s') \ar[l] }\] 으로서 수평 화살표들이 기본 에탈 근방이고 \(g^*\mathcal{F}/X'/S'\)가 \(x'\)에서 완전 데비사주를 갖는 것을 찾을 수 있다. \(X \to S\)가 유한형이므로 올 \(X_s\)는 준콤팩트하고, 위의 각 \(g : X' \to X\)가 열린 사상이므로 유한 개의 \(g(X'_{s'})\)로 \(X_s\)를 덮을 수 있다. 따라서 다음과 같은 그림들의 유한족 \[\vcenter{ \xymatrix{ (X, x) \ar[d] & (X'_i, x'_i) \ar[l]^{g_i} \ar[d] \\ (S, s) & (S'_i, s'_i) \ar[l] } } \quad i = 1, \ldots, n\]

으로서 \(X_s = \bigcup g_i(X'_i)\)인 것을 찾을 수 있다. \(S' = S'_1 \times_S \ldots \times_S S'_n\)로 두고

\(Y_i = X_i \times_{S'_i} S'\)를 \(X'_i\)의 \(S'\)로의 기저변환이라 하자. Lemma 05HJ에 의해 \(\mathcal{F}\)의 \(Y_i\)로의 당김은

\(s\) 위에서 완전 데비사주를 가지며, 이로써 증명이 끝난다.

대수로의 번역

완전 데비사주를 갖는다는 것이 무엇을 뜻하는지 대수적으로 명시해 두는 것이 유용할 수 있다. 다음 개념을 도입한다. (그다지 유용한 개념은 아니므로 터무니없이 긴 이름을 붙인다.)

정의

\(R \to S\)를 환 준동형이라 하자. \(\mathfrak q\)를 \(S\)의 소 아이디얼로서 \(R\)의 소 아이디얼 \(\mathfrak p\) 위에 놓인 것이라 하자. \(\mathfrak q\)에서 환 준동형 \(R \to S\)의 기본 에탈 국소화란 환들의 가환 그림과 그에 딸린 소 아이디얼들 \[\xymatrix{ S \ar[r] & S' \\ R \ar[u] \ar[r] & R' \ar[u] } \quad\quad \xymatrix{ \mathfrak q \ar@{-}[r] & \mathfrak q' \\ \mathfrak p \ar@{-}[u] \ar@{-}[r] & \mathfrak p' \ar@{-}[u] }\] 로 주어지며, \(R \to R'\)와 \(S \to S'\)가 에탈 환 준동형이고 \(\kappa(\mathfrak p) = \kappa(\mathfrak p')\) 및 \(\kappa(\mathfrak q) = \kappa(\mathfrak q')\)를 만족하는 것을 말한다.

정의

\(R \to S\)를 유한형 환 준동형이라 하자. \(\mathfrak r\)을 \(R\)의 소 아이디얼이라 하자. \(N\)을 유한 \(S\)-가군이라 하자. \(\mathfrak r\) 위에서 \(N/S/R\)의 완전 데비사주란 \(R\)-대수 준동형들 \[\xymatrix{ & A_1 & & A_2 & & ... & & A_n \\ S \ar[ru] & & B_1 \ar[lu] \ar[ru] & & ... \ar[lu] \ar[ru] & & ... \ar[lu] \ar[ru] & & B_n \ar[lu] }\] 과 유한 \(A_i\)-가군 \(M_i\), 그리고 \(B_i\)-가군 사상 \(\alpha_i : B_i^{\oplus r_i} \to M_i\)로 주어지며 다음을 만족한다.

1. \(S \to A_1\)은 전사이고 유한표현이다.

2. \(B_i \to A_{i + 1}\)은 전사이고 유한표현이다.

3. \(B_i \to A_i\)는 유한이다.

4. \(R \to B_i\)는 매끄럽고 기하적으로 기약인 올들을 갖는다.

5. \(S\)-가군으로서 \(N \cong M_1\)이다.

6. \(B_i\)-가군으로서 \(\Coker(\alpha_i) \cong M_{i + 1}\)이다.

7. \(\alpha_i : \kappa(\mathfrak p_i)^{\oplus r_i} \to M_i \otimes_{B_i} \kappa(\mathfrak p_i)\)는 동형이다. 여기서 \(\mathfrak p_i = \mathfrak rB_i\)이다.

8. \(\Coker(\alpha_n) = 0\).

이 상황에서 \((A_i, B_i, M_i, \alpha_i)_{i = 1, \ldots, n}\) 을 \(\mathfrak r\) 위에서 \(N/S/R\)의 완전 데비사주라고 한다.

주

모든 \(i\)에 대한 \(R\)-대수 \(B_i\)와 \(i \geq 2\)에 대한 \(A_i\)는 \(R\) 위에서 유한표현임에 유의하자. \(S\)가 \(R\) 위에서 유한표현이면 \(A_1\)도 \(R\) 위에서 유한표현이다. 이 경우 완전 데비사주에 나오는 모든 환 준동형은 유한표현이다. Algebra, Lemma 00F4를 보라. 계속해서 \(S\)가 \(R\) 위에서 유한표현이라고 가정하면 다음은 서로 동치이다.

1. \(M\)은 \(S\) 위에서 유한표현이다.

2. \(M_1\)은 \(A_1\) 위에서 유한표현이다.

3. \(M_1\)은 \(B_1\) 위에서 유한표현이다.

4. 각 \(M_i\)는 \(A_i\)-가군으로서도 \(B_i\)-가군으로서도 유한표현이다.

동치 (1) \(\Leftrightarrow\) (2)와 (2) \(\Leftrightarrow\) (3)은 Algebra, Lemma 0564에서 따른다. \(M_1\)이 유한표현이면 \(\Coker(\alpha_1)\)도 유한표현이고 (Algebra, Lemma 0519를 보라), 따라서 \(M_2\) 등도 그러하다.

정의

\(R \to S\)를 유한형 환 준동형이라 하자. \(\mathfrak q\)를 \(S\)의 소 아이디얼로서 \(R\)의 소 아이디얼 \(\mathfrak r\) 위에 놓인 것이라 하자. \(N\)을 유한 \(S\)-가군이라 하자. \(\mathfrak q\)에서 \(N/S/R\)의 완전 데비사주란 \(\mathfrak r\) 위에서 \(N/S/R\)의 완전 데비사주 \((A_i, B_i, M_i, \alpha_i)_{i = 1, \ldots, n}\)과 \(\mathfrak r\) 위에 놓인 소 아이디얼들 \(\mathfrak q_i \subset B_i\)로 주어지며 다음을 만족하는 것을 말한다.

1. \(\kappa(\mathfrak r) \subset \kappa(\mathfrak q_i)\)는 순수 초월이다.

2. \(\mathfrak q_i \subset B_i\) 위에 놓인 소 아이디얼 \(\mathfrak q'_i \subset A_i\)가 유일하게 존재한다.

3. \(\mathfrak q = \mathfrak q'_1 \cap S\)이고 \(\mathfrak q_i = \mathfrak q'_{i + 1} \cap A_i\)이다.

4. \(R \to B_i\)의 상대차원은 \(\dim_{\mathfrak q_i}(\text{Supp}(M_i \otimes_R \kappa(\mathfrak r)))\)이다.

주

\(A \to B\)를 유한형 환 준동형이라 하고 \(N\)을 유한 \(B\)-가군이라 하자. \(\mathfrak q\)를 \(B\)의 소 아이디얼로서 \(A\)의 소 아이디얼 \(\mathfrak r\) 위에 놓인 것이라 하자. \(X = \Spec(B)\), \(S = \Spec(A)\)로 두고 \(X\) 위에서 \(\mathcal{F} = \widetilde{N}\)로 두자. \(x\)를 \(\mathfrak q\)에 대응하는 점이라 하고, \(s \in S\)를

\(\mathfrak p\)에 대응하는 점이라 하자. 그러면

1. \(\mathcal{F}/X/S\)가 \(s\) 위에서 완전 데비사주를 가지면 \(N/B/A\)가 \(\mathfrak p\) 위에서 완전 데비사주를 갖는다.

2. \(\mathcal{F}/X/S\)가 \(x\)에서 완전 데비사주를 갖는 것과 \(N/B/A\)가 \(\mathfrak q\)에서 완전 데비사주를 갖는 것은 동치이다.

다만 “\(\mathfrak p\) 위에서 \(N/B/A\)의 완전 데비사주”를 정식화할 때 상대차원에 관한 조건을 생략했다는 작은 차이가 있으며, 이 때문에 (1)의 함의는 한 방향으로만 성립한다. \(\mathfrak q\)에서의 완전 데비사주라는 개념에는 이 조건이 포함되어 있다. 어쨌든 여기서는 \(\mathcal{F}/X/S\)에 대한 존재가 \(N/B/A\)에 대한 존재를 함의한다는 사실만 사용할 것이다.

보조정리

\(R \to S\)를 유한형 환 준동형이라 하자. \(M\)을 유한 \(S\)-가군이라 하자. \(\mathfrak q\)를 \(S\)의 소 아이디얼이라 하자. 환 준동형 \(R \to S\)의 \(\mathfrak q\)에서의 기본 에탈 국소화 \(R' \to S', \mathfrak q', \mathfrak p'\)로서 \((M \otimes_S S')/S'/R'\)가 \(\mathfrak q'\)에서 완전 데비사주를 갖는 것이 존재한다.

증명

이는 Proposition 05HR를 Remark 05I0를 통해 다시 쓴 것이다.

국소화와 보편 단사 사상

보조정리

\(R \to S\)를 환 준동형이라 하자. \(N\)을 \(S\)-가군이라 하자. 다음을 가정한다.

1. \(R\)은 극대 아이디얼 \(\mathfrak m\)을 갖는 국소환이다.

2. \(\overline{S} = S/\mathfrak m S\)는 뇌터 환이다.

3. \(\overline{N} = N/\mathfrak m_R N\)은 유한 \(\overline{S}\)-가군이다.

\(\Sigma \subset S\)를 \(\overline{N}\) 위에서 영인자가 아닌 원소들로 이루어진 곱셈적 부분집합이라 하자. 그러면 \(\Sigma^{-1}S\)는 반국소환이고, 그 스펙트럼은 \(\text{Ass}_S(\overline{N})\)의 어떤 원소에 포함되는 소 아이디얼 \(\mathfrak q \subset S\)들로 이루어진다. 더욱이 \(\Sigma^{-1}S\)의 모든 극대 아이디얼은 \(\overline{S}\) 위의 \(\overline{N}\)의 연관 소아이디얼에 대응한다.

증명

Algebra, Lemma 05BY에 의해 \(\text{Ass}_S(\overline{N}) = \text{Ass}_{\overline{S}}(\overline{N})\) 임에 유의하자. Algebra, Lemma 00LC에 의해 이는 유한집합이다. \(\{\mathfrak q_1, \ldots, \mathfrak q_r\} = \text{Ass}_S(\overline{N})\)라 하자. Algebra, Lemma 00LD에 의해 \(\Sigma = S \setminus (\bigcup \mathfrak q_i)\)이다. Algebra, Lemma 00E3에서 \(\Spec(\Sigma^{-1}S)\)를 기술한 방식과 Algebra, Lemma 00DS에 의해 \(\Sigma^{-1}S\)의 소 아이디얼들은 어느 \(\mathfrak q_i\)에 포함되는 \(S\)의 소 아이디얼들과 대응한다. 따라서 \(\Sigma^{-1}S\)의 극대 아이디얼들은 집합 \(\{\mathfrak q_1, \ldots, \mathfrak q_r\}\)에서 포함관계에 관해 극대인 원소들과 일대일로 대응한다. 이로써 보조정리가 증명되었다.

보조정리

가정과 기호는 Lemma 05DE에서와 같다고 하자. 더 나아가 다음을 가정한다.

1. \(S\)는 국소환이고 \(R \to S\)는 국소 준동형이다.

2. \(S\)는 \(R\) 위에서 본질적 유한표현이다.

3. \(N\)은 \(S\) 위에서 유한표현이다.

4. \(N\)은 \(R\) 위에서 평탄하다.

그러면 각 \(s \in \Sigma\)는 보편 단사인 \(R\)-가군 사상 \(s : N \to N\)을 정하며, 사상 \(N \to \Sigma^{-1}N\)은 \(R\)-보편 단사이다.

증명

Algebra, Lemma 046Y에 의해 완전열 \(0 \to N \to N \to N/sN \to 0\)에서 \(N/sN\)은 \(R\) 위에서 평탄하다. 이는 \(s : N \to N\)이 보편 단사임을 뜻한다. Algebra, Lemma 00HL를 보라. 사상 \(N \to \Sigma^{-1}N\)은 사상들 \(s : N \to N\)의 유향 여극한이므로 보편 단사이다.

보조정리

\(R \to S\)를 환 준동형이라 하자. \(N\)을 \(S\)-가군이라 하자. \(S \to S'\)를 환 준동형이라 하자. 다음을 가정한다.

1. \(R \to S\)는 국소환들 사이의 국소 준동형이다.

2. \(S\)는 \(R\) 위에서 본질적 유한표현이다.

3. \(N\)은 \(S\) 위에서 유한표현이다.

4. \(N\)은 \(R\) 위에서 평탄하다.

5. \(S \to S'\)는 평탄하다.

6. \(\Spec(S') \to \Spec(S)\)의 상은 \(\mathfrak m_R\) 위에 놓인 \(S\)의 소 아이디얼 \(\mathfrak q\) 중에서 \(\mathfrak q\)가 \(N/\mathfrak m_R N\)의 연관 소아이디얼인 것을 모두 포함한다.

그러면 \(N \to N \otimes_S S'\)는 \(R\)-보편 단사이다.

증명

\(N' = N \otimes_R S'\)로 두자. 다음 가환 그림을 생각하자. \[\xymatrix{ N \ar[d] \ar[r] & N' \ar[d] \\ \Sigma^{-1}N \ar[r] & \Sigma^{-1}N' }\] 여기서 \(\Sigma \subset S\)는 \(N/\mathfrak m_R N\) 위에서 영인자가 아닌 원소들의 집합이다. 사상 \(N \to \Sigma^{-1}N'\)이 보편 단사임을 보일 수 있다면 \(N \to N'\)도 그러하다(Algebra, Lemma 05CJ를 보라).

Lemma 05DE에 의해 환 \(\Sigma^{-1}S\)는 그 극대 아이디얼들이 \(N/\mathfrak m_R N\)의 연관 소아이디얼에 대응하는 반국소환이다. 따라서 가정에 의해 \(\Spec(\Sigma^{-1}S') \to \Spec(\Sigma^{-1}S)\)의 상은 이 극대 아이디얼들을 모두 포함한다. Algebra, Lemma 00HQ에 의해 환 준동형 \(\Sigma^{-1}S \to \Sigma^{-1}S'\)는 충실히 평탄하다. 따라서 사상 \(\Sigma^{-1}N \to \Sigma^{-1}N'\), 즉 사상 \[N \otimes_S \Sigma^{-1}S \longrightarrow N \otimes_S \Sigma^{-1}S'\] 는 보편 단사이다. Algebra, Lemmas 05CK와 05CH를 보라. 끝으로 Lemma 05DF를 적용하면 \(N \to \Sigma^{-1}N\)이 보편 단사임을 알 수 있다. 보편 단사인 가군 사상들의 합성은 보편 단사이므로(Algebra, Lemma 05CI를 보라) \(N \to \Sigma^{-1}N'\)이 보편 단사이고, 이로써 증명이 끝난다.

보조정리

\(R \to S\)를 환 준동형이라 하자. \(N\)을 \(S\)-가군이라 하자. \(S \to S'\)를 환 준동형이라 하자. 다음을 가정한다.

1. \(R \to S\)는 유한표현이고 \(N\)은 \(S\) 위에서 유한표현이다.

2. \(N\)은 \(R\) 위에서 평탄하다.

3. \(S \to S'\)는 평탄하다.

4. \(\Spec(S') \to \Spec(S)\)의 상은 다음 조건을 만족하는 모든 소 아이디얼 \(\mathfrak q\)를 포함한다. 즉 \(\mathfrak q\)는 \(N \otimes_R \kappa(\mathfrak p)\)의 연관 소아이디얼이며, 여기서 \(\mathfrak p\)는 \(\mathfrak q\)의 \(R\)에서의 역상이다.

그러면 \(N \to N \otimes_S S'\)는 \(R\)-보편 단사이다.

증명

Algebra, Lemma 05CL에 의해, \(R\)의 \(\mathfrak p\) 위에 놓인 \(S\)의 임의의 소 아이디얼 \(\mathfrak q\)에 대하여

\(N_{\mathfrak q} \to (N \otimes_R S')_{\mathfrak q}\)가

\(R_{\mathfrak p}\)-보편 단사임을 보이면 충분하다. 따라서 환 준동형들 \(R_{\mathfrak p} \to S_{\mathfrak q} \to S'_{\mathfrak q}\)와 가군 \(N_{\mathfrak q}\)에 Lemma 05DG를 적용하면 된다.

독자는 다음 보조정리를 Algebra, Lemmas 00ME와 046Y, 그리고 Section 0ASZ의 결과들과 비교해 볼 수 있다. 각 경우 결론은 사상 \(u : M \to N\)이 평탄한 여핵을 갖는 보편 단사라는 것이다.

보조정리

\((R, \mathfrak m)\)을 국소환이라 하자. \(u : M \to N\)을 \(R\)-가군 사상이라 하자. \(M\)이 사영 \(R\)-가군이고 \(N\)이 평탄 \(R\)-가군이며 \(\overline{u} : M/\mathfrak mM \to N/\mathfrak mN\)이 단사이면 \(u\)는 보편 단사이다.

증명

Algebra, Theorem 0593에 의해 가군 \(M\)은 자유이다. \(M\)의 유한 생성 직합 인자마다 결과가 성립함을 보이면 보조정리가 따르므로, \(M\)이 유한 자유라고 가정해도 된다. \(N = \colim_i N_i\)를 유한 자유 가군들의 유향 여극한으로 쓰자. Algebra, Theorem 058G를 보라. \(M\)이 유한 자유이므로 \(u : M \to N\)은 어떤 \(i\)에 대해 \(N_i\)를 통하여 분해된다. 이에 대응하는 \(R\)-가군 사상을 \(u_i : M \to N_i\)라 쓰자. \(\overline{u}\)가 단사이므로 \(\overline{u_i} : M/\mathfrak mM \to N_i/\mathfrak mN_i\)는 단사이고, 모든 \(i' \geq i\)에 대해 사상 \(N_i/\mathfrak mN_i \to N_{i'}/\mathfrak mN_{i'}\)와 합성한 뒤에도 단사이다. \(M\)과 \(N_{i'}\)는 국소환 \(R\) 위의 유한 자유 가군이므로 모든 \(i' \geq i\)에 대해 \(M \to N_{i'}\)는 분할 단사이다. 따라서 임의의 \(R\)-가군 \(Q\)에 대해 \(M \otimes_R Q \to N_{i'} \otimes_R Q\)는 모든 \(i' \geq i\)에 대해 단사이다. \(- \otimes_R Q\)는 여극한과 가환하므로

\(M \otimes_R Q \to N_{i'} \otimes_R Q\)는 원하는 대로 단사이다.

보조정리

가정과 기호는 Lemma 05DE에서와 같다고 하자. 더 나아가 \(N\)이 \(R\)-가군으로서 사영이라고 가정하자. 그러면 각 \(s \in \Sigma\)는 보편 단사인 \(R\)-가군 사상 \(s : N \to N\)을 정하며, 사상 \(N \to \Sigma^{-1}N\)은 \(R\)-보편 단사이다.

증명

\(s \in \Sigma\)를 택하자. Lemma 05FQ에 의해 사상 \(s : N \to N\)은 보편 단사이다. 사상 \(N \to \Sigma^{-1}N\)은 사상들 \(s : N \to N\)의 유향 여극한이므로 보편 단사이다.

완비화와 Mittag–Leffler 가군

보조정리

\(R\)을 환이라 하자. \(I \subset R\)을 아이디얼이라 하자. \(A\)를 집합이라 하자. \(R\)이 뇌터 환이고 \(I\)에 관해 완비라고 가정하자. 완비화 \((\bigoplus\nolimits_{\alpha \in A} R)^\wedge\) 는 평탄하고 Mittag–Leffler이다.

증명

More on Algebra, Lemma 05BC에 의해 사상 \((\bigoplus\nolimits_{\alpha \in A} R)^\wedge \to \prod_{\alpha \in A} R\)은 보편 단사이다. 따라서 Algebra, Lemmas 058P와 059N에 의해 \(\prod_{\alpha \in A} R\)이 평탄하고 Mittag–Leffler임을 보이면 충분하다. Algebra, Proposition 05CZ (그리고 Algebra, Lemma 05CY)에 의해 \(\prod_{\alpha \in A} R\)이 평탄함을 알 수 있다. 한편 \(R\)의 복사본들의 곱은 Mittag–Leffler이므로 결론이 따른다. Algebra, Lemma 05D0를 보라.

보조정리

\(R\)을 환이라 하자. \(I \subset R\)을 아이디얼이라 하자. \(M\)을 \(R\)-가군이라 하자. 다음을 가정한다.

1. \(R\)은 뇌터 환이고 \(I\)-진 완비이다.

2. \(M\)은 \(R\) 위에서 평탄하다.

3. \(M/IM\)은 사영 \(R/I\)-가군이다.

그러면 \(I\)-진 완비화 \(M^\wedge\)는 평탄한 Mittag–Leffler \(R\)-가군이다.

증명

\(F\)가 자유 \(R\)-가군인 전사 \(F \to M\)을 택하자. Algebra, Lemma 05D3에 의해 가군 \(M^\wedge\)는 가군 \(F^\wedge\)의 직합 인자이다. 따라서 \(F\)에 대해 보조정리를 증명하면 충분하다. 이 경우 결론은 Lemma 05DJ에서 따른다.

Lemmas 05DL와 05DM에서 \(S\)가 뇌터 환이라는 가정은 \(R \to S\)가 유한형이면 성립한다. Algebra, Lemma 00FN를 보라.

보조정리

\(R\)을 환이라 하자. \(I \subset R\)을 아이디얼이라 하자. \(R \to S\)를 환 준동형이라 하고 \(N\)을 \(S\)-가군이라 하자. 다음을 가정한다.

1. \(R\)은 뇌터 환이다.

2. \(S\)는 뇌터 환이다.

3. \(N\)은 유한 \(S\)-가군이다.

4. 임의의 유한 \(R\)-가군 \(Q\)와 임의의 \(\mathfrak q \in \text{Ass}_S(Q \otimes_R N)\)에 대하여 \(IS + \mathfrak q \not = S\)이다.

그러면 \(N\)에서 \(N\)의 \(I\)-진 완비화로 가는 사상 \(N \to N^\wedge\)는 \(R\)-가군 사상으로서 보편 단사이다.

증명

Algebra, Theorem 058K에 의해 임의의 유한 \(R\)-가군 \(Q\)에 대해 사상 \(Q \otimes_R N \to Q \otimes_R N^\wedge\)가 단사임을 보여야 한다. 표준 사상 \(Q \otimes_R N^\wedge \to (Q \otimes_R N)^\wedge\)가 있으므로 표준 사상 \(Q \otimes_R N \to (Q \otimes_R N)^\wedge\)가 단사임을 보이면 충분하다. 따라서 \(N\)을 \(Q \otimes_R N\)으로 바꾸어도 되며, 사상 \(N \to N^\wedge\)의 단사성을 증명하면 충분하다.

\(K = \Ker(N \to N^\wedge)\)로 두자. \(N\)은 \(\prod_{\mathfrak q \in \text{Ass}(N)} N_{\mathfrak q}\)의 부분가군이므로 모든 \(\mathfrak q \in \text{Ass}(N)\)에 대해 \(K_{\mathfrak q} = 0\)임을 보이면 충분하다. Algebra, Lemma 0311를 보라. \(\mathfrak q \in \text{Ass}(N)\)를 택하자. 마지막 가정에 의해 \(\mathfrak q' \supset IS + \mathfrak q\)인 소 아이디얼이 존재한다. \(K_{\mathfrak q}\)는 \(K_{\mathfrak q'}\)의 국소화이므로 \(K_{\mathfrak q'}\)가 영임을 보이면 충분하다. \(K = \bigcap I^nN\)이므로 \(K_{\mathfrak q'} \subset \bigcap I^nN_{\mathfrak q'}\)이다. 따라서 Algebra, Lemma 00IP에 의해 \(K_{\mathfrak q'} = 0\)이다.

보조정리

\(R\)을 환이라 하자. \(I \subset R\)을 아이디얼이라 하자. \(R \to S\)를 환 준동형이라 하고 \(N\)을 \(S\)-가군이라 하자. 다음을 가정한다.

1. \(R\)은 뇌터 환이다.

2. \(S\)는 뇌터 환이다.

3. \(N\)은 유한 \(S\)-가군이다.

4. \(N\)은 \(R\) 위에서 평탄하다.

5. \(N \otimes_R \kappa(\mathfrak p)\)의 연관 소아이디얼인 임의의 소 아이디얼 \(\mathfrak q \subset S\)에 대하여

   \(\mathfrak p = R \cap \mathfrak q\)이면 \(IS + \mathfrak q \not = S\)이다.

그러면 \(N\)에서 \(N\)의 \(I\)-진 완비화로 가는 사상 \(N \to N^\wedge\)는 \(R\)-가군 사상으로서 보편 단사이다.

증명

이는 Lemma 05DL에서 따른다. 실제로 Algebra, Lemma 05C2와 Remark 05E0에 의해

텐서곱 \(N \otimes_R Q\)의 연관 소아이디얼들의 집합은 가군들 \(N \otimes_R \kappa(\mathfrak p)\)의 연관 소아이디얼들의 집합에 포함된다.

사영 가군

다음 보조정리를 사용하면 밑에 관한 뇌터 귀납법으로 사영성을 증명할 수 있다. Lemma 05FS를 보라.

보조정리

\(R\)을 환이라 하자. \(I \subset R\)을 아이디얼이라 하자. \(R \to S\)를 환 준동형이라 하고 \(N\)을 \(S\)-가군이라 하자. 다음을 가정한다.

1. \(R\)은 뇌터 환이고 \(I\)-진 완비이다.

2. \(R \to S\)는 유한형이다.

3. \(N\)은 유한 \(S\)-가군이다.

4. \(N\)은 \(R\) 위에서 평탄하다.

5. \(N/IN\)은 사영 \(R/I\)-가군이다.

6. \(N \otimes_R \kappa(\mathfrak p)\)의 연관 소아이디얼인 임의의 소 아이디얼 \(\mathfrak q \subset S\)에 대하여

   \(\mathfrak p = R \cap \mathfrak q\)이면 \(IS + \mathfrak q \not = S\)이다.

그러면 \(N\)은 사영 \(R\)-가군이다.

증명

Lemma 05DM에 의해 사상 \(N \to N^\wedge\)는 보편 단사이다. Lemma 05DK에 의해 가군 \(N^\wedge\)는 Mittag–Leffler이다. Algebra, Lemma 059N에 의해 \(N\)도 Mittag–Leffler임을 얻는다. 따라서 \(N\)은 \(R\)-가군으로서 가산 생성이고 평탄하며 Mittag–Leffler이므로, Algebra, Lemma 059X에 의해 사영이다.

보조정리

\(R\)을 환이라 하자. \(R \to S\)를 환 준동형이라 하자. 다음을 가정한다.

1. \(R\)은 뇌터 환이다.

2. \(R \to S\)는 유한형이고 평탄하다.

3. 모든 올 환 \(S \otimes_R \kappa(\mathfrak p)\)는 \(\kappa(\mathfrak p)\) 위에서 기하적으로 정역이다.

그러면 \(S\)는 사영 \(R\)-가군이다.

증명

집합 \[\{I \subset R \mid S/IS\text{가 }R/I\text{-가군으로서 사영이 아니다}\}\] 을 생각하자. 이 집합이 공집합임을 보여야 한다. 모순을 얻기 위해 공집합이 아니라고 가정하자. 그러면 극대원 \(I\)를 갖는다. 그 근기를 \(J = \sqrt{I}\)라 하자. \(I \not = J\)이면 \(S/JS\)는 사영 \(R/J\)-가군이고, \(S/IS\)는 \(R/I\) 위에서 평탄하며 \(J/I\)는 \(R/I\)의 멱영 아이디얼이다. Algebra, Lemma 05CG를 적용하면 \(S/IS\)가 사영 \(R/I\)-가군임을 알 수 있는데, 이는 모순이다. 따라서 \(I\)가 근기 아이디얼이라고 가정해도 된다. 다시 말해 \(R\)이 축약환이고 \(R\)의 모든 영이 아닌 아이디얼 \(I\)에 대해 \(S/IS\)가 사영 \(R/I\)-가군인 경우에 보조정리를 증명하는 문제로 환원된다.

\(R\)이 축약환이고 \(R\)의 모든 영이 아닌 아이디얼 \(I\)에 대해 \(S/IS\)가 사영 \(R/I\)-가군이라고 가정하자. 일반 평탄성, 즉 Algebra, Lemma 051R (정역인 국소화 \(R_g\)에 적용한다) 또는 더 일반적인 Algebra, Lemma 051Z에 의해 \(S_f\)가 자유 \(R_f\)-가군이 되는 영이 아닌 \(f \in R\)이 존재한다. \(R\)의 \((f)\)-진 완비화를 \(R^\wedge = \lim R/(f^n)\)라 쓰자. 환 준동형 \[R \longrightarrow R_f \times R^\wedge\] 은 충실히 평탄하다. Algebra, Lemma 00MB를 보라. 따라서 사영성의 충실히 평탄한 강하(Algebra, Theorem 05A9를 보라)에 의해 \(S \otimes_R R^\wedge\)가 사영 \(R^\wedge\)-가군임을 보이면 충분하다. 이를 위해 Lemma 05DP의 판정법을 사용한다. 먼저 \(S/fS = (S \otimes_R R^\wedge)/f(S \otimes_R R^\wedge)\)가 사영 \(R/(f)\)-가군이고, \(S \otimes_R R^\wedge\)가 그러한 사상의 기저변환으로서 \(R^\wedge\) 위에서 평탄하고 유한형임에 유의하자. 다음으로 \(\mathfrak p^\wedge\)를 \(R^\wedge\)의 소 아이디얼이라 하자. \(\mathfrak p \subset R\)을 \(R\)의 대응하는 소 아이디얼이라 하자. \(R \to S\)가 기하적으로 정역인 올 환들을 가지므로 임의의 기저변환의 올 환들에 대해서도 마찬가지이다. 따라서 \(\mathfrak q^\wedge = \mathfrak p^\wedge(S \otimes_R R^\wedge)\)는

\(\mathfrak p^\wedge\) 위에 놓인 소 아이디얼이고 \(S \otimes_R \kappa(\mathfrak p^\wedge)\)의 유일한 연관 소아이디얼이다. 따라서 \(f(S \otimes_R R^\wedge) + \mathfrak q^\wedge \not = S \otimes_R R^\wedge\) 이면 끝난다. 이는 참이다. 실제로 \(f\)가 \(f\)-진 완비환 \(R^\wedge\)의 Jacobson 근기에 속하므로 \(\mathfrak p^\wedge + fR^\wedge \not = R^\wedge\)이고, \(R^\wedge \to S \otimes_R R^\wedge\)의 올들이 공집합이 아니므로 (기약 공간은 공집합이 아니다) 이 사상은 스펙트럼 위에서 전사이다.

보조정리

\(R\)을 환이라 하자. \(R \to S\)를 환 준동형이라 하자. 다음을 가정한다.

1. \(R \to S\)는 유한표현이고 평탄하다.

2. 모든 올 환 \(S \otimes_R \kappa(\mathfrak p)\)는 \(\kappa(\mathfrak p)\) 위에서 기하적으로 정역이다.

그러면 \(S\)는 사영 \(R\)-가군이다.

증명

다음과 같은 환들의 여카르테시안 그림을 찾을 수 있다. \[\xymatrix{ S_0 \ar[r] & S \\ R_0 \ar[u] \ar[r] & R \ar[u] }\] 여기서 \(R_0\)는 \(\mathbf{Z}\) 위에서 유한형이고, 사상 \(R_0 \to S_0\)는 기하적으로 정역인 올들을 갖는 유한형 평탄 사상이다. More on Morphisms, Lemmas 05FE, 05FG, 05FH, 그리고 05FL를 보라. Lemma 05FS에 의해 \(S_0\)는 사영 \(R_0\)-가군이다. 따라서 \(S = S_0 \otimes_{R_0} R\)은 사영 \(R\)-가군이다. Algebra, Lemma 05A3를 보라.

주

Lemma 05FT는 이 장의 결과들을 전개하는 데 중요한 단계이다. [GruRay]에서 이 보조정리에 대응하는 것은 [GruRay, I Proposition 3.3.1]이다. 즉 \(R \to S\)가 기하적으로 정역인 올들을 갖는 매끄러운 사상이면 \(S\)는 사영 \(R\)-가군이다. 이는 Lemma 05FT의 특수한 경우이지만, 나중에 어차피 이 보조정리를 개선할 것이므로 이 시점에서 더 강한 결과를 얻어도 큰 이득은 없다. [GruRay]에 주어진 이 증명을 간단히 개괄한다.

1. 먼저 위와 같이 \(R\)이 뇌터 환인 경우로 환원한다.

2. 사영성은 충실히 평탄한 환 준동형을 따라 강하하므로(Algebra, Theorem 05A9를 보라) \(R\) 위의 fppf 위상에서 국소적으로 다루어도 된다. 따라서 \(R \to S\)가 단면 \(\sigma : S \to R\)을 갖는다고 가정해도 된다. (통상적인 방법대로 \(S\)로 기저변환하면 된다.) \(I = \Ker(S \to R)\)로 두자.

3. \(R\) 위에서 조금 더 국소화하면 \(I/I^2\)이 자유 \(R\)-가군이고, \(I\)에 관한 \(S\)의 완비화 \(S^\wedge\)가 \(R[[t_1, \ldots, t_n]]\)와 동형이라고 가정해도 된다. Morphisms, Lemma 05D9를 보라. 여기서 \(R \to S\)가 매끄럽다는 사실을 사용한다.

4. \(S\)가 사영 \(R\)-가군임을 증명하려면 \(S\)가 \(R\)-가군으로서 평탄하고 가산 생성이며 Mittag–Leffler임을 증명하면 충분하다. Algebra, Lemma 059X를 보라. 처음 두 성질은 명백하다. 따라서 \(S\)가 \(R\)-가군으로서 Mittag–Leffler임을 증명하면 충분하다. Algebra, Lemma 059T에 의해 가군 \(R[[t_1, \ldots, t_n]]\)은 \(R\) 위에서 Mittag–Leffler이다. 따라서 Algebra, Lemma 059N에 의해

   \(S \to S^\wedge\)가 \(R\)-가군 사상으로서 보편 단사임을 보이면 충분하다.

