平坦性についてさらに

序論

本章では、平坦加群とスキームの平坦射に関するいくつかの高度な結果、 およびその応用を論じる。平坦性に関する結果の大部分は Raynaud と Gruson の 論文 [GruRay] に見いだすことができる。

本章を読む前に、読者には次の結果に目を通すことを勧める （この一覧は以前の結果への案内も兼ねている）。

1. 平坦加群の一般論については Algebra, Section 00H9 を参照せよ。

2. \(\text{Tor}\) 群と平坦性の関係については Algebra, Section 00LY を参照せよ。

3. 平坦性の判定法については Algebra, Section 00MD （Noetherian の場合）、 Algebra, Section 051E （Artinian の場合）、 Algebra, Section 00R3 （非 Noetherian の場合）、そして最後に More on Morphisms, Section 039A を参照せよ。

4. 総称平坦性については Algebra, Section 051Q および Morphisms, Section 0529 を参照せよ。

5. 平坦軌跡の開性については Algebra, Section 00R8 および More on Morphisms, Section 0398 を参照せよ。

6. 平坦化については More on Algebra, Sections 0521, 05LJ, 05LK, 05LN, および 05LV を参照せよ。

7. さらに More on Algebra, Sections 052Y, 0549, 054A, および 0535 に追加の結果がある。

平坦性に関する内容の応用として、次の話題を論じる：Grothendieck の存在定理の 非 Noetherian 版、吹き上げと平坦性、コンパクト化に関する Nagata の定理、 h 位相、吹き上げ正方形と降下、弱正規化、正標数におけるベクトル束の降下、 および h 位相における完全複体の局所構造である。

エタール局所化に関する補題

本節では、本章の後半で有用となるエタール局所化に関するいくつかの補題を 列挙する。初読時には本節を飛ばしてよい。

補題

\(i : Z \to X\) をアフィンスキームの閉埋め込みとする。 \(Z' \to Z\) をエタール射とし、\(Z'\) はアフィンであるとする。 このとき、\(X'\) がアフィンであり、\(Z\) 上のスキームとして \(Z' \cong Z \times_X X'\) となるエタール射 \(X' \to X\) が存在する。

証明

Algebra, Lemma 04D1 を参照せよ。

補題

次の可換図式を考える： \[\xymatrix{ X \ar[d] & X' \ar[l] \ar[d] \\ S & S' \ar[l] }\] \(X' \to X\) および \(S' \to S\) はエタール射であるとする。 \(s' \in S'\) を点とする。このとき \[X' \times_{S'} \Spec(\mathcal{O}_{S', s'}) \longrightarrow X \times_S \Spec(\mathcal{O}_{S', s'})\] はエタールである。

証明

\(X\) 上エタールなスキーム間の射として \(X' \to X_{S'}\) はエタールである。 Morphisms, Lemma 02GW を参照せよ。 また、エタール射の基底変換はエタールである。 Morphisms, Lemma 02GO を参照せよ。

補題

\(X \to T \to S\) をスキームの射とし、\(T \to S\) はエタールであるとする。 \(\mathcal{F}\) を準連接 \(\mathcal{O}_X\)-加群とし、\(x \in X\) を点とする。 このとき \[\mathcal{F}\text{ は }S\text{ 上 }x\text{ で平坦} \Leftrightarrow \mathcal{F}\text{ は }T\text{ 上 }x\text{ で平坦}\] 特に、\(\mathcal{F}\) が \(S\) 上平坦であることと、\(\mathcal{F}\) が \(T\) 上平坦であることは同値である。

証明

エタール射は平坦射なので （Morphisms, Lemma 02GS を参照せよ）、含意 “\(\Leftarrow\)” は Algebra, Lemma 00HC から従う。逆に、\(\mathcal{F}\) が \(S\) 上 \(x\) で平坦であると仮定する。 \(X\) では \(x\) の上にあり、\(T\) では \(x\) の \(T\) における像の上にある点を \(\tilde x \in X \times_S T\) と記す。このとき \((X \times_S T \to X)^*\mathcal{F}\) は \(\text{pr}_2 : X \times_S T \to T\) によって \(T\) 上 \(\tilde x\) で平坦である。 Morphisms, Lemma 01U8 を参照せよ。 対角射 \(\Delta_{T/S} : T \to T \times_S T\) は開埋め込みである。これは Morphisms, Lemmas 02GE および 02GK を組み合わせればよい。 したがって \(X\) は \(X \times_S T\) の開部分スキームと同一視される。 この開部分への \(\text{pr}_2\) の制限は与えられた射 \(X \to T\) であり、 \(\tilde x\) はこの開部分の点 \(x\) に対応し、 \((X \times_S T \to X)^*\mathcal{F}\) のこの開部分への制限は \(\mathcal{F}\) である。ゆえに \(\mathcal{F}\) は \(T\) 上 \(x\) で平坦である。

補題

\(T \to S\) をエタール射とし、\(t \in T\) の像を \(s \in S\) とする。 \(M\) を \(\mathcal{O}_{T, t}\)-加群とする。このとき \[M\text{ は }\mathcal{O}_{S, s}\text{ 上平坦} \Leftrightarrow M\text{ は }\mathcal{O}_{T, t}\text{ 上平坦}.\]

証明

\(S\) を \(s\) のアフィン近傍で置き換え、次に \(T\) を \(t\) のアフィン近傍で 置き換えてよい。 \(\mathcal{F} = (\Spec(\mathcal{O}_{T, t}) \to T)_*\widetilde M\) とおく。 これは \(T\) 上の準連接層であり （Schemes, Lemma 01LC を参照するか、 直接論じればよい）、\(t\) における茎は \(M\) である（詳細は省略する）。 Lemma 05B9 を適用せよ。

補題

\(S\) をスキーム、\(s \in S\) を点とする。\(\mathcal{O}_{S, s}^h\) （それぞれ \(\mathcal{O}_{S, s}^{sh}\)）を Hensel 化 （それぞれ狭義 Hensel 化）と記す。Algebra, Definition 04GQ を参照せよ。 \(M^{sh}\) を \(\mathcal{O}_{S, s}^{sh}\)-加群とする。次は同値である：

1. \(M^{sh}\) は \(\mathcal{O}_{S, s}\) 上平坦である。

2. \(M^{sh}\) は \(\mathcal{O}_{S, s}^h\) 上平坦である。

3. \(M^{sh}\) は \(\mathcal{O}_{S, s}^{sh}\) 上平坦である。

\(M^{sh} = M^h \otimes_{\mathcal{O}_{S, s}^h} \mathcal{O}_{S, s}^{sh}\) ならば、これらは次とも同値である：

1. \(M^h\) は \(\mathcal{O}_{S, s}\) 上平坦である。

2. \(M^h\) は \(\mathcal{O}_{S, s}^h\) 上平坦である。

\(M^h = M \otimes_{\mathcal{O}_{S, s}} \mathcal{O}_{S, s}^h\) ならば、 これらはさらに次とも同値である：

1. \(M\) は \(\mathcal{O}_{S, s}\) 上平坦である。

証明

More on Algebra, Lemma 07QM により、局所環の射 \(\mathcal{O}_{S, s} \to \mathcal{O}_{S, s}^h \to \mathcal{O}_{S, s}^{sh}\) は忠実平坦である。したがって (3) \(\Rightarrow\) (2) \(\Rightarrow\) (1) および (5) \(\Rightarrow\) (4) は Algebra, Lemma 00HC から従う。 忠実平坦性により、同値 (6) \(\Leftrightarrow\) (5) および (5) \(\Leftrightarrow\) (3) は Algebra, Lemma 00HJ から従う。 ゆえに次を示せば十分である： (1) \(\Rightarrow\) (2) \(\Rightarrow\) (3) および (4) \(\Rightarrow\) (5). これらを証明するにあたり、\(S\) はアフィンスキームであると仮定してよい。

(1) を仮定する。Lemma 05BA により、 任意のエタール近傍 \((T, t) \to (S, s)\) に対して \(M^{sh}\) は \(\mathcal{O}_{T, t}\) 上平坦である。\(\mathcal{O}_{S, s}^h\) および \(\mathcal{O}_{S, s}^{sh}\) は \(\mathcal{O}_{T, t}\) の形の局所環の有向余極限である （次を参照せよ： Algebra, Lemmas 04GV および 04GW）。したがって Algebra, Lemma 05UU により、\(M^{sh}\) は \(\mathcal{O}_{S, s}^h\) および \(\mathcal{O}_{S, s}^{sh}\) 上平坦である。 ゆえに (1) は (2) と (3) を含意する。もちろん、 \(\mathcal{O}_{S, s}\) を \(\mathcal{O}_{S, s}^h\) で置き換えれば、これは (2) \(\Rightarrow\) (3) も含意する。同じ議論で (4) \(\Rightarrow\) (5) が証明される。

補題

\(S\) をスキーム、\(s \in S\) を点とする。\(\mathcal{O}_{S, s}^h\) （それぞれ \(\mathcal{O}_{S, s}^{sh}\)）を Hensel 化 （それぞれ狭義 Hensel 化）と記す。Algebra, Definition 04GQ を参照せよ。 \(M^{sh}\) を \(D(\mathcal{O}_{S, s}^{sh})\) の対象とし、 \(a, b \in \mathbf{Z}\) とする。次は同値である：

1. \(M^{sh}\) は \(\mathcal{O}_{S, s}\) 上 \([a, b]\) 内の Tor 振幅をもつ。

2. \(M^{sh}\) は \(\mathcal{O}_{S, s}^h\) 上 \([a, b]\) 内の Tor 振幅をもつ。

3. \(M^{sh}\) は \(\mathcal{O}_{S, s}^{sh}\) 上 \([a, b]\) 内の Tor 振幅をもつ。

\(M^{sh} = M^h \otimes_{\mathcal{O}_{S, s}^h}^\mathbf{L} \mathcal{O}_{S, s}^{sh}\) で \(M^h \in D(\mathcal{O}_{S, s}^h)\) ならば、これらは次とも同値である：

1. \(M^h\) は \(\mathcal{O}_{S, s}\) 上 \([a, b]\) 内の Tor 振幅をもつ。

2. \(M^h\) は \(\mathcal{O}_{S, s}^h\) 上 \([a, b]\) 内の Tor 振幅をもつ。

\(M^h = M \otimes_{\mathcal{O}_{S, s}}^\mathbf{L} \mathcal{O}_{S, s}^h\) で \(M \in D(\mathcal{O}_{S, s})\) ならば、これらはさらに次とも同値である：

1. \(M\) は \(\mathcal{O}_{S, s}\) 上 \([a, b]\) 内の Tor 振幅をもつ。

証明

More on Algebra, Lemma 07QM により、局所環の射 \(\mathcal{O}_{S, s} \to \mathcal{O}_{S, s}^h \to \mathcal{O}_{S, s}^{sh}\) は忠実平坦である。したがって (3) \(\Rightarrow\) (2) \(\Rightarrow\) (1) および (5) \(\Rightarrow\) (4) は More on Algebra, Lemma 066J から従う。 忠実平坦性により、同値 (6) \(\Leftrightarrow\) (5) および (5) \(\Leftrightarrow\) (3) は More on Algebra, Lemma 068S から従う。 ゆえに (1) \(\Rightarrow\) (3)、(2) \(\Rightarrow\) (3)、および (4) \(\Rightarrow\) (5) を示せば十分である。

(1) を仮定する。特に \(M^{sh}\) のコホモロジーは次数 \(< a\) および \(> b\) で消える。したがって、\(i > b\) に対して \(P^i = 0\) となる自由

\(\mathcal{O}_{X, x}^{sh}\)-加群の複体 \(P^\bullet\) によって \(M^{sh}\) を表せる （例えば、非常に一般的な Derived Categories, Lemma 05T7 を参照せよ）。 すべての \(n\) に対して \(P^n\) は \(\mathcal{O}_{S, s}\) 上平坦である。 \(\Coker(d_P^{a - 1})\) を考える。More on Algebra, Lemma 0653 により、これは平坦な \(\mathcal{O}_{S, s}\)-加群である。したがって Lemma 05VL により、これは平坦な \(\mathcal{O}_{S, s}^{sh}\)-加群である。ゆえに \(\tau_{\geq a}P^\bullet\) は \(M^{sh}\) を

\(D(\mathcal{O}_{S, s}^{sh}\) で表す平坦 \(\mathcal{O}_{S, s}^{sh}\)-加群の 複体であり、\(M^{sh}\) は \([a, b]\) 内の Tor 振幅をもつことが分かる。 More on Algebra, Lemma 0654 を参照せよ。 ゆえに (1) は (3) を含意する。もちろん、\(\mathcal{O}_{S, s}\) を \(\mathcal{O}_{S, s}^h\) で置き換えれば、これは (2) \(\Rightarrow\) (3) も 含意する。同じ議論で (4) \(\Rightarrow\) (5) が証明される。

補題

\(g : T \to S\) をスキームの有限平坦射とする。 \(\mathcal{G}\) を準連接 \(\mathcal{O}_S\)-加群とし、\(t \in T\) の像を \(s \in S\) とする。このとき \[t \in \text{WeakAss}(g^*\mathcal{G}) \Leftrightarrow s \in \text{WeakAss}(\mathcal{G})\]

証明

含意 “\(\Leftarrow\)” は Divisors, Lemma 05F0 から直ちに従う。 \(t \in \text{WeakAss}(g^*\mathcal{G})\) と仮定する。 \(\Spec(A) \subset S\) を \(s\) のアフィン開近傍とし、\(\mathcal{G}\) を \(A\)-加群 \(M\) に付随する準連接層とする。\(s\) に対応する素イデアルを \(\mathfrak p \subset A\) とする。\(g\) は有限平坦なので、ある有限平坦 \(A\)-代数 \(B\) に対して \(g^{-1}(\Spec(A)) = \Spec(B)\) である。 \(g^*\mathcal{G}\) は \(B\)-加群 \(M \otimes_A B\) に付随する準連接 \(\mathcal{O}_{\Spec(B)}\)-加群であり、\(g_*g^*\mathcal{G}\) は \(A\)-加群 \(M \otimes_A B\) に付随する準連接 \(\mathcal{O}_{\Spec(A)}\)-加群である。Algebra, Lemma 00NZ により、ある整数 \(n \geq 0\) に対して \(B_{\mathfrak p} \cong A_{\mathfrak p}^{\oplus n}\) である。 \(s\) の上に \(T\) の点が少なくとも一つ存在すると仮定したので \(n \geq 1\) である。 したがって茎を調べれば \[s \in \text{WeakAss}(\mathcal{G}) \Leftrightarrow s \in \text{WeakAss}(g_*g^*\mathcal{G})\] である。いま、仮定 \(t \in \text{WeakAss}(g^*\mathcal{G})\) は Divisors, Lemma 05EZ により \(s \in \text{WeakAss}(g_*g^*\mathcal{G})\) を含意する。したがって上の同値から \(s \in \text{WeakAss}(\mathcal{G})\) である。

補題

\(h : U \to S\) をスキームのエタール射とする。 \(\mathcal{G}\) を準連接 \(\mathcal{O}_S\)-加群とし、\(u \in U\) の像を \(s \in S\) とする。このとき \[u \in \text{WeakAss}(h^*\mathcal{G}) \Leftrightarrow s \in \text{WeakAss}(\mathcal{G})\]

証明

\(S\) と \(U\) をそれぞれ \(s\) と \(u\) のアフィン近傍で置き換えることにより、

\(g\) はアフィン間の標準エタール射であると仮定してよい。Morphisms, Lemma 02GT を参照せよ。 したがって \(S = \Spec(A)\) かつ

\(X = \Spec(A[x, 1/g]/(f))\) と仮定してよい。ここで \(f\) はモニックで、 \(f'\) は \(A[x, 1/g]\) で可逆である。 \(A[x, 1/g]/(f) = (A[x]/(f))_g\) は有限自由 \(A\)-代数 \(A[x]/(f)\) の 局所化でもある。したがって、\(U\) を \(S\) 上有限局所自由なスキーム \(T = \Spec(A[x]/(f))\) の開部分スキームとみなせる。これにより、上の Lemma 05FN に帰着する。

補題

\(S\) をスキーム、\(s \in S\) を点とする。\(\mathcal{O}_{S, s}^h\) （それぞれ \(\mathcal{O}_{S, s}^{sh}\)）を Hensel 化 （それぞれ狭義 Hensel 化）と記す。Algebra, Definition 04GQ を参照せよ。 \(\mathcal{F}\) を準連接 \(\mathcal{O}_S\)-加群とする。次は同値である：

1. \(s\) は \(\mathcal{F}\) の弱随伴点である。

2. \(\mathfrak m_s\) は \(\mathcal{F}_s\) の弱随伴素イデアルである。

3. \(\mathfrak m_s^h\) は \(\mathcal{F}_s \otimes_{\mathcal{O}_{S, s}} \mathcal{O}_{S, s}^h\) の 弱随伴素イデアルである。

4. \(\mathfrak m_s^{sh}\) は \(\mathcal{F}_s \otimes_{\mathcal{O}_{S, s}} \mathcal{O}_{S, s}^{sh}\) の 弱随伴素イデアルである。

証明

(1) と (2) の同値は定義である。Divisors, Definition 056L を参照せよ。

含意 (2) \(\Rightarrow\) (3) \(\Rightarrow\) (4) は、平坦射 （More on Algebra, Lemma 07QM）である \[\Spec(\mathcal{O}_{S, s}^{sh}) \to \Spec(\mathcal{O}_{S, s}^h) \to \Spec(\mathcal{O}_{S, s})\] と閉点に Divisors, Lemma 05F0 を 適用すれば従う。(4) \(\Rightarrow\) (2) を証明するため、\(S\) をアフィン近傍で 置き換えてよい。元 \(x \in \mathcal{F}_s \otimes_{\mathcal{O}_{S, s}} \mathcal{O}_{S, s}^{sh}\) をとり、その零化イデアルの根基は \(\mathfrak m_s^{sh}\) に等しいとする。 Algebra, Lemma 0566 を参照せよ。

Algebra, Lemma 04GW により、\(\mathcal{O}_{S, s}^{sh}\) はエタール近傍 \(f : (U, u) \to (S, s)\) 上の \(\mathcal{O}_{U, u}\) の極限に等しいので、 \(x\) はある \(x' \in \mathcal{F}_s \otimes_{\mathcal{O}_{S, s}} \mathcal{O}_{U, u}\) の像であると仮定してよい。局所環の射 \(\mathcal{O}_{U, u} \to \mathcal{O}_{S, s}^{sh}\) は （狭義 Hensel 化であるから）忠実平坦であり、したがって普遍単射である （Algebra, Lemma 05CK）。 ゆえに \(x'\) の零化イデアルは \(x\) の零化イデアルの逆像である。 したがって、この零化イデアルの根基は \(\mathfrak m_u\) に等しい。 よって \(u\) は \(f^*\mathcal{F}\) の弱随伴点である。Lemma 05FP により、\(s\) は \(\mathcal{F}\) の弱随伴点である。

有限型加群の局所構造

本章の多くの議論を機能させる鍵となる技術的補題は、幾何学的な Lemma 057S である。

補題

\(f : X \to S\) をアフィンスキームの有限型射とする。 \(\mathcal{F}\) を有限型準連接 \(\mathcal{O}_X\)-加群とする。 \(x \in X\) の \(S\) における像を \(s = f(x)\) とし、 \(\mathcal{F}_s = \mathcal{F}|_{X_s}\) とおく。 このとき、有限表示の閉埋め込み \(i : Z \to X\) と、有限型準連接 \(\mathcal{O}_Z\)-加群 \(\mathcal{G}\) で、\(i_*\mathcal{G} = \mathcal{F}\) および \(Z_s = \text{Supp}(\mathcal{F}_s)\) を満たすものが存在する。

証明

射 \(f : X \to S\) は環準同型 \(A \to B\) で与えられ、\(\mathcal{F}\) は \(B\)-加群 \(M\) に付随する準連接層であるとする。Morphisms, Lemma 01T2 により \(A \to B\) は有限型環準同型であり、Properties, Lemma 01PB により \(M\) は有限 \(B\)-加群である。 特に、\(\mathcal{F}\) の台は \(M\) の零化イデアル \(I = \{x \in B \mid xm = 0\ \forall m \in M\}\) で切り出される \(\Spec(B)\) の閉部分スキームである。Algebra, Lemma 00L2 を参照せよ。 \(x\) に対応する素イデアルを \(\mathfrak q \subset B\)、\(s\) に対応する素イデアルを \(\mathfrak p \subset A\) とする。\(X_s = \Spec(B \otimes_A \kappa(\mathfrak p))\) であり、\(\mathcal{F}_s\) は \(B \otimes_A \kappa(\mathfrak p)\)-加群 \(M \otimes_A \kappa(\mathfrak p)\) に付随する準連接層である。 Morphisms, Lemma 056J により、 \(\mathcal{F}_s\) の台は \(V(I(B \otimes_A \kappa(\mathfrak p)))\) に等しい。 \(B \otimes_A \kappa(\mathfrak p)\) は \(\kappa(\mathfrak p)\) 上有限型なので、 次を満たす有限個の元 \(f_1, \ldots, f_m \in I\) が存在する： \[I(B \otimes_A \kappa(\mathfrak p)) = (f_1, \ldots, f_n)(B \otimes_A \kappa(\mathfrak p)).\] \((f_1, \ldots, f_m)\) で切り出される閉部分スキームを \(i : Z \to X\) と記す。 式では \(Z = \Spec(B/(f_1, \ldots, f_m))\) である。\(M\) は \(I\) で零化されるため、 \(M\) を \(B/(f_1, \ldots, f_m)\)-加群とみなせる。言い換えれば、 \(\mathcal{F}\) は \(Z\) 上の有限型加群の押し出しである。構成により \(Z_s = \text{Supp}(\mathcal{F}_s)\) なので、補題が証明された。

補題

\(f : X \to S\) を局所有限型なスキームの射とする。 \(\mathcal{F}\) を有限型準連接 \(\mathcal{O}_X\)-加群とする。 \(x \in X\) の \(S\) における像を \(s = f(x)\) とし、 \(\mathcal{F}_s = \mathcal{F}|_{X_s}\) および \(n = \dim_x(\text{Supp}(\mathcal{F}_s))\) とおく。このとき次を構成できる：

1. 基本エタール近傍 \(g : (X', x') \to (X, x)\) および \(e : (S', s') \to (S, s)\)。

2. 可換図式 \[\xymatrix{ X \ar[dd]_f & X' \ar[dd] \ar[l]^g & Z' \ar[l]^i \ar[d]^\pi \\ & & Y' \ar[d]^h \\ S & S' \ar[l]_e & S' \ar@{=}[l] }\]

3. \(i(z') = x'\)、\(y' = \pi(z')\)、\(h(y') = s'\) を満たす点 \(z' \in Z'\)。

4. 有限型準連接 \(\mathcal{O}_{Z'}\)-加群 \(\mathcal{G}\)。

これらは次の性質を満たす：

1. \(X'\)、\(Z'\)、\(Y'\)、\(S'\) はアフィンスキームである。

2. \(i\) は有限表示の閉埋め込みである。

3. \(i_*(\mathcal{G}) \cong g^*\mathcal{F}\) である。

4. \(\pi\) は有限であり、\(\pi^{-1}(\{y'\}) = \{z'\}\) である。

5. 拡大 \(\kappa(y')/\kappa(s')\) は純超越的である。

6. \(h\) は相対次元 \(n\) の平滑射であり、幾何学的に整なファイバーをもつ。

証明

\(V \subset S\) を \(s\) のアフィン近傍、\(U \subset f^{-1}(V)\) を \(x\) の アフィン近傍とする。このとき \(f|_U : U \to V\) と \(\mathcal{F}|_U\) に対して 補題を証明すれば十分である。したがって証明の残りでは \(X\) と \(S\) は アフィンであると仮定する。

まず \(X_s = \text{Supp}(\mathcal{F}_s)\) と仮定する。特に \(n = \dim_x(X_s)\) である。More on Morphisms, Lemmas 057K および 057L を適用する。 これにより可換図式 \[\xymatrix{ X \ar[dd] & X' \ar[l]^g \ar[d]^\pi \\ & Y' \ar[d]^h \\ S & S' \ar[l]_e }\] と点 \(x' \in X'\) を得る。\(Z' = X'\)、\(i = \text{id}\)、および \(\mathcal{G} = g^*\mathcal{F}\) とおけば、この場合の解を得る。

一般の場合には、Lemma 057Q のような 閉埋め込み \(Z \to X\) と \(Z\) 上の層 \(\mathcal{G}\) を選ぶ。 前段落の結果を \(Z \to S\) と \(\mathcal{G}\) に適用すると、図式 \[\xymatrix{ X \ar[dd]_f & Z \ar[l] \ar[dd]_{f|_Z} & Z' \ar[l]^g \ar[d]^\pi \\ & & Y' \ar[d]^h \\ S & S \ar@{=}[l] & S' \ar[l]_e }\] と、要求されるすべての性質を満たす点 \(z' \in Z'\) を得る。 Lemma 057R を用いて \(Z'\) を \(X\) 上エタールなスキームへ 埋め込む。\(X'\) を \(S'\) 上のスキームにしたいので、この補題を直接適用する ことはできない。代わりに射 \[\xymatrix{ Z' \ar[r] & Z \times_S S' \ar[r] & X \times_S S' }\] を考える。最初の射は Morphisms, Lemma 02GW によりエタールである。 第二の射は閉埋め込みの基底変換なので閉埋め込みである。最後に、 \(X\)、\(S\)、\(S'\)、\(Z\)、\(Z'\) はすべてアフィンなので、Lemma 057R を適用して、次を満たすアフィンスキームのエタール射 \(X' \to X \times_S S'\) を得る： \[Z' = (Z \times_S S') \times_{(X \times_S S')} X' = Z \times_X X'.\] \(Z \to X\) は有限表示の閉埋め込みなので、\(Z' \to X'\) もそうである。 \(x' \in X'\) を \(z' \in Z'\) に対応する点とする。このとき完成した図式 \[\xymatrix{ X \ar[dd] & X' \ar[dd] \ar[l] & Z' \ar[l]^i \ar[d]^\pi \\ & & Y' \ar[d]^h \\ S & S' \ar[l]_e & S' \ar@{=}[l] }\] は元の問題の解である。

補題

仮定と記法は Lemma 057S と同じとする。 \(f\) が局所有限表示ならば \(\pi\) は有限表示である。 この場合、次は同値である：

1. \(\mathcal{F}\) は \(x\) の近傍で有限表示の \(\mathcal{O}_X\)-加群である。

2. \(\mathcal{G}\) は \(z'\) の近傍で有限表示の \(\mathcal{O}_{Z'}\)-加群である。

3. \(\pi_*\mathcal{G}\) は \(y'\) の近傍で有限表示の \(\mathcal{O}_{Y'}\)-加群である。

引き続き \(f\) が局所有限表示であると仮定すると、次も互いに同値である：

1. \(\mathcal{F}_x\) は有限表示の \(\mathcal{O}_{X, x}\)-加群である。

2. \(\mathcal{G}_{z'}\) は有限表示の \(\mathcal{O}_{Z', z'}\)-加群である。

3. \((\pi_*\mathcal{G})_{y'}\) は有限表示の \(\mathcal{O}_{Y', y'}\)-加群である。

証明

\(f\) は局所有限表示であると仮定する。このとき \(Z' \to S\) はそのような射の 合成なので局所有限表示である。Morphisms, Lemma 01TR を参照せよ。 \(Y' \to S\) も平滑射とエタール射の合成なので局所有限表示である。したがって Morphisms, Lemma 02FV により \(\pi\) は局所有限表示である。\(\pi\) は有限なので分離的かつ準コンパクトでもあり、 ゆえに \(\pi\) は実際に有限表示である。

(1)、(2)、(3) の同値を証明するため、次も考える： (4) \(g^*\mathcal{F}\) は \(x'\) の近傍で有限表示の \(\mathcal{O}_{X'}\)-加群である。有限表示加群の引き戻しは有限表示である。 Modules, Lemma 01BQ を参照せよ。 したがって (1) \(\Rightarrow\) (4) である。エタール射 \(g\) は開である。 Morphisms, Lemma 03WT を参照せよ。 したがって、\(x'\) の任意の開近傍 \(U' \subset X'\) に対し、像 \(g(U')\) は \(x\) の開近傍であり、写像 \(\{U' \to g(U')\}\) はエタール被覆である。 ゆえに Descent, Lemma 05B0 により (4) \(\Rightarrow\) (1) である。Descent, Lemma 05B4 と、いくつかの容易な 位相的議論（More on Morphisms, Lemma 05B8 を参照せよ）を 用いると、(4) \(\Leftrightarrow\) (2) \(\Leftrightarrow\) (3) が分かる。

(a)、(b)、(c) の同値を証明するため、環準同型 \[\mathcal{O}_{X, x} \to \mathcal{O}_{X', x'} \to \mathcal{O}_{Z', z'} \leftarrow \mathcal{O}_{Y', y'}\] を考える。最初の環準同型は忠実平坦である。したがって \(\mathcal{F}_x\) が \(\mathcal{O}_{X, x}\) 上有限表示であることと、

\(g^*\mathcal{F}_{x'}\) が \(\mathcal{O}_{X', x'}\) 上有限表示であることは 同値である。Algebra, Lemma 03C4 を参照せよ。 第二の環準同型は全射（したがって有限）であり、仮定により有限表示である。 したがって \(g^*\mathcal{F}_{x'}\) が \(\mathcal{O}_{X', x'}\) 上有限表示で あることと、\(\mathcal{G}_{z'}\) が \(\mathcal{O}_{Z', z'}\) 上有限表示で あることは同値である。Algebra, Lemma 0564 を参照せよ。 \(\pi\) は有限かつ有限表示であり、

\(\pi^{-1}(\{y'\}) = \{x'\}\) なので、環準同型 \(\mathcal{O}_{Y', y'} \leftarrow \mathcal{O}_{Z', z'}\) は有限かつ有限表示である。 More on Morphisms, Lemma 05B8 を参照せよ。 したがって \(\mathcal{G}_{z'}\) が \(\mathcal{O}_{Z', z'}\) 上有限表示で あることと、

\(\pi_*\mathcal{G}_{y'}\) が \(\mathcal{O}_{Y', y'}\) 上有限表示であることは 同値である。Algebra, Lemma 0564 を参照せよ。

補題

仮定と記法は Lemma 057S と同じとする。 次は同値である：

1. \(\mathcal{F}\) は \(x\) の近傍で \(S\) 上平坦である。

2. \(\mathcal{G}\) は \(z'\) の近傍で \(S'\) 上平坦である。

3. \(\pi_*\mathcal{G}\) は \(y'\) の近傍で \(S'\) 上平坦である。

次も同値である：

1. \(\mathcal{F}_x\) は \(\mathcal{O}_{S, s}\) 上平坦である。

2. \(\mathcal{G}_{z'}\) は \(\mathcal{O}_{S', s'}\) 上平坦である。

3. \((\pi_*\mathcal{G})_{y'}\) は \(\mathcal{O}_{S', s'}\) 上平坦である。

証明

(1)、(2)、(3) の同値を証明するため、次も考える： (4) \(g^*\mathcal{F}\) は \(x'\) の近傍で \(S\) 上平坦である。 以下では、Lemma 05B9 を用いて \(S\) 上の平坦性と \(S'\) 上の平坦性を同一視し、その都度断らない。エタール射 \(g\) は平坦かつ 開である。Morphisms, Lemma 03WT を参照せよ。 したがって、\(x'\) の任意の開近傍 \(U' \subset X'\) に対して、像 \(g(U')\) は \(x\) の開近傍であり、射 \(U' \to g(U')\) は全射かつ平坦である。 ゆえに Morphisms, Lemma 02JZ により (4) \(\Leftrightarrow\) (1) である。また \[\Gamma(X', g^*\mathcal{F}) = \Gamma(Z', \mathcal{G}) = \Gamma(Y', \pi_*\mathcal{G})\] である。したがって \(g^*\mathcal{F}\)、\(\mathcal{G}\)、\(\pi_*\mathcal{G}\) の \(S'\) 上の平坦性はすべて同値である（ここでは \(X'\)、\(Z'\)、\(Y'\)、\(S'\) が すべてアフィンであることを用いる）。アフィン近傍に関する省略した位相的議論 （More on Morphisms, Lemma 05B8 と比較せよ）から、 (4) \(\Leftrightarrow\) (2) \(\Leftrightarrow\) (3) が分かる。

(a)、(b)、(c) の同値を証明するため、局所環準同型の可換図式 \[\xymatrix{ \mathcal{O}_{X', x'} \ar[r]_\iota & \mathcal{O}_{Z', z'} & \mathcal{O}_{Y', y'} \ar[l]^\alpha & \mathcal{O}_{S', s'} \ar[l]^\beta \\ \mathcal{O}_{X, x} \ar[u]^\gamma & & & \mathcal{O}_{S, s} \ar[lll]_\varphi \ar[u]_\epsilon }\] を考える。以下では、Lemma 05BA を用いて \(\mathcal{O}_{S, s}\) 上の平坦性と \(\mathcal{O}_{S', s'}\) 上の平坦性を 同一視し、その都度断らない。写像 \(\gamma\) は忠実平坦である。したがって \(\mathcal{F}_x\) が \(\mathcal{O}_{S, s}\) 上平坦であることと、

\(g^*\mathcal{F}_{x'}\) が \(\mathcal{O}_{S', s'}\) 上平坦であることは同値である。 Algebra, Lemma 0584 を参照せよ。 \(\mathcal{O}_{S', s'}\)-加群として、加群 \(g^*\mathcal{F}_{x'}\)、 \(\mathcal{G}_{z'}\)、および

\(\pi_*\mathcal{G}_{y'}\) はすべて同型である。More on Morphisms, Lemma 05B8 を参照せよ。 これで証明が完了する。

一段階デヴィサージュ

本節では、加群の一段階デヴィサージュとは何かを説明する。

一段階デヴィサージュは基底と終域上エタール局所的に存在する。 一段階デヴィサージュの基底変換、Zariski 縮小、およびエタール局所化を論じる。

定義

\(S\) をスキームとする。\(X\) は \(S\) 上局所有限型であるとする。 \(\mathcal{F}\) を有限型準連接 \(\mathcal{O}_X\)-加群とし、 \(s \in S\) を点とする。\(s\) 上の \(\mathcal{F}/X/S\) の一段階 デヴィサージュとは、\(S\) 上のスキームの射 \[\xymatrix{ X & Z \ar[l]_i \ar[r]^\pi & Y }\] と、次を満たす有限型準連接 \(\mathcal{O}_Z\)-加群 \(\mathcal{G}\) によって 与えられる：

1. \(X\)、\(S\)、\(Z\)、\(Y\) はアフィンである。

2. \(i\) は有限表示の閉埋め込みである。

3. \(\mathcal{F} \cong i_*\mathcal{G}\) である。

4. \(\pi\) は有限である。

5. 構造射 \(Y \to S\) は平滑であり、次元 \(\dim(\text{Supp}(\mathcal{F}_s))\) の幾何学的既約ファイバーをもつ。

この場合、\((Z, Y, i, \pi, \mathcal{G})\) は \(s\) 上の \(\mathcal{F}/X/S\) の一段階デヴィサージュであるという。

このような一段階デヴィサージュは \(X\) と \(S\) がアフィンの場合にしか 存在しないことに注意せよ。上の定義では \(X\) が \(S\) 上（局所）有限型である ことだけを要求し、以下でもこの設定で作業する。[GruRay] の著者は、 \(X \to S\) が局所有限表示であり、

\(\mathcal{F}\) が有限型準連接 \(\mathcal{O}_X\)-加群である設定を一貫して用いる。 この選択の利点は、\(\mathcal{F}\) が \(\mathcal{O}_X\)-加群として有限表示であるかを 問うことが「意味をもつ」一方、我々の設定では「意味をもたない」ことである。 議論については More on Morphisms, Section 05GX を参照せよ。 そこでの観察により、我々の設定では \(\mathcal{F}\) が「\(S\) に相対的に 局所有限表示」であるという条件を考え、この概念を一貫して用いることもできる。 しかし代わりに、Lemma 057T の結果と Remark 05HY の観察に頼り、この問題が現れるたびに 個別的に処理する。

定義

\(S\) をスキームとする。\(X\) は \(S\) 上局所有限型であるとする。 \(\mathcal{F}\) を有限型準連接 \(\mathcal{O}_X\)-加群とし、 \(x \in X\) の \(S\) における像を \(s\) とする。 \(x\) における \(\mathcal{F}/X/S\) の一段階デヴィサージュとは、系 \((Z, Y, i, \pi, \mathcal{G}, z, y)\) であって、 \((Z, Y, i, \pi, \mathcal{G})\) が \(s\) 上の \(\mathcal{F}/X/S\) の 一段階デヴィサージュであり、かつ次を満たすものをいう：

1. \(\dim_x(\text{Supp}(\mathcal{F}_s)) = \dim(\text{Supp}(\mathcal{F}_s))\)。

2. \(z \in Z\) は \(i(z) = x\) および \(\pi(z) = y\) を満たす点である。

3. \(\pi^{-1}(\{y\}) = \{z\}\) である。

4. 拡大 \(\kappa(y)/\kappa(s)\) は純超越的である。

\(x\) における \(\mathcal{F}/X/S\) の一段階デヴィサージュは、\(X\) と \(S\) が アフィンの場合にしか存在しない。条件 (1) と Definition 05H4 の条件 (5) により、\(Y \to S\) の相対次元は \(\dim_x(\text{Supp}(\mathcal{F}_s))\) に等しい。

補題

\(f : X \to S\) を局所有限型なスキームの射とする。 \(\mathcal{F}\) を有限型準連接 \(\mathcal{O}_X\)-加群とし、\(x \in X\) の \(S\) における像を \(s = f(x)\) とする。このとき、点付きスキームの可換図式 \[\xymatrix{ (X, x) \ar[d]_f & (X', x') \ar[l]^g \ar[d] \\ (S, s) & (S', s') \ar[l] \\ }\] が存在し、\((S', s') \to (S, s)\) および \((X', x') \to (X, x)\) は 基本エタール近傍であり、\(g^*\mathcal{F}/X'/S'\) は \(x'\) における 一段階デヴィサージュをもつ。

証明

Definition 05H5 と Lemma 057S から直ちに従う。

補題

\(S\)、\(X\)、\(\mathcal{F}\)、\(s\) は Definition 05H4 と同じとする。 \((Z, Y, i, \pi, \mathcal{G})\) を \(s\) 上の \(\mathcal{F}/X/S\) の 一段階デヴィサージュとする。\((S', s') \to (S, s)\) を点付きスキームの 任意の射とする。このデータに対し、\(X', Z', Y', i', \pi'\) を \(S' \to S\) による \(X, Z, Y, i, \pi\) の基底変換とする。 \(\mathcal{F}'\) を \(\mathcal{F}\) の \(X'\) への引き戻し、\(\mathcal{G}'\) を \(\mathcal{G}\) の \(Z'\) への引き戻しとする。\(S'\) がアフィンならば、 \((Z', Y', i', \pi', \mathcal{G}')\) は \(s'\) 上の \(\mathcal{F}'/X'/S'\) の一段階デヴィサージュである。

証明

アフィンのファイバー積はアフィンである。Schemes, Lemma 01JQ を参照せよ。基底変換は、閉埋め込み、 有限表示の射、有限射、平滑射、幾何学的既約ファイバーをもつ射、および 相対次元 \(n\) の射を保つ。次を参照せよ： Morphisms, Lemmas 01QR, 01TS, 01WL, 01VB, 02NK, and More on Morphisms, Lemma 0555. 有限射 \(i\) に沿う押し出しは基底変換と可換なので \(i'_*\mathcal{G}' \cong \mathcal{F}'\) である。Cohomology of Schemes, Lemma 02KG を参照せよ。また \(\dim(\text{Supp}(\mathcal{F}_s)) = \dim(\text{Supp}(\mathcal{F}'_{s'}))\) である。実際、 \[\text{Supp}(\mathcal{F}_s) \times_s s' = \text{Supp}(\mathcal{F}'_{s'}).\] であり、Morphisms, Lemma 02FY を適用できる。 これで補題が証明された。

