Chow ホモロジーと Chern 類

序

本章では Chow ホモロジー群、およびベクトル束の Chern 類を 作用素的 Chow コホモロジー群の元として構成する方法を論じる （係数はすべて \(\mathbf{Z}\) とする）。

本章は、鍵となる補題 0EAX の 可能な限り短い代数的証明から始める。まず Herbrand 商を定義し （第 02PF 節）、いくつかの場合にそれを計算する （第 0EAA 節）。次に、修正を施した後に適切な 分解が存在することに関する簡単な代数的補題を証明する （第 0EAD 節）。これらを用いて 第 0EAH 節で tame 記号を構成し、定義する。 鍵となる補題の証明に必要なのは tame 記号の最も基本的な性質だけであり、 その証明は第 0EAU 節で与える。

続いて第 02QK 節で、本章の残りを通じて用いる基本設定を導入する。 内容に多少の奥行きをもたせるため、通常よりやや一般的な場合を扱う。 すなわち、スキーム \(X\) は、普遍的鎖状で次元関数を備えた固定された 局所 Noether 基底スキーム上で局所有限型であると仮定する。 これらの仮定のもとで Chow ホモロジー群 \(\CH_*(X)\) と、 それに対する Chern 類とのキャップ積の作用を定義できる。 これは、このような基底上で局所有限型な代数スタックに対しても 同じ対象を定義できるはずであることを示唆している。

次に [F] の冒頭数章に従って、サイクル、平坦引き戻し、 固有押し出し、および有理同値を定義する。ただし、現れるサイクルの 台については、そこでの記述ほど厳密には扱わない。

ここでは [F] の提示とは異なり、上記の鍵となる補題を用いて、 第 0AYB 節で基本的な可換関係を証明する。これにより、 可逆層との交差演算が有理同値を通して定まり、かつ可換であることを示す （第 02TG 節）。さらに鍵となる補題をもう一度適用すると、 有効 Cartier 因子の Gysin 写像が有理同値を通して定まることが分かる （第 02TK 節）。ここまで証明すれば、ベクトル束の Chern 類を定義し、 加法性と分裂原理を証明し、Chern 指標と Todd 類を導入して、 Grothendieck–Riemann–Roch 定理を述べることは直ちにできる。

付録は二つある。付録 A（第 0EAZ 節）では、 tame 記号の別の、より長い構成と、それに対応する鍵となる補題の証明を論じる。 最後に付録 B（第 0AYD 節）では、 連接層の \(K\) 理論との関係を簡潔に述べ、いくつかのブローアップ補題を扱う。 詳しくは各付録の序を参照されたい。

次章では、代数閉体上の滑らかな射影多様体の Chow 群 \(\CH_*(X)\) に立ち返る。 [Samuel]、[ChevalleyI]、[ChevalleyII] にあるような移動補題と Serre の Tor 公式（[Serre_local_algebra] または [Serre_algebre_locale] を参照）を用いて、\(\CH_*(X)\) 上に環構造を定義する。 「相交理論」第 0AZ7 節以降を参照されたい。

周期複体と Herbrand 商

周期複体には、もちろん非常に一般的な概念がある。 写像の周期性を課すことも、対象の周期性を課すこともできる。 必要に応じて後にそれらを導入するが、当面必要なのは次の場合だけである。

定義

\(R\) を環とする。

1. \(R\) 上の \(2\)-周期複体とは、\(R\)-加群 \(M\), \(N\) と \(R\)-加群準同型 \(\varphi : M \to N\), \(\psi : N \to M\) からなる四つ組 \((M, N, \varphi, \psi)\) であって、 \[\xymatrix{ \ldots \ar[r] & M \ar[r]^\varphi & N \ar[r]^\psi & M \ar[r]^\varphi & N \ar[r] & \ldots }\] が複体となるものをいう。このとき、この複体の コホモロジー加群を 次の \(R\)-加群として定義する： \[H^0(M, N, \varphi, \psi) = \Ker(\varphi)/\Im(\psi) \quad\text{and}\quad H^1(M, N, \varphi, \psi) = \Ker(\psi)/\Im(\varphi).\] これらのコホモロジー加群が零であるとき、\(2\)-周期複体は 完全であるという。

2. \(R\) 上の \((2, 1)\)-周期複体とは、\(R\)-加群 \(M\) と \(R\)-加群準同型 \(\varphi : M \to M\), \(\psi : M \to M\) からなる三つ組 \((M, \varphi, \psi)\) であって、 \[\xymatrix{ \ldots \ar[r] & M \ar[r]^\varphi & M \ar[r]^\psi & M \ar[r]^\varphi & M \ar[r] & \ldots }\] が複体となるものをいう。これは \(2\)-周期複体の特別な場合なので、 コホモロジー加群 \(H^0(M, \varphi, \psi)\), \(H^1(M, \varphi, \psi)\) と 完全性の概念をもつ。

以下では、\(2\)-周期複体について証明した任意の結果を、断りなく \((2, 1)\)-周期複体にも用いる。\(2\)-周期複体全体が圏をなすことは明らかである。 射 \((f, g) : (M, N, \varphi, \psi) \to (M', N', \varphi', \psi')\) は、 \(\varphi' \circ f = g \circ \varphi\) および \(\psi' \circ g = f \circ \psi\) を満たす 二つの射 \(f : M \to M'\) と \(g : N \to N'\) の組である。 核と余核を「ホモロジー」補題 010Y と同様にとれば、 これは Abel 圏となる。

定義

\(R\) を環とし、\((M, N, \varphi, \psi)\) を、コホモロジー加群が有限長である \(R\) 上の \(2\)-周期複体とする。このとき \((M, N, \varphi, \psi)\) の 重複度を次の整数として定義する： \[e_R(M, N, \varphi, \psi) = \text{length}_R(H^0(M, N, \varphi, \psi)) - \text{length}_R(H^1(M, N, \varphi, \psi))\] \((2, 1)\)-周期複体 \((M, \varphi, \psi)\) の場合には、これを \(e_R(M, \varphi, \psi)\) と書き、（加法的）Herbrand 商と呼ぶこともある。

\((M, \varphi, \psi)\) のコホモロジー群が有限 Abel 群である場合、通常は \[q(M, \varphi, \psi) = \frac{\# H^0(M, \varphi, \psi)}{\# H^1(M, \varphi, \psi)}\] を （乗法的）Herbrand 商と呼ぶ。すなわち、乗法的 Herbrand 商は \(H^0\) の元の個数を \(H^1\) の元の個数で割ったものである。 \(R\) が局所環で、その剰余体が \(q\) 個の元をもつ有限体ならば、 \[q(M, \varphi, \psi) = q^{e_R(M, \varphi, \psi)}\] となる。

環 \(R\) 上の \((2, 1)\)-周期複体の例として、\(M\) を \(R\)-加群、 \(\psi\) を \(R\)-線形写像とする任意の三つ組 \((M, 0, \psi)\) がある。 \(\psi\) の核と余核が有限長ならば、 [0EA6]\[\begin{equation} e_R(M, 0, \psi) = \text{length}_R(\Coker(\psi)) - \text{length}_R(\Ker(\psi)) \end{equation}\] を得る。以下、この記法に関する基本的な補題を述べて証明する。

補題

\(R\) を環とし、\(2\)-周期複体の短完全列 \[0 \to (M_1, N_1, \varphi_1, \psi_1) \to (M_2, N_2, \varphi_2, \psi_2) \to (M_3, N_3, \varphi_3, \psi_3) \to 0\] が与えられているとする。三つのうち二つのコホモロジー加群が有限長ならば、 残る一つも有限長であり、 \[e_R(M_2, N_2, \varphi_2, \psi_2) = e_R(M_1, N_1, \varphi_1, \psi_1) + e_R(M_3, N_3, \varphi_3, \psi_3).\] が成り立つ。

証明

\(A = (M_1, N_1, \varphi_1, \psi_1)\), \(B = (M_2, N_2, \varphi_2, \psi_2)\), \(C = (M_3, N_3, \varphi_3, \psi_3)\) と略記する。 コホモロジー長完全列 \[\ldots \to H^1(C) \to H^0(A) \to H^0(B) \to H^0(C) \to H^1(A) \to H^1(B) \to H^1(C) \to \ldots\] がある。これから有限完全列 \[0 \to I \to H^0(A) \to H^0(B) \to H^0(C) \to H^1(A) \to H^1(B) \to K \to 0\] を得て、さらに \(0 \to K \to H^1(C) \to I \to 0\) がフィルトレーションを与える。 長さ関数の加法性（「代数」補題 00IV）から結論が従う。

補題

\(R\) を環とする。\((M, N, \varphi, \psi)\) を \(2\)-周期複体とし、 \(M\), \(N\) が有限長ならば、 \(e_R(M, N, \varphi, \psi) = \text{length}_R(M) - \text{length}_R(N)\) である。特に、\((M, \varphi, \psi)\) が \((2, 1)\)-周期複体で、 \(M\) が有限長ならば \(e_R(M, \varphi, \psi) = 0\) である。

証明

\(M\), \(N\) が有限長である \(2\)-周期複体の圏では、量 “\(\text{length}_R(M) - \text{length}_R(N)\)” が短完全列に関して加法的である （厳密な主張は読者に委ねる）。短完全列 \[0 \to (M, \Im(\varphi), \varphi, 0) \to (M, N, \varphi, \psi) \to (0, N/\Im(\varphi), 0, 0) \to 0\] を考える。最初の注意と補題 0EA7 の加法性を併せると、 (a) \(M = 0\) の場合と (b) \(\varphi\) が全射の場合に帰着される。 これらの場合は読者に委ねる。

補題

\(R\) を環とする。\(f : (M, \varphi, \psi) \to (M', \varphi', \psi')\) を、 コホモロジー加群が有限長である \((2, 1)\)-周期複体の射とする。 \(\Ker(f)\) と \(\Coker(f)\) が有限長ならば、 \(e_R(M, \varphi, \psi) = e_R(M', \varphi', \psi')\) である。

証明

補題 0EA7 の加法性を適用する。 補題 0EA8 により、 \((\Ker(f), \varphi, \psi)\) と \((\Coker(f), \varphi', \psi')\) の重複度は零である。

いくつかの重複度の計算

後で特定のサイクルの等しさを証明するために、いくつかの重複度を計算する必要がある。 前節で与えた重複度に関する初等的な補題に加え、主な道具となるのは 「代数」補題 02MI である。

補題

\(R\) を Noether 局所環、\(M\) を有限 \(R\)-加群、\(x \in R\) とする。 次を仮定する。

1. \(\dim(\text{Supp}(M)) \leq 1\), かつ

2. \(\dim(\text{Supp}(M/xM)) \leq 0\).

\(\text{Supp}(M) = \{\mathfrak m, \mathfrak q_1, \ldots, \mathfrak q_t\}\) と書く。このとき \[e_R(M, 0, x) = \sum\nolimits_{i = 1, \ldots, t} \text{ord}_{R/\mathfrak q_i}(x) \text{length}_{R_{\mathfrak q_i}}(M_{\mathfrak q_i}).\]

証明

まず準備的な注意を述べる。\(M\) が有限長、すなわち \(t = 0\) ならば、 左辺も右辺も零なので補題の結論は成り立つ （補題 0EA8 を参照）。 また、(1), (2) を満たす加群の短完全列 \(0 \to M \to M' \to M'' \to 0\) があるとき、 三つのうち二つについて補題が成り立てば、長さの加法性 （「代数」補題 00IV）と重複度の加法性 （補題 0EA7）により残る一つについても成り立つ。

\(M_i\) を \(M\) の \(M_{\mathfrak q_i}\) における像とする。このとき \(\text{Supp}(M_i) = \{\mathfrak m, \mathfrak q_i\}\) である。 写像 \(M \to \bigoplus M_i\) の核と余核は台 \(\{\mathfrak m\}\) をもち、したがって有限長である。 準備的な注意から、各 \(M_i\) について補題を証明すれば十分である。 ゆえに \(\text{Supp}(M) = \{\mathfrak m, \mathfrak q\}\) と仮定してよい。 この場合、「代数」補題 00L6 により 有限フィルトレーション \(M \supset \mathfrak qM \supset \mathfrak q^2M \supset \ldots \supset \mathfrak q^nM = 0\) がある。再び加法性により、\(M\) が \(\mathfrak q\) で消される場合に 補題を証明すれば十分である。このとき \(M\) を \(R/\mathfrak q\)-加群とみなせるので、 \(R\) は分数体 \(K\) をもつ次元 \(1\) の Noether 局所整域であると仮定してよい。 torsion 部分加群、すなわち \(M \to M \otimes_R K = V\) の核で割る。 この torsion は有限長であり準備的な注意で処理できるから、 \(M \subset V\) は格子であると仮定してよい （「代数」定義 02ME）。 すると \(x : M \to M\) は単射であり、 \(\text{length}_R(M/xM) = d(M, xM)\) である（「代数」定義 02MG）。 \(\text{length}_K(V) = \dim_K(V)\) であるから、 \(\det(x : V \to V) = x^{\dim_K(V)}\) および \(\text{ord}_R(\det(x : V \to V)) = \dim_K(V) \text{ord}_R(x)\) を得る。 したがって、この場合の所望の等式は 「代数」補題 02MI から従う。

補題

\(R\) を Noether 局所環、\(x \in R\) とする。\(M\) が有限 Cohen–Macaulay \(R\)-加群で、 \(\dim(\text{Supp}(M)) = 1\) かつ \(\dim(\text{Supp}(M/xM)) = 0\) ならば、 \[\text{length}_R(M/xM) = \sum\nolimits_i \text{length}_R(R/(x, \mathfrak q_i)) \text{length}_{R_{\mathfrak q_i}}(M_{\mathfrak q_i}).\] ここで \(\mathfrak q_1, \ldots, \mathfrak q_t\) は \(M\) の台の極小素イデアルである。 また、\(I \subset R\) をイデアルとし、\(x\) が \(R/I\) 上の非零因子で \(\dim(R/I) = 1\) ならば、 \[\text{length}_R(R/(x, I)) = \sum\nolimits_i \text{length}_R(R/(x, \mathfrak q_i)) \text{length}_{R_{\mathfrak q_i}}((R/I)_{\mathfrak q_i})\] である。ここで \(\mathfrak q_1, \ldots, \mathfrak q_n\) は \(I\) 上の極小素イデアルである。

証明

いずれも補題 02QF の特別な場合である。

重複度の値を決定できる別の場合を述べる。

補題

\(R\) を環、\(M\) を \(R\)-加群とする。\(\varphi : M \to M\) を自己準同型、\(n > 0\) とし、 \(\varphi^n = 0\) で、\(\Ker(\varphi)/\Im(\varphi^{n - 1})\) が \(R\)-加群として有限長であるとする。 このとき \[e_R(M, \varphi^i, \varphi^{n - i}) = 0\] が \(i = 0, \ldots, n\) に対して成り立つ。

証明

慣例により \(\varphi^0 = \text{id}_M\) なので、\(i = 0, n\) の場合は自明である。 \(t\) の乗法を \(\varphi\) で定めて、\(M\) を \(R[t]\)-加群とみなす。 \(K_i = \Ker(t^i : M \to M)\) と書き、 \[a_i = \text{length}_R(K_i/t^{n - i}M),\quad b_i = \text{length}_R(K_i/tK_{i + 1}),\quad c_i = \text{length}_R(K_1/t^iK_{i + 1})\] とおく。境界値は \(a_0 = a_n = b_0 = c_0 = 0\) である。 \(K_1/t^iK_{i + 1}\) は、仮定により有限長である \(K_1/t^{n - 1}M\) の商なので、 \(i < n\) に対して \(c_i\) は整数である。 以下、\(K_i \cap t^jM = t^jK_{i + j}\) を繰り返し用いる。 \(0 < i < n - 1\) に対し、完全列 \[0 \to K_1/t^{n - i - 1}K_{n - i} \to K_{i + 1}/t^{n - i - 1}M \xrightarrow{t} K_i/t^{n - i}M \to K_i/tK_{i + 1} \to 0\] がある。\(i\) に関する帰納法により、\(i < n\) に対して \(a_i\), \(b_i\) は整数であり、 \[c_{n - i - 1} - a_{i + 1} + a_i - b_i = 0\] が成り立つ。\(0 < i < n - 1\) に対しては短完全列 \[0 \to K_i/tK_{i + 1} \to K_{i + 1}/tK_{i + 2} \xrightarrow{t^i} K_1/t^{i + 1}K_{i + 2} \to K_1/t^iK_{i + 1} \to 0\] もあり、これから \[b_i - b_{i + 1} + c_{i + 1} - c_i = 0\] を得る。\(b_0 = c_0\) なので \(i < n\) に対して \(b_i = c_i\) である。 したがって \[a_2 = a_1 + b_{n - 2} - b_1,\quad a_3 = a_2 + b_{n - 3} - b_2,\quad \ldots\] を得る。これが所望の \(a_i = a_{n - i}\) を含意することは直ちに分かる。

補題

\((R, \mathfrak m)\) を Noether 局所環とする。\((M, \varphi, \psi)\) を、 \(M\) が有限でコホモロジー群が \(R\) 上有限長である \(R\) 上の \((2, 1)\)-周期複体とする。 \(x \in R\) が \(\dim(\text{Supp}(M/xM)) \leq 0\) を満たすとする。このとき \[e_R(M, x\varphi, \psi) = e_R(M, \varphi, \psi) - e_R(\Im(\varphi), 0, x)\] および \[e_R(M, \varphi, x\psi) = e_R(M, \varphi, \psi) + e_R(\Im(\psi), 0, x)\] が成り立つ。

証明

第二の公式もまったく同様に証明されるので、第一の公式だけを証明する。 \(M' = M[x^\infty]\) を \(M\) の \(x\)-冪 torsion 部分加群とする。 短完全列 \(0 \to M' \to M \to M'' \to 0\) を考える。 すると \(M''\) は \(x\)-冪 torsion をもたない （「代数についてさらに」補題 05EB）。 \(\varphi\), \(\psi\) は \(M'\) を \(M'\) に写すので、\((2, 1)\)-周期複体の短完全列 \[0 \to (M', \varphi', \psi') \to (M, \varphi, \psi) \to (M'', \varphi'', \psi'') \to 0\] を得る。また、短完全列 \(0 \to M' \cap \Im(\varphi) \to \Im(\varphi) \to \Im(\varphi'') \to 0\) も得る。 補題 0EA9 により \(e_R(M', \varphi, \psi) = e_R(M', x\varphi, \psi) = e_R(M' \cap \Im(\varphi), 0, x) = 0\) である。 加法性（補題 0EA7）から、 \((M'', \varphi'', \psi'')\) について補題を証明すれば十分である。 これは次の段落で扱う場合に帰着する。

\(x : M \to M\) が単射であると仮定する。このとき \(\Ker(x\varphi) = \Ker(\varphi)\) である。一方、短完全列 \[0 \to \Im(\varphi)/x\Im(\varphi) \to \Ker(\psi)/\Im(x\varphi) \to \Ker(\psi)/\Im(\varphi) \to 0\] がある。これと (0EA6) から公式が従う。

tame 記号のための準備

本節では、次節で tame 記号を定義する際に用いる補題をいくつか与える。

補題

\(A\) を Noether 環とし、\(\mathfrak m_1, \ldots, \mathfrak m_r\) を \(A\) の相異なる極大イデアルとする。\(i = 1, \ldots, r\) に対し、 \(\varphi_i : A_{\mathfrak m_i} \to B_i\) を、その核と余核が \(\mathfrak m_i\) のある冪で消される環準同型とする。このとき、環準同型 \(\varphi : A \to B\) で次を満たすものが存在する。

1. \(\mathfrak m_i\) における \(\varphi\) の局所化は \(\varphi_i\) と同型であり、

2. \(\Ker(\varphi)\) と \(\Coker(\varphi)\) は \(\mathfrak m_1 \cap \ldots \cap \mathfrak m_r\) のある冪で消される。

さらに、各 \(\varphi_i\) が有限、単射、または全射ならば、\(\varphi\) も同じ性質をもつ。

証明

\(I = \mathfrak m_1 \cap \ldots \cap \mathfrak m_r\) とおき、 \(A_i = A_{\mathfrak m_i}\) および \(A' = \prod A_i\) とおく。 すると \(IA' = \prod \mathfrak m_i A_i\) であり、\(A \to A'\) は \(A/I \cong A'/IA'\) を満たす平坦環準同型である。 したがって「代数についてさらに」補題 0ALK により、\(A\)-加群準同型 \(\varphi : A \to B\) が存在し、その \(\mathfrak m_i\) における局所化 \(\varphi\) は \(\varphi_i\) と同型である。次に「代数についてさらに」注意 05EU の議論を用い、 \(B_i\) 上の所与の \(A\)-代数構造と整合する \(A\)-代数構造を \(B\) に入れる。 補題の最後の主張は、 \(\Ker(\varphi)_{\mathfrak m_i} \cong \Ker(\varphi_i)\) および \(\Coker(\varphi)_{\mathfrak m_i} \cong \Coker(\varphi_i)\) から直ちに従う。

次の補題は「代数」補題 00P9 と非常によく似ている。

補題

\((R, \mathfrak m)\) を次元 \(1\) の Noether 局所環とし、 \(a, b \in R\) を非零因子とする。有限環拡大 \(R \subset R'\) で、 \(R'/R\) が \(\mathfrak m\) のある冪で消され、さらに非零因子 \(t, a', b' \in R'\) が存在して、\(a = ta'\), \(b = tb'\) および \(R' = a'R' + b'R'\) を満たすものがある。

証明

\(a\) または \(b\) が単元ならば、\(R = R'\) として結論が成り立つ。 したがって \(a, b \in \mathfrak m\) と仮定してよい。\(I = (a, b)\) とおく。 着想は \(I\) に沿って \(R\) をブローアップすることである。 代数的議論の代わりに幾何学的に論じる。 \(X = \text{Proj}(\bigoplus_{d \geq 0} I^d)\) とおく。 「因子」補題 02OS により、 射 \(X \to \Spec(R)\) は穴あきスペクトル \(U = \Spec(R) \setminus \{\mathfrak m\}\) 上で同型である。 そこで \(U\) を \(X\) の開部分スキームとみなす。 射 \(X \to \Spec(R)\) は「因子」補題 02NS により射影的である。 また、例えば「因子」補題 0BFM により、 \(X\) のすべての生成点は \(U\) に属する。 「多様体」補題 0AB7 から \(X \to \Spec(R)\) は有限である。ゆえに \(X = \Spec(R')\) は affine で、 \(R \to R'\) は有限である。\(U = D(a)\) なので \(R_a \cong R'_a\) である。 したがって \(a\) のある冪が有限 \(R\)-加群 \(R'/R\) を消す。 \(\mathfrak m = \sqrt{(a)}\) であるから、\(R'/R\) は \(\mathfrak m\) のある冪で消される。 「因子」補題 02OS により、 \(IR'\) は局所単項イデアルである。\(R'\) は半局所なので \(IR'\) は単項である （「代数」補題 02M9 を参照）。 \(IR' = (t)\) と書けば、\(a = a't\), \(b = b't\) となり、結論は明らかである。

補題

\((R, \mathfrak m)\) を次元 \(1\) の Noether 局所環とする。 \(a, b \in R\) を \(a \in \mathfrak m\) を満たす非零因子とする。 整数 \(n = n(R, a, b)\) で、任意の有限環拡大 \(R \subset R'\) と \(c \in R'\) に対し、\(b = a^m c\) ならば \(m \leq n\) となるものが存在する。

証明

極小素イデアル \(\mathfrak q \subset R\) を選ぶ。 \(\dim(R/\mathfrak q) = 1\) であり、特に \(R/\mathfrak q\) は体でない。 「代数」補題 00P8 により、 \(R/\mathfrak q\) と同じ分数体をもち、それを支配する離散付値環 \(A\) を選べる。 \(R\) の非零因子は \(\mathfrak q\) に含まれないので、\(a\), \(b\) の \(A\) における像は非零である。 \(v\) を \(A\) 上の離散付値とする。\(a \in \mathfrak m\) なので \(v(a) > 0\) である。 \(n = v(b)/v(a)\) が所望の整数であると主張する。

\(R \subset R'\) が与えられたとし、\(A' = A \otimes_R R'\) とおく。 \(\Spec(R') \to \Spec(R)\) は全射なので （「代数」補題 00GQ）、 \(\Spec(A') \to \Spec(A)\) も全射である （「代数」補題 00FI）。 \((0) \subset A\) の上にある素イデアル \(\mathfrak q' \subset A'\) を選ぶ。 すると \(A \subset A'' = A'/\mathfrak q'\) は有限環拡大であり、 再びスペクトル上の全射を誘導する。 \(A\) の極大イデアルの上にある極大イデアル \(\mathfrak m'' \subset A''\) と、 \(A''_{\mathfrak m''}\) を支配する離散付値環 \(A'''\) を選ぶ（上で引用した補題を参照）。 このとき \(A \to A'''\) は離散付値環の拡大で、\(A'''\) において \(b = a^m c\) である。ゆえに \(v'''(b) \geq mv'''(a)\) である。 \(A'''/A\) の分岐指数を \(e\) とすれば \(v''' = ev\) なので、所望の \(m \leq n\) を得る。

補題

\((A, \mathfrak m)\) を次元 \(1\) の Noether 局所環とする。 \(r \geq 2\) とし、\(a_1, \ldots, a_r \in A\) を、すべてが単元ではない非零因子とする。 このとき次が存在する。

1. \(B/A\) が \(\mathfrak m\) のある冪で消される有限環拡大 \(A \subset B\),

2. 各極大イデアル \(\mathfrak m_j \subset B\) に対する非零因子 \(\pi_j \in B_j = B_{\mathfrak m_j}\), および

3. \(B_j\) における分解 \(a_i = u_{i, j} \pi_j^{e_{i, j}}\) で、 \(u_{i, j} \in B_j\) は単元、\(e_{i, j} \geq 0\) であるもの。

証明

少なくとも一つの \(a_i\) は単元でないので、\(\mathfrak m\) は \(A\) の随伴素イデアルでない。 さらに、主張にある任意の \(A \subset B\) に対して、\(\mathfrak m\) は \(B\) の随伴素イデアルでなく、 \(\mathfrak m_j\) は \(B_j\) の随伴素イデアルでない。この点を念頭に置けば、 以下の議論を確認しやすい。

まず \(r = 2\) の場合を証明すれば十分であると主張する。 \(r\) に関する帰納法で示すが、この証明は読み飛ばしてもよい。 \(A \subset B\)、\(B_j = B_{\mathfrak m_j}\) 内の \(\pi_j\)、および \(i = 1, \ldots, r - 1\) に対する \(B_j\) 内の分解 \(a_i = u_{i, j} \pi_j^{e_{i, j}}\) が与えられ、 \(u_{i, j} \in B_j\) は単元、\(e_{i, j} \geq 0\) とする。 \(B_j\) における \(\pi_j\), \(a_r\) に \(r = 2\) の場合を適用すると、拡大 \(B_j \subset C_j\) が得られ、\(C_j\) の各極大イデアル \(\mathfrak m_{j, k}\) に対して、 非零因子 \(\pi_{j, k} \in C_{j, k} = (C_j)_{\mathfrak m_{j, k}}\) と分解 \[\pi_j = v_{j, k} \pi_{j, k}^{f_{j, k}} \quad\text{and}\quad a_r = w_{j, k} \pi_{j, k}^{g_{j, k}}\] が補題のとおり得られる。補題 0EAE により、 \(C/B\) が \(\mathfrak m\) のある冪で消され、すべての \(j\) に対して \(C_j \cong C_{\mathfrak m_j}\) となる一意な有限拡大 \(B \subset C\) が存在する。 \(C\) の極大イデアルは各局所化の極大イデアル \(\mathfrak m_{j, k}\) と \(1\) 対 \(1\) に対応し、 これらの局所化では \[a_i = u_{i, j} \pi_j^{e_{i, j}} = u_{i, j} v_{j, k}^{e_{i, j}} \pi_{j, k}^{e_{i, j}f_{j, k}}\] が \(i \leq r - 1\) に対して成り立つ。\(a_r\) も正しく分解されるので、帰納段階が完了する。

\(r = 2\) の場合を証明する。次の量に関する帰納法を用いる： \[\ell = \min(\text{length}_A(A/a_1A),\ \text{length}_A(A/a_2A)).\] \(\ell = 0\) ならば \(a_1\) または \(a_2\) が単元であり、\(A = B\) として補題が成り立つ。 したがって \(\ell > 0\) と仮定してよい。

有限環拡大 \(A \subset A'\) があり、\(A'/A\) は \(\mathfrak m\) のある冪で消され、 \(\mathfrak m\) は \(A'\) の随伴素イデアルでないとする。 \(\mathfrak m_1, \ldots, \mathfrak m_r \subset A'\) を極大イデアルとし、 \(A'_i = A'_{\mathfrak m_i}\) とおく。各 \(A'_i\) で \(a_1, a_2\) に対する問題を解ければ、 補題 0EAE を適用して \(A\) における \(a_1, a_2\) の解を作れる。 \(\ell = \text{length}_A(A/xA)\) となる \(x \in \{a_1, a_2\}\) を選ぶ。 補題 0EA9 と (0EA6) により、 \(\text{length}_A(A/xA) = \text{length}_A(A'/xA')\) である。一方、 「代数」補題 02M0 により \[\text{length}_A(A'/xA') = \sum [\kappa(\mathfrak m_i) : \kappa(\mathfrak m)] \text{length}_{A'_i}(A'_i/xA'_i)\] である。\(x \in \mathfrak m\) なので右辺の各項は正である。 \(r > 1\) の場合、または \(r = 1\) かつ \([\kappa(\mathfrak m_1) : \kappa(\mathfrak m)] > 1\) の場合には、 各 \(A'_i\) 内の \(a_1, a_2\) に帰納法の仮定を適用できる。 したがって、上のような各 \(A'\) は \(A\) と同じ剰余体をもつ局所環であると仮定してよい。

前段落の議論を適用し、補題 02Q7 で \(a_1, a_2 \in A\) に対して構成した環で \(A\) を置き換えてよい。 \(A\) は局所環なので、必要なら \(a_1\), \(a_2\) を入れ替えることで \(a_2 \in (a_1)\) となる。 \(a_2 = a_1^m c\) と書き、\(m > 0\) を最大にとる。実際、補題 0EAF により、前段落のような任意の有限拡大 \(A \subset A'\) で \(A\) を置き換えた後にも \(m\) が最大であると仮定できる。 \(c\) が単元ならば終了する。そうでなければ、補題 02Q7 で \(a_1, c \in A\) に対して 構成した環で \(A\) を置き換える。このとき (1) \(c = a_1 c'\) または (2) \(a_1 = c a'_1\) である。第一の場合は \(a_2 = a_1^{m + 1} c'\) となり、 \(m\) の最大性に反するので起こらない。第二の場合には \(a_1 = c a'_1\) および \(a_2 = c^{m + 1} (a'_1)^m\) を得る。 したがって \(A\) と \(c, a'_1\) に対して補題を証明すれば十分である。 \(a'_1\) が単元ならば終了し、そうでなければ \(cA\) は \(a_1A\) より真に大きいので \(\text{length}_A(A/cA) < \ell\) である。ゆえに帰納法の仮定から結論が従う。

tame 記号

\((A, \mathfrak m)\) を次元 \(1\) の Noether 局所環とする。 \(Q(A)\) で \(A\) の全商環を表す （「代数」例 02C5 を参照）。 tame 記号とは、次の性質を満たす写像 \[\partial_A(-, -) : Q(A)^* \times Q(A)^* \longrightarrow \kappa(\mathfrak m)^*\] である。

1. \(\partial_A(f, gh) = \partial_A(f, g) \partial_A(f, h)\) [0EAI] が \(f, g, h \in Q(A)^*\) に対して成り立つ。

2. \(\partial_A(f, g) \partial_A(g, f) = 1\) [0EAJ] が \(f, g \in Q(A)^*\) に対して成り立つ。

3. \(\partial_A(f, 1 - f) = 1\) [0EAK] が、\(1 - f \in Q(A)^*\) を満たす \(f \in Q(A)^*\) に対して成り立つ。

4. \(\partial_A(aa', b) = \partial_A(a, b)\partial_A(a', b)\) [0EAL] および \(\partial_A(a, bb') = \partial_A(a, b)\partial_A(a, b')\) が、 非零因子 \(a, a', b, b' \in A\) に対して成り立つ。

5. \(\partial_A(b, b) = (-1)^m\) [0EAM] が、非零因子 \(b \in A\) と \(m = \text{length}_A(A/bA)\) に対して成り立つ。

6. \(\partial_A(u, b) = u^m \bmod \mathfrak m\) [0EAN] が、単元 \(u \in A\)、非零因子 \(b \in A\)、および \(m = \text{length}_A(A/bA)\) に対して成り立つ。

7. \(\partial_A(a, b - a)\partial_A(b, b) = \partial_A(b, b - a)\partial_A(a, b)\) が、\(a, b, b - a\) が非零因子となる \(a, b \in A\) に対して成り立つ。

\(A\) の元を用いる方が扱いやすいため、\(\partial_A\) をしばしば、 (0EAL), (0EAM), (0EAN), (0EAP) を満たす \(A\) の非零因子の組上の写像とみなす。 \[\partial_A(\frac{a}{b}, \frac{c}{d}) = \partial_A(a, c) \partial_A(a, d)^{-1} \partial_A(b, c)^{-1} \partial_A(b, d)\] とおけば、他の性質も含め、(0EAI), (0EAJ), (0EAK) を満たす well-defined な写像 \(Q(A)^* \times Q(A)^* \to \kappa(\mathfrak m)^*\) が得られることは演習である。

これらの性質をもつ写像が一意であるとは主張しない。 代わりに、そのような写像の構成法を与える。 非零因子 \(a_1, a_2 \in A\) が与えられたとき、補題 0EAG のように環拡大 \(A \subset B\) と局所分解を選ぶ。 そして次で定義する。 [0EAQ]\[\begin{equation} \partial_A(a_1, a_2) = \prod\nolimits_j \text{Norm}_{\kappa(\mathfrak m_j)/\kappa(\mathfrak m)} ((-1)^{e_{1, j}e_{2, j}}u_{1, j}^{e_{2, j}}u_{2, j}^{-e_{1, j}} \bmod \mathfrak m_j)^{m_j} \end{equation}\] ここで \(m_j = \text{length}_{B_j}(B_j/\pi_j B_j)\) であり、積は \(B\) の極大イデアル \(\mathfrak m_1, \ldots, \mathfrak m_r\) 全体にわたる。

補題

公式 (0EAQ) は well-defined な \(\kappa(\mathfrak m)^*\) の元を定める。すなわち、右辺は局所分解の選び方にも \(B\) の選び方にも依存しない。

証明

まず分解の選び方からの独立性を示す。\(B\) を Noether \(1\)-次元局所環、 \(a_1, a_2 \in B\) を元とし、非零因子 \(\pi, \theta\) によって \[a_1 = u_1 \pi^{e_1} = v_1 \theta^{f_1},\quad a_2 = u_2 \pi^{e_2} = v_2 \theta^{f_2}\] と書けるとする。ここで \(e_i, f_i \geq 0\) は整数、\(u_i, v_i\) は \(B\) の単元である。 すると \[a_1^{e_2} = u_1^{e_2}u_2^{-e_1}a_2^{e_1},\quad a_1^{f_2} = v_1^{f_2}v_2^{-f_1}a_2^{f_1}\] である。一方、\(m = \text{length}_B(B/\pi B)\), \(k = \text{length}_B(B/\theta B)\) とおけば、 \(e_2 m = \text{length}_B(B/a_2 B) = f_2 k\) である。 上の式を用いて \(a_1^{e_2m} = a_1^{f_2 k}\) を展開すると \[(u_1^{e_2}u_2^{-e_1})^m = (v_1^{f_2}v_2^{-f_1})^k\] を得る。これで符号を除く所望の等式が示された。 符号については、\(me_1e_2\) が偶数であることと \(kf_1f_2\) が偶数であることが 同値だと示せばよい。これは \(me_2 = kf_2\) および \(me_1 = kf_1\) から従う （上と同じ議論）。

次に \(B\) の選び方からの独立性を示す。補題 0EAG のような 二つの拡大 \(A \subset B\), \(A \subset B'\) が与えられたとする。このとき \[C = (B \otimes_A B')/(\mathfrak m\text{-power torsion})\] は第三の拡大となる。したがって \(A \subset B \subset C\) と仮定してよく、 \(B\) の局所環上での分解を \(C\) の局所環上でも用いたとき、同じ \(\kappa(\mathfrak m)\) の元を与えることを示せばよい。 ノルムの推移性（「体」補題 0BIJ）により、 問題は次に帰着する。\(B\) が次元 \(1\) の Noether 局所環で、 \(\pi \in B\) が非零因子ならば、 \[\lambda^m = \prod \text{Norm}_{\kappa_k/\kappa}(\lambda)^{m_k}\] である。ここで記法は次のとおりである： (1) \(\kappa\) は \(B\) の剰余体、 (2) \(\lambda\) は \(\kappa\) の元、 (3) \(\mathfrak m_k \subset C\) は \(C\) の極大イデアル、 (4) \(\kappa_k = \kappa(\mathfrak m_k)\) は \(C_k = C_{\mathfrak m_k}\) の剰余体、 (5) \(m = \text{length}_B(B/\pi B)\), および (6) \(m_k = \text{length}_{C_k}(C_k/\pi C_k)\). 表示された等式は、\(\lambda \in \kappa\) に対して \(\text{Norm}_{\kappa_k/\kappa}(\lambda) = \lambda^{[\kappa_k : \kappa]}\) であり、 \(m = \sum m_k[\kappa_k:\kappa]\) であることから従う。 まず補題 0EA9 と (0EA6) により \(m = \text{length}_B(B/xB) = \text{length}_B(C/\pi C)\) である。 最後に「代数」補題 02M0 により \(\text{length}_B(C/\pi C) = \sum m_k[\kappa_k:\kappa]\) である。

補題

tame 記号 (0EAQ) は (0EAL), (0EAM), (0EAN), (0EAP) を満たす。 したがって (0EAI), (0EAJ), (0EAK) を満たす写像 \(\partial_A : Q(A)^* \times Q(A)^* \to \kappa(\mathfrak m)^*\) を与える。

証明

まず (0EAL) を証明する。 \(a_1, a_2, a_3 \in A\) を非零因子とし、補題 0EAG のような \(A \subset B\) を \(a_1, a_2, a_3\) に対して選ぶ。このとき等式 \[\partial_A(a_1a_2, a_3) = \partial_A(a_1, a_3) \partial_A(a_2, a_3)\] は、\(B_j\) における等式 \[(-1)^{(e_{1, j} + e_{2, j})e_{3, j}} (u_{1, j}u_{2, j})^{e_{3, j}}u_{3, j}^{-e_{1, j} - e_{2, j}} = (-1)^{e_{1, j}e_{3, j}} u_{1, j}^{e_{3, j}}u_{3, j}^{-e_{1, j}} (-1)^{e_{2, j}e_{3, j}} u_{2, j}^{e_{3, j}}u_{3, j}^{-e_{2, j}}\] から従う。(0EAM) と (0EAN) も同様に直ちに従う。

次に (0EAP) を証明する。 \(a_1, a_2, a_1 - a_2 \in A\) を非零因子とし、\(a_3 = a_1 - a_2\) とおく。 補題 0EAG のような \(A \subset B\) を \(a_1, a_2, a_3\) に対して選ぶ。すると次を示せば十分である： \[(-1)^{e_{1, j}e_{2, j} + e_{1, j}e_{3, j} + e_{2, j}e_{3, j} + e_{2, j}} u_{1, j}^{e_{2, j} - e_{3, j}} u_{2, j}^{e_{3, j} - e_{1, j}} u_{3, j}^{e_{1, j} - e_{2, j}} \bmod \mathfrak m_j = 1\] \(e_{1, j} = e_{2, j} = e_{3, j}\) ならば明らかである。 \(e_{1, j} > e_{2, j}\) とする。\(a_3 = a_1 - a_2\) なので \(e_{3, j} = e_{2, j}\) であり、\(u_{3, j}\) と \(-u_{2, j}\) は同じ剰余類をもつ。 したがって公式は成り立ち、符号も整合する。この検証こそが (0EAQ) での符号の選び方の理由である。 他の場合もまったく同様に扱える。

補題

\((A, \mathfrak m)\) を次元 \(1\) の Noether 局所環とする。 \(A \subset B\) を有限環拡大とし、\(B/A\) は \(\mathfrak m\) のある冪で消され、 \(\mathfrak m\) は \(B\) の随伴素イデアルでないとする。 非零因子 \(a, b \in A\) に対して \[\partial_A(a, b) = \prod \text{Norm}_{\kappa(\mathfrak m_j)/\kappa(\mathfrak m)}(\partial_{B_j}(a, b))\] が成り立つ。ここで積は \(B\) の極大イデアル \(\mathfrak m_j\) 全体にわたり、 \(B_j = B_{\mathfrak m_j}\) である。

証明

\(a, b\) に対し、補題 0EAG のような \(B_j \subset C_j\) を選ぶ。補題 0EAE により、 すべての \(j\) に対して \(C_j \cong C_{\mathfrak m_j}\) となる有限環拡大 \(B \subset C\) を選べる。\(\mathfrak m_j\) の上にある \(C\) の極大イデアルを \(\mathfrak m_{j, k} \subset C\) とする。\(C_j \cong C_{\mathfrak m_j}\) の選び方によって存在する 局所分解を \[a = u_{j, k}\pi_{j, k}^{f_{j, k}},\quad b = v_{j, k}\pi_{j, k}^{g_{j, k}}\] とする。定義により \[\partial_A(a, b) = \prod\nolimits_{j, k} \text{Norm}_{\kappa(\mathfrak m_{j, k})/\kappa(\mathfrak m)} ((-1)^{f_{j, k}g_{j, k}}u_{j, k}^{g_{j, k}}v_{j, k}^{-f_{j, k}} \bmod \mathfrak m_{j, k})^{m_{j, k}}\] および \[\partial_{B_j}(a, b) = \prod\nolimits_k \text{Norm}_{\kappa(\mathfrak m_{j, k})/\kappa(\mathfrak m_j)} ((-1)^{f_{j, k}g_{j, k}}u_{j, k}^{g_{j, k}}v_{j, k}^{-f_{j, k}} \bmod \mathfrak m_{j, k})^{m_{j, k}}\] である。結果は拡大 \(\kappa(\mathfrak m_{j, k})/\kappa(\mathfrak m_j)/\kappa(\mathfrak m)\) に対するノルムの推移性から従う （「体」補題 0BIJ）。

補題

\((A, \mathfrak m, \kappa) \to (A', \mathfrak m', \kappa')\) を Noether 局所環の局所準同型とする。\(A \to A'\) は平坦で、 \(\dim(A) = \dim(A') = 1\) と仮定する。 \(m = \text{length}_{A'}(A'/\mathfrak mA')\) とおく。 非零因子 \(a_1, a_2 \in A\) に対し、\(\partial_A(a_1, a_2)^m\) は \(\kappa \to \kappa'\) によって \(\partial_{A'}(a_1, a_2)\) に写る。

証明

\(a_1, a_2\) がともに単元ならば、\(\partial_A(a_1, a_2) = 1\) および \(\partial_{A'}(a_1, a_2) = 1\) なので結論は成り立つ。 そうでなければ、補題 0EAG のような 環拡大 \(A \subset B\) と局所分解を選べる。 \(\mathfrak m_1, \ldots, \mathfrak m_m\) を \(B\) の極大イデアルと書く。 \(\mathfrak m_1, \ldots, \mathfrak m_m\) を、剰余体 \(\kappa_1, \ldots, \kappa_m\) をもつ \(B\) の極大イデアルとする。 各 \(j \in \{1, \ldots, m\}\) に対し、補題のような分解 \(a_i = u_{i, j}\pi_j^{e_{i, j}}\) を与える非零因子 \(\pi_j \in B_j = B_{\mathfrak m_j}\) をとる。定義により \[\partial_A(a_1, a_2) = \prod\nolimits_j \text{Norm}_{\kappa_j/\kappa} ((-1)^{e_{1, j}e_{2, j}}u_{1, j}^{e_{2, j}}u_{2, j}^{-e_{1, j}} \bmod \mathfrak m_j)^{m_j}\] である。ここで \(m_j = \text{length}_{B_j}(B_j/\pi_j B_j)\) である。

