다양체의 유도 범주

서론

이 장에서는 스킴의 유도 범주의 절 08CV에서 시작한 논의를 계속한다. Mukai가 [Mukai]에서 처음 연구한 Fourier–Mukai 변환을 다루고, 유도 동치에 관한 Orlov의 정리([Orlov-K3])를 증명한다. 또한 Anel과 Toën이 [AT]에서 증명한 유도 동치류의 가산성을 논의한다.

이 주제에 대한 좋은 입문서로 Daniel Huybrechts의 책 [Huybrechts]가 있다. 이 주제를 널리 알리는 데 기여한 다른 논문으로는

1. Bondal과 Kapranov의 논문 [Bondal-Kapranov],

2. Bondal과 Orlov의 논문 [Bondal-Orlov],

3. Bondal과 Van den Bergh의 논문 [BvdB],

4. Beilinson의 논문 [Beilinson] 및 [Beilinson-derived],

5. Orlov의 논문 [Orlov-AV],

6. Orlov의 논문 [Orlov-motives],

7. Rouquier의 논문 [Rouquier-dimensions]

8. 이 밖에도 여기서 언급할 수 있는 논문이 매우 많다.

규약과 표기

\(k\)를 체라 하자. \(k\)-선형 삼각 범주 \(\mathcal{T}\)란 삼각 범주(유도 범주의 절 05QK)로서 \(k\)-선형 구조 (미분 등급 대수의 절 09MI)가 주어지고, 평행이동 함자 \([n] : \mathcal{T} \to \mathcal{T}\)가 \(k\)-선형이고 이는 모든 \(n \in \mathbf{Z}\)에 대해 성립하는 것을 말한다.

\(k\)를 체라 하자. \(k\)-벡터공간의 범주를 \(\text{Vect}_k\)로 나타낸다. \(k\)-벡터공간 \(V\)에 대해 \(V^\vee\)로 \(V\)의 \(k\)-선형 쌍대, 즉 \(V^\vee = \Hom_k(V, k)\)를 나타낸다.

\(X\)를 스킴이라 하자. 완전 복합체들로 이루어진 \(D(\mathcal{O}_X)\)의 충만한 부분범주를 \(D_{perf}(\mathcal{O}_X)\)로 나타낸다(코호몰로지의 절 08CL). \(X\)가 뇌터이면 \(D_{perf}(\mathcal{O}_X) \subset D^b_{\textit{Coh}}(\mathcal{O}_X)\)이다. 스킴의 유도 범주의 보조정리 0FXU를 보라. \(X\)가 뇌터이고 정칙이면 \(D_{perf}(\mathcal{O}_X) = D^b_{\textit{Coh}}(\mathcal{O}_X)\)이다. 스킴의 유도 범주의 보조정리 0FDC를 보라.

\(k\)를 체라 하고 \(X\), \(Y\)를 \(k\) 위 스킴이라 하자. 이 경우 \(X \times_{\Spec(k)} Y\) 대신 \(X \times Y\)라고 쓴다.

\(S\)를 스킴이라 하고 \(X\), \(Y\)를 \(S\) 위 스킴이라 하자. \(\mathcal{F}\)를 \(\mathcal{O}_X\)-가군, \(\mathcal{G}\)를 \(\mathcal{O}_Y\)-가군이라 하자. \(\mathcal{O}_{X \times_S Y}\)-가군으로 \[\mathcal{F} \boxtimes \mathcal{G} = \text{pr}_1^*\mathcal{F} \otimes_{\mathcal{O}_{X \times_S Y}} \text{pr}_2^*\mathcal{G}\] 로 놓는다. \(K \in D(\mathcal{O}_X)\)이고 \(M \in D(\mathcal{O}_Y)\)이면 \(D(\mathcal{O}_{X \times_S Y})\)의 대상으로 \[K \boxtimes M = L\text{pr}_1^*K \otimes_{\mathcal{O}_{X \times_S Y}}^\mathbf{L} L\text{pr}_2^*M\] 로 놓는다. 따라서 이 표기는 잠재적으로 모호하지만, 문맥으로 어느 쪽을 뜻하는지 분명해질 것이다.

Serre 함자

이 절의 내용은 [Bondal-Kapranov]에서 가져왔다.

보조정리

\(k\)를 체라 하자. 모든 \(X, Y \in \Ob(\mathcal{T})\)에 대해 \(\dim_k \Hom_\mathcal{T}(X, Y) < \infty\)인 \(k\)-선형 삼각 범주 \(\mathcal{T}\)를 잡자. 다음 조건들은 동치이다.

1. \(k\)-선형 동치 \(S : \mathcal{T} \to \mathcal{T}\)와 \(X, Y \in \Ob(\mathcal{T})\)에 대해 함자적인 \(k\)-선형 동형사상 \(c_{X, Y} : \Hom_\mathcal{T}(X, Y) \to \Hom_\mathcal{T}(Y, S(X))^\vee\) 가 존재한다.

2. 모든 \(X \in \Ob(\mathcal{T})\)에 대해 함자 \(Y \mapsto \Hom_\mathcal{T}(X, Y)^\vee\)는 표현 가능하고, 함자 \(Y \mapsto \Hom_\mathcal{T}(Y, X)^\vee\)는 쌍대 표현 가능하다.

증명

\((S, c)\)와 \(X \in \Ob(\mathcal{T})\)가 주어졌을 때 대상 \(S(X)\)가 함자 \(Y \mapsto \Hom_\mathcal{T}(X, Y)^\vee\)를 표현하고 대상 \(S^{-1}(X)\)가 함자 \(Y \mapsto \Hom_\mathcal{T}(Y, X)^\vee\)를 쌍대 표현하므로, 조건 (1)은 (2)를 함의한다.

(2)를 가정하자. 범주의 보조정리 001P인 Yoneda 보조정리를 반복해서 사용한다. 모든 \(X\)에 대해 함자 \(Y \mapsto \Hom_\mathcal{T}(X, Y)^\vee\)를 표현하는 대상을 \(S(X)\)로 나타내자. \(\varphi : X \to X'\)가 주어지면 대응하는 함자 변환 \(\Hom_\mathcal{T}(X, -)^\vee \to \Hom_\mathcal{T}(X', -)^\vee\)에 의해 유일하게 정해지는 화살표 \(S(\varphi) : S(X) \to S(X')\)를 얻는다. 따라서 \(S\)는 함자이고, 구성에 의해 동형사상 \(c_{X, Y}\)를 얻는다. \(S\)가 동치임을 보이는 일만 남았다. 모든 \(X\)에 대해 함자 \(Y \mapsto \Hom_\mathcal{T}(Y, X)^\vee\)를 쌍대 표현하는 대상을 \(S'(X)\)로 나타내자. 위와 같은 논증으로 \(S'\)가 함자임을 알 수 있다. \(S'\)가 \(S\)의 준역함자임을 보이겠다. 실제로 \[\Hom_\mathcal{T}(X, Y) = \Hom_\mathcal{T}(Y, S(X))^\vee = \Hom_\mathcal{T}(S'(S(X)), Y)\] 가 이변수 함자적으로 성립하므로 \(S' \circ S \cong \text{id}_\mathcal{T}\)이다. 마찬가지로 \[\Hom_\mathcal{T}(Y, X) = \Hom_\mathcal{T}(S'(X), Y)^\vee = \Hom_\mathcal{T}(Y, S(S'(X)))\] 이고 \(S \circ S' \cong \text{id}_\mathcal{T}\)를 얻는다.

정의

\(k\)를 체라 하자. 모든 \(X, Y \in \Ob(\mathcal{T})\)에 대해 \(\dim_k \Hom_\mathcal{T}(X, Y) < \infty\)인 \(k\)-선형 삼각 범주 \(\mathcal{T}\)를 잡자. 보조정리 0FY4의 동치인 조건들이 성립하면 Serre 함자가 존재한다고 한다. 이 경우 Serre 함자란 \(X, Y \in \Ob(\mathcal{T})\)에 대해 함자적인 \(k\)-선형 동형사상 \(c_{X, Y} : \Hom_\mathcal{T}(X, Y) \to \Hom_\mathcal{T}(Y, S(X))^\vee\) 가 주어진 \(k\)-선형 동치 \(S : \mathcal{T} \to \mathcal{T}\)를 말한다.

주

삼각 범주에서 \(X^0 \to X^1 \to X^2 \to X^0[1]\)과 \(Y^0 \to Y^1 \to Y^2 \to Y^0[1]\)을 구별 삼각형이라 하자. \(p \in \mathbf{Z}\)에 대해 \(i \in \{0, 1, 2\}\)가 되도록 \(p = 3n + i\)로 쓰고 \(X^p = X^i[n]\)로 놓는다. \(Y^q\)도 마찬가지로 정의한다. 항이 \[K^{p, q} = \Hom(X^{-p}, Y^q)\] 인 이중 복합체를 생각하자. 미분 \(d_1 : K^{p, q} \to K^{p + 1, q}\)는 사상 \(X^{-p - 1} \to X^{-p}\)로 주어지며, 이는 평행이동을 제외하면 첫 번째 구별 삼각형의 대응하는 사상과 같다. 마찬가지로 미분 \(d_2 : K^{p, q} \to K^{p, q + 1}\)은 사상 \(Y^q \to Y^{q + 1}\)로 주어진다. 유도 범주의 보조정리 0149에 의해 이 이중 복합체의 행과 열은 완전하다. 또한 \(K^{p, q} = K^{p + 3, q - 3}\)이고 이 등식들은 미분과 양립한다. 끝으로 공리 TR3은 다음 한 가지 성질을 더 함의한다. \(d_2 \alpha = d_1 \beta\)인 \(\alpha \in K^{p, q}\)와 \(\beta \in K^{p - 1, q + 1}\)가 주어지면 \(\gamma \in K^{p - 2, q + 2}\)가 존재하여 \(d_1 \gamma = d_2 \beta\)가 \(K^{p - 1, q + 2}\)에서 성립하고 \(d_2 \gamma = d_1 \alpha\)가 \(K^{p - 2, q + 3} = K^{p + 1, q}\)에서 가 성립한다. (힌트: \(p = q = 0\)일 때 이는 정확히 TR3의 명제이고, 다른 지표에 대해서는 평행이동하여 증명한다.) 이러한 성질을 갖는 이중 복합체를 matress라 한다([Bondal-Kapranov]를 보라).

주

\(k\)를 체라 하고 \(K^{\bullet, \bullet}\)를 유한 차원 \(k\)-벡터공간들로 이루어진 이중 복합체로서 주석 0H8B에서처럼 matress이기도 하다고 하자. 쌍대 이중 복합체 \(L^{p, q} = \Hom_k(K^{-q, -p}, k)\)도 matress임을 보이겠다. 행과 열의 완전성 및 3-주기성은 즉시 따른다. 나머지 조건을 확인하기 위해 선형 사상 \[\partial : K^{p, q} \oplus K^{p - 1, q + 1} \oplus K^{p - 2, q + 2} \longrightarrow K^{p, q + 1} \oplus K^{p - 1, q + 2} \oplus K^{p - 2, q + 3}\] 을 생각하자. 이 사상은 주석 0H8B와 같은 동일시 아래 \((\alpha, \beta, \gamma)\)를 \((d_2 \alpha - d_1 \beta, d_2 \gamma - d_1 \alpha, d_1 \gamma - d_2 \beta)\) 로 보낸다. matress가 되는 조건은 \[\Im(\partial) \cap \left( 0 \oplus K^{p - 1, q + 2} \oplus K^{p - 2, q + 3} \right) = \Im(\partial|_{0 \oplus 0 \oplus K^{p - 2, q + 2}})\] 벡터공간 또는 사상의 쌍대를 \({}^\wedge\)로 나타내면 쌍대를 취하여 \[\Ker(\partial^\wedge) + \left(L^{-p, -q - 1} \oplus 0 \oplus 0 \right) = \Ker(\text{pr}_{L^{-p + 2, -q - 2}} \circ \partial^\wedge)\] 를 얻는다. 여기서 \(\text{pr}\) 항은 사영을 나타낸다. 이는 \(\Im(\partial^\wedge) \cap (L^{-p, -q} \oplus L^{-p + 1, -q - 1} \oplus 0)\) 가 \(\Im(\partial^\wedge|_{L^{-p, -q - 1} \oplus 0 \oplus 0})\)와 같음을 함의하며, 이는 \(L^{\bullet, \bullet}\)에 대한 matress 조건으로 옮겨진다. 일부 세부사항은 생략한다.

보조정리

정의 0FY5의 상황을 생각하자. Serre 함자가 존재하면 유일한 동형사상을 제외하고 유일하며, 삼각 범주의 완전 함자이다.

증명

Serre 함자 \(S\)가 주어지면 대상 \(S(X)\)는 함자 \(Y \mapsto \Hom_\mathcal{T}(X, Y)^\vee\)를 표현한다. 따라서 대상 \(S(X)\)와 함자적 동일시 \(\Hom_\mathcal{T}(X, Y)^\vee = \Hom_\mathcal{T}(Y, S(X))\)는 Yoneda 보조정리(범주의 보조정리 001P)에 의해 유일한 동형사상을 제외하고 유일하게 정해진다. 또한 \(\varphi : X \to X'\)에 대해 화살표 \(S(\varphi) : S(X) \to S(X')\)는 대응하는 함자 변환 \(\Hom_\mathcal{T}(X, -)^\vee \to \Hom_\mathcal{T}(X', -)^\vee\)에 의해 유일하게 정해진다.

\(\mathcal{T}\)의 대상 \(X, Y\)에 대해 \[\begin{align*} \Hom(Y, S(X)[1])^\vee & = \Hom(Y[-1], S(X))^\vee \\ & = \Hom(X, Y[-1]) \\ & = \Hom(X[1], Y) \\ & = \Hom(Y, S(X[1]))^\vee \end{align*}\] 이다. Yoneda 보조정리에 의해 왼쪽 위에서 오른쪽 아래로의 동형사상을 유도하는 유일한 동형사상 \(S(X[1]) \to S(X)[1]\)이 존재한다. 위의 각 동형사상이 \(X\)와 \(Y\) 모두에 대해 함자적이므로, 이것은 함자 동형사상 \(S \circ [1] \to [1] \circ S\)를 정의한다.

\((A, B, C, f, g, h)\)를 \(\mathcal{T}\)의 구별 삼각형이라 하자. 삼각형 \((S(A), S(B), S(C), S(f), S(g), S(h))\)이 구별 삼각형임을 보여야 한다. 여기서는 위에서 구성한 표준 동형사상 \(S(A[1]) \to S(A)[1]\)을 사용하여 \(S(h)\)의 공역 \(S(A[1])\)을 \(S(A)[1]\)과 동일시한다. 먼저 \(\mathcal{T}\)의 임의의 \(X\)에 대해 삼각형 \((S(A), S(B), S(C), S(f), S(g), S(h))\)이 유한 차원 \(k\)-벡터공간의 긴 완전열 \[\ldots \to \Hom(X, S(A)) \to \Hom(X, S(B)) \to \Hom(X, S(C)) \to \Hom(X, S(A)[1]) \to \ldots\] 을 유도함을 관찰하자. 실제로 이 열은 열 \[\ldots \leftarrow \Hom(A, X) \leftarrow \Hom(B, X) \leftarrow \Hom(C, X) \leftarrow \Hom(A[1], X) \leftarrow \ldots\] 의 \(k\)-선형 쌍대이고, 이 열은 유도 범주의 보조정리 0149에 의해 완전하다. 다음으로 공리 TR1과 TR2에 의해 가능한 구별 삼각형 \((S(A), E, S(C), i, p, S(h))\)을 택한다. 다음 도식을 가환하게 하는 점선 화살표를 구성하고자 한다. \[\xymatrix{ S(C)[-1] \ar[r]_-{S(h[-1])} & S(A) \ar[r]_{S(f)} & S(B) \ar[r]_{S(g)} & S(C) \ar[r]_{S(h)} & S(A)[1] \\ S(C)[-1] \ar[r]^-{S(h[-1])} \ar@{=}[u] & S(A) \ar[r]^i \ar@{=}[u] & E \ar[r]^p \ar@{..>}[u]^\varphi & S(C) \ar[r]^{S(h)} \ar@{=}[u] & S(A)[1] \ar@{=}[u] }\] 실제로 \(\varphi\)가 있으면 임의의 \(X\)에 대해 그로부터 생기는 사상 \(\Hom(X, E) \to \Hom(X, S(B))\)가 \(k\)-벡터공간의 동형사상임을 보이겠다. 즉 가환 도식 \[\xymatrix{ \Hom(X, S(C)[-1]) \ar[r] & \Hom(X, S(A)) \ar[r] & \Hom(X, S(B)) \ar[r] & \Hom(X, S(C)) \ar[r] & \Hom(X, S(A)[1]) \\ \Hom(X, S(C)[-1]) \ar[r] \ar@{=}[u] & \Hom(X, S(A)) \ar[r] \ar@{=}[u] & \Hom(X, E) \ar[r] \ar[u]^\varphi & \Hom(X, S(C)) \ar[r] \ar@{=}[u] & \Hom(X, S(A)[1]) \ar@{=}[u] }\] 을 얻으며, 그 두 행은 완전하다(위의 논의를 보라). 5-보조정리 (호몰로지의 보조정리 05QB)를 적용하면 가운데 화살표가 동형사상임을 알 수 있다. Yoneda 보조정리에 의해 \(\varphi\)가 동형사상이라고 결론 내린다.

\(\varphi\)를 찾기 위해 구별 삼각형 \(A \to B \to C \to A[1]\)과 \(S(A) \to E \to S(C) \to S(A)[1]\)에서 주석 0H8B의 matress를 만들자. 주석 0H8C에 의해 그 \(k\)-선형 쌍대도 matress이다. \(S\)가 Serre 함자라는 사실을 사용하면 위와 같이 이 쌍대 matress가 삼각형 \(S(A) \to E \to S(C) \to S(A)[1]\)과 \(S(A) \to S(B) \to S(C) \to S(A)[1]\)에서 만들어진 이중 복합체임을 알 수 있다. 여기서 두 번째 삼각형이 구별 삼각형인지는 아직 모른다. 그러나 matress 조건은 정확히 사상 \(S(A) \to S(A)\)와 \(S(C) \to S(C)\)가 삼각형의 사상으로 확장됨을 말한다. 즉 위의 도식을 가환하게 하는 \(\varphi\)가 존재한다.

Serre 함자의 예

다음 보조정리는 표준적인 예이다.

보조정리

\(k\)를 체라 하고 \(X\)를 \(k\) 위의 Gorenstein 고유 스킴이라 하자. 스킴의 쌍대성의 보조정리 0FVV의 복합체 \(\omega_X^\bullet\)를 생각하자. 그러면 함자 \[S : D_{perf}(\mathcal{O}_X) \longrightarrow D_{perf}(\mathcal{O}_X),\quad K \longmapsto S(K) = \omega_X^\bullet \otimes_{\mathcal{O}_X}^\mathbf{L} K\] 는 Serre 함자이다.

증명

스킴의 유도 범주의 보조정리 0D0D에 의해 \(K, L \in D_{perf}(\mathcal{O}_X)\)에 대해 \(\dim \Hom_X(K, L) < \infty\)이므로 명제는 의미가 있다. \(X\)가 Gorenstein이므로 쌍대화 복합체 \(\omega_X^\bullet\)는 \(D(\mathcal{O}_X)\)의 가역 대상이다. 스킴의 쌍대성의 보조정리 0BFQ를 보라. 특히 \(X\) 위 국소적으로 복합체 \(\omega_X^\bullet\)는 가역 가군인 하나의 영이 아닌 코호몰로지층만을 갖는다. 코호몰로지의 보조정리 0FPG를 보라. 따라서 \(S(K)\)는 \(D_{perf}(\mathcal{O}_X)\)에 속한다. 한편 \(\omega_X^\bullet\)의 가역성은 \(S\)가 \(D_{perf}(\mathcal{O}_X)\)의 자기동치임을 분명히 함의한다. 끝으로 \(K, L\)에 대해 이변수 함자적인 동형사상 \[c_{K, L} : \Hom_X(K, L) \longrightarrow \Hom_X(L, \omega_X^\bullet \otimes_{\mathcal{O}_X}^\mathbf{L} K)^\vee\] 을 찾아야 한다. 이를 위해 코호몰로지의 보조정리 08DQ에 주어진 표준 동형사상 \[\Hom_X(K, L) = H^0(X, L \otimes_{\mathcal{O}_X}^\mathbf{L} K^\vee)\] 및 \[\Hom_X(L, \omega_X^\bullet \otimes_{\mathcal{O}_X}^\mathbf{L} K) = H^0(X, \omega_X^\bullet \otimes_{\mathcal{O}_X}^\mathbf{L} K \otimes_{\mathcal{O}_X}^\mathbf{L} L^\vee)\] 을 사용한다. 등식 \((L \otimes_{\mathcal{O}_X}^\mathbf{L} K^\vee)^\vee = (K^\vee)^\vee \otimes_{\mathcal{O}_X}^\mathbf{L} L^\vee\) 과 표준 동형사상 \(K \to (K^\vee)^\vee\)이 있으므로, 스킴의 쌍대성의 보조정리 0FVY에 의해 이 \(k\)-벡터공간들이 표준적으로 서로 쌍대임을 알 수 있다. 이로써 동형사상 \(c_{K, L}\)를 얻는다. 이 동형사상들이 함자적이라는 증명은 생략한다.

연접 가군의 특징짓기

이 절은 어떤 의미에서 스킴의 유도 범주의 절 0CSE와 사상에 대한 추가 내용의 절 0CSI의 논의를 이어간다.

결과를 진술하기 전에 몇 가지 표기가 필요하다. \(k\)를 체라 하고 \(n \geq 0\)을 정수라 하자. \(S = k[X_0, \ldots, X_n]\)로 놓는다. 정수 \(e\)에 대해 차수 \(e\)인 동차다항식들의 집합을 \(S_e \subset S\)로 나타낸다. 다음 (비가환) \(k\)-대수를 생각하자. \[R = \left( \begin{matrix} S_0 & S_1 & S_2 & \ldots & \ldots \\ 0 & S_0 & S_1 & \ldots & \ldots\\ 0 & 0 & S_0 & \ldots & \ldots \\ \ldots & \ldots & \ldots & \ldots & \ldots \\ 0 & \ldots & \ldots & \ldots & S_0 \end{matrix} \right)\] 여기에는 \(n + 1\)개의 행과 열이 있으며 곱셈과 덧셈은 자명하게 정의한다.

보조정리

위와 같은 \(k\), \(n\), \(R\)에 대해 \(D(R)\)의 대상 \(K\)에 관한 다음 조건들은 동치이다.

1. \(\sum_{i \in \mathbf{Z}} \dim_k H^i(K) < \infty\)이다.

2. \(K\)는 콤팩트 대상이다.

증명

\(K\)가 콤팩트 대상이면 등급 \(R\)-가군으로서 유한 사영인 복합체 \(M^\bullet\)로 \(K\)를 나타낼 수 있다. 미분 등급 대수의 보조정리 09RB를 보라. \(\dim_k R < \infty\)이므로 \(\sum \dim_k M^i < \infty\)이고, 더욱이 \(\sum \dim_k H^i(M^\bullet) < \infty\)이다. (더 쉬운 미분 등급 대수의 명제 09R3에서도 이 함의를 쉽게 이끌어낼 수 있다.)

\(K\)가 (1)을 만족한다고 가정하자. 절단의 구별 삼각형 \(\tau_{\leq m}K \to K \to \tau_{\geq m + 1}K\)를 생각하자. 유도 범주의 주석 08J5를 보라. \(\tau_{\leq m}K\)와 \(\tau_{\geq m + 1} K\)가 모두 (1)을 만족함은 분명하다. 둘 다 콤팩트임을 보이면 \(K\)도 콤팩트이다. 유도 범주의 보조정리 09QH를 보라. 따라서 \(K\)의 영이 아닌 코호몰로지 가군의 개수에 관해 논증하면 \(H^i(K)\)가 오직 하나의 \(i\)에 대해서만 영이 아니라고 가정해도 된다. 평행이동하여 \(K\)가 차수 \(0\)에 놓인 하나의 유한 차원 \(R\)-가군 \(M\)으로 이루어진 복합체라고 가정할 수 있다.

\(\dim_k(M) < \infty\)이므로 \(M\)은 \(R\)-가군으로서 Artin이다. 따라서 모든 단순 \(R\)-가군이 \(D(R)\)의 콤팩트 대상을 나타냄을 보이면 충분하다. \[I = \left( \begin{matrix} 0 & S_1 & S_2 & \ldots & \ldots \\ 0 & 0 & S_1 & \ldots & \ldots\\ 0 & 0 & 0 & \ldots & \ldots \\ \ldots & \ldots & \ldots & \ldots & \ldots \\ 0 & \ldots & \ldots & \ldots & 0 \end{matrix} \right)\] 가 \(R\)의 멱영 양쪽 아이디얼이고 \(R/I\)가 \(k\)의 \(n + 1\)개 복사본의 곱과 동형인 가환 \(k\)-대수임을 관찰하자. 이 복사본들은 행렬의 대각선에 놓이며, 다시 말해 \(R/I\)는 \(R\)의 \(k\)-부분대수로 올릴 수 있다. 따라서 \(R\)은 정확히 \(n + 1\)개의 단순 가군 동형류 \(M_0, \ldots, M_n\)을 가지며, 이들은 대각선에 놓인다. 다음 행벡터들로 이루어진 오른쪽 \(R\)-가군 \(P_i\)를 생각하자. \[P_i = \left( \begin{matrix} 0 & \ldots & 0 & S_0 & \ldots & S_{i - 1} & S_i \end{matrix} \right)\] 곱셈 \(P_i \times R \to P_i\)는 자명하게 정의한다. 오른쪽 \(R\)-가군으로 \(R \cong P_0 \oplus \ldots \oplus P_n\)이다. \(R\)은 분명히 \(D(R)\)의 콤팩트 대상이므로 각 \(P_i\)도 \(D(R)\)의 콤팩트 대상이다. (물론 각 \(P_i\)가 \(R\)-가군으로서 사영임도 알 수 있지만, 이 증명에서 보여야 하는 것은 아니다.) 분명히 \(P_0 = M_0\)은 첫 번째 단순 \(R\)-가군이다. \(P_1\)에는 짧은 완전열 \[0 \to P_0^{\oplus n + 1} \to P_1 \to M_1 \to 0\] 이 있다. 따라서 \(M_1\)은 나머지 항들이 콤팩트 대상인 구별 삼각형에 들어가며, 그러므로 \(M_1\)은 \(D(R)\)의 콤팩트 대상이다. 더 일반적으로 짧은 완전열 \[0 \to C_i \to P_i \to M_i \to 0\] 이 존재한다. 여기서 \(C_i\)는 그 단순 구성인자들이 \(j < i\)인 \(M_j\)와 동형인 유한 차원 \(R\)-가군이다. 귀납법으로 먼저 \(C_i\)가 \(D(R)\)의 콤팩트 대상을 정함을 얻고, 이어서 원하는 대로 \(M_i\)도 그러함을 얻는다.

보조정리

\(k\)를 체라 하고 \(n \geq 0\)이라 하자. \(K \in D_\QCoh(\mathcal{O}_{\mathbf{P}^n_k})\)에 관한 다음 조건들은 동치이다.

1. \(K\)는 \(D^b_{\textit{Coh}}(\mathcal{O}_{\mathbf{P}^n_k})\)에 속한다.

2. \(\sum_{i \in \mathbf{Z}} \dim_k H^i(\mathbf{P}^n_k, E \otimes^\mathbf{L} K) < \infty\) 가 \(D(\mathcal{O}_{\mathbf{P}^n_k})\)의 각 완전 대상 \(E\)에 대해 성립한다.

3. \(\sum_{i \in \mathbf{Z}} \dim_k \Ext^i_{\mathbf{P}^n_k}(E, K) < \infty\) 가 \(D(\mathcal{O}_{\mathbf{P}^n_k})\)의 각 완전 대상 \(E\)에 대해 성립한다.

4. \(\sum_{i \in \mathbf{Z}} \dim_k H^i(\mathbf{P}^n_k, K \otimes^\mathbf{L} \mathcal{O}_{\mathbf{P}^n_k}(d)) < \infty\) 가 \(d = 0, 1, \ldots, n\)에 대해 성립한다.

