多様体の導来圏

序論

本章では，Derived Categories of Schemes, 08CV 節で始めた議論を続ける．Fourier–Mukai 変換を扱うが，これは Mukai により [Mukai] で初めて研究された．また，導来同値に関する Orlov の定理（[Orlov-K3]）を証明する．さらに，Anel と Toën が [AT] で証明した導来同値類の可算性についても論じる．

この内容へのよい入門として，Daniel Huybrechts の著書 [Huybrechts] がある．この話題の普及に寄与した論文として，ほかに次のものがある．

Bondal と Kapranov の論文（[Bondal-Kapranov] を参照）
Bondal と Orlov の論文（[Bondal-Orlov] を参照）
Bondal と Van den Bergh の論文（[BvdB] を参照）
Beilinson の論文（[Beilinson] および [Beilinson-derived] を参照）
Orlov の論文（[Orlov-AV] を参照）
Orlov の論文（[Orlov-motives] を参照）
Rouquier の論文（[Rouquier-dimensions] を参照）
このほかにも，ここで挙げうるものは数多い．

規約と記法

体 \(k\) をとる．\(k\)-線形三角圏 \(\mathcal{T}\) とは， Derived Categories, 05QK 節の意味での三角圏であって，Differential Graded Algebra, 09MI 節の意味での \(k\)-線形構造を備え，移動関手 \([n] : \mathcal{T} \to \mathcal{T}\) が \(k\)-線形であるものをいう．ここでこれはすべての \(n \in \mathbf{Z}\) に対して成り立つものとする．

体 \(k\) をとる．圏 \(\text{Vect}_k\) で \(k\)-ベクトル空間の圏を表す． \(k\)-ベクトル空間 \(V\) に対し，その双対を \(V^\vee\) と書く．これは \(k\)-線形な \(V\) の双対であり，すなわち \(V^\vee = \Hom_k(V, k)\) である．

スキーム \(X\) をとる．\(D_{perf}(\mathcal{O}_X)\) で， \(D(\mathcal{O}_X)\) のうち完全複体からなる充満部分圏を表す（Cohomology, 08CL 節）．\(X\) が Noether スキームならば \(D_{perf}(\mathcal{O}_X) \subset D^b_{\textit{Coh}}(\mathcal{O}_X)\) である． Derived Categories of Schemes, 補題 0FXU を参照せよ．\(X\) が Noether かつ正則ならば \(D_{perf}(\mathcal{O}_X) = D^b_{\textit{Coh}}(\mathcal{O}_X)\) である． Derived Categories of Schemes, 補題 0FDC を参照せよ．

体 \(k\) をとり，\(X\) と \(Y\) を \(k\) 上のスキームとする．この状況では， \(X \times Y\) で \(X \times_{\Spec(k)} Y\) を表す．

スキーム \(S\) をとり，\(X\), \(Y\) を \(S\) 上のスキームとする． \(\mathcal{F}\) を \(\mathcal{O}_X\)-加群，\(\mathcal{G}\) を \(\mathcal{O}_Y\)-加群とする． \[\mathcal{F} \boxtimes \mathcal{G} = \text{pr}_1^*\mathcal{F} \otimes_{\mathcal{O}_{X \times_S Y}} \text{pr}_2^*\mathcal{G}\] によって，これを \(\mathcal{O}_{X \times_S Y}\)-加群として定める．また， \(K \in D(\mathcal{O}_X)\) および \(M \in D(\mathcal{O}_Y)\) に対しては， \[K \boxtimes M = L\text{pr}_1^*K \otimes_{\mathcal{O}_{X \times_S Y}}^\mathbf{L} L\text{pr}_2^*M\] によって，これを \(D(\mathcal{O}_{X \times_S Y})\) の対象として定める．したがってこの記法には曖昧さがありうるが，いずれの意味であるかは文脈から明らかであろう．

Serre 関手

本節の内容は [Bondal-Kapranov] による．

補題

体 \(k\) をとる．\(\mathcal{T}\) を \(k\)-線形三角圏とし， \(\dim_k \Hom_\mathcal{T}(X, Y) < \infty\) がすべての \(X, Y \in \Ob(\mathcal{T})\) に対して成り立つとする．このとき，次は同値である．

\(k\)-線形同値 \(S : \mathcal{T} \to \mathcal{T}\) と， \(k\)-線形同型 \(c_{X, Y} : \Hom_\mathcal{T}(X, Y) \to \Hom_\mathcal{T}(Y, S(X))^\vee\) であって \(X, Y \in \Ob(\mathcal{T})\) に関して関手的なものが存在する．

すべての \(X \in \Ob(\mathcal{T})\) に対して，関手 \(Y \mapsto \Hom_\mathcal{T}(X, Y)^\vee\) は表現可能であり，関手 \(Y \mapsto \Hom_\mathcal{T}(Y, X)^\vee\) は余表現可能である．

証明

\((S, c)\) と \(X \in \Ob(\mathcal{T})\) が与えられたとき，対象 \(S(X)\) は関手 \(Y \mapsto \Hom_\mathcal{T}(X, Y)^\vee\) を表現し，対象 \(S^{-1}(X)\) は関手 \(Y \mapsto \Hom_\mathcal{T}(Y, X)^\vee\) を余表現する．したがって (1) から (2) が従う．

(2) を仮定する．以下では Yoneda の補題を繰り返し用いる．Categories, 補題 001P を参照せよ．すべての \(X\) に対し， \(S(X)\) で関手 \(Y \mapsto \Hom_\mathcal{T}(X, Y)^\vee\) を表現する対象を表す． \(\varphi : X \to X'\) が与えられたとき，一意な射 \(S(\varphi) : S(X) \to S(X')\) を得る．これは対応する関手の変換 \(\Hom_\mathcal{T}(X, -)^\vee \to \Hom_\mathcal{T}(X', -)^\vee\) によって定まる．したがって \(S\) は関手であり，構成により同型 \(c_{X, Y}\) を得る．あとは \(S\) が同値であることを示せばよい．すべての \(X\) に対し，\(S'(X)\) で関手 \(Y \mapsto \Hom_\mathcal{T}(Y, X)^\vee\) を余表現する対象を表す．上と同様に \(S'\) が関手であることが分かる．\(S'\) は \(S\) の擬逆であると主張する．実際，二変数に関して関手的に \[\Hom_\mathcal{T}(X, Y) = \Hom_\mathcal{T}(Y, S(X))^\vee = \Hom_\mathcal{T}(S'(S(X)), Y)\] であるから，\(S' \circ S \cong \text{id}_\mathcal{T}\) を得る．同様に， \[\Hom_\mathcal{T}(Y, X) = \Hom_\mathcal{T}(S'(X), Y)^\vee = \Hom_\mathcal{T}(Y, S(S'(X)))\] であり，\(S \circ S' \cong \text{id}_\mathcal{T}\) を得る．

定義

体 \(k\) をとる．\(\mathcal{T}\) を \(k\)-線形三角圏とし， \(\dim_k \Hom_\mathcal{T}(X, Y) < \infty\) がすべての \(X, Y \in \Ob(\mathcal{T})\) に対して成り立つとする．補題 0FY4 の同値な条件が成り立つとき， Serre 関手が存在するという．この場合の Serre 関手とは， \(k\)-線形同値 \(S : \mathcal{T} \to \mathcal{T}\) であって， \(k\)-線形同型 \(c_{X, Y} : \Hom_\mathcal{T}(X, Y) \to \Hom_\mathcal{T}(Y, S(X))^\vee\) で \(X, Y \in \Ob(\mathcal{T})\) に関して関手的なものを備えたものをいう．

注意

\(X^0 \to X^1 \to X^2 \to X^0[1]\) と \(Y^0 \to Y^1 \to Y^2 \to Y^0[1]\) を三角圏の識別三角とする．\(p \in \mathbf{Z}\) に対し， \(p = 3n + i\)（\(i \in \{0, 1, 2\}\)）と書き，\(X^p = X^i[n]\) と定める． \(Y^q\) についても同様に定める．項が \[K^{p, q} = \Hom(X^{-p}, Y^q)\] である二重複体を考える．微分 \(d_1 : K^{p, q} \to K^{p + 1, q}\) は写像 \(X^{-p - 1} \to X^{-p}\)（第一の識別三角の対応する写像をシフトしたもの）により与えられ，微分 \(d_2 : K^{p, q} \to K^{p, q + 1}\) も同様に写像 \(Y^q \to Y^{q + 1}\) により与えられる．Derived Categories, 補題 0149 から，この二重複体の行と列は完全である．さらに，\(K^{p, q} = K^{p + 3, q - 3}\) であり，これらの等式は微分と両立する．最後に，公理 TR3 から次の性質も従う． \(\alpha \in K^{p, q}\) と \(\beta \in K^{p - 1, q + 1}\) が与えられ， \(d_2 \alpha = d_1 \beta\) ならば，\(\gamma \in K^{p - 2, q + 2}\) であって， \(d_1 \gamma = d_2 \beta\) が \(K^{p - 1, q + 2}\) において，かつ \(d_2 \gamma = d_1 \alpha\) が \(K^{p - 2, q + 3} = K^{p + 1, q}\) において成り立つものが存在する．（ヒント：\(p = q = 0\) の場合，これはちょうど TR3 の主張である．ほかの添字の場合はシフトにより証明せよ．）この性質をもつ二重複体を マットレスと呼ぶ（[Bondal-Kapranov] を参照）．

注意

体 \(k\) をとり，\(K^{\bullet, \bullet}\) を有限次元 \(k\)-ベクトル空間の二重複体であって，注意 0H8B の意味でマットレスでもあるものとする．双対二重複体 \(L^{p, q} = \Hom_k(K^{-q, -p}, k)\) もマットレスであると主張する．行と列の完全性および 3 周期性は直ちに分かる．残る条件を確かめるため，線形写像 \[\partial : K^{p, q} \oplus K^{p - 1, q + 1} \oplus K^{p - 2, q + 2} \longrightarrow K^{p, q + 1} \oplus K^{p - 1, q + 2} \oplus K^{p - 2, q + 3}\] で，\((\alpha, \beta, \gamma)\) を \((d_2 \alpha - d_1 \beta, d_2 \gamma - d_1 \alpha, d_1 \gamma - d_2 \beta)\) へ送るものを考える．ここでは注意 0H8B と同じ同一視を用いた．マットレスであるための条件は \[\Im(\partial) \cap \left( 0 \oplus K^{p - 1, q + 2} \oplus K^{p - 2, q + 3} \right) = \Im(\partial|_{0 \oplus 0 \oplus K^{p - 2, q + 2}})\] である．ベクトル空間または写像の双対を \({}^\wedge\) で表すと，双対をとることにより \[\Ker(\partial^\wedge) + \left(L^{-p, -q - 1} \oplus 0 \oplus 0 \right) = \Ker(\text{pr}_{L^{-p + 2, -q - 2}} \circ \partial^\wedge)\] を得る．ここで \(\text{pr}\) は射影を表す．これにより \(\Im(\partial^\wedge) \cap (L^{-p, -q} \oplus L^{-p + 1, -q - 1} \oplus 0)\) は \(\Im(\partial^\wedge|_{L^{-p, -q - 1} \oplus 0 \oplus 0})\) に等しい．これは \(L^{\bullet, \bullet}\) に対するマットレス条件にほかならない．詳細の一部は省略する．

補題

定義 0FY5 の状況において，Serre 関手が存在すれば，それは一意な同型を除いて一意であり，かつ三角圏の完全関手である．

証明

Serre 関手 \(S\) が与えられると，対象 \(S(X)\) は関手 \(Y \mapsto \Hom_\mathcal{T}(X, Y)^\vee\) を表現する．したがって，対象 \(S(X)\) と関手的同一視 \(\Hom_\mathcal{T}(X, Y)^\vee = \Hom_\mathcal{T}(Y, S(X))\) は，Yoneda の補題（Categories, 補題 001P）により一意な同型を除いて定まる．さらに，\(\varphi : X \to X'\) に対する射 \(S(\varphi) : S(X) \to S(X')\) は，対応する関手の変換 \(\Hom_\mathcal{T}(X, -)^\vee \to \Hom_\mathcal{T}(X', -)^\vee\) により一意に定まる．

\(X, Y\) を \(\mathcal{T}\) の対象とする．このとき， \[\begin{align*} \Hom(Y, S(X)[1])^\vee & = \Hom(Y[-1], S(X))^\vee \\ & = \Hom(X, Y[-1]) \\ & = \Hom(X[1], Y) \\ & = \Hom(Y, S(X[1]))^\vee \end{align*}\] を得る．Yoneda の補題により，左上から右下への同型を誘導する一意な同型 \(S(X[1]) \to S(X)[1]\) が存在する．上の各同型は \(X\) と \(Y\) の双方に関して関手的であるから，これは関手の同型 \(S \circ [1] \to [1] \circ S\) を定める．

\((A, B, C, f, g, h)\) を \(\mathcal{T}\) の識別三角とする．三角 \((S(A), S(B), S(C), S(f), S(g), S(h))\) が識別三角であることを示す必要がある．ここでは，上で構成した標準同型 \(S(A[1]) \to S(A)[1]\) を用いて，終域 \(S(A[1])\)（\(S(h)\) の終域）を \(S(A)[1]\) と同一視する．まず，任意の \(X\) が \(\mathcal{T}\) に属するとき，三角 \((S(A), S(B), S(C), S(f), S(g), S(h))\) が長完全系列 \[\ldots \to \Hom(X, S(A)) \to \Hom(X, S(B)) \to \Hom(X, S(C)) \to \Hom(X, S(A)[1]) \to \ldots\] を誘導することに注意する．これは有限次元 \(k\)-ベクトル空間の系列である．

実際，この系列は次の系列の \(k\)-線形双対である． \[\ldots \leftarrow \Hom(A, X) \leftarrow \Hom(B, X) \leftarrow \Hom(C, X) \leftarrow \Hom(A[1], X) \leftarrow \ldots\] この系列は Derived Categories, 補題 0149 により完全である．次に，識別三角 \((S(A), E, S(C), i, p, S(h))\) を選ぶ．これは公理 TR1 と TR2 により可能である．

次の図式を可換にする点線の射を構成したい． \[\xymatrix{ S(C)[-1] \ar[r]_-{S(h[-1])} & S(A) \ar[r]_{S(f)} & S(B) \ar[r]_{S(g)} & S(C) \ar[r]_{S(h)} & S(A)[1] \\ S(C)[-1] \ar[r]^-{S(h[-1])} \ar@{=}[u] & S(A) \ar[r]^i \ar@{=}[u] & E \ar[r]^p \ar@{..>}[u]^\varphi & S(C) \ar[r]^{S(h)} \ar@{=}[u] & S(A)[1] \ar@{=}[u] }\] 実際，\(\varphi\) が得られたとすれば，任意の \(X\) に対して，得られる写像 \(\Hom(X, E) \to \Hom(X, S(B))\) は \(k\)-ベクトル空間の同型であると主張する．実際，可換図式 \[\xymatrix{ \Hom(X, S(C)[-1]) \ar[r] & \Hom(X, S(A)) \ar[r] & \Hom(X, S(B)) \ar[r] & \Hom(X, S(C)) \ar[r] & \Hom(X, S(A)[1]) \\ \Hom(X, S(C)[-1]) \ar[r] \ar@{=}[u] & \Hom(X, S(A)) \ar[r] \ar@{=}[u] & \Hom(X, E) \ar[r] \ar[u]^\varphi & \Hom(X, S(C)) \ar[r] \ar@{=}[u] & \Hom(X, S(A)[1]) \ar@{=}[u] }\] を得る．その各行は完全であり（上を参照），五項補題（Homology, 補題 05QB）を適用すると中央の射が同型であることが分かる．Yoneda の補題により，\(\varphi\) が同型であると結論される．

\(\varphi\) を得るため，注意 0H8B のマットレスを識別三角 \(A \to B \to C \to A[1]\) と \(S(A) \to E \to S(C) \to S(A)[1]\) から構成する．注意 0H8C により，その \(k\)-線形双対もマットレスである． \(S\) が Serre 関手であることを用いると，上と同様に，この双対マットレスは二つの三角（第二のものが識別三角であることはまだ分かっていない） \(S(A) \to E \to S(C) \to S(A)[1]\) と \(S(A) \to S(B) \to S(C) \to S(A)[1]\) からなる二重複体であることが分かる．しかしマットレス条件は，写像 \(S(A) \to S(A)\) と \(S(C) \to S(C)\) が三角の射をなすこと，すなわち上の図式を可換にする \(\varphi\) が存在することをちょうど意味する．

Serre 関手の例

次の補題は標準的な例である．

補題

体 \(k\) をとる．\(X\) を \(k\) 上固有な Gorenstein スキームとする． Duality for Schemes, 補題 0FVV の複体 \(\omega_X^\bullet\) を考える．このとき，関手 \[S : D_{perf}(\mathcal{O}_X) \longrightarrow D_{perf}(\mathcal{O}_X),\quad K \longmapsto S(K) = \omega_X^\bullet \otimes_{\mathcal{O}_X}^\mathbf{L} K\] は Serre 関手である．

証明

Derived Categories of Schemes, 補題 0D0D により， \(\dim \Hom_X(K, L) < \infty\) が \(K, L \in D_{perf}(\mathcal{O}_X)\) に対して成り立つので，この主張は意味をもつ． \(X\) は Gorenstein であるから，双対化複体 \(\omega_X^\bullet\) は \(D(\mathcal{O}_X)\) の可逆対象である．Duality for Schemes, 補題 0BFQ を参照せよ．特に，\(X\) 上局所的に，複体 \(\omega_X^\bullet\) は非零なコホモロジー層を一つだけもち，それは可逆加群である．Cohomology, 補題 0FPG を参照せよ．したがって \(S(K)\) は \(D_{perf}(\mathcal{O}_X)\) に属する．一方， \(\omega_X^\bullet\) の可逆性から，\(S\) が \(D_{perf}(\mathcal{O}_X)\) の自己同値であることは明らかに従う．最後に，同型 \[c_{K, L} : \Hom_X(K, L) \longrightarrow \Hom_X(L, \omega_X^\bullet \otimes_{\mathcal{O}_X}^\mathbf{L} K)^\vee\] を \(K, L\) に関して二変数関手的に構成しなければならない．そのため，標準同型 \[\Hom_X(K, L) = H^0(X, L \otimes_{\mathcal{O}_X}^\mathbf{L} K^\vee)\] と \[\Hom_X(L, \omega_X^\bullet \otimes_{\mathcal{O}_X}^\mathbf{L} K) = H^0(X, \omega_X^\bullet \otimes_{\mathcal{O}_X}^\mathbf{L} K \otimes_{\mathcal{O}_X}^\mathbf{L} L^\vee)\] を用いる．これらは Cohomology, 補題 08DQ で与えられている． \((L \otimes_{\mathcal{O}_X}^\mathbf{L} K^\vee)^\vee = (K^\vee)^\vee \otimes_{\mathcal{O}_X}^\mathbf{L} L^\vee\) であり，さらに標準同型 \(K \to (K^\vee)^\vee\) が存在するから，Duality for Schemes, 補題 0FVY により，これらの \(k\)-ベクトル空間は標準的に双対である．これによって同型 \(c_{K, L}\) が得られる．これらの同型が関手的であることの証明は省略する．

連接加群の特徴づけ

本節は，ある意味で Derived Categories of Schemes, 0CSE 節および More on Morphisms, 0CSI 節における議論の続きである．

結果を述べる前に，いくらか記法を用意する必要がある．体 \(k\) をとり，\(n \geq 0\) を整数とする． \(S = k[X_0, \ldots, X_n]\) とおく．整数 \(e\) に対し， \(S_e \subset S\) で次数 \(e\) の斉次多項式全体を表す．次の（非可換）\(k\)-代数を考える． \[R = \left( \begin{matrix} S_0 & S_1 & S_2 & \ldots & \ldots \\ 0 & S_0 & S_1 & \ldots & \ldots\\ 0 & 0 & S_0 & \ldots & \ldots \\ \ldots & \ldots & \ldots & \ldots & \ldots \\ 0 & \ldots & \ldots & \ldots & S_0 \end{matrix} \right)\] ここで行と列はいずれも \(n + 1\) 個であり，乗法と加法は明らかなものとする．

補題

上の \(k\), \(n\), \(R\) のもとで，対象 \(K\) が \(D(R)\) に属するとき，次は同値である．

\(\sum_{i \in \mathbf{Z}} \dim_k H^i(K) < \infty\) である．

\(K\) はコンパクト対象である．

証明

\(K\) がコンパクト対象ならば，\(K\) は複体 \(M^\bullet\) により表現でき，これは次数付き \(R\)-加群として有限射影的である．Differential Graded Algebra, 補題 09RB を参照せよ．\(\dim_k R < \infty\) であるから \(\sum \dim_k M^i < \infty\) であり，したがってなおさら \(\sum \dim_k H^i(M^\bullet) < \infty\) である．（この含意は，より易しい Differential Graded Algebra, 命題 09R3 からも容易に導ける．）

\(K\) が (1) を満たすと仮定する．

切断からなる識別三角 \(\tau_{\leq m}K \to K \to \tau_{\geq m + 1}K\) を考える． Derived Categories, 注意 08J5 を参照せよ． \(\tau_{\leq m}K\) と \(\tau_{\geq m + 1} K\) がともに (1) を満たすことは明らかである．両者がコンパクトであることを示せれば \(K\) もコンパクトである． Derived Categories, 補題 09QH を参照せよ．したがって，\(K\) の非零なコホモロジー加群の個数について論じることにより，\(H^i(K)\) がただ一つの \(i\) に対してのみ非零であると仮定してよい．シフトすることにより，\(K\) はただ一つの有限次元 \(R\)-加群 \(M\) からなり，それが次数 \(0\) に置かれた複体で与えられると仮定してよい．

\(\dim_k(M) < \infty\) であるから，\(M\) は \(R\)-加群として Artin 的である．したがって，任意の単純 \(R\)-加群が \(D(R)\) のコンパクト対象を表すことを示せば十分である．次に注意する． \[I = \left( \begin{matrix} 0 & S_1 & S_2 & \ldots & \ldots \\ 0 & 0 & S_1 & \ldots & \ldots\\ 0 & 0 & 0 & \ldots & \ldots \\ \ldots & \ldots & \ldots & \ldots & \ldots \\ 0 & \ldots & \ldots & \ldots & 0 \end{matrix} \right)\] これは \(R\) の冪零両側イデアルであり，\(R/I\) は \(k\) の \(n + 1\) 個のコピーの積に同型な可換 \(k\)-代数である（行列の対角成分に配置されている．すなわち，\(R/I\) は \(k\)-部分代数として \(R\) に持ち上げられる）．したがって \(R\) は，単純加群の同型類をちょうど \(n + 1\) 個もつ．これらを \(M_0, \ldots, M_n\) と書く（対角成分に対応する）．行ベクトルからなる右 \(R\)-加群 \(P_i\) を考える． \[P_i = \left( \begin{matrix} 0 & \ldots & 0 & S_0 & \ldots & S_{i - 1} & S_i \end{matrix} \right)\] 乗法 \(P_i \times R \to P_i\) は明らかなものとする．このとき， \(R \cong P_0 \oplus \ldots \oplus P_n\) が右 \(R\)-加群として成り立つ．\(R\) は明らかに \(D(R)\) のコンパクト対象であるから，各 \(P_i\) も \(D(R)\) のコンパクト対象である．（もちろん，各 \(P_i\) が \(R\)-加群として射影的であることも従うが，この証明で示すべきことはそれではない．）明らかに \(P_0 = M_0\) は上の単純 \(R\)-加群の最初のものである．\(P_1\) に対しては短完全列 \[0 \to P_0^{\oplus n + 1} \to P_1 \to M_1 \to 0\] がある．これにより，\(M_1\) は他の項がコンパクト対象である識別三角に組み込まれることが分かり，したがって \(M_1\) は \(D(R)\) のコンパクト対象である．より一般に，短完全列 \[0 \to C_i \to P_i \to M_i \to 0\] が存在する．ここで \(C_i\) は有限次元 \(R\)-加群であり，その単純組成因子は \(M_j\) に同型で，ここで \(j < i\) である．帰納法により，まず \(C_i\) が \(D(R)\) のコンパクト対象を定めることが分かり，続いて \(M_i\) もそうであることが分かる．これは望む結論である．

補題

体 \(k\) をとり，\(n \geq 0\) とする．また， \(K \in D_\QCoh(\mathcal{O}_{\mathbf{P}^n_k})\) とする．次は同値である．

\(K\) は \(D^b_{\textit{Coh}}(\mathcal{O}_{\mathbf{P}^n_k})\) に属する．

\(\sum_{i \in \mathbf{Z}} \dim_k H^i(\mathbf{P}^n_k, E \otimes^\mathbf{L} K) < \infty\) が，完全対象 \(E\) を \(D(\mathcal{O}_{\mathbf{P}^n_k})\) から任意にとるたびに成り立つ．

\(\sum_{i \in \mathbf{Z}} \dim_k \Ext^i_{\mathbf{P}^n_k}(E, K) < \infty\) が，完全対象 \(E\) を \(D(\mathcal{O}_{\mathbf{P}^n_k})\) から任意にとるたびに成り立つ．

\(\sum_{i \in \mathbf{Z}} \dim_k H^i(\mathbf{P}^n_k, K \otimes^\mathbf{L} \mathcal{O}_{\mathbf{P}^n_k}(d)) < \infty\) が \(d = 0, 1, \ldots, n\) に対して成り立つ．