5. Lemma 05DH를 적용하면 \(S \to S^\wedge\)가 \(R\)-보편 단사임을 알 수 있다. 실제로 \(R \to S\)가 기하적으로 정역인 올들을 가지므로, 임의의 올 환의 모든 연관점은 그 올 환의 일반점일 뿐이며 이는 \(\Spec(S^\wedge) \to \Spec(S)\)의 상에 들어 있다.

방금 개괄한 증명과 Lemma 05FT의 증명으로 이어지는 논증 전개 사이에는 유사점이 있다.

양쪽 모두에서 완비화가 본질적인 역할을 하고, 두 경우 모두 기하적으로 정역인 올들을 갖는다는 가정이 \(S\)에서 \(S\)의 완비화로 가는 사상이 \(R\)-보편 단사임을 보장한다.

유한형 평탄 가군 I

어떤 경우에는 유한표현 환 준동형 \(R \to S\)와 유한 \(S\)-가군 \(N\)이 주어졌을 때 \(N\)이 \(R\) 위에서 평탄이면 \(N\)이 유한표현이다. 이 절에서는 이것이 “점별로” 참임을 증명한다. Proposition 05I5의 첫 번째 증명은 Section 057P의 기하학적 결과들을 사용하지만 완전 데비사주의 존재는 사용하지 않음을 밝혀 둔다.

보조정리

\((R, \mathfrak m)\)을 국소환이라 하자. \(R \to S\)를 기하적으로 정역인 올들을 갖는 유한표현 평탄 환 준동형이라 하자. \(\mathfrak p = \mathfrak mS\)로 쓰자. \(\mathfrak q \subset S\)를 \(\mathfrak m\) 위에 놓인 소 아이디얼이라 하자. \(N\)을 유한 \(S\)-가군이라 하자. \(r \geq 0\)과 \(S\)-가군 사상 \[\alpha : S^{\oplus r} \longrightarrow N\] 이 존재하여 \(\alpha : \kappa(\mathfrak p)^{\oplus r} \to N \otimes_S \kappa(\mathfrak p)\) 는 동형이다. 이러한 임의의 \(\alpha\)에 대해 다음은 서로 동치이다.

1. \(N_{\mathfrak q}\)는 \(R\)-평탄이다.

2. \(\alpha\)는 \(R\)-보편 단사이고 \(\Coker(\alpha)_{\mathfrak q}\)는 \(R\)-평탄이다.

3. \(\alpha\)는 단사이고 \(\Coker(\alpha)_{\mathfrak q}\)는 \(R\)-평탄이다.

4. \(\alpha_{\mathfrak p}\)는 동형이고 \(\Coker(\alpha)_{\mathfrak q}\)는 \(R\)-평탄이다.

5. \(\alpha_{\mathfrak q}\)는 단사이고 \(\Coker(\alpha)_{\mathfrak q}\)는 \(R\)-평탄이다.

증명

\(\alpha\)를 얻기 위해 \(r = \dim_{\kappa(\mathfrak p)} N \otimes_S \kappa(\mathfrak p)\)로 두고, \(N \otimes_S \kappa(\mathfrak p)\)의 기저를 이루는 \(x_1, \ldots, x_r \in N\)을 택한다. \(\alpha(s_1, \ldots, s_r) = \sum s_i x_i\)로 정의하자. 이로써 존재성이 증명된다.

\(\alpha\) 하나를 고정하자. 가장 흥미로운 함의는 (1) \(\Rightarrow\) (2)이며 이를 먼저 증명한다. (1)을 가정하자. \(S/\mathfrak mS\)는 분수체가 \(\kappa(\mathfrak p)\)인 정역이므로 \((S/\mathfrak mS)^{\oplus r} \to N_{\mathfrak p}/\mathfrak mN_{\mathfrak p} = N \otimes_S \kappa(\mathfrak p)\) 가 단사임을 알 수 있다. 따라서

Lemmas 05FQ와 05FT에 의해 사상 \(S^{\oplus r} \to N_{\mathfrak p}\)는 \(R\)-보편 단사이다. 따라서 \(S^{\oplus r} \to N\)도 \(R\)-보편 단사이다. Algebra, Lemma 05CJ를 보라. 그러면 국소화 \(\alpha_{\mathfrak q}\)도 \(R\)-보편 단사이다. Algebra, Lemma 05CM를 보라. Algebra, Lemma 058P에 의해 \(\Coker(\alpha)_{\mathfrak q}\)가 \(R\)-평탄이라는 결론을 얻는다.

함의 (2) \(\Rightarrow\) (3)은 자명하다. (3)이 성립하면 \(\alpha_{\mathfrak p}\)는 단사 가군 사상의 국소화이므로 단사이다. Nakayama 보조정리(Algebra, Lemma 00DV)에 의해 \(\alpha_{\mathfrak p}\)는 전사이기도 하다. 따라서 (3) \(\Rightarrow\) (4)이다. (4)가 성립하면 \(\alpha_{\mathfrak p}\)는 동형이므로 \(S_{\mathfrak q} \to S_{\mathfrak p}\)가 단사라는 사실에 의해 \(\alpha\)는 단사이다. 실제로 Lemmas 05FR와 05FT를 함께 적용하면 \(S \setminus \mathfrak p\)의 원소들은 \(S\) 위에서 영인자가 아니다. 따라서 (4) \(\Rightarrow\) (5)이다. 끝으로 (5)가 성립하면 \(N_{\mathfrak q}\)는 평탄 가군들의 확대이므로 \(R\)-평탄이다. Algebra, Lemma 00HM를 보라. 따라서 (5) \(\Rightarrow\) (1)이고 증명이 끝난다.

보조정리

\((R, \mathfrak m)\)을 국소환이라 하자. \(R \to S\)를 유한표현 환 준동형이라 하자. \(N\)을 유한 \(S\)-가군이라 하자. \(\mathfrak q\)를 \(S\)의 소 아이디얼로서 \(\mathfrak m\) 위에 놓인 것이라 하자. \(N_{\mathfrak q}\)가 \(R\) 위에서 평탄이고, \(\mathfrak q\)에서 \(N/S/R\)의 완전 데비사주가 존재한다고 가정하자. 그러면 \(N\)은 유한표현 \(S\)-가군이고 자유 \(R\)-가군이며, 다음 동형 \[N \cong B_1^{\oplus r_1} \oplus \ldots \oplus B_n^{\oplus r_n}\] 이 존재한다. 여기서 각 \(B_i\)는 기하적으로 정역인 올들을 갖는 매끄러운 \(R\)-대수이고, 이 동형은 \(R\)-가군의 동형이다.

증명

\((A_i, B_i, M_i, \alpha_i, \mathfrak q_i)_{i = 1, \ldots, n}\)를 주어진 완전 데비사주라 하자. \(n\)에 대한 귀납법으로 보조정리를 증명한다. \(N\)이 유한표현 \(S\)-가군일 필요충분조건은

\(M_1\)이 유한표현 \(B_1\)-가군인 것이다. Remark 05HY을 보라. \(N_{\mathfrak q} \cong (M_1)_{\mathfrak q_1}\)는 \(R\)-가군의 동형임에 유의하자. 실제로 (a) \(N_{\mathfrak q} \cong (M_1)_{\mathfrak q'_1}\)이고, 여기서 \(\mathfrak q'_1\)은 \(\mathfrak q_1\) 위에 놓인 \(A_1\)의 유일한 소 아이디얼이며, (b) Algebra, Lemma 00EA에 의해 \((A_1)_{\mathfrak q'_1} = (A_1)_{\mathfrak q_1}\)이고, 따라서 (c) \((M_1)_{\mathfrak q'_1} \cong (M_1)_{\mathfrak q_1}\)이다. 그러므로 \((M_1)_{\mathfrak q_1}\)은 평탄 \(R\)-가군이다. 따라서 보조정리를 증명하기 위해 \((S, N)\)을 \((B_1, M_1)\)으로 바꾸어도 된다. Lemma 05I3에 의해 사상 \(\alpha_1 : B_1^{\oplus r_1} \to M_1\)은 \(R\)-보편 단사이고

\(\Coker(\alpha_1)_{\mathfrak q}\)는 \(R\)-평탄이다. \((A_i, B_i, M_i, \alpha_i, \mathfrak q_i)_{i = 2, \ldots, n}\)는 \(\mathfrak q_1\)에서 \(\Coker(\alpha_1)/B_1/R\)의 완전 데비사주임에 유의하자. 따라서 귀납가정에 의해 \(\Coker(\alpha_1)\)은 유한표현 \(B_1\)-가군이고 자유 \(R\)-가군이며 보조정리에서와 같은 분해를 갖는다. 이는 \(M_1\)이 유한표현 \(B_1\)-가군임을 뜻한다. Algebra, Lemma 0519을 보라. 또한 \(M_1 \cong B_1^{\oplus r_1} \oplus \Coker(\alpha_1)\)는 \(R\)-가군의 동형이므로 보조정리에서와 같은 분해를 얻는다. 끝으로 Lemma 05FT에 의해 \(B_1\)은 사영 \(R\)-가군이고, 따라서 Algebra, Theorem 0593에 의해 자유 \(R\)-가군이다. 이로써 증명이 끝난다.

명제

\(f : X \to S\)를 스킴의 사상이라 하자. \(\mathcal{F}\)를 \(X\) 위의 준연접층이라 하자. \(x \in X\)의 상을 \(s \in S\)라 하자. 다음을 가정한다.

1. \(f\)는 국소 유한표현이다.

2. \(\mathcal{F}\)는 유한형이다.

3. \(\mathcal{F}\)는 \(x\)에서 \(S\) 위로 평탄하다.

그러면 기본 에탈 근방 \((S', s') \to (S, s)\)와 다음 열린 부분스킴 \[V \subset X \times_S \Spec(\mathcal{O}_{S', s'})\] 이 존재한다. 이 부분스킴은 \(x\)로 가는 \(X \times_S \Spec(\mathcal{O}_{S', s'})\)의 유일한 점을 포함하고, \(\mathcal{F}\)의 \(V\)로의 당김은 유한표현 \(\mathcal{O}_V\)-가군이며 \(\mathcal{O}_{S', s'}\) 위에서 평탄하다.

증명

이 증명은 더 길지만 완전 데비사주의 존재를 사용하지 않는다. 문제는 \(x\)와 \(s\)의 근방에서 국소적이므로 \(X\)와 \(S\)가 아핀이라고 가정해도 된다. 증명 도중에

\(S\)를 \((S, s)\)의 기본 에탈 근방으로 유한 번 바꿀 것이다. 그러면 목표는 (그러한 교체 뒤에) \(x\)를 포함하는 열린집합 \(V \subset X \times_S \Spec(\mathcal{O}_{S, s})\)를 찾아 \(\mathcal{F}|_V\)가 \(S\) 위에서 평탄이고 유한표현이 되게 하는 것이다. 물론 증명의 어느 지점에서든 \(S\)를 \(\Spec(\mathcal{O}_{S, s})\)로 바꿀 수도 있다. 즉 \(S\)가 국소 스킴이라고 가정해도 된다. 정수 \(n = \dim_x(\text{Supp}(\mathcal{F}_s))\)에 대한 귀납법으로 명제를 증명할 것이다.

다음을 택할 수 있다.

1. 기본 에탈 근방들 \(g : (X', x') \to (X, x)\), \(e : (S', s') \to (S, s)\),

2. 가환 그림 \[\xymatrix{ X \ar[dd]_f & X' \ar[dd] \ar[l]^g & Z' \ar[l]^i \ar[d]^\pi \\ & & Y' \ar[d]^h \\ S & S' \ar[l]_e & S' \ar@{=}[l] }\]

3. \(i(z') = x'\), \(y' = \pi(z')\), \(h(y') = s'\)를 만족하는 점 \(z' \in Z'\),

4. 유한형 준연접 \(\mathcal{O}_{Z'}\)-가군 \(\mathcal{G}\).

이들은 Lemma 057S에서와 같다. 증명의 첫 문단에서 설명한 대로 \(S\)를 \(\Spec(\mathcal{O}_{S', s'})\)로 바꿀 것이다. 다음 그림을 생각하자. \[\xymatrix{ X_{\mathcal{O}_{S', s'}} \ar[ddr]_f & X'_{\mathcal{O}_{S', s'}} \ar[dd] \ar[l]^g & Z'_{\mathcal{O}_{S', s'}} \ar[l]^i \ar[d]^\pi \\ & & Y'_{\mathcal{O}_{S', s'}} \ar[dl]^h \\ & \Spec(\mathcal{O}_{S', s'}) }\] 여기서는 \(S'\) 위의 스킴 \(X', Z', Y'\)를 \(\Spec(\mathcal{O}_{S', s'}) \to S'\)를 따라 기저변환했고, \(S\) 위의 스킴 \(X\)를 \(\Spec(\mathcal{O}_{S', s'}) \to S\)를 따라 기저변환했다. 여전히 \(g\)는 에탈이다. Lemma 05H2를 보라. \(X\)를 \(X_{\mathcal{O}_{S', s'}}\)로, \(X'\)를 \(X'_{\mathcal{O}_{S', s'}}\)로, \(Z'\)를 \(Z'_{\mathcal{O}_{S', s'}}\)로, \(Y'\)를 \(Y'_{\mathcal{O}_{S', s'}}\)로 바꾼 뒤에는 Lemma 057S에서와 같은 그림을 가지며, 추가로 \(S = S'\)는 닫힌점이 \(s\)인 국소 스킴이라고 가정해도 된다. Lemmas 057T과 057U에 의해 \(Y' \to S\), 층 \(\pi_*\mathcal{G}\) 및 점 \(y'\)에 대한 결과는 \(X \to S\), \(\mathcal{F}\) 및 \(x\)에 대한 결과를 함의한다. 따라서 \(S\)가 국소이고 \(X \to S\)가 상대차원 \(n\)의 기하적으로 기약인 올들을 갖는 아핀 스킴들의 매끄러운 사상이라고 가정해도 된다.

귀납법의 기초 단계: \(n = 0\). \(X \to S\)는 차원이 \(0\)인 기하적으로 기약인 올들을 갖는 매끄러운 사상이므로 \(X \to S\)는 열린 몰입이다. Descent, Lemma 02LC를 보라. \(S\)가 국소이고 그 닫힌점이 \(X \to S\)의 상에 들어 있으므로 \(X = S\)라는 결론을 얻는다. 따라서 \(\mathcal{F}\)는 유한 평탄 \(\mathcal{O}_{S, s}\)-가군에 대응한다. 이 경우 Algebra, Lemma 00NZ에 의해 \(\mathcal{F}\)가 실제로 유한 자유임을 알 수 있으므로 결론이 따른다.

귀납 단계. 닫힌 올에서 지지의 차원이 \(< n\)일 때마다 결과가 성립한다고 가정하자. 어떤 \(B\)-가군 \(N\)에 대해 \(S = \Spec(A)\), \(X = \Spec(B)\), \(\mathcal{F} = \widetilde{N}\)로 쓰자. \(A\)는 국소환이며 그 극대 아이디얼을 \(\mathfrak m\)이라 쓰자. \(X \to S\)가 기하적으로 기약인 올들을 가지므로 \(\mathfrak p = \mathfrak mB\)는 \(\mathfrak m\) 위에 놓인 유일한 극소 소 아이디얼이다. 끝으로 \(\mathfrak q \subset B\)를 \(x\)에 대응하는 소 아이디얼이라 하자. Lemma 05I3에 의해 다음 사상 \[\alpha : B^{\oplus r} \to N\] 을 택하여 \(\kappa(\mathfrak p)^{\oplus r} \to N \otimes_B \kappa(\mathfrak p)\)가 동형이 되게 할 수 있다. 더욱이 \(N_{\mathfrak q}\)가 \(A\)-평탄이므로 같은 보조정리에 의해 \(\alpha\)가 단사이고 \(\Coker(\alpha)_{\mathfrak q}\)가 \(A\)-평탄이다. \(Q = \Coker(\alpha)\)로 두자. \(Q/\mathfrak mQ\)의 지지는 \(\mathfrak p\)를 포함하지 않음에 유의하자. 따라서 확실히 \(\dim_{\mathfrak q}(\text{Supp}(Q/\mathfrak mQ)) < n\)이다. \(Q\)에 관해 아는 모든 사실을 합치면 귀납가정을 \(Q\)에 적용할 수 있다. 따라서

기본 에탈 사상 \((S', s) \to (S, s)\)가 존재하여, \(A' = \mathcal{O}_{S', s'}\)일 때 \(B \otimes_A A'\) 위의 \(Q \otimes_A A'\)에 대해 결론이 성립한다. \(A\)를 \(A'\)로 바꾼 뒤에는 다음 유한 \(B\)-가군들의 완전열 \[0 \to B^{\oplus r} \to N \to Q \to 0\] 을 갖고(여기서는 위에서 말했듯 \(\alpha\)가 단사임을 사용한다), 또 \(g \in B\), \(g \not \in \mathfrak q\)인 원소를 얻어 \(Q_g\)가 \(B_g\) 위에서 유한표현이고 \(A\) 위에서 평탄이 되게 한다. 국소화는 완전하므로 \[0 \to B_g^{\oplus r} \to N_g \to Q_g \to 0\] 은 여전히 완전하다. \(B_g\)와 \(Q_g\)가 \(A\) 위에서 평탄이므로 \(N_g\)도 \(A\) 위에서 평탄이다. Algebra, Lemma 00HM를 보라. 또 \(B_g\)와 \(Q_g\)가 \(B_g\) 위에서 유한표현이므로 \(N_g\)도 그러하다. Algebra, Lemma 0519을 보라.

증명

Proposition 05HR를 적용하여 다음 가환 그림을 얻는다. \[\xymatrix{ (X, x) \ar[d] & (X', x') \ar[l]^g \ar[d] \\ (S, s) & (S', s') \ar[l] }\]

이는 점을 표시한 스킴들의 그림이고, 수평 화살표들은 기본 에탈 근방이며, \(g^*\mathcal{F}/X'/S'\)는 \(x\)에서 완전 데비사주를 갖는다. (특히 \(S'\)와 \(X'\)는 아핀이다.) Morphisms, Lemma 02JZ에 의해 \(g^*\mathcal{F}\)는 \(x'\)에서 \(S\) 위로 평탄이고, Lemma 05B9에 의해 \(x'\)에서 \(S'\) 위로도 평탄이다. Remark 05I0을 통하여 다음 몫들의 열 \[\Gamma(X', g^*\mathcal{F})/ \Gamma(X', \mathcal{O}_{X'})/ \Gamma(S', \mathcal{O}_{S'})\] 이 \(x'\)에 대응하는 \(\Gamma(X', \mathcal{O}_{X'})\)의 소 아이디얼에서 완전 데비사주를 가짐을 얻는다. 이 완전 데비사주를 \(s'\)에 대응하는 \(\Gamma(S', \mathcal{O}_{S'})\)의 소 아이디얼에서의 국소환 \(\mathcal{O}_{S', s'}\)으로 기저변환할 수 있다. 따라서 Lemma 05I4에 의해

\[\Gamma(X', \mathcal{F}') \otimes_{\Gamma(S', \mathcal{O}_{S'})} \mathcal{O}_{S', s'}\] 는 \(\mathcal{O}_{S', s'}\) 위에서 평탄이고 \(\Gamma(X', \mathcal{O}_{X'}) \otimes_{\Gamma(S', \mathcal{O}_{S'})} \mathcal{O}_{S', s'}\) 위에서 유한표현이다. 다시 말해 \(\mathcal{F}\)의 \(X' \times_{S'} \Spec(\mathcal{O}_{S', s'})\)로의 제한은 유한표현이고 \(\mathcal{O}_{S', s'}\) 위에서 평탄이다. 사상 \(X' \times_{S'} \Spec(\mathcal{O}_{S', s'}) \to X \times_S \Spec(\mathcal{O}_{S', s'})\) 은 에탈이므로(Lemma 05H2), 그 상 \(V \subset X \times_S \Spec(\mathcal{O}_{S', s'})\)는 열린 부분스킴이다. 에탈 강하에 의해 \(\mathcal{F}\)의 \(V\)로의 제한은 유한표현이고 \(\mathcal{O}_{S', s'}\) 위에서 평탄이다. (사용한 결과는 Morphisms, Lemma 03WT, Descent, Lemma 05B0, 그리고 Morphisms, Lemma 02JZ이다.)

보조정리

\(f : X \to S\)를 국소 유한형인 스킴의 사상이라 하자. \(\mathcal{F}\)를 유한형 준연접 \(\mathcal{O}_X\)-가군이라 하자. \(s \in S\)라 하자. 그러면 집합 \[\{x \in X_s \mid \mathcal{F}\text{가 }x\text{에서 }S\text{ 위로 평탄}\}\] 은 올 \(X_s\)에서 열린집합이다.

증명

\(x \in U\)라고 하자. Proposition 05I5에서와 같은 기본 에탈 근방 \((S', s') \to (S, s)\)와 열린집합 \(V \subset X \times_S \Spec(\mathcal{O}_{S', s'})\)를 택한다. \(\kappa(s) = \kappa(s')\)이므로 \(X_{s'} = X_s\)임에 유의하자. \(x' \in V \cap X_{s'}\)이면 \(\mathcal{F}\)의 \(X \times_S S'\)로의 당김은 \(x'\)에서 \(S'\) 위로 평탄하다. 따라서 \(\mathcal{F}\)는 \(x'\)에서 \(S\) 위로 평탄하다. Morphisms, Lemma 02JZ를 보라. 다시 말해 \(X_s \cap V \subset U\)는 \(U\)에서 \(x\)의 열린 근방이다.

보조정리

\(f : X \to S\)를 스킴의 사상이라 하자. \(\mathcal{F}\)를 \(X\) 위의 준연접층이라 하자. \(x \in X\)의 상을 \(s \in S\)라 하자. 다음을 가정한다.

1. \(f\)는 국소 유한형이다.

2. \(\mathcal{F}\)는 유한형이다.

3. \(\mathcal{F}\)는 \(x\)에서 \(S\) 위로 평탄하다.

그러면 기본 에탈 근방 \((S', s') \to (S, s)\)와 열린 부분스킴 \[V \subset X \times_S \Spec(\mathcal{O}_{S', s'})\] 이 존재한다. 이 부분스킴은 \(x\)로 가는 \(X \times_S \Spec(\mathcal{O}_{S', s'})\)의 유일한 점을 포함하고, \(\mathcal{F}\)의 \(V\)로의 당김은 \(\mathcal{O}_{S', s'}\) 위에서 평탄하다.

증명

(이 명제와 Proposition 05I5의 유일한 차이는 \(f\)가 유한표현이라고 가정하지 않는다는 것이다.) 문제는 \(X\)와 \(S\) 위에서 국소적이므로 \(X\)와 \(S\)가 아핀이라고 가정해도 된다. \(X = \Spec(B)\), \(S = \Spec(A)\)로 쓰고 \(B = A[x_1, \ldots, x_n]/I\)로 쓰자. 다시 말해 닫힌 몰입 \(i : X \to \mathbf{A}^n_S\)를 얻는다. \(t = i(x) \in \mathbf{A}^n_S\)로 쓰자. \(\mathbf{A}^n_S \to S\), 층 \(i_*\mathcal{F}\) 및 점 \(t\)에 Proposition 05I5를 적용할 수 있다. 그리하여 기본 에탈 근방 \((S', s') \to (S, s)\)와 열린 부분스킴 \[W \subset \mathbf{A}^n_{\mathcal{O}_{S', s'}}\] 을 얻으며, \(i_*\mathcal{F}\)의 \(W\)로의 당김은 \(\mathcal{O}_{S', s'}\) 위에서 평탄하다. 이는 \(V := W \cap \big(X \times_S \Spec(\mathcal{O}_{S', s'})\big)\) 가 원하는 열린 부분스킴이라는 뜻이다.

보조정리

\(f : X \to S\)를 스킴의 사상이라 하자. \(\mathcal{F}\)를 \(X\) 위의 준연접층이라 하자. \(s \in S\)라 하자. 다음을 가정한다.

1. \(f\)는 유한표현이다.

2. \(\mathcal{F}\)는 유한형이다.

3. \(\mathcal{F}\)는 올 \(X_s\)의 모든 점에서 \(S\) 위로 평탄하다.

그러면 기본 에탈 근방 \((S', s') \to (S, s)\)와 열린 부분스킴 \[V \subset X \times_S \Spec(\mathcal{O}_{S', s'})\] 이 존재한다. 이 부분스킴은 올 \(X_s = X \times_S s'\)를 포함하고, \(\mathcal{F}\)의 \(V\)로의 당김은 유한표현 \(\mathcal{O}_V\)-가군이며 \(\mathcal{O}_{S', s'}\) 위에서 평탄하다.

증명

각 점 \(x \in X_s\)에 Proposition 05I5를 적용하면 기본 에탈 근방 \((S_x, s_x) \to (S, s)\)와 열린집합 \(V_x \subset X \times_S \Spec(\mathcal{O}_{S_x, s_x})\)를 찾을 수 있다. 여기서 \(x \in X_s = X \times_S s_x\)는 \(V_x\)에 들어 있고, \(\mathcal{F}\)의 \(V_x\)로의 당김은 유한표현 \(\mathcal{O}_{V_x}\)-가군이며 \(\mathcal{O}_{S_x, s_x}\) 위에서 평탄하다. 특히 올 \((V_x)_{s_x}\)를 \(X_s\)에서 \(x\)의 열린 근방으로 볼 수 있다. \(X_s\)는 준콤팩트이므로 \(X_s\)가 \((V_{x_i})_{s_{x_i}}\)들의 합집합이 되도록 하는 유한 개의 점 \(x_1, \ldots, x_n \in X_s\)를 찾을 수 있다. 각 근방 \((S_{x_i}, s_{x_i})\)를 지배하는 기본 에탈 근방 \((S' , s') \to (S, s)\)를 택한다. More on Morphisms, Lemma 057B를 보라.

\(V = \bigcup V_i\)로 두자. 여기서 \(V_i\)는 다음 사상에 의한 열린집합 \(V_{x_i}\)의 역상이다. \[X \times_S \Spec(\mathcal{O}_{S', s'}) \longrightarrow X \times_S \Spec(\mathcal{O}_{S_{x_i}, s_{x_i}})\] 구성상 \(V\)는 \(X_s\)를 포함하고, \(\mathcal{F}\)의 \(V\)로의 당김은 유한표현 \(\mathcal{O}_V\)-가군이며 \(\mathcal{O}_{S', s'}\) 위에서 평탄하다.

보조정리

\(f : X \to S\)를 스킴의 사상이라 하자. \(\mathcal{F}\)를 \(X\) 위의 준연접층이라 하자. \(s \in S\)라 하자. 다음을 가정한다.

1. \(f\)는 유한형이다.

2. \(\mathcal{F}\)는 유한형이다.

3. \(\mathcal{F}\)는 올 \(X_s\)의 모든 점에서 \(S\) 위로 평탄하다.

그러면 기본 에탈 근방 \((S', s') \to (S, s)\)와 열린 부분스킴 \[V \subset X \times_S \Spec(\mathcal{O}_{S', s'})\] 이 존재한다. 이 부분스킴은 올 \(X_s = X \times_S s'\)를 포함하고, \(\mathcal{F}\)의 \(V\)로의 당김은 \(\mathcal{O}_{S', s'}\) 위에서 평탄하다.

증명

(이 명제와 Lemma 05KU의 유일한 차이는 \(f\)가 유한표현이라고 가정하지 않는다는 것이다.) 각 점 \(x \in X_s\)에 Lemma 05KT를 적용하면 기본 에탈 근방 \((S_x, s_x) \to (S, s)\)와 열린집합 \(V_x \subset X \times_S \Spec(\mathcal{O}_{S_x, s_x})\)를 찾을 수 있다. 여기서 \(x \in X_s = X \times_S s_x\)는 \(V_x\)에 들어 있고, \(\mathcal{F}\)의 \(V_x\)로의 당김은 \(\mathcal{O}_{S_x, s_x}\) 위에서 평탄하다. 특히 올 \((V_x)_{s_x}\)를 \(X_s\)에서 \(x\)의 열린 근방으로 볼 수 있다. \(X_s\)는 준콤팩트이므로 \(X_s\)가 \((V_{x_i})_{s_{x_i}}\)들의 합집합이 되도록 하는 유한 개의 점 \(x_1, \ldots, x_n \in X_s\)를 찾을 수 있다. 각 근방 \((S_{x_i}, s_{x_i})\)를 지배하는 기본 에탈 근방 \((S' , s') \to (S, s)\)를 택한다. More on Morphisms, Lemma 057B를 보라.

\(V = \bigcup V_i\)로 두자. 여기서 \(V_i\)는 다음 사상에 의한 열린집합 \(V_{x_i}\)의 역상이다. \[X \times_S \Spec(\mathcal{O}_{S', s'}) \longrightarrow X \times_S \Spec(\mathcal{O}_{S_{x_i}, s_{x_i}})\] 구성상 \(V\)는 \(X_s\)를 포함하고, \(\mathcal{F}\)의 \(V\)로의 당김은 \(\mathcal{O}_{S', s'}\) 위에서 평탄하다.

보조정리

\(S\)를 스킴이라 하고 \(X\)가 \(S\) 위에서 국소 유한형이라고 하자. \(x \in X\)의 상을 \(s \in S\)라 하자. \(X\)가 \(x\)에서 \(S\) 위로 평탄이면, 기본 에탈 근방 \((S', s') \to (S, s)\)와 열린 부분스킴 \[V \subset X \times_S \Spec(\mathcal{O}_{S', s'})\] 이 존재한다. 이 부분스킴은 \(x\)로 가는 \(X \times_S \Spec(\mathcal{O}_{S', s'})\)의 유일한 점을 포함하고, \(V \to \Spec(\mathcal{O}_{S', s'})\)는 평탄이고 유한표현이다.

증명

문제는 \(X\)와 \(S\) 위에서 국소적이므로 \(X\)와 \(S\)가 아핀이라고 가정해도 된다. \(X = \Spec(B)\), \(S = \Spec(A)\)로 쓰고 \(B = A[x_1, \ldots, x_n]/I\)로 쓰자. 다시 말해 닫힌 몰입 \(i : X \to \mathbf{A}^n_S\)를 얻는다. \(t = i(x) \in \mathbf{A}^n_S\)로 쓰자. \(\mathbf{A}^n_S \to S\), 층 \(\mathcal{F} = i_*\mathcal{O}_X\) 및 점 \(t\)에 Proposition 05I5를 적용할 수 있다. 그리하여 기본 에탈 근방 \((S', s') \to (S, s)\)와 열린 부분스킴 \[W \subset \mathbf{A}^n_{\mathcal{O}_{S', s'}}\] 을 얻으며, \(i_*\mathcal{O}_X\)의 당김은 평탄이고 유한표현이다. 이는 \(V := W \cap \big(X \times_S \Spec(\mathcal{O}_{S', s'})\big)\) 가 원하는 열린 부분스킴이라는 뜻이다.

보조정리

\(f : X \to S\)를 국소 유한표현인 사상이라 하자. \(\mathcal{F}\)를 유한형 준연접 \(\mathcal{O}_X\)-가군이라 하자. \(x \in X\)이고 \(\mathcal{F}\)가 \(x\)에서 \(S\) 위로 평탄이면, \(\mathcal{F}_x\)는 유한표현 \(\mathcal{O}_{X, x}\)-가군이다.

증명

\(s = f(x)\)로 두자. Proposition 05I5에 의해 기본 에탈 근방 \((S', s') \to (S, s)\)가 존재하여, \(\mathcal{F}\)의 \(X \times_S \Spec(\mathcal{O}_{S', s'})\)로의 당김은 \(x\)에 대응하는 점 \(x' \in X_{s'} = X_s\)의 한 근방에서 유한표현이다. 환 준동형 \[\mathcal{O}_{X, x} \longrightarrow \mathcal{O}_{X \times_S \Spec(\mathcal{O}_{S', s'}), x'} = \mathcal{O}_{X \times_S S', x'}\] 은 에탈 환 준동형의 국소화이므로 평탄 국소 환 준동형이다. 따라서 강하에 의해 \(\mathcal{F}_x\)는 \(\mathcal{O}_{X, x}\) 위에서 유한표현이다. Algebra, Lemma 03C4를 보라. (또한 평탄 국소 환 준동형은 충실히 평탄이다. Algebra, Lemma 00HR를 보라.)

보조정리

\(f : X \to S\)를 국소 유한형인 사상이라 하자. \(x \in X\)의 상을 \(s \in S\)라 하자. \(f\)가 \(x\)에서 \(S\) 위로 평탄이면 \(\mathcal{O}_{X, x}\)는 \(\mathcal{O}_{S, s}\) 위에서 본질적으로 유한표현이다.

증명

\(X\)와 \(S\)가 아핀이라고 가정해도 된다. \(X = \Spec(B)\), \(S = \Spec(A)\)로 쓰고 \(B = A[x_1, \ldots, x_n]/I\)로 쓰자. 다시 말해 닫힌 몰입 \(i : X \to \mathbf{A}^n_S\)를 얻는다. \(t = i(x) \in \mathbf{A}^n_S\)로 쓰자. \(\mathbf{A}^n_S \to S\), 층 \(\mathcal{F} = i_*\mathcal{O}_X\) 및 점 \(t\)에 Lemma 05I7을 적용할 수 있다. \(\mathcal{O}_{X, x}\)가 \(\mathcal{O}_{\mathbf{A}^n_S, t}\) 위에서 유한표현이라는 결론을 얻고, 이는 원하는 바를 함의한다.

열린집합에서 성질의 확장

이 절에서는 다음 형태의 결과들을 모은다. \(f : X \to S\)가 스킴의 평탄 사상이고 \(f\)가 \(S\)의 조밀 열린집합 위에서 어떤 성질을 만족하면, \(f\)는 \(S\) 전체 위에서 같은 성질을 만족한다.

보조정리

\(f : X \to S\)를 스킴의 사상이라 하자. \(\mathcal{F}\)를 준연접 \(\mathcal{O}_X\)-가군이라 하자. \(U \subset S\)를 열린집합이라 하자. 다음을 가정한다.

1. \(f\)는 국소 유한표현이다.

2. \(\mathcal{F}\)는 유한형이고 \(S\) 위에서 평탄하다.

3. \(U \subset S\)는 역콤팩트이고 스킴론적으로 조밀하다.

4. \(\mathcal{F}|_{f^{-1}U}\)는 유한표현이다.

그러면 \(\mathcal{F}\)는 유한표현이다.

