Compléments sur la platitude

Introduction

Dans ce chapitre, nous exposons des résultats avancés sur les modules plats et les morphismes plats de schémas, ainsi que des applications. La plupart des résultats de platitude figurent dans l’article [GruRay] de Raynaud et Gruson.

Avant de lire ce chapitre, nous conseillons au lecteur de prendre connaissance des résultats suivants (cette liste sert aussi à retrouver les résultats précédents) :

1. Généralités sur les modules plats dans Algèbre, section 00H9.

2. Relations entre les groupes \(\text{Tor}\) et la platitude, voir Algèbre, section 00LY.

3. Critères de platitude, voir Algèbre, section 00MD (cas noethérien), Algèbre, section 051E (cas artinien), Algèbre, section 00R3 (cas non noethérien), et enfin Compléments sur les morphismes, section 039A.

4. Platitude générique, voir Algèbre, section 051Q et Morphismes, section 0529.

5. Ouverture du lieu de platitude, voir Algèbre, section 00R8 et Compléments sur les morphismes, section 0398.

6. Platification, voir Compléments d’algèbre, sections 0521, 05LJ, 05LK, 05LN, et 05LV.

7. Résultats supplémentaires dans Compléments d’algèbre, sections 052Y, 0549, 054A, et 0535.

Comme applications des résultats de platitude, nous traitons les sujets suivants : une version non noethérienne du théorème d’existence de Grothendieck, les éclatements et la platitude, le théorème de compactification de Nagata, la topologie h, les carrés d’éclatement et la descente, la normalisation faible, la descente des fibrés vectoriels en caractéristique positive et la structure locale des complexes parfaits pour la topologie h.

Lemmes sur la localisation étale

Nous réunissons dans cette section quelques lemmes de localisation étale qui seront utiles dans la suite de ce chapitre. On peut omettre cette section en première lecture.

Lemme

Soit \(i : Z \to X\) une immersion fermée de schémas affines. Soit \(Z' \to Z\) un morphisme étale, avec \(Z'\) affine. Il existe alors un morphisme étale \(X' \to X\), avec \(X'\) affine, tel que \(Z' \cong Z \times_X X'\) comme schémas sur \(Z\).

Démonstration

Voir Algèbre, Lemme 04D1.

Lemme

Soit \[\xymatrix{ X \ar[d] & X' \ar[l] \ar[d] \\ S & S' \ar[l] }\] un diagramme commutatif de schémas où \(X' \to X\) et \(S' \to S\) sont étales. Soit \(s' \in S'\) un point. Alors \[X' \times_{S'} \Spec(\mathcal{O}_{S', s'}) \longrightarrow X \times_S \Spec(\mathcal{O}_{S', s'})\] est étale.

Démonstration

Cela résulte du fait que \(X' \to X_{S'}\) est étale, en tant que morphisme de schémas étales sur \(X\), voir Morphismes, Lemme 02GW, et du fait que le changement de base d’un morphisme étale est étale, voir Morphismes, Lemme 02GO.

Lemme

Soient \(X \to T \to S\) des morphismes de schémas, avec \(T \to S\) étale. Soit \(\mathcal{F}\) un \(\mathcal{O}_X\)-module quasi-cohérent. Soit \(x \in X\) un point. Alors \[\mathcal{F}\text{ plat sur }S\text{ en }x \Leftrightarrow \mathcal{F}\text{ plat sur }T\text{ en }x\] En particulier, \(\mathcal{F}\) est plat sur \(S\) si et seulement si \(\mathcal{F}\) est plat sur \(T\).

Démonstration

Puisqu’un morphisme étale est un morphisme plat (voir Morphismes, Lemme 02GS), l’implication “\(\Leftarrow\)” résulte de Algèbre, Lemme 00HC. Réciproquement, supposons que \(\mathcal{F}\) soit plat en \(x\) sur \(S\). Notons \(\tilde x \in X \times_S T\) le point au-dessus de \(x\) dans \(X\) et de l’image de \(x\) dans \(T\), prise comme point de \(T\). Alors \((X \times_S T \to X)^*\mathcal{F}\) est plat en \(\tilde x\) sur \(T\) pour \(\text{pr}_2 : X \times_S T \to T\), voir Morphismes, Lemme 01U8. La diagonale \(\Delta_{T/S} : T \to T \times_S T\) est une immersion ouverte ; il suffit de combiner Morphismes, Lemmes 02GE et 02GK. Ainsi \(X\) s’identifie à un sous-schéma ouvert de \(X \times_S T\), la restriction de \(\text{pr}_2\) à cet ouvert est le morphisme donné \(X \to T\), le point \(\tilde x\) correspond au point \(x\) de cet ouvert et la restriction de \((X \times_S T \to X)^*\mathcal{F}\) à cet ouvert est \(\mathcal{F}\). On en déduit que \(\mathcal{F}\) est plat en \(x\) sur \(T\).

Lemme

Soit \(T \to S\) un morphisme étale. Soit \(t \in T\) d’image \(s \in S\). Soit \(M\) un \(\mathcal{O}_{T, t}\)-module. Alors \[M\text{ plat sur }\mathcal{O}_{S, s} \Leftrightarrow M\text{ plat sur }\mathcal{O}_{T, t}.\]

Démonstration

On peut remplacer \(S\) par un voisinage affine de \(s\), puis \(T\) par un voisinage affine de \(t\). Posons \(\mathcal{F} = (\Spec(\mathcal{O}_{T, t}) \to T)_*\widetilde M\). C’est un faisceau quasi-cohérent (voir Schémas, Lemme 01LC, ou raisonner directement) sur \(T\), dont la fibre en \(t\) est \(M\) (détails omis). On applique le Lemme 05B9.

Lemme

Soient \(S\) un schéma et \(s \in S\) un point. Notons \(\mathcal{O}_{S, s}^h\) (resp. \(\mathcal{O}_{S, s}^{sh}\)) le hensélisé (resp. le hensélisé strict), voir Algèbre, Définition 04GQ. Soit \(M^{sh}\) un \(\mathcal{O}_{S, s}^{sh}\)-module. Les conditions suivantes sont équivalentes :

1. \(M^{sh}\) est plat sur \(\mathcal{O}_{S, s}\),

2. \(M^{sh}\) est plat sur \(\mathcal{O}_{S, s}^h\), et

3. \(M^{sh}\) est plat sur \(\mathcal{O}_{S, s}^{sh}\).

Si \(M^{sh} = M^h \otimes_{\mathcal{O}_{S, s}^h} \mathcal{O}_{S, s}^{sh}\), elles sont aussi équivalentes à

1. \(M^h\) est plat sur \(\mathcal{O}_{S, s}\), et

2. \(M^h\) est plat sur \(\mathcal{O}_{S, s}^h\).

Si \(M^h = M \otimes_{\mathcal{O}_{S, s}} \mathcal{O}_{S, s}^h\), elles sont aussi équivalentes à

1. \(M\) est plat sur \(\mathcal{O}_{S, s}\).

Démonstration

D’après Compléments d’algèbre, Lemme 07QM, les homomorphismes locaux \(\mathcal{O}_{S, s} \to \mathcal{O}_{S, s}^h \to \mathcal{O}_{S, s}^{sh}\) sont fidèlement plats. Ainsi (3) \(\Rightarrow\) (2) \(\Rightarrow\) (1) et (5) \(\Rightarrow\) (4) résultent de Algèbre, Lemme 00HC. Par fidèle platitude, les équivalences (6) \(\Leftrightarrow\) (5) et (5) \(\Leftrightarrow\) (3) résultent de Algèbre, Lemme 00HJ. Il suffit donc de montrer que (1) \(\Rightarrow\) (2) \(\Rightarrow\) (3) et (4) \(\Rightarrow\) (5). Pour cela, on peut supposer que \(S\) est un schéma affine.

Supposons (1). D’après le Lemme 05BA, on voit que \(M^{sh}\) est plat sur \(\mathcal{O}_{T, t}\) pour tout voisinage étale \((T, t) \to (S, s)\). Puisque \(\mathcal{O}_{S, s}^h\) et \(\mathcal{O}_{S, s}^{sh}\) sont des limites inductives filtrantes d’anneaux locaux de la forme \(\mathcal{O}_{T, t}\) (voir Algèbre, Lemmes 04GV et 04GW), on en conclut que \(M^{sh}\) est plat sur \(\mathcal{O}_{S, s}^h\) et \(\mathcal{O}_{S, s}^{sh}\) d’après Algèbre, Lemme 05UU. Ainsi (1) implique (2) et (3). Cela entraîne aussi (2) \(\Rightarrow\) (3) en remplaçant \(\mathcal{O}_{S, s}\) par \(\mathcal{O}_{S, s}^h\). Le même raisonnement démontre (4) \(\Rightarrow\) (5).

Lemme

Soient \(S\) un schéma et \(s \in S\) un point. Notons \(\mathcal{O}_{S, s}^h\) (resp. \(\mathcal{O}_{S, s}^{sh}\)) le hensélisé (resp. le hensélisé strict), voir Algèbre, Définition 04GQ. Soit \(M^{sh}\) un objet de \(D(\mathcal{O}_{S, s}^{sh})\). Soient \(a, b \in \mathbf{Z}\). Les conditions suivantes sont équivalentes :

1. \(M^{sh}\) est de Tor-amplitude contenue dans \([a, b]\) sur \(\mathcal{O}_{S, s}\),

2. \(M^{sh}\) est de Tor-amplitude contenue dans \([a, b]\) sur \(\mathcal{O}_{S, s}^h\), et

3. \(M^{sh}\) est de Tor-amplitude contenue dans \([a, b]\) sur \(\mathcal{O}_{S, s}^{sh}\).

Si \(M^{sh} = M^h \otimes_{\mathcal{O}_{S, s}^h}^\mathbf{L} \mathcal{O}_{S, s}^{sh}\) pour \(M^h \in D(\mathcal{O}_{S, s}^h)\), elles sont aussi équivalentes à

1. \(M^h\) est de Tor-amplitude contenue dans \([a, b]\) sur \(\mathcal{O}_{S, s}\), et

2. \(M^h\) est de Tor-amplitude contenue dans \([a, b]\) sur \(\mathcal{O}_{S, s}^h\).

Si \(M^h = M \otimes_{\mathcal{O}_{S, s}}^\mathbf{L} \mathcal{O}_{S, s}^h\) pour \(M \in D(\mathcal{O}_{S, s})\), elles sont aussi équivalentes à

1. \(M\) est de Tor-amplitude contenue dans \([a, b]\) sur \(\mathcal{O}_{S, s}\).

Démonstration

D’après Compléments d’algèbre, Lemme 07QM, les homomorphismes locaux \(\mathcal{O}_{S, s} \to \mathcal{O}_{S, s}^h \to \mathcal{O}_{S, s}^{sh}\) sont fidèlement plats. Ainsi (3) \(\Rightarrow\) (2) \(\Rightarrow\) (1) et (5) \(\Rightarrow\) (4) résultent de Compléments d’algèbre, Lemme 066J. Par fidèle platitude, les équivalences (6) \(\Leftrightarrow\) (5) et (5) \(\Leftrightarrow\) (3) résultent de Compléments d’algèbre, Lemme 068S. Il suffit donc de montrer que (1) \(\Rightarrow\) (3), (2) \(\Rightarrow\) (3), et (4) \(\Rightarrow\) (5).

Supposons (1). En particulier, la cohomologie de \(M^{sh}\) est nulle en degrés \(< a\) et \(> b\). On peut donc représenter \(M^{sh}\) par un complexe \(P^\bullet\) de \(\mathcal{O}_{X, x}^{sh}\)-modules libres tel que \(P^i = 0\) pour \(i > b\) (voir, par exemple, le résultat très général Catégories dérivées, Lemme 05T7). Notons que \(P^n\) est plat sur \(\mathcal{O}_{S, s}\) pour tout \(n\). Considérons \(\Coker(d_P^{a - 1})\). D’après Compléments d’algèbre, Lemme 0653, c’est un \(\mathcal{O}_{S, s}\)-module plat. Le Lemme 05VL montre donc que c’est un \(\mathcal{O}_{S, s}^{sh}\)-module plat. Ainsi \(\tau_{\geq a}P^\bullet\) est un complexe de \(\mathcal{O}_{S, s}^{sh}\)-modules plats représentant \(M^{sh}\) dans \(D(\mathcal{O}_{S, s}^{sh}\) et l’on en déduit que \(M^{sh}\) est de Tor-amplitude contenue dans \([a, b]\), voir Compléments d’algèbre, Lemme 0654. Ainsi (1) implique (3). Cela entraîne aussi (2) \(\Rightarrow\) (3) en remplaçant \(\mathcal{O}_{S, s}\) par \(\mathcal{O}_{S, s}^h\). Le même raisonnement démontre (4) \(\Rightarrow\) (5).

Lemme

Soit \(g : T \to S\) un morphisme fini et plat de schémas. Soit \(\mathcal{G}\) un \(\mathcal{O}_S\)-module quasi-cohérent. Soit \(t \in T\) un point d’image \(s \in S\). Alors \[t \in \text{WeakAss}(g^*\mathcal{G}) \Leftrightarrow s \in \text{WeakAss}(\mathcal{G})\]

Démonstration

L’implication “\(\Leftarrow\)” résulte immédiatement de Diviseurs, Lemme 05F0. Supposons \(t \in \text{WeakAss}(g^*\mathcal{G})\). Soit \(\Spec(A) \subset S\) un voisinage ouvert affine de \(s\). Soit \(\mathcal{G}\) le faisceau quasi-cohérent associé au \(A\)-module \(M\). Soit \(\mathfrak p \subset A\) l’idéal premier correspondant à \(s\). Puisque \(g\) est fini et plat, on a \(g^{-1}(\Spec(A)) = \Spec(B)\) pour une certaine \(A\)-algèbre finie et plate \(B\). Notons que \(g^*\mathcal{G}\) est le \(\mathcal{O}_{\Spec(B)}\)-module quasi-cohérent associé au \(B\)-module \(M \otimes_A B\) et que \(g_*g^*\mathcal{G}\) est le \(\mathcal{O}_{\Spec(A)}\)-module quasi-cohérent associé au \(A\)-module \(M \otimes_A B\). D’après Algèbre, Lemme 00NZ, on a \(B_{\mathfrak p} \cong A_{\mathfrak p}^{\oplus n}\) pour un entier \(n \geq 0\). Notons que \(n \geq 1\), puisqu’on a supposé qu’il existe au moins un point de \(T\) au-dessus de \(s\). En considérant les fibres, on voit donc que \[s \in \text{WeakAss}(\mathcal{G}) \Leftrightarrow s \in \text{WeakAss}(g_*g^*\mathcal{G})\] Or l’hypothèse \(t \in \text{WeakAss}(g^*\mathcal{G})\) entraîne \(s \in \text{WeakAss}(g_*g^*\mathcal{G})\) d’après Diviseurs, Lemme 05EZ, et donc, d’après ce qui précède, \(s \in \text{WeakAss}(\mathcal{G})\).

Lemme

Soit \(h : U \to S\) un morphisme étale de schémas. Soit \(\mathcal{G}\) un \(\mathcal{O}_S\)-module quasi-cohérent. Soit \(u \in U\) un point d’image \(s \in S\). Alors \[u \in \text{WeakAss}(h^*\mathcal{G}) \Leftrightarrow s \in \text{WeakAss}(\mathcal{G})\]

Démonstration

En remplaçant \(S\) et \(U\) par des voisinages affines de \(s\) et \(u\), on peut supposer que \(g\) est un morphisme étale standard de schémas affines, voir Morphismes, Lemme 02GT. On peut donc supposer \(S = \Spec(A)\) et \(X = \Spec(A[x, 1/g]/(f))\), où \(f\) est unitaire et \(f'\) est inversible dans \(A[x, 1/g]\). Notons que \(A[x, 1/g]/(f) = (A[x]/(f))_g\) est aussi un localisé de la \(A\)-algèbre finie et libre \(A[x]/(f)\). On peut donc considérer \(U\) comme un sous-schéma ouvert du schéma \(T = \Spec(A[x]/(f))\), qui est fini localement libre sur \(S\). On est ainsi ramené au Lemme 05FN ci-dessus.

Lemme

Soient \(S\) un schéma et \(s \in S\) un point. Notons \(\mathcal{O}_{S, s}^h\) (resp. \(\mathcal{O}_{S, s}^{sh}\)) le hensélisé (resp. le hensélisé strict), voir Algèbre, Définition 04GQ. Soit \(\mathcal{F}\) un \(\mathcal{O}_S\)-module quasi-cohérent. Les conditions suivantes sont équivalentes :

1. \(s\) est un point faiblement associé à \(\mathcal{F}\),

2. \(\mathfrak m_s\) est un idéal premier faiblement associé à \(\mathcal{F}_s\),

3. \(\mathfrak m_s^h\) est un idéal premier faiblement associé à \(\mathcal{F}_s \otimes_{\mathcal{O}_{S, s}} \mathcal{O}_{S, s}^h\), et

4. \(\mathfrak m_s^{sh}\) est un idéal premier faiblement associé à \(\mathcal{F}_s \otimes_{\mathcal{O}_{S, s}} \mathcal{O}_{S, s}^{sh}\).

Démonstration

L’équivalence de (1) et (2) est la définition, voir Diviseurs, Définition 056L. Les implications (2) \(\Rightarrow\) (3) \(\Rightarrow\) (4) résultent de Diviseurs, Lemme 05F0, appliqué aux morphismes plats (Compléments d’algèbre, Lemme 07QM) suivants : \[\Spec(\mathcal{O}_{S, s}^{sh}) \to \Spec(\mathcal{O}_{S, s}^h) \to \Spec(\mathcal{O}_{S, s})\] et aux points fermés. Pour montrer (4) \(\Rightarrow\) (2), on peut remplacer \(S\) par un voisinage affine. Supposons que \(x \in \mathcal{F}_s \otimes_{\mathcal{O}_{S, s}} \mathcal{O}_{S, s}^{sh}\) soit un élément dont l’annulateur a pour radical \(\mathfrak m_s^{sh}\). (Voir Algèbre, Lemme 0566.) Puisque \(\mathcal{O}_{S, s}^{sh}\) est la limite des \(\mathcal{O}_{U, u}\) sur les voisinages étales \(f : (U, u) \to (S, s)\) d’après Algèbre, Lemme 04GW, on peut supposer que \(x\) est l’image d’un élément \(x' \in \mathcal{F}_s \otimes_{\mathcal{O}_{S, s}} \mathcal{O}_{U, u}\). L’homomorphisme local \(\mathcal{O}_{U, u} \to \mathcal{O}_{S, s}^{sh}\) est fidèlement plat (puisqu’il s’agit du hensélisé strict), donc universellement injectif (Algèbre, Lemme 05CK). Il s’ensuit que l’annulateur de \(x'\) est l’image réciproque de l’annulateur de \(x\). Le radical de cet annulateur est donc égal à \(\mathfrak m_u\). Ainsi \(u\) est un point faiblement associé à \(f^*\mathcal{F}\). D’après le Lemme 05FP, on voit que \(s\) est un point faiblement associé à \(\mathcal{F}\).

Structure locale d’un module de type fini

Le lemme technique essentiel sur lequel reposent de nombreux raisonnements de ce chapitre est le lemme géométrique 057S.

Lemme

Soit \(f : X \to S\) un morphisme de type fini de schémas affines. Soit \(\mathcal{F}\) un \(\mathcal{O}_X\)-module quasi-cohérent de type fini. Soit \(x \in X\) d’image \(s = f(x)\) dans \(S\). Posons \(\mathcal{F}_s = \mathcal{F}|_{X_s}\). Il existe alors une immersion fermée \(i : Z \to X\) de présentation finie et un \(\mathcal{O}_Z\)-module quasi-cohérent de type fini \(\mathcal{G}\) tels que \(i_*\mathcal{G} = \mathcal{F}\) et \(Z_s = \text{Supp}(\mathcal{F}_s)\).

Démonstration

Supposons que le morphisme \(f : X \to S\) soit donné par l’homomorphisme d’anneaux \(A \to B\) et que \(\mathcal{F}\) soit le faisceau quasi-cohérent associé au \(B\)-module \(M\). D’après Morphismes, Lemme 01T2, on sait que \(A \to B\) est un homomorphisme d’anneaux de type fini, et d’après Propriétés, Lemme 01PB, on sait que \(M\) est un \(B\)-module de type fini. En particulier, le support de \(\mathcal{F}\) est le sous-schéma fermé de \(\Spec(B)\) défini par l’annulateur \(I = \{x \in B \mid xm = 0\ \forall m \in M\}\) de \(M\), voir Algèbre, Lemme 00L2. Soit \(\mathfrak q \subset B\) l’idéal premier correspondant à \(x\) et soit \(\mathfrak p \subset A\) l’idéal premier correspondant à \(s\). Notons que \(X_s = \Spec(B \otimes_A \kappa(\mathfrak p))\) et que \(\mathcal{F}_s\) est le faisceau quasi-cohérent associé au \(B \otimes_A \kappa(\mathfrak p)\)-module \(M \otimes_A \kappa(\mathfrak p)\). D’après Morphismes, Lemme 056J, le support de \(\mathcal{F}_s\) est égal à \(V(I(B \otimes_A \kappa(\mathfrak p)))\). Puisque \(B \otimes_A \kappa(\mathfrak p)\) est de type fini sur \(\kappa(\mathfrak p)\), il existe un nombre fini d’éléments \(f_1, \ldots, f_m \in I\) tels que \[I(B \otimes_A \kappa(\mathfrak p)) = (f_1, \ldots, f_n)(B \otimes_A \kappa(\mathfrak p)).\] Notons \(i : Z \to X\) le sous-schéma fermé défini par \((f_1, \ldots, f_m)\), autrement dit \(Z = \Spec(B/(f_1, \ldots, f_m))\). Puisque \(M\) est annulé par \(I\), on peut considérer \(M\) comme un \(B/(f_1, \ldots, f_m)\)-module. En d’autres termes, \(\mathcal{F}\) est l’image directe d’un module de type fini sur \(Z\). Comme \(Z_s = \text{Supp}(\mathcal{F}_s)\) par construction, cela démontre le lemme.

Lemme

Soit \(f : X \to S\) un morphisme de schémas localement de type fini. Soit \(\mathcal{F}\) un \(\mathcal{O}_X\)-module quasi-cohérent de type fini. Soit \(x \in X\) d’image \(s = f(x)\) dans \(S\). Posons \(\mathcal{F}_s = \mathcal{F}|_{X_s}\) et \(n = \dim_x(\text{Supp}(\mathcal{F}_s))\). On peut alors construire

1. des voisinages étales élémentaires \(g : (X', x') \to (X, x)\), \(e : (S', s') \to (S, s)\),

2. un diagramme commutatif \[\xymatrix{ X \ar[dd]_f & X' \ar[dd] \ar[l]^g & Z' \ar[l]^i \ar[d]^\pi \\ & & Y' \ar[d]^h \\ S & S' \ar[l]_e & S' \ar@{=}[l] }\]

3. un point \(z' \in Z'\) tel que \(i(z') = x'\), \(y' = \pi(z')\), \(h(y') = s'\),

4. un \(\mathcal{O}_{Z'}\)-module quasi-cohérent de type fini \(\mathcal{G}\),

de sorte que les propriétés suivantes soient vérifiées :

1. \(X'\), \(Z'\), \(Y'\), \(S'\) sont des schémas affines,

2. \(i\) est une immersion fermée de présentation finie,

3. \(i_*(\mathcal{G}) \cong g^*\mathcal{F}\),

4. \(\pi\) est fini et \(\pi^{-1}(\{y'\}) = \{z'\}\),

5. l’extension \(\kappa(y')/\kappa(s')\) est transcendante pure,

6. \(h\) est lisse de dimension relative \(n\) et à fibres géométriquement intègres.

Démonstration

Soit \(V \subset S\) un voisinage affine de \(s\). Soit \(U \subset f^{-1}(V)\) un voisinage affine de \(x\). Il suffit alors de démontrer le lemme pour \(f|_U : U \to V\) et \(\mathcal{F}|_U\). Dans la suite de la démonstration, on suppose donc que \(X\) et \(S\) sont affines.

Supposons d’abord que \(X_s = \text{Supp}(\mathcal{F}_s)\) ; en particulier, \(n = \dim_x(X_s)\). Appliquons Compléments sur les morphismes, Lemmes 057K et 057L. On obtient un diagramme commutatif \[\xymatrix{ X \ar[dd] & X' \ar[l]^g \ar[d]^\pi \\ & Y' \ar[d]^h \\ S & S' \ar[l]_e }\] et un point \(x' \in X'\). On pose \(Z' = X'\), \(i = \text{id}\) et \(\mathcal{G} = g^*\mathcal{F}\), ce qui donne une solution dans ce cas.

Dans le cas général, choisissons une immersion fermée \(Z \to X\) et un faisceau \(\mathcal{G}\) sur \(Z\) comme dans le Lemme 057Q. En appliquant le résultat du paragraphe précédent à \(Z \to S\) et \(\mathcal{G}\), on obtient un diagramme \[\xymatrix{ X \ar[dd]_f & Z \ar[l] \ar[dd]_{f|_Z} & Z' \ar[l]^g \ar[d]^\pi \\ & & Y' \ar[d]^h \\ S & S \ar@{=}[l] & S' \ar[l]_e }\] et un point \(z' \in Z'\) vérifiant toutes les propriétés requises. Nous allons utiliser le Lemme 057R pour plonger \(Z'\) dans un schéma étale sur \(X\). On ne peut appliquer directement le lemme, car on veut que \(X'\) soit un schéma sur \(S'\). On considère donc les morphismes \[\xymatrix{ Z' \ar[r] & Z \times_S S' \ar[r] & X \times_S S' }\] Le premier morphisme est étale d’après Morphismes, Lemme 02GW. Le second est une immersion fermée, puisqu’il s’obtient par changement de base d’une immersion fermée. Enfin, puisque \(X\), \(S\), \(S'\), \(Z\), \(Z'\) sont tous affines, on peut appliquer le Lemme 057R pour obtenir un morphisme étale de schémas affines \(X' \to X \times_S S'\) tel que \[Z' = (Z \times_S S') \times_{(X \times_S S')} X' = Z \times_X X'.\] Puisque \(Z \to X\) est une immersion fermée de présentation finie, il en est de même de \(Z' \to X'\). Soit \(x' \in X'\) le point correspondant à \(z' \in Z'\). Le diagramme complété \[\xymatrix{ X \ar[dd] & X' \ar[dd] \ar[l] & Z' \ar[l]^i \ar[d]^\pi \\ & & Y' \ar[d]^h \\ S & S' \ar[l]_e & S' \ar@{=}[l] }\] fournit alors une solution du problème initial.

Lemme

Sous les hypothèses et avec les notations du Lemme 057S, si \(f\) est localement de présentation finie, alors \(\pi\) est de présentation finie. Dans ce cas, les conditions suivantes sont équivalentes :

1. \(\mathcal{F}\) est un \(\mathcal{O}_X\)-module de présentation finie au voisinage de \(x\),

2. \(\mathcal{G}\) est un \(\mathcal{O}_{Z'}\)-module de présentation finie au voisinage de \(z'\), et

3. \(\pi_*\mathcal{G}\) est un \(\mathcal{O}_{Y'}\)-module de présentation finie au voisinage de \(y'\).

Toujours sous l’hypothèse que \(f\) est localement de présentation finie, les conditions suivantes sont équivalentes :

1. \(\mathcal{F}_x\) est un \(\mathcal{O}_{X, x}\)-module de présentation finie,

2. \(\mathcal{G}_{z'}\) est un \(\mathcal{O}_{Z', z'}\)-module de présentation finie, et

3. \((\pi_*\mathcal{G})_{y'}\) est un \(\mathcal{O}_{Y', y'}\)-module de présentation finie.

Démonstration

Supposons \(f\) localement de présentation finie. Alors \(Z' \to S\) est localement de présentation finie, comme composé de tels morphismes, voir Morphismes, Lemme 01TR. Notons que \(Y' \to S\) est aussi localement de présentation finie, comme composé d’un morphisme lisse et d’un morphisme étale. Ainsi Morphismes, Lemme 02FV, entraîne que \(\pi\) est localement de présentation finie. Puisque \(\pi\) est fini, il est aussi séparé et quasi-compact ; par suite, \(\pi\) est bien de présentation finie.

Pour démontrer l’équivalence de (1), (2) et (3), considérons aussi : (4) \(g^*\mathcal{F}\) est un \(\mathcal{O}_{X'}\)-module de présentation finie au voisinage de \(x'\). L’image réciproque d’un module de présentation finie est de présentation finie, voir Modules, Lemme 01BQ. Ainsi (1) \(\Rightarrow\) (4). Le morphisme étale \(g\) est ouvert, voir Morphismes, Lemme 03WT. Pour tout voisinage ouvert \(U' \subset X'\) de \(x'\), l’image \(g(U')\) est donc un voisinage ouvert de \(x\) et \(\{U' \to g(U')\}\) est un recouvrement étale. Ainsi (4) \(\Rightarrow\) (1) d’après Descente, Lemme 05B0. En utilisant Descente, Lemme 05B4, et quelques arguments topologiques élémentaires (voir Compléments sur les morphismes, Lemme 05B8), on voit que (4) \(\Leftrightarrow\) (2) \(\Leftrightarrow\) (3).

Pour démontrer l’équivalence de (a), (b), (c), considérons les homomorphismes d’anneaux \[\mathcal{O}_{X, x} \to \mathcal{O}_{X', x'} \to \mathcal{O}_{Z', z'} \leftarrow \mathcal{O}_{Y', y'}\] Le premier homomorphisme est fidèlement plat. Par suite, \(\mathcal{F}_x\) est de présentation finie sur \(\mathcal{O}_{X, x}\) si et seulement si \(g^*\mathcal{F}_{x'}\) est de présentation finie sur \(\mathcal{O}_{X', x'}\), voir Algèbre, Lemme 03C4. Le deuxième homomorphisme est surjectif (donc fini) et de présentation finie par hypothèse ; par suite, \(g^*\mathcal{F}_{x'}\) est de présentation finie sur \(\mathcal{O}_{X', x'}\) si et seulement si \(\mathcal{G}_{z'}\) est de présentation finie sur \(\mathcal{O}_{Z', z'}\), voir Algèbre, Lemme 0564. Puisque \(\pi\) est fini, de présentation finie et que \(\pi^{-1}(\{y'\}) = \{x'\}\), l’homomorphisme d’anneaux \(\mathcal{O}_{Y', y'} \leftarrow \mathcal{O}_{Z', z'}\) est fini et de présentation finie, voir Compléments sur les morphismes, Lemme 05B8. Par suite, \(\mathcal{G}_{z'}\) est de présentation finie sur \(\mathcal{O}_{Z', z'}\) si et seulement si \(\pi_*\mathcal{G}_{y'}\) est de présentation finie sur \(\mathcal{O}_{Y', y'}\), voir Algèbre, Lemme 0564.

Lemme

Sous les hypothèses et avec les notations du Lemme 057S, les conditions suivantes sont équivalentes :

1. \(\mathcal{F}\) est plat sur \(S\) au voisinage de \(x\),

2. \(\mathcal{G}\) est plat sur \(S'\) au voisinage de \(z'\), et

3. \(\pi_*\mathcal{G}\) est plat sur \(S'\) au voisinage de \(y'\).

Les conditions suivantes sont aussi équivalentes :

1. \(\mathcal{F}_x\) est plat sur \(\mathcal{O}_{S, s}\),

2. \(\mathcal{G}_{z'}\) est plat sur \(\mathcal{O}_{S', s'}\), et

3. \((\pi_*\mathcal{G})_{y'}\) est plat sur \(\mathcal{O}_{S', s'}\).

Démonstration

Pour démontrer l’équivalence de (1), (2) et (3), considérons aussi : (4) \(g^*\mathcal{F}\) est plat sur \(S\) au voisinage de \(x'\). Nous utiliserons le Lemme 05B9 pour identifier la platitude sur \(S\) et sur \(S'\) sans le mentionner de nouveau. Le morphisme étale \(g\) est plat et ouvert, voir Morphismes, Lemme 03WT. Pour tout voisinage ouvert \(U' \subset X'\) de \(x'\), l’image \(g(U')\) est donc un voisinage ouvert de \(x\) et le morphisme \(U' \to g(U')\) est surjectif et plat. Ainsi (4) \(\Leftrightarrow\) (1) d’après Morphismes, Lemme 02JZ. Notons que \[\Gamma(X', g^*\mathcal{F}) = \Gamma(Z', \mathcal{G}) = \Gamma(Y', \pi_*\mathcal{G})\] Les conditions de platitude de \(g^*\mathcal{F}\), de \(\mathcal{G}\) et de \(\pi_*\mathcal{G}\) sur \(S'\) sont donc équivalentes (on utilise ici le fait que \(X'\), \(Z'\), \(Y'\) et \(S'\) sont tous affines). Des arguments topologiques laissés au lecteur (comparer Compléments sur les morphismes, Lemme 05B8) portant sur les voisinages affines montrent alors que (4) \(\Leftrightarrow\) (2) \(\Leftrightarrow\) (3).

Pour démontrer l’équivalence de (a), (b), (c), considérons le diagramme commutatif d’homomorphismes locaux \[\xymatrix{ \mathcal{O}_{X', x'} \ar[r]_\iota & \mathcal{O}_{Z', z'} & \mathcal{O}_{Y', y'} \ar[l]^\alpha & \mathcal{O}_{S', s'} \ar[l]^\beta \\ \mathcal{O}_{X, x} \ar[u]^\gamma & & & \mathcal{O}_{S, s} \ar[lll]_\varphi \ar[u]_\epsilon }\] Nous utiliserons le Lemme 05BA pour identifier la platitude sur \(\mathcal{O}_{S, s}\) et sur \(\mathcal{O}_{S', s'}\) sans le mentionner de nouveau. L’homomorphisme \(\gamma\) est fidèlement plat. Par suite, \(\mathcal{F}_x\) est plat sur \(\mathcal{O}_{S, s}\) si et seulement si \(g^*\mathcal{F}_{x'}\) est plat sur \(\mathcal{O}_{S', s'}\), voir Algèbre, Lemme 0584. Comme \(\mathcal{O}_{S', s'}\)-modules, les modules \(g^*\mathcal{F}_{x'}\), \(\mathcal{G}_{z'}\) et \(\pi_*\mathcal{G}_{y'}\) sont tous isomorphes, voir Compléments sur les morphismes, Lemme 05B8. Cela achève la démonstration.

Dévissage en une étape

Dans cette section, nous expliquons ce qu’est un dévissage en une étape d’un module. Un dévissage en une étape existe localement pour la topologie étale sur la base et le but. Nous étudions le changement de base, la restriction à des ouverts de Zariski et la localisation étale d’un dévissage en une étape.

Définition

Soit \(S\) un schéma. Soit \(X\) localement de type fini sur \(S\). Soit \(\mathcal{F}\) un \(\mathcal{O}_X\)-module quasi-cohérent de type fini. Soit \(s \in S\) un point. Un dévissage en une étape de \(\mathcal{F}/X/S\) au-dessus de \(s\) est donné par des morphismes de schémas sur \(S\) \[\xymatrix{ X & Z \ar[l]_i \ar[r]^\pi & Y }\] et un \(\mathcal{O}_Z\)-module quasi-cohérent \(\mathcal{G}\) de type fini tels que

1. \(X\), \(S\), \(Z\) et \(Y\) soient affines,

2. \(i\) soit une immersion fermée de présentation finie,

3. \(\mathcal{F} \cong i_*\mathcal{G}\),

4. \(\pi\) soit fini, et

5. le morphisme structural \(Y \to S\) soit lisse à fibres géométriquement irréductibles de dimension \(\dim(\text{Supp}(\mathcal{F}_s))\).

On dit alors que \((Z, Y, i, \pi, \mathcal{G})\) est un dévissage en une étape de \(\mathcal{F}/X/S\) au-dessus de \(s\).

Un tel dévissage en une étape ne peut exister que si \(X\) et \(S\) sont affines. Dans la définition ci-dessus, on exige seulement que \(X\) soit (localement) de type fini sur \(S\), et l’on conserve ce cadre dans la suite. Dans [GruRay], les auteurs se placent systématiquement dans le cas où \(X \to S\) est localement de présentation finie et où \(\mathcal{F}\) est un \(\mathcal{O}_X\)-module quasi-cohérent de type fini. Ce choix présente l’avantage de donner un sens à la condition que \(\mathcal{F}\) soit de présentation finie comme \(\mathcal{O}_X\)-module, tandis que, dans notre cadre, cette condition n’a pas de sens intrinsèque. Voir Compléments sur les morphismes, section 05GX, pour une discussion ; les observations qui y sont faites montrent que, dans notre cadre, on peut considérer la condition que \(\mathcal{F}\) soit « localement de présentation finie relativement à \(S\) », et l’on pourrait employer systématiquement cette notion. Nous préférons cependant nous appuyer sur les résultats du Lemme 057T et les observations de la Remarque 05HY pour traiter cette question au cas par cas lorsqu’elle se présente.

Définition

Soit \(S\) un schéma. Soit \(X\) localement de type fini sur \(S\). Soit \(\mathcal{F}\) un \(\mathcal{O}_X\)-module quasi-cohérent de type fini. Soit \(x \in X\) un point d’image \(s\) dans \(S\). Un dévissage en une étape de \(\mathcal{F}/X/S\) en \(x\) est un système \((Z, Y, i, \pi, \mathcal{G}, z, y)\), où \((Z, Y, i, \pi, \mathcal{G})\) est un dévissage en une étape de \(\mathcal{F}/X/S\) au-dessus de \(s\) et où

1. \(\dim_x(\text{Supp}(\mathcal{F}_s)) = \dim(\text{Supp}(\mathcal{F}_s))\),

2. \(z \in Z\) est un point tel que \(i(z) = x\) et \(\pi(z) = y\),

3. on a \(\pi^{-1}(\{y\}) = \{z\}\),

4. l’extension \(\kappa(y)/\kappa(s)\) est transcendante pure.

Un dévissage en une étape de \(\mathcal{F}/X/S\) en \(x\) ne peut exister que si \(X\) et \(S\) sont affines. La condition (1) assure que \(Y \to S\) est de dimension relative égale à \(\dim_x(\text{Supp}(\mathcal{F}_s))\), en vertu de la condition (5) de la Définition 05H4.

Lemme

Soit \(f : X \to S\) un morphisme de schémas localement de type fini. Soit \(\mathcal{F}\) un \(\mathcal{O}_X\)-module quasi-cohérent de type fini. Soit \(x \in X\) d’image \(s = f(x)\) dans \(S\). Il existe alors un diagramme commutatif de schémas pointés \[\xymatrix{ (X, x) \ar[d]_f & (X', x') \ar[l]^g \ar[d] \\ (S, s) & (S', s') \ar[l] \\ }\] tel que \((S', s') \to (S, s)\) et \((X', x') \to (X, x)\) soient des voisinages étales élémentaires et tel que \(g^*\mathcal{F}/X'/S'\) admette un dévissage en une étape en \(x'\).

Démonstration

Cela résulte immédiatement de la Définition 05H5 et du Lemme 057S.

Lemme

Soient \(S\), \(X\), \(\mathcal{F}\), \(s\) comme dans la Définition 05H4. Soit \((Z, Y, i, \pi, \mathcal{G})\) un dévissage en une étape de \(\mathcal{F}/X/S\) au-dessus de \(s\). Soit \((S', s') \to (S, s)\) un morphisme quelconque de schémas pointés. Ces données étant fixées, soient \(X', Z', Y', i', \pi'\) les objets obtenus par changement de base à partir de \(X, Z, Y, i, \pi\) suivant \(S' \to S\). Soit \(\mathcal{F}'\) l’image réciproque de \(\mathcal{F}\) sur \(X'\) et soit \(\mathcal{G}'\) l’image réciproque de \(\mathcal{G}\) sur \(Z'\). Si \(S'\) est affine, alors \((Z', Y', i', \pi', \mathcal{G}')\) est un dévissage en une étape de \(\mathcal{F}'/X'/S'\) au-dessus de \(s'\).

Démonstration

Les produits fibrés de schémas affines sont affines, voir Schémas, Lemme 01JQ. Le changement de base préserve les immersions fermées, les morphismes de présentation finie, les morphismes finis, les morphismes lisses, les morphismes à fibres géométriquement irréductibles et les morphismes de dimension relative \(n\), voir Morphismes, Lemmes 01QR, 01TS, 01WL, 01VB, 02NK, et Compléments sur les morphismes, Lemme 0555. On a \(i'_*\mathcal{G}' \cong \mathcal{F}'\), car l’image directe par le morphisme fini \(i\) commute au changement de base, voir Cohomologie des schémas, Lemme 02KG. On a \(\dim(\text{Supp}(\mathcal{F}_s)) = \dim(\text{Supp}(\mathcal{F}'_{s'}))\) d’après Morphismes, Lemme 02FY, puisque \[\text{Supp}(\mathcal{F}_s) \times_s s' = \text{Supp}(\mathcal{F}'_{s'}).\] Cela démontre le lemme.