\(B' = A' \otimes_A B\) とおく。\(A'\) は \(A\) 上平坦なので、 \(A' \subset B'\) は環拡大で、\(B'/A'\) は \(\mathfrak m'\) のある冪で消される。 \[\mathfrak m'_{j, l},\quad l = 1, \ldots, n_j\] を、\(\mathfrak m_j\) の上にある \(B'\) の極大イデアルとする。 \(\kappa'_{j, l}\) を \(\mathfrak m'_{j, l}\) の剰余体、\(B'_{j, l}\) を \(\mathfrak m'_{j, l}\) における \(B'\) の局所化とする。 \(B'_{j, l}\) における \(a_1\), \(a_2\) の分解には、\(B_j\) で与えられた分解 \(a_i = u_{i, j} \pi_j^{e_{i, j}}\) の像を用いる。定義により \[\partial_{A'}(a_1, a_2) = \prod\nolimits_{j, l} \text{Norm}_{\kappa'_{j, l}/\kappa'} ((-1)^{e_{1, j}e_{2, j}}u_{1, j}^{e_{2, j}}u_{2, j}^{-e_{1, j}} \bmod \mathfrak m'_{j, l})^{m'_{j, l}}\] である。ここで \(m'_{j, l} = \text{length}_{B'_{j, l}}(B'_{j, l}/\pi_j B'_{j, l})\) である。

上の公式を比較すると、各 \(j\) と任意の単元 \(u \in B_j\) に対して [0GU1]\[\begin{equation} \left(\text{Norm}_{\kappa_j/\kappa}(u \bmod \mathfrak m_j)^{m_j}\right)^m = \prod\nolimits_l \text{Norm}_{\kappa'_{j, l}/\kappa'}(u \bmod \mathfrak m'_{j, l})^{m'_{j, l}} \end{equation}\] を \(\kappa'\) で示せば十分である。これには「代数についてさらに」第 0GSX 節の、有限長加群の自己準同型の 行列式の構成を用いる。\(M = B_j/\pi_j B_j\) とおく。 「代数についてさらに」補題 0GSZ により \[\text{Norm}_{\kappa_j/\kappa}(u \bmod \mathfrak m_j)^{m_j} = \det\nolimits_\kappa(u : M \to M)\] である。したがって「代数についてさらに」補題 0GT0 により、 (0GU1) の左辺は \(\det_{\kappa'}(u : M \otimes_A A' \to M \otimes_A A')\) に等しい。 \(A'\)-加群の同型 \[M \otimes_A A' = (B_j/\pi_j B_j) \otimes_A A' = \bigoplus\nolimits_l B'_{j, l}/\pi_j B'_{j, l}\] がある。\(M'_l = B'_{j, l}/\pi_j B'_{j, l}\) とおけば、再び 「代数についてさらに」補題 0GSZ により \(\text{Norm}_{\kappa'_{j, l}/\kappa'}(u \bmod \mathfrak m'_{j, l})^{m'_{j, l}} = \det_{\kappa'}(u_j : M'_l \to M'_l)\) である。 ゆえに行列式構成の乗法性から (0GU1) が成り立つ （「代数についてさらに」補題 0GSY）。

鍵となる補題

本節では上の結果を適用して補題 0EAX を証明する。 この補題は、Milnor K 理論に対して Quillen の K 理論における Gersten–Quillen 複体と類似の複体が存在するという主張の低次数の場合である。 注意 0EAY を参照されたい。

補題

\((A, \mathfrak m)\) を \(2\)-次元 Noether 局所環とする。 \(t \in \mathfrak m\) を非零因子とし、 \(V(t) = \{\mathfrak m, \mathfrak q_1, \ldots, \mathfrak q_r\}\) と書く。 \(A_{\mathfrak q_i} \subset B_i\) を有限環拡大とし、 \(B_i/A_{\mathfrak q_i}\) は \(t\) のある冪で消されるとする。 このとき剰余体を同一視する局所環の有限拡大 \(A \subset B\) で、 \(B_i \cong B_{\mathfrak q_i}\) かつ \(B/A\) が \(t\) のある冪で消されるものが存在する。

証明

\(B_i \subset t^{-n}A_{\mathfrak q_i}\) となる \(n > 0\) を選ぶ。 \(M \subset t^{-n}A\) と、 \(M' \subset t^{-2n}A\) を、それぞれ \(t^{-n}A_{\mathfrak q_i}\) と、 \(t^{-2n}A_{\mathfrak q_i}\) で \(B_i\) に写る元からなる \(A\)-部分加群とする。 \(A\) は Noether 環で、局所化は完全なので、\(M \subset M'\) は有限 \(A\)-加群であり、 \(M_{\mathfrak q_i} = M'_{\mathfrak q_i} = B_i\) である。 したがって、ある \(c > 0\) に対して \(M'/M\) は \(\mathfrak m^c\) で消される。 乗法 \(t^{-n}A \times t^{-n}A \to t^{-2n}A\) のもとで \(M \cdot M \subset M'\) である。ゆえに \(B = A + \mathfrak m^{c + 1}M\) は、所望の局所化をもつ有限 \(A\)-代数である。 \(B\) が極大イデアル \(\mathfrak m + \mathfrak m^{c + 1}M\) をもつ局所環であることの 確認は省略する。

補題

\((A, \mathfrak m)\) を \(2\)-次元 Noether 局所環とし、 \(a, b \in A\) を非零因子とする。このとき \[\sum \text{ord}_{A/\mathfrak q}(\partial_{A_{\mathfrak q}}(a, b)) = 0\] である。ここで和は \(A\) の高さ \(1\) の素イデアル \(\mathfrak q\) 全体にわたる。

証明

\(\mathfrak q\) を \(A\) の高さ \(1\) の素イデアルとし、\(a, b\) の像が \(A_\mathfrak q\) の単元であるならば、\(\partial_{A_\mathfrak q}(a, b) = 1\) である。 したがって和は有限である。実際、 \(V(ab) = \{\mathfrak m, \mathfrak q_1, \ldots, \mathfrak q_r\}\) ならば、 和は \(i = 1, \ldots, r\) にわたる。各 \(i\) に対し、\(a, b\) について 補題 0EAG のような拡大 \(A_{\mathfrak q_i} \subset B_i\) を選ぶ。\(t = ab\) と所与の素イデアル列に 補題 0EAV を適用すると、有限局所拡大 \(A \subset B\) で、 \(B/A\) が \(ab\) のある冪で消され、各 \(i\) に対して \(B_{\mathfrak q_i} \cong B_i\) となるものがあると仮定してよい。 \(\mathfrak q_{i, j}\) を \(\mathfrak q_i\) の上にある \(B\) の素イデアルとすると、 補題 0EAT と 「代数」補題 02MJ により \[\text{ord}_{A/\mathfrak q_i}(\partial_{A_{\mathfrak q_i}}(a, b)) = \sum\nolimits_j \text{ord}_{B/\mathfrak q_{i, j}}(\partial_{B_{\mathfrak q_{i, j}}}(a, b))\] である。したがって \(A\) を \(B\) で置き換え、次段落の場合に帰着してよい。

各 \(i\) に対し、非零因子 \(\pi_i \in A_{\mathfrak q_i}\) と単元 \(u_i, v_i \in A_{\mathfrak q_i}\) があり、ある整数 \(e_i, f_i \geq 0\) に対して \[a = u_i \pi_i^{e_i},\quad b = v_i \pi_i^{f_i}\] が \(A_{\mathfrak q_i}\) で成り立つと仮定する。 \(m_i = \text{length}_{A_{\mathfrak q_i}}(A_{\mathfrak q_i}/\pi_i)\) とおけば、定義により \(\partial_{A_{\mathfrak q_i}}(a, b) = ((-1)^{e_if_i}u_i^{f_i}v_i^{-e_i})^{m_i}\) である。 \(a, b\) は非零因子なので、\((2, 1)\)-周期複体 \((A/(ab), a, b)\) の コホモロジーは消える。\(M_i\) を \(A/(ab)\) の \(A_{\mathfrak q_i}/(ab)\) における像とする。 すると写像 \[A/(ab) \longrightarrow \bigoplus M_i\] の核と余核は \(\{\mathfrak m\}\) に台をもち、したがって有限長である。 補題 0EA9 により \[\sum e_A(M_i, a, b) = 0\] である。ゆえに \(e_A(M_i, a, b) = - \text{ord}_{A/\mathfrak q_i}(\partial_{A_{\mathfrak q_i}}(a, b))\) を示せば十分である。

まず \(\pi_i, u_i, v_i\) が元 \(\pi_i, u_i, v_i \in A\) の像である場合を証明する （同じ記号を用いても混乱はない）。この場合、 \[\begin{align*} e_A(M_i, a, b) & = e_A(M_i, u_i\pi_i^{e_i}, v_i\pi_i^{f_i}) \\ & = e_A(M_i, \pi_i^{e_i}, \pi_i^{f_i}) - e_A(\pi_i^{e_i}M_i, 0, u_i) + e_A(\pi_i^{f_i}M_i, 0, v_i) \\ & = 0 - f_im_i\text{ord}_{A/\mathfrak q_i}(u_i) + e_im_i\text{ord}_{A/\mathfrak q_i}(v_i) \\ & = -m_i\text{ord}_{A/\mathfrak q_i}(u_i^{f_i}v_i^{-e_i}) = -\text{ord}_{A/\mathfrak q_i}(\partial_{A_{\mathfrak q_i}}(a, b)) \end{align*}\] を得る。第二の等式は補題 0EAC による。 さらに \(M_i \subset (M_i)_{\mathfrak q_i} = A_{\mathfrak q_i}/(\pi_i^{e_i + f_i})\), \((\pi_i^{e_i}M_i)_{\mathfrak q_i} \cong A_{\mathfrak q_i}/\pi_i^{f_i}\), \((\pi_i^{f_i}M_i)_{\mathfrak q_i} \cong A_{\mathfrak q_i}/\pi_i^{e_i}\) である。 第三の等式の \(0\) は補題 0EAB から、 他の二項は補題 02QF から生じる。 最後の二等式は位数関数の乗法性と tame 記号の定義から従う。

一般の場合には、まず \(c\pi_i \in A\) となる \(c \in A\), \(c \not \in \mathfrak q_i\) を選ぶ。 \(\pi_i\) を \(c\pi_i\) で、\(u_i\) を \(c^{-e_i}u_i\) で、\(v_i\) を \(c^{-f_i}v_i\) で置き換え、\(\pi_i\) は \(A\) に属すると仮定してよい。 次に \(cu_i, cv_i \in A\) となる \(c \in A\), \(c \not \in \mathfrak q_i\) を選ぶ。 補題 02QF により \[e_A(M_i, ca, cb) = e_A(M_i, a, b) - e_A(aM_i, 0, c) + e_A(bM_i, 0, c)\] である。一方、\(c\) は \(A_{\mathfrak q_i}\) の単元なので、 \(\kappa(\mathfrak q_i)^*\) において \[\partial_{A_{\mathfrak q_i}}(ca, cb) = c^{m_i(f_i - e_i)}\partial_{A_{\mathfrak q_i}}(a, b)\] である。前段落の議論から \(e_A(M_i, ca, cb) = - \text{ord}_{A/\mathfrak q_i}(\partial_{A_{\mathfrak q_i}}(ca, cb))\) である。 したがって \[e_A(aM_i, 0, c) = \text{ord}_{A/\mathfrak q_i}(c^{m_if_i}) \quad\text{and}\quad e_A(bM_i, 0, c) = \text{ord}_{A/\mathfrak q_i}(c^{m_ie_i})\] を証明すれば十分である。これは、\(\mathfrak q_i\) で局所化したときの上記の記述と 補題 02QF から従う。

補題

\(A\) を分数体 \(K\) をもつ \(2\)-次元 Noether 局所整域とし、\(f, g \in K^*\) とする。 \(\mathfrak q_1, \ldots, \mathfrak q_t\) を、\(f\) または \(g\) の少なくとも一方が \(A^*_{\mathfrak q}\) の元でないような \(A\) の高さ \(1\) の素イデアル \(\mathfrak q\) とする。このとき \[\sum\nolimits_{i = 1, \ldots, t} \text{ord}_{A/\mathfrak q_i}(\partial_{A_{\mathfrak q_i}}(f, g)) = 0\] である。これは次のようにも書ける： \[\sum\nolimits_{\text{height}(\mathfrak q) = 1} \text{ord}_{A/\mathfrak q}(\partial_{A_{\mathfrak q}}(f, g)) = 0\] 実際、\(f, g \in A^*_{\mathfrak q}\) となる \(A\) の任意の高さ \(1\) の素イデアル \(\mathfrak q\) に対して \(\partial_{A_{\mathfrak q}}(f, g) = 1\) である。

証明

tame 記号 \(\partial_{A_{\mathfrak q}}(f, g)\) は双線形で、位数関数 \(\text{ord}_{A/\mathfrak q}\) は加法的なので、\(f\), \(g\) が \(A\) の元である場合に 公式を証明すれば十分である。この場合は補題 0EAW で証明されている。

注意

体 \(k\) に対し、\(K^M_*(k)\) で、\(k^*\) 上のテンソル代数を \(x \in k \setminus \{0, 1\}\) に対する元 \(x \otimes 1 - x\) が生成する 両側イデアルで割った商を表す。したがって \(K^M_0(k) = \mathbf{Z}\), \(K_1^M(k) = k^*\) であり、 \[K^M_2(k) = k^* \otimes_\mathbf{Z} k^* / \langle x \otimes 1 - x \rangle\] である。\(A\) が分数体 \(F = \text{Frac}(A)\) と剰余体 \(\kappa\) をもつ離散付値環ならば、 第 0EAH 節のように定義される tame 記号 \[\partial_A : K_{i + 1}^M(F) \to K_i^M(\kappa)\] がある（[Kato-Milnor-K] を参照）。より一般に、正規化と \(K_i^M\) 上の ノルム写像を用いると、この写像は \(A\) が次元 \(1\) の excellent 局所整域である場合に 拡張できる（[Kato-Milnor-K] を参照）。おそらく第 0EAH 節の方法を用いれば、tame 記号 \(\partial_A\) の構成を 任意の次元 \(1\) の Noether 局所整域 \(A\) に拡張できる。 次に、\(X\) を次元関数 \(\delta\) をもつ Noether スキームとする。 これらの tame 記号を用いて次の矢印を得る： \[\bigoplus\nolimits_{\delta(x) = j + 1} K^M_{i + 1}(\kappa(x)) \longrightarrow \bigoplus\nolimits_{\delta(x) = j} K^M_i(\kappa(x)) \longrightarrow \bigoplus\nolimits_{\delta(x) = j - 1} K^M_{i - 1}(\kappa(x))\] しかし合成が零であること、すなわち Abel 群の複体が得られることは自明でない。 \(X\) が excellent の場合、これは [Kato-Milnor-K] で示されている。 \(i = 1\) で \(j\) が任意の場合には、補題 0EAX から従う。

設定

以下では一貫して、次元関数 \(\delta\) を備えた、局所 Noether かつ普遍的鎖状な 基底 \(S\) 上で議論する。本章の議論の一部はさらに一般化できると思われるが、 これは良い第一近似である。これはまさに [Thorup] で扱われる一般性である。 通常、スキームが分離的または準コンパクトであるとは仮定しない。 興味深い代数スタックの多くは非分離的または非準コンパクトであり、 それらに対しても妥当な理論をどのように展開するかを見るための良い事例となる。 これらの仮定を参照できるよう番号を付ける。

設定

ここで \(S\) は局所 Noether かつ普遍的鎖状なスキームである。 さらに、\(S\) は次元関数 \(\delta : S \longrightarrow \mathbf{Z}\) を備えると仮定する。

普遍的鎖状スキームの概念については「射」定義 02J8 を、次元関数の概念については 「位相」定義 02I9 を参照されたい。 任意の局所 Noether 鎖状スキームは局所的に次元関数をもつ （「性質」補題 02IY）。 また、普遍的鎖状なスキームは多数存在する （「射」補題 02JB）。

\((S, \delta)\) を状況 02QL のとおりとする。 \(S\) 上局所有限型な任意のスキーム \(X\) は局所 Noether かつ鎖状である。 実際、\(X\) は \((f : X \to S, \delta)\) に付随する標準的な次元関数 \[\delta = \delta_{X/S} : X \longrightarrow \mathbf{Z}\] をもち、これは \(\delta_{X/S}(x) = \delta(f(x)) + \text{trdeg}_{\kappa(f(x))}\kappa(x)\) で与えられる。「射」補題 02JW を参照されたい。 さらに、\(h : X \to Y\) が \(S\) 上局所有限型なスキームの射で、 \(x \in X\), \(y = h(x)\) ならば、明らかに \(\delta_{X/S}(x) = \delta_{Y/S}(y) + \text{trdeg}_{\kappa(y)}\kappa(x)\) である。 以下、この関数とその性質を自由に用いる。

上の設定の基本的な例を挙げる。実際、主に興味があるのは、基底が体のスペクトルである場合、 または基底が Dedekind 環のスペクトルである場合 （たとえば \(\mathbf{Z}\) または離散付値環）である。

例

ここで \(S = \Spec(k)\) であり、\(k\) は体である。 \(pt\) を \(S\) の唯一の点として \(\delta(pt) = 0\) とおく。 組 \((S, \delta)\) は状況 02QL の例である （「射」補題 02JB による）。

例

ここで \(S = \Spec(A)\) であり、\(A\) は次元 \(1\) の Noether 整域である。 例えば \(A = \mathbf{Z}\) としてよい。\(\mathfrak p\) が極大イデアルならば \(\delta(\mathfrak p) = 0\) とおき、\(\mathfrak p = (0)\) が生成点に対応するときは \(\delta(\mathfrak p) = 1\) とおく。これは状況 02QL の例である（「射」補題 02JB による）。

例

ここで \(S\) は Cohen–Macaulay スキームである。 「射」補題 02JB により \(S\) は普遍的鎖状である。 \(\delta(s) = -\dim(\mathcal{O}_{S, s})\) とおく。 \(s' \leadsto s\) が \(S\) の点の非自明な特殊化ならば、 \(\mathcal{O}_{S, s'}\) は \(\mathcal{O}_{S, s}\) の非極大素イデアル \(\mathfrak p \subset \mathcal{O}_{S, s}\) における局所化である （「スキーム」補題 01J7）。 したがって「代数」補題 00NA により \(\dim(\mathcal{O}_{S, s}) = \dim(\mathcal{O}_{S, s'}) + \dim(\mathcal{O}_{S, s}/\mathfrak p) > \dim(\mathcal{O}_{S, s'})\) である。ゆえに \(\delta(s') > \delta(s)\) である。 \(s' \leadsto s\) が直近の特殊化ならば、\(\mathfrak p\) と \(\mathfrak m_s\) の間に 真に挟まる素イデアルはなく、\(\delta(s') = \delta(s) + 1\) を得る。 したがって \(\delta\) は次元関数であり、組 \((S, \delta)\) は状況 02QL の例である。

\(S\) が Jacobson で、\(\delta\) が閉点を零に写すならば、\(\delta\) は各点を その閉包の次元に写す関数である。

補題

\((S, \delta)\) を状況 02QL のとおりとする。 さらに \(S\) は Jacobson スキームで、\(S\) のすべての閉点 \(s\) に対し \(\delta(s) = 0\) と仮定する。\(X\) を \(S\) 上局所有限型とする。 \(Z \subset X\) を整閉部分スキームとし、\(\xi \in Z\) をその生成点とする。 次の整数は等しい。

1. \(\delta_{X/S}(\xi)\),

2. \(\dim(Z)\), および

3. \(z\) を \(Z\) の閉点としたときの \(\dim(\mathcal{O}_{Z, z})\).

証明

\(X \to S\), \(\xi \in Z \subset X\) を補題のとおりとする。 \(X\) は \(S\) 上局所有限型なので、\(X\) は Jacobson である （「射」補題 02J5）。 したがって \(X\) の閉点は \(Z\) の各閉部分集合で稠密であり、\(S\) の閉点に写る。 ゆえに \(Z\) の既約閉部分集合の任意の鎖を \(Z\) の閉点で終わらせられる。 したがって \(\dim(Z) = \sup_z(\dim(\mathcal{O}_{Z, z})\) である（「性質」補題 02IZ）。 ここで \(z \in Z\) は \(Z\) の閉点全体を走る。 次元関数の性質から \(\dim(\mathcal{O}_{Z, z}) = \delta(\xi) - \delta(z)\) である。 各閉点 \(z \in Z\) に対して体拡大 \(\kappa(z)/\kappa(f(z))\) は有限である （「射」補題 01TB）。 したがって閉点 \(z \in Z\) に対して \(\delta_{X/S}(z) = \delta(f(z)) = 0\) である。 ゆえに三つの整数はすべて等しい。

上の補題の状況では、閉既約部分集合の生成点における \(\delta\) の値は その既約閉部分集合の次元である。しかし一般には、この等式は期待できない。 例えば \(S = \Spec(\mathbf{C}[[t]])\) かつ \(X = \Spec(\mathbf{C}((t)))\) ならば、\(X\) の唯一の点について \(\delta(x) = 1\) となるが、\(\dim(X) = 0\) である。 それでも \(\delta_{X/S}\) は既約閉部分スキームの次元を与えるものと考えたい。 そこで次の用語を導入する。

定義

\((S, \delta)\) を状況 02QL のとおりとする。 \(X\) を \(S\) 上局所有限型な任意のスキーム、\(Z \subset X\) を任意の既約閉部分集合とし、 \[\dim_\delta(Z) = \delta(\xi)\] と定義する。ここで \(\xi \in Z\) は \(Z\) の生成点である。 これを \(Z\) の \(\delta\)-次元と呼ぶ。 \(Z\) が \(X\) の閉部分スキームならば、\(\dim_\delta(Z)\) を、その既約成分の \(\delta\)-次元の上限として定義する。

サイクル

ここではスキームが準コンパクトであるとは仮定しないので、サイクルの定義には 少し注意が必要である。例えば有理関数は無限個の極をもちうるため、無限和を 許さなければならない。いずれにせよ、\(X\) が準コンパクトならば、サイクルは 通常どおり有限和である。

定義

\((S, \delta)\) を状況 02QL のとおりとする。 \(X\) を \(S\) 上局所有限型とし、\(k \in \mathbf{Z}\) とする。

1. \(X\) 上のサイクルとは形式和 \[\alpha = \sum n_Z [Z]\] であって、和は整閉部分スキーム \(Z \subset X\) 全体にわたり、各 \(n_Z \in \mathbf{Z}\) であり、族 \(\{Z; n_Z \not = 0\}\) が局所有限であるものをいう （「位相」定義 0BDS）。

2. \(X\) 上の\(k\)-サイクルとは、 \[\alpha = \sum n_Z [Z]\] と表され、\(n_Z \not = 0 \Rightarrow \dim_\delta(Z) = k\) を満たすサイクルをいう。

3. \(X\) 上のすべての \(k\)-サイクルからなる Abel 群を \(Z_k(X)\) と表す。

言い換えれば、\(X\) 上の \(k\)-サイクルは、\(\delta\)-次元 \(k\) の整閉部分スキームの 局所有限な形式的 \(\mathbf{Z}\)-線形結合である。\(k\)-サイクル \(\alpha = \sum n_Z[Z]\) と \(\beta = \sum m_Z[Z]\) の和は \[\alpha + \beta = \sum (n_Z + m_Z)[Z],\] すなわち係数を加えることによって定める。

注意

\((S, \delta)\) を状況 02QL のとおりとする。 \(X\) を \(S\) 上局所有限型とし、\(k \in \mathbf{Z}\) とする。このとき \[Z_k(X) = \bigoplus\nolimits_{\delta(x) = k}' K_0^M(\kappa(x)) \quad\subset\quad \bigoplus\nolimits_{\delta(x) = k} K_0^M(\kappa(x))\] と書ける。ここで記法と規約は次のとおりである。

1. \(K_0^M(\kappa(x)) = \mathbf{Z}\) は、点 \(x \in X\) の剰余体 \(\kappa(x)\) の Milnor K 理論の次数 \(0\) の部分である （注意 0EAY を参照）。

2. 右辺の直和は、\(\delta(x) = k\) を満たすすべての点 \(x \in X\) にわたる。

3. 記号 \(\bigoplus'_x\) は、局所有限な元からなる部分群を考えることを表す。 すなわち、任意の準コンパクト開集合 \(U \subset X\) に対して、 \(n_x \not = 0\) となる \(x \in U\) の集合が有限であるような元 \(\sum_x n_x\) をいう。

定義

\((S, \delta)\) を状況 02QL のとおりとする。 \(X\) を \(S\) 上局所有限型とする。\(X\) 上のサイクル \(\alpha = \sum n_Z [Z]\) の台を \[\text{Supp}(\alpha) = \bigcup\nolimits_{n_Z \not = 0} Z \subset X\] とする。

族 \(\{Z; n_Z \not = 0\}\) は局所有限なので、\(\text{Supp}(\alpha)\) は \(X\) の閉部分集合である。\(\alpha\) が \(k\)-サイクルならば、 \(\text{Supp}(\alpha)\) の各既約成分 \(Z\) の \(\delta\)-次元は \(k\) である。

定義

\((S, \delta)\) を状況 02QL のとおりとする。 \(X\) を \(S\) 上局所有限型とする。\(X\) 上のサイクル \(\alpha\) が すべての \(Z\) に対して \(n_Z \geq 0\) となる形 \(\alpha =\sum n_Z [Z]\) に書けるとき、有効であるという。

二つの有効サイクルの和は有効なので、有効サイクル全体の集合はモノイドであるが、 群ではない（\(X = \emptyset\) の場合を除く）。

閉部分スキームに付随するサイクル

補題

\((S, \delta)\) を状況 02QL のとおりとする。 \(X\) を \(S\) 上局所有限型とし、\(Z \subset X\) を閉部分スキームとする。

1. \(Z' \subset Z\) を既約成分とし、\(\xi \in Z'\) をその生成点とする。このとき \[\text{length}_{\mathcal{O}_{X, \xi}} \mathcal{O}_{Z, \xi} < \infty\] である。

2. \(\dim_\delta(Z) \leq k\) であり、\(\xi \in Z\) が \(\delta(\xi) = k\) を満たすならば、\(\xi\) は \(Z\) のある既約成分の生成点である。

証明

\(Z' \subset Z\), \(\xi \in Z'\) を (1) のとおりとする。このとき \(\dim(\mathcal{O}_{Z, \xi}) = 0\) である（例えば「性質」補題 02IZ による）。したがって \(\mathcal{O}_{Z, \xi}\) は次元零の Noether 局所環であり、それ自身の上で有限長をもつ （「代数」命題 00KJ を参照）。 ゆえに \(\mathcal{O}_{X, \xi}\) 上でも有限長をもつ （「代数」補題 00IX）。

\(\xi \in Z\) かつ \(\delta(\xi) = k\) と仮定する。 閉包 \(Z' = \overline{\{\xi\}}\) を考える。定義により、これは \(\dim_\delta(Z') = k\) を満たす既約閉部分スキームである。 \(\dim_\delta(Z) = k\) なので、これは \(Z\) の既約成分でなければならない。 したがって (2) が成り立つ。

定義

\((S, \delta)\) を状況 02QL のとおりとする。 \(X\) を \(S\) 上局所有限型とし、\(Z \subset X\) を閉部分スキームとする。

1. 生成点 \(\xi\) をもつ任意の既約成分 \(Z' \subset Z\) に対し、整数 \(m_{Z', Z} = \text{length}_{\mathcal{O}_{X, \xi}} \mathcal{O}_{Z, \xi}\) （補題 02QT）を、\(Z\) における \(Z'\) の重複度と呼ぶ。

2. \(\dim_\delta(Z) \leq k\) と仮定する。\(Z\) に付随する \(k\)-サイクルを \[[Z]_k = \sum m_{Z', Z}[Z']\] と定める。ここで和は、\(\delta\)-次元 \(k\) の \(Z\) の既約成分全体にわたる （「因子」補題 0BE1 により、これは \(k\)-サイクルである）。

\([Z]_k\) は、\(Z\) の \(\delta\)-次元が \(k\) 以下の場合に限って定義することに注意が必要である。 言い換えれば、規約により \([Z]_k\) と書いたならば、それは \(\dim_\delta(Z) \leq k\) を含意する。

連接層に付随するサイクル

補題

\((S, \delta)\) を状況 02QL のとおりとする。 \(X\) を \(S\) 上局所有限型とし、\(\mathcal{F}\) を連接 \(\mathcal{O}_X\)-加群とする。

1. \(\mathcal{F}\) の台の既約成分の族は局所有限である。

2. \(Z' \subset \text{Supp}(\mathcal{F})\) を既約成分とし、 \(\xi \in Z'\) をその生成点とする。このとき \[\text{length}_{\mathcal{O}_{X, \xi}} \mathcal{F}_\xi < \infty\] である。

3. \(\dim_\delta(\text{Supp}(\mathcal{F})) \leq k\) であり、 \(\xi \in \text{Supp}(\mathcal{F})\) が \(\delta(\xi) = k\) を満たすならば、 \(\xi\) は \(\text{Supp}(\mathcal{F})\) のある既約成分の生成点である。

証明

「スキームのコホモロジー」補題 01Y5 により、 \(\mathcal{F}\) の台 \(Z\) は \(X\) の閉部分集合である。\(Z\) を \(X\) の被約閉部分スキームと みなしてよい（「スキーム」補題 01J3）。 したがって (1) は \(Z\) に「因子」補題 0BE1 を適用すれば従い、(3) は \(Z\) に補題 02QT を適用すれば従う。

\(\xi \in Z'\) を (2) のとおりとする。この場合、\(X\) における任意の特殊化 \(\xi' \leadsto \xi\) に対して \(\mathcal{F}_{\xi'} = 0\) である。 \(\mathcal{O}_{X, \xi}\) の非極大素イデアルは、\(\xi\) に特殊化する \(X\) の点に対応することを 思い出そう（「スキーム」補題 01J7）。 したがって \(\mathcal{F}_\xi\) は、台が \(\{\mathfrak m_\xi\}\) である有限 \(\mathcal{O}_{X, \xi}\)-加群である。ゆえに「代数」補題 00L5 により有限長をもつ。

定義

\((S, \delta)\) を状況 02QL のとおりとする。 \(X\) を \(S\) 上局所有限型とし、\(\mathcal{F}\) を連接 \(\mathcal{O}_X\)-加群とする。

1. 生成点 \(\xi\) をもつ任意の既約成分 \(Z' \subset \text{Supp}(\mathcal{F})\) に対し、整数 \(m_{Z', \mathcal{F}} = \text{length}_{\mathcal{O}_{X, \xi}} \mathcal{F}_\xi\) （補題 02QW）を、\(\mathcal{F}\) における \(Z'\) の重複度と呼ぶ。

2. \(\dim_\delta(\text{Supp}(\mathcal{F})) \leq k\) と仮定する。 \(\mathcal{F}\) に付随する \(k\)-サイクルを \[[\mathcal{F}]_k = \sum m_{Z', \mathcal{F}}[Z']\] と定める。ここで和は、\(\text{Supp}(\mathcal{F})\) の \(\delta\)-次元 \(k\) の 既約成分全体にわたる（補題 02QW により、これは \(k\)-サイクルである）。

\([\mathcal{F}]_k\) は、\(\mathcal{F}\) が連接であり、かつ \(\text{Supp}(\mathcal{F})\) の \(\delta\)-次元が \(k\) 以下の場合に限って定義することに 注意が必要である。言い換えれば、規約により \([\mathcal{F}]_k\) と書いたならば、 \(\mathcal{F}\) は \(X\) 上連接であり、 \(\dim_\delta(\text{Supp}(\mathcal{F})) \leq k\) であることを含意する。

補題

\((S, \delta)\) を状況 02QL のとおりとする。 \(X\) を \(S\) 上局所有限型とし、\(Z \subset X\) を閉部分スキームとする。 \(\dim_\delta(Z) \leq k\) ならば \([Z]_k = [{\mathcal O}_Z]_k\) である。

証明

この場合、重複度 \(m_{Z', Z}\) と \(m_{Z', \mathcal{O}_Z}\) は定義により一致するからである。

補題

\((S, \delta)\) を状況 02QL のとおりとする。 \(X\) を \(S\) 上局所有限型とする。\(X\) 上の連接層の短完全列 \(0 \to \mathcal{F} \to \mathcal{G} \to \mathcal{H} \to 0\) をとる。\(\mathcal{F}\), \(\mathcal{G}\), \(\mathcal{H}\) の台の \(\delta\)-次元が \(\leq k\) であると仮定する。このとき \([\mathcal{G}]_k = [\mathcal{F}]_k + [\mathcal{H}]_k\) である。

証明

長さの加法性から直ちに従う。「代数」補題 00IV を参照されたい。

固有押し出しのための準備

補題

\((S, \delta)\) を状況 02QL のとおりとする。 \(X\), \(Y\) を \(S\) 上局所有限型とし、\(f : X \to Y\) を射とする。 \(X\), \(Y\) は整で、\(\dim_\delta(X) = \dim_\delta(Y)\) と仮定する。 このとき、\(f(X)\) が \(Y\) の真の閉部分スキームに含まれるか、または \(f\) が支配的で関数体の拡大 \(R(X)/R(Y)\) が有限であるかのいずれかである。

証明

\(X\) は既約なので、閉包 \(\overline{f(X)} \subset Y\) は既約である （「位相」補題 0379 および 004W）。\(\overline{f(X)} \not = Y\) ならば結論を得る。 \(\overline{f(X)} = Y\) ならば \(f\) は支配的であり、「射」補題 01RM により、 \(Y\) の生成点 \(\eta_Y\) は \(f\) の像に属する。したがってもちろん、 \(X\) の生成点を \(\eta_X \in X\) とすれば \(f(\eta_X) = \eta_Y\) である。 \(\delta(\eta_X) = \delta(\eta_Y)\) なので、 \(R(Y) = \kappa(\eta_Y) \subset \kappa(\eta_X) = R(X)\) は超越次数 \(0\) の拡大である。 ゆえに「射」補題 02NX により、 \(R(Y) \subset R(X)\) は有限拡大である（この補題は「射」補題 01T8 により適用できる）。

補題

\((S, \delta)\) を状況 02QL のとおりとする。 \(X\), \(Y\) を \(S\) 上局所有限型とし、\(f : X \to Y\) を射とする。 \(f\) は準コンパクトであり、\(\{Z_i\}_{i \in I}\) は \(X\) の閉部分集合の 局所有限族であると仮定する。このとき \(\{\overline{f(Z_i)}\}_{i \in I}\) は \(Y\) の閉部分集合の局所有限族である。

証明

\(V \subset Y\) を準コンパクト開部分集合とする。\(f\) は準コンパクトなので、 開集合 \(f^{-1}(V)\) は準コンパクトである。したがって集合 \(\{i \in I \mid Z_i \cap f^{-1}(V) \not = \emptyset \}\) は、ここでは省略する簡単な位相的議論により有限である。これは集合 \[\{i \in I \mid f(Z_i) \cap V \not = \emptyset \} = \{i \in I \mid \overline{f(Z_i)} \cap V \not = \emptyset \}\] と同じなので、補題が従う。

固有押し出し

定義

\((S, \delta)\) を状況 02QL のとおりとする。 \(X\), \(Y\) を \(S\) 上局所有限型とし、\(f : X \to Y\) を射とする。 \(f\) は固有であると仮定する。

1. \(Z \subset X\) を \(\dim_\delta(Z) = k\) を満たす整閉部分スキームとする。 次のように定義する。 \[f_*[Z] = \left\{ \begin{matrix} 0 & \text{if} & \dim_\delta(f(Z))< k, \\ \deg(Z/f(Z)) [f(Z)] & \text{if} & \dim_\delta(f(Z)) = k. \end{matrix} \right.\] ここで \(f(Z) \subset Y\) は整閉部分スキームとみなす。 \(\dim_\delta(f(Z)) = \dim_\delta(Z)\) ならば、補題 02R1 により、\(f(Z)\) 上の \(Z\) の次数は有限である。

2. \(\alpha = \sum n_Z [Z]\) を \(X\) 上の \(k\)-サイクルとする。 \(\alpha\) の押し出しを和 \[f_* \alpha = \sum n_Z f_*[Z]\] として定義する。ここで各 \(f_*[Z]\) は上のとおり定義する。 補題 02R2 により、この和は局所有限である。

定義により、サイクルの固有押し出し \[f_* : Z_k(X) \longrightarrow Z_k(Y)\] は Abel 群の準同型である。これは \(X \mapsto Z_k(X)\) を、\(S\) 上局所有限型な スキームを対象、固有射を射とする圏上の共変関手にする。

補題

\((S, \delta)\) を状況 02QL のとおりとする。 \(X\), \(Y\), \(Z\) を \(S\) 上局所有限型とする。 \(f : X \to Y\) と \(g : Y \to Z\) を固有射とする。このとき写像 \(Z_k(X) \to Z_k(Z)\) として \(g_* \circ f_* = (g \circ f)_*\) である。

証明

\(W \subset X\) を次元 \(k\) の整閉部分スキームとする。 \(W' = f(W) \subset Y\) と \(W'' = g(f(W)) \subset Z\) を考える。 \(f\), \(g\) は固有なので、\(W'\)（それぞれ \(W''\)）は \(Y\)（それぞれ \(Z\)）の 整閉部分スキームである。\(g_*(f_*[W]) = (g \circ f)_*[W]\) を示せばよい。 \(\dim_\delta(W'') < k\) ならば両辺は零である。 \(\dim_\delta(W'') = k\) ならば、誘導される射 \[W \longrightarrow W' \longrightarrow W''\] はいずれも補題 02R1 の仮定を満たす。したがって \[g_*(f_*[W]) = \deg(W/W')\deg(W'/W'')[W''], \quad (g \circ f)_*[W] = \deg(W/W'')[W''].\] そこで「射」補題 02NZ を適用すれば結論を得る。

閉埋め込みは固有である。\(i : Z \to X\) が閉埋め込みならば、すべての写像 \[i_* : Z_k(Z) \longrightarrow Z_k(X)\] は単射である。

補題

\((S, \delta)\) を状況 02QL のとおりとする。 \(X\) を \(S\) 上局所有限型とする。\(X_1, X_2 \subset X\) を、集合論的に \(X = X_1 \cup X_2\) となる閉部分スキームとする。任意の \(k \in \mathbf{Z}\) に対し、Abel 群の列 \[\xymatrix{ Z_k(X_1 \cap X_2) \ar[r] & Z_k(X_1) \oplus Z_k(X_2) \ar[r] & Z_k(X) \ar[r] & 0 }\] は完全である。ここで \(X_1 \cap X_2\) はスキーム論的交叉であり、写像は 押し出し写像で、その一方には \(-1\) を掛ける。

証明

まず \(X\) が準コンパクトであると仮定する。このとき \(Z_k(X)\) は、 \(Z \subset X\) が \(\delta\)-次元 \(k\) の整閉部分スキームであるような元 \([Z]\) を 基底とする自由 \(\mathbf{Z}\)-加群である。群 \(Z_k(X_1)\), \(Z_k(X_2)\), \(Z_k(X_1 \cap X_2)\) は、それぞれ \(Z \subset X_1\), \(Z \subset X_2\), \(Z \subset X_1 \cap X_2\) を満たすこれらの \(Z\) の部分集合上で自由である。 これにより、この場合の補題は直ちに従う。一般の場合も同様であり、証明を省略する。

補題

\((S, \delta)\) を状況 02QL のとおりとする。 \(f : X \to Y\) を、\(S\) 上局所有限型なスキームの固有射とする。

1. \(Z \subset X\) を \(\dim_\delta(Z) \leq k\) を満たす閉部分スキームとする。このとき \[f_*[Z]_k = [f_*{\mathcal O}_Z]_k.\]

2. \(\mathcal{F}\) を、\(\dim_\delta(\text{Supp}(\mathcal{F})) \leq k\) を満たす \(X\) 上の連接層とする。このとき \[f_*[\mathcal{F}]_k = [f_*{\mathcal F}]_k.\]

「スキームのコホモロジー」命題 02O5 により、 \(f_*\mathcal{F}\) と \(f_*\mathcal{O}_Z\) は連接 \(\mathcal{O}_Y\)-加群なので、 この主張は意味をもつことに注意する。

証明

(1) は (2) と補題 02QY から従う。 \(\mathcal{F}\) を \(X\) 上の連接層とし、 \(\dim_\delta(\text{Supp}(\mathcal{F})) \leq k\) と仮定する。 「スキームのコホモロジー」補題 01Y5 により、 閉部分スキーム \(i : Z \to X\) と連接 \(\mathcal{O}_Z\)-加群 \(\mathcal{G}\) であって、 \(i_*\mathcal{G} \cong \mathcal{F}\) かつ \(\mathcal{F}\) の台が \(Z\) となるものが存在する。 \(Z' \subset Y\) を \(f|_Z : Z \to Y\) のスキーム論的像とする。スキームの可換図式 \[\xymatrix{ Z \ar[r]_i \ar[d]_{f|_Z} & X \ar[d]^f \\ Z' \ar[r]^{i'} & Y }\] を考える。図式を二通りに回ることにより \(f_*\mathcal{F} = f_*i_*\mathcal{G} = i'_*(f|_Z)_*\mathcal{G}\) である。 閉埋め込みと \(f|_Z\) に対して結論が成り立つと仮定すると、 \[f_*[\mathcal{F}]_k = f_*i_*[\mathcal{G}]_k = (i')_*(f|_Z)_*[\mathcal{G}]_k = (i')_*[(f|_Z)_*\mathcal{G}]_k = [(i')_*(f|_Z)_*\mathcal{G}]_k = [f_*\mathcal{F}]_k\] を得て、望む結論となる。閉埋め込みの場合は直ちに分かるので省略する。 \(f|_Z : Z \to Z'\) は支配的な射であることに注意する （「射」補題 01R8）。 したがって \(\dim_\delta(X) \leq k\) で、\(f : X \to Y\) が固有かつ支配的である場合に帰着した。

\(\dim_\delta(X) \leq k\) で、\(f : X \to Y\) は固有かつ支配的であると仮定する。 \(f\) は支配的なので、生成点 \(\eta\) をもつ任意の既約成分 \(Z \subset Y\) に対し、 \(f(\xi) = \eta\) となる点 \(\xi \in X\) が存在する。したがって \(\delta(\eta) \leq \delta(\xi) \leq k\) である。ゆえに表示 \[f_*[\mathcal{F}]_k = \sum n_Z[Z], \quad \text{and} \quad [f_*\mathcal{F}]_k = \sum m_Z[Z].\] において、\(n_Z \not = 0\) または \(m_Z \not = 0\) ならば、整閉部分スキーム \(Z\) は実際に \(Y\) の \(\delta\)-次元 \(k\) の既約成分である。このような整閉部分スキーム \(Z \subset Y\) を一つとり、その生成点を \(\eta\) と書く。\(f(\xi) = \eta\) を満たす 任意の \(\xi \in X\) に対して \(\delta(\xi) \geq k\) であり、したがって \(\xi\) も \(X\) の \(\delta\)-次元 \(k\) のある既約成分の生成点である （補題 02QT）。\(f\) は準コンパクトで \(X\) は局所 Noether なので、 このような点は有限個しかなく、ゆえに \(f^{-1}(\{\eta\})\) は有限である。 「射」補題 02NW により、 \(f^{-1}(V) \to V\) が有限となる開近傍 \(\eta \in V \subset Y\) が存在する。 \(Y\) を \(V\) で、\(X\) を \(f^{-1}(V)\) で置き換えると、\(Y\) がアフィンで \(f\) が有限な場合に帰着する。

\(Y = \Spec(R)\), \(X = \Spec(A)\) と書く（有限射はアフィンなので可能である）。 このとき \(R\) と \(A\) は Noether 環で、\(A\) は \(R\) 上有限である。また、ある有限 \(A\)-加群 \(M\) に対して \(\mathcal{F} = \widetilde{M}\) である。 \(f_*\mathcal{F}\) は、\(R\)-加群とみなした \(M\) に対応することに注意する。 \(\mathfrak p \subset R\) を、\(\eta \in Y\) に対応する極小素イデアルとする。 \([f_*\mathcal{F}]_k\) における \(Z\) の係数は明らかに \(\text{length}_{R_{\mathfrak p}}(M_{\mathfrak p})\) である。 \(\mathfrak q_i\), \(i = 1, \ldots, t\) を、\(\mathfrak p\) の上にある \(A\) の素イデアルとする。 \(A_{\mathfrak p}\) は次元零の Noether 局所環 \(R_{\mathfrak p}\) 上有限な Artin 環なので、 \(A_{\mathfrak p} = \prod A_{\mathfrak q_i}\) である。 \(f_*[\mathcal{F}]_k\) における \(Z\) の係数は明らかに \[\sum\nolimits_{i = 1, \ldots, t} [\kappa(\mathfrak q_i) : \kappa(\mathfrak p)] \text{length}_{A_{\mathfrak q_i}}(M_{\mathfrak q_i})\] である。したがって「代数」補題 02M0 から望む等式が従う。

平坦引き戻しのための準備

局所有限型な射 \(f : X \to Y\) は、空でない各ファイバーが次元 \(r\) の等次元であるとき、 相対次元 \(r\) をもつということを思い出そう。「射」定義 02NJ を参照されたい。

