Catégories dérivées des variétés

Introduction

Dans ce chapitre, nous poursuivons la discussion entamée dans Catégories dérivées des schémas, section 08CV. Nous étudierons les transformations de Fourier-Mukai, introduites par Mukai dans [Mukai]. Nous démontrerons le théorème d’Orlov sur les équivalences dérivées ([Orlov-K3]). Nous étudierons également la dénombrabilité des classes d’équivalence dérivée, établie par Anel et Toën dans [AT].

Le livre de Daniel Huybrechts [Huybrechts] constitue une bonne introduction à ce sujet. Parmi les autres articles qui ont contribué à populariser ce domaine, citons

1. l’article de Bondal et Kapranov, voir [Bondal-Kapranov],

2. l’article de Bondal et Orlov, voir [Bondal-Orlov],

3. l’article de Bondal et Van den Bergh, voir [BvdB],

4. les articles de Beilinson, voir [Beilinson] et [Beilinson-derived],

5. l’article d’Orlov, voir [Orlov-AV],

6. l’article d’Orlov, voir [Orlov-motives],

7. l’article de Rouquier, voir [Rouquier-dimensions],

8. et bien d’autres encore pourraient être cités ici.

Conventions et notations

Soit \(k\) un corps. Une catégorie triangulée \(k\)-linéaire \(\mathcal{T}\) est une catégorie triangulée (Catégories dérivées, section 05QK) munie d’une structure \(k\)-linéaire (Algèbre différentielle graduée, section 09MI) telle que les foncteurs de translation \([n] : \mathcal{T} \to \mathcal{T}\) soient \(k\)-linéaires pour tout \(n \in \mathbf{Z}\).

Soit \(k\) un corps. Nous notons \(\text{Vect}_k\) la catégorie des espaces vectoriels sur \(k\). Pour un espace vectoriel sur \(k\), noté \(V\), nous notons \(V^\vee\) le dual \(k\)-linéaire de \(V\), c’est-à-dire \(V^\vee = \Hom_k(V, k)\).

Soit \(X\) un schéma. Nous notons \(D_{perf}(\mathcal{O}_X)\) la sous-catégorie pleine de \(D(\mathcal{O}_X)\) formée des complexes parfaits (Cohomologie, section 08CL). Si \(X\) est noethérien, alors \(D_{perf}(\mathcal{O}_X) \subset D^b_{\textit{Coh}}(\mathcal{O}_X)\), voir Catégories dérivées des schémas, lemme 0FXU. Si \(X\) est noethérien et régulier, alors \(D_{perf}(\mathcal{O}_X) = D^b_{\textit{Coh}}(\mathcal{O}_X)\), voir Catégories dérivées des schémas, lemme 0FDC.

Soit \(k\) un corps. Soient \(X\) et \(Y\) des schémas sur \(k\). Dans cette situation, nous écrirons \(X \times Y\) au lieu de \(X \times_{\Spec(k)} Y\).

Soit \(S\) un schéma. Soient \(X\) et \(Y\) des schémas sur \(S\). Soit \(\mathcal{F}\) un \(\mathcal{O}_X\)-module et soit \(\mathcal{G}\) un \(\mathcal{O}_Y\)-module. Nous posons \[\mathcal{F} \boxtimes \mathcal{G} = \text{pr}_1^*\mathcal{F} \otimes_{\mathcal{O}_{X \times_S Y}} \text{pr}_2^*\mathcal{G}\] comme \(\mathcal{O}_{X \times_S Y}\)-module. Si \(K \in D(\mathcal{O}_X)\) et \(M \in D(\mathcal{O}_Y)\), nous posons \[K \boxtimes M = L\text{pr}_1^*K \otimes_{\mathcal{O}_{X \times_S Y}}^\mathbf{L} L\text{pr}_2^*M\] comme objet de \(D(\mathcal{O}_{X \times_S Y})\). Notre notation est donc potentiellement ambiguë, mais le contexte devrait indiquer clairement laquelle des deux significations est visée.

Foncteurs de Serre

Le contenu de cette section est repris de [Bondal-Kapranov].

Lemme

Soit \(k\) un corps. Soit \(\mathcal{T}\) une catégorie triangulée \(k\)-linéaire telle que \(\dim_k \Hom_\mathcal{T}(X, Y) < \infty\) pour tous \(X, Y \in \Ob(\mathcal{T})\). Les assertions suivantes sont équivalentes :

1. il existe une équivalence \(k\)-linéaire \(S : \mathcal{T} \to \mathcal{T}\) et des isomorphismes \(k\)-linéaires \(c_{X, Y} : \Hom_\mathcal{T}(X, Y) \to \Hom_\mathcal{T}(Y, S(X))^\vee\) fonctoriels en \(X, Y \in \Ob(\mathcal{T})\) ;

2. pour tout \(X \in \Ob(\mathcal{T})\), le foncteur \(Y \mapsto \Hom_\mathcal{T}(X, Y)^\vee\) est représentable et le foncteur \(Y \mapsto \Hom_\mathcal{T}(Y, X)^\vee\) est coreprésentable.

Démonstration

La condition (1) entraîne (2) car, étant donnés \((S, c)\) et \(X \in \Ob(\mathcal{T})\), l’objet \(S(X)\) représente le foncteur \(Y \mapsto \Hom_\mathcal{T}(X, Y)^\vee\) et l’objet \(S^{-1}(X)\) coreprésente le foncteur \(Y \mapsto \Hom_\mathcal{T}(Y, X)^\vee\).

Supposons (2). Nous utiliserons à plusieurs reprises le lemme de Yoneda, voir Catégories, lemme 001P. Pour tout \(X\), notons \(S(X)\) l’objet qui représente le foncteur \(Y \mapsto \Hom_\mathcal{T}(X, Y)^\vee\). Étant donné \(\varphi : X \to X'\), on obtient un unique morphisme \(S(\varphi) : S(X) \to S(X')\) déterminé par la transformation de foncteurs correspondante \(\Hom_\mathcal{T}(X, -)^\vee \to \Hom_\mathcal{T}(X', -)^\vee\). Ainsi, \(S\) est un foncteur et l’on obtient les isomorphismes \(c_{X, Y}\) par construction. Il reste à montrer que \(S\) est une équivalence. Pour tout \(X\), notons \(S'(X)\) l’objet qui coreprésente le foncteur \(Y \mapsto \Hom_\mathcal{T}(Y, X)^\vee\). En raisonnant comme ci-dessus, on voit que \(S'\) est un foncteur. Nous affirmons que \(S'\) est un quasi-inverse de \(S\). En effet, observons que \[\Hom_\mathcal{T}(X, Y) = \Hom_\mathcal{T}(Y, S(X))^\vee = \Hom_\mathcal{T}(S'(S(X)), Y)\] bifonctoriellement, c’est-à-dire que \(S' \circ S \cong \text{id}_\mathcal{T}\). De même, on a \[\Hom_\mathcal{T}(Y, X) = \Hom_\mathcal{T}(S'(X), Y)^\vee = \Hom_\mathcal{T}(Y, S(S'(X)))\] et l’on obtient \(S \circ S' \cong \text{id}_\mathcal{T}\).

Définition

Soit \(k\) un corps. Soit \(\mathcal{T}\) une catégorie triangulée \(k\)-linéaire telle que \(\dim_k \Hom_\mathcal{T}(X, Y) < \infty\) pour tous \(X, Y \in \Ob(\mathcal{T})\). On dit qu’il existe un foncteur de Serre si les conditions équivalentes du lemme 0FY4 sont satisfaites. Dans ce cas, un foncteur de Serre est une équivalence \(k\)-linéaire \(S : \mathcal{T} \to \mathcal{T}\) munie d’isomorphismes \(k\)-linéaires \(c_{X, Y} : \Hom_\mathcal{T}(X, Y) \to \Hom_\mathcal{T}(Y, S(X))^\vee\) fonctoriels en \(X, Y \in \Ob(\mathcal{T})\).

Remarque

Soient \(X^0 \to X^1 \to X^2 \to X^0[1]\) et \(Y^0 \to Y^1 \to Y^2 \to Y^0[1]\) des triangles distingués dans une catégorie triangulée. Pour \(p \in \mathbf{Z}\), écrivons \(p = 3n + i\) avec \(i \in \{0, 1, 2\}\) et posons \(X^p = X^i[n]\). De même pour \(Y^q\). Considérons le complexe double dont les termes sont \[K^{p, q} = \Hom(X^{-p}, Y^q)\] La différentielle \(d_1 : K^{p, q} \to K^{p + 1, q}\) est induite par le morphisme \(X^{-p - 1} \to X^{-p}\) (égal au morphisme correspondant du premier triangle distingué, à un décalage près), et la différentielle \(d_2 : K^{p, q} \to K^{p, q + 1}\) est de même induite par le morphisme \(Y^q \to Y^{q + 1}\). D’après Catégories dérivées, lemme 0149, les lignes et les colonnes de ce complexe double sont exactes. De plus, \(K^{p, q} = K^{p + 3, q - 3}\), et ces égalités sont compatibles avec les différentielles. Enfin, l’axiome TR3 entraîne une propriété supplémentaire : étant donnés \(\alpha \in K^{p, q}\) et \(\beta \in K^{p - 1, q + 1}\) tels que \(d_2 \alpha = d_1 \beta\), il existe \(\gamma \in K^{p - 2, q + 2}\) tel que \(d_1 \gamma = d_2 \beta\) dans \(K^{p - 1, q + 2}\) et \(d_2 \gamma = d_1 \alpha\) dans \(K^{p - 2, q + 3} = K^{p + 1, q}\). (Indication : pour \(p = q = 0\), c’est exactement l’énoncé de TR3 ; pour les autres indices, on le démontre par décalage.) Un complexe double ayant ces propriétés est appelé matelas (voir [Bondal-Kapranov]).

Remarque

Soit \(k\) un corps et soit \(K^{\bullet, \bullet}\) un complexe double d’espaces vectoriels de dimension finie sur \(k\), qui est aussi un matelas au sens de la remarque 0H8B. Nous affirmons que le complexe double dual \(L^{p, q} = \Hom_k(K^{-q, -p}, k)\) est lui aussi un matelas. L’exactitude des lignes et des colonnes ainsi que la 3-périodicité sont immédiates. Pour vérifier la condition supplémentaire, considérons l’application linéaire \[\partial : K^{p, q} \oplus K^{p - 1, q + 1} \oplus K^{p - 2, q + 2} \longrightarrow K^{p, q + 1} \oplus K^{p - 1, q + 2} \oplus K^{p - 2, q + 3}\] qui envoie \((\alpha, \beta, \gamma)\) sur \((d_2 \alpha - d_1 \beta, d_2 \gamma - d_1 \alpha, d_1 \gamma - d_2 \beta)\), avec les identifications de la remarque 0H8B. La condition d’être un matelas s’écrit \[\Im(\partial) \cap \left( 0 \oplus K^{p - 1, q + 2} \oplus K^{p - 2, q + 3} \right) = \Im(\partial|_{0 \oplus 0 \oplus K^{p - 2, q + 2}})\] En notant \({}^\wedge\) le dual d’un espace vectoriel ou d’une application, la dualisation donne \[\Ker(\partial^\wedge) + \left(L^{-p, -q - 1} \oplus 0 \oplus 0 \right) = \Ker(\text{pr}_{L^{-p + 2, -q - 2}} \circ \partial^\wedge)\] où le terme \(\text{pr}\) désigne la projection. Cela implique que \(\Im(\partial^\wedge) \cap (L^{-p, -q} \oplus L^{-p + 1, -q - 1} \oplus 0)\) est égal à \(\Im(\partial^\wedge|_{L^{-p, -q - 1} \oplus 0 \oplus 0})\), ce qui se traduit par la condition de matelas pour \(L^{\bullet, \bullet}\). Nous omettons certains détails.

Lemme

Dans la situation de la définition 0FY5, s’il existe un foncteur de Serre, celui-ci est unique à isomorphisme unique près et c’est un foncteur exact de catégories triangulées.

Démonstration

Étant donné un foncteur de Serre \(S\), l’objet \(S(X)\) représente le foncteur \(Y \mapsto \Hom_\mathcal{T}(X, Y)^\vee\). Ainsi, l’objet \(S(X)\), muni de l’identification fonctorielle \(\Hom_\mathcal{T}(X, Y)^\vee = \Hom_\mathcal{T}(Y, S(X))\), est déterminé à isomorphisme unique près par le lemme de Yoneda (Catégories, lemme 001P). De plus, pour \(\varphi : X \to X'\), le morphisme \(S(\varphi) : S(X) \to S(X')\) est uniquement déterminé par la transformation de foncteurs correspondante \(\Hom_\mathcal{T}(X, -)^\vee \to \Hom_\mathcal{T}(X', -)^\vee\).

Pour des objets \(X, Y\) de \(\mathcal{T}\), on a \[\begin{align*} \Hom(Y, S(X)[1])^\vee & = \Hom(Y[-1], S(X))^\vee \\ & = \Hom(X, Y[-1]) \\ & = \Hom(X[1], Y) \\ & = \Hom(Y, S(X[1]))^\vee \end{align*}\] Le lemme de Yoneda fournit donc un unique isomorphisme \(S(X[1]) \to S(X)[1]\) qui induit l’isomorphisme obtenu de la première à la dernière expression. Comme chacun des isomorphismes ci-dessus est fonctoriel à la fois en \(X\) et en \(Y\), on obtient ainsi un isomorphisme de foncteurs \(S \circ [1] \to [1] \circ S\).

Soit \((A, B, C, f, g, h)\) un triangle distingué de \(\mathcal{T}\). Il faut montrer que le triangle \((S(A), S(B), S(C), S(f), S(g), S(h))\) est distingué. On utilise ici l’isomorphisme canonique \(S(A[1]) \to S(A)[1]\) construit ci-dessus pour identifier le but \(S(A[1])\) de \(S(h)\) à \(S(A)[1]\). Observons d’abord que, pour tout \(X\) dans \(\mathcal{T}\), le triangle \((S(A), S(B), S(C), S(f), S(g), S(h))\) induit une suite exacte longue \[\ldots \to \Hom(X, S(A)) \to \Hom(X, S(B)) \to \Hom(X, S(C)) \to \Hom(X, S(A)[1]) \to \ldots\] d’espaces vectoriels de dimension finie sur \(k\). En effet, cette suite est le dual \(k\)-linéaire de la suite \[\ldots \leftarrow \Hom(A, X) \leftarrow \Hom(B, X) \leftarrow \Hom(C, X) \leftarrow \Hom(A[1], X) \leftarrow \ldots\] qui est exacte d’après Catégories dérivées, lemme 0149. Choisissons ensuite un triangle distingué \((S(A), E, S(C), i, p, S(h))\) ; c’est possible d’après les axiomes TR1 et TR2. Nous voulons construire la flèche en pointillés qui rende commutatif le diagramme suivant : \[\xymatrix{ S(C)[-1] \ar[r]_-{S(h[-1])} & S(A) \ar[r]_{S(f)} & S(B) \ar[r]_{S(g)} & S(C) \ar[r]_{S(h)} & S(A)[1] \\ S(C)[-1] \ar[r]^-{S(h[-1])} \ar@{=}[u] & S(A) \ar[r]^i \ar@{=}[u] & E \ar[r]^p \ar@{..>}[u]^\varphi & S(C) \ar[r]^{S(h)} \ar@{=}[u] & S(A)[1] \ar@{=}[u] }\] En effet, si l’on dispose de \(\varphi\), alors, pour tout \(X\), l’application obtenue \(\Hom(X, E) \to \Hom(X, S(B))\) est un isomorphisme d’espaces vectoriels sur \(k\). On obtient en effet un diagramme commutatif \[\xymatrix{ \Hom(X, S(C)[-1]) \ar[r] & \Hom(X, S(A)) \ar[r] & \Hom(X, S(B)) \ar[r] & \Hom(X, S(C)) \ar[r] & \Hom(X, S(A)[1]) \\ \Hom(X, S(C)[-1]) \ar[r] \ar@{=}[u] & \Hom(X, S(A)) \ar[r] \ar@{=}[u] & \Hom(X, E) \ar[r] \ar[u]^\varphi & \Hom(X, S(C)) \ar[r] \ar@{=}[u] & \Hom(X, S(A)[1]) \ar@{=}[u] }\] dont les lignes sont exactes (voir ci-dessus), et le lemme des cinq (Homologie, lemme 05QB) montre que le morphisme médian est un isomorphisme. Le lemme de Yoneda permet alors de conclure que \(\varphi\) est un isomorphisme.

Pour construire \(\varphi\), formons le matelas de la remarque 0H8B à partir des triangles distingués \(A \to B \to C \to A[1]\) et \(S(A) \to E \to S(C) \to S(A)[1]\). D’après la remarque 0H8C, son dual \(k\)-linéaire est également un matelas. Comme \(S\) est un foncteur de Serre, on voit, comme ci-dessus, que ce matelas dual est le complexe double formé par les triangles (dont le second n’est pas encore connu pour être distingué) \(S(A) \to E \to S(C) \to S(A)[1]\) et \(S(A) \to S(B) \to S(C) \to S(A)[1]\). Or la condition de matelas dit exactement que les morphismes \(S(A) \to S(A)\) et \(S(C) \to S(C)\) s’insèrent dans un morphisme de triangles, c’est-à-dire qu’il existe un \(\varphi\) qui rend commutatif le diagramme ci-dessus.

Exemples de foncteurs de Serre

Le lemme ci-dessous est l’exemple classique.

Lemme

Soit \(k\) un corps. Soit \(X\) un schéma propre sur \(k\) qui est de Gorenstein. Considérons le complexe \(\omega_X^\bullet\) du lemme 0FVV de Dualité pour les schémas. Alors le foncteur \[S : D_{perf}(\mathcal{O}_X) \longrightarrow D_{perf}(\mathcal{O}_X),\quad K \longmapsto S(K) = \omega_X^\bullet \otimes_{\mathcal{O}_X}^\mathbf{L} K\] est un foncteur de Serre.

Démonstration

L’énoncé a un sens puisque \(\dim \Hom_X(K, L) < \infty\) pour \(K, L \in D_{perf}(\mathcal{O}_X)\) d’après Catégories dérivées des schémas, lemme 0D0D. Comme \(X\) est de Gorenstein, le complexe dualisant \(\omega_X^\bullet\) est un objet inversible de \(D(\mathcal{O}_X)\), voir Dualité pour les schémas, lemme 0BFQ. En particulier, localement sur \(X\), le complexe \(\omega_X^\bullet\) possède un unique faisceau de cohomologie non nul, lequel est un module inversible, voir Cohomologie, lemme 0FPG. Ainsi, \(S(K)\) appartient à \(D_{perf}(\mathcal{O}_X)\). D’autre part, l’inversibilité de \(\omega_X^\bullet\) implique clairement que \(S\) est une auto-équivalence de \(D_{perf}(\mathcal{O}_X)\). Enfin, il faut construire un isomorphisme \[c_{K, L} : \Hom_X(K, L) \longrightarrow \Hom_X(L, \omega_X^\bullet \otimes_{\mathcal{O}_X}^\mathbf{L} K)^\vee\] bifonctoriel en \(K, L\). Pour cela, utilisons les isomorphismes canoniques \[\Hom_X(K, L) = H^0(X, L \otimes_{\mathcal{O}_X}^\mathbf{L} K^\vee)\] et \[\Hom_X(L, \omega_X^\bullet \otimes_{\mathcal{O}_X}^\mathbf{L} K) = H^0(X, \omega_X^\bullet \otimes_{\mathcal{O}_X}^\mathbf{L} K \otimes_{\mathcal{O}_X}^\mathbf{L} L^\vee)\] donnés dans Cohomologie, lemme 08DQ. Puisque \((L \otimes_{\mathcal{O}_X}^\mathbf{L} K^\vee)^\vee = (K^\vee)^\vee \otimes_{\mathcal{O}_X}^\mathbf{L} L^\vee\) et qu’il existe un isomorphisme canonique \(K \to (K^\vee)^\vee\), ces espaces vectoriels sur \(k\) sont canoniquement duaux d’après Dualité pour les schémas, lemme 0FVY. On obtient ainsi les isomorphismes \(c_{K, L}\). Nous omettons la démonstration de leur fonctorialité.

Caractérisation des modules cohérents

Cette section prolonge, en un certain sens, la discussion menée dans Catégories dérivées des schémas, section 0CSE et Compléments sur les morphismes, section 0CSI.

Avant de pouvoir énoncer le résultat, nous avons besoin de quelques notations. Soit \(k\) un corps. Soit \(n \geq 0\) un entier. Soit \(S = k[X_0, \ldots, X_n]\). Pour un entier \(e\), notons \(S_e \subset S\) l’espace des polynômes homogènes de degré \(e\). Considérons la \(k\)-algèbre (non commutative) \[R = \left( \begin{matrix} S_0 & S_1 & S_2 & \ldots & \ldots \\ 0 & S_0 & S_1 & \ldots & \ldots\\ 0 & 0 & S_0 & \ldots & \ldots \\ \ldots & \ldots & \ldots & \ldots & \ldots \\ 0 & \ldots & \ldots & \ldots & S_0 \end{matrix} \right)\] (à \(n + 1\) lignes et colonnes), munie de la multiplication et de l’addition évidentes.

Lemme

Avec \(k\), \(n\) et \(R\) comme ci-dessus, pour un objet \(K\) de \(D(R)\), les assertions suivantes sont équivalentes :

1. \(\sum_{i \in \mathbf{Z}} \dim_k H^i(K) < \infty\), et

2. \(K\) est un objet compact.

Démonstration

Si \(K\) est un objet compact, alors \(K\) peut être représenté par un complexe \(M^\bullet\) qui, comme \(R\)-module gradué, est projectif de type fini, voir Algèbre différentielle graduée, lemme 09RB. Puisque \(\dim_k R < \infty\), nous concluons que \(\sum \dim_k M^i < \infty\) et, a fortiori, que \(\sum \dim_k H^i(M^\bullet) < \infty\). (On peut aussi déduire facilement cette implication de la proposition plus élémentaire Algèbre différentielle graduée, proposition 09R3.)

Supposons que \(K\) satisfasse (1). Considérons le triangle distingué de troncation \(\tau_{\leq m}K \to K \to \tau_{\geq m + 1}K\), voir Catégories dérivées, remarque 08J5. Il est clair que \(\tau_{\leq m}K\) et \(\tau_{\geq m + 1} K\) satisfont (1). Si l’on peut montrer qu’ils sont tous deux compacts, alors \(K\) l’est aussi, voir Catégories dérivées, lemme 09QH. Ainsi, par récurrence sur le nombre de modules de cohomologie non nuls de \(K\), nous pouvons supposer que \(H^i(K)\) n’est non nul que pour une seule valeur de \(i\). En décalant, nous pouvons supposer que \(K\) est donné par le complexe constitué d’un seul \(R\)-module \(M\) de dimension finie, placé en degré \(0\).

Puisque \(\dim_k(M) < \infty\), nous voyons que \(M\) est artinien comme \(R\)-module. Il suffit donc de montrer que tout \(R\)-module simple représente un objet compact de \(D(R)\). Observons que \[I = \left( \begin{matrix} 0 & S_1 & S_2 & \ldots & \ldots \\ 0 & 0 & S_1 & \ldots & \ldots\\ 0 & 0 & 0 & \ldots & \ldots \\ \ldots & \ldots & \ldots & \ldots & \ldots \\ 0 & \ldots & \ldots & \ldots & 0 \end{matrix} \right)\] est un idéal bilatère nilpotent de \(R\) et que \(R/I\) est une \(k\)-algèbre commutative isomorphe à un produit de \(n + 1\) copies de \(k\) (placées sur la diagonale de la matrice, c’est-à-dire que \(R/I\) peut être relevée en une sous-\(k\)-algèbre de \(R\)). Il s’ensuit que \(R\) possède exactement \(n + 1\) classes d’isomorphisme de modules simples \(M_0, \ldots, M_n\) (placés le long de la diagonale). Considérons le \(R\)-module à droite \(P_i\) de vecteurs lignes \[P_i = \left( \begin{matrix} 0 & \ldots & 0 & S_0 & \ldots & S_{i - 1} & S_i \end{matrix} \right)\] muni de la multiplication évidente \(P_i \times R \to P_i\). Nous voyons alors que \(R \cong P_0 \oplus \ldots \oplus P_n\) comme \(R\)-module à droite. Comme il est clair que \(R\) est un objet compact de \(D(R)\), nous concluons que chaque \(P_i\) est un objet compact de \(D(R)\). (Nous concluons bien sûr aussi que chaque \(P_i\) est projectif comme \(R\)-module, mais ce n’est pas ce que nous avons à montrer dans cette démonstration.) Il est clair que \(P_0 = M_0\) est le premier de nos modules simples sur \(R\). Pour \(P_1\), nous avons une suite exacte courte \[0 \to P_0^{\oplus n + 1} \to P_1 \to M_1 \to 0\] qui montre que \(M_1\) s’insère dans un triangle distingué dont les autres membres sont des objets compacts ; ainsi, \(M_1\) est un objet compact de \(D(R)\). Plus généralement, il existe une suite exacte courte \[0 \to C_i \to P_i \to M_i \to 0\] où \(C_i\) est un \(R\)-module de dimension finie dont les facteurs de composition sont isomorphes à \(M_j\) pour \(j < i\). Par récurrence, nous concluons d’abord que \(C_i\) détermine un objet compact de \(D(R)\), puis que \(M_i\) en détermine un également, comme souhaité.

Lemme

Soit \(k\) un corps. Soit \(n \geq 0\). Soit \(K \in D_\QCoh(\mathcal{O}_{\mathbf{P}^n_k})\). Les assertions suivantes sont équivalentes :

1. \(K\) appartient à \(D^b_{\textit{Coh}}(\mathcal{O}_{\mathbf{P}^n_k})\),

2. \(\sum_{i \in \mathbf{Z}} \dim_k H^i(\mathbf{P}^n_k, E \otimes^\mathbf{L} K) < \infty\) pour tout objet parfait \(E\) de \(D(\mathcal{O}_{\mathbf{P}^n_k})\),

3. \(\sum_{i \in \mathbf{Z}} \dim_k \Ext^i_{\mathbf{P}^n_k}(E, K) < \infty\) pour tout objet parfait \(E\) de \(D(\mathcal{O}_{\mathbf{P}^n_k})\),

4. \(\sum_{i \in \mathbf{Z}} \dim_k H^i(\mathbf{P}^n_k, K \otimes^\mathbf{L} \mathcal{O}_{\mathbf{P}^n_k}(d)) < \infty\) pour \(d = 0, 1, \ldots, n\).