증명

코호몰로지의 보조정리 08DQ에 의해 (2)와 (3)은 동치이다. (1)이 성립하면 완전 대상 \(E\)에 대해 유도 텐서곱 \(E \otimes^\mathbf{L} K\)는 \(D^b_{\textit{Coh}}(\mathcal{O}_{\mathbf{P}^n_k})\)에 속하고, 스킴의 유도 범주의 보조정리 08E2에 의해 (2)가 성립한다. \(\mathcal{O}_{\mathbf{P}^n_k}(d)\)를 \(\mathbf{P}^n_k\)의 유도 범주의 완전 대상으로 볼 수 있으므로 (2)가 (4)를 함의함은 분명하다. 따라서 (4)가 (1)을 함의함을 보이면 충분하다.

(4)를 가정하자. \(R\)을 보조정리 0FYA와 같이 놓고 \(P = \bigoplus_{d = 0, \ldots, n} \mathcal{O}_{\mathbf{P}^n_k}(-d)\)로 놓는다. \(R = \text{End}_{\mathbf{P}^n_k}(P)\)이고 \(P\)의 다른 모든 자기 Ext는 영이며, 스킴의 유도 범주의 보조정리 0BQU에 의해 \(P\)가 동치 \(- \otimes^\mathbf{L} P : D(R) \to D_\QCoh(\mathcal{O}_{\mathbf{P}^n_k})\) 를 정함을 상기하자. \(K\)가 \(D(R)\)의 \(L\)에 대응한다고 하자. 그러면 \[\begin{align*} H^i(L) & = \Ext^i_{D(R)}(R, L) \\ & = \Ext^i_{\mathbf{P}^n_k}(P, K) \\ & = H^i(\mathbf{P}^n_k, K \otimes P^\vee) \\ & = \bigoplus\nolimits_{d = 0, \ldots, n} H^i(\mathbf{P}^n_k, K \otimes \mathcal{O}(d)) \end{align*}\] 이다. 이는 미분 등급 대수의 보조정리 0CS6, \(- \otimes^\mathbf{L} P\)가 동치라는 사실, 그리고 코호몰로지의 보조정리 08DQ에서 따른다. 따라서 가정 (4)에 의해 \(L\)은 보조정리 0FYA의 조건 (2)를 만족하고 \(D(R)\)의 콤팩트 대상이다. 그러므로 \(K\)는 \(D_\QCoh(\mathcal{O}_{\mathbf{P}^n_k})\)의 콤팩트 대상이다. 따라서 \(K\)는 스킴의 유도 범주의 명제 09M1에 의해 완전하다. 스킴의 유도 범주의 보조정리 0FDC에 의해 \(D_{perf}(\mathcal{O}_{\mathbf{P}^n_k}) = D^b_{\textit{Coh}}(\mathcal{O}_{\mathbf{P}^n_k})\) 이므로 (1)이 성립한다.

보조정리

\(X\)를 체 \(k\) 위의 고유 스킴이라 하자. \(K \in D^b_{\textit{Coh}}(\mathcal{O}_X)\)이고 \(D(\mathcal{O}_X)\)의 \(E\)가 완전하다고 하자. 그러면 \(\sum_{i \in \mathbf{Z}} \dim_k \Ext^i_X(E, K) < \infty\).

증명

예를 들어 스킴의 유도 범주의 보조정리 0D0D와 09M4를 결합하면 따른다. 다른 증명으로는 스킴의 유도 범주의 보조정리 0FXU와 08E2를 결합한다.

보조정리

\(X\)를 체 \(k\) 위의 고유 스킴이라 하고 \(K \in \Ob(D_\QCoh(\mathcal{O}_X))\)라 하자. 다음 조건들은 동치이다.

1. \(K \in D^b_{\textit{Coh}}(\mathcal{O}_X)\)이다.

2. \(\sum_{i \in \mathbf{Z}} \dim_k \Ext^i_X(E, K) < \infty\) 가 \(D(\mathcal{O}_X)\)의 모든 완전 대상 \(E\)에 대해 성립한다.

증명

(1) \(\Rightarrow\) (2)는 보조정리 0FYC에서 따른다. (2) \(\Rightarrow\) (1)은 사상에 대한 추가 내용의 보조정리 0GET에서 따른다. 체 위의 상대적 완전 대상의 의미는 스킴의 유도 범주의 예 0DI1를 보라. 사영적인 경우의 더 쉬운 증명은 다음 문단에 있다.

(2)를 가정하고 \(X\)가 \(k\) 위에서 사영적이라고 하자. 닫힌 몰입 \(i : X \to \mathbf{P}^n_k\)를 택하자. \(X\) 위의 준연접 가군 \(\mathcal{F}\)가 연접인 것, 각각 영인 것과 \(i_*\mathcal{F}\)가 연접인 것, 각각 영인 것은 동치이므로, \(Ri_*K\)가 \(D^b_{\textit{Coh}}(\mathbf{P}^n_k)\)의 대상임을 보이면 충분하다. \(D(\mathcal{O}_{\mathbf{P}^n_k})\)의 완전 대상 \(E\)에 대해 \(Li^*E\)는 \(D(\mathcal{O}_X)\)의 완전 대상이고 \[\Ext^q_{\mathbf{P}^n_k}(E, Ri_*K) = \Ext^q_X(Li^*E, K)\] 이다. 따라서 가정에 의해 \(\sum_{q \in \mathbf{Z}} \dim_k \Ext^q_{\mathbf{P}^n_k}(E, Ri_*K) < \infty\) 이다. 보조정리 0FYB를 적용하여 결론을 얻는다.

표현 가능성 정리

이 절의 내용은 [BvdB]에서 가져왔다.

\(\mathcal{T}\)를 \(k\)-선형 삼각 범주라 하자. 이 절에서는 \(\mathcal{T}\)에서 \(k\)-벡터공간의 범주로 가는 \(k\)-선형 코호몰로지 함자 \(H\)를 생각한다. 이는 \(H\)가 \(k\)-선형 함자 \[H : \mathcal{T}^{opp} \longrightarrow \text{Vect}_k\] 이고, \(\mathcal{T}\)의 임의의 구별 삼각형 \(X \to Y \to Z\)에 대해 \(H(Z) \to H(Y) \to H(X)\)가 \(k\)-벡터공간의 완전열이라는 뜻이다. 유도 범주의 정의 0147와 미분 등급 대수의 절 09MI을 보라.

보조정리

\(\mathcal{D}\)를 삼각 범주, \(\mathcal{D}' \subset \mathcal{D}\)를 충만한 삼각 부분범주, \(X \in \Ob(\mathcal{D})\)라 하자. \(E \in \Ob(\mathcal{D}')\)인 화살표 \(E \to X\)들의 범주는 여과 범주이다.

증명

범주의 정의 002V의 조건들을 확인한다. 이 범주는 \(0 \to X\)를 포함하므로 공집합이 아니다. \(E_i \to X\), \(i = 1, 2\)가 대상이면 \(E_1 \oplus E_2 \to X\)도 대상이고 사상 \((E_i \to X) \to (E_1 \oplus E_2 \to X)\)들이 있다. 끝으로 \(a, b : (E \to X) \to (E' \to X)\)가 사상이라고 하자. \(\mathcal{D}'\)에서 구별 삼각형 \(E \xrightarrow{a - b} E' \to E''\)을 택한다. 공리 TR3에 의해 삼각형의 사상 \[\xymatrix{ E \ar[r]_{a - b} \ar[d] & E' \ar[d] \ar[r] & E'' \ar[d] \\ 0 \ar[r] & X \ar[r] & X }\] 을 얻고, 그로부터 생기는 화살표 \((E' \to X) \to (E'' \to X)\)가 \(a\)와 \(b\)를 같게 함을 알 수 있다.

보조정리

\(k\)를 체라 하자. \(\mathcal{D}\)를 직합을 가지며 콤팩트 생성되는 \(k\)-선형 삼각 범주라 하자. 콤팩트 대상들의 충만한 부분범주를 \(\mathcal{D}_c\)로 나타내자. \(H : \mathcal{D}_c^{opp} \to \text{Vect}_k\)를 모든 \(X \in \Ob(\mathcal{D}_c)\)에 대해 \(\dim_k H(X) < \infty\)인 \(k\)-선형 코호몰로지 함자라 하자. 그러면 어떤 \(Y \in \Ob(\mathcal{D})\)에 대해 \(H\)는 함자 \(X \mapsto \Hom(X, Y)\)와 동형이다.

증명

이후 별도 언급 없이 유도 범주의 보조정리 09QH를 사용한다. \(X\)를 \(H(X)^\vee\)로 보내는 \(k\)-선형 호몰로지 함자를 \(G : \mathcal{D}_c \to \text{Vect}_k\)로 나타내자. \(\mathcal{D}\)의 임의의 대상 \(Y\)에 대해 \[G'(Y) = \colim_{X \to Y, X \in \Ob(\mathcal{D}_c)} G(X)\] 로 놓는다. 이 여극한은 보조정리 0FYF에 의해 여과되어 있다. \(G'\)는 \(k\)-선형 호몰로지 함자이고, \(\mathcal{D}_c\)에 대한 \(G'\)의 제한은 \(G\)이며, \(G'\)는 직합을 직합으로 보낸다고 주장한다.

\(Y_1 \to Y_2 \to Y_3\)이 구별 삼각형이라고 하자. \(\xi \in G'(Y_2)\)가 \(G'(Y_3)\)에서 영으로 간다고 하자. 여극한이 여과되어 있으므로 \(\xi\)는 어떤 \(X \in \Ob(\mathcal{D}_c)\)에 대한 \(X \to Y_2\)와 \(g \in G(X)\)로 표현된다. \(\xi\)가 \(G'(Y_3)\)에서 영으로 간다는 것은 합성 \(X \to Y_2 \to Y_3\)이 어떤 \(X' \in \mathcal{D}_c\)에 대해 \(X \to X' \to Y_3\)으로 분해되고, \(g\)가 \(G(X')\)에서 영으로 간다는 뜻이다. 구별 삼각형 \(X'' \to X \to X'\)을 택하면 \(X'' \in \Ob(\mathcal{D}_c)\)이다. \(G\)가 호몰로지 함자이므로 \(g\)는 어떤 \(g'' \in G'(X'')\)의 상이다. 공리 TR3에 의해 사상 \(X \to Y_2\)와 \(X' \to Y_3\)은 구별 삼각형의 사상 \((X'' \to X \to X') \to (Y_1 \to Y_2 \to Y_3)\)으로 확장된다. 따라서 실제로 \(\xi\)는 \(X'' \to Y_1\)과 \(g'' \in G(X'')\)로 표현되는 \(G'(Y_1)\)의 원소의 상이다.

\(Y \in \Ob(\mathcal{D}_c)\)이면 \(\text{id} : Y \to Y\)는 \(X \in \Ob(\mathcal{D}_c)\)인 화살표 \(X \to Y\)들의 범주의 끝 대상이다. 따라서 이 경우 \(G'(Y) = G(Y)\)이고 제한에 관한 명제가 성립한다. \(Y = \bigoplus_{i \in I} Y_i\)를 직합이라 하자. \(X \in \Ob(\mathcal{D}_c)\)인 \(a : X \to Y\)와 \(g \in G(X)\)가 \(G'(Y)\)의 원소 \(\xi\)를 표현한다고 하자. \(X\)가 \(\mathcal{D}\)의 콤팩트 대상이므로 사상 \(a : X \to Y\)는 거의 모두 영인 사상 \(a_i : X \to Y_i\)들의 합으로 유일하게 쓸 수 있다. \(I' = \{i \in I \mid a_i \not = 0\}\)로 놓으면 \(a\)는 합성 \[X \xrightarrow{(1, \ldots, 1)} \bigoplus\nolimits_{i \in I'} X \xrightarrow{\bigoplus_{i \in I'} a_i} \bigoplus\nolimits_{i \in I} Y_i = Y\] 으로 분해된다. 따라서 \(\xi = \sum_{i \in I'} \xi_i\)는 \(a_i : X \to Y_i\)와 \(g \in G(X)\)에 대응하는 원소 \(\xi_i \in G'(Y_i)\)들의 상의 합이다. 그러므로 \(\bigoplus G'(Y_i) \to G'(Y)\)는 전사이다. 단사라는 자명한 확인은 생략한다.

따라서 함자 \(Y \mapsto G'(Y)^\vee\)는 코호몰로지 함자이고 직합을 직적으로 보낸다. 그러므로 Brown 표현 가능성, 즉 유도 범주의 명제 0A8G에 의해 어떤 \(Y \in \Ob(\mathcal{D})\)가 존재하고 \(Z\)에 대해 함자적인 동형사상 \(G'(Z)^\vee = \Hom(Z, Y)\)가 있다. \(X \in \Ob(\mathcal{D}_c)\)에 대해 \(G'(X)^\vee = G(X)^\vee = (H(X)^\vee)^\vee = H(X)\) 이다. 이는 \(\dim_k H(X) < \infty\)이기 때문이며, 증명이 끝났다.

정리

\(X\)를 체 \(k\) 위의 고유 스킴이라 하자. \(F : D_{perf}(\mathcal{O}_X)^{opp} \to \text{Vect}_k\)를 모든 \(E \in D_{perf}(\mathcal{O}_X)\)에 대해 \[\sum\nolimits_{n \in \mathbf{Z}} \dim_k F(E[n]) < \infty\] 를 만족하는 \(k\)-선형 코호몰로지 함자라 하자. 그러면 어떤 \(K\)가 \(D^b_{\textit{Coh}}(\mathcal{O}_X)\)에 속하고, 이에 대해 \(F\)는 \(E \mapsto \Hom_X(E, K)\) 꼴의 함자와 동형이다.

증명

유도 범주 \(D_\QCoh(\mathcal{O}_X)\)는 직합을 가지며 콤팩트 생성되고, \(D_{perf}(\mathcal{O}_X)\)는 콤팩트 대상들의 충만한 부분범주이다. 스킴의 유도 범주의 보조정리 08DT, 정리 09IS, 명제 09M1를 보라. 보조정리 0FYG에 의해 어떤 \(K \in \Ob(D_\QCoh(\mathcal{O}_X))\)에 대해 \(F(E) = \Hom_X(E, K)\)라고 가정할 수 있다. 그러면 보조정리 0FYD에 의해 \(K \in D^b_{\textit{Coh}}(\mathcal{O}_X)\)이다.

보조정리

\(X\)를 체 \(k\) 위의 정칙 고유 스킴이라 하자. \(G : D_{perf}(\mathcal{O}_X) \to \text{Vect}_k\)를 모든 \(E \in D_{perf}(\mathcal{O}_X)\)에 대해 \[\sum\nolimits_{n \in \mathbf{Z}} \dim_k G(E[n]) < \infty\] 를 만족하는 \(k\)-선형 호몰로지 함자라 하자. 그러면 어떤 \(K \in D_{perf}(\mathcal{O}_X)\)에 대해 \(G\)는 \(E \mapsto \Hom_X(K, E)\) 꼴의 함자와 동형이다.

증명

\(D_{perf}(\mathcal{O}_X)\) 위의 반변함자 \(E \mapsto E^\vee\)를 생각하자. 코호몰로지의 보조정리 08DQ를 보라. 이 함자는 \(D_{perf}(\mathcal{O}_X)\)의 완전 반자기동치이다. 따라서 함자 \(F(E) = G(E^\vee)\)에 정리 0FYH를 적용하여 \(G(E^\vee) = \Hom_X(E, K)\)를 만족하는 \(K \in D_{perf}(\mathcal{O}_X)\)를 얻는다. 그러면 \(G(E) = \Hom_X(E^\vee, K) = \Hom_X(K^\vee, E)\)이므로 \(K^\vee\)를 택하면 된다.

수반함자의 존재

Bondal과 van den Bergh의 논문에 나오는 결과의 따름정리로 다음과 같은 수반함자의 자동적 존재성을 얻는다.

보조정리

\(k\)를 체라 하고 \(X\), \(Y\)를 \(k\) 위의 고유 스킴이라 하자. \(X\)가 정칙이면 임의의 \(k\)-선형 완전 함자 \(F : D_{perf}(\mathcal{O}_X) \to D_{perf}(\mathcal{O}_Y)\)는 완전 오른쪽 수반함자와 완전 왼쪽 수반함자를 갖는다.

증명

수반함자가 존재하면 매우 일반적인 유도 범주의 보조정리 0A8D에 의해 완전 함자이다.

오른쪽 수반함자의 존재를 증명하자. 이를 위해서는 \(M \in D_{perf}(\mathcal{O}_Y)\)에 대해 반변함자 \(K \mapsto \Hom_Y(F(K), M)\)가 표현 가능함을 보이면 충분하다. 이 함자는 반변이고 \(k\)-선형이며 코호몰로지 함자이다. 따라서 정리 0FYH에 의해 \[\sum\nolimits_{i \in \mathbf{Z}} \dim_k \Ext^i_Y(F(K), M) < \infty\] 임을 보이면 충분하며, 이는 보조정리 0FYC에서 따른다.

왼쪽 수반함자의 존재는 보조정리 0H4A를 사용하여 논증한다. 이는 정리 0FYH를 사용한 위의 논증과 같은 방식이다.

Fourier–Mukai 함자

이 함자들은 [Mukai]에서 처음 도입되었다.

정의

\(S\)를 스킴, \(X\), \(Y\)를 \(S\) 위 스킴이라 하고 \(K \in D(\mathcal{O}_{X \times_S Y})\)라 하자. 삼각 범주의 완전 함자 \[\Phi_K : D(\mathcal{O}_X) \longrightarrow D(\mathcal{O}_Y),\quad M \longmapsto R\text{pr}_{2, *}( L\text{pr}_1^*M \otimes_{\mathcal{O}_{X \times_S Y}}^\mathbf{L} K)\] 를 Fourier–Mukai 함자라 하고 \(K\)를 이 함자의 Fourier–Mukai 핵이라 한다. 또한

1. \(\Phi_K\)가 \(D_\QCoh(\mathcal{O}_X)\)를 \(D_\QCoh(\mathcal{O}_Y)\)로 보내면 그로부터 생기는 완전 함자 \(\Phi_K : D_\QCoh(\mathcal{O}_X) \to D_\QCoh(\mathcal{O}_Y)\) 를 Fourier–Mukai 함자라 한다.

2. \(\Phi_K\)가 \(D_{perf}(\mathcal{O}_X)\)를 \(D_{perf}(\mathcal{O}_Y)\)로 보내면 그로부터 생기는 완전 함자 \(\Phi_K : D_{perf}(\mathcal{O}_X) \to D_{perf}(\mathcal{O}_Y)\) 를 Fourier–Mukai 함자라 한다.

3. \(X\)와 \(Y\)가 뇌터이고 \(\Phi_K\)가 \(D^b_{\textit{Coh}}(\mathcal{O}_X)\)를 \(D^b_{\textit{Coh}}(\mathcal{O}_Y)\)로 보내면 그로부터 생기는 완전 함자 \(\Phi_K : D^b_{\textit{Coh}}(\mathcal{O}_X) \to D^b_{\textit{Coh}}(\mathcal{O}_Y)\) 를 Fourier–Mukai 함자라 한다. \(D_{\textit{Coh}}\), \(D^+_{\textit{Coh}}\), \(D^-_{\textit{Coh}}\)에 대해서도 마찬가지이다.

보조정리

\(S\)를 스킴, \(X\), \(Y\)를 \(S\) 위 스킴이라 하고 \(K \in D(\mathcal{O}_{X \times_S Y})\)라 하자. \(K\)가 \(D_\QCoh(\mathcal{O}_{X \times_S Y})\)에 속하고 \(X \to S\)가 준콤팩트이며 준분리이면, 대응하는 Fourier–Mukai 함자 \(\Phi_K\)는 \(D_\QCoh(\mathcal{O}_X)\)를 \(D_\QCoh(\mathcal{O}_Y)\)로 보낸다.

증명

다음 사실들에서 따른다. 유도 당김은 \(D_\QCoh\)를 보존한다(스킴의 유도 범주의 보조정리 08DW). 유도 텐서곱은 \(D_\QCoh\)를 보존한다(스킴의 유도 범주의 보조정리 08DX). 사영 \(\text{pr}_2 : X \times_S Y \to Y\)는 준콤팩트이고 준분리이다(스킴의 보조정리 01K5와 01KU). 준분리 준콤팩트 사상에 따른 전체 직접상은 \(D_\QCoh\)를 보존한다(스킴의 유도 범주의 보조정리 08D5).

보조정리

\(S\)를 스킴, \(X, Y, Z\)를 \(S\) 위 스킴이라 하자. \(X \to S\), \(Y \to S\), \(Z \to S\)가 준콤팩트이고 준분리라고 가정하자. \(K \in D_\QCoh(\mathcal{O}_{X \times_S Y})\)와 \(K' \in D_\QCoh(\mathcal{O}_{Y \times_S Z})\)를 잡고 Fourier–Mukai 함자 \(\Phi_K : D_\QCoh(\mathcal{O}_X) \to D_\QCoh(\mathcal{O}_Y)\) 와 \(\Phi_{K'} : D_\QCoh(\mathcal{O}_Y) \to D_\QCoh(\mathcal{O}_Z)\)를 생각하자. \(X\)와 \(Z\)가 \(S\) 위에서 Tor-독립이고 \(Y \to S\)가 평탄이면 \[\Phi_{K'} \circ \Phi_K = \Phi_{K''} : D_\QCoh(\mathcal{O}_X) \longrightarrow D_\QCoh(\mathcal{O}_Z)\] 이다. 여기서 \(D_\QCoh(\mathcal{O}_{X \times_S Z})\)에서 \[K'' = R\text{pr}_{13, *}( L\text{pr}_{12}^*K \otimes_{\mathcal{O}_{X \times_S Y \times_S Z}}^\mathbf{L} L\text{pr}_{23}^*K')\] 이다.

증명

보조정리 0FYR에 의해 명제는 의미가 있다. 이후 별도 언급 없이 스킴의 유도 범주의 보조정리 08DW, 08DX, 08D5 와 스킴의 보조정리 01K5 및 01KU 를 사용한다. 스킴의 유도 범주의 보조정리 0FXW에 의해 \(X \times_S Y\)와 \(Y \times_S Z\)는 \(Y\) 위에서 Tor-독립이다. 따라서 준연접 코호몰로지층을 갖는 복합체에 대해 다음 데카르트 도식의 기저변환이 성립한다. \[\xymatrix{ X \times_S Y \times_S Z \ar[d] \ar[r] & Y \times_S Z \ar[d]^{p^{YZ}_Y} \\ X \times_S Y \ar[r]^{p^{XY}_Y} & Y }\] 스킴의 유도 범주의 보조정리 08IB를 보라. \(p^* = Lp^*\), \(p_* = Rp_*\), \(\otimes = \otimes^\mathbf{L}\)로 줄여 쓰면 \(M \in D_\QCoh(\mathcal{O}_X)\)에 대해 다음 등식열을 얻는다. \[\begin{align*} \Phi_{K'}(\Phi_K(M)) & = p^{YZ}_{Z, *}(p^{YZ, *}_Y p^{XY}_{Y, *}(p^{XY, *}_X M \otimes K) \otimes K') \\ & = p^{YZ}_{Z, *}(\text{pr}_{23, *} \text{pr}_{12}^*(p^{XY, *}_X M \otimes K) \otimes K') \\ & = p^{YZ}_{Z, *}(\text{pr}_{23, *}(\text{pr}_1^*M \otimes \text{pr}_{12}^*K) \otimes K') \\ & = p^{YZ}_{Z, *}(\text{pr}_{23, *}(\text{pr}_1^*M \otimes \text{pr}_{12}^*K \otimes \text{pr}_{23}^*K')) \\ & = \text{pr}_{3, *}(\text{pr}_1^*M \otimes \text{pr}_{12}^*K \otimes \text{pr}_{23}^*K') \\ & = p^{XZ}_{Z, *}\text{pr}_{13, *}(\text{pr}_1^*M \otimes \text{pr}_{12}^*K \otimes \text{pr}_{23}^*K') \\ & = p^{XZ}_{Z, *} (p^{XZ, *}_X M \otimes \text{pr}_{13, *}(\text{pr}_{12}^*K \otimes \text{pr}_{23}^*K')) \end{align*}\] 이는 원하는 바이다. 여기서 두 번째 등식에는 위의 기저변환에 관한 설명을 사용했고, \(4\)번째와 마지막 등식에는 스킴의 유도 범주의 보조정리 08EU를 사용했다.

보조정리

\(S\)를 스킴, \(X\), \(Y\)를 \(S\) 위 스킴이라 하고 \(K \in D(\mathcal{O}_{X \times_S Y})\)라 하자. 다음 조건 가운데 하나 이상이 성립하면 대응하는 Fourier–Mukai 함자 \(\Phi_K\)는 \(D_{perf}(\mathcal{O}_X)\)를 \(D_{perf}(\mathcal{O}_Y)\)로 보낸다.

1. \(S\)는 뇌터이고 \(X \to S\)와 \(Y \to S\)는 유한형이며, \(K \in D^b_{\textit{Coh}}(\mathcal{O}_{X \times_S Y})\)이고, 모든 \(i\)에 대해 \(H^i(K)\)의 지지는 \(Y\) 위에서 고유이며, \(K\)는 \(D(\text{pr}_2^{-1}\mathcal{O}_Y)\)의 대상으로서 유한 Tor 차원을 갖는다.

2. \(X \to S\)는 유한 표시이고, \(K\)는 \(Y\) 위에서 평탄하며 \(Y\) 위에서 고유인 지지를 갖는 유한 표시 \(\mathcal{O}_{X \times_S Y}\)-가군들의 유계 복합체 \(\mathcal{K}^\bullet\)로 나타낼 수 있다.

3. \(X \to S\)는 유한 표시인 고유 평탄 사상이고 \(K\)는 완전하다.

4. \(S\)는 뇌터이고 \(X \to S\)는 평탄하고 고유이며 \(K\)는 완전하다.

5. \(X \to S\)는 유한 표시인 고유 평탄 사상이고 \(K\)는 \(Y\)-완전하다.

6. \(S\)는 뇌터이고 \(X \to S\)는 평탄하고 고유이며 \(K\)는 \(Y\)-완전하다.

증명

\(M\)이 \(X\) 위에서 완전하면 \(L\text{pr}_1^*M\)은 \(X \times_S Y\) 위에서 완전하다. 코호몰로지의 보조정리 09UA를 보라. 아래에서는 이를 별도 언급 없이 사용한다. 또한 \(X \to S\)가 유한형, 고유, 평탄 또는 유한 표시이면 기저변환 \(\text{pr}_2 : X \times_S Y \to Y\)도 각각 같은 성질을 가짐을 사용한다. 사상의 보조정리 01T4, 01W4, 01U9 및 01TS.

(1)은 스킴의 유도 범주의 보조정리 08EV와 0FXU를 결합하면 따른다.

(2)는 스킴의 유도 범주의 보조정리 0A1H에서 따른다.

(3)은 스킴의 유도 범주의 보조정리 0B91에서 따른다.

(4)는 (3)과, 뇌터 스킴 사이의 유한형 사상이 유한 표시라는 사상의 보조정리 01TX에서 따른다.

(5)는 스킴의 유도 범주의 보조정리 0DJT와 0DI4를 결합하면 따른다.

(6)은 (4)가 (3)에서 따르는 것과 같은 방식으로 (5)에서 따른다.

보조정리

\(S\)를 뇌터 스킴, \(X\), \(Y\)를 \(S\) 위의 유한형 스킴이라 하고 \(K \in D^b_{\textit{Coh}}(\mathcal{O}_{X \times_S Y})\)라 하자. 다음 조건 가운데 하나 이상이 성립하면 대응하는 Fourier–Mukai 함자 \(\Phi_K\)는 \(D^b_{\textit{Coh}}(\mathcal{O}_X)\)를 \(D^b_{\textit{Coh}}(\mathcal{O}_Y)\)로 보낸다.

1. 모든 \(i\)에 대해 \(H^i(K)\)의 지지는 \(Y\) 위에서 고유이고, \(K\)는 \(D(\text{pr}_1^{-1}\mathcal{O}_X)\)의 대상으로서 유한 Tor 차원을 갖는다.

2. \(K\)는 \(X\) 위에서 평탄하고 \(Y\) 위에서 고유인 지지를 갖는 연접 \(\mathcal{O}_{X \times_S Y}\)-가군들의 유계 복합체 \(\mathcal{K}^\bullet\)로 나타낼 수 있다.

3. 모든 \(i\)에 대해 \(H^i(K)\)의 지지는 \(Y\) 위에서 고유이고 \(X\)는 정칙 스킴이다.

4. \(K\)는 완전하고, 모든 \(i\)에 대해 \(H^i(K)\)의 지지는 \(Y\) 위에서 고유이며, \(Y \to S\)는 평탄하다.

더욱이 각 경우에 \(X \to S\)가 고유이면 지지 조건은 자동으로 성립한다.