補題

\((S, \delta)\) を状況 02QL のとおりとする。 \(X\), \(Y\) を \(S\) 上局所有限型とし、\(f : X \to Y\) を射とする。 \(f\) は相対次元 \(r\) の平坦射であると仮定する。任意の閉部分集合 \(Z \subset Y\) に対し、\(f^{-1}(Z)\) が空でなければ \[\dim_\delta(f^{-1}(Z)) = \dim_\delta(Z) + r.\] である。\(Z\) が既約で、\(Z' \subset f^{-1}(Z)\) が既約成分ならば、 \(Z'\) は \(Z\) を支配し、\(\dim_\delta(Z') = \dim_\delta(Z) + r\) である。

証明

最後の主張を示せば十分である。\(Y\) を整閉部分スキーム \(Z\) で、\(X\) を スキーム論的逆像 \(f^{-1}(Z) = Z \times_Y X\) で置き換えてよい。 したがって \(Z = Y\) は整で、\(f\) は相対次元 \(r\) の平坦射であると仮定してよい。 \(Y\) は局所 Noether なので、局所有限型な射 \(f\) は実際に局所有限表示である。 したがって「射」補題 01UA が適用でき、\(f\) は開である。 \(\xi \in X\) を \(X\) のある既約成分の生成点とする。\(f\) は開なので、 \(f(\xi)\) は \(Z = Y\) の生成点 \(\eta\) である。\(f\) が相対次元 \(r\) をもつという仮定から \(\dim_\xi(X_\eta) = r\) である。一方、\(\xi\) は \(X\) の生成点なので、 \(\mathcal{O}_{X, \xi} = \mathcal{O}_{X_\eta, \xi}\) はただ一つの素イデアルをもち、 したがって次元 \(0\) である。ゆえに「射」補題 02FX により、 \(\kappa(\eta)\) 上の \(\kappa(\xi)\) の超越次数は \(r\) である。 言い換えれば \(\delta(\xi) = \delta(\eta) + r\) となり、望む結論を得る。

閉部分スキームの局所有限族の平坦引き戻しが局所有限であることを示すため、 次の補題を用いる。

補題

\((S, \delta)\) を状況 02QL のとおりとする。 \(X\), \(Y\) を \(S\) 上局所有限型とし、\(f : X \to Y\) を射とする。 \(\{Z_i\}_{i \in I}\) は \(Y\) の閉部分集合の局所有限族であると仮定する。 このとき \(\{f^{-1}(Z_i)\}_{i \in I}\) は \(X\) の閉部分集合の局所有限族である。

証明

\(U \subset X\) を準コンパクト開部分集合とする。像 \(f(U) \subset Y\) は準コンパクトなので、 \(f(U) \subset V\) を満たす準コンパクト開集合 \(V \subset Y\) が存在する。ここで \[\{i \in I \mid f^{-1}(Z_i) \cap U \not = \emptyset \} \subset \{i \in I \mid Z_i \cap V \not = \emptyset \}.\] 右辺は仮定により有限なので、結論を得る。

平坦引き戻し

以下では、スキームの射 \(f : X \to Y\) と閉部分スキーム \(Z \subset Y\) に対し、 \(f^{-1}(Z)\) でそのスキーム論的逆像を表す。スキーム論的逆像はファイバー積 \[\xymatrix{ f^{-1}(Z) \ar[r] \ar[d] & X \ar[d] \\ Z \ar[r] & Y }\] であることを思い出そう。また、\(\mathcal{I} \subset \mathcal{O}_Y\) が \(Y\) における \(Z\) に対応する準連接イデアル層ならば、これは準連接イデアル層 \(f^{-1}(\mathcal{I})\mathcal{O}_X\) によって切り出される \(X\) の閉部分スキームでもある。 （これは「スキーム」節 01HJ、補題 01JU、および定義 01JV で論じられている。）

定義

\((S, \delta)\) を状況 02QL のとおりとする。 \(X\), \(Y\) を \(S\) 上局所有限型とし、\(f : X \to Y\) を射とする。 \(f\) は相対次元 \(r\) の平坦射であると仮定する。

1. \(Z \subset Y\) を \(\delta\)-次元 \(k\) の整閉部分スキームとする。 スキーム論的逆像に付随する \(X\) 上の \((k+r)\)-サイクルとして \(f^*[Z]\) を \[f^*[Z] = [f^{-1}(Z)]_{k+r}.\] と定義する。補題 02R8 により \(\dim_\delta(f^{-1}(Z)) = k + r\) なので、これは意味をもつ。

2. \(\alpha = \sum n_i [Z_i]\) を \(Y\) 上の \(k\)-サイクルとする。 \(f\) による \(\alpha\) の平坦引き戻しを和 \[f^* \alpha = \sum n_i f^*[Z_i]\] として定義する。ここで各 \(f^*[Z_i]\) は上のとおり定義する。 補題 02R9 により、この和は局所有限である。

3. このように得られる Abel 群の写像を \(f^* : Z_k(Y) \to Z_{k + r}(X)\) と表す。

開埋め込みは平坦である。これは自明ではあるが、平坦射の重要な特別の場合である。 \(U \subset X\) が開ならば、サイクルの \(j : U \to X\) による引き戻しを、しばしば \(U\) へのサイクルの制限と呼ぶ。この場合、すべての写像 \[j^* : Z_k(X) \longrightarrow Z_k(U)\] は全射であることに注意する。その理由は、任意の整閉部分スキーム \(Z' \subset U\) に対し、\(Z'\) の \(X\) における閉包を \(Z\) として、それを \(X\) の 被約閉部分スキームとみなせるからである（「スキーム」補題 01J3）。明らかに \(Z \cap U = Z'\)、すなわち \(j^*[Z] = [Z']\) なので全射性が従う。実際、もう少し強いことが成り立つ。

補題

\((S, \delta)\) を状況 02QL のとおりとする。 \(X\) を \(S\) 上局所有限型とする。\(U \subset X\) を開部分スキームとし、 \(i : Y = X \setminus U \to X\) を \(X\) の被約閉部分スキームとして表す。 任意の \(k \in \mathbf{Z}\) に対し、列 \[\xymatrix{ Z_k(Y) \ar[r]^{i_*} & Z_k(X) \ar[r]^{j^*} & Z_k(U) \ar[r] & 0 }\] は Abel 群の完全複体である。

証明

まず \(X\) が準コンパクトであると仮定する。このとき \(Z_k(X)\) は、 \(Z \subset X\) が \(\delta\)-次元 \(k\) の整閉部分スキームであるような元 \([Z]\) を 基底とする自由 \(\mathbf{Z}\)-加群である。このような基底元は、基底元 \([Z \cap U]\) に写るか、\(Z \subset Y\) ならば零に写る。したがってこの場合の補題は 明らかである。一般の場合も同様であり、証明を省略する。

補題

\((S, \delta)\) を状況 02QL のとおりとする。 \(X, Y, Z\) を \(S\) 上局所有限型とする。\(f : X \to Y\) と \(g : Y \to Z\) を、 それぞれ相対次元 \(r\) と \(s\) の平坦射とする。このとき \(g \circ f\) は 相対次元 \(r + s\) の平坦射であり、 \[f^* \circ g^* = (g \circ f)^*\] が写像 \(Z_k(Z) \to Z_{k + r + s}(X)\) として成り立つ。

証明

「射」補題 02NL により、合成は 相対次元 \(r + s\) の平坦射である。次を仮定する。

1. \(W \subset Z\) は \(\delta\)-次元 \(k\) の整閉部分スキームである。

2. \(W' \subset Y\) は \(\delta\)-次元 \(k + s\) の整閉部分スキームで、 \(W' \subset g^{-1}(W)\) を満たす。

3. \(W'' \subset Y\) は \(\delta\)-次元 \(k + s + r\) の整閉部分スキームで、 \(W'' \subset f^{-1}(W')\) を満たす。

\((g \circ f)^*[W]\) における \([W'']\) の係数 \(n\) と、 \(f^*(g^*[W])\) における \([W'']\) の係数 \(m\) が一致することを示せばよい。 これらの場合を確認すれば補題に十分であることは、補題 02R8 から従う。 \(\xi'' \in W''\), \(\xi' \in W'\), \(\xi \in W\) をそれぞれ生成点とする。 局所環 \(A = \mathcal{O}_{Z, \xi}\), \(B = \mathcal{O}_{Y, \xi'}\), \(C = \mathcal{O}_{X, \xi''}\) を考える。このとき局所平坦環準同型 \(A \to B\), \(B \to C\) があり、さらに \[n = \text{length}_C(C/\mathfrak m_AC), \quad \text{and} \quad m = \text{length}_C(C/\mathfrak m_BC) \text{length}_B(B/\mathfrak m_AB)\] である。したがって「代数」補題 02M2 から等式が従う。

補題

\((S, \delta)\) を状況 02QL のとおりとする。 \(X, Y\) を \(S\) 上局所有限型とし、\(f : X \to Y\) を相対次元 \(r\) の平坦射とする。

1. \(Z \subset Y\) を \(\dim_\delta(Z) \leq k\) を満たす閉部分スキームとする。このとき \(\dim_\delta(f^{-1}(Z)) \leq k + r\) であり、\(Z_{k + r}(X)\) において \([f^{-1}(Z)]_{k + r} = f^*[Z]_k\) である。

2. \(\mathcal{F}\) を、\(\dim_\delta(\text{Supp}(\mathcal{F})) \leq k\) を満たす \(Y\) 上の連接層とする。このとき \(\dim_\delta(\text{Supp}(f^*\mathcal{F})) \leq k + r\) であり、 \[f^*[{\mathcal F}]_k = [f^*{\mathcal F}]_{k+r}\] が \(Z_{k + r}(X)\) において成り立つ。

証明

次元に関する主張は補題 02R8 から直ちに従う。 (1) は (2)、補題 02QY、および \(f^*\mathcal{O}_Z = \mathcal{O}_{f^{-1}(Z)}\) であることから従う。

(2) を証明する。\(X\), \(Y\) は局所 Noether なので、「スキームのコホモロジー」補題 01XZ を適用すると、\(\mathcal{F}\) は有限型であり、 したがって \(f^*\mathcal{F}\) は有限型であり（「加群」補題 01B6）、ゆえに \(f^*\mathcal{F}\) は連接である （再び「スキームのコホモロジー」補題 01XZ）。 したがって補題は意味をもつ。\(W \subset Y\) を \(\delta\)-次元 \(k\) の整閉部分スキームとし、 \(W' \subset X\) を \(f\) により \(W\) に写る次元 \(k + r\) の整閉部分スキームとする。 \(f^*[{\mathcal F}]_k\) における \([W']\) の係数 \(n\) と、 \([f^*{\mathcal F}]_{k+r}\) における \([W']\) の係数 \(m\) が一致することを示せばよい。 \(\xi \in W\) と \(\xi' \in W'\) を生成点とする。 \(A = \mathcal{O}_{Y, \xi}\), \(B = \mathcal{O}_{X, \xi'}\) とおき、 \(M = \mathcal{F}_\xi\) を \(A\)-加群とみなす。（次元の仮定により \(M\) は有限長をもつが、 実際にはこれを確認する必要はない。補題 02QW を参照。） \(f^*\mathcal{F}_{\xi'} = B \otimes_A M\) である。したがって \[n = \text{length}_B(B \otimes_A M) \quad \text{and} \quad m = \text{length}_A(M) \text{length}_B(B/\mathfrak m_AB)\] であり、「代数」補題 02M1 から等式が従う。

押し出しと引き戻し

この節では、意味をもつ場合に固有押し出しと平坦引き戻しが両立することを確かめる。 上で行った準備により、これはコホモロジーと基底変換の帰結である。

補題

\((S, \delta)\) を状況 02QL のとおりとする。 \[\xymatrix{ X' \ar[r]_{g'} \ar[d]_{f'} & X \ar[d]^f \\ Y' \ar[r]^g & Y }\] を、\(S\) 上局所有限型なスキームのファイバー積図式とする。 \(f : X \to Y\) は固有で、\(g : Y' \to Y\) は相対次元 \(r\) の平坦射であると仮定する。 このとき \(f'\) も固有であり、\(g'\) も相対次元 \(r\) の平坦射である。 \(X\) 上の任意の \(k\)-サイクル \(\alpha\) に対し、\(Z_{k + r}(Y')\) において \[g^*f_*\alpha = f'_*(g')^*\alpha\] である。

証明

\(f'\) が固有であることは「射」補題 01W4 から従う。 \(g'\) が相対次元 \(r\) の平坦射であることは、「射」補題 02NK および 01U9 から従う。 \(W \subset X\) が \(\delta\)-次元 \(k\) の整閉部分スキームで、 \(\alpha = [W]\) である場合にサイクルの等式を示せば十分である。 この場合、補題 02QY により \(\alpha = [\mathcal{O}_W]_k\) である。したがって補題 02R6 と 02RE により、 \(f'_*(g')^*\mathcal{O}_W\) が \(g^*f_*\mathcal{O}_W\) と同型であることを示せば十分である。 これはコホモロジーと基底変換から従う。「スキームのコホモロジー」補題 02KH を参照されたい。

補題

\((S, \delta)\) を状況 02QL のとおりとする。 \(X\), \(Y\) を \(S\) 上局所有限型とする。\(f : X \to Y\) を次数 \(d\) の有限局所自由射とする （「射」定義 02KA を参照）。 このとき \(f\) は固有かつ相対次元 \(0\) の平坦射であり、任意の \(\alpha \in Z_k(Y)\) に対して \[f_*f^*\alpha = d\alpha\] である。

証明

「射」補題 02KB により有限局所自由射は平坦かつ有限であり、 「射」補題 01WN により有限射は固有である。 有限射が相対次元 \(0\) をもつことの証明は省略する。したがって公式は意味をもつ。 \(Z \subset Y\) を \(\delta\)-次元 \(k\) の整閉部分スキームとする。 \(\alpha = [Z]\) に対して公式を示せば十分である。有限局所自由射の基底変換は有限局所自由なので （「射」補題 02KD）、 \(f_*f^*\mathcal{O}_Z\) は \(Z\) 上階数 \(d\) の有限局所自由層である。したがって \[f_*f^*[Z] = f_*f^*[\mathcal{O}_Z]_k = [f_*f^*\mathcal{O}_Z]_k = d[Z]\] である。ここで補題 02RE と 02R6 を用いた。

主因子のための準備

この節の内容の一部は、「因子」節 0BE0 の議論と重なる。

補題

\((S, \delta)\) を状況 02QL のとおりとする。 \(X\) を \(S\) 上局所有限型とし、\(X\) は整であると仮定する。

1. \(Z \subset X\) が整閉部分スキームならば、次は同値である。

   1. \(Z\) は素因子である。

   2. \(Z\) は \(X\) において余次元 \(1\) をもつ。

   3. \(\dim_\delta(Z) = \dim_\delta(X) - 1\) である。

2. \(Z\) が \(X\) 上の有効 Cartier 因子の既約成分ならば、 \(\dim_\delta(Z) = \dim_\delta(X) - 1\) である。

証明

(1) は素因子の定義（「因子」定義 0BE2）と 次元関数の定義（「位相」定義 02I9）から従う。 \(\xi \in Z\) を、有効 Cartier 因子 \(D \subset X\) の既約成分 \(Z\) の生成点とする。 このとき \(\dim(\mathcal{O}_{D, \xi}) = 0\) であり、ある非零因子 \(f \in \mathcal{O}_{X, \xi}\) に対し \(\mathcal{O}_{D, \xi} = \mathcal{O}_{X, \xi}/(f)\) である （「因子」補題 0AG8）。 「代数」補題 00KW により \(\dim(\mathcal{O}_{X, \xi}) = 1\) である。したがって「性質」補題 02IZ により \(Z\) は (1) のとおりであり、証明が完了する。

補題

\(f : X \to Y\) をスキームの射とし、\(\xi \in Y\) を点とする。次を仮定する。

1. \(X\), \(Y\) は整である。

2. \(Y\) は局所 Noether である。

3. \(f\) は固有かつ支配的で、\(R(Y) \subset R(X)\) は有限である。

4. \(\dim(\mathcal{O}_{Y, \xi}) = 1\) である。

このとき、\(f|_{f^{-1}(V)} : f^{-1}(V) \to V\) が有限となるような \(\xi\) の開近傍 \(V \subset Y\) が存在する。

証明

この補題は「多様体」補題 0AB7 の特別な場合である。 ここではこの場合の直接的な議論を与える。「スキームのコホモロジー」補題 02OH により、 \(f^{-1}(\{\xi\})\) が有限であることを示せば十分である。 \(Y\) をアフィン開集合で置き換え、\(Y = \Spec(R)\) とする。 \(Y\) は局所 Noether と仮定したので、\(R\) は Noether である。 \(f\) は固有なので準コンパクトである。したがって、各 \(U_i = \Spec(A_i)\) がアフィンとなる有限アフィン開被覆 \(X = U_1 \cup \ldots \cup U_n\) をとれる。\(R \to A_i\) は整域の有限型単射準同型で、 誘導される分数体の拡大は有限である。ゆえに「代数」補題 02MA から結論が従う。

主因子

次の定義は、現在の設定における「因子」定義 0BE3 の類似である。

定義

\((S, \delta)\) を状況 02QL のとおりとする。 \(X\) を \(S\) 上局所有限型とし、\(X\) は整で \(\dim_\delta(X) = n\) と仮定する。\(f \in R(X)^*\) とする。 \(f\) に付随する主因子とは、「因子」定義 0BE3 で定義される \((n - 1)\)-サイクル \[\text{div}(f) = \text{div}_X(f) = \sum \text{ord}_Z(f) [Z]\] である。補題 02RK により素因子の \(\delta\)-次元は \(n - 1\) なので、これは意味をもつ。

定義の状況で \(f, g \in R(X)^*\) に対し、\(Z_{n - 1}(X)\) において \[\text{div}_X(fg) = \text{div}_X(f) + \text{div}_X(g)\] である。「因子」補題 02RP を参照されたい。 次の補題は、より一般的な補題 02S1 によって後に置き換えられる。

補題

\((S, \delta)\) を状況 02QL のとおりとする。 \(X\), \(Y\) を \(S\) 上局所有限型とする。\(X\), \(Y\) は整で、 \(n = \dim_\delta(Y)\) と仮定する。\(f : X \to Y\) を相対次元 \(r\) の平坦射とし、 \(g \in R(Y)^*\) とする。このとき \(Z_{n + r - 1}(X)\) において \[f^*(\text{div}_Y(g)) = \text{div}_X(g)\] である。

証明

\(f\) は平坦なので支配的であり、したがって \(f\) は埋め込み \(R(Y) \subset R(X)\) を誘導する。 ゆえに \(g\) を \(R(X)^*\) の元とみなしてよい。 \(Z \subset X\) を \(\delta\)-次元 \(n + r - 1\) の整閉部分スキームとし、 \(\xi \in Z\) をその生成点とする。\(\dim_\delta(f(Z)) > n - 1\) ならば、 等式の左辺と右辺における \([Z]\) の係数はいずれも零である。 したがって \(Z' = \overline{f(Z)}\) が \(Y\) の \(\delta\)-次元 \(n - 1\) の整閉部分スキームであると 仮定してよい。\(\xi' = f(\xi)\) とおく。これは \(Z'\) の生成点である。 \(A = \mathcal{O}_{Y, \xi'}\), \(B = \mathcal{O}_{X, \xi}\) とおく。 環準同型 \(A \to B\) は、次元 \(1\) の Noether 局所整域の平坦局所準同型である。 \(g\) は \(A\) の分数体に属する。示すべきことは \[\text{ord}_A(g) \text{length}_B(B/\mathfrak m_AB) = \text{ord}_B(g).\] である。これは「代数」補題 02M1 から従う （詳細は省略する）。

主因子と押し出し

最初の補題から、生成的有限射に沿う主因子の押し出しは主因子であることが従う。

補題

\((S, \delta)\) を状況 02QL のとおりとする。 \(X\), \(Y\) を \(S\) 上局所有限型とする。\(X\), \(Y\) は整で、 \(n = \dim_\delta(X) = \dim_\delta(Y)\) と仮定する。 \(p : X \to Y\) を支配的固有射とし、\(f \in R(X)^*\) とする。 \[g = \text{Nm}_{R(X)/R(Y)}(f).\] とおく。このとき \(p_*\text{div}(f) = \text{div}(g)\) である。

証明

\(Z \subset Y\) を \(\delta\)-次元 \(n - 1\) の整閉部分スキームとする。 \(p_*\text{div}(f)\) と \(\text{div}(g)\) における \([Z]\) の係数が等しいことを示したい。 射 \(p : X \to Y\) と生成点 \(\xi \in Z\) に補題 02RM を適用できる。したがって \(Y\) を \(\xi\) のアフィン開近傍で置き換え、\(p : X \to Y\) が有限であると仮定してよい。 \(Y = \Spec(R)\), \(X = \Spec(A)\) と書く。ここで \(p\) は Noether 整域の有限準同型 \(R \to A\) によって誘導され、これは分数体の有限体拡大 \(L/K\) を誘導する。 いま \(f \in L\), \(g = \text{Nm}(f) \in K\) であり、 \(\dim(R_{\mathfrak p}) = 1\) を満たす素イデアル \(\mathfrak p \subset R\) がある。 \(\text{div}_Y(g)\) における \([Z]\) の係数は \(\text{ord}_{R_\mathfrak p}(g)\) である。 \(p_*\text{div}_X(f)\) における \([Z]\) の係数は \[\sum\nolimits_{\mathfrak q\text{ lying over }\mathfrak p} [\kappa(\mathfrak q) : \kappa(\mathfrak p)] \text{ord}_{A_{\mathfrak q}}(f)\] である。したがって「代数」補題 02MJ から 望む等式が従う。

主因子の議論では、\(\mathbf{P}^1_S\) 上の「普遍的」主因子 \([0] - [\infty]\) が重要な役割を果たす。これを正確に述べるため、 [0F93]\[\begin{equation} D_0, D_\infty \subset \mathbf{P}^1_S = \underline{\text{Proj}}_S(\mathcal{O}_S[T_0, T_1]) \end{equation}\] で \(\mathcal{O}(1)\) の切断 \(T_1\) と \(T_0\) によってそれぞれ切り出される閉部分スキームを表す。 これらは有効 Cartier 因子である。「因子」定義 01WR および補題 01X0 を参照されたい。 次の補題は、大まかに言えば “\(\text{div}(T_1/T_0) = [D_0] - [D_1]\)” であり、これが普遍的主因子であることを述べる。

補題

\((S, \delta)\) を状況 02QL のとおりとする。 \(X\) を \(S\) 上局所有限型とする。\(X\) は整で、\(n = \dim_\delta(X)\) と仮定する。 \(f \in R(X)^*\) とする。\(U \subset X\) を空でない開集合で、\(f\) が切断 \(f \in \Gamma(U, \mathcal{O}_X^*)\) に対応するものとする。 \(Y \subset X \times_S \mathbf{P}^1_S\) を \(f : U \to \mathbf{P}^1_S\) のグラフの閉包とする。 このとき次が成り立つ。

1. 射影 \(p : Y \to X\) は固有である。

2. \(p|_{p^{-1}(U)} : p^{-1}(U) \to U\) は同型である。

3. 射 \(q : Y \to \mathbf{P}^1_S\) による引き戻し \(Y_0 = q^{-1}D_0\) と \(Y_\infty = q^{-1}D_\infty\) が定義される （「因子」定義 01WV）。

4. \[\text{div}_Y(f) = [Y_0]_{n - 1} - [Y_\infty]_{n - 1}\] である。

5. \[\text{div}_X(f) = p_*\text{div}_Y(f)\] である。

6. 射 \(p\) により \(Y_0\) と \(Y_\infty\) を \(X\) の閉部分スキームとみなすと、 \[\text{div}_X(f) = [Y_0]_{n - 1} - [Y_\infty]_{n - 1}\] である。

証明

\(X\) は整なので \(U\) も整である。したがって \(Y\) は整で、 \((1, f)(U) \subset Y\) は開稠密部分スキームである。また、閉部分スキーム \(Y \subset X \times_S \mathbf{P}^1_S\) は開集合 \(U\) の選び方に依存しないことに注意する。 実際、これは生成点を \(\eta \in X\) としたときの一点集合 \(\{\eta'\} = \{(1, f)(\eta)\}\) の閉包である。以上を踏まえて各主張を証明する。

(1) について、\(p\) は閉埋め込み \(Y \to X \times_S \mathbf{P}^1_S = \mathbf{P}^1_X\) と 固有射 \(\mathbf{P}^1_X \to X\) の合成である。固有射の合成は固有なので （「射」補題 01W3）、結論を得る。

\(Y \cap U \times_S \mathbf{P}^1_S = (1, f)(U)\) は明らかである。 したがって (2) が従い、さらに \(\dim_\delta(Y) = n\) も従う。

\(f \in R(X)^*\) なので、\(q(\eta') = f(\eta)\) は \(D_0\) にも \(D_\infty\) にも含まれない。 したがって「因子」補題 02OO により (3) が従う。 補題 02RK から \(\dim_\delta(Y_0) = n - 1\) および \(\dim_\delta(Y_\infty) = n - 1\) を得る。

有効 Cartier 因子 \(Y_0\) を考える。各点 \(\xi \in Y_0\) において \(f \in \mathcal{O}_{Y, \xi}\) であり、\(Y_0\) の局所方程式は \(f\) で与えられる。 特に \(\delta(\xi) = n - 1\) で、\(\xi\) が \(\delta\)-次元 \(n - 1\) の整閉部分スキーム \(Z\) の生成点ならば、\(\text{div}_Y(f)\) における \([Z]\) の係数は \[\text{ord}_Z(f) = \text{length}_{\mathcal{O}_{Y, \xi}} (\mathcal{O}_{Y, \xi}/f\mathcal{O}_{Y, \xi}) = \text{length}_{\mathcal{O}_{Y, \xi}} (\mathcal{O}_{Y_0, \xi})\] であり、これは \([Y_0]_{n - 1}\) における \([Z]\) の係数である。 有理関数 \(1/f\) を用いる同様の議論から、\(-[Y_\infty]\) は \(\text{div}_Y(f)\) の表示における負の係数をもつ項と一致する。したがって (4) が従う。

\(D_0 \to S\) は同型であることに注意する。したがって \(X \times_S D_0 \to X\) も同型である。\(X \times_S \mathbf{P}^1_S\) の中で \(Y_0 = Y \cap X \times_S D_0\)（スキーム論的交叉）であることは明らかである。 したがって \(Y_0 \to X\) は実際に閉埋め込みであり、 \[p_*\mathcal{O}_{Y_0} = \mathcal{O}_{Y'_0}\] を得る。ここで \(Y'_0 \subset X\) は \(Y_0 \to X\) の像である。 補題 02R6 により \(p_*[Y_0]_{n - 1} = [Y'_0]_{n - 1}\) である。 \(D_\infty\) と \(Y_\infty\) についても同じことが成り立つ。したがって (6) は (5) の帰結である。 最後に、(5) は補題 02RT から直ちに従う。

次の補題は、固有曲線上の主因子の次数が零であることを述べる。

補題

\(K\) を任意の体とする。\(X\) を、固有射 \(c : X \to \Spec(K)\) を備えた \(1\)-次元整スキームとする。\(f \in K(X)^*\) を可逆有理関数とする。このとき \[\sum\nolimits_{x \in X \text{ closed}} [\kappa(x) : K] \text{ord}_{\mathcal{O}_{X, x}}(f) = 0\] である。ここで \(\text{ord}\) は「代数」定義 02MD のとおりである。 言い換えれば \(c_*\text{div}(f) = 0\) である。

証明

\(S = \Spec(K)\) 上の \(X\) と有理関数 \(f\) から補題 02RQ で構成した図式 \[\xymatrix{ Y \ar[r]_p \ar[d]_q & X \ar[d]^c \\ \mathbf{P}^1_K \ar[r]^-{c'} & \Spec(K) }\] を考える。この補題のすべての結論を以下では断りなく用いる。 \(c_*\text{div}_X(f) = c_*p_*\text{div}_Y(f) = 0\) を示せばよい。 これは \(c'_*q_*\text{div}_Y(f) = 0\) を示すことと同じである。 \(q(Y)\) が \(\mathbf{P}^1_K\) の閉点ならば \(\text{div}_X(f) = 0\) であり、補題が成り立つ。 したがって \(q\) は支配的であると仮定してよい。 \(q : Y \to \mathbf{P}^1_K\) が次数 \(d\) の有限局所自由射であることを示せると仮定する （「射」定義 02KA を参照）。 \(\text{div}_Y(f) = [q^{-1}D_0]_0 - [q^{-1}D_\infty]_0\) なので、 平坦引き戻しの定義により \(\text{div}_Y(f) = q^*([D_0]_0 - [D_\infty]_0)\) である。 すると補題 02RH により \(q_*\text{div}_Y(f) = d([D_0]_0 - [D_\infty]_0)\) を得る。 \(c'_*[D_0]_0 = c'_*[D_\infty]_0\) は明らかなので、結論が従う。

\(q\) が有限局所自由であることを示すのが残っている。 （\(\mathbf{P}^1_K\) は連結なので、自動的にある一定の次数をもつ。） \(\dim(\mathbf{P}^1_K) = 1\) なので、例えば補題 02RM により \(q\) は有限である。 \(\mathbf{P}^1_K\) の閉点におけるすべての局所環は、\(K[T]\) の局所化なので 次元 \(1\) の正則局所環、言い換えれば離散付値環である （「代数」補題 00OP を参照）。 したがって、閉点 \(y\in Y\) に対し、局所環 \(\mathcal{O}_{Y, y}\) が 捩れなしであれば、\(\mathcal{O}_{\mathbf{P}^1_K, q(y)}\) 上平坦である （「代数詳論」補題 0AUW）。 \(\mathcal{O}_{Y, y}\) は整域で \(q\) は支配的なので、これは明らかに成り立つ。 したがって \(q\) は平坦である。ゆえに「射」補題 02KB により \(q\) は有限局所自由である。

有理同値

この節では \(k\)-サイクル上の有理同値を定義する。 主因子の像（閉埋め込みによるもの）の局所有限和を許すことにする。 これはかなり奇妙な現象を引き起こす。例 02RY を参照されたい。 しかしこれを許さなければ、直線束の Chern 類とのキャップ積が有理同値を経由することを どのように証明すればよいか分からない。

定義

\((S, \delta)\) を状況 02QL のとおりとする。 \(X\) を \(S\) 上局所有限型なスキームとし、\(k \in \mathbf{Z}\) とする。

1. \(\dim_\delta(W_j) = k + 1\) を満たす整閉部分スキームの任意の局所有限族 \(\{W_j \subset X\}\) と任意の \(f_j \in R(W_j)^*\) に対し、 \[\sum (i_j)_*\text{div}(f_j) \in Z_k(X)\] を考えられる。ここで \(i_j : W_j \to X\) は包含射である。 射 \(\coprod i_j : \coprod W_j \to X\) は固有なので、これは意味をもつ。

2. \(\alpha \in Z_k(X)\) が上に表示した形のサイクルであるとき、 \(\alpha\) は零と有理同値であるという。

3. \(\alpha - \beta\) が零と有理同値であるとき、 \(\alpha, \beta \in Z_k(X)\) は有理同値であるといい、 \(\alpha \sim_{rat} \beta\) と書く。

4. \[\CH_k(X) = Z_k(X) / \sim_{rat}\] を\(X\) 上の \(k\)-サイクルの Chow 群と定義する。これは \(X\) 上の有理同値を法とする \(k\)-サイクルの Chow 群とも呼ばれる。

ほかにも興味深い（adequate）同値関係が多数ある。有理同値はそれらの中で最も粗い。

注意

\((S, \delta)\) を状況 02QL のとおりとする。 \(X\) を \(S\) 上局所有限型とし、\(k \in \mathbf{Z}\) とする。表示 \[\bigoplus\nolimits_{\delta(x) = k + 1}' K_1^M(\kappa(x)) \xrightarrow{\partial} \bigoplus\nolimits_{\delta(x) = k}' K_0^M(\kappa(x)) \to \CH_k(X) \to 0\] をもつことを示そう。ここでは注意 0GU2 で導入した記法と規約を用い、 さらに次のように定める。

1. \(K_1^M(\kappa(x)) = \kappa(x)^*\) は、点 \(x \in X\) の剰余体 \(\kappa(x)\) の Milnor K 理論の次数 \(1\) の部分である （注意 0EAY を参照）。

2. 微分 \(\partial\) を次のように定義する。元 \(\xi = \sum_x f_x\) に対し、 \(W_x = \overline{x}\) で、生成点 \(x\) をもつ \(X\) の整閉部分スキームを表し、 \[\partial(\xi) = \sum (W_x \to X)_*\text{div}(f_x)\] とおく。注意 0GU2 により、この複体の第二項は \(Z_k(X)\) と等しいことを既に見たので、これは \(Z_k(X)\) に属して意味をもつ。

これが \(\CH_k(X)\) の表示を与えることは、定義 02RW と比較すれば直ちに従う。

次の補題は非常に簡単だが重要である。

補題

\((S, \delta)\) を状況 02QL のとおりとする。 \(X\) を \(S\) 上局所有限型なスキームとする。\(U \subset X\) を開部分スキームとし、 \(i : Y = X \setminus U \to X\) で \(X\) の被約閉部分スキームを表す。 \(k \in \mathbf{Z}\) とし、\(\alpha, \beta \in Z_k(X)\) と仮定する。 \(\alpha|_U \sim_{rat} \beta|_U\) ならば、あるサイクル \(\gamma \in Z_k(Y)\) が存在して \[\alpha \sim_{rat} \beta + i_*\gamma.\] となる。言い換えれば、列 \[\xymatrix{ \CH_k(Y) \ar[r]^{i_*} & \CH_k(X) \ar[r]^{j^*} & \CH_k(U) \ar[r] & 0 }\] は Abel 群の完全複体である。

証明

\(\{W_j\}_{j \in J}\) を、\(U\) の \(\delta\)-次元 \(k + 1\) の整閉部分スキームの 局所有限族とし、\(f_j \in R(W_j)^*\) を、定義のとおり \((\alpha - \beta)|_U = \sum (i_j)_*\text{div}(f_j)\) となる元とする。 \(W_j' \subset X\) を \(W_j\) の閉包とする。\(V \subset X\) を準コンパクト開集合とする。 \(V\) は Noether なので \(V \cap U\) も \(U\) の準コンパクト開集合である。したがって \(\{W_j\}\) の局所有限性により、集合 \(\{j \in J \mid W_j \cap V \not = \emptyset\} = \{j \in J \mid W'_j \cap V \not = \emptyset\}\) は有限である。言い換えれば \(\{W'_j\}\) も局所有限である。 \(R(W_j) = R(W'_j)\) なので \[\alpha - \beta - \sum (i'_j)_*\text{div}(f_j)\] は \(Y\) 上に台をもつサイクルであり、補題が従う （補題 02RC を参照）。

補題

\((S, \delta)\) を状況 02QL のとおりとする。 \(X\) を \(S\) 上局所有限型とする。\(X_1, X_2 \subset X\) を、集合論的に \(X = X_1 \cup X_2\) となる閉部分スキームとする。 任意の \(k \in \mathbf{Z}\) に対し、Abel 群の列 \[\xymatrix{ \CH_k(X_1 \cap X_2) \ar[r] & \CH_k(X_1) \oplus \CH_k(X_2) \ar[r] & \CH_k(X) \ar[r] & 0 }\] は完全である。ここで \(X_1 \cap X_2\) はスキーム論的交叉であり、写像は押し出し写像で、 その一方には \(-1\) を掛ける。

証明

補題 0F92 により、矢印 \(\CH_k(X_1) \oplus \CH_k(X_2) \to \CH_k(X)\) は全射である。 \((\alpha_1, \alpha_2)\) がこの写像で零に写ると仮定する。 \(\alpha_1 = \sum n_{1, i}[W_{1, i}]\) および \(\alpha_2 = \sum n_{2, i}[W_{2, i}]\) と書く。このとき、\(X\) の \(\delta\)-次元 \(k + 1\) の整閉部分スキームの局所有限族 \(\{W_j\}_{j \in J}\) と \(f_j \in R(W_j)^*\) であって、\(X\) 上のサイクルとして \[\sum n_{1, i}[W_{1, i}] + \sum n_{2, i}[W_{2, i}] = \sum (i_j)_*\text{div}(f_j)\] となるものを得る。ここで \(i_j : W_j \to X\) は包含射である。 \(j \in J_1\) ならば \(W_j \subset X_1\)、\(j \in J_2\) ならば \(W_j \subset X_2\) となるような非交和分解 \(J = J_1 \amalg J_2\) を選ぶ。 （\(W_j\) は整なので可能である。）すると上の等式を \[\sum n_{1, i}[W_{1, i}] - \sum\nolimits_{j \in J_1} (i_j)_*\text{div}(f_j) = - \sum n_{2, i}[W_{2, i}] + \sum\nolimits_{j \in J_2} (i_j)_*\text{div}(f_j)\] と書ける。したがってこの式は \(X_1 \cap X_2\) 上のサイクル（！）である。 言い換えれば、元 \((\alpha_1, \alpha_2)\) は最初の矢印の像に属し、証明が完了する。

例

「奇妙な」例を挙げる。\(S\) を体 \(k\) のスペクトルとし、\(\delta\) は 例 02QM のとおりとする。\(X = C_1 \cup C_2 \cup \ldots\) を、 曲線 \(C_j \cong \mathbf{P}^1_k\) の無限和を次のように貼り合わせたものとする。 各 \(j = 1, 2, 3, \ldots\) に対し、点 \(\infty \in C_j\) を点 \(0 \in C_{j + 1}\) と横断的に貼り合わせる。点 \(0 \in C_1\) をとると、これは零次サイクル \([0] \in Z_0(X)\) を与える。この状況の「奇妙さ」は、実際に \([0] \sim_{rat} 0\) となることである！ すなわち、有理関数 \(f_j \in R(C_j)\) を、\(0\) に単純零点、\(\infty\) に単純極をもち、ほかには零点も極も もたない関数として選べる。このとき和 \(\sum (i_j)_*\text{div}(f_j)\) はちょうど \(0\)-サイクル \([0]\) である。実際、この例では \(\CH_0(X) = 0\) となる。 これがあまりに奇妙だと感じるなら、空間を常に準コンパクトにしておけばよい （その場合、この \(X\) はそもそも存在しない）。

注意

\((S, \delta)\) を状況 02QL のとおりとする。 \(X\) を \(S\) 上局所有限型なスキームとする。\(X\) 上の \(k\)-サイクルの無限族 \(\alpha_i, \beta_i \in Z_k(X)\), \(i \in I\) があると仮定する。 \(\alpha_i\) と \(\beta_i\) の台が \(X\) の閉部分集合の局所有限族をなし、 \(\sum \alpha_i\) と \(\sum \beta_i\) がサイクルとして定義されるとする。 さらに各 \(i\) に対して \(\alpha_i \sim_{rat} \beta_i\) と仮定する。 このとき \(\sum \alpha_i \sim_{rat} \sum \beta_i\) であるとは限らない。 問題は、有理同値が局所有限族 \(\{W_{i, j}, f_{i, j} \in R(W_{i, j})^*\}_{j \in J_i}\) によって与えられていても、 その合併 \(\{W_{i, j}\}_{i \in I, j\in J_i}\) が局所有限とは限らないことである。

実際の多くの場合には、閉部分集合の局所有限族 \(\{T_i\}_{i \in I}\) があり、 \(\alpha_i, \beta_i\) は \(T_i\) 上に台をもち、\(\CH_k(T_i)\) において \(\alpha_i = \beta_i\) となる。言い換えれば、族 \(\{W_{i, j}, f_{i, j} \in R(W_{i, j})^*\}_{j \in J_i}\) は部分スキーム \(W_{i, j} \subset T_i\) からなる。この場合には、族 \(\{W_{i, j}\}_{i \in I, j\in J_i}\) が自動的に局所有限なので、\(X\) 上で \(\sum \alpha_i \sim_{rat} \sum \beta_i\) が実際に成り立つ。

有理同値と押し出し・引き戻し

この節では、平坦引き戻しと固有押し出しが有理同値と可換であることを示す。

補題

\((S, \delta)\) を状況 02QL のとおりとする。 \(X\), \(Y\) を \(S\) 上局所有限型なスキームとする。 \(Y\) は整で \(\dim_\delta(Y) = k\) と仮定する。 \(f : X \to Y\) を相対次元 \(r\) の平坦射とする。このとき \(g \in R(Y)^*\) に対し、 \[f^*\text{div}_Y(g) = \sum n_j i_{j, *}\text{div}_{X_j}(g \circ f|_{X_j})\] が \(X\) 上の \((k + r - 1)\)-サイクルとして成り立つ。ここで和は \(X\) の既約成分 \(X_j\) 全体にわたり、\(n_j\) は \(X\) における \(X_j\) の重複度である。

証明

\(Z \subset X\) を \(\delta\)-次元 \(k + r - 1\) の整閉部分スキームとする。 \(f^*\text{div}(g)\) における \([Z]\) の係数 \(n\) と、 \(\sum i_{j, *} \text{div}(g \circ f|_{X_j})\) における \([Z]\) の係数 \(m\) が 等しいことを示せばよい。\(Z'\) を \(f(Z)\) の閉包とすると、これは \(Y\) の整閉部分スキームである。 補題 02R8 により \(\dim_\delta(Z') \geq k - 1\) である。したがって \(Z' = Y\) であるか、 \(Z'\) は \(Y\) 上の素因子である。\(Z' = Y\) ならば係数 \(n\) と \(m\) はともに零である。 \(n\) については \(f^*\) の定義から明らかであり、\(m\) については \(g \circ f|_{X_j}\) が \(Y\) の生成点に写る \(X_j\) の任意の点で単元だからである。 したがって \(Z' \subset Y\) は素因子であると仮定してよい。

\(n\) と \(m\) の等式を代数に翻訳する。\(\xi' \in Z'\) と \(\xi \in Z\) を生成点とし、 \(A = \mathcal{O}_{Y, \xi'}\), \(B = \mathcal{O}_{X, \xi}\) とおく。 \(A\), \(B\) は Noether で、\(A \to B\) は平坦局所準同型、\(A\) は整域であり、 \(\mathfrak m_AB\) は局所環 \(B\) の定義イデアルである。有理関数 \(g\) は \(A\) の分数体 \(Q(A)\) の元である。構成により、\(\xi\) と交わる閉部分スキーム \(X_j\) は 極小素イデアルと \(1\) 対 \(1\) に対応し、それらを \[\mathfrak q_1, \ldots, \mathfrak q_s \subset B\] と書く。整数 \(n_j\) は対応する長さ \[n_i = \text{length}_{B_{\mathfrak q_i}}(B_{\mathfrak q_i})\] である。有理関数 \(g \circ f|_{X_j}\) は、\(g \in Q(A)\) の像 \(g_i \in \kappa(\mathfrak q_i)^*\) に対応する。以上をまとめると \[n = \text{ord}_A(g) \text{length}_B(B/\mathfrak m_AB)\] および \[m = \sum \text{ord}_{B/\mathfrak q_i}(g_i) \text{length}_{B_{\mathfrak q_i}}(B_{\mathfrak q_i})\] を得る。非零な \(x, y \in A\) によって \(g = x/y\) と書くと、 \[\text{length}_A(A/(x)) \text{length}_B(B/\mathfrak m_AB) = \text{length}_B(B/xB)\] （この等式では「代数」補題 02M1 を用いる）が \[\sum\nolimits_{i = 1, \ldots, s} \text{length}_{B/\mathfrak q_i}(B/(x, \mathfrak q_i)) \text{length}_{B_{\mathfrak q_i}}(B_{\mathfrak q_i})\] に等しいことを示せば十分であり、\(y\) についても同様である。 \(A \to B\) は平坦なので \(x\) は \(B\) の非零因子である。 したがって補題 02QG から望む等式が従う。

補題

\((S, \delta)\) を状況 02QL のとおりとする。 \(X\), \(Y\) を \(S\) 上局所有限型なスキームとし、\(f : X \to Y\) を相対次元 \(r\) の平坦射とする。 \(\alpha \sim_{rat} \beta\) を \(Y\) 上の有理同値な \(k\)-サイクルとする。 このとき \(X\) 上の \((k + r)\)-サイクルとして \(f^*\alpha \sim_{rat} f^*\beta\) である。

証明

何を示すべきかを述べる。各 \(W_j\) が \(\delta\)-次元 \(k + 1\) の整スキームである閉埋め込みの族 \[i_j : W_j \longrightarrow Y\] と有理関数 \(g_j \in R(W_j)^*\) が与えられ、さらに族 \(\{i_j(W_j)\}_{j \in J}\) は \(Y\) 上局所有限であると仮定する。このとき \[f^*(\sum i_{j, *}\text{div}(g_j)) = \sum f^*i_{j, *}\text{div}(g_j)\] が \(X\) 上で零と有理同値であることを示せばよい。補題 02R9 により \(\{W_j\}\) は \(X\) で局所有限なので、 右辺の和は意味をもつ。