증명

문제는 \(X\)와 \(S\) 위에서 국소적이므로 \(X\)와 \(S\)가 아핀이라고 가정해도 된다. \(S = \Spec(A)\)와 \(X = \Spec(B)\)로 쓰자. \(\mathcal{F}\)가 \(N\)에 연관된 준연접층이 되도록 유한 \(B\)-가군 \(N\)을 택하자. 어떤 \(f_i \in A\)에 대해 \(U = D(f_1) \cup \ldots \cup D(f_n)\)이다. Algebra, Lemma 00F6을 보라. \(U\)가 스킴론적으로 조밀하므로 사상 \(A \to A_{f_1} \times \ldots \times A_{f_n}\)은 단사이다. \(s \in S\)로 가는 \(x \in X\)에 대응하는 \(\mathfrak p \subset A\) 위의 소 아이디얼 \(\mathfrak q \subset B\)를 택하자. Lemma 05I7에 의해 가군 \(N_\mathfrak q\)는 \(B_\mathfrak q\) 위에서 유한표현이다. \(B\)-가군의 전사 \(\varphi : B^{\oplus m} \to N\)을 택하자. \(k_1, \ldots, k_t \in \Ker(\varphi)\)를 택하고 \(N' = B^{\oplus m}/\sum Bk_j\)로 두자. 표준적인 전사 \(N' \to N\)이 있으며, \(N\)은 이와 같이 구성한 \(B\)-가군 \(N'\)들의 여과 여극한이다. 따라서 (a) \(N'_{f_i} \cong N_{f_i}\), \(i = 1, \ldots, n\)이고 (b) \(N'_\mathfrak q \cong N_\mathfrak q\)가 되도록 \(k_1, \ldots, k_t\)를 택할 수 있다. 특히 이는 \(N'_\mathfrak q\)가 \(A\) 위에서 평탄임을 뜻한다. 평탄성의 개방성, Algebra, Theorem 00RC에 의해 \(g \in B\), \(g \not \in \mathfrak q\)가 존재하여 \(N'_g\)가 \(A\) 위에서 평탄이라는 결론을 얻는다. 다음 가환 그림을 생각하자. \[\xymatrix{ N'_g \ar[r] \ar[d] & N_g \ar[d] \\ \prod N'_{gf_i} \ar[r] & \prod N_{gf_i} }\] 아래쪽 화살표는 \(k_1, \ldots, k_t\)의 선택에 의해 동형이다. \(A \to \prod A_{f_i}\)가 단사이고 \(N'_g\)가 \(A\) 위에서 평탄하므로 왼쪽 수직 화살표는 단사이다. 따라서 위쪽 수평 화살표는 단사이고, 그러므로 동형이다. 이로써 \(N_g\)가 \(B_g\) 위에서 유한표현임이 증명된다. Algebra, Lemma 00EO를 적용하여 결론을 얻는다.

보조정리

\(f : X \to S\)를 스킴의 사상이라 하자. \(U \subset S\)를 열린집합이라 하자. 다음을 가정한다.

1. \(f\)는 국소 유한형이고 평탄하다.

2. \(U \subset S\)는 역콤팩트이고 스킴론적으로 조밀하다.

3. \(f|_{f^{-1}U} : f^{-1}U \to U\)는 국소 유한표현이다.

그러면 \(f\)는 국소 유한표현이다.

증명

문제는 \(X\)와 \(S\) 위에서 국소적이므로 \(X\)와 \(S\)가 아핀이라고 가정해도 된다. 닫힌 몰입 \(i : X \to \mathbf{A}^n_S\)를 택하고 \(i_*\mathcal{O}_X\)에 Lemma 081N를 적용한다.

일부 세부사항은 생략한다.

보조정리

\(f : X \to S\)를 평탄이고 국소 유한형인 스킴의 사상이라 하자. \(U \subset S\)를 조밀 열린집합으로서 \(X_U \to U\)가 상대차원 \(\leq e\)를 갖는 것이라 하자. Morphisms, Definition 02NJ를 보라. 더 나아가 다음 중 하나가 성립한다고 하자.

1. \(f\)는 국소 유한표현이다.

2. \(U \subset S\)는 역콤팩트이다.

그러면 \(f\)는 상대차원 \(\leq e\)를 갖는다.

증명

(1)의 경우를 증명하자. More on Morphisms, Lemmas 045U과 054T에서 구성하고 연구한 열린 부분스킴을 \(W \subset X\)라 하자. 모든 올의 모든 일반점은 \(W\)에 들어 있으므로 \(W\)에 대해 결과를 증명하면 충분하다. \(W = \bigcup_{d \geq 0} U_d\)이므로 \(d > e\)일 때 \(U_d = \emptyset\)임을 증명하면 충분하다. \(f\)는 평탄이고 국소 유한표현이므로 열린 사상이고, 따라서 \(f(U_d)\)는 열린집합이다. Morphisms, Lemma 01UA을 보라. 그러므로 \(U_d\)가 비어 있지 않으면 원하는 대로 \(f(U_d) \cap U \not = \emptyset\)이다.

(2)의 경우를 증명하자. \(S\)를 그 축약으로 대체해도 된다. 그러면 \(U\)는 스킴론적으로 조밀하다. 따라서 Lemma 081P에 의해 \(f\)는 국소 유한표현이다. 이로써 (1)의 경우로 환원된다.

보조정리

\(f : X \to S\)를 평탄 고유인 스킴의 사상이라 하자. \(U \subset S\)를 조밀 열린집합으로서 \(X_U \to U\)가 유한인 것이라 하자. 더 나아가 \(f\)가 국소 유한표현이거나 \(U \subset S\)가 역콤팩트이면, \(f\)는 유한이다.

증명

Lemma 081L에 의해 \(f\)의 올들은 차원 0을 갖는다. 따라서 \(f\)는 준유한이고 (Morphisms, Lemma 0397), 그러므로 유한한 올들을 갖는다(Morphisms, Lemma 02NH). 따라서 More on Morphisms, Lemma 02LS에 의해 \(f\)는 유한이다.

보조정리

\(f : X \to S\)를 스킴의 사상이라 하고 \(U \subset S\)를 열린집합이라 하자. 다음이 성립한다고 하자.

1. \(f\)는 분리이고 국소 유한형이며 평탄하다.

2. \(f^{-1}(U) \to U\)는 동형이다.

3. \(U \subset S\)는 역콤팩트이고 스킴론적으로 조밀하다.

그러면 \(f\)는 열린 몰입이다.

증명

Lemma 081P에 의해 사상 \(f\)는 국소 유한표현이다. 상 \(f(X) \subset S\)는 열린집합이므로 (Morphisms, Lemma 01UA), \(S\)를 \(f(X)\)로 대체해도 된다. 따라서 \(f\)가 동형임을 증명해야 한다. \(S\)가 아핀이라고 가정해도 된다. 상이 \(S\)인 임의의 준콤팩트 열린집합 \(X' \subset X\)가 \(S\)로 동형사상된다는 것을 보이면 충분하므로, \(X\)가 준콤팩트인 경우로 환원할 수 있다. 따라서 \(f\)가 준콤팩트라고 가정해도 된다. Lemma 081L에 의해 \(f\)의 모든 올은 차원 \(0\)을 갖는다. 따라서 \(f\)는 준유한이다. Morphisms, Lemma 0397을 보라. \(s \in S\)라 하자. \(V \to T\)가 유한이고 \(W_t = \emptyset\)이며 \(X \times_S T = V \amalg W\)가 되도록 하는 기본 에탈 근방 \(g : (T, t) \to (S, s)\)를 택한다. More on Morphisms, Lemma 02LP를 보라. 주어진 사상을 \(\pi : V \amalg W \to T\)라 쓰자. \(\pi\)는 평탄이고 국소 유한표현이므로 \(\pi(V)\)는 \(T\)에서 열린집합이다(Morphisms, Lemma 01UA). \(T\)를 축소하여 \(T = \pi(V)\)라고 가정해도 된다. \(f\)는 \(U\) 위에서 동형이므로 \(\pi\)는 \(g^{-1}U\) 위에서 동형이다. \(\pi(V) = T\)이므로 이는 \(\pi^{-1}g^{-1}U\)가 \(V\)에 들어 있음을 뜻한다. Morphisms, Lemma 081H에 의해 \(\pi^{-1}g^{-1}U \subset V \amalg W\)는 스킴론적으로 조밀하다. 따라서 \(W = \emptyset\)이다. 그러므로 \(X \times_S T = V\)는 \(T\) 위에서 유한이다. 예를 들어 Descent, Lemma 02LA에 의해 이는 (\(S\)를 \(s\)의 한 열린 근방으로 대체한 뒤) \(f\)가 유한임을 뜻한다. 그러면 \(f\)는 유한 국소 자유이다(Morphisms, Lemma 02KB). \(S\)를 \(s\)의 더 작은 열린 근방으로 축소하면 \(f\)가 어떤 차수 \(d\)의 유한 국소 자유 사상임을 얻는다 (Morphisms, Lemma 04MH). 그러나 조밀 열린집합 \(U\) 위에서 차수가 \(1\)이라는 사실로부터 명백히 \(d = 1\)이다. 따라서 \(f\)는 동형이다.

평탄 유한표현 가군

어떤 경우에는 유한표현 환 준동형 \(R \to S\)와 유한표현 \(S\)-가군 \(N\)이 주어졌을 때, \(N\)이 \(R\) 위에서 평탄이면 적어도 \(S\)를 에탈 확대로 대체한 뒤에는 \(N\)이 사영 \(R\)-가군이다.

이 절에서는 이러한 성질의 결과 몇 가지를 모은다.

보조정리

\(R\)을 환이라 하자. \(R \to S\)를 기하적으로 정역인 올들을 갖는 유한표현 평탄 환 준동형이라 하자. \(\mathfrak q \subset S\)를 소 아이디얼 \(\mathfrak r \subset R\) 위에 놓인 소 아이디얼이라 하자. \(\mathfrak p = \mathfrak r S\)로 두자. \(N\)을 유한표현 \(S\)-가군이라 하자. \(r \geq 0\)과 \(S\)-가군 사상 \[\alpha : S^{\oplus r} \longrightarrow N\] 이 존재하여 \(\alpha : \kappa(\mathfrak p)^{\oplus r} \to N \otimes_S \kappa(\mathfrak p)\) 는 동형이다. 이러한 임의의 \(\alpha\)에 대해 다음은 서로 동치이다.

1. \(N_{\mathfrak q}\)는 \(R\)-평탄이다.

2. \(f \in R\), \(f \not \in \mathfrak r\)가 존재하여 \(\alpha_f : S_f^{\oplus r} \to N_f\)는 \(R_f\)-보편 단사이고, \(g \in S\), \(g \not \in \mathfrak q\)가 존재하여 \(\Coker(\alpha)_g\)는 \(R\)-평탄이다.

3. \(\alpha_{\mathfrak r}\)는 \(R_{\mathfrak r}\)-보편 단사이고 \(\Coker(\alpha)_{\mathfrak q}\)는 \(R\)-평탄이다.

4. \(\alpha_{\mathfrak r}\)는 단사이고 \(\Coker(\alpha)_{\mathfrak q}\)는 \(R\)-평탄이다.

5. \(\alpha_{\mathfrak p}\)는 동형이고 \(\Coker(\alpha)_{\mathfrak q}\)는 \(R\)-평탄이다.

6. \(\alpha_{\mathfrak q}\)는 단사이고 \(\Coker(\alpha)_{\mathfrak q}\)는 \(R\)-평탄이다.

증명

\(\alpha\)를 얻기 위해 \(r = \dim_{\kappa(\mathfrak p)} N \otimes_S \kappa(\mathfrak p)\)로 두고, \(N \otimes_S \kappa(\mathfrak p)\)의 기저를 이루는 \(x_1, \ldots, x_r \in N\)을 택한다. \(\alpha(s_1, \ldots, s_r) = \sum s_i x_i\)로 정의하자. 이로써 존재성이 증명된다.

\(\alpha\) 하나를 고정하자. 사상 \(\alpha_{\mathfrak r} : S_{\mathfrak r}^{\oplus r} \to N_{\mathfrak r}\)에 Lemma 05I3을 적용할 수 있다. 따라서 (1), (3), (4), (5), (6)은 모두 서로 동치이다. 또한 (2)가 (3)을 함의함은 명백하므로 (1)이 (2)를 함의함만 보이면 된다.

(1)을 가정하자. 평탄성의 개방성, Algebra, Theorem 00RC에 의해 집합 \[U_1 = \{\mathfrak q' \subset S \mid N_{\mathfrak q'}\text{가 }R\text{ 위에서 평탄}\}\] 은 \(\Spec(S)\)에서 열린집합이다. 가정에 의해 \(\mathfrak q\)를 포함하고, 따라서 \(\mathfrak p\)도 포함한다. \(S^{\oplus r}\)와 \(N\)은 유한표현 \(S\)-가군이므로 집합 \[U_2 = \{\mathfrak q' \subset S \mid \alpha_{\mathfrak q'}\text{가 동형}\}\] 은 \(\Spec(S)\)에서 열린집합이다. Algebra, Lemma 05GF를 보라. (5)에 의해 이는 \(\mathfrak p\)를 포함한다. \(R \to S\)는 유한표현이고 평탄하므로 사상 \(\Phi : \Spec(S) \to \Spec(R)\)는 열린 사상이다. Algebra, Proposition 00I1을 보라. 임의의 소 아이디얼 \(\mathfrak r' \in \Phi(U_1 \cap U_2)\)에 대해, \(\mathfrak r'\) 위에 놓인 소 아이디얼 \(\mathfrak q'\)가 존재하여 \(N_{\mathfrak q'}\)는 평탄이고 \(\alpha_{\mathfrak q'}\)는 동형이다. 이는 \(\mathfrak p' = \mathfrak r' S\)일 때 \(\alpha \otimes \kappa(\mathfrak p')\)가 동형임을 뜻한다. 따라서 함의 (1) \(\Rightarrow\) (3)에 의해 \(\alpha_{\mathfrak r'}\)는 \(R_{\mathfrak r'}\)-보편 단사이다. 그러므로 \(D(f) \subset \Phi(U_1 \cap U_2)\)가 되도록 하는 \(f \in R\), \(f \not \in \mathfrak r\)를 택하면 \(\alpha_f\)가 \(R_f\)-보편 단사라는 결론을 얻는다. Algebra, Lemma 05CL를 보라. 같은 논증은 임의의 \(\mathfrak q' \in U_1 \cap \Phi^{-1}(\Phi(U_1 \cap U_2))\)에 대해 가군 \(\Coker(\alpha)_{\mathfrak q'}\)가 \(R\)-평탄임도 보인다. \(\mathfrak q \in U_1 \cap \Phi^{-1}(\Phi(U_1 \cap U_2))\)임에 유의하자. 따라서 \(D(g) \subset U_1 \cap \Phi^{-1}(\Phi(U_1 \cap U_2))\)가 되도록 하는 \(g \in S\), \(g \not \in \mathfrak q\)를 찾을 수 있고, 이로써 원하는 결론을 얻는다.

보조정리

\(R \to S\)를 유한표현 환 준동형이라 하자. \(N\)을 \(R\) 위에서 평탄인 유한표현 \(S\)-가군이라 하자. \(\mathfrak r \subset R\)을 소 아이디얼이라 하자. \(\mathfrak r\) 위에서 \(N/S/R\)의 완전 데비사주가 존재한다고 가정하자. 그러면 \(f \in R\), \(f \not \in \mathfrak r\)가 존재하여 \[N_f \cong B_1^{\oplus r_1} \oplus \ldots \oplus B_n^{\oplus r_n}\] 는 \(R\)-가군의 동형이다. 여기서 각 \(B_i\)는 기하적으로 기약인 올들을 갖는 매끄러운 \(R_f\)-대수이다. 더욱이 \(N_f\)는 사영 \(R_f\)-가군이다.

증명

\((A_i, B_i, M_i, \alpha_i)_{i = 1, \ldots, n}\)를 주어진 완전 데비사주라 하자. \(n\)에 대한 귀납법으로 보조정리를 증명한다. 보조정리의 주장들은 전적으로 \(R\)-가군으로서의 \(N\)의 구조에 관한 것임에 유의하자. 따라서 \(N\)을 \(M_1\)으로 대체하고 \(M_1\)을 \(B_1\)-가군으로 생각해도 된다. \(M_1\)이 유한표현 \(B_1\)-가군인 이유는 Remark 05HY을 보라. Lemma 05IA에 의해 어떤 \(f \in R\), \(f \not \in \mathfrak r\)에 대해 \(R\)을 \(R_f\)로 대체한 뒤, 사상 \(\alpha_1 : B_1^{\oplus r_1} \to M_1\)이 \(R\)-보편 단사라고 가정해도 된다. \(M_1\)과 \(B_1^{\oplus r_1}\)은 \(R\)-평탄이고 유한표현 \(B_1\)-가군이므로 \(\Coker(\alpha_1)\)은 \(R\)-평탄이고 (Algebra, Lemma 058P) 유한표현 \(B_1\)-가군이다. \((A_i, B_i, M_i, \alpha_i)_{i = 2, \ldots, n}\)가 \(\Coker(\alpha_1)\)의 완전 데비사주임에 유의하자. 따라서 귀납가정에 의해 어떤 \(f \in R\), \(f \not \in \mathfrak r\)에 대해 \(R\)을 \(R_f\)로 대체한 뒤, \(\Coker(\alpha_1)\)이 보조정리에서와 같은 분해를 가지며 사영이라고 가정해도 된다. 특히 \(M_1 = B_1^{\oplus r_1} \oplus \Coker(\alpha_1)\). 이는 분해에 관한 주장을 증명한다. 사영성에 관한 주장은 Lemma 05FT에 의해 \(B_1\)이 사영 \(R\)-가군이라는 사실에서 따른다.

주

Lemma 05IB에는 다음 변형이 있다. 평탄성 조건은 \(\mathfrak r\) 위에 놓인 어떤 주어진 소 아이디얼 \(\mathfrak q\)에서만 \(N\)이 평탄이라고 가정하는 것으로 약화하는 한편, 데비사주 조건은 \(\mathfrak q\)에서 완전 데비사주가 존재한다고 가정하는 것으로 강화한다. Lemma 05I4와 비교하라.

다음은 이 절의 주결과이다.

명제

\(f : X \to S\)를 스킴의 사상이라 하자. \(\mathcal{F}\)를 \(X\) 위의 준연접층이라 하자. \(x \in X\)의 상을 \(s \in S\)라 하자. 다음을 가정한다.

1. \(f\)는 국소 유한표현이다.

2. \(\mathcal{F}\)는 유한표현이다.

3. \(\mathcal{F}\)는 \(x\)에서 \(S\) 위로 평탄하다.

그러면 점을 표시한 스킴들의 다음 가환 그림이 존재한다. \[\xymatrix{ (X, x) \ar[d] & (X', x') \ar[l]^g \ar[d] \\ (S, s) & (S', s') \ar[l] }\] 여기서 수평 화살표들은 기본 에탈 근방이고, \(X'\)와 \(S'\)는 아핀이며, \(\Gamma(X', g^*\mathcal{F})\)는 사영 \(\Gamma(S', \mathcal{O}_{S'})\)-가군이다.

증명

평탄성의 개방성, More on Morphisms, Theorem 0399에 의해 \(X\)를 \(x\)의 열린 근방으로 대체하고 \(\mathcal{F}\)가 \(S\) 위에서 평탄이라고 가정해도 된다. 이제 Proposition 05HR를 적용하여 명제의 주장과 같은 그림으로서 \(g^*\mathcal{F}/X'/S'\)가 \(s'\) 위에서 완전 데비사주를 갖는 것을 찾는다. (특히 \(S'\)와 \(X'\)는 아핀이다.) Morphisms, Lemma 02JZ에 의해 \(g^*\mathcal{F}\)는 \(S\) 위에서 평탄이고, Lemma 05B9에 의해 \(S'\) 위에서도 평탄이다. Remark 05I0을 통하여 다음 몫들의 열 \[\Gamma(X', g^*\mathcal{F})/ \Gamma(X', \mathcal{O}_{X'})/ \Gamma(S', \mathcal{O}_{S'})\] 이 \(s'\)에 대응하는 \(\Gamma(S', \mathcal{O}_{S'})\)의 소 아이디얼 위에서 완전 데비사주를 가짐을 얻는다. 따라서 Lemma 05IB에 의해 \(S'\)를 \(s'\)의 표준 열린 근방으로 대체한 뒤 명제의 결과가 성립한다.

이 절의 나머지에서는 이 결과의 몇 가지 변형을 증명한다. 첫 번째는 “대역적” 변형이다.

보조정리

\(f : X \to S\)를 스킴의 사상이라 하자. \(\mathcal{F}\)를 \(X\) 위의 준연접층이라 하자. \(s \in S\)라 하자. 다음을 가정한다.

1. \(f\)는 유한표현이다.

2. \(\mathcal{F}\)는 유한표현이다.

3. \(\mathcal{F}\)는 올 \(X_s\)의 모든 점에서 \(S\) 위로 평탄하다.

그러면 기본 에탈 근방 \((S', s') \to (S, s)\)와 스킴들의 다음 가환 그림이 존재한다. \[\xymatrix{ X \ar[d] & X' \ar[l]^g \ar[d] \\ S & S' \ar[l] }\] 여기서 \(g\)는 에탈이고 \(X_s \subset g(X')\)이며, 스킴 \(X'\)와 \(S'\)는 아핀이고, \(\Gamma(X', g^*\mathcal{F})\)는 사영 \(\Gamma(S', \mathcal{O}_{S'})\)-가군이다.

증명

각 점 \(x \in X_s\)에 Proposition 05ID를 적용하여 다음 가환 그림을 찾을 수 있다. \[\xymatrix{ (X, x) \ar[d] & (Y_x, y_x) \ar[l]^{g_x} \ar[d] \\ (S, s) & (S_x, s_x) \ar[l] }\] 여기서 수평 화살표들은 기본 에탈 근방이고, \(Y_x\)와 \(S_x\)는 아핀이며, \(\Gamma(Y_x, g_x^*\mathcal{F})\)는 사영 \(\Gamma(S_x, \mathcal{O}_{S_x})\)-가군이다. 특히 \(g_x(Y_x) \cap X_s\)는 \(X_s\)에서 \(x\)의 열린 근방이다. \(X_s\)는 준콤팩트이므로 \(X_s\)가 \(g_{x_i}(Y_{x_i}) \cap X_s\)들의 합집합이 되도록 하는 유한 개의 점 \(x_1, \ldots, x_n \in X_s\)를 찾을 수 있다. 각 근방 \((S_{x_i}, s_{x_i})\)를 지배하는 기본 에탈 근방 \((S' , s') \to (S, s)\)를 택한다. More on Morphisms, Lemma 057B를 보라. \(S'\)가 아핀이라고도 가정해도 된다. \(X' = \coprod Y_{x_i} \times_{S_{x_i}} S'\)로 두고 자명한 사상 \(g : X' \to X\)를 부여하자. 구성상 \(g(X')\)는 \(X_s\)를 포함하고 \[\Gamma(X', g^*\mathcal{F}) = \bigoplus \Gamma(Y_{x_i}, g_{x_i}^*\mathcal{F}) \otimes_{\Gamma(S_{x_i}, \mathcal{O}_{S_{x_i}})} \Gamma(S', \mathcal{O}_{S'}).\] 이는 사영 \(\Gamma(S', \mathcal{O}_{S'})\)-가군이다. Algebra, Lemma 05A3를 보라.

다음 두 보조정리는 \(\mathcal{F} = \mathcal{O}_X\)인 경우 위 결과들을 다시 서술한 것이다.

보조정리

\(f : X \to S\)를 국소 유한표현이라 하자. \(x \in X\)의 상을 \(s \in S\)라 하자. \(f\)가 \(x\)에서 \(S\) 위로 평탄이면, 점을 표시한 스킴들의 다음 가환 그림이 존재한다. \[\xymatrix{ (X, x) \ar[d] & (X', x') \ar[l]^g \ar[d] \\ (S, s) & (S', s') \ar[l] }\] 여기서 수평 화살표들은 기본 에탈 근방이고, \(X'\)와 \(S'\)는 아핀이며, \(\Gamma(X', \mathcal{O}_{X'})\)는 사영 \(\Gamma(S', \mathcal{O}_{S'})\)-가군이다.

증명

이는 Proposition 05ID의 특별한 경우이다.

보조정리

\(f : X \to S\)를 유한표현이라 하자. \(s \in S\)라 하자. \(X\)가 \(X_s\)의 모든 점에서 \(S\) 위로 평탄이면, 기본 에탈 근방 \((S', s') \to (S, s)\)와 스킴들의 다음 가환 그림이 존재한다. \[\xymatrix{ X \ar[d] & X' \ar[l]^g \ar[d] \\ S & S' \ar[l] }\] 여기서 \(g\)는 에탈이고 \(X_s \subset g(X')\)이며, \(X'\)와 \(S'\)는 아핀이고, \(\Gamma(X', \mathcal{O}_{X'})\)는 사영 \(\Gamma(S', \mathcal{O}_{S'})\)-가군이다.

증명

이는 Lemma 05KW의 특별한 경우이다.

다음 보조정리들은 사상과 층이 유한형이라고만 (반드시 유한표현이라고는 하지 않고) 가정하는 경우 Proposition 05ID의 귀결을 설명한다.

보조정리

\(f : X \to S\)를 스킴의 사상이라 하자. \(\mathcal{F}\)를 \(X\) 위의 준연접층이라 하자. \(x \in X\)의 상을 \(s \in S\)라 하자. 다음을 가정한다.

1. \(f\)는 국소 유한표현이다.

2. \(\mathcal{F}\)는 유한형이다.

3. \(\mathcal{F}\)는 \(x\)에서 \(S\) 위로 평탄하다.

그러면 기본 에탈 근방 \((S', s') \to (S, s)\)와 점을 표시한 스킴들의 다음 가환 그림이 존재한다. \[\xymatrix{ (X, x) \ar[d] & (X', x') \ar[l]^g \ar[d] \\ (S, s) & (\Spec(\mathcal{O}_{S', s'}), s') \ar[l] }\] 여기서 \(X' \to X \times_S \Spec(\mathcal{O}_{S', s'})\)는 에탈이고, \(\kappa(x) = \kappa(x')\)이며, 스킴 \(X'\)는 \(\mathcal{O}_{S', s'}\) 위 유한표현 아핀 스킴이고, 층 \(g^*\mathcal{F}\)는 \(\mathcal{O}_{X'}\) 위에서 유한표현이며, \(\Gamma(X', g^*\mathcal{F})\)는 자유 \(\mathcal{O}_{S', s'}\)-가군이다.

증명

보조정리를 증명하기 위해 \((S, s)\)를 임의의 기본 에탈 근방으로 대체해도 되고, \(S\)를 \(\Spec(\mathcal{O}_{S, s})\)로 대체해도 된다. 따라서 Proposition 05I5에 의해 \(x\)의 한 근방에서 \(\mathcal{F}\)가 유한표현이고 \(S\) 위에서 평탄이라고 가정해도 된다. 이 경우 결과는 Proposition 05ID에서 따른다. 실제로 Algebra, Theorem 0593에 의해 국소환 위에서는 사영 \(=\) 자유이다.

보조정리

\(f : X \to S\)를 스킴의 사상이라 하자. \(\mathcal{F}\)를 \(X\) 위의 준연접층이라 하자. \(x \in X\)의 상을 \(s \in S\)라 하자. 다음을 가정한다.

1. \(f\)는 국소 유한형이다.

2. \(\mathcal{F}\)는 유한형이다.

3. \(\mathcal{F}\)는 \(x\)에서 \(S\) 위로 평탄하다.

그러면 기본 에탈 근방 \((S', s') \to (S, s)\)와 점을 표시한 스킴들의 다음 가환 그림이 존재한다. \[\xymatrix{ (X, x) \ar[d] & (X', x') \ar[l]^g \ar[d] \\ (S, s) & (\Spec(\mathcal{O}_{S', s'}), s') \ar[l] }\] 여기서 \(X' \to X \times_S \Spec(\mathcal{O}_{S', s'})\)는 에탈이고, \(\kappa(x) = \kappa(x')\)이며, 스킴 \(X'\)는 아핀이고, \(\Gamma(X', g^*\mathcal{F})\)는 자유 \(\mathcal{O}_{S', s'}\)-가군이다.

증명

(이 보조정리와 Lemma 05KY의 유일한 차이는 \(f\)가 유한표현이라고 가정하지 않는다는 것이다.) 문제는 \(X\)와 \(S\) 위에서 국소적이다. 따라서 \(X\)와 \(S\)가 아핀이라고 가정해도 된다. \(X = \Spec(B)\)와 \(S = \Spec(A)\)로 쓰자. \(B\)는 유한형 \(A\)-대수이므로 전사 \(A[x_1, \ldots, x_n] \to B\)를 찾을 수 있다. 다시 말해 닫힌 몰입 \(i : X \to \mathbf{A}^n_S\)를 택할 수 있다. \(t = i(x)\)와 \(\mathcal{G} = i_*\mathcal{F}\)로 두자.

\(\mathcal{G}_t \cong \mathcal{F}_x\)는 \(\mathcal{O}_{S, s}\)-가군의 동형임에 유의하자. 따라서 \(\mathcal{G}\)는 \(t\)에서 \(S\) 위로 평탄하다. 사상 \(\mathbf{A}^n_S \to S\), 점 \(t\), 층 \(\mathcal{G}\)에 Lemma 05KY를 적용한다. 그리하여 기본 에탈 근방 \((S', s') \to (S, s)\)와 점을 표시한 스킴들의 다음 가환 그림을 찾을 수 있다. \[\xymatrix{ (\mathbf{A}^n_S, t) \ar[d] & (Y, y) \ar[l]^h \ar[d] \\ (S, s) & (\Spec(\mathcal{O}_{S', s'}), s') \ar[l] }\] 여기서 \(Y \to \mathbf{A}^n_{\mathcal{O}_{S', s'}}\)는 에탈이고, \(\kappa(t) = \kappa(y)\)이며, 스킴 \(Y\)는 아핀이고,

\(\Gamma(Y, h^*\mathcal{G})\)는 사영 \(\mathcal{O}_{S', s'}\)-가군이다. 그러면 원래 문제의 해는 \(Y\)의 닫힌 부분스킴 \(X' = Y \times_{\mathbf{A}^n_S} X\)로 주어진다.

보조정리

\(f : X \to S\)를 스킴의 사상이라 하자. \(\mathcal{F}\)를 \(X\) 위의 준연접층이라 하자. \(s \in S\)라 하자. 다음을 가정한다.

1. \(f\)는 유한표현이다.

2. \(\mathcal{F}\)는 유한형이다.

3. \(\mathcal{F}\)는 \(X_s\)의 모든 점에서 \(S\) 위로 평탄하다.

그러면 기본 에탈 근방 \((S', s') \to (S, s)\)와 스킴들의 다음 가환 그림이 존재한다. \[\xymatrix{ X \ar[d] & X' \ar[l]^g \ar[d] \\ S & \Spec(\mathcal{O}_{S', s'}) \ar[l] }\] 여기서 \(X' \to X \times_S \Spec(\mathcal{O}_{S', s'})\)는 에탈이고, \(X_s = g((X')_{s'})\)이며, 스킴 \(X'\)는 \(\mathcal{O}_{S', s'}\) 위 유한표현 아핀 스킴이고, 층 \(g^*\mathcal{F}\)는 \(\mathcal{O}_{X'}\) 위에서 유한표현이며, \(\Gamma(X', g^*\mathcal{F})\)는 자유 \(\mathcal{O}_{S', s'}\)-가군이다.

증명

각 점 \(x \in X_s\)에 Lemma 05KY를 적용하여 기본 에탈 근방 \((S_x , s_x) \to (S, s)\)와 다음 가환 그림을 찾을 수 있다. \[\xymatrix{ (X, x) \ar[d] & (Y_x, y_x) \ar[l]^{g_x} \ar[d] \\ (S, s) & (\Spec(\mathcal{O}_{S_x, s_x}), s_x) \ar[l] }\] 여기서 \(Y_x \to X \times_S \Spec(\mathcal{O}_{S_x, s_x})\)는 에탈이고, \(\kappa(x) = \kappa(y_x)\)이며, 스킴 \(Y_x\)는 \(\mathcal{O}_{S_x, s_x}\) 위 유한표현 아핀 스킴이고, 층 \(g_x^*\mathcal{F}\)는 \(\mathcal{O}_{Y_x}\) 위에서 유한표현이며, \(\Gamma(Y_x, g_x^*\mathcal{F})\)는 자유 \(\mathcal{O}_{S_x, s_x}\)-가군이다. 특히 \(g_x((Y_x)_{s_x})\)는 \(X_s\)에서 \(x\)의 열린 근방이다. \(X_s\)는 준콤팩트이므로 \(X_s\)가 \(g_{x_i}((Y_{x_i})_{s_{x_i}})\)들의 합집합이 되도록 하는 유한 개의 점 \(x_1, \ldots, x_n \in X_s\)를 찾을 수 있다. 각 근방 \((S_{x_i}, s_{x_i})\)를 지배하는 기본 에탈 근방 \((S' , s') \to (S, s)\)를 택한다. More on Morphisms, Lemma 057B를 보라. 다음과 같이 두자. \[X' = \coprod Y_{x_i} \times_{\Spec(\mathcal{O}_{S_{x_i}, s_{x_i}})} \Spec(\mathcal{O}_{S', s'})\] 그리고 자명한 사상 \(g : X' \to X\)를 부여하자. 구성상 \(X_s = g(X'_{s'})\)이고 \[\Gamma(X', g^*\mathcal{F}) = \bigoplus \Gamma(Y_{x_i}, g_{x_i}^*\mathcal{F}) \otimes_{\mathcal{O}_{S_{x_i}, s_{x_i}}} \mathcal{O}_{S', s'}.\] 이는 자유 가군들의 기저변환들의 직합이므로 자유 \(\mathcal{O}_{S', s'}\)-가군이다.

몇 가지 사소한 세부사항은 생략한다.

보조정리

\(f : X \to S\)를 스킴의 사상이라 하자. \(\mathcal{F}\)를 \(X\) 위의 준연접층이라 하자. \(s \in S\)라 하자. 다음을 가정한다.

1. \(f\)는 유한형이다.

2. \(\mathcal{F}\)는 유한형이다.

3. \(\mathcal{F}\)는 \(X_s\)의 모든 점에서 \(S\) 위로 평탄하다.

그러면 기본 에탈 근방 \((S', s') \to (S, s)\)와 스킴들의 다음 가환 그림이 존재한다. \[\xymatrix{ X \ar[d] & X' \ar[l]^g \ar[d] \\ S & \Spec(\mathcal{O}_{S', s'}) \ar[l] }\] 여기서 \(X' \to X \times_S \Spec(\mathcal{O}_{S', s'})\)는 에탈이고, \(X_s = g((X')_{s'})\)이며, 스킴 \(X'\)는 아핀이고, \(\Gamma(X', g^*\mathcal{F})\)는 자유 \(\mathcal{O}_{S', s'}\)-가군이다.