Démonstration

Les assertions (2) et (3) sont équivalentes d’après Cohomologie, lemme 08DQ. Si (1) est satisfaite, alors, pour \(E\) parfait, le produit tensoriel dérivé \(E \otimes^\mathbf{L} K\) appartient à \(D^b_{\textit{Coh}}(\mathcal{O}_{\mathbf{P}^n_k})\) et l’on voit que (2) est satisfaite d’après Catégories dérivées des schémas, lemme 08E2. Il est clair que (2) implique (4), puisque \(\mathcal{O}_{\mathbf{P}^n_k}(d)\) peut être considéré comme un objet parfait de la catégorie dérivée de \(\mathbf{P}^n_k\). Ainsi, il suffit de montrer que (4) implique (1).

Supposons (4). Soit \(R\) comme dans le lemme 0FYA. Soit \(P = \bigoplus_{d = 0, \ldots, n} \mathcal{O}_{\mathbf{P}^n_k}(-d)\). Rappelons que \(R = \text{End}_{\mathbf{P}^n_k}(P)\), tandis que tous les autres groupes d’extensions de \(P\) par lui-même sont nuls, et que \(P\) détermine une équivalence \(- \otimes^\mathbf{L} P : D(R) \to D_\QCoh(\mathcal{O}_{\mathbf{P}^n_k})\) d’après Catégories dérivées des schémas, lemme 0BQU. Disons que \(K\) correspond à \(L\) dans \(D(R)\). Alors \[\begin{align*} H^i(L) & = \Ext^i_{D(R)}(R, L) \\ & = \Ext^i_{\mathbf{P}^n_k}(P, K) \\ & = H^i(\mathbf{P}^n_k, K \otimes P^\vee) \\ & = \bigoplus\nolimits_{d = 0, \ldots, n} H^i(\mathbf{P}^n_k, K \otimes \mathcal{O}(d)) \end{align*}\] d’après Algèbre différentielle graduée, lemme 0CS6 (et le fait que \(- \otimes^\mathbf{L} P\) est une équivalence) et Cohomologie, lemme 08DQ. Ainsi, notre hypothèse (4) implique que \(L\) satisfait la condition (2) du lemme 0FYA et est donc un objet compact de \(D(R)\). Par conséquent, \(K\) est un objet compact de \(D_\QCoh(\mathcal{O}_{\mathbf{P}^n_k})\). Ainsi, \(K\) est parfait d’après Catégories dérivées des schémas, proposition 09M1. Puisque \(D_{perf}(\mathcal{O}_{\mathbf{P}^n_k}) = D^b_{\textit{Coh}}(\mathcal{O}_{\mathbf{P}^n_k})\) d’après Catégories dérivées des schémas, lemme 0FDC, nous concluons que (1) est satisfaite.

Lemme

Soit \(X\) un schéma propre sur un corps \(k\). Soit \(K \in D^b_{\textit{Coh}}(\mathcal{O}_X)\) et soit \(E\) dans \(D(\mathcal{O}_X)\) un objet parfait. Alors \(\sum_{i \in \mathbf{Z}} \dim_k \Ext^i_X(E, K) < \infty\).

Démonstration

Cela résulte, par exemple, de la combinaison des lemmes 0D0D et 09M4 de Catégories dérivées des schémas. Autre démonstration : combiner les lemmes de Catégories dérivées des schémas 0FXU et 08E2.

Lemme

Soit \(X\) un schéma propre sur un corps \(k\). Soit \(K \in \Ob(D_\QCoh(\mathcal{O}_X))\). Les assertions suivantes sont équivalentes :

1. \(K \in D^b_{\textit{Coh}}(\mathcal{O}_X)\), et

2. \(\sum_{i \in \mathbf{Z}} \dim_k \Ext^i_X(E, K) < \infty\) pour tout objet parfait \(E\) de \(D(\mathcal{O}_X)\).

Démonstration

L’implication (1) \(\Rightarrow\) (2) découle du lemme 0FYC. L’implication (2) \(\Rightarrow\) (1) découle de Compléments sur les morphismes, lemme 0GET (voir Catégories dérivées des schémas, exemple 0DI1 pour la signification d’un objet relativement parfait sur un corps) ; la démonstration plus simple du cas projectif figure au paragraphe suivant.

Supposons (2) et que \(X\) soit projectif sur \(k\). Choisissons une immersion fermée \(i : X \to \mathbf{P}^n_k\). Il suffit de montrer que \(Ri_*K\) appartient à \(D^b_{\textit{Coh}}(\mathbf{P}^n_k)\), car un module quasi-cohérent \(\mathcal{F}\) sur \(X\) est cohérent, resp. nul, si et seulement si \(i_*\mathcal{F}\) est cohérent, resp. nul. Pour un objet parfait \(E\) de \(D(\mathcal{O}_{\mathbf{P}^n_k})\), \(Li^*E\) est un objet parfait de \(D(\mathcal{O}_X)\) et \[\Ext^q_{\mathbf{P}^n_k}(E, Ri_*K) = \Ext^q_X(Li^*E, K)\] D’après notre hypothèse, nous voyons donc que \(\sum_{q \in \mathbf{Z}} \dim_k \Ext^q_{\mathbf{P}^n_k}(E, Ri_*K) < \infty\). Nous concluons par le lemme 0FYB.

Un théorème de représentabilité

Le contenu de cette section est tiré de [BvdB].

Soit \(\mathcal{T}\) une catégorie triangulée \(k\)-linéaire. Dans cette section, nous considérons les foncteurs cohomologiques \(k\)-linéaires \(H\) de \(\mathcal{T}\) vers la catégorie des espaces vectoriels sur \(k\). Cela signifiera que \(H\) est un foncteur \[H : \mathcal{T}^{opp} \longrightarrow \text{Vect}_k\] qui est \(k\)-linéaire et tel que, pour tout triangle distingué \(X \to Y \to Z\) de \(\mathcal{T}\), la suite \(H(Z) \to H(Y) \to H(X)\) est une suite exacte d’espaces vectoriels sur \(k\). Voir Catégories dérivées, définition 0147 et Algèbre différentielle graduée, section 09MI.

Lemme

Soit \(\mathcal{D}\) une catégorie triangulée. Soit \(\mathcal{D}' \subset \mathcal{D}\) une sous-catégorie triangulée pleine. Soit \(X \in \Ob(\mathcal{D})\). La catégorie des flèches \(E \to X\) avec \(E \in \Ob(\mathcal{D}')\) est filtrante.

Démonstration

Vérifions les conditions de Catégories, définition 002V. La catégorie est non vide, car elle contient \(0 \to X\). Si \(E_i \to X\), \(i = 1, 2\) sont des objets, alors \(E_1 \oplus E_2 \to X\) est un objet et il existe des morphismes \((E_i \to X) \to (E_1 \oplus E_2 \to X)\). Enfin, supposons que \(a, b : (E \to X) \to (E' \to X)\) soient des morphismes. Choisissons un triangle distingué \(E \xrightarrow{a - b} E' \to E''\) dans \(\mathcal{D}'\). Par l’axiome TR3, on obtient un morphisme de triangles \[\xymatrix{ E \ar[r]_{a - b} \ar[d] & E' \ar[d] \ar[r] & E'' \ar[d] \\ 0 \ar[r] & X \ar[r] & X }\] et l’on constate que la flèche obtenue \((E' \to X) \to (E'' \to X)\) égalise \(a\) et \(b\).

Lemme

Soit \(k\) un corps. Soit \(\mathcal{D}\) une catégorie triangulée \(k\)-linéaire qui admet les sommes directes et est compactement engendrée. Notons \(\mathcal{D}_c\) la sous-catégorie pleine des objets compacts. Soit \(H : \mathcal{D}_c^{opp} \to \text{Vect}_k\) un foncteur cohomologique \(k\)-linéaire tel que \(\dim_k H(X) < \infty\) pour tout \(X \in \Ob(\mathcal{D}_c)\). Alors \(H\) est isomorphe au foncteur \(X \mapsto \Hom(X, Y)\) pour un certain \(Y \in \Ob(\mathcal{D})\).

Démonstration

Nous utiliserons Catégories dérivées, lemme 09QH sans autre mention. Notons \(G : \mathcal{D}_c \to \text{Vect}_k\) le foncteur homologique \(k\)-linéaire qui envoie \(X\) sur \(H(X)^\vee\). Pour tout objet \(Y\) de \(\mathcal{D}\), posons \[G'(Y) = \colim_{X \to Y, X \in \Ob(\mathcal{D}_c)} G(X)\] Il s’agit d’une colimite filtrante d’après le lemme 0FYF. Nous affirmons que \(G'\) est un foncteur homologique \(k\)-linéaire, que la restriction de \(G'\) à \(\mathcal{D}_c\) est \(G\), et que \(G'\) transforme les sommes directes en sommes directes.

En effet, supposons que \(Y_1 \to Y_2 \to Y_3\) soit un triangle distingué. Soit \(\xi \in G'(Y_2)\) dont l’image dans \(G'(Y_3)\) est nulle. Comme la colimite est filtrante, \(\xi\) est représenté par un certain \(X \to Y_2\) avec \(X \in \Ob(\mathcal{D}_c)\) et \(g \in G(X)\). Le fait que l’image de \(\xi\) dans \(G'(Y_3)\) soit nulle signifie que le composé \(X \to Y_2 \to Y_3\) se factorise sous la forme \(X \to X' \to Y_3\) avec \(X' \in \mathcal{D}_c\) et que l’image de \(g\) dans \(G(X')\) est nulle. Choisissons un triangle distingué \(X'' \to X \to X'\). Alors \(X'' \in \Ob(\mathcal{D}_c)\). Comme \(G\) est homologique, on voit que \(g\) est l’image d’un certain \(g'' \in G'(X'')\). Par l’axiome TR3, les morphismes \(X \to Y_2\) et \(X' \to Y_3\) s’insèrent dans un morphisme de triangles distingués \((X'' \to X \to X') \to (Y_1 \to Y_2 \to Y_3)\), et l’on voit que \(\xi\) est bien l’image de l’élément de \(G'(Y_1)\) représenté par \(X'' \to Y_1\) et \(g'' \in G(X'')\).

Si \(Y \in \Ob(\mathcal{D}_c)\), alors \(\text{id} : Y \to Y\) est l’objet final de la catégorie des flèches \(X \to Y\) avec \(X \in \Ob(\mathcal{D}_c)\). On voit donc que \(G'(Y) = G(Y)\) dans ce cas, ce qui prouve l’assertion sur la restriction. Soit \(Y = \bigoplus_{i \in I} Y_i\) une somme directe. Soient \(a : X \to Y\) avec \(X \in \Ob(\mathcal{D}_c)\) et \(g \in G(X)\) représentant un élément \(\xi\) de \(G'(Y)\). Le morphisme \(a : X \to Y\) s’écrit de façon unique comme une somme de morphismes \(a_i : X \to Y_i\) presque tous nuls, puisque \(X\) est un objet compact de \(\mathcal{D}\). Soit \(I' = \{i \in I \mid a_i \not = 0\}\). On peut alors factoriser \(a\) comme le composé \[X \xrightarrow{(1, \ldots, 1)} \bigoplus\nolimits_{i \in I'} X \xrightarrow{\bigoplus_{i \in I'} a_i} \bigoplus\nolimits_{i \in I} Y_i = Y\] On en déduit que \(\xi = \sum_{i \in I'} \xi_i\) est la somme des images des éléments \(\xi_i \in G'(Y_i)\) correspondant à \(a_i : X \to Y_i\) et \(g \in G(X)\). Ainsi, \(\bigoplus G'(Y_i) \to G'(Y)\) est surjective. Nous omettons la vérification (triviale) de son injectivité.

Il s’ensuit que le foncteur \(Y \mapsto G'(Y)^\vee\) est cohomologique et transforme les sommes directes en produits directs. La représentabilité de Brown, voir Catégories dérivées, proposition 0A8G, montre donc qu’il existe \(Y \in \Ob(\mathcal{D})\) et un isomorphisme \(G'(Z)^\vee = \Hom(Z, Y)\) fonctoriel en \(Z\). Pour \(X \in \Ob(\mathcal{D}_c)\), on a \(G'(X)^\vee = G(X)^\vee = (H(X)^\vee)^\vee = H(X)\) car \(\dim_k H(X) < \infty\), ce qui achève la démonstration.

Théorème

Soit \(X\) un schéma propre sur un corps \(k\). Soit \(F : D_{perf}(\mathcal{O}_X)^{opp} \to \text{Vect}_k\) un foncteur cohomologique \(k\)-linéaire tel que \[\sum\nolimits_{n \in \mathbf{Z}} \dim_k F(E[n]) < \infty\] pour tout \(E \in D_{perf}(\mathcal{O}_X)\). Alors \(F\) est isomorphe à un foncteur de la forme \(E \mapsto \Hom_X(E, K)\) pour un certain \(K \in D^b_{\textit{Coh}}(\mathcal{O}_X)\).

Démonstration

La catégorie dérivée \(D_\QCoh(\mathcal{O}_X)\) admet les sommes directes, est compactement engendrée, et \(D_{perf}(\mathcal{O}_X)\) est la sous-catégorie pleine des objets compacts, voir Catégories dérivées des schémas, lemme 08DT, théorème 09IS, et proposition 09M1. Par le lemme 0FYG, nous pouvons supposer que \(F(E) = \Hom_X(E, K)\) pour un certain \(K \in \Ob(D_\QCoh(\mathcal{O}_X))\). Il s’ensuit alors que \(K\) appartient à \(D^b_{\textit{Coh}}(\mathcal{O}_X)\) par le lemme 0FYD.

Lemme

Soit \(X\) un schéma propre et régulier sur un corps \(k\). Soit \(G : D_{perf}(\mathcal{O}_X) \to \text{Vect}_k\) un foncteur homologique \(k\)-linéaire tel que \[\sum\nolimits_{n \in \mathbf{Z}} \dim_k G(E[n]) < \infty\] pour tout \(E \in D_{perf}(\mathcal{O}_X)\). Alors \(G\) est isomorphe à un foncteur de la forme \(E \mapsto \Hom_X(K, E)\) pour un certain \(K \in D_{perf}(\mathcal{O}_X)\).

Démonstration

Considérons le foncteur contravariant \(E \mapsto E^\vee\) sur \(D_{perf}(\mathcal{O}_X)\), voir Cohomologie, lemme 08DQ. Ce foncteur est une anti-auto-équivalence exacte de \(D_{perf}(\mathcal{O}_X)\). Nous pouvons donc appliquer le théorème 0FYH au foncteur \(F(E) = G(E^\vee)\) pour trouver \(K \in D_{perf}(\mathcal{O}_X)\) tel que \(G(E^\vee) = \Hom_X(E, K)\). Il s’ensuit que \(G(E) = \Hom_X(E^\vee, K) = \Hom_X(K^\vee, E)\), et l’on conclut que \(K^\vee\) convient.

Existence d’adjoints

Les résultats de l’article de Bondal et van den Bergh ont pour conséquence l’énoncé suivant sur l’existence automatique d’adjoints.

Lemme

Soit \(k\) un corps. Soient \(X\) et \(Y\) des schémas propres sur \(k\). Si \(X\) est régulier, tout foncteur exact \(k\)-linéaire \(F : D_{perf}(\mathcal{O}_X) \to D_{perf}(\mathcal{O}_Y)\) admet un adjoint à droite exact et un adjoint à gauche exact.

Démonstration

S’il existe, un adjoint est un foncteur exact d’après le lemme très général 0A8D de Catégories dérivées.

Démontrons l’existence d’un adjoint à droite. Pour cela, il suffit de montrer que, pour \(M \in D_{perf}(\mathcal{O}_Y)\), le foncteur contravariant \(K \mapsto \Hom_Y(F(K), M)\) est représentable. Ce foncteur est contravariant, \(k\)-linéaire et cohomologique. Par le théorème 0FYH, il suffit donc de montrer que \[\sum\nolimits_{i \in \mathbf{Z}} \dim_k \Ext^i_Y(F(K), M) < \infty\] Cela résulte du lemme 0FYC.

Pour l’existence de l’adjoint à gauche, on raisonne de même en utilisant le lemme 0H4A au lieu du théorème 0FYH.

Foncteurs de Fourier-Mukai

Ces foncteurs ont été introduits pour la première fois dans [Mukai].

Définition

Soit \(S\) un schéma. Soient \(X\) et \(Y\) des schémas sur \(S\). Soit \(K \in D(\mathcal{O}_{X \times_S Y})\). Le foncteur exact \[\Phi_K : D(\mathcal{O}_X) \longrightarrow D(\mathcal{O}_Y),\quad M \longmapsto R\text{pr}_{2, *}( L\text{pr}_1^*M \otimes_{\mathcal{O}_{X \times_S Y}}^\mathbf{L} K)\] de catégories triangulées est appelé un foncteur de Fourier-Mukai, et \(K\) est appelé un noyau de Fourier-Mukai pour ce foncteur. De plus,

1. si \(\Phi_K\) envoie \(D_\QCoh(\mathcal{O}_X)\) dans \(D_\QCoh(\mathcal{O}_Y)\), alors le foncteur exact obtenu \(\Phi_K : D_\QCoh(\mathcal{O}_X) \to D_\QCoh(\mathcal{O}_Y)\) est appelé un foncteur de Fourier-Mukai,

2. si \(\Phi_K\) envoie \(D_{perf}(\mathcal{O}_X)\) dans \(D_{perf}(\mathcal{O}_Y)\), alors le foncteur exact obtenu \(\Phi_K : D_{perf}(\mathcal{O}_X) \to D_{perf}(\mathcal{O}_Y)\) est appelé un foncteur de Fourier-Mukai, et

3. si \(X\) et \(Y\) sont noethériens et si \(\Phi_K\) envoie \(D^b_{\textit{Coh}}(\mathcal{O}_X)\) dans \(D^b_{\textit{Coh}}(\mathcal{O}_Y)\), alors le foncteur exact obtenu \(\Phi_K : D^b_{\textit{Coh}}(\mathcal{O}_X) \to D^b_{\textit{Coh}}(\mathcal{O}_Y)\) est appelé un foncteur de Fourier-Mukai. De même pour \(D_{\textit{Coh}}\), \(D^+_{\textit{Coh}}\), \(D^-_{\textit{Coh}}\).

Lemme

Soit \(S\) un schéma. Soient \(X\) et \(Y\) des schémas sur \(S\). Soit \(K \in D(\mathcal{O}_{X \times_S Y})\). Le foncteur de Fourier-Mukai correspondant \(\Phi_K\) envoie \(D_\QCoh(\mathcal{O}_X)\) dans \(D_\QCoh(\mathcal{O}_Y)\) si \(K\) appartient à \(D_\QCoh(\mathcal{O}_{X \times_S Y})\) et si \(X \to S\) est quasi-compact et quasi-séparé.

Démonstration

Cela résulte du fait que l’image inverse dérivée préserve \(D_\QCoh\) (Catégories dérivées des schémas, lemme 08DW), que les produits tensoriels dérivés préservent \(D_\QCoh\) (Catégories dérivées des schémas, lemme 08DX), que la projection \(\text{pr}_2 : X \times_S Y \to Y\) est quasi-compacte et quasi-séparée (Schémas, lemmes 01K5 et 01KU), et que l’image directe totale par un morphisme quasi-séparé et quasi-compact préserve \(D_\QCoh\) (Catégories dérivées des schémas, lemme 08D5).

Lemme

Soit \(S\) un schéma. Soient \(X, Y, Z\) des schémas sur \(S\). Supposons que \(X \to S\), \(Y \to S\) et \(Z \to S\) soient quasi-compacts et quasi-séparés. Soit \(K \in D_\QCoh(\mathcal{O}_{X \times_S Y})\). Soit \(K' \in D_\QCoh(\mathcal{O}_{Y \times_S Z})\). Considérons les foncteurs de Fourier-Mukai \(\Phi_K : D_\QCoh(\mathcal{O}_X) \to D_\QCoh(\mathcal{O}_Y)\) et \(\Phi_{K'} : D_\QCoh(\mathcal{O}_Y) \to D_\QCoh(\mathcal{O}_Z)\). Si \(X\) et \(Z\) sont tor-indépendants sur \(S\) et si \(Y \to S\) est plat, alors \[\Phi_{K'} \circ \Phi_K = \Phi_{K''} : D_\QCoh(\mathcal{O}_X) \longrightarrow D_\QCoh(\mathcal{O}_Z)\] où \[K'' = R\text{pr}_{13, *}( L\text{pr}_{12}^*K \otimes_{\mathcal{O}_{X \times_S Y \times_S Z}}^\mathbf{L} L\text{pr}_{23}^*K')\] dans \(D_\QCoh(\mathcal{O}_{X \times_S Z})\).

Démonstration

L’énoncé a un sens d’après le lemme 0FYR. Nous allons utiliser Catégories dérivées des schémas, lemmes 08DW, 08DX, et 08D5, ainsi que Schémas, lemmes 01K5 et 01KU, sans autre mention. D’après Catégories dérivées des schémas, lemme 0FXW, \(X \times_S Y\) et \(Y \times_S Z\) sont tor-indépendants sur \(Y\). Autrement dit, le changement de base s’applique au diagramme cartésien \[\xymatrix{ X \times_S Y \times_S Z \ar[d] \ar[r] & Y \times_S Z \ar[d]^{p^{YZ}_Y} \\ X \times_S Y \ar[r]^{p^{XY}_Y} & Y }\] pour les complexes à faisceaux de cohomologie quasi-cohérents, voir Catégories dérivées des schémas, lemme 08IB. En posant \(p^* = Lp^*\), \(p_* = Rp_*\) et \(\otimes = \otimes^\mathbf{L}\), on a, pour \(M \in D_\QCoh(\mathcal{O}_X)\), la suite d’égalités \[\begin{align*} \Phi_{K'}(\Phi_K(M)) & = p^{YZ}_{Z, *}(p^{YZ, *}_Y p^{XY}_{Y, *}(p^{XY, *}_X M \otimes K) \otimes K') \\ & = p^{YZ}_{Z, *}(\text{pr}_{23, *} \text{pr}_{12}^*(p^{XY, *}_X M \otimes K) \otimes K') \\ & = p^{YZ}_{Z, *}(\text{pr}_{23, *}(\text{pr}_1^*M \otimes \text{pr}_{12}^*K) \otimes K') \\ & = p^{YZ}_{Z, *}(\text{pr}_{23, *}(\text{pr}_1^*M \otimes \text{pr}_{12}^*K \otimes \text{pr}_{23}^*K')) \\ & = \text{pr}_{3, *}(\text{pr}_1^*M \otimes \text{pr}_{12}^*K \otimes \text{pr}_{23}^*K') \\ & = p^{XZ}_{Z, *}\text{pr}_{13, *}(\text{pr}_1^*M \otimes \text{pr}_{12}^*K \otimes \text{pr}_{23}^*K') \\ & = p^{XZ}_{Z, *} (p^{XZ, *}_X M \otimes \text{pr}_{13, *}(\text{pr}_{12}^*K \otimes \text{pr}_{23}^*K')) \end{align*}\] comme voulu. Nous avons utilisé ici la remarque sur le changement de base dans la deuxième égalité et Catégories dérivées des schémas, lemme 08EU, dans la \(4\)e et la dernière égalité.

Lemme

Soit \(S\) un schéma. Soient \(X\) et \(Y\) des schémas sur \(S\). Soit \(K \in D(\mathcal{O}_{X \times_S Y})\). Le foncteur de Fourier-Mukai correspondant \(\Phi_K\) envoie \(D_{perf}(\mathcal{O}_X)\) dans \(D_{perf}(\mathcal{O}_Y)\) si au moins l’une des conditions suivantes est satisfaite :

1. \(S\) est noethérien, \(X \to S\) et \(Y \to S\) sont de type fini, \(K \in D^b_{\textit{Coh}}(\mathcal{O}_{X \times_S Y})\), le support de \(H^i(K)\) est propre sur \(Y\) pour tout \(i\), et \(K\) est de tor-dimension finie comme objet de \(D(\text{pr}_2^{-1}\mathcal{O}_Y)\),

2. \(X \to S\) est de présentation finie et \(K\) peut être représenté par un complexe borné \(\mathcal{K}^\bullet\) de modules de présentation finie sur \(\mathcal{O}_{X \times_S Y}\), plat sur \(Y\), et dont le support est propre sur \(Y\),

3. \(X \to S\) est un morphisme propre, plat et de présentation finie, et \(K\) est parfait,

4. \(S\) est noethérien, \(X \to S\) est plat et propre, et \(K\) est parfait,

5. \(X \to S\) est un morphisme propre, plat et de présentation finie, et \(K\) est \(Y\)-parfait,

6. \(S\) est noethérien, \(X \to S\) est plat et propre, et \(K\) est \(Y\)-parfait.

Démonstration

Si \(M\) est parfait sur \(X\), alors \(L\text{pr}_1^*M\) est parfait sur \(X \times_S Y\), voir Cohomologie, lemme 09UA. Nous utiliserons ce fait sans autre mention ci-dessous. Nous utiliserons également le fait que, si \(X \to S\) est de type fini, propre, plat ou de présentation finie, il en va de même pour le changement de base \(\text{pr}_2 : X \times_S Y \to Y\), voir Morphismes, lemmes 01T4, 01W4, 01U9, et 01TS.

L’assertion (1) résulte de Catégories dérivées des schémas, lemme 08EV, combiné avec Catégories dérivées des schémas, lemme 0FXU.

L’assertion (2) résulte de Catégories dérivées des schémas, lemme 0A1H.

L’assertion (3) résulte de Catégories dérivées des schémas, lemme 0B91.

L’assertion (4) résulte de l’assertion (3) et du fait qu’un morphisme de type fini entre schémas noethériens est de présentation finie d’après Morphismes, lemme 01TX.

L’assertion (5) résulte de Catégories dérivées des schémas, lemme 0DJT, combiné avec Catégories dérivées des schémas, lemme 0DI4.

L’assertion (6) résulte de l’assertion (5) de la même manière que l’assertion (4) résulte de l’assertion (3).

Lemme

Soit \(S\) un schéma noethérien. Soient \(X\) et \(Y\) des schémas de type fini sur \(S\). Soit \(K \in D^b_{\textit{Coh}}(\mathcal{O}_{X \times_S Y})\). Le foncteur de Fourier-Mukai correspondant \(\Phi_K\) envoie \(D^b_{\textit{Coh}}(\mathcal{O}_X)\) dans \(D^b_{\textit{Coh}}(\mathcal{O}_Y)\) si au moins l’une des conditions suivantes est satisfaite :

1. le support de \(H^i(K)\) est propre sur \(Y\) pour tout \(i\), et \(K\) est de tor-dimension finie comme objet de \(D(\text{pr}_1^{-1}\mathcal{O}_X)\),

2. \(K\) peut être représenté par un complexe borné \(\mathcal{K}^\bullet\) de \(\mathcal{O}_{X \times_S Y}\)-modules cohérents, plat sur \(X\), et dont le support est propre sur \(Y\),

3. le support de \(H^i(K)\) est propre sur \(Y\) pour tout \(i\) et \(X\) est un schéma régulier,

4. \(K\) est parfait, le support de \(H^i(K)\) est propre sur \(Y\) pour tout \(i\), et \(Y \to S\) est plat.