증명

\(M\)을 \(D^b_{\textit{Coh}}(\mathcal{O}_X)\)의 대상이라 하자. 각 경우에 스킴의 유도 범주의 보조정리 08E2를 사용하여 \[\Phi_K(M) = R\text{pr}_{2, *}( L\text{pr}_1^*M \otimes_{\mathcal{O}_{X \times_S Y}}^\mathbf{L} K)\] 가 \(D^b_{\textit{Coh}}(\mathcal{O}_Y)\)에 속함을 보인다. 유도 텐서곱 \(L\text{pr}_1^*M \otimes_{\mathcal{O}_{X \times_S Y}}^\mathbf{L} K\) 은 \(D(\mathcal{O}_{X \times_S Y})\)의 준연접 대상이다. 이는 코호몰로지의 보조정리 09U7, 스킴의 유도 범주의 보조정리 08E8 및 코호몰로지의 보조정리 09J3에서 따른다. 따라서 다시 스킴의 유도 범주의 보조정리 08E8에 의해 연접 코호몰로지층을 갖는다. 각 경우에 코호몰로지층 \(H^i(L\text{pr}_1^*M \otimes_{\mathcal{O}_{X \times_S Y}}^\mathbf{L} K)\) 의 지지는 \(H^i(K)\)들의 지지의 합집합에 포함되므로 \(Y\) 위에서 고유이다. 따라서 각 경우에 이 텐서곱이 아래로 유계임을 증명하면 충분하다.

경우 (1). 코호몰로지의 보조정리 08DE에 의해 \[L\text{pr}_1^*M \otimes_{\mathcal{O}_{X \times_S Y}}^\mathbf{L} K \cong \text{pr}_1^{-1}M \otimes_{\text{pr}_1^{-1}\mathcal{O}_X}^\mathbf{L} K\] 이다. 표기는 자명하다. 따라서 Tor 차원에 관한 가정과 \(M\)이 유한 개의 영이 아닌 코호몰로지층만을 갖는다는 사실이 원하는 유계를 함의한다.

경우 (2)에서는 가정에 의해 \(K\)가 \(D(\text{pr}_1^{-1}\mathcal{O}_X)\)의 대상으로서 유한 Tor 차원을 가지므로 앞 문단의 논증을 적용할 수 있다.

경우 (3)에서도 \(K\)는 \(D(\text{pr}_1^{-1}\mathcal{O}_X)\)의 대상으로서 유한 Tor 차원을 갖는다. 실제로 \(X\)와 \(Y\)의 아핀 열린집합 \(U = \Spec(A)\)와 \(V = \Spec(B)\)가 \(S\)의 아핀 열린집합 \(W = \Spec(R)\)로 간다고 하자. 그러면 \(K|_{U \times V}\)는 유한 생성 \(A \otimes_R B\)-가군들의 유계 복합체 \(M^\bullet\)로 주어진다. \(A\)가 유한 차원 정칙환이므로 각 \(M^i\)는 \(A\)-가군으로서 유한 사영 차원을 갖고 (대수의 보조정리 00OE), 따라서 \(A\)-가군으로서 유한 Tor 차원을 갖는다. 그러므로 \(M^\bullet\)은 \(A\)-가군 복합체로서 유한 Tor 차원을 갖는다(대수에 대한 추가 내용의 보조정리 066H). \(X \times Y\)가 준콤팩트이므로 어떤 \([a, b]\)가 존재하여 모든 점 \(z \in X \times Y\)에서 줄기 \(K_z\)는 \(\mathcal{O}_{X, \text{pr}_1(z)}\) 위의 \([a, b]\) 안에 Tor 진폭을 갖는다. 이는 \(K\)가 \(D(\text{pr}_1^{-1}\mathcal{O}_X)\)의 대상으로서 유계 Tor 차원을 가짐을 함의한다. 코호몰로지의 보조정리 09U9를 보라. 앞의 두 문단과 같이 결론을 얻는다.

경우 (4). 위의 표기에서 환 사상 \(R \to B\)는 평탄하다. 따라서 환 사상 \(A \to A \otimes_R B\)는 평탄하다. 그러므로 임의의 사영 \(A \otimes_R B\)-가군은 \(A\)-평탄이다. 따라서 \(A \otimes_R B\)-가군의 임의의 완전 복합체는 \(A\)-가군 복합체로서 유한 Tor 차원을 가지며, 앞과 같이 결론을 얻는다.

예

\(X \to S\)를 스킴의 분리 사상이라 하자. 그러면 대각사상 \(\Delta : X \to X \times_S X\)는 닫힌 몰입이고, 따라서 \(\mathcal{O}_\Delta = \Delta_*\mathcal{O}_X = R\Delta_*\mathcal{O}_X\)는 어느 사영에 대해서도 \(X\) 위에서 평탄한 유한형 준연접 \(\mathcal{O}_{X \times_S X}\)-가군이다. 이 경우 Fourier–Mukai 함자 \(\Phi_{\mathcal{O}_\Delta}\)는 항등함자와 같다. 실제로 임의의 \(M \in D(\mathcal{O}_X)\)에 대해 \[\begin{align*} L\text{pr}_1^*M \otimes_{\mathcal{O}_{X \times_S X}}^\mathbf{L} \mathcal{O}_\Delta & = L\text{pr}_1^*M \otimes_{\mathcal{O}_{X \times_S X}}^\mathbf{L} R\Delta_*\mathcal{O}_X \\ & = R\Delta_*( L\Delta^*L\text{pr}_1^*M \otimes_{\mathcal{O}_X}^\mathbf{L} \mathcal{O}_X) \\ & = R\Delta_*(M) \end{align*}\] 이다. 첫 번째 등식은 위에서 논의했다. 두 번째 등식은 코호몰로지의 보조정리 0B55이다. 세 번째 등식은 \(\text{pr}_1 \circ \Delta = \text{id}_X\)와 코호몰로지의 보조정리 0D5S에서 따른다. 이를 \(R\text{pr}_{2, *}\)를 사용하여 \(X\)로 밀면 코호몰로지의 보조정리 0D5T와 \(\text{pr}_2 \circ \Delta = \text{id}_X\)에 의해 \(M\)을 얻는다.

보조정리

\(X \to S\)와 \(Y \to S\)를 준콤팩트 준분리 스킴 사이의 사상이라 하자. \(\Phi : D_\QCoh(\mathcal{O}_X) \to D_\QCoh(\mathcal{O}_Y)\)를 준연접 핵 \(K \in D_\QCoh(\mathcal{O}_{X \times_S Y})\)를 갖는 Fourier–Mukai 함자라 하자. \(R\text{pr}_{2, *}\)의 오른쪽 수반함자를 \(a : D_\QCoh(\mathcal{O}_Y) \to D_\QCoh(\mathcal{O}_{X \times_S Y})\)라 하자. 스킴의 쌍대성의 보조정리 0A9E를 보라. 다음과 같이 나타내자. \[K' = (Y \times_S X \to X \times_S Y)^* R\SheafHom_{\mathcal{O}_{X \times_S Y}}(K, a(\mathcal{O}_Y)) \in D_\QCoh(\mathcal{O}_{Y \times_S X})\] 대응하는 Fourier–Mukai 변환을 \(\Phi' : D_\QCoh(\mathcal{O}_Y) \to D_\QCoh(\mathcal{O}_X)\)라 하자. 표준 사상 \[\Hom_X(M, \Phi'(N)) \longrightarrow \Hom_Y(\Phi(M), N)\] 이 있으며, 이는 \(M\)이 \(D_\QCoh(\mathcal{O}_X)\)의 대상이고 \(N\)이 \(D_\QCoh(\mathcal{O}_Y)\)의 대상일 때 함자적이며 다음 경우에는 동형사상이다.

1. \(N\)이 완전하다.

2. \(K\)가 완전하고 \(X \to S\)가 유한 표시인 고유 평탄 사상이다.

증명

보조정리 0FYR에 의해 명제와 같은 함자 \(\Phi\)를 얻는다. 스킴의 쌍대성의 보조정리 0A9I에 의해 \(a(\mathcal{O}_Y)\)가 \(D^+_\QCoh(\mathcal{O}_{X \times_S Y})\)의 대상임을 관찰하자. 따라서 \(K\)가 준연접이면 스킴의 유도 범주의 보조정리 0A6H에 의해 \(K' \in D_\QCoh(\mathcal{O}_{Y \times_S X})\)이고, 표시한 \(\Phi'\)를 얻는다.

다음과 같이 줄여 쓴다. \(\otimes^\mathbf{L} = \otimes_{\mathcal{O}_{X \times_S Y}}^\mathbf{L}\) 및 \(\SheafHom = R\SheafHom_{\mathcal{O}_{X \times_S Y}}\). \(M\)이 \(D_\QCoh(\mathcal{O}_X)\)의 대상이고, \(N\)이 \(D_\QCoh(\mathcal{O}_Y)\)의 대상이라 하자. 그러면 \[\begin{align*} \Hom_Y(\Phi(M), N) & = \Hom_Y(R\text{pr}_{2, *}(L\text{pr}_1^*M \otimes^\mathbf{L} K), N) \\ & = \Hom_{X \times_S Y}(L\text{pr}_1^*M \otimes^\mathbf{L} K, a(N)) \\ & = \Hom_{X \times_S Y}(L\text{pr}_1^*M, R\SheafHom(K, a(N))) \\ & = \Hom_X(M, R\text{pr}_{1, *}R\SheafHom(K, a(N))) \end{align*}\] 이다. 여기서는 코호몰로지의 보조정리 08DJ과 079W를 사용했다. 표준 사상 \[L\text{pr}_2^*N \otimes^\mathbf{L} R\SheafHom(K, a(\mathcal{O}_Y)) \xrightarrow{\alpha} R\SheafHom(K, L\text{pr}_2^*N \otimes^\mathbf{L} a(\mathcal{O}_Y)) \xrightarrow{\beta} R\SheafHom(K, a(N))\] 이 있다. 여기서 \(\alpha\)는 코호몰로지의 보조정리 0BYS이고 \(\beta\)는 스킴의 쌍대성의 식 (0A9S)이다. 이 화살표들을 모두 결합하면 보조정리의 명제에 표시한 함자적 화살표를 얻는다.

\(K\) 또는 \(N\)이 완전이면 스킴의 유도 범주의 보조정리 0ATN에 의해 \(\alpha\)는 동형사상이다. \(N\)이 완전이면 스킴의 쌍대성의 보조정리 0A9T에 의해 \(\beta\)는 동형사상이고, 일반적으로 \(X \to S\)가 유한 표시인 평탄 고유 사상이면 스킴의 쌍대성의 보조정리 0E4K에 의해 동형사상이다.

보조정리

\(S\)를 뇌터 스킴이라 하자. \(Y \to S\)를 평탄 고유 Gorenstein 사상, \(X \to S\)를 유한형 사상이라 하자. \(S\) 위의 \(Y\)의 상대 쌍대화 복합체를 \(\omega^\bullet_{Y/S}\)로 나타내자. \(\Phi : D_\QCoh(\mathcal{O}_X) \to D_\QCoh(\mathcal{O}_Y)\)를 완전 핵 \(K \in D_\QCoh(\mathcal{O}_{X \times_S Y})\)를 갖는 Fourier–Mukai 함자라 하자. 다음과 같이 나타내자. \[K' = (Y \times_S X \to X \times_S Y)^*(K^\vee \otimes_{\mathcal{O}_{X \times_S Y}}^\mathbf{L} L\text{pr}_2^*\omega^\bullet_{Y/S}) \in D_\QCoh(\mathcal{O}_{Y \times_S X})\] 대응하는 Fourier–Mukai 변환을 \(\Phi' : D_\QCoh(\mathcal{O}_Y) \to D_\QCoh(\mathcal{O}_X)\)라 하자. 표준 동형사상 \[\Hom_Y(N, \Phi(M)) \longrightarrow \Hom_X(\Phi'(N), M)\] 이 있으며, 이는 \(D_\QCoh(\mathcal{O}_X)\)의 \(M\)과 \(D_\QCoh(\mathcal{O}_Y)\)의 \(N\)에 대해 함자적이다.

증명

보조정리 0FYR에 의해 명제와 같은 함자 \(\Phi\)를 얻는다.

우리 상황에서는 상대 쌍대화 복합체의 형성이 기저변환과 가환한다. 스킴의 쌍대성의 주석 0B6S를 보라. 따라서 \(L\text{pr}_2^*\omega^\bullet_{Y/S} = \omega^\bullet_{X \times_S Y/X}\)이다. 또한 \(\omega^\bullet_{Y/S}\)는 유도 범주의 가역 대상이고, 특히 완전하다. 스킴의 쌍대성의 보조정리 0C08를 보라.

보조정리를 실제로 증명할 때는 한 가지 편법을 쓰겠다. 즉 \(X\)와 \(Y\)의 역할 및 \(K\)와 \(K'\)의 역할을 서로 바꾸면 보조정리 0FYW의 상황이 되어 결과를 얻는다는 것을 보인다. \(K'\)는 완전 대상들의 텐서곱이므로 완전하며, 따라서 보조정리 0FYW의 논의를 적용할 수 있다. \(Y \times_S X\) 위의 \(K'\)에 보조정리 0FYW의 절차를 적용하여 \(K\)와 동형인 복합체가 나옴을 보이려면 다음 등식을 보이면 충분하다(세부사항은 생략한다). \[R\SheafHom(R\SheafHom(K, \omega^\bullet_{X \times_S Y/X}), \omega^\bullet_{X \times_S Y/X}) = K\] \(K\)가 완전하고 \(\omega^\bullet_{X \times_S Y/X}\)가 가역이므로 이는 분명하다. 세부사항은 생략한다. 따라서 보조정리 0FYW는 사상 \[\Hom_Y(N, \Phi(M)) \longrightarrow \Hom_X(\Phi'(N), M)\] 을 주며, 이는 \(D_\QCoh(\mathcal{O}_X)\)의 \(M\)과 \(D_\QCoh(\mathcal{O}_Y)\)의 \(N\)에 대해 함자적이고 \(K'\)가 완전하므로 동형사상이다. 증명이 끝났다.

보조정리

\(S\)를 뇌터 스킴이라 하자.

1. \(X\), \(Y\)가 \(S\) 위에서 고유하고 평탄하며 \(K\)가 \(D_{perf}(\mathcal{O}_{X \times_S Y})\)에 속하면 Fourier–Mukai 함자 \(\Phi_K : D_{perf}(\mathcal{O}_X) \to D_{perf}(\mathcal{O}_Y)\)를 얻는다.

2. \(X\), \(Y\), \(Z\)가 \(S\) 위에서 고유하고 평탄하며 \(K \in D_{perf}(\mathcal{O}_{X \times_S Y})\), \(K' \in D_{perf}(\mathcal{O}_{Y \times_S Z})\)이면 합성 \(\Phi_{K'} \circ \Phi_K : D_{perf}(\mathcal{O}_X) \to D_{perf}(\mathcal{O}_Z)\) 은 보조정리 0FYS와 같이 계산한 \(K'' \in D_{perf}(\mathcal{O}_{X \times_S Z})\)에 대한 \(\Phi_{K''}\)와 같다.

3. (1)과 같은 \(X\), \(Y\), \(K\), \(\Phi_K\)에 대해 \(X \to S\)가 Gorenstein이면 \(\Phi_{K'} : D_{perf}(\mathcal{O}_Y) \to D_{perf}(\mathcal{O}_X)\)는 \(\Phi_K\)의 오른쪽 수반함자이다. 여기서 \(K' \in D_{perf}(\mathcal{O}_{Y \times_S X})\)는 \(L\text{pr}_1^*\omega_{X/S}^\bullet \otimes_{\mathcal{O}_{X \times_S Y}}^\mathbf{L} K^\vee\)를 \(Y \times_S X \to X \times_S Y\)로 당긴 것이다.

4. (1)과 같은 \(X\), \(Y\), \(K\), \(\Phi_K\)에 대해 \(Y \to S\)가 Gorenstein이면 \(\Phi_{K''} : D_{perf}(\mathcal{O}_Y) \to D_{perf}(\mathcal{O}_X)\)는 \(\Phi_K\)의 왼쪽 수반함자이다. 여기서 \(K'' \in D_{perf}(\mathcal{O}_{Y \times_S X})\)는 \(L\text{pr}_2^*\omega_{Y/S}^\bullet \otimes_{\mathcal{O}_{X \times_S Y}}^\mathbf{L} K^\vee\)를 \(Y \times_S X \to X \times_S Y\)로 당긴 것이다.

증명

(1)은 보조정리 0FYT의 (4)에서 즉시 따른다.

(2)는 보조정리 0FYS와 \(K'' = R\text{pr}_{13, *}( L\text{pr}_{12}^*K \otimes_{\mathcal{O}_{X \times_S Y \times_S Z}}^\mathbf{L} L\text{pr}_{23}^*K')\)가 완전하다는 사실에서 따른다. 예를 들어 후자는 스킴의 유도 범주의 보조정리 0B6F에 의해 성립한다.

(3)에서 준연접 코호몰로지층을 갖는 모든 복합체에 대한 수반성은 보조정리 0FYW에서 따른다. 여기서 \(K'\)는 \(R\SheafHom_{\mathcal{O}_{X \times_S Y}}(K, a(\mathcal{O}_Y))\) 을 \(Y \times_S X \to X \times_S Y\)로 당긴 것이고, \(a\)는 \(R\text{pr}_{2, *} : D_\QCoh(\mathcal{O}_{X \times_S Y}) \to D_\QCoh(\mathcal{O}_Y)\)의 오른쪽 수반함자이다. \(X\)의 구조사상을 \(f : X \to S\)라 하자. \(f\)가 고유이므로 함자 \(f^! : D_\QCoh^+(\mathcal{O}_S) \to D_\QCoh^+(\mathcal{O}_X)\) 는 \(Rf_* : D_\QCoh(\mathcal{O}_X) \to D_\QCoh(\mathcal{O}_S)\)의 오른쪽 수반함자를 \(D_\QCoh^+(\mathcal{O}_S)\)에 제한한 것이다. 스킴의 쌍대성의 절 0A9Y을 보라. 따라서 스킴의 쌍대성의 주석 0B6S에서 정의한 상대 쌍대화 복합체 \(\omega_{X/S}^\bullet\)는 \(\omega_{X/S}^\bullet = f^!\mathcal{O}_S\)이다. 상대 쌍대화 복합체의 형성이 기저변환과 가환하므로(스킴의 쌍대성의 주석 0B6S을 보라) \(a(\mathcal{O}_Y) = L\text{pr}_1^*\omega_{X/S}^\bullet\)이다. 따라서 \[R\SheafHom_{\mathcal{O}_{X \times_S Y}}(K, a(\mathcal{O}_Y)) \cong L\text{pr}_1^*\omega_{X/S}^\bullet \otimes_{\mathcal{O}_{X \times_S Y}}^\mathbf{L} K^\vee\] 이다. 이는 코호몰로지의 보조정리 08DQ에서 따른다. 끝으로 \(X \to S\)가 Gorenstein이라고 가정했으므로 상대 쌍대화 복합체는 가역이다. 이는 스킴의 쌍대성의 보조정리 0C08에서 따른다. 따라서 \(\omega_{X/S}^\bullet\)는 완전하고(코호몰로지의 보조정리 0FPG), 그러므로 \(K'\)도 완전하다. 따라서 \(\Phi_{K'}\)는 실제로 \(D_{perf}(\mathcal{O}_Y)\)를 \(D_{perf}(\mathcal{O}_X)\)로 보내며, (3)의 증명이 끝났다.

(4)의 증명은 보조정리 0FYX를 사용하는 것을 제외하면, 보조정리 0FYW를 사용한 (3)의 증명과 같다.

분해와 유계

매끄러운 고유 스킴의 대각선에는 좋은 분해가 있다.

보조정리

\(R\)을 뇌터 환이라 하자. \(X\), \(Y\)를 분해 성질을 갖는 \(R\) 위의 유한형 스킴이라 하자. 임의의 연접 \(\mathcal{O}_{X \times_R Y}\)-가군 \(\mathcal{F}\)에 대해 전사 \(\mathcal{E} \boxtimes \mathcal{G} \to \mathcal{F}\)가 존재한다. 여기서 \(\mathcal{E}\)는 유한 국소 자유 \(\mathcal{O}_X\)-가군이고 \(\mathcal{G}\)는 유한 국소 자유 \(\mathcal{O}_Y\)-가군이다.

증명

\(U \subset X\)와 \(V \subset Y\)를 아핀 열린 부분스킴이라 하자. \(\mathcal{I} \subset \mathcal{O}_X\)를 \(X \setminus U\) 위에 유도된 축약 닫힌 부분스킴 구조의 아이디얼층이라 하자. 마찬가지로 \(\mathcal{I}' \subset \mathcal{O}_Y\)를 \(Y \setminus V\) 위에 유도된 축약 닫힌 부분스킴 구조의 아이디얼층이라 하자. 그러면 아이디얼층 \[\mathcal{J} = \Im(\text{pr}_1^*\mathcal{I} \otimes_{\mathcal{O}_{X \times_R Y}} \text{pr}_2^*\mathcal{I}' \to \mathcal{O}_{X \times_R Y})\] 는 \(V(\mathcal{J}) = X \times_R Y \setminus U \times_R V\)를 만족한다. 임의의 절 \(s \in \mathcal{F}(U \times_R V)\)에 대해 정수 \(n > 0\)과, \(U \times_R V\)에 제한하면 \(s\)를 주는 사상 \(\mathcal{J}^n \to \mathcal{F}\)를 찾을 수 있다. 스킴의 코호몰로지의 보조정리 01YB을 보라. 가정에 의해 전사 \(\mathcal{E} \to \mathcal{I}\)와 \(\mathcal{G} \to \mathcal{I}'\)을 택할 수 있으며, 이들은 대응하는 전사 \[\mathcal{E} \boxtimes \mathcal{G} \to \mathcal{J} \quad\text{및}\quad \mathcal{E}^{\otimes n} \boxtimes \mathcal{G}^{\otimes n} \to \mathcal{J}^n\] 를 낳는다. 따라서 상이 \(U \times_R V\) 위의 절 \(s\)를 포함하는 사상 \(\mathcal{E}^{\otimes n} \boxtimes \mathcal{G}^{\otimes n} \to \mathcal{F}\)를 얻는다. \(X \times_R Y\)를 \(U \times_R V\) 꼴의 유한 개 아핀 열린집합으로 덮을 수 있고 \(\mathcal{F}|_{U \times_R V}\)가 유한 개 절로 생성되므로 (성질의 보조정리 01PB), 전사 \[\bigoplus\nolimits_{j = 1, \ldots, N} \mathcal{E}_j^{\otimes n_j} \boxtimes \mathcal{G}_j^{\otimes n_j} \to \mathcal{F}\] 가 존재한다. 여기서 \(\mathcal{E}_j\)는 \(X\) 위에서 유한 국소 자유이고 \(\mathcal{G}_j\)는 \(Y\) 위에서 유한 국소 자유이다. \(\mathcal{E} = \bigoplus \mathcal{E}_j^{\otimes n_j}\)와 \(\mathcal{G} = \bigoplus \mathcal{G}_j^{\otimes n_j}\)로 놓으면 보조정리가 따른다.

보조정리

\(R\)을 환이라 하자. \(X\), \(Y\)를 분해 성질을 갖는 준콤팩트 준분리 \(R\)-스킴이라 하자. 임의의 유한형 준연접 \(\mathcal{O}_{X \times_R Y}\)-가군 \(\mathcal{F}\)에 대해 전사 \(\mathcal{E} \boxtimes \mathcal{G} \to \mathcal{F}\)가 존재한다. 여기서 \(\mathcal{E}\)는 유한 국소 자유 \(\mathcal{O}_X\)-가군이고 \(\mathcal{G}\)는 유한 국소 자유 \(\mathcal{O}_Y\)-가군이다.

증명

극한 논증으로 보조정리 0FZ0에서 따른다. 독자에게 이 증명을 건너뛰기를 권한다. \(X \times_R Y\)는 \(X \times_\mathbf{Z} Y\)의 닫힌 부분스킴이므로 \(R\)을 \(\mathbf{Z}\)로 바꾸어도 무방하다. 성질의 보조정리 086M에 의해 \(\mathcal{F}\)를 유한 표시 \(\mathcal{O}_{X \times_R Y}\)-가군의 몫으로 쓸 수 있다. 따라서 \(\mathcal{F}\)가 유한 표시라고 가정해도 된다. 다음으로 \(X_i\)들이 \(\mathbf{Z}\) 위에서 유한 표시가 되도록 \(X = \lim X_i\)로 쓸 수 있고, \(Y = \lim Y_j\)도 마찬가지이다. 극한의 명제 01ZA를 보라. 그러면 \(\mathcal{F}\)는 어떤 \(X_i \times_R Y_j\) 위의 \(\mathcal{F}_{ij}\)로 내려가고(극한의 보조정리 01ZR), 분해 성질도 내려간다(스킴의 유도 범주의 보조정리 0F8B). 이제 \(\mathcal{F}_{ij}\)에 보조정리 0FZ0를 적용하고 당긴다.

보조정리

\(R\)을 뇌터 환이라 하자. \(X\)를 분해 성질을 갖는 분리 유한형 \(R\)-스킴이라 하자. \(\Delta : X \to X \times_R X\)를 \(X/k\)의 대각사상이라 하고 \(\mathcal{O}_\Delta = \Delta_*(\mathcal{O}_X)\)로 놓자. 분해 \[\ldots \to \mathcal{E}_2 \boxtimes \mathcal{G}_2 \to \mathcal{E}_1 \boxtimes \mathcal{G}_1 \to \mathcal{E}_0 \boxtimes \mathcal{G}_0 \to \mathcal{O}_\Delta \to 0\] 가 존재하며 각 \(\mathcal{E}_i\)와 \(\mathcal{G}_i\)는 유한 국소 자유 \(\mathcal{O}_X\)-가군이다.

증명

\(X\)가 분리이므로 대각사상 \(\Delta\)는 닫힌 몰입이고, 따라서 \(\mathcal{O}_\Delta\)는 연접 \(\mathcal{O}_{X \times_R X}\)-가군이다(스킴의 코호몰로지의 보조정리 087T). 그러므로 보조정리 0FZ0에서 즉시 따른다.

보조정리

\(X\)를 차원 \(d < \infty\)인 정칙 뇌터 스킴이라 하자. 그러면

1. 연접 \(\mathcal{O}_X\)-가군 \(\mathcal{F}\), \(\mathcal{G}\)와 \(n > d\)에 대해 \(\Ext^n_X(\mathcal{F}, \mathcal{G}) = 0\)이다.

2. \(K, L \in D^b_{\textit{Coh}}(\mathcal{O}_X)\)와 \(a \in \mathbf{Z}\)에 대해, \(i < a + d\)이면 \(H^i(K) = 0\)이고 \(i \geq a\)이면 \(H^i(L) = 0\)일 때 \(\Hom_X(K, L) = 0\)이다.

증명

(1)을 증명하기 위해 코호몰로지의 절 0BQP의 스펙트럼 열 \[H^p(X, \SheafExt^q(\mathcal{F}, \mathcal{G})) \Rightarrow \Ext^{p + q}_X(\mathcal{F}, \mathcal{G})\] 을 사용한다. \(x \in X\)라 하자. 그러면 \[\SheafExt^q(\mathcal{F}, \mathcal{G})_x = \SheafExt^q_{\mathcal{O}_{X, x}}(\mathcal{F}_x, \mathcal{G}_x)\] 이다. 코호몰로지의 보조정리 0GM8을 보라. 여기서는 스킴의 유도 범주의 보조정리 08E8에 의해 \(\mathcal{F}\)가 준연접이라는 사실도 사용한다. \(d_x = \dim(\mathcal{O}_{X, x})\)로 놓자. \(\mathcal{O}_{X, x}\)가 정칙이므로 환 \(\mathcal{O}_{X, x}\)는 대역 차원 \(d_x\)를 갖는다. 대수의 명제 00O7을 보라. 따라서 \(q > d_x\)이면 \(\SheafExt^q_{\mathcal{O}_{X, x}}(\mathcal{F}_x, \mathcal{G}_x)\)는 영이다. 그러므로 가군 \(\SheafExt^q(\mathcal{F}, \mathcal{G})\)의 지지는 차원 \(d - q\) 이하이다. 따라서 코호몰로지의 명제 02UZ에 의해 \(p > d - q\)이면 \(H^p(X, \SheafExt^q(\mathcal{F}, \mathcal{G})) = 0\)이다. 이로써 (1)을 증명했다.