증명

(이 보조정리와 Lemma 05L0의 유일한 차이는 \(f\)가 유한표현이라고 가정하지 않는다는 것이다.) 각 점 \(x \in X_s\)에 Lemma 05KZ를 적용하여 기본 에탈 근방 \((S_x , s_x) \to (S, s)\)와 다음 가환 그림을 찾을 수 있다. \[\xymatrix{ (X, x) \ar[d] & (Y_x, y_x) \ar[l]^{g_x} \ar[d] \\ (S, s) & (\Spec(\mathcal{O}_{S_x, s_x}), s_x) \ar[l] }\] 여기서 \(Y_x \to X \times_S \Spec(\mathcal{O}_{S_x, s_x})\)는 에탈이고, \(\kappa(x) = \kappa(y_x)\)이며, 스킴 \(Y_x\)는 아핀이고, \(\Gamma(Y_x, g_x^*\mathcal{F})\)는 자유 \(\mathcal{O}_{S_x, s_x}\)-가군이다. 특히 \(g_x((Y_x)_{s_x})\)는 \(X_s\)에서 \(x\)의 열린 근방이다. \(X_s\)는 준콤팩트이므로 \(X_s\)가 \(g_{x_i}((Y_{x_i})_{s_{x_i}})\)들의 합집합이 되도록 하는 유한 개의 점 \(x_1, \ldots, x_n \in X_s\)를 찾을 수 있다. 각 근방 \((S_{x_i}, s_{x_i})\)를 지배하는 기본 에탈 근방 \((S' , s') \to (S, s)\)를 택한다. More on Morphisms, Lemma 057B를 보라. 다음과 같이 두자. \[X' = \coprod Y_{x_i} \times_{\Spec(\mathcal{O}_{S_{x_i}, s_{x_i}})} \Spec(\mathcal{O}_{S', s'})\] 그리고 자명한 사상 \(g : X' \to X\)를 부여하자. 구성상 \(X_s = g(X'_{s'})\)이고 \[\Gamma(X', g^*\mathcal{F}) = \bigoplus \Gamma(Y_{x_i}, g_{x_i}^*\mathcal{F}) \otimes_{\mathcal{O}_{S_{x_i}, s_{x_i}}} \mathcal{O}_{S', s'}.\] 이는 자유 가군들의 기저변환들의 직합이므로 자유 \(\mathcal{O}_{S', s'}\)-가군이다.

유한형 평탄 가군 II

다음 보조정리가 필요하다.

보조정리

\(R \to S\)를 유한표현 환 준동형이라 하자. \(N\)을 유한표현 \(S\)-가군이라 하자. \(\mathfrak q \subset S\)를 \(\mathfrak p \subset R\) 위에 놓인 소 아이디얼이라 하자. 다음과 같이 두자. \(\overline{S} = S \otimes_R \kappa(\mathfrak p)\), \(\overline{\mathfrak q} = \mathfrak q \overline{S}\), \(\overline{N} = N \otimes_R \kappa(\mathfrak p)\). 그러면 \(g \in S\), \(g \not \in \mathfrak q\)를 찾아서, \(\mathfrak r \not \subset \overline{\mathfrak q}\)인 모든 \(\mathfrak r \in \text{Ass}_{\overline{S}}(\overline{N})\)에 대해 \(\overline{g} \in \mathfrak r\)가 되게 할 수 있다.

증명

실제로 \(\text{Ass}_{\overline{S}}(\overline{N}) = \{\mathfrak r_1, \ldots, \mathfrak r_n\}\)라고 하자(유한성은 Algebra, Lemma 00LC에 따른다). 번호를 다시 붙여 다음을 가정해도 된다. \[\mathfrak r_1 \subset \overline{\mathfrak q}, \ldots, \mathfrak r_r \subset \overline{\mathfrak q}, \quad \mathfrak r_{r + 1} \not \subset \overline{\mathfrak q}, \ldots, \mathfrak r_n \not \subset \overline{\mathfrak q}\] \(\overline{\mathfrak q}\)는 소 아이디얼이므로 곱 \(\mathfrak r_{r + 1} \ldots \mathfrak r_n\)은 \(\overline{\mathfrak q}\)에 포함되지 않는다. 따라서 \(\mathfrak r_{r + 1}, \ldots, \mathfrak r_n\) 각각에는 들어 있지만 \(\overline{\mathfrak q}\)에는 들어 있지 않은 \(\overline{S}\)의 원소 \(a\)를 택할 수 있다. \(a\)로 가는 \(g \in S\)가 존재하면 이 \(g\)가 조건을 만족한다. 일반적으로는 영이 아닌 원소 \(\lambda \in \kappa(\mathfrak p)\)를 찾아서 \(\lambda a\)가 어떤 \(g \in S\)의 상이 되게 할 수 있다.

다음 보조정리에는 아래의 조금 더 강한 변형 Lemma 05II가 있다.

보조정리

\(R \to S\)를 유한표현 환 준동형이라 하자. \(N\)을 \(R\)-가군으로서 평탄인 유한표현 \(S\)-가군이라 하자. \(M\)을 \(R\)-가군이라 하자. \(\mathfrak q\)를 \(\mathfrak p \subset R\) 위에 놓인 \(S\)의 소 아이디얼이라 하자. 그러면 \[\mathfrak q \in \text{WeakAss}_S(M \otimes_R N) \Leftrightarrow \Big( \mathfrak p \in \text{WeakAss}_R(M) \text{ 이고 } \overline{\mathfrak q} \in \text{Ass}_{\overline{S}}(\overline{N}) \Big)\] 이다. 여기서 \(\overline{S} = S \otimes_R \kappa(\mathfrak p)\), \(\overline{\mathfrak q} = \mathfrak q \overline{S}\), \(\overline{N} = N \otimes_R \kappa(\mathfrak p)\)이다.

증명

Lemma 0CU6에서와 같은 \(g \in S\)를 택하자. 스킴의 사상 \(\Spec(S_g) \to \Spec(R)\), \(N_g\)에 연관된 준연접 가군, 그리고 소 아이디얼 \(\mathfrak qS_g\)와 \(\mathfrak p\)에 대응하는 점들에 Proposition 05ID를 적용한다. 대수학으로 번역하면 다음 환들의 가환 그림을 얻는다. \[\xymatrix{ S \ar[r] & S_g \ar[r] & S' \\ & R \ar[lu] \ar[u] \ar[r] & R' \ar[u] } \quad\quad \xymatrix{ \mathfrak q \ar@{-}[r] \ar@{-}[rd] & \mathfrak qS_g \ar@{-}[d] \ar@{-}[r] & \mathfrak q' \ar@{-}[d] \\ & \mathfrak p \ar@{-}[r] & \mathfrak p' }\] 표시한 대로 소 아이디얼들이 부여되어 있고 수평 화살표들은 에탈이며, \(N \otimes_S S'\)는 사영 \(R'\)-가군이다. 다음과 같이 두자. \(N' = N \otimes_S S'\), \(M' = M \otimes_R R'\),

\(\overline{S}' = S' \otimes_{R'} \kappa(\mathfrak q')\), \(\overline{\mathfrak q}' = \mathfrak q' \overline{S}'\), 그리고 \[\overline{N}' = N' \otimes_{R'} \kappa(\mathfrak p') = \overline{N} \otimes_{\overline{S}} \overline{S}'\] Lemma 05FP에 의해 다음을 얻는다. \[\begin{align*} \text{WeakAss}_{S'}(M' \otimes_{R'} N') & = (\Spec(S') \to \Spec(S))^{-1}\text{WeakAss}_S(M \otimes_R N) \\ \text{WeakAss}_{R'}(M') & = (\Spec(R') \to \Spec(R))^{-1}\text{WeakAss}_R(M) \\ \text{Ass}_{\overline{S}'}(\overline{N}') & = (\Spec(\overline{S}') \to \Spec(\overline{S}))^{-1} \text{Ass}_{\overline{S}}(\overline{N}) \end{align*}\] \(\overline{N}\)과 \(\overline{N}'\)에 Algebra, Lemma 058A를 사용하자. 특히 다음을 얻는다. \[\begin{align*} \mathfrak q \in \text{WeakAss}_S(M \otimes_R N) & \Leftrightarrow \mathfrak q' \in \text{WeakAss}_{S'}(M' \otimes_{R'} N') \\ \mathfrak p \in \text{WeakAss}_R(M) & \Leftrightarrow \mathfrak p' \in \text{WeakAss}_{R'}(M') \\ \overline{\mathfrak q} \in \text{Ass}_{\overline{S}}(\overline{N}) & \Leftrightarrow \overline{\mathfrak q}' \in \text{WeakAss}_{\overline{S}'}(\overline{N}') \end{align*}\] \(g\)의 신중한 선택과 위의 \(\text{Ass}_{\overline{S}'}(\overline{N}')\)에 대한 공식은 다음을 보인다. [0CU7]\[\begin{equation} \text{만약 }\mathfrak r' \in \text{Ass}_{\overline{S}'}(\overline{N}') \text{가 }\mathfrak r \subset \overline{S}\text{ 위에 놓이면 } \mathfrak r \subset \overline{\mathfrak q} \end{equation}\] 이는 증명의 뒤에서 핵심 관찰이 된다. 이제부터 따로 언급하지 않고 Algebra, Lemma 0566의 약연관 소 아이디얼 특성화를 사용한다.

\(\overline{\mathfrak q} \not \in \text{Ass}_{\overline{S}}(\overline{N})\)라고 하자. 그러면 \(\overline{\mathfrak q}' \not \in \text{Ass}_{\overline{S}'}(\overline{N}')\)이다. Algebra, Lemmas 00LD, 00LC, 00DS에 의해 \(\overline{N}'\) 위의 영인자가 아닌 원소 \(\overline{a}' \in \overline{\mathfrak q}'\)가 존재한다. 어떤 영이 아닌 \(\lambda \in \kappa(\mathfrak p)\)에 대해 \(\overline{a}'\)를 \(\lambda \overline{a}'\)로 대체하면 \(\overline{a}'\)로 가는 \(a' \in \mathfrak q'\)를 찾을 수 있다. Lemma 05FR에 의해 사상 \(a' : N'_{\mathfrak p'} \to N'_{\mathfrak p'}\)는 \(R'_{\mathfrak p'}\)-보편 단사이다. 특히 사상 \(a' : M' \otimes_{R'} N' \to M' \otimes_{R'} N'\)는 \(\mathfrak p'\)에서 국소화한 뒤 단사이고, 따라서 \(\mathfrak q'\)에서 국소화한 뒤에도 단사이다. 이는 명백히 \(\mathfrak q' \not \in \text{WeakAss}_{S'}(M' \otimes_{R'} N')\)를 뜻한다. 따라서 \(\mathfrak q \in \text{WeakAss}_S(M \otimes_R N)\)이면 \(\overline{\mathfrak q} \in \text{Ass}_{\overline{S}}(\overline{N})\)이다.

\(\mathfrak q \in \text{WeakAss}_S(M \otimes_R N)\)이라고 가정하자.

\(\mathfrak p \in \text{WeakAss}_S(M)\)임을 보이고자 한다. \(\mathfrak q\)가 \(J = \text{Ann}_S(z)\) 위에서 극소가 되도록 하는 원소 \(z \in M \otimes_R N\)을 택하자. \(f_i \in \mathfrak p\), \(i \in I\)를 아이디얼 \(\mathfrak p\)의 생성원 집합이라 하자. \(\mathfrak q\)는 \(\mathfrak p\) 위에 놓이므로 각 \(i\)에 대해 \(n_i \geq 1\)과 \(g_i \in S\), \(g_i \not \in \mathfrak q\)를 택하여 \(g_i f_i^{n_i} \in J\), 즉 \(g_i f_i^{n_i} z = 0\)이 되게 할 수 있다. \(z\)의 상을 \(z' \in (M' \otimes_{R'} N')_{\mathfrak p'}\)라 하자. \(z\)는 \((M \otimes_R N)_\mathfrak q\)에서 영이 아닌 상을 갖고 \(S_\mathfrak q \to S'_{\mathfrak q'}\)는 충실히 평탄이므로 \(z'\)는 영이 아니다. \(f_i^{n_i} z' = 0\)이라고 주장한다.

주장을 증명하자. \(g_i\)의 상을 \(g'_i \in S'\)라 하자. 핵심 관찰 (0CU7)에 의해 상 \(\overline{g}'_i \in \overline{S}'\)는 \(\mathfrak r'\)에 들어 있지 않는다. 여기서

\(\mathfrak r' \in \text{Ass}_{\overline{S}'}(\overline{N})\)는 임의이다. 따라서 Lemma 05FR에 의해 \(g'_i : N'_{\mathfrak p'} \to N'_{\mathfrak p'}\)는 \(R'_{\mathfrak p'}\)-보편 단사이다. 특히 사상 \(g'_i : M' \otimes_{R'} N' \to M' \otimes_{R'} N'\)는

\(\mathfrak p'\)에서 국소화한 뒤 단사이다. \(g_i f_i^{n_i} z' = 0\)이므로 주장이 따른다.

우리의 주장은 \(R'_{\mathfrak p'}\)에서 \(z'\)의 소멸자가 원소들 \(f_i^{n_i}\)를 포함함을 보인다. \(R \to R'\)는 에탈이므로 Algebra, Lemma 00U4에 의해 \(\mathfrak p'R'_{\mathfrak p'} = \mathfrak pR'_{\mathfrak p'}\)이다. 따라서 \(R'_{\mathfrak p'}\)에서 \(z'\)의 소멸자의 근기는

\(\mathfrak p' R_{\mathfrak p'}\)와 같다(여기서 \(z'\)가 영이 아님을 사용한다). 한편 \[z' \in (M' \otimes_{R'} N')_{\mathfrak p'} = M'_{\mathfrak p'} \otimes_{R'_{\mathfrak p'}} N'_{\mathfrak p'}\] \(N'_{\mathfrak p'}\)는 국소환 \(R'_{\mathfrak p'}\) 위에서 사영이므로 자유이다(Algebra, Theorem 0593). 따라서 \(z' \in M'_{\mathfrak p'} \otimes_{R'_{\mathfrak p'}} F'\)가 되도록 하는 유한 자유 직합인자 \(F' \subset N'_{\mathfrak p'}\)를 찾을 수 있다. \(F'\)의 계수가 \(n\)이면 다음을 얻는다. \(\mathfrak p' R'_{\mathfrak p'} \in \text{WeakAss}_{R'_{\mathfrak p'}}({M'_{\mathfrak p'}}^{\oplus n})\). 이는 \(\mathfrak p'R'_{\mathfrak p'} \in \text{WeakAss}(M'_{\mathfrak p'})\) 를 함의한다. 예를 들어 Algebra, Lemma 0548를 보라. 그러면 \(\mathfrak p' \in \text{WeakAss}_{R'}(M')\)이고, 이는 다시 \(\mathfrak p \in \text{WeakAss}_R(M)\)을 준다. 이로써 보조정리 동치의 함의 “\(\Rightarrow\)”의 증명이 끝난다.

\(\mathfrak p \in \text{WeakAss}_R(M)\)이고 \(\overline{\mathfrak q} \in \text{Ass}_{\overline{S}}(\overline{N})\)라고 가정하자. \(\mathfrak q\)가 \(M \otimes_R N\)의 약연관 소 아이디얼임을 보이고자 한다. \(\overline{\mathfrak q}'\)는 \(\text{Ass}_{\overline{S}'}(\overline{N}')\)의 극대 원소임에 유의하자. 이는 (0CU7)와 \(\overline{\mathfrak q}\) 위에 놓인 \(\overline{S}'\)의 소 아이디얼들 사이에는 포함관계가 없다는 사실의 귀결이다(에탈 사상의 올은 이산이기 때문이다. Morphisms, Lemma 02GL를 보라). 따라서 \(R, S, \mathfrak p, \mathfrak q, M, N\)을 각각 \(R', S', \mathfrak p', \mathfrak q', M', N'\)으로 대체한 뒤, 보조정리의 가정에 더하여 다음을 가정해도 된다.

1. \(\mathfrak p \in \text{WeakAss}_R(M)\)이다.

2. \(\overline{\mathfrak q} \in \text{Ass}_{\overline{S}}(\overline{N})\)이다.

3. \(N\)은 사영 \(R\)-가군이다.

4. \(\overline{\mathfrak q}\)는 \(\text{Ass}_{\overline{S}}(\overline{N})\)에서 극대이다.

한 번 더 환원할 수 있다. 즉 \(R, S, M, N\)을 \(\mathfrak p\)에서의 국소화들로 대체해도 된다. 이로부터 조건 하나가 더 생긴다.

1. \(R\)은 극대 아이디얼이 \(\mathfrak p\)인 국소환이다.

(1) – (5)가 \(\mathfrak q \in \text{WeakAss}(M \otimes_R N)\)을 함의함을 보여 증명을 끝내겠다.

\(R\)은 국소이고 \(\mathfrak p \in \text{WeakAss}_R(M)\)이므로 소멸자 \(I\)의 근기가 \(\mathfrak p\)와 같은 \(y \in M\)을 택할 수 있다. 어떤 \(\overline{g}_i \in \overline{S}\)에 대해 \(\overline{\mathfrak q} = (\overline{g}_1, \ldots, \overline{g}_n)\)로 쓰자. \(\overline{g}_i\)로 가는 \(g_i \in S\)를 택하자. 그러면 \(\mathfrak q = \mathfrak pS + g_1S + \ldots + g_nS\)이다. 사상 \[\Psi : N/IN \longrightarrow (N/IN)^{\oplus n}, \quad z \longmapsto (g_1z, \ldots, g_nz).\] 을 생각하자. 이는 사영 \(R/I\)-가군의 준동형이다. \(\mathfrak p/I\)는 국소 멱영이므로 국소환 \(R/I\)는 자기연관이다(More on Algebra, Definition 05GM). \(\overline{\mathfrak q} \in \text{Ass}_{\overline{S}}(\overline{N})\)이므로 사상 \(\Psi \otimes \kappa(\mathfrak p)\)는 단사가 아니다. 따라서 More on Algebra, Lemma 05GQ에 의해 \(\Psi\)는 단사가 아니다. \(\Psi\)의 핵에서 영이 아닌 \(z \in N/IN\)을 택하자. 구성상 소멸자 \(J = \text{Ann}_S(z)\)는 \(IS\)와 \(g_i\)를 포함한다. 따라서 \(\sqrt{J} \subset S\)는 \(\mathfrak q\)를 포함한다. \(\mathfrak s \subset S\)를 \(J\) 위의 극소 소 아이디얼이라 하자. 그러면 \(\mathfrak q \subset \mathfrak s\)이고, \(\mathfrak s\)는 \(\mathfrak p\) 위에 놓이며, \(\mathfrak s \in \text{WeakAss}_S(N/IN)\)이다.

마지막 사실은 약연관 소 아이디얼의 정의에서 따른다. 이미 증명한 보조정리의 “\(\Rightarrow\)” 부분을 환 준동형 \(R \to S\)와 가군 \(R/I\) 및 \(N\)에 적용하면 \(\overline{\mathfrak s} \in \text{Ass}_{\overline{S}}(\overline{N})\)라는 결론을 얻는다. \(\overline{\mathfrak q} \subset \overline{\mathfrak s}\)이므로 위 조건 (4)의 \(\overline{\mathfrak q}\)의 극대성에 의해 \(\overline{\mathfrak q} = \overline{\mathfrak s}\)이다. 이는 \(\mathfrak q = \mathfrak s\)임을 보인다.

따라서 원하는 결론을 얻는다.

보조정리

\(S\)를 스킴이라 하자. \(f : X \to S\)를 국소 유한형이라 하자. \(x \in X\)의 상을 \(s \in S\)라 하자. \(\mathcal{F}\)를 \(X\) 위의 유한형 준연접층이라 하고, \(\mathcal{G}\)를 \(S\) 위의 준연접층이라 하자. \(\mathcal{F}\)가 \(x\)에서 \(S\) 위로 평탄이면 \[x \in \text{WeakAss}_X(\mathcal{F} \otimes_{\mathcal{O}_X} f^*\mathcal{G}) \Leftrightarrow s \in \text{WeakAss}_S(\mathcal{G}) \text{ 이고 } x \in \text{Ass}_{X_s}(\mathcal{F}_s).\]

증명

이 문단에서는 \(f\)가 유한표현인 경우로 환원한다. 문제는 \(X\)와 \(S\) 위에서 국소적이므로 \(X\)와 \(S\)가 아핀이라고 가정해도 된다. \(X = \Spec(B)\), \(S = \Spec(A)\)로 쓰고 \(B = A[x_1, \ldots, x_n]/I\)로 쓰자. 다시 말해 \(S\) 위의 닫힌 몰입 \(i : X \to \mathbf{A}^n_S\)를 얻는다. \(t = i(x) \in \mathbf{A}^n_S\)로 쓰자. \(i_*\mathcal{F}\)는 \(\mathbf{A}^n_S\) 위의 유한형 준연접층이고 \(t\)에서 \(S\) 위로 평탄하며, 다음이 성립함에 유의하자. \[i_*(\mathcal{F} \otimes_{\mathcal{O}_X} f^*\mathcal{G}) = i_*\mathcal{F} \otimes_{\mathcal{O}_{\mathbf{A}^n_S}} p^*\mathcal{G}\] 여기서 \(p : \mathbf{A}^n_S \to S\)는 사영이다. \(t\)가 \(i_*(\mathcal{F} \otimes_{\mathcal{O}_X} f^*\mathcal{G})\)의 약연관점일 필요충분조건은 \(x\)가 \(\mathcal{F} \otimes_{\mathcal{O}_X} f^*\mathcal{G}\)의 약연관점인 것이다. Divisors, Lemma 05EZ를 보라. 마찬가지로 \(x \in \text{Ass}_{X_s}(\mathcal{F}_s)\)일 필요충분조건은 \(t \in \text{Ass}_{\mathbf{A}^n_s}((i_*\mathcal{F})_s)\)인 것이다 (Algebra, Lemma 05BY을 보라). 따라서 \(X = \mathbf{A}^n_S\)인 경우에 보조정리를 증명하면 충분하다. 그러므로 \(X \to S\)가 유한표현이라고 가정해도 된다.

이 문단에서는 \(\mathcal{F}\)가 유한표현이고 \(S\) 위에서 평탄인 경우로 환원한다. Proposition 05I5에서와 같은 기본 에탈 근방 \(e : (S', s') \to (S, s)\)와 열린집합 \(V \subset X \times_S \Spec(\mathcal{O}_{S', s'})\)를 택하자. \(x\)와 \(s'\)로 가는 유일한 점을 \(x' \in X' = X \times_S S'\)라 하자. 그러면 \(X' \to S'\), \(x'\), \(s'\), \((X' \to X)^*\mathcal{F}\) 및 \(e^*\mathcal{G}\)에 대해 주장을 증명하면 충분하다. Lemma 05FP을 보라.

\(x'\)로 가는 유일한 점을 \(v \in V\)라 하고, \(s' \in \Spec(\mathcal{O}_{S', s'})\)를 닫힌점이라 하자. 그러면 \(\mathcal{O}_{V, v} = \mathcal{O}_{X', x'}\)이고, \(\mathcal{O}_{\Spec(\mathcal{O}_{S', s'}), s'} = \mathcal{O}_{S', s'}\)이며, \(\mathcal{F}\)와 \(\mathcal{G}\)의 당김들의 줄기에도 같은 사실이 성립한다. 또한 \(V_{s'} \subset X'_{s'}\)는 열린 부분스킴이다.

약연관점이라는 조건은 층의 줄기에만 의존하므로 \(X' \to S'\), \(x'\), \(s'\), \((X' \to X)^*\mathcal{F}\) 및 \(e^*\mathcal{G}\)를 \(V \to \Spec(\mathcal{O}_{S', s'})\), \(v\), \(s'\), \((V \to X)^*\mathcal{F}\) 및 \((\Spec(\mathcal{O}_{S', s'}) \to S)^*\mathcal{G}\)로 대체해도 된다. 따라서 \(f\)가 유한표현이고 \(\mathcal{F}\)가 유한표현이며 \(S\) 위에서 평탄이라고 가정해도 된다.

\(f\)가 유한표현이고 \(\mathcal{F}\)가 유한표현이며 \(S\) 위에서 평탄이라고 가정하자. \(X\)와 \(S\)를 \(x\)와 \(s\)의 아핀 근방으로 축소한 뒤에는 Lemma 05IG가 이 경우를 처리한다.

보조정리

\(R \to S\)를 본질적으로 유한형인 환 준동형이라 하자. \(N\)을 \(R\) 위에서 평탄인 유한 \(S\)-가군의 한 국소화라 하자. \(M\)을 \(R\)-가군이라 하자. 그러면 \[\text{WeakAss}_S(M \otimes_R N) = \bigcup\nolimits_{\mathfrak p \in \text{WeakAss}_R(M)} \text{Ass}_{S \otimes_R \kappa(\mathfrak p)}(N \otimes_R \kappa(\mathfrak p))\]

증명

이 보조정리는 Lemma 05IH를 대수학으로 번역한 것이다. 번역의 세부사항은 생략한다.

보조정리

\(f : X \to S\)를 국소 유한형인 사상이라 하자. \(\mathcal{F}\)를 \(S\) 위에서 평탄인 \(X\) 위의 유한형 준연접층이라 하고, \(\mathcal{G}\)를 \(S\) 위의 준연접층이라 하자. 그러면 \[\text{WeakAss}_X(\mathcal{F} \otimes_{\mathcal{O}_X} f^*\mathcal{G}) = \bigcup\nolimits_{s \in \text{WeakAss}_S(\mathcal{G})} \text{Ass}_{X_s}(\mathcal{F}_s)\]

증명

Lemma 05IH의 직접적인 귀결이다.

정리

\(f : X \to S\)를 스킴의 사상이라 하자. \(\mathcal{F}\)를 준연접 \(\mathcal{O}_X\)-가군이라 하자. 다음을 가정한다.

1. \(X \to S\)는 국소 유한표현이다.

2. \(\mathcal{F}\)는 유한형 \(\mathcal{O}_X\)-가군이다.

3. \(S\)의 약연관점들의 집합은 \(S\)에서 국소 유한이다.

그러면 \(U = \{x \in X \mid \mathcal{F}\text{가 }x\text{에서 }S\text{ 위로 평탄}\}\)는 \(X\)에서 열린집합이고, \(\mathcal{F}|_U\)는 유한표현 \(\mathcal{O}_U\)-가군이며 \(S\) 위에서 평탄하다.

증명

\(\mathcal{F}\)가 \(x\)에서 \(S\) 위로 평탄인 \(x \in X\)를 택하자. \(\mathcal{F}\)의 제한이 \(S\)-평탄 유한표현 가군이 되는 \(x\)의 열린 근방을 찾아야 한다. 문제는 \(X\)와 \(S\) 위에서 국소적이므로 \(X\)와 \(S\)가 아핀이라고 가정해도 된다. Lemma 05I7에 의해 \(\mathcal{F}_x\)는 유한표현 \(\mathcal{O}_{X, x}\)-가군이다. 따라서 Algebra, Lemma 05GJ에 의해 유한표현 \(\mathcal{O}_X\)-가군 \(\mathcal{F}'\)와 사상 \(\varphi : \mathcal{F}' \to \mathcal{F}\)가 존재하여 동형 \(\varphi_x : \mathcal{F}'_x \to \mathcal{F}_x\)를 유도한다. 특히 \(\mathcal{F}'\)는 \(x\)에서 \(S\) 위로 평탄하다. 따라서 평탄성의 개방성, More on Morphisms, Theorem 0399에 의해 \(X\)를 축소한 뒤 \(\mathcal{F}'\)가 \(S\) 위에서 평탄이라고 가정해도 된다. \(\mathcal{F}\)는 유한형이므로 \(X\)를 축소한 뒤 \(\varphi\)가 전사라고 가정해도 된다. Modules, Lemma 01B8을 보라. 또는 Nakayama 보조정리(Algebra, Lemma 00DV)를 사용해도 된다. Lemma 05IJ에 의해 \[\text{WeakAss}_X(\mathcal{F}') \subset \bigcup\nolimits_{s \in \text{WeakAss}(S)} \text{Ass}_{X_s}(\mathcal{F}'_s)\] 이다. 가정에 의해 \(\text{WeakAss}(S)\)는 유한이고 Divisors, Lemma 05AF에 의해 \(\text{Ass}_{X_s}(\mathcal{F}'_s)\)도 유한이므로 \(\text{WeakAss}_X(\mathcal{F}')\)가 유한이라는 결론을 얻는다. Algebra, Lemma 00DS를 사용하여 \(X\)를 한 번 더 축소한 뒤 \(\text{WeakAss}_X(\mathcal{F}')\)가 \(x\)의 일반화들에 포함된다고 가정해도 된다. 이제 \(\mathcal{K} = \Ker(\varphi)\)를 생각하자. 다음을 얻는다. \(\text{WeakAss}_X(\mathcal{K}) \subset \text{WeakAss}_X(\mathcal{F}')\) (Divisors, Lemma 05AN에 따른다.) 한편

\(\varphi_x\)는 동형이고, 모든 \(x' \leadsto x\)에 대해 \(\varphi_{x'}\)도 동형이다. 따라서 \(\text{WeakAss}_X(\mathcal{K}) = \emptyset\)이고, Divisors, Lemma 05AP에 의해 \(\mathcal{K} = 0\)이다.

보조정리

\(R \to S\)를 유한표현 환 준동형이라 하자. \(M\)을 유한 \(S\)-가군이라 하자. \(\text{WeakAss}_R(R)\)이 유한이라고 가정하자. 그러면 \[U = \{\mathfrak q \subset S \mid M_{\mathfrak q}\text{가 }R\text{ 위에서 평탄}\}\] 는 \(\Spec(S)\)에서 열린집합이고, \(D(g) \subset U\)를 만족하는 모든 \(g \in S\)에 대해 국소화 \(M_g\)는 \(R\) 위에서 평탄인 유한표현 \(S_g\)-가군이다.

증명

Theorem 05IK에서 곧바로 따른다.

보조정리

\(f : X \to S\)를 국소 유한형인 스킴의 사상이라 하자. \(S\)의 약연관점들의 집합이 \(S\)에서 국소 유한이라고 가정하자. 그러면 \(f\)가 평탄인 점 \(x \in X\)들의 집합은 열린 부분스킴 \(U \subset X\)이고, \(U \to S\)는 평탄이고 국소 유한표현이다.

증명

문제는 \(X\)와 \(S\) 위에서 국소적이므로 \(X\)와 \(S\)가 아핀이라고 가정해도 된다. 그러면 \(X \to S\)는 유한형 환 준동형 \(A \to B\)에 대응한다. 전사 \(A[x_1, \ldots, x_n] \to B\)를 택하고 \(B\)를 \(A[x_1, \ldots, x_n]\)-가군으로 생각하자. Lemma 05IL를 적용하면 증명이 끝난다.

보조정리

\(f : X \to S\)를 국소 유한형이고 평탄인 스킴의 사상이라 하자. \(S\)가 정역 스킴이면 \(f\)는 국소 유한표현이다.

증명

Lemma 05IM의 특별한 경우이다.

명제

\(R\)을 정역이라 하자. \(R \to S\)를 유한형 환 준동형이라 하자. \(M\)을 유한 \(S\)-가군이라 하자.

1. \(S\)가 \(R\) 위에서 평탄이면 \(S\)는 유한표현 \(R\)-대수이다.

2. \(M\)이 \(R\)-가군으로서 평탄이면 \(M\)은 유한표현 \(S\)-가군이다.

증명

(1)은 Lemma 05IN의 특별한 경우이다. (2)를 위해 전사 \(R[x_1, \ldots, x_n] \to S\)를 택하자. Lemma 05IL에 의해 \(M\)은 유한표현 \(R[x_1, \ldots, x_n]\)-가군이다. Algebra, Lemma 0561에 의해 결론을 얻는다.

보조정리

\(f : X \to S\)를 스킴의 사상이라 하자. \(\mathcal{F}\)를 준연접 \(\mathcal{O}_X\)-가군이라 하자. 다음을 가정한다.

1. \(X \to S\)는 국소 유한형이다.

2. \(\mathcal{F}\)는 유한형 \(\mathcal{O}_X\)-가군이다.

3. \(S\)의 약연관점들의 집합은 \(S\)에서 국소 유한이다.

그러면 \(U = \{x \in X \mid \mathcal{F}\text{가 }x\text{에서 }S\text{ 위로 평탄}\}\)는 \(X\)에서 열린집합이고, \(\mathcal{F}|_U\)는 \(S\) 위에서 평탄이며 \(S\)에 대해 상대적으로 국소 유한표현이다(More on Morphisms, Definition 05H1을 보라).

증명

문제는 \(X\)와 \(S\) 위에서 국소적이다. 따라서 \(X\)와 \(S\)가 아핀이라고 가정해도 된다. 그러면 닫힌 몰입 \(i : X \to \mathbf{A}^n_S\)를 택할 수 있다. \(X' = \mathbf{A}^n_S \to S\)와 유한형 준연접 가군 \(\mathcal{F}' = i_*\mathcal{F}\)에 Theorem 05IK을 적용하면 \[U' = \{x' \in X' \mid \mathcal{F}'\text{가 }x'\text{에서 }S\text{ 위로 평탄}\}\] 가 \(X'\)에서 열린집합이고 \(\mathcal{F}'|_{U'}\)가 유한표현임을 얻는다. \(\mathcal{F}'\)는 \(X' \setminus i(X)\)에서 영으로 제한되고, 모든 \(x \in X\)에 대해 \(\mathcal{F}'_{i(x)} \cong \mathcal{F}_x\)이므로 \[U' = i(U) \amalg (X' \setminus i(X))\] 이다. 따라서 \(U = i^{-1}(U')\)는 열린집합이다. 더욱이 \(\mathcal{F}'|_{U'} = (i|_U)_*(\mathcal{F}|_U)\)임은 명백하다. 그러므로 More on Morphisms, Lemmas 09T8과 09T9에 의해 \(\mathcal{F}|_U\)가 \(S\)에 대해 상대적으로 유한표현이라는 결론을 얻는다.

보조정리

\(R \to S\)를 유한형 환 준동형이라 하자. \(M\)을 유한 \(S\)-가군이라 하자. \(\text{WeakAss}_R(R)\)이 유한이라고 가정하자. 그러면 \[U = \{\mathfrak q \subset S \mid M_{\mathfrak q}\text{가 }R\text{ 위에서 평탄}\}\] 는 \(\Spec(S)\)에서 열린집합이고, \(D(g) \subset U\)를 만족하는 모든 \(g \in S\)에 대해 국소화 \(M_g\)는 \(R\) 위에서 평탄이고 \(R\)에 대해 상대적으로 유한표현인 \(S_g\)-가군이다(More on Algebra, Definition 05GZ를 보라).