En outre, dans chacun des cas, la condition sur le support est automatique si \(X \to S\) est propre.

Démonstration

Soit \(M\) un objet de \(D^b_{\textit{Coh}}(\mathcal{O}_X)\). Dans chaque cas, nous utiliserons Catégories dérivées des schémas, lemme 08E2, pour montrer que \[\Phi_K(M) = R\text{pr}_{2, *}( L\text{pr}_1^*M \otimes_{\mathcal{O}_{X \times_S Y}}^\mathbf{L} K)\] appartient à \(D^b_{\textit{Coh}}(\mathcal{O}_Y)\). Le produit tensoriel dérivé \(L\text{pr}_1^*M \otimes_{\mathcal{O}_{X \times_S Y}}^\mathbf{L} K\) est un objet pseudo-cohérent de \(D(\mathcal{O}_{X \times_S Y})\) (d’après Cohomologie, lemme 09U7, Catégories dérivées des schémas, lemme 08E8, et Cohomologie, lemme 09J3), et possède donc des faisceaux de cohomologie cohérents (à nouveau d’après Catégories dérivées des schémas, lemme 08E8). Dans chaque cas, les supports des faisceaux de cohomologie \(H^i(L\text{pr}_1^*M \otimes_{\mathcal{O}_{X \times_S Y}}^\mathbf{L} K)\) sont propres sur \(Y\), car ces supports sont contenus dans la réunion des supports des \(H^i(K)\). Il suffit donc, dans chaque cas, de prouver que ce produit tensoriel est borné inférieurement.

Cas (1). D’après Cohomologie, lemme 08DE, on a \[L\text{pr}_1^*M \otimes_{\mathcal{O}_{X \times_S Y}}^\mathbf{L} K \cong \text{pr}_1^{-1}M \otimes_{\text{pr}_1^{-1}\mathcal{O}_X}^\mathbf{L} K\] avec les notations évidentes. L’hypothèse de tor-dimension finie et le fait que \(M\) ne possède qu’un nombre fini de faisceaux de cohomologie non nuls impliquent donc la borne voulue.

Le cas (2) résulte du fait qu’ici l’hypothèse implique que \(K\) est de tor-dimension finie comme objet de \(D(\text{pr}_1^{-1}\mathcal{O}_X)\) ; l’argument du paragraphe précédent s’applique donc.

Dans le cas (3), \(K\) est également de tor-dimension finie comme objet de \(D(\text{pr}_1^{-1}\mathcal{O}_X)\). En effet, choisissons des ouverts affines \(U = \Spec(A)\) et \(V = \Spec(B)\), respectivement de \(X\) et \(Y\), dont les images sont contenues dans l’ouvert affine \(W = \Spec(R)\) de \(S\). Alors \(K|_{U \times V}\) est donné par un complexe borné de \(A \otimes_R B\)-modules de type fini \(M^\bullet\). Comme \(A\) est un anneau régulier de dimension finie, chaque \(M^i\) est de dimension projective finie comme \(A\)-module (Algèbre, lemme 00OE) et donc de tor-dimension finie comme \(A\)-module. Ainsi, \(M^\bullet\) est de tor-dimension finie comme complexe de \(A\)-modules (Compléments sur l’algèbre, lemme 066H). Puisque \(X \times Y\) est quasi-compact, il existe \([a, b]\) tel que, pour tout point \(z \in X \times Y\), le germe \(K_z\) soit d’amplitude de tor contenue dans \([a, b]\) sur \(\mathcal{O}_{X, \text{pr}_1(z)}\). Cela implique que \(K\) est de tor-dimension bornée comme objet de \(D(\text{pr}_1^{-1}\mathcal{O}_X)\), voir Cohomologie, lemme 09U9. On conclut comme dans les deux paragraphes précédents.

Cas (4). Avec les notations ci-dessus, l’homomorphisme d’anneaux \(R \to B\) est plat. L’homomorphisme d’anneaux \(A \to A \otimes_R B\) est donc plat. Tout module projectif sur \(A \otimes_R B\) est donc plat sur \(A\). Ainsi, tout complexe parfait de \(A \otimes_R B\)-modules est de tor-dimension finie comme complexe de \(A\)-modules, et l’on conclut comme précédemment.

Exemple

Soit \(X \to S\) un morphisme séparé de schémas. Alors la diagonale \(\Delta : X \to X \times_S X\) est une immersion fermée et, par conséquent, \(\mathcal{O}_\Delta = \Delta_*\mathcal{O}_X = R\Delta_*\mathcal{O}_X\) est un \(\mathcal{O}_{X \times_S X}\)-module quasi-cohérent de type fini qui est plat sur \(X\) (pour l’une ou l’autre projection). Le foncteur de Fourier-Mukai \(\Phi_{\mathcal{O}_\Delta}\) est égal à l’identité dans ce cas. En effet, pour tout \(M \in D(\mathcal{O}_X)\), on a \[\begin{align*} L\text{pr}_1^*M \otimes_{\mathcal{O}_{X \times_S X}}^\mathbf{L} \mathcal{O}_\Delta & = L\text{pr}_1^*M \otimes_{\mathcal{O}_{X \times_S X}}^\mathbf{L} R\Delta_*\mathcal{O}_X \\ & = R\Delta_*( L\Delta^*L\text{pr}_1^*M \otimes_{\mathcal{O}_X}^\mathbf{L} \mathcal{O}_X) \\ & = R\Delta_*(M) \end{align*}\] Nous avons examiné la première égalité ci-dessus. La deuxième égalité est donnée par Cohomologie, lemme 0B55. La troisième vient de ce que \(\text{pr}_1 \circ \Delta = \text{id}_X\) et du lemme 0D5S de Cohomologie. Pour obtenir l’image directe vers \(X\), appliquons à ce qui précède le foncteur \(R\text{pr}_{2, *}\) ; on obtient \(M\) d’après Cohomologie, lemme 0D5T, et le fait que \(\text{pr}_2 \circ \Delta = \text{id}_X\).

Lemme

Soient \(X \to S\) et \(Y \to S\) des morphismes de schémas quasi-compacts et quasi-séparés. Soit \(\Phi : D_\QCoh(\mathcal{O}_X) \to D_\QCoh(\mathcal{O}_Y)\) un foncteur de Fourier-Mukai à noyau pseudo-cohérent \(K \in D_\QCoh(\mathcal{O}_{X \times_S Y})\). Soit \(a : D_\QCoh(\mathcal{O}_Y) \to D_\QCoh(\mathcal{O}_{X \times_S Y})\) l’adjoint à droite de \(R\text{pr}_{2, *}\), voir Dualité pour les schémas, lemme 0A9E. Notons \[K' = (Y \times_S X \to X \times_S Y)^* R\SheafHom_{\mathcal{O}_{X \times_S Y}}(K, a(\mathcal{O}_Y)) \in D_\QCoh(\mathcal{O}_{Y \times_S X})\] et notons \(\Phi' : D_\QCoh(\mathcal{O}_Y) \to D_\QCoh(\mathcal{O}_X)\) la transformée de Fourier-Mukai correspondante. Il existe une application canonique \[\Hom_X(M, \Phi'(N)) \longrightarrow \Hom_Y(\Phi(M), N)\] fonctorielle en \(M\) dans \(D_\QCoh(\mathcal{O}_X)\) et en \(N\) dans \(D_\QCoh(\mathcal{O}_Y)\), qui est un isomorphisme si

1. \(N\) est parfait, ou

2. \(K\) est parfait et \(X \to S\) est propre, plat et de présentation finie.

Démonstration

Le lemme 0FYR donne un foncteur \(\Phi\) comme dans l’énoncé. Observons que \(a(\mathcal{O}_Y)\) appartient à \(D^+_\QCoh(\mathcal{O}_{X \times_S Y})\) d’après Dualité pour les schémas, lemme 0A9I. Ainsi, pour \(K\) pseudo-cohérent, on a \(K' \in D_\QCoh(\mathcal{O}_{Y \times_S X})\) d’après Catégories dérivées des schémas, lemme 0A6H, et l’on obtient \(\Phi'\) comme indiqué.

Nous abrégeons \(\otimes^\mathbf{L} = \otimes_{\mathcal{O}_{X \times_S Y}}^\mathbf{L}\) et \(\SheafHom = R\SheafHom_{\mathcal{O}_{X \times_S Y}}\). Soit \(M\) dans \(D_\QCoh(\mathcal{O}_X)\) et soit \(N\) dans \(D_\QCoh(\mathcal{O}_Y)\). On a \[\begin{align*} \Hom_Y(\Phi(M), N) & = \Hom_Y(R\text{pr}_{2, *}(L\text{pr}_1^*M \otimes^\mathbf{L} K), N) \\ & = \Hom_{X \times_S Y}(L\text{pr}_1^*M \otimes^\mathbf{L} K, a(N)) \\ & = \Hom_{X \times_S Y}(L\text{pr}_1^*M, R\SheafHom(K, a(N))) \\ & = \Hom_X(M, R\text{pr}_{1, *}R\SheafHom(K, a(N))) \end{align*}\] où nous avons utilisé Cohomologie, lemmes 08DJ et 079W. Il existe des applications canoniques \[L\text{pr}_2^*N \otimes^\mathbf{L} R\SheafHom(K, a(\mathcal{O}_Y)) \xrightarrow{\alpha} R\SheafHom(K, L\text{pr}_2^*N \otimes^\mathbf{L} a(\mathcal{O}_Y)) \xrightarrow{\beta} R\SheafHom(K, a(N))\] Ici, \(\alpha\) est l’application de Cohomologie, lemme 0BYS, et \(\beta\) celle de Dualité pour les schémas, équation (0A9S). En composant toutes ces flèches, on obtient la flèche fonctorielle affichée dans l’énoncé du lemme.

La flèche \(\alpha\) est un isomorphisme d’après Catégories dérivées des schémas, lemme 0ATN, dès que \(K\) ou \(N\) est parfait. La flèche \(\beta\) est un isomorphisme si \(N\) est parfait, d’après Dualité pour les schémas, lemme 0A9T, ou, en général, si \(X \to S\) est plat, propre et de présentation finie, d’après Dualité pour les schémas, lemme 0E4K.

Lemme

Soit \(S\) un schéma noethérien. Soit \(Y \to S\) un morphisme plat, propre et de Gorenstein, et soit \(X \to S\) un morphisme de type fini. Notons \(\omega^\bullet_{Y/S}\) le complexe dualisant relatif de \(Y\) sur \(S\). Soit \(\Phi : D_\QCoh(\mathcal{O}_X) \to D_\QCoh(\mathcal{O}_Y)\) un foncteur de Fourier-Mukai à noyau parfait \(K \in D_\QCoh(\mathcal{O}_{X \times_S Y})\). Notons \[K' = (Y \times_S X \to X \times_S Y)^*(K^\vee \otimes_{\mathcal{O}_{X \times_S Y}}^\mathbf{L} L\text{pr}_2^*\omega^\bullet_{Y/S}) \in D_\QCoh(\mathcal{O}_{Y \times_S X})\] et notons \(\Phi' : D_\QCoh(\mathcal{O}_Y) \to D_\QCoh(\mathcal{O}_X)\) la transformée de Fourier-Mukai correspondante. Il existe un isomorphisme canonique \[\Hom_Y(N, \Phi(M)) \longrightarrow \Hom_X(\Phi'(N), M)\] fonctoriel en \(M\) dans \(D_\QCoh(\mathcal{O}_X)\) et en \(N\) dans \(D_\QCoh(\mathcal{O}_Y)\).

Démonstration

Le lemme 0FYR donne un foncteur \(\Phi\) comme dans l’énoncé.

Observons que la formation du complexe dualisant relatif commute au changement de base dans notre situation, voir Dualité pour les schémas, remarque 0B6S. Ainsi, \(L\text{pr}_2^*\omega^\bullet_{Y/S} = \omega^\bullet_{X \times_S Y/X}\). De plus, \(\omega^\bullet_{Y/S}\) est un objet inversible de la catégorie dérivée, voir Dualité pour les schémas, lemme 0C08, et il est a fortiori parfait.

Pour démontrer effectivement le lemme, nous allons recourir à un artifice. Nous allons montrer qu’en échangeant les rôles de \(X\) et \(Y\), ainsi que ceux de \(K\) et \(K'\), on se trouve dans la situation du lemme 0FYW, ce qui donne le résultat. Il est clair que \(K'\) est parfait comme produit tensoriel d’objets parfaits, de sorte que la discussion du lemme 0FYW s’y applique. Pour montrer que la procédure du lemme 0FYW, appliquée à \(K'\) sur \(Y \times_S X\), produit un complexe isomorphe à \(K\), il suffit (détails omis) de montrer que \[R\SheafHom(R\SheafHom(K, \omega^\bullet_{X \times_S Y/X}), \omega^\bullet_{X \times_S Y/X}) = K\] C’est clair, car \(K\) est parfait et \(\omega^\bullet_{X \times_S Y/X}\) est inversible ; nous omettons les détails. Ainsi, le lemme 0FYW fournit une application \[\Hom_Y(N, \Phi(M)) \longrightarrow \Hom_X(\Phi'(N), M)\] fonctorielle en \(M\) dans \(D_\QCoh(\mathcal{O}_X)\) et en \(N\) dans \(D_\QCoh(\mathcal{O}_Y)\), qui est un isomorphisme puisque \(K'\) est parfait. Cela achève la démonstration.

Lemme

Soit \(S\) un schéma noethérien.

1. Pour \(X\) et \(Y\) propres et plats sur \(S\) et \(K\) dans \(D_{perf}(\mathcal{O}_{X \times_S Y})\), on obtient un foncteur de Fourier-Mukai \(\Phi_K : D_{perf}(\mathcal{O}_X) \to D_{perf}(\mathcal{O}_Y)\).

2. Pour \(X\), \(Y\) et \(Z\) propres et plats sur \(S\), \(K \in D_{perf}(\mathcal{O}_{X \times_S Y})\), \(K' \in D_{perf}(\mathcal{O}_{Y \times_S Z})\), le composé \(\Phi_{K'} \circ \Phi_K : D_{perf}(\mathcal{O}_X) \to D_{perf}(\mathcal{O}_Z)\) est égal à \(\Phi_{K''}\) avec \(K'' \in D_{perf}(\mathcal{O}_{X \times_S Z})\), calculé comme dans le lemme 0FYS,

3. Pour \(X\), \(Y\), \(K\) et \(\Phi_K\) comme en (1), si \(X \to S\) est de Gorenstein, alors \(\Phi_{K'} : D_{perf}(\mathcal{O}_Y) \to D_{perf}(\mathcal{O}_X)\) est un adjoint à droite de \(\Phi_K\), où \(K' \in D_{perf}(\mathcal{O}_{Y \times_S X})\) est l’image inverse de \(L\text{pr}_1^*\omega_{X/S}^\bullet \otimes_{\mathcal{O}_{X \times_S Y}}^\mathbf{L} K^\vee\) par \(Y \times_S X \to X \times_S Y\).

4. Pour \(X\), \(Y\), \(K\) et \(\Phi_K\) comme en (1), si \(Y \to S\) est de Gorenstein, alors \(\Phi_{K''} : D_{perf}(\mathcal{O}_Y) \to D_{perf}(\mathcal{O}_X)\) est un adjoint à gauche de \(\Phi_K\), où \(K'' \in D_{perf}(\mathcal{O}_{Y \times_S X})\) est l’image inverse de \(L\text{pr}_2^*\omega_{Y/S}^\bullet \otimes_{\mathcal{O}_{X \times_S Y}}^\mathbf{L} K^\vee\) par \(Y \times_S X \to X \times_S Y\).

Démonstration

L’assertion (1) est immédiate d’après le lemme 0FYT, assertion (4).

L’assertion (2) résulte du lemme 0FYS et du fait que \(K'' = R\text{pr}_{13, *}( L\text{pr}_{12}^*K \otimes_{\mathcal{O}_{X \times_S Y \times_S Z}}^\mathbf{L} L\text{pr}_{23}^*K')\) est parfait, par exemple d’après Catégories dérivées des schémas, lemme 0B6F.

L’adjonction de l’assertion (3), sur tous les complexes à faisceaux de cohomologie quasi-cohérents, résulte du lemme 0FYW, avec \(K'\) égal à l’image inverse de \(R\SheafHom_{\mathcal{O}_{X \times_S Y}}(K, a(\mathcal{O}_Y))\) par \(Y \times_S X \to X \times_S Y\), où \(a\) est l’adjoint à droite de \(R\text{pr}_{2, *} : D_\QCoh(\mathcal{O}_{X \times_S Y}) \to D_\QCoh(\mathcal{O}_Y)\). Notons \(f : X \to S\) le morphisme structural de \(X\). Puisque \(f\) est propre, le foncteur \(f^! : D_\QCoh^+(\mathcal{O}_S) \to D_\QCoh^+(\mathcal{O}_X)\) est la restriction à \(D_\QCoh^+(\mathcal{O}_S)\) de l’adjoint à droite de \(Rf_* : D_\QCoh(\mathcal{O}_X) \to D_\QCoh(\mathcal{O}_S)\), voir Dualité pour les schémas, section 0A9Y. Ainsi, le complexe dualisant relatif \(\omega_{X/S}^\bullet\), tel qu’il est défini dans Dualité pour les schémas, remarque 0B6S, est égal à \(\omega_{X/S}^\bullet = f^!\mathcal{O}_S\). Comme la formation du complexe dualisant relatif commute au changement de base (voir Dualité pour les schémas, remarque 0B6S), on voit que \(a(\mathcal{O}_Y) = L\text{pr}_1^*\omega_{X/S}^\bullet\). Ainsi \[R\SheafHom_{\mathcal{O}_{X \times_S Y}}(K, a(\mathcal{O}_Y)) \cong L\text{pr}_1^*\omega_{X/S}^\bullet \otimes_{\mathcal{O}_{X \times_S Y}}^\mathbf{L} K^\vee\] d’après Cohomologie, lemme 08DQ. Enfin, comme \(X \to S\) est supposé de Gorenstein, le complexe dualisant relatif est inversible : cela résulte de Dualité pour les schémas, lemme 0C08. On en déduit que \(\omega_{X/S}^\bullet\) est parfait (Cohomologie, lemme 0FPG) et que \(K'\) est donc parfait. Par conséquent, \(\Phi_{K'}\) envoie bien \(D_{perf}(\mathcal{O}_Y)\) dans \(D_{perf}(\mathcal{O}_X)\), ce qui achève la démonstration de (3).

La démonstration de (4) est la même que celle de (3), si ce n’est qu’on utilise le lemme 0FYX au lieu du lemme 0FYW.

Résolutions et bornes

La diagonale d’un schéma lisse et propre possède une résolution commode.

Lemme

Soit \(R\) un anneau noethérien. Soient \(X\) et \(Y\) des schémas de type fini sur \(R\) qui possèdent la propriété de résolution. Pour tout \(\mathcal{O}_{X \times_R Y}\)-module cohérent \(\mathcal{F}\), il existe une surjection \(\mathcal{E} \boxtimes \mathcal{G} \to \mathcal{F}\), où \(\mathcal{E}\) est un \(\mathcal{O}_X\)-module localement libre de type fini et \(\mathcal{G}\) un \(\mathcal{O}_Y\)-module localement libre de type fini.

Démonstration

Soient \(U \subset X\) et \(V \subset Y\) des sous-schémas ouverts affines. Soit \(\mathcal{I} \subset \mathcal{O}_X\) le faisceau d’idéaux définissant la structure réduite de sous-schéma fermé induite sur \(X \setminus U\). De même, soit \(\mathcal{I}' \subset \mathcal{O}_Y\) le faisceau d’idéaux définissant la structure réduite de sous-schéma fermé induite sur \(Y \setminus V\). Alors le faisceau d’idéaux \[\mathcal{J} = \Im(\text{pr}_1^*\mathcal{I} \otimes_{\mathcal{O}_{X \times_R Y}} \text{pr}_2^*\mathcal{I}' \to \mathcal{O}_{X \times_R Y})\] vérifie \(V(\mathcal{J}) = X \times_R Y \setminus U \times_R V\). Pour toute section \(s \in \mathcal{F}(U \times_R V)\), on peut trouver un entier \(n > 0\) et un morphisme \(\mathcal{J}^n \to \mathcal{F}\) dont la restriction à \(U \times_R V\) donne \(s\), voir Cohomologie des schémas, lemme 01YB. Par hypothèse, on peut choisir des surjections \(\mathcal{E} \to \mathcal{I}\) et \(\mathcal{G} \to \mathcal{I}'\). Elles donnent les surjections correspondantes \[\mathcal{E} \boxtimes \mathcal{G} \to \mathcal{J} \quad\text{et}\quad \mathcal{E}^{\otimes n} \boxtimes \mathcal{G}^{\otimes n} \to \mathcal{J}^n\] et donc un morphisme \(\mathcal{E}^{\otimes n} \boxtimes \mathcal{G}^{\otimes n} \to \mathcal{F}\) dont l’image contient la section \(s\) sur \(U \times_R V\). Comme on peut recouvrir \(X \times_R Y\) par un nombre fini d’ouverts affines de la forme \(U \times_R V\) et que \(\mathcal{F}|_{U \times_R V}\) est engendré par un nombre fini de sections (Propriétés, lemme 01PB), on en déduit qu’il existe une surjection \[\bigoplus\nolimits_{j = 1, \ldots, N} \mathcal{E}_j^{\otimes n_j} \boxtimes \mathcal{G}_j^{\otimes n_j} \to \mathcal{F}\] où \(\mathcal{E}_j\) est localement libre de type fini sur \(X\) et \(\mathcal{G}_j\) localement libre de type fini sur \(Y\). En posant \(\mathcal{E} = \bigoplus \mathcal{E}_j^{\otimes n_j}\) et \(\mathcal{G} = \bigoplus \mathcal{G}_j^{\otimes n_j}\), on conclut que le lemme est vrai.

Lemme

Soit \(R\) un anneau. Soient \(X\) et \(Y\) des schémas quasi-compacts et quasi-séparés sur \(R\) qui possèdent la propriété de résolution. Pour tout \(\mathcal{O}_{X \times_R Y}\)-module quasi-cohérent de type fini \(\mathcal{F}\), il existe une surjection \(\mathcal{E} \boxtimes \mathcal{G} \to \mathcal{F}\), où \(\mathcal{E}\) est un \(\mathcal{O}_X\)-module localement libre de type fini et \(\mathcal{G}\) un \(\mathcal{O}_Y\)-module localement libre de type fini.

Démonstration

Cela résulte du lemme 0FZ0 par un argument de passage à la limite. Nous conseillons vivement au lecteur de ne pas lire la démonstration. Comme \(X \times_R Y\) est un sous-schéma fermé de \(X \times_\mathbf{Z} Y\), on peut sans inconvénient remplacer \(R\) par \(\mathbf{Z}\). On peut écrire \(\mathcal{F}\) comme quotient d’un \(\mathcal{O}_{X \times_R Y}\)-module de présentation finie d’après Propriétés, lemme 086M. On peut donc supposer que \(\mathcal{F}\) est de présentation finie. Ensuite, on peut écrire \(X = \lim X_i\), où \(X_i\) est de présentation finie sur \(\mathbf{Z}\), et de même \(Y = \lim Y_j\), voir Limites, proposition 01ZA. Alors \(\mathcal{F}\) descend en \(\mathcal{F}_{ij}\) sur un certain \(X_i \times_R Y_j\) (Limites, lemme 01ZR), tout comme la propriété de résolution (Catégories dérivées des schémas, lemme 0F8B). On applique alors le lemme 0FZ0 à \(\mathcal{F}_{ij}\), puis on prend l’image inverse.

Lemme

Soit \(R\) un anneau noethérien. Soit \(X\) un schéma séparé de type fini sur \(R\) qui possède la propriété de résolution. Posons \(\mathcal{O}_\Delta = \Delta_*(\mathcal{O}_X)\), où \(\Delta : X \to X \times_R X\) est la diagonale de \(X/k\). Il existe une résolution \[\ldots \to \mathcal{E}_2 \boxtimes \mathcal{G}_2 \to \mathcal{E}_1 \boxtimes \mathcal{G}_1 \to \mathcal{E}_0 \boxtimes \mathcal{G}_0 \to \mathcal{O}_\Delta \to 0\] où chaque \(\mathcal{E}_i\) et chaque \(\mathcal{G}_i\) est un \(\mathcal{O}_X\)-module localement libre de type fini.

Démonstration

Comme \(X\) est séparé, le morphisme diagonal \(\Delta\) est une immersion fermée, et \(\mathcal{O}_\Delta\) est donc un \(\mathcal{O}_{X \times_R X}\)-module cohérent (Cohomologie des schémas, lemme 087T). Le lemme résulte donc immédiatement du lemme 0FZ0.

Lemme

Soit \(X\) un schéma noethérien régulier de dimension \(d < \infty\). Alors

1. pour \(\mathcal{F}\), \(\mathcal{G}\) qui sont des modules cohérents sur \(\mathcal{O}_X\), on a \(\Ext^n_X(\mathcal{F}, \mathcal{G}) = 0\) pour \(n > d\), et

2. pour \(K, L \in D^b_{\textit{Coh}}(\mathcal{O}_X)\) et \(a \in \mathbf{Z}\), si \(H^i(K) = 0\) pour \(i < a + d\) et \(H^i(L) = 0\) pour \(i \geq a\), alors \(\Hom_X(K, L) = 0\).

Démonstration

Pour démontrer (1), on utilise la suite spectrale \[H^p(X, \SheafExt^q(\mathcal{F}, \mathcal{G})) \Rightarrow \Ext^{p + q}_X(\mathcal{F}, \mathcal{G})\] de Cohomologie, section 0BQP. Soit \(x \in X\). On a \[\SheafExt^q(\mathcal{F}, \mathcal{G})_x = \SheafExt^q_{\mathcal{O}_{X, x}}(\mathcal{F}_x, \mathcal{G}_x)\] voir Cohomologie, lemme 0GM8 (on utilise également ici le fait que \(\mathcal{F}\) est pseudo-cohérent d’après Catégories dérivées des schémas, lemme 08E8). Posons \(d_x = \dim(\mathcal{O}_{X, x})\). Comme \(\mathcal{O}_{X, x}\) est régulier, l’anneau \(\mathcal{O}_{X, x}\) est de dimension globale \(d_x\), voir Algèbre, proposition 00O7. Ainsi, \(\SheafExt^q_{\mathcal{O}_{X, x}}(\mathcal{F}_x, \mathcal{G}_x)\) est nul pour \(q > d_x\). Il s’ensuit que les modules \(\SheafExt^q(\mathcal{F}, \mathcal{G})\) ont un support de dimension au plus \(d - q\). On a donc \(H^p(X, \SheafExt^q(\mathcal{F}, \mathcal{G})) = 0\) pour \(p > d - q\) d’après Cohomologie, proposition 02UZ. Ceci prouve (1).