補題

\(S\)、\(X\)、\(\mathcal{F}\)、\(x\)、\(s\) は Definition 05H5 と同じとする。 \((Z, Y, i, \pi, \mathcal{G}, z, y)\) を \(x\) における \(\mathcal{F}/X/S\) の一段階デヴィサージュとする。 \((S', s') \to (S, s)\) を、同型 \(\kappa(s) = \kappa(s')\) を誘導する 点付きスキームの射とする。\((Z', Y', i', \pi', \mathcal{G}')\) は Lemma 05H7 で構成したものとし、 \(x' \in X'\)（それぞれ \(z' \in Z'\)、\(y' \in Y'\)）を、 \(x \in X\)（それぞれ \(z \in Z\)、\(y \in Y\)）と \(s' \in S'\) の双方へ写る 一意な点とする。\(S'\) がアフィンならば、 \((Z', Y', i', \pi', \mathcal{G}', z', y')\) は \(x'\) における \(\mathcal{F}'/X'/S'\) の一段階デヴィサージュである。

証明

Lemma 05H7 により、 \((Z', Y', i', \pi', \mathcal{G}')\) は \(s'\) 上の \(\mathcal{F}'/X'/S'\) の一段階デヴィサージュである。仮定 \(\kappa(s) = \kappa(s')\) により、ファイバー \(X'_{s'}\)、\(Z'_{s'}\)、 \(Y'_{s'}\) はそれぞれ \(X_s\)、\(Z_s\)、\(Y_s\) と同型である。したがって Definition 05H5 の性質 (1) – (4) は \((Z', Y', i', \pi', \mathcal{G}', z', y')\) に対して成り立つ。

定義

\(S\)、\(X\)、\(\mathcal{F}\)、\(x\)、\(s\) は Definition 05H5 と同じとする。 \((Z, Y, i, \pi, \mathcal{G}, z, y)\) を \(x\) における \(\mathcal{F}/X/S\) の一段階デヴィサージュとする。この状況の 標準縮小を、\(s \in S'\)、\(x \in X'\)、\(z \in Z'\)、\(y \in Y'\) を 満たす標準開 \(S' \subset S\)、\(X' \subset X\)、\(Z' \subset Z\)、 \(Y' \subset Y\) であって、 \[(Z', Y', i|_{Z'}, \pi|_{Z'}, \mathcal{G}|_{Z'}, z, y)\] が \(x\) における \(\mathcal{F}|_{X'}/X'/S'\) の一段階デヴィサージュと なるものによって定める。

補題

仮定と記法を Definition 05H9 と同じとする。このとき：

1. \(S' \subset S\) が \(s\) の標準開近傍ならば、\(X' = X_{S'}\)、 \(Z' = Z_{S'}\)、\(Y' = Y_{S'}\) とおくことで標準縮小を得る。

2. \(W \subset Y\) を \(y\) の標準開近傍とする。このとき \(Y' = W \times_S S'\) となる標準縮小が存在する。

3. \(U \subset X\) を \(x\) の開近傍とする。このとき \(X' \subset U\) となる 標準縮小が存在する。

証明

(1) は Lemma 05H8 と、アフィンスキームの射に よる標準開の逆像が標準開であるという事実から直ちに従う。Algebra, Lemma 00E2 を参照せよ。

\(W \subset Y\) を (2) のようにとる。\(Y \to S\) は平滑なので開である。 Morphisms, Lemma 056G を参照せよ。 したがって、\(W\) の像に含まれる \(s\) の標準開近傍 \(S'\) を見つけられる。 すると \(W_{S'} \to S'\) のファイバーは、\(S'\) 上の \(Y \to S\) のファイバーの 空でない開部分スキームであり、したがって幾何学的既約でもある。 \(Y' = W_{S'}\) および \(Z' = \pi^{-1}(Y')\) とおくと、\(Z' \subset Z\) は \(z\) の標準開近傍である。\(Z' = D(\overline{h})\) を満たす関数 \(\overline{h} \in \Gamma(Z, \mathcal{O}_Z)\) をとる。\(i : Z \to X\) は 閉埋め込みなので、\(i^\sharp(h) = \overline{h}\) を満たす関数 \(h \in \Gamma(X, \mathcal{O}_X)\) が存在する。\(X' = D(h) \subset X\) と とる。このようにして (2) の標準縮小を得る。

\(U \subset X\) を (3) のようにとる。\(U\) を縮小して、\(U\) は標準開であると 仮定してよい。More on Morphisms, Lemma 05B8 により、 \(\pi^{-1}(W) \subset i^{-1}(U)\) を満たす \(y\) の標準開近傍 \(W \subset Y\) が存在する。(2) を適用し、\(Y' = W_{S'}\) を満たす標準縮小 \(X', S', Z', Y'\) を得る。\(Z' \subset \pi^{-1}(W) \subset i^{-1}(U)\) なので、 標準縮小を定めるどの条件も損なわずに \(X'\) を \(X' \cap U\) で置き換えられる （\(U\) も標準開なので、これは依然として標準開である）。これでよい。

補題

\(S\)、\(X\)、\(\mathcal{F}\)、\(x\)、\(s\) は Definition 05H5 と同じとする。 \((Z, Y, i, \pi, \mathcal{G}, z, y)\) を \(x\) における \(\mathcal{F}/X/S\) の一段階デヴィサージュとする。次の図式を考える： \[\xymatrix{ (Y, y) \ar[d] & (Y', y') \ar[l] \ar[d] \\ (S, s) & (S', s') \ar[l] }\] これは点付きスキームの可換図式で、水平矢印は基本エタール近傍であるとする。 このとき可換図式 \[\xymatrix{ & & (X'', x'') \ar[lld] \ar[d] & (Z'', z'') \ar[l] \ar[lld] \ar[d] \\ (X, x) \ar[d] & (Z, z) \ar[l] \ar[d] & (S'', s'') \ar[lld] & (Y'', y'') \ar[lld] \ar[l] \\ (S, s) & (Y, y) \ar[l] }\] が存在し、次の性質をもつ：

1. \((S'', s'') \to (S', s')\) は基本エタール近傍であり、射 \(S'' \to S\) は合成 \(S'' \to S' \to S\) である。

2. \(Y''\) は \(Y' \times_{S'} S''\) の開部分スキームである。

3. \(Z'' = Z \times_Y Y''\) である。

4. \((X'', x'') \to (X, x)\) は基本エタール近傍である。

5. \((Z'', Y'', i'', \pi'', \mathcal{G}'', z'', y'')\) は層 \(\mathcal{F}''\) の \(x''\) における一段階デヴィサージュである。

ここで \(\mathcal{F}''\)（それぞれ \(\mathcal{G}''\)）は射 \(X'' \to X\) （それぞれ \(Z'' \to Z\)）による \(\mathcal{F}\)（それぞれ \(\mathcal{G}\)）の 引き戻しであり、\(i'' : Z'' \to X''\) と \(\pi'' : Z'' \to Y''\) は図式の とおりである。

証明

\((S'', s'') \to (S', s')\) を、\(S''\) がアフィンである任意の基本エタール近傍と する。\(Y'' \subset Y' \times_{S'} S''\) を、点 \(y'' = (y', s'')\) を含む任意の アフィン開近傍とする。このとき (3) によりアフィンな \((Z'', z'')\) を得る。 さらに \(Z_{S''} \to X_{S''}\) は閉埋め込みであり、\(Z'' \to Z_{S''}\) は エタール射である。したがって Lemma 057R を適用でき、

\(Z'' \cong X'' \times_{X_{S'}} Z_{S'}\) を満たすアフィンのエタール射 \(X'' \to X_{S'}\) を見つけられる。対応する閉埋め込みを \(i'' : Z'' \to X''\) と記す。\(x'' = i''(z'')\) とおけば、補題のような可換図式を 得る。性質 (1)、(2)、(3)、(4) は構成により成り立つ。したがって、 \((S'', s'') \to (S', s')\) と \(Y''\) を適切に選んだとき (5) が成り立つことを 示せば十分である。

まず、第一段落のような \((S'', s'') \to (S', s')\) と \(Y''\) の任意の選択に 対して成り立つ性質を列挙する。構成により \(Z'' = X'' \times_X Z\) なので、 \(i''_*\mathcal{G}'' = \mathcal{F}''\) である（記法は補題の主張のとおり）。 Cohomology of Schemes, Lemma 02KG を参照せよ。 \(n = \dim(\text{Supp}(\mathcal{F}_s)) = \dim_x(\text{Supp}(\mathcal{F}_s))\) とおく。射 \(Y'' \to S''\) は相対次元 \(n\) の平滑射である。実際、 \(Y' \to S'\) は、エタール射と相対次元 \(n\) の平滑射の合成 \(Y' \to Y_{S'} \to S'\) として相対次元 \(n\) の平滑射であり、基底変換は 相対次元 \(n\) の平滑射を保つ。また \(\kappa(y'') = \kappa(y)\) および \(\kappa(s) = \kappa(s'')\) なので、\(\kappa(y'')\) は \(\kappa(s'')\) の 純超越拡大である。ファイバーの射 \(X''_{s''} \to X_s\) は \(\kappa(s) = \kappa(s'')\) 上のアフィンスキームのエタール射であり、点 \(x''\) を点 \(x\) へ写し、\(\mathcal{F}_s\) を \(\mathcal{F}''_{s''}\) へ引き戻す。 したがって \[\dim(\text{Supp}(\mathcal{F}''_{s''})) = \dim(\text{Supp}(\mathcal{F}_s)) = n = \dim_x(\text{Supp}(\mathcal{F}_s)) = \dim_{x''}(\text{Supp}(\mathcal{F}''_{s''}))\] である。次元がエタール局所化で不変であることを用いた。Descent, Lemma 04N4 を参照せよ。 \(\pi'' : Z'' \to Y''\) は \(\pi\) の基底変換なので \(\pi''\) は有限であり、 \(\kappa(y) = \kappa(y'')\) なので

\(\pi^{-1}(\{y''\}) = \{z''\}\) である。

この時点で、\(Y'' \to S''\) が幾何学的既約ファイバーをもつこと以外は Definition 05H4 のすべての条件を確認した。 もちろん一般にはこれは成り立たず、ここで \(\kappa(s) \subset \kappa(y)\) が 純超越的であることを用いる。すなわち、\(T \subset Y'_{s'}\) を \(y' = (y, s')\) を含む \(Y'_{s'}\) の既約成分とする。このスキームは \(\kappa(s')\) 上平滑なので、\(T\) は \(Y'_{s'}\) の開部分スキームである。 \(\kappa(s') = \kappa(s)\) は \(\kappa(y') = \kappa(y)\) の中で代数的に閉じて いるので、Varieties, Lemma 04KV により \(T\) は幾何学的連結である。\(T\) は平滑なので、\(T\) は幾何学的既約である。 したがって More on Morphisms, Lemma 057J を適用でき、 \((S'', s'') \to (S', s')\) という基本エタール射とアフィン開 \(Y'' \subset Y'_{S''}\) で、\(Y'' \to S''\) のすべてのファイバーが 幾何学的既約であり、\(T = Y''_{s''}\) となるものを見つけられる。 縮小することにより（まず \(Y''\)、次に \(S''\)）、\(Y''\) と \(S''\) はともに アフィンであると仮定してよい。これで補題の証明が完了する。

補題

\(S\)、\(X\)、\(\mathcal{F}\)、\(s\) は Definition 05H4 と同じとする。 \((Z, Y, i, \pi, \mathcal{G})\) を \(s\) 上の \(\mathcal{F}/X/S\) の 一段階デヴィサージュとし、\(\xi \in Y_s\) を（一意な）総称点とする。 このとき、整数 \(r > 0\) と \(\mathcal{O}_Y\)-加群の射 \[\alpha : \mathcal{O}_Y^{\oplus r} \longrightarrow \pi_*\mathcal{G}\] であって、 \[\alpha : \kappa(\xi)^{\oplus r} \longrightarrow (\pi_*\mathcal{G})_\xi \otimes_{\mathcal{O}_{Y, \xi}} \kappa(\xi)\] が同型となるものが存在する。さらに、この場合 \[\dim(\text{Supp}(\Coker(\alpha)_s)) < \dim(\text{Supp}(\mathcal{F}_s)).\]

証明

仮定によりスキーム \(S\) と \(Y\) はアフィンである。 \(S = \Spec(A)\) および \(Y = \Spec(B)\) と書く。\(\pi\) は有限なので、 \(\mathcal{O}_Y\)-加群 \(\pi_*\mathcal{G}\) は有限型準連接 \(\mathcal{O}_Y\)-加群である。したがって、ある有限 \(B\)-加群 \(N\) に対して \(\pi_*\mathcal{G} = \widetilde{N}\) である。\(\xi\) に対応する素イデアルを \(\mathfrak p \subset B\) とする。\(\alpha\) を得るため、 \(r = \dim_{\kappa(\mathfrak p)} N \otimes_B \kappa(\mathfrak p)\) とおき、 \(N \otimes_B \kappa(\mathfrak p)\) の基底をなす \(x_1, \ldots, x_r \in N\) を選ぶ。\(\alpha : B^{\oplus r} \to N\) を、式 \(\alpha(b_1, \ldots, b_r) = \sum b_ix_i\) で与えられる写像とする。 望みどおり \(\alpha : \kappa(\mathfrak p)^{\oplus r} \to N \otimes_B \kappa(\mathfrak p)\) は同型である。最後に、\(\alpha\) をこの性質をもつ任意の写像とする。 すると \(N' = \Coker(\alpha)\) は \(N' \otimes \kappa(\mathfrak p) = 0\) を 満たす有限 \(B\)-加群である。Nakayama の補題 （Algebra, Lemma 00DV）により \(N'_{\mathfrak p} = 0\) である。ファイバー \(Y_s\) は総称点 \(\xi\) をもつ

次元 \(n\) の幾何学的既約スキームであり、\(\xi\) は \(\Coker(\alpha)\) の台に 含まれないことを今示したので、補題の最後の主張が成り立つ。

完全デヴィサージュ

本節では、加群の完全デヴィサージュとは何かを説明し、そのような デヴィサージュが存在することを証明する。本節の内容は主として データの整理に関するものである。

定義

\(S\) をスキームとする。 \(X\) は \(S\) 上局所有限型であるとする。 \(\mathcal{F}\) を有限型準連接 \(\mathcal{O}_X\) 加群とする。 \(s \in S\) を点とする。 \(s\) 上の \(\mathcal{F}/X/S\) の完全デヴィサージュとは、次の図式 \[\xymatrix{ X & Z_1 \ar[l]^{i_1} \ar[d]^{\pi_1} \\ & Y_1 & Z_2 \ar[l]^{i_2} \ar[d]^{\pi_2} \\ & & Y_2 & Z_3 \ar[l] \ar[d] \\ & & & ... & ... \ar[l] \ar[d] \\ & & & & Y_n }\] をなす \(S\) 上のスキーム、有限型準連接 \(\mathcal{O}_{Z_k}\) 加群 \(\mathcal{G}_k\)、および \(\mathcal{O}_{Y_k}\) 加群の写像 \[\alpha_k : \mathcal{O}_{Y_k}^{\oplus r_k} \longrightarrow \pi_{k, *}\mathcal{G}_k, \quad k = 1, \ldots, n\] であって、次の性質を満たすものとして与えられる：

1. \((Z_1, Y_1, i_1, \pi_1, \mathcal{G}_1)\) は \(s\) 上の \(\mathcal{F}/X/S\) の一段階デヴィサージュである、

2. 写像 \(\alpha_k\) は同型 \[\kappa(\xi_k)^{\oplus r_k} \longrightarrow (\pi_{k, *}\mathcal{G}_k)_{\xi_k} \otimes_{\mathcal{O}_{Y_k, \xi_k}} \kappa(\xi_k)\] を誘導する。ここで \(\xi_k \in (Y_k)_s\) は唯一の総称点である、

3. \(k = 2, \ldots, n\) に対し、系 \((Z_k, Y_k, i_k, \pi_k, \mathcal{G}_k)\) は \(s\) 上の \(\Coker(\alpha_{k - 1})/Y_{k - 1}/S\) の 一段階デヴィサージュである、

4. \(\Coker(\alpha_n) = 0\).

このとき、 \((Z_k, Y_k, i_k, \pi_k, \mathcal{G}_k, \alpha_k)_{k = 1, \ldots, n}\) を \(s\) 上の \(\mathcal{F}/X/S\) の完全デヴィサージュという。

定義

\(S\) をスキームとする。 \(X\) は \(S\) 上局所有限型であるとする。 \(\mathcal{F}\) を有限型準連接 \(\mathcal{O}_X\) 加群とする。 \(x \in X\) を像が \(s \in S\) である点とする。 \(x\) における \(\mathcal{F}/X/S\) の完全デヴィサージュとは、系 \[(Z_k, Y_k, i_k, \pi_k, \mathcal{G}_k, \alpha_k, z_k, y_k)_{k = 1, \ldots, n}\] であって、\((Z_k, Y_k, i_k, \pi_k, \mathcal{G}_k, \alpha_k)\) が \(s\) 上の \(\mathcal{F}/X/S\) の完全デヴィサージュであり、かつ次を満たすものとして与えられる：

1. \((Z_1, Y_1, i_1, \pi_1, \mathcal{G}_1, z_1, y_1)\) は \(x\) における \(\mathcal{F}/X/S\) の一段階デヴィサージュである、

2. \(k = 2, \ldots, n\) に対し、系 \((Z_k, Y_k, i_k, \pi_k, \mathcal{G}_k, z_k, y_k)\) は \(y_{k - 1}\) における \(\Coker(\alpha_{k - 1})/Y_{k - 1}/S\) の 一段階デヴィサージュである。

ここでも、完全デヴィサージュが存在し得るのは \(X\) と \(S\) が アフィンである場合に限ることを注意しておく。

補題

\(S\), \(X\), \(\mathcal{F}\), \(s\) は Definition 05HH のとおりとする。 \((S', s') \to (S, s)\) を点付きスキームの任意の射とする。 \((Z_k, Y_k, i_k, \pi_k, \mathcal{G}_k, \alpha_k)_{k = 1, \ldots, n}\) を \(s\) 上の \(\mathcal{F}/X/S\) の完全デヴィサージュとする。 このデータに対し、\(X', Z'_k, Y'_k, i'_k, \pi'_k\) をそれぞれ \(S' \to S\) による \(X, Z_k, Y_k, i_k, \pi_k\) の基底変換とする。 \(\mathcal{F}'\) を \(\mathcal{F}\) の \(X'\) への引き戻しとし、 \(\mathcal{G}'_k\) を \(\mathcal{G}_k\) の \(Z'_k\) への引き戻しとする。 \(\alpha'_k\) を \(\alpha_k\) の \(Y'_k\) への引き戻しとする。 \(S'\) がアフィンならば、 \((Z'_k, Y'_k, i'_k, \pi'_k, \mathcal{G}'_k, \alpha'_k)_{k = 1, \ldots, n}\) は \(s'\) 上の \(\mathcal{F}'/X'/S'\) の完全デヴィサージュである。

証明

Lemma 05H7 により、 一段階デヴィサージュの基底変換は一段階デヴィサージュである。 したがって、\(\Coker(\alpha_k)\) の形成が基底変換と可換であること、 および Definition 05HH の条件 (2) が 基底変換によって保たれることを示せば十分である。前者は、 \(\pi'_{k, *}\mathcal{G}'_k\) が \(\pi_{k, *}\mathcal{G}_k\) の引き戻しであり （Cohomology of Schemes, Lemma 02KG）、 かつ \(\otimes\) が右完全であることから従う。後者についても、 同じ理由により \[(\pi_{k, *}\mathcal{G}_k)_{\xi_k} \otimes_{\mathcal{O}_{Y_k, \xi_k}} \kappa(\xi_k) \otimes_{\kappa(\xi_k)} \kappa(\xi'_k) \cong (\pi'_{k, *}\mathcal{G}'_k)_{\xi'_k} \otimes_{\mathcal{O}_{Y'_k, \xi'_k}} \kappa(\xi'_k)\] が成り立つ。記号の意味は明らかである。

補題

\(S\), \(X\), \(\mathcal{F}\), \(x\), \(s\) は Definition 05HI のとおりとする。 \((S', s') \to (S, s)\) を、同型 \(\kappa(s) = \kappa(s')\) を誘導する 点付きスキームの射とする。また、 \((Z_k, Y_k, i_k, \pi_k, \mathcal{G}_k, \alpha_k, z_k, y_k)_{k = 1, \ldots, n}\) を \(x\) における \(\mathcal{F}/X/S\) の完全デヴィサージュとする。 さらに、 \((Z'_k, Y'_k, i'_k, \pi'_k, \mathcal{G}'_k, \alpha'_k)_{k = 1, \ldots, n}\) を Lemma 05HJ で構成したものとする。

\(x' \in X'\)（それぞれ \(z'_k \in Z'\), \(y'_k \in Y'\)）を、 \(x \in X\)（それぞれ \(z_k \in Z_k\), \(y_k \in Y_k\)）と \(s' \in S'\) の双方へ写る唯一の点とする。 \(S'\) がアフィンならば、 \((Z'_k, Y'_k, i'_k, \pi'_k, \mathcal{G}'_k, \alpha'_k, z'_k, y'_k)_{k = 1, \ldots, n}\) は \(x'\) における \(\mathcal{F}'/X'/S'\) の完全デヴィサージュである。

証明

Lemma 05HJ と Lemma 05H8 を組み合わせればよい。

定義

\(S\), \(X\), \(\mathcal{F}\), \(x\), \(s\) は Definition 05HI のとおりとする。 \(x\) における \(\mathcal{F}/X/S\) の完全デヴィサージュ \((Z_k, Y_k, i_k, \pi_k, \mathcal{G}_k, \alpha_k, z_k, y_k)_{k = 1, \ldots, n}\) を考える。この状況の標準縮小を次のように定義する。

標準開集合 \(S' \subset S\), \(X' \subset X\), \(Z'_k \subset Z_k\), \(Y'_k \subset Y_k\) であって、\(s_k \in S'\), \(x_k \in X'\), \(z_k \in Z'\), \(y_k \in Y'\) を満たし、かつ \[(Z'_k, Y'_k, i'_k, \pi'_k, \mathcal{G}'_k, \alpha'_k, z_k, y_k)_{k = 1, \ldots, n}\]

が \(x\) における \(\mathcal{F}'/X'/S'\) の一段階デヴィサージュとなるものとする。ここで \(\mathcal{G}'_k = \mathcal{G}_k|_{Z'_k}\) かつ \(\mathcal{F}' = \mathcal{F}|_{X'}\) である。

補題

Definition 05HL の仮定と記号のもとで、 次が成り立つ：

1. \(S' \subset S\) が \(s\) の標準開近傍ならば、 \(X' = X_{S'}\), \(Z'_k = Z_{S'}\), \(Y'_k = Y_{S'}\) とおくことで 標準縮小を得る。

2. \(W \subset Y_n\) を \(y\) の標準開近傍とする。 このとき、\(Y'_n = W \times_S S'\) となる標準縮小が存在する。

3. \(U \subset X\) を \(x\) の開近傍とする。 このとき、\(X' \subset U\) となる標準縮小が存在する。

証明

(1) は Lemmas 05HK および 05HA から直ちに従う。

(2) の証明。便宜上 \(X = Y_0\) と書く。 Lemma 05HA (05HC) を適用して、 \(y_{n - 1}\) における \(\Coker(\alpha_{n - 1})/Y_{n - 1}/S\) の 一段階デヴィサージュの標準縮小 \(S', Y'_{n - 1}, Z'_n, Y'_n\) で \(Y'_n = W \times_S S'\) を満たすものを得る。この手続きを繰り返し、 \(y_{n - 2}\) における \(\Coker(\alpha_{n - 2})/Y_{n - 2}/S\) の 一段階デヴィサージュの標準縮小 \(S'', Y''_{n - 2}, Z''_{n - 1}, Y''_{n - 1}\) で \(Y''_{n - 1} = Y'_{n - 1} \times_S S''\) を満たすものを得られる。 このように続けて、最終的に \(S^{(n)}, Y^{(n)}_0, Z^{(n)}_1, Y^{(n)}_1\) を得る。この時点で、\(S^{(n)}\), \(X^{(n)}\), \(Z_k^{(n - k)} \times_S S^{(n)}\), \(Y_k^{(n - k)} \times_S S^{(n)}\) を取れば、所望の性質をもつ標準縮小が得られることは明らかである。

(3) の証明。完全デヴィサージュの長さに関する帰納法を用いる。 まず Lemma 05HA (05HD) を適用し、 \(x\) における \(\mathcal{F}/X/S\) の一段階デヴィサージュの標準縮小 \(S', X', Z'_1, Y'_1\) で \(X' \subset U\) を満たすものを得る。\(n = 1\) ならば証明は終わる。 \(n > 1\) ならば、帰納法により、

\(x\) における \(\Coker(\alpha_1)/Y_1/S\) の完全デヴィサージュ \((Z_k, Y_k, i_k, \pi_k, \mathcal{G}_k, \alpha_k, z_k, y_k)_{k = 2, \ldots, n}\) の標準縮小 \(S''\), \(Y''_1\), \(Z''_k\), \(Y''_k\) で \(Y''_1 \subset Y'_1\) を満たすものを得られる。さらに Lemma 05HA (05HC) を用いると、 \(S''' \subset S'\), \(X''' \subset X'\), \(Z'''_1\) および \(Y'''_1 = Y''_1 \times_S S'''\) からなる標準縮小を得られる。 したがって、求めるものは \[S''', X''', Z'''_1, Y'''_1, Z''_2 \times_S S''', Y''_2 \times_S S''', \ldots, Z''_n \times_S S''', Y''_n \times_S S'''\] を取ることで得られる。これで補題の証明が終わる。

命題

\(S\) をスキームとする。 \(X\) は \(S\) 上局所有限型であるとする。 \(x \in X\) を像が \(s \in S\) である点とする。

可換図式 \[\xymatrix{ (X, x) \ar[d] & (X', x') \ar[l]^g \ar[d] \\ (S, s) & (S', s') \ar[l] }\] であって、横向きの射が基本エタール近傍であり、かつ

\(g^*\mathcal{F}/X'/S'\) が \(x\) において完全デヴィサージュをもつものが存在する。

証明

整数 \(d = \dim_x(\text{Supp}(\mathcal{F}_s))\) に関する帰納法で証明する。 Lemma 05H6 により、図式 \[\xymatrix{ (X, x) \ar[d] & (X', x') \ar[l]^g \ar[d] \\ (S, s) & (S', s') \ar[l] }\] であって、横向きの射が基本エタール近傍であり、かつ \(g^*\mathcal{F}/X'/S'\) が \(x'\) において一段階デヴィサージュをもつものが存在する。 問題は局所的なので、\((X, x) \to (S, s)\) を \((X', x') \to (S', s')\) で置き換えてよい。したがって、置き換えた後には \(x\) における \(\mathcal{F}/X/S\) の一段階デヴィサージュ \((Z_1, Y_1, i_1, \pi_1, \mathcal{G}_1)\) が存在すると仮定してよい。

Lemma 05HF を適用し、写像 \[\alpha_1 : \mathcal{O}_{Y_1}^{\oplus r_1} \longrightarrow \pi_{1, *}\mathcal{G}_1\] を得る。これは \(\kappa(\xi_1)\) 上のベクトル空間の同型を誘導する。 ここで \(\xi_1 \in Y_1\) は \(s\) 上の \(Y_1\) のファイバーの唯一の総称点である。さらに \(\dim_{y_1}(\text{Supp}(\Coker(\alpha_1)_s)) < d\). \(y_1\) における \(\Coker(\alpha_1)_s\) の茎が零となる場合がある。 この場合、Lemma 05HA (05HC) により \(Y_1\) を縮小して \(\Coker(\alpha_1) = 0\) と仮定できるので、

長さ零の完全デヴィサージュを得る。

次に、\(y_1\) における \(\Coker(\alpha_1)_s\) の茎が零でないと仮定する。 この場合、帰納法により可換図式 [05HS]\[\begin{equation} \vcenter{ \xymatrix{ (Y_1, y_1) \ar[d] & (Y'_1, y'_1) \ar[l]^h \ar[d] \\ (S, s) & (S', s') \ar[l] } } \end{equation}\] であって、横向きの射が基本エタール近傍であり、かつ \(h^*\Coker(\alpha_1)/Y'_1/S'\) が \(y'_1\) において完全デヴィサージュ \[(Z_k, Y_k, i_k, \pi_k, \mathcal{G}_k, \alpha_k, z_k, y_k)_{k = 2, \ldots, n}\] をもつものが存在する。（特に、

\(i_2 : Z_2 \to Y'_1\) は \(Y'_2\) への閉埋め込みである。）ここで Lemma 05HE を \(S, X, \mathcal{F}, x, s\)、系 \((Z_1, Y_1, i_1, \pi_1, \mathcal{G}_1)\) および図式 (05HS) に適用する。すると図式 \[\xymatrix{ & & (X'', x'') \ar[lld] \ar[d] & (Z''_1, z''_1) \ar[l] \ar[lld] \ar[d] \\ (X, x) \ar[d] & (Z_1, z_1) \ar[l] \ar[d] & (S'', s'') \ar[lld] & (Y''_1, y''_1) \ar[lld] \ar[l] \\ (S, s) & (Y_1, y_1) \ar[l] }\] で、引用した補題に列挙されたすべての性質をもつものを得る。 特に \(Y''_1 \subset Y'_1 \times_{S'} S''\) である。 \(X_1 = Y'_1 \times_{S'} S''\) とおき、\(\mathcal{F}_1\) を \(\Coker(\alpha_1)\) の引き戻しとする。 Lemma 05HK により、系 [05HT]\[\begin{equation} (Z_k \times_{S'} S'', Y_k \times_{S'} S'', i''_k, \pi''_k, \mathcal{G}''_k, \alpha''_k, z''_k, y''_k)_{k = 2, \ldots, n} \end{equation}\]

は \(\mathcal{F}_1\) から \(X_1\) への完全デヴィサージュである。 再び、問題の性質から \((X, x) \to (S, s)\) を \((X'', x'') \to (S'', s'')\) で置き換えてよい。 以上により、次を仮定してよいことが分かる：

1. \(x\) における \(\mathcal{F}/X/S\) の一段階デヴィサージュ \((Z_1, Y_1, i_1, \pi_1, \mathcal{G}_1)\) が存在する、

2. \(\alpha_1 : \mathcal{O}_{Y_1}^{\oplus r_1} \to \pi_{1, *}\mathcal{G}_1\) であって、

   \(\alpha \otimes \kappa(\xi_1)\) が同型となるものが存在する、

3. \(Y_1 \subset X_1\) は開で、\(y_1 = x_1\) かつ \(\mathcal{F}_1|_{Y_1} \cong \Coker(\alpha_1)\) である、

4. \(x_1\) における \(\mathcal{F}_1/X_1/S\) の完全デヴィサージュ \((Z_k, Y_k, i_k, \pi_k, \mathcal{G}_k, \alpha_k, z_k, y_k)_{k = 2, \ldots, n}\) が存在する。

証明を終えるには、一段階デヴィサージュと完全デヴィサージュを縮小して、 両者が一つの完全デヴィサージュとしてつながるようにすればよい。 （以下の証明を読む代わりに、Lemmas 05HA と 05HM を用いて読者自身でこれを行うことを勧める。） \(Y_1 \subset X_1\) は \(x_1\) の開近傍なので、 Lemma 05HM (05HQ) を適用し、データ (d) の標準縮小 \(S', X'_1, Z'_2, Y'_2, \ldots, Y'_n\) で \(X'_1 \subset Y_1\) を満たすものを得る。 \(X'_1\) はアフィンスキーム \(Y_1\) の標準開集合でもあることに注意する。 次に、データ (a) を次のように縮小する。まず Lemma 05HA (05HB) により基底 \(S\) を \(S'\) に縮小し、 次いで Lemma 05HA (05HC) を用いて その結果を \(S''\), \(X''\), \(Z''_1\), \(Y''_1\) に縮小し、最終的に \(Y''_1 = X'_1 \times_S S''\) かつ \(S'' \subset S'\) となるようにする。 すると、 \[Z''_1, Y''_1, Z'_2 \times_{S'} S'', Y'_2 \times_{S'} S'', \ldots, Y'_n \times_{S'} S''\] が求めていた完全デヴィサージュを与えることが分かる。

さらにデータを整理すると、次の帰結を得る。

補題

\(X \to S\) をスキームの有限型射とする。 \(\mathcal{F}\) を有限型準連接 \(\mathcal{O}_X\) 加群とする。 \(s \in S\) を点とする。 基本エタール近傍 \((S', s') \to (S, s)\) およびエタール射 \(h_i : Y_i \to X_{S'}\), \(i = 1, \ldots, n\) であって、各 \(i\) に対し \(s'\) 上の \(\mathcal{F}_i/Y_i/S'\) の完全デヴィサージュが存在し、かつ \(X_s = (X_{S'})_{s'} \subset \bigcup h_i(Y_i)\) を満たすものが存在する。 ここで \(\mathcal{F}_i\) は \(\mathcal{F}\) の \(Y_i\) への引き戻しである。

証明

各点 \(x \in X_s\) に対し、図式 \[\xymatrix{ (X, x) \ar[d] & (X', x') \ar[l]^g \ar[d] \\ (S, s) & (S', s') \ar[l] }\] であって、横向きの射が基本エタール近傍であり、かつ \(g^*\mathcal{F}/X'/S'\) が \(x'\) において完全デヴィサージュをもつものを得られる。 \(X \to S\) は有限型なのでファイバー \(X_s\) は準コンパクトであり、 上の各 \(g : X' \to X\) は開写像だから、\(X_s\) は有限個の \(g(X'_{s'})\) で被覆できる。したがって、そのような図式の有限族 \[\vcenter{ \xymatrix{ (X, x) \ar[d] & (X'_i, x'_i) \ar[l]^{g_i} \ar[d] \\ (S, s) & (S'_i, s'_i) \ar[l] } } \quad i = 1, \ldots, n\]

で \(X_s = \bigcup g_i(X'_i)\) を満たすものを得られる。 \(S' = S'_1 \times_S \ldots \times_S S'_n\) とおく。

\(Y_i = X_i \times_{S'_i} S'\) を \(X'_i\) の \(S'\) への基底変換とする。 Lemma 05HJ により、\(\mathcal{F}\) の \(Y_i\) への引き戻しは

\(s\) 上の完全デヴィサージュをもつことが分かり、証明が完了する。

代数への翻訳

完全デヴィサージュをもつことの意味を代数的に明記しておくと有用かもしれない。 そこで、次の概念を導入する（それほど有用な概念ではないので、 途方もなく長い名前を付けることにする）。

定義

\(R \to S\) を環準同型とする。\(\mathfrak q\) を、\(R\) の素イデアル \(\mathfrak p\) の上にある \(S\) の素イデアルとする。 \(\mathfrak q\) における環準同型 \(R \to S\) の基本エタール局所化とは、 環の可換図式およびそれに付随する素イデアル \[\xymatrix{ S \ar[r] & S' \\ R \ar[u] \ar[r] & R' \ar[u] } \quad\quad \xymatrix{ \mathfrak q \ar@{-}[r] & \mathfrak q' \\ \mathfrak p \ar@{-}[u] \ar@{-}[r] & \mathfrak p' \ar@{-}[u] }\] であって、\(R \to R'\) と \(S \to S'\) がエタール環準同型であり、かつ \(\kappa(\mathfrak p) = \kappa(\mathfrak p')\) および \(\kappa(\mathfrak q) = \kappa(\mathfrak q')\) を満たすものとして与えられる。

定義

\(R \to S\) を有限型環準同型とする。 \(\mathfrak r\) を \(R\) の素イデアルとする。 \(N\) を有限 \(S\) 加群とする。 \(\mathfrak r\) 上の \(N/S/R\) の完全デヴィサージュとは、 \(R\) 代数準同型 \[\xymatrix{ & A_1 & & A_2 & & ... & & A_n \\ S \ar[ru] & & B_1 \ar[lu] \ar[ru] & & ... \ar[lu] \ar[ru] & & ... \ar[lu] \ar[ru] & & B_n \ar[lu] }\] 、有限 \(A_i\) 加群 \(M_i\)、および \(B_i\) 加群準同型 \(\alpha_i : B_i^{\oplus r_i} \to M_i\) であって次を満たすものとして与えられる：

1. \(S \to A_1\) は全射かつ有限表示である、

2. \(B_i \to A_{i + 1}\) は全射かつ有限表示である、

3. \(B_i \to A_i\) は有限である、

4. \(R \to B_i\) は滑らかで、幾何学的既約なファイバーをもつ、

5. \(S\) 加群として \(N \cong M_1\) である、

6. \(B_i\) 加群として \(\Coker(\alpha_i) \cong M_{i + 1}\) である、

7. \(\mathfrak p_i = \mathfrak rB_i\) とおくと、\(\alpha_i : \kappa(\mathfrak p_i)^{\oplus r_i} \to M_i \otimes_{B_i} \kappa(\mathfrak p_i)\) は同型である、

8. \(\Coker(\alpha_n) = 0\).