Lemme

Soient \(S\), \(X\), \(\mathcal{F}\), \(x\), \(s\) comme dans la Définition 05H5. Soit \((Z, Y, i, \pi, \mathcal{G}, z, y)\) un dévissage en une étape de \(\mathcal{F}/X/S\) en \(x\). Soit \((S', s') \to (S, s)\) un morphisme de schémas pointés induisant un isomorphisme \(\kappa(s) = \kappa(s')\). Soit \((Z', Y', i', \pi', \mathcal{G}')\) le système construit dans le Lemme 05H7, et soit \(x' \in X'\) (resp. \(z' \in Z'\), \(y' \in Y'\)) l’unique point s’envoyant à la fois sur \(x \in X\) (resp. \(z \in Z\), \(y \in Y\)) et sur \(s' \in S'\). Si \(S'\) est affine, alors \((Z', Y', i', \pi', \mathcal{G}', z', y')\) est un dévissage en une étape de \(\mathcal{F}'/X'/S'\) en \(x'\).

Démonstration

D’après le Lemme 05H7, \((Z', Y', i', \pi', \mathcal{G}')\) est un dévissage en une étape de \(\mathcal{F}'/X'/S'\) au-dessus de \(s'\). Les propriétés (1) – (4) de la Définition 05H5 sont vérifiées pour \((Z', Y', i', \pi', \mathcal{G}', z', y')\), car l’hypothèse \(\kappa(s) = \kappa(s')\) assure que les fibres \(X'_{s'}\), \(Z'_{s'}\) et \(Y'_{s'}\) sont respectivement isomorphes à \(X_s\), \(Z_s\) et \(Y_s\).

Définition

Soient \(S\), \(X\), \(\mathcal{F}\), \(x\), \(s\) comme dans la Définition 05H5. Soit \((Z, Y, i, \pi, \mathcal{G}, z, y)\) un dévissage en une étape de \(\mathcal{F}/X/S\) en \(x\). Appelons restriction standard de cette situation la donnée d’ouverts standards \(S' \subset S\), \(X' \subset X\), \(Z' \subset Z\) et \(Y' \subset Y\) tels que \(s \in S'\), \(x \in X'\), \(z \in Z'\) et \(y \in Y'\), et tels que \[(Z', Y', i|_{Z'}, \pi|_{Z'}, \mathcal{G}|_{Z'}, z, y)\] soit un dévissage en une étape de \(\mathcal{F}|_{X'}/X'/S'\) en \(x\).

Lemme

Sous les hypothèses et avec les notations de la Définition 05H9, on a :

1. Si \(S' \subset S\) est un voisinage ouvert standard de \(s\), alors, en posant \(X' = X_{S'}\), \(Z' = Z_{S'}\) et \(Y' = Y_{S'}\), on obtient une restriction standard.

2. Soit \(W \subset Y\) un voisinage ouvert standard de \(y\). Il existe alors une restriction standard telle que \(Y' = W \times_S S'\).

3. Soit \(U \subset X\) un voisinage ouvert de \(x\). Il existe alors une restriction standard telle que \(X' \subset U\).

Démonstration

L’assertion (1) résulte immédiatement du Lemme 05H8 et du fait que l’image réciproque d’un ouvert standard par un morphisme de schémas affines est un ouvert standard, voir Algèbre, Lemme 00E2.

Soit \(W \subset Y\) comme dans (2). Puisque \(Y \to S\) est lisse, il est ouvert, voir Morphismes, Lemme 056G. On peut donc trouver un voisinage ouvert standard \(S'\) de \(s\) contenu dans l’image de \(W\). Les fibres de \(W_{S'} \to S'\) sont alors des sous-schémas ouverts non vides des fibres de \(Y \to S\) au-dessus de \(S'\) et sont donc elles aussi géométriquement irréductibles. En posant \(Y' = W_{S'}\) et \(Z' = \pi^{-1}(Y')\), on voit que \(Z' \subset Z\) est un voisinage ouvert standard de \(z\). Soit \(\overline{h} \in \Gamma(Z, \mathcal{O}_Z)\) une fonction telle que \(Z' = D(\overline{h})\). Puisque \(i : Z \to X\) est une immersion fermée, on peut trouver une fonction \(h \in \Gamma(X, \mathcal{O}_X)\) telle que \(i^\sharp(h) = \overline{h}\). Prenons \(X' = D(h) \subset X\). On obtient ainsi une restriction standard comme dans (2).

Soit \(U \subset X\) comme dans (3). Quitte à restreindre \(U\), on peut supposer que \(U\) est un ouvert standard. D’après Compléments sur les morphismes, Lemme 05B8, il existe un ouvert standard \(W \subset Y\), voisinage de \(y\), tel que \(\pi^{-1}(W) \subset i^{-1}(U)\). Appliquons (2) pour obtenir une restriction standard \(X', S', Z', Y'\) avec \(Y' = W_{S'}\). Puisque \(Z' \subset \pi^{-1}(W) \subset i^{-1}(U)\), on peut remplacer \(X'\) par \(X' \cap U\) (qui est encore un ouvert standard, puisque \(U\) l’est aussi) sans modifier aucune des conditions définissant une restriction standard. On obtient ainsi le résultat voulu.

Lemme

Soient \(S\), \(X\), \(\mathcal{F}\), \(x\), \(s\) comme dans la Définition 05H5. Soit \((Z, Y, i, \pi, \mathcal{G}, z, y)\) un dévissage en une étape de \(\mathcal{F}/X/S\) en \(x\). Soit \[\xymatrix{ (Y, y) \ar[d] & (Y', y') \ar[l] \ar[d] \\ (S, s) & (S', s') \ar[l] }\] un diagramme commutatif de schémas pointés dont les flèches horizontales sont des voisinages étales élémentaires. Il existe alors un diagramme commutatif \[\xymatrix{ & & (X'', x'') \ar[lld] \ar[d] & (Z'', z'') \ar[l] \ar[lld] \ar[d] \\ (X, x) \ar[d] & (Z, z) \ar[l] \ar[d] & (S'', s'') \ar[lld] & (Y'', y'') \ar[lld] \ar[l] \\ (S, s) & (Y, y) \ar[l] }\] de schémas pointés vérifiant les propriétés suivantes :

1. \((S'', s'') \to (S', s')\) est un voisinage étale élémentaire et le morphisme \(S'' \to S\) est le composé \(S'' \to S' \to S\),

2. \(Y''\) est un sous-schéma ouvert de \(Y' \times_{S'} S''\),

3. \(Z'' = Z \times_Y Y''\),

4. \((X'', x'') \to (X, x)\) est un voisinage étale élémentaire, et

5. \((Z'', Y'', i'', \pi'', \mathcal{G}'', z'', y'')\) est un dévissage en une étape en \(x''\) du faisceau \(\mathcal{F}''\).

Ici \(\mathcal{F}''\) (resp. \(\mathcal{G}''\)) est l’image réciproque de \(\mathcal{F}\) (resp. \(\mathcal{G}\)) par le morphisme \(X'' \to X\) (resp. \(Z'' \to Z\)), et \(i'' : Z'' \to X''\) et \(\pi'' : Z'' \to Y''\) sont les morphismes du diagramme.

Démonstration

Soit \((S'', s'') \to (S', s')\) un voisinage étale élémentaire quelconque avec \(S''\) affine. Soit \(Y'' \subset Y' \times_{S'} S''\) un voisinage ouvert affine quelconque du point \(y'' = (y', s'')\). On obtient alors un schéma affine \((Z'', z'')\) par (3). De plus, \(Z_{S''} \to X_{S''}\) est une immersion fermée et \(Z'' \to Z_{S''}\) est un morphisme étale. Le Lemme 057R s’applique donc, et l’on peut trouver un morphisme étale \(X'' \to X_{S'}\) de schémas affines tel que \(Z'' \cong X'' \times_{X_{S'}} Z_{S'}\). Notons \(i'' : Z'' \to X''\) l’immersion fermée correspondante. En posant \(x'' = i''(z'')\), on obtient un diagramme commutatif comme dans le lemme. Les propriétés (1), (2), (3) et (4) sont vérifiées par construction. Il suffit donc de montrer que (5) est vérifiée pour un choix convenable de \((S'', s'') \to (S', s')\) et de \(Y''\).

Énumérons d’abord les propriétés vérifiées pour tout choix de \((S'', s'') \to (S', s')\) et de \(Y''\) comme dans le premier paragraphe. Puisqu’on a \(Z'' = X'' \times_X Z\) par construction, on voit que \(i''_*\mathcal{G}'' = \mathcal{F}''\) (avec les notations de l’énoncé du lemme), voir Cohomologie des schémas, Lemme 02KG. Posons \(n = \dim(\text{Supp}(\mathcal{F}_s)) = \dim_x(\text{Supp}(\mathcal{F}_s))\). Le morphisme \(Y'' \to S''\) est lisse de dimension relative \(n\) (car \(Y' \to S'\) est lisse de dimension relative \(n\), comme composé \(Y' \to Y_{S'} \to S'\) d’un morphisme étale et d’un morphisme lisse de dimension relative \(n\), et parce que le changement de base préserve les morphismes lisses de dimension relative \(n\)). On a \(\kappa(y'') = \kappa(y)\) et \(\kappa(s) = \kappa(s'')\) ; ainsi \(\kappa(y'')\) est une extension transcendante pure de \(\kappa(s'')\). Le morphisme de fibres \(X''_{s''} \to X_s\) est un morphisme étale de schémas affines sur \(\kappa(s) = \kappa(s'')\), envoyant le point \(x''\) sur le point \(x\) et dont l’image réciproque de \(\mathcal{F}_s\) est \(\mathcal{F}''_{s''}\). Par suite, \[\dim(\text{Supp}(\mathcal{F}''_{s''})) = \dim(\text{Supp}(\mathcal{F}_s)) = n = \dim_x(\text{Supp}(\mathcal{F}_s)) = \dim_{x''}(\text{Supp}(\mathcal{F}''_{s''}))\] car la dimension est invariante par localisation étale, voir Descente, Lemme 04N4. Puisque \(\pi'' : Z'' \to Y''\) est obtenu par changement de base à partir de \(\pi\), on voit que \(\pi''\) est fini et, puisque \(\kappa(y) = \kappa(y'')\), on voit que \(\pi^{-1}(\{y''\}) = \{z''\}\).

À ce stade, on a vérifié toutes les conditions de la Définition 05H4, sauf que l’on n’a pas vérifié que \(Y'' \to S''\) est à fibres géométriquement irréductibles. Cela n’est évidemment pas vrai en général, et c’est ici que l’on utilise le fait que \(\kappa(s) \subset \kappa(y)\) est une extension transcendante pure. En effet, soit \(T \subset Y'_{s'}\) la composante irréductible de \(Y'_{s'}\) contenant \(y' = (y, s')\). Notons que \(T\) est un sous-schéma ouvert de \(Y'_{s'}\), car ce dernier est un schéma lisse sur \(\kappa(s')\). D’après Variétés, Lemme 04KV, on voit que \(T\) est géométriquement connexe, puisque \(\kappa(s') = \kappa(s)\) est algébriquement fermé dans \(\kappa(y') = \kappa(y)\). Puisque \(T\) est lisse, on voit que \(T\) est géométriquement irréductible. Le Lemme de Compléments sur les morphismes, 057J, s’applique donc, et l’on peut trouver un morphisme étale élémentaire \((S'', s'') \to (S', s')\) et un ouvert affine \(Y'' \subset Y'_{S''}\) tels que toutes les fibres de \(Y'' \to S''\) soient géométriquement irréductibles et que \(T = Y''_{s''}\). Quitte à restreindre d’abord \(Y''\), puis \(S''\), on peut supposer que \(Y''\) et \(S''\) sont tous deux affines. Cela achève la démonstration du lemme.

Lemme

Soient \(S\), \(X\), \(\mathcal{F}\), \(s\) comme dans la Définition 05H4. Soit \((Z, Y, i, \pi, \mathcal{G})\) un dévissage en une étape de \(\mathcal{F}/X/S\) au-dessus de \(s\). Soit \(\xi \in Y_s\) l’unique point générique. Il existe alors un entier \(r > 0\) et un homomorphisme de \(\mathcal{O}_Y\)-modules \[\alpha : \mathcal{O}_Y^{\oplus r} \longrightarrow \pi_*\mathcal{G}\] tels que \[\alpha : \kappa(\xi)^{\oplus r} \longrightarrow (\pi_*\mathcal{G})_\xi \otimes_{\mathcal{O}_{Y, \xi}} \kappa(\xi)\] soit un isomorphisme. De plus, on a alors \[\dim(\text{Supp}(\Coker(\alpha)_s)) < \dim(\text{Supp}(\mathcal{F}_s)).\]

Démonstration

Par hypothèse, les schémas \(S\) et \(Y\) sont affines. Écrivons \(S = \Spec(A)\) et \(Y = \Spec(B)\). Puisque \(\pi\) est fini, le \(\mathcal{O}_Y\)-module \(\pi_*\mathcal{G}\) est un \(\mathcal{O}_Y\)-module quasi-cohérent de type fini. On a donc \(\pi_*\mathcal{G} = \widetilde{N}\) pour un certain \(B\)-module de type fini \(N\). Soit \(\mathfrak p \subset B\) l’idéal premier correspondant à \(\xi\). Pour obtenir \(\alpha\), posons \(r = \dim_{\kappa(\mathfrak p)} N \otimes_B \kappa(\mathfrak p)\) et choisissons \(x_1, \ldots, x_r \in N\) dont les images forment une base de \(N \otimes_B \kappa(\mathfrak p)\). Prenons pour \(\alpha : B^{\oplus r} \to N\) l’homomorphisme donné par la formule \(\alpha(b_1, \ldots, b_r) = \sum b_ix_i\). Il est clair que \(\alpha : \kappa(\mathfrak p)^{\oplus r} \to N \otimes_B \kappa(\mathfrak p)\) est un isomorphisme, comme souhaité. Enfin, soit \(\alpha\) un homomorphisme quelconque ayant cette propriété. Alors \(N' = \Coker(\alpha)\) est un \(B\)-module de type fini tel que \(N' \otimes \kappa(\mathfrak p) = 0\). Par le lemme de Nakayama (Algèbre, Lemme 00DV), on voit que \(N'_{\mathfrak p} = 0\). Puisque la fibre \(Y_s\) est géométriquement irréductible de dimension \(n\), de point générique \(\xi\), et que l’on vient de voir que \(\xi\) n’appartient pas au support de \(\Coker(\alpha)\), la dernière assertion du lemme est vérifiée.

Dévissage complet

Dans cette section, nous expliquons ce qu’est un dévissage complet d’un module et démontrons l’existence de tels dévissages. Le contenu de cette section consiste surtout à organiser les constructions précédentes.

Définition

Soit \(S\) un schéma. Soit \(X\) localement de type fini sur \(S\). Soit \(\mathcal{F}\) un \(\mathcal{O}_X\)-module quasi-cohérent de type fini. Soit \(s \in S\) un point. Un dévissage complet de \(\mathcal{F}/X/S\) au-dessus de \(s\) est donné par un diagramme \[\xymatrix{ X & Z_1 \ar[l]^{i_1} \ar[d]^{\pi_1} \\ & Y_1 & Z_2 \ar[l]^{i_2} \ar[d]^{\pi_2} \\ & & Y_2 & Z_3 \ar[l] \ar[d] \\ & & & ... & ... \ar[l] \ar[d] \\ & & & & Y_n }\] de schémas sur \(S\), des \(\mathcal{O}_{Z_k}\)-modules quasi-cohérents de type fini \(\mathcal{G}_k\) et des homomorphismes de \(\mathcal{O}_{Y_k}\)-modules \[\alpha_k : \mathcal{O}_{Y_k}^{\oplus r_k} \longrightarrow \pi_{k, *}\mathcal{G}_k, \quad k = 1, \ldots, n\] vérifiant les propriétés suivantes :

1. \((Z_1, Y_1, i_1, \pi_1, \mathcal{G}_1)\) est un dévissage en une étape de \(\mathcal{F}/X/S\) au-dessus de \(s\),

2. l’homomorphisme \(\alpha_k\) induit un isomorphisme \[\kappa(\xi_k)^{\oplus r_k} \longrightarrow (\pi_{k, *}\mathcal{G}_k)_{\xi_k} \otimes_{\mathcal{O}_{Y_k, \xi_k}} \kappa(\xi_k)\] où \(\xi_k \in (Y_k)_s\) est l’unique point générique,

3. pour \(k = 2, \ldots, n\), le système \((Z_k, Y_k, i_k, \pi_k, \mathcal{G}_k)\) est un dévissage en une étape de \(\Coker(\alpha_{k - 1})/Y_{k - 1}/S\) au-dessus de \(s\),

4. \(\Coker(\alpha_n) = 0\).

On dit alors que \((Z_k, Y_k, i_k, \pi_k, \mathcal{G}_k, \alpha_k)_{k = 1, \ldots, n}\) est un dévissage complet de \(\mathcal{F}/X/S\) au-dessus de \(s\).

Définition

Soit \(S\) un schéma. Soit \(X\) localement de type fini sur \(S\). Soit \(\mathcal{F}\) un \(\mathcal{O}_X\)-module quasi-cohérent de type fini. Soit \(x \in X\) un point d’image \(s \in S\). Un dévissage complet de \(\mathcal{F}/X/S\) en \(x\) est donné par un système \[(Z_k, Y_k, i_k, \pi_k, \mathcal{G}_k, \alpha_k, z_k, y_k)_{k = 1, \ldots, n}\] tel que \((Z_k, Y_k, i_k, \pi_k, \mathcal{G}_k, \alpha_k)\) soit un dévissage complet de \(\mathcal{F}/X/S\) au-dessus de \(s\), et tel que

1. \((Z_1, Y_1, i_1, \pi_1, \mathcal{G}_1, z_1, y_1)\) soit un dévissage en une étape de \(\mathcal{F}/X/S\) en \(x\),

2. pour \(k = 2, \ldots, n\), le système \((Z_k, Y_k, i_k, \pi_k, \mathcal{G}_k, z_k, y_k)\) soit un dévissage en une étape de \(\Coker(\alpha_{k - 1})/Y_{k - 1}/S\) en \(y_{k - 1}\).

Remarquons encore qu’un dévissage complet ne peut exister que si \(X\) et \(S\) sont affines.

Lemme

Soient \(S\), \(X\), \(\mathcal{F}\), \(s\) comme dans la Définition 05HH. Soit \((S', s') \to (S, s)\) un morphisme quelconque de schémas pointés. Soit \((Z_k, Y_k, i_k, \pi_k, \mathcal{G}_k, \alpha_k)_{k = 1, \ldots, n}\) un dévissage complet de \(\mathcal{F}/X/S\) au-dessus de \(s\). Ces données étant fixées, soient \(X', Z'_k, Y'_k, i'_k, \pi'_k\) les objets obtenus par changement de base à partir de \(X, Z_k, Y_k, i_k, \pi_k\) suivant \(S' \to S\). Soit \(\mathcal{F}'\) l’image réciproque de \(\mathcal{F}\) sur \(X'\) et soit \(\mathcal{G}'_k\) l’image réciproque de \(\mathcal{G}_k\) sur \(Z'_k\). Soit \(\alpha'_k\) l’image réciproque de \(\alpha_k\) sur \(Y'_k\). Si \(S'\) est affine, alors \((Z'_k, Y'_k, i'_k, \pi'_k, \mathcal{G}'_k, \alpha'_k)_{k = 1, \ldots, n}\) est un dévissage complet de \(\mathcal{F}'/X'/S'\) au-dessus de \(s'\).

Démonstration

D’après le Lemme 05H7, on sait que le changement de base d’un dévissage en une étape est un dévissage en une étape. Il suffit donc de montrer que la formation de \(\Coker(\alpha_k)\) commute au changement de base et que la condition (2) de la Définition 05HH est préservée par changement de base. La première assertion résulte du fait que \(\pi'_{k, *}\mathcal{G}'_k\) est l’image réciproque de \(\pi_{k, *}\mathcal{G}_k\) (d’après Cohomologie des schémas, Lemme 02KG) et de l’exactitude à droite de \(\otimes\). Pour la seconde, le même raisonnement donne \[(\pi_{k, *}\mathcal{G}_k)_{\xi_k} \otimes_{\mathcal{O}_{Y_k, \xi_k}} \kappa(\xi_k) \otimes_{\kappa(\xi_k)} \kappa(\xi'_k) \cong (\pi'_{k, *}\mathcal{G}'_k)_{\xi'_k} \otimes_{\mathcal{O}_{Y'_k, \xi'_k}} \kappa(\xi'_k)\] avec des notations évidentes.

Lemme

Soient \(S\), \(X\), \(\mathcal{F}\), \(x\), \(s\) comme dans la Définition 05HI. Soit \((S', s') \to (S, s)\) un morphisme de schémas pointés induisant un isomorphisme \(\kappa(s) = \kappa(s')\). Soit \((Z_k, Y_k, i_k, \pi_k, \mathcal{G}_k, \alpha_k, z_k, y_k)_{k = 1, \ldots, n}\) un dévissage complet de \(\mathcal{F}/X/S\) en \(x\). Soit \((Z'_k, Y'_k, i'_k, \pi'_k, \mathcal{G}'_k, \alpha'_k)_{k = 1, \ldots, n}\) le système construit dans le Lemme 05HJ, et soit \(x' \in X'\) (resp. \(z'_k \in Z'\), \(y'_k \in Y'\)) l’unique point s’envoyant à la fois sur \(x \in X\) (resp. \(z_k \in Z_k\), \(y_k \in Y_k\)) et sur \(s' \in S'\). Si \(S'\) est affine, alors \((Z'_k, Y'_k, i'_k, \pi'_k, \mathcal{G}'_k, \alpha'_k, z'_k, y'_k)_{k = 1, \ldots, n}\) est un dévissage complet de \(\mathcal{F}'/X'/S'\) en \(x'\).

Démonstration

On combine le Lemme 05HJ et le Lemme 05H8.

Définition

Soient \(S\), \(X\), \(\mathcal{F}\), \(x\), \(s\) comme dans la Définition 05HI. Considérons un dévissage complet \((Z_k, Y_k, i_k, \pi_k, \mathcal{G}_k, \alpha_k, z_k, y_k)_{k = 1, \ldots, n}\) de \(\mathcal{F}/X/S\) en \(x\). Appelons restriction standard de cette situation la donnée d’ouverts standards \(S' \subset S\), \(X' \subset X\), \(Z'_k \subset Z_k\) et \(Y'_k \subset Y_k\) tels que \(s_k \in S'\), \(x_k \in X'\), \(z_k \in Z'\) et \(y_k \in Y'\), et tels que \[(Z'_k, Y'_k, i'_k, \pi'_k, \mathcal{G}'_k, \alpha'_k, z_k, y_k)_{k = 1, \ldots, n}\] soit un dévissage en une étape de \(\mathcal{F}'/X'/S'\) en \(x\), où \(\mathcal{G}'_k = \mathcal{G}_k|_{Z'_k}\) et \(\mathcal{F}' = \mathcal{F}|_{X'}\).

Lemme

Sous les hypothèses et avec les notations de la Définition 05HL, on a :

1. Si \(S' \subset S\) est un voisinage ouvert standard de \(s\), alors, en posant \(X' = X_{S'}\), \(Z'_k = Z_{S'}\) et \(Y'_k = Y_{S'}\), on obtient une restriction standard.

2. Soit \(W \subset Y_n\) un voisinage ouvert standard de \(y\). Il existe alors une restriction standard telle que \(Y'_n = W \times_S S'\).

3. Soit \(U \subset X\) un voisinage ouvert de \(x\). Il existe alors une restriction standard telle que \(X' \subset U\).

Démonstration

L’assertion (1) résulte immédiatement des Lemmes 05HK et 05HA.

Démonstration de (2). Pour simplifier les notations, posons \(X = Y_0\). On applique le Lemme 05HA (05HC) pour trouver une restriction standard \(S', Y'_{n - 1}, Z'_n, Y'_n\) du dévissage en une étape de \(\Coker(\alpha_{n - 1})/Y_{n - 1}/S\) en \(y_{n - 1}\) avec \(Y'_n = W \times_S S'\). On peut répéter cette opération et trouver une restriction standard \(S'', Y''_{n - 2}, Z''_{n - 1}, Y''_{n - 1}\) du dévissage en une étape de \(\Coker(\alpha_{n - 2})/Y_{n - 2}/S\) en \(y_{n - 2}\) avec \(Y''_{n - 1} = Y'_{n - 1} \times_S S''\). On continue ainsi jusqu’à obtenir \(S^{(n)}, Y^{(n)}_0, Z^{(n)}_1, Y^{(n)}_1\). Il est alors clair que l’on obtient la restriction standard cherchée en prenant \(S^{(n)}\), \(X^{(n)}\), \(Z_k^{(n - k)} \times_S S^{(n)}\) et \(Y_k^{(n - k)} \times_S S^{(n)}\), avec la propriété voulue.

Démonstration de (3). On raisonne par récurrence sur la longueur du dévissage complet. On applique d’abord le Lemme 05HA (05HD) pour trouver une restriction standard \(S', X', Z'_1, Y'_1\) du dévissage en une étape de \(\mathcal{F}/X/S\) en \(x\) avec \(X' \subset U\). Si \(n = 1\), la démonstration est terminée. Si \(n > 1\), l’hypothèse de récurrence fournit une restriction standard \(S''\), \(Y''_1\), \(Z''_k\) et \(Y''_k\) du dévissage complet \((Z_k, Y_k, i_k, \pi_k, \mathcal{G}_k, \alpha_k, z_k, y_k)_{k = 2, \ldots, n}\) de \(\Coker(\alpha_1)/Y_1/S\) en \(x\), telle que \(Y''_1 \subset Y'_1\). En utilisant le Lemme 05HA (05HC), on peut trouver \(S''' \subset S'\), \(X''' \subset X'\), \(Z'''_1\) et \(Y'''_1 = Y''_1 \times_S S'''\) qui constituent une restriction standard. La solution du problème consiste à prendre \[S''', X''', Z'''_1, Y'''_1, Z''_2 \times_S S''', Y''_2 \times_S S''', \ldots, Z''_n \times_S S''', Y''_n \times_S S'''\] Cela achève la démonstration du lemme.

Proposition

Soit \(S\) un schéma. Soit \(X\) localement de type fini sur \(S\). Soit \(x \in X\) un point d’image \(s \in S\). Il existe un diagramme commutatif \[\xymatrix{ (X, x) \ar[d] & (X', x') \ar[l]^g \ar[d] \\ (S, s) & (S', s') \ar[l] }\] de schémas pointés dont les flèches horizontales sont des voisinages étales élémentaires et tel que \(g^*\mathcal{F}/X'/S'\) admette un dévissage complet en \(x\).

Démonstration

On démontre cette assertion par récurrence sur l’entier \(d = \dim_x(\text{Supp}(\mathcal{F}_s))\). D’après le Lemme 05H6, il existe un diagramme \[\xymatrix{ (X, x) \ar[d] & (X', x') \ar[l]^g \ar[d] \\ (S, s) & (S', s') \ar[l] }\] de schémas pointés dont les flèches horizontales sont des voisinages étales élémentaires et tel que \(g^*\mathcal{F}/X'/S'\) admette un dévissage en une étape en \(x'\). Le caractère local du problème permet de remplacer \((X, x) \to (S, s)\) par \((X', x') \to (S', s')\). Après ce remplacement, on peut donc supposer qu’il existe un dévissage en une étape \((Z_1, Y_1, i_1, \pi_1, \mathcal{G}_1)\) de \(\mathcal{F}/X/S\) en \(x\).

On applique le Lemme 05HF pour trouver un homomorphisme \[\alpha_1 : \mathcal{O}_{Y_1}^{\oplus r_1} \longrightarrow \pi_{1, *}\mathcal{G}_1\] qui induit un isomorphisme d’espaces vectoriels sur \(\kappa(\xi_1)\), où \(\xi_1 \in Y_1\) est l’unique point générique de la fibre de \(Y_1\) au-dessus de \(s\). De plus, \(\dim_{y_1}(\text{Supp}(\Coker(\alpha_1)_s)) < d\). Il peut arriver que la fibre du faisceau \(\Coker(\alpha_1)_s\) en \(y_1\) soit nulle. On peut alors restreindre \(Y_1\) en utilisant le Lemme 05HA (05HC) et supposer que \(\Coker(\alpha_1) = 0\), obtenant ainsi un dévissage complet de longueur nulle.

Supposons maintenant que la fibre du faisceau \(\Coker(\alpha_1)_s\) en \(y_1\) ne soit pas nulle. L’hypothèse de récurrence fournit alors un diagramme commutatif [05HS]\[\begin{equation} \vcenter{ \xymatrix{ (Y_1, y_1) \ar[d] & (Y'_1, y'_1) \ar[l]^h \ar[d] \\ (S, s) & (S', s') \ar[l] } } \end{equation}\] de schémas pointés dont les flèches horizontales sont des voisinages étales élémentaires et tel que \(h^*\Coker(\alpha_1)/Y'_1/S'\) admette un dévissage complet \[(Z_k, Y_k, i_k, \pi_k, \mathcal{G}_k, \alpha_k, z_k, y_k)_{k = 2, \ldots, n}\] en \(y'_1\). (En particulier, \(i_2 : Z_2 \to Y'_1\) est une immersion fermée dans \(Y'_2\).) On applique alors le Lemme 05HE à \(S, X, \mathcal{F}, x, s\), au système \((Z_1, Y_1, i_1, \pi_1, \mathcal{G}_1)\) et au diagramme (05HS). On obtient un diagramme \[\xymatrix{ & & (X'', x'') \ar[lld] \ar[d] & (Z''_1, z''_1) \ar[l] \ar[lld] \ar[d] \\ (X, x) \ar[d] & (Z_1, z_1) \ar[l] \ar[d] & (S'', s'') \ar[lld] & (Y''_1, y''_1) \ar[lld] \ar[l] \\ (S, s) & (Y_1, y_1) \ar[l] }\] possédant toutes les propriétés énumérées dans le lemme cité. En particulier, \(Y''_1 \subset Y'_1 \times_{S'} S''\). Posons \(X_1 = Y'_1 \times_{S'} S''\) et notons \(\mathcal{F}_1\) l’image réciproque de \(\Coker(\alpha_1)\). D’après le Lemme 05HK, le système [05HT]\[\begin{equation} (Z_k \times_{S'} S'', Y_k \times_{S'} S'', i''_k, \pi''_k, \mathcal{G}''_k, \alpha''_k, z''_k, y''_k)_{k = 2, \ldots, n} \end{equation}\] est un dévissage complet de \(\mathcal{F}_1\) sur \(X_1\). De nouveau, le caractère local du problème permet de remplacer \((X, x) \to (S, s)\) par \((X'', x'') \to (S'', s'')\). On voit ainsi que l’on peut supposer :

1. Il existe un dévissage en une étape \((Z_1, Y_1, i_1, \pi_1, \mathcal{G}_1)\) de \(\mathcal{F}/X/S\) en \(x\),

2. il existe un \(\alpha_1 : \mathcal{O}_{Y_1}^{\oplus r_1} \to \pi_{1, *}\mathcal{G}_1\) tel que \(\alpha \otimes \kappa(\xi_1)\) soit un isomorphisme,

3. \(Y_1 \subset X_1\) est ouvert, \(y_1 = x_1\), et \(\mathcal{F}_1|_{Y_1} \cong \Coker(\alpha_1)\), et

4. il existe un dévissage complet \((Z_k, Y_k, i_k, \pi_k, \mathcal{G}_k, \alpha_k, z_k, y_k)_{k = 2, \ldots, n}\) de \(\mathcal{F}_1/X_1/S\) en \(x_1\).

Pour achever la démonstration, il suffit de restreindre le dévissage en une étape et le dévissage complet de façon à les assembler en un dévissage complet. (Nous suggérons au lecteur de le faire lui-même en utilisant les Lemmes 05HA et 05HM, au lieu de lire la démonstration qui suit.) Puisque \(Y_1 \subset X_1\) est un voisinage ouvert de \(x_1\), on peut appliquer le Lemme 05HM (05HQ) pour trouver une restriction standard \(S', X'_1, Z'_2, Y'_2, \ldots, Y'_n\) de la donnée (d), telle que \(X'_1 \subset Y_1\). Notons que \(X'_1\) est aussi un ouvert standard du schéma affine \(Y_1\). On restreint ensuite la donnée (a) comme suit : on restreint d’abord la base \(S\) à \(S'\), voir le Lemme 05HA (05HB), puis on restreint le résultat à \(S''\), \(X''\), \(Z''_1\), \(Y''_1\) en utilisant le Lemme 05HA (05HC), de sorte que finalement \(Y''_1 = X'_1 \times_S S''\) et \(S'' \subset S'\). On voit alors que \[Z''_1, Y''_1, Z'_2 \times_{S'} S'', Y'_2 \times_{S'} S'', \ldots, Y'_n \times_{S'} S''\] fournit le dévissage complet cherché.

En organisant encore les constructions, on obtient la conséquence suivante.

Lemme

Soit \(X \to S\) un morphisme de type fini de schémas. Soit \(\mathcal{F}\) un \(\mathcal{O}_X\)-module quasi-cohérent de type fini. Soit \(s \in S\) un point. Il existe un voisinage étale élémentaire \((S', s') \to (S, s)\) et des morphismes étales \(h_i : Y_i \to X_{S'}\), \(i = 1, \ldots, n\), tels que, pour chaque \(i\), il existe un dévissage complet de \(\mathcal{F}_i/Y_i/S'\) au-dessus de \(s'\), où \(\mathcal{F}_i\) est l’image réciproque de \(\mathcal{F}\) sur \(Y_i\), et tels que \(X_s = (X_{S'})_{s'} \subset \bigcup h_i(Y_i)\).

Démonstration

Pour tout point \(x \in X_s\), on peut trouver un diagramme \[\xymatrix{ (X, x) \ar[d] & (X', x') \ar[l]^g \ar[d] \\ (S, s) & (S', s') \ar[l] }\] de schémas pointés dont les flèches horizontales sont des voisinages étales élémentaires et tel que \(g^*\mathcal{F}/X'/S'\) admette un dévissage complet en \(x'\). Puisque \(X \to S\) est de type fini, la fibre \(X_s\) est quasi-compacte et, puisque chaque \(g : X' \to X\) comme ci-dessus est ouvert, on peut recouvrir \(X_s\) par une réunion finie de \(g(X'_{s'})\). On peut donc trouver une famille finie de tels diagrammes \[\vcenter{ \xymatrix{ (X, x) \ar[d] & (X'_i, x'_i) \ar[l]^{g_i} \ar[d] \\ (S, s) & (S'_i, s'_i) \ar[l] } } \quad i = 1, \ldots, n\] telle que \(X_s = \bigcup g_i(X'_i)\). Posons \(S' = S'_1 \times_S \ldots \times_S S'_n\) et soit \(Y_i = X_i \times_{S'_i} S'\) le changement de base de \(X'_i\) à \(S'\). D’après le Lemme 05HJ, on voit que l’image réciproque de \(\mathcal{F}\) sur \(Y_i\) admet un dévissage complet au-dessus de \(s\), ce qui donne le résultat voulu.

Traduction en termes d’algèbre

Il peut être utile d’expliciter en termes algébriques ce que signifie l’existence d’un dévissage complet. Nous introduisons la notion suivante (qui n’est pas très utile, d’où le nom démesurément long que nous lui donnons).

Définition

Soit \(R \to S\) un homomorphisme d’anneaux. Soit \(\mathfrak q\) un idéal premier de \(S\) au-dessus de l’idéal premier \(\mathfrak p\) de \(R\). Une localisation étale élémentaire de l’homomorphisme d’anneaux \(R \to S\) en \(\mathfrak q\) est donnée par un diagramme commutatif d’anneaux et par les idéaux premiers correspondants \[\xymatrix{ S \ar[r] & S' \\ R \ar[u] \ar[r] & R' \ar[u] } \quad\quad \xymatrix{ \mathfrak q \ar@{-}[r] & \mathfrak q' \\ \mathfrak p \ar@{-}[u] \ar@{-}[r] & \mathfrak p' \ar@{-}[u] }\] tels que \(R \to R'\) et \(S \to S'\) soient des homomorphismes d’anneaux étales et que \(\kappa(\mathfrak p) = \kappa(\mathfrak p')\) et \(\kappa(\mathfrak q) = \kappa(\mathfrak q')\).

Définition

Soit \(R \to S\) un homomorphisme d’anneaux de type fini. Soit \(\mathfrak r\) un idéal premier de \(R\). Soit \(N\) un \(S\)-module de type fini. Un dévissage complet de \(N/S/R\) au-dessus de \(\mathfrak r\) est donné par des homomorphismes de \(R\)-algèbres \[\xymatrix{ & A_1 & & A_2 & & ... & & A_n \\ S \ar[ru] & & B_1 \ar[lu] \ar[ru] & & ... \ar[lu] \ar[ru] & & ... \ar[lu] \ar[ru] & & B_n \ar[lu] }\] des \(A_i\)-modules de type fini \(M_i\) et des homomorphismes de \(B_i\)-modules \(\alpha_i : B_i^{\oplus r_i} \to M_i\) tels que

1. \(S \to A_1\) soit surjectif et de présentation finie,

2. \(B_i \to A_{i + 1}\) soit surjectif et de présentation finie,

3. \(B_i \to A_i\) soit fini,

4. \(R \to B_i\) soit lisse à fibres géométriquement irréductibles,

5. \(N \cong M_1\) comme \(S\)-modules,

6. \(\Coker(\alpha_i) \cong M_{i + 1}\) comme \(B_i\)-modules,

7. \(\alpha_i : \kappa(\mathfrak p_i)^{\oplus r_i} \to M_i \otimes_{B_i} \kappa(\mathfrak p_i)\) soit un isomorphisme, où \(\mathfrak p_i = \mathfrak rB_i\), et

8. \(\Coker(\alpha_n) = 0\).

On dit alors que \((A_i, B_i, M_i, \alpha_i)_{i = 1, \ldots, n}\) est un dévissage complet de \(N/S/R\) au-dessus de \(\mathfrak r\).

Remarque

Notons que les \(R\)-algèbres \(B_i\), pour tout \(i\), et \(A_i\), pour \(i \geq 2\), sont de présentation finie sur \(R\). Si \(S\) est de présentation finie sur \(R\), alors \(A_1\) est également de présentation finie sur \(R\). Dans ce cas, tous les homomorphismes d’anneaux du dévissage complet sont de présentation finie. Voir Algèbre, Lemme 00F4. Toujours sous l’hypothèse que \(S\) est de présentation finie sur \(R\), les conditions suivantes sont équivalentes :

1. \(M\) est de présentation finie sur \(S\),

2. \(M_1\) est de présentation finie sur \(A_1\),

3. \(M_1\) est de présentation finie sur \(B_1\),

4. chaque \(M_i\) est de présentation finie à la fois comme \(A_i\)-module et comme \(B_i\)-module.

Les équivalences (1) \(\Leftrightarrow\) (2) et (2) \(\Leftrightarrow\) (3) résultent de Algèbre, Lemme 0564. Si \(M_1\) est de présentation finie, il en est de même de \(\Coker(\alpha_1)\) (voir Algèbre, Lemme 0519), donc de \(M_2\), et ainsi de suite.

Définition

Soit \(R \to S\) un homomorphisme d’anneaux de type fini. Soit \(\mathfrak q\) un idéal premier de \(S\) au-dessus de l’idéal premier \(\mathfrak r\) de \(R\). Soit \(N\) un \(S\)-module de type fini. Un dévissage complet de \(N/S/R\) en \(\mathfrak q\) est donné par un dévissage complet \((A_i, B_i, M_i, \alpha_i)_{i = 1, \ldots, n}\) de \(N/S/R\) au-dessus de \(\mathfrak r\) et par des idéaux premiers \(\mathfrak q_i \subset B_i\) au-dessus de \(\mathfrak r\) tels que

1. \(\kappa(\mathfrak r) \subset \kappa(\mathfrak q_i)\) soit purement transcendante,

2. il existe un unique idéal premier \(\mathfrak q'_i \subset A_i\) au-dessus de \(\mathfrak q_i \subset B_i\),

3. \(\mathfrak q = \mathfrak q'_1 \cap S\) et \(\mathfrak q_i = \mathfrak q'_{i + 1} \cap A_i\),

4. \(R \to B_i\) soit de dimension relative \(\dim_{\mathfrak q_i}(\text{Supp}(M_i \otimes_R \kappa(\mathfrak r)))\).

Remarque

Soit \(A \to B\) un homomorphisme d’anneaux de type fini et soit \(N\) un \(B\)-module de type fini. Soit \(\mathfrak q\) un idéal premier de \(B\) au-dessus de l’idéal premier \(\mathfrak r\) de \(A\). Posons \(X = \Spec(B)\), \(S = \Spec(A)\) et \(\mathcal{F} = \widetilde{N}\) sur \(X\). Soit \(x\) le point correspondant à \(\mathfrak q\) et soit \(s \in S\) le point correspondant à \(\mathfrak p\). Alors

1. s’il existe un dévissage complet de \(\mathcal{F}/X/S\) au-dessus de \(s\), il existe un dévissage complet de \(N/B/A\) au-dessus de \(\mathfrak p\), et

2. il existe un dévissage complet de \(\mathcal{F}/X/S\) en \(x\) si et seulement s’il existe un dévissage complet de \(N/B/A\) en \(\mathfrak q\).