Démonstration de (2). On peut raisonner par récurrence sur le nombre de faisceaux de cohomologie non nuls de \(K\) et \(L\). Le cas où ces nombres valent \(0, 1\) résulte de (1). Si le nombre de faisceaux de cohomologie non nuls de \(K\) est \(> 1\), soit \(i \in \mathbf{Z}\) minimal tel que \(H^i(K)\) soit non nul. On obtient un triangle distingué \[H^i(K)[-i] \to K \to \tau_{\geq i + 1}K\] (Catégories dérivées, remarque 08J5), et la nullité de \(\Hom(K, L)\) résulte de celle de \(\Hom(H^i(K)[-i], L)\) et \(\Hom(\tau_{\geq i + 1}K, L)\) d’après Catégories dérivées, lemme 0149. De même si \(L\) possède plus d’un faisceau de cohomologie non nul.

Lemme

Soit \(X\) un schéma noethérien régulier de dimension \(d < \infty\). Soient \(K \in D^b_{\textit{Coh}}(\mathcal{O}_X)\) et \(a \in \mathbf{Z}\). Si \(H^i(K) = 0\) pour \(a < i < a + d\), alors \(K = \tau_{\leq a}K \oplus \tau_{\geq a + d}K\).

Démonstration

On a \(\tau_{\leq a}K = \tau_{\leq a + d - 1}K\) par la nullité supposée des faisceaux de cohomologie. D’après Catégories dérivées, remarque 08J5, on a un triangle distingué \[\tau_{\leq a}K \to K \to \tau_{\geq a + d}K \xrightarrow{\delta} (\tau_{\leq a}K)[1]\] D’après Catégories dérivées, lemme 05QT, il suffit de montrer que le morphisme \(\delta\) est nul. Cela résulte du lemme 0FZ3.

Lemme

Soit \(k\) un corps. Soit \(X\) un schéma quasi-compact, séparé et lisse sur \(k\). Il existe des \(\mathcal{O}_X\)-modules localement libres de type fini \(\mathcal{E}\) et \(\mathcal{G}\) tels que \[\mathcal{O}_\Delta \in \langle \mathcal{E} \boxtimes \mathcal{G} \rangle\] dans \(D(\mathcal{O}_{X \times X})\), où la notation est celle de Catégories dérivées, section 09SI.

Démonstration

Rappelons que \(X\) est régulier d’après Variétés, lemme 056S. Ainsi, \(X\) possède la propriété de résolution d’après Catégories dérivées des schémas, lemme 0F8A. On peut donc choisir une résolution comme dans le lemme 0FZ2. Posons \(\dim(X) = d\). Comme \(X \times X\) est lisse sur \(k\), il est régulier. Ainsi, \(X \times X\) est un schéma noethérien régulier et l’on a \(\dim(X \times X) = 2d\). L’objet \[K = (\mathcal{E}_{2d} \boxtimes \mathcal{G}_{2d} \to \ldots \to \mathcal{E}_0 \boxtimes \mathcal{G}_0)\] de \(D_{perf}(\mathcal{O}_{X \times X})\) a pour faisceaux de cohomologie \(\mathcal{O}_\Delta\) en degré \(0\) et \(\Ker(\mathcal{E}_{2d} \boxtimes \mathcal{G}_{2d} \to \mathcal{E}_{2d-1} \boxtimes \mathcal{G}_{2d-1})\) en degré \(-2d\), et zéro à tous les autres degrés. Le lemme 0FZ4 montre donc que \(\mathcal{O}_\Delta\) est un facteur direct de \(K\) dans \(D_{perf}(\mathcal{O}_{X \times X})\). Manifestement, l’objet \(K\) appartient à \[\left\langle \bigoplus\nolimits_{i = 0, \ldots, 2d} \mathcal{E}_i \boxtimes \mathcal{G}_i \right\rangle \subset \left\langle \left(\bigoplus\nolimits_{i = 0, \ldots, 2d} \mathcal{E}_i\right) \boxtimes \left(\bigoplus\nolimits_{i = 0, \ldots, 2d} \mathcal{G}_i\right) \right\rangle\] ce qui achève la démonstration. (Le lecteur peut consulter Catégories dérivées, lemmes 0FX9 et 0FX7, pour voir que notre objet appartient à cette catégorie.)

Lemme

Soit \(k\) un corps. Soit \(X\) un schéma propre et lisse sur \(k\). Alors \(D_{perf}(\mathcal{O}_X)\) possède un générateur fort.

Démonstration

À l’aide du lemme 0FZ5, choisissons des \(\mathcal{O}_X\)-modules localement libres de type fini \(\mathcal{E}\) et \(\mathcal{G}\) tels que \(\mathcal{O}_\Delta \in \langle \mathcal{E} \boxtimes \mathcal{G} \rangle\) dans \(D(\mathcal{O}_{X \times X})\). Nous affirmons que \(\mathcal{G}\) est un générateur fort de \(D_{perf}(\mathcal{O}_X)\). Avec les notations de Catégories dérivées, section 0FX0, choisissons \(m, n \geq 1\) tels que \[\mathcal{O}_\Delta \in smd(add(\mathcal{E} \boxtimes \mathcal{G}[-m, m])^{\star n})\] C’est possible d’après Catégories dérivées, lemme 0ATG. Soit \(K\) un objet de \(D_{perf}(\mathcal{O}_X)\). Comme \(L\text{pr}_1^*K \otimes_{\mathcal{O}_{X \times X}}^\mathbf{L} -\) est un foncteur exact et que \[L\text{pr}_1^*K \otimes_{\mathcal{O}_{X \times X}}^\mathbf{L} (\mathcal{E} \boxtimes \mathcal{G}) = (K \otimes_{\mathcal{O}_X}^\mathbf{L} \mathcal{E}) \boxtimes \mathcal{G}\] on déduit de Catégories dérivées, remarque 0FX5, que \[L\text{pr}_1^*K \otimes_{\mathcal{O}_{X \times X}}^\mathbf{L} \mathcal{O}_\Delta \in smd(add( (K \otimes_{\mathcal{O}_X}^\mathbf{L} \mathcal{E}) \boxtimes \mathcal{G}[-m, m])^{\star n})\] En appliquant le foncteur exact \(R\text{pr}_{2, *}\) et en observant que \[R\text{pr}_{2, *} \left((K \otimes_{\mathcal{O}_X}^\mathbf{L} \mathcal{E}) \boxtimes \mathcal{G}\right) = R\Gamma(X, K \otimes_{\mathcal{O}_X}^\mathbf{L} \mathcal{E}) \otimes_k \mathcal{G}\] d’après Catégories dérivées des schémas, lemme 08EU, on en déduit que \[K = R\text{pr}_{2, *}(L\text{pr}_1^*K \otimes_{\mathcal{O}_{X \times X}}^\mathbf{L} \mathcal{O}_\Delta) \in smd(add(R\Gamma(X, K \otimes_{\mathcal{O}_X}^\mathbf{L} \mathcal{E}) \otimes_k \mathcal{G}[-m, m])^{\star n})\] L’égalité résulte de la discussion de l’exemple 0FYV. Comme \(K\) est parfait, il existe \(a \leq b\) tels que \(H^i(X, K)\) ne soit non nul que pour \(i \in [a, b]\). Comme \(X\) est propre, chaque \(H^i(X, K)\) est de dimension finie. On en déduit que le membre de droite est contenu dans \(smd(add(\mathcal{G}[-m + a, m + b])^{\star n})\), qui est lui-même contenu dans \(\langle \mathcal{G} \rangle_n\) d’après l’une des références données ci-dessus. Cela achève la démonstration.

Lemme

Soit \(k\) un corps. Soit \(X\) un schéma propre et lisse sur \(k\). Il existe des entiers \(m, n \geq 1\) et un \(\mathcal{O}_X\)-module localement libre de type fini \(\mathcal{G}\) tels que tout \(\mathcal{O}_X\)-module cohérent appartienne à \(smd(add(\mathcal{G}[-m, m])^{\star n})\), avec les notations de Catégories dérivées, section 0FX0.

Démonstration

Dans la démonstration du lemme 0FZ6, nous avons montré qu’il existe \(m', n \geq 1\) tels que, pour tout \(\mathcal{O}_X\)-module cohérent \(\mathcal{F}\), \[\mathcal{F} \in smd(add(\mathcal{G}[-m' + a, m' + b])^{\star n})\] pour tous \(a \leq b\) tels que \(H^i(X, \mathcal{F})\) ne soit non nul que pour \(i \in [a, b]\). On peut donc prendre \(a = 0\) et \(b = \dim(X)\). Prendre \(m = \max(m', m' + b)\) achève la démonstration.

Le lemme suivant est le résultat de bornitude auquel renvoie le titre de cette section.

Lemme

Soit \(k\) un corps. Soit \(X\) un schéma lisse et propre sur \(k\). Soit \(\mathcal{A}\) une catégorie abélienne. Soit \(H : D_{perf}(\mathcal{O}_X) \to \mathcal{A}\) un foncteur homologique (Catégories dérivées, définition 0147) tel que, pour tout \(K\) dans \(D_{perf}(\mathcal{O}_X)\), l’objet \(H^i(K)\) ne soit non nul que pour un nombre fini de \(i \in \mathbf{Z}\). Alors il existe un entier \(m \geq 1\) tel que \(H^i(\mathcal{F}) = 0\) pour tout \(\mathcal{O}_X\)-module cohérent \(\mathcal{F}\) et tout \(i \not \in [-m, m]\). De même pour les foncteurs cohomologiques.

Démonstration

Combiner le lemme 0FZ7 avec Catégories dérivées, lemme 0FX8.

Lemme

Soit \(k\) un corps. Soient \(X\) et \(Y\) des schémas de type fini sur \(k\). Soit \(K_0 \to K_1 \to K_2 \to \ldots\) un système d’objets de \(D_{perf}(\mathcal{O}_{X \times Y})\), et soit \(m \geq 0\) un entier tel que

1. \(H^q(K_i)\) ne soit non nul que pour \(q \leq m\),

2. pour tout \(\mathcal{O}_X\)-module cohérent \(\mathcal{F}\) tel que \(\dim(\text{Supp}(\mathcal{F})) = 0\), l’objet \[R\text{pr}_{2, *}( \text{pr}_1^*\mathcal{F} \otimes_{\mathcal{O}_{X \times Y}}^\mathbf{L} K_n)\] n’ait de faisceaux de cohomologie non nuls qu’aux degrés appartenant à \([-m, m] \cup [-m - n, m - n]\) et, pour \(n > 2m\), les morphismes de transition induisent des isomorphismes sur les faisceaux de cohomologie aux degrés appartenant à \([-m, m]\).

Alors \(K_n\) n’a de faisceaux de cohomologie non nuls qu’aux degrés appartenant à \([-m, m] \cup [-m - n, m - n]\) et, pour \(n > 2m\), les morphismes de transition induisent des isomorphismes sur les faisceaux de cohomologie aux degrés appartenant à \([-m, m]\). De plus, si \(X\) et \(Y\) sont lisses sur \(k\), alors, pour \(n\) assez grand, on a \(K_n = K \oplus C_n\) dans \(D_{perf}(\mathcal{O}_{X \times Y})\), où \(K\) n’a de cohomologie qu’aux degrés \([-m, m]\) et \(C_n\) qu’aux degrés \([-m - n, m - n]\), et les morphismes de transition définissent des isomorphismes entre les diverses copies de \(K\).

Démonstration

Soit \(Z\) le support schématique d’un module \(\mathcal{F}\) comme en (2). Alors \(Z \to \Spec(k)\) est fini, donc \(Z \times Y \to Y\) est fini. Il s’ensuit que, pour un objet \(M\) de \(D_\QCoh(\mathcal{O}_{X \times Y})\) dont les faisceaux de cohomologie sont supportés par \(Z \times Y\), on a \(H^i(R\text{pr}_{2, *}(M)) = \text{pr}_{2, *}H^i(M)\), et le foncteur \(\text{pr}_{2, *}\) est fidèle sur les modules quasi-cohérents supportés par \(Z \times Y\) ; nous omettons les détails. On voit donc que les objets \[\text{pr}_1^*\mathcal{F} \otimes_{\mathcal{O}_{X \times Y}}^\mathbf{L} K_n\] de \(D_{perf}(\mathcal{O}_{X \times Y})\) n’ont de faisceaux de cohomologie non nuls qu’aux degrés appartenant à \([-m, m] \cup [-m - n, m - n]\) et que, pour \(n > 2m\), les morphismes de transition induisent des isomorphismes sur les faisceaux de cohomologie aux degrés appartenant à \([-m, m]\). Soit \(z \in X \times Y\) un point fermé dont l’image est le point fermé \(x \in X\). Alors on sait que \[K_{n, z} \otimes_{\mathcal{O}_{X \times Y, z}}^\mathbf{L} \mathcal{O}_{X \times Y, z}/\mathfrak m_x^t\mathcal{O}_{X \times Y, z}\] n’a de cohomologie non nulle que dans les intervalles \([-m, m] \cup [-m - n, m - n]\). On déduit de Compléments sur l’algèbre, lemme 0EGV, que \(K_{n, z}\) n’a de cohomologie non nulle qu’aux degrés \([-m, m] \cup [-m - n, m - n]\). Comme cela vaut en tout point fermé de \(X \times Y\), on en déduit que \(K_n\) n’a de faisceaux de cohomologie non nuls qu’aux degrés \([-m, m] \cup [-m - n, m - n]\). De même, on voit que les morphismes \(K_n \to K_{n + 1}\) sont des isomorphismes sur les faisceaux de cohomologie aux degrés appartenant à \([-m, m]\) pour \(n > 2m\).

Si \(X\) et \(Y\) sont lisses sur \(k\), alors \(X \times Y\) est lisse sur \(k\), donc régulier d’après Variétés, lemme 056S. Nous obtiendrons donc la décomposition en somme directe de \(K_n\) dès que \(n > 2m + \dim(X \times Y)\), d’après le lemme 0FZ4. La dernière assertion en résulte clairement.

Foncteurs apparentés

Dans cette section, nous démontrons un résultat catégorique portant sur la notion suivante.

Définition

Soit \(\mathcal{A}\) une catégorie abélienne. Soit \(\mathcal{D}\) une catégorie triangulée. Nous disons que deux foncteurs exacts de catégories triangulées \[F, F' : D^b(\mathcal{A}) \longrightarrow \mathcal{D}\] sont dits apparentés, ou que \(F'\) est apparenté à \(F\), si les deux conditions suivantes sont satisfaites

1. les foncteurs \(F \circ i\) et \(F' \circ i\) sont isomorphes, où \(i : \mathcal{A} \to D^b(\mathcal{A})\) est le foncteur d’inclusion, et

2. \(F(K) \cong F'(K)\) pour tout \(K\) de \(D^b(\mathcal{A})\).

La seconde condition est parfois une conséquence de la première.

Lemme

Soit \(\mathcal{A}\) une catégorie abélienne. Soit \(\mathcal{D}\) une catégorie triangulée. Soient \(F, F' : D^b(\mathcal{A}) \longrightarrow \mathcal{D}\) des foncteurs exacts de catégories triangulées. Supposons que

1. les foncteurs \(F \circ i\) et \(F' \circ i\) sont isomorphes, où \(i : \mathcal{A} \to D^b(\mathcal{A})\) est le foncteur d’inclusion, et

2. pour tous \(X, Y \in \Ob(\mathcal{A})\), nous avons \(\Ext^q_\mathcal{D}(F(X), F(Y)) = 0\) pour \(q < 0\) (par exemple si \(F\) est pleinement fidèle).

Alors \(F\) et \(F'\) sont apparentés.

Démonstration

Soit \(K \in D^b(\mathcal{A})\). Nous allons montrer que \(F(K)\) est isomorphe à \(F'(K)\). On peut représenter \(K\) par un complexe borné \(A^\bullet\) d’objets de \(\mathcal{A}\). Après avoir remplacé \(K\) par un décalé, on peut supposer que \(A^i = 0\) pour \(i > 0\). Choisissons \(n \geq 0\) tel que \(A^{-i} = 0\) pour \(i > n\). Les objets \[M_i = (A^{-i} \to \ldots \to A^0)[-i],\quad i = 0, \ldots, n\] forment un système de Postnikov dans \(D^b(\mathcal{A})\) pour le complexe \(A^\bullet = A^{-n} \to \ldots \to A^0\) de \(D^b(\mathcal{A})\). Voir Catégories dérivées, exemple 0D8Z. Comme \(F\) et \(F'\) sont tous deux des foncteurs exacts de catégories triangulées, \[F(M_i) \quad\text{et}\quad F'(M_i)\] forment tous deux un système de Postnikov dans \(\mathcal{D}\) pour le complexe \[F(A^{-n}) \to \ldots \to F(A^0) = F'(A^{-n}) \to \ldots \to F'(A^0)\] Puisque tous les \(\Ext\) négatifs entre ces objets sont nuls par hypothèse, l’unicité des systèmes de Postnikov permet de conclure (Catégories dérivées, lemme 0D83) que \(F(K) = F(M_n[n]) \cong F'(M_n[n]) = F'(K)\).

Lemme

Soient \(F\) et \(F'\) des foncteurs apparentés comme dans la définition 0FZT. Alors

1. si \(F\) est essentiellement surjectif, alors \(F'\) est essentiellement surjectif,

2. si \(F\) est pleinement fidèle, alors \(F'\) est pleinement fidèle.

Démonstration

L’assertion (1) est immédiate d’après la propriété (2) des foncteurs apparentés.

Supposons \(F\) pleinement fidèle. Notons \(\mathcal{D}' \subset \mathcal{D}\) l’image essentielle de \(F\), de sorte que \(F : D^b(\mathcal{A}) \to \mathcal{D}'\) soit une équivalence. Puisque le foncteur \(F'\) se factorise par \(\mathcal{D}'\) d’après la propriété (2) des foncteurs apparentés, on peut considérer le foncteur \(H = F^{-1} \circ F' : D^b(\mathcal{A}) \to D^b(\mathcal{A})\). Observons que \(H\) est apparenté au foncteur identique. Comme il suffit de prouver que \(H\) est pleinement fidèle, on se ramène au problème examiné dans le paragraphe suivant.

Posons \(\mathcal{D} = D^b(\mathcal{A})\). Il faut montrer qu’un foncteur \(F : \mathcal{D} \to \mathcal{D}\) apparenté au foncteur identique est pleinement fidèle. Notons \(a_X : X \to F(X)\) l’isomorphisme fonctoriel pour \(X \in \Ob(\mathcal{A})\) fourni par la définition 0FZT. Pour tout \(K\) de \(\mathcal{D}\) et tout triangle distingué \(K_1 \to K_2 \to K_3\) de \(\mathcal{D}\), si les applications \[F : \Hom(K, K_i[n]) \to \Hom(F(K), F(K_i[n]))\] sont des isomorphismes pour tout \(n \in \mathbf{Z}\) et \(i = 1, 3\), alors il en est de même pour \(i = 2\) et tout \(n \in \mathbf{Z}\). On utilise ici le lemme des cinq, Homologie, lemme 05QB, et Catégories dérivées, lemme 0149 ; nous omettons les détails. De même, si les applications \[F : \Hom(K_i[n], K) \to \Hom(F(K_i[n]), F(K))\] sont des isomorphismes pour tout \(n \in \mathbf{Z}\) et \(i = 1, 3\), alors il en est de même pour \(i = 2\) et tout \(n \in \mathbf{Z}\). En utilisant les troncations canoniques et une récurrence sur le nombre d’objets de cohomologie non nuls, on voit qu’il suffit de montrer que \[F : \Ext^q(X, Y) \to \Ext^q(F(X), F(Y))\] est bijective pour tous \(X, Y \in \Ob(\mathcal{A})\) et tout \(q \in \mathbf{Z}\). Comme \(F\) est apparenté à \(\text{id}\), on a \(F(X) \cong X\) et \(F(Y) \cong Y\) ; le membre de droite est donc nul pour \(q < 0\). Le cas \(q = 0\) résulte de l’hypothèse que \(F\) est apparenté au foncteur identique. Il reste à traiter les cas \(q > 0\).

Le cas \(q = 1\) : injectivité. Un élément \(\xi\) de \(\Ext^1(X, Y)\) donne lieu à un triangle distingué \[Y \to E \to X \xrightarrow{\xi} Y[1]\] Observons que \(E \in \Ob(\mathcal{A})\). Comme \(F\) est apparenté au foncteur identique, on obtient un diagramme commutatif \[\xymatrix{ E \ar[d] \ar[r] & X \ar[d] \\ F(E) \ar[r] & F(X) }\] dont les flèches verticales sont les isomorphismes \(a_E\) et \(a_X\). Par TR3, le triangle distingué associé à \(\xi\) dont on est parti est isomorphe au triangle distingué \[F(Y) \to F(E) \to F(X) \xrightarrow{F(\xi)} F(Y[1]) = F(Y)[1]\] Ainsi, \(\xi = 0\) si et seulement si \(F(\xi)\) est nul, c’est-à-dire que \(F : \Ext^1(X, Y) \to \Ext^1(F(X), F(Y))\) est injective.

Le cas \(q = 1\) : surjectivité. Soit \(\theta\) un élément de \(\Ext^1(F(X), F(Y))\). Il définit une extension de \(F(X)\) par \(F(Y)\) dans \(\mathcal{A}\), que l’on peut écrire sous la forme \(F(E)\) puisque \(F\) est apparenté au foncteur identique. On obtient ainsi un triangle distingué \[F(Y) \xrightarrow{F(\alpha)} F(E) \xrightarrow{F(\beta)} F(X) \xrightarrow{\theta} F(Y[1]) = F(Y)[1]\] pour certains morphismes \(\alpha : Y \to E\) et \(\beta : E \to X\). Comme \(F\) est apparenté au foncteur identique, la suite \(0 \to Y \to E \to X \to 0\) est une suite exacte courte de \(\mathcal{A}\) ! On obtient donc un triangle distingué \[Y \xrightarrow{\alpha} E \xrightarrow{\beta} X \xrightarrow{\delta} Y[1]\] pour un certain morphisme \(\delta : X \to Y[1]\). En appliquant le foncteur exact \(F\), on obtient le triangle distingué \[F(Y) \xrightarrow{F(\alpha)} F(E) \xrightarrow{F(\beta)} F(X) \xrightarrow{F(\delta)} F(Y)[1]\] En raisonnant comme ci-dessus, on voit que ces triangles sont isomorphes. Il existe donc un diagramme commutatif \[\xymatrix{ F(X) \ar[d]^\gamma \ar[r]_{F(\delta)} & F(Y[1]) \ar[d]_\epsilon \\ F(X) \ar[r]^\theta & F(Y[1]) }\] pour certains isomorphismes \(\gamma\), \(\epsilon\) (on pourrait être plus précis, mais cela ne sera pas nécessaire). On peut écrire \(\gamma = F(\gamma')\) et \(\epsilon = F(\epsilon')\). On a alors \(\theta = F(\epsilon' \circ \delta \circ (\gamma')^{-1})\), ce qui prouve la surjectivité.

Le cas \(q > 1\) : surjectivité. En utilisant les extensions de Yoneda, voir Catégories dérivées, section 06XP, on voit que, pour tout élément \(\xi\) de \(\Ext^q(F(X), F(Y))\), il existe \(F(X) = B_0, B_1, \ldots, B_{q - 1}, B_q = F(Y) \in \Ob(\mathcal{A})\) et des éléments \[\xi_i \in \Ext^1(B_{i - 1}, B_i)\] tels que \(\xi\) soit le composé \(\xi_q \circ \ldots \circ \xi_1\). Écrivons \(B_i = F(A_i)\) (bien entendu, on a \(A_i = B_i\), mais il n’est pas nécessaire de l’utiliser), de sorte que \[\xi_i = F(\eta_i) \in \Ext^1(F(A_{i - 1}), F(A_i)) \quad\text{avec}\quad \eta_i \in \Ext^1(A_{i - 1}, A_i)\] par surjectivité pour \(q = 1\). Alors \(\eta = \eta_q \circ \ldots \circ \eta_1\) est un élément de \(\Ext^q(X, Y)\) tel que \(F(\eta) = \xi\).

Le cas \(q > 1\) : injectivité. Un élément \(\xi\) de \(\Ext^q(X, Y)\) donne lieu à un triangle distingué \[Y[q - 1] \to E \to X \xrightarrow{\xi} Y[q]\] En appliquant \(F\), on obtient un triangle distingué \[F(Y)[q - 1] \to F(E) \to F(X) \xrightarrow{F(\xi)} F(Y)[q]\] Si \(F(\xi) = 0\), alors \(F(E) \cong F(Y)[q - 1] \oplus F(X)\) dans \(\mathcal{D}\), voir Catégories dérivées, lemme 05QT. Comme \(F\) est apparenté au foncteur identique, on a \(E \cong F(E)\), et donc \[E \cong F(E) \cong F(Y)[q - 1] \oplus F(X) \cong Y[q - 1] \oplus X\] Autrement dit, \(E\) est isomorphe à la somme directe de ses objets de cohomologie. Cela implique que le triangle distingué initial est scindé, c’est-à-dire que \(\xi = 0\).

Donnons une définition non standard. Soit \(\mathcal{A}\) une catégorie abélienne. Disons que \(\mathcal{A}\) possède assez d’objets négatifs si, pour tout \(X \in \Ob(\mathcal{A})\), il existe un objet \(N\) tel que

1. il existe une surjection \(N \to X\), et

2. \(\Hom(X, N) = 0\).

Démontrons deux lemmes sur cette notion afin de faciliter la démonstration de la proposition 0FZW.

Lemme

Soit \(\mathcal{A}\) une catégorie abélienne possédant assez d’objets négatifs. Soit \(X \in D^b(\mathcal{A})\). Soit \(b \in \mathbf{Z}\) tel que \(H^i(X) = 0\) pour \(i > b\). Alors il existe un morphisme \(N[-b] \to X\) tel que le morphisme induit \(N \to H^b(X)\) soit surjectif et que \(\Hom(H^b(X), N) = 0\).

Démonstration

À l’aide des foncteurs de troncation, on peut représenter \(X\) par un complexe \(A^a \to A^{a + 1} \to \ldots \to A^b\) d’objets de \(\mathcal{A}\). Choisissons \(N\) dans \(\mathcal{A}\) de sorte qu’il existe une surjection \(t : N \to A^b\) et que \(\Hom(A^b, N) = 0\). Alors la surjection \(t\) définit un morphisme \(N[-b] \to X\) comme voulu.

Lemme

Soit \(\mathcal{A}\) une catégorie abélienne possédant assez d’objets négatifs. Soit \(f : X \to X'\) un morphisme de \(D^b(\mathcal{A})\). Soit \(b \in \mathbf{Z}\) tel que \(H^i(X) = 0\) pour \(i > b\) et \(H^i(X') = 0\) pour \(i \geq b\). Alors il existe un morphisme \(N[-b] \to X\) tel que le morphisme induit \(N \to H^b(X)\) soit surjectif, que \(\Hom(H^b(X), N) = 0\), et que le composé \(N[-b] \to X \to X'\) soit nul.