証明

(2) と (3) は Cohomology, 補題 08DQ により同値である． (1) が成り立つならば，完全な \(E\) に対する導来テンソル積 \(E \otimes^\mathbf{L} K\) は \(D^b_{\textit{Coh}}(\mathcal{O}_{\mathbf{P}^n_k})\) に属する．したがって Derived Categories of Schemes, 補題 08E2 により (2) が成り立つ．\(\mathcal{O}_{\mathbf{P}^n_k}(d)\) は \(\mathbf{P}^n_k\) の導来圏の完全対象とみなせるから，(2) が (4) を含意することは明らかである．よって，(4) が (1) を含意することを証明すれば十分である．

(4) を仮定する．\(R\) を補題 0FYA のものとし， \(P = \bigoplus_{d = 0, \ldots, n} \mathcal{O}_{\mathbf{P}^n_k}(-d)\) とおく． \(R = \text{End}_{\mathbf{P}^n_k}(P)\) であり，\(P\) の他の自己 Ext はすべて零であることを思い出そう．さらに，Derived Categories of Schemes, 補題 0BQU により，\(P\) は同値 \(- \otimes^\mathbf{L} P : D(R) \to D_\QCoh(\mathcal{O}_{\mathbf{P}^n_k})\) を定める．\(K\) が \(L\) に対応し，後者が \(D(R)\) に属するとしよう．このとき \[\begin{align*} H^i(L) & = \Ext^i_{D(R)}(R, L) \\ & = \Ext^i_{\mathbf{P}^n_k}(P, K) \\ & = H^i(\mathbf{P}^n_k, K \otimes P^\vee) \\ & = \bigoplus\nolimits_{d = 0, \ldots, n} H^i(\mathbf{P}^n_k, K \otimes \mathcal{O}(d)) \end{align*}\] である．ここでは Differential Graded Algebra, 補題 0CS6（および \(- \otimes^\mathbf{L} P\) が同値であること）と Cohomology, 補題 08DQ を用いた．

したがって，仮定 (4) により \(L\) は補題 0FYA の条件 (2) を満たし，ゆえに \(D(R)\) のコンパクト対象である．したがって \(K\) は \(D_\QCoh(\mathcal{O}_{\mathbf{P}^n_k})\) のコンパクト対象である．ゆえに， Derived Categories of Schemes, 命題 09M1 により \(K\) は完全である．さらに Derived Categories of Schemes, 補題 0FDC により \(D_{perf}(\mathcal{O}_{\mathbf{P}^n_k}) = D^b_{\textit{Coh}}(\mathcal{O}_{\mathbf{P}^n_k})\) であるから，(1) が成り立つ．

補題

\(X\) を体 \(k\) 上固有なスキームとする． \(K \in D^b_{\textit{Coh}}(\mathcal{O}_X)\) とし，\(E\) が \(D(\mathcal{O}_X)\) の完全対象であるとする．このとき \(\sum_{i \in \mathbf{Z}} \dim_k \Ext^i_X(E, K) < \infty\) である．

証明

これは，例えば Derived Categories of Schemes, 補題 0D0D と 09M4 を組み合わせれば従う．別証としては，Derived Categories of Schemes, 補題 0FXU と 08E2 を組み合わせればよい．

補題

\(X\) を体 \(k\) 上固有なスキームとし， \(K \in \Ob(D_\QCoh(\mathcal{O}_X))\) とする．次は同値である．

\(K \in D^b_{\textit{Coh}}(\mathcal{O}_X)\) である．

\(\sum_{i \in \mathbf{Z}} \dim_k \Ext^i_X(E, K) < \infty\) が，完全な \(E\) を \(D(\mathcal{O}_X)\) から任意にとるたびに成り立つ．

証明

(1) \(\Rightarrow\) (2) は補題 0FYC から従う． (2) \(\Rightarrow\) (1) は More on Morphisms, 補題 0GET から従う（体上相対的に完全な対象の意味については，Derived Categories of Schemes, 例 0DI1 を参照せよ）．射影的な場合のより易しい証明を次の段落で与える．

(2) を仮定し，\(X\) は \(k\) 上射影的であるとする．閉埋め込み \(i : X \to \mathbf{P}^n_k\) を選ぶ．\(Ri_*K\) が \(D^b_{\textit{Coh}}(\mathbf{P}^n_k)\) に属することを示せば十分である．実際，準連接加群 \(\mathcal{F}\) が \(X\) 上連接，それぞれ零であることと， \(i_*\mathcal{F}\) が連接，それぞれ零であることは同値である．完全対象 \(E\) を \(D(\mathcal{O}_{\mathbf{P}^n_k})\) からとると， \(Li^*E\) は \(D(\mathcal{O}_X)\) の完全対象であり， \[\Ext^q_{\mathbf{P}^n_k}(E, Ri_*K) = \Ext^q_X(Li^*E, K)\] したがって仮定より \(\sum_{q \in \mathbf{Z}} \dim_k \Ext^q_{\mathbf{P}^n_k}(E, Ri_*K) < \infty\) である．補題 0FYB により結論を得る．

表現可能性定理

本節の内容は [BvdB] による．

\(\mathcal{T}\) を \(k\)-線形三角圏とする．本節では，\(k\)-線形コホモロジー関手 \(H\) で，\(\mathcal{T}\) から \(k\)-ベクトル空間の圏へのものを考える．これは，\(H\) が関手 \[H : \mathcal{T}^{opp} \longrightarrow \text{Vect}_k\]

であって，\(k\)-線形であり，任意の識別三角 \(X \to Y \to Z\) が \(\mathcal{T}\) に属するとき，系列 \(H(Z) \to H(Y) \to H(X)\) が \(k\)-ベクトル空間の完全列となることを意味する．Derived Categories, 定義 0147 および Differential Graded Algebra, 09MI 節を参照せよ．

補題

\(\mathcal{D}\) を三角圏とし， \(\mathcal{D}' \subset \mathcal{D}\) を充満三角部分圏とする．また， \(X \in \Ob(\mathcal{D})\) とする．\(E \to X\) という形の射であって \(E \in \Ob(\mathcal{D}')\) となるものの圏はフィルター圏である．

証明

Categories, 定義 002V の条件を確かめる．この圏は \(0 \to X\) を含むので空でない．\(E_i \to X\), \(i = 1, 2\) が対象ならば， \(E_1 \oplus E_2 \to X\) も対象であり，射 \((E_i \to X) \to (E_1 \oplus E_2 \to X)\) が存在する．最後に， \(a, b : (E \to X) \to (E' \to X)\) が射であると仮定する． \(E \xrightarrow{a - b} E' \to E''\) という識別三角を \(\mathcal{D}'\) において選ぶ．公理 TR3 により三角の射 \[\xymatrix{ E \ar[r]_{a - b} \ar[d] & E' \ar[d] \ar[r] & E'' \ar[d] \\ 0 \ar[r] & X \ar[r] & X }\] を得る．得られる射 \((E' \to X) \to (E'' \to X)\) は \(a\) と \(b\) を等化する．

補題

体 \(k\) をとる．\(\mathcal{D}\) を直和をもち，コンパクト生成される \(k\)-線形三角圏とする．\(\mathcal{D}_c\) でコンパクト対象からなる充満部分圏を表す．\(H : \mathcal{D}_c^{opp} \to \text{Vect}_k\) を \(k\)-線形コホモロジー関手であって，\(\dim_k H(X) < \infty\) がすべての \(X \in \Ob(\mathcal{D}_c)\) に対して成り立つものとする．このとき \(H\) は関手 \(X \mapsto \Hom(X, Y)\) と，ある \(Y \in \Ob(\mathcal{D})\) に対して同型である．

証明

以下では Derived Categories, 補題 09QH を断りなく用いる． \(G : \mathcal{D}_c \to \text{Vect}_k\) で，\(k\)-線形ホモロジー関手であって \(X\) を \(H(X)^\vee\) に送るものを表す．任意の対象 \(Y\) を \(\mathcal{D}\) からとり， \[G'(Y) = \colim_{X \to Y, X \in \Ob(\mathcal{D}_c)} G(X)\] とおく．この余極限は補題 0FYF によりフィルター余極限である．\(G'\) は \(k\)-線形ホモロジー関手であり，\(G'\) の \(\mathcal{D}_c\) への制限は \(G\) であり，さらに \(G'\) は直和を直和へ送ると主張する．

具体的に，\(Y_1 \to Y_2 \to Y_3\) が識別三角であると仮定する． \(\xi \in G'(Y_2)\) の \(G'(Y_3)\) における像が零であるとする．余極限はフィルター余極限なので，\(\xi\) はある \(X \to Y_2\) と \(X \in \Ob(\mathcal{D}_c)\) および \(g \in G(X)\) により表される． \(\xi\) の \(G'(Y_3)\) における像が零であるとは，合成 \(X \to Y_2 \to Y_3\) が \(X \to X' \to Y_3\) と分解し，\(X' \in \mathcal{D}_c\) であり，かつ \(g\) の \(G(X')\) における像が零であることを意味する．識別三角 \(X'' \to X \to X'\) を選ぶ．このとき \(X'' \in \Ob(\mathcal{D}_c)\) である． \(G\) はホモロジー関手なので，\(g\) はある

\(g'' \in G'(X'')\) の像であることが分かる．公理 TR3 により，写像 \(X \to Y_2\) と \(X' \to Y_3\) は識別三角の射 \((X'' \to X \to X') \to (Y_1 \to Y_2 \to Y_3)\) に組み込まれる．したがって \(\xi\) は，\(G'(Y_1)\) の元であって，\(X'' \to Y_1\) と \(g'' \in G(X'')\) により表されるものの像であることが分かる．

\(Y \in \Ob(\mathcal{D}_c)\) ならば，\(\text{id} : Y \to Y\) は， \(X \to Y\) という形の射で \(X \in \Ob(\mathcal{D}_c)\) となるものの圏の終対象である．したがってこの場合 \(G'(Y) = G(Y)\) であり，制限に関する主張が従う． \(Y = \bigoplus_{i \in I} Y_i\) を直和とする．\(a : X \to Y\) と \(X \in \Ob(\mathcal{D}_c)\) および \(g \in G(X)\) が，元 \(\xi\) を \(G'(Y)\) において表すとする．射 \(a : X \to Y\) は，射 \(a_i : X \to Y_i\) の和として一意に書け， \(X\) が \(\mathcal{D}\) のコンパクト対象なので，そのほとんどすべては零である． \(I' = \{i \in I \mid a_i \not = 0\}\) とおく．このとき \(a\) は合成 \[X \xrightarrow{(1, \ldots, 1)} \bigoplus\nolimits_{i \in I'} X \xrightarrow{\bigoplus_{i \in I'} a_i} \bigoplus\nolimits_{i \in I} Y_i = Y\] と分解する．したがって，\(\xi = \sum_{i \in I'} \xi_i\) は，元 \(\xi_i \in G'(Y_i)\) であって \(a_i : X \to Y_i\) と \(g \in G(X)\) に対応するものの像の和である．ゆえに \(\bigoplus G'(Y_i) \to G'(Y)\) は全射である．単射であることの（自明な）確認は省略する．

したがって関手 \(Y \mapsto G'(Y)^\vee\) はコホモロジー関手であり，直和を直積へ送る．よってブラウンの表現可能性定理，すなわち Derived Categories, 命題 0A8G により，ある \(Y \in \Ob(\mathcal{D})\) と同型 \(G'(Z)^\vee = \Hom(Z, Y)\) が存在し，これは \(Z\) に関して関手的である． \(X \in \Ob(\mathcal{D}_c)\) に対しては \(G'(X)^\vee = G(X)^\vee = (H(X)^\vee)^\vee = H(X)\) である．これは \(\dim_k H(X) < \infty\) によるので，証明が完了する．

定理

\(X\) を体 \(k\) 上固有なスキームとする． \(F : D_{perf}(\mathcal{O}_X)^{opp} \to \text{Vect}_k\) を \(k\)-線形コホモロジー関手であって， \[\sum\nolimits_{n \in \mathbf{Z}} \dim_k F(E[n]) < \infty\] がすべての \(E \in D_{perf}(\mathcal{O}_X)\) に対して成り立つものとする．このとき \(F\) は，\(E \mapsto \Hom_X(E, K)\) という形の関手と，ある \(K \in D^b_{\textit{Coh}}(\mathcal{O}_X)\) に対して同型である．

証明

導来圏 \(D_\QCoh(\mathcal{O}_X)\) は直和をもち，コンパクト生成され，さらに \(D_{perf}(\mathcal{O}_X)\) はコンパクト対象からなる充満部分圏である． Derived Categories of Schemes, 補題 08DT，定理 09IS，および命題 09M1 を参照せよ．補題 0FYG により， \(F(E) = \Hom_X(E, K)\) がある \(K \in \Ob(D_\QCoh(\mathcal{O}_X))\) に対して成り立つと仮定してよい．このとき補題 0FYD により，\(K\) は \(D^b_{\textit{Coh}}(\mathcal{O}_X)\) に属する．

補題

\(X\) を体 \(k\) 上固有な正則スキームとする． \(G : D_{perf}(\mathcal{O}_X) \to \text{Vect}_k\) を \(k\)-線形ホモロジー関手であって， \[\sum\nolimits_{n \in \mathbf{Z}} \dim_k G(E[n]) < \infty\] がすべての \(E \in D_{perf}(\mathcal{O}_X)\) に対して成り立つものとする．このとき \(G\) は，\(E \mapsto \Hom_X(K, E)\) という形の関手と，ある \(K \in D_{perf}(\mathcal{O}_X)\) に対して同型である．

証明

\(E \mapsto E^\vee\) という \(D_{perf}(\mathcal{O}_X)\) 上の反変関手を考える． Cohomology, 補題 08DQ を参照せよ．この関手は \(D_{perf}(\mathcal{O}_X)\) の完全な反自己同値である．したがって関手 \(F(E) = G(E^\vee)\) に定理 0FYH を適用すると， \(K \in D_{perf}(\mathcal{O}_X)\) が存在し，これは \(G(E^\vee) = \Hom_X(E, K)\) を満たす．したがって \(G(E) = \Hom_X(E^\vee, K) = \Hom_X(K^\vee, E)\) であり，\(K^\vee\) をとればよい．

随伴関手の存在

Bondal とファン・デン・ベルフの論文の結果から，随伴関手が自動的に存在するという次の帰結を得る．

補題

体 \(k\) をとり，\(X\) と \(Y\) を \(k\) 上固有なスキームとする． \(X\) が正則ならば，任意の \(k\)-線形完全関手 \(F : D_{perf}(\mathcal{O}_X) \to D_{perf}(\mathcal{O}_Y)\) は完全な右随伴関手と完全な左随伴関手をもつ．

証明

随伴関手が存在すれば，極めて一般的な Derived Categories, 補題 0A8D により，それは完全関手である．

右随伴関手の存在を証明しよう．そのためには， \(M \in D_{perf}(\mathcal{O}_Y)\) に対して反変関手 \(K \mapsto \Hom_Y(F(K), M)\) が表現可能であることを示せば十分である．この関手は反変，\(k\)-線形，かつコホモロジー的である．したがって定理 0FYH により，次を示せば十分である． \[\sum\nolimits_{i \in \mathbf{Z}} \dim_k \Ext^i_Y(F(K), M) < \infty\] これは補題 0FYC から従う．

左随伴関手の存在についても同様に論じるが，補題 0H4A を定理 0FYH の代わりに用いる．

Fourier–Mukai 関手

これらの関手は [Mukai] で初めて導入された．

定義

スキーム \(S\) をとり，\(X\) と \(Y\) を \(S\) 上のスキームとする． \(K \in D(\mathcal{O}_{X \times_S Y})\) をとる．三角圏の完全関手 \[\Phi_K : D(\mathcal{O}_X) \longrightarrow D(\mathcal{O}_Y),\quad M \longmapsto R\text{pr}_{2, *}( L\text{pr}_1^*M \otimes_{\mathcal{O}_{X \times_S Y}}^\mathbf{L} K)\] を Fourier–Mukai 関手と呼び，\(K\) をこの関手の Fourier–Mukai 核と呼ぶ．さらに，次のようにいう．

\(\Phi_K\) が \(D_\QCoh(\mathcal{O}_X)\) を \(D_\QCoh(\mathcal{O}_Y)\) の中へ送るならば，得られる完全関手 \(\Phi_K : D_\QCoh(\mathcal{O}_X) \to D_\QCoh(\mathcal{O}_Y)\) を Fourier–Mukai 関手と呼ぶ．

\(\Phi_K\) が \(D_{perf}(\mathcal{O}_X)\) を \(D_{perf}(\mathcal{O}_Y)\) の中へ送るならば，得られる完全関手 \(\Phi_K : D_{perf}(\mathcal{O}_X) \to D_{perf}(\mathcal{O}_Y)\) を Fourier–Mukai 関手と呼ぶ．

\(X\) と \(Y\) が Noether スキームであり，\(\Phi_K\) が \(D^b_{\textit{Coh}}(\mathcal{O}_X)\) を \(D^b_{\textit{Coh}}(\mathcal{O}_Y)\) の中へ送るならば，得られる完全関手 \(\Phi_K : D^b_{\textit{Coh}}(\mathcal{O}_X) \to D^b_{\textit{Coh}}(\mathcal{O}_Y)\) を Fourier–Mukai 関手と呼ぶ．\(D_{\textit{Coh}}\), \(D^+_{\textit{Coh}}\), \(D^-_{\textit{Coh}}\) についても同様である．

補題

スキーム \(S\) をとり，\(X\) と \(Y\) を \(S\) 上のスキームとする． \(K \in D(\mathcal{O}_{X \times_S Y})\) をとる．対応する Fourier–Mukai 関手 \(\Phi_K\) は \(D_\QCoh(\mathcal{O}_X)\) を \(D_\QCoh(\mathcal{O}_Y)\) の中へ送る．ただし，\(K\) が \(D_\QCoh(\mathcal{O}_{X \times_S Y})\) に属し，\(X \to S\) が準コンパクトかつ準分離的であると仮定する．

証明

これは次の事実から従う．導来逆像は \(D_\QCoh\) を保つ（Derived Categories of Schemes, 補題 08DW）．導来テンソル積は \(D_\QCoh\) を保つ（Derived Categories of Schemes, 補題 08DX）．射影 \(\text{pr}_2 : X \times_S Y \to Y\) は準コンパクトかつ準分離的である（Schemes, 補題 01K5 および 01KU）．そして，準分離的かつ準コンパクトな射に沿う全導来順像は \(D_\QCoh\) を保つ（Derived Categories of Schemes, 補題 08D5）．

補題

スキーム \(S\) をとり，\(X, Y, Z\) を \(S\) 上のスキームとする． \(X \to S\), \(Y \to S\), \(Z \to S\) は準コンパクトかつ準分離的であると仮定する． \(K \in D_\QCoh(\mathcal{O}_{X \times_S Y})\) および \(K' \in D_\QCoh(\mathcal{O}_{Y \times_S Z})\) をとる．Fourier–Mukai 関手 \(\Phi_K : D_\QCoh(\mathcal{O}_X) \to D_\QCoh(\mathcal{O}_Y)\) と \(\Phi_{K'} : D_\QCoh(\mathcal{O}_Y) \to D_\QCoh(\mathcal{O}_Z)\) を考える． \(X\) と \(Z\) が \(S\) 上 Tor 独立であり，\(Y \to S\) が平坦ならば， \[\Phi_{K'} \circ \Phi_K = \Phi_{K''} : D_\QCoh(\mathcal{O}_X) \longrightarrow D_\QCoh(\mathcal{O}_Z)\] が成り立つ．ここで \[K'' = R\text{pr}_{13, *}( L\text{pr}_{12}^*K \otimes_{\mathcal{O}_{X \times_S Y \times_S Z}}^\mathbf{L} L\text{pr}_{23}^*K')\] は \(D_\QCoh(\mathcal{O}_{X \times_S Z})\) の対象である．

証明

補題 0FYR により，この主張は意味をもつ．以下では Derived Categories of Schemes, 補題 08DW, 08DX，および 08D5 および Schemes, 補題 01K5 および 01KU を断りなく用いる．Derived Categories of Schemes, 補題 0FXW により，\(X \times_S Y\) と \(Y \times_S Z\) は \(Y\) 上 Tor 独立である．したがって，次のデカルト図式に対して基底変換が成り立つ． \[\xymatrix{ X \times_S Y \times_S Z \ar[d] \ar[r] & Y \times_S Z \ar[d]^{p^{YZ}_Y} \\ X \times_S Y \ar[r]^{p^{XY}_Y} & Y }\] これは準連接なコホモロジー層をもつ複体に対する主張である．Derived Categories of Schemes, 補題 08IB を参照せよ． \(p^* = Lp^*\), \(p_* = Rp_*\), \(\otimes = \otimes^\mathbf{L}\) と略記すると， \(M \in D_\QCoh(\mathcal{O}_X)\) に対して次の等式列を得る． \[\begin{align*} \Phi_{K'}(\Phi_K(M)) & = p^{YZ}_{Z, *}(p^{YZ, *}_Y p^{XY}_{Y, *}(p^{XY, *}_X M \otimes K) \otimes K') \\ & = p^{YZ}_{Z, *}(\text{pr}_{23, *} \text{pr}_{12}^*(p^{XY, *}_X M \otimes K) \otimes K') \\ & = p^{YZ}_{Z, *}(\text{pr}_{23, *}(\text{pr}_1^*M \otimes \text{pr}_{12}^*K) \otimes K') \\ & = p^{YZ}_{Z, *}(\text{pr}_{23, *}(\text{pr}_1^*M \otimes \text{pr}_{12}^*K \otimes \text{pr}_{23}^*K')) \\ & = \text{pr}_{3, *}(\text{pr}_1^*M \otimes \text{pr}_{12}^*K \otimes \text{pr}_{23}^*K') \\ & = p^{XZ}_{Z, *}\text{pr}_{13, *}(\text{pr}_1^*M \otimes \text{pr}_{12}^*K \otimes \text{pr}_{23}^*K') \\ & = p^{XZ}_{Z, *} (p^{XZ, *}_X M \otimes \text{pr}_{13, *}(\text{pr}_{12}^*K \otimes \text{pr}_{23}^*K')) \end{align*}\] これは望む等式である．ここで第 2 等号には上の基底変換に関する注意を用い，

第 \(4\) 等号と最後の等号には Derived Categories of Schemes, 補題 08EU を用いた．

補題

スキーム \(S\) をとり，\(X\) と \(Y\) を \(S\) 上のスキームとする． \(K \in D(\mathcal{O}_{X \times_S Y})\) をとる．対応する Fourier–Mukai 関手 \(\Phi_K\) は，次の条件のうち少なくとも一つが満たされれば， \(D_{perf}(\mathcal{O}_X)\) を \(D_{perf}(\mathcal{O}_Y)\) の中へ送る．

\(S\) は Noether スキームであり，\(X \to S\) と \(Y \to S\) は有限型であり， \(K \in D^b_{\textit{Coh}}(\mathcal{O}_{X \times_S Y})\) であり，\(H^i(K)\) の台は \(Y\) 上固有であり，これはすべての \(i\) について成り立つ．さらに \(K\) は \(D(\text{pr}_2^{-1}\mathcal{O}_Y)\) の対象として有限 Tor 次元をもつ．

\(X \to S\) は有限表示であり，\(K\) は有界複体 \(\mathcal{K}^\bullet\) で表現でき，その各項は有限表示 \(\mathcal{O}_{X \times_S Y}\)-加群である．この複体は \(Y\) 上平坦で，その台は \(Y\) 上固有である．

\(X \to S\) は有限表示な固有平坦射であり，\(K\) は完全である．

\(S\) は Noether スキームであり，\(X \to S\) は平坦かつ固有であり，\(K\) は完全である．

\(X \to S\) は有限表示な固有平坦射であり，\(K\) は \(Y\)-完全である．

\(S\) は Noether スキームであり，\(X \to S\) は平坦かつ固有であり，\(K\) は \(Y\)-完全である．

証明

\(M\) が \(X\) 上完全ならば，\(L\text{pr}_1^*M\) は \(X \times_S Y\) 上完全である． Cohomology, 補題 09UA を参照せよ．以下ではこの事実を断りなく用いる．また，\(X \to S\) が有限型，固有，平坦，または有限表示ならば，基底変換 \(\text{pr}_2 : X \times_S Y \to Y\) もそれぞれ同じ性質をもつ． Morphisms, 補題 01T4, 01W4, 01U9，および 01TS.