증명

이는 Lemma 05IQ을 대수학으로 번역한 것이다.

상대적으로 순수한 가군의 예

이 짧은 절에서는 나중에 도입할 상대적으로 순수한 가군이라는 개념과 비순수성이라는 개념의 동기가 되는 결과들의 예를 몇 가지 논한다. 각 예는 보조정리로 서술한다. 연관 소아이디얼에 관한 조건이 Lemmas 05DH, 05DL, 05DM, 05DP에 나타나는 조건들과 비슷함에 유의하자. 이에 관한 논의는 Algebra, Lemma 05GB도 보라.

보조정리

\(R\)을 극대 아이디얼이 \(\mathfrak m\)인 국소환이라 하자. \(R \to S\)를 환 준동형이라 하고, \(N\)을 \(S\)-가군이라 하자. 다음을 가정하자.

1. \(N\)은 \(R\)-가군으로서 사영이고,

2. \(S/\mathfrak mS\)는 뇌터이며 \(N/\mathfrak mN\)은 유한 \(S/\mathfrak mS\)-가군이다.

그러면 \(\mathfrak p = R \cap \mathfrak q\)라 할 때 \(N \otimes_R \kappa(\mathfrak p)\)의 연관 소아이디얼인 임의의 소아이디얼 \(\mathfrak q \subset S\)에 대하여 \(\mathfrak q + \mathfrak m S \not = S\)이다.

증명

Lemmas 05DE과 05FR의 가정들이 성립함에 유의하자. 이 보조정리들의 결론은 더 언급하지 않고 사용하겠다. \(\Sigma \subset S\)를 \(N/\mathfrak mN\) 위에서 영인자가 아닌 원소들의 곱셈적 집합이라 하자. 사상 \(N \to \Sigma^{-1}N\)은 \(R\)-보편 단사이다. 따라서 \(N \otimes_R \kappa(\mathfrak p)\)의 연관 소아이디얼인 임의의 \(\mathfrak q \subset S\)는 \(\Sigma^{-1}N \otimes_R \kappa(\mathfrak p)\)의 연관 소아이디얼이기도 하다. 이는 분명 \(\mathfrak q\)가 \(\Sigma^{-1}S\)의 한 소아이디얼에 대응함을 뜻한다. 따라서 \(N/\mathfrak mN\)의 한 연관 소아이디얼에 대응하는 \(\mathfrak q'\)에 대하여 \(\mathfrak q \subset \mathfrak q'\)이고, 결론을 얻는다.

다음 보조정리는 이 현상의 또 다른 (조금 어리석은) 예를 준다.

보조정리

\(R\)을 환이라 하고 \(I \subset R\)을 아이디얼이라 하자. \(R \to S\)를 환 준동형이라 하고 \(N\)을 \(S\)-가군이라 하자. \(N\)이 \(I\)-진 완비이면, 임의의 \(R\)-가군 \(M\)과 \(N \otimes_R M\)의 연관 소아이디얼인 임의의 소아이디얼 \(\mathfrak q \subset S\)에 대하여 \(\mathfrak q + I S \not = S\)이다.

증명

\(S^\wedge\)로 \(S\)의 \(I\)-진 완비화를 나타내자. \(N\)은 \(S^\wedge\)-가군이고, 따라서 \(N \otimes_R M\)도 \(S^\wedge\)-가군임에 유의하자. \(\mathfrak q = \text{Ann}_S(z)\)를 만족하는 원소 \(z \in N \otimes_R M\)을 택하자. \(z \not = 0\)이므로 \(\text{Ann}_{S^\wedge}(z) \not = S^\wedge\)이고, 따라서 \(\mathfrak q S^\wedge \not = S^\wedge\)이다. 그러므로 \(\mathfrak q S^\wedge \subset \mathfrak m\)을 만족하는 극대 아이디얼 \(\mathfrak m \subset S^\wedge\)가 존재한다. Algebra, Lemma 05GI에 의해 \(IS^\wedge \subset \mathfrak m\)이므로 결론을 얻는다.

국소환 위의 사영 가군은 자유 가군이므로 다음 보조정리는 Lemma 05FV의 다른 증명을 준다는 점에 유의하자. Algebra, Theorem 0593을 보라.

보조정리

\(R\)을 극대 아이디얼이 \(\mathfrak m\)인 국소환이라 하자. \(R \to S\)를 환 준동형이라 하고 \(N\)을 \(S\)-가군이라 하자. \(N\)이 \(R\)-가군으로서 유한 \(R\)-가군들의 직합과 동형이라고 가정하자. 그러면 임의의 \(R\)-가군 \(M\)과 \(N \otimes_R M\)의 연관 소아이디얼인 임의의 소아이디얼 \(\mathfrak q \subset S\)에 대하여 \(\mathfrak q + \mathfrak m S \not = S\)이다.

증명

각 \(M_i\)가 유한 \(R\)-가군이 되도록 \(N = \bigoplus_{i \in I} M_i\)로 쓰자. \(M\)을 \(R\)-가군이라 하고, \(\mathfrak q + \mathfrak m S = S\)를 만족하는 \(N \otimes_R M\)의 연관 소아이디얼 \(\mathfrak q \subset S\)를 택하자. \(\mathfrak q = \text{Ann}_S(z)\)를 만족하는 원소 \(z \in N \otimes_R M\)을 택한다. 직합 분해를 조금 바꾸면 어떤 원소 \(1 \in I\)에 대하여 \(z \in M_1 \otimes_R M\)이라고 가정할 수 있다. 어떤 \(f \in \mathfrak q\), \(x_j \in \mathfrak m\), \(g_j \in S\)에 대하여 \(1 = f + \sum x_j g_j\)로 쓰자.

임의의 \(g \in S\)에 대하여 다음 \(R\)-선형 사상을 \(g'\)으로 나타내자. \[M_1 \to N \xrightarrow{g} N \to M_1\] 여기서 첫째 화살표는 포함 사상이고, 둘째 화살표는 \(g\)에 의한 곱셈이며, 셋째 화살표는 사영 사상이다. 각 \(x_j \in R\)이므로 다음 등식을 얻는다. \[f' + \sum x_j g'_j = \text{id}_{M_1} \in \text{End}_R(M_1)\] 나카야마 보조정리(Algebra, Lemma 00DV)에 의해 \(f'\)은 전사이다. 따라서 Algebra, Lemma 05G8에 의해 \(f'\)은 동형이다. 특히 사상 \[M_1 \otimes_R M \to N \otimes_R M \xrightarrow{f} N \otimes_R M \to M_1 \otimes_R M\] 은 동형이다. 이는 \(fz = 0\)이라는 가정에 모순이다.

보조정리

\(R\)을 극대 아이디얼이 \(\mathfrak m\)인 헨젤 국소환이라 하자. \(R \to S\)를 환 준동형이라 하고 \(N\)을 \(S\)-가군이라 하자. \(N\)이 \(R\)-가군으로서 가산 생성이고 Mittag-Leffler라고 가정하자. 그러면 임의의 \(R\)-가군 \(M\)과 \(N \otimes_R M\)의 연관 소아이디얼인 임의의 소아이디얼 \(\mathfrak q \subset S\)에 대하여 \(\mathfrak q + \mathfrak m S \not = S\)이다.

증명

Algebra, Lemma 05D6에 의해 이 보조정리는 Lemma 05IU로 귀착된다.

\(f : X \to S\)가 스킴의 사상이고 \(\mathcal{F}\)가 \(X\) 위의 준연접 가군이라고 하자. \(\xi \in \text{Ass}_{X/S}(\mathcal{F})\)라 하고 \(Z = \overline{\{\xi\}}\)라 하자. 다음 그림을 생각하자. \[\xymatrix{ \xi \ar@{|->}[d] & Z \ar[r] \ar[rd] & X \ar[d]^f \\ f(\xi) & & S }\] \(f(Z) \subset \overline{\{f(\xi)\}}\)이고, 등식이 성립할 때, 즉 \(f(Z) = \overline{\{f(\xi)\}}\)일 때 그리고 그때에만 \(f(Z)\)가 닫혀 있음에 유의하자. Lemma 05FV에 따르면, \(S\), \(X\)가 아핀이고, 올 \(X_s\)들이 뇌터이며, \(\mathcal{F}\)가 유한형이고, \(\Gamma(X, \mathcal{F})\)가 사영 \(\Gamma(S, \mathcal{O}_S)\)-가군이면 \(f(Z) = \overline{\{f(\xi)\}}\)는 닫힌 부분집합이다.

Lemmas 05IT, 05IU, 및 05IV에 서술된 경우들에도 조금씩 다른 유사한 명제들이 성립한다.

비순수성

Section 05IS에서 예를 든 현상을 \(\text{Ass}_{X/S}(\mathcal{F})\)의 점들의 특수화로 형식화하고자 한다. 또한 점 \(s \in S\) 주위에서 국소적으로 작업하고자 한다. 이를 위해 다음 정의들을 둔다.

설정

여기서 \(S\), \(X\)는 스킴이고 \(f : X \to S\)는 유한형 사상이다. 또한 \(\mathcal{F}\)는 유한형 준연접 \(\mathcal{O}_X\)-가군이고, \(s\)는 \(S\)의 점이다.

이 상황에서 사상 \(g : T \to S\), \(g(t) = s\)를 만족하는 점 \(t \in T\), 특수화 \(t' \leadsto t\), 그리고 \(X\)의 기저변환에서 \(t'\) 위에 놓이는 점 \(\xi \in X_T\)를 생각하자. 그림으로는 다음과 같다. [05IX]\[\begin{equation} \vcenter{ \xymatrix{ \xi \ar@{|->}[d] & \\ t' \ar@{~>}[r] & t \ar@{|->}[r] & s } } \quad\quad \vcenter{ \xymatrix{ X_T \ar[d] \ar[r] & X \ar[d] \\ T \ar[r]^g & S } } \end{equation}\]

또한 \(\mathcal{F}\)의 \(X_T\)로의 당김을 \(\mathcal{F}_T\)로 나타내자.

정의

Situation 05FW에서 \(\xi \in \text{Ass}_{X_T/T}(\mathcal{F}_T)\)이고 \(\overline{\{\xi\}} \cap X_t = \emptyset\)이면, 그림 (05IX)가 \(s\) 위에서 \(\mathcal{F}\)의 비순수성을 정의한다고 한다. 이를 “\((g : T \to S, t' \leadsto t, \xi)\)를 \(s\) 위에서 \(\mathcal{F}\)의 비순수성이라 하자”라고 나타내겠다.

보조정리

Situation 05FW의 상황이라 하자. \(s\) 위에서 \(\mathcal{F}\)의 비순수성이 존재하면, \(g\)가 국소 유한표현이고

\(t\)가 \(s\) 위의 \(g\)의 올의 닫힌점인, \(s\) 위에서 \(\mathcal{F}\)의 비순수성 \((g : T \to S, t' \leadsto t, \xi)\)가 존재한다.

증명

\((g : T \to S, t' \leadsto t, \xi)\)를 \(s\) 위에서 \(\mathcal{F}\)의 임의의 비순수성이라 하자. \(t \in T\)와 \(Z = \overline{\{\xi\}}\)에 Limits, Lemma 05BD를 적용하면 \(t\)의 열린 근방 \(V \subset T\), 가환 그림 \[\xymatrix{ V \ar[d] \ar[r]_a & T' \ar[d]^b \\ T \ar[r]^g & S, }\] 및 다음을 만족하는 닫힌 부분스킴 \(Z' \subset X_{T'}\)를 얻는다.

1. 사상 \(b : T' \to S\)는 국소 유한표현이고,

2. \(Z' \cap X_{a(t)} = \emptyset\)이며,

3. \(Z \cap X_V\)는 사상 \(X_V \to X_{T'}\)에 의해 \(Z'\) 안으로 간다.

\(t'\)가 \(t\)로 특수화하므로 \(T\)를 \(t\)의 열린 근방 \(V\)로 바꾸어도 된다. 따라서 \(b \circ a = g\)인 가환 그림 \[\xymatrix{ X_T \ar[d] \ar[r] & X_{T'} \ar[d] \ar[r] & X \ar[d] \\ T \ar[r]^a & T' \ar[r]^b & S }\] 을 얻는다. \(\xi' \in X_{T'}\)로 \(\xi\)의 상을 나타내자. Divisors, Lemma 05DC에 의해 \(\xi' \in \text{Ass}_{X_{T'}/T'}(\mathcal{F}_{T'})\)이다.

더욱이 구성에 의해 \(\overline{\{\xi'\}}\)는 올 \(X_{a(t)}\)와 만나지 않는 닫힌 부분집합 \(Z'\)에 포함된다. 이로부터 \((T' \to S, a(t') \leadsto a(t), \xi')\)가 \(s\) 위에서 \(\mathcal{F}\)의 비순수성임을 안다.

따라서 \(g : T \to S\)가 국소 유한표현이라고 가정해도 된다. \(Z = \overline{\{\xi\}}\)라 하자. 가정에 의해 \(Z_t = \emptyset\)이다. More on Morphisms, Lemma 054W에 따르면 이는 \(\overline{\{t\}}\)의 어떤 열린 부분집합에 속하는 \(t''\)에 대하여 \(Z_{t''} = \emptyset\)이라는 뜻이다. \(s\) 위의 \(T \to S\)의 올은 Jacobson 스킴이므로(Morphisms, Lemma 02J6을 보라),

\(Z_{t''} = \emptyset\)을 만족하는 닫힌점 \(t'' \in \overline{\{t\}}\)가 존재한다. 그러면 \((g : T \to S, t' \leadsto t'', \xi)\)가 원하는 비순수성이다.

보조정리

Situation 05FW의 상황이라 하자. \((g : T \to S, t' \leadsto t, \xi)\)를 \(s\) 위에서 \(\mathcal{F}\)의 비순수성이라 하자. \(T = \lim_{i \in I} T_i\)가 \(S\) 위의 아핀 스킴들의 유향 극한이라고 가정하자. 그러면 어떤 \(i\)에 대하여 삼중항 \((T_i \to S, t'_i \leadsto t_i, \xi_i)\)는 \(s\) 위에서 \(\mathcal{F}\)의 비순수성이다.

증명

명제의 표기는 다음을 뜻한다. \(p_i : T \to T_i\)를 사영 사상이라 하고, \(t_i = p_i(t)\) 및 \(t'_i = p_i(t')\)라 하자. 끝으로 \(\xi_i \in X_{T_i}\)는 \(\xi\)의 상이다. Divisors, Lemma 05DC에 의해 \(\xi_i\)는 \(T_i\) 위에서 \(\mathcal{F}_{T_i}\)의 상대 연관점 집합에 속한다. 따라서 남은 일은 어떤 \(i\)에 대하여 \(\overline{\{\xi_i\}} \cap X_{t_i} = \emptyset\)임을 보이는 것뿐이다.

첫째 증명. \(Z_i = \overline{\{\xi_i\}} \subset X_{T_i}\)와 \(Z = \overline{\{\xi\}} \subset X_T\)에 축약 유도 스킴 구조를 주자. Limits, Lemma 0CUG에 의해 \(Z = \lim Z_i\)이다. 체 \(k\)와 상이 \(t\)인 사상 \(\Spec(k) \to T\)를 택하자. 그러면 \[\emptyset = Z \times_T \Spec(k) = (\lim Z_i) \times_{(\lim T_i)} \Spec(k) = \lim Z_i \times_{T_i} \Spec(k)\] 이다. 극한은 올곱과 가환하기 때문이다(극한은 극한과 가환한다). \(X_{T_i} \to T_i\)가 유한형이고 따라서 \(Z_i \to T_i\)가 유한형이므로, 각 \(Z_i \times_{T_i} \Spec(k)\)는 준콤팩트이다. 그러므로 Limits, Lemma 01Z2에 의해 어떤 \(i\)에 대하여 \(Z_i \times_{T_i} \Spec(k)\)가 공집합이다. 합성 \(\Spec(k) \to T \to T_i\)의 상은 \(t_i\)이므로 원하는 결론을 얻는다.

둘째 증명. \(Z = \overline{\{\xi\}}\)라 하자. 이 상황에 Limits, Lemma 05BD를 적용하면 \(t\)의 열린 근방 \(V \subset T\), 가환 그림 \[\xymatrix{ V \ar[d] \ar[r]_a & T' \ar[d]^b \\ T \ar[r]^g & S, }\] 및 다음을 만족하는 닫힌 부분스킴 \(Z' \subset X_{T'}\)를 얻는다.

1. 사상 \(b : T' \to S\)는 국소 유한표현이고,

2. \(Z' \cap X_{a(t)} = \emptyset\)이며,

3. \(Z \cap X_V\)는 사상 \(X_V \to X_{T'}\)에 의해 \(Z'\) 안으로 간다.

\(V\)가 \(T\)의 아핀 열린집합이라고 가정해도 된다. 따라서 Limits, Lemmas 01Z4와 01Z6에 의해

\(V = f_i^{-1}(V_i)\)인 어떤 \(i\)와 아핀 열린집합 \(V_i \subset T_i\)를 찾을 수 있다. Limits, Proposition 01ZC에 의해, 필요하면 \(i\)를 조금 키운 뒤 \(a = a_i \circ f_i|_V\)를 만족하는 사상 \(a_i : V_i \to T'\)를 찾을 수 있다. 유도된 사상 \(X_{V_i} \to X_{T'}\)는 \(\xi_i\)를 \(Z'\) 안으로 보낸다. \(Z' \cap X_{a(t)} = \emptyset\)이므로 \((T_i \to S, t'_i \leadsto t_i, \xi_i)\)가 \(s\) 위에서 \(\mathcal{F}\)의 비순수성이라고 결론짓는다.

보조정리

Situation 05FW의 상황이라 하자. \(g\)가 \(t\)에서 준유한인, \(s\) 위에서 \(\mathcal{F}\)의 비순수성 \((g : T \to S, t' \leadsto t, \xi)\)가 존재하면, \((T, t) \to (S, s)\)가 기본 에탈 근방인 비순수성 \((g : T \to S, t' \leadsto t, \xi)\)가 존재한다.

증명

\((g : T \to S, t' \leadsto t, \xi)\)를 \(g\)가 \(t\)에서 준유한인, \(s\) 위에서 \(\mathcal{F}\)의 비순수성이라 하자. \(T\)를 축소한 뒤 \(g\)가 국소 유한형이라고 가정해도 된다. \(T \to S\)와 \(t \mapsto s\)에 More on Morphisms, Lemma 02LK를 적용하면 다음 그림을 얻는다. \[\xymatrix{ T \ar[d] & T \times_S U \ar[l] \ar[d] & V \ar[l] \ar[ld] \\ S & U \ar[l] }\] 여기서 \((U, u) \to (S, s)\)는 기본 에탈 근방이고, \(V \subset T \times_S U\)는 \(v = (t, u)\)의 열린 근방이며, \(V \to U\)는 유한이고 \(v\)는 \(u\) 위에 놓이는 \(V\)의 유일한 점이다. 사상 \(V \to T\)는 에탈이고 따라서 평탄이므로, \(v' \mapsto t'\)를 만족하는 특수화 \(v' \leadsto v\)가 존재한다. \(\kappa(t') \subset \kappa(v')\)는 유한 분리 확장임에 유의하자. \(\xi \in X_{t'}\)로 가는 임의의 점 \(\zeta \in X_{v'}\)를 택하자. Divisors, Lemma 05DC에 의해 \(\zeta \in \text{Ass}_{X_V/V}(\mathcal{F}_V)\)이다. 더욱이 가정에 의해 폐포 \(\overline{\{\xi\}}\)가 \(X_t\)와 만나지 않으므로, 폐포 \(\overline{\{\zeta\}}\)도 올 \(X_v\)와 만나지 않는다. 다시 말해

\((V \to S, v' \leadsto v, \zeta)\)는 \(S\) 위에서 \(\mathcal{F}\)의 비순수성이다.

다음으로 \(u' \in U'\)를 \(v'\)의 상이라 하고,

\(\theta \in X_U\)를 \(\zeta\)의 상이라 하자. 그러면 \(\theta \mapsto u'\)이고 \(u' \leadsto u\)이다. Divisors, Lemma 05DC에 의해

\(\theta \in \text{Ass}_{X_U/U}(\mathcal{F})\)이다. 더욱이 \(\pi : X_V \to X_U\)는 유한이므로 \(\pi\big(\overline{\{\zeta\}}\big) = \overline{\{\pi(\zeta)\}}\)이다. \(v\)는 \(u\) 위에 놓이는 \(V\)의 유일한 점이고 \(X_v \cap \overline{\{\zeta\}} = \emptyset\)이므로 \(X_u \cap \overline{\{\pi(\zeta)\}} = \emptyset\)이다. 따라서 \((U \to S, u' \leadsto u, \theta)\)는 \(s\) 위에서 \(\mathcal{F}\)의 비순수성이며, 결론을 얻는다.

보조정리

Situation 05FW의 상황이라 하자. \(S\)가 국소 뇌터라고 가정하자. \(s\) 위에서 \(\mathcal{F}\)의 비순수성이 존재하면, \(g\)가 \(t\)에서 준유한인, \(s\) 위에서 \(\mathcal{F}\)의 비순수성 \((g : T \to S, t' \leadsto t, \xi)\)가 존재한다.

증명

\(S\)를 \(s\)의 아핀 근방으로 바꾸어도 된다. Lemma 05FX에 의해 다음과 같이 가정해도 된다.

비순수성 \((g : T \to S, t' \leadsto t, \xi)\)가 있고, \(g\)는 국소 유한형이며 \(t\)는 \(s\) 위의 \(g\)의 올의 닫힌점이다. \(T\)를 \(\overline{\{t'\}}\) 위의 축약 유도 스킴 구조로 바꾸어도 된다. \(Z = \overline{\{\xi\}} \subset X_T\)라 하자. 가정에 의해 \(Z_t = \emptyset\)이고 \(Z \to T\)의 상은 \(t'\)를 포함한다. More on Morphisms, Lemma 05F1에 의해, 임의의 \(w \in f(V)\)에 대하여 \(V_w\)의 임의의 일반점 \(\xi'\)가 \(\text{Ass}_{X_T/T}(\mathcal{F}_T)\)에 속하도록 하는 공집합이 아닌 열린집합 \(V \subset Z\)가 존재한다. More on Morphisms, Lemma 05F5에 의해 \(W \subset f(V)\)인 공집합이 아닌 열린집합 \(W \subset T\)가 존재한다. More on Morphisms, Lemma 05GU에 의해 \(t \in T'\)이고 \(T' \to S\)가 \(t\)에서 준유한이며, \(s\)로 가지 않는 점 \(z \in T' \cap W\)와 특수화 \(z \leadsto t\)가 존재하도록 하는 닫힌 부분스킴 \(T' \subset T\)가 존재한다. 공집합이 아닌 스킴 \(V_z\)의 임의의 일반점 \(\xi'\)를 택하자. 그러면 \((T' \to S, z \leadsto t, \xi')\)가 원하는 비순수성이다.

이하에서는 \(s\)에서 \(S\)의 헨젤화 \(S^h = \Spec(\mathcal{O}_{S, s}^h)\)를 사용한다. Étale Cohomology, Definition 03PS을 보라.

\(S^h \to S\)는 \(S^h\)의 닫힌점을 \(s\)로 보내고 잉여체들의 동형을 유도하므로,

이 닫힌점도 \(s \in S^h\)로 나타내겠다. 따라서 \((S^h, s) \to (S, s)\)는 점이 지정된 스킴들의 사상이다.

보조정리

Situation 05FW의 상황이라 하자. \(s\) 위에서 \(\mathcal{F}\)의 비순수성 \((S^h \to S, s' \leadsto s, \xi)\)가 존재하면, \((T, t) \to (S, s)\)가 기본 에탈 근방인, \(s\) 위에서 \(\mathcal{F}\)의 비순수성 \((T \to S, t' \leadsto t, \xi)\)가 존재한다.

증명

\(S\)를 \(s\)의 아핀 근방으로 바꾸어도 된다. \(S = \Spec(A)\)라 하고, \(s\)가 소아이디얼 \(\mathfrak p \subset A\)에 대응한다고 하자. 그러면 \(\mathcal{O}_{S, s}^h = \colim_{(T, t)} \Gamma(T, \mathcal{O}_T)\) 이다. 여기서 여극한은 \((S, s)\)의 아핀 기본 에탈 근방 \((T, t)\)들의 여과 범주의 반대 범주 위에서 취한다. More on Morphisms, Lemma 05KS과 그 증명을 보라. 따라서 \(S^h = \lim_i T_i\)이고, Lemma 05IZ에 의해 결론을 얻는다.

보조정리

Situation 05FW에서 다음은 서로 동치이다.

1. \(S^h\)가 \(s\)에서 \(S\)의 헨젤화일 때, \(s\) 위에서 \(\mathcal{F}\)의 비순수성 \((S^h \to S, s' \leadsto s, \xi)\)가 존재한다.

2. \((T, t) \to (S, s)\)가 기본 에탈 근방인, \(s\) 위에서 \(\mathcal{F}\)의 비순수성 \((T \to S, t' \leadsto t, \xi)\)가 존재한다.

3. \(T \to S\)가 \(t\)에서 준유한인, \(s\) 위에서 \(\mathcal{F}\)의 비순수성 \((T \to S, t' \leadsto t, \xi)\)가 존재한다.

증명

에탈 사상은 국소 준유한이므로 (2)가 (3)을 함의함은 분명하다. Lemma 05J0에서 (3)이 (2)를 함의함을 보았고, Lemma 05J2에서 (1)이 (2)를 함의함을 보았다. 끝으로 \((T \to S, t' \leadsto t, \xi)\)가 \(s\) 위에서 \(\mathcal{F}\)의 비순수성이고 \((T, t) \to (S, s)\)가 기본 에탈 근방이면, 구조 사상 \(S^h \to S\)의 분해 \(S^h \to T \to S\)를 택할 수 있다. \(t'\)로 가는 임의의 점 \(s' \in S^h\)와 \(\xi \in X_{t'}\)로 가는 임의의 \(\xi' \in X_{s'}\)를 택하자. 그러면 \((S^h \to S, s' \leadsto s, \xi')\)는 \(s\) 위에서 \(\mathcal{F}\)의 비순수성이다.

자세한 내용은 생략한다.

상대적으로 순수한 가군

기저에 대해 순수한 가군이라는 개념은 [GruRay]에서 도입되었다.

정의

\(f : X \to S\)를 유한형인 스킴의 사상이라 하고, \(\mathcal{F}\)를 유한형 준연접 \(\mathcal{O}_X\)-가군이라 하자.

1. \(s \in S\)라 하자. \((T, t) \to (S, s)\)가 기본 에탈 근방인, \(s\) 위에서 \(\mathcal{F}\)의 비순수성 \((g : T \to S, t' \leadsto t, \xi)\)가 없으면 \(\mathcal{F}\)가 \(X_s\)를 따라 순수하다고 한다.

2. \(s\) 위에서 \(\mathcal{F}\)의 비순수성이 전혀 존재하지 않으면 \(\mathcal{F}\)가 \(X_s\)를 따라 보편적으로 순수하다고 한다.

3. \(\mathcal{O}_X\)가 \(X_s\)를 따라 순수하면 \(X\)가 \(X_s\)를 따라 순수하다고 한다.

4. 모든 \(s \in S\)에 대하여 \(\mathcal{F}\)가 \(X_s\)를 따라 보편적으로 순수하면, \(\mathcal{F}\)가 보편적으로 \(S\)-순수하다, 또는 \(S\)에 대해 보편적으로 순수하다고 한다.

5. 모든 \(s \in S\)에 대하여 \(\mathcal{F}\)가 \(X_s\)를 따라 순수하면, \(\mathcal{F}\)가 \(S\)-순수하다, 또는 \(S\)에 대해 순수하다고 한다.

6. \(\mathcal{O}_X\)가 \(S\)에 대해 순수하면 \(X\)가 \(S\)-순수하다, 또는 \(S\)에 대해 순수하다고 한다.

여기서는 의도적으로 국소 유한형 사상만이 아니라 유한형 사상으로 범위를 제한한다. 이에 관한 논의는 Remark 05J5를 보라. 이 정의의 상황에서 Lemma 05J3는 다음이 서로 동치임을 말해 준다.

1. \(\mathcal{F}\)는 \(X_s\)를 따라 순수하다.

2. \(g\)가 \(t\)에서 준유한인 비순수성 \((g : T \to S, t' \leadsto t, \xi)\)가 없다.

3. \(S^h\)가 \(s\)에서 \(S\)의 헨젤화일 때, \((S^h \to S, s' \leadsto s, \xi)\) 꼴의 비순수성이 전혀 존재하지 않는다.

\(X^h = X \times_S S^h\)라 쓰고 \(\mathcal{F}\)의 \(X^h\)로의 당김을 \(\mathcal{F}^h\)로 나타내면, 마지막 조건을 다음과 같이 더 긍정적인 방식으로 서술할 수 있다.

1. \(\text{Ass}_{X^h/S^h}(\mathcal{F}^h)\)의 모든 점은 \(X_s\)의 점으로 특수화한다.

특히 \(\mathcal{F}\)가 \(X_s\)를 따라 순수할 필요충분조건은 \(\mathcal{F}\)의 \(X \times_S \Spec(\mathcal{O}_{S, s})\)로의 당김이 \(X_s\)를 따라 순수한 것임이 분명하다.

주

\(f : X \to S\)를 국소 유한형 사상이라 하고 \(\mathcal{F}\)를 유한형 준연접 \(\mathcal{O}_X\)-가군이라 하자. 이 경우에도 위의 (1)과 (2)는 서로 동치이다. Lemma 05J0의 증명은 \(f\)가 준콤팩트라는 사실을 사용하지 않기 때문이다. (3)과 (4)가 서로 동치임도 분명하다. 그러나 (1)과 (3)이 서로 동치인지는 알지 못한다. 이 경우에는 [GruRay]에서 하듯 동치인 조건 (3)과 (4)를 사용하여 순수성을 정의하는 편이 때로 더 편리할 수 있다. 한편 많은 응용에서는 올바른 개념이 실제로 보편적 순수성인 듯하다.

기저에 대해 순수하다는 성질이 기저변환 아래 보존되는지, 즉 순수함과 보편적으로 순수함이 같은 것인지는 자연스러운 질문이다. 뇌터 기저 스킴 위에서는 이것이 참이고(Lemma 05J8를 보라), 층이 평탄해도 참이다(Lemmas 05L5와 05L6을 보라). 사상과 층이 유한표현이어도 일반적으로는 참이 아니다.

반례는 Examples, Section 05JJ을 보라. 먼저 여기서 쓰는 “보편적으로”라는 말을 통상적인 개념과 맞춘다.

보조정리

\(f : X \to S\)를 유한형인 스킴의 사상이라 하고, \(\mathcal{F}\)를 유한형 준연접 \(\mathcal{O}_X\)-가군이라 하자. \(s \in S\)라 하자. 다음은 서로 동치이다.

1. \(\mathcal{F}\)는 \(X_s\)를 따라 보편적으로 순수하다.

2. 점이 지정된 스킴들의 모든 사상 \((S', s') \to (S, s)\)에 대하여 당김 \(\mathcal{F}_{S'}\)는 \(X_{s'}\)를 따라 순수하다.

특히 \(\mathcal{F}\)가 \(S\)에 대해 보편적으로 순수할 필요충분조건은 \(\mathcal{F}\)의 모든 기저변환 \(\mathcal{F}_{S'}\)가 \(S'\)에 대해 순수한 것이다.

증명

이는 형식적이다.

보조정리

\(f : X \to S\)를 유한형인 스킴의 사상이라 하고, \(\mathcal{F}\)를 유한형 준연접 \(\mathcal{O}_X\)-가군이라 하자. \(s \in S\)라 하고, \((S', s') \to (S, s)\)를 점이 지정된 스킴들의 사상이라 하자. \(S' \to S\)가 \(s'\)에서 준유한이고 \(\mathcal{F}\)가 \(X_s\)를 따라 순수하면, \(\mathcal{F}_{S'}\)는 \(X_{s'}\)를 따라 순수하다.

증명

\((T \to S', t' \leadsto t, \xi)\)가 \(T \to S'\)가 \(t\)에서 준유한인, \(s'\) 위에서 \(\mathcal{F}_{S'}\)의 비순수성이면,

\((T \to S, t' \to t, \xi)\)는 \(T \to S\)가 \(t\)에서 준유한인, \(s\) 위에서 \(\mathcal{F}\)의 비순수성이다. Morphisms, Lemma 01TL을 보라. 따라서 이 보조정리는

Definition 05J4 뒤의 논의에서 주어진 순수성의 특성화 (2)로부터 즉시 따른다.

보조정리

\(f : X \to S\)를 유한형인 스킴의 사상이라 하고, \(\mathcal{F}\)를 유한형 준연접 \(\mathcal{O}_X\)-가군이라 하자. \(s \in S\)라 하자. \(\mathcal{O}_{S, s}\)가 뇌터이면, \(\mathcal{F}\)가 \(X_s\)를 따라 순수할 필요충분조건은 \(\mathcal{F}\)가 \(X_s\)를 따라 보편적으로 순수한 것이다.

증명

먼저 \(S\)를 \(\Spec(\mathcal{O}_{S, s})\)로 바꾸어도 된다. 즉 \(S\)가 뇌터라고 가정해도 된다. 다음으로 Lemma 05J1와

Definition 05J4 뒤의 논의에서 주어진 순수성의 특성화 (2)를 사용하면 결론을 얻는다.

순수성은 평탄 하강을 만족한다.

보조정리

\(f : X \to S\)를 유한형인 스킴의 사상이라 하고, \(\mathcal{F}\)를 유한형 준연접 \(\mathcal{O}_X\)-가군이라 하자. \(s \in S\)라 하고, \((S', s') \to (S, s)\)를 점이 지정된 스킴들의 사상이라 하자. \(S' \to S\)가 \(s'\)에서 평탄하다고 가정하자.

1. \(\mathcal{F}_{S'}\)가 \(X_{s'}\)를 따라 순수하면, \(\mathcal{F}\)는 \(X_s\)를 따라 순수하다.

2. \(\mathcal{F}_{S'}\)가 \(X_{s'}\)를 따라 보편적으로 순수하면, \(\mathcal{F}\)는 \(X_s\)를 따라 보편적으로 순수하다.