(2)를 증명하자. \(K\)와 \(L\)의 영이 아닌 코호몰로지층의 개수에 대해 귀납법을 쓸 수 있다. 이 개수가 \(0, 1\)인 경우는 (1)에서 따른다. \(K\)의 영이 아닌 코호몰로지층의 개수가 \(> 1\)이면 \(H^i(K)\)가 영이 아닌 최소의 \(i \in \mathbf{Z}\)를 택한다. 구별 삼각형 \[H^i(K)[-i] \to K \to \tau_{\geq i + 1}K\] 을 얻는다(유도 범주의 주석 08J5). 유도 범주의 보조정리 0149에 의해 \(\Hom(H^i(K)[-i], L)\)와 \(\Hom(\tau_{\geq i + 1}K, L)\)의 소멸에서 \(\Hom(K, L)\)의 소멸이 따른다. \(L\)이 둘 이상의 영이 아닌 코호몰로지층을 갖는 경우도 마찬가지이다.

보조정리

\(X\)를 차원 \(d < \infty\)인 정칙 뇌터 스킴이라 하자. \(K \in D^b_{\textit{Coh}}(\mathcal{O}_X)\), \(a \in \mathbf{Z}\)라 하자. \(a < i < a + d\)이면 \(H^i(K) = 0\)일 때 \(K = \tau_{\leq a}K \oplus \tau_{\geq a + d}K\).

증명

가정한 코호몰로지층의 소멸에 의해 \(\tau_{\leq a}K = \tau_{\leq a + d - 1}K\)이다. 유도 범주의 주석 08J5에 의해 구별 삼각형 \[\tau_{\leq a}K \to K \to \tau_{\geq a + d}K \xrightarrow{\delta} (\tau_{\leq a}K)[1]\] 이 있다. 유도 범주의 보조정리 05QT에 의해 사상 \(\delta\)가 영임을 보이면 충분하다. 이는 보조정리 0FZ3에서 따른다.

보조정리

\(k\)를 체라 하고 \(X\)를 \(k\) 위의 준콤팩트 분리 매끄러운 스킴이라 하자. 유한 국소 자유 \(\mathcal{O}_X\)-가군 \(\mathcal{E}\)와 \(\mathcal{G}\)가 존재하여 \[\mathcal{O}_\Delta \in \langle \mathcal{E} \boxtimes \mathcal{G} \rangle\] 가 \(D(\mathcal{O}_{X \times X})\)에서 성립한다. 표기는 유도 범주의 절 09SI와 같다.

증명

다양체의 보조정리 056S에 의해 \(X\)는 정칙임을 상기하자. 따라서 스킴의 유도 범주의 보조정리 0F8A에 의해 \(X\)는 분해 성질을 갖는다. 그러므로 보조정리 0FZ2과 같은 분해를 택할 수 있다. \(\dim(X) = d\)라 하자. \(X \times X\)는 \(k\) 위에서 매끄러우므로 정칙이다. 따라서 \(X \times X\)는 \(\dim(X \times X) = 2d\)인 정칙 뇌터 스킴이다. 대상 \[K = (\mathcal{E}_{2d} \boxtimes \mathcal{G}_{2d} \to \ldots \to \mathcal{E}_0 \boxtimes \mathcal{G}_0)\] 은 \(D_{perf}(\mathcal{O}_{X \times X})\)에서 차수 \(0\)에 코호몰로지층 \(\mathcal{O}_\Delta\), 차수 \(-2d\)에 \(\Ker(\mathcal{E}_{2d} \boxtimes \mathcal{G}_{2d} \to \mathcal{E}_{2d-1} \boxtimes \mathcal{G}_{2d-1})\)를 가지며 다른 모든 차수에서는 영이다. 따라서 보조정리 0FZ4에 의해 \(\mathcal{O}_\Delta\)는 \(D_{perf}(\mathcal{O}_{X \times X})\)에서 \(K\)의 직합인자이다. 분명히 \(K\)는 \[\left\langle \bigoplus\nolimits_{i = 0, \ldots, 2d} \mathcal{E}_i \boxtimes \mathcal{G}_i \right\rangle \subset \left\langle \left(\bigoplus\nolimits_{i = 0, \ldots, 2d} \mathcal{E}_i\right) \boxtimes \left(\bigoplus\nolimits_{i = 0, \ldots, 2d} \mathcal{G}_i\right) \right\rangle\] 에 속하며, 이로써 증명이 끝난다. (우리 대상이 이 범주에 속함을 확인하려면 유도 범주의 보조정리 0FX9과 0FX7을 참고할 수 있다.)

보조정리

\(k\)를 체라 하고 \(X\)를 \(k\) 위에서 고유하고 매끄러운 스킴이라 하자. 그러면 \(D_{perf}(\mathcal{O}_X)\)는 강생성자를 갖는다.

증명

보조정리 0FZ5을 사용하여 \(D(\mathcal{O}_{X \times X})\)에서 \(\mathcal{O}_\Delta \in \langle \mathcal{E} \boxtimes \mathcal{G} \rangle\)인 유한 국소 자유 \(\mathcal{O}_X\)-가군 \(\mathcal{E}\)와 \(\mathcal{G}\)를 택한다. \(\mathcal{G}\)가 \(D_{perf}(\mathcal{O}_X)\)의 강생성자라고 주장한다. 유도 범주의 절 0FX0과 같은 표기로 다음을 만족하는 \(m, n \geq 1\)을 택하자. \[\mathcal{O}_\Delta \in smd(add(\mathcal{E} \boxtimes \mathcal{G}[-m, m])^{\star n})\] 이는 유도 범주의 보조정리 0ATG에 의해 가능하다. \(K\)를 \(D_{perf}(\mathcal{O}_X)\)의 대상이라 하자. 함자 \(L\text{pr}_1^*K \otimes_{\mathcal{O}_{X \times X}}^\mathbf{L} -\)가 완전하고 \[L\text{pr}_1^*K \otimes_{\mathcal{O}_{X \times X}}^\mathbf{L} (\mathcal{E} \boxtimes \mathcal{G}) = (K \otimes_{\mathcal{O}_X}^\mathbf{L} \mathcal{E}) \boxtimes \mathcal{G}\] 이므로 유도 범주의 주석 0FX5에서 \[L\text{pr}_1^*K \otimes_{\mathcal{O}_{X \times X}}^\mathbf{L} \mathcal{O}_\Delta \in smd(add( (K \otimes_{\mathcal{O}_X}^\mathbf{L} \mathcal{E}) \boxtimes \mathcal{G}[-m, m])^{\star n})\] 를 얻는다. 완전 함자 \(R\text{pr}_{2, *}\)를 적용하고 스킴의 유도 범주의 보조정리 08EU에 의해 \[R\text{pr}_{2, *} \left((K \otimes_{\mathcal{O}_X}^\mathbf{L} \mathcal{E}) \boxtimes \mathcal{G}\right) = R\Gamma(X, K \otimes_{\mathcal{O}_X}^\mathbf{L} \mathcal{E}) \otimes_k \mathcal{G}\] 임을 관찰하면 \[K = R\text{pr}_{2, *}(L\text{pr}_1^*K \otimes_{\mathcal{O}_{X \times X}}^\mathbf{L} \mathcal{O}_\Delta) \in smd(add(R\Gamma(X, K \otimes_{\mathcal{O}_X}^\mathbf{L} \mathcal{E}) \otimes_k \mathcal{G}[-m, m])^{\star n})\] 를 얻는다. 등식은 예 0FYV의 논의에서 따른다. \(K\)가 완전이므로 \(H^i(X, K)\)가 \(i \in [a, b]\)에 대해서만 영이 아닌 어떤 \(a \leq b\)가 존재한다. \(X\)가 고유이므로 각 \(H^i(X, K)\)는 유한 차원이다. 따라서 오른쪽은 \(smd(add(\mathcal{G}[-m + a, m + b])^{\star n})\)에 포함되고, 이는 위의 참조 가운데 하나에 의해 \(\langle \mathcal{G} \rangle_n\)에 포함된다. 증명이 끝났다.

보조정리

\(k\)를 체라 하고 \(X\)를 \(k\) 위의 고유 매끄러운 스킴이라 하자. 정수 \(m, n \geq 1\)과 유한 국소 자유 \(\mathcal{O}_X\)-가군 \(\mathcal{G}\)가 존재하여 모든 연접 \(\mathcal{O}_X\)-가군이 \(smd(add(\mathcal{G}[-m, m])^{\star n})\)에 포함된다. 표기는 유도 범주의 절 0FX0과 같다.

증명

보조정리 0FZ6의 증명에서 어떤 \(m', n \geq 1\)이 존재하여 임의의 연접 \(\mathcal{O}_X\)-가군 \(\mathcal{F}\)에 대해 \[\mathcal{F} \in smd(add(\mathcal{G}[-m' + a, m' + b])^{\star n})\] 임을 보였다. 여기서 \(a \leq b\)는 \(H^i(X, \mathcal{F})\)가 \(i \in [a, b]\)에 대해서만 영이 아니게 하는 임의의 정수이다. 따라서 \(a = 0\), \(b = \dim(X)\)로 택할 수 있다. \(m = \max(m', m' + b)\)로 놓으면 증명이 끝난다.

다음 보조정리는 이 절의 제목에서 언급한 유계성 결과이다.

보조정리

\(k\)를 체라 하고 \(X\)를 \(k\) 위의 매끄러운 고유 스킴이라 하자. \(\mathcal{A}\)를 아벨 범주라 하자. \(H : D_{perf}(\mathcal{O}_X) \to \mathcal{A}\)를 호몰로지 함자(유도 범주의 정의 0147)라 하고, 모든 \(K\)가 \(D_{perf}(\mathcal{O}_X)\)의 대상일 때 \(H^i(K)\)가 유한 개의 \(i \in \mathbf{Z}\)에 대해서만 영이 아니라고 하자. 그러면 정수 \(m \geq 1\)이 존재하여 임의의 연접 \(\mathcal{O}_X\)-가군 \(\mathcal{F}\)와 \(i \not \in [-m, m]\)에 대해 \(H^i(\mathcal{F}) = 0\)이다. 코호몰로지 함자에 대해서도 마찬가지이다.

증명

보조정리 0FZ7과 유도 범주의 보조정리 0FX8을 결합한다.

보조정리

\(k\)를 체라 하고 \(X\), \(Y\)를 \(k\) 위의 유한형 스킴이라 하자. \(K_0 \to K_1 \to K_2 \to \ldots\)를 \(D_{perf}(\mathcal{O}_{X \times Y})\)의 대상들로 이루어진 계라 하고, \(m \geq 0\)을 다음 조건을 만족하는 정수라 하자.

1. \(H^q(K_i)\)는 \(q \leq m\)에 대해서만 영이 아니다.

2. \(\dim(\text{Supp}(\mathcal{F})) = 0\)인 모든 연접 \(\mathcal{O}_X\)-가군 \(\mathcal{F}\)에 대해 대상 \[R\text{pr}_{2, *}( \text{pr}_1^*\mathcal{F} \otimes_{\mathcal{O}_{X \times Y}}^\mathbf{L} K_n)\] 은 \([-m, m] \cup [-m - n, m - n]\) 밖의 차수에서 코호몰로지층이 소멸하고, \(n > 2m\)이면 전이사상은 \([-m, m]\) 안의 차수에서 코호몰로지층의 동형사상을 유도한다.

그러면 \(K_n\)은 \([-m, m] \cup [-m - n, m - n]\) 밖의 차수에서 코호몰로지층이 소멸하고, \(n > 2m\)이면 전이사상은 \([-m, m]\) 안의 차수에서 코호몰로지층의 동형사상을 유도한다. 더욱이 \(X\)와 \(Y\)가 \(k\) 위에서 매끄러우면 충분히 큰 \(n\)에 대해 \(D_{perf}(\mathcal{O}_{X \times Y})\)에서 \(K_n = K \oplus C_n\)이다. 여기서 \(K\)는 \([-m, m]\) 안의 차수에서만 코호몰로지를 갖고 \(C_n\)은 \([-m - n, m - n]\) 안의 차수에서만 코호몰로지를 가지며, 전이사상들은 \(K\)의 여러 복사본 사이의 동형사상을 정의한다.

증명

\(Z\)를 (2)와 같은 \(\mathcal{F}\)의 스킴론적 지지라 하자. 그러면 \(Z \to \Spec(k)\)는 유한이고, 따라서 \(Z \times Y \to Y\)는 유한이다. 그러므로 코호몰로지층이 \(Z \times Y\) 위에 지지되는 \(D_\QCoh(\mathcal{O}_{X \times Y})\)의 대상 \(M\)에 대해 \(H^i(R\text{pr}_{2, *}(M)) = \text{pr}_{2, *}H^i(M)\)이고, 함자 \(\text{pr}_{2, *}\)는 \(Z \times Y\) 위에 지지되는 준연접 가군들에 대해 충실하다. 세부사항은 생략한다. 따라서 \[\text{pr}_1^*\mathcal{F} \otimes_{\mathcal{O}_{X \times Y}}^\mathbf{L} K_n\] 가 \(D_{perf}(\mathcal{O}_{X \times Y})\)에서 \([-m, m] \cup [-m - n, m - n]\) 밖의 차수에 코호몰로지층을 갖지 않고, \(n > 2m\)이면 전이사상들이 \([-m, m]\) 안의 차수에서 코호몰로지층의 동형사상을 유도함을 안다. \(z \in X \times Y\)를 닫힌점 \(x \in X\)로 가는 닫힌점이라 하자. 그러면 \[K_{n, z} \otimes_{\mathcal{O}_{X \times Y, z}}^\mathbf{L} \mathcal{O}_{X \times Y, z}/\mathfrak m_x^t\mathcal{O}_{X \times Y, z}\] 은 \([-m, m] \cup [-m - n, m - n]\) 안의 차수에서만 영이 아닌 코호몰로지를 갖는다. 대수에 대한 추가 내용의 보조정리 0EGV에 의해 \(K_{n, z}\)도 \([-m, m] \cup [-m - n, m - n]\) 안의 차수에서만 영이 아닌 코호몰로지를 갖는다. 이것이 \(X \times Y\)의 모든 닫힌점에서 성립하므로 \(K_n\)은 \([-m, m] \cup [-m - n, m - n]\) 안의 차수에서만 영이 아닌 코호몰로지층을 갖는다. 정확히 같은 방식으로 \(n > 2m\)이면 사상 \(K_n \to K_{n + 1}\)이 \([-m, m]\) 안의 차수에서 코호몰로지층의 동형사상임을 알 수 있다.

\(X\)와 \(Y\)가 \(k\) 위에서 매끄러우면 \(X \times Y\)도 \(k\) 위에서 매끄럽고, 따라서 다양체의 보조정리 056S에 의해 정칙이다. 그러므로 \(n > 2m + \dim(X \times Y)\)이면 보조정리 0FZ4에 의해 \(K_n\)의 직합분해를 얻는다. 마지막 명제는 이로부터 분명하다.

형제 함자

이 절에서는 다음 개념에 관한 몇 가지 범주론적 결과를 증명한다.

정의

\(\mathcal{A}\)를 아벨 범주, \(\mathcal{D}\)를 삼각 범주라 하자. 삼각 범주의 두 완전 함자 \[F, F' : D^b(\mathcal{A}) \longrightarrow \mathcal{D}\] 가 다음 두 조건을 만족하면 이들을 형제라 하거나 \(F'\)를 \(F\)의 형제라 한다.

1. 포함함자 \(i : \mathcal{A} \to D^b(\mathcal{A})\)에 대해 함자 \(F \circ i\)와 \(F' \circ i\)가 동형이다.

2. \(D^b(\mathcal{A})\)의 임의의 \(K\)에 대해 \(F(K) \cong F'(K)\)이다.

때로는 두 번째 조건이 첫 번째 조건에서 따른다.

보조정리

\(\mathcal{A}\)를 아벨 범주, \(\mathcal{D}\)를 삼각 범주라 하고 \(F, F' : D^b(\mathcal{A}) \longrightarrow \mathcal{D}\) 를 삼각 범주의 완전 함자라 하자. 다음을 가정하자.

1. 포함함자 \(i : \mathcal{A} \to D^b(\mathcal{A})\)에 대해 함자 \(F \circ i\)와 \(F' \circ i\)가 동형이다.

2. 모든 \(X, Y \in \Ob(\mathcal{A})\)와 \(q < 0\)에 대해 \(\Ext^q_\mathcal{D}(F(X), F(Y)) = 0\)이다. 예를 들어 \(F\)가 완전충실이면 이 조건이 성립한다.

그러면 \(F\)와 \(F'\)는 형제이다.

증명

\(K \in D^b(\mathcal{A})\)라 하자. \(F(K)\)가 \(F'(K)\)와 동형임을 보이겠다. \(K\)를 \(\mathcal{A}\)의 대상들로 이루어진 유계 복합체 \(A^\bullet\)로 나타낼 수 있다. \(K\)를 평행이동으로 바꾸어 \(i > 0\)이면 \(A^i = 0\)이라고 가정할 수 있다. \(i > n\)이면 \(A^{-i} = 0\)인 \(n \geq 0\)을 택하자. 대상 \[M_i = (A^{-i} \to \ldots \to A^0)[-i],\quad i = 0, \ldots, n\] 들은 \(D^b(\mathcal{A})\)에서 복합체 \(A^\bullet = A^{-n} \to \ldots \to A^0\)의 \(D^b(\mathcal{A})\)에서의 Postnikov 계를 이룬다. 유도 범주의 예 0D8Z를 보라. \(F\)와 \(F'\)가 모두 삼각 범주의 완전 함자이므로 \[F(M_i) \quad\text{및}\quad F'(M_i)\] 는 모두 \(\mathcal{D}\)에서 복합체 \[F(A^{-n}) \to \ldots \to F(A^0) = F'(A^{-n}) \to \ldots \to F'(A^0)\] 의 Postnikov 계를 이룬다. 가정에 의해 이 대상들 사이의 음의 \(\Ext\)들이 모두 소멸하므로 Postnikov 계의 유일성(유도 범주의 보조정리 0D83)에 의해 \(F(K) = F(M_n[n]) \cong F'(M_n[n]) = F'(K)\)이다.

보조정리

\(F\), \(F'\)를 정의 0FZT과 같은 형제라 하자. 그러면

1. \(F\)가 본질적으로 전사이면 \(F'\)도 본질적으로 전사이다.

2. \(F\)가 완전충실이면 \(F'\)도 완전충실이다.

증명

(1)은 형제의 성질 (2)에서 즉시 따른다.

\(F\)가 완전충실이라고 가정하자. \(F\)의 본질적 상을 \(\mathcal{D}' \subset \mathcal{D}\)로 나타내면 \(F : D^b(\mathcal{A}) \to \mathcal{D}'\)는 동치이다. 형제의 성질 (2)에 의해 함자 \(F'\)가 \(\mathcal{D}'\)을 통해 분해되므로 함자 \(H = F^{-1} \circ F' : D^b(\mathcal{A}) \to D^b(\mathcal{A})\)를 생각할 수 있다. \(H\)는 항등함자의 형제이다. \(H\)가 완전충실임을 증명하면 충분하므로 다음 문단에서 논의하는 문제로 환원된다.

\(\mathcal{D} = D^b(\mathcal{A})\)로 놓자. 항등함자의 형제 \(F : \mathcal{D} \to \mathcal{D}\)가 완전충실임을 보여야 한다. 정의 0FZT에서 주어진 \(X \in \Ob(\mathcal{A})\)에 대한 함자적 동형사상을 \(a_X : X \to F(X)\)로 나타내자. 임의의 \(K\)가 \(\mathcal{D}\)의 대상이고 구별 삼각형 \(K_1 \to K_2 \to K_3\)도 \(\mathcal{D}\)에 속한다고 하자. 사상 \[F : \Hom(K, K_i[n]) \to \Hom(F(K), F(K_i[n]))\] 이 모든 \(n \in \mathbf{Z}\)와 \(i = 1, 3\)에 대해 동형사상이면 \(i = 2\)와 모든 \(n \in \mathbf{Z}\)에 대해서도 그러하다. 여기서는 \(5\)-보조정리인 호몰로지의 보조정리 05QB와 유도 범주의 보조정리 0149를 사용한다. 세부사항은 생략한다. 마찬가지로 사상 \[F : \Hom(K_i[n], K) \to \Hom(F(K_i[n]), F(K))\] 이 모든 \(n \in \mathbf{Z}\)와 \(i = 1, 3\)에 대해 동형사상이면 \(i = 2\)와 모든 \(n \in \mathbf{Z}\)에 대해서도 그러하다. 표준 절단과 영이 아닌 코호몰로지 대상의 개수에 대한 귀납법을 사용하면 \[F : \Ext^q(X, Y) \to \Ext^q(F(X), F(Y))\] 가 모든 \(X, Y \in \Ob(\mathcal{A})\)와 모든 \(q \in \mathbf{Z}\)에 대해 전단사임을 보이면 충분하다. \(F\)가 \(\text{id}\)의 형제이므로 \(F(X) \cong X\), \(F(Y) \cong Y\)이고, 따라서 \(q < 0\)이면 오른쪽은 영이다. \(q = 0\)인 경우는 \(F\)가 항등함자의 형제라는 가정에서 따른다. \(q > 0\)인 경우를 증명하는 일만 남았다.

\(q = 1\)인 경우: 단사성. \(\Ext^1(X, Y)\)의 원소 \(\xi\)는 구별 삼각형 \[Y \to E \to X \xrightarrow{\xi} Y[1]\] 을 낳는다. \(E \in \Ob(\mathcal{A})\)임을 관찰하자. \(F\)가 항등함자의 형제이므로 가환 도식 \[\xymatrix{ E \ar[d] \ar[r] & X \ar[d] \\ F(E) \ar[r] & F(X) }\] 을 얻으며, 세로 화살표들은 동형사상 \(a_E\)와 \(a_X\)이다. TR3에 의해 처음의 \(\xi\)에 대응하는 구별 삼각형은 구별 삼각형 \[F(Y) \to F(E) \to F(X) \xrightarrow{F(\xi)} F(Y[1]) = F(Y)[1]\] 과 동형이다. 따라서 \(\xi = 0\)인 것과 \(F(\xi)\)가 영인 것은 동치이다. 즉 \(F : \Ext^1(X, Y) \to \Ext^1(F(X), F(Y))\)는 단사이다.

\(q = 1\)인 경우: 전사성. \(\theta\)를 \(\Ext^1(F(X), F(Y))\)의 원소라 하자. 이는 \(\mathcal{A}\)에서 \(F(Y)\)에 의한 \(F(X)\)의 확대를 정의한다. \(F\)가 항등함자의 형제이므로 그 가운데 항을 \(F(E)\)로 쓸 수 있다. 따라서 어떤 사상 \(\alpha : Y \to E\)와 \(\beta : E \to X\)에 대해 구별 삼각형 \[F(Y) \xrightarrow{F(\alpha)} F(E) \xrightarrow{F(\beta)} F(X) \xrightarrow{\theta} F(Y[1]) = F(Y)[1]\] 을 얻는다. \(F\)가 항등함자의 형제이므로 열 \(0 \to Y \to E \to X \to 0\)은 \(\mathcal{A}\)의 짧은 완전열이다. 따라서 어떤 사상 \(\delta : X \to Y[1]\)에 대해 구별 삼각형 \[Y \xrightarrow{\alpha} E \xrightarrow{\beta} X \xrightarrow{\delta} Y[1]\] 을 얻는다. 완전 함자 \(F\)를 적용하면 구별 삼각형 \[F(Y) \xrightarrow{F(\alpha)} F(E) \xrightarrow{F(\beta)} F(X) \xrightarrow{F(\delta)} F(Y)[1]\] 을 얻는다. 위와 같이 논증하면 이 삼각형들이 동형임을 알 수 있다. 따라서 가환 도식 \[\xymatrix{ F(X) \ar[d]^\gamma \ar[r]_{F(\delta)} & F(Y[1]) \ar[d]_\epsilon \\ F(X) \ar[r]^\theta & F(Y[1]) }\] 이 어떤 동형사상 \(\gamma\), \(\epsilon\)에 대해 존재한다. 더 말할 수 있지만 그 이상의 정보는 필요하지 않다. \(\gamma = F(\gamma')\)와 \(\epsilon = F(\epsilon')\)로 쓸 수 있다. 그러면 \(\theta = F(\epsilon' \circ \delta \circ (\gamma')^{-1})\)이므로 전사성이 성립한다.

\(q > 1\)인 경우: 전사성. Yoneda 확대를 사용하면(유도 범주의 절 06XP을 보라) \(\Ext^q(F(X), F(Y))\)의 임의의 원소 \(\xi\)에 대해 \(F(X) = B_0, B_1, \ldots, B_{q - 1}, B_q = F(Y) \in \Ob(\mathcal{A})\)와 원소 \[\xi_i \in \Ext^1(B_{i - 1}, B_i)\] 를 찾아 \(\xi\)를 합성 \(\xi_q \circ \ldots \circ \xi_1\)로 쓸 수 있다. \(B_i = F(A_i)\)로 쓰자. 물론 \(A_i = B_i\)이지만 이를 사용할 필요는 없다. \(q = 1\)에서의 전사성에 의해 \[\xi_i = F(\eta_i) \in \Ext^1(F(A_{i - 1}), F(A_i)) \quad\text{이고}\quad \eta_i \in \Ext^1(A_{i - 1}, A_i)\] 이다. 그러면 \(\eta = \eta_q \circ \ldots \circ \eta_1\)는 \(F(\eta) = \xi\)인 \(\Ext^q(X, Y)\)의 원소이다.

\(q > 1\)인 경우: 단사성. \(\Ext^q(X, Y)\)의 원소 \(\xi\)는 구별 삼각형 \[Y[q - 1] \to E \to X \xrightarrow{\xi} Y[q]\] 을 낳는다. \(F\)를 적용하면 구별 삼각형 \[F(Y)[q - 1] \to F(E) \to F(X) \xrightarrow{F(\xi)} F(Y)[q]\] 을 얻는다. \(F(\xi) = 0\)이면 \(\mathcal{D}\)에서 \(F(E) \cong F(Y)[q - 1] \oplus F(X)\)이다. 유도 범주의 보조정리 05QT을 보라. \(F\)가 항등함자의 형제이므로 \(E \cong F(E)\)이고, 따라서 \[E \cong F(E) \cong F(Y)[q - 1] \oplus F(X) \cong Y[q - 1] \oplus X\] 이다. 다시 말해 \(E\)는 그 코호몰로지 대상들의 직합과 동형이다. 이는 처음의 구별 삼각형이 분할됨을 함의한다. 즉 \(\xi = 0\)이다.

비표준적인 정의를 하나 하자. \(\mathcal{A}\)를 아벨 범주라 하자. 임의의 \(X \in \Ob(\mathcal{A})\)에 대해 다음을 만족하는 대상 \(N\)이 존재하면 \(\mathcal{A}\)가 충분한 음의 대상을 갖는다고 하자.

1. 전사 \(N \to X\)가 존재한다.

2. \(\Hom(X, N) = 0\).

명제 0FZW의 증명에 사용하기 위해 이 개념에 관한 두 보조정리를 증명하자.

보조정리

\(\mathcal{A}\)를 충분한 음의 대상을 갖는 아벨 범주라 하자. \(X \in D^b(\mathcal{A})\)이고 \(i > b\)이면 \(H^i(X) = 0\)인 \(b \in \mathbf{Z}\)라 하자. 그러면 유도된 사상 \(N \to H^b(X)\)가 전사이고 \(\Hom(H^b(X), N) = 0\)인 사상 \(N[-b] \to X\)가 존재한다.

증명

절단 함자를 사용하면 \(X\)를 \(\mathcal{A}\)의 대상들로 이루어진 복합체 \(A^a \to A^{a + 1} \to \ldots \to A^b\)로 나타낼 수 있다. 전사 \(t : N \to A^b\)가 존재하고 \(\Hom(A^b, N) = 0\)인 \(N\)이 \(\mathcal{A}\)의 대상이 되도록 택하자. 그러면 전사 \(t\)가 원하는 사상 \(N[-b] \to X\)를 정의한다.

보조정리

\(\mathcal{A}\)를 충분한 음의 대상을 갖는 아벨 범주라 하고 \(f : X \to X'\)를 \(D^b(\mathcal{A})\)의 사상이라 하자. \(i > b\)이면 \(H^i(X) = 0\)이고 \(i \geq b\)이면 \(H^i(X') = 0\)인 \(b \in \mathbf{Z}\)라 하자. 그러면 유도된 사상 \(N \to H^b(X)\)가 전사이고, \(\Hom(H^b(X), N) = 0\)이며, 합성 \(N[-b] \to X \to X'\)가 영인 사상 \(N[-b] \to X\)가 존재한다.