(1) は Derived Categories of Schemes, 補題 08EV と Derived Categories of Schemes, 補題 0FXU を組み合わせれば従う．

(2) は Derived Categories of Schemes, 補題 0A1H から従う．

(3) は Derived Categories of Schemes, 補題 0B91 から従う．

(4) は (3) と，Noether スキーム間の有限型射は有限表示であるという事実から従う．Morphisms, 補題 01TX を参照せよ．

(5) は Derived Categories of Schemes, 補題 0DJT と Derived Categories of Schemes, 補題 0DI4 を組み合わせれば従う．

(6) は，(4) が (3) から従うのと同様に (5) から従う．

補題

Noether スキーム \(S\) をとる．\(X\) と \(Y\) を \(S\) 上有限型なスキームとする． \(K \in D^b_{\textit{Coh}}(\mathcal{O}_{X \times_S Y})\) をとる．対応する Fourier–Mukai 関手 \(\Phi_K\) は，次の条件のうち少なくとも一つが満たされれば， \(D^b_{\textit{Coh}}(\mathcal{O}_X)\) を \(D^b_{\textit{Coh}}(\mathcal{O}_Y)\) の中へ送る．

\(H^i(K)\) の台は \(Y\) 上固有であり，これはすべての \(i\) について成り立つ．\(K\) は \(D(\text{pr}_1^{-1}\mathcal{O}_X)\) の対象として有限 Tor 次元をもつ．

\(K\) は有界複体 \(\mathcal{K}^\bullet\) で表現でき，その各項は連接 \(\mathcal{O}_{X \times_S Y}\)-加群である．この複体は \(X\) 上平坦で，その台は \(Y\) 上固有である．

\(H^i(K)\) の台は \(Y\) 上固有であり，これはすべての \(i\) について成り立つ．\(X\) は正則スキームである．

\(K\) は完全であり，\(H^i(K)\) の台は \(Y\) 上固有であり，これはすべての \(i\) について成り立つ． \(Y \to S\) は平坦である．

さらに，いずれの場合も \(X \to S\) が固有ならば台に関する条件は自動的に成り立つ．

証明

\(M\) を \(D^b_{\textit{Coh}}(\mathcal{O}_X)\) の対象とする．いずれの場合も Derived Categories of Schemes, 補題 08E2 を用いて \[\Phi_K(M) = R\text{pr}_{2, *}( L\text{pr}_1^*M \otimes_{\mathcal{O}_{X \times_S Y}}^\mathbf{L} K)\] が \(D^b_{\textit{Coh}}(\mathcal{O}_Y)\) に属することを示す．導来テンソル積 \(L\text{pr}_1^*M \otimes_{\mathcal{O}_{X \times_S Y}}^\mathbf{L} K\) は \(D(\mathcal{O}_{X \times_S Y})\) の擬連接対象である（Cohomology, 補題 09U7，Derived Categories of Schemes, 補題 08E8，および Cohomology, 補題 09J3 による）．したがって，そのコホモロジー層は連接である（再び Derived Categories of Schemes, 補題 08E8 による）．いずれの場合も

\(H^i(L\text{pr}_1^*M \otimes_{\mathcal{O}_{X \times_S Y}}^\mathbf{L} K)\) の台は \(Y\) 上固有である．実際，これらの台は \(H^i(K)\) の台の合併に含まれる．したがって，いずれの場合もこのテンソル積が下に有界であることを示せば十分である．

場合 (1)．Cohomology, 補題 08DE により \[L\text{pr}_1^*M \otimes_{\mathcal{O}_{X \times_S Y}}^\mathbf{L} K \cong \text{pr}_1^{-1}M \otimes_{\text{pr}_1^{-1}\mathcal{O}_X}^\mathbf{L} K\] である．記法は明らかであろう．したがって，Tor 次元に関する仮定と，

\(M\) が非零なコホモロジー層を有限個しかもたないという事実から，望む有界性が従う．

場合 (2) では，仮定から \(K\) が \(D(\text{pr}_1^{-1}\mathcal{O}_X)\) の対象として有限 Tor 次元をもつことが従うので，前段落の議論を適用できる．

場合 (3) でも，\(K\) は \(D(\text{pr}_1^{-1}\mathcal{O}_X)\) の対象として有限 Tor 次元をもつ．実際，アフィン開集合 \(U = \Spec(A)\) および \(V = \Spec(B)\) をそれぞれ \(X\) と \(Y\) から選び，これらがアフィン開集合 \(W = \Spec(R)\)（\(S\) の開集合）の中へ写るものとする．このとき \(K|_{U \times V}\) は，有限 \(A \otimes_R B\)-加群からなる有界複体 \(M^\bullet\) により与えられる．\(A\) は有限次元の正則環であるから，各 \(M^i\) は \(A\)-加群として有限射影次元をもち（Algebra, 補題 00OE），したがって \(A\)-加群として有限 Tor 次元をもつ．ゆえに \(M^\bullet\) は \(A\)-加群の複体として有限 Tor 次元をもつ（More on Algebra, 補題 066H）．

\(X \times Y\) は準コンパクトなので，区間 \([a, b]\) であって，任意の点 \(z \in X \times Y\) における茎 \(K_z\) が \([a, b]\) に Tor 振幅をもち，その基礎環が \(\mathcal{O}_{X, \text{pr}_1(z)}\) であるものが存在する．これにより \(K\) は \(D(\text{pr}_1^{-1}\mathcal{O}_X)\) の対象として有界 Tor 次元をもつ．Cohomology, 補題 09U9 を参照せよ．

以上の二つの段落と同様に結論を得る．

場合 (4)．上の記法のもとで，環準同型 \(R \to B\) は平坦である．したがって環準同型 \(A \to A \otimes_R B\) は平坦である．ゆえに任意の射影的 \(A \otimes_R B\)-加群は \(A\)-平坦である．したがって \(A \otimes_R B\)-加群からなる任意の完全複体は，\(A\)-加群の複体として有限 Tor 次元をもち，上と同様に結論を得る．

例

スキームの分離射 \(X \to S\) をとる．このとき対角射 \(\Delta : X \to X \times_S X\) は閉埋め込みであり，したがって \(\mathcal{O}_\Delta = \Delta_*\mathcal{O}_X = R\Delta_*\mathcal{O}_X\) は有限型準連接 \(\mathcal{O}_{X \times_S X}\)-加群であり，いずれの射影に関しても \(X\) 上平坦である．この場合，Fourier–Mukai 関手 \(\Phi_{\mathcal{O}_\Delta}\) は恒等関手に等しい．実際，任意の \(M \in D(\mathcal{O}_X)\) に対して \[\begin{align*} L\text{pr}_1^*M \otimes_{\mathcal{O}_{X \times_S X}}^\mathbf{L} \mathcal{O}_\Delta & = L\text{pr}_1^*M \otimes_{\mathcal{O}_{X \times_S X}}^\mathbf{L} R\Delta_*\mathcal{O}_X \\ & = R\Delta_*( L\Delta^*L\text{pr}_1^*M \otimes_{\mathcal{O}_X}^\mathbf{L} \mathcal{O}_X) \\ & = R\Delta_*(M) \end{align*}\] を得る．第一の等式については上で論じた．第二の等式は Cohomology, 補題 0B55 である．第三の等式は \(\text{pr}_1 \circ \Delta = \text{id}_X\) と Cohomology, 補題 0D5S による．これを \(X\) へ \(R\text{pr}_{2, *}\) により押し出すと，\(M\) を得る．これは Cohomology, 補題 0D5T と \(\text{pr}_2 \circ \Delta = \text{id}_X\) による．

補題

\(X \to S\) と \(Y \to S\) を準コンパクトかつ準分離的なスキームの射とする． \(\Phi : D_\QCoh(\mathcal{O}_X) \to D_\QCoh(\mathcal{O}_Y)\) を，擬連接な核 \(K \in D_\QCoh(\mathcal{O}_{X \times_S Y})\) をもつ Fourier–Mukai 関手とする． \(a : D_\QCoh(\mathcal{O}_Y) \to D_\QCoh(\mathcal{O}_{X \times_S Y})\) を \(R\text{pr}_{2, *}\) の右随伴とする．Duality for Schemes, 補題 0A9E を参照せよ．次で定める． \[K' = (Y \times_S X \to X \times_S Y)^* R\SheafHom_{\mathcal{O}_{X \times_S Y}}(K, a(\mathcal{O}_Y)) \in D_\QCoh(\mathcal{O}_{Y \times_S X})\] また，対応する Fourier–Mukai 変換を \(\Phi' : D_\QCoh(\mathcal{O}_Y) \to D_\QCoh(\mathcal{O}_X)\) と書く．標準写像 \[\Hom_X(M, \Phi'(N)) \longrightarrow \Hom_Y(\Phi(M), N)\] があり，\(M\) を \(D_\QCoh(\mathcal{O}_X)\) の中で，\(N\) を \(D_\QCoh(\mathcal{O}_Y)\) の中で動かすとき関手的である．これは次の場合に同型である．

\(N\) は完全である．

\(K\) は完全で，\(X \to S\) は有限表示な固有平坦射である．

証明

補題 0FYR により，主張に現れる関手 \(\Phi\) が得られる． Duality for Schemes, 補題 0A9I により， \(a(\mathcal{O}_Y)\) は \(D^+_\QCoh(\mathcal{O}_{X \times_S Y})\) に属する．したがって \(K\) が擬連接ならば，Derived Categories of Schemes, 補題 0A6H により \(K' \in D_\QCoh(\mathcal{O}_{Y \times_S X})\) であり，

指示した \(\Phi'\) が得られる．

以下， \(\otimes^\mathbf{L} = \otimes_{\mathcal{O}_{X \times_S Y}}^\mathbf{L}\) および \(\SheafHom = R\SheafHom_{\mathcal{O}_{X \times_S Y}}\). と略記する．\(M\) を \(D_\QCoh(\mathcal{O}_X)\) の対象，\(N\) を \(D_\QCoh(\mathcal{O}_Y)\) の対象とする．このとき \[\begin{align*} \Hom_Y(\Phi(M), N) & = \Hom_Y(R\text{pr}_{2, *}(L\text{pr}_1^*M \otimes^\mathbf{L} K), N) \\ & = \Hom_{X \times_S Y}(L\text{pr}_1^*M \otimes^\mathbf{L} K, a(N)) \\ & = \Hom_{X \times_S Y}(L\text{pr}_1^*M, R\SheafHom(K, a(N))) \\ & = \Hom_X(M, R\text{pr}_{1, *}R\SheafHom(K, a(N))) \end{align*}\] である．ここでは Cohomology, 補題 08DJ および 079W を用いた．また標準写像 \[L\text{pr}_2^*N \otimes^\mathbf{L} R\SheafHom(K, a(\mathcal{O}_Y)) \xrightarrow{\alpha} R\SheafHom(K, L\text{pr}_2^*N \otimes^\mathbf{L} a(\mathcal{O}_Y)) \xrightarrow{\beta} R\SheafHom(K, a(N))\] がある．ここで \(\alpha\) は Cohomology, 補題 0BYS であり，\(\beta\) は Duality for Schemes, 式 (0A9S) である．これらの射をすべて合成すると，補題の主張に掲げた関手的な射が得られる．

射 \(\alpha\) は，\(K\) または \(N\) のいずれかが完全ならば Derived Categories of Schemes, 補題 0ATN により同型である．射 \(\beta\) は，\(N\) が完全ならば Duality for Schemes, 補題 0A9T により同型であり，また一般に \(X \to S\) が有限表示な平坦固有射ならば Duality for Schemes, 補題 0E4K により同型である．

補題

Noether スキーム \(S\) をとる．\(Y \to S\) を平坦かつ固有な Gorenstein 射とし， \(X \to S\) を有限型射とする．\(\omega^\bullet_{Y/S}\) で \(Y\) の \(S\) 上の相対双対化複体を表す．\(\Phi : D_\QCoh(\mathcal{O}_X) \to D_\QCoh(\mathcal{O}_Y)\) を，完全な核 \(K \in D_\QCoh(\mathcal{O}_{X \times_S Y})\) をもつ Fourier–Mukai 関手とする．次で定める． \[K' = (Y \times_S X \to X \times_S Y)^*(K^\vee \otimes_{\mathcal{O}_{X \times_S Y}}^\mathbf{L} L\text{pr}_2^*\omega^\bullet_{Y/S}) \in D_\QCoh(\mathcal{O}_{Y \times_S X})\] また，対応する Fourier–Mukai 変換を \(\Phi' : D_\QCoh(\mathcal{O}_Y) \to D_\QCoh(\mathcal{O}_X)\) と書く．標準同型 \[\Hom_Y(N, \Phi(M)) \longrightarrow \Hom_X(\Phi'(N), M)\] があり，\(M\) を \(D_\QCoh(\mathcal{O}_X)\) の中で，\(N\) を \(D_\QCoh(\mathcal{O}_Y)\) の中で動かすとき関手的である．

証明

補題 0FYR により，主張に現れる関手 \(\Phi\) が得られる．

この状況では，相対双対化複体の形成は基底変換と可換である．Duality for Schemes, 注意 0B6S を参照せよ．したがって \(L\text{pr}_2^*\omega^\bullet_{Y/S} = \omega^\bullet_{X \times_S Y/X}\) である．さらに，\(\omega^\bullet_{Y/S}\) は導来圏の可逆対象であり，したがって特に完全である．Duality for Schemes, 補題 0C08 を参照せよ．

補題を実際に証明するため，少し技巧を用いる．すなわち，\(X\) と \(Y\)，および \(K\) と \(K'\) の役割を入れ替えると，補題 0FYW の状況になり，結論が得られることを示す． \(K'\) は完全対象のテンソル積として完全であることは明らかなので，補題 0FYW の議論を適用できる．補題 0FYW の手続きを \(K'\) に対して \(Y \times_S X\) 上で適用したとき，\(K\) に同型な複体が得られることを示すには，次を示せば十分である（詳細は省略する）． \[R\SheafHom(R\SheafHom(K, \omega^\bullet_{X \times_S Y/X}), \omega^\bullet_{X \times_S Y/X}) = K\] これは \(K\) が完全で，\(\omega^\bullet_{X \times_S Y/X}\) が可逆であることから明らかである．詳細は省略する．したがって補題 0FYW は写像 \[\Hom_Y(N, \Phi(M)) \longrightarrow \Hom_X(\Phi'(N), M)\] を与え，これは \(M\) を \(D_\QCoh(\mathcal{O}_X)\) の中で，\(N\) を \(D_\QCoh(\mathcal{O}_Y)\) の中で動かすとき関手的である．また \(K'\) が完全なので同型である．以上で証明が完了する．

補題

Noether スキーム \(S\) をとる．

\(X\), \(Y\) が \(S\) 上固有かつ平坦で，\(K\) が \(D_{perf}(\mathcal{O}_{X \times_S Y})\) に属するとき，Fourier–Mukai 関手 \(\Phi_K : D_{perf}(\mathcal{O}_X) \to D_{perf}(\mathcal{O}_Y)\). を得る．

\(X\), \(Y\), \(Z\) が \(S\) 上固有かつ平坦で，\(K \in D_{perf}(\mathcal{O}_{X \times_S Y})\), \(K' \in D_{perf}(\mathcal{O}_{Y \times_S Z})\) ならば，合成 \(\Phi_{K'} \circ \Phi_K : D_{perf}(\mathcal{O}_X) \to D_{perf}(\mathcal{O}_Z)\) は \(\Phi_{K''}\) に等しい．ここで \(K'' \in D_{perf}(\mathcal{O}_{X \times_S Z})\) は補題 0FYS のように計算される．

\(X\), \(Y\), \(K\), \(\Phi_K\) が (1) のとおりで，\(X \to S\) が Gorenstein ならば，\(\Phi_{K'} : D_{perf}(\mathcal{O}_Y) \to D_{perf}(\mathcal{O}_X)\) は \(\Phi_K\) の右随伴である．ここで \(K' \in D_{perf}(\mathcal{O}_{Y \times_S X})\) は \(L\text{pr}_1^*\omega_{X/S}^\bullet \otimes_{\mathcal{O}_{X \times_S Y}}^\mathbf{L} K^\vee\) の \(Y \times_S X \to X \times_S Y\) による引き戻しである．

\(X\), \(Y\), \(K\), \(\Phi_K\) が (1) のとおりで，\(Y \to S\) が Gorenstein ならば，\(\Phi_{K''} : D_{perf}(\mathcal{O}_Y) \to D_{perf}(\mathcal{O}_X)\) は \(\Phi_K\) の左随伴である．ここで \(K'' \in D_{perf}(\mathcal{O}_{Y \times_S X})\) は \(L\text{pr}_2^*\omega_{Y/S}^\bullet \otimes_{\mathcal{O}_{X \times_S Y}}^\mathbf{L} K^\vee\) の \(Y \times_S X \to X \times_S Y\) による引き戻しである．

証明

(1) は補題 0FYT の (4) から直ちに従う．

(2) は補題 0FYS と， \(K'' = R\text{pr}_{13, *}( L\text{pr}_{12}^*K \otimes_{\mathcal{O}_{X \times_S Y \times_S Z}}^\mathbf{L} L\text{pr}_{23}^*K')\) が完全であるという事実から従う．後者は，例えば Derived Categories of Schemes, 補題 0B6F による．

(3) の随伴性が準連接コホモロジー層をもつすべての複体上で成り立つことは，補題 0FYW から従う．ここで \(K'\) は \(R\SheafHom_{\mathcal{O}_{X \times_S Y}}(K, a(\mathcal{O}_Y))\) の \(Y \times_S X \to X \times_S Y\) による引き戻しであり，\(a\) は \(R\text{pr}_{2, *} : D_\QCoh(\mathcal{O}_{X \times_S Y}) \to D_\QCoh(\mathcal{O}_Y)\) の右随伴である．\(f : X \to S\) で \(X\) の構造射を表す． \(f\) は固有なので，関手 \(f^! : D_\QCoh^+(\mathcal{O}_S) \to D_\QCoh^+(\mathcal{O}_X)\) は，\(D_\QCoh^+(\mathcal{O}_S)\) への制限として， \(Rf_* : D_\QCoh(\mathcal{O}_X) \to D_\QCoh(\mathcal{O}_S)\) の右随伴に一致する． Duality for Schemes, 0A9Y 節を参照せよ．したがって， Duality for Schemes, 注意 0B6S で定義された相対双対化複体 \(\omega_{X/S}^\bullet\) は \(\omega_{X/S}^\bullet = f^!\mathcal{O}_S\) に等しい．相対双対化複体の形成は基底変換と可換なので（Duality for Schemes, 注意 0B6S を参照）， \(a(\mathcal{O}_Y) = L\text{pr}_1^*\omega_{X/S}^\bullet\) を得る．したがって \[R\SheafHom_{\mathcal{O}_{X \times_S Y}}(K, a(\mathcal{O}_Y)) \cong L\text{pr}_1^*\omega_{X/S}^\bullet \otimes_{\mathcal{O}_{X \times_S Y}}^\mathbf{L} K^\vee\] である．これは Cohomology, 補題 08DQ による．最後に，\(X \to S\) は Gorenstein と仮定しているので，相対双対化複体は可逆である．これは Duality for Schemes, 補題 0C08 から従う．したがって \(\omega_{X/S}^\bullet\) は完全である（Cohomology, 補題 0FPG）．したがって \(K'\) も完全である．ゆえに \(\Phi_{K'}\) は実際に \(D_{perf}(\mathcal{O}_Y)\) を \(D_{perf}(\mathcal{O}_X)\) の中へ送り，これで (3) の証明が完了する．

(4) の証明も (3) と同じであるが，補題 0FYX を補題 0FYW の代わりに用いる．

分解と有界性

滑らかで固有なスキームの対角は、扱いやすい分解をもつ。

補題

\(R\) を Noether 環とする。\(X\), \(Y\) を、分解性をもつ有限型 \(R\)-スキームとする。任意の連接 \(\mathcal{O}_{X \times_R Y}\)-加群 \(\mathcal{F}\) に対し、全射 \(\mathcal{E} \boxtimes \mathcal{G} \to \mathcal{F}\) が存在する。ここで \(\mathcal{E}\) は有限局所自由 \(\mathcal{O}_X\)-加群であり、 \(\mathcal{G}\) は有限局所自由 \(\mathcal{O}_Y\)-加群である。

証明

\(U \subset X\) および \(V \subset Y\) をアフィン開部分スキームとする。 \(\mathcal{I} \subset \mathcal{O}_X\) を、\(X \setminus U\) 上の被約な誘導閉部分スキーム構造のイデアル層とする。同様に、\(\mathcal{I}' \subset \mathcal{O}_Y\) を、 \(Y \setminus V\) 上の被約な誘導閉部分スキーム構造のイデアル層とする。このときイデアル層 \[\mathcal{J} = \Im(\text{pr}_1^*\mathcal{I} \otimes_{\mathcal{O}_{X \times_R Y}} \text{pr}_2^*\mathcal{I}' \to \mathcal{O}_{X \times_R Y})\] は \(V(\mathcal{J}) = X \times_R Y \setminus U \times_R V\) を満たす。任意の切断 \(s \in \mathcal{F}(U \times_R V)\) に対し、整数 \(n > 0\) と写像 \(\mathcal{J}^n \to \mathcal{F}\) であって、\(U \times_R V\) への制限が \(s\) を与えるものを取ることができる。スキームのコホモロジー、補題 01YB を参照せよ。仮定により、全射 \(\mathcal{E} \to \mathcal{I}\) および \(\mathcal{G} \to \mathcal{I}'\) を選べる。これらは、それぞれ全射 \[\mathcal{E} \boxtimes \mathcal{G} \to \mathcal{J} \quad\text{かつ}\quad \mathcal{E}^{\otimes n} \boxtimes \mathcal{G}^{\otimes n} \to \mathcal{J}^n\] を、したがって写像 \(\mathcal{E}^{\otimes n} \boxtimes \mathcal{G}^{\otimes n} \to \mathcal{F}\) であって、その像が切断 \(s\) を \(U \times_R V\) 上で含むものを与える。 \(X \times_R Y\) は \(U \times_R V\) という形の有限個のアフィン開集合で被覆でき、 \(\mathcal{F}|_{U \times_R V}\) は有限個の切断で生成されるので（性質、補題 01PB）、全射 \[\bigoplus\nolimits_{j = 1, \ldots, N} \mathcal{E}_j^{\otimes n_j} \boxtimes \mathcal{G}_j^{\otimes n_j} \to \mathcal{F}\] が存在すると結論できる。ここで \(\mathcal{E}_j\) は \(X\) 上有限局所自由であり、 \(\mathcal{G}_j\) は \(Y\) 上有限局所自由である。 \(\mathcal{E} = \bigoplus \mathcal{E}_j^{\otimes n_j}\) および \(\mathcal{G} = \bigoplus \mathcal{G}_j^{\otimes n_j}\) と置けば、補題が従う。

補題

\(R\) を環とする。\(X\), \(Y\) を、分解性をもつ準コンパクトかつ準分離な \(R\)-スキームとする。任意の有限型準連接 \(\mathcal{O}_{X \times_R Y}\)-加群 \(\mathcal{F}\) に対し、全射 \(\mathcal{E} \boxtimes \mathcal{G} \to \mathcal{F}\) が存在する。ここで \(\mathcal{E}\) は有限局所自由 \(\mathcal{O}_X\)-加群であり、 \(\mathcal{G}\) は有限局所自由 \(\mathcal{O}_Y\)-加群である。

証明

極限論法によって補題 0FZ0 から従う。読者には証明を飛ばすことを勧める。 \(X \times_R Y\) は \(X \times_\mathbf{Z} Y\) の閉部分スキームなので、 \(R\) を \(\mathbf{Z}\) で置き換えても差し支えない。性質、補題 086M により、 \(\mathcal{F}\) を有限表示 \(\mathcal{O}_{X \times_R Y}\)-加群の商として書ける。したがって \(\mathcal{F}\) は有限表示であると仮定してよい。次に、 \(X = \lim X_i\) を、各 \(X_i\) が \(\mathbf{Z}\) 上有限表示となるように書け、同様に \(Y = \lim Y_j\) と書ける。極限、命題 01ZA を参照せよ。このとき \(\mathcal{F}\) は \(\mathcal{F}_{ij}\) に降下し、後者はある \(X_i \times_R Y_j\) 上にある（極限、補題 01ZR）、分解性をもつという性質も降下する（スキームの導来圏、補題 0F8B）。そこで \(\mathcal{F}_{ij}\) に補題 0FZ0 を適用し、引き戻せばよい。

補題

\(R\) を Noether 環とする。\(X\) を、分解性をもつ分離的有限型 \(R\)-スキームとする。 \(\mathcal{O}_\Delta = \Delta_*(\mathcal{O}_X)\) と置く。ここで

\(\Delta : X \to X \times_R X\) は \(X/k\) の対角写像である。分解 \[\ldots \to \mathcal{E}_2 \boxtimes \mathcal{G}_2 \to \mathcal{E}_1 \boxtimes \mathcal{G}_1 \to \mathcal{E}_0 \boxtimes \mathcal{G}_0 \to \mathcal{O}_\Delta \to 0\] が存在する。ここで各 \(\mathcal{E}_i\) および \(\mathcal{G}_i\) は有限局所自由 \(\mathcal{O}_X\)-加群である。

証明

\(X\) は分離的なので、対角射 \(\Delta\) は閉埋入である。したがって \(\mathcal{O}_\Delta\) は連接 \(\mathcal{O}_{X \times_R X}\)-加群である（スキームのコホモロジー、補題 087T）。ゆえに補題は直ちに補題 0FZ0 から従う。

補題

\(X\) を次元 \(d < \infty\) の正則 Noether スキームとする。このとき

\(\mathcal{F}\), \(\mathcal{G}\) を連接 \(\mathcal{O}_X\)-加群とすると、 \(\Ext^n_X(\mathcal{F}, \mathcal{G}) = 0\) が \(n > d\) に対して成り立つ。

\(K, L \in D^b_{\textit{Coh}}(\mathcal{O}_X)\) および \(a \in \mathbf{Z}\) に対し、\(H^i(K) = 0\) が \(i < a + d\) で成り立ち、かつ \(H^i(L) = 0\) が \(i \geq a\) で成り立つならば、\(\Hom_X(K, L) = 0\) である。

証明

(1) を証明するため、スペクトル系列 \[H^p(X, \SheafExt^q(\mathcal{F}, \mathcal{G})) \Rightarrow \Ext^{p + q}_X(\mathcal{F}, \mathcal{G})\] を用いる。コホモロジー、節 0BQP を参照せよ。 \(x \in X\) とする。このとき \[\SheafExt^q(\mathcal{F}, \mathcal{G})_x = \SheafExt^q_{\mathcal{O}_{X, x}}(\mathcal{F}_x, \mathcal{G}_x)\] である。コホモロジー、補題 0GM8 を参照せよ（ここでは、スキームの導来圏、補題 08E8 により \(\mathcal{F}\) が擬連接であることも用いた）。 \(d_x = \dim(\mathcal{O}_{X, x})\) と置く。 \(\mathcal{O}_{X, x}\) は正則なので、環 \(\mathcal{O}_{X, x}\) の大域次元は \(d_x\) である。代数、命題 00O7 を参照せよ。したがって \(\SheafExt^q_{\mathcal{O}_{X, x}}(\mathcal{F}_x, \mathcal{G}_x)\) は \(q > d_x\) に対して零である。これより、加群 \(\SheafExt^q(\mathcal{F}, \mathcal{G})\) の台の次元は高々 \(d - q\) である。ゆえにコホモロジー、命題 02UZ により、 \(H^p(X, \SheafExt^q(\mathcal{F}, \mathcal{G})) = 0\) が \(p > d - q\) に対して成り立つ。これで (1) が証明された。