La seule nuance est que nous avons omis la condition sur la dimension relative dans la formulation « un dévissage complet de \(N/B/A\) au-dessus de \(\mathfrak p\) », ce qui explique que l’implication (1) ne soit donnée que dans un sens. La notion de dévissage complet en \(\mathfrak q\) inclut bien cette condition. Quoi qu’il en soit, nous utiliserons seulement le fait que l’existence pour \(\mathcal{F}/X/S\) entraîne l’existence pour \(N/B/A\).

Lemme

Soit \(R \to S\) un homomorphisme d’anneaux de type fini. Soit \(M\) un \(S\)-module de type fini. Soit \(\mathfrak q\) un idéal premier de \(S\). Il existe une localisation étale élémentaire \(R' \to S', \mathfrak q', \mathfrak p'\) de l’homomorphisme d’anneaux \(R \to S\) en \(\mathfrak q\) telle qu’il existe un dévissage complet de \((M \otimes_S S')/S'/R'\) en \(\mathfrak q'\).

Démonstration

C’est une reformulation de la Proposition 05HR au moyen de la Remarque 05I0

Localisation et homomorphismes universellement injectifs

Lemme

Soit \(R \to S\) un homomorphisme d’anneaux. Soit \(N\) un \(S\)-module. Supposons que

1. \(R\) soit un anneau local d’idéal maximal \(\mathfrak m\),

2. \(\overline{S} = S/\mathfrak m S\) soit noethérien, et

3. \(\overline{N} = N/\mathfrak m_R N\) soit un \(\overline{S}\)-module de type fini.

Soit \(\Sigma \subset S\) la partie multiplicative des éléments qui ne sont pas diviseurs de zéro sur \(\overline{N}\). Alors \(\Sigma^{-1}S\) est un anneau semi-local dont le spectre est formé des idéaux premiers \(\mathfrak q \subset S\) contenus dans un élément de \(\text{Ass}_S(\overline{N})\). De plus, tout idéal maximal de \(\Sigma^{-1}S\) correspond à un idéal premier associé à \(\overline{N}\) sur \(\overline{S}\).

Démonstration

Notons que \(\text{Ass}_S(\overline{N}) = \text{Ass}_{\overline{S}}(\overline{N})\), voir Algèbre, Lemme 05BY. Cet ensemble est fini d’après Algèbre, Lemme 00LC. Écrivons \(\{\mathfrak q_1, \ldots, \mathfrak q_r\} = \text{Ass}_S(\overline{N})\). On a \(\Sigma = S \setminus (\bigcup \mathfrak q_i)\) d’après Algèbre, Lemme 00LD. D’après la description de \(\Spec(\Sigma^{-1}S)\) donnée dans Algèbre, Lemme 00E3, et d’après Algèbre, Lemme 00DS, on voit que les idéaux premiers de \(\Sigma^{-1}S\) correspondent aux idéaux premiers de \(S\) contenus dans l’un des \(\mathfrak q_i\). Les idéaux maximaux de \(\Sigma^{-1}S\) correspondent donc bijectivement aux éléments maximaux (pour l’inclusion) de l’ensemble \(\{\mathfrak q_1, \ldots, \mathfrak q_r\}\). Cela démontre le lemme.

Lemme

Sous les hypothèses et avec les notations du Lemme 05DE, supposons de plus que

1. \(S\) soit local et que \(R \to S\) soit un homomorphisme local,

2. \(S\) soit essentiellement de présentation finie sur \(R\),

3. \(N\) soit de présentation finie sur \(S\), et

4. \(N\) soit plat sur \(R\).

Alors tout \(s \in \Sigma\) définit un homomorphisme universellement injectif de \(R\)-modules \(s : N \to N\), et l’homomorphisme \(N \to \Sigma^{-1}N\) est \(R\)-universellement injectif.

Démonstration

D’après Algèbre, Lemme 046Y, la suite \(0 \to N \to N \to N/sN \to 0\) est exacte et \(N/sN\) est plat sur \(R\). Il en résulte que \(s : N \to N\) est universellement injectif, voir Algèbre, Lemme 00HL. L’homomorphisme \(N \to \Sigma^{-1}N\) est universellement injectif comme limite inductive filtrante des homomorphismes \(s : N \to N\).

Lemme

Soit \(R \to S\) un homomorphisme d’anneaux. Soit \(N\) un \(S\)-module. Soit \(S \to S'\) un homomorphisme d’anneaux. Supposons que

1. \(R \to S\) soit un homomorphisme local d’anneaux locaux,

2. \(S\) soit essentiellement de présentation finie sur \(R\),

3. \(N\) soit de présentation finie sur \(S\),

4. \(N\) soit plat sur \(R\),

5. \(S \to S'\) soit plat, et

6. l’image de \(\Spec(S') \to \Spec(S)\) contienne tous les idéaux premiers \(\mathfrak q\) de \(S\) au-dessus de \(\mathfrak m_R\) tels que \(\mathfrak q\) soit un idéal premier associé à \(N/\mathfrak m_R N\).

Alors \(N \to N \otimes_S S'\) est \(R\)-universellement injectif.

Démonstration

Posons \(N' = N \otimes_R S'\). Considérons le diagramme commutatif \[\xymatrix{ N \ar[d] \ar[r] & N' \ar[d] \\ \Sigma^{-1}N \ar[r] & \Sigma^{-1}N' }\] où \(\Sigma \subset S\) est l’ensemble des éléments qui ne sont pas diviseurs de zéro sur \(N/\mathfrak m_R N\). S’il est établi que l’homomorphisme \(N \to \Sigma^{-1}N'\) est universellement injectif, alors \(N \to N'\) l’est aussi (voir Algèbre, Lemme 05CJ).

D’après le Lemme 05DE, l’anneau \(\Sigma^{-1}S\) est un anneau semi-local dont les idéaux maximaux correspondent aux idéaux premiers associés à \(N/\mathfrak m_R N\). L’image de \(\Spec(\Sigma^{-1}S') \to \Spec(\Sigma^{-1}S)\) contient donc tous ces idéaux maximaux par hypothèse. D’après Algèbre, Lemme 00HQ, l’homomorphisme d’anneaux \(\Sigma^{-1}S \to \Sigma^{-1}S'\) est fidèlement plat. Ainsi \(\Sigma^{-1}N \to \Sigma^{-1}N'\), qui est l’homomorphisme \[N \otimes_S \Sigma^{-1}S \longrightarrow N \otimes_S \Sigma^{-1}S'\] est universellement injectif, voir Algèbre, Lemmes 05CK et 05CH. Enfin, on applique le Lemme 05DF pour voir que \(N \to \Sigma^{-1}N\) est universellement injectif. Puisque le composé d’homomorphismes de modules universellement injectifs est universellement injectif (voir Algèbre, Lemme 05CI), on en conclut que \(N \to \Sigma^{-1}N'\) est universellement injectif, ce qui donne le résultat voulu.

Lemme

Soit \(R \to S\) un homomorphisme d’anneaux. Soit \(N\) un \(S\)-module. Soit \(S \to S'\) un homomorphisme d’anneaux. Supposons que

1. \(R \to S\) soit de présentation finie et que \(N\) soit de présentation finie sur \(S\),

2. \(N\) soit plat sur \(R\),

3. \(S \to S'\) soit plat, et

4. l’image de \(\Spec(S') \to \Spec(S)\) contienne tous les idéaux premiers \(\mathfrak q\) tels que \(\mathfrak q\) soit un idéal premier associé à \(N \otimes_R \kappa(\mathfrak p)\), où \(\mathfrak p\) est l’image réciproque de \(\mathfrak q\) dans \(R\).

Alors \(N \to N \otimes_S S'\) est \(R\)-universellement injectif.

Démonstration

D’après Algèbre, Lemme 05CL, il suffit de montrer que \(N_{\mathfrak q} \to (N \otimes_R S')_{\mathfrak q}\) est \(R_{\mathfrak p}\)-universellement injectif pour tout idéal premier \(\mathfrak q\) de \(S\) au-dessus de \(\mathfrak p\) dans \(R\). On peut donc appliquer le Lemme 05DG aux homomorphismes d’anneaux \(R_{\mathfrak p} \to S_{\mathfrak q} \to S'_{\mathfrak q}\) et au module \(N_{\mathfrak q}\).

Le lecteur pourra comparer le lemme suivant à Algèbre, Lemmes 00ME et 046Y, ainsi qu’aux résultats de la section 0ASZ. Dans chaque cas, la conclusion est que l’homomorphisme \(u : M \to N\) est universellement injectif, de conoyau plat.

Lemme

Soit \((R, \mathfrak m)\) un anneau local. Soit \(u : M \to N\) un homomorphisme de \(R\)-modules. Si \(M\) est un \(R\)-module projectif, si \(N\) est un \(R\)-module plat et si \(\overline{u} : M/\mathfrak mM \to N/\mathfrak mN\) est injectif, alors \(u\) est universellement injectif.

Démonstration

D’après Algèbre, Théorème 0593, le module \(M\) est libre. Si l’on établit le résultat pour tout facteur direct de type fini de \(M\), le lemme en résultera. On peut donc supposer que \(M\) est libre de type fini. Écrivons \(N = \colim_i N_i\) comme limite inductive filtrante de modules libres de type fini, voir Algèbre, Théorème 058G. Notons que \(u : M \to N\) se factorise par \(N_i\) pour un certain \(i\) (puisque \(M\) est libre de type fini). Notons \(u_i : M \to N_i\) l’homomorphisme de \(R\)-modules correspondant. Puisque \(\overline{u}\) est injectif, on voit que \(\overline{u_i} : M/\mathfrak mM \to N_i/\mathfrak mN_i\) est injectif et le reste après composition avec les homomorphismes \(N_i/\mathfrak mN_i \to N_{i'}/\mathfrak mN_{i'}\) pour tout \(i' \geq i\). Puisque \(M\) et \(N_{i'}\) sont libres de type fini sur l’anneau local \(R\), cela entraîne que \(M \to N_{i'}\) est une injection scindée pour tout \(i' \geq i\). Par suite, pour tout \(R\)-module \(Q\), on voit que \(M \otimes_R Q \to N_{i'} \otimes_R Q\) est injectif pour tout \(i' \geq i\). Puisque \(- \otimes_R Q\) commute aux limites inductives, on en conclut que \(M \otimes_R Q \to N_{i'} \otimes_R Q\) est injectif, comme souhaité.

Lemme

Sous les hypothèses et avec les notations du Lemme 05DE, supposons de plus que \(N\) soit projectif comme \(R\)-module. Alors tout \(s \in \Sigma\) définit un homomorphisme universellement injectif de \(R\)-modules \(s : N \to N\), et l’homomorphisme \(N \to \Sigma^{-1}N\) est \(R\)-universellement injectif.

Démonstration

Choisissons \(s \in \Sigma\). D’après le Lemme 05FQ, l’homomorphisme \(s : N \to N\) est universellement injectif. L’homomorphisme \(N \to \Sigma^{-1}N\) est universellement injectif comme limite inductive filtrante des homomorphismes \(s : N \to N\).

Complétion et modules de Mittag-Leffler

Lemme

Soit \(R\) un anneau. Soit \(I \subset R\) un idéal. Soit \(A\) un ensemble. Supposons que \(R\) soit noethérien et complet pour la topologie définie par \(I\). Le complété \((\bigoplus\nolimits_{\alpha \in A} R)^\wedge\) est plat et de Mittag-Leffler.

Démonstration

D’après Compléments d’algèbre, Lemme 05BC, l’homomorphisme \((\bigoplus\nolimits_{\alpha \in A} R)^\wedge \to \prod_{\alpha \in A} R\) est universellement injectif. Ainsi, d’après Algèbre, Lemmes 058P et 059N, il suffit de montrer que \(\prod_{\alpha \in A} R\) est plat et de Mittag-Leffler. D’après Algèbre, Proposition 05CZ (et Algèbre, Lemme 05CY), on voit que \(\prod_{\alpha \in A} R\) est plat. On conclut donc, car un produit de copies de \(R\) est de Mittag-Leffler, voir Algèbre, Lemme 05D0.

Lemme

Soit \(R\) un anneau. Soit \(I \subset R\) un idéal. Soit \(M\) un \(R\)-module. Supposons que

1. \(R\) soit noethérien et complet pour la topologie \(I\)-adique,

2. \(M\) soit plat sur \(R\), et

3. \(M/IM\) soit un \(R/I\)-module projectif.

Alors le complété \(I\)-adique \(M^\wedge\) est un \(R\)-module plat de Mittag-Leffler.

Démonstration

Choisissons une surjection \(F \to M\), où \(F\) est un \(R\)-module libre. D’après Algèbre, Lemme 05D3, le module \(M^\wedge\) est un facteur direct du module \(F^\wedge\). Il suffit donc de démontrer le lemme pour \(F\). Dans ce cas, le lemme résulte du Lemme 05DJ.

Dans les Lemmes 05DL et 05DM, l’hypothèse que \(S\) est noethérien est satisfaite si \(R \to S\) est de type fini, voir Algèbre, Lemme 00FN.

Lemme

Soit \(R\) un anneau. Soit \(I \subset R\) un idéal. Soient \(R \to S\) un homomorphisme d’anneaux et \(N\) un \(S\)-module. Supposons que

1. \(R\) soit un anneau noethérien,

2. \(S\) soit un anneau noethérien,

3. \(N\) soit un \(S\)-module de type fini, et

4. pour tout \(R\)-module de type fini \(Q\), tout \(\mathfrak q \in \text{Ass}_S(Q \otimes_R N)\) vérifie \(IS + \mathfrak q \not = S\).

Alors l’homomorphisme \(N \to N^\wedge\) de \(N\) dans le complété \(I\)-adique de \(N\) est universellement injectif comme homomorphisme de \(R\)-modules.

Démonstration

Il faut montrer que, pour tout \(R\)-module de type fini \(Q\), l’homomorphisme \(Q \otimes_R N \to Q \otimes_R N^\wedge\) est injectif, voir Algèbre, Théorème 058K. Puisqu’il existe un homomorphisme canonique \(Q \otimes_R N^\wedge \to (Q \otimes_R N)^\wedge\), il suffit de démontrer que l’homomorphisme canonique \(Q \otimes_R N \to (Q \otimes_R N)^\wedge\) est injectif. On peut donc remplacer \(N\) par \(Q \otimes_R N\), et il suffit de démontrer l’injectivité de l’homomorphisme \(N \to N^\wedge\).

Soit \(K = \Ker(N \to N^\wedge)\). Il suffit de montrer que \(K_{\mathfrak q} = 0\) pour \(\mathfrak q \in \text{Ass}(N)\), puisque \(N\) est un sous-module de \(\prod_{\mathfrak q \in \text{Ass}(N)} N_{\mathfrak q}\), voir Algèbre, Lemme 0311. Choisissons \(\mathfrak q \in \text{Ass}(N)\). La dernière hypothèse montre qu’il existe un idéal premier \(\mathfrak q' \supset IS + \mathfrak q\). Puisque \(K_{\mathfrak q}\) est un localisé de \(K_{\mathfrak q'}\), il suffit de démontrer la nullité de \(K_{\mathfrak q'}\). Notons que \(K = \bigcap I^nN\) ; par suite, \(K_{\mathfrak q'} \subset \bigcap I^nN_{\mathfrak q'}\). Ainsi \(K_{\mathfrak q'} = 0\) d’après Algèbre, Lemme 00IP.

Lemme

Soit \(R\) un anneau. Soit \(I \subset R\) un idéal. Soient \(R \to S\) un homomorphisme d’anneaux et \(N\) un \(S\)-module. Supposons que

1. \(R\) soit un anneau noethérien,

2. \(S\) soit un anneau noethérien,

3. \(N\) soit un \(S\)-module de type fini,

4. \(N\) soit plat sur \(R\), et

5. pour tout idéal premier \(\mathfrak q \subset S\) associé à \(N \otimes_R \kappa(\mathfrak p)\), où \(\mathfrak p = R \cap \mathfrak q\), on ait \(IS + \mathfrak q \not = S\).

Alors l’homomorphisme \(N \to N^\wedge\) de \(N\) dans le complété \(I\)-adique de \(N\) est universellement injectif comme homomorphisme de \(R\)-modules.

Démonstration

Cela résulte du Lemme 05DL, car Algèbre, Lemme 05C2 et Remarque 05E0 assurent que les ensembles d’idéaux premiers associés aux produits tensoriels \(N \otimes_R Q\) sont contenus dans l’ensemble des idéaux premiers associés aux modules \(N \otimes_R \kappa(\mathfrak p)\).

Modules projectifs

Le lemme suivant permet de démontrer la projectivité par récurrence noethérienne sur la base, voir le Lemme 05FS.

Lemme

Soit \(R\) un anneau. Soit \(I \subset R\) un idéal. Soient \(R \to S\) un homomorphisme d’anneaux et \(N\) un \(S\)-module. Supposons que

1. \(R\) soit noethérien et complet pour la topologie \(I\)-adique,

2. \(R \to S\) soit de type fini,

3. \(N\) soit un \(S\)-module de type fini,

4. \(N\) soit plat sur \(R\),

5. \(N/IN\) soit projectif comme \(R/I\)-module, et

6. pour tout idéal premier \(\mathfrak q \subset S\) associé à \(N \otimes_R \kappa(\mathfrak p)\), où \(\mathfrak p = R \cap \mathfrak q\), on ait \(IS + \mathfrak q \not = S\).

Alors \(N\) est projectif comme \(R\)-module.

Démonstration

D’après le Lemme 05DM, l’homomorphisme \(N \to N^\wedge\) est universellement injectif. D’après le Lemme 05DK, le module \(N^\wedge\) est de Mittag-Leffler. D’après Algèbre, Lemme 059N, on en conclut que \(N\) est de Mittag-Leffler. Ainsi \(N\) est engendré par une famille dénombrable, plat et de Mittag-Leffler comme \(R\)-module, donc projectif d’après Algèbre, Lemme 059X.

Lemme

Soit \(R\) un anneau. Soit \(R \to S\) un homomorphisme d’anneaux. Supposons que

1. \(R\) soit noethérien,

2. \(R \to S\) soit de type fini et plat, et

3. tout anneau de fibre \(S \otimes_R \kappa(\mathfrak p)\) soit géométriquement intègre sur \(\kappa(\mathfrak p)\).

Alors \(S\) est projectif comme \(R\)-module.

Démonstration

Considérons l’ensemble \[\{I \subset R \mid S/IS\text{ non projectif comme }R/I\text{-module}\}\] Il faut montrer que cet ensemble est vide. Raisonnons par l’absurde en le supposant non vide. Il contient alors un élément maximal \(I\). Soit \(J = \sqrt{I}\) son radical. Si \(I \not = J\), alors \(S/JS\) est projectif comme \(R/J\)-module, \(S/IS\) est plat sur \(R/I\) et \(J/I\) est un idéal nilpotent de \(R/I\). En appliquant Algèbre, Lemme 05CG, on voit que \(S/IS\) est un \(R/I\)-module projectif, ce qui est contradictoire. On peut donc supposer que \(I\) est un idéal radical. Autrement dit, on est ramené à démontrer le lemme lorsque \(R\) est un anneau réduit et que \(S/IS\) est un \(R/I\)-module projectif pour tout idéal non nul \(I\) de \(R\).

Supposons que \(R\) soit un anneau réduit et que \(S/IS\) soit un \(R/I\)-module projectif pour tout idéal non nul \(I\) de \(R\). Par platitude générique, Algèbre, Lemme 051R (appliqué à un localisé \(R_g\) qui est intègre), ou par le résultat plus général Algèbre, Lemme 051Z, il existe un élément non nul \(f \in R\) tel que \(S_f\) soit libre comme \(R_f\)-module. Notons \(R^\wedge = \lim R/(f^n)\) le complété \((f)\)-adique de \(R\). Notons que l’homomorphisme d’anneaux \[R \longrightarrow R_f \times R^\wedge\] est fidèlement plat, voir Algèbre, Lemme 00MB. Par descente fidèlement plate de la projectivité, voir Algèbre, Théorème 05A9, il suffit donc de démontrer que \(S \otimes_R R^\wedge\) est un \(R^\wedge\)-module projectif. Pour cela, on utilisera le critère du Lemme 05DP. Tout d’abord, notons que \(S/fS = (S \otimes_R R^\wedge)/f(S \otimes_R R^\wedge)\) est un \(R/(f)\)-module projectif et que \(S \otimes_R R^\wedge\) est plat et de type fini sur \(R^\wedge\), par changement de base. Supposons ensuite que \(\mathfrak p^\wedge\) soit un idéal premier de \(R^\wedge\). Soit \(\mathfrak p \subset R\) l’idéal premier correspondant de \(R\). Puisque \(R \to S\) est à anneaux de fibres géométriquement intègres, il en est de même après tout changement de base. Par suite, \(\mathfrak q^\wedge = \mathfrak p^\wedge(S \otimes_R R^\wedge)\), est un idéal premier au-dessus de \(\mathfrak p^\wedge\) et c’est l’unique idéal premier associé à \(S \otimes_R \kappa(\mathfrak p^\wedge)\). Il suffit donc de montrer que \(f(S \otimes_R R^\wedge) + \mathfrak q^\wedge \not = S \otimes_R R^\wedge\). Cela résulte de \(\mathfrak p^\wedge + fR^\wedge \not = R^\wedge\), puisque \(f\) appartient au radical de Jacobson de l’anneau \(f\)-adiquement complet \(R^\wedge\), et du fait que \(R^\wedge \to S \otimes_R R^\wedge\) est surjectif sur les spectres, ses fibres étant non vides (les espaces irréductibles sont non vides).

Lemme

Soit \(R\) un anneau. Soit \(R \to S\) un homomorphisme d’anneaux. Supposons que

1. \(R \to S\) soit de présentation finie et plat, et

2. tout anneau de fibre \(S \otimes_R \kappa(\mathfrak p)\) soit géométriquement intègre sur \(\kappa(\mathfrak p)\).

Alors \(S\) est projectif comme \(R\)-module.

Démonstration

On peut trouver un diagramme cocartésien d’anneaux \[\xymatrix{ S_0 \ar[r] & S \\ R_0 \ar[u] \ar[r] & R \ar[u] }\] tel que \(R_0\) soit de type fini sur \(\mathbf{Z}\) et que l’homomorphisme \(R_0 \to S_0\) soit de type fini et plat, à fibres géométriquement intègres, voir Compléments sur les morphismes, Lemmes 05FE, 05FG, 05FH, et 05FL. D’après le Lemme 05FS, on voit que \(S_0\) est un \(R_0\)-module projectif. Ainsi \(S = S_0 \otimes_{R_0} R\) est un \(R\)-module projectif, voir Algèbre, Lemme 05A3.

Remarque

Le Lemme 05FT est une étape essentielle dans l’établissement des résultats de ce chapitre. Son analogue dans [GruRay] est [GruRay, I Proposition 3.3.1] : si \(R \to S\) est lisse à fibres géométriquement intègres, alors \(S\) est projectif comme \(R\)-module. C’est un cas particulier du Lemme 05FT, mais, puisque nous améliorerons encore ce lemme dans la suite, il est peu utile de disposer dès à présent d’un résultat plus fort. Esquissons brièvement la démonstration donnée dans [GruRay].

1. On se ramène d’abord au cas où \(R\) est noethérien, comme ci-dessus.

2. Puisque la projectivité descend par les homomorphismes d’anneaux fidèlement plats, voir Algèbre, Théorème 05A9, on peut travailler localement pour la topologie fppf sur \(R\), donc supposer que \(R \to S\) admet une section \(\sigma : S \to R\). (Il suffit, comme d’habitude, d’effectuer le changement de base à \(S\).) Posons \(I = \Ker(S \to R)\).

3. En localisant encore sur \(R\), on peut supposer que \(I/I^2\) est un \(R\)-module libre et que le complété \(S^\wedge\) de \(S\) pour la topologie définie par \(I\) est isomorphe à \(R[[t_1, \ldots, t_n]]\), voir Morphismes, Lemme 05D9. On utilise ici le fait que \(R \to S\) est lisse.

4. Pour démontrer que \(S\) est projectif comme \(R\)-module, il suffit de montrer que \(S\) est plat, engendré par une famille dénombrable et de Mittag-Leffler comme \(R\)-module, voir Algèbre, Lemme 059X. Les deux premières propriétés sont évidentes. Il suffit donc de montrer que \(S\) est de Mittag-Leffler comme \(R\)-module. D’après Algèbre, Lemme 059T, le module \(R[[t_1, \ldots, t_n]]\) est de Mittag-Leffler sur \(R\). Ainsi Algèbre, Lemme 059N, montre qu’il suffit d’établir que \(S \to S^\wedge\) est universellement injectif comme homomorphisme de \(R\)-modules.

5. On applique le Lemme 05DH pour voir que \(S \to S^\wedge\) est \(R\)-universellement injectif. En effet, puisque \(R \to S\) est à fibres géométriquement intègres, tout point associé de tout anneau de fibre est précisément le point générique de cet anneau de fibre, qui appartient à l’image de \(\Spec(S^\wedge) \to \Spec(S)\).

Il existe une analogie entre la démonstration ainsi esquissée et les arguments qui conduisent à la démonstration du Lemme 05FT. Dans les deux cas, une complétion joue un rôle essentiel, et l’hypothèse que les fibres sont géométriquement intègres assure chaque fois que l’homomorphisme de \(S\) dans le complété de \(S\) est \(R\)-universellement injectif.

Modules plats de type fini, I

Dans certains cas, étant donnés un homomorphisme d’anneaux \(R \to S\) de présentation finie et un \(S\)-module de type fini \(N\), la platitude de \(N\) sur \(R\) entraîne que \(N\) est de présentation finie. Nous démontrons dans cette section que cette assertion est vraie « ponctuellement ». Remarquons que la première démonstration de la Proposition 05I5 utilise les résultats géométriques de la section 057P, mais non l’existence d’un dévissage complet.

Lemme

Soit \((R, \mathfrak m)\) un anneau local. Soit \(R \to S\) un homomorphisme d’anneaux de présentation finie, plat et à fibres géométriquement intègres. Posons \(\mathfrak p = \mathfrak mS\). Soit \(\mathfrak q \subset S\) un idéal premier au-dessus de \(\mathfrak m\). Soit \(N\) un \(S\)-module de type fini. Il existe \(r \geq 0\) et un homomorphisme de \(S\)-modules \[\alpha : S^{\oplus r} \longrightarrow N\] tels que \(\alpha : \kappa(\mathfrak p)^{\oplus r} \to N \otimes_S \kappa(\mathfrak p)\) soit un isomorphisme. Pour tout tel \(\alpha\), les conditions suivantes sont équivalentes :

1. \(N_{\mathfrak q}\) est \(R\)-plat,

2. \(\alpha\) est \(R\)-universellement injectif et \(\Coker(\alpha)_{\mathfrak q}\) est \(R\)-plat,

3. \(\alpha\) est injectif et \(\Coker(\alpha)_{\mathfrak q}\) est \(R\)-plat,

4. \(\alpha_{\mathfrak p}\) est un isomorphisme et \(\Coker(\alpha)_{\mathfrak q}\) est \(R\)-plat, et

5. \(\alpha_{\mathfrak q}\) est injectif et \(\Coker(\alpha)_{\mathfrak q}\) est \(R\)-plat.

Démonstration

Pour obtenir \(\alpha\), posons \(r = \dim_{\kappa(\mathfrak p)} N \otimes_S \kappa(\mathfrak p)\) et choisissons \(x_1, \ldots, x_r \in N\) dont les images forment une base de \(N \otimes_S \kappa(\mathfrak p)\). Définissons \(\alpha(s_1, \ldots, s_r) = \sum s_i x_i\). Cela démontre l’existence.

Fixons un tel \(\alpha\). L’implication la plus intéressante est (1) \(\Rightarrow\) (2), que nous démontrons d’abord. Supposons (1). Puisque \(S/\mathfrak mS\) est un anneau intègre dont le corps des fractions est \(\kappa(\mathfrak p)\), on voit que \((S/\mathfrak mS)^{\oplus r} \to N_{\mathfrak p}/\mathfrak mN_{\mathfrak p} = N \otimes_S \kappa(\mathfrak p)\) est injectif. Par suite, d’après les Lemmes 05FQ et 05FT, l’homomorphisme \(S^{\oplus r} \to N_{\mathfrak p}\) est \(R\)-universellement injectif. Il en résulte que \(S^{\oplus r} \to N\) est \(R\)-universellement injectif, voir Algèbre, Lemme 05CJ. Le localisé \(\alpha_{\mathfrak q}\) est alors lui aussi \(R\)-universellement injectif, voir Algèbre, Lemme 05CM. On en conclut que \(\Coker(\alpha)_{\mathfrak q}\) est \(R\)-plat d’après Algèbre, Lemme 058P.

L’implication (2) \(\Rightarrow\) (3) est immédiate. Si (3) est vérifiée, alors \(\alpha_{\mathfrak p}\) est injectif, comme localisé d’un homomorphisme injectif de modules. Par le lemme de Nakayama (Algèbre, Lemme 00DV), \(\alpha_{\mathfrak p}\) est aussi surjectif. Ainsi (3) \(\Rightarrow\) (4). Si (4) est vérifiée, alors \(\alpha_{\mathfrak p}\) est un isomorphisme ; par suite, \(\alpha\) est injectif, puisque \(S_{\mathfrak q} \to S_{\mathfrak p}\) est injectif. En effet, les éléments de \(S \setminus \mathfrak p\) ne sont pas diviseurs de zéro sur \(S\), comme on le voit en combinant les Lemmes 05FR et 05FT. Ainsi (4) \(\Rightarrow\) (5). Enfin, si (5) est vérifiée, alors \(N_{\mathfrak q}\) est \(R\)-plat, comme extension de modules plats, voir Algèbre, Lemme 00HM. Ainsi (5) \(\Rightarrow\) (1), ce qui achève la démonstration.

Lemme

Soit \((R, \mathfrak m)\) un anneau local. Soit \(R \to S\) un homomorphisme d’anneaux de présentation finie. Soit \(N\) un \(S\)-module de type fini. Soit \(\mathfrak q\) un idéal premier de \(S\) au-dessus de \(\mathfrak m\). Supposons que \(N_{\mathfrak q}\) soit plat sur \(R\) et qu’il existe un dévissage complet de \(N/S/R\) en \(\mathfrak q\). Alors \(N\) est un \(S\)-module de présentation finie, libre comme \(R\)-module, et il existe un isomorphisme \[N \cong B_1^{\oplus r_1} \oplus \ldots \oplus B_n^{\oplus r_n}\] de \(R\)-modules, où chaque \(B_i\) est une \(R\)-algèbre lisse à fibres géométriquement irréductibles.

Démonstration

Soit \((A_i, B_i, M_i, \alpha_i, \mathfrak q_i)_{i = 1, \ldots, n}\) le dévissage complet donné. On démontre le lemme par récurrence sur \(n\). Notons que \(N\) est de présentation finie comme \(S\)-module si et seulement si \(M_1\) est de présentation finie comme \(B_1\)-module, voir la Remarque 05HY. Notons que \(N_{\mathfrak q} \cong (M_1)_{\mathfrak q_1}\) comme \(R\)-modules, car (a) \(N_{\mathfrak q} \cong (M_1)_{\mathfrak q'_1}\), où \(\mathfrak q'_1\) est l’unique idéal premier de \(A_1\) au-dessus de \(\mathfrak q_1\), et (b) \((A_1)_{\mathfrak q'_1} = (A_1)_{\mathfrak q_1}\) d’après Algèbre, Lemme 00EA, d’où (c) \((M_1)_{\mathfrak q'_1} \cong (M_1)_{\mathfrak q_1}\). Ainsi \((M_1)_{\mathfrak q_1}\) est un \(R\)-module plat. On peut donc remplacer \((S, N)\) par \((B_1, M_1)\) pour démontrer le lemme. D’après le Lemme 05I3, l’homomorphisme \(\alpha_1 : B_1^{\oplus r_1} \to M_1\) est \(R\)-universellement injectif et \(\Coker(\alpha_1)_{\mathfrak q}\) est \(R\)-plat. Notons que \((A_i, B_i, M_i, \alpha_i, \mathfrak q_i)_{i = 2, \ldots, n}\) est un dévissage complet de \(\Coker(\alpha_1)/B_1/R\) en \(\mathfrak q_1\). L’hypothèse de récurrence entraîne donc que \(\Coker(\alpha_1)\) est de présentation finie comme \(B_1\)-module, libre comme \(R\)-module et possède une décomposition comme dans le lemme. Il en résulte que \(M_1\) est de présentation finie comme \(B_1\)-module, voir Algèbre, Lemme 0519. Il en résulte aussi que \(M_1 \cong B_1^{\oplus r_1} \oplus \Coker(\alpha_1)\) comme \(R\)-modules, d’où une décomposition comme dans le lemme. Enfin, \(B_1\) est projectif comme \(R\)-module d’après le Lemme 05FT, donc libre comme \(R\)-module d’après Algèbre, Théorème 0593. Cela achève la démonstration.

Proposition

Soit \(f : X \to S\) un morphisme de schémas. Soit \(\mathcal{F}\) un faisceau quasi-cohérent sur \(X\). Soit \(x \in X\) d’image \(s \in S\). Supposons que

1. \(f\) soit localement de présentation finie,

2. \(\mathcal{F}\) soit de type fini, et

3. \(\mathcal{F}\) soit plat en \(x\) sur \(S\).

Il existe alors un voisinage étale élémentaire \((S', s') \to (S, s)\) et un sous-schéma ouvert \[V \subset X \times_S \Spec(\mathcal{O}_{S', s'})\] qui contient l’unique point de \(X \times_S \Spec(\mathcal{O}_{S', s'})\) s’envoyant sur \(x\), tels que l’image réciproque de \(\mathcal{F}\) sur \(V\) soit un \(\mathcal{O}_V\)-module de présentation finie et plat sur \(\mathcal{O}_{S', s'}\).

Démonstration

Cette démonstration est plus longue, mais n’utilise pas l’existence d’un dévissage complet. Le problème est local au voisinage de \(x\) et de \(s\) ; on peut donc supposer que \(X\) et \(S\) sont affines. Au cours de la démonstration, on remplacera un nombre fini de fois \(S\) par un voisinage étale élémentaire de \((S, s)\). Le but sera alors de trouver, après un tel remplacement, un ouvert \(V \subset X \times_S \Spec(\mathcal{O}_{S, s})\) contenant \(x\) tel que \(\mathcal{F}|_V\) soit plat sur \(S\) et de présentation finie. On peut évidemment aussi remplacer \(S\) par \(\Spec(\mathcal{O}_{S, s})\) à tout moment de la démonstration, c’est-à-dire supposer que \(S\) est un schéma local. On démontrera la proposition par récurrence sur l’entier \(n = \dim_x(\text{Supp}(\mathcal{F}_s))\).

On peut choisir

1. des voisinages étales élémentaires \(g : (X', x') \to (X, x)\), \(e : (S', s') \to (S, s)\),

2. un diagramme commutatif \[\xymatrix{ X \ar[dd]_f & X' \ar[dd] \ar[l]^g & Z' \ar[l]^i \ar[d]^\pi \\ & & Y' \ar[d]^h \\ S & S' \ar[l]_e & S' \ar@{=}[l] }\]

3. un point \(z' \in Z'\) tel que \(i(z') = x'\), \(y' = \pi(z')\), \(h(y') = s'\),

4. un \(\mathcal{O}_{Z'}\)-module quasi-cohérent de type fini \(\mathcal{G}\),

comme dans le Lemme 057S. Nous allons remplacer \(S\) par \(\Spec(\mathcal{O}_{S', s'})\), voir les remarques du premier paragraphe de la démonstration. Considérons le diagramme \[\xymatrix{ X_{\mathcal{O}_{S', s'}} \ar[ddr]_f & X'_{\mathcal{O}_{S', s'}} \ar[dd] \ar[l]^g & Z'_{\mathcal{O}_{S', s'}} \ar[l]^i \ar[d]^\pi \\ & & Y'_{\mathcal{O}_{S', s'}} \ar[dl]^h \\ & \Spec(\mathcal{O}_{S', s'}) }\] On a ici effectué le changement de base des schémas \(X', Z', Y'\) sur \(S'\) suivant \(\Spec(\mathcal{O}_{S', s'}) \to S'\) et celui du schéma \(X\) sur \(S\) suivant \(\Spec(\mathcal{O}_{S', s'}) \to S\). Le morphisme \(g\) est encore étale, voir le Lemme 05H2. Après avoir remplacé \(X\) par \(X_{\mathcal{O}_{S', s'}}\), \(X'\) par \(X'_{\mathcal{O}_{S', s'}}\), \(Z'\) par \(Z'_{\mathcal{O}_{S', s'}}\) et \(Y'\) par \(Y'_{\mathcal{O}_{S', s'}}\), on peut supposer que l’on dispose d’un diagramme comme dans le Lemme 057S, où, de plus, \(S = S'\) est un schéma local de point fermé \(s\). D’après les Lemmes 057T et 057U, le résultat pour \(Y' \to S\), le faisceau \(\pi_*\mathcal{G}\) et le point \(y'\) entraîne le résultat pour \(X \to S\), \(\mathcal{F}\) et \(x\). On peut donc supposer que \(S\) est local et que \(X \to S\) est un morphisme lisse de schémas affines, à fibres géométriquement irréductibles de dimension \(n\).

Cas initial de la récurrence : \(n = 0\). Puisque \(X \to S\) est lisse à fibres géométriquement irréductibles de dimension \(0\), on voit que \(X \to S\) est une immersion ouverte, voir Descente, Lemme 02LC. Puisque \(S\) est local et que son point fermé appartient à l’image de \(X \to S\), on en conclut que \(X = S\). Ainsi \(\mathcal{F}\) correspond à un \(\mathcal{O}_{S, s}\)-module plat de type fini. Dans ce cas, le résultat découle de Algèbre, Lemme 00NZ, qui affirme que \(\mathcal{F}\) est en fait libre de type fini.

Étape de récurrence. Supposons le résultat établi lorsque la dimension du support dans la fibre fermée est \(< n\). Écrivons \(S = \Spec(A)\), \(X = \Spec(B)\) et \(\mathcal{F} = \widetilde{N}\) pour un certain \(B\)-module \(N\). Notons que \(A\) est un anneau local ; désignons par \(\mathfrak m\) son idéal maximal. Alors \(\mathfrak p = \mathfrak mB\) est l’unique idéal premier minimal au-dessus de \(\mathfrak m\), puisque \(X \to S\) est à fibres géométriquement irréductibles. Enfin, soit \(\mathfrak q \subset B\) l’idéal premier correspondant à \(x\). D’après le Lemme 05I3, on peut choisir un homomorphisme \[\alpha : B^{\oplus r} \to N\] tel que \(\kappa(\mathfrak p)^{\oplus r} \to N \otimes_B \kappa(\mathfrak p)\) soit un isomorphisme. De plus, puisque \(N_{\mathfrak q}\) est \(A\)-plat, le lemme montre aussi que \(\alpha\) est injectif et que \(\Coker(\alpha)_{\mathfrak q}\) est \(A\)-plat. Posons \(Q = \Coker(\alpha)\). Notons que le support de \(Q/\mathfrak mQ\) ne contient pas \(\mathfrak p\). On a donc certainement \(\dim_{\mathfrak q}(\text{Supp}(Q/\mathfrak mQ)) < n\). En réunissant les propriétés connues de \(Q\), on voit que l’hypothèse de récurrence s’applique à \(Q\). Il existe donc un morphisme étale élémentaire \((S', s) \to (S, s)\) tel que la conclusion soit vérifiée pour \(Q \otimes_A A'\) sur \(B \otimes_A A'\), où \(A' = \mathcal{O}_{S', s'}\). Après avoir remplacé \(A\) par \(A'\), on dispose d’une suite exacte \[0 \to B^{\oplus r} \to N \to Q \to 0\] (on utilise ici l’injectivité de \(\alpha\) indiquée plus haut) de \(B\)-modules de type fini, et l’on obtient aussi un élément \(g \in B\), \(g \not \in \mathfrak q\), tel que \(Q_g\) soit de présentation finie sur \(B_g\) et plat sur \(A\). La localisation étant exacte, on voit que \[0 \to B_g^{\oplus r} \to N_g \to Q_g \to 0\] est encore exacte. Puisque \(B_g\) et \(Q_g\) sont plats sur \(A\), on en conclut que \(N_g\) est plat sur \(A\), voir Algèbre, Lemme 00HM, et puisque \(B_g\) et \(Q_g\) sont de présentation finie sur \(B_g\), il en est de même de \(N_g\), voir Algèbre, Lemme 0519.