ファイバー積 \[i'_j : W'_j = W_j \times_Y X \longrightarrow X.\] を考え、\(f_j : W'_j \to W_j\) で第一射影を表す。 補題 02RG により、上の和は \[\sum i'_{j, *}(f_j^*\text{div}(g_j))\] と書ける。補題 0EPH により、 各 \(f_j^*\text{div}(g_j)\) は \(W'_j\) 上で零と有理同値である。 したがって各 \(i'_{j, *}(f_j^*\text{div}(g_j))\) は零と有理同値である。 すると注意 02RZ の議論により、 表示された和についても同じことが成り立つ。

補題

\((S, \delta)\) を状況 02QL のとおりとする。 \(X\), \(Y\) を \(S\) 上局所有限型なスキームとし、\(p : X \to Y\) を固有射とする。 \(\alpha, \beta \in Z_k(X)\) が有理同値であると仮定する。 このとき \(p_*\alpha\) は \(p_*\beta\) と有理同値である。

証明

何を示すべきかを述べる。各 \(W_j\) が \(\delta\)-次元 \(k + 1\) の整スキームである閉埋め込みの族 \[i_j : W_j \longrightarrow X\] と有理関数 \(f_j \in R(W_j)^*\) が与えられ、さらに族 \(\{i_j(W_j)\}_{j \in J}\) は \(X\) 上局所有限であると仮定する。このとき \[p_*\left(\sum i_{j, *}\text{div}(f_j)\right)\] が \(X\) 上で零と有理同値であることを示せばよい。

この和は \[\sum p_*i_{j, *}\text{div}(f_j).\] に等しい。\(W'_j \subset Y\) を \(p \circ i_j\) の像である整閉部分スキームとする。 補題 02R2 により族 \(\{W'_j\}\) は \(Y\) で局所有限である。 したがって各 \(j\) について、\(p_*i_{j, *}\text{div}(f_j) = 0\) であるか、またはある \(g_j \in R(W'_j)^*\) に対して \(i'_{j, *}\text{div}(g_j)\) に等しいことを示せば十分である。

以上の議論により、\(\delta\)-次元 \(k + 1\) の一つの整閉部分スキーム \(W \subset X\) の場合に帰着する。\(f \in R(W)^*\) とし、上のとおり \(W' = p(W)\) とおく。 射の可換図式 \[\xymatrix{ W \ar[r]_i \ar[d]_{p'} & X \ar[d]^p \\ W' \ar[r]^{i'} & Y }\] を得る。補題 02R5 により \(p_*i_*\text{div}(f) = i'_*(p')_*\text{div}(f)\) である。 上で説明したように、\((p')_*\text{div}(f)\) が \(W'\) 上の有理関数の因子または零であることを 示せばよい。三つの場合に分ける。

\(\dim_\delta(W') < k\) の場合。このとき自動的に \((p')_*\text{div}(f) = 0\) であり、示すことはない。

\(\dim_\delta(W') = k\) の場合。この場合 \((p')_*\text{div}(f) = 0\) であることを示そう。\(\eta \in W'\) を生成点とする。 \(c : W_\eta \to \Spec(K)\) は \(K = \kappa(\eta)\) 上の固有整曲線であり、 その関数体 \(K(W_\eta)\) は \(R(W)\) と同一視される。図式 \[\xymatrix{ W_\eta \ar[r] \ar[d]_c & W \ar[d]^{p'} \\ \Spec(K) \ar[r] & W' }\] がある。\(f_\eta \in K(W_\eta)^*\) で \(f \in R(W)^*\) に対応する有理関数を表す。 さらに、\(W_\eta\) の閉点 \(\xi\) は、\(p'(Z) = W'\) を満たす \(\delta\)-次元 \(k\) の整閉部分スキーム \(Z = Z_\xi \subset W\) と \(1 - 1\) に対応する。 局所環 \(\mathcal{O}_{W_\eta, \xi}\) と \(\mathcal{O}_{W, \xi}\) は分数体の部分環として 同一視されるので、\(\text{div}(f)\) における \(Z_\xi\) の重複度は \(\text{ord}_{\mathcal{O}_{W_\eta, \xi}}(f_\eta)\) に等しい。 したがって \((p')_*\text{div}(f)\) における \([W']\) の重複度は、 \(c_*\text{div}(f_\eta)\) における \([\Spec(K)]\) の重複度に等しい。 補題 02RU によりこれは零である。

\(\dim_\delta(W') = k + 1\) の場合。この場合には補題 02RT が適用でき、望むとおり、ある \(g \in R(W')^*\) に対して \(p'_*\text{div}(f) = \text{div}(g)\) である。

有理同値と射影直線

\((S, \delta)\) を状況 02QL のとおりとし、 \(X\) を \(S\) 上局所有限型なスキームとする。任意の閉部分スキーム \(Z \subset X \times_S \mathbf{P}^1_S = X \times \mathbf{P}^1\) に対し、 \(Z_0\) と \(Z_\infty\) で、スキーム論的閉部分スキーム \(Z_0 = \text{pr}_2^{-1}(D_0)\) および \(Z_\infty = \text{pr}_2^{-1}(D_\infty)\) を表す。 ここで \(D_0\), \(D_\infty\) は (0F93) のとおりである。

補題

\((S, \delta)\) を状況 02QL のとおりとする。 \(X\) を \(S\) 上局所有限型なスキームとする。 \(W \subset X \times_S \mathbf{P}^1_S\) を \(\delta\)-次元 \(k + 1\) の整閉部分スキームとする。 \(W \not = W_0\) かつ \(W \not = W_\infty\) と仮定する。このとき次が成り立つ。

1. \(W_0\), \(W_\infty\) は \(W\) の有効 Cartier 因子である。

2. \(W_0\), \(W_\infty\) は \(X\) の閉部分スキームとみなせて、 \[[W_0]_k \sim_{rat} [W_\infty]_k,\] である。

3. \(\delta\)-次元 \(k + 1\) の整閉部分スキームの任意の局所有限族 \(W_i \subset X \times_S \mathbf{P}^1_S\) で、\(W_i \not = (W_i)_0\) かつ \(W_i \not = (W_i)_\infty\) を満たすものに対し、\(X\) 上で \(\sum ([(W_i)_0]_k - [(W_i)_\infty]_k) \sim_{rat} 0\) である。

4. \(\alpha \in Z_k(X)\) が \(\alpha \sim_{rat} 0\) を満たすならば、上のような 整閉部分スキームの局所有限族 \(W_i \subset X \times_S \mathbf{P}^1_S\) が存在して \(\alpha = \sum ([(W_i)_0]_k - [(W_i)_\infty]_k)\) となる。

証明

仮定により、\(W\) の生成点は射影 \(X \times_S \mathbf{P}^1_S \to \mathbf{P}^1_S\) の下で \(D_0\) にも \(D_\infty\) にも 写らない。したがって「因子」補題 02OO から (1) が従う。

\(X \times_S D_0 \to X\) は閉埋め込みなので、\(W_0\) は \(X\) の閉部分スキームと同型である。 \(W_\infty\) についても同様である。射 \(p : W \to X\) は、閉埋め込み \(W \to X \times_S \mathbf{P}^1_S\) と固有射 \(X \times_S \mathbf{P}^1_S \to X\) の合成なので 固有である。補題 02RQ により、\(W\) 上のサイクルとして \([W_0]_k \sim_{rat} [W_\infty]_k\) である。明らかに \(p_*[W_0]_k = [W_0]_k\) であり、\(W_\infty\) についても同様なので、補題 02S2 から (2) が従う。

(1) と (2) を踏まえると、(3) の内容は族 \(\{(W_i)_0, (W_i)_\infty\}\) が \(X\) の閉部分スキームの局所有限族であることだけであり、これは明らかである。

\(\alpha \sim_{rat} 0\) と仮定する。定義により、\(\delta\)-次元 \(k + 1\) の整閉部分スキーム \(V_i \subset X\) と有理関数 \(f_i \in R(V_i)^*\) が存在して、族 \(\{V_i\}_{i \in I}\) は \(X\) で局所有限であり、 \(\alpha = \sum (V_i \to X)_*\text{div}(f_i)\) となる。 \[W_i \subset V_i \times_S \mathbf{P}^1_S \subset X \times_S \mathbf{P}^1_S\] を、補題 02RQ のとおり有理写像 \(f_i\) のグラフの閉包とする。 同じ補題により \((V_i \to X)_*\text{div}(f_i)\) は \([(W_i)_0]_k - [(W_i)_\infty]_k\) に等しい。したがって結論は明らかである。

補題

\((S, \delta)\) を状況 02QL のとおりとする。 \(X\) を \(S\) 上局所有限型なスキームとし、\(Z\) を \(X \times \mathbf{P}^1\) の閉部分スキームとする。次を仮定する。

1. \(\dim_\delta(Z) \leq k + 1\) である。

2. \(\dim_\delta(Z_0) \leq k\), \(\dim_\delta(Z_\infty) \leq k\) である。

3. \(Z\) の任意の埋め込まれた点 \(\xi\)（「因子」定義 05AK）に対し、 \(\xi \not \in Z_0 \cup Z_\infty\) または \(\delta(\xi) < k\) である。

このとき \(X\) 上の \(k\)-サイクルとして \([Z_0]_k \sim_{rat} [Z_\infty]_k\) である。

証明

\(\{W_i\}_{i \in I}\) を、\(Z\) の \(\delta\)-次元 \(k + 1\) の既約成分全体とする。 定義のとおり \(n_i > 0\) として \[[Z]_{k + 1} = \sum n_i[W_i]\] と書く。「因子」補題 0BE1 により、 \(\{W_i\}\) は \(X \times_S \mathbf{P}^1_S\) の閉部分集合の局所有限族である。 \[[Z_0]_k = \sum n_i[(W_i)_0]_k\] であると主張する。\([Z_\infty]_k\) についても同様である。 これを示せば、補題 02S4 から結論が従う。

\(Z' \subset X\) を \(\delta\)-次元 \(k\) の整閉部分スキームとする。 上の等式を示すには、\([Z_0]_k\) における \([Z']\) の係数 \(n\) と、 \(\sum n_i[(W_i)_0]_k\) における \([Z']\) の係数 \(m\) が等しいことを示せば十分である。 \(\xi' \in Z'\) を生成点とし、\(\xi = (\xi', 0) \in X \times_S \mathbf{P}^1_S\) とおく。 局所環 \(A = \mathcal{O}_{X \times_S \mathbf{P}^1_S, \xi}\) を考える。 \(I \subset A\) を \(Z\) を切り出すイデアル、すなわち \(A/I = \mathcal{O}_{Z, \xi}\) となるものとする。\(t \in A\) を \(X \times_S D_0\) を切り出す元、すなわち \(\mathbf{P}^1\) の零における座標の引き戻しとする。 \(\xi' \in Z'\) の選び方から \(\delta(\xi) = k\) であり、したがって \(\dim(A/I) = 1\) である。仮定 (3) により \(\xi\) は埋め込まれた点ではないので、 \(A/I\) は Cohen–Macaulay である。\(\dim_\delta(Z_0) = k\) なので \(\dim(A/(t, I)) = 0\) であり、これは \(t\) が \(A/I\) 上の非零因子であることを 含意する。最後に、\(\xi\) を通る既約閉部分スキーム \(W_i\) は、\(I\) の上にある極小素イデアル \(I \subset \mathfrak q_i\) に対応する。重複度 \(n_i\) は長さ \(\text{length}_{A_{\mathfrak q_i}}(A/I)_{\mathfrak q_i}\) に対応する。したがって \[n = \text{length}_A(A/(t, I))\] および \[m = \sum \text{length}_A(A/(t, \mathfrak q_i)) \text{length}_{A_{\mathfrak q_i}}(A/I)_{\mathfrak q_i}\] を得る。ゆえに補題 02QG から結論が従う。

補題

\((S, \delta)\) を状況 02QL のとおりとする。 \(X\) を \(S\) 上局所有限型なスキームとし、\(\mathcal{F}\) を \(X \times \mathbf{P}^1\) 上の連接層とする。\(i_0, i_\infty : X \to X \times \mathbf{P}^1\) を \(i_t(x) = (x, t)\) を満たす閉埋め込みとする。 \(\mathcal{F}_0 = i_0^*\mathcal{F}\) および \(\mathcal{F}_\infty = i_\infty^*\mathcal{F}\) と表す。次を仮定する。

1. \(\dim_\delta(\text{Supp}(\mathcal{F})) \leq k + 1\) である。

2. \(\dim_\delta(\text{Supp}(\mathcal{F}_0)) \leq k\) および \(\dim_\delta(\text{Supp}(\mathcal{F}_\infty)) \leq k\) である。

3. \(\mathcal{F}\) の任意の埋め込まれた随伴点 \(\xi\) に対し、 \(\xi \not \in (X \times \mathbf{P}^1)_0 \cup (X \times \mathbf{P}^1)_\infty\) または \(\delta(\xi) < k\) である。

このとき \(X\) 上の \(k\)-サイクルとして \([\mathcal{F}_0]_k \sim_{rat} [\mathcal{F}_\infty]_k\) である。

証明

\(\{W_i\}_{i \in I}\) を、\(\text{Supp}(\mathcal{F})\) の \(\delta\)-次元 \(k + 1\) の既約成分全体とする。定義のとおり \(n_i > 0\) として \[[\mathcal{F}]_{k + 1} = \sum n_i[W_i]\] と書く。補題 02QW により、\(\{W_i\}\) は \(X \times_S \mathbf{P}^1_S\) の閉部分集合の局所有限族である。 \[[\mathcal{F}_0]_k = \sum n_i[(W_i)_0]_k\] であると主張する。\([\mathcal{F}_\infty]_k\) についても同様である。 これを示せば、補題 02S4 から結論が従う。

\(Z' \subset X\) を \(\delta\)-次元 \(k\) の整閉部分スキームとする。 上の等式を示すには、\([\mathcal{F}_0]_k\) における \([Z']\) の係数 \(n\) と、 \(\sum n_i[(W_i)_0]_k\) における \([Z']\) の係数 \(m\) が等しいことを示せば十分である。 \(\xi' \in Z'\) を生成点とし、\(\xi = (\xi', 0) \in X \times_S \mathbf{P}^1_S\) とおく。 局所環 \(A = \mathcal{O}_{X \times_S \mathbf{P}^1_S, \xi}\) を考え、 \(M = \mathcal{F}_\xi\) を \(A\)-加群とみなす。\(t \in A\) を \(X \times_S D_0\) を切り出す元、すなわち \(\mathbf{P}^1\) の零における座標の引き戻しとする。 \(\xi' \in Z'\) の選び方から \(\delta(\xi) = k\) であり、したがって \(\dim(\text{Supp}(M)) = 1\) である。仮定 (3) により \(\xi\) は \(\mathcal{F}\) の随伴点では ないので、\(M\) は Cohen–Macaulay 加群である。 \(\dim_\delta(\text{Supp}(\mathcal{F}_0)) = k\) なので \(\dim(\text{Supp}(M/tM)) = 0\) であり、これは \(t\) が \(M\) 上の非零因子であることを 含意する。最後に、\(\xi\) を通る既約閉部分スキーム \(W_i\) は \(\text{Ass}(M)\) の極小素イデアル \(\mathfrak q_i\) に対応する。 重複度 \(n_i\) は長さ \(\text{length}_{A_{\mathfrak q_i}}M_{\mathfrak q_i}\) に対応する。 したがって \[n = \text{length}_A(M/tM)\] および \[m = \sum \text{length}_A(A/(t, \mathfrak q_i)A) \text{length}_{A_{\mathfrak q_i}}M_{\mathfrak q_i}\] を得る。ゆえに補題 02QG から結論が従う。

Chow 群と包絡射

定義は次のとおりである。

定義

\(X\) をスキームとする。包絡射 とは、完全分解的な固有射 \(f : Y \to X\) のことである （『射の続論』の定義 0GTI）。

補題 0GU8 の完全列が、この定義を導入する主な動機である。

補題

\((S, \delta)\) を状況 02QL のとおりとする。 \(X\) を \(S\) 上局所有限型なスキームとする。 \(f : Y \to X\) と \(g : Z \to Y\) が包絡射ならば、 \(f \circ g\) も包絡射である。

証明

『スキームの射』の補題 01W3 および 『射の続論』の補題 0GTJ から従う。

補題

\((S, \delta)\) を状況 02QL のとおりとする。 \(X' \to X\) を \(S\) 上局所有限型なスキームの射とする。 \(f : Y \to X\) が包絡射ならば、\(f\) の基底変換 \(f' : Y' \to X'\) も包絡射である。

証明

『スキームの射』の補題 01W4 および 『射の続論』の補題 0GTK から従う。

補題

\((S, \delta)\) を状況 02QL のとおりとする。 \(X\) を \(S\) 上局所有限型なスキームとし、\(f : Y \to X\) を包絡射とする。このとき、 任意の \(k \in \mathbf{Z}\) に対して完全列 \[\CH_k(Y \times_X Y) \xrightarrow{p_* - q_*} \CH_k(Y) \xrightarrow{f_*} \CH_k(X) \to 0\] が存在する。ここで \(p, q : Y \times_X Y \to Y\) は射影である。

証明

\(f\) は包絡射なので、\(f\) は固有であり、したがってサイクルおよびサイクル類の押し出しが 定義される。第 02R3 節および第 02RF 節を参照せよ。 同様に、射 \(p\) と \(q\) は \(f\) の基底変換なので固有である。さらに \(f_* \circ p_* = (p \circ f)_* = (q \circ f)_* = f_* \circ q_*\) であるから、 矢印の合成は零である。補題 02R5 を参照せよ。

\(f_* : Z_k(Y) \to Z_k(X)\) が全射であることを示そう。 \(Z_i \subset X\) が整閉部分スキームの局所有限族であり、 \(\alpha = \sum n_i[Z_i] \in Z_k(X)\) とする。\(x_i \in Z_i\) を生成点とする。 \(f\) は包絡射、したがって完全分解的なので、\(f(y_i) = x_i\) かつ \(\kappa(y_i)/\kappa(x_i)\) が自明となる点 \(y_i \in Y\) が存在する。 \(W_i \subset Y\) を生成点 \(y_i\) をもつ整閉部分スキームとする。 \(f\) は閉射なので \(f(W_i) = Z_i\) である。したがって閉部分スキームの族 \(W_i\) は \(Y\) 上局所有限である。\(\kappa(y_i)/\kappa(x_i)\) は自明なので \(\dim_\delta(W_i) = \dim_\delta(Z_i) = k\) である。ゆえに \(\beta = \sum n_i[W_i]\) は \(Z_k(Y)\) に属する。最後に、 \(\kappa(y_i)/\kappa(x_i)\) が自明であることから、支配射 \(f|_{W_i} : W_i \to Z_i\) の次数は \(1\) であり、\(f_*\beta = \alpha\) を得る。

\(f_* : Z_k(Y) \to Z_k(X)\) は全射なので、なおさら \(f_* : \CH_k(Y) \to \CH_k(X)\) も全射である。

\(\beta \in Z_k(Y)\) を、\(f_*\beta\) が \(\CH_k(X)\) において零となる元とする。 これは、\(\dim_\delta(Z_j) = k + 1\) を満たす整閉部分スキーム \(Z_j \subset X\) の局所有限族と、次を満たす \(f_j \in R(Z_j)^*\) が存在することを意味する。 \[f_*\beta = \sum (Z_j \to X)_*\text{div}(f_j)\] ここでこれはサイクルとしての等式であり、\(i_j : Z_j \to X\) は与えられた閉埋め込みである。 上とまったく同様にして、\(f(W_j) = Z_j\) であり、\(W_j \to Z_j\) が双有理、すなわち 同型 \(R(Z_j) = R(W_j)\) を誘導する整閉部分スキーム \(W_j \subset Y\) の 局所有限族を取ることができる。\(f_j\) に対応する元を \(g_j \in R(W_j)^*\) と表す。 \(W_j \to Z_j\) は固有であり、\(Z_j\) 上のサイクルとして \((W_j \to Z_j)_*\text{div}(g_j) = \text{div}(f_j)\) であることに注意する。 したがって \(\beta\) を有理同値なサイクル \[\beta' = \beta - \sum (W_j \to Y)_*\text{div}(g_j)\] で置き換えると、\(f_*\beta' = 0\) となる。 （ここでは補題 02R5 を用いた。） ゆえに補題の証明を終えるには、次の段落の主張を示せば十分である。

主張：\(\beta \in Z_k(Y)\) かつ \(f_*\beta = 0\) ならば、ある \(\gamma \in Z_k(Y \times_X Y)\) に対して \(Z_k(Y)\) において \(\beta = \delta + p_*\gamma - q_*\gamma\) である。実際、 \(\{W_j\}_{j \in J}\) を \(\dim_\delta(W_j) = k\) を満たす \(Y\) の整閉部分スキームの 局所有限族として、\(\beta = \sum_{j \in J} n_j[W_j]\) と書く。 整閉部分スキーム \(Z \subset X\) を一つ固定し、部分集合 \(J_Z = \{j \in J : f(W_j) = Z\}\) を考える。これは有限集合である。次の三つの場合がある。

1. \(J_Z = \emptyset\) の場合。このとき \(\gamma_Z = 0\) とおく。

2. \(J_Z \not = \emptyset\) かつ \(\dim_\delta(Z) = k\) の場合。 条件 \(f_*\beta = 0\) から、\(Z\) の係数を比較して \(\sum_{j \in J_Z} n_j\deg(W_j/Z) = 0\) を得る。この場合、\(Z\) に双有理に写る 整閉部分スキーム \(W \subset Y\) を選ぶ（上を参照）。生成点を考えると、 \(W_j \times_Z W\) は \(W_j\) に双有理に写る唯一の既約成分 \(W'_j \subset W_j \times_Z W \subset Y \times_X Y\) をもつ。 このとき \(W'_j \to W\) は支配的で、\(\deg(W'_j/W) = \deg(W_j/W)\) である。そこで \(\gamma_Z = \sum_{j \in J_Z} n_j[W'_j]\) とおけば、 \(p_*\gamma_Z = \sum_{j \in J_Z} n_j[W_j]\) および \(q_*\gamma_Z = \sum_{j \in J_Z} n_j\deg(W'_j/W)[W] = 0\) を得る。

3. \(J_Z \not = \emptyset\) かつ \(\dim_\delta(Z) < k\) の場合。 この場合も \(Z\) に双有理に写る整閉部分スキーム \(W \subset Y\) を選ぶ（上を参照）。 生成点を考えると、\(W_j \times_Z W\) は \(W_j\) に双有理に写る唯一の既約成分 \(W'_j \subset W_j \times_Z W \subset Y \times_X Y\) をもつ。 このとき \(W'_j \to W\) は支配的で、 \(k = \dim_\delta(W'_j) > \dim_\delta(W) = \dim_\delta(Z)\) である。 そこで \(\gamma_Z = \sum_{j \in J_Z} n_j[W'_j]\) とおけば、 \(p_*\gamma_Z = \sum_{j \in J_Z} n_j[W_j]\) および \(q_*\gamma_Z = 0\) を得る。

整閉部分スキームの族 \(\{f(W_j)\}\) は \(X\) 上局所有限なので （補題 02R2）、\(Y \times_X Y\) 上の \(k\)-サイクル \[\gamma = \sum\nolimits_{Z \subset X\text{ integral closed}} \gamma_Z\] はよく定義される。上の計算から \(p_*\gamma_Z = \beta\) および \(q_*\gamma_Z = 0\) が従い、求める結論を得る。

Chow 群と K 群

この節では、連接層の圏の \(K_0\) と Chow 群を比較する。

\((S, \delta)\) を状況 02QL のとおりとし、 \(X\) を \(S\) 上局所有限型なスキームとする。\(X\) 上の連接層の圏を \(\textit{Coh}(X) = \textit{Coh}(\mathcal{O}_X)\) と表す。 これはアーベル圏である。『スキームのコホモロジー』の補題 01Y0 を参照せよ。 任意の \(k \in \mathbf{Z}\) に対して、\(\textit{Coh}_{\leq k}(X)\) を \(\dim_\delta(\text{Supp}(\mathcal{F})) \leq k\) を満たす連接層 \(\mathcal{F}\) からなる \(\textit{Coh}(X)\) の充満部分圏とする。

補題

\((S, \delta)\) を状況 02QL のとおりとし、 \(X\) を \(S\) 上局所有限型なスキームとする。圏 \(\textit{Coh}_{\leq k}(X)\) は、 アーベル圏 \(\textit{Coh}(X)\) の Serre 部分圏である。

証明

Serre 部分圏の定義は『ホモロジー代数』の定義 02MO にある。 補題の証明は直ちに従うので省略する。

補題

\((S, \delta)\) を状況 02QL のとおりとし、 \(X\) を \(S\) 上局所有限型なスキームとする。写像 \[Z_k(X) \longrightarrow K_0(\textit{Coh}_{\leq k}(X)/\textit{Coh}_{\leq k - 1}(X)), \quad \sum n_Z[Z] \mapsto \left[\bigoplus\nolimits_{n_Z > 0} \mathcal{O}_Z^{\oplus n_Z}\right] - \left[\bigoplus\nolimits_{n_Z < 0} \mathcal{O}_Z^{\oplus -n_Z}\right]\] と \[K_0(\textit{Coh}_{\leq k}(X)/\textit{Coh}_{\leq k - 1}(X)) \longrightarrow Z_k(X),\quad \mathcal{F} \longmapsto [\mathcal{F}]_k\] は互いに逆な同型である。

証明

\(\sum n_Z[Z]\) が \(Z_k(X)\) に属するならば、族 \(\{Z \mid n_Z > 0\}\) は \(X\) 上局所有限なので、直和 \(\bigoplus\nolimits_{n_Z > 0} \mathcal{O}_Z^{\oplus n_Z}\) と \(\bigoplus\nolimits_{n_Z < 0} \mathcal{O}_Z^{\oplus -n_Z}\) は \(X\) 上の連接層である。 写像 \(\mathcal{F} \to [\mathcal{F}]_k\) は \(\textit{Coh}_{\leq k}(X)\) 上加法的である。 補題 02QZ を参照せよ。また、 \(\mathcal{F} \in \textit{Coh}_{\leq k - 1}(X)\) ならば \([\mathcal{F}]_k = 0\) である。 『ホモロジー代数』の補題 02MX の (1) により、 第二の写像もよく定義される。第一の写像と第二の写像の合成が恒等写像であることは明らかである。

逆に、\(X\) 上の連接層 \(\mathcal{F}\) から始める。\(n_i > 0\) とし、 \(Z_i \subset X\), \(i \in I\) を相異なる \(\delta\)-次元 \(k\) の整閉部分スキームとして、 \([\mathcal{F}]_k = \sum_{i \in I} n_i[Z_i]\) と書く。示すべきことは \[[\mathcal{F}] = [\bigoplus\nolimits_{i \in I} \mathcal{O}_{Z_i}^{\oplus n_i}]\] が \(K_0(\textit{Coh}_{\leq k}(X)/\textit{Coh}_{\leq k - 1}(X))\) において成り立つことである。 \(\xi_i \in Z_i\) を生成点と表す。 \[\mathcal{F}' = \Ker(\mathcal{F} \to \bigoplus \xi_{i, *}\mathcal{F}_{\xi_i})\] とおくと、\(\mathcal{F}'\) は、台の次元が \(\leq k - 1\) であるような \(\mathcal{F}\) の最大の連接部分加群である。特に \(\mathcal{F}\) と \(\mathcal{F}/\mathcal{F}'\) は \(K_0(\textit{Coh}_{\leq k}(X)/\textit{Coh}_{\leq k - 1}(X))\) において同じ類をもつ。 したがって \(\mathcal{F}\) を \(\mathcal{F}/\mathcal{F}'\) で置き換え、上に表示した核 \(\mathcal{F}'\) が零であると仮定してよいし、そう仮定する。

各 \(i \in I\) に対し、点 \(\xi_i\) の剰余体上で各逐次商の次元が \(1\) となるフィルトレーション \[\mathcal{F}_{\xi_i} = \mathcal{F}_i^0 \supset \mathcal{F}_i^1 \supset \ldots \supset \mathcal{F}_i^{n_i} = 0\] を選ぶ。\(\mathcal{O}_{X, \xi_i}\) 上の \(\mathcal{F}_{\xi_i}\) の長さは \(n_i\) なので、 これは可能である。\(p > n_i\) に対して \(\mathcal{F}_i^p = 0\) とおく。 \(p \geq 0\) に対して \[\mathcal{F}^p = \Ker\left(\mathcal{F} \longrightarrow \bigoplus \xi_{i, *}(\mathcal{F}_{\xi_i}/\mathcal{F}_i^p)\right)\] と表す。このとき \(\mathcal{F}^p\) は連接で、\(\mathcal{F}^0 = \mathcal{F}\) であり、 \(\mathcal{F}^p/\mathcal{F}^{p + 1}\) は \(\xi_i\) のある開近傍上、 \(n_i > p\) の場合には階数 \(1\) の自由 \(\mathcal{O}_{Z_i}\)-加群に、 \(n_i \leq p\) の場合には \(0\) に同型である。さらに \(\mathcal{F}' = \bigcap \mathcal{F}^p = 0\) である。任意の準コンパクト開集合 \(U \subset X\) は有限個の \(\xi_i\) しか含まないので、\(p \gg 0\) ならば \(\mathcal{F}^p|_U\) は零である。ゆえに \(\bigoplus_{p \geq 0} \mathcal{F}^p\) は 連接 \(\mathcal{O}_X\)-加群である。連接 \(\mathcal{O}_X\)-加群の短完全列 \[0 \to \bigoplus\nolimits_{p > 0} \mathcal{F}^p \to \bigoplus\nolimits_{p \geq 0} \mathcal{F}^p \to \bigoplus\nolimits_{p > 0} \mathcal{F}^p/\mathcal{F}^{p + 1} \to 0\] および \[0 \to \bigoplus\nolimits_{p > 0} \mathcal{F}^p \to \bigoplus\nolimits_{p \geq 0} \mathcal{F}^p \to \mathcal{F} \to 0\] を考える。これだけで \[[\mathcal{F}] = [\bigoplus \mathcal{F}^p/\mathcal{F}^{p + 1}]\] が \(K_0(\textit{Coh}_{\leq k}(X)/\textit{Coh}_{\leq k - 1}(X))\) において成り立つ。 次に、\(p \geq 0\), \(i \in I\), \(n_i > p\) を満たす各組に対して、 零でないイデアル層 \(\mathcal{I}_{i, p} \subset \mathcal{O}_{Z_i}\) と、 上で述べた \(\xi_i\) の開近傍上で同型となる \(X\) 上の写像 \(\mathcal{I}_{i, p} \to \mathcal{F}^p/\mathcal{F}^{p + 1}\) を選ぶ。 『スキームのコホモロジー』の補題 0FD0 により、これは可能である。 そこで短完全列 \[0 \to \bigoplus\nolimits_{p \geq 0, i \in I, n_i > p} \mathcal{I}_{i, p} \to \bigoplus \mathcal{F}^p/\mathcal{F}^{p + 1} \to \mathcal{Q} \to 0\] と短完全列 \[0 \to \bigoplus\nolimits_{p \geq 0, i \in I, n_i > p} \mathcal{I}_{i, p} \to \bigoplus\nolimits_{p \geq 0, i \in I, n_i > p} \mathcal{O}_{Z_i} \to \mathcal{Q}' \to 0\] を考える。\(\mathcal{Q}\) と \(\mathcal{Q}'\) はともに点 \(\xi_i\) の近傍で零であり、 \(\bigcup Z_i\) 上に台をもつ。したがって \(\mathcal{Q}\) と \(\mathcal{Q}'\) は \(\textit{Coh}_{\leq k - 1}(X)\) に属する。 \[\bigoplus\nolimits_{i \in I} \mathcal{O}_{Z_i}^{\oplus n_i} \cong \bigoplus\nolimits_{p \geq 0, i \in I, n_i > p} \mathcal{O}_{Z_i}\] なので証明は完了する。

補題

\(\pi : X \to Y\) を、状況 02QL のとおりの \((S, \delta)\) 上 局所有限型なスキームの有限射とする。このとき \(\pi_* : \textit{Coh}(X) \to \textit{Coh}(Y)\) は完全関手であり、 \(\textit{Coh}_{\leq k}(X)\) を \(\textit{Coh}_{\leq k}(Y)\) に送り、 これらの圏とその商の \(K_0\) 上に準同型を誘導する。補題 02S9 の写像は可換図式 \[\xymatrix{ Z_k(X) \ar[d]^{\pi_*} \ar[r] & K_0(\textit{Coh}_{\leq k}(X)/\textit{Coh}_{\leq k - 1}(X)) \ar[d]^{\pi_*} \ar[r] & Z_k(X) \ar[d]^{\pi_*} \\ Z_k(Y) \ar[r] & K_0(\textit{Coh}_{\leq k}(Y)/\textit{Coh}_{\leq k - 1}(Y)) \ar[r] & Z_k(Y) }\] をなす。

証明

有限射はアフィンなので、\(\pi\) に沿う準連接加群の押し出しは完全関手である。 『スキームのコホモロジー』の補題 01XC を参照せよ。 有限射は固有なので、\(\pi_*\) は連接層を連接層に送る。『スキームのコホモロジー』の命題 02O5 を参照せよ。 台の次元に関する主張は明らかである。右側の可換性は補題 02R6 から直ちに従う。横向きの矢印は全単射なので、 左側も可換である。

補題

\(X\) を、状況 02QL のとおりの \((S, \delta)\) 上 局所有限型なスキームとする。補題 02S9 の写像 \(Z_k(X) \to K_0(\textit{Coh}_{\leq k}(X)/\textit{Coh}_{\leq k - 1}(X))\) が誘導する標準写像 \[\CH_k(X) \longrightarrow K_0(\textit{Coh}_{\leq k + 1}(X)/\textit{Coh}_{\leq k - 1}(X))\] が存在する。

証明

零に有理同値な \(Z_k(X)\) の元 \(\alpha\) が \(K_0(\textit{Coh}_{\leq k + 1}(X)/\textit{Coh}_{\leq k - 1}(X))\) において 零に写ることを示せばよい。定義 02RW のとおり \(\alpha = \sum (i_j)_*\text{div}(f_j)\) と書く。 \[\pi = \coprod i_j : W = \coprod W_j \longrightarrow X\] は有限射であることに注意する。実際、各 \(i_j : W_j \to X\) は閉埋め込みであり、 \(W_j\) の族は \(X\) 上局所有限である。したがって補題 0FDR を用いて \(W\) の場合に帰着できる。 \(W\) は整スキームの非交和なので、次の段落で扱う場合に帰着する。

\(X\) は \(\delta\)-次元 \(k + 1\) の整スキームであると仮定する。 \(f\) を \(X\) 上の零でない有理関数とし、\(\alpha = \text{div}(f)\) とおく。 \(\alpha\) が \(K_0(\textit{Coh}_{\leq k + 1}(X)/\textit{Coh}_{\leq k - 1}(X))\) において 零に写ることを示す。\(\mathcal{I} \subset \mathcal{O}_X\) を \(f\) の分母イデアルとする。 『因子』の定義 02P1 を参照せよ。 このとき短完全列 \[0 \to \mathcal{I} \to \mathcal{O}_X \to \mathcal{O}_X/\mathcal{I} \to 0\] と \[0 \to \mathcal{I} \xrightarrow{f} \mathcal{O}_X \to \mathcal{O}_X/f\mathcal{I} \to 0\] がある。『因子』の補題 02P0 を参照せよ。等式 \[[\mathcal{O}_X/\mathcal{I}]_k - [\mathcal{O}_X/f\mathcal{I}]_k = \text{div}(f)\] を主張する。この主張により、元 \(\alpha = \text{div}(f)\) は \(K_0(\textit{Coh}_{\leq k}(X)/\textit{Coh}_{\leq k - 1}(X))\) において \([\mathcal{O}_X/\mathcal{I}] - [\mathcal{O}_X/f\mathcal{I}]\) で表される。 すると上の短完全列から、この元は \(K_0(\textit{Coh}_{\leq k + 1}(X)/\textit{Coh}_{\leq k - 1}(X))\) において零に写る。

主張を示すため、\(Z \subset X\) を \(\delta\)-次元 \(k\) の整閉部分スキームとし、 \(\xi \in Z\) をその生成点とする。このとき \(I = \mathcal{I}_\xi \subset A = \mathcal{O}_{X, \xi}\) は \(fI \subset A\) を満たす イデアルである。\(\text{div}(f)\) における \([Z]\) の係数は \(\text{ord}_A(f)\) である。 （通常どおり、\(X\) の関数体を \(A\) の分数体と同一視する。）一方、 \([\mathcal{O}_X/\mathcal{I}] - [\mathcal{O}_X/f\mathcal{I}]\) における \([Z]\) の係数は \[\text{length}_A(A/I) - \text{length}_A(A/fI)\] である。『可換代数』の定義 02MG の距離関数を用いると、 これは \[d(A, I) - d(A, fI) = d(I, fI) = \text{ord}_A(f)\] と書き換えられる。等式は『可換代数』の補題 02MH および 02MI から従う。 （これらの補題を用いる必要はないが、便利である。）

注意

\((S, \delta)\) を状況 02QL のとおりとし、 \(X\) を \(S\) 上局所有限型なスキームとする。後で補題 02SC において、補題 0FDS の写像 \[\CH_k(X) \longrightarrow K_0(\textit{Coh}_{k + 1}(X)/\textit{Coh}_{\leq k - 1}(X))\] が単射であることを見る。これを標準写像 \[K_0(\textit{Coh}_{k + 1}(X)/\textit{Coh}_{\leq k - 1}(X)) \longrightarrow K_0(\textit{Coh}(X)/\textit{Coh}_{\leq k - 1}(X))\] と合成すると、標準写像 \[\CH_k(X) \longrightarrow K_0(\textit{Coh}(X)/\textit{Coh}_{\leq k - 1}(X)).\] を得る。この写像が単射であるべきか否かについて、文献中に主張または予想を 見いだすことはできなかった。この写像の核は捩れ群であると期待するのが妥当と思われる。 この問題には後で戻る（将来の参照を挿入する）。

補題

\(X\) を局所 Noether スキームとし、\(Z \subset X\) を閉部分スキームとする。 \(\textit{Coh}_Z(X) \subset \textit{Coh}(X)\) を、集合論的な台が \(Z\) に含まれる 連接 \(\mathcal{O}_X\)-加群からなる Serre 部分圏と表す。このとき完全な包含関手 \(\textit{Coh}(Z) \to \textit{Coh}_Z(X)\) は同型 \[K'_0(Z) = K_0(\textit{Coh}(Z)) \longrightarrow K_0(\textit{Coh}_Z(X))\] を誘導する。

証明

\(\mathcal{F}\) を \(\textit{Coh}_Z(X)\) の対象とし、 \(\mathcal{I} \subset \mathcal{O}_X\) を \(Z\) の準連接イデアル層とする。降下フィルトレーション \[\ldots \subset \mathcal{F}^p = \mathcal{I}^p \mathcal{F} \subset \mathcal{F}^{p - 1} \subset \ldots \subset \mathcal{F}^0 = \mathcal{F}\] を考える。補題 0FDS の証明とまったく同様に、このフィルトレーションは 局所有限であり、したがって \(\bigoplus_{p \geq 0} \mathcal{F}^p\), \(\bigoplus_{p \geq 1} \mathcal{F}^p\), および \(\bigoplus_{p \geq 0} \mathcal{F}^p/\mathcal{F}^{p + 1}\) は \(Z\) 上に台をもつ連接 \(\mathcal{O}_X\)-加群である。ゆえに補題 0FDS の証明とまったく同様に、\(K_0(\textit{Coh}_Z(X))\) において \[[\mathcal{F}] = [\bigoplus\nolimits_{p \geq 0} \mathcal{F}^p/\mathcal{F}^{p + 1}]\] を得る。連接加群 \(\bigoplus_{p \geq 0} \mathcal{F}^p/\mathcal{F}^{p + 1}\) は \(\mathcal{I}\) で零化されるので、\([\mathcal{F}]\) は像に属する。 実際、写像 \[\mathcal{F} \longmapsto c(\mathcal{F}) = [\bigoplus\nolimits_{p \geq 0} \mathcal{F}^p/\mathcal{F}^{p + 1}]\] は \(K_0(\textit{Coh}_Z(X))\) を経由し、補題の主張にある写像の逆写像になると主張する。 このためには、\(\textit{Coh}_Z(X)\) における短完全列 \[0 \to \mathcal{F} \to \mathcal{G} \to \mathcal{H} \to 0\] に対して \(c(\mathcal{G}) = c(\mathcal{F}) + c(\mathcal{H})\) を得ることを示せばよい。 任意の \(q \geq 0\) に対して短完全列 \[0 \to (\mathcal{F} \cap \mathcal{I}^q\mathcal{G})/ (\mathcal{F} \cap \mathcal{I}^{q + 1}\mathcal{G}) \to \mathcal{G}^q/\mathcal{G}^{q + 1} \to \mathcal{H}^q/\mathcal{H}^{q + 1} \to 0\] があることに注意する。\(p, q \geq 0\) に対して連接部分加群 \[\mathcal{F}^{p, q} = \mathcal{I}^p\mathcal{F} \cap \mathcal{I}^q\mathcal{G}\] を考える。上とまったく同様に論じ、フィルトレーション \(\mathcal{F}^p = \mathcal{I}^p\mathcal{F}\) と \(\mathcal{F} \cap \mathcal{I}^q\mathcal{G}\) が局所有限であることを用いると、 \(K_0(\textit{Coh}(Z))\) において \[[\bigoplus\nolimits_{p \geq 0} \mathcal{F}^p/\mathcal{F}^{p + 1}] = [\bigoplus\nolimits_{p, q \geq 0} \mathcal{F}^{p, q}/(\mathcal{F}^{p + 1, q} + \mathcal{F}^{p, q + 1})] = [\bigoplus\nolimits_{q \geq 0} (\mathcal{F} \cap \mathcal{I}^q\mathcal{G})/ (\mathcal{F} \cap \mathcal{I}^{q + 1}\mathcal{G})]\] を得る。これを上の完全列と組み合わせれば所望の結果が従う。細部は省略する。

可逆層に付随する因子

次の定義は、現在の設定における『因子』の定義 0BE6 の類似である。

定義

\((S, \delta)\) を状況 02QL のとおりとする。 \(X\) を \(S\) 上局所有限型とし、\(X\) は整で \(n = \dim_\delta(X)\) と仮定する。 \(\mathcal{L}\) を可逆 \(\mathcal{O}_X\)-加群とする。

1. \(\mathcal{L}\) の任意の零でない有理型切断 \(s\) に対して、 \(s\) に付随する Weil 因子を、『因子』の定義 0BE6 で定義された \((n - 1)\)-サイクル \[\text{div}_\mathcal{L}(s) = \sum \text{ord}_{Z, \mathcal{L}}(s) [Z]\] と定義する。補題 02RK により Weil 因子の \(\delta\)-次元は \(n - 1\) なので、これは意味をもつ。

2. \(\mathcal{L}\) に付随する Weil 因子を \[c_1(\mathcal{L}) \cap [X] = \text{class of }\text{div}_\mathcal{L}(s) \in \CH_{n - 1}(X)\] と定義する。ここで \(s\) は \(X\) 上の \(\mathcal{L}\) の任意の零でない有理型切断である。 『因子』の補題 02SH により、 これはよく定義される。

\(X\) と \(S\) を上の定義 02SJ のとおりとし、 \(n = \dim_\delta(X)\) とおく。定義から、\(Cl(X)\) を『因子』の定義 0BE4 で定義される \(X\) の Weil 因子類群とすると、 \(Cl(X) = \CH_{n - 1}(X)\) であることは明らかである。写像 \[\Pic(X) \longrightarrow \CH_{n - 1}(X), \quad \mathcal{L} \longmapsto c_1(\mathcal{L}) \cap [X]\] は、任意の局所 Noether 整スキームについて Divisors, Equation (0BE7) で構成された写像 \(\Pic(X) \to Cl(X)\) と同じである。 特に、この写像はアーベル群の準同型であり、\(X\) が正規スキームならば単射、 \(X\) のすべての局所環が UFD ならば同型である。『因子』の補題 0BE8 および 0BE9 を参照せよ。 可逆層に付随する Weil 因子を容易に計算できる場合がいくつかある。