(2) の証明。 \(K\) と \(L\) の零でないコホモロジー層の個数に関する帰納法を用いてよい。これらの個数が \(0, 1\) の場合は (1) から従う。\(K\) の零でないコホモロジー層の個数が \(> 1\) ならば、最小の \(i \in \mathbf{Z}\) であって \(H^i(K)\) が零でないものを取る。このとき識別三角 \[H^i(K)[-i] \to K \to \tau_{\geq i + 1}K\] を得る（導来圏、注意 08J5）。導来圏、補題 0149 により、 \(\Hom(K, L)\) の消滅は、\(\Hom(H^i(K)[-i], L)\) と \(\Hom(\tau_{\geq i + 1}K, L)\) の消滅から従う。\(L\) が二つ以上の零でないコホモロジー層をもつ場合も同様である。

補題

\(X\) を次元 \(d < \infty\) の正則 Noether スキームとする。 \(K \in D^b_{\textit{Coh}}(\mathcal{O}_X)\) および \(a \in \mathbf{Z}\) とする。 \(H^i(K) = 0\) が \(a < i < a + d\) に対して成り立つならば、 \(K = \tau_{\leq a}K \oplus \tau_{\geq a + d}K\) である。

証明

仮定したコホモロジー層の消滅により \(\tau_{\leq a}K = \tau_{\leq a + d - 1}K\) である。導来圏、注意 08J5 により識別三角 \[\tau_{\leq a}K \to K \to \tau_{\geq a + d}K \xrightarrow{\delta} (\tau_{\leq a}K)[1]\] を得る。導来圏、補題 05QT により、射 \(\delta\) が零であることを示せば十分である。これは補題 0FZ3 から従う。

補題

\(k\) を体とする。\(X\) を \(k\) 上準コンパクトかつ分離的な滑らかなスキームとする。有限局所自由 \(\mathcal{O}_X\)-加群 \(\mathcal{E}\) および \(\mathcal{G}\) であって、 \[\mathcal{O}_\Delta \in \langle \mathcal{E} \boxtimes \mathcal{G} \rangle\] を \(D(\mathcal{O}_{X \times X})\) において満たすものが存在する。記法は導来圏、節 09SI のものとする。

証明

多様体、補題 056S により \(X\) は正則であることを思い出そう。したがってスキームの導来圏、補題 0F8A により \(X\) は分解性をもつ。よって補題 0FZ2 のような分解を選べる。 \(\dim(X) = d\) とする。\(X \times X\) は \(k\) 上滑らかなので正則である。したがって \(X \times X\) は \(\dim(X \times X) = 2d\) を満たす正則 Noether スキームである。対象 \[K = (\mathcal{E}_{2d} \boxtimes \mathcal{G}_{2d} \to \ldots \to \mathcal{E}_0 \boxtimes \mathcal{G}_0)\] は \(D_{perf}(\mathcal{O}_{X \times X})\) の対象であり、コホモロジー層 \(\mathcal{O}_\Delta\) を次数 \(0\) にもち、 \(\Ker(\mathcal{E}_{2d} \boxtimes \mathcal{G}_{2d} \to \mathcal{E}_{2d-1} \boxtimes \mathcal{G}_{2d-1})\) を次数 \(-2d\) にもち、他のすべての次数では零である。したがって補題 0FZ4 により、 \(\mathcal{O}_\Delta\) は \(K\) の直和因子であることが \(D_{perf}(\mathcal{O}_{X \times X})\) において分かる。明らかに、対象 \(K\) は \[\left\langle \bigoplus\nolimits_{i = 0, \ldots, 2d} \mathcal{E}_i \boxtimes \mathcal{G}_i \right\rangle \subset \left\langle \left(\bigoplus\nolimits_{i = 0, \ldots, 2d} \mathcal{E}_i\right) \boxtimes \left(\bigoplus\nolimits_{i = 0, \ldots, 2d} \mathcal{G}_i\right) \right\rangle\] に属し、これで証明は完了する。（この対象がこの圏に含まれることについては、導来圏、補題 0FX9 および 0FX7 を参照してもよい。）

補題

\(k\) を体とする。\(X\) を \(k\) 上固有かつ滑らかなスキームとする。このとき \(D_{perf}(\mathcal{O}_X)\) は強生成元をもつ。

証明

補題 0FZ5 を用いて、有限局所自由 \(\mathcal{O}_X\)-加群 \(\mathcal{E}\) および \(\mathcal{G}\) を、 \(\mathcal{O}_\Delta \in \langle \mathcal{E} \boxtimes \mathcal{G} \rangle\) が \(D(\mathcal{O}_{X \times X})\) において成り立つように選ぶ。\(\mathcal{G}\) が \(D_{perf}(\mathcal{O}_X)\) の強生成元であることを示す。導来圏、節 0FX0 の記法を用い、次を満たす \(m, n \geq 1\) を選ぶ： \[\mathcal{O}_\Delta \in smd(add(\mathcal{E} \boxtimes \mathcal{G}[-m, m])^{\star n})\] これは導来圏、補題 0ATG により可能である。 \(K\) を \(D_{perf}(\mathcal{O}_X)\) の対象とする。 \(L\text{pr}_1^*K \otimes_{\mathcal{O}_{X \times X}}^\mathbf{L} -\) は完全関手であり、かつ \[L\text{pr}_1^*K \otimes_{\mathcal{O}_{X \times X}}^\mathbf{L} (\mathcal{E} \boxtimes \mathcal{G}) = (K \otimes_{\mathcal{O}_X}^\mathbf{L} \mathcal{E}) \boxtimes \mathcal{G}\] であるから、導来圏、注意 0FX5 より \[L\text{pr}_1^*K \otimes_{\mathcal{O}_{X \times X}}^\mathbf{L} \mathcal{O}_\Delta \in smd(add( (K \otimes_{\mathcal{O}_X}^\mathbf{L} \mathcal{E}) \boxtimes \mathcal{G}[-m, m])^{\star n})\] を得る。完全関手 \(R\text{pr}_{2, *}\) を適用し、 \[R\text{pr}_{2, *} \left((K \otimes_{\mathcal{O}_X}^\mathbf{L} \mathcal{E}) \boxtimes \mathcal{G}\right) = R\Gamma(X, K \otimes_{\mathcal{O}_X}^\mathbf{L} \mathcal{E}) \otimes_k \mathcal{G}\] であることを用いる。これはスキームの導来圏、補題 08EU による。したがって \[K = R\text{pr}_{2, *}(L\text{pr}_1^*K \otimes_{\mathcal{O}_{X \times X}}^\mathbf{L} \mathcal{O}_\Delta) \in smd(add(R\Gamma(X, K \otimes_{\mathcal{O}_X}^\mathbf{L} \mathcal{E}) \otimes_k \mathcal{G}[-m, m])^{\star n})\] を得る。この等式は例 0FYV の議論から従う。 \(K\) は完全なので、\(a \leq b\) であって、\(H^i(X, K)\) が \(i \in [a, b]\) に対してのみ零でないものが存在する。\(X\) は固有なので、各 \(H^i(X, K)\) は有限次元である。したがって右辺は \(smd(add(\mathcal{G}[-m + a, m + b])^{\star n})\) に含まれ、これは上で挙げた参照の一つにより \(\langle \mathcal{G} \rangle_n\) に含まれる。これで証明は完了する。

補題

\(k\) を体とする。\(X\) を \(k\) 上固有かつ滑らかなスキームとする。

整数 \(m, n \geq 1\) と有限局所自由 \(\mathcal{O}_X\)-加群 \(\mathcal{G}\) であって、任意の連接 \(\mathcal{O}_X\)-加群が \(smd(add(\mathcal{G}[-m, m])^{\star n})\) に含まれるものが存在する。記法は導来圏、節 0FX0 のものとする。

証明

補題 0FZ6 の証明において、 \(m', n \geq 1\) が存在し、任意の連接 \(\mathcal{O}_X\)-加群 \(\mathcal{F}\) に対して次が成り立つことを示した： \[\mathcal{F} \in smd(add(\mathcal{G}[-m' + a, m' + b])^{\star n})\] ここで \(a \leq b\) は、\(H^i(X, \mathcal{F})\) が \(i \in [a, b]\) に対してのみ零でない任意の整数である。したがって \(a = 0\) および \(b = \dim(X)\) と取れる。 \(m = \max(m', m' + b)\) と取れば証明は完了する。

次の補題が、この節の表題で言及した有界性の結果である。

補題

\(k\) を体とする。\(X\) を \(k\) 上滑らかかつ固有なスキームとする。 \(\mathcal{A}\) をアーベル圏とする。\(H : D_{perf}(\mathcal{O}_X) \to \mathcal{A}\) を、すべての \(K\)（\(D_{perf}(\mathcal{O}_X)\) の対象）に対して、対象 \(H^i(K)\) が有限個の \(i \in \mathbf{Z}\) に対してのみ零でないようなホモロジー的関手とする（導来圏、定義 0147）。このとき整数 \(m \geq 1\) が存在して、\(H^i(\mathcal{F}) = 0\) が任意の連接 \(\mathcal{O}_X\)-加群 \(\mathcal{F}\) と \(i \not \in [-m, m]\) に対して成り立つ。コホモロジー的関手についても同様である。

証明

補題 0FZ7 と導来圏、補題 0FX8 を組み合わせればよい。

補題

\(k\) を体とする。\(X\), \(Y\) を \(k\) 上有限型スキームとする。 \(K_0 \to K_1 \to K_2 \to \ldots\) を \(D_{perf}(\mathcal{O}_{X \times Y})\) の対象の系とし、\(m \geq 0\) を次を満たす整数とする：

\(H^q(K_i)\) は \(q \leq m\) に対してのみ零でない。

任意の連接 \(\mathcal{O}_X\)-加群 \(\mathcal{F}\) で \(\dim(\text{Supp}(\mathcal{F})) = 0\) を満たすものに対して、対象 \[R\text{pr}_{2, *}( \text{pr}_1^*\mathcal{F} \otimes_{\mathcal{O}_{X \times Y}}^\mathbf{L} K_n)\] のコホモロジー層は \([-m, m] \cup [-m - n, m - n]\) の外の次数で消滅し、 \(n > 2m\) に対して遷移写像は \([-m, m]\) 内の次数のコホモロジー層上で同型を誘導する。

このとき \(K_n\) のコホモロジー層は \([-m, m] \cup [-m - n, m - n]\) の外の次数で消滅し、\(n > 2m\) に対して遷移写像は \([-m, m]\) 内の次数のコホモロジー層上で同型を誘導する。さらに、\(X\) と \(Y\) が \(k\) 上滑らかならば、十分大きい \(n\) に対して \(K_n = K \oplus C_n\) を \(D_{perf}(\mathcal{O}_{X \times Y})\) において得る。ここで

\(K\) は \([-m, m]\) 内の次数にのみコホモロジーをもち、\(C_n\) は \([-m - n, m - n]\) 内の次数にのみコホモロジーをもち、遷移写像は \(K\) の各コピーの間の同型を定める。

証明

\(Z\) を (2) のような \(\mathcal{F}\) のスキーム論的台とする。このとき \(Z \to \Spec(k)\) は有限であり、したがって \(Z \times Y \to Y\) は有限である。\(M\) を \(D_\QCoh(\mathcal{O}_{X \times Y})\) の対象で、 \(Z \times Y\) 上に台をもつコホモロジー層を備えたものとすると、 \(H^i(R\text{pr}_{2, *}(M)) = \text{pr}_{2, *}H^i(M)\) が成り立つ。また関手 \(\text{pr}_{2, *}\) は \(Z \times Y\) 上に台をもつ準連接加群において忠実である。詳細は省略する。したがって、対象 \[\text{pr}_1^*\mathcal{F} \otimes_{\mathcal{O}_{X \times Y}}^\mathbf{L} K_n\] は \(D_{perf}(\mathcal{O}_{X \times Y})\) において、 \([-m, m] \cup [-m - n, m - n]\) の外で消滅するコホモロジー層をもち、 \(n > 2m\) に対して遷移写像は \([-m, m]\) 内のコホモロジー層上で同型を誘導する。 \(z \in X \times Y\) を、閉点 \(x \in X\) に写る閉点とする。このとき \[K_{n, z} \otimes_{\mathcal{O}_{X \times Y, z}}^\mathbf{L} \mathcal{O}_{X \times Y, z}/\mathfrak m_x^t\mathcal{O}_{X \times Y, z}\] は区間 \([-m, m] \cup [-m - n, m - n]\) 内にのみ零でないコホモロジーをもつ。さらに代数、補題 0EGV により、 \(K_{n, z}\) は次数 \([-m, m] \cup [-m - n, m - n]\) 内にのみ零でないコホモロジーをもつと結論できる。これは \(X \times Y\) のすべての閉点に対して成り立つので、\(K_n\) のコホモロジー層は次数 \([-m, m] \cup [-m - n, m - n]\) 内にのみ零でない。まったく同様に、写像 \(K_n \to K_{n + 1}\) は \([-m, m]\) 内の次数のコホモロジー層上で \(n > 2m\) に対して同型であることが分かる。

\(X\) と \(Y\) が \(k\) 上滑らかならば、\(X \times Y\) は \(k\) 上滑らかであり、多様体、補題 056S により正則である。したがって、\(K_n\) の直和分解は、\(n > 2m + \dim(X \times Y)\) となれば補題 0FZ4 により得られる。最後の主張はこれから明らかである。

同胞関手

この節では、次の概念に関するいくつかの圏論的結果を証明する。

定義

\(\mathcal{A}\) をアーベル圏、\(\mathcal{D}\) を三角圏とする。三角圏の二つの完全関手 \[F, F' : D^b(\mathcal{A}) \longrightarrow \mathcal{D}\] が次の二条件を満たすとき、これらを同胞といい、または \(F'\) は \(F\) の同胞であるという：

関手 \(F \circ i\) と \(F' \circ i\) は同型である。ここで \(i : \mathcal{A} \to D^b(\mathcal{A})\) は包含関手である。

\(F(K) \cong F'(K)\) が任意の \(K\)（\(D^b(\mathcal{A})\) の対象）に対して成り立つ。

第二の条件が第一の条件から従うこともある。

補題

\(\mathcal{A}\) をアーベル圏、\(\mathcal{D}\) を三角圏とする。 \(F, F' : D^b(\mathcal{A}) \longrightarrow \mathcal{D}\) を三角圏の完全関手とする。次を仮定する：

関手 \(F \circ i\) と \(F' \circ i\) は同型である。ここで \(i : \mathcal{A} \to D^b(\mathcal{A})\) は包含関手である。

すべての \(X, Y \in \Ob(\mathcal{A})\) に対して、 \(\Ext^q_\mathcal{D}(F(X), F(Y)) = 0\) が \(q < 0\) ならば成り立つ（例えば \(F\) が充満忠実ならば成り立つ）。

このとき \(F\) と \(F'\) は同胞である。

証明

\(K \in D^b(\mathcal{A})\) とする。\(F(K)\) が \(F'(K)\) と同型であることを示す。 \(K\) は有界複体 \(A^\bullet\) で表せ、その各項は \(\mathcal{A}\) の対象である。 \(K\) を移動で置き換えることにより、\(A^i = 0\) が \(i > 0\) に対して成り立つと仮定してよい。\(n \geq 0\) を、\(A^{-i} = 0\) が \(i > n\) に対して成り立つように選ぶ。対象 \[M_i = (A^{-i} \to \ldots \to A^0)[-i],\quad i = 0, \ldots, n\] は、\(D^b(\mathcal{A})\) において複体 \(A^\bullet = A^{-n} \to \ldots \to A^0\) のポストニコフ系をなす。ここで複体も \(D^b(\mathcal{A})\) 内で考えている。導来圏、例 0D8Z を参照せよ。 \(F\) と \(F'\) はともに三角圏の完全関手なので、 \[F(M_i) \quad\text{および}\quad F'(M_i)\] も \(\mathcal{D}\) において複体 \[F(A^{-n}) \to \ldots \to F(A^0) = F'(A^{-n}) \to \ldots \to F'(A^0)\] のポストニコフ系をなす。仮定によりこれらの対象間の負次数の \(\Ext\) はすべて消滅するから、ポストニコフ系の一意性（導来圏、補題 0D83）により \(F(K) = F(M_n[n]) \cong F'(M_n[n]) = F'(K)\) と結論できる。

補題

\(F\) と \(F'\) を定義 0FZT の意味で同胞とする。このとき

\(F\) が本質的全射ならば、\(F'\) も本質的全射である。

\(F\) が充満忠実ならば、\(F'\) も充満忠実である。

証明

(1) は同胞の性質 (2) から直ちに従う。

\(F\) が充満忠実であると仮定する。\(\mathcal{D}' \subset \mathcal{D}\) を \(F\) の本質像と書くと、\(F : D^b(\mathcal{A}) \to \mathcal{D}'\) は同値である。同胞の性質 (2) により関手 \(F'\) は \(\mathcal{D}'\) を経由するので、関手 \(H = F^{-1} \circ F' : D^b(\mathcal{A}) \to D^b(\mathcal{A})\) を考えられる。 \(H\) は恒等関手の同胞である。\(H\) が充満忠実であることを示せば十分なので、次の段落で論じる問題に帰着する。

\(\mathcal{D} = D^b(\mathcal{A})\) と置く。恒等関手の同胞 \(F : \mathcal{D} \to \mathcal{D}\) が充満忠実であることを示さなければならない。

\(a_X : X \to F(X)\) で、定義 0FZT から得られる \(X \in \Ob(\mathcal{A})\) に関する関手的同型を表す。任意の \(K\)（\(\mathcal{D}\) の対象）と識別三角 \(K_1 \to K_2 \to K_3\)（\(\mathcal{D}\) の識別三角）に対し、写像 \[F : \Hom(K, K_i[n]) \to \Hom(F(K), F(K_i[n]))\] がすべての \(n \in \mathbf{Z}\) および \(i = 1, 3\) に対して同型ならば、 \(i = 2\) およびすべての \(n \in \mathbf{Z}\) に対しても同様である。ここでは \(5\) 項補題（ホモロジー、補題 05QB）と導来圏、補題 0149 を用いる。詳細は省略する。同様に、写像 \[F : \Hom(K_i[n], K) \to \Hom(F(K_i[n]), F(K))\] がすべての \(n \in \mathbf{Z}\) および \(i = 1, 3\) に対して同型ならば、 \(i = 2\) およびすべての \(n \in \mathbf{Z}\) に対しても同様である。標準切断と零でないコホモロジー対象の個数に関する帰納法を用いると、 \[F : \Ext^q(X, Y) \to \Ext^q(F(X), F(Y))\] がすべての \(X, Y \in \Ob(\mathcal{A})\) およびすべての \(q \in \mathbf{Z}\) に対して全単射であることを示せば十分である。\(F\) は \(\text{id}\) の同胞なので、 \(F(X) \cong X\) および \(F(Y) \cong Y\) であり、したがって右辺は \(q < 0\) で零である。\(q = 0\) の場合は、\(F\) が恒等関手の同胞であるという仮定からよい。残るのは \(q > 0\) の場合である。

\(q = 1\) の場合：単射性。\(\xi\) を \(\Ext^1(X, Y)\) の元とすると、識別三角 \[Y \to E \to X \xrightarrow{\xi} Y[1]\] \(E \in \Ob(\mathcal{A})\) であることに注意する。\(F\) は恒等関手の同胞なので、可換図式 \[\xymatrix{ E \ar[d] \ar[r] & X \ar[d] \\ F(E) \ar[r] & F(X) }\] を得る。その縦矢印は同型 \(a_E\) および \(a_X\) である。 TR3 により、最初の \(\xi\) に付随する識別三角は識別三角 \[F(Y) \to F(E) \to F(X) \xrightarrow{F(\xi)} F(Y[1]) = F(Y)[1]\] と同型である。したがって \(\xi = 0\) であることと \(F(\xi)\) が零であることは同値である。すなわち、 \(F : \Ext^1(X, Y) \to \Ext^1(F(X), F(Y))\) は単射である。

\(q = 1\) の場合：全射性。\(\theta\) を \(\Ext^1(F(X), F(Y))\) の元とする。これは \(F(X)\) の \(F(Y)\) による拡大を \(\mathcal{A}\) において定める。 \(F(E)\) と書ける中間項を選べる。これは \(F\) が恒等関手の同胞だからである。したがって識別三角 \[F(Y) \xrightarrow{F(\alpha)} F(E) \xrightarrow{F(\beta)} F(X) \xrightarrow{\theta} F(Y[1]) = F(Y)[1]\] を得る。ここである射 \(\alpha : Y \to E\) および \(\beta : E \to X\) が存在する。 \(F\) は恒等関手の同胞なので、列 \(0 \to Y \to E \to X \to 0\) は \(\mathcal{A}\) における短完全列である！　したがって識別三角 \[Y \xrightarrow{\alpha} E \xrightarrow{\beta} X \xrightarrow{\delta} Y[1]\] を得る。ここである射 \(\delta : X \to Y[1]\) が存在する。完全関手 \(F\) を適用すると識別三角 \[F(Y) \xrightarrow{F(\alpha)} F(E) \xrightarrow{F(\beta)} F(X) \xrightarrow{F(\delta)} F(Y)[1]\] を得る。上と同様に論じると、これらの三角は同型である。したがって可換図式 \[\xymatrix{ F(X) \ar[d]^\gamma \ar[r]_{F(\delta)} & F(Y[1]) \ar[d]_\epsilon \\ F(X) \ar[r]^\theta & F(Y[1]) }\] が存在する。ここで \(\gamma\), \(\epsilon\) はある同型である（さらに多くを述べられるが、その情報は必要ない）。\(\gamma = F(\gamma')\) および \(\epsilon = F(\epsilon')\) と書ける。このとき \(\theta = F(\epsilon' \circ \delta \circ (\gamma')^{-1})\) であり、全射性が従う。

\(q > 1\) の場合：全射性。Yoneda 拡大を用いると（導来圏、節 06XP を参照）、任意の元 \(\xi\)（\(\Ext^q(F(X), F(Y))\) の元）に対し、 \(F(X) = B_0, B_1, \ldots, B_{q - 1}, B_q = F(Y) \in \Ob(\mathcal{A})\) と元 \[\xi_i \in \Ext^1(B_{i - 1}, B_i)\] であって、\(\xi\) が合成 \(\xi_q \circ \ldots \circ \xi_1\) となるものを取れる。 \(B_i = F(A_i)\) と書く（もちろん \(A_i = B_i\) だが、これを用いる必要はない）。すると \[\xi_i = F(\eta_i) \in \Ext^1(F(A_{i - 1}), F(A_i)) \quad\text{ただし}\quad \eta_i \in \Ext^1(A_{i - 1}, A_i)\] である。これは \(q = 1\) の場合の全射性による。このとき \(\eta = \eta_q \circ \ldots \circ \eta_1\) は \(\Ext^q(X, Y)\) の元であり、 \(F(\eta) = \xi\) を満たす。

\(q > 1\) の場合：単射性。\(\xi\) を \(\Ext^q(X, Y)\) の元とすると、識別三角 \[Y[q - 1] \to E \to X \xrightarrow{\xi} Y[q]\] \(F\) を適用すると識別三角 \[F(Y)[q - 1] \to F(E) \to F(X) \xrightarrow{F(\xi)} F(Y)[q]\] \(F(\xi) = 0\) ならば、\(F(E) \cong F(Y)[q - 1] \oplus F(X)\) が \(\mathcal{D}\) において成り立つ。導来圏、補題 05QT を参照せよ。\(F\) は恒等関手の同胞なので \(E \cong F(E)\) であり、したがって \[E \cong F(E) \cong F(Y)[q - 1] \oplus F(X) \cong Y[q - 1] \oplus X\] 言い換えると、\(E\) はそのコホモロジー対象の直和と同型である。これは最初の識別三角が分裂すること、すなわち \(\xi = 0\) を意味する。

非標準的な定義を導入しよう。\(\mathcal{A}\) をアーベル圏とする。 \(\mathcal{A}\) が 十分多くの負対象をもつ とは、任意の \(X \in \Ob(\mathcal{A})\) に対し、次を満たす対象 \(N\) が存在することをいう：

全射 \(N \to X\) が存在する。
\(\Hom(X, N) = 0\) である。

命題 0FZW の証明に備えて、この概念に関する二つの補題を証明しよう。

補題

\(\mathcal{A}\) を十分多くの負対象をもつアーベル圏とする。 \(X \in D^b(\mathcal{A})\) とする。\(b \in \mathbf{Z}\) が \(H^i(X) = 0\) を \(i > b\) に対して満たすとする。このとき写像 \(N[-b] \to X\) であって、誘導される写像 \(N \to H^b(X)\) が全射であり、 \(\Hom(H^b(X), N) = 0\) を満たすものが存在する。

証明

切断関手を用いると、\(X\) を複体 \(A^a \to A^{a + 1} \to \ldots \to A^b\) で表せ、その各項は \(\mathcal{A}\) の対象である。\(N\) を \(\mathcal{A}\) の対象で、全射 \(t : N \to A^b\) が存在し、かつ \(\Hom(A^b, N) = 0\) を満たすものとして選ぶ。このとき全射 \(t\) は所望の写像 \(N[-b] \to X\) を定める。