この状況で、 \((A_i, B_i, M_i, \alpha_i)_{i = 1, \ldots, n}\) を \(\mathfrak r\) 上の \(N/S/R\) の完全デヴィサージュという。

注意

すべての \(i\) に対する \(R\) 代数 \(B_i\) と、\(i \geq 2\) に対する \(A_i\) は、 \(R\) 上有限表示であることに注意する。\(S\) が \(R\) 上有限表示ならば、 \(A_1\) も \(R\) 上有限表示である。この場合、完全デヴィサージュに現れる すべての環準同型は有限表示である。Algebra, Lemma 00F4 を参照せよ。 引き続き \(S\) が \(R\) 上有限表示であると仮定すると、次は同値である：

1. \(M\) は \(S\) 上有限表示である、

2. \(M_1\) は \(A_1\) 上有限表示である、

3. \(M_1\) は \(B_1\) 上有限表示である、

4. 各 \(M_i\) は \(A_i\) 加群としても \(B_i\) 加群としても有限表示である。

(1) \(\Leftrightarrow\) (2) および (2) \(\Leftrightarrow\) (3) は Algebra, Lemma 0564 から従う。\(M_1\) が有限表示ならば \(\Coker(\alpha_1)\) も有限表示であり （Algebra, Lemma 0519 を参照）、したがって \(M_2\) なども有限表示である。

定義

\(R \to S\) を有限型環準同型とする。 \(\mathfrak q\) を、\(R\) の素イデアル \(\mathfrak r\) の上にある \(S\) の素イデアルとする。 \(N\) を有限 \(S\) 加群とする。 \(\mathfrak q\) における \(N/S/R\) の完全デヴィサージュとは、 \(\mathfrak r\) 上の \(N/S/R\) の完全デヴィサージュ \((A_i, B_i, M_i, \alpha_i)_{i = 1, \ldots, n}\) と、 \(\mathfrak r\) の上にある素イデアル \(\mathfrak q_i \subset B_i\) であって、 次を満たすものとして与えられる：

1. \(\kappa(\mathfrak r) \subset \kappa(\mathfrak q_i)\) は純超越拡大である、

2. \(\mathfrak q_i \subset B_i\) の上にある素イデアル \(\mathfrak q'_i \subset A_i\) は一意である、

3. \(\mathfrak q = \mathfrak q'_1 \cap S\) かつ \(\mathfrak q_i = \mathfrak q'_{i + 1} \cap A_i\) である、

4. \(R \to B_i\) の相対次元は \(\dim_{\mathfrak q_i}(\text{Supp}(M_i \otimes_R \kappa(\mathfrak r)))\) である。

注意

\(A \to B\) を有限型環準同型とし、\(N\) を有限 \(B\) 加群とする。 \(\mathfrak q\) を、\(A\) の素イデアル \(\mathfrak r\) の上にある \(B\) の素イデアルとする。 \(X = \Spec(B)\), \(S = \Spec(A)\) とおき、\(X\) 上で \(\mathcal{F} = \widetilde{N}\) とする。\(x\) を \(\mathfrak q\) に対応する点とし、

\(s \in S\) を \(\mathfrak p\) に対応する点とする。このとき、

1. \(s\) 上の \(\mathcal{F}/X/S\) の完全デヴィサージュが存在するならば、 \(\mathfrak p\) 上の \(N/B/A\) の完全デヴィサージュが存在する、

2. \(x\) における \(\mathcal{F}/X/S\) の完全デヴィサージュが存在することと、 \(\mathfrak q\) における \(N/B/A\) の完全デヴィサージュが存在することは同値である。

ただし、「\(\mathfrak p\) 上の \(N/B/A\) の完全デヴィサージュ」の定式化では 相対次元に関する条件を省略したという小さな違いがあり、そのため (1) の含意は 一方向にしか成り立たない。\(\mathfrak q\) における完全デヴィサージュという概念には、 この条件が組み込まれている。いずれにせよ、ここで用いるのは \(\mathcal{F}/X/S\) に対する存在が \(N/B/A\) に対する存在を導くことだけである。

補題

\(R \to S\) を有限型環準同型とする。 \(M\) を有限 \(S\) 加群とする。 \(\mathfrak q\) を \(S\) の素イデアルとする。 \(\mathfrak q\) における環準同型 \(R \to S\) の基本エタール局所化 \(R' \to S', \mathfrak q', \mathfrak p'\) であって、 \(\mathfrak q'\) における \((M \otimes_S S')/S'/R'\) の 完全デヴィサージュが存在するものがある。

証明

これは Proposition 05HR を Remark 05I0 によって言い換えたものである。

局所化と普遍単射写像

補題

\(R \to S\) を環準同型とする。 \(N\) を \(S\) 加群とする。次を仮定する：

1. \(R\) は極大イデアル \(\mathfrak m\) をもつ局所環である、

2. \(\overline{S} = S/\mathfrak m S\) は Noetherian である、

3. \(\overline{N} = N/\mathfrak m_R N\) は有限 \(\overline{S}\) 加群である。

\(\Sigma \subset S\) を、\(\overline{N}\) 上の零因子でない元からなる 乗法的部分集合とする。このとき \(\Sigma^{-1}S\) は半局所環であり、 そのスペクトルは \(\text{Ass}_S(\overline{N})\) のある元に含まれる 素イデアル \(\mathfrak q \subset S\) からなる。さらに、 \(\Sigma^{-1}S\) の任意の極大イデアルは、\(\overline{S}\) 上の \(\overline{N}\) の随伴素イデアルに対応する。

証明

Algebra, Lemma 05BY により、 \(\text{Ass}_S(\overline{N}) = \text{Ass}_{\overline{S}}(\overline{N})\) であることに注意する。Algebra, Lemma 00LC により、これは有限集合である。 \(\{\mathfrak q_1, \ldots, \mathfrak q_r\} = \text{Ass}_S(\overline{N})\) と書く。Algebra, Lemma 00LD により \(\Sigma = S \setminus (\bigcup \mathfrak q_i)\) である。 Algebra, Lemma 00E3 における \(\Spec(\Sigma^{-1}S)\) の記述と Algebra, Lemma 00DS により、\(\Sigma^{-1}S\) の素イデアルは、いずれかの \(\mathfrak q_i\) に 含まれる \(S\) の素イデアルに対応する。したがって、\(\Sigma^{-1}S\) の 極大イデアルは、集合 \(\{\mathfrak q_1, \ldots, \mathfrak q_r\}\) の 包含関係に関する極大元と一対一に対応する。これで補題が証明された。

補題

仮定と記号は Lemma 05DE のとおりとする。 さらに次を仮定する：

1. \(S\) は局所環で、\(R \to S\) は局所準同型である、

2. \(S\) は \(R\) 上本質的有限表示である、

3. \(N\) は \(S\) 上有限表示である、

4. \(N\) は \(R\) 上平坦である。

このとき、各 \(s \in \Sigma\) は普遍単射な \(R\) 加群準同型 \(s : N \to N\) を定め、写像 \(N \to \Sigma^{-1}N\) は \(R\)-普遍単射である。

証明

Algebra, Lemma 046Y により、列 \(0 \to N \to N \to N/sN \to 0\) は完全で、\(N/sN\) は \(R\) 上平坦である。 したがって \(s : N \to N\) は普遍単射である。Algebra, Lemma 00HL を参照せよ。写像 \(N \to \Sigma^{-1}N\) は、写像 \(s : N \to N\) の有向余極限なので普遍単射である。

補題

\(R \to S\) を環準同型とする。 \(N\) を \(S\) 加群とする。 \(S \to S'\) を環準同型とする。次を仮定する：

1. \(R \to S\) は局所環の局所準同型である、

2. \(S\) は \(R\) 上本質的有限表示である、

3. \(N\) は \(S\) 上有限表示である、

4. \(N\) は \(R\) 上平坦である、

5. \(S \to S'\) は平坦である、

6. \(\Spec(S') \to \Spec(S)\) の像は、\(\mathfrak m_R\) の上にある \(S\) の素イデアル \(\mathfrak q\) で、\(\mathfrak q\) が \(N/\mathfrak m_R N\) の随伴素イデアルとなるものをすべて含む。

このとき \(N \to N \otimes_S S'\) は \(R\)-普遍単射である。

証明

\(N' = N \otimes_R S'\) とおく。可換図式 \[\xymatrix{ N \ar[d] \ar[r] & N' \ar[d] \\ \Sigma^{-1}N \ar[r] & \Sigma^{-1}N' }\] を考える。ここで \(\Sigma \subset S\) は \(N/\mathfrak m_R N\) 上の 零因子でない元の集合である。写像 \(N \to \Sigma^{-1}N'\) が 普遍単射であることを示せば、\(N \to N'\) も普遍単射となる （Algebra, Lemma 05CJ を参照）。

Lemma 05DE により、環 \(\Sigma^{-1}S\) は 半局所環で、その極大イデアルは \(N/\mathfrak m_R N\) の随伴素イデアルに対応する。 したがって仮定により、\(\Spec(\Sigma^{-1}S') \to \Spec(\Sigma^{-1}S)\) の像はこれらの極大イデアルをすべて含む。 Algebra, Lemma 00HQ により、環準同型 \(\Sigma^{-1}S \to \Sigma^{-1}S'\) は忠実平坦である。したがって、写像 \(\Sigma^{-1}N \to \Sigma^{-1}N'\)、すなわち \[N \otimes_S \Sigma^{-1}S \longrightarrow N \otimes_S \Sigma^{-1}S'\] は普遍単射である。Algebra, Lemmas 05CK および 05CH を参照せよ。 最後に Lemma 05DF を適用すると、 \(N \to \Sigma^{-1}N\) は普遍単射であることが分かる。普遍単射な加群準同型の 合成は普遍単射なので（Algebra, Lemma 05CI を参照）、 \(N \to \Sigma^{-1}N'\) は普遍単射であり、証明が完了する。

補題

\(R \to S\) を環準同型とする。 \(N\) を \(S\) 加群とする。 \(S \to S'\) を環準同型とする。次を仮定する：

1. \(R \to S\) は有限表示で、\(N\) は \(S\) 上有限表示である、

2. \(N\) は \(R\) 上平坦である、

3. \(S \to S'\) は平坦である、

4. \(\Spec(S') \to \Spec(S)\) の像は、素イデアル \(\mathfrak q\) であって、 \(\mathfrak q\) が \(N \otimes_R \kappa(\mathfrak p)\) の随伴素イデアルとなるものを すべて含む。ここで \(\mathfrak p\) は \(\mathfrak q\) の \(R\) における逆像である。

このとき \(N \to N \otimes_S S'\) は \(R\)-普遍単射である。

証明

Algebra, Lemma 05CL により、\(R\) の \(\mathfrak p\) の上にある \(S\) の任意の素イデアル \(\mathfrak q\) に対し、

\(N_{\mathfrak q} \to (N \otimes_R S')_{\mathfrak q}\) が

\(R_{\mathfrak p}\)-普遍単射であることを示せば十分である。したがって、環準同型 \(R_{\mathfrak p} \to S_{\mathfrak q} \to S'_{\mathfrak q}\) および加群 \(N_{\mathfrak q}\) に Lemma 05DG を適用できる。

読者は次の補題を Algebra, Lemmas 00ME, 046Y および Section 0ASZ の結果と比較するとよいだろう。 いずれの場合にも、結論は写像 \(u : M \to N\) が平坦な余核をもつ 普遍単射であるというものである。

補題

\((R, \mathfrak m)\) を局所環とする。\(u : M \to N\) を \(R\) 加群準同型とする。 \(M\) が射影的 \(R\) 加群、\(N\) が平坦 \(R\) 加群であり、 \(\overline{u} : M/\mathfrak mM \to N/\mathfrak mN\) が単射ならば、 \(u\) は普遍単射である。

証明

Algebra, Theorem 0593 により、加群 \(M\) は自由である。\(M\) の有限生成直和因子のそれぞれについて 結果を示せば補題が従う。したがって \(M\) は有限自由であると仮定してよい。 \(N = \colim_i N_i\) を有限自由加群の有向余極限として表す。Algebra, Theorem 058G を参照せよ。\(M\) は有限自由なので、 \(u : M \to N\) はある \(i\) に対して \(N_i\) を経由する。対応する \(R\) 加群準同型を \(u_i : M \to N_i\) と書く。\(\overline{u}\) は単射なので、 \(\overline{u_i} : M/\mathfrak mM \to N_i/\mathfrak mN_i\) は単射であり、 任意の \(i' \geq i\) に対して写像 \(N_i/\mathfrak mN_i \to N_{i'}/\mathfrak mN_{i'}\) と合成した後も単射である。 \(M\) と \(N_{i'}\) は局所環 \(R\) 上有限自由なので、任意の \(i' \geq i\) に対し \(M \to N_{i'}\) は分裂単射である。したがって、任意の \(R\) 加群 \(Q\) に対し \(M \otimes_R Q \to N_{i'} \otimes_R Q\) はすべての \(i' \geq i\) について単射である。 \(- \otimes_R Q\) は余極限と可換なので、

\(M \otimes_R Q \to N_{i'} \otimes_R Q\) は所望のとおり単射である。

補題

仮定と記号は Lemma 05DE のとおりとする。 さらに \(N\) は \(R\) 加群として射影的であると仮定する。 このとき、各 \(s \in \Sigma\) は普遍単射な \(R\) 加群準同型 \(s : N \to N\) を定め、写像 \(N \to \Sigma^{-1}N\) は \(R\)-普遍単射である。

証明

\(s \in \Sigma\) を取る。Lemma 05FQ により、写像 \(s : N \to N\) は普遍単射である。写像 \(N \to \Sigma^{-1}N\) は、写像 \(s : N \to N\) の有向余極限なので普遍単射である。

完備化と Mittag–Leffler 加群

補題

\(R\) を環、\(I \subset R\) をイデアル、\(A\) を集合とする。 \(R\) は Noetherian で \(I\) に関して完備であると仮定する。このとき完備化 \((\bigoplus\nolimits_{\alpha \in A} R)^\wedge\) は平坦かつ Mittag–Leffler である。

証明

More on Algebra, Lemma 05BC により、写像 \((\bigoplus\nolimits_{\alpha \in A} R)^\wedge \to \prod_{\alpha \in A} R\) は普遍単射である。したがって Algebra, Lemmas 058P および 059N により、 \(\prod_{\alpha \in A} R\) が平坦かつ Mittag–Leffler であることを示せば十分である。 Algebra, Proposition 05CZ （および Algebra, Lemma 05CY）により、 \(\prod_{\alpha \in A} R\) は平坦である。また、\(R\) のコピーの積は Mittag–Leffler なので結論を得る。Algebra, Lemma 05D0 を参照せよ。

補題

\(R\) を環、\(I \subset R\) をイデアルとする。 \(M\) を \(R\) 加群とする。次を仮定する：

1. \(R\) は Noetherian で \(I\) 進完備である、

2. \(M\) は \(R\) 上平坦である、

3. \(M/IM\) は射影的 \(R/I\) 加群である。

このとき \(I\) 進完備化 \(M^\wedge\) は平坦な Mittag–Leffler \(R\) 加群である。

証明

\(F\) が自由 \(R\) 加群となる全射 \(F \to M\) を選ぶ。Algebra, Lemma 05D3 により、加群 \(M^\wedge\) は 加群 \(F^\wedge\) の直和因子である。したがって \(F\) について補題を証明すれば十分であり、 この場合は Lemma 05DJ から従う。

Lemmas 05DL および 05DM において、 \(R \to S\) が有限型ならば \(S\) が Noetherian であるという仮定は満たされる。 Algebra, Lemma 00FN を参照せよ。

補題

\(R\) を環、\(I \subset R\) をイデアルとする。 \(R \to S\) を環準同型、\(N\) を \(S\) 加群とする。次を仮定する：

1. \(R\) は Noetherian 環である、

2. \(S\) は Noetherian 環である、

3. \(N\) は有限 \(S\) 加群である、

4. 任意の有限 \(R\) 加群 \(Q\) と任意の \(\mathfrak q \in \text{Ass}_S(Q \otimes_R N)\) に対し \(IS + \mathfrak q \not = S\) が成り立つ。

このとき、\(N\) から \(N\) の \(I\) 進完備化への写像 \(N \to N^\wedge\) は、 \(R\) 加群の写像として普遍単射である。

証明

任意の有限 \(R\) 加群 \(Q\) に対し、写像 \(Q \otimes_R N \to Q \otimes_R N^\wedge\) が単射であることを示す必要がある。 Algebra, Theorem 058K を参照せよ。 標準写像 \(Q \otimes_R N^\wedge \to (Q \otimes_R N)^\wedge\) が存在するので、 標準写像 \(Q \otimes_R N \to (Q \otimes_R N)^\wedge\) が単射であることを 証明すれば十分である。したがって \(N\) を \(Q \otimes_R N\) で置き換えてよく、 写像 \(N \to N^\wedge\) の単射性を証明すれば十分である。

\(K = \Ker(N \to N^\wedge)\) とおく。\(N\) は \(\prod_{\mathfrak q \in \text{Ass}(N)} N_{\mathfrak q}\) の部分加群なので、 \(\mathfrak q \in \text{Ass}(N)\) に対して \(K_{\mathfrak q} = 0\) を示せば十分である。 Algebra, Lemma 0311 を参照せよ。 \(\mathfrak q \in \text{Ass}(N)\) を取る。最後の仮定により、 \(\mathfrak q' \supset IS + \mathfrak q\) となる素イデアルが存在する。 \(K_{\mathfrak q}\) は \(K_{\mathfrak q'}\) の局所化なので、\(K_{\mathfrak q'}\) の 消滅を証明すれば十分である。\(K = \bigcap I^nN\) であるから \(K_{\mathfrak q'} \subset \bigcap I^nN_{\mathfrak q'}\) である。よって Algebra, Lemma 00IP により \(K_{\mathfrak q'} = 0\) である。

補題

\(R\) を環、\(I \subset R\) をイデアルとする。 \(R \to S\) を環準同型、\(N\) を \(S\) 加群とする。次を仮定する：

1. \(R\) は Noetherian 環である、

2. \(S\) は Noetherian 環である、

3. \(N\) は有限 \(S\) 加群である、

4. \(N\) は \(R\) 上平坦である、

5. \(N \otimes_R \kappa(\mathfrak p)\) の随伴素イデアルとなる任意の 素イデアル \(\mathfrak q \subset S\) に対し、ここで

   \(\mathfrak p = R \cap \mathfrak q\) とおくと、\(IS + \mathfrak q \not = S\) が成り立つ。

このとき、\(N\) から \(N\) の \(I\) 進完備化への写像 \(N \to N^\wedge\) は、 \(R\) 加群の写像として普遍単射である。

証明

Algebra, Lemma 05C2 および Remark 05E0 により、テンソル積 \(N \otimes_R Q\) の随伴素イデアルの集合は、加群 \(N \otimes_R \kappa(\mathfrak p)\) の随伴素イデアルの集合に含まれる。

したがって Lemma 05DL から従う。

射影加群

次の補題を用いると、基底に関する Noetherian 帰納法によって射影性を証明できる。 Lemma 05FS を参照せよ。

補題

\(R\) を環、\(I \subset R\) をイデアルとする。 \(R \to S\) を環準同型、\(N\) を \(S\) 加群とする。次を仮定する：

1. \(R\) は Noetherian で \(I\) 進完備である、

2. \(R \to S\) は有限型である、

3. \(N\) は有限 \(S\) 加群である、

4. \(N\) は \(R\) 上平坦である、

5. \(N/IN\) は射影的 \(R/I\) 加群である、

6. \(N \otimes_R \kappa(\mathfrak p)\) の随伴素イデアルとなる任意の 素イデアル \(\mathfrak q \subset S\) に対し、ここで

   \(\mathfrak p = R \cap \mathfrak q\) とおくと、\(IS + \mathfrak q \not = S\) が成り立つ。

このとき \(N\) は射影的 \(R\) 加群である。

証明

Lemma 05DM により、写像 \(N \to N^\wedge\) は普遍単射である。Lemma 05DK により、 加群 \(N^\wedge\) は Mittag–Leffler である。Algebra, Lemma 059N により、\(N\) も Mittag–Leffler である。 したがって \(N\) は \(R\) 加群として可算生成、平坦、かつ Mittag–Leffler であり、 Algebra, Lemma 059X により射影的である。

補題

\(R\) を環、\(R \to S\) を環準同型とする。次を仮定する：

1. \(R\) は Noetherian である、

2. \(R \to S\) は有限型かつ平坦である、

3. 各ファイバー環 \(S \otimes_R \kappa(\mathfrak p)\) は \(\kappa(\mathfrak p)\) 上幾何学的整である。

このとき \(S\) は射影的 \(R\) 加群である。

証明

集合 \[\{I \subset R \mid S/IS\text{ は }R/I\text{-加群として射影的でない}\}\] を考える。この集合が空であることを示さなければならない。矛盾を導くため、 空でないと仮定する。このとき極大元 \(I\) をもつ。その根基を \(J = \sqrt{I}\) とする。\(I \not = J\) ならば、\(S/JS\) は射影的 \(R/J\) 加群であり、 \(S/IS\) は \(R/I\) 上平坦で、\(J/I\) は \(R/I\) の冪零イデアルである。 Algebra, Lemma 05CG を適用すると、 \(S/IS\) は射影的 \(R/I\) 加群となり、矛盾する。したがって \(I\) は根基イデアルと 仮定してよい。言い換えれば、\(R\) が被約環で、\(R\) の任意の非零イデアル \(I\) に対し \(S/IS\) が射影的 \(R/I\) 加群である場合に補題を証明すればよい。

\(R\) は被約環で、\(R\) の任意の非零イデアル \(I\) に対して \(S/IS\) は 射影的 \(R/I\) 加群であると仮定する。一般平坦性、すなわち Algebra, Lemma 051R （整域となる局所化 \(R_g\) に適用する）または、より一般的な Algebra, Lemma 051Z により、 \(S_f\) が自由 \(R_f\) 加群となる非零元 \(f \in R\) が存在する。 \(R\) の \((f)\) 進完備化を \(R^\wedge = \lim R/(f^n)\) と書く。環準同型 \[R \longrightarrow R_f \times R^\wedge\] は忠実平坦である。Algebra, Lemma 00MB を参照せよ。したがって射影性の忠実平坦降下、すなわち Algebra, Theorem 05A9 により、 \(S \otimes_R R^\wedge\) が射影的 \(R^\wedge\) 加群であることを示せば十分である。 そのために Lemma 05DP の判定法を用いる。 まず、\(S/fS = (S \otimes_R R^\wedge)/f(S \otimes_R R^\wedge)\) は 射影的 \(R/(f)\) 加群であり、\(S \otimes_R R^\wedge\) はその基底変換として \(R^\wedge\) 上平坦かつ有限型であることに注意する。次に、 \(\mathfrak p^\wedge\) を \(R^\wedge\) の素イデアルとする。 \(\mathfrak p \subset R\) を対応する \(R\) の素イデアルとする。 \(R \to S\) は幾何学的整なファイバー環をもつので、任意の基底変換の ファイバー環についても同じことが成り立つ。したがって \(\mathfrak q^\wedge = \mathfrak p^\wedge(S \otimes_R R^\wedge)\),

は \(\mathfrak p^\wedge\) の上にある素イデアルであり、 \(S \otimes_R \kappa(\mathfrak p^\wedge)\) の唯一の随伴素イデアルである。 よって \(f(S \otimes_R R^\wedge) + \mathfrak q^\wedge \not = S \otimes_R R^\wedge\) ならば証明は終わる。これは成り立つ。実際、 \(f\) は \(f\) 進完備環 \(R^\wedge\) の Jacobson 根基に属するので \(\mathfrak p^\wedge + fR^\wedge \not = R^\wedge\) であり、また \(R^\wedge \to S \otimes_R R^\wedge\) のファイバーは空でない （既約空間は空でない）ため、この射はスペクトル上全射である。

補題

\(R\) を環、\(R \to S\) を環準同型とする。次を仮定する：

1. \(R \to S\) は有限表示かつ平坦である、

2. 各ファイバー環 \(S \otimes_R \kappa(\mathfrak p)\) は \(\kappa(\mathfrak p)\) 上幾何学的整である。

このとき \(S\) は射影的 \(R\) 加群である。

証明

環の余 Cartesian 図式 \[\xymatrix{ S_0 \ar[r] & S \\ R_0 \ar[u] \ar[r] & R \ar[u] }\] であって、\(R_0\) が \(\mathbf{Z}\) 上有限型であり、\(R_0 \to S_0\) が 幾何学的整なファイバーをもつ有限型平坦射となるものを得られる。 More on Morphisms, Lemmas 05FE, 05FG, 05FH, 05FL を参照せよ。 Lemma 05FS により、\(S_0\) は 射影的 \(R_0\) 加群である。したがって \(S = S_0 \otimes_{R_0} R\) は 射影的 \(R\) 加群である。Algebra, Lemma 05A3 を参照せよ。

注意

Lemma 05FT は、 本章の諸結果を展開するうえで鍵となる段階である。[GruRay] における この補題の類似物は [GruRay, I Proposition 3.3.1] である。すなわち、 \(R \to S\) が幾何学的整なファイバーをもつ滑らかな射ならば、\(S\) は 射影的 \(R\) 加群である。これは Lemma 05FT の特殊な場合であるが、 後でいずれこの補題を改良するので、現時点でより強い結果を得ても大きな利点はない。 [GruRay] で与えられているこの証明を簡潔に概説する。

1. まず、上と同様に \(R\) が Noetherian である場合へ帰着する。

2. 射影性は忠実平坦な環準同型に沿って降下するので（Algebra, Theorem 05A9 を参照）、\(R\) 上の fppf 位相で 局所的に作業してよい。したがって \(R \to S\) は切断 \(\sigma : S \to R\) をもつと仮定してよい（\(S\) へ基底変換する通常の方法による）。 \(I = \Ker(S \to R)\) とおく。

3. \(R\) 上でもう少し局所化すると、\(I/I^2\) が自由 \(R\) 加群であり、 \(I\) に関する \(S\) の完備化 \(S^\wedge\) が \(R[[t_1, \ldots, t_n]]\) と 同型であると仮定してよい。Morphisms, Lemma 05D9 を参照せよ。ここでは \(R \to S\) が滑らかであることを用いている。

4. \(S\) が射影的 \(R\) 加群であることを証明するには、\(S\) が \(R\) 加群として 平坦、可算生成、かつ Mittag–Leffler であることを証明すれば十分である。 Algebra, Lemma 059X を参照せよ。 最初の二つの性質は明らかである。したがって \(S\) が \(R\) 加群として Mittag–Leffler であることを証明すれば十分である。Algebra, Lemma 059T により、加群 \(R[[t_1, \ldots, t_n]]\) は \(R\) 上 Mittag–Leffler である。よって Algebra, Lemma 059N により、

   \(S \to S^\wedge\) が \(R\) 加群の写像として普遍単射であることを示せば十分である。

5. Lemma 05DH を適用すると、 \(S \to S^\wedge\) は \(R\)-普遍単射であることが分かる。実際、 \(R \to S\) は幾何学的整なファイバーをもつので、任意のファイバー環の 任意の随伴点はそのファイバー環の総称点にほかならず、これは \(\Spec(S^\wedge) \to \Spec(S)\) の像に含まれる。

今概説した証明と、Lemma 05FT の証明へ至る 議論の展開との間には類似がある。

いずれにおいても完備化が本質的な役割を果たし、またいずれにおいても 幾何学的整なファイバーをもつという仮定により、\(S\) から \(S\) の完備化への写像が \(R\)-普遍単射であることが保証される。

有限型平坦加群 I

有限表示な環準同型 \(R \to S\) と有限 \(S\)-加群 \(N\) が与えられたとき、 場合によっては \(N\) が \(R\) 上平坦であることから \(N\) が有限表示であることが従う。 本節では、この主張が「各点で」成り立つことを証明する。 なお、命題 05I5 の第1の証明は 節 057P の幾何学的結果を用いるが、 完全デヴィサージュの存在は用いない。

補題

\((R, \mathfrak m)\) を局所環とする。\(R \to S\) を、幾何学的整ファイバーをもつ 有限表示平坦環準同型とする。\(\mathfrak p = \mathfrak mS\) と書く。 \(\mathfrak q \subset S\) を \(\mathfrak m\) の上にある素イデアルとし、 \(N\) を有限 \(S\)-加群とする。このとき、ある \(r \geq 0\) と \(S\)-加群準同型 \[\alpha : S^{\oplus r} \longrightarrow N\] が存在し、 \(\alpha : \kappa(\mathfrak p)^{\oplus r} \to N \otimes_S \kappa(\mathfrak p)\) は同型である。このような任意の \(\alpha\) について、次は同値である。

1. \(N_{\mathfrak q}\) は \(R\) 上平坦である。

2. \(\alpha\) は \(R\)-普遍単射であり、 \(\Coker(\alpha)_{\mathfrak q}\) は \(R\) 上平坦である。

3. \(\alpha\) は単射であり、 \(\Coker(\alpha)_{\mathfrak q}\) は \(R\) 上平坦である。

4. \(\alpha_{\mathfrak p}\) は同型であり、 \(\Coker(\alpha)_{\mathfrak q}\) は \(R\) 上平坦である。

5. \(\alpha_{\mathfrak q}\) は単射であり、 \(\Coker(\alpha)_{\mathfrak q}\) は \(R\) 上平坦である。

証明

\(\alpha\) を得るため、 \(r = \dim_{\kappa(\mathfrak p)} N \otimes_S \kappa(\mathfrak p)\) とおき、 \(N \otimes_S \kappa(\mathfrak p)\) の基底をなす \(x_1, \ldots, x_r \in N\) を選ぶ。 \(\alpha(s_1, \ldots, s_r) = \sum s_i x_i\) と定めればよい。これで存在が示された。

\(\alpha\) を一つ固定する。最も重要な含意は (1) \(\Rightarrow\) (2) なので、 これを最初に証明する。(1) を仮定する。 \(S/\mathfrak mS\) は分数体 \(\kappa(\mathfrak p)\) をもつ整域であるから、 \((S/\mathfrak mS)^{\oplus r} \to N_{\mathfrak p}/\mathfrak mN_{\mathfrak p} = N \otimes_S \kappa(\mathfrak p)\) は単射である。したがって、

Lemmas 05FQ and 05FT により、 準同型 \(S^{\oplus r} \to N_{\mathfrak p}\) は \(R\)-普遍単射である。 よって \(S^{\oplus r} \to N\) も \(R\)-普遍単射である（Algebra, Lemma 05CJ 参照）。 さらに、その局所化 \(\alpha_{\mathfrak q}\) も \(R\)-普遍単射である （Algebra, Lemma 05CM 参照）。 Algebra, Lemma 058P により、 \(\Coker(\alpha)_{\mathfrak q}\) は \(R\) 上平坦であると結論できる。

(2) \(\Rightarrow\) (3) は明らかである。(3) が成り立つなら、 \(\alpha_{\mathfrak p}\) は単射加群準同型の局所化なので単射である。 中山の補題（Algebra, Lemma 00DV）により、 \(\alpha_{\mathfrak p}\) は全射でもある。よって (3) \(\Rightarrow\) (4) である。 (4) が成り立つなら \(\alpha_{\mathfrak p}\) は同型であり、 \(S_{\mathfrak q} \to S_{\mathfrak p}\) が単射なので \(\alpha\) は単射である。 実際、Lemmas 05FR and 05FT を合わせると、 \(S \setminus \mathfrak p\) の元は \(S\) 上の非零因子である。 したがって (4) \(\Rightarrow\) (5) である。最後に (5) が成り立つなら、 \(N_{\mathfrak q}\) は平坦加群の拡大として \(R\) 上平坦である （Algebra, Lemma 00HM 参照）。 ゆえに (5) \(\Rightarrow\) (1) であり、証明が完了した。

補題

\((R, \mathfrak m)\) を局所環とする。 \(R \to S\) を有限表示な環準同型とし、\(N\) を有限 \(S\)-加群とする。 \(\mathfrak q\) を \(\mathfrak m\) の上にある \(S\) の素イデアルとする。 \(N_{\mathfrak q}\) は \(R\) 上平坦であり、かつ \(\mathfrak q\) における \(N/S/R\) の完全デヴィサージュが存在すると仮定する。 このとき \(N\) は有限表示 \(S\)-加群であり、\(R\)-加群として自由であり、 同型 \[N \cong B_1^{\oplus r_1} \oplus \ldots \oplus B_n^{\oplus r_n}\] が \(R\)-加群の同型として存在する。ここで各 \(B_i\) は幾何学的既約ファイバーをもつ 滑らかな \(R\)-代数である。

証明

与えられた完全デヴィサージュを \((A_i, B_i, M_i, \alpha_i, \mathfrak q_i)_{i = 1, \ldots, n}\) とする。 \(n\) に関する帰納法で補題を証明する。Remark 05HY によれば、\(N\) が有限表示 \(S\)-加群であることと、\(M_1\) が有限表示

\(B_1\)-加群であることは同値である。また、\(R\)-加群として \(N_{\mathfrak q} \cong (M_1)_{\mathfrak q_1}\) である。実際、 (a) \(N_{\mathfrak q} \cong (M_1)_{\mathfrak q'_1}\) であり、ここで \(\mathfrak q'_1\) は \(\mathfrak q_1\) の上にある \(A_1\) の一意な素イデアルである。 (b) Algebra, Lemma 00EA により \((A_1)_{\mathfrak q'_1} = (A_1)_{\mathfrak q_1}\) である。 したがって (c) \((M_1)_{\mathfrak q'_1} \cong (M_1)_{\mathfrak q_1}\) である。 ゆえに \((M_1)_{\mathfrak q_1}\) は平坦 \(R\)-加群である。したがって補題を 証明するために \((S, N)\) を \((B_1, M_1)\) で置き換えてよい。 Lemma 05I3 により、準同型 \(\alpha_1 : B_1^{\oplus r_1} \to M_1\) は \(R\)-普遍単射であり、

\(\Coker(\alpha_1)_{\mathfrak q}\) は \(R\) 上平坦である。 さらに \((A_i, B_i, M_i, \alpha_i, \mathfrak q_i)_{i = 2, \ldots, n}\) は、 \(\mathfrak q_1\) における \(\Coker(\alpha_1)/B_1/R\) の完全デヴィサージュである。 したがって帰納法の仮定により、\(\Coker(\alpha_1)\) は有限表示 \(B_1\)-加群であり、\(R\)-加群として自由であり、補題に述べた形の分解をもつ。 Algebra, Lemma 0519 によって、これは \(M_1\) が 有限表示 \(B_1\)-加群であることを含意する。さらに、\(R\)-加群として \(M_1 \cong B_1^{\oplus r_1} \oplus \Coker(\alpha_1)\) であり、したがって補題に述べた形の分解を得る。最後に、 Lemma 05FT により \(B_1\) は射影 \(R\)-加群であり、Algebra, Theorem 0593 により \(R\)-加群として自由である。これで証明が完了した。

命題

\(f : X \to S\) をスキームの射とし、\(\mathcal{F}\) を \(X\) 上の準連接層とする。 \(x \in X\) の像を \(s \in S\) とする。次を仮定する。

1. \(f\) は局所有限表示である。

2. \(\mathcal{F}\) は有限型である。

3. \(\mathcal{F}\) は \(S\) 上 \(x\) で平坦である。

このとき、基本エタール近傍 \((S', s') \to (S, s)\) と開部分スキーム \[V \subset X \times_S \Spec(\mathcal{O}_{S', s'})\] が存在する。これは \(x\) に写る \(X \times_S \Spec(\mathcal{O}_{S', s'})\) の一意な点を含み、 \(\mathcal{F}\) の \(V\) への引き戻しは有限表示 \(\mathcal{O}_V\)-加群であり、 \(\mathcal{O}_{S', s'}\) 上平坦である。

証明

この証明は長いが、完全デヴィサージュの存在を用いない。 問題は \(x\) と \(s\) の近傍で局所的なので、\(X\) と \(S\) はアフィンであると 仮定してよい。証明の途中で有限回、

\(S\) を \((S, s)\) の基本エタール近傍で置き換える。このような置換の後に、 \(x\) を含む開集合 \(V \subset X \times_S \Spec(\mathcal{O}_{S, s})\) で、 \(\mathcal{F}|_V\) が \(S\) 上平坦かつ有限表示となるものを見つけることが目標である。 もちろん証明の任意の段階で \(S\) を \(\Spec(\mathcal{O}_{S, s})\) に 置き換えてもよい。すなわち \(S\) は局所スキームであると仮定してよい。 整数 \(n = \dim_x(\text{Supp}(\mathcal{F}_s))\) に関する帰納法で命題を証明する。

Lemma 057S に従って、次を選べる。

1. 基本エタール近傍 \(g : (X', x') \to (X, x)\) および \(e : (S', s') \to (S, s)\)。

2. 可換図式 \[\xymatrix{ X \ar[dd]_f & X' \ar[dd] \ar[l]^g & Z' \ar[l]^i \ar[d]^\pi \\ & & Y' \ar[d]^h \\ S & S' \ar[l]_e & S' \ar@{=}[l] }\]

3. \(i(z') = x'\)、\(y' = \pi(z')\)、\(h(y') = s'\) を満たす点 \(z' \in Z'\)。

4. 有限型準連接 \(\mathcal{O}_{Z'}\)-加群 \(\mathcal{G}\)。

証明の第1段落の注意に従い、\(S\) を \(\Spec(\mathcal{O}_{S', s'})\) で 置き換えることにする。次の図式を考える。 \[\xymatrix{ X_{\mathcal{O}_{S', s'}} \ar[ddr]_f & X'_{\mathcal{O}_{S', s'}} \ar[dd] \ar[l]^g & Z'_{\mathcal{O}_{S', s'}} \ar[l]^i \ar[d]^\pi \\ & & Y'_{\mathcal{O}_{S', s'}} \ar[dl]^h \\ & \Spec(\mathcal{O}_{S', s'}) }\] ここでは \(S'\) 上のスキーム \(X', Z', Y'\) を \(\Spec(\mathcal{O}_{S', s'}) \to S'\) に沿って、また \(S\) 上のスキーム \(X\) を \(\Spec(\mathcal{O}_{S', s'}) \to S\) に沿って基底変換した。 Lemma 05H2 により、\(g\) はなおエタールである。 \(X\) を \(X_{\mathcal{O}_{S', s'}}\) で、\(X'\) を \(X'_{\mathcal{O}_{S', s'}}\) で、\(Z'\) を \(Z'_{\mathcal{O}_{S', s'}}\) で、 \(Y'\) を \(Y'_{\mathcal{O}_{S', s'}}\) で置き換えると、 Lemma 057S の図式をもち、さらに \(S = S'\) は閉点 \(s\) をもつ局所スキームであると仮定できる。 Lemmas 057T and 057U により、\(Y' \to S\)、層 \(\pi_*\mathcal{G}\)、点 \(y'\) に対する結果から、\(X \to S\)、\(\mathcal{F}\)、\(x\) に対する結果が従う。 したがって \(S\) は局所的であり、\(X \to S\) は次元 \(n\) の幾何学的既約 ファイバーをもつアフィンスキーム間の滑らかな射であると仮定してよい。

帰納法の基底である \(n = 0\) の場合を考える。 \(X \to S\) は次元 \(0\) の幾何学的既約ファイバーをもつ滑らかな射なので、 Descent, Lemma 02LC により \(X \to S\) は開埋め込みである。\(S\) は局所的であり、その閉点が \(X \to S\) の像に入るので、\(X = S\) と結論できる。したがって \(\mathcal{F}\) は有限平坦 \(\mathcal{O}_{S, s}\)-加群に対応する。 この場合、Algebra, Lemma 00NZ により \(\mathcal{F}\) は実際に有限自由であり、結果が従う。

次に帰納段階を扱う。閉ファイバー内の支持の次元が \(< n\) なら結果が 成り立つと仮定する。\(S = \Spec(A)\)、\(X = \Spec(B)\) と書き、ある \(B\)-加群 \(N\) に対して \(\mathcal{F} = \widetilde{N}\) と書く。 \(A\) は局所環であり、その極大イデアルを \(\mathfrak m\) とする。 \(X \to S\) は幾何学的既約ファイバーをもつので、 \(\mathfrak p = \mathfrak mB\) は \(\mathfrak m\) の上にある一意な極小素イデアルである。 最後に、\(\mathfrak q \subset B\) を \(x\) に対応する素イデアルとする。 Lemma 05I3 により、準同型 \[\alpha : B^{\oplus r} \to N\] を選べ、\(\kappa(\mathfrak p)^{\oplus r} \to N \otimes_B \kappa(\mathfrak p)\) は同型である。さらに \(N_{\mathfrak q}\) は \(A\) 上平坦なので、同じ補題から \(\alpha\) は単射であり、\(\Coker(\alpha)_{\mathfrak q}\) は \(A\) 上平坦である。 \(Q = \Coker(\alpha)\) とおく。\(Q/\mathfrak mQ\) の支持は \(\mathfrak p\) を含まない。したがって確かに \(\dim_{\mathfrak q}(\text{Supp}(Q/\mathfrak mQ)) < n\) である。 \(Q\) について判明したことを合わせると、帰納法の仮定を \(Q\) に適用できる。 ゆえに、結論が \(B \otimes_A A'\) 上の \(Q \otimes_A A'\) について成り立つような

基本エタール射 \((S', s) \to (S, s)\) が存在する。ここで \(A' = \mathcal{O}_{S', s'}\) である。\(A\) を \(A'\) で置き換えると、完全列 \[0 \to B^{\oplus r} \to N \to Q \to 0\] を得る（ここでは、上で述べた \(\alpha\) の単射性を用いた）。これは有限 \(B\)-加群の完全列であり、さらに \(g \in B\), \(g \not \in \mathfrak q\) で、 \(Q_g\) が \(B_g\) 上有限表示かつ \(A\) 上平坦となる元も得られる。 局所化は完全なので、 \[0 \to B_g^{\oplus r} \to N_g \to Q_g \to 0\] も完全である。\(B_g\) と \(Q_g\) は \(A\) 上平坦なので、Algebra, Lemma 00HM により \(N_g\) は \(A\) 上平坦である。 また \(B_g\) と \(Q_g\) は \(B_g\) 上有限表示なので、Algebra, Lemma 0519 により \(N_g\) も同様である。