Démonstration

On peut représenter \(f\) par un morphisme \(f^\bullet : A^\bullet \to B^\bullet\) de complexes bornés d’objets de \(\mathcal{A}\), voir par exemple Catégories dérivées, lemme 05RW. Considérons l’objet \[C = \Ker(A^b \to A^{b + 1}) \times_{\Ker(B^b \to B^{b + 1})} B^{b - 1}\] de \(\mathcal{A}\). Comme \(H^b(B^\bullet) = 0\), on voit que \(C \to H^b(A^\bullet)\) est surjectif. D’autre part, le morphisme \(C \to A^b \to B^b\) est le même que le morphisme \(C \to B^{b - 1} \to B^b\), et le composé \(C[-b] \to X \to X'\) est donc nul. Puisque \(\mathcal{A}\) possède assez d’objets négatifs, on peut trouver un objet \(N\) muni d’une surjection \(N \to C \oplus H^b(X)\) tel que \(\Hom(C \oplus H^b(X), N) = 0\). Alors \(N\), avec le morphisme \(N[-b] \to X\), est une solution au problème posé par le lemme.

Nous encourageons le lecteur à lire l’original [Orlov-K3, Proposition 2.16] pour les idées remarquables qui interviennent dans la démonstration de la proposition suivante.

Proposition

Soient \(F\) et \(F'\) des foncteurs apparentés comme dans la définition 0FZT. Supposons que \(F\) soit pleinement fidèle et que \(\mathcal{A}\) possède assez d’objets négatifs (voir ci-dessus). Alors \(F\) et \(F'\) sont des foncteurs isomorphes.

Démonstration

D’après l’assertion (2) de la définition 0FZT, l’image du foncteur \(F'\) est contenue dans l’image essentielle du foncteur \(F\). Ainsi, le foncteur \(H = F^{-1} \circ F'\) est apparenté au foncteur identique. Cela nous ramène au cas décrit dans le paragraphe suivant.

Soit \(\mathcal{D} = D^b(\mathcal{A})\). Il faut montrer qu’un foncteur \(F : \mathcal{D} \to \mathcal{D}\) apparenté au foncteur identique est isomorphe au foncteur identique. Pour un objet \(X\) de \(\mathcal{D}\), disons que \(X\) est de largeur \(w = w(X)\) si \(w \geq 0\) est minimal parmi les entiers tels qu’il existe \(a \in \mathbf{Z}\) avec \(H^i(X) = 0\) pour \(i \not \in [a, a + w - 1]\). Puisque \(F\) est apparenté au foncteur identique et que \(F \circ [n] = [n] \circ F\), on dispose déjà d’isomorphismes \[c_X : X \to F(X)\] pour \(w(X) \leq 1\), compatibles aux décalages. De plus, si \(X = A[-a]\) et \(X' = A'[-a]\) pour certains \(A, A' \in \Ob(\mathcal{A})\), alors, pour tout morphisme \(f : X \to X'\), le diagramme [0FZX]\[\begin{equation} \vcenter{ \xymatrix{ X \ar[d]_{c_X} \ar[r]_f & X' \ar[d]^{c_{X'}} \\ F(X) \ar[r]^{F(f)} & F(X') } } \end{equation}\] est commutatif.

Montrons ensuite que, pour tout morphisme \(f : X \to X'\) tel que \(w(X), w(X') \leq 1\), le diagramme (0FZX) est commutatif. Si \(X\) ou \(X'\) est nul, c’est clair. Sinon, on peut écrire \(X = A[-a]\) et \(X' = A'[-a']\) pour d’uniques \(A, A'\) dans \(\mathcal{A}\) et \(a, a' \in \mathbf{Z}\). Le cas \(a = a'\) a été examiné ci-dessus. Si \(a' > a\), alors \(f = 0\) (Catégories dérivées, lemme 06XS), et le résultat est clair. Si \(a' < a\), alors \(f\) correspond à un élément \(\xi \in \Ext^q(A, A')\) avec \(q = a - a'\). En utilisant les extensions de Yoneda, voir Catégories dérivées, section 06XP, on peut trouver \(A = A_0, A_1, \ldots, A_{q - 1}, A_q = A' \in \Ob(\mathcal{A})\) et des éléments \[\xi_i \in \Ext^1(A_{i - 1}, A_i)\] tels que \(\xi\) soit le composé \(\xi_q \circ \ldots \circ \xi_1\). Autrement dit, en posant \(X_i = A_i[-a + i]\), on obtient des morphismes \[X = X_0 \xrightarrow{f_1} X_1 \to \ldots \to X_{q - 1} \xrightarrow{f_q} X_q = X'\] dont le composé est \(f\). Comme la commutativité de (0FZX) pour \(f_1, \ldots, f_q\) implique celle pour \(f\), on se ramène au cas \(q = 1\). Dans ce cas, après décalage, on peut supposer que l’on a un triangle distingué \[A' \to E \to A \xrightarrow{f} A'[1]\] Observons que \(E\) est un objet de \(\mathcal{A}\). Considérons le diagramme suivant \[\xymatrix{ E \ar[d]_{c_E} \ar[r] & A \ar[d]_{c_A} \ar[r]_f & A'[1] \ar[d]^{c_{A'}[1]} \ar@{..>}@<-1ex>[d]_\gamma \ar@{..>}[ld]^\epsilon \ar[r] & E[1] \ar[d]^{c_E[1]} \\ F(E) \ar[r] & F(A) \ar[r]^{F(f)} & F(A')[1] \ar[r] & F(E)[1] }\] dont les lignes sont des triangles distingués. Le carré de droite est déjà commutatif, mais on ne sait pas encore que le carré central l’est. D’après les axiomes d’une catégorie triangulée, on peut trouver un morphisme \(\gamma\) qui rende le diagramme commutatif. Alors le composé de \(\gamma - c_{A'}[1]\) avec \(F(A')[1] \to F(E)[1]\) est nul ; on peut donc trouver \(\epsilon : A'[1] \to F(A)\) tel que \(\gamma - c_{A'}[1] = F(f) \circ \epsilon\). Cependant, toute flèche \(A'[1] \to F(A)\) est nulle, car c’est une classe d’extension négative entre objets de \(\mathcal{A}\). Ainsi, \(\gamma = c_{A'}[1]\), et l’on conclut que le carré central est lui aussi commutatif, ce que l’on voulait montrer.

Pour achever la démonstration, nous allons raisonner par récurrence sur \(w\) et construire des isomorphismes \(c_X : X \to F(X)\) pour tout \(X\) tel que \(w(X) \leq w\), compatibles avec tous les morphismes entre de tels objets. Le cas initial \(w = 1\) a été démontré ci-dessus. Supposons le résultat connu pour un certain \(w \geq 1\).

Soit \(X\) un objet tel que \(w(X) = w + 1\). Choisissons \(a \in \mathbf{Z}\) avec \(H^i(X) = 0\) pour \(i \not \in [a, a + w]\). Posons \(b = a + w\), de sorte que \(H^b(X)\) soit non nul. Choisissons \(N[-b] \to X\) comme dans le lemme 0GWF. Choisissons un triangle distingué \[N[-b] \to X \to Y \to N[-b + 1]\] Le calcul de la suite exacte longue de cohomologie donne \(w(Y) \leq w\). Par récurrence, on obtient donc les flèches pleines du diagramme suivant \[\xymatrix{ N[-b] \ar[r] \ar[d]_{c_N[-b]} & X \ar[r] \ar@{..>}[d]_{c_{N[-b] \to X}} & Y \ar[r] \ar[d]^{c_Y} & N[-b + 1] \ar[d]^{c_N[-b + 1]} \\ F(N)[-b] \ar[r] & F(X) \ar[r] & F(Y) \ar[r] & F(N)[-b + 1] }\] On obtient la flèche pointillée \(c_{N[-b] \to X}\). D’après Catégories dérivées, lemme 0FWZ, la flèche pointillée est unique, car \(\Hom(X, F(N)[-b]) \cong \Hom(X, N[-b]) = 0\) par le choix de \(N\). En fait, \(c_{N[-b] \to X}\) est l’unique flèche pointillée qui rende commutatif le carré de sommets \(X, Y, F(X), F(Y)\).

Soit \(N'[-b] \to X\) un autre morphisme comme dans le lemme 0GWF, et prouvons que \(c_{N[-b] \to X} = c_{N'[-b] \to X}\). Observons que le morphisme \((N \oplus N')[-b] \to X\) satisfait lui aussi les conditions du lemme 0GWF. On peut donc supposer que \(N'[-b] \to X\) se factorise en \(N'[-b] \to N[-b] \to X\) pour un certain morphisme \(N' \to N\). Choisissons des triangles distingués \(N[-b] \to X \to Y \to N[-b + 1]\) et \(N'[-b] \to X \to Y' \to N'[-b + 1]\). D’après l’axiome TR3, il existe un morphisme \(g : Y' \to Y\) qui, avec \(\text{id}_X\) et \(N' \to N\), forme un morphisme de triangles. Comme on dispose de (0FZX) pour \(g\), on en déduit que \[(F(X) \to F(Y)) \circ c_{N'[-b] \to X} = (F(X) \to F(Y)) \circ c_{N[-b] \to X}\] L’unicité de \(c_{N[-b] \to X}\) relevée dans la construction ci-dessus montre alors que \(c_{N'[-b] \to X} = c_{N[-b] \to X}\).

On peut donc maintenant définir, pour \(X\) de largeur \(w + 1\), l’isomorphisme \(c_X : X \to F(X)\) comme la valeur commune des morphismes \(c_{N[-b] \to X}\), où \(N[-b] \to X\) est comme dans le lemme 0GWF. Pour achever la démonstration, il faut montrer que les diagrammes (0FZX) sont commutatifs pour tout morphisme \(f : X \to X'\) entre objets tels que \(w(X) \leq w + 1\) et \(w(X') \leq w + 1\). Choisissons \(a \leq b \leq a + w\) tel que \(H^i(X) = 0\) pour \(i \not \in [a, b]\) et \(a' \leq b' \leq a' + w\) tel que \(H^i(X') = 0\) pour \(i \not \in [a', b']\). Nous allons raisonner par récurrence sur \((b' - a') + (b - a)\) pour démontrer l’assertion. (Le cas initial est celui où ce nombre est nul, ce qui convient puisque \(w \geq 1\).) Distinguons deux cas.

Cas I : \(b' < b\). Dans ce cas, d’après le lemme 0GWG, on peut choisir \(N[-b] \to X\) comme dans le lemme 0GWF, de sorte que le composé \(N[-b] \to X \to X'\) soit nul. Choisissons un triangle distingué \(N[-b] \to X \to Y \to N[-b + 1]\). Comme \(N[-b] \to X'\) est nul, on voit que \(f\) se factorise en \(X \to Y \to X'\). Comme \(H^i(Y)\) n’est non nul que pour \(i \in [a, b - 1]\), l’hypothèse de récurrence montre que (0FZX) est commutatif pour \(Y \to X'\). Le diagramme (0FZX) est commutatif pour \(X \to Y\) par construction si \(w(X) = w + 1\), et par notre première hypothèse de récurrence si \(w(X) \leq w\). Ainsi, (0FZX) est commutatif pour \(f\).

Cas II : \(b' \geq b\). Dans ce cas, choisissons \(N'[-b'] \to X'\) comme dans le lemme 0GWF. On peut aussi supposer que \(\Hom(H^{b'}(X), N') = 0\) (cela n’est pertinent que si \(b' = b\)), car on peut, par exemple, remplacer \(N'\) par un objet \(N''\) muni d’une surjection sur \(N' \oplus H^{b'}(X)\) et tel que \(\Hom(N' \oplus H^{b'}(X), N'') = 0\). Choisissons un triangle distingué \(N'[-b'] \to X' \to Y' \to N'[-b' + 1]\). Comme \(\Hom(X, X') \to \Hom(X, Y')\) est injectif par notre choix de \(N'\) (nous omettons les détails), il en va de même pour \(\Hom(X, F(X')) \to \Hom(X, F(Y'))\). Il suffit donc, dans ce cas, de vérifier que (0FZX) est commutatif pour le composé \(X \to Y'\) des morphismes \(X \to X' \to Y'\). Comme \(H^i(Y')\) n’est non nul que pour \(i \in [a', b' - 1]\), on conclut par l’hypothèse de récurrence.

Établissement de la pleine fidélité

Il nous sera utile de savoir quand un foncteur est pleinement fidèle ; nous proposons la variante suivante de [Orlov-K3, Lemme 2.15].

Lemme

Soit \(F : \mathcal{D} \to \mathcal{D}'\) un foncteur exact de catégories triangulées. Soit \(S \subset \Ob(\mathcal{D})\) un ensemble d’objets. Supposons que

1. \(F\) possède des adjoints à droite et à gauche,

2. pour \(K \in \mathcal{D}\), si \(\Hom(E, K[i]) = 0\) pour tous \(E \in S\) et \(i \in \mathbf{Z}\), alors \(K = 0\),

3. pour \(K \in \mathcal{D}\), si \(\Hom(K, E[i]) = 0\) pour tous \(E \in S\) et \(i \in \mathbf{Z}\), alors \(K = 0\),

4. l’application \(\Hom(E, E'[i]) \to \Hom(F(E), F(E')[i])\) induite par \(F\) est bijective pour tous \(E, E' \in S\) et \(i \in \mathbf{Z}\).

Alors \(F\) est pleinement fidèle.

Démonstration

Notons \(F_r\) et \(F_l\) les adjoints à droite et à gauche de \(F\). Pour \(E \in S\), choisissons un triangle distingué \[E \to F_r(F(E)) \to C \to E[1]\] où la première flèche est l’unité de l’adjonction. Pour \(E' \in S\), on a \[\Hom(E', F_r(F(E))[i]) = \Hom(F(E'), F(E)[i]) = \Hom(E', E[i])\] La dernière égalité vaut par l’hypothèse (4). En appliquant donc le foncteur homologique \(\Hom(E', -)\) (Catégories dérivées, lemme 0149) au triangle distingué ci-dessus, on en déduit que \(\Hom(E', C[i]) = 0\) pour tout \(i \in \mathbf{Z}\) et \(E' \in S\). L’hypothèse (2) donne alors \(C = 0\) et \(E = F_r(F(E))\).

Pour \(K \in \Ob(\mathcal{D})\), choisissons un triangle distingué \[F_l(F(K)) \to K \to C \to F_l(F(K))[1]\] où la première flèche est la counité de l’adjonction. Pour \(E \in S\), on a \[\Hom(F_l(F(K)), E[i]) = \Hom(F(K), F(E)[i]) = \Hom(K, F_r(F(E))[i]) = \Hom(K, E[i])\] où la dernière égalité résulte du premier paragraphe. On conclut donc comme précédemment que \(\Hom(C, E[i]) = 0\) pour tout \(E \in S\) et \(i \in \mathbf{Z}\). Ainsi, \(C = 0\) d’après l’hypothèse (3). Le foncteur \(F\) est donc pleinement fidèle d’après Catégories, lemme 07RB.

Lemme

Soit \(k\) un corps. Soit \(X\) un schéma de type fini sur \(k\) qui est régulier. Soit \(x \in X\) un point fermé. Pour un \(\mathcal{O}_X\)-module cohérent \(\mathcal{F}\) à support en \(x\), choisissons un \(\mathcal{O}_X\)-module cohérent \(\mathcal{F}'\) à support en \(x\) tel que \(\mathcal{F}_x\) et \(\mathcal{F}'_x\) soient duaux de Matlis. Alors il existe un isomorphisme \[\Hom_X(\mathcal{F}, M) = H^0(X, M \otimes_{\mathcal{O}_X}^\mathbf{L} \mathcal{F}'[-d_x])\] où \(d_x = \dim(\mathcal{O}_{X, x})\), fonctoriel en \(M\) dans \(D_{perf}(\mathcal{O}_X)\).

Démonstration

Puisque \(\mathcal{F}\) est à support en \(x\), on a \[\Hom_X(\mathcal{F}, M) = \Hom_{\mathcal{O}_{X, x}}(\mathcal{F}_x, M_x)\] et, de même, on a \[H^0(X, M \otimes_{\mathcal{O}_X}^\mathbf{L} \mathcal{F}'[-d_x]) = \text{Tor}^{\mathcal{O}_{X, x}}_{d_x}(M_x, \mathcal{F}'_x)\] Il suffit donc de montrer que, pour un anneau local noethérien régulier \(A\) de dimension \(d\) et un \(A\)-module \(N\) de longueur finie, si \(N'\) est le dual de Matlis de \(N\), alors il existe un isomorphisme fonctoriel \[\Hom_A(N, K) = \text{Tor}^A_d(K, N')\] pour \(K\) dans \(D_{perf}(A)\). On peut écrire le membre de gauche sous la forme \(H^0(R\Hom_A(N, A) \otimes_A^\mathbf{L} K)\) d’après Compléments sur l’algèbre, lemme 07VI, et le fait que \(N\) détermine un objet parfait de \(D(A)\). La formule vaut donc parce que \[R\Hom_A(N, A) = R\Hom_A(N, A[d])[-d] = N'[-d]\] d’après Complexes dualisants, lemme 0A7Q, et parce que \(A[d]\) est un complexe dualisant normalisé sur \(A\) (\(A\) est un anneau de Gorenstein d’après Complexes dualisants, lemme 0AWX).

Lemme

Soit \(k\) un corps. Soit \(X\) un schéma de type fini sur \(k\) qui est régulier. Soit \(x \in X\) un point fermé et notons \(\mathcal{O}_x\) le faisceau gratte-ciel en \(x\) de valeur \(\kappa(x)\). Soit \(K\) dans \(D_{perf}(\mathcal{O}_X)\).

1. Si \(\Ext^i_X(\mathcal{O}_x, K) = 0\), alors il existe un voisinage ouvert \(U\) de \(x\) tel que \(H^{i - d_x}(K)|_U = 0\), où \(d_x = \dim(\mathcal{O}_{X, x})\).

2. Si \(\Hom_X(\mathcal{O}_x, K[i]) = 0\) pour tout \(i \in \mathbf{Z}\), alors \(K\) est nul dans un voisinage ouvert de \(x\).

3. Si \(\Ext^i_X(K, \mathcal{O}_x) = 0\), alors il existe un voisinage ouvert \(U\) de \(x\) tel que \(H^i(K^\vee)|_U = 0\).

4. Si \(\Hom_X(K, \mathcal{O}_x[i]) = 0\) pour tout \(i \in \mathbf{Z}\), alors \(K\) est nul dans un voisinage ouvert de \(x\).

5. Si \(H^i(X, K \otimes_{\mathcal{O}_X}^\mathbf{L} \mathcal{O}_x) = 0\), alors il existe un voisinage ouvert \(U\) de \(x\) tel que \(H^i(K)|_U = 0\).

6. Si \(H^i(X, K \otimes_{\mathcal{O}_X}^\mathbf{L} \mathcal{O}_x) = 0\) pour \(i \in \mathbf{Z}\), alors \(K\) est nul dans un voisinage ouvert de \(x\).

Démonstration

Observons que \(H^i(X, K \otimes_{\mathcal{O}_X}^\mathbf{L} \mathcal{O}_x)\) est égal à \(K_x \otimes_{\mathcal{O}_{X, x}}^\mathbf{L} \kappa(x)\). L’assertion (5) résulte donc de Compléments sur l’algèbre, lemme 068U. L’assertion (6) résulte de l’assertion (5). L’assertion (1) résulte de l’assertion (5), du lemme 0G02 et du fait que le dual de Matlis de \(\kappa(x)\) est \(\kappa(x)\). L’assertion (2) résulte de l’assertion (1). L’assertion (3) résulte de l’assertion (5) et du fait que \(\Ext^i(K, \mathcal{O}_x) = H^i(X, K^\vee \otimes_{\mathcal{O}_X}^\mathbf{L} \mathcal{O}_x)\) d’après Cohomologie, lemme 08DQ. L’assertion (4) résulte de l’assertion (3) et du fait que \(K \cong (K^\vee)^\vee\) d’après le lemme qui vient d’être cité.

Lemme

Soit \(X\) un schéma noethérien. Soit \(x \in X\) un point fermé et notons \(\mathcal{O}_x\) le faisceau gratte-ciel en \(x\) de valeur \(\kappa(x)\). Soit \(K\) dans \(D^b_{\textit{Coh}}(\mathcal{O}_X)\). Soit \(b \in \mathbf{Z}\). Les conditions suivantes sont équivalentes :

1. \(H^i(K)_x = 0\) pour tout \(i > b\), et

2. \(\Hom_X(K, \mathcal{O}_x[-i]) = 0\) pour tout \(i > b\).

Démonstration

Considérons le complexe \(K_x\) dans \(D^b_{\textit{Coh}}(\mathcal{O}_{X, x})\). Il existe un entier \(b_x \in \mathbf{Z}\) tel que \(K_x\) puisse être représenté par un complexe borné supérieurement \[\ldots \to \mathcal{O}_{X, x}^{\oplus n_{b_x - 2}} \to \mathcal{O}_{X, x}^{\oplus n_{b_x - 1}} \to \mathcal{O}_{X, x}^{\oplus n_{b_x}} \to 0 \to \ldots\] où \(\mathcal{O}_{X, x}^{\oplus n_i}\) est placé en degré \(i\) et où tous les morphismes de transition sont donnés par des matrices dont les coefficients appartiennent à \(\mathfrak m_x\). Voir Compléments sur l’algèbre, lemme 0BCC. Le résultat s’en déduit facilement (et les conditions équivalentes sont satisfaites si et seulement si \(b \geq b_x\)).

Lemme

Soit \(k\) un corps. Soient \(X\) et \(Y\) des schémas propres sur \(k\). Supposons que \(X\) soit régulier. Alors un foncteur exact \(k\)-linéaire \(F : D_{perf}(\mathcal{O}_X) \to D_{perf}(\mathcal{O}_Y)\) est pleinement fidèle si et seulement si pour tous les points fermés \(x, x' \in X\), les applications \[F : \Ext^i_X(\mathcal{O}_x, \mathcal{O}_{x'}) \longrightarrow \Ext^i_Y(F(\mathcal{O}_x), F(\mathcal{O}_{x'}))\] sont des isomorphismes pour tout \(i \in \mathbf{Z}\). Ici, \(\mathcal{O}_x\) est le faisceau gratte-ciel en \(x\) de valeur \(\kappa(x)\).

Démonstration

D’après le lemme 0FYN, le foncteur \(F\) possède un adjoint à gauche et un adjoint à droite. On peut donc appliquer le critère du lemme 0G24, car les hypothèses (2) et (3) de ce lemme résultent du lemme 0G03.

Lemme

Soit \(k\) un corps. Soit \(X\) un schéma propre sur \(k\) qui est régulier. Soit \(F : D_{perf}(\mathcal{O}_X) \to D_{perf}(\mathcal{O}_X)\) un foncteur exact \(k\)-linéaire. Supposons que, pour tout \(\mathcal{O}_X\)-module cohérent \(\mathcal{F}\) tel que \(\dim(\text{Supp}(\mathcal{F})) = 0\), il existe un isomorphisme \(\mathcal{F} \cong F(\mathcal{F})\). Alors \(F\) est pleinement fidèle.

Démonstration

D’après le lemme 0G25, il suffit de montrer que les applications \[F : \Ext^i_X(\mathcal{O}_x, \mathcal{O}_{x'}) \longrightarrow \Ext^i_X(F(\mathcal{O}_x), F(\mathcal{O}_{x'}))\] sont des isomorphismes pour tout \(i \in \mathbf{Z}\) et tous les points fermés \(x, x' \in X\). Par hypothèse, la source et le but sont isomorphes. Si \(x \not = x'\), alors les deux membres sont nuls et le résultat est vrai. Si \(x = x'\), il suffit alors de prouver que l’application est injective ou surjective. Pour \(i < 0\), les deux membres sont nuls et le résultat est vrai. Pour \(i = 0\), tout morphisme non nul \(\alpha : \mathcal{O}_x \to \mathcal{O}_x\) de \(\mathcal{O}_X\)-modules est un isomorphisme. Ainsi, \(F(\alpha)\) est lui aussi un isomorphisme, donc \(F(\alpha)\) est non nul. Cela prouve le résultat pour \(i = 0\). Pour \(i = 1\), un élément non nul \(\xi\) de \(\Ext^1(\mathcal{O}_x, \mathcal{O}_x)\) correspond à une suite exacte courte non scindée \[0 \to \mathcal{O}_x \to \mathcal{F} \to \mathcal{O}_x \to 0\] Comme \(F(\mathcal{F}) \cong \mathcal{F}\), on voit que \(F(\mathcal{F})\) est également une extension non scindée de \(\mathcal{O}_x\) par \(\mathcal{O}_x\). Puisque \(\mathcal{O}_x \cong F(\mathcal{O}_x)\) est un \(\mathcal{O}_X\)-module simple et que \(\mathcal{F} \cong F(\mathcal{F})\) est de longueur \(2\), on voit que, dans le triangle distingué \[F(\mathcal{O}_x) \to F(\mathcal{F}) \to F(\mathcal{O}_x) \xrightarrow{F(\xi)} F(\mathcal{O}_x)[1]\] les deux premières flèches doivent former une suite exacte courte qui doit être isomorphe à la suite exacte courte ci-dessus, et qui est donc non scindée. Il s’ensuit que \(F(\xi)\) est non nul, ce qui permet de conclure pour \(i = 1\). Pour \(i > 1\), la composition des classes d’extensions définit une surjection \[\Ext^1(F(\mathcal{O}_x), F(\mathcal{O}_x)) \otimes \ldots \otimes \Ext^1(F(\mathcal{O}_x), F(\mathcal{O}_x)) \longrightarrow \Ext^i(F(\mathcal{O}_x), F(\mathcal{O}_x))\] Voir Dualité pour les schémas, lemme 0BQY. La surjectivité en degré \(1\) implique donc la surjectivité pour \(i > 0\). Cela achève la démonstration.

Foncteurs particuliers

Dans cette section, nous démontrons quelques résultats sur des foncteurs d’un type particulier que nous utiliserons plus loin dans ce chapitre.

Définition

Soit \(k\) un corps. Soient \(X\) et \(Y\) des schémas de type fini sur \(k\). Rappelons que \(D^b_{\textit{Coh}}(\mathcal{O}_X) = D^b(\textit{Coh}(\mathcal{O}_X))\) d’après Catégories dérivées des schémas, proposition 0FDB. Nous disons que deux foncteurs exacts \(k\)-linéaires \[F, F' : D^b_{\textit{Coh}}(\mathcal{O}_X) = D^b(\textit{Coh}(\mathcal{O}_X)) \longrightarrow D^b_{\textit{Coh}}(\mathcal{O}_Y)\] sont dits apparentés, ou que \(F'\) est apparenté à \(F\), si \(F\) et \(F'\) sont apparentés au sens de la définition 0FZT, la catégorie abélienne étant \(\textit{Coh}(\mathcal{O}_X)\). Si \(X\) est régulier, alors \(D_{perf}(\mathcal{O}_X) = D^b_{\textit{Coh}}(\mathcal{O}_X)\) d’après Catégories dérivées des schémas, lemme 0FXU, et nous employons la même terminologie pour les foncteurs exacts \(k\)-linéaires \(F, F' : D_{perf}(\mathcal{O}_X) \to D_{perf}(\mathcal{O}_Y)\).