Démonstration

On applique la Proposition 05HR pour trouver un diagramme commutatif \[\xymatrix{ (X, x) \ar[d] & (X', x') \ar[l]^g \ar[d] \\ (S, s) & (S', s') \ar[l] }\] de schémas pointés dont les flèches horizontales sont des voisinages étales élémentaires et tel que \(g^*\mathcal{F}/X'/S'\) admette un dévissage complet en \(x\). (En particulier, \(S'\) et \(X'\) sont affines.) D’après Morphismes, Lemme 02JZ, on voit que \(g^*\mathcal{F}\) est plat en \(x'\) sur \(S\) et, d’après le Lemme 05B9, on voit qu’il est plat en \(x'\) sur \(S'\). Au moyen de la Remarque 05I0, on en déduit que \[\Gamma(X', g^*\mathcal{F})/ \Gamma(X', \mathcal{O}_{X'})/ \Gamma(S', \mathcal{O}_{S'})\] admet un dévissage complet en l’idéal premier de \(\Gamma(X', \mathcal{O}_{X'})\) correspondant à \(x'\). On peut effectuer le changement de base de ce dévissage complet à l’anneau local \(\mathcal{O}_{S', s'}\) de \(\Gamma(S', \mathcal{O}_{S'})\) en l’idéal premier correspondant à \(s'\). Le Lemme 05I4 entraîne donc que \[\Gamma(X', \mathcal{F}') \otimes_{\Gamma(S', \mathcal{O}_{S'})} \mathcal{O}_{S', s'}\] est plat sur \(\mathcal{O}_{S', s'}\) et de présentation finie sur \(\Gamma(X', \mathcal{O}_{X'}) \otimes_{\Gamma(S', \mathcal{O}_{S'})} \mathcal{O}_{S', s'}\). Autrement dit, la restriction de \(\mathcal{F}\) à \(X' \times_{S'} \Spec(\mathcal{O}_{S', s'})\) est de présentation finie et plate sur \(\mathcal{O}_{S', s'}\). Puisque le morphisme \(X' \times_{S'} \Spec(\mathcal{O}_{S', s'}) \to X \times_S \Spec(\mathcal{O}_{S', s'})\) est étale (Lemme 05H2), son image \(V \subset X \times_S \Spec(\mathcal{O}_{S', s'})\) est un sous-schéma ouvert et, par descente étale, la restriction de \(\mathcal{F}\) à \(V\) est de présentation finie et plate sur \(\mathcal{O}_{S', s'}\). (Résultats utilisés : Morphismes, Lemme 03WT, Descente, Lemme 05B0, et Morphismes, Lemme 02JZ.)

Lemme

Soit \(f : X \to S\) un morphisme de schémas localement de type fini. Soit \(\mathcal{F}\) un \(\mathcal{O}_X\)-module quasi-cohérent de type fini. Soit \(s \in S\). Alors l’ensemble \[\{x \in X_s \mid \mathcal{F} \text{ plat sur }S\text{ en }x\}\] est ouvert dans la fibre \(X_s\).

Démonstration

Supposons \(x \in U\). Choisissons un voisinage étale élémentaire \((S', s') \to (S, s)\) et un ouvert \(V \subset X \times_S \Spec(\mathcal{O}_{S', s'})\) comme dans la Proposition 05I5. Notons que \(X_{s'} = X_s\), puisque \(\kappa(s) = \kappa(s')\). Si \(x' \in V \cap X_{s'}\), alors l’image réciproque de \(\mathcal{F}\) sur \(X \times_S S'\) est plate sur \(S'\) en \(x'\). Ainsi \(\mathcal{F}\) est plat en \(x'\) sur \(S\), voir Morphismes, Lemme 02JZ. Autrement dit, \(X_s \cap V \subset U\) est un voisinage ouvert de \(x\) dans \(U\).

Lemme

Soit \(f : X \to S\) un morphisme de schémas. Soit \(\mathcal{F}\) un faisceau quasi-cohérent sur \(X\). Soit \(x \in X\) d’image \(s \in S\). Supposons que

1. \(f\) soit localement de type fini,

2. \(\mathcal{F}\) soit de type fini, et

3. \(\mathcal{F}\) soit plat en \(x\) sur \(S\).

Il existe alors un voisinage étale élémentaire \((S', s') \to (S, s)\) et un sous-schéma ouvert \[V \subset X \times_S \Spec(\mathcal{O}_{S', s'})\] qui contient l’unique point de \(X \times_S \Spec(\mathcal{O}_{S', s'})\) s’envoyant sur \(x\), tels que l’image réciproque de \(\mathcal{F}\) sur \(V\) soit plate sur \(\mathcal{O}_{S', s'}\).

Démonstration

(La seule différence avec la Proposition 05I5 est que l’on ne suppose pas \(f\) de présentation finie.) La question est locale sur \(X\) et sur \(S\) ; on peut donc supposer que \(X\) et \(S\) sont affines. Écrivons \(X = \Spec(B)\), \(S = \Spec(A)\) et \(B = A[x_1, \ldots, x_n]/I\). Autrement dit, on obtient une immersion fermée \(i : X \to \mathbf{A}^n_S\). Notons \(t = i(x) \in \mathbf{A}^n_S\). On peut appliquer la Proposition 05I5 à \(\mathbf{A}^n_S \to S\), au faisceau \(i_*\mathcal{F}\) et au point \(t\). On obtient un voisinage étale élémentaire \((S', s') \to (S, s)\) et un sous-schéma ouvert \[W \subset \mathbf{A}^n_{\mathcal{O}_{S', s'}}\] tels que l’image réciproque de \(i_*\mathcal{F}\) sur \(W\) soit plate sur \(\mathcal{O}_{S', s'}\). Cela signifie que \(V := W \cap \big(X \times_S \Spec(\mathcal{O}_{S', s'})\big)\) est le sous-schéma ouvert cherché.

Lemme

Soit \(f : X \to S\) un morphisme de schémas. Soit \(\mathcal{F}\) un faisceau quasi-cohérent sur \(X\). Soit \(s \in S\). Supposons que

1. \(f\) soit de présentation finie,

2. \(\mathcal{F}\) soit de type fini, et

3. \(\mathcal{F}\) soit plat sur \(S\) en tout point de la fibre \(X_s\).

Il existe alors un voisinage étale élémentaire \((S', s') \to (S, s)\) et un sous-schéma ouvert \[V \subset X \times_S \Spec(\mathcal{O}_{S', s'})\] qui contient la fibre \(X_s = X \times_S s'\), tels que l’image réciproque de \(\mathcal{F}\) sur \(V\) soit un \(\mathcal{O}_V\)-module de présentation finie et plat sur \(\mathcal{O}_{S', s'}\).

Démonstration

Pour tout point \(x \in X_s\), on peut utiliser la Proposition 05I5 pour trouver un voisinage étale élémentaire \((S_x, s_x) \to (S, s)\) et un ouvert \(V_x \subset X \times_S \Spec(\mathcal{O}_{S_x, s_x})\) tels que \(x \in X_s = X \times_S s_x\) appartienne à \(V_x\) et que l’image réciproque de \(\mathcal{F}\) sur \(V_x\) soit un \(\mathcal{O}_{V_x}\)-module de présentation finie et plat sur \(\mathcal{O}_{S_x, s_x}\). En particulier, on peut considérer la fibre \((V_x)_{s_x}\) comme un voisinage ouvert de \(x\) dans \(X_s\). Puisque \(X_s\) est quasi-compact, on peut trouver un nombre fini de points \(x_1, \ldots, x_n \in X_s\) tels que \(X_s\) soit la réunion des \((V_{x_i})_{s_{x_i}}\). Choisissons un voisinage étale élémentaire \((S' , s') \to (S, s)\) qui domine chacun des voisinages \((S_{x_i}, s_{x_i})\), voir Compléments sur les morphismes, Lemme 057B. Posons \(V = \bigcup V_i\), où \(V_i\) est l’image réciproque de l’ouvert \(V_{x_i}\) par le morphisme \[X \times_S \Spec(\mathcal{O}_{S', s'}) \longrightarrow X \times_S \Spec(\mathcal{O}_{S_{x_i}, s_{x_i}})\] Par construction, \(V\) contient \(X_s\) et l’image réciproque de \(\mathcal{F}\) sur \(V\) est un \(\mathcal{O}_V\)-module de présentation finie et plat sur \(\mathcal{O}_{S', s'}\).

Lemme

Soit \(f : X \to S\) un morphisme de schémas. Soit \(\mathcal{F}\) un faisceau quasi-cohérent sur \(X\). Soit \(s \in S\). Supposons que

1. \(f\) soit de type fini,

2. \(\mathcal{F}\) soit de type fini, et

3. \(\mathcal{F}\) soit plat sur \(S\) en tout point de la fibre \(X_s\).

Il existe alors un voisinage étale élémentaire \((S', s') \to (S, s)\) et un sous-schéma ouvert \[V \subset X \times_S \Spec(\mathcal{O}_{S', s'})\] qui contient la fibre \(X_s = X \times_S s'\), tels que l’image réciproque de \(\mathcal{F}\) sur \(V\) soit plate sur \(\mathcal{O}_{S', s'}\).

Démonstration

(La seule différence avec le Lemme 05KU est que l’on ne suppose pas \(f\) de présentation finie.) Pour tout point \(x \in X_s\), on peut utiliser le Lemme 05KT pour trouver un voisinage étale élémentaire \((S_x, s_x) \to (S, s)\) et un ouvert \(V_x \subset X \times_S \Spec(\mathcal{O}_{S_x, s_x})\) tels que \(x \in X_s = X \times_S s_x\) appartienne à \(V_x\) et que l’image réciproque de \(\mathcal{F}\) sur \(V_x\) soit plate sur \(\mathcal{O}_{S_x, s_x}\). En particulier, on peut considérer la fibre \((V_x)_{s_x}\) comme un voisinage ouvert de \(x\) dans \(X_s\). Puisque \(X_s\) est quasi-compact, on peut trouver un nombre fini de points \(x_1, \ldots, x_n \in X_s\) tels que \(X_s\) soit la réunion des \((V_{x_i})_{s_{x_i}}\). Choisissons un voisinage étale élémentaire \((S' , s') \to (S, s)\) qui domine chacun des voisinages \((S_{x_i}, s_{x_i})\), voir Compléments sur les morphismes, Lemme 057B. Posons \(V = \bigcup V_i\), où \(V_i\) est l’image réciproque de l’ouvert \(V_{x_i}\) par le morphisme \[X \times_S \Spec(\mathcal{O}_{S', s'}) \longrightarrow X \times_S \Spec(\mathcal{O}_{S_{x_i}, s_{x_i}})\] Par construction, \(V\) contient \(X_s\) et l’image réciproque de \(\mathcal{F}\) sur \(V\) est plate sur \(\mathcal{O}_{S', s'}\).

Lemme

Soit \(S\) un schéma. Soit \(X\) localement de type fini sur \(S\). Soit \(x \in X\) d’image \(s \in S\). Si \(X\) est plat en \(x\) sur \(S\), il existe alors un voisinage étale élémentaire \((S', s') \to (S, s)\) et un sous-schéma ouvert \[V \subset X \times_S \Spec(\mathcal{O}_{S', s'})\] qui contient l’unique point de \(X \times_S \Spec(\mathcal{O}_{S', s'})\) s’envoyant sur \(x\), tels que \(V \to \Spec(\mathcal{O}_{S', s'})\) soit plat et de présentation finie.

Démonstration

La question est locale sur \(X\) et sur \(S\) ; on peut donc supposer que \(X\) et \(S\) sont affines. Écrivons \(X = \Spec(B)\), \(S = \Spec(A)\) et \(B = A[x_1, \ldots, x_n]/I\). Autrement dit, on obtient une immersion fermée \(i : X \to \mathbf{A}^n_S\). Notons \(t = i(x) \in \mathbf{A}^n_S\). On peut appliquer la Proposition 05I5 à \(\mathbf{A}^n_S \to S\), au faisceau \(\mathcal{F} = i_*\mathcal{O}_X\) et au point \(t\). On obtient un voisinage étale élémentaire \((S', s') \to (S, s)\) et un sous-schéma ouvert \[W \subset \mathbf{A}^n_{\mathcal{O}_{S', s'}}\] tels que l’image réciproque de \(i_*\mathcal{O}_X\) soit plate et de présentation finie. Cela signifie que \(V := W \cap \big(X \times_S \Spec(\mathcal{O}_{S', s'})\big)\) est le sous-schéma ouvert cherché.

Lemme

Soit \(f : X \to S\) un morphisme localement de présentation finie. Soit \(\mathcal{F}\) un \(\mathcal{O}_X\)-module quasi-cohérent de type fini. Si \(x \in X\) et si \(\mathcal{F}\) est plat en \(x\) sur \(S\), alors \(\mathcal{F}_x\) est un \(\mathcal{O}_{X, x}\)-module de présentation finie.

Démonstration

Soit \(s = f(x)\). D’après la Proposition 05I5, il existe un voisinage étale élémentaire \((S', s') \to (S, s)\) tel que l’image réciproque de \(\mathcal{F}\) sur \(X \times_S \Spec(\mathcal{O}_{S', s'})\) soit de présentation finie au voisinage du point \(x' \in X_{s'} = X_s\) correspondant à \(x\). L’homomorphisme d’anneaux \[\mathcal{O}_{X, x} \longrightarrow \mathcal{O}_{X \times_S \Spec(\mathcal{O}_{S', s'}), x'} = \mathcal{O}_{X \times_S S', x'}\] est plat et local, comme localisé d’un homomorphisme d’anneaux étale. Par suite, \(\mathcal{F}_x\) est de présentation finie sur \(\mathcal{O}_{X, x}\) par descente, voir Algèbre, Lemme 03C4 (et le fait qu’un homomorphisme local plat est fidèlement plat, voir Algèbre, Lemme 00HR).

Lemme

Soit \(f : X \to S\) un morphisme localement de type fini. Soit \(x \in X\) d’image \(s \in S\). Si \(f\) est plat en \(x\) sur \(S\), alors \(\mathcal{O}_{X, x}\) est essentiellement de présentation finie sur \(\mathcal{O}_{S, s}\).

Démonstration

On peut supposer \(X\) et \(S\) affines. Écrivons \(X = \Spec(B)\), \(S = \Spec(A)\) et \(B = A[x_1, \ldots, x_n]/I\). Autrement dit, on obtient une immersion fermée \(i : X \to \mathbf{A}^n_S\). Notons \(t = i(x) \in \mathbf{A}^n_S\). On peut appliquer le Lemme 05I7 à \(\mathbf{A}^n_S \to S\), au faisceau \(\mathcal{F} = i_*\mathcal{O}_X\) et au point \(t\). On en conclut que \(\mathcal{O}_{X, x}\) est de présentation finie sur \(\mathcal{O}_{\mathbf{A}^n_S, t}\), ce qui donne l’assertion cherchée.

Extension de propriétés à partir d’un ouvert

Nous réunissons dans cette section plusieurs résultats de la forme suivante : si \(f : X \to S\) est un morphisme plat de schémas et si \(f\) possède une certaine propriété au-dessus d’un ouvert dense de \(S\), alors \(f\) possède cette même propriété au-dessus de tout \(S\).

Lemme

Soit \(f : X \to S\) un morphisme de schémas. Soit \(\mathcal{F}\) un \(\mathcal{O}_X\)-module quasi-cohérent. Soit \(U \subset S\) un ouvert. Supposons que

1. \(f\) soit localement de présentation finie,

2. \(\mathcal{F}\) soit de type fini et plat sur \(S\),

3. \(U \subset S\) soit rétrocompact et schématiquement dense,

4. \(\mathcal{F}|_{f^{-1}U}\) soit de présentation finie.

Alors \(\mathcal{F}\) est de présentation finie.

Démonstration

Le problème est local sur \(X\) et sur \(S\) ; on peut donc supposer \(X\) et \(S\) affines. Écrivons \(S = \Spec(A)\) et \(X = \Spec(B)\). Soit \(N\) un \(B\)-module de type fini tel que \(\mathcal{F}\) soit le faisceau quasi-cohérent associé à \(N\). On a \(U = D(f_1) \cup \ldots \cup D(f_n)\) pour certains \(f_i \in A\), voir Algèbre, Lemme 00F6. Puisque \(U\) est schématiquement dense, l’homomorphisme \(A \to A_{f_1} \times \ldots \times A_{f_n}\) est injectif. Choisissons un idéal premier \(\mathfrak q \subset B\) au-dessus de \(\mathfrak p \subset A\), correspondant à \(x \in X\) s’envoyant sur \(s \in S\). D’après le Lemme 05I7, le module \(N_\mathfrak q\) est de présentation finie sur \(B_\mathfrak q\). Choisissons une surjection \(\varphi : B^{\oplus m} \to N\) de \(B\)-modules. Choisissons \(k_1, \ldots, k_t \in \Ker(\varphi)\) et posons \(N' = B^{\oplus m}/\sum Bk_j\). Il existe une surjection canonique \(N' \to N\), et \(N\) est la limite inductive filtrante des \(B\)-modules \(N'\) ainsi construits. On voit donc que l’on peut choisir \(k_1, \ldots, k_t\) de sorte que (a) \(N'_{f_i} \cong N_{f_i}\), \(i = 1, \ldots, n\), et (b) \(N'_\mathfrak q \cong N_\mathfrak q\). Cela entraîne en particulier que \(N'_\mathfrak q\) est plat sur \(A\). Par ouverture du lieu de platitude, voir Algèbre, Théorème 00RC, on en conclut qu’il existe \(g \in B\), \(g \not \in \mathfrak q\), tel que \(N'_g\) soit plat sur \(A\). Considérons le diagramme commutatif \[\xymatrix{ N'_g \ar[r] \ar[d] & N_g \ar[d] \\ \prod N'_{gf_i} \ar[r] & \prod N_{gf_i} }\] La flèche inférieure est un isomorphisme par le choix de \(k_1, \ldots, k_t\). La flèche verticale de gauche est injective, puisque \(A \to \prod A_{f_i}\) est injectif et que \(N'_g\) est plat sur \(A\). La flèche horizontale supérieure est donc injective, donc un isomorphisme. Cela démontre que \(N_g\) est de présentation finie sur \(B_g\). On conclut en appliquant Algèbre, Lemme 00EO.

Lemme

Soit \(f : X \to S\) un morphisme de schémas. Soit \(U \subset S\) un ouvert. Supposons que

1. \(f\) soit localement de type fini et plat,

2. \(U \subset S\) soit rétrocompact et schématiquement dense,

3. \(f|_{f^{-1}U} : f^{-1}U \to U\) soit localement de présentation finie.

Alors \(f\) est localement de présentation finie.

Démonstration

La question est locale sur \(X\) et sur \(S\) ; on peut donc supposer \(X\) et \(S\) affines. Choisissons une immersion fermée \(i : X \to \mathbf{A}^n_S\) et appliquons le Lemme 081N à \(i_*\mathcal{O}_X\). Nous omettons certains détails.

Lemme

Soit \(f : X \to S\) un morphisme de schémas plat et localement de type fini. Soit \(U \subset S\) un ouvert dense tel que \(X_U \to U\) soit de dimension relative \(\leq e\), voir Morphismes, Définition 02NJ. Si, de plus, l’une des conditions suivantes est vérifiée :

1. \(f\) est localement de présentation finie, ou

2. \(U \subset S\) est rétrocompact,

alors \(f\) est de dimension relative \(\leq e\).

Démonstration

Démonstration dans le cas (1). Soit \(W \subset X\) le sous-schéma ouvert construit et étudié dans Compléments sur les morphismes, Lemmes 045U et 054T. Notons que tout point générique de toute fibre appartient à \(W\) ; il suffit donc de démontrer le résultat pour \(W\). Puisque \(W = \bigcup_{d \geq 0} U_d\), il suffit de montrer que \(U_d = \emptyset\) pour \(d > e\). Puisque \(f\) est plat et localement de présentation finie, il est ouvert ; ainsi \(f(U_d)\) est ouvert (Morphismes, Lemme 01UA). Si \(U_d\) est non vide, on a donc \(f(U_d) \cap U \not = \emptyset\), comme souhaité.

Démonstration dans le cas (2). On peut remplacer \(S\) par son réduit. Alors \(U\) est schématiquement dense. Par suite, \(f\) est localement de présentation finie d’après le Lemme 081P. On est ainsi ramené au cas (1).

Lemme

Soit \(f : X \to S\) un morphisme de schémas plat et propre. Soit \(U \subset S\) un ouvert dense tel que \(X_U \to U\) soit fini. Si, de plus, \(f\) est localement de présentation finie ou si \(U \subset S\) est rétrocompact, alors \(f\) est fini.

Démonstration

D’après le Lemme 081L, les fibres de \(f\) sont de dimension nulle. Ainsi \(f\) est quasi-fini (Morphismes, Lemme 0397), donc à fibres finies (Morphismes, Lemme 02NH). Par suite, \(f\) est fini d’après Compléments sur les morphismes, Lemme 02LS.

Lemme

Soient \(f : X \to S\) un morphisme de schémas et \(U \subset S\) un ouvert. Si

1. \(f\) est séparé, localement de type fini et plat,

2. \(f^{-1}(U) \to U\) est un isomorphisme, et

3. \(U \subset S\) est rétrocompact et schématiquement dense,

alors \(f\) est une immersion ouverte.

Démonstration

D’après le Lemme 081P, le morphisme \(f\) est localement de présentation finie. L’image \(f(X) \subset S\) est ouverte (Morphismes, Lemme 01UA) ; on peut donc remplacer \(S\) par \(f(X)\). Il faut ainsi démontrer que \(f\) est un isomorphisme. On peut supposer \(S\) affine. On peut se ramener au cas où \(X\) est quasi-compact, car il suffit de montrer que tout ouvert quasi-compact \(X' \subset X\) dont l’image est \(S\) s’envoie isomorphiquement sur \(S\). On peut donc supposer \(f\) quasi-compact. Toutes les fibres de \(f\) sont de dimension \(0\), voir le Lemme 081L. Ainsi \(f\) est quasi-fini, voir Morphismes, Lemme 0397. Soit \(s \in S\). Choisissons un voisinage étale élémentaire \(g : (T, t) \to (S, s)\) tel que \(X \times_S T = V \amalg W\) avec \(V \to T\) fini et \(W_t = \emptyset\), voir Compléments sur les morphismes, Lemme 02LP. Notons \(\pi : V \amalg W \to T\) le morphisme donné. Puisque \(\pi\) est plat et localement de présentation finie, on voit que \(\pi(V)\) est ouvert dans \(T\) (Morphismes, Lemme 01UA). Quitte à restreindre \(T\), on peut supposer que \(T = \pi(V)\). Puisque \(f\) est un isomorphisme au-dessus de \(U\), on voit que \(\pi\) est un isomorphisme au-dessus de \(g^{-1}U\). Puisque \(\pi(V) = T\), cela entraîne que \(\pi^{-1}g^{-1}U\) est contenu dans \(V\). D’après Morphismes, Lemme 081H, on voit que \(\pi^{-1}g^{-1}U \subset V \amalg W\) est schématiquement dense. On en déduit donc que \(W = \emptyset\). Ainsi \(X \times_S T = V\) est fini sur \(T\). Il en résulte que \(f\) est fini (après avoir remplacé \(S\) par un voisinage ouvert de \(s\)), par exemple d’après Descente, Lemme 02LA. Alors \(f\) est fini localement libre (Morphismes, Lemme 02KB) et, après avoir restreint \(S\) à un voisinage ouvert plus petit de \(s\), on voit que \(f\) est fini localement libre d’un certain degré \(d\) (Morphismes, Lemme 04MH). Mais \(d = 1\), puisque le degré vaut \(1\) au-dessus de l’ouvert dense \(U\). Ainsi \(f\) est un isomorphisme.

Modules plats de présentation finie

Dans certains cas, étant donnés un homomorphisme d’anneaux \(R \to S\) de présentation finie et un \(S\)-module de présentation finie \(N\), la platitude de \(N\) sur \(R\) entraîne que \(N\) est projectif comme \(R\)-module, au moins après avoir remplacé \(S\) par une extension étale. Nous réunissons dans cette section quelques résultats de cette nature.

Lemme

Soit \(R\) un anneau. Soit \(R \to S\) un homomorphisme d’anneaux de présentation finie, plat et à fibres géométriquement intègres. Soit \(\mathfrak q \subset S\) un idéal premier au-dessus de l’idéal premier \(\mathfrak r \subset R\). Posons \(\mathfrak p = \mathfrak r S\). Soit \(N\) un \(S\)-module de présentation finie. Il existe \(r \geq 0\) et un homomorphisme de \(S\)-modules \[\alpha : S^{\oplus r} \longrightarrow N\] tels que \(\alpha : \kappa(\mathfrak p)^{\oplus r} \to N \otimes_S \kappa(\mathfrak p)\) soit un isomorphisme. Pour tout tel \(\alpha\), les conditions suivantes sont équivalentes :

1. \(N_{\mathfrak q}\) est \(R\)-plat,

2. il existe \(f \in R\), \(f \not \in \mathfrak r\), tel que \(\alpha_f : S_f^{\oplus r} \to N_f\) soit \(R_f\)-universellement injectif et un \(g \in S\), \(g \not \in \mathfrak q\), tel que \(\Coker(\alpha)_g\) soit \(R\)-plat,

3. \(\alpha_{\mathfrak r}\) est \(R_{\mathfrak r}\)-universellement injectif et \(\Coker(\alpha)_{\mathfrak q}\) est \(R\)-plat,

4. \(\alpha_{\mathfrak r}\) est injectif et \(\Coker(\alpha)_{\mathfrak q}\) est \(R\)-plat,

5. \(\alpha_{\mathfrak p}\) est un isomorphisme et \(\Coker(\alpha)_{\mathfrak q}\) est \(R\)-plat, et

6. \(\alpha_{\mathfrak q}\) est injectif et \(\Coker(\alpha)_{\mathfrak q}\) est \(R\)-plat.

Démonstration

Pour obtenir \(\alpha\), posons \(r = \dim_{\kappa(\mathfrak p)} N \otimes_S \kappa(\mathfrak p)\) et choisissons \(x_1, \ldots, x_r \in N\) dont les images forment une base de \(N \otimes_S \kappa(\mathfrak p)\). Définissons \(\alpha(s_1, \ldots, s_r) = \sum s_i x_i\). Cela démontre l’existence.

Fixons un choix de \(\alpha\). On peut appliquer le Lemme 05I3 à l’homomorphisme \(\alpha_{\mathfrak r} : S_{\mathfrak r}^{\oplus r} \to N_{\mathfrak r}\). On voit donc que (1), (3), (4), (5) et (6) sont équivalentes. Puisqu’il est aussi clair que (2) implique (3), il reste seulement à montrer que (1) implique (2).

Supposons (1). Par ouverture du lieu de platitude, voir Algèbre, Théorème 00RC, l’ensemble \[U_1 = \{\mathfrak q' \subset S \mid N_{\mathfrak q'}\text{ est plat sur }R\}\] est ouvert dans \(\Spec(S)\). Il contient \(\mathfrak q\) par hypothèse, donc \(\mathfrak p\). Puisque \(S^{\oplus r}\) et \(N\) sont des \(S\)-modules de présentation finie, l’ensemble \[U_2 = \{\mathfrak q' \subset S \mid \alpha_{\mathfrak q'}\text{ est un isomorphisme}\}\] est ouvert dans \(\Spec(S)\), voir Algèbre, Lemme 05GF. Il contient \(\mathfrak p\) d’après (5). Puisque \(R \to S\) est de présentation finie et plat, l’application \(\Phi : \Spec(S) \to \Spec(R)\) est ouverte, voir Algèbre, Proposition 00I1. Pour tout idéal premier \(\mathfrak r' \in \Phi(U_1 \cap U_2)\), on voit qu’il existe un idéal premier \(\mathfrak q'\) au-dessus de \(\mathfrak r'\) tel que \(N_{\mathfrak q'}\) soit plat et que \(\alpha_{\mathfrak q'}\) soit un isomorphisme, ce qui entraîne que \(\alpha \otimes \kappa(\mathfrak p')\) est un isomorphisme, où \(\mathfrak p' = \mathfrak r' S\). Ainsi \(\alpha_{\mathfrak r'}\) est \(R_{\mathfrak r'}\)-universellement injectif par l’implication (1) \(\Rightarrow\) (3). Par suite, si l’on choisit \(f \in R\), \(f \not \in \mathfrak r\), tel que \(D(f) \subset \Phi(U_1 \cap U_2)\), on en conclut que \(\alpha_f\) est \(R_f\)-universellement injectif, voir Algèbre, Lemme 05CL. Le même raisonnement montre aussi que, pour tout \(\mathfrak q' \in U_1 \cap \Phi^{-1}(\Phi(U_1 \cap U_2))\), le module \(\Coker(\alpha)_{\mathfrak q'}\) est \(R\)-plat. Notons que \(\mathfrak q \in U_1 \cap \Phi^{-1}(\Phi(U_1 \cap U_2))\). On peut donc trouver \(g \in S\), \(g \not \in \mathfrak q\), tel que \(D(g) \subset U_1 \cap \Phi^{-1}(\Phi(U_1 \cap U_2))\), ce qui donne le résultat voulu.

Lemme

Soit \(R \to S\) un homomorphisme d’anneaux de présentation finie. Soit \(N\) un \(S\)-module de présentation finie, plat sur \(R\). Soit \(\mathfrak r \subset R\) un idéal premier. Supposons qu’il existe un dévissage complet de \(N/S/R\) au-dessus de \(\mathfrak r\). Il existe alors \(f \in R\), \(f \not \in \mathfrak r\), tel que \[N_f \cong B_1^{\oplus r_1} \oplus \ldots \oplus B_n^{\oplus r_n}\] comme \(R\)-modules, où chaque \(B_i\) est une \(R_f\)-algèbre lisse à fibres géométriquement irréductibles. De plus, \(N_f\) est projectif comme \(R_f\)-module.

Démonstration

Soit \((A_i, B_i, M_i, \alpha_i)_{i = 1, \ldots, n}\) le dévissage complet donné. On démontre le lemme par récurrence sur \(n\). Notons que les assertions du lemme portent uniquement sur la structure de \(N\) comme \(R\)-module. On peut donc remplacer \(N\) par \(M_1\) et considérer \(M_1\) comme un \(B_1\)-module. Voir la Remarque 05HY pour vérifier que \(M_1\) est de présentation finie comme \(B_1\)-module. D’après le Lemme 05IA, on peut, après avoir remplacé \(R\) par \(R_f\) pour un certain \(f \in R\), \(f \not \in \mathfrak r\), supposer que l’homomorphisme \(\alpha_1 : B_1^{\oplus r_1} \to M_1\) est \(R\)-universellement injectif. Puisque \(M_1\) et \(B_1^{\oplus r_1}\) sont \(R\)-plats et de présentation finie comme \(B_1\)-modules, on voit que \(\Coker(\alpha_1)\) est \(R\)-plat (Algèbre, Lemme 058P) et de présentation finie comme \(B_1\)-module. Notons que \((A_i, B_i, M_i, \alpha_i)_{i = 2, \ldots, n}\) est un dévissage complet de \(\Coker(\alpha_1)\). L’hypothèse de récurrence entraîne donc qu’après avoir remplacé \(R\) par \(R_f\) pour un certain \(f \in R\), \(f \not \in \mathfrak r\), on peut supposer que \(\Coker(\alpha_1)\) possède une décomposition comme dans le lemme et est projectif. En particulier, \(M_1 = B_1^{\oplus r_1} \oplus \Coker(\alpha_1)\). Cela démontre l’assertion relative à la décomposition. L’assertion de projectivité en résulte, puisque \(B_1\) est projectif comme \(R\)-module d’après le Lemme 05FT.

Remarque

Il existe une variante du Lemme 05IB où l’on affaiblit la condition de platitude en supposant seulement que \(N\) est plat en un idéal premier donné \(\mathfrak q\) au-dessus de \(\mathfrak r\), mais où l’on renforce la condition de dévissage en supposant l’existence d’un dévissage complet en \(\mathfrak q\). Comparer avec le Lemme 05I4.

Voici le résultat principal de cette section.

Proposition

Soit \(f : X \to S\) un morphisme de schémas. Soit \(\mathcal{F}\) un faisceau quasi-cohérent sur \(X\). Soit \(x \in X\) d’image \(s \in S\). Supposons que

1. \(f\) soit localement de présentation finie,

2. \(\mathcal{F}\) soit de présentation finie, et

3. \(\mathcal{F}\) soit plat en \(x\) sur \(S\).

Il existe alors un diagramme commutatif de schémas pointés \[\xymatrix{ (X, x) \ar[d] & (X', x') \ar[l]^g \ar[d] \\ (S, s) & (S', s') \ar[l] }\] dont les flèches horizontales sont des voisinages étales élémentaires, tel que \(X'\), \(S'\) soient affines et que \(\Gamma(X', g^*\mathcal{F})\) soit un \(\Gamma(S', \mathcal{O}_{S'})\)-module projectif.

Démonstration

Par ouverture du lieu de platitude, voir Compléments sur les morphismes, Théorème 0399, on peut remplacer \(X\) par un voisinage ouvert de \(x\) et supposer que \(\mathcal{F}\) est plat sur \(S\). On applique ensuite la Proposition 05HR pour trouver un diagramme comme dans l’énoncé de la proposition, tel que \(g^*\mathcal{F}/X'/S'\) admette un dévissage complet au-dessus de \(s'\). (En particulier, \(S'\) et \(X'\) sont affines.) D’après Morphismes, Lemme 02JZ, on voit que \(g^*\mathcal{F}\) est plat sur \(S\) et, d’après le Lemme 05B9, on voit qu’il est plat sur \(S'\). Au moyen de la Remarque 05I0, on en déduit que \[\Gamma(X', g^*\mathcal{F})/ \Gamma(X', \mathcal{O}_{X'})/ \Gamma(S', \mathcal{O}_{S'})\] admet un dévissage complet au-dessus de l’idéal premier de \(\Gamma(S', \mathcal{O}_{S'})\) correspondant à \(s'\). Le Lemme 05IB entraîne donc que le résultat de la proposition est vérifié après avoir remplacé \(S'\) par un voisinage ouvert standard de \(s'\).

Dans la suite de cette section, nous démontrons plusieurs variantes de ce résultat. La première est une version « globale ».

Lemme

Soit \(f : X \to S\) un morphisme de schémas. Soit \(\mathcal{F}\) un faisceau quasi-cohérent sur \(X\). Soit \(s \in S\). Supposons que

1. \(f\) soit de présentation finie,

2. \(\mathcal{F}\) soit de présentation finie, et

3. \(\mathcal{F}\) soit plat sur \(S\) en tout point de la fibre \(X_s\).

Il existe alors un voisinage étale élémentaire \((S', s') \to (S, s)\) et un diagramme commutatif de schémas \[\xymatrix{ X \ar[d] & X' \ar[l]^g \ar[d] \\ S & S' \ar[l] }\] tels que \(g\) soit étale, \(X_s \subset g(X')\), que les schémas \(X'\), \(S'\) soient affines et que \(\Gamma(X', g^*\mathcal{F})\) soit un \(\Gamma(S', \mathcal{O}_{S'})\)-module projectif.

Démonstration

Pour tout point \(x \in X_s\), on peut utiliser la Proposition 05ID pour trouver un diagramme commutatif \[\xymatrix{ (X, x) \ar[d] & (Y_x, y_x) \ar[l]^{g_x} \ar[d] \\ (S, s) & (S_x, s_x) \ar[l] }\] dont les flèches horizontales sont des voisinages étales élémentaires, tel que \(Y_x\), \(S_x\) soient affines et que \(\Gamma(Y_x, g_x^*\mathcal{F})\) soit un \(\Gamma(S_x, \mathcal{O}_{S_x})\)-module projectif. En particulier, \(g_x(Y_x) \cap X_s\) est un voisinage ouvert de \(x\) dans \(X_s\). Puisque \(X_s\) est quasi-compact, on peut trouver un nombre fini de points \(x_1, \ldots, x_n \in X_s\) tels que \(X_s\) soit la réunion des \(g_{x_i}(Y_{x_i}) \cap X_s\). Choisissons un voisinage étale élémentaire \((S' , s') \to (S, s)\) qui domine chacun des voisinages \((S_{x_i}, s_{x_i})\), voir Compléments sur les morphismes, Lemme 057B. On peut aussi supposer \(S'\) affine. Posons \(X' = \coprod Y_{x_i} \times_{S_{x_i}} S'\) et munissons-le du morphisme évident \(g : X' \to X\). Par construction, \(g(X')\) contient \(X_s\) et \[\Gamma(X', g^*\mathcal{F}) = \bigoplus \Gamma(Y_{x_i}, g_{x_i}^*\mathcal{F}) \otimes_{\Gamma(S_{x_i}, \mathcal{O}_{S_{x_i}})} \Gamma(S', \mathcal{O}_{S'}).\] C’est un \(\Gamma(S', \mathcal{O}_{S'})\)-module projectif, voir Algèbre, Lemme 05A3.

Les deux lemmes suivants reformulent les résultats précédents lorsque \(\mathcal{F} = \mathcal{O}_X\).

Lemme

Soit \(f : X \to S\) localement de présentation finie. Soit \(x \in X\) d’image \(s \in S\). Si \(f\) est plat en \(x\) sur \(S\), il existe alors un diagramme commutatif de schémas pointés \[\xymatrix{ (X, x) \ar[d] & (X', x') \ar[l]^g \ar[d] \\ (S, s) & (S', s') \ar[l] }\] dont les flèches horizontales sont des voisinages étales élémentaires, tel que \(X'\), \(S'\) soient affines et que \(\Gamma(X', \mathcal{O}_{X'})\) soit un \(\Gamma(S', \mathcal{O}_{S'})\)-module projectif.

Démonstration

C’est un cas particulier de la Proposition 05ID.

Lemme

Soit \(f : X \to S\) de présentation finie. Soit \(s \in S\). Si \(X\) est plat sur \(S\) en tout point de \(X_s\), il existe alors un voisinage étale élémentaire \((S', s') \to (S, s)\) et un diagramme commutatif de schémas \[\xymatrix{ X \ar[d] & X' \ar[l]^g \ar[d] \\ S & S' \ar[l] }\] avec \(g\) étale, \(X_s \subset g(X')\), tels que \(X'\), \(S'\) soient affines et que \(\Gamma(X', \mathcal{O}_{X'})\) soit un \(\Gamma(S', \mathcal{O}_{S'})\)-module projectif.

Démonstration

C’est un cas particulier du Lemme 05KW.

Les lemmes suivants donnent des conséquences de la Proposition 05ID lorsque l’on suppose seulement que le morphisme et le faisceau sont de type fini (et pas nécessairement de présentation finie).

Lemme

Soit \(f : X \to S\) un morphisme de schémas. Soit \(\mathcal{F}\) un faisceau quasi-cohérent sur \(X\). Soit \(x \in X\) d’image \(s \in S\). Supposons que

1. \(f\) soit localement de présentation finie,

2. \(\mathcal{F}\) soit de type fini, et

3. \(\mathcal{F}\) soit plat en \(x\) sur \(S\).

Il existe alors un voisinage étale élémentaire \((S', s') \to (S, s)\) et un diagramme commutatif de schémas pointés \[\xymatrix{ (X, x) \ar[d] & (X', x') \ar[l]^g \ar[d] \\ (S, s) & (\Spec(\mathcal{O}_{S', s'}), s') \ar[l] }\] tels que \(X' \to X \times_S \Spec(\mathcal{O}_{S', s'})\) soit étale, \(\kappa(x) = \kappa(x')\), que le schéma \(X'\) soit affine de présentation finie sur \(\mathcal{O}_{S', s'}\), que le faisceau \(g^*\mathcal{F}\) soit de présentation finie sur \(\mathcal{O}_{X'}\) et que \(\Gamma(X', g^*\mathcal{F})\) soit un \(\mathcal{O}_{S', s'}\)-module libre.

Démonstration

Pour démontrer le lemme, on peut remplacer \((S, s)\) par un voisinage étale élémentaire quelconque, et l’on peut aussi remplacer \(S\) par \(\Spec(\mathcal{O}_{S, s})\). Ainsi, d’après la Proposition 05I5, on peut supposer que \(\mathcal{F}\) est de présentation finie et plat sur \(S\) au voisinage de \(x\). Dans ce cas, le résultat découle de la Proposition 05ID, car Algèbre, Théorème 0593, assure que projectif \(=\) libre sur un anneau local.

Lemme

Soit \(f : X \to S\) un morphisme de schémas. Soit \(\mathcal{F}\) un faisceau quasi-cohérent sur \(X\). Soit \(x \in X\) d’image \(s \in S\). Supposons que

1. \(f\) soit localement de type fini,

2. \(\mathcal{F}\) soit de type fini, et

3. \(\mathcal{F}\) soit plat en \(x\) sur \(S\).

Il existe alors un voisinage étale élémentaire \((S', s') \to (S, s)\) et un diagramme commutatif de schémas pointés \[\xymatrix{ (X, x) \ar[d] & (X', x') \ar[l]^g \ar[d] \\ (S, s) & (\Spec(\mathcal{O}_{S', s'}), s') \ar[l] }\] tels que \(X' \to X \times_S \Spec(\mathcal{O}_{S', s'})\) soit étale, \(\kappa(x) = \kappa(x')\), que le schéma \(X'\) soit affine et que \(\Gamma(X', g^*\mathcal{F})\) soit un \(\mathcal{O}_{S', s'}\)-module libre.