補題

\((S, \delta)\) を状況 02QL のとおりとする。 \(X\) を \(S\) 上局所有限型とし、\(X\) は整で \(n = \dim_\delta(X)\) と仮定する。 \(\mathcal{L}\) を可逆 \(\mathcal{O}_X\)-加群とし、 \(s \in \Gamma(X, \mathcal{L})\) を零でない大域切断とする。このとき \[\text{div}_\mathcal{L}(s) = [Z(s)]_{n - 1}\] が \(Z_{n - 1}(X)\) において成り立ち、 \[c_1(\mathcal{L}) \cap [X] = [Z(s)]_{n - 1}\] が \(\CH_{n - 1}(X)\) において成り立つ。

証明

\(Z \subset X\) を \(\delta\)-次元 \(n - 1\) の整閉部分スキームとし、 \(\xi \in Z\) をその生成点とする。生成元 \(s_\xi \in \mathcal{L}_\xi\) を選び、 ある \(f \in \mathcal{O}_{X, \xi}\) に対して \(s = fs_\xi\) と書く。 \(Z(s)\) の定義（『因子』の定義 02OQ）により、\(Z(s)\) は \(\mathcal{I}_\xi = (f)\) を満たす準連接イデアル層 \(\mathcal{I} \subset \mathcal{O}_X\) で切り出される。したがって所望のとおり \(\text{length}_{\mathcal{O}_{X, \xi}}(\mathcal{O}_{Z(s), \xi}) = \text{length}_{\mathcal{O}_{X, \xi}}(\mathcal{O}_{X, \xi}/(f)) = \text{ord}_{\mathcal{O}_{X, \xi}}(f)\) である。

次の補題は、より一般的な補題 02SS によって後に置き換えられる。

補題

\((S, \delta)\) を状況 02QL のとおりとする。 \(X\), \(Y\) を \(S\) 上局所有限型とし、\(X\), \(Y\) は整で \(n = \dim_\delta(Y)\) と仮定する。\(\mathcal{L}\) を可逆 \(\mathcal{O}_Y\)-加群とし、 \(f : X \to Y\) を相対次元 \(r\) の平坦射とする。このとき \[f^*(c_1(\mathcal{L}) \cap [Y]) = c_1(f^*\mathcal{L}) \cap [X]\] が \(\CH_{n + r - 1}(X)\) において成り立つ。

証明

\(s\) を \(\mathcal{L}\) の零でない有理型切断とする。実際に \(f^*\text{div}_\mathcal{L}(s) = \text{div}_{f^*\mathcal{L}}(f^*s)\) であることを示す。これから補題が従う。点 \(\xi \in Y\) を取り、 生成元 \(s_\xi \in \mathcal{L}_\xi\) を選ぶ。\(g \in R(Y)^*\) に対して \(s = gs_\xi\) と書く。このとき \(\xi\) の開近傍 \(V \subset Y\) で、 \(s_\xi \in \mathcal{L}(V)\) かつ \(s_\xi\) が \(\mathcal{L}|_V\) を生成するものが存在する。 したがって \[\text{div}_\mathcal{L}(s)|_V = \text{div}_Y(g)|_V.\] まったく同様に、\(f^*s_\xi\) は \(f^{-1}(V)\) 上で \(f^*\mathcal{L}\) を生成し、 \(f^*s = g f^*s_\xi\) なので、 \[\text{div}_\mathcal{L}(f^*s)|_{f^{-1}(V)} = \text{div}_X(g)|_{f^{-1}(V)}.\] も成り立つ。ゆえに \(f^{-1}(V)\) 上で所望のサイクルの等式は、主因子の引き戻しに 関する対応する結果、すなわち補題 02RR から従う。

可逆層とのキャップ積

この節では次の構成を調べる。

定義

\((S, \delta)\) を状況 02QL のとおりとする。 \(X\) を \(S\) 上局所有限型とし、\(\mathcal{L}\) を可逆 \(\mathcal{O}_X\)-加群とする。 各整数 \(k\) に対し、\(\mathcal{L}\) の第一 Chern 類とのキャップ積と呼ばれる作用 \[c_1(\mathcal{L}) \cap - : Z_{k + 1}(X) \to \CH_k(X)\] を次のように定義する。

1. \(\dim_\delta(W) = k + 1\) を満たす整閉部分スキーム \(i : W \to X\) が与えられたとき、 \[c_1(\mathcal{L}) \cap [W] = i_*(c_1({i^*\mathcal{L}}) \cap [W])\] と定義する。右辺は定義 02SJ で定義されている。

2. 一般の \((k + 1)\)-サイクル \(\alpha = \sum n_i [W_i]\) に対して \[c_1(\mathcal{L}) \cap \alpha = \sum n_i c_1(\mathcal{L}) \cap [W_i]\] とおく。

各 \(c_1(\mathcal{L}) \cap W_i = \sum_j n_{i, j} [Z_{i, j}]\) を、 \(\{Z_{i, j}\}_j\) が \(W_i\) の整閉部分スキームの局所有限和となるように書く。 \(\{W_i\}\) は \(X\) 上の整閉部分スキームの局所有限族なので、 \(\{Z_{i, j}\}_{i, j}\) が \(X\) の閉部分スキームの局所有限族であることは容易に従う。 したがって \(c_1(\mathcal{L}) \cap \alpha = \sum n_in_{i, j}[Z_{i, j}]\) はサイクルである。 別の、より便利な見方は、射 \(\coprod W_i \to X\) が固有であることに注意することである。 ゆえに \(c_1(\mathcal{L}) \cap \alpha\) は \(\CH_k(\coprod W_i) = \prod \CH_k(W_i)\) の類の押し出しとみなせる。 これは、結果が \(X\) 上の有理同値を除いてよく定義される理由も説明する。

次の数節の主目標は、\(c_1(\mathcal{L})\) とのキャップ積が有理同値を経由することを 示すことである。これは自明ではない。

補題

\((S, \delta)\) を状況 02QL のとおりとする。 \(X\) を \(S\) 上局所有限型とし、\(\mathcal{L}\), \(\mathcal{N}\) を \(X\) 上の可逆層とする。 このとき、任意の \(\alpha \in Z_{k + 1}(X)\) に対し \[c_1(\mathcal{L}) \cap \alpha + c_1(\mathcal{N}) \cap \alpha = c_1(\mathcal{L} \otimes_{\mathcal{O}_X} \mathcal{N}) \cap \alpha\] が \(\CH_k(X)\) において成り立つ。さらに、すべての \(\alpha\) に対して \(c_1(\mathcal{O}_X) \cap \alpha = 0\) である。

証明

加法性は『因子』の補題 02SL と定義から直ちに従う。 \(c_1(\mathcal{O}_X) \cap \alpha = 0\) を見るには、切断 \(1 \in \Gamma(X, \mathcal{O}_X)\) を考える。これは任意の整閉部分スキーム \(W \subset X\) 上で至る所零でない切断に制限される。したがって所望のとおり \(c_1(\mathcal{O}_X) \cap [W] = 0\) である。

\(Z(s) \subset X\) は、スキーム \(X\) 上の可逆層の大域切断 \(s\) の零スキームを表すことを 思い出そう。『因子』の定義 02OQ を参照せよ。

補題

\((S, \delta)\) を状況 02QL のとおりとする。 \(Y\) を \(S\) 上局所有限型とし、\(\mathcal{L}\) を可逆 \(\mathcal{O}_Y\)-加群、 \(s \in \Gamma(Y, \mathcal{L})\) とする。次を仮定する。

1. \(\dim_\delta(Y) \leq k + 1\) である。

2. \(\dim_\delta(Z(s)) \leq k\) である。

3. \(Z(s)\) の \(\delta\)-次元 \(k\) の既約成分の任意の生成点 \(\xi\) において、 \(s\) による乗法が単射 \(\mathcal{O}_{Y, \xi} \to \mathcal{L}_\xi\) を誘導する。

\(Y_i \subset Y\) を \(Y\) の \(\delta\)-次元 \(k + 1\) の既約成分として \([Y]_{k + 1} = \sum n_i[Y_i]\) と書く。 \(s_i = s|_{Y_i} \in \Gamma(Y_i, \mathcal{L}|_{Y_i})\) とおく。このとき [02SR]\[\begin{equation} [Z(s)]_k = \sum n_i[Z(s_i)]_k \end{equation}\] が \(Y\) 上の \(k\)-サイクルとして成り立つ。

証明

\(Z \subset Y\) を \(\delta\)-次元 \(k\) の整閉部分スキームとし、 \(\xi \in Z\) をその生成点とする。式 \(\sum n_i[Z(s_i)]_k\) における \([Z]\) の係数 \(n\) と、式 \([Z(s)]_k\) における \([Z]\) の係数 \(m\) を比較する。 生成元 \(s_\xi \in \mathcal{L}_\xi\) を選び、 \(A = \mathcal{O}_{Y, \xi}\), \(L = \mathcal{L}_\xi\) と書く。このとき \(L = As_\xi\) である。 一意な \(f \in A\) に対して \(s = f s_\xi\) と書く。仮定 (3) は \(f : A \to A\) が単射であることを意味する。 \(\dim_\delta(Y) \leq k + 1\) かつ \(\dim_\delta(Z) = k\) なので、 \(\dim(A) = 0\) または \(1\) である。さらに \[m = \text{length}_A(A/(f))\] であり、これはいずれの場合にも有限である。

\(\dim(A) = 0\) の場合、\(f : A \to A\) が単射であることから \(f \in A^*\) が従う。ゆえにこの場合 \(m\) は零である。また条件 \(\dim(A) = 0\) は、\(\xi\) が \(\delta\)-次元 \(k + 1\) のいかなる既約成分にも 属さないことを意味する。すなわち \(n = 0\) でもある。

次に \(\dim(A) = 1\) とする。\(A\) は Noether 局所環なので、有限個の極小素イデアル \(\mathfrak q_1, \ldots, \mathfrak q_t\) をもつ。これらは \(\xi'\) を通る \(Y_i\) と 一対一に対応する。さらに \(n_i = \text{length}_{A_{\mathfrak q_i}}(A_{\mathfrak q_i})\) である。 また \([Z(s_i)]_k\) における \([Z]\) の重複度は \(\text{length}_A(A/(f, \mathfrak q_i))\) である。したがって、この場合に示すべき等式は \[\text{length}_A(A/(f)) = \sum \text{length}_{A_{\mathfrak q_i}}(A_{\mathfrak q_i}) \text{length}_A(A/(f, \mathfrak q_i))\] であり、これは補題 02QG から従う。

次の補題は、可逆層の \(c_1\) と閉部分スキームに付随するサイクルとのキャップ積を 計算するために有用な結果である。\(Z(s) \subset X\) は、スキーム \(X\) 上の可逆層の 大域切断 \(s\) の零スキームを表すことを思い出そう。『因子』の定義 02OQ を参照せよ。

補題

\((S, \delta)\) を状況 02QL のとおりとする。 \(X\) を \(S\) 上局所有限型とし、\(\mathcal{L}\) を可逆 \(\mathcal{O}_X\)-加群とする。 \(Y \subset X\) を閉部分スキームとし、\(s \in \Gamma(Y, \mathcal{L}|_Y)\) とする。 次を仮定する。

1. \(\dim_\delta(Y) \leq k + 1\) である。

2. \(\dim_\delta(Z(s)) \leq k\) である。

3. \(Z(s)\) の \(\delta\)-次元 \(k\) の既約成分の任意の生成点 \(\xi\) において、 \(s\) による乗法が単射 \(\mathcal{O}_{Y, \xi} \to (\mathcal{L}|_Y)_\xi\)¹を誘導する。

このとき \[c_1(\mathcal{L}) \cap [Y]_{k + 1} = [Z(s)]_k\] が \(\CH_k(X)\) において成り立つ。

証明

\(Y_i \subset Y\) を \(Y\) の \(\delta\)-次元 \(k + 1\) の既約成分とし、\(n_i > 0\) として \[[Y]_{k + 1} = \sum n_i[Y_i]\] と書く。仮定により、制限 \(s_i = s|_{Y_i} \in \Gamma(Y_i, \mathcal{L}|_{Y_i})\) は零でなく、 したがって正則切断である。補題 02SK により \([Z(s_i)]_k\) は \(c_1(\mathcal{L}|_{Y_i})\) を表す。ゆえに定義により \[c_1(\mathcal{L}) \cap [Y]_{k + 1} = \sum n_i[Z(s_i)]_k\] である。したがって結果は補題 0EPI から従う。

可逆層とのキャップ積と押し出し・引き戻し

この節では、作用 \(c_1(\mathcal{L}) \cap -\) が平坦引き戻しおよび固有押し出しと 可換であることを証明する。

補題

\((S, \delta)\) を状況 02QL のとおりとする。 \(X\), \(Y\) を \(S\) 上局所有限型とし、\(f : X \to Y\) を相対次元 \(r\) の平坦射とする。 \(\mathcal{L}\) を \(Y\) 上の可逆層とする。\(Y\) は整で \(n = \dim_\delta(Y)\) と仮定し、\(s\) を \(\mathcal{L}\) の零でない有理型切断とする。 このとき \[f^*\text{div}_\mathcal{L}(s) = \sum n_i\text{div}_{f^*\mathcal{L}|_{X_i}}(s_i)\] が \(Z_{n + r - 1}(X)\) において成り立つ。ここで和は \(\delta\)-次元 \(n + r\) の既約成分 \(X_i \subset X\) にわたり、切断 \(s_i = f|_{X_i}^*(s)\) は \(s\) の引き戻しであり、 \(n_i = m_{X_i, X}\) は \(X\) における \(X_i\) の重複度である。

証明

このサイクルの等式を示すには、\(Y\) 上局所的に考えてよい。 したがって \(Y\) はアフィンで、零でない切断 \(p \in \Gamma(Y, \mathcal{L})\) と \(q \in \Gamma(Y, \mathcal{O})\) に対して \(s = p/q\) と仮定してよい。明らかな記法の下で \[f^*\text{div}_\mathcal{L}(p) = \sum n_i\text{div}_{f^*\mathcal{L}|_{X_i}}(p_i) \quad\text{and}\quad f^*\text{div}_\mathcal{O}(q) = \sum n_i\text{div}_{\mathcal{O}_{X_i}}(q_i)\] をともに示せれば、『因子』の補題 02SL の加法性から 結論を得る。ゆえに \(s \in \Gamma(Y, \mathcal{L})\) と仮定してよい。 この場合、等式 (02SR) を適用して \[[Z(f^*(s))]_{k + r - 1} = \sum n_i\text{div}_{f^*\mathcal{L}|_{X_i}}(s_i)\] を得る。ここで \(f^*(s) \in f^*\mathcal{L}\) は \(s\) の \(X\) への引き戻しを表す。 一方、補題 02SK and 02RE により \[f^*\text{div}_\mathcal{L}(s) = f^*[Z(s)]_{k - 1} = [f^{-1}(Z(s))]_{k + r - 1},\] である。\(Z(f^*(s)) = f^{-1}(Z(s))\) なので結論を得る。

補題

\((S, \delta)\) を状況 02QL のとおりとする。 \(X\), \(Y\) を \(S\) 上局所有限型とし、\(f : X \to Y\) を相対次元 \(r\) の平坦射とする。 \(\mathcal{L}\) を \(Y\) 上の可逆層とし、\(\alpha\) を \(Y\) 上の \(k\)-サイクルとする。 このとき \[f^*(c_1(\mathcal{L}) \cap \alpha) = c_1(f^*\mathcal{L}) \cap f^*\alpha\] が \(\CH_{k + r - 1}(X)\) において成り立つ。

証明

\(\alpha = \sum n_i[W_i]\) と書く。\(X\) の閉部分スキーム \(f^{-1}(W_i)\) 上に 有理同値を構成することにより \[f^*(c_1(\mathcal{L}) \cap [W_i]) = c_1(f^*\mathcal{L}) \cap f^*[W_i]\] が \(\CH_{k + r - 1}(X)\) において成り立つことを示す。 注意 02RZ の議論により、 これで補題の等式が証明される。

\(W \subset Y\) を \(\delta\)-次元 \(k\) の整閉部分スキームとする。 閉部分スキーム \(W' = f^{-1}(W) = W \times_Y X\) を考えると、ファイバー積図式 \[\xymatrix{ W' \ar[r] \ar[d]_h & X \ar[d]^f \\ W \ar[r] & Y }\] がある。示すべきことは \(f^*(c_1(\mathcal{L}) \cap [W]) = c_1(f^*\mathcal{L}) \cap f^*[W]\) である。 \(\mathcal{L}|_W\) の零でない有理型切断 \(s\) を選ぶ。\(W'_i \subset W'\) を \(\delta\)-次元 \(k + r\) の既約成分とし、定義のとおり \(n_i\) を \(W'\) における \(W'_i\) の重複度として \([W']_{k + r} = \sum n_i[W'_i]\) と書く。 すると \(Z_{k + r}(X)\) において \(f^*[W] = \sum n_i[W'_i]\) である。 各 \(W'_i \to W\) は支配的なので、各 \(i\) に対して \(s_i = s|_{W'_i}\) は零でない有理型切断である。補題 0EPJ によりサイクルの等式 \[h^*\text{div}_{\mathcal{L}|_W}(s) = \sum n_i\text{div}_{f^*\mathcal{L}|_{W'_i}}(s_i)\] が \(Z_{k + r - 1}(W')\) において成り立つ。左辺は \(W'\) 上のサイクルであり、 \(\CH_{k + r - 1}(X)\) において \(f^*(c_1(\mathcal{L}) \cap [W])\) に押し出される。 右辺も \(W'\) 上のサイクルであり、\(\CH_{k + r - 1}(X)\) において \(c_1(f^*\mathcal{L}) \cap f^*[W]\) に押し出される。これで証明は完了する。

補題

\((S, \delta)\) を状況 02QL のとおりとする。 \(X\), \(Y\) を \(S\) 上局所有限型とし、\(f : X \to Y\) を固有射、 \(\mathcal{L}\) を \(Y\) 上の可逆層とする。\(s\) を \(Y\) 上の \(\mathcal{L}\) の 零でない有理型切断 \(s\) とする。\(X\), \(Y\) は整で、\(f\) は支配的かつ \(\dim_\delta(X) = \dim_\delta(Y)\) と仮定する。このとき \(Y\) 上のサイクルとして \[f_*\left(\text{div}_{f^*\mathcal{L}}(f^*s)\right) = [R(X) : R(Y)]\text{div}_\mathcal{L}(s).\] が成り立つ。特に \[f_*(c_1(f^*\mathcal{L}) \cap [X]) = [R(X) : R(Y)] c_1(\mathcal{L}) \cap [Y] = c_1(\mathcal{L}) \cap f_*[X]\] である。

証明

定義により \(f_*[X] = [R(X) : R(Y)][Y]\) なので、最後の等式は最初の等式から従う。 この証明には補題 02RT を再利用できる。 実際、サイクルの等式を示すので \(Y\) 上局所的に考えてよく、 \(\mathcal{L} = \mathcal{O}_Y\) と仮定してよい。この場合 \(s\) は有理関数 \(g \in R(Y)\) に対応し、示すべきことは単に \[f_*\left(\text{div}_X(g)\right) = [R(X) : R(Y)]\text{div}_Y(g).\] である。上記の補題 02RT の結果と比較すると、 \(g \in R(Y)^*\) であることから \(\text{Nm}_{R(X)/R(Y)}(g) = g^{[R(X) : R(Y)]}\) なので、これは成り立つ。

補題

\((S, \delta)\) を状況 02QL のとおりとする。 \(X\), \(Y\) を \(S\) 上局所有限型とし、\(p : X \to Y\) を固有射とする。 \(\alpha \in Z_{k + 1}(X)\) とし、\(\mathcal{L}\) を \(Y\) 上の可逆層とする。このとき \[p_*(c_1(p^*\mathcal{L}) \cap \alpha) = c_1(\mathcal{L}) \cap p_*\alpha\] が \(\CH_k(Y)\) において成り立つ。

証明

任意の整閉部分スキーム \(W \subset X\) に対して写像 \(p|_W : W \to Y\) が 閉埋め込みとなる性質を \(p\) がもつと仮定する。このとき \(c_1(\mathcal{L})\) との キャップ積の定義により補題は成り立つ。

この注意を用いて特別な場合に帰着する。\(n_i \not = 0\) とし、\(W_i\) は相異なるとして \(\alpha = \sum n_i[W_i]\) と書く。\(W'_i \subset Y\) を \(W_i\) の像とする （整閉部分スキームとして）。図式 \[\xymatrix{ X' = \coprod W_i \ar[r]_-q \ar[d]_{p'} & X \ar[d]^p \\ Y' = \coprod W'_i \ar[r]^-{q'} & Y. }\] を考える。\(\{W_i\}\) は \(X\) 上局所有限で、\(p\) は固有なので、 \(\{W'_i\}\) は \(Y\) 上局所有限であり、\(q, q', p'\) も固有射である。 \(\sum n_i[W_i]\) を \(k\)-サイクル \(\alpha' \in Z_k(X')\) とみなすこともできる。 明らかに \(q_*\alpha' = \alpha\) である。証明冒頭の注意により \(q_*(c_1(q^*p^*\mathcal{L}) \cap \alpha') = c_1(p^*\mathcal{L}) \cap q_*\alpha'\) および \((q')_*(c_1((q')^*\mathcal{L}) \cap p'_*\alpha') = c_1(\mathcal{L}) \cap q'_*p'_*\alpha'\) が成り立つ。したがって射 \(p'\) と サイクル \(\sum n_i[W_i]\) に対して補題を示せば十分である。 明らかに、これは \(X\), \(Y\) が整で、\(f : X \to Y\) が支配的かつ \(\alpha = [X]\) である場合を仮定してよいことを意味する。 この場合、結果は補題 02ST から従う。

鍵となる公式

\((S, \delta)\) を状況 02QL のとおりとする。 \(X\) を \(S\) 上局所有限型とし、\(X\) は整で \(\dim_\delta(X) = n\) と仮定する。 \(\mathcal{L}\) と \(\mathcal{N}\) を \(X\) 上の可逆層とする。 \(s\) を \(\mathcal{L}\) の零でない有理型切断、\(t\) を \(\mathcal{N}\) の 零でない有理型切断とする。\(Z_i \subset X\), \(i \in I\) を次の性質をもつ 余次元 \(1\) の既約閉部分集合の局所有限集合とする。生成点が \(\xi\) である \(Z \not \in \{Z_i\}\) に対して、\(s\) は \(\mathcal{L}_\xi\) の生成元であり、 \(t\) は \(\mathcal{N}_\xi\) の生成元である。このような集合は『因子』の補題 02SG により存在する。このとき \[\text{div}_\mathcal{L}(s) = \sum \text{ord}_{Z_i, \mathcal{L}}(s) [Z_i]\] であり、同様に \[\text{div}_\mathcal{N}(t) = \sum \text{ord}_{Z_i, \mathcal{N}}(t) [Z_i]\] である。さらに定義を展開する。各 \(i\) に対して生成元 \(s_i \in \mathcal{L}_{\xi_i}\) と \(t_i \in \mathcal{N}_{\xi_i}\) を選ぶ。 ここで \(\xi_i\) は \(Z_i\) の生成点である。このとき \[s = f_i s_i \quad\text{and}\quad t = g_i t_i\] と書ける。\(B_i = \mathcal{O}_{X, \xi_i}\) とおく。定義により \[\text{ord}_{Z_i, \mathcal{L}}(s) = \text{ord}_{B_i}(f_i) \quad\text{and}\quad \text{ord}_{Z_i, \mathcal{N}}(t) = \text{ord}_{B_i}(g_i)\] である。\(t_i\) は \(\mathcal{N}_{\xi_i}\) の生成元なので、ファイバー \(\mathcal{N}_{\xi_i} \otimes \kappa(\xi_i)\) におけるその像は \(\mathcal{N}|_{Z_i}\) の零でない有理型切断である。この像を \(t_i|_{Z_i}\) と表す。 定義から \[c_1(\mathcal{N}) \cap \text{div}_\mathcal{L}(s) = \sum \text{ord}_{B_i}(f_i) (Z_i \to X)_*\text{div}_{\mathcal{N}|_{Z_i}}(t_i|_{Z_i})\] であり、同様に \[c_1(\mathcal{L}) \cap \text{div}_\mathcal{N}(t) = \sum \text{ord}_{B_i}(g_i) (Z_i \to X)_*\text{div}_{\mathcal{L}|_{Z_i}}(s_i|_{Z_i})\] が \(\CH_{n - 2}(X)\) において成り立つ。この二つのサイクルの間の有理同値を求める。 そのため、第 0EAH 節の tame 記号 \[\partial_{B_i}(f_i, g_i) \in \kappa(\xi_i)^*\] を考える。

補題

上の状況において、サイクル \[\sum (Z_i \to X)_*\left( \text{ord}_{B_i}(f_i) \text{div}_{\mathcal{N}|_{Z_i}}(t_i|_{Z_i}) - \text{ord}_{B_i}(g_i) \text{div}_{\mathcal{L}|_{Z_i}}(s_i|_{Z_i}) \right)\] はサイクル \[\sum (Z_i \to X)_*\text{div}(\partial_{B_i}(f_i, g_i))\] に等しい。

証明

まず、\(B_i\) の単元 \(u\) によって \(s_i\) を \(us_i\) に置き換えたときに何が起こるかを 調べる。このとき \(f_i\) は \(u^{-1} f_i\) に置き換わる。したがって補題の第一の式の 第一部分は変わらず、第二部分には『因子』の補題 02SH により \[-\text{ord}_{B_i}(g_i)\text{div}(u|_{Z_i})\] を加える。ここで \(u|_{Z_i}\) は剰余体における \(u\) の像である。一方、第二の式には tame 記号の双線型性により \[\text{div}(\partial_{B_i}(u^{-1}, g_i))\] を加える。これらの項は tame 記号の性質 (0EAN) により一致する。

\(Z \subset X\) を \(\dim_\delta(Z) = n - 2\) を満たす既約閉部分集合とする。 補題の二つのサイクルにおける \(Z\) の係数が同じであることを示す際には、前段落のように \(s_i \mapsto us_i\) と置き換えてよい。まったく同様に、\(B_i\) の単元 \(v\) によって \(t_i \mapsto vt_i\) と置き換えてよいことも分かる。

サイクルの等式を示すので、係数ごとに論じてよい。そこで \(\dim_\delta(Z) = n - 2\) を満たす既約閉部分集合 \(Z \subset X\) を選び、係数を比較する。 \(\xi \in Z\) を生成点とし、\(A = \mathcal{O}_{X, \xi}\) とおく。これは次元 \(2\) の Noether 局所整域である。\(\mathcal{L}_\xi\) と \(\mathcal{N}_\xi\) の生成元 \(\sigma\) と \(\tau\) を選ぶ。\(X\) を縮小した後、\(\sigma\) と \(\tau\) が \(X\) 全体上で 可逆層 \(\mathcal{L}\) と \(\mathcal{N}\) の自明化を定めると仮定してよいし、そう仮定する。 \(X\) を縮小した後 \(Z_i\) は局所有限なので、すべての \(i \in I\) に対して \(Z \subset Z_i\) であり、\(I\) は有限であると仮定してよい。このとき \(\xi_i\) は 高さ \(1\) の素イデアル \(\mathfrak q_i \subset A\) に対応する。 \(A_{\mathfrak q_i}\) の単元 \(a_i\), \(b_i\) によって \(s_i = a_i \sigma\) および \(t_i = b_i \tau\) と書ける。 上の注意により、すべての \(i\) に対して \(a_i = b_i = 1\) である場合に補題を示せば十分である。

すべての \(i\) に対して \(a_i = b_i = 1\) と仮定する。\(\sigma\) と \(\tau\) を 自明化切断として選んだので、補題の第一の式は零である。\(A\) の分数体の元 \(f\), \(g\) によって \(s = f\sigma\) および \(t = g \tau\) と書く。前段落により、すべての \(i\) に対して \(f_i = f\) および \(g_i = g\) である場合に帰着している。さらに \(\{\mathfrak q_i\}\) に属さない \(A\) の高さ \(1\) の素イデアル \(\mathfrak q\) に対して、 \(f\) と \(g\) はともに \(A_\mathfrak q\) の単元である。これは補題に先立つ議論での 族 \(\{Z_i\}\) の選び方による。したがって補題の第二の式における \(Z\) の係数は \[\sum\nolimits_i \text{ord}_{A/\mathfrak q_i}(\partial_{B_i}(f, g))\] であり、鍵補題 0EAX により零である。

注意

\((S, \delta)\) を状況 02QL のとおりとする。 \(X\) を \(S\) 上局所有限型とし、\(k \in \mathbf{Z}\) とする。複体 \[\bigoplus\nolimits_{\delta(x) = k + 2}' K_2^M(\kappa(x)) \xrightarrow{\partial} \bigoplus\nolimits_{\delta(x) = k + 1}' K_1^M(\kappa(x)) \xrightarrow{\partial} \bigoplus\nolimits_{\delta(x) = k}' K_0^M(\kappa(x))\] が存在すると主張する。ここでは注意 0GU3 で導入した 記法と規約を用い、さらに次を定める。

1. \(K_2^M(\kappa(x))\) は、点 \(x \in X\) の剰余体 \(\kappa(x)\) の Milnor K-理論の次数 \(2\) の部分である（注意 0EAY を参照）。これは \(\kappa(x)^* \otimes_\mathbf{Z} \kappa(x)^*\) を、 \(\lambda \in \kappa(x) \setminus \{0, 1\}\) に対する \(\lambda \otimes (1 - \lambda)\) の形の元で生成される部分群で割った商である。

2. 第一の微分 \(\partial\) を次のように定義する。第一項の元 \(\xi = \sum_x \alpha_x\) が与えられたとき \[\partial(\xi) = \sum\nolimits_{x \leadsto x',\ \delta(x') = k + 1} \partial_{\mathcal{O}_{W_x, x'}}(\alpha_x)\] とおく。ここで \(\partial_{\mathcal{O}_{W_x, x'}} : K_2^M(\kappa(x)) \to K_1^M(\kappa(x))\) は第 0EAH 節で構成された tame 記号である。

これが複体、すなわち \(\partial \circ \partial = 0\) であると主張する。 これを見るには、上のような元 \(\xi\) と \(\delta(x'') = k\) を満たす点 \(x'' \in X\) を取り、元 \(\partial(\partial(\xi))\) における \(x''\) の係数が 零であることを調べれば十分である。\(\xi = \sum \alpha_x\) は局所有限和なので、 加法性により、ある \(\delta(x) = k + 2\) を満たす \(x \in X\) と \(\alpha_x \in K_2^M(\kappa(x))\) に対して \(\xi = \alpha_x\) と仮定してよい。 さらに線型性により、ある \(f, g \in \kappa(x)^*\) に対して \(\alpha_x = f \otimes g\) と仮定してよい。\(W \subset X\) を生成点 \(x\) をもつ 整閉部分スキームと表す。\(x'' \not \in W\) ならば、 \(\partial(\partial(\xi))\) における \(x\) の係数が零であることは直ちに明らかである。 \(x'' \in W\) ならば、\(\partial(\partial(x))\) における \(x''\) の係数は \[\sum\nolimits_{x \leadsto x' \leadsto x'',\ \delta(x') = k + 1} \text{ord}_{\mathcal{O}_{\overline{\{x'\}}, x''}}( \partial_{\mathcal{O}_{W, x'}}(f, g))\] に等しい。鍵となる代数的補題 0EAX は、 まさにこれが零であると述べている。

注意

\((S, \delta)\) を状況 02QL のとおりとする。 \(X\) を \(S\) 上局所有限型とし、\(k \in \mathbf{Z}\) とする。 注意 0GU9 の複体と注意 0GU3 における \(\CH_k(X)\) の表示は、第一高次 Chow 群を \[\CH^M_k(X, 1) = H_1(\text{the complex of Remark \href{chow.html#chow-remark-higher-chow-pointwise}{0GU9}})\] と定義できることを示唆する。文献で定義されている高次 Chow 群、たとえば Spencer Bloch の論文（[Bloch] and [Bloch-moving]）のものと区別するため、 上付き文字 \({}^M\) を用いる。\(U \subset X\) を開部分集合とし、その補集合 \(Y \subset X\) を被約閉部分スキームとみなす。このとき分裂短完全列 \[0 \to \bigoplus\nolimits_{y \in Y, \delta(y) = k + i}' K_i^M(\kappa(y)) \to \bigoplus\nolimits_{x \in X, \delta(x) = k + i}' K_i^M(\kappa(x)) \to \bigoplus\nolimits_{u \in U, \delta(u) = k + i}' K_i^M(\kappa(u)) \to 0\] を得る。これは \(i = 2, 1, 0\) に対して注意 0GU9 の複体の境界写像と両立する。 蛇の補題（『ホモロジー代数』の補題 0111）を適用すると、 補題 02RX の標準完全列を延長する六項完全列 \[\CH^M_k(Y, 1) \to \CH^M_k(X, 1) \to \CH^M_k(U, 1) \to \CH_k(Y) \to \CH_k(X) \to \CH_k(U) \to 0\] を得る。さらに作業を加えれば、第一高次 Chow 群 \(\CH^M_k(X, 1)\) に対して 平坦引き戻しと固有押し出しも定義できる。この問題には後で戻る （ここに将来の参照を挿入する）。

可逆層とのキャップ積と有理同値

鍵補題を適用して、可逆層とのキャップ積の基本的性質を得る。特に、 \(c_1(\mathcal{L}) \cap -\) が有理同値を経由し、異なる可逆層に対するこれらの作用が 可換であることを見る。

補題

\((S, \delta)\) を状況 02QL のとおりとする。 \(X\) を \(S\) 上局所有限型とし、\(X\) は整で \(\dim_\delta(X) = n\) と仮定する。 \(\mathcal{L}\), \(\mathcal{N}\) を \(X\) 上の可逆層とする。 \(\mathcal{L}\) の零でない有理型切断 \(s\) と \(\mathcal{N}\) の零でない有理型切断 \(t\) を選び、 \(\alpha = \text{div}_\mathcal{L}(s)\) および \(\beta = \text{div}_\mathcal{N}(t)\) とおく。 このとき \[c_1(\mathcal{N}) \cap \alpha = c_1(\mathcal{L}) \cap \beta\] が \(\CH_{n - 2}(X)\) において成り立つ。

証明

鍵補題 0AYC とそれに先立つ議論から直ちに従う。

補題

\((S, \delta)\) を状況 02QL のとおりとする。 \(X\) を \(S\) 上局所有限型とし、\(\mathcal{L}\) を \(X\) 上の可逆層とする。 作用 \(\alpha \mapsto c_1(\mathcal{L}) \cap \alpha\) は有理同値を経由して作用 \[c_1(\mathcal{L}) \cap - : \CH_{k + 1}(X) \to \CH_k(X)\] を与える。

証明

\(\alpha \in Z_{k + 1}(X)\) かつ \(\alpha \sim_{rat} 0\) とする。 定義 02SO で定義された \(c_1(\mathcal{L}) \cap \alpha\) が零であることを 示せばよい。定義 02RW により、 \(\dim_\delta(W_j) = k + 2\) を満たす整閉部分スキームの局所有限族 \(\{W_j\}\) と 有理関数 \(f_j \in R(W_j)^*\) が存在して \[\alpha = \sum (i_j)_*\text{div}_{W_j}(f_j)\] となる。\(p : \coprod W_j \to X\) は固有射であることに注意する。 したがって \(\alpha' \in Z_{k + 1}(\coprod W_j)\) を主因子 \(\text{div}_{W_j}(f_j)\) の和とすると、\(\alpha = p_*\alpha'\) である。 補題 02SU により \(c_1(\mathcal{L}) \cap \alpha = p_*(c_1(p^*\mathcal{L}) \cap \alpha')\) である。 ゆえに各 \(c_1(\mathcal{L}|_{W_j}) \cap \text{div}_{W_j}(f_j)\) が零であることを 示せば十分である。言い換えると、\(X\) は整で、ある \(f \in R(X)^*\) に対して \(\alpha = \text{div}_X(f)\) であると仮定してよい。

\(X\) は整で、ある \(f \in R(X)^*\) に対して \(\alpha = \text{div}_X(f)\) と仮定する。 \(f\) を可逆層 \(\mathcal{N} = \mathcal{O}_X\) の正則有理型切断とみなせる。 \(\mathcal{L}\) の有理型切断 \(s\) を選び、\(\beta = \text{div}_\mathcal{L}(s)\) と表す。 補題 02TH により \[c_1(\mathcal{L}) \cap \alpha = c_1(\mathcal{O}_X) \cap \beta.\] である。しかし補題 02SP により、右辺は所望のとおり \(\CH_k(X)\) において零である。

\((S, \delta)\) を状況 02QL のとおりとする。 \(X\) を \(S\) 上局所有限型とし、\(\mathcal{L}\) を \(X\) 上の可逆層とする。 補題 02TI により意味をもつ作用 \(c_1(\mathcal{L}) \cap -\) を \[c_1(\mathcal{L}) \cap - : \CH_{k + 1}(X) \to \CH_k(X)\] と表す。また任意の \(s \geq 0\) に対し、この作用の \(s\) 回反復を \(c_1(\mathcal{L})^s \cap -\) と表す。

補題

\((S, \delta)\) を状況 02QL のとおりとする。 \(X\) を \(S\) 上局所有限型とし、\(\mathcal{L}\), \(\mathcal{N}\) を \(X\) 上の可逆層とする。 任意の \(\alpha \in \CH_{k + 2}(X)\) に対して \[c_1(\mathcal{L}) \cap c_1(\mathcal{N}) \cap \alpha = c_1(\mathcal{N}) \cap c_1(\mathcal{L}) \cap \alpha\] が \(\CH_k(X)\) の元として成り立つ。

証明

\(\dim_\delta(Z_j) = k + 2\) を満たす整閉部分スキーム \(Z_j \subset X\) の ある局所有限族に対して \(\alpha = \sum m_j[Z_j]\) と書く。 固有射 \(p : \coprod Z_j \to X\) を考える。\(\coprod Z_j\) 上の \((k + 2)\)-サイクルとして \(\alpha' = \sum m_j[Z_j]\) とおく。 補題 02SU を数回適用すると \(c_1(\mathcal{L}) \cap c_1(\mathcal{N}) \cap \alpha = p_*(c_1(p^*\mathcal{L}) \cap c_1(p^*\mathcal{N}) \cap \alpha')\) および \(c_1(\mathcal{N}) \cap c_1(\mathcal{L}) \cap \alpha = p_*(c_1(p^*\mathcal{N}) \cap c_1(p^*\mathcal{L}) \cap \alpha')\) を得る。ゆえに \(X\) が整で \(\alpha = [X]\) の場合に公式を示せば十分である。 この場合、結果は補題 02TH と定義から従う。

Gysin 準同型

本節では、可逆層の切断の零点スキーム \(D\) に対する Gysin 写像を定義する。 \(D\) が有効 Cartier 因子である場合が重要だが、任意の \(D\) へ一般化しておくことで、 注意 0B6Y および補題 02TA, 0B71, 0B73 に見られる 種々の整合性を柔軟に定式化できる。これらの結果は、仮想正規束を備えた局所主閉部分スキーム （注意 0B70）や擬因子 （注意 0B7D）にも一般化できる。

有効 Cartier 因子は、\(\mathcal{L}\) が可逆層で \(s\) が正則な大域切断であるような対 \((\mathcal{L}, s)\) の同型類と \(1\)-to-\(1\) に対応することを思い出そう。 「因子」補題 01X0 を参照されたい。 \(D\) が \((\mathcal{L}, s)\) に対応するならば、\(\mathcal{L} = \mathcal{O}_X(D)\) である。 本節を読む際にはこの点を念頭に置く。

定義

\((S, \delta)\) を状況 02QL のとおりとする。 \(X\) を \(S\) 上局所有限型とする。\((\mathcal{L}, s)\) を、可逆層と大域切断 \(s \in \Gamma(X, \mathcal{L})\) からなる対とする。\(D = Z(s)\) を \(s\) の零点スキームとし、 \(i : D \to X\) を閉埋め込みと表す。各整数 \(k\) に対し、Gysin 準同型 \[i^* : Z_{k + 1}(X) \to \CH_k(D).\] を次の規則によって定義する。

1. \(\dim_\delta(W) = k + 1\) を満たす整閉部分スキーム \(W \subset X\) に対しては、

   1. \(W \not \subset D\) ならば、\(D\) 上の \(k\)-サイクルとして \(i^*[W] = [D \cap W]_k\) と定める。

   2. \(W \subset D\) ならば、誘導される閉埋め込み \(i' : W \to D\) を用いて \(i^*[W] = i'_*(c_1(\mathcal{L}|_W) \cap [W])\) と定める。

2. 一般の \((k + 1)\)-サイクル \(\alpha = \sum n_j[W_j]\) に対しては \[i^*\alpha = \sum n_j i^*[W_j]\] とおく。

3. \(D\) が有効 Cartier 因子ならば、類 \(i^*\alpha\) を \(X\) 上の類へ押し出したものを \(D \cdot \alpha = i_*i^*\alpha\) と表す。

実際、後で見るように、この Gysin 準同型 \(i^*\) は非平坦な引き戻しの一例とみなせる。 したがって、類 \(i^*\alpha\) を類 \(\alpha\) の 引き戻し と非形式的に呼ぶことがある。

注意

\(X\) を状況 02QL のとおり \(S\) 上局所有限型なスキームとする。 \((D, \mathcal{N}, \sigma)\) を、局所主な（「因子」定義 01WR）閉部分スキーム \(i : D \to X\)、可逆 \(\mathcal{O}_D\)-加群 \(\mathcal{N}\)、および \(\mathcal{O}_D\)-加群の全射 \(\sigma : \mathcal{N}^{\otimes -1} \to i^*\mathcal{I}_D\) からなる三つ組とする²。 ここで \(\mathcal{N}\) は \(X\) における \(D\) の仮想正規束 と考えるべきものである。 定義 02T8 の構成 \(i^* : Z_{k + 1}(X) \to \CH_k(D)\) はこのような三つ組へ一般化される。 節 0FBI を参照されたい。

注意

\(X\) を状況 02QL のとおり \(S\) 上局所有限型なスキームとする。 [F] では \(X\) 上の 擬因子 を、\(\mathcal{L}\) が可逆 \(\mathcal{O}_X\)-加群、 \(Z \subset X\) が閉部分集合、\(s \in \Gamma(X \setminus Z, \mathcal{L})\) が 至る所消えない切断であるような三つ組 \(D = (\mathcal{L}, Z, s)\) と定義している。 上と同様に、\(\CH_{k + 1}(X)\) の各 \(\alpha\) に対し、 \(|\alpha|\) を \(\alpha\) の台として、\(\CH_k(Z \cap |\alpha|)\) の積 \(D \cdot \alpha\) を定義できる。

補題

\((S, \delta)\) を状況 02QL のとおりとし、\(X\) を \(S\) 上局所有限型とする。 \((\mathcal{L}, s, i : D \to X)\) を定義 02T8 のとおりとし、 \(\alpha\) を \(X\) 上の \((k + 1)\)-サイクルとする。このとき \(\CH_k(X)\) において \(i_*i^*\alpha = c_1(\mathcal{L}) \cap \alpha\) である。特に \(D\) が有効 Cartier 因子ならば、 \(D \cdot \alpha = c_1(\mathcal{O}_X(D)) \cap \alpha\) である。

証明

\(i_j : W_j \to X\) が \(\dim_\delta(W_j) = k\) を満たす整閉部分スキームであるように、 \(\alpha = \sum n_j[W_j]\) と書く。\(D\) は \(s\) の零点スキームなので、 \(D \cap W_j\) は制限 \(s|_{W_j}\) の零点スキームである。したがって \(W_j \not \subset D\) を満たす各 \(j\) に対し、補題 02SQ により \(c_1(\mathcal{L}) \cap [W_j] = [D \cap W_j]_k\) である。ゆえに \[c_1(\mathcal{L}) \cap \alpha = \sum\nolimits_{W_j \not \subset D} n_j[D \cap W_j]_k + \sum\nolimits_{W_j \subset D} n_j i_{j, *}(c_1(\mathcal{L})|_{W_j}) \cap [W_j])\] を得る。定義 02SO により、これは \(\CH_k(X)\) における等式である。 右辺は、定義 02T8 による \(D\) 上の類 \(i^*\alpha\) の 押し出しと項ごとに一致する。したがって証明された。

補題

\((S, \delta)\) を状況 02QL のとおりとし、\(X\) を \(S\) 上局所有限型とする。 \((\mathcal{L}, s, i : D \to X)\) を定義 02T8 のとおりとする。

1. \(Z \subset X\) を、\(\dim_\delta(Z) \leq k + 1\) かつ \(D \cap Z\) が \(Z\) 上の有効 Cartier 因子であるような閉部分スキームとする。このとき \(i^*[Z]_{k + 1} = [D \cap Z]_k\) である。

2. \(\mathcal{F}\) を、\(\dim_\delta(\text{Supp}(\mathcal{F})) \leq k + 1\) かつ \(s : \mathcal{F} \to \mathcal{F} \otimes_{\mathcal{O}_X} \mathcal{L}\) が単射であるような \(X\) 上の連接層とする。このとき \(\CH_k(D)\) において \[i^*[\mathcal{F}]_{k + 1} = [i^*\mathcal{F}]_k\] である。