Lemme

Soit \(k\) un corps. Soient \(X\) et \(Y\) des schémas de type fini sur \(k\), avec \(X\) séparé. Soit \(F : D^b_{\textit{Coh}}(\mathcal{O}_X) \to D^b_{\textit{Coh}}(\mathcal{O}_Y)\) un foncteur exact \(k\)-linéaire qui envoie \(\textit{Coh}(\mathcal{O}_X) \subset D^b_{\textit{Coh}}(\mathcal{O}_X)\) dans \(\textit{Coh}(\mathcal{O}_Y) \subset D^b_{\textit{Coh}}(\mathcal{O}_Y)\). Alors il existe un foncteur de Fourier-Mukai \(F' : D^b_{\textit{Coh}}(\mathcal{O}_X) \to D^b_{\textit{Coh}}(\mathcal{O}_Y)\) dont le noyau est un \(\mathcal{O}_{X \times Y}\)-module cohérent \(\mathcal{K}\), plat sur \(X\) et à support fini sur \(Y\) ; le foncteur ainsi obtenu est apparenté à \(F\).

Démonstration

Notons \(H : \textit{Coh}(\mathcal{O}_X) \to \textit{Coh}(\mathcal{O}_Y)\) la restriction de \(F\). Comme \(F\) est un foncteur exact de catégories triangulées, \(H\) est un foncteur exact de catégories abéliennes. Bien entendu, \(H\) est \(k\)-linéaire puisque \(F\) l’est. D’après Foncteurs et morphismes, lemme 0FZN, on obtient un \(\mathcal{O}_{X \times Y}\)-module cohérent \(\mathcal{K}\) qui est plat sur \(X\) et à support fini sur \(Y\). Soit \(F'\) le foncteur de Fourier-Mukai défini à l’aide de \(\mathcal{K}\), de sorte que \(F'\) se restreint à \(H\) sur \(\textit{Coh}(\mathcal{O}_X)\). Le foncteur \(F'\) envoie \(D^b_{\textit{Coh}}(\mathcal{O}_X)\) dans \(D^b_{\textit{Coh}}(\mathcal{O}_Y)\) d’après le lemme 0FYU. Observons que \(F\) et \(F'\) satisfont les première et deuxième conditions du lemme 0FZU et sont donc apparentés.

Remarque

Si \(F, F' : D^b_{\textit{Coh}}(\mathcal{O}_X) \to \mathcal{D}\) sont apparentés, si \(F\) est pleinement fidèle et si \(X\) est réduit et projectif sur \(k\), alors \(F \cong F'\) ; cela résulte de la proposition 0FZW par l’argument donné dans la démonstration du théorème 0G0C. Cependant, en général, nous ne savons pas si des foncteurs apparentés sont isomorphes. Même dans la situation du lemme 0G00, il semble difficile de prouver que les foncteurs apparentés \(F\) et \(F'\) sont des foncteurs isomorphes. Si \(X\) est lisse et propre sur \(k\) et si \(F\) est pleinement fidèle, alors \(F \cong F'\), comme le montre [Noah]. Si vous disposez d’une démonstration ou d’un contre-exemple dans des situations plus générales, veuillez écrire à stacks.project@gmail.com.

Lemme

Soit \(k\) un corps. Soient \(X\) et \(Y\) des schémas propres sur \(k\). Supposons que \(X\) soit régulier. Soient \(F, G : D_{perf}(\mathcal{O}_X) \to D_{perf}(\mathcal{O}_Y)\) des foncteurs exacts \(k\)-linéaires tels que

1. \(F(\mathcal{F}) \cong G(\mathcal{F})\) pour tout \(\mathcal{O}_X\)-module cohérent \(\mathcal{F}\) tel que \(\dim(\text{Supp}(\mathcal{F})) = 0\),

2. \(F\) soit pleinement fidèle.

Alors l’image essentielle de \(G\) est contenue dans l’image essentielle de \(F\).

Démonstration

Rappelons que \(F\) et \(G\) possèdent chacun un adjoint à gauche et un adjoint à droite, voir le lemme 0FYN. En particulier, l’image essentielle \(\mathcal{A} \subset D_{perf}(\mathcal{O}_Y)\) de \(F\) satisfait les conditions équivalentes de Catégories dérivées, lemme 0CQS. Nous affirmons que \(G\) se factorise par \(\mathcal{A}\). Comme \(\mathcal{A} = {}^\perp(\mathcal{A}^\perp)\) d’après Catégories dérivées, lemme 0CQS, il suffit de montrer que \(\Hom_Y(G(M), N) = 0\) pour tout \(M\) dans \(D_{perf}(\mathcal{O}_X)\) et \(N \in \mathcal{A}^\perp\). On a \[\Hom_Y(G(M), N) = \Hom_X(M, G_r(N))\] où \(G_r\) est l’adjoint à droite de \(G\). Il suffit donc de prouver que \(G_r(N) = 0\). Comme \(G(\mathcal{F}) \cong F(\mathcal{F})\) pour \(\mathcal{F}\) comme en (1), on voit que \[\Hom_X(\mathcal{F}, G_r(N)) = \Hom_Y(G(\mathcal{F}), N) = \Hom_Y(F(\mathcal{F}), N) = 0\] puisque \(N\) appartient à l’orthogonal à droite de l’image essentielle \(\mathcal{A}\) de \(F\). Bien entendu, le groupe \(\Hom_X(\mathcal{F}, G_r(N)[i])\) s’annule encore pour tout \(i \in \mathbf{Z}\). Ainsi, \(G_r(N) = 0\) d’après le lemme 0G03, ce qui conclut.

Lemme

Soit \(k\) un corps. Soit \(X\) un schéma propre sur \(k\) qui est régulier. Soit \(F : D_{perf}(\mathcal{O}_X) \to D_{perf}(\mathcal{O}_X)\) un foncteur exact \(k\)-linéaire. Supposons que, pour tout \(\mathcal{O}_X\)-module cohérent \(\mathcal{F}\) tel que \(\dim(\text{Supp}(\mathcal{F})) = 0\), il existe un isomorphisme \(\mathcal{F} \cong F(\mathcal{F})\). Alors il existe un automorphisme \(f : X \to X\) sur \(k\) qui induit l’identité sur l’espace topologique sous-jacent¹, et un \(\mathcal{O}_X\)-module inversible \(\mathcal{L}\) tels que \(F\) et \(F'(M) = f^*M \otimes_{\mathcal{O}_X}^\mathbf{L} \mathcal{L}\) soient apparentés.

Démonstration

D’après le lemme 0G26, le foncteur \(F\) est pleinement fidèle. D’après le lemme 0GX0, l’image essentielle du foncteur identique est contenue dans l’image essentielle de \(F\), c’est-à-dire que \(F\) est essentiellement surjectif. Ainsi, \(F\) est une équivalence. Observons que le quasi-inverse \(F^{-1}\) satisfait les mêmes hypothèses que \(F\).

Soit \(M \in D_{perf}(\mathcal{O}_X)\), et supposons \(H^i(M) = 0\) pour \(i > b\). Comme \(F\) est pleinement fidèle, on voit que \[\Hom_X(M, \mathcal{O}_x[-i]) = \Hom_X(F(M), F(\mathcal{O}_x)[-i]) \cong \Hom_X(F(M), \mathcal{O}_x[-i])\] pour tout \(i \in \mathbf{Z}\) et tout point fermé \(x\) de \(X\). Le lemme 0GWZ montre donc que les faisceaux de cohomologie de \(F(M)\) sont nuls aux degrés \(> b\).

Soit \(\mathcal{F}\) un \(\mathcal{O}_X\)-module cohérent. D’après ce qui précède, les faisceaux de cohomologie non nuls de \(F(\mathcal{F})\) ne se trouvent qu’aux degrés \(\leq 0\). Posons \(\mathcal{G} = H^0(F(\mathcal{F}))\). Choisissons un triangle distingué \[K \to F(\mathcal{F}) \to \mathcal{G} \to K[1]\] Alors les faisceaux de cohomologie non nuls de \(K\) ne se trouvent qu’aux degrés \(\leq -1\). En appliquant \(F^{-1}\), on obtient un triangle distingué \[F^{-1}(K) \to \mathcal{F} \to F^{-1}(\mathcal{G}) \to F^{-1}(K')[1]\] Comme les faisceaux de cohomologie non nuls de \(F^{-1}(K)\) ne se trouvent qu’aux degrés \(\leq -1\) (par le paragraphe précédent appliqué à \(F^{-1}\)), on voit que la flèche \(F^{-1}(K) \to \mathcal{F}\) est nulle (Catégories dérivées, lemme 06XS). Ainsi, \(K \to F(\mathcal{F})\) est nul, ce qui implique que \(F(\mathcal{F}) = \mathcal{G}\) par le choix du premier triangle distingué.

Le paragraphe précédent montre que \(F\) préserve \(\textit{Coh}(\mathcal{O}_X)\) et définit même une équivalence \(H : \textit{Coh}(\mathcal{O}_X) \to \textit{Coh}(\mathcal{O}_X)\). D’après Foncteurs et morphismes, lemme 0FZR, on obtient un automorphisme \(f : X \to X\) sur \(k\) et un \(\mathcal{O}_X\)-module inversible \(\mathcal{L}\) tels que \(H(\mathcal{F}) = f^*\mathcal{F} \otimes \mathcal{L}\). Posons \(F'(M) = f^*M \otimes_{\mathcal{O}_X}^\mathbf{L} \mathcal{L}\). Le lemme 0FZU montre que \(F\) et \(F'\) sont apparentés. Pour voir que \(f\) induit l’identité sur l’espace topologique sous-jacent de \(X\), on utilise \(F(\mathcal{O}_x) \cong \mathcal{O}_x\) et le fait que le support de \(\mathcal{O}_x\) est \(\{x\}\). Cela achève la démonstration.

Lemme

Soit \(k\) un corps. Soient \(X\) et \(Y\) des schémas propres sur \(k\). Supposons que \(X\) soit régulier. Soient \(F, G : D_{perf}(\mathcal{O}_X) \to D_{perf}(\mathcal{O}_Y)\) des foncteurs exacts \(k\)-linéaires tels que

1. \(F(\mathcal{F}) \cong G(\mathcal{F})\) pour tout \(\mathcal{O}_X\)-module cohérent \(\mathcal{F}\) tel que \(\dim(\text{Supp}(\mathcal{F})) = 0\),

2. \(F\) soit pleinement fidèle, et

3. \(G\) soit un foncteur de Fourier-Mukai dont le noyau appartient à \(D_{perf}(\mathcal{O}_{X \times Y})\).

Alors il existe un foncteur de Fourier-Mukai \(F' : D_{perf}(\mathcal{O}_X) \to D_{perf}(\mathcal{O}_Y)\) dont le noyau appartient à \(D_{perf}(\mathcal{O}_{X \times Y})\) et pour lequel \(F\) et \(F'\) sont apparentés.

Démonstration

L’image essentielle de \(G\) est contenue dans l’image essentielle de \(F\) d’après le lemme 0GX0. Considérons le foncteur \(H = F^{-1} \circ G\), qui a un sens puisque \(F\) est pleinement fidèle. Le lemme 0G27 fournit un automorphisme \(f : X \to X\) et un \(\mathcal{O}_X\)-module inversible \(\mathcal{L}\) tels que le foncteur \(H' : K \mapsto f^*K \otimes \mathcal{L}\) soit apparenté à \(H\). En particulier, \(H\) est une auto-équivalence d’après le lemme 0FZV, et \(H\) induit une auto-équivalence de \(\textit{Coh}(\mathcal{O}_X)\) (puisque cela vaut pour le foncteur \(H'\) qui lui est apparenté). Ainsi, les quasi-inverses \(H^{-1}\) et \((H')^{-1}\) existent et sont apparentés (nous omettons un petit détail), et \((H')^{-1}\) envoie \(M\) sur \((f^{-1})^*(M \otimes_{\mathcal{O}_X}^\mathbf{L} \mathcal{L}^{\otimes -1})\), qui est un foncteur de Fourier-Mukai (nous omettons les détails). Alors, bien entendu, \(F = G \circ H^{-1}\) est apparenté à \(G \circ (H')^{-1}\). Comme les composés de foncteurs de Fourier-Mukai sont de Fourier-Mukai d’après le lemme 0FYS, on conclut.

Foncteurs pleinement fidèles

Notre objectif est de prouver que les foncteurs pleinement fidèles entre catégories dérivées sont apparentés à des foncteurs de Fourier-Mukai, en suivant [Orlov-K3] et [Ballard].

Situation

Ici, \(k\) est un corps. Nous avons des schémas propres et lisses \(X\) et \(Y\) sur \(k\). Nous avons un foncteur exact, \(k\)-linéaire et pleinement fidèle \(F : D_{perf}(\mathcal{O}_X) \to D_{perf}(\mathcal{O}_Y)\).

Avant de poursuivre, il est utile de lire au moins une partie de Catégories dérivées, section 0D7Y.

Rappelons que \(X\) est régulier et possède donc la propriété de résolution (Variétés, lemme 056S et Catégories dérivées des schémas, lemme 0F8A). Ainsi, sur \(X \times X\), nous pouvons choisir une résolution \[\ldots \to \mathcal{E}_2 \boxtimes \mathcal{G}_2 \to \mathcal{E}_1 \boxtimes \mathcal{G}_1 \to \mathcal{E}_0 \boxtimes \mathcal{G}_0 \to \mathcal{O}_\Delta \to 0\] où chaque \(\mathcal{E}_i\) et chaque \(\mathcal{G}_i\) est un \(\mathcal{O}_X\)-module localement libre de type fini, voir le lemme 0FZ2. En utilisant le complexe [0G09]\[\begin{equation} \ldots \to \mathcal{E}_2 \boxtimes \mathcal{G}_2 \to \mathcal{E}_1 \boxtimes \mathcal{G}_1 \to \mathcal{E}_0 \boxtimes \mathcal{G}_0 \end{equation}\] dans \(D_{perf}(\mathcal{O}_{X \times X})\), comme dans Catégories dérivées, exemple 0D8Z, si, pour tout \(n\), nous posons \[M_n = (\mathcal{E}_n \boxtimes \mathcal{G}_n \to \ldots \to \mathcal{E}_0 \boxtimes \mathcal{G}_0)[-n]\] nous obtenons un système de Postnikov infini pour le complexe (0G09). Cela signifie que les morphismes \(M_0 \to M_1[1] \to M_2[2] \to \ldots\), ainsi que \(M_n \to \mathcal{E}_n \boxtimes \mathcal{G}_n\) et \(\mathcal{E}_n \boxtimes \mathcal{G}_n \to M_{n - 1}\), satisfont à certaines conditions consignées dans Catégories dérivées, définition 0D7Z. Posons \[\mathcal{F}_n = \Ker(\mathcal{E}_n \boxtimes \mathcal{G}_n \to \mathcal{E}_{n - 1} \boxtimes \mathcal{G}_{n - 1})\] Observons que, puisque \(\mathcal{O}_\Delta\) est plat sur \(X\) via \(\text{pr}_1\), il en va de même de \(\mathcal{F}_n\) pour tout \(n\) (c’est une observation commode, mais non essentielle). Nous avons \[H^q(M_n[n]) = \left\{ \begin{matrix} \mathcal{O}_\Delta & \text{si} & q = 0 \\ \mathcal{F}_n & \text{si} & q = -n \\ 0 & \text{si} & q \not = 0, -n \end{matrix} \right.\] Ainsi, pour \(n \geq \dim(X \times X)\), nous avons \[M_n[n] \cong \mathcal{O}_\Delta \oplus \mathcal{F}_n[n]\] dans \(D_{perf}(\mathcal{O}_{X \times X})\), d’après le

lemme 0FZ4.

Nous nous intéressons au complexe [0G0A]\[\begin{equation} \ldots \to \mathcal{E}_2 \boxtimes F(\mathcal{G}_2) \to \mathcal{E}_1 \boxtimes F(\mathcal{G}_1) \to \mathcal{E}_0 \boxtimes F(\mathcal{G}_0) \end{equation}\] dans \(D_{perf}(\mathcal{O}_{X \times Y})\), car la « totalisation » de ce complexe devrait nous donner le noyau du foncteur de Fourier-Mukai que nous cherchons à construire. Pour tous \(i, j \geq 0\), nous avons \[\begin{align*} \Ext^q_{X \times Y}(\mathcal{E}_i \boxtimes F(\mathcal{G}_i), \mathcal{E}_j \boxtimes F(\mathcal{G}_j)) & = \bigoplus\nolimits_p \Ext^{q + p}_X(\mathcal{E}_i, \mathcal{E}_j) \otimes_k \Ext^{-p}_Y(F(\mathcal{G}_i), F(\mathcal{G}_j)) \\ & = \bigoplus\nolimits_p \Ext^{q + p}_X(\mathcal{E}_i, \mathcal{E}_j) \otimes_k \Ext^{-p}_X(\mathcal{G}_i, \mathcal{G}_j) \end{align*}\] La seconde égalité vaut parce que \(F\) est pleinement fidèle, et la première résulte de Catégories dérivées des schémas, lemme 0FXZ. On obtient que ces \(\Ext^q\) sont nuls pour \(q < 0\). Ainsi, d’après Catégories dérivées, lemme 0D83, nous pouvons construire un système de Postnikov infini \(K_0, K_1, K_2, \ldots\) dans \(D_{perf}(\mathcal{O}_{X \times Y})\) pour le complexe (0G0A). Parallèlement à ce qui se passe pour \(M_0, M_1, M_2, \ldots\), cela signifie que nous obtenons des morphismes \(K_0 \to K_1[1] \to K_2[2] \to \ldots\), ainsi que \(K_n \to \mathcal{E}_n \boxtimes F(\mathcal{G}_n)\) et \(\mathcal{E}_n \boxtimes F(\mathcal{G}_n) \to K_{n - 1}\) dans \(D_{perf}(\mathcal{O}_{X \times Y})\), qui satisfont à certaines conditions consignées dans

Catégories dérivées, définition 0D7Z.

Soit \(\mathcal{F}\) un \(\mathcal{O}_X\)-module cohérent dont le support est un ensemble fini de points, c’est-à-dire tel que \(\dim(\text{Supp}(\mathcal{F})) = 0\). Considérons le foncteur exact entre catégories triangulées \[D_{perf}(\mathcal{O}_{X \times Y}) \longrightarrow D_{perf}(\mathcal{O}_Y),\quad N \longmapsto R\text{pr}_{2, *}(\text{pr}_1^*\mathcal{F} \otimes^\mathbf{L}_{\mathcal{O}_{X \times Y}} N)\] Il s’ensuit que les objets \(R\text{pr}_{2, *}(\text{pr}_1^*\mathcal{F} \otimes^\mathbf{L}_{\mathcal{O}_{X \times Y}} K_i)\) forment un système de Postnikov pour le complexe de \(D_{perf}(\mathcal{O}_Y)\) dont les termes sont \[R\text{pr}_{2, *}( (\mathcal{F} \otimes \mathcal{E}_i) \boxtimes F(\mathcal{G}_i)) = \Gamma(X, \mathcal{F} \otimes \mathcal{E}_i) \otimes_k F(\mathcal{G}_i) = F(\Gamma(X, \mathcal{F} \otimes \mathcal{E}_i) \otimes_k \mathcal{G}_i)\] Nous avons utilisé ici que \(\mathcal{F} \otimes \mathcal{E}_i\) a une cohomologie supérieure nulle, puisque son support est de dimension \(0\). D’autre part, en appliquant le foncteur exact \[D_{perf}(\mathcal{O}_{X \times X}) \longrightarrow D_{perf}(\mathcal{O}_Y),\quad N \longmapsto F(R\text{pr}_{2, *}(\text{pr}_1^*\mathcal{F} \otimes^\mathbf{L}_{\mathcal{O}_{X \times X}} N))\] nous constatons que les objets \(F(R\text{pr}_{2, *}(\text{pr}_1^*\mathcal{F} \otimes^\mathbf{L}_{\mathcal{O}_{X \times X}} M_n))\) forment un second système de Postnikov infini pour le complexe de \(D_{perf}(\mathcal{O}_Y)\) dont les termes sont \[F(R\text{pr}_{2, *}( (\mathcal{F} \otimes \mathcal{E}_i) \boxtimes \mathcal{G}_i)) = F(\Gamma(X, \mathcal{F} \otimes \mathcal{E}_i) \otimes_k \mathcal{G}_i)\] C’est le même complexe que précédemment ! Par unicité des systèmes de Postnikov (Catégories dérivées, lemme 0D83), laquelle s’applique puisque \[\Ext^q_Y( F(\Gamma(X, \mathcal{F} \otimes \mathcal{E}_i) \otimes_k \mathcal{G}_i), F(\Gamma(X, \mathcal{F} \otimes \mathcal{E}_j) \otimes_k \mathcal{G}_j)) = 0, \quad q < 0\] car \(F\) est pleinement fidèle, nous obtenons un système d’isomorphismes \[F(R\text{pr}_{2, *}(\text{pr}_1^*\mathcal{F} \otimes^\mathbf{L}_{\mathcal{O}_{X \times X}} M_n[n])) \cong R\text{pr}_{2, *}(\text{pr}_1^*\mathcal{F} \otimes^\mathbf{L}_{\mathcal{O}_{X \times Y}} K_n[n])\] dans \(D_{perf}(\mathcal{O}_Y)\), compatible avec les morphismes de \(D_{perf}(\mathcal{O}_Y)\) induits par les morphismes \[M_{n - 1}[n - 1] \to M_n[n] \quad\text{et}\quad K_{n - 1}[n - 1] \to K_n[n]\] \[M_n \to \mathcal{E}_n \boxtimes \mathcal{G}_n \quad\text{et}\quad K_n \to \mathcal{E}_n \boxtimes F(\mathcal{G}_n)\] \[\mathcal{E}_n \boxtimes \mathcal{G}_n \to M_{n - 1} \quad\text{et}\quad \mathcal{E}_n \boxtimes F(\mathcal{G}_n) \to K_{n - 1}\] qui font partie de la structure des systèmes de Postnikov. Pour \(n\) suffisamment grand, nous obtenons une décomposition en somme directe \[F(R\text{pr}_{2, *}(\text{pr}_1^*\mathcal{F} \otimes^\mathbf{L}_{\mathcal{O}_{X \times X}} M_n[n])) = F(\mathcal{F}) \oplus F(R\text{pr}_{2, *}( \text{pr}_1^*\mathcal{F} \otimes_{\mathcal{O}_{X \times Y}} \mathcal{F}_n ))[n]\] qui correspond à la décomposition en somme directe de \(M_n\) construite ci-dessus (nous utilisons la platitude de \(\mathcal{F}_n\) sur \(X\) via \(\text{pr}_1\) pour écrire un produit tensoriel ordinaire dans la formule ci-dessus, mais cela n’est pas essentiel à l’argument). D’après le lemme 0FZ8, il existe un entier \(m \geq 0\) tel que le premier facteur de cette décomposition en somme directe n’ait de faisceaux de cohomologie non nuls que dans l’intervalle \([-m, m]\), tandis que le second facteur n’a de faisceaux de cohomologie non nuls que dans l’intervalle \([-m - n, m + \dim(X) - n]\). On en conclut que le système \(K_0 \to K_1[1] \to K_2[2] \to \ldots\) de \(D_{perf}(\mathcal{O}_{X \times Y})\) satisfait aux hypothèses du lemme 0FZ9, quitte à remplacer \(m\) par un entier plus grand. On peut donc écrire \[K_n[n] = K \oplus C_n\] pour \(n \gg 0\), de manière compatible avec les morphismes de transition, et \(C_n\) n’a de faisceaux de cohomologie non nuls que dans l’intervalle \([-m - n, m - n]\). Notons \(G\) le foncteur de Fourier-Mukai associé à \(K\). En regroupant ce qui précède, nous obtenons \[\begin{matrix} G(\mathcal{F}) \oplus R\text{pr}_{2, *}( \text{pr}_1^*\mathcal{F} \otimes_{\mathcal{O}_{X \times Y}}^\mathbf{L} C_n) \cong \\ R\text{pr}_{2, *}(\text{pr}_1^*\mathcal{F} \otimes^\mathbf{L}_{\mathcal{O}_{X \times Y}} K_n[n]) \cong \\ F(R\text{pr}_{2, *}(\text{pr}_1^*\mathcal{F} \otimes^\mathbf{L}_{\mathcal{O}_{X \times X}} M_n[n])) \cong \\ F(\mathcal{F}) \oplus F(R\text{pr}_{2, *}( \text{pr}_1^*\mathcal{F} \otimes_{\mathcal{O}_{X \times Y}} \mathcal{F}_n ))[n] \end{matrix}\] En examinant les degrés où vivent ces objets, on conclut que, pour \(n \gg m\), nous obtenons un isomorphisme \[F(\mathcal{F}) \cong G(\mathcal{F})\] De plus, cela vaut pour tout faisceau cohérent \(\mathcal{F}\) sur \(X\) dont le support est de dimension \(0\).

Lemme

Soit \(k\) un corps. Soient \(X\) et \(Y\) des schémas propres et lisses sur \(k\). Étant donné un foncteur exact, \(k\)-linéaire et pleinement fidèle \(F : D_{perf}(\mathcal{O}_X) \to D_{perf}(\mathcal{O}_Y)\), il existe un foncteur de Fourier-Mukai \(F' : D_{perf}(\mathcal{O}_X) \to D_{perf}(\mathcal{O}_Y)\) dont le noyau appartient à \(D_{perf}(\mathcal{O}_{X \times Y})\) et qui est apparenté à \(F\).

Démonstration

Appliquons le lemme 0G06 à \(F\) et au foncteur \(G\) construit ci-dessus.

Le théorème suivant reste vrai sans supposer que \(X\) soit projectif, voir [Noah].

Théorème

Soit \(k\) un corps. Soient \(X\) et \(Y\) des schémas propres et lisses sur \(k\), avec \(X\) projectif sur \(k\). Tout foncteur exact, \(k\)-linéaire et pleinement fidèle \(F : D_{perf}(\mathcal{O}_X) \to D_{perf}(\mathcal{O}_Y)\) est un foncteur de Fourier-Mukai associé à un noyau de \(D_{perf}(\mathcal{O}_{X \times Y})\).