Démonstration

(La seule différence avec le Lemme 05KY est que l’on ne suppose pas \(f\) de présentation finie.) Le problème est local sur \(X\) et sur \(S\). On peut donc supposer \(X\) et \(S\) affines, et écrire \(X = \Spec(B)\) et \(S = \Spec(A)\). Puisque \(B\) est une \(A\)-algèbre de type fini, on peut trouver une surjection \(A[x_1, \ldots, x_n] \to B\). Autrement dit, on peut choisir une immersion fermée \(i : X \to \mathbf{A}^n_S\). Posons \(t = i(x)\) et \(\mathcal{G} = i_*\mathcal{F}\). Notons que \(\mathcal{G}_t \cong \mathcal{F}_x\) comme \(\mathcal{O}_{S, s}\)-modules. Ainsi \(\mathcal{G}\) est plat sur \(S\) en \(t\). On applique le Lemme 05KY au morphisme \(\mathbf{A}^n_S \to S\), au point \(t\) et au faisceau \(\mathcal{G}\). On peut donc trouver un voisinage étale élémentaire \((S', s') \to (S, s)\) et un diagramme commutatif de schémas pointés \[\xymatrix{ (\mathbf{A}^n_S, t) \ar[d] & (Y, y) \ar[l]^h \ar[d] \\ (S, s) & (\Spec(\mathcal{O}_{S', s'}), s') \ar[l] }\] tels que \(Y \to \mathbf{A}^n_{\mathcal{O}_{S', s'}}\) soit étale, \(\kappa(t) = \kappa(y)\), que le schéma \(Y\) soit affine et que \(\Gamma(Y, h^*\mathcal{G})\) soit un \(\mathcal{O}_{S', s'}\)-module projectif. Une solution du problème initial est alors donnée par le sous-schéma fermé \(X' = Y \times_{\mathbf{A}^n_S} X\) de \(Y\).

Lemme

Soit \(f : X \to S\) un morphisme de schémas. Soit \(\mathcal{F}\) un faisceau quasi-cohérent sur \(X\). Soit \(s \in S\). Supposons que

1. \(f\) soit de présentation finie,

2. \(\mathcal{F}\) soit de type fini, et

3. \(\mathcal{F}\) soit plat sur \(S\) en tout point de \(X_s\).

Il existe alors un voisinage étale élémentaire \((S', s') \to (S, s)\) et un diagramme commutatif de schémas \[\xymatrix{ X \ar[d] & X' \ar[l]^g \ar[d] \\ S & \Spec(\mathcal{O}_{S', s'}) \ar[l] }\] tels que \(X' \to X \times_S \Spec(\mathcal{O}_{S', s'})\) soit étale, \(X_s = g((X')_{s'})\), que le schéma \(X'\) soit affine de présentation finie sur \(\mathcal{O}_{S', s'}\), que le faisceau \(g^*\mathcal{F}\) soit de présentation finie sur \(\mathcal{O}_{X'}\) et que \(\Gamma(X', g^*\mathcal{F})\) soit un \(\mathcal{O}_{S', s'}\)-module libre.

Démonstration

Pour tout point \(x \in X_s\), on peut utiliser le Lemme 05KY pour trouver un voisinage étale élémentaire \((S_x , s_x) \to (S, s)\) et un diagramme commutatif \[\xymatrix{ (X, x) \ar[d] & (Y_x, y_x) \ar[l]^{g_x} \ar[d] \\ (S, s) & (\Spec(\mathcal{O}_{S_x, s_x}), s_x) \ar[l] }\] tels que \(Y_x \to X \times_S \Spec(\mathcal{O}_{S_x, s_x})\) soit étale, \(\kappa(x) = \kappa(y_x)\), que le schéma \(Y_x\) soit affine de présentation finie sur \(\mathcal{O}_{S_x, s_x}\), que le faisceau \(g_x^*\mathcal{F}\) soit de présentation finie sur \(\mathcal{O}_{Y_x}\) et que \(\Gamma(Y_x, g_x^*\mathcal{F})\) soit un \(\mathcal{O}_{S_x, s_x}\)-module libre. En particulier, \(g_x((Y_x)_{s_x})\) est un voisinage ouvert de \(x\) dans \(X_s\). Puisque \(X_s\) est quasi-compact, on peut trouver un nombre fini de points \(x_1, \ldots, x_n \in X_s\) tels que \(X_s\) soit la réunion des \(g_{x_i}((Y_{x_i})_{s_{x_i}})\). Choisissons un voisinage étale élémentaire \((S' , s') \to (S, s)\) qui domine chacun des voisinages \((S_{x_i}, s_{x_i})\), voir Compléments sur les morphismes, Lemme 057B. Posons \[X' = \coprod Y_{x_i} \times_{\Spec(\mathcal{O}_{S_{x_i}, s_{x_i}})} \Spec(\mathcal{O}_{S', s'})\] et munissons-le du morphisme évident \(g : X' \to X\). Par construction, \(X_s = g(X'_{s'})\) et \[\Gamma(X', g^*\mathcal{F}) = \bigoplus \Gamma(Y_{x_i}, g_{x_i}^*\mathcal{F}) \otimes_{\mathcal{O}_{S_{x_i}, s_{x_i}}} \mathcal{O}_{S', s'}.\] C’est un \(\mathcal{O}_{S', s'}\)-module libre, comme somme directe de changements de base de modules libres. Nous omettons quelques détails mineurs.

Lemme

Soit \(f : X \to S\) un morphisme de schémas. Soit \(\mathcal{F}\) un faisceau quasi-cohérent sur \(X\). Soit \(s \in S\). Supposons que

1. \(f\) soit de type fini,

2. \(\mathcal{F}\) soit de type fini, et

3. \(\mathcal{F}\) soit plat sur \(S\) en tout point de \(X_s\).

Il existe alors un voisinage étale élémentaire \((S', s') \to (S, s)\) et un diagramme commutatif de schémas \[\xymatrix{ X \ar[d] & X' \ar[l]^g \ar[d] \\ S & \Spec(\mathcal{O}_{S', s'}) \ar[l] }\] tels que \(X' \to X \times_S \Spec(\mathcal{O}_{S', s'})\) soit étale, \(X_s = g((X')_{s'})\), que le schéma \(X'\) soit affine et que \(\Gamma(X', g^*\mathcal{F})\) soit un \(\mathcal{O}_{S', s'}\)-module libre.

Démonstration

(La seule différence avec le Lemme 05L0 est que l’on ne suppose pas \(f\) de présentation finie.) Pour tout point \(x \in X_s\), on peut utiliser le Lemme 05KZ pour trouver un voisinage étale élémentaire \((S_x , s_x) \to (S, s)\) et un diagramme commutatif \[\xymatrix{ (X, x) \ar[d] & (Y_x, y_x) \ar[l]^{g_x} \ar[d] \\ (S, s) & (\Spec(\mathcal{O}_{S_x, s_x}), s_x) \ar[l] }\] tels que \(Y_x \to X \times_S \Spec(\mathcal{O}_{S_x, s_x})\) soit étale, \(\kappa(x) = \kappa(y_x)\), que le schéma \(Y_x\) soit affine et que \(\Gamma(Y_x, g_x^*\mathcal{F})\) soit un \(\mathcal{O}_{S_x, s_x}\)-module libre. En particulier, \(g_x((Y_x)_{s_x})\) est un voisinage ouvert de \(x\) dans \(X_s\). Puisque \(X_s\) est quasi-compact, on peut trouver un nombre fini de points \(x_1, \ldots, x_n \in X_s\) tels que \(X_s\) soit la réunion des \(g_{x_i}((Y_{x_i})_{s_{x_i}})\). Choisissons un voisinage étale élémentaire \((S' , s') \to (S, s)\) qui domine chacun des voisinages \((S_{x_i}, s_{x_i})\), voir Compléments sur les morphismes, Lemme 057B. Posons \[X' = \coprod Y_{x_i} \times_{\Spec(\mathcal{O}_{S_{x_i}, s_{x_i}})} \Spec(\mathcal{O}_{S', s'})\] et munissons-le du morphisme évident \(g : X' \to X\). Par construction, \(X_s = g(X'_{s'})\) et \[\Gamma(X', g^*\mathcal{F}) = \bigoplus \Gamma(Y_{x_i}, g_{x_i}^*\mathcal{F}) \otimes_{\mathcal{O}_{S_{x_i}, s_{x_i}}} \mathcal{O}_{S', s'}.\] C’est un \(\mathcal{O}_{S', s'}\)-module libre, comme somme directe de changements de base de modules libres.

Modules plats de type fini, II

Nous aurons besoin du lemme suivant.

Lemme

Soit \(R \to S\) un homomorphisme d’anneaux de présentation finie. Soit \(N\) un \(S\)-module de présentation finie. Soit \(\mathfrak q \subset S\) un idéal premier au-dessus de \(\mathfrak p \subset R\). Posons \(\overline{S} = S \otimes_R \kappa(\mathfrak p)\), \(\overline{\mathfrak q} = \mathfrak q \overline{S}\) et \(\overline{N} = N \otimes_R \kappa(\mathfrak p)\). Alors il existe un \(g \in S\) tel que \(g \not \in \mathfrak q\) et que \(\overline{g} \in \mathfrak r\) pour tout \(\mathfrak r \in \text{Ass}_{\overline{S}}(\overline{N})\) tel que \(\mathfrak r \not \subset \overline{\mathfrak q}\).

Démonstration

En effet, si \(\text{Ass}_{\overline{S}}(\overline{N}) = \{\mathfrak r_1, \ldots, \mathfrak r_n\}\) (la finitude résulte d’Algèbre, lemme 00LC), alors, quitte à renuméroter, nous pouvons supposer que \[\mathfrak r_1 \subset \overline{\mathfrak q}, \ldots, \mathfrak r_r \subset \overline{\mathfrak q}, \quad \mathfrak r_{r + 1} \not \subset \overline{\mathfrak q}, \ldots, \mathfrak r_n \not \subset \overline{\mathfrak q}\] Comme \(\overline{\mathfrak q}\) est un idéal premier, le produit \(\mathfrak r_{r + 1} \ldots \mathfrak r_n\) n’est pas contenu dans \(\overline{\mathfrak q}\) ; nous pouvons donc choisir un élément \(a\) de \(\overline{S}\) appartenant à \(\mathfrak r_{r + 1}, \ldots, \mathfrak r_n\) mais non à \(\overline{\mathfrak q}\). S’il existe \(g \in S\) d’image \(a\), alors \(g\) convient. En général, nous pouvons trouver un élément non nul \(\lambda \in \kappa(\mathfrak p)\) tel que \(\lambda a\) soit l’image d’un \(g \in S\).

Le lemme suivant admet une variante légèrement plus forte, le lemme 05II ci-dessous.

Lemme

Soit \(R \to S\) un homomorphisme d’anneaux de présentation finie. Soit \(N\) un \(S\)-module de présentation finie qui est plat comme \(R\)-module. Soit \(M\) un \(R\)-module. Soit \(\mathfrak q\) un idéal premier de \(S\) au-dessus de \(\mathfrak p \subset R\). Alors \[\mathfrak q \in \text{WeakAss}_S(M \otimes_R N) \Leftrightarrow \Big( \mathfrak p \in \text{WeakAss}_R(M) \text{ et } \overline{\mathfrak q} \in \text{Ass}_{\overline{S}}(\overline{N}) \Big)\] Ici, \(\overline{S} = S \otimes_R \kappa(\mathfrak p)\), \(\overline{\mathfrak q} = \mathfrak q \overline{S}\) et \(\overline{N} = N \otimes_R \kappa(\mathfrak p)\).

Démonstration

Choisissons \(g \in S\) comme au lemme 0CU6. Appliquons la proposition 05ID au morphisme de schémas \(\Spec(S_g) \to \Spec(R)\), au module quasi-cohérent associé à \(N_g\) et aux points correspondant aux idéaux premiers \(\mathfrak qS_g\) et \(\mathfrak p\). La traduction algébrique donne un diagramme commutatif d’anneaux \[\xymatrix{ S \ar[r] & S_g \ar[r] & S' \\ & R \ar[lu] \ar[u] \ar[r] & R' \ar[u] } \quad\quad \xymatrix{ \mathfrak q \ar@{-}[r] \ar@{-}[rd] & \mathfrak qS_g \ar@{-}[d] \ar@{-}[r] & \mathfrak q' \ar@{-}[d] \\ & \mathfrak p \ar@{-}[r] & \mathfrak p' }\] muni des idéaux premiers indiqués ; les flèches horizontales sont étales, et \(N \otimes_S S'\) est projectif comme \(R'\)-module. Posons \(N' = N \otimes_S S'\), \(M' = M \otimes_R R'\), \(\overline{S}' = S' \otimes_{R'} \kappa(\mathfrak q')\), \(\overline{\mathfrak q}' = \mathfrak q' \overline{S}'\), et \[\overline{N}' = N' \otimes_{R'} \kappa(\mathfrak p') = \overline{N} \otimes_{\overline{S}} \overline{S}'\] D’après le lemme 05FP, nous avons \[\begin{align*} \text{WeakAss}_{S'}(M' \otimes_{R'} N') & = (\Spec(S') \to \Spec(S))^{-1}\text{WeakAss}_S(M \otimes_R N) \\ \text{WeakAss}_{R'}(M') & = (\Spec(R') \to \Spec(R))^{-1}\text{WeakAss}_R(M) \\ \text{Ass}_{\overline{S}'}(\overline{N}') & = (\Spec(\overline{S}') \to \Spec(\overline{S}))^{-1} \text{Ass}_{\overline{S}}(\overline{N}) \end{align*}\] Utilisons Algèbre, lemme 058A, pour \(\overline{N}\) et \(\overline{N}'\). En particulier, nous avons \[\begin{align*} \mathfrak q \in \text{WeakAss}_S(M \otimes_R N) & \Leftrightarrow \mathfrak q' \in \text{WeakAss}_{S'}(M' \otimes_{R'} N') \\ \mathfrak p \in \text{WeakAss}_R(M) & \Leftrightarrow \mathfrak p' \in \text{WeakAss}_{R'}(M') \\ \overline{\mathfrak q} \in \text{Ass}_{\overline{S}}(\overline{N}) & \Leftrightarrow \overline{\mathfrak q}' \in \text{WeakAss}_{\overline{S}'}(\overline{N}') \end{align*}\] Notre choix précis de \(g\) et la formule donnant \(\text{Ass}_{\overline{S}'}(\overline{N}')\) ci-dessus montrent que [0CU7]\[\begin{equation} \text{si }\mathfrak r' \in \text{Ass}_{\overline{S}'}(\overline{N}') \text{ est au-dessus de }\mathfrak r \subset \overline{S}\text{, alors } \mathfrak r \subset \overline{\mathfrak q} \end{equation}\] Cette observation sera essentielle dans la suite de la démonstration. Nous utiliserons la caractérisation des idéaux premiers faiblement associés donnée dans Algèbre, lemme 0566, sans autre mention.

Supposons que \(\overline{\mathfrak q} \not \in \text{Ass}_{\overline{S}}(\overline{N})\). Alors \(\overline{\mathfrak q}' \not \in \text{Ass}_{\overline{S}'}(\overline{N}')\). D’après Algèbre, lemmes 00LD, 00LC et 00DS, il existe un élément \(\overline{a}' \in \overline{\mathfrak q}'\) qui n’est pas diviseur de zéro sur \(\overline{N}'\). Quitte à remplacer \(\overline{a}'\) par \(\lambda \overline{a}'\) pour un élément non nul \(\lambda \in \kappa(\mathfrak p)\), nous pouvons trouver \(a' \in \mathfrak q'\) d’image \(\overline{a}'\). D’après le lemme 05FR, l’application \(a' : N'_{\mathfrak p'} \to N'_{\mathfrak p'}\) est \(R'_{\mathfrak p'}\)-universellement injective. En particulier, \(a' : M' \otimes_{R'} N' \to M' \otimes_{R'} N'\) est injective après localisation en \(\mathfrak p'\), donc après localisation en \(\mathfrak q'\). Il en résulte clairement que \(\mathfrak q' \not \in \text{WeakAss}_{S'}(M' \otimes_{R'} N')\). Nous concluons que \(\mathfrak q \in \text{WeakAss}_S(M \otimes_R N)\) entraîne \(\overline{\mathfrak q} \in \text{Ass}_{\overline{S}}(\overline{N})\).

Supposons \(\mathfrak q \in \text{WeakAss}_S(M \otimes_R N)\). Nous voulons montrer que \(\mathfrak p \in \text{WeakAss}_S(M)\). Soit \(z \in M \otimes_R N\) un élément tel que \(\mathfrak q\) soit minimal au-dessus de \(J = \text{Ann}_S(z)\). Soient \(f_i \in \mathfrak p\), \(i \in I\), des générateurs de l’idéal \(\mathfrak p\). Comme \(\mathfrak q\) est au-dessus de \(\mathfrak p\), pour tout \(i\), nous pouvons choisir \(n_i \geq 1\) et \(g_i \in S\), \(g_i \not \in \mathfrak q\), tels que \(g_i f_i^{n_i} \in J\), c’est-à-dire \(g_i f_i^{n_i} z = 0\). Soit \(z' \in (M' \otimes_{R'} N')_{\mathfrak p'}\) l’image de \(z\). Observons que \(z'\) est non nul car \(z\) a une image non nulle dans \((M \otimes_R N)_\mathfrak q\) et car \(S_\mathfrak q \to S'_{\mathfrak q'}\) est fidèlement plat. Nous affirmons que \(f_i^{n_i} z' = 0\).

Démontrons cette assertion : soit \(g'_i \in S'\) l’image de \(g_i\). D’après l’observation essentielle (0CU7), l’image \(\overline{g}'_i \in \overline{S}'\) n’appartient à \(\mathfrak r'\) pour aucun \(\mathfrak r' \in \text{Ass}_{\overline{S}'}(\overline{N})\). Ainsi, d’après le lemme 05FR, l’application \(g'_i : N'_{\mathfrak p'} \to N'_{\mathfrak p'}\) est \(R'_{\mathfrak p'}\)-universellement injective. En particulier, \(g'_i : M' \otimes_{R'} N' \to M' \otimes_{R'} N'\) est injective après localisation en \(\mathfrak p'\). L’assertion en résulte puisque \(g_i f_i^{n_i} z' = 0\).

Cette assertion montre que l’annulateur de \(z'\) dans \(R'_{\mathfrak p'}\) contient les éléments \(f_i^{n_i}\). Comme \(R \to R'\) est étale, nous avons \(\mathfrak p'R'_{\mathfrak p'} = \mathfrak pR'_{\mathfrak p'}\) d’après Algèbre, lemme 00U4. L’annulateur de \(z'\) dans \(R'_{\mathfrak p'}\) a donc pour radical \(\mathfrak p' R_{\mathfrak p'}\) (nous utilisons ici que \(z'\) est non nul). D’autre part, \[z' \in (M' \otimes_{R'} N')_{\mathfrak p'} = M'_{\mathfrak p'} \otimes_{R'_{\mathfrak p'}} N'_{\mathfrak p'}\] Le module \(N'_{\mathfrak p'}\) est projectif sur l’anneau local \(R'_{\mathfrak p'}\), donc libre (Algèbre, théorème 0593). Nous pouvons donc trouver un facteur direct libre de type fini \(F' \subset N'_{\mathfrak p'}\) tel que \(z' \in M'_{\mathfrak p'} \otimes_{R'_{\mathfrak p'}} F'\). Si \(F'\) est de rang \(n\), nous en déduisons que \(\mathfrak p' R'_{\mathfrak p'} \in \text{WeakAss}_{R'_{\mathfrak p'}}({M'_{\mathfrak p'}}^{\oplus n})\). Cela entraîne \(\mathfrak p'R'_{\mathfrak p'} \in \text{WeakAss}(M'_{\mathfrak p'})\), par exemple d’après Algèbre, lemme 0548. Alors \(\mathfrak p' \in \text{WeakAss}_{R'}(M')\), ce qui donne à son tour \(\mathfrak p \in \text{WeakAss}_R(M)\). Cela achève la démonstration de l’implication “\(\Rightarrow\)” de l’équivalence du lemme.

Supposons que \(\mathfrak p \in \text{WeakAss}_R(M)\) et \(\overline{\mathfrak q} \in \text{Ass}_{\overline{S}}(\overline{N})\). Nous voulons montrer que \(\mathfrak q\) est faiblement associé à \(M \otimes_R N\). Notons que \(\overline{\mathfrak q}'\) est un élément maximal de \(\text{Ass}_{\overline{S}'}(\overline{N}')\). Cela résulte de (0CU7) et du fait qu’il n’y a pas d’inclusions entre les idéaux premiers de \(\overline{S}'\) au-dessus de \(\overline{\mathfrak q}\) (les fibres des morphismes étales étant discrètes, Morphismes, lemme 02GL). Ainsi, en remplaçant \(R, S, \mathfrak p, \mathfrak q, M, N\) par \(R', S', \mathfrak p', \mathfrak q', M', N'\), nous pouvons supposer, outre les hypothèses du lemme, que

1. \(\mathfrak p \in \text{WeakAss}_R(M)\),

2. \(\overline{\mathfrak q} \in \text{Ass}_{\overline{S}}(\overline{N})\),

3. \(N\) est projectif comme \(R\)-module, et

4. \(\overline{\mathfrak q}\) est maximal dans \(\text{Ass}_{\overline{S}}(\overline{N})\).

Une réduction supplémentaire consiste à remplacer \(R, S, M, N\) par leurs localisés en \(\mathfrak p\). Cela fournit une condition supplémentaire, à savoir :

1. \(R\) est un anneau local d’idéal maximal \(\mathfrak p\).

Nous terminerons en montrant que (1) – (5) entraînent \(\mathfrak q \in \text{WeakAss}(M \otimes_R N)\).

Comme \(R\) est local et \(\mathfrak p \in \text{WeakAss}_R(M)\), nous pouvons choisir un \(y \in M\) dont l’annulateur \(I\) a pour radical \(\mathfrak p\). Écrivons \(\overline{\mathfrak q} = (\overline{g}_1, \ldots, \overline{g}_n)\) pour des \(\overline{g}_i \in \overline{S}\). Choisissons \(g_i \in S\) d’image \(\overline{g}_i\). Alors \(\mathfrak q = \mathfrak pS + g_1S + \ldots + g_nS\). Considérons l’application \[\Psi : N/IN \longrightarrow (N/IN)^{\oplus n}, \quad z \longmapsto (g_1z, \ldots, g_nz).\] C’est un homomorphisme de \(R/I\)-modules projectifs. L’anneau local \(R/I\) est auto-associé (Compléments d’algèbre, définition 05GM) car \(\mathfrak p/I\) est localement nilpotent. L’application \(\Psi \otimes \kappa(\mathfrak p)\) n’est pas injective, car \(\overline{\mathfrak q} \in \text{Ass}_{\overline{S}}(\overline{N})\). Ainsi, Compléments d’algèbre, lemme 05GQ, entraîne que \(\Psi\) n’est pas injective. Choisissons \(z \in N/IN\) non nul dans le noyau de \(\Psi\). L’annulateur \(J = \text{Ann}_S(z)\) contient \(IS\) et \(g_i\) par construction. Ainsi, \(\sqrt{J} \subset S\) contient \(\mathfrak q\). Soit \(\mathfrak s \subset S\) un idéal premier minimal au-dessus de \(J\). Alors \(\mathfrak q \subset \mathfrak s\), \(\mathfrak s\) est au-dessus de \(\mathfrak p\), et \(\mathfrak s \in \text{WeakAss}_S(N/IN)\). Ce dernier fait résulte de la définition des idéaux premiers faiblement associés. Appliquons le sens “\(\Rightarrow\)” du lemme (déjà démontré) à l’homomorphisme d’anneaux \(R \to S\) et aux modules \(R/I\) et \(N\) pour en déduire que \(\overline{\mathfrak s} \in \text{Ass}_{\overline{S}}(\overline{N})\). Comme \(\overline{\mathfrak q} \subset \overline{\mathfrak s}\), la maximalité de \(\overline{\mathfrak q}\), voir la condition (4) ci-dessus, entraîne que \(\overline{\mathfrak q} = \overline{\mathfrak s}\). Cela montre que \(\mathfrak q = \mathfrak s\) et donne la conclusion voulue.

Lemme

Soit \(S\) un schéma. Soit \(f : X \to S\) localement de type fini. Soit \(x \in X\) d’image \(s \in S\). Soit \(\mathcal{F}\) un faisceau quasi-cohérent de type fini sur \(X\). Soit \(\mathcal{G}\) un faisceau quasi-cohérent sur \(S\). Si \(\mathcal{F}\) est plat en \(x\) sur \(S\), alors \[x \in \text{WeakAss}_X(\mathcal{F} \otimes_{\mathcal{O}_X} f^*\mathcal{G}) \Leftrightarrow s \in \text{WeakAss}_S(\mathcal{G}) \text{ et } x \in \text{Ass}_{X_s}(\mathcal{F}_s).\]

Démonstration

Dans ce paragraphe, nous nous ramenons au cas où \(f\) est de présentation finie. La question est locale sur \(X\) et \(S\) ; nous pouvons donc supposer \(X\) et \(S\) affines. Écrivons \(X = \Spec(B)\), \(S = \Spec(A)\) et \(B = A[x_1, \ldots, x_n]/I\). Autrement dit, nous obtenons une immersion fermée \(i : X \to \mathbf{A}^n_S\) sur \(S\). Notons \(t = i(x) \in \mathbf{A}^n_S\). Notons que \(i_*\mathcal{F}\) est un faisceau quasi-cohérent de type fini sur \(\mathbf{A}^n_S\), plat en \(t\) sur \(S\), et que \[i_*(\mathcal{F} \otimes_{\mathcal{O}_X} f^*\mathcal{G}) = i_*\mathcal{F} \otimes_{\mathcal{O}_{\mathbf{A}^n_S}} p^*\mathcal{G}\] où \(p : \mathbf{A}^n_S \to S\) est la projection. Notons que \(t\) est un point faiblement associé de \(i_*(\mathcal{F} \otimes_{\mathcal{O}_X} f^*\mathcal{G})\) si et seulement si \(x\) est un point faiblement associé de \(\mathcal{F} \otimes_{\mathcal{O}_X} f^*\mathcal{G}\), voir Diviseurs, lemme 05EZ. De même, \(x \in \text{Ass}_{X_s}(\mathcal{F}_s)\) si et seulement si \(t \in \text{Ass}_{\mathbf{A}^n_s}((i_*\mathcal{F})_s)\) (voir Algèbre, lemme 05BY). Il suffit donc de démontrer le lemme lorsque \(X = \mathbf{A}^n_S\). Nous pouvons ainsi supposer que \(X \to S\) est de présentation finie.

Dans ce paragraphe, nous nous ramenons au cas où \(\mathcal{F}\) est de présentation finie et plat sur \(S\). Choisissons un voisinage étale élémentaire \(e : (S', s') \to (S, s)\) et un ouvert \(V \subset X \times_S \Spec(\mathcal{O}_{S', s'})\) comme dans la proposition 05I5. Soit \(x' \in X' = X \times_S S'\) l’unique point d’images \(x\) et \(s'\). Il suffit alors de démontrer l’énoncé pour \(X' \to S'\), \(x'\), \(s'\), \((X' \to X)^*\mathcal{F}\) et \(e^*\mathcal{G}\), voir le lemme 05FP. Soit \(v \in V\) l’unique point d’image \(x'\) et soit \(s' \in \Spec(\mathcal{O}_{S', s'})\) le point fermé. Alors \(\mathcal{O}_{V, v} = \mathcal{O}_{X', x'}\) et \(\mathcal{O}_{\Spec(\mathcal{O}_{S', s'}), s'} = \mathcal{O}_{S', s'}\), et de même pour les fibres des images réciproques de \(\mathcal{F}\) et \(\mathcal{G}\). De plus, \(V_{s'} \subset X'_{s'}\) est un sous-schéma ouvert. Comme la propriété d’être un point faiblement associé ne dépend que de la fibre du faisceau, nous pouvons remplacer \(X' \to S'\), \(x'\), \(s'\), \((X' \to X)^*\mathcal{F}\) et \(e^*\mathcal{G}\) par \(V \to \Spec(\mathcal{O}_{S', s'})\), \(v\), \(s'\), \((V \to X)^*\mathcal{F}\) et \((\Spec(\mathcal{O}_{S', s'}) \to S)^*\mathcal{G}\). Nous pouvons donc supposer que \(f\) est de présentation finie et que \(\mathcal{F}\) est de présentation finie et plat sur \(S\).

Supposons \(f\) de présentation finie et \(\mathcal{F}\) de présentation finie et plat sur \(S\). Après restriction de \(X\) et \(S\) à des voisinages affines de \(x\) et \(s\), ce cas est traité par le lemme 05IG.

Lemme

Soit \(R \to S\) un homomorphisme d’anneaux essentiellement de type fini. Soit \(N\) un localisé d’un \(S\)-module de type fini, plat sur \(R\). Soit \(M\) un \(R\)-module. Alors \[\text{WeakAss}_S(M \otimes_R N) = \bigcup\nolimits_{\mathfrak p \in \text{WeakAss}_R(M)} \text{Ass}_{S \otimes_R \kappa(\mathfrak p)}(N \otimes_R \kappa(\mathfrak p))\]

Démonstration

Ce lemme est la traduction du lemme 05IH en termes algébriques. Les détails de cette traduction sont omis.

Lemme

Soit \(f : X \to S\) un morphisme localement de type fini. Soit \(\mathcal{F}\) un faisceau quasi-cohérent de type fini sur \(X\) qui est plat sur \(S\). Soit \(\mathcal{G}\) un faisceau quasi-cohérent sur \(S\). Alors nous avons \[\text{WeakAss}_X(\mathcal{F} \otimes_{\mathcal{O}_X} f^*\mathcal{G}) = \bigcup\nolimits_{s \in \text{WeakAss}_S(\mathcal{G})} \text{Ass}_{X_s}(\mathcal{F}_s)\]

Démonstration

Conséquence immédiate du lemme 05IH.

Théorème

Soit \(f : X \to S\) un morphisme de schémas. Soit \(\mathcal{F}\) un \(\mathcal{O}_X\)-module quasi-cohérent. Supposons que

1. \(X \to S\) soit localement de présentation finie,

2. \(\mathcal{F}\) soit un \(\mathcal{O}_X\)-module de type fini, et

3. l’ensemble des points faiblement associés de \(S\) soit localement fini dans \(S\).

Alors \(U = \{x \in X \mid \mathcal{F}\text{ plat en }x\text{ sur }S\}\) est ouvert dans \(X\) et \(\mathcal{F}|_U\) est un \(\mathcal{O}_U\)-module de présentation finie et plat sur \(S\).

Démonstration

Soit \(x \in X\) tel que \(\mathcal{F}\) soit plat en \(x\) sur \(S\). Il faut trouver un voisinage ouvert de \(x\) sur lequel \(\mathcal{F}\) se restreigne en un module de présentation finie plat sur \(S\). Le problème est local sur \(X\) et \(S\) ; nous pouvons donc supposer \(X\) et \(S\) affines. Comme \(\mathcal{F}_x\) est un \(\mathcal{O}_{X, x}\)-module de présentation finie d’après le lemme 05I7, nous déduisons d’ Algèbre, lemme 05GJ, qu’il existe un \(\mathcal{O}_X\)-module de présentation finie \(\mathcal{F}'\) et une application \(\varphi : \mathcal{F}' \to \mathcal{F}\) induisant un isomorphisme \(\varphi_x : \mathcal{F}'_x \to \mathcal{F}_x\). En particulier, \(\mathcal{F}'\) est plat sur \(S\) en \(x\) ; par ouverture du lieu de platitude, Compléments sur les morphismes, théorème 0399, nous pouvons donc, après restriction de \(X\), supposer que \(\mathcal{F}'\) est plat sur \(S\). Comme \(\mathcal{F}\) est de type fini, nous pouvons, après restriction de \(X\), supposer \(\varphi\) surjective, voir Modules, lemme 01B8, ou utiliser le lemme de Nakayama (Algèbre, lemme 00DV). D’après le lemme 05IJ, nous avons \[\text{WeakAss}_X(\mathcal{F}') \subset \bigcup\nolimits_{s \in \text{WeakAss}(S)} \text{Ass}_{X_s}(\mathcal{F}'_s)\] Comme \(\text{WeakAss}(S)\) est fini par hypothèse et puisque \(\text{Ass}_{X_s}(\mathcal{F}'_s)\) est fini d’après Diviseurs, lemme 05AF, nous concluons que \(\text{WeakAss}_X(\mathcal{F}')\) est fini. À l’aide d’ Algèbre, lemme 00DS, nous pouvons, après une nouvelle restriction de \(X\), supposer que \(\text{WeakAss}_X(\mathcal{F}')\) est contenu dans l’ensemble des généralisations de \(x\). Considérons maintenant \(\mathcal{K} = \Ker(\varphi)\). Nous avons \(\text{WeakAss}_X(\mathcal{K}) \subset \text{WeakAss}_X(\mathcal{F}')\) (d’après Diviseurs, lemme 05AN), mais, d’autre part, \(\varphi_x\) est un isomorphisme, donc \(\varphi_{x'}\) est aussi un isomorphisme pour tout \(x' \leadsto x\). Nous concluons que \(\text{WeakAss}_X(\mathcal{K}) = \emptyset\), d’où \(\mathcal{K} = 0\) d’après Diviseurs, lemme 05AP.

Lemme

Soit \(R \to S\) un homomorphisme d’anneaux de présentation finie. Soit \(M\) un \(S\)-module de type fini. Supposons \(\text{WeakAss}_R(R)\) fini. Alors \[U = \{\mathfrak q \subset S \mid M_{\mathfrak q}\text{ plat sur }R\}\] est ouvert dans \(\Spec(S)\) et, pour tout \(g \in S\) tel que \(D(g) \subset U\), le localisé \(M_g\) est un \(S_g\)-module de présentation finie, plat sur \(R\).

Démonstration

Cela résulte immédiatement du théorème 05IK.

Lemme

Soit \(f : X \to S\) un morphisme de schémas localement de type fini. Supposons l’ensemble des points faiblement associés de \(S\) localement fini dans \(S\). Alors l’ensemble des points \(x \in X\) où \(f\) est plat est un sous-schéma ouvert \(U \subset X\) et \(U \to S\) est plat et localement de présentation finie.

Démonstration

Le problème est local sur \(X\) et \(S\) ; nous pouvons donc supposer \(X\) et \(S\) affines. Alors \(X \to S\) correspond à un homomorphisme d’anneaux de type fini \(A \to B\). Choisissons une surjection \(A[x_1, \ldots, x_n] \to B\) et considérons \(B\) comme un \(A[x_1, \ldots, x_n]\)-module. Une application du lemme 05IL achève la démonstration.

Lemme

Soit \(f : X \to S\) un morphisme de schémas localement de type fini et plat. Si \(S\) est intègre, alors \(f\) est localement de présentation finie.

Démonstration

Cas particulier du lemme 05IM.

Proposition

Soit \(R\) un anneau intègre. Soit \(R \to S\) un homomorphisme d’anneaux de type fini. Soit \(M\) un \(S\)-module de type fini.

1. Si \(S\) est plat sur \(R\), alors \(S\) est une \(R\)-algèbre de présentation finie.

2. Si \(M\) est plat comme \(R\)-module, alors \(M\) est de présentation finie comme \(S\)-module.

Démonstration

La partie (1) est un cas particulier du lemme 05IN. Pour la partie (2), choisissons une surjection \(R[x_1, \ldots, x_n] \to S\). D’après le lemme 05IL, \(M\) est de présentation finie comme \(R[x_1, \ldots, x_n]\)-module. Nous concluons par Algèbre, lemme 0561.

Lemme

Soit \(f : X \to S\) un morphisme de schémas. Soit \(\mathcal{F}\) un \(\mathcal{O}_X\)-module quasi-cohérent. Supposons que

1. \(X \to S\) soit localement de type fini,

2. \(\mathcal{F}\) soit un \(\mathcal{O}_X\)-module de type fini, et

3. l’ensemble des points faiblement associés de \(S\) soit localement fini dans \(S\).

Alors \(U = \{x \in X \mid \mathcal{F}\text{ plat en }x\text{ sur }S\}\) est ouvert dans \(X\) et \(\mathcal{F}|_U\) est plat sur \(S\) et localement de présentation finie relativement à \(S\) (voir Compléments sur les morphismes, définition 05H1).

Démonstration

La question est locale sur \(X\) et \(S\). Nous pouvons donc supposer \(X\) et \(S\) affines. Nous pouvons alors choisir une immersion fermée \(i : X \to \mathbf{A}^n_S\). Appliquons le théorème 05IK à \(X' = \mathbf{A}^n_S \to S\) et au module quasi-cohérent \(\mathcal{F}' = i_*\mathcal{F}\) de type fini ; nous trouvons que \[U' = \{x' \in X' \mid \mathcal{F}'\text{ plat en }x'\text{ sur }S\}\] est ouvert dans \(X'\) et que \(\mathcal{F}'|_{U'}\) est de présentation finie. Comme \(\mathcal{F}'\) se restreint à zéro sur \(X' \setminus i(X)\) et comme \(\mathcal{F}'_{i(x)} \cong \mathcal{F}_x\) pour tout \(x \in X\), nous voyons que \[U' = i(U) \amalg (X' \setminus i(X))\] Ainsi, \(U = i^{-1}(U')\) est ouvert. De plus, il est clair que \(\mathcal{F}'|_{U'} = (i|_U)_*(\mathcal{F}|_U)\). Nous en déduisons que \(\mathcal{F}|_U\) est de présentation finie relativement à \(S\) d’après Compléments sur les morphismes, lemmes 09T8 et 09T9.

Lemme

Soit \(R \to S\) un homomorphisme d’anneaux de type fini. Soit \(M\) un \(S\)-module de type fini. Supposons \(\text{WeakAss}_R(R)\) fini. Alors \[U = \{\mathfrak q \subset S \mid M_{\mathfrak q}\text{ plat sur }R\}\] est ouvert dans \(\Spec(S)\) et, pour tout \(g \in S\) tel que \(D(g) \subset U\), le localisé \(M_g\) est plat sur \(R\) et est un \(S_g\)-module de présentation finie relativement à \(R\) (voir Compléments d’algèbre, définition 05GZ).

Démonstration

C’est le lemme 05IQ traduit en termes algébriques.

Exemples de modules relativement purs

Dans cette courte section, nous discutons quelques exemples de résultats qui motiveront la notion de module relativement pur et le concept d’impureté que nous introduirons plus loin. Chaque exemple est énoncé sous forme de lemme. Notons l’analogie entre la condition sur les idéaux premiers associés et les conditions figurant dans les lemmes 05DH, 05DL, 05DM et 05DP. Voir aussi Algèbre, lemme 05GB, pour une discussion.

Lemme

Soit \(R\) un anneau local d’idéal maximal \(\mathfrak m\). Soit \(R \to S\) un homomorphisme d’anneaux. Soit \(N\) un \(S\)-module. Supposons que

1. \(N\) soit projectif comme \(R\)-module, et

2. \(S/\mathfrak mS\) soit noethérien et \(N/\mathfrak mN\) soit un \(S/\mathfrak mS\)-module de type fini.

Alors, pour tout idéal premier \(\mathfrak q \subset S\) associé à \(N \otimes_R \kappa(\mathfrak p)\), où \(\mathfrak p = R \cap \mathfrak q\), nous avons \(\mathfrak q + \mathfrak m S \not = S\).

Démonstration

Notons que les hypothèses des lemmes 05DE et 05FR sont satisfaites. Nous utiliserons leurs conclusions sans autre mention. Soit \(\Sigma \subset S\) l’ensemble multiplicatif des éléments qui ne sont pas diviseurs de zéro sur \(N/\mathfrak mN\). L’application \(N \to \Sigma^{-1}N\) est \(R\)-universellement injective. Ainsi, tout \(\mathfrak q \subset S\) qui est un idéal premier associé à \(N \otimes_R \kappa(\mathfrak p)\) est aussi un idéal premier associé à \(\Sigma^{-1}N \otimes_R \kappa(\mathfrak p)\). Il en résulte clairement que \(\mathfrak q\) correspond à un idéal premier de \(\Sigma^{-1}S\). Ainsi, \(\mathfrak q \subset \mathfrak q'\), où \(\mathfrak q'\) correspond à un idéal premier associé à \(N/\mathfrak mN\), ce qui conclut.

Le lemme suivant donne un autre exemple, un peu trivial, de ce phénomène.

Lemme

Soit \(R\) un anneau. Soit \(I \subset R\) un idéal. Soit \(R \to S\) un homomorphisme d’anneaux. Soit \(N\) un \(S\)-module. Si \(N\) est complet pour la topologie \(I\)-adique, alors, pour tout \(R\)-module \(M\) et pour tout idéal premier \(\mathfrak q \subset S\) associé à \(N \otimes_R M\), nous avons \(\mathfrak q + I S \not = S\).

Démonstration

Notons \(S^\wedge\) le complété \(I\)-adique de \(S\). Notons que \(N\) est un \(S^\wedge\)-module, donc \(N \otimes_R M\) est aussi un \(S^\wedge\)-module. Soit \(z \in N \otimes_R M\) un élément tel que \(\mathfrak q = \text{Ann}_S(z)\). Comme \(z \not = 0\), nous voyons que \(\text{Ann}_{S^\wedge}(z) \not = S^\wedge\). Ainsi, \(\mathfrak q S^\wedge \not = S^\wedge\). Il existe donc un idéal maximal \(\mathfrak m \subset S^\wedge\) tel que \(\mathfrak q S^\wedge \subset \mathfrak m\). Puisque \(IS^\wedge \subset \mathfrak m\) d’après Algèbre, lemme 05GI, nous obtenons la conclusion.