증명

\((T \to S, t' \leadsto t, \xi)\)를 \(s\) 위에서 \(\mathcal{F}\)의 비순수성이라 하자. \(T_1 = T \times_S S'\)로 두고,

\(t_1\)을 \(t\)와 \(s'\)로 가는 \(T_1\)의 유일한 점이라 하자. \(T_1 \to T\)는 \(t_1\)에서 평탄하므로(Morphisms, Lemma 01U9을 보라), \(t' \leadsto t\) 위에 놓이는 특수화 \(t'_1 \leadsto t_1\)가 존재한다. Algebra, Section 00HU을 보라. \(\Spec(\kappa(t'_1) \otimes_{\kappa(t')} \kappa(\xi))\)의 한 일반점에 대응하는 점 \(\xi_1 \in X_{t'_1}\)를 택하자. Schemes, Lemma 01JT을 보라. Divisors, Lemma 05DC에 의해 \(\xi_1 \in \text{Ass}_{X_{T_1}/T_1}(\mathcal{F}_{T_1})\)이다. \(X_{T_1}\)에서 \(\{\xi_1\}\)의 자리스키 폐포는 \(X_T\)에서 \(\{\xi\}\)의 자리스키 폐포 안으로 가므로, 이 폐포는 \(X_{t_1}\)와 서로소이다. 따라서 \((T_1 \to S', t'_1 \leadsto t_1, \xi_1)\)는 \(s'\) 위에서 \(\mathcal{F}_{S'}\)의 비순수성이다. 다시 말해 보조정리의 (2)의

대우를 증명했다. 끝으로 \((T, t) \to (S, s)\)가 기본 에탈 근방이면 \((T_1, t_1) \to (S', s')\)도 기본 에탈 근방이고, 이로부터 (1)을 얻는다.

보조정리

\(i : Z \to X\)를 스킴 \(S\) 위의 유한형 스킴들의 닫힌 몰입이라 하자. \(s \in S\)라 하고, \(\mathcal{F}\)를 \(Z\) 위의 유한형 준연접 층이라 하자. 그러면 \(\mathcal{F}\)가 \(Z_s\)를 따라 (보편적으로) 순수할 필요충분조건은 \(i_*\mathcal{F}\)가 \(X_s\)를 따라 (보편적으로) 순수한 것이다.

증명

이는 Divisors, Lemma 0CUD에서 따른다.

상대적으로 순수한 층의 예

순수성이 무엇을 뜻하는지 알아볼 수 있는 몇 가지 예를 든다.

보조정리

\(f : X \to S\)를 유한형인 스킴의 사상이라 하고, \(\mathcal{F}\)를 유한형 준연접 \(\mathcal{O}_X\)-가군이라 하자.

1. \(\mathcal{F}\)의 지지가 \(S\) 위에서 고유이면, \(\mathcal{F}\)는 \(S\)에 대해 보편적으로 순수하다.

2. \(f\)가 고유이면 \(\mathcal{F}\)는 \(S\)에 대해 보편적으로 순수하다.

3. \(f\)가 고유이면 \(X\)는 \(S\)에 대해 보편적으로 순수하다.

증명

먼저 (1)을 (2)로 귀착시킨다. \(Z \subset X\)를 \(\mathcal{F}\)의 스킴론적 지지라 하고, \(i : Z \to X\)를 대응하는 닫힌 몰입이라 하자. 어떤 유한형 준연접 \(\mathcal{O}_Z\)-가군 \(\mathcal{G}\)에 대하여 \(\mathcal{F} = i_*\mathcal{G}\)로 쓸 수 있다. Morphisms, Section 056H을 보라. (1)의 경우에는 가정에 의해 \(Z \to S\)가 고유이다. 따라서 Lemma 05K1에 의해 (1)은 (2)로 귀착된다.

\(f\)가 고유라고 가정하자. \((g : T \to S, t' \leadsto t, \xi)\)를 \(s \in S\) 위에서 \(\mathcal{F}\)의 비순수성이라 하자. \(f\)는 고유이므로 보편적으로 닫힌 사상이다. 따라서 \(f_T : X_T \to T\)는 닫힌 사상이다. \(f_T(\xi) = t'\)이므로

\(t \in f(\overline{\{\xi\}})\)인데, 이는 모순이다.

보조정리

\(f : X \to S\)를 분리 유한형인 스킴의 사상이라 하고, \(\mathcal{F}\)를 유한형 준연접 \(\mathcal{O}_X\)-가군이라 하자. 모든 \(s \in S\)에 대하여 \(\text{Supp}(\mathcal{F}_s)\)가 유한이라고 가정하자. 다음은 서로 동치이다.

1. \(\mathcal{F}\)는 \(S\)에 대해 순수하다.

2. \(\mathcal{F}\)의 스킴론적 지지는 \(S\) 위에서 유한이다.

3. \(\mathcal{F}\)는 \(S\)에 대해 보편적으로 순수하다.

특히 준유한 분리 사상 \(X \to S\)가 주어졌을 때, \(X\)가 \(S\)에 대해 순수할 필요충분조건은 \(X \to S\)가 유한인 것이다.

증명

\(Z \subset X\)를 \(\mathcal{F}\)의 스킴론적 지지라 하자. Morphisms, Definition 05JV을 보라. 그러면 \(Z \to S\)는 올들이 유한인 분리 유한형 사상이다. 따라서 이는 분리 준유한 사상이다. Morphisms, Lemma 02NH을 보라. Lemma 05K1에 의해, \(Z \to S\)와 \(Z\) 위의 유한형 준연접 가군으로 보는 층 \(\mathcal{F}\)에 대하여 보조정리를 증명하면 충분하다. 따라서 \(X \to S\)가 분리 준유한이고 \(\text{Supp}(\mathcal{F}) = X\)라고 가정해도 된다.

Lemma 05K3와 Morphisms, Lemma 01WN에 의해 (2)는 (3)을 함의한다. (3)이 (1)을 함의함은 자명하다. (1)이 성립한다고 가정하고 (2)를 증명하자. \(S\)가 아핀이라고 가정해도 됨은 분명하다. More on Morphisms, Lemma 05K0에 의해 다음 그림을 찾을 수 있다. \[\xymatrix{ X \ar[rd]_f \ar[rr]_j & & T \ar[ld]^\pi \\ & S & }\] 여기서 \(\pi\)는 유한이고 \(j\)는 준콤팩트 열린 몰입이다. \(j\)가 닫혀 있음을 보이면 \(j\)는 닫힌 몰입이고, 따라서 \(f = \pi \circ j\)가 유한이라고 결론지을 수 있다. \(j\)가 닫혀 있음을 보이려면 특수화를 \(j\)를 따라 올릴 수 있음을 보이면 충분하다. Schemes, Lemma 01K9를 보라. \(x \in X\)라 하고, \(t' = j(x)\)로 두며, \(t' \leadsto t\)를 특수화라 하자. \(t \in j(X)\)임을 보여야 한다. \(s' = f(x)\)와 \(s = \pi(t)\)로 두면 \(s' \leadsto s\)이다. More on Morphisms, Lemma 02LN에 의해 기본 에탈 근방 \((U, u) \to (S, s)\)와 분해 \[T_U = T \times_S U = V \amalg W\] 를 찾을 수 있다. 여기서 두 부분스킴은 열리고 닫혀 있고, \(V \to U\)는 유한이며, \(u\)로 가는 \(V\)의 유일한 점 \(v\)가 존재하고, \(v\)는 \(T\)에서 \(t\)로 간다. \(V \to T\)가 에탈이므로 일반화를 올릴 수 있다. Morphisms, Lemmas 03HV과 02GS을 보라. 따라서 특수화 \(v' \leadsto v\)가 존재하며, \(v'\)의 상은 \(t' \in T\)이다. 특히 \(v' \in X_U \subset T_U\)이다.

\(u' \in U\)를 \(t'\)의 상으로 나타내자. \(X_{u'}\)는 유한 이산 집합이고 \(X_{u'} = \text{Supp}(\mathcal{F}_{u'})\)이므로 \(v' \in \text{Ass}_{X_U/U}(\mathcal{F})\)임에 유의하자. \(\mathcal{F}\)가 \(S\)에 대해 순수하므로 \(v'\)는 \(X_u\)의 한 점으로 특수화해야 한다. \(v\)는 \(u\) 위에 놓이는 \(V\)의 유일한 점이고 (\(W\)의 어떤 점도 \(v'\)의 특수화일 수 없으므로), \(v \in X_u\)이다. 따라서 \(t \in X\)이다.

보조정리

\(f : X \to S\)를 올들이 기하적으로 정역인 유한형 평탄 사상이라 하자. 그러면 \(X\)는 \(S\) 위에서 보편적으로 순수하다.

증명

\(\xi \in X\)이고 \(s' = f(\xi)\)라 하며, \(s' \leadsto s\)를 \(S\)의 특수화라 하자. \(\xi\)가 \(X_{s'}\)의 연관점이면 \(X_{s'}\)가 정역 스킴이므로 \(\xi\)는 유일한 일반점이다. \(\xi_0\)를 \(X_s\)의 유일한 일반점이라 하자. \(X \to S\)가 평탄하므로 \(s' \leadsto s\)를 \(X\)의 특수화 \(\xi' \leadsto \xi_0\)로 올릴 수 있다. Morphisms, Lemma 03HV을 보라.

\(\xi\)는 \(X_{s'}\)의 일반점이므로 \(\xi \leadsto \xi'\)이고, 따라서 \(\xi \leadsto \xi_0\)이다. 이는

\((\text{id}_S, s' \to s, \xi)\)가 \(s\) 위에서 \(\mathcal{O}_X\)의 비순수성이 아니라는 뜻이다. \(f\)가 올들이 기하적으로 정역인 유한형 평탄 사상이라는 가정은 기저변환 아래 보존되므로, 어떤 기저변환 뒤에도 비순수성이 존재하지 않는다. 따라서 \(X\)는 보편적으로 \(S\)-순수하다.

보조정리

\(f : X \to S\)를 유한형 아핀 사상이라 하자. \(\mathcal{F}\)를 \(f_*\mathcal{F}\)가 \(S\) 위에서 국소 사영인 유한형 준연접 \(\mathcal{O}_X\)-가군이라 하자. Properties, Definition 05JP를 보라. 그러면 \(\mathcal{F}\)는 \(S\) 위에서 보편적으로 순수하다.

증명

\(S\)가 헨젤 국소환의 스펙트럼인 경우로 귀착시키면 이는 Lemma 05FV에서 따른다.

순수성의 판정법

먼저 유한형 준연접 층들의 평탄한 족이 주어졌을 때, 상대 연관점 집합의 점들이 (특수화한다면) 가까운 올들의 상대 연관점 집합의 점들로 특수화함을 증명한다.

보조정리

\(f : X \to S\)를 유한형인 스킴의 사상이라 하고, \(\mathcal{F}\)를 유한형 준연접 \(\mathcal{O}_X\)-가군이라 하자. \(s \in S\)라 하자. \(\mathcal{F}\)가 \(X_s\)의 모든 점에서 \(S\) 위로 평탄하다고 가정하자. \(f(x') = s'\)이고 \(s' \leadsto s\)가 \(S\)의 특수화가 되도록 \(x' \in \text{Ass}_{X/S}(\mathcal{F})\)를 택하자. \(x'\)가 \(X_s\)의 한 점으로 특수화하면, 어떤 \(x \in \text{Ass}_{X_s}(\mathcal{F}_s)\)에 대하여 \(x' \leadsto x\)이다.

증명

\(t \in X_s\)에 대하여 \(x' \leadsto t\)라고 하자. 그러면 \(x\)가 \(\overline{\{x'\}} \cap f^{-1}(\{s\})\)의 한 기약 성분의 일반점에 대응하도록 하는 특수화 \(x' \leadsto x \leadsto t\)를 찾을 수 있다. 가정에 의해 \(\mathcal{F}\)는 \(x\)에서 \(S\) 위로 평탄하다. More on Morphisms, Lemma 0GSI에 의해 원하는 대로 \(x \in \text{Ass}_{X/S}(\mathcal{F})\)이다.

보조정리

\(f : X \to S\)를 유한형인 스킴의 사상이라 하고, \(\mathcal{F}\)를 유한형 준연접 \(\mathcal{O}_X\)-가군이라 하자. \(s \in S\)라 하자. \((S', s') \to (S, s)\)를 기본 에탈 근방이라 하고, \[\xymatrix{ X \ar[d] & X' \ar[l]^g \ar[d] \\ S & S' \ar[l] }\] 을 스킴 사상들의 가환 그림이라 하자. 다음을 가정한다.

1. \(\mathcal{F}\)는 \(X_s\)의 모든 점에서 \(S\) 위로 평탄하다.

2. \(X' \to S'\)는 유한형이다.

3. \(g^*\mathcal{F}\)는 \(X'_{s'}\)를 따라 순수하다.

4. \(g : X' \to X\)는 에탈이다.

5. \(g(X')\)는 \(\text{Ass}_{X_s}(\mathcal{F}_s)\)를 포함한다.

이 상황에서 \(\mathcal{F}\)가 \(X_s\)를 따라 순수할 필요충분조건은 \(X' \to X \times_S S'\)의 상이 \(s'\)로 특수화하는 \(S'\)의 점들 위에 놓인 \(\text{Ass}_{X \times_S S'/S'}(\mathcal{F} \times_S S')\)의 점들을 포함하는 것이다.

증명

사상 \(S' \to S\)는 에탈이므로 \(\mathcal{F}\)가 \(X_s\)를 따라 순수하면

\(\mathcal{F} \times_S S'\)는 \(X_s\)를 따라 순수하다. Lemma 05J7를 보라. 순수성은 평탄 하강을 만족하므로(Lemma 05J9를 보라), \(\mathcal{F} \times_S S'\)가 \(X_{s'}\)를 따라 순수하면 \(\mathcal{F}\)는 \(X_s\)를 따라 순수하다. 따라서 \(S\)를 \(S'\)로 바꾸고 \(S = S'\)라고 가정해도 된다. 이때 \(g : X' \to X\)는 \(S\) 위의 유한형 스킴들 사이의 에탈 사상이다. 더욱이 \(S\)를 \(\Spec(\mathcal{O}_{S, s})\)로 바꾸고 \(S\)가 국소라고 가정해도 된다.

먼저 \(\mathcal{F}\)가 \(X_s\)를 따라 순수하다고 가정하자. 이 경우 순수성에 의해 \(\text{Ass}_{X/S}(\mathcal{F})\)의 모든 점은 \(X_s\)의 한 점으로 특수화한다. 따라서 Lemma 05L3에 의해 \(\text{Ass}_{X/S}(\mathcal{F})\)의 모든 점은 \(\text{Ass}_{X_s}(\mathcal{F}_s)\)의 한 점으로 특수화한다. 그러므로 \(\text{Ass}_{X/S}(\mathcal{F})\)의 모든 점은 \(g\)의 상에 속한다 (그 상은 열린집합이고 \(\text{Ass}_{X_s}(\mathcal{F}_s)\)를 포함한다).

역으로 \(g(X')\)가 \(\text{Ass}_{X/S}(\mathcal{F})\)를 포함한다고 가정하자. \(S^h = \Spec(\mathcal{O}_{S, s}^h)\)를 \(s\)에서 \(S\)의 헨젤화라 하자.

\(S^h \to S\)에 의한 \(g\)의 기저변환을 \(g^h : (X')^h \to X^h\)로 나타내고, \(\mathcal{F}\)의 \(X^h\)로의 당김을 \(\mathcal{F}^h\)로 나타내자. Divisors, Lemma 05DC과 Remark 05KL에 의해 상대 연관점 집합 \(\text{Ass}_{X^h/S^h}(\mathcal{F}^h)\)는 사영 \(X^h \to X\)에 의한 \(\text{Ass}_{X/S}(\mathcal{F})\)의 역상이다. \(g(X')\)가 \(\text{Ass}_{X/S}(\mathcal{F})\)를 포함한다고 가정했으므로 기저변환 \(g^h((X')^h) = g(X') \times_S S^h\)는 \(\text{Ass}_{X^h/S^h}(\mathcal{F}^h)\)를 포함한다. 이로써 \(S\)가 헨젤 국소환의 스펙트럼인 경우로 귀착된다. \(x \in \text{Ass}_{X/S}(\mathcal{F})\)라 하자. 보조정리의 증명을 끝내려면 \(x\)가 \(X_s\)의 한 점으로 특수화함을 보여야 한다.

Definition 05J4 뒤의 논의에 있는 순수성의 판정법 (4)를 보라. 가정에 의해

\(g(x') = x\)를 만족하는 \(x' \in X'\)가 존재한다. \(g : X' \to X\)는 에탈이므로 \(x' \in \text{Ass}_{X'/S}(g^*\mathcal{F})\)이다. Lemma 05FP을 보라(여기서는 \(w \in S\)가 \(x'\)의 상일 때 올들의 사상 \(X'_w \to X_w\)에 이를 적용한다). \(g^*\mathcal{F}\)는 \(X'_s\)를 따라 순수하므로 어떤 \(y \in X'_s\)에 대하여 \(x' \leadsto y\)이다. 따라서 \(x = g(x') \leadsto g(y)\)이고, 원하는 대로 \(g(y) \in X_s\)이다.

보조정리

\(f : X \to S\)를 스킴의 사상이라 하고, \(\mathcal{F}\)를 준연접 \(\mathcal{O}_X\)-가군이라 하자. \(s \in S\)라 하자. 다음을 가정한다.

1. \(f\)는 유한형이다.

2. \(\mathcal{F}\)는 유한형이다.

3. \(\mathcal{F}\)는 \(X_s\)의 모든 점에서 \(S\) 위로 평탄하다.

4. \(\mathcal{F}\)는 \(X_s\)를 따라 순수하다.

그러면 \(\mathcal{F}\)는 \(X_s\)를 따라 보편적으로 순수하다.

증명

먼저 예비 관찰을 하나 하자. \((S', s') \to (S, s)\)가 기본 에탈 근방이라고 하자.

\(\mathcal{F}\)의 \(X' = X \times_S S'\)로의 당김을 \(\mathcal{F}'\)로 나타내자. Definition 05J4 뒤의 논의에 의해 \(\mathcal{F}'\)는 \(X'_{s'}\)를 따라 순수하다. 더욱이 \(\mathcal{F}'\)는 \(X'_{s'}\)를 따라 \(S'\) 위로 평탄하다. 그러므로 \(\mathcal{F}'\)가 \(X'_{s'}\)를 따라 보편적으로 순수함을 증명하면 충분하다. 실제로 점이 지정된 스킴들의 임의의 사상 \((T, t) \to (S, s)\)가 주어지면 올곱 \((T', t') = (T \times_S S', (t, s'))\)는 \((T, t)\) 위에서 평탄하다. 따라서 \(\mathcal{F}_{T'}\)가 \(X_{t'}\)를 따라 순수하면 Lemma 05J9에 의해 \(\mathcal{F}_T\)는 \(X_t\)를 따라 순수하다. 그러므로 증명 중 언제든 \((s, S)\)를 기본 에탈 근방으로 바꾸어도 된다. 또한 문제는 국소적이므로 \(S\)를 \(\Spec(\mathcal{O}_{S, s})\)로 바꾸어도 된다.

기본 에탈 근방 \((S', s') \to (S, s)\)와 가환 그림 \[\xymatrix{ X \ar[d] & X' \ar[l]^g \ar[d] \\ S & \Spec(\mathcal{O}_{S', s'}) \ar[l] }\] 을 다음과 같이 택하자. 사상 \(X' \to X \times_S \Spec(\mathcal{O}_{S', s'})\)는 에탈이고, \(X_s = g((X')_{s'})\)이며, 스킴 \(X'\)는 아핀이고, \(\Gamma(X', g^*\mathcal{F})\)는 자유 \(\mathcal{O}_{S', s'}\)-가군이다. Lemma 05L1를 보라. \(X' \to \Spec(\mathcal{O}_{S', s'})\)는 유한형임에 유의하자 (이는 에탈 사상과 유한형 사상의 기저변환의 합성인 준콤팩트 사상이다). 증명의 첫 문단의 예비 관찰에 의해 \(S\)를 \(\Spec(\mathcal{O}_{S', s'})\)로 바꾸어도 된다. 따라서 가환 그림 \[\xymatrix{ X \ar[dr] & & X' \ar[ll]^g \ar[ld] \\ & S & }\] 이 존재한다고 가정해도 된다. 여기서 두 스킴은 \(S\) 위에서 유한형이고, \(g\)는 에탈이며, \(X_s \subset g(X')\)이고, \(S\)는 닫힌점이 \(s\)인 국소 스킴이며, \(X'\)는 아핀이고, \(\Gamma(X', g^*\mathcal{F})\)는 자유 \(\Gamma(S, \mathcal{O}_S)\)-가군이다. 이 경우 \(g^*\mathcal{F}\)는 \(S\) 위에서 보편적으로 순수함에 유의하자. Lemma 05K6를 보라.

이 상황에서 Lemma 05L4를 적용한다. \(\mathcal{F}\)가 \(X_s\)를 따라 순수하고 \(X_s\)를 따라 \(S\) 위로 평탄하다는 가정으로부터 \(\text{Ass}_{X/S}(\mathcal{F}) \subset g(X')\)를 얻는다. Divisors, Lemma 05DC과 Remark 05KL에 의해, 점이 지정된 스킴들의 임의의 사상 \((T, t) \to (S, s)\)에 대하여 \[\text{Ass}_{X_T/T}(\mathcal{F}_T) \subset (X_T \to X)^{-1}(\text{Ass}_{X/S}(\mathcal{F})) \subset g(X') \times_S T = g_T(X'_T).\] 이다. 따라서 위 그림의 \((T, t)\)로의 기저변환에 Lemma 05L4를 적용하면 원하는 대로 \(\mathcal{F}_T\)가 \(X_t\)를 따라 순수하다고 결론짓는다.

보조정리

\(f : X \to S\)를 유한형인 스킴의 사상이라 하고, \(\mathcal{F}\)를 유한형 준연접 \(\mathcal{O}_X\)-가군이라 하자. \(\mathcal{F}\)가 \(S\) 위로 평탄하다고 가정하자. 이 경우 \(\mathcal{F}\)가 \(S\)에 대해 순수할 필요충분조건은 \(\mathcal{F}\)가 \(S\)에 대해 보편적으로 순수한 것이다.

증명

Lemma 05L5와 정의들로부터 즉시 따른다.

보조정리

\(I\)를 유향 집합이라 하고, \((S_i, g_{ii'})\)를 \(I\) 위의 아핀 스킴들의 역계라 하자. \(S = \lim_i S_i\)라 두고 \(s \in S\)라 하자. \(g_i : S \to S_i\)로 사영들을 나타내고 \(s_i = g_i(s)\)로 두자. \(f : X \to S\)가 유한표현 사상이고 \(\mathcal{F}\)가 유한표현 준연접 \(\mathcal{O}_X\)-가군이며, \(X_s\)를 따라 순수하고 \(X_s\)의 모든 점에서 \(S\) 위로 평탄하다고 하자. 그러면 어떤 \(i \in I\), 유한표현 사상 \(X_i \to S_i\), 그리고 유한표현 준연접 \(\mathcal{O}_{X_i}\)-가군 \(\mathcal{F}_i\)가 존재한다. 이 가군은 \((X_i)_{s_i}\)를 따라 순수하고 \((X_i)_{s_i}\)의 모든 점에서 \(S_i\) 위로 평탄하며, \(X \cong X_i \times_{S_i} S\)이고 \(\mathcal{F}_i\)의 \(X\)로의 당김은 \(\mathcal{F}\)와 동형이다.

증명

\(U \subset X\)를 \(\mathcal{F}\)가 \(S\) 위로 평탄한 점들의 집합이라 하자. More on Morphisms, Theorem 0399에 의해 이는 \(X\)의 열린 부분스킴이다. 가정에 의해 \(X_s \subset U\)이다. \(X_s\)는 준콤팩트이므로 \(X_s \subset U'\)인 준콤팩트 열린집합 \(U' \subset U\)를 찾을 수 있다. Limits, Lemma 01ZM에 의해 어떤 \(i \in I\)와, \(S\)로의 기저변환이

\(f_i\)와 동형인 유한표현 사상 \(f_i : X_i \to S_i\)를 찾을 수 있다. 하나를 고정하고 \(X_{i'} = X_i \times_{S_i} S_{i'}\)로 두자. 그러면 전이 사상들이 아핀인 \(X = \lim_{i'} X_{i'}\)를 얻는다. Limits, Lemma 01ZR에 의해, 필요하면 \(i\)를 키운 뒤 \(S\)로의 기저변환이 \(\mathcal{F}\)와 동형인 유한표현 준연접 \(\mathcal{O}_{X_i}\)-가군 \(\mathcal{F}_i\)가 존재한다고 가정해도 된다. Limits, Lemma 01Z4에 의해, 필요하면 \(i\)를 키운 뒤 \(X\)에서의 역상이 \(U'\)인 열린집합 \(U'_i \subset X_i\)가 존재한다고 가정해도 된다. 특히 \((X_i)_{s_i} \subset U'_i\)임에 유의하자. Limits, Lemma 05LY에 의해(\(i\)를 한 번 더 키운 뒤) \(\mathcal{F}_i\)가 \(U'_i\) 위에서 평탄하다고 가정해도 된다. 특히 \(\mathcal{F}_i\)는 \((X_i)_{s_i}\)를 따라 평탄하다.

다음으로 Lemma 05KW를 사용하여 기본 에탈 근방 \((S_i', s_i') \to (S_i, s_i)\)와 스킴의 가환 그림 \[\xymatrix{ X_i \ar[d] & X_i' \ar[l]^{g_i} \ar[d] \\ S_i & S_i' \ar[l] }\] 을 다음과 같이 택하자. \(g_i\)는 에탈이고, \((X_i)_{s_i} \subset g_i(X_i')\)이며, 스킴 \(X_i'\), \(S_i'\)는 아핀이고, \(\Gamma(X_i', g_i^*\mathcal{F}_i)\)는 사영 \(\Gamma(S_i', \mathcal{O}_{S_i'})\)-가군이다. \(g_i^*\mathcal{F}_i\)는 \(S'_i\) 위에서 보편적으로 순수함에 유의하자. Lemma 05K6를 보라. 임의의 \(i' \geq i\)에 대하여 위 그림을 기저변환하여 \(S_{i'}\) 위의 사상들 \((S'_{i'}, s'_{i'}) \to (S_{i'}, s_{i'})\)와 \(g_{i'} : X'_{i'} \to X_{i'}\)를 갖는 그림을 얻을 수 있다. 또한 이를 기저변환하여 \(S\) 위의 사상들 \((S', s') \to (S, s)\)와 \(g : X' \to X\)를 갖는 그림을 얻을 수 있다.

이제 순수성의 판정법을 사용할 수 있다. 에탈 사상 \(X'_i \to X_i \times_{S_i} S'_i\)의 상을 \(W'_i \subset X_i \times_{S_i} S'_i\)라 하자. 모든 \(i' \geq i\)에 대하여 마찬가지로 상 \(W'_{i'} \subset X_{i'} \times_{S_{i'}} S'_{i'}\)가 있고, 상 \(W' \subset X \times_S S'\)가 있다. 상을 취하는 것은 기저변환과 가환하므로 \(W'_{i'} = W'_i \times_{S'_i} S'_{i'}\)이고,

\(W' = W_i \times_{S'_i} S'\)이다. \(\mathcal{F}\)가 \(X_s\)를 따라 순수하므로 Lemma 05L4에 의해 [05MB]\[\begin{equation} f^{-1}(\Spec(\mathcal{O}_{S', s'})) \cap \text{Ass}_{X \times_S S'/S'}(\mathcal{F} \times_S S') \subset W' \end{equation}\] 이다. More on Morphisms, Lemma 05KR에 의해 \[E = \{t \in S' \mid \text{Ass}_{X_t}(\mathcal{F}_t) \subset W' \} \quad\text{이고}\quad E_{i'} = \{t \in S'_{i'} \mid \text{Ass}_{X_t}(\mathcal{F}_{i', t}) \subset W'_{i'} \}\] 는 각각 \(S'\)와 \(S'_{i'}\)의 국소 구성가능 부분집합이다. More on Morphisms, Lemma 05KQ에 의해 \(E_{i'}\)는 사상 \(S'_{i'} \to S'_i\)에 의한 \(E_i\)의 역상이고, \(E\)는 사상 \(S' \to S'_i\)에 의한 \(E_i\)의 역상이다. 따라서 Equation (05MB)은 \(\Spec(\mathcal{O}_{S', s'})\)가 \(E_i\) 안으로 간다는 명제와 동치이다. \(\mathcal{O}_{S', s'} = \colim_{i' \geq i} \mathcal{O}_{S'_{i'}, s'_{i'}}\) 이므로 어떤 \(i' \geq i\)에 대하여 \(\Spec(\mathcal{O}_{S'_{i'}, s'_{i'}})\)가 \(E_i\) 안으로 간다. Limits, Lemma 05F4을 보라. 이제 \(S_{i'}\) 위의 상황에 Lemma 05L4를 적용하면 \(\mathcal{F}_{i'}\)가 \((X_{i'})_{s_{i'}}\)를 따라 순수하다고 결론짓는다.

보조정리

\(f : X \to S\)를 유한표현 사상이라 하고, \(\mathcal{F}\)를 \(S\) 위로 평탄한 유한표현 준연접 \(\mathcal{O}_X\)-가군이라 하자. 그러면 집합 \[U = \{s \in S \mid \mathcal{F}\text{가 }X_s\text{를 따라 순수}\}\] 는 \(S\)에서 열려 있다.

증명

\(s \in U\)라 하자. Lemma 05KW를 사용하면 기본 에탈 근방 \((S', s') \to (S, s)\)와 가환 그림 \[\xymatrix{ X \ar[d] & X' \ar[l]^g \ar[d] \\ S & S' \ar[l] }\] 을 다음과 같이 찾을 수 있다. \(g\)는 에탈이고, \(X_s \subset g(X')\)이며, 스킴 \(X'\), \(S'\)는 아핀이고, \(\Gamma(X', g^*\mathcal{F})\)는 사영 \(\Gamma(S', \mathcal{O}_{S'})\)-가군이다. \(g^*\mathcal{F}\)는 \(S'\) 위에서 보편적으로 순수함에 유의하자. Lemma 05K6를 보라. 에탈 사상 \(X' \to X \times_S S'\)의 상을 \(W' \subset X \times_S S'\)라 하자.

\(W\)는 \(S'\) 위에서 열리고 준콤팩트임에 유의하자. 다음과 같이 두자. \[E = \{t \in S' \mid \text{Ass}_{X_t}(\mathcal{F}_t) \subset W' \}.\] More on Morphisms, Lemma 05KR에 의해 \(E\)는 \(S'\)의 구성가능 부분집합이다. Lemma 05L4에 의해 \(\Spec(\mathcal{O}_{S', s'}) \subset E\)이다. Morphisms, Lemma 05LW에 의해 \(E\)는 \(s'\)의 열린 근방 \(V'\)를 포함한다. Lemma 05L4를 한 번 더 적용하면 \(S\)에서 \(V'\)의 상에 속하는 임의의 점 \(s_1\)에 대하여 층 \(\mathcal{F}\)가 \(X_{s_1}\)를 따라 순수함을 안다. \(S' \to S\)는 에탈이므로 \(S\)에서 \(V'\)의 상은 열려 있고, 결론을 얻는다.

순수성의 사용법

순수성을 사용하는 방법의 몇 가지 예를 든다. 첫 보조정리는 실제로 조금 더 약한 형태의 순수성을 사용한다.

보조정리

\(f : X \to S\)를 유한형 사상이라 하고, \(\mathcal{F}\)를 \(X\) 위의 유한형 준연접 층이라 하자. \(S\)가 닫힌점이 \(s\)인 국소 스킴이라고 가정하자. \(\mathcal{F}\)가 \(X_s\)를 따라 순수하고 \(\mathcal{F}\)가 \(S\) 위로 평탄하다고 가정하자.

\(\varphi : \mathcal{F} \to \mathcal{G}\)를 준연접 \(\mathcal{O}_X\)-가군들의 사상이라 하자. 다음은 서로 동치이다.

1. 모든 \(x \in \text{Ass}_{X_s}(\mathcal{F}_s)\)에 대하여 줄기 위의 사상 \(\varphi_x\)는 단사이다.

2. \(\varphi\)는 단사이다.

증명

\(\mathcal{K} = \Ker(\varphi)\)라 하자. 목표는 \(\mathcal{K} = 0\)을 증명하는 것이다. 이를 위해서는 \(\text{WeakAss}_X(\mathcal{K}) = \emptyset\)임을 증명하면 충분하다. Divisors, Lemma 05AP를 보라. Divisors, Lemma 05AN에 의해 \(\text{WeakAss}_X(\mathcal{K}) \subset \text{WeakAss}_X(\mathcal{F})\)이다. \(\mathcal{F}\)가 평탄하므로 Lemma 05IJ에 의해 \(\text{WeakAss}_X(\mathcal{F}) \subset \text{Ass}_{X/S}(\mathcal{F})\)이다. 순수성에 의해 \(\text{Ass}_{X/S}(\mathcal{F})\)의 임의의 점 \(x'\)는 \(X_s\)의 한 점의 일반화이고, 따라서 Lemma 05L3에 의해

어떤 점 \(x \in \text{Ass}_{X_s}(\mathcal{F}_s)\)의 특수화이다. 따라서 \(\varphi_x\)의 단사성은 \(\varphi_{x'}\)의 단사성을 함의하고, 그러므로 \(\mathcal{K}_{x'} = 0\)이다.

명제

\(f : X \to S\)를 유한표현 아핀 사상이라 하고, \(\mathcal{F}\)를 \(S\) 위로 평탄한 유한표현 준연접 \(\mathcal{O}_X\)-가군이라 하자. 다음은 서로 동치이다.

1. \(f_*\mathcal{F}\)는 \(S\) 위에서 국소 사영이다.

2. \(\mathcal{F}\)는 \(S\)에 대해 순수하다.

특히 유한표현 환 준동형 \(A \to B\)와 \(A\) 위로 평탄한 유한표현 \(B\)-가군 \(N\)이 주어졌을 때 다음이 성립한다. \(N\)이 \(A\)-가군으로서 사영일 필요충분조건은 \(\Spec(B)\) 위의 \(\widetilde{N}\)이 \(\Spec(A)\)에 대해 순수한 것이다.