Démonstration

Soit \(F'\) le foncteur de Fourier-Mukai qui est apparenté à \(F\) comme dans le lemme 0G0B. D’après la proposition 0FZW, nous avons \(F \cong F'\) pourvu que nous montrions que \(\textit{Coh}(\mathcal{O}_X)\) possède assez d’objets négatifs. Toutefois, si \(X = \Spec(k)\), par exemple, ce n’est pas le cas. Nous décomposons donc d’abord \(X = \coprod X_i\) en ses composantes connexes (et irréductibles), puis nous montrons qu’il suffit de prouver le résultat pour chacun des foncteurs composés (pleinement fidèles) \[F_i : D_{perf}(\mathcal{O}_{X_i}) \to D_{perf}(\mathcal{O}_X) \to D_{perf}(\mathcal{O}_Y)\] Nous omettons les détails. Nous pouvons donc supposer \(X\) irréductible.

Le cas \(\dim(X) = 0\). Ici, \(X\) est le spectre d’une extension finie (séparable) \(k'/k\), et \(D_{perf}(\mathcal{O}_X)\) est donc équivalente à la catégorie des espaces vectoriels gradués sur \(k'\) dans laquelle \(\mathcal{O}_X\) correspond à l’espace vectoriel trivial de dimension \(1\), placé en degré \(0\). Il est immédiat que deux foncteurs apparentés \(F, F' : D_{perf}(\mathcal{O}_X) \to D_{perf}(\mathcal{O}_Y)\) sont isomorphes. En effet, nous disposons d’un isomorphisme \(F(\mathcal{O}_X) \cong F'(\mathcal{O}_X)\) compatible avec l’action de la \(k\)-algèbre \(k' = \text{End}_{D_{perf}(\mathcal{O}_X)}(\mathcal{O}_X)\), qui se prolonge canoniquement en un isomorphisme sur tout espace vectoriel gradué sur \(k'\).

Le cas \(\dim(X) > 0\). Ici, \(X\) est une variété projective lisse de dimension \(> 1\). Soit \(\mathcal{F}\) un \(\mathcal{O}_X\)-module cohérent. Nous devons montrer qu’il existe un module cohérent \(\mathcal{N}\) tel que

1. il existe une surjection \(\mathcal{N} \to \mathcal{F}\), et

2. \(\Hom(\mathcal{F}, \mathcal{N}) = 0\).

Choisissons un \(\mathcal{O}_X\)-module inversible ample \(\mathcal{L}\). Nous affirmons que \(\mathcal{N} = (\mathcal{L}^{\otimes n})^{\oplus r}\) convient pour \(n \ll 0\) et \(r\) assez grand. La condition (1) résulte de Propriétés, proposition 01Q3. Enfin, nous avons \[\Hom(\mathcal{F}, \mathcal{L}^{\otimes n}) = H^0(X, \SheafHom(\mathcal{F}, \mathcal{L}^{\otimes n})) = H^0(X, \SheafHom(\mathcal{F}, \mathcal{O}_X) \otimes \mathcal{L}^{\otimes n})\] Comme le dual \(\SheafHom(\mathcal{F}, \mathcal{O}_X)\) est sans torsion, ce groupe est nul pour \(n \ll 0\) d’après Variétés, lemme 0FD7. Cela achève la démonstration.

Proposition

Soit \(k\) un corps. Soient \(X\) et \(Y\) des schémas propres et lisses sur \(k\). Si \(F : D_{perf}(\mathcal{O}_X) \to D_{perf}(\mathcal{O}_Y)\) est une équivalence exacte \(k\)-linéaire de catégories triangulées, alors il existe un foncteur de Fourier-Mukai \(F' : D_{perf}(\mathcal{O}_X) \to D_{perf}(\mathcal{O}_Y)\) dont le noyau appartient à \(D_{perf}(\mathcal{O}_{X \times Y})\), qui est une équivalence et est apparenté à \(F\).

Démonstration

Le foncteur \(F'\) du lemme 0G0B est une équivalence d’après le lemme 0FZV.

Lemme

Soit \(k\) un corps. Soit \(X\) un schéma propre et lisse sur \(k\). Soit \(K \in D_{perf}(\mathcal{O}_{X \times X})\). Si le foncteur de Fourier-Mukai \(\Phi_K : D_{perf}(\mathcal{O}_X) \to D_{perf}(\mathcal{O}_X)\) est isomorphe au foncteur identique, alors \(K \cong \Delta_*\mathcal{O}_X\) dans \(_{perf}(\mathcal{O}_{X \times X})\).

Démonstration

Soit \(i\) le plus petit entier tel que le faisceau de cohomologie \(H^i(K)\) soit non nul. Soient \(\mathcal{E}\) et \(\mathcal{G}\) des \(\mathcal{O}_X\)-modules localement libres de type fini. Alors \[\begin{align*} H^i(X \times X, K \otimes_{\mathcal{O}_{X \times X}}^\mathbf{L} (\mathcal{E} \boxtimes \mathcal{G})) & = H^i(X, R\text{pr}_{2, *}(K \otimes_{\mathcal{O}_{X \times X}}^\mathbf{L} (\mathcal{E} \boxtimes \mathcal{G}))) \\ & = H^i(X, \Phi_K(\mathcal{E}) \otimes_{\mathcal{O}_X}^\mathbf{L} \mathcal{G}) \\ & \cong H^i(X, \mathcal{E} \otimes \mathcal{G}) \end{align*}\] ce qui est nul si \(i < 0\). D’autre part, nous pouvons choisir \(\mathcal{E}\) et \(\mathcal{G}\) de sorte qu’il existe une surjection \(\mathcal{E}^\vee \boxtimes \mathcal{G}^\vee \to H^i(K)\) d’après le lemme 0FZ0. Dans ce cas, le membre de gauche des égalités n’est pas nul. On conclut donc que \(H^i(K) = 0\) pour \(i < 0\).

Soit \(i\) le plus grand entier tel que \(H^i(K)\) soit non nul. Le même argument, avec \(\mathcal{E}\) et \(\mathcal{G}\) à support de dimension \(0\), montre que \(i \leq 0\). On conclut donc que \(K\) est donné par un unique \(\mathcal{O}_{X \times X}\)-module cohérent \(\mathcal{K}\) placé en degré \(0\).

Puisque \(R\text{pr}_{2, *}(\text{pr}_1^*\mathcal{F} \otimes \mathcal{K})\) est \(\mathcal{F}\), en prenant \(\mathcal{F}\) à support en des points fermés, nous voyons que le support de \(\mathcal{K}\) est fini sur \(X\) via \(\text{pr}_2\). Comme \(R\text{pr}_{2, *}(\mathcal{K}) \cong \mathcal{O}_X\), on conclut, d’après Foncteurs et morphismes, lemme 0FZP, que \(\mathcal{K} = s_*\mathcal{O}_X\) pour une section \(s : X \to X \times X\) de la seconde projection. Alors \(\Phi_K(M) = f^*M\), où \(f = \text{pr}_1 \circ s\), et cela ne peut se produire que si \(s\) est le morphisme diagonal, comme souhaité.

Une catégorie de noyaux de Fourier-Mukai

Soit \(S\) un schéma. Nous affirmons qu’il existe une catégorie dont

1. les objets sont les schémas propres et lisses sur \(S\) ;

2. les morphismes de \(X\) vers \(Y\) sont les classes d’isomorphisme des objets de \(D_{perf}(\mathcal{O}_{X \times_S Y})\) ;

3. la composée de la classe d’isomorphisme de \(K \in D_{perf}(\mathcal{O}_{X \times_S Y})\) et de la classe d’isomorphisme de \(K'\) dans \(D_{perf}(\mathcal{O}_{Y \times_S Z})\) est la classe d’isomorphisme de \[R\text{pr}_{13, *}( L\text{pr}_{12}^*K \otimes_{\mathcal{O}_{X \times_S Y \times_S Z}}^\mathbf{L} L\text{pr}_{23}^*K')\] qui appartient à \(D_{perf}(\mathcal{O}_{X \times_S Z})\) d’après Catégories dérivées des schémas, lemme 0B91 ;

4. le morphisme identique de \(X\) vers \(X\) est la classe d’isomorphisme de \(\Delta_{X/S, *}\mathcal{O}_X\), qui appartient à \(D_{perf}(\mathcal{O}_{X \times_S X})\) d’après Compléments sur les morphismes, lemme 0G2E, et le fait que \(\Delta_{X/S}\) est un morphisme parfait d’après Diviseurs, lemme 067U et Compléments sur les morphismes, lemme 068C.

Vérifions l’associativité de la composition des morphismes ; nous omettons de vérifier que les morphismes identiques sont bien des identités. Pour cela, supposons donnés \(X, Y, Z, W\) et \(c \in D_{perf}(\mathcal{O}_{X \times_S Y})\), \(c' \in D_{perf}(\mathcal{O}_{Y \times_S Z})\), et \(c'' \in D_{perf}(\mathcal{O}_{Z \times_S W})\). Alors \[\begin{align*} c'' \circ (c' \circ c) & \cong \text{pr}^{134}_{14, *}( \text{pr}^{134, *}_{13} \text{pr}^{123}_{13, *}(\text{pr}^{123, *}_{12}c \otimes \text{pr}^{123, *}_{23}c') \otimes \text{pr}^{134, *}_{34}c'') \\ & \cong \text{pr}^{134}_{14, *}( \text{pr}^{1234}_{134, *} \text{pr}^{1234, *}_{123}(\text{pr}^{123, *}_{12}c \otimes \text{pr}^{123, *}_{23}c') \otimes \text{pr}^{134, *}_{34}c'') \\ & \cong \text{pr}^{134}_{14, *}( \text{pr}^{1234}_{134, *} (\text{pr}^{1234, *}_{12}c \otimes \text{pr}^{1234, *}_{23}c') \otimes \text{pr}^{134, *}_{34}c'') \\ & \cong \text{pr}^{134}_{14, *} \text{pr}^{1234}_{134, *} ((\text{pr}^{1234, *}_{12}c \otimes \text{pr}^{1234, *}_{23}c') \otimes \text{pr}^{1234, *}_{34}c'') \\ & \cong \text{pr}^{1234}_{14, *}( (\text{pr}^{1234, *}_{12}c \otimes \text{pr}^{1234, *}_{23}c') \otimes \text{pr}^{1234, *}_{34}c'') \end{align*}\] Nous employons ici la notation \[p^{1234}_{134} : X \times_S Y \times_S Z \times_S W \to X \times_S Z \times_S W \quad\text{et}\quad p^{134}_{14} : X \times_S Z \times_S W \to X \times_S W\] pour les projections, et de même pour les autres indices. Nous écrivons aussi \(\text{pr}_*\) au lieu de \(R\text{pr}_*\) et \(\text{pr}^*\) au lieu de \(L\text{pr}^*\), et nous omettons tous les indices supérieurs et inférieurs sur \(\otimes\). La première égalité est la définition de la composition. La deuxième égalité vaut parce que \(\text{pr}^{134, *}_{13} \text{pr}^{123}_{13, *} = \text{pr}^{1234}_{134, *} \text{pr}^{1234, *}_{123}\) par changement de base (Catégories dérivées des schémas, lemme 08IB). La troisième égalité vaut parce que les images inverses se composent de la manière attendue et commutent aux produits tensoriels, voir Cohomologie, lemmes 0D5S et 079U. La quatrième égalité résulte de la « formule de projection » pour \(p^{1234}_{134}\), voir Catégories dérivées des schémas, lemme 08EU. La cinquième égalité exprime la compatibilité de l’image directe propre avec la composition, voir Cohomologie, lemme 0D5T. Comme le produit tensoriel est associatif, cela achève la démonstration de l’associativité de la composition.

Lemme

Soit \(S' \to S\) un morphisme de schémas. La règle qui associe

1. à tout schéma propre et lisse \(X\) sur \(S\) le schéma \(X' = S' \times_S X\), et

2. à la classe d’isomorphisme d’un objet \(K\) de \(D_{perf}(\mathcal{O}_{X \times_S Y})\) la classe d’isomorphisme de \(L(X' \times_{S'} Y' \to X \times_S Y)^*K\) dans \(D_{perf}(\mathcal{O}_{X' \times_{S'} Y'})\)

est un foncteur de la catégorie définie pour \(S\) vers la catégorie définie pour \(S'\).

Démonstration

Pour le voir, supposons donnés \(X, Y, Z\) et \(K \in D_{perf}(\mathcal{O}_{X \times_S Y})\) et \(M \in D_{perf}(\mathcal{O}_{Y \times_S Z})\). Notons \(K' \in D_{perf}(\mathcal{O}_{X' \times_{S'} Y'})\) et \(M' \in D_{perf}(\mathcal{O}_{Y' \times_{S'} Z'})\) leurs images inverses comme dans l’énoncé du lemme. Le carré \[\xymatrix{ X' \times_{S'} Y' \times_{S'} Z' \ar[r] \ar[d]_{\text{pr}'_{13}} & X \times_S Y \times_S Z \ar[d]^{\text{pr}_{13}} \\ X' \times_{S'} Z' \ar[r] & X \times_S Z }\] est cartésien et \(\text{pr}_{13}\) est propre et lisse. D’après Catégories dérivées des schémas, lemme 0B91, l’image inverse dérivée par la flèche horizontale inférieure du composé \[R\text{pr}_{13, *}( L\text{pr}_{12}^*K \otimes_{\mathcal{O}_{X \times_S Y \times_S Z}}^\mathbf{L} L\text{pr}_{23}^*M)\] est bien (canoniquement) isomorphe à \[R\text{pr}'_{13, *}( L(\text{pr}'_{12})^*K' \otimes_{\mathcal{O}_{X' \times_{S'} Y' \times_{S'} Z'}}^\mathbf{L} L(\text{pr}'_{23})^*M')\] comme voulu. Nous omettons quelques détails.

Équivalences relatives

Dans cette section, nous démontrons quelques lemmes sur la notion suivante.

Définition

Soit \(S\) un schéma. Soient \(X \to S\) et \(Y \to S\) des morphismes lisses et propres. Un objet \(K \in D_{perf}(\mathcal{O}_{X \times_S Y})\) est appelé noyau de Fourier-Mukai d’une équivalence relative de \(X\) vers \(Y\) au-dessus de \(S\) s’il existe un objet \(K' \in D_{perf}(\mathcal{O}_{X \times_S Y})\) tel que \[\Delta_{X/S, *}\mathcal{O}_X \cong R\text{pr}_{13, *}(L\text{pr}_{12}^*K \otimes_{\mathcal{O}_{X \times_S Y \times_S X}}^\mathbf{L} L\text{pr}_{23}^*K')\] dans \(D(\mathcal{O}_{X \times_S X})\) et \[\Delta_{Y/S, *}\mathcal{O}_Y \cong R\text{pr}_{13, *}(L\text{pr}_{12}^*K' \otimes_{\mathcal{O}_{Y \times_S X \times_S Y}}^\mathbf{L} L\text{pr}_{23}^*K)\] dans \(D(\mathcal{O}_{Y \times_S Y})\). Autrement dit, la classe d’isomorphisme de \(K\) définit une flèche inversible dans la catégorie définie à la section 0G0F.

La terminologie est volontairement lourde.

Lemme

Avec les notations de la définition 0G0I, soit \(K\) le noyau de Fourier-Mukai d’une équivalence relative de \(X\) vers \(Y\) au-dessus de \(S\). Alors les foncteurs de Fourier-Mukai correspondants \(\Phi_K : D_\QCoh(\mathcal{O}_X) \to D_\QCoh(\mathcal{O}_Y)\) (lemme 0FYR) et \(\Phi_K : D_{perf}(\mathcal{O}_X) \to D_{perf}(\mathcal{O}_Y)\) (lemme 0FYT) sont des équivalences.

Démonstration

Cela résulte immédiatement du lemme 0FYS et de l’exemple 0FYV.

Lemme

Avec les notations de la définition 0G0I, soit \(K\) le noyau de Fourier-Mukai d’une équivalence relative de \(X\) vers \(Y\) au-dessus de \(S\). Soit \(S_1 \to S\) un morphisme de schémas. Posons \(X_1 = S_1 \times_S X\) et \(Y_1 = S_1 \times_S Y\). Alors l’image inverse \(K_1 = L(X_1 \times_{S_1} Y_1 \to X \times_S Y)^*K\) est le noyau de Fourier-Mukai d’une équivalence relative de \(X_1\) vers \(Y_1\) au-dessus de \(S_1\).

Démonstration

Soit \(K' \in D_{perf}(\mathcal{O}_{Y \times_S X})\) l’objet dont l’existence est supposée dans la définition 0G0I. Notons \(K'_1\) l’image inverse de \(K'\) par \(Y_1 \times_{S_1} X_1 \to Y \times_S X\). Il suffit alors de démontrer que \[\Delta_{X_1/S_1, *}\mathcal{O}_X \cong R\text{pr}_{13, *}(L\text{pr}_{12}^*K_1 \otimes_{\mathcal{O}_{X_1 \times_{S_1} Y_1 \times_{S_1} X_1}}^\mathbf{L} L\text{pr}_{23}^*K_1')\] dans \(D(\mathcal{O}_{X_1 \times_{S_1} X_1})\), et de même pour l’autre condition. Comme \[\xymatrix{ X_1 \times_{S_1} Y_1 \times_{S_1} X_1 \ar[r] \ar[d]_{\text{pr}_{13}} & X \times_S Y \times_S X \ar[d]^{\text{pr}_{13}} \\ X_1 \times_{S_1} X_1 \ar[r] & X \times_S X }\] est cartésien, il suffit, d’après Catégories dérivées des schémas, lemme 0B91, de montrer que \[\Delta_{X_1/S_1, *}\mathcal{O}_{X_1} \cong L(X_1 \times_{S_1} X_1 \to X \times_S X)^*\Delta_{X/S, *}\mathcal{O}_X\] Cela résultera à son tour de la tor-indépendance de \(X\) et de \(X_1 \times_{S_1} X_1\) au-dessus de \(X \times_S X\), voir Catégories dérivées des schémas, lemme 08IB. Cette tor-indépendance se vérifie directement, mais résulte aussi du résultat plus général de Compléments sur les morphismes, lemme 0CTA, appliqué au carré de sommets \(X, X, X, S\) et à son changement de base par \(S_1 \to S\).

Lemme

Soit \(S = \lim_{i \in I} S_i\) la limite d’un système inductif de schémas dont les morphismes de transition affines sont \(g_{i'i} : S_{i'} \to S_i\). Supposons que \(S_i\) soit quasi-compact et quasi-séparé pour tout \(i \in I\). Soit \(0 \in I\). Soient \(X_0 \to S_0\) et \(Y_0 \to S_0\) des morphismes lisses et propres. Posons \(X_i = S_i \times_{S_0} X_0\) pour \(i \geq 0\), et \(X = S \times_{S_0} X_0\) ; de même pour \(Y_0\). Si \(K\) est le noyau de Fourier-Mukai d’une équivalence relative de \(X\) vers \(Y\) au-dessus de \(S\), alors, pour un certain \(i \geq 0\), il existe un noyau de Fourier-Mukai d’une équivalence relative de \(X_i\) vers \(Y_i\) au-dessus de \(S_i\).

Démonstration

Soit \(K' \in D_{perf}(\mathcal{O}_{Y \times_S X})\) l’objet dont l’existence est supposée dans la définition 0G0I. Puisque \(X \times_S Y = \lim X_i \times_{S_i} Y_i\), il existe un \(i\) et des objets \(K_i\) et \(K'_i\) dans \(D_{perf}(\mathcal{O}_{Y_i \times_{S_i} X_i})\) dont les images inverses sur \(Y \times_S X\) sont \(K\) et \(K'\). Voir Catégories dérivées des schémas, lemme 09RF. D’après Catégories dérivées des schémas, lemme 0B91, l’objet \[R\text{pr}_{13, *}(L\text{pr}_{12}^*K_i \otimes_{\mathcal{O}_{X_i \times_{S_i} Y_i \times_{S_i} X_i}}^\mathbf{L} L\text{pr}_{23}^*K_i')\] est parfait, et son image inverse sur \(X \times_S X\) est égale à \[R\text{pr}_{13, *}(L\text{pr}_{12}^*K \otimes_{\mathcal{O}_{X \times_S Y \times_S X}}^\mathbf{L} L\text{pr}_{23}^*K') \cong \Delta_{X/S, *}\mathcal{O}_X\] Voir la démonstration du lemme 0G0K. D’autre part, puisque \(X_i \to S\) est lisse et séparé, l’objet \[\Delta_{i, *}\mathcal{O}_{X_i}\] de \(D(\mathcal{O}_{X_i \times_{S_i} X_i})\) est lui aussi parfait (d’après Compléments sur les morphismes, lemmes 0FDP et 0B6G), et son image inverse sur \(X \times_S X\) est égale à \[\Delta_{X/S, *}\mathcal{O}_X\] Voir la démonstration du lemme 0G0K. Ainsi, d’après Catégories dérivées des schémas, lemme 09RF, quitte à augmenter \(i\), on peut supposer que \[\Delta_{i, *}\mathcal{O}_{X_i} \cong R\text{pr}_{13, *}(L\text{pr}_{12}^*K_i \otimes_{\mathcal{O}_{X_i \times_{S_i} Y_i \times_{S_i} X_i}}^\mathbf{L} L\text{pr}_{23}^*K_i')\] comme voulu. Le même raisonnement s’applique après interversion des rôles de \(K\) et \(K'\).

Absence de déformations

Le titre de cette section renvoie au lemme 0G0R.

Lemme

Soit \((R, \mathfrak m, \kappa) \to (A, \mathfrak n, \lambda)\) un homomorphisme local plat d’anneaux locaux essentiellement de présentation finie. Soit \(\overline{f}_1, \ldots, \overline{f}_r \in \mathfrak n/\mathfrak m A \subset A/\mathfrak m A\) une suite régulière. Soit \(K \in D(A)\). Supposons que

1. \(K\) soit parfait,

2. \(K \otimes_A^\mathbf{L} A/\mathfrak m A\) soit isomorphe dans \(D(A/\mathfrak m A)\) au complexe de Koszul associé à \(\overline{f}_1, \ldots, \overline{f}_r\).

Alors \(K\) est isomorphe dans \(D(A)\) à un complexe de Koszul associé à une suite régulière \(f_1, \ldots, f_r \in A\) qui relève les éléments donnés \(\overline{f}_1, \ldots, \overline{f}_r\). De plus, \(A/(f_1, \ldots, f_r)\) est plat sur \(R\).

Démonstration

Utilisons des complexes de chaînes dans la démonstration de ce lemme. Le complexe de Koszul \(K_\bullet(\overline{f}_1, \ldots, \overline{f}_r)\) est défini dans Compléments d’algèbre, définition 0623. D’après Compléments d’algèbre, lemme 0BCB, on peut représenter \(K\) par un complexe \[K_\bullet : A \to A^{\oplus r} \to \ldots \to A^{\oplus r} \to A\] dont le produit tensoriel avec \(A/\mathfrak mA\) est égal (!) à \(K_\bullet(\overline{f}_1, \ldots, \overline{f}_r)\). Notons \(f_1, \ldots, f_r \in A\) les composantes de la flèche \(A^{\oplus r} \to A\). Ces \(f_i\) relèvent les \(\overline{f}_i\). D’après Algèbre, lemme 0470 \(f_1, \ldots, f_r\) forment une suite régulière dans \(A\) et \(A/(f_1, \ldots, f_r)\) est plat sur \(R\). Posons \(J = (f_1, \ldots, f_r) \subset A\). Considérons le diagramme \[\xymatrix{ K_\bullet \ar[rd] \ar@{..>}[rr]_{\varphi_\bullet} & & K_\bullet(f_1, \ldots, f_r) \ar[ld] \\ & A/J }\] Comme \(f_1, \ldots, f_r\) forment une suite régulière, la flèche sud-ouest est un quasi-isomorphisme (voir Compléments d’algèbre, lemme 062F). On peut donc trouver la flèche pointillée qui fait commuter le diagramme, par exemple grâce à Algèbre, lemme 00LS. En réduisant modulo \(\mathfrak m\), on obtient un diagramme commutatif \[\xymatrix{ K_\bullet(\overline{f}_1, \ldots, \overline{f}_r) \ar[rd] \ar[rr]_{\overline{\varphi}_\bullet} & & K_\bullet(\overline{f}_1, \ldots, \overline{f}_r) \ar[ld] \\ & (A/\mathfrak m A)/(\overline{f}_1, \ldots, \overline{f}_r) }\] par notre choix de \(K_\bullet\). Ainsi, \(\overline{\varphi}\) est un isomorphisme dans la catégorie dérivée \(D(A/\mathfrak m A)\). Il s’ensuit que \(\overline{\varphi} \otimes_{A/\mathfrak m A}^\mathbf{L} \lambda\) est un isomorphisme. Puisque \(\overline{f}_i \in \mathfrak n / \mathfrak m A\), on voit que \[\text{Tor}_i^{A/\mathfrak m A}( K_\bullet(\overline{f}_1, \ldots, \overline{f}_r), \lambda) = K_i(\overline{f}_1, \ldots, \overline{f}_r) \otimes_{A/\mathfrak m A} \lambda\] Par conséquent, \(\varphi_i \bmod \mathfrak n\) est inversible. Comme \(A\) est local, cela signifie que \(\varphi_i\) est un isomorphisme, ce qui achève la démonstration.

Lemme

Soit \(R \to S\) un morphisme plat de type fini d’anneaux noethériens. Soit \(\mathfrak q \subset S\) un idéal premier au-dessus de \(\mathfrak p \subset R\). Soit \(K \in D(S)\) parfait. Soit \(f_1, \ldots, f_r \in \mathfrak q S_\mathfrak q\) une suite régulière telle que \(S_\mathfrak q/(f_1, \ldots, f_r)\) soit plat sur \(R\) et telle que \(K \otimes_S^\mathbf{L} S_\mathfrak q\) soit isomorphe au complexe de Koszul associé à \(f_1, \ldots, f_r\). Alors il existe \(g \in S\), \(g \not \in \mathfrak q\), tel que

1. \(f_1, \ldots, f_r\) soient les images de \(f'_1, \ldots, f'_r \in S_g\),

2. \(f'_1, \ldots, f'_r\) forment une suite régulière dans \(S_g\),

3. \(S_g/(f'_1, \ldots, f'_r)\) soit plat sur \(R\),

4. \(K \otimes_S^\mathbf{L} S_g\) soit isomorphe au complexe de Koszul associé à \(f_1, \ldots, f_r\).

Démonstration

La définition des localisés permet de trouver \(g \in S\), \(g \not \in \mathfrak q\), qui vérifie (1). Après avoir remplacé \(g\) par \(gg'\) pour un certain \(g' \in S\), \(g' \not \in \mathfrak q\), on peut supposer que (2) est vérifiée ; voir Algèbre, lemme 061L. D’après Algèbre, théorème 00RC, \(S_g/(f'_1, \ldots, f'_r)\) est plat sur \(R\) dans un voisinage ouvert de \(\mathfrak q\). Après avoir de nouveau remplacé \(g\) par \(gg'\) pour un certain \(g' \in S\), \(g' \not \in \mathfrak q\), on peut donc supposer que (3) est aussi vérifiée. Enfin, on obtient (4) après un remplacement supplémentaire grâce à Compléments d’algèbre, lemme 0BC7.