Notons que le lemme suivant donne une autre démonstration du lemme 05FV, car un module projectif sur un anneau local est libre, voir Algèbre, théorème 0593.

Lemme

Soit \(R\) un anneau local d’idéal maximal \(\mathfrak m\). Soit \(R \to S\) un homomorphisme d’anneaux. Soit \(N\) un \(S\)-module. Supposons \(N\) isomorphe, comme \(R\)-module, à une somme directe de \(R\)-modules de type fini. Alors, pour tout \(R\)-module \(M\) et pour tout idéal premier \(\mathfrak q \subset S\) associé à \(N \otimes_R M\), nous avons \(\mathfrak q + \mathfrak m S \not = S\).

Démonstration

Écrivons \(N = \bigoplus_{i \in I} M_i\), chaque \(M_i\) étant un \(R\)-module de type fini. Soient \(M\) un \(R\)-module et \(\mathfrak q \subset S\) un idéal premier associé à \(N \otimes_R M\) tel que \(\mathfrak q + \mathfrak m S = S\). Soit \(z \in N \otimes_R M\) un élément tel que \(\mathfrak q = \text{Ann}_S(z)\). En modifiant légèrement la décomposition en somme directe, nous pouvons supposer \(z \in M_1 \otimes_R M\) pour un élément \(1 \in I\). Écrivons \(1 = f + \sum x_j g_j\) pour des \(f \in \mathfrak q\), \(x_j \in \mathfrak m\) et \(g_j \in S\). Pour tout \(g \in S\), notons \(g'\) l’application \(R\)-linéaire \[M_1 \to N \xrightarrow{g} N \to M_1\] dont la première flèche est l’inclusion, la deuxième la multiplication par \(g\) et la troisième la projection. Comme chaque \(x_j \in R\), nous obtenons l’égalité \[f' + \sum x_j g'_j = \text{id}_{M_1} \in \text{End}_R(M_1)\] D’après le lemme de Nakayama (Algèbre, lemme 00DV), \(f'\) est surjective ; ainsi, d’après Algèbre, lemme 05G8, \(f'\) est un isomorphisme. En particulier, l’application \[M_1 \otimes_R M \to N \otimes_R M \xrightarrow{f} N \otimes_R M \to M_1 \otimes_R M\] est un isomorphisme. Cela contredit l’hypothèse \(fz = 0\).

Lemme

Soit \(R\) un anneau local hensélien d’idéal maximal \(\mathfrak m\). Soit \(R \to S\) un homomorphisme d’anneaux. Soit \(N\) un \(S\)-module. Supposons \(N\) engendré par un ensemble dénombrable et de Mittag-Leffler comme \(R\)-module. Alors, pour tout \(R\)-module \(M\) et pour tout idéal premier \(\mathfrak q \subset S\) associé à \(N \otimes_R M\), nous avons \(\mathfrak q + \mathfrak m S \not = S\).

Démonstration

Ce lemme se ramène au lemme 05IU d’après Algèbre, lemme 05D6.

Supposons que \(f : X \to S\) soit un morphisme de schémas et que \(\mathcal{F}\) soit un module quasi-cohérent sur \(X\). Soient \(\xi \in \text{Ass}_{X/S}(\mathcal{F})\) et \(Z = \overline{\{\xi\}}\). Considérons le diagramme \[\xymatrix{ \xi \ar@{|->}[d] & Z \ar[r] \ar[rd] & X \ar[d]^f \\ f(\xi) & & S }\] Notons que \(f(Z) \subset \overline{\{f(\xi)\}}\) et que \(f(Z)\) est fermé si et seulement s’il y a égalité, c’est-à-dire \(f(Z) = \overline{\{f(\xi)\}}\). Il résulte du lemme 05FV que, si \(S\), \(X\) sont affines, si les fibres \(X_s\) sont noethériennes, si \(\mathcal{F}\) est de type fini et si \(\Gamma(X, \mathcal{F})\) est un \(\Gamma(S, \mathcal{O}_S)\)-module projectif, alors \(f(Z) = \overline{\{f(\xi)\}}\) est une partie fermée. Des énoncés analogues légèrement différents valent dans les cas décrits aux lemmes 05IT, 05IU et 05IV.

Impuretés

Nous voulons formaliser le phénomène dont nous avons donné des exemples dans la section 05IS en termes de spécialisations des points de \(\text{Ass}_{X/S}(\mathcal{F})\). Nous voulons aussi travailler localement au voisinage d’un point \(s \in S\). À cette fin, nous introduisons les définitions suivantes.

Situation

Ici, \(S\), \(X\) sont des schémas et \(f : X \to S\) est un morphisme de type fini. De plus, \(\mathcal{F}\) est un \(\mathcal{O}_X\)-module quasi-cohérent de type fini. Enfin, \(s\) est un point de \(S\).

Dans cette situation, considérons un morphisme \(g : T \to S\), un point \(t \in T\) tel que \(g(t) = s\), une spécialisation \(t' \leadsto t\) et un point \(\xi \in X_T\) du changement de base de \(X\), au-dessus de \(t'\). Diagramme : [05IX]\[\begin{equation} \vcenter{ \xymatrix{ \xi \ar@{|->}[d] & \\ t' \ar@{~>}[r] & t \ar@{|->}[r] & s } } \quad\quad \vcenter{ \xymatrix{ X_T \ar[d] \ar[r] & X \ar[d] \\ T \ar[r]^g & S } } \end{equation}\] Notons en outre \(\mathcal{F}_T\) l’image réciproque de \(\mathcal{F}\) sur \(X_T\).

Définition

Dans la situation 05FW, nous disons qu’un diagramme (05IX) définit une impureté de \(\mathcal{F}\) au-dessus de \(s\) si \(\xi \in \text{Ass}_{X_T/T}(\mathcal{F}_T)\) et \(\overline{\{\xi\}} \cap X_t = \emptyset\). Nous exprimerons cela en disant : « soit \((g : T \to S, t' \leadsto t, \xi)\) une impureté de \(\mathcal{F}\) au-dessus de \(s\) ».

Lemme

Plaçons-nous dans la situation 05FW. S’il existe une impureté de \(\mathcal{F}\) au-dessus de \(s\), alors il existe une impureté \((g : T \to S, t' \leadsto t, \xi)\) de \(\mathcal{F}\) au-dessus de \(s\) telle que \(g\) soit localement de présentation finie et \(t\) soit un point fermé de la fibre de \(g\) au-dessus de \(s\).

Démonstration

Soit \((g : T \to S, t' \leadsto t, \xi)\) une impureté quelconque de \(\mathcal{F}\) au-dessus de \(s\). Appliquons Limites, lemme 05BD, à \(t \in T\) et \(Z = \overline{\{\xi\}}\) pour obtenir un voisinage ouvert \(V \subset T\) de \(t\), un diagramme commutatif \[\xymatrix{ V \ar[d] \ar[r]_a & T' \ar[d]^b \\ T \ar[r]^g & S, }\] et un sous-schéma fermé \(Z' \subset X_{T'}\) tels que

1. le morphisme \(b : T' \to S\) soit localement de présentation finie,

2. on ait \(Z' \cap X_{a(t)} = \emptyset\), et

3. \(Z \cap X_V\) soit envoyé dans \(Z'\) par le morphisme \(X_V \to X_{T'}\).

Comme \(t'\) se spécialise en \(t\), nous pouvons remplacer \(T\) par le voisinage ouvert \(V\) de \(t\). Nous avons donc un diagramme commutatif \[\xymatrix{ X_T \ar[d] \ar[r] & X_{T'} \ar[d] \ar[r] & X \ar[d] \\ T \ar[r]^a & T' \ar[r]^b & S }\] où \(b \circ a = g\). Notons \(\xi' \in X_{T'}\) l’image de \(\xi\). D’après Diviseurs, lemme 05DC, nous avons \(\xi' \in \text{Ass}_{X_{T'}/T'}(\mathcal{F}_{T'})\). De plus, par construction, l’adhérence de \(\overline{\{\xi'\}}\) est contenue dans la partie fermée \(Z'\), qui ne rencontre pas la fibre \(X_{a(t)}\). Ainsi, \((T' \to S, a(t') \leadsto a(t), \xi')\) est une impureté de \(\mathcal{F}\) au-dessus de \(s\).

Nous pouvons donc supposer \(g : T \to S\) localement de présentation finie. Soit \(Z = \overline{\{\xi\}}\). Par hypothèse, \(Z_t = \emptyset\). D’après Compléments sur les morphismes, lemme 054W, cela signifie que \(Z_{t''} = \emptyset\) pour \(t''\) dans une partie ouverte de \(\overline{\{t\}}\). Comme la fibre de \(T \to S\) au-dessus de \(s\) est un schéma de Jacobson, voir Morphismes, lemme 02J6, il existe un point fermé \(t'' \in \overline{\{t\}}\) tel que \(Z_{t''} = \emptyset\). Alors \((g : T \to S, t' \leadsto t'', \xi)\) est l’impureté cherchée.

Lemme

Plaçons-nous dans la situation 05FW. Soit \((g : T \to S, t' \leadsto t, \xi)\) une impureté de \(\mathcal{F}\) au-dessus de \(s\). Supposons que \(T = \lim_{i \in I} T_i\) soit une limite dirigée de schémas affines sur \(S\). Alors, pour un certain \(i\), le triplet \((T_i \to S, t'_i \leadsto t_i, \xi_i)\) est une impureté de \(\mathcal{F}\) au-dessus de \(s\).

Démonstration

Les notations de l’énoncé ont le sens suivant : soient \(p_i : T \to T_i\) les projections, \(t_i = p_i(t)\) et \(t'_i = p_i(t')\). Enfin, \(\xi_i \in X_{T_i}\) est l’image de \(\xi\). D’après Diviseurs, lemme 05DC, \(\xi_i\) est bien un point de l’assassin relatif de \(\mathcal{F}_{T_i}\) sur \(T_i\). Il reste donc seulement à montrer que \(\overline{\{\xi_i\}} \cap X_{t_i} = \emptyset\) pour un certain \(i\).

Première démonstration. Soient \(Z_i = \overline{\{\xi_i\}} \subset X_{T_i}\) et \(Z = \overline{\{\xi\}} \subset X_T\) munis des structures de sous-schémas réduits induites. Alors \(Z = \lim Z_i\) d’après Limites, lemme 0CUG. Choisissons un corps \(k\) et un morphisme \(\Spec(k) \to T\) d’image \(t\). Alors \[\emptyset = Z \times_T \Spec(k) = (\lim Z_i) \times_{(\lim T_i)} \Spec(k) = \lim Z_i \times_{T_i} \Spec(k)\] car les limites commutent aux produits fibrés (les limites commutent aux limites). Chaque \(Z_i \times_{T_i} \Spec(k)\) est quasi-compact, car \(X_{T_i} \to T_i\) est de type fini, donc \(Z_i \to T_i\) est de type fini. Ainsi, \(Z_i \times_{T_i} \Spec(k)\) est vide pour un certain \(i\) d’après Limites, lemme 01Z2. Comme l’image du composé \(\Spec(k) \to T \to T_i\) est \(t_i\), nous obtenons la conclusion voulue.

Deuxième démonstration. Posons \(Z = \overline{\{\xi\}}\). Appliquons Limites, lemme 05BD, à cette situation pour obtenir un voisinage ouvert \(V \subset T\) de \(t\), un diagramme commutatif \[\xymatrix{ V \ar[d] \ar[r]_a & T' \ar[d]^b \\ T \ar[r]^g & S, }\] et un sous-schéma fermé \(Z' \subset X_{T'}\) tels que

1. le morphisme \(b : T' \to S\) soit localement de présentation finie,

2. on ait \(Z' \cap X_{a(t)} = \emptyset\), et

3. \(Z \cap X_V\) soit envoyé dans \(Z'\) par le morphisme \(X_V \to X_{T'}\).

Nous pouvons supposer \(V\) ouvert affine de \(T\) ; d’après Limites, lemmes 01Z4 et 01Z6, nous pouvons donc trouver un \(i\) et un ouvert affine \(V_i \subset T_i\) tels que \(V = f_i^{-1}(V_i)\). D’après Limites, proposition 01ZC, nous pouvons, quitte à augmenter \(i\), trouver un morphisme \(a_i : V_i \to T'\) tel que \(a = a_i \circ f_i|_V\). Le morphisme induit \(X_{V_i} \to X_{T'}\) envoie \(\xi_i\) dans \(Z'\). Comme \(Z' \cap X_{a(t)} = \emptyset\), nous concluons que \((T_i \to S, t'_i \leadsto t_i, \xi_i)\) est une impureté de \(\mathcal{F}\) au-dessus de \(s\).

Lemme

Plaçons-nous dans la situation 05FW. S’il existe une impureté \((g : T \to S, t' \leadsto t, \xi)\) de \(\mathcal{F}\) au-dessus de \(s\) avec \(g\) quasi-fini en \(t\), alors il existe une impureté \((g : T \to S, t' \leadsto t, \xi)\) telle que \((T, t) \to (S, s)\) soit un voisinage étale élémentaire.

Démonstration

Soit \((g : T \to S, t' \leadsto t, \xi)\) une impureté de \(\mathcal{F}\) au-dessus de \(s\) telle que \(g\) soit quasi-fini en \(t\). Après restriction de \(T\), nous pouvons supposer \(g\) localement de type fini. Appliquons Compléments sur les morphismes, lemme 02LK, à \(T \to S\) et \(t \mapsto s\). Nous obtenons un diagramme \[\xymatrix{ T \ar[d] & T \times_S U \ar[l] \ar[d] & V \ar[l] \ar[ld] \\ S & U \ar[l] }\] où \((U, u) \to (S, s)\) est un voisinage étale élémentaire et \(V \subset T \times_S U\) est un voisinage ouvert de \(v = (t, u)\) tel que \(V \to U\) soit fini et que \(v\) soit l’unique point de \(V\) au-dessus de \(u\). Comme le morphisme \(V \to T\) est étale, donc plat, il existe une spécialisation \(v' \leadsto v\) telle que \(v' \mapsto t'\). Notons que \(\kappa(t') \subset \kappa(v')\) est une extension finie séparable. Choisissons un point quelconque \(\zeta \in X_{v'}\) d’image \(\xi \in X_{t'}\). D’après Diviseurs, lemme 05DC, nous avons \(\zeta \in \text{Ass}_{X_V/V}(\mathcal{F}_V)\). De plus, l’adhérence \(\overline{\{\zeta\}}\) ne rencontre pas la fibre \(X_v\), puisque, par hypothèse, l’adhérence \(\overline{\{\xi\}}\) ne rencontre pas \(X_t\). Autrement dit, \((V \to S, v' \leadsto v, \zeta)\) est une impureté de \(\mathcal{F}\) au-dessus de \(S\).

Ensuite, soient \(u' \in U'\) l’image de \(v'\) et \(\theta \in X_U\) l’image de \(\zeta\). Alors \(\theta \mapsto u'\) et \(u' \leadsto u\). D’après Diviseurs, lemme 05DC, nous avons \(\theta \in \text{Ass}_{X_U/U}(\mathcal{F})\). De plus, comme \(\pi : X_V \to X_U\) est fini, nous avons \(\pi\big(\overline{\{\zeta\}}\big) = \overline{\{\pi(\zeta)\}}\). Puisque \(v\) est l’unique point de \(V\) au-dessus de \(u\), nous avons \(X_u \cap \overline{\{\pi(\zeta)\}} = \emptyset\), car \(X_v \cap \overline{\{\zeta\}} = \emptyset\). Nous concluons ainsi que \((U \to S, u' \leadsto u, \theta)\) est une impureté de \(\mathcal{F}\) au-dessus de \(s\), ce qui achève la démonstration.

Lemme

Plaçons-nous dans la situation 05FW. Supposons \(S\) localement noethérien. S’il existe une impureté de \(\mathcal{F}\) au-dessus de \(s\), alors il existe une impureté \((g : T \to S, t' \leadsto t, \xi)\) de \(\mathcal{F}\) au-dessus de \(s\) telle que \(g\) soit quasi-fini en \(t\).

Démonstration

Nous pouvons remplacer \(S\) par un voisinage affine de \(s\). D’après le lemme 05FX, nous pouvons supposer donnée une impureté \((g : T \to S, t' \leadsto t, \xi)\) telle que \(g\) soit localement de type fini et \(t\) un point fermé de la fibre de \(g\) au-dessus de \(s\). Nous pouvons remplacer \(T\) par le sous-schéma réduit induit sur \(\overline{\{t'\}}\). Soit \(Z = \overline{\{\xi\}} \subset X_T\). Par hypothèse, \(Z_t = \emptyset\) et l’image de \(Z \to T\) contient \(t'\). D’après Compléments sur les morphismes, lemme 05F1, il existe un ouvert non vide \(V \subset Z\) tel que, pour tout \(w \in f(V)\), tout point générique \(\xi'\) de \(V_w\) appartienne à \(\text{Ass}_{X_T/T}(\mathcal{F}_T)\). D’après Compléments sur les morphismes, lemme 05F5, il existe un ouvert non vide \(W \subset T\) tel que \(W \subset f(V)\). D’après Compléments sur les morphismes, lemme 05GU, il existe un sous-schéma fermé \(T' \subset T\) tel que \(t \in T'\), que \(T' \to S\) soit quasi-fini en \(t\) et qu’il existe un point \(z \in T' \cap W\), \(z \leadsto t\), qui ne s’envoie pas sur \(s\). Choisissons un point générique quelconque \(\xi'\) du schéma non vide \(V_z\). Alors \((T' \to S, z \leadsto t, \xi')\) est l’impureté cherchée.

Dans la suite, nous utiliserons l’hensélisé \(S^h = \Spec(\mathcal{O}_{S, s}^h)\) de \(S\) en \(s\), voir Cohomologie étale, définition 03PS. Comme \(S^h \to S\) envoie le point fermé de \(S^h\) sur \(s\) et induit un isomorphisme des corps résiduels, nous noterons aussi \(s \in S^h\) ce point fermé. Ainsi, \((S^h, s) \to (S, s)\) est un morphisme de schémas pointés.

Lemme

Plaçons-nous dans la situation 05FW. S’il existe une impureté \((S^h \to S, s' \leadsto s, \xi)\) de \(\mathcal{F}\) au-dessus de \(s\), alors il existe une impureté \((T \to S, t' \leadsto t, \xi)\) de \(\mathcal{F}\) au-dessus de \(s\) où \((T, t) \to (S, s)\) est un voisinage étale élémentaire.

Démonstration

Nous pouvons remplacer \(S\) par un voisinage affine de \(s\). Disons que \(S = \Spec(A)\) et que \(s\) correspond à l’idéal premier \(\mathfrak p \subset A\). Alors \(\mathcal{O}_{S, s}^h = \colim_{(T, t)} \Gamma(T, \mathcal{O}_T)\), la limite étant prise sur la catégorie opposée à la catégorie cofiltrante des voisinages étales élémentaires affines \((T, t)\) de \((S, s)\), voir Compléments sur les morphismes, lemme 05KS et sa démonstration. Ainsi, \(S^h = \lim_i T_i\) et nous concluons par le lemme 05IZ.

Lemme

Dans la situation 05FW, les conditions suivantes sont équivalentes :

1. il existe une impureté \((S^h \to S, s' \leadsto s, \xi)\) de \(\mathcal{F}\) au-dessus de \(s\), où \(S^h\) est l’hensélisé de \(S\) en \(s\),

2. il existe une impureté \((T \to S, t' \leadsto t, \xi)\) de \(\mathcal{F}\) au-dessus de \(s\) telle que \((T, t) \to (S, s)\) soit un voisinage étale élémentaire, et

3. il existe une impureté \((T \to S, t' \leadsto t, \xi)\) de \(\mathcal{F}\) au-dessus de \(s\) telle que \(T \to S\) soit quasi-fini en \(t\).

Démonstration

Comme un morphisme étale est localement quasi-fini, il est clair que (2) entraîne (3). Nous avons vu que (3) entraîne (2) dans le lemme 05J0. Nous avons vu que (1) entraîne (2) dans le lemme 05J2. Enfin, si \((T \to S, t' \leadsto t, \xi)\) est une impureté de \(\mathcal{F}\) au-dessus de \(s\) telle que \((T, t) \to (S, s)\) soit un voisinage étale élémentaire, nous pouvons choisir une factorisation \(S^h \to T \to S\) du morphisme structural \(S^h \to S\). Choisissons un point quelconque \(s' \in S^h\) d’image \(t'\) et un point quelconque \(\xi' \in X_{s'}\) d’image \(\xi \in X_{t'}\). Alors \((S^h \to S, s' \leadsto s, \xi')\) est une impureté de \(\mathcal{F}\) au-dessus de \(s\). Nous omettons les détails.

Modules relativement purs

La notion de module pur relativement à une base a été introduite dans [GruRay].

Définition

Soit \(f : X \to S\) un morphisme de schémas de type fini. Soit \(\mathcal{F}\) un \(\mathcal{O}_X\)-module quasi-cohérent de type fini.

1. Soit \(s \in S\). Nous disons que \(\mathcal{F}\) est pur le long de \(X_s\) s’il n’existe aucune impureté \((g : T \to S, t' \leadsto t, \xi)\) de \(\mathcal{F}\) au-dessus de \(s\) avec \((T, t) \to (S, s)\) un voisinage étale élémentaire.

2. Nous disons que \(\mathcal{F}\) est universellement pur le long de \(X_s\) s’il n’existe aucune impureté de \(\mathcal{F}\) au-dessus de \(s\).

3. Nous disons que \(X\) est pur le long de \(X_s\) si \(\mathcal{O}_X\) est pur le long de \(X_s\).

4. Nous disons que \(\mathcal{F}\) est universellement \(S\)-pur, ou universellement pur relativement à \(S\), si \(\mathcal{F}\) est universellement pur le long de \(X_s\) pour tout \(s \in S\).

5. Nous disons que \(\mathcal{F}\) est \(S\)-pur, ou pur relativement à \(S\), si \(\mathcal{F}\) est pur le long de \(X_s\) pour tout \(s \in S\).

6. Nous disons que \(X\) est \(S\)-pur ou pur relativement à \(S\) si \(\mathcal{O}_X\) est pur relativement à \(S\).

Nous nous restreignons ici délibérément aux morphismes de type fini, et non aux morphismes seulement localement de type fini ; voir la remarque 05J5 pour une discussion. Dans la situation de la définition, le lemme 05J3 nous dit que les conditions suivantes sont équivalentes :

1. \(\mathcal{F}\) est pur le long de \(X_s\),

2. il n’existe aucune impureté \((g : T \to S, t' \leadsto t, \xi)\) avec \(g\) quasi-fini en \(t\),

3. il n’existe aucune impureté de la forme \((S^h \to S, s' \leadsto s, \xi)\), où \(S^h\) est l’hensélisé de \(S\) en \(s\).

Si nous notons \(X^h = X \times_S S^h\) et \(\mathcal{F}^h\) l’image réciproque de \(\mathcal{F}\) sur \(X^h\), nous pouvons formuler cette dernière condition sous la forme positive suivante :

1. Tous les points de \(\text{Ass}_{X^h/S^h}(\mathcal{F}^h)\) se spécialisent en des points de \(X_s\).

En particulier, il est clair que \(\mathcal{F}\) est pur le long de \(X_s\) si et seulement si l’image réciproque de \(\mathcal{F}\) sur \(X \times_S \Spec(\mathcal{O}_{S, s})\) est pure le long de \(X_s\).

Remarque

Soient \(f : X \to S\) un morphisme localement de type fini et \(\mathcal{F}\) un \(\mathcal{O}_X\)-module quasi-cohérent de type fini. Dans ce cas, il est encore vrai que (1) et (2) ci-dessus sont équivalentes, car la démonstration du lemme 05J0 n’utilise pas la quasi-compacité de \(f\). Il est également clair que (3) et (4) sont équivalentes. Cependant, nous ignorons si (1) et (3) sont équivalentes. Dans ce cas, il peut parfois être plus commode de définir la pureté par les conditions équivalentes (3) et (4), comme dans [GruRay]. D’autre part, pour de nombreuses applications, il semble que la notion appropriée soit bien celle de pureté universelle.

Il est naturel de se demander si la propriété de pureté relativement à la base est conservée par changement de base, autrement dit si être pur revient à être universellement pur. Il se trouve que c’est vrai sur une base noethérienne (voir le lemme 05J8), ou si le faisceau est plat (voir les lemmes 05L5 et 05L6). Ce n’est pas vrai en général, même si le morphisme et le faisceau sont de présentation finie ; voir Exemples, section 05JJ, pour un contre-exemple. Vérifions d’abord que notre emploi de « universellement » correspond à la notion usuelle.

Lemme

Soit \(f : X \to S\) un morphisme de schémas de type fini. Soit \(\mathcal{F}\) un \(\mathcal{O}_X\)-module quasi-cohérent de type fini. Soit \(s \in S\). Les conditions suivantes sont équivalentes :

1. \(\mathcal{F}\) est universellement pur le long de \(X_s\), et

2. pour tout morphisme de schémas pointés \((S', s') \to (S, s)\), l’image réciproque \(\mathcal{F}_{S'}\) est pure le long de \(X_{s'}\).

En particulier, \(\mathcal{F}\) est universellement pur relativement à \(S\) si et seulement si tout changement de base \(\mathcal{F}_{S'}\) de \(\mathcal{F}\) est pur relativement à \(S'\).

Démonstration

C’est formel.

Lemme

Soit \(f : X \to S\) un morphisme de schémas de type fini. Soit \(\mathcal{F}\) un \(\mathcal{O}_X\)-module quasi-cohérent de type fini. Soit \(s \in S\). Soit \((S', s') \to (S, s)\) un morphisme de schémas pointés. Si \(S' \to S\) est quasi-fini en \(s'\) et \(\mathcal{F}\) est pur le long de \(X_s\), alors \(\mathcal{F}_{S'}\) est pur le long de \(X_{s'}\).

Démonstration

Si \((T \to S', t' \leadsto t, \xi)\) est une impureté de \(\mathcal{F}_{S'}\) au-dessus de \(s'\) avec \(T \to S'\) quasi-fini en \(t\), alors \((T \to S, t' \to t, \xi)\) est une impureté de \(\mathcal{F}\) au-dessus de \(s\) avec \(T \to S\) quasi-fini en \(t\), voir Morphismes, lemme 01TL. Le lemme résulte donc immédiatement de la caractérisation (2) de la pureté donnée après la définition 05J4.

Lemme

Soit \(f : X \to S\) un morphisme de schémas de type fini. Soit \(\mathcal{F}\) un \(\mathcal{O}_X\)-module quasi-cohérent de type fini. Soit \(s \in S\). Si \(\mathcal{O}_{S, s}\) est noethérien, alors \(\mathcal{F}\) est pur le long de \(X_s\) si et seulement si \(\mathcal{F}\) est universellement pur le long de \(X_s\).

Démonstration

Nous pouvons d’abord remplacer \(S\) par \(\Spec(\mathcal{O}_{S, s})\), c’est-à-dire supposer \(S\) noethérien. Utilisons ensuite le lemme 05J1 et la caractérisation (2) de la pureté donnée dans la discussion suivant la définition 05J4 pour conclure.

La pureté satisfait à la descente plate.

Lemme

Soit \(f : X \to S\) un morphisme de schémas de type fini. Soit \(\mathcal{F}\) un \(\mathcal{O}_X\)-module quasi-cohérent de type fini. Soit \(s \in S\). Soit \((S', s') \to (S, s)\) un morphisme de schémas pointés. Supposons \(S' \to S\) plat en \(s'\).

1. Si \(\mathcal{F}_{S'}\) est pur le long de \(X_{s'}\), alors \(\mathcal{F}\) est pur le long de \(X_s\).

2. Si \(\mathcal{F}_{S'}\) est universellement pur le long de \(X_{s'}\), alors \(\mathcal{F}\) est universellement pur le long de \(X_s\).

Démonstration

Soit \((T \to S, t' \leadsto t, \xi)\) une impureté de \(\mathcal{F}\) au-dessus de \(s\). Posons \(T_1 = T \times_S S'\) et soit \(t_1\) l’unique point de \(T_1\) d’images \(t\) et \(s'\). Comme \(T_1 \to T\) est plat en \(t_1\), voir Morphismes, lemme 01U9, il existe une spécialisation \(t'_1 \leadsto t_1\) au-dessus de \(t' \leadsto t\), voir Algèbre, section 00HU. Choisissons un point \(\xi_1 \in X_{t'_1}\) correspondant à un point générique de \(\Spec(\kappa(t'_1) \otimes_{\kappa(t')} \kappa(\xi))\), voir Schémas, lemme 01JT. D’après Diviseurs, lemme 05DC, nous avons \(\xi_1 \in \text{Ass}_{X_{T_1}/T_1}(\mathcal{F}_{T_1})\). Comme l’adhérence de Zariski de \(\{\xi_1\}\) dans \(X_{T_1}\) s’envoie dans l’adhérence de Zariski de \(\{\xi\}\) dans \(X_T\), nous concluons que cette adhérence est disjointe de \(X_{t_1}\). Ainsi, \((T_1 \to S', t'_1 \leadsto t_1, \xi_1)\) est une impureté de \(\mathcal{F}_{S'}\) au-dessus de \(s'\). Autrement dit, nous avons démontré la contraposée de la partie (2) du lemme. Enfin, si \((T, t) \to (S, s)\) est un voisinage étale élémentaire, alors \((T_1, t_1) \to (S', s')\) est aussi un voisinage étale élémentaire ; nous voyons ainsi que (1) est vraie.

Lemme

Soit \(i : Z \to X\) une immersion fermée de schémas de type fini sur un schéma \(S\). Soit \(s \in S\). Soit \(\mathcal{F}\) un faisceau quasi-cohérent de type fini sur \(Z\). Alors \(\mathcal{F}\) est (universellement) pur le long de \(Z_s\) si et seulement si \(i_*\mathcal{F}\) est (universellement) pur le long de \(X_s\).

Démonstration

Cela résulte de Diviseurs, lemme 0CUD.

Exemples de faisceaux relativement purs

Voici quelques exemples où l’on peut expliciter la signification de la pureté.

Lemme

Soit \(f : X \to S\) un morphisme de schémas de type fini. Soit \(\mathcal{F}\) un \(\mathcal{O}_X\)-module quasi-cohérent de type fini.

1. Si le support de \(\mathcal{F}\) est propre sur \(S\), alors \(\mathcal{F}\) est universellement pur relativement à \(S\).

2. Si \(f\) est propre, alors \(\mathcal{F}\) est universellement pur relativement à \(S\).

3. Si \(f\) est propre, alors \(X\) est universellement pur relativement à \(S\).

Démonstration

Ramenons d’abord (1) à (2). Soit \(Z \subset X\) le support schématique de \(\mathcal{F}\). Soit \(i : Z \to X\) l’immersion fermée correspondante et écrivons \(\mathcal{F} = i_*\mathcal{G}\) pour un \(\mathcal{O}_Z\)-module quasi-cohérent de type fini \(\mathcal{G}\), voir Morphismes, section 056H. Dans le cas (1), \(Z \to S\) est propre par hypothèse. Ainsi, d’après le lemme 05K1, le cas (1) se ramène au cas (2).

Supposons \(f\) propre. Soit \((g : T \to S, t' \leadsto t, \xi)\) une impureté de \(\mathcal{F}\) au-dessus de \(s \in S\). Comme \(f\) est propre, il est universellement fermé. Ainsi, \(f_T : X_T \to T\) est fermé. Comme \(f_T(\xi) = t'\), cela entraîne que \(t \in f(\overline{\{\xi\}})\), d’où une contradiction.

Lemme

Soit \(f : X \to S\) un morphisme de schémas séparé et de type fini. Soit \(\mathcal{F}\) un \(\mathcal{O}_X\)-module quasi-cohérent de type fini. Supposons \(\text{Supp}(\mathcal{F}_s)\) fini pour tout \(s \in S\). Alors les conditions suivantes sont équivalentes :

1. \(\mathcal{F}\) est pur relativement à \(S\),

2. le support schématique de \(\mathcal{F}\) est fini sur \(S\), et

3. \(\mathcal{F}\) est universellement pur relativement à \(S\).

En particulier, pour un morphisme quasi-fini séparé \(X \to S\), \(X\) est pur relativement à \(S\) si et seulement si \(X \to S\) est fini.

Démonstration

Soit \(Z \subset X\) le support schématique de \(\mathcal{F}\), voir Morphismes, définition 05JV. Alors \(Z \to S\) est un morphisme de schémas séparé de type fini à fibres finies. Il est donc séparé et quasi-fini, voir Morphismes, lemme 02NH. D’après le lemme 05K1, il suffit de démontrer le lemme pour \(Z \to S\) et le faisceau \(\mathcal{F}\) considéré comme module quasi-cohérent de type fini sur \(Z\). Nous pouvons donc supposer que \(X \to S\) est séparé et quasi-fini et que \(\text{Supp}(\mathcal{F}) = X\).

Il résulte du lemme 05K3 et de Morphismes, lemme 01WN, que (2) entraîne (3). Il est trivial que (3) entraîne (1). Supposons (1) vérifiée. Montrons (2). Il est clair que nous pouvons supposer \(S\) affine. D’après Compléments sur les morphismes, lemme 05K0, nous pouvons trouver un diagramme \[\xymatrix{ X \ar[rd]_f \ar[rr]_j & & T \ar[ld]^\pi \\ & S & }\] où \(\pi\) est fini et \(j\) est une immersion ouverte quasi-compacte. Si nous montrons que \(j\) est fermé, alors \(j\) est une immersion fermée, et nous concluons que \(f = \pi \circ j\) est fini. Pour montrer que \(j\) est fermé, il suffit de montrer que les spécialisations se relèvent le long de \(j\), voir Schémas, lemme 01K9. Soit \(x \in X\), posons \(t' = j(x)\) et soit \(t' \leadsto t\) une spécialisation. Il faut montrer \(t \in j(X)\). Posons \(s' = f(x)\) et \(s = \pi(t)\), de sorte que \(s' \leadsto s\). D’après Compléments sur les morphismes, lemme 02LN, nous pouvons trouver un voisinage étale élémentaire \((U, u) \to (S, s)\) et une décomposition \[T_U = T \times_S U = V \amalg W\] en sous-schémas ouverts et fermés, telle que \(V \to U\) soit fini, qu’il existe un unique point \(v\) de \(V\) d’image \(u\), et que \(v\) ait pour image \(t\) dans \(T\). Comme \(V \to T\) est étale, nous pouvons relever les généralisations, voir Morphismes, lemmes 03HV et 02GS. Il existe donc une spécialisation \(v' \leadsto v\) telle que \(v'\) s’envoie sur \(t' \in T\). En particulier, \(v' \in X_U \subset T_U\). Notons \(u' \in U\) l’image de \(t'\). Notons que \(v' \in \text{Ass}_{X_U/U}(\mathcal{F})\), car \(X_{u'}\) est un ensemble fini discret et \(X_{u'} = \text{Supp}(\mathcal{F}_{u'})\). Comme \(\mathcal{F}\) est pur relativement à \(S\), le point \(v'\) doit se spécialiser en un point de \(X_u\). Puisque \(v\) est l’unique point de \(V\) au-dessus de \(u\) (et qu’aucun point de \(W\) ne peut être une spécialisation de \(v'\)), nous voyons que \(v \in X_u\). Ainsi, \(t \in X\).

Lemme

Soit \(f : X \to S\) un morphisme de schémas plat de type fini à fibres géométriquement intègres. Alors \(X\) est universellement pur sur \(S\).

Démonstration

Soient \(\xi \in X\) avec \(s' = f(\xi)\) et \(s' \leadsto s\) une spécialisation de \(S\). Si \(\xi\) est un point associé de \(X_{s'}\), alors \(\xi\) est l’unique point générique, car \(X_{s'}\) est un schéma intègre. Soit \(\xi_0\) l’unique point générique de \(X_s\). Comme \(X \to S\) est plat, nous pouvons relever \(s' \leadsto s\) en une spécialisation \(\xi' \leadsto \xi_0\) dans \(X\), voir Morphismes, lemme 03HV. Alors \(\xi \leadsto \xi'\), car \(\xi\) est le point générique de \(X_{s'}\), donc \(\xi \leadsto \xi_0\). Cela signifie que \((\text{id}_S, s' \to s, \xi)\) n’est pas une impureté de \(\mathcal{O}_X\) au-dessus de \(s\). Comme l’hypothèse que \(f\) est de type fini, plat et à fibres géométriquement intègres est conservée par changement de base, il n’existe aucune impureté après un changement de base quelconque. Nous voyons ainsi que \(X\) est universellement \(S\)-pur.

Lemme

Soit \(f : X \to S\) un morphisme de schémas affine et de type fini. Soit \(\mathcal{F}\) un \(\mathcal{O}_X\)-module quasi-cohérent de type fini tel que \(f_*\mathcal{F}\) soit localement projectif sur \(S\), voir Propriétés, définition 05JP. Alors \(\mathcal{F}\) est universellement pur sur \(S\).

Démonstration

Après réduction au cas où \(S\) est le spectre d’un anneau local hensélien, cela résulte du lemme 05FV.

Un critère de pureté

Nous démontrons d’abord que, pour une famille plate de faisceaux quasi-cohérents de type fini, les points de l’assassin relatif se spécialisent en des points des assassins relatifs des fibres voisines (lorsqu’ils admettent une spécialisation dans ces fibres).

Lemme

Soit \(f : X \to S\) un morphisme de schémas de type fini. Soit \(\mathcal{F}\) un \(\mathcal{O}_X\)-module quasi-cohérent de type fini. Soit \(s \in S\). Supposons \(\mathcal{F}\) plat sur \(S\) en tout point de \(X_s\). Soit \(x' \in \text{Ass}_{X/S}(\mathcal{F})\) avec \(f(x') = s'\) tel que \(s' \leadsto s\) soit une spécialisation dans \(S\). Si \(x'\) se spécialise en un point de \(X_s\), alors \(x' \leadsto x\) pour un \(x \in \text{Ass}_{X_s}(\mathcal{F}_s)\).

Démonstration

Disons que \(x' \leadsto t\) avec \(t \in X_s\). Nous pouvons alors trouver des spécialisations \(x' \leadsto x \leadsto t\), où \(x\) correspond au point générique d’une composante irréductible de \(\overline{\{x'\}} \cap f^{-1}(\{s\})\). Par hypothèse, \(\mathcal{F}\) est plat sur \(S\) en \(x\). D’après Compléments sur les morphismes, lemme 0GSI, nous avons \(x \in \text{Ass}_{X/S}(\mathcal{F})\), comme voulu.

Lemme

Soit \(f : X \to S\) un morphisme de schémas de type fini. Soit \(\mathcal{F}\) un \(\mathcal{O}_X\)-module quasi-cohérent de type fini. Soit \(s \in S\). Soit \((S', s') \to (S, s)\) un voisinage étale élémentaire et soit \[\xymatrix{ X \ar[d] & X' \ar[l]^g \ar[d] \\ S & S' \ar[l] }\] un diagramme commutatif de morphismes de schémas. Supposons que

1. \(\mathcal{F}\) soit plat sur \(S\) en tout point de \(X_s\),

2. \(X' \to S'\) soit de type fini,

3. \(g^*\mathcal{F}\) soit pur le long de \(X'_{s'}\),

4. \(g : X' \to X\) soit étale, et

5. \(g(X')\) contienne \(\text{Ass}_{X_s}(\mathcal{F}_s)\).

Dans cette situation, \(\mathcal{F}\) est pur le long de \(X_s\) si et seulement si l’image de \(X' \to X \times_S S'\) contient les points de \(\text{Ass}_{X \times_S S'/S'}(\mathcal{F} \times_S S')\) au-dessus des points de \(S'\) qui se spécialisent en \(s'\).

Démonstration

Comme le morphisme \(S' \to S\) est étale, si \(\mathcal{F}\) est pur le long de \(X_s\), alors \(\mathcal{F} \times_S S'\) est pur le long de \(X_s\), voir le lemme 05J7. Comme la pureté satisfait à la descente plate, voir le lemme 05J9, si \(\mathcal{F} \times_S S'\) est pur le long de \(X_{s'}\), alors \(\mathcal{F}\) est pur le long de \(X_s\). Nous pouvons donc remplacer \(S\) par \(S'\) et supposer \(S = S'\), de sorte que \(g : X' \to X\) est un morphisme étale entre schémas de type fini sur \(S\). De plus, nous pouvons remplacer \(S\) par \(\Spec(\mathcal{O}_{S, s})\) et supposer \(S\) local.