補題

\(\mathcal{A}\) を十分多くの負対象をもつアーベル圏とする。 \(f : X \to X'\) を \(D^b(\mathcal{A})\) の射とする。\(b \in \mathbf{Z}\) が \(H^i(X) = 0\) を \(i > b\) に対して、また \(H^i(X') = 0\) を \(i \geq b\) に対して満たすとする。このとき写像 \(N[-b] \to X\) であって、誘導される写像 \(N \to H^b(X)\) が全射であり、\(\Hom(H^b(X), N) = 0\) を満たし、かつ合成 \(N[-b] \to X \to X'\) が零であるものが存在する。

証明

\(f\) は写像 \(f^\bullet : A^\bullet \to B^\bullet\) で表せ、その両辺は \(\mathcal{A}\) の対象からなる有界複体である。例えば導来圏、補題 05RW を参照せよ。対象 \[C = \Ker(A^b \to A^{b + 1}) \times_{\Ker(B^b \to B^{b + 1})} B^{b - 1}\] を \(\mathcal{A}\) において考える。\(H^b(B^\bullet) = 0\) なので、 \(C \to H^b(A^\bullet)\) は全射である。一方、写像 \(C \to A^b \to B^b\) は写像 \(C \to B^{b - 1} \to B^b\) と同じであり、したがって合成 \(C[-b] \to X \to X'\) は零である。\(\mathcal{A}\) は十分多くの負対象をもつので、対象 \(N\) と全射 \(N \to C \oplus H^b(X)\) であって \(\Hom(C \oplus H^b(X), N) = 0\) を満たすものを取れる。この \(N\) と写像 \(N[-b] \to X\) が補題で求める解である。

次の命題の証明に込められた見事な着想については、原論文 [Orlov-K3, 命題 2.16] を読むことを勧める。

命題

\(F\) と \(F'\) を定義 0FZT の意味で同胞とする。 \(F\) が充満忠実であり、\(\mathcal{A}\) が十分多くの負対象をもつと仮定する（上を参照）。このとき \(F\) と \(F'\) は同型な関手である。

証明

定義 0FZT の (2) により、関手 \(F'\) の像は関手 \(F\) の本質像に含まれる。したがって関手 \(H = F^{-1} \circ F'\) は恒等関手の同胞である。よって次の段落で述べる場合に帰着する。

\(\mathcal{D} = D^b(\mathcal{A})\) と置く。恒等関手の同胞 \(F : \mathcal{D} \to \mathcal{D}\) が恒等関手と同型であることを示さなければならない。 \(X\) を \(\mathcal{D}\) の対象とする。\(X\) が幅 \(w = w(X)\) をもつとは、 \(w \geq 0\) が、整数 \(a \in \mathbf{Z}\) であって \(H^i(X) = 0\) が \(i \not \in [a, a + w - 1]\) に対して成り立つものが存在するような最小の整数であることをいう。\(F\) は恒等関手の同胞であり、かつ \(F \circ [n] = [n] \circ F\) なので、すでに同型 \[c_X : X \to F(X)\] が \(w(X) \leq 1\) に対して与えられており、移動と両立する。さらに、 \(X = A[-a]\) および \(X' = A'[-a]\) がある \(A, A' \in \Ob(\mathcal{A})\) に対して成り立つならば、任意の射 \(f : X \to X'\) に対して図式 [0FZX]\[\begin{equation} \vcenter{ \xymatrix{ X \ar[d]_{c_X} \ar[r]_f & X' \ar[d]^{c_{X'}} \\ F(X) \ar[r]^{F(f)} & F(X') } } \end{equation}\] は可換である。

次に、\(f : X \to X'\) を \(w(X), w(X') \leq 1\) を満たす任意の射とするとき、図式 (0FZX) が可換であることを示そう。 \(X\) または \(X'\) が零ならば明らかである。そうでなければ、 \(X = A[-a]\) および \(X' = A'[-a']\) と、一意的な \(A, A'\)（\(\mathcal{A}\) の対象）と \(a, a' \in \mathbf{Z}\) により書ける。\(a = a'\) の場合は上で論じた。 \(a' > a\) ならば \(f = 0\) であり（導来圏、補題 06XS）、結果は明らかである。 \(a' < a\) ならば \(f\) は元 \(\xi \in \Ext^q(A, A')\) に対応し、 \(q = a - a'\) である。Yoneda 拡大を用いると（導来圏、節 06XP を参照）、 \(A = A_0, A_1, \ldots, A_{q - 1}, A_q = A' \in \Ob(\mathcal{A})\) と元 \[\xi_i \in \Ext^1(A_{i - 1}, A_i)\] であって、\(\xi\) が合成 \(\xi_q \circ \ldots \circ \xi_1\) となるものを取れる。言い換えると、\(X_i = A_i[-a + i]\) と置くことにより、射 \[X = X_0 \xrightarrow{f_1} X_1 \to \ldots \to X_{q - 1} \xrightarrow{f_q} X_q = X'\] を得る。その合成は

\(f\) である。図式 (0FZX) が \(f_1, \ldots, f_q\) に対して可換ならば \(f\) に対しても可換なので、\(q = 1\) の場合に帰着する。この場合、移動した後で識別三角 \[A' \to E \to A \xrightarrow{f} A'[1]\] \(E\) は \(\mathcal{A}\) の対象であることに注意する。次の図式を考える： \[\xymatrix{ E \ar[d]_{c_E} \ar[r] & A \ar[d]_{c_A} \ar[r]_f & A'[1] \ar[d]^{c_{A'}[1]} \ar@{..>}@<-1ex>[d]_\gamma \ar@{..>}[ld]^\epsilon \ar[r] & E[1] \ar[d]^{c_E[1]} \\ F(E) \ar[r] & F(A) \ar[r]^{F(f)} & F(A')[1] \ar[r] & F(E)[1] }\] その各行は識別三角である。右の正方形はすでに可換だが、中央の正方形が可換かどうかはまだ分からない。三角圏の公理により、図式を可換にする射 \(\gamma\) を取れる。このとき \(\gamma - c_{A'}[1]\) と \(F(A')[1] \to F(E)[1]\) の合成は零であるから、 \(\epsilon : A'[1] \to F(A)\) であって \(\gamma - c_{A'}[1] = F(f) \circ \epsilon\) を満たすものを取れる。しかし任意の矢 \(A'[1] \to F(A)\) は、\(\mathcal{A}\) の対象間の負次数 Ext 類なので零である。したがって \(\gamma = c_{A'}[1]\) であり、中央の正方形も可換である。これが示したかったことである。

証明を完了するため、\(w\) に関する帰納法により、同型 \(c_X : X \to F(X)\) がすべての \(X\) で \(w(X) \leq w\) を満たすものに対して存在し、そのような対象間のすべての射と両立することを示す。基底の場合 \(w = 1\) は上で示した。ある \(w \geq 1\) に対して結果を知っていると仮定する。

\(X\) を \(w(X) = w + 1\) を満たす対象とする。\(a \in \mathbf{Z}\) を、 \(H^i(X) = 0\) が \(i \not \in [a, a + w]\) に対して成り立つように選ぶ。 \(b = a + w\) と置くと、\(H^b(X)\) は零でない。補題 0GWF のような \(N[-b] \to X\) を選ぶ。

識別三角 \[N[-b] \to X \to Y \to N[-b + 1]\] を選ぶ。コホモロジーの長完全列を計算すると \(w(Y) \leq w\) を得る。したがって帰納法により、次の図式の実線矢印を得る： \[\xymatrix{ N[-b] \ar[r] \ar[d]_{c_N[-b]} & X \ar[r] \ar@{..>}[d]_{c_{N[-b] \to X}} & Y \ar[r] \ar[d]^{c_Y} & N[-b + 1] \ar[d]^{c_N[-b + 1]} \\ F(N)[-b] \ar[r] & F(X) \ar[r] & F(Y) \ar[r] & F(N)[-b + 1] }\] 点線矢印 \(c_{N[-b] \to X}\) を得る。導来圏、補題 0FWZ により、この点線矢印は一意である。実際、\(\Hom(X, F(N)[-b]) \cong \Hom(X, N[-b]) = 0\) である。これは \(N\) の選び方による。より正確には、 \(c_{N[-b] \to X}\) は、頂点 \(X, Y, F(X), F(Y)\) をもつ正方形を可換にする一意的な点線矢印である。

\(N'[-b] \to X\) を補題 0GWF のような別の写像とし、 \(c_{N[-b] \to X} = c_{N'[-b] \to X}\) を証明しよう。写像 \((N \oplus N')[-b] \to X\) も補題 0GWF の条件を満たす。したがって、\(N'[-b] \to X\) は \(N'[-b] \to N[-b] \to X\) と分解し、後者の第一の射がある射 \(N' \to N\) から来ると仮定してよい。識別三角 \(N[-b] \to X \to Y \to N[-b + 1]\) および \(N'[-b] \to X \to Y' \to N'[-b + 1]\) を選ぶ。公理 TR3 により、

射 \(g : Y' \to Y\) を、\(\text{id}_X\) および \(N' \to N\) とともに三角の射をなすように取れる。\(g\) に対して (0FZX) が成り立つので、 \[(F(X) \to F(Y)) \circ c_{N'[-b] \to X} = (F(X) \to F(Y)) \circ c_{N[-b] \to X}\] と結論できる。上の構成で述べた \(c_{N[-b] \to X}\) の一意性から、いま \(c_{N'[-b] \to X} = c_{N[-b] \to X}\) が従う。

したがって、\(X\) が幅 \(w + 1\) をもつときの同型 \(c_X : X \to F(X)\) を、 \(c_{N[-b] \to X}\) の共通の値として定義できる。ここで \(N[-b] \to X\) は補題 0GWF のような写像である。証明を完了するには、 \(f : X \to X'\) を、\(w(X) \leq w + 1\) および \(w(X') \leq w + 1\) を満たす対象間の任意の射とするとき、図式 (0FZX) が可換であることを示さなければならない。\(a \leq b \leq a + w\) を、\(H^i(X) = 0\) が \(i \not \in [a, b]\) に対して成り立つように選び、 \(a' \leq b' \leq a' + w\) を、\(H^i(X') = 0\) が \(i \not \in [a', b']\) に対して成り立つように選ぶ。主張を示すため \((b' - a') + (b - a)\) に関する帰納法を用いる。（この数が零の場合が基底であり、\(w \geq 1\) なのでこれはよい。）二つの場合に分ける。

場合 I：\(b' < b\)。この場合、補題 0GWG により、補題 0GWF のような \(N[-b] \to X\) を、合成 \(N[-b] \to X \to X'\) が零となるように選べる。

識別三角 \(N[-b] \to X \to Y \to N[-b + 1]\) を選ぶ。 \(N[-b] \to X'\) は零なので、\(f\) は \(X \to Y \to X'\) と分解する。 \(H^i(Y)\) は \(i \in [a, b - 1]\) に対してのみ零でないから、帰納法により (0FZX) は \(Y \to X'\) に対して可換である。図式 (0FZX) は \(X \to Y\) に対して、\(w(X) = w + 1\) ならば構成により、\(w(X) \leq w\) ならば第一の帰納法の仮定により可換である。したがって (0FZX) は \(f\) に対して可換である。

場合 II：\(b' \geq b\)。この場合、補題 0GWF のような \(N'[-b'] \to X'\) を選ぶ。さらに \(\Hom(H^{b'}(X), N') = 0\) と仮定してよい（これは \(b' = b\) の場合にのみ関係する）。実際、\(N'\) を対象 \(N''\) で置き換えればよい。この対象は \(N' \oplus H^{b'}(X)\) への全射をもち、かつ \(\Hom(N' \oplus H^{b'}(X), N'') = 0\) を満たす。識別三角 \(N'[-b'] \to X' \to Y' \to N'[-b' + 1]\) を選ぶ。 \(\Hom(X, X') \to \Hom(X, Y')\) は \(N'\) の選び方により単射なので（詳細は省略）、 \(\Hom(X, F(X')) \to \Hom(X, F(Y'))\) についても同じである。したがってこの場合、合成 \(X \to Y'\)（射 \(X \to X' \to Y'\) の合成）に対して (0FZX) が可換であることを確かめれば十分である。 \(H^i(Y')\) は \(i \in [a', b' - 1]\) に対してのみ零でないので、帰納法の仮定から結論が従う。

充満忠実性の導出

関手がいつ充満忠実となるかを知ることは有用である。そこで [Orlov-K3, 補題 2.15] の次の変形を与える。

補題

\(F : \mathcal{D} \to \mathcal{D}'\) を三角圏の完全関手とする。 \(S \subset \Ob(\mathcal{D})\) を対象の集合とする。次を仮定する：

\(F\) は右随伴と左随伴の両方をもつ。

\(K \in \mathcal{D}\) に対し、\(\Hom(E, K[i]) = 0\) がすべての \(E \in S\) および \(i \in \mathbf{Z}\) について成り立つならば \(K = 0\) である。

\(K \in \mathcal{D}\) に対し、\(\Hom(K, E[i]) = 0\) がすべての \(E \in S\) および \(i \in \mathbf{Z}\) について成り立つならば \(K = 0\) である。

写像 \(\Hom(E, E'[i]) \to \Hom(F(E), F(E')[i])\) で \(F\) が誘導するものは、すべての \(E, E' \in S\) および \(i \in \mathbf{Z}\) に対して全単射である。

このとき \(F\) は充満忠実である。

証明

\(F_r\) および \(F_l\) で、それぞれ \(F\) の右随伴および左随伴を表す。 \(E \in S\) に対して識別三角 \[E \to F_r(F(E)) \to C \to E[1]\] を選ぶ。ここで第一の矢印は随伴の単位である。\(E' \in S\) に対して \[\Hom(E', F_r(F(E))[i]) = \Hom(F(E'), F(E)[i]) = \Hom(E', E[i])\] である。最後の等式は仮定 (4) による。したがってホモロジー的関手 \(\Hom(E', -)\)（導来圏、補題 0149）を上の識別三角に適用すると、\(\Hom(E', C[i]) = 0\) がすべての \(i \in \mathbf{Z}\) および \(E' \in S\) に対して成り立つと結論できる。仮定 (2) により \(C = 0\) および \(E = F_r(F(E))\) を得る。

\(K \in \Ob(\mathcal{D})\) に対して識別三角 \[F_l(F(K)) \to K \to C \to F_l(F(K))[1]\] を選ぶ。ここで第一の矢印は随伴の余単位である。\(E \in S\) に対して \[\Hom(F_l(F(K)), E[i]) = \Hom(F(K), F(E)[i]) = \Hom(K, F_r(F(E))[i]) = \Hom(K, E[i])\] である。最後の等式は第一段落の結果による。したがって前と同様に、 \(\Hom(C, E[i]) = 0\) がすべての \(E \in S\) および \(i \in \mathbf{Z}\) に対して成り立つと結論できる。ゆえに仮定 (3) により \(C = 0\) である。したがって \(F\) は圏、補題 07RB により充満忠実である。

補題

\(k\) を体とする。\(X\) を \(k\) 上有限型の正則スキームとする。 \(x \in X\) を閉点とする。連接 \(\mathcal{O}_X\)-加群 \(\mathcal{F}\) で \(x\) に台をもつものに対し、連接 \(\mathcal{O}_X\)-加群 \(\mathcal{F}'\) で \(x\) に台をもち、 \(\mathcal{F}_x\) と \(\mathcal{F}'_x\) が Matlis 双対となるものを選ぶ。このとき同型 \[\Hom_X(\mathcal{F}, M) = H^0(X, M \otimes_{\mathcal{O}_X}^\mathbf{L} \mathcal{F}'[-d_x])\] が存在する。ここで \(d_x = \dim(\mathcal{O}_{X, x})\) であり、

\(M\)（\(D_{perf}(\mathcal{O}_X)\) の対象）に関して関手的である。

証明

\(\mathcal{F}\) は \(x\) に台をもつので、 \[\Hom_X(\mathcal{F}, M) = \Hom_{\mathcal{O}_{X, x}}(\mathcal{F}_x, M_x)\] であり、同様に \[H^0(X, M \otimes_{\mathcal{O}_X}^\mathbf{L} \mathcal{F}'[-d_x]) = \text{Tor}^{\mathcal{O}_{X, x}}_{d_x}(M_x, \mathcal{F}'_x)\] である。したがって、次を示せば十分である。Noether 正則局所環 \(A\)（次元 \(d\)）と有限長 \(A\)-加群 \(N\) が与えられ、\(N'\) が \(N\) の Matlis 双対ならば、関手的同型 \[\Hom_A(N, K) = \text{Tor}^A_d(K, N')\] が \(K\)（\(D_{perf}(A)\) の対象）に対して存在する。左辺は \(H^0(R\Hom_A(N, A) \otimes_A^\mathbf{L} K)\) と書ける。これはさらに代数、補題 07VI と、\(N\) が \(D(A)\) の完全対象を定めるという事実による。したがって公式は、 \[R\Hom_A(N, A) = R\Hom_A(N, A[d])[-d] = N'[-d]\] であることから従う。これは双対化複体、補題 0A7Q と、\(A[d]\) が \(A\) 上の正規化された双対化複体であることによる（\(A\) は双対化複体、補題 0AWX により Gorenstein である）。

補題

\(k\) を体とする。\(X\) を \(k\) 上有限型の正則スキームとする。 \(x \in X\) を閉点とし、\(\mathcal{O}_x\) で \(x\) における値が \(\kappa(x)\) である摩天楼層を表す。\(K\) を \(D_{perf}(\mathcal{O}_X)\) の対象とする。

\(\Ext^i_X(\mathcal{O}_x, K) = 0\) ならば、開近傍 \(U\) であって \(x\) を含み、 \(H^{i - d_x}(K)|_U = 0\) を満たすものが存在する。ここで \(d_x = \dim(\mathcal{O}_{X, x})\) である。

\(\Hom_X(\mathcal{O}_x, K[i]) = 0\) がすべての \(i \in \mathbf{Z}\) に対して成り立つならば、\(K\) は \(x\) のある開近傍上で零である。

\(\Ext^i_X(K, \mathcal{O}_x) = 0\) ならば、開近傍 \(U\) であって \(x\) を含み、 \(H^i(K^\vee)|_U = 0\) を満たすものが存在する。

\(\Hom_X(K, \mathcal{O}_x[i]) = 0\) がすべての \(i \in \mathbf{Z}\) に対して成り立つならば、\(K\) は \(x\) のある開近傍上で零である。

\(H^i(X, K \otimes_{\mathcal{O}_X}^\mathbf{L} \mathcal{O}_x) = 0\) ならば、開近傍 \(U\) であって \(x\) を含み、\(H^i(K)|_U = 0\) を満たすものが存在する。

\(H^i(X, K \otimes_{\mathcal{O}_X}^\mathbf{L} \mathcal{O}_x) = 0\) がすべての \(i \in \mathbf{Z}\) に対して成り立つならば、\(K\) は \(x\) のある開近傍上で零である。

証明

次に注意する：\(H^i(X, K \otimes_{\mathcal{O}_X}^\mathbf{L} \mathcal{O}_x)\) は \(K_x \otimes_{\mathcal{O}_{X, x}}^\mathbf{L} \kappa(x)\) に等しい。したがって (5) はさらに代数、補題 068U から従う。(6) は (5) から従う。 (1) は (5)、補題 0G02、および \(\kappa(x)\) の Matlis 双対が \(\kappa(x)\) であるという事実から従う。(2) は (1) から従う。 (3) は (5) と、 \(\Ext^i(K, \mathcal{O}_x) = H^i(X, K^\vee \otimes_{\mathcal{O}_X}^\mathbf{L} \mathcal{O}_x)\) がコホモロジー、補題 08DQ により成り立つことから従う。(4) は (3) と、いま引用した補題による \(K \cong (K^\vee)^\vee\) から従う。

補題

\(X\) を Noether スキームとする。\(x \in X\) を閉点とし、\(\mathcal{O}_x\) で \(x\) における値が \(\kappa(x)\) である摩天楼層を表す。 \(K\) を \(D^b_{\textit{Coh}}(\mathcal{O}_X)\) の対象とする。 \(b \in \mathbf{Z}\) とする。次は同値である：

\(H^i(K)_x = 0\) がすべての \(i > b\) に対して成り立つ。

\(\Hom_X(K, \mathcal{O}_x[-i]) = 0\) がすべての \(i > b\) に対して成り立つ。

証明

\(K_x\) を \(D^b_{\textit{Coh}}(\mathcal{O}_{X, x})\) 内の複体として考える。

整数 \(b_x \in \mathbf{Z}\) が存在して、\(K_x\) は上に有界な複体 \[\ldots \to \mathcal{O}_{X, x}^{\oplus n_{b_x - 2}} \to \mathcal{O}_{X, x}^{\oplus n_{b_x - 1}} \to \mathcal{O}_{X, x}^{\oplus n_{b_x}} \to 0 \to \ldots\] で表せる。ここで \(\mathcal{O}_{X, x}^{\oplus n_i}\) は次数 \(i\) に位置し、すべての遷移写像は係数が \(\mathfrak m_x\) に属する行列で与えられる。さらに代数、補題 0BCC を参照せよ。結果はこれから容易に従う（そして同値な条件が成り立つことと \(b \geq b_x\) は同値である）。

補題

\(k\) を体とする。\(X\) と \(Y\) を \(k\) 上固有なスキームとする。 \(X\) は正則であると仮定する。このとき \(k\)-線形完全関手 \(F : D_{perf}(\mathcal{O}_X) \to D_{perf}(\mathcal{O}_Y)\) が充満忠実であることと、任意の閉点 \(x, x' \in X\) に対して写像 \[F : \Ext^i_X(\mathcal{O}_x, \mathcal{O}_{x'}) \longrightarrow \Ext^i_Y(F(\mathcal{O}_x), F(\mathcal{O}_{x'}))\] がすべての \(i \in \mathbf{Z}\) に対して同型であることは同値である。ここで \(\mathcal{O}_x\) は \(x\) における値が \(\kappa(x)\) である摩天楼層である。

証明

補題 0FYN により関手 \(F\) は左随伴と右随伴の両方をもつ。したがって補題 0G24 の判定法を適用できる。実際、同補題の仮定 (2) と (3) は補題 0G03 から従う。

補題

\(k\) を体とする。\(X\) を \(k\) 上固有な正則スキームとする。 \(F : D_{perf}(\mathcal{O}_X) \to D_{perf}(\mathcal{O}_X)\) を \(k\)-線形完全関手とする。任意の連接 \(\mathcal{O}_X\)-加群 \(\mathcal{F}\) で \(\dim(\text{Supp}(\mathcal{F})) = 0\) を満たすものに対して、同型 \(\mathcal{F} \cong F(\mathcal{F})\) が存在すると仮定する。このとき \(F\) は充満忠実である。

証明

補題 0G25 により、写像 \[F : \Ext^i_X(\mathcal{O}_x, \mathcal{O}_{x'}) \longrightarrow \Ext^i_X(F(\mathcal{O}_x), F(\mathcal{O}_{x'}))\] がすべての \(i \in \mathbf{Z}\) とすべての閉点 \(x, x' \in X\) に対して同型であることを示せば十分である。仮定により、始域と終域は同型である。 \(x \not = x'\) ならば両辺は零であり、結果は成り立つ。 \(x = x'\) ならば、写像が単射または全射のいずれかであることを示せば十分である。 \(i < 0\) では両辺は零であり、結果は成り立つ。\(i = 0\) のとき、零でない任意の写像 \(\alpha : \mathcal{O}_x \to \mathcal{O}_x\) で \(\mathcal{O}_X\)-加群の射であるものは同型である。したがって \(F(\alpha)\) も同型であり、それゆえ \(F(\alpha)\) は零でない。

よって \(i = 0\) の場合の結果が従う。\(i = 1\) のとき、零でない元 \(\xi\)（\(\Ext^1(\mathcal{O}_x, \mathcal{O}_x)\) の元）は非分裂短完全列 \[0 \to \mathcal{O}_x \to \mathcal{F} \to \mathcal{O}_x \to 0\] に対応する。\(F(\mathcal{F}) \cong \mathcal{F}\) なので、\(F(\mathcal{F})\) も \(\mathcal{O}_x\) の \(\mathcal{O}_x\) による非分裂拡大である。 \(\mathcal{O}_x \cong F(\mathcal{O}_x)\) は単純 \(\mathcal{O}_X\)-加群であり、 \(\mathcal{F} \cong F(\mathcal{F})\) の長さは \(2\) なので、識別三角 \[F(\mathcal{O}_x) \to F(\mathcal{F}) \to F(\mathcal{O}_x) \xrightarrow{F(\xi)} F(\mathcal{O}_x)[1]\] における最初の二本の矢印は短完全列をなし、この短完全列は上の短完全列と同型でなければならず、したがって非分裂である。これより \(F(\xi)\) は零でなく、 \(i = 1\) の場合が従う。\(i > 1\) に対して Ext 類の合成は全射 \[\Ext^1(F(\mathcal{O}_x), F(\mathcal{O}_x)) \otimes \ldots \otimes \Ext^1(F(\mathcal{O}_x), F(\mathcal{O}_x)) \longrightarrow \Ext^i(F(\mathcal{O}_x), F(\mathcal{O}_x))\] を定める。スキームの双対性、補題 0BQY を参照せよ。したがって次数 \(1\) における全射性から \(i > 0\) における全射性が従う。これで証明は完了する。

特殊な関手

この節では、この章の後半で用いる特殊な型の関手に関する結果をいくつか証明する。

定義

\(k\) を体とする。\(X\), \(Y\) を \(k\) 上有限型スキームとする。 \(D^b_{\textit{Coh}}(\mathcal{O}_X) = D^b(\textit{Coh}(\mathcal{O}_X))\) であることを思い出そう。これはスキームの導来圏、命題 0FDB による。二つの \(k\)-線形完全関手 \[F, F' : D^b_{\textit{Coh}}(\mathcal{O}_X) = D^b(\textit{Coh}(\mathcal{O}_X)) \longrightarrow D^b_{\textit{Coh}}(\mathcal{O}_Y)\] を同胞という。または \(F'\) は \(F\) の同胞であるという。これは \(F\) と \(F'\) が定義 0FZT の意味で、アーベル圏を \(\textit{Coh}(\mathcal{O}_X)\) として同胞であることを意味する。 \(X\) が正則ならば、 \(D_{perf}(\mathcal{O}_X) = D^b_{\textit{Coh}}(\mathcal{O}_X)\) である。これはスキームの導来圏、補題 0FXU による。このとき \(k\)-線形完全関手 \(F, F' : D_{perf}(\mathcal{O}_X) \to D_{perf}(\mathcal{O}_Y)\) にも同じ用語を用いる。

補題

\(k\) を体とする。\(X\), \(Y\) を \(k\) 上有限型スキームとし、\(X\) は分離的とする。 \(F : D^b_{\textit{Coh}}(\mathcal{O}_X) \to D^b_{\textit{Coh}}(\mathcal{O}_Y)\) を \(k\)-線形完全関手であって、 \(\textit{Coh}(\mathcal{O}_X) \subset D^b_{\textit{Coh}}(\mathcal{O}_X)\) を \(\textit{Coh}(\mathcal{O}_Y) \subset D^b_{\textit{Coh}}(\mathcal{O}_Y)\) へ送るものとする。このとき Fourier–Mukai 関手 \(F' : D^b_{\textit{Coh}}(\mathcal{O}_X) \to D^b_{\textit{Coh}}(\mathcal{O}_Y)\) であって、その核が連接 \(\mathcal{O}_{X \times Y}\)-加群 \(\mathcal{K}\) で、 \(X\) 上平坦かつ \(Y\) 上有限な台をもち、さらに \(F\) の同胞であるものが存在する。

証明

\(H : \textit{Coh}(\mathcal{O}_X) \to \textit{Coh}(\mathcal{O}_Y)\) で \(F\) の制限を表す。 \(F\) は三角圏の完全関手なので、\(H\) はアーベル圏の完全関手である。もちろん \(H\) は \(k\)-線形であり、これは \(F\) がそうだからである。関手と射、補題 0FZN により、連接 \(\mathcal{O}_{X \times Y}\)-加群 \(\mathcal{K}\) であって、\(X\) 上平坦かつ \(Y\) 上有限な台をもつものを得る。\(F'\) を \(\mathcal{K}\) を用いて定義される Fourier–Mukai 関手で、\(F'\) が \(H\) に \(\textit{Coh}(\mathcal{O}_X)\) 上で制限されるものとする。関手 \(F'\) は \(D^b_{\textit{Coh}}(\mathcal{O}_X)\) を \(D^b_{\textit{Coh}}(\mathcal{O}_Y)\) に送る。これは補題 0FYU による。

\(F\) と \(F'\) は補題 0FZU の第一条件と第二条件を満たすので、同胞である。

注意

同胞 \(F, F' : D^b_{\textit{Coh}}(\mathcal{O}_X) \to \mathcal{D}\) に対して、 \(F\) が充満忠実であり、\(X\) が \(k\) 上被約かつ射影的ならば \(F \cong F'\) である。これは命題 0FZW から、定理 0G0C の証明で与える議論を通じて従う。しかし一般には、同胞が同型であるかどうかは分からない。補題 0G00 の状況でさえ、同胞 \(F\) と \(F'\) が同型な関手であることを証明するのは難しいように思われる。\(X\) が \(k\) 上滑らかかつ固有であり、\(F\) が充満忠実ならば、[Noah] が示すように \(F \cong F'\) である。

より一般の状況で証明または反例をお持ちなら、次へ電子メールを送ってほしい： stacks.project@gmail.com.