Pour une généralisation du lemme suivant, voir Compléments sur les morphismes d’espaces, lemme 05XD.

Lemme

Soit \(S\) un schéma noethérien. Soit \(s \in S\). Soit \(p : X \to Y\) un morphisme de schémas sur \(S\). Supposons que

1. \(Y \to S\) et \(X \to S\) soient propres,

2. \(X\) soit plat sur \(S\),

3. \(X_s \to Y_s\) soit un isomorphisme.

Alors il existe un voisinage ouvert \(U \subset S\) de \(s\) tel que le changement de base \(X_U \to Y_U\) soit un isomorphisme.

Démonstration

Le morphisme \(p\) est propre d’après Morphismes, lemme 01W5. D’après Cohomologie des schémas, lemme 02OH il existe un ouvert \(Y_s \subset V \subset Y\) tel que \(p|_{p^{-1}(V)} : p^{-1}(V) \to V\) soit fini. D’après Compléments sur les morphismes, théorème 039B il existe un ouvert \(X_s \subset U \subset X\) tel que \(p|_U : U \to Y\) soit plat. Après avoir retranché les images de \(X \setminus U\) et de \(Y \setminus V\) (qui sont des parties fermées ne contenant pas \(s\)), on peut supposer que \(p\) est plat et fini. Alors \(p\) est ouvert (Morphismes, lemme 01UA) et \(Y_s \subset p(X) \subset Y\) ; après avoir rétréci \(S\), on peut donc supposer que \(p\) est surjectif. Comme \(p_s : X_s \to Y_s\) est un isomorphisme, l’application \[p^\sharp : \mathcal{O}_Y \longrightarrow p_*\mathcal{O}_X\] de \(\mathcal{O}_Y\)-modules cohérents (\(p\) est fini) devient un isomorphisme après image inverse par \(i : Y_s \to Y\) (par exemple d’après Cohomologie des schémas, lemme 02KG). Le lemme de Nakayama implique alors que \(\mathcal{O}_{Y, y} \to (p_*\mathcal{O}_X)_y\) est surjective pour tout \(y \in Y_s\). Il existe donc un ouvert \(Y_s \subset V \subset Y\) tel que \(p^\sharp|_V\) soit surjective (Modules, lemme 01B8). Après avoir de nouveau rétréci \(S\), on peut donc supposer que \(p^\sharp\) est surjective, ce qui signifie que \(p\) est une immersion fermée (puisque \(p\) est déjà fini). Ainsi, \(p\) est une immersion fermée plate et surjective de schémas noethériens, donc un isomorphisme ; voir Morphismes, section 04PV.

Lemme

Soit \(k\) un corps. Soit \(S\) un schéma de type fini sur \(k\) muni d’un point \(k\)-rationnel \(s\). Soit \(Y \to S\) un morphisme lisse et propre. Soit \(X = Y_s \times S \to S\) la famille constante de fibre \(Y_s\). Soit \(K\) le noyau de Fourier-Mukai d’une équivalence relative de \(X\) vers \(Y\) au-dessus de \(S\). Supposons que l’on ait \[L(Y_s \times_S Y_s \to X \times_S Y)^*K \cong \Delta_{Y_s/k, *} \mathcal{O}_{Y_s}\] dans \(D(\mathcal{O}_{Y_s \times Y_s})\). Alors il existe un voisinage ouvert \(s \in U \subset S\) tel que \(Y|_U\) soit isomorphe à \(Y_s \times U\) sur \(U\).

Démonstration

Notons \(i : Y_s \times Y_s = X_s \times Y_s \to X \times_S Y\) l’immersion fermée naturelle. (Désormais, nous noterons \(Y_s\), et non \(X_s\), la fibre de \(X\) au-dessus de \(s\).) Soit \(z \in Y_s \times Y_s = (X \times_S Y)_s \subset X \times_S Y\) un point fermé. Comme indiqué, nous considérons \(z\) à la fois comme un point fermé de \(Y_s \times Y_s\) et comme un point fermé de \(X \times_S Y\).

Cas I : \(z \not \in \Delta_{Y_s/k}(Y_s)\). Notons \(\mathcal{O}_z\) le \(\mathcal{O}_{Y_s \times Y_s}\)-module cohérent supporté en \(z\) dont la fibre est \(\kappa(z)\). Alors \(i_*\mathcal{O}_z\) est le \(\mathcal{O}_{X \times_S Y}\)-module cohérent supporté en \(z\) dont la fibre est \(\kappa(z)\). Notre hypothèse signifie que \[K \otimes_{\mathcal{O}_{X \times_S Y}}^\mathbf{L} i_*\mathcal{O}_z = Li^*K \otimes_{\mathcal{O}_{Y_s \times Y_s}}^\mathbf{L} \mathcal{O}_z = 0\] D’après le lemme 0G03, il existe donc un voisinage ouvert \(U(z) \subset X \times_S Y\) de \(z\) tel que \(K|_{U(z)} = 0\). Dans ce cas, on pose \(Z(z) = \emptyset\) comme sous-schéma fermé de \(U(z)\).

Cas II : \(z \in \Delta_{Y_s/k}(Y_s)\). Comme \(Y_s\) est lisse sur \(k\), on sait que \(\Delta_{Y_s/k} : Y_s \to Y_s \times Y_s\) est une immersion régulière ; voir Compléments sur les morphismes, lemme 0FDP. Choisissons une suite régulière \(\overline{f}_1, \ldots, \overline{f}_r \in \mathcal{O}_{Y_s \times Y_s, z}\) engendrant l’idéal de \(\Delta_{Y_s/k}(Y_s)\). Comme une suite régulière est régulière au sens de Koszul (Compléments d’algèbre, lemme 062F), notre hypothèse signifie que \[K_z \otimes_{\mathcal{O}_{X \times_S Y, z}}^\mathbf{L} \mathcal{O}_{Y_s \times Y_s, z} \in D(\mathcal{O}_{Y_s \times Y_s, z})\] est représenté par le complexe de Koszul associé à \(\overline{f}_1, \ldots, \overline{f}_r\) sur \(\mathcal{O}_{Y_s \times Y_s, z}\). En appliquant le lemme 0G0N à \(\mathcal{O}_{S, s} \to \mathcal{O}_{X \times_S Y, z}\), on conclut que \(K_z \in D(\mathcal{O}_{X \times_S Y, z})\) est représenté par le complexe de Koszul associé à une suite régulière \(f_1, \ldots, f_r \in \mathcal{O}_{X \times_S Y, z}\) qui relève la suite régulière \(\overline{f}_1, \ldots, \overline{f}_r\) et que, de plus, \(\mathcal{O}_{X \times_S Y}/(f_1, \ldots, f_r)\) est plat sur \(\mathcal{O}_{S, s}\). Par des arguments de passage à la limite (lemme 0G0P), on conclut qu’il existe un voisinage ouvert affine \(U(z) \subset X \times_S Y\) de \(z\) et un sous-schéma fermé \(Z(z) \subset U(z)\) tels que

1. \(Z(z) \to U(z)\) soit une immersion fermée régulière,

2. \(K|_{U(z)}\) soit quasi-isomorphe à \(\mathcal{O}_{Z(z)}\),

3. \(Z(z) \to S\) soit plat,

4. \(Z(z)_s = \Delta_{Y_s/k}(Y_s) \cap U(z)_s\) comme sous-schémas fermés de \(U(z)_s\).

D’après la propriété (2), pour \(z, z' \in Y_s \times Y_s\), on a \(Z(z) \cap U(z') = Z(z') \cap U(z)\) en tant que sous-schémas fermés. On obtient donc un voisinage ouvert \[U = \bigcup\nolimits_{z \in Y_s \times Y_s\text{ fermé}} U(z)\] de \(Y_s \times Y_s\) dans \(X \times_S Y\) et un sous-schéma fermé \(Z \subset U\) tels que (1) \(Z \to U\) soit une immersion fermée régulière, (2) \(Z \to S\) soit plat et (3) \(Z_s = \Delta_{Y_s/k}(Y_s)\). Comme \(X \times_S Y \to S\) est propre, après avoir remplacé \(S\) par un voisinage ouvert de \(s\), on peut supposer que \(U = X \times_S Y\). Comme les projections \(Z_s \to Y_s\) et \(Z_s \to X_s\) sont des isomorphismes, on conclut qu’après avoir rétréci \(S\), on peut supposer que \(Z \to Y\) et \(Z \to X\) sont des isomorphismes ; voir le lemme 0G0Q. Ceci achève la démonstration.

Lemme

Soit \(k\) un corps algébriquement clos. Soit \(X\) un schéma lisse et propre sur \(k\). Soit \(f : Y \to S\) un morphisme lisse et propre, où \(S\) est de type fini sur \(k\). Soit \(K\) le noyau de Fourier-Mukai d’une équivalence relative de \(X \times S\) vers \(Y\) au-dessus de \(S\). Alors \(S\) peut être recouvert par des sous-schémas ouverts \(U\) tels qu’il existe un \(U\)-isomorphisme \(f^{-1}(U) \cong Y_0 \times U\) pour un certain \(Y_0\) propre et lisse sur \(k\).

Démonstration

Choisissons un point fermé \(s \in S\). Comme \(k\) est algébriquement clos, c’est un point \(k\)-rationnel. Posons \(Y_0 = Y_s\). La restriction \(K_0\) de \(K\) à \(X \times Y_0\) est le noyau de Fourier-Mukai d’une équivalence relative de \(X\) vers \(Y_0\) au-dessus de \(\Spec(k)\) d’après le lemme 0G0K. Soit \(K'_0\), dans \(D_{perf}(\mathcal{O}_{Y_0 \times X})\), l’objet dont l’existence est postulée dans la définition 0G0I. Alors \(K'_0\) est le noyau de Fourier-Mukai d’une équivalence relative de \(Y_0\) vers \(X\) au-dessus de \(\Spec(k)\), par la symétrie inhérente à la définition 0G0I. Ainsi, d’après le lemme 0G0K, on voit que l’image inverse \[M = (Y_0 \times X \times S \to Y_0 \times X)^*K'_0\] sur \((Y_0 \times S) \times_S (X \times S) = Y_0 \times X \times S\) est le noyau de Fourier-Mukai d’une équivalence relative de \(Y_0 \times S\) vers \(X \times S\) au-dessus de \(S\). Considérons maintenant le noyau \[K_{new} = R\text{pr}_{13, *}(L\text{pr}_{12}^*M \otimes_{\mathcal{O}_{(Y_0 \times S) \times_S (X \times S) \times_S Y}}^\mathbf{L} L\text{pr}_{23}^*K)\] sur \((Y_0 \times S) \times_S Y\). C’est le noyau de Fourier-Mukai d’une équivalence relative de \(Y_0 \times S\) vers \(Y\) au-dessus de \(S\), car il est la composée de deux flèches inversibles dans la catégorie construite à la section 0G0F. De plus, cette composition commute au changement de base (lemme 0G0G). On voit donc que l’image inverse de \(K_{new}\) sur \(((Y_0 \times S) \times_S Y)_s = Y_0 \times Y_0\) est égale à la composée de \(K_0\) et de \(K'_0\), et donc à l’identité dans cette catégorie. Autrement dit, on a \[L(Y_0 \times Y_0 \to (Y_0 \times S) \times_S Y)^*K_{new} \cong \Delta_{Y_0/k, *}\mathcal{O}_{Y_0}\] D’après le lemme 0G0R, on conclut donc que \(Y \to S\) est isomorphe à \(Y_0 \times S\) dans un voisinage ouvert de \(s\). Ceci achève la démonstration.

Dénombrabilité

Dans cette section, nous démontrons quelques lemmes élémentaires sur la dénombrabilité de certains ensembles. Soit \(\mathcal{C}\) une catégorie. Dans cette section, nous dirons que \(\mathcal{C}\) est dénombrable si

1. pour tous \(X, Y \in \Ob(\mathcal{C})\), l’ensemble \(\Mor_\mathcal{C}(X, Y)\) est dénombrable, et

2. l’ensemble des classes d’isomorphisme d’objets de \(\mathcal{C}\) est dénombrable.

Lemme

Soit \(R\) un anneau noethérien dénombrable. Alors la catégorie des schémas de type fini sur \(R\) est dénombrable.

Démonstration

Omis.

Lemme

Soit \(\mathcal{A}\) une catégorie abélienne dénombrable. Alors \(D^b(\mathcal{A})\) est dénombrable.

Démonstration

Il suffit de démontrer l’assertion pour \(D(\mathcal{A})\), puisque les autres en sont des sous-catégories pleines. Comme tout objet de \(D(\mathcal{A})\) est un complexe d’objets de \(\mathcal{A}\), il est immédiat que l’ensemble des classes d’isomorphisme d’objets de \(D^b(\mathcal{A})\) est dénombrable. De plus, pour des complexes bornés \(A^\bullet\) et \(B^\bullet\) de \(\mathcal{A}\), il est clair que \(\Hom_{K^b(\mathcal{A})}(A^\bullet, B^\bullet)\) est dénombrable. On a \[\Hom_{D^b(\mathcal{A})}(A^\bullet, B^\bullet) = \colim_{s : (A')^\bullet \to A^\bullet \text{ qis et }(A')^\bullet\text{ borné}} \Hom_{K^b(\mathcal{A})}((A')^\bullet, B^\bullet)\] d’après Catégories dérivées, lemme 05RW. Il s’agit donc d’un ensemble dénombrable, en tant que colimite dénombrable d’ensembles dénombrables.

Lemme

Soit \(X\) un schéma de type fini sur un anneau noethérien dénombrable. Alors les catégories \(D_{perf}(\mathcal{O}_X)\) et \(D^b_{\textit{Coh}}(\mathcal{O}_X)\) sont dénombrables.

Démonstration

Observons que \(X\) est noethérien d’après Morphismes, lemme 01T6. Ainsi, \(D_{perf}(\mathcal{O}_X)\) est une sous-catégorie pleine de \(D^b_{\textit{Coh}}(\mathcal{O}_X)\) d’après Catégories dérivées des schémas, lemme 0FXU. Il suffit donc de démontrer le résultat pour \(D^b_{\textit{Coh}}(\mathcal{O}_X)\). Rappelons que \(D^b_{\textit{Coh}}(\mathcal{O}_X) = D^b(\textit{Coh}(\mathcal{O}_X))\) d’après Catégories dérivées des schémas, proposition 0FDB. Par le lemme 0G0V, il suffit de démontrer que \(\textit{Coh}(\mathcal{O}_X)\) est dénombrable. Nous omettons cette vérification.

Lemme

Soit \(K\) un corps algébriquement clos. Soit \(S\) un schéma de type fini sur \(K\). Soient \(X \to S\) et \(Y \to S\) des morphismes de type fini. Il existe un ensemble dénombrable \(I\) et, pour tout \(i \in I\), un couple \((S_i \to S, h_i)\) possédant les propriétés suivantes :

1. \(S_i \to S\) est un morphisme de type fini, et l’on pose \(X_i = X \times_S S_i\) et \(Y_i = Y \times_S S_i\) ;

2. \(h_i : X_i \to Y_i\) est un isomorphisme sur \(S_i\) ;

3. pour tout point fermé \(s \in S(K)\), si \(X_s \cong Y_s\) sur \(K = \kappa(s)\), alors \(s\) appartient à l’image de \(S_i \to S\) pour un certain \(i\).

Démonstration

Le corps \(K\) est la réunion filtrante de ses sous-corps dénombrables. Dualement, \(\Spec(K)\) est la limite cofiltrante des spectres des sous-corps dénombrables de \(K\). Le lemme 01ZM de Limites assure donc que l’on peut trouver un sous-corps dénombrable \(k\) et des morphismes \(X_0 \to S_0\) et \(Y_0 \to S_0\) de schémas de type fini sur \(k\) tels que \(X \to S\) et \(Y \to S\) soient leurs changements de base.

Par le lemme 0G0U, il existe un ensemble dénombrable \(I\) et des couples \((S_{0, i} \to S_0, h_{0, i})\) tels que

1. \(S_{0, i} \to S_0\) est un morphisme de type fini, et l’on pose \(X_{0, i} = X_0 \times_{S_0} S_{0, i}\) et \(Y_{0, i} = Y_0 \times_{S_0} S_{0, i}\) ;

2. \(h_{0, i} : X_{0, i} \to Y_{0, i}\) est un isomorphisme sur \(S_{0, i}\).

de façon que tout couple \((T \to S_0, h_T)\), avec \(T \to S_0\) de type fini et \(h_T : X_0 \times_{S_0} T \to Y_0 \times_{S_0} T\) un isomorphisme, soit isomorphe à l’un d’eux. Notons \((S_i \to S, h_i)\) le changement de base de \((S_{0, i} \to S_0, h_{0, i})\) par \(\Spec(K) \to \Spec(k)\). Nous affirmons que cela convient.

Soit \(s \in S(K)\) et soit \(h_s : X_s \to Y_s\) un isomorphisme sur \(K = \kappa(s)\). On peut écrire \(K\) comme réunion filtrante de ses \(k\)-sous-algèbres de type fini. Par conséquent, d’après Limites, proposition 01ZC, et le lemme 01ZM, on peut trouver une telle \(k\)-sous-algèbre de type fini \(K \supset A \supset k\) telle que

1. il existe un diagramme commutatif \[\xymatrix{ \Spec(K) \ar[d]_s \ar[r] & \Spec(A) \ar[d]^{s'} \\ S \ar[r] & S_0}\] pour un certain morphisme \(s' : \Spec(A) \to S_0\) sur \(k\) ;

2. \(h_s\) est le changement de base d’un isomorphisme \(h_{s'} : X_0 \times_{S_0, s'} \Spec(A) \to X_0 \times_{S_0, s'} \Spec(A)\) sur \(A\).

Alors \((s' : \Spec(A) \to S_0, h_{s'})\) est bien sûr isomorphe au couple \((S_{0, i} \to S_0, h_{0, i})\) pour un certain \(i \in I\). Ceci achève la démonstration, car le diagramme commutatif de (1) montre que \(s\) appartient à l’image du changement de base de \(s'\) à \(\Spec(K)\).

Lemme

Soit \(K\) un corps algébriquement clos. Il existe un ensemble dénombrable \(I\) et, pour tout \(i \in I\), un système \((S_i/K, X_i \to S_i, Y_i \to S_i, M_i)\) possédant les propriétés suivantes :

1. \(S_i\) est un schéma de type fini sur \(K\) ;

2. \(X_i \to S_i\) et \(Y_i \to S_i\) sont des morphismes propres et lisses ;

3. \(M_i \in D_{perf}(\mathcal{O}_{X_i \times_{S_i} Y_i})\) est le noyau de Fourier-Mukai d’une équivalence relative de \(X_i\) vers \(Y_i\) sur \(S_i\), et

4. pour tous schémas lisses et propres \(X\) et \(Y\) sur \(K\) tels qu’il existe une équivalence exacte et \(K\)-linéaire \(D_{perf}(\mathcal{O}_X) \to D_{perf}(\mathcal{O}_Y)\) il existe \(i \in I\) et \(s \in S_i(K)\) tels que \(X \cong (X_i)_s\) et \(Y \cong (Y_i)_s\).

Démonstration

Choisissons un sous-corps dénombrable \(k \subset K\), par exemple le sous-corps premier. D’après les lemmes 0G0U et 0G0W, il existe un ensemble dénombrable de classes d’isomorphisme de systèmes sur \(k\) satisfaisant aux assertions (1), (2) et (3) du lemme. Nous pouvons donc choisir un ensemble dénombrable \(I\) et, pour tout \(i \in I\), un tel système \[(S_{0, i}/k, X_{0, i} \to S_{0, i}, Y_{0, i} \to S_{0, i}, M_{0, i})\] sur \(k\) tel que chaque classe d’isomorphisme soit représentée au moins une fois. Notons \((S_i/K, X_i \to S_i, Y_i \to S_i, M_i)\) le changement de base à \(K\) du système affiché. Ce système possède les propriétés (1), (2) et (3), voir le lemme 0G0K. Démontrons la propriété (4).

Considérons des schémas lisses et propres \(X\) et \(Y\) sur \(K\) tels qu’il existe une équivalence exacte et \(K\)-linéaire \(F : D_{perf}(\mathcal{O}_X) \to D_{perf}(\mathcal{O}_Y)\). Par la proposition 0G0D, nous pouvons supposer qu’il existe un objet \(M \in D_{perf}(\mathcal{O}_{X \times Y})\) tel que \(F = \Phi_M\) soit le foncteur de Fourier-Mukai correspondant. Par le lemme 0FYY, il existe un objet \(M'\) dans \(D_{perf}(\mathcal{O}_{Y \times X})\) tel que \(\Phi_{M'}\) soit l’adjoint à droite de \(\Phi_M\). Comme \(\Phi_M\) est une équivalence, cela signifie que \(\Phi_{M'}\) est le quasi-inverse de \(\Phi_M\). Par le lemme 0FYY, les foncteurs de Fourier-Mukai définis par les objets \[A = R\text{pr}_{13, *}( L\text{pr}_{12}^*M \otimes_{\mathcal{O}_{X \times Y \times X}}^\mathbf{L} L\text{pr}_{23}^*M')\] dans \(D_{perf}(\mathcal{O}_{X \times X})\) et \[B = R\text{pr}_{13, *}( L\text{pr}_{12}^*M' \otimes_{\mathcal{O}_{Y \times X \times Y}}^\mathbf{L} L\text{pr}_{23}^*M)\] dans \(D_{perf}(\mathcal{O}_{Y \times Y})\) sont isomorphes à \(\text{id} : D_{perf}(\mathcal{O}_X) \to D_{perf}(\mathcal{O}_X)\) et à \(\text{id} : D_{perf}(\mathcal{O}_Y) \to D_{perf}(\mathcal{O}_Y)\) respectivement. Par conséquent, \(A \cong \Delta_{X/K, *}\mathcal{O}_X\) et \(B \cong \Delta_{Y/K, *}\mathcal{O}_Y\) d’après le lemme 0G0E. Ainsi, \(M\) est le noyau de Fourier-Mukai d’une équivalence relative de \(X\) vers \(Y\) sur \(K\), par définition.

On peut écrire \(K\) comme colimite filtrante de ses \(k\)-sous-algèbres de type fini \(A \subset K\). D’après Limites, lemme 01ZM, on peut trouver \(X_0, Y_0\) de type fini sur \(A\) dont les changements de base à \(K\) donnent \(X\) et \(Y\). D’après Limites, lemmes 081F et 0C0C, quitte à agrandir \(A\), on peut supposer \(X_0\) et \(Y_0\) lisses et propres sur \(A\). Par le lemme 0G0L, quitte à agrandir \(A\), on peut supposer que \(M\) est l’image inverse d’un objet \(M_0 \in D_{perf}(\mathcal{O}_{X_0 \times_{\Spec(A)} Y_0})\) qui est le noyau de Fourier-Mukai d’une équivalence relative de \(X_0\) vers \(Y_0\) sur \(\Spec(A)\). Ainsi, le système \((S_0/k, X_0 \to S_0, Y_0 \to S_0, M_0)\) est isomorphe à \((S_{0, i}/k, X_{0, i} \to S_{0, i}, Y_{0, i} \to S_{0, i}, M_{0, i})\) pour un certain \(i \in I\). Comme \(S_i = S_{0, i} \times_{\Spec(k)} \Spec(K)\), on en déduit que (4) est vraie pour \(s : \Spec(K) \to S_i\) induit par le morphisme \(\Spec(K) \to \Spec(A) \cong S_{0, i}\) provenant de \(A \subset K\).

Dénombrabilité des variétés équivalentes au sens dérivé

Dans cette section, nous démontrons un résultat d’Anel et Toën, voir [AT].

Définition

Soit \(k\) un corps. Soient \(X\) et \(Y\) des schémas projectifs lisses sur \(k\). On dit que \(X\) et \(Y\) sont équivalents au sens dérivé s’il existe une équivalence \(k\)-linéaire exacte \(D_{perf}(\mathcal{O}_X) \to D_{perf}(\mathcal{O}_Y)\).

Voici le résultat.

Théorème

Soit \(K\) un corps algébriquement clos. Soit \(\mathbf{X}\) un schéma lisse et propre sur \(K\). Il existe au plus un nombre dénombrable de classes d’isomorphisme de schémas lisses et propres \(\mathbf{Y}\) sur \(K\) qui sont équivalents à \(\mathbf{X}\) au sens dérivé.

Démonstration

Choisissons un ensemble dénombrable \(I\) et, pour \(i \in I\), des systèmes \((S_i/K, X_i \to S_i, Y_i \to S_i, M_i)\) satisfaisant aux propriétés (1), (2), (3) et (4) du lemme 0G0Y. Fixons \(i \in I\) et posons \(S = S_i\), \(X = X_i\), \(Y = Y_i\) et \(M = M_i\). Il suffit manifestement de montrer que l’ensemble des classes d’isomorphisme des fibres \(Y_s\) pour \(s \in S(K)\) telles que \(X_s \cong \mathbf{X}\) est dénombrable. C’est ce que nous démontrons dans le paragraphe suivant.

Soit \(S\) un schéma de type fini sur \(K\), et soient \(X \to S\) et \(Y \to S\) des morphismes propres et lisses ; soit \(M \in D_{perf}(\mathcal{O}_{X \times_S Y})\) le noyau de Fourier-Mukai d’une équivalence relative de \(X\) vers \(Y\) sur \(S\). Nous allons montrer que l’ensemble des classes d’isomorphisme des fibres \(Y_s\) pour \(s \in S(K)\) telles que \(X_s \cong \mathbf{X}\) est dénombrable. Par le lemme 0G0X, appliqué aux familles \(\mathbf{X} \times S \to S\) et \(X \to S\), il existe un ensemble dénombrable \(I\) et, pour \(i \in I\), un couple \((S_i \to S, h_i)\) possédant les propriétés suivantes :

1. \(S_i \to S\) est un morphisme de type fini, et l’on pose \(X_i = X \times_S S_i\) ;

2. \(h_i : \mathbf{X} \times S_i \to X_i\) est un isomorphisme sur \(S_i\) ;

3. pour tout point fermé \(s \in S(K)\), si \(\mathbf{X} \cong X_s\) sur \(K = \kappa(s)\), alors \(s\) appartient à l’image de \(S_i \to S\) pour un certain \(i\).

Posons \(Y_i = Y \times_S S_i\). Notons \(M_i \in D_{perf}(\mathcal{O}_{X_i \times_{S_i} Y_i})\) l’image inverse de \(M\). Par le lemme 0G0K, \(M_i\) est le noyau de Fourier-Mukai d’une équivalence relative de \(X_i\) vers \(Y_i\) sur \(S_i\). Comme \(I\) est dénombrable, la propriété (3) ramène la démonstration à prouver que l’ensemble des classes d’isomorphisme des fibres \(Y_{i, s}\) pour \(s \in S_i(K)\) est dénombrable. En fait, cet ensemble est fini d’après le lemme 0G0S, ce qui achève la démonstration.