증명

\(f\)를 \(\mathcal{A}\)의 대상들로 이루어진 유계 복합체 사이의 사상 \(f^\bullet : A^\bullet \to B^\bullet\)로 나타낼 수 있다. 예를 들어 유도 범주의 보조정리 05RW를 보라. \(\mathcal{A}\)의 대상 \[C = \Ker(A^b \to A^{b + 1}) \times_{\Ker(B^b \to B^{b + 1})} B^{b - 1}\] 을 생각하자. \(H^b(B^\bullet) = 0\)이므로 \(C \to H^b(A^\bullet)\)는 전사이다. 한편 사상 \(C \to A^b \to B^b\)는 사상 \(C \to B^{b - 1} \to B^b\)와 같으므로 합성 \(C[-b] \to X \to X'\)는 영이다. \(\mathcal{A}\)가 충분한 음의 대상을 가지므로 전사 \(N \to C \oplus H^b(X)\)가 존재하고 \(\Hom(C \oplus H^b(X), N) = 0\)인 대상 \(N\)을 찾을 수 있다. 그러면 \(N\)과 사상 \(N[-b] \to X\)가 보조정리의 문제를 해결한다.

다음 명제의 증명에 들어가는 훌륭한 아이디어를 보려면 독자에게 원문 [Orlov-K3, 명제 2.16]을 읽어 보기를 권한다.

명제

\(F\), \(F'\)를 정의 0FZT과 같은 형제라 하자. \(F\)가 완전충실이고 \(\mathcal{A}\)가 충분한 음의 대상을 갖는다고 가정하자. 그러면 \(F\)와 \(F'\)는 동형인 함자이다.

증명

정의 0FZT의 (2)에 의해 함자 \(F'\)의 상은 함자 \(F\)의 본질적 상에 포함된다. 따라서 함자 \(H = F^{-1} \circ F'\)는 항등함자의 형제이다. 이로써 다음 문단의 경우로 환원된다.

\(\mathcal{D} = D^b(\mathcal{A})\)로 놓자. 항등함자의 형제 \(F : \mathcal{D} \to \mathcal{D}\)가 항등함자와 동형임을 보여야 한다. \(\mathcal{D}\)의 대상 \(X\)를 잡자. \(X\)가 폭 \(w = w(X)\)를 갖는다는 것은, \(i \not \in [a, a + w - 1]\)이면 \(H^i(X) = 0\)인 정수 \(a \in \mathbf{Z}\)가 존재하게 하는 최소의 \(w \geq 0\)이라는 뜻으로 하자. \(F\)가 항등함자의 형제이고 \(F \circ [n] = [n] \circ F\)이므로, 평행이동과 양립하는 동형사상 \[c_X : X \to F(X)\] 이 \(w(X) \leq 1\)에 대해 이미 주어져 있다. 또한 어떤 \(A, A' \in \Ob(\mathcal{A})\)에 대해 \(X = A[-a]\), \(X' = A'[-a]\)이면 임의의 사상 \(f : X \to X'\)에 대해 도식 [0FZX]\[\begin{equation} \vcenter{ \xymatrix{ X \ar[d]_{c_X} \ar[r]_f & X' \ar[d]^{c_{X'}} \\ F(X) \ar[r]^{F(f)} & F(X') } } \end{equation}\] 은 가환한다.

다음으로 \(w(X), w(X') \leq 1\)인 임의의 사상 \(f : X \to X'\)에 대해 도식 (0FZX)이 가환함을 보이자. \(X\) 또는 \(X'\)가 영이면 분명하다. 그렇지 않으면 유일한 \(A, A'\)가 \(\mathcal{A}\)에 속하고 \(a, a' \in \mathbf{Z}\)에 대해 \(X = A[-a]\), \(X' = A'[-a']\)로 쓸 수 있다. \(a = a'\)인 경우는 위에서 논의했다. \(a' > a\)이면 \(f = 0\)이고(유도 범주의 보조정리 06XS), 결과는 분명하다. \(a' < a\)이면 \(f\)는 \(q = a - a'\)인 원소 \(\xi \in \Ext^q(A, A')\)에 대응한다. Yoneda 확대를 사용하면(유도 범주의 절 06XP을 보라) \(A = A_0, A_1, \ldots, A_{q - 1}, A_q = A' \in \Ob(\mathcal{A})\)와 원소 \[\xi_i \in \Ext^1(A_{i - 1}, A_i)\] 를 찾아 \(\xi\)를 합성 \(\xi_q \circ \ldots \circ \xi_1\)로 쓸 수 있다. 다시 말해 \(X_i = A_i[-a + i]\)로 놓으면 사상들 \[X = X_0 \xrightarrow{f_1} X_1 \to \ldots \to X_{q - 1} \xrightarrow{f_q} X_q = X'\] 을 얻고 그 합성은 \(f\)이다. \(f_1, \ldots, f_q\)에 대한 도식 (0FZX)의 가환성이 \(f\)에 대한 가환성을 함의하므로 \(q = 1\)인 경우로 환원된다. 이 경우 평행이동하여 구별 삼각형 \[A' \to E \to A \xrightarrow{f} A'[1]\] 이 있다고 가정할 수 있다. \(E\)는 \(\mathcal{A}\)의 대상임을 관찰하자. 다음 도식을 생각하자. \[\xymatrix{ E \ar[d]_{c_E} \ar[r] & A \ar[d]_{c_A} \ar[r]_f & A'[1] \ar[d]^{c_{A'}[1]} \ar@{..>}@<-1ex>[d]_\gamma \ar@{..>}[ld]^\epsilon \ar[r] & E[1] \ar[d]^{c_E[1]} \\ F(E) \ar[r] & F(A) \ar[r]^{F(f)} & F(A')[1] \ar[r] & F(E)[1] }\] 그 두 행은 구별 삼각형이다. 오른쪽 사각형은 이미 가환하지만 가운데 사각형이 가환하는지는 아직 모른다. 삼각 범주의 공리에 의해 도식 전체를 가환하게 하는 사상 \(\gamma\)를 찾을 수 있다. 그러면 \(\gamma - c_{A'}[1]\)과 \(F(A')[1] \to F(E)[1]\)의 합성은 영이므로 \(\gamma - c_{A'}[1] = F(f) \circ \epsilon\)인 사상 \(\epsilon : A'[1] \to F(A)\)를 찾을 수 있다. 그러나 임의의 화살표 \(A'[1] \to F(A)\)는 \(\mathcal{A}\)의 대상들 사이의 음의 Ext 류이므로 영이다. 따라서 \(\gamma = c_{A'}[1]\)이고, 원하는 대로 가운데 사각형도 가환한다.

증명을 끝내기 위해 \(w\)에 대한 귀납법으로, \(w(X) \leq w\)인 모든 \(X\)에 대해 그러한 대상들 사이의 모든 사상과 양립하는 동형사상 \(c_X : X \to F(X)\)가 존재함을 보이겠다. 기초 단계 \(w = 1\)은 위에서 증명했다. 어떤 \(w \geq 1\)에 대해 결과를 안다고 가정하자.

\(w(X) = w + 1\)인 대상 \(X\)를 잡자. \(i \not \in [a, a + w]\)이면 \(H^i(X) = 0\)인 \(a \in \mathbf{Z}\)를 택한다. \(b = a + w\)로 놓으면 \(H^b(X)\)는 영이 아니다. 보조정리 0GWF과 같은 \(N[-b] \to X\)를 택하고 구별 삼각형 \[N[-b] \to X \to Y \to N[-b + 1]\] 을 택한다. 긴 완전 코호몰로지 열을 계산하면 \(w(Y) \leq w\)임을 알 수 있다. 따라서 귀납가정에 의해 다음 도식의 실선 화살표들을 얻는다. \[\xymatrix{ N[-b] \ar[r] \ar[d]_{c_N[-b]} & X \ar[r] \ar@{..>}[d]_{c_{N[-b] \to X}} & Y \ar[r] \ar[d]^{c_Y} & N[-b + 1] \ar[d]^{c_N[-b + 1]} \\ F(N)[-b] \ar[r] & F(X) \ar[r] & F(Y) \ar[r] & F(N)[-b + 1] }\] 점선 화살표 \(c_{N[-b] \to X}\)를 얻는다. \(N\)의 선택에 의해 \(\Hom(X, F(N)[-b]) \cong \Hom(X, N[-b]) = 0\)이므로 유도 범주의 보조정리 0FWZ에 의해 점선 화살표는 유일하다. 실제로 \(c_{N[-b] \to X}\)는 꼭짓점이 \(X, Y, F(X), F(Y)\)인 사각형을 가환하게 하는 유일한 점선 화살표이다.

\(N'[-b] \to X\)를 보조정리 0GWF과 같은 또 다른 사상이라 하고 \(c_{N[-b] \to X} = c_{N'[-b] \to X}\)임을 증명하자. 사상 \((N \oplus N')[-b] \to X\)도 보조정리 0GWF의 조건을 만족한다. 따라서 어떤 사상 \(N' \to N\)에 대해 \(N'[-b] \to X\)가 \(N'[-b] \to N[-b] \to X\)로 분해된다고 가정해도 된다. 구별 삼각형 \(N[-b] \to X \to Y \to N[-b + 1]\)과 \(N'[-b] \to X \to Y' \to N'[-b + 1]\)을 택한다. 공리 TR3에 의해 \(\text{id}_X\) 및 \(N' \to N\)과 함께 삼각형의 사상을 이루는 사상 \(g : Y' \to Y\)를 찾을 수 있다. \(g\)에 대해 (0FZX)가 성립하므로 \[(F(X) \to F(Y)) \circ c_{N'[-b] \to X} = (F(X) \to F(Y)) \circ c_{N[-b] \to X}\] 이다. 위 구성에서 지적한 \(c_{N[-b] \to X}\)의 유일성에 의해 이제 \(c_{N'[-b] \to X} = c_{N[-b] \to X}\)이다.

따라서 이제 폭이 \(w + 1\)인 \(X\)에 대해 동형사상 \(c_X : X \to F(X)\)를, 보조정리 0GWF과 같은 \(N[-b] \to X\)에 대한 사상 \(c_{N[-b] \to X}\)들의 공통값으로 정의할 수 있다. 증명을 끝내기 위해 \(w(X) \leq w + 1\), \(w(X') \leq w + 1\)인 대상 사이의 모든 사상 \(f : X \to X'\)에 대해 도식 (0FZX)이 가환함을 보여야 한다. \(i \not \in [a, b]\)이면 \(H^i(X) = 0\)인 \(a \leq b \leq a + w\)와, \(i \not \in [a', b']\)이면 \(H^i(X') = 0\)인 \(a' \leq b' \leq a' + w\)를 택한다. \((b' - a') + (b - a)\)에 대한 귀납법으로 주장을 보이겠다. 기초 단계는 이 수가 영인 경우이며, \(w \geq 1\)이므로 이미 성립한다. 두 경우로 나눈다.

경우 I: \(b' < b\). 보조정리 0GWG에 의해 합성 \(N[-b] \to X \to X'\)가 영이 되도록 보조정리 0GWF과 같은 \(N[-b] \to X\)를 택할 수 있다. 구별 삼각형 \(N[-b] \to X \to Y \to N[-b + 1]\)을 택하자. \(N[-b] \to X'\)가 영이므로 \(f\)는 \(X \to Y \to X'\)로 분해된다. \(H^i(Y)\)는 \(i \in [a, b - 1]\)에 대해서만 영이 아니므로 귀납가정에 의해 \(Y \to X'\)에 대해 (0FZX)이 가환한다. \(X \to Y\)에 대해서는 \(w(X) = w + 1\)이면 구성에 의해, \(w(X) \leq w\)이면 첫 번째 귀납가정에 의해 도식 (0FZX)이 가환한다. 따라서 \(f\)에 대해서도 도식 (0FZX)이 가환한다.

경우 II: \(b' \geq b\). 이 경우 보조정리 0GWF과 같은 \(N'[-b'] \to X'\)를 택한다. 또한 \(\Hom(H^{b'}(X), N') = 0\)이라고 가정할 수 있다. 이는 \(b' = b\)일 때만 관련된다. 예를 들어 \(N' \oplus H^{b'}(X)\)로의 전사를 가지며 \(\Hom(N' \oplus H^{b'}(X), N'') = 0\)인 대상 \(N''\)로 \(N'\)를 바꿀 수 있다. 구별 삼각형 \(N'[-b'] \to X' \to Y' \to N'[-b' + 1]\)을 택한다. \(N'\)의 선택에 의해 \(\Hom(X, X') \to \Hom(X, Y')\)가 단사이므로 (세부사항은 생략한다) \(\Hom(X, F(X')) \to \Hom(X, F(Y'))\)도 단사이다. 따라서 이 경우에는 사상 \(X \to X' \to Y'\)의 합성 \(X \to Y'\)에 대해 (0FZX)이 가환함을 확인하면 충분하다. \(H^i(Y')\)가 \(i \in [a', b' - 1]\)에 대해서만 영이 아니므로 귀납가정으로 결론을 얻는다.

완전충실성의 도출

함자가 언제 완전충실인지 아는 것이 유용하므로 [Orlov-K3, 보조정리 2.15]의 다음 변형을 제시한다.

보조정리

\(F : \mathcal{D} \to \mathcal{D}'\)를 삼각 범주의 완전 함자라 하고 \(S \subset \Ob(\mathcal{D})\)를 대상들의 집합이라 하자. 다음을 가정하자.

1. \(F\)는 오른쪽 및 왼쪽 수반함자를 모두 갖는다.

2. \(K \in \mathcal{D}\)에 대해 모든 \(E \in S\)와 \(i \in \mathbf{Z}\)에 대해 \(\Hom(E, K[i]) = 0\)이면 \(K = 0\)이다.

3. \(K \in \mathcal{D}\)에 대해 모든 \(E \in S\)와 \(i \in \mathbf{Z}\)에 대해 \(\Hom(K, E[i]) = 0\)이면 \(K = 0\)이다.

4. 모든 \(E, E' \in S\)와 \(i \in \mathbf{Z}\)에 대해 \(F\)가 유도하는 사상 \(\Hom(E, E'[i]) \to \Hom(F(E), F(E')[i])\)은 전단사이다.

그러면 \(F\)는 완전충실이다.

증명

\(F\)의 오른쪽 및 왼쪽 수반함자를 각각 \(F_r\), \(F_l\)로 나타내자. \(E \in S\)에 대해 구별 삼각형 \[E \to F_r(F(E)) \to C \to E[1]\] 을 택한다. 첫 화살표는 수반의 단위원이다. \(E' \in S\)에 대해 \[\Hom(E', F_r(F(E))[i]) = \Hom(F(E'), F(E)[i]) = \Hom(E', E[i])\] 이다. 마지막 등식은 가정 (4)에 의해 성립한다. 따라서 위의 구별 삼각형에 호몰로지 함자 \(\Hom(E', -)\)를 적용하면(유도 범주의 보조정리 0149) 모든 \(i \in \mathbf{Z}\)와 \(E' \in S\)에 대해 \(\Hom(E', C[i]) = 0\)을 얻는다. 가정 (2)에 의해 \(C = 0\)이고 \(E = F_r(F(E))\)이다.

\(K \in \Ob(\mathcal{D})\)에 대해 구별 삼각형 \[F_l(F(K)) \to K \to C \to F_l(F(K))[1]\] 을 택한다. 첫 화살표는 수반의 여단위원이다. \(E \in S\)에 대해 \[\Hom(F_l(F(K)), E[i]) = \Hom(F(K), F(E)[i]) = \Hom(K, F_r(F(E))[i]) = \Hom(K, E[i])\] 이며, 마지막 등식은 첫 문단의 결과에 의해 성립한다. 따라서 앞과 같이 모든 \(E \in S\)와 \(i \in \mathbf{Z}\)에 대해 \(\Hom(C, E[i]) = 0\)이다. 가정 (3)에 의해 \(C = 0\)이다. 그러므로 범주의 보조정리 07RB에 의해 \(F\)는 완전충실이다.

보조정리

\(k\)를 체라 하고 \(X\)를 \(k\) 위의 정칙 유한형 스킴이라 하자. \(x \in X\)를 닫힌점이라 하자. \(x\)에 지지되는 연접 \(\mathcal{O}_X\)-가군 \(\mathcal{F}\)에 대해, \(\mathcal{F}_x\)와 \(\mathcal{F}'_x\)가 Matlis 쌍대가 되도록 \(x\)에 지지되는 연접 \(\mathcal{O}_X\)-가군 \(\mathcal{F}'\)을 택하자. 그러면 동형사상 \[\Hom_X(\mathcal{F}, M) = H^0(X, M \otimes_{\mathcal{O}_X}^\mathbf{L} \mathcal{F}'[-d_x])\] 이 있으며, 여기서 \(d_x = \dim(\mathcal{O}_{X, x})\)이고 동형사상은 \(D_{perf}(\mathcal{O}_X)\)의 \(M\)에 대해 함자적이다.

증명

\(\mathcal{F}\)가 \(x\)에 지지되므로 \[\Hom_X(\mathcal{F}, M) = \Hom_{\mathcal{O}_{X, x}}(\mathcal{F}_x, M_x)\] 이고, 마찬가지로 \[H^0(X, M \otimes_{\mathcal{O}_X}^\mathbf{L} \mathcal{F}'[-d_x]) = \text{Tor}^{\mathcal{O}_{X, x}}_{d_x}(M_x, \mathcal{F}'_x)\] 이다. 따라서 차원 \(d\)인 뇌터 정칙 국소환 \(A\)와 유한 길이 \(A\)-가군 \(N\)이 주어지고 \(N'\)이 \(N\)의 Matlis 쌍대이면 함자적 동형사상 \[\Hom_A(N, K) = \text{Tor}^A_d(K, N')\] 이 \(D_{perf}(A)\)의 \(K\)에 대해 존재함을 보이면 충분하다. 대수에 대한 추가 내용의 보조정리 07VI와 \(N\)이 \(D(A)\)의 완전 대상을 정한다는 사실에 의해 왼쪽을 \(H^0(R\Hom_A(N, A) \otimes_A^\mathbf{L} K)\)로 쓸 수 있다. 식 \[R\Hom_A(N, A) = R\Hom_A(N, A[d])[-d] = N'[-d]\] 은 쌍대화 복합체의 보조정리 0A7Q와 \(A[d]\)가 \(A\) 위의 정규화된 쌍대화 복합체라는 사실에서 따른다. 여기서 쌍대화 복합체의 보조정리 0AWX에 의해 \(A\)는 Gorenstein이다. 따라서 원하는 공식이 성립한다.

보조정리

\(k\)를 체라 하고 \(X\)를 \(k\) 위의 정칙 유한형 스킴이라 하자. \(x \in X\)를 닫힌점이라 하고, \(x\)에서 값 \(\kappa(x)\)를 갖는 마천루층을 \(\mathcal{O}_x\)로 나타내자. \(K\)가 \(D_{perf}(\mathcal{O}_X)\)의 대상이라 하자.

1. \(\Ext^i_X(\mathcal{O}_x, K) = 0\)이면 \(x\)의 열린 근방 \(U\)가 존재하여 \(H^{i - d_x}(K)|_U = 0\)이다. 여기서 \(d_x = \dim(\mathcal{O}_{X, x})\)이다.

2. 모든 \(i \in \mathbf{Z}\)에 대해 \(\Hom_X(\mathcal{O}_x, K[i]) = 0\) 이면 \(K\)는 \(x\)의 어떤 열린 근방에서 영이다.

3. \(\Ext^i_X(K, \mathcal{O}_x) = 0\)이면 \(x\)의 열린 근방 \(U\)가 존재하여 \(H^i(K^\vee)|_U = 0\)이다.

4. 모든 \(i \in \mathbf{Z}\)에 대해 \(\Hom_X(K, \mathcal{O}_x[i]) = 0\) 이면 \(K\)는 \(x\)의 어떤 열린 근방에서 영이다.

5. \(H^i(X, K \otimes_{\mathcal{O}_X}^\mathbf{L} \mathcal{O}_x) = 0\)이면 \(x\)의 열린 근방 \(U\)가 존재하여 \(H^i(K)|_U = 0\)이다.

6. \(H^i(X, K \otimes_{\mathcal{O}_X}^\mathbf{L} \mathcal{O}_x) = 0\)이 모든 \(i \in \mathbf{Z}\)에 대해 성립하면 \(K\)는 \(x\)의 어떤 열린 근방에서 영이다.

증명

\(H^i(X, K \otimes_{\mathcal{O}_X}^\mathbf{L} \mathcal{O}_x)\)가 \(K_x \otimes_{\mathcal{O}_{X, x}}^\mathbf{L} \kappa(x)\)와 같음을 관찰하자. 따라서 (5)는 대수에 대한 추가 내용의 보조정리 068U에서 따르고, (6)은 (5)에서 따른다. (1)은 (5), 보조정리 0G02, 그리고 \(\kappa(x)\)의 Matlis 쌍대가 \(\kappa(x)\)라는 사실에서 따른다. (2)는 (1)에서 따른다. (3)은 (5)와 \(\Ext^i(K, \mathcal{O}_x) = H^i(X, K^\vee \otimes_{\mathcal{O}_X}^\mathbf{L} \mathcal{O}_x)\)라는 사실에서 따른다. 이 사실은 코호몰로지의 보조정리 08DQ에 의한다. (4)는 (3)과 같은 보조정리에 의한 \(K \cong (K^\vee)^\vee\)에서 따른다.

보조정리

\(X\)를 뇌터 스킴, \(x \in X\)를 닫힌점이라 하고 \(x\)에서 값 \(\kappa(x)\)를 갖는 마천루층을 \(\mathcal{O}_x\)로 나타내자. \(K\)가 \(D^b_{\textit{Coh}}(\mathcal{O}_X)\)의 대상이고 \(b \in \mathbf{Z}\)라 하자. 다음 조건들은 동치이다.

1. 모든 \(i > b\)에 대해 \(H^i(K)_x = 0\)이다.

2. 모든 \(i > b\)에 대해 \(\Hom_X(K, \mathcal{O}_x[-i]) = 0\)이다.

증명

\(D^b_{\textit{Coh}}(\mathcal{O}_{X, x})\)의 복합체 \(K_x\)를 생각하자. 정수 \(b_x \in \mathbf{Z}\)가 존재하여 \(K_x\)는 위로 유계인 복합체 \[\ldots \to \mathcal{O}_{X, x}^{\oplus n_{b_x - 2}} \to \mathcal{O}_{X, x}^{\oplus n_{b_x - 1}} \to \mathcal{O}_{X, x}^{\oplus n_{b_x}} \to 0 \to \ldots\] 로 나타낼 수 있다. 여기서 \(\mathcal{O}_{X, x}^{\oplus n_i}\)는 차수 \(i\)에 놓이고 모든 전이사상은 계수가 \(\mathfrak m_x\)에 속하는 행렬로 주어진다. 대수에 대한 추가 내용의 보조정리 0BCC를 보라. 결과는 이로부터 쉽게 따르며, 두 동치 조건은 정확히 \(b \geq b_x\)일 때 성립한다.

보조정리

\(k\)를 체라 하고 \(X\), \(Y\)를 \(k\) 위의 고유 스킴이라 하자. \(X\)가 정칙이라고 가정하자. 그러면 \(k\)-선형 완전 함자 \(F : D_{perf}(\mathcal{O}_X) \to D_{perf}(\mathcal{O}_Y)\) 가 완전충실일 필요충분조건은 임의의 닫힌점 \(x, x' \in X\)에 대해 사상 \[F : \Ext^i_X(\mathcal{O}_x, \mathcal{O}_{x'}) \longrightarrow \Ext^i_Y(F(\mathcal{O}_x), F(\mathcal{O}_{x'}))\] 이 모든 \(i \in \mathbf{Z}\)에 대해 동형사상인 것이다. 여기서 \(\mathcal{O}_x\)는 \(x\)에서 값 \(\kappa(x)\)를 갖는 마천루층이다.

증명

보조정리 0FYN에 의해 함자 \(F\)는 왼쪽 및 오른쪽 수반함자를 모두 갖는다. 또한 보조정리 0G24의 가정 (2), (3)은 보조정리 0G03에서 따르므로 전자의 판정법을 적용할 수 있다.

보조정리

\(k\)를 체라 하고 \(X\)를 \(k\) 위의 정칙 고유 스킴이라 하자. \(F : D_{perf}(\mathcal{O}_X) \to D_{perf}(\mathcal{O}_X)\)를 \(k\)-선형 완전 함자라 하자. \(\dim(\text{Supp}(\mathcal{F})) = 0\)인 모든 연접 \(\mathcal{O}_X\)-가군 \(\mathcal{F}\)에 대해 동형사상 \(\mathcal{F} \cong F(\mathcal{F})\)가 존재한다고 가정하자. 그러면 \(F\)는 완전충실이다.

증명

보조정리 0G25에 의해 사상 \[F : \Ext^i_X(\mathcal{O}_x, \mathcal{O}_{x'}) \longrightarrow \Ext^i_X(F(\mathcal{O}_x), F(\mathcal{O}_{x'}))\] 이 모든 \(i \in \mathbf{Z}\)와 모든 닫힌점 \(x, x' \in X\)에 대해 동형사상임을 보이면 충분하다. 가정에 의해 정의역과 공역은 동형이다. \(x \not = x'\)이면 양변 모두 영이므로 결과가 성립한다. \(x = x'\)이면 사상이 단사 또는 전사임을 보이면 충분하다. \(i < 0\)이면 양변 모두 영이므로 성립한다. \(i = 0\)이면 영이 아닌 임의의 \(\mathcal{O}_X\)-가군 사상 \(\alpha : \mathcal{O}_x \to \mathcal{O}_x\)는 동형사상이다. 따라서 \(F(\alpha)\)도 동형사상이고 특히 \(F(\alpha)\)는 영이 아니다. 이로써 \(i = 0\)인 경우가 성립한다. \(i = 1\)이면 \(\Ext^1(\mathcal{O}_x, \mathcal{O}_x)\)의 영이 아닌 원소 \(\xi\)는 분할되지 않는 짧은 완전열 \[0 \to \mathcal{O}_x \to \mathcal{F} \to \mathcal{O}_x \to 0\] 에 대응한다. \(F(\mathcal{F}) \cong \mathcal{F}\)이므로 \(F(\mathcal{F})\)도 \(\mathcal{O}_x\)에 의한 \(\mathcal{O}_x\)의 분할되지 않는 확대이다. \(\mathcal{O}_x \cong F(\mathcal{O}_x)\)는 단순 \(\mathcal{O}_X\)-가군이고 \(\mathcal{F} \cong F(\mathcal{F})\)의 길이는 \(2\)이므로 구별 삼각형 \[F(\mathcal{O}_x) \to F(\mathcal{F}) \to F(\mathcal{O}_x) \xrightarrow{F(\xi)} F(\mathcal{O}_x)[1]\] 에서 첫 두 화살표는 짧은 완전열을 이루어야 하고, 이 열은 위의 짧은 완전열과 동형이므로 분할되지 않는다. 따라서 \(F(\xi)\)는 영이 아니고 \(i = 1\)인 경우가 성립한다. \(i > 1\)이면 Ext 류의 합성이 전사 \[\Ext^1(F(\mathcal{O}_x), F(\mathcal{O}_x)) \otimes \ldots \otimes \Ext^1(F(\mathcal{O}_x), F(\mathcal{O}_x)) \longrightarrow \Ext^i(F(\mathcal{O}_x), F(\mathcal{O}_x))\] 를 정의한다. 스킴의 쌍대성의 보조정리 0BQY를 보라. 따라서 차수 \(1\)에서의 전사성은 \(i > 0\)에서의 전사성을 함의한다. 증명이 끝났다.

특수한 함자

이 절에서는 이 장의 뒤에서 사용할 특수한 유형의 함자에 관한 몇 가지 결과를 증명한다.

정의

\(k\)를 체라 하고 \(X\), \(Y\)를 \(k\) 위의 유한형 스킴이라 하자. 스킴의 유도 범주의 명제 0FDB에 의해 \(D^b_{\textit{Coh}}(\mathcal{O}_X) = D^b(\textit{Coh}(\mathcal{O}_X))\) 임을 상기하자. 두 \(k\)-선형 완전 함자 \[F, F' : D^b_{\textit{Coh}}(\mathcal{O}_X) = D^b(\textit{Coh}(\mathcal{O}_X)) \longrightarrow D^b_{\textit{Coh}}(\mathcal{O}_Y)\] 가 아벨 범주를 \(\textit{Coh}(\mathcal{O}_X)\)로 두었을 때 정의 0FZT의 의미에서 형제이면, 이들을 형제라 하거나 \(F'\)를 \(F\)의 형제라 한다. 이는 \(F\)와 \(F'\)가 바로 그 의미에서 형제일 때이다. \(X\)가 정칙이면 스킴의 유도 범주의 보조정리 0FXU에 의해 \(D_{perf}(\mathcal{O}_X) = D^b_{\textit{Coh}}(\mathcal{O}_X)\)이고, \(k\)-선형 완전 함자 \(F, F' : D_{perf}(\mathcal{O}_X) \to D_{perf}(\mathcal{O}_Y)\)에도 같은 용어를 사용한다.