증명

(1) \(\Rightarrow\) (2)는 Lemma 05K6이다. \(\mathcal{F}\)가 \(S\)에 대해 순수하다고 가정하자. Lemma 05L5에 의해 이는 \(\mathcal{F}\)가 임의의 기저변환 뒤에도 순수함을 뜻함에 유의하자. Descent, Lemma 05JZ에 의해 \(f_*\mathcal{F}\)가 \(S\) 위에서 fpqc 국소적으로 사영임을 증명하면 충분하다. \(s \in S\)를 택하자. \(f_*\mathcal{F}\)를 \(s\)의 한 에탈 근방에 제한한 것이 국소 사영임을 증명하겠다. 실제로 Lemma 05KW에 의해 \(S\)를 \(s\)의 아핀 기본 에탈 근방으로 바꾼 뒤, 다음 그림이 존재한다고 가정해도 된다. \[\xymatrix{ X \ar[dr] & & X' \ar[ll]^g \ar[ld] \\ & S & }\] 여기서 두 스킴은 \(S\) 위에서 아핀이고 유한표현이며, \(g\)는 에탈이고, \(X_s \subset g(X')\)이며, \(\Gamma(X', g^*\mathcal{F})\)는 사영 \(\Gamma(S, \mathcal{O}_S)\)-가군이다. 이 경우 \(g^*\mathcal{F}\)는 \(S\) 위에서 보편적으로 순수함에 유의하자. Lemma 05K6를 보라. 따라서 Lemma 05L4에 의해 열린집합 \(g(X')\)는 \(\Spec(\mathcal{O}_{S, s})\) 위에 놓이는 \(\text{Ass}_{X/S}(\mathcal{F})\)의 점들을 포함한다. 다음과 같이 두자. \[E = \{t \in S \mid \text{Ass}_{X_t}(\mathcal{F}_t) \subset g(X') \}.\] More on Morphisms, Lemma 05KR에 의해 \(E\)는 \(S\)의 구성가능 부분집합이다. 이미 \(\Spec(\mathcal{O}_{S, s}) \subset E\)임을 보았다. Morphisms, Lemma 05LW에 의해 \(E\)는 \(s\)의 한 열린 근방을 포함한다. 따라서 \(S\)를 \(s\)의 아핀 근방으로 바꾼 뒤 \(\text{Ass}_{X/S}(\mathcal{F}) \subset g(X')\)라고 가정해도 된다. Lemma 05DH에 의해 이는 \[\Gamma(X, \mathcal{F}) \longrightarrow \Gamma(X', g^*\mathcal{F})\] 가 \(\Gamma(S, \mathcal{O}_S)\)-보편 단사라는 뜻이다. Algebra, Lemma 059N에 의해

\(\Gamma(X, \mathcal{F})\)는 \(\Gamma(S, \mathcal{O}_S)\)-가군으로서 Mittag-Leffler이다. \(\Gamma(X, \mathcal{F})\)는 \(\Gamma(S, \mathcal{O}_S)\)-가군으로서 가산 생성이고 평탄하므로, Algebra, Lemma 059X에 의해 사영이다.

이 명제를 사용하여 앞의 결과들 가운데 일부를 개선할 수 있다. 다음 보조정리는 Proposition 05ID의 개선이다.

보조정리

\(f : X \to S\)를 국소 유한표현 사상이라 하고, \(\mathcal{F}\)를 유한표현 준연접 \(\mathcal{O}_X\)-가군이라 하자. \(s = f(x) \in S\)인 \(x \in X\)를 택하자. \(\mathcal{F}\)가 \(x\)에서 \(S\) 위로 평탄하면,

아핀 기본 에탈 근방 \((S', s') \to (S, s)\)와 \(x' = (x, s')\)를 포함하는 아핀 열린집합 \(U' \subset X \times_S S'\)가 존재하여 \(\Gamma(U', \mathcal{F}|_{U'})\)는 사영 \(\Gamma(S', \mathcal{O}_{S'})\)-가군이다.

증명

증명 중에 \(X\)를 \(x\)의 열린 근방으로, \(S\)를 \(s\)의 기본 에탈 근방으로 바꾸어도 된다. 따라서 평탄성의 개방성에 의해(More on Morphisms, Theorem 0399를 보라) \(\mathcal{F}\)가 \(S\) 위로 평탄하다고 가정해도 된다. \(S\)와 \(X\)가 아핀이라고 가정해도 된다. \(X\)를 더 축소한 뒤 \(\text{Ass}_{X_s}(\mathcal{F}_s)\)의 임의의 점이 \(x\)의 일반화라고 가정해도 된다. 이 성질은 \((S, s)\)를 기본 에탈 근방으로 바꾸어도 보존된다. 따라서 Lemma 05KW를 적용하여 다음 그림이 존재하는 상황에 이를 수 있다. \[\xymatrix{ X \ar[dr] & & X' \ar[ll]^g \ar[ld] \\ & S & }\] 여기서 두 스킴은 \(S\) 위에서 아핀이고 유한표현이며, \(g\)는 에탈이고, \(X_s \subset g(X')\)이며, \(\Gamma(X', g^*\mathcal{F})\)는 사영 \(\Gamma(S, \mathcal{O}_S)\)-가군이다. 이 경우 \(g^*\mathcal{F}\)는 \(S\) 위에서 보편적으로 순수함에 유의하자. Lemma 05K6를 보라.

\(U \subset g(X')\)를 \(x\)의 아핀 열린 근방이라 하자. \(\mathcal{F}|_U\)가 \(U_s\)를 따라 순수하다고 주장한다. 이를 증명하면, \(S\)를 축소한 뒤 \(\mathcal{F}|_U\)가 \(S\)에 대해 순수하게 되고(Lemma 05MC을 보라), 이어서 Proposition 05MD에 의해 사영성이 따르므로 보조정리가 증명된다. 주장을 증명하려면 \((S, s)\)를 임의의 기본 에탈 근방으로 바꾼 뒤, 어떤 \(s' \in S\), \(s' \leadsto s\) 위에 놓이는 \(\text{Ass}_{U/S}(\mathcal{F}|_U)\)의 임의의 점 \(\xi\)가 \(U_s\)의 한 점으로 특수화함을 보여야 한다. \(U \subset g(X')\)이므로

\(g(\xi') = \xi\)인 \(\xi' \in X'\)를 찾을 수 있다. \(g^*\mathcal{F}\)가 \(S\) 위에서 순수하므로 Lemma 05L3를 사용하면 어떤 \(x' \in \text{Ass}_{X'_s}(g^*\mathcal{F}_s)\)에 대하여 특수화

\(\xi' \leadsto x'\)가 존재함을 안다. 그러면 \(g(x') \in \text{Ass}_{X_s}(\mathcal{F}_s)\)이다(예를 들어 뇌터 스킴들의 에탈 사상 \(X'_s \to X_s\)에 Lemma 05FP을 적용하라). 따라서 위에서 택한 \(X\)에 의해 \(g(x') \leadsto x\)이다! \(x \in U\)이므로 \(g(x') \in U\)라고 결론짓는다. 따라서 원하는 대로 \(\xi = g(\xi') \leadsto g(x') \in U_s\)이다.

다음 보조정리는 Lemma 05KZ의 개선이다.

보조정리

\(f : X \to S\)를 국소 유한형 사상이라 하고, \(\mathcal{F}\)를 유한형 준연접 \(\mathcal{O}_X\)-가군이라 하자. \(s = f(x) \in S\)인 \(x \in X\)를 택하자. \(\mathcal{F}\)가 \(x\)에서 \(S\) 위로 평탄하면,

아핀 기본 에탈 근방 \((S', s') \to (S, s)\)와 \(x' = (x, s')\)를 포함하는 아핀 열린집합 \(U' \subset X \times_S \Spec(\mathcal{O}_{S', s'})\)가 존재하여 \(\Gamma(U', \mathcal{F}|_{U'})\)는 자유 \(\mathcal{O}_{S', s'}\)-가군이다.

증명

문제는 \(X\)와 \(S\) 위에서 자리스키 국소적이다. 따라서 \(X\)와 \(S\)가 아핀이라고 가정해도 된다. 그러면 \(S\) 위의 닫힌 몰입 \(i : X \to \mathbf{A}^n_S\)를 찾을 수 있다. \(\mathbf{A}^n_S\) 위의 층 \(i_*\mathcal{F}\)와 점 \(i(x)\)에 대하여 보조정리를 증명하면 충분함은 분명하다. 이로써 \(X \to S\)가 유한표현인 경우로 귀착된다. \(S\)를 \(\Spec(\mathcal{O}_{S', s'})\)로, \(X\)를 \(X \times_S \Spec(\mathcal{O}_{S', s'})\)의 열린집합으로 바꾼 뒤 \(\mathcal{F}\)가 유한표현이라고 가정해도 된다. Proposition 05I5를 보라. 이 경우 Lemma 05ME와 Algebra, Theorem 0593을 적용하면 결론을 얻는다.

보조정리

\(A \to B\)를 본질적으로 유한형인 국소환들의 국소 환 준동형이라 하자. \(N\)을 \(A\)-가군으로서 평탄한 유한 \(B\)-가군이라 하자. \(A\)가 헨젤이면 \(N\)은 자유 \(A\)-가군 \(F_i\)들의 여과 여극한 \[N = \colim_i F_i\] 이다. 여기서 이 계의 모든 전이 사상 \(u_i : F_i \to F_{i'}\)는 단사 사상 \(\overline{u}_i : F_i/\mathfrak m_AF_i \to F_{i'}/\mathfrak m_AF_{i'}\)를 유도한다. 또한 \(N\)은 Mittag-Leffler \(A\)-가군이다.

증명

유한형 사상 \(X \to S = \Spec(A)\), \(S\)의 닫힌점 \(s\) 위에 놓이는 점 \(x \in X\), 그리고 \(\mathcal{F}_x \cong N\)이 \(A\)-가군의 동형이 되도록 하는 유한형 준연접 \(\mathcal{O}_X\)-가군 \(\mathcal{F}\)를 찾을 수 있다. \(X\)를 축소한 뒤 \(\text{Ass}_{X_s}(\mathcal{F}_s)\)의 각 점이 \(x\)로 특수화한다고 가정해도 된다. Lemma 05MF에 의해, \(\Gamma(U_i, \mathcal{F})\)가 자유 \(A\)-가군 \(F_i\)가 되도록 하는 \(x\)의 아핀 열린 근방 \(U_i \subset X\)들의 근방 기저가 존재한다. \(U_{i'} \subset U_i\)이면 \[F_i/\mathfrak m_AF_i = \Gamma(U_{i, s}, \mathcal{F}_s) \longrightarrow \Gamma(U_{i', s}, \mathcal{F}_s) = F_{i'}/\mathfrak m_AF_{i'}\] 는 단사임에 유의하자. 실제로 핵의 한 단면은 \(x\)와 만나지 않는 \(X_s\)의 닫힌 부분집합에 지지되어야 하는데, 이는 위에서 \(X\)를 택한 방식에 모순이다. 사상 \(F_i \to F_{i'}\)들은 \(A\)-보편 단사이므로 (Lemma 05FQ), Algebra, Lemma 0AS7에 의해 \(N\)은 Mittag-Leffler이다.

처음부터 차례로 읽는 경우에는 다음 보조정리를 건너뛰어야 한다.

보조정리

\(A \to B\)를 본질적으로 유한형인 국소환들의 국소 환 준동형이라 하자. \(N\)을 \(A\)-가군으로서 평탄한 유한 \(B\)-가군이라 하자. \(A\)가 값매김환이면 \(N\)의 임의의 원소는 내용 아이디얼 \(I \subset A\)를 갖는다(More on Algebra, Definition 0ASA). 또한 \(I\)는 주 아이디얼이다.

증명

마지막 명제는 More on Algebra, Lemma 0ASB과 Algebra, Lemma 090Q에 의해 \(I\)가 유한 생성 아이디얼이라는 사실에서 따른다.

이제 \(I\)의 존재를 증명하자. \(A \subset A^h\)를 헨젤화라 하자. \(B'\)를 \(B \otimes_A A^h\)의 다음 극대 아이디얼에서의 국소화라 하자.

\(\mathfrak m_B \otimes A^h + B \otimes \mathfrak m_{A^h}\). 그러면 \(B \to B'\)는 평탄이고, 따라서 충실히 평탄이다. \(N' = N \otimes_B B'\)라 하자. \(x \in N\)이라 하고 \(x' \in N'\)를 그 상이라 하자. 아이디얼 \(I \subset A\)에 대하여 \(x \in IN \Leftrightarrow x' \in IN'\)이라고 주장한다. 실제로 \(N/IN \to N'/IN'\)은 \(B \to B'\)와 \(N/IN\)의 텐서곱이고, Algebra, Lemma 05CK에 의해 \(B \to B'\)는 보편 단사이다. More on Algebra, Lemma 0ASK과 Algebra, Lemma 00IH에 의해 사상 \(A \to A^h\)는 아이디얼들의 집합 사이에 포함 관계를 보존하는 전단사 \(I \mapsto IA^h\)를 정의한다. 따라서 \(x\)가 \(A\)에서 내용 아이디얼을 가질 필요충분조건은 \(x'\)가 \(A^h\)에서 내용 아이디얼을 갖는 것이다. \(x' \in N'\)에 대한 명제는 Lemma 05U7와 Algebra, Lemma 0AS6에서 따른다.

한 가지 응용은 다음과 같다.

보조정리

\(R\)이 값매김환일 때 \(X \to \Spec(R)\)를 고유 평탄 사상이라 하자. 특별올이 축약이면,

\(X\)와 \(X \to \Spec(R)\)의 모든 올은 축약이다.

증명

특별올 \(X_s\)가 축약이라고 가정하자. 임의의 점 \(x \in X\)를 택하고 \(\mathcal{O}_{X, x}\)가 축약임을 보이자. 그러면 \(X\)가 축약임이 증명된다. \(x'\)가 특별올에 속하는 특수화 \(x \leadsto x'\)를 택하자. 고유 사상은 닫힌 사상이므로 이러한 특수화가 존재한다. 국소환 \(A = \mathcal{O}_{X, x'}\)를 생각하자. \(\mathcal{O}_{X, x}\)는 \(A\)의 국소화이므로 \(A\)가 축약임을 보이면 충분하다. 영이 아닌 \(a \in A\)를 택하고 \(I = (\pi) \subset R\)를 그 내용 아이디얼이라 하자. Lemma 0ASX를 보라. 그러면 \(a = \pi a'\)이고, \(\mathfrak m \subset R\)이 극대 아이디얼일 때 \(a'\)은 \(A/\mathfrak mA\)의 영이 아닌 원소로 간다. \(A\)는 \(R\) 위로 평탄하여 \(\pi\)가 영인자가 아니므로, \(a\)가 멱영이면 \(a'\)도 멱영이다. 그러나 \(a'\)은 축약환 \(A/\mathfrak m A = \mathcal{O}_{X_s, x'}\)의 영이 아닌 원소로 간다. \(A\)가 축약이 아니면 이는 모순이며, 이것이 보이고자 한 바이다.

물론 \(X\)가 축약이면 \(R\) 위의 \(X\)의 일반올도 축약이다. \(\mathfrak p \subset R\)이 소아이디얼이면 Algebra, Lemma 088Y에 의해 \(R/\mathfrak p\)는 값매김환이다. 따라서 \(X\)의 \(R/\mathfrak p\)로의 기저변환에 대하여 논증을 되풀이하면 \(\mathfrak p\) 위의 올이 축약임을 증명할 수 있다.

평탄화 함자

\(S\)를 스킴이라 하자. 극한이 \(T\)인 아핀 스킴들의 모든 유향 역계 \(\{T_i\}_{i \in I}\)에 대하여 \(F(T) = \colim_i F(T_i)\)이면 함자 \(F : (\Sch/S)^{opp} \to \textit{Sets}\)를 극한 보존이라고 함을 상기하자.

설정

\(f : X \to S\)를 스킴의 사상이라 하고, \(u : \mathcal{F} \to \mathcal{G}\)를 준연접 \(\mathcal{O}_X\)-가군들의 준동형이라 하자. \(S\) 위의 임의의 스킴 \(T\)에 대하여 \(u\)의 \(T\)로의 기저변환을 \(u_T : \mathcal{F}_T \to \mathcal{G}_T\)로 나타내겠다. 다시 말해 \(u_T\)는 사영 사상 \(X_T = X \times_S T \to X\)에 의한 \(u\)의 당김이다. 이 상황에서 다음 함자를 생각할 수 있다. [05MI]\[\begin{equation} F_{iso} : (\Sch/S)^{opp} \longrightarrow \textit{Sets}, \quad T \longrightarrow \left\{ \begin{matrix} \{*\} & \text{다음이면} & u_T \text{는 동형이다}, \\ \emptyset & \text{그렇지 않으면.} & \end{matrix} \right. \end{equation}\] \(u_T\)가 각각 단사, 전사, 또는 영일 것을 요구하는 변형 \(F_{inj}\), \(F_{surj}\), \(F_{zero}\)도 있다.

보조정리

Situation 05MH의 상황이라 하자.

1. 각 함자 \(F_{iso}\), \(F_{inj}\), \(F_{surj}\), \(F_{zero}\)는 fpqc 위상에 대한 층 성질을 만족한다.

2. \(f\)가 준콤팩트이고 \(\mathcal{G}\)가 유한형이면 \(F_{surj}\)는 극한 보존이다.

3. \(f\)가 준콤팩트이고 \(\mathcal{F}\)가 유한형이면 \(F_{zero}\)는 극한 보존이다.

4. \(f\)가 준콤팩트이고 \(\mathcal{F}\)가 유한형이며 \(\mathcal{G}\)가 유한표현이면 \(F_{iso}\)는 극한 보존이다.

증명

\(\{T_i \to T\}_{i \in I}\)를 \(S\) 위의 스킴들의 fpqc 덮개라 하자. \(X_i = X_{T_i} = X \times_S T_i\)와 \(u_i = u_{T_i}\)로 두자. \(\{X_i \to X_T\}_{i \in I}\)는 \(X_T\)의 fpqc 덮개임에 유의하자. Topologies, Lemma 022D를 보라. 특히 모든 \(x \in X_T\)에 대하여 \(x\)로 가는 어떤 \(i \in I\)와 \(x_i \in X_i\)가 존재한다. \(\mathcal{O}_{X_T, x} \to \mathcal{O}_{X_i, x_i}\)는 평탄이고 따라서 충실히 평탄하므로(Algebra, Lemma 00HR를 보라), \((u_i)_{x_i}\)가 단사, 전사, 전단사, 또는 영일 필요충분조건은 \((u_T)_x\)가 각각 단사, 전사, 전단사, 또는 영인 것이다. 이로부터 보조정리의 (1)을 얻는다.

이제 (2)를 증명하자. \(f\)가 준콤팩트이고 \(\mathcal{G}\)가 유한형이라고 가정하자. \(T = \lim_{i \in I} T_i\)를 아핀 \(S\)-스킴들의 유향 극한이라 하고 \(u_T\)가 전사라고 가정하자. \(X_i = X_{T_i} = X \times_S T_i\)와 \(u_i = u_{T_i} : \mathcal{F}_i = \mathcal{F}_{T_i} \to \mathcal{G}_i = \mathcal{G}_{T_i}\). (2)를 증명하려면 어떤 \(i\)에 대하여 \(u_i\)가 전사임을 보여야 한다. \(i_0 \in I\)를 택하고 \(I\)를 \(\{i \mid i \geq i_0\}\)로 바꾸자. \(f\)가 준콤팩트이므로 스킴 \(X_{i_0}\)는 준콤팩트이다. 따라서 아핀 열린집합 \(W_1, \ldots, W_m \subset X\)와 아핀 열린 덮개 \(X_{i_0} = U_{1, i_0} \cup \ldots \cup U_{m, i_0}\) 를 다음과 같이 택할 수 있다. 각 \(U_{j, i_0}\)는 사영 사상 \(X_{i_0} \to X\)에 의해 \(W_j\) 안으로 간다. 임의의 \(i \in I\)에 대하여 \(U_{j, i}\)를 \(U_{j, i_0}\)의 역상이라 하자. \(U_j = \lim_i U_{j, i}\)로 두면 \(X_T = U_1 \cup \ldots \cup U_m\)은 \(X_T\)의 아핀 열린 덮개이다. 이제 주어진 \(j \in \{1, \ldots, m\}\)마다 어떤 \(i = i(j) \in I\)에 대하여 \(u_i|_{U_{j, i}}\)가 전사임을 보이면 충분하다. Properties, Lemma 01PB를 사용하면 이는 다음 대수 문제로 옮겨진다. \(A\)를 환이라 하고 \(u : M \to N\)을 \(A\)-가군 사상이라 하자. \(R = \colim_{i \in I} R_i\)가 \(A\)-대수들의 유향 여극한이라고 하자. \(N\)이 유한 \(A\)-가군이고 \(u \otimes 1 : M \otimes_A R \to N \otimes_A R\)이 전사이면, 어떤 \(i\)에 대하여 \(u \otimes 1 : M \otimes_A R_i \to N \otimes_A R_i\)가 전사이다. 이는 Algebra, Lemma 05LI의 (2)이다.

이제 (3)을 증명하자. (2)의 증명과 정확히 같은 논증으로 다음 대수 문제로 귀착된다. \(A\)를 환이라 하고 \(u : M \to N\)을 \(A\)-가군 사상이라 하자. \(R = \colim_{i \in I} R_i\)가 \(A\)-대수들의 유향 여극한이라고 하자. \(M\)이 유한 \(A\)-가군이고 \(u \otimes 1 : M \otimes_A R \to N \otimes_A R\)이 영이면, 어떤 \(i\)에 대하여 사상 \(u \otimes 1 : M \otimes_A R_i \to N \otimes_A R_i\)가 영이다. 이는 Algebra, Lemma 05LI의 (1)이다.

이제 (4)를 증명하자.

\(f\)가 준콤팩트이고 \(\mathcal{F}, \mathcal{G}\)가 유한표현이라고 가정하자. 앞 문단과 정확히 같은 방식으로 논증하면(Properties, Lemma 01PC도 추가로 사용한다),

(3)은 다음 대수 명제로 옮겨진다. \(A\)를 환이라 하고 \(u : M \to N\)을 \(A\)-가군 사상이라 하자. \(R = \colim_{i \in I} R_i\)가 \(A\)-대수들의 유향 여극한이라고 하자. \(M\)이 유한 \(A\)-가군이고 \(N\)이 유한표현 \(A\)-가군이며 \(u \otimes 1 : M \otimes_A R \to N \otimes_A R\)이 동형이라고 가정하자. 그러면 어떤 \(i\)에 대하여 사상 \(u \otimes 1 : M \otimes_A R_i \to N \otimes_A R_i\)는 동형이다. 이는 Algebra, Lemma 05LI의 (3)이다.

설정

\((A, \mathfrak m_A)\)를 국소환이라 하자. \(\mathcal{C}\)를 다음과 같은 범주라 하자. 그 대상은 국소환인 \(A\)-대수 \(A'\) 가운데 대수 구조 \(A \to A'\)가 국소환들의 국소 준동형인 것들이다. \(\mathcal{C}\)의 대상 \(A', A''\) 사이의 사상은 \(A\)-대수들의 국소 준동형 \(A' \to A''\)이다. \(A \to B\)를 국소환들의 국소환 사상이라 하고 \(M\)을 \(B\)-가군이라 하자. \(A'\)가 \(\mathcal{C}\)의 대상이면 \(B' = B \otimes_A A'\)로 두고, \(M' = M \otimes_A A'\)를 \(B'\)-가군으로 둔다. \(A' \in \Ob(\mathcal{C})\)가 주어졌을 때 다음 조건을 생각하자. [05ML]\[\begin{equation} \forall \mathfrak q \in V(\mathfrak m_{A'}B' + \mathfrak m_B B') \subset \Spec(B') : M'_{\mathfrak q}\text{는 }A'\text{ 위에서 평탄이다}. \end{equation}\] More on Algebra, Equation (05LQ)과의 유사성에 유의하자. 특히 \(A' \to A''\)가 \(\mathcal{C}\)의 사상이고 (05ML)가 \(A'\)에 대하여 성립하면 \(A''\)에 대해서도 성립한다. More on Algebra, Lemma 05LR를 보라. 따라서 다음 함자를 얻는다. [05MM]\[\begin{equation} F_{lf} : \mathcal{C} \longrightarrow \textit{Sets}, \quad A' \longrightarrow \left\{ \begin{matrix} \{*\} & \text{조건 }(\href{flat.html#flat-equation-flat-at-primes}{05ML})\text{가 성립하면}, \\ \emptyset & \text{그렇지 않으면.} & \end{matrix} \right. \end{equation}\]

보조정리

Situation 05MK의 상황이라 하자.

1. \(A' \to A''\)가 \(\mathcal{C}\)의 평탄 사상이면 \(F_{lf}(A') = F_{lf}(A'')\)이다.

2. \(A \to B\)가 본질적으로 유한표현이고 \(M\)이 유한표현 \(B\)-가군이면 \(F_{lf}\)는 극한 보존이다. 즉 \(\{A_i\}_{i \in I}\)가 \(\mathcal{C}\)의 대상들의 유향계를 이루면 \(F_{lf}(\colim_i A_i) = \colim_i F_{lf}(A_i)\).

증명

(1)은 More on Algebra, Lemma 05LS의 특수한 경우이다. (2)는 More on Algebra, Lemma 05LT의 특수한 경우이다.

보조정리

Situation 05MK의 상황이라 하자.

\(B \to C\)를 국소 \(A\)-대수들의 국소 사상이라 하고 \(N\)을 \(C\)-가군이라 하자. 쌍 \((C, N)\)에 결부된 함자를 \(F'_{lf} : \mathcal{C} \to \textit{Sets}\)라 하자. \(M \cong N\)이 \(B\)-가군으로서 성립하고 \(B \to C\)가 유한이면 \(F_{lf} = F'_{lf}\).

증명

\(A'\)를 \(\mathcal{C}\)의 대상이라 하자. Situation 05MK에서 \(B'\), \(M'\)을 정의한 것과 마찬가지로 \(C' = C \otimes_A A'\)와 \(N' = N \otimes_A A'\)로 두자. \(M' \cong N'\)이 \(B'\)-가군으로서 성립함에 유의하자. \(B \to C\)가 유한이라는 가정에는 두 결과가 있다. (a) \(\mathfrak m_C = \sqrt{\mathfrak m_B C}\)이고, (b) \(B' \to C'\)가 유한이다. (a)로부터 다음을 얻는다. \[V(\mathfrak m_{A'}C' + \mathfrak m_C C') = \left( \Spec(C') \to \Spec(B') \right)^{-1}V(\mathfrak m_{A'}B' + \mathfrak m_B B').\]

\(\mathfrak q \subset V(\mathfrak m_{A'}B' + \mathfrak m_B B')\)라고 가정하자. \(M'_{\mathfrak q}\)가 \(A'\) 위에서 평탄일 필요충분조건은 \(C'_{\mathfrak q}\)-가군 \(N'_{\mathfrak q}\)가 \(A'\) 위에서 평탄인 것이고(둘은 \(A'\)-가군으로서 동형이기 때문이다), 다시 이것의 필요충분조건은 \(C'_{\mathfrak q}\)의 모든 극대 아이디얼 \(\mathfrak r\)에 대하여 가군 \(N'_{\mathfrak r}\)가 \(A'\) 위에서 평탄인 것이다(Algebra, Lemma 00HT를 보라). (b)에 의해 \(B'_{\mathfrak q} \to C'_{\mathfrak q}\)가 유한이므로, \(C'_{\mathfrak q}\)의 극대 아이디얼들은 \(\mathfrak q\) 위에 놓이는 \(C'\)의 소아이디얼들과 정확히 대응한다(Algebra, Lemma 00GU을 보라). 위의 표시식에 의해 이 소아이디얼들은 모두 \(V(\mathfrak m_{A'}C' + \mathfrak m_C C')\)에 포함된다. 따라서 보조정리의 결론이 성립한다.

보조정리

Situation 05MK에서 \(B \to C\)가 국소환들의 평탄 국소 준동형이라고 가정하자. \(N = M \otimes_B C\)로 두고, 쌍 \((C, N)\)에 결부된 함자를 \(F'_{lf} : \mathcal{C} \to \textit{Sets}\)라 하자. 그러면 \(F_{lf} = F'_{lf}\)이다.

증명

\(A'\)를 \(\mathcal{C}\)의 대상이라 하자. Situation 05MK에서 \(B'\), \(M'\)을 정의한 것과 마찬가지로 \(C' = C \otimes_A A'\)와 \(N' = N \otimes_A A' = M' \otimes_{B'} C'\)로 두자. 다음에 유의하자. \[V(\mathfrak m_{A'}B' + \mathfrak m_B B') = \Spec( \kappa(\mathfrak m_B) \otimes_A \kappa(\mathfrak m_{A'}) )\] 그리고 \(V(\mathfrak m_{A'}C' + \mathfrak m_C C')\)에 대해서도 마찬가지이다. 환 사상 \[\kappa(\mathfrak m_B) \otimes_A \kappa(\mathfrak m_{A'}) \longrightarrow \kappa(\mathfrak m_C) \otimes_A \kappa(\mathfrak m_{A'})\] 은 충실히 평탄이다. 따라서 \(V(\mathfrak m_{A'}C' + \mathfrak m_C C') \to V(\mathfrak m_{A'}B' + \mathfrak m_B B')\)는 전사이다. 마지막으로 \(\mathfrak r \in V(\mathfrak m_{A'}C' + \mathfrak m_C C')\)가 \(\mathfrak q \in V(\mathfrak m_{A'}B' + \mathfrak m_B B')\)로 간다면, \(B' \to C'\)가 평탄이므로 \(M'_{\mathfrak q}\)가 \(A'\) 위에서 평탄일 필요충분조건은 \(N'_{\mathfrak r}\)가 \(A'\) 위에서 평탄인 것이다. Algebra, Lemma 0584을 보라. 이 관찰들로부터 보조정리가 형식적으로 따른다.

설정

\(f : X \to S\)를 기하적으로 기약인 올을 갖는 매끄러운 사상이라 하자. \(\mathcal{F}\)를 유한형 준연접 \(\mathcal{O}_X\)-가군이라 하자. \(S\) 위의 임의의 스킴 \(T\)에 대하여 \(\mathcal{F}\)의 \(T\)로의 기저변환을 \(\mathcal{F}_T\)로 나타내겠다. 다시 말해 \(\mathcal{F}_T\)는 사영 사상 \(X_T = X \times_S T \to X\)에 의한 \(\mathcal{F}\)의 당김이다. \(X_T \to T\)는 기하적으로 기약인 올을 갖는 매끄러운 사상이다. Morphisms, Lemma 01VB와 More on Morphisms, Lemma 0555를 보라. \(p \geq 0\)을 정수라 하자. 점 \(t \in T\)가 주어졌을 때 다음 조건을 생각하자. [05MQ]\[\begin{equation} \mathcal{F}_T\text{는 }\xi_t\text{의 한 근방에서 계수 }p\text{인 자유 가군이다} \end{equation}\] 여기서 \(\xi_t\)는 올 \(X_t\)의 일반점이다. 모든 \(t \in T\)에 대한 이 조건은 기저변환 아래에서 안정적이므로 다음 함자를 얻는다. [05MR]\[\begin{equation} H_p : (\Sch/S)^{opp} \longrightarrow \textit{Sets}, \quad T \longrightarrow \left\{ \begin{matrix} \{*\} & \mathcal{F}_T\text{가 모든 }\forall t\in T\text{에 대하여 (\href{flat.html#flat-equation-free-at-generic-point-fibre}{05MQ})를 만족하면}, \\ \emptyset & \text{그렇지 않으면.} \end{matrix} \right. \end{equation}\]

보조정리

Situation 05MP의 상황이라 하자.

1. 함자 \(H_p\)는 fpqc 위상에 대한 층 성질을 만족한다.

2. \(\mathcal{F}\)가 유한표현이면 함자 \(H_p\)는 극한 보존이다.

증명

\(\{T_i \to T\}_{i \in I}\)를 \(S\) 위의 스킴들의 fpqc¹ 덮개라 하자. \(X_i = X_{T_i} = X \times_S T_i\)로 두고, \(X_i\)로의 \(\mathcal{F}\)의 당김을 \(\mathcal{F}_i\)로 나타내자. 모든 \(i\)에 대하여 \(\mathcal{F}_i\)가 (05MQ)를 만족한다고 가정하자. \(t \in T\)를 택하고 \(\xi_t \in X_T\)를 \(X_t\)의 일반점이라 하자.

\(\mathcal{F}\)가 \(\xi_t\)의 한 근방에서 자유임을 보여야 한다.

어떤 \(i \in I\)에 대하여 \(t\)로 가는 \(t_i \in T_i\)를 찾을 수 있다. \(\xi_i \in X_i\)를 \(X_{t_i}\)의 일반점이라 하자. 그러면 \(\xi_i\)는 \(\xi_t\)로 간다. \(\mathcal{F}_i\)가 \(\xi_i\)의 한 근방에서 계수 \(p\)인 자유 가군이라는 사실로부터 다음을 얻는다.

\((\mathcal{F}_i)_{x_i} \cong \mathcal{O}_{X_i, x_i}^{\oplus p}\) 이는 다음을 함의한다. \(\mathcal{F}_{T, \xi_t} \cong \mathcal{O}_{X_T, \xi_t}^{\oplus p}\) \(\mathcal{O}_{X_T, \xi_t} \to \mathcal{O}_{X_i, x_i}\)가 평탄이기 때문이다. 예를 들어 Algebra, Lemma 00O1를 보라. 따라서 \(X_T\)에서 \(\xi_t\)의 아핀 근방 \(U\)와 전사 사상 \(\mathcal{O}_U^{\oplus p} \to \mathcal{F}_U = \mathcal{F}_T|_U\) 이 존재한다. Modules, Lemma 01B8를 보라. \(T\)를 줄인 뒤 \(U \to T\)가 전사라고 가정해도 된다. 따라서 \(U \to T\)는 기하적으로 기약인 올을 갖는 아핀 스킴들의 매끄러운 사상이다. 더욱이 모든 \(t' \in T\)에 대하여 유도된 사상 \[\alpha : \mathcal{O}_{U, \xi_{t'}}^{\oplus p} \longrightarrow \mathcal{F}_{U, \xi_{t'}}\] 은 동형이다(앞과 같은 논증으로 오른쪽 가군이 계수 \(p\)인 자유 가군이기 때문이다). Lemma 05I3로부터 \[\Gamma(U, \mathcal{O}_U^{\oplus p}) \otimes_{\Gamma(T, \mathcal{O}_T)} \mathcal{O}_{T, t'} \longrightarrow \Gamma(U, \mathcal{F}_U) \otimes_{\Gamma(T, \mathcal{O}_T)} \mathcal{O}_{T, t'}\] 가 모든 \(t' \in T\)에 대하여 단사임을 얻는다. 따라서 전사 사상 \(\alpha\)는 동형이다. 이로써 (1)의 증명이 끝난다.