証明

(1) のとおりの \(Z \subset X\) を仮定し、\(\mathcal{F} = \mathcal{O}_Z\) とおく。 \(D \cap Z\) が有効 Cartier 因子であるという仮定は、 \(s : \mathcal{F} \to \mathcal{F} \otimes_{\mathcal{O}_X} \mathcal{L}\) が単射であるという仮定と 同値である。さらに \([Z]_{k + 1} = [\mathcal{F}]_{k + 1}]\) かつ \([D \cap Z]_k = [\mathcal{O}_{D \cap Z}]_k = [i^*\mathcal{F}]_k\) である。 補題 02QY を参照されたい。したがって (1) は (2) から従う。

\(m_j > 0\) で、\(W_j \subset X\) が互いに異なる \(\delta\)-次元 \(k + 1\) の整閉部分スキームと なるように \([\mathcal{F}]_{k + 1} = \sum m_j[W_j]\) と書く。 \(s : \mathcal{F} \to \mathcal{F} \otimes_{\mathcal{O}_X} \mathcal{L}\) が単射であるという仮定から、 すべての \(j\) について \(W_j \not \subset D\) である。定義により \[i^*[\mathcal{F}]_{k + 1} = \sum m_j [D \cap W_j]_k.\] を得る。サイクルとして \[\sum [D \cap W_j]_k = [i^*\mathcal{F}]_k\] であると主張する。\(Z \subset D\) を \(\delta\)-次元 \(k\) の整閉部分スキームとし、 \(\xi \in Z\) をその生成点とする。\(A = \mathcal{O}_{X, \xi}\)、\(M = \mathcal{F}_\xi\) とおく。 \(f \in A\) を \(D\) のイデアルを生成する元、すなわち \(\mathcal{O}_{D, \xi} = A/fA\) となる元とする。仮定により \(\dim(\text{Supp}(M)) = 1\)、写像 \(f : M \to M\) は単射、かつ \(\text{length}_A(M/fM) < \infty\) である。さらに \(\text{length}_A(M/fM)\) は \([i^*\mathcal{F}]_k\) における \([Z]\) の係数である。他方、 \(\mathfrak q_1, \ldots, \mathfrak q_t\) を \(M\) の台における極小素イデアルとする。このとき \[\sum \text{length}_{A_{\mathfrak q_i}}(M_{\mathfrak q_i}) \text{ord}_{A/\mathfrak q_i}(f)\] は \(\sum [D \cap W_j]_k\) における \([Z]\) の係数である。 したがって補題 02QG により等式を得る。

注意

\(X \to S\), \(\mathcal{L}\), \(s\), \(i : D \to X\) を定義 02T8 のとおりとし、 \(\mathcal{L}|_D \cong \mathcal{O}_D\) と仮定する。この場合、 \(W \subset D\) が整閉部分スキームならば \(i^*[W] = 0\) とすることにより、 サイクル上の標準的写像 \(i^* : Z_{k + 1}(X) \to Z_k(D)\) を定義できる。 この事実は後で有用になる。

注意

\(f : X' \to X\) を状況 02QL のとおり \(S\) 上局所有限型なスキームの射とし、 \((\mathcal{L}, s, i : D \to X)\) を定義 02T8 のとおりの 三つ組とする。このとき \(\mathcal{L}' = f^*\mathcal{L}\)、\(s' = f^*s\)、 \(D' = X' \times_X D = Z(s')\) とおける。これにより可換図式 \[\xymatrix{ D' \ar[d]_g \ar[r]_{i'} & X' \ar[d]^f \\ D \ar[r]^i & X }\] が得られ、\(i^*\) と \((i')^*\) の間の種々の整合性を問うことができる。

補題

\((S, \delta)\) を状況 02QL のとおりとする。 \(f : X' \to X\) を \(S\) 上局所有限型なスキームの固有射とし、 \((\mathcal{L}, s, i : D \to X)\) を定義 02T8 のとおりとする。 注意 0B6Y のとおり図式 \[\xymatrix{ D' \ar[d]_g \ar[r]_{i'} & X' \ar[d]^f \\ D \ar[r]^i & X }\] を作る。\(X'\) 上の任意の \((k + 1)\)-サイクル \(\alpha'\) に対し、\(\CH_k(D)\) において \(i^*f_*\alpha' = g_*(i')^*\alpha'\) である （\(f_*\) はサイクルのレベルで定義されるので、この式には意味がある）。

証明

ある整閉部分スキーム \(W' \subset X'\) に対して \(\alpha = [W']\) と仮定し、 \(W = f(W') \subset X\) とおく。\(W' \not \subset D'\) の場合は \(W \not \subset D\) であり、 \[[W' \cap D']_k = \text{div}_{\mathcal{L}'|_{W'}}({s'|_{W'}}) \quad\text{and}\quad [W \cap D]_k = \text{div}_{\mathcal{L}|_W}(s|_W)\] である。したがって補題 02ST により、第一のサイクルの \(f_*\) は 第二のサイクルに等しく、等式はサイクルとして成り立つ。\(W' \subset D'\) の場合は \(W \subset D\) であり、補題 02ST の第二の主張により、 \(f_*(c_1(\mathcal{L}|_{W'}) \cap [W'])\) は \(\CH_k(W)\) において \(c_1(\mathcal{L}|_W) \cap [W]\) に等しい。注意 02RZ により、一般の \(\alpha'\) についても結論が従う。

補題

\((S, \delta)\) を状況 02QL のとおりとする。 \(f : X' \to X\) を、\(S\) 上局所有限型なスキームの相対次元 \(r\) の平坦射とする。 \((\mathcal{L}, s, i : D \to X)\) を定義 02T8 のとおりとし、 注意 0B6Y のとおり図式 \[\xymatrix{ D' \ar[d]_g \ar[r]_{i'} & X' \ar[d]^f \\ D \ar[r]^i & X }\] を作る。\(X\) 上の任意の \((k + 1)\)-サイクル \(\alpha\) に対し、 \(\CH_{k + r}(D')\) において \((i')^*f^*\alpha = g^*i^*\alpha\) である （\(f^*\) はサイクルのレベルで定義されるので、この式には意味がある）。

証明

ある整閉部分スキーム \(W \subset X\) に対して \(\alpha = [W]\) と仮定し、 \(W' = f^{-1}(W) \subset X'\) とおく。\(W \not \subset D\) の場合は \(W' \not \subset D'\) であり、\(D'\) の閉部分スキームとして \[W' \cap D' = g^{-1}(W \cap D)\] である。したがって補題 02RE により、等式はサイクルとして成り立つ。 \(W \subset D\) の場合は \(W' \subset D'\) かつ \(W' = g^{-1}(W)\) であり、 \([W']_{k + 1 + r} = g^*[W]\) である。補題 02SS により、 等式は \(\CH_{k + r}(D')\) において成り立つ。注意 02RZ により、一般の \(\alpha'\) についても結論が従う。

Gysin 準同型と有理同値

本節では鍵となる公式を用い、Gysin 準同型が有理同値を通して定まることを示す。 さらに、重要な可換性も証明する。

補題

\((S, \delta)\) を状況 02QL のとおりとする。 \(X\) を \(S\) 上局所有限型とする。さらに \(X\) は整であるとし、 \(n = \dim_\delta(X)\) とおく。 \(i : D \to X\) を有効 Cartier 因子とする。\(\mathcal{N}\) を可逆 \(\mathcal{O}_X\)-加群、 \(t\) を \(\mathcal{N}\) の零でない有理型切断とする。このとき \(\CH_{n - 2}(D)\) において \(i^*\text{div}_\mathcal{N}(t) = c_1(\mathcal{N}|_D) \cap [D]_{n - 1}\) である。

証明

\(\delta\)-次元 \(n - 1\) のある整閉部分スキーム \(Z_i \subset X\) を用いて \(\text{div}_\mathcal{N}(t) = \sum \text{ord}_{Z_i, \mathcal{N}}(t)[Z_i]\) と書く。 族 \(\{Z_i\}\) は局所有限であり、\(U = X \setminus \bigcup Z_i\) 上で \(t \in \Gamma(U, \mathcal{N}|_U)\) は生成元であり、さらに \(D\) の各既約成分がいずれかの \(Z_i\) であると仮定してよい。「因子」補題 0BE1, 02RL, 02SG を参照されたい。

\(\mathcal{L} = \mathcal{O}_X(D)\) とおき、標準切断を \(s \in \Gamma(X, \mathcal{O}_X(D)) = \Gamma(X, \mathcal{L})\) と表す。 現在の状況に節 0AYB の議論を適用する。各 \(i\) に対し、 \(\xi_i \in Z_i\) をその生成点、\(B_i = \mathcal{O}_{X, \xi_i}\) とする。 各 \(i\) について \(B_i\) 上の生成元 \(s_i \in \mathcal{L}_{\xi_i}\) と \(t_i \in \mathcal{N}_{\xi_i}\) を選ぶが、\(Z_i \not \subset D\) の場合には \(s_i = s\) を選ぶものとする。\(f_i, g_i \in B_i\) によって \(s = f_i s_i\)、\(t = g_i t_i\) と書く。このとき \(\text{ord}_{Z_i, \mathcal{N}}(t) = \text{ord}_{B_i}(g_i)\) である。 他方、\(f_i \in B_i\) であり、\(s_i\) の選び方から \[[D]_{n - 1} = \sum \text{ord}_{B_i}(f_i)[Z_i]\] である。サイクルとして \[i^*\text{div}_\mathcal{N}(t) = \sum \text{ord}_{B_i}(g_i) \text{div}_{\mathcal{L}|_{Z_i}}(s_i|_{Z_i})\] であると主張する。より正確には、右辺が左辺を表すサイクルである。 実際、これは \(\text{div}_\mathcal{N}(t)\) の上の式と、\(Z_i \not \subset D\) の場合には \(s_i|_{Z_i} = s|_{Z_i}\) が正則切断であるため \(\text{div}_{\mathcal{L}|_{Z_i}}(s_i|_{Z_i}) = [Z(s_i|_{Z_i})]_{n - 2} = [Z_i \cap D]_{n - 2}\) となることから明らかである。補題 02SK を参照されたい。 同様に \[c_1(\mathcal{N}) \cap [D]_{n - 1} = \sum \text{ord}_{B_i}(f_i) \text{div}_{\mathcal{N}|_{Z_i}}(t_i|_{Z_i})\] である。鍵となる公式（補題 0AYC）により、サイクルの等式 \[\sum \left( \text{ord}_{B_i}(f_i) \text{div}_{\mathcal{N}|_{Z_i}}(t_i|_{Z_i}) - \text{ord}_{B_i}(g_i) \text{div}_{\mathcal{L}|_{Z_i}}(s_i|_{Z_i}) \right) = \sum \text{div}_{Z_i}(\partial_{B_i}(f_i, g_i))\] を得る。\(Z_i \not \subset D\) ならば \(f_i = 1\) であり、したがって \(\text{div}_{Z_i}(\partial_{B_i}(f_i, g_i)) = 0\) である。ゆえに \(D\) 上で、 \(i^*\text{div}_\mathcal{N}(t)\) と \(c_1(\mathcal{N}) \cap [D]_{n - 1}\) を表す これらの具体的サイクルの間に有理同値が得られる。これで証明が完了する。

補題

\((S, \delta)\) を状況 02QL のとおりとし、\(X\) を \(S\) 上局所有限型とする。 \((\mathcal{L}, s, i : D \to X)\) を定義 02T8 のとおりとする。 Gysin 準同型は有理同値を通して写像 \(i^* : \CH_{k + 1}(X) \to \CH_k(D)\) を与える。

証明

\(\alpha \in Z_{k + 1}(X)\) とし、\(\alpha \sim_{rat} 0\) と仮定する。 これは、\(\delta\)-次元 \(k + 2\) の整閉部分スキーム \(W_j \subset X\) の局所有限族と \(f_j \in R(W_j)^*\) が存在して \(\alpha = \sum i_{j, *}\text{div}_{W_j}(f_j)\) となることを意味する。 \(X' = \coprod W_i\) とおき、注意 0B6Y の図式 \[\xymatrix{ D' \ar[d]_q \ar[r]_{i'} & X' \ar[d]^p \\ D \ar[r]^i & X }\] を考える。\(X' \to X\) は固有なので、補題 02TA により \(i^*p_* = q_*(i')^*\) である。\(q_*\) は有理同値を通して定まることが分かっているので （補題 02S2）、\(X'\) 上の \(\alpha' = \sum \text{div}_{W_j}(f_j)\) について示せば十分である。 明らかに、\(X\) が整で、ある \(f \in R(X)^*\) に対し \(\alpha = \text{div}(f)\) である場合へ帰着する。

\(X\) は整で、ある \(f \in R(X)^*\) に対して \(\alpha = \text{div}(f)\) であると仮定する。 \(X = D\) ならば、\(i^*\alpha\) は \(c_1(\mathcal{L}) \cap \alpha\) に等しい。 これは補題 02TI により零と有理同値である。 \(D \not = X\) ならば、補題 02TM により \(i^*\text{div}_X(f)\) は \(\CH_{n - 2}(D)\) において \(c_1(\mathcal{O}_D) \cap [D]_{n - 1}\) に等しい。当然、\(c_1(\mathcal{O}_D)\) との キャップ積は零写像である（補題 02SP）。

補題

\((S, \delta)\) を状況 02QL のとおりとし、\(X\) を \(S\) 上局所有限型とする。 \((\mathcal{L}, s, i : D \to X)\) を定義 02T8 のとおりとする。 このとき \(i^*i_* : \CH_k(D) \to \CH_{k - 1}(D)\) は \(\alpha\) を \(c_1(\mathcal{L}|_D) \cap \alpha\) へ写す。

証明

これはサイクル上の \(i_*\) の定義と、定義 02T8 で与えた \(i^*\) の定義から直ちに従う。

補題

\((S, \delta)\) を状況 02QL のとおりとし、\(X\) を \(S\) 上局所有限型とする。 \((\mathcal{L}, s, i : D \to X)\) を定義 02T8 のとおりの 三つ組とし、\(\mathcal{N}\) を可逆 \(\mathcal{O}_X\)-加群とする。このとき、任意の \(\alpha \in \CH_k(X)\) に対して \(\CH_{k - 2}(D)\) において \(i^*(c_1(\mathcal{N}) \cap \alpha) = c_1(i^*\mathcal{N}) \cap i^*\alpha\) である。

証明

補題 02TO と全く同じ証明により、これは補題 02SU, 02TJ, 02TM から従う。

補題

\((S, \delta)\) を状況 02QL のとおりとし、\(X\) を \(S\) 上局所有限型とする。 \((\mathcal{L}, s, i : D \to X)\) と \((\mathcal{L}', s', i' : D' \to X)\) を 定義 02T8 のとおりの二つの三つ組とする。このとき図式 \[\xymatrix{ \CH_k(X) \ar[r]_{i^*} \ar[d]_{(i')^*} & \CH_{k - 1}(D) \ar[d]^{j^*} \\ \CH_{k - 1}(D') \ar[r]^{(j')^*} & \CH_{k - 2}(D \cap D') }\] は可換であり、ここに現れる写像はすべて Gysin 写像である。

証明

\(j : D \cap D' \to D\) および \(j' : D \cap D' \to D'\) で、 \((\mathcal{L}|_{D'}, s|_{D'}\) と \((\mathcal{L}'_D, s|_D)\) に対応する閉埋め込みを表す。 すべての \(\alpha \in \CH_k(X)\) に対して \((j')^*i^*\alpha = j^* (i')^*\alpha\) を示せばよい。 \(W \subset X\) を次元 \(k\) の整閉部分スキームとする。 \(\alpha = [W]\) の場合に等式を証明し、それを鍵となる公式から導く。

\(\sigma\) を \(\mathcal{L}|_W\) の零でない有理型切断とし、\(W \not \subset D\) の場合には \(s|_W\) に等しく選ぶ。\(\sigma'\) を \(\mathcal{L}'|_W\) の零でない有理型切断とし、 \(W \not \subset D'\) の場合には \(s'|_W\) に等しく選ぶ。節 0AYB の議論のとおり \[\text{div}_{\mathcal{L}|_W}(\sigma) = \sum \text{ord}_{Z_i, \mathcal{L}|_W}(\sigma)[Z_i] = \sum n_i[Z_i]\] および同様に \[\text{div}_{\mathcal{L}'|_W}(\sigma') = \sum \text{ord}_{Z_i, \mathcal{L}'|_W}(\sigma')[Z_i] = \sum n'_i[Z_i]\] と書く。このとき \(n_i \not = 0\) ならば \(Z_i \subset D\) であり、 \(n'_i \not = 0\) ならば \(Z'_i \subset D'\) である。各 \(i\) について \(\xi_i \in Z_i\) を生成点とする。節 0AYB と同様、各 \(i\) に対して \(B_i = \mathcal{O}_{W, \xi_i}\) 上の生成元として、 \(\sigma_i \in \mathcal{L}_{\xi_i}\) と、それぞれ \(\sigma'_i \in \mathcal{L}'_{\xi_i}\) を選ぶ。 ただし 前者は \(Z_i \not \subset D\) の場合には \(s\) の像に、それぞれ 後者は \(Z_i \not \subset D'\) の場合には \(s'\) の像に等しく選ぶ。 \(\sigma = f_i \sigma_i\) および \(\sigma' = f'_i\sigma'_i\) と書けば、 \(n_i = \text{ord}_{B_i}(f_i)\) かつ \(n'_i = \text{ord}_{B_i}(f'_i)\) である。 定義から、サイクルとして \[(j')^*i^*[W] = \sum \text{ord}_{B_i}(f_i) \text{div}_{\mathcal{L}'|_{Z_i}}(\sigma'_i|_{Z_i})\] であり、また \[j^*(i')^*[W] = \sum \text{ord}_{B_i}(f'_i) \text{div}_{\mathcal{L}|_{Z_i}}(\sigma_i|_{Z_i})\] である。ここで鍵となる公式（補題 0AYC）により、サイクルの等式 \[\sum \left( \text{ord}_{B_i}(f_i) \text{div}_{\mathcal{L}'|_{Z_i}}(\sigma'_i|_{Z_i}) - \text{ord}_{B_i}(f'_i) \text{div}_{\mathcal{L}|_{Z_i}}(\sigma_i|_{Z_i}) \right) = \sum \text{div}_{Z_i}(\partial_{B_i}(f_i, f'_i))\] を得る。\(Z_i \not \subset D \cap D'\) ならば \(f_i = 1\) または \(f'_i = 1\) なので、 \(\text{div}_{Z_i}(\partial_{B_i}(f_i, f'_i)) = 0\) である。 したがって \(D \cap D' \cap W\) 上で、\((j')^*i^*[W]\) と \(j^*(i')^*[W]\) を表す これらの具体的サイクルの間に有理同値が得られる。注意 02RZ により、一般の \(\alpha\) についても結論が従う。

相対有効 Cartier 因子

相対有効 Cartier 因子は「因子」節 056P で 定義され、研究されている。ベクトル束の Chern 類に関する基本結果を展開するためには、 周囲のスキームと有効 Cartier 因子の双方が基底上平坦である場合だけが必要である。

補題

\((S, \delta)\) を状況 02QL のとおりとする。 \(X\), \(Y\) を \(S\) 上局所有限型とし、\(p : X \to Y\) を相対次元 \(r\) の平坦射とする。 \(i : D \to X\) を相対有効 Cartier 因子とする （「因子」定義 062T）。 \(\mathcal{L} = \mathcal{O}_X(D)\) とおく。任意の \(\alpha \in \CH_{k + 1}(Y)\) に対し \[i^*p^*\alpha = (p|_D)^*\alpha\] が \(\CH_{k + r}(D)\) で成り立ち、また \[c_1(\mathcal{L}) \cap p^*\alpha = i_* ((p|_D)^*\alpha)\] が \(\CH_{k + r}(X)\) で成り立つ。

証明

\(W \subset Y\) を \(\delta\)-次元 \(k + 1\) の整閉部分スキームとする。 「因子」補題 056Q により、 \(D \cap p^{-1}W\) は \(p^{-1}W\) 上の有効 Cartier 因子である。 補題 02TB により \[i^*[p^{-1}W]_{k + r + 1} = [D \cap p^{-1}W]_{k + r} = [(p|_D)^{-1}(W)]_{k + r}.\] の第一の等式を得る。第二の等式は、スキームとして \(D \cap p^{-1}(W) = (p|_D)^{-1}(W)\) であることから従う。 定義により \(p^*[W] = [p^{-1}W]_{k + r + 1}\) なので、サイクルとして \(i^*p^*[W] = (p|_D)^*[W]\) である。\(\alpha = \sum m_j[W_j]\) が一般の \(k + 1\)-サイクルならば、サイクルとして \(i^*\alpha = \sum m_j i^*p^*[W_j] = \sum m_j(p|_D)^*[W_j]\) を得る。 これで第一の等式が示された。第二の等式は、第一の等式に補題 02T9 を適用すれば従う。

アフィン束

アフィン束に対して、Chow 群上の引き戻し写像は全射である。

補題

\((S, \delta)\) を状況 02QL のとおりとする。 \(X\), \(Y\) を \(S\) 上局所有限型とし、\(f : X \to Y\) を相対次元 \(r\) の平坦射とする。 各 \(y \in Y\) に対し、開近傍 \(U \subset Y\) が存在して \(f|_{f^{-1}(U)} : f^{-1}(U) \to U\) が射 \(U \times \mathbf{A}^r \to U\) と 同一視されると仮定する。このとき、すべての \(k \in \mathbf{Z}\) に対して \(f^* : \CH_k(Y) \to \CH_{k + r}(X)\) は全射である。

証明

\(\alpha \in \CH_{k + r}(X)\) とする。\(m_j \not = 0\) で、\(W_j\) が互いに異なる \(\delta\)-次元 \(k + r\) の整閉部分スキームとなるように \(\alpha = \sum m_j[W_j]\) と書く。このとき族 \(\{W_j\}\) は \(X\) で局所有限である。 任意の準コンパクト開集合 \(V \subset Y\) に対し、\(f^{-1}(V) \cap W_j\) が空でないのは 有限個の \(j\) に限られる。したがって、像の閉包の族 \(Z_j = \overline{f(W_j)}\) は \(Y\) の整閉部分スキームの局所有限族である。

ファイバー積図式 \[\xymatrix{ f^{-1}(Z_j) \ar[r] \ar[d]_{f_j} & X \ar[d]^f \\ Z_j \ar[r] & Y }\] を考える。ある \(k\)-サイクル \(\beta_j \in \CH_k(Z_j)\) に対して \([W_j] \in Z_{k + r}(f^{-1}(Z_j))\) が \(f_j^*\beta_j\) と有理同値であると仮定する。 このとき \(\beta = \sum m_j \beta_j\) は \(Y\) 上の \(k\)-サイクルであり、 \(f^*\beta = \sum m_j f_j^*\beta_j\) は \(\alpha\) と有理同値になる （注意 02RZ を参照）。 これにより、\(Y\) は整で、\(\alpha = [W]\) が \(Y\) を支配する \(X\) のある整閉部分スキームに よって与えられる場合へ帰着する。特に \(d = \dim_\delta(Y) < \infty\) と仮定してよい。

そこで \(d = \dim_\delta(Y)\) に関する帰納法を用いる。 \(d < k\) ならば \(\CH_{k + r}(X) = 0\) なので補題は成り立つ。 仮定により、\(V\) 上のスキームとして \(f^{-1}(V) \cong V \times \mathbf{A}^r\) となる 稠密開集合 \(V \subset Y\) が存在する。ある \(\beta \in Z_k(V)\) に対して \(\alpha|_{f^{-1}(V)} = f^*\beta\) を示せたと仮定する。 補題 02RC により、ある \(\beta' \in Z_k(Y)\) に対して \(\beta = \beta'|_V\) である。補題 02RX の完全列 \(\CH_k(f^{-1}(Y \setminus V)) \to \CH_k(X) \to \CH_k(f^{-1}(V))\) により、 \(\alpha - f^*\beta'\) はあるサイクル \(\alpha' \in \CH_{k + r}(f^{-1}(Y \setminus V))\) から来る。 \(\dim_\delta(Y \setminus V) < d\) なので、\(d\) に関する帰納法により結論を得る。

したがって \(X = Y \times \mathbf{A}^r\) と仮定してよい。この場合 \(f\) を \[X = Y \times \mathbf{A}^r \to Y \times \mathbf{A}^{r - 1} \to \ldots \to Y \times \mathbf{A}^1 \to Y.\] と分解できる。ゆえに \(r = 1\) の場合を扱えば十分である。 証明の第二段落の議論により、\(\alpha = [W]\)、\(Y\) は整、かつ \(W \to Y\) は支配的である場合へ 帰着する。再び \(d = \dim_\delta(Y)\) に関する帰納法を用いる。 \(W = Y \times \mathbf{A}^1\) ならば \([W] = f^*[Y]\) である。 最後に \(W \subset Y \times \mathbf{A}^1\) が真の包含ならば、\(W \to Y\) は有限次体拡大 \(R(W)/R(Y)\) を誘導する。\(W \to Y\) の生成ファイバーが \(\mathbf{A}^1_{R(Y)}\) において \(P\) で切り出されるようなモニック既約多項式 \(P(T) \in R(Y)[T]\) をとる。\(P \in \Gamma(V, \mathcal{O}_Y)[T]\) であり、かつ \(W \cap f^{-1}(V)\) がなお \(P\) で切り出されるような空でない開集合 \(V \subset Y\) をとる。 すると \(\alpha|_{f^{-1}(V)} \sim_{rat} 0\) であり、したがって \((Y \setminus V) \times \mathbf{A}^1\) 上のあるサイクル \(\alpha'\) に対して \(\alpha \sim_{rat} \alpha'\) である。次元に関する帰納法によって結論を得る。

補題

\((S, \delta)\) を状況 02QL のとおりとし、\(X\) を \(S\) 上局所有限型とする。 \(\mathcal{L}\) を可逆 \(\mathcal{O}_X\)-加群とし、 \[p : L = \underline{\Spec}(\text{Sym}^*(\mathcal{L})) \longrightarrow X\] を対応する \(X\) 上のベクトル束とする。このとき、すべての \(k\) に対して \(p^* : \CH_k(X) \to \CH_{k + 1}(L)\) は同型である。

証明

全射性については補題 02TT を参照されたい。 \(o : X \to L\) を \(L \to X\) の零切断、すなわち、すべての \(n > 0\) に対して \(\mathcal{L}^{\otimes n}\) を零へ写す全射 \(\text{Sym}^*(\mathcal{L}) \to \mathcal{O}_X\) に対応する射とする。 このとき \(p \circ o = \text{id}_X\) であり、\(o(X)\) は \(L\) 上の有効 Cartier 因子である。 したがって補題 02TR により \(o^* \circ p^* = \text{id}\) であり、\(p^*\) は単射でもある。

注意

後で、\(X\) が \(Y\) 上階数 \(r\) のベクトル束ならば、引き戻し写像 \(\CH_k(Y) \to \CH_{k + r}(X)\) は同型であることを見る（補題 02TY）。 これは \(X \to Y\) が補題 02TT の仮定を満たすときには 常に成り立つ。[Totaro-group, Lemma 2.2] を参照されたい。 注意 0GUB では、高次 Chow 群を用いた証明を概説する。

補題

補題 0B74 の状況で、\(o : X \to L\) を零切断と表す （同補題の証明を参照）。このとき次が成り立つ。

1. \(o(X)\) は \(p^*\mathcal{L}^{\otimes -1}\) の正則な大域切断の零点スキームである。

2. \(o\) は閉埋め込みなので \(o_* : \CH_k(X) \to \CH_k(L)\) が定まる。

3. \(o(X)\) は有効 Cartier 因子なので \(o^* : \CH_{k + 1}(L) \to \CH_k(X)\) が定まる。

4. \(o^* p^* : \CH_k(X) \to \CH_k(X)\) は恒等写像である。

5. 任意の \(\alpha \in \CH_k(X)\) に対し \(o_*\alpha = - p^*(c_1(\mathcal{L}) \cap \alpha)\) である。

6. \(o^* o_* : \CH_k(X) \to \CH_{k - 1}(X)\) は写像 \(\alpha \mapsto - c_1(\mathcal{L}) \cap \alpha\) に等しい。

証明

射影公式（「コホモロジー」補題 01E8）により、 \(p_*\mathcal{O}_L = \text{Sym}^*(\mathcal{L})\) から \(p_*(p^*\mathcal{L}^{\otimes -1}) = \text{Sym}^*(\mathcal{L}) \otimes_{\mathcal{O}_X} \mathcal{L}^{\otimes -1}\) を得る。(1) の切断は標準的自明化 \(\mathcal{O}_X \to \mathcal{L} \otimes_{\mathcal{O}_X} \mathcal{L}^{\otimes -1}\) である。 この切断の零点集合がちょうど \(o(X)\) であることの証明は省略する。これで (1) が示された。

(2), (3), (4) は補題 0B74 の証明中に見た。 もちろん (4) は補題 02TR の第一の公式である。

(5) は、補題 02TR の第二の公式、 \(c_1\) とのキャップ積の加法性（補題 02SP）、および \(c_1\) とのキャップ積が平坦引き戻しと可換であること （補題 02SS）から従う。

(6) は、補題 0F95 と \(o^*p^*\mathcal{L} = \mathcal{L}\) であることから従う。

補題

\(Y\) をスキームとし、\(\mathcal{L}_i\), \(i = 1, 2\) を可逆 \(\mathcal{O}_Y\)-加群とする。 \(s\) を \(\mathcal{L}_1 \otimes_{\mathcal{O}_Y} \mathcal{L}_2\) の大域切断とし、 \(i : D \to Y\) で \(s\) の零点スキームを表す。このとき可換図式 \[\xymatrix{ D_1 \ar[r]_{i_1} \ar[d]_{p_1} & L \ar[d]^p & D_2 \ar[l]^{i_2} \ar[d]^{p_2} \\ D \ar[r]^i & Y & D \ar[l]_i }\] と \(p^*\mathcal{L}_i\) の切断 \(s_i\) が存在し、次を満たす。

1. \(p^*s = s_1 \otimes s_2\) である。

2. \(p\) は有限型で相対次元 \(1\) の平坦射である。

3. \(D_i\) は \(s_i\) の零点スキームである。

4. \(i = 1, 2\) に対し、\(D\) 上で \(D_i \cong \underline{\Spec}(\text{Sym}^*(\mathcal{L}_{3 - i}^{\otimes -1})|_D))\) である。

5. \(p^{-1}D = D_1 \cup D_2\) である（スキーム論的和）。

6. \(D_1 \cap D_2\)（スキーム論的交わり）は \(D\) へ同型に写る。

7. \(i = 1, 2\) に対し、\(D_1 \cap D_2 \to D_i\) は直線束 \(D_i \to D\) の零切断である。

さらに、この図式と切断 \(s_i\) の構成は任意の基底変換と可換である。

証明

\(p : X \to Y\) を、準連接 \(\mathcal{O}_Y\)-代数層 \[\mathcal{A} = \left(\bigoplus\nolimits_{a_1, a_2 \geq 0} \mathcal{L}_1^{\otimes -a_1} \otimes_{\mathcal{O}_Y} \mathcal{L}_2^{\otimes -a_2}\right)/\mathcal{J}\] の相対スペクトルとする。ここで \(\mathcal{J}\) は、\(a_1, a_2 > 0\) を満たす任意の直和因子 \(\mathcal{L}_1^{\otimes -a_1} \otimes \mathcal{L}_2^{\otimes -a_2}\) の局所切断 \(t\) に対する 形 \(st - t\) の局所切断で生成されるイデアルである。写像 \(p^*\mathcal{L}_i^{\otimes -1} \to \mathcal{O}_X\) とみた切断 \(s_i\) を、写像 \(\mathcal{L}_i^{\otimes -1} \to \mathcal{A} = p_*\mathcal{O}_X\) の随伴として定義する。 任意の \(y \in Y\) に対し、\(y\) を含むアフィン開集合 \(V \subset Y\)、たとえば \(V = \Spec(A)\) と、自明化 \(z_i : \mathcal{O}_V \to \mathcal{L}_i^{\otimes -1}|_V\) を選べる。 \(f = s(z_1z_2) \in A\) が閉部分スキーム \(D\) を切り出すことに注意する。このとき明らかに \[p^{-1}(V) = \Spec(B[z_1, z_2]/(z_1 z_2 - f))\] である。\(D_i\) は \(z_i\) で切り出されるので、すべて明らかである。

補題

補題 0F97 の状況で、\(Y\) は状況 02QL のとおり \((S, \delta)\) 上局所有限型であると仮定する。 このとき、すべての \(\alpha \in \CH_k(Y)\) に対して \(\CH_k(D_1)\) において \(i_1^*p^*\alpha = p_1^*i^*\alpha\) である。

証明

\(W \subset Y\) を \(\delta\)-次元 \(k\) の整閉部分スキームとする。二つの場合に分ける。

\(W \subset D\) と仮定する。Gysin 準同型の定義と補題 02SP の加法性により、\(\CH_{k - 1}(D)\) において \(i^*[W] = c_1(\mathcal{L}_1) \cap [W] + c_1(\mathcal{L}_2) \cap [W]\) である。 したがって \(p_1^*i^*[W] = p_1^*(c_1(\mathcal{L}_1) \cap [W]) + p_1^*(c_1(\mathcal{L}_2) \cap [W])\) である。 他方、平坦引き戻しの構成により \(p^*[W] = [p^{-1}(W)]_{k + 1}\) である。 また \(p^{-1}(W) = W_1 \cup W_2\) であり（スキーム論的に）、補題と図式の構成が 基底変換と可換であることから、\(W_i = p_i^{-1}(W)\) は \(W\) 上の直線束である。 \(W_i\) は \(L\) の \(\delta\)-次元 \(k + 1\) の整閉部分スキームなので、 \([p^{-1}(W)]_{k + 1} = [W_1] + [W_2]\) である。したがって \[\begin{align*} i_1^*p^*[W] & = i_1^*[p^{-1}(W)]_{k + 1} \\ & = i_1^*([W_1] + [W_2]) \\ & = c_1(p_1^*\mathcal{L}_1) \cap [W_1] + [W_1 \cap W_2]_k \\ & = c_1(p_1^*\mathcal{L}_1) \cap p_1^*[W] + [W_1 \cap W_2]_k \\ & = p_1^*(c_1(\mathcal{L}_1) \cap [W]) + [W_1 \cap W_2]_k \end{align*}\] である。ここでは Gysin 準同型の構成、平坦引き戻しの定義（第二の等式）、および \(c_1 \cap -\) と平坦引き戻しの整合性（補題 02SS）を用いた。 \(W_1 \cap W_2\) は直線束 \(W_1 \to W\) の零切断なので、補題 0F96 により \([W_1 \cap W_2]_k = p_1^*(c_1(\mathcal{L}_2) \cap [W])\) である。 ここでは、\(D_1\) が \(\mathcal{L}_2\) の逆の相対スペクトルである直線束だという事実を用いる。 したがって先と同じ式が得られる。

\(W \not \subset D\) と仮定する。この場合、\(i_1^*p^*[W]\) と \(p_1^*i^*[W]\) はともに、 \(D_1\) における \(W\) のスキーム論的逆像に付随する \(k - 1\)-サイクルによって表される。

補題

状況 02QL において、\(X\) を \(S\) 上局所有限型なスキームとし、 \((\mathcal{L}, s, i : D \to X)\) を定義 02T8 のとおりの 三つ組とする。このとき可換図式 \[\xymatrix{ D' \ar[r]_{i'} \ar[d]_p & X' \ar[d]^g \\ D \ar[r]^i & X }\] であって、次を満たすものが存在する。

1. \(p\) と \(g\) は有限型で相対次元 \(1\) の平坦射である。

2. すべての \(k\) に対して \(p^* : \CH_k(D) \to \CH_{k + 1}(D')\) は単射である。

3. \(D' \subset X'\) は大域切断 \(s' \in \Gamma(X', \mathcal{O}_{X'})\) の零点スキームである。

4. 写像 \(\CH_k(X) \to \CH_k(D')\) として \(p^*i^* = (i')^*g^*\) である。

さらに、これらの性質は局所有限型な射 \(Y \to X\) による任意の基底変換の後にも成り立つ。

証明

定義 02T8 のとおりの三つ組 \((\mathcal{O}_{X'}, s', i' : D' \to X')\) があるので \((i')^*\) は定義され、主張には意味がある。

\(\mathcal{L}_1 = \mathcal{O}_X\), \(\mathcal{L}_2 = \mathcal{L}\) とおき、 \(\mathcal{L} = \mathcal{L}_1 \otimes_{\mathcal{O}_X} \mathcal{L}_2\) の切断 \(s\) に 補題 0F97 を適用する。\(D' = D_1\) ととる。 すると主張は同補題、補題 0F98、および補題 0B74 による単射性から従う。

注意

\((S, \delta)\) を状況 02QL のとおりとし、\(Y\) を \(S\) 上局所有限型とする。 \(r \geq 0\) とし、\(f : X \to Y\) をスキームの射とする。各 \(y \in Y\) が、 \(V\) 上のスキームとして \(f^{-1}(V) \cong V \times \mathbf{A}^r\) となる開集合 \(V \subset Y\) に含まれると仮定する。本注意では、 \(f^* : \CH_k(Y) \to \CH_{k + r}(X)\) が同型であることの証明を概説する。 まず補題 02TT によりこの写像は全射である。 \(f^*\alpha = 0\) を満たす \(\alpha \in \CH_k(Y)\) をとり、\(\alpha = 0\) を示す。

ステップ 1. \(\dim_\delta(Y) < \infty\) と仮定してよい （実際に現れるすべての場合には直ちに成り立つので、このステップは読み飛ばしてよい）。 実際、\(X\) 上で \(f^*\alpha = 0\) を証する任意の有理同値には、次元 \(k + r + 1\) の 整閉部分スキームの局所有限族が使われる。それらの \(Y\) における像の閉包の和をとると、 \(\dim_\delta(Y') \leq k + r + 1\) を満たす閉部分スキーム \(Y' \subset Y\) が得られ、 \(\alpha\) はある \(\alpha' \in \CH_k(Y')\) の像であり、さらに \(f'\) を \(f\) の \(Y'\) への 基底変換として \((f')^*\alpha = 0\) となる。

ステップ 2. \(d = \dim_\delta(Y) < \infty\) と仮定し、\(d\) に関する帰納法を用いる。 \(d < k\) ならば \(\alpha = 0\) であり、これが帰納法の基底である。 一般に \(f\) に関する仮定から、\(U = f^{-1}(V) = \mathbf{A}^r_V\) となる稠密開集合 \(V \subset Y\) を選べる。\(Y' \subset Y\) で \(V\) の補集合を被約閉部分スキームとして表し、 \(X' = f^{-1}(Y')\) とおく。図式 \[\xymatrix{ \CH^M_{k + r}(U, 1) \ar[r] & \CH_{k + r}(X') \ar[r] & \CH_{k + r}(X) \ar[r] & \CH_{k + r}(U) \ar[r] & 0 \\ \CH^M_k(V, 1) \ar[r] \ar[u] & \CH_k(Y') \ar[r] \ar[u] & \CH_k(Y) \ar[r] \ar[u] & \CH_k(V) \ar[r] \ar[u] & 0 }\] を考える。ここでは \(V\) と \(U\) の第一高次 Chow 群、注意 0GUA で 構成した六項完全列、これらの高次 Chow 群の平坦引き戻し、および平坦引き戻しと 六項完全列との整合性を用いる。\(U = \mathbf{A}^r_V\) なので右端の縦写像は同型である。 \(\CH_k(Y') \to \CH_{k + r}(X')\) は \(d\) に関する帰納法により全単射である。 したがって議論を完結させるには \[\CH^M_k(V, 1) \longrightarrow \CH^M_{k + r}(U, 1)\] が全射であることを示せば十分である。補題 02TT の証明と同様に論じれば、 これは次のステップ 3 に帰着する。

ステップ 3. \(F\) を体とする。このとき \(\CH^M_0(\mathbf{A}^1_F, 1) = 0\) である （上で引用した補題の証明では、同様に \(\CH_0(\mathbf{A}^1_F) = 0\) を示した）。実際 \[\CH^M_0(\mathbf{A}^1_F, 1) = \Coker\left( \partial : K^M_2(F(T)) \longrightarrow \bigoplus\nolimits_{\mathfrak p \subset F[T]\text{ maximal}} \kappa(\mathfrak p)^*\right)\] である。この余核が消えることの古典的議論は、\(\kappa(\mathfrak p)/F\) の次数に関する 帰納法によって、\(\mathfrak p\) に対応する直和因子が像に含まれることを示すものである。 \(\mathfrak p\) が既約モニック多項式 \(P(T) \in F[T]\) で生成され、 \(u \in \kappa(x)^*\) が \(\deg(Q) < \deg(P)\) を満たすある \(Q(T) \in F[T]\) の剰余類ならば、 \(\partial(Q, P)\) は \(\mathfrak p\) において元 \(u\) を生じ、さらに \(Q\) を割る素イデアルにおいて より低次数の単元を生じる可能性があることを示せる。これで証明の概略が完了する。

双変交点理論

ベクトル束の高次 Chern 類を適切に論じるため、[F] に従って双変 Chow 類を導入する。 本書の定義は [F] と二点で異なる。(1) 扱う設定が異なり、(2) 双変類に要求するのは、 可逆加群の切断の零点スキームに対する Gysin 準同型 （節 02T7）との可換性だけである。 後に補題 0FBP で、ここでの双変類が任意の高余次元 Gysin 準同型とも 可換であり、したがって [F] で要求されるすべての性質を満たすことを見る。 [F, Theorem 17.1] も参照されたい。

定義

\((S, \delta)\) を状況 02QL のとおりとし、 \(f : X \to Y\) を \(S\) 上局所有限型なスキームの射とする。\(p \in \mathbf{Z}\) とする。 \(f\) に対する次数 \(p\) の双変類 \(c\) とは、任意の局所有限型射 \(Y' \to Y\) と 任意の \(k\) に写像 \[c \cap - : \CH_k(Y') \longrightarrow \CH_{k - p}(X')\] を対応させる規則であって、ここで \(X' = Y' \times_Y X\) とし、次の条件を満たすものをいう。

1. \(Y'' \to Y'\) が固有ならば、\(X'' = Y'' \times_Y X\) として、\(Y''\) 上の任意の \(\alpha''\) に対し \(c \cap (Y'' \to Y')_*\alpha'' = (X'' \to X')_*(c \cap \alpha'')\) である。

2. \(Y'' \to Y'\) が固定された相対次元をもつ局所有限型平坦射ならば、\(Y'\) 上の任意の \(\alpha'\) に対し \(c \cap (Y'' \to Y')^*\alpha' = (X'' \to X')^*(c \cap \alpha')\) である。

3. \((\mathcal{L}', s', i' : D' \to Y')\) が定義 02T8 のとおりで、その \(X'\) への引き戻しが \((\mathcal{N}', t', j' : E' \to X')\) ならば、\(Y'\) 上の任意の \(\alpha'\) に対し \(c \cap (i')^*\alpha' = (j')^*(c \cap \alpha')\) である。

\(f\) に対する次数 \(p\) の双変類全体を \(A^p(X \to Y)\) と表す。

\((S, \delta)\) を状況 02QL のとおりとする。 \(X \to Y\) と \(Y \to Z\) を \(S\) 上局所有限型なスキームの射とし、 \(p \in \mathbf{Z}\) とする。\(A^p(X \to Y)\) がアーベル群であることは明らかである。 さらに、結合的な双線形合成 \[A^p(X \to Y) \times A^q(Y \to Z) \to A^{p + q}(X \to Z)\] があることも明らかである。

補題

\((S, \delta)\) を状況 02QL のとおりとする。 \(f : X \to Y\) を、\(S\) 上局所有限型なスキームの相対次元 \(r\) の平坦射とする。 このとき、各 \(Y' \to Y\) に \(X' = X \times_Y Y'\) 上の写像 \((f')^* : \CH_k(Y') \to \CH_{k + r}(X')\) を対応させる規則は次数 \(-r\) の双変類である。

証明

これは補題 02S1, 02RD, 02RG, 0B71 から従う。

補題

\((S, \delta)\) を状況 02QL のとおりとし、\(X\) を \(S\) 上局所有限型とする。 \((\mathcal{L}, s, i : D \to X)\) を定義 02T8 のとおりの 三つ組とする。このとき、各 \(f : X' \to X\) に、\(D' = D \times_X X'\) 上の写像 \((i')^* : \CH_k(X') \to \CH_{k - 1}(D')\) を対応させる規則は次数 \(1\) の双変類である。