보조정리

\(k\)를 체라 하고 \(X\), \(Y\)를 \(k\) 위의 유한형 스킴으로서 \(X\)는 분리라고 하자. \(F : D^b_{\textit{Coh}}(\mathcal{O}_X) \to D^b_{\textit{Coh}}(\mathcal{O}_Y)\) 를 \(k\)-선형 완전 함자로서 \(\textit{Coh}(\mathcal{O}_X) \subset D^b_{\textit{Coh}}(\mathcal{O}_X)\) 를 \(\textit{Coh}(\mathcal{O}_Y) \subset D^b_{\textit{Coh}}(\mathcal{O}_Y)\)로 보낸다고 하자. 그러면 Fourier–Mukai 함자 \(F' : D^b_{\textit{Coh}}(\mathcal{O}_X) \to D^b_{\textit{Coh}}(\mathcal{O}_Y)\) 가 존재하여 \(F\)의 형제이고, 그 핵은 \(X\) 위에서 평탄하며 \(Y\) 위에서 유한인 지지를 갖는 연접 \(\mathcal{O}_{X \times Y}\)-가군 \(\mathcal{K}\)이다.

증명

\(F\)의 제한을 \(H : \textit{Coh}(\mathcal{O}_X) \to \textit{Coh}(\mathcal{O}_Y)\)로 나타내자. \(F\)가 삼각 범주의 완전 함자이므로 \(H\)는 아벨 범주의 완전 함자이고, \(F\)가 \(k\)-선형이므로 물론 \(H\)도 그러하다. 함자와 사상의 보조정리 0FZN에 의해 \(X\) 위에서 평탄하며 \(Y\) 위에서 유한인 지지를 갖는 연접 \(\mathcal{O}_{X \times Y}\)-가군 \(\mathcal{K}\)를 얻는다. \(\mathcal{K}\)를 사용하여 Fourier–Mukai 함자 \(F'\)를 정의하자. 그러면 \(F'\)를 \(\textit{Coh}(\mathcal{O}_X)\)에 제한한 함자는 \(H\)이다. 보조정리 0FYU에 의해 \(F'\)는 \(D^b_{\textit{Coh}}(\mathcal{O}_X)\)를 \(D^b_{\textit{Coh}}(\mathcal{O}_Y)\)로 보낸다. \(F\)와 \(F'\)는 보조정리 0FZU의 첫째와 둘째 조건을 만족하므로 형제이다.

주

\(F, F' : D^b_{\textit{Coh}}(\mathcal{O}_X) \to \mathcal{D}\)가 형제이고 \(F\)가 완전충실이며 \(X\)가 \(k\) 위의 축약 사영 스킴이면 \(F \cong F'\)이다. 이는 명제 0FZW에서 따르며, 그 증명은 정리 0G0C의 증명에 주어진 논증을 따른다. 그러나 일반적으로는 형제들이 동형인지 모른다. 보조정리 0G00의 상황에서도 형제 \(F\), \(F'\)가 동형인 함자임을 증명하기는 어려워 보인다. \(X\)가 \(k\) 위에서 매끄럽고 고유하며 \(F\)가 완전충실이면 [Noah]에서 보인 것처럼 \(F \cong F'\)이다. 더 일반적인 상황에서 증명이나 반례가 있다면 stacks.project@gmail.com으로 전자우편을 보내 주기 바란다.

보조정리

\(k\)를 체라 하고 \(X\), \(Y\)를 \(k\) 위의 고유 스킴으로서 \(X\)는 정칙이라고 하자. \(F, G : D_{perf}(\mathcal{O}_X) \to D_{perf}(\mathcal{O}_Y)\) 를 다음을 만족하는 \(k\)-선형 완전 함자라 하자.

1. \(\dim(\text{Supp}(\mathcal{F})) = 0\)인 임의의 연접 \(\mathcal{O}_X\)-가군 \(\mathcal{F}\)에 대해 \(F(\mathcal{F}) \cong G(\mathcal{F})\)이다.

2. \(F\)는 완전충실이다.

그러면 \(G\)의 본질적 상은 \(F\)의 본질적 상에 포함된다.

증명

\(F\)와 \(G\)가 두 수반함자를 모두 가짐을 상기하자. 보조정리 0FYN를 보라. 특히 \(F\)의 본질적 상 \(\mathcal{A} \subset D_{perf}(\mathcal{O}_Y)\)는 유도 범주의 보조정리 0CQS의 동치 조건들을 만족한다. \(G\)가 \(\mathcal{A}\)를 통해 분해됨을 보이겠다. 같은 보조정리에 의해 \(\mathcal{A} = {}^\perp(\mathcal{A}^\perp)\)이므로(유도 범주의 보조정리 0CQS) 모든 \(M\)이 \(D_{perf}(\mathcal{O}_X)\)의 대상이고 \(N \in \mathcal{A}^\perp\)일 때 \(\Hom_Y(G(M), N) = 0\)임을 보이면 충분하다. 다음 등식이 성립한다. \[\Hom_Y(G(M), N) = \Hom_X(M, G_r(N))\] 여기서 \(G_r\)은 \(G\)의 오른쪽 수반함자이다. 따라서 \(G_r(N) = 0\)임을 증명하면 충분하다. (1)과 같은 \(\mathcal{F}\)에 대해 \(G(\mathcal{F}) \cong F(\mathcal{F})\)이므로 \[\Hom_X(\mathcal{F}, G_r(N)) = \Hom_Y(G(\mathcal{F}), N) = \Hom_Y(F(\mathcal{F}), N) = 0\] 이다. 이는 \(N\)이 \(F\)의 본질적 상 \(\mathcal{A}\)의 오른쪽 직교에 속하기 때문이다. 물론 임의의 \(i \in \mathbf{Z}\)에 대해 \(\Hom_X(\mathcal{F}, G_r(N)[i])\)에도 같은 소멸이 성립한다. 따라서 보조정리 0G03에 의해 \(G_r(N) = 0\)이고, 원하는 결론을 얻는다.

보조정리

\(k\)를 체라 하고 \(X\)를 \(k\) 위의 정칙 고유 스킴이라 하자. \(F : D_{perf}(\mathcal{O}_X) \to D_{perf}(\mathcal{O}_X)\)를 \(k\)-선형 완전 함자라 하자. \(\dim(\text{Supp}(\mathcal{F})) = 0\)인 모든 연접 \(\mathcal{O}_X\)-가군 \(\mathcal{F}\)에 대해 동형사상 \(\mathcal{F} \cong F(\mathcal{F})\)가 존재한다고 가정하자. 그러면 바탕 위상공간에 항등사상을 유도하는¹ \(k\) 위의 자기동형사상 \(f : X \to X\)와 가역 \(\mathcal{O}_X\)-가군 \(\mathcal{L}\)이 존재하여 \(F\)와 \(F'(M) = f^*M \otimes_{\mathcal{O}_X}^\mathbf{L} \mathcal{L}\)은 형제이다.

증명

보조정리 0G26에 의해 함자 \(F\)는 완전충실이다. 보조정리 0GX0에 의해 항등함자의 본질적 상은 \(F\)의 본질적 상에 포함된다. 즉 \(F\)는 본질적으로 전사이다. 따라서 \(F\)는 동치이다. 준역함자 \(F^{-1}\)도 \(F\)와 같은 가정을 만족함을 관찰하자.

\(M \in D_{perf}(\mathcal{O}_X)\)이고 \(i > b\)이면 \(H^i(M) = 0\)이라고 하자. \(F\)가 완전충실이므로 \[\Hom_X(M, \mathcal{O}_x[-i]) = \Hom_X(F(M), F(\mathcal{O}_x)[-i]) \cong \Hom_X(F(M), \mathcal{O}_x[-i])\] 가 모든 \(i \in \mathbf{Z}\)와 \(X\)의 모든 닫힌점 \(x\)에 대해 성립한다. 따라서 보조정리 0GWZ에 의해 \(F(M)\)의 코호몰로지층은 차수 \(> b\)에서 소멸한다.

\(\mathcal{F}\)를 연접 \(\mathcal{O}_X\)-가군이라 하자. 위의 결과에 의해 \(F(\mathcal{F})\)는 차수 \(\leq 0\)에서만 영이 아닌 코호몰로지층을 갖는다. \(\mathcal{G} = H^0(F(\mathcal{F}))\)로 놓고 구별 삼각형 \[K \to F(\mathcal{F}) \to \mathcal{G} \to K[1]\] 을 택하자. 그러면 \(K\)는 차수 \(\leq -1\)에서만 영이 아닌 코호몰로지층을 갖는다. \(F^{-1}\)을 적용하면 구별 삼각형 \[F^{-1}(K) \to \mathcal{F} \to F^{-1}(\mathcal{G}) \to F^{-1}(K')[1]\] 을 얻는다. \(F^{-1}\)에 앞 문단을 적용하면 \(F^{-1}(K)\)는 차수 \(\leq -1\)에서만 영이 아닌 코호몰로지층을 가지므로 화살표 \(F^{-1}(K) \to \mathcal{F}\)는 영이다(유도 범주의 보조정리 06XS). 따라서 \(K \to F(\mathcal{F})\)는 영이고, 처음 구별 삼각형의 선택에 의해 \(F(\mathcal{F}) = \mathcal{G}\)이다.

앞 문단에서 \(F\)가 \(\textit{Coh}(\mathcal{O}_X)\)를 보존하고 실제로 동치 \(H : \textit{Coh}(\mathcal{O}_X) \to \textit{Coh}(\mathcal{O}_X)\)를 정의함을 얻는다. 함자와 사상의 보조정리 0FZR에 의해 \(k\) 위의 자기동형사상 \(f : X \to X\)와 가역 \(\mathcal{O}_X\)-가군 \(\mathcal{L}\)을 얻어 \(H(\mathcal{F}) = f^*\mathcal{F} \otimes \mathcal{L}\)이 된다. \(F'(M) = f^*M \otimes_{\mathcal{O}_X}^\mathbf{L} \mathcal{L}\)로 놓자. 보조정리 0FZU에 의해 \(F\)와 \(F'\)는 형제이다. \(F(\mathcal{O}_x) \cong \mathcal{O}_x\)이고 \(\mathcal{O}_x\)의 지지가 \(\{x\}\)라는 사실에서 \(f\)가 \(X\)의 바탕 위상공간에 항등사상을 유도함을 알 수 있다. 증명이 끝났다.

보조정리

\(k\)를 체라 하고 \(X\), \(Y\)를 \(k\) 위의 고유 스킴으로서 \(X\)는 정칙이라고 하자. \(F, G : D_{perf}(\mathcal{O}_X) \to D_{perf}(\mathcal{O}_Y)\) 를 다음을 만족하는 \(k\)-선형 완전 함자라 하자.

1. \(\dim(\text{Supp}(\mathcal{F})) = 0\)인 임의의 연접 \(\mathcal{O}_X\)-가군 \(\mathcal{F}\)에 대해 \(F(\mathcal{F}) \cong G(\mathcal{F})\)이다.

2. \(F\)는 완전충실이다.

3. \(G\)는 그 핵이 \(D_{perf}(\mathcal{O}_{X \times Y})\)에 속하는 Fourier–Mukai 함자이다.

그러면 Fourier–Mukai 함자 \(F' : D_{perf}(\mathcal{O}_X) \to D_{perf}(\mathcal{O}_Y)\) 가 존재하여 그 핵은 \(D_{perf}(\mathcal{O}_{X \times Y})\)에 속하고, \(F\)와 \(F'\)는 형제이다.

증명

보조정리 0GX0에 의해 \(G\)의 본질적 상은 \(F\)의 본질적 상에 포함된다. \(F\)가 완전충실이므로 의미가 있는 함자 \(H = F^{-1} \circ G\)를 생각하자. 보조정리 0G27에 의해 자기동형사상 \(f : X \to X\)와 가역 \(\mathcal{O}_X\)-가군 \(\mathcal{L}\)을 얻어 함자 \(H' : K \mapsto f^*K \otimes \mathcal{L}\)이 \(H\)의 형제가 된다. 특히 보조정리 0FZV에 의해 \(H\)는 자기동치이고, 그 형제 함자 \(H'\)가 그러하므로 \(H\)는 \(\textit{Coh}(\mathcal{O}_X)\)의 자기동치를 유도한다. 따라서 준역함자 \(H^{-1}\)과 \((H')^{-1}\)이 존재하고 형제이며(작은 세부사항은 생략한다), \((H')^{-1}\)은 \(M\)을 \((f^{-1})^*(M \otimes_{\mathcal{O}_X}^\mathbf{L} \mathcal{L}^{\otimes -1})\) 로 보낸다. 이는 Fourier–Mukai 함자이다(세부사항은 생략한다). 물론 \(F = G \circ H^{-1}\)은 \(G \circ (H')^{-1}\)의 형제이다. 보조정리 0FYS에 의해 Fourier–Mukai 함자들의 합성은 Fourier–Mukai 함자이므로 결론을 얻는다.

완전충실 함자

우리의 목표는 [Orlov-K3]와 [Ballard]를 따라 유도 범주 사이의 완전충실 함자가 Fourier–Mukai 함자의 형제임을 증명하는 것이다.

설정

여기서 \(k\)는 체이고, \(X\), \(Y\)는 \(k\) 위의 고유 매끄러운 스킴이며, \(k\)-선형 완전충실 완전 함자 \(F : D_{perf}(\mathcal{O}_X) \to D_{perf}(\mathcal{O}_Y)\)를 고정한다.

계속 읽기 전에 유도 범주의 절 0D7Y을 적어도 일부 읽어 두는 것이 좋다.

\(X\)가 정칙이고 따라서 분해 성질을 가짐을 상기하자(다양체의 보조정리 056S와 스킴의 유도 범주의 보조정리 0F8A). 따라서 \(X \times X\) 위에서 분해 \[\ldots \to \mathcal{E}_2 \boxtimes \mathcal{G}_2 \to \mathcal{E}_1 \boxtimes \mathcal{G}_1 \to \mathcal{E}_0 \boxtimes \mathcal{G}_0 \to \mathcal{O}_\Delta \to 0\] 를 택할 수 있다. 여기서 각 \(\mathcal{E}_i\)와 \(\mathcal{G}_i\)는 유한 국소 자유 \(\mathcal{O}_X\)-가군이다. 보조정리 0FZ2을 보라. 복합체 [0G09]\[\begin{equation} \ldots \to \mathcal{E}_2 \boxtimes \mathcal{G}_2 \to \mathcal{E}_1 \boxtimes \mathcal{G}_1 \to \mathcal{E}_0 \boxtimes \mathcal{G}_0 \end{equation}\] 를 \(D_{perf}(\mathcal{O}_{X \times X})\)에서 사용하자. 유도 범주의 예 0D8Z와 같이 각 \(n\)에 대해 \[M_n = (\mathcal{E}_n \boxtimes \mathcal{G}_n \to \ldots \to \mathcal{E}_0 \boxtimes \mathcal{G}_0)[-n]\] 로 나타내면 복합체 (0G09)의 무한 Postnikov 계를 얻는다. 이는 사상 \(M_0 \to M_1[1] \to M_2[2] \to \ldots\), \(M_n \to \mathcal{E}_n \boxtimes \mathcal{G}_n\), \(\mathcal{E}_n \boxtimes \mathcal{G}_n \to M_{n - 1}\)이 유도 범주의 정의 0D7Z에 기록된 조건들을 만족한다는 뜻이다. 다음과 같이 놓자. \[\mathcal{F}_n = \Ker(\mathcal{E}_n \boxtimes \mathcal{G}_n \to \mathcal{E}_{n - 1} \boxtimes \mathcal{G}_{n - 1})\] \(\mathcal{O}_\Delta\)가 \(\text{pr}_1\)을 통해 \(X\) 위에서 평탄하므로 모든 \(n\)에 대해 \(\mathcal{F}_n\)도 그러하다. 이는 편리하지만 본질적이지는 않은 관찰이다. 다음이 성립한다. \[H^q(M_n[n]) = \left\{ \begin{matrix} \mathcal{O}_\Delta & \text{인 경우} & q = 0 \\ \mathcal{F}_n & \text{인 경우} & q = -n \\ 0 & \text{인 경우} & q \not = 0, -n \end{matrix} \right.\] 따라서 \(n \geq \dim(X \times X)\)이면 \[M_n[n] \cong \mathcal{O}_\Delta \oplus \mathcal{F}_n[n]\] 가 보조정리 0FZ4에 의해 \(D_{perf}(\mathcal{O}_{X \times X})\)에서 성립한다.

우리는 복합체 [0G0A]\[\begin{equation} \ldots \to \mathcal{E}_2 \boxtimes F(\mathcal{G}_2) \to \mathcal{E}_1 \boxtimes F(\mathcal{G}_1) \to \mathcal{E}_0 \boxtimes F(\mathcal{G}_0) \end{equation}\] 에 \(D_{perf}(\mathcal{O}_{X \times Y})\)에서 관심이 있다. 이 복합체의 “전체화”가 우리가 구성하려는 Fourier–Mukai 함자의 핵을 주어야 하기 때문이다. 모든 \(i, j \geq 0\)에 대해 \[\begin{align*} \Ext^q_{X \times Y}(\mathcal{E}_i \boxtimes F(\mathcal{G}_i), \mathcal{E}_j \boxtimes F(\mathcal{G}_j)) & = \bigoplus\nolimits_p \Ext^{q + p}_X(\mathcal{E}_i, \mathcal{E}_j) \otimes_k \Ext^{-p}_Y(F(\mathcal{G}_i), F(\mathcal{G}_j)) \\ & = \bigoplus\nolimits_p \Ext^{q + p}_X(\mathcal{E}_i, \mathcal{E}_j) \otimes_k \Ext^{-p}_X(\mathcal{G}_i, \mathcal{G}_j) \end{align*}\] 이다. 두 번째 등식은 \(F\)가 완전충실이기 때문이고, 첫 번째 등식은 스킴의 유도 범주의 보조정리 0FXZ에 의한다. \(q < 0\)이면 이 \(\Ext^q\)들이 영임을 얻는다. 따라서 유도 범주의 보조정리 0D83에 의해 복합체 (0G0A)의 무한 Postnikov 계 \(K_0, K_1, K_2, \ldots\)를 \(D_{perf}(\mathcal{O}_{X \times Y})\)에서 구성할 수 있다. \(M_0, M_1, M_2, \ldots\)의 경우와 평행하게, 이는 사상 \(K_0 \to K_1[1] \to K_2[2] \to \ldots\), \(K_n \to \mathcal{E}_n \boxtimes F(\mathcal{G}_n)\) 및 \(\mathcal{E}_n \boxtimes F(\mathcal{G}_n) \to K_{n - 1}\) 을 \(D_{perf}(\mathcal{O}_{X \times Y})\)에서 얻고 이들이 유도 범주의 정의 0D7Z에 기록된 조건들을 만족한다는 뜻이다.

\(\mathcal{F}\)를 지지가 유한 개의 점을 갖는 연접 \(\mathcal{O}_X\)-가군, 즉 \(\dim(\text{Supp}(\mathcal{F})) = 0\)인 가군이라 하자. 삼각 범주의 완전 함자 \[D_{perf}(\mathcal{O}_{X \times Y}) \longrightarrow D_{perf}(\mathcal{O}_Y),\quad N \longmapsto R\text{pr}_{2, *}(\text{pr}_1^*\mathcal{F} \otimes^\mathbf{L}_{\mathcal{O}_{X \times Y}} N)\] 를 생각하자. 그러면 대상 \(R\text{pr}_{2, *}(\text{pr}_1^*\mathcal{F} \otimes^\mathbf{L}_{\mathcal{O}_{X \times Y}} K_i)\)들은 \(D_{perf}(\mathcal{O}_Y)\)에서 항이 \[R\text{pr}_{2, *}( (\mathcal{F} \otimes \mathcal{E}_i) \boxtimes F(\mathcal{G}_i)) = \Gamma(X, \mathcal{F} \otimes \mathcal{E}_i) \otimes_k F(\mathcal{G}_i) = F(\Gamma(X, \mathcal{F} \otimes \mathcal{E}_i) \otimes_k \mathcal{G}_i)\] 인 복합체의 Postnikov 계를 이룬다. 여기서는 \(\mathcal{F} \otimes \mathcal{E}_i\)의 지지 차원이 \(0\)이므로 고차 코호몰로지가 소멸한다는 사실을 사용했다. 한편 완전 함자 \[D_{perf}(\mathcal{O}_{X \times X}) \longrightarrow D_{perf}(\mathcal{O}_Y),\quad N \longmapsto F(R\text{pr}_{2, *}(\text{pr}_1^*\mathcal{F} \otimes^\mathbf{L}_{\mathcal{O}_{X \times X}} N))\] 를 적용하면 대상 \(F(R\text{pr}_{2, *}(\text{pr}_1^*\mathcal{F} \otimes^\mathbf{L}_{\mathcal{O}_{X \times X}} M_n))\) 들이 \(D_{perf}(\mathcal{O}_Y)\)에서 항이 \[F(R\text{pr}_{2, *}( (\mathcal{F} \otimes \mathcal{E}_i) \boxtimes \mathcal{G}_i)) = F(\Gamma(X, \mathcal{F} \otimes \mathcal{E}_i) \otimes_k \mathcal{G}_i)\] 인 복합체의 두 번째 무한 Postnikov 계를 이룸을 얻는다. 이는 앞의 복합체와 같다. \(F\)가 완전충실이어서 \[\Ext^q_Y( F(\Gamma(X, \mathcal{F} \otimes \mathcal{E}_i) \otimes_k \mathcal{G}_i), F(\Gamma(X, \mathcal{F} \otimes \mathcal{E}_j) \otimes_k \mathcal{G}_j)) = 0, \quad q < 0\] 이고, 따라서 적용할 수 있는 Postnikov 계의 유일성(유도 범주의 보조정리 0D83)에 의해 동형사상들의 계 \[F(R\text{pr}_{2, *}(\text{pr}_1^*\mathcal{F} \otimes^\mathbf{L}_{\mathcal{O}_{X \times X}} M_n[n])) \cong R\text{pr}_{2, *}(\text{pr}_1^*\mathcal{F} \otimes^\mathbf{L}_{\mathcal{O}_{X \times Y}} K_n[n])\] 를 \(D_{perf}(\mathcal{O}_Y)\)에서 얻는다. 이는 다음 Postnikov 계의 구조 일부인 사상들이 \(D_{perf}(\mathcal{O}_Y)\)에서 유도하는 사상들과 양립한다. \[M_{n - 1}[n - 1] \to M_n[n] \quad\text{및}\quad K_{n - 1}[n - 1] \to K_n[n]\] \[M_n \to \mathcal{E}_n \boxtimes \mathcal{G}_n \quad\text{및}\quad K_n \to \mathcal{E}_n \boxtimes F(\mathcal{G}_n)\] \[\mathcal{E}_n \boxtimes \mathcal{G}_n \to M_{n - 1} \quad\text{및}\quad \mathcal{E}_n \boxtimes F(\mathcal{G}_n) \to K_{n - 1}\] 충분히 큰 \(n\)에 대해 직합분해 \[F(R\text{pr}_{2, *}(\text{pr}_1^*\mathcal{F} \otimes^\mathbf{L}_{\mathcal{O}_{X \times X}} M_n[n])) = F(\mathcal{F}) \oplus F(R\text{pr}_{2, *}( \text{pr}_1^*\mathcal{F} \otimes_{\mathcal{O}_{X \times Y}} \mathcal{F}_n ))[n]\] 를 얻으며, 이는 위에서 구성한 \(M_n\)의 직합분해에 대응한다. 위의 식에 통상적 텐서곱을 쓰기 위해 \(\mathcal{F}_n\)이 \(\text{pr}_1\)을 통해 \(X\) 위에서 평탄하다는 사실을 사용했지만 논증에는 본질적이지 않다. 보조정리 0FZ8에 의해 정수 \(m \geq 0\)이 존재하여 이 직합분해의 첫 직합인자는 \([-m, m]\) 안에서만 영이 아닌 코호몰로지층을 갖고, 두 번째 직합인자는 \([-m - n, m + \dim(X) - n]\) 안에서만 영이 아닌 코호몰로지층을 갖는다. 따라서 필요하면 \(m\)을 더 큰 정수로 바꾼 뒤 \(D_{perf}(\mathcal{O}_{X \times Y})\)의 계 \(K_0 \to K_1[1] \to K_2[2] \to \ldots\)가 보조정리 0FZ9의 가정을 만족한다. 따라서 \[K_n[n] = K \oplus C_n\] 로 쓸 수 있다. 이는 \(n \gg 0\)에서 전이사상과 양립하며, \(C_n\)은 \([-m - n, m - n]\) 안에서만 영이 아닌 코호몰로지층을 갖는다. \(K\)에 대응하는 Fourier–Mukai 함자를 \(G\)로 나타내자. 모든 것을 합치면 \[\begin{matrix} G(\mathcal{F}) \oplus R\text{pr}_{2, *}( \text{pr}_1^*\mathcal{F} \otimes_{\mathcal{O}_{X \times Y}}^\mathbf{L} C_n) \cong \\ R\text{pr}_{2, *}(\text{pr}_1^*\mathcal{F} \otimes^\mathbf{L}_{\mathcal{O}_{X \times Y}} K_n[n]) \cong \\ F(R\text{pr}_{2, *}(\text{pr}_1^*\mathcal{F} \otimes^\mathbf{L}_{\mathcal{O}_{X \times X}} M_n[n])) \cong \\ F(\mathcal{F}) \oplus F(R\text{pr}_{2, *}( \text{pr}_1^*\mathcal{F} \otimes_{\mathcal{O}_{X \times Y}} \mathcal{F}_n ))[n] \end{matrix}\] 를 얻는다. 대상들이 놓이는 차수를 살펴보면 \(n \gg m\)일 때 동형사상 \[F(\mathcal{F}) \cong G(\mathcal{F})\] 을 얻는다. 더욱이 이는 지지 차원이 \(0\)인 \(X\) 위의 모든 연접 \(\mathcal{F}\)에 대해 성립함을 상기하자.

보조정리

\(k\)를 체라 하고, \(X\)와 \(Y\)를 \(k\) 위의 매끄럽고 고유한 스킴이라 하자. \(k\)-선형 완전충실 완전 함자 \(F : D_{perf}(\mathcal{O}_X) \to D_{perf}(\mathcal{O}_Y)\) 가 주어지면, 그 핵이 \(D_{perf}(\mathcal{O}_{X \times Y})\)에 속하고 \(F\)의 형제인 Fourier–Mukai 함자 \(F' : D_{perf}(\mathcal{O}_X) \to D_{perf}(\mathcal{O}_Y)\)가 존재한다.

증명

\(F\)와 위에서 구성한 함자 \(G\)에 보조정리 0G06를 적용한다.

다음 정리는 \(X\)가 사영적이라는 가정 없이도 참이다. [Noah]를 보라.

정리

\(k\)를 체라 하자. \(X\)와 \(Y\)를 \(k\) 위의 매끄럽고 고유한 스킴이라 하고, \(X\)는 \(k\) 위에서 사영적이라 하자. 임의의 \(k\)-선형 완전충실 완전 함자 \(F : D_{perf}(\mathcal{O}_X) \to D_{perf}(\mathcal{O}_Y)\)는 \(D_{perf}(\mathcal{O}_{X \times Y})\)에 속하는 어떤 핵에 대한 Fourier–Mukai 함자이다.

증명

보조정리 0G0B에서처럼 \(F\)의 형제인 Fourier–Mukai 함자를 \(F'\)이라 하자. \(\textit{Coh}(\mathcal{O}_X)\)가 충분한 음의 대상을 가짐을 보일 수 있다면 명제 0FZW에 의해 \(F \cong F'\)이다. 그러나 예를 들어 \(X = \Spec(k)\)이면 이는 참이 아니다. 따라서 먼저 \(X = \coprod X_i\)를 연결(따라서 기약인) 성분들로 분해하고, 각 (완전충실) 합성함자 \[F_i : D_{perf}(\mathcal{O}_{X_i}) \to D_{perf}(\mathcal{O}_X) \to D_{perf}(\mathcal{O}_Y)\] 에 대해 결과를 증명하면 충분함을 논증한다. 세부사항은 생략한다. 그러므로 \(X\)가 기약이라고 가정할 수 있다.