補題

\(k\) を体とする。\(X\), \(Y\) を \(k\) 上固有なスキームとする。 \(X\) は正則であると仮定する。 \(F, G : D_{perf}(\mathcal{O}_X) \to D_{perf}(\mathcal{O}_Y)\) を、次を満たす \(k\)-線形完全関手とする：

\(F(\mathcal{F}) \cong G(\mathcal{F})\) が、任意の連接 \(\mathcal{O}_X\)-加群 \(\mathcal{F}\) で \(\dim(\text{Supp}(\mathcal{F})) = 0\) を満たすものに対して成り立つ。

\(F\) は充満忠実である。

このとき \(G\) の本質像は \(F\) の本質像に含まれる。

証明

\(F\) と \(G\) は両方の随伴をもつことを思い出そう。補題 0FYN を参照せよ。特に、本質像 \(\mathcal{A} \subset D_{perf}(\mathcal{O}_Y)\)（\(F\) の本質像）は導来圏、補題 0CQS の同値な条件を満たす。 \(G\) は \(\mathcal{A}\) を経由すると主張する。 \(\mathcal{A} = {}^\perp(\mathcal{A}^\perp)\) が導来圏、補題 0CQS により成り立つので、 \(\Hom_Y(G(M), N) = 0\) が、すべての \(M\)（\(D_{perf}(\mathcal{O}_X)\) の対象）および \(N \in \mathcal{A}^\perp\) に対して成り立つことを示せば十分である。このとき \[\Hom_Y(G(M), N) = \Hom_X(M, G_r(N))\] である。ここで \(G_r\) は \(G\) の右随伴である。したがって \(G_r(N) = 0\) を示せば十分である。\(G(\mathcal{F}) \cong F(\mathcal{F})\) が (1) のような \(\mathcal{F}\) に対して成り立つので、 \[\Hom_X(\mathcal{F}, G_r(N)) = \Hom_Y(G(\mathcal{F}), N) = \Hom_Y(F(\mathcal{F}), N) = 0\] を得る。これは \(N\) が本質像 \(\mathcal{A}\)（\(F\) の本質像）の右直交に属するからである。もちろん、同じ消滅が \(\Hom_X(\mathcal{F}, G_r(N)[i])\) について任意の \(i \in \mathbf{Z}\) に対して成り立つ。したがって \(G_r(N) = 0\) である。これは補題 0G03 により従い、証明できた。

補題

\(k\) を体とする。\(X\) を \(k\) 上固有な正則スキームとする。 \(F : D_{perf}(\mathcal{O}_X) \to D_{perf}(\mathcal{O}_X)\) を \(k\)-線形完全関手とする。任意の連接 \(\mathcal{O}_X\)-加群 \(\mathcal{F}\) で \(\dim(\text{Supp}(\mathcal{F})) = 0\) を満たすものに対し、同型 \(\mathcal{F} \cong F(\mathcal{F})\) が存在すると仮定する。このとき自己同型 \(f : X \to X\) が \(k\) 上存在し、台となる位相空間上で恒等写像を誘導する¹。さらに可逆な \(\mathcal{O}_X\)-加群 \(\mathcal{L}\) が存在して、\(F\) と \(F'(M) = f^*M \otimes_{\mathcal{O}_X}^\mathbf{L} \mathcal{L}\) は同胞である。

証明

補題 0G26 により関手 \(F\) は充満忠実である。補題 0GX0 により恒等関手の本質像は \(F\) の本質像に含まれる。すなわち \(F\) は本質的全射である。したがって \(F\) は同値である。擬逆 \(F^{-1}\) は \(F\) と同じ仮定を満たすことに注意する。

\(M \in D_{perf}(\mathcal{O}_X)\) とし、\(H^i(M) = 0\) が \(i > b\) に対して成り立つとする。\(F\) は充満忠実なので、 \[\Hom_X(M, \mathcal{O}_x[-i]) = \Hom_X(F(M), F(\mathcal{O}_x)[-i]) \cong \Hom_X(F(M), \mathcal{O}_x[-i])\] が任意の \(i \in \mathbf{Z}\) および任意の閉点 \(x\)（\(X\) の閉点）に対して成り立つ。したがって補題 0GWZ により、\(F(M)\) のコホモロジー層は次数 \(> b\) で消滅する。

\(\mathcal{F}\) を連接 \(\mathcal{O}_X\)-加群とする。上の議論により \(F(\mathcal{F})\) の非零コホモロジー層は次数 \(\leq 0\) にしか現れない。 \(\mathcal{G} = H^0(F(\mathcal{F}))\) とおく。区別三角形 \[K \to F(\mathcal{F}) \to \mathcal{G} \to K[1]\] を選ぶ。このとき \(K\) の非零コホモロジー層は次数 \(\leq -1\) にしか現れない。 \(F^{-1}\) を作用させると区別三角形

\[F^{-1}(K) \to \mathcal{F} \to F^{-1}(\mathcal{G}) \to F^{-1}(K')[1]\] を得る。\(F^{-1}(K)\) の非零コホモロジー層は次数 \(\leq -1\) にしか現れない（前段を \(F^{-1}\) に適用する）ので、射 \(F^{-1}(K) \to \mathcal{F}\) は零である（導来圏、補題 06XS）。したがって \(K \to F(\mathcal{F})\) は零であり、最初の区別三角形の選び方から \(F(\mathcal{F}) = \mathcal{G}\) が従う。

前段から、\(F\) は \(\textit{Coh}(\mathcal{O}_X)\) を保ち、実際に同値 \(H : \textit{Coh}(\mathcal{O}_X) \to \textit{Coh}(\mathcal{O}_X)\) を定める。関手と射、補題 0FZR により、自己同型 \(f : X \to X\) が \(k\) 上存在し、可逆な \(\mathcal{O}_X\)-加群 \(\mathcal{L}\) が存在して、\(H(\mathcal{F}) = f^*\mathcal{F} \otimes \mathcal{L}\) となる。\(F'(M) = f^*M \otimes_{\mathcal{O}_X}^\mathbf{L} \mathcal{L}\) とおく。補題 0FZU により、\(F\) と \(F'\) は同胞である。 \(f\) が \(X\) の台となる位相空間上で恒等写像であることは、 \(F(\mathcal{O}_x) \cong \mathcal{O}_x\) であり、\(\mathcal{O}_x\) の台が \(\{x\}\) であることから分かる。これで証明が完了する。

補題

\(k\) を体とする。\(X\), \(Y\) を \(k\) 上固有なスキームとする。

\(X\) は正則であると仮定する。 \(F, G : D_{perf}(\mathcal{O}_X) \to D_{perf}(\mathcal{O}_Y)\) を、次を満たす \(k\)-線形完全関手とする：

\(F(\mathcal{F}) \cong G(\mathcal{F})\) が、任意の連接 \(\mathcal{O}_X\)-加群 \(\mathcal{F}\) で \(\dim(\text{Supp}(\mathcal{F})) = 0\) を満たすものに対して成り立つ。

\(F\) は充満忠実である。

\(G\) は、その核が \(D_{perf}(\mathcal{O}_{X \times Y})\) に属する Fourier–Mukai 関手である。

このとき、Fourier–Mukai 関手 \(F' : D_{perf}(\mathcal{O}_X) \to D_{perf}(\mathcal{O}_Y)\) で、その核が \(D_{perf}(\mathcal{O}_{X \times Y})\) に属するものが存在し、 \(F\) と \(F'\) は同胞である。

証明

\(G\) の本質像は \(F\) の本質像に含まれる。これは補題 0GX0 による。関手 \(H = F^{-1} \circ G\) を考える。 \(F\) は充満忠実なので、これは意味をもつ。補題 0G27 により、自己同型 \(f : X \to X\) と可逆な \(\mathcal{O}_X\)-加群 \(\mathcal{L}\) が存在し、関手 \(H' : K \mapsto f^*K \otimes \mathcal{L}\) は \(H\) の同胞である。特に \(H\) は補題 0FZV により自己同値であり、さらに \(H\) は \(\textit{Coh}(\mathcal{O}_X)\) の自己同値を誘導する（その同胞関手 \(H'\) についてそうだからである）。したがって擬逆 \(H^{-1}\) と \((H')^{-1}\) が存在し、両者は同胞である（細部は省略する）。また \((H')^{-1}\) は \(M\) を \((f^{-1})^*(M \otimes_{\mathcal{O}_X}^\mathbf{L} \mathcal{L}^{\otimes -1})\) へ送り、これは Fourier–Mukai 関手である（細部は省略する）。したがって当然、 \(F = G \circ H^{-1}\) は \(G \circ (H')^{-1}\) の同胞である。 Fourier–Mukai 関手の合成は補題 0FYS により Fourier–Mukai 関手なので、結論を得る。

充満忠実関手

この節の目標は、[Orlov-K3] と [Ballard] に従い、導来圏の間の充満忠実関手が Fourier–Mukai 関手の同胞であることを証明することである。

設定

ここで \(k\) は体である。\(X\) と \(Y\) は \(k\) 上固有かつ滑らかなスキームとする。 \(k\)-線形で完全かつ充満忠実な関手 \(F : D_{perf}(\mathcal{O}_X) \to D_{perf}(\mathcal{O}_Y)\) が与えられている。

先へ進む前に、導来圏、節 0D7Y の少なくとも一部を読んでおくのがよい。

\(X\) は正則であり、したがって分解性をもつことを思い出そう（多様体、補題 056S およびスキームの導来圏、補題 0F8A）。したがって \(X \times X\) 上で分解 \[\ldots \to \mathcal{E}_2 \boxtimes \mathcal{G}_2 \to \mathcal{E}_1 \boxtimes \mathcal{G}_1 \to \mathcal{E}_0 \boxtimes \mathcal{G}_0 \to \mathcal{O}_\Delta \to 0\] を選べる。ここで各 \(\mathcal{E}_i\) と \(\mathcal{G}_i\) は有限局所自由 \(\mathcal{O}_X\)-加群である。補題 0FZ2 を参照せよ。複体 [0G09]\[\begin{equation} \ldots \to \mathcal{E}_2 \boxtimes \mathcal{G}_2 \to \mathcal{E}_1 \boxtimes \mathcal{G}_1 \to \mathcal{E}_0 \boxtimes \mathcal{G}_0 \end{equation}\] を \(D_{perf}(\mathcal{O}_{X \times X})\) において、導来圏、例 0D8Z のように用いる。各 \(n\) に対して \[M_n = (\mathcal{E}_n \boxtimes \mathcal{G}_n \to \ldots \to \mathcal{E}_0 \boxtimes \mathcal{G}_0)[-n]\] と表せば、複体 (0G09) の無限ポストニコフ系を得る。これは、射 \(M_0 \to M_1[1] \to M_2[2] \to \ldots\)、 \(M_n \to \mathcal{E}_n \boxtimes \mathcal{G}_n\)、および \(\mathcal{E}_n \boxtimes \mathcal{G}_n \to M_{n - 1}\) が、導来圏、定義 0D7Z に記された一定の条件を満たすことを意味する。次のようにおく： \[\mathcal{F}_n = \Ker(\mathcal{E}_n \boxtimes \mathcal{G}_n \to \mathcal{E}_{n - 1} \boxtimes \mathcal{G}_{n - 1})\] \(\mathcal{O}_\Delta\) は \(X\) 上 \(\text{pr}_1\) を介して平坦なので、 \(\mathcal{F}_n\) も任意の \(n\) に対して同様であることに注意する（これは便利だが本質的ではない観察である）。次が成り立つ： \[H^q(M_n[n]) = \left\{ \begin{matrix} \mathcal{O}_\Delta & \text{の場合} & q = 0 \\ \mathcal{F}_n & \text{の場合} & q = -n \\ 0 & \text{の場合} & q \not = 0, -n \end{matrix} \right.\] したがって \(n \geq \dim(X \times X)\) に対して \[M_n[n] \cong \mathcal{O}_\Delta \oplus \mathcal{F}_n[n]\] が \(D_{perf}(\mathcal{O}_{X \times X})\) で成り立つ。これは補題 0FZ4 による。

ここで関心があるのは複体 [0G0A]\[\begin{equation} \ldots \to \mathcal{E}_2 \boxtimes F(\mathcal{G}_2) \to \mathcal{E}_1 \boxtimes F(\mathcal{G}_1) \to \mathcal{E}_0 \boxtimes F(\mathcal{G}_0) \end{equation}\] を \(D_{perf}(\mathcal{O}_{X \times Y})\) で考えたものである。この複体の「全複体化」が、構成しようとしている Fourier–Mukai 関手の核を与えるはずだからである。任意の \(i, j \geq 0\) に対して \[\begin{align*} \Ext^q_{X \times Y}(\mathcal{E}_i \boxtimes F(\mathcal{G}_i), \mathcal{E}_j \boxtimes F(\mathcal{G}_j)) & = \bigoplus\nolimits_p \Ext^{q + p}_X(\mathcal{E}_i, \mathcal{E}_j) \otimes_k \Ext^{-p}_Y(F(\mathcal{G}_i), F(\mathcal{G}_j)) \\ & = \bigoplus\nolimits_p \Ext^{q + p}_X(\mathcal{E}_i, \mathcal{E}_j) \otimes_k \Ext^{-p}_X(\mathcal{G}_i, \mathcal{G}_j) \end{align*}\] となる。第二の等号は \(F\) が充満忠実であることから従い、第一の等号はスキームの導来圏、補題 0FXZ による。これらの \(\Ext^q\) は \(q < 0\) に対して零である。したがって導来圏、補題 0D83 により、複体 (0G0A) に対する無限ポストニコフ系 \(K_0, K_1, K_2, \ldots\) を \(D_{perf}(\mathcal{O}_{X \times Y})\) の中に構成できる。 \(M_0, M_1, M_2, \ldots\) の場合と平行に、これは射 \(K_0 \to K_1[1] \to K_2[2] \to \ldots\)、 \(K_n \to \mathcal{E}_n \boxtimes F(\mathcal{G}_n)\)、および \(\mathcal{E}_n \boxtimes F(\mathcal{G}_n) \to K_{n - 1}\) を \(D_{perf}(\mathcal{O}_{X \times Y})\) の中に得ることを意味する。これらは導来圏、定義 0D7Z に記された一定の条件を満たす。

\(\mathcal{F}\) を、台が有限個の点からなる連接 \(\mathcal{O}_X\)-加群、すなわち \(\dim(\text{Supp}(\mathcal{F})) = 0\) を満たすものとする。三角圏の完全関手 \[D_{perf}(\mathcal{O}_{X \times Y}) \longrightarrow D_{perf}(\mathcal{O}_Y),\quad N \longmapsto R\text{pr}_{2, *}(\text{pr}_1^*\mathcal{F} \otimes^\mathbf{L}_{\mathcal{O}_{X \times Y}} N)\] を考える。すると対象 \(R\text{pr}_{2, *}(\text{pr}_1^*\mathcal{F} \otimes^\mathbf{L}_{\mathcal{O}_{X \times Y}} K_i)\) は \(D_{perf}(\mathcal{O}_Y)\) 内の複体に対するポストニコフ系をなし、その項は \[R\text{pr}_{2, *}( (\mathcal{F} \otimes \mathcal{E}_i) \boxtimes F(\mathcal{G}_i)) = \Gamma(X, \mathcal{F} \otimes \mathcal{E}_i) \otimes_k F(\mathcal{G}_i) = F(\Gamma(X, \mathcal{F} \otimes \mathcal{E}_i) \otimes_k \mathcal{G}_i)\] である。ここでは \(\mathcal{F} \otimes \mathcal{E}_i\) の台が次元 \(0\) なので、その高次コホモロジーが消滅することを用いた。一方、完全関手 \[D_{perf}(\mathcal{O}_{X \times X}) \longrightarrow D_{perf}(\mathcal{O}_Y),\quad N \longmapsto F(R\text{pr}_{2, *}(\text{pr}_1^*\mathcal{F} \otimes^\mathbf{L}_{\mathcal{O}_{X \times X}} N))\] を適用すると、対象 \(F(R\text{pr}_{2, *}(\text{pr}_1^*\mathcal{F} \otimes^\mathbf{L}_{\mathcal{O}_{X \times X}} M_n))\) は \(D_{perf}(\mathcal{O}_Y)\) 内の複体に対する第二の無限ポストニコフ系をなし、その項は \[F(R\text{pr}_{2, *}( (\mathcal{F} \otimes \mathcal{E}_i) \boxtimes \mathcal{G}_i)) = F(\Gamma(X, \mathcal{F} \otimes \mathcal{E}_i) \otimes_k \mathcal{G}_i)\] である。これは先ほどと同じである。ポストニコフ系の一意性（導来圏、補題 0D83）を適用できる。実際、 \[\Ext^q_Y( F(\Gamma(X, \mathcal{F} \otimes \mathcal{E}_i) \otimes_k \mathcal{G}_i), F(\Gamma(X, \mathcal{F} \otimes \mathcal{E}_j) \otimes_k \mathcal{G}_j)) = 0, \quad q < 0\] が \(F\) の充満忠実性により成り立つからである。したがって同型の系 \[F(R\text{pr}_{2, *}(\text{pr}_1^*\mathcal{F} \otimes^\mathbf{L}_{\mathcal{O}_{X \times X}} M_n[n])) \cong R\text{pr}_{2, *}(\text{pr}_1^*\mathcal{F} \otimes^\mathbf{L}_{\mathcal{O}_{X \times Y}} K_n[n])\] を \(D_{perf}(\mathcal{O}_Y)\) の中に得る。この系は、次の射から \(D_{perf}(\mathcal{O}_Y)\) に誘導される射と両立する： \[M_{n - 1}[n - 1] \to M_n[n] \quad\text{および}\quad K_{n - 1}[n - 1] \to K_n[n]\] \[M_n \to \mathcal{E}_n \boxtimes \mathcal{G}_n \quad\text{および}\quad K_n \to \mathcal{E}_n \boxtimes F(\mathcal{G}_n)\] \[\mathcal{E}_n \boxtimes \mathcal{G}_n \to M_{n - 1} \quad\text{および}\quad \mathcal{E}_n \boxtimes F(\mathcal{G}_n) \to K_{n - 1}\] これらはポストニコフ系の構造の一部である。十分大きな \(n\) に対して直和分解

\[F(R\text{pr}_{2, *}(\text{pr}_1^*\mathcal{F} \otimes^\mathbf{L}_{\mathcal{O}_{X \times X}} M_n[n])) = F(\mathcal{F}) \oplus F(R\text{pr}_{2, *}( \text{pr}_1^*\mathcal{F} \otimes_{\mathcal{O}_{X \times Y}} \mathcal{F}_n ))[n]\]

を得る。これは上で構成した \(M_n\) の直和分解に対応する（上の式で通常のテンソル積を書けるように、\(\mathcal{F}_n\) が \(X\) 上 \(\text{pr}_1\) を介して平坦であることを用いたが、これは議論に本質的ではない）。補題 0FZ8 により整数 \(m \geq 0\) が存在し、この直和分解の第一成分の非零コホモロジー層は区間 \([-m, m]\) にしか現れず、第二成分の非零コホモロジー層は区間 \([-m - n, m + \dim(X) - n]\) にしか現れない。したがって系 \(K_0 \to K_1[1] \to K_2[2] \to \ldots\) は \(D_{perf}(\mathcal{O}_{X \times Y})\) の中で、必要なら \(m\) をより大きな整数に置き換えることにより、補題 0FZ9 の仮定を満たす。ゆえに \[K_n[n] = K \oplus C_n\] と \(n \gg 0\) に対して書け、これは遷移写像と両立し、\(C_n\) の非零コホモロジー層は範囲 \([-m - n, m - n]\) にしか現れない。

\(G\) で \(K\) に対応する Fourier–Mukai 関手を表す。すべてを合わせると \[\begin{matrix} G(\mathcal{F}) \oplus R\text{pr}_{2, *}( \text{pr}_1^*\mathcal{F} \otimes_{\mathcal{O}_{X \times Y}}^\mathbf{L} C_n) \cong \\ R\text{pr}_{2, *}(\text{pr}_1^*\mathcal{F} \otimes^\mathbf{L}_{\mathcal{O}_{X \times Y}} K_n[n]) \cong \\ F(R\text{pr}_{2, *}(\text{pr}_1^*\mathcal{F} \otimes^\mathbf{L}_{\mathcal{O}_{X \times X}} M_n[n])) \cong \\ F(\mathcal{F}) \oplus F(R\text{pr}_{2, *}( \text{pr}_1^*\mathcal{F} \otimes_{\mathcal{O}_{X \times Y}} \mathcal{F}_n ))[n] \end{matrix}\] 対象が存在する次数を調べると、\(n \gg m\) に対して同型 \[F(\mathcal{F}) \cong G(\mathcal{F})\] を得る。さらに、これは任意の連接 \(\mathcal{F}\)（\(X\) 上）で、その台の次元が \(0\) であるものに対して成り立つことを思い出そう。

補題

\(k\) を体とする。\(X\) と \(Y\) を \(k\) 上滑らかかつ固有なスキームとする。 \(k\)-線形で完全かつ充満忠実な関手 \(F : D_{perf}(\mathcal{O}_X) \to D_{perf}(\mathcal{O}_Y)\) が与えられると、Fourier–Mukai 関手 \(F' : D_{perf}(\mathcal{O}_X) \to D_{perf}(\mathcal{O}_Y)\) が存在する。その核は \(D_{perf}(\mathcal{O}_{X \times Y})\) に属し、これは \(F\) の同胞である。

証明

補題 0G06 を \(F\) と上で構成した関手 \(G\) に適用する。

次の定理は \(X\) が射影的であるという仮定なしでも成り立つ。 [Noah] を参照せよ。

定理

\(k\) を体とする。\(X\) と \(Y\) を \(k\) 上滑らかかつ固有なスキームとし、 \(X\) は \(k\) 上射影的とする。任意の \(k\)-線形充満忠実完全関手 \(F : D_{perf}(\mathcal{O}_X) \to D_{perf}(\mathcal{O}_Y)\) は、ある \(D_{perf}(\mathcal{O}_{X \times Y})\) 内の核に対する Fourier–Mukai 関手である。