Supposons d’abord \(\mathcal{F}\) pur le long de \(X_s\). Dans ce cas, tout point de \(\text{Ass}_{X/S}(\mathcal{F})\) se spécialise en un point de \(X_s\), par pureté. Ainsi, d’après le lemme 05L3, tout point de \(\text{Ass}_{X/S}(\mathcal{F})\) se spécialise en un point de \(\text{Ass}_{X_s}(\mathcal{F}_s)\). Tout point de \(\text{Ass}_{X/S}(\mathcal{F})\) appartient donc à l’image de \(g\) (car cette image est ouverte et contient \(\text{Ass}_{X_s}(\mathcal{F}_s)\)).

Réciproquement, supposons que \(g(X')\) contienne \(\text{Ass}_{X/S}(\mathcal{F})\). Soit \(S^h = \Spec(\mathcal{O}_{S, s}^h)\) l’hensélisé de \(S\) en \(s\). Notons \(g^h : (X')^h \to X^h\) le changement de base de \(g\) par \(S^h \to S\), et \(\mathcal{F}^h\) l’image réciproque de \(\mathcal{F}\) sur \(X^h\). D’après Diviseurs, lemme 05DC et remarque 05KL, l’assassin relatif \(\text{Ass}_{X^h/S^h}(\mathcal{F}^h)\) est l’image réciproque de \(\text{Ass}_{X/S}(\mathcal{F})\) par la projection \(X^h \to X\). Comme nous avons supposé que \(g(X')\) contient \(\text{Ass}_{X/S}(\mathcal{F})\), nous concluons que le changement de base \(g^h((X')^h) = g(X') \times_S S^h\) contient \(\text{Ass}_{X^h/S^h}(\mathcal{F}^h)\). Nous nous ramenons ainsi au cas où \(S\) est le spectre d’un anneau local hensélien. Soit \(x \in \text{Ass}_{X/S}(\mathcal{F})\). Pour achever la démonstration du lemme, il faut montrer que \(x\) se spécialise en un point de \(X_s\), voir le critère (4) de pureté dans la discussion suivant la définition 05J4. Par hypothèse, il existe un \(x' \in X'\) tel que \(g(x') = x\). Comme \(g : X' \to X\) est étale, nous avons \(x' \in \text{Ass}_{X'/S}(g^*\mathcal{F})\), voir le lemme 05FP (appliqué au morphisme de fibres \(X'_w \to X_w\), où \(w \in S\) est l’image de \(x'\)). Comme \(g^*\mathcal{F}\) est pur le long de \(X'_s\), nous avons \(x' \leadsto y\) pour un \(y \in X'_s\). Ainsi, \(x = g(x') \leadsto g(y)\) et \(g(y) \in X_s\), comme voulu.

Lemme

Soit \(f : X \to S\) un morphisme de schémas. Soit \(\mathcal{F}\) un \(\mathcal{O}_X\)-module quasi-cohérent. Soit \(s \in S\). Supposons que

1. \(f\) soit de type fini,

2. \(\mathcal{F}\) soit de type fini,

3. \(\mathcal{F}\) soit plat sur \(S\) en tout point de \(X_s\), et

4. \(\mathcal{F}\) soit pur le long de \(X_s\).

Alors \(\mathcal{F}\) est universellement pur le long de \(X_s\).

Démonstration

Faisons d’abord une remarque préliminaire. Supposons que \((S', s') \to (S, s)\) soit un voisinage étale élémentaire. Notons \(\mathcal{F}'\) l’image réciproque de \(\mathcal{F}\) sur \(X' = X \times_S S'\). D’après la discussion suivant la définition 05J4, \(\mathcal{F}'\) est pur le long de \(X'_{s'}\). De plus, \(\mathcal{F}'\) est plat sur \(S'\) le long de \(X'_{s'}\). Il suffit alors de démontrer que \(\mathcal{F}'\) est universellement pur le long de \(X'_{s'}\). En effet, pour tout morphisme \((T, t) \to (S, s)\) de schémas pointés, le produit fibré \((T', t') = (T \times_S S', (t, s'))\) est plat sur \((T, t)\) ; ainsi, si \(\mathcal{F}_{T'}\) est pur le long de \(X_{t'}\), alors \(\mathcal{F}_T\) est pur le long de \(X_t\) d’après le lemme 05J9. Ainsi, au cours de la démonstration, nous pouvons toujours remplacer \((s, S)\) par un voisinage étale élémentaire. Nous pouvons aussi remplacer \(S\) par \(\Spec(\mathcal{O}_{S, s})\) en raison du caractère local du problème.

Choisissons un voisinage étale élémentaire \((S', s') \to (S, s)\) et un diagramme commutatif \[\xymatrix{ X \ar[d] & X' \ar[l]^g \ar[d] \\ S & \Spec(\mathcal{O}_{S', s'}) \ar[l] }\] tels que \(X' \to X \times_S \Spec(\mathcal{O}_{S', s'})\) soit étale, que \(X_s = g((X')_{s'})\), que le schéma \(X'\) soit affine et que \(\Gamma(X', g^*\mathcal{F})\) soit un \(\mathcal{O}_{S', s'}\)-module libre, voir le lemme 05L1. Notons que \(X' \to \Spec(\mathcal{O}_{S', s'})\) est de type fini (c’est un morphisme quasi-compact composé d’un morphisme étale et du changement de base d’un morphisme de type fini). D’après les remarques préliminaires du premier paragraphe de la démonstration, nous pouvons remplacer \(S\) par \(\Spec(\mathcal{O}_{S', s'})\). Nous pouvons donc supposer qu’il existe un diagramme commutatif \[\xymatrix{ X \ar[dr] & & X' \ar[ll]^g \ar[ld] \\ & S & }\] de schémas de type fini sur \(S\), où \(g\) est étale, \(X_s \subset g(X')\), où \(S\) est local de point fermé \(s\), où \(X'\) est affine et où \(\Gamma(X', g^*\mathcal{F})\) est un \(\Gamma(S, \mathcal{O}_S)\)-module libre. Notons que, dans ce cas, \(g^*\mathcal{F}\) est universellement pur sur \(S\), voir le lemme 05K6.

Dans cette situation, nous appliquons le lemme 05L4 pour déduire que \(\text{Ass}_{X/S}(\mathcal{F}) \subset g(X')\) de l’hypothèse que \(\mathcal{F}\) est pur le long de \(X_s\) et plat sur \(S\) le long de \(X_s\). D’après Diviseurs, lemme 05DC et remarque 05KL, pour tout morphisme de schémas pointés \((T, t) \to (S, s)\), nous avons \[\text{Ass}_{X_T/T}(\mathcal{F}_T) \subset (X_T \to X)^{-1}(\text{Ass}_{X/S}(\mathcal{F})) \subset g(X') \times_S T = g_T(X'_T).\] Ainsi, par le lemme 05L4 appliqué au changement de base à \((T, t)\) du diagramme ci-dessus, nous concluons que \(\mathcal{F}_T\) est pur le long de \(X_t\), comme voulu.

Lemme

Soit \(f : X \to S\) un morphisme de schémas de type fini. Soit \(\mathcal{F}\) un \(\mathcal{O}_X\)-module quasi-cohérent de type fini. Supposons \(\mathcal{F}\) plat sur \(S\). Dans ce cas, \(\mathcal{F}\) est pur relativement à \(S\) si et seulement si \(\mathcal{F}\) est universellement pur relativement à \(S\).

Démonstration

Conséquence immédiate du lemme 05L5 et des définitions.

Lemme

Soit \(I\) un ensemble ordonné filtrant. Soit \((S_i, g_{ii'})\) un système projectif de schémas affines indexé par \(I\). Posons \(S = \lim_i S_i\) et soit \(s \in S\). Notons \(g_i : S \to S_i\) les projections et posons \(s_i = g_i(s)\). Supposons que \(f : X \to S\) soit un morphisme de présentation finie, et \(\mathcal{F}\) un \(\mathcal{O}_X\)-module quasi-cohérent de présentation finie, pur le long de \(X_s\) et plat sur \(S\) en tout point de \(X_s\). Alors il existe un \(i \in I\), un morphisme de présentation finie \(X_i \to S_i\), un \(\mathcal{O}_{X_i}\)-module quasi-cohérent \(\mathcal{F}_i\) de présentation finie, pur le long de \((X_i)_{s_i}\) et plat sur \(S_i\) en tout point de \((X_i)_{s_i}\), tels que \(X \cong X_i \times_{S_i} S\) et que l’image réciproque de \(\mathcal{F}_i\) sur \(X\) soit isomorphe à \(\mathcal{F}\).

Démonstration

Soit \(U \subset X\) l’ensemble des points où \(\mathcal{F}\) est plat sur \(S\). D’après Compléments sur les morphismes, théorème 0399, c’est un sous-schéma ouvert de \(X\). Par hypothèse, \(X_s \subset U\). Comme \(X_s\) est quasi-compact, nous pouvons trouver un ouvert quasi-compact \(U' \subset U\) tel que \(X_s \subset U'\). D’après Limites, lemme 01ZM, nous pouvons trouver un \(i \in I\) et un morphisme de présentation finie \(f_i : X_i \to S_i\) dont le changement de base à \(S\) est isomorphe à \(f_i\). Fixons un tel choix et posons \(X_{i'} = X_i \times_{S_i} S_{i'}\). Alors \(X = \lim_{i'} X_{i'}\), avec des morphismes de transition affines. D’après Limites, lemme 01ZR, nous pouvons, quitte à augmenter \(i\), supposer qu’il existe un \(\mathcal{O}_{X_i}\)-module quasi-cohérent \(\mathcal{F}_i\) de présentation finie dont le changement de base à \(S\) est isomorphe à \(\mathcal{F}\). D’après Limites, lemme 01Z4, nous pouvons, quitte à augmenter \(i\), supposer qu’il existe un ouvert \(U'_i \subset X_i\) dont l’image réciproque dans \(X\) est \(U'\). Notons qu’en particulier \((X_i)_{s_i} \subset U'_i\). D’après Limites, lemme 05LY, (en augmentant encore \(i\)), nous pouvons supposer \(\mathcal{F}_i\) plat sur \(U'_i\). En particulier, \(\mathcal{F}_i\) est plat le long de \((X_i)_{s_i}\).

Utilisons ensuite le lemme 05KW pour choisir un voisinage étale élémentaire \((S_i', s_i') \to (S_i, s_i)\) et un diagramme commutatif de schémas \[\xymatrix{ X_i \ar[d] & X_i' \ar[l]^{g_i} \ar[d] \\ S_i & S_i' \ar[l] }\] tels que \(g_i\) soit étale, que \((X_i)_{s_i} \subset g_i(X_i')\), que les schémas \(X_i'\), \(S_i'\) soient affines et que \(\Gamma(X_i', g_i^*\mathcal{F}_i)\) soit un \(\Gamma(S_i', \mathcal{O}_{S_i'})\)-module projectif. Notons que \(g_i^*\mathcal{F}_i\) est universellement pur sur \(S'_i\), voir le lemme 05K6. Par changement de base, le diagramme ci-dessus donne un diagramme comportant les morphismes \((S'_{i'}, s'_{i'}) \to (S_{i'}, s_{i'})\) et \(g_{i'} : X'_{i'} \to X_{i'}\) sur \(S_{i'}\) pour tout \(i' \geq i\), ainsi qu’un diagramme comportant les morphismes \((S', s') \to (S, s)\) et \(g : X' \to X\) sur \(S\).

Nous pouvons maintenant utiliser notre critère de pureté. Soit \(W'_i \subset X_i \times_{S_i} S'_i\) l’image du morphisme étale \(X'_i \to X_i \times_{S_i} S'_i\). Pour tout \(i' \geq i\), nous avons de même l’image \(W'_{i'} \subset X_{i'} \times_{S_{i'}} S'_{i'}\), ainsi que l’image \(W' \subset X \times_S S'\). La formation des images commute au changement de base ; ainsi, \(W'_{i'} = W'_i \times_{S'_i} S'_{i'}\) et \(W' = W_i \times_{S'_i} S'\). Comme \(\mathcal{F}\) est pur le long de \(X_s\), le lemme 05L4 entraîne que [05MB]\[\begin{equation} f^{-1}(\Spec(\mathcal{O}_{S', s'})) \cap \text{Ass}_{X \times_S S'/S'}(\mathcal{F} \times_S S') \subset W' \end{equation}\] D’après Compléments sur les morphismes, lemme 05KR, les ensembles \[E = \{t \in S' \mid \text{Ass}_{X_t}(\mathcal{F}_t) \subset W' \} \quad\text{et}\quad E_{i'} = \{t \in S'_{i'} \mid \text{Ass}_{X_t}(\mathcal{F}_{i', t}) \subset W'_{i'} \}\] sont des parties localement constructibles de \(S'\) et \(S'_{i'}\). D’après Compléments sur les morphismes, lemme 05KQ, \(E_{i'}\) est l’image réciproque de \(E_i\) par le morphisme \(S'_{i'} \to S'_i\), et \(E\) est l’image réciproque de \(E_i\) par le morphisme \(S' \to S'_i\). Ainsi, l’équation (05MB) équivaut à dire que \(\Spec(\mathcal{O}_{S', s'})\) s’envoie dans \(E_i\). Comme \(\mathcal{O}_{S', s'} = \colim_{i' \geq i} \mathcal{O}_{S'_{i'}, s'_{i'}}\), nous voyons que \(\Spec(\mathcal{O}_{S'_{i'}, s'_{i'}})\) s’envoie dans \(E_i\) pour un certain \(i' \geq i\), voir Limites, lemme 05F4. En appliquant alors le lemme 05L4 à la situation sur \(S_{i'}\), nous concluons que \(\mathcal{F}_{i'}\) est pur le long de \((X_{i'})_{s_{i'}}\).

Lemme

Soit \(f : X \to S\) un morphisme de présentation finie. Soit \(\mathcal{F}\) un \(\mathcal{O}_X\)-module quasi-cohérent de présentation finie, plat sur \(S\). Alors l’ensemble \[U = \{s \in S \mid \mathcal{F}\text{ est pur le long de }X_s\}\] est ouvert dans \(S\).

Démonstration

Soit \(s \in U\). À l’aide du lemme 05KW, nous pouvons trouver un voisinage étale élémentaire \((S', s') \to (S, s)\) et un diagramme commutatif \[\xymatrix{ X \ar[d] & X' \ar[l]^g \ar[d] \\ S & S' \ar[l] }\] tels que \(g\) soit étale, que \(X_s \subset g(X')\), que les schémas \(X'\), \(S'\) soient affines et que \(\Gamma(X', g^*\mathcal{F})\) soit un \(\Gamma(S', \mathcal{O}_{S'})\)-module projectif. Notons que \(g^*\mathcal{F}\) est universellement pur sur \(S'\), voir le lemme 05K6. Soit \(W' \subset X \times_S S'\) l’image du morphisme étale \(X' \to X \times_S S'\). Notons que \(W\) est ouvert et quasi-compact sur \(S'\). Posons \[E = \{t \in S' \mid \text{Ass}_{X_t}(\mathcal{F}_t) \subset W' \}.\] D’après Compléments sur les morphismes, lemme 05KR, \(E\) est une partie constructible de \(S'\). D’après le lemme 05L4, nous avons \(\Spec(\mathcal{O}_{S', s'}) \subset E\). D’après Morphismes, lemme 05LW, \(E\) contient un voisinage ouvert \(V'\) de \(s'\). En appliquant le lemme 05L4 une nouvelle fois, nous voyons que, pour tout point \(s_1\) de l’image de \(V'\) dans \(S\), le faisceau \(\mathcal{F}\) est pur le long de \(X_{s_1}\). Comme \(S' \to S\) est étale, l’image de \(V'\) dans \(S\) est ouverte, ce qui conclut.

Applications de la pureté

Voici quelques exemples d’applications de la pureté. Le premier lemme utilise en fait une forme légèrement plus faible de pureté.

Lemme

Soit \(f : X \to S\) un morphisme de type fini. Soit \(\mathcal{F}\) un faisceau quasi-cohérent de type fini sur \(X\). Supposons \(S\) local de point fermé \(s\). Supposons \(\mathcal{F}\) pur le long de \(X_s\) et \(\mathcal{F}\) plat sur \(S\). Soit \(\varphi : \mathcal{F} \to \mathcal{G}\) un morphisme de \(\mathcal{O}_X\)-modules quasi-cohérents. Alors les conditions suivantes sont équivalentes :

1. l’application sur les fibres \(\varphi_x\) est injective pour tout \(x \in \text{Ass}_{X_s}(\mathcal{F}_s)\), et

2. \(\varphi\) est injectif.

Démonstration

Soit \(\mathcal{K} = \Ker(\varphi)\). Notre but est de montrer que \(\mathcal{K} = 0\). Pour cela, il suffit de montrer que \(\text{WeakAss}_X(\mathcal{K}) = \emptyset\), voir Diviseurs, lemme 05AP. Nous avons \(\text{WeakAss}_X(\mathcal{K}) \subset \text{WeakAss}_X(\mathcal{F})\), voir Diviseurs, lemme 05AN. Comme \(\mathcal{F}\) est plat, le lemme 05IJ montre que \(\text{WeakAss}_X(\mathcal{F}) \subset \text{Ass}_{X/S}(\mathcal{F})\). Par pureté, tout point \(x'\) de \(\text{Ass}_{X/S}(\mathcal{F})\) est une généralisation d’un point de \(X_s\), et est donc la spécialisation d’un point \(x \in \text{Ass}_{X_s}(\mathcal{F}_s)\), d’après le lemme 05L3. L’injectivité de \(\varphi_x\) entraîne donc celle de \(\varphi_{x'}\), d’où \(\mathcal{K}_{x'} = 0\).

Proposition

Soit \(f : X \to S\) un morphisme de schémas affine de présentation finie. Soit \(\mathcal{F}\) un \(\mathcal{O}_X\)-module quasi-cohérent de présentation finie, plat sur \(S\). Alors les conditions suivantes sont équivalentes :

1. \(f_*\mathcal{F}\) est localement projectif sur \(S\), et

2. \(\mathcal{F}\) est pur relativement à \(S\).

En particulier, pour un homomorphisme d’anneaux \(A \to B\) de présentation finie et un \(B\)-module de présentation finie \(N\), plat sur \(A\), nous avons : \(N\) est projectif comme \(A\)-module si et seulement si \(\widetilde{N}\) sur \(\Spec(B)\) est pur relativement à \(\Spec(A)\).

Démonstration

L’implication (1) \(\Rightarrow\) (2) est le lemme 05K6. Supposons \(\mathcal{F}\) pur relativement à \(S\). Notons que, d’après le lemme 05L5, cela entraîne que \(\mathcal{F}\) reste pur après tout changement de base. D’après Descente, lemme 05JZ, il suffit de montrer que \(f_*\mathcal{F}\) est localement projectif sur \(S\) pour la topologie fpqc. Choisissons \(s \in S\). Nous allons montrer que la restriction de \(f_*\mathcal{F}\) à un voisinage étale de \(s\) est localement projective. En effet, d’après le lemme 05KW, après remplacement de \(S\) par un voisinage étale élémentaire affine de \(s\), nous pouvons supposer qu’il existe un diagramme \[\xymatrix{ X \ar[dr] & & X' \ar[ll]^g \ar[ld] \\ & S & }\] de schémas affines et de présentation finie sur \(S\), où \(g\) est étale, \(X_s \subset g(X')\) et \(\Gamma(X', g^*\mathcal{F})\) est un \(\Gamma(S, \mathcal{O}_S)\)-module projectif. Notons que, dans ce cas, \(g^*\mathcal{F}\) est universellement pur sur \(S\), voir le lemme 05K6. Ainsi, d’après le lemme 05L4, l’ouvert \(g(X')\) contient les points de \(\text{Ass}_{X/S}(\mathcal{F})\) au-dessus de \(\Spec(\mathcal{O}_{S, s})\). Posons \[E = \{t \in S \mid \text{Ass}_{X_t}(\mathcal{F}_t) \subset g(X') \}.\] D’après Compléments sur les morphismes, lemme 05KR, \(E\) est une partie constructible de \(S\). Nous avons vu que \(\Spec(\mathcal{O}_{S, s}) \subset E\). D’après Morphismes, lemme 05LW, \(E\) contient un voisinage ouvert de \(s\). Ainsi, après remplacement de \(S\) par un voisinage affine de \(s\), nous pouvons supposer que \(\text{Ass}_{X/S}(\mathcal{F}) \subset g(X')\). D’après le lemme 05DH, cela signifie que \[\Gamma(X, \mathcal{F}) \longrightarrow \Gamma(X', g^*\mathcal{F})\] est \(\Gamma(S, \mathcal{O}_S)\)-universellement injective. D’après Algèbre, lemme 059N, nous concluons que \(\Gamma(X, \mathcal{F})\) est de Mittag-Leffler comme \(\Gamma(S, \mathcal{O}_S)\)-module. Comme \(\Gamma(X, \mathcal{F})\) est engendré par un ensemble dénombrable et plat comme \(\Gamma(S, \mathcal{O}_S)\)-module, nous concluons qu’il est projectif d’après Algèbre, lemme 059X.

La proposition permet d’améliorer certains résultats précédents. Le lemme suivant améliore la proposition 05ID.

Lemme

Soit \(f : X \to S\) un morphisme localement de présentation finie. Soit \(\mathcal{F}\) un \(\mathcal{O}_X\)-module quasi-cohérent de présentation finie. Soit \(x \in X\) avec \(s = f(x) \in S\). Si \(\mathcal{F}\) est plat en \(x\) sur \(S\), il existe un voisinage étale élémentaire affine \((S', s') \to (S, s)\) et un ouvert affine \(U' \subset X \times_S S'\) contenant \(x' = (x, s')\) tels que \(\Gamma(U', \mathcal{F}|_{U'})\) soit un \(\Gamma(S', \mathcal{O}_{S'})\)-module projectif.

Démonstration

Au cours de la démonstration, nous pouvons remplacer \(X\) par un voisinage ouvert de \(x\) et \(S\) par un voisinage étale élémentaire de \(s\). Ainsi, par ouverture du lieu de platitude (voir Compléments sur les morphismes, théorème 0399), nous pouvons supposer \(\mathcal{F}\) plat sur \(S\). Nous pouvons supposer \(S\) et \(X\) affines. Après une nouvelle restriction de \(X\), nous pouvons supposer que tout point de \(\text{Ass}_{X_s}(\mathcal{F}_s)\) est une généralisation de \(x\). Cette propriété est conservée lorsqu’on remplace \((S, s)\) par un voisinage étale élémentaire. Nous pouvons donc appliquer le lemme 05KW pour nous ramener à la situation où il existe un diagramme \[\xymatrix{ X \ar[dr] & & X' \ar[ll]^g \ar[ld] \\ & S & }\] de schémas affines et de présentation finie sur \(S\), où \(g\) est étale, \(X_s \subset g(X')\) et \(\Gamma(X', g^*\mathcal{F})\) est un \(\Gamma(S, \mathcal{O}_S)\)-module projectif. Notons que, dans ce cas, \(g^*\mathcal{F}\) est universellement pur sur \(S\), voir le lemme 05K6.

Soit \(U \subset g(X')\) un voisinage ouvert affine de \(x\). Nous affirmons que \(\mathcal{F}|_U\) est pur le long de \(U_s\). Si cela est démontré, le lemme en résulte, car \(\mathcal{F}|_U\) sera pur relativement à \(S\) après restriction de \(S\), voir le lemme 05MC, et la projectivité résultera alors de la proposition 05MD. Pour démontrer l’assertion, il faut montrer, après remplacement de \((S, s)\) par un voisinage étale élémentaire quelconque, que tout point \(\xi\) de \(\text{Ass}_{U/S}(\mathcal{F}|_U)\) au-dessus d’un \(s' \in S\), \(s' \leadsto s\), se spécialise en un point de \(U_s\). Comme \(U \subset g(X')\), nous pouvons trouver un \(\xi' \in X'\) tel que \(g(\xi') = \xi\). Puisque \(g^*\mathcal{F}\) est pur sur \(S\), le lemme 05L3 montre qu’il existe une spécialisation \(\xi' \leadsto x'\) avec \(x' \in \text{Ass}_{X'_s}(g^*\mathcal{F}_s)\). Alors \(g(x') \in \text{Ass}_{X_s}(\mathcal{F}_s)\) (voir par exemple le lemme 05FP appliqué au morphisme étale \(X'_s \to X_s\) de schémas noethériens), donc \(g(x') \leadsto x\) par le choix de \(X\) ci-dessus ! Puisque \(x \in U\), nous concluons que \(g(x') \in U\). Ainsi, \(\xi = g(\xi') \leadsto g(x') \in U_s\), comme voulu.

Le lemme suivant améliore le lemme 05KZ.

Lemme

Soit \(f : X \to S\) un morphisme localement de type fini. Soit \(\mathcal{F}\) un \(\mathcal{O}_X\)-module quasi-cohérent de type fini. Soit \(x \in X\) avec \(s = f(x) \in S\). Si \(\mathcal{F}\) est plat en \(x\) sur \(S\), il existe un voisinage étale élémentaire affine \((S', s') \to (S, s)\) et un ouvert affine \(U' \subset X \times_S \Spec(\mathcal{O}_{S', s'})\) contenant \(x' = (x, s')\) tels que \(\Gamma(U', \mathcal{F}|_{U'})\) soit un \(\mathcal{O}_{S', s'}\)-module libre.

Démonstration

La question est locale pour la topologie de Zariski sur \(X\) et \(S\). Nous pouvons donc supposer \(X\) et \(S\) affines. Nous pouvons alors trouver une immersion fermée \(i : X \to \mathbf{A}^n_S\) sur \(S\). Il est clair qu’il suffit de démontrer le lemme pour le faisceau \(i_*\mathcal{F}\) sur \(\mathbf{A}^n_S\) et le point \(i(x)\). Nous nous ramenons ainsi au cas où \(X \to S\) est de présentation finie. Après remplacement de \(S\) par \(\Spec(\mathcal{O}_{S', s'})\) et de \(X\) par un ouvert de \(X \times_S \Spec(\mathcal{O}_{S', s'})\), nous pouvons supposer que \(\mathcal{F}\) est de présentation finie, voir la proposition 05I5. Dans ce cas, nous pouvons invoquer le lemme 05ME et Algèbre, théorème 0593, pour conclure.

Lemme

Soit \(A \to B\) un homomorphisme local d’anneaux locaux essentiellement de type fini. Soit \(N\) un \(B\)-module de type fini, plat comme \(A\)-module. Si \(A\) est hensélien, alors \(N\) est une limite inductive filtrante \[N = \colim_i F_i\] de \(A\)-modules libres \(F_i\) telle que toutes les applications de transition \(u_i : F_i \to F_{i'}\) du système induisent des applications injectives \(\overline{u}_i : F_i/\mathfrak m_AF_i \to F_{i'}/\mathfrak m_AF_{i'}\). De plus, \(N\) est un \(A\)-module de Mittag-Leffler.

Démonstration

Nous pouvons trouver un morphisme de type fini \(X \to S = \Spec(A)\), un point \(x \in X\) au-dessus du point fermé \(s\) de \(S\) et un \(\mathcal{O}_X\)-module quasi-cohérent de type fini \(\mathcal{F}\) tels que \(\mathcal{F}_x \cong N\) comme \(A\)-module. Après restriction de \(X\), nous pouvons supposer que tout point de \(\text{Ass}_{X_s}(\mathcal{F}_s)\) se spécialise en \(x\). D’après le lemme 05MF, il existe un système fondamental de voisinages ouverts affines \(U_i \subset X\) de \(x\) tels que \(\Gamma(U_i, \mathcal{F})\) soit un \(A\)-module libre \(F_i\). Notons que, si \(U_{i'} \subset U_i\), alors \[F_i/\mathfrak m_AF_i = \Gamma(U_{i, s}, \mathcal{F}_s) \longrightarrow \Gamma(U_{i', s}, \mathcal{F}_s) = F_{i'}/\mathfrak m_AF_{i'}\] est injective, car une section du noyau aurait son support dans une partie fermée de \(X_s\) ne rencontrant pas \(x\), ce qui contredit le choix de \(X\) ci-dessus. Comme les applications \(F_i \to F_{i'}\) sont \(A\)-universellement injectives (lemme 05FQ), il en résulte que \(N\) est de Mittag-Leffler d’après Algèbre, lemme 0AS7.

On pourra omettre le lemme suivant lors d’une première lecture.

Lemme

Soit \(A \to B\) un homomorphisme local d’anneaux locaux essentiellement de type fini. Soit \(N\) un \(B\)-module de type fini, plat comme \(A\)-module. Si \(A\) est un anneau de valuation, alors tout élément de \(N\) possède un idéal de contenu \(I \subset A\) (Compléments d’algèbre, définition 0ASA). De plus, \(I\) est un idéal principal.

Démonstration

La dernière assertion résulte du fait que \(I\) est un idéal de type fini d’après Compléments d’algèbre, lemme 0ASB, et Algèbre, lemme 090Q.

Démontrons l’existence de \(I\). Soit \(A \subset A^h\) l’hensélisé. Soit \(B'\) le localisé de \(B \otimes_A A^h\) en l’idéal maximal \(\mathfrak m_B \otimes A^h + B \otimes \mathfrak m_{A^h}\). Alors \(B \to B'\) est plat, donc fidèlement plat. Soit \(N' = N \otimes_B B'\). Soit \(x \in N\) et soit \(x' \in N'\) son image. Nous affirmons que, pour un idéal \(I \subset A\), nous avons \(x \in IN \Leftrightarrow x' \in IN'\). En effet, \(N/IN \to N'/IN'\) est le produit tensoriel de \(B \to B'\) avec \(N/IN\), et \(B \to B'\) est universellement injectif d’après Algèbre, lemme 05CK. D’après Compléments d’algèbre, lemme 0ASK, et Algèbre, lemme 00IH, l’homomorphisme \(A \to A^h\) définit une bijection préservant l’inclusion \(I \mapsto IA^h\) entre les ensembles d’idéaux. Nous concluons que \(x\) possède un idéal de contenu dans \(A\) si et seulement si \(x'\) possède un idéal de contenu dans \(A^h\). L’assertion pour \(x' \in N'\) résulte du lemme 05U7 et d’ Algèbre, lemme 0AS6.

Voici une application.

Lemme

Soit \(X \to \Spec(R)\) un morphisme propre et plat, où \(R\) est un anneau de valuation. Si la fibre spéciale est réduite, alors \(X\) et toutes les fibres de \(X \to \Spec(R)\) sont réduits.

Démonstration

Supposons la fibre spéciale \(X_s\) réduite. Soit \(x \in X\) un point quelconque et montrons que \(\mathcal{O}_{X, x}\) est réduit ; cela prouvera que \(X\) est réduit. Soit \(x \leadsto x'\) une spécialisation avec \(x'\) dans la fibre spéciale ; une telle spécialisation existe, car un morphisme propre est fermé. Considérons l’anneau local \(A = \mathcal{O}_{X, x'}\). Alors \(\mathcal{O}_{X, x}\) est un localisé de \(A\) ; il suffit donc de montrer que \(A\) est réduit. Soit \(a \in A\) non nul et soit \(I = (\pi) \subset R\) son idéal de contenu, voir le lemme 0ASX. Alors \(a = \pi a'\) et \(a'\) s’envoie sur un élément non nul de \(A/\mathfrak mA\), où \(\mathfrak m \subset R\) est l’idéal maximal. Si \(a\) est nilpotent, il en est de même de \(a'\), car \(\pi\) n’est pas diviseur de zéro par platitude de \(A\) sur \(R\). Mais \(a'\) s’envoie sur un élément non nul de l’anneau réduit \(A/\mathfrak m A = \mathcal{O}_{X_s, x'}\). Cela donne une contradiction à moins que \(A\) ne soit réduit, ce que nous voulions montrer.

Bien entendu, si \(X\) est réduit, il en est de même de la fibre générique de \(X\) sur \(R\). Si \(\mathfrak p \subset R\) est un idéal premier, alors \(R/\mathfrak p\) est un anneau de valuation d’après Algèbre, lemme 088Y. En reprenant l’argument pour le changement de base de \(X\) à \(R/\mathfrak p\), on montre donc que la fibre au-dessus de \(\mathfrak p\) est réduite.

Foncteurs de platification

Soit \(S\) un schéma. Rappelons qu’un foncteur \(F : (\Sch/S)^{opp} \to \textit{Ensembles}\) commute aux limites projectives filtrantes si, pour tout système projectif filtrant \(\{T_i\}_{i \in I}\) de schémas affines de limite \(T\), nous avons \(F(T) = \colim_i F(T_i)\).

Situation

Soit \(f : X \to S\) un morphisme de schémas. Soit \(u : \mathcal{F} \to \mathcal{G}\) un homomorphisme de \(\mathcal{O}_X\)-modules quasi-cohérents. Pour tout schéma \(T\) sur \(S\), nous noterons \(u_T : \mathcal{F}_T \to \mathcal{G}_T\) le changement de base de \(u\) à \(T\) ; autrement dit, \(u_T\) est l’image réciproque de \(u\) par la projection \(X_T = X \times_S T \to X\). Dans cette situation, nous pouvons considérer le foncteur [05MI]\[\begin{equation} F_{iso} : (\Sch/S)^{opp} \longrightarrow \textit{Ensembles}, \quad T \longrightarrow \left\{ \begin{matrix} \{*\} & \text{si} & u_T \text{ est un isomorphisme}, \\ \emptyset & \text{sinon.} & \end{matrix} \right. \end{equation}\] Il existe des variantes \(F_{inj}\), \(F_{surj}\), \(F_{zero}\) où l’on demande que \(u_T\) soit injectif, surjectif ou nul.

Lemme

Plaçons-nous dans la situation 05MH.

1. Chacun des foncteurs \(F_{iso}\), \(F_{inj}\), \(F_{surj}\), \(F_{zero}\) satisfait à la condition de faisceau pour la topologie fpqc.

2. Si \(f\) est quasi-compact et \(\mathcal{G}\) de type fini, alors \(F_{surj}\) commute aux limites projectives filtrantes.

3. Si \(f\) est quasi-compact et \(\mathcal{F}\) de type fini, alors \(F_{zero}\) commute aux limites projectives filtrantes.

4. Si \(f\) est quasi-compact, \(\mathcal{F}\) de type fini et \(\mathcal{G}\) de présentation finie, alors \(F_{iso}\) commute aux limites projectives filtrantes.

Démonstration

Soit \(\{T_i \to T\}_{i \in I}\) un recouvrement fpqc de schémas sur \(S\). Posons \(X_i = X_{T_i} = X \times_S T_i\) et \(u_i = u_{T_i}\). Notons que \(\{X_i \to X_T\}_{i \in I}\) est un recouvrement fpqc de \(X_T\), voir Topologies, lemme 022D. En particulier, pour tout \(x \in X_T\), il existe un \(i \in I\) et un \(x_i \in X_i\) d’image \(x\). Comme \(\mathcal{O}_{X_T, x} \to \mathcal{O}_{X_i, x_i}\) est plat, donc fidèlement plat (voir Algèbre, lemme 00HR), nous concluons que \((u_i)_{x_i}\) est injectif, surjectif, bijectif ou nul si et seulement si \((u_T)_x\) est injectif, surjectif, bijectif ou nul. D’où la partie (1) du lemme.

Démonstration de (2). Supposons \(f\) quasi-compact et \(\mathcal{G}\) de type fini. Soit \(T = \lim_{i \in I} T_i\) une limite dirigée de \(S\)-schémas affines et supposons \(u_T\) surjectif. Posons \(X_i = X_{T_i} = X \times_S T_i\) et \(u_i = u_{T_i} : \mathcal{F}_i = \mathcal{F}_{T_i} \to \mathcal{G}_i = \mathcal{G}_{T_i}\). Pour démontrer (2), il faut montrer que \(u_i\) est surjectif pour un certain \(i\). Choisissons \(i_0 \in I\) et remplaçons \(I\) par \(\{i \mid i \geq i_0\}\). Comme \(f\) est quasi-compact, le schéma \(X_{i_0}\) est quasi-compact. Nous pouvons donc choisir des ouverts affines \(W_1, \ldots, W_m \subset X\) et un recouvrement ouvert affine \(X_{i_0} = U_{1, i_0} \cup \ldots \cup U_{m, i_0}\) tels que \(U_{j, i_0}\) s’envoie dans \(W_j\) par la projection \(X_{i_0} \to X\). Pour tout \(i \in I\), soit \(U_{j, i}\) l’image réciproque de \(U_{j, i_0}\). En posant \(U_j = \lim_i U_{j, i}\), nous voyons que \(X_T = U_1 \cup \ldots \cup U_m\) est un recouvrement ouvert affine de \(X_T\). Il suffit alors de montrer, pour un \(j \in \{1, \ldots, m\}\) donné, que \(u_i|_{U_{j, i}}\) est surjectif pour un certain \(i = i(j) \in I\). À l’aide de Propriétés, lemme 01PB, cela se traduit par le problème algébrique suivant : soient \(A\) un anneau et \(u : M \to N\) une application de \(A\)-modules. Supposons que \(R = \colim_{i \in I} R_i\) soit une limite inductive filtrante de \(A\)-algèbres. Si \(N\) est un \(A\)-module de type fini et si \(u \otimes 1 : M \otimes_A R \to N \otimes_A R\) est surjective, alors, pour un certain \(i\), l’application \(u \otimes 1 : M \otimes_A R_i \to N \otimes_A R_i\) est surjective. C’est Algèbre, lemme 05LI, partie (2).

Démonstration de (3). Les mêmes arguments que dans la démonstration de (2) ramènent au problème algébrique suivant : soient \(A\) un anneau et \(u : M \to N\) une application de \(A\)-modules. Supposons que \(R = \colim_{i \in I} R_i\) soit une limite inductive filtrante de \(A\)-algèbres. Si \(M\) est un \(A\)-module de type fini et si \(u \otimes 1 : M \otimes_A R \to N \otimes_A R\) est nulle, alors, pour un certain \(i\), l’application \(u \otimes 1 : M \otimes_A R_i \to N \otimes_A R_i\) est nulle. C’est Algèbre, lemme 05LI, partie (1).

Démonstration de (4). Supposons \(f\) quasi-compact et \(\mathcal{F}, \mathcal{G}\) de présentation finie. En raisonnant exactement comme dans le paragraphe précédent (et en utilisant en outre Propriétés, lemme 01PC), la partie (3) se traduit par l’énoncé algébrique suivant : soient \(A\) un anneau et \(u : M \to N\) une application de \(A\)-modules. Supposons que \(R = \colim_{i \in I} R_i\) soit une limite inductive filtrante de \(A\)-algèbres. Supposons \(M\) de type fini comme \(A\)-module, \(N\) de présentation finie comme \(A\)-module, et \(u \otimes 1 : M \otimes_A R \to N \otimes_A R\) un isomorphisme. Alors, pour un certain \(i\), l’application \(u \otimes 1 : M \otimes_A R_i \to N \otimes_A R_i\) est un isomorphisme. C’est Algèbre, lemme 05LI, partie (3).

Situation

Soit \((A, \mathfrak m_A)\) un anneau local. Notons \(\mathcal{C}\) la catégorie dont les objets sont les \(A\)-algèbres \(A'\) qui sont des anneaux locaux et dont la structure d’algèbre \(A \to A'\) est un homomorphisme local d’anneaux locaux. Un morphisme entre objets \(A', A''\) de \(\mathcal{C}\) est un homomorphisme local \(A' \to A''\) de \(A\)-algèbres. Soient \(A \to B\) un homomorphisme local d’anneaux locaux et \(M\) un \(B\)-module. Si \(A'\) est un objet de \(\mathcal{C}\), nous posons \(B' = B \otimes_A A'\) et \(M' = M \otimes_A A'\), considéré comme \(B'\)-module. Pour \(A' \in \Ob(\mathcal{C})\), considérons la condition [05ML]\[\begin{equation} \forall \mathfrak q \in V(\mathfrak m_{A'}B' + \mathfrak m_B B') \subset \Spec(B') : M'_{\mathfrak q}\text{ est plat sur }A'. \end{equation}\] Notons l’analogie avec Compléments d’algèbre, équation (05LQ). En particulier, si \(A' \to A''\) est un morphisme de \(\mathcal{C}\) et si (05ML) est satisfaite pour \(A'\), elle l’est pour \(A''\), voir Compléments d’algèbre, lemme 05LR. Nous obtenons donc un foncteur [05MM]\[\begin{equation} F_{lf} : \mathcal{C} \longrightarrow \textit{Ensembles}, \quad A' \longrightarrow \left\{ \begin{matrix} \{*\} & \text{si }(\href{flat.html#flat-equation-flat-at-primes}{05ML})\text{ est satisfaite}, \\ \emptyset & \text{sinon.} & \end{matrix} \right. \end{equation}\]

Lemme

Plaçons-nous dans la situation 05MK.

1. Si \(A' \to A''\) est un morphisme plat dans \(\mathcal{C}\), alors \(F_{lf}(A') = F_{lf}(A'')\).

2. Si \(A \to B\) est essentiellement de présentation finie et \(M\) est un \(B\)-module de présentation finie, alors \(F_{lf}\) est compatible aux limites : si \(\{A_i\}_{i \in I}\) est un système inductif filtrant d’objets de \(\mathcal{C}\), alors \(F_{lf}(\colim_i A_i) = \colim_i F_{lf}(A_i)\).

Démonstration

La partie (1) est un cas particulier de Compléments d’algèbre, lemme 05LS. La partie (2) est un cas particulier de Compléments d’algèbre, lemme 05LT.