\(\dim(X) = 0\)인 경우. 이때 \(X\)는 유한 (분리) 확대 \(k'/k\)의 스펙트럼이고, 따라서 \(D_{perf}(\mathcal{O}_X)\)는 \(\mathcal{O}_X\)가 차수 \(0\)의 자명한 \(1\)차원 벡터공간에 대응하는 등급 \(k'\)-벡터공간들의 범주와 동치이다. 임의의 두 형제 \(F, F' : D_{perf}(\mathcal{O}_X) \to D_{perf}(\mathcal{O}_Y)\)가 동형임은 쉽게 알 수 있다. 실제로 \(k\)-대수 \(k' = \text{End}_{D_{perf}(\mathcal{O}_X)}(\mathcal{O}_X)\)의 작용과 양립하는 동형사상 \(F(\mathcal{O}_X) \cong F'(\mathcal{O}_X)\) 가 주어지며, 이는 임의의 등급 \(k'\)-벡터공간 위의 동형사상으로 표준적으로 확장된다.

\(\dim(X) > 0\)인 경우. 이때 \(X\)는 차원 \(> 1\)인 사영 매끄러운 다양체이다. \(\mathcal{F}\)를 연접 \(\mathcal{O}_X\)-가군이라 하자. 다음을 만족하는 연접 가군 \(\mathcal{N}\)이 존재함을 보여야 한다.

1. 전사사상 \(\mathcal{N} \to \mathcal{F}\)가 존재하고,

2. \(\Hom(\mathcal{F}, \mathcal{N}) = 0\).

풍부한 가역 \(\mathcal{O}_X\)-가군 \(\mathcal{L}\)을 택하자. \(n \ll 0\)이고 \(r\)이 충분히 크면 \(\mathcal{N} = (\mathcal{L}^{\otimes n})^{\oplus r}\)로 둘 수 있다고 주장한다. 조건 (1)은 성질, 명제 01Q3에서 따른다. 마지막으로 \[\Hom(\mathcal{F}, \mathcal{L}^{\otimes n}) = H^0(X, \SheafHom(\mathcal{F}, \mathcal{L}^{\otimes n})) = H^0(X, \SheafHom(\mathcal{F}, \mathcal{O}_X) \otimes \mathcal{L}^{\otimes n})\] 이다. 쌍대 \(\SheafHom(\mathcal{F}, \mathcal{O}_X)\)는 꼬임이 없으므로, 다양체, 보조정리 0FD7에 의해 이는 \(n \ll 0\)에서 영이다. 이로써 증명이 끝난다.

명제

\(k\)를 체라 하고, \(X\)와 \(Y\)를 \(k\) 위의 매끄럽고 고유한 스킴이라 하자. \(F : D_{perf}(\mathcal{O}_X) \to D_{perf}(\mathcal{O}_Y)\)가 삼각 범주들의 \(k\)-선형 완전 동치이면, 그 핵이 \(D_{perf}(\mathcal{O}_{X \times Y})\)에 속하고 \(F\)의 형제인 동치 Fourier–Mukai 함자 \(F' : D_{perf}(\mathcal{O}_X) \to D_{perf}(\mathcal{O}_Y)\)가 존재한다.

증명

보조정리 0G0B의 함자 \(F'\)은 보조정리 0FZV에 의해 동치이다.

보조정리

\(k\)를 체라 하고, \(X\)를 \(k\) 위의 매끄럽고 고유한 스킴이라 하자. \(K \in D_{perf}(\mathcal{O}_{X \times X})\)라 하자. Fourier–Mukai 함자 \(\Phi_K : D_{perf}(\mathcal{O}_X) \to D_{perf}(\mathcal{O}_X)\)가 항등함자와 동형이면, \(_{perf}(\mathcal{O}_{X \times X})\)에서 \(K \cong \Delta_*\mathcal{O}_X\)이다.

증명

코호몰로지층 \(H^i(K)\)가 영이 아니게 되는 최소 정수를 \(i\)라 하자. \(\mathcal{E}\)와 \(\mathcal{G}\)를 유한 국소자유 \(\mathcal{O}_X\)-가군이라 하자. 그러면 \[\begin{align*} H^i(X \times X, K \otimes_{\mathcal{O}_{X \times X}}^\mathbf{L} (\mathcal{E} \boxtimes \mathcal{G})) & = H^i(X, R\text{pr}_{2, *}(K \otimes_{\mathcal{O}_{X \times X}}^\mathbf{L} (\mathcal{E} \boxtimes \mathcal{G}))) \\ & = H^i(X, \Phi_K(\mathcal{E}) \otimes_{\mathcal{O}_X}^\mathbf{L} \mathcal{G}) \\ & \cong H^i(X, \mathcal{E} \otimes \mathcal{G}) \end{align*}\] 이고, 이는 \(i < 0\)이면 영이다. 한편 보조정리 0FZ0에 의해 전사사상 \(\mathcal{E}^\vee \boxtimes \mathcal{G}^\vee \to H^i(K)\)가 존재하도록 \(\mathcal{E}\)와 \(\mathcal{G}\)를 택할 수 있다. 이 경우 위 등식들의 좌변은 영이 아니다. 따라서 \(i < 0\)이면 \(H^i(K) = 0\)이다.

\(H^i(K)\)가 영이 아니게 되는 최대 정수를 \(i\)라 하자. 지지 차원이 \(0\)인 \(\mathcal{E}\)와 \(\mathcal{G}\)에 같은 논증을 적용하면 \(i \leq 0\)임을 알 수 있다. 따라서 \(K\)는 차수 \(0\)에 놓인 하나의 연접 \(\mathcal{O}_{X \times X}\)-가군 \(\mathcal{K}\)로 주어진다.

\(R\text{pr}_{2, *}(\text{pr}_1^*\mathcal{F} \otimes \mathcal{K})\)가 \(\mathcal{F}\)이므로, 닫힌 점들에 지지되는 \(\mathcal{F}\)를 취하면 \(\mathcal{K}\)의 지지가 \(\text{pr}_2\)를 통해 \(X\) 위에서 유한임을 알 수 있다. \(R\text{pr}_{2, *}(\mathcal{K}) \cong \mathcal{O}_X\)이므로 함자와 사상, 보조정리 0FZP 에 의해 둘째 사영의 어떤 단면 \(s : X \to X \times X\)에 대해 \(\mathcal{K} = s_*\mathcal{O}_X\)이다. 그러면 \(f = \text{pr}_1 \circ s\)라 할 때 \(\Phi_K(M) = f^*M\)이고, 이는 \(s\)가 대각사상일 때에만 가능하다. 이것이 원하는 결론이다.

Fourier–Mukai 핵들의 범주

\(S\)를 스킴이라 하자. 다음과 같은 범주가 존재한다고 주장한다.

1. 대상은 \(S\) 위의 고유하고 매끄러운 스킴이다.

2. \(X\)에서 \(Y\)로 가는 사상은 \(D_{perf}(\mathcal{O}_{X \times_S Y})\)의 대상들의 동형류이다.

3. \(K \in D_{perf}(\mathcal{O}_{X \times_S Y})\)의 동형류와 \(D_{perf}(\mathcal{O}_{Y \times_S Z})\)에 속하는 \(K'\)의 동형류의 합성은 다음 대상의 동형류이다. \[R\text{pr}_{13, *}( L\text{pr}_{12}^*K \otimes_{\mathcal{O}_{X \times_S Y \times_S Z}}^\mathbf{L} L\text{pr}_{23}^*K')\] 이는 스킴의 유도 범주, 보조정리 0B91에 의해 \(D_{perf}(\mathcal{O}_{X \times_S Z})\)에 속한다.

4. \(X\)에서 \(X\)로 가는 항등사상은 \(\Delta_{X/S, *}\mathcal{O}_X\)의 동형류이다. 이는 사상에 대한 보충, 보조정리 0G2E 와 나눗수, 보조정리 067U 및 사상에 대한 보충, 보조정리 068C에 의해 \(\Delta_{X/S}\)가 완전 사상이라는 사실로부터 \(D_{perf}(\mathcal{O}_{X \times_S X})\)에 속한다.

사상 합성의 결합법칙이 성립함을 확인하자. 항등사상들이 실제로 항등원임을 확인하는 일은 생략한다. 이를 위해 \(X, Y, Z, W\)와 \(c \in D_{perf}(\mathcal{O}_{X \times_S Y})\), \(c' \in D_{perf}(\mathcal{O}_{Y \times_S Z})\) 및 \(c'' \in D_{perf}(\mathcal{O}_{Z \times_S W})\)가 주어졌다고 하자. 그러면 \[\begin{align*} c'' \circ (c' \circ c) & \cong \text{pr}^{134}_{14, *}( \text{pr}^{134, *}_{13} \text{pr}^{123}_{13, *}(\text{pr}^{123, *}_{12}c \otimes \text{pr}^{123, *}_{23}c') \otimes \text{pr}^{134, *}_{34}c'') \\ & \cong \text{pr}^{134}_{14, *}( \text{pr}^{1234}_{134, *} \text{pr}^{1234, *}_{123}(\text{pr}^{123, *}_{12}c \otimes \text{pr}^{123, *}_{23}c') \otimes \text{pr}^{134, *}_{34}c'') \\ & \cong \text{pr}^{134}_{14, *}( \text{pr}^{1234}_{134, *} (\text{pr}^{1234, *}_{12}c \otimes \text{pr}^{1234, *}_{23}c') \otimes \text{pr}^{134, *}_{34}c'') \\ & \cong \text{pr}^{134}_{14, *} \text{pr}^{1234}_{134, *} ((\text{pr}^{1234, *}_{12}c \otimes \text{pr}^{1234, *}_{23}c') \otimes \text{pr}^{1234, *}_{34}c'') \\ & \cong \text{pr}^{1234}_{14, *}( (\text{pr}^{1234, *}_{12}c \otimes \text{pr}^{1234, *}_{23}c') \otimes \text{pr}^{1234, *}_{34}c'') \end{align*}\] 여기서 사영들을 다음과 같이 표기하며, 다른 첨자들에 대해서도 마찬가지로 표기한다. \[p^{1234}_{134} : X \times_S Y \times_S Z \times_S W \to X \times_S Z \times_S W \quad\text{및}\quad p^{134}_{14} : X \times_S Z \times_S W \to X \times_S W\] 또한 \(R\text{pr}_*\) 대신 \(\text{pr}_*\)를, \(L\text{pr}^*\) 대신 \(\text{pr}^*\)를 쓰고, \(\otimes\)의 모든 위첨자와 아래첨자를 생략한다. 첫째 등식은 합성의 정의이다. 둘째 등식은 밑변환에 의해 \(\text{pr}^{134, *}_{13} \text{pr}^{123}_{13, *} = \text{pr}^{1234}_{134, *} \text{pr}^{1234, *}_{123}\) 이기 때문에 성립한다(스킴의 유도 범주, 보조정리 08IB). 셋째 등식은 당김들이 올바르게 합성되고 텐서곱을 통과하기 때문에 성립한다. 코호몰로지, 보조정리 0D5S와 079U를 보라. 넷째 등식은 \(p^{1234}_{134}\)에 대한 “사영 공식”에서 따른다. 스킴의 유도 범주, 보조정리 08EU를 보라. 다섯째 등식은 고유한 밂이 합성과 양립한다는 내용이다. 코호몰로지, 보조정리 0D5T를 보라. 텐서곱은 결합적이므로 이로써 합성의 결합법칙에 대한 증명이 끝난다.

보조정리

\(S' \to S\)를 스킴의 사상이라 하자. 다음 대응은 \(S\)에 대해 정의된 범주에서 \(S'\)에 대해 정의된 범주로 가는 함자이다.

1. \(S\) 위의 매끄럽고 고유한 스킴 \(X\)를 \(X' = S' \times_S X\)로 보내고,

2. \(D_{perf}(\mathcal{O}_{X \times_S Y})\)의 대상 \(K\)의 동형류를 \(D_{perf}(\mathcal{O}_{X' \times_{S'} Y'})\)에 속하는 \(L(X' \times_{S'} Y' \to X \times_S Y)^*K\) 의 동형류로 보낸다.

증명

이를 보기 위해 \(X, Y, Z\)와 \(K \in D_{perf}(\mathcal{O}_{X \times_S Y})\) 및 \(M \in D_{perf}(\mathcal{O}_{Y \times_S Z})\)가 주어졌다고 하자. 보조정리의 명제에서와 같은 이들의 당김을 각각 \(K' \in D_{perf}(\mathcal{O}_{X' \times_{S'} Y'})\)와 \(M' \in D_{perf}(\mathcal{O}_{Y' \times_{S'} Z'})\) 로 나타내자. 도식 \[\xymatrix{ X' \times_{S'} Y' \times_{S'} Z' \ar[r] \ar[d]_{\text{pr}'_{13}} & X \times_S Y \times_S Z \ar[d]^{\text{pr}_{13}} \\ X' \times_{S'} Z' \ar[r] & X \times_S Z }\] 은 데카르트 도식이고 \(\text{pr}_{13}\)은 고유하고 매끄럽다. 스킴의 유도 범주, 보조정리 0B91 에 의해 아래쪽 수평 화살표에 의한 다음 합성의 유도 당김은 \[R\text{pr}_{13, *}( L\text{pr}_{12}^*K \otimes_{\mathcal{O}_{X \times_S Y \times_S Z}}^\mathbf{L} L\text{pr}_{23}^*M)\] 실제로 다음 대상과 (표준적으로) 동형이다. \[R\text{pr}'_{13, *}( L(\text{pr}'_{12})^*K' \otimes_{\mathcal{O}_{X' \times_{S'} Y' \times_{S'} Z'}}^\mathbf{L} L(\text{pr}'_{23})^*M')\] 이는 원하는 바이다. 일부 세부사항은 생략한다.

상대 동치

이 절에서는 다음 개념에 관한 몇 가지 보조정리를 증명한다.

정의

\(S\)를 스킴이라 하고, \(X \to S\)와 \(Y \to S\)를 매끄럽고 고유한 사상이라 하자. 다음을 만족하는 대상 \(K' \in D_{perf}(\mathcal{O}_{X \times_S Y})\)가 존재하면, 대상 \(K \in D_{perf}(\mathcal{O}_{X \times_S Y})\)를 \(S\) 위에서 \(X\)로부터 \(Y\)로 가는 상대 동치의 Fourier–Mukai 핵이라 한다. \[\Delta_{X/S, *}\mathcal{O}_X \cong R\text{pr}_{13, *}(L\text{pr}_{12}^*K \otimes_{\mathcal{O}_{X \times_S Y \times_S X}}^\mathbf{L} L\text{pr}_{23}^*K')\] \(D(\mathcal{O}_{X \times_S X})\)에서 이 동형이 성립하고, \[\Delta_{Y/S, *}\mathcal{O}_Y \cong R\text{pr}_{13, *}(L\text{pr}_{12}^*K' \otimes_{\mathcal{O}_{Y \times_S X \times_S Y}}^\mathbf{L} L\text{pr}_{23}^*K)\] \(D(\mathcal{O}_{Y \times_S Y})\)에서 이 동형이 성립한다. 다시 말해 \(K\)의 동형류는 절 0G0F에서 정의한 범주의 가역 화살표를 정의한다.

이 용어는 의도적으로 번거롭게 만들었다.

보조정리

정의 0G0I의 표기를 쓰자. \(K\)를 \(S\) 위에서 \(X\)로부터 \(Y\)로 가는 상대 동치의 Fourier–Mukai 핵이라 하자. 그러면 이에 대응하는 Fourier–Mukai 함자 \(\Phi_K : D_\QCoh(\mathcal{O}_X) \to D_\QCoh(\mathcal{O}_Y)\) (보조정리 0FYR)와 \(\Phi_K : D_{perf}(\mathcal{O}_X) \to D_{perf}(\mathcal{O}_Y)\) (보조정리 0FYT)는 동치이다.

증명

보조정리 0FYS와 예 0FYV에서 즉시 따른다.

보조정리

정의 0G0I의 표기를 쓰자. \(K\)를 \(S\) 위에서 \(X\)로부터 \(Y\)로 가는 상대 동치의 Fourier–Mukai 핵이라 하자. \(S_1 \to S\)를 스킴의 사상이라 하고, \(X_1 = S_1 \times_S X\) 및 \(Y_1 = S_1 \times_S Y\)라 하자. 그러면 당김 \(K_1 = L(X_1 \times_{S_1} Y_1 \to X \times_S Y)^*K\)는 \(S_1\) 위에서 \(X_1\)으로부터 \(Y_1\)으로 가는 상대 동치의 Fourier–Mukai 핵이다.

증명

정의 0G0I에서 존재한다고 가정한 대상을 \(K' \in D_{perf}(\mathcal{O}_{Y \times_S X})\)라 하자. \(Y_1 \times_{S_1} X_1 \to Y \times_S X\)에 의한 \(K'\)의 당김을 \(K'_1\)이라 나타내자. 그러면 다음 동형과 다른 조건에 대한 같은 동형을 증명하면 충분하다. \[\Delta_{X_1/S_1, *}\mathcal{O}_X \cong R\text{pr}_{13, *}(L\text{pr}_{12}^*K_1 \otimes_{\mathcal{O}_{X_1 \times_{S_1} Y_1 \times_{S_1} X_1}}^\mathbf{L} L\text{pr}_{23}^*K_1')\] \(D(\mathcal{O}_{X_1 \times_{S_1} X_1})\)에서, \[\xymatrix{ X_1 \times_{S_1} Y_1 \times_{S_1} X_1 \ar[r] \ar[d]_{\text{pr}_{13}} & X \times_S Y \times_S X \ar[d]^{\text{pr}_{13}} \\ X_1 \times_{S_1} X_1 \ar[r] & X \times_S X }\] 이 데카르트 도식이므로, 스킴의 유도 범주, 보조정리 0B91 에 의해 다음을 증명하면 충분하다. \[\Delta_{X_1/S_1, *}\mathcal{O}_{X_1} \cong L(X_1 \times_{S_1} X_1 \to X \times_S X)^*\Delta_{X/S, *}\mathcal{O}_X\] 이는 다시 \(X\)와 \(X_1 \times_{S_1} X_1\)이 \(X \times_S X\) 위에서 Tor-독립이면 참이다. 스킴의 유도 범주, 보조정리 08IB를 보라. 이 Tor-독립성은 직접 확인할 수도 있지만, 꼭짓점이 \(X, X, X, S\)인 정사각형과 이를 \(S_1 \to S\)로 밑변환한 정사각형에 더 일반적인 사상에 대한 보충, 보조정리 0CTA를 적용해도 따른다.

보조정리

\(S = \lim_{i \in I} S_i\)를 아핀 전이사상 \(g_{i'i} : S_{i'} \to S_i\)를 갖는 스킴들의 유향계의 극한이라 하자. 모든 \(i \in I\)에 대해 \(S_i\)가 준콤팩트이고 준분리라고 가정한다. \(0 \in I\)라 하자. \(X_0 \to S_0\)와 \(Y_0 \to S_0\)를 매끄럽고 고유한 사상이라 하자. \(i \geq 0\)에 대해 \(X_i = S_i \times_{S_0} X_0\)라 두고 \(X = S \times_{S_0} X_0\)라 두며, \(Y_0\)에 대해서도 마찬가지로 둔다. \(K\)가 \(S\) 위에서 \(X\)로부터 \(Y\)로 가는 상대 동치의 Fourier–Mukai 핵이면, 어떤 \(i \geq 0\)에 대해 \(S_i\) 위에서 \(X_i\)로부터 \(Y_i\)로 가는 상대 동치의 Fourier–Mukai 핵이 존재한다.

증명

정의 0G0I에서 존재한다고 가정한 대상을 \(K' \in D_{perf}(\mathcal{O}_{Y \times_S X})\)라 하자. \(X \times_S Y = \lim X_i \times_{S_i} Y_i\)이므로, 어떤 \(i\)와 \(D_{perf}(\mathcal{O}_{Y_i \times_{S_i} X_i})\)의 대상 \(K_i\), \(K'_i\)가 존재하여 \(Y \times_S X\)로의 당김이 \(K\), \(K'\)을 준다. 스킴의 유도 범주, 보조정리 09RF를 보라. 스킴의 유도 범주, 보조정리 0B91 에 의해 대상 \[R\text{pr}_{13, *}(L\text{pr}_{12}^*K_i \otimes_{\mathcal{O}_{X_i \times_{S_i} Y_i \times_{S_i} X_i}}^\mathbf{L} L\text{pr}_{23}^*K_i')\] 은 완전하고, 이를 \(X \times_S X\)로 당기면 다음과 같다. \[R\text{pr}_{13, *}(L\text{pr}_{12}^*K \otimes_{\mathcal{O}_{X \times_S Y \times_S X}}^\mathbf{L} L\text{pr}_{23}^*K') \cong \Delta_{X/S, *}\mathcal{O}_X\] 보조정리 0G0K의 증명을 보라. 한편 \(X_i \to S\)는 매끄럽고 분리이므로 대상 \[\Delta_{i, *}\mathcal{O}_{X_i}\] \(D(\mathcal{O}_{X_i \times_{S_i} X_i})\)도 완전하다(사상에 대한 보충, 보조정리 0FDP 및 0B6G에 의해). 그리고 이를 \(X \times_S X\)로 당기면 다음과 같다. \[\Delta_{X/S, *}\mathcal{O}_X\] 보조정리 0G0K의 증명을 보라. 따라서 스킴의 유도 범주, 보조정리 09RF에 의해 \(i\)를 증가시킨 뒤에는 다음을 가정할 수 있다. \[\Delta_{i, *}\mathcal{O}_{X_i} \cong R\text{pr}_{13, *}(L\text{pr}_{12}^*K_i \otimes_{\mathcal{O}_{X_i \times_{S_i} Y_i \times_{S_i} X_i}}^\mathbf{L} L\text{pr}_{23}^*K_i')\] 이는 원하는 바이다. \(K\)와 \(K'\)의 역할을 뒤바꾸어도 같은 논증이 성립한다.

변형 없음

이 절의 제목은 보조정리 0G0R를 가리킨다.

보조정리

\((R, \mathfrak m, \kappa) \to (A, \mathfrak n, \lambda)\)를 본질적으로 유한 표시인 국소환들의 평탄한 국소환 준동형이라 하자. \(\overline{f}_1, \ldots, \overline{f}_r \in \mathfrak n/\mathfrak m A \subset A/\mathfrak m A\)를 정칙열이라 하고 \(K \in D(A)\)라 하자. 다음을 가정한다.

1. \(K\)는 완전하고,

2. \(K \otimes_A^\mathbf{L} A/\mathfrak m A\)는 \(D(A/\mathfrak m A)\)에서 \(\overline{f}_1, \ldots, \overline{f}_r\)에 대한 Koszul 복합체와 동형이다.

그러면 \(K\)는 \(D(A)\)에서 주어진 원소 \(\overline{f}_1, \ldots, \overline{f}_r\)을 올리는 정칙열 \(f_1, \ldots, f_r \in A\)에 대한 Koszul 복합체와 동형이다. 더욱이 \(A/(f_1, \ldots, f_r)\)은 \(R\) 위에서 평탄하다.

증명

이 보조정리의 증명에서는 사슬 복합체를 사용하자. Koszul 복합체 \(K_\bullet(\overline{f}_1, \ldots, \overline{f}_r)\)는 대수학에 대한 보충, 정의 0623에서 정의된다. 대수학에 대한 보충, 보조정리 0BCB에 의해 \(K\)를 다음 복합체로 나타낼 수 있다. \[K_\bullet : A \to A^{\oplus r} \to \ldots \to A^{\oplus r} \to A\] 이를 \(A/\mathfrak mA\)와 텐서곱하면 \(K_\bullet(\overline{f}_1, \ldots, \overline{f}_r)\)와 (동형인 것이 아니라) 같다(!). 화살표 \(A^{\oplus r} \to A\)의 성분들을 \(f_1, \ldots, f_r \in A\)라 나타내자. 이 \(f_i\)들은 \(\overline{f}_i\)의 올림이다. 대수학, 보조정리 0470 에 의해 \(f_1, \ldots, f_r\)은 \(A\)에서 정칙열을 이루고 \(A/(f_1, \ldots, f_r)\)은 \(R\) 위에서 평탄하다. \(J = (f_1, \ldots, f_r) \subset A\)라 하자. 도식 \[\xymatrix{ K_\bullet \ar[rd] \ar@{..>}[rr]_{\varphi_\bullet} & & K_\bullet(f_1, \ldots, f_r) \ar[ld] \\ & A/J }\] \(f_1, \ldots, f_r\)은 정칙열이므로 남서쪽 화살표는 준동형사상이다(대수학에 대한 보충, 보조정리 062F를 보라). 따라서 예를 들어 대수학, 보조정리 00LS에 의해 도식을 가환하게 하는 점선 화살표를 찾을 수 있다. \(\mathfrak m\)으로 나누어 가환 도식 \[\xymatrix{ K_\bullet(\overline{f}_1, \ldots, \overline{f}_r) \ar[rd] \ar[rr]_{\overline{\varphi}_\bullet} & & K_\bullet(\overline{f}_1, \ldots, \overline{f}_r) \ar[ld] \\ & (A/\mathfrak m A)/(\overline{f}_1, \ldots, \overline{f}_r) }\] 을 얻는데, 이는 \(K_\bullet\)의 선택에 따른 것이다. 따라서 \(\overline{\varphi}\)는 유도 범주 \(D(A/\mathfrak m A)\)에서 동형사상이다. 그러므로 \(\overline{\varphi} \otimes_{A/\mathfrak m A}^\mathbf{L} \lambda\)도 동형사상이다. \(\overline{f}_i \in \mathfrak n / \mathfrak m A\)이므로 \[\text{Tor}_i^{A/\mathfrak m A}( K_\bullet(\overline{f}_1, \ldots, \overline{f}_r), \lambda) = K_i(\overline{f}_1, \ldots, \overline{f}_r) \otimes_{A/\mathfrak m A} \lambda\] 이다. 따라서 \(\varphi_i \bmod \mathfrak n\)은 가역이다. \(A\)가 국소환이므로 이는 \(\varphi_i\)가 동형사상이라는 뜻이며, 증명이 끝난다.

보조정리

\(R \to S\)를 뇌터 환들의 유한형 평탄 환 사상이라 하자. \(\mathfrak q \subset S\)를 \(\mathfrak p \subset R\) 위에 놓이는 소아이디얼이라 하고, \(K \in D(S)\)를 완전 대상이라 하자. \(f_1, \ldots, f_r \in \mathfrak q S_\mathfrak q\)를 정칙열이라 하자. \(S_\mathfrak q/(f_1, \ldots, f_r)\)은 \(R\) 위에서 평탄하고, \(K \otimes_S^\mathbf{L} S_\mathfrak q\)는 \(f_1, \ldots, f_r\)에 대한 Koszul 복합체와 동형이라고 가정한다. 그러면 다음을 만족하는 \(g \in S\), \(g \not \in \mathfrak q\)가 존재한다.

1. \(f_1, \ldots, f_r\)은 \(f'_1, \ldots, f'_r \in S_g\)의 상이고,

2. \(f'_1, \ldots, f'_r\)은 \(S_g\)에서 정칙열을 이루며,

3. \(S_g/(f'_1, \ldots, f'_r)\)은 \(R\) 위에서 평탄하고,

4. \(K \otimes_S^\mathbf{L} S_g\)는 \(f_1, \ldots, f_r\)에 대한 Koszul 복합체와 동형이다.

증명

국소화의 정의에 의해 조건 (1)을 만족하는 \(g \in S\), \(g \not \in \mathfrak q\)를 찾을 수 있다. 어떤 \(g' \in S\), \(g' \not \in \mathfrak q\)에 대해 \(g\)를 \(gg'\)로 바꾼 뒤에는 (2)가 성립한다고 가정할 수 있다. 대수학, 보조정리 061L를 보라. 대수학, 정리 00RC에 의해 \(S_g/(f'_1, \ldots, f'_r)\)은 \(\mathfrak q\)의 한 열린 근방에서 \(R\) 위에 평탄하다. 따라서 다시 어떤 \(g' \in S\), \(g' \not \in \mathfrak q\)에 대해 \(g\)를 \(gg'\)로 바꾼 뒤에는 (3)도 성립한다고 가정할 수 있다. 마지막으로 대수학에 대한 보충, 보조정리 0BC7에 의해 한 번 더 바꾸면 (4)를 얻는다.

다음 보조정리의 일반화는 공간의 사상에 대한 보충, 보조정리 05XD. 를 보라.

보조정리

\(S\)를 뇌터 스킴이라 하고 \(s \in S\)라 하자. \(p : X \to Y\)를 \(S\) 위의 스킴 사상이라 하자. 다음을 가정한다.