証明

これは補題 02TO, 02TA, 0B71, 0B73 から従う。

補題

\((S, \delta)\) を状況 02QL のとおりとする。 \(f : X \to Y\) と \(g : Y \to Z\) を \(S\) 上局所有限型なスキームの射とする。 \(c \in A^p(X \to Z)\) とし、\(f\) は固有であると仮定する。 このとき、各 \(Z' \to Z\) に \(\alpha \longmapsto f'_*(c \cap \alpha)\) を対応させる規則は双変類であり、 \(f_* \circ c \in A^p(Y \to Z)\) と表す。

証明

これは補題 02R5, 02RG, 02TA から従う。

注意

\((S, \delta)\) を状況 02QL のとおりとする。 \(X \to Y\) と \(Y' \to Y\) を \(S\) 上局所有限型なスキームの射とし、 \(X' = Y' \times_Y X\) とおく。このとき明らかな制限写像 \[A^p(X \to Y) \longrightarrow A^p(X' \to Y'),\quad c \longmapsto res(c)\] がある。これは、\(Y'\) 上局所有限型なスキーム \(Y''\) を \(Y\) 上局所有限型なスキームとみなし、 任意の \(\alpha'' \in \CH_k(Y'')\) に対して \(res(c) \cap \alpha'' = c \cap \alpha''\) とおくことで得られる。 この制限操作は明らかな仕方で合成と整合する。

注意

\((S, \delta)\) を状況 02QL のとおりとし、\(X\) を \(S\) 上局所有限型とする。 \(i = 1, 2\) に対し \(Z_i \to X\) を局所有限型なスキームの射とし、 \(c_i \in A^{p_i}(Z_i \to X)\), \(i = 1, 2\) を双変類とする。 任意の \(\alpha \in \CH_k(X)\) に対し、\(\CH_{k - p_1 - p_2}(Z_1 \times_X Z_2)\) において \[c_1 \cap c_2 \cap \alpha = c_2 \cap c_1 \cap \alpha\] かどうかを問える。この等式が成り立ち、さらに任意の局所有限型基底変換 \(X' \to X\) の後にも成り立つとき、\(c_1\) と \(c_2\) は 可換である という。 これはもちろん、\(A^{p_1 + p_2}(Z_1 \times_X Z_2 \to X)\) において \[res(c_1) \circ c_2 = res(c_2) \circ c_1\] であることと同じである。ここで \(res(c_1) \in A^{p_1}(Z_1 \times_X Z_2 \to Z_2)\) は注意 0F9Z の意味での \(c_1\) の制限であり、\(res(c_2)\) も同様である。

例

\((S, \delta)\) を状況 02QL のとおりとし、\(X\) を \(S\) 上局所有限型とする。 \((\mathcal{L}, s, i : D \to X)\) を定義 02T8 のとおりの 三つ組とする。\(Z \to X\) を局所有限型なスキームの射とし、 \(c \in A^p(Z \to X)\) を双変類とする。補題 0B79 の双変 Gysin 類 \(c' \in A^1(D \to X)\) は、注意 0FA2 の意味で \(c\) と可換である。 これは定義 0B76 の条件 (3) の言い換えにほかならない。

注意

文献では検討されていないと思われる、より一般的な型の双変類がある。 すなわち、状況 02QL のとおり \((S, \delta)\) 上局所有限型なスキームの図式 \[X \longrightarrow Z \longleftarrow Y\] が与えられたとし、\(p \in \mathbf{Z}\) とする。このとき、各局所有限型射 \(Z' \to Z\) とすべての \(k \in \mathbf{Z}\) に写像 \[c \cap - : \CH_k(Y') \longrightarrow \CH_{k - p}(X')\] を対応させる規則 \(c\) を考えられる。ここで \(X' = X \times_Z Z'\) および \(Y' = Z' \times_Z Y\) とし、次と整合することを要求する。

1. \(Z'' \to Z'\) が固有である場合の固有押し出し。

2. \(Z'' \to Z'\) が固定された相対次元をもつ平坦射である場合の平坦引き戻し。

3. \(D' \subset Z'\) が定義 02T8 のとおりである場合の Gysin 写像。

詳細な定式化は省略する。このような操作全体を \(A^p(X \to Z \leftarrow Y)\) と表すことにする。この概念が有用な簡単な例として、 固有射 \(f : X_2 \to X_1\) がある場合を考える。\(f_*\) は定義 0B76 の意味では双変操作ではないが、上の一般化された意味では 双変操作であり、実際 \(f_* \in A^0(X_1 \to X_1 \leftarrow X_2)\) である。

Chow コホモロジーと第一 Chern 類

主として関心をもつのは \(A^p(X) = A^p(X \to X)\) であり、これは常に \(\text{id}_X\) に対する双変コホモロジー類を意味する。Chern 類はここに属する。

定義

\((S, \delta)\) を状況 02QL のとおりとし、\(X\) を \(S\) 上局所有限型とする。 \(X\) の Chow コホモロジー とは、次数 \(p\) の成分が \(A^p(X \to X)\) である 次数付き \(\mathbf{Z}\)-代数 \(A^*(X)\) をいう。

注意：\(A^*(X)\) の \(\mathbf{Z}\)-代数構造が可換かどうかは明らかでない。 しかし Chern 類がその中心に属することを示す。

注意

\((S, \delta)\) を状況 02QL のとおりとし、 \(f : Y' \to Y\) を \(S\) 上局所有限型なスキームの射とする。 注意 0F9Z の特別な場合として、標準的な \(\mathbf{Z}\)-代数写像 \(res : A^*(Y) \to A^*(Y')\) がある。 文献ではこの写像をしばしば \(f^*\) と表す。

補題

\((S, \delta)\) を状況 02QL のとおりとし、\(X\) を \(S\) 上局所有限型とする。 \(\mathcal{L}\) を可逆 \(\mathcal{O}_X\)-加群とする。このとき、各 \(f : X' \to X\) に \(c_1(f^*\mathcal{L}) \cap - : \CH_k(X') \to \CH_{k - 1}(X')\) を対応させる規則は 次数 \(1\) の双変類である。

証明

これは補題 02TI, 02SU, 02SS, 0B72 から従う。

上の補題により、ようやく次の定義が可能になる。

定義

\((S, \delta)\) を状況 02QL のとおりとし、\(X\) を \(S\) 上局所有限型とする。 \(\mathcal{L}\) を可逆 \(\mathcal{O}_X\)-加群とする。\(\mathcal{L}\) の 第一 Chern 類 \(c_1(\mathcal{L}) \in A^1(X)\) とは、補題 0B77 の双変類をいう。

有限局所自由加群の Chern 類は節 02U4 で構成する。 \(c_1(\mathcal{L})\) が \(A^*(X)\) の中心に属することを証明しよう。

補題

\((S, \delta)\) を状況 02QL のとおりとし、\(X\) を \(S\) 上局所有限型とする。 \(\mathcal{L}\) を可逆 \(\mathcal{O}_X\)-加群とする。このとき次が成り立つ。

1. \(c_1(\mathcal{L}) \in A^1(X)\) は \(A^*(X)\) の中心に属する。

2. \(f : X' \to X\) が局所有限型で \(c \in A^*(X' \to X)\) ならば、 \(c \circ c_1(\mathcal{L}) = c_1(f^*\mathcal{L}) \circ c\) である。

証明

もちろん (2) から (1) が従う。\(p : L \to X\) を補題 0B74 のとおりとし、 \(o : X \to L\) を零切断とする。それらの基底変換を \(p' : L' \to X'\) および \(o' : X' \to L'\) と表す。 補題 0F96 により \[p^*(c_1(\mathcal{L}) \cap \alpha) = - o_* \alpha \quad\text{and}\quad (p')^*(c_1(f^*\mathcal{L}) \cap \alpha') = - o'_* \alpha'\] である。\(c\) は双変類なので \[\begin{align*} (p')^*(c \cap c_1(\mathcal{L}) \cap \alpha) & = c \cap p^*(c_1(\mathcal{L}) \cap \alpha) \\ & = - c \cap o_* \alpha \\ & = - o'_*(c \cap \alpha) \\ & = (p')^*(c_1(f^*\mathcal{L}) \cap c \cap \alpha) \end{align*}\] を得る。上で引用した補題の一つにより \((p')^*\) は単射なので \(c \cap c_1(\mathcal{L}) \cap \alpha = c_1(f^*\mathcal{L}) \cap c \cap \alpha\) である。 同じことが任意の局所有限型基底変換 \(Y \to X\) の後にも成り立つので、 (2) の双変類の等式を得る。

補題

\((S, \delta)\) を状況 02QL のとおりとする。\(X\) を、豊富な可逆層をもつ \(S\) 上有限型なスキームとする。\(d = \dim(X) < \infty\) と仮定する （ここでいう次元は通常の次元であり、\(\delta\)-次元ではない）。 このとき、\(X\) 上の任意の可逆層 \(\mathcal{L}_1, \ldots, \mathcal{L}_{d + 1}\) に対して \(A^{d + 1}(X)\) において \(c_1(\mathcal{L}_1) \circ \ldots \circ c_1(\mathcal{L}_{d + 1}) = 0\) が成り立つ。

証明

\(d\) に関する帰納法で証明する。\(d = 0\) の場合、\(X\) は閉点の有限集合であり、 したがってすべての可逆加群は自明なので、主張は成り立つ。\(d > 0\) と仮定する。 『因子』の補題 0AYM により、ある有効 Cartier 因子 \(D, D' \subset X\) を用いて \(\mathcal{L}_{d + 1} \cong \mathcal{O}_X(D) \otimes \mathcal{O}_X(D')^{\otimes -1}\) と書ける。このとき \(c_1(\mathcal{L}_{d + 1})\) は \(c_1(\mathcal{O}_X(D))\) と \(c_1(\mathcal{O}_X(D'))\) の差であるから、 \(\mathcal{L}_{d + 1} = \mathcal{O}_X(D)\)（ここで D は有効 Cartier 因子）と仮定してよい。

\(i : D \to X\) を包含射とし、\(i^* \in A^1(D \to X)\) を 補題 0B79 の Gysin 準同型が与える双変類とする。 補題 02T9 により \(A^1(X)\) において \(i_* \circ i^* = c_1(\mathcal{L}_{d + 1})\) である （左辺が意味をもつことには補題 0EPK も用いる）。 \(c_1(\mathcal{L}_i)\) は \(i_*\) と \(i^*\) の双方と可換なので （双変類の定義による）、次を得る。 \[c_1(\mathcal{L}_1) \circ \ldots \circ c_1(\mathcal{L}_{d + 1}) = i_* \circ c_1(\mathcal{L}_1) \circ \ldots \circ c_1(\mathcal{L}_d) \circ i^* = i_* \circ c_1(\mathcal{L}_1|_D) \circ \ldots \circ c_1(\mathcal{L}_d|_D) \circ i^*\] \(X\) の生成点はいずれも \(D\) に属さないため \(\dim(D) < d\) であり、 \(d\) に関する帰納法から結論が従う。

注意

\((S, \delta)\) を状況 02QL のとおりとする。 \(Z \to X\) を \(S\) 上局所有限型なスキームの閉埋め込みとし、\(p \geq 0\) とする。 この設定で \[A^{(p)}(Z \to X) = \prod\nolimits_{i \leq p - 1} A^i(X) \times \prod\nolimits_{i \geq p} A^i(Z \to X).\] と定める。このとき \(A^{(p)}(Z \to X)\) は標準的に次数付き代数の構造をもつ。 実際、より一般に積 \[A^{(p)}(Z \to X) \times A^{(q)}(Z \to X) \longrightarrow A^{(\max(p, q))}(Z \to X)\] がある。これらを定義するため、次の写像を定める。 \[\begin{align*} A^i(Z \to X) \times A^j(X) & \to A^{i + j}(Z \to X) \\ A^i(X) \times A^j(Z \to X) & \to A^{i + j}(Z \to X) \\ A^i(Z \to X) \times A^j(Z \to X) & \to A^{i + j}(Z \to X) \end{align*}\] 第一の写像には双変類の合成を用いる。第二の写像には制限 \(A^i(X) \to A^i(Z)\)（注意 0F9Z）と合成 \(A^i(Z) \times A^j(Z \to X) \to A^{i + j}(Z \to X)\) を用いる。 第三の写像では \((c, c')\) を \(res(c) \circ c'\) に送る。ここで \(res : A^i(Z \to X) \to A^i(Z)\) は制限写像である （注意 0F9Z を参照）。 これらの積が適切な意味で結合的であることの検証は省略する。

注意

\((S, \delta)\) を状況 02QL のとおりとする。 \(Z \to X\) を \(S\) 上局所有限型なスキームの閉埋め込みとする。 注意 0F9Z の制限写像を \(res : A^p(Z \to X) \to A^p(Z)\) と表す。 \(c \in A^p(Z \to X)\) に対し、\(\alpha \in \CH_*(Z)\) ならば \(res(c) \cap \alpha = c \cap i_*\alpha\) である。 実際、\(res(c) \cap \alpha = c \cap \alpha\) であり、\(c\) と固有押し出しとの両立性から \((Z \to Z)_*(c \cap \alpha) = c \cap (Z \to X)_*\alpha\) を得る。

双変類に関する補題

この節では双変類に関するいくつかの初等的な結果を証明する。 まず、演算が有理同値を通して定まるための判定法を与える。

補題

\((S, \delta)\) を状況 02QL のとおりとする。 \(f : X \to Y\) を \(S\) 上局所有限型なスキームの射とし、\(p \in \mathbf{Z}\) とする。 任意の局所有限型射 \(Y' \to Y\) と任意の \(k\) に対して写像 \[c \cap - : Z_k(Y') \longrightarrow \CH_{k - p}(X')\] を対応させる規則が与えられているとする。ここで \(Y' = X' \times_X Y\) であり、 \(\mathcal{L}'|_{D'} \cong \mathcal{O}_{D'}\) であるときには 定義 0B76 の条件 (3) を満たすものとする。 このとき \(c \cap -\) は有理同値を通して定まる。

証明

この主張が意味をもつことをまず確認する。定義 02T8 の 三つ組 \((\mathcal{L}, s, i : D \to X)\) が \(\mathcal{L}|_D \cong \mathcal{O}_D\) を満たすとき、演算 \(i^*\) はサイクルのレベルで 定義されるからである。注意 0B6Z を参照。 \(\alpha \in Z_k(X')\) を零と有理同値なサイクルとする。 \(c \cap \alpha = 0\) を示せばよい。補題 02S4 により、 \(\alpha = i_0^*\beta - i_\infty^*\beta\) を満たすサイクル \(\beta \in Z_{k + 1}(X' \times \mathbf{P}^1)\) が存在する。ここで \(i_0, i_\infty : X' \to X' \times \mathbf{P}^1\) は \(0, \infty\) 上の \(X'\) の閉埋め込みである。これらは自明な法束をもつ有効 Cartier 因子の例なので、 \(c \cap i_0^*\beta = j_0^*(c \cap \beta)\) および \(c \cap i_\infty^*\beta = j_\infty^*(c \cap \beta)\) である。 ここで \(j_0, j_\infty : Y' \to Y' \times \mathbf{P}^1\) は先と同様の閉埋め込みである。 補題 02S4 から \(j_0^*(c \cap \beta) \sim_{rat} j_\infty^*(c \cap \beta)\) なので、結論を得る。

補題

\((S, \delta)\) を状況 02QL のとおりとする。 \(f : X \to Y\) を \(S\) 上局所有限型なスキームの射とし、\(p \in \mathbf{Z}\) とする。 任意の局所有限型射 \(Y' \to Y\) と任意の \(k\) に対して写像 \[c \cap - : \CH_k(Y') \longrightarrow \CH_{k - p}(X')\] を対応させる規則が与えられているとする。ここで \(Y' = X' \times_X Y\) であり、 定義 0B76 の条件 (1), (2) と、 \(\mathcal{L}'|_{D'} \cong \mathcal{O}_{D'}\) である場合の条件 (3) を満たすものとする。 このとき \(c \cap -\) は双変類である。

証明

\(Y' \to Y\) を局所有限型なスキームの射とする。 \((\mathcal{L}', s', i' : D' \to Y')\) を定義 02T8 の とおりとし、その \(X'\) への引き戻しを \((\mathcal{N}', t', j' : E' \to X')\) とする。 すべての \(\alpha' \in \CH_k(Y')\) に対して \(c \cap (i')^*\alpha' = (j')^*(c \cap \alpha')\) を示す必要がある。

補題 0F99 で構成した、相対次元 \(1\) の滑らかな射 \(g : Y'' \to Y'\) と、\(i'' : D'' \to Y''\) および \(p : D'' \to D'\) を用いる。 （注意：\(D''\) は \(D'\) の完全な逆像ではない。） \(X' \to Y'\) によるそれらの基底変換を \(f : X'' \to X'\) および \(E'' \subset X''\) と表す。図式は \[\xymatrix{ & X'' \ar[rr] \ar'[d][dd]_h & & Y'' \ar[dd]^g \\ E'' \ar[rr] \ar[dd]_q \ar[ru]^{j''} & & D'' \ar[dd]^p \ar[ru]^{i''} & \\ & X' \ar'[r][rr] & & Y' \\ E' \ar[rr] \ar[ru]^{j'} & & D' \ar[ru]^{i'} }\] である。補題で与えられた性質により、\(\beta' = (i')^*\alpha'\) は \(p^*\beta' = (i'')^*g^*\alpha'\) を満たす \(\CH_{k - 1}(D')\) の一意な元である。 同様に、\(\gamma' = (j')^*(c \cap \alpha')\) は \(q^*\gamma' = (j'')^*h^*(c \cap \alpha')\) を満たす \(\CH_{k - 1 - p}(E')\) の一意な元である。一方、\(c\) に関する仮定から \[(j'')^*h^*(c \cap \alpha') = (j'')^*(c \cap g^*\alpha') = c \cap (i'')^*g^*\alpha'\] である。ここで、補題の主張で仮定した条件 (3) の修正版は、\(i''\) とその基底変換 \(j''\) に適用できることに注意する。同様に \[q^*(c \cap \beta') = c \cap p^*\beta'\] である。したがって、上で述べた一意性から \(\gamma' = c \cap \beta'\) を得る。

次に、双変類が零となるための判定法を与える。

補題

\((S, \delta)\) を状況 02QL のとおりとする。 \(f : X \to Y\) を \(S\) 上局所有限型なスキームの射とし、\(c \in A^p(X \to Y)\) とする。 \(Y'' \to Y' \to Y\) に対して \(X'' = Y'' \times_Y X\) および \(X' = Y' \times_Y X\) とおく。次の条件は同値である。

1. \(c\) は零である。

2. \(Y\) 上局所有限型な任意の整スキーム \(Y'\) に対し、 \(\CH_*(X')\) において \(c \cap [Y'] = 0\) である。

3. \(Y\) 上局所有限型な任意の整スキーム \(Y'\) に対し、 \(\CH_*(X'')\) において \(c \cap [Y''] = 0\) となるような固有双有理射 \(Y'' \to Y'\) が存在する。

証明

含意 (1) \(\Rightarrow\) (2) \(\Rightarrow\) (3) は明らかである。 条件 (3) から (2) が従う。実際、\((Y'' \to Y')_*[Y''] = [Y']\) であり、 \(c\) は双変類なので \(c \cap [Y'] = (X'' \to X')_*(c \cap [Y''])\) である。 条件 (2) を仮定する。\(Y' \to Y\) を局所有限型とし、\(\alpha \in \CH_k(Y')\) とする。 \(Y'_i \subset Y'\) を \(\delta\)-次元 \(k\) の整閉部分スキームの局所有限族として \(\alpha = \sum n_i [Y'_i]\) と書く。このとき \(\alpha\) は、固有射 \(Y'' \to Y'\) による、 \(Y'' = \coprod Y'_i\) 上のサイクル \(\alpha' = \sum n_i[Y'_i]\) の押し出しである。 双変類の性質により、\(\CH_{k - p}(X'')\) において \(c \cap \alpha' = 0\) であることを示せば十分である。 \(X'_i = Y'_i \times_Y X\) とおけば \(\CH_{k - p}(X'') = \prod \CH_{k - p}(X'_i)\) である。これは定義から直ちに従う。 射影写像 \(\CH_{k - p}(X'') \to \CH_{k - p}(X'_i)\) は平坦引き戻しで与えられる。 \(c\) とのキャップ積は平坦引き戻しと可換なので、\(\CH_{k - p}(X'_i)\) において \(c \cap [Y'_i]\) が零であることを示せば十分であり、これは仮定から成り立つ。

補題

\((S, \delta)\) を状況 02QL のとおりとする。 \(f : X \to Y\) を \(S\) 上局所有限型なスキームの射とする。 開かつ閉な部分スキームによる非交和分解 \(X = \coprod_{i \in I} X_i\) および \(Y = \coprod_{j \in J} Y_j\) と、 \(f(X_i) \subset Y_{a(i)}\) を満たす集合の写像 \(a : I \to J\) があると仮定する。 このとき \[A^p(X \to Y) = \prod\nolimits_{i \in I} A^p(X_i \to Y_{a(i)})\] である。

証明

元 \((c_i) \in \prod_i A^p(X_i \to Y_{a(i)})\) が与えられたとする。 \(\beta \in \CH_k(Y)\) に対し、\(X_i\) への制限が \(c_i \cap \beta|_{Y_{a(i)}}\) である \(\CH_{k - p}(X)\) の元を対応させることができる。 これは \(\CH_{k - p}(X) = \prod_i \CH_{k - p}(X_i)\) だからである。 同じ構成は任意の局所有限型基底変換 \(Y' \to Y\) の後にも機能し、 \(c \in A^p(X \to Y)\) を得る。したがって式の右辺から左辺への写像 \(\Psi\) を得る。 逆に、\(c \in A^p(X \to Y)\) と元 \(\beta_i \in \CH_k(Y_{a(i)})\) が与えられたとき、 \(\CH_{k - p}(X_i)\) の元 \((c \cap (Y_{a(i)} \to Y)_*\beta_i)|_{X_i}\) を考えられる。 同じ構成は任意の局所有限型基底変換 \(Y' \to Y\) の後にも機能し、 \(c_i \in A^p(X_i \to Y_{a(i)})\) を得る。したがって式の左辺から右辺への写像 \(\Phi\) を得る。\(\Phi \circ \Psi = \text{id}\) は直ちに分かる。 逆向きを示すため、\(c \in A^p(X \to Y)\), \(\beta \in \CH_k(Y)\) とし、 \(\Phi(c) = (c_i)\) と書く。\(j \in J\) とする。 \(c\) は平坦引き戻しと可換なので \[(c \cap \beta)|_{\coprod_{a(i) = j} X_i} = c \cap \beta|_{Y_j}\] を得る。また \(c\) は固有押し出しと可換なので \[(\coprod\nolimits_{a(i) = j} X_i \to X)_* ((c \cap \beta)|_{\coprod_{a(i) = j} X_i}) = c \cap (Y_j \to Y)_*\beta|_{Y_j}\] を得る。左辺は、\(a(i) = j\) を満たす \(i \in I\) について \(X_i\) への制限が \((c \cap \beta)|_{X_i}\) であり、それ以外では \(0\) である \(X\) 上のサイクルである。 右辺は、\(a(i) = j\) を満たす \(i \in I\) について \(X_i\) への制限が \(c_i \cap \beta|_{Y_j}\) である \(X\) 上のサイクルである。 したがって所望のとおり \(c \cap \beta = \Psi((c_i))\) である。

注意

\((S, \delta)\) を状況 02QL のとおりとする。 \(f : X \to Y\) を \(S\) 上局所有限型なスキームの射とする。 \(X = \coprod_{i \in I} X_i\) および \(Y = \coprod_{j \in J} Y_j\) を、 \(X\) と \(Y\) の連結成分への分解とする（\(X\) と \(Y\) は局所 Noether なので連結成分は開である。 『位相』の補題 04MF および 『スキームの性質』の補題 01OZ を参照）。 \(f(X_i) \subset Y_{a(i)}\) を満たす添字を \(a(i) \in J\) とする。 補題 0FDZ により \(A^p(X \to Y) = \prod A^p(X_i \to Y_{a(i)})\) である。 この設定では \[A^*(X \to Y)^\wedge = \prod\nolimits_i A^*(X_i \to Y_{a(i)})\] とおくと便利である。この「完備化された」双変群は \[A^*(X \to Y)^\wedge \quad\subset\quad \prod\nolimits_{p \geq 0} A^p(X \to Y)\] のうち、各連結成分 \(X_i\) について、ほとんどすべての \(p\) に対して \(c_p\) の \(A^p(X_i \to Y_{a(i)})\) における像が零となる元 \(c = (c_0, c_1, c_2, \ldots)\) からなる部分集合である。 \(Y \to Z\) をもう一つの射とすると、合成 \(A^*(X \to Y) \times A^*(Y \to Z) \to A^*(X \to Z)\) は、完備化の合成 \(A^*(X \to Y)^\wedge \times A^*(Y \to Z)^\wedge \to A^*(X \to Z)^\wedge\) へ拡張される。 \(A^*(X)^\wedge = A^*(X \to X)^\wedge\) を \(X\) の 完備化双変コホモロジー環 と呼ぶことがある。

補題

\((S, \delta)\) を状況 02QL のとおりとする。 \(f : X \to Y\) を \(S\) 上局所有限型なスキームの射とする。 \(g : Y' \to Y\) を包絡射（定義 0GU5）とし、 \(X' = Y' \times_Y X\) と表す。\(p \in \mathbf{Z}\) とし、 \(c' \in A^p(X' \to Y')\) とする。二つの制限が等しく \[res_1(c') = res_2(c') \in A^p(X' \times_X X' \to Y' \times_Y Y')\] なるとする（証明を参照）。このとき、\(A^p(X' \to Y')\) における制限が \(res(c) = c'\) となる一意な \(c \in A^p(X \to Y)\) が存在する。

証明

可換図式 \[\xymatrix{ X' \times_X X' \ar[d]^{f''} \ar@<1ex>[r]^-a \ar@<-1ex>[r]_-b & X' \ar[d]^{f'} \ar[r]_h & X \ar[d]^f \\ Y' \times_Y Y' \ar@<1ex>[r]^-p \ar@<-1ex>[r]_-q & Y' \ar[r]^g & Y }\] がある。元 \(res_1(c')\) は、射 \(a, f', p, f''\) からなる Cartesian 正方形に関する \(c'\) の制限（注意 0F9Z を参照）であり、元 \(res_2(c')\) は 射 \(b, f', q, f''\) からなる Cartesian 正方形に関する \(c'\) の制限である。 \(res_1(c') = res_2(c')\) と仮定し、\(\beta \in \CH_k(Y)\) とする。 補題 0GU8 により \(g_*\beta' = \beta\) を満たす \(\beta' \in \CH_k(Y')\) を選べる。そこで \[c \cap \beta = h_*(c' \cap \beta')\] とおく。これが \(\beta'\) の選び方に依存しないことを示すには、 \(\gamma \in \CH_k(Y' \times_Y Y')\) に対して \(h_*(c' \cap (p_*\gamma - q_*\gamma))\) が零であることを示せば十分である。 \(c'\) は双変類なので \[h_*(c' \cap (p_*\gamma - q_*\gamma)) = h_*(a_*(c' \cap \gamma) - b_*(c' \cap \gamma)) = 0\] である。最後の等式は \(h \circ a = h \circ b\) から \(h_* \circ a_* = h_* \circ b_*\) となることによる。

この \(c \cap \beta\) の選び方は、\(res(c) = c'\) という要請と、 双変類の固有押し出しとの両立性によって強制されることに注意する。

もちろん、双変類 \(c\) を定義するには、定義 0B76 に列挙された 条件を満たす任意の局所有限型射 \(Y_1 \to Y\) に対し、写像 \(c \cap -: \CH_k(Y_1) \to \CH_{k + p}(Y_1 \times_Y X)\) を構成する必要がある。 \(Y'_1 = Y' \times_Y Y_1\), \(X_1 = X \times_Y Y_1\) と表す。 補題 0GU7 により射 \(Y'_1 \to Y_1\) は包絡射である。 したがって、基底変換した図式 \[\xymatrix{ X'_1 \times_{X_1} X'_1 \ar[d]^{f''_1} \ar@<1ex>[r]^-{a_1} \ar@<-1ex>[r]_-{b_1} & X'_1 \ar[d]^{f'_1} \ar[r]_{h_1} & X_1 \ar[d]^{f_1} \\ Y'_1 \times_{Y_1} Y'_1 \ar@<1ex>[r]^-{p_1} \ar@<-1ex>[r]_-{q_1} & Y'_1 \ar[r]^{g_1} & Y_1 }\] と同じ議論を用いて、先と同様に良定義な写像 \(c \cap - : \CH_k(Y_1) \to \CH_{k + p}(X_1)\) を得る。

次に、\(c\) について定義 0B76 の条件 (1), (2), (3) を 確認しなければならない。例えば、\(t : Y_2 \to Y_1\) を \(Y\) 上局所有限型なスキームの固有射とする。上と同様に、第一の図式の \(Y_1\), resp. \(Y_2\) への基底変換を添字 \({}_1\), resp. \({}_2\) で表す。 \(t\) の \(Y'\), \(X\), \(X'\) への基底変換をそれぞれ \(t' : Y'_2 \to Y'_1\), \(s : X_2 \to X_1\), \(s' : X'_2 \to X'_1\) と表す。示すべきことは \[s_*(c \cap \beta_2) = c \cap t_*\beta_2\] である。ここで \(\beta_2 \in \CH_k(Y_2)\) である。 \(g_{2, *}\beta'_2 = \beta_2\) を満たす \(\beta'_2 \in \CH_k(Y'_2)\) を選ぶ。 \(c'\) は双変類であり、図式 \[\vcenter{ \xymatrix{ X'_2 \ar[d]_{s'} \ar[r]_{h_2} & X_2 \ar[d]^s \\ X'_1 \ar[r]^{h_1} & X_1 } } \quad\text{and}\quad \vcenter{ \xymatrix{ X'_2 \ar[d]_{s'} \ar[r]_{f'_2} & Y'_2 \ar[d]^{t'} \\ X'_2 \ar[r]^{f'_1} & Y'_1 } }\] は Cartesian なので \[s_*(c \cap \beta_2) = s_*(h_{2, *}(c' \cap \beta'_2)) = h_{1, *}s'_*(c' \cap \beta'_2) = h_{1, *}(c' \cap (t'_*\beta'_2))\] を得る。最後の式は構成により \(c \cap t_*\beta_2\) を計算している。 実際、\(t'_*\beta'_2 \in \CH_k(Y'_1)\) の \(g_{1, *}\) による像は \(t_*\beta_2\) である。これで条件 (1) が示された。 他の条件も同様に示されるので、詳しい議論は省略する。

射影空間束公式

\((S, \delta)\) を状況 02QL のとおりとし、\(X\) を \(S\) 上局所有限型とする。 階数 \(r\) の有限局所自由 \(\mathcal{O}_X\)-加群 \(\mathcal{E}\) を考える。 本章では、\(\mathcal{E}\) に 付随する射影束 を射 \[\xymatrix{ \mathbf{P}(\mathcal{E}) = \underline{\text{Proj}}_X(\text{Sym}^*(\mathcal{E})) \ar[r]^-\pi & X }\] とする。ただし \(X\) 上で \(\mathcal{O}_{\mathbf{P}(\mathcal{E})}(1)\) を \(\pi_*(\mathcal{O}_{\mathbf{P}(\mathcal{E})}(1)) = \mathcal{E}\) となるよう正規化する。 特に全射 \(\pi^*\mathcal{E} \to \mathcal{O}_{\mathbf{P}(\mathcal{E})}(1)\) がある。 略式に「\((\pi : P \to X, \mathcal{O}_P(1))\) を \(\mathcal{E}\) に付随する射影束とする」 と言うときは、\(P = \mathbf{P}(\mathcal{E})\) かつ \(\mathcal{O}_P(1) = \mathcal{O}_{\mathbf{P}(\mathcal{E})}(1)\) である状況を意味する。

補題

\((S, \delta)\) を状況 02QL のとおりとし、\(X\) を \(S\) 上局所有限型とする。 \(\mathcal{E}\) を階数 \(r\) の有限局所自由 \(\mathcal{O}_X\)-加群 \(\mathcal{E}\) とする。 \((\pi : P \to X, \mathcal{O}_P(1))\) を \(\mathcal{E}\) に付随する射影束とする。 任意の \(\alpha \in \CH_k(X)\) に対し、元 \[\pi_*\left( c_1(\mathcal{O}_P(1))^s \cap \pi^*\alpha \right) \in \CH_{k + r - 1 - s}(X)\] は \(s < r - 1\) のとき \(0\) であり、\(s = r - 1\) のとき \(\alpha\) に等しい。

証明

\(Z \subset X\) を \(\delta\)-次元 \(k\) の整閉部分スキームとする。 \(\pi^{-1}(Z)\) は \(\delta\)-次元 \(r - 1\) の整スキームなので、 \(\pi^*[Z] = [\pi^{-1}(Z)]\) であることに注意する。 \(s < r - 1\) ならば、構成により \(c_1(\mathcal{O}_P(1))^s \cap \pi^*[Z]\) は \(\pi^{-1}(Z)\) に台をもつ \((k + r - 1 - s)\)-サイクルで表される。したがって次元上の理由から、 このサイクルの押し出しは零である。

\(s = r - 1\) とする。上の議論により、ある \(n \in \mathbf{Z}\) に対して \(\pi_*(c_1(\mathcal{O}_P(1))^s \cap \pi^*\alpha) = n [Z]\) である。 \(n = 1\) を示したい。上と同じ次元上の理由により、\(T \subset Z\) を真の閉部分集合として \(X\) を \(X \setminus T\) に置き換えた後に主張を示せば十分である。 \(\xi\) を \(Z\) の生成点とする。\(\mathcal{E}_\xi\) の基底の一部をなす元 \(e_1, \ldots, e_{r - 1} \in \mathcal{E}_\xi\) を選べる。 これらは \(\mathcal{O}_P(1)|_{\pi^{-1}(Z)}\) の有理切断 \(s_1, \ldots, s_{r - 1}\) を与える。その共通零点集合は、 \(\mathbf{P}(\mathcal{E}|_Z) \to Z\) のある有理切断の像の閉包と、台が \(Z\) の真の閉部分集合 \(T\) に写る閉部分集合との合併である。\(X\) から \(T\) を除き、それに応じて \(P\) から \(\pi^{-1}(T)\) を除けば、\(s_1, \ldots, s_n\) は大域切断の列 \(s_i \in \Gamma(\pi^{-1}(Z), \mathcal{O}_{\pi^{-1}(Z)}(1))\) をなし、 その共通零点集合は切断 \(Z \to \pi^{-1}(Z)\) の像である。したがって順次 \[\begin{eqnarray*} \pi^*[Z] & = & [\pi^{-1}(Z)] \\ c_1(\mathcal{O}_P(1)) \cap \pi^*[Z] & = & [Z(s_1)] \\ c_1(\mathcal{O}_P(1))^2 \cap \pi^*[Z] & = & [Z(s_1) \cap Z(s_2)] \\ \ldots & = & \ldots \\ c_1(\mathcal{O}_P(1))^{r - 1} \cap \pi^*[Z] & = & [Z(s_1) \cap \ldots \cap Z(s_{r - 1})] \end{eqnarray*}\] を得る。これは補題 02SQ を繰り返し適用したものである。 \(Z\) 上の \(\pi\) の切断の像を \(\pi\) で押し出すと明らかに \([Z]\) になるので、 \(\alpha = [Z]\) の場合の結論を得る。これらの議論から一般のサイクル \(\alpha = \sum n_j [Z_j]\) に対する結論が従うことの検証は省略する。

補題

\((S, \delta)\) を状況 02QL のとおりとし、\(X\) を \(S\) 上局所有限型とする。 \(\mathcal{E}\) を階数 \(r\) の有限局所自由 \(\mathcal{O}_X\)-加群 \(\mathcal{E}\) とする。\((\pi : P \to X, \mathcal{O}_P(1))\) を \(\mathcal{E}\) に付随する射影束とする。写像 \[\bigoplus\nolimits_{i = 0}^{r - 1} \CH_{k + i}(X) \longrightarrow \CH_{k + r - 1}(P),\] \[(\alpha_0, \ldots, \alpha_{r-1}) \longmapsto \pi^*\alpha_0 + c_1(\mathcal{O}_P(1)) \cap \pi^*\alpha_1 + \ldots + c_1(\mathcal{O}_P(1))^{r - 1} \cap \pi^*\alpha_{r-1}\] は同型である。

証明

\(k \in \mathbf{Z}\) を固定する。まず写像が単射であることを示す。 左辺の元 \((\alpha_0, \ldots, \alpha_{r - 1})\) の像が零であるとする。 補題 02TW により \[0 = \pi_*(\pi^*\alpha_0 + c_1(\mathcal{O}_P(1)) \cap \pi^*\alpha_1 + \ldots + c_1(\mathcal{O}_P(1))^{r - 1} \cap \pi^*\alpha_{r-1}) = \alpha_{r - 1}\] である。次に \[0 = \pi_*(c_1(\mathcal{O}_P(1)) \cap (\pi^*\alpha_0 + c_1(\mathcal{O}_P(1)) \cap \pi^*\alpha_1 + \ldots + c_1(\mathcal{O}_P(1))^{r - 2} \cap \pi^*\alpha_{r - 2})) = \alpha_{r - 2}\] を得る。以下同様である。したがって写像は単射である。

写像が全射であることを示せばよい。 \(X_i\), \(i \in I\) を \(X\) の既約成分とする。このとき \(P_i = \mathbf{P}(\mathcal{E}|_{X_i})\), \(i \in I\) は \(P\) の既約成分である。 可換図式 \[\xymatrix{ \coprod P_i \ar[d]_{\coprod \pi_i} \ar[r]_p & P \ar[d]^\pi \\ \coprod X_i \ar[r]^q & X }\] を考える。\(p_*\) は全射であることに注意する。 \(\beta \in \CH_k(\coprod X_i)\) ならば \(\pi^* q_* \beta = p_*(\coprod \pi_i)^* \beta\) である。 補題 02RG を参照。 補題 02SU により \(c_1(\mathcal{O}(1))\) とのキャップ積についても同様である。 したがって、各射 \(\pi_i : P_i \to X_i\) に対して補題の写像が全射ならば、 \(\pi : P \to X\) に対しても全射である。ゆえに \(X\) は既約と仮定してよい。 すると \(\dim_\delta(X) < \infty\) であり、特に \(\dim_\delta(X)\) に関する帰納法を使える。

\(\dim_\delta(X) < k\) ならば結論は明らかである。 \(\alpha \in \CH_{k + r - 1}(P)\) とする。任意の局所閉部分スキーム \(T \subset X\) に対し、 \(\gamma_T : \bigoplus \CH_{k + i}(T) \to \CH_{k + r - 1}(\pi^{-1}(T))\) を写像 \[\gamma_T(\alpha_0, \ldots, \alpha_{r - 1}) = \pi^*\alpha_0 + \ldots + c_1(\mathcal{O}_{\pi^{-1}(T)}(1))^{r - 1} \cap \pi^*\alpha_{r - 1}.\] とする。ある空でない開集合 \(U \subset X\) に対して \(\alpha|_{\pi^{-1}(U)} = \gamma_U(\alpha_0, \ldots, \alpha_{r - 1})\) であるとする。 このとき持ち上げ \(\alpha'_i \in \CH_{k + i}(X)\) を選べる。 補題 02RX により \(\alpha - \gamma_X(\alpha'_0, \ldots, \alpha'_{r - 1})\) は、 \(Y = X \setminus U\) を被約閉部分スキームとみたとき、 \(P_Y = \mathbf{P}(\mathcal{E}|_Y)\) 上の \(k\)-サイクルと有理同値である。 \(\dim_\delta(Y) < \dim_\delta(X)\) であることに注意する。 帰納法により \(P_Y \to Y\) に対して結論が成り立つので、\(\alpha\) に対しても成り立つ。 したがって \(X\) を \(X\) の任意の空でない開部分に置き換えてよい。

特に \(\mathcal{E} \cong \mathcal{O}_X^{\oplus r}\) と仮定してよい。 この場合 \(\mathbf{P}(\mathcal{E}) = X \times \mathbf{P}^{r - 1}\) である。 成層 \[\mathbf{P}^{r - 1} = \mathbf{A}^{r - 1} \amalg \mathbf{A}^{r - 2} \amalg \ldots \amalg \mathbf{A}^0\] を用いる。各層の閉包は \(\mathbf{P}^{r - 1 - i}\) であり、 \(c_1(\mathcal{O}(1))^i \cap [\mathbf{P}^{r - 1}]\) の代表である。 したがって \(P\) にも同様の成層 \[P = U^{r - 1} \amalg U^{r - 2} \amalg \ldots \amalg U^0\] がある。\(P^i\) を \(U^i\) の閉包とし、\(\pi^i : P^i \to X\) を \(\pi\) の \(P^i\) への制限とする。 \(\alpha \in \CH_{k + r - 1}(P)\) とする。補題 02TT により、ある \(\alpha_0 \in \CH_k(X)\) に対して \(\alpha|_{U^{r - 1}} = \pi^*\alpha_0|_{U^{r - 1}}\) と書ける。 したがって差 \(\alpha - \pi^*\alpha_0\) は、ある \(\alpha' \in \CH_{k + r - 1}(P^{r - 2})\) の像である。 再び補題 02TT により、ある \(\alpha_1 \in \CH_{k + 1}(X)\) に対して \(\alpha'|_{U^{r - 2}} = (\pi^{r - 2})^*\alpha_1|_{U^{r - 2}}\) と書ける。 補題 02TR により \((\pi^{r - 2})^*\alpha_1\) の像は \(c_1(\mathcal{O}_P(1)) \cap \pi^*\alpha_1\) を表す。 また \(\alpha - \pi^*\alpha_0 - c_1(\mathcal{O}_P(1)) \cap \pi^*\alpha_1\) は、 ある \(\alpha'' \in \CH_{k + r - 1}(P^{r - 3})\) の像である。 以下同様である。

補題

\((S, \delta)\) を状況 02QL のとおりとし、\(X\) を \(S\) 上局所有限型とする。 \(\mathcal{E}\) を \(X\) 上の階数 \(r\) の有限局所自由層とする。 \[p : E = \underline{\Spec}(\text{Sym}^*(\mathcal{E})) \longrightarrow X\] を \(X\) 上の付随するベクトル束とする。このときすべての \(k\) に対して \(p^* : \CH_k(X) \to \CH_{k + r}(E)\) は同型である。

証明

（直線束の場合については補題 0B74 を参照。） 全射性については補題 02TT を参照する。 \((\pi : P \to X, \mathcal{O}_P(1))\) を、有限局所自由層 \(\mathcal{E} \oplus \mathcal{O}_X\) に付随する射影空間束とする。 大域切断 \((0, 1) \in \Gamma(X, \mathcal{E} \oplus \mathcal{O}_X)\) に対応する \(s \in \Gamma(P, \mathcal{O}_P(1))\) をとる。 \(D = Z(s) \subset P\) とする。 \((\pi|_D : D \to X , \mathcal{O}_P(1)|_D)\) は \(\mathcal{E}\) に付随する射影空間束である。 \(\pi_D = \pi|_D\) および \(\mathcal{O}_D(1) = \mathcal{O}_P(1)|_D\) と表す。 さらに \(D\) は \(P\) 上の有効 Cartier 因子である。したがって \(\mathcal{O}_P(D) = \mathcal{O}_P(1)\) である （『因子』の補題 01X0 を参照）。 また同型 \(E \cong P \setminus D\) がある。対応する開埋め込みを \(j : E \to P\) と表す。 単射性の証明には、 \[j^* : \CH_{k + r}(P) \longrightarrow \CH_{k + r}(E)\] の核が有効 Cartier 因子 \(D\) に台をもつサイクルであることを用いる。 補題 02RX を参照。 したがって \(p^*\alpha = 0\) ならば、ある \(\beta \in \CH_{k + r}(D)\) に対して \(\pi^*\alpha = i_*\beta\) である。 補題 02TX により \[\beta = \pi_D^*\beta_0 + \ldots + c_1(\mathcal{O}_D(1))^{r - 1} \cap \pi_D^* \beta_{r - 1}.\] と書ける。ここで \(\beta_i \in \CH_{k + i}(X)\) である。 補題 02TR および 02SU により、これは \[\pi^*\alpha = i_*\beta = c_1(\mathcal{O}_P(1)) \cap \pi^*\beta_0 + \ldots + c_1(\mathcal{O}_D(1))^r \cap \pi^*\beta_{r - 1}.\] を含意する。\(\mathcal{E} \oplus \mathcal{O}_X\) の階数は \(r + 1\) なので、 \(\alpha\) およびすべての \(\beta_i\) が零でない限り、これは 補題 02SU に矛盾する。