証明

Proposition 05HR を適用して、 点付きスキームの可換図式 \[\xymatrix{ (X, x) \ar[d] & (X', x') \ar[l]^g \ar[d] \\ (S, s) & (S', s') \ar[l] }\] を得る。ここで横の矢印は基本エタール近傍であり、

\(g^*\mathcal{F}/X'/S'\) は \(x\) において完全デヴィサージュをもつ。 （特に \(S'\) と \(X'\) はアフィンである。）Morphisms, Lemma 02JZ により、\(g^*\mathcal{F}\) は \(S\) 上 \(x'\) で平坦であり、Lemma 05B9 により \(S'\) 上 \(x'\) で平坦である。Remark 05I0 を通じて、 \[\Gamma(X', g^*\mathcal{F})/ \Gamma(X', \mathcal{O}_{X'})/ \Gamma(S', \mathcal{O}_{S'})\] は \(x'\) に対応する \(\Gamma(X', \mathcal{O}_{X'})\) の素イデアルにおいて 完全デヴィサージュをもつ。この完全デヴィサージュを、\(s'\) に対応する \(\Gamma(S', \mathcal{O}_{S'})\) の素イデアルにおける局所環 \(\mathcal{O}_{S', s'}\) へ基底変換できる。したがって Lemma 05I4 により、

\[\Gamma(X', \mathcal{F}') \otimes_{\Gamma(S', \mathcal{O}_{S'})} \mathcal{O}_{S', s'}\] は \(\mathcal{O}_{S', s'}\) 上平坦であり、 \(\Gamma(X', \mathcal{O}_{X'}) \otimes_{\Gamma(S', \mathcal{O}_{S'})} \mathcal{O}_{S', s'}\) 上有限表示である。 言い換えれば、\(\mathcal{F}\) の \(X' \times_{S'} \Spec(\mathcal{O}_{S', s'})\) への制限は有限表示であり、 \(\mathcal{O}_{S', s'}\) 上平坦である。射 \(X' \times_{S'} \Spec(\mathcal{O}_{S', s'}) \to X \times_S \Spec(\mathcal{O}_{S', s'})\) はエタールなので（Lemma 05H2）、その像 \(V \subset X \times_S \Spec(\mathcal{O}_{S', s'})\) は開部分スキームである。 さらにエタール降下により、\(\mathcal{F}\) の \(V\) への制限は有限表示であり、 \(\mathcal{O}_{S', s'}\) 上平坦である。ここでは Morphisms, Lemma 03WT、Descent, Lemma 05B0、および Morphisms, Lemma 02JZ を用いた。

補題

\(f : X \to S\) を局所有限型なスキームの射とし、\(\mathcal{F}\) を有限型 準連接 \(\mathcal{O}_X\)-加群とする。\(s \in S\) とする。このとき集合 \[\{x \in X_s \mid \mathcal{F}\text{ は }S\text{ 上 }x\text{ で平坦}\}\] はファイバー \(X_s\) において開である。

証明

\(x \in U\) と仮定する。Proposition 05I5 における基本エタール近傍 \((S', s') \to (S, s)\) と開集合 \(V \subset X \times_S \Spec(\mathcal{O}_{S', s'})\) を選ぶ。 \(\kappa(s) = \kappa(s')\) なので \(X_{s'} = X_s\) であることに注意する。 \(x' \in V \cap X_{s'}\) なら、\(\mathcal{F}\) の \(X \times_S S'\) への 引き戻しは \(S'\) 上 \(x'\) で平坦である。したがって Morphisms, Lemma 02JZ により、\(\mathcal{F}\) は \(S\) 上 \(x'\) で平坦である。言い換えれば、\(X_s \cap V \subset U\) は \(U\) における \(x\) の開近傍である。

補題

\(f : X \to S\) をスキームの射とし、\(\mathcal{F}\) を \(X\) 上の準連接層とする。 \(x \in X\) の像を \(s \in S\) とする。次を仮定する。

1. \(f\) は局所有限型である。

2. \(\mathcal{F}\) は有限型である。

3. \(\mathcal{F}\) は \(S\) 上 \(x\) で平坦である。

このとき、基本エタール近傍 \((S', s') \to (S, s)\) と開部分スキーム \[V \subset X \times_S \Spec(\mathcal{O}_{S', s'})\] が存在する。これは \(x\) に写る \(X \times_S \Spec(\mathcal{O}_{S', s'})\) の一意な点を含み、 \(\mathcal{F}\) の \(V\) への引き戻しは \(\mathcal{O}_{S', s'}\) 上平坦である。

証明

（これと Proposition 05I5 の唯一の違いは、 \(f\) が有限表示であると仮定しないことである。）問題は \(X\) と \(S\) 上局所的なので、 \(X\) と \(S\) はアフィンであると仮定してよい。\(X = \Spec(B)\)、 \(S = \Spec(A)\) と書き、\(B = A[x_1, \ldots, x_n]/I\) と書く。 言い換えれば閉埋め込み \(i : X \to \mathbf{A}^n_S\) を得る。 \(t = i(x) \in \mathbf{A}^n_S\) とおく。 \(\mathbf{A}^n_S \to S\)、層 \(i_*\mathcal{F}\)、点 \(t\) に Proposition 05I5 を適用すると、 基本エタール近傍 \((S', s') \to (S, s)\) と開部分スキーム \[W \subset \mathbf{A}^n_{\mathcal{O}_{S', s'}}\] を得て、\(i_*\mathcal{F}\) の \(W\) への引き戻しは \(\mathcal{O}_{S', s'}\) 上平坦である。これは、 \(V := W \cap \big(X \times_S \Spec(\mathcal{O}_{S', s'})\big)\) が求める開部分スキームであることを意味する。

補題

\(f : X \to S\) をスキームの射とし、\(\mathcal{F}\) を \(X\) 上の準連接層とする。 \(s \in S\) とする。次を仮定する。

1. \(f\) は有限表示である。

2. \(\mathcal{F}\) は有限型である。

3. \(\mathcal{F}\) はファイバー \(X_s\) の各点で \(S\) 上平坦である。

このとき、基本エタール近傍 \((S', s') \to (S, s)\) と開部分スキーム \[V \subset X \times_S \Spec(\mathcal{O}_{S', s'})\] が存在する。これはファイバー \(X_s = X \times_S s'\) を含み、 \(\mathcal{F}\) の \(V\) への引き戻しは有限表示 \(\mathcal{O}_V\)-加群であり、 \(\mathcal{O}_{S', s'}\) 上平坦である。

証明

各点 \(x \in X_s\) に対し、 Proposition 05I5 を用いると、 基本エタール近傍 \((S_x, s_x) \to (S, s)\) と開集合 \(V_x \subset X \times_S \Spec(\mathcal{O}_{S_x, s_x})\) を得る。 ここで \(x \in X_s = X \times_S s_x\) は \(V_x\) に含まれ、\(\mathcal{F}\) の \(V_x\) への引き戻しは有限表示 \(\mathcal{O}_{V_x}\)-加群であり、 \(\mathcal{O}_{S_x, s_x}\) 上平坦である。特にファイバー \((V_x)_{s_x}\) を \(X_s\) における \(x\) の開近傍とみなせる。\(X_s\) は準コンパクトなので、 \(X_s\) が \((V_{x_i})_{s_{x_i}}\) の合併となるような有限個の点 \(x_1, \ldots, x_n \in X_s\) を選べる。More on Morphisms, Lemma 057B により、 各近傍 \((S_{x_i}, s_{x_i})\) を支配する基本エタール近傍 \((S' , s') \to (S, s)\) を選ぶ。

\(V = \bigcup V_i\) とおく。ここで \(V_i\) は、射 \[X \times_S \Spec(\mathcal{O}_{S', s'}) \longrightarrow X \times_S \Spec(\mathcal{O}_{S_{x_i}, s_{x_i}})\] による開集合 \(V_{x_i}\) の逆像である。構成より \(V\) は \(X_s\) を含み、 \(\mathcal{F}\) の \(V\) への引き戻しは有限表示 \(\mathcal{O}_V\)-加群であり、 \(\mathcal{O}_{S', s'}\) 上平坦である。

補題

\(f : X \to S\) をスキームの射とし、\(\mathcal{F}\) を \(X\) 上の準連接層とする。 \(s \in S\) とする。次を仮定する。

1. \(f\) は有限型である。

2. \(\mathcal{F}\) は有限型である。

3. \(\mathcal{F}\) はファイバー \(X_s\) の各点で \(S\) 上平坦である。

このとき、基本エタール近傍 \((S', s') \to (S, s)\) と開部分スキーム \[V \subset X \times_S \Spec(\mathcal{O}_{S', s'})\] が存在する。これはファイバー \(X_s = X \times_S s'\) を含み、 \(\mathcal{F}\) の \(V\) への引き戻しは \(\mathcal{O}_{S', s'}\) 上平坦である。

証明

（これと Lemma 05KU の唯一の違いは、 \(f\) が有限表示であると仮定しないことである。）各点 \(x \in X_s\) に対し、 Lemma 05KT を用いると、基本エタール近傍 \((S_x, s_x) \to (S, s)\) と開集合 \(V_x \subset X \times_S \Spec(\mathcal{O}_{S_x, s_x})\) を得る。 ここで \(x \in X_s = X \times_S s_x\) は \(V_x\) に含まれ、\(\mathcal{F}\) の \(V_x\) への引き戻しは \(\mathcal{O}_{S_x, s_x}\) 上平坦である。 特にファイバー \((V_x)_{s_x}\) を \(X_s\) における \(x\) の開近傍とみなせる。 \(X_s\) は準コンパクトなので、\(X_s\) が \((V_{x_i})_{s_{x_i}}\) の合併となる ような有限個の点 \(x_1, \ldots, x_n \in X_s\) を選べる。 More on Morphisms, Lemma 057B により、 各近傍 \((S_{x_i}, s_{x_i})\) を支配する基本エタール近傍 \((S' , s') \to (S, s)\) を選ぶ。

\(V = \bigcup V_i\) とおく。ここで \(V_i\) は、射 \[X \times_S \Spec(\mathcal{O}_{S', s'}) \longrightarrow X \times_S \Spec(\mathcal{O}_{S_{x_i}, s_{x_i}})\] による開集合 \(V_{x_i}\) の逆像である。構成より \(V\) は \(X_s\) を含み、 \(\mathcal{F}\) の \(V\) への引き戻しは \(\mathcal{O}_{S', s'}\) 上平坦である。

補題

\(S\) をスキームとし、\(X\) を \(S\) 上局所有限型とする。 \(x \in X\) の像を \(s \in S\) とする。\(X\) が \(S\) 上 \(x\) で平坦なら、 基本エタール近傍 \((S', s') \to (S, s)\) と開部分スキーム \[V \subset X \times_S \Spec(\mathcal{O}_{S', s'})\] が存在する。これは \(x\) に写る \(X \times_S \Spec(\mathcal{O}_{S', s'})\) の一意な点を含み、 \(V \to \Spec(\mathcal{O}_{S', s'})\) は平坦かつ有限表示である。

証明

問題は \(X\) と \(S\) 上局所的なので、\(X\) と \(S\) はアフィンであると仮定してよい。 \(X = \Spec(B)\)、\(S = \Spec(A)\) と書き、\(B = A[x_1, \ldots, x_n]/I\) と書く。 言い換えれば閉埋め込み \(i : X \to \mathbf{A}^n_S\) を得る。 \(t = i(x) \in \mathbf{A}^n_S\) とおく。 \(\mathbf{A}^n_S \to S\)、層 \(\mathcal{F} = i_*\mathcal{O}_X\)、点 \(t\) に Proposition 05I5 を適用すると、 基本エタール近傍 \((S', s') \to (S, s)\) と開部分スキーム \[W \subset \mathbf{A}^n_{\mathcal{O}_{S', s'}}\] を得て、\(i_*\mathcal{O}_X\) の引き戻しは平坦かつ有限表示である。これは、 \(V := W \cap \big(X \times_S \Spec(\mathcal{O}_{S', s'})\big)\) が求める開部分スキームであることを意味する。

補題

\(f : X \to S\) を局所有限表示な射とし、\(\mathcal{F}\) を有限型準連接 \(\mathcal{O}_X\)-加群とする。\(x \in X\) であり、\(\mathcal{F}\) が \(S\) 上 \(x\) で平坦なら、\(\mathcal{F}_x\) は有限表示 \(\mathcal{O}_{X, x}\)-加群である。

証明

\(s = f(x)\) とおく。Proposition 05I5 により、 基本エタール近傍 \((S', s') \to (S, s)\) が存在し、\(\mathcal{F}\) の \(X \times_S \Spec(\mathcal{O}_{S', s'})\) への引き戻しは、\(x\) に対応する点 \(x' \in X_{s'} = X_s\) の近傍で有限表示である。環準同型 \[\mathcal{O}_{X, x} \longrightarrow \mathcal{O}_{X \times_S \Spec(\mathcal{O}_{S', s'}), x'} = \mathcal{O}_{X \times_S S', x'}\] はエタール環準同型の局所化として平坦かつ局所的である。したがって降下により、 \(\mathcal{F}_x\) は \(\mathcal{O}_{X, x}\) 上有限表示である。Algebra, Lemma 03C4 を参照せよ。また、平坦な 局所環準同型が忠実平坦であることについては Algebra, Lemma 00HR を参照せよ。

補題

\(f : X \to S\) を局所有限型な射とする。\(x \in X\) の像を \(s \in S\) とする。 \(f\) が \(S\) 上 \(x\) で平坦なら、\(\mathcal{O}_{X, x}\) は \(\mathcal{O}_{S, s}\) 上本質的有限表示である。

証明

\(X\) と \(S\) はアフィンであると仮定してよい。\(X = \Spec(B)\)、 \(S = \Spec(A)\) と書き、\(B = A[x_1, \ldots, x_n]/I\) と書く。 言い換えれば閉埋め込み \(i : X \to \mathbf{A}^n_S\) を得る。 \(t = i(x) \in \mathbf{A}^n_S\) とおく。 \(\mathbf{A}^n_S \to S\)、層 \(\mathcal{F} = i_*\mathcal{O}_X\)、点 \(t\) に Lemma 05I7 を適用すると、 \(\mathcal{O}_{X, x}\) は \(\mathcal{O}_{\mathbf{A}^n_S, t}\) 上有限表示である。 これは求める主張を含意する。

開集合からの性質の延長

本節では次の形の結果をいくつか集める。\(f : X \to S\) がスキームの平坦射で、 \(f\) が \(S\) の稠密開集合上である性質を満たすなら、\(f\) は \(S\) 全体上で同じ性質を満たす。

補題

\(f : X \to S\) をスキームの射とし、\(\mathcal{F}\) を準連接 \(\mathcal{O}_X\)-加群とする。\(U \subset S\) を開集合とする。次を仮定する。

1. \(f\) は局所有限表示である。

2. \(\mathcal{F}\) は有限型であり、\(S\) 上平坦である。

3. \(U \subset S\) は逆コンパクトかつスキーム論的に稠密である。

4. \(\mathcal{F}|_{f^{-1}U}\) は有限表示である。

このとき \(\mathcal{F}\) は有限表示である。

証明

問題は \(X\) と \(S\) 上局所的なので、\(X\) と \(S\) はアフィンであると仮定してよい。 \(S = \Spec(A)\)、\(X = \Spec(B)\) と書く。\(\mathcal{F}\) が \(N\) に付随する 準連接層となるような有限 \(B\)-加群 \(N\) をとる。Algebra, Lemma 00F6 により、ある \(f_i \in A\) に対して \(U = D(f_1) \cup \ldots \cup D(f_n)\) である。\(U\) はスキーム論的に稠密なので、 準同型 \(A \to A_{f_1} \times \ldots \times A_{f_n}\) は単射である。 \(s \in S\) に写る \(x \in X\) に対応する \(\mathfrak p \subset A\) の上にある 素イデアル \(\mathfrak q \subset B\) を選ぶ。 Lemma 05I7 により、\(N_\mathfrak q\) は \(B_\mathfrak q\) 上有限表示である。\(B\)-加群の全射 \(\varphi : B^{\oplus m} \to N\) を選ぶ。\(k_1, \ldots, k_t \in \Ker(\varphi)\) を選び、\(N' = B^{\oplus m}/\sum Bk_j\) とおく。標準的全射 \(N' \to N\) があり、 \(N\) はこのように構成される \(B\)-加群 \(N'\) のフィルター余極限である。 したがって、(a) \(N'_{f_i} \cong N_{f_i}\), \(i = 1, \ldots, n\) および (b) \(N'_\mathfrak q \cong N_\mathfrak q\) を満たすように \(k_1, \ldots, k_t\) を選べる。特に \(N'_\mathfrak q\) は \(A\) 上平坦である。 平坦性の開性（Algebra, Theorem 00RC）により、 \(g \in B\), \(g \not \in \mathfrak q\) で \(N'_g\) が \(A\) 上平坦となるものが存在する。 次の可換図式を考える。 \[\xymatrix{ N'_g \ar[r] \ar[d] & N_g \ar[d] \\ \prod N'_{gf_i} \ar[r] & \prod N_{gf_i} }\] 下の矢印は \(k_1, \ldots, k_t\) の選び方により同型である。 \(A \to \prod A_{f_i}\) は単射であり \(N'_g\) は \(A\) 上平坦なので、 左の縦矢印は単射である。したがって上の横矢印は単射であり、ゆえに同型である。 これにより \(N_g\) は \(B_g\) 上有限表示である。最後に Algebra, Lemma 00EO を適用すればよい。

補題

\(f : X \to S\) をスキームの射とし、\(U \subset S\) を開集合とする。次を仮定する。

1. \(f\) は局所有限型かつ平坦である。

2. \(U \subset S\) は逆コンパクトかつスキーム論的に稠密である。

3. \(f|_{f^{-1}U} : f^{-1}U \to U\) は局所有限表示である。

このとき \(f\) は局所有限表示である。

証明

問題は \(X\) と \(S\) 上局所的なので、\(X\) と \(S\) はアフィンであると仮定してよい。 閉埋め込み \(i : X \to \mathbf{A}^n_S\) を選び、\(i_*\mathcal{O}_X\) に Lemma 081N を適用する。

一部の詳細は省略する。

補題

\(f : X \to S\) を平坦かつ局所有限型なスキームの射とする。 \(U \subset S\) を、\(X_U \to U\) が相対次元 \(\leq e\) をもつ稠密開集合とする （Morphisms, Definition 02NJ 参照）。 さらに次のいずれかを仮定する。

1. \(f\) は局所有限表示である。

2. \(U \subset S\) は逆コンパクトである。

このとき \(f\) は相対次元 \(\leq e\) をもつ。

証明

まず (1) の場合を証明する。More on Morphisms, Lemmas 045U and 054T で構成・考察された 開部分スキームを \(W \subset X\) とする。各ファイバーの各総称点は \(W\) に 含まれるので、\(W\) について結果を証明すれば十分である。 \(W = \bigcup_{d \geq 0} U_d\) なので、\(d > e\) に対して \(U_d = \emptyset\) を示せば十分である。\(f\) は平坦かつ局所有限表示なので開であり、 \(f(U_d)\) は開である（Morphisms, Lemma 01UA）。 したがって \(U_d\) が空でなければ、求める通り \(f(U_d) \cap U \not = \emptyset\) である。

次に (2) の場合を証明する。\(S\) をその被約化で置き換えてよい。 すると \(U\) はスキーム論的に稠密である。したがって Lemma 081P により、 \(f\) は局所有限表示である。こうして (1) の場合に帰着する。

補題

\(f : X \to S\) を平坦かつ固有なスキームの射とする。 \(U \subset S\) を、\(X_U \to U\) が有限となる稠密開集合とする。 さらに \(f\) が局所有限表示であるか、または \(U \subset S\) が逆コンパクトなら、 \(f\) は有限である。

証明

Lemma 081L により、 \(f\) のファイバーは次元 0 である。したがって \(f\) は準有限であり （Morphisms, Lemma 0397）、 ゆえに有限ファイバーをもつ （Morphisms, Lemma 02NH）。したがって More on Morphisms, Lemma 02LS により \(f\) は有限である。

補題

\(f : X \to S\) をスキームの射とし、\(U \subset S\) を開集合とする。次を仮定する。

1. \(f\) は分離的、局所有限型、かつ平坦である。

2. \(f^{-1}(U) \to U\) は同型である。

3. \(U \subset S\) は逆コンパクトかつスキーム論的に稠密である。

このとき \(f\) は開埋め込みである。

証明

Lemma 081P により、 射 \(f\) は局所有限表示である。像 \(f(X) \subset S\) は開なので （Morphisms, Lemma 01UA）、\(S\) を \(f(X)\) で 置き換えてよい。したがって \(f\) が同型であることを示せばよい。 \(S\) はアフィンであると仮定してよい。また、像が \(S\) である任意の 準コンパクト開集合 \(X' \subset X\) が \(S\) に同型に写ることを示せば十分なので、 \(X\) が準コンパクトな場合に帰着できる。よって \(f\) は準コンパクトであると 仮定してよい。Lemma 081L により、\(f\) のすべてのファイバーは次元 \(0\) である。したがって Morphisms, Lemma 0397 により \(f\) は準有限である。\(s \in S\) とする。\(V \to T\) が有限かつ \(W_t = \emptyset\) である分解 \(X \times_S T = V \amalg W\) を与える 基本エタール近傍 \(g : (T, t) \to (S, s)\) を選ぶ。More on Morphisms, Lemma 02LP を参照せよ。 与えられた射を \(\pi : V \amalg W \to T\) と書く。\(\pi\) は平坦かつ 局所有限表示なので、\(\pi(V)\) は \(T\) で開である （Morphisms, Lemma 01UA）。\(T\) を縮小して、 \(T = \pi(V)\) と仮定してよい。\(f\) は \(U\) 上同型なので、\(\pi\) は \(g^{-1}U\) 上同型である。\(\pi(V) = T\) なので、これは \(\pi^{-1}g^{-1}U\) が \(V\) に含まれることを含意する。Morphisms, Lemma 081H により、 \(\pi^{-1}g^{-1}U \subset V \amalg W\) はスキーム論的に稠密である。 したがって \(W = \emptyset\) である。ゆえに \(X \times_S T = V\) は \(T\) 上有限である。 これは、例えば Descent, Lemma 02LA により、 \(S\) を \(s\) の開近傍で置き換えた後に \(f\) が有限であることを含意する。 すると \(f\) は有限局所自由である （Morphisms, Lemma 02KB）。さらに \(S\) を \(s\) の より小さい開近傍に縮めると、\(f\) はある次数 \(d\) の有限局所自由射となる （Morphisms, Lemma 04MH）。 しかし稠密開集合 \(U\) 上で次数が \(1\) であることから明らかなように、 \(d = 1\) である。したがって \(f\) は同型である。

有限表示平坦加群

有限表示な環準同型 \(R \to S\) と有限表示 \(S\)-加群 \(N\) が与えられたとき、 場合によっては、少なくとも \(S\) をエタール拡大で置き換えた後、 \(N\) が \(R\) 上平坦であることから \(N\) が射影 \(R\)-加群であることが従う。

本節では、この種の結果をいくつか集める。

補題

\(R\) を環とする。\(R \to S\) を、幾何学的整ファイバーをもつ有限表示平坦環準同型とする。 \(\mathfrak q \subset S\) を素イデアル \(\mathfrak r \subset R\) の上にある 素イデアルとする。\(\mathfrak p = \mathfrak r S\) とおく。 \(N\) を有限表示 \(S\)-加群とする。このとき、ある \(r \geq 0\) と \(S\)-加群準同型 \[\alpha : S^{\oplus r} \longrightarrow N\] が存在し、 \(\alpha : \kappa(\mathfrak p)^{\oplus r} \to N \otimes_S \kappa(\mathfrak p)\) は同型である。このような任意の \(\alpha\) について、次は同値である。

1. \(N_{\mathfrak q}\) は \(R\) 上平坦である。

2. \(f \in R\), \(f \not \in \mathfrak r\) で、 \(\alpha_f : S_f^{\oplus r} \to N_f\) が \(R_f\)-普遍単射となるものと、 \(g \in S\), \(g \not \in \mathfrak q\) で、\(\Coker(\alpha)_g\) が \(R\) 上平坦となるものが存在する。

3. \(\alpha_{\mathfrak r}\) は \(R_{\mathfrak r}\)-普遍単射であり、

   \(\Coker(\alpha)_{\mathfrak q}\) は \(R\) 上平坦である。

4. \(\alpha_{\mathfrak r}\) は単射であり、 \(\Coker(\alpha)_{\mathfrak q}\) は \(R\) 上平坦である。

5. \(\alpha_{\mathfrak p}\) は同型であり、 \(\Coker(\alpha)_{\mathfrak q}\) は \(R\) 上平坦である。

6. \(\alpha_{\mathfrak q}\) は単射であり、 \(\Coker(\alpha)_{\mathfrak q}\) は \(R\) 上平坦である。

証明

\(\alpha\) を得るため、 \(r = \dim_{\kappa(\mathfrak p)} N \otimes_S \kappa(\mathfrak p)\) とおき、 \(N \otimes_S \kappa(\mathfrak p)\) の基底をなす \(x_1, \ldots, x_r \in N\) を選ぶ。 \(\alpha(s_1, \ldots, s_r) = \sum s_i x_i\) と定めればよい。これで存在が示された。

\(\alpha\) の選択を一つ固定する。準同型 \(\alpha_{\mathfrak r} : S_{\mathfrak r}^{\oplus r} \to N_{\mathfrak r}\) に Lemma 05I3 を適用できる。したがって (1), (3), (4), (5), (6) はすべて同値である。また (2) が (3) を 含意することも明らかなので、(1) が (2) を含意することだけを示せばよい。

(1) を仮定する。平坦性の開性（Algebra, Theorem 00RC）により、集合 \[U_1 = \{\mathfrak q' \subset S \mid N_{\mathfrak q'}\text{ は }R\text{ 上平坦}\}\] は \(\Spec(S)\) で開である。仮定により \(\mathfrak q\) を含み、したがって \(\mathfrak p\) も含む。\(S^{\oplus r}\) と \(N\) は有限表示 \(S\)-加群なので、集合 \[U_2 = \{\mathfrak q' \subset S \mid \alpha_{\mathfrak q'}\text{ は同型}\}\] は \(\Spec(S)\) で開である（Algebra, Lemma 05GF 参照）。 (5) により、これは \(\mathfrak p\) を含む。\(R \to S\) は有限表示かつ平坦なので、 写像 \(\Phi : \Spec(S) \to \Spec(R)\) は開である（Algebra, Proposition 00I1 参照）。任意の素イデアル \(\mathfrak r' \in \Phi(U_1 \cap U_2)\) に対し、\(\mathfrak r'\) の上にある素イデアル \(\mathfrak q'\) で、\(N_{\mathfrak q'}\) が平坦かつ \(\alpha_{\mathfrak q'}\) が同型となる ものが存在する。これは、\(\mathfrak p' = \mathfrak r' S\) とおけば \(\alpha \otimes \kappa(\mathfrak p')\) が同型であることを含意する。 したがって含意 (1) \(\Rightarrow\) (3) により、\(\alpha_{\mathfrak r'}\) は \(R_{\mathfrak r'}\)-普遍単射である。よって \(f \in R\), \(f \not \in \mathfrak r\) で \(D(f) \subset \Phi(U_1 \cap U_2)\) となるものを選べば、\(\alpha_f\) は \(R_f\)-普遍単射である （Algebra, Lemma 05CL 参照）。 同じ議論により、任意の \(\mathfrak q' \in U_1 \cap \Phi^{-1}(\Phi(U_1 \cap U_2))\) に対し、 \(\Coker(\alpha)_{\mathfrak q'}\) は \(R\) 上平坦である。また \(\mathfrak q \in U_1 \cap \Phi^{-1}(\Phi(U_1 \cap U_2))\) である。 したがって \(g \in S\), \(g \not \in \mathfrak q\) で \(D(g) \subset U_1 \cap \Phi^{-1}(\Phi(U_1 \cap U_2))\) となるものを選べ、 証明が完了する。

補題

\(R \to S\) を有限表示な環準同型とする。\(N\) を \(R\) 上平坦な有限表示 \(S\)-加群とする。\(\mathfrak r \subset R\) を素イデアルとする。 \(\mathfrak r\) 上の \(N/S/R\) の完全デヴィサージュが存在すると仮定する。 このとき \(f \in R\), \(f \not \in \mathfrak r\) で、 \[N_f \cong B_1^{\oplus r_1} \oplus \ldots \oplus B_n^{\oplus r_n}\] が \(R\)-加群の同型となるものが存在する。ここで各 \(B_i\) は幾何学的既約 ファイバーをもつ滑らかな \(R_f\)-代数である。さらに \(N_f\) は射影 \(R_f\)-加群である。

証明

与えられた完全デヴィサージュを \((A_i, B_i, M_i, \alpha_i)_{i = 1, \ldots, n}\) とする。 \(n\) に関する帰納法で補題を証明する。補題の主張はすべて \(R\)-加群としての \(N\) の構造に関する。したがって \(N\) を \(M_1\) で置き換え、\(M_1\) を \(B_1\)-加群とみなしてよい。\(M_1\) が有限表示 \(B_1\)-加群である理由については Remark 05HY を参照せよ。 Lemma 05IA により、ある \(f \in R\), \(f \not \in \mathfrak r\) に対して \(R\) を \(R_f\) で置き換えた後、 準同型 \(\alpha_1 : B_1^{\oplus r_1} \to M_1\) が \(R\)-普遍単射であると 仮定してよい。\(M_1\) と \(B_1^{\oplus r_1}\) は \(R\) 上平坦で、かつ有限表示 \(B_1\)-加群なので、\(\Coker(\alpha_1)\) は \(R\) 上平坦 （Algebra, Lemma 058P）かつ有限表示 \(B_1\)-加群である。また \((A_i, B_i, M_i, \alpha_i)_{i = 2, \ldots, n}\) は \(\Coker(\alpha_1)\) の完全デヴィサージュである。したがって帰納法の仮定により、 ある \(f \in R\), \(f \not \in \mathfrak r\) に対して \(R\) を \(R_f\) で 置き換えた後、\(\Coker(\alpha_1)\) は補題に述べた形の分解をもち、 かつ射影的であると仮定してよい。特に \(M_1 = B_1^{\oplus r_1} \oplus \Coker(\alpha_1)\) である。 これで分解に関する主張が示された。射影性に関する主張は、 Lemma 05FT により \(B_1\) が射影 \(R\)-加群であることから従う。

注意

Lemma 05IB には 次の変形がある。平坦性の条件を弱めて、\(\mathfrak r\) の上にある与えられた 素イデアル \(\mathfrak q\) において \(N\) が平坦であることだけを仮定する一方、 デヴィサージュの条件を強めて、\(\mathfrak q\) における完全デヴィサージュの 存在を仮定する。Lemma 05I4 と比較せよ。

次が本節の主結果である。

命題

\(f : X \to S\) をスキームの射とし、\(\mathcal{F}\) を \(X\) 上の準連接層とする。 \(x \in X\) の像を \(s \in S\) とする。次を仮定する。

1. \(f\) は局所有限表示である。

2. \(\mathcal{F}\) は有限表示である。

3. \(\mathcal{F}\) は \(S\) 上 \(x\) で平坦である。

このとき点付きスキームの可換図式 \[\xymatrix{ (X, x) \ar[d] & (X', x') \ar[l]^g \ar[d] \\ (S, s) & (S', s') \ar[l] }\] が存在する。横の矢印は基本エタール近傍であり、\(X'\) と \(S'\) はアフィンであり、 \(\Gamma(X', g^*\mathcal{F})\) は射影 \(\Gamma(S', \mathcal{O}_{S'})\)-加群である。

証明

平坦性の開性（More on Morphisms, Theorem 0399）により、\(X\) を \(x\) の 開近傍で置き換え、\(\mathcal{F}\) は \(S\) 上平坦であると仮定してよい。 次に Proposition 05HR を適用して、 命題に述べた図式で、\(g^*\mathcal{F}/X'/S'\) が \(s'\) 上完全デヴィサージュを もつものを得る。（特に \(S'\) と \(X'\) はアフィンである。）Morphisms, Lemma 02JZ により、\(g^*\mathcal{F}\) は \(S\) 上平坦であり、Lemma 05B9 により \(S'\) 上平坦である。Remark 05I0 を通じて、 \[\Gamma(X', g^*\mathcal{F})/ \Gamma(X', \mathcal{O}_{X'})/ \Gamma(S', \mathcal{O}_{S'})\] は \(s'\) に対応する \(\Gamma(S', \mathcal{O}_{S'})\) の素イデアル上で 完全デヴィサージュをもつ。したがって Lemma 05IB により、 \(S'\) を \(s'\) の標準開近傍で置き換えた後に命題の結論が成り立つ。

本節の残りでは、この結果の変形をいくつか証明する。最初は「大域的」な版である。

補題

\(f : X \to S\) をスキームの射とし、\(\mathcal{F}\) を \(X\) 上の準連接層とする。 \(s \in S\) とする。次を仮定する。

1. \(f\) は有限表示である。

2. \(\mathcal{F}\) は有限表示である。

3. \(\mathcal{F}\) はファイバー \(X_s\) の各点で \(S\) 上平坦である。

このとき、基本エタール近傍 \((S', s') \to (S, s)\) とスキームの可換図式 \[\xymatrix{ X \ar[d] & X' \ar[l]^g \ar[d] \\ S & S' \ar[l] }\] が存在する。ここで \(g\) はエタール、\(X_s \subset g(X')\) であり、スキーム \(X'\) と \(S'\) はアフィンであり、\(\Gamma(X', g^*\mathcal{F})\) は 射影 \(\Gamma(S', \mathcal{O}_{S'})\)-加群である。

証明

各点 \(x \in X_s\) に対し、 Proposition 05ID を用いて可換図式 \[\xymatrix{ (X, x) \ar[d] & (Y_x, y_x) \ar[l]^{g_x} \ar[d] \\ (S, s) & (S_x, s_x) \ar[l] }\] を得る。横の矢印は基本エタール近傍であり、\(Y_x\) と \(S_x\) はアフィンで、 \(\Gamma(Y_x, g_x^*\mathcal{F})\) は射影 \(\Gamma(S_x, \mathcal{O}_{S_x})\)-加群である。特に \(g_x(Y_x) \cap X_s\) は \(X_s\) における \(x\) の開近傍である。 \(X_s\) は準コンパクトなので、\(X_s\) が \(g_{x_i}(Y_{x_i}) \cap X_s\) の合併と なるような有限個の点 \(x_1, \ldots, x_n \in X_s\) を選べる。 More on Morphisms, Lemma 057B により、 各近傍 \((S_{x_i}, s_{x_i})\) を支配する基本エタール近傍 \((S' , s') \to (S, s)\) を選ぶ。\(S'\) はアフィンであると仮定してもよい。 \(X' = \coprod Y_{x_i} \times_{S_{x_i}} S'\) とおき、明らかな射 \(g : X' \to X\) を与える。構成より \(g(X')\) は \(X_s\) を含み、 \[\Gamma(X', g^*\mathcal{F}) = \bigoplus \Gamma(Y_{x_i}, g_{x_i}^*\mathcal{F}) \otimes_{\Gamma(S_{x_i}, \mathcal{O}_{S_{x_i}})} \Gamma(S', \mathcal{O}_{S'}).\] これは射影 \(\Gamma(S', \mathcal{O}_{S'})\)-加群である。Algebra, Lemma 05A3 を参照せよ。

次の二つの補題は、\(\mathcal{F} = \mathcal{O}_X\) の場合に上の結果を 言い換えたものである。

補題

\(f : X \to S\) を局所有限表示とする。\(x \in X\) の像を \(s \in S\) とする。 \(f\) が \(S\) 上 \(x\) で平坦なら、点付きスキームの可換図式 \[\xymatrix{ (X, x) \ar[d] & (X', x') \ar[l]^g \ar[d] \\ (S, s) & (S', s') \ar[l] }\] が存在する。横の矢印は基本エタール近傍であり、\(X'\) と \(S'\) はアフィンであり、 \(\Gamma(X', \mathcal{O}_{X'})\) は射影 \(\Gamma(S', \mathcal{O}_{S'})\)-加群である。

証明

これは Proposition 05ID の特別な場合である。

補題

\(f : X \to S\) を有限表示とし、\(s \in S\) とする。 \(X\) が \(X_s\) のすべての点で \(S\) 上平坦なら、基本エタール近傍 \((S', s') \to (S, s)\) とスキームの可換図式 \[\xymatrix{ X \ar[d] & X' \ar[l]^g \ar[d] \\ S & S' \ar[l] }\] が存在する。ここで \(g\) はエタール、\(X_s \subset g(X')\) であり、 \(X'\) と \(S'\) はアフィンであり、\(\Gamma(X', \mathcal{O}_{X'})\) は 射影 \(\Gamma(S', \mathcal{O}_{S'})\)-加群である。

証明

これは Lemma 05KW の特別な場合である。

次の補題は、射と層が有限型であることだけを仮定し（有限表示とは限らない）、 Proposition 05ID から得られる 帰結を説明する。

補題

\(f : X \to S\) をスキームの射とし、\(\mathcal{F}\) を \(X\) 上の準連接層とする。 \(x \in X\) の像を \(s \in S\) とする。次を仮定する。

1. \(f\) は局所有限表示である。

2. \(\mathcal{F}\) は有限型である。

3. \(\mathcal{F}\) は \(S\) 上 \(x\) で平坦である。

このとき、基本エタール近傍 \((S', s') \to (S, s)\) と点付きスキームの可換図式 \[\xymatrix{ (X, x) \ar[d] & (X', x') \ar[l]^g \ar[d] \\ (S, s) & (\Spec(\mathcal{O}_{S', s'}), s') \ar[l] }\] が存在する。ここで \(X' \to X \times_S \Spec(\mathcal{O}_{S', s'})\) は エタールで、\(\kappa(x) = \kappa(x')\) であり、スキーム \(X'\) は \(\mathcal{O}_{S', s'}\) 上有限表示なアフィンスキームであり、層 \(g^*\mathcal{F}\) は有限表示 \(\mathcal{O}_{X'}\)-加群であり、 \(\Gamma(X', g^*\mathcal{F})\) は自由 \(\mathcal{O}_{S', s'}\)-加群である。

証明

補題を証明するために \((S, s)\) を任意の基本エタール近傍で置き換えてよく、 さらに \(S\) を \(\Spec(\mathcal{O}_{S, s})\) で置き換えてもよい。 したがって Proposition 05I5 により、 \(\mathcal{F}\) は \(x\) の近傍で有限表示かつ \(S\) 上平坦であると仮定してよい。 この場合、Algebra, Theorem 0593 により局所環上では射影 \(=\) 自由であるから、結果は Proposition 05ID から従う。

補題

\(f : X \to S\) をスキームの射とし、\(\mathcal{F}\) を \(X\) 上の準連接層とする。 \(x \in X\) の像を \(s \in S\) とする。次を仮定する。

1. \(f\) は局所有限型である。

2. \(\mathcal{F}\) は有限型である。

3. \(\mathcal{F}\) は \(S\) 上 \(x\) で平坦である。

このとき、基本エタール近傍 \((S', s') \to (S, s)\) と点付きスキームの可換図式 \[\xymatrix{ (X, x) \ar[d] & (X', x') \ar[l]^g \ar[d] \\ (S, s) & (\Spec(\mathcal{O}_{S', s'}), s') \ar[l] }\] が存在する。ここで \(X' \to X \times_S \Spec(\mathcal{O}_{S', s'})\) は エタールで、\(\kappa(x) = \kappa(x')\) であり、スキーム \(X'\) はアフィンであり、 \(\Gamma(X', g^*\mathcal{F})\) は自由 \(\mathcal{O}_{S', s'}\)-加群である。