1. \(Y \to S\)와 \(X \to S\)는 고유하고,

2. \(X\)는 \(S\) 위에서 평탄하며,

3. \(X_s \to Y_s\)는 동형사상이다.

그러면 \(s\)의 열린 근방 \(U \subset S\)가 존재하여 밑변환 \(X_U \to Y_U\)가 동형사상이다.

증명

\(p\)는 사상, 보조정리 01W5. 에 의해 고유하다. 스킴의 코호몰로지, 보조정리 02OH 에 의해 열린 부분 \(Y_s \subset V \subset Y\)가 존재하여 \(p|_{p^{-1}(V)} : p^{-1}(V) \to V\)는 유한이다. 사상에 대한 보충, 정리 039B 에 의해 열린 부분 \(X_s \subset U \subset X\)가 존재하여 \(p|_U : U \to Y\)는 평탄하다. \(X \setminus U\)와 \(Y \setminus V\)의 상들 (이들은 \(s\)를 포함하지 않는 닫힌 부분집합이다)을 제거하면 \(p\)가 평탄하고 유한이라고 가정할 수 있다. 그러면 \(p\)는 열린 사상이고(사상, 보조정리 01UA), \(Y_s \subset p(X) \subset Y\)이므로 \(S\)를 축소한 뒤 \(p\)가 전사라고 가정할 수 있다. \(p_s : X_s \to Y_s\)가 동형사상이므로 연접 \(\mathcal{O}_Y\)-가군의 사상 \[p^\sharp : \mathcal{O}_Y \longrightarrow p_*\mathcal{O}_X\] (\(p\)는 유한이다)은 \(i : Y_s \to Y\)로 당기면 동형사상이 된다(예를 들어 스킴의 코호몰로지, 보조정리 02KG에 의해). Nakayama 보조정리에 의해 모든 \(y \in Y_s\)에 대해 \(\mathcal{O}_{Y, y} \to (p_*\mathcal{O}_X)_y\)는 전사이다. 따라서 열린 부분 \(Y_s \subset V \subset Y\)가 존재하여 \(p^\sharp|_V\)는 전사이다(가군, 보조정리 01B8). 그러므로 \(S\)를 한 번 더 축소한 뒤에는 \(p^\sharp\)가 전사라고 가정할 수 있고, 이는 \(p\)가 닫힌 몰입이라는 뜻이다(\(p\)는 이미 유한이다). 이제 \(p\)는 뇌터 스킴들의 전사 평탄 닫힌 몰입이므로 동형사상이다. 사상, 절 04PV을 보라.

보조정리

\(k\)를 체라 하고, \(S\)를 \(k\)-유리점 \(s\)를 갖는 \(k\) 위의 유한형 스킴이라 하자. \(Y \to S\)를 매끄럽고 고유한 사상이라 하자. \(X = Y_s \times S \to S\)를 올이 \(Y_s\)인 상수족이라 하자. \(K\)를 \(S\) 위에서 \(X\)로부터 \(Y\)로 가는 상대 동치의 Fourier–Mukai 핵이라 하자. 제한 \[L(Y_s \times_S Y_s \to X \times_S Y)^*K \cong \Delta_{Y_s/k, *} \mathcal{O}_{Y_s}\] 이 \(D(\mathcal{O}_{Y_s \times Y_s})\)에서 성립한다고 가정하자. 그러면 \(s \in U \subset S\)인 열린 근방이 존재하여 \(Y|_U\)는 \(U\) 위에서 \(Y_s \times U\)와 동형이다.

증명

자연스러운 닫힌 몰입 \(i : Y_s \times Y_s = X_s \times Y_s \to X \times_S Y\)로 나타내자. (이제부터 \(s\) 위의 \(X\)의 올을 \(X_s\)가 아니라 \(Y_s\)로 쓰겠다.) \(z \in Y_s \times Y_s = (X \times_S Y)_s \subset X \times_S Y\)를 닫힌 점이라 하자. 이미 암시했듯이 \(z\)를 \(Y_s \times Y_s\)의 닫힌 점인 동시에 \(X \times_S Y\)의 닫힌 점으로 생각한다.

경우 I: \(z \not \in \Delta_{Y_s/k}(Y_s)\). \(z\)에 지지되고 값이 \(\kappa(z)\)인 연접 \(\mathcal{O}_{Y_s \times Y_s}\)-가군을 \(\mathcal{O}_z\)라 나타내자. 그러면 \(i_*\mathcal{O}_z\)는 \(z\)에 지지되고 값이 \(\kappa(z)\)인 연접 \(\mathcal{O}_{X \times_S Y}\)-가군이다. 우리의 가정은 다음을 뜻한다. \[K \otimes_{\mathcal{O}_{X \times_S Y}}^\mathbf{L} i_*\mathcal{O}_z = Li^*K \otimes_{\mathcal{O}_{Y_s \times Y_s}}^\mathbf{L} \mathcal{O}_z = 0\] 따라서 보조정리 0G03에 의해 \(z\)의 열린 근방 \(U(z) \subset X \times_S Y\)를 찾아 \(K|_{U(z)} = 0\)이 되게 할 수 있다. 이 경우 \(U(z)\)의 닫힌 부분스킴으로 \(Z(z) = \emptyset\)라 둔다.

경우 II: \(z \in \Delta_{Y_s/k}(Y_s)\). \(Y_s\)는 \(k\) 위에서 매끄러우므로 \(\Delta_{Y_s/k} : Y_s \to Y_s \times Y_s\)가 정칙 몰입임을 안다. 사상에 대한 보충, 보조정리 0FDP. 를 보라. \(\Delta_{Y_s/k}(Y_s)\)의 아이디얼층을 잘라내는 정칙열 \(\overline{f}_1, \ldots, \overline{f}_r \in \mathcal{O}_{Y_s \times Y_s, z}\)을 택하자. 정칙열은 Koszul-정칙이므로 (대수학에 대한 보충, 보조정리 062F), 우리의 가정은 \[K_z \otimes_{\mathcal{O}_{X \times_S Y, z}}^\mathbf{L} \mathcal{O}_{Y_s \times Y_s, z} \in D(\mathcal{O}_{Y_s \times Y_s, z})\] 이 \(\mathcal{O}_{Y_s \times Y_s, z}\) 위에서 \(\overline{f}_1, \ldots, \overline{f}_r\)에 대한 Koszul 복합체로 표현된다는 뜻이다. \(\mathcal{O}_{S, s} \to \mathcal{O}_{X \times_S Y, z}\)에 보조정리 0G0N을 적용하면, 정칙열 \(\overline{f}_1, \ldots, \overline{f}_r\)을 올리는 정칙열 \(f_1, \ldots, f_r \in \mathcal{O}_{X \times_S Y, z}\)에 대한 Koszul 복합체가 \(K_z \in D(\mathcal{O}_{X \times_S Y, z})\)를 표현하고, 더욱이 \(\mathcal{O}_{X \times_S Y}/(f_1, \ldots, f_r)\)은 \(\mathcal{O}_{S, s}\) 위에서 평탄하다는 결론을 얻는다. 몇 가지 극한 논증 (보조정리 0G0P)에 의해 \(z\)의 아핀 열린 근방 \(U(z) \subset X \times_S Y\)와 닫힌 부분스킴 \(Z(z) \subset U(z)\)가 존재하여 다음을 만족한다.

1. \(Z(z) \to U(z)\)는 정칙 닫힌 몰입이고,

2. \(K|_{U(z)}\)는 \(\mathcal{O}_{Z(z)}\)와 준동형이며,

3. \(Z(z) \to S\)는 평탄하고,

4. \(Z(z)_s = \Delta_{Y_s/k}(Y_s) \cap U(z)_s\) 는 \(U(z)_s\)의 닫힌 부분스킴으로서 성립한다.

성질 (2)에 의해 \(z, z' \in Y_s \times Y_s\)에 대해 \(Z(z) \cap U(z') = Z(z') \cap U(z)\)가 닫힌 부분스킴으로서 성립한다. 따라서 \(X \times_S Y\)에서 \(Y_s \times Y_s\)의 열린 근방 \[U = \bigcup\nolimits_{z \in Y_s \times Y_s\text{ 닫힌점}} U(z)\] 와 닫힌 부분스킴 \(Z \subset U\)를 얻는데, (1) \(Z \to U\)는 정칙 닫힌 몰입이고, (2) \(Z \to S\)는 평탄하며, (3) \(Z_s = \Delta_{Y_s/k}(Y_s)\)이다. \(X \times_S Y \to S\)는 고유하므로 \(S\)를 \(s\)의 한 열린 근방으로 바꾼 뒤에는 \(U = X \times_S Y\)라고 가정할 수 있다. 사영 \(Z_s \to Y_s\)와 \(Z_s \to X_s\)는 동형사상이므로, \(S\)를 축소한 뒤에는 \(Z \to Y\)와 \(Z \to X\)가 동형사상이라고 가정할 수 있다. 보조정리 0G0Q를 보라. 이로써 증명이 끝난다.

보조정리

\(k\)를 대수적으로 닫힌 체라 하고, \(X\)를 \(k\) 위의 매끄럽고 고유한 스킴이라 하자. \(S\)가 \(k\) 위의 유한형 스킴일 때 \(f : Y \to S\)를 매끄럽고 고유한 사상이라 하자. \(K\)를 \(S\) 위에서 \(X \times S\)로부터 \(Y\)로 가는 상대 동치의 Fourier–Mukai 핵이라 하자. 그러면 \(S\)는 다음 성질을 갖는 열린 부분스킴 \(U\)들로 덮인다. \(k\) 위에서 고유하고 매끄러운 어떤 \(Y_0\)에 대해 \(U\)-동형사상 \(f^{-1}(U) \cong Y_0 \times U\)가 존재한다.

증명

닫힌 점 \(s \in S\)를 택하자. \(k\)가 대수적으로 닫혔으므로 이는 \(k\)-유리점이다. \(Y_0 = Y_s\)라 두자. 보조정리 0G0K에 의해 \(K\)를 \(X \times Y_0\)에 제한한 \(K_0\)는 \(\Spec(k)\) 위에서 \(X\)로부터 \(Y_0\)로 가는 상대 동치의 Fourier–Mukai 핵이다. 정의 0G0I에서 존재한다고 가정한 \(D_{perf}(\mathcal{O}_{Y_0 \times X})\)의 대상을 \(K'_0\)라 하자. 정의 0G0I에 내재한 대칭성에 의해 \(K'_0\)는 \(\Spec(k)\) 위에서 \(Y_0\)로부터 \(X\)로 가는 상대 동치의 Fourier–Mukai 핵이다. 따라서 보조정리 0G0K에 의해 당김 \[M = (Y_0 \times X \times S \to Y_0 \times X)^*K'_0\] 은 \((Y_0 \times S) \times_S (X \times S) = Y_0 \times X \times S\) 위에서 \(S\) 위의 \(Y_0 \times S\)로부터 \(X \times S\)로 가는 상대 동치의 Fourier–Mukai 핵이다. 이제 \((Y_0 \times S) \times_S Y\) 위의 핵 \[K_{new} = R\text{pr}_{13, *}(L\text{pr}_{12}^*M \otimes_{\mathcal{O}_{(Y_0 \times S) \times_S (X \times S) \times_S Y}}^\mathbf{L} L\text{pr}_{23}^*K)\] 을 생각하자. 이는 절 0G0F에서 구성한 범주에서 두 가역 화살표의 합성이므로 \(S\) 위에서 \(Y_0 \times S\)로부터 \(Y\)로 가는 상대 동치의 Fourier–Mukai 핵이다. 더욱이 이 합성은 밑변환을 통과한다(보조정리 0G0G). 따라서 \(K_{new}\)를 \(((Y_0 \times S) \times_S Y)_s = Y_0 \times Y_0\)로 당기면 \(K_0\)와 \(K'_0\)의 합성과 같고, 따라서 이 범주에서 항등원과 같다. 다시 말해 \[L(Y_0 \times Y_0 \to (Y_0 \times S) \times_S Y)^*K_{new} \cong \Delta_{Y_0/k, *}\mathcal{O}_{Y_0}\] 이다. 따라서 보조정리 0G0R에 의해 \(s\)의 한 열린 근방에서 \(Y \to S\)는 \(Y_0 \times S\)와 동형이다. 이로써 증명이 끝난다.

가산성

이 절에서는 몇몇 집합의 가산성에 관한 초보적 보조정리들을 증명한다. \(\mathcal{C}\)를 범주라 하자. 이 절에서는 다음 조건들이 성립할 때 \(\mathcal{C}\)가 가산이라고 하겠다.

1. 임의의 \(X, Y \in \Ob(\mathcal{C})\)에 대해 집합 \(\Mor_\mathcal{C}(X, Y)\)가 가산이고,

2. \(\mathcal{C}\)의 대상들의 동형류 집합이 가산이다.

보조정리

\(R\)을 가산 뇌터 환이라 하자. 그러면 \(R\) 위의 유한형 스킴들의 범주는 가산이다.

증명

생략한다.

보조정리

\(\mathcal{A}\)를 가산 아벨 범주라 하자. 그러면 \(D^b(\mathcal{A})\)는 가산이다.

증명

나머지는 \(D(\mathcal{A})\)의 충만한 부분범주이므로 이 큰 범주에 대해 명제를 증명하면 충분하다. \(D(\mathcal{A})\)의 모든 대상은 \(\mathcal{A}\)의 대상들로 이루어진 복합체이므로, \(D^b(\mathcal{A})\)의 대상들의 동형류 집합이 가산임은 즉시 알 수 있다. 더욱이 \(\mathcal{A}\)의 유계 복합체 \(A^\bullet\)과 \(B^\bullet\)에 대해 \(\Hom_{K^b(\mathcal{A})}(A^\bullet, B^\bullet)\)가 가산임은 명백하다. 유도 범주, 보조정리 05RW에 의해 \[\Hom_{D^b(\mathcal{A})}(A^\bullet, B^\bullet) = \colim_{s : (A')^\bullet \to A^\bullet \text{ 유사동형이고 }(A')^\bullet\text{ 유계인}} \Hom_{K^b(\mathcal{A})}((A')^\bullet, B^\bullet)\] 이다. 따라서 이는 가산 여극한으로서 가산 집합이다.

보조정리

\(X\)를 가산 뇌터 환 위의 유한형 스킴이라 하자. 그러면 범주 \(D_{perf}(\mathcal{O}_X)\)와 \(D^b_{\textit{Coh}}(\mathcal{O}_X)\)는 가산이다.

증명

사상, 보조정리 01T6에 의해 \(X\)가 뇌터임을 주목하자. 따라서 스킴의 유도 범주, 보조정리 0FXU에 의해 \(D_{perf}(\mathcal{O}_X)\)는 \(D^b_{\textit{Coh}}(\mathcal{O}_X)\)의 충만한 부분범주이다. 그러므로 \(D^b_{\textit{Coh}}(\mathcal{O}_X)\)에 대해 결과를 증명하면 충분하다. 스킴의 유도 범주, 명제 0FDB에 의해 \(D^b_{\textit{Coh}}(\mathcal{O}_X) = D^b(\textit{Coh}(\mathcal{O}_X))\) 임을 상기하자. 따라서 보조정리 0G0V에 의해 \(\textit{Coh}(\mathcal{O}_X)\)가 가산임을 증명하면 충분하다. 이는 생략한다.

보조정리

\(K\)를 대수적으로 닫힌 체라 하자. \(S\)를 \(K\) 위의 유한형 스킴이라 하자. \(X \to S\)와 \(Y \to S\)를 유한형 사상이라 하자. 가산 집합 \(I\)와 각 \(i \in I\)에 대해 다음 성질들을 갖는 쌍 \((S_i \to S, h_i)\)가 존재한다.

1. \(S_i \to S\)는 유한형 사상이며, \(X_i = X \times_S S_i\) 및 \(Y_i = Y \times_S S_i\)라 둔다.

2. \(h_i : X_i \to Y_i\)는 \(S_i\) 위의 동형사상이다.

3. 임의의 닫힌 점 \(s \in S(K)\)에 대해 \(K = \kappa(s)\) 위에서 \(X_s \cong Y_s\)이면, 어떤 \(i\)에 대해 \(s\)는 \(S_i \to S\)의 상에 속한다.

증명

체 \(K\)는 그 가산 부분체들의 여과 합집합이다. 쌍대적으로 \(\Spec(K)\)는 \(K\)의 가산 부분체들의 스펙트럼들의 여과 반대 극한이다. 따라서 극한, 보조정리 01ZM에 의해 가산 부분체 \(k\)와 \(k\) 위의 유한형 스킴들의 사상 \(X_0 \to S_0\), \(Y_0 \to S_0\)를 찾을 수 있고, 이들의 밑변환이 각각 \(X \to S\), \(Y \to S\)이다.

보조정리 0G0U에 의해 가산 집합 \(I\)와 다음을 만족하는 쌍 \((S_{0, i} \to S_0, h_{0, i})\)들이 존재한다.

1. \(S_{0, i} \to S_0\)는 유한형 사상이며, \(X_{0, i} = X_0 \times_{S_0} S_{0, i}\) 및 \(Y_{0, i} = Y_0 \times_{S_0} S_{0, i}\)라 둔다.

2. \(h_{0, i} : X_{0, i} \to Y_{0, i}\)는 \(S_{0, i}\) 위의 동형사상이다.

더욱이 \(T \to S_0\)가 유한형이고 \(h_T : X_0 \times_{S_0} T \to Y_0 \times_{S_0} T\)가 동형사상인 모든 쌍 \((T \to S_0, h_T)\)는 이들 중 하나와 동형이다. \((S_{0, i} \to S_0, h_{0, i})\)를 \(\Spec(K) \to \Spec(k)\)로 밑변환한 쌍을 \((S_i \to S, h_i)\)라 나타내자. 이것들이 원하는 쌍이라고 주장한다.

\(s \in S(K)\)라 하고, \(h_s : X_s \to Y_s\)를 \(K = \kappa(s)\) 위의 동형사상이라 하자. \(K\)를 그 유한생성 \(k\)-부분대수들의 여과 합집합으로 쓸 수 있다. 따라서 극한, 명제 01ZC 및 보조정리 01ZM에 의해 다음을 만족하는 유한생성 \(k\)-부분대수 \(K \supset A \supset k\)를 찾을 수 있다.

1. 어떤 \(k\) 위의 사상 \(s' : \Spec(A) \to S_0\)에 대해 가환 도식 \[\xymatrix{ \Spec(K) \ar[d]_s \ar[r] & \Spec(A) \ar[d]^{s'} \\ S \ar[r] & S_0}\] 이 존재한다.

2. \(h_s\)는 다음 \(A\) 위의 동형사상의 밑변환이다. \(h_{s'} : X_0 \times_{S_0, s'} \Spec(A) \to X_0 \times_{S_0, s'} \Spec(A)\).

물론 그러면 \((s' : \Spec(A) \to S_0, h_{s'})\)는 어떤 \(i \in I\)에 대해 쌍 \((S_{0, i} \to S_0, h_{0, i})\)와 동형이다. (1)의 가환 도식은 \(s\)가 \(s'\)을 \(\Spec(K)\)로 밑변환한 사상의 상에 속함을 보여 주므로 증명이 끝난다.

보조정리

\(K\)를 대수적으로 닫힌 체라 하자. 가산 집합 \(I\)와 각 \(i \in I\)에 대해 다음 성질들을 갖는 쌍 \((S_i/K, X_i \to S_i, Y_i \to S_i, M_i)\)가 존재한다.

1. \(S_i\)는 \(K\) 위의 유한형 스킴이다.

2. \(X_i \to S_i\)와 \(Y_i \to S_i\)는 고유하고 매끄러운 스킴 사상이다.

3. \(M_i \in D_{perf}(\mathcal{O}_{X_i \times_{S_i} Y_i})\) 는 \(S_i\) 위에서 \(X_i\)로부터 \(Y_i\)로 가는 상대 동치의 Fourier–Mukai 핵이다.

4. \(K\) 위의 임의의 매끄럽고 고유한 스킴 \(X\), \(Y\)에 대해 \(K\)-선형 완전 동치 \(D_{perf}(\mathcal{O}_X) \to D_{perf}(\mathcal{O}_Y)\) 가 존재하면, \(X \cong (X_i)_s\) 및 \(Y \cong (Y_i)_s\)를 만족하는 \(i \in I\)와 \(s \in S_i(K)\)가 존재한다.

증명

예를 들어 소체와 같은 가산 부분체 \(k \subset K\)를 택하자. 보조정리 0G0U와 0G0W에 의해 보조정리의 (1), (2), (3)을 만족하는 \(k\) 위의 계들의 동형류는 가산 집합을 이룬다. 따라서 가산 집합 \(I\)와 각 \(i \in I\)에 대해 다음과 같은 \(k\) 위의 계를 택하여 모든 동형류가 적어도 한 번씩 나타나게 할 수 있다. \[(S_{0, i}/k, X_{0, i} \to S_{0, i}, Y_{0, i} \to S_{0, i}, M_{0, i})\] 표시한 계를 \(K\)로 밑변환한 것을 \((S_i/K, X_i \to S_i, Y_i \to S_i, M_i)\)라 나타내자. 이 계는 성질 (1), (2), (3)을 갖는다. 보조정리 0G0K를 보라. 이제 성질 (4)를 증명하자.

\(K\) 위의 매끄럽고 고유한 스킴 \(X\), \(Y\)와 \(K\)-선형 완전 동치 \(F : D_{perf}(\mathcal{O}_X) \to D_{perf}(\mathcal{O}_Y)\)를 생각하자. 명제 0G0D에 의해 \(M \in D_{perf}(\mathcal{O}_{X \times Y})\)인 대상이 존재하고 \(F = \Phi_M\)가 이에 대응하는 Fourier–Mukai 함자라고 가정할 수 있다. 보조정리 0FYY에 의해 \(D_{perf}(\mathcal{O}_{Y \times X})\)의 대상 \(M'\)이 존재하여 \(\Phi_{M'}\)은 \(\Phi_M\)의 오른쪽 수반함자이다. \(\Phi_M\)은 동치이므로 이는 \(\Phi_{M'}\)이 \(\Phi_M\)의 준역이라는 뜻이다. 보조정리 0FYY에 의해 대상 \[A = R\text{pr}_{13, *}( L\text{pr}_{12}^*M \otimes_{\mathcal{O}_{X \times Y \times X}}^\mathbf{L} L\text{pr}_{23}^*M')\] 및 \[B = R\text{pr}_{13, *}( L\text{pr}_{12}^*M' \otimes_{\mathcal{O}_{Y \times X \times Y}}^\mathbf{L} L\text{pr}_{23}^*M)\] 이 두 대상은 각각 \(D_{perf}(\mathcal{O}_{X \times X})\)와 \(D_{perf}(\mathcal{O}_{Y \times Y})\)에서 Fourier–Mukai 함자를 정의하며, 이 함자들은 각각 다음 함자들과 동형이다. \(\text{id} : D_{perf}(\mathcal{O}_X) \to D_{perf}(\mathcal{O}_X)\) 및 \(\text{id} : D_{perf}(\mathcal{O}_Y) \to D_{perf}(\mathcal{O}_Y)\) 따라서 보조정리 0G0E에 의해 \(A \cong \Delta_{X/K, *}\mathcal{O}_X\) 및 \(B \cong \Delta_{Y/K, *}\mathcal{O}_Y\) 이다. 그러므로 정의에 의해 \(M\)은 \(K\) 위에서 \(X\)로부터 \(Y\)로 가는 상대 동치의 Fourier–Mukai 핵이다.

\(K\)를 그 유한형 \(k\)-부분대수 \(A \subset K\)들의 여과 여극한으로 쓸 수 있다. 극한, 보조정리 01ZM에 의해 \(A\) 위의 유한형 스킴 \(X_0, Y_0\)를 찾아 이들을 \(K\)로 밑변환하면 \(X\), \(Y\)가 되게 할 수 있다. 극한, 보조정리 081F와 0C0C 에 의해 \(A\)를 확대한 뒤 \(X_0\)와 \(Y_0\)가 \(A\) 위에서 매끄럽고 고유하다고 가정할 수 있다. 보조정리 0G0L에 의해 \(A\)를 확대한 뒤 \(M\)이 어떤 \(M_0 \in D_{perf}(\mathcal{O}_{X_0 \times_{\Spec(A)} Y_0})\)의 당김이라고 가정할 수 있으며, 이 대상은 \(\Spec(A)\) 위에서 \(X_0\)로부터 \(Y_0\)로 가는 상대 동치의 Fourier–Mukai 핵이다. 따라서 \((S_0/k, X_0 \to S_0, Y_0 \to S_0, M_0)\)는 어떤 \(i \in I\)에 대해 \((S_{0, i}/k, X_{0, i} \to S_{0, i}, Y_{0, i} \to S_{0, i}, M_{0, i})\) 와 동형이다. \(S_i = S_{0, i} \times_{\Spec(k)} \Spec(K)\)이므로 \(A \subset K\)에서 얻는 사상 \(\Spec(K) \to \Spec(A) \cong S_{0, i}\)가 유도하는 \(s : \Spec(K) \to S_i\)에 대해 (4)가 참이라는 결론을 얻는다.

유도 동치인 다양체들의 가산성

이 절에서는 Anel과 Toën의 결과를 증명한다. [AT]를 보라.

정의

\(k\)를 체라 하고, \(X\)와 \(Y\)를 \(k\) 위의 매끄러운 사영 스킴이라 하자. \(k\)-선형 완전 동치 \(D_{perf}(\mathcal{O}_X) \to D_{perf}(\mathcal{O}_Y)\)가 존재하면 \(X\)와 \(Y\)가 유도 동치라고 한다.

결과는 다음과 같다.

정리

\(K\)를 대수적으로 닫힌 체라 하고, \(\mathbf{X}\)를 \(K\) 위의 매끄럽고 고유한 스킴이라 하자. \(\mathbf{X}\)와 유도 동치인 \(K\) 위의 매끄럽고 고유한 스킴 \(\mathbf{Y}\)의 동형류는 많아야 가산 개이다.

증명

가산 집합 \(I\)와 각 \(i \in I\)에 대해 보조정리 0G0Y의 성질 (1), (2), (3), (4)를 만족하는 계 \((S_i/K, X_i \to S_i, Y_i \to S_i, M_i)\)를 택하자. \(i \in I\)를 택하고 \(S = S_i\), \(X = X_i\), \(Y = Y_i\), \(M = M_i\)라 두자. \(s \in S(K)\)이고 \(X_s \cong \mathbf{X}\)인 올 \(Y_s\)들의 동형류 집합이 가산임을 보이면 충분함은 명백하다. 이를 다음 문단에서 증명한다.

\(S\)를 \(K\) 위의 유한형 스킴이라 하고, \(X \to S\)와 \(Y \to S\)를 고유하고 매끄러운 사상이라 하자. \(M \in D_{perf}(\mathcal{O}_{X \times_S Y})\)를 \(S\) 위에서 \(X\)로부터 \(Y\)로 가는 상대 동치의 Fourier–Mukai 핵이라 하자. \(s \in S(K)\)이고 \(X_s \cong \mathbf{X}\)인 올 \(Y_s\)들의 동형류 집합이 가산임을 보이겠다. 두 족 \(\mathbf{X} \times S \to S\)와 \(X \to S\)에 보조정리 0G0X를 적용하면 가산 집합 \(I\)와 각 \(i \in I\)에 대해 다음 성질들을 갖는 쌍 \((S_i \to S, h_i)\)가 존재한다.

1. \(S_i \to S\)는 유한형 사상이며 \(X_i = X \times_S S_i\)라 둔다.

2. \(h_i : \mathbf{X} \times S_i \to X_i\) 는 \(S_i\) 위의 동형사상이다.

3. 임의의 닫힌 점 \(s \in S(K)\)에 대해 \(K = \kappa(s)\) 위에서 \(\mathbf{X} \cong X_s\)이면, 어떤 \(i\)에 대해 \(s\)는 \(S_i \to S\)의 상에 속한다.

\(Y_i = Y \times_S S_i\)라 두고, \(M\)의 당김을 \(M_i \in D_{perf}(\mathcal{O}_{X_i \times_{S_i} Y_i})\)라 나타내자. 보조정리 0G0K에 의해 \(M_i\)는 \(S_i\) 위에서 \(X_i\)로부터 \(Y_i\)로 가는 상대 동치의 Fourier–Mukai 핵이다. \(I\)가 가산이므로 성질 (3)에 의해 \(s \in S_i(K)\)인 올 \(Y_{i, s}\)들의 동형류 집합이 가산임을 증명하면 충분하다. 실제로 보조정리 0G0S에 의해 이 수는 유한이며, 증명이 끝난다.