証明

\(F'\) を、補題 0G0B のような \(F\) の同胞である Fourier–Mukai 関手とする。命題 0FZW により \(F \cong F'\) である。ただし、\(\textit{Coh}(\mathcal{O}_X)\) が十分多くの負対象をもつことを示せることを要する。しかし、たとえば \(X = \Spec(k)\) ならばこれは成り立たない。そこでまず \(X = \coprod X_i\) をその連結（かつ既約）成分に分解し、各（充満忠実な）合成関手 \[F_i : D_{perf}(\mathcal{O}_{X_i}) \to D_{perf}(\mathcal{O}_X) \to D_{perf}(\mathcal{O}_Y)\] について結果を証明すれば十分であることを示す。細部は省略する。したがって \(X\) は既約であると仮定してよい。

\(\dim(X) = 0\) の場合。このとき \(X\) は有限（分離）拡大 \(k'/k\) のスペクトルであり、したがって \(D_{perf}(\mathcal{O}_X)\) は次数付き \(k'\)-ベクトル空間の圏と同値である。この同値の下で \(\mathcal{O}_X\) は自明な \(1\)-次元ベクトル空間（次数 \(0\)）に対応する。任意の二つの同胞 \(F, F' : D_{perf}(\mathcal{O}_X) \to D_{perf}(\mathcal{O}_Y)\) が同型であることは直ちに分かる。実際、同型 \(F(\mathcal{O}_X) \cong F'(\mathcal{O}_X)\)

が与えられており、これは \(k\)-代数の作用と両立する： \(k' = \text{End}_{D_{perf}(\mathcal{O}_X)}(\mathcal{O}_X)\) この同型は任意の次数付き \(k'\)-ベクトル空間上の同型へ標準的に延長される。

\(\dim(X) > 0\) の場合。このとき \(X\) は次元 \(> 1\) の射影的滑らかな多様体である。

\(\mathcal{F}\) を連接 \(\mathcal{O}_X\)-加群とする。次を満たす連接加群 \(\mathcal{N}\) が存在することを示さなければならない：

全射 \(\mathcal{N} \to \mathcal{F}\) が存在する。

\(\Hom(\mathcal{F}, \mathcal{N}) = 0\) である。

豊富な可逆 \(\mathcal{O}_X\)-加群 \(\mathcal{L}\) を選ぶ。 \(\mathcal{N} = (\mathcal{L}^{\otimes n})^{\oplus r}\) は \(n \ll 0\) かつ十分大きな \(r\) に対して所望の性質をもつと主張する。条件 (1) は性質、命題 01Q3 から従う。最後に \[\Hom(\mathcal{F}, \mathcal{L}^{\otimes n}) = H^0(X, \SheafHom(\mathcal{F}, \mathcal{L}^{\otimes n})) = H^0(X, \SheafHom(\mathcal{F}, \mathcal{O}_X) \otimes \mathcal{L}^{\otimes n})\] である。双対 \(\SheafHom(\mathcal{F}, \mathcal{O}_X)\) は捩れなしなので、これは \(n \ll 0\) に対して消滅する。これは多様体、補題 0FD7 による。これで証明が完了する。

命題

\(k\) を体とする。\(X\) と \(Y\) を \(k\) 上滑らかかつ固有なスキームとする。 \(F : D_{perf}(\mathcal{O}_X) \to D_{perf}(\mathcal{O}_Y)\) が三角圏の \(k\)-線形完全同値ならば、Fourier–Mukai 関手 \(F' : D_{perf}(\mathcal{O}_X) \to D_{perf}(\mathcal{O}_Y)\) で、その核が \(D_{perf}(\mathcal{O}_{X \times Y})\) に属し、同値かつ \(F\) の同胞であるものが存在する。

証明

補題 0G0B の関手 \(F'\) は補題 0FZV により同値である。

補題

\(k\) を体とする。\(X\) を \(k\) 上滑らかかつ固有なスキームとする。 \(K \in D_{perf}(\mathcal{O}_{X \times X})\) とする。Fourier–Mukai 関手 \(\Phi_K : D_{perf}(\mathcal{O}_X) \to D_{perf}(\mathcal{O}_X)\) が恒等関手と同型ならば、

\(K \cong \Delta_*\mathcal{O}_X\) が \(_{perf}(\mathcal{O}_{X \times X})\) で成り立つ。

証明

\(i\) を、コホモロジー層 \(H^i(K)\) が非零となる最小の整数とする。 \(\mathcal{E}\) と \(\mathcal{G}\) を有限局所自由 \(\mathcal{O}_X\)-加群とする。このとき \[\begin{align*} H^i(X \times X, K \otimes_{\mathcal{O}_{X \times X}}^\mathbf{L} (\mathcal{E} \boxtimes \mathcal{G})) & = H^i(X, R\text{pr}_{2, *}(K \otimes_{\mathcal{O}_{X \times X}}^\mathbf{L} (\mathcal{E} \boxtimes \mathcal{G}))) \\ & = H^i(X, \Phi_K(\mathcal{E}) \otimes_{\mathcal{O}_X}^\mathbf{L} \mathcal{G}) \\ & \cong H^i(X, \mathcal{E} \otimes \mathcal{G}) \end{align*}\] となり、これは \(i < 0\) ならば零である。一方、\(\mathcal{E}\) と \(\mathcal{G}\) を、全射 \(\mathcal{E}^\vee \boxtimes \mathcal{G}^\vee \to H^i(K)\) が存在するように選べる。これは補題 0FZ0 による。この場合、上の等号列の左辺は非零である。したがって \(H^i(K) = 0\) が \(i < 0\) に対して成り立つ。

\(i\) を \(H^i(K)\) が非零となる最大の整数とする。\(\mathcal{E}\) と \(\mathcal{G}\) の台の次元を \(0\) とした同じ議論により \(i \leq 0\) が分かる。

したがって \(K\) は、一つの連接 \(\mathcal{O}_{X \times X}\)-加群 \(\mathcal{K}\) を次数 \(0\) に置いたものにより与えられる。

\(R\text{pr}_{2, *}(\text{pr}_1^*\mathcal{F} \otimes \mathcal{K})\) は \(\mathcal{F}\) なので、\(\mathcal{F}\) を閉点上に台をもつものとして選ぶと、 \(\mathcal{K}\) の台は \(X\) 上 \(\text{pr}_2\) を介して有限であることが分かる。 \(R\text{pr}_{2, *}(\mathcal{K}) \cong \mathcal{O}_X\) なので、関手と射、補題 0FZP により \(\mathcal{K} = s_*\mathcal{O}_X\) である。ここで \(s : X \to X \times X\) は第二射影のある切断である。このとき \(\Phi_K(M) = f^*M\) であり、ここで \(f = \text{pr}_1 \circ s\) である。これは \(s\) が対角射である場合にしか起こらず、望む結論を得る。

Fourier–Mukai 核の圏

\(S\) をスキームとする。次のような圏が存在すると主張する：

対象は \(S\) 上固有かつ滑らかなスキームである。
\(X\) から \(Y\) への射は \(D_{perf}(\mathcal{O}_{X \times_S Y})\) の対象の同型類である。
\(K \in D_{perf}(\mathcal{O}_{X \times_S Y})\) の同型類と、\(K'\) の \(D_{perf}(\mathcal{O}_{Y \times_S Z})\) における同型類との合成は、 \[R\text{pr}_{13, *}( L\text{pr}_{12}^*K \otimes_{\mathcal{O}_{X \times_S Y \times_S Z}}^\mathbf{L} L\text{pr}_{23}^*K')\] の同型類である。これは \(D_{perf}(\mathcal{O}_{X \times_S Z})\) に属する。スキームの導来圏、補題 0B91 による。
\(X\) から \(X\) への恒等射は \(\Delta_{X/S, *}\mathcal{O}_X\) の同型類である。これは \(D_{perf}(\mathcal{O}_{X \times_S X})\) に属する。実際、射についてさらに、補題 0G2E、および \(\Delta_{X/S}\) が完全射であるという事実を用いる。この事実は因子、補題 067U と射についてさらに、補題 068C による。

射の合成の結合則が成り立つことを確認しよう。恒等射が実際に恒等射であることの確認は省略する。このため、\(X, Y, Z, W\) と \(c \in D_{perf}(\mathcal{O}_{X \times_S Y})\)、 \(c' \in D_{perf}(\mathcal{O}_{Y \times_S Z})\)、および \(c'' \in D_{perf}(\mathcal{O}_{Z \times_S W})\) が与えられているとする。このとき \[\begin{align*} c'' \circ (c' \circ c) & \cong \text{pr}^{134}_{14, *}( \text{pr}^{134, *}_{13} \text{pr}^{123}_{13, *}(\text{pr}^{123, *}_{12}c \otimes \text{pr}^{123, *}_{23}c') \otimes \text{pr}^{134, *}_{34}c'') \\ & \cong \text{pr}^{134}_{14, *}( \text{pr}^{1234}_{134, *} \text{pr}^{1234, *}_{123}(\text{pr}^{123, *}_{12}c \otimes \text{pr}^{123, *}_{23}c') \otimes \text{pr}^{134, *}_{34}c'') \\ & \cong \text{pr}^{134}_{14, *}( \text{pr}^{1234}_{134, *} (\text{pr}^{1234, *}_{12}c \otimes \text{pr}^{1234, *}_{23}c') \otimes \text{pr}^{134, *}_{34}c'') \\ & \cong \text{pr}^{134}_{14, *} \text{pr}^{1234}_{134, *} ((\text{pr}^{1234, *}_{12}c \otimes \text{pr}^{1234, *}_{23}c') \otimes \text{pr}^{1234, *}_{34}c'') \\ & \cong \text{pr}^{1234}_{14, *}( (\text{pr}^{1234, *}_{12}c \otimes \text{pr}^{1234, *}_{23}c') \otimes \text{pr}^{1234, *}_{34}c'') \end{align*}\]

ここでは記法 \[p^{1234}_{134} : X \times_S Y \times_S Z \times_S W \to X \times_S Z \times_S W \quad\text{および}\quad p^{134}_{14} : X \times_S Z \times_S W \to X \times_S W\] をこれらの射影に用い、他の添字についても同様とする。また \(\text{pr}_*\) と書いて \(R\text{pr}_*\) を表し、\(\text{pr}^*\) と書いて \(L\text{pr}^*\) を表す。さらに、\(\otimes\) のすべての

上付き添字と下付き添字を省略する。第一の等号は合成の定義である。第二の等号は \(\text{pr}^{134, *}_{13} \text{pr}^{123}_{13, *} = \text{pr}^{1234}_{134, *} \text{pr}^{1234, *}_{123}\) が基底変換により成り立つことから従う（スキームの導来圏、補題 08IB）。第三の等号は、引き戻しが正しく合成され、テンソル積を通過することから従う。コホモロジー、補題 0D5S および 079U を参照せよ。第四の等号は \(p^{1234}_{134}\) に対する「射影公式」から従う。スキームの導来圏、補題 08EU を参照せよ。第五の等号は、固有順像が合成と両立するという事実である。コホモロジー、補題 0D5T を参照せよ。テンソル積は結合的なので、これで合成の結合則の証明が完了する。

補題

\(S' \to S\) をスキームの射とする。次の規則を考える：

滑らかかつ固有なスキーム \(X\)（\(S\) 上）を \(X' = S' \times_S X\) へ送る。

対象 \(K\)（\(D_{perf}(\mathcal{O}_{X \times_S Y})\) の対象）の同型類を \(L(X' \times_{S'} Y' \to X \times_S Y)^*K\) の \(D_{perf}(\mathcal{O}_{X' \times_{S'} Y'})\) における同型類へ送る。

これは \(S\) に対して定義した圏から \(S'\) に対して定義した圏への関手である。

証明

これを見るため、\(X, Y, Z\) と \(K \in D_{perf}(\mathcal{O}_{X \times_S Y})\) および \(M \in D_{perf}(\mathcal{O}_{Y \times_S Z})\) が与えられているとする。

\(K' \in D_{perf}(\mathcal{O}_{X' \times_{S'} Y'})\) および \(M' \in D_{perf}(\mathcal{O}_{Y' \times_{S'} Z'})\) で、補題の主張にあるそれぞれの引き戻しを表す。図式 \[\xymatrix{ X' \times_{S'} Y' \times_{S'} Z' \ar[r] \ar[d]_{\text{pr}'_{13}} & X \times_S Y \times_S Z \ar[d]^{\text{pr}_{13}} \\ X' \times_{S'} Z' \ar[r] & X \times_S Z }\] はデカルトであり、\(\text{pr}_{13}\) は固有かつ滑らかである。スキームの導来圏、補題 0B91 により、下の水平射による合成の導来引き戻し \[R\text{pr}_{13, *}( L\text{pr}_{12}^*K \otimes_{\mathcal{O}_{X \times_S Y \times_S Z}}^\mathbf{L} L\text{pr}_{23}^*M)\] は確かに次と（標準的に）同型である： \[R\text{pr}'_{13, *}( L(\text{pr}'_{12})^*K' \otimes_{\mathcal{O}_{X' \times_{S'} Y' \times_{S'} Z'}}^\mathbf{L} L(\text{pr}'_{23})^*M')\] これは望むところである。いくつかの細部は省略する。

相対同値

この節では、次の概念に関するいくつかの補題を証明する。

定義

\(S\) をスキームとする。\(X \to S\) と \(Y \to S\) を滑らかかつ固有な射とする。対象 \(K \in D_{perf}(\mathcal{O}_{X \times_S Y})\) が \(X\) から \(Y\) への、\(S\) 上の相対同値の Fourier–Mukai 核であるとは、

対象 \(K' \in D_{perf}(\mathcal{O}_{X \times_S Y})\) が存在して、 \[\Delta_{X/S, *}\mathcal{O}_X \cong R\text{pr}_{13, *}(L\text{pr}_{12}^*K \otimes_{\mathcal{O}_{X \times_S Y \times_S X}}^\mathbf{L} L\text{pr}_{23}^*K')\] が \(D(\mathcal{O}_{X \times_S X})\) で成り立ち、かつ \[\Delta_{Y/S, *}\mathcal{O}_Y \cong R\text{pr}_{13, *}(L\text{pr}_{12}^*K' \otimes_{\mathcal{O}_{Y \times_S X \times_S Y}}^\mathbf{L} L\text{pr}_{23}^*K)\] が \(D(\mathcal{O}_{Y \times_S Y})\) で成り立つことをいう。言い換えると、\(K\) の同型類は節 0G0F で定義した圏の可逆射を定める。

この言い回しは意図的に煩雑にしてある。

補題

定義 0G0I の記法を用い、\(K\) を \(X\) から \(Y\) への、\(S\) 上の相対同値の Fourier–Mukai 核とする。このとき対応する Fourier–Mukai 関手 \(\Phi_K : D_\QCoh(\mathcal{O}_X) \to D_\QCoh(\mathcal{O}_Y)\) （補題 0FYR）および \(\Phi_K : D_{perf}(\mathcal{O}_X) \to D_{perf}(\mathcal{O}_Y)\) （補題 0FYT）は同値である。

証明

補題 0FYS と例 0FYV から直ちに従う。

補題

定義 0G0I の記法を用い、\(K\) を \(X\) から \(Y\) への、\(S\) 上の相対同値の Fourier–Mukai 核とする。 \(S_1 \to S\) をスキームの射とする。 \(X_1 = S_1 \times_S X\) および \(Y_1 = S_1 \times_S Y\) とおく。このとき引き戻し \(K_1 = L(X_1 \times_{S_1} Y_1 \to X \times_S Y)^*K\) は \(X_1\) から \(Y_1\) への、\(S_1\) 上の相対同値の Fourier–Mukai 核である。

証明

\(K' \in D_{perf}(\mathcal{O}_{Y \times_S X})\) を、定義 0G0I で存在を仮定した対象とする。 \(K'_1\) で、\(K'\) の \(Y_1 \times_{S_1} X_1 \to Y \times_S X\) による引き戻しを表す。このとき、次を証明すれば十分である：

\[\Delta_{X_1/S_1, *}\mathcal{O}_X \cong R\text{pr}_{13, *}(L\text{pr}_{12}^*K_1 \otimes_{\mathcal{O}_{X_1 \times_{S_1} Y_1 \times_{S_1} X_1}}^\mathbf{L} L\text{pr}_{23}^*K_1')\] これは \(D(\mathcal{O}_{X_1 \times_{S_1} X_1})\) での同型であり、もう一方の条件についても同様である。さて \[\xymatrix{ X_1 \times_{S_1} Y_1 \times_{S_1} X_1 \ar[r] \ar[d]_{\text{pr}_{13}} & X \times_S Y \times_S X \ar[d]^{\text{pr}_{13}} \\ X_1 \times_{S_1} X_1 \ar[r] & X \times_S X }\] はデカルトなので、スキームの導来圏、補題 0B91 により、次を証明すれば十分である： \[\Delta_{X_1/S_1, *}\mathcal{O}_{X_1} \cong L(X_1 \times_{S_1} X_1 \to X \times_S X)^*\Delta_{X/S, *}\mathcal{O}_X\] さらにこれは、\(X\) と \(X_1 \times_{S_1} X_1\) が \(X \times_S X\) 上 Tor 独立ならば成り立つ。スキームの導来圏、補題 08IB を参照せよ。この Tor 独立性は直接にも確認できるが、より一般的な射についてさらに、補題 0CTA を、頂点が \(X, X, X, S\) である正方形とその \(S_1 \to S\) による基底変換に適用しても従う。

補題

\(S = \lim_{i \in I} S_i\) を、アフィンな遷移射 \(g_{i'i} : S_{i'} \to S_i\) をもつスキームの有向系の極限とする。 \(S_i\) は任意の \(i \in I\) に対して準コンパクトかつ準分離的であると仮定する。 \(0 \in I\) とし、\(X_0 \to S_0\) と \(Y_0 \to S_0\) を滑らかかつ固有な射とする。 \(X_i = S_i \times_{S_0} X_0\) と \(i \geq 0\) に対しておき、 \(X = S \times_{S_0} X_0\) とおく。\(Y_0\) についても同様とする。\(K\) が \(X\) から \(Y\) への、\(S\) 上の相対同値の Fourier–Mukai 核ならば、ある \(i \geq 0\) に対して、\(X_i\) から \(Y_i\) への、\(S_i\) 上の相対同値の Fourier–Mukai 核が存在する。

証明

定義 0G0I で存在を仮定した対象を \(K' \in D_{perf}(\mathcal{O}_{Y \times_S X})\) とする。 \(X \times_S Y = \lim X_i \times_{S_i} Y_i\) なので、ある \(i\) と対象 \(K_i\) および \(K'_i\) が存在し、これらは

\(D_{perf}(\mathcal{O}_{Y_i \times_{S_i} X_i})\) に属し、\(Y \times_S X\) への引き戻しが \(K\) と \(K'\) を与える。スキームの導来圏、補題 09RF を参照せよ。スキームの導来圏、補題 0B91 により、対象 \[R\text{pr}_{13, *}(L\text{pr}_{12}^*K_i \otimes_{\mathcal{O}_{X_i \times_{S_i} Y_i \times_{S_i} X_i}}^\mathbf{L} L\text{pr}_{23}^*K_i')\] は完全であり、その \(X \times_S X\) への引き戻しは \[R\text{pr}_{13, *}(L\text{pr}_{12}^*K \otimes_{\mathcal{O}_{X \times_S Y \times_S X}}^\mathbf{L} L\text{pr}_{23}^*K') \cong \Delta_{X/S, *}\mathcal{O}_X\] に等しい。補題 0G0K の証明を参照せよ。一方、

\(X_i \to S\) は滑らかかつ分離的なので、対象 \[\Delta_{i, *}\mathcal{O}_{X_i}\] （\(D(\mathcal{O}_{X_i \times_{S_i} X_i})\) の対象）も完全である（射についてさらに、補題 0FDP および 0B6G による）。さらに、その \(X \times_S X\) への引き戻しは \[\Delta_{X/S, *}\mathcal{O}_X\] に等しい。補題 0G0K の証明を参照せよ。したがってスキームの導来圏、補題 09RF により、\(i\) を大きくした後、次を仮定してよい： \[\Delta_{i, *}\mathcal{O}_{X_i} \cong R\text{pr}_{13, *}(L\text{pr}_{12}^*K_i \otimes_{\mathcal{O}_{X_i \times_{S_i} Y_i \times_{S_i} X_i}}^\mathbf{L} L\text{pr}_{23}^*K_i')\] これは望むところである。\(K\) と \(K'\) の役割を逆にしても同じ議論が成り立つ。

変形なし

この節の題名は補題 0G0R を指している。

補題

\((R, \mathfrak m, \kappa) \to (A, \mathfrak n, \lambda)\) を、本質的に有限表示な

局所環の平坦局所環準同型とする。 \(\overline{f}_1, \ldots, \overline{f}_r \in \mathfrak n/\mathfrak m A \subset A/\mathfrak m A\) を正則列とする。\(K \in D(A)\) とし、次を仮定する：

\(K\) は完全である。

\(K \otimes_A^\mathbf{L} A/\mathfrak m A\) は \(D(A/\mathfrak m A)\) で \(\overline{f}_1, \ldots, \overline{f}_r\) 上の Koszul 複体と同型である。

このとき \(K\) は \(D(A)\) において、正則列 \(f_1, \ldots, f_r \in A\) 上の Koszul 複体と同型である。この列は与えられた元 \(\overline{f}_1, \ldots, \overline{f}_r\) を持ち上げる。さらに \(A/(f_1, \ldots, f_r)\) は \(R\) 上平坦である。

証明

この補題の証明では鎖複体を用いる。Koszul 複体 \(K_\bullet(\overline{f}_1, \ldots, \overline{f}_r)\) は代数についてさらに、定義 0623 で定義される。代数についてさらに、補題 0BCB により、\(K\) を複体 \[K_\bullet : A \to A^{\oplus r} \to \ldots \to A^{\oplus r} \to A\] で表せる。この複体と \(A/\mathfrak mA\) とのテンソル積は \(K_\bullet(\overline{f}_1, \ldots, \overline{f}_r)\) に等しい（同型ではなく等しい）。

\(f_1, \ldots, f_r \in A\) で射 \(A^{\oplus r} \to A\) の成分を表す。これらの \(f_i\) は \(\overline{f}_i\) の持ち上げである。代数、補題 0470 により、 \(f_1, \ldots, f_r\) は \(A\) の正則列をなし、\(A/(f_1, \ldots, f_r)\) は \(R\) 上平坦である。\(J = (f_1, \ldots, f_r) \subset A\) とおく。図式 \[\xymatrix{ K_\bullet \ar[rd] \ar@{..>}[rr]_{\varphi_\bullet} & & K_\bullet(f_1, \ldots, f_r) \ar[ld] \\ & A/J }\] を考える。\(f_1, \ldots, f_r\) は正則列なので、南西向きの射は擬同型である（代数についてさらに、補題 062F を参照せよ）。したがって、たとえば代数、補題 00LS により、図式を可換にする点線の射を見つけられる。\(\mathfrak m\) を法として還元すると可換図式 \[\xymatrix{ K_\bullet(\overline{f}_1, \ldots, \overline{f}_r) \ar[rd] \ar[rr]_{\overline{\varphi}_\bullet} & & K_\bullet(\overline{f}_1, \ldots, \overline{f}_r) \ar[ld] \\ & (A/\mathfrak m A)/(\overline{f}_1, \ldots, \overline{f}_r) }\] を得る。これは \(K_\bullet\) の選び方による。したがって \(\overline{\varphi}\) は導来圏 \(D(A/\mathfrak m A)\) で同型である。ゆえに \(\overline{\varphi} \otimes_{A/\mathfrak m A}^\mathbf{L} \lambda\) は同型である。 \(\overline{f}_i \in \mathfrak n / \mathfrak m A\) なので、 \[\text{Tor}_i^{A/\mathfrak m A}( K_\bullet(\overline{f}_1, \ldots, \overline{f}_r), \lambda) = K_i(\overline{f}_1, \ldots, \overline{f}_r) \otimes_{A/\mathfrak m A} \lambda\] となる。したがって \(\varphi_i \bmod \mathfrak n\) は可逆である。 \(A\) は局所環なので、これは \(\varphi_i\) が同型であることを意味し、証明が完了する。

補題

\(R \to S\) を Noether 環の有限型平坦環写像とする。 \(\mathfrak q \subset S\) を \(\mathfrak p \subset R\) の上にある素イデアルとする。 \(K \in D(S)\) を完全とする。 \(f_1, \ldots, f_r \in \mathfrak q S_\mathfrak q\) を正則列で、 \(S_\mathfrak q/(f_1, \ldots, f_r)\) が \(R\) 上平坦であり、かつ \(K \otimes_S^\mathbf{L} S_\mathfrak q\) が \(f_1, \ldots, f_r\) 上の Koszul 複体と同型であるものとする。このとき \(g \in S\) かつ \(g \not \in \mathfrak q\) となる元が存在し、次を満たす：

\(f_1, \ldots, f_r\) は \(f'_1, \ldots, f'_r \in S_g\) の像である。

\(f'_1, \ldots, f'_r\) は \(S_g\) の正則列をなす。

\(S_g/(f'_1, \ldots, f'_r)\) は \(R\) 上平坦である。

\(K \otimes_S^\mathbf{L} S_g\) は \(f_1, \ldots, f_r\) 上の Koszul 複体と同型である。

証明

局所化の定義により、性質 (1) を満たす \(g \in S\)、\(g \not \in \mathfrak q\) を見つけられる。\(g\) を \(gg'\) で置き換えた後、(2) が成り立つと仮定してよい。ここで \(g' \in S\)、\(g' \not \in \mathfrak q\) である。代数、補題 061L を参照せよ。代数、定理 00RC により、\(S_g/(f'_1, \ldots, f'_r)\) は \(R\) 上、\(\mathfrak q\) のある開近傍で平坦である。したがって、さらに \(g\) を \(gg'\) で置き換えた後、(3) も成り立つと仮定してよい。ここでも \(g' \in S\)、\(g' \not \in \mathfrak q\) である。最後に、代数についてさらに、補題 0BC7 により、もう一度置き換えれば (4) を得る。