証明

（これと Lemma 05KY の唯一の違いは、 \(f\) が有限表示であると仮定しないことである。）問題は \(X\) と \(S\) 上局所的なので、 \(X\) と \(S\) はアフィンであると仮定してよい。\(X = \Spec(B)\)、 \(S = \Spec(A)\) と書く。\(B\) は有限型 \(A\)-代数なので、全射 \(A[x_1, \ldots, x_n] \to B\) をとれる。言い換えれば、閉埋め込み \(i : X \to \mathbf{A}^n_S\) を選べる。\(t = i(x)\)、 \(\mathcal{G} = i_*\mathcal{F}\) とおく。

\(\mathcal{G}_t \cong \mathcal{F}_x\) は \(\mathcal{O}_{S, s}\)-加群の同型である。 したがって \(\mathcal{G}\) は \(S\) 上 \(t\) で平坦である。射 \(\mathbf{A}^n_S \to S\)、点 \(t\)、層 \(\mathcal{G}\) に Lemma 05KY を適用する。 すると基本エタール近傍 \((S', s') \to (S, s)\) と点付きスキームの可換図式 \[\xymatrix{ (\mathbf{A}^n_S, t) \ar[d] & (Y, y) \ar[l]^h \ar[d] \\ (S, s) & (\Spec(\mathcal{O}_{S', s'}), s') \ar[l] }\] を得る。ここで \(Y \to \mathbf{A}^n_{\mathcal{O}_{S', s'}}\) はエタール、 \(\kappa(t) = \kappa(y)\) であり、スキーム \(Y\) はアフィンであり、

\(\Gamma(Y, h^*\mathcal{G})\) は射影 \(\mathcal{O}_{S', s'}\)-加群である。 元の問題の解は、\(Y\) の閉部分スキーム \(X' = Y \times_{\mathbf{A}^n_S} X\) によって与えられる。

補題

\(f : X \to S\) をスキームの射とし、\(\mathcal{F}\) を \(X\) 上の準連接層とする。 \(s \in S\) とする。次を仮定する。

1. \(f\) は有限表示である。

2. \(\mathcal{F}\) は有限型である。

3. \(\mathcal{F}\) は \(X_s\) のすべての点で \(S\) 上平坦である。

このとき、基本エタール近傍 \((S', s') \to (S, s)\) とスキームの可換図式 \[\xymatrix{ X \ar[d] & X' \ar[l]^g \ar[d] \\ S & \Spec(\mathcal{O}_{S', s'}) \ar[l] }\] が存在する。ここで \(X' \to X \times_S \Spec(\mathcal{O}_{S', s'})\) は エタール、\(X_s = g((X')_{s'})\) であり、スキーム \(X'\) は \(\mathcal{O}_{S', s'}\) 上有限表示なアフィンスキームであり、層 \(g^*\mathcal{F}\) は有限表示 \(\mathcal{O}_{X'}\)-加群であり、 \(\Gamma(X', g^*\mathcal{F})\) は自由 \(\mathcal{O}_{S', s'}\)-加群である。

証明

各点 \(x \in X_s\) に対し、Lemma 05KY を用いて、基本エタール近傍 \((S_x , s_x) \to (S, s)\) と可換図式 \[\xymatrix{ (X, x) \ar[d] & (Y_x, y_x) \ar[l]^{g_x} \ar[d] \\ (S, s) & (\Spec(\mathcal{O}_{S_x, s_x}), s_x) \ar[l] }\] を得る。ここで \(Y_x \to X \times_S \Spec(\mathcal{O}_{S_x, s_x})\) はエタール、 \(\kappa(x) = \kappa(y_x)\) であり、スキーム \(Y_x\) は \(\mathcal{O}_{S_x, s_x}\) 上有限表示なアフィンスキームであり、層 \(g_x^*\mathcal{F}\) は有限表示 \(\mathcal{O}_{Y_x}\)-加群であり、 \(\Gamma(Y_x, g_x^*\mathcal{F})\) は自由 \(\mathcal{O}_{S_x, s_x}\)-加群である。 特に \(g_x((Y_x)_{s_x})\) は \(X_s\) における \(x\) の開近傍である。 \(X_s\) は準コンパクトなので、\(X_s\) が \(g_{x_i}((Y_{x_i})_{s_{x_i}})\) の 合併となるような有限個の点 \(x_1, \ldots, x_n \in X_s\) を選べる。 More on Morphisms, Lemma 057B により、 各近傍 \((S_{x_i}, s_{x_i})\) を支配する基本エタール近傍 \((S' , s') \to (S, s)\) を選ぶ。次のようにおく。 \[X' = \coprod Y_{x_i} \times_{\Spec(\mathcal{O}_{S_{x_i}, s_{x_i}})} \Spec(\mathcal{O}_{S', s'})\] さらに明らかな射 \(g : X' \to X\) を与える。構成より \(X_s = g(X'_{s'})\) であり、 \[\Gamma(X', g^*\mathcal{F}) = \bigoplus \Gamma(Y_{x_i}, g_{x_i}^*\mathcal{F}) \otimes_{\mathcal{O}_{S_{x_i}, s_{x_i}}} \mathcal{O}_{S', s'}.\] これは自由加群の基底変換の直和として、自由 \(\mathcal{O}_{S', s'}\)-加群である。

細部をいくつか省略する。

補題

\(f : X \to S\) をスキームの射とし、\(\mathcal{F}\) を \(X\) 上の準連接層とする。 \(s \in S\) とする。次を仮定する。

1. \(f\) は有限型である。

2. \(\mathcal{F}\) は有限型である。

3. \(\mathcal{F}\) は \(X_s\) のすべての点で \(S\) 上平坦である。

このとき、基本エタール近傍 \((S', s') \to (S, s)\) とスキームの可換図式 \[\xymatrix{ X \ar[d] & X' \ar[l]^g \ar[d] \\ S & \Spec(\mathcal{O}_{S', s'}) \ar[l] }\] が存在する。ここで \(X' \to X \times_S \Spec(\mathcal{O}_{S', s'})\) はエタール、 \(X_s = g((X')_{s'})\) であり、スキーム \(X'\) はアフィンであり、 \(\Gamma(X', g^*\mathcal{F})\) は自由 \(\mathcal{O}_{S', s'}\)-加群である。

証明

（これと Lemma 05L0 の唯一の違いは、 \(f\) が有限表示であると仮定しないことである。）各点 \(x \in X_s\) に対し、 Lemma 05KZ を用いて、 基本エタール近傍 \((S_x , s_x) \to (S, s)\) と可換図式 \[\xymatrix{ (X, x) \ar[d] & (Y_x, y_x) \ar[l]^{g_x} \ar[d] \\ (S, s) & (\Spec(\mathcal{O}_{S_x, s_x}), s_x) \ar[l] }\] を得る。ここで \(Y_x \to X \times_S \Spec(\mathcal{O}_{S_x, s_x})\) はエタール、 \(\kappa(x) = \kappa(y_x)\) であり、スキーム \(Y_x\) はアフィンであり、 \(\Gamma(Y_x, g_x^*\mathcal{F})\) は自由 \(\mathcal{O}_{S_x, s_x}\)-加群である。 特に \(g_x((Y_x)_{s_x})\) は \(X_s\) における \(x\) の開近傍である。 \(X_s\) は準コンパクトなので、\(X_s\) が \(g_{x_i}((Y_{x_i})_{s_{x_i}})\) の 合併となるような有限個の点 \(x_1, \ldots, x_n \in X_s\) を選べる。 More on Morphisms, Lemma 057B により、 各近傍 \((S_{x_i}, s_{x_i})\) を支配する基本エタール近傍 \((S' , s') \to (S, s)\) を選ぶ。次のようにおく。 \[X' = \coprod Y_{x_i} \times_{\Spec(\mathcal{O}_{S_{x_i}, s_{x_i}})} \Spec(\mathcal{O}_{S', s'})\] さらに明らかな射 \(g : X' \to X\) を与える。構成より \(X_s = g(X'_{s'})\) であり、 \[\Gamma(X', g^*\mathcal{F}) = \bigoplus \Gamma(Y_{x_i}, g_{x_i}^*\mathcal{F}) \otimes_{\mathcal{O}_{S_{x_i}, s_{x_i}}} \mathcal{O}_{S', s'}.\] これは自由加群の基底変換の直和として、自由 \(\mathcal{O}_{S', s'}\)-加群である。

有限型平坦加群 II

以下の補題が必要となる。

補題

\(R \to S\) を有限表示な環準同型とする。\(N\) を有限表示 \(S\)-加群とする。 \(\mathfrak q \subset S\) を \(\mathfrak p \subset R\) の上にある素イデアルとする。次のようにおく。 \(\overline{S} = S \otimes_R \kappa(\mathfrak p)\)、 \(\overline{\mathfrak q} = \mathfrak q \overline{S}\)、および \(\overline{N} = N \otimes_R \kappa(\mathfrak p)\)。このとき、 \(g \in S\) であって \(g \not \in \mathfrak q\) であり、かつ \(\overline{g} \in \mathfrak r\) が、 \(\mathfrak r \in \text{Ass}_{\overline{S}}(\overline{N})\) かつ \(\mathfrak r \not \subset \overline{\mathfrak q}\) となるすべての場合に 成り立つようなものを見いだせる。

証明

実際、\(\text{Ass}_{\overline{S}}(\overline{N}) = \{\mathfrak r_1, \ldots, \mathfrak r_n\}\) とする（有限性は Algebra, Lemma 00LC による）。 番号を付け替えることにより、次を仮定してよい。 \[\mathfrak r_1 \subset \overline{\mathfrak q}, \ldots, \mathfrak r_r \subset \overline{\mathfrak q}, \quad \mathfrak r_{r + 1} \not \subset \overline{\mathfrak q}, \ldots, \mathfrak r_n \not \subset \overline{\mathfrak q}\] ここで \(\overline{\mathfrak q}\) は素イデアルなので、積 \(\mathfrak r_{r + 1} \ldots \mathfrak r_n\) は \(\overline{\mathfrak q}\) に含まれない。したがって、 \(\mathfrak r_{r + 1}, \ldots, \mathfrak r_n\) のすべてに含まれるが \(\overline{\mathfrak q}\) には含まれない \(\overline{S}\) の元 \(a\) を選べる。 \(a\) に写る \(g \in S\) が存在すれば、その \(g\) が所望のものである。一般には、 \(\lambda \in \kappa(\mathfrak p)\) が非零で、\(\lambda a\) がある \(g \in S\) の像となるように選べる。

次の補題には、後出の Lemma 05II という 少し強い変種がある。

補題

\(R \to S\) を有限表示な環準同型とする。 \(N\) を有限表示 \(S\)-加群であって \(R\)-加群として平坦なものとする。 \(M\) を \(R\)-加群とする。\(\mathfrak q\) を \(\mathfrak p \subset R\) の上にある \(S\) の素イデアルとする。このとき \[\mathfrak q \in \text{WeakAss}_S(M \otimes_R N) \Leftrightarrow \Big( \mathfrak p \in \text{WeakAss}_R(M) \text{ かつ } \overline{\mathfrak q} \in \text{Ass}_{\overline{S}}(\overline{N}) \Big)\] ここで \(\overline{S} = S \otimes_R \kappa(\mathfrak p)\)、 \(\overline{\mathfrak q} = \mathfrak q \overline{S}\)、および \(\overline{N} = N \otimes_R \kappa(\mathfrak p)\) とする。

証明

Lemma 0CU6 のように \(g \in S\) を選ぶ。 スキームの射 \(\Spec(S_g) \to \Spec(R)\)、\(N_g\) に対応する準連接加群、 および素イデアル \(\mathfrak qS_g\) と \(\mathfrak p\) に対応する点に Proposition 05ID を適用する。 代数へ翻訳すると、次の環の可換図式を得る。 \[\xymatrix{ S \ar[r] & S_g \ar[r] & S' \\ & R \ar[lu] \ar[u] \ar[r] & R' \ar[u] } \quad\quad \xymatrix{ \mathfrak q \ar@{-}[r] \ar@{-}[rd] & \mathfrak qS_g \ar@{-}[d] \ar@{-}[r] & \mathfrak q' \ar@{-}[d] \\ & \mathfrak p \ar@{-}[r] & \mathfrak p' }\] ここでは図示した素イデアルが付随し、水平矢印はエタールであり、 \(N \otimes_S S'\) は \(R'\)-加群として射影的である。次のようにおく。 \(N' = N \otimes_S S'\), \(M' = M \otimes_R R'\),

\(\overline{S}' = S' \otimes_{R'} \kappa(\mathfrak q')\), \(\overline{\mathfrak q}' = \mathfrak q' \overline{S}'\), および \[\overline{N}' = N' \otimes_{R'} \kappa(\mathfrak p') = \overline{N} \otimes_{\overline{S}} \overline{S}'\] Lemma 05FP により \[\begin{align*} \text{WeakAss}_{S'}(M' \otimes_{R'} N') & = (\Spec(S') \to \Spec(S))^{-1}\text{WeakAss}_S(M \otimes_R N) \\ \text{WeakAss}_{R'}(M') & = (\Spec(R') \to \Spec(R))^{-1}\text{WeakAss}_R(M) \\ \text{Ass}_{\overline{S}'}(\overline{N}') & = (\Spec(\overline{S}') \to \Spec(\overline{S}))^{-1} \text{Ass}_{\overline{S}}(\overline{N}) \end{align*}\] \(\overline{N}\) と \(\overline{N}'\) に Algebra, Lemma 058A を用いる。特に \[\begin{align*} \mathfrak q \in \text{WeakAss}_S(M \otimes_R N) & \Leftrightarrow \mathfrak q' \in \text{WeakAss}_{S'}(M' \otimes_{R'} N') \\ \mathfrak p \in \text{WeakAss}_R(M) & \Leftrightarrow \mathfrak p' \in \text{WeakAss}_{R'}(M') \\ \overline{\mathfrak q} \in \text{Ass}_{\overline{S}}(\overline{N}) & \Leftrightarrow \overline{\mathfrak q}' \in \text{WeakAss}_{\overline{S}'}(\overline{N}') \end{align*}\] \(g\) を慎重に選んだことと、上の \(\text{Ass}_{\overline{S}'}(\overline{N}')\) の公式から次が従う。 [0CU7]\[\begin{equation} \text{もし }\mathfrak r' \in \text{Ass}_{\overline{S}'}(\overline{N}') \text{ が }\mathfrak r \subset \overline{S}\text{ の上にあれば } \mathfrak r \subset \overline{\mathfrak q} \end{equation}\] これは後の証明で鍵となる観察である。以下では、Algebra, Lemma 0566 による弱随伴素イデアルの特徴づけを 断りなく用いる。

\(\overline{\mathfrak q} \not \in \text{Ass}_{\overline{S}}(\overline{N})\) と仮定する。このとき \(\overline{\mathfrak q}' \not \in \text{Ass}_{\overline{S}'}(\overline{N}')\). したがって Algebra, Lemmas 00LD, 00LC、および 00DS により、\(\overline{N}'\) 上の零因子でない元 \(\overline{a}' \in \overline{\mathfrak q}'\) が存在する。 ある非零元 \(\lambda \in \kappa(\mathfrak p)\) によって \(\overline{a}'\) を \(\lambda \overline{a}'\) で置き換えれば、 \(\overline{a}'\) に写る \(a' \in \mathfrak q'\) を見いだせる。 Lemma 05FR により、写像 \(a' : N'_{\mathfrak p'} \to N'_{\mathfrak p'}\) は \(R'_{\mathfrak p'}\) 上普遍単射である。特に、 \(a' : M' \otimes_{R'} N' \to M' \otimes_{R'} N'\) は \(\mathfrak p'\) で局所化した後に単射であり、したがって \(\mathfrak q'\) で局所化した後にも単射である。これは明らかに \(\mathfrak q' \not \in \text{WeakAss}_{S'}(M' \otimes_{R'} N')\). を意味する。ゆえに \(\mathfrak q \in \text{WeakAss}_S(M \otimes_R N)\) ならば \(\overline{\mathfrak q} \in \text{Ass}_{\overline{S}}(\overline{N})\). である。

\(\mathfrak q \in \text{WeakAss}_S(M \otimes_R N)\) と仮定する。ここで

\(\mathfrak p \in \text{WeakAss}_S(M)\) を示したい。 \(\mathfrak q\) が \(J = \text{Ann}_S(z)\) 上極小となるような元 \(z \in M \otimes_R N\) をとる。イデアル \(\mathfrak p\) の生成元の集合を \(f_i \in \mathfrak p\), \(i \in I\) とする。\(\mathfrak q\) は \(\mathfrak p\) の上にあるので、各 \(i\) に対して、 \(g_i \not \in \mathfrak q\) かつ \(g_i f_i^{n_i} \in J\)、すなわち \(g_i f_i^{n_i} z = 0\) となる \(n_i \geq 1\) と \(g_i \in S\) を選べる。 \(z\) の像を \(z' \in (M' \otimes_{R'} N')_{\mathfrak p'}\) とする。 \(z\) の \((M \otimes_R N)_\mathfrak q\) における像が非零であり、かつ \(S_\mathfrak q \to S'_{\mathfrak q'}\) が忠実平坦なので、\(z'\) は非零である。 \(f_i^{n_i} z' = 0\) であると主張する。

主張の証明：\(g_i\) の像を \(g'_i \in S'\) とする。 鍵となる観察 (0CU7) により、像 \(\overline{g}'_i \in \overline{S}'\) は、任意の \(\mathfrak r'\) であって

\(\mathfrak r' \in \text{Ass}_{\overline{S}'}(\overline{N})\) となるものに 含まれない。したがって Lemma 05FR により、 \(g'_i : N'_{\mathfrak p'} \to N'_{\mathfrak p'}\) は \(R'_{\mathfrak p'}\) 上普遍単射である。特に、

\(g'_i : M' \otimes_{R'} N' \to M' \otimes_{R'} N'\) は \(\mathfrak p'\) で局所化した後に単射である。 \(g_i f_i^{n_i} z' = 0\) なので主張が従う。

この主張から、\(R'_{\mathfrak p'}\) における \(z'\) の零化イデアルは 元 \(f_i^{n_i}\) を含む。\(R \to R'\) はエタールなので、Algebra, Lemma 00U4 により \(\mathfrak p'R'_{\mathfrak p'} = \mathfrak pR'_{\mathfrak p'}\) である。したがって、\(R'_{\mathfrak p'}\) における \(z'\) の零化イデアルの根基は

\(\mathfrak p' R_{\mathfrak p'}\) に等しい（ここで \(z'\) が非零であることを用いた）。一方、 \[z' \in (M' \otimes_{R'} N')_{\mathfrak p'} = M'_{\mathfrak p'} \otimes_{R'_{\mathfrak p'}} N'_{\mathfrak p'}\] 加群 \(N'_{\mathfrak p'}\) は局所環 \(R'_{\mathfrak p'}\) 上射影的なので自由である （Algebra, Theorem 0593）。 したがって、\(z' \in M'_{\mathfrak p'} \otimes_{R'_{\mathfrak p'}} F'\) となる有限自由直和因子 \(F' \subset N'_{\mathfrak p'}\) を見いだせる。 \(F'\) の階数を \(n\) とすれば、 \(\mathfrak p' R'_{\mathfrak p'} \in \text{WeakAss}_{R'_{\mathfrak p'}}({M'_{\mathfrak p'}}^{\oplus n})\). が従う。これは、たとえば Algebra, Lemma 0548 により \(\mathfrak p'R'_{\mathfrak p'} \in \text{WeakAss}(M'_{\mathfrak p'})\) を意味する。ゆえに \(\mathfrak p' \in \text{WeakAss}_{R'}(M')\) であり、 これはさらに \(\mathfrak p \in \text{WeakAss}_R(M)\) を与える。 以上で補題の同値における含意 “\(\Rightarrow\)” の証明が完了した。

\(\mathfrak p \in \text{WeakAss}_R(M)\) かつ \(\overline{\mathfrak q} \in \text{Ass}_{\overline{S}}(\overline{N})\) と仮定する。\(\mathfrak q\) が \(M \otimes_R N\) の弱随伴素イデアルであることを 示したい。\(\overline{\mathfrak q}'\) は \(\text{Ass}_{\overline{S}'}(\overline{N}')\) の極大元であることに注意する。 これは (0CU7) と、\(\overline{\mathfrak q}\) の上にある \(\overline{S}'\) の素イデアルの間には包含関係がないという事実から従う （エタール射のファイバーは離散的である。Morphisms, Lemma 02GL）。したがって、 \(R, S, \mathfrak p, \mathfrak q, M, N\) をそれぞれ \(R', S', \mathfrak p', \mathfrak q', M', N'\) で置き換えることにより、 補題の仮定に加えて次を仮定してよい。

1. \(\mathfrak p \in \text{WeakAss}_R(M)\) である。

2. \(\overline{\mathfrak q} \in \text{Ass}_{\overline{S}}(\overline{N})\) である。

3. \(N\) は \(R\)-加群として射影的である。

4. \(\overline{\mathfrak q}\) は \(\text{Ass}_{\overline{S}}(\overline{N})\) において極大である。

もう一つ簡約がある。すなわち \(R, S, M, N\) をそれぞれ \(\mathfrak p\) における局所化で置き換えてよい。これにより、さらに次の条件を得る。

1. \(R\) は極大イデアル \(\mathfrak p\) をもつ局所環である。

(1) – (5) から \(\mathfrak q \in \text{WeakAss}(M \otimes_R N)\) が 従うことを示して証明を終える。

\(R\) は局所環であり \(\mathfrak p \in \text{WeakAss}_R(M)\) なので、 その零化イデアル \(I\) の根基が \(\mathfrak p\) に等しくなるような \(y \in M\) を選べる。ある \(\overline{g}_i \in \overline{S}\) を用いて \(\overline{\mathfrak q} = (\overline{g}_1, \ldots, \overline{g}_n)\) と書く。\(\overline{g}_i\) に写る \(g_i \in S\) を選ぶ。このとき \(\mathfrak q = \mathfrak pS + g_1S + \ldots + g_nS\) である。写像 \[\Psi : N/IN \longrightarrow (N/IN)^{\oplus n}, \quad z \longmapsto (g_1z, \ldots, g_nz).\] を考える。これは射影 \(R/I\)-加群の準同型である。 \(\mathfrak p/I\) は局所冪零なので、局所環 \(R/I\) は自己随伴的である （More on Algebra, Definition 05GM）。 \(\overline{\mathfrak q} \in \text{Ass}_{\overline{S}}(\overline{N})\) なので、 写像 \(\Psi \otimes \kappa(\mathfrak p)\) は単射でない。 したがって More on Algebra, Lemma 05GQ により \(\Psi\) は単射でない。\(\Psi\) の核の非零元 \(z \in N/IN\) を選ぶ。 零化イデアル \(J = \text{Ann}_S(z)\) は、構成により \(IS\) と \(g_i\) を含む。 したがって \(\sqrt{J} \subset S\) は \(\mathfrak q\) を含む。 \(J\) 上極小な素イデアル \(\mathfrak s \subset S\) をとる。このとき \(\mathfrak q \subset \mathfrak s\) であり、\(\mathfrak s\) は \(\mathfrak p\) の上にあり、かつ \(\mathfrak s \in \text{WeakAss}_S(N/IN)\) である。

最後の事実は弱随伴素イデアルの定義から従う。 環準同型 \(R \to S\) と加群 \(R/I\), \(N\) に、すでに証明した補題の “\(\Rightarrow\)” の部分を適用すると、 \(\overline{\mathfrak s} \in \text{Ass}_{\overline{S}}(\overline{N})\). を得る。\(\overline{\mathfrak q} \subset \overline{\mathfrak s}\) なので、 上の条件 (4) にある \(\overline{\mathfrak q}\) の極大性から \(\overline{\mathfrak q} = \overline{\mathfrak s}\) が従う。

よって \(\mathfrak q = \mathfrak s\) となり、所望の結論を得る。

補題

\(S\) をスキームとする。\(f : X \to S\) を局所有限型とする。 \(x \in X\) の像を \(s \in S\) とする。 \(\mathcal{F}\) を \(X\) 上の有限型準連接層とし、 \(\mathcal{G}\) を \(S\) 上の準連接層とする。 \(\mathcal{F}\) が \(x\) において \(S\) 上平坦ならば、 \[x \in \text{WeakAss}_X(\mathcal{F} \otimes_{\mathcal{O}_X} f^*\mathcal{G}) \Leftrightarrow s \in \text{WeakAss}_S(\mathcal{G}) \text{ かつ } x \in \text{Ass}_{X_s}(\mathcal{F}_s).\]

証明

この段落では、\(f\) が有限表示である場合に帰着する。 問題は \(X\) と \(S\) 上局所的なので、\(X\) と \(S\) はアフィンであると仮定してよい。 \(X = \Spec(B)\)、\(S = \Spec(A)\) と書き、 \(B = A[x_1, \ldots, x_n]/I\) と書く。言い換えると、\(S\) 上の閉埋め込み \(i : X \to \mathbf{A}^n_S\) を得る。\(t = i(x) \in \mathbf{A}^n_S\) とおく。 \(i_*\mathcal{F}\) は \(\mathbf{A}^n_S\) 上の有限型準連接層であり、 \(t\) において \(S\) 上平坦であることに注意する。また \[i_*(\mathcal{F} \otimes_{\mathcal{O}_X} f^*\mathcal{G}) = i_*\mathcal{F} \otimes_{\mathcal{O}_{\mathbf{A}^n_S}} p^*\mathcal{G}\] である。ここで \(p : \mathbf{A}^n_S \to S\) は射影である。 Divisors, Lemma 05EZ により、 \(t\) が \(i_*(\mathcal{F} \otimes_{\mathcal{O}_X} f^*\mathcal{G})\) の 弱随伴点であることと、\(x\) が \(\mathcal{F} \otimes_{\mathcal{O}_X} f^*\mathcal{G}\) の 弱随伴点であることは同値である。同様に、 \(x \in \text{Ass}_{X_s}(\mathcal{F}_s)\) であることと \(t \in \text{Ass}_{\mathbf{A}^n_s}((i_*\mathcal{F})_s)\) であることも同値である （Algebra, Lemma 05BY）。 したがって \(X = \mathbf{A}^n_S\) の場合に補題を証明すれば十分である。 ゆえに \(X \to S\) は有限表示であると仮定してよい。

この段落では、\(\mathcal{F}\) が有限表示で \(S\) 上平坦である場合に帰着する。 Proposition 05I5 のように、 基本エタール近傍 \(e : (S', s') \to (S, s)\) と開部分 \(V \subset X \times_S \Spec(\mathcal{O}_{S', s'})\) を選ぶ。 \(x\) と \(s'\) に写る一意な点を \(x' \in X' = X \times_S S'\) とする。 Lemma 05FP により、 \(X' \to S'\)、\(x'\)、\(s'\)、\((X' \to X)^*\mathcal{F}\)、および \(e^*\mathcal{G}\) に対して主張を証明すれば十分である。

\(x'\) に写る一意な点を \(v \in V\) とし、 \(s' \in \Spec(\mathcal{O}_{S', s'})\) を閉点とする。このとき \(\mathcal{O}_{V, v} = \mathcal{O}_{X', x'}\) および \(\mathcal{O}_{\Spec(\mathcal{O}_{S', s'}), s'} = \mathcal{O}_{S', s'}\) であり、\(\mathcal{F}\) と \(\mathcal{G}\) の 引き戻しの茎についても同様である。また \(V_{s'} \subset X'_{s'}\) は開部分スキームである。

弱随伴点であるという条件は層の茎のみに依存するので、 \(X' \to S'\)、\(x'\)、\(s'\)、\((X' \to X)^*\mathcal{F}\)、\(e^*\mathcal{G}\) を、 \(V \to \Spec(\mathcal{O}_{S', s'})\), \(v\), \(s'\), \((V \to X)^*\mathcal{F}\), および \((\Spec(\mathcal{O}_{S', s'}) \to S)^*\mathcal{G}\) で 置き換えてよい。したがって \(f\) は有限表示であり、 \(\mathcal{F}\) は有限表示で \(S\) 上平坦であると仮定してよい。

\(f\) は有限表示であり、\(\mathcal{F}\) は有限表示で \(S\) 上平坦であると仮定する。 \(X\) と \(S\) を \(x\) と \(s\) のアフィン近傍へ縮小すれば、この場合は Lemma 05IG から従う。

補題

\(R \to S\) を本質的有限型な環準同型とする。 \(N\) を \(R\) 上平坦な有限 \(S\)-加群の局所化とする。 \(M\) を \(R\)-加群とする。このとき \[\text{WeakAss}_S(M \otimes_R N) = \bigcup\nolimits_{\mathfrak p \in \text{WeakAss}_R(M)} \text{Ass}_{S \otimes_R \kappa(\mathfrak p)}(N \otimes_R \kappa(\mathfrak p))\]

証明

この補題は Lemma 05IH を 代数へ翻訳したものである。翻訳の詳細は省略する。

補題

\(f : X \to S\) を局所有限型な射とする。 \(\mathcal{F}\) を \(X\) 上の有限型準連接層であって \(S\) 上平坦なものとする。 \(\mathcal{G}\) を \(S\) 上の準連接層とする。このとき \[\text{WeakAss}_X(\mathcal{F} \otimes_{\mathcal{O}_X} f^*\mathcal{G}) = \bigcup\nolimits_{s \in \text{WeakAss}_S(\mathcal{G})} \text{Ass}_{X_s}(\mathcal{F}_s)\]

証明

Lemma 05IH の 直ちに得られる帰結である。

定理

\(f : X \to S\) をスキームの射とする。 \(\mathcal{F}\) を準連接 \(\mathcal{O}_X\)-加群とする。次を仮定する。

1. \(X \to S\) は局所有限表示である。

2. \(\mathcal{F}\) は有限型 \(\mathcal{O}_X\)-加群である。

3. \(S\) の弱随伴点の集合は \(S\) において局所有限である。

このとき \(U = \{x \in X \mid \mathcal{F}\text{ は }S\text{ 上 }x\text{ で平坦}\}\) は \(X\) において開であり、\(\mathcal{F}|_U\) は有限表示 \(\mathcal{O}_U\)-加群であって \(S\) 上平坦である。

証明

\(\mathcal{F}\) が \(x\) において \(S\) 上平坦となる \(x \in X\) をとる。 \(x\) のある開近傍上で、\(\mathcal{F}\) の制限が有限表示かつ \(S\) 上平坦な 加群となることを示さなければならない。問題は \(X\) と \(S\) 上局所的なので、 \(X\) と \(S\) はアフィンであると仮定してよい。 Lemma 05I7 により \(\mathcal{F}_x\) は有限表示 \(\mathcal{O}_{X, x}\)-加群である。 したがって Algebra, Lemma 05GJ により、 有限表示 \(\mathcal{O}_X\)-加群 \(\mathcal{F}'\) と、同型 \(\varphi_x : \mathcal{F}'_x \to \mathcal{F}_x\) を誘導する写像 \(\varphi : \mathcal{F}' \to \mathcal{F}\) が存在する。特に \(\mathcal{F}'\) は \(x\) において \(S\) 上平坦である。よって平坦性の開性 More on Morphisms, Theorem 0399 により、 \(X\) を縮小した後、\(\mathcal{F}'\) は \(S\) 上平坦であると仮定してよい。 \(\mathcal{F}\) は有限型なので、さらに \(X\) を縮小すれば、\(\varphi\) は全射であると 仮定してよい。Modules, Lemma 01B8 を参照せよ。あるいは中山の補題 （Algebra, Lemma 00DV）を用いてもよい。 Lemma 05IJ により \[\text{WeakAss}_X(\mathcal{F}') \subset \bigcup\nolimits_{s \in \text{WeakAss}(S)} \text{Ass}_{X_s}(\mathcal{F}'_s)\] である。仮定により \(\text{WeakAss}(S)\) は有限であり、 Divisors, Lemma 05AF により \(\text{Ass}_{X_s}(\mathcal{F}'_s)\) も有限なので、 \(\text{WeakAss}_X(\mathcal{F}')\) は有限である。Algebra, Lemma 00DS を用い、\(X\) をもう一度縮小すれば、 \(\text{WeakAss}_X(\mathcal{F}')\) は \(x\) の一般化全体に含まれると 仮定してよい。ここで \(\mathcal{K} = \Ker(\varphi)\) を考える。すると \(\text{WeakAss}_X(\mathcal{K}) \subset \text{WeakAss}_X(\mathcal{F}')\) である（ Divisors, Lemma 05AN) による）。一方、\(\varphi_x\) は同型なので、

すべての \(x' \leadsto x\) に対して \(\varphi_{x'}\) も同型である。したがって \(\text{WeakAss}_X(\mathcal{K}) = \emptyset\) であり、Divisors, Lemma 05AP により \(\mathcal{K} = 0\) である。

補題

\(R \to S\) を有限表示な環準同型とする。\(M\) を有限 \(S\)-加群とする。 \(\text{WeakAss}_R(R)\) は有限であると仮定する。このとき \[U = \{\mathfrak q \subset S \mid M_{\mathfrak q}\text{ は }R\text{ 上平坦}\}\] は \(\Spec(S)\) において開である。また、\(D(g) \subset U\) となる すべての \(g \in S\) に対して、局所化 \(M_g\) は有限表示 \(S_g\)-加群であって \(R\) 上平坦である。

証明

Theorem 05IK から直ちに従う。

補題

\(f : X \to S\) を局所有限型なスキームの射とする。\(S\) の弱随伴点の集合は \(S\) において局所有限であると仮定する。このとき、\(f\) が平坦である点 \(x \in X\) の集合は開部分スキーム \(U \subset X\) であり、 \(U \to S\) は平坦かつ局所有限表示である。

証明

問題は \(X\) と \(S\) 上局所的なので、\(X\) と \(S\) はアフィンであると仮定してよい。 このとき \(X \to S\) は有限型環準同型 \(A \to B\) に対応する。 全射 \(A[x_1, \ldots, x_n] \to B\) を選び、\(B\) を \(A[x_1, \ldots, x_n]\)-加群とみなす。 Lemma 05IL を適用すれば証明が完了する。

補題

\(f : X \to S\) を局所有限型かつ平坦なスキームの射とする。 \(S\) が整ならば、\(f\) は局所有限表示である。

証明

Lemma 05IM の特別な場合である。

命題

\(R\) を整域とする。\(R \to S\) を有限型環準同型とする。 \(M\) を有限 \(S\)-加群とする。

1. \(S\) が \(R\) 上平坦ならば、\(S\) は有限表示 \(R\)-代数である。

2. \(M\) が \(R\)-加群として平坦ならば、\(M\) は有限表示 \(S\)-加群である。

証明

(1) は Lemma 05IN の特別な場合である。 (2) について、全射 \(R[x_1, \ldots, x_n] \to S\) を選ぶ。 Lemma 05IL により、\(M\) は有限表示 \(R[x_1, \ldots, x_n]\)-加群である。Algebra, Lemma 0561 により結論を得る。

補題

\(f : X \to S\) をスキームの射とする。 \(\mathcal{F}\) を準連接 \(\mathcal{O}_X\)-加群とする。次を仮定する。

1. \(X \to S\) は局所有限型である。

2. \(\mathcal{F}\) は有限型 \(\mathcal{O}_X\)-加群である。

3. \(S\) の弱随伴点の集合は \(S\) において局所有限である。

このとき \(U = \{x \in X \mid \mathcal{F}\text{ は }S\text{ 上 }x\text{ で平坦}\}\) は \(X\) において開であり、\(\mathcal{F}|_U\) は \(S\) 上平坦かつ \(S\) に関して局所有限表示である（More on Morphisms, Definition 05H1 を参照）。

証明

問題は \(X\) と \(S\) 上局所的である。したがって \(X\) と \(S\) は アフィンであると仮定してよい。このとき閉埋め込み \(i : X \to \mathbf{A}^n_S\) を選べる。 \(X' = \mathbf{A}^n_S \to S\) と有限型準連接加群 \(\mathcal{F}' = i_*\mathcal{F}\) に Theorem 05IK を適用すると、 \[U' = \{x' \in X' \mid \mathcal{F}'\text{ は }S\text{ 上 }x'\text{ で平坦}\}\] は \(X'\) において開であり、\(\mathcal{F}'|_{U'}\) は有限表示であることが分かる。 \(\mathcal{F}'\) は \(X' \setminus i(X)\) 上で零に制限され、かつすべての \(x \in X\) に対して \(\mathcal{F}'_{i(x)} \cong \mathcal{F}_x\) なので、 \[U' = i(U) \amalg (X' \setminus i(X))\] である。したがって \(U = i^{-1}(U')\) は開である。さらに明らかに \(\mathcal{F}'|_{U'} = (i|_U)_*(\mathcal{F}|_U)\). である。よって More on Morphisms, Lemmas 09T8 および 09T9 により、 \(\mathcal{F}|_U\) は \(S\) に関して有限表示である。

補題

\(R \to S\) を有限型環準同型とする。\(M\) を有限 \(S\)-加群とする。 \(\text{WeakAss}_R(R)\) は有限であると仮定する。このとき \[U = \{\mathfrak q \subset S \mid M_{\mathfrak q}\text{ は }R\text{ 上平坦}\}\] は \(\Spec(S)\) において開である。また、\(D(g) \subset U\) となる すべての \(g \in S\) に対して、局所化 \(M_g\) は \(R\) 上平坦で、 \(R\) に関して有限表示な \(S_g\)-加群である（More on Algebra, Definition 05GZ を参照）。

証明

これは Lemma 05IQ を代数へ翻訳したものである。

相対的純粋加群の例

この短い節では、後に導入する 相対的純粋加群 の概念と 非純性 の概念の動機となる結果の例をいくつか論じる。 各例は補題として述べる。随伴素イデアルに関する条件と、次の補題に現れる条件との 類似性に注意せよ。 Lemmas 05DH, 05DL, 05DM、および 05DP. この点の議論については Algebra, Lemma 05GB も参照せよ。

補題

\(R\) を極大イデアル \(\mathfrak m\) をもつ局所環とする。 \(R \to S\) を環準同型とし、\(N\) を \(S\)-加群とする。次を仮定する。

1. \(N\) は \(R\)-加群として射影的である。

2. \(S/\mathfrak mS\) はネーター環であり、\(N/\mathfrak mN\) は有限 \(S/\mathfrak mS\)-加群である。

このとき、\(\mathfrak p = R \cap \mathfrak q\) としたときに \(N \otimes_R \kappa(\mathfrak p)\) の随伴素イデアルとなる任意の素イデアル \(\mathfrak q \subset S\) に対して、\(\mathfrak q + \mathfrak m S \not = S\) である。

証明

Lemmas 05DE および 05FR の仮定が満たされることに注意する。 以下ではこれらの補題の結論を断りなく用いる。 \(N/\mathfrak mN\) 上の零因子でない元からなる乗法的集合を \(\Sigma \subset S\) とする。写像 \(N \to \Sigma^{-1}N\) は \(R\) 上普遍単射である。したがって、 \(N \otimes_R \kappa(\mathfrak p)\) の随伴素イデアルである任意の \(\mathfrak q \subset S\) は、 \(\Sigma^{-1}N \otimes_R \kappa(\mathfrak p)\) の随伴素イデアルでもある。 これは明らかに、\(\mathfrak q\) が \(\Sigma^{-1}S\) の素イデアルに対応することを 意味する。よって \(\mathfrak q \subset \mathfrak q'\) となる \(\mathfrak q'\) が存在し、それは \(N/\mathfrak mN\) の随伴素イデアルに対応する。 これで結論を得る。

次の補題は、この現象のもう一つの（少しばかり自明な）例を与える。

補題

\(R\) を環とし、\(I \subset R\) をイデアルとする。 \(R \to S\) を環準同型とし、\(N\) を \(S\)-加群とする。 \(N\) が \(I\) 進完備ならば、任意の \(R\)-加群 \(M\) と、 \(N \otimes_R M\) の随伴素イデアルである任意の素イデアル \(\mathfrak q \subset S\) に対して \(\mathfrak q + I S \not = S\) である。

証明

\(S\) の \(I\) 進完備化を \(S^\wedge\) と書く。 \(N\) は \(S^\wedge\)-加群であり、したがって \(N \otimes_R M\) も \(S^\wedge\)-加群であることに注意する。 \(\mathfrak q = \text{Ann}_S(z)\) となる元 \(z \in N \otimes_R M\) をとる。 \(z \not = 0\) なので \(\text{Ann}_{S^\wedge}(z) \not = S^\wedge\) である。 したがって \(\mathfrak q S^\wedge \not = S^\wedge\) である。ゆえに \(\mathfrak q S^\wedge \subset \mathfrak m\) となる極大イデアル \(\mathfrak m \subset S^\wedge\) が存在する。Algebra, Lemma 05GI により \(IS^\wedge \subset \mathfrak m\) なので、結論を得る。

局所環上の射影加群は自由であるから、次の補題は Lemma 05FV の別証明を与えることに注意する。 Algebra, Theorem 0593 を参照せよ。

補題

\(R\) を極大イデアル \(\mathfrak m\) をもつ局所環とする。 \(R \to S\) を環準同型とし、\(N\) を \(S\)-加群とする。 \(N\) は \(R\)-加群として有限 \(R\)-加群の直和と同型であると仮定する。 このとき、任意の \(R\)-加群 \(M\) と、\(N \otimes_R M\) の随伴素イデアルである 任意の素イデアル \(\mathfrak q \subset S\) に対して \(\mathfrak q + \mathfrak m S \not = S\) である。

証明

各 \(M_i\) が有限 \(R\)-加群となるように \(N = \bigoplus_{i \in I} M_i\) と書く。\(M\) を \(R\)-加群とし、 \(\mathfrak q \subset S\) を \(N \otimes_R M\) の随伴素イデアルであって \(\mathfrak q + \mathfrak m S = S\) となるものとする。 \(\mathfrak q = \text{Ann}_S(z)\) となる元 \(z \in N \otimes_R M\) をとる。 直和分解を少し変更すれば、ある元 \(1 \in I\) に対して \(z \in M_1 \otimes_R M\) であると仮定してよい。 ある \(f \in \mathfrak q\)、\(x_j \in \mathfrak m\)、および \(g_j \in S\) を用いて \(1 = f + \sum x_j g_j\) と書く。任意の \(g \in S\) に対して、

次の \(R\)-線形写像を \(g'\) と書く。 \[M_1 \to N \xrightarrow{g} N \to M_1\] ここで第一の矢印は包含写像、第二の矢印は \(g\) による乗法、 第三の矢印は射影写像である。各 \(x_j \in R\) なので、等式 \[f' + \sum x_j g'_j = \text{id}_{M_1} \in \text{End}_R(M_1)\] を得る。中山の補題（Algebra, Lemma 00DV）により \(f'\) は全射である。したがって Algebra, Lemma 05G8 により \(f'\) は同型である。特に写像 \[M_1 \otimes_R M \to N \otimes_R M \xrightarrow{f} N \otimes_R M \to M_1 \otimes_R M\] は同型である。これは \(fz = 0\) という仮定に矛盾する。

補題

\(R\) を極大イデアル \(\mathfrak m\) をもつ Hensel 局所環とする。 \(R \to S\) を環準同型とし、\(N\) を \(S\)-加群とする。 \(N\) は \(R\)-加群として可算生成かつ Mittag–Leffler であると仮定する。 このとき、任意の \(R\)-加群 \(M\) と、\(N \otimes_R M\) の随伴素イデアルである 任意の素イデアル \(\mathfrak q \subset S\) に対して \(\mathfrak q + \mathfrak m S \not = S\) である。

証明

Algebra, Lemma 05D6 により、この補題は Lemma 05IU に帰着する。

\(f : X \to S\) をスキームの射とし、\(\mathcal{F}\) を \(X\) 上の 準連接加群とする。\(\xi \in \text{Ass}_{X/S}(\mathcal{F})\) とし、 \(Z = \overline{\{\xi\}}\) とする。次の図を考える。 \[\xymatrix{ \xi \ar@{|->}[d] & Z \ar[r] \ar[rd] & X \ar[d]^f \\ f(\xi) & & S }\] \(f(Z) \subset \overline{\{f(\xi)\}}\) であり、\(f(Z)\) が閉であることと 等号が成り立つこと、すなわち \(f(Z) = \overline{\{f(\xi)\}}\) であることは 同値である。Lemma 05FV により、\(S\), \(X\) がアフィンで、 ファイバー \(X_s\) がネーター的であり、\(\mathcal{F}\) が有限型であり、かつ \(\Gamma(X, \mathcal{F})\) が射影 \(\Gamma(S, \mathcal{O}_S)\)-加群ならば、 \(f(Z) = \overline{\{f(\xi)\}}\) は閉部分集合である。

次の補題で記述される場合にも、少し異なる類似の主張が成り立つ。 Lemmas 05IT, 05IU、および 05IV.