\(\mathcal{F}\)가 유한표현이라고 가정하자. \(T = \lim_{i \in I} T_i\)를 아핀 \(S\)-스킴들의 유향 극한이라 하고 \(\mathcal{F}_T\)가 (05MQ)를 만족한다고 가정하자. \(X_i = X_{T_i} = X \times_S T_i\)로 두고 \(X_i\)로의 \(\mathcal{F}\)의 당김을 \(\mathcal{F}_i\)로 나타내자. \(U \subset X_T\)를 \(\mathcal{F}_T\)가 \(T\) 위에서 평탄인 점들로 이루어진 열린부분스킴이라 하자. More on Morphisms, Theorem 0399를 보라. 가정에 의해 모든 올의 모든 일반점은 \(U\)의 점이다. 즉 \(U \to T\)는 기하적으로 기약인 올을 갖는 매끄러운 전사 사상이다. \(U\)를 조금 줄여 \(U\)가 준콤팩트라고 가정해도 된다. Limits, Lemma 01Z4를 사용하면, \(X_T\)에서의 역상이 \(U\)인 어떤 \(i \in I\)와 준콤팩트 열린집합 \(U_i \subset X_i\)를 찾을 수 있다. \(i\)를 증가시킨 뒤 \(\mathcal{F}_i|_{U_i}\)가 \(T_i\) 위에서 평탄이라고 가정해도 된다. Limits, Lemma 05LY를 보라. 특히 \(\mathcal{F}_i|_{U_i}\)는 유한 국소 자유이므로 국소 상수 계수 함수 \(\rho : U_i \to \{0, 1, 2, \ldots \}\)를 정의한다. \((U_i)_p \subset U_i\)를 \(\rho\)의 값이 \(p\)인 열린닫힌 부분집합이라 하자. \(V_i \subset T_i\)를 \((U_i)_p\)의 상이라 하자. \(V_i\)는 열린집합이고 준콤팩트임에 유의하자. 가정에 의해 \(T \to T_i\)의 상은 \(V_i\)에 포함된다. 따라서 Limits, Lemma 01Z4에 의해 \(T_{i'} \to T_i\)가 \(V_i\)를 통해 인수분해되는 어떤 \(i' \geq i\)가 존재한다. 그러면 \(\mathcal{F}_{i'}\)는 원하는 대로 (05MQ)를 만족한다. 몇몇 세부 사항은 생략한다.

보조정리

\(f : X \to S\)를 국소 유한형인 스킴 사상이라 하자. \(\mathcal{F}\)를 유한형 준연접 \(\mathcal{O}_X\)-가군이라 하자. \(n \geq 0\)이라 하자. 다음 조건들은 동치이다.

1. \(s \in S\)에 대하여 \(\mathcal{F}\)가 \(S\) 위에서 평탄이지 않은 점들로 이루어진 닫힌 부분집합 \(Z \subset X_s\)(Lemma 05M9을 보라)는 \(\dim(Z) < n\)을 만족하고,

2. \(\mathcal{F}\)가 \(S\) 위의 \(x\)에서 평탄이지 않은 모든 \(x \in X\)에 대하여 \(\text{trdeg}_{\kappa(f(x))}(\kappa(x)) < n\)이다.

이 조건들이 성립하면 임의의 기저변환 뒤에도 성립한다.

증명

\(x \in X\)를 \(s \in S\) 위의 점이라 하자. Varieties, Lemma 0A21에 의해 \(X_s\)에서 \(\{x\}\)의 폐포의 차원은 \(\text{trdeg}_{\kappa(s)}(\kappa(x))\)이다. 반대로 \(Z \subset X_s\)가 차원 \(d\)인 닫힌 부분집합이면 \(\text{trdeg}_{\kappa(s)}(\kappa(x)) = d\)인 점 \(x \in Z\)가 존재한다 (같은 참조를 보라). 따라서 (1)과 (2)는 동치이다(각 올마다도 그러하다). 기저변환에 관한 명제는 Morphisms, Lemmas 01U8와 02FY에서 따른다.

정의

\(f : X \to S\)를 국소 유한형인 스킴 사상이라 하자. \(\mathcal{F}\)를 유한형 준연접 \(\mathcal{O}_X\)-가군이라 하자. \(n \geq 0\)이라 하자. Lemma 0CWF의 동치인 조건들이 성립하면 \(\mathcal{F}\)가 차원 \(\geq n\)에서 \(S\) 위에 평탄하다고 한다.

설정

\(f : X \to S\)를 국소 유한형인 스킴 사상이라 하자. \(\mathcal{F}\)를 유한형 준연접 \(\mathcal{O}_X\)-가군이라 하자. \(S\) 위의 임의의 스킴 \(T\)에 대하여 \(\mathcal{F}\)의 \(T\)로의 기저변환을 \(\mathcal{F}_T\)로 나타내겠다. 다시 말해 \(\mathcal{F}_T\)는 사영 사상 \(X_T = X \times_S T \to X\)에 의한 \(\mathcal{F}\)의 당김이다.

\(X_T \to T\)는 유한형이고 \(\mathcal{F}_T\)는 유한형 \(\mathcal{O}_{X_T}\)-가군이다(Morphisms, Lemma 01T4와 Modules, Lemma 01B6를 보라). \(n \geq 0\)이라 하자. Definition 0CWG과 Lemma 0CWF에 의해 다음 함자를 얻는다. [05MU]\[\begin{equation} F_n : (\Sch/S)^{opp} \longrightarrow \textit{Sets}, \quad T \longrightarrow \left\{ \begin{matrix} \{*\} & \mathcal{F}_T\text{가 }T\text{ 위에서 차원 }\dim \geq n\text{에 평탄하면}, \\ \emptyset & \text{그렇지 않으면.} \end{matrix} \right. \end{equation}\]

보조정리

Situation 05MT의 상황이라 하자.

1. 함자 \(F_n\)은 fpqc 위상에 대한 층 성질을 만족한다.

2. \(f\)가 준콤팩트이고 국소 유한표현이며 \(\mathcal{F}\)가 유한표현이면 함자 \(F_n\)은 극한 보존이다.

증명

\(\{T_i \to T\}_{i \in I}\)를 \(S\) 위의 스킴들의 fpqc 덮개라 하자. \(X_i = X_{T_i} = X \times_S T_i\)로 두고 \(X_i\)로의 \(\mathcal{F}\)의 당김을 \(\mathcal{F}_i\)로 나타내자. 모든 \(i\)에 대하여 \(\mathcal{F}_i\)가 차원 \(\geq n\)에서 \(T_i\) 위에 평탄이라고 가정하자. \(t \in T\)라 하자. 지표 \(i\)와 \(t\)로 가는 점 \(t_i \in T_i\)를 택하자. 다음 카르테시안 그림을 생각하자. \[\xymatrix{ X_{\Spec(\mathcal{O}_{T, t})} \ar[d] & X_{\Spec(\mathcal{O}_{T_i, t_i})} \ar[d] \ar[l] \\ \Spec(\mathcal{O}_{T, t}) & \Spec(\mathcal{O}_{T_i, t_i}) \ar[l] }\] 아래 가로 사상이 평탄이므로 More on Morphisms, Lemma 047C에 의해, \(\mathcal{F}_i\)가 \(T_i\) 위에서 평탄이지 않은 점들의 집합 \(Z_i \subset X_{t_i}\)와 \(\mathcal{F}_T\)가 \(T\) 위에서 평탄이지 않은 점들의 집합 \(Z \subset X_t\)는 \(Z_i = Z_{\kappa(t_i)}\)라는 관계를 만족한다. 따라서 Morphisms, Lemma 02FY에 의해 \(\mathcal{F}_T\)는 차원 \(\geq n\)에서 \(T\) 위에 평탄이다.

\(f\)가 준콤팩트이고 국소 유한표현이며 \(\mathcal{F}\)가 유한표현이라고 가정하자. 이 문단에서는 먼저 (2)의 증명을 \(f\)가 유한표현인 경우로 귀착시킨다. \(T = \lim_{i \in I} T_i\)를 아핀 \(S\)-스킴들의 유향 극한이라 하고 \(\mathcal{F}_T\)가 차원 \(\geq n\)에서 평탄이라고 가정하자. \(X_i = X_{T_i} = X \times_S T_i\)로 두고 \(X_i\)로의 \(\mathcal{F}\)의 당김을 \(\mathcal{F}_i\)로 나타내자. 어떤 \(i\)에 대하여 \(\mathcal{F}_i\)가 차원 \(\geq n\)에서 평탄임을 보여야 한다. \(i_0 \in I\)를 택하고 \(I\)를 \(\{i \mid i \geq i_0\}\)로 바꾸자. \(T_{i_0}\)가 아핀이므로(따라서 준콤팩트이므로) 유한 개의 아핀 열린집합 \(W_j \subset S\), \(j = 1, \ldots, m\)과 아핀 열린 덮개

\(T_{i_0} = \bigcup_{j = 1, \ldots, m} V_{j, i_0}\)가 존재하여 \(T_{i_0} \to S\)는 \(V_{j, i_0}\)를 \(W_j\) 안으로 보낸다. \(i \geq i_0\)에 대하여 \(T_i\)에서의 \(V_{j, i_0}\)의 역상을 \(V_{j, i}\)로 나타내자. 각 \(j\)마다 어떤 \(i\)가 존재하여

\(\mathcal{F}_{V_{j, i_0}}\)가 차원 \(\geq n\)에서 평탄임을 보일 수 있다면 결론을 얻는다. 이와 같이 \(S\)가 아핀인 경우로 귀착된다. 이 경우 \(X\)는 준콤팩트이고 유한 아핀 열린 덮개 \(X = W_1 \cup \ldots \cup W_m\)를 택할 수 있다. 이때 \((X \to S, \mathcal{F})\)에 대한 결과는 \((\coprod W_j, \coprod \mathcal{F}|_{W_j})\)에 대한 결과와 동치이다. 따라서 \(f\)가 유한표현이라고 가정해도 된다.

\(f\)와 \(\mathcal{F}\)가 유한표현이라고 가정하자. \(U \subset X_T\)를 \(\mathcal{F}_T\)가 \(T\) 위에서 평탄인 점들로 이루어진 열린부분스킴이라 하자. More on Morphisms, Theorem 0399를 보라. 가정에 의해 \(Z = X_T \setminus U\)의 \(T\) 위의 모든 올은 차원 \(< n\)이다. Limits, Lemma 05M6에 의해, 모든 \(t \in T\)에 대하여 \(\dim(Z'_t) < n\)이고 \(Z' \to X_T\)가 유한표현인 닫힌부분스킴 \(Z \subset Z' \subset X_T\)를 찾을 수 있다. Limits, Lemmas 01ZM와 01ZP에 의해, \(T\)로의 기저변환이 \(Z'\)인 어떤 \(i \in I\)와 유한표현 닫힌부분스킴 \(Z'_i \subset X_i\)가 존재한다. Limits, Lemma 05M5에 의해 \(Z'_i \to T_i\)의 모든 올의 차원이 \(< n\)이라고 가정해도 된다. Limits, Lemma 05LY에 의해

\(\mathcal{F}_i|_{X_i \setminus T'_i}\)가 \(T_i\) 위에서 평탄이라고 가정해도 된다. 이는 \(\mathcal{F}_i\)가 차원 \(\geq n\)에서 평탄임을 함의한다. 여기서는 \(Z' \to X_T\)가 유한표현이고 따라서 여집합 \(X_T \setminus Z'\)가 준콤팩트라는 사실을 사용한다! 이로써 (2)가 증명되었고 보조정리의 증명이 끝난다.

설정

\(f : X \to S\)를 스킴 사상이라 하고 \(\mathcal{F}\)를 준연접 \(\mathcal{O}_X\)-가군이라 하자. \(S\) 위의 임의의 스킴 \(T\)에 대하여 \(\mathcal{F}\)의 \(T\)로의 기저변환을 \(\mathcal{F}_T\)로 나타내겠다. 다시 말해 \(\mathcal{F}_T\)는 사영 사상 \(X_T = X \times_S T \to X\)에 의한 \(\mathcal{F}\)의 당김이다. 평탄 가군의 기저변환은 평탄이므로 다음 함자를 얻는다. [05MX]\[\begin{equation} F_{flat} : (\Sch/S)^{opp} \longrightarrow \textit{Sets}, \quad T \longrightarrow \left\{ \begin{matrix} \{*\} & \mathcal{F}_T \text{가 }T\text{ 위에서 평탄이면}, \\ \emptyset & \text{그렇지 않으면.} \end{matrix} \right. \end{equation}\]

보조정리

Situation 05MW의 상황이라 하자.

1. 함자 \(F_{flat}\)는 fpqc 위상에 대한 층 성질을 만족한다.

2. \(f\)가 준콤팩트이고 국소 유한표현이며 \(\mathcal{F}\)가 유한표현이면 함자 \(F_{flat}\)는 극한 보존이다.

증명

(1)은 다음 명제에서 따른다. \(T' \to T\)가 \(S\) 위의 스킴들의 평탄 전사 사상이면 \(\mathcal{F}_{T'}\)가 \(T'\) 위에서 평탄일 필요충분조건은 \(\mathcal{F}_T\)가 \(T\) 위에서 평탄인 것이다. More on Morphisms, Lemma 047C를 보라. (2)는 \(X\)와 \(S\)가 아핀인 경우로 귀착시킨 뒤 Limits, Lemma 05LY에서 따른다 (Lemma 05MV의 증명과 비교하라).

평탄화 층화

정의만 제시한다.

“일반 평탄성 층화”를 찾는 독자는 More on Morphisms, Section 0H3Y를 참고하라.

정의

\(X \to S\)를 스킴 사상이라 하고 \(\mathcal{F}\)를 준연접 \(\mathcal{O}_X\)-가군이라 하자. Situation 05MW에서 정의한 함자 \(F_{flat}\)가 \(S\) 위의 스킴 \(S'\)에 의해 표현가능이면 \(\mathcal{F}\)의 보편 평탄화가 존재한다고 한다. \(\mathcal{O}_X\)의 보편 평탄화가 존재하면 \(X\)의 보편 평탄화가 존재한다고 한다.

\(\mathcal{F}\)의 보편 평탄화 \(S'\)²가 존재하면, 사상 \(S' \to S\)는 스킴들의 전사 단사 사상이고 \(\mathcal{F}_{S'}\)는 \(S'\) 위에서 평탄이며, 사상 \(T \to S\)가 \(S'\)를 통해 인수분해될 필요충분조건은 \(\mathcal{F}_T\)가 \(T\) 위에서 평탄인 것이다.

예

\(k\)를 체라 하고 \(X = S = \Spec(k[x, y])\)라 하자. \(M = k[x, x^{-1}, y]/(y)\)인 \(\mathcal{F} = \widetilde{M}\)이라 하자. \(k[x, y]\)-대수 \(A\)에 대하여 \(F_{flat}(A) = F_{flat}(\Spec(A))\)로 두자. 모든 \(n\)에 대하여 \(F_{flat}(k[x, y]/(x, y)^n) = \{*\}\)이지만 \(F_{flat}(k[[x, y]]) = \emptyset\)이다. 이는 \(F_{flat}\)가 표현가능하지 않음을 뜻한다(대수공간에 의해서조차 그러하다. Formal Spaces, Lemma 0AQH를 보라). 따라서 이 경우에는 보편 평탄화가 존재하지 않는다.

스킴 \(S\)의 (국소 유한이고 스킴론적인) 층화를 다음 자료로 정의한다(Topology, Remark 09Y2와 비교하라). 부분순서 집합 \(I\)로 지표화된 닫힌부분스킴 \(Z_i \subset S\)들이 주어져서 \(S = \bigcup Z_i\)가 집합론적으로 성립하고, \(S\)의 모든 점은 유한 개의 \(Z_i\)와만 만나는 근방을 가지며, 다음이 성립한다. \[Z_i \cap Z_j = \bigcup\nolimits_{k \leq i, j} Z_k.\] \(S_i = Z_i \setminus \bigcup_{j < i} Z_j\)로 두면 실제 층화는 국소 닫힌 부분스킴들로의 분해 \(S = \coprod S_i\)이다. 흔히 층 \(S_i\)만 제시하고 닫힌부분스킴 \(Z_i\)의 구성은 독자에게 맡긴다. 층화가 주어지면 단사 사상 \[S' = \coprod\nolimits_{i \in I} S_i \longrightarrow S.\] 을 얻는다. 이를 층화에 결부된 단사 사상이라 부르겠다. 이 용어를 써서 평탄화 층화를 갖는다는 말의 뜻을 정의할 수 있다.

정의

\(X \to S\)를 스킴 사상이라 하고 \(\mathcal{F}\)를 준연접 \(\mathcal{O}_X\)-가군이라 하자. Situation 05MW에서 정의한 함자 \(F_{flat}\)가 국소 닫힌 부분스킴들에 의한 \(S\)의 층화에 결부된 단사 사상 \(S' \to S\)에 의해 표현가능이면 \(\mathcal{F}\)가 평탄화 층화를 갖는다고 한다. \(\mathcal{O}_X\)가 평탄화 층화를 가지면 \(X\)가 평탄화 층화를 갖는다고 한다.

평탄화 층화가 존재할 때는 층들을 지표화하는 집합과 그 부분순서를 이해하는 일이 흔히 중요하다. 이는 흔히 가군의 계수와 관련된다. 예를 들어 \(X = S\)이고 \(\mathcal{F}\)가 유한표현 \(\mathcal{O}_S\)-가군이면 평탄화 층화가 존재하며 \(\mathcal{F}\)의 피팅 아이디얼들에 의해 주어진다. Divisors, Lemma 05P9를 보라.

아르틴 환 위의 평탄화 층화

기저 스킴이 아르틴 환의 스펙트럼이면 평탄화 층화가 존재한다.

보조정리

\(S\)를 아르틴 환의 스펙트럼이라 하자.

\(S\) 위의 임의의 스킴 \(X\)와 임의의 준연접 \(\mathcal{O}_X\)-가군에 대하여 보편 평탄화가 존재한다. 실제로 보편 평탄화는 닫힌 몰입 \(S' \to S\)에 의해 주어지므로 \(\mathcal{F}\)에 대한 평탄화 층화이기도 하다.

증명

아핀 열린 덮개 \(X = \bigcup U_i\)를 택하자. 그러면 \(F_{flat}\)는 각 쌍 \((U_i, \mathcal{F}|_{U_i})\)에 결부된 함자들의 곱이다. 따라서 각 \((U_i, \mathcal{F}|_{U_i})\)에 대하여 결과를 증명하면 충분하다. 아핀인 경우 보조정리는 More on Algebra, Lemma 0525에서 즉시 따른다.

사상의 평탄화

Theorem 05PF은 뒤의 평탄화 명제들의 핵심이다.

보조정리

\(S\)를 스킴이라 하자. \(g : X' \to X\)를 \(S\) 위의 스킴들의 평탄 사상이라 하고 \(X\)가 \(S\) 위에서 국소 유한형이라고 하자. \(\mathcal{F}\)를 \(S\) 위에서 평탄인 유한형 준연접 \(\mathcal{O}_X\)-가군이라 하자. 만일 \(\text{Ass}_{X/S}(\mathcal{F}) \subset g(X')\)이면 표준 사상 \[\mathcal{F} \longrightarrow g_*g^*\mathcal{F}\] 은 단사이고 임의의 기저변환 뒤에도 단사로 남는다.

증명

마지막 주장은 임의의 사상 \(T \to S\)에 대하여 \(\mathcal{F}_T \to (g_T)_*g_T^*\mathcal{F}_T\)가 단사라는 뜻이다. 가정 \(\text{Ass}_{X/S}(\mathcal{F}) \subset g(X')\)는 기저변환 아래에서 보존된다. Divisors, Lemma 05DC과 Remark 05KL을 보라. 평탄성과 유한형이라는 가정도 마찬가지이다. 따라서 표시된 화살표가 단사임을 증명하면 충분하다. \(\mathcal{K} = \Ker(\mathcal{F} \to g_*g^*\mathcal{F})\)라 하자. \(\mathcal{K} = 0\)임을 증명하는 것이 목표이다. 이를 위해서는 \(\text{WeakAss}_X(\mathcal{K}) = \emptyset\)임을 증명하면 충분하다. Divisors, Lemma 05AP를 보라. 또한 \(\text{WeakAss}_X(\mathcal{K}) \subset \text{WeakAss}_X(\mathcal{F})\)이다. Divisors, Lemma 05AN를 보라. \(\mathcal{F}\)가 평탄이므로 Lemma 05IJ에 의해 \(\text{WeakAss}_X(\mathcal{F}) \subset \text{Ass}_{X/S}(\mathcal{F})\)이다. 가정에 의해 \(\text{Ass}_{X/S}(\mathcal{F})\)의 임의의 점 \(x\)는 어떤 \(x' \in X'\)의 상이다. \(g\)가 평탄이므로 국소환 사상 \(\mathcal{O}_{X, x} \to \mathcal{O}_{X', x'}\)는 충실히 평탄이고, 따라서 사상 \[\mathcal{F}_x \longrightarrow g^*\mathcal{F}_{x'} = \mathcal{F}_x \otimes_{\mathcal{O}_{X, x}} \mathcal{O}_{X', x'}\] 은 단사이다(Algebra, Lemma 05CK를 보라). 이는 원하는 대로 \(\mathcal{K}_x = 0\)을 함의한다.

보조정리

\(A\)를 환이라 하고 \(u : M \to N\)을 \(A\)-가군들의 전사 사상이라 하자. \(M\)이 \(A\)-가군으로서 사영이면, 임의의 환 사상 \(\varphi : A \to B\)에 대하여 다음 조건들이 동치가 되게 하는 아이디얼 \(I \subset A\)가 존재한다.

1. \(u \otimes 1 : M \otimes_A B \to N \otimes_A B\)는 동형이고,

2. \(\varphi(I) = 0\).

증명

\(M\)이 사영이므로 \(F = M \oplus C\)가 자유 \(A\)-가군이 되게 하는 사영 \(A\)-가군 \(C\)를 찾을 수 있다. \(u\)를 \(u \oplus 1 : F = M \oplus C \to N \oplus C\)로 바꾸면 \(M\)이 자유라고 가정해도 됨을 알 수 있다. 이 경우 \(M\)의 어떤 고정된 기저에 관한 \(\Ker(u)\)의 모든 원소의 계수들로 생성되는 \(A\)의 아이디얼을 \(I\)라 하자. 이것이 성립하는 까닭은 \(u\)가 전사이고 \(\otimes_A B\)가 오른쪽 완전이므로 \(\Ker(u \otimes 1)\)이 \(M \otimes_A B\) 안에서 \(\Ker(u) \otimes_A B\)의 상이기 때문이다.

정리

Situation 05MH에서 다음을 가정하자.

1. \(f\)는 유한표현이고,

2. \(\mathcal{F}\)는 유한표현이며 \(S\) 위에서 평탄이고 \(S\)에 상대적으로 순수하며,

3. \(u\)는 전사이다.

그러면 \(F_{iso}\)는 닫힌 몰입 \(Z \to S\)에 의해 표현가능하다. 더욱이 \(\mathcal{G}\)가 유한표현이면 \(Z \to S\)도 유한표현이다.

증명

\(\mathcal{F}\)가 \(S\) 위에서 보편적으로 순수라는 사실을 더 언급하지 않고 사용하겠다. Lemma 05L5을 보라. Lemma 05MJ와 Descent, Lemmas 03I0, 02W5에 의해 이 문제는 \(S\) 위의 에탈 위상에 대하여 국소적이다. 따라서 \(s \in S\)가 주어졌을 때 정리가 성립하는 \((S, s)\)의 에탈 근방이 존재함을 증명하면 충분하다.

Lemma 05KW를 사용하고 \(S\)를 \(s\)의 기본 에탈 근방으로 바꾼 뒤, 다음 가환 그림이 존재한다고 가정해도 된다. \[\xymatrix{ X \ar[dr] & & X' \ar[ll]^g \ar[ld] \\ & S & }\] 이는 \(S\) 위의 유한표현 스킴들로 이루어지고, 여기서 \(g\)는 에탈이며 \(X_s \subset g(X')\)이고 스킴 \(X'\)와 \(S\)는 아핀이며,

\(\Gamma(X', g^*\mathcal{F})\)는 사영 \(\Gamma(S, \mathcal{O}_S)\)-가군이다. \(g^*\mathcal{F}\)는 \(S\) 위에서 보편적으로 순수임에 유의하자. Lemma 05K6를 보라. 따라서 Lemma 05L4에 의해 열린집합 \(g(X')\)는 \(\Spec(\mathcal{O}_{S, s})\) 위에 놓이는 \(\text{Ass}_{X/S}(\mathcal{F})\)의 점들을 포함한다. 다음과 같이 두자. \[E = \{t \in S \mid \text{Ass}_{X_t}(\mathcal{F}_t) \subset g(X') \}.\] More on Morphisms, Lemma 05KR에 의해 \(E\)는 \(S\)의 구성가능 부분집합이다. 앞에서 \(\Spec(\mathcal{O}_{S, s}) \subset E\)임을 보았다. Morphisms, Lemma 05LW에 의해 \(E\)는 \(s\)의 열린 근방을 포함한다. 따라서 \(S\)를 \(s\)의 더 작은 아핀 근방으로 바꾼 뒤 \(\text{Ass}_{X/S}(\mathcal{F}) \subset g(X')\)라고 가정해도 된다.

\(u\)가 전사라고 가정했으므로 \(F_{iso} = F_{inj}\)이다. Lemma 05PD에 의해 \(u : \mathcal{F} \to \mathcal{G}\)가 단사일 필요충분조건은 \(g^*u : g^*\mathcal{F} \to g^*\mathcal{G}\)가 단사인 것이며, 이는 임의의 기저변환 뒤에도 성립한다. 따라서 정리의 가정들에 더하여 \(X \to S\)가 아핀 스킴들의 사상이고 \(\Gamma(X, \mathcal{F})\)가 사영 \(\Gamma(S, \mathcal{O}_S)\)-가군인 경우로 귀착되었다. 이 경우는 Lemma 05PE에서 즉시 따른다.

\(\mathcal{G}\)가 유한표현일 때 \(Z\)가 유한표현임을 보이려면 Lemma 05MJ의 (4)와 Limits, Remark 05LX을 함께 사용하면 된다.

보조정리

\(f:X\to S\)를 유한표현이고 평탄이며 순수인 스킴 사상이라 하자. \(Y\)를 \(X\)의 닫힌부분스킴이라 하자. \(F=f_*Y\)를 \(f\)를 따른 \(Y\)의 베유 제한 함자라 하자. 이는 다음과 같이 정의된다. \[F : (\Sch/S)^{opp} \to \textit{Sets}, \quad T \mapsto \left\{ \begin{matrix} \{*\} & \text{다음이면} & Y_T\to X_T \text{는 동형이다, }\\ \emptyset & \text{그렇지 않으면.} & \end{matrix} \right.\] 그러면 \(F\)는 닫힌 몰입 \(Z\to S\)에 의해 표현가능하다. 더욱이 \(Y\to S\)가 유한표현이면 \(Z\to S\)도 유한표현이다.

증명

\(\mathcal{I}\)를 \(X\)에서 \(Y\)를 정의하는 아이디얼 층이라 하고 \(u:\mathcal{O}_X\to\mathcal{O}_X/\mathcal{I}\)를 전사 사상이라 하자. 그러면 \(S\)-스킴 \(T\)에 대하여 닫힌 몰입 \(Y_T\to X_T\)가 동형일 필요충분조건은 \(u_T\)가 동형인 것이다. 따라서 결과는 Theorem 05PF에서 따른다.

국소 경우의 평탄화

이 절에서는 앞의 내용을 적용하여 평탄화 층화의 윤곽을 얻기 시작한다.

정리

Situation 05MK에서 \(A\)가 헨젤 환이고 \(B\)가 \(A\) 위에서 본질적으로 유한형이며 \(M\)이 유한 \(B\)-가군이라고 가정하자. 그러면 \(A/I\)가 범주 \(\mathcal{C}\) 위의 함자 \(F_{lf}\)를 공표현하게 하는 아이디얼 \(I \subset A\)가 존재한다. 다시 말해 \(B' = B \otimes_A A'\)와 \(M' = M \otimes_A A'\)를 갖는 국소환들의 국소 준동형 \(\varphi : A \to A'\)가 주어졌을 때 다음 조건들은 동치이다.

1. \(\forall \mathfrak q \in V(\mathfrak m_{A'}B' + \mathfrak m_B B') \subset \Spec(B') : M'_{\mathfrak q}\text{는 }A'\text{ 위에서 평탄이다}\)이고,

2. \(\varphi(I) = 0\).

\(B\)가 \(A\) 위에서 본질적으로 유한표현이고 \(M\)이 \(B\) 위에서 유한표현이면 \(I\)는 유한생성 아이디얼이다.

증명

\(B = C_{\mathfrak q}\)이고 \(M = N_{\mathfrak q}\)가 되도록 유한형 환 사상 \(A \to C\), 유한 \(C\)-가군 \(N\), 그리고 \(C\)의 소아이디얼 \(\mathfrak q\)를 택하자.

이하에서 “정리가 \((N/C/A, \mathfrak q)\)에 대하여 성립한다”고 하면, \(B = C_{\mathfrak q}\)이고 \(M = N_{\mathfrak q}\)인 \((A \to B, M)\)에 대하여 성립한다는 뜻이다. Lemma 05P5에 의해 \(B\)를 \(B\) 위에서 평탄인 국소환으로 바꾸어도 함자 \(F_{lf}\)는 변하지 않는다. 따라서 \(A\)가 헨젤 환이므로 Lemma 05I1를 적용하여 \(\mathfrak q\)에서 \(N/C/A\)의 완전 데비사주가 존재한다고 가정해도 된다.

\((A_i, B_i, M_i, \alpha_i, \mathfrak q_i)_{i = 1, \ldots, n}\)을 \(\mathfrak q\)에서 \(N/C/A\)의 그러한 완전 데비사주라 하자. Definition 05HZ에서와 같이 \(\mathfrak q_i \subset B_i\) 위에 놓이는 유일한 소아이디얼을 \(\mathfrak q'_i \subset A_i\)라 하자. \(C \to A_1\)은 전사이고 \(N \cong M_1\)이 \(C\)-가군으로서 성립하므로, Lemma 05P4에 의해 정리가 \((M_1/A_1/A, \mathfrak q'_1)\)에 대하여 성립함을 증명하면 충분하다.

\(B_1 \to A_1\)이 유한이고 \(\mathfrak q_1\)이 \(\mathfrak q'_1\) 위에 놓이는 \(B_1\)의 유일한 소아이디얼이므로 \((A_1)_{\mathfrak q'_1} \to (B_1)_{\mathfrak q_1}\)이 유한이다(Algebra, Lemma 00EA 또는 More on Morphisms, Lemma 05B8를 보라). 따라서 Lemma 05P4에 의해 정리가 \((M_1/B_1/A, \mathfrak q_1)\)에 대하여 성립함을 증명하면 충분하다.

이제 데비사주의 길이 \(n\)에 대한 귀납법으로 정리가 \((M_2/B_2/A, \mathfrak q_2)\)에 대하여 성립한다고 가정해도 된다. (\(n = 1\)이면 \(M_2 = 0\)이고 이는 \(A\) 위에서 평탄이다.) 앞 문단의 마지막 두 단계를 거꾸로 적용하고,

\(M_2 \cong \Coker(\alpha_2)\)가 \(B_1\)-가군으로서 성립함을 사용하면, 정리가 \((\Coker(\alpha_1)/B_1/A, \mathfrak q_1)\)에 대하여 성립함을 알 수 있다.

\(A'\)를 \(\mathcal{C}\)의 대상이라 하자. 여기서 Lemma 05I3를 사용하면, \(\mathfrak m_{A'}\) 위에 놓이는 \(B_1 \otimes_A A'\)의 소아이디얼 \(\mathfrak q'\)에 대하여 \((M_1 \otimes_A A')_{\mathfrak q'}\)가 \(A'\) 위에서 평탄이면 \((\Coker(\alpha_1) \otimes_A A')_{\mathfrak q'}\)도 \(A'\) 위에서 평탄임을 알 수 있다. 따라서 \(F_{lf}\)는 \((B_1)_{\mathfrak q_1}\) 위의 가군 \(\Coker(\alpha_1)_{\mathfrak q_1}\)에 결부된 함자 \(F'_{lf}\)의 부분함자이다. 앞 문단에 의해 \(F'_{lf}\)는 어떤 아이디얼 \(J \subset A\)에 대한 \(A/J\)로 공표현된다. 따라서 \(A\)를 \(A/J\)로 바꾸어 \(\Coker(\alpha_1)_{\mathfrak q_1}\)이 \(A\) 위에서 평탄이라고 가정해도 된다.

\(\Coker(\alpha_1)\)은 \(\mathfrak q_1\)에서 \(N_1/B_1/A\)의 완전 데비사주가 존재하는 \(B_1\)-가군이고 \(\Coker(\alpha_1)_{\mathfrak q_1}\)은 \(A\) 위에서 평탄이므로, Lemma 05I4에 의해 \(\Coker(\alpha_1)\)은 \(A\)-가군으로서 자유이고 특히 \(A\)-가군으로서 평탄이다. 따라서 Lemma 05I3에 의해

\(F_{lf}(A')\)가 공집합이 아닐 필요충분조건은 \(\alpha \otimes 1_{A'}\)가 단사인 것이다. \(N_1 = \Im(\alpha_1) \subset M_1\)로 두면 다음 완전열들을 얻는다. \[0 \to N_1 \to M_1 \to \Coker(\alpha_1) \to 0 \quad\text{이고}\quad B_1^{\oplus r_1} \to N_1 \to 0\] \(\Coker(\alpha_1)\)의 평탄성은 첫째 열이 보편 완전임을 함의한다 (Algebra, Lemma 058M를 보라). 따라서 \(\alpha \otimes 1_{A'}\)가 단사일 필요충분조건은 \(B_1^{\oplus r_1} \otimes_A A' \to N_1 \otimes_A A'\)가 동형인 것이다. 마지막으로 Theorem 05PF을 적용하면 이 함자가 어떤 아이디얼 \(I\)에 대한 \(A/I\)로 공표현됨을 알 수 있고, 따라서 \(F_{lf}\)도 \(A/I\)로 공표현된다는 결론을 얻는다.

마지막 명제를 증명하기 위하여 \(A \to B\)가 본질적으로 유한표현이고 \(M\)이 \(B\) 위에서 유한표현이라고 가정하자. \(F_{lf}\)가 \(A/I\)로 공표현되게 하는 아이디얼을 \(I \subset A\)라 하자. \(I\)에 포함된 유한생성 아이디얼 \(I_\lambda\)들을 움직여 \(I = \bigcup I_\lambda\)로 쓰자. \(F_{lf}(A/I) = \{*\}\)이므로 어떤 \(\lambda\)에 대하여 \(F_{lf}(A/I_\lambda) = \{*\}\)이다. Lemma 05MN의 (2)를 보라. 이는 분명히 \(I = I_\lambda\)를 함의한다.