次の補題の一般化については、空間の射についてさらに、補題 05XD を参照せよ。

補題

\(S\) を Noether スキームとし、\(s \in S\) とする。 \(p : X \to Y\) を \(S\) 上のスキームの射とする。次を仮定する：

\(Y \to S\) と \(X \to S\) は固有である。

\(X\) は \(S\) 上平坦である。

\(X_s \to Y_s\) は同型である。

このとき、開集合 \(U \subset S\) で \(s\) の近傍となるものが存在し、基底変換 \(X_U \to Y_U\) は同型である。

証明

射 \(p\) は射、補題 01W5 により固有である。スキームのコホモロジー、補題 02OH により、開集合 \(Y_s \subset V \subset Y\) で、 \(p|_{p^{-1}(V)} : p^{-1}(V) \to V\) が有限となるものが存在する。射についてさらに、定理 039B により、開集合 \(X_s \subset U \subset X\) で、\(p|_U : U \to Y\) が平坦となるものが存在する。 \(X \setminus U\) と \(Y \setminus V\) の像（いずれも \(s\) を含まない閉部分集合）を取り除いた後、\(p\) は平坦かつ有限であると仮定してよい。すると \(p\) は開写像であり（射、補題 01UA）、 \(Y_s \subset p(X) \subset Y\) であるから、\(S\) を縮小した後、 \(p\) は全射であると仮定してよい。 \(p_s : X_s \to Y_s\) は同型なので、写像 \[p^\sharp : \mathcal{O}_Y \longrightarrow p_*\mathcal{O}_X\] は連接 \(\mathcal{O}_Y\)-加群の写像であり（\(p\) は有限なので）、 \(i : Y_s \to Y\) により引き戻すと同型になる（たとえばスキームのコホモロジー、補題 02KG による）。中山の補題により、これは \(\mathcal{O}_{Y, y} \to (p_*\mathcal{O}_X)_y\) がすべての \(y \in Y_s\) に対して全射であることを意味する。したがって開集合 \(Y_s \subset V \subset Y\) で \(p^\sharp|_V\) が全射となるものが存在する（加群、補題 01B8）。ゆえに \(S\) をもう一度縮小した後、\(p^\sharp\) は全射であると仮定してよい。これは \(p\) が閉埋入であることを意味する（\(p\) はすでに有限である）。したがって今や \(p\) は Noether スキームの全射な平坦閉埋入であり、ゆえに同型である。射、節 04PV を参照せよ。

補題

\(k\) を体とする。\(S\) を \(k\) 上有限型で、\(k\)-有理点 \(s\) をもつスキームとする。 \(Y \to S\) を滑らかな固有射とする。\(X = Y_s \times S \to S\) をファイバー \(Y_s\) をもつ定値族とする。\(K\) を \(X\) から \(Y\) への \(S\) 上の相対同値の Fourier–Mukai 核とする。制限 \[L(Y_s \times_S Y_s \to X \times_S Y)^*K \cong \Delta_{Y_s/k, *} \mathcal{O}_{Y_s}\] が \(D(\mathcal{O}_{Y_s \times Y_s})\) で成り立つと仮定する。このとき開近傍 \(s \in U \subset S\) が存在し、\(Y|_U\) は \(Y_s \times U\) と \(U\) 上同型である。

証明

自然な閉埋入 \(i : Y_s \times Y_s = X_s \times Y_s \to X \times_S Y\) をこの記号で表す。（以下、\(Y_s\) と書き、\(X_s\) とは書かない。これは \(X\) の \(s\) 上のファイバーである。） \(z \in Y_s \times Y_s = (X \times_S Y)_s \subset X \times_S Y\) を閉点とする。上で述べたとおり、\(z\) を \(Y_s \times Y_s\) の閉点であると同時に \(X \times_S Y\) の閉点ともみなす。

場合 I：\(z \not \in \Delta_{Y_s/k}(Y_s)\) とする。\(\mathcal{O}_z\) で、連接 \(\mathcal{O}_{Y_s \times Y_s}\)-加群であって、\(z\) に台をもちその値が \(\kappa(z)\) であるものを表す。すると \(i_*\mathcal{O}_z\) は連接 \(\mathcal{O}_{X \times_S Y}\)-加群であって、\(z\) に台をもちその値が \(\kappa(z)\) である。仮定は \[K \otimes_{\mathcal{O}_{X \times_S Y}}^\mathbf{L} i_*\mathcal{O}_z = Li^*K \otimes_{\mathcal{O}_{Y_s \times Y_s}}^\mathbf{L} \mathcal{O}_z = 0\] を意味する。したがって補題 0G03 により、開集合 \(U(z) \subset X \times_S Y\) で \(z\) の近傍となり、\(K|_{U(z)} = 0\) となるものが存在する。この場合、\(Z(z) = \emptyset\) を \(U(z)\) の閉部分スキームとしてとる。

場合 II：\(z \in \Delta_{Y_s/k}(Y_s)\) とする。\(Y_s\) は \(k\) 上滑らかなので、 \(\Delta_{Y_s/k} : Y_s \to Y_s \times Y_s\) は正則埋入である。射についてさらに、補題 0FDP を参照せよ。正則列 \(\overline{f}_1, \ldots, \overline{f}_r \in \mathcal{O}_{Y_s \times Y_s, z}\) で、\(\Delta_{Y_s/k}(Y_s)\) のイデアル層を切り出すものを選ぶ。正則列は Koszul 正則なので（代数についてさらに、補題 062F）、仮定は \[K_z \otimes_{\mathcal{O}_{X \times_S Y, z}}^\mathbf{L} \mathcal{O}_{Y_s \times Y_s, z} \in D(\mathcal{O}_{Y_s \times Y_s, z})\] が \(\overline{f}_1, \ldots, \overline{f}_r\) 上の Koszul 複体で表されることを意味する。ここで係数環は \(\mathcal{O}_{Y_s \times Y_s, z}\) である。補題 0G0N を \(\mathcal{O}_{S, s} \to \mathcal{O}_{X \times_S Y, z}\) に適用すると、 \(K_z \in D(\mathcal{O}_{X \times_S Y, z})\) は正則列 \(f_1, \ldots, f_r \in \mathcal{O}_{X \times_S Y, z}\) 上の Koszul 複体で表され、この正則列は \(\overline{f}_1, \ldots, \overline{f}_r\) を持ち上げ、さらに \(\mathcal{O}_{X \times_S Y}/(f_1, \ldots, f_r)\) は \(\mathcal{O}_{S, s}\) 上平坦である。いくつかの極限に関する議論（補題 0G0P）により、アフィン開集合 \(U(z) \subset X \times_S Y\) で \(z\) の近傍となるものと、閉部分スキーム \(Z(z) \subset U(z)\) が存在し、次を満たすことが分かる：

\(Z(z) \to U(z)\) は正則閉埋入である。

\(K|_{U(z)}\) は \(\mathcal{O}_{Z(z)}\) と擬同型である。

\(Z(z) \to S\) は平坦である。

\(Z(z)_s = \Delta_{Y_s/k}(Y_s) \cap U(z)_s\) は \(U(z)_s\) の閉部分スキームとしての等式である。

性質 (2) により、\(z, z' \in Y_s \times Y_s\) に対して \(Z(z) \cap U(z') = Z(z') \cap U(z)\) が閉部分スキームとして成り立つ。したがって開近傍 \[U = \bigcup\nolimits_{z \in Y_s \times Y_s\text{ 閉点}} U(z)\] を \(Y_s \times Y_s\) の \(X \times_S Y\) における近傍として得るとともに、閉部分スキーム \(Z \subset U\) で、(1) \(Z \to U\) が正則閉埋入、(2) \(Z \to S\) が平坦、 (3) \(Z_s = \Delta_{Y_s/k}(Y_s)\) となるものを得る。 \(X \times_S Y \to S\) は固有なので、\(S\) を \(s\) の開近傍で置き換えた後、 \(U = X \times_S Y\) と仮定してよい。射影 \(Z_s \to Y_s\) と \(Z_s \to X_s\) は同型なので、\(S\) を縮小した後、\(Z \to Y\) と \(Z \to X\) は同型であると仮定してよい。補題 0G0Q を参照せよ。これで証明が完了する。

補題

\(k\) を代数閉体とする。\(X\) を \(k\) 上滑らかで固有なスキームとする。 \(f : Y \to S\) を滑らかな固有射とし、\(S\) は \(k\) 上有限型であるとする。 \(K\) を \(X \times S\) から \(Y\) への \(S\) 上の相対同値の Fourier–Mukai 核とする。このとき \(S\) は開部分スキーム \(U\) で被覆でき、各開集合上に \(U\)-同型 \(f^{-1}(U) \cong Y_0 \times U\) が存在する。ただし \(Y_0\) は \(k\) 上固有かつ滑らかである。

証明

閉点 \(s \in S\) を選ぶ。\(k\) は代数閉体なので、これは \(k\)-有理点である。 \(Y_0 = Y_s\) とおく。\(K_0\) は \(K\) の \(X \times Y_0\) への制限であり、 \(X\) から \(Y_0\) への \(\Spec(k)\) 上の相対同値の Fourier–Mukai 核である（補題 0G0K）。\(K'_0\) を \(D_{perf}(\mathcal{O}_{Y_0 \times X})\) において定義 0G0I で存在を仮定した対象とする。すると \(K'_0\) は \(Y_0\) から \(X\) への \(\Spec(k)\) 上の相対同値の Fourier–Mukai 核である。これは定義 0G0I に内在する対称性による。したがって補題 0G0K により、引き戻し \[M = (Y_0 \times X \times S \to Y_0 \times X)^*K'_0\] は \((Y_0 \times S) \times_S (X \times S) = Y_0 \times X \times S\) 上で、 \(Y_0 \times S\) から \(X \times S\) への \(S\) 上の相対同値の Fourier–Mukai 核である。ここで核 \[K_{new} = R\text{pr}_{13, *}(L\text{pr}_{12}^*M \otimes_{\mathcal{O}_{(Y_0 \times S) \times_S (X \times S) \times_S Y}}^\mathbf{L} L\text{pr}_{23}^*K)\] を \((Y_0 \times S) \times_S Y\) 上で考える。これは \(Y_0 \times S\) から \(Y\) への \(S\) 上の相対同値の Fourier–Mukai 核である。実際、これは節 0G0F で構成した圏における二つの可逆射の合成である。さらに、この合成は基底変換を通過する（補題 0G0G）。したがって、\(K_{new}\) の \(((Y_0 \times S) \times_S Y)_s = Y_0 \times Y_0\) への引き戻しは \(K_0\) と \(K'_0\) の合成に等しく、ゆえにこの圏の恒等射に等しい。言い換えると、 \[L(Y_0 \times Y_0 \to (Y_0 \times S) \times_S Y)^*K_{new} \cong \Delta_{Y_0/k, *}\mathcal{O}_{Y_0}\] となる。したがって補題 0G0R により、\(Y \to S\) は \(Y_0 \times S\) と、\(s\) のある開近傍上で同型である。これで証明が完了する。

可算性

本節では、ある種の集合の可算性に関する初等的な補題をいくつか証明する。 \(\mathcal{C}\) を圏とする。本節では、\(\mathcal{C}\) が次を満たすとき可算であるという：

任意の \(X, Y \in \Ob(\mathcal{C})\) に対して、集合 \(\Mor_\mathcal{C}(X, Y)\) は可算である。
\(\mathcal{C}\) の対象の同型類の集合は可算である。

補題

\(R\) を可算な Noether 環とする。このとき \(R\) 上有限型なスキームの圏は可算である。

証明

省略する。

補題

\(\mathcal{A}\) を可算なアーベル圏とする。このとき \(D^b(\mathcal{A})\) は可算である。

証明

\(D(\mathcal{A})\) について主張を証明すれば十分である。他の圏はその充満部分圏だからである。 \(D(\mathcal{A})\) の各対象は \(\mathcal{A}\) の対象の複体なので、 \(D^b(\mathcal{A})\) の対象の同型類の集合が可算であることは直ちに分かる。さらに、有界複体 \(A^\bullet\) と \(B^\bullet\) が \(\mathcal{A}\) の対象からなるとき、 \(\Hom_{K^b(\mathcal{A})}(A^\bullet, B^\bullet)\) が可算であることは明らかである。また \[\Hom_{D^b(\mathcal{A})}(A^\bullet, B^\bullet) = \colim_{s : (A')^\bullet \to A^\bullet \text{ 擬同型かつ }(A')^\bullet\text{ は有界}} \Hom_{K^b(\mathcal{A})}((A')^\bullet, B^\bullet)\] である。これは導来圏、補題 05RW による。

したがって、これは可算集合の可算余極限として可算集合である。

補題

\(X\) を可算な Noether 環上有限型なスキームとする。このとき圏 \(D_{perf}(\mathcal{O}_X)\) と \(D^b_{\textit{Coh}}(\mathcal{O}_X)\) は可算である。

証明

射、補題 01T6 により、\(X\) は Noether である。したがってスキームの導来圏、補題 0FXU により、\(D_{perf}(\mathcal{O}_X)\) は \(D^b_{\textit{Coh}}(\mathcal{O}_X)\) の充満部分圏である。ゆえに \(D^b_{\textit{Coh}}(\mathcal{O}_X)\) について結果を証明すれば十分である。スキームの導来圏、命題 0FDB により \(D^b_{\textit{Coh}}(\mathcal{O}_X) = D^b(\textit{Coh}(\mathcal{O}_X))\) であることを想起しよう。したがって補題 0G0V により、 \(\textit{Coh}(\mathcal{O}_X)\) が可算であることを証明すれば十分である。これは省略する。

補題

\(K\) を代数閉体とする。\(S\) を \(K\) 上有限型なスキームとする。 \(X \to S\) と \(Y \to S\) を有限型の射とする。このとき可算集合 \(I\) と、各 \(i \in I\) に対する組 \((S_i \to S, h_i)\) が存在し、次の性質をもつ：

\(S_i \to S\) は有限型の射である。\(X_i = X \times_S S_i\) および \(Y_i = Y \times_S S_i\) とおく。

\(h_i : X_i \to Y_i\) は \(S_i\) 上の同型である。

任意の閉点 \(s \in S(K)\) に対し、\(X_s \cong Y_s\) が \(K = \kappa(s)\) 上成り立つならば、\(s\) は \(S_i \to S\) の像に属する。ただし添字はある \(i\) である。

証明

体 \(K\) はその可算部分体のフィルター付き合併である。双対的に、\(\Spec(K)\) は \(K\) の可算部分体のスペクトルの余フィルター付き極限である。したがって極限、補題 01ZM により、可算部分体 \(k\) と射 \(X_0 \to S_0\) および \(Y_0 \to S_0\) で、\(k\) 上有限型なスキームの射となり、 \(X \to S\) と \(Y \to S\) がそれらの基底変換となるものを見つけられる。

補題 0G0U により、可算集合 \(I\) と組 \((S_{0, i} \to S_0, h_{0, i})\) で次を満たすものが存在する：

\(S_{0, i} \to S_0\) は有限型の射である。\(X_{0, i} = X_0 \times_{S_0} S_{0, i}\) および \(Y_{0, i} = Y_0 \times_{S_0} S_{0, i}\) とおく。

\(h_{0, i} : X_{0, i} \to Y_{0, i}\) は \(S_{0, i}\) 上の同型である。

さらに、任意の組 \((T \to S_0, h_T)\) で、\(T \to S_0\) が有限型であり、 \(h_T : X_0 \times_{S_0} T \to Y_0 \times_{S_0} T\) が同型であるものは、これらの一つと同型である。 \((S_i \to S, h_i)\) で、\((S_{0, i} \to S_0, h_{0, i})\) の \(\Spec(K) \to \Spec(k)\) による基底変換を表す。これが求めるものだと主張する。

\(s \in S(K)\) とし、\(h_s : X_s \to Y_s\) を \(K = \kappa(s)\) 上の同型とする。 \(K\) はその有限生成 \(k\)-部分代数のフィルター付き合併として書ける。したがって極限、命題 01ZC および補題 01ZM により、そのような有限生成 \(k\)-部分代数 \(K \supset A \supset k\) で、次を満たすものを見つけられる：

可換図式 \[\xymatrix{ \Spec(K) \ar[d]_s \ar[r] & \Spec(A) \ar[d]^{s'} \\ S \ar[r] & S_0}\] が存在する。ここで \(s' : \Spec(A) \to S_0\) はある \(k\) 上の射である。

\(h_s\) は同型

\(h_{s'} : X_0 \times_{S_0, s'} \Spec(A) \to X_0 \times_{S_0, s'} \Spec(A)\) の \(A\) による基底変換である。

するともちろん \((s' : \Spec(A) \to S_0, h_{s'})\) は、組 \((S_{0, i} \to S_0, h_{0, i})\) と同型であり、その添字はある \(i \in I\) である。 (1) の可換図式は、\(s\) が \(s'\) の \(\Spec(K)\) への基底変換の像に属することを示すので、証明は完了する。

補題

\(K\) を代数閉体とする。このとき可算集合 \(I\) と、各 \(i \in I\) に対する組 \((S_i/K, X_i \to S_i, Y_i \to S_i, M_i)\) が存在し、次の性質をもつ：

\(S_i\) は \(K\) 上有限型なスキームである。

\(X_i \to S_i\) と \(Y_i \to S_i\) は滑らかな固有射である。

\(M_i \in D_{perf}(\mathcal{O}_{X_i \times_{S_i} Y_i})\) は \(X_i\) から \(Y_i\) への \(S_i\) 上の相対同値の Fourier–Mukai 核である。

任意の滑らかで固有なスキーム \(X\) と \(Y\) で \(K\) 上のものに対し、\(K\)-線形完全同値 \(D_{perf}(\mathcal{O}_X) \to D_{perf}(\mathcal{O}_Y)\) が存在するならば、\(i \in I\) と \(s \in S_i(K)\) で \(X \cong (X_i)_s\) および \(Y \cong (Y_i)_s\) を満たすものが存在する。

証明

たとえば素体のような可算部分体 \(k \subset K\) を選ぶ。補題 0G0U と 0G0W により、補題の (1), (2), (3) を満たす \(k\) 上の系の同型類は可算集合をなす。したがって可算集合 \(I\) と、各 \(i \in I\) に対してそのような系 \[(S_{0, i}/k, X_{0, i} \to S_{0, i}, Y_{0, i} \to S_{0, i}, M_{0, i})\] を \(k\) 上で選べ、各同型類が少なくとも一度現れるようにできる。 \((S_i/K, X_i \to S_i, Y_i \to S_i, M_i)\) で、表示した系の \(K\) への基底変換を表す。この系は性質 (1), (2), (3) をもつ。補題 0G0K を参照せよ。性質 (4) を証明しよう。

滑らかで固有なスキーム \(X\) と \(Y\) で \(K\) 上のものをとり、\(K\)-線形完全同値 \(F : D_{perf}(\mathcal{O}_X) \to D_{perf}(\mathcal{O}_Y)\). が存在するものを考える。命題 0G0D により、対象 \(M \in D_{perf}(\mathcal{O}_{X \times Y})\) が存在し、\(F = \Phi_M\) が対応する Fourier–Mukai 関手であると仮定してよい。補題 0FYY により、 \(M'\) が \(D_{perf}(\mathcal{O}_{Y \times X})\) の対象で、\(\Phi_{M'}\) が \(\Phi_M\) の右随伴となるものが存在する。\(\Phi_M\) は同値なので、これは \(\Phi_{M'}\) が \(\Phi_M\) の擬逆であることを意味する。補題 0FYY により、対象 \[A = R\text{pr}_{13, *}( L\text{pr}_{12}^*M \otimes_{\mathcal{O}_{X \times Y \times X}}^\mathbf{L} L\text{pr}_{23}^*M')\] が \(D_{perf}(\mathcal{O}_{X \times X})\) で定める Fourier–Mukai 関手と、対象 \[B = R\text{pr}_{13, *}( L\text{pr}_{12}^*M' \otimes_{\mathcal{O}_{Y \times X \times Y}}^\mathbf{L} L\text{pr}_{23}^*M)\] が \(D_{perf}(\mathcal{O}_{Y \times Y})\) で定める Fourier–Mukai 関手は、それぞれ \(\text{id} : D_{perf}(\mathcal{O}_X) \to D_{perf}(\mathcal{O}_X)\) および \(\text{id} : D_{perf}(\mathcal{O}_Y) \to D_{perf}(\mathcal{O}_Y)\) と同型であることが分かる。したがって \(A \cong \Delta_{X/K, *}\mathcal{O}_X\) および \(B \cong \Delta_{Y/K, *}\mathcal{O}_Y\) が補題 0G0E により成り立つ。ゆえに定義から、\(M\) は \(X\) から \(Y\) への \(K\) 上の相対同値の Fourier–Mukai 核である。

\(K\) はその有限型 \(k\)-部分代数 \(A \subset K\) のフィルター付き余極限として書ける。極限、補題 01ZM により、\(X_0, Y_0\) で \(A\) 上有限型であり、その \(K\) への基底変換が \(X\) と \(Y\) を与えるものを見つけられる。極限、補題 081F と 0C0C により、\(A\) を大きくした後、\(X_0\) と \(Y_0\) は \(A\) 上滑らかかつ固有であると仮定してよい。補題 0G0L により、 \(A\) を大きくした後、\(M\) はある \(M_0 \in D_{perf}(\mathcal{O}_{X_0 \times_{\Spec(A)} Y_0})\) の引き戻しであると仮定してよい。それは \(X_0\) から \(Y_0\) への \(\Spec(A)\) 上の相対同値の Fourier–Mukai 核である。

したがって \((S_0/k, X_0 \to S_0, Y_0 \to S_0, M_0)\) は \((S_{0, i}/k, X_{0, i} \to S_{0, i}, Y_{0, i} \to S_{0, i}, M_{0, i})\) と、ある \(i \in I\) に対して同型である。\(S_i = S_{0, i} \times_{\Spec(k)} \Spec(K)\) なので、(4) は \(s : \Spec(K) \to S_i\) によって成り立つ。この射は、射 \(\Spec(K) \to \Spec(A) \cong S_{0, i}\) により誘導され、この後者は \(A \subset K\) から得られる。

導来同値な多様体の可算性

本節では Anel と Toën の結果を証明する。[AT] を参照せよ。

定義

\(k\) を体とする。\(X\) と \(Y\) を \(k\) 上滑らかで射影的なスキームとする。 \(X\) と \(Y\) が導来同値であるとは、\(k\)-線形完全同値 \(D_{perf}(\mathcal{O}_X) \to D_{perf}(\mathcal{O}_Y)\). が存在することをいう。

結果は次のとおりである。

定理

\(K\) を代数閉体とする。\(\mathbf{X}\) を \(K\) 上滑らかで固有なスキームとする。 \(\mathbf{Y}\) で \(K\) 上滑らかかつ固有であり、\(\mathbf{X}\) と導来同値なものの同型類は高々可算個である。

証明

可算集合 \(I\) と、各 \(i \in I\) に対して補題 0G0Y の (1), (2), (3), (4) を満たす系 \((S_i/K, X_i \to S_i, Y_i \to S_i, M_i)\) を選ぶ。 \(i \in I\) を選び、\(S = S_i\)、\(X = X_i\)、\(Y = Y_i\)、\(M = M_i\) とおく。

ファイバー \(Y_s\) の同型類の集合が可算であることを示せば明らかに十分である。ここで \(s \in S(K)\) は \(X_s \cong \mathbf{X}\) を満たすものに限る。これを次の段落で証明する。

\(S\) を \(K\) 上有限型なスキームとし、\(X \to S\) と \(Y \to S\) を滑らかな固有射とし、 \(M \in D_{perf}(\mathcal{O}_{X \times_S Y})\) を \(X\) から \(Y\) への \(S\) 上の相対同値の Fourier–Mukai 核とする。ファイバー \(Y_s\) の同型類の集合が可算であることを示す。ここで \(s \in S(K)\) は \(X_s \cong \mathbf{X}\) を満たすものに限る。補題 0G0X を族 \(\mathbf{X} \times S \to S\) と \(X \to S\) に適用すると、可算集合 \(I\) と各 \(i \in I\) に対する組 \((S_i \to S, h_i)\) が存在し、次の性質をもつ：

\(S_i \to S\) は有限型の射である。\(X_i = X \times_S S_i\) とおく。

\(h_i : \mathbf{X} \times S_i \to X_i\) は \(S_i\) 上の同型である。

任意の閉点 \(s \in S(K)\) に対し、\(\mathbf{X} \cong X_s\) が \(K = \kappa(s)\) 上成り立つならば、\(s\) は \(S_i \to S\) の像に属する。ただし添字はある \(i\) である。

ここで \(Y_i = Y \times_S S_i\) とおく。

\(M_i \in D_{perf}(\mathcal{O}_{X_i \times_{S_i} Y_i})\) で \(M\) の引き戻しを表す。補題 0G0K により、\(M_i\) は \(X_i\) から \(Y_i\) への \(S_i\) 上の相対同値の Fourier–Mukai 核である。 \(I\) は可算なので、性質 (3) により、ファイバー \(Y_{i, s}\) の同型類の集合が \(s \in S_i(K)\) にわたって可算であることを証明すれば十分である。実際、補題 0G0S によりこの数は有限であり、証明が完了する。

この条件からしばしば \(f\) が恒等写像であることが従う。多様体、補題 0G05 を参照せよ。↩︎