Lemme

Dans la situation 05MK, soient \(B \to C\) un homomorphisme local de \(A\)-algèbres locales et \(N\) un \(C\)-module. Notons \(F'_{lf} : \mathcal{C} \to \textit{Ensembles}\) le foncteur associé au couple \((C, N)\). Si \(M \cong N\) comme \(B\)-modules et si \(B \to C\) est fini, alors \(F_{lf} = F'_{lf}\).

Démonstration

Soit \(A'\) un objet de \(\mathcal{C}\). Posons \(C' = C \otimes_A A'\) et \(N' = N \otimes_A A'\), comme dans les définitions de \(B'\), \(M'\) de la situation 05MK. Notons que \(M' \cong N'\) comme \(B'\)-modules. L’hypothèse que \(B \to C\) est fini a deux conséquences : (a) \(\mathfrak m_C = \sqrt{\mathfrak m_B C}\) et (b) \(B' \to C'\) est fini. La conséquence (a) entraîne que \[V(\mathfrak m_{A'}C' + \mathfrak m_C C') = \left( \Spec(C') \to \Spec(B') \right)^{-1}V(\mathfrak m_{A'}B' + \mathfrak m_B B').\] Supposons \(\mathfrak q \subset V(\mathfrak m_{A'}B' + \mathfrak m_B B')\). Alors \(M'_{\mathfrak q}\) est plat sur \(A'\) si et seulement si le \(C'_{\mathfrak q}\)-module \(N'_{\mathfrak q}\) est plat sur \(A'\) (car ils sont isomorphes comme \(A'\)-modules), si et seulement si, pour tout idéal maximal \(\mathfrak r\) de \(C'_{\mathfrak q}\), le module \(N'_{\mathfrak r}\) est plat sur \(A'\) (voir Algèbre, lemme 00HT). Comme \(B'_{\mathfrak q} \to C'_{\mathfrak q}\) est fini d’après (b), les idéaux maximaux de \(C'_{\mathfrak q}\) correspondent exactement aux idéaux premiers de \(C'\) au-dessus de \(\mathfrak q\) (voir Algèbre, lemme 00GU), et ces idéaux premiers appartiennent tous à \(V(\mathfrak m_{A'}C' + \mathfrak m_C C')\) d’après l’égalité ci-dessus. Le résultat du lemme en découle.

Lemme

Dans la situation 05MK, supposons que \(B \to C\) soit un homomorphisme local plat d’anneaux locaux. Posons \(N = M \otimes_B C\). Notons \(F'_{lf} : \mathcal{C} \to \textit{Ensembles}\) le foncteur associé au couple \((C, N)\). Alors \(F_{lf} = F'_{lf}\).

Démonstration

Soit \(A'\) un objet de \(\mathcal{C}\). Posons \(C' = C \otimes_A A'\) et \(N' = N \otimes_A A' = M' \otimes_{B'} C'\), comme dans les définitions de \(B'\), \(M'\) de la situation 05MK. Notons que \[V(\mathfrak m_{A'}B' + \mathfrak m_B B') = \Spec( \kappa(\mathfrak m_B) \otimes_A \kappa(\mathfrak m_{A'}) )\] et de même pour \(V(\mathfrak m_{A'}C' + \mathfrak m_C C')\). L’homomorphisme d’anneaux \[\kappa(\mathfrak m_B) \otimes_A \kappa(\mathfrak m_{A'}) \longrightarrow \kappa(\mathfrak m_C) \otimes_A \kappa(\mathfrak m_{A'})\] est fidèlement plat, donc \(V(\mathfrak m_{A'}C' + \mathfrak m_C C') \to V(\mathfrak m_{A'}B' + \mathfrak m_B B')\) est surjectif. Enfin, si \(\mathfrak r \in V(\mathfrak m_{A'}C' + \mathfrak m_C C')\) s’envoie sur \(\mathfrak q \in V(\mathfrak m_{A'}B' + \mathfrak m_B B')\), alors \(M'_{\mathfrak q}\) est plat sur \(A'\) si et seulement si \(N'_{\mathfrak r}\) est plat sur \(A'\), car \(B' \to C'\) est plat, voir Algèbre, lemme 0584. Le lemme résulte formellement de ces remarques.

Situation

Soit \(f : X \to S\) un morphisme lisse à fibres géométriquement irréductibles. Soit \(\mathcal{F}\) un \(\mathcal{O}_X\)-module quasi-cohérent de type fini. Pour tout schéma \(T\) sur \(S\), nous noterons \(\mathcal{F}_T\) le changement de base de \(\mathcal{F}\) à \(T\) ; autrement dit, \(\mathcal{F}_T\) est l’image réciproque de \(\mathcal{F}\) par la projection \(X_T = X \times_S T \to X\). Notons que \(X_T \to T\) est lisse à fibres géométriquement irréductibles, voir Morphismes, lemme 01VB, et Compléments sur les morphismes, lemme 0555. Soit \(p \geq 0\) un entier. Pour un point \(t \in T\), considérons la condition [05MQ]\[\begin{equation} \mathcal{F}_T \text{ est libre de rang }p\text{ au voisinage de }\xi_t \end{equation}\] où \(\xi_t\) est le point générique de la fibre \(X_t\). Cette condition pour tout \(t \in T\) est stable par changement de base ; nous obtenons donc un foncteur [05MR]\[\begin{equation} H_p : (\Sch/S)^{opp} \longrightarrow \textit{Ensembles}, \quad T \longrightarrow \left\{ \begin{matrix} \{*\} & \text{si }\mathcal{F}_T\text{ vérifie (\href{flat.html#flat-equation-free-at-generic-point-fibre}{05MQ}) }\forall t\in T, \\ \emptyset & \text{sinon.} \end{matrix} \right. \end{equation}\]

Lemme

Plaçons-nous dans la situation 05MP.

1. Le foncteur \(H_p\) satisfait à la condition de faisceau pour la topologie fpqc.

2. Si \(\mathcal{F}\) est de présentation finie, alors le foncteur \(H_p\) est commute aux limites projectives filtrantes.

Démonstration

Soit \(\{T_i \to T\}_{i \in I}\) un recouvrement fpqc¹ de schémas sur \(S\). Posons \(X_i = X_{T_i} = X \times_S T_i\) et notons \(\mathcal{F}_i\) l’image réciproque de \(\mathcal{F}\) sur \(X_i\). Supposons que \(\mathcal{F}_i\) satisfasse à (05MQ) pour tout \(i\). Choisissons \(t \in T\) et notons \(\xi_t \in X_T\) le point générique de \(X_t\). Il faut montrer que \(\mathcal{F}\) est libre dans un voisinage de \(\xi_t\). Pour un certain \(i \in I\), nous pouvons trouver un \(t_i \in T_i\) d’image \(t\). Notons \(\xi_i \in X_i\) le point générique de \(X_{t_i}\), de sorte que \(\xi_i\) s’envoie sur \(\xi_t\). Le fait que \(\mathcal{F}_i\) soit libre de rang \(p\) dans un voisinage de \(\xi_i\) entraîne que \((\mathcal{F}_i)_{x_i} \cong \mathcal{O}_{X_i, x_i}^{\oplus p}\), ce qui entraîne que \(\mathcal{F}_{T, \xi_t} \cong \mathcal{O}_{X_T, \xi_t}^{\oplus p}\), puisque \(\mathcal{O}_{X_T, \xi_t} \to \mathcal{O}_{X_i, x_i}\) est plat, voir par exemple Algèbre, lemme 00O1. Il existe donc un voisinage affine \(U\) de \(\xi_t\) dans \(X_T\) et une surjection \(\mathcal{O}_U^{\oplus p} \to \mathcal{F}_U = \mathcal{F}_T|_U\), voir Modules, lemme 01B8. Après restriction de \(T\), nous pouvons supposer \(U \to T\) surjectif. Ainsi, \(U \to T\) est un morphisme lisse de schémas affines à fibres géométriquement irréductibles. De plus, pour tout \(t' \in T\), l’application induite \[\alpha : \mathcal{O}_{U, \xi_{t'}}^{\oplus p} \longrightarrow \mathcal{F}_{U, \xi_{t'}}\] est un isomorphisme (car, par le même argument que précédemment, le module de droite est libre de rang \(p\)). Il résulte du lemme 05I3 que \[\Gamma(U, \mathcal{O}_U^{\oplus p}) \otimes_{\Gamma(T, \mathcal{O}_T)} \mathcal{O}_{T, t'} \longrightarrow \Gamma(U, \mathcal{F}_U) \otimes_{\Gamma(T, \mathcal{O}_T)} \mathcal{O}_{T, t'}\] est injective pour tout \(t' \in T\). La surjection \(\alpha\) est donc un isomorphisme. Cela achève la démonstration de (1).

Supposons \(\mathcal{F}\) de présentation finie. Soit \(T = \lim_{i \in I} T_i\) une limite dirigée de \(S\)-schémas affines et supposons que \(\mathcal{F}_T\) satisfasse à (05MQ). Posons \(X_i = X_{T_i} = X \times_S T_i\) et notons \(\mathcal{F}_i\) l’image réciproque de \(\mathcal{F}\) sur \(X_i\). Notons \(U \subset X_T\) le sous-schéma ouvert des points où \(\mathcal{F}_T\) est plat sur \(T\), voir Compléments sur les morphismes, théorème 0399. Par hypothèse, tout point générique de toute fibre appartient à \(U\), c’est-à-dire que \(U \to T\) est un morphisme lisse surjectif à fibres géométriquement irréductibles. Nous pouvons restreindre \(U\) et supposer \(U\) quasi-compact. À l’aide de Limites, lemme 01Z4, nous pouvons trouver un \(i \in I\) et un ouvert quasi-compact \(U_i \subset X_i\) dont l’image réciproque dans \(X_T\) est \(U\). En augmentant \(i\), nous pouvons supposer \(\mathcal{F}_i|_{U_i}\) plat sur \(T_i\), voir Limites, lemme 05LY. En particulier, \(\mathcal{F}_i|_{U_i}\) est localement libre de type fini, donc définit une fonction rang localement constante \(\rho : U_i \to \{0, 1, 2, \ldots \}\). Notons \((U_i)_p \subset U_i\) la partie ouverte et fermée où \(\rho\) a pour valeur \(p\). Soit \(V_i \subset T_i\) l’image de \((U_i)_p\) ; notons que \(V_i\) est ouvert et quasi-compact. Par hypothèse, l’image de \(T \to T_i\) est contenue dans \(V_i\). Il existe donc un \(i' \geq i\) tel que \(T_{i'} \to T_i\) se factorise par \(V_i\), d’après Limites, lemme 01Z4. Alors \(\mathcal{F}_{i'}\) satisfait à (05MQ), comme voulu. Certains détails sont omis.

Lemme

Soit \(f : X \to S\) un morphisme de schémas localement de type fini. Soit \(\mathcal{F}\) un \(\mathcal{O}_X\)-module quasi-cohérent de type fini. Soit \(n \geq 0\). Les conditions suivantes sont équivalentes :

1. pour \(s \in S\), la partie fermée \(Z \subset X_s\) des points où \(\mathcal{F}\) n’est pas plat sur \(S\) (voir le lemme 05M9) vérifie \(\dim(Z) < n\), et

2. pour \(x \in X\) tel que \(\mathcal{F}\) ne soit pas plat en \(x\) sur \(S\), nous avons \(\text{trdeg}_{\kappa(f(x))}(\kappa(x)) < n\).

Si ces conditions sont satisfaites, elles le restent après tout changement de base.

Démonstration

Soit \(x \in X\) un point au-dessus de \(s \in S\). Alors la dimension de l’adhérence de \(\{x\}\) dans \(X_s\) est \(\text{trdeg}_{\kappa(s)}(\kappa(x))\), d’après Variétés, lemme 0A21. Réciproquement, si \(Z \subset X_s\) est une partie fermée de dimension \(d\), il existe un point \(x \in Z\) tel que \(\text{trdeg}_{\kappa(s)}(\kappa(x)) = d\) (même référence). Les conditions (1) et (2) sont donc équivalentes (même fibre par fibre). L’assertion sur le changement de base résulte de Morphismes, lemmes 01U8 et 02FY.

Définition

Soit \(f : X \to S\) un morphisme de schémas localement de type fini. Soit \(\mathcal{F}\) un \(\mathcal{O}_X\)-module quasi-cohérent de type fini. Soit \(n \geq 0\). Nous disons que \(\mathcal{F}\) est plat sur \(S\) en dimensions \(\geq n\) si les conditions équivalentes du lemme 0CWF sont satisfaites.

Situation

Soit \(f : X \to S\) un morphisme de schémas localement de type fini. Soit \(\mathcal{F}\) un \(\mathcal{O}_X\)-module quasi-cohérent de type fini. Pour tout schéma \(T\) sur \(S\), nous noterons \(\mathcal{F}_T\) le changement de base de \(\mathcal{F}\) à \(T\) ; autrement dit, \(\mathcal{F}_T\) est l’image réciproque de \(\mathcal{F}\) par la projection \(X_T = X \times_S T \to X\). Notons que \(X_T \to T\) est de type fini et que \(\mathcal{F}_T\) est un \(\mathcal{O}_{X_T}\)-module de type fini (Morphismes, lemme 01T4, et Modules, lemme 01B6). Soit \(n \geq 0\). La définition 0CWG et le lemme 0CWF donnent un foncteur [05MU]\[\begin{equation} F_n : (\Sch/S)^{opp} \longrightarrow \textit{Ensembles}, \quad T \longrightarrow \left\{ \begin{matrix} \{*\} & \text{si }\mathcal{F}_T\text{ est plat sur }T\text{ en dimension }\dim \geq n, \\ \emptyset & \text{sinon.} \end{matrix} \right. \end{equation}\]

Lemme

Plaçons-nous dans la situation 05MT.

1. Le foncteur \(F_n\) satisfait à la condition de faisceau pour la topologie fpqc.

2. Si \(f\) est quasi-compact et localement de présentation finie et si \(\mathcal{F}\) est de présentation finie, alors le foncteur \(F_n\) est commute aux limites projectives filtrantes.

Démonstration

Soit \(\{T_i \to T\}_{i \in I}\) un recouvrement fpqc de schémas sur \(S\). Posons \(X_i = X_{T_i} = X \times_S T_i\) et notons \(\mathcal{F}_i\) l’image réciproque de \(\mathcal{F}\) sur \(X_i\). Supposons \(\mathcal{F}_i\) plat sur \(T_i\) en dimensions \(\geq n\) pour tout \(i\). Soit \(t \in T\). Choisissons un indice \(i\) et un point \(t_i \in T_i\) d’image \(t\). Considérons le diagramme cartésien \[\xymatrix{ X_{\Spec(\mathcal{O}_{T, t})} \ar[d] & X_{\Spec(\mathcal{O}_{T_i, t_i})} \ar[d] \ar[l] \\ \Spec(\mathcal{O}_{T, t}) & \Spec(\mathcal{O}_{T_i, t_i}) \ar[l] }\] Comme le morphisme horizontal inférieur est plat, il résulte de Compléments sur les morphismes, lemme 047C, que l’ensemble \(Z_i \subset X_{t_i}\) où \(\mathcal{F}_i\) n’est pas plat sur \(T_i\) et l’ensemble \(Z \subset X_t\) où \(\mathcal{F}_T\) n’est pas plat sur \(T\) sont liés par la relation \(Z_i = Z_{\kappa(t_i)}\). Nous en déduisons que \(\mathcal{F}_T\) est plat sur \(T\) en dimensions \(\geq n\), d’après Morphismes, lemme 02FY.

Supposons que \(f\) soit quasi-compact et localement de présentation finie et que \(\mathcal{F}\) soit de présentation finie. Dans ce paragraphe, nous ramenons d’abord la démonstration de (2) au cas où \(f\) est de présentation finie. Soit \(T = \lim_{i \in I} T_i\) une limite dirigée de \(S\)-schémas affines et supposons \(\mathcal{F}_T\) plat en dimensions \(\geq n\). Posons \(X_i = X_{T_i} = X \times_S T_i\) et notons \(\mathcal{F}_i\) l’image réciproque de \(\mathcal{F}\) sur \(X_i\). Il faut montrer que \(\mathcal{F}_i\) est plat en dimensions \(\geq n\) pour un certain \(i\). Choisissons \(i_0 \in I\) et remplaçons \(I\) par \(\{i \mid i \geq i_0\}\). Comme \(T_{i_0}\) est affine (donc quasi-compact), il existe un nombre fini d’ouverts affines \(W_j \subset S\), \(j = 1, \ldots, m\), et un recouvrement ouvert affine \(T_{i_0} = \bigcup_{j = 1, \ldots, m} V_{j, i_0}\) tels que \(T_{i_0} \to S\) envoie \(V_{j, i_0}\) dans \(W_j\). Pour \(i \geq i_0\), notons \(V_{j, i}\) l’image réciproque de \(V_{j, i_0}\) dans \(T_i\). Si nous pouvons montrer, pour chaque \(j\), qu’il existe un \(i\) tel que \(\mathcal{F}_{V_{j, i_0}}\) soit plat en dimensions \(\geq n\), nous aurons conclu. Nous nous ramenons ainsi au cas où \(S\) est affine. Dans ce cas, \(X\) est quasi-compact et admet un recouvrement ouvert affine fini \(X = W_1 \cup \ldots \cup W_m\). Dans ce cas, le résultat pour \((X \to S, \mathcal{F})\) équivaut au résultat pour \((\coprod W_j, \coprod \mathcal{F}|_{W_j})\). Nous pouvons donc supposer \(f\) de présentation finie.

Supposons \(f\) de présentation finie et \(\mathcal{F}\) de présentation finie. Notons \(U \subset X_T\) le sous-schéma ouvert des points où \(\mathcal{F}_T\) est plat sur \(T\), voir Compléments sur les morphismes, théorème 0399. Par hypothèse, toute fibre de \(Z = X_T \setminus U\) sur \(T\) est de dimension \(< n\). D’après Limites, lemme 05M6, nous pouvons trouver un sous-schéma fermé \(Z \subset Z' \subset X_T\) tel que \(\dim(Z'_t) < n\) pour tout \(t \in T\) et que \(Z' \to X_T\) soit de présentation finie. D’après Limites, lemmes 01ZM et 01ZP, il existe un \(i \in I\) et un sous-schéma fermé \(Z'_i \subset X_i\) de présentation finie dont le changement de base à \(T\) est \(Z'\). D’après Limites, lemme 05M5, nous pouvons supposer toutes les fibres de \(Z'_i \to T_i\) de dimension \(< n\). D’après Limites, lemme 05LY, nous pouvons supposer \(\mathcal{F}_i|_{X_i \setminus T'_i}\) plat sur \(T_i\). Cela entraîne que \(\mathcal{F}_i\) est plat en dimensions \(\geq n\) ; nous utilisons ici que \(Z' \to X_T\) est de présentation finie, donc que le complémentaire \(X_T \setminus Z'\) est quasi-compact ! La partie (2) est ainsi démontrée et la démonstration du lemme est achevée.

Situation

Soit \(f : X \to S\) un morphisme de schémas. Soit \(\mathcal{F}\) un \(\mathcal{O}_X\)-module quasi-cohérent. Pour tout schéma \(T\) sur \(S\), nous noterons \(\mathcal{F}_T\) le changement de base de \(\mathcal{F}\) à \(T\) ; autrement dit, \(\mathcal{F}_T\) est l’image réciproque de \(\mathcal{F}\) par la projection \(X_T = X \times_S T \to X\). Comme le changement de base d’un module plat est plat, nous obtenons un foncteur [05MX]\[\begin{equation} F_{flat} : (\Sch/S)^{opp} \longrightarrow \textit{Ensembles}, \quad T \longrightarrow \left\{ \begin{matrix} \{*\} & \text{si } \mathcal{F}_T \text{ est plat sur }T, \\ \emptyset & \text{sinon.} \end{matrix} \right. \end{equation}\]

Lemme

Plaçons-nous dans la situation 05MW.

1. Le foncteur \(F_{flat}\) satisfait à la condition de faisceau pour la topologie fpqc.

2. Si \(f\) est quasi-compact et localement de présentation finie et si \(\mathcal{F}\) est de présentation finie, alors le foncteur \(F_{flat}\) commute aux limites projectives filtrantes.

Démonstration

La partie (1) résulte de l’énoncé suivant : si \(T' \to T\) est un morphisme plat surjectif de schémas sur \(S\), alors \(\mathcal{F}_{T'}\) est plat sur \(T'\) si et seulement si \(\mathcal{F}_T\) est plat sur \(T\), voir Compléments sur les morphismes, lemme 047C. La partie (2) résulte de Limites, lemme 05LY, après réduction au cas où \(X\) et \(S\) sont affines (comparer avec la démonstration du lemme 05MV).

Stratifications de platification

Seulement les définitions. Le lecteur qui cherche une “stratification de platitude générique” consultera Compléments sur les morphismes, section 0H3Y.

Définition

Soit \(X \to S\) un morphisme de schémas. Soit \(\mathcal{F}\) un \(\mathcal{O}_X\)-module quasi-cohérent. Nous disons que le platificateur universel de \(\mathcal{F}\) existe si le foncteur \(F_{flat}\) défini dans la situation 05MW est représentable par un schéma \(S'\) sur \(S\). Nous disons que le platificateur universel de \(X\) existe si le platificateur universel de \(\mathcal{O}_X\) existe.

Notons que si le platificateur universel \(S'\)² de \(\mathcal{F}\) existe, alors le morphisme \(S' \to S\) est un monomorphisme surjectif de schémas tel que \(\mathcal{F}_{S'}\) soit plat sur \(S'\) et tel qu’un morphisme \(T \to S\) se factorise par \(S'\) si et seulement si \(\mathcal{F}_T\) est plat sur \(T\).

Exemple

Soit \(X = S = \Spec(k[x, y])\), où \(k\) est un corps. Soit \(\mathcal{F} = \widetilde{M}\), où \(M = k[x, x^{-1}, y]/(y)\). Pour une \(k[x, y]\)-algèbre \(A\), posons \(F_{flat}(A) = F_{flat}(\Spec(A))\). Alors \(F_{flat}(k[x, y]/(x, y)^n) = \{*\}\) pour tout \(n\), tandis que \(F_{flat}(k[[x, y]]) = \emptyset\). Cela signifie que \(F_{flat}\) n’est pas représentable (même par un espace algébrique, voir Espaces formels, Lemme 0AQH). Ainsi, le platificateur universel n’existe pas dans ce cas.

Nous définissons (comparer à Topologie, Remarque 09Y2) une stratification (localement finie, au sens schématique) d’un schéma \(S\) comme la donnée de sous-schémas fermés \(Z_i \subset S\) indexés par un ensemble partiellement ordonné \(I\) tels que \(S = \bigcup Z_i\) (ensemblistement), que tout point de \(S\) possède un voisinage ne rencontrant qu’un nombre fini de \(Z_i\), et que \[Z_i \cap Z_j = \bigcup\nolimits_{k \leq i, j} Z_k.\] En posant \(S_i = Z_i \setminus \bigcup_{j < i} Z_j\), la stratification proprement dite est la décomposition \(S = \coprod S_i\) en sous-schémas localement fermés. Souvent, nous indiquons seulement les strates \(S_i\) et laissons au lecteur la construction des sous-schémas fermés \(Z_i\). Étant donnée une stratification, nous obtenons un monomorphisme \[S' = \coprod\nolimits_{i \in I} S_i \longrightarrow S.\] Nous l’appellerons le monomorphisme associé à la stratification. Avec cette terminologie, nous pouvons définir ce que signifie posséder une stratification de platification.

Définition

Soit \(X \to S\) un morphisme de schémas. Soit \(\mathcal{F}\) un \(\mathcal{O}_X\)-module quasi-cohérent. Nous disons que \(\mathcal{F}\) admet une stratification de platification si le foncteur \(F_{flat}\) défini dans la situation 05MW est représentable par un monomorphisme \(S' \to S\) associé à une stratification de \(S\) par des sous-schémas localement fermés. Nous disons que \(X\) admet une stratification de platification si \(\mathcal{O}_X\) admet une stratification de platification.

Lorsqu’une stratification de platification existe, il importe souvent de comprendre l’ensemble d’indices qui étiquette les strates et son ordre partiel. Cela est souvent lié aux rangs de modules. Par exemple, si \(X = S\) et si \(\mathcal{F}\) est un \(\mathcal{O}_S\)-module de présentation finie, alors la stratification de platification existe et est donnée par les idéaux de Fitting de \(\mathcal{F}\), voir Diviseurs, Lemme 05P9.

Stratification de platification sur un anneau artinien

Une stratification de platification existe lorsque le schéma de base est le spectre d’un anneau artinien.

Lemme

Soit \(S\) le spectre d’un anneau artinien. Pour tout schéma \(X\) sur \(S\) et tout \(\mathcal{O}_X\)-module quasi-cohérent, il existe un platificateur universel. En fait, le platificateur universel est donné par une immersion fermée \(S' \to S\) et constitue donc aussi une stratification de platification pour \(\mathcal{F}\).

Démonstration

Choisissons un recouvrement ouvert affine \(X = \bigcup U_i\). Alors \(F_{flat}\) est le produit des foncteurs associés à chacun des couples \((U_i, \mathcal{F}|_{U_i})\). Il suffit donc de démontrer le résultat pour chaque \((U_i, \mathcal{F}|_{U_i})\). Dans le cas affine, le lemme résulte immédiatement de Compléments d’algèbre, Lemme 0525.

Platification d’une application

Le théorème 05PF est la clef des énoncés de platification qui suivent.

Lemme

Soit \(S\) un schéma. Soit \(g : X' \to X\) un morphisme plat de schémas sur \(S\), où \(X\) est localement de type fini sur \(S\). Soit \(\mathcal{F}\) un \(\mathcal{O}_X\)-module quasi-cohérent de type fini qui est plat sur \(S\). Si \(\text{Ass}_{X/S}(\mathcal{F}) \subset g(X')\), alors l’application canonique \[\mathcal{F} \longrightarrow g_*g^*\mathcal{F}\] est injective et le reste après tout changement de base.

Démonstration

La dernière assertion signifie que \(\mathcal{F}_T \to (g_T)_*g_T^*\mathcal{F}_T\) est injective pour tout morphisme \(T \to S\). L’hypothèse \(\text{Ass}_{X/S}(\mathcal{F}) \subset g(X')\) est préservée par changement de base, voir Diviseurs, Lemme 05DC et Remarque 05KL. Il en va de même de l’hypothèse de platitude et de type fini. Il suffit donc de démontrer l’injectivité de la flèche affichée. Soit \(\mathcal{K} = \Ker(\mathcal{F} \to g_*g^*\mathcal{F})\). Notre but est de montrer que \(\mathcal{K} = 0\). Pour ce faire, il suffit de montrer que \(\text{WeakAss}_X(\mathcal{K}) = \emptyset\), voir Diviseurs, Lemme 05AP. Nous avons \(\text{WeakAss}_X(\mathcal{K}) \subset \text{WeakAss}_X(\mathcal{F})\), voir Diviseurs, Lemme 05AN. Puisque \(\mathcal{F}\) est plat, il résulte du lemme 05IJ que \(\text{WeakAss}_X(\mathcal{F}) \subset \text{Ass}_{X/S}(\mathcal{F})\). Par hypothèse, tout point \(x\) de \(\text{Ass}_{X/S}(\mathcal{F})\) est l’image d’un certain \(x' \in X'\). Comme \(g\) est plat, l’homomorphisme d’anneaux locaux \(\mathcal{O}_{X, x} \to \mathcal{O}_{X', x'}\) est fidèlement plat ; par conséquent, l’application \[\mathcal{F}_x \longrightarrow g^*\mathcal{F}_{x'} = \mathcal{F}_x \otimes_{\mathcal{O}_{X, x}} \mathcal{O}_{X', x'}\] est injective (voir Algèbre, Lemme 05CK). Cela implique que \(\mathcal{K}_x = 0\), comme souhaité.

Lemme

Soit \(A\) un anneau. Soit \(u : M \to N\) une application surjective de \(A\)-modules. Si \(M\) est projectif comme \(A\)-module, alors il existe un idéal \(I \subset A\) tel que, pour tout homomorphisme d’anneaux \(\varphi : A \to B\), les conditions suivantes soient équivalentes :

1. \(u \otimes 1 : M \otimes_A B \to N \otimes_A B\) est un isomorphisme ;

2. \(\varphi(I) = 0\).

Démonstration

Comme \(M\) est projectif, nous pouvons trouver un \(A\)-module projectif \(C\) tel que \(F = M \oplus C\) soit un \(A\)-module libre. En remplaçant \(u\) par \(u \oplus 1 : F = M \oplus C \to N \oplus C\), nous voyons que nous pouvons supposer \(M\) libre. Dans ce cas, soit \(I\) l’idéal de \(A\) engendré par les coefficients de tous les éléments de \(\Ker(u)\) relativement à une base (fixée) de \(M\). Ce choix convient : puisque \(u\) est surjective et que \(\otimes_A B\) exact à droite, \(\Ker(u \otimes 1)\) est l’image de \(\Ker(u) \otimes_A B\) dans \(M \otimes_A B\).

Théorème

Dans la situation 05MH, supposons que

1. \(f\) soit de présentation finie ;

2. \(\mathcal{F}\) soit de présentation finie, plat sur \(S\) et pur relativement à \(S\) ;

3. \(u\) soit surjective.

Alors \(F_{iso}\) est représentable par une immersion fermée \(Z \to S\). De plus, \(Z \to S\) est de présentation finie si \(\mathcal{G}\) est de présentation finie.

Démonstration

Nous utiliserons sans autre mention le fait que \(\mathcal{F}\) est universellement pur sur \(S\), voir le lemme 05L5. D’après le lemme 05MJ et Descente, Lemmes 03I0 et 02W5, la question est locale pour la topologie étale sur \(S\). Il suffit donc de montrer, étant donné \(s \in S\), qu’il existe un voisinage étale de \((S, s)\) sur lequel le théorème soit vrai.

En utilisant le lemme 05KW et après avoir remplacé \(S\) par un voisinage étale élémentaire de \(s\), nous pouvons supposer qu’il existe un diagramme commutatif \[\xymatrix{ X \ar[dr] & & X' \ar[ll]^g \ar[ld] \\ & S & }\] de schémas de présentation finie sur \(S\), où \(g\) est étale, \(X_s \subset g(X')\), les schémas \(X'\) et \(S\) sont affines, et \(\Gamma(X', g^*\mathcal{F})\) est un \(\Gamma(S, \mathcal{O}_S)\)-module projectif. Notons que \(g^*\mathcal{F}\) est universellement pur sur \(S\), voir le lemme 05K6. Ainsi, d’après le lemme 05L4, nous voyons que l’ouvert \(g(X')\) contient les points de \(\text{Ass}_{X/S}(\mathcal{F})\) situés au-dessus de \(\Spec(\mathcal{O}_{S, s})\). Posons \[E = \{t \in S \mid \text{Ass}_{X_t}(\mathcal{F}_t) \subset g(X') \}.\] D’après Compléments sur les morphismes, Lemme 05KR, \(E\) est une partie constructible de \(S\). Nous avons vu que \(\Spec(\mathcal{O}_{S, s}) \subset E\). D’après Morphismes, Lemme 05LW, nous voyons que \(E\) contient un voisinage ouvert de \(s\). Ainsi, après avoir remplacé \(S\) par un voisinage affine plus petit de \(s\), nous pouvons supposer que \(\text{Ass}_{X/S}(\mathcal{F}) \subset g(X')\).

Puisque nous avons supposé \(u\) surjective, nous avons \(F_{iso} = F_{inj}\). D’après le lemme 05PD, il s’ensuit que \(u : \mathcal{F} \to \mathcal{G}\) est injective si et seulement si \(g^*u : g^*\mathcal{F} \to g^*\mathcal{G}\) est injective, et cela reste vrai après tout changement de base. Nous nous sommes donc ramenés au cas où, outre les hypothèses du théorème, \(X \to S\) est un morphisme de schémas affines et \(\Gamma(X, \mathcal{F})\) est un \(\Gamma(S, \mathcal{O}_S)\)-module projectif. Ce cas résulte immédiatement du lemme 05PE.

Pour voir que \(Z\) est de présentation finie si \(\mathcal{G}\) est de présentation finie, combinons la partie (4) du lemme 05MJ avec Limites, Remarque 05LX.

Lemme

Soit \(f:X\to S\) un morphisme de schémas de présentation finie, plat et pur. Soit \(Y\) un sous-schéma fermé de \(X\). Soit \(F=f_*Y\) le foncteur de restriction de Weil de \(Y\) le long de \(f\), défini par \[F : (\Sch/S)^{opp} \to \textit{Ensembles}, \quad T \mapsto \left\{ \begin{matrix} \{*\} & \text{si} & Y_T\to X_T \text{ est un isomorphisme, }\\ \emptyset & \text{sinon.} & \end{matrix} \right.\] Alors \(F\) est représentable par une immersion fermée \(Z\to S\). De plus, \(Z\to S\) est de présentation finie si \(Y\to S\) l’est.

Démonstration

Soit \(\mathcal{I}\) le faisceau d’idéaux définissant \(Y\) dans \(X\) et soit \(u:\mathcal{O}_X\to\mathcal{O}_X/\mathcal{I}\) la surjection. Alors, pour un \(S\)-schéma \(T\), l’immersion fermée \(Y_T\to X_T\) est un isomorphisme si et seulement si \(u_T\) est un isomorphisme. Le résultat découle donc du théorème 05PF.

Platification dans le cas local

Dans cette section, nous commençons à appliquer les résultats précédents afin d’obtenir une ébauche de la stratification de platification.

Théorème

Dans la situation 05MK, supposons \(A\) hensélien, \(B\) essentiellement de type fini sur \(A\), et \(M\) un \(B\)-module fini. Il existe alors un idéal \(I \subset A\) tel que \(A/I\) coreprésente le foncteur \(F_{lf}\) sur la catégorie \(\mathcal{C}\). Autrement dit, étant donné un homomorphisme local d’anneaux locaux \(\varphi : A \to A'\), avec \(B' = B \otimes_A A'\) et \(M' = M \otimes_A A'\), les conditions suivantes sont équivalentes :

1. \(\forall \mathfrak q \in V(\mathfrak m_{A'}B' + \mathfrak m_B B') \subset \Spec(B') : M'_{\mathfrak q}\text{ est plat sur }A'\) ;

2. \(\varphi(I) = 0\).

Si \(B\) est essentiellement de présentation finie sur \(A\) et \(M\) de présentation finie sur \(B\), alors \(I\) est un idéal de type fini.

Démonstration

Choisissons un homomorphisme d’anneaux de type fini \(A \to C\), un \(C\)-module fini \(N\) et un idéal premier \(\mathfrak q\) de \(C\) tels que \(B = C_{\mathfrak q}\) et \(M = N_{\mathfrak q}\). Dans la suite, lorsque nous disons “le théorème vaut pour \((N/C/A, \mathfrak q)\)”, nous entendons qu’il vaut pour \((A \to B, M)\), où \(B = C_{\mathfrak q}\) et \(M = N_{\mathfrak q}\). D’après le lemme 05P5, le foncteur \(F_{lf}\) ne change pas si nous remplaçons \(B\) par un anneau local plat sur \(B\). Ainsi, puisque \(A\) est hensélien, nous pouvons appliquer le lemme 05I1 et supposer qu’il existe un dévissage complet de \(N/C/A\) en \(\mathfrak q\).

Soit \((A_i, B_i, M_i, \alpha_i, \mathfrak q_i)_{i = 1, \ldots, n}\) un tel dévissage complet de \(N/C/A\) en \(\mathfrak q\). Soit \(\mathfrak q'_i \subset A_i\) l’unique idéal premier situé au-dessus de \(\mathfrak q_i \subset B_i\), comme dans la définition 05HZ. Puisque \(C \to A_1\) est surjectif et \(N \cong M_1\) comme \(C\)-modules, nous voyons d’après le lemme 05P4 qu’il suffit de montrer que le théorème vaut pour \((M_1/A_1/A, \mathfrak q'_1)\). Puisque \(B_1 \to A_1\) est fini et que \(\mathfrak q_1\) est l’unique idéal premier de \(B_1\) au-dessus de \(\mathfrak q'_1\), nous voyons que \((A_1)_{\mathfrak q'_1} \to (B_1)_{\mathfrak q_1}\) est fini (voir Algèbre, Lemme 00EA, ou Compléments sur les morphismes, Lemme 05B8). Ainsi, d’après le lemme 05P4, il suffit de montrer que le théorème vaut pour \((M_1/B_1/A, \mathfrak q_1)\).

À ce stade, nous pouvons supposer, par récurrence sur la longueur \(n\) du dévissage, que le théorème vaut pour \((M_2/B_2/A, \mathfrak q_2)\). (Si \(n = 1\), alors \(M_2 = 0\), qui est plat sur \(A\).) En inversant les deux dernières étapes du paragraphe précédent et en utilisant \(M_2 \cong \Coker(\alpha_2)\) comme \(B_1\)-modules, nous voyons que le théorème vaut pour \((\Coker(\alpha_1)/B_1/A, \mathfrak q_1)\).

Soit \(A'\) un objet de \(\mathcal{C}\). À ce stade, nous utilisons le lemme 05I3 pour voir que si \((M_1 \otimes_A A')_{\mathfrak q'}\) est plat sur \(A'\) pour un idéal premier \(\mathfrak q'\) de \(B_1 \otimes_A A'\) situé au-dessus de \(\mathfrak m_{A'}\), alors \((\Coker(\alpha_1) \otimes_A A')_{\mathfrak q'}\) est plat sur \(A'\). Nous en concluons que \(F_{lf}\) est un sous-foncteur du foncteur \(F'_{lf}\) associé au module \(\Coker(\alpha_1)_{\mathfrak q_1}\) sur \((B_1)_{\mathfrak q_1}\). D’après le paragraphe précédent, \(F'_{lf}\) est coreprésenté par \(A/J\) pour un certain idéal \(J \subset A\). Nous pouvons donc remplacer \(A\) par \(A/J\) et supposer que \(\Coker(\alpha_1)_{\mathfrak q_1}\) est plat sur \(A\).

Puisque \(\Coker(\alpha_1)\) est un \(B_1\)-module pour lequel il existe un dévissage complet de \(N_1/B_1/A\) en \(\mathfrak q_1\) et puisque \(\Coker(\alpha_1)_{\mathfrak q_1}\) est plat sur \(A\), d’après le lemme 05I4, nous voyons que \(\Coker(\alpha_1)\) est libre comme \(A\)-module, donc en particulier plat comme \(A\)-module. Par conséquent, le lemme 05I3 implique que \(F_{lf}(A')\) est non vide si et seulement si \(\alpha \otimes 1_{A'}\) est injective. Soit \(N_1 = \Im(\alpha_1) \subset M_1\), de sorte que nous avons les suites exactes \[0 \to N_1 \to M_1 \to \Coker(\alpha_1) \to 0 \quad\text{et}\quad B_1^{\oplus r_1} \to N_1 \to 0\] La platitude de \(\Coker(\alpha_1)\) implique que la première suite est universellement exacte (voir Algèbre, Lemme 058M). Ainsi, \(\alpha \otimes 1_{A'}\) est injective si et seulement si \(B_1^{\oplus r_1} \otimes_A A' \to N_1 \otimes_A A'\) est un isomorphisme. Enfin, le théorème 05PF montre que ce foncteur est coreprésentable par \(A/I\) pour un certain idéal \(I\), et nous concluons que \(F_{lf}\) est lui aussi coreprésentable par \(A/I\).

Pour démontrer la dernière assertion, supposons que \(A \to B\) soit essentiellement de présentation finie et \(M\) de présentation finie sur \(B\). Soit \(I \subset A\) l’idéal tel que \(F_{lf}\) soit coreprésenté par \(A/I\). Écrivons \(I = \bigcup I_\lambda\), où \(I_\lambda\) parcourt les idéaux de type fini contenus dans \(I\). Comme \(F_{lf}(A/I) = \{*\}\), nous voyons alors que \(F_{lf}(A/I_\lambda) = \{*\}\) pour un certain \(\lambda\), voir la partie (2) du lemme 05MN. Cela implique clairement que \(I = I_\lambda\).

Remarque

Voici une reformulation schématique du théorème 05PG. Soit \((X, x) \to (S, s)\) un morphisme de schémas pointés qui est localement de type fini. Soit \(\mathcal{F}\) un \(\mathcal{O}_X\)-module quasi-cohérent de type fini. Supposons \(S\) local hensélien, de point fermé \(s\). Il existe un sous-schéma fermé \(Z \subset S\) ayant la propriété suivante : pour tout morphisme de schémas pointés \((T, t) \to (S, s)\), les conditions suivantes sont équivalentes :

1. \(\mathcal{F}_T\) est plat sur \(T\) en tous les points de la fibre \(X_t\) qui s’envoient sur \(x \in X_s\) ;

2. \(\Spec(\mathcal{O}_{T, t}) \to S\) se factorise par \(Z\).

De plus, si \(X \to S\) est de présentation finie en \(x\) et \(\mathcal{F}_x\) de présentation finie sur \(\mathcal{O}_{X, x}\), alors \(Z \to S\) est de présentation finie.