ベクトル束の Chern 類

射影空間束公式を用いると、階数 \(r\) のベクトル束の Chern 類を、 \(c_1(\mathcal{O}(1))^r\) の低い冪による展開を通じて定義できる。 式 (02U1) を参照。符号の理由は後で説明する。

定義

\((S, \delta)\) を状況 02QL のとおりとし、\(X\) を \(S\) 上局所有限型とする。 \(X\) は整で \(n = \dim_\delta(X)\) であると仮定する。 \(\mathcal{E}\) を \(X\) 上の階数 \(r\) の有限局所自由層とし、 \((\pi : P \to X, \mathcal{O}_P(1))\) を \(\mathcal{E}\) に付随する射影空間束とする。

1. 補題 02TX により、 \(c_0 = [X]\) かつ [02U1]\[\begin{equation} \sum\nolimits_{i = 0}^r (-1)^i c_1(\mathcal{O}_P(1))^i \cap \pi^*c_{r - i} = 0. \end{equation}\] を満たす元 \(c_i \in \CH_{n - i}(X)\), \(i = 0, \ldots, r\) が存在する。

2. 上の記号のもとで、\(\CH_{n - i}(X)\) の元として \(c_i(\mathcal{E}) \cap [X] = c_i\) とおく。 これらを \(X\) 上の \(\mathcal{E}\) の Chern 類 と呼ぶ。

3. \(X\) 上の \(\mathcal{E}\) の全 Chern 類 とは \[c({\mathcal E}) \cap [X] = c_0({\mathcal E}) \cap [X] + c_1({\mathcal E}) \cap [X] + \ldots + c_r({\mathcal E}) \cap [X]\] という和をいう。これは \(\CH_*(X) = \bigoplus_{k \in \mathbf{Z}} \CH_k(X)\) の元である。

ベクトル束の階数が \(1\) の場合、この定義が新しい概念を与えないことを確認しよう。

補題

\((S, \delta)\) を状況 02QL のとおりとし、\(X\) を \(S\) 上局所有限型とする。 \(X\) は整で \(n = \dim_\delta(X)\) であると仮定する。 \(\mathcal{L}\) を可逆 \(\mathcal{O}_X\)-加群とする。 定義 02U0 による \(X\) 上の \(\mathcal{L}\) の第一 Chern 類は、 定義 02SJ により \(\mathcal{L}\) に付随する Weil 因子に等しい。

証明

この証明では、\(c_1(\mathcal{L}) \cap [X]\) で 定義 02SJ の構成を表す。 \(\mathcal{L}\) の階数は \(1\) なので、本章の正規化により \(\mathbf{P}(\mathcal{L}) = X\) および \(\mathcal{O}_{\mathbf{P}(\mathcal{L})}(1) = \mathcal{L}\) である。 したがって (02U1) は \[(-1)^1 c_1(\mathcal{L}) \cap c_0 + (-1)^0 c_1 = 0\] となる。\(c_0 = [X]\) なので、所望の \(c_1 = c_1(\mathcal{L}) \cap [X]\) を得る。

注意

式 02U1 を [05M8]\[\begin{equation} \sum\nolimits_{i = 0}^r c_1(\mathcal{O}_P(-1))^i \cap \pi^*c_{r - i} = 0. \end{equation}\] と書き直すこともできる。しかし双対よりも、普遍的商層 \(\mathcal{O}_P(1)\) を扱う方が容易である。

Chern 類との交叉

この節では、\(X\) 上のベクトル束の Chern 類を \(X\) 上の双変類として定義する。 補題 0B7H とそれに続く議論を参照。 構成は、まず素サイクル上で演算を定義し、次に和をとるという通常の手順に従う。 補題 02U6 では、付随する射影束上の通常の公式によって 結果が決定されることを示す。次に、Chern 類とのキャップ積が有理同値を通して定まり、 固有押し出し、平坦引き戻し、および有効 Cartier 因子の包含に対する Gysin 写像と 可換であることを示す。これらの補題は、補題 02U6 の 特徴づけと補題 0EPK を直接用いれば避けることもできる。 詳細な展開を見たい読者は『代数空間の Chow 群』の補題 0ERY を参照されたい。

定義

\((S, \delta)\) を状況 02QL のとおりとし、\(X\) を \(S\) 上局所有限型とする。 \(\mathcal{E}\) を \(X\) 上の階数 \(r\) の有限局所自由層とする。 任意の整数 \(k\) と任意の \(0 \leq j \leq r\) に対して、演算 \[c_j(\mathcal{E}) \cap - : Z_k(X) \to \CH_{k - j}(X)\] を次のように定義し、\(\mathcal{E}\) の第 \(j\) Chern 類との交叉 と呼ぶ。

1. \(\delta\)-次元 \(k\) の整閉部分スキーム \(i : W \to X\) が与えられたとき \[c_j(\mathcal{E}) \cap [W] = i_*(c_j({i^*\mathcal{E}}) \cap [W]) \in \CH_{k - j}(X)\] と定める。ここで \(c_j({i^*\mathcal{E}}) \cap [W]\) は 定義 02U0 のとおりである。

2. 一般の \(k\)-サイクル \(\alpha = \sum n_i [W_i]\) に対して \[c_j(\mathcal{E}) \cap \alpha = \sum n_i c_j(\mathcal{E}) \cap [W_i]\] とおく。

\(\mathcal{E}\) の階数が \(1\) ならば、これは以前の定義 （定義 02SO）と補題 02U2 により一致する。

補題

\((S, \delta)\) を状況 02QL のとおりとし、\(X\) を \(S\) 上局所有限型とする。 \(\mathcal{E}\) を \(X\) 上の階数 \(r\) の有限局所自由層とする。 \((\pi : P \to X, \mathcal{O}_P(1))\) を \(\mathcal{E}\) に付随する射影束とする。 \(\alpha \in Z_k(X)\) に対し、元 \(c_j(\mathcal{E}) \cap \alpha\) は、 \(\alpha_0 = \alpha\) かつ \[\sum\nolimits_{i = 0}^r (-1)^i c_1(\mathcal{O}_P(1))^i \cap \pi^*(\alpha_{r - i}) = 0\] が \(P\) の Chow 群で成り立つような \(\CH_{k - j}(X)\) の一意な元 \(\alpha_j\) である。

証明

\(\alpha_0 = \alpha\) であり、かつ表示された等式を満たす \(\alpha_0, \ldots, \alpha_r\) の一意性は、射影空間束公式 補題 02TX から従う。 \(W\) が \(X\) の整閉部分スキームであるとき、等式は \(\alpha = [W]\) に対して定義により成り立つ。 一般の \(X\) 上の \(k\)-サイクル \(\alpha\) に対して、 \(n_a \not = 0\) かつ \(i_a : W_a \to X\) が相異なる整閉部分スキームとなるよう \(\alpha = \sum n_a[W_a]\) と書く。族 \(\{W_a\}\) は \(X\) 上局所有限である。 \(P_a = \pi^{-1}(W_a) = \mathbf{P}(\mathcal{E}|_{W_a})\) とおく。 対応する閉埋め込みを \(i'_a : P_a \to P\) と表す。ファイバー積図式 \[\xymatrix{ P' \ar@{=}[r] \ar[d]_{\pi'} & \coprod P_a \ar[d]_{\coprod \pi_a} \ar[r]_{\coprod i'_a} & P \ar[d]^\pi \\ X' \ar@{=}[r] & \coprod W_a \ar[r]^{\coprod i_a} & X }\] を考える。射 \(p : X' \to X\) は固有である。さらに \(\pi' : P' \to X'\) は、可逆層 \(\mathcal{O}_{P'}(1) = \coprod \mathcal{O}_{P_a}(1)\) と合わせて、 \(\mathcal{E}' = p^*\mathcal{E}\) に付随する射影束である。 この可逆層は \(\mathcal{O}_P(1)\) の引き戻しでもある。定義により \[c_j(\mathcal{E}) \cap [\alpha] = \sum i_{a, *}(c_j(\mathcal{E}|_{W_a}) \cap [W_a]).\] である。\(\beta_{a, j} = c_j(\mathcal{E}|_{W_a}) \cap [W_a]\) と書く。 これは \(\CH_{k - j}(W_a)\) の元である。定義により各 \(a\) に対して \[\sum\nolimits_{i = 0}^r (-1)^i c_1(\mathcal{O}_{P_a}(1))^i \cap \pi_a^*(\beta_{a, r - i}) = 0\] である。したがって明らかに \[\sum\nolimits_{i = 0}^r (-1)^i c_1(\mathcal{O}_{P'}(1))^i \cap (\pi')^*(\beta_{r - i}) = 0\] である。ここで \(\beta_j = \sum n_a\beta_{a, j} \in \CH_{k - j}(X')\) とする。 \(p' : P' \to P\) を射 \(\coprod i'_a\) とする。 補題 02RG により \(\pi^*p_*\beta_j = p'_*(\pi')^*\beta_j\) である。 補題 02SU の射影公式により \[\sum\nolimits_{i = 0}^r (-1)^i c_1(\mathcal{O}_P(1))^i \cap \pi^*(p_*\beta_j) = 0\] を得る。\(p_*\beta_j\) は \(c_j(\mathcal{E}) \cap \alpha\) の代表なので、結論を得る。

以後、Chern 類のこの特徴づけを一貫して用い、さらに多くの性質を証明する。

補題

\((S, \delta)\) を状況 02QL のとおりとし、\(X\) を \(S\) 上局所有限型とする。 \(\mathcal{E}\) を \(X\) 上の階数 \(r\) の有限局所自由層とする。 \(\alpha \sim_{rat} \beta\) が \(X\) 上の有理同値な \(k\)-サイクルならば、 \(\CH_{k - j}(X)\) において \(c_j(\mathcal{E}) \cap \alpha = c_j(\mathcal{E}) \cap \beta\) である。

証明

補題 02U6 により、元 \(\alpha_j = c_j(\mathcal{E}) \cap \alpha\), \(j \geq 1\) と \(\beta_j = c_j(\mathcal{E}) \cap \beta\), \(j \geq 1\) は、 \(\mathcal{E}\) に付随する射影束の Chow 群における 同じ 等式によって 一意に決定される。（これはもちろん、平坦引き戻しが有理同値と両立することを用いている。 補題 02S1 を参照。）したがって両者は等しい。

言い換えると、有限局所自由層の Chern 類とのキャップ積は有理同値を通して定まり、写像 \[c_j(\mathcal{E}) \cap - : \CH_k(X) \to \CH_{k - j}(X).\] を与える。次の課題は、Chern 類が双変類であることを示すことである。 定義 0B76 を参照。

補題

\((S, \delta)\) を状況 02QL のとおりとし、 \(X\), \(Y\) を \(S\) 上局所有限型とする。 \(\mathcal{E}\) を \(X\) 上の階数 \(r\) の有限局所自由層とする。 \(p : X \to Y\) を固有射とし、\(\alpha\) を \(X\) 上の \(k\)-サイクルとする。 \(\mathcal{E}\) を \(Y\) 上の有限局所自由層とする。このとき \[p_*(c_j(p^*\mathcal{E}) \cap \alpha) = c_j(\mathcal{E}) \cap p_*\alpha\] である。

証明

\((\pi : P \to Y, \mathcal{O}_P(1))\) を \(\mathcal{E}\) に付随する射影束とする。 このとき \(P_X = X \times_Y P\) は \(p^*\mathcal{E}\) に付随する射影束であり、 \(\mathcal{O}_{P_X}(1)\) は \(\mathcal{O}_P(1)\) の引き戻しである。 \(\alpha_j = c_j(p^*\mathcal{E}) \cap \alpha\) と書けば \(\alpha_0 = \alpha\) である。 補題 02U6 により \[\sum\nolimits_{i = 0}^r (-1)^i c_1(\mathcal{O}_P(1))^i \cap \pi_X^*(\alpha_{r - i}) = 0\] が \(P_X\) の Chow 群で成り立つ。ファイバー積図式 \[\xymatrix{ P_X \ar[r]_-{p'} \ar[d]_{\pi_X} & P \ar[d]^\pi \\ X \ar[r]^p & Y }\] を考える。上の等式に固有押し出し \(p'_*\) （補題 02S2）を適用する。 補題 02SU および 02RG を用いると \[\sum\nolimits_{i = 0}^r (-1)^i c_1(\mathcal{O}_P(1))^i \cap \pi^*(p_*\alpha_{r - i}) = 0\] を \(P\) の Chow 群で得る。補題 02U6 の特徴づけから結論が従う。

補題

\((S, \delta)\) を状況 02QL のとおりとし、 \(X\), \(Y\) を \(S\) 上局所有限型とする。 \(\mathcal{E}\) を \(Y\) 上の階数 \(r\) の有限局所自由層とする。 \(f : X \to Y\) を相対次元 \(r\) の平坦射とし、\(\alpha\) を \(Y\) 上の \(k\)-サイクルとする。 このとき \[f^*(c_j(\mathcal{E}) \cap \alpha) = c_j(f^*\mathcal{E}) \cap f^*\alpha\] である。

証明

\(\alpha_j = c_j(\mathcal{E}) \cap \alpha\) と書けば \(\alpha_0 = \alpha\) である。 補題 02U6 により \[\sum\nolimits_{i = 0}^r (-1)^i c_1(\mathcal{O}_P(1))^i \cap \pi^*(\alpha_{r - i}) = 0\] が \(\mathcal{E}\) に付随する射影束 \((\pi : P \to Y, \mathcal{O}_P(1))\) の Chow 群で成り立つ。 ファイバー積図式 \[\xymatrix{ P_X = \mathbf{P}(f^*\mathcal{E}) \ar[r]_-{f'} \ar[d]_{\pi_X} & P \ar[d]^\pi \\ X \ar[r]^f & Y }\] を考える。\(\mathcal{O}_{P_X}(1)\) は \(\mathcal{O}_P(1)\) の引き戻しである。 上の等式に平坦引き戻し \((f')^*\)（補題 02S1）を適用する。 補題 02SS および 02RD により \[\sum\nolimits_{i = 0}^r (-1)^i c_1(\mathcal{O}_{P_X}(1))^i \cap \pi_X^*(f^*\alpha_{r - i}) = 0\] が \(P_X\) の Chow 群で成り立つ。補題 02U6 の特徴づけから結論が従う。

補題

\((S, \delta)\) を状況 02QL のとおりとし、\(X\) を \(S\) 上局所有限型とする。 \(\mathcal{E}\) を \(X\) 上の階数 \(r\) の有限局所自由層とする。 \((\mathcal{L}, s, i : D \to X)\) を定義 02T8 のとおりとする。このときすべての \(\alpha \in \CH_k(X)\) に対して \(c_j(\mathcal{E}|_D) \cap i^*\alpha = i^*(c_j(\mathcal{E}) \cap \alpha)\) である。

証明

\(\alpha_j = c_j(\mathcal{E}) \cap \alpha\) と書けば \(\alpha_0 = \alpha\) である。 補題 02U6 により \[\sum\nolimits_{i = 0}^r (-1)^i c_1(\mathcal{O}_P(1))^i \cap \pi^*(\alpha_{r - i}) = 0\] が \(\mathcal{E}\) に付随する射影束 \((\pi : P \to X, \mathcal{O}_P(1))\) の Chow 群で成り立つ。 ファイバー積図式 \[\xymatrix{ P_D = \mathbf{P}(\mathcal{E}|_D) \ar[r]_-{i'} \ar[d]_{\pi_D} & P \ar[d]^\pi \\ D \ar[r]^i & X }\] を考える。\(\mathcal{O}_{P_D}(1)\) は \(\mathcal{O}_P(1)\) の引き戻しである。 表示された等式に Gysin 写像 \((i')^*\)（補題 02TO）を適用する。 補題 0B72 および 0B71 を用いると \[\sum\nolimits_{i = 0}^r (-1)^i c_1(\mathcal{O}_{P_D}(1))^i \cap \pi_D^*(i^*\alpha_{r - i}) = 0\] を \(P_D\) の Chow 群で得る。補題 02U6 の特徴づけから結論が従う。

以上で、Chern 類とのキャップ積が双変類を定めることを証明するための材料が揃った。

補題

\((S, \delta)\) を状況 02QL のとおりとし、\(X\) を \(S\) 上局所有限型とする。 \(\mathcal{E}\) を階数 \(r\) の局所自由 \(\mathcal{O}_X\)-加群とし、 \(0 \leq p \leq r\) とする。このとき各 \(f : X' \to X\) に \(c_p(f^*\mathcal{E}) \cap - : \CH_k(X') \to \CH_{k - p}(X')\) を対応させる規則は次数 \(p\) の双変類である。

証明

補題 02U7, 02U9, 02U8, 0B7G および定義 0B76 から直ちに従う。

この補題により、有限局所自由加群の Chern 類を次のように定義できる。

定義

\((S, \delta)\) を状況 02QL のとおりとし、\(X\) を \(S\) 上局所有限型とする。 \(\mathcal{E}\) を階数 \(r\) の局所自由 \(\mathcal{O}_X\)-加群とする。 \(i = 0, \ldots, r\) に対し、\(\mathcal{E}\) の 第 \(i\) Chern 類 とは、 補題 0B7H で構成した次数 \(i\) の双変類 \(c_i(\mathcal{E}) \in A^i(X)\) をいう。 \(\mathcal{E}\) の 全 Chern 類 とは形式和 \[c(\mathcal{E}) = c_0(\mathcal{E}) + c_1(\mathcal{E}) + \ldots + c_r(\mathcal{E})\] をいう。これは \(X\) 上の非斉次双変類とみなす。

定義 02U5 に続く注意により、 \(\mathcal{E}\) が可逆ならば、この定義は 定義 0FDW と一致する。 次に、Chern 類が双変 Chow コホモロジー環 \(A^*(X)\) の中心に属することを示す。

補題

\((S, \delta)\) を状況 02QL のとおりとし、\(X\) を \(S\) 上局所有限型とする。 \(\mathcal{E}\) を階数 \(r\) の局所自由 \(\mathcal{O}_X\)-加群とする。このとき

1. \(c_j(\mathcal{E}) \in A^j(X)\) は \(A^*(X)\) の中心に属する。

2. \(f : X' \to X\) が局所有限型で \(c \in A^*(X' \to X)\) ならば、 \(c \circ c_j(\mathcal{E}) = c_j(f^*\mathcal{E}) \circ c\) である。

特に、\(\mathcal{F}\) を \(X\) 上の階数 \(s\) のもう一つの局所自由 \(\mathcal{O}_X\)-加群とすると、すべての \(\alpha \in \CH_k(X)\) に対して \[c_i(\mathcal{E}) \cap c_j(\mathcal{F}) \cap \alpha = c_j(\mathcal{F}) \cap c_i(\mathcal{E}) \cap \alpha\] が \(\CH_{k - i - j}(X)\) の元として成り立つ。

証明

(2) から (1) が従うことは直ちに分かる。 \(\alpha \in \CH_k(X)\) とし、\(\alpha_j = c_j(\mathcal{E}) \cap \alpha\) と書けば \(\alpha_0 = \alpha\) である。補題 02U6 により \[\sum\nolimits_{i = 0}^r (-1)^i c_1(\mathcal{O}_P(1))^i \cap \pi^*(\alpha_{r - i}) = 0\] が \(\mathcal{E}\) に付随する射影束 \((\pi : P \to Y, \mathcal{O}_P(1))\) の Chow 群で成り立つ。 \(\pi\) の \(f\) による基底変換を \(\pi' : P' \to X'\) と表す。 補題 0B7B と双変類の性質を用いると \[\begin{align*} 0 & = c \cap \left(\sum\nolimits_{i = 0}^r (-1)^i c_1(\mathcal{O}_P(1))^i \cap \pi^*(\alpha_{r - i})\right) \\ & = \sum\nolimits_{i = 0}^r (-1)^i c_1(\mathcal{O}_{P'}(1))^i \cap (\pi')^*(c \cap \alpha_{r - i}) \end{align*}\] を \(P'\) の Chow 群で得る（計算は省略する）。 したがって補題 02U6 の特徴づけにより、 \(c \cap \alpha_j\) は \(c_j(f^*\mathcal{E}) \cap (c \cap \alpha)\) に等しい。 これで補題が示された。

注意

\((S, \delta)\) を状況 02QL のとおりとし、\(X\) を \(S\) 上局所有限型とする。 \(\mathcal{E}\) を有限局所自由 \(\mathcal{O}_X\)-加群とする。 \(\mathcal{E}\) の階数が一定でなくても、\(\mathcal{E}\) の Chern 類を定義できる。 実際、この場合 \[X = X_0 \amalg X_1 \amalg X_2 \amalg \ldots\] と書ける。ここで \(X_r \subset X\) は \(\mathcal{E}\) の階数が \(r\) である 開かつ閉な部分空間である。補題 0FDZ により \(A^p(X) = \prod A^p(X_r)\) である。 そこで \(c_p(\mathcal{E})\) を、\(A^p(X_r)\) における類 \(c_p(\mathcal{E}|_{X_r})\) の積として定義できる。 具体的に、\(X' \to X\) が局所有限型な射ならば、引き戻しにより \(X'\) の対応する分解を得て、定義から \[\CH_*(X') = \prod\nolimits_{r \geq 0} \CH_*(X'_r)\] となる。このとき \(c_p(\mathcal{E}) \in A^p(X)\) は、これらの直積分解を保ち、 各因子上で既に定義した演算 \(c_i(\mathcal{E}|_{X_r}) \cap -\) として作用する双変類である。 この設定では、無限個の \(p\) に対して \(c_p(\mathcal{E})\) が非零となりうることに注意する。 したがって全 Chern 類は、完備化双変コホモロジー環の元 \[c(\mathcal{E}) = c_0(\mathcal{E}) + c_1(\mathcal{E}) + c_2(\mathcal{E}) + \ldots \in A^*(X)^\wedge\] である。注意 0FE0 を参照。 この設定で \(\mathcal{E}\) の「階数」を元 \(r(\mathcal{E}) \in A^0(X)\) として定義する。 これは \((\alpha_r) \in \prod \CH_*(X'_r)\) を \((r\alpha_r) \in \prod \CH_*(X'_r)\) に送る双変演算である。 \(c_p(\mathcal{E})\) と \(r(\mathcal{E})\) が依然として \(A^*(X)\) の中心に属することに注意する。

注意

\((S, \delta)\) を状況 02QL のとおりとし、\(X\) を \(S\) 上局所有限型とする。 \(\mathcal{E}\) を有限局所自由 \(\mathcal{O}_X\)-加群とする。一般に、注意 0ESW のとおり \(X = \coprod X_r\) と書く。 空でない \(X_r\) が有限個しかなければ \[c_{top}(\mathcal{E}) = \sum\nolimits_r c_r(\mathcal{E}|_{X_r}) \in A^*(X) = \bigoplus A^*(X_r)\] とおける。ここで等式は補題 0FDZ による。 空でない \(X_r\) が無限個ある場合も、同じ記号で \[c_{top}(\mathcal{E}) = \prod c_r(\mathcal{E}|_{X_r}) \in \prod A^r(X_r) \subset A^*(X)^\wedge\] を表す。記号については注意 0FE0 を参照。

Chern 類間の多項式関係

\((S, \delta)\) を状況 02QL のとおりとし、\(X\) を \(S\) 上局所有限型とする。 \(\mathcal{E}_i\) を \(X\) 上の有限局所自由層の有限族とする。 補題 02UA により、Chern 類 \[c_j(\mathcal{E}_i) \in A^*(X)\] は Chow コホモロジー代数 \(A^*(X)\) の可換な（実際には中心的な） \(\mathbf{Z}\)-部分代数を生成する。したがって、これらの Chern 類の多項式が 零であること、または二つの多項式が等しいことの意味を定められる。 例えば \(c_1(\mathcal{E}_1)^5 + c_2(\mathcal{E}_2)c_3(\mathcal{E}_3) = 0\) とは、すべての局所有限型射 \(f : Y \to X\) に対して演算 \[\CH_k(Y) \longrightarrow \CH_{k - 5}(Y), \quad \alpha \longmapsto c_1(\mathcal{E}_1)^5 \cap \alpha + c_2(\mathcal{E}_2) \cap c_3(\mathcal{E}_3) \cap \alpha\] が零であることを意味する。補題 02UC により、これは、 \(Y\) が \(S\) 上局所有限型な整スキームである任意の射 \(f : Y \to X\) に対してサイクル \[c_1(\mathcal{E}_1)^5 \cap [Y] + c_2(\mathcal{E}_2) \cap c_3(\mathcal{E}_3) \cap [Y]\] が \(\CH_{\dim(Y) - 5}(Y)\) で零であることと同値である。

具体例として、補題 02SP で証明した関係 \[c_1(\mathcal{L} \otimes_{\mathcal{O}_X} \mathcal{N}) = c_1(\mathcal{L}) + c_1(\mathcal{N})\] がある。より一般に、任意の局所自由層を可逆層でテンソルすると次のようになる。

補題

\((S, \delta)\) を状況 02QL のとおりとし、\(X\) を \(S\) 上局所有限型とする。 \(\mathcal{E}\) を \(X\) 上の階数 \(r\) の有限局所自由層とし、 \(\mathcal{L}\) を \(X\) 上の可逆層とする。このとき [02UE]\[\begin{equation} c_i({\mathcal E} \otimes {\mathcal L}) = \sum\nolimits_{j = 0}^i \binom{r - i + j}{j} c_{i - j}({\mathcal E}) c_1({\mathcal L})^j \end{equation}\] が \(A^*(X)\) で成り立つ。

証明

これは任意の三つ組 \((X, \mathcal{E}, \mathcal{L})\) に対して成り立つべき関係である。 特に \(X\) が整の場合に成り立つべきであり、補題 02UC により、そのような \(X\) に対して \([X]\) とのキャップ積をとったときに成り立つことを示せば十分である。 そこで \(X\) は整と仮定する。\(\mathcal{E}\), resp. \(\mathcal{E} \otimes \mathcal{L}\) に付随する 射影空間束を \((\pi : P \to X, \mathcal{O}_P(1))\), resp. \((\pi' : P' \to X, \mathcal{O}_{P'}(1))\) とする。標準射 \[\xymatrix{ P \ar[rd]_\pi \ar[rr]_g & & P' \ar[ld]^{\pi'} \\ & X & }\] を考える。『スキームの構成』の補題 02NC を参照。この射は \(g^*\mathcal{O}_{P'}(1) = \mathcal{O}_P(1) \otimes \pi^* {\mathcal L}\) を満たす。したがって \[\sum\nolimits_{i = 0}^r (-1)^i (\xi + x)^i \cap \pi^*(c_{r - i}(\mathcal{E} \otimes \mathcal{L}) \cap [X]) = 0\] が \(\CH_*(P)\) で成り立つ。ここで \(\xi\) は \(c_1(\mathcal{O}_P(1))\) を、\(x\) は \(c_1(\pi^*\mathcal{L})\) を表す。 初等的な代数計算により、これは \[\sum\nolimits_{i = 0}^r (-1)^i \xi^i \left( \sum\nolimits_{j = i}^r (-1)^{j - i} \binom{j}{i} x^{j - i} \cap \pi^*(c_{r - j}(\mathcal{E} \otimes \mathcal{L}) \cap [X]) \right) = 0\] と同値である。式 (02U1) と比較すると \[c_{r - i}(\mathcal{E}) \cap [X] = \sum\nolimits_{j = i}^r \binom{j}{i} (-c_1(\mathcal{L}))^{j - i} \cap c_{r - j}(\mathcal{E} \otimes \mathcal{L}) \cap [X]\] が従う。これを変形し、負号を除いて添字を付け直すと、所望の関係を得る。

(02UE) の具体例は \[\begin{align*} c_1(\mathcal{E} \otimes \mathcal{L}) & = c_1(\mathcal{E}) + r c_1(\mathcal{L}) \\ c_2(\mathcal{E} \otimes \mathcal{L}) & = c_2(\mathcal{E}) + (r - 1) c_1(\mathcal{E}) c_1(\mathcal{L}) + \binom{r}{2} c_1(\mathcal{L})^2 \\ c_3(\mathcal{E} \otimes \mathcal{L}) & = c_3(\mathcal{E}) + (r - 2) c_2(\mathcal{E})c_1(\mathcal{L}) + \binom{r - 1}{2} c_1(\mathcal{E})c_1(\mathcal{L})^2 + \binom{r}{3} c_1(\mathcal{L})^3 \end{align*}\] である。

Chern 類の加法性

以下の準備補題はいずれも、最後の結果から直ちに従う。

補題

\((S, \delta)\) を状況 02QL のとおりとする。 \(X\) を \(S\) 上局所有限型とする。\(\mathcal{E}\), \(\mathcal{F}\) を \(X\) 上の それぞれ階数 \(r\), \(r - 1\) の有限局所自由層とし、短完全列 \[0 \to \mathcal{O}_X \to \mathcal{E} \to \mathcal{F} \to 0\] に入ると仮定する。このとき \(A^*(X)\) において \[c_r(\mathcal{E}) = 0, \quad c_j(\mathcal{E}) = c_j(\mathcal{F}), \quad j = 0, \ldots, r - 1\] が成り立つ。

証明

補題 02UC により、\(X\) が整のとき \(c_j(\mathcal{E}) \cap [X] = c_j(\mathcal{F}) \cap [X]\) であることを示せば十分である。 \(\mathcal{E}\), resp. \(\mathcal{F}\) に付随する射影空間束を \((\pi : P \to X, \mathcal{O}_P(1))\), resp. \((\pi' : P' \to X, \mathcal{O}_{P'}(1))\) と表す。全射 \(\mathcal{E} \to \mathcal{F}\) から \(X\) 上の閉埋め込み \[i : P' \longrightarrow P\] が得られる。さらに、元 \(1 \in \Gamma(X, \mathcal{O}_X) \subset \Gamma(X, \mathcal{E})\) から大域切断 \(s \in \Gamma(P, \mathcal{O}_P(1))\) が得られ、その零点集合はちょうど \(P'\) である。 したがって \(P'\) は \(P\) 上の有効 Cartier 因子であり、 \(\mathcal{O}_P(P') \cong \mathcal{O}_P(1)\) を満たす。ゆえに補題 02TR により、\(X\) 上の任意のサイクル類 \(\alpha\) に対して \[c_1(\mathcal{O}_P(1)) \cap \pi^*\alpha = i_*((\pi')^*\alpha)\] である。補題 02U6 により、 \(\alpha_j = c_j(\mathcal{F}) \cap [X]\), \(j = 0, \ldots, r - 1\) は \[\sum\nolimits_{j = 0}^{r - 1} (-1)^jc_1(\mathcal{O}_{P'}(1))^j \cap (\pi')^*\alpha_j = 0\] を満たす。これを \(P\) へ押し出し、上の注意と補題 02SU を用いると \[\sum\nolimits_{j = 0}^{r - 1} (-1)^j c_1(\mathcal{O}_P(1))^{j + 1} \cap \pi^*\alpha_j = 0\] を得る。補題 02U6 の一意性により、 \(c_r(\mathcal{E}) \cap [X] = 0\) および \(c_j(\mathcal{E}) \cap [X] = \alpha_j = c_j(\mathcal{F}) \cap [X]\) が \(j = 0, \ldots, r - 1\) に対して成り立つ。したがって補題が従う。

補題

\((S, \delta)\) を状況 02QL のとおりとする。 \(X\) を \(S\) 上局所有限型とする。\(\mathcal{E}\), \(\mathcal{F}\) を \(X\) 上の それぞれ階数 \(r\), \(r - 1\) の有限局所自由層とし、短完全列 \[0 \to \mathcal{L} \to \mathcal{E} \to \mathcal{F} \to 0\] に入ると仮定する。ただし \(\mathcal{L}\) は可逆層とする。このとき \(A^*(X)\) において \[c(\mathcal{E}) = c(\mathcal{L}) c(\mathcal{F})\] が成り立つ。

証明

この関係は実質的に \(c_i(\mathcal{E}) = c_i(\mathcal{F}) + c_1(\mathcal{L})c_{i - 1}(\mathcal{F})\) というだけである。補題 02UG により、 \(j = 0, \ldots, r\) に対して \(c_j(\mathcal{E} \otimes \mathcal{L}^{\otimes -1}) = c_j(\mathcal{F} \otimes \mathcal{L}^{\otimes -1})\) である。ここで慣例により \(c_r(\mathcal{F} \otimes \mathcal{L}^{-1}) = 0\) とおいた。 補題 02UD を適用すると \[\sum_{j = 0}^i \binom{r - i + j}{j} (-1)^j c_{i - j}({\mathcal E}) c_1({\mathcal L})^j = \sum_{j = 0}^i \binom{r - 1 - i + j}{j} (-1)^j c_{i - j}({\mathcal F}) c_1({\mathcal L})^j\] を得る。 \(c_i(\mathcal{E}) = c_i(\mathcal{F}) + c_1(\mathcal{L})c_{i - 1}(\mathcal{F})\) とおけばこの方程式の「解」が得られる。これが唯一の可能な解であることを示せば 補題が従うが、その検証は省略する。

補題

\((S, \delta)\) を状況 02QL のとおりとする。 \(X\) を \(S\) 上局所有限型なスキームとする。\({\mathcal E}\) が、 それぞれ階数 \(r_i\) の有限局所自由層 \(\mathcal{E}_i\) からなる完全列 \[0 \to {\mathcal E}_1 \to {\mathcal E} \to {\mathcal E}_2 \to 0\] に入ると仮定する。全 Chern 類は \(A^*(X)\) において \[c({\mathcal E}) = c({\mathcal E}_1) c({\mathcal E}_2)\] を満たす。

証明

補題 02UC により \(X\) は整と仮定でき、 \([X]\) とのキャップ積をとったときにこの等式を示せばよい。 \(r_1\) に関する帰納法による。\(r_1 = 1\) の場合は補題 02UH である。\(r_1 > 1\) と仮定する。 \((\pi : P \to X, \mathcal{O}_P(1))\) を \(\mathcal{E}_1\) に付随する射影空間束とする。 次に注意する。

1. \(\pi^* : \CH_*(X) \to \CH_*(P)\) は単射である。

2. \(\pi^*\mathcal{E}_1\) は短完全列 \(0 \to \mathcal{F} \to \pi^*\mathcal{E}_1 \to \mathcal{L} \to 0\) に入る。ただし \(\mathcal{L}\) は可逆である。

第一の主張は射影空間束公式から、第二の主張は射影空間束の定義から従う。 (実際 \(\mathcal{L} = \mathcal{O}_P(1)\) である。) \(Q = \pi^*\mathcal{E}/\mathcal{F}\) とおくと、これは完全列 \(0 \to \mathcal{L} \to Q \to \pi^*\mathcal{E}_2 \to 0\) に入る。 帰納法により \[\begin{eqnarray*} c(\pi^*\mathcal{E}) \cap [P] & = & c(\mathcal{F}) \cap c(\pi^*\mathcal{E}/\mathcal{F}) \cap [P] \\ & = & c(\mathcal{F}) \cap c(\mathcal{L}) \cap c(\pi^*\mathcal{E}_2) \cap [P] \\ & = & c(\pi^*\mathcal{E}_1) \cap c(\pi^*\mathcal{E}_2) \cap [P] \end{eqnarray*}\] である。\([P] = \pi^*[X]\) なので、補題 02U8 から結論を得る。

補題

\((S, \delta)\) を状況 02QL のとおりとする。 \(X\) を \(S\) 上局所有限型とする。\({\mathcal L}_i\), \(i = 1, \ldots, r\) を \(X\) 上の可逆 \(\mathcal{O}_X\)-加群とする。\(\mathcal{E}\) を、フィルトレーション \[0 = \mathcal{E}_0 \subset \mathcal{E}_1 \subset \mathcal{E}_2 \subset \ldots \subset \mathcal{E}_r = \mathcal{E}\] を備えた局所自由 \(\mathcal{O}_X\)-加群とし、 \(\mathcal{E}_i/\mathcal{E}_{i - 1} \cong \mathcal{L}_i\) を仮定する。 \(c_1({\mathcal L}_i) = x_i\) とおく。このとき \(A^*(X)\) において \[c(\mathcal{E}) = \prod\nolimits_{i = 1}^r (1 + x_i)\] である。

証明

補題 02UH と帰納法を用いる。

零サイクルの次数

体上の固有スキーム上の零サイクルの次数を定義する。 一つの方法は、補題 0AZ2 のように直接定義し、 補題 02RU によって良定義性を示すことである。 ここでは代わりに次のように定義する。

定義

\(k\) を体とする（例 02QM）。\(p : X \to \Spec(k)\) を固有とする。 \(X\) 上の 零サイクルの次数 は、固有押し出し \[p_* : \CH_0(X) \to \CH_0(\Spec(k))\] （補題 02S2）と、 \([\Spec(k)]\) を \(1\) に写す自然な同型 \(\CH_0(\Spec(k)) = \mathbf{Z}\) との合成によって与えられる。記法は \(\deg(\alpha)\) とする。

この定義をより具体的に述べよう。

補題

\(k\) を体、\(X\) を \(k\) 上固有とする。 \(\alpha = \sum n_i[Z_i]\) を \(Z_0(X)\) の元とする。このとき \[\deg(\alpha) = \sum n_i\deg(Z_i)\] である。ただし \(\deg(Z_i)\) は \(Z_i \to \Spec(k)\) の次数、すなわち \(\deg(Z_i) = \dim_k \Gamma(Z_i, \mathcal{O}_{Z_i})\) である。

証明

これは固有押し出しの定義（定義 02R4）である。

次に、Varieties の節 0AYQ で定義した、 体上の \(1\) 次元固有スキーム上のベクトル束の次数との関係を与える。

補題

\(k\) を体とし、\(X\) を次元 \(\leq 1\) の \(k\) 上固有なスキームとする。 \(\mathcal{E}\) を一定階数の有限局所自由 \(\mathcal{O}_X\)-加群とする。このとき \[\deg(\mathcal{E}) = \deg(c_1(\mathcal{E}) \cap [X]_1)\] である。左辺は Varieties の定義 0AYR で定義される。

証明

\(C_i \subset X\), \(i = 1, \ldots, t\) を、誘導される既約スキーム構造を入れた 次元 \(1\) の既約成分とし、\(m_i\) を \(X\) における \(C_i\) の重複度とする。 このとき \([X]_1 = \sum m_i[C_i]\) であり、 \(c_1(\mathcal{E}) \cap [X]_1\) はサイクル \(m_i c_1(\mathcal{E}|_{C_i}) \cap [C_i]\) の押し出しの和である。 Varieties の補題 0AYW により \(\mathcal{E}\) の次数にも同様の分解があるので、\(X\) が \(k\) 上の固有曲線の場合を 示せば十分である。

\(X\) を \(k\) 上の固有曲線と仮定する。Divisors の補題 0AYP により、\(f^*\mathcal{E}\) が逐次商を 可逆 \(\mathcal{O}_{X'}\)-加群とするフィルトレーションをもつような改変 \(f : X' \to X\) が存在する。\(f_*[X']_1 = [X]_1\) なので、補題 02U9 から \[\deg(c_1(\mathcal{E}) \cap [X]_1) = \deg(c_1(f^*\mathcal{E}) \cap [X']_1)\] を得る。Varieties の補題 0AYU により 次数にも同様の関係があるので、\(\mathcal{E}\) が逐次商を可逆 \(\mathcal{O}_X\)-加群とするフィルトレーションをもつ場合に帰着する。 この場合、次数の加法性（Varieties の補題 0AYS）と 第一 Chern 類の加法性（補題 02UI）を用い、 次段落の場合に帰着できる。

\(X\) を \(k\) 上の固有曲線とし、\(\mathcal{E}\) を可逆 \(\mathcal{O}_X\)-加群と仮定する。 Divisors の補題 0AYM により、 \(\mathcal{E}\) は \(X\) 上のある有効 Cartier 因子 \(D, D'\) を用いて \(\mathcal{O}_X(D) \otimes \mathcal{O}_X(D')^{\otimes -1}\) と同型になる（ここで \(X\) が射影的であることも 用いた。例えば Varieties の補題 0A26 を見よ）。 可逆層のテンソル積に関する次数の加法性 （Varieties の補題 0AYX）と、 可逆層のテンソル積に関する \(c_1\) の加法性 （補題 02SP または 02UD）により、 \(\mathcal{E} = \mathcal{O}_X(D)\) の場合に帰着する。この場合、左辺は \(\deg(D)\)（Varieties の補題 0AYY）となり、 右辺は補題 02SQ により \(\deg([D]_0)\) となる。 定義により \[[D]_0 = \sum\nolimits_{x \in D} \text{length}_{\mathcal{O}_{X, x}}(\mathcal{O}_{D, x}) [x] = \sum\nolimits_{x \in D} \text{length}_{\mathcal{O}_{D, x}}(\mathcal{O}_{D, x}) [x]\] であるから、 \[\deg([D]_0) = \sum\nolimits_{x \in D} \text{length}_{\mathcal{O}_{D, x}}(\mathcal{O}_{D, x}) [\kappa(x) : k] = \dim_k \Gamma(D, \mathcal{O}_D) = \deg(D)\] を得る。最後から二つ目の等式には、\(D\) がアフィンであることと Algebra の補題 02M0 を用いた。

最後に、これまでの結果を Varieties の節 0BEL で定義した 数値的交点積と結びつける。

補題

\(k\) を体とし、\(X\) を \(k\) 上固有なスキームとする。 \(Z \subset X\) を次元 \(d\) の閉部分スキームとし、 \(\mathcal{L}_1, \ldots, \mathcal{L}_d\) を可逆 \(\mathcal{O}_X\)-加群とする。このとき \[(\mathcal{L}_1 \cdots \mathcal{L}_d \cdot Z) = \deg( c_1(\mathcal{L}_1) \cap \ldots \cap c_1(\mathcal{L}_d) \cap [Z]_d)\] である。左辺は Varieties の定義 0BEP で定義される。特に、 \(\mathcal{L}\) が豊富な可逆 \(\mathcal{O}_X\)-加群ならば \[\deg_\mathcal{L}(Z) = \deg(c_1(\mathcal{L})^d \cap [Z]_d)\] である。

証明

\(d\) に関する帰納法で示す。\(d = 0\) なら、結果は Varieties の補題 0AYT により成り立つ。\(d > 0\) と仮定する。

\(Z_i \subset Z\), \(i = 1, \ldots, t\) を、誘導される既約スキーム構造を入れた 次元 \(d\) の既約成分とし、\(m_i\) を \(Z\) における \(Z_i\) の重複度とする。 このとき \([Z]_d = \sum m_i[Z_i]\) であり、 \(c_1(\mathcal{L}_1) \cap \ldots \cap c_1(\mathcal{L}_d) \cap [Z]_d\) はサイクル \(m_i c_1(\mathcal{L}_1) \cap \ldots \cap c_1(\mathcal{L}_d) \cap [Z_i]\) の和である。 Varieties の補題 0BEN により \((\mathcal{L}_1 \cdots \mathcal{L}_d \cdot Z)\) にも同様の分解があるので、 \(Z = X\) が \(k\) 上の次元 \(d\) の固有多様体の場合を示せば十分である。

Chow の補題により、\(Y\) が \(k\) 上 H-射影的となる双有理固有射 \(f : Y \to X\) が存在する。Cohomology of Schemes の補題 0200 および注意 0201 を見よ。このとき Varieties の補題 0BET により \[(f^*\mathcal{L}_1 \cdots f^*\mathcal{L}_d \cdot Y) = (\mathcal{L}_1 \cdots \mathcal{L}_d \cdot X)\] であり、また補題 02SU により \[f_*(c_1(f^*\mathcal{L}_1) \cap \ldots \cap c_1(f^*\mathcal{L}_d) \cap [Y]) = c_1(\mathcal{L}_1) \cap \ldots \cap c_1(\mathcal{L}_d) \cap [X]\] である。したがって \(X\) を \(Y\) で置き換え、\(X\) は \(k\) 上射影的と仮定できる。

\(X\) が次元 \(d\) の固有射影多様体ならば、Divisors の補題 0AYM により、 ある有効 Cartier 因子 \(D, D' \subset X\) に対して \(\mathcal{L}_1 = \mathcal{O}_X(D) \otimes \mathcal{O}_X(D')^{\otimes -1}\) と書ける。 等式の両辺の加法性（Varieties の補題 0BER および補題 02SP）により、 \(\mathcal{L}_1 = \mathcal{O}_X(D)\) で \(D\) が有効 Cartier 因子の場合に帰着する。 Varieties の補題 0BEU により \[(\mathcal{L}_1 \cdots \mathcal{L}_d \cdot X) = (\mathcal{L}_2 \cdots \mathcal{L}_d \cdot D)\] であり、また補題 02SQ により \[c_1(\mathcal{L}_1) \cap \ldots \cap c_1(\mathcal{L}_d) \cap [X] = c_1(\mathcal{L}_2) \cap \ldots \cap c_1(\mathcal{L}_d) \cap [D]_{d - 1}\] である。ゆえに帰納法の仮定から結論を得る。