非純性

Section 05IS で例示した現象を、 \(\text{Ass}_{X/S}(\mathcal{F})\) の点の特殊化を用いて形式化したい。 また、点 \(s \in S\) の周りで局所的に議論したい。そのため次の定義を置く。

設定

ここで \(S\), \(X\) はスキームであり、\(f : X \to S\) は有限型な射である。 また、\(\mathcal{F}\) は有限型準連接 \(\mathcal{O}_X\)-加群である。 最後に \(s\) は \(S\) の点である。

この状況で、射 \(g : T \to S\)、\(g(t) = s\) となる点 \(t \in T\)、 特殊化 \(t' \leadsto t\)、および \(t'\) の上にある \(X\) の基底変換内の点 \(\xi \in X_T\) を考える。図示すると [05IX]\[\begin{equation} \vcenter{ \xymatrix{ \xi \ar@{|->}[d] & \\ t' \ar@{~>}[r] & t \ar@{|->}[r] & s } } \quad\quad \vcenter{ \xymatrix{ X_T \ar[d] \ar[r] & X \ar[d] \\ T \ar[r]^g & S } } \end{equation}\]

さらに、\(\mathcal{F}\) の \(X_T\) への引き戻しを \(\mathcal{F}_T\) と書く。

定義

Situation 05FW において、 \(\xi \in \text{Ass}_{X_T/T}(\mathcal{F}_T)\) かつ \(\overline{\{\xi\}} \cap X_t = \emptyset\) であるとき、図式 (05IX) は \(s\) 上の \(\mathcal{F}\) の非純性を定めるという。 これは「\((g : T \to S, t' \leadsto t, \xi)\) を \(s\) 上の \(\mathcal{F}\) の非純性とする」と表す。

補題

Situation 05FW において、\(s\) 上の \(\mathcal{F}\) の 非純性が存在するならば、\(g\) が局所有限表示であり、かつ

\(t\) が \(s\) 上の \(g\) のファイバーの閉点となるような、\(s\) 上の \(\mathcal{F}\) の非純性 \((g : T \to S, t' \leadsto t, \xi)\) が存在する。

証明

\((g : T \to S, t' \leadsto t, \xi)\) を \(s\) 上の \(\mathcal{F}\) の 任意の非純性とする。\(t \in T\) と \(Z = \overline{\{\xi\}}\) に Limits, Lemma 05BD を適用すると、 \(t\) の開近傍 \(V \subset T\)、可換図式 \[\xymatrix{ V \ar[d] \ar[r]_a & T' \ar[d]^b \\ T \ar[r]^g & S, }\] および、次を満たす閉部分スキーム \(Z' \subset X_{T'}\) を得る。

1. 射 \(b : T' \to S\) は局所有限表示である。

2. \(Z' \cap X_{a(t)} = \emptyset\) である。

3. \(Z \cap X_V\) は射 \(X_V \to X_{T'}\) によって \(Z'\) 内へ写る。

\(t'\) は \(t\) に特殊化するので、\(T\) を \(t\) の開近傍 \(V\) で置き換えてよい。 したがって次の可換図式を得る。 \[\xymatrix{ X_T \ar[d] \ar[r] & X_{T'} \ar[d] \ar[r] & X \ar[d] \\ T \ar[r]^a & T' \ar[r]^b & S }\] ここで \(b \circ a = g\) である。\(\xi\) の像を \(\xi' \in X_{T'}\) と書く。 Divisors, Lemma 05DC により \(\xi' \in \text{Ass}_{X_{T'}/T'}(\mathcal{F}_{T'})\) である。

さらに構成により、\(\overline{\{\xi'\}}\) は、ファイバー \(X_{a(t)}\) と 交わらない閉部分集合 \(Z'\) に含まれる。したがって \((T' \to S, a(t') \leadsto a(t), \xi')\) は \(s\) 上の \(\mathcal{F}\) の非純性である。

以上により \(g : T \to S\) は局所有限表示であると仮定してよい。 \(Z = \overline{\{\xi\}}\) とおく。仮定により \(Z_t = \emptyset\) である。 More on Morphisms, Lemma 054W により、 これは \(\overline{\{t\}}\) のある開部分集合内の \(t''\) に対して \(Z_{t''} = \emptyset\) となることを意味する。\(s\) 上の \(T \to S\) の ファイバーは Jacobson スキームなので（Morphisms, Lemma 02J6）、

\(Z_{t''} = \emptyset\) となる閉点 \(t'' \in \overline{\{t\}}\) が存在する。 このとき \((g : T \to S, t' \leadsto t'', \xi)\) が所望の非純性である。

補題

Situation 05FW において、 \((g : T \to S, t' \leadsto t, \xi)\) を \(s\) 上の \(\mathcal{F}\) の 非純性とする。\(T = \lim_{i \in I} T_i\) は \(S\) 上のアフィンスキームの 有向極限であると仮定する。このとき、ある \(i\) に対して三つ組 \((T_i \to S, t'_i \leadsto t_i, \xi_i)\) は \(s\) 上の \(\mathcal{F}\) の非純性である。

証明

主張の記法は次の意味である。射影射を \(p_i : T \to T_i\) とし、 \(t_i = p_i(t)\) および \(t'_i = p_i(t')\) とする。最後に \(\xi_i \in X_{T_i}\) は \(\xi\) の像である。Divisors, Lemma 05DC により、 \(\xi_i\) は \(T_i\) 上の \(\mathcal{F}_{T_i}\) の相対随伴点である。 したがって、ある \(i\) に対して \(\overline{\{\xi_i\}} \cap X_{t_i} = \emptyset\) であることだけを示せばよい。

第一の証明。\(Z_i = \overline{\{\xi_i\}} \subset X_{T_i}\) および \(Z = \overline{\{\xi\}} \subset X_T\) に被約誘導スキーム構造を入れる。 Limits, Lemma 0CUG により \(Z = \lim Z_i\) である。体 \(k\) と、像が \(t\) となる射 \(\Spec(k) \to T\) を選ぶ。このとき \[\emptyset = Z \times_T \Spec(k) = (\lim Z_i) \times_{(\lim T_i)} \Spec(k) = \lim Z_i \times_{T_i} \Spec(k)\] である。これは極限がファイバー積と可換だからである（極限は極限と可換する）。 \(X_{T_i} \to T_i\) は有限型であり、したがって \(Z_i \to T_i\) も有限型なので、 各 \(Z_i \times_{T_i} \Spec(k)\) は準コンパクトである。よって Limits, Lemma 01Z2 により、ある \(i\) に対して \(Z_i \times_{T_i} \Spec(k)\) は空である。合成 \(\Spec(k) \to T \to T_i\) の像は \(t_i\) なので、所望の結論を得る。

第二の証明。\(Z = \overline{\{\xi\}}\) とおく。この状況に Limits, Lemma 05BD を適用すると、 \(t\) の開近傍 \(V \subset T\)、可換図式 \[\xymatrix{ V \ar[d] \ar[r]_a & T' \ar[d]^b \\ T \ar[r]^g & S, }\] および、次を満たす閉部分スキーム \(Z' \subset X_{T'}\) を得る。

1. 射 \(b : T' \to S\) は局所有限表示である。

2. \(Z' \cap X_{a(t)} = \emptyset\) である。

3. \(Z \cap X_V\) は射 \(X_V \to X_{T'}\) によって \(Z'\) 内へ写る。

\(V\) は \(T\) のアフィン開部分であると仮定してよい。したがって Limits, Lemmas 01Z4 および 01Z6 により、ある \(i\) とアフィン開部分 \(V_i \subset T_i\) を、

\(V = f_i^{-1}(V_i)\) となるように見いだせる。Limits, Proposition 01ZC により、 必要なら \(i\) を少し大きくした後、\(a = a_i \circ f_i|_V\) となる射 \(a_i : V_i \to T'\) を見いだせる。誘導される射 \(X_{V_i} \to X_{T'}\) は \(\xi_i\) を \(Z'\) 内へ写す。 \(Z' \cap X_{a(t)} = \emptyset\) なので、 \((T_i \to S, t'_i \leadsto t_i, \xi_i)\) は \(s\) 上の \(\mathcal{F}\) の非純性である。

補題

Situation 05FW において、\(g\) が \(t\) において 準有限となる \(s\) 上の \(\mathcal{F}\) の非純性 \((g : T \to S, t' \leadsto t, \xi)\) が存在するならば、 \((T, t) \to (S, s)\) が基本エタール近傍となるような非純性 \((g : T \to S, t' \leadsto t, \xi)\) が存在する。

証明

\((g : T \to S, t' \leadsto t, \xi)\) を、\(g\) が \(t\) において準有限となる \(s\) 上の \(\mathcal{F}\) の非純性とする。\(T\) を縮小した後、 \(g\) は局所有限型であると仮定してよい。\(T \to S\) と \(t \mapsto s\) に More on Morphisms, Lemma 02LK を適用すると、次の図式を得る。 \[\xymatrix{ T \ar[d] & T \times_S U \ar[l] \ar[d] & V \ar[l] \ar[ld] \\ S & U \ar[l] }\] ここで \((U, u) \to (S, s)\) は基本エタール近傍であり、 \(V \subset T \times_S U\) は \(v = (t, u)\) の開近傍であって、 \(V \to U\) は有限であり、\(v\) は \(u\) の上にある \(V\) の一意な点である。 射 \(V \to T\) はエタール、したがって平坦なので、\(v' \mapsto t'\) となる 特殊化 \(v' \leadsto v\) が存在する。\(\kappa(t') \subset \kappa(v')\) は 有限分離拡大であることに注意する。\(\xi \in X_{t'}\) に写る任意の点 \(\zeta \in X_{v'}\) を選ぶ。Divisors, Lemma 05DC により \(\zeta \in \text{Ass}_{X_V/V}(\mathcal{F}_V)\) である。さらに仮定により 閉包 \(\overline{\{\xi\}}\) は \(X_t\) と交わらないので、閉包 \(\overline{\{\zeta\}}\) はファイバー \(X_v\) と交わらない。言い換えると、

\((V \to S, v' \leadsto v, \zeta)\) は \(S\) 上の \(\mathcal{F}\) の非純性である。

次に、\(v'\) の像を

\(u' \in U'\) とし、\(\zeta\) の像を \(\theta \in X_U\) とする。 このとき \(\theta \mapsto u'\) かつ \(u' \leadsto u\) である。 Divisors, Lemma 05DC により

\(\theta \in \text{Ass}_{X_U/U}(\mathcal{F})\) である。さらに \(\pi : X_V \to X_U\) は有限なので、 \(\pi\big(\overline{\{\zeta\}}\big) = \overline{\{\pi(\zeta)\}}\) である。 \(v\) は \(u\) の上にある \(V\) の一意な点なので、 \(X_v \cap \overline{\{\zeta\}} = \emptyset\) から \(X_u \cap \overline{\{\pi(\zeta)\}} = \emptyset\) が従う。したがって \((U \to S, u' \leadsto u, \theta)\) は \(s\) 上の \(\mathcal{F}\) の非純性であり、 結論を得る。

補題

Situation 05FW において、\(S\) は局所ネーター的であると 仮定する。\(s\) 上の \(\mathcal{F}\) の非純性が存在するならば、 \(g\) が \(t\) において準有限となるような \(s\) 上の \(\mathcal{F}\) の非純性 \((g : T \to S, t' \leadsto t, \xi)\) が存在する。

証明

\(S\) を \(s\) のアフィン近傍で置き換えてよい。 Lemma 05FX により、

\(g\) は局所有限型であり、\(t\) は \(s\) 上の \(g\) のファイバーの閉点となるような 非純性 \((g : T \to S, t' \leadsto t, \xi)\) をもつと仮定してよい。 \(T\) を \(\overline{\{t'\}}\) 上の被約誘導スキーム構造で置き換えてよい。 \(Z = \overline{\{\xi\}} \subset X_T\) とおく。仮定により \(Z_t = \emptyset\) であり、\(Z \to T\) の像は \(t'\) を含む。 More on Morphisms, Lemma 05F1 により、 任意の \(w \in f(V)\) に対して \(V_w\) の任意の生成点 \(\xi'\) が \(\text{Ass}_{X_T/T}(\mathcal{F}_T)\) に属するような非空開部分 \(V \subset Z\) が存在する。More on Morphisms, Lemma 05F5 により、 \(W \subset f(V)\) となる非空開部分 \(W \subset T\) が存在する。 More on Morphisms, Lemma 05GU により、 \(t \in T'\) であり、\(T' \to S\) は \(t\) において準有限であり、かつ \(s\) へ写らない点 \(z \in T' \cap W\), \(z \leadsto t\) が存在するような 閉部分スキーム \(T' \subset T\) が存在する。非空スキーム \(V_z\) の 任意の生成点 \(\xi'\) を選ぶ。このとき \((T' \to S, z \leadsto t, \xi')\) が所望の非純性である。

以下では、\(s\) における \(S\) の Hensel 化 \(S^h = \Spec(\mathcal{O}_{S, s}^h)\) を用いる。Étale Cohomology, Definition 03PS を参照せよ。

\(S^h \to S\) は \(S^h\) の閉点を \(s\) へ写し、剰余体の同型を誘導するので、

この閉点も \(s \in S^h\) と表す。したがって \((S^h, s) \to (S, s)\) は点付きスキームの射である。

補題

Situation 05FW において、\(s\) 上の \(\mathcal{F}\) の非純性 \((S^h \to S, s' \leadsto s, \xi)\) が存在するならば、 \((T, t) \to (S, s)\) が基本エタール近傍となるような、\(s\) 上の \(\mathcal{F}\) の非純性 \((T \to S, t' \leadsto t, \xi)\) が存在する。

証明

\(S\) を \(s\) のアフィン近傍で置き換えてよい。 \(S = \Spec(A)\) とし、\(s\) は素イデアル \(\mathfrak p \subset A\) に 対応するとする。このとき \(\mathcal{O}_{S, s}^h = \colim_{(T, t)} \Gamma(T, \mathcal{O}_T)\) である。ここで極限は、\((S, s)\) のアフィン基本エタール近傍 \((T, t)\) からなる余フィルター圏の反対圏上でとる。More on Morphisms, Lemma 05KS とその証明を参照せよ。 したがって \(S^h = \lim_i T_i\) であり、Lemma 05IZ により 結論を得る。

補題

Situation 05FW において、次は同値である。

1. \(S^h\) を \(s\) における \(S\) の Hensel 化とするとき、 \(s\) 上の \(\mathcal{F}\) の非純性 \((S^h \to S, s' \leadsto s, \xi)\) が存在する。

2. \((T, t) \to (S, s)\) が基本エタール近傍となるような、\(s\) 上の \(\mathcal{F}\) の非純性 \((T \to S, t' \leadsto t, \xi)\) が存在する。

3. \(T \to S\) が \(t\) において準有限となるような、\(s\) 上の \(\mathcal{F}\) の非純性 \((T \to S, t' \leadsto t, \xi)\) が存在する。

証明

エタール射は局所準有限なので、(2) が (3) を含意することは明らかである。 Lemma 05J0 で (3) が (2) を含意することを 示した。Lemma 05J2 で (1) が (2) を 含意することを示した。最後に、\((T \to S, t' \leadsto t, \xi)\) を \(s\) 上の \(\mathcal{F}\) の非純性であって、 \((T, t) \to (S, s)\) が基本エタール近傍となるものとする。このとき構造射 \(S^h \to S\) の分解 \(S^h \to T \to S\) を選べる。 \(t'\) に写る任意の点 \(s' \in S^h\) と、\(\xi \in X_{t'}\) に写る任意の \(\xi' \in X_{s'}\) を選ぶ。このとき \((S^h \to S, s' \leadsto s, \xi')\) は \(s\) 上の \(\mathcal{F}\) の非純性である。

詳細は省略する。

相対的純粋加群

基底に関して純粋な加群という概念は [GruRay] で導入された。

定義

\(f : X \to S\) を有限型なスキームの射とする。 \(\mathcal{F}\) を有限型準連接 \(\mathcal{O}_X\)-加群とする。

1. \(s \in S\) とする。\((T, t) \to (S, s)\) が基本エタール近傍となる \(s\) 上の \(\mathcal{F}\) の非純性 \((g : T \to S, t' \leadsto t, \xi)\) が 存在しないとき、\(\mathcal{F}\) は \(X_s\) に沿って純粋であるという。

2. \(s\) 上の \(\mathcal{F}\) の非純性が一つも存在しないとき、 \(\mathcal{F}\) は \(X_s\) に沿って普遍的に純粋であるという。

3. \(\mathcal{O}_X\) が \(X_s\) に沿って純粋であるとき、\(X\) は \(X_s\) に沿って純粋であるという。

4. すべての \(s \in S\) に対して \(\mathcal{F}\) が \(X_s\) に沿って 普遍的に純粋であるとき、\(\mathcal{F}\) は 普遍的 \(S\)-純粋、または \(S\) に関して普遍的に純粋であるという。

5. すべての \(s \in S\) に対して \(\mathcal{F}\) が \(X_s\) に沿って 純粋であるとき、\(\mathcal{F}\) は \(S\)-純粋、または \(S\) に関して純粋であるという。

6. \(\mathcal{O}_X\) が \(S\) に関して純粋であるとき、\(X\) は \(S\)-純粋、または \(S\) に関して純粋であるという。

ここでは意図的に、単に局所有限型な射ではなく有限型な射に限定している。 議論については Remark 05J5 を参照せよ。 定義の状況では、Lemma 05J3 により次は同値である。

1. \(\mathcal{F}\) は \(X_s\) に沿って純粋である。

2. \(g\) が \(t\) において準有限となる非純性 \((g : T \to S, t' \leadsto t, \xi)\) は存在しない。

3. \(S^h\) を \(s\) における \(S\) の Hensel 化とするとき、 \((S^h \to S, s' \leadsto s, \xi)\) という形の非純性は存在しない。

\(X^h = X \times_S S^h\) と書き、\(\mathcal{F}\) の \(X^h\) への引き戻しを \(\mathcal{F}^h\) と書けば、最後の条件を次のより肯定的な形で述べられる。

1. \(\text{Ass}_{X^h/S^h}(\mathcal{F}^h)\) のすべての点は \(X_s\) の点へ特殊化する。

特に、\(\mathcal{F}\) が \(X_s\) に沿って純粋であることと、\(\mathcal{F}\) の \(X \times_S \Spec(\mathcal{O}_{S, s})\) への引き戻しが \(X_s\) に沿って純粋であることは同値であることが明らかである。

注意

\(f : X \to S\) を局所有限型な射とし、\(\mathcal{F}\) を有限型準連接 \(\mathcal{O}_X\)-加群とする。この場合にも上の (1) と (2) は同値である。 実際、Lemma 05J0 の証明では \(f\) が準コンパクトであることを用いない。また (3) と (4) が同値であることも 明らかである。しかし (1) と (3) が同値であるかどうかは分からない。 この場合、[GruRay] で行われているように、同値な条件 (3) と (4) を用いて 純粋性を定義する方が便利なこともある。一方、多くの応用では、真に正しい概念は 普遍的に純粋であることだと思われる。

自然に生じる問いは、基底に関して純粋であるという性質が基底変換で保たれるか、 すなわち純粋であることと普遍的に純粋であることが同じか、というものである。 ネーター基底スキーム上ではこれは成り立つ （Lemma 05J8）。層が平坦な場合にも成り立つ （Lemmas 05L5 および 05L6）。射と層が有限表示であっても、 一般には成り立たない。反例については Examples, Section 05JJ を参照せよ。

まず、「普遍的」という語のここでの用法を通常の概念と一致させる。

補題

\(f : X \to S\) を有限型なスキームの射とする。 \(\mathcal{F}\) を有限型準連接 \(\mathcal{O}_X\)-加群とする。 \(s \in S\) とする。次は同値である。

1. \(\mathcal{F}\) は \(X_s\) に沿って普遍的に純粋である。

2. 点付きスキームの任意の射 \((S', s') \to (S, s)\) に対して、 引き戻し \(\mathcal{F}_{S'}\) は \(X_{s'}\) に沿って純粋である。

特に、\(\mathcal{F}\) が \(S\) に関して普遍的に純粋であることと、 \(\mathcal{F}\) のすべての基底変換 \(\mathcal{F}_{S'}\) が \(S'\) に関して純粋であることは同値である。

証明

これは形式的である。

補題

\(f : X \to S\) を有限型なスキームの射とする。 \(\mathcal{F}\) を有限型準連接 \(\mathcal{O}_X\)-加群とする。 \(s \in S\) とし、\((S', s') \to (S, s)\) を点付きスキームの射とする。 \(S' \to S\) が \(s'\) において準有限であり、\(\mathcal{F}\) が \(X_s\) に沿って純粋ならば、\(\mathcal{F}_{S'}\) は \(X_{s'}\) に沿って純粋である。

証明

\((T \to S', t' \leadsto t, \xi)\) が \(s'\) 上の \(\mathcal{F}_{S'}\) の 非純性であり、\(T \to S'\) が \(t\) において準有限ならば、

\((T \to S, t' \to t, \xi)\) は \(s\) 上の \(\mathcal{F}\) の非純性であり、 \(T \to S\) は \(t\) において準有限である。Morphisms, Lemma 01TL を参照せよ。

したがって補題は、Definition 05J4 に続く議論で与えた 純粋性の特徴づけ (2) から直ちに従う。

補題

\(f : X \to S\) を有限型なスキームの射とする。 \(\mathcal{F}\) を有限型準連接 \(\mathcal{O}_X\)-加群とする。 \(s \in S\) とする。\(\mathcal{O}_{S, s}\) がネーター環ならば、 \(\mathcal{F}\) が \(X_s\) に沿って純粋であることと、\(\mathcal{F}\) が \(X_s\) に沿って普遍的に純粋であることは同値である。

証明

まず \(S\) を \(\Spec(\mathcal{O}_{S, s})\) で置き換えてよい。すなわち \(S\) はネーター的であると仮定してよい。次に Lemma 05J1 と、

Definition 05J4 に続く議論で与えた純粋性の特徴づけ (2) を 用いれば結論を得る。

純粋性は平坦降下を満たす。

補題

\(f : X \to S\) を有限型なスキームの射とする。 \(\mathcal{F}\) を有限型準連接 \(\mathcal{O}_X\)-加群とする。 \(s \in S\) とし、\((S', s') \to (S, s)\) を点付きスキームの射とする。 \(S' \to S\) は \(s'\) において平坦であると仮定する。

1. \(\mathcal{F}_{S'}\) が \(X_{s'}\) に沿って純粋ならば、 \(\mathcal{F}\) は \(X_s\) に沿って純粋である。

2. \(\mathcal{F}_{S'}\) が \(X_{s'}\) に沿って普遍的に純粋ならば、 \(\mathcal{F}\) は \(X_s\) に沿って普遍的に純粋である。

証明

\((T \to S, t' \leadsto t, \xi)\) を \(s\) 上の \(\mathcal{F}\) の非純性とする。 \(T_1 = T \times_S S'\) とおき、

\(t\) と \(s'\) に写る \(T_1\) の一意な点を \(t_1\) とする。 Morphisms, Lemma 01U9 により \(T_1 \to T\) は \(t_1\) において平坦なので、Algebra, Section 00HU により、\(t' \leadsto t\) の上にある 特殊化 \(t'_1 \leadsto t_1\) が存在する。 \(\Spec(\kappa(t'_1) \otimes_{\kappa(t')} \kappa(\xi))\) の生成点に対応する点 \(\xi_1 \in X_{t'_1}\) を選ぶ。Schemes, Lemma 01JT を参照せよ。Divisors, Lemma 05DC により \(\xi_1 \in \text{Ass}_{X_{T_1}/T_1}(\mathcal{F}_{T_1})\) である。 \(X_{T_1}\) における \(\{\xi_1\}\) の Zariski 閉包は、\(X_T\) における \(\{\xi\}\) の Zariski 閉包内へ写るので、この閉包は \(X_{t_1}\) と交わらない。 したがって \((T_1 \to S', t'_1 \leadsto t_1, \xi_1)\) は \(s'\) 上の \(\mathcal{F}_{S'}\) の非純性である。言い換えると、

補題の (2) の対偶を証明した。最後に、\((T, t) \to (S, s)\) が 基本エタール近傍ならば、\((T_1, t_1) \to (S', s')\) も 基本エタール近傍である。このようにして (1) が成り立つことが分かる。

補題

\(i : Z \to X\) を、スキーム \(S\) 上有限型なスキームの閉埋め込みとする。 \(s \in S\) とし、\(\mathcal{F}\) を \(Z\) 上の有限型準連接層とする。 このとき、\(\mathcal{F}\) が \(Z_s\) に沿って（普遍的に）純粋であることと、 \(i_*\mathcal{F}\) が \(X_s\) に沿って（普遍的に）純粋であることは同値である。

証明

これは Divisors, Lemma 0CUD から従う。

相対的純粋層の例

純粋性が何を意味するかを具体的に見て取れる例をいくつか挙げる。

補題

\(f : X \to S\) を有限型のスキーム射とする。 \(\mathcal{F}\) を有限型準連接 \(\mathcal{O}_X\)-加群とする。

1. \(\mathcal{F}\) の台が \(S\) 上固有ならば、\(\mathcal{F}\) は \(S\) に関して普遍的に純粋である。

2. \(f\) が固有ならば、\(\mathcal{F}\) は \(S\) に関して普遍的に純粋である。

3. \(f\) が固有ならば、\(X\) は \(S\) に関して普遍的に純粋である。

証明

まず (1) を (2) に帰着させる。すなわち、\(Z \subset X\) を \(\mathcal{F}\) のスキーム論的台とする。対応する閉埋め込みを \(i : Z \to X\) とし、ある有限型準連接 \(\mathcal{O}_Z\)-加群 \(\mathcal{G}\) を用いて \(\mathcal{F} = i_*\mathcal{G}\) と書く。 Morphisms, Section 056H を参照せよ。 (1) の場合、仮定により \(Z \to S\) は固有である。 したがって Lemma 05K1 により、(1) は (2) に帰着する。

\(f\) が固有であると仮定する。 \((g : T \to S, t' \leadsto t, \xi)\) を、\(s \in S\) 上の \(\mathcal{F}\) の非純性とする。\(f\) は固有なので普遍閉である。したがって \(f_T : X_T \to T\) は閉写像である。\(f_T(\xi) = t'\) であるから、これは

\(t \in f(\overline{\{\xi\}})\) を含意するが、矛盾である。

補題

\(f : X \to S\) を分離有限型のスキーム射とする。 \(\mathcal{F}\) を有限型準連接 \(\mathcal{O}_X\)-加群とする。 すべての \(s \in S\) に対して \(\text{Supp}(\mathcal{F}_s)\) が有限であると仮定する。 このとき、次は同値である。

1. \(\mathcal{F}\) は \(S\) に関して純粋である。

2. \(\mathcal{F}\) のスキーム論的台は \(S\) 上有限である。

3. \(\mathcal{F}\) は \(S\) に関して普遍的に純粋である。

特に、準有限分離射 \(X \to S\) に対して、\(X\) が \(S\) に関して 純粋であることと \(X \to S\) が有限であることは同値である。

証明

\(Z \subset X\) を \(\mathcal{F}\) のスキーム論的台とする。 Morphisms, Definition 05JV を参照せよ。このとき \(Z \to S\) は有限なファイバーをもつ分離有限型の スキーム射である。したがってこれは分離かつ準有限である。 Morphisms, Lemma 02NH を参照せよ。 Lemma 05K1 により、\(Z \to S\) と、\(Z\) 上の有限型準連接加群とみなした層 \(\mathcal{F}\) について補題を証明すれば十分である。したがって \(X \to S\) は分離かつ準有限であり、\(\text{Supp}(\mathcal{F}) = X\) であると仮定してよい。

Lemma 05K3 および Morphisms, Lemma 01WN から (2) は (3) を含意する。(3) が (1) を含意することは明らかである。 (1) が成り立つと仮定し、(2) を証明する。\(S\) はアフィンであると仮定してよい。 More on Morphisms, Lemma 05K0 により、図式 \[\xymatrix{ X \ar[rd]_f \ar[rr]_j & & T \ar[ld]^\pi \\ & S & }\] で、\(\pi\) が有限、\(j\) が準コンパクトな開埋め込みとなるものをとれる。 \(j\) が閉であることを示せば、\(j\) は閉埋め込みとなり、 \(f = \pi \circ j\) が有限であると結論できる。 \(j\) が閉であることを示すには、特殊化が \(j\) に沿って持ち上がることを 示せば十分である。Schemes, Lemma 01K9 を参照せよ。 \(x \in X\) とし、\(t' = j(x)\) とおき、\(t' \leadsto t\) を特殊化とする。 \(t \in j(X)\) を示さなければならない。\(s' = f(x)\) および \(s = \pi(t)\) とおくと、\(s' \leadsto s\) である。 More on Morphisms, Lemma 02LN により、基本エタール近傍 \((U, u) \to (S, s)\) と、開かつ閉な部分スキームへの分解 \[T_U = T \times_S U = V \amalg W\] で、\(V \to U\) が有限であり、\(u\) に写る \(V\) の点 \(v\) が一意に存在し、 しかも \(v\) が \(T\) の \(t\) に写るものをとれる。\(V \to T\) はエタールなので、 一般化を持ち上げることができる。Morphisms, Lemmas 03HV および 02GS を参照せよ。 したがって、特殊化 \(v' \leadsto v\) が存在し、\(v'\) は \(t' \in T\) に写る。 特に \(v' \in X_U \subset T_U\) である。

\(t'\) の像を \(u' \in U\) と記す。 \(X_{u'}\) は有限離散集合であり、かつ \(X_{u'} = \text{Supp}(\mathcal{F}_{u'})\) なので、 \(v' \in \text{Ass}_{X_U/U}(\mathcal{F})\) であることに注意せよ。 \(\mathcal{F}\) は \(S\) に関して純粋なので、\(v'\) は \(X_u\) の点に 特殊化しなければならない。\(v\) は \(u\) 上にある \(V\) の唯一の点であり （また \(W\) の点はどれも \(v'\) の特殊化ではありえない）から、 \(v \in X_u\) である。したがって \(t \in X\) である。

補題

\(f : X \to S\) を、幾何学的に整なファイバーをもつ有限型平坦な スキーム射とする。このとき \(X\) は \(S\) 上普遍的に純粋である。

証明

\(\xi \in X\) とし、\(s' = f(\xi)\) かつ \(s' \leadsto s\) を \(S\) の特殊化とする。 \(\xi\) が \(X_{s'}\) の随伴点ならば、\(X_{s'}\) は整スキームなので、 \(\xi\) はその唯一の生成点である。\(\xi_0\) を \(X_s\) の唯一の生成点とする。 \(X \to S\) は平坦なので、\(s' \leadsto s\) を \(X\) における特殊化 \(\xi' \leadsto \xi_0\) に持ち上げることができる。Morphisms, Lemma 03HV を参照せよ。

\(\xi\) は \(X_{s'}\) の生成点なので \(\xi \leadsto \xi'\) であり、したがって \(\xi \leadsto \xi_0\) である。これは

\((\text{id}_S, s' \to s, \xi)\) が \(s\) 上の \(\mathcal{O}_X\) の 非純性でないことを意味する。\(f\) が有限型平坦で幾何学的に整な ファイバーをもつという仮定は基底変換で保たれるので、任意の基底変換後にも 非純性は存在しない。このようにして、\(X\) は普遍的 \(S\)-純粋である。

補題

\(f : X \to S\) を有限型アフィンなスキーム射とする。 \(\mathcal{F}\) を有限型準連接 \(\mathcal{O}_X\)-加群とし、 \(f_*\mathcal{F}\) は \(S\) 上局所射影的であると仮定する。 Properties, Definition 05JP を参照せよ。このとき \(\mathcal{F}\) は \(S\) 上普遍的に純粋である。

証明

\(S\) が Hensel 局所環のスペクトルである場合に帰着した後、これは Lemma 05FV から従う。

純粋性の判定条件

まず、有限型準連接層の平坦族が与えられたとき、相対随伴点が 特殊化するならば、近傍ファイバーの相対随伴点へ特殊化することを証明する。

補題

\(f : X \to S\) を有限型のスキーム射とする。 \(\mathcal{F}\) を有限型準連接 \(\mathcal{O}_X\)-加群とし、\(s \in S\) とする。 \(\mathcal{F}\) は \(X_s\) のすべての点において \(S\) 上平坦であると仮定する。 \(f(x') = s'\) を満たす \(x' \in \text{Ass}_{X/S}(\mathcal{F})\) をとり、 \(s' \leadsto s\) が \(S\) における特殊化であるとする。\(x'\) が \(X_s\) の点に 特殊化するならば、ある \(x \in \text{Ass}_{X_s}(\mathcal{F}_s)\) に対して \(x' \leadsto x\) である。

証明

\(t \in X_s\) に対して \(x' \leadsto t\) とする。このとき、 \(x\) が \(\overline{\{x'\}} \cap f^{-1}(\{s\})\) のある既約成分の 生成点に対応するような特殊化 \(x' \leadsto x \leadsto t\) をとれる。 仮定により \(\mathcal{F}\) は \(x\) において \(S\) 上平坦である。 More on Morphisms, Lemma 0GSI により、望むとおり \(x \in \text{Ass}_{X/S}(\mathcal{F})\) である。

補題

\(f : X \to S\) を有限型のスキーム射とする。 \(\mathcal{F}\) を有限型準連接 \(\mathcal{O}_X\)-加群とし、\(s \in S\) とする。 \((S', s') \to (S, s)\) を基本エタール近傍とし、スキーム射の可換図式 \[\xymatrix{ X \ar[d] & X' \ar[l]^g \ar[d] \\ S & S' \ar[l] }\] が与えられているとする。次を仮定する。

1. \(\mathcal{F}\) は \(X_s\) のすべての点において \(S\) 上平坦である。

2. \(X' \to S'\) は有限型である。

3. \(g^*\mathcal{F}\) は \(X'_{s'}\) に沿って純粋である。

4. \(g : X' \to X\) はエタールである。

5. \(g(X')\) は \(\text{Ass}_{X_s}(\mathcal{F}_s)\) を含む。

この状況では、\(\mathcal{F}\) が \(X_s\) に沿って純粋であることと、 \(X' \to X \times_S S'\) の像が、\(s'\) に特殊化する \(S'\) の点の上にある \(\text{Ass}_{X \times_S S'/S'}(\mathcal{F} \times_S S')\) の点を すべて含むことは同値である。

証明

\(S' \to S\) はエタールなので、\(\mathcal{F}\) が \(X_s\) に沿って純粋ならば

\(\mathcal{F} \times_S S'\) は \(X_s\) に沿って純粋である。 Lemma 05J7. を参照せよ。純粋性は平坦降下を満たすので、 Lemma 05J9, を参照せよ、\(\mathcal{F} \times_S S'\) が \(X_{s'}\) に沿って純粋ならば \(\mathcal{F}\) は \(X_s\) に沿って純粋である。したがって \(S\) を \(S'\) で置き換え、 \(S = S'\) かつ \(g : X' \to X\) が \(S\) 上有限型なスキーム間のエタール射であると 仮定してよい。さらに \(S\) を \(\Spec(\mathcal{O}_{S, s})\) で置き換え、 \(S\) は局所であると仮定してよい。

まず、\(\mathcal{F}\) が \(X_s\) に沿って純粋であると仮定する。 この場合、純粋性により \(\text{Ass}_{X/S}(\mathcal{F})\) のすべての点は \(X_s\) の点に特殊化する。したがって Lemma 05L3 により、\(\text{Ass}_{X/S}(\mathcal{F})\) のすべての点は \(\text{Ass}_{X_s}(\mathcal{F}_s)\) の点に特殊化する。 ゆえに \(\text{Ass}_{X/S}(\mathcal{F})\) のすべての点は \(g\) の像に属する （この像は開であり、\(\text{Ass}_{X_s}(\mathcal{F}_s)\) を含むからである）。

逆に、\(g(X')\) が \(\text{Ass}_{X/S}(\mathcal{F})\) を含むと仮定する。 \(S^h = \Spec(\mathcal{O}_{S, s}^h)\) を \(s\) における \(S\) の Hensel 化とする。

\(S^h \to S\) による \(g\) の基底変換を \(g^h : (X')^h \to X^h\) と記し、 \(\mathcal{F}\) の \(X^h\) への引き戻しを \(\mathcal{F}^h\) と記す。 Divisors, Lemma 05DC および Remark 05KL により、 相対随伴点集合 \(\text{Ass}_{X^h/S^h}(\mathcal{F}^h)\) は、射影 \(X^h \to X\) による \(\text{Ass}_{X/S}(\mathcal{F})\) の逆像である。 \(g(X')\) が \(\text{Ass}_{X/S}(\mathcal{F})\) を含むと仮定したので、基底変換 \(g^h((X')^h) = g(X') \times_S S^h\) は \(\text{Ass}_{X^h/S^h}(\mathcal{F}^h)\) を含む。こうして、\(S\) が Hensel 局所環の スペクトルである場合に帰着する。\(x \in \text{Ass}_{X/S}(\mathcal{F})\) とする。 補題の証明を終えるには、\(x\) が \(X_s\) の点に特殊化することを示さなければならない。

Definition 05J4 に続く議論の純粋性判定条件 (4) を参照せよ。

仮定により、\(g(x') = x\) を満たす \(x' \in X'\) が存在する。 \(g : X' \to X\) はエタールなので、 \(x' \in \text{Ass}_{X'/S}(g^*\mathcal{F})\) である。 Lemma 05FP を、\(x'\) の像を \(w \in S\) としたときの ファイバーの射 \(X'_w \to X_w\) に適用せよ。\(g^*\mathcal{F}\) は \(X'_s\) に沿って純粋なので、ある \(y \in X'_s\) に対して \(x' \leadsto y\) である。 したがって \(x = g(x') \leadsto g(y)\) かつ \(g(y) \in X_s\) となり、主張が従う。

補題

\(f : X \to S\) をスキーム射とし、\(\mathcal{F}\) を準連接 \(\mathcal{O}_X\)-加群とする。\(s \in S\) とし、次を仮定する。

1. \(f\) は有限型である。

2. \(\mathcal{F}\) は有限型である。

3. \(\mathcal{F}\) は \(X_s\) のすべての点において \(S\) 上平坦である。

4. \(\mathcal{F}\) は \(X_s\) に沿って純粋である。

このとき \(\mathcal{F}\) は \(X_s\) に沿って普遍的に純粋である。

証明

まず予備的な注意を述べる。\((S', s') \to (S, s)\) を基本エタール近傍とする。

\(X' = X \times_S S'\) への \(\mathcal{F}\) の引き戻しを \(\mathcal{F}'\) と記す。 Definition 05J4 に続く議論により、\(\mathcal{F}'\) は \(X'_{s'}\) に沿って純粋である。さらに \(\mathcal{F}'\) は \(X'_{s'}\) に沿って \(S'\) 上平坦である。そこで、\(\mathcal{F}'\) が \(X'_{s'}\) に沿って普遍的に 純粋であることを証明すれば十分である。実際、点付きスキームの任意の射 \((T, t) \to (S, s)\) に対して、ファイバー積 \((T', t') = (T \times_S S', (t, s'))\) は \((T, t)\) 上平坦である。したがって \(\mathcal{F}_{T'}\) が \(X_{t'}\) に沿って純粋ならば、 Lemma 05J9 により \(\mathcal{F}_T\) は \(X_t\) に沿って純粋である。ゆえに証明中、\((s, S)\) を基本エタール近傍で いつでも置き換えてよい。問題は局所的なので、\(S\) を \(\Spec(\mathcal{O}_{S, s})\) で置き換えてもよい。

基本エタール近傍 \((S', s') \to (S, s)\) と可換図式 \[\xymatrix{ X \ar[d] & X' \ar[l]^g \ar[d] \\ S & \Spec(\mathcal{O}_{S', s'}) \ar[l] }\] で、\(X' \to X \times_S \Spec(\mathcal{O}_{S', s'})\) がエタール、 \(X_s = g((X')_{s'})\)、スキーム \(X'\) がアフィン、かつ \(\Gamma(X', g^*\mathcal{F})\) が自由 \(\mathcal{O}_{S', s'}\)-加群となるものを選ぶ。 Lemma 05L1 を参照せよ。 \(X' \to \Spec(\mathcal{O}_{S', s'})\) は有限型であることに注意せよ （これはエタール射と有限型射の基底変換との合成である準コンパクト射だからである）。 証明の第一段落の予備的注意により、\(S\) を \(\Spec(\mathcal{O}_{S', s'})\) で置き換えてよい。したがって、\(S\) 上有限型な スキームの可換図式 \[\xymatrix{ X \ar[dr] & & X' \ar[ll]^g \ar[ld] \\ & S & }\] が存在し、\(g\) はエタール、\(X_s \subset g(X')\)、\(S\) は閉点 \(s\) をもつ局所スキーム、 \(X'\) はアフィン、そして \(\Gamma(X', g^*\mathcal{F})\) は自由 \(\Gamma(S, \mathcal{O}_S)\)-加群であると仮定してよい。この場合、 \(g^*\mathcal{F}\) は \(S\) 上普遍的に純粋であることに注意せよ。 Lemma 05K6 を参照せよ。

この状況で Lemma 05L4 を適用する。\(\mathcal{F}\) が \(X_s\) に沿って純粋であり、かつ \(X_s\) に沿って \(S\) 上平坦であるという仮定から \(\text{Ass}_{X/S}(\mathcal{F}) \subset g(X')\) が従う。 Divisors, Lemma 05DC および Remark 05KL により、点付きスキームの 任意の射 \((T, t) \to (S, s)\) に対して \[\text{Ass}_{X_T/T}(\mathcal{F}_T) \subset (X_T \to X)^{-1}(\text{Ass}_{X/S}(\mathcal{F})) \subset g(X') \times_S T = g_T(X'_T).\] したがって Lemma 05L4 を上の図式の \((T, t)\) への基底変換に適用すると、望むとおり \(\mathcal{F}_T\) は \(X_t\) に沿って純粋であると結論できる。

補題

\(f : X \to S\) を有限型のスキーム射とし、\(\mathcal{F}\) を有限型準連接 \(\mathcal{O}_X\)-加群とする。\(\mathcal{F}\) は \(S\) 上平坦であると仮定する。 このとき、\(\mathcal{F}\) が \(S\) に関して純粋であることと \(\mathcal{F}\) が \(S\) に関して普遍的に純粋であることは同値である。

証明

これは Lemma 05L5 と諸定義から直ちに従う。

補題

\(I\) を有向集合とし、\((S_i, g_{ii'})\) を \(I\) 上のアフィンスキームの逆系とする。 \(S = \lim_i S_i\) とおき、\(s \in S\) とする。射影を \(g_i : S \to S_i\) と記し、 \(s_i = g_i(s)\) とおく。\(f : X \to S\) は有限表示の射であり、 \(\mathcal{F}\) は有限表示の準連接 \(\mathcal{O}_X\)-加群で、\(X_s\) に沿って純粋、 かつ \(X_s\) のすべての点において \(S\) 上平坦であると仮定する。 このとき、ある \(i \in I\)、有限表示の射 \(X_i \to S_i\)、および有限表示の 準連接 \(\mathcal{O}_{X_i}\)-加群 \(\mathcal{F}_i\) が存在して、 \((X_i)_{s_i}\) に沿って純粋であり、\((X_i)_{s_i}\) の すべての点において \(S_i\) 上平坦であり、\(X \cong X_i \times_{S_i} S\)、 かつ \(\mathcal{F}_i\) の \(X\) への引き戻しは \(\mathcal{F}\) と同型である。

証明

\(U \subset X\) を \(\mathcal{F}\) が \(S\) 上平坦となる点の集合とする。 More on Morphisms, Theorem 0399 により、これは \(X\) の開部分スキームである。仮定により \(X_s \subset U\) である。 \(X_s\) は準コンパクトなので、\(X_s \subset U'\) を満たす準コンパクトな開部分 \(U' \subset U\) をとれる。 Limits, Lemma 01ZM

により、ある \(i \in I\) と、\(S\) への基底変換が \(f_i\) と同型となる 有限表示の射 \(f_i : X_i \to S_i\) をとれる。そのような選択を固定し、 \(X_{i'} = X_i \times_{S_i} S_{i'}\) とおく。このとき \(X = \lim_{i'} X_{i'}\) であり、遷移射はアフィンである。 Limits, Lemma 01ZR により、必要なら \(i\) を大きくした後、\(S\) への基底変換が \(\mathcal{F}\) と 同型となる有限表示の準連接 \(\mathcal{O}_{X_i}\)-加群 \(\mathcal{F}_i\) が 存在すると仮定してよい。 Limits, Lemma 01Z4 により、必要なら \(i\) を大きくした後、\(X\) における逆像が \(U'\) となる開部分 \(U'_i \subset X_i\) が存在すると仮定してよい。特に \((X_i)_{s_i} \subset U'_i\) であることに注意せよ。 Limits, Lemma 05LY により（もう一度 \(i\) を大きくした後）、\(\mathcal{F}_i\) は \(U'_i\) 上平坦であると 仮定してよい。特に \(\mathcal{F}_i\) は \((X_i)_{s_i}\) に沿って平坦である。

次に Lemma 05KW を用いて、基本エタール近傍 \((S_i', s_i') \to (S_i, s_i)\) とスキームの可換図式 \[\xymatrix{ X_i \ar[d] & X_i' \ar[l]^{g_i} \ar[d] \\ S_i & S_i' \ar[l] }\] で、\(g_i\) がエタール、\((X_i)_{s_i} \subset g_i(X_i')\)、スキーム \(X_i'\) と \(S_i'\) がアフィン、かつ \(\Gamma(X_i', g_i^*\mathcal{F}_i)\) が 射影的 \(\Gamma(S_i', \mathcal{O}_{S_i'})\)-加群となるものを選ぶ。 \(g_i^*\mathcal{F}_i\) は \(S'_i\) 上普遍的に純粋であることに注意せよ。 Lemma 05K6 を参照せよ。 任意の \(i' \geq i\) に対し、上の図式を基底変換して、\(S_{i'}\) 上の射 \((S'_{i'}, s'_{i'}) \to (S_{i'}, s_{i'})\) と \(g_{i'} : X'_{i'} \to X_{i'}\) をもつ図式を得ることができる。また、この図式を 基底変換して、\(S\) 上の射 \((S', s') \to (S, s)\) と \(g : X' \to X\) をもつ 図式を得ることができる。

ここで純粋性の判定条件を用いることができる。エタール射 \(X'_i \to X_i \times_{S_i} S'_i\) の像を \(W'_i \subset X_i \times_{S_i} S'_i\) とおく。各 \(i' \geq i\) について同様に像 \(W'_{i'} \subset X_{i'} \times_{S_{i'}} S'_{i'}\) があり、また像 \(W' \subset X \times_S S'\) がある。像をとる操作は基底変換と可換なので、 \(W'_{i'} = W'_i \times_{S'_i} S'_{i'}\) および

\(W' = W_i \times_{S'_i} S'\) である。\(\mathcal{F}\) は \(X_s\) に沿って純粋なので、 Lemma 05L4 から [05MB]\[\begin{equation} f^{-1}(\Spec(\mathcal{O}_{S', s'})) \cap \text{Ass}_{X \times_S S'/S'}(\mathcal{F} \times_S S') \subset W' \end{equation}\] が従う。 More on Morphisms, Lemma 05KR により、 \[E = \{t \in S' \mid \text{Ass}_{X_t}(\mathcal{F}_t) \subset W' \} \quad\text{and}\quad E_{i'} = \{t \in S'_{i'} \mid \text{Ass}_{X_t}(\mathcal{F}_{i', t}) \subset W'_{i'} \}\] これらはそれぞれ \(S'\) と \(S'_{i'}\) の局所構成可能部分集合である。 More on Morphisms, Lemma 05KQ により、\(E_{i'}\) は射 \(S'_{i'} \to S'_i\) による \(E_i\) の逆像であり、 \(E\) は射 \(S' \to S'_i\) による \(E_i\) の逆像である。したがって Equation (05MB) は、\(\Spec(\mathcal{O}_{S', s'})\) が \(E_i\) に写るという主張と同値である。 \(\mathcal{O}_{S', s'} = \colim_{i' \geq i} \mathcal{O}_{S'_{i'}, s'_{i'}}\) なので、ある \(i' \geq i\) に対して \(\Spec(\mathcal{O}_{S'_{i'}, s'_{i'}})\) は \(E_i\) に写る。Limits, Lemma 05F4 を参照せよ。 そこで \(S_{i'}\) 上の状況に Lemma 05L4 を適用すると、 \(\mathcal{F}_{i'}\) は \((X_{i'})_{s_{i'}}\) に沿って純粋であると結論できる。

補題

\(f : X \to S\) を有限表示の射とする。\(\mathcal{F}\) を \(S\) 上平坦な 有限表示の準連接 \(\mathcal{O}_X\)-加群とする。このとき集合 \[U = \{s \in S \mid \mathcal{F}\text{ は }X_s\text{ に沿って純粋}\}\] は \(S\) で開である。

証明

\(s \in U\) とする。 Lemma 05KW を用いて、基本エタール近傍 \((S', s') \to (S, s)\) と可換図式 \[\xymatrix{ X \ar[d] & X' \ar[l]^g \ar[d] \\ S & S' \ar[l] }\] で、\(g\) がエタール、\(X_s \subset g(X')\)、スキーム \(X'\) と \(S'\) がアフィン、 かつ \(\Gamma(X', g^*\mathcal{F})\) が射影的 \(\Gamma(S', \mathcal{O}_{S'})\)-加群となるものをとれる。 \(g^*\mathcal{F}\) は \(S'\) 上普遍的に純粋であることに注意せよ。 Lemma 05K6 を参照せよ。 エタール射 \(X' \to X \times_S S'\) の像を \(W' \subset X \times_S S'\) とおく。\(W\) は開であり、\(S'\) 上準コンパクトである

ことに注意せよ。さらに \[E = \{t \in S' \mid \text{Ass}_{X_t}(\mathcal{F}_t) \subset W' \}.\] More on Morphisms, Lemma 05KR により、\(E\) は \(S'\) の構成可能部分集合である。 Lemma 05L4 により、\(\Spec(\mathcal{O}_{S', s'}) \subset E\) である。 Morphisms, Lemma 05LW により、\(E\) は \(s'\) のある開近傍 \(V'\) を含む。もう一度 Lemma 05L4 を適用すると、\(V'\) の \(S\) における像の任意の点 \(s_1\) に対して \(\mathcal{F}\) は \(X_{s_1}\) に沿って純粋である。\(S' \to S\) はエタールなので \(V'\) の \(S\) における像は開であり、証明が完了する。

純粋性の利用法

純粋性の利用例をいくつか挙げる。最初の補題で実際に用いるのは、 純粋性より少し弱い形の条件である。

補題

\(f : X \to S\) を有限型の射とし、\(\mathcal{F}\) を \(X\) 上の有限型準連接層とする。 \(S\) は閉点 \(s\) をもつ局所スキームであると仮定する。 \(\mathcal{F}\) は \(X_s\) に沿って純粋であり、\(\mathcal{F}\) は \(S\) 上平坦であると仮定する。

\(\varphi : \mathcal{F} \to \mathcal{G}\) を準連接 \(\mathcal{O}_X\)-加群の射とする。 このとき、次は同値である。

1. すべての \(x \in \text{Ass}_{X_s}(\mathcal{F}_s)\) に対して 茎上の写像 \(\varphi_x\) は単射である。

2. \(\varphi\) は単射である。

証明

\(\mathcal{K} = \Ker(\varphi)\) とおく。\(\mathcal{K} = 0\) を証明することが目標である。 そのためには \(\text{WeakAss}_X(\mathcal{K}) = \emptyset\) を証明すれば十分である。 Divisors, Lemma 05AP を参照せよ。 また \(\text{WeakAss}_X(\mathcal{K}) \subset \text{WeakAss}_X(\mathcal{F})\) である。Divisors, Lemma 05AN を参照せよ。 \(\mathcal{F}\) は平坦なので、 Lemma 05IJ から \(\text{WeakAss}_X(\mathcal{F}) \subset \text{Ass}_{X/S}(\mathcal{F})\) が従う。純粋性により、 \(\text{Ass}_{X/S}(\mathcal{F})\) の任意の点 \(x'\) は \(X_s\) の点の一般化であり、

さらに Lemma 05L3 により、ある \(x \in \text{Ass}_{X_s}(\mathcal{F}_s)\) の特殊化である。 したがって \(\varphi_x\) の単射性から \(\varphi_{x'}\) の単射性が従い、 \(\mathcal{K}_{x'} = 0\) となる。

命題

\(f : X \to S\) を有限表示アフィンなスキーム射とする。 \(\mathcal{F}\) を、\(S\) 上平坦な有限表示の準連接 \(\mathcal{O}_X\)-加群とする。このとき、次は同値である。

1. \(f_*\mathcal{F}\) は \(S\) 上局所射影的である。

2. \(\mathcal{F}\) は \(S\) に関して純粋である。

特に、有限表示の環準同型 \(A \to B\) と、\(A\) 上平坦な有限表示 \(B\)-加群 \(N\) が与えられたとき、\(N\) が \(A\)-加群として射影的であることと、 \(\Spec(B)\) 上の \(\widetilde{N}\) が \(\Spec(A)\) に関して純粋であることは同値である。

証明

(1) \(\Rightarrow\) (2) は Lemma 05K6 である。\(\mathcal{F}\) は \(S\) に関して純粋であると仮定する。 Lemma 05L5 により、\(\mathcal{F}\) は任意の基底変換後も純粋であることに注意せよ。 Descent, Lemma 05JZ により、\(f_*\mathcal{F}\) が \(S\) 上 fpqc 局所的に射影的であることを証明すれば十分である。 \(s \in S\) をとる。\(f_*\mathcal{F}\) の \(s\) のエタール近傍への制限が 局所射影的であることを証明する。実際、 Lemma 05KW, により、\(S\) を \(s\) のアフィンな基本エタール近傍で置き換えた後、図式 \[\xymatrix{ X \ar[dr] & & X' \ar[ll]^g \ar[ld] \\ & S & }\] が存在し、そこに現れるスキームは \(S\) 上アフィンかつ有限表示、\(g\) はエタール、 \(X_s \subset g(X')\)、かつ \(\Gamma(X', g^*\mathcal{F})\) は射影的 \(\Gamma(S, \mathcal{O}_S)\)-加群であると仮定してよい。この場合 \(g^*\mathcal{F}\) は \(S\) 上普遍的に純粋であることに注意せよ。 Lemma 05K6 を参照せよ。したがって Lemma 05L4 により、開部分 \(g(X')\) は \(\Spec(\mathcal{O}_{S, s})\) 上にある \(\text{Ass}_{X/S}(\mathcal{F})\) の点を含む。そこで \[E = \{t \in S \mid \text{Ass}_{X_t}(\mathcal{F}_t) \subset g(X') \}.\] More on Morphisms, Lemma 05KR により、\(E\) は \(S\) の構成可能部分集合である。すでに \(\Spec(\mathcal{O}_{S, s}) \subset E\) を示した。 Morphisms, Lemma 05LW により、\(E\) は \(s\) のある開近傍を含む。したがって \(S\) を \(s\) のアフィン近傍で 置き換えた後、\(\text{Ass}_{X/S}(\mathcal{F}) \subset g(X')\) と仮定してよい。 Lemma 05DH により、これは \[\Gamma(X, \mathcal{F}) \longrightarrow \Gamma(X', g^*\mathcal{F})\] が \(\Gamma(S, \mathcal{O}_S)\)-普遍単射であることを意味する。 Algebra, Lemma 059N により、

\(\Gamma(X, \mathcal{F})\) は \(\Gamma(S, \mathcal{O}_S)\)-加群として Mittag–Leffler である。さらに \(\Gamma(X, \mathcal{F})\) は \(\Gamma(S, \mathcal{O}_S)\)-加群として可算生成かつ平坦なので、 Algebra, Lemma 059X により射影的である。

この命題を用いると、先の結果のいくつかを改善できる。次の補題は Proposition 05ID の改善である。

補題

\(f : X \to S\) を局所有限表示の射とする。\(\mathcal{F}\) を有限表示の準連接 \(\mathcal{O}_X\)-加群とする。\(x \in X\) とし、\(s = f(x) \in S\) とおく。

\(\mathcal{F}\) が \(x\) において \(S\) 上平坦ならば、アフィンな基本エタール近傍 \((S', s') \to (S, s)\) と、\(x' = (x, s')\) を含むアフィン開部分 \(U' \subset X \times_S S'\) が存在して、 \(\Gamma(U', \mathcal{F}|_{U'})\) は射影的 \(\Gamma(S', \mathcal{O}_{S'})\)-加群となる。

証明

証明中、\(X\) を \(x\) の開近傍で、\(S\) を \(s\) の基本エタール近傍で置き換えてよい。 したがって平坦性の開性により、\(\mathcal{F}\) は \(S\) 上平坦であると仮定してよい （More on Morphisms, Theorem 0399 を参照せよ）。 \(S\) と \(X\) はアフィンであると仮定してよい。\(X\) をさらに縮小した後、 \(\text{Ass}_{X_s}(\mathcal{F}_s)\) の任意の点は \(x\) の一般化であると 仮定してよい。この性質は \((S, s)\) を基本エタール近傍で置き換えても保たれる。 したがって Lemma 05KW を適用して、図式 \[\xymatrix{ X \ar[dr] & & X' \ar[ll]^g \ar[ld] \\ & S & }\] が存在し、そこに現れるスキームは \(S\) 上アフィンかつ有限表示、\(g\) はエタール、 \(X_s \subset g(X')\)、かつ \(\Gamma(X', g^*\mathcal{F})\) は射影的 \(\Gamma(S, \mathcal{O}_S)\)-加群である状況に到達できる。この場合 \(g^*\mathcal{F}\) は \(S\) 上普遍的に純粋であることに注意せよ。 Lemma 05K6 を参照せよ。

\(U \subset g(X')\) を \(x\) のアフィン開近傍とする。 \(\mathcal{F}|_U\) は \(U_s\) に沿って純粋であると主張する。これを証明すれば、 \(S\) を縮小した後 \(\mathcal{F}|_U\) は \(S\) に関して純粋となり、 Lemma 05MC, を参照せよ、その後の射影性は Proposition 05MD から従う。主張を証明するには、\((S, s)\) を任意の基本エタール近傍で置き換えた後、 ある \(s' \in S\) 上にあり \(s' \leadsto s\) を満たす \(\text{Ass}_{U/S}(\mathcal{F}|_U)\) の任意の点 \(\xi\) が \(U_s\) の点に 特殊化することを示さなければならない。\(U \subset g(X')\) なので、

\(g(\xi') = \xi\) を満たす \(\xi' \in X'\) をとれる。\(g^*\mathcal{F}\) は \(S\) 上純粋なので、Lemma 05L3 により、 ある特殊化 \(\xi' \leadsto x'\) が存在し、

\(x' \in \text{Ass}_{X'_s}(g^*\mathcal{F}_s)\) である。このとき \(g(x') \in \text{Ass}_{X_s}(\mathcal{F}_s)\) である（例えば、Noether スキームの エタール射 \(X'_s \to X_s\) に Lemma 05FP を適用せよ）。したがって、上での \(X\) の 選び方により \(g(x') \leadsto x\) である。\(x \in U\) なので \(g(x') \in U\) である。ゆえに望むとおり \(\xi = g(\xi') \leadsto g(x') \in U_s\) である。

次の補題は Lemma 05KZ の改善である。

補題

\(f : X \to S\) を局所有限型の射とする。\(\mathcal{F}\) を有限型準連接 \(\mathcal{O}_X\)-加群とする。\(x \in X\) とし、\(s = f(x) \in S\) とおく。

\(\mathcal{F}\) が \(x\) において \(S\) 上平坦ならば、アフィンな基本エタール近傍 \((S', s') \to (S, s)\) と、\(x' = (x, s')\) を含むアフィン開部分 \(U' \subset X \times_S \Spec(\mathcal{O}_{S', s'})\) が存在して、 \(\Gamma(U', \mathcal{F}|_{U'})\) は自由 \(\mathcal{O}_{S', s'}\)-加群となる。

証明

問題は \(X\) と \(S\) 上 Zariski 局所的である。したがって \(X\) と \(S\) はアフィンであると 仮定してよい。このとき \(S\) 上の閉埋め込み \(i : X \to \mathbf{A}^n_S\) をとれる。\(\mathbf{A}^n_S\) 上の層 \(i_*\mathcal{F}\) と点 \(i(x)\) について補題を証明すれば十分であることは明らかである。 こうして \(X \to S\) が有限表示である場合に帰着する。\(S\) を \(\Spec(\mathcal{O}_{S', s'})\) で、\(X\) を \(X \times_S \Spec(\mathcal{O}_{S', s'})\) の開部分で置き換えた後、 \(\mathcal{F}\) は有限表示であると仮定してよい。Proposition 05I5 を参照せよ。この場合、 Lemma 05ME および Algebra, Theorem 0593 から結論が従う。

補題

\(A \to B\) を、本質的有限型な局所環の局所準同型とする。 \(N\) を、\(A\)-加群として平坦な有限 \(B\)-加群とする。\(A\) が Hensel ならば、 \(N\) は自由 \(A\)-加群 \(F_i\) のフィルター余極限 \[N = \colim_i F_i\] であり、この系のすべての遷移写像 \(u_i : F_i \to F_{i'}\) が誘導する写像 \(\overline{u}_i : F_i/\mathfrak m_AF_i \to F_{i'}/\mathfrak m_AF_{i'}\) は単射である。また \(N\) は Mittag–Leffler \(A\)-加群である。

証明

\(S\) の閉点 \(s\) 上にある点 \(x \in X\) をもつ有限型射 \(X \to S = \Spec(A)\) と、\(A\)-加群として \(\mathcal{F}_x \cong N\) を満たす 有限型準連接 \(\mathcal{O}_X\)-加群 \(\mathcal{F}\) をとれる。\(X\) を縮小した後、 \(\text{Ass}_{X_s}(\mathcal{F}_s)\) の各点は \(x\) に特殊化すると仮定してよい。 Lemma 05MF により、\(x\) のアフィン開近傍からなる基本近傍系 \(U_i \subset X\) で、 \(\Gamma(U_i, \mathcal{F})\) が自由 \(A\)-加群 \(F_i\) となるものが存在する。 \(U_{i'} \subset U_i\) ならば、 \[F_i/\mathfrak m_AF_i = \Gamma(U_{i, s}, \mathcal{F}_s) \longrightarrow \Gamma(U_{i', s}, \mathcal{F}_s) = F_{i'}/\mathfrak m_AF_{i'}\] は単射であることに注意せよ。実際、核の切断があれば、その台は \(x\) と交わらない \(X_s\) の閉部分集合となり、上での \(X\) の選び方に矛盾する。写像 \(F_i \to F_{i'}\) は \(A\)-普遍単射なので （Lemma 05FQ）、Algebra, Lemma 0AS7 により \(N\) は Mittag–Leffler である。

初読時には次の補題を飛ばしてよい。

補題

\(A \to B\) を、本質的有限型な局所環の局所準同型とする。 \(N\) を、\(A\)-加群として平坦な有限 \(B\)-加群とする。\(A\) が付値環ならば、 \(N\) の任意の元は内容イデアル \(I \subset A\) をもつ （More on Algebra, Definition 0ASA）。さらに \(I\) は単項イデアルである。

証明

最後の主張は、 More on Algebra, Lemma 0ASB および Algebra, Lemma 090Q により \(I\) が有限生成イデアルであることから従う。

次に \(I\) の存在を証明する。\(A \subset A^h\) を Hensel 化とする。 \(B'\) を \(B \otimes_A A^h\) の極大イデアル

\(\mathfrak m_B \otimes A^h + B \otimes \mathfrak m_{A^h}\) における局所化とする。このとき \(B \to B'\) は平坦、したがって忠実平坦である。 \(N' = N \otimes_B B'\) とおく。\(x \in N\) をとり、その像を \(x' \in N'\) とする。 イデアル \(I \subset A\) に対して \(x \in IN \Leftrightarrow x' \in IN'\) が成り立つと主張する。 実際、\(N/IN \to N'/IN'\) は \(B \to B'\) と \(N/IN\) のテンソル積であり、 Algebra, Lemma 05CK により \(B \to B'\) は普遍単射である。More on Algebra, Lemma 0ASK および Algebra, Lemma 00IH により、写像 \(A \to A^h\) はイデアルの集合上に包含関係を保つ全単射 \(I \mapsto IA^h\) を定める。したがって \(x\) が \(A\) において内容イデアルをもつことと、 \(x'\) が \(A^h\) において内容イデアルをもつことは同値である。 \(x' \in N'\) に対する主張は Lemma 05U7 および Algebra, Lemma 0AS6 から従う。

応用として次を得る。

補題

\(R\) を付値環とし、\(X \to \Spec(R)\) を固有平坦射とする。特殊ファイバーが 被約ならば、\(X\) および \(X \to \Spec(R)\) のすべてのファイバーは被約である。

証明

特殊ファイバー \(X_s\) は被約であると仮定する。任意の点 \(x \in X\) をとり、 \(\mathcal{O}_{X, x}\) が被約であることを示そう。これにより \(X\) が被約であることが 証明される。\(x'\) が特殊ファイバーに属するような特殊化 \(x \leadsto x'\) をとる。固有射は閉写像なので、そのような特殊化は存在する。 局所環 \(A = \mathcal{O}_{X, x'}\) を考える。\(\mathcal{O}_{X, x}\) は \(A\) の局所化なので、 \(A\) が被約であることを示せば十分である。非零元 \(a \in A\) をとり、 \(I = (\pi) \subset R\) をその内容イデアルとする。Lemma 0ASX を参照せよ。 このとき \(a = \pi a'\) であり、\(a'\) は \(A/\mathfrak mA\) の非零元に写る。ただし \(\mathfrak m \subset R\) は極大イデアルである。\(A\) は \(R\) 上平坦なので \(\pi\) は非零因子であり、\(a\) が冪零ならば \(a'\) も冪零である。 しかし \(a'\) は被約環 \(A/\mathfrak m A = \mathcal{O}_{X_s, x'}\) の非零元に写る。 \(A\) が被約でなければこれは矛盾であり、望む主張が従う。

もちろん、\(X\) が被約ならば \(R\) 上の \(X\) の生成ファイバーも被約である。 \(\mathfrak p \subset R\) を素イデアルとすると、Algebra, Lemma 088Y により \(R/\mathfrak p\) は付値環である。したがって \(X\) の \(R/\mathfrak p\) への 基底変換について同じ議論を行えば、\(\mathfrak p\) 上のファイバーは被約である。

平坦化関手

スキーム \(S\) をとる。関手 \(F : (\Sch/S)^{opp} \to \textit{Sets}\) が極限保存であるとは、 極限 \(T\) をもつアフィンスキームの任意の有向逆系 \(\{T_i\}_{i \in I}\) に対して \(F(T) = \colim_i F(T_i)\) が成り立つことをいう。

設定

スキームの射 \(f : X \to S\) をとる。 準連接 \(\mathcal{O}_X\) 加群の準同型 \(u : \mathcal{F} \to \mathcal{G}\) をとる。\(S\) 上の任意のスキーム \(T\) に対し、 \(u\) の \(T\) への基底変換を \(u_T : \mathcal{F}_T \to \mathcal{G}_T\) と書く。 すなわち、\(u_T\) は射影 \(X_T = X \times_S T \to X\) による \(u\) の引き戻しである。 この状況では関手 [05MI]\[\begin{equation} F_{iso} : (\Sch/S)^{opp} \longrightarrow \textit{Sets}, \quad T \longrightarrow \left\{ \begin{matrix} \{*\} & \text{if} & u_T \text{ が同型である}, \\ \emptyset & \text{otherwise.} & \end{matrix} \right. \end{equation}\] を考えることができる。\(u_T\) がそれぞれ単射、全射、または零であることを 要求して得られる変種を \(F_{inj}\)、\(F_{surj}\)、\(F_{zero}\) と書く。

補題

状況 05MH において、次が成り立つ。

1. 関手 \(F_{iso}\)、\(F_{inj}\)、\(F_{surj}\)、\(F_{zero}\) はいずれも fpqc 位相に関する層条件を満たす。

2. \(f\) が準コンパクトで \(\mathcal{G}\) が有限型ならば、 \(F_{surj}\) は極限保存である。

3. \(f\) が準コンパクトで \(\mathcal{F}\) が有限型ならば、 \(F_{zero}\) は極限保存である。

4. \(f\) が準コンパクト、\(\mathcal{F}\) が有限型、かつ \(\mathcal{G}\) が有限表示ならば、\(F_{iso}\) は極限保存である。

証明

\(\{T_i \to T\}_{i \in I}\) を \(S\) 上のスキームの fpqc 被覆とする。 \(X_i = X_{T_i} = X \times_S T_i\) および \(u_i = u_{T_i}\) とおく。 \(\{X_i \to X_T\}_{i \in I}\) は \(X_T\) の fpqc 被覆である (Topologies, Lemma 022D を参照)。 とくに、任意の \(x \in X_T\) に対して、\(x\) に写る \(x_i \in X_i\) と \(i \in I\) が存在する。写像 \(\mathcal{O}_{X_T, x} \to \mathcal{O}_{X_i, x_i}\) は平坦であり、したがって 忠実平坦である (Algebra, Lemma 00HR を参照)。 ゆえに、\((u_i)_{x_i}\) が単射、全射、全単射、または零であることと、 \((u_T)_x\) がそれぞれ単射、全射、全単射、または零であることとは同値である。 これで補題の (1) が従う。

証明の (2)。\(f\) が準コンパクトで \(\mathcal{G}\) が有限型であると仮定する。 \(T = \lim_{i \in I} T_i\) をアフィン \(S\)-スキームの有向極限とし、 \(u_T\) が全射であると仮定する。 \(X_i = X_{T_i} = X \times_S T_i\) および \(u_i = u_{T_i} : \mathcal{F}_i = \mathcal{F}_{T_i} \to \mathcal{G}_i = \mathcal{G}_{T_i}\) とおく。 (2) を証明するには、ある \(i\) に対して \(u_i\) が全射であることを示せばよい。 \(i_0 \in I\) を一つ選び、\(I\) を \(\{i \mid i \geq i_0\}\) で置き換える。 \(f\) は準コンパクトなので、スキーム \(X_{i_0}\) は準コンパクトである。 したがって、アフィン開集合 \(W_1, \ldots, W_m \subset X\) と、 射影 \(X_{i_0} \to X\) によって \(U_{j, i_0}\) が \(W_j\) の中へ写るような アフィン開被覆 \(X_{i_0} = U_{1, i_0} \cup \ldots \cup U_{m, i_0}\) を選べる。 任意の \(i \in I\) に対して \(U_{j, i}\) を \(U_{j, i_0}\) の逆像とする。 \(U_j = \lim_i U_{j, i}\) とおけば、 \(X_T = U_1 \cup \ldots \cup U_m\) は \(X_T\) のアフィン開被覆である。 したがって、各 \(j \in \{1, \ldots, m\}\) に対して、ある \(i = i(j) \in I\) で \(u_i|_{U_{j, i}}\) が全射となることを示せば十分である。 Properties, Lemma 01PB を用いると、 これは次の代数の問題に翻訳される。 \(A\) を環とし、\(u : M \to N\) を \(A\)-加群写像とする。 \(R = \colim_{i \in I} R_i\) が \(A\)-代数の有向余極限であるとする。 \(N\) が有限 \(A\)-加群で、 \(u \otimes 1 : M \otimes_A R \to N \otimes_A R\) が全射ならば、 ある \(i\) に対して写像 \(u \otimes 1 : M \otimes_A R_i \to N \otimes_A R_i\) は全射である。 これは Algebra, Lemma 05LI の (2) である。

証明の (3)。(2) の証明とまったく同じ議論により、 これは次の代数の問題に帰着する。 \(A\) を環とし、\(u : M \to N\) を \(A\)-加群写像とする。 \(R = \colim_{i \in I} R_i\) が \(A\)-代数の有向余極限であるとする。 \(M\) が有限 \(A\)-加群で、 \(u \otimes 1 : M \otimes_A R \to N \otimes_A R\) が零ならば、 ある \(i\) に対して写像 \(u \otimes 1 : M \otimes_A R_i \to N \otimes_A R_i\) は零である。 これは Algebra, Lemma 05LI の (1) である。

証明の (4)。

\(f\) が準コンパクトで \(\mathcal{F}, \mathcal{G}\) が有限表示であると仮定する。 直前の段落とまったく同様に議論すると (さらに Properties, Lemma 01PC も用いる)、

(3) は次の代数の主張に翻訳される。 \(A\) を環とし、\(u : M \to N\) を \(A\)-加群写像とする。 \(R = \colim_{i \in I} R_i\) が \(A\)-代数の有向余極限であるとする。 \(M\) が有限 \(A\)-加群、\(N\) が有限表示の \(A\)-加群で、 \(u \otimes 1 : M \otimes_A R \to N \otimes_A R\) が同型であると仮定する。 このとき、ある \(i\) に対して写像 \(u \otimes 1 : M \otimes_A R_i \to N \otimes_A R_i\) は同型である。 これは Algebra, Lemma 05LI の (3) である。

設定

\((A, \mathfrak m_A)\) を局所環とする。 次の圏を \(\mathcal{C}\) と書く。その対象は、局所環である \(A\)-代数 \(A'\) で、 代数構造 \(A \to A'\) が局所環の局所準同型となるものである。 \(\mathcal{C}\) の対象 \(A', A''\) の間の射は、\(A\)-代数の局所準同型 \(A' \to A''\) とする。 \(A \to B\) を局所環の局所環写像とし、\(M\) を \(B\)-加群とする。 \(A'\) が \(\mathcal{C}\) の対象ならば \(B' = B \otimes_A A'\) とおき、 \(M' = M \otimes_A A'\) を \(B'\)-加群とみなす。 \(A' \in \Ob(\mathcal{C})\) に対し、条件 [05ML]\[\begin{equation} \forall \mathfrak q \in V(\mathfrak m_{A'}B' + \mathfrak m_B B') \subset \Spec(B') : M'_{\mathfrak q}\text{ は }A'\text{ 上平坦である}. \end{equation}\] を考える。これは More on Algebra, Equation (05LQ) と類似していることに注意する。 とくに、\(A' \to A''\) が \(\mathcal{C}\) の射で、 (05ML) が \(A'\) に対して成り立つならば、 \(A''\) に対しても成り立つ (More on Algebra, Lemma 05LR を参照)。 したがって関手 [05MM]\[\begin{equation} F_{lf} : \mathcal{C} \longrightarrow \textit{Sets}, \quad A' \longrightarrow \left\{ \begin{matrix} \{*\} & \text{if }(\href{flat.html#flat-equation-flat-at-primes}{05ML})\text{ が成り立つ}, \\ \emptyset & \text{otherwise.} & \end{matrix} \right. \end{equation}\] を得る。

補題

状況 05MK において、次が成り立つ。

1. \(A' \to A''\) が \(\mathcal{C}\) の平坦射ならば、 \(F_{lf}(A') = F_{lf}(A'')\) である。

2. \(A \to B\) が本質的に有限表示で、\(M\) が有限表示の \(B\)-加群ならば、 \(F_{lf}\) は極限保存である。すなわち、\(\{A_i\}_{i \in I}\) が \(\mathcal{C}\) の対象の有向系ならば、 \(F_{lf}(\colim_i A_i) = \colim_i F_{lf}(A_i)\).

証明

(1) は More on Algebra, Lemma 05LS の特別な場合である。 (2) は More on Algebra, Lemma 05LT の特別な場合である。

補題

状況 05MK において、

\(B \to C\) を局所 \(A\)-代数の局所写像とし、\(N\) を \(C\)-加群とする。 組 \((C, N)\) に対応する関手を \(F'_{lf} : \mathcal{C} \to \textit{Sets}\) と書く。 \(B\)-加群として \(M \cong N\) であり \(B \to C\) が有限ならば、 \(F_{lf} = F'_{lf}\).

証明

\(A'\) を \(\mathcal{C}\) の対象とする。状況 05MK における \(B'\)、\(M'\) の定義と同様に、\(C' = C \otimes_A A'\) および \(N' = N \otimes_A A'\) とおく。 \(B'\)-加群として \(M' \cong N'\) であることに注意する。 \(B \to C\) が有限であるという仮定から、(a) \(\mathfrak m_C = \sqrt{\mathfrak m_B C}\) および (b) \(B' \to C'\) が有限であることが従う。(a) より \[V(\mathfrak m_{A'}C' + \mathfrak m_C C') = \left( \Spec(C') \to \Spec(B') \right)^{-1}V(\mathfrak m_{A'}B' + \mathfrak m_B B').\]

\(\mathfrak q \subset V(\mathfrak m_{A'}B' + \mathfrak m_B B')\) と仮定する。 \(M'_{\mathfrak q}\) が \(A'\) 上平坦であることと、\(C'_{\mathfrak q}\)-加群 \(N'_{\mathfrak q}\) が \(A'\) 上平坦であることとは同値であり (両者は \(A'\)-加群として同型だからである)、さらにこれは、 \(C'_{\mathfrak q}\) の任意の極大イデアル \(\mathfrak r\) に対して \(N'_{\mathfrak r}\) が \(A'\) 上平坦であることと同値である (Algebra, Lemma 00HT を参照)。 (b) により \(B'_{\mathfrak q} \to C'_{\mathfrak q}\) は有限なので、 \(C'_{\mathfrak q}\) の極大イデアルは \(\mathfrak q\) の上にある \(C'\) の素イデアルと ちょうど対応する (Algebra, Lemma 00GU を参照)。また、上の表示式により、 これらの素イデアルはすべて \(V(\mathfrak m_{A'}C' + \mathfrak m_C C')\) に含まれる。 したがって補題の結論が成り立つ。

補題

状況 05MK において、 \(B \to C\) が局所環の平坦な局所準同型であると仮定する。 \(N = M \otimes_B C\) とおく。組 \((C, N)\) に対応する関手を \(F'_{lf} : \mathcal{C} \to \textit{Sets}\) と書く。このとき \(F_{lf} = F'_{lf}\) である。

証明

\(A'\) を \(\mathcal{C}\) の対象とする。状況 05MK における \(B'\)、\(M'\) の定義と同様に、\(C' = C \otimes_A A'\) および \(N' = N \otimes_A A' = M' \otimes_{B'} C'\) とおく。ここで \[V(\mathfrak m_{A'}B' + \mathfrak m_B B') = \Spec( \kappa(\mathfrak m_B) \otimes_A \kappa(\mathfrak m_{A'}) )\] であり、\(V(\mathfrak m_{A'}C' + \mathfrak m_C C')\) についても同様である。 環写像 \[\kappa(\mathfrak m_B) \otimes_A \kappa(\mathfrak m_{A'}) \longrightarrow \kappa(\mathfrak m_C) \otimes_A \kappa(\mathfrak m_{A'})\] は忠実平坦である。したがって \(V(\mathfrak m_{A'}C' + \mathfrak m_C C') \to V(\mathfrak m_{A'}B' + \mathfrak m_B B')\) は全射である。 最後に、\(\mathfrak r \in V(\mathfrak m_{A'}C' + \mathfrak m_C C')\) が \(\mathfrak q \in V(\mathfrak m_{A'}B' + \mathfrak m_B B')\) に写るならば、 \(B' \to C'\) は平坦なので、\(M'_{\mathfrak q}\) が \(A'\) 上平坦であることと \(N'_{\mathfrak r}\) が \(A'\) 上平坦であることとは同値である (Algebra, Lemma 0584 を参照)。 これらの考察から補題は形式的に従う。

設定

\(f : X \to S\) を幾何学的既約ファイバーをもつ滑らかな射とする。 \(\mathcal{F}\) を有限型の準連接 \(\mathcal{O}_X\)-加群とする。 \(S\) 上の任意のスキーム \(T\) に対して、\(\mathcal{F}\) の \(T\) への基底変換を \(\mathcal{F}_T\) と書く。すなわち、\(\mathcal{F}_T\) は射影 \(X_T = X \times_S T \to X\) による \(\mathcal{F}\) の引き戻しである。 \(X_T \to T\) は幾何学的既約ファイバーをもつ滑らかな射であることに注意する (Morphisms, Lemma 01VB および More on Morphisms, Lemma 0555 を参照)。 \(p \geq 0\) を整数とする。点 \(t \in T\) に対して条件 [05MQ]\[\begin{equation} \mathcal{F}_T \text{ は }\xi_t\text{ の近傍で階数 }p\text{ の自由加群である} \end{equation}\] を考える。ここで \(\xi_t\) はファイバー \(X_t\) の生成点である。 すべての \(t \in T\) に対するこの条件は基底変換で安定なので、関手 [05MR]\[\begin{equation} H_p : (\Sch/S)^{opp} \longrightarrow \textit{Sets}, \quad T \longrightarrow \left\{ \begin{matrix} \{*\} & \text{if }\mathcal{F}_T\text{ が (\href{flat.html#flat-equation-free-at-generic-point-fibre}{05MQ}) を満たす }\forall t\in T, \\ \emptyset & \text{otherwise.} \end{matrix} \right. \end{equation}\] を得る。

補題

状況 05MP において、次が成り立つ。

1. 関手 \(H_p\) は fpqc 位相に関する層条件を満たす。

2. \(\mathcal{F}\) が有限表示ならば、関手 \(H_p\) は極限保存である。

証明

\(\{T_i \to T\}_{i \in I}\) を \(S\) 上のスキームの fpqc¹ 被覆とする。 \(X_i = X_{T_i} = X \times_S T_i\) とおき、\(\mathcal{F}\) の \(X_i\) への 引き戻しを \(\mathcal{F}_i\) と書く。すべての \(i\) に対して \(\mathcal{F}_i\) が (05MQ) を満たすと仮定する。 \(t \in T\) を選び、\(X_t\) の生成点を \(\xi_t \in X_T\) と書く。

\(\mathcal{F}\) が \(\xi_t\) の近傍で自由であることを示さなければならない。

ある \(i \in I\) に対して、\(t\) に写る \(t_i \in T_i\) を選べる。 \(X_{t_i}\) の生成点を \(\xi_i \in X_i\) と書くと、\(\xi_i\) は \(\xi_t\) に写る。 \(\mathcal{F}_i\) が \(\xi_i\) の近傍で階数 \(p\) の自由加群であることから、

\((\mathcal{F}_i)_{x_i} \cong \mathcal{O}_{X_i, x_i}^{\oplus p}\) が従い、さらに \(\mathcal{F}_{T, \xi_t} \cong \mathcal{O}_{X_T, \xi_t}^{\oplus p}\) が従う。実際、\(\mathcal{O}_{X_T, \xi_t} \to \mathcal{O}_{X_i, x_i}\) は 平坦である (例えば Algebra, Lemma 00O1 を参照)。 したがって、\(X_T\) における \(\xi_t\) のアフィン近傍 \(U\) と全射 \(\mathcal{O}_U^{\oplus p} \to \mathcal{F}_U = \mathcal{F}_T|_U\) が存在する (Modules, Lemma 01B8 を参照)。 \(T\) を縮小することにより、\(U \to T\) が全射であると仮定してよい。 したがって \(U \to T\) は、幾何学的既約ファイバーをもつアフィンスキーム間の 滑らかな射である。さらに、任意の \(t' \in T\) に対して誘導される写像 \[\alpha : \mathcal{O}_{U, \xi_{t'}}^{\oplus p} \longrightarrow \mathcal{F}_{U, \xi_{t'}}\] は同型である (先と同じ議論により、右辺の加群は階数 \(p\) の自由加群だからである)。 Lemma 05I3 から、任意の \(t' \in T\) に対して \[\Gamma(U, \mathcal{O}_U^{\oplus p}) \otimes_{\Gamma(T, \mathcal{O}_T)} \mathcal{O}_{T, t'} \longrightarrow \Gamma(U, \mathcal{F}_U) \otimes_{\Gamma(T, \mathcal{O}_T)} \mathcal{O}_{T, t'}\] は単射である。したがって全射 \(\alpha\) は同型である。これで (1) の証明が完了する。

\(\mathcal{F}\) が有限表示であると仮定する。 \(T = \lim_{i \in I} T_i\) をアフィン \(S\)-スキームの有向極限とし、 \(\mathcal{F}_T\) が (05MQ) を 満たすと仮定する。 \(X_i = X_{T_i} = X \times_S T_i\) とおき、\(\mathcal{F}\) の \(X_i\) への 引き戻しを \(\mathcal{F}_i\) と書く。 \(\mathcal{F}_T\) が \(T\) 上平坦となる点からなる開部分スキームを \(U \subset X_T\) と書く (More on Morphisms, Theorem 0399 を参照)。 仮定により、各ファイバーのすべての生成点は \(U\) に属する。すなわち、 \(U \to T\) は幾何学的既約ファイバーをもつ滑らかな全射である。 \(U\) を少し縮小して、\(U\) が準コンパクトであると仮定してよい。 Limits, Lemma 01Z4 を用いると、 \(X_T\) における逆像が \(U\) となる準コンパクト開集合 \(U_i \subset X_i\) と \(i \in I\) を見つけられる。\(i\) を大きくすることにより、 \(\mathcal{F}_i|_{U_i}\) が \(T_i\) 上平坦であると仮定してよい (Limits, Lemma 05LY を参照)。 とくに \(\mathcal{F}_i|_{U_i}\) は有限局所自由であり、したがって局所定数な 階数関数 \(\rho : U_i \to \{0, 1, 2, \ldots \}\) を定める。 \(\rho\) が値 \(p\) をとる開閉部分集合を \((U_i)_p \subset U_i\) と書く。 \((U_i)_p\) の像を \(V_i \subset T_i\) とする。\(V_i\) は開かつ準コンパクトである。 仮定により、\(T \to T_i\) の像は \(V_i\) に含まれる。 したがって Limits, Lemma 01Z4 により、 \(T_{i'} \to T_i\) が \(V_i\) を経由するような \(i' \geq i\) が存在する。 すると望んだとおり \(\mathcal{F}_{i'}\) は (05MQ) を満たす。 いくつかの詳細は省略する。

補題

\(f : X \to S\) を局所有限型なスキームの射とする。 \(\mathcal{F}\) を有限型の準連接 \(\mathcal{O}_X\)-加群とする。 \(n \geq 0\) とする。次の条件は同値である。

1. \(s \in S\) に対し、\(\mathcal{F}\) が \(S\) 上平坦でない点からなる 閉部分集合 \(Z \subset X_s\) (Lemma 05M9 を参照) は \(\dim(Z) < n\) を満たす。

2. \(\mathcal{F}\) が \(x\) で \(S\) 上平坦でないような \(x \in X\) に対して \(\text{trdeg}_{\kappa(f(x))}(\kappa(x)) < n\) が成り立つ。

これらが成り立つならば、任意の基底変換の後にも成り立つ。

証明

\(x \in X\) を \(s \in S\) 上の点とする。 Varieties, Lemma 0A21 により、 \(X_s\) における \(\{x\}\) の閉包の次元は \(\text{trdeg}_{\kappa(s)}(\kappa(x))\) である。 逆に、\(Z \subset X_s\) が次元 \(d\) の閉部分集合ならば、 \(\text{trdeg}_{\kappa(s)}(\kappa(x)) = d\) を満たす点 \(x \in Z\) が存在する (同じ参照先)。したがって (1) と (2) は同値である (実際、ファイバーごとに同値である)。基底変換に関する主張は Morphisms, Lemmas 01U8 および 02FY から従う。

定義

\(f : X \to S\) を局所有限型なスキームの射とする。 \(\mathcal{F}\) を有限型の準連接 \(\mathcal{O}_X\)-加群とする。 \(n \geq 0\) とする。Lemma 0CWF の同値な条件が 満たされるとき、\(\mathcal{F}\) は次元 \(\geq n\) で \(S\) 上平坦である という。

設定

\(f : X \to S\) を局所有限型なスキームの射とする。 \(\mathcal{F}\) を有限型の準連接 \(\mathcal{O}_X\)-加群とする。 \(S\) 上の任意のスキーム \(T\) に対して、\(\mathcal{F}\) の \(T\) への基底変換を \(\mathcal{F}_T\) と書く。すなわち、\(\mathcal{F}_T\) は射影 \(X_T = X \times_S T \to X\) による \(\mathcal{F}\) の引き戻しである。

\(X_T \to T\) は有限型であり、\(\mathcal{F}_T\) は有限型の \(\mathcal{O}_{X_T}\)-加群であることに注意する (Morphisms, Lemma 01T4 および Modules, Lemma 01B6)。 \(n \geq 0\) とする。Definition 0CWG および Lemma 0CWF により、関手 [05MU]\[\begin{equation} F_n : (\Sch/S)^{opp} \longrightarrow \textit{Sets}, \quad T \longrightarrow \left\{ \begin{matrix} \{*\} & \text{if }\mathcal{F}_T\text{ は }T\text{ 上 }\dim \geq n\text{ で平坦}, \\ \emptyset & \text{otherwise.} \end{matrix} \right. \end{equation}\] を得る。

補題

状況 05MT において、次が成り立つ。

1. 関手 \(F_n\) は fpqc 位相に関する層条件を満たす。

2. \(f\) が準コンパクトかつ局所有限表示で、\(\mathcal{F}\) が有限表示ならば、 関手 \(F_n\) は極限保存である。

証明

\(\{T_i \to T\}_{i \in I}\) を \(S\) 上のスキームの fpqc 被覆とする。 \(X_i = X_{T_i} = X \times_S T_i\) とおき、\(\mathcal{F}\) の \(X_i\) への 引き戻しを \(\mathcal{F}_i\) と書く。すべての \(i\) に対して \(\mathcal{F}_i\) が次元 \(\geq n\) で \(T_i\) 上平坦であると仮定する。 \(t \in T\) とする。添字 \(i\) と、\(t\) に写る点 \(t_i \in T_i\) を選ぶ。 Cartesian 図式 \[\xymatrix{ X_{\Spec(\mathcal{O}_{T, t})} \ar[d] & X_{\Spec(\mathcal{O}_{T_i, t_i})} \ar[d] \ar[l] \\ \Spec(\mathcal{O}_{T, t}) & \Spec(\mathcal{O}_{T_i, t_i}) \ar[l] }\] を考える。下の水平射は平坦なので、More on Morphisms, Lemma 047C により、 \(\mathcal{F}_i\) が \(T_i\) 上平坦でない点からなる集合 \(Z_i \subset X_{t_i}\) と、\(\mathcal{F}_T\) が \(T\) 上平坦でない点からなる集合 \(Z \subset X_t\) は \(Z_i = Z_{\kappa(t_i)}\) という関係にある。 したがって Morphisms, Lemma 02FY により、 \(\mathcal{F}_T\) は次元 \(\geq n\) で \(T\) 上平坦である。

\(f\) が準コンパクトかつ局所有限表示で、\(\mathcal{F}\) が有限表示であると仮定する。 この段落では、まず (2) の証明を \(f\) が有限表示である場合に帰着させる。 \(T = \lim_{i \in I} T_i\) をアフィン \(S\)-スキームの有向極限とし、 \(\mathcal{F}_T\) が次元 \(\geq n\) で平坦であると仮定する。 \(X_i = X_{T_i} = X \times_S T_i\) とおき、\(\mathcal{F}\) の \(X_i\) への 引き戻しを \(\mathcal{F}_i\) と書く。ある \(i\) に対して \(\mathcal{F}_i\) が 次元 \(\geq n\) で平坦であることを示さなければならない。 \(i_0 \in I\) を選び、\(I\) を \(\{i \mid i \geq i_0\}\) で置き換える。 \(T_{i_0}\) はアフィン (したがって準コンパクト) なので、有限個のアフィン開集合 \(W_j \subset S\)、\(j = 1, \ldots, m\) と、\(T_{i_0} \to S\) が各 \(V_{j, i_0}\) を \(W_j\) の中へ写すようなアフィン開被覆

\(T_{i_0} = \bigcup_{j = 1, \ldots, m} V_{j, i_0}\) が存在する。 \(i \geq i_0\) に対して、\(T_i\) における \(V_{j, i_0}\) の逆像を \(V_{j, i}\) と書く。各 \(j\) に対して、ある \(i\) で

\(\mathcal{F}_{V_{j, i_0}}\) が次元 \(\geq n\) で平坦となることを示せればよい。 こうして \(S\) がアフィンである場合に帰着する。この場合 \(X\) は準コンパクトなので、 有限アフィン開被覆 \(X = W_1 \cup \ldots \cup W_m\) を選べる。 このとき \((X \to S, \mathcal{F})\) に対する結果は \((\coprod W_j, \coprod \mathcal{F}|_{W_j})\) に対する結果と同値である。 したがって \(f\) が有限表示であると仮定してよい。

\(f\) と \(\mathcal{F}\) が有限表示であると仮定する。 \(\mathcal{F}_T\) が \(T\) 上平坦となる点からなる開部分スキームを \(U \subset X_T\) と書く (More on Morphisms, Theorem 0399 を参照)。 仮定により、\(Z = X_T \setminus U\) の \(T\) 上の各ファイバーの次元は \(< n\) である。 Limits, Lemma 05M6 により、 すべての \(t \in T\) に対して \(\dim(Z'_t) < n\) であり、かつ \(Z' \to X_T\) が有限表示となる閉部分スキーム \(Z \subset Z' \subset X_T\) を見つけられる。 Limits, Lemmas 01ZM および 01ZP により、 \(T\) への基底変換が \(Z'\) となる有限表示の閉部分スキーム \(Z'_i \subset X_i\) と \(i \in I\) が存在する。 Limits, Lemma 05M5 により、 \(Z'_i \to T_i\) のすべてのファイバーの次元が \(< n\) であると仮定してよい。 Limits, Lemma 05LY により、

\(\mathcal{F}_i|_{X_i \setminus T'_i}\) が \(T_i\) 上平坦であると仮定してよい。 これは \(\mathcal{F}_i\) が次元 \(\geq n\) で平坦であることを意味する。 ここで \(Z' \to X_T\) が有限表示であり、したがって補集合 \(X_T \setminus Z'\) が準コンパクトであることを用いる。 以上で (2) が証明され、補題の証明が完了する。

設定

\(f : X \to S\) をスキームの射とする。 \(\mathcal{F}\) を準連接 \(\mathcal{O}_X\)-加群とする。 \(S\) 上の任意のスキーム \(T\) に対して、\(\mathcal{F}\) の \(T\) への基底変換を \(\mathcal{F}_T\) と書く。すなわち、\(\mathcal{F}_T\) は射影 \(X_T = X \times_S T \to X\) による \(\mathcal{F}\) の引き戻しである。 平坦加群の基底変換は平坦なので、関手 [05MX]\[\begin{equation} F_{flat} : (\Sch/S)^{opp} \longrightarrow \textit{Sets}, \quad T \longrightarrow \left\{ \begin{matrix} \{*\} & \text{if } \mathcal{F}_T \text{ は }T\text{ 上平坦}, \\ \emptyset & \text{otherwise.} \end{matrix} \right. \end{equation}\] を得る。

補題

状況 05MW において、次が成り立つ。

1. 関手 \(F_{flat}\) は fpqc 位相に関する層条件を満たす。

2. \(f\) が準コンパクトかつ局所有限表示で、\(\mathcal{F}\) が有限表示ならば、 関手 \(F_{flat}\) は極限保存である。

証明

(1) は次の主張から従う。\(T' \to T\) が \(S\) 上のスキームの平坦な全射ならば、 \(\mathcal{F}_{T'}\) が \(T'\) 上平坦であることと \(\mathcal{F}_T\) が \(T\) 上平坦で あることとは同値である (More on Morphisms, Lemma 047C を参照)。 (2) は、\(X\) と \(S\) がアフィンである場合に帰着した後、Limits, Lemma 05LY から従う (Lemma 05MV の証明と比較せよ)。

平坦化層別

ここでは定義だけを述べる。

「一般平坦性による層別化」を探している読者は More on Morphisms, Section 0H3Y を参照されたい。

定義

\(X \to S\) をスキームの射とする。 \(\mathcal{F}\) を準連接 \(\mathcal{O}_X\)-加群とする。 状況 05MW で定義した関手 \(F_{flat}\) が \(S\) 上のスキーム \(S'\) によって表現可能であるとき、\(\mathcal{F}\) の普遍平坦化が存在する という。\(\mathcal{O}_X\) の普遍平坦化が存在するとき、 \(X\) の普遍平坦化が存在するという。

\(\mathcal{F}\) の普遍平坦化 \(S'\)² が存在するならば、射 \(S' \to S\) はスキームの 全射なモノ射であり、\(\mathcal{F}_{S'}\) は \(S'\) 上平坦であることに注意する。 さらに、射 \(T \to S\) が \(S'\) を経由することと、\(\mathcal{F}_T\) が \(T\) 上平坦であることとは同値である。

例

\(k\) を体とし、\(X = S = \Spec(k[x, y])\) とする。 \(M = k[x, x^{-1}, y]/(y)\) として \(\mathcal{F} = \widetilde{M}\) とおく。 \(k[x, y]\)-代数 \(A\) に対して \(F_{flat}(A) = F_{flat}(\Spec(A))\) とおく。 このとき、すべての \(n\) に対して \(F_{flat}(k[x, y]/(x, y)^n) = \{*\}\) である一方、 \(F_{flat}(k[[x, y]]) = \emptyset\) である。これは \(F_{flat}\) が表現可能でない ことを意味する (代数空間によってさえ表現可能でない。Formal Spaces, Lemma 0AQH を参照)。 したがって、この場合には普遍平坦化は存在しない。

(Topology, Remark 09Y2 と比較せよ。) スキーム \(S\) の (局所有限でスキーム論的な) 層別化を、 半順序集合 \(I\) で添字づけられた閉部分スキーム \(Z_i \subset S\) であって、 \(S = \bigcup Z_i\) が集合論的に成り立ち、\(S\) の各点が有限個の \(Z_i\) としか 交わらない近傍をもち、かつ \[Z_i \cap Z_j = \bigcup\nolimits_{k \leq i, j} Z_k.\] \(S_i = Z_i \setminus \bigcup_{j < i} Z_j\) とおくと、実際の層別化は 局所閉部分スキームへの分解 \(S = \coprod S_i\) である。 しばしば層 \(S_i\) だけを示し、閉部分スキーム \(Z_i\) の構成は読者に委ねる。 層別化が与えられると、モノ射 \[S' = \coprod\nolimits_{i \in I} S_i \longrightarrow S.\] を得る。これを層別化に付随するモノ射と呼ぶ。 この用語を用いて、平坦化層別をもつことの意味を定義できる。

定義

\(X \to S\) をスキームの射とする。 \(\mathcal{F}\) を準連接 \(\mathcal{O}_X\)-加群とする。 状況 05MW で定義した関手 \(F_{flat}\) が、\(S\) の局所閉部分スキーム による層別化に付随するモノ射 \(S' \to S\) によって表現可能であるとき、 \(\mathcal{F}\) は平坦化層別をもつという。 \(\mathcal{O}_X\) が平坦化層別をもつとき、\(X\) は平坦化層別をもつという。

平坦化層別が存在するとき、層を添字づける集合とその半順序を理解することが しばしば重要である。これは加群の階数と関係することが多い。例えば、 \(X = S\) で \(\mathcal{F}\) が有限表示の \(\mathcal{O}_S\)-加群ならば、 平坦化層別は存在し、\(\mathcal{F}\) の Fitting イデアルによって与えられる (Divisors, Lemma 05P9 を参照)。

Artin 環上の平坦化層別

基底スキームが Artin 環のスペクトルであるとき、平坦化層別は存在する。

補題

\(S\) を Artin 環のスペクトルとする。

\(S\) 上の任意のスキーム \(X\) と任意の準連接 \(\mathcal{O}_X\)-加群に対して、 普遍平坦化が存在する。実際、普遍平坦化は閉埋め込み \(S' \to S\) によって 与えられ、したがって \(\mathcal{F}\) の平坦化層別でもある。

証明

アフィン開被覆 \(X = \bigcup U_i\) を選ぶ。 このとき \(F_{flat}\) は各組 \((U_i, \mathcal{F}|_{U_i})\) に対応する関手の 積である。したがって、各 \((U_i, \mathcal{F}|_{U_i})\) について結果を 証明すれば十分である。アフィンの場合、補題は More on Algebra, Lemma 0525 から直ちに従う。

写像の平坦化

Theorem 05PF は、この先の平坦化に関する主張の鍵である。

補題

\(S\) をスキームとする。 \(g : X' \to X\) を \(S\) 上のスキームの平坦射とし、\(X\) は \(S\) 上局所有限型で あるとする。\(\mathcal{F}\) を \(S\) 上平坦な有限型準連接 \(\mathcal{O}_X\)-加群とする。\(\text{Ass}_{X/S}(\mathcal{F}) \subset g(X')\) ならば、標準写像 \[\mathcal{F} \longrightarrow g_*g^*\mathcal{F}\] は単射であり、任意の基底変換の後にも単射のままである。

証明

最後の主張は、任意の射 \(T \to S\) に対して \(\mathcal{F}_T \to (g_T)_*g_T^*\mathcal{F}_T\) が単射であることを意味する。 仮定 \(\text{Ass}_{X/S}(\mathcal{F}) \subset g(X')\) は基底変換で保たれる (Divisors, Lemma 05DC および Remark 05KL を参照)。 平坦性と有限型の仮定についても同様である。 したがって、表示した矢印が単射であることを証明すれば十分である。 \(\mathcal{K} = \Ker(\mathcal{F} \to g_*g^*\mathcal{F})\) とおく。 \(\mathcal{K} = 0\) を示すことが目標である。そのためには \(\text{WeakAss}_X(\mathcal{K}) = \emptyset\) を示せば十分である (Divisors, Lemma 05AP を参照)。 Divisors, Lemma 05AN により \(\text{WeakAss}_X(\mathcal{K}) \subset \text{WeakAss}_X(\mathcal{F})\) である。 \(\mathcal{F}\) は平坦なので、Lemma 05IJ により \(\text{WeakAss}_X(\mathcal{F}) \subset \text{Ass}_{X/S}(\mathcal{F})\) である。 仮定により、\(\text{Ass}_{X/S}(\mathcal{F})\) の任意の点 \(x\) は、ある \(x' \in X'\) の像である。\(g\) は平坦なので、局所環写像 \(\mathcal{O}_{X, x} \to \mathcal{O}_{X', x'}\) は忠実平坦である。したがって写像 \[\mathcal{F}_x \longrightarrow g^*\mathcal{F}_{x'} = \mathcal{F}_x \otimes_{\mathcal{O}_{X, x}} \mathcal{O}_{X', x'}\] は単射である (Algebra, Lemma 05CK を参照)。 これから望んだ \(\mathcal{K}_x = 0\) が従う。

補題

\(A\) を環とする。\(u : M \to N\) を \(A\)-加群の全射とする。 \(M\) が \(A\)-加群として射影的ならば、任意の環写像 \(\varphi : A \to B\) に対して次の条件が同値となるようなイデアル \(I \subset A\) が存在する。

1. \(u \otimes 1 : M \otimes_A B \to N \otimes_A B\) は同型である。

2. \(\varphi(I) = 0\) である。

証明

\(M\) は射影的なので、\(F = M \oplus C\) が自由 \(A\)-加群となるような射影的 \(A\)-加群 \(C\) を見つけられる。\(u\) を \(u \oplus 1 : F = M \oplus C \to N \oplus C\) で置き換えることにより、 \(M\) が自由であると仮定してよい。この場合、\(M\) のある固定した基底に関する \(\Ker(u)\) のすべての元の係数が生成する \(A\) のイデアルを \(I\) とする。 これでうまくいく理由は、\(u\) が全射で \(\otimes_A B\) が右完全なので、 \(\Ker(u \otimes 1)\) が \(M \otimes_A B\) における \(\Ker(u) \otimes_A B\) の像だからである。

定理

状況 05MH において、次を仮定する。

1. \(f\) は有限表示である。

2. \(\mathcal{F}\) は有限表示で、\(S\) 上平坦、かつ \(S\) に関して純粋である。

3. \(u\) は全射である。

このとき \(F_{iso}\) は閉埋め込み \(Z \to S\) によって表現可能である。 さらに、\(\mathcal{G}\) が有限表示ならば \(Z \to S\) は有限表示である。

証明

Lemma 05L5 により \(\mathcal{F}\) が \(S\) 上普遍的に純粋であることを、以下では断りなく用いる。 Lemma 05MJ および Descent, Lemmas 03I0、 02W5 により、この問題は \(S\) 上の étale 位相に関して局所的である。したがって、\(s \in S\) が与えられたとき、 定理が成り立つような \((S, s)\) の étale 近傍が存在することを示せば十分である。

Lemma 05KW を用い、\(S\) を \(s\) の 基本 étale 近傍で置き換えることにより、可換図式 \[\xymatrix{ X \ar[dr] & & X' \ar[ll]^g \ar[ld] \\ & S & }\] が存在すると仮定してよい。ここで各スキームは \(S\) 上有限表示であり、 \(g\) は étale、\(X_s \subset g(X')\)、スキーム \(X'\) と \(S\) はアフィンである。

また、\(\Gamma(X', g^*\mathcal{F})\) は射影的 \(\Gamma(S, \mathcal{O}_S)\)-加群である。 Lemma 05K6 により、\(g^*\mathcal{F}\) は \(S\) 上普遍的に純粋である。したがって Lemma 05L4 により、 開集合 \(g(X')\) は \(\Spec(\mathcal{O}_{S, s})\) 上にある \(\text{Ass}_{X/S}(\mathcal{F})\) の点を含む。 次のようにおく。 \[E = \{t \in S \mid \text{Ass}_{X_t}(\mathcal{F}_t) \subset g(X') \}.\] More on Morphisms, Lemma 05KR により、 \(E\) は \(S\) の構成可能部分集合である。すでに \(\Spec(\mathcal{O}_{S, s}) \subset E\) を示した。Morphisms, Lemma 05LW により、\(E\) は \(s\) の 開近傍を含む。したがって \(S\) を \(s\) のより小さいアフィン近傍で置き換え、 \(\text{Ass}_{X/S}(\mathcal{F}) \subset g(X')\) と仮定してよい。

\(u\) は全射であると仮定したので \(F_{iso} = F_{inj}\) である。 Lemma 05PD により、 \(u : \mathcal{F} \to \mathcal{G}\) が単射であることと \(g^*u : g^*\mathcal{F} \to g^*\mathcal{G}\) が単射であることとは同値であり、 任意の基底変換の後にも同じことが成り立つ。したがって、定理の仮定に加えて、 \(X \to S\) がアフィンスキームの射で、\(\Gamma(X, \mathcal{F})\) が射影的 \(\Gamma(S, \mathcal{O}_S)\)-加群である場合に帰着した。 この場合は Lemma 05PE から直ちに従う。

\(\mathcal{G}\) が有限表示ならば \(Z\) が有限表示であることを示すには、 Lemma 05MJ の (4) と Limits, Remark 05LX を組み合わせればよい。

補題

\(f:X\to S\) を有限表示、平坦、かつ純粋なスキームの射とする。 \(Y\) を \(X\) の閉部分スキームとする。\(F=f_*Y\) を \(f\) に沿う \(Y\) の Weil 制限関手、すなわち \[F : (\Sch/S)^{opp} \to \textit{Sets}, \quad T \mapsto \left\{ \begin{matrix} \{*\} & \text{if} & Y_T\to X_T \text{ が同型, }\\ \emptyset & \text{otherwise.} & \end{matrix} \right.\] で定義される関手とする。このとき \(F\) は閉埋め込み \(Z\to S\) によって 表現可能である。さらに、\(Y\to S\) が有限表示ならば \(Z\to S\) も有限表示である。

証明

\(\mathcal{I}\) を \(X\) において \(Y\) を定義するイデアル層とし、 \(u:\mathcal{O}_X\to\mathcal{O}_X/\mathcal{I}\) を全射とする。 \(S\)-スキーム \(T\) に対して、閉埋め込み \(Y_T\to X_T\) が同型であることと \(u_T\) が同型であることとは同値である。したがって結果は Theorem 05PF から従う。

局所的な場合の平坦化

この節では、前の内容を適用して平坦化層別の影を得ることから始める。

定理

状況 05MK において、\(A\) は Hensel 的、\(B\) は \(A\) 上 本質的有限型、\(M\) は有限 \(B\)-加群であると仮定する。このとき、\(A/I\) が圏 \(\mathcal{C}\) 上の関手 \(F_{lf}\) を余表現するようなイデアル \(I \subset A\) が 存在する。言い換えると、局所環の局所準同型 \(\varphi : A \to A'\) に対し、 \(B' = B \otimes_A A'\) および \(M' = M \otimes_A A'\) とおけば、次は同値である。

1. \(\forall \mathfrak q \in V(\mathfrak m_{A'}B' + \mathfrak m_B B') \subset \Spec(B') : M'_{\mathfrak q}\text{ は }A'\text{ 上平坦である}\)。

2. \(\varphi(I) = 0\) である。

\(B\) が \(A\) 上本質的有限表示で、\(M\) が \(B\) 上有限表示ならば、 \(I\) は有限生成イデアルである。

証明

\(B = C_{\mathfrak q}\) および \(M = N_{\mathfrak q}\) となるような有限型環写像 \(A \to C\)、有限 \(C\)-加群 \(N\)、および \(C\) の素イデアル \(\mathfrak q\) を選ぶ。

以下で「定理が \((N/C/A, \mathfrak q)\) に対して成り立つ」とは、 \(B = C_{\mathfrak q}\) および \(M = N_{\mathfrak q}\) としたときに \((A \to B, M)\) に対して成り立つことを意味する。 Lemma 05P5 により、\(B\) を \(B\) 上平坦な局所環で 置き換えても関手 \(F_{lf}\) は変わらない。したがって \(A\) は Hensel 的なので、 Lemma 05I1 を適用し、\(\mathfrak q\) における \(N/C/A\) の完全デヴィサージュが存在すると仮定してよい。

\((A_i, B_i, M_i, \alpha_i, \mathfrak q_i)_{i = 1, \ldots, n}\) をそのような \(\mathfrak q\) における \(N/C/A\) の完全デヴィサージュとする。 Definition 05HZ のように、 \(\mathfrak q_i \subset B_i\) の上にある一意な素イデアルを \(\mathfrak q'_i \subset A_i\) とする。 \(C \to A_1\) は全射で、\(C\)-加群として \(N \cong M_1\) なので、 Lemma 05P4 により、定理を \((M_1/A_1/A, \mathfrak q'_1)\) に対して証明すれば十分である。

\(B_1 \to A_1\) は有限で、\(\mathfrak q_1\) は \(\mathfrak q'_1\) の上にある \(B_1\) の唯一の素イデアルなので、 \((A_1)_{\mathfrak q'_1} \to (B_1)_{\mathfrak q_1}\) は有限である (Algebra, Lemma 00EA または More on Morphisms, Lemma 05B8 を参照)。 したがって Lemma 05P4 により、定理を \((M_1/B_1/A, \mathfrak q_1)\) に対して証明すれば十分である。

ここで、デヴィサージュの長さ \(n\) に関する帰納法により、定理が \((M_2/B_2/A, \mathfrak q_2)\) に対して成り立つと仮定してよい。 (\(n = 1\) ならば \(M_2 = 0\) であり、これは \(A\) 上平坦である。) 前段落の最後の二つの手順を逆向きにたどり、

\(B_1\)-加群として \(M_2 \cong \Coker(\alpha_2)\) であることを用いると、 定理は \((\Coker(\alpha_1)/B_1/A, \mathfrak q_1)\) に対して成り立つ。

\(A'\) を \(\mathcal{C}\) の対象とする。Lemma 05I3 により、 \(\mathfrak m_{A'}\) の上にある \(B_1 \otimes_A A'\) の素イデアル \(\mathfrak q'\) に対して \((M_1 \otimes_A A')_{\mathfrak q'}\) が \(A'\) 上平坦ならば、 \((\Coker(\alpha_1) \otimes_A A')_{\mathfrak q'}\) も \(A'\) 上平坦である。 したがって \(F_{lf}\) は、\((B_1)_{\mathfrak q_1}\) 上の加群 \(\Coker(\alpha_1)_{\mathfrak q_1}\) に対応する関手 \(F'_{lf}\) の部分関手である。 前段落により、あるイデアル \(J \subset A\) に対して \(F'_{lf}\) は \(A/J\) によって 余表現される。そこで \(A\) を \(A/J\) で置き換え、 \(\Coker(\alpha_1)_{\mathfrak q_1}\) が \(A\) 上平坦であると仮定してよい。

\(\Coker(\alpha_1)\) は、\(\mathfrak q_1\) における \(N_1/B_1/A\) の完全 デヴィサージュが存在する \(B_1\)-加群であり、かつ \(\Coker(\alpha_1)_{\mathfrak q_1}\) は \(A\) 上平坦なので、Lemma 05I4 により、 \(\Coker(\alpha_1)\) は \(A\)-加群として自由であり、とくに \(A\)-加群として平坦である。 したがって Lemma 05I3 により、\(F_{lf}(A')\) が空でない ことと、

\(\alpha \otimes 1_{A'}\) が単射であることとは同値である。 \(N_1 = \Im(\alpha_1) \subset M_1\) とおくと、完全列 \[0 \to N_1 \to M_1 \to \Coker(\alpha_1) \to 0 \quad\text{and}\quad B_1^{\oplus r_1} \to N_1 \to 0\] を得る。\(\Coker(\alpha_1)\) の平坦性により、第一の列は普遍完全である (Algebra, Lemma 058M を参照)。 したがって \(\alpha \otimes 1_{A'}\) が単射であることと \(B_1^{\oplus r_1} \otimes_A A' \to N_1 \otimes_A A'\) が同型であることとは 同値である。最後に Theorem 05PF を適用すると、 この関手はあるイデアル \(I\) に対して \(A/I\) によって余表現可能である。 ゆえに \(F_{lf}\) も \(A/I\) によって余表現可能である。

最後の主張を証明するため、\(A \to B\) が本質的有限表示で、\(M\) が \(B\) 上 有限表示であると仮定する。\(F_{lf}\) が \(A/I\) によって余表現されるような イデアルを \(I \subset A\) とする。\(I\) に含まれる有限生成イデアル \(I_\lambda\) 全体を動かして \(I = \bigcup I_\lambda\) と書く。 \(F_{lf}(A/I) = \{*\}\) なので、ある \(\lambda\) に対して \(F_{lf}(A/I_\lambda) = \{*\}\) である (Lemma 05MN の (2) を参照)。これは明らかに \(I = I_\lambda\) を意味する。